Esteva, Lourdes Falconi, Manuel - Biologia Matematica

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Lourdes Esteva Peralta Manuel Falconi Maga˜ na na

´tica Biolog´ıa Matematica a Un enfoque desde ´ micos los sistemas dinamicos a

Facultad de Ciencias, UNAM

2012

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Contenido Pr´ ol o g o

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Pr´ ologo (segunda edici´ ologo on)

xi

Introducci´ on 1 Sistemas din´ amicos 1.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 ¿Qu´ ¿Qué es un sistema sistema din´ din´ amico? . . . . . . . . . 1.1.2 1.1.2 Model Modelos os ma mate tem´ m´ atic a ticos os de ejem ejempl plos os espec espec´´ıfico ıficoss 1.1.3 1.1.3 Epid Epidem emias ias y aut´ aut´ omatas celulares . . . . . . . 1.1.4 1.1.4 Clasi Clasific ficac aci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Teor´ıa cualitativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii . . . . . . .

2 Morfolog´ Morfolog´ıa, funci´ on y din´ amica de los organismos 2.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 La comp compar arac aci´ i´ on en la biolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Una vista vista a la biol biolog og´´ıa comp compara arada da de los mam mam´´ıferos ıferos . 2.4 El organi organismo smo como como un un reacto reactorr de cat´ cat´ alisis alisis hetero heterog´ g´ enea enea 2.5 2.5 La estr estruc uctu turra frac fracta tall del orga organi nism smo o . . . . . . . . . . . 2.6 2.6 Lo Loss org organ anis ismo moss como como sist sistem emas as adap adapta tati tiv vos . . . . . . .

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1 1 3 5 14 16 16 17

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3 Las leyes de Mendel y la ley del equilibrio g´ enico enico de Hardy-Weinb erg 41 3.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1. 3.1.11 El prob proble lema ma de la varia ariab bilid ilidad ad I . . . . . . . . . . . . . 43

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3.2

Mendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Los motivos de Mendel . . . . . 3.2.2 Los experimentos . . . . . . . . 3.2.3 Las leyes . . . . . . . . . . . . 3.3 Hardy-Weinberg . . . . . . . . . . . . 3.3.1 3.3.1 La disp disput utaa ent entre re biom biomet etri rist stas as y 3.3.2 3.2 La ley ley de la ine inercia génica . . . 3.3.3 La adaptabilidad . . . . . . . . 3.4 Tres citas, citas, una concepc concepci´ i´ on . . . . . . .

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Contenido

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . men mende delia liano noss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Ecuaciones Ecuaciones diferenciales diferenciales y sus aplicaciones aplicaciones a la din´ amica amica de p oblaciones 4.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Modelos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 4.2.1 La ecua ecuaci ci´ on oń de Fibon Fibonac acci ci y gen gener erali aliza zaci cion ones es . . . . . 4.2.2 4.2.2 La ecua ecuaci ci´ on oń en difer iferen enci cias as no lin lineeal . . . . . . . . . . 4.2. 4.2.33 Sist Sistem emas as de ecua ecuaci cion ones es en dife difere renc ncia iass . . . . . . . . . 4.3 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Estabilidad Estabilidad en modelos generales generales de poblaciones poblaciones aisladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Ep´ılogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ecuaciones diferenciales y epidemiolog´ıa 5.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Mode odelo de Ross-MacDonald . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Modelo SEIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sistemas Sistemas de ecuacio ecuaciones nes diferen diferenciales ciales cooperativos cooperativos y competitivos. Resumen de resultados . . . . . . . . . . . 5.5 Analis a´ lisis is del del mod model eloo de de Ros Rosss-Ma MacD cDon onal ald d . . . . . . . . . 5.6 Ana´lisis del mode odelo SEIR . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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44 47 49 52 55 56 59 60 64

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6 Emergen Emergencia cia y form formaci aci´ on o ń de patrones patron es en biolog´ıa: ıa: un enfoque matem´ atico 123 6.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.2 Proceso Procesoss de difusi difusi´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 127 6.2.1 2.1 Caminat inataas aleatori orias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 128

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Contenido

6.3 6.4 6.5 6.6

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6.2.2 6.2.2 Leyes Leyes de conser conserv vaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Ecuaci Ecuacione oness de reacci reacci´ on-difusi´ oń-difusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 132 Ince Incend ndios ios fore forest stale aless y el me meca cani nism smoo de de Tur Turin ingg . . . . . . . . . 133 Inestabilidad de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 134 Otro Otro me meca cani nism smoo mor morfo foge gen nétic e tico: o: la qui quimi miot otax axis is . . . . . . . . 141 6.6.1 6.6.1 Los hechos hechos sobre sobre agrega agregaci´ ci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 14 142 6.6.2 6.6.2 El cic ciclo lo de de vida vida de de la amib amibaa Dictyostelium discoideum 143 6.6.3 6.6.3 El meca mecanis nismo mo para para la agre agregac gaci´ i´ on . . . . . . . . . . . . 145 6.6.4 6.4 Los patrones espaciales les . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 146 6.6.5 6.6.5 El model modeloo q qui uimi miot ot´ aćtico . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 147 6.6.6 Algunos Algunos patrones patrones generados generados por mecanismos mecanismos quimiot´ acticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Patro Patrones nes en en otros otros siste sistemas mas biol´ biol´ ogicos . . . . . . . . . . . . . . 151 6.7.1 6.7.1 Regene Regenerac raci´ i´ on en tejidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 151 6.7.2 Mariposas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.7.3 Filotaxia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.7.4 6.7.4 Patro Patrones nes de veget vegetaci aci´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 153 ¿Y qu´ qué m´ as? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 154 6.8. 6.8.11 Otro Otross mod model elos os mo morf rfog ogen en´étic e ticos os . . . . . . . . . . . . . . 155 155 6.8.2 Cr´ Cr´ıticas a la teor´ teor´ıa de Turing Turing y estudios recient recientes es . . . 156 Conclu Conclusio siones nes y disc discusi usi´ oń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

7 Una intr introdu oducc cci´ i´ on a los modelos de compet petencia. 7.1 Intr Introdu oducc cci´ i´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 La competencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 7.2.1 Alg Alguno unoss modelos modelos matem´ matem´ aticos de competencia int intraespec pec´ıfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. 7.2.22 Mo Mode delo loss con con vario arioss recu ecursos rsos . . . . . . . . . . . 7.3 7.3 Coex Coexis iste tenc ncia ia de espe especi cies es en comp compet eten enci ciaa . . . . . . . . 7.3.1 7.3.1 Un mode modelo lo de de nich nichoo ecol ecol´ o´gico . . . . . . . . . . 7.3. 7.3.22 Coexi Coexist sten enci ciaa y seme semeja janz nzaa de de nic nicho hoss . . . . . . . 7.4 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. 7.4.11 An´ alisis alisis de de los modelos modelos de Schoener Schoener y log log´´ıstico 7.4.2 Calculo a´lculo de α . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Contenido

8 Modelaci´ on matem´ atica de comportamientos temporales de sistemas biol´ ogicos 8.1 Modelos matem´ a ticos para escépticos . . . . . . . . . . . . . 8.2 Los ritmos circadianos y su modelaci´ on . . . . . . . . . . . 8.2.1 Las observaciones experimentales . . . . . . . . . . . 8.2.2 La sincronizaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.3 La modelaci´ on matem´ atica . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Comentarios finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Modelaci´ on en din´ amica de poblaciones 9.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Modelos metapoblacionales . . . . . . . . . . . . 9.2.1 An´ a lisis del modelo para una especie . . 9.3 Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 An´ alisis num´ erico 10.1 Introducci´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Fuentes de error y aritm´ etica de computadora 10.3 Ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . 10.4 M´ aximos y m´ınimos . . . . . . . . . . . . . . 10.5 M´ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 10.7 La ecuaci´ on de Laplace y el á lgebra lineal . . 10.8 Conclusi´ on . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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189 . 189 . 192 . 192 . 196 . 202 . 211

215 . . 215 . . 217 . . 219 . . 221 . . . . . . . .

223 . 223 . 224 . 225 . 228 . 228 . 229 . 236 . 239

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Pr´ ologo La matem´ atica ha jugado, hist´ oricamente, un importante papel en el desarrollo de las ciencias: los ejemplos mejor conocidos provienen de la f´ısica clásica, la astronom´ıa y la qu´ımica. En estos campos de conocimiento –merced a que se han combinado una buena comprensión b´ asica de los sistemas y el formalismo de un entramado matemático preciso– ha sido posible hacer predicciones ciertas, corroboradas casi siempre mediante el experimento. De hecho, con frecuencia los avances te´ oricos han precedido por años a la demostraci´ on experimental, y el mejor ejemplo de este fen´ omeno es el de la teor´ıa de la relatividad. Hoy es posible sostener que la disciplina cient´ıfica de crecimiento m´ as rápido es la biolog´ıa. La variedad m´ ultiple de nuevos enfoques y técnicas desarrollados en los u ´ ltimos a˜ nos la han revolucionado hasta hacerla irreconocible. Esta mejora radical de nuestra comprensi´ o n de los procesos bioló gicos ha ocurrido a todos los niveles y en todos los ámbitos y subdisciplinas de la ciencia de la vida: de la biolog´ıa celular a la inmunolog´ıa, la fisiolog´ıa, la genética, la biolog´ıa del desarrollo y la bioqu´ımica. Ha habido una verdadera explosi´ on de nuevas áreas de investigaci´ on; inevitablemente, esto ha generado grandes cantidades de nuevos tipos de datos, y muchas veces el tratamiento matem´ atico y computacional de los mismos ha llevado a desarrollar nuevos métodos anal´ıticos. Es m´ as, para descifrar los mecanismos subyacentes que pudieren explicar aquellas observaciones ha sido necesario un cuidadoso trabajo de modelaci´ on matem´ atica. En un amplio rango de ramas de aplicación del conocimiento es posible hallar ejemplos excelentes del uso práctico de la biolog´ıa matem´ atica. En algunas a´reas, la modelaci´ on matem´ a tica ha sido crucial en la toma de decisiones y conviene insistir en la necesidad de que exista, entre los teóricos y los que hacen la pol´ıtica, una colaboraci´ on m´ as cercana.

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Como se establece en la cita clásica: “la teor´ıa sin pr´ actica es fantas´ıa y la práctica sin teor´ıa es caos”. Mostrar´ e enseguida lo acertado de esta afirmaci´ on mediante dos ejemplos claros, la forma cómo act´ ua la gente que decide con los modeladores matem´ aticos. Despu´ es de haberse establecido, a mediados de los ochenta, la moratoria internacional sobre la captura comercial de la ballena, la Comisi´ on Interna1 cional para esta actividad (CIB) se plante´ o el prop´ osito de desarrollar un método de estimaci´ o n del n´ umero de ballenas que podr´ıan ser capturadas sin amenazar la sobrevivencia de las diversas poblaciones de cetáceos. Para lograrlo, se conjunt´ o un equipo de ec´ ologos te´ oricos del m´ as alto nivel, el cual, despu´ es de mucho trabajar, propuso un algoritmo de l´ımite de atica de la cual deducir, a partir de la captura (ALC): una ecuación matem´ estimaci´ on del tama˜ no poblacional, el volumen de captura m´ as seguro para no poner en riesgo de extinción a las ballenas. El modelo b´ asico usado en el ALC se deriva, esencialmente, del mapeo log´ıstico cl´ asico que se encontrar´ a en uno de los cap´ıtulos de este libro. Si bien el ALC a´ u n no se pone en práctica, se espera que la CIB lo aplique para establecer l´ımites de captura quinquenales. En los u ´ ltimos a˜ nos, la industria agropecuaria en el Reino Unido ha vivido el embate de dos epidemias de gran envergadura que han atacado al ganado vacuno: la encefalitis bovina espongiforme y la fiebre aftosa. A fin de determinar el estado de las epidemias –aunque tengan formas de contagio muy distintas– en el gobierno brit´ anico, la gente que decide necesita respuestas a preguntas clave, como si todav´ıa se est´ an propagando r´ apidamente o si su infectividad ha empezado a decaer o d´ onde es de esperarse que haya nuevos brotes. Asimismo, es preciso evaluar los posibles resultados antes de aplicar diferentes medidas de control. En el caso de la fiebre aftosa ha habido un proceso continuo de análisis estad´ıstico de los datos disponibles m´ as recientes, de refinamiento de los modelos epidemiol´ ogicos y de las posibles estrategias de erradicaci´ o n, y se ha demostrado que as´ı se tiene una gu´ıa invaluable para que las autoridades del ramo valoren los resultados de las distintas acciones encaminadas a combatir la epidemia.

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International Whaling Commision o IWC en el original.

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En los casos descritos ha habido consideraciones pol´ıticas y econ´ omicas que han influido e influir´ an en el perfil de las soluciones tomadas finalmente; tales consideraciones son al menos tan importantes como las relativas a lo técnico. No obstante, en ellos se demuestra la potencialmente poderosa intervención de la modelaci´ on matem´ atica en estudios aplicados. Es obvio que la biolog´ıa matem´ atica es un campo de estudio interdisciplinario: demanda una comprensi´ on profunda de la biolog´ıa de los sistemas y un buen apuntalamiento matem´ a tico. Las etapas cl´ asicas de la modelaci´ on matem´ atica involucran, de manera t´ıpica, el identificar un problema biol´ ogico interesante que sea, por decirlo as´ı, un desaf´ıo cargado de esperanza. Luego viene la modelaci´ on conceptual: identificar las componentes y los procesos clave involucrados. Una vez que los fundamentos de la urdimbre del modelo est´ an delineados, se puede comenzar con la formulación matem´ atica, y a ésta siguen el an´ alisis del modelo y la interpretaci´ on biológica de los resultados. En este libro, varios biomatem´ aticos reconocidos internacionalmente nos ofrecen un texto de introducción a las distintas ramas de este campo. En gran medida, la biolog´ıa matem´ atica proviene de la f´ısica; por ello, muchos de sus modelos se construyen sobre la base de los sistemas dinámicos. En el cap´ıtulo de Pablo Padilla se hace una presentaci´ on excelente de los fundamentos –su entramado conceptual y matem´ atico– de la modelaci´ on de sistemas din´ amicos. Le siguen tres cap´ıtulos sobre ecolog´ıa y epidemiolog´ıa te´ oricas. El mayor inter´ es en este campo se centra, en primer lugar, en si es factible que un conjunto de especies coexista en algún tipo de equilibrio o si una o algunas se extinguir´ an, forzadas por la competencia, la depredación o el parasitismo. El excelente cap´ıtulo de Falconi se ocupa de esto. La mayor parte de la trama para modelar estos sistemas tiene su base en las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) como lo presentan Esteva Peralta y Velasco Hernández. A su vez, Garza Hume provee consideraciones técnicas sobre cómo pueden analizarse num´ ericamente modelos complejos con EDO y si son aplicables universalmente. Para responder a la u ´ ltima interrogante es preciso examinar las hip´ otesis subyacentes: en los modelos se parte siempre de supuestos esenciales sobre la relaci´ on entre la escala de tiempo y la reproducció n: en u ´ltima instancia se supone que las generaciones se traslapan. Si bien esto puede aplicarse burdamente a una gran cantidad de especies (a los mam´ıferos, por ejemplo),

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hay muchos casos en donde la hipótesis es inapropiada (v. gr. en la mayor´ıa de las especies de insectos de las regiones templadas). Otras formas posibles de modelar estos sistemas suponen que la reproducción ocurre a intervalos discretos en el tiempo, y un entramado u´til para tales modelos puede hallarse, como lo delinea Barradas en su art´ıculo, en el uso de matrices: la matem´ atica puede ser distinta pero los objetivos son los mismos que cuando se modela con EDO. La mayor´ıa de los modelos en ecolog´ıa postulan que todos los individuos en una poblaci´ on son funcionalmente idénticos. Sin embargo, se sabe que en todas las poblaciones naturales hay una enorme variabilidad genética. Esto origina preguntas interesantes en relaci´ on con la heredabilidad de los rasgos, la persistencia de ciertos genes, etcétera. Aqu´ı también hay una historia extensa y prestigiosa de modelos matem´ aticos. El ensayo de Gutiérrez Sánchez es una introducci´ on a la misma. Otra a´ rea en la cual los modelos matem´ aticos han desempe˜ nado un importante papel hist´ o rico es el de la formaci´ on de patrones biológicos. Este campo fue establecido por Alan Turing en su trabajo clásico sobre patrones formados durante la morfogénesis, publicado a mediados de los cincuenta. Los cap´ıtulos de Medrano Gonz´ alez y S´ anchez Gardu˜ no proveen una detallada descripci´ on matem´ atica y biol´ ogica de este tema. En el u´ltimo texto tambi´ en se discute la formaci´ on de patrones biológicos en casos m´ as generales. El contenido de este libro es una excelente introducción a una de las disciplinas cient´ıficas m´ as excitantes y de m´ as rápida maduraci´ on en nuestros d´ıas. Hay en él mucho para fascinar al lector y aprehender la imaginaci´ on de quienes –desde la f´ısica o desde las ciencias biol´ ogicas– estén dispuestos a afrontar nuevos desaf´ıos cargados de esperanza. Pehman Rohani, Departamento de Zoolog´ıa, Universidad de Cambridge

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Pr´ ologo (segunda edici´ on) En esta segunda edici´ on, con la inclusi´ on del cap´ıtulo Modelaci´ on matem´ atica de comportamientos temporales de sistemas biol´ ogicos se ha cubierto un tema de mucho interés para la biolog´ıa y la modelaci´ on matem´ atica de los fen´ omenos naturales. Los autores exponen con cuidado su concepci´ on de lo que es un modelo matemático y la ilustran mostrando modelos que han construido para estudiar ciertos ritmos que se presentan en una especie de crustáceo que han estudiado en el laboratorio. Las mismas ideas son utilizadas en las p´ aginas finales del cap´ıtulo para estudiar los mecanismos que pueden conducir a la sincronizaci´ on en algunos procesos naturales oscilantes. Otro punto que debemos resaltar es la renovaci´ on del cap´ıtulo Emergencia y formaci´ on de patrones en biolog´ıa: un enfoque matem´ atico; en particular, se reelaboroó su introducci´ on y cada sección tiene una presentaci´ on como gu´ıa para el lector. Tambi´ en se agregaron detalles a los desarrollos matem´ aticos. En lo general, se corrigieron los errores tipográficos. Esperamos que esta segunda edición tenga tan buena acogida como la primera y sea de utilidad para profesores y estudiantes interesados en la biolog´ıa teorica. Lourdes Esteva Peralta, Manuel Falconi Maga˜ na Departamento de Matem´ aticas, Facultad de Ciencias, UNAM Enero de 2012

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Introducci´ on En los a˜ nos recientes, la biolog´ıa se ha ido convirtiendo paulatinamente en una ciencia que requiere cada vez más de la matem´ atica. Desde que en el siglo XVI, Galileo cuantific´ o las variables de un experimento f´ısico, el uso de los métodos cuantitativos se ha considerado tradicionalmente, y de manera un poco errónea, como una medida del grado de madurez y avance de una ciencia. Es verdad que la biolog´ıa es en buena medida una ciencia cuantitativa y por ello requiere de métodos matem´ aticos. Sin embargo, la complejidad de los sistemas biol´ ogicos, y de la vida misma, contiene m´ ultiples rasgos que no pueden ser reducidos a una cantidad. El origen y la evoluci´ on de la forma biol´ ogica, la emergencia de patrones de comportamiento en comunidades, entre otros, son problemas que no se explican por el mero estudio de cantidades de los elementos que los conforman. Es por esto que la biolog´ıa también demanda de la matem´ atica herramientas que atiendan a la calidad de los objetos de estudio y no u ńicamente a su cantidad. Esto hace inevitable la interdisciplina. La modelaci´ on matem´ atica ofrece una herramienta de investigaci´ on que permite al bi´ ologo estudiar la esencia de un fenómeno y dejar de lado detalles que no son relevantes para su comprensi´ on. También, en ocasiones, le permite complementar o, incluso, sustituir experimentos de laboratorio y simularlos en una computadora. Por otra parte, la biolog´ıa presenta problemas muy interesantes al matem´ atico, propiciando el desarrollo de nuevos métodos y la aplicaci´ on de técnicas matemáticas. Como ejemplos del enriquecimiento de la matem´ atica a partir de problemas biol´ ogicos podemos mencionar la teor´ıa de las redes de neuronas artificiales y la técnica de optimizaci´ on llamada algoritmos genéticos, que ya se han ganado su lugar en el campo de la matem´ atica sin olvidar sus or´ıgenes biol´ ogicos. El trabajo interdisciplinario es necesario para la investigaci´ on en biolo g´ıa matem´ atica ya que, por un lado, sin un conocimiento profundo de la

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biolog´ıa es imposible fundamentar un modelo matem´ atico y saber si es interesante o irrelevante por muy complicado que sea desde el punto de vista matem´ atico. Por otra parte, en el desarrollo de buenos modelos matem´ aticos es esencial un buen manejo de la matem´ a tica. Una buena modelaci´ on matem´ atica descansa sobre los siguientes puntos: i) una comprensi´ on adecuada del problema biol´ ogico, ii) una representaci´ on matem´ atica realista de los fenómenos interesantes, iii) la b´ usqueda de soluciones u ´ tiles, iv) una interpretaci´ on biol´ ogica de los resultados matem´ aticos en términos de nuevos conocimientos sobre el proceso biol´ ogico en cuesti´ on y, ocasionalmente, predicciones sobre su evolución. Estas consideraciones han sido puntos de discusión y an´ alisis en las Escuelas de Oto˜ no de Biomatem´ aticas que se llevaron a cabo en el CIMAT, Guanajuato en 1998 y 1999. Algunos de los cursos impartidos en estas escuelas conforman este libro. Su contenido es muy diverso y abarca tanto aspectos matem´ aticos de la teor´ıa de sistemas din´ amicos y métodos numéricos, como de la modelaci´ on en problemas de ecolog´ıa, crecimiento de poblaciones, epidemiolog´ıa, genética y formaci´ on de patrones. Con esto se pretende dar una idea general sobre distintas formas de enfocar desde un punto de vista matem´ atico algunos problemas de la biolog´ıa. Est´ a dirigido a estudiantes de biolog´ıa, matemáticas y ciencias afines. En general las notas son autocontenidas y sólo requieren de conocimientos b´ asicos en c´ alculo diferencial e integral. Los sistemas din´ amicos es una de las áreas de las matem´ aticas que m´ as ampliamente se utiliza en la modelaci´ on de diversos fenómenos biol´ ogicos. Muchas de las razones por lo que esto ocurre se explican en el cap´ıtulo 1. En este cap´ıtulo se plantea lo que es un sistema din´ amico partiendo de diversas situaciones que se presentan en la naturaleza, y especialmente en biolog´ıa. Se introducen los conceptos b´ asicos de la teor´ıa de sistemas din´ amicos que resultan u ´ tiles en la descripción precisa de cierto tipo de fen´ omenos biol´ ogicos. El segundo cap´ıtulo inicia con un planteamiento general acerca de qu´ e es la vida desde el punto de vista de la biolog´ıa moderna. Se describen con cierto detalle los procesos que dieron origen a la vida y la interacción de los seres vivos con su medio ambiente. Esta interacci´ on ha dado como resultado a lo largo del proceso evolutivo una gran diversidad de formas y tama˜ nos de organismos, as´ı como de las relaciones entre ellos. Se trata

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este punto a través de la evoluci´ on genot´ıpica y organ´ısmica, enfatizando los puntos de vista de Goodwin y Wilson. En la reconstrucci´ on del proceso evolutivo es necesario recurrir a los métodos de la biolog´ıa comparada, algunos de los cuales requieren de modelos matem´ aticos. Esto u ´ ltimo forma parte importante de este cap´ıtulo. Los trabajos pioneros de Mendel y Hardy-Weinberg acerca de los mecanismos de la herencia se exponen en el tercer cap´ıtulo. Se incluye una descripción hist´ orica donde se resalta la aportaci´ on del monje agustino Gregorio Mendel y sus famosos experimentos de hibridación con plantas de ch´ıcharos. En el cuarto cap´ıtulo se da un panorama de las ecuaciones diferenciales y de las ecuaciones en diferencias, a través de una serie de interesantes aplicaciones a la demograf´ıa, din´ amica poblacional, y proporciona una gu´ıa util ´ para el estudiante que se inicia en estos tópicos. Se lleva a cabo tambi´ en una revisi´ on general de las ecuaciones en diferencias y el papel de las bifurcaciones y caos en la modelaci´ on matem´ atica de la teor´ıa de poblaciones. En el quinto cap´ıtulo se hace la formulaci´ on de dos modelos matem´ aticos que describen la propagación, en un caso, de enfermedades transmitidas a través de picadura de un vector, y en el otro, de enfermedades que se transmiten por contacto directo. Para llevar a cabo el an´ alisis matem´ atico de los modelos, se introduce el concepto de monotonicidad sugerido por los problemas de la modelaci´ on de sistemas cooperativos y competitivos. En el sexto cap´ıtulo se hace una revisi´ o n de una familia de modelos matem´ aticos que se han usado ampliamente para describir distintos procesos morfog´ enicos en sistemas biol´ ogicos. La familia aqu´ı descrita surge cuando se considera que los mecanismos de cambio de estos procesos son de tipo reacción-difusi´ on. El lector encontrar´ a aqu´ı desde la deducci´ on de las ecuaciones hasta la presentación de algunos tópicos de actualidad en el área. El problema de la diversidad se vuelve a plantear en el séptimo cap´ıtulo, pero ahora desde el punto de vista de las interacciones de los seres vivos. Los organismos se desarrollan en comunidades formando intrincadas redes de relaciones, donde cada especie depende directa o indirectamente de la presencia de las otras. En este cap´ıtulo se estudia la interacci´ on competitiva, la cual es una de las relaciones que ha recibido más atenci´ on en ecolog´ıa por su papel preponderante en el proceso de la biodiversidad. Se enfatiza la

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importancia de los modelos matem´ aticos en el estudio de la competencia entre organismos de la misma especie (intraespec´ıfica) y la competencia entre organismos de especies distintas (interespec´ıfica). Una de las cuestiones fundamentales cuando se utilizan m´ etodos matem´ aticos para estudiar un fenómeno es decidir cu´ ales son los elementos relevantes que lo describirán adecuadamente. En el cap´ıtulo 8 se plantean con cuidado las diversas interrogantes que surgen cuando se quiere modelar un proceso, como son, por ejemplo: qu´ e variables se van a considerar, qu´ e tipo de valores tomar´ an, cu´ ales son las leyes que rigen los cambios de estado, entre otras. Estas interrogantes se analizan a trav´ es de un ejemplo en din´ amica de poblaciones, utilizando para ello un modelo de metapoblaciones para estudiar la dispersi´ on de una especie en un medio ambiente dividido en nichos o parches. En el análisis de un modelo en general no es posible evaluar en forma exacta los resultados de las variables de estado utilizadas, lo que hace necesario recurrir a diferentes técnicas que permitan obtener buenas aproximaciones de ellas. Esto ha generado el desarrollo de una rama importante de las matem´ aticas conocida como an´ alisis numérico. En el cap´ıtulo 9 se ofrece una breve introducción a los métodos numéricos resaltando la importancia de éstos, pero al mismo tiempo se hacen notar los peligros –algunos de ellos inevitables debido a las limitaciones propias de las computadoras– que se corren al hacer un uso incorrecto de esta herramienta matem´ atica. Agradecemos a la Facultad de Ciencias de la scunam y al Departamento de Matem´ aticas de la UAM-Iztapalapa por el apoyo brindado para que sus estudiantes pudieran asistir a las Escuelas de Oto˜ n o de 1999 y 2000. Un agradecimiento muy especial al CIMAT por su hospitalidad y a Ignacio Barradas por su entusiasta participaci´ on en la organizaci´ o n de estos eventos. La edici´ on de este volumen no hubiera sido posible sin el apoyo de FENOMEC, organismo al cual tambi´ en agradecemos su cooperació n para que un n´ umero importante de estudiantes asistieran a estas escuelas. Deseamos agradecer el apoyo del proyecto CONACYT 625427-E Matem´ aticas lineales en la F´ısica y la Ingenier´ıa para la edici´ on de este libro. De igual manera, agradecemos a Guilmer Gonz´ alez su apoyo en la tipograf´ıa y edición. Lourdes Esteva P. Manuel Falconi M.

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Sistemas din´ amicos Pablo Padilla Longoria IIMAS-FENOMEC [email protected] επει δε πασα κινησισ µεταβαoλη τισ (..., y puesto que todo movimiento es un cambio...) Arist´ oteles, Metaf´ısica, libro XI

1.1

Introducci´ on

Efectivamente, el movimiento implica cambio y a nuestro alrededor todo parece cambiar. Heráclito resume esta percepci´ on cuando afirma que nadie se ba˜ na dos veces en el mismo r´ıo. Algunas doctrinas también incluyen esta visi´ on de transformaci´ on constante. As´ı, en la visi´ on hinduista, Shiva es la divinidad responsable del cambio. Por otra parte, podemos resumir la actividad cient´ıfica como la descripción y comprensi´ on, del cómo y por qu´ e las cosas cambian. Si coincidimos con Galileo cuando afirma que el libro del Universo está escrito en el lenguaje de las matem´ aticas, entonces esta disciplina debe tener mucho que decir sobre el movimiento. De hecho lo tiene y a lo largo de ya varios siglos se ha conformado el campo de los sistemas din´ amicos como un esfuerzo por entender matem´ aticamente el movimiento. El prop´ osito de estas notas es proporcionar una visi´ on panor´ amica de esta parte de las matemá ticas. Hay que tener en mente que cada uno

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de los temas tratados podr´ıan muy bien constituir un curso completo. Sin embargo, el objetivo de este trabajo es el mismo que el del curso introductorio para el cual fueron escritas: proporcionar una serie de conceptos básicos para que tanto estudiantes de biolog´ıa como de matem´ aticas, f´ısica, etc., pudieran tener un lenguage com´ un y que les permita familiarizarse con algunas aplicaciones m´ as concretas de la modelaci´ on en biolog´ıa. En tales aplicaciones debemos tener presente que si decimos movimiento, nos referimos a él de una manera muy amplia, tal como detallaremos m´ as adelante. Si bien es cierto que históricamente los sistemas din´ amicos surgen de manera natural al tratar de explicar el movimiento, tanto de los astros como el de cualquier otro cuerpo, tambi´ en es cierto que con el tiempo estas ideas han sido ampliadas y aplicadas en una gran variedad de sistemas, no s´ olo de origen f´ısico, sino también biol´ ogico, econ´ omico, qu´ımico, etc. Es por eso que comenzamos estas notas con una discusi´ on general de qu´ e es lo que entendemos por un sistema din´ amico en matem´ aticas. Esto es necesario adem´ as por otra raz´ on, comprender que los sistemas din´ amicos no se circunscriben a disciplinas espec´ıficas, sino aparecen siempre que matem´ aticamente se describa alg´ un cambio. Para ello, es necesario especificar qué es lo que cambia, en d´ onde cambia y c´ omo cambia. Dependiendo de las particularidades del sistema, las herramientas matem´ aticas adecuadas pueden ser muy diversas: ecuaciones diferenciales, ya sea ordinarias, parciales o estoc´ asticas; autómatas celulares, mapeos acoplados, etc. Es por eso que despu´ es de proporcionar una serie de ejemplos de sistemas dinámicos que surgen en la naturaleza y especialmente en biolog´ıa y de c´ omo pueden ser modelados matem´ aticamente, proporcionamos una clasificaci´ on de los sistemas din´ amicos, con lo que concluimos la primera parte de las notas. En la segunda parte utilizamos los ejemplos anteriores para ilustrar los conceptos fundamentales de la llamada teor´ıa cualitativa. Es este un lugar adecuado para mencionar que en muchas ocasiones, la utilidad de los sistemas din´ amicos en las aplicaciones depende de la posibilidad de contestar a preguntas muy concretas sobre su equilibrio, estabilidad ante cierto tipo de perturbaciones, bifurcación, etc., m´ as que a la capacidad de resolver de manera exacta tal o cual ecuaci´ on. Por ejemplo, si se estudia el comportamiento de una poblaci´ on de peces y su interacción con un depredador natural, as´ı como el efecto de la pesca, es importante determinar en qué circunstancias dicha poblaci´ on no desaparecerá , cu´ ales son los l´ımites de pesca permiti-

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´ micos Sistemas dina

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dos y su periodicidad o qué efectos puede tener la introducci´ on de nuevas especies. De hecho, es el estudio cualitativo de los sistemas din´ amicos uno de los desarrollos matem´ aticos y cient´ıficos fundamentales del siglo XX, que contin´ u a siendo un área central en la investigaci´ on, tanto por su inter´ es te´ orico como por su importancia en las aplicaciones. En la secci´ on final de esta introducción a los sistemas dinámicos incluimos una selecci´ on bibliogr´ afica. Esperamos que estas sugerencias permitan iniciar a los lectores en el estudio sistem´ atico del tema. De manera más precisa, el contenido de estas notas es el que sigue: 1. Introducci´ on. 1.1. ¿Qué es un sistema dinámico? 1.2. Modelos matem´ aticos de ejemplos en la Naturaleza y especialmente en Biolog´ıa. 1.3. Clasificaci´ on. 2. Teor´ıa cualitativa. - Equilibrio. - Estabilidad. - Bifurcaci´ on. - Conjuntos invariantes. 3. Conclusiones. - Sugerencias bibliogr´ aficas.

1.1.1

¿Qu´ e es un sistema din´ amico?

Para caracterizar el movimiento y estudiarlo de manera matem´ atica necesitamos saber qu´ e se mueve, en d´ onde y cómo se mueve. En otras palabras, necesitamos caracterizar el tipo de sistema dinámico en el que estamos interesados. Supondremos que existe una variable, tal que si la conocemos en un instante dado, el estado del sistema est´ a bien determinado. Por esa razón nos referiremos a ella como variable de estado. Por ejemplo, si tratamos de caracterizar el estado de un semáforo, basta decir si est´ a en verde,

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rojo o amarillo. En otro ejemplo, si cada 10 segundos lanzamos una moneda al aire, el sistema queda descrito si especificamos la cara de la moneda que cayó. Si estamos hablando del movimiento de una part´ıcula en el espacio, sabemos que basta conocer su posici´ on y su velocidad para caracterizar su estado en un instante. Si tratamos de describir el crecimiento de una población, entonces, de manera natural, la variable de estado es el n´ umero 1 de individuos de dicha población en el instante considerado. Una vez que se sabe cómo caracterizar al sistema, es necesario saber qu´ e valores puede tomar la variable de estado, es decir, en d´ onde se mueve nuestro sistema. En los ejemplos anteriores, la variable de estado del sem´ aforo puede tomar los valores Rojo, Verde, Amarillo y este conjunto es llamado el espacio fase del sistema. Para la moneda, tenemos como valores posibles ´ Aguila, Sol . En el caso de la part´ıcula, la posici´ on est´ a caracterizada por un punto en el espacio P , mientras que para caracterizar su velocidad, necesitamos especificar en qu´ e direcci´ on se mueve y con qu´ e rapidez. Por u ´ltimo, para la poblaci´ on, el n´ umero de individuos puede ser cualquier entero no negativo: 0, 1, 2,.... Dados la variable de estado y el espacio fase, el desarrollo del sistema queda determinado por una ley de evolución. De nuevo, refiriéndonos a los sistemas anteriores, el sem´ aforo puede estar programado para permanecer 15 segundos en verde, 4 en amarillo y 15 en rojo, en ese orden. En cuanto a la moneda, nos encontramos con el caso interesante en que, si bien la ley de evolución est´ a perfectamente bien definida, es decir, el sistema está en el estado a´guila o sol y cada 10 segundos puede cambiar, siendo 1/2 la probabilidad de que sea águila y 1/2 de que sea sol, en el caso de una moneda “justa”, también es cierto que dada la naturaleza azarosa de este sistema, no podemos decir con certeza, cu´ al ser´ a su estado, digamos en un minuto. Para la part´ıcula, la ley de evoluci´ on est´ a dada por las prescripciones de la mec´ anica cl´ asica, es decir, la segunda ley de Newton. Finalmente, en el caso de la poblaci´ on, la tasa neta de crecimiento determina c´ omo se incrementar´ a la poblaci´ on en el tiempo.

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Puede darse el caso de que el estado del sistema no pueda caracterizarse de manera precisa, es decir, que exista cierta ambig¨ uedad en su estado. Estos sistemas din´ amicos son de gran importancia, pero en un primer acercamiento al tema, hemos preferido no hacer mayor referencia a ellos.

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Resumiendo, un sistema din´ amico esta determinado por: * Variable de estado. * Espacio fase. * Ley de evolución.

1.1.2

Modelos matem´ aticos de ejemplos espec´ıficos

En la sección anterior hemos considerado diversos ejemplos de manera informal. En esta retomamos algunos de ellos y presentamos otros nuevos. La idea es desarrollar de manera clara algunos modelos matem´ aticos e ilustrar el tipo de herramientas necesarias para estudiarlos. Por razones hist´ oricas comenzamos con ejemplos tomados de la mecánica cl´ asica. Sin embargo, existen otros motivos para organizar la exposición as´ı. Por una parte, los sistemas mec´ anicos “simples” proporcionan casos concretos en los que podemos hacer uso de nuestra experiencia cotidiana: resortes, canicas, p´ endulos, etc., constituyen un buen punto de partida para ilustrar y familiarizarse con muchos conceptos centrales. Por otra parte, estos sistemas distan de ser sencillos y han servido de base para gran parte de la teor´ıa matem´ atica. Adem´ as, muchas de las aplicaciones en otras a´reas, en particular en biolog´ıa, tienen en muchas ocasiones su origen o una relaci´ on estrecha con estos sistemas. Posteriormente presentamos algunos problemas de car´ acter probabil´ıstico e ilustramos su aplicaci´ on en biolog´ıa. Finalmente mostramos c´ omo diferentes problemas de din´ amica de poblaciones pueden ser estudiados usando diversos enfoques de los sistemas dinámicos. Problemas din´ amicos clásicos Desde los fil´ osofos de la naturaleza griegos hasta nuestros d´ıas, el problema del movimiento de los cuerpos ha representado una preocupaci´ on fundamental. Entender que los cuerpos en la Tierra y los cuerpos celestes est´ an sujetos a las mismas leyes fue uno de los grandes avances cient´ıficos. El desarrollo, que incluye al sistema ptoloméico, as´ı como el trabajo de muchos cient´ıficos, entre ellos Copérnico, Kepler, Galileo y Newton, conllev´ o a una formulaci´ on precisa que constituye la mec´ anica cl´ asica de part´ıculas. Esta s´ıntesis represent´ o el inicio de la f´ısica moderna y dio pie a grandes avances

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y descubrimientos. Si hemos de resumir en unas pocas palabras, diremos que para describir el movimiento de un cuerpo debemos, en primera instancia, idealizar el cuerpo y suponer que está localizado un punto, es decir, lo podemos concebir como una part´ıcula y que una cantidad, la masa, mide su inercia u oposici´ on al movimiento cuando se le aplica una fuerza. Entonces las leyes de movimento de Newton, en particular la segunda, dan la prescripción de evoluci´ on de este sistema. Consideremos un caso concreto: una part´ıcula se mueve en la direcci´ on horizontal X , bajo la acci´ on de la fuerza F . Entonces, la posici´ on queda determinada al proporcionar la posici´ on sobre dicho eje para todo tiempo, es decir, x(t).

Figura 1-1: Part´ıcula moviéndose en la dirección x.

Denotando la rapidez con la que se mueve la part´ıcula por x, ˙ y en general a la tasa de cambio instant´ anea o derivada con respecto al tiempo de una cantidad f por df f ˙ = , dt tenemos que la segunda ley de Newton, que expresa que el cambio en la cantidad de movimiento de una part´ıcula, mx, ˙ es igual a la fuerza, se traduce en la ecuación m¨ x = F. Para tener en mente un sistema concreto, podemos pensar en el movimiento de un bloque sobre una superficie horizontal, unido a un resorte y en el que los efectos de la fricci´ on son despreciables. Como veremos m´ as adelante, este sistema, que es uno de los más simples en los que podemos pensar, es un modelo adecuado para muchos procesos peri´ odicos, tales como las vibraciones de a´tomos en un cristal, oscilaciones en circuitos eléctricos, etc. En este caso, haciendo una elecci´ on adecuada de las constantes, las ecuaciones toman la forma espec´ıfica x ¨ =

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cuyas soluciones son combinaciones de sen t y cos t. Notemos que la ecuación puede integrarse, para obtener 1 2 1 2 ˙x + x = E, 2 2 en donde E es una constante de integraci´ on positiva. M´ as precisamente, si multiplicamos la ecuaci´ o n (1.1) por x, ˙ notemos que podemos escribirla como x(¨ ˙ x + x) = 0, o

d 1 2 1 2 ( ˙x + x ) = 0. dt 2 2 Es decir, que la derivada de la cantidad entre paréntesis es cero y por lo tanto una constante. Esta cantidad es precisamente la energ´ıa y el hecho de que no cambie con el tiempo quiere decir que se conserva. Sin embargo, para nuestros propósitos es m´ as importante notar que esta relaci´ on nos permite expresar a x en ˙ términos de x y graficar los posibles comportamientos para diferentes energ´ıas (figura 1-2).

Figura 1-2: Plano fase del sistema masa-resorte.

Retomemos un poco uno de los objetivos fundamentales de estas notas, a saber, el de enfatizar las aplicaciones de los sistemas din´ amicos en biolog´ıa. Es importante comentar que muchos fen´ omenos de interés, tales como las interacciones entre células (por ejemplo las neuronas), la memoria,

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el aprendizaje, la transmisi´ on de informaci´ on o el entendimiento de mecanismos que desencadenan padecimientos del sistema nervioso, pueden ser modelados usando osciladores acoplados, es decir, colecciones de osciladores que interact´ uan. Tambi´ en se ha buscado entender la din´ amica de algunas macromoléculas, tales como los aćidos nucleicos utilizando este enfoque, aplicando las leyes de Newton y resolviendo numéricamente las ecuaciones resultantes. En un caso ligeramente diferente, podemos considerar el movimiento de una canica en un riel, o en t´ erminos matem´ aticos, el movimiento de una part´ıcula sobre la gr´ afica de una función, dada por h(x) (figura 1-3).

Figura 1-3: Part´ıcula moviéndose en una gráfica.

Sin necesidad de escribir las ecuaciones, podemos ver que existen diversos casos, dependiendo de la forma de la gr´ afica en una regi´ o n, o m´ as precisamente, del signo de su derivada (figura 1-4).

Figura 1-4: Diferentes comportamientos dada h(x).

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El problema de la ruina y la supervivencia del m´ as apto Consideramos ahora un sistema diferente. Un apostador en un casino dispone de una cantidad inicial J 0 = A para jugar. Supongamos adem´ as que en cada apuesta puede ganar o perder un peso con probabilidad p y q = 1 p respectivamente y denotemos por J n la cantidad que posee después de n apuestas. Si el casino dispone de B pesos, la pregunta es qu´ e suceder´ a primero: que el apostador pierda todo su dinero y se retire, o que sobrepase el l´ımite que el casino est´ a dispuesto a pagar antes de cerrar las operaciones. Podemos representar este problema como una caminata aleatoria. Es decir, denotemos la posici´ on de un caminante aleatorio por J n , en la se encuentra despu´ es de haber dado n pasos. Dicho caminante decide si va a la izquierda o a la derecha, dependiendo del resultado de lanzar una moneda, lo que hace cada cierto tiempo t. Caminar´ a a la derecha o a la izquierda, dependiendo del resultado, a´guila o sol, respectivamente. Adem´ as, la moneda no es necesariamente justa, es decir, no se tiene necesariamente probabilidad 1/2 de que salga a´guila o sol, sino con probabilidad p y q , respectivamente.

