180
1. 1.
Capítulo 12. Intervalos de Confianza
Estimación
de la media (varianza
conocida)
Los siguientes datos son la media muestral y el error estándar poblacional, de poblaciones distribuidas malmente. En cada caso calcule los intervalos de confianza al 90, 95 y 99 % para u: Media muestral
A C D
A Resp.
Error estándar
539 0,973 23 il587
B
B C D
2.
poblacional
nor-
«7":;;-)
67 0,12 5.3 114
90% (428,79; 649,21) (0,78; 1,17) (14,28; 31,72) (1399,49; 1774,51)
95% (407,68; 670,32) (0,74; 1,21) (12,61; 33,39) (1363,56; 1810,44)
99% (366,42; 711,58) (0,66; 1,28) (9,35; 36,65) (1293,35; 1880,65)
Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una fábrica sigue una distribución normal con una desviación estándar de 0,12 kg. Se extrajo una muestra aleatoria de sesenta ladrillos cuyo peso medio fue 4.07kg. a) Calcule un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de los ladrillos producidos; b) Sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 95 % para la media poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el-calculado en el apartado a); c) Se decide que mañana se tomará una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los cálculos, determine si un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendrá mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a); . d) Se sabe que la desviación estándar poblacional para la producción de hoyes 0,15kg. Sin realizar cálculos, determine si un intervalo de confianza del 99 % para el peso medio de los ladrillos producidos hoy tendrá mayor, menoro la misma longitud que el calculado en el apartado a). Resp. a) (4,03; 4,10); b) menor; c) mayor; d) mayor
'3l Se tomó una muestra de 35 cigarrillos Laramie para estudiar el contenido de alquitrán: obteniéndose una media de 22 mg y una desviación estándar de 4 mg. Halle el intervalo de confianza al 95,5 % para la media de la variable elegida. Resp. (20,64; 23,36 4.
En un estudio medioambiental se midió la concentración de mercurio en los músculos de los peces un lago. Las mediciones (en ppm) realizadas sobre 53 ejemplares dieron un promedio de 0,525 estándar de 0,3486. Si el contenido máximo de mercurio para que los peces sean aptos para humano es 0,4 ppm, a partir de un intervalo de confianza del 97%, determine si los peces de este ser consumidos con seguridad.
que habitay desviaciér el consum: lago puede-
Resp. (0,421; 0,629
'5.'
Según los consumidores las empresas pasteurizadoras de leche no entregan la cantidad exacta de producto Para verificar esta denuncia, se tomó una muestra de 36 fundas, cuyo contenido teórico era de 1 litro de leche. Se encontró un promedio de 960 em3 y una desviación estándar de 50 cm". Con base en un intervalo de confianza al 98 %, ¿se puede decir 'que la denuncia de los consumidores tiene fundamento? Resp. (940,58; 979,42); S
6.
Se tomó una muestra aleatoria de 1562 estudiantes de marketing de varias universidades y se les pidió que calificasen en una escala de uno (totalmente.en desacuerdo) a siete (totalmente de acuerdo) la siguiente afirmación: «La mayoría de los anuncios publicitarios insultan la inteligencia del consumidor medio», E promedio y la desviación estándar de las calificaciones a las respuestas fue de 3,92 y 1,57, respectivamente. Calcule un intervalo de confianza del 95 % para la calificación media poblacional. Resp. (3,84; 3,99
181
l. Estimación de la media (varianza poblacional conocida)
Si se tiene una muestra de 36 pacientes a los cuales se les observó el tiempo de estadía producto de fractura de cadera, la cual arrojó una estadía promedio de 33 días con una desviación estándar de 8,5 días. Además, se sabe que esta característica sigue una distribución normal. Diga con un nivel de confianza del 95,S % en que intervalo se puede encontrar la estadía media hospitalaria. Interprete el resultado. Resp. (30,16; 35,84)
8.
El INEC realizó una encuesta nacional sobre el gasto en las familias de Ecuador el año 2004. El gasto promedio por vacaciones más alto fue en la Costa, con 387$ y el más bajo en la Amazonía, con 283$. Suponga que en cada región se entrevistó a 800 familias y que las desviaciones estándar son 99$ y 76$, respectivamente. a) Obtenga, para cada región, un intervalo de confianza del 96 por familia; . b) Compare estos dos intervalos.
