Estruturas de Concreto I- Prof Ney Amorim (UFMG).pdf

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 1 Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG Julho 2014

MATERIAIS _____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _______________________ ____________________ ________

1.1 – Histórico O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se transformou neste período no material de construção mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são citadas algumas datas históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido, conforme Rusch (1981).

1824 – O inventor inglês Joseph ASPDIM recebeu a patente de um produto que vinha desenvolvendo desde 1811, a partir da mistura, queima e moagem de argila e pó de pedra calcária retirado das ruas. Este novo material pulverulento recebeu o nome de cimento portland, devido à semelhança do produto final com as pedras encontradas na ilha de Portland, ao sul da Inglaterra.

1848/1855 – O francês Joseph-Louis LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde passava suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia entremeados por fios de arame. É considerado o inventor do ferrocimento (argamassa armada) que deu origem ao hoje conhecido concreto armado. O processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando estar revolucionando a indústria naval, patenteou o novo produto já em 1848, apresentando-o na feira internacional de Paris em 1855. Infelizmente sua patente não fez o sucesso esperado sendo superada pelas patentes posteriores de outro fr ancês, Monier.

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1861 – O jardineiro (paisagista) e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade o único a se interessar pela descoberta de seu compatriota compatriota Lambot, vendo neste barco a solução para os seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais durante o inverno parisiense. O ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao apodrecimento precoce dos vasos feitos até então de madeira. O novo produto além de bem mais durável apresentava uma característica peculiar: se o barco era feito para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria também a sua saída, o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier. A partir desta data começou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçada com uma malha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um forte espírito empreendedor e viu no novo produto grandes possibilidades, passando a divulgar o concreto armado inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele é considerado por por muitos como como o pai do concreto armado. Em 1875 construiu no castelo de Chazelet, nos arredores de Paris uma ponte de concreto armado com 16,5 m de vão por 4m de largura.

1867 – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes vigas e pontes. As construções eram construídas de forma empírica mostrando que o inventor não possuía uma noção clara da função estrutural das armaduras de aço no concreto.

1877 – O advogado, inventor e abolicionista americano Thaddeus HYATT publicou seus ensaios com construções de concreto armado. armado. Hyatt já reconhecia claramente o efeito da aderência aço-concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localização na peça de concreto.

1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução do concreto armado em outros países.

1.2


1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN & JOSSEAUX, compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-se o direito de revenda para toda a Alemanha.

1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A. WAISS, que funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o o“Sistema Monier”. Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de pr ovas de carga as vantagens econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando estes resultados em 1887. Nesta mesma publicação o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico para alguns tipos de “Con struções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito estrutural das armadu-

ras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta para o cálculo das armaduras de aço.

1888 – O alemão C. W. F. DÖHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno porte têm sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a ideia da protensão deliberada.

1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas distintos, geralmente patenteados. O professor da Universidade de Stuttgart Emil MÖRSCH desenvolve a teoria iniciada por Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Mörsch e publicados em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de dimensionamento de peças de concreto armado.

1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas. Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por

BACH em 1910. Os ensaios mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram 1.3


eliminados com a protensão. Entretanto Koenen e Mörsch reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão, uma vez que o concreto encurta-se com o tempo, devido à retração e deformação lenta.

1928 - O francês E. FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só em 1928 desenvolveu um processo empregando aços de alta resistência protendidos, capazes de provocar tensões de compressão suficientemente elevadas e permanentes no concreto. Estuda as perdas devido devido à retração e deformação deformação lenta do concreto e registra várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto protendido.

1.2 – Viabilidade do concreto armado O concreto armado é um material de construção composto, constituído de concreto e barras de aço nele imersas. O funcionamento conjunto dos dois materiais só é viabilizado pelas três propriedades abaixo: 

Aderência aço-concreto – esta talvez seja a mais importante das propriedades uma vez que é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois materiais;



Coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto praticamente iguais – esta propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita aderência aço-concreto;



Proteção da armadura contra a corrosão – Esta proteção que está intimamente relacionada com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento mínimo preconizado pela NBR 6118:2014 que protege de forma direta as armaduras das intempéries. A proteção química ocorre devido à presença da cal no processo químico de produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada passivadora cujo 1.4


“ph” se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão. Quando a

frente de carbonatação, que acontece devido à presença de gás carbônico (CO 2) do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada pela reação química do (CO 2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o “ph” desta camada para níveis iguais ou inferiores a 11.5, criando as condições favoráveis para o processo eletroquímico da corrosão se iniciar. A corrosão pode acontecer independentemente independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl -), ou sulfatos (S - -).

1.3 – Vantagens do concreto armado Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transforma-



ram o concreto em um século e meio no material para construção mais usado no mundo; 

Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade facilidade de execução – a produção do concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade se consegue qualquer tipo de forma propi ciada por uma fôrma de madeira;



Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à estrutura de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto. Além disso, quando a peça está submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica resistente, ela ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às peças adjacentes a responsabilidade de absorver o esforço;



Manutenção e conservação praticamente praticamente nulas – a ideia que a estrutura de concreto armado é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade associa à qualidade de execução do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção esta manutenção e conservação acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo, no entanto da vida útil das obras de concreto armado; 1.5

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Resistência a efeitos térmico-atmosféricos e a desgaste mecânico.

1.4 – Desvantagens do concreto armado 

Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A sua massa específica é dada pela NBR 6118:2014 como 2500 kg/m3;



Dificuldade de reformas e demolições - hoje amenizada com tecnologias avançadas e equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolições;



Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo a estrutura de concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos para proporcionar um conforto térmico adequado à construção;

Fissuração – a fissuração que é um fenômeno inevitável nas peças tracionadas de



concreto armado, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto, foi por muitas décadas considerada uma desvantagem do material. Já a partir do final da década de setenta, este fenômeno passou a ser controlado, baseado numa redistribuição das bitolas da armadura de tração, em novos valores de cobrimentos mínimos e até mesmo na diminuição das tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das mesmas. Cabe salientar que a fissuração não foi eliminada, apenas controlada para valores de aberturas máximas na face do concreto de tal forma a não comprometer a vida útil do concreto armado e também a estética.

1.5 – Concreto O concreto é uma mistura em proporção adequada ( traço) dos materiais cimento, agregados (areia e brita) e água resultando em um novo material de construção, cujas características do produto final diferem substancialmente daquelas dos materiais que o constituem.

1.6

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1.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto 1.5.1.1 - Resistência à compressão A resistência mecânica do concreto à compressão, devido a sua função estrutural assumida no material composto concreto armado, é a principal propriedade mecânica deste material a ser analisada e estudada. Esta propriedade é obtida através de ensaios de compressão simples realizados em corpos de provas ( CPs), com dimensões e procedimentos previamente estabelecidos em normas nacionais e estrangeiras. A resistência à compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabelecendo-se um corpo de prova cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é recomendado pela maioria das normas do mundo, inclusive as brasileiras. Em outros países, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de prova cúbico de aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência à compressão ligeiramente superior ao obtido pelo cilíndrico. Isto se deve a sua forma, onde o efeito do atrito entre as faces do corpo de prova carregadas e os pratos da máquina de ensaio, confina de forma mais efetiva o CP cúbico que o cilíndrico, devido a uma maior restrição ao deslocamento transversal das faces carregadas. Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85, que quando aplicado ao CP cúbico transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto. Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e sabe-se a partir dos trabalhos realizados pelo alemão Rüsch, que o resultado deste ensaio é ligeiramente superior ao obtido quando o ensaio é de longa duração. Isto se deve a microfissuração interna do concreto, que se processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito ampliado devido à interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade resistente 1.7


do CP à compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma estrutura é de longa duração os resultados do ensaio de curta duração devem ser corrigidos por um fator, denominado Coeficiente de Rüsch, igual a 0,85.

1.5.1.2 - Resistência característica do concreto a compressão - f ck Quando os resultados dos ensaios a compressão de um grande número de CPs são colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistências obtidas e nas ordenadas a frequência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final obedece a uma curva normal de distribuição de frequência, ou curva de Gauss. Observa-se neste gráfico que a resistência que apresenta a maior frequência de ocorrência é a resistência média f cj, aos “j” dias, e que o valor equidistante entre a resistência média e os pontos de inflexão da curva é o desvio- padrão “s” (ver fig. 1.1), cujos valores são dados respectivamente por:

f cj 

s

 f

(1.1)

ci

n

 f

 f cj 2 n 1

(1.2)

ci

Onde n é o número de CPs e f ci é a resistência à compressão de cada CP “ i”. A área abaixo da curva é igual a 1. Um valor qualquer da resistência marcado no eixo das abscissas divide esta área em duas outras que representam as probabilidades de ocorrência de valores maiores ou menores que este. Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial a resistência característica f ck do lote de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados obtidos, ou seja, um valor com 95% de probabilidade de ser ultrapassado (ver fig. 1.1). 1.8


Para um quantil de 5% obtém-se a partir da curva de Gauss: f ck  f cj  1,645s

(1.3)

A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo percebe-se que o desvio- padrão “s” é principalmente dependente da qualidade de execução e não da resistência do concreto. A NBR-12655:2006 que trata do preparo, controle e recebimento do concreto, define que o cálculo da resistência de dosagem deve ser feito segundo a equação: f cj  f ck  1,645sd

(1.4)

Onde sd representa o desvio-padrão de dosagem.

Figura 1.1 – Curva de Gauss para CPs de concreto ensaiados à compressão Resistência característica f ck

1.9


De acordo com a NBR-12655:2006 o cálculo da resistência de dosagem do concreto depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir: 

Condição A (aplicável às classes C10 - f ck=10 MPa, até C80 – f ck=80 MPa): o cimento e o os agregados são medidos em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo dosador e corrigida em função da umidade dos agregados;



Condição B (aplicável às classes C10 até C25): o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3;

(aplicável às classes C10 até C20): o cimento é medido em massa, a água de amassamento é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado; 

Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em volume e a sua quantidade é corrigida em função da estimativa da umidade dos agregados e da determinação da consistência do concreto, conforme disposto na NBR 7223, ou outro método normalizado ( A NBR

7223:1992 foi cancelada e substituída pela NBRNM 67:1998). Ainda de acordo com a NBR-12655:2006, no início da obra ou em qualquer outra circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor que 2 MPa.

1.10


Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da condição de preparo do concreto (NBR 12655:2006) Condição

Desviopadrão (MPa) 4,0 5,5 7,0

A B C 1)

Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-

se para os concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico.

1.5.1.3 - Módulo de elasticidade longitudinal O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama

x (tensão x deformação) é obtido pela derivada ( d /d ) no ponto considerado, que representa a inclinação da tangente à curva no ponto. De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura são da ordem de 40% da tensão de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama

x é praticamente linear. De acordo com o item

8.2.8 da NBR-6118:2014 o módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial é dado por: E ci  α E 5600 f ck

3 E ci  21,5x10 α E 3

f ck 10

 1,25

para f ck ≤ 50 MPa

(1.5a)

para f ck > 50 MPa

(1.5b)

Sendo αE = 1,2

para basalto e diabásio

αE = 1,0

para granito e gnaisse

αE = 0,9

para calcário

αE = 0,7

para arenito 1.11


Onde

Eci e f ck são dados em megapascal (MPa). O módulo de deformação secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos estados limites de serviço, pode ser estimado pela expressão:

(1.6a)

E cs  α i E ci

Sendo α i  0,8  0,2

f ck 80

 1,0

(1.6b)

1.5.1.4 - Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118:2014 para tensões de compressão inferiores a 50% de f c (ruptura à compressão) e para tensões inferiores a resistência à tração f ct, o coeficiente de Poisson (relação entre a deformação transversal e longitudinal) e o módulo de elasticidade transversal são dados respectivamente por:

= 0,2

Gc 

(1.7)

E  cs  0,42Ecs 21  ν  2,4 1

(1.8)

1.5.1.5 - Diagrama tensão-deformação ( x ) Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118:2014 o diagrama x na compressão para tensões inferiores a 0,5 f c pode ser adotado como linear e as tensões calculadas com a lei de Hooke, com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs. Para os estados limites últimos o diagrama

x na compressão apresentado

na figura (1.2) abaixo é um diagrama idealizado, onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parábola de grau “n”, com deformações inferiores a 1.12


εc2 e o segundo constante, com deformações variando de εc2 a εcu. Para o trecho

curvo a tensão no concreto é dada por:   ε n  σ c  0,85f cd 1   1  c     ε c2  

(1.9a)

Onde f cd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 da NBR 6118:2014 mostrada adiante no item 1.8, a potência “n” é dada na figura 1.2 em função dos grupos de resistência I (C20 a C50) e II (C55 a C90). O valor da resistência no trecho constante é igual a σc = 0,85 f cd (o valor do coeficiente 0,85 só muda quando se adota o diagrama retangular simplificado).

Figura 1.2 - Diagrama tensão-deformação idealizado (compressão) (Adaptada da Fig. 8.2 da NBR 6118:2014) 1.13


Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são os seguintes: εc2 = 2‰

concretos de classes até C50

(1.9b)

εcu = 3,5‰ εc2 = 2‰ + 0,085‰ (f ck – 50)0,53

concretos de classes C55 até C90 (1.9c) εcu = 2,6‰ + 35‰ x [ (90 – f ck) / 100 ]4

Figura 1.3 - Diagramas tensão-deformação parábola-retângulo

1.14


1.5.1.6 - Resistência à tração Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118:2014 os conceitos relativos à resistência a tração direta do concreto f ct são análogos aos do item anterior relativo à compressão. Assim tem-se a resistência média do concreto à tração f ctm e a resistência característica do concreto à tração f ctk, ou simplesmente f tk. Este valor tem 95% de probabilidade de ser superado pelos resultados do lote de concreto ensaiado. Na tração, o diagrama x é bilinear conforme a figura (1.4) mostrada a seguir. Enquanto na compressão o ensaio usado é o da compressão direta, na tração são normalizados três ensaios: tração direta, tração indireta (compressão diametral) e tração na flexão. O ensaio de compressão diametral, conhecido mundialmente como ensaio brasileiro por ter sido desenvolvido pelo Prof. Lobo Carneiro, é o mais utilizado, o mais simples e fornece resultados mais homogêneos e ligeiramente superiores ao da tração direta.

Figura 1.4 - Diagrama tensão-deformação bilinear na tração (Adaptada da Fig. 8.3 da NBR 6118:2014) 1.15


O valor da resistência à tração direta pode ser considerado igual a:

f ct = 0,9 f ct,st

(1.10)

f ct = 0,7 f ct,f

(1.11)

ou

Onde f ct,st é a resistência a tração indireta e f ct,f é a resistência a tração na flexão. Na falta desses valores pode-se obter a resistência média à tração dada por:

f ct,m = 0,3 (f ck)2/3

(MPa)

f ct,m = 2,12 ln(1+0,11f ck)

P/ concretos de classes até C50 (MPa) P/ concretos de classes C55 até C90

(1.12a) (1.12b)

Os valores da resistência característica a tração f ctk inferior e superior, usados em situações especificas, são dados por:

0,21 (f ck)2/3

(MPa)

até C50

f ctk,inf = 0,7 f ct,m =

(1.13a) 1,484 ln (1 + 0,11f ck) 0,39 (f ck)2/3

(MPa)

(MPa)

C55 até C90 até C50

f ctk,sup = 1,3 f ct,m =

(1.13b) 2,756 ln (1 + 0,11f ck)

(MPa)

C55 até C90

1.5.2 – Características reológicas do concreto Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as pr o-

priedades e o comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos”. As características reológicas do concreto que interessam ao

estudo do concreto armado são:

1.16


1.5.2.1 - Retração (shrinkage) A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento e, portanto, de direção sendo, pois uma deformação volumétrica que ocorre devido à perda de parte da água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este “seca” em contato com o ar. Segundo a NBR 6118:2014 depen-

de da umidade relativa do ambiente, da consistência do concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça. A deformação específica de retração do concreto

cs pode

ser calculada con-

forme indica o anexo A da NBR 6118:2014. Na grande maioria dos casos, permitese que ela seja calculada simplificadamente por meio da tabela 1.2. Esta tabela fornece os valores característicos superiores da deformação específica de retração entre os instantes to e t ,

cs(t

, to) e do coeficiente de fluência φ(t ,t0), em função da

umidade média ambiente e da espessura equivalente ou fictícia da peça em , dada por: em 

2A c u

(cm)

(1.14)

Onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 oC e 20 oC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 oC e 40 oC. Estes valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum. Nos casos correntes das obras de concreto armado o valor da deformação específica devido à retração pode ser adotado igual a

cs(t

, to) = –15x10-5, satisfa-

zendo ao mínimo especificado na NBR-6118:2014 em função da restrição à retração do concreto imposta pela armadura. Este valor admite elementos estruturais com dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm, sujeitos a umidade relativa do ar não inferior a 75%. O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo. 1.17


1.5.2.2 - Fluência (creep) A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada. Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando este fato uma expulsão da água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito. Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118:2014. Nos casos em que a tensão inicial, aplicada no tempo to não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas simplificadamente pela expressão: 

ε c (t  , t 0 )  ε ci  ε cc  σ c (t 0 )

1

 Eci (t 0 )



 (t  , t 0 ) 



Eci (28) 

(1.15)

Onde: - c(t , to)

é a deformação específica total do concreto entre os instantes t o e t ;

- εci

é a deformação inicial produzida pela t ensão σc(t0);

- εcc

é a deformação devido à fluência;

-

c(t0)

- Eci(t0)



é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em t 0; é o modulo de deformação longitudinal calculado na idade do carregamento j=t 0 pelas expressões (1.5a) e (1.5b);

- Eci(28)

é o modulo de elasticidade longitudinal calculado na idade t=28 dias pelas expressões (1.5a) e (1.5b);

- (t , t0)

é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por carregamento aplicado em t0.

1.18


Tabela 1.2-Valores característicos superiores da deformação especifica de retração εcs(t ,t0) e do coeficiente de fluência φ(t ,t0) (Tab. 8.2 d a NBR6118:2014) Umidade media

40

ambiente (%)

55

75

90

Espessura fictícia

20

60

20

60

20

60

20

60

2 Ac /u (cm) φ(t ,to)

5

4,6

3,8

3,9

3,3

2,8

2,4

2,0

1,9

C20 a

30

3,4

3,0

2,9

2,6

2,2

2,0

1,6

1,5

C45

60

2,9

2,7

2,5

2,3

1,9

1,8

1,4

1,4

5

2,7

2,4

2,4

2,1

1,9

1,8

1,6

1,5

30

2,0

1,8

1,7

1,6

1,4

1,3

1,1

1,1

60

1,7

1,6

1,5

1,4

1,2

1,2

1,0

1,0

5

-0,53

-0,47

-0,48

-0,43

-0,36

-0,32

-0,18

-0,15

30 -0,44

-0,45

-0,41

-0,41

-0,33

-0,31

-0,17

-0,15

60 -0,39

-0,43

-0,36

-0,40

-0,30

-0,31

-0,17

-0,15

φ(t ,to)

C50 a C90 εcs(t ,to) ‰

to dias

O valor de (t , t0) pode ser calculado simplificadamente por interpolação da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior do coeficiente de fluência (t , t0). O seu valor característico inferior é considerado nulo.

1.5.2.3 - Variação de temperatura A variação da temperatura ambiente não se transmite imediatamente ao concreto, tendo uma ação retardada sobre a sua própria variação de temperatura, devido ao baixo grau de condutibilidade térmica do concreto. Quanto mais interno estiver o ponto considerado menor será sua variação de temperatura em função da temperatura ambiente.

1.19


Segundo a NBR 6118:2014, para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica do concreto pode ser admitido como sendo igual a αc = 10-5 /°C. Considerando o mínimo especificado na NBR-6118:2014 para a deformação específica do concreto devido à retração

cs(t

, to) = –15x10-5, isto equivale a uma

diminuição uniforme de temperatura igual a 15 0C.

1.6 – Aço O aço é uma liga metálica composta basicamente de ferro e de pequenas quantidades de carbono, com percentuais variando de 0,03% a 2%, que lhe confere maior ductilidade possibilitando que o mesmo não se quebre quando é dobrado para execução das armaduras. Os teores de carbono para aços estruturais utilizados na construção civil variam de 0,18% a 0,25%. A armadura usada nas peças de concreto armado é chamada passiva e a usada na protensão do concreto protendido é chamada ativa.

1.6.1 – Categoria Para aplicação estrutural o aço produzido inicialmente nas aciarias precisa ser modificado, o que acontece por meio de dois tipos de tratamento: a quente e a frio. O tratamento a quente consiste na laminação, forjamento ou estiramento do aço acima da temperatura crítica, em torno de 720 oC. Os aços assim produzidos apresentam maior trabalhabilidade, podem ser soldados com solda comum e apresentam diagrama tensão-deformação com patamar de escoamento bem definido. Estão incluídos neste grupo os aços CA 25 e CA 50. O tratamento a frio ou encruamento é obtido por uma deformação imposta ao aço por meio de tração, compressão ou torção abaixo da temperatura crítica, imprimindo basicamente ao mesmo um aumento da sua resistência mecânica. O aço CA

60 pertence a este grupo, que apresenta um diagrama tensão-deformação sem patamar de escoamento. 1.20


Segundo a NBR 7480:1996 o aço a ser usado nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser classificado nas categorias CA 25, CA 50 e CA 60, em que CA significa Concreto Armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço , f yd, em kN/cm2 ou kgf/mm2. A NBR 7480:1996 classifica como barra o aço produzido exclusivamente por laminação a quente com bitola nominal maior ou igual a 5 mm e como fio o produzido por laminação a frio (trefilação ou equivalente) com bitola nominal não superior a 10 mm (tabela 1.3).Os valores nominais dos diâmetros, das áreas das seções transversais e da massa por metro são os estabelecidos pela NBR-7480:1996, cujos valores mais usados estão indicados na tabela 1.4, a baixo. Para se obter a massa por unidade de comprimento (kg/m) das barras basta multiplicar a área da seção transversal por 1m de comprimento (que dá o volume da barra por metro) , vezes a massa específica do aço. Assim, por exemplo, para a barra com bitola igual a 8 mm a área da seção transversal é igual a π x (8x10 -3 m)2 / 4 =

0,503x10-4 m2 = 0,503 cm2 e a massa por unidade de comprimento é (0,503x10 -4 m2) x (1 m) x (7850 kg/m) = 0,503 x 0,785 = 0,395 kg/m. A massa específica do aço é dada no item 1.6.3 a seguir.

Tabela 1.3 – Diâmetros nominais de barras e fios - NBR 7480:1996

BARRAS Φ≥ 5 mm - LAMINAÇÃO A QUENTE - AÇOS CA-25 E CA-50

5

6,3

8

10

12,5

16

20

22

25

32

40

FIOS Φ≤ 10 mm – LAMINAÇÃO A FRIO – AÇO CA-60 2,4

3,4

3,8

4,2

4,6

5,0

5,5

1.21

6,0

6,4

7,0

8,0

9,5

10


Tabela 1.4 – Valores nominais para fios e barras de aço Diâmetro nomi-

Massa

nal

Nominal

da seção

(mm)

(kg/m)

(cm2)

0,154

0,196

0,222

0,283

0,245

0,312

6,4

0,253

0,322

7,0

0,302

0,385

0,395

0,503

0,558

0,709

Fios

Barras

5,0

5,0

6,0 6,3

8,0

8,0

9,5

rea nominal

10,0

10,0

0,617

0,785

-

12,5

0,963

1,227

-

16

1,578

2,011

-

20,0

2,466

3,142

-

22,0

2,984

3,801

-

25,0

3,853

4,909

-

32,0

6,313

8,042

-

40,0

9,865

12,566

1.22


1.6.2 – Tipo de superfície Os fios e barras podem ser lisos, entalhados ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de aço, o coeficiente de aderência deve atender ao indicado na NBR-6118:2014. Para os efeitos desta norma, a capacidade aderente entre o aço e o concreto está relacionada ao coeficiente de aderência

1,

listados na tabela 1.5.

Tabela 1.5 – Valor do coeficiente de aderência η1 (Tabela 8.3 da NBR 6118:2014) Tipo de superfície

η1

Lisa (CA 25)

1,00

Entalhada (CA 60)

1,40

Nervurada (CA 50)

2,25

1.6.3 – Massa específica e propriedades mecânicas do aço Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor s = 7850 kg/m3. O valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de temperatura entre -20 oC e 150 oC pode ser adotado como αs = 10-5 / oC. O módu-

lo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a:

Es = 210 GPa = 21000 kN/cm2 = 2100000 kqf/cm2. 1.6.4 – Diagrama tensão-deformação O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos das resistências ao escoamento f yk e à tração (ruptura) f stk, e da deformação última de ruptura

u devem

ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR ISO1.23


6892:2002. O valor de f yk para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 ‰. Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama tensão-deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou sem patamar de escoamento.

Figura 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas (Adaptada da fig. 8.4 da NBR 6118:2014)

1.7 – Definições da NBR 6118:2014 Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto como material estrutural. 1.24


Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com concreto sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos estabelecidos nesta norma.

Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto cujo comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam alongamentos iniciais nas armaduras, antes da materialização desta aderência.

Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com concreto onde parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU ( estado limite último).

Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.

Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com préalongamento inicial.

Estados limites da NBR 6118:2014 (itens 3.2 e 10.3)



Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura. 1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; 2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais;

1.25


3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 5. estado limite último de colapso progressivo; 6. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando exposição ao fogo, conforme a NBR 15200; 7. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando ações sísmicas, de acordo a NBR 15421; 8. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos especiais.



Estados limites de serviço (ELS) 1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão máxima de tração na seção transversal for igual a f ct,f , já definida anteriormente como a resistência característica à tração do concreto na flexão. 2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos estabelecidos nesta norma. 3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados nesta norma. 4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vibrações atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção.

1.26


1.8 – Ações Conforme a NBR 6118:2014 na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações (designada genericamente pela letra F) que possam produzir efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os possíveis estados limites últimos e os de serviços. Embora a norma específica para ações e segurança nas estruturas seja a NBR 8681:2003, a norma NBR

6118:2014 traz em seu item 11 os conceitos necessários à determinação das ações e seus coeficientes de ponderação. As ações são classificadas, conforme a NBR-

8681:2003 e a NBR 6118:2014, em permanente, variáveis e excepcionais. 1.8.1 – Ações permanentes Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção. Também são consideradas permanentes as ações que crescem com o tempo, tendendo a um valor limite. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores representativos mais desfavoráveis para a segurança (NBR 6118:2014).

1.8.1.1 – Ações permanentes diretas As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (NBR 6118:2014). 

Peso próprio (avaliado com a massa específica do concreto armado)



Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes (avaliado conforme as massas específicas dos materiais de construção correntes com base nos valores indicados pela NBR 6120:1980, versão corrigida de 2000)



Empuxos permanentes (consideram-se como permanentes os empuxos de terra e outros materiais granulosos quando forem admitidos não removíveis)

1.27


1.8.1.2 – Ações permanentes indiretas As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão (NBR 6118:2014). 

Retração do concreto - a deformação específica de retração do concreto pode ser calculada conforme indica o anexo A da NBR 6118:2014.



Fluência do concreto - as deformações decorrentes da fluência do concreto podem ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR 6118:2014.



Deslocamentos de apoio - os deslocamentos de apoio só devem ser considerados quando gerarem esforços significativos em relação ao conjunto das outras ações, isto é, quando a estrutura for hiperestática e muito rígida.



Imperfeições geométricas – na verificação do estado limite último das estruturas reticuladas, devem ser consideradas as imperfeições geométricas globais e locais do eixo dos elementos estruturais da estrutura descarregada.



Momento mínimo - o efeito das imperfeições locais nos pilares pode ser substituído em estruturas reticuladas pela consideração do momento mínimo de 1 a ordem



Protensão - a ação da protensão deve ser considerada em todas as estruturas protendidas, incluindo, além dos elementos protendidos propriamente ditos, aqueles que sofrem a ação indireta da protensão, isto é, de esforços hiperestáticos de protensão.

1.8.2 – Ações variáveis 1.8.2.1 – Ações variáveis diretas As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da construção, pela ação do vento e da água, devendo-se respeitar as prescrições feitas por Normas Brasileiras específicas (NBR 6118:2014).

1.28

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais ___________________________________________________________________________ 

Cargas acidentais previstas para o uso da construção - cargas verticais de uso da construção; cargas móveis, considerando o impacto vertical; impacto lateral; força longitudinal de frenação ou aceleração; força centrífuga.



Ação do vento - os esforços devidos à ação do vento devem ser considerados e recomenda-se que sejam determinados de acordo com o prescrito pela NBR

6123:1988 - versão corrigida 2:2013, permitindo-se o emprego de regras simplificadas previstas em Normas Brasileiras específicas. 

Ação da água - o nível d'água adotado para cálculo de reservatórios, tanques, decantadores e outros deve ser igual ao máximo possível compatível com o sistema de extravasão.



Ações variáveis durante a construção - as estruturas em que todas as fases construtivas não tenham sua segurança garantida pela verificação da obra pronta devem ter, incluídas no projeto, as verificações das fases construtivas mais significativas e sua influência na fase final.

1.8.2.2 – Ações variáveis indiretas



Variações uniformes de temperatura A variação da temperatura da estrutura, causada globalmente pela variação da

temperatura da atmosfera e pela insolação direta, é considerada uniforme. Ela depende do local de implantação da construção e das dimensões dos elementos estruturais que a compõem. De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores (NBR 6118:2014): a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50 cm, deve ser considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC; b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70 cm, admite-se que essa oscilação seja reduzida respectivamente para 5ºC a 10ºC;

1.29


c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50 cm e 70 cm admite-se que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados.



Variações não uniformes de temperatura Nos elementos estruturais em que a temperatura possa ter distribuição significa-

tivamente diferente da uniforme, devem ser considerados os efeitos dessa distribuição. Na falta de dados mais precisos, pode ser admitida uma variação linear entre os valores de temperatura adotados, desde que a variação de temperatura considerada entre uma face e outra da estrutura não seja inferior a 5ºC (NBR 6118:2014).



Ações dinâmicas Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vi-

brações, os respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos estruturais, de acordo com a seção 23 da NBR 6118:2014.

1.8.3 – Ações excepcionais No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras específicas ( NBR 6118:2014).

1.8.4 – Valores das ações 1.8.4.1 – Valores característicos Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-

6118:2014 em função da variabilidade de suas intensidades. 1.30


Para as ações permanentes Fgk (a letra g será usada para ações permanentes), os valores característicos devem ser adotados iguais aos valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos superiores ou inferiores. Esses valores são definidos na NBR-6118:2014 ou em normas específicas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000. Os valores característicos das ações variáveis Fqk (a letra q será usada para ações variáveis), estabelecidos por consenso em Normas Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6120:1980, versão corrigida de 2000.

1.8.4.2 – Valores representativos (NBR 6118:2014) As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:



os valores característicos conforme definido acima;



valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações excepcionais;



valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como: 1. verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina com a ação principal. Os valores reduzidos são determinados a partir da expressão

oFk ,

que considera muito baixa a probabilidade de

ocorrência simultânea dos valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes; 2. verificações de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados a partir de

1Fk ,

que estima um valor freqüente e

2Fk

,

que estima valor quase permanente, de uma ação que acompanha a ação principal.

1.31


1.8.4.3 – Valores de cálculo Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação

f definidos

a

seguir.

1.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações As ações devem ser majoradas pelo coeficiente f dado por: f =

( f1)x( f2)x( f3)

(1.16)

Onde: 

f1 – parte

do coeficiente de ponderação das ações

f ,

que considera a variabili-

f ,

que considera a simulta-

dade das ações 

f2 – parte

do coeficiente de ponderação das ações

neidade de atuação das ações 

f3 – parte

do coeficiente de ponderação das ações f , que considera os desvios

gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações

1.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU Os valores base são os apresentados na tabela 1.6 para ( 1.7 para

f2 .

f1)x( f3) e

na tabela

Para pilares e pilares-paredes esbeltos com espessura inferior a 19 cm

e lajes em balanço com espessura menor que 19 cm, os esforços solicitantes de cálculo devem ser multiplicados pelo coeficiente de ajustamento

n (ver

13.2.3 e

13.2.4.1 da NBR 6118:2014). Essa correção se deve ao aumento da probabilidade de ocorrência de desvios relativos e falhas na construção.

1.32


Tabela 1.6 – Valores de ( f1)x( f3) (Tab. 11.1 da NBR 6118:2014) Ações Combinações

Permanentes

Variáveis

Protensão

Recalques

de

(g)

(q)

(p)

de apoio e

ações Normais Especiais ou de construção Excepcionais Onde:

retração D 1,4a

F 1,0

G 1,4

T 1,2

D 1,2

F 0,9

D 1,2

F 0

1,3

1,0

1,2

1,0

1,2

0,9

1,2

0

1,2

1,0

1,0

0

1,2

0,9

0

0

D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temperatura.

a

- Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das estruturas,

especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.

Tabela 1.7 – Valores do coeficiente

f2 (Tab.

11.2 da NBR 6118:2014)

AÇÕES

0

f2 a 1

2

0,5

0,4

0,3

0,7

0,6

0,4

0,8

0,7

0,6

0,6

0,3

0

0,6

0,5

0,3

Locais em que não há predominância de peso de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas concentrações de pessoas Cargas acidentais de edifícios

b

Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada concentração de pessoas

c

Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens Pressão dinâmica do vento nas estruturas Vento

em geral Variações uniformes de temperatura em

Temperatura

relação à média anual local 1.33

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Materiais ___________________________________________________________________________ a

Para os valores

1 relativos

às pontes e principalmente aos problemas de fadiga,

ver seção 23 da NBR 6118:2014. b

Edifícios residenciais

c

Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos

1.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela expressão: f = f2

Onde

f2 tem

1

(1.17)

valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.7)



f2 =



f2 =

1

para combinações frequentes



f2 =

2

para combinações quase permanentes.

para combinações raras

Os valores das tabelas 1.6 e 1.7 podem ser modificados em casos especiais aqui não contemplados, de acordo com a NBR 8681:2003.

1.8.6 – Combinações de ações (NBR 6118:2014) Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período preestabelecido.

1.8.6.1 – Combinações últimas 1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as ações permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. 1.34


2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. 3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-8681:2003. Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo e incêndio. 4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão listadas na tabela 11.3 da NBR-6118:2014, transcrita na tabela 1.8 abaixo.

Tabela 1.8 – Combinações últimas (Tab. 11.3 da NBR 6118:2014)

Combinações últimas (ELU)

Normais

Descrição Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto armado a Esgotamento da capacidade resistente para elementos estruturais de concreto protendido

Cálculo das solicitações

Fd =

g

Fgk +

εg

Fεgk +

q

(Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) +

F

εqΨ0ε εqk

Deve ser considerada, quando necessário, a força de protensão como carregamento externo com os valores Pkmáx e Pkmin para a força desfavorável e favorável, respectivamente, conforme definido na seção 9

(Fsd) ≥ S (Fnd) Perda do equilíbrio Fsd = gs Gsk + Rd como corpo rígido Fnd = gn Gnk + q Qnk - qs Qs,min , onde: Qnk = Q1k + Σ Ψ0j Q jk S

Especiais ou de construçãob

Fd = g Fgk +

Excepcionaisb

Fd = g Fgk +

F gk + q (Fq1k + Σ Ψ0j Fqjk) +

εg

ε

F gk + Fq1ecx + q Σ Ψ0j Fqjk) +

εg

ε

1.35

εq Ψ0ε

Fεqk

εqΨ0ε

Fεqk


Onde:

Fd

- é o valor de cálculo das ações para combinação última;

Fgk

- representa as ações permanentes diretas;

Fεk

- representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a temperatura Fεqk;

Fqk

- representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal;

g, εg, q, εq -

ver tabela 1.6;

- ver tabela 1.7;

Ψ0j, Ψε

Fsd

- representa as ações estabilizantes;

Fnd

- representa as ações não estabilizantes;

Gsk

- é o valor característico da ação permanente estabilizante;

Rd

-é

Gnk

- é o valor característico da ação permanente instabilizante;

o esforço resistente considerado como estabilizante, quando houver; m

Qnk  Q1k   Ψ 0jQ jk j2

Qnk

- é o valor característico das ações variáveis instabilizantes;

Q1k

- é o valor característico da ação variável instabilizante considerada como principal;

Ψ0j e Q jq

- são as demais ações variáveis instabilizantes, consideradas com seu valor reduzido;

Qs,min

- é o valor característico mínimo da ação variável estabilizante que acompanha obrigatoriamente uma ação variável i nstabilizante.

a

- No caso geral, devem ser consideradas inclusive combinações onde o efeito favorável das cargas permanentes seja reduzido pela consideração de

g=

1. No caso de estruturas usuais de edifícios essas combina-

ções que consideram b

g reduzido

(1,0) não precisam ser consideradas.

- Quando Fq1k ou Fq1exc atuarem em tempo muito pequeno ou tiverem probabilidade de ocorrência muito baixa Ψ0j, pode ser substituído por Ψ2j.

1.36


1.8.6.2 – Combinações de serviço São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como:

1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações excessivas ( ELS-DEF); 2. Frequentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de for-

mação de fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que possam comprometer as vedações; 3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de formação

de fissuras. 4. Combinações de serviço usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão listadas na tabela 11.4 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 1.9 abaixo:

1.37


Tabela 1.9 – Combinações de serviço (Tab. 11.4 da NBR 6118:2014) Combinações de serviço (ELS)

Descrição

Cálculo das solicitações

Combinações quase permanentes de serviço (CQP)

Nas combinações quase permanentes de serviço, todas as ações variá- Fd, ser = Σ Fgik + Σ Ψ2j Fqjk veis são consideradas com seus valores quase permanentes Ψ2 Fqk Nas combinações frequentes de serviço, a ação variável principal Fq1 é Combinações tomada com seu valor frequente Ψ1 Fd,ser = Σ Fgik + ψ1 Fq1k + freqüentes de Fq1k e todas Σ ψ2j Fqjk serviço (CF) as demais ações variáveis são tomadas com seus valores quase permanentes Ψ2 Fqk Nas combinações raras de serviço, a Combinações ação variável principal Fq1 é tomada F = Σ Fgik + Fq1k + raras de serviço com seu valor característico Fq1k e d,ser Σ ψ2j Fqjk (CR) todas as demais ações são tomadas com seus valores frequentes Ψ2 Fqk Onde:

Fd,ser

- é o valor de cálculo das ações para combinações de serviço;

Fq1k

- é o valor característico das ações variáveis principais diretas;

ψ1

- é o fator de redução de combinação freqüente para ELS;

ψ2

- é o fator de redução de combinação quase permanente para ELS.

1.8.7 – Resistências 1.8.7.1 – Valores característicos Os valores característicos f k das resistências são os que, num lote de material, têm uma determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança. Pode ser de interesse determinar a r esistência característica inferior f k,inf e a superior f k,sup , que são respectivamente menor e maior que a resistência média f m . Para efeito da NBR-6118:2014, a resistência característica inferior

1.38


é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.

1.8.7.2 – Valores de cálculo 1. Resistência de cálculo - a resistência de cálculo f d é dada pela expressão:

f d 

Onde

m é

f k γm

(1.18)

o coeficiente de ponderação das resistências.

2. Resistência de cálculo do concreto - a resistência de cálculo do concreto

f cd é obtida em duas situações distintas: 

quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias

f cd 



f ck γc

(1.19)

quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias

f cd 

sendo

1

f ckj γc

 β1

f ck γc

(1.20)

a relação (f ckj / f ck ) dada por:

β1  e

Onde:



28 



t 

s 1



(1.21)

s = 0,38

- para concreto de cimento CPIII e IV;

s = 0,25

- para concreto de cimento CPI e II; 1.39


s = 0,20

- para concreto de cimento CPV-ARI;

t

- é a idade efetiva do concreto, em dias.

1.8.7.3 – Coeficientes de ponderação das resistências As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente:

m

=

m1 . m2 . m3

(1.22)

Onde: - é a parte o coeficiente de ponderação das resistência

m1

m ,

que consi-

dera a variabilidade da resistência dos materiais envolvidos. - é a parte do coeficiente de ponderação das resistência

m2

m ,

que consi-

dera a diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura. - é a parte co coeficiente de ponderação das resistência

m3

m ,

que con-

sidera os desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das resistências.

1.8.7.3.1 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELU Os valores para verificação no estado limite último ( ELU) estão indicados na tabela 1.10.

1.40


Tabela 1.10 – Valores dos coeficientes c e

s

(Tab. 12.1 da NBR 6118:2014) Concreto

Combinações

c

Normais Especiais ou de construção Excepcionais

Aço s

1.4

1.15

1.2

1.15

1.2

1

1.8.7.3.2 - Coeficientes de ponderação das resistências no ELS Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço ( ELS) não necessitam de minoração, portanto

m =

1.

1.8.7.3.3 – Valores finais das resistências de cálculo do concreto e do aço Para um concreto classe C20, por exemplo, cuja resistência característica f ck = 20 MPa = 200 kgf/cm2= 2 kN/cm2, a resistência de cálculo é f cd = (f ck /

c)

= (2 /

1,4) = 1,429 kN/cm2 ( c conforme tabela 1.10). O valor da tensão de pico, quando se usa o diagrama parábola-retângulo, a ser considerado nos cálculos deve ser afetado pelo coeficiente de Rüsch resultando no valor final de cálculo σc = f c = 0,85f cd =

0,85 x 1,429 = 1,214 kN/cm2, independentemente do tipo de seção e da classe do concreto. Por facilidade nos cálculos, normalmente se utiliza o diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, com altura y = λ X e tensão constante e igual a σc = f c = αc f cd quando a largura da seção transversal não diminui no sentido da li-

nha neutra para a borda mais comprimida. Caso contrário, como por exemplo, seção

1.41


circular, a tensão constante deve ser σc = f c = 0,9 αc f cd. Os parâmetros

λ

e αc, que

serão vistos no capítulo 2 desta apostila, são dados por:

= 0,8

αc = 0,85

f ck ≤ 50 MPa

= 0,8 – (f ck – 50) / 400

αc = 0,85 [1 – (f ck – 50) / 200]

f ck > 50 MPa

λ

λ

O valor σc = f c não aparece na NBR 6118:2014, mas de agora em diante nesta apostila será adotado o valor f c para representar a resistência final de cálculo do concreto. Para um aço CA 50, por exemplo, cuja resistência característica ao escoamento f yk = 50 kN/cm2 = 500 MPa = 5000 kgf/cm2, a resistência de cálculo é f yd =

(f yk / s=1,15) = 4348 kgf/cm2 ≈ 435 MPa = 43,48 kN/cm2 ≈ 43,5 kN/cm2. Tabela 1.11 – Valores finais de cálculo para os concretos e aços usuais Valores finais de cálculo para os concretos do grupo I - f c (kN/cm ) αc = 0,85

C20

C25

C30

C35

C40

C45

C50

1,214

1,518

1,821

2,125

2,429

2,732

3,036

Valores finais de cálculo para os concretos do grupo II - f c (kN/cm ) αc = 0,85 [1 – (f ck – 50) / 200]

C55

C60

C65

C70

C75

C80

C85

C90

3,256

3,461

3,650

3,825

3,984

4,129

4,258

4,371

Valores de cálculo para os aços - f yd (kN/cm ) CA 25

CA 50

CA 60

17,86

43,48

52,17

1.42


FLEXÃO NORMAL SIMPLES __________________________________________________________________________

2.1 - Introdução

Dentre os esforços solicitantes (entes mecânicos aferidos ao centro geométrico da seção transversal, obtidos pela integração conveniente das tensões nesta seção) o momento fletor M, é em condições normais, o esforço preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção transversal, a flexão é dita normal. Se este momento atua isoladamente tem-se a flexão normal simples. Se simultaneamente atua uma força normal N a flexão é dita normal composta. Quando o momento atuante têm componentes nos dois eixos principais da seção transversal a flexão é dita oblíqua e se acompanhada de força normal é dita oblíqua composta. Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo, no entanto em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura, situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o peso próprio da viga. Segundo o item 16.1 da NBR 6118:2014, o objetivo do dimensionamento, da verificação e do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites último (ELU) e de serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo:

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs)

Flexão Normal Simples

___________________________________________________________________________

Sd Rd

(MSd MRd)

(2.1)

Onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo. Como a solicitação estudada é o momento fletor a equação 2.1 no seu segundo termo (entre parênteses) foi adaptada para o momento externo solicitante de cálculo ( MSd) ser menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo ( MRd), mostrados na figura 2.1 .