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Figura 1-5: Caminante aleatorio.

La pregunta de quién se “arruinará” primero, si el jugador o el casino, se traduce en cuál ser´ a el extremo al que llegue primero el caminante aleatorio, si 0 o N = A + B. Podemos ahora, usando s´ olo nociones elementales de probabilidad, deducir una ecuaci´ on para la probabilidad de que el cami-

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nante aleatorio se encuentre en el lugar2 k. Tambi´ en es posible deducir directamente una ecuaci´ on para la probabilidad de que el jugador se arruine, dado que posee k pesos. Más precisamente, si denotamos por pk a dicha probabilidad, dadas nuestras hip´ otesis, es claro que si el jugador tiene k pesos, en la siguiente apuesta puede obtener uno m´ as y, por lo tanto, cambiar su probabilidad de ruina a pk+1 . An´ alogamente si en la siguiente jugada pierde. Dado que sólo existen dos posibilidades, el razonamiento anterior se expresa, de manera concisa, mediante la siguiente ecuación pk = pp k+1 + qpk−1 . Por otra parte, es claro que p0 = 1, pN = 0, que son llamadas condiciones de frontera. Esta ecuaci´ on, que es un ejemplo de las llamadas ecuaciones en diferencias, tiene por soluci´ on

− ( pq )B  q, P (A, B) = , p= 1 − ( pq )A+B 1

y P (A, B) =

B , p = q. A+B

En particular, si suponemos que B es muy grande en comparaci´ on a A, es decir, el casino cuenta con un gran capital, las expresiones anteriores se reducen a P (A, y P (A,

∞) = 1, p ≤ q

∞) = ( pq )A,

p > q.

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Deducimos esta ecuaci´ on con detalle en las notas “Emergencia y formación de patrones en biolog´ıa: un enfoque matem´ atico”, de Pablo Padilla y Faustino S´ anchez, de este mismo volumen.

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Ahora podemos interpretar el primero de estos resultados para confirmar lo que de alguna manera intuimos. Que aun en el caso de un juego justo ( p = q ), el casino tiene todas las de ganar. La relevancia de los casinos en biolog´ıa puede no parecer obvia. Sin embargo, si pensamos en la propuesta darwiniana cl´ asica de la evoluci´ on como un proceso en el que la variabilidad se genera por mutaciones, que pueden resultar más o menos ventajosas, es decir, tienen m´ as o menos probabilidades de ser seleccionadas, dependiendo de la ventaja adaptativa que proporcionen, se podr´ a establecer un paralelismo directo entre el problema de la ruina y el problema de la supervivencia del más apto. En este caso, notemos que no importa qu´ e tan peque˜ na sea A –que podemos tomar como el n´ umero de mutantes–, si esta mutaci´ on es suficientemente ventajosa, el m´ as apto sobrevivir´ a. Es muy sencillo escribir un programa que simule esta caminata aleatoria y recomendamos al lector que lo haga y experimente con diferentes valores de los parámetros. Din´ amica de poblaciones y mapeos Consideremos ahora un caso de claro inter´ es biol´ ogico, el del crecimiento de una poblaci´ o n. Si N t representa el n´ umero de individuos de la pobaci´ on al tiempo t y suponemos que el ciclo reproductivo ocurre cada cierto tiempo h, podemos pensar en el tiempo nh como equivalente al n´ umero de generaciones, es decir, N 0 , N 1 , N 2 ... corresponden al n´ umero de individuos al comienzo, en la primera generaci´ on, en la segunda generaci´ o n, etc. De acuerdo con esto, la ley de evoluci´ on est´ a dada por N t = α(N t )N t , en donde α es la tasa de crecimiento neto de la poblaci´ on y, como se indica, puede depender ella misma de N t . Tomemos un caso sencillo, el de una colonia de organismos unicelulares que se reproducen por divisi´ on. Entonces si comenzamos con un individuo tendremos, en las primeras etapas del desarrollo

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N 0 = 1

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N 1 = 2

(1.3)

N 2 = 4

(1.4)

N 3 = 8

(1.5)

...

(1.6)

y en general, para la i ésima generación N i = 2 i (figura 1-6).

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Figura 1-6: Crecimiento por división.

Dejamos como ejercicio al lector verificar que, en general, si α es constante, y se tiene por tanto la ley de evoluci´ on N t+1 = αN t , la poblaci´ on al tiempo t + 1 está dada por N t+1 = α t N 0 . De donde tendremos, que si α < 1, N t 0 si t tiende a infinito; es decir, la poblaci´ on se extingue. Si, por otra parte, α > 1, entonces la poblaci´ on explota, i.e. tiende a infinito si t tiende a infinito y tenemos un problema claro de explosión demogr´ afica. El modelo anterior, como ya mencionamos, es muy simple, pues supone que los individuos de la colonia pueden reproducirse indefinidamente con una tasa constante, lo cual seguramente no es

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el caso en el momento en el que empiece la escasez de alimentos. En todo caso este modelo puede ser válido en las etapas inciciales de desarrollo de la colonia. Por ello es necesario considerar modelos m´ as realistas. Por ejemplo, tomamos N t+1 = r(1 N t )N t ,

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conocido como modelo log´ıstico. Se incluye el término rN t2 , que propicia una disminuci´ on de la poblaci´ on debido a la competencia. En general, para una ley de evolución dada por la función f (N ) es posible determinar de manera gr´ afica cu´ al ser´ a el comportamiento del sistema. Nos referimos a la siguiente figura (1-7) para explicar este procedimiento.

Figura 1-7: Determinación gráfica de la órbita bajo f .

Empezamos con N 0 . Después necesitamos calcular f (N 0 ) para obtener N 1 , lo que podemos hacer directamente viendo la gr´ afica de la funci´ on. Para calcular N 2 tenemos ahora que determinar f (N 1 ). Es decir, que f (N 1 ) se convierte ahora en la variable independiente y es necesario localizar su posici´ on en el eje horizontal. Para ello, basta reflejar el valor que obtuvimos en el paso anterior de N 1 y reflejarlo con respecto a la diagonal f (N ) = N . Esto u ´ltimo puede hacerse de manera simplificada siguiendo las l´ıneas como en la figura 1-7. Repitiendo este proceso, podemos obtener los valores sucesivos N 0 , N 1 , N 2 , etc., llamados en conjunto la o´rbita de N 0 .

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De acuerdo con este procedimiento gráfico, las intersecciones de la diagonal con la gr´ afica de la función corresponden a o´rbitas que constan de un solo punto. Estos puntos se denominan puntos fijos del mapeo f y constituyen soluciones de equilibrio del sistema din´ amico.

1.1.3

Epidemias y aut´ omatas celulares

Nuestra intenci´ o n con este ejemplo es ilustrar c´ omo algunos procesos biológicos importantes, tal como la propagaci´ on de enfermedades, pueden ser estudiados mediante el uso de los llamados autómatas celulares. Para ello, supongamos que existen tres tipos de inviduos en la poblaci´ o n: los sanos, los transmisores y los enfermos. Consideremos ahora que la poblaci´ on que nos interesa estudiar está distribuida en cierta regi´ on geogr´ afica, que por simplicidad representamos como un cuadrado de lado N . Dividamos a su vez a dicha región, en N 2 subregiones, resultado de cuadricularla, como se ve en la figura 1-8. Usamos los colores azul, verde y rojo para marcar cada cuadrado, considerando que se puede, con criterios bien definidos, determinar si esa subregión es predominantemente sana, transmisora o enferma, usando respectivamente cada uno de los colores. La variable de estado es entonces un cuadrado de N N y coloreado de la manera descrita anteriormente. Como ley de evoluci´ on, podemos proponer una regla que nos permita saber cómo va a cambiar el sistema cada cierto tiempo. Por ejemplo la que sigue

×

1. Una subregión enferma permanece como tal durante dos periodos y después sana. 2. Una subregión que es transmisora en un periodo enferma al siguiente. 3. Una regi´ on sana permance as´ı durante el siguiente periodo si est´ a rodeada de al menos tres subregiones sanas, de otra forma, es decir, si está en contacto con dos o m´ as subregiones enfermas o transmisoras, enferma el siguiente periodo. De acuerdo con esta regla, podemos seguir la evoluci´ on de este sistema durante algunos periodos (figura 1-8). Distinguimos diversos comportamientos que resultan de inter´ es y est´ an asociados a preguntas relevantes desde el punto de vista epidemiológico. Por ejemplo, si se tiene u ´ nicamente individuos sanos, claramente no habr´ a

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cambios en los periodos sucesivos. Pero, ¿qué condiciones en la poblaci´ on darán origen a una epidemia? y ¿c´ omo se propaga? En resumen, aun en este sistema tan simple, es posible estudiar cualitativamente algunos poblemas.

Figura 1-8: Evoluci´ on de un autómata celular.

Flujos Tomemos otro ejemplo de un sistema din´ amico, la superficie de un r´ıo. Podemos representar la velocidad de cada part´ıcula en cada punto con una flecha, que nos indique la direcció n y rapidez con la que se está moviendo. Usando notaci´ on vectorial, la velocidad v est´ a dada por



f (x, y) g(x, y)



.

La trayectoria de una de estas part´ıculas est´ a descrita por la curva

  x(t) y(t)

,

 

.

y su velocidad por x(t) ˙ y(t) ˙

El hecho de que la velocidad de cada part´ıcula en cada punto coincida con la flecha que le corresponde puede expresarse entonces como

   x(t) ˙ y(t) ˙

=

f (x(t), y(t)) g(x(t), y(t))



,

que constituye una ecuaci´ on diferencial. Este tipo de modelos matem´ aticos han desempe˜ nado un papel central en el campo de los sistemas din´ amicos.

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1.1.4

Clasificaci´ on

Como todas las clasificaciones, la que proponemos a continuaci´ on tiene serias limitaciones y con ella s´ olo pretendemos dar una gu´ıa al lector de la gran variedad de sistemas din´ amicos que pueden surgir. Por otra parte, recomendamos que se examine cada uno de los ejemplos dados en la secci´ on anterior a la luz de esta clasificaci´ on. a. De acuerdo al tipo de cantidades que se utilizan para describir la variable de estado, el espacio fase, etcéterna, podemos dividirlos en - Discretos, si las variables involucradas s´ olo pueden tomar un n´ umero finito o numerable de valores (autómatas celulares, caminatas aleatorias. - Continuos, cuando las variables utilizadas pueden cambiar gradualmente (ecuaciones diferenciales, flujos). Existen por supuesto sistemas h´ıbridos en los que algunas variables son discretas (por ejemplo el tiempo), pero otras son continuas. b. De acuerdo al tipo de ley de evolución se pueden clasificar en - Deterministas, si la ley de evolución determina de manera un´ıvoca la evoluci´ on del sistema. - No determin´ısticos o estoc´ asticos, si la ley de evolución involucra alg´ un elemento aleatorio. De igual forma podemos distinguir entre sistemas lineales y no lineales, finitodimensionales e infinitodimensionales, etcétera.

1.2

Teor´ıa cualitativa

Como mencionamos en la introducci´ on, en muchas ocasiones no es determinante conocer la soluci´ on (o evoluci´ on de un sistema) con toda precisi´ on, sino m´ as bien, el poder contestar preguntas de carácter general sobre su comportamiento. Por ejemplo, 1. En el modelo considerado, las soluciones, ¿existen para todo tiempo?

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2. ¿Estas soluciones permanecen acotadas? 3. ¿Existen soluciones que no cambien en el tiempo (soluciones de equilibrio)? 4. ¿Existen soluciones peri´ odicas? 5. ¿Son estables? Y m´ as espec´ıficamente, ¿qué debemos entender porque un sistema sea estable? 6. ¿Cu´ ando un sistema es robusto? Es decir, ¿cu´ ando cambios peque˜ nos en los parámetros del sistema no darán origen a cambios cualitativos importantes en el sistema?, en otras palabras, ¿cu´ ando ocurre una bifurcaci´ on? Recomendamos al lector tomar alguno de los ejemplo que discutimos en las secciones anteriores y tratar de contestar estas peguntas. En algunos de estos sistemas las respuestas son directas e incluso intuitivamente claras. Para fijar ideas, en el caso del movimiento de un part´ıcula en una gr´ afica, cuando no se considera la fricción, se pueden identificar los puntos de equilibrio como los puntos cr´ıticos de la funci´ on que describe la gráfica. Es también claro que cerca de un m´ınimo local aislado, la canica oscilar´ a alrededor de la posici´ on de equilibrio. En otros ejemplos las respuestas distan de ser claras, de hecho no siempre se conocen o han requerido de un estudio cuidadoso. Finalmente mencionamos que puede haber regiones en el espacio fase que sean invariantes. Es decir, si el sistema empieza en esa región, no se sale de ella. Claramente los puntos de equilibrio representan los ejemplos m´ as simples de conjuntos invariantes, pero puede haber otros m´ as complejos. Una discusión m´ as detallada de estos conceptos, as´ı como de las nociones de variedades invariantes o atractores, requerir´ıa de m´ as espacio, pero remitimos al lector a la secci´ on de recomendaciones bibliográficas.

1.3

Conclusiones

Queremos terminar estas notas recomendando algunas referencias para quienes estén interesados en profundizar en algunos de los temas que hemos presentado aqu´ı. Por supuesto que la bibliograf´ıa es muy amplia, pero nos

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limitaremos a proporcionar algunos textos que, desde nuestro punto de vista, pueden constituir un buen punto de partida. 1. Sistemas din´ amicos y ecuaciones diferenciales. - Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de W. Boyce, y R. C. Di Prima. - Differential Equations and their Applications de M. Braun. Como introducci´ on a los sistemas din´ amicos podemos mencionar los textos ya clásicos de J. Hale. 2. Ecuaciones en diferencias y aplicaciones. - Difference Equations , R. E. Mickens. Nueva York (1990).

Van Nostrand Reinhold,

3. Biomatem´ aticas. - Introduction to the Mathematics of Life editado por Birk¨ auser constituye una muy buena introducci´ on, tanto para bi´ ologos como para matem´ aticos, adem´ as de que se presentan diversos ejemplos desarrollados en Maple. - Introduction to Mathematical Biology , J. D. Murray. Springer. 4. En el caso de los autómatas celulares, recomendamos al lector que tenga acceso al programa Mathematica, que consulte las posibilidades prácticas que ofrece sobre este tema. 5. Probabilidad. También en este caso recomendamos la referencia obligada de Fisher, Introduction to the theory of probability en dos vol´ umenes (traducida también al espa˜ nol por Ed. Limusa), además contiene una gran cantidad de ejemplos y aplicaciones en biolog´ıa. En cuanto a los aspectos num´ ericos, recomendamos, por una parte, que el lector interesado se familiarice con algunos de los programas integrados de cálculo cient´ıfico: Matlab, Maple, Mathematica, etc., pero que tambi´ en adquiera cierta experiencia con alg´ un lenguaje de programaci´ on (C, C++, Fortran, etcétera).

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Morfolog´ıa, funci´ on y din´ amica de los organismos

Luis Medrano Gonz´ alez Facultad de Ciencias, UNAM [email protected]

2.1

Introducci´ on

De cualquier modo en que nos aproximemos a la biolog´ıa, no podemos evitar preguntarnos qué es la vida y contestar esto de uno u otro modo forma parte de toda concepci´ on cosmog´ onica. Es parad´ ojico que aunque sabemos mucho sobre la vida, en la ciencia tenemos dificultades para definirla estrictamente. A pesar de que esa definici´ on se nos escapa, es posible al menos identificar algunas caracter´ısticas de la vida como sigue: 1. Los seres vivos son sistemas con una estructura interna dinámicamente estable, esto es, asimilan energ´ıa libre, o entrop´ıa negativa, en un conjunto de procesos fisicoqu´ımicos al que denominamos metabolismo. Esta energ´ıa mantiene una estructura morfol´ ogica y funcional del organismo en forma autorregulada, y al conjunto de procesos que mantienen esta estabilidad din´ amica se le llama homeostasis; 2. Los seres vivos son sistemas autorreplicativos y al proceso de su replicaci´ on le llamamos reproducci´ on; 3. Los seres vivos son sistemas irritables o excitables, esto es, responden en forma activa y espec´ıfica ante cambios del medio que les rodea.

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Es com´ u n entre los bi´ ologos pensar que los organismos son el resultado de una serie irrepetible de accidentes, y que por tanto su estudio debe apuntar escencialmente a un recuento histórico. Aunque pueden reconocerse principios generales que gobiernan la evoluci´ on biol´ o gica, como la selección natural, su acci´ on com´ unmente se concibe en un contexto variable, irrepetible e impredecible. Esta aproximaci´ on, que lleva aparejada una visi´ on estad´ıstica y descriptiva de la naturaleza, no permite explicar por qué los sistemas biológicos evolucionan, c´ omo lo hacen y c´ omo se origina su complejidad. En contra de la idea de que fenómenos complejos requieren de explicaciones complejas, la f´ısica actual ha mostrado que distintos sistemas, aun siendo impredecibles, tienen comportamientos similares, independientemente de su composición, como resultado de que las formas de interacción entre sus componentes y de que la interacci´ on del sistema con el medio que le rodea son las mismas. Sistemas en donde hay asimilaci´ on de energ´ıa libre, como los biol´ ogicos, pueden encontrarse en un estado cr´ıtico en el que cambios de distintas magnitudes y sentidos son equiprobables, generando un comportamiento complejo e impredecible pero no aleatorio al que se denomina caos. Los sistemas ca´ oticos tienen propiedades adaptativas, por lo que se piensa que la evolución biol´ ogica opera en estados cr´ıticos. Un proceso de replicación con un factor limitante puede modelarse con la ecuación N t+1 = aN t bN t2 donde N es el n´ umero de organismos, t es el tiempo, a es la tasa intr´ınseca de reproducción y b un factor de densodependencia. Esta ecuaci´ on presenta transici´ on al caos y aparece en la modelaci´ on de procesos como la generaci´ on de rayos l´ aser y reacciones qu´ımicas autocatal´ıticas. Por eso, se piensa que la selección natural no es una caracter´ıstica uńica de la vida sino una propiedad de todo sistema autorreplicativo alejado del equilibrio termodin´ amico. La selecci´ on natural lleva a la generaci´ on de discontinuidades por la especiaci´ on y eso es una caracter´ıstica fundamental de la evoluci´ on biol´ ogica. La distribuci´ on de magnitudes de algunos cambios α evolutivos con la forma 1/f con α 1, como los eventos de extinci´ on, sugieren que la evoluci´ on biol´ ogica transcurre en un estado cr´ıtico en el que hay periodos breves de cambios rápidos y drásticos intercalados con periodos de evoluci´ on lenta y continua. A este modo de evoluci´ on se le llama saltacionismo y su existencia constituye una de las principales controversias en la biolog´ıa actual (v´ ease Bak y Paczuski, 1995; Cramer, 1993; Eigen, 1986; Halley, 1996; Kauffman, 1993; Mayr, 1963; Oparin, 1924; Schuster, 1986).

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´ n y dina ´ mica de los organismos Morfolog´ıa, funcio

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La caracter´ıstica de la vida que más seduce a los biólogos es la diversidad. La vida manifiesta diversidad en todos niveles y aspectos fenomenológicos: diversidad genética en un individuo diploide (que puede medirse como heterocigosis), diversidad de tipos celulares y formas de crecimiento alternativas, diversidad genética, morfofisiológica o ecofenot´ıpica entre individuos de una población, diversidad de poblaciones de una misma especie, diversidad entre especies y diversidad de comunidades. Podemos intuir que el estudio de todas estas formas y niveles de la biodiversidad conforma las distintas a´reas de la biolog´ıa, y respecto al enlistado anterior podemos referir la genética, embriolog´ıa, morfolog´ıa, fisiolog´ıa, ecolog´ıa, microbiolog´ıa, protistolog´ıa, zoolog´ıa, bot´ anica, micolog´ıa y biogeograf´ıa. En a˜ nos recientes se ha descubierto que la diversidad de especies es mucho mayor de lo que se estimaba y que una parte considerable de esta diversidad se está perdiendo sin que siquiera nos demos cuenta. La investigación de la biodiversidad es, por lo anterior, relevante para entender la evoluci´ o n de la vida y para conservar la biosfera. La b´ usqueda de din´ amicas subyacentes a la evoluci´ on de los organismos y de los ecosistemas tiene implicaciones importantes para la conservaci´ on de los recursos naturales. Una perspectiva evolucionista de la conservación biol´ ogica, en donde se busca minimizar los efectos del hombre sobre la evolución de los organismos y/o los ecosistemas, conlleva primero la necesidad de una conservación a largo plazo. Una visi´ on din´ amica y anal´ıtica de la evoluci´ on implica adem´ as que tal conservaci´ on a largo plazo puede hacerse sobre un conocimiento anal´ıtico y modelado, adem´ as de detallado. Es cr´ıtico para la conservaci´ on de la biodiversidad, por ejemplo, comprender los fen´ omenos de divergencia y los mecanismos subyacentes de dispersión y aislamiento que operan sobre las poblaciones naturales para minimizar los riesgos de extinci´ on por la perturbación antropogénica (véase Avise, 2000; Baker, 1994; Moritz, 1994; Vogler y Desalle, 1992). En el siglo XIX, Schleiden y Schwann desarrollaron la teor´ıa celular seg´ un la cual todos los seres vivos est´ an compuestos por células y todas las funciones de los organismos son realizadas por las c´ elulas. La descarga el´ ectrica que hace el pez torpedo, por ejemplo, resulta de los cambios de polaridad en las membranas de las c´ elulas musculares que acompa˜ nan a la contracci´ on. La sumaci´ on de los potenciales de las membranas individuales que origina la descarga, se produce por el arreglo apilado en serie de las células, similar al de una pila voltaica. Las funciones de contracci´ on

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muscular y cambio de polaridad membranal del pez torpedo son procesos cuyos mecanismos moleculares se conocen con cierto detalle. En general, todos los procesos fisicoqu´ımicos en el organismo involucran prote´ınas, las cuales intervienen en fenómenos de cat´ alisis, como las enzimas, de comunicaci´ on celular, como los receptores de membrana, de se˜ nalizaci´ on eléctrica y transporte de sustancias, como los transportadores de iones y az´ ucares, de transducci´ on electromec´ anica, como las prote´ınas que generan la contracci´ on muscular por atracci´ on electrost´ atica y muchas otras. Las prote´ınas son pol´ımeros lineales arreglados en t´ andem de un conjunto de 20 compuestos denominados amino´ acidos. La secuencia de amino´ acidos en las prote´ınas en un sentido laxo genera su estructura tridimensional y por tanto su función. Esta secuencia a su vez est´ a definida por la secuencia de bases nucleot´ıdicas de los aćidos desoxirribonucleico (DNA) y ribonucleico (RNA), y al conjunto de reglas de codificaci´ on entre bases y amino´ acidos se llama c´ odigo genético. El esquema de informaci´ on fluyendo del DNA a la estructura y función de las prote´ınas, y de ah´ı a la determinaci´ on de todas las caracter´ısticas del organismo, sintetiza la idea de que el organismo entero est´ a determinado solamente por la informaci´ on gen´ etica definida por la secuencia del DNA (o en algunos casos RNA). Muchos bi´ ologos incluso actualmente piensan que el organismo es s´ olo un instrumento para la reproducci´ on de los genes y que la evoluci´ on es esencialmente la evoluci´ on de éstos. Esta pérdida del organismo en la explicaci´ on biol´ ogica resulta de que el conocimiento microsc´ opico de la vida ha avanzado mucho m´ as que la comprensió n de los procesos macrosc´ opicos llevando a una posici´ on esencialista y reduccionista que tiene sus propias metáforas sociales, como lucha por la existencia, sobrevivencia del m´ as fuerte, DNA ego´ısta, DNA basura, genes buenos, etcétera. A diferencia de la biolog´ıa moderna con sus explicaciones reduccionistas e historicistas, la f´ısica, a partir de explicaciones propias para cada nivel fenomenol´ ogico, estudia c´ omo las interacciones en un nivel microsc´ opico explican propiedades macrosc´ opicas. Si bien es cierto que la herencia es casi enteramente la herencia de los genes (aunque no solamente), el que sobrevive, se reproduce y se adapta es el organismo. Lo que se necesita entonces es conocer cómo se forma el organismo a partir de lo que sea la herencia, que no consiste sólo de los genes sino de lo que Goodwin llama campo generativo. Actualmente, una nueva s´ıntesis de la teor´ıa evolutiva reclama el conocimiento de los procesos de morfog´ enesis y de la herencia no genética,

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esto es, una teor´ıa del organismo. La ontogenia no es el despliegue de un programa genético del mismo modo que la formaci´ on de un cristal no resulta de especificar su composición. En la biolog´ıa se conoce desde hace mucho, en las algas por ejemplo, que la forma de crecimiento del organismo puede variar drásticamente en dependencia de variaciones del medio ambiente sin mediar ning´ un cambio en la estructura del genoma. Estudios sobre la variaci´ on morfol´ ogica, cromos´ omica y molecular de los vertebrados asimismo han mostrado que la evoluci´ on organ´ısmica y la especiaci´ on dependen más bien de cambios en el arreglo de los genes que de la evolución molecular de éstos. Estudios sobre la diferenciaci´ on celular han mostrado que este proceso consiste no de cambios en la composici´ on del genoma, sino de la expresión selectiva de ciertos genes en dependencia del ambiente interno de la c´ elula, el cual resulta de la influencia de otras células y de su origen en la ontogenia. El organismo no es pues el resultado del despliegue de un programa heredado genéticamente, sino de un proceso din´ amico autorregulado de interacci´ on entre los genes, el ambiente celular y el ambiente externo. La morfogénesis es, seg´ un Goodwin, la fuente de propiedades evolutivas emergentes y no explicarla significar´ıa no entender el origen de la vida ni de las discontinuidades que originan nuevas especies (véase Cramer, 1993; Goodwin, 1994; Kauffman, 1993). En este escrito revisaré una serie de modelos de los organismos que concluyen en concebirlos como sistemas din´ amicos adaptativos en un tiempo u ńico pero que puede esquematizarse en plazos fisiológico, ontogénico y evolutivo. Con cierto desorden tem´ atico pero con ligas l´ ogicas, trataré de temas biológicos cercanos a mi especialidad con el ańimo de proporcionar alguna informaci´ on fenomenol´ ogica a los lectores matem´ aticos y de compartir algunas ideas con los lectores bi´ ologos. Los que conocen ambas disciplinas bien, disculpen mi trivialidad.

2.2

La comparaci´ on en la biolog´ıa

La comparaci´ on es un aspecto fundamental de la investigación biol´ ogica desde sus formas m´ as primitivas e ingenuas. En la biolog´ıa actual, la comparaci´ on nos permite indagar en la dimensi´ on temporal, evolutiva y ontog´ enica, as´ı como funcional, y su empleo ha permitido logros como el de

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la reconstrucci´ on de animales completos a partir de un diente, la determinaci´ on de la historia patol´ ogica, el modo de vida y la causa de muerte de las personas a partir de sus restos óseos, as´ı como la inferencia de procesos como la evoluci´ on biol´ ogica misma y el origen de la vida. La comparaci´ on biológica actual se basa mucho en el examen de datos numéricos con el cual se contrastan magnitudes de variables medidas instrumentalmente o por conteo a las que puede asignarse un error. En un intento por brindar un cuerpo teórico general al método comparativo, la teor´ıa cl´ asica de los sistemas desarroll´ o el modelo alométrico, el cual tiene una base fenomenol´ ogica m´ınima y por tanto es de aplicaci´ on muy amplia (Von Bertalanffy, 1976). Se parte de un sistema de dos componentes independientes, de magnitudes Q 1 y Q 2 y cuya tasa de cambio es proporcional a la magnitud del componente, esto es: dQ1 = aQ1 dt dQ2 = bQ2 dt

(2.1)

(2.2)

donde a y b son las constantes intr´ınsecas de cambio. Al integrar se obtiene:

ln Q1 = c 1 + at

(2.3)

ln Q2 = c 2 + bt.

(2.4)

Al eliminar el tiempo, igualando las ecuaciones (2.3) y (2.4) y conjuntando constantes se tiene finalmente: Q2 = CQα1

(2.5)

donde C es una constante que depende de las unidades de medida y α = b/a se denomina exponente alométrico. Si a = b entonces α = 1 y se tiene una relaci´ on de proporcionalidad directa entre Q1 y Q2 que se denomina isometr´ıa. Las magnitudes Q1 y Q2 son variables biol´ ogicas cualesquiera, como el largo de una extremidad, el peso de un o´rgano, la frecuencia de pulsaci´ o n cardiaca, el n´ u mero de estambres de una flor o la velocidad de desplazamiento de un animal.

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2.3

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Una vista a la biolog´ıa comparada de los mam´ıferos

Los mam´ıferos son organismos que se caracterizan por la regulaci´ o n de su temperatura corporal y por el cuidado parental que se manifiesta en la viviparidad y la lactancia. Asociado a esto, en los mam´ıferos también es distintivo que su conducta deriva mucho del aprendizaje y el tener una conducta social que puede variar entre el gregarismo, la jerarquización o la conducta epimelética (divisi´ o n del trabajo). En relaci´ o n con el modo de conseguir alimento, protegerse de los depredadores y reproducirse, el aprendizaje en los mam´ıferos involucra sobre to do la interacci´ on con individuos de la misma especie. El origen de la termorregulaci´ on y el cuidado parental en los mam´ıferos a los que se asocia el aprendizaje y la sociabilidad, parece estar en los h´ abitos nocturnos y de madriguera que tuvieron los primeros mam´ıferos durante el ?, cuando los reptiles predominaban en las comunidades de vertebrados terrestres. Muchos mam´ıferos actualmente conservan este modo de vida. En general, el medio interno de todos los mam´ıferos, es decir, el medio que rodea a las c´ elulas, tiene una tempe◦ ratura cercana a 37 C, pH entre 7.2 y 7.4, presi´ on osm´ otica alrededor de 0.3 Osmoles y una composici´ on qu´ımica caracter´ıstica cuya imitaci´ on m´ as usual y simplificada es la soluci´ on Ringer. Esto sugiere que la evoluci´ on de los mam´ıferos ha estado restringida por el metabolismo celular y que la evoluci´ on de estos animales consiste mucho en la evoluci´ on de mecanismos que mantienen condiciones extracelulares determinadas. As´ı, la evoluci´ on de los mam´ıferos de regiones fr´ıas ha consistido en la evoluci´ on de estructuras y funciones relacionadas con la termorregulaci´ o n, como el pelaje de doble capa, un grueso estrato de grasa subcut´ anea y/o una tasa metab´ olica elevada. Esto contrasta con la adaptaci´ on de algunos peces de aguas fr´ıas en donde el metabolismo se adapta a operar en bajas temperaturas. Como ejemplo de relación alométrica, en los mam´ıferos el a´rea de la corteza cerebral y el volumen del cerebro se relacionan con un exponente α 1. Si se considera que el espesor de la corteza cerebral y su complejidad celular son prácticamente constantes, puede entenderse que la relación de proporcionalidad entre a´rea y volumen cerebral deriva de que el volumen (o masa, considerando que la densidad no es variable) de los cuerpos neuronales pre-

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sentes en la corteza corresponde a una masa o volumen proporcional de fibras nerviosas presentes en la materia blanca. Debe recordarse que la superficie (A) de todo cuerpo no es directamente proporcional a su volumen (V ) sino que existe una relación potencial entre ambas que podemos determinar mediante una medida de longitud (L) de la forma siguiente: A V L

∝ ∝ ∝

L2

(2.6)

L3

(2.7)

V 1/3

(2.8)

Sustituyendo la ecuaci´ on (2.8) en la (2.6) se obtiene: A

∝ V 2/3

(2.9)

El que el área de la corteza sea proporcional al volumen cerebral significa que en los cerebros grandes debe acomodarse una corteza para la cual la superficie externa es insuficiente. El modo en que la naturaleza ha resuelto este problema es involucionando la corteza en el volumen cerebral de manera que las marcadas convoluciones en los cerebros de animales, como los humanos, los elefantes o los delfines, no constituyen una prueba anatómica de una inteligencia superior, como pregonan algunos vulgarizadores de la ciencia, sino que estas convoluciones reflejan la operaci´ on de restricciones geométricas en el desarrollo. Por qué un animal tiene un cerebro de un tama˜ no dado, depende del tama˜ no de su cabeza. A su vez, esta magnitud depende del tama˜ no corporal, el que a su vez, es consecuencia del modo de vida del animal (véase Mandelbrot, 1982). Porque resume muchas relaciones alométricas, una variable de uso muy com´ un es el tama˜ no corporal, al que se mide usualmente con la masa. Otra variable, que tiene mucho inter´ es en la fisiolog´ıa y la ecolog´ıa, es la tasa metab´ olica, que se define como la cantidad de energ´ıa consumida por el organismo por unidad de tiempo. La tasa metab´ olica puede medirse como energ´ıa asimilada, energ´ıa disipada en forma de calor o, en el caso de organismos aerobios, volumen de ox´ıgeno asimilado. En el caso de organismos con temperatura regulada, la tasa metab´ olica es proporcional a la cantidad de calor que se pierde y a su vez, eso es proporcional al a´rea corporal. En forma similar a la ecuaci´ on (2.9), la relaci´ on predicha entre la tasa metab´ olica (M ) y la masa corporal (m) por la llamada regla de Rubner, o ley de la superficie, es:

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M = Cm2/3

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(2.10)

Como la tasa metab´ olica absoluta depende del tama˜ no del organismo, la relaci´ on alométrica se describe mejor con la tasa metab´ olica relativa (η), que es la tasa metabólica por unidad de masa, esto es: η = M/m = C/m1/3

(2.11)

En la figura 2-1 se ilustra esta relaci´ on en los mam´ıferos en los que hay especies de tama˜ no peque˜ no, como las musara˜ nas que pesan alrededor de tres gramos y cuyo consumo metabólico es tan alto que requieren comer varias veces su peso corporal al d´ıa y en intervalos no mayores a unos po cos minutos. Algunos mam´ıferos, como las ballenas, son tan grandes (hasta m´ as de 100 toneladas) que pueden almacenar una gran cantidad de grasas y en combinaci´ on con tener un consumo metab´ olico relativo peque˜ no, pueden mantener ayunos durante varios meses y desarrollar actividades tan demandantes de energ´ıa como la reproducci´ on. La tasa metab´ olica relativa es una propiedad hol´ıstica del organismo que resulta de las interacciones entre las células y de éstas con el medio ambiente. Este conjunto de interacciones se resume en la regulaci´ on de la temperatura ante la pérdida de calor corporal. Las células de tejidos homólogos de los mam´ıferos son muy parecidas entre las distintas especies y estando en cultivo, células de distintas especies tienen todas la misma tasa metab´ olica (Eckert et al ., 1988; Schmidt-Nielsen, 1984; Sernetz et al ., 1985). Los ejemplos anteriores sobre la relaci´ o n de a´reas y vol´ umenes sugieren que el exponente alométrico puede interpretarse dimensionalmente, pero eso requiere antes de remodelar el organismo sobre otros conceptos.

2.4

El organismo como un reactor de cat´ alisis heterog´ enea

La cinética de los pro cesos metabólicos puede modelarse mediante un reactor de catálisis heterogénea (Sernetz et al ., 1985). Este es un tanque reactor en el que hay part´ıculas suspendidas que contienen un catalizador (E ), una

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enzima fija en part´ıculas de gel, por ejemplo. El tanque est´ a perfundido, habiendo el ingreso de sustratos (S ) en solución y la obtenci´ on de un producto (P ) que resulta de la reacci´ on del sustrato con el catalizador. El volumen reactivo del tanque es constante y por tanto el volumen de sustrato se ingresa con una velocidad constante igual a la velocidad de obtenci´ on del volumen del producto. Un proceso de mezclado mantiene a las part´ıculas con el catalizador suspendidas y con una distribuci´ on uniforme en el volumen de reacción (Figura 2-2).

Figura 2-1: Tasa metabólica relativa de mam´ıferos de distintos tamaños corporales medida como volumen de ox´ıgeno consumido por unidad de masa por hora. Datos de Eckert et al . (1988).

El funcionamiento de este sistema depende no sólo de la concentraci´ on de los reactivos E y S sino tambi´ en del transporte del sustrato al catalizador, que consiste de una difusi´ on externa de la soluci´ on a la part´ıcula suspendida y de una difusión interna dentro de dicha part´ıcula. Por lo tanto, la cinética de la reacci´ on depende de una resistencia a la difusi´ on externa µ y una resistencia a la difusi´ on interna (σ). La resistencia externa es el inverso del coeficiente de transporte de masa, h s = D s /δ , donde D s es el coeficiente de difusión del sustrato en la solución y δ es el grosor de la capa de Nernst, la cual depende del grado de mezclado que se caracteriza por el n´ umero de Reynolds (Re). La relaci´ on entre estas cantidades es la siguiente:

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µ

∝ δ ∝ 1/hs ∝ 1/Re

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(2.12)

Figura 2-2: El organismo como un reactor de cat´ alisis heterogénea. a) Reactor con part´ıculas catal´ıticas (E) perfundido con el ingreso de un sustrato (S) y obtención de un producto (P); b) Equivalente de un tejido irrigado; c) Part´ıcula con el catalizador mostrando el flujo del l´ıquido de reacción, el radio de la part´ıcula (L), la resistencia de difusión interna (σ), la resistencia de difusi´ on externa (µ) y el grosor de la capa de Nernst (δ ); d) Una célula como equivalente de una part´ıcula catal´ıtica; e) Eficiencia del reactor (η) en dependencia de las resistencias externa ( µ) e interna (σ). Redibujado de Sernetz et al . (1985).

Mientras mayor sea el grado de mezcla de las part´ıculas reactivas, la capa de Nernst será m´ as delgada y la reacci´ on será m´ as rápida como resultado de maximizar el gradiente de concentraci´ on en la superficie de las part´ıculas y el transporte de la masa reactiva. La eficiencia del reactor (η) se mide como la proporci´ o n de la tasa de recambio medida en el sistema (S het ) dividida por la tasa de recambio máxima posible, esto es, sin ninguna forma

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de resistencia a la difusi´ on (S hom ). La tasa de recambio del sistema se aproxima a S hom cuando el tama˜ no de la part´ıcula se aproxima a cero y/o cuando se incrementa la turbulencia del mezclado aproximando el grosor de la capa de Nernst a cero (Figura 2-2). El reactor de catálisis heterog´ enea puede identificarse con el organismo en donde las part´ıculas con catalizador equivalen a las enzimas en los distintos compartimientos celulares. El coeficiente de transporte, hs , a su vez sintetiza la estructura del organismo en dependencia de las convoluciones, ramificaciones y compartamentalizaci´ on de los tejidos en combinación con los patrones de flujo de sustancias (Figura 2-2). Si se simplifica el organismo como un gel homogéneo, la resistencia interna, σ, es proporcional al cuadrado de la distancia de difusi´ on (L). La regla de Rubner (Ecuaci´ on 2.11) puede entonces deducirse al determinar la eficiencia de la reacción en términos de la resistencia a la difusi´ on. Esto es:

∝ 1/σ1/2 ∝ 1/L ∝ 1/m1/3

η

(2.13)

La densidad de part´ıculas catal´ıticas y la distancia de difusi´ on en la fase estacionaria, esto es en las c´ elulas, en realidad es casi invariable en organismos de distintos tipos y tama˜ nos de manera que la eficiencia metab´ olica depende más bien de la resistencia externa y del transporte de masa reactiva entre los componentes del reactor. Si se incrementa el volumen efectivo de un reactor (V rea ) manteniendo constante la fracci´ o n del volumen de part´ıculas catal´ıticas (f = V cat /V rea ), la eficiencia del sistema puede mantenerse sólo si se mantienen los gradientes en el l´ımite entre la soluci´ on y las part´ıculas. Esto se logra haciendo que el sistema disipe m´ as energ´ıa para mantener el mismo grado de turbulencia en diferentes escalas. Cuando la fracción de part´ıculas reactivas, f , es peque˜ na, no hay interacción entre las part´ıculas y el sistema est´ a limitado s´ olo por la resistencia a la difusi´ on interna. La tasa de recambio absoluta del sistema heterogéneo en reacciones de primer orden se describe con la siguiente ecuación: SA het = S het V cat = ηS hom V cat = η(σD  [S ]/L2 )V cat = η(σD  [S ]/L2 )V rea f

(2.14)

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donde D  es el coeficiente de difusi´ on del sustrato dentro de la part´ıcula con catalizador. Al dividir la tasa de recambio absoluta por la concentraci´ on del sustrato se obtiene el valor de depuración (U ): U = SAhet /[S ] = η(σD  /L2 )V cat

(2.15)

En resumen, en un reactor donde no hay interacción entre las part´ıculas catalizadoras y por tanto limitado solamente por la resistenacia a la difusi´ on interna, la depuraci´ on es proporcional al volumen total del reactor o el volumen total de las part´ıculas. La tasa de depuraci´ on, ki , del reactor se calcula entonces del modo siguiente: ki = U/(V cat ) = U/(V rea f ) = constante

(2.16)

El inverso de la constante de reacción, τ i = 1/ki , es el tiempo medio de residencia. Si, al mantener constante el grado de mezcla, se incrementa la fracción de part´ıculas catalizadoras y as´ı la interacci´ on entre las capas de Nernst de las part´ıculas, la resistencia a la difusi´ on externa afecta la tasa de depuración espec´ıfica del reactor a la cual se denominar´ a entonces como ke . La relaci´ on de la depuració n con el tama˜ no del reactor se aproxima entonces con una relación potencial como sigue: ke = U/(V cat )α

(2.17)

en donde α < 1. De las ecuaciones (2.16) y (2.17) se obtiene: τ e = τ i /(V cat )(1−α) = constante

(2.18)

Si se asume una densidad constante, las ecuaciones (2.17) y (2.18) pueden identificarse con la ecuació n (2.11). De esto se concluye que los organismos pueden modelarse como reactores de catálisis heterogénea cuya eficiencia est´ a limitada fundamentalmente por la resistencia a la difusi´ on externa la que a su vez es una función del tama˜ no corporal. Este reactor puede tener una eficiencia alta con un alto grado de mezcla que reduzca el grosor de la capa de Nernst y con él la resistencia a la difusi´ on externa. Esto implica, de acuerdo con la ecuación (2.12), el surgimiento de turbulencia y la transici´ on de un régimen determin´ıstico a uno cuasi ca´ otico en el flujo de masa.