%
para la media del gasto por vacaciones
¿Se puede pensar que en la Costa es mayor la media? Resp. a) Costa: (380; 394), Amazonía
9.
(277; 289); b) Sí
Al gerente de producción de una compañía procesadora de cítricos le interesa cuantificar el daño causado a los 2500 naranjos que posee la empresa debido a las heladas que han ocurrido en los últimos tres años. Se hizo contar el número de naranjas producidas por árbol en una muestra de 42 de éstos y se obtuvo un promedio muestral de 525 naranjas por árbol. La población de naranjos que maneja la empresa tiene una desviación estándar de 30 naranjas por árbol. a) Construya Interprete;
un intervalo de confianza del 98
%
para la producción
media por árbol de los 2500 naranjos.
b) Si el rendimiento medio de naranjas .por árbol fue de 600 naranjas hace 5 años, ¿qué puede decir el gerente de producción sobre la posible existencia de un daño en este momento? Resp a) (514; 536); b) Ha disminuido 10.
Se conoce que el número de días de permanencia de los enfermos en un hospital sigue una distribución de media 8,1 y varianza 9. Se eligió, al azar, una muestra de 100 enfermos, a) halle un intervalo de confianza para la permanencia b) ¿Cuál es la probabilidad
media en un hospital;
de que la media muestral esté comprendida
entre 8 y 10 días?
Resp. a) (7,5; 8,7) al 95 11.
normal
%; b) 0,6306
Se desea estimar la media del número de horas por semana que los alumnos de una universidad dedican a estudiar. Suponga una desviación estándar de 3,5 horas. ¿Cuál es el tamaño de muestra necesario para afirmar, con una probabilidad de 0,90, que el tiempo promedio estimado dista del tiempo medio real en menos de media hora 7 Resp. 132
12.
Se aplicó una prueba de ingreso a la universidad. Para examinar los resultados se tomó las puntuaciones de 81 aspirantes y se obtuvo un promedio de 12,37 y una desviación estándar de 11. Halle un intervalo de confianza al 95 % para la media de las puntuaciones. Resp. (9,97; 14,77)
13.
Según algunos estudios, la «lluvia ácida» causada por la reacción de ciertos contaminantes en el aire con el agua de lluvia parece ser un problema creciente en la ciudad de Cuenca. La lluvia pura que se precipita a través del aire limpio tiene un pH de 5,7. Suponga que se analizan muestras de agua de 40 lluvias con respecto a su pH. Su media y desviación estándar resultaron ser 3,7 y 0,5, respectivamente. a) Determine intervalo;
un intervalo de confianza del 99%
para la media de los pH en las lluvias e interprete
el
b) Suponga que se desea estimar el promedio de pH de las lluvias en un área que experimenta una gran contaminación por parte de la descarga del humo de una planta de energía eléctrica, si se sabe que la desviación poblacional tiene un valor de alrededor de 0,5 pH y se desea que la estimación difiera a lo más en 0,1 de la media con una probabilidad cercana a 0,96, ¿cuántas lluvias deben incluirse aproximadamente en la muestra 7
Capítulo 12. Intervalos de Confianza
182
Resp. a) (3,5; 3,9); b) 106 14.
Se quiere estimar la media f..l de una variable aleatoria normal con varianza 2,5. Se toma una muestra de 100 valores independientes cuya media es 4,3. a) Calcule el intervalo de confianza al 95
%;
b) ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para que la longitud del intervalo disminuya en 0,08 unidades? Resp. a) (3,99; 4,61); b) n = 132 15.
Una variable aleatoria X tiene distribución normal siendo su desviación estándar igual a 3. Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la población, con probabilidad de 0,99, ¿cuántos elementos, como mínimo, se deberían tomar en la muestra? Resp. n = 60
16.
Se desea estimar la media del pH de las lluvias de la zona urbana de la ciudad. Se sabe que la desviación estándar es igual a 0,55 y se desea que la estimación difiera a lo más en 0,2 respecto a la media de la población, con una probabilidad de 0,99. ¿Cuál es el tamaño mínimo de la muestra? Resp. n
17.
= 51
Un investigador social desea estimar la media de ingreso de cierta población. Para ello quiere usar una muestra lo suficientemente grande para que la probabilidad de que la media muestral no difiera de la media poblacional por más del 25 % de la desviación estándar, sea de 0,95. ¿De qué tamaño debe elegir la muestra este investigador? Resp. n = 62
18.