Figura 2.1 – Esforços solicitantes externos e internos na seção transversal

Na figura 2.1, a seção transversal retangular de uma viga é mostrada a esquerda e parte da vista lateral é mostrada a direita onde estão concentrados em seu centro geométrico ( CG) os esforços externos solicitantes NSd e MSd. Como é flexão simples a força normal solicitante é igual à zero. Por equilíbrio as resultantes internas de compressão no concreto Rcc e de tração no aço Rst são iguais. A resultante no concreto é obtida pela integração das tensões normais de compressão do concreto (σc) na área com hachuras da seção transversal, definida pela profundidade x da linha neutra (LN). A resultante no aço é obtida pelo produto da área de aço As (steel) pela tensão de tração no aço σs. Para garantir a segurança o momento externo solicitante de cálculo MSd tem de ser menor ou igual ao momento interno resistente de cálculo MRd, que conforme

2.2



___________________________________________________________________________

a figura 2.1 é dado pelo binário (duas forças iguais, paralelas e de sentidos opostos separadas por uma distância, o braço de alavanca z) interno resistente MRd: MSd ≤ MRd = Rcc . z = Rst . z

(2.2)

Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material bem menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento fletor capaz de produzir tensões de tração superiores àquelas que o concreto pode suportar, surgem fissuras de flexão, transversais ao eixo da barra, próximas ao centro da viga e fissuras inclinadas próximas aos apoios, conforme mostrado na figura 2.2. As primeiras são devidas ao momento fletor, maior no centro, e as últimas devido ao cisalhamento, maior nos apoios.

Figura 2.2 – Fissuras de flexão

Caso não existisse as armaduras de flexão e de cisalhamento estas fissuras provocariam a ruptura total da viga. Os esforços internos de tração são transmitidos às armaduras por meio da aderência aço-concreto. É como se as armaduras “cos2.3



___________________________________________________________________________

turassem” as fissuras, conforme esquematicamente mostrado na figura 2.2, o que

impede que as mesmas cresçam indefinidamente. Conforme será visto adiante no capítulo referente à fissuração, a abertura e o controle dessas fissuras dependerão substancialmente das características e do detalhamento final da armadura de flexão. A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido basicamente à complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Portanto para que esta tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão é alcançada quando, pelo aumento da solicitação, é atingida a ruptu-

ra do concreto à compressão ou da armadura à tração.

2.2 – Solicitações normais Por solicitação normal entende-se toda solicitação que produza na seção transversal tensões normais. Neste grupo estão naturalmente a força normal, o momento fletor ou ambos atuando simultaneamente. A ruptura do concreto à compressão é considerada atribuindo-se de forma convencional encurtamentos últimos para o concreto. Para seções parcialmente comprimidas, admite-se que a mesma ocorra quando o concreto atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite último

cu,

ver equações ( 1.9b) e (1.9c). Para

seções totalmente comprimidas o encurtamento máximo da fibra mais comprimida varia de

c2

a

cu (ver

hipóteses básicas adiante).

Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um alongamento limite último

su =

10 ‰. O alongamento máximo de 10 ‰ deve-se a

uma limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento real de ruptura do aço, que é bem superior a este valor. Atinge-se, então, o estado limite último - ELU, correspondente a ruptura do concreto comprimido ou a deformação plástica excessiva da armadura. O momento 2.4



___________________________________________________________________________

fletor solicitante de cálculo MSd é o momento de ruptura, enquanto o momento de

serviço será o de ruptura dividido pelo coeficiente de ponderação das ações

f ,

ou

seja:

M serv 

M Sd γ f

(2.3)

2.2.1 – Hipóteses básicas e domínios de deformação Conforme o item 17.2 da NBR 6118:2014, na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas: 1 As seções transversais se mantêm planas após a deformação, os vários casos possíveis são ilustrados na figura 2.3 (como consequência a deformação em um ponto é proporcional a sua distância a li nha neutra); 2 a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do concreto em seu entorno (perfeita aderência aço-concreto); 3 as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas no ELU (resistência nula do concreto à tração); 4 Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente compri-

midas considera-se o valor convencional de εcu (domínios 3, 4 e 4a da figura 2.3). Nas seções inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de εcu a εc2, mantendo-se inalterado e igual a εc2 a deformação a uma distância, a partir da borda mais comprimida, a ser discutida adiante (ver figura 2.3); 5 Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencional de 10 ‰ (domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica excessiva; 6 A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagra-

ma parábola-retângulo da figura 2.4c, já definido na figura 1.2, com a tensão de pico igual a f c=0,85f cd (ver tabela 1.11). Permite-se a substituição deste por um 2.5



___________________________________________________________________________

diagrama retangular simplificado de altura y = λ x (figura 2.4d), onde o parâmetro λ pode ser tomado igual a: λ = 0,8

para f ck ≤ 50 MPa (2.4)

λ = 0,8

- ( f ck – 50 ) / 400

para f ck > 50 MPa

Onde a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a: αcf cd quando a largura da seção, medida paralelamente à LN,

não diminuir a partir desta para a borda mais comprimida;

(2.5a) 0,9 αcf cd

no caso contrário.

Sendo αc definido como: αc = 0,85

para f ck ≤ 50 MPa (2.5b)

αc = 0,85 [1,0 – (f ck – 50) / 200]

para f ck > 50 MPa

As diferenças de resultados obtidos com estes dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional. 7 A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando os diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo. Na figura 2.4b mostra-se o diagrama de deformações para o ELU do concreto com seção parcialmente comprimida. Se a deformação de ruptura do concreto εcu corresponde à profundidade X, para uma deformação igual a εc2, por regra de três simples, determina-se a distância ac2 = [( εcu - εc2) / εcu] X (ver figura 2.4d). O diagrama de tensões parábola-retângulo fica dividido em dois trechos com alturas ac2 no trecho parabólico e ( X - ac2) no trecho com tensões constantes. A resultante total de

2.6



___________________________________________________________________________

compressão no concreto Rcc é a soma das resultantes Rcc1 e Rcc2, dos trechos com tensões constante e parabólico respectivamente. Conforme a hipótese básica 6, para o diagrama parábola-retângulo, a tensão constante é sempre igual a f c=0,85f cd. Considerando-se concretos do grupo I (até classe C50) em que εcu = 3,5‰ e εc2 = 2‰ a distância ac2 = (4 / 7) X e a do trecho constante (X – ac2) = (3 / 7) X. Para esta situação as resultantes Rcc1 e Rcc2 ficam:

R cc1  f c b

3 7

X

9 21

f c bX R cc 

R cc2 

2 3

f c b

4 7

X

8 21

17 21

f c bX  0,809f c bX

f c bX

Na resultante Rcc2 o valor (2/3) resulta da integração da parábola do segundo grau (f ck ≤ 50 MPa) σc no retângulo de largura b e altura ac2 = (4 / 7) X. As resultantes totais Rcc das figuras 2.4c e 2.4d serão equivalentes se adicionalmente, as distâncias Z até a LN nos dois casos forem as mesmas. Na figura 2.4c, o equilíbrio exige que:

Rcc1 Z1 + Rcc2 Z2 = Rcc Z

Z1 

Z2 

1  4  11 X  X  X  2  7  14

5 8

a c2 

54 87

X

5 14

Z

R cc1 Z 1  R cc2 Z 2

X

2.7

R cc



139 238

X  0,584X



___________________________________________________________________________

O valor (5/8) em Z2 resulta do ponto de aplicação da resultante do diagrama parabólico (segundo grau para f ck ≤ 50 MPa) para as tensões no concreto. Os valores 0,809 e 0,584 são aproximadamente iguais aos valores 0,8 e 0,6, que representam respectivamente a altura do diagrama retangular e do ponto de aplicação da resultante da figura 2.4d, diagrama retangular simplificado, quando f ck ≤ 50 MPa. Na figura 2.3 a armadura tracionada ou menos comprimida é As e a mais comprimida ou menos tracionada é A’s. A profundidade da linha neutra x é considerada positiva da borda mais comprimida para baixo. A seção transversal mostrada a esquerda é a representada na vista lateral a direita, onde os alongamentos são marcados do seu lado esquerdo e os encurtamentos do lado direito.

Figura 2.3 – Domínios de deformação da NBR 6118:2014

2.8



___________________________________________________________________________

Figura 2.4 – Diagramas tensão-deformação para o concreto

Figura 2.5 – Valores de f c para o diagrama σxε retangular simplificado

Para a construção da figura 2.3 a seção transversal sem deformações, portanto sem solicitação é inicialmente tracionada pelo seu centro geométrico produzindo tração uniforme. Nesta situação a seção solicitada desloca-se verticalmente para a esquerda (alongamento) e como o concreto não resiste à tração (hipótese básica 2.9



___________________________________________________________________________

3) a única possibilidade de se ter um estado limite último é tracionar igualmente as duas armaduras com a deformação última do aço εsu=10‰ (hipótese básica 5). Com isto a seção transversal é deslocada para a reta “a”, ou reta da tração centrada, onde devem ser dimensionados os tirantes (peças preponderantemente solicitadas à tração) sem momentos. Caso as armaduras não sejam simétricas haverá momento fletor. O domínio 1 de deformações começa na reta “a” quando a seção solicitada é paralela à seção sem solicitação com ambas cruzando-se no infinito, onde a profundidade da linha neutra é x = - ∞(para cima). Continuando a solicitação da seção a partir da reta “a”, pode-se dar uma pequena excentricidade da força normal de tração produzindo uma flexo-tração com alongamento maior na armadura As (mais tracionada). Para que se tenha um estado limite último o alongamento nesta armadura é εsu=10‰ representado pelo ponto A. Girando-se em torno deste ponto, o domínio 1 abrange todas as solicitações desde esta reta, onde x = - ∞ , até quando a linha neutra atingir a profundidade nula,

x=0. Neste domínio a seção está inteiramente tracionada com solicitações variando desde a tração centrada até flexo-tração (tração não uniforme) sem compressão. O domínio 2 é caracterizado também pelo ELU correspondente à deformação plástica excessiva do aço (ponto A), agora com a seção transversal parcialmente comprimida até que simultaneamente seja atendido o ELU para a ruptura do concreto à compressão, neste caso, com εc = εcu. As solicitações possíveis neste domínio são de flexo-tração com excentricidades maiores que as do domínio 2, flexão

simples pois tem-se simultaneamente resultantes de compressão (concreto) e de tração (aço), e flexo-compressão com excentricidades pequenas, sem ruptura à compressão do concreto , ou seja, εc ≤ εcu. A profundidade da LN varia desde X=0 até a profundidade limite X=X2L que por semelhança de triângulos na figura 2.6 resulta:

2.10



___________________________________________________________________________

εcu



εcu  10

X2L

X2L 

X2L 

3,5 3,5  10

ε cu ε cu  10

d

(2.6)

d  0,259d

para concretos de classes até C50

d

para concretos de classes C55 até C90 (2.6b)

(2.6a)

Onde d é altura útil da seção, distância da borda mais comprimida da seção até o centro da armadura mais tracionada As e εcu é o encurtamento de ruptura do concreto, dado nas equações (1.9a) e (1.9b). Por simplicidade os valores ‰ foram suprimidos da equação (2.6a). Nesta equação tem-se o valor absoluto da profundidade X2L, que não depende do tipo de aço usado, mas do grupo do concreto. Em muitos casos é conveniente usar o valor relativo da profundidade limite do domínio 2, um valor adimensional dado por:

Figura 2.6 – Profundidade limite do domínio 2 (X2L)

ξ 2L 

X 2L d

 0,259

p/ concretos de classes até C50 2.11

(2.7a)



___________________________________________________________________________

ξ 2L 

εcu

p/ concretos de classes C55 até C90

εcu  10

(2.7b)

A partir do X2L não se pode mais girar a seção pelo ponto A, o que produziria deformações superiores à εcu no concreto . Portanto a parir deste ponto a seção deve girar pelo ponto B, desde a deformação εsu até a deformação εyd, correspondente a tensão de escoamento de cálculo do aço. Este domínio particular de deformação é o

domínio 3 da figura 2.3, caracterizado basicamente pela flexão simples (seções subarmadas) e flexo-compressão com ruptura à compressão do concreto e com o escoamento da armadura As. A linha neutra varia desde a profundidade limite do domínio 2 até ao valor limite do domínio 3, X3L (figura 2.7). Como as deformações do aço neste domínio estão no i ntervalo εyd ≤ εs ≤10‰, a tensão na armadura As é constante e igual a f yd (figura 1.4). Na figura 2.7 o valor

X3L também é obtido por semelhança de triângulos resultando: εcu



εcu  εyd

X3L

ξ 3L  ξ 3L 

d

X3L



d

3,5 3,5  ε yd

εcu εcu  ε yd

(2.8)

p/ concretos de classes até C50

(2.9a)

p/ concretos de classes C55 até C90

(2.9b)

Nota-se nas equações 2.8 e 2.9 que as profundidades absoluta e relativa limites do domínio 3 dependem do tipo de aço usado e do grupo do concreto. Esses valores estão apresentados na tabela 2.1.

2.12



___________________________________________________________________________

Figura 2.7 – Profundidade limite do domínio 3 (X3L) Tabela 2.1 – Valores limites de ε para o concreto e ξL para os domínios Deformações limites do concreto e profundidades relativas dos domínios 2 e 3 ξ3L

εc2

εcu

‰

‰

Até C50

2,000

3,500

0,259

0,772

0,628

0,585

C55

2,199

3,125

0,238

0,752

0,602

0,557

C60

2,288

2,884

0,224

0,736

0,582

0,537

C65

2,357

2,737

0,215

0,726

0,569

0,524

C70

2,416

2,656

0,210

0,720

0,562

0,517

C75

2,468

2,618

0,207

0,717

0,558

0,513

C80

2,516

2,604

0,207

0,716

0,557

0,512

C85

2,559

2,600

0,206

0,715

0,557

0,511

C90

2,600

2,600

0,206

0,715

0,557

0,511

CLASSE

CA 25

ξ2L

CA 50

CA 60

εyd=1,035‰ εyd=2,070‰ εyd=2,484‰

2.13



___________________________________________________________________________

No domínio 4 a seção continua girando em torno do ponto B desde a posição final do domínio 3 até que a deformação na armadura As seja nula. Embora possível, neste domínio o dimensionamento à flexão simples (seções superarmadas) deve ser evitado por questões econômicas, como será visto mais adiante. A armadura As trabalha com uma tensão de tração menor ou igual a f yd, não aproveitando de forma racional o material constituinte mais caro do concreto armado. Portanto a solicitação preponderante deste domínio é a flexo-compressão. A profundidade limite deste domínio é X4L=d, ficando a profundidade relativa ξ 4L =

1. Ainda pode-se girar em torno do ponto B até que seção tenha deformação

nula na fibra inferior mais tracionada. Isto caracteriza um domínio de deformação muito pequeno que recebe um nome secundário de domínio 4a, caracterizado pela flexo-compressão com armaduras comprimidas. A linha neutra varia de d até a altura total da peça h. Se continuasse a girar em torno do ponto B a seção transversal estaria inteiramente comprimida e nesta situação o encurtamento na fibra a [(εcu – εc2) / εcu] h da borda mais comprimida seria maior que εc2, o que contraria a hipótese básica 4, ou seja em peças inteiramente comprimidas o encurtamento da fibra mais comprimida varia de εcu a εc2, desde que a [(εcu – εc2) / εcu] h desta borda o encurtamento seja constante e igual a εc2 (figura 2.8). Isto significa que no domínio 5 a seção gira em torno do ponto C. Este domínio caracteriza-se por peças submetidas à flexocompressão com as armaduras comprimidas, até a compressão centrada (reta b). A figura 2.8 representa a situação de deformação correspondente aos limites entre o final do domínio 4a e o início do domínio 5. Nesta situação onde X = h, a distância a0-2 é obtida por regra de três simples resultando: ε cu h



ε c2 a 02

(2.10a)

2.14



___________________________________________________________________________ a 0 2 

4

a0  2 

ε c2

7

h  a 2u 

εcu

3 7

h

h  a2 u  h  a0 2

p/ concretos de classe até C50

(2.10b)

p/ concretos de classe C55 até C90

(2.10c)

Figura 2.8 – Início do domínio 5 - Localização do ponto C Naturamente neste domínio a flexão simples não é possível, sendo o mesmo caracterizado pela flexo-compressão com excentricidades maiores e capazes de comprimir inteiramente a seção transversal. Este domínio vai desde a situação mostrada na figura 2.8 até a reta “b”, da compressão centrada , onde a profundidade limite da LN é X5L = + ∞.

2.15

Departamento Departament o de Engenharia Engenhari a de Estruturas Estrutura s (DEEs)


_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

2.3 - Seções subarmada, normalmente normalmente armada e superarmada superarmada No caso particular da flexão simples, dos cinco domínios existentes ficam eliminados os de número 1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida), restando pois os domínios possíveis 2,3 e 4. Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção subarmada onde a armadura escoa antes da ruptura do concreto à compressão,

yd,

sd

com a

armadura tracionada trabalhando com a máxima tensão de cálculo, f yd yd. O domínio 4 corresponde ao que se denomina seção superarmada , onde o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura εcu antes da armadura escoar,

sd

<

yd,

com

a armadura tracionada trabalhando com tensões inferiores a f yd yd.

normalmente armada uma seção que funciona no limite Costuma-se chamar normalmente entre as duas situações acima, isto é, na qual, teoricamente, o encurtamento último convencional do concreto comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a situação de peças normalmente armadas ocorre no limite entre os domínios 3 e 4. Segundo o professor Tepedino, J. M. (1980) (1980) em em suas apostilas de notas de aula, “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser, talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ” ”. ou normalmente armadas, sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118

A NBR 6118:2014 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade: “A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no ELU. Quanto menor é x /d , tanto maior será essa capacidade.

2.16



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

Para proporcionar o adequado comportamento dútil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no EL U deve deve obedecer aos seguintes limites:

a) x/d

0,45

para concretos com f c k 50 MPa ; ou

(2.11a)

b) x/d

0,35 0,35

para concretos com 50 MPa < f c k ≤ 90 M Pa ;

(2.11b)

Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armadu-

ras, como, por exemplo, os que produzem produzem confinamento nessas regiões.”

E no item 17.2.3, dutilidade de vigas: “Nas vigas é necessário garantir boas condições de dutilidade respeitando os limites de posição da linha neutra (x/d) dados em 14.6.4.3, sendo adotada, se necessário, armadura de compressão.

A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores da posição da linha neutra x , que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos estruturais com ruptura frágil. A ruptura frágil está associada a posições

da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.” compressão.”

Analisando-se a tabela 2.1 construída para concretos de classes C20 até C90 e os valores limites de (x/d) dados acima, para garantir o adequado comportamento dútil, nota-se que para os três tipos de aços usados estas profundidades relativas limites são maiores que os valores ξ2L e menores que os valores ξ3L da tabela. De agora em diante os valores relativos limites serão ξL = (x/d)L = 0,45 para concretos com f ck ck ≤ 50 MPa e ξL = (x/d)L = 0,35 para concretos com 50 MPa < f ck ck ≤ 90 MPa e tanto um quanto outro estão localizados no domínio 3.

2.17



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

2.4 - Seção retangular submetida à flexão simples Segundo Tepedino (1980) “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118”, representado na figura 2.4d.

Figura 2.9 – Seção retangular submetida à flexão fl exão simples

Na figura 2.9 tem-se: 

b – largura da seção retangular (na NBR 6118:2014 é dado por b w)



h – altura total da seção retangular



d – altura útil da seçã transversal (profundidade da armadura A s)



d’ – profundidade da armadura A’s (borda mais comprimida até o CG de A’s)



x – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε parábola-retângulo



y – profundidade da linha neutra para o diagrama σxε retangular



z – braço de alavanca do binário interno resistido pelo concreto (distância entre Rcc e Rst)



λ – – parâmetro

de redução da altura do diagrama retangular simplificado, dado

nas equações (2.4) 

αc – parâmetro de redução da resistência do concreto na compressão, dado

nas equações (2.5) 2.18



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________ 

Rcc – resultante interna de compressão compressão no concreto



Rst – resultante interna de tr ação na armadura A s



R’sd – resultante interna de compressão na armadura A’ s



Md - momento externo solicitante de cálculo cálculo (até agora dado por M Sd) A armadura tracionada As é racionalmente dimensionada na flexão simples

quando trabalha com a máxima tensão possível

sd = f yd yd,

ou seja, apenas nos domí-

nios 2 e 3, onde a profundidade relativa da linha neutra ( ξ =x/d) é menor ou igual à profundidade relativa limite do domínio 3 ( ξ 3L). Atendendo esta premissa básica do dimensionamento à flexão, a resultante de tração Rst deve ser obtida pelo produto da área As (incógnita) pela tensão σs = f yd yd, conforme mostrado na figura 2.9. Conforme a figura 2.9 a tensão do concreto no diagrama retangular deve ser

f c = αc f cd cd = 0,85 f cd cd, pois a seção dimensionada é retangular, equações (2.5a) e (2.5b). Ainda de acordo com esta figura pode-se escrever duas equações de equilíbrio: o somatório de momentos é nulo em relação ao ponto de aplicação de As (equação 2.12) e o somatório de forças horizontais é nulo (equação 2.13).  

M d  f c by  d 

y 

  As σ sd d  d 2  '

'

'



(2.12)

Nd  0  f cby  As σ s - As f yd '

Onde:

f cby = Rcc;

(2.13)

'

A’sσ’sd = R’sd;

Asf yd yd = Rst;

(d-y/2) = z.

Na equação (2.12) os três termos representam momentos, o primeiro o momento fletor externo solicitante de cálculo e os dois da direita, momentos fletores internos resistentes de cálculo devidos à resultante de compressão do concreto e à resultante de compressão na armadura A’s, respectivamente. Ao dividir os termos desta equação de equilíbrio por outro que tem a mesma dimensão de um momento, por exemplo, ( f c b d2), obtém-se uma nova equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois das simplificações é dada por: 2.19



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

A' s σ'sd  d'  1   f c bd  d 

K  K'

(2.14)

Onde: Md

K  

f c bd

2

(2.15)

é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor externo solicitante de cálculo;  

f cby  d  K' 

f cbd

y 



2 

2



y  y   α  1    α 1   d  2d   2 

(2.16)

é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento momento fletor interno resistente de cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.14) é também adimensional e mede a intensidade do momento fletor interno resistente r esistente de cálculo, devido à armadura A’s comprimida. Na equação (2.16),

é o valor da profundidade relativa da linha neutra refe-

rente ao diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, dada por:

α

y d



λX d

 λξ

(2.17)

A equação (2.16) representa uma equação do segundo grau em

e, portanto

conforme (2.17) em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível:

(2.18)

α  1  1  2K' 2K'

2.20



___________________________________________________________________________

A raiz com o sinal positivo foi descartada uma vez que o seu valor máximo ou limite, para qualquer classe de concreto, é igual a αmax = λ max (x/d)L,max = λ max ξ L,max

= 0,8 x 0,45 = 0,36 < 1. Da equação (2.14), multiplicando-se e dividindo-se o último termo simultaneamente por f yd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s:

A' s 

f c bd K  K' φ d' f yd 1 d

(2.19)

Onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, que é sempre menor ou igual a 1, dada por: '

φ

σ sd f yd

(2.20)

1

A partir da equação de equilíbrio (2.13) determina-se a armadura de tração As dada por:

As 

f c by



f yd

A' s σ'sd

(2.21)

f yd

Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.21) por d e substituindo a relação ( ’sd / f yd) do terceiro termo pela equação (2.20), obtém-se:

As 

f c bd y f yd d

 A' s φ

(2.22)

2.21



___________________________________________________________________________

Substituindo-se as equações (2.17), (2.18) e (2.19) na equação (2.22) obtémse:

As = As1 + As2

(2.23)

com

A s1 

f c bd f yd

α

As2  A's φ 

f c bd f yd

1 

1  2K'



f cbd K  K' d' f yd 1 d

(2.24)

(2.25)

Normalmente calcula-se primeiramente a armadura As. Caso a parcela As2 seja diferente de zero, calcula-se a armadura comprimida A’s, segundo (2.25), dada por:

A' s 

A s2

φ

(2.26)

2.4.1 – Seções com armaduras simples e dupla A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo solicitante Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente também As2, é fazer em (2.19) ou em (2.25), K’ = K. Essa igualdade tem uma explicação física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão). Quando o momento externo Md (K), for equilibrado apenas pelo momento interno devido ao concreto com-

2.22



___________________________________________________________________________

primido (K’), tem-se fisicamente K = K’, não sendo necessária portanto, armadura de compressão A’s. Conforme visto anteriormente na equação (2.9), a máxima profundidade relativa da linha neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do domínio 3. Com esta profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente devido ao concreto K’L (sem necessidade de A’s), que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a partir da equação (2.16), obtém-se: 

α L 



2 

K L  K L  α L 1 '



(2.27)

Com  y   x    λ    λξ 3L  d  L  d  L

(2.28)

αL  

O valor de αL em (2.28) é função de

3L que

depende do tipo de aço empre-

gado. Segundo a NBR 6118:2014, item 14.6.4.3, os valores limites L=0,35

L=0,45

ou

para proporcionar o adequado comportamento dútil , “ podem ser alterados

se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões” . Este confinamento da região comprimida

da seção transversal pode ser obtido com os próprios estribos (armadura transversal de combate ao cisalhamento) ou adicionalmente com estribos menores e menos espaçados cofinando apenas a área comprimida da seção transversal, Delalibera (2002). Os valores alterados de αL e KL, sem o adequado comportamento dútil, para os três tipos de aços usados estão listados na tabela 2.2.

2.23



___________________________________________________________________________

Tabela 2.2 – Valores de KL SEM o adequado comportamento dútil (x/d)L = (x/d)3L

CLASSE

λ

Até C50

KL CA 25

CA 50

CA 60

0,8000

0,427

0,376

0,358

C55

0,7875

0,417

0,362

0,342

C60

0,7750

0,408

0,349

0,330

C65

0,7625

0,400

0,340

0,320

C70

0,7500

0,394

0,333

0,313

C75

0,7375

0,389

0,327

0,307

C80

0,7250

0,384

0,322

0,302

C85

0,7125

0,380

0,318

0,298

C90

0,7000

0,375

0,314

0,294

Tabela 2.3 – Valores de KL COM o adequado comportamento dútil

CLASSE

λ

ξL= (x/d)L

αL= λ (x/d)L

KL= αL(1- αL /2)

Até C50

0,8000

0,45

0,360

0,295

C55

0,7875

0,35

0,276

0,238

C60

0,7750

0,35

0,271

0,234

C65

0,7625

0,35

0,267

0,231

C70

0,7500

0,35

0,263

0,228

C75

0,7375

0,35

0,258

0,225

C80

0,7250

0,35

0,254

0,222

C85

0,7125

0,35

0,249

0,218

C90

0,7000

0,35

0,245

0,215

2.24



___________________________________________________________________________

Na tabela 2.3 estão listados os valores de αL e KL, com o adequado comportamento dútil, que dependem apenas do valor da resistência f ck do concreto. Estes serão os valores considerados nesta apostila. A seção normalmente armada (x=x3L) descrita no item 2.3, resiste ao máximo momento aplicado sem a necessidade de armadura de compressão (armadura simples), quando não se preocupa com o adequado comportamento dútil da viga. Esta situação correspondente aos valores da tabela 2.2, não é mais possível quando se deseja este comportamento, onde a necessidade de armadura de compressão acontece para momentos aplicados menores, conforme os valores menores de K L apresentados na tabela 2.3. A partir da equação (2.15) e considerando-se os valores limites da tabela 2.3, obtém-se:



MdL  K L f c bd

2



(2.29)

ou dL 

Md

(2.30)

K L f c b

onde: 

MdL

é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura sim-

ples 

dL

é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura

simples Caso o momento de cálculo solicitante seja maior que MdL ou ainda que a altura útil seja menor que dL, o que significa em ambos os casos K > KL, torna-se necessário adicionalmente para o equilíbrio, a armadura de compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armaduras As e A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão simples com armadura dupla.

2.25



___________________________________________________________________________

Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.3, caso se pretenda absorver um momento solicitante superior ao MdL apenas com armadura de tração, isto não significa necessariamente peças superarmadas (domínio 4). Já com os valores da tabela 2.2, caso a mesma situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), esta seção será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.2 referem-se ao final do domínio 3. Na situação de armadura dupla K > KL (Md > MdL), basta fazer nas equações de dimensionamento à flexão em seções retangulares ( 2.19), (2.24) e (2.25), K’ =

KL. Esta igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor externo de cálculo sem necessidade de armadura de compressão, KL. Esta parcela (Md1=MdL=KL < Md=K) do momento total será resistida pelo binário interno formado pelas resultantes do concreto ( Rcc,max=f cbyL) (máxima área comprimida do concreto) e do aço ( Rst1=As1f yd). Na expressão de Rcc,max acima

yL=λ XL, com λ e XL (0,45d ou 0,35d) dependendo do valor de f ck. Com Md1 esgota-se a capacidade resistente do concreto, a diferença ∆Md = Md –MdL = Md2 = K-KL, será absorvida pelo binário interno formado pelas resultantes da segunda parcela da armadura tracionada Rst2=As2f yd e da armadura comprimida R’sd = A’sσ’sd (ver figura 2.10).

Figura 2.10 – Seção retangular com armadura dupla 2.26



___________________________________________________________________________

2.4.2 – Nível de tensão φ na armadura comprimida A’ s No cálculo da armadura comprimida A’s aparece o nível de tensão φ, equação (2.20), que normalmente vale 1, ou seja ’sd = fyd. A tensão na armadura comprimida ’sd é função da deformação ’sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra = (x/d). Na situação de armadura dupla (onde A’s 0) esta profundidade relativa é constante e igual ao valor

L =

0,45 ou

L =

0,35 dado na ta-

bela 2.3, que conforme já visto situa-se no domínio 3, onde εc,max = εcu (figura 2.10). A deformação ’s pode ser calculada a partir da equação (2.32), retirada por semelhança de triângulos na figura 2.10: ε's x L  d'

ε's 



ε cu

x L  d' xL

(2.31)

xL

ε cu

d'  x      d  L d ε cu   x     d  L

(2.32)

Caso ’s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao escoamento

yd,

a tensão ’sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, ’sd = Es. ’s,

o que implica em valor de φ menor que 1. Caso contrário ’sd = f yd, o que implica em φ = 1. Fazendo-se na equação (2.32) ’s

yd

obtém-se a equação (2.33) que ex-

pressa a relação (d’/d) abaixo da qual se tem φ = 1: ε yd   d'   x     1        d d ε     lim  cu 

(2.33)

O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para flexão em lajes, onde não se usa armadura dupla, restando, pois o aço CA-50, que é

2.27



___________________________________________________________________________

o mais utilizado para flexão em vigas. Os valores das relações (d’/d) e (d/d’) que atendem à condição φ=1 estão indicados na tabela 2.4, para os três tipos de aço.

Tabela 2.4 – Valores das relações (d’/d) e (d /d’) para se ter φ = 1

CLASSE

εcu ‰

CA 25

CA 50

CA 60

εyd = 1,035 ‰

εyd = 2,070 ‰

εyd = 2,484 ‰

(d’/d)≤

(d/d’)≥

(d’/d)≤

(d/d’)≥

(d’/d)≤

(d/d’)≥

Até C50

3,500

0,317

3,155

0,184

5,439

0,131

7,655

C55

3,125

0,234

4,272

0,118

8,460

0,072

13,929

C60

2,884

0,224

4,456

0,099

10,123

0,049

20,600

C65

2,737

0,218

4,595

0,085

11,724

0,032

30,909

C70

2,656

0,214

4,681

0,077

12,950

0,023

44,120

C75

2,618

0,212

4,725

0,073

13,650

0,018

55,820

C80

2,604

0,211

4,742

0,072

13,933

0,016

62,000

C85

2,600

0,211

4,747

0,071

14,016

0,016

64,039

C90

2,600

0,211

4,747

0,071

14,016

0,016

64,039

Os valores da tabela 2.4 para concretos com f ck < 50 MPa são atendidos para as vigas usuais de concreto armado, ou seja, geralmente o nível de tensão na armadura comprimida é igual a 1. No entanto, a medida que a resistência do concreto aumenta estes valores diminuem (d’/d) ou aumentam (d/d’) para valores não praticados usualmente nas vigas de concreto, o que significa valores de φ = ’sd / f yd < 1. Nestes casos o valor de φ é dado por:

d'  x      d  L d ε cu E s 1 φ f yd  x     d  L

(2.34a)

2.28



___________________________________________________________________________

Particularizando os valores da tabela 2.4 e a equação (2.34a) para concretos com f ck ≤ 50 MPa e aço CA 50, obtém-se: φ 1

para (d’/d) ≤ 0,184 ou (d/d’) ≥ 5,439

(2.34b)

d'  x      d  L d φ  1,6905 1  x     d  L

caso contrário

(2.34c)

A tabela 2.5 foi construída agrupando-se os parâmetros usuais do concreto para o cálculo à flexão.

Tabela 2.5 – Parâmetros do concreto para cálculo à flexão Parâmetros usuais do concreto f ck (MPa)

(X/d)L

εc2 (‰)

εcu (‰)

λ

αc

≤ 50

0,45

2,000

3,500

0,8000

0,85000

55

0,35

2,199

3,125

0,7875

0,82875

60

0,35

2,288

2,884

0,7750

0,80750

65

0,35

2,357

2,737

0,7625

0,78625

70

0,35

2,416

2,656

0,7500

0,76500

75

0,35

2,468

2,618

0,7375

0,74375

80

0,35

2,516

2,604

0,7250

0,72250

85

0,35

2,529

2,600

0,7125

0,70125

90

0,35

2,600

2,600

0,7000

0,68000

Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples encontra-se de forma resumida na próxima página.

2.29



___________________________________________________________________________

2.30



___________________________________________________________________________

2.5 – Seção T ou L submetidas à flexão simples As vigas de concreto armado são normalmente construídas solidárias (monoliticidade do CA) com as lajes que nelas apoiam. Ao trabalharem juntas as deformações e consequentemente as tensões nos pontos em comum das vigas e lajes são as mesmas. Se estas tensões são de compressão as lajes colaboram na resistência interna à compressão aumentando o desempenho final da viga. Se a contribuição das lajes ocorre nas duas laterais da seção transversal tem-se uma viga de seção T e quando ela é só de um lado, tem-se uma viga de seção L, situações ilustradas na figura 2.11. As vigas de concreto armado com seção geométrica em T ou L são compostas de uma nervura ou alma (de largura bw) e uma mesa (de largura bf ), conforme ilustrado nas figuras 2.11 e 2.12. As mesmas só podem ser consideradas como tal se a mesa estiver comprimida, caso contrário se comportarão como seção retangular de largura b=bw. Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular simplificado, seja menor ou igual à altura da mesa ( y hf ), a seção será tratada como retangular, de largura b=bw=bf . Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama parábola-retângulo pelo retangular simplificado. Para seções subarmadas atendendo aos limites da NBR 6118:2014, (x/d)L=0,45 ou (x/d)L=0,35, tem-se ( s≤

10‰) o que implica em (

yd

≤

s = f yd).

Conforme figura 2.12 podem ser montadas as equações de equilí brio (2.35) e (2.36) referentes, respectivamente, ao somatório de momentos em relação ao ponto de aplicação da armadura A s e ao somatório de forças horizontais. Nesta figura

f cbwy = Rcc1 e f c(bf -bw)hf = Rcc2 representam respectivamente as resultantes de compressão do concreto na região da nervura (hachura mais intensa) e nas abas da

2.31



___________________________________________________________________________

mesa (hachura menos intensa). Os braços de alavanca destas resultantes são respectivamente Z1 = d - (y/2) e Z2 = d - (h /2) f .

Figura 2.11 – Aspectos geométricos das vigas de seção T ou L

Figura 2.12 – Seção T submetida à flexão simples

2.32



___________________________________________________________________________

 

M d  f c b w y d 

 h f    f c b f  b w h f  d    A' s σ'sd d  d'  2  2  

y 

N d  f c b w y  f c b f  b w h f  A' s σ'sd A s f yd  0

(2.35)

(2.36)

Dividindo-se todos os termos da equação (2.35), conforme procedimento análogo ao da seção retangular, por um termo com a dimensão de momento (f c bw d2) e

= y/d e φ = ( ’sd /f yd), obtém-se:

lembrando-se que

 hf  hf  A's φf yd  d'  bf  α      1  α 1 1        1   2  f cb wd  2   b w  d  2d  f cb wd  d  Md

(2.37)

Passando-se o terceiro termo da equação (2.37) para o lado esquerdo ao da igualdade e fazendo-se

K 

 bf  hf  hf     1  1   2 f cb wd b d 2d    w  Md

 

K'  α 1 

(2.38)

α 

(2.39)



2 

obtém-se a mesma equação (2.14) deduzida para seção retangular. O valor de K em (2.38) foi obtido diminuindo-se do momento total solicitante de cálculo Md o momento interno resistido apenas pelas laterais (abas) da mesa comprimida, terceira parcela de (2.38), o que transforma o problema da viga T em uma flexão de seção retangular de largura bw. Levando-se (2.38) e (2.39) em (2.37) obtém-se:

2.33



___________________________________________________________________________

f cb wd K  K' φ d' f yd 1 d

A's 

(2.40)

Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, portanto:

K KL

K’ = K

K > KL

K’ = KL

Da equação (2.36) obtém-se As, que multiplicada e dividida por d resulta:  b f  h f  f c b w d      φA' s   1 α  b f yd   w  d 

As 

O valor de

(2.41)

pode ser obtido de (2.39) resultando como na seção retangular a

equação (2.18), que levada em (2.41) fica: As



As1

A s1 

A s2 



(2.42)

A2

 b f  h f  f c b w d         1 1 2K' 1  b f yd   w  d 

f c b w d K  K' d' f yd 1 d

(2.43)

(2.44)

Da mesma forma que na seção retangular A' s  A s2  φ

(2.45)

2.34



___________________________________________________________________________

Fazendo-se bf = bw = b nas equações (2.42) a (2.45) elas se transformam nas equações (2.23) a (2.26) para a seção retangular, como era de se esperar. Analisando-se a equação (2.38) nota-se que quando K = 0, o momento externo de cálculo Md é igual ao momento interno resistido apenas pelas abas comprimidas da mesa. Como nesse caso o trecho da mesa de largura bw ainda está comprimido, a profundidade da linha neutra, para se ter o equilíbrio, será menor que hf . Isso significa que mesmo para pequenos valores de K positivos, a linha neutra cortará a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular de largura bf . O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida é encontrado fazendo-se em (2.39) K = K’, uma vez que para pequenos valores de K a armadura comprimida é igual a zero. Como K’ = (1- /2) e nesse caso y0 = hf , tem-se:  

K 0  K'  α0  1 

α0 

h  h    f  1  f  2  d  2d 

Para valores de K

(2.46)

K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retan-

gular bf h. Embora este seja o procedimento correto, sabe-se que usando o limite K 0 do Prof. Tepedino (1980), a armadura calculada como seção T com 0 K K0, dá praticamente a mesma que como seção retangular bf h, neste mesmo intervalo. A diferença entre estas duas armaduras é normalmente menor que a verificada quando se escolhe o número de bitolas comerciais para atender à armadura efetivamente calculada. Portanto, por simplicidade, para efeito desta apostila o limite K

0 será o

utilizado para se ter a mesa parcialmente comprimida, ou seja, dimensionamento como se fosse uma seção retangular bf h. Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a valores de momentos internos resistentes, que dificilmente precisam de uma profundidade da linha neutra superior à hf . Nessa situação o melhor seria, de-

2.35



___________________________________________________________________________

terminar o máximo momento interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado momento de referência MdRef , dado por:  

MdRef  f cbf hf  d 

hf 

(2.47)



2 

Conforme

Md MdRef

y hf

seção retangular bf h

Md > MdRef

y > hf

seção T ou L

Na maioria das vezes Md ≤ MdRef o que transforma o dimensionamento da viga

T ou L como se fosse uma viga de seção retangular bf h. A comparação entre os dois momentos é o procedimento mais praticado no dimensionamento.

2.5.1 – Determinação da largura colaborante da mesa ( bf ) Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que lhe é solidária, que se estiver comprimida auxiliará na absorção do momento fletor atuante. Adotando-se o diagrama retangular simplificado da NBR-6118:2014, a tensão na mesa comprimida correspondente ao trecho comum com a nervura ( bw), deve ser igual a f c = αc f cd. Afastando-se desse trecho nos dois sentidos laterais da mesa, conforme mostrado na figura 2.13, a tensão de compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-6118:2014 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a f c, e com uma largura total colaborante igual a bf , de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as distribuições sejam estaticamente equivalentes.

2.36



___________________________________________________________________________

Figura 2.13 – Distribuição de tensões na mesa da seção T Segundo a NBR-6118:2014, no item 14.6.2.2, “a largura colaborante

b f deve

ser dada pela largura b w acrescida de no máximo 10 % da distância ( a ) entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante.

A distância a pode ser estimada, em função do comprimento

do tramo con-

siderado, como se apresenta a seguir:



viga simplesmente apoiada

a = 1,00

,



tramo com momento em uma só extremidade

a = 0,75

;



tramo com momentos nas duas extremidades

a = 0,60

;



tramo em balanço

a = 2,00

.

Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura”.

2.37



___________________________________________________________________________

Na figura 2.14 apresenta-se um corte genérico de uma fôrma mostrando as seções transversais de duas vigas T, a viga 1 com mísulas e a segunda normal. A largura efetiva da nervura da viga com mísulas, ba, é a soma da largura bw com os menores catetos dos triângulos formados pelas mesmas ( ba = bw + a + c).

Figura 2.14 – Determinação da largura b f em vigas de seção T Nesta figura b1 é a largura colaborante a ser considerada na lateral da viga T do lado em que a laje tem continuidade e b3 é a usada do lado sem continuidade, ou seja, laje em balanço. O limite do valor b1 é a metade da largura livre entre as faces das duas vigas, dado por b2, e para b3 este limite é o valor disponível b4 da laje em balanço. Naturalmente na viga com seção L os valores b3 = b4 = 0.

b1 0,5 b2

b1 0,1 a (2.48)

b3 b4

b3 0,1 a

Todo o dimensionamento de vigas com seções T ou L submetidas à flexão simples encontra-se de forma resumida na próxima página.

2.38



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

2.39



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

2.6 – Prescrições da NBR 6118:2014 referente às vigas 2.6.1 – Armadura longitudinal mínima de tração De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118:2014, a armadura mínima de tração, em elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15 %.

Md,min = 0,8 W0 f ctk,sup ctk,sup

(2.49)

Onde: 

W0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais tracionada;



f ctk,sup ctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração, equação (1.13b), item 8.2.5 da NBR-6118:2014.

De acordo equações (1.13b) obtém-se: 2/3 f ctk,sup ctk,sup = 1,3 f ct,m ct,m = 0,39 (f ck ck)

(MPa)

f ck ck ≤ 50 MPa (2.50)

f ctk,sup ctk,sup = 1,3 f ct,m ct,m = 2,756 ln(1 + 0,11f ck ck)

(MPa)

f ck ck > 50 MPa

Alternativamente segundo a NBR 6118:2014 a armadura mínima pode ser considerada atendida se forem respeitadas as taxas mínimas de armadura da tabela 2.6 abaixo.

2.40



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

Tabela 2.6 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tab. 17.3 NBR 6118:2014) Valores de ρ min a = (As,min /Ac)

f ck ck

20

seção

25

30

35

40

45

50

Retangular 0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 f ck ck

55

seção

60

65

70

75

80

85

90

Retangular 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 a

Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de

aço CA 50, (d/h) = 0,8, γc = 1,4 e γs = 1,15, seção retangular . Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado.

O dimensionamento para o momento Md,min dado em (2.49) deve conduzir a um valor Kmin = (Md,min / f cbd2) < K L, portanto seção com armadura simples que neste caso será: As = As,min. O valor de Kmin para seção retangular conforme tabela 2.6 é dado por:

K min 

M d,min f cbd

2

 bh 2   0,8f ctk,sup   6    2 2 α c f cdbd/h d/h  h

f ctk,sup

0,8γ c 6α c d/h 

2

f ck

(2.51)

Com os valores de f ctk,sup ctk,sup das equações (2.50), γc = 1,4, αc = 0,85 para f ck ck ≤ 50 MPa e αc = 0,85[1 – (f ck ck – 50) / 200] para f ck ck > 50 MPa, obtém-se os seguintes valores de Kmin: K min  0,052

γc α c d/h 

2

( 1/3) f ck

(MPa)

f ck ck ≤ 50 MPa (2.52)

K min  0,367

ln1  0,11f ck 

γc α c d/h 

2

f ck

(MPa)

2.41

f ck ck > 50 MPa



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

Conforme equação (2.24) a armadura mínima pode ser dada por:

A s,min 

ω min 

ρmin 

α c f cd bd/h h f yd

A s,min f yd A c f cd

A s,min Ac

1 





1  2K min  α c d/h  1  1  2K min

 Af f

c cd

(2.53a)

yd

f yd

 ρ min

f cd



 α c d/h  1  1  2K min



 α c d/h  1  1  2K min

f f

cd



(2.53b)

(2.53c)

yd

Onde ωmin e ρmin são respectivamente as taxas mecânica e geométrica de armadura mínima. Assim, exemplificando para um concreto f ck ck = 35 MPa, do primeiro grupo da tabela 2.6, αc = 0,85, γc = 1,4, (d/h) = 0,8, tem-se:

K min  0,052

1,4 0,850,8

2

35

1/3

 0,0409



ρ min  0,85x0,8x 1  1  2x0,0409

35/1,4  500/1,15  0,001634 

≈ 0,164%, conforme tabela

2.6. Para um concreto do segundo grupo da tabela 2.6, por exemplo f ck = 90 MPa, tem-se:  

α c  0,85 1 

K min  0,367

90  50 

  0,68

200 

ln1  0,11x90

1,4 0,680,8

2

90

 0,0314

2.42



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________



ρ min  0,680,8 1  1  2x0,0314

90/1,4  500/1,15  0,002564

≈ 0,256%, conforme tabela 2.6.