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2.5

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La estructura fractal del organismo

Todas las estructuras de todos los organismos consisten de superficies convolucionadas y/o vol´ umenes con ramificaciones. Las a´reas y longitudes de estas estructuras presentan el fenómeno conocido como efecto de la costa brit´ anica (Mandelbrot, 1982) en el que la extensi´ on (L) se incrementa al disminuir la escala de medición (s). Dentro de un intervalo de escalas dado, el aumento de extensi´ on corresponde al decremento de escala mediante una relaci´ on potencial, esto es, a distintas escalas las estructuras biol´ ogicas son similares. Por ello, la relaci´ on entre la extensión y la escala se puede medir como una desviaci´ on de la dimensi´ on topol´ ogica (DT ) que puede ser fraccionaria y que por ello se le denomina fractal (DF ), esto es: L = cs DT −DF = cs α

(2.19)

Donde c es una constante. La irregularidad, fragmentaci´ on y autosimilitud de la morfolog´ıa definen entonces la estructura del organismo como fractal. Sean, por ejemplo, la superficie del sistema circulatorio en todo el organismo y la superficie de los conductos aéreos del pulm´ on. Las ramificaciones de estas estructuras llenan casi por completo el espacio del organismo o del órgano habiendo solamente algo de tejido en los intersticios. La dimensi´ on fractal de las estructuras ramificadas por tanto es 2 < DF < 3 y puede entonces pensarse en el organismo como un h´ıbrido de área y volumen en donde, fractalmente, el a´rea deviene en un volumen y/o el volumen se reduce a un a´rea (véase ecuación (2.10). El flujo de masa en las estructuras del organismo es laminar pero si se considera la trayectoria de una part´ıcula en él, ésta resulta impredecible como en un régimen de turbulencia. La estructura fractal del organismo es pues una especie de turbulencia fija. Esta combinaci´ on de flujo laminar y turbulencia estructural minimiza las distancias de difusión externa. Por la invariabilidad en la estructura celular que se describi´ o en relación con la ecuaci´ on (2.11), las distancias de difusi´ on interna son siempre peque˜ nas e independientes del tama˜ no corporal. Por lo tanto, el régimen cuasi caótico de flujo de masa en los organismos por su estructura fractal es la base de su alta eficiencia metab´ olica. Las estructuras biol´ ogicas ramificadas y/o convolucionadas como todo fractal resultan de procesos en el borde del caos y en relaci´ on con ello, no necesitan de mucha información

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para construirse. La dinámica de la morfogénesis fractal del organismo entonces permitir´ıa en principio entender la sinergia entre las células que hace al organismo m´ as que la suma de sus partes y más que la expresión de un programa genético. La evoluci´ on puede también pensarse como un conjunto de b´ usquedas ontogénicas a la optimizaci´ on metab´ olica por medio de la organizaci´ on fractal (v´ ease Cramer 1993; Mandelbrot, 1982; Sernetz et al ., 1985; Weibel, 1991). La estructura autosimilar de los organismos ocurre solamente en ciertos intervalos de escala. Las estructuras ramificadas, por ejemplo, no prosiguen en escalas menores a la escala de los componentes elementales. Aunque puede identificarse una subestructura de los tejidos en las membranas celulares y las nubes electrónicas de las moléculas, las estructuras o reglas de generación no son las mismas en distintas escalas. En los pulmones, por ejemplo, la ramificaci´ on que generan los bronquiolos y alveólos no tiene el mismo patr´ on que la ramificaci´ on de los conductos mayores. Una descripci´ on que incorpora l´ımites superior (OY ) e inferior (I Y ) a una relación alométrica es la funci´ on de distribución log-log´ıstica en donde la posición en el intervalo de escalas (Y ) de la variable dependiente se distribuye como sigue con respecto a la masa (m) como variable independiente:

− I Y )/(OY − Y )](1/m0)α

p = [(Y

(2.20)

p es un parámetro de posici´ on y α de dispersión en una distribució n en donde la estructura fractal (la desviación de la dimensi´ on topol´ ogica) ocurre sólo en el intervalo (I Y , OY ). Al eliminar los l´ımites superior e inferior se tiene la funci´ on de potencias original. Puede interpretarse entonces al exponente α como un descriptor de la probabilidad de desarrollo de una función del organismo en cierto intervalo de masa en la que hay una tendencia evolutiva a la optimizaci´ on (Sernetz et al ., 1985). La existencia de l´ımites en la estructura fractal tiene otras consecuencias. Experimentalmente, se ha encontrado que el exponente alom´ etrico de la tasa metab´ olica relativa en función de la masa en realidad es 1/4 y no 1/3 como predice la ley de Rubner. A este hecho se le denomina ley de Kleiber y en conexi´ on con él, muchas variables biol´ ogicas se relacionan con exponentes m´ ultiplos de 1/4 (véase Eckert et al . 1988; Schmidt-Nielsen, 1984; West et al . , 1999). De acuerdo con West et al . (1999) un sistema no estructurado puede describirse

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como una funci´ on compleja de varias escalas (Li ). El a´rea A, por ejemplo, se puede determinar como sigue: A = A(L1 , L2 , . . . , Ln ) = L21 Φ(L2 /L1 , L3 /L1 , . . . , Ln /L1 )

(2.21)

Donde Φ es una función adimensional de las proporciones Li /L1 también adimensionales. Si se hace un cambio de tama˜ no introduciendo una transformaci´ on uniforme de escalas (Λ), ésta se distribuye simétricamente en las escalas, esto es: A = A(ΛL1 , ΛL2 , . . . , ΛLn ) = Λ2 A(L1 , L2 , . . . , Ln )

(2.22)

En las estructuras biol´ ogicas se tienen dimensiones fractales con l´ımites de escala que básicamente consisten de unidades invariantes de tama˜ no fijo, las células, por ejemplo, pueden caracterizarse con una escala biol´ ogica base, l0 , en donde el uso de la min´ uscula para las longitudes biol´ ogicas que caracterizan el interior de los organismos, li, las distingue de las longitudes euclidianas Li que describen la forma externa. Con el razonamiento de la ecuaci´ on (2.21) se tiene: a(l0 , l1 , l2 , l3 , . . . , ln ) = l 12 φ(l0 /l1 , l2 /l1 , l3 /l1 , . . . , ln /l1 )

(2.23)

Si se introduce una transformaci´ on uniforme λ, l0 se mantiene fija y la transformaci´ on de la ecuación (2.22) en la (2.23) resulta en: a = λ 2 l12 φ(l0 /λl1 , l2 /l1 , l3 /l1 , . . . , ln /l1 )

(2.24)

El a´rea entonces no es ya directamente proporcional a λ2 y aunque no se conozca la dependencia de λ de φ, puede parametrizarse con una función potencial en correspondencia a la estructura fractal, esto es: λ2 l12 φ(l0 /λl1 , l2 /l1 , l3 /l1 , . . . , ln /l1 ) = λ 2+ λl12 φ(l0 /l1 , l2 /l1 , l3 /l1 , . . . , ln /l1 ) (2.25) Se cumple que 0 <  < 1 como la desviaci´ on fractal en donde  = 0 corresponde a la estructura no fractal y  = 1 indica la fractalidad m´ axima con el área llenando el volumen. En el caso del volumen se tiene igualmente:

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v = λ 3+γ l13 ν (l0 /l1 , l2 /l1 , l3 /l1 , . . . , ln /l1 )

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(2.26)

y en el caso de la longitud: l = λ 1+ι λ1 ψ(l0 /l1 , l2 /l1 , l3 /l1 , . . . , ln /l1 )

(2.27)

Al combinar las ecuaciones (2.25) y (2.26) se obtiene a

∝ ν (2+)/(3+γ )

(2.28)

y al combinar (2.27) y (2.28) con densidad constante se tiene: a

∝ v(2+)/(3++ι) ∝ m(2+)/(3++ι)

(2.29)

Si, como se ha mencionado, los organismos han evolucionado maximizando la eficiencia metab´ o lica al maximizar el a´rea funcional, a, que minimiza las distancias difusionales, es evidente que  = 1 y ι = 0 l o que hace al exponente α = (2+e)/(3+e+ι) = 3/4. N´ otese que las distancias internas no son fractales, esto es ι = 0, en correspondencia con que las distancias funcionales deben minimizarse en un reactor eficiente. Esta relación se aplica entonces a los organismos que han evolucionado con la restricción de minimizar distancias internas. Algunos organismos, como algunas algas filamentosas y hongos, pueden no estar sujetos a esta restricció n. La piel de los vertebrados, por ejemplo, tiene convoluciones en el l´ımite entre la dermis y la epidermis a las que se llama papilas. Estas convoluciones presentan vasos sangu´ıneos a trav´ es de los cuales los organismos pueden conservar o disipar calor y en algunos casos transportar agua y minerales. En la figura 2-3 se muestran cortes histol´ ogicos de la piel de dos cetáceos en donde se observa cómo la superficie de las papilas tiende a ocupar el volumen del tejido. El área papilar es proporcional a la tasa metab´ olica relativa lo que muestra que la superficie funcional de la piel de los cet´ aceos (y de los mam´ıferos en general) se asocia a procesos de disipaci´ on dependientes de la masa del organismo y que la din´ amica de su morfogénesis tiene relaci´ on con la del sistema circulatorio (Corado Nava, 1996).

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Figura 2-3: Izquierda: Corte transversal de la piel de una tonina ( Tursiops truncatus ). Nótese el plegamiento de la membrana basal que separa la dermis de la epidermis. Derecha: Corte sagital de la piel de la orca (Orcinus orca ). Fotos: A. Pérez y N. Corado (Corado Nava, 1996).

2.6

Los organismos como sistemas adaptativos

En el coraz´ on de los vertebrados, la estructura fractal del sistema de fibras de excitaci´ on da como resultado una frecuencia de pulsación ca´ otica que permite al organismo adaptarse a los cambios impredecibles del ambiente. Cuando en el corazón hay alguna patolog´ıa, como en el periodo previo a un paro cardiaco, el pulso es muy constante (Goldberger et al . , 1990). Se conoce tradicionalmente que la adaptabilidad de los organismos depende de su diversidad genética. En un individuo, la diversidad genética, medida como heterocigosis, permite responder en forma homeost´ atica ante las variaciones ambientales resultando en una mayor estabilidad de la ontogenia. Las diversidades genética y ecofenot´ıpica en una poblaci´ on u especie asimismo permiten a los organismos adaptarse a los cambios ambientales en plazo evolutivo mediante selecci´ on natural. En determinadas condiciones, las fuerzas evolutivas (selecci´ on, deriva, migraci´ on y mutaci´ on) pueden tener efectos disruptivos y ocasionar divergencias hasta originar nuevas especies. Con el an´ alisis filogenético, luego del desarrollo tecnol´ ogico que ha permitido secuenciar DNA en forma rutinaria, se ha descubierto que la filogenia de la diversidad biol´ ogica tiene la forma de un a´rbol fractal que resulta de

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una din´ amica de proliferaci´ on y extinción de linajes gen´ eticos, similar a la descrita en la introducción, que fluyen en una red (la genealog´ıa) definida por los patrones de apareamiento y herencia de los organismos. Esta diversidad fractal es la base de la adaptabilidad evolutiva de los organismos (véase Avise, 2000; Cramer, 1993; Kauffman, 1993; Moller, 1997). En general, los organismos como sistemas autorreplicativos, alejados del equilibrio termodin´ amico y en el borde del caos son complejos, adaptativos y no pueden describirse ni determin´ısticamente ni a través de leyes de grandes n´ umeros (véase Huberman y Hogg, 1986). Aunque el modo de adaptaci´ on en distintos plazos depende de diferentes niveles fenomenológicos, lo que sugieren los ejemplos citados arriba es que los procesos adaptativos tienen propiedades similares que resultan de una din´ amica uńica que conforma al organismo por la morfogénesis y la herencia.

Agradecimientos Agradezco a quienes concibieron y organizaron la I Escuela de Oto˜ no en Biolog´ıa Matem´ atica por incluirme en este esfuerzo, a los compa˜ neros profesores y estudiantes de la escuela y al Grupo de Biomatemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM por las experiencias compartidas, a Pedro Miramontes y Germinal Cocho por iniciarme y mantenerme en este campo a pesar de mi indisciplina y a los editores de estas memorias, Lourdes Esteva y Manuel Falconi, por su gran paciencia y ayuda en la realización de este trabajo.

Bibliograf´ıa [1] Avise J.C. 2000. Phylogeography. The history and formation of species . Harvard University Press. Cambridge, MA. [2] Bak P. y Paczuski M. 1995. Complexity, contingency and criticality . Proceedings of the National Academy of Sciences USA, 92: 6689-6696. [3] Baker R.J. 1994. Some thoughts on conservation, biodiversity, museums, molecular characters, systematics, and basic research. Journal of Mammalogy 75(2): 277-287.

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[4] Corado Nava N.A. 1996. Geometr´ıa y din´ amica de la piel de los cet´ aceos . Tesis profesional. Facultad de Ciencias, UNAM. [5] Cramer F. 1993. Chaos and order. The complex structure of living systems . VCH. Weinheim. [6] Eckert R., Randall D. y Augustine G. 1988. Fisiolog´ıa animal. Mecanismos y adaptaciones . McGraw-Hill Interamericana. 3a. ed., Madrid. [7] Eigen M. 1986. The physics of molecular evolution. Chemica Scripta 26B: 13-26. [8] Goldberger A.L., Rigney D.R. y West B.J. 1990. Chaos and fractals in human physiology. Scientific American 262: 34-41. [9] Goodwin B. 1994. How the leopard changed its spots. The evolution of complexity . Londres. [10] Halley J.M. 1996. Ecology, evolution and 1/f-noise. Trends in Ecology and Evolution 11: 33-37. [11] Huberman B.A. y Hogg T. 1986. Complexity and adaptation. Physica 22D : 376-384. [12] Kauffman S.A. 1993. The origins of order. Self-organization and selection in evolution . Oxford University Press. Oxford. [13] Mandelbrot B.B. 1982. The fractal geometry of nature . W.H. Freeman. Nueva York, NY. [14] Mayr E. 1963. Animal species and evolution . Cambridge, Harvard University Press. Cambridge, MA. [15] Moller A.P. 1997. Developmental stability and fitness: a review. American Naturalist 149: 916-932. [16] Moritz C. 1994. Defining Evolutionarily Significant Units for conservation. Trends in Ecology and Evolution 9: 373-375. [17] Oparin A.I. 1978. El origen de la vida . Editores Mexicanos Unidos. México.

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[18] Schmidt-Nielsen K. 1984. Scaling. Why is animal size so important? . Cambridge University Press. Cambridge, UK. [19] Schuster P. 1986. The physical basis of molecular evolution. Chemica Scripta 26B: 27-41. [20] Sernetz M., Gelléri B. y Hofmann J. 1985. The organism as bioreactor. Interpretation of the reduction law of metabolism in terms of heterogeneous catalysis and fractal structure. Journal of theoretical Biology 117: 209-230. [21] Vogler A.P. y Desalle R. 1992. Diagnosing units of conservation management. Conservation Biology 8: 354-363. [22] Von Bertalanffy L. 1976. Teor´ıa general de los sistemas . Fondo de Cultura Econ´ omica. México. [23] Weibel E.R. 1991. Fractal geometry: a design principle for living organisms. Lung Cell and Molecular Physiology 5: L361-L369. [24] West G.B., Brown J.H. y Enquist B.J. 1999. The fourth dimension of life: fractal geometry and allometric scaling of organisms. Science 284: 1677-1679.

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Las leyes de Mendel y la ley del equil equilibr ibrio io g´ enico enico de Hardy-Weinberg

Jos´ Jo s´ e Luis Lu is Guti´ Gu tiérre er rez z S´ anchez anchez Programa de Dinámica amica no Lineal y Sistemas Complejos Universidad Autónoma onoma de la l a Ciudad C iudad de México exico [email protected]

Resumen En este ensayo ensayo destaca la importancia, imp ortancia, en la historia de la biolog´ biolog´ıa, de que Gregorio Mendel recurriera a construir una representaci´ on on matem´ atica atica del mecanismo de transmisi´ o n de los rasgos de una generaci´ on on o n a otra, para proponer la teor´ teor´ıa factorial de la herencia. Asimismo, se presenta la ley del equilibrio de Hardy-Weinberg y se discute una de sus consecuencias en el estudio del cambio de proporciones en la reserva génica enica de una poblaci´ p oblaci´ on. on. La ley y el ejemplo muestran cómo omo la l a genética etica de poblacio po blaciones nes es, verdaderamente, men te, una gen´ g enética eti ca matem ma tem´ a´tica. Con citas de Einstein, Newton y Leibniz se atica. propone una interpretaci´ on del papel de la matem´ on atica en el descubrimiento atica cient´ ci ent´ıfico ıfi co..

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3.1 3.1

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´ Luis Gutierrez ´rrez Jose e

Intr In trodu oducc cci´ i´ on on

En la historia del pensamiento p ensamiento cient´ cient´ıfico hay problemas clave cuya soluci´ on on ha partido en dos el desarrollo de las diversas disciplinas y todo en ellas suele referirse referirse al antes antes y al despu´ después es de haberse dado con una respuesta para aquéllos. ellos. La deducción on de las leyes del movimiento en los cielos y la tierra es el origen de la f´ısica de nuestros d´ıas; el establecer la ley de las proporciones constantes y la tabla peri´ odica de los elementos fue el cimiento odica de la qu´ qu´ımica de hoy; hoy; la propuesta propuesta de los evolucion evolucionistas istas para describir describir la historia de la vida y el descubrimiento de las leyes de la herencia en los seres vivos son el fundamento de la biolog´ biolog´ıa moderna.

Figura 3-1: Charles Charles Darwin (1809-1882) (1809-1882)..

C´ omo se transmite la informaci´ omo on de padres a hijos fue considerado on durante miles de a˜ nos uno de los grandes misterios de la naturaleza. Los nos seres vivos sexuados proveen proveen instrucciones precisas en células elulas reproductivas llamadas gametos sobre c´ omo omo habr´ a de desarrollarse un nuevo organismo semejante a sus progenitores; proponer una explicaci´ on on para este proceso

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fundamental hab´ hab´ıa sido –desde la Antig¨ uedad y hasta la invención on del microscopio, en el siglo XVIII– s´ olo olo tarea de filósofos osofos y los primeros observadores de esperma humano se empe˜ naban en ver en cada espermatozoide naban un homunculus, un pequeño no ser humano, completamente formado y supuestamente igual al que q ue ser´ıa ıa si pod´ p od´ıa ıa instala i nstalarse rse en el vientre vi entre de una mujer muje r para 1 gestarse y llegar a nacer.

3.1.1 3.1.1

El probl problem ema a de la vari variabi abilid lidad ad I

La falta de una explicación on convincente sobre la forma en que transmiten las caracter caracter´´ısticas era un hueco hueco notable notable en la teor´ teor´ıa de la evoluci´ evoluci´ on por selecci´ on on natural. En El origen de las especies Darwin Darwin especula sobre c´ omo omo “lo igual engendra lo igual” y, a la vez, en cada generaci´ on on hay variaciones cuyo c´ umulo –al combinarse con los cambios del medio propicios para la umulo sobreviv sobrevivencia encia de unos individuos individuos en lugar de otros– generar´ generar´ıa grupos de seres n´ıtidamente ıtidamente distintos distintos de sus ancestros ancestros y sugiere sugiere dos formas posible p osibless de transmisi´ on: o n: la herencia blanda y la herencia mezcladora.

Figura 3-2: Pinzones de Darwin.

La forma blanda ocurrir o currir´´ıa cuando los progenitores transmitieran a sus decendientes algunos caracteres adquiridos durante su vida por influencia del medio ambiente. Dada la inestabilidad del entorno f´ f´ısico y bi´ otico de los seres vivos, ésta esta ser´ ser´ıa la fuente de la diversidad observable en las especies biológicas. ogicas. La adap adaptac taci´ i´ o n del pico de los pinzones en las Gal´ on apagos apagos es un ejempl ejemploo de esto. Por Por el contrari contrario, o, la forma forma mezcla mezclador doraa implic implicaba aba una tendencia a la uniformidad pues, en la progenie, habr´ habr´ıan de “mediarse” los caracteres de los predecesores. 1

Lander Lander y Weinberg einberg ([10], ([10], p. 1777) 1777) dicen: dicen: “La prefor preformac maci´ i´ on evitaba la necesidad de almacenar y transmitir informaci´ on pero daba lugar a desconcertantes problemas fion los´ oficos oficos como este: si todo el linaje humano humano resid´ resid´ıa, al modo de las matrioshkas rusas, en el esperma de Adán, an, qué papel pap el habr hab r´ıa jugado juga do Eva”.

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Sin em embar bargo, go, no era dif´ dif´ıcil encon encontra trarr ejempl ejemplos os contra contrario rioss a am ambas bas hipótesis otesis:: cortar cortarle le la cola cola a los cocker spaniel durante cientos de generaciones nunca ha dado un cachorro rabón on ni siempre ocurre que tengan los ojos verdes los hijos de padres con ojos azules y cafés. es. Por consiguiente, no puede establecerse establecerse una ley según un la cual lo adquirido se hereda ni es posible asegurar que siempre se mezclan las caracter´ caracter´ısticas de los progenitores. El problema de la herencia biológica ogica estaba esencialmente sin resolver o, por lo menos, eso parec´ıa ıa a´ un un a fines del siglo XIX.

3.2

Mendel

Hacia el segundo tercio del siglo antepasado, el monje agustino Gregorio Mendel Mendel (1822-1884) (1822-1884)2 realiza una serie de experimentos de hibridaci´ on on con plantas de ch´ ch´ıcharo com´ un un (Pisum sativum ) en los huertos de su monasterio. terio. En 1867 public publicaa sus resultad resultados os en la revista revista de la sociedad sociedad de nat3 uralistas de su ciudad; ah´ ah´ı sugiere sugiere un mecanismo mecanismo plausible plausible –a la postre, confirmado como correcto– de transmisi´ on on de la herencia, herencia , y aunque habr´ habr´ıan de transcurrir treinta a˜ nos antes de que el resto del mundo se enterara de nos la importancia crucial de su propuesta, funda la gen´ etica, etica,4 esa rama de la biolog biolo g´ıa que q ue hoy sigue creciendo creciend o y eleva más as y m´ as el edificio de las ciencias as de la vida. Los biógrafo ografoss de Mendel Mendel refiere refieren n su formac formaci´ i´ on on cient´ cient´ıfica autodidacta auto didacta hasta que, con el patrocinio del abad de su propio monasterio, se traslada (1851-53) a la capital austriaca para estudiar f´ısica, qu´ qu´ımica, matem´ aticas, 5 zoolo zo ologg´ıa y bot´ bo t´ anica; anica; de hecho (Cfr. [16]): 2

Gregorio Mendel, cuyo nombre original era Johann, naci´ o en Heinzendorf, Austria; pas´ o la mayor parte de su vida y muri´ o en el monasterio agustino de la ciudad de Br¨ unn, unn, capital tradicional de Moravia, en la Austria-Hungr´ Austria-Hungr´ıa de mediados del XIX, hoy p ertenece a la Rep´ ublica Checa y se llama Brno. ublica 3 Johann Gregor Mendel (1866): “Versuche uber u ¨ ber Pflanzenhybriden”, en Verhandlungen des naturforschenden Vereines in Br¨ unn 4, Abhandlun Abhandlungen gen (pp. 3-47). 3-47). 4 ava nt la l´ ettre et tre . La gen´ ge nética ti ca se llamar´ Se trata de un acto de fundaci´ on on avant a as´ı sólo ol o despu´ des pués es de 1899. El lector interesado en la historia del nacimiento de esta disciplina puede acudir al ensayo de Olby [17]; en particular, al cap´ cap´ıtulo IX: “El bautizo de la gen´ etica”. etica”. 5 Salvo que se denote lo contrario, en las citas textuales los subrayados son m´ıos (JLG).

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Mendel inicia un programa de dos a˜ nos en la Universidad de nos Viena en donde tomará diversos cursos o asistirá a las conferencias de Franz Unger, un profesor de fisiolog´ıa ıa de las la s plantas en cuyo Botanische Briefe de 1852 dar´ dar´ıa argumentos en favor de la evoluci´ on on de las especies (i.e., de su inestabilidad); Andreas von Ettinghausen, cuyo curso sobre el método etodo experimental y el aparato de la f´ısica posiblemente llev´ o [a Mendel] a acercarse a los escritos de análisis alisis combinatorio y organizaci´ on on de experimentos rimentos [de Baumgartner Baumgartner y Ettinghausen Ettinghausen,, 1842]; y Christian Christian Doppler, Doppler , el bien conocido cono cido f´ısico, quien daba clase de f´ısica ısica experimental.

Figura 3-3: Gregorio Mendel en 1862.

La formaci´ formaci´ on on recibid recibidaa en Viena Viena define define su inclina inclinaci´ ci´ on o n por el enfoque cuantitativo y el cuidadoso dise˜ no experimental descrito en sus reportes de no investigaci´ on; on; m´ as a s a´ un, esta tendencia lo distingue de muchos naturalistas un, empe˜ nados en el acopio minucioso y abundante de datos pero incapaces de nados descifrar el jerogl´ jerogl´ıfico planteado en ellos por p or la naturaleza: Mendel es capaz de imaginar un un mecanismo de transmisi´ on de la herencia mediante factores on

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´rrez Jos´ e Luis Gutie

que están en cada padre y se manifiestan en los descendientes de acuerdo con dos leyes sencillas y poderosas. El monje de Br¨ unn aprende con Doppler y Ettinghausen a buscar evidencias en favor de su conjetura y las encuentra casi cien años antes de que David Watson y Francis Crick develasen el misterio de la doble hélice en la estructura de la molécula del aćido desoxirribonucleico y confirmaran la existencia real y la forma espec´ıfica de copia y duplicaci´ on de aquellos factores o genes, como ser´ıan llamados a la vuelta del siglo por los redescubridores del trabajo del agustino; los genes, esos entes cuya existencia vendr´ıa a resolver esencialmente las dudas sobre c´ omo la vida perpet´ ua la identidad de los seres de la misma especie y provee la semilla para la aparició n de otras. Mendel explica a priori y este ejercicio puede equipararse con el de Galileo6 en el estudio de la ca´ıda de los graves: el gran f´ısico toscano imagina cómo caer´ıa un objeto en el vac´ıo –un medio imposible de ser producido realmente con la tecnolog´ıa del siglo XVI– y plantea su conjetura en el lenguaje de la geometr´ıa para describir cuantitativamente las consecuencias y confrontarla con los resultados de sus experimentos en el plano inclinado (en donde sólo simular´ıa una ca´ıda libre). A su vez, el monje austriaco plantea su hipótesis en el lenguaje de la teor´ıa de las probabilidades y con cada nuevo experimento de hibridaci´ on, fortalece su confianza en la existencia de pares de entes portadores de la informaci´ on, ubicados en los gametos de cada padre, cuya combinaci´ on define las caracter´ısticas de los descendientes; desde luego, ni él ni nadie antes de Watson y Crick, sabrán exactamente de qué están hechos los factores ni cómo funcionan y, sin embargo, Mendel los descubre, su matem´ atica de frecuencias relativas ilumina las entra˜ nas de los organismos para, luego de dos mil a˜ nos de dar palos de ciego, estar seguro de su presencia. Desde luego, este convencimiento sobre la existencia real de los genes tuvo que vencer el escepticismo de los naturalistas respecto a las deducciones al modo de la f´ısica aplicadas a las ciencias de la vida; Lander y Weinberg ([10], p. 1778) todav´ıa lo interpretan as´ı: El reporte de 1865... cay´ o en o´ıdos sordos. [Mendel] traba jaba en 6

De hecho, cabe la identificaci´ on con el método general de la f´ısica y la qu´ımica: de Galileo, Newton y Boyle a Einstein, Rutherford y Prigogine, hay numerosos indicios de que primero se han pensado las ecuaciones y luego se han llevado al cabo los experimentos.

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la periferia de la comunidad cient´ıfica y publicaba en una oscura revista. Pero el problema real era que [sus] formalismos eran matem´ aticos y sus factores, abstracciones . Las leyes de Mendel ganar´ıan el interés de un p´ ublico amplio muchos a˜ nos después de su muerte, cuando pudieran ser relacionadas con realidades biológicas, con estructuras celulares visibles. Nadie ha visto nunca un electrón y, no obstante, nadie duda de su existencia ni califica las part´ıculas at´ omicas de abstracciones. En verdad, no es necesario verlos para saber que están ah´ı. En 1900, tres bot´ anicos europeos –Carl Erich Correns, Erich Tschermak von Seysenegg y Hugo de Vries– obtuvieron resultados coincidentes con los de Mendel en experimentos propios y, al buscar en la literatura, encontraron no s´ olo los datos sino las bases de una teor´ıa general de la herencia publicada 34 a˜ nos antes. Convencidos de la importancia de su hallazgo, hicieron escuela y reconocieron el valor de la hipótesis de su antecesor llam´ andose a s´ı mismos mendelianos . Pronto hallaron seguidores tanto en la Gran Breta˜ na como en los Estados Unidos y se enfrascaron –en contraposició n con los naturalistas y los biometristas partidarios de las tesis de la herencia blanda y la herencia mezcladora– en una de las polémicas m´ as agrias e intensas de la historia de la biolog´ıa. A la postre, el conflicto habr´ıa de resolverse en la teor´ıa sint´ etica de la evoluci´ on –durante la memorable Conferencia de Princeton de 19477 – con un compromiso entre las partes; era un acuerdo anunciado: la genética creci´ o durante todo el siglo XX hasta ser la disciplina madura e influyente de hoy; ahora es fundamental para comprender la evoluci´ on y el desarrollo; ha penetrado en la fisiolog´ıa y la bioqu´ımica y transformado amplios campos de la medicina y la agricultura; los seres humanos depositan su esperanza en una vida mejor -y tambi´ en sus temores respecto a los peligros del maluso del conocimiento- en ésta quiz´ a m´ as que en ninguna otra rama de las ciencias de la vida.

3.2.1

Los motivos de Mendel

Lander y Weinberg ([10], p. 1778) atribuyen a las necesidades de la industria textil morava el inter´ es regional en la hibridaci´ on e indican que ésta se 7

V´ ease el ensayo [3] de Germinal Cocho respecto a c´ omo se resolvi´ o la disputa entre mendelianos y naturalistas.

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practicaba con plantas y animales mediante ensayo y error desde que el mapa mundial de los seres vivos se hab´ıa reconfigurado violentamente por el tr´ ansito de especies entre América y Europa. Por otro lado, a pesar de no ser Br¨ unn m´ as que una capital provincial, hab´ıa all´ı sociedades o clubes promotores de la actividad cient´ıfica y naturalista. Estos pueden haber sido los motivos iniciales por los cuales un monje de clausura, patrocinado por su superior, estuviese interesado en el tema. La lectura de Mendel del reporte sobre sus experimentos de hibridación en Pisum sativum, en la Sociedad de Historia Natural de Brü nn el 8 de febrero de 1865, se inici´ o con una serie de comentarios introductorios que quiero citar extensamente([16]): La experiencia en fertilización artificial, tal y como se lleva al cabo con plantas ornamentales a fin de obtener nuevas variaciones en el color ha llevado a los experimentos que serán discutidos aqu´ı. La notable regularidad con la cual han reaparecido las mismas formas h´ıbridas cada vez que la fertilizaci´ on tuvo lugar entre las mismas especies, indujo la decisi´ on de llevar los experimentos m´ as all´ a con la intenci´ on de seguir de cerca el desarrollo de los h´ıbridos y su progenie. Un gran n´ umero de cuidadosos observadores... han dedicado una parte de sus vidas con perseverancia inagotable a este fin... [pero] hasta ahora no se ha formulado una ley de aplicaci´ on general que gobierne la formaci´ on y el desarrollo de los h´ıbridos... Quienes rastreen el trabajo hecho en este campo llegará n a la conclusi´ on de que ninguno ha tenido el alcance suficiente como para poder determinar el número de formas distintas bajo las cuales aparece la descendencia de los h´ıbridos ni para identificar estas formas con las diferentes generaciones en que surgen ni para establecer sus frecuencias relativas... En verdad, se necesita de algo de coraje para abordar una labor de tan vasto alcance. Sin embargo, me parece que ésta es la u ńica forma correcta mediante la cual, finalmente, podemos llegar a resolver una cuesti´ on cuya importancia no puede ser sobreestimada en relaci´ o n con la historia de la evoluci´ on de las formas org´ anicas...

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El reporte que presento en esta sesión registra los resultados de un experimento de tal alcance. Este experimento se redujo a un peque˜ no grupo de plantas y ahora, luego de ocho a˜ nos de esfuerzo, está concluido en lo que le es esencial. La obra fundamental de Darwin On the Origin of Species by Means of Natural Selection, or The Preservation of Favoured Races in the Struggle for Life , fue publicada en noviembre de 1859. Mendel habr´ıa buscado evidencia en favor de la evolución desde 1857. No deja de llamar la atenci´ on que un cura católico centroeuropeo, desde la periferia del sistema de producción cient´ıfica de su época, abogara por una tesis abiertamente opuesta al creacionismo. Eso, tal vez, confirma que las condiciones eran propicias para las explicaciones evolucionistas de la historia de la vida y s´ olo deber´ıa transcurrir el tiempo suficiente para que la oposición abandonase la, por as´ı llamarla, arena del debate cient´ıfico –en la cual, desde luego, s´ olo pod´ıa desenvolverse torpemente– para dedicarse a impugnar la peligrosa idea de Darwin desde la perspectiva de los fundamentos religiosos. No obstante, importa destacar la diferencia entre los enfoques del naturalista inglés y del monje de Br¨ u nn. El primero pone el acento en las fuerzas del azar; para él, la historia de la vida es una extensa cadena de casualidades y su teor´ıa es ajena por completo a cualquier intento de representaci´ on matem´ atica8 ; desde su concepción, la biolog´ıa es una ciencia hist´ orica sin patrones de evolución reconocibles porque en la naturaleza domina lo contingente. Para Mendel, en cambio, a´ un en la variabilidad de la vida, hay estructura. Mendel aplica su formaci´ on cient´ıfica experimental para descubrir pautas y lo hace interrogando a la naturaleza en un lenguaje preciso y claro: la matem´ atica deviene método de investigaci´ on; con él, se plantea acotar lo fortuito e identificar lo necesario. Lo consigue.

3.2.2

Los experimentos

Mendel imagina el mecanismo de la herencia y planea sus experimentos con la intenci´ on de hacerlo patente. Trata de probar que de cada padre proviene, por separado, la informaci´ on heredada por sus descendientes y los rasgos que 8

A´ un en nuestros d´ıas no es raro escuchar argumentos en contra de la unidad de la ciencia (y, espec´ıficamente, de la posibilidad de constituir una biolog´ıa matem´ atica equiparable a la f´ısica matem´ atica), basados en esta caracter´ıstica del trabajo de Darwin.

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los configuran o factores se combinan en el nuevo ser independientemente de como hubieren estado asociados en los padres.

on es m´ as importante que el conocimiento de una gran Figura 3-4: La imaginaci´ cantidad de hechos o de datos. Albert Einstein.

En principio, como buen experimentador, hace un corte epistemológico y sólo considera aspectos relativamente simples de su objeto de estudio. Por eso, se restringe a estudiar la transmisión de pares de rasgos complementarios. Controla el car´ acter aportado por los progenitores mediante la selección de linajes puros; esto es, plantas que presentan uno y sólo uno de los dos caracteres y que, al autopolinizarse, generan descendientes con el mismo fenotipo. De la cruza de estos padres obtiene una generación filial 1 o F 1 y vuelve a cruzar a los miembros de F 1 para obtener una generación F 2 ; busca en ella regularidades estad´ısticas para confirmar su hip´ otesis en el lenguaje de

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Rasgo

Textura de la semilla madura Color del albumen de la semilla Color de la corteza de la semilla Forma de la vaina madura Color de las vainas inmaduras Posici´ on de las flores Longitud del tallo

Expresión dominante Lisa Amarillo Gris Inflada Verde Axial Alta

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Expresi´ on recesiva Rugosa Verde Blanca Apachurrada Amarillo Terminal Enana

Tabla 3.1: Rasgos observados por Mendel en plantas de ch´ıcharo.

Figura 3-5: Diagrama de un experimento mendeliano de autopolinización.

la matem´ atica. La herramienta espec´ıfica que debe usar es la teor´ıa cl´ asica de las probabilidades; es m´ as, la mism´ısima definici´ on que Jacobo Bernoulli (1654–1705) hiciera en su Ars Conjectandi: Parece que para conjeturar correctamente respecto a cualquier suceso, es necesario calcular exactamente el n´ umero de casos posibles y luego determinar qu´ e tan m´ as esperable es la ocurrencia de un caso y no de otro.

• La primera regularidad consiste en el hecho de que, en la cruza ini-

cial de dos puros, la probabilidad de aparició n de un rasgo es 1 (su frecuencia relativa es 100%) y la del otro, 0. De esta manera, uno domina y el otro “entra en receso” porque est´ a “enmascarado”. Por esto, al primer factor se le llamará dominante y al segundo, recesivo.

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2: • La segunda regularidad se observa en la generación filial 3

la probabilidad de manifestaci´ on de un rasgo dominante es 4 (frecuencia relativa aproximadamente igual a 75%) y la probabilidad del recesivo es 14 (frecuencia relativa aproximadamente igual a 25%).

De hecho, una vez elegidas las caracter´ısticas complementarias sobre las cuales fijar´ıa su atenci´ on, Mendel llev´ o un cuidadoso registro y obtuvo, en una generaci´ on F 2 , las frecuencias relativas de la tabla 3.2. Rasgo/Plantas con rasgo Textura de la semilla Color del albumen Longitud del tallo

Dominante Lisa: 5474 Amarillo: 6022 Alta: 787

Recesivo Rugosa: 1850 Verde: 2001 Enana: 277

Razón 2.96 : 1 3.01 : 1 2.84 : 1

Tabla 3.2: Razones dominante-recesivo de tres rasgos mendelianos. Los pares de rasgos que Mendel observa en Pisum sativum se muestran en la tabla 3.1 y los cuadros de contingencia de la figura 3-6 muestran cómo organizar los casos posibles para calcular las frecuencias relativas o probabilidades de cada combinaci´ on de factores en la generación F 2 .

3.2.3

Las leyes

Se enuncian en este apartado las leyes de la herencia propuestas por Mendel en su reporte de 1865 aunque se han adaptado a la terminolog´ıa usual en nuestros d´ıas. No debe olvidarse que el término gen fue acu˜ nado a la vuelta del siglo XIX y la existencia de los cromosomas s´ olo se estableci´ o hasta fines del primer tercio del XX. Una forma más cercana a la originalmente planteada por el agustino es la siguiente:

• Ley

de la segregaci´ on. Cada rasgo heredado por una planta est´ a definido por las caracter´ısticas de los padres, quienes transmiten, cada uno por separado, un factor. De este modo, cada rasgo se define mediante pares de factores. V´ eanse las figuras 3-6 (a) y 3-7.

• Ley de la transmisi´ on independiente Los factores que provienen de

cada padre no se mezclan en los descendientes; algunos factores dominan a otros y los padres transmiten a los hijos, al azar, un solo factor de los heredados por él a sus descendientes.

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Figura 3-6: Cuadros de contingencia genot´ıpica en dos de los experimentos mendelianos. (a) R es el alelo para la flor púrpura; r, para la flor blanca. (b) A es el alelo del color amarillo; a, el del verde. B es el alelo de la cáscara lisa; b, el de la rugosa.

Estos principios son la base del sistema de transmisión de la herencia por unidades, factores o genes . Cada miembro de un par de genes se llama alelo. El descubrimiento posterior de los cromosomas como portadores de las unidades genéticas apoy´ o los descubrimientos mendelianos y sus leyes pueden plantearse también as´ı: Primera

Ley de la segregaci´ on. Los genes se transmiten como unidades distintas y separadas de una generación a la siguiente. Los dos alelos de un par génico, uno en cada cromosoma apareado, se separan cuando en el organismo del padre o de la madre, se forman las c´ elulas sexuales. La mitad de éstas ser´ a portadora de una de las formas del gen y la otra mitad portará al otro alelo. En la descendencia que resulte de estas células se reflejar´ an aquellas proporciones.

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Figura 3-7: Meiosis en seres humanos: cada gameto lleva

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= 23 cromosomas.

Segunda

Ley de la transmisi´ on independiente. Los alelos de un par génico localizado en un par de cromosomas se heredan independientemente de los alelos de un par génico localizado en otro par de cromosomas y cuando las células sexuales contienen varios juegos de estos genes, se aparean al azar con las células sexuales producidas por el otro padre. La segunda ley merece un ejemplo: recuérdese que si M y N son dos sucesos aleatorios, entonces M y N son independientes si y sólo si P (MN ) = P (M ) P (N )

(3.1)

Sean M y N cualesquiera dos caracter´ısticas en dos pares cromos´ omicos distintos (véase la figura 3-6 (b)). Por ejemplo, M : N :

El fruto es verde El fruto es liso

Mendel muestra evidencia suficiente para sostener que, en una generación F 2 , las respectivas probabilidades son 1 3 P (M ) = , P (N ) = 4 4

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y que aproximadamente 3 de cada 16 plantas presentan ambas caracter´ısticas. De manera que P (MN ) =

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que es, precisamente, igual a P (M ) P (N ) y se cumple la ecuación (3.1).

Figura 3-8: La naturaleza se complece en la sencillez y no se deja seducir por la pompa de las explicaciones superfluas. Isaac Newton.

3.3

Hardy-Weinberg

Luego de la publicaci´ o n de On the Origin of the Species , seguidores de Charles Darwin como Francis Galton y Karl Pearson se empe˜ nan en justificar las tesis del naturalista del Beagle sobre el mecanismo de la herencia. Desarrollan extensamente la estad´ıstica para aplicarla al estudio de caracteres morfométricos y establecen correlaciones entre padres e hijos en

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caracteres como la estatura, el color de la piel o variables de reputación dudosa como el coeficiente intelectual (IQ). Con base en esto, fundan la biometr´ıa9 y sostienen que la herencia mezcladora se manifiesta claramente en las caracter´ısticas heredadas que var´ıan en un continuo porque, por ejemplo:

• si la madre es de baja estatura y el padre es alto, los hijos serán medianos y

• si se fecundan plantas de flor roja con plantas de flor blanca, en muchos casos las hijas tienen la flor rosada (véase la figura 3-9).

Figura 3-9: Dominancia incompleta del color rojo en la pr´ımula.

3.3.1

La disputa entre biometristas y mendelianos

Sin embargo, una consecuencia inmediata de la teor´ıa mendeliana o factorial es la refutaci´ on de las tesis defendidas por Galton y Pearson. Ciertamente, en aquel momento no se ten´ıa una explicaci´ on satisfactoria en términos de transmisi´ on discreta para la herencia de los caracteres que toman valores en un continuo10 ni respecto a la forma en que opera la selecci´ on natural en una 9

Además, Galton p ostula un programa eugenésico : el Estado deber´ıa propiciar la reproducci´ o n de los m´ as aptos. Pearson dir´ a sin rubor que (Cfr. [13]) “por el bien de la humanidad, el derecho a vivir no implica el derecho a reproducirse”. Treinta a˜ nos después, los nazis usar´ an sus tesis para justificar sus campa˜ nas de limpieza étnica. 10 A˜ nos después se hallarán las explicaciones: caracteres como la estatura o la textura y el color del pelaje son poligénicos –esto significa que no est´ an determinados por un solo par de factores– y hay casos en los que la dominancia es incompleta como en el color de la pr´ımula.

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población para favorecer la progenie de unos individuos en detrimento de la de otros. La polémica se manifiesta una y otra vez en todos los campos y hay testimonio abundante de esto en la prensa cient´ıfica de la época. De importancia particular es una cr´ıtica a la teor´ıa factorial publicada en The Proceedings of the Royal Society of Medicine (Vol I., p. 165) por el estad´ıstico escocés George Udny Yule (1871-1951) quien, refiri´ endose a un car´ acter dominante (la braquidactilia) sosten´ıa que, de ser cierta la tesis mendeliana, “en el transcurso del tiempo, de no haber factores que actuaran en contra, ser´ıa de esperarse que se tuvieran tres braquidáctilos por cada persona normal”. El 10 de julio de 1908, en una carta al editor de Science , el matem´ atico inglés Geoffrey Harold Hardy se refiere a la cr´ıtica de Yule y la refuta: en la breve extensión de una página establece el llamado principio del equilibrio génico –deducido también en Stuttgart por el médico alem´ an Wilhelm Weinberg– que será el fundamento de una nueva disciplina: la genética de poblaciones, aparato para estudiar la historia de la vida seg´ un el paradigma darwiniano porque cualquier cambio evolutivo debe ser observable en las frecuencias génicas. Respecto a la afirmación de Yule sobre la frecuencia relativa esperable de la braquidactilia, Hardy establece (Cfr. [8]): Sin embargo, no es dif´ıcil probar que tal expectativa carece por completo de fundamento. Sup´ ongase que Aa es un par de caracteres mendelianos, donde A es dominante y que en una generaci´ on dada, las proporciones de dominantes puros (AA), heterozigotos (Aa) y recesivos puros (aa) son p : 2q : r. Finalmente, sup´ ongase que los n´ umeros son suficientemente grandes, de manera que se puede considerar que los apareamientos son aleatorios, que los sexos est´ an distribuidos homogéneamente entre las tres variedades y que son igualmente fértiles. Un poco de matem´ atica del tipo tabla de multiplicar es suficiente para probar que, en la siguiente generación, los n´ umeros serán como ( p + q )2 : 2( p + q )(q + r) : (q + r)2 ,

(3.2)

o, digamos, como p 1 : 2q 1 : r 1 . La pregunta interesante es ¿en qu´ e circunstancias ser´ a esta distribuci´ on la misma de la generaci´ on anterior?