Una población normal tiene una desviación estándar de 100. El intervalo de confianza al 95 % para la media es (360,5; 409,5) y otro intervalo de confianza par~ la misma media es (361,5; '408,5). a) ¿Cuál es el tamaño
muestral
utilizado en los dos intervalos?;
b) ¿Cuál es el nivel de confianza del segundo intervalo? Resp. a) 19.
ti
=
64; b) 1 - o: = 94
o/c
Suponga que se desea estimar la producción promedio diaria, 1-", de un producto químico, y se pretende que el error de estimación sea menor a 5 toneladas con una probabilidad de 0,95. ¿Qué tamaño muestral es el apropiado si se considera que el rango de producción diaria es aproximadamente de 84 toneladas?
Nota: s ~ 0,2544 Rango. . Resp. 71 20.
El director académico de una universidad desea estimar el tiempo medio que tardan los alumnos en ir de una clase a la siguiente y además quiere asegurar, con una confianza del 99 %, que el error sea a lo más de 0,25 minutos. Se puede suponer, por experiencia, que la desviación estándar es 1,4 minutos. ¿De qué tamaño debe seleccionar su muestra? Resp.209
21.
La estimación de la resistencia para una partida de resistores eléctricas de un mismo tipo, determinada base en los resultados de mediciones de 100 piezas escogidas al azar, es igual a x ± 10kD. a) Suponiendo que la desviación estándar de toda la partida es de 1kD, encuentre la probabilidad para los resistores de toda partida las resistencias esté dentro de los límites 18 ± O,lkD;
con
de que
b) ¿Cuántas mediciones hay que realizar para que con una probabilidad igual a 0,95 se pueda afirmar que en toda la partida de resistores la resistencia esté dentro de los límites de 10 ± O,lkD? Resp, a) 0,68; b) 385 22,
Se desea estudiar la longitud de las hojas de cierta variedad de plátano. Para realizar dicho objetivo se tomará una muestra representativa de la población. ¿Cuál es el tamaño de la muestra si la desviación estándar es 5,32 cm y se desea tener un error máximo de 1 cm? (Use 1 - o: = 0,97) Resp. 134
183
l. Estimación de la media (varianza pobleciotielconocide}
::3.
En "una investigación para determinar el consumo medio de las tarjetas de crédito, se consultó a 70 tarjeta habientes, encontrándose una desviación estándar de 33 dólares y un intervalo de confianza de (195,5; 210,5). ¿A qué nivel de confianza se realizaron los cálculos? Resp. 1- ex = 94,26 %
24.
En el Departamento de Personal de un banco se realizó un análisis de las horas de capacitación que recibió el personal el año pasado, para ello se tomó una muestra de 35 expedientes y se determinó un promedio de 25 horas, una varianza de 60,75 y un intervalo de (21,8; 28,2). a) ¿A qué nivel de confianza se presentaron los resultados? b) Con los datos anteriores y si la estimación de la media ha de estar a ±1,5 horas del valor verdadero, ¿cuál es el tamaño muestral requerido? Resp. a) 98,5 %; b) 160
25.
En la determinación de la capacidad craneana de una especie de simios se estudió a 72 especímenes y se encontró que su cráneo tenía un diámetro medio entre 38,8 cm y 43,9 cm. Si en el estudio se indica que los resultados se presentan. con una confiabilidad del 98 %, ¿cuál es la desviación estándar de las mediciones? Resp. s = 9,287
26.
El peso promedio de una muestra de 46 perros fue de 58 libras y el intervalo de confianza al 95 % fue (55,5; 60,5). ¿Cuál es la desviación estándar empleada? Resp. s
= 8,65
200
27.
Se tomó una muestra a partir de una población grande y se obtuvo: es el intervalo de confianza al 98,5 % para la media?
x
= 31 y
2::(Xi - 31)2 = 1596. ¿Cuál i=l
Resp. (30,513; 31,487.) 28.
La altura de los jóvenes ecuatorianos se distribuye según una ley normal de media desconocida y varianza 25 cm''. Se seleccionó una muestra aleatoria y con una confianza del 95 % se construyó un intervalo para la media poblacional cuya amplitud fue de 2,45 cm. a) ¿Cuál fue el tamaño de la muestra seleccionada?; b) Determine el intervalo de confianza si la muestra tomada dio una altura promedio de 167 cm. Resp. a) 64; b) (165,78; 168,22)
29.