Caso os parâmetros sejam diferentes dos que originaram a tabela 2.6 (aço CA 50, d=0,8h, γc=1,4 e γs=1,15) as novas taxas de ρmin deverão ser recalculadas conforme as equações e os dois exemplos acima, obedecido o limite mínimo de

0,15%. A tabela 2.7 relaciona as taxas de armaduras mínimas para seção retangular com várias relações (d/h), aço CA 50 e CA 60.

Tabela 2.7 – Taxas de armaduras mínimas para vigas com seção retangular Valores de ρ min = (As,min /Ac)

Seções retangulares, γc=1,4, γs=1,15 f ck ck

(d/h)=0,70

(d/h)=0,75

(d/h)=0,80

(d/h)=0,85

(d/h)=0,90

(d/h)=0,95

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

CA 50

CA 60

20

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

25

0,151

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

30

0,170

0,150

0,158

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

35

0,188

0,157

0,175

0,150

0,164

0,150

0,153

0,150

0,150

0,150

0,150

0,150

40

0,205

0,171

0,191

0,159

0,179

0,150

0,168

0,150

0,158

0,150

0,150

0,150

45

0,222

0,185

0,206

0,172

0,194

0,161

0,181

0,151

0,171

0,150

0,161

0,150

50

0,238

0,198

0,221

0,184

0,208

0,172

0,194

0,162

0,183

0,153

0,173

0,150

55

0,241

0,201

0,225

0,187

0,211

0,175

0,197

0,164

0,186

0,155

0,176

0,150

60

0,251

0,209

0,233

0,194

0,219

0,182

0,205

0,171

0,193

0,161

0,183

0,152

65

0,259

0,216

0,241

0,201

0,226

0,188

0,212

0,176

0,200

0,166

0,189

0,157

70

0,267

0,222

0,248

0,207

0,233

0,194

0,218

0,182

0,206

0,172

0,195

0,162

75

0,274

0,229

0,255

0,213

0,239

0,199

0,224

0,187

0,212

0,176

0,199

0,166

80

0,282

0,235

0,262

0,218

0,245

0,204

0,230

0,192

0,217

0,181

0,203

0,169

85

0,288

0,240

0,268

0,224

0,251

0,209

0,236

0,196

0,222

0,185

0,210

0,175

90

0,295

0,245

0,274

0,228

0,256

0,214

0,241

0,201

0,227

0,189

0,215

0,179

2.43



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

2.6.2 – Armadura de pele Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118:2014, a armadura ar madura mínima lateral, ou de pele, ou armadura de costela, deve ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de aço CA 50 ou CA 60, dispostas longitudinalmente, com espaçamento não maior que 20 cm ou d/3 (18.3.5), respeitado o disposto em 17.3.3.2 (toda armadura de pele tracionada deve manter um espaçamento menor ou igual a 15 L, da bitola longitudinal). “ Em Em vigas com altura menor ou igual a 60 cm , pode ser dispensada a utilização de armadura de pele. As armaduras principais principais de tração e de compressão não podem ser computadas no

cálculo da armadura de pele”.

2.6.3 – Armadura total na seção transversal (tração e compressão) De acordo o item 17.3.5.2.4 da NBR 6118:2014, “ A A soma das armaduras de tração e de compressão (A s +

A’ ) s s deve

ser menor que 4% A c , calculada na região

fora da zona de emendas, devendo ser garantidas as condições de dutilidade requeridas em 14.6.4.3” .

2.6.4 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais em vigas De acordo o item 18.3.2.2 da NBR 6118:2014 “O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:



a na direção horizontal ( a h h )

- 20 mm; - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 1,2 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo;

2.44



_____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________ a na direção vertical ( a v v )



- 20 mm - diâmetro da barra, do feixe ou da luva; - 0,5 vez a dimensão máxima característica do agregado graúdo”.

Estes valores se aplicam também as regiões de emenda por traspasse das barras. Na figura 2.15 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizontal (ah) e vertical (av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil ( bútil) da viga dada por:

bútil = bw – 2(c + t)

(2.54)

Onde: 

c

é o cobrimento nominal da armadura (cobrimento mínimo acrescido da

tolerância de execução) 

t

é o diâmetro da armadura transversal (estribo)

O número máximo de barras longitudinais com diâmetro

L que

cabem em

uma mesma camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, fica:

nΦ/cam 

bútil  ah

(2.55)

a h  ΦL

Adota-se como valor val or final do número de barras por camada, camada, o calculado em (2.55), arredondado para o número inteiro imediatamente inferior.

2.45



___________________________________________________________________________

Figura 2.15 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais

2.6.5 – Armaduras de ligação mesa-nervura ou talão-alma Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118:2014, “os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e almas devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do concreto, quanto das armaduras necessária para resistir às trações decorrentes desses efeitos. As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na alma, deve ser de 1,5 cm2 por metro”.

2.46



___________________________________________________________________________

2.6.6 – Cobrimento mínimo das armaduras O cobrimento mínimo das armaduras deve ser observado conforme o prescrito na NBR 6118:2014, no item 7.4.7. “ 7 .4.7.1

Para atender aos requisitos estabelecidos nesta Norma, o cobrimento mí-

nimo da armadura é o menor valor que deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado. Isto constitui um critério de aceitação. 7.4.7.2 Para garantir o cobrimento mínimo (c min ) o projeto e a execução devem con-

siderar o cobrimento nominal (c nom ), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (Δc). Assim, as dimensões das armaduras e os espaçadores

devem respeitar os cobrimentos nominais, estabelecidos na tabela 7.2, para Δc = 10 mm. 7.4.7.3 Nas obras correntes o valor de Δc deve ser maior ou igual a 10 mm. 7.4.7.4 Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tole-

rância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor

Δc = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais prescritos na tabela 7.2 em 5 mm. 7.4.7.5 Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da

armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser: a) c nom ≥ Φ barra; b) c nom ≥ Φ feixe = Φ n = Φ (n)1/2 ; c) c nom ≥ 0,5 Φ bainha.

7.4.7.6 A dimensão máxima característica do agregado graúdo utilizado no concreto

não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

d máx ≤ 1,2 c nom

2.47



___________________________________________________________________________

Tabela 2.8 - Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para Δc = 10mm

Componente ou Elemento

Tipo de Estrutura

(Tabela 7.2 NBR 6118:2014)

Classe de Agressividade Ambiental Tabela 6.1 NBR 6118:2014 I

II

III

IVc

Cobrimento Nominal - mm

Concreto Armado

Concreto Protendido

Lajeb

20

25

35

45

Viga/Pilar

25

30

40

50

40

50

Elementos estruturais em contato com o solod

a

30

Laje

25

30

40

50

Viga/pilar

30

35

45

55

a - Cobrimento nominal da bainha ou dos fios, cabos e cordoalhas. O cobrimento da armadura passiva deve respeitar os cobrimentos para o concreto armado. b - Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobri mento nominal ≥ 15 mm. c –Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV. d – No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter cobrimento nominal ≥ 45 mm.

Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobrimentos definidos na tabela 7.2 podem ser reduzidos em até 5 mm.”

2.48



___________________________________________________________________________

2.7 – Exemplos de aplicação Os exemplos de aplicação adiante apresentados servem para fixar os conceitos de solicitações normais e flexão simples em seções retangular e T ou L.

2.7.1 – Exemplos de solicitações normais Traçar o diagrama de interação NxM que solicita a seção retangular 20x40 cm2 abaixo, com f ck=25 MPa, aço CA 50, 6 bitolas longitudinais

L =12,5

mm, con-

forme figura figura 2.16. Como a resistência do concreto deste exemplo é menor que 50 MPa (grupo I) εc2 = 2‰ , εcu = 3,5‰ , λ = 0,8 e αc = 0,85. Como é aço CA 50 εyd =

(50/1,15) / 21 = 2,07‰. f c = 0,85x2,5 / 1,4 = 1,518 kN/cm 2 (tabela 1.11) f yd = 50 / 1,15 = 43,48 kN/cm2

(tabela 1.11)

AsΦ=12,5 = π Φ2 / 4 = 1,227 cm2

(tabela 1.4)

Para traçar o diagrama de forma mais simplificada determinam-se os pontos correspondentes aos pares (N,M) para algumas posições da LN no estado limite último ligando-os posteriormente. Os pontos escolhidos são aqueles correspondentes às posições limites da LN que definem os domínios de deformação. 1) Profundidade x = - ∞ (início do domínio 1) Para x = - ∞ a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada na figura 2.16. Esta posição é correspondente à reta “a” dos domínios de deformação, figura 2.3, onde todos os pontos da seção transversal têm a mesma deformação εc=εs=10‰ . Portanto: εs1=εs2=εs3 = 10‰,

σs1=σs2=σs3 = f yd=43,48 kN/cm2

As1=As2=As3=2x1,227 = 2,454 cm2

Rs1=Rs2=Rs3=2,454x43,48=106,70 kN

2.49



___________________________________________________________________________

Figura 2.16 – Seção com ELU correspondente a x = - ∞ Os sentidos positivos dos esforços solicitantes Nd e Md são os indicados na figura 2.16, normal de compressão e momento fletor tracionando os pontos da parte inferior da seção. Os esforços internos, resultantes R s1, Rs2, Rs3, conforme indicados são todos de tração. As equações de equilíbrio ficam: ∑Fh=0

Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0

Nd = - 3x106,70 = - 320,10 kN

∑MCG=0

Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0

Md = 0

Na segunda equação de equilíbrio d’’=h-d, que neste caso do exemplo é o mesmo valor de d’, representa a distância entre a face inferior da seção de concreto

e o centro da armadura A s. Os valores das solicitações de serviço N e M para x = - ∞ são obtidos dividindo-se os valores de cálculo N d e Md pelo coeficiente de majoração das ações f . Assim:

N = Nd / 1,4 = -320,10 / 1,4 ≈ - 229 kN (tração) M = Md / 1,4 = 0

2.50



___________________________________________________________________________

Os valores de N e M acima são os mesmos desde a posição da LN variando de x = - ∞ até x = x1 (ver deformações na fig. 2.16), onde a deformação da armadura As1 chega ao valor εs1 = εyd = 2,07‰ (aço CA 50). Embora com a LN inclinada, quando x = x1 tem-se as mesmas resultantes da figura 2.16 e, portanto o mesmo par de esforços solicitantes. Nesta figura o valor de x1 é obtido fazendo-se semelhança de triângulos obtidos com a linha tracejada que passa pelos pontos A e onde εs1=εyd. ε s3  0,010 x1  d



ε s1  ε yd

x1 

x1  d'

dε s1 0,010d' 0,010  ε s1

 4,35 cm

Para um valor no intervalo ( –x1 < x < 0), por exemplo x = - 2 cm, os valores calculados são: εs1=1,67‰<εyd

εs2 = 5,79‰> εyd

Rs1 = 86,06 kN

Nd= - 299,46 kN, N = - 214 kN (tração)

Rs2= Rs3 = 106,7 kN

Md=330,24 kNcm,

M = 236 kNcm

2) Profundidade x = 0 (final domínio 1, início do domínio 2) Para x = 0 a seção deformada no estado limite último (ELU) é a apresentada na figura 2.17. Esta posição é correspondente aos limites entre os domínios 1 e 2, figura 2.3, onde todos os pontos da seção transversal ainda estão tracionados. Neste caso o ELU é definido pelo ponto A, deformação plástica excessiva do aço, ficando a armadura As3 com a deformação εs3 = εsu = 10‰ . As deformações εs1 e εs2 são obtidas por semelhança de triângulos. ε s3  0,010 d  36



ε s1 d'  4



ε s2

εs1=0,00111=1,11‰<εyd=2,07‰

d  d'  36  4  32

εs2=0,00888=8,88‰>εyd=2,07‰ σs1=Esεs1=21000x1,11‰=21x1,11 = 2 3,33 kN/cm2

Rs1=2,454x23,33 = 57,26 kN

σs2=σs3 = f yd=43,48 kN/cm2

Rs2= Rs3=106,70 kN

Escrevendo-se as equações de equilíbrio: 2.51



___________________________________________________________________________

∑Fh=0

Nd + Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0 Nd = - 57,26 – 2 x 106,70 = - 270,66 kN

∑MCG=0

Md + Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = - 57,26x(20-4) + 106,70x(20-4) = 791,04 kNcm

Figura 2.17 – Seção com ELU correspondente a x = 0 Dividindo-se os valores de cálculo por f = 1,4 obtém-se os valores das solicitações de serviço N e M para x = 0.

N = Nd / 1,4 = -270,66 / 1,4 ≈ - 193 kN (tração) M = Md / 1,4 = 1615,52 / 1,4 ≈ 565 kNcm 3) Profundidade x = x2L = 0,259 d = 0,259 x 36 = 9,33 cm (final domínio 2) A figura 2.18 ilustra esta situação em que se tem comprimidas a região do concreto com hachuras da seção transversal e a armadura A s1. A seção deformada passa por dois dos pontos (A e B), que caracterizam o dimensionamento no ELU. Embora existam na mesma seção transversal alongamentos (região tracionada) e encurtamentos (região comprimida), os valores das deformações calculadas a seguir, estão desacompanhados de sinais, portanto em valores absolutos. Qualquer 2.52



___________________________________________________________________________

dúvida sobre a natureza das deformações, tensões ou resultantes pode ser ti rada na figura 2.18.

Figura 2.18 – Seção com ELU correspondente a x2L = 9,33 cm

y=0,8 X =0,8 x 9,33 = 7,46 cm ε s3  0,010 d  x  36  9,33



Rcc = f cby = 1,518 x 20 x 7,46 = 226,67 kN

ε s1 x  d'  9,33  4



ε s2 (h/2)  x  20  9,33

Alternativamente neste caso as deformações podem ser calculadas a partir de outra deformação prescrita εc,max=εcu=3,5‰. ε cu  0,0035 x  9,33



εs1 x  d'  9,33  4



ε s2 (h/2)  x  20  9,33

εs1=0,002=2‰<ε yd=2,07‰

σs1=Esεs1=21000x2‰=21 x2 = 42 kN/cm2 (compressão)

εs2=0,004=4‰>ε yd=2,07‰

σs2= σs3 = f yd = 43,48 kN/cm2 (tração)

Rs1=2,454x42 = 103,07 kN (C) ∑Fh=0

Rs2= Rs3=106,70 kN (T)

Nd - Rcc - Rs1 + Rs2 + Rs3 = 0 2.53



___________________________________________________________________________

Nd = 266,67 + 103,07 – 2 x 106,70 = 156,34 kN ∑MCG=0

N ≈ 112 kN (Compressão)

Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 266,67(20-7,46/2)+103,07(20-4)+106,70(20-4) = 7695,20 kNcm M ≈ 5497 kNcm

4) Profundidade x = x3L = 0,628 d = 0,628 x 36 = 22,62 cm (final domínio 3)

Figura 2.19 – Seção com ELU correspondente a x3L = 22,62 cm A figura 2.19 ilustra esta situação em que se tem além da região comprimida do concreto (parte com hachuras da seção transversal) as armaduras A s1 e As2. y=0,8 X =0,8x22,62 = 18,10 cm ε cu  0,0035 x  22,62



ε s1 x  d'  22,62  4



Rcc=f cby=1,518x20x18,09 = 549,33 kN ε s2 x  (h/2)  22,62  20

Alternativamente nesta situação as deformações poderiam ser calculadas a partir de outra deformação prescrita, εs3 = εyd = 2,07‰. εs1=0,00288=2,88‰>εyd=2,07‰

σs1= f yd = 43,48 kN/cm2 kN/cm2 (Compressão) 2.54



___________________________________________________________________________

εs2=0,00041=0,41‰<εyd=2,07‰

Rs1 = 106,70 kN (C) ∑Fh=0

σs2=21x0,41 = 8,61 kN/cm2 (Compressão)

Rs2=2x1,227 x8,61 = 21,12 kN (C)

Rs3 = 106,70 kN (T)

Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 + Rs3 = 0 Nd = 549,33 + 106,70 + 21,12 - 106,70 = 570,45 kN

∑MCG=0

N ≈ 407 kN (C)

Md - Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 549,33(20-18,10/2)+106,70(20-4)+106,70(20-4) = 9531,75 kNcm M ≈ 6736 kNcm

5) Profundidade x = x4L = d = 36 cm (final domínio 4)

Figura 2.20 – Seção com ELU correspondente a x 4L = 36 cm A região comprimida (figura 2.20) abrange quase toda a seção transversal, as armaduras (As1) e (As2) trabalham comprimidas e (A s3) não sofre deformação, isto é σs3=0.

y=0,8 X =0,8x36 = 28,8 cm ε cu  0,0035 x  36



ε s1 x  d'  36  4

Rcc=f cby=1,518x20x28,8 = 874,29 kN



ε s2 x  (h/2)  36  20

2.55



___________________________________________________________________________

εs1=0,00311=3,11‰>εyd=2,07‰

σs1= f yd = 43,48 kN/cm2

εs2=0,00156=1,56‰<εyd=2,07‰

σs2=21x1,56 = 32,67 kN/cm2 (compressão)

Rs1 = 106,70 kN (C) ∑Fh=0

(compressão)

Rs2=2x1,227 x32,67 = 80,16 kN (C)

Rs3 = 0

Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 + Rs3 = 0 Nd = 874,29 + 106,70 + 80,16 + 0 = 1061,15 kN

∑MCG=0

N ≈ 758 kN (C)

Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) - Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 874,29(20-28,8/2)+106,70(20-4) = 6601,60 kNcm M ≈ 4715 kNcm

6) Profundidade x = x4aL = h = 40 cm (final domínio 4a)

Figura 2.21 – Seção com ELU correspondente a x 4aL = 40 cm A seção está inteiramente comprimida, a deformação na fi bra inferior é nula e em um ponto a [(εcu- εc2) / εcu] h = [(3,5-2) / 3,5] h = (3/7) h da borda mais comprimida é igual a εc2 = 2‰, ponto C dos domínios de deformações (figura 2.3). Esta situação está ilustrada na figura 2.21. 2.56



___________________________________________________________________________

y=0,8 X =0,8x40 = 32 cm ε cu  0,0035 x  40



ε s1 x  d'  40  4

Rcc=f cby=1,518x20x32 = 971,43 kN



ε s2 x  (h/2)  40  20



ε s3 x  d  40  36

εs1=0,00315=3,15‰>εyd=2,07‰

σs1= f yd = 43,48 kN/cm2

εs2=0,00175=1,56‰<εyd=2,07‰

σs2=21x1,75 = 36,75 kN/cm2 (compressão)

εs3=0,00035=0,35‰<εyd=2,07‰

σs3=21x0,35 = 7,35 kN/cm2

Rs1=106,70 kN (C) ∑Fh=0

Rs2=2x1,227 x36,75=90,18 kN (C)

(compressão)

Rs3=2x1,227x7,35=18,04 kN

Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 - Rs3 = 0 Nd = 971,43 + 106,70 + 90,18 + 18,04 = 1186,35 kN

∑MCG=0

(compressão)

N ≈ 847 kN (C)

Md – Rcc(h/2-y/2) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) + Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 971,43(20-32/2)+106,70(20-4) –18,04(20-4) = 5881,56 kNcm M ≈ 4201 kNcm

7) Profundidade x = x5L = ∞ (final domínio 5) A seção está inteiramente comprimida com a mesma deformação tanto para o concreto quanto para o aço εs = εs = 2 ‰, correspondendo a reta “b” dos domínios de deformações (figura 2.3). y>h

Rcc=f cby=1,518x20x40 = 1214,29 kN

εs1=εs2=εs3 = 2‰ < εyd,

σs1=σs2=σs3 = 21x2 = 42,00 kN/cm2

Rs1 = Rs2 = Rs3 = 2x1,227 x42 = 103,07 kN (C) ∑Fh=0

Nd - Rcc - Rs1 - Rs2 - Rs3 = 0 2.57



___________________________________________________________________________

Nd = 1214,29 + 3x103,07 = 1523,49 kN ∑MCG=0

N ≈ 1088 kN (C)

Md – Rcc(0) - Rs1(h/2 – d’) + Rs2(0) + Rs3(h/2 – d’’) = 0 Md = 103,07(20-4) – 103,07(20-4) = 0

M=0 Com os pares (N,M) calculados nos itens 1 a 7 traça-se o diagrama de interação mostrado na figura 2.22 em linha mais grossa. Foram traçados de forma análoga, com linha fina, os outros diagramas para a mesma seção transversal de concreto com 6Φ16, 6Φ10 e sem armação (As = 0). Nota-se que os quatros diagra-

mas de interação são semelhantes, sendo que a seção sem armadura não apresenta força normal de tração. Para a seção com 6Φ12.5 os domínios de 1 a 5 foram marcados nesta figura.

Figura 2.22 – Diagramas de interação

2.58



___________________________________________________________________________

Para um valor de força normal N só existe um único valor correspondente de momento M que a seção, com geometria específica, suporta no estado limite último. Já para um mesmo valor de M existem dois valores de N que podem solicitar a seção no ELU. Assim fixando-se N=750 kN (compressão) existe apenas o valor M≈4760 kNcm, obtido na escala, para a seção com 6Φ1 2.5 mm. Fixando-se para a mesma seção M=4000 kNcm existem dois valores possíveis N≈19 kN e N≈859 kN,

ambos de compressão e obtidos na escala. Ainda para uma força normal N=750 kN (C) os valores de momentos no ELU para seções sem armadura, com 6Φ10 e com 6Φ16 são respectivamente M≈1885

kNcm, M≈4000 kNcm e M≈5675 kNcm. Na figura 2.22 estão traçados quatro diagramas de interação de forma simplificada para a mesma seção transversal, um sem armadura e três com seis barras de bitolas variadas localizadas nas mesmas posições, formando um ábaco. O comum é que estes ábacos sejam construídos para uma seção retangular ( bxh) genérica com relação (d’/h) prefixada, para um determinado tipo de aço e para uma quantidade e distribuição das barras preestabelecidas. No caso deste exemplo esta relação é igual a (d’/h)=(4/40)=0,10, o aço é CA 50, e as seis barras dão taxas mecânicas de armação, ω = (As f yd / Ac f cd), com ω=0 para a seção sem armadura, ω = [4,71x43,5 / 800x(2,5/1,4)] = 0,143 para 6Φ10mm, ω = [7,362x43,5 / 800x(2,5/1,4)] = 0,224 para 6Φ12,5mm, ω = [12,066x43,5 /

800x(2,5/1,4)] = 0,367 para 6Φ16mm. Nos ábacos usualmente publicados a taxa ω varia de zero, com intervalos ∆ω = 0,10, até a taxa máxima, (As /Ac)max = 4%, permitida pela NBR 6118:2014 (item 17.3.5.2.4).

2.7.2 – Exemplo de flexão normal simples com seção retangular Calcular as armaduras de flexão para a viga da figura 2.23 abaixo para alguns valores de momento fletor M.

2.59



___________________________________________________________________________

Figura 2.23 – Seção retangular do exemplo 2.7.2 1) M=2000 kNcm

K 

Md f c bd

2

As  As1 

2000x1,4



1,214x20x56

f cbd f yd

1 

2

 0,0368  K L  0,295



1  2K' 

K’ = K = 0,0368

1,214x20x56 2 1  1  2x0,0368  1,17cm 43,5





As2=A’s= 0 A armadura de tração calculada (A s,cal) tem de ser maior ou igual a armadura mínima (As,min) dada na tabela 2.7, para (d/h) = (56/60) = 0,93 ≈ 0,95 e aço CA 50, ρmin = 0,15%:

2.60



___________________________________________________________________________

As,min= ρmin Ac = 0,15% (20x60) = 1,8 cm 2 > As,cal=1,17 cm2

As = As,min = 1,80 cm2

Para atender a armadura final pode-se usar uma das duas hipóteses de bitolas abaixo: 4Φ8 mm

As,e=4x0,503 = 2,01 cm2 > As = 1,80 cm2

3Φ10 mm

As,e=3x0,785 = 2,36 cm2 > As = 1,80 cm2

Onde As,e é a armadura efetivamente colocada ou existente. Com o valor de K=0,0368 calcula-se o valor de



 



α  1  1  2K'  1  1  2x0,0368  0,0375

y=λ x= d=0,0375x56 = 2,10 cm

x=(y/λ )=(y/0,8)=(2,10/0,8) = 2,62 cm ξ=

= (y/d) pela equação (2.17)

(para f ck ≤ 50 MPa

λ = 0,8)

(x/d)=( /0,8)=(2,62/56)=0,0468 < ξ 2L= 0,259 Como x = 2,62 cm < x 2L = 0,259x56 = 14,52 cm a seção trabalha no domínio 2

para o dimensionamento com M = 2000 kNcm. Apenas para efeito de verificação das fórmulas de dimensionamento para uma profundidade x = 2,62 cm no ELU, a seção resiste a um momento:

M Res 

M Res,d γ f  1,4

 

f c by  d 



1,4

y 

0,8x2,62    1,214x20x0,8x2,62 56   2797 2  2      2000kNcm 1,4

2) M=6000 kNcm K=0,134 < KL = 0,295

K’ = K = 0,134

2.61

1,4



___________________________________________________________________________

As=As1 = 4,51 cm2 > As,min = 1,8 cm2 Para atender a armadura final pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 6Φ10 mm

As,e=6x0,785 = 4,71 cm2 > As = 4,51 cm2

4Φ12,5 mm

As,e=4x1,227 = 4,98 cm2 > As= 4,51 cm2

3Φ16 mm

As,e=3x2,011 = 6,03 cm2 > As = 4,51 cm2

Considerando-se um cobrimento c = 2,5 cm (tabela 2.8) e estribo com Φt = 5

mm, o número máximo de barras longitudinais de flexão com ΦL = 12,5 mm que a seção pode ter em uma única camada é dada pela equação (2.55), com b útil dada por (2.54) e ah = 2 cm: bútil = bw – 2(c + t) = 20 – 2 (2,5 + 0,5) = 14 cm

n Φ/cam 

 =

b útil  a h a h  ΦL

0,144



14  2 2  1,25

4 barras ΦL = 12,5 mm / camada (OK)

 4,9

x = (0,144x56)/0,8 = 10,10 cm < x2L = 14,52 cm

domínio 2

3) M=15000 kNcm K=0,276 < KL = 0,295

K’ = K = 0,276

As=As1 = 10,33 cm2 > As,min = 1,8 cm2 Para atender a armadura final pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 9Φ12,5 mm

As,e=9x1,227 = 11,04 cm2 > As = 10,33 cm2 2.62



___________________________________________________________________________

6Φ16 mm

As,e=6x2,011 = 12,07 cm2 > As = 10,33 cm2

4Φ20 mm

As,e=4x3,142 = 12,57 cm2 > As = 10,33 cm2

Considerando-se os mesmos valores calculados no item anterior tem-se (ver figura 2.24): nΦ=12,5/cam = 4,9

4Φ12,5 mm (1 a e 2a camadas), 1 Φ12,5 mm (3 a camada)

nΦ=16/cam = 4,4

4Φ16 mm (1 a camada), 2Φ16 mm (2 a camada)

nΦ=20/cam = 4

4Φ20 mm (só uma camada)

(OK)

Nota-se pela figura 2.24 que a distância da borda mais tracionada até o centro da primeira camada para o detalhament o com 9Φ12,5 mm é dado por [(2,5 + 0,5 + (1,25/2)] = 3,625 cm. Para as outras duas camadas, considerando o espaçamento vertical (ah = 2,0 cm), determinam-se os valores 6,975 cm para a segunda camada e 10,125 para a terceira. O centro geométrico das nove barras distribuídas em três camadas é dado por {[(4 x 3,625) + (4x6,875) + 1 x 10,125] / 9} ≈ 5,8 cm. Desta forma a altura útil fica d = (60 – 5,8) = 54,2 cm, menor que o valor adotado.

Figura 2.24 – Detalhamento da Seção transversal para M = 15000 kNcm

2.63



___________________________________________________________________________

Para os outros detalhamentos, de forma análoga, determinam-se os valores de d = 55 cm e d = 56 cm, para 6Φ16 mm e 4Φ20 mm, respectivamente. Redimensionado apenas para os dois valores diferentes da altura útil adotada, encontra-se: Φ12,5 mm

dreal = 54,2 cm Kreal = 0,294
As,real = 10,86 cm2 < As,e = 11,04 cm2 (OK)

Φ16 mm

dreal = 55 cm

Kreal = 0,286
As,real = 10,62 cm2 < As,e = 12,07 cm2 (OK)

Embora diferentes, os novos valores das armaduras calculadas para os valores corrigidos de d atendem aos detalhamentos para a altura útil adotada de 56 cm. Φ12,5 mm

K = 0,294

0,628 x 54,2 = 34,0 cm Φ16 mm

ξ

K = 0,286

0,628 x 55,0 = 34,5 cm Φ20 mm

α = 0,358

K = 0,276

0,628 x 56,0 = 35,2 cm

= (24,3 / 54,2) = 0,448.

α = 0,346 ξ

X = (0,346 x 55,0) / 0,8 = 23,8 cm2 < X3L =

= (23,8 / 55,0) = 0,433.

α = 0,331 ξ

X = (0,358 x 54,2) / 0,8 = 24,3 cm2 < X3L =

X = (0,331 x 56,0) / 0,8 = 23,1 cm2 < X3L =

= (23,1 / 56,0) = 0,413

Como todos os valores calculados de ξ estão no intervalo, ξ 2L=0,259 ≤ ξ ≤ ξ 3L= 0,628, a seção dimensionada para este momento, para os detalhamentos da figura 2.24), encontra-se no domínio 3.

4) M=20000 kNcm K=0,381 > KL = 0,295

A s1 

f c bd f yd

1 

dadot = 55 cm



1  2K' 

f c bd f yd

α L 

1,214x20x55 43,5

2.64

K’ = KL = 0,295

0,8x0,45  0,36  11,05cm 2



___________________________________________________________________________ A s2 

f c bd K  K' 1,214x20x55 0,381  0,295   2,85cm 2 d' 4 f yd 43,5 1 1 d 55

As = As1 + As2 = 11,05 + 2,85 = 13,90 cm2 > As,min (d/d’) = (55/4) = 13,75 > 5,439

A' s 

φ=1

(tabela 2.4)

A s2 2  2,85cm 

Para atender a armadura final de tração As pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 7Φ16 mm

As,e=7x2,011 = 14,08 cm2 > As = 13,90 cm2 (3Φ na 2a camada)

5Φ20 mm

As,e=5x3,142 = 15,71 cm2 > As = 13,90 cm2 (2Φ na 2a camada)

3Φ25 mm

As,e=3x4,909 = 14,71 cm2 > As = 13,90 cm2 (só uma camada)

Para atender a armadura de compressão A’s pode-se usar uma das hipóteses de bitolas abaixo: 4Φ10 mm

A’s,e=4x0,785 = 3,14 cm2 > A’s = 2,85 cm2

3Φ12,5 mm

A’s,e=3x1,227 = 3,68 cm2 > A’s = 2,85 cm2

n Φ/cam 

n Φ/cam 

b útil  a h ah  ΦL

b útil  a h a h  ΦL





14  2 22

4

14  2,5 2,5  2,5

4 barras ΦL = 20 mm / camada

 3,3

3 barras ΦL = 25 mm / camada (OK)

O detalhamento com 5 Φ20 mm poderia ter apenas 1Φ20 mm na segunda camada, mas da forma como foi detalhado na figura 2.25 é mais comum. 2.65



___________________________________________________________________________

Figura 2.25 – Detalhamento da Seção transversal para M = 20000 kNcm Os valores de d, d’ e d” para os três detalhamentos estão mostrados na figura 2.25. Como todos os valores de d são maiores e os de d’ menores aos valores adotados (d=55 cm e d’ = 4 cm), o cálculo efetuado das armaduras com estes últimos estão a favor da segurança. Fazendo-se o dimensionamento considerando-se KL = 0,376, como já discutido anteriormente, obtém-se As = 15,41 cm2 e A’s = 0,17 cm2 dando As,total = 15,41 + 0,17 = 15,58 cm2 < 4% Ac = 48 cm2. Comparando-a com a soma das armaduras obtidas para KL = 0,295, As,total = 13,90 + 2,85 = 16,75 cm2 < 4% Ac = 48 cm2, observase que a diferença entre ambas é menor que 7% e que ambas são menores que a armadura total existente em qualquer um dos detalhamentos da figura 2.25 . Portanto do ponto de vista do consumo de aço os dois dimensionamentos são equivalentes sendo que no dimensionamento com K L = 0,295 chega-se à armadura dupla para momentos menores, melhorando assim a dutilidade da seção. KL = 0,295

L = 0,8x(x/d)L= 0,8x0,45 = 0,36

2.66

xL = 0,45x55 = 24,75 cm



___________________________________________________________________________

O valor da profundidade relativa da LN ξ = ξ L= 0,45 está no intervalo ξ 2L= 0,259 ≤ ξ ≤ ξ = 0,628, portanto no domínio 3. 3L

4) Determinar o valor do momento interno resistente para a seção detalhada do exemplo anterior com 3Φ25 mm (A s) e 3Φ12,5 mm (A’ s). Dados: As = 14,71 cm2, A’s = 3,68 cm2, d = 55,75 cm, d’ = 3,625 cm. Como as armaduras existentes, ou efetivamente colocadas, são maiores ou iguais às armaduras calculadas, o momento interno resistente será sempre maior ou igual ao momento externo solicitante. Supondo que as armaduras A s e A’s trabalhem com tensões σs = σ’s = f yd = 43,5 kN/cm2, a equação de equilíbrio de forças horizon-

tais fornece, para N d = 0: Rcc + A’s σ’s = As σs,

f c b y = (As - A’s) f yd

y = [(14,71-3,68) x 43,5] / (1,214 x 20) = 19,8 cm ξ2L = 0,259 < ξ = x / d = 24,7

x = y / 0,8 = 24,7 cm

/ 55,75 = 0,443 < ξ3L = 0,628

domínio 3

Neste domínio a tensão na armadura A s é igual a f yd e a deformação máxima do concreto é igual a εcu = 3,5 ‰ (ponto B do dos domínios de deformação, figura 2.3). A deformação ε’s é obtida por semelhança de triângulos no diagrama de deformações da seção no ELU: (ε cu  3,5) (x  24,7)



ε's

(x  d'  24,7  3,625)

 ε's  2,99‰  ε yd  2,07‰ , portanto σ’s=f yd

Como os valores previamente supostos das tensões nas armaduras se confirmaram, o valor de x é o correto para o equilíbrio. O valor do momento interno resistente será dado por:

2.67



___________________________________________________________________________

Md,Resist=Rcc(d –y/2)+A’sf yd(d-d’)=1,214x20x19,8(55,75 –19,8/2)+3,68x43,5(55,75-3,625)

Md,Resist = 30386 kNcm

MResist =(Md,Resist /1,4)=21704 kNcm > Msolic = 20000 kNcm

2.7.3 – Exemplos de flexão normal simples com seção T ou L EXEMPLO 1 Calcular os valores da mesa colaborante bf para as vigas da forma apresentada na figura 2.26. Nesta forma as vigas V1, V2 e V3 têm dois tramos ou vãos, o primeiro com comprimento (295+20/2+20/2) = 315 cm e o segundo com (365+20/2+20/2) = 385 cm. As vigas V3, V4 e V5 têm também dois vãos com comprimentos 315 cm e 400 cm. O diagrama genérico de momentos fletores para todas as vigas está apresentado na figura 2.27. Nesta figura M1 e M2 são os momentos positivos (tracionam a parte inferior da viga) e X é o momento negativo (traciona a parte superior da viga). Os pontos de momentos nulos do diagrama estão indicados na figura com as distâncias x1 e x2 referenciadas ao apoio central.

Viga V1 – A mesa está comprimida para os momentos M1 e M2 e tracionada para o momento negativo X. Esta viga só pode funcionar como T , ou no caso L, apenas nos trechos positivos do diagrama de momentos. Os valores de a1 e a2 não estão disponíveis no diagrama de momentos, portanto serão obtidos pela recomendação da

NBR 6118:2014. Para M1 a largura colaborante do lado da nervura em que a laje tem continuidade (b1) é dada por:

2.68



___________________________________________________________________________

Figura 2.26 – Forma para o exemplo 2.4.7.3 1 =

315 cm

a1 = 0,75

1

2 =

= 0,75x315 = 236,25 cm

385 cm

a2 = 0,75 2= 0,75x385 = 288,75 cm

b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm

b1 = 24 cm b1 ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm

2.69



___________________________________________________________________________

Figura 2.27 – Diagrama genérico de momentos fletores O lado oposto a b 1 não tem laje, portanto: b3 = b4 = 0



b3 = 0

bf = bw + b1 + b3 = 20 + 24 + 0 = 44 cm (neste caso a viga tem seção L) Para M2 a largura colaborante do lado da nervura em que a laje tem continuidade (b1) é dada por: b1 ≤ 0,10 a2 = 0,10x289 ≈ 29 cm

b1 = 29 cm b1 ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm b3 = b4 = 0



(não tem laje do lado oposto à b 1)



b3 = 0

bf = bw + b1 + b3 = 20 + 29 + 0 = 49 cm (neste caso a viga tem seção L)

2.70



___________________________________________________________________________

Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangu-

lar 20/40. Viga V2 – De forma análoga ao calculado para V1, obtém-se: 1 =

315 cm

2 =

a1 = 0,75 1= 0,75x315 = 236,25 cm

385 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x385 = 288,75 cm

Para M1 as larguras colaborante dos lados Esquerdo e Direito da nervura são dadas por: b1,E ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm

b1,E = 24 cm b1,E ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b1,D ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm

b1,D = 24 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm

bf = bw + b1,E + b1,D = 20 + 24 + 24 = 68 cm Para M2 tem-se: b1,E ≤ 0,10 a2 = 0,10x289 ≈ 29 cm


b1,D = 29 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm

bf = bw + b1,E + b1,D = 20 + 29 + 29 = 78 cm 2.71



___________________________________________________________________________

Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangu-

lar 20/40. Viga V3 – Os valores de b1 e b3 são os mesmos que os calculados para a viga V1. A diferença deve-se ao novo valor de b 2 = 295 cm, que não interfere nos resultados finais de b1. Para M1 tem-se:

bf = bw + b1 + b3 = 15 + 24 + 0 = 39 cm Para M2 tem-se:

bf = bw + b1 + b3 = 15 + 29 + 0 = 44 cm Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangu-

lar 15/40. Viga V4 – Esta viga tem um balanço do lado esquerdo da nervura que está 30 cm abaixo do nível das demais lajes. Assim têm-se mesas tanto do lado superior direito quanto do inferior esquerdo da nervura, fazendo a viga funcionar como seção L para momentos positivos e negativos. 1 =

315 cm

a1 = 0,75

1

2 =

= 0,75x315 = 236,25 cm

400 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm

x1 = 0,25 1= 0,25x315 = 78,75 cm

x2 = 0,25 2 = 0,25x400 = 100 cm

Para M1 tem-se: b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm

b1 = 24 cm b1 ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm 2.72



___________________________________________________________________________

b3 = b4 = 0

(a laje L1 está invertida, portanto tracionada)



b3 = 0



b3 = 0

bf = bw + b1 + b3 = 15 + 24 + 0 = 39 cm Para M2 tem-se: b1 ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 ≈ 30 cm

b1 = 30 cm b1 ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b3 = b4 = 0

(a laje L1 está invertida, portanto tracionada)

bf = bw + b1 + b3 = 15 + 30 + 0 = 45 cm Para o momento negativo X, como a única laje comprimida (L1) está do lado do balanço, sem continuidade, tem-se: b3 ≤ 0,10 (x1 + x2) = 0,10x(78,75 + 100) ≈ 18 cm

b3 = 18 cm b3 ≤ b4 = 30 cm

b1 = 0 (a laje L2 está tracionada) bf = bw + b1 + b3 = 15 + 0 + 18 = 33 cm Viga V5 – De forma análoga ao calculado para V2, obtém-se: 1 =

315 cm

a1 = 0,75

1

2 =

= 0,75x315 = 236,25 cm

400 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm

Para M1 as larguras colaborante dos lados Esquerdo e Direito da nervura são dadas por: 2.73



___________________________________________________________________________

b1,E ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm


b1,D = 24 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm

bf = bw + b1,E + b1,D = 20 + 24 + 24 = 68 cm Para M2 tem-se: b1,E ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm

b1,E = 30 cm b1,E ≤ (b2/2) = (295/2) = 147,5 cm b1,D ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm

b1,D = 30 cm b1,D ≤ (b2/2) = (380/2) = 190 cm

bf = bw + b1,E + b1,D = 20 + 30 + 30 = 80 cm Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangu-

lar 20/40. Viga V6 1 =

315 cm

a1 = 0,75

1

2 =

= 0,75x315 = 236,25 cm

400 cm

a2 = 0,75 2 = 0,75x400 = 300 cm

Para M1

2.74



___________________________________________________________________________

b1 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm

b1 = 24 cm b1 ≤ (b2/2) = (365/2) = 182,5 cm b3 ≤ 0,10 a1 = 0,10x236 ≈ 24 cm

b3 = 24 cm b3 ≤ b4 = 50 cm

bf = bw + b1 + b3 = 20 + 24 + 24 = 68 cm Para M2 b1 ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm

b1 = 30 cm b1 ≤ (b2/2) = (365/2) = 182,5 cm b3 ≤ 0,10 a2 = 0,10x300 = 30 cm

b3 = 30 cm b3 ≤ b4 = 50 cm

bf = bw + b1 + b3 = 20 + 30 + 30 = 80 cm Para o momento negativo X a seção só pode funcionar como seção retangu-

lar 20/40. EXEMPLO 2

Calcular as armaduras para uma viga T, com b f = 90 cm, bw = 20 cm, h = 50 cm, d = 45 cm, hf = 10 cm. Concreto f ck = 30 MPa, aço CA 50. f c=0,85x3/1,4 = 1,821 kN/cm2 (tabela 1.11) f yd=50/1,15 = 43,48 kN/cm2 

(tabela 1.11)

M = 15000 kNcm 2.75



___________________________________________________________________________ K 

 b f  h f  h f  15000x1,4 10   90  10    1 1 1 1               0,285  0,691 2 2 b d 2d 20 45 2x45 f c b w d 1,821x20x4 5        w  Md

K<0

seção retangular bf h = 90/50



K 90x50 

Md f c b f d

A s  A s1 

2



f c b f d f yd

15000x1,4 1,821x90x45

1 

2

 0,0632



K < KL = 0,295



K’ = K = 0,0632

1,821x90x45 2 1  2K'  1  1  2x0,0632  11,09cm 43,5







A armadura As tem que ser maior ou igual a armadura mínima A s,min. Como os valores das tabelas 2.6 e 2.7 só valem para seções retangulares, o valor mínimo da armação em viga de seção T deve ser calculado como aquela necessária para combater o momento mínimo dado na equação (2.49). O valor de f ctk,sup é dado na equação (2.50).

Md,min = 0,8 W0 f ctk,sup,

W0 = (Ix,cg / ymax,trac),

f ctk,sup = 0,39 (f ck)2/3 (f ck < 50 MPa)

O centro geométrico para a seção T de concreto em relação ao limite inferior da nervura bw (largura paralela ao eixo x da seção transversal) vale: ycg = (90 x 10 x 45 + 20 x 40 x 20) / (90 x 10 + 20 x 40) = 33,24 cm Ix,cg = [(90x503)/12+90 x50x(33,24-25)2] –[(70x403)/12+70x40x(33,24-20) 2]=378873 cm4 f ctk,sup = 0,39 x 302/3 = 3,77 MPa ≈ 0,38 kN/cm2 Md,min = 0,8 x [(378873) / 33,24] x 0,38 = 3443 kNcm

Mmin = 2452 kNcm

KT < 0, K90/50 = 0,0104 < KL = 0,295, As,min = 1,77 cm2 < As,cal = 11,09 cm2 Com K = 0,0632

 α = 0,0654



x = 0,0654x45 / 0,8 = 3,68 cm < hf = 10 cm.

2.76



___________________________________________________________________________

Outra forma seria determinar o momento de referência, equação 2.47, e compará-lo com o valor de M d. 

M dRef  f c b f h f  d 



h f 

10     1,821x90x10x 45    65556kNcm 2  2  

MdRef > Md = 15000x1,4 = 21000 kNcm 

seção retangular bf h = 90/50

Se optasse por calcular a viga com seção retangular 20/50, desprezando-se a contribuição da mesa, a armadura seria As,Ret = 12,96 cm2 > As,T = 11,09 cm2 mostrando que quando possível, o cálculo como seção T é sempre mais econômico. 