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atica fea, no hay lugar para ella. Figura 3-10: En el mundo no cabe una matem´ Geoffrey Harold Hardy (circa 1908).

Por la ley de la segregación independiente, las probabilidades de que en la segunda generaci´ on se obtengan los genotipos AA, Aa y aa son, respectivamente: [P (A)]2 , 2P (A) P (a) , [P (a)]2 pero, dado que los heterozigotos portan la misma cantidad de alelos dominantes que de recesivos y éstos se segregan en la gametogénesis, entonces: P (A) = p + q P (a) = q + r y se sigue la ecuación (3.2) de Hardy. Nótese, adem´ as, que si q 2 = pr, entonces ( p + q )2 = p ( p + 2q + r) , 2( p + q )(q + r) = 2q ( p + 2q + r) , (q + r)2 = r ( p + 2q + r) ; y como p + 2q + r = 1, las proporciones p1 : 2q 1 : r1 serán como las de la generaci´ on anterior p : 2q : r.

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Ahora bien, si las proporciones son las de (3.2), para cualesquiera p, q y r q 12 = ( p + q )2 (q + r)2 = p1 r1 . Esto lleva a Hardy a responder su pregunta as´ı (Cfr. [8]): Es fácil ver que la condici´ on para esto es q 2 = pr. Y dado que q 12 = p1 r1 , sean cuales fueren los valores de p, q y r, la distribuci´ on continuar´ a sin cambios luego de la segunda generaci´ on. En consecuencia “de no haber factores que actuaran en contra”, si la braquiodactilia es rara, aunque sea dominante, la frecuencia relativa del fenotipo braquiod´ actilo (AA + Aa) tiende al valor estable p1 + 2q 1 que no tiene porque ser igual a las tres cuartas partes de la poblaci´ on. El argumento, sencillo y elegante, convenci´ o a Yule, quien se hab´ıa formado como ingeniero y trabajado con Heinrich Hertz antes de asociarse con Pearson y dedicarse a la estad´ıstica, seg´ un el propio Hardy lo dice al final de su carta.

3.3.2

La ley de la inercia g´ enica

Es posible reformular el resultado anterior de la siguiente manera: Ley del equilibrio g´ enico o principio de Hardy-Weinberg : en una población suficientemente grande donde los apareamientos son aleatorios, la proporción de genes dominantes y recesivos presentes tiende a permanecer constante de generaci´ on en generación a menos que fuerzas externas act´ uen para modificarla. Importa insistir en c´ omo, una vez establecida la corrección de la tesis mendeliana, la biolog´ıa evolutiva formul´ o sus conceptos en el lenguaje derivado de aquella tesis y este principio y el estudio del cambio de las proporciones génicas devino una genética matem´ atica abocada -sobre todo en el trabajo de genetistas como el estadounidense Sewall Wright y los brit´ anicos Ronald Fisher y J. B. S. Haldane- a proveer formas claras de investigación del proceso evolutivo en el laboratorio o en condiciones naturales. Por ejemplo, la idea misma de evoluci´ on la establecen hoy algunos 11 bi´ ologos de la siguiente manera (Cfr. [12]): 11

Incluso, una ventaja de que se haga as´ı, es la posibilidad de destacar –atenidos a la precisi´ on propia del lenguaje matem´ atico– las debilidades del paradigma neodarwiniano. Veremos un ejemplo preciso de esto en la siguiente secci´ on.

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La evoluci´ on es, simplemente, el cambio de frecuencias de alelos en la reserva génica de una poblaci´ on. Por ejemplo, supongamos que hay un rasgo que está determinado por la herencia de uno de dos alelos B o b. Qu´ e alelo se hereda, est´ a determinado por los genotipos de los padres y por la suerte. La evoluci´ on habr´ a ocurrido entre dos generaciones si la paterna tiene 92% B y 8% b, mientras su progenie presenta colectivamente, 90% B y 10% b: toda la reserva génica ha evolucionado en la direcci´ on de una frecuencia m´ as alta del alelo b y no sólo han evolucionado aquellos individuos que heredaron el alelo b. Seg´ un la ley de la inercia, las frecuencias al´ elicas son inherentemente estables. Empero, las condiciones bajo las cuales la estabilidad persiste pueden variar por la interacción permanente de las poblaciones con el medio a su alrededor o consigo mismas: en tanto el n´ umero de individuos reproduciéndose sea muy grande, no haya mutaciones y se cumpla que todos los miembros se aparean sin sesgos, las proporciones genot´ıpicas permanecer´ an aproximadamente invariantes. De otro modo, podr´ a ocurrir alg´ un tipo de evoluci´ on pues bajo tales circunstancias, existe una presi´ on selectiva a favor o en contra de ciertos rasgos hereditarios que, de sostenerse durante un lapso suficientemente largo, modificar´ a las proporciones originales.

3.3.3

La adaptabilidad

Consideremos enseguida una aplicaci´ on del principio de Hardy-Weinberg al an´ alisis del cambio en las frecuencias de dos alelos con probabilidad de sobrevivencia diferente; éste es el caso si alg´ un cambio en el medio influye en la poblaci´ on hasta el punto de mermar, generaci´ on tras generaci´ on, la presencia de un genotipo particular de manera que, en el largo plazo, la proporci´ on entre dominantes y recesivos cambia notablemente. Supongamos una poblaci´ on grande en la cual los apareamientos son aleatorios y cuyas generaciones no se traslapan. Consideremos dos formas alélicas: A, la dominante y a, la recesiva. Sean

• S la probabilidad de que un huevo fecundado cuyo fenotipo sea el del carácter dominante –i.e. con genotipo AA o Aa– llegue a ser un adulto con capacidad de reproducirse.

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• S (1 − k) la probabilidad de que madure un huevo aa, de fenotipo recesivo. El parámetro k expresa la desventaja adaptativa de los fenotipos recesivos.

• pn la proporción de alelos A en la n − e´sima generación. Entonces, en la (n + 1) − ésima generaci´ on, los tres genotipos se dis-

tribuyen como se muestra en la siguiente tabla: AA p2n

Aa 2 pn (1 pn )

aa (1 pn )2

−

−

y, de éstos, sobrevivirán hasta la madurez los siguientes: AA Sp 2n

Aa 2Sp n (1 pn )

S (1

−

−

aa k) (1

− pn)2

(3.3)

de donde se sigue para p n+1 en función de pn la relaci´ on: pn+1 = Sp2n + Sp n (1

− pn) = Spn

Esta ecuaci´ on de recurrencia para el cálculo de la frecuencia de alelos dominantes, no obstante, no proporciona informaci´ on sobre cómo se ha modificado en relaci´ on con los recesivos. Para estudiar el efecto de la selecci´ on natural sobre la poblaci´ o n y cómo se manifiesta numéricamente la adaptabilidad, importa encontrar una f´ ormula de recurrencia para la razón de recesivos a dominantes. Sea, entonces un =

pn 1 pn

−

Si en el cuadro de frecuencias (3.3) se sustituye pn por un (1 proporciones correspondientes a cada genotipo ser´ an: AA Su 2n (1

2

− pn)

y, por consiguiente:

Aa 2Su n (1 pn )2

−

S (1

−

− pn), las

aa k) (1 pn )2

−

Su 2n + Su n un+1 = Su n + S (1 k)

−

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de donde se obtiene la siguiente relación de recurrencia para un+1 : un+1 =

un (un + 1) un + 1 k

−

(3.4)

que permite calcular generaci´ on a generaci´ on c´ omo evolucionan las frecuencias génicas si se conocen

• p0, la abundancia relativa inicial de A y • k, la desventaja adaptativa del homocigoto aa. En la tabla 3.3 se muestran los resultados de aplicar la ecuación (3.4) para un alelo dominante raro, p0 = .001, y dos tasas de selectividad, k, distintas por un orden de magnitud: una que s´ olo poda los recesivos en un 1% cada generaci´ on y otra mucho m´ as violenta que lo hace en un 10%. Nótese el comportamiento de u n cuando n es muy grande. Esto se debe a que la función f (u) =

u (u + 1) = u + k u+1 k

−

− uk +(11−−k)k , 0 ≤ k ≤ 1

no tiene puntos fijos, es monótonamente creciente y la recta y = u + k es una as´ıntota de y = f (u). Te´ oricamente, entonces, mientras la poblaci´ on sea suficientemente grande, el alelo recesivo a permanecerá latente en ella.

n

k = .01 u .001 .003 2 87 487 986 n

10 100 1000 10000 50000 100000

≈

k = .01 p .001 .003 .6973 .9889 .9980 .9990

≈

n

k = .1 u .003 3 89 987 4985 9985

≈

n

k = .1 p .003 .7224 .9889 .9990 .9997 .9999 n

≈

Tabla 3.3: Evoluci´ on con tasas de selectividad diferentes.

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63


Una soluci´ on cerrada Supongamos que k 0.01, entonces es posible transformar la ecuaci´ on de recurrencia (3.4) en una ecuación diferencial. En efecto: la razón de cambio de un por unidad de tiempo es un+1 un = u n+1 un (3.5) (n + 1) n

≤

− −

−

y cuando k es suficientemente peque˜ na, un+1 var´ıa casi linealmente con un (con constante de proporcionalidad cercana a 1) y el primer miembro de n (3.5) coincide con du dn , de manera que dun kun = u n+1 un = dn un + 1 k que es una ecuación de variables separables en donde, adem´ as, el denominador puede reescribirse sin remordimientos (dada la pequeñez de k) como un + 1; y hay que resolver la ecuación

−

−

dun kun = dn un + 1 de donde: y

n

 0

ut + 1 dut = k ut

kn = [ut + ln ut ]n0 = u n

(3.6)

n



dt

0

− u0 + ln uun0

(3.7)

La ecuaci´ on (3.7) permite calcular el n´ umero de generaciones que deber´ an transcurrir para que un o pn tomen un valor determinado. Véase la tabla 3.4: en ella, k = 0.01; comp´ arense sus valores con los de la tabla 3.3. Por consiguiente, un gen dominante inicialmente raro ( p0 = 1%) tardará casi 100, 000 generaciones en incrementarse del 90% al 99% y esta lentitud para la eliminaci´ on final del gen recesivo se debe a su presencia en los heterozigotos, sobre los cuales no act´ ua la selecci´ on. Este razonamiento, incluso, puede sugerir que tal vez no todo en el proceso evolutivo puede ser atribuido a la selecci´ on natural pues no explica, por ejemplo, cómo pueden acumularse tantos cambios para originar, en un solo a´rbol filogenético, seres tan extraordinariamente distintos como el percebes y el hipocampo. Pero esto es parte de una discusión que excede los alcances de este ensayo y al que me he referido en otro lado [7].

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pn 0.001 0.01 0.1 0.5 0.9 0.99 0.999

un 0.001 0.01 0.111 1.0 9 99 999

≈

kn 0 2.312 4.82 7.91 18.11 110.52 1012.83

n 0 231 482 791 1811 11052 101283

Tabla 3.4: N´ umero de generaciones para una distribución dada

3.4

Tres citas, una concepci´ on

La genética de poblaciones es un ejemplo del papel esencial de la matem´ atica en los grandes descubrimientos que, a lo largo de casi cuatro siglos, han nutrido el árbol de la ciencia. Al matematizar la din´ amica del cambio evolutivo, los grandes estudiosos de la genética de la evoluci´ on (Mendel, Fisher, Haldane, Sewall Wright...) de los u´ltimos ciento cincuenta a˜ nos

• buscaron lo esencial para acotar lo contingente; • establecieron relaciones estructurales o dinámicas entre diversos elementos;

• plantearon sus hipótesis en un lenguaje claro y preciso, dedujeron las consecuencias y las confrontaron con lo que ocurre para refutar o no sus hipótesis, e

• iluminaron aspectos de la realidad que estaban ocultos o eran confusos. As´ı, al tender puentes hacia otras disciplinas y ponerse a su servicio, la matem´ atica las impregna con una concepción particular del mundo seg´ un la cual

• La naturaleza es inteligible porque siempre es posible comprender la

realidad y esto empieza por un acto de imaginaci´ on, como quer´ıa Einstein.

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65

• La comprensión de la naturaleza es parsimoniosa : sus relaciones y

din´ amica pueden expresarse siempre con base en principios sencillos y poderosos y, en ella, no cabe el lujo de las explicaciones superfluas , como quer´ıa Newton.

• Las representaciones matemáticas de la naturaleza poseen una belleza intr´ınseca e inevitable , como quer´ıa Hardy.

La matem´ atica ciencia de patrones , penetra el objeto de estudio, representa la realidad y la deja a disposición para reflexionar en ella. Posiblemente haya otros instrumentos para comprender el mundo, no podr´ıa negarlo, pero ¿cu´ al tan placentero?, ¿cu´ al as´ı de luminoso, sobrio, elegante?

Bibliograf´ıa [1] Aldama Gariso´ ain, Alberto (1989). El equilibrio de Hardy–Weinberg aticas. para los loci de varios alelos. Tesis de Licenciatura en Matem´ México, Facultad de Ciencias, UNAM. [2] Aldama Gariso´ ain, Alberto (2001). “Fisher: la primera s´ıntesis”, en Cl´ asicos de la biolog´ıa matem´ atica . México, Siglo XXI, CIICH, UNAM (en prensa). [3] Cocho Gil, Germinal (2001). “Ernst Mayr: La teor´ıa sintética de la evoluci´ on y una nueva visión del azar y la necesidad”, en Cl´ asicos de la biolog´ıa matem´ atica . México, Siglo XXI, CIICH, UNAM (en prensa). [4] Dobzhanski, Theodor (1950). Genetics of the Evolutionary Process. Nueva York. Columbia University Press. [5] Fisher, Ronald A (1958). The Genetical Theory of Natural Selection. Cambridge. Cambride University Press. [6] Gutiérrez S´ anchez, José Luis y Faustino S´ anchez Gardu˜ no (1998). Matem´ aticas para las ciencias naturales. México. Sociedad Matemática Mexicana.

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[7] Gutiérrez S´ anchez, José Luis y Pedro Miramontes (2001). “El origen de las formas vivas: de Geoffroy Saint-Hilaire a D’Arcy Thompson”, en Cl´ asicos de la biolog´ıa matem´ atica . México, Siglo XXI, CIICH, UNAM (en prensa). [8] Hardy, Harold Geoffrey (1908). “Mendelian Proportions in a Mixed Population” en Science núm. 5. Vol. XXVIII (pp. 49-50). [9] Hofbauer, J. y K. Sigmund (1988). The Theory of Evolution and Dynamical Systems. Cambridge. Cambride University Press. [10] Lander, Eric S. y Robert A. Weinberg. (2000): “Journey to the Center of Biology” en Science 287, 10 de marzo de 2000 (pp. 1777-1782). [11] http://bioag.byu.edu/zoology/zool610/index.htm [12] http://daphne.palomar.edu/synthetic/synth 2.htm [13] Mactutor History of Mathematics. http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/˜history/ [14] Maynard Smith, John (1968). Mathematical Ideas in Biology. Cambridge. Cambride University Press. [15] Maynard Smith, John (1998). Evolutionary Genetics. Nueva York. Oxford University Press. [16] MendelWeb, “While Mendel Was Alive IV: 1850-1859” en: http://www.stg.brown.edu/webs/MendelWeb/MWtime4.html [17] Olby, Robert C. (1997): “Mendel, Mendelism and Genetics” en: http://www.stg.brown.edu/webs/MendelWeb/MWolby.html#Johannsen

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4

Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones a la din´ amica de poblaciones

Jorge X. Velasco Hern´ andez Programa de Matem´ aticas Aplicadas y Computaci´ on Instituto Mexicano del Petr´ oleo [email protected]

4.1

Introducci´ on

En estas notas se proporciona al lector una breve introducci´ o n a las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones a la demograf´ıa y la din´ amica poblacional. Las notas son escuetas pero basadas en la experiencia de clase del autor a lo largo de varios a˜ nos. Cada una de las secciones que componen esta obra se han distribuido en forma de copias fotostáticas en cursos de modelos matem´ aticos, ecuaciones diferenciales y temas selectos de matem´ aticas aplicadas a estudiantes de matem´ aticas y biociencias en la UAM-Iztapalapa. Espero que estas notas proporcionen un panorama u ´til para aquel estudiante interesado en los t´ opicos discutidos. Se comienza con una revisión general de las ecuaciones en diferencias con aplicaciones a la biolog´ıa de poblaciones y una muy breve discusi´ on de la ecuación log´ıstica discreta, sus bifurcaciones y la aparici´ on de caos. Despu´ es, en la siguiente

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Jorge Velasco

sección, se introduce al estudiante en el estudio de las ecuaciones diferen´ ciales ordinarias en un contexto poblacional. Estas son notas de clase y por ello no pretenden originalidad alguna. Los temas tratados son estandar aunque la forma en que están organizados y el énfasis en los t´ opicos presentados quiz´ as sean u ´ nicos. He decidido omitir la cita de referencias en el texto poniendo en cambio una lista de obras que han servido para elaborar las que el lector tiene ahora en sus manos. No me resta en esta introducci´ on sino agradecer a los organizadores de la primera Escuela de Oto¯ no de Biomatem´ aticas por la oportunidad brindada para exponer este material.

4.2

Modelos discretos

Comenzaremos por considerar el caso de un conjunto de organismos. Si suponemos que estos producen a hijos cada generación tendremos que el número de individuos x en la generación n + 1 (denotado por xn+1 ) est´ a dado por xn+1 = ax n . (4.1) Si el n´ umero inicial de individuos era x 0 , podemos iterar (4.1) sucesivamente para obtener xn = axn−1 = a 2 xn−2 = ... = a n x0 . (4.2) La sucesión an x0 es la solución de la relaci´ on de recurrencia (4.1) con condici´ on inicial x 0 . La relaci´ on de recurrencia (4.1) también es llamada una ecuaci´ on en diferencias. Podemos preguntarnos cu´ al es la dinámica temporal de nuestra poblaci´ on, es decir, nos interesa conocer limn→∞ xn adem´ a s de la forma en que este l´ımite, si es que existe, se alcanza. Es f´ acil ver que si 0 < a < 1, xn 0 para n y que si a > 1, xn para n . M´ as n aún, dado que la sucesión a es mon´ otonamente decreciente si 0 < a < 1 y mon´ otonamente creciente si a > 1, lo mismo ocurrir´ a, en cada caso, para n la sucesi´ on a x0 . Si a = 1, la sucesi´ on generada por (4.1) es la sucesi´ on constante x n = x 0 para toda n. Podemos adem´ as observar que el único punto que satisface

{

}

→

{

→∞ { }

→ ∞

→∞

}

x = ax,

para toda

a,

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

69

Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones

es el punto x = 0. En general, dada una ecuaci´ on en diferencias xn+1 = f (xn )

(4.3)

los puntos que satisfacen x = f (x) se denominan puntos fijos de f . Otra observaci´ on interesante que podemos hacer sobre nuestro primer modelo es que para el caso 0 < a < 1, limn→∞ xn = 0 precisamente. Olvidándonos por el momento de la motivaci´ on dada para construir (4.1), consideremos que comportamiento presenta esta ecuaci´ on para valores negativos de a. En primer lugar, si 1 < a < 0, la sucesi´ on an x0 es una sucesi´ on alternante que converge, una vez má s, a 0. Si por el contrario, a < 1, entonces la sucesión de valores xn es alternante pero diverge. Si a = 1, entonces xn = x0 , si n es par, y xn = x0 , si n es impar (véase figura 4-1). En la tabla 4.2 se presenta un resumen de nuestra investigaci´ on sobre la sucesión generada por (4.1).

−

− −

Valor de a a < 1 a > 1 a = 1 a = 1

|| ||

−

−

xn+1 = ax n xn 0 xn + xn = x 0 n xn = x0 para n par/impar

→ | |→ ∞ ∀ ±

Tipo de convergencia mon´ otona a > 0 oscilante a < 0. mon´ otona a > 1 oscilante a < 1. sucesi´ on constante.

↑

−

Tabla 4.1: Resumen del comportamiento de la sucesi´ on generada por la ecuaci´ on (4.1). Usando como motivaci´ on la din´ amica presentada por (4.1) daremos algunas definiciones formales. Consideremos la ecuaci´ on en diferencias (4.3). Definici´ on 4.1 Un punto x∗ en el dominio de f es un punto de equilibrio de (4.3), si x∗ es un punto fijo de f . Algebraicamente un punto fijo de f se encuentra resolviendo la ecuación x = f (x). Geométricamente la soluci´ on de esta ecuaci´ on es la intersección de la l´ınea y = x, y la gráfica de f . N´ otese también que xn = f (f (f (....f (x0 )....)))

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

Jorge Velasco

a=-1.1 a=-0.7

Figura 4-1: Comportamiento de la ecuación 4.1 para distintos valores de a.

es la composici´ on de f efectuada n veces. Denotaremos a esta composici´ on n como f (x0 ). Definici´ on 4.2

i) El punto de equilibrio x∗ de (4.3) es estable si dada una  > 0 , arbitraria, existe δ > 0 tal que 0 < x0 x∗ < δ implica f n (x0 ) x∗ < , para toda n > 0 . Si x ∗ no es estable entonces se define como inestable.

| − |

|

− |

ii) El punto de equilibrio x∗ es un punto de equilibrio repulsor o fuente si existe  > 0 tal que

| − x∗| <  implica |f (x0) − x∗| > |x0 − x∗|,

0 < x0

o, equivalentemente, si

| − x∗| <  implica |x1 − x∗| > |x0 − x∗|.

0 < x0

iii) El punto de equilibrio x∗ es un punto de equilibrio asint´ oticamente estable si es estable y existe η > 0 tal que

| − x∗| < η implica nlim xn = x ∗ . →∞

0 < x0

Si η =

∞, x∗ se define como globalmente asint´ oticamente estable.

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 












71


Volviendo a la ecuación (4.1) vemos que x∗ = 0es su u ´ nico punto de equilibrio; que 0 es estable si a 1, 0 es asint´ oticamente estable si a < 1, e inestable si a > 1. M´ as a´ un, 0 es globalmente asint´ oticamente estable si a < 1. M´ as adelante en este cap´ıtulo desarrollaremos métodos an´ aliticos para demostrar las propiedades de estabilidad de ecuaciones en diferencias del tipo (4.3). Por ahora nos centraremos en la aplicaci´ on de un método gráfico bastante poderoso para estudiar la estabilidad de puntos de equilibrio. El método se denomina de la telara˜ na (o cobweb en inglés) y consiste en lo siguiente: Graf´ıquese f y la l´ınea identidad en el plano (xn , xn+1 ). Tomando x0 en el eje “xn ” dib´ ujese una l´ınea recta vertical que pase por x0 hasta el valor f (x0 ); tr´ acese una l´ınea horizontal desde este punto (x0 , f (x0 )) hasta la intersecci´ on con la l´ınea identidad xn+1 = xn ; tr´ acese ahora una l´ınea vertical que pase por este punto de intersección hasta que se intersecte la gráfica de f (este nuevo punto tiene coordenadas (x1 , f (x1 )) donde x1 = f (x0 )). Rep´ıtase el proceso tantas veces como sea necesario.

||

| |

| |≤

||

otese por y n el n´ umero de chapulines en una planta en el Ejemplo 4.1 Den´ d´ıa n. Los chapulines no se reproducen en la planta sino que inmigran, del pasto cercano donde se alimentan, con una tasa constante de a chapulines por unidad de tiempo. Los chapulines dejan la planta a una tasa que depende de la densidad de chapulines presentes. Denotemos por b la proporci´ on diaria de chapulines que dejan la planta. Por consiguiente, la ecuaci´ on que describe la din´ amica de la poblaci´ on de chapulines en la planta es la siguiente: yn+1 = a

− byn,

(4.4)

con el n´ umero de chapulines inicial y0 . En este caso f (y) = a by. Los puntos fijos de f est´ an dados por las soluciones de la ecuaci´ on y = a by, ∗ de donde y = a/(b + 1). La soluci´ on de (4.4) se puede encontrar iter´ andola sucesivamente de la misma forma en que se hizo para la ecuaci´ on (4.1). En este caso, la soluci´ on est´ a dada por

−

yn = ( b)n (y0

−

−

− b +a 1 ) + b +a 1 .

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72

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Jorge Velasco

Podemos ver inmediatamente que si b = 1, entonces

−(y0 − b +a 1 ) + b +a 1 , si n es impar, a a y0 − + , si n es par. b+1 b+1

yn = =

a Si b < 1, entonces ( b)n (y0 , y luego yn 0 cuando n b+1 ) a n a/(b + 1); si, por el contrario b > 1, tenemos que ( b) (y0 b+1 ) diverge ∗ y, por lo tanto yn diverge cuando n . Resumiendo y es estable si b = 1; inestable y repulsor si b > 1 , y (globalmente) asint´ oticamente estable si b < 1. En la figura 4-2 se encuentran ilustrados cada uno de los casos descritos aqu´ı.

−

−

→ → ∞

→∞ − −

→

Figura 4-2: Comportamiento de una población de chapulines seg´ un el modelo 4.4 para distintos valores de b.

on original (4.1). Una vez Ejemplo 4.2 Volvamos ahora a nuestra ecuaci´ m´ as olvidémonos por el momento de la motivaci´ on biol´ ogica que le dio lugar y tratémosla como un objeto matem´ atico. M´ as adelante en este cap´ıtulo justificaremos estos olvidos y ejemplificaremos su utilidad en el an´ alisis de fen´ omenos biol´ ogicos. Dicho esto considérese (4.1) con a un n´ umero real arbitrario. Dividamos el intervalo unitario [0, 1] en k segmentos iguales de longitud ∆ > 0 . Considérese la siguiente ecuaci´ on en diferencias: xn+∆ = (1 + ∆b)xn ,

(4.5)

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 








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donde b es un n´ umero real. Obviamente la ecuaci´ on (4.5) se reduce a (4.1) con a = 1 + ∆b y ∆ = 1. Nuestro problema ahora es conocer el comportamiento de (4.5) con respecto a ∆. Sabemos que x = 0 es asintóticamente estable si 1 < 1 + ∆b < 1,

−

condici´ on equivalente a requerir

− ∆2 < b < 0.

(4.6)

Para b fuera de este intervalo (4.5) es inestable. Reescribiendo (4.5) como xn+∆ xn = bxn ∆

−

notamos que cuando ∆ obteniéndose

→ 0 el lado derecho de la ecuaci´ on tiende a dx/dt d x = bx, dt

y el intervalo de estabilidad (4.6) se vuelve el intervalo ( (4.7) junto con la condici´ on inicial

(4.7)

−∞, 0). La ecuaci´ on

x(0) = x 0 ,

tiene la soluci´ on x(t) = x 0 ebt .

Cuando (4.7) describe a una poblaci´ on biol´ ogica, al par´ ametro b se le denomina la tasa intr´ınseca de crecimiento poblacional. Este par´ ametro determina la din´ amica asint´ otica de la poblaci´ on. La figura 4-3 ilustra los posibles comportamientos de esta ecuaci´ on para el caso general de x0 y b arbitrarios. La ecuaci´ on en diferencias (4.5) puede pensarse como una aproximaci´ on discreta de (4.7) cuando ∆ es suficientemente peque˜ na. La ecuaci´ on (4.5) es llamada la aproximaci´ on por el método de Euler de (4.7).

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 

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

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

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0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

2

4

6

8

10

Figura 4-3: Comportamiento del modelo 4.7 para distintos valores de b.

4.2.1

La ecuaci´ on de Fibonacci y generalizaciones

Ahora consideremos un modelo poblacional m´ as realista. Nuestro modelo de crecimiento (4.1) describe una población en la que todos los organismos son idénticos. Por consiguiente, a continuaci´ on pondremos atenci´ o n en la estructura de edades de la poblaci´ on. El primer ejemplo de modelaci´ on de poblaciones con estructura de edades lo constituye la sucesión de Fibonacci. Este es ciertamente un modelo sencillo de crecimiento poblacional pero ilustra las ideas b´ asicas que se aplican en esta tarea. Leonardo Fibonacci o Leonardo de Pisa vivió de 1170 a 1250 y fue un talentoso matemático de la Edad Media. Naci´ o en Pisa en una familia de comerciantes y viaj´ o por todo el Mediterr´ aneo en su juventud. En su obra fundamental Liber abaci, Leonardo de Pisa aboga por el uso de la notaci´ on indo-ar´ abica y de hecho, su libro se convirti´ o en fundamental para la adopci´ on posterior generalizada de esta notaci´ on numérica. En su libro discute el problema de la sucesi´ on de Fibonacci que ahora nos ocupa. Imaginemos una poblaci´ on con un par de conejos (hembra y macho) que maduran sexualmente después de N d´ıas. A esta edad producen un par de conejitos que N d´ıas despu´ es se reproducen produciendo otro par. El par original se reproduce por segunda vez y ya no vuelve a hacerlo jamás; es decir, cada par se reproduce solamente dos veces. Denotemos por R n al n´ umero de pares que nacen en el n-ésimo per´ıodo reproductivo. Por consiguiente el primer par aparece en n = 0, y produce un nuevo par en n = 1. Para las épocas reproductivas subsecuentes tenemos que

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 










75


Rn = Rn−1 + Rn−2 , para n = 2, 3, 4,...



(4.8)

La ecuaci´ on (4.8) describe una poblaci´ on con dos edades reproductivas, la m´ as simple estructura de edades posible. Se conoce tambi´ en con el nombre de la sucesión de Fibonacci en honor del matemático de la Edad Media que la inventó en 1202. La sucesi´ on de Fibonacci es un ejemplo de una ecuaci´ on lineal homogénea en diferencias de segundo orden con coeficientes constantes. La forma general de una ecuación lineal homogénea de orden k con coeficientes constantes es xn+k = A 1 xn+k−1 + A2 xn+k−2 + ... + Ak xn .

(4.9)

Para encontrar soluciones a esta ecuaci´ on en diferencias se proponen solun ciones exponenciales de la forma r donde r puede ser un número complejo. Sustituyendo en la ecuación obtenemos que r n es soluci´ on si y solamente si r es ra´ız del polinomio r k + A1 r k−1 + A2 r k−2 + ... + Ak = 0, conocido como el polinomio caracter´ıstico de (4.9). Obviamente existir´ an a lo m´ as n distintas ra´ıces. Tenemos entonces el siguiente lema. Lema 4.1 Sean x1n y x2n dos soluciones distintas de (4.9). Entonces yn = x1n + x2n y zn = ax jn , j = 1, 2 son también soluciones de (4.9). La siguiente generalizaci´ on del lema 1 se denomina el Principio de Superposición. Si xin , i = 1,...,m, son m soluciones de (4.9), entonces m

yn =



Ai xin

i=1

es también una soluci´ on de (4.9). La soluci´ on de (4.8) la encontramos entonces proponiendo soluciones exponenciales del tipo Rn = r n . (4.10) Sustituyendo esta expresión en (4.8) obtenemos el polinomio caracter´ıstico r2

− r − 1 = 0,



 










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Jorge Velasco

con los valores propios: r1,2 =

1

± √ 5 .

2 Por el principio de superposición, una soluci´ o n de (4.8) debe ser una combinaci´ on lineal de estas dos ra´ıces: Rn = Ar 1n + Br 2n , donde A y B se calculan a partir de las condiciones iniciales. Supongamos que R 0 = 0, R1 = 1. Entonces 0 = Ar10 + Br 20 , 1 = Ar 1 + Br 2 ,

√

−1/√ 5 y, por lo tanto, 1 1 Rn = √ r1n − √ r2n 5 5

obteniendo que A = 1/ 5 y B =

Ahora debemos investigar el comportamiento asint´ otico de la sucesión de Fibonacci. Para ello primero estimemos la magnitud de las ra´ıces r1 y r2 . Es inmediato observar que r1 > 1 y que 1 < r2 < 0. Por lo tanto, refiriéndonos al estudio de la ecuaci´ on (4.1), concluimos que r2n 0 de forma n alternante cuando n ;y que r1 diverge. En consecuencia Rn + cuando n + pero con R n siempre un número entero. Adem´ as satisface que Rn+1 /Rn (1 + 5)/2 = 1.618 , es decir, la sucesión crece casi geométricamente.

−

→ ∞ → ∞ √ →

4.2.2

→

→ ∞

···

La ecuaci´ on en diferencias no lineal

Consideraremos ahora la ecuaci´ on dada por xn+1 = f (xn )

(4.11)

donde f será una función continuamente diferenciable. Supongamos que existe x ∗ tal que x ∗ = f (x∗ ), es decir x ∗ es un punto de equilibrio de (4.11). Consideremos ahora el cambio de variable yn = x n

− x∗

obteniendo de (4.11) la ecuaci´ on yn+1 = x n+1

− x∗ = f (yn + x∗).



 












77


Expandiendo f en serie de Taylor en una vecindad de x∗ obtenemos, en primer orden, yn+1 = f  (x∗ )yn + O( yn 2 ).

| |

Suponiendo que yn 2 es suficientemente peque˜ n a en una vecindad de ∗ x , diremos que la ecuaci´ on

| |

yn+1 = f  (x∗ )yn

(4.12)

es la aproximaci´ o n lineal de (4.11) en una vecindad del punto de ∗ equilibrio x . Teorema 4.1 Sea x∗ un punto de equilibrio de (4.11) donde f es continuamente diferenciable en x∗ . Se tiene que

i) Si f  (x∗ ) < 1, entonces x∗ es un punto de equilibrio asint´ oticamente estable.

|

|

ii) Si f  (x∗ ) > 1, entonces x∗ es un punto de equilibrio inestable y repulsor.

|

|

Lo que el Teorema (5.1) nos está diciendo es que, alrededor de sus puntos de equilibrio, una ecuación en diferencias no lineal se comporta como la ecuaci´ on lineal (4.1).

on se reproduce en intervalos discretos de tiempo, Ejemplo 4.3 Una poblaci´ digamos cada n meses. El n´ umero de individuos en el j -ésimo mes es entonces x j . Cuando la densidad poblacional es baja, la poblaci´ on se reproduce exponencialmente, pero conforme la densidad aumenta el crecimiento disminuye. Es decir, tenemos que x j+1 = rx j g(x j )

(4.13)

donde r es la tasa intr´ınseca de crecimiento poblacional y la funci´ on g tiene la propiedad de que g(x j ) 0 cuando x j K > 0. K se llama la capacidad de carga del ambiente y es el n´ umero de individuos m´ aximo que un ambiente puede soportar. Tomemos g(xn ) = 1 xn /K. La ecuaci´ on de crecimiento poblacional que obtenemos con esta g se llama la ecuaci´ on log´ıstica:

→

→ −

x j+1 = rx j (1

− x j /K ).

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 










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Jorge Velasco

Definamos N j = x j /K para obtener la ecuaci´ on N j+1 = F (N j ) = rN j (1

− N j ).

(4.14)

Los puntos fijos de (4.14) son soluci´ on de N = rN (1 N ) y est´ an dados por r 1 N 1∗ = 0, N 2∗ = . r ogicamente solamente si r > 1 . Observemos que F  (0) = N 2∗ es plausible biol´ r . Por consiguiente, seg´ un el teorema 1 si 0 < r < 1, 0 es asint´ oticamente estable y es el unico ´ punto de equilibrio existente, y si r > 1 el punto es inestable y existen ambos puntos de equilibrio. F  ((r 1)/r) = 2 r, por consiguiente si 1 < 2 r < 1

−

−

−

−

−

−

oticamente estable (es decir, 1 < r < 3). Si r > 3, N 2∗ es un N 2∗ es asint´ repulsor. Una pregunta natural que surge del an´ alisis del modelo log´ıstico es ¿cu´ al es el comportamiento de las soluciones de (4.14) para r > 3 ? Para contestar esta pregunta necesitamos las siguientes definiciones: Definici´ on 4.3 Sea z un punto en el dominio de f . Entonces z es llamado un punto peri´ odico de f si para alg´ un entero positivo k , f k (z) = z ; es decir, un punto es k -peri´ odico si es punto fijo del mapeo g = f k con x n+1 = g(xn ). A la orbita ´ peri´ odica de z , O+ (z) = z, f (z), f 2 (z), . . . , f k −1 (z) , se le llama un k -ciclo.

{

}

Definici´ on 4.4 Sea z un punto k -peri´ odico de f . Entonces z es

i) estable si es un punto fijo estable de f k , ii) asint´ oticamente estable si es un punto asint´ oticamente estable de f k , iii) repulsor si es un punto repulsor de f k . El criterio de estabilidad local correspondiente est´ a dado en el siguiente teorema. Teorema 4.2 Sea O+ (z) = z = x0 , f (z) = x1 , . . . , f k −1 (z) = xk−1 un on continuamente diferenciable f . Entonces k -ciclo de una funci´

{

}



 

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

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i) Si f  (x0 )f  (x1 ) f  (xk−1 ) < 1, el k -ciclo es un atractor (cada punto del ciclo es asint´ oticamente estable).

|

···

ii) Si f  (x0 )f  (x1 )

|

|

·· · f (xk−1)| > 1, el k-ciclo es un repulsor.

Ejemplo 4.4 Los 2-ciclos de la ecuaci´ on log´ıstica est´ an dados por los pun2 tos fijos de F , es decir, son soluciones de x = r 2 x(1 ∗

De las soluciones N 1 = 0 ecuaci´ on cuadr´ atica r2 x2

− x){1 − rx(1 − x)}. y N 2∗ = 1 − 1/r, calculamos las ra´ıces de la

− r(r + 1)x + r + 1 = 0,

obteniendo los valores

∗ = N 3,4

1 (1 + r) 2r

{

±

 − (r

3)(r + 1) .

}

Inspeccionando el discriminante de la expresi´ on anterior, vemos que para r 3 no existen puntos de periodo 2 pero s´ı los hay para r > 3 . M´ as a´ un, aplicando el criterio del teorema 2, es posible ver que el 2-ciclo definido por los puntos de periodo 2 es un atractor si y solamente si

≤

3 < r < 1 + 6. De hecho mediante el mismo procedimiento es posible obtener la siguiente secuencia de comportamientos (Tabla 4.2.2): 3.0000< r < 3.4495 3.4495 < r < 3.5441 3.5441 < r < 3.5644 3.5644 < r < 3.5688 r 3.570 r > 3.570

→

ciclo de periodo 2 ciclo de periodo 4 ciclo de periodo 8 ciclo de periodo 16 ciclos de per´ıodo 2n comportamientos peri´ odicos y aperi´ odicos

estable estable estable estable estables

Tabla 4.2: Comportamiento del modelo log´ıstico discreto para r > 3.

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Ahora efectuaremos un experimento que nos dará idea de lo que pasa cuando r rebasa el umbral de 3.570. Consideremos la ecuaci´ on xn+1 = 4xn (1

− xn),

(4.15)

con las condiciones iniciales x 0 = 0.523451 y x 0 = 0.523452. El lector puede verificar, graficando las soluciones, que inicialmente los valores de xn casi coinciden pero que conforme n crece los puntos producidos son radicalmente diferentes. Este tipo de comportamiento es evidencia de que (4.15) presenta caos, el cual definiremos como el comportamiento aperi´ odico, acotado y sensible a las condiciones iniciales de un sistema determin´ıstico. Aperiódico significa que el mismo estado nunca se repite; acotado significa que el comportamiento permanece en un rango fijo (en el caso de (4.15) el rango de comportamiento est´ a contenido en el intervalo [0, 1]); sensibilidad a las condiciones iniciales significa que dos puntos cercanos inicialmente se separarán uno del otro conforme el tiempo transcurre; determin´ıstico significa que la dinámica del sistema est´ a especificada por una regla fija sin efectos aleatorios. La secuencia de bifurcaciones es un ejemplo de la llamada ruta del doblamiento de periodo hacia el caos. Esa secuencia fue descubierta por Mitchell Feigenbaum. Feigenbaum descubri´ o aún m´ a s. Si denotamos por ∆m al rango de valores de r que producen ciclos de periodo m, se tiene que ∆m lim = 4.6692 . . . m→∞ ∆2m Esta constante se denomina la constante de Feigenbaum y es t´ıpica de sistemas din´ amicos en los que la ruta al caos es a través del doblamiento de periodo. Ejercicios 1. Considera la ecuaci´ on xn+1 =

1 xn (1 + 4xn 4

− x2n).

(a) Calcula sus puntos de equilibrio. (b) Examina la estabilidad de cada punto de equilibrio.

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(c) Conjetura el comportamiento cualitativo de las soluciones. Usa el método de la telara˜ n a y cálculos numéricos para verificar tus conjeturas. 2. Los siguientes son datos demogr´ aficos de la poblaci´ on sueca: A˜ no 1780 Tama˜ n o poblacional 2104

1800 2325

1820 2573

1840 3123

1860 3824

1880 4572

1900 5117

¿Qué modelo matemático describir´ıa mejor este tipo de crecimiento poblacional? ¿C´ omo estimar´ıas el “mejor” valor de el o los par´ ametros del modelo? Estima el valor de esos par´ ametros. ¿Cu´ al es la poblaci´ on que tu modelo predice para 1920? 3. Considera la ecuaci´ on Rn+1 = aR n + bRn−1 . con R0 = R1 = 1. ¿Para qué valores de a y b ocurre que Rn ¿Qué sucede en casos distintos?

4.2.3

→ 0?

Sistemas de ecuaciones en diferencias

Una estrategia de modelaci´ on consiste en construir primero una ecuación que incorpore las hipótesis m´ as sencillas de tal forma que se constituya en un caso “control” contra el cual contrastar otros refinamientos. El problema biol´ ogico que nos ocupar´ a ahora es el de la interacción depredadorpresa. Ciertamente el tema es inmenso y no profundizaremos en él. Baste decir que este tipo de interacciones son básicas para la estructura y funcionamiento de comunidades biol´ ogicas y que han sido determinantes en muchos casos como factor de selecci´ on natural en la evolució n de las especies. La interacci´ on depredador-presa es una interacción compleja que requiere de cuidadosos análisis de los papeles que distintos componentes y mecanismos juegan en ella. En particular nos centraremos en los efectos que los mecanismos de b´ usqueda de presas y reproducción tienen sobre la din´ amica temporal de la interacci´ on. Nuestro “modelo” biol´ ogico lo constituir´ an los sistemas depredador-presa en insectos. Muchos miembros de esta clase tienen ciclos de vida simples y por lo tanto permiten con mayor facilidad determinar mecanismos y funciones en la interacción depredador-presa.