A partir de la información suministrada por una muestra aleatoria de 100 familias de estrato socioeconómico alto de cierta ciudad, se determinó el intervalo de confianza al 99 % para el gasto medio mensual por familia en electricidad: (42; 58). a) Determine la estimación puntual del gasto mensual en electricidad en las familias de estrato alto de esa ciudad; b) ¿Qué número de familias tendríamos que seleccionar al azar, como mínimo, para garantizarnos, con una confianza del 99 %, una estimación de dicho gasto medio con un error máximo no superior a 4 dólares? Resp. a) 50, b) 400
30.
Una corporación quiere emitir algunos pagarés a corto plazo y espera que la tasa de interés que tendrá que pagar no sea mayor a 11,5 %. Para obtener cierta información acerca de la media de la tasa de interés que tendrá que pagar, la corporación pone a la venta 40 pagarés, cada uno con una firma de corretaje diferente. El promedio y la desviación estándar de la tasa de interés de los 40 pagarés fueron 10,3 % y 0,31 %, respectivamente. Como solamente interesa el límite superior que hay que pagar, calcule un intervalo de confianza unilateral de 95 % para la media de la tasa de interés que pagaría la corporación en los pagarés. Resp. (O; 10,40)
184 31.
Capítulo 12. Intervalos de Confianza El número de bacterias por cm3 en una disolución de cultivo, sigue la distribución de Poisson. A partir de la siguiente muestra de tamaño 283, halle el intervalo de confianza aproximado del 90 % para A. Número de virus Frecuencia Resp. (1,28; 1,51,
32.
Se quiere realizar una encuesta para estimar el tiempo medio semanal que ven televisión las amas de casa. Según estudios anteriores se conoce que la desviación estándar de dicho tiempo es de 3 horas. a) A un nivel de confianza del 99 %, ¿qué número de amas de casa hay que consultar la estimación no sea superior a media hora":
para que el error de
b) ¿Qué costo debe presupuestarse para la realización de la encuesta si ésta tiene un costo fijo de 6000$ y un costo variable de 3$ por cada entrevista? Resp. a) 239; b) 6717 33.
El número de elementos que forman parte de un equipo electrónico y que han fal.lado siguen una distribuciór de Poisson de parámetro A. Halle un intervalo aproximado para este parámetro, a 11m nivel del 97,5 %, si a) durante
las pruebas han fallado 88 elementos en un grupo de 44 aparatos;
b) en 50 equipos en prueba han fallado 65 elementos,
respectivamente. Resp. a) (1,52; 2,48); b) (0,94; 1,66
34.
Se extrajo una muestra de 60 observaciones de una distribución de Poisson, obteniéndose Construya I:Jnintervalo de confianza al nivel del 90 % para la media poblacional.
un promedio de 2.1. Resp (1;793; 2,407
35.
Para la estimación de la media poblacional f-l de una distribución N(f-l, 1) se extrajo una muestra de tamaño 25 y se construyó un intervalo de confianza al 90 %. Determine el número de observaciones adicionales que deben tomarse para aumentar el nivel de confianza de dicho intervalo al 9·5%. Resp.
36.
1:
La tensión entre bornes de las baterías de cierta marca a la salida de fábrica es 4+e voltios. Se conectaron 25 baterías en serie. Calcule el intervalo de confianza para la fuerza electromotriz total con a = 0,05, sabiendo que e es una variable aleatoria que sigue una' distribución uniforme U( -0,25; 0,25). Resp. (98,58; 101,41
37.
Considere el intervalo de confianza para f-l con desviación estándar 0":
donde al
+ a2 = a.
Sea a
= 0,05,
a) halle el intervalo de confianza para al = a2 = 0,025; b) considere el caso c) Si se comparan
al
= 0,01, a2 = 0,04, halle el intervalo de confianza correspondiente;
los dos intervalos, ¿qué se deduce sobre la longitud de
Resp. a)
105
mismos?
(x -1,.96 ..5n; x + 1,96 ..5n); (x b)
2,33
..5n; x + 1,75 ::n}
c) El simétrico es más