M = 40000 kNcm

Md = 56000 kNcm < M d,Ref = 65556 kNcm K90/50 = 0,169 < KL = 0,295



 K’ = K = 0,169

seção retangular bf h = 90/50  As,90/50 =

As1 = 31,54 cm2

Calculando-se com as fórmulas da seção T obtém-se: K0 = (hf /d) (1-hf /2d) = (10/45) [1-(10/2x45)] = 0,198 K = 0,759 – 0,691 = 0,0683 < KL = 0,295

 K’ = K = 0,0693

Como K < K0 a seção deve ser calculada como seção retangular 90/50, já calculada acima, com A s,90/50 = 31,54 cm2. Com o valor de K > 0, a armadura calculada como seção T fica:

A s,T  A s1 

1,821x20x45   90  10  2 1 1 2x0,0683      1   31,97cm  43,5  20  45  

2.77



___________________________________________________________________________

A armadura calculada com as fórmulas da seção T (A s,T = 31,97), embora errada neste caso, dá praticamente o mesmo valor que a calculada como seção retangular 90/50 (As,90/50 = 31,54), daí a generalização usada por Tepedino ( 1980) de se usar a seção retangular (b f h) só quando K < 0.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE O cálculo como seção T consegue combater grandes momentos fletores apenas com armadura simples (sem armadura de compressão). Isto pode levar a falsa ideia que o simples atendimento ao ELU (dimensionamento) garanta também o estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF) do elemento estrutural em análise. Neste exemplo usando-se a equação (2.38) para K=K L = 0,295 (valor de K a partir do qual se tem armadura dupla) obtém-se o momento limite para seção T:   b  h  h  2 M dL  f cb wd K L   f  1 f  1  f   73751x0,295  0,691  727444kNcm  b w  d  2d  

ML = 51960 kNcm Supondo uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída de vão = 5m (h/ = 10%) submetida ao momento acima, a carga seria p = 8 x 519,60 / 52 = 166,3 kN/m. Considerando a rigidez à flexão da seção retangular geométrica (bruta) de concreto EI, com I = (bh3/12) = (20x503/12) = 208333 cm4 e E = Ecs dado pela equação (1.6a), onde Eci é obtido pela equação (1.5a) para αe = 1,0 (brita de granito ou gnaisse). Eci  α E 5600 f ck  1,0x5600 30  30672MPa  3067kN/cm

α i  0,8  0,2

f ck 80

 0,8  0,2

30 80

 0,875  1,0

2.78

2

equação (1.6b)



___________________________________________________________________________ Ecs  α i Eci  0,875x3067  2684kN/cm

2

EI = 2684 x 208333 = 5,59 x 108 kNcm2 O cálculo da flecha deve ser feito com a rigidez da seção fissurada (estádio II), que no caso é uma seção T, levando-se em conta a flecha diferida no tempo (fluência). Neste exemplo apenas para se ter uma noção da flecha máxima, será calculado como seção retangular 20x50 (inércia menor que a da seção T) com a seção bruta (geométrica) de concreto (inércia maior que a da seção retangular fissurada). A flecha máxima em uma viga biapoiada com carga uniformemente distribuída p = 166,3 kN/m = 1,66 kN/cm é dada por:

f max = 5pl4 / 384EI = 5 x 1,66 x 5004 / 384 x 5,59 x 10 8 = 2,42 cm > 500 / 250 = 2 cm Como a flecha máxima superou a flecha admissível f adm= (l/250) = 2 cm a viga não atenderia ao estado limite de serviço devido à deformação excessiva ELSDEF. Considerando o cálculo da flecha como seção T (bf = 90 cm, bw = 20 cm, hf = 10 cm, As,cal = 31,97 cm2, n = Es / Ecs = 7,82) , no estádio II (xII = 13,58 cm, III = 321001 cm4), levando-se em conta a deformação lenta para carga permanente g =

0,7p = 0,7 x 1,66 = 1,16 kN/cm e carga acidental q = 0,3p = 0,50 kN/cm, com p∞ = 2,46g + 0,738q = 3,22 kN/cm (edifício residencial), obtém-se a flecha máxima: f ∞ = 5 x 3,22 x 5004 / 384 x 2684 x 321001 = 3,04 cm > f adm = 2 cm confirmando, como esperado, o resultado anterior calculado com a seção retangular geométrica. Do exposto, justifica-se a preocupação que se deve ter no cálculo de seção T com a verificação do ELS-DEF, preocupação redobrada no caso de se ter seção T com armadura dupla, ou seja, K>KL = 0,295. 2.79


LAJES __________________________________________________________________________

3.1 – Definição Placa é um elemento estrutural laminar, uma dimensão (espessura) bem menor que as outras duas em planta, solicitada predominantemente por cargas normais ao seu plano. Quando a placa é de concreto armado ela normalmente é chamada de

laje. Como exemplo pode-se citar lajes de piso e forro dos edifícios, lajes de reservatórios, muros de contenção.

3.2 – Histórico As placas devido a sua importância como elemento de piso, vedação e de transferência de cargas para a estrutura, tem merecido ao longo dos tempos grande destaque dos pesquisadores e constitui ainda hoje um tema inesgotável de pesquisas. As placas podem ser classificadas segundo a relação entre sua espessura h e sua menor dimensão em planta a, como:



Placas muito esbeltas, quando (h/a)  (1/100)



Placas esbeltas, quando (1/100) < (h/a)  (1/5)



Placas espessas, quando ( h/a) < (1/5)

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________

As placas de concreto, chamadas de lajes, se situam normalmente na faixa de variação das placas esbeltas, cujo teoria clássica ou de Kirchhoff, interpreta razoavelmente os seus resultados, que são baseados na solução da equação diferencial de quarta ordem (3.1). Uma apresentação detalhada da teoria de placas pode ser encontrada em TIMOSHENKO (1940). :

4w 4w 4w p 2 2 2  4  x 4 x y  y D

(3.1)

Onde: 

w é o deslocamento transversal (vertical) da placa;



p é a carga normal distribuída, aplicada à placa;



D é a rigidez da placa à flexão, dada por:

D 

Onde Ecs e

E cs h 3



12 1 - ν 2



(3.2)

são respectivamente, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Pois-

son do concreto, equações (1.6) e (1.7) respectivamente.

A solução analítica da equação (3.1) só é possível para situações particulares de condições de contorno e de carregamento. Para a maioria dos casos recorre-se aos métodos numéricos para a solução da placa baseada nos Método das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos Finitos ( MEF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC).

Normalmente as lajes dos edifícios residenciais são retangulares e para essas foram produzidas desde o início tabelas para cálculo de reações de apoio e de momentos fletores. Estas tabelas foram elaboradas baseadas na teoria da elasticidade usando-se integração numérica ou séries duplas de Fourier para a solução da equação (3.1).

3.2


As primeiras tabelas utilizadas foram produzidas por Marcus, que resolveu o problema, substituindo a placa por uma grelha, com vigas ou faixas unitárias perpendiculares e independentes entre si, introduzindo coeficientes semi-empíricos para levar em conta a torção entre as mesmas, contemplada na equação (3.1) pela derivada cruzada, ou seja em x e y. O processo de cálculo desprezando-se a torção entre as faixas perpendiculares é normalmente conhecido como teoria da grelha ou dos quinhões de carga para cálculo de lajes retangulares.

Para o entendimento desse processo simples e normalmente utilizado para a solução de lajes nervuradas, seja a figura 3.1 onde tem-se uma laje retangular axb, simplesmente apoiada em todos os quatro lados e submetida a uma carga total p, distribuída uniformemente em toda a sua superfície. Esta carga será dividida em duas parcelas ou quinhões pa e pb, que atuarão nas direções a e b respectivamente. Trata-se de um problema estaticamente indeterminado cuja única equação de equilíbrio é dada por:

p = pa + pb

(3.3)

Para a solução desse problema cujas incógnitas são as parcelas ou quinhões de carga pa e pb deve-se lançar mão de uma equação de compatibilidade geométrica, que neste caso consiste em igualar as flechas

a

e

b no

cruzamento das faixas

nas direções a e b, respectivamente ( ver figura 3.1).

δa 

5p a a 4 384EI

 δb 

5p b b 4 384EI

(3.4)

A expressão genérica para a flecha máxima em uma viga biapoiada submetida a uma carga vertical uniformemente distribuída é obtida da equação da linha elástica em vigas, dada por δ = k(pl4) / (384EI), onde k depende dos tipos de apoios da viga. Para dois apoios simples K = 5, para um apoio simples e o outro engastado k = 2 (valor aproximado) e finalmente para dois engastes k = 1.

3.3


De (3.4) obtém-se:

 b  p a  pb    a 

4

(3.5)

Figura 3.1 – Quinhões de carga para lajes Levando-se (3.5) em (3.3) obtém-se a expressão da parcela de carga na direção b:

pb 

p

 b 

4

 k b p

(3.6)

1

  a 

3.4

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ 1

k b 

 b 

k a  1  k b

4

(3.7)

1

  a 

Onde ka e kb são os coeficientes para se determinar os quinhões de cargas nas direções a e b respectivamente.

Para a determinação das reações e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as vigas nas direções a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhões de carga obtidos. Pela equação (3.7) para uma relação (b/a) = 2 o valor de kb = 1 / 17 0,06 e consequentemente ka 0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direção menor a. Conforme será visto adiante, a partir da relação (b/a) > 2 a laje será considerada armada em uma direção, ou seja a menor dimensão, sendo que para relações menores, a laje será considerada armada nas duas direções ou em cruz.

Outras tabelas para o cálculo de reações e momentos em lajes bastante utilizadas são as tabelas de Kalmanock, que integrou numericamente a equação diferencial (3.1) e tabelou para diversos tipos de lajes retangulares e de relações (b/a), variando de 0,5 a 2. Estas tabelas, como outras baseadas na teoria da elasticidade, são utilizadas no cálculo de lajes em regime elástico.

Existem também as tabelas baseadas no regime rígido-plástico, ou das linhas de ruptura, ou das charneiras plásticas Ingerslev (1923) e Johansen (1932), onde o diagrama tensão-deformação do material constituinte da laje é rígido-plástico per-

feito, com um trecho sem deformações (rígido), seguido por um trecho perfeitamente plástico. Este processo extremamente simples de cálculo pode ser vi sto na apostila de lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino (1980), que originou tanto as tabelas para cálculo de momentos fletores no regime rígido-plástico, quanto no elástico, mostradas adiante.

3.5


Esta análise plástica é também recomendada na NBR 6118:2014 no item 14.7.4:

“Para a consideração do estado limite último, a análise de esforços pode ser real izada através da teoria das charneiras plásticas. Para garantia de condições apropriadas de dutilidade, dispensando a verificação explícita da capacidade de rotação plástica, prescrita em 14.6.4.4 deve-se ter a posição da linha neutra limitada em:

x / d ≤ 0,25,

s e f c k ≤ 50 MPa

x/d ≤ 0,15,

s e f c k > 50 MPa

Deve ser adotada, para lajes retangulares, razão mínima de 1,5:1 entre momentos de borda (com continuidade e apoio indeslocável) e momentos no vão. Cuidados especiais devem ser tomados em relação à fissuração e verificação das flechas no ELS, principalmente quando se adota a relação entre momentos muito diferente da que resulta de uma análise elástica.As verificações de serviço e de fad iga devem ser feitas baseadas em uma análise elástica”. De acordo com este item da NBR 6118:2014 caso o dimensionamento da laje seja feito considerando o regime elástico deve-se adotar os valores de KL conforme a tabela 2.3. Já se o regime adotado for o rígido-plástico os valores de KL serão dados por:

 

0,8x0,25 

 

0,8x0,15 

K L  0,8x0,25 1 

K L  0,8x0,15 1 

2

2

  0,180 

  0,113 

3.6

Para f ck ≤ 50 MPa

(3.8a)

Para f ck > 50 MPa

(3.8b)


3.3 – Laje retangular armada em uma direção Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relação entre os lados for maior que 2, será calculada como laje armada em uma direção, no caso, a direção menor. Estas lajes são calculadas supondo vigas de largura unitária com o comprimento correspondente ao vão menor da laje e com as condições de contorno iguais às do lado maior. Desta forma as configurações possíveis para lajes retangulares armadas em uma direção estão indicadas na figura 3.2. As reações RA (apoio), RE (engaste) e os momentos M (positivo), X (negativo) para os três tipos de lajes da figura 3.2 estão apresentados na tabela 3.1 adiante, para o cálculo no regime elástico e no regime rígido-plástico, com a carga total p atuando na faixa unitária.

Na tabela 3.1 os valores das reações e dos momentos da coluna correspondente ao regime elástico são os valores conhecidos da análise das estruturas, já os valores do regime rígido –plástico dependem da relação adotada entre o momento negativo (X) e o positivo ( M) atuantes em uma mesma direção. Esta relação para a tabela 3.1 vale 1,5 (valor recomendado na NBR 6118:2014) e é a mesma adotada na elaboração da tabela 3.9 de momentos fletores no regime rígido-plástico, para lajes retangulares armadas em duas direções. Assim para a laje apoiada-engastada o momento máximo positivo M, que ocorre onde a força cortante se anula, x0 = RA /p, a partir do apoio simples, é dado por:

2

 pa X   pa 1,5M        2 px 0  R A 2  2 a   2 a  M  R A x 0     2

2p

2p

2p

2

(3.9)

Resolvendo-se a equação (3.9) do segundo grau, chega-se à raiz possível de

M dada por: M

pa

2

(3.10)

13,33

3.7


Figura 3.2 – Tipos de lajes armadas em uma direção

Tabela 1 – Reações e momentos para laje armada em uma direção Tipo da laje Apoiada-apoiada

Apoiada-engastada

Engastada-engastada

Regime elástico

Regime rígido-plástico

R = 0,5 pa

R = 0,5 pa

R = 0,5 pa

M = pa /8

RA = 0,375 pa = (3/8) pa

RA = 0,387 pa

RE = 0,625 pa = (5/8) pa

RE = 0,613 pa

M = pa2 /14,22

M = pa2 /13,33

X = pa /8

X = 1,5 M

R = 0,5 pa

R = 0,5 pa

M = pa /24

M = pa /20

X = pa2 /12

X = 1,5 M

3.8


Para a placa engastada-engastada com a relação (X/M) = 1,5, tem-se:

2

 pa    2 2 R A pa 2   X  1,5M   1,5M M 2p

2p

8

(3.11)

De (3.11) obtém-se o valor de M:

M

pa 2

(3.12)

20

3.4 – Laje retangular armada em duas direções ou em cruz Conforme visto anteriormente, quando a relação entre os lados de uma laje retangular é menor ou igual a 2, considera-se a mesma armada em duas direções ou em cruz.

3.4.1 – Tipos de lajes retangulares Os tipos possíveis de lajes retangulares estão mostrados na figura 3.3, onde

“a” é o vão cuja direção tem o maior número de engastes. Caso nas duas direções o número de engastes seja o mesmo, “a” será considerado o menor vão.

3.4.2 – Reações de apoio As reações de apoio para lajes maciças retangulares com carga uniformemente distribuída podem ser calculadas, de acordo com o item 14.7.6 da NBR

6118:2014, com as seguintes aproximações: “a) as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à

3.9


análise efetivada com os critérios de 14.7.4, sendo que essas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos estruturais que lhes servem de apoio; b) quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos: − 45 ° entre dois apoios do mesmo tipo; − 60 ° a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; − 90 ° a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre”.

Figura 3.3 – Tipos de lajes retangulares armadas em cruz 3.10


A partir dos ângulos definidos acima é produzida a tabela 3.8 para os 6 tipos de lajes retangulares da figura 3.3, com relações b/a dentro da faixa de validade das lajes armadas em cruz. Nessas tabelas a reação em cada lado “a” ou “b” é obtida multiplicando-se os coeficientes tabelados pelo produto pa.

Figura 3.4 – Reações de apoio para lajes retangulares armadas em cruz

3.11


3.4.3 – Momentos fletores Os momentos fletores em lajes retangulares são calculados também através de tabelas produzidas tanto para o regime elástico como para o regime rígidoplástico. No regime elástico, para a obtenção dos valores dos momentos atuantes nas duas direções, basta dividir o produto (p.a2) pelos valores tabelados para os momentos positivos ma, mb (armadura de flexão na parte inferior da laje) e para os momentos negativos na, nb (idem para a parte superior). Já para o regime rígido-plástico apenas são tabelados os coeficientes ma,

mb, com os quais se calculam os momentos positivos nas duas direções, da mesma forma que no regime elástico. Caso exista, o momento negativo em uma determinada direção será obtido multiplicando-se o momento positivo nesta direção pelo valor

1,5. As tabelas 3.8 a 3.11 mostradas adiante, são as mesmas da apostila sobre la jes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino (1980), salientando-se que as do regime rígido-plástico foram produzidas para uma variação contínua do índice de ortotropia (relação entre os momentos de plastificação ou de ruptura nas duas direções ortogonais da laje) e para uma relação constante entre os momentos negativo e positivo em uma mesma direção, adotada igual a 1,5.

3.5 – Cálculo da flecha em lajes retangulares O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado limite de serviço – ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de deformações excessivas, definido no item 3.2.4 da NBR-6118:2014.

As cargas para o cálculo em serviço devem ser afetadas pelo coeficiente de ponderação, no caso minoração, das ações no ELS, correspondente às combina-

3.12


ções quase permanentes,

f =

f2

=

2,

terceira coluna de

f2

na tabela 1.7 desta

apostila

Conforme esta tabela, para cargas acidentais de edifícios, cios residenciais, cios públicos e

2 = 2 =

2 =

0,3 para edifí-

0,4 para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifí-

0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens. O momento

de serviço Mserv é obtido pela soma do momento total das cargas permanentes Mg mais o momento das cargas acidentais Mq, minorado pelo coeficiente

Mserv = Mg +

2 Mq

2.

(3.13)

Caso o momento de serviço dado em (3.13) seja menor que o momento de fissuração Mr , determinado conforme o item 17.3.1 da NBR-6118:2014, a laje estará trabalhando no Estádio I (concreto trabalhando simultaneamente à tração e compressão – concreto não fissurado), caso contrário, no Estádio II (concreto trabalhando à compressão no regime elástico enquanto as tensões de tração são desprezadas – concreto fissurado). O momento de fissuração pode ser calculado pela seguinte expressão aproximada ( NBR 6118:2014):

M r  αf ct

Ic

(3.14)

yt

“ onde: α = 1,2 para seções T ou duplo T; α = 1,3 para seções I ou T invertido; α = 1,5 para seções retangulares;

onde: α

é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a resistência à tração direta;

y t

é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;

I c

é o momento de inércia da seção bruta de concreto;

f c t

é a resistência à tração direta do concreto, conforme 8.2.5, com o quantil apropriado a cada verificação particular. 3.13


Para determinação do momento de fissuração deve ser usado o f ctk,inf no estado limite de formação de fissura e o f c tm no estado limite de deformação excessiva (ver 8.2.5).” Para o cálculo de lajes, cuja seção transversal retangular é dada por 100h, o valor de yt no estádio I é aproximadamente igual a h/2, onde h é a altura da laje, ficando a relação Ic /yt W0 (módulo de resistência à flexão) dada por:

W0 

100h 2

(3.15)

6

O valor correto de yt é obtido do cálculo da seção homogeneizada, mas tendo em vista a pequena quantidade de armadura das lajes, esse valor é muito próximo ao da seção bruta de concreto, justificando-se pois adotar yt = h/2.

Levando-se os valores de

, f ct = f ctm dado nas equações (1.12), e W0 em

(3.15) obtém-se finalmente o momento de fi ssuração para lajes maciças dado por:

Mr 

Mr 

150f ctm h 2 6x10

 0,75h 2 f ck 2/3 , ( kNcm)

150.f ctm .h 2 6x10

 5,3h 2 ln1  0,11f ck , ( kNcm)

para f ck ≤ 50 MPa

(3.16a)

para f ck> 50 MPa

(3.16b)

As equações (3.16) foram desenvolvidas usando-se f ck em MPa para obter Mr em kNcm (por isto a divisão por 10). Deve-se salientar que as equações (3.16) referem-se a uma faixa de laje de largura b = 100 cm = 1 m.

3.5.1 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em uma direção Para estas lajes as flechas são calculadas com as expressões obtidas da equação da linha elástica em vigas, para os três tipos possíveis de condições de con3.14


torno ilustrados na figura 3.2, onde as flechas podem ser agrupadas em uma única expressão genérica dada por:

f i  K

com

(*)

pia

4

384EI eq,t0

(3.17)

K=5

para laje apoiada-apoiada

K = 2*

para laje apoiada-engastada

K=1

para laje engastada-engastada

o valor inteiro 2 foi adotado do valor correto dado por (2,079...).

Onde 

f i



pi = g +



a

é o vão da laje armada em uma direção;



(E.I)eq,t0

é a rigidez equivalente para o tempo t0.

é a flecha imediata; 2 q

é a carga imediata de serviço;

Normalmente as lajes em edifícios residenciais armadas em uma direção têm vãos pequenos e consequentemente momentos solicitantes em situação de serviço menores que o momento de fissuração (equações 3.16), trabalhando, portanto no estádio I. Nesse caso a rigidez equivalente é obtida considerando-se a seção homogeneizada, utilizando-se a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Devido à pequena quantidade de armação utilizada nessas lajes, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta de concreto em substituição ao da seção homogeneizada. Isso se justifica pela pequena diferença entre as duas.

Caso o momento em serviço supere o momento de fissuração, deve ser considerado o estádio II. O item 19.3.1 da NBR-6118:2014, estado limite de deformação em lajes, estabelece que devam ser usados os mesmos critérios adotados para as vigas (item 17.3.2), tanto para o estádio I quanto para o estádio II.

3.15


Os critérios para a flecha imediata em vigas se baseiam no cálculo da rigidez equivalente pela formulação de Branson (1966), dada na NBR-6118:2014 no item 17.3.2.1.1. Para lajes maciças, usuais dos edifícios residenciais, armadas em uma ou duas direções, pode-se ter momento máximo menor que o momento de fissuração, ou quando isso não ocorre apenas uma pequena área da laje, próxima ao momento máximo, encontra-se no estádio II. Grande parte da laje estará sempre no estádio I. Mesmo a região que se encontra fissurada, segundo alguns autores, tem uma contribuição mais efetiva para a rigidez equivalente que no caso das vigas, portanto não seria muito correto usar o mesmo modelo para vigas e lajes. No entanto, para efeito dessa apostila, deve-se considerar o estabelecido na NBR 6118:2014:

EI eq,t0  Ecs I c

Estádio I -

EI eq,t0

Estádio II -

(3.18a)

 M  3   M  3    E cs  r  I c  1   r   I II   E cs I c   M a     M a 

(3.18b)

Onde: 

Ecs

é o módulo de elasticidade secante do concreto;



Ic

é o momento de inércia da seção bruta de concreto;



I II

é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no es-

tádio II, calculada com a relação entre os módulos ( n = Es / Ecs); 

Ma

é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momen-

to máximo no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em balanço, para a combinação de ações considerada nessa avaliação; 

Mr

é o momento de fissuração do elemento estrutural;



t0

é a idade em meses relativa à data de aplicação da carga de

longa duração.

3.16


3.5.1.1 – Momento de Inércia da seção fissurada para lajes Conforme apresentado na figura 3.5 o diagrama de tensões de compressão no concreto é linear e na tração é nulo, de acordo com a premissa básica do Estádio II, seção fissurada. Como para um mesmo ponto, concreto e aço têm a mesma deformação εc = ε s, pela lei de Hooke (σc /Ec) = (σs /Es) de onde resulta σs = (Es /Ec) σ c

= n σc com n = (Es /Ec), relação entre os módulos de elasticidades do aço e do concreto. Com isto no diagrama de tensões a linha tracejada representa em uma escala

(1/ n) menor, as tensões no aço. Para homogeneizar a seção transversal genérica da laje apresentada nesta figura deve-se inicialmente transformar o material composto, concreto armado (concreto e aço), em um único material, normalmente no material com menor módulo de elasticidade (concreto). A área de aço As transforma-se em uma área equivalente em concreto igual a (n As). O CG da seção homogeneizada encontra-se a uma profundidade xII obtida igualando-se o momento estático da área comprimida de concreto com o da área de aço homogeneizada (n As). Assim:

Figura 3.5 – Seção transversal para determinação de III em lajes

bx II

x II 2

 nA s d  x II 

Resolvendo a equação do segundo grau em xII encontra-se: 3.17

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ x II  A  A 2  B

nA s

A

B

100

2nA s 100

Calculando-se o momento em relação a LN obtém-se:

 σ c 100x II  2x II     σ s nA s d  x II  2 3   

M LN  

σc x II



σs

 σs 

d  x II

M LN 

σc 

3

x II

σc

nA s d  x II 

2

2

100x II

d  x II

σc 

x II

M LN

 100x II3 2  nA s d  x II     3 

 100x II3 2 σ  nA s d  x II   c σc    3  x II

x II 

M LN I II

x II

3

I II 

100x II 3

 nA s d  x II 

2

(3.19)

3.5.2 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções Normalmente o valor da flecha imediata para estas lajes é obtido usando-se tabelas para cálculo de flechas em lajes retangulares, baseadas em Bares (1972). Tepedino (1980), por meio de regressão polinomial, ajustou para a flecha imediata f i, a seguinte expressão:

3.18

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ f i  f 1

pia4 E cs .h 3

(3.20a)

Onde pi é o mesmo usado na equação (3.17).

3

2

 b   b   b  K 1    K 2    K 3    K 4  a   a   a  f 1  1000

(3.20b)

Com K1, K2, K3 e K4 fornecidos na tabela 3.2 abaixo, não se adotando para o cálculo valores de (b/a) fora do intervalo 0,5 ≤ (b/a) ≤2. Com os valores de K1 a K4 tabelados abaixo, organizou-se a tabela 3.9, mostrada adiante, para o cálculo de flechas nos seis tipos de lajes retangulares da figura 3.3. Nesta tabela, a partir do tipo de laje e da relação (b/a), extrai-se o coeficiente f 1 que permite o cálculo da flecha com o emprego da equação (3.20a). A discussão sobre rigidez equivalente, feita anteriormente, é mais acentuada nas lajes armadas em cruz, tendo em vista que para as lajes armadas em uma direção, o modelo estrutural aproxima-se mais do comportamento das vigas, onde se aplica efetivamente a formulação de Branson (1966), equação (3.18b). Para efeito desta apostila, quando o momento em serviço for menor que o de fissuração, ou seja, estádio I, deve-se adotar para a rigidez equivalente a mesma dada pela equação (3.18a). Quando ocorrer o estádio II, mesmo com toda esta discussão sobre a validade da rigidez equivalente de Branson (1966) para lajes armadas em cruz, deve-se seguir a recomendação da NBR 6118:2014, ou seja, adotar Branson (1966) também para verificação de flechas nestas lajes.

3.19


Tabela 3.2 – Valores dos coeficientes para cálculo das flechas (Tepedino) LAJE

K1

K2

K3

K4

A

0,4

-29,6

156,8

-79,8

B

-1,0

-16,0

79,3

-29,9

C

14,4

-84,3

182,1

-87,9

D

7,2

-42,1

83,8

-26,6

E

1,9

-21,2

60,9

-23,3

F

2,0

23,0

69,2

-33,3

Assim para lajes armadas em duas direções tem-se as mesmas equações (3.18a)* e (3.18b)* definidas anteriormente:

Estádio I -

Estádio II -

EI eq,t0  Ecs I c

EI eq,t0

 M  3   M  3    E cs  r  I c  1   r  I II   E cs I c   M a     M a 

3.20

(3.18a)*

(3.18b)*


A equação (3.19) que calcula a flecha em lajes retangulares, apresenta o valor do produto Ecs.h3 e não a rigidez à flexão E . Portanto para levar em conta a rigidez equivalente, conforme equações (3.18a) e (3.18b), basta usar o próprio valor de

h da laje no estádio I e para o estádio II o valor da altura equivalente heq em substituição a h, dada por:

h eq  3

Com

eq

12I eq

(cm)

100

(3.21)

obtido de (3.18b) e os valores de h e

dados em cm.

3.5.3 – Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118:2014, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pelo produto (f dif =

f f i)

da flecha imediata f i pelo fator

f

dado

pela expressão:

α f 

Δξ 1  50ρ '

(3.22)

onde: ρ' 

A 's b.d

(3.23)

é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 3.3, ou ser calculado pelas expressões seguintes:

Δξ  ξ(t)  ξ(t 0 )

(3.24)

ξ(t)  0,680,996 t 0,32 t

para t ≤ 70 meses 3.21

(3.25)


para t > 70 meses

ξ(t)  2

(3.26)

t é o tempo em meses em que se deseja o valor da flecha diferida

Onde

t0 é a idade em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso das parcelas das cargas de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t0 o valor ponderado a seguir:

t0 

 Pi t 0i  Pi

(3.27)

Onde Pi representa a parcela de carga “i” e t0i é a idade em que se aplicou esta parcela, em meses.

Tabela 3.3 – Valores do coeficiente em função do tempo Tempo (t) - mesesCoeficiente (t)

0

0,5

1

2

3

4

5

10

20

40

70

0

0,54

0,68

0,84

0,95

1,04

1,12

1,36

1,64

1,89

2

O valor da flecha total no tempo t é a soma da flecha imediata f i mais a parcela adicional diferida (f dif =

f . f i)

resultando f tot = f i + α f f i = (1 + αf ) f i. Assim para situ-

ações normais em que se deseja a flecha no tempo infinito, para cargas aplicadas a partir dos 14 dias, aproximadamente t0 = 0,5 mês, com ’ = 0 (não se tem armadura dupla em lajes), obtém-se para

f =

f o

seguinte valor:

( ) - (0,5) = 2 – 0,54 = 1,46

Portanto, a flecha total será dada por: 3.22

(3.28)


f total = (1 +

f ) f i =

2,46 f i

(3.29)

Na expressão (3.29) f i se refere à carga de serviço pi = g +

2.q (parcela

permanente mais a parcela quase permanente da carga acidental da laje), ou seja, as parcelas afetadas pela fluência do concreto. Portanto, pode -se obter a flecha total no tempo infinito f usando-se a mesma equação (3.20a) da flecha imediata, substituindo o valor da carga pi por p , da seguinte forma:

f   1  α f f i  f 1

pa4 E cs h

3

(3.30)

Com

p = (1 + f ) pi = (1 + αf ) (g + Para o valor (1 +

f )

2

. q)

(3.31)

= 2,46 e considerando-se edifícios residenciais 2 = 0,3,

obtém-se:

p = 2,46 (g + 0,3 q) = 2,46 g + 0,738 q

(3.32)

3.6 – Prescrições da NBR 6118:2014 referentes às lajes 3.6.1 – Espessura mínima das lajes maciças Segundo o item 13.2.4.1 da NBR-6118:2014, “nas lajes maciças devem ser res peitados os seguintes limites mínimos para a espessura h :

a) 7 c m para lajes de forro não em balanço; b) 8 c m para lajes de piso não em balanço; c) 10 cm para lajes em balanço; 3.23


d) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 KN; e) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 KN; f) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, (l/42) para lajes de piso bia poiadas e (l/50) para lajes de piso contínuas; g) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. No dimensionamento das lajes em balanço, os esforços solicitantes de cálculo a serem considerados devem ser multiplicados por um coeficiente adicional γn de acordo com o indicado na tabela 13.2.”

Tabela 3.4 – Valores do coeficiente adicional γn para lajes em balanço Tabela 13.2 da NBR 6118:2014 h (cm) γn

≥19

18

17

16

15

14

13

12

11

10

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

onde γn =

1,95 – 0,05 h ;

h é a ltura da laje, expressa em centímetros (cm). NOTA O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo na lajes em balanço quando de seu dimensionamento.

Segundo o item 14.7.8 da NBR 6118:2014 lajes-cogumelo são lajes apoiadas diretamente em pilares com capitéis, enquanto lajes lisas são as apoiadas nos pilares sem capitéis. Capitel é o engrossamento da espessura da laje na região dos pilares efetivando melhorar sua resistência à punção.

3.6.2 – Deslocamentos limites Segundo o item 13.3 da NBR-6118:2014, deslocamentos limites são valores práticos para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura. Esses valores devem obedecer aos limites estabelecidos na tabela 13.3 da NBR-6118:2014. Para o caso das lajes, a flecha máxima em serviço quando atu3.24


ar a totalidade das cargas deve ser ( / 250 ), onde

é o menor vão da laje retangu-

lar. Quando atuar apenas a carga acidental esse limite deve ser considerado igual a ( / 350 ). Para lajes em balanço o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço, portanto a flecha na extremidade de um balanço com vão (

) deve ser menor que ( /125) quando atuar a carga total.

Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por con-

traflechas, entretanto a sua atuação isolada não pode ocasionar um desvio do plano da laje maior que ( / 350).

3.6.3 – Cobrimento nominal mínimo Segundo o item 7.4.7.2 da NBR-6118:2014, cobrimento nominal cnom é o cobrimento mínimo cmin acrescido da tolerância de execução

c, que para obras cor-

rentes deve ser maior ou igual a 10 mm. Quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode ser adotado o valor

c = 5 mm, mas a exigência de controle rigoroso

deve ser explicitada nos desenhos de projeto. Nesse caso permite-se, então, a redução dos cobrimentos nominais dados na tabela 2.8 em 5 mm.

Nesta tabela os cobrimentos nominais para as lajes variam de 5 mm em 5 mm, desde a classe de agressividade CAA I até a classe CAA IV. Segundo a tabela 7.2 da NBR 6118:2014, transcrita na tabela 2.8 desta apostila “para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento tais como pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela podem ser substituídas por 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal ≥ 15 mm.” O item 7.4.7.5 da NBR 6118:2014 estabelece que o cobrimento nominal de uma barra deva sempre ser maior que o diâmetro da barra (cnom 3.25

barra).


3.6.4 – Vãos efetivos de lajes Segundo o item 14.7.2.2 da NBR-6118:2014, quando os apoios puderem ser considerados suficientemente rígidos quanto à translação vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão:

ef = 0 +

a1 + a2

(3.33)

Onde:  

0 é

o vão livre, ou seja, distância entre as faces dos apoios;

a1 e a2 são em cada extremidade do vão o menor entre os valores: 0,3h e t /2 i , com h a espessura da laje e ti a largura do apoio i.

3.6.5 – Aproximações para diagramas de momento fletor Este é o item 14.7.6.2 da NBR-6118:2014, que trata da compensação de

negativos entre lajes contíguas. “Quando houver predominância de cargas permanentes, as lajes vizinhas podem ser consideradas como isoladas, realizando-se compatibilização dos momentos sobre os apoios de forma aproximada. No caso de análise plástica, a compatibilização pode ser realizada mediante alteração das razões entre momentos de borda e vão, em procedimento iterativo, até a obtenção de valores equilibrados nas bordas. Permite-se, simplificadamente, a adoção do maior valor de momento negativo ao invés de equilibrar os momentos de lajes diferentes sobre uma borda comum.”

3.26


Figura 3.6 – Compensação de momentos negativos – Regime elástico Na figura 3.6 está indicado esquematicamente o diagrama de momentos flet ores de duas lajes contíguas calculadas isoladamente no regime elástico e representado pelo diagrama tracejado. Os valores máximos dos momentos fletores sobre o apoio central são respectivamente XL1 e XL2 para as lajes L1 e L2. Depois da compensação dos negativos o diagrama final em linha cheia apresenta sobre o apoio central o valor (XFinal compensado) dado pelo maior entre os valores:

XFinal ≥ 0,8 Xmax

ou

XFinal ≥ Xmed = (XL1 + XL2) /2

(3.34)

No caso das lajes no regime rígido-plástico o procedimento iterativo para a obtenção dos valores equilibrados nos engastes por ser muito trabalhoso, normalmente é simplificado pela adoção do maior entre os momentos negativos das lajes que chegam ao mesmo apoio (conforme recomendado na NBR 6118:2014).

3.27


Na figura 3.6 o momento negativo final compensado é menor que o momento negativo da laje L1 e maior que o da laje L2. No primeiro caso o diagrama final de momentos positivos da L1 apresenta momento máximo maior que o diagrama da laje isolada e no segundo caso ocorre exatamente o contrário. Desta forma deve-se aumentar o momento positivo da laje L1 isolada da diferença ∆ML1 e diminuir o da laje

L2 em ∆ML2. Na compensação dos momentos das lajes no regime elástico costuma-se apenas aplicar a diferença ∆MLi no caso do aumento do momento positivo. A diminuição não se aplicaria, como medida adicional de segurança. A diferença ∆MLi é dada genericamente pelo valor aproximado e usual: ∆MLi = 0,3 ∆XLi.

3.6.6 – Armadura longitudinal mínima Os princípios básicos para o estabelecimento da armadura mínima para lajes são os mesmos dados para elementos estruturais lineares, item 17.3.5.1 da NBR-

6118:2014. Como as lajes armadas em duas direções têm outros mecanismos resistentes possíveis, os valores mínimos das armaduras positivas são reduzidos em relação aos dados para elementos lineares (vigas).

Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão, assim como controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura passiva, dados na tabela 3.5. Essa armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

Nota-se na tabela 3.5 que os valores das taxas geométricas ρs para momentos negativos das lajes em geral e do momento positivo apenas das lajes armadas em uma direção obedecem aos mesmos valores mínimos ρmin que os praticados nas vigas. Já para os momentos positivos das lajes armadas em duas di reções e para os momentos negativos de bordas sem continuidade este valor é reduzido em (2/3)=0,67. Nas lajes armadas em duas direções isto se deve ao seu funcionamento, ou seja, quando uma direção sofre flexão a outra solidariamente sofre torção, contri3.28


buindo assim para um maior enrijecimento desta laje e diminuição dos momentos fletores nas duas direções.

Tabela 3.5 – Valores mínimos para armadura passivas em lajes Adaptada da tabela 19.1 da NBR 6118:2014 Elementos estruturais sem armaduras ati-

Tipo de armadura

vas

Armaduras negativas

ρs ≥ ρmin

Armaduras negativas de bordas

ρs ≥ 0,67 ρmin

sem continuidade Armaduras positivas de lajes

ρs ≥ 0,67 ρ min

armadas em duas direções Armadura positiva (principal) de

ρs ≥ ρmin

lajes armadas em uma direção Armadura positiva (secundária)

As,sec 0,20 As,princ

de lajes armadas em uma dire-

As,sec 0,9 cm2 /m

ção

s

0,5

min

Onde: ρs 

As bh

As



100h

(3.35)

é a taxa geométrica de armadura da seção transversal genérica das lajes ( 100xh). Os valores de

min estão

apresentados na tabela 2.6 (armadura mínima para vigas)

observando-se a relação (d/h) da laje considerada.

Os valores de ρmin da tabela 2.6 foram calculados para aços CA 50 e CA 60 (normalmente usado no dimensionamento das lajes) pressupondo coeficientes de minoração dos materiais

c =

1,4 e

s =

1,15. Caso haja mudança em um dos parâ3.29


metros que definem a tabela 2.6 ou que a relação (d/h) seja menor que 0,7 devemse fazer novos cálculos dos valores de ρmin usando-se a equação (2.53c). O valor mínimo possível de ρs = ρmin = 0,15% também é válido para as lajes, lembrando-se que no caso dos momentos positivos daquelas armadas em duas direções pode-se reduzir este valor conforme a tabela 3.5 para ρs = 0,67 ρmin = 0,67 x

0,15% = 0,10%. 3.6.7 – Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes As prescrições gerais sobre o detalhamento de lajes encontram-se no item 20.1 da NBR 6118:2014:

“As armaduras devem ser detalhadas no projeto de forma que, durante a execução, seja garantido o seu posicionamento durante a concretagem.

Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h /8 .

As barras da armadura principal de flexão devem apresentar espaçamento no má ximo igual a 2h ou 20 cm , prevalecendo o menor desses dois valores na região dos maiores momentos fletores.

Nas lajes maciças armadas em uma ou duas direções, em que seja dispensada armadura transversal de acordo com 19.4.1, e quando não houver avaliação explícita dos acréscimos das armaduras decorrentes da presença dos momentos volventes nas lajes, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios, não se permitindo escalonamento desta armadura. A armadura deve ser prolongada no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio.

A armadura secundária de flexão deve ser igual ou superior a 20 % da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm .

3.30


A emenda dessas barras deve respeitar os mesmos critérios de emenda das barras da armadura principal” (gri fo nosso).

3.6.8 – Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR-6120:1980) Esta norma tem como objetivo fixar as condições para determinar os valores das cargas que atuam nos projetos de estruturas de edificações. Esta norma que vale desde 1980 teve uma errata publicada em 2000.

A carga permanente, que é devida ao peso próprio da estrutura e de todos os elementos construtivos fixos, pode ser avaliada com os valores dos pesos específicos da tabela 1 da NBR 6120:1980, transcrita para a tabela 3.6 desta apostila. O item 2.1.2 da NBR 6120:1980 descreve uma forma simplificada de se considerar as cargas das paredes apoiadas diretamente sobre as lajes armadas em duas direções:

“ Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no pro jeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal de ca rga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, além dos demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o valor mínimo de 1 KN/m2 .”

Para as lajes armada em uma direção com parede paralela a esta direção, basta considerar na largura unitária onde a parede se apoia o peso por metro linear desta parede somado às demais cargas da laje. Se a parede é normal à direção principal da laje deve-se considerá-la no cálculo como uma carga concentrada igual ao seu peso por metro.

As cargas acidentais verticais que atuam nos pisos das edificações referemse a carregamentos devidos a pessoas, móveis, utensílios e veículos são supostas

3.31


uniformemente distribuídas, com os valores mínimos indicados na tabela 3.6 abaixo, transcritos da tabela 2 da NBR 6120:1980.

Tabela 3.6 – Peso específico de alguns materiais de construção Peso específico aparente KN/m3

Materiais

Rochas

Blocos artificiais

Revestimentos e concretos

Madeiras

Metais

Arenito

26

Basalto

30

Gneiss

30

Granito

28

Mármore e calcáreo

28

Blocos de argamassa

22

Cimento amianto

20

Lajotas cerâmicas

18

Tijolos furados

13

Tijolos maciços

18

Tijolos sílico-calcáreos

20

Argamassa de cimento, cal e areia

19

Argamassa de cimento e areia

21

Argamassa de gesso

12,5

Concreto simples

24

Concreto armado

25

Pinho, cedro

5

Angico, cabriúva, ipê róseo

10

Aço

78,5

Alumínio e ligas

28

Bronze

85

Chumbo

114

3.32

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ Tabela 3.7 – Valores mínimos de carga vertical Carga

Local 1-

2

KN/m

Arquibanca-

4

das 2- Balcões

Mesma carga da peça com a qual se comunica e as previstas para parapeitos e balcões (ver adiante) Escritórios e banheiros

3- Bancos

2

Salas de diretoria e de gerência

1,5

Sala de leitura

2,5

Sala para depósito de livros 4- Bibliotecas

-

4

Sala com estantes de livro, a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2 por metro de altura observado, porém o valor

6

mínimo de 5- Casa de ma-

(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em caso,

quinas

porém com o valor mínimo de

6- Cinemas

7- Clubes

Platéia com assentos fixos

3

Estúdio e platéia com assentos móveis

4

Banheiro

2

Sala de refeição e assembléia com assentos fixos

3

Sala de assembléia com assentos móveis

4

Salão de danças e salão de esportes

5

Sala de bilhar e banheiro

8- Corredores

7,5

2

Com acesso ao público

3

Sem acesso ao público

2

9- Cozinhas não A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

residenciais 10- Depósitos

A ser determinada em cada caso e na falta de valores experi-

-

mentais conforme a tabela 1 da NBR-6120

11- Edifícios re-

Dormitório, sala, copa, cozinha e banheiro

sidenciais

Despensa, área de serviço e lavanderia

3.33

1,5 2


12- Escadas


3


2,5

Anfiteatro com assentos fixos, corredor e sala de aula

3

Outras salas

2

14- Escritório

Salas de uso geral e banheiro

2

15- Forros

Sem acesso a pessoas

16- Galerias de

A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de

3

13- Escolas

0,5

arte 17- Galeria de lojas 18- Garagens e

Para veículos de passageiros ou semelhante com carga má-

estacionamento

xima de 25 kN. Valores de  indicados adiante

19- Ginásio de

3 5

esporte Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, saal de cirurg i20- Hospitais

a, sala de raio X e banheiro

2

Corredor

3

Incluindo equipamentos, a ser determinada em cada caso, 21- Laboratórios 22- Lavanderias

porém com o mínimo de

3

Incluindo equipamentos

3

23- Lojas

4

24- Restaurantes

3

25- Teatros

Palco

5

Demais dependências: cargas iguais às especificadas para

-

cinemas

26- Terraços


3


2

Inacessível a pessoas

0,5

Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo órgão competente do Ministério da Aeronáutica

27- Vestíbulo

-


1,5


3

3.34


Os itens abaixo da NBR 6120:1980 referem-se também às cargas sobre as lajes:

“ 2 .2.1.5 Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma

carga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m.

2.2.1.6 O valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem consi-

deradas no projeto de garagens e estacionamentos para veículos deve ser determinado do seguinte modo: sendo sendo

0 =

o vão de uma viga ou o vão menor de uma laje;

3 m para o caso das lajes e

0 =

5 m para o caso das vigas, tem-se:

a) ϕ = 1 , 0 0 ....................................quando

≥

b) ϕ = ( 0 / ) ≤ 1,43 ......................... quando

≤ 0.

0

Nota: O valor de ϕ não precisa ser considerado no cálculo das paredes e pilares.”

3.7 – Tabelas para cálculo de reações de apoio e momentos fletores A tabela 3.8 mostra os coeficientes para cálculo das reações de apoio, conforme a recomendação da NBR 6118:2014, figura 3.4. As reações em cada um dos quatro lados são calculadas multiplicando-se sempre o produto ( pa) pelo coeficiente tabelado para o tipo de laje e de relação (b/a): Ri = r i (pa). A representação das reações e a sua localização em planta estão indicadas, para uma laje genérica do tipo C, na figura 3.7.