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Nos centraremos particularmente en los insectos parasitoides que constituyen aproximadamente el 14% del mill´ on de especies de insectos que se estima existen. Los parasitoides, a diferencia de los par´ asitos propiamente dichos, inevitablemente matan a su presa. Adem´ as, s´ olo las hembras est´ an involucradas en la acci´ on depredadora. La hembra parasitoide busca su presa usando diferentes estrategias (que no discutiremos aqu´ı). Una vez localizada una presa, la hembra la inmoviliza y esconde en alg´ un nido previamente construido en donde la coloca junto con huevecillos u ovoposita directamente sobre el cuerpo de su presa. En cualquier caso las larvas al nacer devoran viva a la v´ıctima, que muere justo cuando las larvas pupan para luego emerger como adultos. Estos parasitoides tienen generaciones bien diferenciadas (pues los adultos mueren poco despu´ es de ovopositar), lo que permite elegir a las ecuaciones en diferencias como la herramienta matem´ atica id´ onea para describir la dinámica temporal de su interacción con su presa. Llamaremos parasitoides a los insectos depredadores y hospederos a la población de v´ıctimas. Denotemos por N t a la poblaci´ on de hospederos en la generación t, y por P t a la poblaci´ on de parasitoides en la misma generación. En general esperamos que la siguiente esquematizaci´ on sea razonable: N t+1 = [n´ umero per cápita de cr´ıas

× número de adultos en la generación t]

× [probabilidad de que parasitoide no encuentre al hospedero]

(4.16)

Por otro lado, para la poblaci´ on parasitoide tendremos el esquema: P t+1 =[n´ umero per cápita de cr´ıas (parasitoide) por hospedero

× número hospederos al tiempo t] × [probabilidad éxito en caza de hospedero.]

(4.17)

Denotemos por λ al n´ umero de cr´ıas promedio por hospedero y por f (P t , N t ) a la probabilidad de que un hospedero escape del parasitoide (luego 1 f (P t , N t ) es la probabilidad de no escapar del parasitoide). Denotemos por c el n´ umero promedio per cápita de huevecillos depositados por un parasitoide

−



 



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






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por hospedero (que tomaremos como 1 de aqu´ı en adelante). Las ecuaciones (4.16) y (4.17) quedan entonces N t+1 = λN t f (P t , N t ),

P t+1 = cN t [1

− f (P t, N t)].

(4.18)

Hagamos ahora las siguientes hip´ o tesis: (1) El n´ umero de encuentros con hospederos, N e , realizados por P t parasitoides es directamente proporcional a la densidad de hospederos: N e = aN t P t donde a, la constante de proporcionalidad, es la probabilidad de que un parasitoide dado encuentre un hospedero durante el tiempo en que busca hospederos. (2) El n´ umero de encuentros N e est´ a distribuido aleatoriamente entre los hospederos disponibles. En particular, supondremos que la probabilidad que tiene un hospedero de no ser atacado es el t´ ermino 0 de la distribuci´ on de Poisson. La distribuci´ on de Poisson constituye un modelo probabil´ıstico de la ocurrencia de eventos aleatorios y discretos, en este caso los encuentros entre parasitoides y hospederos. Dada una frecuencia promedio de ocurrencia (el n´ umero promedio de encuentros con un hospedero, i.e. N e /N t ), podemos calcular la probabilidad de que un hospedero sea localizado 0, 1, 2, . . . , n veces con los términos: 2 −µ µ n e−µ µ µ µ e − − e , µe , ,..., ,

2!

n!

respectivamente, donde µ = N e /N t . La probabilidad de no ser descubierto est´ a dada entonces por el término e−µ , y en consecuencia, la probabilidad de ser encontrado es 1 exp( N e /N t ).

−

−

Del razonamiento anterior es f´ acil ver entonces que el n´ umero total de hospederos atacados N a est´ a dado por la expresión: N a = N t [1

− exp(−N e/N t)].

Si ahora suponemos que cada hospedero atacado da lugar a un nuevo parasitoide en la siguiente generaci´ on, y si recordamos que N e = aN t P t , tenemos la ecuaci´ on: P t+1 = N t [1 exp( aP t )], (4.19)

−

−

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con f (P t , N t ) =exp( aP t ). La ecuaci´ on para la poblaci´ on hospedera queda entonces como

−

N t+1 = λN t exp( aP t ).

−

(4.20)

El modelo (4.19) y (4.20) se conoce con el nombre de modelo de Nicholson y Bailey en honor de sus inventores en la d´ ecada de los 50’s. Las ecuaciones (4.19) y (4.20) constituyen un sistema no lineal de primer orden de ecuaciones en diferencias del tipo xn+1 = f (xn , yn ), yn+1 = g(xn , yn ).

(4.21)

An´ alogamente a lo hecho con la ecuaci´ on (4.3), el m´ etodo de an´ alisis se inicia calculando los puntos fijos del sistema (puntos de equilibrio) que corresponden a soluciones del sistema de ecuaciones x = f (x, y), y = g(x, y). Supongamos que (x∗ , y ∗ ) es un punto fijo del sistema. ¿C´ omo analizamos sus propiedades de estabilidad? La respuesta es tambi´ en linealizando, es decir, expandiendo en series de Taylor las funciones que definen al sistema din´ amico (4.21). Teorema 4.3 Sea U un subconjunto abierto de ∈ y F : U ciable. Entonces, tenemos

→ R diferen-

R

F (v + h) = F (v) +

para v, h = (h1 , h2 )

∂ F (v) ∂ F (v) h1 + h2 + O( h 2 ), ∂x ∂y

||

∈ U . Definamos las variables ξ n = x n − x∗ y ηn = y n − y∗ ,

obteniendo de (4.21) xn+1 = ξ n+1 + x∗ = f (ξ n + x∗ , ηn + y ∗ ), yn+1 = ηn+1 + y∗ = g(ξ n + x∗ , ηn + y∗ ).

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Aplicando el teorema 5.3 a las funciones del lado derecho obtenemos la aproximaci´ on lineal de (4.21) ξ n+1 = ηn+1 =

∂f (x∗ , y ∗ ) ∂ f (x∗ , y ∗ ) ξ n + ηn , ∂x ∂y ∂g(x∗ , y∗ ) ∂g(x∗ , y∗ ) ξ n + ηn , ∂x ∂y

que en notaci´ on matricial se puede escribir zn+1 = Az n , con z = (ξ, η), A = y donde a = c =

∂f (x∗ , y ∗ ) , ∂x ∂g(x∗ , y∗ ) , ∂x

(4.22)

  a b c d

∂f (x∗ , y ∗ ) b = , ∂y ∂g(x∗ , y∗ ) d = . ∂y

El sistema (4.22) es un sistema de dos ecuaciones lineales en diferencias de primer orden. Obviamente, de manera an´ aloga a lo que se hizo con la ecuación (4.1) podemos iterar sucesivamente (4.22) para obtener la solución zn = A n z0 , donde z 0 es la condici´ on inicial. No olvidemos, sin embargo, que ahora A es una matriz. Recordemos que un valor propio de una matriz m m real A = (aij ) es m, un n´ umero complejo λ que satisface, u

∈

(A

×

− λI )u = 0,

La ecuaci´ on anterior tiene soluci´ on si det(A

− λI ) = 0,

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o, equivalentemente, si λ es ra´ız del polinomio caracter´ıstico de A: λm + b1 λm−1 + ... + bm−1 λ + bm . Es importante recordar que An se puede estimar conociendo los valores propios de A y que, por lo tanto, estos determinan las propiedades de estabilidad de los puntos de equilibrio de (4.22) (y por consiguiente la estabilidad local de (x∗ , y∗ )). Definici´ on 4.5 El radio espectral de la matriz cuadrada A de orden m est´ a definido como ρ(A) = max λ : λ es un valor propio deA .

{| |

}

Las definiciones de estabilidad y estabilidad asint´ otica dadas arriba son todav´ıa válidas si reemplazamos el valor absoluto por una adecuada m norma en . Tenemos entonces.

| · · ·|

||· ·· || 

Teorema 4.4 La soluci´ on 0 de (4.22) es estable si y solamente si ρ(A) La soluci´ on 0 de (4.22) es asint´ oticamente estable si ρ(A) < 1 .

≤ 1.

La condici´ on de estabilidad es análoga a la condici´ on de estabilidad encontrada para la ecuaci´ o n (4.1). La dificultad en este caso reside en que para una matriz de orden m hay que encontrar a lo m´ as m ra´ıces de un polinomio de orden m lo cual puede resultar dif´ıcil o imposible. Sin embargo, existe un criterio, denominado el criterio de Jury, para asegurarnos de que, independientemente de cada valor propio, todos caigan en el disco unitario. El criterio de Jury es general pero muy dif´ıcil de usar con sistemas de ecuaciones de dimensi´ on > 3. Enunciaremos el criterio para los casos de dimensi´ on 3.

≤

Teorema 4.5 (Criterio de Jury.) Sea p(λ) = λ 3 + b1 λ2 + b2 λ + b3 . Entonces todas las ra´ıces de p(λ) poseen todas m´ odulo estrictamente menor que 1 si y solamente si: p(1) > 0, p( 1) < 0, b3 < 1 y b23 > b2

−

| |

| | | − b1b3|.

Sea p(λ) = λ 2 + b1 λ + b2 . Entonces todas las ra´ıces de p(λ) poseen todas m´ odulo estrictamente menor que 1 si y solamente si: p(1) > 0, p( 1) > 0 y b2 < 1.

−

| |

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4.3

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Ecuaciones diferenciales

En el caso de procesos demogr´ a ficos, el objetivo de la modelaci´ on matem´ atica es determinar la razón de la variabilidad de la densidad de las poblaciones. Si denotamos por N (t) al n´ umero de individuos en la poblaci´ on total al tiempo t, entonces queremos determinar ∆N (t) definido como el cambio en N durante el intervalo (t, t + ∆) donde ∆ es un intervalo de tiempo. En general N (t) cambia debido a entradas de individuos a la población por efecto de nacimientos o inmigraci´ on, y pérdidas de individuos debido a muerte o emigraci´ on. Una vez determinados estos factores de cambio poblacional queda el problema de determinar en qu´ e nivel de detalle se van a especificar estos procesos. Es aqu´ı donde la naturaleza biol´ ogica del fenómeno interviene. Un caso especial pero de la mayor importancia es aquel en el que se determinan los cambios poblacionales como tasas de cambio per cápita, por ejemplo la ecuaci´ on 1 dN (t) = F (N (t)) N dt

(4.23)

en la cual la función de crecimiento depende u ńicamente de la densidad poblacional N . Sea f (N ) = N F (N ). La ecuaci´ on (4.23) ser´ a nuestro modelo inicial sobre el que realizaremos un somero an´ alisis cualitativo. Si el lector graficara f podr´ıa obtener, por ejemplo, una parábola c´ oncava hacia abajo y con ra´ıces E = 0, I = 1. La regi´ on entre los puntos E = 0 e I = 1 corresponderá al intervalo de valores de N en donde f es positiva y, por consiguiente, representa crecimiento poblacional. La regi´ on a la derecha del punto I es donde f es negativa, es decir, aqu´ı la poblaci´ on decrece. Obviamente en los puntos E e I , intersecciones de f con el eje de las abscisas, representan lugares donde f = 0. Estos puntos especiales se denominan puntos de equilibrio y constituyen la formalizaci´ on matem´ atica del concepto de estabilidad ecol´ ogica. La estabilidad ecol´ o gica ha sido el sujeto de amplios debates. Este concepto va inextricablemente ligado al de complejidad. ¿Son los sitemas ecol´ ogicos complejos m´ as o menos estables que los m´ as simples?, ¿c´ omo se define y mide la complejidad de una comunidad?, ¿c´ omo se define y mide su estabilidad? Estas preguntas y muchas otras que de ellas surgen al intentar contestarlas son, en cierto modo, los problemas centrales de la ecolog´ıa

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matem´ atica. Por lo pronto nos concentraremos en el concepto matem´ atico de estabilidad. El concepto de estabilidad en matem´ aticas est´ a bien caracterizado. En particular, nosotros nos centraremos en el concepto de estabilidad de Liapunoff o estabilidad local. Aqu´ı todav´ıa queda por determinar qu´ e se entiende por local en matem´ aticas, pero este problema lo iremos desarrollando poco a poco en las p´ aginas que siguen. El dominio de atracci´ on de un punto de equilibrio estable es, grosso modo, el conjunto de puntos tales que la dinámica del sistema los acerca al punto de equilibrio estable. Obviamente en este caso estos puntos representan estados del sistema que tienden al punto de equilibrio I . Es importante señalar que en muchos sistemas la dinámica depende del estado en que se encuentran en un principio. En el caso ilustrado, no importa d´ onde empecemos sobre el eje de las abscisas (a excepci´ on del punto E ), siempre se acaba en el punto de equilibrio I . Para determinar la estabilidad de un punto de equilibrio para ecuaciones del tipo de (4.23), basta graficar la funci´ on f . Si f > 0, la derivada dN/dt es positiva y, por lo tanto, el n´ umero de individuos en la poblaci´ on se incrementa. Por el contrario, si f < 0, la derivada dN/dt es negativa y hay pérdida de individuos. Sea N e un punto de equilibrio donde f (N e ) = 0. Supongamos en este caso que f es positiva a la derecha de N e y negativa a su izquierda. Por consiguiente, densidades localizadas a la derecha del punto se incrementaran y las localizadas a su izquierda se decrementarán. En ambos casos la poblaci´ on tenderá a N e si dejamos pasar suficiente tiempo. N´ otese que la derivada de f evaluada en el punto N e , es negativa, es decir

  df (N ) dN

< 0

N =N ∗

Si f fuera tal que es positiva a la izquierda de N e y negativa a su derecha tendr´ıamos que df (N ) > 0 dN N =N

 

∗

Hasta este punto nuestra funci´ on de crecimiento f ha sido general. Sin embargo, f puede caracterizarse con más detalle en estudios de din´ amica

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poblacional ya que f es, en estos casos, el resultado de tasas netas de incorporación y desincorporación de individuos a la poblaci´ on, es decir, f = entradas

− salidas.

Denotemos por B(N ) a la tasa de natalidad y por D(N ) a la tasa de mortalidad de la poblaci´ on, respectivamente. Si efectuamos correctamente nuestro conteo de individuos, tanto B como D son tasas per c´ apita. N´ otese que estamos suponiendo que ambas tasas dependen solamente de la densidad poblacional presente N (t). La pregunta que debemos plantearnos ahora es la siguiente: ¿cu´ ales son las formas biol´ ogicamente correctas posibles de B y D? Ciertamente, la tasa de natalidad debe ser cero cuando no hay individuos y es razonable suponer que conforme la densidad poblacional aumenta, la tasa de natalidad debe disminuir. An´ alogamente, la tasa de mortalidad D debe ser cero en la ausencia de individuos y es razonable suponer que aumenta cuando la población aumenta. Claramente, éstas son s´ olo formas plausibles para las tasas de natalidad y mortalidad y muchas otras formas podr´ıan proponerse. Poniendo juntas la ecuacion (4.23) y los razonamientos anteriores podemos escribir 1 dN = B(N ) D(N ), (4.24) N dt lo que corresponde a definir

−

f (N ) = N (B(N )

− D(N )).

En la figura 4-4 aparecen B y D arbitrarias. El punto de intersecci´ on de ambas curvas K satisface f (K ) = 0, y es por lo tanto un punto de equilibrio. La gr´ afica correspondiente para f aparece abajo de la anterior. Es evidente que K es un punto de equilibrio estable y que 0 es un punto de equilibrio inestable. Obsérvese que para B(D) constante o decreciente, la gr´ afica correspondiente de f es esencialmente la misma, es decir, la caracterizaci´ on de los puntos de equilibrio y su dinámica son equivalentes en los dos casos. El modelo de crecimiento log´ıstico. El modelos con el que trabajaremos ahora es una generalizaci´ on inmediata del modelo exponencial para el caso

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en que r, la tasa neta per c´ apita de crecimiento poblacional, es una funci´ on de N . El modelo toma la forma dN = f (N ) = r(N )N (4.25) dt donde r(N ) = B(N ) D(N ). En general, pensaremos que r es una función de N estrictamente decreciente.

− 1

0.8

D(N) 0.6

B(N)

0.4 0.2

1

2

3

4

5

N

Figura 4-4: Punto de intersecci´ on de las curvas B y D del modelo 4.24.

Para derivar el modelo log´ıstico de crecimiento poblacional consideremos la siguiente situaci´ on. Sea C (t) la concentraci´ on de nutrientes en un hábitat dado al tiempo t. Supongamos que r es directamente proporcional a C, es decir r(N ) = aC (t)con a una constante. También supondremos que C (0) es la concentraci´ on inicial de nutrientes. Una de nuestras hipótesis b´ asicas es que el consumo de nutrientes por unidad de tiempo produce b unidades de incremento en el tama˜ no de la poblaci´ on, en otros términos, 1 dN dC = . (4.26) b dt dt M´ as a´ un, supondremos que dN = aC (t)N (t). dt Resolviendo (4.26) obtenemos C (t) = 1b N (t)+k, donde k es una constante y, adem´ as, C (0) = 1b N (0) + k. De aqu´ı se sigue que

−

−

dN = aCN = aN (k dt

−

N ), − N b ) = rN (1 − K

(4.27)

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91


donde r = ka y K = kb. La constante K se denomina la capacidad de carga, y r la tasa intr´ınseca de crecimiento poblacional. Obviamente, K est´ a relacionada con la cantidad inicial de nutrientes y a la poblaci´ on inicial. An´ alogamente para r. La ecuaci´ on (4.27) junto con la poblaci´ on inicial N (0) = N 0 constituyen un PVI, el cual puede ser resuelto anal´ıticamente. Su soluci´ on puede ser escrita como KN 0 N (t) = , N 0 + (K N 0 )e−rt la cual es válida para valores de N 0 > 0. Las siguientes observaciones son inmediatas: la derivada dN/dt > 0, si 0 < N < K, lo cual significa que en este rango de densidades la población se incrementa; dN/dt = 0 si N = 0 o N = K, es decir, 0 y K son puntos de equilibrio de (4.27); finalmente, dN/dt < 0 si N < 0 o N > K . Obviamente con esta condici´ on en la derivada, só lo la u´ltima desigualdad es relevante biológicamente. La segunda derivada de (4.27) está dada por

−

d2 N 2N N 2 = r N (1 )(1 ), dt2 K K de donde se deduce que la segunda derivada cambia signo en el punto N = K/2. Por consiguiente este punto es un punto de inflexi´ on. Finalmente, si N 0 < K , N (t) K, conforme t ; N 0 > K , N (t) K, conforme t ; luego N 0 = K implica N (t) = K para toda t.

−

→∞

4.3.1

→

−

→ ∞

→

Estabilidad en modelos generales de poblaciones aisladas

Consideremos el problema de valores iniciales x (t) = g(x(t)),

x(0) = x 0 .

(4.28)

Supongamos que x ∗ es una solución constante de (4.28). Dado que x ∗ es un punto de equilibrio, deseamos caracterizar sus propiedades de estabilidad. Para ello definimos la variable u = x x∗ , que puede pensarse como una perturbación del estado de equilibrio pues u medir´ıa la distancia entre el estado del sistema despu´ es de la perturbaci´ on (x) y el estado de equilibrio ∗ (x ). De aqu´ı se sigue que

−

u (t) = (x(t)

− x∗) = g(u + x∗).

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Jorge Velasco

Suponiendo que g tiene segunda derivada acotada, podemos expresar g(u + x∗ ) = g(x∗ ) + ug (x∗ ) + O(u2 ). Si u es suficientemente “peque˜ na”, entonces podemos decir que u (t) ug  (x∗ ) y, por consiguiente, obtenemos la aproximaci´ on v  (t) = αv(t),

≈

(4.29)

donde α = g  (x∗ ). La ecuación (4.29) se conoce como la linearizaci´ o n de ∗ (4.28) alrededor de x . De nuestra discusi´ o n sobre el modelo exponencial, sabemos que la soluci´ on de (4.29) esta dada por v(t) = v 0 eαt , que tiende a 0 si g  (x∗ ) < 0, y tiende a infinito si g  (x∗ ) > 0. Este comportamiento de u es también el comportamiento local de (4.28). Decimos, por lo tanto, que x∗ es localmente asint´ oticamente estable si g  (x∗ ) < 0, inestable si g  (x∗ ) > 0. Explotaci´ on de recursos naturales renovables En esta secci´ on analizaremos algunos modelos simples de poblaciones aisladas sometidas a alg´ un tipo de explotaci´ on al que llamaremos cosecha. El efecto neto de esta acci´ on será el de remover cierta cantidad de individuos increment´ andose, con ello, la tasa neta de mortalidad de la poblaci´ o n. La estructura general de estos modelos es la siguiente: dN = N f (N ) h(t, N (t)) (4.30) dt en donde N representa el tama˜ no de la poblaci´ on al tiempo t, h(t, N ) es la tasa de explotaci´ on del recurso y f es, como anteriormente, la tasa per cápita de cambio poblacional. El problema que queremos resolver es el siguiente: ¿cu´ al es la tasa óptima de explotaci´ on que permita obtener ganancia económica y, simult´ aneamente, impida la extinci´ o n de la poblaci´ on? El primer caso que estudiaremos corresponde a N f (N ) como en (4.27), i.e. crecimiento log´ıstico.

−

M´ aximo rendimiento sostenible. Nuestro primer modelo es una generalizaci´ on del modelo log´ıstico. La poblaci´ on modelada se supone sometida a una tasa de cosecha constante h: dN = rN (1 N/K ) h, (4.31) dt

−

−

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93


Esta ecuaci´ on tiene en general dos puntos de equilibrio además del punto N = 0 (vé ase figura 4-5) cuando h
0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4-5: Puntos de equilibrio del modelo 4.31.

Esta forma de explotaci´ on tiene problemas graves. Observe el lector que si h > hmrs la poblaci´ o n se extingue. Por otro lado, si l h < hmrs , dos puntos de equilibrio xm y xM aparecen. Este fen´ omeno se denomina bifurcaci´ on, puesto que un s´ olo punto de equilibrio definido por (4.31), da lugar a dos conforme h cambia. N´ otese que en este caso el punto de equilibrio estable xM es menor que K . En general, los puntos de equilibrio que existen en este caso son menores que K. En particular se dice que estos son puntos de equilibrio de sobreexplotaci´ on biol´ ogica ya que si bien la poblaci´ o n se mantiene estable, la abundancia del recurso queda por debajo de su potencial biol´ ogico, representado por K . El intervalo de abundancias [xmrs , K ]

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se denomina el intervalo de abundancia óptima (optimal stock), ya que en él se encuentra, en general, la densidad óptima econ´ omica de explotaci´ on. Consideremos ahora una tasa de explotaci´ on de la forma h(N ) = qEN donde E es una constante llamada esfuerzo, q es un coeficiente llamado coeficiente de capturabilidad y h denota la captura o cosecha de recurso por unidad de esfuerzo. Este modelo, y la mayor´ıa de los que revisaremos en esta secci´ on, tienen su origen en pesquer´ıas y le heredan mucha de la terminolog´ıa de esta disciplina. Nos a justaremos a esa costumbre. La ecuaci´ on diferencial que tenemos ahora es dN = rN (1 N/K ) qEN. (4.32) dt Como puede deducirse de la ecuació n (4.32) y de la figura 6, existen en este caso solamente dos puntos de equilibrio, N = 0 y el punto dado por la ecuaci´ on rN (1 N/K ) qEN = 0

−

que determina

−

N ∗ = K (1

−

−

− qE/r),

el cual es asint´ oticamente estable. N´ o tese que para que este punto de equilibrio sea positivo es necesario que qE < r. La captura de equilibrio o rendimiento sostenible Y se produce exactamente cuando Y = h(N ∗ ), es decir, cuando Y (E ) = h∗ (E ) = K E (1 qE/r). (4.33)

−

La ecuaci´ on (4.32) junto con la curva de rendimiento-esfuerzo (4.33) se conocen con el nombre de modelo de Schaeffer. Observe el lector que Y es una funci´ on continua de E. En particular, cuando qE r, Y tiende a cero y  r = (Nf (N )) N =0 es la magnitud del máximo esfuerzo posible qE ∗ . En el caso del modelo de Schaeffer, la biomasa N mrs y la tasa de explotación hmrs que proporcionan el m´ aximo rendimiento sostenible definidas por (4.31), determinan el nivel de esfuerzo E mrs que garantiza ese máximo rendimiento sostenible bajo la hip´ otesis de que la tasa de explotación es proporcional a la biomasa del recurso, es decir h r E mrs = = . qN 2q

|

→

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0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 4-6: Puntos de equilibrio del modelo de Schaeffer de máximo rendimiento sostenible.

4.4

Ep´ılogo

Con esto se concluyen estas notas. Espero que sean de utilidad al lector, a quien le agradecer´ e me haga llegar sus comentarios, cr´ıticas y preguntas sobre los temas expuestos.

Bibliograf´ıa [1] D. Brown y P. Rothery (1993). Models in Biology: Mathematics, Statistics and Computing . John Wiley, Chichester. [2] L. Edelstein-Keshet (1988). Mathematical models in Biology, Random House, Nueva York. [3] J.L. Gutierrez y F. Sanchez (1998). Matem´ aticas para las ciencias naatica Mexicana, México. turales , Sociedad Matem´ [4] G. Hern´ andez y J. X. Velasco Hernández (1999). El manantial escondido: un acercamiento a la biolog´ıa te´ orica y matem´ atica . Fondo de Cultura Econ´ omica, México.

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5

Ecuaciones diferenciales y epidemiolog´ıa

Lourdes Esteva Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias, UNAM [email protected]

5.1

Introducci´ on

El estudio de las epidemias se remonta a tiempos muy antiguos. A lo largo de la historia del hombre ha habido una gran variedad de explicaciones y propuestas para entender la causa y propagación de los brotes epidémicos. Desde aquellas que los consideran castigo divino, hasta las actuales, en las que se sabe que se deben a la presencia de bacterias, virus y otros patógenos en el organismo. Las enfermedades infecciosas siguen siendo un problema importante. La epidemia del SIDA, los brotes de enfermedades nuevas, como el ébola y el SARS, la reemergencia de enfermedades como la tuberculosis son eventos que conciernen a muchas personas. La malaria, dengue, c´ olera, esquistosomiasis son end´ emicas (permanecen todo el tiempo) en muchas regiones del mundo y afectan de manera significativa a la poblaci´ on que las padece. Muchas son las preguntas que son del inter´ es de los responsables de salud p´ ublica cuando se confrontan a un posible brote epid´ emico. ¿Cu´ antas

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personas serán afectadas por la epidemia? ¿Cu´ al ser´ a el m´ aximo n´ umero de personas que reqerirán atenci´ on en un tiempo dado? ¿Qué tan eficaces ser´ an las medidas de control como cuarentena y vacunaci´ on? En el contexto de una efermedad end´ emica es necesario determinar qué medidas son las m´ as apropiadas para controlar y, finalmente, erradicar dicha enfermedad. En las ciencias en general, para obtener informaci´ on y probar hipótesis se dise˜ nan experimentos. En el caso de epidemiolog´ıia, esto es muy dif´ıcil o imposible de realizar por cuestiones éticas. Los datos que se tienen provienen de reportes de epidemias pasadas o enfermedades que son endémicas, pero estos datos con frecuencia est´ an incompletos y presentan irregularidades, por lo que es dif´ıcil su interpretaci´ on. El uso de modelos matem´ aticos en epidemiolog´ıa puede ser (y de hecho lo ha sido) de gran importancia, ya que a trav´ es de ellos se pueden entender los mecanismos que subyacen en la propagaci´ on de una enfermedad, probar hip´ otesis, estimar par´ ametros, predecir en forma cualitativa el curso de una enfermedad, sugerir estrategias de control, indicar comportamientos que pueden estar oscurecidos por los datos emp´ıricos, etc. En resumen: los modelos matem´ aticos son un laboratorio te´ orico para entender la din´ amica de una enfermedad. El uso pr´ actico de los modelos matem´ aticos debe descansar en el realismo de dichos modelos. Es claro que esto no significa la inclusi´ on de todas las variables que intervienen en el fenómeno, pero s´ı la incorporaci´ o n de las componentes m´ as importantes en la forma m´ as simple posible, con la mira de obtener informaci´ on. Los desarrollos iniciales en la modelaci´ on matem´ a tica de las enfermedades infecciosas fueron hechos por m´ edicos. La primera contribuci´ on conocida en esta direcci´ on fue presentada en 1760 por Daniel Bernoulli, quien adem´ a s de ser m´ e dico era miembro de una famosa familia de matem´ aticos. Bernoulli propuso un modelo en ecuaciones diferenciales para considerar el efecto de la vacunaci´ on en la propagaci´ on de la viruela [8]. Entre 1900 y 1935, médicos de salud p´ ublica, entre quienes destacan sir R. A. Ross [17], W.H. Hamer, W.O. Kermack y A.G. McKendrick [6, 7] establecieron los fundamentos del enfoque matemático en epidemiolog´ıa, los cuales est´ an basados en modelos compartamentales. Los trabajos de estos notables investigadores constituyen el punto de partida para el desarrollo de lo que en la actualidad se conoce como epidemiolog´ıa matem´ atica.

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En estas notas expondremos el modelo de Ross sobre la propagación del paludismo [2] y una variante del modelo de Kermack y McKendrick, el modelo SEIR (Susceptible-Latente-Infeccioso-Recuperado) [14] para una enfermedad de trasnsmisi´ on directa. Estos modelos son llamados modelos compartamentales, ya que la poblaci´ on total de huéspedes (la poblaci´ on que aloja al agente infeccioso, y por lo tanto adquiere la infección) se divide en compartimentos o clases de individuos de acuerdo con su estado epidemiol´ ogico, esto es, en susceptibles, latentes, infecciosos, etc. El flujo de individuos de una clase a otra se describe a trav´ es del cambio del total de individuos de cada clase, lo que da lugar a sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales. Es muy com´ un que en los modelos epidemiol´ ogicos se adopte el enfoque de modelos compartamentales aplicados a la poblaci´ on hospedera. Sin embargo, existen también modelos que no adoptan este enfoque. As´ı, por ejemplo, para describir la propagación de macroparásitos (lombrices, solitarias, etc.), usualmente se modela a la poblaci´ on par´ asita y no a la hospedera [1].

5.2

Modelo de Ross-MacDonald

Sir Ronald Ross (1857-1932), también conocido como Pap´ a Mosquito, fue un médico y bacteriólogo que descubrió el parásito del paludismo o malaria en el est´ omago de los mosquitos del género Anopheles, y demostr´ o la transmisi´ on de dicha enfermedad por la picadura de estos mosquitos. Sus trabajos lo hicieron acreedor al Premio Nobel de Medicina en 1902. Aunque su trabajo fue bien recibido por parte de la comunidad médica, su conclusi´ on de que el paludismo podr´ıa ser controlado mediante la disminuci´ on de la poblaci´ on de mosquitos no fue aceptada, ya que se argumentaba que era imposible exterminar a todos los mosquitos de una regi´ on, y en caso de que se pudiera, estos muy pronto volver´ıan a reinfestarla. Para defender su teor´ıa, Ross formul´ o un modelo matem´ atico el cual predice que la malaria puede ser controlada si la poblaci´ on de mosquitos se mantiene por debajo de un nivel cr´ıtico, esto es, no es necesaria la exterminaci´ on de los mosquitos (lo cual, ciertamente es imposible) para controlar la enfermedad. Experimentos de campo posteriores confirmaron la conclusi´ on de Ross, la cual ha sido llevada a la pr´ actica en algunos lugares con bastante éxito.

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A continuaci´ on expondremos una variante del modelo de Ross para el paludismo. Como ya se dijo en el p´ arrafo anterior, esta enfermedad se transmite a través de la picadura de la hembra del mosquito Anopheles. El agente etiol´ ogico es un protozoario. En la actualidad se distinguen los siguientes tipos: Plasmodium falciparum, Plasmodium vivax, Plasmodium ovale y Plasmodius malariae . Cabe hacer notar que el paludismo sigue siendo actualmente un problema grave de salud p´ ublica, ya que por ejemplo, en 1990 se estimaron alrededor de 2.5 millones de muertes debidas a esta enfermedad en pa´ıses del tercer mundo. Denotaremos por N y V al total de la poblaci´ on humana y de mosquitos, respectivamente. Por simplicidad, supondremos que ambas poblaciones son constantes, y no consideraremos nacimientos ni muertes en la poblaci´ on humana. Un individuo que enferma y se recupera del paludismo no adquiere inmunidad y vuelve a ser susceptible. Por lo tanto dividiremos a las poblaciones en susceptibles (individuos sanos que pueden contraer la enfermedad) e infecciosos. Denotaremos por x¯(t) y y¯(t) al n´ umero de infecciosos humanos y mosquitos al tiempo t, respectivamente, entonces N x ¯(t) y V y¯(t) denotan al total de susceptibles humanos y mosquitos al tiempo t, respectivamente. Sea b el n´ umero promedio de picaduras por d´ıa por mosquito. En bV promedio, un humano recibe picaduras al d´ıa. De estas picaduras, N bV y¯(t) una proporci´ on son producidas por los mosquitos infecciosos y N V bV y¯(t) (N x ¯(t)) de estas picaduras infecciosas caen en individuos susN V ceptibles. Finalmente, del total de picaduras infecciosas en individuos susceptibles, una proporción α se convierte en un nuevo caso infeccioso, donde α depende de la inmunidad del hospedero, la virulencia del parásito y otros factores de tipo social, econ´ omico, etcétera. Entonces, la tasa de transmisi´ on por unidad de tiempo del mosquito al humano est´ a dada por bV y¯(t) α (N x¯(t)). N V

−

−

−

−

An´ alogamente δb x ¯(t) (V N

− y¯(t))

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es la tasa de transmisión del humano al mosquito, donde δ denota la proporción de picaduras infecciosas que se convierten en un nuevo caso infeccioso en los mosquitos. Por u ´ ltimo, supondremos que los humanos se recuperan a una tasa proporcional al n´ umero de infectados, con constante de proporcionalidad igual a µ; y que la tasa de mortalidad per c´ apita de los mosquitos es constante e igual a ν . Dado que la esperanza de vida de un mosquito es quiz´ a s de semanas, es l´ ogico suponer que éstos nunca se recuperan de la enfermedad. V Sea m = , entonces el modelo est´ a dado por el siguiente sistema de dos N ecuaciones diferenciales en las variables x ¯ (t) y y¯(t): d y¯(t) x ¯(t) = αbm (N x ¯(t)) µ¯ x(t) dt V d x ¯(t) y¯(t) = δb (V y¯(t)) ν ¯ y(t). dt N

−

−

−

−

(5.1)

Dado que las poblaciones son constantes, es m´ as conveniente considerar x ¯ y¯ las proporciones x = y y = . Por lo tanto, estudiaremos el sistema N V equivalente en las variables x y y d x(t) = αbmy(t)(1 x(t)) µx(t) dt d y(t) = δbx(t)(1 y(t)) νy (t). dt

−

−

−

−

(5.2)

en el cuadrado D = (x, y) 0

{

5.3

| ≤ x, y ≤ 1}.

Modelo SEIR

Supongamos que estamos interesados en modelar la propagaci´ o n de una enfermedad que se transmite por contacto directo (de persona a persona), y en la cual un individuo recuperado adquiere inmunidad de por vida, esto es, no es susceptible de volver a contraer la enfermedad. Ejemplos de este tipo de enfermedades son el sarampión, la rubeola, la varicela y en general todas aquellas enfermedades llamadas enfermedades de la ni¯ n ez. Por lo

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com´ un, estas enfermedades presentan un periodo de latencia durante el cual el individuo est´ a infectado pero no puede infectar. En algunos casos, este periodo se puede obviar, pero en nuestro modelo lo tomaremos en cuenta. La poblaci´ on total N la dividiremos en cuatro clases epidemiológicas: los susceptibles S (t), los latentes E (t), los infecciosos I (t) y por u ´ ltimo los recuperados R(t). Supondremos que la poblaci´ on total es constante con tasa de natalidad igual a tasa de mortalidad denotada por µ. Supondremos que todos los que nacen son susceptibles a la enfermedad. Los individuos de cada clase est´ an sujetos a una tasa de mortalidad proporcional al n´ umero de individuos de cada clase, con constante de proporcionalidad igual a µ.La transmisi´ on de la enfermedad dependerá del n´ umero de contactos que haya entre la población susceptible y la poblaci´ on infecciosa. Supondremos en este modelo que la poblaci´ on est´ a homogéneamente mezclada. La tasa de contacto β es el número promedio de contactos adecuados por infeccioso y por unidad de tiempo. Por un contacto adecuado de un infeccioso entenderemos una interacci´ on con un individuo susceptible que resulta en infecció n en este u ´ ltimo. Entonces, el n´ umero promedio de susceptibles infectados por un infeccioso por unidad de tiempo es igual a S β , y la tasa de transmisión, esto es, el n´ umero promedio de susceptibles N infectados por la clase infecciosa por unidad de tiempo es S β I. N Para cierta clase de enfermedades, la tasa de contacto var´ıa con las estaciones del a¯ no, y por lo tanto, se puede suponer que β es una función peri´ odica. Por simplicidad, en este trabajo supondremos que β es constante. Una vez infectados, los individuos pasan a la clase latente. Los individuos latentes pasan a ser infecciosos a una tasa proporcional al número de latentes, con constante de proporcionalidad igual a σ. Entonces, la proporción de individuos que se infectan al tiempo t0 y que siguen siendo latentes al tiempo t0 + t es exp( σt), por lo que el tiempo promedio de 1 latencia es . Dado que tambi´ en los individuos pueden abandonar la clase σ 1 latente debido a muertes, el periodo de latencia ajustado es . σ + µ

−

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Los individuos infecciosos se recuperan a una tasa proporcional al número de infecciosos con constante de proporcionalidad γ . Entonces, el 1 periodo infeccioso considerando mortalidad es . γ + µ Con las suposiciones anteriores, el diagrama compartamental es el siguiente: µN

−→

S

↓µS

β S I N

−→

E

↓µE

σE −→

I

↓µI

γI −→

R

↓ µR

S I Como en el modelo anterior tomamos proporciones s = , i = , N N E R e = y r = . En términos de las proporciones el modelo est´ a dado por N N el siguiente sistema de cuaciones diferenciales: d s(t) dt d e(t) dt d i(t) dt d r(t) dt

5.4

= µ = = =

− βs(t)i(t) − µs βs(t)i(t) − (σ + µ)e(t) σe(t) − (γ + µ)i(t) γi(t) − µr(t)

(5.3)

Sistemas de ecuaciones diferenciales cooperativos y competitivos. Resumen de resultados

En los modelos formulados en las secciones anteriores nos interesa saber, en primer lugar, si est´ an bien planteados, lo cual quiere decir que las soluciones del modelo son razonables. As´ı, por ejemplo, si obtenemos soluciones negativas, nuestro modelo no es correcto, pues estas no tienen sentido para nuestro problema biol´ ogico. Una vez que hayamos corroborado que nuestros modelos tienen sentido biol´ ogico, queremos obtener conclusiones acerca del

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fen´ omeno que estamos estudiando. En este caso particular nos interesa saber en qu´ e condiciones la enfermedad se propagar´ a en la poblaci´ on y qué medidas de control podemos aplicar para que esto no suceda. Asimismo, nos interesa estimar par´ ametros y, de ser posible, hacer predicciones. Para llevar a cabo lo anterior, necesitamos hacer el análisis matem´ atico de los modelos. Idealmente deber´ıamos encontrar las soluciones anal´ıticas de los mismos. Sin embargo, esto es pr´ acticamente imposible para la mayor´ıa de los modelos no lineales, y en muchos casos, aun encontrando estas soluciones, no obtenemos gran informaci´ on. Podr´ıamos también aproximar por métodos num´ erico las soluciones, lo cual nos da un primer panorama de cómo son éstas. Por u ´ ltimo, podemos hacer un an´ alisis cualitativo de los modelos, lo cual nos dir´ a c´ omo se comportan las soluciones a largo tiempo. Aunque no sepamos exactamente cómo son las soluciones de los modelos, el an´ alisis cualitativo nos permite obtener informaci´ on relevante acerca del fen´ omeno que se est´ a modelando. En esta sección veremos algunas de las técnicas usadas en el an´ alisis cualitativo de ecuaciones diferenciales ordinarias. Daremos una breve introducción acerca de una clase muy importante de sistemas dinámicos, los llamados sistemas cooperativos y competitivos y algunas de sus propiedades. Una vez vistas las herramientas matem´ aticas, haremos el an´ alisis de los modelos en las secciones 5 y 6. Un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden tiene la forma d x1 (t) = f 1 (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt d x2 (t) = f 2 (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt . .

(5.4)

. d xn (t) = f n (t, x1 , x2 ,...,xn ) dt donde f 1 , f 2 ,...,f n son funciones continuamente diferenciables.

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Un problema de valores iniciales PVI consiste en hallar n funciones diferenciables x1 , x2 ,...,xn que satisfagan las ecuaciones (5.4) y cumplan las condiciones iniciales x1 (t0 ) = x 01 ,

x2 (t0 ) = x 02 ,....,xn (t0 ) = x 0n ,

con x01 , x02 ,...,x0n constantes. Si se introduce una funci´ on vectorial F = (f 1 , f 2 ,...,f n ) y x ¯ = (x1 , x2 ,...,xn ), el sistema (5.4) se puede escribir en forma abreviada como d ¯ = F (t, ¯ x x) dt

(5.5)

Observemos que en los modelos (5.2) y (5.3) F es una función s´ olo de x ¯. A onomos y se escriben como este tipo de sistemas se les llama aut´ d x ¯ = F (¯ x). dt

(5.6)

Un caso particular de este tipo de sistemas es el sistema lineal con coeficientes constantes d x ¯ = Ax¯ (5.7) dt donde A es una matriz constante de n n. Para resolver este sistema, escribimos la soluci´ o n en la forma x¯(t) = v¯eλt donde v¯ es un vector constante y λ un n´ umero. Al sustituir en la ecuaci´ on λt (5.7) y eliminando el factor e obtenemos la ecuaci´ on de los valores propios de la matriz A A¯ v = λ¯ v

×

Si λ es un valor propio de A y v¯ un vector propio correspondiente al mismo, v¯e λt es una soluci´ on de (5.7). Primer caso. A tiene n vectores propios linealmente independientes (reales o complejos) v¯1 ,..., v¯n correspondientes a los valores propios λ1 , λ2 ,...,λn . Obtenemos exactamente n soluciones linealmente independientes del tipo v¯ j eλj t y toda soluci´ on se expresa de manera única como combinaci´ on lineal de éstas. En caso de que alg´ un λ j sea complejo, digamos λ j = α j + iβ j entonces su conjugado es también valor propio con vector propio v¯ j , y la parte real e imaginaria de v¯ j eλj t son soluciones reales del sistema (5.7).

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Segundo caso. La matriz A posee solamente m < n vectores propios linealmente independientes. Se obtiene, entonces, de la manera antes descrita m soluciones linealmente independientes. Las restantes n m soluciones son de la forma p(t)eλj t , donde p(t) es un vector cuyas componentes son polinomios en t. Como en el caso anterior, toda soluci´ on se expresa de manera u ńica como combinaci´ on lineal de estas n soluciones [13]. En un fenómeno f´ısico, qu´ımico, biol´ ogico, etc., es natural preguntarse si existen estados estacionarios o de equilibrio, esto es, estados que no cambian con el tiempo. Si el fen´ omeno est´ a modelado por una ecuaci´ on del tipo (5.6), los estados estacionarios corresponden a las soluciones constantes las cuales se encuentran resolviendo la ecuación algebraica F (¯ x) = 0. Es importante saber si un determinado sistema que se encuentra en un estado de equilibrio o en un estado pr´ oximo al equilibrio, permanecer´ a en la proximidad de este estado cuando se introducen peque¯ nas perturbaciones. Para dilucidar estas cuestiones se ha introducido el concepto de estabilidad .

−

Decimos que la soluci´ on de equilibrio x¯0 es localmente estable si dado 0 un punto x ¯ suficientemente cercano a x ¯0 , la soluci´ on x ¯(t) que satisface la 0 condici´ on inicial x¯(0) = x ¯ , permanece cerca de x ¯0 , para t 0. Si además oticamente estable [18]. se cumple x ¯(t) x ¯0 , entonces x ¯0 es localmente asint´ La estabilidad implica tambi´ en que las soluciones que empiezan suficientemente cerca de x ¯0 existen para todo t 0. Esta definici´ on de estabilidad es una propiedad local, ya que bajo perturbaciones suficientemente grandes las soluciones pueden alejarse de la soluci´ on de equilibrio.

