Konsep Algoritma Fuzzy Time Series Forecasting Perbedaan utama antara fuzzy time series dan konvensional time series
yaitu pada nilai yang digunakan dalam peramalan, yang
merupakan himpunan fuzzy dari bilangan-bilangan real atas himpunan semesta yang ditentukan. Himpunan fuzzy dapat diartikan sebagai suatu kelas bilangan dengan batasan yang samar. Jika U adalah himpunan semesta, U = {u1, uz, ... , un}, maka suatu himpunan fuzzy A dari U dedefinisikan sebagai A = fA(u1)/u1 + fA(u2)/u2 + … + fA(un)/un dimana fA adalah fungsi keanggotaan dari A, fA : U [0,1] and 1 ≤ i ≤ n. Sedangkan definisi dari fuzzy time series adalah sebagai berikut : Misalkan Y (t) (t= …,0,1,2, …), adalah himpunan bagian dari R, yang menjadi himpunan semesta dimana himpunan fuzzy fi(t) (i=1,2, …) telah didefinisikan sebelumnya dan jadikan F(t) menjadi kumpulan dari fi(t)(i=1,2,…). Maka, F(t) dinyatakan sebagai fuzzy time series terhadap Y(t)(t=…,0,1,2,…). Dari definisi di atas, dapat dilihat bahwa F(t) bisa dianggap sebagai variabel linguistik dan fi(t)(i=1,2,…) bisa dianggap sebagai kemungkinan nilai linguistik dari F(t),
dimana
fi(t)(i=1,2,…)
direpresentasikan oleh suatu himpunan fuzzy. Bisa dilihat juga bahwa F(t) adalah suatu fungsi waktu dari t misalnya, nilai-nilai dari F(t) bisa berbeda pada waktu yang yang berbeda bergantung pada kenyataan bahwa himpunan semesta bisa berbeda pada waktu yang berbeda. Dan jika F(t) hanya disebabkan oleh F(t-1) maka hubungan ini digambarkan sebagai F(t-1) F(t). Defini lain dari fuzzy time series adalah jika F(t) = F(t-1) untuk setiap waktu t dan F(t) hanya memiliki elemen yang terbatas maka F(t) dikatakan sebagai time-invariant fuzzy time series. Demikian juga jika sebaliknya maka dikatakan time-variant fuzzy time series.
Metode Peramalan dengan Fuzzy Time Series Langkah Pertama : Bagi himpunan semesta U = [Dmin, Dmax] menjadi sejumlah ganjil interval yang sama u1, u2, …, um,. Misalkan U = [13000, 20000] bisa kita bagi menjadi tujuh interval u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7 dimana u1 = [13000,14000], u2 = [14000,15000], u3 = [15000,16000], u4 = [16000,17000], u5 = [17000,18000], u6 = [18000,19000], u7 = [19000,20000]. Langkah Kedua : Jadikan A1, A2, … , Ak menjadi suatu himpunanhimpunan fuzzy yang variabel linguistiknya ditentukan sesuai dengan keadaan semesta. Kemudian definisikan himpunan-himpunan fuzzy tersebut sebagaimana berikut ini : A1 = a11 / u1 + a12 / u2 + … + a1m / um A1 = a21 / u1 + a22 / u2 + … + a2m / um …
A1 = ak1 / u1 + ak2 / u2 + … + akm / um Di mana aij [0,1], 1 ≤ i ≤ k, and 1 ≤ j ≤ m. nilai dari aij menunjukkan derajat keanggotaan dari uj dalam himpunan fuzzy Ai. Penentuan derajat untuk masing-masing Ai(i= 1,2,…,m) yaitu jika keanggotaan maximum dari suatu data dibawah Ak maka nilai fuzzifikasi-nya dikatakan sebagai Ak. Kemudian Fuzzy Logical Relationship (FLR) ditentukan berdasarkan data histori yang ada. A1 = 1/ u1 + 0.5/ u2 + 0/ u3 + 0/ u4 + 0/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7
,
A2 = 0.5/ u1 + 1/ u2 + 0.5/ u3 + 0/ u4 + 0/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7
,
A3 = 0/ u1 + 0.5/ u2 + 1/ u3 + 0.5/ u4 + 0/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7
,
A4 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0.5/ u3 + 1/ u4 + 0.5/ u5 + 0/ u6 + 0/ u7
,
A5 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0/ u3 + 0.5/ u4 + 1/ u5 + 0.5/ u6 + 0/ u7
,
A6 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0/ u3 + 0/ u4 + 0.5/ u5 + 1/ u6 + 0.5/ u7
,
A7 = 0/ u1 + 0/ u2 + 0/ u3 + 0/ u4 + 0/ u5 + 0.5/ u6 + 1/ u7
,
Adapun data histori yang digunakan dalam contoh perhitungan ini adalah sebagai berikut : Tabel 1. Data Fuzzifikasi Historis Enrollment Year 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
Actual Enrollment 13055 13563 13867 14696 15460 15311 15603 15861 16807 16919 16388 15433 15497 15145 15163 15984 16859 18150 18970 19328 19337 18876
Fuzzified Enrollment A1 A1 A1 A2 A3 A3 A3 A3 A4 A4 A4 A3 A3 A3 A3 A3 A4 A6 A6 A7 A7 A6
Dari tabel di atas maka bisa diperoleh fuzzy logical relationship, dimana fuzzy logical relationship Aj Ak berarti jika nilai enrollment pada tahun i adalah Aj maka pada tahun i+1 adalah Ak. Aj sebagai sisi kiri relationship disebut sebagai current state dan Ak sebagai sisi kanan relationship disebut sebagai next state. Dan jika terjadi perulangan hubungan maka tetap dihitung sekali. Adapun tabel fuzzy logical relationship adalah sebagai berikut : Tabel 2. fuzzy logical relationship A1 A1