Os coeficientes para cálculo dos momentos fletores no regime rígido-plástico estão indicados na tabela 3.9. Nota-se que só aparecem os coeficientes ma e mb. Ao dividir o produto (pa2) para estes coeficientes obtém-se os momentos positivos na direção a e b, respectivamente. Caso a laje seja engastada, o momento negativo será obtido multiplicando-se o momento positivo nesta direção por 1,5. Assim: Mi =

(pa2) / mi e, se existir, Xi = 1,5 Mi. 3.35


Figura 3.7 – Representação genérica das reações e momentos nas lajes A forma de se mostrar em planta os momentos fletores e as direções em que os mesmos ocorrem está mostrada na figura 3.7 em que a linha contínua representa momento positivo (tração na parte inferior da laje) e a tracejada, momento negativo (tração na parte superior da laje). As direções indicadas em planta dos momentos são na realidade a disposição das armaduras para combatê-los. As ar maduras estão

3.36


dispostas nas direções dos planos de atuação dos momentos, portanto perpendiculares aos vetores momento que as originaram. O cálculo da flecha elástica f = f 1 (p.a4) / (Ecs h3) depende do coeficiente f 1 dado na Tabela 3.10. Os momentos no regime elástico são calculados com os coeficientes mi e ni da tabela 3.11, com Mi = (pa2) / mi e Xi = (pa2) / ni. As tabelas 3.8 a 3.11 foram construídas para lajes retangulares armadas em duas direções submetidas a uma carga constante, uniformemente distribuída. Já as tabelas 3.12 A e 3.12 B são utilizadas em lajes retangulares submetidas à carregamento triangular, como é o caso de lajes verticais em caixas d’água ou em conte nções (cortinas).

3.37


Tabela 3.8 – Reações de apoio em lajes retangulares, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

r’a=0,183 r’’a=0,317

r a=0,25

r a=0,144

b/a

r b

r a

r’b

r’’b

r’b

r’’b

r b

r’a

r’’a

r b

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

0,250 0,262 0,273 0,283 0,292 0,300 0,308 0,315 0,321 0,328 0,333 0,339 0,344 0,348 0,353 0,357 0,361 0,365 0,368 0,372 0,375

0,165 0,172 0,177 0,181 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183 0,183

0,125 0,138 0,150 0,163 0,175 0,187 0,199 0,208 0,217 0,225 0,232 0,238 0,244 0,250 0,254 0,259 0,263 0,267 0,270 0,274 0,277 0,280 0,282 0,285 0,287 0,289 0,292 0,294 0,296 0,297 0,299

0,217 0,238 0,260 0,281 0,302 0,325 0,344 0,361 0,376 0,390 0,402 0,413 0,423 0,432 0,441 0,448 0,455 0,462 0,468 0,474 0,479 0,484 0,489 0,493 0,497 0,501 0,505 0,509 0,512 0,515 0,518

0,183 0,192 0,200 0,207 0,214 0,220 0,225 0,230 0,235 0,240 0,244 0,248 0,252 0,255 0,258 0,261 0,264 0,267 0,270 0,272 0,275

0,317 0,332 0,346 0,358 0,370 0,380 0,390 0,399 0,408 0,415 0,423 0,429 0,436 0,442 0,448 0,453 0,458 0,463 0,467 0,471 0,475

0,217 0,238 0,259 0,278 0,294 0,308 0,320 0,330 0,340 0,348 0,356 0,363 0,369 0,374 0,380 0,385 0,389 0,393 0,397 0,400 0,404 0,407 0,410 0,413 0,415 0,418 0,420 0,422 0,424 0,426 0,428

0,125 0,131 0,136 0,140 0,143 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144 0,144

0,217 0,227 0,236 0,242 0,247 0,249 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250 0,250

0,158 0,174 0,190 0,206 0,222 0,238 0,254 0,268 0,281 0,292 0,303 0,312 0,321 0,329 0,336 0,342 0,348 0,354 0,359 0,364 0,369 0,373 0,377 0,381 0,384 0,387 0,390 0,393 0,396 0,399 0,401

O valor da reação é dado por: R = r (pa) a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.38


Tabela 3.9 – Momentos fletores, regime rígido-plástico, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

ma

mb

ma

mb

ma

mb

ma

mb

ma

mb

ma

mb

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

24,0 21,8 20,1 18,6 17,4 16,4 15,5 14,8 14,2 13,6 13,1 12,7 12,4 12,0 11,7 11,5 11,2 11,0 10,8 10,7 10,5

-24,0 24,1 24,3 24,6 25,1 25,6 26,3 27,0 27,8 28,6 29,6 30,6 31,6 32,7 33,9 35,1 36,4 37,7 39,1 40,5 42,0

122,1 92,2 72,6 59,2 49,7 42,7 37,6 33,6 30,5 28,1 26,1 24,5 23,2 22,1 21,2 20,4 19,8 19,2 18,7 18,2 17,8 17,5 17,2 16,9 16,7 16,5 16,3 16,1 15,9 15,8 15,6

50,9 46,5 43,6 41,7 40,6 40,1 40,1 40,5 41,2 42,3 43,6 45,1 46,8 48,8 50,9 53,2 55,6 58,2 61,0 63,9 66,9 70,1 73,4 76,8 80,3 84,0 87,8 91,7 95,8 99,9 104,

40,0 36,4 33,5 31,0 29,0 27,3 25,9 24,7 23,6 22,7 21,9 21,2 20,6 20,0 19,5 19,1 18,7 18,4 18,0 17,8 17,5

40,0 40,1 40,5 41,0 41,8 42,7 43,8 44,9 46,3 47,7 49,3 50,9 52,7 54,5 56,5 58,5 60,6 62,9 65,2 67,5 70,0

103,2 81,4 66,9 56,9 49,7 44,3 40,3 37,2 34,8 32,8 31,2 29,9 28,8 27,9 27,1 26,4 25,9 25,4 24,9 24,5 24,2 23,9 23,6 23,4 23,2 23,0 22,8 22,6 22,5 22,3 22,2

64,5 61,6 60,2 60,1 60,8 62,3 64,5 67,2 70,4 74,0 78,0 82,4 87,1 92,2 97,6 103, 109, 115, 122, 128, 136, 143, 151, 159, 167, 175, 184, 193, 202, 212, 222,

215,6 161,2 125,6 101,4 84,2 71,8 62,5 55,5 50,0 45,7 42,2 39,4 37,1 35,2 33,5 32,2 31,0 30,0 29,1 28,4 27,7 27,1 26,6 26,1 25,7 25,3 25,0 24,7 24,4 24,1 23,9

80,8 73,2 67,8 64,2 61,9 60,6 60,0 60,1 60,8 61,8 63,3 65,2 67,3 69,8 72,5 75,4 78,6 82,0 85,6 89,4 93,4 97,6 102, 106, 111, 116, 121, 126, 132, 137, 143,

60,0 54,6 50,2 46,6 43,5 41,0 38,8 37,0 35,4 34,0 32,8 31,8 30,9 30,0 29,3 28,7 28,1 27,6 27,1 26,6 26,3

60,0 60,2 60,7 61,6 62,7 64,4 65,6 67,4 69,4 71,6 73,9 76,4 79,0 81,8 84,7 87,8 91,0 94,3 97,7 101, 105,

O valor do momento fletor positivo é dado por: M = (pa )/m O momento fletor negativo na direção a ou b, se tiver, será dado por: Xi = 1,5 Mi a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.39


Tabela 3.10 – Flecha elástica em lajes retangulares, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

f 1

f 1

f 1

f 1

f 1

f 1

0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55 1,60 1,65 1,70 1,75 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00

0,048 0,053 0,057 0,062 0,066 0,071 0,075 0,079 0,083 0,087 0,090 0,094 0,097 0,100 0,103 0,106 0,109 0,112 0,114 0,116 0,119

0,0068 0,0090 0,011 0,014 0,017 0,020 0,022 0,025 0,028 0,030 0,033 0,035 0,037 0,039 0,041 0,043 0,044 0,046 0,047 0,049 0,050 0,051 0,052 0,053 0,053 0,054 0,055 0,056 0,056 0,057 0,058

0,025 0,027 0,029 0,032 0,034 0,036 0,038 0,040 0,041 0,043 0,045 0,046 0,047 0,048 0,049 0,050 0,050 0,051 0,052 0,054 0,055

0,0062 0,0080 0,0098 0,012 0,014 0,015 0,017 0,019 0,020 0,021 0,023 0,024 0,024 0,025 0,026 0,027 0,027 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030 0,030

0,0033 0,0045 0,0058 0,0073 0,0090 0,011 0,012 0,014 0,015 0,017 0,018 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,025 0,026 0,026 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0029

0,015 0,016 0,018 0,019 0,020 0,021 0,022 0,023 0,024 0,025 0,026 0,027 0,027 0,027 0,028 0,028 0,028 0,029 0,029 0,029 0,029

4

3

O valor da flecha é dada por: f = f 1 (p.a ) / (Ecs h ) a é o v ão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direções, a é o menor vão.

3.40

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ Tabela 3.11 A – Momentos fletores, regime elástico, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

ma

mb

ma

mb

na

ma

mb

na

nb

0,50

-

-

119,0

44,1

32,8

-

-

-

-

0,55

-

-

91,7

40,0

27,6

-

-

-

-

0,60

-

-

74,1

37,2

23,8

-

-

-

-

0,65

-

-

61,7

35,3

20,9

-

-

-

-

0,70

-

-

52,1

34,1

18,6

-

-

-

-

0,75

-

-

45,2

33,4

16,8

-

-

-

-

0,80

-

-

40,2

33,1

15,4

-

-

-

-

0,85

-

-

36,1

33,2

14,2

-

-

-

-

0,90

-

-

32,9

33,5

13,3

-

-

-

-

0,95

-

-

30,3

33,9

12,5

-

-

-

-

1,00

23,6

23,6

28,2

34,4

11,9

37,2

37,2

14,3

14,3

1,10

20,0

23,6

25,1

36,2

10,9

31,3

37,4

12,7

13,6

1,20

17,4

23,7

22,8

38,6

10,2

27,4

38,2

11,5

13,1

1,30

15,5

24,2

21,2

41,4

9,7

24,6

40,0

10,7

12,8

1,40

14,1

25,0

20,0

44,4

9,3

22,6

41,8

10,1

12,6

1,50

13,0

25,7

19,1

47,3

9,0

21,1

44,4

9,6

12,4

1,60

12,1

26,8

18,4

51,4

8,8

20,0

48,2

9,2

12,3

1,70

11,4

27,9

17,8

55,8

8,6

19,2

52,4

9,0

12,3

1,80

10,9

28,8

17,4

59,4

8,4

18,5

56,1

8,7

12,2

1,90

10,5

30,4

17,1

63,0

8,3

18,0

60,2

8,6

12,2

2,00

10,1

31,6

16,8

67,6

8,2

17,5

62,5

8,4

12,2

2

2

O valor do momento positivo é dado por: M = pa /m e do negativo por X = pa /n a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direç ões, a é o menor vão.

3.41

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ Tabela 3.11 B – Momentos fletores, regime elástico, carga uniforme (Tepedino)

Tipo

b/a

ma

mb

na

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

nb

0,50 113,6

47,9

33,7

222,2

72,7

49,3

35,2

-

-

-

-

0,55

88,5

44,8

28,6

161,3

64,3

40,5

30,7

-

-

-

-

0,60

73,0

42,9

25,0

123,5

58,4

34,4

27,2

-

-

-

-

0,65

60,2

42,0

22,2

99,0

54,3

29,8

24,6

-

-

-

-

0,70

53,5

41,7

20,1

82,0

51,3

26,2

22,5

-

-

-

0,75

47,2

42,0

18,5

69,0

49,5

23,4

21,0

-

-

-

-

0,80

42,9

43,0

17,3

59,2

48,4

21,2

19,7

-

-

-

-

0,85

39,4

44,2

16,3

52,4

47,9

19,5

19,2

-

-

-

-

0,90

36,5

45,7

15,5

47,4

48,0

18,1

18,7

-

-

-

-

0,95

34,2

47,8

14,8

43,1

48,6

17,1

18,4

-

-

-

-

1,00

32,4

49,8

14,3

39,7

49,5

16,2

18,3

49,5

49,5

19,4

19,4

1,10

29,9

54,7

13,5

34,8

52,3

14,8

17,7

41,3

50,4

17,1

18,4

1,20

28,0

61,5

13,0

31,6

56,5

13,9

17,4

34,8

53,0

15,6

17,9

1,30

26,7

67,2

12,6

29,4

61,6

13,2

17,4

32,7

56,4

14,5

17,6

1,40

25,8

75,0

12,3

27,9

68,0

12,8

17,4

30,1

60,7

13,7

17,5

1,50

25,3

83,9

12,3

26,7

74,1

12,5

17,5

28,3

67,3

13,2

17,5

1,60

24,8

93,0

12,1

25,9

81,4

12,3

17,7

27,1

73,7

12,8

17,5

1,70

24,4

101,8

12,0

25,3

88,7

12,1

17,9

26,1

82,4

12,5

17,5

1,80

24,2

110,2

12,0

24,9

99,6

12,0

18,0

25,5

88,2

12,3

17,5

1,90

24,0

120,4

12,0

24,5

106,5

12,0

18,0

25,1

98,9

12,1

17,5

2,00

24,0

131,6

12,0

24,3

113,6

12,0

18,0

24,7

104,2

12,0

17,5

2

2

O valor do momento positivo é dado por: M = pa /m e do negativo por X = pa /n a é o vão com o maior número de engaste. Caso o número de engaste seja o mesmo nas duas direç ões, a é o menor vão.

3.42


Tabela 3.12 A - Momentos fletores em lajes com carga triangular (Bares)

Tipo

b/a

ma

mb

ma

mb

nb

ma

mb

nb

ma

mb

nbi

nbs

ma

mb

na

0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

62,5

19,5

109

35,6

15,3

78,1

25,4

17,9

147

46,9

19,5

29,8

55,6

16,3

22,6

54,6

22,1

94,3

37,7

15,9

75,2

27,3

18,8

128

48,1

19,8

30,0

51,5

17,8

28,4

50,0

25,6

86,2

41,2

16,8

69,0

30,1

20,4

114

50,2

20,3

30,9

50,5

19,2

36,0

47,8

29,9

81,3

45,7

17,8

64,5

33,6

22,4

105

53,5

21,2

32,4

52,9

21,1

44,2

46,7

35,0

78,1

51,5

19,1

61,3

37,5

24,9

101

57,5

21,9

34,4

56,5

23,6

53,8

47,2

41,5

74,6

58,1

20,2

58,8

42,4

28,4

99,0

62,5

23,1

37,5

61,7

26,7

66,2

36,9

39,5

59,5

54,3

18,4

46,9

39,5

26,7

74,6

55,9

20,2

34,0

55,2

24,9

64,9

34,5

37,9

48,8

51,0

16,9

39,2

37,3

25,3

59,9

51,5

18,2

31,7

50,8

23,5

64,1

30,5

37,0

41,7

48,5

15,7

33,8

35,8

24,6

49,5

48,5

16,5

30,2

47,6

22,4

65,8

27,5

36,2

36,4

46,7

14,7

29,7

35,0

24,3

41,8

46,5

15,1

29,5

44,8

21,4

68,0

25,2

35,6

32,5

45,2

13,9

26,7

34,1

24,0

36,8

45,2

14,2

28,5

43,1

20,7

69,4

23,4

34,8

25,6

44,4

13,2

24,4

33,7

24,0

33,0

44,8

13,6

27,7

41,7

19,8

70,9

21,8

35,3

26,9

44,4

12,9

22,4

34,0

24,5

29,7

45,0

13,2

27,5

40,5

19,1

75,2

20,6

35,1

25,1

43,5

12,4

21,1

33,6

24,7

27,3

44,1

12,6

26,8

39,8

18,5

76,9

19,6

35,2

23,6

42,6

12,1

19,9

33,8

25,2

25,3

43,3

12,2

26,7

39,4

18,0

81,3

18,7

36,0

22,3

43,1

11,9

18,8

34,7

26,6

23,6

43,9

11,9

26,9

38,8

17,5

89,3

2

2

O valor do momento positivo é dado por: Mi = p /mi e do negativo por Xi = p /ni é o menor vão entre a (direção horizontal) e b (direção vertical). Tabela baseada em Bares (1972), apud Pinheiro (2007) e adaptada pelo autor.

3.43


Tabela 3.12 B - Momentos fletores em lajes com carga triangular (Bares)

b/a 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

nb

ma

mb

na

nbi

nbs

104

38,6

27,8

16,3

86,2

27,6

21,6

19,5

125

48,3

34,2

20,2

31,0

112

44,1

27,9

17,7

76,3

31,9

21,8

22,1

128

52,4

33,7

21,1

32,5

86,2

52,1

28,8

19,8

68,0

37,5

22,4

26,2

122

58,8

33,6

22,5

36,0

80,0

63,7

30,5

22,5

64,1

44,1

23,9

31,9

109

65,4

34,4

24,5

40,8

81,3

75,2

32,7

25,7

64,9

53,2

26,0

39,2

99,0

74,6

35,0

27,0

47,4

84,0

90,1

35,1

29,4

67,1

64,5

27,7

48,8

97,1

87,7

37,0

30,3

56,8

72,5

87,0

31,2

27,8

58,5

62,5

25,7

51,8

80,0

83,3

32,4

28,1

57,1

64,9

86,2

28,5

26,5

52,9

62,9

23,9

53,8

70,4

82,0

29,2

26,6

57,8

59,9

85,5

26,5

25,4

48,8

63,7

22,4

56,8

63,3

82,0

26,7

25,5

59,9

55,9

84,0

24,7

24,7

45,7

64,5

21,1

61,3

57,5

83,3

24,7

24,8

62,9

52,6

82,6

23,4

23,9

43,5

64,5

20,1

64,9

53,2

82,0

23,4

23,9

65,4

49,5

81,3

22,4

23,4

41,7

64,5

19,3

69,9

49,8

81,3

22,3

23,4

69,0

46,9

81,3

21,6

23,1

40,2

65,3

18,6

75,2

46,9

81,3

21,5

23,1

74,1

44,8

79,4

21,1

22,5

39,5

65,8

18,0

76,9

45,2

79,4

21,0

22,5

76,9

42,9

79,4

20,6

22,2

38,8

69,4

17,5

81,3

43,7

79,4

20,5

22,2

81,3

41,1

80,6

20,1

22,3

38,0

73,5

16,9

89,3

42,2

80,6

20,0

22,3

92,6

2

2

O valor do momento positivo é dado por: Mi = p /mi e do negativo por Xi = p /ni é o menor vão entre a (direção horizontal) e b (direção vertical). Tabela baseada em Bares (1972), apud Pinheiro (2007) e adaptada pelo autor.

3.44


3.8 – Exemplos 3.8.1 – Exemplo 1 Para a forma abaixo de uma edificação residencial , pede-se: 1. Determinar as reações de apoio das lajes, indicando-as em planta; 2. Determinar os momentos fletores no regime elástico, indicando-os em planta; 3. Calcular as armaduras de flexão para os momentos positivos e negativos; 4. Calcular as flechas no tempo infinito; 5. Fazer o detalhamento completo das lajes, inclusive com lista e resumo dos ferros; 6. Fazer os itens 1,2,3 e 5 para o regime rígido-plástico.

Figura 3.8 – Forma para o exemplo de lajes – Planta e Cortes 3.45


DADOS:

CARGAS:

f ck = 30 MPa (f c = 1,821kN/cm2) Brita Gnaisse

Aço CA 60 / CA 50

Revestimento = 1 kN/m2

Sobrecarga = 2 kN/m2 (todas as lajes)

Peso próprio (pp)

x c =

pp = 1 x 1 x h

1x1x0,10x25 = 2,5 kN/m2 = 1,0 kN/m2

Revestimento Carga permanente

g = 3,5 kN/m2

Carga acidental (sobrecarga)

q = 2,0 kN/m2

Carga total

p = 5,5 kN/m2

p = g + q = 3,5 + 2,0

LAJE L1

Figura 3.9 – Laje L1 Conforme a figura 3.9 esta laje em balanço suporta na sua extremidade um parapeito de alvenaria de tijolos furados (

alv =

13 kN/m3) com altura de 1,20 m e

espessura de 15 cm. Além das cargas normais da laje (p) devem ser aplicadas, segundo o item 2.2.1.5 da NBR 6120:1980, ao longo de parapeitos e balcões uma car-

3.46


ga horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2

kN/m. As cargas em um metro de largura de laje é dada por: P = 4,34 kN, M = 0,96 kNm e p = 5,5 kN/m. R = P + p x 1,025 = 4,34 + 5,5 x 1,025

R = 9,98 kN

X = P x 1,025 + p x (1,025)2 / 2 + 0,96 = 4,34 x 1,025 + 5,5 x (1,025)2 / 2 + 0,96

X = 8,30 kNm Em algumas situações de projeto pode ser necessário determinar separadamente as reações e os momentos devidos às parcelas permanente (R g e Xg) e acidental (Rq e Xq).

Rg = 2,34 + 3,5 x 1,025 = 5,93 kN R = Rg + Rq = 5,93 + 4,05 = 9,98 kN Rq = 2 + 2 x 1,025 = 4,05 kN Xg = 2,34x1,025+3,5x(1,025)2/2 = 4,24 kNm X = Xq+Xq = 4,24+4,06 = 8,30 kNm Xq = 2x1,025+2x(1,025)2/2+0,96 = 4,06 kNm

O valor do momento de serviço no engaste é dado por:

Xserv = Xg + Ψ2 Xq = 4,24 + 0,3 x 4,06 = 5,46 kNm

(Ψ2 = 0,3 tabela 1.7)

O dimensionamento à flexão se dá em uma seção retangular 100/h, com a altura útil dada no mínimo por d = h – 2,5 = 7,5 cm, para um cobrimento c = 2 cm (tabela 2.8 para CAA I). Nota-se que aqui não foi feita a compensação de momentos negativos por se tratar de uma laje em balanço. Além disto, em laje em balanço (conforme NBR 6118:2014), o dimensionamento deve ser para um momento final majorado por um coeficiente adicional

X = 830 kNcm

Xd = n f X

n.

com f = 1,4 e

3.47

n

= 1,45 (tabela 3.4)


Xd = 1,45 x 1,4 x 830 = 1685 kNcm

K 

1685 1,821x100x7,5 2

 0,164  K L  0,295  K'  K  0,164

A s  A s1 

1,821x100x7,5

A s  A s1 

1,821x100x7,5

43,48

52,17

1 

1  2x0,164  5,68cm 2 /m



CA 50

1 

1  2x0,164  4,73cm 2 /m



CA 60

Usando-se bitola Φ=8 mm (0,503 cm2, conforme tabela 1.4) tanto para aço CA 50 quanto para aço CA 60 obtém-se os seguintes espaçamentos:

s = 100 / (5,68 / 0,503) = 8,9 cm

Φ=8 mm c/8 cm

CA 50 (*)

s = 100 / (4,73 / 0,503) = 10,6 cm

Φ=8 mm c/10 cm

CA 60

Flecha A flecha máxima na extremidade do balanço, segundo a teoria das estruturas, é dada por:

f ∞ = p∞

x

4

/ (8EIeq) + P∞

x

3

/ (3 EIeq) + M∞

x

2

/ (2EIeq), com

= 1,025 m.

p∞ = 2,46 x g + 0,738 x q = 2,46 x 3,5 + 0,738 x 2 = 10,09 kN/m P∞ = 2,46 x G + 0,738 x Q = 2,46 x 2,34 + 0,738 x 2 = 7,23 kN M∞ = 2,46 x Mg + 0,738 x Mq = 2,46 x 0 + 0,738 x 0,96 = 0,71 kNm

3.48

equação (3.32)


Para o cálculo de EIeq compara-se o valor do momento negativo de serviço Xserv= 5,46 kNm com o momento de fissuração Mr dado na equação (3.16a): Mr = 0,75 x h2

EIeq = Ecs Ic

Ecs = αi Eci

x (f ck)

2/3

= 0,75 x 102 (30)2/3 = 724 kNcm > Xserv

Estádio I

rigidez equivalente igual a rigidez da seção bruta de concreto

αi=0,8+0,2(f ck / 80)=0,8+0,2(30/90) = 0,867 ≤ 1,0

equação (1.6b)

Eci = αe 5600 (f ck)1/2 = 1,0 x 5600 x (30)1/2 = 30672 MPa = 3,07 x 107 kN/m2 eq. (1.5a)

αe = 1,0

concreto com brita gnaisse

Ecs=0,867x3,07x107=2,66x107 kN/m2 Ecs Ic = 2,66x107x8,33 x10-5=2215 kNm2 Ic = (1,00 x 0,103 /12) = 8,33 x 10-5 m4 f ∞=10,09x1,0254/(8x2215)+7,23x1,0253/(3 x2215)+0,71x1,0252/(2x2215)=1,97x10-3 m

f ∞ ≈ 0,20 cm < f adm = /125 = 102,5 /125 = 0,82 cm

OK!

LAJE L2 A laje L2 é uma laje alongada em que o vão menor vale 2,20 m e o maior 9,00 m, portanto uma laje armada em uma direção. O primeiro trecho do lado direito desta laje (vão a da viga V5) pode ser considerado engastado (continuidade com a laje L4), já o segundo em função do vazado da forma tem de ser considerado simplesmente apoiado (a viga V5 não teria rigidez suficiente à torção para engastar esta laje).

Como o cálculo de uma laje armada em uma direção é equivalente ao de uma viga sobre dois apoios com largura b = 100 cm, o primeiro trecho desta laje pode ser considerado apoiado sobre o vão a de V4 e engastado sobre o vão a de V5 (continu3.49


idade com a laje L4). Do lado esquerdo desta laje tem-se continuidade com a laje em balanço L1, que normalmente é considerado como apoio simples.

Pode-se, no entanto, considerar L2 engastada na laje em balanço L1 desde que o momento de engaste com a totalidade das cargas atuando em L2 seja menor que o momento negativo de serviço da L1 (Xserv,L1 = 5,46 kNm) , ou ainda mais a favor da segurança, seja menor que o devido apenas às cargas permanentes (X q,L1 = 4,24 kNm). Considerando neste caso a pior situação de L2, ou seja, engastada em L1 e apoiada do outro lado, o seu momento de engaste seria máximo e igual a Xmax,L2=5,5x2,22/8=3,33 kNm. Este valor é menor que Xg,L1=4,24 kNm e que portanto poderia se considerar a laje L2 engastada em L1.

Um cálculo conservador para a laje L2 seria considerá-la simplesmente apoiada em toda a continuidade com a laje L1 e do lado direito, engastada em L4 (vão a da viga V5) e simplesmente apoiada no vão b da viga V5, devido ao vazado. Esta consideração será a adotada neste exemplo, conforme a figura 3.10, embora exista uma situação ainda mais conservadora que seria também considerar L2 simplesmente apoiada em toda a extensão da viga V5.

Figura 3.10 – Laje L2 3.50


O dimensionamento á flexão será realizado depois da compensação dos negativos não realizada na laje L1 por ser uma laje em balanço.

Flecha Como os momentos positivos acima calculados com a carga total são menores que o momento de fissuração Mr = 724 kNcm esta laje encontra-se no estádio I, sendo a rigidez equivalente EI eq = Ec I c = 2215 kNm2, ambos já calculados no exemplo da laje L1. As flechas calculadas para as duas situações da laje L2 são (o valor de p∞ é o mesmo da laje L1): Trecho apoiado-engastado f ∞ = 2 x 10,09 x 2,204 / (384 x 2215), eq. (3.17), K=2

f ∞ = 5,7 x 10-4 m ≈ 0,06 cm < f adm = 220 / 250 ≈ 0,9 cm Trecho apoiado-apoiado

f ∞ = 5 x 10,09 x 2,204 / (384 x 2215), eq. (3.17), K=5

f ∞ = 1,6 x 10-3 m ≈ 0,16 cm < f adm = 220 / 250 ≈ 0,9 cm LAJE L3

Figura 3.11 – Laje L3

3.51


pa2 = 5,5 x 42 = 88

pa = 5,5 x 4 = 22

Ra = r a pa = 0,183 x 22 = 4,03 kN/m

Ma = pa2 / ma = 88 / 25,1 = 3,51 kNm

R’b = r’b pa = 0,250 x 22 = 5,50 kN/m

Mb = pa2 / mb = 88 / 36,2 = 2,43 kNm

R’’b = r’’b pq = 0,432 x 22 = 9,50 kN/m

Xa = pa2 / na = 88 / 10,9 = 8,07 kNm

Alternativamente os coeficientes para os cálculos de R e M poderiam ser linearmente interpolados.

Flecha Como os momentos positivos acima calculados com a carga total são menores que o momento de fissuração Mr = 724 kNcm esta laje encontra-se no estádio I, sendo o módulo Ecs = 2,66x107 kN/m2, ambos já calculados no exemplo da laje L1.

f   f 1

p a 4 Ecs h 3

 0,039

10,09x44 2,66x107 x0,13

 3,8x103 m  0,4cm 

LAJE L4

Figura 3.12 – Laje L4 3.52

400 250

 1,6cm

OK


Conforme a figura 3.12 a laje L4 tem uma continuidade com L3, na borda superior, cuja extensão é de 457,5 cm, maior que (2/3) do comprimento do apoio, ou seja, 457,5 > 0,67 x 580 = 387 cm. Quando isto ocorre pode-se considerar a laje L4 engastada na sua borda superior comportando como uma laje do tipo C. pa2 = 5,5 x 52 = 137,5

pa = 5,5 x 5 = 27,5

= 0,183x27,5 = 4,03 kN/m

Ma=pa2/ma=137,5/27,4 = 5,02 kNm

R’’a=r’’ a pa = 0,317x27,5 = 8,72 kN/m

Mb=pa2/mb=137,5/38,2 = 3,60 kNm

R’b =r’b pa = 0,207x27,5 = 5,69 kN/m

Xa = pa2/na=137,5/11,5 = 11,96 kNm

R’’b =r’’b pa = 0,358x27,5 = 9,85 kN/m

Xb = pa2/nb=137,5/13,1 = 10,50 kNm

R’a=r ’a pa

Flecha Como os momentos positivos acima calculados com a carga total são menores que o momento de fissuração Mr = 724 kNcm esta laje encontra-se no estádio I, sendo o módulo Ecs = 2,66x107 kN/m2, ambos já calculados no exemplo da laje L1.

f   f 1

pa4 E cs h

3

 0,032

10,09x54 7

2,66x10 x0,1

3

 7,6x10 3 m  0,8cm 

500 250

 2cm

OK

COMPENSAÇÃO DOS MOMENTOS

Compensação dos negativos (Unidade kNcm) Entre

X1

X2

0,8 Xmax

Xmed

L2 – L4

333

1050

840*

692

L3 – L4

807

1196

957

1002*

Para as lajes L2 e L3 os momentos negativos finais compensados são maiores que os originais da condição de engaste perfeito, portanto os momentos positivos finais destas lajes, nas mesmas direções dos negativos correspondentes, deve-

3.53


rão ser menores que os iniciais, mas por segurança eles serão mantidos sem redução.

Para a laje L4 os momentos finais negativos compensados são menores que os de engaste perfeito e os positivos em cada uma das direções deverão ser acrescidos do valor ΔM = 0,3 x (X inicial - X compensado). Assim para as direções a e b os valores finais dos momentos positivos ficam:

Ma,final = Ma,inicial + ΔM = 502 + 0,3 x (1050 – 840) = 565 kNcm

Mb,final = Mb,inicial + ΔM = 360 + 0,3 x (1196 – 1002) = 418 kNcm

Figura 3.13 – Representação em planta das reações e momentos finais das lajes – Regime Elástico (R – kN/m e M – kNcm)

3.54


Na figura 3.13 estão representadas as reações de apoio com os seus valores por metro e a sua localização em planta. Os valores dos momentos finais compensados, tanto os negativos quanto os positivos, estão também indicados em planta.

DIMENSIONAMENTO Dimensionamento à flexão h=10 cm d=7,5 cm KL=0,295 Momento kNcm X=1002

K

0,137

As,cal (cm2)

Bitola e espaçamento

Aço

4,65>(1,50)a

Φ 8 c/10 cm

CA 50(*)

3,87>(1,50)a

Φ 8 c/12,5 cm

CA 60

3,84>(1,50)a

Φ 8 c/13 cm

CA 50(*)

3,20>(1,50)a

Φ 6,4 c/10 cm

CA 60

X=840

0,115

M=565

0,077

2,11>(1,00)

Φ 6 c/13 cm

CA 60

M=418

0,056

1,54>(1,00)

Φ 5 c/12,5 cm

CA 60

M=351

0,048

1,29>(1,00)

Φ 5 c/15 cm

CA 60

M=333

0,046

1,22<(1,50)a

Φ 5 c/13 cm

CA 60

M=243

0,033

0,88<(1,00)

Φ 5 c/19 cm

CA 60

M=187

0,026

0,68<(1,50)a

Φ 5 c/13 cm

CA 60

Os momentos finais que aparecem na figura 3.13 foram dimensionados em ordem decrescente conforme a tabela acima. Para os momentos negativos, que são os maiores, o dimensionamento foi obtido considerando-se tanto o aço CA 50 quanto o CA 60. O asterisco entre parênteses (*) indica a opção adotada, a mesma usada para o dimensionamento do momento (negativo) da l aje em balanço L1.

A medida que o momento diminui a armadura calculada pode ser inferior a armadura mínima dada por ρs na equação (3.35) e na tabela 3.5. A letra ( a) significa que tem-se ρs ≥ ρmin = 0,15% o que resulta em As,min = 0,15%x100x10 = 1,5 cm2 /m. Esta é a armadura mínima adotada para momentos negativos (em geral) e positivos 3.55


para lajes armadas em uma direção. A letra (b) significa ρs ≥ 0,67 ρmin = 0,10%, resultando para momentos positivos em lajes armadas em duas direções As,min =

0,10%x100x10 = 1,0 cm2 /m. DETALHAMENTO

Figura 3.14 – Detalhamento das armaduras positivas e negativas Regime Elástico

3.56


A figura 3.14 apresenta o detalhamento das armaduras positivas e negativas das lajes calculadas no regime elástico. As armaduras positivas (parte inferior da laje) estão indicadas em linha contínua e as negativas (parte superior da laje) em linha tracejada.

ARMADURAS POSITIVAS O espaçamento máximo das barras tem que ser menor que 2h ou 20 cm na região dos maiores momentos, valor atendido em todo o dimensionamento. Estas barras deverão ser levadas até os apoios, de acordo o item 20.1 da NBR

6118:2014, não sendo possível o escalonamento das mesmas. Ainda de acordo este item as barras deverão ser prolongadas no mínimo 4 cm além dos eixos teóricos dos apoios. Assim a posição N1 da figura 3.14 deve ter o seguinte comprimento mínimo:

N1,min = teórico +

4 + 4 = (200 + 10 + 10) + 8 = 228 cm < adotado = 235 cm

Adotou-se o valor 235 cm, maior que o mínimo necessário de 228 cm, obtido da seguinte forma:

adotado = 0 +

e1 + e2 – 2 x 2,5* = (200 + 20 + 20) - 5 = 235 cm

(*) maior que o cobrimento mínimo cmin = 2 cm

Desta forma foram obtidos todos os outros comprimentos das barras positivas.

ARMADURAS NEGATIVAS As barras negativas deverão, no mínimo, ser prolongadas para cada lado dos eixos dos apoios um quarto (0,25) do maior dos menores lados (vãos) das lajes contíguas que se engastam. Nas extremidades, para garantir a perfeita ancoragem, as 3.57


barras deverão ser dobradas com um comprimento igual a (h – 2c = 10 – 2 x 2 = 6 cm). Quando a laje for em balanço, a armadura negativa deve ter o comprimento no mínimo igual a duas vezes o vão do balanço. Assim as barras negativas da posição N9, entre L3 (a=400 cm, b=457,5 cm) e

L4 (a=500 e b=580), devem se prolongar no mínimo (0,25x500) = 125 cm para cada lado do eixo da viga V2. Desta forma o trecho reto de N9 terá (125x2) = 250 cm e as duas dobras extremas 6 cm, resultando o comprimento final de C = 262 cm. A posição N7 tem o comprimento reto no mínimo igual a duas vezes o vão do balanço (2x110) = 220 cm. Com as duas dobras de 6 cm resulta o comprimento final C=232 cm. A posição N8 resultou da possível superposição de N7 com o negativo entre as lajes L2 e L3 (Φ8 c/13), observado o espaçamento de 8 cm (da laje em balanço) entre as barras, a favor da segurança. Assim como N9, a posição N8 deve prolongar 125

cm

além

do

eixo

da

V5, ficando o comprimento reto igual a

(100+20+200+10+125) = 455 cm.

A quantidade de barras (positivas ou negativas), em um determinado tre cho é obtida dividindo-se o comprimento livre do trecho pelo espaçamento calculado das barras, adotando-se o número inteiro imediatamente superior desta divisão.

LISTA DE FERROS A lista de ferros mostrada na primeira tabela abaixo apresenta em ordem numérica todas as posições do desenho de armação com suas bitolas, quantidades e comprimentos individuais. A segunda é o resumo da armadura usada no detalhamento da laje, contendo o tipo de aço, a bitola, o comprimento total de cada bitola e o peso de cada tipo de aço. Tanto no detalhamento quanto na lista não estão apresentados os ferros de montagem e amarração das armaduras.

3.58


O peso total das armaduras é de 368 kg para um volume de laje igual a 8,1 m3 dando um consumo de aço (368 / 8,1) = 46 kg/m3.

LISTA DE FERROS Posição

Φ

Quantidade

Comprimento (cm)

N1

5

68

235

N2

5

10

915

N3

5

20

470

N4

5

26

415

N5

5

39

595

N6

6

44

515

N7

8

53

232

N8

8

63

467

N9

8

44

262

RESUMO AÇO CA 50

Φ

Comprimento (m)

Peso (kg)

8

533

211

TOTAL

211

RESUMO AÇO CA 60

Φ

Comprimento (m)

Peso (kg)

5

686

106

6

227

51

TOTAL

157

REGIME RÍGIDO-PLÁSTICO Quando se usa o regime rígido-plástico o valor limite para a profundidade relativa da LN é (x/d)L = 0,25, para f ck ≤ 50 MPa, resultando conforme a equação (3.8a) o valor KL = 0,180. Este valor limite supera o máximo valor de K = 0,164, calculado

3.59


para Xd,L1. Caso o valor de K fosse maior que K L, o recurso seria aumentar a altura, uma vez que não se usa armadura dupla em lajes. A laje em balanço L1 apresenta os mesmos valores calculados para o regime elástico, tanto para reação de apoio quanto para o momento.

A laje L2 no trecho apoiado-apoiado têm as mesmas reações de apoio e momento positivo, já no trecho apoiado-engastado as reações e os momentos são dados por:

R A = 0,387 pa = 0,387 x 5,50 x 2,20 = 4,68 kN/m

RE = 0,613 pa = 0,613 x 5,50 x 2,20 = 7,42 kN/m M = pa2 / 13,33 = 5,50 x 2,202 / 13,33 = 2,00 kNm

X = 1,5 M = 1,5 x 2,00 = 3,00 kNm

A laje L3 apresenta as mesmas reações de apoio sendo os momentos obtidos a partir dos coeficientes da tabela 3.9, para relação (b/a) = 1,14 ≈1,15.

ma = 22,1

mb = 48,8

pa2 = 5,5 x 42 = 88

Ma = 88 / 22,1 = 3,98 kNm = 398 kNcm

Mb = 88 / 48,8 = 1,80 kNm = 180 kNcm

Xa = 1,5 Ma = 1,5 x 398 = 597 kNcm

Xb = 0

A laje L4 apresenta as mesmas reações de apoio sendo os momentos obtidos

a partir dos coeficientes da tabela 3.9, para relação (b/a) = 1,16 ≈1,15.

ma = 31,0

mb = 41,0

pa2 = 5,5 x 52 = 137,5

Ma = 137,5 / 31,0 = 4,44 kNm = 444 kNcm

Mb = 137,5 / 41,0 = 3,35 kNm = 335 kNcm 3.60


Xa = 1,5 Ma = 1,5 x 444 = 666 kNcm

Xb = 1,5 Mb = 1,5 x 335 = 503 kNcm

As reações e os valores finais dos momentos para o regime rígido-plástico estão apresentados em planta na figura 3.15 lembrando-se que neste regime, por simplicidade, não se faz compensação de momentos, adotando-se o maior negativo entre as lajes.

Figura 3.15 – Representação em planta das reações e momentos finais das lajes – Regime Rígido-plástico (R – kN/m e M – kNcm)

3.61


DIMENSIONAMENTO Dimensionamento à flexão h=10 cm d=7,5 cm KL=0,295 Momento

K

As,cal (cm2)

Bitola e espaçamento

Aço

X=666

0,091

3,00>(1,50)a

Φ 8 c/16 cm

CA 50

X=503

0,069

2,24>(1,50)a

Φ 8 c/22 cm

CA 50

M=444

0,061

1,64>(1,00)

Φ 5 c/11 cm

CA 60

M=398

0,054

1,47>(1,00)

Φ 5 c/13 cm

CA 60

M=335

0,046

1,23>(1,00)

Φ 5 c/15 cm

CA 60

M=333

0,046

1,22< (1,50)a

Φ 5 c/13 cm

CA 60

M=200

0,027

0,73 <(1,50)a

Φ 5 c/13 cm

CA 60

M=180

0,025

0,65 <(1,00)

Φ 5 c/19 cm

CA 60

kNcm

Figura 3.16 – Detalhamento das armaduras – Regime Rígido-plástico 3.62


LISTA DE FERROS LISTA DE FERROS Posição

Φ

Quantidade

Comprimento (cm)

N1

5

68

235

N2

5

10

915

N3

5

20

470

N4

5

30

415

N5

5

32

595

N6

5

51

515

N7

8

53

232

N8

8

63

467

N9

8

28

262

RESUMO AÇO CA 50

Φ

Comprimento (m)

Peso (kg)

8

491

194

TOTAL

194

RESUMO AÇO CA 60

Φ

Comprimento (m)

Peso (kg)

5

923

142

TOTAL

142

O peso total das armaduras é de 336 kg para um volume de laje igual a 8,1 m3 dando um consumo de aço (336 / 8,1) = 42 kg/m 3.

3.8.2 – Exemplo 2 Calcular a flecha final para uma laje quadrada simplesmente apoiada em todas as bordas, destinada a um edifício comercial com sobrecarga de 4 kN/m2. 3.63


f ck = 20 MPa (f c = 1,214 kN/cm2)

DADOS:

Vão a=b= 6 m

h = 10cm

Aço CA 50 d = 7,0 cm

Revestimento 1 kN/m2

Regime elástico

brita calcaria

pp = 0,10 x 25 = 2,5 kN/m2

rev = 1,0 kN/m2

→ g = 3,5 kN/m2

sobrecarga q = 4 kN/m2

→ p = g + q

→ p = 7,5 kN/m2

Tabela 3.11 com (b/a)=1→ ma=mb=23,6→ Ma=Mb=pa2/ma=7,5x62/23,6=11,44 kNm

→ K’ = K = 0,269

K = 0,269 < KL = 0,295 (regime elástico)

As,cal = 6,27 cm2/m

→ As,e = 6,28 cm2/m

Adotando-se Φ 10 c/12,5 cm

Com ψ2 = 0,4 (tabela 1.7, para edifício comercial) Msev = Ma = (g + ψ2q)a2 / ma = (3,5 + 0,4x4) x 62 / 23,6 = 7,78 kNm = 778 kNcm Mr = 0,75 x h2

x (f ck)

2/3

= 0,75 x 102 (20)2/3 = 553 kNcm < Mserv

αi = 0,8 + 0,2 (f ck / 80) = 0,8 + 0,2 x (20/90) = 0,844 ≤ 1,0 αe = 0,9

Estádio II

equação (1.6b)

concreto com brita calcaria

Eci = αe 5600 (f ck)1/2 = 0,9 x 5600 x (20)1/2 = 22540 MPa = 2,25 x 107 kN/m2 eq. (1.5a) Ecs = αi Eci = 0,844 x2,25 x 107 = 1,90 x 107 kN/m2 n =(Es / Ecs) = (21 x 107 / 1,90 x 107) = 11,05

A

nA s 100



11,05x6,28 100

 0,694

B

2dnA s 100



2x7x11,05x6,28 100

x II  A  A 2  B  0,694  0,6292  9,715  2,499cm

3.64

 9,715

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Lajes ___________________________________________________________________________ 3 100x II

I II 

Ic 

I eq

 nA s d  x II   2

3

100h 3 12



100x10 3

100x2,4993 3

 11,05x6,28x7  2,499  1926cm 4 2

 8333cm 4

12

3    M  3    553  3   553  3   M r  4 r  I c  1     I II       x8333  1     x1926  4267cm M   M a     778     778    a 

h eq 

3

12I eq 100

3

12x4267 100

 8,00cm

p∞ = 2,46 (g + 0,4 q) = 2,46g + 0,984 x 4 = 12,55 kN/m2. Com f 1 = 0,048 (tab. 3.10)

f   f 1

pa4 3 E cs h eq

 0,048

12,55x64 1,90x107 x0,083

 0,08m  8cm 

600 250

 2,4cm

A flecha final total (flecha imediata mais flecha diferida) deu maior que a flecha admissível o que implica em aumentar a espessura da laje. Será adotada uma nova altura de 12 cm. p = 0,12 x 25 + 1 + 4 = 3 + 1 + 4 = 4 + 4 = 8 kN/m2 pserv = 4 + 0,4 x 4 = 5,6 kN/m2 p∞ = 2,46 x 4 + 0,984 x 4 = 13,78 kN/m2 M = 8 x 62 / 23,6 = 12,20 kNm = 1220 kNcm Mserv = Ma = 5,6 x 62 / 23,6 = 8,54 kNm = 854 kNcm Mr = 0,75 x 122 x (20)2/3 = 796 kNcm < Mserv M = 1220 kNcm

Estádio II

As,cal = 4,83 cm2/m (CA 50)

K = 0,174 < KL

As,e = 5,50 cm2/m

Φ 10 c/16 cm

3.65


A = 0,608

B = 10,940

Ic = 14400 cm4

xII = 2,755 cm

heq = 11,36 cm

Contra-flecha máxima ≤



4

III = 3067 cm

4 Ieq =12244 cm

f ∞ = 0,031 m = 3,1 cm > f adm = 2,4 cm

/ 350 = 1,71 cm.