≥

→

≥

Volvamos ahora al sistema lineal (5.7). Para este sistema la soluci´ on nula x¯ 0 es una soluci´ on de equilibrio. Debido a la linealidad de la ecuaci´ on diferencial, la soluci´ on nula es asint´ oticamente estable si todas las soluciones λt de la forma p(t)e tienden a cero cuando t , y esto se cumplir´ a s´ı y sólo s´ı todos los valores propios λ tienen parte real negativa. Se tiene entonces el siguiente

≡

→∞

Teorema 5.1 La soluci´ ¯ 0 del sitema (5.7) es asint´ on x oticamente estable s´ı y s´ olo s´ı todos los valores propios de la matriz A tienen parte real negativa. Si alguno de los valores propios tiene parte real mayor que cero entonces la soluci´ on cero es inestable.

≡



 












107


Igual que para las ecuaciones en diferencias, en ciertas condiciones, se puede trasladar el problema de la estabilidad de un sistema no lineal al de un sistema lineal. Para esto tomemos x¯ = x ¯0 + y¯ una perturbaci´ on del estado de equilibrio x ¯0 del sistema (5.6). Supongamos que F es una funci´ on continuamente diferenciable de x¯. Desarrollando F en series de d Taylor alrededor de x ¯0 hasta orden uno, y recordando que x ¯0 = F (¯ x0 ) = 0 dt se obtiene d y¯ = DF (¯ x0 )¯ y + términos de orden y¯ 2 , dt donde DF denota la derivada de F . Al sistema d y¯ = DF (¯ x0 )¯ y (5.8) dt se le llama el sistema linealizado de (5.6) alrededor del punto fijo x ¯ 0 . El siguiente resultado es una herramienta muy poderosa para determinar la estabilidad asint´ otica local de un punto de equilibrio.

|| ||

Teorema 5.2 Si la solució n cero del sistema linealizado (5.8) es ¯0 es localmente asint´ oticamente estable, entonces la soluci´ on de equilibrio x asint´ oticamente estable [18 ]. Por los teoremas 5.1 y 5.2, concluimos que la soluci´ on x ¯0 es 0 asint´ oticamente estable si todos los valores propios de DF (¯ x ) tienen parte real negativa. Si alg´ un valor propio tiene parte real estrictamente mayor 0 que cero, x ¯ es inestable. En muchos fenómenos se observan patrones que se repiten con cierto periodo. En nuestro sistema (5.6) estos patrones corresponden a soluciones peri´ odicas, esto es, soluciones x¯(t) tales que x¯(t + T ) = x ¯(t) para toda t, donde T es el periodo. De la misma forma que para las soluciones de equilibrio, se define estabilidad y estabilidad asintótica de una soluci´ on peri´ odica. El problema de determinar el comportamiento a largo plazo de las soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales se basa en el análisis lineal, as´ı como otro tipo de métodos geométricos, topol´ ogicos y argumentos de comparaci´ on, los cuales se aplican con particular éxito a los llamados sistemas mon´ otonos . Este tipo de sistemas se encuentran frecuentemente en la modelaci´ on de fenómenos biol´ ogicos, f´ısicos e incluso de ciencias sociales. En una serie de seis art´ıculos titulados Systems of differential equations



 










108



Lourdes Esteva

that are competitive or cooperative , M.W. Hirsch desarrolla lo que ahora se conoce como la teor´ıa de sistemas din´ amicos mon´ otonos. No solamente se desarrolla esta teor´ıa para sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, sino también para sistemas din´ amicos de dimensi´ on infinita (ecuaciones en derivadas parciales, ecuaciones diferenciales con retardo). M´ as adelante H. Smith generaliza los trabajos de Hirsch y finalmente este mismo autor recopila todos estos resultados en una monograf´ıa titulada Monotone Dynamical Systems. An introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems . Los sistemas mon´ otonos cooperativos tienen la propiedad de que las soluciones preservan la relaci´ on de orden parcial en R n dado por (a1 , . . . , an ) (b1 , . . . bn ) si y sólo si ai bi , para i = 1, . . . , n. Esto es, si x ¯ 1 (0) x¯2 (0), entonces x ¯1 (t) ¯ x2 (t) para toda t 0. En el caso de un sistema de ecuaciones diferenciales definido en un conjunto convexo de Rn con F = (f 1 , . . . , fn ) continuamente diferenciable, existe una caracterizaci´ on de cooperatividad en términos de la derivada de F .

≤

≤

≤

≥

Definici´ on 5.1 El sistema (5.6) es cooperativo si

∂f i ∂x j

≤

≥ 0, i = j .

Tenemos una caracterizaci´ on an´ aloga para los llamados sistemas competitivos. Definici´ on 5.2 El sistema (5.6) es competitivo si

∂f i ∂x j

≤ 0, i = j .

Observemos que si un sistema es competitivo, entonces el sistema que se obtiene tomando F es cooperativo, por lo que los sistemas competitivos preservan la relación de orden hacia atr´ as, esto es si x¯1 (0) x ¯2 (0), entonces x¯1 (t) x ¯2 (t) para toda t 0. En particular si x ¯1 y x ¯2 no están relacionados, ¯2 (t) no están relacionados para t 0. x¯1 (t) y x El hecho de que los sistemas cooperativos y competitivos preserven una relaci´ on de orden (ya sea hacia adelante o hacia atrás) hace que el comportamiento de las soluciones no sea “tan complicado”. De hecho, el resultado m´ as importante sobre estos sistemas es que son equivalentes a un sistema en una dimensi´ on menor. Entonces, un sistema cooperativo o competitivo en dimensi´ on dos se comporta como un sistema en dimensió n uno; en dimensi´ on tres se comporta como uno en dimensión dos, etc. En particular,

−

≤

≤

≤

≥



 












109


dado que las soluciones de una ecuaci´ on diferencial en dimensi´ on uno divergen o tienden a un punto de equilibrio, se tiene el siguiente resultado. Teorema 5.3 Toda soluci´ on acotada de un sistema cooperativo o competi2 tivo en R tiende a un punto de equilibrio [19 ]. Para los sistemas cooperativos y competitivos en dimensi´ on tres se tiene un an´ alogo al teorema de Poincar´ e-Bendixon en dos dimensiones [18]. Teorema 5.4 Consideremos un sistema cooperativo o competitivo en R3 . R3 es un subconjunto convexo cerrado y acotado el Supongamos que D cual no contiene puntos de equilibrio. Entonces toda soluci´ on que existe y permanece en D para t odica o tiende en espiral hacia una 0 o es peri´ soluci´ on peri´ odica cuando t 0 [19 ].

⊂

≥

≥

Existe una generalizaci´ on de la definici´ on de sistemas competitivos y cooperativos que permite extender los resultados anteriores a una clase mucho mayor de sistemas. Empezaremos con alguna notaci´ on. Sea m = (m1 , m2 ,...,mn ) con m i 0, 1 y K m = x ¯ Rn ( 1)mi xi 0, 1 i n .

{ }

∈

{ ∈

|−

≥

≤ ≤ } K m es un cono en Rn y como tal genera un orden parcial ≤m definido por x¯ ≤m y¯ s´ı y sólo s´ı y¯ − x ¯ ∈ K m . Definici´ on 5.3 El sistema (5.6) es cooperativo con respecto a K m , si existe una matriz diagonal H = diag(( 1)m , ( 1)m ,..., ( 1)mn ), donde mi 0, 1 tal que todos los elementos fuera de la diagonal de H −1 DF (¯ x)H son mayores o iguales a cero, esto es,

−

{ }

( 1)mi +mj

−

1

∂ f i (¯ x) ∂x j

−

≥ 0,

−

2

∈

i = j.



El sistema (5.6) es competitivo con respecto a K m si se cumple la desigualdad contraria ∂ f i ( 1)mi +mj (¯ x) 0, i = j. ∂x j

−

≤



Un sistema competitivo o cooperativo con respecto a K m preserva el orden parcial generado por K m .



 










110

5.5



Lourdes Esteva

An´ alisis del modelo de Ross-MacDonald

A continuaci´ on haremos el an´ alisis del modelo (5.2). Para comenzar, el lector puede comprobar que todas las soluciones que comienzan en el cuadrado unitario D existen y permanecen all´ı para toda t 0, ya que se satisfacen las condiciones del teorema de existencia y unicidad para los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias; y adem´ as el campo vectorial del sistema sobre la frontera de D apunta hacia el interior de D. La derivada del sistema (5.2) est´ a dada por

≥

DF (x, y) =

− 

αbmy

δb(1

−µ

αbmy

− y) −δbx − ν

 

.

Observamos que los elementos fuera de la diagonal de DF (x, y) son positivos para (x, y) en la regi´ on D, lo que implica que el sistema (5.2) es cooperativo. Como todas las soluciones permanecen en D, y por lo tanto son acotadas, entonces de acuerdo al teorema 5.3, deben tender a una solución de equilibrio. Los estados de equilibrio corresponden a las soluciones (x, y) del sistema algebraico 0 = αbmy(1

− x) − µx δbx(1 − y) − νy.

0 =

Este sistema tiene s´ olo dos estados de equilibrio: el estado de equilibrio libre de la enfermedad P 0 = (0, 0), y el estado de equilibrio endémico P 1 = (x∗ , y ∗ ), donde x∗ =

αδb 2 m νµ , δb(αbm + µ)

−

y∗ =

µx∗ . αbm(1 x∗ )

−

P 1 tiene sentido biol´ ogico, esto es P 1 D, si y s´ o lo si 0 < x∗ < 1 y 0 < y∗ < 1. De la expresión para x ∗ se sigue que ésta es siempre menor que uno. Por otro lado, y ∗ < 1 si y s´ olo si

∈

x∗ <

αbm , αbm + µ



 







“libro˙ “libro˙2Ed 2Edici icion˙ on˙13Ma 13May12 y12˙2” ˙2” — 201 2012/6/ 2/6/25 25 — 18:4 18:488 — page page 111 — #12 #1277





111


y esta ultima u ´ltima desigualdad siempre se cumple para x para x ∗ . Tanto x∗ como y∗ serán an mayores que cero si y sólo o lo si αδb 2 m > νµ o equivalentemente αδb 2 m S 0 = > 1. 1 . νµ Por lo tanto tanto hemos visto que el equilibrio equilibrio end´ endémico emico existe siempre siempre y cuando se satisfaga S 0 > 1. En caso de no satisfac satisfacers erse, e, el unico uńico punto de equilibrio en D en D es el trivial P trivial P 0 , y por el teorema 5.3 todas las soluciones en D deben deb en tender a él. el. ¿Qué pasa cuando S 0 > 1? En este caso tenemos dos puntos de equilibrio y debemos dilucidar hacia cuál al de los dos tienden las soluciones. soluciones. Para Para esto investigue investiguemos mos la estabilidad estabilidad del punto de equilibrio equilibrio P 0 . La derivada en dicho punto está dada por

− 

µ αbm

DF (0 DF (0,, 0) =

δb

−ν

 

.

Los valores propios de una matriz A se encuentran resolviendo la ecuación on cara ca ract cter´ er´ısti ıs tica ca Det( Det(λI A) = 0, donde I I es la matriz matriz ident identida idad. d. En este caso obtenemos

− −

λ2 + (µ (µ + ν )λ + (νµ (νµ

− αδb2m) = 0.

(5.9)

El lector puede comprobar comprobar que las dos ra´ ra´ıces de (5.9) tienen parte real negativa cuando S 0 < 1, y en caso S 0 > 1, existirá una ra´ ra´ız con parte real real positiv positiva. a. De acuerdo acuerdo al teorema teorema 5.2, el punto punto de equilibr equilibrio io P 0 es localmente asint´ oticamente estable para S 0 < 1 e inestable para S 0 > 1. Se oticamente puede comprobar que en el último ultimo caso, las soluciones del sistema (5.2) se alejan de P 0 . Por Por lo tanto tanto para S 0 > 1 las soluciones tienden al equilibrio P 1 . Se deja como ejercicio ejercicio al lector que compruebe compruebe que para S 0 > 1, P 1 es asint´ oticamente oticamente estable. El n´ umero reproductivo b´ asico de una enfermedad, denotado por R0 , se define como el n´ umero promedio de infecciones secundarias causadas por umero un infeccioso durante su periodo de infectividad en una comunidad donde todos son susceptible susceptibles. s. R0 es el parámetro ametro m´ as as importante imp ortante en epidemiolog´ epidemi olog´ıa, ıa, ya que a través es de él el se puede conocer el desarrollo de la enfermedad. Entonces, si R si R 0 < 1, en promedio se produce menos de un caso infeccioso en una comunidad

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 










112



Lourdes Esteva Esteva

donde todos son susceptibles, y por lo tanto la enfermedad no progresar´ a. a. Si, por el contrario, R0 > 1, se produce en promedio más as de un infeccioso secundario y habrá un brote epidémico emico o una enfermedad permanecerá en forma for ma endémica. emi ca. R0 es una combinaci´ on o n de parámetros ametros epidemiol´ ogicos ogicos y demogr demogr´ aficos, a´ficos, y la forma forma que adopte adopte depende depender´ r´ a de la enfermedad en cuestión. on. Para Para el caso caso del paludis paludismo mo se tiene tiene que un humano humano infeccios infecciosoo bδ produce infecciosos infecciosos mosquitos mosquitos durante durante su periodo infeccioso. infeccioso. Por otro µ αbm lado, un mosquito produce casos secunda secundarios rios durante durante toda su vida. vida. ν La media medi a geo geom´ métrica etri ca R0 =



αδb 2 m = νµ



S 0

es el promedio de infecciones secundarias en una población on susceptible. Las figuras (5-1) y (5-2) ilustran las curvas dx/dt = 0 y dy/dt = 0 del sistema (5.2) en el cuadrado [0, [0, 1] [0, [0, 1] para R0 < 1 y R0 > 1. 1. En el primer caso las curvas se interesectan solamente en P 0 = (0, (0, 0) y todas las trayectorias tienden mon´ otonamente a dicho punto; en el segundo caso otonamente aparece el punto de intersección P on P 1 , y las trayectorias trayectorias se aproximan a él. el.

×

Concluimos que si R si R 0 < 1, la enfermedad progresivamente desaparecerá, a, y si R0 > 1 > 1 permanecerá en forma end´ emica emica en la poblaci´ on. on. Para el caso del paludismo, el par´ ametro ametro que está m´ as as sujeto a control es la poblaci´ on o n de mosqu mosquito itos. s. De R0 = 1, y recordando que m = V /N obtenemos la poblaci´ on on de mosquitos mosquit os cr´ cr´ıtica V c =

νµN αδb 2

por debajo de la cual la enfermedad se mantiene a niveles de prevalencia muy bajos, y eventualmente desaparecer´ a. a. Entonces Entonces,, como aseguraba aseguraba Ross, no es necesario exterminar a los mosquitos, basta mantener su población on por debajo del valor cr´ cr´ıtico V c . Para Para lograr lograr esto, esto, se requier requieree de campa¯ nas permanentes permanentes por parte de las autoritades sanitarias, sanitarias, y no solamente cuando se presentan brotes epidémicos. emicos.



 












113


1

0.8 y , s o d a t c e f n i s o t i u q s o m e d . p o r P

Ro=.94

0.6 dx/dt=0 0.4

dy/dt=0

0.2

0 0

0.2

0.4 0.6 Prop. de humanos infectados, x

Figura 5-1: Plano fase del sistema (5.2), R 0 < 1 < 1..

1

0.8 y , s o d a t c e f n i s o t i u q s o m e d . p o r P

Ro=3.87

0.6

0.4

dy/dt=0

0.2

0

0

0.2

0.4 0.6 Prop. de humanos infectados,x

Figura 5-2: Plano fase del sistema (5.2), R 0 > 1 > 1..



 










114

5.6



Lourdes Esteva Esteva

An´ alisis alisis del modelo SEIR SEIR

En esta sección on haremos el an´ alisis alisis del modelo (5.3). (5.3). Para Para empezar, dado que r que r = = 1 s i e, es suficiente considerar el subsistema sei subsistema sei en en el conjunto

−−−

D1 = (s,e,i) s,e,i)

{

∈ R3+ | s + e + i ≤ 1}.

Como en el modelo anterior, se puede demostrar que el campo vectorial F F sobre la frontera de D1 no apunta hacia el exterior, y por lo tanto las soluciones soluci ones permanecen perm anecen all´ı para t para t 0. La derivada de F de F est´ a dada por

≥

DF ( DF (s,e,i) s,e,i) =

− 

(µ + βi) βi ) βi 0

0 (σ + µ) σ

−

−βs

βs (γ + + µ)

−

 

.

Tomando H =

 

1 0 0

0 0 1 0 0 1

−

 

se puede comprobar que el sistema (5.3) es competitivo competitivo con respecto respecto al cono K = (s,e,i) s,e,i) s

| ≥ 0, e ≤ 0, i ≥ 0}.

{

Por lo tanto, de acuerdo al teorema 5.4, las soluciones del sistema (5.3) tienden a puntos de equilibrio o a soluciones peri´ odic o dicas as.. Los Los punto puntoss de equilibrio corresponden a la soluci´ on on del sistema 0 = µ

− µs − βsi βsi − (σ + µ)e σe − (γ + + µ)i.

0 = 0 =

Obtenemos Obtenemos dos estados de equilibrio: equilibrio: el estado libre de la enfermedad enfermedad E E 0 = ∗ ∗ ∗ (0, (0, 0, 0) y el estado endémico E emico E 1 = (s , e , i ) donde 1 s∗ = , R0

(γ + + µ)i∗ ∗ e = , σ

i∗ =

µσ( µσ(R0 1) (σ + µ)(γ )(γ + + µ)R0

−



 










115


y R0 =



βσ . (σ + µ)(γ )(γ + + µ)

Observemos que el e l equilibr e quilibrio io endémico emico E 1 tiene sentido biológico ogico (esto es, está en D en D 1 ) si y sólo olo si R si R 0 > 1. R0 es el n´ umero umero reproductivo básico asico para el modelo SEIR. Para comprobarlo, veamos que un infeccioso que se introduce en una comunidad donde β todos son susceptibles infecta a individuos durante su periodo infecγ + + µ σ cioso. De estos nuevos nuevos infectados, infectados, una fracci´ on on sobreviven el periodo σ + µ de latencia y se convierten convierten en nuevos nuevos infecciosos. infecciosos. El producto de estas dos cantidades es R es R 0 , esto es, el número umero promedio de infecciosos secundarios. Para determinar la estabilidad del punto de equilibrio E 0 , calculamos los valores propios de DF ( DF (E 0 ). Esto Estoss son µ y las ra´ ra´ıces de la ecuaci´ on on de grado dos: λ2 + (σ (σ + µ + γ + + µ)λ + (σ (σ + µ)(γ )(γ + + µ)

− βσ = 0.

Dejamos al lector comprobar que las ra´ ra´ıces de esta ecuaci´ on on tienen parte real negativa si y sólo o lo si R0 < 1. En caso contra contrario rio,, habr´ habr´ a una ra´ ra´ız con parte parte real positiv positiva. a. Por Por lo tanto, tanto, si R0 < 1, el punto de equilibrio E 0 es asint´ oticamente estable, y para R0 > 1 es inestab oticamente inestable. le. En este este ultimo u´ltimo caso emerge el equilibrio equili brio endémico E emico E 1 en la región D on D 1 . Es de esperarse que este equilibrio sea estable para R0 > 1. En efecto, la ecuación on caracte cara cterr´ıstica ıst ica de DF ( DF (E 1 ) es un polinomio de grado 3: λ3 + a1 λ2 + a2 λ + a3 donde a1 = µ + σ + µ + γ a2 = µ(σ + µ + γ + + µ)R0 R0 1 a3 = σµβ . R0



−



El criterio de Routh-Hurwitz para un polinomio de grado tres establece que sus ra´ ra´ıces tienen parte real negativa negativa si y s´ olo o lo si ai > 0, i = 1, 2, 3,



 










116



Lourdes Esteva

y a1 a2 > a3 . En nuestro caso, los coeficientes ai son mayores que cero siempre y cuando R0 > 1. La verificaci´ o n de la u ´ ltima desigualdad la dejamos al lector como ejercicio. Por lo tanto, si R0 > 1, E 1 es localmente asint´ oticamente estable. Observemos que cuando no hay infectados de ningún tipo, esto es, e = i = 0, el sistema (5.3) se convierte en d s = µ dt d e = 0 dt d i = 0. dt

− µs (5.10)

Las primera ecuación implica que s 1 cuando t . Por lo tanto, las soluciones que comienzan en la recta (s, 0, 0) tienden a E 0 independientemente del valor de R0 , lo cual es de esperarse, ya que si no hay infecciosos no hay enfermedad. Ahora nos preguntamos si el sistema (5.3) tiene soluciones peri´ odicas. La contestaci´ on a esta pregunta es negativa, esto es, el sistema (5.3) no tiene soluciones peri´ odicas. Sin embargo, la demostraci´ on de este hecho es técnicamente complicada y est´ a m´ as all´ a del alcance de estas notas (el lector interesado puede consultar [14]). Dado lo anterior, por el teorema 5.4 podemos concluir los siguientes resultados:

→

→ ∞

Si R0 < 1 todas las soluciones en D se aproximan a E 0 cuando t

→ ∞.

Si R0 > 1, las soluciones en D tienden a E 1 , excepto aquellas que comienzan en la l´ınea (s, 0, 0). Como en el modelo anterior, R0 es el parámetro umbral que determina cuando una enfermedad progresa o no en la poblaci´ on. Las figuras 5-3 y 10-4 ilustran el curso temporal t´ıpico de la proporci´ on de infecciosos para el modelo (5.3). Los par´ ametros en la figura 5-2 son − 1 − 1 − 1 β = .1, σ = 3 d´ıas, γ = 7 d´ıas y µ = 60 d´ıas, por lo que R0 = .70; mientras que en la figura 5-3 β = .5, el resto de los par´ ametros son los mismos y R0 = 3.5. Observamos que en el primer caso la proporci´ o n de infecciosos decae exponencialmente a cero, mientras que en el segundo caso oscila hacia el estado endémico i∗ .



 












117


0.5

0.45

0.4

0.35 s o s o i c c e f n i

0.3

e d

0.25

n o i c r o p o r p

0.2

0.15

0.1

0.05

0 0

20

40

60 dias

Figura 5-3: Curso temporal de la proporción de infecciosos, R 0 < 1.

0.05

0.045

0.04

0.035 s o d a t c e f n i e d n o i c r o p o r p

0.03

0.025

0.02

0.015

0.01

0.005

0 0

2000

4000

6000

8

dias

Figura 5-4: Curso temporal de la proporción de infecciosos, R 0 > 11.



 










118



Lourdes Esteva

Lo anterior se explica en términos del n´ umero reproductivo básico. Si éste es menor o igual a uno, un infeccioso genera menos de un nuevo caso infeccioso, por lo tanto la enfermedad irá desapareciendo con el tiempo. Adem´ as, la fracci´ on de susceptibles tenderá a uno, ya que toda la poblaci´ on ser´ a susceptible cuando la enfermedad haya desaparecido y los recuperados hayan muerto. Si el n´ umero reproductivo b´ asico es mayor que uno, un infeccioso genera en promedio más de una infección secundaria en una población donde todos son susceptibles. Si la fracci´ on inicial de susceptibles s0 es lo suficientemente grande como para que R 0 s0 sea mayor que uno, s(t) decrecerá, y la proporción de infecciosos i(t) crecerá hasta un m´ aximo, y después decrecer´ a por falta de susceptibles a quienes infectar, tal como se observa en un proceso epidémico. Cuando la fracci´ on de infecciosos haya llegado a su nivel m´ as bajo, la fracci´ on de susceptibles comenzará a incrementarse debido a nacimientos de nuevos susceptibles. Una vez que ésta alcance cierto umbral, se suscitará un segundo brote epidémico de magnitud menor, y as´ı sucesivamente hasta alcanzar el equilibrio end´ emico. El problema de determinar R0 en una situaci´ on práctica es que en general no se conocen todos los parámetros que intervienen en su definició n. Sin embargo, hay métodos indirectos que nos permiten aproximar su valor a partir de datos epidemiol´ ogicos y demogr´ aficos. Si el periodo de latencia es muy peque¯ no obtenemos el modelo sir, y R0 se puede aproximar de la siguiente manera. Suponemos que la proporción de infecciosos es constante µ(R0 1) e igual a i∗ . Para el modelo sir , i∗ = . (µ + γ )R0 De la ecuación d s = βi ∗ s dt

−

−

∗

obtenemos que s = e −βi t . Por lo tanto, el tiempo medio de estancia en la clase susceptible que corresponde a la edad promedio en que se adquiere la infecci´ on es 1 1 L A = ∗ = = βi µ(R0 1) R0 1

−

−

donde L = 1/µ es la esperanza de vida. Despejando R0 obtenemos R0 = 1 +

L A

(5.11)



 












119


Como ejemplo, utilizando tablas demogr´ a ficas y epidemiol´ o gicas del sarampi´ on en M´ exico de 1980 a 1990 y la ecuaci´ on (5.11) se obtuvo un valor aproximado para R0 de diez. Esto es, un infeccioso de sarampi´ on en México infecta en promedio a diez individuos. Conociendo R0 se puede estimar la fracci´ on de la poblaci´ on que debe ser vacunada para eradicar una enfermedad de contacto directo. Para que la enfermedad pueda ser erradicada es necesario que la proporción de susceptibles multiplicada por R0 sea menor o igual a uno. Si suponemos que un porcentaje p de la población es vacunada al nacer, (1 p) es la fracción de la poblaci´ on que es susceptible. Por lo tanto se debe cumplir

−

(1

− p)R0 ≤ 1

o

(5.12) ≥ 1 − R10 . De acuerdo con (5.12) si vacunamos al 1 − 1/R0 por ciento de la poblaci´ on p

alcanzaremos inmunidad de masas, esto es, la enfermedad podr´ a erradicarse. Entonces, en el caso del sarampión en México, al menos el 90% de la población debe vacunarse para erradicar esta enfermedad (esto, sin contar la eficiencia de la vacuna, lo cual hace que el porcentaje se eleve).

5.7

Consideraciones finales

En estas notas hemos visto con dos ejemplos como las matem´ aticas pueden ser u ´ tiles para entender la propagaci´ o n de una enfermedad. Con modelos relativamente simples, es posible estimar el porcentaje m´ınimo de la población que debe ser vacunada para alcanzar inmunidad de masas para una cierta enfermedad; o la densidad de mosquitos máxima por debajo de la cual el paludismo y otras enfermedades transmitidas por picaduras de insectos pueden ser controladas. También, con dichos modelos se puede estimar el m´ aximo n´ umero de infectados en un tiempo, el periodo entre dos epidemias, la edad promedio a la que se adquiere la infecci´ on y otras variables de interés epidemiológico [3, 4]. Modelos m´ as complejos que incorporan estructura de edad, y por lo tanto dan lugar a ecuaciones diferenciales parciales han sido usados, por ejemplo,

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para estimar la edad o´ptima de vacunaci´ on contra sarampi´ on [9], o comparar diferentes estrategias de vacunación para la rubeola y tosferina [10, 11]. En el caso de poblaciones heterog´ eneas ha sido adecuado el uso de modelos multi-grupo que incorporan tasas de infecci´ on variables. Este enfoque ha sido particularmente u ´ til para el estudio de enfermedades de transmisión sexual [12]. Los modelos matem´ aticos tambi´ en han sido utilizados para analizar la propagaci´ on espacial de una enfermedad [15]. Asimismo, existe una interfase muy importante entre epidemiolog´ıa e inmunolog´ıa. Recientemente han recibido mucha atenci´ on los problemas asociados con la epidemia de SIDA, y la relaci´ on del virus de la inmunodeficiencia humana (VIH) con el sistema inmune. Los modelos matemáticos han ayudado a esclarecer el papel de las células citot´ oxicas T en la evolución de dicha enfermedad [16]. La resistencia de las bacterias y virus a los antibióticos y drogas antivirales es uno de las grandes amenazas que enfrenta la sociedad actual. Modelos matem´ aticos para entender la dinámica de la evoluci´ on de la resistencia y sus implicaciones en las estrategias de tratamiento de una enfermedad han sido planteados [5, 16]. Para finalizar quisiera mencionar que no obstante los avances en los estudios de la evoluci´ on viral y bacteriana, sus relaciones con el sistema inmune y sus implicaciones en epidemiológicas, persiste un largo camino por recorrer. En este, las matem´ aticas tienen un papel importante.

Bibliograf´ıa [1] R.M. Anderson (ed.) The population Dynamics of Infectious Diseases: Theory and Applications Chapman y Hall, Londres, 1982. [2] J. Aron y R. May, The population dynamics of malaria en The population Dynamics of Infectious Diseases: Theory and Applications , ed. R.M. Anderson, Chapman y Hall, Londres, 1982, pp. 139-178. [3] F. Brauer, Basic Ideas of Mathematical Epidemiology, en Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious Diseases: An avez et al , Springer Verlag, 2002 pp. Introduction , eds. C. Castillo-Ch´ 31-65.

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[4] F. Brauer, Extensions of the Basic Models, en Mathematical Approaches for Emerging and Reemerging Infectious Diseases: An Introduction , eds. C. Castillo-Ch´ avez et al, Springer Verlag, 2002, pp. 67-95. [5] S.M. Blower y J.L. Gerberding, Understanding, predicting and controlling the emergence of drug-resistant tuberculosis: a theoretical framework, Journal of Mod. Med 76: 624-636 (1998). [6] W.O. Kermack y A.G. McKendrick, A contribution to the mathematical theory of epidemics, Proc. Royal Soc. London 115:119-144 (1927). [7] W.O. Kermack y A.G. McKendrick, Contributions to the mathematical theory of epidemics, Part II, Proc. Royal Soc. London 138: 55-83 (1932). [8] D.J. Daley y J. Gani, Epidemic Modeling. An Introduction Cambridge Studies in Mathematical Biology: 15, Cambridge University Press, Cambridge. [9] H.W. Hethcote , Optimal Ages of Vaccination for Measles Math. Biosciences 89: 29-52 (1988). [10] H.W. Hethcote, Rubella en Applied Mathematical Ecology , S.A. Levin, T.G. Hallan y L.J Gross, Biomathematics 18, Springer Verlag, BerlinHeilderberg, 1989, pp. 119-144. [11] H.W. Hethcote, An Age-Structured Model for Pertussis Transmission, Math. Bioscences 145: 89-136 (1997). [12] H.W. Hethcote, J.A. Yorke, A. Nold, Gonorrhea Modeling: A Comparison of Control Methods, Math. Biosciences 58: 93-109 (1982). [13] K. P. Hadeler Matem´ aticas para bi´ ologos , Reverté, Barcelona-BogotáBuenos Aires, Caracas, México, R´ıo de Janeiro, 1982. [14] Y. Li y J.S. Muldowney, Global Stability for the SEIR Model in Epidemiology, Mathematical Biosci. 125: 155–164 (1995). [15] J.D. Murray Mathematical Biology , Springer Verlag, 1989. [16] A.S. Perelson, P.W. Nelson, Mathematical Analysis of HIV-1. Dynamics in Vivo, SIAM Review 41(1): 3-44 (1999).

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[17] R.A. Ross, The prevention of Malaria , 2a. ed., Murray, Londres, 1911. [18] F. Verhulst, Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems , Springer Verlag, 1990. [19] H.L. Smith, Monotone Dynamical Systems. An Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems , Mathematical Surveys and Monographs: 41, American Mathematical Society, 1995.

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Emergencia y formaci´ on de patrones en biolog´ıa: un enfoque matem´ atico

Faustino S´ anchez Gardu˜ no Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias, UNAM [email protected]

Pablo Padilla Longoria IIMAS-FENOMEC [email protected]

Resumen

En este cap´ıtulo hacemos una breve revisi´ o n de una familia de modelos matem´ aticos (ecuaciones de reacci´ on-difusi´ o n) que se han usando abundantemente para describir distintos procesos morfogen´ eticos en sistemas biológicos. El lector encontrar´ a desde la deducción de las ecuaciones hasta la presentaci´ on de algunos t´ opicos de actualidad en el área. Se incluyen los detalles técnicos estrictamente necesarios, tratando de hacer, en la medida de lo posible, la exposici´ on accesible. Al final de este trabajo se presenta una lista de referencias con las cuales el lector puede profundizar en los temas aqu´ı tratados.

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6.1

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´ nchez y Pablo Padilla Faustino Sa

Introducci´ on

olo cuentos ( Just so Stories ) de Rudyard Kipling se encuentra En el libro S´ una historia llamada “¿C´ omo obtuvo el leopardo sus lunares?”, que muy bien podr´ıa haber sido el t´ıtulo de estas notas. No es este el lugar de recordar en detalle toda la narraci´ on, baste decir que el leopardo era originalmente del color de la arena, lo mismo que su amigo et´ıope, pero que como la zebra, el ant´ılope y la jirafa se mudaron al bosque y adquirieron cada uno sus respectivos atuendos, se confund´ıan con los troncos y las sombras y era dif´ıcil cazarlos. Por consejo del sabio mandril, tanto el et´ıope como el leopardo deciden tambi´ en cambiar su apariencia. El hombre toma un color negro y finalmente convence al leopardo que se deje pintar unos lunares con la pintura que le hab´ıa sobrado. En cualquier caso, el t´ıtulo de la historia de Kipling es lo suficientemente atractivo como para haber sido usado a su vez por J. Murray (véase [24]), quien le puso as´ı a uno de los cap´ıtulos de su libro: precisamente la pregunta mencionada arriba. Y es que la pregunta misma sugiere otras que de antemano sabemos no tienen respuestas f´ aciles: ¿c´ omo y por qué 1 surgen patrones en la naturaleza?, ¿es posible entender la gran complejidad de las formas y estructuras en los seres vivos? En un contexto m´ as general: ¿cu´ ales son los mecanismos que hacen posible el surgimiento de las estructuras espacialmente ordenadas en la naturaleza? Desde el punto de vista de la biolog´ıa, es la embriolog´ıa la subdisciplina que estudia el desarrollo del embrión, desde la fertilizaci´ on hasta el nacimiento. En un esquema m´ as general, la morfogénesis se ocupa del origen de las formas y patrones en la naturaleza, sean éstos en los seres vivos o en la materia inanimada. Para individuos que nos originamos de la fecundació n de un óvulo por un espermatozoide, la divisi´ on (por mitosis) del huevo, en dos, cuatro, ocho orula . Sin embargo, la división no se y m´ as células idénticas, da lugar a la m´ efect´ ua indefinidamente sino que se detiene en alg´ un momento y entonces las células de la m´ orula se desplazan a la periferia del huevo, dejando en el centro una cavidad llena de l´ıquido. A este estado del individuo se le 1

Intuitivamente aqu´ı por patr´ on entenderemos cualquier estructura que tenga un orden espacial. Esta idea se puede formalizar diciendo que un patr´ on espacial es una estructura que presenta alg´ un grupo de simetr´ıa.

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´ n de patrones Emergencia y formacio

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conoce como bl´ astula . La siguiente etapa del desarrollo es la gastrulaci´ on , que comienza por la invaginaci´ o n de la blástula, form´ andose entonces dos capas de c´ elulas: el endodermo y el ectodermo; mientras que las células cercanas al sitio en donde se inició la invaginaci´ on (el blastoporo) migran, introduciéndose entre el endodermo y el ectodermo formando, de esta manera, una tercera capa celular: el mesodermo. Esta es la etapa del desarrollo embrionario en la que sucede un proceso important´ısimo del que surge el individuo propiamente como tal, es decir, con todas sus partes. Se on celular . Durante ésta, las células, de ser todas trata de la diferenciaci´ iguales, se especializan y van a formar parte de los o´rganos (ojos, h´ıgado, manos, ri˜ nones, etc.) y sistemas (nervioso, digestivo, respiratorio, etc.) del individuo, teniendo entonces funciones tanto diferentes como espec´ıficas. El proceso de diferenciación celular, a la fecha no entendido del todo, es uno de los problemas m´ as interesantes de la biolog´ıa (véase [17]). El mecanismo de formaci´ on de patrones está controlado genéticamente, pero los genes mismos no pueden “crear” el patr´ o n. Son s´ olo las “instrucciones” para formar el patr´ on, contienen la informaci´ on que se haya codificada en el material gen´ etico, pero: ¿c´ omo dicha informaci´ on se traduce en formas y patrones? Los mecanismos son esencialmente desconocidos. En 1969, Lewis Wolpert ([36]) sugiere que estos mecanismos pueden estar asociados a la diferente concentraci´ on de una sustancia qu´ımica, llamado genéricamente morf´ elulas est´ an pre-programadas para ogeno, y que las c´ reaccionar a esta sustancia y diferenciarse en clases de c´ elulas de acuerdo con ella. A su proposici´ on, Wolpert la llam´ o información posicional . En [36] el lector encontrar´ a m´ as detalles sobre ésta. Los intentos por responder las preguntas planteadas en los párrafos anteriores han sido variados y, con frecuencia, han tenido una fuerte carga filos´ ofico-ideol´ ogica que refleja la posición de las personas que las externan, lo que a su vez ha originado interesantes discusiones sobre el tema. Como en tantas otras cosas, el destacado zo´ ologo escocés D’Arcy Wentworth Thomp2 son (1860-1948) en su magna obra On Growth and Form (véase [30]), cuya primera edici´ on apareci´ o en 1942, se adelanta a su tiempo al considerar la emergencia de patrones espaciales en la naturaleza, en particular en los 2

En el ensayo [1], preparado por sus sus autores en ocasi´ on de los ciento cincuenta a˜ nos del nacimiento del destacado naturalista, se rese˜ nan la vida y la obra de esta prominente figura cient´ıfica.

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seres vivos, como resultado de la dinámica de autoorganizaci´ on generada por los procesos f´ısicos, internos y end´ ogenos, propios de cada sistema. Su planteamiento no deja lugar a dudas: Célula y tejido, concha y hueso, ho ja y flor, tambi´ en son materia y, obedeciendo las leyes de la f´ısica, sus partes se mueven, se moldean, se ajustan. No hay excepciones a la regla: Dios siempre hace geometr´ıa. Los problemas de c´ omo se genera la forma son, en primera instancia, problemas matem´ aticos; los de su crecimiento, problemas f´ısicos y el morf´ ologo es ipso facto, un estudioso de las ciencias f´ısicas. En [1] sus autores escribieron: Los ep´ıgrafes de cada uno de los doce cap´ıtulos de los que consta Life’s Other Secret: The New Mathematics of the Living World , [29] –una de las obras del matem´ atico brit´ anico Ian Stewart– son citas de On Growth and Form . El primer secreto, dice Stewart, fue develado por Watson y Crick al descubrir la estructura de la mol´ elula del ADN; el otro, es el que explica c´ omo emerge el orden, la estructura y la forma en todas las manifestaciones de la vida. Adoptando la cita de D’Arcy Thompson como nuestra gran sombrilla conceptual y ubicando el problema de la emergencia de la forma en todos los sistemas en los que la vida se manifiesta en los t´ erminos que lo hace Stewart, anunciamos a nuestro lector que el cap´ıtulo que estamos iniciando lo dedicamos a presentar un conjunto de modelos matemáticos que se expresan como sistemas de ecuaciones diferenciales parciales (EDP), los cuales se han propuesto para explicar la formación de patrones. Como veremos, cada término de aquéllos contiene informaci´ on de los procesos f´ısico-qu´ımicos subyacentes a los que se refiere D’Arcy Thompson. Para ello, en la secci´ o n 5 exponemos con cierto detalle el an´ alisis matem´ a tico en el que se fudamenta el mecanismo propuesto por el matem´ atico inglés Alan Mathison Turing (1912-1954) en su trabajo ([31]): The Chemical Basis of Morphogenesis , 1952. Para llegar a esto, antes necesitamos hacernos de un bagaje conceptual en el que aquél se formula. As´ı,

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en la secci´ on 2 presentamos algunos hechos b´ asicos sobre los procesos de difusión; mientras que en la sección 3 exponemos la formulaci´ on matem´ atica de dos procesos fundamentales que ocurren simultáneamente: la reacci´ on qu´ımica de sustancias y la difusi´ on de éstas. En la sección 4, con base en un s´ımil, se presenta una descripci´ on conceptual del mecanismo de Turing. La secció n 6 está dedicada a la descripci´ o n de un fenómeno (la quimiotaxis) que aunado a la reacci´ on y a la difusi´ on, constituye otro mecanismo morfogenético, el cual ha resultado adecuado para la descripci´ on de otros tantos patrones en la naturaleza. Al final de esta secci´ on se incluyen algunos ejemplos. Nuestro escrito contin´ ua en la secci´ on 7 en la que describimos someramente la formaci´ on de patrones en otros sistemas biol´ ogicos y se bosquejan los correspondientes modelos matem´ aticos. Este cap´ıtulo lo concluimos en la secci´ on 8 cuyo contenido es variado. En efecto, en ella lo mismo se habla de algunas cr´ıticas hechas a la teor´ıa propuesta por Turing –lo cual nos da pie a comentar otros problemas sobre los que se está trabajando actualmente en esta a´rea– que de otros enfoques matem´ aticos con los cuales algunos investigadores se han acercado a este fascinante tema.

6.2

Procesos de difusi´ on

Cuando el destacado matem´ atico y cient´ıfico de la computaci´ on inglés, Alan Mathison Turing en [31] dice: ...la teor´ıa propuesta no hace uso de nuevas hip´ otesis, s´ olo sugiere que ciertas leyes f´ısicas bien conocidas ser´ıan suficientes para dar cuenta de muchos de los hechos [de la morfog´ enesis]. se coloca en la l´ınea de pensamiento de D’Arcy Thompson, seg´ un la cual la explicaci´ o n de la formació n de patrones –de todos los patrones en la naturaleza– hay que buscarla en los mecanismos f´ısico-qu´ımicos subyacentes y no en otro lugar. De hecho, Turing precisa y propone: ...un sistema de sustancias qu´ımicas, llamadas morf´ ogenos , reaccionando y difundiéndose a través de un tejido, es adecuado para describir el principal fenómeno de la morfog´ enesis. Tal sistema,

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aunque puede, originalmente, ser muy homogéneo puede, m´ as tarde, desarrollar un patr´ on o estructura debido a una inestabilidad del equilibrio homogéneo, disparada por una perturbaci´ on al azar. Como primer paso para presentar la formulaci´ on matem´ atica del mecanismo de Turing, en esta secci´ o n vamos a deducir una ecuaci´ o n que describe procesos difusivos; lo haremos desde dos puntos de vista. En el primero, consideraremos a la difusi´ on usando un modelo probabil´ıstico de caminatas aleatorias ; mientras que en el segundo partiremos de suposiciones on . En ammacrosc´ opicas muy simples relacionadas con leyes de conservaci´ bos casos veremos que las ecuaciones que se obtienen son las mismas.