A1 A2
A2 A3
A3 A3
A3 A4
A4 A4
A4 A3
A4 A6
A6 A6
A6 A7
A7 A7
A7 A6
Langkah Ketiga :
Bagi fuzzy logical relationship yang telah
diperoleh menjadi beberapa bagian berdasarkan sisi kiri (current
state). Sebagaimana tabel di atas maka kita peroleh enam fuzzy logical relationship group. Tabel 3. fuzzy logical relationship groups Group 1
A1 A1
A1 A2
Group 2
A2 A3
Group 3
A3 A3
A3 A4
Group 4
A4 A3
A4 A6
Group 5
A6 A6
Group 6
A7 A7
A7 A6
Langkah Keempat : Hitung hasil keluaran peramalan dengan menggunakan beberapa prinsip berikut, (1) jika hasil fuzzifikasi enrollment pada tahun i adalah Aj dan hanya ada satu fuzzy logical relationship pada fuzzy logical relationship group yaitu dengan posisi current state adalah Aj sebagaimana rumusan berikut : Aj Ak Di mana Aj dan Ak adalah himpunan fuzzy dan nilai maksimum keanggotaan fuzzy-nya terdapat pada interval uk, dan midpoint (nilai tengah) dari uk adalah mk, maka hasil peramalan untuk tahun i+1 adalah mk. (2) jika hasil fuzzifikasi enrollment pada tahun i adalah Aj dan terdapat beberapa fuzzy logical relationship dengan current state adalah Aj yang ditunjukkan juga pada fuzzy logical relationship group yang telah dibentuk sebelumnya. Sebagaimana rumusan berikut : Aj Ak1, Ak2, … , Akp Di mana Aj , Ak1, Ak2, … , Akp adalah himpunan-himpunan fuzzy dan nilai keanggotaan maksimum dari Ak1, Ak2, … , Akp terjadi pada interval u1, u2, …, up dan nilai tengah dari u1, u2, …, up adalah m1, m2, …, mp maka nilai hasil peramalan untuk tahun i+1 dirumukan (m1 + m2 + … + mp)/p.
(3) jika hasil fuzzifikasi enrollment pada tahun i adalah Aj dan tidak ada sama sekali fuzzy logical relationship dengan current state berupa Aj dimana nilai keanggotaan maksimum dari himpunan fuzzy Aj terjadi pada interval uj dan nilai tengah uj adalah mj, maka nilai hasil peramalan untuk tahun i+1 adalah mj. Berdasarkan tabel 1 dan tabel 2, kita bisa melakukan peramalan terhadap banyaknya jumlah pendaftar di universitas Alabama dari tahun 1972 sampai dengan tahun 1992. Selanjutnya akan diilustrasikan proses peramalan untuk tahun 1972, 1975, dan 1980. Adapun prosedur yang sama juga bisa digunakan untk meramalkan tahun-tahun selain yang tercantum. Untuk tahun 1972, karena hasil fuzzifikasi pendaftaran tahun 1971 pada tabel 1 adalah A1, dan dari tabel 3 bisa dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group dengan A1 sebagai current state sebagai berikut : A1 A1 , A2 Di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A1 dan A2 terjadi pada interval u1 dan u2, dengan u1 = [13000,14000] dan u2=[14000,15000], serta nilai tengah dari interval u1 dan u2 adalah 13500 dan 14500. Maka untuk meramalkan jumlah pendaftar pada tahun 1972 adalah (13500+14500)/2 = 14000. Untuk tahun 1975, karena hasil fuzzifikasi pendaftaran tahun 1974 pada tabel 1 adalah A2, dan dari tabel 3 bisa dilihat bahwa terdapat fuzzy logical relationship group dengan A2 sebagai currebt state sebagai berikut : A2 A3 Di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A3 terjadi pada interval u3, dengan u3 = [15000,16000], serta nilai tengah dari interval u3 adalah 15500, Maka diramalkan jumlah pendaftar pada tahun 1974 adalah 15500. Untuk tahun 1980, karena hasil fuzzifikasi pendaftaran tahun 1979 pada tabel 1 adalah A4, dan dari tabel 3 bisa dilihat bahwa terdapat
fuzzy logical relationship group dengan A4 sebagai current state sebagai berikut : A4 A4 , A3, A6 Di mana nilai keanggotaan maksimum untuk himpunan fuzzy A4, A3 dan A6 terjadi pada interval u4, u3 dan u6, dengan u4 = [16000,17000], u3 = [15000,16000] dan u6 = [18000,19000], serta nilai tengah dari interval u4, u3 dan u6 adalah 16500, 15500, dan 18500. Maka untuk meramalkan
jumlah
pendaftar
pada
tahun
1980
adalah
(16500+15500+18500)/3 = 16833. Setelah dilakukan perhitungan untuk meramalkan jumlah pendaftar untuk tiap tahun dengan metode yang telah dicontohkn, maka bisa dirangkum dalam tabel 4 berikut : Year 1971 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992
Actual Enrollment 13055 13563 13867 14696 15460 15311 15603 15861 16807 16919 16388 15433 15497 15145 15163 15984 16859 18150 18970 19328 19337 18876
Forecasted Enrollment 14000 14000 14000 15500 16000 16000 16000 16000 16833 16833 16833 16000 16000 16000 16000 16000 16833 19000 19000 19000 19000
Translated from : Forecasting enrollments based on fuzzy time series by Shyi-Ming Chen, Fuzzy Sets and System 81 (1996) 311-319