Adotando-se uma contra-flecha de 1 cm, menor que a máxima permitida, a flecha final fica: (3,1 – 1) = 2,1 cm < f adm = 2,4 cm

3.66

OK!


CONTROLE DA FISSURAÇÃO __________________________________________________________________________

4.1 – Introdução Segundo o item 13.4.1 da NBR 6118:2014 a fissuração é um fenômeno inevitável no concreto armado (não protendido), devido à sua baixa resistência à tração, normalmente desprezada no projeto. Durante muito tempo a fissuração foi considerada uma desvantagem do concreto armado, responsável por uma parcela importante na corrosão das armaduras. Os estudos mais recentes atribuem à espessura e qualidade do concreto de cobrimento, a parcela mais importante contra a corrosão das armaduras, ficando a fissuração responsável por uma corrosão localizada. A baixa resistência à tração faz com que as estruturas de concreto funcionem fissuradas já para baixos níveis de carregamento (ELS), reduzindo consideravelmente a rigidez da estrutura (estádio II). A partir do início da fissuração, a distribuição interna das tensões é bastante modificada e o concreto começa a apresentar comportamento não-linear. Visando um melhor desempenho na proteção das armaduras contra a corrosão e uma aceitabilidade sensorial dos usuários a abertura das fissuras deve ser controlada adequadamente. Este controle depende da classe de agressividade ambiental mostrado na tabela 4.1, respeitando os valores limites da tabela 4.2.

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________

Tabela 4.1 – Classes de agressividade ambiental (Tab. 6.1 da NBR 6118:2014) Classe de agressividade ambiental

Classificação geral do tipo de

dade

ambiente para efeito de projeto

I

Fraca

II

Moderada

III IV

(a)

Agressivi-

Rural Submersa Urbanaa,b Marinhaa

Forte Muito forte

Industrial

a,b

Industriala,c Respingos de maré

Risco de deterioração da estrutura Insignificante Pequeno Grande Elevado

“Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma

classe acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura). (b)

Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65%, partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove.

(c)

Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

De uma maneira geral, a presença de fissuras com aberturas que respeitem os limites dados em 13.4.2,” (tabela 4.2) “ em estruturas bem projetadas, construídas e submetidas às cargas previstas na normalização, não implicam em perda de durabilidade ou perda de segurança quanto aos estados limites últimos. As fissuras podem ainda ocorrer por outras causas, como retração plástica térmica ou devido a reações químicas internas do concreto nas primeiras idades, devendo ser evitadas ou limitadas por cuidados tecnológicos, especialmente na definição do traço e na cura do concreto”. 4.2


A fissuração inevitável não deve prejudicar a estética (sensibilidade sensorial dos usuários), nem sua estanqueidade, quando requerida, além de não comprometer a proteção da armadura contra a corrosão. Segundo Tepedino (1980) “as aberturas máxima das fissuras, que se pode admitir sem detrimento à aparência de uma peça e sem acarretar sentimentos de alarma, depende da posição, profundidade, textura superficial e condições de iluminação das mesmas. Fatores tais como o tipo e a finalidade da estrutura, bem como o próprio ponto de vista dos usuários e seu condicionamento psicológico face ao problema, influem decisivamente na fixação de limites de aceitabilidade das fissuras, sob o aspecto estético. A máxima abertura que em quaisquer condições jamais causaria impacto psicológico está provavelmente compreendida entre 0,2 m m a 0,4 m m ” (valores

0,2 e 0,4 atualizados).

Tabela 4.2 – Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura passiva, em função das classes de agressividade ambiental. (Adaptada da tabela 13.4 da NBR 6118:2014) Tipo de concreto estrutural

Classe de agressivi- Exigências relativas dade ambiental

à fissuração

(CAA) Concreto simples

ações em serviço a utilizar

CAA I a CAA IV

Não há

-

ELS-W

CAA I Concreto armado

Combinações de

wk,lim ≤ 0,4 mm ELS-W

CAA II a CAA III

wk,lim ≤ 0,3 mm ELS-W

CAA IV

wk,lim ≤ 0,2 mm

4.3

Frequente


Segundo o item 13.4.2 da NBR-6118:2014, desde que a abertura máxima característica wk das fissuras não exceda valores da ordem de 0,2 mm a 0,4 mm, conforme a tabela 4.2, sob ação das combinações frequentes, isso não contribui significativamente na corrosão das armaduras passivas. Embora as estimativas de abertura de fissuras, feitas a seguir, devam respeitar os limites da tabela 4.2, não se deve esperar que as aberturas reais correspondam aos valores estimados, ou seja, fissuras reais podem ultrapassar eventualmente estes limites (item 13.4.2 da NBR 6118:2014). De uma maneira geral costuma-se aceitar valores estimados até 20% superiores aos limites normalizados. A estanqueidade é um dos aspectos mais importantes nos projetos de reservatórios. Ela pode ser bastante prejudicada por fissuras maiores que os limites aceitáveis, em torno de 0,1 mm. Esta situação se agrava porque a percolação de água acarreta corrosão da armadura. Neste caso pode-se até adotar o estado limite de formação de fissuras, que acarretaria paredes com espessuras maiores. Segundo o item 13.4.3 da NBR 6118:2014 para controle mais efetivo da fissuração nestas estruturas é conveniente o uso da protensão. Segundo a NBR-6118:2014 entende-se controle da fissuração quanto a aceitabilidade sensorial, a situação em que as fissuras passam a causar desconforto psicológico aos usuários sem, entretanto comprometer a segurança da estrutura. Limites mais severos de abertura de fissuras podem ser adotados, de comum acordo com o contratante.

4.2 – Tipos de fissuras As fissuras podem ser classificadas em dois grupos conforme elas sejam ou não produzidas pela ação de cargas:

4.2.1 – Fissuras não produzidas por cargas 

Fissuras devidas ao abatimento do concreto ainda plástico. 4.4

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ 

Fissuras devidas a alterações volumétricas (retração e efeitos térmicos), desde que a peça esteja restrita.



Fissuras devidas à corrosão das armaduras.

4.2.2 – Fissuras produzidas por cargas

Figura 4.1 – Fissuras produzidas por cargas 4.3 – Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) 4.3.1 - Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras O item 17.3.3 da NBR-6118:2014 estabelece as condições necessárias para a verificação dos valores limites para abertura das fissuras (tabela 4.2) nos elementos estruturais lineares, analisados isoladamente e submetidos à combinação de ações conforme o item 11, dessa mesma norma. 4.5


O valor final da abertura das fissuras pode sofrer a influência de fatores de difícil determinação, como por exemplo, as restrições às variações volumétricas e também a das condições de execução da estrutura. Por estas razões os critérios definidos a seguir, devem ser encarados como uma avaliação aceitável para o comportamento geral da estrutura, mas não garantem com precisão a abertura específica de uma fissura. Para cada elemento isolado ou grupo de elementos da armadura passiva que controlam a fissuração do elemento estrutural, deve ser considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, formada por um retângulo cujos lados não distam mais que 7,5 do eixo do elemento da armadura, conforme mostrado na figura 4.2. O valor da abertura estimada característica da fissura wk, determinada para cada parte da área de envolvimento, é a menor entre as obtidas pelas expressões abaixo:

Figura 4.2 – Concreto de envolvimento da armadura

4.6

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ w k 

w k 

i

σ si 3σ si

(4.1)

12,5η1 E si f ctm

   45  12,5η1 E si  ρ ri  i

σ si  4

(4.2)

Onde: 

i,

si,

Esi,



Acri

é a área da região de envolvimento protegida pela barra i;



Esi

é o módulo de elasticidade do aço da barra considerada;



ri

ri

são definidos para cada área de envolvimento em exame;

é a taxa de armadura passiva em relação à área da região de envolvimento Acri;



é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura consi-

si

derada, calculada no estádio II; é o coeficiente de aderência da armadura considerada;



1



f ctm

é o valor da resistência média ou característica do concreto à tração dada nas equações (1.12).

O coeficiente de aderência

1

é dado na NBR 6118:2014 na tabela 8.3, cujos

valores estão apresentados na tabela 1.5.

4.3.1.1 – Cálculo da tensão A tensão

si deve

si de

forma aproximada

ser calculada no estádio II, ou seja, o diagrama de tensões

de compressão no concreto linear, desprezando-se as tensões de tração. Uma maneira de se obter de forma simples e aproximada essa tensão é segundo Tepedino (1980):

σ si 

f yd A s,cal

(4.3)

γ f A se

4.7


Onde f yd é a tensão de cálculo ao escoamento da armadura, As,cal e Ase são respectivamente, as armaduras de tração calculada e efetivamente colocada, ou existente, na seção transversal que se está verificando a fissuração. O coeficiente f de ponderação das ações pode ser obtido de forma aproximada para combinação frequente, obra residencial 1=0,4, adotando-se para a solicitação permanente 70% da total e 30% para a solicitação acidental (estes percentuais médios só devem ser usados quando não se dispõem dos valores reais).

γ f 

Sd S serv



1,4S gk  1,4S qk S gk  ψ 1 S qk 1



1,4(S gk  S qk )  1,4S S gk  0,4S qk 1  0,7S  0,4  0,3S



1,4S 0,82S

 1,7

(4.4)

A abertura estimada das fissuras, equações (4.1) e (4.2), deve ser verificada para cada área de envolvimento Acri com sua armadura Asi. No entanto, de forma simplificada, será usada a área total de aço Ase como o somatório das áreas das barras isoladas Asi e a área total de envolvimento das armaduras Acr como o somatório das áreas de envolvimento Acri. Da mesma forma resultando interessada na fissuração Acr pode ser obtida pelo somatório das áreas de envolvimento Acri de cada barra tracionada e, portanto a taxa total tório das taxas da armadura

ri envolvida

r pode

também ser dada como o soma-

em cada área Acri. Assim:

Acr = Acri

ρ r  Σρ ri  Σ

(4.5) A si A cri



ΣA si ΣA cri



A se A cr

(4.6)

Analogamente

ρ r,cal 

A s,cal

(4.7)

A cr

Como consequência a equação 4.3 pode ser reescrita: 4.8

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ f yd ρ r,cal

σ si 

(4.8)

γ f ρ r

Levando-se a equação (4.8) nas expressões das aberturas wk estimadas de fissuras, equações (4.1) e (4.2), e substituindo wk por wk,lim (aberturas limites das fissuras da tabela 4.2), obtém-se duas novas equações onde a única incógnita será a relação (

rcal

/

r ),

ou inversamente (

r / rcal)

= (Ase /As,cal). Como para calcular a

abertura estimada, adota-se o menor valor de wk, agora para atender a fissuração para o valor limite wk,lim, será adotada a menor relação (Ase /As,cal), lembrando-se que em nenhuma hipótese essa relação poderá ser menor que 1. Do exposto vem:

f yd ρ r,cal w k,lim 

i

γ f ρ r

12,5η1

E si

 f yd ρ r,cal   γ ρ  f r 

3

(4.9)

f ctm

f yd ρ r,cal w k,lim 

γ f ρ r  4

i 12,5η1

E si

   45   ρ r 

(4.10)

Reescrevendo-se a equação (4.9) para (

r / r,cal)

= (Ase /As,cal) e fazendo-se

conforme Tepedino (1980):

aw 

 i f yd

(4.11)

12,5η1 γ f E si w k,lim

tem-se:

1

3a w f yd  A s,cal 



2



(4.12)

γ f f ctm  A se 

Portanto pela primeira das equações de wk a relação entre as áreas efetivamente colocada ou existente Ase e a calculada As,cal fica:

4.9

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ A se A s,cal



3a w f yd γ f f ctm

 1

(4.13)

Analogamente reescrevendo-se a equação 4.10 em função de aw, obtém-se:

1  aw

ρr,cal  4

ρ    45   aw r,cal 4  45ρr  2 ρr  ρr ρ  r

Resolvendo-se a equação acima do segundo grau em possível para

(4.14)

r ,

obtém-se o valor

r :

ρr  22,5awρr,cal 

22,5awρr,cal 2  4awρr,cal

(4.15)

ou ρr ρ r,cal



A se A s,cal

2  22,5a w  22,5a w  

4a w ρ r,cal

1

(4.16)

Para atender a fissuração deve-se adotar a menor relação obtida nas equações (4.13) e (4.16). Caso uma delas inicialmente resulte em um número menor que 1, significa que a armadura já calculada à flexão As,cal, atende à fissuração e portanto naturalmente não precisa verificar a outra relação. Não se pode adotar uma relação menor que 1 porque isto significaria usar uma armadura inferior àquela calculada à flexão, que atende aos requisitos do estado limite último. Particularizando-se a verificação da fissuração para aço CA 50, o valor de aw dado na equação (4.11) fica: a w  7,361  10

5

i γ f Wk

(4.17)

As equações (4.13) e (4.16) representam a verificação da fissuração quando se usa de forma simplificada a tensão σsi no estádio II. 4.10


4.3.1.2 – Cálculo da tensão A tensão de serviço

si no

si foi

Estádio II

calculada no item anterior com o valor aproximado

dado pela equação (4.3). Essa tensão será calculada agora, como recomenda a

NBR-6118:2014, ou seja, no estádio II. Para isto seja a figura 4.3, onde uma seção transversal está apresentada com sua armadura de compressão A’s e de tração As, assim como a profundidade da linha neutra no estádio I I, xII.

Figura 4.3 – Seção retangular genérica para cálculo de xII

Inicialmente deve-se homogeneizar a seção, isto é, transformá-la em um único material, normalmente no material com menor módulo de elasticidade, no caso o concreto, usando a seguinte relação entre os módulos:

n = Es / Ecs

(4.18)

Em seguida obtém-se a profundidade da linha neutra xII, que passa pelo centro geométrico da seção homogeneizada, igualando-se por definição de CG, o momento estático das áreas acima da LN ( b.xII e nA’s) com o da área abaixo (nAs).

bX II 

X II 2

 A' s X II  d'   nA's X II  d'  nA s d  X II 

4.11

(4.19)


O primeiro termo de (4.19) refere-se ao momento estático da área bXII em relação à linha neutra. Esta área inclui a área A’s cujo momento estático já está contemplado no primeiro termo de (4.19). Isto justifica o sinal negativo do segundo termo desta equação. A área de aço comprimida transformada em uma área equivale nte de concreto fica nAs, cujo momento estático em relação à LN é dada no terceiro termo de (4.19). Agrupando-se o segundo e terceiro termo de (4.19) obtém-se:

(n – 1) A’s (XII – d’) = n’ A’s (XII – d’)

com n’ = (n – 1)

(4.20)

Levando-se (4.20) em (4.19) obtém-se a seguinte equação do segundo grau em XII: 2 bX II

2

 nA s  n' A' s X II  nA s d  n' A' s d'   0

(4.21)

Que depois de resolvida fornece: x II  A  A 2  B

(4.22a)

Com

A

B

nA s  n' A' s  b

2nA s d  n' A' s d'  b

(4.22b)

(4.22c)

O momento interno da região comprimida do concreto e das armaduras As e A’s em relação à LN é dado por:

4.12

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ M LN 

2 bX II

3

σ c  A' s σ'c X II d'   A' s σ's X II  d'  A s σ s d  X II 

(4.23)

Por semelhança de triângulos no diagrama de tensões da figura 4.3 as tensões de compressão e de tração nas armaduras são relacionadas com a tensão máxima de compressão no concreto σc.

σc

X II



σ'c 

σ's 

σs 

σ's

σ'c 

σs

n  n X II  d' d  X II

X II  d'  X II

(4.24a)

σc

nX II  d' X II

nd  X II  X II

(4.24b)

σc

(4.24c)

σc

(4.24d)

Levando-se estes valores na equação (4.23) obtém-se:

M LN

 bX II2 A' s X II d' 2 nA's X II d' 2 nA s d  X II 2  I II     σc σ c  3 X X X X II II II II  

De onde se tira o valor de

I II 

bX II 3

(4.25)

III

3

 nA s d  X II   n' A' s X II  d' 

2

(4.26)

Para o concreto a tensão máxima de compressão no estádio II, é dada por:

4.13

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ σc 

M LN  M serv I II

(4.27)

X II

As tensões nas armaduras são dadas por:

σ's  n

M LN I II

σ s  σ si  n

x II  d' 

Armadura comprimida

(4.28a)

M LN

Armadura tracionad a

(4.28b)

I II

d - x II 

4.3.2 – Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras De acordo o item 17.3.3.3 da NBR 6118:2014, “Para dispensar a avaliação da grandeza da abertura de fissuras e atender ao estado limite de fissuração (para aberturas máximas esperadas da ordem de 0,3 mm para o concreto armado e 0,2mm para o concreto com armaduras ativas), um elemento estrutural deve ser dimensionado respeitando as restrições da tabela 17.2” , (4.4) abaixo, “ quanto ao diâmetro máximo (  max ) e ao espaçamento máximo (smax ) das armaduras passivas, bem como as exigências de cobrimento (Seção 7) e de armadura mínima (ver 17.3.5.2). A tensão

deve ser determinada no estádio II.”

s

4.14


Tabela 4.4 – Valores máximos de diâmetro e espaçamento, com barras de alta aderência. – Tab. 17.2 da NBR 6118:2014

Tensão na barra s ou Δσpi

(MPa)

Valores máximos Concreto sem armaduras

Concreto com armaduras ati-

ativas

vas

max

(mm)

smax (cm)

max

(mm)

smax (cm)

160

32

30

25

20

200

25

25

16

15

240

20

20

12,5

10

280

16

15

8

5

320

12,5

10

6

-

360

10

5

-

-

400

8

-

-

-

Δσpi é o acréscimo de tensão na armadura protendida aderente entre a total

obtida no estádio II e a protensão após as perdas.

4.4 – Exemplos 4.4.1 – Exemplo 1 Estimar o valor da abertura de fissura para uma viga de seção retangular 20X40 cm2, f ck = 20 MPa, aço CA 50, momento fletor solicitante M = 4000 kN.cm, obra urbana, cobrimento c = 2,5 cm, para as seguintes bitolas: a)

 =

16 mm

b)

 = 12,5 mm

Cálculo da armadura de flexão

4.15


f ck = 20 MPa,  As,cal = 3,97 cm2

f c = 1,214 kN/cm2 2  16 mm

d = 36 cm  (4,02 cm2)

4  12,5 mm (4,91 cm2)

k = 0,178 < KL = 0,295  7,5 = 12 cm  7,5 =

9,375 cm

Figura 4.4 – Detalhamentos da seção transversal para o exemplo 1 No detalhamento para 2  16 mm (figura 4.4) o valor correto para a distância d’’ seria (c + t + 0,5ΦL) = (2,5 + 0,5 +0,5 x 1,6) = 3,8 cm, mas foi adotado o valor d’’

= 4* cm, o que implica em d = 36 cm, valor considerado no cálculo da armadura. O valor (7,5  = 12 cm) só pode ser aplicado acima do eixo das duas barras. Para baixo o valor disponível é de 4* cm, mesmo valor adotado para as distâncias laterais. Entre os centros das duas barras resulta 12** cm, ficando para cada barra uma região de envolvimento Acr1 = Acr2 = (10 x 16 = 160 cm2). Nesta situação ρr1 = ρr2 = Asi / Acri = 2,011 / 160 = 0,0126, mesmo valor para ρr = Ase / Acr = 4,02 / 320 = 0,0126. Analogamente, no detalhamento para 4  12,5 mm, o valor 4* cm foi adotado tanto para d’’ quanto para as distâncias laterais. Desta forma resulta para as barras 4.16


laterais Acr1 = Acr4 = (4 + 0,5 x 4) x (13,375) = 80,25 cm2. Para as duas barras centrais Acr2 = Acr3 = (4) x (13,375) = 53,5 cm2. Assim ρr1 = ρr4 = Asi / Acri = 1,227 / 80,25 = 0,0153 e ρr2 = ρr3 = Asi / Acri = 1,227 / 53,5 = 0,0229. O valor de ρ r = Ase / A cr = 4,91 /

267,5 = 0,0183. DETALHAMENTO PARA 2  16 mm Neste detalhamento tanto faz calcular as aberturas previstas das fissuras para cada barra isoladamente ou para as duas conjuntamente, isto porque A cri = A cr . Será adotada a tensão de serviço no estádio II de forma aproximada, conforme equação (4.3), com γf = 1,7. Pela equação (1.13a) para f ck = 20 MPa < 50 MPa a resistência média à tração é dada por: f ctm = 0,3 (f ck)2/3 = 0,3 x (20)2/3 = 2,21 MPa = 0,221 kN / cm 2. De (4.3) a tensão de serviço aproximada fica:

σ si 

f yd A s,cal γ f A se



43,48 3,97 1,7 4,02

 25,26kN/cm 2

Pela equação (4.1)

w k 

i

σ si 3σ si

12,5η1 E si f ctm



16

25,26 3x25,26

12,5x2,25 21000 0,221

 0,24mm

Pela equação (4.2)

w k 

 16 25,26  4    45    45   0,25mm  12,5η1 E si  ρ ri   12,5x2,25 21000  0,0126 i

σ si  4

Como se deve adotar o menor dos valores, a abertura estimada da fissura é de wk = 0,24 mm < wk,lim = 0,3 mm, de acordo a tabela 4.2 para CAA II, ambiente urbano. Neste caso o estado limite de fissuração foi atendido. 4.17


DETALHAMENTO PARA 4  12,5 mm Neste detalhamento as áreas de envolvimento Acri das barras laterais e das barras internas são diferentes, assim como as taxas ρri. Esta diferença afeta apenas o cálculo da abertura prevista pela equação (4.2).

σ si 




43,48 3,97 1,7 4,91

 20,68kN/cm 2

Pela equação (4.1) para as 4 barras

w k 

i

σ si 3σ si

12,5η1 E si f ctm



12,5

20,68 3x20,68

12,5x2,25 21000 0,221

 0,12mm

Pela equação (4.2) para as barras laterais ρr1 = ρr4 = 0,0153

w k 

 12,5 20,26  4    45    45   0,13mm  12,5η1 E si  ρ ri   12,5x2,25 21000  0,0153 i

σ si  4

Para as barras internas ρ r2 = ρr3 = 0,0229

w k 

 12,5 20,26  4    45    45   0,09mm  12,5η1 E si  ρ ri   12,5x2,25 21000  0,0229 i

σ si  4

Entre os dois valores obtidos pela equação (4.2) deve-se adotar, a favor da segurança ao ELS-W, o que conduz à maior abertura prevista da fissura ( wk = 0,13

mm) . Este valor é sempre obtido para a barra com a menor taxa ρri, no caso as barras 1 e 3 deste detalhamento. O valor final da abertura prevista da fissura é de wk = 0,12 mm < wk,lim = 0,3

mm. Este valor é menor que o apresentado para  = 16 mm por dois motivos, primei4.18


ro porque  = 12,5 mm <  = 16 mm e segundo devido a relação entre as áreas calculada e existente ser menor para  = 12,5 mm (Ase,=12,5 = 4,91 cm2 > Ase,=16 = 4,02 cm2). Considerando-se o valor ρr = Ase / Acr = 4,91 / 267,5 = 0,0183

w k 

 12,5 20,26  4    45    45   0,11mm  12,5η1 E si  ρ ri   12,5x2,25 21000  0,0183 i

σ si  4

Analisando-se os três valores de abertura prevista da fissura (wk = 0,09 mm, wk = 0,11 mm, wk = 0,13 mm), dados pela equação (4.2) nota-se que o menor valor (wk = 0,09 mm) é obtido para o maior valor da taxa ρ ri = 0,0229. Com o valor de ρr = 0,0183, para a armadura total A se e área total de envolvimento A cr , a abertura wk = 0,11 mm é aproximadamente 8% menor que o valor final. Como comentado pela

NBR 6118:2014 a abertura real pode eventualmente ser maior que a estimada e devido a incomensurável variação dos fatores envolvidos, até 20% de diferença pode ser aceitável.

4.4.2 – Exemplo 2 Com os mesmos dados do exemplo 1, verificar a fissuração para a bitola  = 12,5 mm, usando-se as fórmulas (4.13) e (4.16). Como foi visto no exemplo 1, a bitola de 12,5 mm atende à fissuração para uma abertura limite wk,lim = 0,3 mm para as duas equações de cálculo estimado das fissuras. Portanto ao se fazer a verificação pelas fórmulas (4.13) e (4.16), em ambas, a relação entre as áreas existente e calculada deve ser menor que 1, embora não se possa adotar esta relação menor que 1, para atender ao ELU de flexão. Para f = 1,7, aço CA 50, com wk,lim = 0,3 mm de (4.17) resulta:

4.19

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ a w  7,361  10 5

i γ f Wk

 7,361x105

12,5 1,7x0,3

 1,804x103

De (4.13):

A se A s,cal




3x1,804x10-3 x43,48



1,7x0,221

 0,79  1 

A se A s,cal

1

Como a relação das áreas foi menor que 1, a fissuração é aceitável, não necessitando mais verificar pela segunda equação. Mesmo assim usando-se (4.16) com (22,5 aw = 22,5 x 1,804

x

10-3 = 0,0406) e ρr,cal = As,cal / Acr = 3,97 / 267,5 =

0,0148, obtém-se:

A se A s,cal

 22,5a w  22,5a w   2

4a w ρ r,cal

 0,0406  0,0406  2

4x1,804x10 0,0148

-3

 0,74  1

Como esperado a relação também foi menor que 1, implicando em Ase = As,cal

= 3,97 cm2. Portanto deve-se usar a mesma armadura calculada que é atendida para 4  12,5 mm.

4.4.3 – Exemplo 3 Verificar a fissuração para uma viga biapoiada com 6m de vão, carga total p = 40 kN/m, sendo a carga permanente g = 30 kN/m e a acidental q = 10 kN/m, seção de 20x60 cm2, concreto f ck = 35 MPa, aço CA 50, destinada a edifício residencial em obra urbana. Adotar  = 20 mm (3,142 cm2). Obra urbana  (CAA II)  wk,lim = 0,3 mm

Cobrimento  c = 3 cm.

Para o cálculo à flexão, considerando-se uma única camada com barras  = 20 mm, a altura útil será dada por:

4.20


d = h - c - estribo - (0,5 longitudinal) = 60 - 3 - 0,5 - 0,5 x 2 = 55,5 cm CÁLCULO À FLEXÃO f c = 0,85 x 3,5 / 1,4 = 2,125 kN / cm2 M = 40 x 62 / 8 = 30 x 62 / 8 + 10 x 62 / 8 = 135 (Mg) + 45 (Mq) = 180 kN.m K = 18000 x 1,4 / (2,125 x 20 x 55,52) = 0,192 < KL = 0,295  K’ = K = 0,192

As = As1 = (2,125 x 20 x 55,5 / 43,48) x (1 – 2 x 0,192) (1/2) = 11,71 cm2  Usando-se 4  20 mm



Ase = 12,57 cm2

A’s = As2 = 0

CÁLCULO DO VALOR

γ f 

Fd Fserv



Md M serv

Os valores de

f



γ g M gk  γ q M qk

M gk  ψ 1 M qk

g e q,



1,4x135  1,4x45 135  0,4x45



252 153

 1,65

para combinação última normal no ELU, estão apresen-

tados na tabela 1.6 e o valor de ψ1, para combinação frequente no ELS, na tabela 1.7. De qualquer forma o valor final de M d é sempre 252 kNm, ou seja: Md = 1,4M = f M,serv = 1,4 x 180 = 1,65 x 153 = 252 KN.m VERIFICAÇÃO DA FISSURAÇÃO bútil = b – 2(c + L) = 20 – 2 x (3 + 0,5) = 13 cm 4.21

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ n Φ/cam 

b útil  a h a h  Φ long



13  2 22

1  20 mm na 2 a camada

 3,75

Figura 4.5 – Detalhamento da seção transversal para o exemplo 3

A armadura, conforme detalhada na fig. 4.5, mostra que os valores corretos de d’’ = (3x4,5 + 1 x8,5) / 4 = 5,5 cm e d = 60 – 5,5 = 54,5 cm, são diferentes dos adotados, resultando um novo valor corrigido da armadura As = 11,98 cm2 < Ase = 12,57 cm2 (OK).

Verificação para

si aproximado

usando-se as equações (4.13) e (4.16)

Para f ck = 35 MPa, f = 1,65, aço CA 50, com w k,lim = 0,3 mm:

f ctm = 0,3 (f ck)2/3 = 0,3 x (35)2/3 = 3,21 MPa = 0,321 kN / cm2

4.22

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ a w  7,361  10

A se A s,cal



i

5


γ f Wk



 7,361x105

-3

20 1,65x0,3

3x2,974x10 x43,48 1,65x0,321

 2,974x103

 0,86  1 

A se A s,cal

1

Portanto a fissuração é aceitável, evitando-se assim a verificação pela segunda equação. Mesmo assim a verificação será feita, usando-se neste cálculo simplificado o valor de ρr,cal = As,cal / Acr = 11,71 / 470 = 0,0249. Com 22,5 a w = 22,5 x 2,97 x 10-3 = 0,0669, obtém-se:

A se A s,cal

 22,5a w  22,5a w   2

4a w ρ r,cal

 0,0669  0,0669  2

4x2,974x10-3 0,0249

 0,76  1 (OK)

Mesmo que nesta segunda equação a relação fosse maior que 1, o ELS-W já foi verificado na primeira.

Verificação para

si no

estádio II

Neste caso não se usam as equações (4.13) e (4.16). O cálculo da tensão

si

no estádio II, depende do detalhamento final da armadura (figura 4.5). Conforme o cálculo à flexão, A’s = 0. Para a montagem das barras transversais (os estribos), deve-se ter em cada um dos seus vértices, mesmo quando não exigida pelo cálculo, uma barra longitudinal. Neste caso as duas barras longitudinais superiores, denominadas como “porta estribos” ou “monta estribos”, são comumente adotadas com b i-

tola no mínimo igual à dos estribos, ou seja,  ≥ 5 mm. Usando-se então, 2  5 mm, como “porta estribos”, o A’s = 2x0,196 = 0,39 cm2.

Para f ck ≤ 50 MPa e concreto produzido com brita gnaisse (α e = 1,0) vem: E ci  α e 5600 f ck  1,0x5600 35  33130MPa  3313kN/cm 2

4.23

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ α i  0,8  0,2

f ck 80

 0,8  0,2x

35 80

E cs  α i E ci  0,89x3313  2940kN/cm 2

 0,89

Com a relação entre os módulos do aço e do concreto n = 21000 / 2940 = 7,14, n’ = n – 1 = 6,14, As = Ase = 12,57 cm2, A’s = 0,39 cm2, d = 55 cm, d’ = 4 cm, obtém-se: A = (7,14 x 12,57 + 6,14 x 0,39) / 20 = 4,61 B = 2 x (7,14 x 12,57 x 55 + 6,14 x 0,39 x 4) / 20 = 494,58 X II   A 

I II 

A 2  B  4,61  4,612  494,58  18,10cm

20x18,10 3 3

 7,14x12,5755  18,10   6,14x0,39(18,10  4) 2  162212cm 4 2

Para Mserv = 153 kNm obtém-se:

σ si  n

M serv I II

(d  X II )  7,14x

15300 162212

55  18,10  24,85kN/cm 2

Pela equação (4.1) a abertura prevista da fissura independe da taxa ρri de cada barra da armadura de flexão, tendo um valor único:

w k 

i

σ si 3σ si

12,5η1 E si f ctm



20

24,85 3x24,85

12,5x2,25 21000 0,321

 0,20mm

Pela equação (4.2) a barra que tiver a menor taxa ρri terá o maior valor da abertura prevista da fissura, wk. Se todas as barras de flexão têm a mesma bitola, a que apresenta a menor taxa ρri é aquela que tem a maior área de envolvimento Acri. No detalhamento da figura 4.5 esta barra é a da segunda camada (barra 4).

4.24

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Fissuração ___________________________________________________________________________ w k 

 20 24,85  4    45    45   0,20mm  w k,4  12,5η1 E si  ρ ri   12,5x2,25 21000  0,0207 i

σ si  4

Para a barra central da primeira camada, barra 2, tem-se a maior taxa ρri e consequentemente a menor abertura wk,2 = 0,08 mm. A segurança ao estado limite de fissuração ELS-W será tanto maior quanto maior for a previsão da abertura da fissura. Neste caso adotando-se, como feito no cálculo de σsi aproximado, a taxa geométrica total de armadura ( ρr = 0,0267), obtém-se o valor wk = 0,16 mm. Este valor é menor que wk,4 = 0,20 mm, portanto contra a segurança com uma diferença de 20%, ainda considerada aceitável.

4.25


CISALHAMENTO __________________________________________________________________________

5.1 – Tensões de cisalhamento Considere, apenas por simplicidade, uma seção retangular submetida à fle xão simples inicialmente no Estádio I, ou seja, o concreto ainda não fissurado (fig. 5.1). Conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais, o diagrama de tensões de cisalhamento (ou tangenciais) e o diagrama de tensões normais estão indicados respectivamente nas fig. 5.1b e fig.5.1c. Na fig. 5.1b, representa a tensão de cisalhamento para pontos distantes y da linha neutra LN dada por:

bw V  2 VQ   τ bwI

 h  2  2    y    2    bwI

(5.1)

Onde V é a força cortante atuante na seção transversal, Q e I são, respectivamente, o momento estático da área A1 acima de y e o momento de inércia da seção, ambos em relação à linha neutra LN.

O valor de atinge o seu valor máximo

o, quando

y = 0, ou seja, na linha

neutra, onde Qmax = Q0 = (b w h2 / 8) . Nessas condições, para um diagrama linear de tensões normais a relação (I / Qo) = (2/3) h = Z, conforme a fig. 5.1c, representa o braço de alavanca entre as resultantes de compressão Rcc e de tração Rtc no concreto, podendo a equação (5.1) ser reescrita como:

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento ___________________________________________________________________________

Figura 5.1 – Viga com seção retangular submetida à flexão simples (Estádio I)

τ0 

VQ 0 bwI

V



bw

I



V bwZ

(5.2)

Q0

As equações (5.1) e (5.2) foram obtidas com as hipóteses da Resistência dos Materiais considerando-se material homogêneo, ou seja, concreto não fissurado, sendo portanto só aplicáveis no Estádio I, situação de ocorrência pouco comum para peças de concreto armado.

Considerando-se agora o concreto já fissurado, funcionando no Estádio II, as equações (5.1) e (5.2) serão válidas desde que se despreze a resistência do concreto tracionado abaixo da LN, considere distribuição linear de tensões de compressão no concreto e, além disso, que a armadura de tração As seja homogeneizada para uma nova área equivalente em concreto igual a (nAs), com “n” igual a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto. Nesse caso, ainda conforme as hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais compostos, a determinação da LN, que coincide com a profundidade da área comprimida, é obtida pela igualda-

5.2


de entre os momentos estáticos dessa área e da área tracionada (n As) em relação à LN. O dimensionamento no estado limite último para flexão simples, Estádio III, pressupõe diagrama parabólico (simplificado em retangular) de tensões de compressão no concreto oriundas do momento fletor de cálculo Md, de modo que não valem mais as equações (5.1) e (5.2), caso se pretenda obter com as mesmas o braço de alavanca Z, como relação entre I e Qo. No entanto a equação (5.2) continua válida desde que se adote para Z no estado limite último, o mesmo valor já obtido no dimensionamento à flexão, ou seja:

Z = d – 0,4 x = Kz d

(5.3)

No intuito de simplificar o cálculo adota-se um valor médio para Kz conforme a

NBR 6118 (2014) igual a 0,9, ficando portanto a tensão máxima de cisalhamento, equação (5.2), agora na situação de cálculo, dada por:

τ 0d 

Onde

0d

Vd b w .0,9.d



1,11.Vd

(5.4)

b w .d

e Vd são, respectivamente a tensão máxima de cisalhamento e a

força cortante de cálculo.

Define-se a partir da equação (5.4) uma tensão convencional de cisalhamento de cálculo, dada por,

 wd



Vd

(5.5)

b w .d

que não tem significado físico, apenas servirá de referência para verificações futuras da resistência da peça ao cisalhamento. Já a tensão dada pela equação (5.4) tem significado físico, representando a máxima tensão de cisalhamento na seção transversal, que pode ser reescrita conforme (5.5) como: 5.3

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento ___________________________________________________________________________ 0d =

1,11

wd

(5.6)

5.2 – Elementos lineares sujeitos à força cortante (Item 17.4 da NBR 6118:2014) 5.2.1 – Hipóteses básicas (17.4.1 da NBR 6118:2014) 

As prescrições que se seguem aplicam-se a elementos lineares, armados ou protendidos, submetidos à força cortante, eventualmente combinada com outros esforços.



Não se aplicam, portanto, a elementos de volume (ex.: bloco de fundação), lajes (tratada separadamente), vigas parede e consolos curtos.

Figura 5.2 – Elementos estruturais que não atendem as prescrições regulamentares da NBR 6118:2014 (item 17.4.1) As condições fixadas pela NBR-6118:2014 admitem dois modelos de cálculo em função da inclinação das “bielas” de compressão, conforme fig. 5.4, que pressupõem a analogia com o modelo em treliça de banzos paralelos, associados a mecanismos resistentes complementares desenvolvidos no interior do elemento estrutural, representado por uma componente adicional denominada Vc.

5.4


Figura 5.3 – Modelo de funcionamento de viga ao cisalhamento como treliça 5.2.2 – Condições gerais (item 17.4.1.1.1 da NBR 6118:2014) Todos os elementos lineares submetidos à força cortante, com exceção dos casos indicados no item seguinte, devem conter armadura transversal mínima

Asw,min constituída por estribos com taxa geométrica dada por:

ρ sw,min 

A sw,min b w .s.senα



0,2.f ct,m

(5.7)

f ywk

Onde bw é a largura média da alma, s é o espaçamento longitudinal dos estribos inclinados de um ângulo , f ct,m é a resistência média à tração do concreto e f ywk é a resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal. A resistência média à tração f ctm é dada nas equações (1.12a), para f ck ≤ 50 MPa e (1.12b) para f ck > 50 MPa (item 8.2.5 da NBR 6118:2014).

f ct,m = 0,3 (f ck)2/3

(MPa)

P/ concretos de classes até C50 5.5

(1.12a)*


f ct,m = 2,12 ln(1+0,11f ck)

(MPa) P/ concretos de classes C55 até C90

(1.12b)*

A resistência característica ao escoamento do aço da armadura (passiva) transversal Asw, segundo o item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014, é limitada ao valor f yd para estribos e a 70% deste valor no caso de barras dobradas. Em nenhum dos dois casos admite-se valores superiores a 435 MPa. Na prática, isto significa que teremos a mesma armadura transversal calculada para os aços CA 50 e CA 60.

f ywd = f yd

estribos

(5.8) 435 MPa

f ywd = 0,7 f yd

barras dobradas

(5.9)

A partir das equações (5.7), (1.12a) e (1.12b) para espaçamento s = 100 cm e estribos verticais,

A sw,min 

= 90o, obtém-se:

b w x100x10,2x0,3f ck 2/3  500

 ρ w,min b w

(5.10a) Para f ck ≤ 50 MPa

w,min

= 0,012 f ck (2/3)

A sw,min 

(5.10b)

b w x100x10,2x2,12ln1  0,11f ck  500

 ρ w,min b w

(5.11a) Para f ck > 50 MPa

w,min =

0,0848 ln (1 + 0,11 f ck )

Onde

w,min é

(5.11b)

a taxa mínima de armadura transversal, constituída por estribos

verticais em 1 m de viga. A partir das equações (5.10b) e (5.11b), com f ck expresso em MPa pode-se tabelar o valor de

w,min (tabela

5.1):

5.6


TABELA 5.1 – Valores de

w,min

Grupo I – f ck ≤ 50 MPa

Grupo II – f ck > 50 MPa

ρw,min = 0,012 f ck(2/3)

ρw,min = 0,0848 ln(1+0,11f ck)

f ck (MPa)

f ck (MPa)

w,min

w,min

20

0,088

55

0,166

25

0,103

60

0,172

30

0,116

65

0,178

35

0,128

70

0,183

40

0,140

75

0,189

45

0,152

80

0,194

50

0,163

85

0,198

-

-

90

0,203

5.2.3 – Fazem exceção ao item anterior (item 17.4.1.1.2 da NBR 6118:2014) 

a) Os elementos estruturais lineares com bw  5.d (em que d é a altura útil da seção), caso que deve ser tratado com laje (ver item 19.4 da NBR 6118 );



b) As nervuras de lajes nervuradas, descritas em 13.2.4.2-a) e b), que também podem ser verificadas como lajes. Nesse caso deve ser tomada como base a soma das larguras no trecho considerado, podendo ser dispensada a armadura transversal, quando atendido o disposto em 19.4.1;



c) Os pilares e elementos estruturais de fundação submetidos predominantemente à compressão, que atendam simultaneamente, na combinação mais desfavorável das ações em estado limite último, calculada a seção em estádio I, às condições seguintes: - nenhum ponto deve ser atingida a tensão f c tk ; - V sd ≤ V c , sendo V c definido em 17.4.2. 5.7


Neste caso, a armadura transvesal mínima é a definida na seção 18. (NBR 6118)

5.2.4 – Verificação do estado limite último (item 17.4.2 da NBR 6118:2014) 5.2.4.1 – Cálculo da resistência A resistência do elemento estrutural, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando são verificadas simultaneamente a ruína por esmagamento da biela comprimida (eq. 5.12) e pela ruptura da armadura transversal tracionada (eq. 5.13), traduzidas pelas seguintes condições:

VSd VRd2

(5.12)

VSd

(5.13)

VRd3 = Vc +Vsw

Onde

VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas, obtida de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante.

VRd3 = Vc +Vsw é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, onde Vc é a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça e Vsw é a parcela resistida pela armadura transversal, ambas obtidas de acordo o modelo de cálculo I ou II descritos adiante.

5.2.4.2 – Modelo de cálculo I O modelo de cálculo I admite diagonais de compressão inclinadas de

=45o

em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural e admite ainda que a parcela complementar Vc tenha valor constante, independente de VSd.

5.8


a) Verificação da compressão diagonal do concreto: VRd2 = 0,27

v2 f cd bw d

=

wd2 bw

d

(5.14)

onde: α v2  1 

τ wd2 

f ck

(f ck em MPa)

250

VRd2 b wd

 0,27α v2 f cd

obs.: - embora para o cálculo de

v2

(5.16)

a unidade utilizada seja o MPa , para a obten-

ção do esforço VRd2 em kN, deve-se calcular

A tensão

(5.15)

wd2 representa

wd2

em kN/cm2.

a tensão máxima convencional de cisalhamento, a-

nalogamente à tensão convencional de cisalhamento

wd

= (Vd / bwd), de tal forma

que para se verificar a resistência da diagonal comprimida, equação (5.12) escrita em termos de esforços, basta atender a seguinte expressão, escrita em termos de valores convencionais de tensões de cisalhamento: wd2

wd

(5.17)

Da fig. 5.4 nota-se que a resistência máxima na diagonal comprimida, Rcc,max, é dada por:

Rcc,max = Onde

cc,max b w z

cc,max

(1 + cotg ) sen

(5.18)

é a tensão normal máxima na diagonal comprimida de concreto.