6.2.1

Caminatas aleatorias

Consideremos una part´ıcula que se mueve sobre una recta horizontal pudiendo sólo ocupar las posiciones dadas por la expresión x j = j∆x, al tiempo tk = k∆t, siendo j y k n´ umeros enteros. Es decir, la part´ıcula se mueve cada intervalo ∆t una distancia ∆x. Supongamos adem´ as que estos movimientos los realiza de manera aleatoria. Es decir, dado que en el instante k∆t se halla en el punto j∆x, en el instante (k + 1)∆t puede moverse con probabilidad L a la izquierda (al punto ( j 1)∆x) o a la derecha (al punto ( j + 1)∆x) con probabilidad R. En lo que sigue supondremos que R y L son constantes. Impl´ıcitamente estamos suponiendo que la part´ıcula no puede permanecer en el mismo sitio por lo que R y L satisfacen R + L = 1 y que sólo puede moverse una distancia ∆x en cada movimiento. Denotemos por u(tk , x j ) = u(k∆t, j∆x) a la probabilidad de encontrar a la part´ıcula en la posici´ on x = j∆x en el instante t = k∆t. A continuaci´ on encontraremos una ecuaci´ on que u debe satisfacer. Antes de ello, obsérvese que, dado el car´ acter probabil´ıstico del proceso, no tiene mucho sentido preguntarnos cu´ al es la trayectoria de la part´ıcula, pues cada vez que repitamos el experimento, digamos empezando en el origen, obtendremos en general que el camino seguido fue diferente. Por ello, m´ as que preguntarse por la trayectoria, es conveniente hacer lo propio por la probabilidad u. De acuerdo con nuestras hip´ otesis, en el instante (k 1)∆t, la part´ıcula necesariamente se encontraba en ( j 1)∆x y con probabilidad R se movi´ o a j∆x o se encontraba en ( j + 1)∆x y con probabilidad L salt´ o a j ∆x. Es

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decir, que la probabilidad de que la part´ıcula haya llegado (a j∆x) por la izquierda es u((k 1)∆t, ( j 1)∆x)R.

−

−

Siguiendo un razonamiento an´ alogo se calcula la probabilidad de que haya llegado por la derecha, obteniéndose u((k

− 1)∆t, ( j + 1)∆x)L.

Por lo tanto, la siguiente igualdad se cumple u(k∆t, j∆x) = u((k

− 1)∆t, ( j − 1)∆x)R + u((k − 1)∆t, ( j + 1)∆x)L.

Suponiendo suficientes condiciones de suavidad de u en una vecindad de (tk , x j ), desarrollamos u((k 1)∆t, ( j 1)∆x) y u((k 1)∆t, ( j + 1)∆x) en su respectiva serie de Taylor alrededor del punto (tk , x j ) hasta el término de segundo orden en x y las sustituimos en la igualdad anterior. A fin de no hacer voluminosa la notaci´ on, omitimos escribir las evaluaciones en (tk , x j ) y, despu´ es de agrupar convenientemente, llegamos a la igualdad

−

u = (R + L)u

− [(R − L)∆x]ux −

−

−

(∆x)2 [(R + L)∆t]ut + (R + L) uxx , 2





donde ut y ux denotan las derivadas parciales de u respecto a t y respecto a x; mientras que uxx denota la segunda derivada parcial de u respecto a x. Una vez que usamos el hecho de que R y L son constantes, la condici´ on R + L = 1, hacemos tender tanto a ∆t como ∆x a cero, suponiendo que los l´ımites ∆x (∆x)2 lim y lim , ∆t,∆x→0 ∆t ∆t,∆x→0 2∆t

 

 

existen y son finitos y notando que el razonamiento seguido –hecho para R+ R, el punto (tk , x j )– es v´ alido para cualquier otra pareja (t, x) obtenemos la EDP de segundo orden

∈

∂u ∂ 2 u = D 2 ∂t ∂x

− v ∂u , ∂x

×

(6.1)

donde lim

∆t,∆x→0

(∆x)2 = D y 2∆t

 

lim

∆t,∆x→0



∆x (R ∆t



− L)

= v.

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Ejercicio 1. Proporcione los detalles del c´ alculo para obtener (6.1) y explique por qué ∆x y ∆t no pueden tender arbitrariamente a cero para que se cumpla la ecuaci´ on anterior. ¿Qué interpretaci´ on puede dar de este hecho? Nótese que si R = L = 1/2, el movimiento de la part´ıcula es igualmente probable a la izquierda o a la derecha. Esta situaci´ on indica que el medio opico y, en ese caso, (6.1) se reduce a la EDP: es isotr´ ∂u ∂ 2 u = D 2 , ∂t ∂x

(6.2)

ecuaci´ on que fue propuesta por el matem´ atico francés Joseph Louis Fourier para describir la propagaci´ on del calor, raz´ on por la cual a (6.2) se le llama ecuaci´ on del calor . El razonamiento anterior se puede extender a dimensiones mayores. Por ejemplo, podr´ıamos haber empezado con una caminata aleatoria en el plano, en el que la part´ıcula puede moverse hacia arriba (aba jo), hacia la izquierda (derecha) y hacerlo con probabilidades diferentes o iguales. Procediendo de manera similar, podemos encontrar la EDP que satisface u(t,x,y), la probabilidad de encontrar a la part´ıcula en el instante t en la posición (x, y). Por ejemplo, si el medio es isotrópico, se obtiene la EDP: ∂u = D ∂t

∇2u,

(6.3)

∇2 es el operador laplaciano en dos dimensiones, es decir,

donde

2

2

∂ u ∂ u + 2. ∇2u = ∂x 2 ∂y

6.2.2

Leyes de conservaci´ on

La ecuaci´ on de difusión que acabamos de obtener tambi´ en puede deducirse de consideraciones macrosc´ opicas. Para ello, supongamos que una sustancia se difunde, por ejemplo, una gota de tinta en un recipiente con agua, y que la densidad de esta sustancia en el instante t en el punto (x, y) es ρ(t,x,y). Si la cantidad de sustancia se conserva, entonces, para cualquier regi´ on 3 arbitraria Ω en el plano, tendremos, denotando por Q al flujo, a través de 3

El flujo es simplemente la cantidad de sustancia que sale por unidad de tiempo y por unidad de a ´rea de la frontera limitada por Ω.

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la frontera de Ω que la tasa de cambio de la cantidad de sustancia en Ω es igual a menos la cantidad de sustancia que sale a través de la frontera ∂ Ω: d dt



ρ dx =

Ω

 −

∂ Ω

Q n ds,

·

donde n representa la normal exterior a ∂ Ω. Utilizando el teorema de la divergencia y rearreglando términos nos queda

 Ω

(

∂ρ ∂t

− div(Q)) dx = 0,

donde div(Q) es la divergencia del campo vectorial Q, es decir, si Q = (Q1 , Q2 ) entonces div(Q) = ∂ Q1 /∂x + ∂Q2 /∂y. Utilicemos ahora un argumento usual en estas cuestiones. Dado que Ω es arbitrario, podemos concluir que ∂ρ div(Q) = 0. ∂t Ahora bien, supondremos que la ley de Fick es válida,4 es decir, que el flujo de la sustancia es en la dirección opuesta al gradiente de su concentraci´ on,5 o m´ as precisamente, que Q = D ρ,

−

− ∇

donde D > 0 (constante) es la difusividad de la sustancia. Sustituyendo Q en la ecuación que acabamos de obtener, resulta ∂ρ = div (D ρ) = D 2 ρ. (6.4) ∂t El lector habr´ a notado que, formalmente, las EDP (6.3) y (6.4) son la misma. Sin embargo, la primera –de car´ acter microsc´ opico, pues se refiere a la probabilidad de movimiento de una part´ıcula– se dedujo usando como premisa la isotrop´ıa del espacio; mientras que la segunda –de car´ acter macrosc´ opico, se refiere al movimiento de millones de part´ıculas que forman al volumen sustancia en movimiento– tiene como hip´ otesis fundamental que el flujo de la sustancia es en direcci´ on opuesta al gradiente de su concentraci´ on. ¿Qué le sugiere al lector esta comparaci´ on?

∇

∇

4

La ley de Fick es an´ aloga en este contexto a la ley de Fourier para los procesos de conducci´ on de calor que fue propuesta unos veinte a˜ nos antes. 5 Para dimensi´ on uno, el significado de la ley de Fick es: el flujo de la sustancia es de sitios de alta concentraci´ on a sitios de baja concentraci´ on.

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6.3

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Ecuaciones de reacci´ on-difusi´ on

El otro proceso que Turing supone es la reacción qu´ımica de sustancias. Para nuestros fines, basta suponer que son dos las sustancias que intervienen en la reacci´ on y denotemos por u(t) y v(t) a sus respectivas concentraciones al tiempo t. Si no consideramos ning´ un tipo de efecto espacial, la dinámica de on de masas la cual, bajo ciertas la reacci´ on est´ a regida por la ley de acci´ premisas (véase [10] o [27]), conduce al sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): u(t) ˙ = f (u, v) v(t) ˙ = g(u, v),

(6.5)

donde el punto sobre u y v significa la derivada de estas variables respecto al tiempo t. La forma expl´ıcita de f y g depende de la cinética qu´ımica involucrada (reacciones reversibles, irreversibles, paralelas, presencia de catalizadores, etc.). Ahora bien, dado que incluso en cinéticas relativamente sencillas f y g son funciones no lineales de u y v, entonces el sistema de EDO (6.5) tambi´ en lo ser´ a . La no linealidad , aunada a la aparici´ on de parámetros cin´ eticos propios de las reacciones, hacen que sistemas como éste sean una fuente importante de riqueza dinámica. Para los prop´ ositos que interesan, supondremos que el papel de u es el de favorecer la reacción, es decir, el de un activador ; mientras que la presencia de v retarda la reacci´ on, por lo que es natural referirnos a esta sustancia como inhibidor . Si a la din´ amica temporal dada por el sistema (6.5), se le a˜ naden los efectos espaciales producidos por la difusión y ésta la rigen leyes como la (6.4), tendremos que la din´ amica espacio-temporal de u y v queda descrita por el siguiente sistema de EDP: ∂u ∂t ∂v ∂t

∇2u + f (u, v) D2 ∇2 v + g(u, v),

= D1 =

(6.6)

que, como lo hemos presentamos en la secci´ on anterior, resulta natural llamar sistema de ecuaciones de reacci´ on-difusi´ on . Las constantes D1 y D2 son los coeficientes de difusión de los respectivos reactivos. Puesto que la

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velocidad de difusión de estas sustancias no es necesariamente la misma, se tiene que D1 = D 2 . El lector notar´ a que debido a la no linealidad de f y g el sistema (6.6) –aunque es lineal en la parte difusiva– en general no lo es en la parte reactiva. La no linealidad dificulta hacer estudios anal´ıticos en los que, por ejemplo, buscar soluciones expl´ıcitas es m´ a s bien un sue˜ n o y no una realidad. Sin embargo, esta caracter´ıstica proporciona gran variedad de las posibles din´ amicas espacio-temporales que pueden ser descritas por dicho sistema. Una de éstas es, precisamente, la formaci´ on de patrones. Por lo dicho aqu´ı, es común estudiar el sistema (6.6) desde dos puntos de vista complementarios:



1. El num´ erico, en el que, con ayuda de la computadora y algunos métodos numéricos, se obtienen soluciones aproximadas (o numéricas) del problema particular que se estudia. 2. El cualitativo. Se trata de obtener propiedades cualitativas de las soluciones sin que éstas se conozcan expl´ıcitamente. Con frecuencia el fenómeno estudiado “sugiere” el tipo de soluciones para el sistema. Esto ocurre, por ejemplo, en el proceso de agregaci´ on de la amiba Dicon 6) o en la reacci´ on de Belousovtyostelium discoideum (véase la secci´ Zhabotinskii en donde, para el caso bidimensional, se forman patrones espaciales de concentración de tipo espiral rotando. Previo a hacer el análisis detallado en la siguiente secci´ on damos argumentos intuitivos sobre la plausibilidad de la formaci´ on de patrones siguiendo el mecanismo propuesto por Turing.

6.4

Incendios forestales y el mecanismo de Turing

Como mencionamos en la introducci´ on, la propuesta de Turing para explicar la formaci´ on de patrones est´ a basada en la reacci´ on de dos sustancias que se difunden simult´ aneamente. Sin embargo, uno de los efectos más importantes de la difusi´ on es el de homogeneizar y diluir cualquier distribución inicial o

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134

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diferencia temporal de la que se haya partido (piénsese de nuevo en una gota de tinta que se difunde en un recipiente con agua, o en el humo de un cigarro, después de poco tiempo, el agua se ti˜ ne y el humo “desaparece”). ¿C´ omo se puede explicar entonces la aparición de patrones en una reacción, simplemente tomando en cuenta la difusión de los compuestos? Esta situaci´ on hizo que la propuesta de Turing fuera vista con escepticismo por mucho tiempo y, de hecho, no fue sino hasta hace unos pocos a˜ nos que el mecanismo de formaci´ on de patrones de Turing fue plenamente establecido en reacciones qu´ımicas (véanse [3] y [13]). Para entender este mecanismo, pensemos en una analog´ıa simple. Si en un bosque un incendio se inicia en diversos puntos, éste empezar´ a a propagarse formando “parches”. El fuego juega en nuestro esquema el papel del activador. Por otra parte, si una patrulla forestal est´ a continuamente verificando el estado del bosque, pronto se dar´ a cuenta de lo ocurrido y empezar´ a a combatir el incendio. El agua que la patrulla forestal utilice para controlar el fuego representa al inhibidor. Despu´ es de alg´ un tiempo, es probable que el fuego no se extienda y se establezca una situación temporal con patrones de zonas que se están consumiendo por el fuego, con zonas fuera de peligro. Si se piensa m´ as detenidamente en este mecanismo, se llegar´ a a la conclusi´ on de que este equilibrio es posible porque la velocidad de propagación del incendio es mucho menor que aqu´ ella con la que patrulla forestal ataca el fuego. Esta conclusi´ on, es decir, que D 2 >> D1 , es confirmada por el an´ alisis matem´ atico y lo exploraremos en detalle en la siguiente secci´ on. A este mecanismo de formaci´ on de patrones se le conoce como inestabilidad producida por la difusi´ on o mecanismo de Turing .

6.5

Inestabilidad de Turing

En esta sección presentaremos parte del análisis de la inestabilidad de Turing. Enfaticemos de nuevo el hecho de que la ecuaci´ on que describe la parte de la reacción u(t) ˙ = f (u, v) v(t) ˙ = g(u, v),

(6.7)



 












135


no toma en cuenta efectos espaciales. M´ a s a´ un, como veremos m´ as adelante en el análisis, el punto de equilibrio que consideraremos para este sistema ser´ a asint´ oticamente estable, por lo que ser´ıa natural esperar que, a pesar de introducir algunas perturbaciones que no fueran espacialmente homogéneas, este punto de equilibrio siguiera siendo estable. No deja de ser sorprendente, como ya lo mencionamos, que el introducir efectos espaciales de tipo difusivo, tal como en el sistema ∂u = D1 2 u + f (u, v) ∂t (6.8) ∂v 2 = D2 v + g(u, v), ∂t vuelvan a este equilibrio espacialmente homogéneo inestable, produciendo as´ı cambios que conllevan la formaci´ on de patrones. Antes de empezar el análisis del sistema anterior, recordemos que para completar la formulaci´ on matem´ atica del problema es necesario especificar las condiciones iniciales y de frontera . En cuanto a las condiciones iniciales, supondremos que

∇ ∇

u(x,y, 0) = u 0 (x, y) y v(x,y, 0) = v 0 (x, y),

∀ (x, y) ∈ Ω,

donde las funciones u0 y v0 son dadas y representan la distribuci´ on inicial (en t = 0) de los dos morfógenos en la regi´ on Ω. Las condiciones de frontera que se consideran, incorporan el hecho de que la emergencia de patrones se debe exclusivamente a factores endógenos al sistema: se trata de procesos on . Por ello, el flujo de los reactivos en la frontera, ∂ Ω, de de autoorganizaci´ Ω es cero (condiciones de Neumann homogéneas), i.e., ∂u ∂u = ∇v · n ≡ = 0, ∀ (x, y) ∈ ∂ Ω y ∀ t ≥ 0. ∇u · n ≡ ∂n ∂n Aqu´ı n denota el vector normal exterior a ∂ Ω. Siguiendo la segunda cita de Turing, consideremos el sistema homogéneo, es decir, el que se obtiene de hacer D 1 = D 2 = 0 en (6.8) y supongamos que el sistema resultante tiene un punto de equilibrio,6 (u∗ , v ∗ ), en el espacio de las concentraciones i.e., que ambos u∗ y v ∗ son positivos y satisfacen f (u∗ , v ∗ ) = g(u∗ , v ∗ ) = 0. El sistema lineal de EDO que aproxima a (6.7) 6

Un estado homogéneo, en palabras de Turing.



 










136




se obtiene de desarrollar (hasta los t´ erminos de primer orden) a f y g en ´ su respectiva serie de Taylor alrededor de (u∗ , v∗ ). Este, después de hacer ∗ ∗ las traslaciones u u y v v y para no introducir notaci´ on adicional, seguimos representando por u y v a las variables (cuando deber´ıan ser las diferencias anteriores), toma la forma

−

−

u(t) ˙ = f u (u∗ , v ∗ )u + f v (u∗ , v ∗ )v v(t) ˙ = gu (u∗ , v∗ )u + gv (u∗ , v ∗ )v,

(6.9)

donde los sub´ındices denotan derivadas parciales con respecto a la variable correspondiente. Escrito en forma matricial (6.9) es

   u˙ v˙

=

J 11 J 12 J 21 J 22

  u v

,

(6.10)

donde J ij con i, j = 1, 2 es la matriz de Jacobi cuyas entradas son las derivadas parciales f u , f v , gu y gv , respectivamente, evaluadas en el equilibrio (u∗ , v ∗ ). El comportamiento cualitativo de las soluciones de (6.10) alrededor del equilibrio depende de las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico de J [f, g](u ,v ) : (λ) = λ 2 (trJ )λ + detJ, ∗

∗

P

−

donde (trJ ) = (J 11 + J 22 ) y detJ = (J 11 J 22 J 21 J 12 ). En particular, si ambas ra´ıces de son reales negativas o complejas con parte real negativa, el punto de equilibrio (u∗ , v ∗ ) es asint´ oticamente estable localmente. Esto ocurre si el siguiente par de condiciones se satisface:

P

−

1. trJ = (J 11 + J 22 ) < 0, [(λ1 + λ2 ) < 0] y 2. detJ = (J 11 J 22

− J 21J 12) > 0, [λ1λ2 > 0].

En el caso de activador-inhibidor, que es de nuestro inter´ es, la gr´ afica de las curvas de nivel f (u, v) = 0 y g(u, v) = 0 tienen cualitativamente la forma que se ilustra en la figura 6-1. El punto de equilibrio, correspondiente a la intersecci´ on de ambas curvas, satisface las condiciones listadas antes. Ejercicio 2. Compruebe la afirmaci´ on anterior. Pasemos ahora al caso heterogéneo, es decir, en el que los coeficientes de difusión D 1 y D2 no son cero. Es claro que como (u∗ , v ∗ ) no depende de x, de y ni de t, entonces la pareja de funciones u ˜ (x,y,t) u∗ , v˜(x,y,t) v ∗

≡

≡



 












137


es una solución (homogénea y estacionaria) del sistema (6.8). De nuevo, seg´ un la cita de Turing, buscar´ıamos las condiciones para que –ante una perturbación espacio-temporal (Turing menciona que deber ser al azar)– el estado homogéneo y estacionario anterior se desestabilice. El an´ alisis que aqu´ı presentamos es local y lineal. Por ello, consideremos la linealizaci´ on de ∗ ∗ ´ (6.8) en vecindades de (u , v ). Esta es: ∂u = D1 2 u + J 11 u + J 12 v ∂t (6.11) ∂v 2 = D2 v + J 21 u + J 22 v. ∂t El an´ alisis de la estabilidad del punto de equilibrio es m´ as elaborado que en el caso anterior. Por ello, nuestro estudio ser´ a detallado... el caso lo amerita.

∇ ∇

Figura 6-1: El modelo activador inhibidor exhibe ceroclinas f (u, v) 0 que tienen este comportamiento cualitativo.

≡ 0 y g(u, v) ≡

Luego, supondremos que cada componente de las soluciones al problema (6.11), es decir, (u(x,y,t), v(x,y,t)) = (u(r, t), v(r, t)) se puede descomponer como una combinaci´ on lineal infinita de funciones de la forma 

eλt−ik·r , donde  k = (k1 , k2 ) es el vector de n´ umero de onda y representa el producto escalar de los vectores indicados. La descomposici´ on mencionada es una superposición de ondas planas . El an´ alisis de estabilidad puede llevarse a

·



 










138




cabo por separado, para cada uno de estos términos. M´ as precisamente, puede demostrarse que si el punto de equilibrio es inestable para uno de estos modos , también lo es para la soluci´ on completa (la que proviene de la combinaci´ on lineal). Por lo que, sin pérdida de generalidad, lo haremos para una sola onda plana. En este caso, supondremos que 



u(r, t) = w 1 eλt−ik·r y v(r, t) = w 2 eλt−ik·r , donde ambas, w 1 y w 2 , son constantes. Denotando por T al transpuesto del vector correspondiente y sustituyendo las expresiones anteriores en (6.11), llegamos a que λ, w =  (w1 , w2 )T y  k = k12 + k22 satisfacen

|| ||

λw1 = λw2 =



−D1k2w1 + J 11w1 + J 12w2 −D2k2w2 + J 21w1 + J 22w2.

(6.12)

Es decir que para resolver la ecuación “modo a modo”, es necesario resolver el sistema de ecuaciones algebraicas anterior el cual, en forma matricial, podemos escribir como

D − J [f, g](u ,v ))w =   0, donde I es la matriz identidad de dos por dos y D es la matriz diagonal (λI + k2

∗

∗

con elementos D1 y D2 . Como sabemos de álgebra lineal, el sistema lineal y homogéneo anterior tiene soluci´ on, w,  distinta de la trivial si y sólo si el determinante de la matriz asociada al sistema, es igual a cero, es decir, si

P ˜ (λ) ≡ λ2 + [(D1 + D2)k2 − (J 11 + J 22)]λ + ∆(k2)) = 0, en donde ∆(k2 ) = D1 D2 k4 − (D1 J 22 + D 2 J 11 )k 2 + detJ [f, g](u ,v ) . En el contexto de propagaci´ on de ondas, a esta ecuaci´ on se le llama relaci´ on ˜ cuya parte de dispersi´ on . Es claro que si obtenemos una ra´ız, λ, de P ∗

∗

real sea positiva, entonces la amplitud del modo correspondiente crecer´ a indefinidamente con el tiempo, lo cual significa que el modo asociado es inestable. Para que esto ocurra, basta demostrar que existe k 2 para el que alguna de las dos condiciones siguientes, se viole: i [(J 11 + J 22 )

− (D1 + D2)k2] < 0,

ii ∆(k 2 ) > 0.



 












139


Dado que (u∗ , v ∗ ) es asint´ oticamente estable localmente adem´ as de cumplirse que det J > 0 se satisface (J 11 + J 22 ) < 0 y entonces [(J 11 + J 22 ) (D1 + D 2 )k2 ] < 0 por lo que no existe k2 para la que la primera condici´ on se viole. Luego, s´ olo queda averiguar la existencia de k 2 para la que la segunda condici´ on se viole, es decir, ∆(k 2 ) 0 para al menos un k2 = 0. Pero ∆(k 2 ) = 0 si y sólo si

−

≤



2 k 2 = k 1,2 =

(D1 J 22 + D2 J 11 )

±



(D1 J 22 + D2 J 11 )2 2D1 D2

− 4D1D2det J .

Ahora, k 12 = k 22 si y sólo si (D1 J 22 + D2 J 11 )2 4D1 D2 det J = 0, por lo que ´ esto nos da un valor cr´ıtico (par´ es: ametro de bifurcaci´ on ) para k2 . Este

−

2 k12 = k 22 = k crit =

(D1 J 22 + D2 J 11 ) > 0, 2D1 D2

(6.13)

2 ) = 0. Como ∆ (k 2 ) = 2D D > 0 donde, adem´ a s, ocurre que ∆ (kcrit 1 2 2 . Luego, si para todo k2 , entonces ∆ tiene un m´ınimo absoluto en kcrit 2 ) < 0, asegurar´ imponemos la condici´ o n ∆(kcrit ıamos que k12 = k22 . Por lo tanto, para valores de k 2 tales que k 22 < k2 < k12 , tendremos ∆(k 2 ) < 0. En consecuencia, para estos valores de k 2 , la parte real, λ, de λ es positiva y entonces las perturbaciones espacio-temporales crecen al aumentar t, con lo que el estado estacionario y homogéneo (0, 0) de (6.11) (equivalentemente (u∗ , v ∗ ) de (6.8)) pierde su estabilidad. Lo que afirma Turing es que una vez que se desestabilizó el estado (u∗ , v∗ ), la distribuci´ on espacial de los morf´ ogenos evoluciona hacia una distribuci´ on inhomogénea “ordenada”...ese es un patrón de Turing. Antes de dar lugar a los ejemplos, conviene ponerle lupa a lo hecho en los u ´ ltimos p´ arrafos, pues de esa mirada inferiremos resultados valiosos. En 2 efecto, note el lector que de la condición kcrit > 0 –al factorizar D1 en el 2 numerador de la expresión que define a k crit– se sigue









D 2 J 22 + J 11 > 0, D1

pero como (J 11 + J 22 ) < 0 entonces esto obliga a que J 11 y J 22 tengan signos opuestos: de hecho a que J 11 > 0 y J 22 < 0 y a que la razón, D2 /D1 , entre los coeficientes de difusión sea mayor que uno. Más a´ un, la condici´ on

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 










140




(D1 J 22 + D2 J 11 )2 = 4D1 D2 det J,

(6.14)

2 , obliga a que la raz´ que determina a k crit on D2 /D1 también deba tener un valor cr´ıtico por debajo del cual la perturbaci´ on no desestabiliza al estado ∗ ∗ (u , v ). Dicho valor cr´ıtico es:

  D2 D1

crit

≡ β crit =

− J 21J 12 ± 2√ −J 21J 12det J .

det J

2 J 11

(6.15)

Este se obtiene de (6.14) factorizando el cociente D 2 /D1 y notando que éste satisface la ecuaci´ on cuadrática: 2 J 11

2

  D2 D1

+ (2J 11 J 22

− 4det J )

 

D2 2 + J 22 = 0. D1

Aún tenemos otras consecuencias de este juego algebráico. En efecto, de (6.15) se sigue que el cociente D2 /D1 es un número real a condici´ on de que J 21 J 12 det J > 0. Pero como det J > 0 entonces esto obliga a que J 21 J 12 > 0, lo cual ocurre si ambos, J 21 y J 12 , tienen signos opuestos. Esto, junto con los signos que ya vimos han de tener J 11 y J 22 , nos lleva a un resultado muy interesante: la estructura de signos de la matriz de Jacobi J [f, g](u ,v ) que permite la desestabilizaci´ o n de (u∗ , v ∗ ), que no es arbitraria. Es exactamente s´ olo de una de las siguientes formas:

−

−

∗

∗

J [f, g](u

∗

,v ∗ ) =

 −  −

+ +

,

que se conoce como activador-inhibidor y J [f, g](u

∗

,v ∗ ) =

 − −  + +

,

a la que se le llama activador-inhibidor cruzado. Hecho esto, conviene ahora poner en una lista las condiciones que, de cumplirse, se da la llamada bifurcaci´ on de Turing . 1 trJ [f, g](u

∗

,v ∗ ) < 0,

2 detJ [f, g](u

∗

,v ∗ ) > 0,



 












141


3 D1 gv + D2 f u > 0 y 4 D1 gv + D2 f u > 2



D1 D2 (f u gv

− f v gu).

Nó tese que de las condiciones 1 y 3 se concluye que efectivamente D1 = D2 , lo que ya adelant´ abamos en la explicaci´ on intuitiva contenida en la secci´ on 4. Las siguientes palabras resumen la esencia del mecanismo morfogen´ etico propuesto por Turing: los patrones turingianos provienen de un estado estacionario y homogéneo que es estable ante perturbaciones temporales, pero es inestable ante perturbaciones espacio-temporales. Una vez que aqu´ el se desestabiliza y las demás condiciones listadas anteriormente se cumplen, la distribuci´ on espacial de los morf´ ogenos tiende (cuando t ) a ser inhomogénea... pero ordenada, ¡ese es un patr´ on turingiano! Con el mecanismo de Turing se ha intentado estudiar la emergencia de patrones de gran cantidad de sistemas qu´ımicos, biol´ ogicos y f´ısicos. En [24] nuestro amable lector encontrá una muy buena compilaci´ on de estos esfuerzos en diferentes sistemas biol´ ogicos. A manera de ejemplo, diremos que los sistemas de activador-inhibidor han sido usados abundantemente por el biomatem´ atico alem´ an Hans Mainhardt (véase [20]) para describir los patrones de coloraci´ on en conchas de moluscos. Gran variedad de patrones han resultado de las simulaciones numéricas realizadas en sistemas de reacci´ ondifusión. En éstos se han propuesto partes cinéticas, f y g que, además de tener las caracter´ısticas que identifican a los respectivos sistemas como de activador-inhibidor, tienen realidad en términos de la cinética qu´ımica de los procesos que dan la coloración a las conchas. En algunos casos, la comparaci´ on entre las conchas que “viven” en la computadora (la simulada) y la que vive en las arenas de la playa (la real) es sorprendente. V´ ease la figura 6-2.



→ ∞

6.6

Otro mecanismo morfogen´ etico: la quimiotaxis

En las secciones anteriores hemos presentado y ejemplificado el mecanismo morfogenético de Turing. En esta secci´ on describiremos un fenómeno que

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ya sea él solo o junto con otros está en la base del movimiento de muchos individuos. Se trata de la quimiotaxis, la cual, aunada a la difusi´ on y a la reacción –fundamento de la propuesta turingiana–, constituye otro m´ as de los mecanismos que han sido propuestos para la explicar la formaci´ on de patrones biol´ ogicos. Empezamos presentando, a trav´ es de un sistema biol´ ogico particular, las bases fenomenol´ ogicas de la quimiotaxis para después deducir el modelo matem´ atico correspondiente. Esta secci´ on la terminamos presentando algunos ejemplos ilustrativos.

Figura 6-2: a) El molusco Amoria ellioti . b) El molusco Amoria ellioti “simulado”. Tomado de [20].

6.6.1

Los hechos sobre agregaci´ on

Un hecho ampliamente documentado en la literatura respectiva es que gran variedad de organismos vivos, tanto microsc´ opicos (bacterias, amibas, etc.) como macrosc´ opicos (insectos, tiburones, tortugas, etc.), se mueven en respuesta a diferentes est´ımulos ambientales (luz, sustancias qu´ımicas atrayentes o repelentes, olores producidos por feromonas, etc.) o por cuestiones de comportamiento (apareamiento, conductas gregarias para sobreponerse a condiciones ambientales hostiles, etc.). Por ejemplo, los tiburones son capaces de seguir peque˜ nas trazas de sangre en el agua cuando la fuente se encuentra a kilómetros; la tortuga verde Chelonia midas viaja cientos de kilómetros para encontrar el sitio en el que se aparea.

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En el caso de que, como resultado del movimiento de los individuos, on ya sea que éste se origine por la interacci´ on con otro agente (agregaci´ indirecta ) o por factores endógenos (agregaci´ on directa ), aquéllos se agrupen, esto puede ser la culminaci´ on de un efecto cooperativo (quizás complejo) en el que participan todos los entes que forman la poblaci´ o n. Esto es lo que ocurre con la bacteria Bacillus subtilis (v´ ease [35]). Las colonias de esta bacteria pueden formar patrones espaciales con diferente geometr´ıa, en éstos se incluyen los que tienen morfolog´ıa ramificada y las estructuras fractales. Los factores que determinan qu´ e patr´ on se forma, son la concentraci´ on del sustrato (agar) y el nivel de peptona. En la figura 6-3 se ve una muestra de los posibles patrones espaciales de la Bacillus subtilis .

Figura 6-3: Patrones espaciales de colonias de la bacteria Bacillus subtilis.

Hay organismos que emiten una sustancia qu´ımica la cual es percibida por otros individuos de su misma especie, quienes son atra´ıdos hacia sitios de alta concentraci´ on de la sustancia qu´ımica atrayente (el quimioatrayente). Este es el llamado fen´ omeno de quimiotaxis y resulta ser un mecanismo muy eficiente de comunicaci´ on entre organismos que son ciegos, mudos y sordos como las bacterias.

6.6.2

El ciclo de vida de la amiba Dictyostelium discoideum

La amiba Dictyostelium discoideum es un moho que vive en suelos fangosos. Aunque es un organismo aparentemente simple, durante su ciclo de vida se llevan a cabo una serie de procesos que la han hecho objeto de muchos estudios tanto te´ oricos como experimentales. El ciclo de vida de esta amiba se

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ilustra en la figura 6-4 y su descripción, por necesidad sucinta, la empezamos en el estadio de espora.

Figura 6-4: Ciclo de vida de la amiba Dictyostelium discoideum. Redibujado de [9].

En condiciones favorables de alimento y temperatura la espora germinará y, del saco formado por la c´ ascara que la contiene, surge una amiba. ´ Esta se alimenta de bacterias y se mueve por medio de sus seud´ opodos. Su reproducción se efect´ ua dividiéndose; en condiciones propicias, lo hace cada tres horas y, mientras haya alimento disponible, puede seguirlo haciendo. La escasez de nutrientes origina una serie de procesos, tanto en cada individuo como del conglomerado de éstos, todos ellos a cual m´ as de interesantes. Veamos. En tanto el alimento es escaso, durante varias horas, la amiba empieza a moverse en forma aparentemente errática, después de las cuales se inicia un proceso de agregación de estos organismos hacia algunos sitios con caracter´ısticas espec´ıficas. A los detalles de este mecanismo le dedicamos algunos p´ arrafos m´ as adelante. De momento continuemos con nuestra descripción esquemática. Después del proceso de agregación se forma una masa babosa compuesta de muchas células, la cual deambula dirigiéndose hacia

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145

lugares con mayor luz y humedad. Una vez que este movimiento cesa, el cuerpo baboso inicia una serie de transformaciones que culminan en la formación de una especie de tallo muy delgado coronado por una suerte de bola. El primero est´ a compuesto por c´ elulas muertas; mientras que el segundo contiene esporas. Si una de éstas se coloca en un medio favorable germinar´ a repitiéndose, de esta manera, el ciclo de la Dictyostelium . Véase la figura 6-4. De las razones por las cuales la Dictyostelium ha sido (y lo contin´ ua siendo) un sistema sobre el que se han hecho m´ ultiples estudios, destacan: 1. La morfogénesis. Durante su ciclo ocurren una serie de procesos (agregaci´ on, adhesi´ on, migraci´ on, etc.) que son comunes a otros procesos morfogenéticos. Para los fines de este traba jo conviene adelantar que el proceso de agregación de estas amibas –que forman colonias– conlleva la emergencia de patrones espaciales, que son el resultado de procesos de autoorganizaci´ on. 2. La biolog´ıa del desarrollo. Durante su ciclo tambi´ en se da un proceso fundamental en la biolog´ıa del desarrollo: la diferenciaci´ on celular. Partiendo de un conjunto de células bastante homogéneas ocurre que éstas se diferencian en forma controlada en dos tipos de células: las que forman el tallo y las esporas.

6.6.3

El mecanismo para la agregaci´ on

Durante mucho tiempo se conjeturó que la agregaci´ o n de la Dictyostelium ocurr´ıa debido a la quimiotaxis, pero no se conoc´ıa la sustancia quimioa´ trayente. Esta ha sido identificada, se trata de monofosfato de adenocina as de su importancia aqu´ı, es también func´ıclico 3’,5’, sustancia que, adem´ damental en la fisiolog´ıa de los mam´ıferos, pues es “el segundo mensajero universal” de la acci´ on hormonal. En lo sucesivo la denotaremos como cAMP. Algunas células pioneras liberan periodicamente cAMP el cual es detectado por las amibas cercanas mediante sensores que tienen en su membrana. No obstante que el cAMP proviene de varios sitios, aquéllas siguen la estela correspondiente a los lugares en los que el cAMP se emite con mayor intensidad. Veamos c´ omo se realizan los movimientos hacia el centro de atracci´ on. Para empezar, consideremos por separado una sola amiba. En respuesta al

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est´ımulo, aquélla se mueve durante aproximadamente minuto y medio; al cabo de este tiempo, la amiba permanece quieta por un periodo que var´ıa entre tres y ocho minutos (que son los mismos que tardan las precursoras en volver a emitir otro pulso de cAMP) al final de los mismos inicia de nueva cuenta el movimiento. As´ı, repetidos ciclos de movimiento y pausa, llevan a la amiba al sitio desde el que surge la mayor cantidad del quimioatrayente. Fijemos ahora la atenci´ on en un conglomerado de amibas. Resulta que el movimiento de éstas no es arbitrario, se efect´ ua secuencialmente. En efecto, las primeras amibas en moverse son las que se encuentran más cercanas al centro emisor, despu´ es lo hacen las que est´ an en un anillo m´ as alejado y as´ı sucesivamente. En resumen, la agregaci´ on de la Dictyostelium se da a través de pulsos de movimientos cuya periodicidad está modulada por la frecuencia con la que se secreta el cAMP: se trata de ondas de concentración de amibas que viajan desde sitios alejados hacia el centro emisor del quimioatrayente.

6.6.4

Los patrones espaciales

Dado que el ciclo completo se lleva a cabo en suelo fangoso, para fines de esta presentaci´ on conviene pensarlo como si fuese un plano. En éste, la ruta seguida por las amibas al moverse no es arbitraria. En efecto, visto al detalle, el movimiento de cada amiba es complejo pues siempre est´ a caminando de manera que su velocidad apunte hacia el sitio de alta concentraci´ on del quimioatrayente pero, por el mecanismo explicado antes, el conjunto se mueve de tal manera que siempre estén colocadas sobre una curva que cualitativamente tiene el aspecto de una espiral. Por lo que, en “bulto”, la impresi´ on que este movimiento colectivo causa es que se trata de una espiral enroll´ andose.7 La formaci´ on de patrones espaciales de tipo espiral s´ olo ocurre durante una fase del movimiento, ya que tiempo después éstas se rompen dando lugar a patrones ramificados. La figura 6-5 muestra la secuencia de formaciones espaciales de esta amiba. El fenómeno de la quimiotaxis no s´ olo se da en amibas o en bacterias. Este es un proceso que también es empleado por otros organismos para formar estructuras complejas, tales como las células dendr´ıticas en el cerebro.

7

Este tipo de organizaci´ on espacial es tan frecuente en los llamados medios excitables (v´ ease [28]), que suele decirse que las espirales son genéricas a los sistemas excitables.

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Figura 6-5: Distintos patrones espaciales en el movimiento de las colonias de las amiba Dictyostelium discoideum . De espirales rotando a patrones ramificados.

Hay la certeza de que la descripció n detallada de todas y cada una de las fases que forman el ciclo de la Dictyostelium dará mucha luz sobre otros sistemas que, siendo m´ as complejos, exhiben procesos similares a los observados en la amiba que nos ocupa.

6.6.5

El modelo quimiot´ actico

Con base en lo expuesto en los párrafos anteriores, al lector le quedará claro que son dos los actores relevantes en el fen´ omeno quimot´ actico: la sustancia quimioatrayente y las células que son atra´ıdas por ésta. A fin de deducir un modelo matem´ atico que describa el fen´ omeno motivo de esta secci´ on, denotemos por c(r, t) y n(r, t) a sus respectivas concentraciones en el punto r = (x, y) al tiempo t. Si adem´ as de la quimiotaxis consideramos que las células se mueven por difusi´ on tipo Fick y la sustancia atrayente lo hace s´ olo por difusión fickiana, al usar los argumentos dados en la secci´ on 3, resulta que la dinámica espacio-temporal de n y c, la determina el par de EDP: ∂n ∂t ∂c ∂t

= =

−∇ · J  n + f (n, c) −∇ · J  c + g(n, c),

(6.16)



 










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 n , de las células tiene dos fuentes: una, la debida a la donde el flujo, J  d , y la otra proveniente de la quimiotaxis: J  q , por difusión fickiana, J  n = J  d + J  q . A su vez J  q , adem´ lo que J as de depender del gradiente, c, de c, depende de la concentraci´ o n de n y la de c. Se ha propuesto  J n = Dn n + nχ(c) c. Aqu´ı χ(c) 0 para todo valor de c y se le llama ´ factor quimiot´ actico. Este es una medida de la sensitividad quimiot´ actica . Con bases fenomenol´ ogicas, se han propuesto distintas relaciones funcionales entre χ y c. Por ejemplo, Murray [24] menciona dos: χ(c) = χ0 /c y χ K  c , de χ(c) = (K donde χ0 y K son constantes positivas. El flujo, J +c) la sustancia quimioatrayente normalmente se supone que satisface la ley de Fick. Las funciones no lineales f y g que aparecen en (6.16), miden la razón con la que las sustancias con concentraci´ on n y c, reaccionan entre s´ı. La forma expl´ıcita de aquéllas la determina por el tipo de cinética qu´ımica  n y J  c en (6.16) este sistema toma la involucrada. Sustituyendo los flujos J forma:

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− ∇

∇

≥

0

2

∂n ∂t ∂c ∂t

= Dn =

∇2n − ∇ · [nχ(c)∇c] + f (n, c) Dc ∇2 c + g(n, c),

(6.17)

donde Dn y Dc son las difusividades (constantes positivas) de las células y del quimioatrayente, respectivamente. Al par de ecuaciones (6.17) le llaon-difusi´ on-quimiotaxis (R-D-Q). Notemos que, maremos sistema de reacci´ a diferencia del signo “+” que antecede al término Dn 2 n (el de difusión fickiana) en la primera ecuaci´ on, el término quimiot´ actico, [nχ(c) c], est´ a precedido del signo “ ”. Dado que n > 0 y χ(c) > 0 para todo c > 0, el producto nχ(c) es positivo y entonces el signo “ ” detr´ as del término aludido se interpreta como sigue: la parte quimiot´ actica del movimiento de las células se da hacia sitios de alta concentraci´ on del quimioatrayente. ´ Esta es una diferencia fundamental respecto a los movimientos por difusi´ on fickiana, los cuales ocurren de sitios de alta concentraci´ on hacia sitios de baja concentraci´ on. El sistema (6.17) aunado a las condiciones iniciales y las de frontera completan el problema matem´ atico a estudiar. N´ otese que el sistema (6.17), adem´ a s de que puede no ser lineal debido a la forma de f y g, también lo es debido al término quimiot´ actico que aparece en la primera de sus ecuaciones. Esto hace que su an´ a lisis, por lo general, no sea una tarea sencilla pero –como también ocurre en muchos modelos matem´ aticos no

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−

∇ ·

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lineales– la riqueza de las posibles dinámicas espacio temporales a las que da lugar es sorprendente. Un análisis similar al realizado para el sistema de reacci´ on-difusi´ on (6.8) puede llevarse a cabo para el sistema (6.17) y mostrar que, para cierto rango de los par´ ametros, éste tiene la propiedad de producir patrones espaciales. Por ejemplo, en 1991 Maini et al. (véase [18]) adoptaron un enfo que numérico para realizar un an´ alisis de bifurcación muy detallado en un sistema de R-D-Q en dos dimensiones. A continuaci´ on, el lector encontrar´ a unos cuantos ejemplos en los que la quimiotaxis, aunada al mecanismo de reacci´ on y difusión, se ha propuesto para la descripci´ on de algunos patrones biológicos.