5.9


TABELA 5.2 – Valores de Grupo I – f ck ≤ 50 MPa

wd2 (Modelo

I)


f ck (MPa)

2 wd2 (kN/cm )

f ck (MPa)

2 wd2 (kN/cm )

20

0,355

55

0,827

25

0,434

60

0,879

30

0,509

65

0,928

35

0,581

70

0,972

40

0,648

75

1,013

45

0,712

80

1,049

50

0,771

85

1,082

-

-

90

1,111

Figura 5.4 – Resultante resistente máxima da diagonal comprimida

Vsd = VRd2 = Rcc,max sen =

cc,max bw 0,9d

(1 + cotg ) sen2

5.10

(5.19)


De (5.14) e (5.19) com  = 45o, obtém-se:

VRd2 = wd2 =

wd2 (bw d)

0,45

=

cc,max (1

cc,max (1

+ cotg ) (bw d) 0,45

(5.20)

+ cotg )

Perpendicularmente à tensão

(5.21)

cc,max atua

uma tensão máxima de tração (es-

tado duplo de tensões produzido pela flexão nas vigas). Nesta situação não se pode considerar para

cc,max o

mesmo valor obtido nos ensaios de compressão simples

(estado simples de tensão), ficando o seu valor reduzido para

cc,max

= 0,6

(segundo o CEB). Com este valor e considerando-se estribos verticais, tém-se

wd2 =

0,45 x 0,6

x

v2 x f cd =

0,27

v2f cd,

v2

f cd

= 90 o, ob-

que é a mesma dada na equação

(5.16), definida pela NBR 6118:2014.

b) Cálculo da armadura transversal Na equação (5.13) VRd3 = Vc +Vsw, a primeira parcela corresponde a força cortante resistente absorvida por mecanismos complementares ao de treliça, que é dada no modelo I por:



Vc = 0

nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora

da seção



Vc = Vc0

na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção



Vc = Vc0 (1 + M0 / MSd,max)  2 Vc0

na flexo-compressão

Com

Vc0 = 0,6 f ctd bw d =

f ctd 

f ctk,inf γc



0,7f ct,m γc

c0 bw

d

(5.22)

(5.23) 5.11


0,21 (f ck)2/3 (MPa)

f ck ≤ 50 MPa

f ctk,inf = 0,7 f ct,m =

(1.13a)* 1,484 ln (1 + 0,11f ck)

(MPa)

f ck > 50 MPa

Onde f ctk,inf é a resistência característica inferior à tração, equações (1.13a). Tomando-se para o coeficiente de ponderação do concreto

c

= 1,4, a tensão con-

vencional de cisalhamento correspondente aos mecanismos complementares, (

c0),

pode ser dada pela seguinte expressão:

τ c0 

0,6f ctd 10

0,6x0,21



1,4x10

2/3 2/3  0,009f ck f ck

f ck≤50 MPa (5.24)

τ c0 

0,6f ctd 10



0,6x1,484 1,4x10

ln1  0,11f ck   0,0636ln1  0,11f ck 

Nas equações (5.24) a unidade da tensão

c0

f ck>50 MPa

é kN/cm2, motivo pelo qual as

expressões foram divididas por 10. Portanto nas equações (5.24) deve-se usar f ck em MPa, para se obter

c0

em kN/cm2. Os valores de

c0 para

os dois grupos de

classe de concreto estão apresentados na tabela 5.3.

Cabe salientar que as tensões convencionais de cisalhamento

wd,

wd2

e

c0

servem apenas de referência e devem ser usadas para a determinação das resultantes das forças cortantes Vsd =

wd (bwd), VRd2 =

5.12

wd2 (bwd) e Vc0 =

c0 (bwd).


TABELA 5.3 – Valores de Grupo I c0 =

f ck (MPa)

Grupo II

0,009f ck2/3 c0

c0

c0 =

(kN/cm2)

0,0636ln(1+0,11f ck)

f ck (MPa)

c0

(kN/cm2)

20

0,0663

55

0,124

25

0,0769

60

0,129

30

0,0869

65

0,133

35

0,0963

70

0,138

40

0,0963

75

0,141

45

0,114

80

0,145

50

0,122

85

0,149

-

-

90

0,152

Da equação (5.13) a parcela resistida pela armadura transversal tracionada

Vsw é determinada conforme o esquema mostrado na fig. 5.5.

Figura 5.5 – Resultante resistente da diagonal tracionada

5.13


A resultante Rst na direção da diagonal tracionada pode ser obtida pelo produto da área total de armadura, no trecho correspondente ao painel do modelo de treliça, pela tensão de escoamento de cálculo na armadura transversal. Considerando que área de uma barra da armadura transversal vale Asw e que o número de barras no comprimento do painel é [z(1+cotgα) / s], com s igual ao espaçamento das barras, a resultante Rst é dada por:

R st 

z 1  cotgα  s

Vsw  R st senα 

(5.25)

A sw f ywd

z 1  cotgα  s

A sw f ywd senα 

A sw s

z 1  cotgα f ywd senα

(5.26)

= 90o) em vigas submeti-

Para z = 0,9 d, considerando-se estribos verticais (

das à flexão simples (Vc = Vc0), a equação (5.13) dividida por (bw d) para transformar resultantes em tensões convencionais de cisalhamento fica:

Vsd



bwd

Vc0 bwd

Vsw



bwd

 τ wd

 A sw   0,9d(43,5) s   τ c0  

 A sw  τ wd  τ c0 b w  ρ* w b w   39,15  s 

Para s=100 cm, a taxa

ρ w  100ρ * w  100

(5.27)

bwd

*

w

(cm2 /cm)

se transforma na taxa

τ wd  τ c0

(5.28)

w

dada por :

(5.29)

39,15

e finalmente

Asw

w .

bw

(cm2 / m) 5.14

(5.30)


Fazendo na equação (5.29) o valor mínimo ma Asw,min =

τ wd,min 

w,min,

equações (5.10b) e (5.11b) obtém-se

para o modelo I, abaixo do qual a adoção da armadura míni-

wd,min,

w,min bw,

w =

absorve a totalidade do esforço de cisalhamento.

39,15ρ w,min 100

Com os valores de

 τ c0

w,min

(5.31)

e

c0 dados

em função do grupo de resistência dos

concretos, equações (5.10b), (5.11b) e (5.24) respectivamente, obtém-se duas expressões para o valor mínimo da resistência convencional de cisalhamento: Para o grupo I, ou seja, f ck ≤ 50 MPa

τ wd,min

2/3 39,15x0,012f ck 2/3 2/3   0,009f ck  0,0137f ck 100

(5.32)

Para o grupo II, ou seja, f ck > 50 MPa

τ wd,min 

39,15x0,0848ln1  0,11f ck  100

1  0,11f ck   0,0968ln1  0,11f ck  (5.33)  0,0636ln

Nas equações (5.32) e (5.33) a unidade de

wd,min

é kN/cm2 enquanto a uni-

dade do f ck é o MPa, ou seja, entra-se com a resistência do concreto em MPa para obter a tensão convencional mínima de cisalhamento em kN/cm2.

5.15


Tabela 5.4 – Valores de

wd,min para

o Modelo I

Grupo I

Grupo II

2/3 wd,min=0,0137f ck

f ck (MPa)

wd,min

wd,min=0,0968ln(1+0,11f ck)

(kN/cm2)

f ck (MPa)

wd,min

(kN/cm2)

20

0,101

55

0,189

25

0,117

60

0,196

30

0,132

65

0,203

35

0,147

70

0,209

40

0,160

75

0,215

45

0,173

80

0,221

50

0,186

85

0,226

-

-

90

0,231

c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado (item 17.4.2.2 da NBR 6118:2014) Quando a armadura longitudinal de tração (flexão) for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:



a L  d

VSd,max

 2VSd,max  Vc 



1  cotgα   cotgα   d 

Onde: a L = d a L a L

0,5 d 0,2 d

para V Sd,max ≤ V c (em módulo) no caso geral para estribos inclinados a 45º

5.16

(5.34)


Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores.

A decalagem do diagrama de força no banzo tracionado pode também ser obtida simplesmente empregando a força de tração, em cada seção, dada pela expressão:

1  M Sd,max M FSd,cor   Sd  VSd cotgθ  cotgα    2 Z  Z

(5.35)

Onde M Sd,Max é o momento fletor de cálculo máximo no trecho em análise.

5.2.4.3 – Modelo de cálculo II O modelo de cálculo II admite diagonais de compressão inclinadas de

, em

relação ao eixo longitudinal da peça, variando livremente entre 30 o e 45o. Admite ainda que a parcela complementar Vc sofra redução com o aumento de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto: A partir da equação (5.19) para valores de entre 30o e 45o e com

0,6

v2 f cd a

wd2 =

=

expressão para VRd2 fica:

Vsd = VRd2 = Rcc,max sen = (0,6 VRd2 = 0,54

cc,max

v2 f cd bw d

Com

v2 dado

0,54

2 v2 f cd sen

v2 f cd)

bw 0,9d (cotg + cotg ) sen2

sen2 (cotg + cotg ) =

na equação (5.15) e

wd2

(cotg + cotg )

5.17

wd2 bw

d

(5.36a) (5.36b)

dado por:

(5.37)


Para estribos verticais, ou seja,

= 90o, e para = 45o, os valores de

wd2 são

os mesmos do modelo I, dados na tabela 5.2.

b) – cálculo da armadura transversal VRd3 = Vc + Vsw



Vc = 0

(5.38)

nos elementos estruturais tracionados quando a LN se situa fora da seção



Vc = Vc1

na flexão simples e na flexo-tração com a LN cortando a seção



Vc = Vc1 (1 + M0 / MSd,max)  2 Vc1

na flexo-compressão

Com

Vc1 = Vc0 Vc1 = 0

quando VSd

Vc0

quando VSd = VRd2,

interpolando-se linearmente para valores

intermediários

Definindo-se analogamente uma tensão convencional de cisalhamento proveniente de Vc1, tem-se: τ c1 

Vc1

(5.39)

bwd

Os valores de Vc1, ou os correspondentes valores de tados na figura 5.6 seguinte:

5.18

c1,

podem ser represen-


Figura 5.6 – Valores de

Conforme figura 5.6 os valores de que

c0 (ou

Vc0) e menor que

wd2 (ou

c1 (ou

c1

Vc1) quando

wd (ou

VSd) é maior

VRd2) estão indicados no trecho inclinado, que

representa a interpolação linear dos valores de

c1 entre

c0

e

wd2,

dados na equa-

ção:

 τ  τ c0   τ c1  τ c0  1  wd  τ τ  wd2 c0 

(5.40)

A parcela de tração absorvida pela armadura transversal Vsw, conforme equação (5.26), é dada no modelo II por:

Vsw  R st senα 

z citgθ  cotgα  s

A sw f ywd senα 

5.19

A sw s

z cotgθ  cotgα f ywd senα

(5.41)


Analogamente ao desenvolvido no modelo I, dividindo-se a equação (5.13),

VSd ≤ Vc + Vsw, por bw d , fazendo-se em (5.41) z = 0,9 d,

= 90 o e s = 100 cm, ob-

tém-se a equação para a armadura transversal Asw no modelo II.

Asw =

w bw

ρ w  100

Com

c1 dado

(cm2 / m)

τ wd  τ c1

(5.42)

(5.43)

39,15cotgθ

na equação 5.40.

c) – deslocamento do diagrama de momentos fletores: Se forem mantidas as condições estabelecidas no modelo I, o deslocamento do diagrama de momentos fletores no modelo II deve ser:

al = 0,5 d (cotg - cotg )

(5.44)

onde

al

0,5 d, no caso geral

al

0,2 d, para estribos inclinados de 45º.

5.2.5 – Cargas próximas aos apoios Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação de apoio forem aplicadas em faces opostas do elemento estrutural, comprimindo-o), valem as seguintes prescrições:

a)

no trecho entre o apoio e a seção situada à distância d/2 da face do apoio,

a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada constante e igual à desta seção; 5.20


b)

a força cortante devida a uma carga concentrada a uma distância a 2d do

eixo teórico do apoio pode, nesse trecho de comprimento “a”, ser reduzida multiplicando-a por [a / (2d)]. c)

Figura 5.7 – Redução do cortante próximo aos apoios O valor final da força cortante com as reduções devidas à carga concentrada e à carga distribuída deve ser dada por:

VS,Red  VS,eixo  p

cd 2

-P

L - a  a  1   L  2d 

5.21

(5.45)


5.2.6 – Prescrições complementares da NBR 6118:2014 Item 18.3.3.2 t

5 mm

t

bw / 10

Diâmetro da armadura transversal Asw

wd

0,67

wd2

smax = 0,6 d 30 cm

wd

0,67

wd2

smax = 0,3 d 20 cm

Espaçamento máximo dos estribos

Item 17.4.1.1.3 A armadura transversal Asw pode ser constituída por estribos ou pela combinação de estribos e barras dobradas, entretanto essas últimas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura.

5.3 – Força cortante em lajes e elementos lineares com b w ≥ 5d (item 19.4 da NBR 6118:2014) 5.3.1 – Lajes sem armadura para força cortante Dispensa-se armadura transversal para resistir às forças de tração oriundas da força cortante em lajes maciças ou nervuradas, quando a força cortante de cálculo a uma distância d da face do apoio, obedecer à expressão:

VSd ≤ VRd1

ou

wd

≤

wd1

(5.46)

Sendo VRd1 a força cortante resistente de cálculo dada por:

VRd1 = [ Onde

Rd é

Rd k

(1,2 + 40 ρ1)] bw d = [

wd1]

bw d

(5.47)

a tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, dada

por: 5.22


Rd =

0,25 f ctd = 0,25 (f ctk,inf / γc)

(5.48)

Para γc = 1,4 e f ctk,inf conforme equação (1.13a), obtém-se:

0,0375 (f ck)2/3 (MPa) Rd =

f ck ≤ 50 MPa

0,179 f ctk,inf =

(5.49) 0,265 ln (1 + 0,11f ck)

(MPa)

f ck > 50 MPa

ρ1 é a taxa da armadura de tração As1 que se estende até não menos que (d

+ lb,nec), além da seção considerada. ( lb,nec é o comprimento necessário de ancoragem, definido no próximo capítulo). ρ1 = As1 / (bw d) ≤ 0,02

(5.50)

k é um coeficiente que tem os seguintes valores: k = 1 - para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o apoio

k = (1,6 – d) ≥ 1 - para os demais casos, com d em metros. Segundo o item 20.1 da NBR 6118:2014, em laje em que seja dispensada a armadura transversal, toda a armadura positiva deve ser levada até os apoios. Neste caso, só a segunda opção para o valor de k deve ser usada.

bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d. 5.3.2 – Lajes com armadura para força cortante Aplicam-se os mesmos critérios estabelecidos para vigas, considerando-se para a resistência de cálculo ao escoamento no cisalhamento (f ywd) os seguintes valores máximos: 5.23


- 250 MPa, para lajes com espessura até 15 cm; - 435 MPa, para lajes com espessura maior que 35 cm.

Para valores intermediários de espessura permite-se a interpolação linear resultando:

f ywd  250 

435  250 20

h  15

(MPa)

(5.51)

5.4 – Exemplos 5.4.1 - Exemplo 1 Calcular a armadura de cisalhamento para uma viga biapoiada de 4 m de vão, carga distribuída p = 25 kN/m, seção de 20X40 cm2, d=36 cm, f ck = 20 MPa, aço

CA-60. A largura dos apoios na direção do eixo da viga é c = 20 cm. Modelo de cálculo I a) verificação do concreto

R = p / 2 = 25 x 4 / 2 = 50 kN VS,max = R – p c / 2 = 50 – 25 x 0,20 / 2 = 47,5 kN (A força cortante máxima deve ser calculada na face do apoio) wd =

VSd,max / bw d = 47,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,092 kN/cm2 < wd2 = 0,355 kN/cm2 Como o valor da tensão convencional máxima de cisalhamento dado na tabe-

la 5.2, wd2 = 0,355 kN/cm2, é maior que o valor de

wd

= 0,092 kN/cm2, o concreto foi

verificado, ou seja, a biela comprimida de concreto não romperá.

5.24


b) cálculo da armadura

Asw =

w bw

com ρ w  100

τ wd  τ c0

Os valores de ρw,min e

39,15

c0 são

 100

0,092  0,0663 39,15

 0,066  ρ w,min  0,088

fornecidos nas tabelas 5.1 e 5.3, respectiva-

mente. Como o valor de ρw < ρw,min, isto implica em armadura transversal mínima, ou seja, Asw,min =

w,min

bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm2 /m. Usando-se estribos simples

(com dois ramos), a armadura será dada por: (Asw)/2 = 1,76 / 2 = 0,88 cm2/m → s = 100 / (0,88 / 0,196) =22,2 cm

Como

wd =

0,092 kN/cm2 

que implica em Asw = Asw,min =

wd,min =

w,min bw,

0,101 kN/cm2 (tabela 5.4),

 5 c/ 22 cm

w

=

w,min,

sem necessidade de calcular Asw.

Como (wd / wd2) = 0,092 / 0,355 = 0,26  0,67, o espaçamento máximo dos estribos fica:

smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!)

Modelo de cálculo II

( = 30o)

a) verificação do concreto wd = VSd,max / bw.d = 47,5 x 1,4 / (20 . 36) = 0,092 kN/cm2

Pela equação (5.37) para  = 30o, α = 90o e f ck = 20 MPa, obtém-se: 2 2 o o wd2=0,54v2f cdsen (cotg+cotg)=0,54[1-(20/250)](20/1,4)sen (30 )(0+cotg30 )

wd2 = 3,07 MPa = 0,307 kN/cm2.

wd = 0,092 kN/cm2 < wd2 = 0,307 kN/cm2

5.25

OK!

concreto verificado

o


b) cálculo da armadura

Como

wd =

0,092 kN/cm2 >

c0 =

0,0663 kN/cm2

 τ  τ c0   0,092  0,0663    0,0663 1  τ c1  τ c0  1  wd   0,0592   τ τ 0,307 0,0663    wd2 c0 

Asw =

w bw

ρ w  100

τ wd  τ c1 39,15cotg3 0o

 100

0,092  0,0592 39,15x1,732

 0,048  ρ w,min  0,088

Asw = Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm2/m Asw/2 = 0,88 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)

 5 mm c/ 22 cm

Como wd / wd2 = 0,092 / 0,307 = 0,30 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!)


( = 45o)

a) verificação do concreto wd = VSd / bw d = 47,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,092 kN/cm2 < wd2 = 0,355 kN/cm2

OK!

Pela equação (5.37) para  = 45o, α = 90o e f ck = 20 MPa, ou simplesmente pela tabela 5.2, obtém-se wd2 = 0,355 kN/cm2.

b) cálculo da armadura Como

wd =

0,092 kN/cm2 >

c0 =

0,0663 kN/cm2

5.26




0,092  0,0663 



0,355  0,0663 

τ c1  0,0663 1 

Asw =

w .

bw

ρw



com

100

  0,0604

w = 100(wd - c1) / (39,15 x cotg), para  = 45o

0,092  0,0604 39,15x1



0,047  ρ w,min



0,088

Asw = Asw,min = w,min bw = 0,088 x 20 = 1,76 cm2/m


Asw/2 = 0,88 cm2/m

 5 mm c/ 22 cm

Como wd / wd2 = 0,092 / 0,355 = 0,26 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!) Observa-se neste exemplo que o valor calculado de ρw = 0,047 para

= 45o e α =

90o, é menor que o valor calculado nas mesmas condições considerando-se o modelo de cálculo I, ρw = 0,066. Isto se deve à diferença das teorias adotadas para os dois modelos.

Como no modelo II a taxa ρw é menor, consequentemente a armadura também será menor. No entanto, a tensão convencional máxima de cisalhamento é menor no modelo II (wd2 = 0,307 no modelo II < wd2 = 0,355 no modelo I). Portanto, o cálculo da armadura transversal de cisalhamento pelo modelo II é sempre mais econômico, desde que se verifique a tensão no concreto.

5.4.2 - Exemplo 2 Mesmos dados do exemplo I, com carga di stribuída p = 50 kN/m

Modelo de cálculo I (sem redução do cortante no apoio) a) verificação do concreto

R = p / 2 = 50 x 4 / 2 = 100 kN 5.27


VS,max = R – p c / 2 = 100 – 25 x 0,20 / 2 = 97,5 kN wd =

VSd,max / bw d = 97,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,190 kN/cm2 < wd2 = 0,355 kN/cm2 OK!

b) cálculo da armadura Como wd = 0,190 kN/cm2 > wd,min = 0,101 kN/cm2 (tabela 5.4)

Asw =

w bw

com

w = 100 (wd - c0) / 39,15

2

c0 = 0,0663 kN/cm

w = 100 (0,190 – 0,0663) / 39,15 = 0,316 > w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = 0,316 x 20 = 6,32 cm2/m


Asw/2 = 3,16 cm2/m

 5 mm s = 100 / (3,16/0,196) = 6,2

→  5 mm c/ 6 cm

 6 mm s = 100 / (3,16/0,283) = 9,0

→  6 mm c/ 9 cm

 8 mm s = 100 / (3,16/0,503) = 15,9 →  8 mm c/ 15 cm

Como wd / wd2 = 0,190 / 0,355 = 0,54  0,67 smax = 0,6d = 0,6 . 36 = 22 cm (OK!)

Modelo de cálculo I (com redução do cortante no apoio) a) verificação do concreto

R = p / 2 = 50 x 4 / 2 = 100 kN VS,max = R – p c / 2 = 100 – 25 x 0,20 / 2 = 97,5 kN VS,Red = R – p (c + d) / 2 = 100 – 25 x (0,20 + 0,36) / 2 = 93 kN wd =

VSd,max / bw.d = 97,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,190 kN/cm2 < wd2 = 0,355 kN/cm2 OK! 5.28


Obs.: a verificação do concreto deve ser feita com a força cortante SEM REDUÇÂO. b) cálculo da armadura O cálculo da armadura pode ser feito com o cortante reduzido, VS,Red. wd,Red = VSd,Red / bw d = 93 x 1,4 / (20 x 36) = 0,181 kN/cm2 > wd,min = 0,101 kN/cm2,

Asw =

w bw

com

w = 100 (wd,Red - c0) / 39,15

2

c0 = 0,0663 kN/cm

w = 100 (0,181 – 0,0663) / 39,15 = 0,293 > w,min = 0,088 (tab. 5.1), portanto

Asw = 0,293 x 20 = 5,86 cm2/m


Asw/2 = 2,93 cm2/m

 5 mm s = 100 / (2,93/0,196) = 6,7

→  5 mm c/ 6 cm

 6 mm s = 100 / (2,93/0,283) = 9,7

→  6 mm c/ 9 cm

 8 mm s = 100 / (2,93/0,503) = 17,2 →  8 mm c/ 17 cm



( = 30o)

a) verificação do concreto wd = VSd,max /b w d = 97,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,190 kN/cm2 < wd2 = 0,307 kN/cm2 (OK!)

b) cálculo da armadura Como

wd =

0,190 kN/cm2 >



τ wd  τ c0 

τ c1  τ c0  1 



c0 =

0,0663 kN/cm2

 0,190  0,0663    0,0663 1    0,0322  τ wd2  τ c0  0,307 0,0663  

5.29


Asw =

w bw

ρ w  100

0,190  0,0332 39,15xcotg30o

 0,231  ρ w,min  0,088

Asw = 0,231 x 20 = 4,62 cm2/m


Asw/2 = 2,31 cm2/m

 5 mm s = 100 / (2,31/0,196) = 8,5

→  5 mm c/ 8 cm

 6 mm s = 100 / (2,31/0,283) = 12,3

→  6 mm c/ 9 cm

 8 mm s = 100 / (2,31/0,503) = 21,8

→  8 mm c/ 21 cm

Como wd / wd2 = 0,190 / 0,307 = 0,62 < 0,67 smax = 0,6d = 0,6 x 36  22 cm (OK!)

Modelo de cálculo II (ângulo qualquer, por exemplo = 35o) a) verificação do concreto wd = VSd,max /b w d = 97,5 x 1,4 / (20 x 36) = 0,190 kN/cm2

2

o

o

2

wd2 = 0,54 x [1 - (20/250)] x (2,0 / 1,4) x sen (35 ) x (0+cotg35 ) = 0,333 kN/cm

Como wd = 0,190 kN/cm2 < wd2 = 0,333 kN/cm2, concreto verificado.

b) cálculo da armadura Como wd = 0,190 kN/cm2 > c0 = 0,0663 kN/cm2



0,190  0,0663 



0,333  0,0663 

τ c1  0,0663 1 

Asw = w bw

com

  0,0355

o

w = 100 (wd - c1) / (39,15 x cotg35 )

5.30

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Cisalhamento ___________________________________________________________________________ w = 100 (0,190 - 0,0355) / (39,15 x cotg35o) = 0,276 > w,min = 0,088

(tab. 5.1)

Asw = 0,276 x 20 = 5,52 cm2/m

Para estribos simples (dois ramos)  5 mm s = 100 / (2,76/0,196) = 7,1

Asw/2 = 2,76 cm2/m

→  5 mm c/ 7 cm

 6 mm s = 100 / (2,76/0,283) = 10,3 →  6 mm c/ 10 cm  8 mm s = 100 / (2,76/0,503) = 18,2 →  8 mm c/ 18 cm


5.31

CONCRETO ARMADO I - CAPÍTULO 6 Departamento de Engenharia de Estruturas – EE-UFMG Abril 2014

VERIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA __________________________________________________________________________

Segundo a NBR 6118:2014 no capítulo 9, devem ser obedecidas no projeto as exigências estabelecidas nesse capítulo, relativas à aderência, ancoragem e emendas das armaduras.

6.1 – Posição da barra durante a concretagem Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes: a) com inclinação superior a 45o sobre a horizontal (fig. 6.1a); b) horizontais ou com inclinação menor que 45o sobre a horizontal, desde que: 

para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (fig. 6.1b);



para elementos estruturais com h  60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima (fig. 6.1c).

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes devem ser consideradas em má situação quanto à ader ência.

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência ___________________________________________________________________________

Figura 6.1 – Zonas de Boa e Má aderência 6.2 – Valor da resistência de aderência (item 9.3.2.1 da NBR 6118:2014) A resistência de aderência de cálculo entre armadura e o concreto na ancoragem de armaduras p a s s i v a s deve ser obtida pela seguinte expressão:

f bd =

1

2

3 f ctd

(6.1)

Onde:

0,21 (f ck)2/3 / f ctd = f ctk,inf /

c

c

(MPa)

=

(6.2a) 1,484 ln (1 + 0,11f ck) /

Para

f ck ≤ 50 MPa

c =

c

(MPa)

f ck > 50 MPa

1,4, tem-se:

0,15 (f ck)2/3

(MPa)

f ck ≤ 50 MPa

f ctd =

(6.2b) 1,06 ln (1 + 0,11f ck) 6.2

(MPa)

f ck > 50 MPa

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência ___________________________________________________________________________ 

1 = 1,0 para barras lisas (CA 25);



1 = 1,4 para barras entalhadas (CA 60);



1 = 2,25 para barras nervuradas (CA 50);



2 = 1,0 para situações de boa aderência;



2 = 0,7 para situações de má aderência;



3 = 1,0 para  < 32 mm;



3 = (132 - ) / 100, para  ≥ 32 mm, com  (diâmetro da barra) em

mm.

TABELA 6.1 – Valores da resistência de aderência f bd Aço CA 50, boa aderência, < 32 mm Grupo I – f ck ≤ 50 MPa


f bd = [0,3375 f ck(2/3) / 10[

f bd = [2,385 ln(1+0,11f ck) / 10]

f ck (MPa)

f bd (kN/cm )

f ck (MPa)

f bd (kN/cm )

20

0,249

55

0,466

25

0,289

60

0,484

30

0,326

65

0,500

35

0,361

70

0,516

40

0,395

75

0,531

45

0,427

80

0,544

50

0,458

85

0,557

-

-

90

0,570

Segundo o item 9.3.2.3 da NBR 6118:2014:

No escorregamento da armadura, em elementos estruturais fletidos, devem ser adotados os valores da tensão de aderência dada acima multiplicada por 1,75. 6.3


6.3 – Ancoragem das armaduras (item 9.4 da NBR 6118:2014) Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que os esforços a que estejam submetidas sejam integralmente transmitidos ao concreto, seja por meio de aderência ou de dispositivos mecânicos ou combinação de ambos.

6.3.1 – Ancoragem por aderência Acontece quando os esforços são ancorados por meio de um comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho.

Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo próprio concr eto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra ancorada for maior ou igual a 3 e a distância entre barras ancoradas for maior ou igual a 3  .

6.3,2 – Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos Acontece quando as forças a ancorar são transmitidos ao concreto por meio de dispositivos mecânicos acoplados à barra.

6.3.3 – Ancoragem de armaduras passivas por aderência As barras tracionadas podem ser ancoradas ao longo de um comprimento retilíneo ou com grande raio de curvatura em sua extremidade, de acordo com as condições seguintes:



as barras lisas obrigatoriamente devem ter ganchos;



as barras que tenham alternância de solicitação, tração e compressão, não devem ter ganchos 6.4

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência ___________________________________________________________________________ 

com ou sem gancho, nos demais casos, não sendo recomendado o gancho para barras de  > 32 mm ou para feixe de barras.

As barras comprimidas devem ser ancoradas sem ganchos.

6.3.4 – Ganchos das armaduras de tração Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de tração podem ser:



semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2;



em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 4;



em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8.

Para as barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares.

O diâmetro interno da curvatura dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual ao estabelecido na tabela 6.2.

Tabela 6.2 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) Tipo de aço Bitola

CA - 25

CA - 50

CA - 60

< 20

4

5

6

 20

5

8

-

mm

6.5


6.4 – Comprimento de ancoragem básico Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Fd = As . f yd nessa barra, admitindo-se ao longo desse comprimento uma tensão de aderência constante e igual a f bd, conforme apresentado na figura 6.2.

Figura 6.2 – Comprimento de ancoragem reto Para determinar o comprimento reto básico de ancoragem lb deve-se igualar a máxima força Fd de tração que uma barra com diâmetro

pode suportar com a força

interna produzida pelas tensões de aderência f bd, resultando:

Fd

lb





π

 2 4

 f yd 4 f bd

f yd





(6.3)

 .l b f bd

π

(6.4)

25

A partir da equação (6.4) pode-se tabelar os valores do comprimento de ancoragem básico para o aço CA-50, situação de boa aderência, s = 1,15, c = 1,4 e  < 6.6


32 mm, para concreto com f ck ≤ 50 MPa, tabela 6.3.

Tabela 6.3 – Valores de lb para aço CA-50, s = 1,15, c = 1,4, boa aderência, < 32 mm e concretos com f ck ≤ 50 MPa Concreto Classe I (f ck ≤ 50 MPa) Valores de lb em função do diâmetro (arredondados para o múltiplo Bitola (mm)

de 5 cm, imediatamente superior)

C 20

C 25

C 30

C 35

C 40

C 45

(43,71 ) (37,67 ) (33,36 ) (30,10 ) (27,54 ) (25,46 )

C 50 (25 )*

10

45 cm

40 cm

35 cm

35 cm

30 cm

30 cm

25 cm

12,5

55 cm

50 cm

45 cm

40 cm

35 cm

35 cm

35 cm

16

70 cm

65 cm

55 cm

50 cm

45 cm

45 cm

40 cm

20

90 cm

80 cm

70 cm

65 cm

60 cm

55 cm

50 cm

22

100 cm

85 cm

75 cm

70 cm

65 cm

60 cm

55 cm

25

110 cm

95 cm

85 cm

80 cm

70 cm

65 cm

65 cm

Observando-se a tabela acima nota-se que para f ck = 50 MPa o valor calculado de lb seria 23,73, menor que 25 , que é o valor mínimo dado na equação (6.4). Desta maneira não é necessário calcular os valores dos comprimentos básicos para os concretos do grupo II, pois o maior comprimento seria para f ck = 55 MPa, com lb =

23,35 < 25 . Portanto para concretos do grupo II (f ck > 50 MPa), aço CA-50, s = 1,15, c = 1,4, boa aderência e  < 32 mm, o valor do comprimento básico é constante e igual a 25 .

6.5 – Comprimento de ancoragem necessário O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

6.7

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência ___________________________________________________________________________ l b,nec



α

1l b

A s,cal A se

(6.5)

 l b,min

onde: 

1 = 1,0 para barras sem gancho,



1 = 0,7 para barras tracionadas com gancho, com cobri-

mento no plano normal ao do gancho ≥ 3 , 

lb é calculado conforme equação (6.4);



lb,min é o comprimento mínimo de ancoragem, dado por:

0,3 lb l b,min

>

10

(6.6)

10 cm 6.6 – Armadura transversal na ancoragem Para efeito desse item, observado o item 6.3.1, consideram-se as armaduras existentes ao longo do comprimento de ancoragem, caso a soma das áreas dessas armaduras seja maior ou igual às especificadas abaixo:



Barras com < 32 mm

ao longo do comprimento de ancoragem deve ser

prevista armadura transversal capaz de resistir a 25 % da força longitudinal de uma das barras ancoradas. Se a ancoragem envolver barras diferentes, prevalece para esse efeito, a barra de maior diâmetro.



Barras com

32 mm

deve ser verificada a armadura em duas direções

transversais ao conjunto de barras ancoradas. Essas armaduras transversais devem suportar os esforços de fendilhamento segundo os planos críticos, respeitando espaçamento máximo de 5 .

6.8

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Aderência _____________________ ________________________________ ______________________ ______________________ _____________________ _____________________ ___________

6.7 – Ancoragem de feixes de barras, por aderência Considera-se o feixe como uma barra de diâmetro diâmetro equivalente igual a:

 n

Onde

n

  f

(6.7)

n

é o diâmetro equivalente do feixe constituído de n barras com diâmetro

f .

6.8 – Ancoragem de estribos (item 9.4.6 da NBR 6118:2014) A ancoragem dos estribos deve necessariamente necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras longitudinais soldadas.

Os ganchos dos estribos (com diâmetro t) podem ser:



Semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de comprimento igual a 5 t, porém não inferior a 5 cm;



Em ângulo reto, com ponta reta de comprimento comprimento maior ou igual igual a 10 10 t, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos).

O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual aos estabelecidos na tab. 6.3.

Tabela 6.3 – Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos Bitola

Tipo de aço

mm

CA - 25

CA - 50

CA - 60

 10

3 t

3 t

3 t

10 <  < 20

4 t

5 t

-

 20

5 t

8 t

-

6.9


6.9 – Emendas das barras 6.9.1 – Tipos As emendas podem ser: 

Por traspasse (transpasse ou trespasse);



Por luvas com preenchimento metálico, rosqueadas ou prensadas;



Por solda;



Por outros dispositivos devidamente devidamente justificados.

6.9.2 – Emendas por traspasse Esse tipo de emenda não é permitido para barras de bitola maior que 32 mm. Cuidados especiais devem ser tomados na ancoragem e na armadura de costura dos tirantes e pendurais (elementos estruturais lineares de seção inteiramente tracionada).

No caso de emenda de feixe de barras, o diâmetro equivalente não deve ser superior a 45 mm.

6.9.2.1 – Proporção das barras emendadas Consideram-se como na mesma seção transversal as emendas que se superpõem ou cujas extremidades mais próximas estejam afastadas de menos que 20 % do comprimento do trecho do traspasse. t raspasse.

Quando as barras têm diâmetros diferentes, o comprimento de traspasse deve ser calculado pela barra de maior diâmetro.

6.10


Figura 6.3 – Emendas consideradas na mesma seção transversal A proporção máxima de barras tracionadas tr acionadas da armadura principal emendadas emendadas por traspasse na mesma seção transversal do elemento estrutural está indicada na tabela 6.5 abaixo:

Tabela 6.5 – Proporção máxima de barras tracionadas emendadas em uma mesma seção Tipo de Tipo de barra

Situação

Estático

Dinâmico

100 %

100 %

50 %

50 %

 < 16 mm

50 %

25 %

  16 mm

25 %

25 %

Em uma camada Alta resistência

Em mais de uma camada

Lisa

carregamento

6.11


Quando se tratar de armadura permanentemente comprimida ou de distribuição, todas as barras podem ser emendadas na mesma seção.

6.9.2.2 – Comprimento de traspasse para barras tracionadas, isoladas Quando a distância livre entre barras emendadas estiver compreendida entre 0 e 4 , o comprimento do trecho de traspasse para barras tracionadas deve ser:

l0t =

0t lb,nec

≥ l0t,min

0,3 Onde:

l0t,min

>

(6.8)

0t lb

15

(6.9)

20 cm 0t é

o coeficiente função da porcentagem de barras emendadas na

mesma seção, conforme a tabela 6.6.

Quando a distância livre entre barras emendadas for maior que 4 , ao comprimento calculado acima, deve ser acrescida a distância livre entre barras emendadas. A armadura transversal na emenda deve ser justificada, atendendo ao estabelecido em 6.9.2.4.

Tabela 6.6 – Valores do coeficiente

0t

Barras emendadas na mesma seção (%) Valores de

0t

20

25

33

50

> 50

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

6.12


6.9.2.3 – Comprimento por traspasse de barras b arras comprimidas, isoladas Quando as barras estiverem comprimidas, adota-se a seguinte expressão para o cálculo do comprimento de traspasse:

l0c = lb,nec l0c,min

(6.10)

0,6 lb Onde:

l0c,min >

15

(6.11)

20 cm 6.9.2.4 – Armadura transversal nas emendas por traspasse, em barras isoladas i soladas 6.9.2.4.1 – Emendas de barras tracionadas da armadura principal (ver fig. 6.4) Quando  < 16 mm ou a proporção de barras emendadas na mesma seção for menor que 25 %, a armadura transversal deve satisfazer ao item 6.6.

Nos casos em que  ≥ 16 mm ou quando a proporção de barras emendadas na mesma seção for maior ou igual a 25 %, a armadura tran sversal deve:



Ser capaz de resistir a uma uma força igual à de uma uma barra emenda, emenda, considerando os ramos paralelos ao plano da emenda;



Ser constituída constituída por barras barras fechadas se a distância entre as duas barras barras mais mais próximas de duas emendas na mesma seção for < 10  (  = diâmetro da barra emendada);



Concentrar-se nos terços extremos das emendas.

6.9.2.4.2 – Emendas de barras comprimidas (ver fig. 6.4) Devem ser mantidos os critérios estabelecidos para o caso anterior, com pelo menos

6.13


uma barra da armadura transversal posicionada 4  além das extremidades da emenda.

Figura 6.4 – Armadura transversal nas emendas

6.14


DETALHAMENTO DE VIGAS __________________________________________________________________________

7.1 - Introdução O detalhamento de elementos lineares constitui o capítulo 18 da NBR

6118:2014. No intuito de fixar os conceitos para o cálculo das armaduras longitudinais destinadas a resistir às forças de tração produzidas pela flexão e das armaduras transversais para combater a força cortante são calculadas e detalhadas vigas biapoiadas e contínuas em concreto armado. O correto detalhamento destas armaduras longitudinais e transversais é uma tarefa importante no projeto de vigas de concreto armado.

Segundo o item 18.2.1 da NBR 6118:2014 “o arranjo das armaduras deve atender não só à sua função estrutural como também às condições adequadas de execução, particularmente com relação ao lançamento e ao adensamento do concreto. Os espaços devem ser projetados para a introdução do vibrador e de modo a impedir a segregação dos agregados e a ocorrência de vazios no interior do elemento estrutural.

”

Algumas barras da armadura longitudinal, tracionadas pela flexão, podem ser dobradas para resistir à força cortante ou são necessárias em nós de pórticos. O diâmetro interno de curvatura destas barras (diâmetro dos pinos de dobramento para barras curvadas) não deve ser menor que 10 para aço CA-25, 15 para CA-50 e

18 para CA-60 (item 18.2.2 da NBR 6118:2014). Estes diâmetros de curvatura podem ser reduzidos proporcionalmente à redução da tensão de cálculo nestas arma-

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento ___________________________________________________________________________

duras de tração em relação à tensão de escoamento de cálculo, f yd, mas nunca a valores inferiores aos exigidos para os ganchos (ver tabela 6.2).

As prescrições que se seguem são válidas para vigas isostáticas com relação

( /h) ≥ 2 e para vigas contínuas com relação ( /h) ≥ 3, em que é o comprimento do vão teórico (ou o dobro do comprimento teórico, no caso de balanço) e h é a altura total da viga. Vigas com relação ( /h) menores devem ser tratadas como viga parede.

7.2 – Armadura de tração na flexão simples, ancoradas por aderência Segundo o item 18.3.2.3.1 da NBR 6118:2014, o trecho adicional da extremidade da barra de tração, considerado como de ancoragem, tem início na seção teórica onde sua tensão σs começa a diminuir, ou seja, a força de tração da armadura começa a ser transferida para o concreto, ponto A da figura 7.1. A partir do ponto A, que pertence ao diagrama de forças de tração RSd=(Md)/z decalado (deslocado) de

, acrescenta-se o comprimento necessário de ancoragem,

a

b,nec dado

na equação

(6.5). A extremidade desta barra ancorada deve prolongar-se até pelo menos 10 além do ponto teórico de tensão σs nula, ponto B, (onde teoricamente começa o trecho de ancoragem da próxima barra). O trecho além do ponto A não pode em caso algum, ser inferior ao comprimento necessário de ancoragem

b,nec.

Assim, na armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais solicitados por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra deve ter início no ponto A (figura 7.1) do diagrama de forças RSd=(Md)/z decalado de

a ,

conforme equações

(5.34), para modelo I e (5.44), para modelo II. Este diagrama deslocado equivale ao diagrama de forças corrigido FSd,corr , equação(5.35). Se a barra não for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se além de B, no mínimo 10 .

7.2


Figura 7.1 – Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama resistente (Adaptado da figura 18.3 da NBR 6118:2014) Nos pontos intermediários entre A e B, o diagrama resistente linearizado (tracejado) deve cobrir o diagrama solicitante (ver figura 7.1). Se o ponto A estiver na face do apoio ou além dela e a força FSd diminuir em direção ao centro de apoio, o trecho de ancoragem deve ser medido a partir dessa face e deve obedecer ao disposto em 7.3-b.

Na figura 7.1 o apoio da esquerda, em destaque, tem inicialmente um momento fletor nulo. Considerando o diagrama deslocado de metido a um pequeno momento fletor

a

este apoio estará sub-

M = RSd x z. O valor médio de z = 0,9 d, já

utilizado no cálculo da armadura de cisalhamento (capítulo 5), pode ser tomado como aproximadamente z ≈ d , devido ao pequeno valor de

M. A armadura de tração

devido à flexão deve sempre trabalhar com σsd = f yd, o que implica em: 7.3


RSd = As f yd

(7.1)

No triangulo formado pelos catetos

a

M, o ângulo

e

é a direção do dia-

grama de momentos na seção do apoio, cuja tangente dá a derivada deste diagrama em relação ao eixo longitudinal da viga (x). A partir das relações diferenciais relacionando os esforços solicitantes tem-se:

tgα 

dM Sd, apoio dx

 VSd,apoio 

ΔM d



R Sd z

a



R Sd d

a

a

(7.2)

De (7.1) e (7.2) calcula-se a armadura de tração necessária no apoio:

VSd,apoio 

R Sdd a

apoio



As,cal f ydd a

 Aapoio  s,cal

a  VSd,apoio d

f yd

(7.3)

7.3 – Armadura de tração nas seções de apoio Segundo o item 18.3.2.4 da NBR 6118:2014, os esforços de tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por armaduras longitudinais que satisfaçam à mais severa das seguintes condições:

a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas através do dimensionamento da seção; b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de compressão, armaduras capazes de resistir a uma força de tração FSd = (a /d) Vd +

Nd, onde Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente existente, mesma equação (7.3) para N = 0; c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da armadura de tração do vão ( As,vão), correspondente ao máximo momento positivo do tramo (Mvão), de modo que: 7.4


- As,apoio ≥ 1/3 (As,vão) se Mapoio for nulo ou negativo e de valor absoluto

Mapoio ≤ 0,5 Mvão; - As,apoio ≥ 1/4 (As,vão) se Mapoio for negativo e de valor absoluto

Mapoio > 0,5 Mvão. 7.4 – Ancoragem da armadura de tração no apoio Quando se tratar do caso de 7.3-a), as ancoragens devem obedecer aos critérios da figura 7.1. Para os casos de 7.3-b) e c), em apoios extremos, as barras das armaduras devem ser ancoradas a partir da face do apoio, com comprimentos iguais ou superiores ao maior dos seguintes valores: -

b,nec

conforme equação (6.5);

- (r + 5,5 ), onde r é o raio de curvatura dos ganchos, conforme tabela 6.2; - 60 mm.

Quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não ocorrerem com grande frequência com seu valor máximo, o primeiro dos três valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições restantes.

Para os casos de 7.3-b) e c), em apoios intermediários, o comprimento de ancoragem pode ser igual a 10 , desde que não haja qualquer possibilidade da ocorrência de momentos positivos na região dos apoios, provocados por situações imprevistas, particularmente por efeitos de vento e eventuais recalques. Quando essa possibilidade existir, as barras devem ser contínuas ou emendadas sobre o apoio.

7.5 - Viga 1 Calcular e detalhar uma viga biapoiada com vão

= 5 m, seção 20x50 cm2 (d

= 46 cm), f ck = 25 MPa (brita calcaria), aço CA 50 (flexão) e/ou CA 60 (cisalhamento), apoio da esquerda com largura cesq = 20 cm e da direita cdir = 30 cm, obra residencial urbana ( wk,lim = 0,3 mm, cnom = 3 cm), reação das lajes RL = G L + Q L = 22 + 7.5


8 = 30 kN/m, alvenaria de tijolos furados com espessura de 25 cm e altura de 2,8 m sobre a viga.

7.5.1 – Carga sobre a viga Peso próprio

pp = 0,2 x 0,5 x 25 = 2,5 kN/m

Peso da alvenaria palv = 0,25 x 2,80 x 13 = 9,1 kN/m g = 2,5+9,1+22 = 33,6 kN/m Reação das lajes

parcela permanente = 22 kN/m

Reação das lajes

parcela acidental

q = 8 kN/m

Reação total

p = g + q = 33,6 + 8

p = 41,6 kN/m

7.5.2 – Esforços Reação

R = p  / 2 = 41,6 x 5 / 2 = 104 kN

MS,max = p 2 / 8 = (33,6 + 8 = 41,6) x 52 / 8 = 105 (Mg) + 25 (Mq) = 130 kNm 7.5.3 – Cálculo da armadura de flexão f c = 1,518 kN/cm2

Tabela 1.11

K = (13000 x 1,4) / [1,518 x 20 x (46)2] = 0,283 < KL = 0,295

K’ = K = 0,283

As = As1 = (1,518 x 20 x 46 / 43,5) x [1 – (1 – 2 x 0,283)1/2] = 10,96 cm2 (d/h) = 46 / 50 ≈ 0,90

As2 = A’s = 0

As,min = 0,15% x 20 x 50 = 1,5 cm2 < As = 10,96 cm2

usando 2  5 mm como “porta-estribo” A’se = 0,39 cm2

Usando  = 16 mm (2,011 cm2)

6  16 mm

7.5.4 – Verificação da fissuração f ctm = 0,3 x (25)2/3 = 2,56 MPa = 0,256 kN/cm2 7.6

Ase = 6 x 2,011 ≈ 12,1 cm2

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento ___________________________________________________________________________ γf2

= ψ1 = 0,4

γf =

combinação frequente, edifício residencial

(1,4 x 130) / (105 + 0,4 x 25) = 1,58 > 1,4

Usando-se a equação (4.1) que não depende do detalhamento (ρri) para

i =

16 mm, e tensão σsi calculada de forma aproximada:

σ si 

w k 


i

43,48 10,96



1,58 12,1

σ si 3σ si



12,5η1 E si f ctm

 24,93kN/cm 2

16

24,93 3x24,93

12,5x2,25 21000 0,256

 0,20mm  0,3mm

(OK!)

Alternativamente a verificação da fissuração pode ser feita pela equação (4.13), originada da equação (4.1) acima, resultando:

A se A s,cal




a w  7,361  10

5





3x2,483x10 3 x43,48

Φi γ f Wk

1,58x0,256

 7,361x10 5

 0,9  A se  A s,cal  10,96cm 2

16 1,58x0,3

 2,483x103

com

equação (4.17)

7.5.5 – Cálculo da armadura de cisalhamento Para o cálculo da tensão convencional máxima de cisalhamento ça cortante máxima deve ser obtida na face do apoio:

VS,max = R - p x cesq / 2 = 104 - 41,6 x 0,2 / 2 = 99,84 kN wd,max =

VSd,max / (bw d) = (99,84 x 1,4) / (20 x 46) = 0,152 kN/cm2

Verificação do esmagamento da biela comprimida de concreto wd,max < wd2 =

0,434 kN/cm2, tab. 5.2

( concreto OK!)

7.7

wd,max a

for-


Cálculo da armadura de cisalhamento (modelo I) c0 =

0,0769 kN/cm2, tab. 5.3

ρw = 100 (0,152 – 0,0769) / 39,15 = 0,192 > ρw,min = 0,103, tab. 5.1

Asw = 0,192 x 20 = 3,84 cm2/m Considerando estribo simples (dois ramos) Asw / 2 = 1,92 cm2/m Usando t = 5 mm (0,196 cm2)

s = 100 / (1,92 / 0,196) = 10,2 cm

Espaçamento máximo wd,max /

wd2

Estribo final

= 0,152 / 0,434 = 0,35 < 0,67

smax = 0,6 d = 0,6 x 46 ≈ 27 cm (OK!)

5 c/10 cm

7.5.6 – Detalhamento da seção transversal bútil = 20 – 2 x (3 + 0,5) = 13 cm n ,cam = (13 + 2) / (1,6 + 2) = 4,2

4  16 mm na 1a e 2  16 mm na 2a camada

d’’real = [4 x (3,5 + 0,8) + 2 x (3,5 + 1,6 + 2 + 0,8)] / 6 = 5,5 cm > d’’adot = 4 cm

dreal = 50 – 5,5 = 44,5 cm < dadot = 46 cm Kcorrigido = 0,303 > KL = 0,295

K’ = KL = 0,295

As1 = (1,518x20x44,5/43,5)x[1 –(1 –2x0,295)1/2]=(1,518x20x44,5/43,5)x0,36 = 11,18 cm2 As2 = (1,518 x 20 x 44,5 / 43,5) x [(0,303 - 0,295) / (1 - 3,75 / 44,5)] = 0,26 cm2 d’ = 3 + 0,5 + (0,5/2) = 3,75 cm

(d/d’) = (44,5 / 3,75) = 11,9 > 5,34

= 1

As,real = As1 + As2 = 11,18 + 0,26 = 11,44 cm2 < Ase = 12,1 cm2

(OK!)

A’s = As2 /  = 0,26 cm2 < A’se = 0,39 cm2

(OK!)

As armaduras efetivamente adotadas ou existentes, calculadas com o valor adotado dadot = 46 cm, atendem às armaduras corrigidas, calculadas com os valores reais de dreal = 5,5 cm e d’real = 3,75 cm.

7.8


7.5.7 – Cálculo dos comprimentos de ancoragem por aderência De acordo a tabela 6.3 o comprimento básico de ancoragem para situação de boa aderência (armadura no fundo da viga) é lb = 37,67

= 37,67 x 1,6 = 60,3 cm.

Ancoragem no vão De acordo a equação (6.5) o comprimento de ancoragem necessário sem gancho (

b,nec

1 =

1), para As,cal = As,real = 11,44 cm2, é dado por:

= 1 x 60,3 x (11,44 / 12,1) = 57 cm ≈ 60 cm > lb,min = 0,3 x 60,3 ≈ 18 cm (OK!)

Ancoragem nos apoios Conforme equação (5.34), com VSd,max = R = 104 kN, neste caso calculado no eixo do apoio, onde MS = 0, para estribos verticais (

= 90o), Vc = Vc0 =

c0(bwd)

=

0,0769 x 20 x 44,5 = 68,44 kN, tem-se:



a  44,5



104x1,4

 2104x1,4  68,44

As,cal  apoio

a  VSd,apoio d

f yd

 0,94

1  0  0  44,5x0,94  42cm  d

104x1,4 43,5



 3,15cm 2

Levando-se 2  16 mm, (1/3) das 6 barras do vão, até os apoios e considerando gancho (1 = 0,7):

b,nec =

0,7 x 60,3 x (3,15 / 4,02) ≈ 33 cm > lb,min = 0,3 x 60,3 ≈ 18 cm (OK!)

Além disto o comprimento necessário de ancoragem no apoio, conforme 7.4, deve ser maior que (r + 5,5 ) ou 60 mm. De acordo a tabela 6.2 o diâmetro do pino

7.9


de dobramento dos ganchos para  = 16 mm < 20 mm e aço CA 50, é D = 5. Portanto o raio de curvatura dos ganchos deve ser:

r = D/2 + /2 = 5/2 + /2 = 3

Portanto o valor

b,nec =

(r + 5,5) = 8,5 = 8,5 x 1,6 ≈ 14 cm

33 cm, calculado acima, é maior que todos os demais,

atendendo a NBR 6118:2014. Este comprimento foi calculado com o número mínimo de barras levadas até o apoio (duas). No detalhamento final das armaduras de flexão pode acontecer que mais barras devam ser levadas até os apoios, o que diminuiria este valor.

7.5.8 - Comprimento das barras, para cobrir o diagrama de momentos fletores Na figura 7.2 está traçado o diagrama de momentos fletores em escala sobre a vista lateral da viga.

Figura 7.2 – Diagrama de M e comprimento das barras tracionadas 7.10


Nesta figura o momento máximo no meio da vão representa em outra escala, a resultante de tração RSd,max = MSd,max / z. Como foi adotado 6 de 16 mm para combater a este momento, divide-se o comprimento máximo RSd,max em 6 partes iguais, uma para cada barra do vão. Tem-se então 6 comprimentos em escala no diagrama de momentos (sem decalagem), variando desde 500 cm (vão teórico da viga) até 204 cm.

Os números circundados por um círculo representam as barras conforme recomendado na figura 18.3 da NBR 6118:2014 (adaptada na figura 7.1). Já os circundados por um retângulo representam as barras detalhadas de forma mais simplificada, adotando-se para a a metade da altura h, portanto maior que d/2, e tomando-se como barra maior a de comprimento igual à distância entre os pontos de momentos nulos (no caso 500 cm) e como barra menor, a de 204 cm.

Teoricamente a barra 6, circundada por um círculo, tem comprimento inicial “0” (zero), acrescido de cada lado, do valor de a = 42 cm e do comprimento necessário de ancoragem

b,nec =

33 cm, resultando

6 =

0 + 2 x (42 + 33) = 150 cm. O

comprimento desta barra deve prolongar-se além do ponto B, de cada lado do eixo de simetria, de um valor não menor que 10 = 16 cm. Portanto, o comprimento de

6

fica, juntamente com o das outras barras:

6 =

0 + 2 x (42 + 33) = 150 < 204 + 2 x (42 + 16) = 320* cm.

5 =

204 + 2 x (42 + 33) = 354 < 289 + 2 x (42 + 16) = 405* cm.

4 =

289 + 2 x (42 + 33) = 439 < 354 + 2 x (42 + 16) = 470* cm.

(*) valor adotado das barras

Não será necessário calcular os comprimentos das outras 3 barras porque elas são maiores que o comprimento entre as faces internas dos apoios, 7.11

0 =

500 –


20/2 – 30/2 = 475 cm. Com isto serão levadas 3 barras até os apoios, o que diminuirá o comprimento necessário de ancoragem nos apoios para: (r + 5,5) = 8,5 = 8,5 x 1,6 ≈ 14 cm b,nec

= 0,7 x 60,3 x (3,15 / 6,03) ≈ 22 cm >

lb,min = 0,3 x 60,3 ≈ 18 cm (OK!) 6 cm

O comprimento das barras circundadas por um retângulo, calculadas de forma simplificada com a = h/2 = 25 cm, fica:

6 =

204 + 2 x (25 + 33) = 320 = 204 + 2 x (42 + 16) = 320* cm.

5 =

289 + 2 x (25 + 33) = 405 = 289 + 2 x (42 + 16) = 405* cm.

4 =

354 + 2 x (25 + 33) = 470 = 354 + 2 x (42 + 16) = 470* cm =

0 (vão

livre da viga).

(*) valor adotado das barras

Aqui também não será necessário calcular os comprimentos das outras 3 pr imeiras barras, resultando o novo valor para o comprimento necessário de ancoragem nos apoios,

b,nec =

22 cm.

7.5.8 – Detalhamento da viga 7.5.8.1 – Barras de flexão (longitudinais) O detalhamento inicial será feito considerando as 3 primeiras barras levadas até os apoios e as outras 3 com os comprimentos já calculados anteriormente. As primeiras foram calculadas supondo ancoragem com gancho, que será considerado em ângulo reto, portanto com ponta reta não inferior a 8 = 8 x 1,6 ≈ 13 cm.

7.12


As barras 1, 2 e 3 terão um comprimento reto igual ao comprimento entre as faces externas da viga (500 + 10 + 15 = 525 cm), menos duas vezes o cobrimento (2 x 3

= 6 cm), menos 0,5 de cada lado (2 x 0,5 x 1,6 = 1,6 cm) para se ter os eixos dos

trechos retos dos ganchos das barras, menos (2 x 3) = 2 x 3 x 1,6 = 9,6 cm (raios de curvatura dos ganchos dos dois lados), resultando:

reto,1-2-3

≤ 525 – 6 – 1,6 – 9,6 = 507,8 cm

adotado =

507 cm

O trecho curvo dos ganchos tem o comprimento dado por [(1/4) 2 (3)] = 0,25 x 2 x  x 3 x 1,6 ≈ 8 cm, ou seja, um quarto do círculo cujo raio vale 3 . No apoio da esquerda, cesq = 20 cm, as barras 1,2 e 3 tem um comprimento reto dentro deste apoio dado por (20 - 3 - 0,5x1,6 – 3 x1,6 ≈ 11 cm). Somando ao trecho curvo do gancho, 8 cm, mais o trecho reto na extremidade (não inferior a 8  = 8x1,6 ≈ 13 cm), dando um comprimento total a partir da face do apoio (11 + 8 + 13 = 32 cm) >

b,nec =

22 cm (valor do comprimento de ancoragem necessária quando se leva 3  de 16 mm até os apoios).

Analogamente no apoio da direita, cdir = 30 cm, o comprimento total dentro do apoio vale (21 + 8 + 13 = 42 cm), maior que os 22 cm necessários. Portanto, o comprimento reto das barras 1,2 e 3 fica, conforme já calculado anteriormente, (475 + 11 + 21) = 507 cm. O comprimento total destas 3 barras vale 507 + 2 x (8 + 13) = 549 cm, e o das outras barras (4,5 e 6) já foram calculadas anteriormente.

Estas 6 barras estão detalhadas na figura 7.4 adiante.

7.5.8.2 – Barras da armadura transversal (estribos) A armadura de cisalhamento foi calculada anteriormente para o máximo valor da força cortante na face do apoio, que ocorreu no apoio da esquerda, c esq < cdir . Este valor do cortante (99,84 kN) é um pouco superior ao da face do apoio da direita (104 – 41,6x0,15 = 97,76 kN), podendo-se considerar a mesma taxa ρw = 0,192, já calculada para o da esquerda, também no apoio da direita. Este dois valores de cor7.13


tante são os extremos que ocorrem na viga. Na região central a força cortante diminui, em módulo, até um valor correspondente ao cortante mínimo, abaixo do qual a utilização do estribo mínimo absorve o cisalhamento (ver f igura 7.3).

O valor de ρw,min = 0,103, implica em

wd,min =

MPa, conforme tabela 5.4. O cortante VSd,min =

wd,min

0,117 kN/cm2, para f ck = 25

(bw d) = 0,117 x 20 x 44,5 =

104,1 kN resultando no valor VS,min = (VSd,min / 1,4) = 104,1 / 1,4 = 74,4 kN. A distância a partir do eixo do apoio que a força cortante assume este valor é dado por x = (104 - 74,4) / 41,6 = 0,71 m = 71 cm. Para ρw,min = 0,103 a armadura Asw,min = 0,103 x 20 = 2,06 cm2/m. Considerando estribo simples, dois ramos, vem:

(Asw,min)/2 = 1,03 cm2/m

s = 100 / (1,03 / 0,196) = 19 cm

 5 c/19 cm

Figura 7.3 – Diagrama de V com trechos de estribos máximos e mínimos

7.14


7.5.8.2 – Viga detalhada (desenho) No desenho 7.4 a viga biapoiada calculada acima é desenhada mostrando os detalhes das armaduras longitudinais e transversais. Neste exemplo houve armadura A’s,cal = 0,26 cm2, resultando em Ase = 0,39 cm2 (2 5mm), que seria a mesma armadura mínima para “porta-estribo”, caso não houvesse armadura de compressão.

Figura 7.4 – Viga V1 detalhada A posição N6, estribo, foi considerada com gancho em ângulo reto que deve ter ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t = 10 x 0,5 = 5 cm, porém não

7.15


inferior a 7 cm, conforme item 9.4.6 da NBR 6118:2014. Assim o comprimento final do estribo será: 2 x (44 + 14 + 7) = 130 cm

O detalhamento da figura 7.4 foi feito considerando comprimentos distintos para todas as barras, a menos das 3 maiores, que foram levadas até os apoios. Normalmente o detalhamento é feito considerando as barras detalhadas aos pares. Assim teremos 3 barras correspondendo a posição N5 (levadas aos apoios), mais 1

N4, ainda na primeira camada e 2 N3 na segunda (eliminando-se a posição N2).

Nota-se na figura 7.4 que a barra N4, encosta na face do apoio da direita e afasta-se 5cm da face do apoio da direita. Simplificadamente, esta barra poderia se estender de face a face dos apoios, resultando na posição N4* com um comprimento igual a 475cm. As duas barras N3, detalhadas aos pares, estão afastadas “37,5cm” (normal afastar 35cm ou 40cm) da face do apoio da esquerda e “32,5cm” (35cm) do da direita. De forma simplificada pode-se adotar duas barras N3* com comprimento igual a 475 - 3x35 = 370cm, uma afastada 35cm da face do apoio da esquerda e a outra 35cm da face do apoio da direita. Estas barras são defasadas de 35cm, têm o mesmo comprimento (370cm) e cobrem o diagrama da mesma forma que as de comprimento maior (405cm).

7.6 - Viga 2 Calcular e detalhar uma viga contínua de 3 vãos, de um pavimento intermediário, com pé-direito (distância entre as faces das lajes de piso e forro de um mesmo pavimento) de 2,80 m, concreto f ck = 35 MPa, aços CA 50 e CA 60. A seção transversal da viga é de 15x50 cm2, d= 45 cm (prevendo armadura tracionada em duas camadas), os pilares são todos de 20x20 cm 2, as cargas, vãos e diagramas de força cortante e momento fletor estão apresentados na figura 7.5. 7.16


7.6.1 - Correções no modelo de viga contínua Conforme o item 14.6.7.1 da NBR 6118:2014 o modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo das cargas verticais, pode ser utilizado observando-se a necessidade das seguintes correções adicionais: a) não devem ser considerados momentos positivos menores que os que se obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida na direção do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pi lar, não pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio;

Figura 7.5 – Viga 2, cargas e diagramas de esforços solicitantes

7.17


c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas seguintes relações: - na viga:

Mvig = Meng (r sup + r inf ) / (r sup + r inf + r vig) - no tramo (vão) superior do pilar:

Msup = Meng (r sup) / (r sup + r inf + r vig) - no tramo (vão) inferior do pilar:

Minf = Meng (r inf ) / (r sup + r inf + r vig) Onde r i = Ii / i é a rigidez do elemento i no nó “i” extremo analisado.

Alternativamente, o modelo de viga contínua pode ser melhorado, considerando-se a solidariedade dos pilares com a viga, mediante a introdução da rigidez à flexão dos pilares extremos e intermediários (pórtico plano).

Os momentos negativos sobre os apoios extremos para a viga contínua acima, calculados considerando-se a correção c), são obtidos conforme:

Apoio extremo da esquerda (20 x 203/12) / 280 = 48

r sup = r inf = Isup /

sup =

r vig = I vig /

(15 x 503/12) / 600 = 260

 vig =

Meng = (20x62/12) + [20x2/(12x62)]x[12x5x12 + 2 2x(6-3x1)] = 66,7 kNm (obtido das tabelas de momentos de engastamento perfeito de barras biengastadas)

Mvig = 66,7 x [(48 + 48) / (48 + 48 + 260)] = 18,0 kNm

7.18


Apoio extremo da direita (20 x 203/12) / 280 = 48

r sup = r inf = Isup /

sup =

r vig = I vig /

(15 x 503/12) / 500 = 313

 vig =

Meng = (25x52/12) + [10x3,5/(12x52)]x[12x1,752x3,25 + 3,52x(5-3x1,75)] = 65,7 kNm (obtido das tabelas de momentos de engastamento perfeito de barras biengastadas)

Mvig = 65,7 x [(48 + 48) / (48 + 48 + 313)] = 15,4 kNm Segundo a correção a) o momento positivo máximo no segundo vão considerando engaste perfeito nos apoios é M*max = 30

x

4,52 / 24 = 25,3 kNm (diagrama

tracejado na figura 7.5). Este é o valor a ser dimensionado, que além de positivo é maior que o encontrado no diagrama de M da figura 7.5, M = - 14,4 kNm. Para o primeiro e terceiro vãos não será necessário fazer esta verificação, pois com os momentos de extremidades nulos os diagramas de momentos positivos nestes dois trechos resultam em valores maiores que os encontrados na situação de engaste perfeito (Meng,esq = - 66,7 kNm e Meng,dir = - 65,7 kNm calculados acima).

7.6.2 - Dimensionamento à flexão f c = 2,125 kN/cm2, para (45/50) = 0,9

As,min = 0,15% Ac = 1,13 cm2 (tab. 2,7)

M (momento positivo)

X (momento negativo)

X*esq = 18 kNm

K = 0,039 < KL

adotar 2 10mm X1 = 109,4 kNm

X* = 14,4 kNm

As = 9,07 cm2 > 1,13 cm2 (OK!)

Ase = 10,06 cm2 (2 na segunda camada)

K = 0,031 < KL

adotar 2 10mm X2 = 73,6 kNm

Ase = 1,57 cm2

K = 0,237 < KL

adotar 5 16mm

As = 1,31 cm2 > 1,13 cm2 (OK!)

As = 1,05 cm2 < 1,13 cm2 (adotar o mínimo)

Ase = 1,57 cm2

K = 0,160 < KL

As = 5,77 cm2 > 1,13 cm2 (OK!) 7.19


adotar 3 16mm X*dir = 15,4 kNm

K = 0,033 < KL

adotar 2 10mm

M1 = 95,5 kNm

M3 = 115,3 kNm

As = 1,86 cm2 > 1,13 cm2 (OK!)

Ase = 2,36 cm2

K = 0,250 < KL

adotar 5 16mm

As = 7,74 cm2 > 1,13 cm2 (OK!)


K = 0,055 < KL

adotar 3 10mm

As = 1,12 cm2 < 1,13 cm2 (adotar o mínimo)

Ase = 1,57 cm2

K = 0,207 < KL

adotar 4 16mm M*2 = 25,3 kNm

Ase = 6,03 cm2

As = 9,66 cm2 > 1,13 cm2 (OK!)


7.6.3 – Verificação da fissuração f ctm = 0,3 x (35)2/3 = 3,21 MPa = 0,256 kN/cm2 γf =

1,4 (como não foram fornecidas as parcelas permanente e acidental das cargas,

adota-se este valor mínimo, a favor da segurança na previsão da abertura das fiss uras).

M1 = 95,5 kNm

(As,cal = 7,74 cm2 Ase = 8,04 cm2 4 16mm)

σsi = (43,5/1,4)x(7,74/8,04) = 29,9 kN/cm2

M3 = 115,3 kNm

wk = 0,28mm < 0,3mm

(OK!)

(As,cal = 9,07 cm2 Ase = 10,06 cm2 5 16mm)

σsi = (43,5/1,4)x(9,07/10,06) = 28,0 kN/cm2

X2 = 73,6 kNm

(OK!)

(As,cal = 9,66 cm2 Ase = 10,06 cm2 5 16mm)

σsi = (43,5/1,4)x(9,66/10,08) = 29,8 kN/cm2

X1 = 109,4 kNm

wk = 0,28mm < 0,3mm

wk = 0,25mm < 0,3mm

(OK!)

(As,cal = 5,77 cm2 Ase = 6,03 cm2 3 16mm)

σsi = (43,5/1,4)x(5,77/8,03) = 29,7 kN/cm2

7.20

wk = 0,28mm < 0,3mm

(OK!)


Todos as aberturas estimadas das fissuras acima foram calculadas com a equação (4.1), que não depende do arranjo usado no detalhamento. Embora esta equação forneça normalmente aberturas estimadas maiores que as obtidas com a equação (4.2) e todos os valores wk calculados acima foram aceitáveis, não será necessário a verificação por (4.2), que depende também da taxa ρri, função da área de envolvimento Acri.

7.6.4 - Dimensionamento ao cisalhamento (Modelo I) w,min

Asw,min = 0,128x15=1,92 cm2/m

= 0,128 (Tab. 5.1),

2 wd2 = 0,581 kN/cm (tab. 5.2),

wd,min =

c0 =

0,147 kN/cm2 (tab. 5.4),

0,0963 k /cm2 (tab. 5.3),

Vmin = 0,147x15x45 / 1,4 = 70,9 kN

Verificação do concreto VS,max = 138,2 - (40 x 0,20 / 2) = 134,2 kN 2

wd,max = 134,2 x 1,4 / (20 x 45) = 0,209 kN/cm < wd2 = 0,581 (tab. 5.2)

(OK!)

Cálculo de Asw para cortantes máximos dos vãos Vão1 V = 61,8 kN w =

w,min

wd,face = (61,8 – 20x0,1)x1,4 / (15x45) = 0,124 kN/cm2 < 0,147 kN/cm2

Asw,min/2 =0,96 cm2/m

 5 c/20

V = 138,2 kN wd,face = (138,2 – 40x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,209 kN/cm2 w =

100x(0,209-0,0963)/39,15 = 0,465

Asw/2= 3,49 cm2/m

 8 c/14

Vão 2 V = 75,3 kN w =

100x(0,150-0,0963)/39,15 = 0,137

V = 59,5 kN w =

wd,face = (75,3 – 30x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,150 kN/cm2

w,min

Asw/2= 1,03 cm2/m

 5 c/19

wd,face = (59,5 – 40x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,117 kN/cm2 < 0,147 kN/cm2

Asw,min/2 =0,96 cm2/m

7.21

 5 c/20


Vão 3 V = 115 kN w =

100x(0,231-0,0963)/39,15 = 0,345

Asw/2= 2,59 cm2/m

 8 c/19

wd,face = (95 – 25x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,192 kN/cm2

V = 95 kN w =

wd,face = (115 – 35x0,1) x1,4 / (15x45) = 0,231 kN/cm2

100x(0,192-0,0963)/39,15 = 0,244

Asw/2= 1,83 cm2/m

 5 c/10

Em todos os vão foram determinados os trechos com estribos mínimos, representados na figura 7.5 com hachuras mais densas.

7.6.5 – Cálculo dos comprimentos de ancoragem por aderência O comprimento básico de ancoragem para situação de boa aderência, para f ck = 35 MPa, é igual a

b =

30,10, ou podem ser usados os comprimentos arredonda-

dos (múltiplos de 5cm) para as diversas bitolas da tabela 6.3. Os comprimentos necessários

b,nec

=

b (As,cal /

Ase) para os vãos (positivos), e apoios (negativos) ficam:

Momentos positivos (região de boa aderência) M1 = 95,5 kNm (As,cal=7,74 cm2 Ase 8,04 cm2)

b,nec =



M3 = 115,3 kNm (As,cal=9,66 cm2 Ase=10,06 cm2) 

Momentos negativos (região de má aderência

b,nec =

b,má = b,boa /

X1 = 109,4 kNm

(As,cal=9,07 cm2 Ase=10,06 cm2) 

X2 = 73,6 kNm

(As,cal=5,77 cm2 Ase=6,03 cm2) 

50x9,66/10,06 = 48cm

0,7 = 30,1 / 0,7 ≈ 70cm)

b,nec =

b,nec

50 x7,74 / 8,04 = 48cm

70x9,07 / 10,06 = 63cm

= 70x5,77/6,03

= 67cm

Vão 1 - Apoio da esquerda (extremo) - Levando-se 3 16mm até os apoios (1a CAM) Vc = Vc0 = 0,0963 x 15 x 45 = 65,0 kN a  45

86,52 286,52  65

VSd,max = 61,8 x 1,4 = 86,52 kN

a  d  45cm  90,5  d 

7.22

FSd = (a/d) VSd = 86,52 kN


As,cal = FSd / f yd = 86,52 / 43,5 = 1,99 cm2 b,min >

Como

(0,3

b =

b,nec =

50 x 1,99 / 6,03 ≈ 17cm > 16cm

0,3x50 = 15cm, ou 10 = 16cm, ou 10cm)

b,nec calculado

sem gancho é igual a largura do apoio menos o cobrimento

(20-3) = 17cm, pode-se ancorar as 3 barras no apoio sem dobra.

Vão 1 - Apoio da direita (intermediário) Vc = 65 kN

al = 34cm

VSd,max = 138,2 x 1,4 = 193,48 kN

Conforme figura 7.5, o ponto de momento nulo do diagrama de M está a 91cm do eixo do apoio e o diagrama deslocado de a = 34cm está a uma distância da face do apoio de (91-34-10) = 47cm. Neste caso, de acordo 7.4, o comprimento de ancoragem a partir da face do apoio pode ser de 10 = 16cm, desde que se leve (1/4) das barras do vão (no mínimo 2 barras) até o apoio.

Supondo que além do diagrama deslocado fosse acrescentado o comprimento

b,nec =

48cm, a primeira barra deveria entrar no apoio (48 - 47) = 1cm, menor que

10 = 16cm. Portanto, no detalhamento serão levadas 3 barras até o apoio interno do vão 1, entrando no mínimo 16cm a partir da face. Vão 3 - Apoio da direita (extremo) - Levando-se 3 16mm até os apoios Vc = 65 kN

a = 44cm

VSd,max = 95 x 1,4 = 133 kN

As,cal = 130 / 43,5 = 2,99 cm2

b,nec =

FSd = 130 kN

50 x 2,99 / 6,03 ≈ 25cm (OK!)

Este comprimento é maior que (20 - 3) = 17cm, devendo ser ancorado no apoio com gancho, cujo comprimento será

b,nec =

0,7 x 25 = 17cm (ponta reta do gancho não

inferior a 8 = 13cm).

Vão 3 - Apoio da esquerda (intermediário) - Levando-se 3 16mm até os apoios Vc = 65 kN

VSd,max = 115 x 1,4 = 161 kN

7.23

al = 38cm


A distância do ponto de momento nulo do diagrama deslocado até a face do apoio é (72 - 38 - 10) = 24cm. Com isto a ancoragem a partir da face pode ser de

10 = 16cm. No trecho correspondente ao vão 2 o diagrama real de momentos é negativo, devendo para efeito de dimensionamento ser substituído pelo diagrama na situação de engastamento perfeito (diagrama tracejado na figura 7.5). As 3 barras com  = 10mm devem ser levadas até os apoios entrando 10  = 10cm nos mesmos.

A correção do diagrama de momentos negativos para viga contínua simple smente apoiada sobre os apoios, conforme figura 7.5, estende-se 32cm a partir do eixo do pilar extremo da esquerda e 17cm para o da direita. O comprimento necessário à esquerda é

b,nec

= (30,10x1,0) x (1,31/1,57) = 25cm e à direita é

b,nec

=

(30,10x1,0) x (1,12/1,57) = 22cm. Estas duas armaduras serão detalhadas para o máximo valor de a = d = 45cm e ancoradas nos apoios a partir das suas faces (trecho reto do gancho igual a 8 = 8cm).

7.6.6 – Viga detalhada (desenho) A figura 7.6 apresenta a viga V2 detalhada mostrando as barras da armadura positiva e negativa. As barras detalhadas devem satisfazer aos cálculos à flexão e ao cisalhamento cobrindo com segurança os diagramas destes esforços solicitantes.

Normalmente as curvas do diagrama de momentos para os trechos negativos são bem próximas das retas que ligam os pontos de momentos nulos com os pontos de momentos máximos sobre os apoios. A consideração destas retas em substituição aos diagramas reais além de ser a favor da segurança na cobertura do diagrama, facilita o cálculo dos comprimentos das barras. Desta forma for am calculadas as barras 2,3,4 e 6.

Barra 2 Trecho reto

distância entre pontos de momentos nulos = 32cm 32+10(20/2)+45(a)+25(b,nec )-3(cob.)-3,5(3,5) = 106cm 7.24


Comp. total

2

Barra 6

distância entre pontos de momentos nulos = 17cm

Trecho reto

= 106 + 5(trecho curvo) + 8(8-ponta reta) = 119cm

17+10(20/2)+45(a)+22(b,nec )-3(cob.)-3,5(3,5) = 88cm

Comp. total

6 =

88 + 5(trecho curvo) + 8(8-ponta reta) = 101cm

Barra 3

distâncias entre pontos de momentos nulos (91cm e 72cm)

Como o diagrama de M continua negativo até o próximo apoio, cujo momento necessita de 3, prolongam-se as 3 barras da primeira camada até 72cm além do terceiro apoio. 3

= (91+450+72) + 34(a,1) + 63(b,nec-1) + 38(a,3) + 67(b,nec-3) = 815cm

Barra 4 O trecho de 91cm dividido pelas 5 barras negativas do segundo apoio dá um comprimento igual a (91 /5) = 18cm. Para a segunda barra fica 2 x 18 = 36cm. Correspondente a esta barra, conforme o diagrama da figura 7.5, no vão 2 o comprimento será de 78cm. 4

= (36+78) + 2x34(a) + 2x63(b,nec) = 308cm ≈ 310cm

Barras 1 e 5 As barras para “porta-estribos” N1 e N5 são obtidas com a distância livre entre as barras das armaduras negativas prolongadas de cada lado do comprimento de traspasse b = (30,10) / 0,7 = 30 x 0,5 = 21cm ≈ 20cm.

(*)

1

= 600 + 10 - [3 - 0,5 - 3 - 106] - (135 + 55) + 2 x 20 = 348cm

5

= 500 + 10 - [3 - 0,5 - 3 - 88] - 175* + 2 x 20 = 280cm

175 = 3 - (55 + 135) - 450 = 815 - 190 - 450

Barras 7 a 11 7

= 600 - 154 - 178 + 45 + 34 + 2 x 48 = 443cm

8

= 580 + 20 - 3 + 16 = 613cm 7.25

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Detalhamento ___________________________________________________________________________ 9

= 430 + 2 x 10 = 450cm

10

= 500 - 166 - 82 + 38 + 44 + 2 x 48 = 430cm

11

= (480 +16 + 20 - 3 - 0,8 - 5) + 8 + 13 = 507 + 8 + 13 = 528cm

Estribos N12 (=5mm) 12

= 2 x (9 + 44) + 14 = 120cm

N13 (=8mm) 13

2 ganchos = 20t = 20 x 0,5 = 10cm < 14

2 ganchos = 20t = 20 x 0,8 = 16cm > 14cm

= 2 x (9 + 44) + 16 = 122cm

Figura 7.6 – Viga V2 detalhada

7.26

 14cm


As barras 2, 6, 8 e 11 estão afastadas 3cm (cobrimento) das faces externas laterais da viga. A barra negativa 3 começa a (91 + 34 + 63 = 188) ≈ 190cm do eixo do pilar e prolonga-se até (72 + 38 + 67 = 177) ≈ 175cm, partir do eixo do apoio 3. A barra 4 é obtida com o diagrama de momento negativo, retificado conforme figura 7.5, dando (91 / 5) x 2 = 36cm. Do lado direito do eixo do primeiro apoio a medida do diagrama de M é de 78cm (figura 7.5), ficando o comprimento da barra 4 dado por (36 + 34 + 63) + (78 + 34 + 63) = 308 ≈ 310cm. Esta barra começa a (36 + 34 + 63) = 133 ≈ 135cm.

7.27


REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS __________________________________________________________________________

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS –ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto - Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS –ABNT NBR 6120:1980 – Versão corrigida de 2000 - Cargas para cálculo de estruturas de edificações – Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 6123:1988 – Versão corrigida 2:2013 - Forças devidas ao vento em edificações – Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR ISO 6892:2002 – Materiais metálicos – Ensaio de tração à temperatura ambiente ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 7480:1996 – Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado – Especificação

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 8681:2003 – Ações e segurança nas estruturas – Procedimento

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS – ABNT NBR 12655:2006 – Concreto – Preparo, controle e recebimento – Procedimento

BARES, R. (1972) - Tablas para el calculo de placas y vigas pared. Barcelona, Gus-

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Referências ___________________________________________________________________________

tavo Gili.

BRANSON, D.E. (1966) - Deflections of reinforced concrete flexural members . Journal of the American Concrete Institute, n.6331, p.637-667.

DELALIBERA, R. G. (2002) – Análise teórica e experimental de vigas de concreto armado com armadura de confinamento – Dissertação de mestrado – USP-São Carlos

INGERSLEV, A. (1923, Jan) – “The Strength of rectangular Slabs”. The Institution of Structural Engineer’s Journal

JOHANSEN, K. W. (1932) – “Bruchmomente der Kreuzweise Bewehrten Platten”. Association Internationale des Ponts e Charpents Mémoires

PINHEIRO, L. M. (2005) – Fundamentos do concreto e projeto de edifícios – USPSC

RUSCH, H. (1981) – Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e dimensionamento – Editora Campus, Rio de Janeiro

TEPEDINO, J. M. (1980) – Notas de aulas sobre Flexão Simples, Lajes, Fissuração, Cisalhamento e Aderência baseadas na NBR 6118:1980 – Editora Cotec _ EE UFMG

TIMOSHENKO, S.P. (1940) - Theory of plates and shells. New York, McGraw-Hill

8.2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

ESCOLA DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia de Estruturas

CONCRETO ARMADO I

Ney Amorim Silva

Julho 2014

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Índice ___________________________________________________________________________

ÍNDICE GERAL CAPÍTULOS 1

PÁGINA

MATERIAIS

1.1

Histórico

1.1

1.2

Viabilidade do concreto armado

1.4

1.3

Vantagens concreto armado

1.5

1.4

Desvantagens do concreto armado

1.6

1.5

Concreto

1.6

1.5.1

Propriedades mecânicas do concreto

1.7

1.5.1.1 Resistência à compressão

1.7

1.5.1.2 Resistência característica do concreto à compressão

1.8

1.5.1.3 Módulo de elasticidade longitudinal

1.11

1.5.1.4 Coeficiente de Poisson e mod. elasticidade transversal

1.12

1.5.1.5 Diagrama tensão-deformação

1.12

1.5.1.6 Resistência à tração

1.15

1.5.2

1.16

Características relógicas do concreto

1.5.2.1 Retração

1.17

1.5.2.2 Fluência

1.18

1.5.2.3 Variação de temperatura

1.17

1.6

Aço

1.20

1.6.1

Categoria

1.20

1.6.2

Tipo de superfície

1.23

1.6.3

Massa específica e propriedades mecânicas do aço

1.23

1.6.4

Diagrama tensão-deformação

1.23

1.7

Definições da NBR 6118:2007

1.24

1.8

Ações

1.27

1.8.1

Ações permanentes

1.27

1.8.1.1 Ações permanentes diretas

1.27

1.8.1.2 Ações permanentes indiretas

1.28

1.8.2

Ações variáveis

1.28

1.8.2.1 Ações variáveis diretas

1.28

ii

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Índice ___________________________________________________________________________ 1.8.2.2 Ações variáveis indiretas

1.29

1.8.3

Ações especiais

1.30

1.8.4

Valores da ações

1.30

1.8.4.1 Valores característicos

1.30

1.8.4.2 Valores representativos

1.31

1.8.4.3 Valores de cálculo

1.32

1.8.5

1.32

Coeficientes de ponderação das ações

1.8.5.1 Coeficientes de ponderações das ações no ELU

1.32

1.8.5.2 Coeficientes de ponderações das ações no ELS

1.34

1.8.6

1.34

Combinações de ações

1.8.6.1 Combinações últimas

1.34

1.8.6.2 Combinações de serviço

1.37

1.8.7

1.38

Resistências

1.8.7.1 Valores característicos

1.38

1.8.7.2 Valores de cálculo

1.39

1.8.7.3 Coeficientes de ponderação das resistências

1.40

1.8.7.3.1 Coeficiente de ponderação das resistências no ELU

1.40

1.8.7.3.2 Coeficiente de ponderação das resistências no ELS

1.40

1.8.7.3.3 Valores finais das resistências de cálculo do concreto e do aço

1.41

2

FLEXÃO NORMAL SIMPES

2.1

Introdução

2.1

2.2

Solicitações normais

2.4

2.2.1

Hipóteses básicas e domínios de deformação

2.5

2.3

Seções subarmada, normalmente armada e superarmada

2.16

2.4

Seção retangular submetida à flexão simples

2.18

2.4.1

Seções com armaduras simples e dupla

2.22

2.4.2

Nível de tensão φ na armadura comprimida A’ s

2.27

2.5

Seção T ou L submetidas à flexão simples

2.31

2.5.1

Determinação da largura colaborante da mesa ( bf )

2.36

2.6

Prescrições da NBR 6118:2007 referente às vigas

2.40

2.6.1

Armadura longitudinal mínima de tração

2.40

iii

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Índice ___________________________________________________________________________ 2.6.2

Armadura de pele

2.44

2.6.3

Armadura total na seção transversal (tração e compressão)

2.44

2.6.4

Distribuição transversal das armaduras longitudinais

2.44

2.6.5

Armaduras de ligação mesa-nervura ou talão-alma

2.46

2.6.6

Cobrimento mínimo das armaduras

2.47

2.7

Exemplos de aplicação

2.49

2.7.1

Exemplo de solicitações normais

2.49

2.7.2

Exemplo de flexão normal simples com seção retangular

2.59

2.7.3

Exemplos de flexão normal simples com seção T ou L

2.68

3

LAJES

3.1

Definição

3.1

3.2

Histórico

3.1

3.3

Laje retangular armada em uma direção

3.7

3.4

Laje retangular armada em duas direções ou em cruz

3.9

3.4.1

Tipos de lajes retangulares

3.9

3.4.2

Reações de apoio

3.9

3.4.3

Momentos fletores

3.12

3.5

Cálculo da flecha em lajes retangulares

3.12

3.5.1

Flecha imediata em lajes retangulares armadas em uma direção

3.14

3.5.1.1 Momento de Inércia da seção fissurada para lajes

3.17

3.5.2

Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções

3.18

3.5.3

Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado

3.21

3.6

Prescrições da NBR 6118:2014 referentes às lajes

3.23

3.6.1

Espessura mínima das lajes maciças

3.23

3.6.2

Deslocamentos limites

3.24

3.6.3

Cobrimento nominal mínimo

3.25

3.6.4

Vãos efetivos de lajes

3.26

3.6.5

Aproximações para diagramas de momento fletor

3.26

3.6.6

Armadura longitudinal mínima

3.28

3.6.7

Prescrições gerais sobre detalhamento de lajes

3.30

3.6.8

Cargas para o cálculo de estruturas de edificações (NBR-6120:1980)

3.31

iv

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Índice ___________________________________________________________________________ 3.7

Tabelas para cálculo de reações de apoio e momentos fletores

3.35

3.8

Exemplos

3.44

3.8.1

Exemplo 1

3.44

3.8.2

Exemplo 2

3.62

4

CONTROLE DA FISSURAÇÃO

4.1

Introdução

4.1

4.2

Tipos de fissuras

4.4

4.2.1

Fissuras não produzidas por cargas

4.4

4.2.2

Fissuras produzidas por cargas

4.5

4.3

Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W)

4.5

4.3.1

Controle da fissuração através da limitação da abertura estimada das fissuras

4.3.1.1 Cálculo da tensão

si

4.3.1.2 Cálculo da tensão

si

4.5 de forma aproximada

no Estádio II

4.7 4.11

4.3.2

Controle da fissuração sem a verificação da abertura de fissuras

4.14

4.4

Exemplos

4.15

4.4.1

Exemplo 1

4.15

4.4.2

Exemplo 2

4.19

4.4.3

Exemplo 3

4.20

5

CISALHAMENTO

5.1

Tensões de cisalhamento

5.1

5.2

Elementos lineares sujeitos à força cortante

5.4

5.2.1

Hipóteses básicas

5.4

5.2.2

Condições gerais

5.5

5.2.3

Fazem exceção ao item anterior

5.7

5.2.4

Verificação do estado limite último

5.8

5.2.4.1 Cálculo da resistência

5.8

5.2.4.2 Modelo de cálculo I

5.8

5.2.4.3 Modelo de cálculo II

5.17

v

Departamento de Engenharia de Estruturas (DEEs) Índice ___________________________________________________________________________ 5.2.5

Cargas próximas aos apoios

5.20

5.2.6

Prescrições complementares da NBR 6118:2014

5.22

5.3

Força cortante em lajes e elementos lineares com bw ≥ 5d

5.22

5.3.1

Lajes sem armadura para força cortante

5.22

5.3.2

Lajes com armadura para força cortante

5.23

5.4

Exemplos

5.24

5.4.1

Exemplo 1

5.24

5.4.2

Exemplo 2

5.27

6

VERIFICAÇÃO DA ADERÊNCIA

6.1

Posição da barra durante a concretagem

6.1

6.2

Valor da resistência de aderência

6.2

6.3

Ancoragem das armaduras

6.4

6.3.1

Ancoragem por aderência

6.4

6.3.2

Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos

6.4

6.3.3

Ancoragem de armaduras passivas por aderência

6.4

6.3.4

Ganchos das armaduras de tração

6.5

6.4

Comprimento de ancoragem básico

6.6

6.5

Comprimento de ancoragem necessário

6.7

6.6

Armadura transversal na ancoragem

6.8

6.7

Ancoragem de feixes de barras, por aderência

6.9

6.8

Ancoragem de estribos

6.9

6.9

Emendas das barras

6.10

6.9.1

Tipos

6.10

6.9.2

Emendas por traspasse

6.10

6.9.2.1 Proporção das barras emendadas

6.10

6.9.2.2 Comprimento de traspasse para barras tracionadas, isoladas

6.12

6.9.2.3 Comprimento por traspasse de barras comprimidas, isoladas

6.13

6.9.2.4 Armad. transversal nas emendas por traspasse, em barras isoladas

6.13

6.9.2.4.1 Emendas de barras tracionadas da armadura principal

6.13

6.9.2.4.2 Emendas de barras comprimidas

6.13

vi

Estruturas de Concreto I- Prof Ney Amorim (UFMG).pdf

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