6.6.6

Algunos patrones generados por mecanismos quimiot´ acticos

Otra vez la Dictyostelium Para la fase de agregaci´ on de la Dictyostelium se han realizado varios estu´ dios. Estos van desde los casos simplificados en una dimensi´ on efectuados por los pioneros en el estudio de la formaci´ on de patrones en este sistema biológico: Keller y Segel [12], hasta otros m´ as complejos en dos dimensiones. Una revisión de los resultados obtenidos puede consultarse en [19]. En esta parte nosotros dedicaremos unas l´ıneas para describir algunos estudios recientes sobre la as´ı llamada paradoja de la onda quimiot´ actica. Pero, ¿en qué consiste tal parado ja? Como ya lo dijimos antes, la agregaci´ on de las amibas es desencadenada por ondas periodicas de cAMP, que viajan del centro de agregación hacia afuera atrayendo hacia éste a las c´ elulas. El perfil de concentraci´ on de un solo pulso de cAMP es aproximadamente simétrico; por lo cual el perfil de la velocidad quimiot´ actica, χ(c) c, bajo el efecto de tal impulso, pudiera también ser aproximadamente simétrico. Esto originar´ıa que en el frente de la onda de propagaci´ on se produjera un movimiento celular opuesto a la onda de propagaci´ on; mientras que en la parte trasera se tendr´ıa un movimiento celular cuya direcció n es la misma que la del frente de onda. Como las amibas permanecer´ıan m´ as tiempo bajo la influencia de la parte trasera de la onda que del frente, entonces exhibir´ıan alguna translocaci´ on neta en la direcci´ on de la onda de propagaci´ on, lejos del centro de agregación. Mediciones experimentales in situ demostraron que las amibas en realidad s´ olo se

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mueven en los frentes de la onda y permanecen más o menos estacionarias en la parte trasera. As´ı, la respuesta de las células quimiot´ acticas no puede ser sólo determinada por el gradiente local de cAMP. Patrones en la piel de serpientes Las células precursoras del pigmento de las serpientes son los cromatoblastos que migran de la cresta neural durante el desarrollo embrionario y se distribuyen en la dermis. Las interacciones de cromatóforos pueden dar lugar, tanto a células pigmentadas como a no pigmentadas, las cuales se agrupan en distintos sitios sobre la piel, produciendo franjas o motas. En [23], los autores proponen que los cromatoblastos (las c´ elulas en su modelo), adem´ as de producir sustancia quimioatrayente, también responden a ella. Escrito esquem´ aticamente, ellos sugieren que: [vel. de la densidad celular] [vel. del quimioatrayente]

= =

difusi´ on quimiotaxis + mitosis celular difusi´ on + razón de producci´ on degradaci´ on

−

−

Suponiendo que la mitosis celular sigue una ley log´ıstica, la raz´ on de producción de la sustancia quimioatrayente est´ a dada por la ley de MichaelisMenten (véase [27]) y la degradaci´ on de aquélla es malthusiana (véase el cap´ıtulo 2 de la segunda parte de [10]), se tiene el par de EDP: ∂n ∂t ∂c ∂t

∇2n − α∇ · (n∇c) + rn(K − n) Sn Dc ∇2 c + β+n − γc,

= Dn =

(6.18)

donde todos los parámetros que aparecen son positivos y el operador laplaciano, 2 , es en dos dimensiones. Las simulaciones numéricas realizadas por Murray y Mygerscough y reportadas en [23] fueron hechas en un dominio rectangular, cuyo largo es mucho m´ as grande que su ancho (esto, tratando de figurarse la piel de las serpientes) y considerando que el flujo de ambas sustancias en la frontera es cero. Las distintas simulaciones realizadas reprodujeron una gama de patrones que van desde bandas longitudinales, franjas transversales, rombos, motas, hasta otros m´ as complejos que nos recuerdan algunas serpientes de aspecto muy vistoso. V´ ease la figura 6-6.

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Figura 6-6: Distintos patrones de serpientes simulados por el sistema (6.18). Figuras tomadas de [23].

6.7

Patrones en otros sistemas biol´ ogicos

Este trabajo no es exahustivo y aunque habr´ıa mucho material que ameritar´ıa ser incluido, hemos decidido presentar s´ olo unos cuantos ejemplos representativos, dentro de la amplia gama de sistemas biol´ ogicos en los que se han estudiado los mecanismos subyacentes a la emergencia de patrones.

6.7.1

Regeneraci´ on en tejidos

Un proceso que ha atra´ıdo la atenci´ on de muchos investigadores es el de la regeneraci´ on de tejidos. Desde Aristóteles se hablaba de una fuerza responsable de la capacidad de ciertos organismos de desarrollar de nuevo miembros amputados. En el caso de animales, como la hidra o las planarias, este fen´ omeno se presenta de forma sorprendente. Dichos organismos pueden regenerarse por completo si son cortados en dos. En el caso de animales m´ as complejos, la capacidad de regeneraci´ on disminuye, pero no deja de ser importante, tal como en las lagartijas, que son capaces de reponer su cola una vez que decidieron separarla de ellas en momentos de peligro. En el caso de alguna variedad de langostas que poseen dos tenazas, una grande y con dientes apropiados para machacar y otra con dientes que le permite sostener su alimento, se observa que si por alguna razón pierden la m´ as grande, pueden, dependiendo de la especie, suceder varias cosas. O

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bien la tenaza chica empieza a crecer convirtiéndose en una grande y del sitio afectado empieza a desarrollarse una peque˜ na, o bien, puede la tenaza peque˜ na permanecer como tal y regenerarse una grande. Asimismo, se tiene cierta capacidad de regeneraci´ on en animales superiores una de cuyas manifestaciones más claras es la cicatrizaci´ on de heridas en la dermis y en la epidermis. Sobre este particular en a˜ nos recientes mucho se ha investigado. Como en otros t´ opicos, en este el texto de Murray es una muy buena referencia.

6.7.2

Mariposas

La diversidad y belleza de los patrones de pigmentación que se forman en las alas de muchas mariposas es impresionante. La simetr´ıa axial que exhiben es de verdad incre´ıble y, hasta donde se sabe, es nada m´ as que el resultado de la combinaci´ on de patrones elementales. Incorporando una geometr´ıa adecuada, Murray (véase el cap´ıtulo 15 de [24]) propone una mecanismo bioqu´ımico para la descripci´ on de algunos patrones que se forman en las alas de mariposas. Aunque hay abundante literatura al respecto, en [25] el lector encontrar´ a una proposici´ on interesante para modelar la emergencia de patrones en estos organismos.

6.7.3

Filotaxia

La palabra filotaxia viene de las ra´ıces griegas phyllos , hoja, y taxis , orden, por lo que podr´ıamos decir que aqu´ ella significa el orden de las ho jas. En un sentido m´ as general, en realidad podr´ıamos aplicarla al orden de cualquier otro brote en las plantas. A pesar de la aparente gran variedad de especies, resulta que la filotaxia (aqu´ı lo usamos en su sentido etimol´ ogico) de las plantas no es tan variada. S´ olo hay de tres tipos: espiral , como en la yuca; decusada , como en la fuchsia, y la distichous como en el ma´ız. Si uno observa la disposici´ on que tienen las florecillas del girasol (esta es una flor compuesta por estructuras m´ as peque˜ nas llamadas florecillas que, tiempo después, serán las semillas), se da cuenta que éstas forman arreglos (algo as´ı como zurcos) cuya disposici´ on espacial no es arbitraria: los zurcos tienen la forma de espirales logar´ıtmicas y el n´ umero de estas curvas es grande. Unas abren a la izquierda, mientras que otras lo hacen a la derecha. Sin embargo, el n´ umero de aquéllas no es arbitrario. Resulta que las que abren hacia la izquierda y las que abren a la derecha, son dos números

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consecutivos de una sucesi´ on de Fibonacci . De hecho, esta caracter´ıstica también la tienen otras muchas flores. En ellas, los zurcos que abren en un sentido o en otro, son invariablemente n´ umeros pertenecientes a una sucesi´ on de Fibonacci. T´ıpicamente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Aunada a esta observación tenemos una m´ as, la cual puede comprobarse f´ acilmente cuando vayamos a alg´ un jard´ın o de d´ıa de campo... a cortar flores. Si contamos el n´ umero de pétalos de diferentes flores notaremos que éstos, no importando de qu´ e flor se trate, es, invariablemente, uno perteneciente a una sucesión de Fibonacci. De hecho, en la naturaleza sólo existen este tipo de flores (véase [22]). Uno de los problemas centrales en el estudio de la estructura de las plantas es el de explicar por qu´ e la aparici´ on de brotes (pétalos, ramas, etc.) siguen leyes geométricas sencillas. Estas leyes, conocidas desde hace ya largo tiempo (de hecho Leonardo da Vinci observó que los pétalos de ciertas flores forman patrones en espiral), determinan la selección de cierto tipo y número de estructuras para los brotes, ´ıntimamente relacionados con las llamadas espirales de Fibonacci. Diversos modelos de car´ acter geométrico han sido utilizados, en los que ideas sencillas de empaquetamiento de esferas dan origen a un entendimiento claro de los mecanismos de formaci´ o n de dichas estructuras. Recientemente, modelos de formaci´ on de patrones basados en ecuaciones de reacci´ on-difusi´ on han sido aplicados al desarrollo de las plantas por H. Meinhardt et al . (véase [21]). Los resultados numéricos que han obtenido concuerdan con los deducidos de otros modelos que se han propuesto. Desafortunadamente en este trabajo no es posible presentar dichas ideas en detalle, pero recomendamos al lector interesado consultar la referencia [21]. En 1992, Duady y Couder ([7]) publicaron un trabajo muy importante, tanto por la elegancia como por el rigor con el que está escrito. En éste, sus autores ubican el problema de la filotaxia de las plantas como un problema de sistemas din´ amicos en los que aparecen parámetros. En este esquema, las estructuras observables (con sus simetr´ıas) en las plantas son estados l´ımite de un sistema din´ amico.

6.7.4

Patrones de vegetaci´ on

Cambiando de escala espacial, vayamos ahora a nivel de paisajes en la naturaleza. En éstos, uno descubre que, salvo las perturbaciones humanas,

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la vegetaci´ on, tanto en selvas tropicales como en zonas a´ridas, no se distribuye en el espacio al azar. Atendiendo a diferentes factores (pendiente de las laderas, cantidad de agua de lluvia durante el a˜ no, la direcci´ on de los vientos dominantes, tipo de suelo, etc.) aqu´ ella tambi´ en se distribuye en el espacio formando patrones regulares. Un ejemplo de éstos son los patrones bandeados que forman los macollos del pasto Ilaria Mutica , en el desierto de Mapim´ı, Durango, en el norte de nuestro pa´ıs. En [34] el autor usa los autómatas celulares para describir los patrones en bandas de esta variedad de pasto. Aunado a dicho esfuerzo, debemos mencionar que en fechas recientes se han venido usando las EDP de tipo reacción-difusi´ on-advecci´ on para describir la interacci´ on entre la masa de vegetaci´ on y el agua disponible (la que proviene de la lluvia) que hace posible la emergencia de patrones de vegetaci´ on perfectamente discernibles en zonas semi´ aridas. Véase [14].

6.8

¿Y qu´ e m´ as?

La gran cantidad y variedad de usos de los sistemas de reacción-difusi´ on en la descripci´ on de distintos procesos morfogen´ eticos y la consecuente diversidad de problemas (tanto de carácter te´ orico, como de la modelaci´ on propiamente dicha) que surgen cuando este marco te´ orico ha sido usado, nos obliga a que en esta presentaci´ on nos restrinjamos a citar sólo unos cuantos. El lector encontrar´ a en la bibliograf´ıa que proporcionamos al final de este cap´ıtulo mayor informaci´ on sobre éstos y otros t´ opicos. Sin embargo, quisiéramos decir unas cuantas palabras sobre el uso y aplicabilidad de los sistemas de reacción-difusi´ on. Es claro que la riqueza de las formas vivas y en especial la formaci´ on de patrones en biolog´ıa es tal que dif´ıcilmente puede pensarse que tenga un solo origen. Los mecanismos morfogen´ eticos pueden ser muy variados y diversos. No sólo eso, sino que las escalas espaciales y temporales a las cuales se dan son igualmente amplias. Es por eso de gran importancia entender cómo estas diferentes escalas interact´ uan. Por ejemplo, c´ omo la escala bioqu´ımica y genética a nivel micro interact´ ua con la escala intercelular (de comunicaci´ on entre células) y esta u´ltima a su vez con escalas mayores como la tisular o a nivel de órganos y organismos. Uno de los aspectos más interesantes de la investigaci´ on de los u ´ ltimos años es precisamente el de entender las bases biológicas de estas interac-

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ciones desde un punto de vista sistémico. Para ello, el papel de los modelos matem´ aticos ha sido fundamental. Por ejemplo, en los llamados modelos de escalas m´ ultiples se busca acoplar la interacci´ on de una red de regulación genética con procesos tales como el ciclo celular y a su vez éstos con otros procesos de carácter m´ as macrosc´ opico como la difusi´ on y transporte de ox´ıgeno o de hormonas. Este enfoque ha probado ser u ´ til y adecuado en la comprensi´ on de algunas enfermedades como el cáncer. También es relevante mencionar que no es posible tener una idea adecuada de la morfogénesis si no se involucran todos estos niveles de organización. Entender la integraci´ on de todos ellos, es uno de los retos m´ as importantes de la biolog´ıa.

6.8.1

Otros modelos morfogen´ eticos

En la literatura sobre estos temas, uno encuentra que hay diferentes modelos para describir la formaci´ on de patrones. La diferencia entre ellos no sólo es de forma, sino que en verdad corresponde a escuelas de pensamiento diferente. Gen´ ericamente y con todos los riesgos que implica el hacer clasificaciones, podemos decir que aqu´ ellos se dividen en dos grandes familias: discretos y continuos . De los primeros, t´ıpicamente se tienen los aut´ omatas celulares . Estos son sistemas din´ amicos de dominio y contradominio discretos. La distribuci´ on inicial, aunada a la regla de evoluci´ on (que puede considerar interacciones a primeros o a lejanos vecinos; que pueden ser fijas o variar, por ejemplo, al azar) permiten construir gran variedad de patrones espaciales (véanse [4] y [5]). El prototipo de los segundos son a los que hemos dedicado este trabajo, lo constituyen las ecuaciones de reacci´ on-difusi´ on. También los hay de tipo mixto, por ejemplo, aquéllos en los que la variable espacial es discreta y la temporal es continua se les llama mapeos acoplados . También hay modelos morfogenéticos que incorporan caracter´ısticas f´ısicas del tejido, éstos son los llamados modelos mecano-el´ asticos . En el texto de Murray ([24]) se discuten algunos de éstos. Ante la diversidad de modelos, seguramente el lector –con bastante razón– se preguntar´ a sobre la posibilidad de que diferentes tipos de modelos reproduzcan el mismo patrón biol´ ogico observado en la naturaleza. Esto es perfectamente posible, baste recordar los resultados de Cochoet al. (véanse [4] y [5]) al usar los autómatas celulares para describir los patrones en la piel de algunos reptiles y aquéllos obtenidos por Murray y Myerscough [23], quienes usaron ecuaciones tipo R-D-Q. Sin embargo, debemos advertir que

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el problema no es s´ en describir los olo reproducir lo observado, sino tambi´ mecanismos subyacentes que lo hacen posible. Ambas caracter´ısticas ser´ıan el criterio de bondad para aceptar o rechazar un modelo en esta a´rea interdisciplinaria. Por lo dem´ as, consideramos que actualmente lejos se está de poseer el enfoque o el modelo para explicar la emergencia de patrones biol´ ogicos. Algunos hacen transparente un aspecto, otros otro, pero a todos se les pueden encontrar lados flacos. A guisa de ejemplo, en la siguiente subsecci´ on se reportan algunas cr´ıticas a la teor´ıa de Turing. Podr´ıamos también citar las correspondientes a otros enfoques, pero hacerlo nos alejar´ıa del objetivo de este trabajo.

6.8.2

Cr´ıticas a la teor´ıa de Turing y estudios recientes

Desde la publicación del trabajo de Turing, mucho se ha hecho tratando de extender su teor´ıa. Aunque han sido muchos los avances realizados usando el enfoque turingiano, debemos mencionar que éste también ha sido blanco de cr´ıticas. De éstas, a continuaci´ on listamos unas cuantas, mismas que, en la medida de lo posible, también nos servir´ an para plantear algunos problemas en los que se está trabajando actualmente. En [16] el lector encontrar´ a una revisi´ on muy actualizada. La existencia de los morf´ ogenos Una de las premisas b´ asicas en la teor´ıa de Turing es la existencia de una pareja de sustancias (los morf´ ogenos) que, al difundirse y reaccionar en el tejido seg´ un las condiciones que se establecieron en la sección 5, ser´ıan capaces de formar estructuras espaciales ordenadas. A pesar de que desde su origen se han hecho gran cantidad de simulaciones numéricas cuyos resultados emulan bastante bien muchos patrones que se observan en distintos sistemas biol´ ogicos, la identificaci´ on de los morf´ ogenos en todos los casos aún no es clara. S´ olo se han logrado identificar en unos cuantos sistemas. La existencia de los patrones de Turing Los a˜ nos que siguieron a la publicaci´ on del trabajo de Turing, mucho se especuló sobre si los patrones que sugiere el mecanismo turingiano y que se obtienen mediante simulaciones numéricas ten´ıan o no realidad f´ısica, es

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decir, si se encontraban o no en la naturaleza. Cuarenta y un a˜ nos después de la publicaci´ on de Turing, Castets, Boisonade y colaboradores (v´ eanse [3] y [13]) en 1993 dise˜ naron una reacci´ on qu´ımica que exhibe patrones como los predichos por el matem´ atico inglés. Este hallazgo ha alimentado la idea de que los sistemas, llamados de modo genérico de reacci´ on-difusi´ on (incluidos los que contienen términos quimiotácticos), puedan ser adecuados para la descripci´ on de la formaci´ on de patrones en contextos no estrictamente biológicos. Efecto de la din´ amica del dominio En la proposici´ on de Turing, las superficies sobre las que emergen los patrones son fijas, es decir, su geometr´ıa y su tama˜ no no cambian al aumentar el tiempo. Esto es aproximadamente cierto para individuos que ya alcanzaron la etapa adulta pero, en definitiva, no se da si uno sigue el desarrollo de un organismo a lo largo de su vida. De hecho, los efectos que pueden tener los cambios tanto de tama˜ no como de forma sobre los patrones espaciales son verdaderamente espectaculares. Un ejemplo muy vistoso que se ha citado en la literatura reciente (véase [15]) es el pez del género Pomacanthus. Algunas variedades de este pez exhiben franjas dorso-ventrales sobre un fondo azul oscuro. A medida que el pez crece, nuevas franjas más angostas se desarrollan y, gradualmente, se van insertando entre las franjas preexistentes. Véase la figura 6-7. Desde el punto de vista matem´ atico, varios han sido los intentos por incorporar la din´ amica del dominio en la modelaci´ on de la formaci´ o n de patrones biol´ ogicos. En [15] los autores propusieron un sistema de reacci´ ondifusión en una dimensi´ on para describir la emergencia de patrones en el Pomacanthus emperador y para el Pomacanthus semicirculatus . Ellos fueron capaces de reproducir varios de los patrones que se observan en la piel de estos peces a medida que crecen. No obstante esto, H¨ ofer y Maini (véase [11]) encontraron varias inconsistencias en el modelo propuesto por Kondo y Asai. Varea et al. [33] estudiaron los patrones de Turing en un dominio bidimensional confinado por fronteras curvas. Imponiendo condiciones a las concentraciones qu´ımicas de los reactivos en la frontera de suerte que se represente a una fuente, ellos hallaron algunos aspectos del desarrollo de pigmentaci´ on del Pomacanthus.

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Figura 6-7: Los patrones que exhibe el pez Pomacanthus cambian drásticamente a medida que envejece. Tomado de [15].

Arcuri y Murray [2] muestran cómo el tama˜ no del dominio, la longitud en el caso unidimensional y el a´rea en el caso de dos dimensiones, influye sustancialmente en la complejidad de los patrones que se forman siguiendo el mecanismo de Turing. En su presentaci´ on, la longitud, L, de un dominio uni-dimensional aparece como un re-escalamiento de la parte reactiva. Siguiendo la idea de Arcuri y Murray, en [2] los autores dan argumentos de plausibilidad para considerar que un modelo de reacción-difusi´ on en el que los coeficientes de difusión sean funciones que dependan del tiempo, t, sea el adecuado para estudiar la formaci´ on de patrones en dominios que crecen. Sus resultados son numéricos. Los intentos anteriormente mencionados y otros como el reportando en [6], todos ellos muy loables, en nuestra opini´ on no est´ an construidos sobre la base de primeros principios. Son, en la mayor´ıa de los casos, argumentos de plausibilidad los que les dan sustento. Recientemente (véase [26]), basa-

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´ n de patrones Emergencia y formacion o

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dos en primeros principios (teorema de transporte de Reynolds, leyes de conservación on y ley de Fick), hemos construido, para una y dos dimensiones, respectivamente, un modelo de tipo reacci´ on-difusi´ on-difusi´ on definido sobre un doon minio que crece. Tambi´ También en los efectos que las caracter caract er´´ısticas ıstic as geométricas etrica s del dominio (como la curvatura) tienen sobre los patrones son considerados. En el trabajo mencionado aparecen una serie de simulaciones num´ ericas ericas que realizamos sobre distintos dominios que crecen. En ellas se constata que tanto el crecimiento, como la curvatura son cruciales para la emergencia de patrones trones en esos dominios dominios.. Este Este campo constituy constituyee un area a´rea muy activa de investigaci´ on on en la actualidad. Aproximaciones no lineales y las condiciones de frontera En [8] el autor presenta un sistema de reacci´ on-difusi´ on-difusi´ on on en el que la aproximaci´ on lineal (en el sentido turingiano) predice la existencia de patrones on de banda. Sin embargo, al a l considerar términos erminos de segundo orden, el correspondien pondiente te sistema sistema predic predicee la existe existenci nciaa de motas. Esto Esto nos habla habla de que el conjunto de sistemas de R-D que exhiben patrones de Turing ha de ser estudiado en cuanto a sus propiedades cualitativas globales se refiere. La Lass cond condic icion iones es de fron fronte tera ra que que es nece necesa sari rioo anex anexar ar al sist sistem emaa de reacci´ on-difusi´ on-difusi´ on on no s´ olo completa el problema matem´ olo atico atico a estudiar, sino que de verdad constituye una informaci´ on determinante en la din´ on amica amica espacial pacial a la que se da lugar. lugar. A manera manera de ejempl ejemplo, o, baste citar citar el trabajo trabajo de Varea et al . [33], en el que ellos reportan que distintas distintas condicion condiciones es a la frontera originan patrones espaciales esencialmente diferentes.

6.9 6.9

Conc Conclu lusi sion ones es y disc discus usi´ i´ on on

A manera de conclusión on y discusión, on, anotamos los siguientes puntos. No obstante la aparente cantidad y variedad de patrones que se ven en la naturaleza, en realidad uno puede detectar algo que podr´ podr´ıamos llamar ll amar “patrones básicos” asicos ” (como circunferencias, circunfere ncias, espirales es pirales,, pol´ıgonos ıgono s regulares, franjas, fra njas, etc.) de suerte que los demás as que uno observa, son sólo olo modificaciones modificaciones “inteligentes” de aquéllos. ellos. Digamos que la naturaleza “juega inteligentemente” inteligentemente”

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´ nchez y Pablo Padilla Faustino Sanchez a

con los patrones básicos. asicos. El resultado de sus juegos son la diversidad de colores y formas que vemos a nuestro alrededor. Hay patrones que les son comunes a sistemas vivos y a sistemas inanimados. Las circunferencias y las espirales son estructuras espaciales ordenadas que lo mismo aparecen en reacciones qu´ qu´ımicas (la de Belousov-Zhabotinski, por ejemplo) que como patrones de agregaci´ on de colonias de amibas (Dicon tyostelium discoideum ) y bacterias (como la Escherichia Coli ); ); de hecho, en todos to dos los sistemas excitables (véase ease [28]). Esto sugiere que subyacente subyacente a ellos, independientemente del sustrato f´ısico y de la escala espacial en la que se expresen, existen mecanismos (posiblemente los mismos) que los hacen posible. Concluimos Conclu imos este cap´ cap´ıtulo se˜ nalando que la modelaci´ nalando on on en morfog´ mor fogénesis enes is y en la emergencia de patrones en ciencias qu´ qu´ımico-biol´ ogicas ogicas es algo activo, de actualidad y relevancia tanto desde el punto de vista matem´ atico atico como de las ciencias ciencias que le dan origen. origen. No nos cabe duda que de este este quehacer quehacer interdisciplinario, como ya lo ha estado haciendo, vendr´ an an en los próximos oximos años nos a´ un un muchas más as novedades que nos sorprenderán. an.

Bibliogr io gra af´ıa [1] A. Aldama, Aldama , J.L. Guti´ Gut iérrez, errez, P. Miramontes y F. S´ anchez anchez Gardu˜ no no (2010): Ludus Vitali Vitalis, s, vol. vol. XVIII, XVIII, D’Arcy Wentworth Thompson (1860-1948). Ludus No. 34, pp. 3-34. [2] P. Arcury y J.D. Murray (1986): Pattern sensitivity to boundary and Math. Biol., Biol., 24, pp. pp. initial conditions in reaction-diffusion models. J. Math. 141-165. [3] V. Castets, E. Dulos, J. Boissonade y P. P. De Kepper (1990): Experimental evidence of a sustained Turing-type equilibrium chemical pattern , Phys. Rev. Lett, 64(3), pp. 2953-2956. [4] G. Cocho, Co cho, R. Pérez-Pascual, erez-Pascual, J.L. Rius (1987): Discrete systems, cell-cell interactio interactions ns and color pattern pattern of animals. animals. I. Conflicting dynamics dynamics and pattern formation. J. theor. Biol, 125, pp. 419-435.

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[5] G. Cocho, R. P´ erez-Pas erez-Pascual, cual, J.L. Rius y F. Soto (1987): Discrete systems, cell-cell interactions and color pattern of animals. II. Clonal theory and cellular automata. J. theor. Biol., 125, pp. 437-447. [6] E. J. Crampin, E. A. Gaffney y P.K. P.K. Maini (1999): Reaction and Diffusion Growing Domains: Scenarios for Robust Pattern Formation. Bull. Math. Biol., 61, pp. 1093-1120. [7] S. Duady y Y. Couter (1992): Phylotaxis as a physical self-organized growth process. Phys. Rev. Lett., 68, pp. 2098-2101. [8] B. Ermentro Ermentrout ut (1991): Stripes or spots? Nonlinear effects in bifurcation Soc. London London A of reaction-diffusion equations on the square. Proc. R. Soc. 434, pp. 413-417. [9] B. Goodwin (1994): How the leopard changed its spots. Weidenfeld and Nicolson. [10]] J. [10 J. L. Guti Guti´érre e rrezz S´ anc a nchez hez y Faust austin inoo S´ anchez anchez Gardu˜ Gardu˜ no n o (199 (1998) 8):: Matem´ aticas para las ciencias naturales , No. 11 de la serie Textos de la Sociedad Matem´ atica atica Mexicana. [11] T. H¨ ofer y P.K. Maini (1996): Turing patterns in fish skin? , Nature, ofer 380, 678. [12] E. F. Keller Keller y L. A. Segel Segel (1970): The initiation of slim mold aggregation viewed as an instability. J. Theor. Biol., 26, pp. 399-415. [13] De Kepper, Kepper, P., V. Castets, Castets, E. Dulos y J. Boissonade Boissonade (1991): (1991): Turing-type Physica ca chemical patterns in the chlorite-iodide-malonic acid reaction . Physi D 49, pp. 161-169. [14] C. A. Klausmeier (1999): Regular and Irregular Patterns in Semiarid Vegetation . Science, 24, 1826-1828. [15] S. Kondo and R. Asai (1995): A reaction-diffusion wave in the skin of the marine angelfish Pomacanthus , Nature 376, pp. 765-768.

Leccio ciones nes de Biolog Biol og´ ´ıa. H. Blume Ediciones. [16] S. E. Luria (1977): 36 Lec



 





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

162



´ nchez y Pablo Padilla Faustino Sanchez a

[17] S. Kondo y T. Miura (2010): Reaction-Diffusion model as a framework for understanding biological biological pattern formation . Scienc Sciencee 329 329,, pp. 1616 1616-1620. [18] P. K. Maini, M. R. Myerscou Myerscough, gh, K. H. Winters Winters y J. D. Murray Murray (1991): Bifurcation spatially heterogeneous solutions in a chemotaxis model for biological patterns formation . Bull. Math. Biol., 53, 701-719. [19] P. K. Maini: Mathematical Models in Morphogenesis . Manuscrito. [20] H. Meinhardt Meinhardt (1995): (1995): The Algorithmic Beauty of Sea Shells . Springer.

Models of pattern pattern [21] H. Meinhardt, A.J. Koch y G. Bernasconi (1998): Models formation applied to plants development , en: Symmetry in Plants. Series en Mathematical Biology Bio logy and Medicine, Vol. 4. R. V. Jean y D. Barabé (Eds.), World Scientific. [22] P. Miramonte Miramontess (1996): La geometr´ geometr´ıa de las formas formas vivas. vivas. ciencias, ciencias, 42, pp. 12-19. [23] J.D. Murray Murray y M.R. Mygerscough Mygerscough (1991): Pigmentation Pattern Formation on Snakes . J. theor. Biol., 149, pp. 339-360.

Mathematical al Biology Biology II: Spatial Spatial models and [24]] J. D. Murr [24 Murray ay (2003 (2003): ): Mathematic biomedical biomedical applications , Springer Verlag. [25] H. F. Nijhout Nijhout (1990): (1990): A comprehensive model for colour pattern formation in butterflies , Proc. R. Soc. Lond. B, 239, pp. 81-113. [26] R. Plaza, F. Sánchez-Gardu˜ anchez-Gardu˜ no, P. Padilla, R. Barrio y P. Maini (2004): no, The effect of growth and curvature on pattern formation. Journal of Dynamics and Differential Equations. EUA, 16, No. 4, pp. 1093-1121. [27] F. S´ anchez anchez Gardu˜ no no (2004): Matem´ aticas y Qu´ Qu´ımica: una mirada a la atica atica Mexicanacinética eti ca qu´ımica ımica desde des de la matem´ mate m´ atica . Sociedad Matem´ CIMAT. [28] F. S´ anchez anchez Gardu˜ no no (2011): (2011): Las matem´ matem´ aticas en el corazón, on, un acercamiento a las ondas de excitaci´ on. on. En este volumen.



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

163

[29] I. Stewart Stewart (1998): (1998): Life’s Other Secret, the new mathematics of the living world . Allen Lane, The Pinguin Press. [30] D’Arcy D’Arcy W. Thompson (1992): (1992): On the growth and form . The compl complete ete Revised Edition, Dover Publications Inc., Nueva York. [31] A. M. Turing Turing (1952): The chemical basis of morphogenesis . Phil. Phil. Ro Roy y. Soc. London B, 237, pp. 37-72. [32] J. J. Tyson, Tyson, K. A. Alexander, Alexander, V. S. Manoranjan Manoranjan y J. D. Murray Murray (1989): Spiral waves of cyclic AMP in a model of slime mould aggregation , Physica D 34, pp. 193-207. [33] C. Varea, Varea, J.L. Arag´ on y R.A. Barrio (1997): Confined Turing patterns on in growing systems , Phys. Rev. E, 36, 1, pp. 1250-1253. [34] E. Vega: Vega: Modelling of banded vegetation patterns of Chihuahua Desert in Mexico by cellular automata . En preparación. on. [35] T. Vicsek Vicsek (2001): Fluctuations and Scaling in Biology. Oxford University Press. [36] L. Wolpert (1969): Positional information and the spatial pattern of cellular differentiation . J. theor. Biol., 25, pp. 1-47.

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7

Una introducci´ o n a los modelos de competencia.

Manuel Falconi Maga˜ na Facultad de Ciencias, UNAM [email protected]

7.1

Introducci´ on

Una de las caracter´ısticas m´ as notables de la vida en nuestro planeta es la gran diversidad de aspectos y hábitos que tienen los organismos que la componen. Los individuos se presentan luciendo una enorme riqueza de formas, tama˜ nos, colores y comportamientos diferentes. Cualquier persona nota, cuando observa con cierto cuidado, que detr´ as de la aparente uniformidad de un bosque de con´ıferas existe una gran variedad de a´rboles que difieren por el tama˜ no de sus hojas o la textura de su corteza. Estos árboles sirven a su vez de refugio a las aves, algunas de las cuales tienen el pico fuerte y otras un plumaje florido. En el suelo se encuentran diferentes clases de helechos y parras silvestres y moviéndose entre ellos se pueden observar varios tipos de roedores o ciervos. Sin embargo, esta manifestaci´ on de diversidad no se da de una forma arbitraria, sino todo lo contrario. Los organismos viven en comunidades, formando intrincadas relaciones de interacci´ on, donde cada especie depende directa o indirectamente de la presencia de las otras. De este modo, diversidad de especies se convierte en sinónimo de complejidad de la comunidad.

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Manuel Falconi

El hecho mismo de que todos los organismos vivos forman parte de una comunidad en la que existen relaciones de interdependencia de las especies que la conforman, no es una cuestión que salte a la vista. Una gran tarea de la ecolog´ıa es el desarrollo de una teor´ıa de la organizaci´ on de las comunidades. Esto significa entender las causas de la diversidad y los mecanismos de interacci´ on. ¿Por qué, aparentemente todo h´ abitat tiende a ser tan diverso como le permite su disponibilidad de energ´ıa? Acaso, ¿una mayor complejidad induce una mayor estabilidad o permanencia de la comunidad? En este contexto aparecen de modo natural tres procesos, estabilidad de la comunidad, complejidad de la comunidad y aprovechamiento de los recursos. ¿Existe un ley que regule la relación din´ amica entre ellos? Por medio de numerosos estudios y observaciones los ecólogos han ido afinando sus teor´ıas para explicar el fen´ omeno de la biodiversidad. Entre los factores que se han revisado para ver su influencia sobre la complejidad est´ an: (i) el tiempo, (ii) la hetereogeneidad del medio ambiente, (iii) clima, (iv) productividad, (v) la competencia, (vi) la depredaci´ on. Notamos que los cuatro primeros se refieren al estado f´ısico del lugar donde se desarrolla la comunidad y las dos u ´ltimas, competencia y depredaci´ on son mecanismos de interacci´ on entre las diversas especies de la comunidad. Se han realizado muchos intentos que conjugan la participaci´ on de uno o varios de estos factores para conformar teor´ıas acordes a algunos hechos experimentales. Mencionemos dos de las m´ as importantes, la hip´ otesis de la depredación y la hip´ otesis de la competencia. La hip´ otesis de la depredaci´ on sugiere que la depredación selectiva sobre los competidores dominantes puede mantener una diversidad local relativamente alta. Esa depredaci´ on, al mantener bajo el tama˜ no de las poblaciones de competidores dominantes evita que éstos monopolicen los recursos y permite que nuevas especies invadan el sistema. Este mecanismo establece una clase de retroalimentaci´ on. Con las nuevas especies que entran a la comunidad, llegan especies de depredadores que a su vez atacan a otros competidores dominantes y as´ı sucesivamente. El l´ımite de este proceso lo establece la producci´ on primaria del sistema. La hip´ otesis de la competencia supone que la alta diversidad se da en ambientes que son estables por largos periodos. Aqu´ı la competencia interespec´ıfica es más intensa porque la estabilidad permite que muchas especies sean muy numerosas. La presi´ on competitiva crece fuertemente, lo que

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´ n a los modelos de competencia Una introduccio

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provoca una reducción del espacio utilizado por cada especie y un aumento en la especializaci´ on para apropiarse del recurso. Estas dos procesos llevan a un aumento del espacio y de los recursos disponibles, y hacen factible la llegada de nuevas especies. Este fen´ omeno est´ a limitado por el n´ umero de recursos disponibles. Es muy ilustrativo conocer los m´ etodos que los ec´ ologos utilizan para obtener informaci´ on de campo que sirven de apoyo a estas teor´ıas. Al lector interesado se le recomienda que vea [9] y la bibliograf´ıa citada ah´ı. Ahora los investigadores se pueden apoyar en los modelos matemáticos y las computadoras para realizar simulaciones muy realistas que les permiten de una forma expedita poner a prueba algunas de sus conjeturas. Se ve muy prometedor para la ecolog´ıa te´ orica el uso equilibrado de la modelaci´ on matem´ atica y la observaci´ o n de campo. En este trabajo se har´ a una introducci´ o n a los métodos matem´ aticos utilizados en el estudio de la competencia.

7.2

La competencia

A grandes rasgos, podemos considerar dos tipos de competencia: la competencia interespec´ıfica que se da entre inviduos de especies diferentes y aquella en que la lucha se sostiene entre organismos de una misma especie y por tanto se le llama competencia intraespec´ıfica . La competencia interespec´ıfica surge cuando entre las especies componentes de un hábitat existen algunas que requieren el mismo tipo de alimentos, espacio o alguna otra materia esencial para su desarrollo y por tanto, para sobrevivir tienen que destinar parte de su energ´ıa a mejorar esas habilidades que le permitan un mejor acceso a los recursos vitales. Precisamente, el hecho de que los individuos de la misma especie acudan a las mismas fuentes de energ´ıa establece de modo natural la competencia intraespec´ıfica, la que se manifiesta m´ as crudamente cuanto m´ as pobres son esas fuentes. Una cuesti´ on importante es determinar la forma en que cambian los tama˜ nos poblacionales a trav´ es del tiempo de una o m´ as especies en competencia. Por ejemplo, en una poblaci´ on aislada, ¿c´ omo ajustan los individuos sus estrategias de supervivencia ante la escasez de alg´ un recurso importante? Una pregunta que ha interesado mucho a los ecólogos es si pueden coexistir

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Manuel Falconi

en un mismo h´ abitat dos especies que luchan por el mismo recurso limitante. Esta cuesti´ on ha servido para impulsar fuertemente el desarrollo de ciertas áreas de la ecolog´ıa y numerosos experimentos se han realizado con el fin de tener una respuesta teórica. Tal vez los experimentos m´ as célebres en este campo son los que realiz´ o en 1934 el biólogo ruso G. F. Gause [6], con poblaciones de protozoarios de la especie Paramecium aurelia y Paramecium o de Bacillus pyocyneaus caudatum . Durante los experimentos se les aliment´ y se observó que por separado cada población crec´ıa hasta estabilizar su tama˜ no. En el caso de P. caudatum el l´ımite era de 200 individuos por 0.5 cc y 550 individuos por 0.5 cc para el P. aurelia . Cuando las dos especies eran puestas a competir en el mismo caldo de cultivo suced´ıa que despu´ es de un periodo inicial en el que ambas especies crec´ıan, el n´ umero de organismos de P. caudatum empezaba a declinar, hasta desaparecer finalmente. Esto llev´ o a Gause a enunciar el muy controvertido Principio de exclusi´ on competitiva : “dos especies que compiten por el mismo recurso limitante no pueden coexistir establemente en el mismo hábitat”. El razonamiento es simple, no pueden haber dos especies idénticas en sus propiedades ecol´ ogicas o en la eficiencia con que explotan un recurso particular. La especie m´ as eficiente para explotar el recurso crecerá con cada generació n y la menos eficiente será eliminada finalmente. Sin embargo, en la naturaleza uno observa muchas especies que compiten y conviven establemente. Numerosos estudios se han hecho para descubrir los mecanismos que permiten la coexistencia estable. Por ejemplo, esta cuesti´ on fue abordada por De Witt y sus colaboradores [4], en un experimento con una hierba de la especie Panicum maximum y una legumbre on Glycine javanica . Ellos notaron que la competencia llevaba a la extinci´ a la poblaci´ on de legumbre, pero cuando ésta se asociaba, a trav´ es de sus ra´ıces, con un microorganismo del género Rhizobium, la convivencia era posible. Esta asociaci´ on le permit´ıa explotar a la G. javanica una capa de suelo no utilizada por P. maximum . Otra serie de experimentos interesantes son los que realizó Ayala [2] con varias especies de Drosophila, en los que se pone de manifiesto otro posible mecanismo para la convivencia de especies competitivas. Se observ´ o que la habilidad competitiva decrec´ıa con el tama˜ no de la poblaci´ on. Estos experimentos sugieren la existencia de un l´ımite, más all´ a del cual no se pueden compartir los recursos sin el riesgo de que alguna de las especies desaparezca. V´ ease la subsecci´ on 7.3.1.

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7.2.1

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Algunos modelos matem´ aticos de competencia intraespec´ıfica

Los individuos de una misma poblaci´ on también compiten entre ellos y existen especies en las que esta competencia tiene un efecto importante sobre la capacidad de supervivencia y reproducción de los otros. El estrés que produce en el individuo una sobrepoblaci´ on se puede reflejar en una alteración de su sistema endocrino produciendo un retardo en su actividad sexual o en perturbaciones de sus funciones reproductivas, véase [10]. Se han hecho experimentos con diferentes concentraciones de semillas (n´ umero de semillas por unidad de área) que se ponen a germinar, y se ha observado que a mayor concentraci´ on menor porcentaje de semillas germinan y el número de semillas totales producidas en la primera generaci´ on también es menor para las concentraciones iniciales grandes, véase [11]. As´ı, cuando la competencia intraespec´ıfica es suficientemente fuerte la tasa de reproducci´ on depende del tama˜ no o densidad de la poblaci´ on . Modelos a tiempo discreto La tasa de reproducci´ umero de nuevos indion o tasa de crecimiento es el n´ viduos que produce cada individuo por unidad de tiempo. Por ejemplo, una tasa del 2% anual, significa que cada 100 individuos producen en promedio, 2 nuevos individuos cada a˜ no, o bien, cada individuo produce en promedio dos cent´ esimos de individuo cada a˜ no. Denotemos por R a la tasa de reproducción. Para calcular R debemos dividir el incremento de la población por unidad de tiempo ∆ entre el tama˜ no total de la poblaci´ on N . Es decir R = ∆/N, o bien ∆ = RN. Si suponemos que la tasa R depende de N , la f´ ormula anterior se escribe ∆ = R (N ) N.

(7.1)

Supongamos que el tama˜ no de la poblaci´ on cambia cada cierto periodo fijo de tiempo (cada a˜ no, cada mes, etc.), entonces si inicialmente se tienen N 0 individuos, usando la igualdad (7.1) podemos calcular el tama˜ no N 1 al cabo de la primera unidad de tiempo (por comodidad llamaremos a˜ no a la unidad de tiempo), del modo siguiente. El incremento al cabo de un a˜ no es ∆ = N 1 N 0 , y ∆ = R (N 0 ) N 0 , por lo tanto N 1 N 0 = R (N 0 ) N 0 , es decir

−

−

N 1 = R (N 0 ) N 0 + N 0 .

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Del mismo modo, ahora con el valor de N 1 se puede conocer el tama˜ no al cabo del segundo a˜ no. El incremento es N 2 N 1 = R (N 1 ) N 1 , de donde

−

N 2 = R (N 1 ) N 1 + N 1 , o en general N i+1 = R (N i ) N i + N i .

(7.2)

Este es el modelo básico para el crecimiento de una población que se reproduce a tiempo discreto y cuya tasa de reproducción depende de la densidad. Para tener un modelo espec´ıfico se deben realizar investigaciones dirigidas a determinar la forma de R (N ) . Por ejemplo, Beverton y Holt se basaron en estudios hechos sobre poblaciones de peces pelágicos en el Atl´ antico norte para proponer la tasa R (N ) = (β/ (1 + αN )) 1. En este caso la ecuación 7.2 es βN i N i+1 = . 1 + αN i

−

El modelo log´ıstico se obtiene cuando se toma R (N ) = α modo, la ecuaci´ on que define al modelo es

− βN. De este

N i+1 = (α

(7.3) − βN i) N i + N i. Mediante el cambio de variable N → βN/ (1 + α) , la ecuaci´ on anterior se lleva a la forma m´ as usual

N i+1 = rN i (1

− N i) ,

(7.4)

donde r = 1 + α. Es interesante observar que la dinámica de este modelo sólo depende de α. Este parámetro se puede interpretar como la m´ axima capacidad reproductiva de la especie, la cual observamos que decrece con una rapidez β, conforme crece el tama˜ no de la poblaci´ o n. En el modelo, el par´ ametro β es un simple cambio de escala y es el valor reproductivo α el que determina la din´ amica de la especie. Del an´ alisis matem´ atico del modelo 7.4 se sabe que valores grandes de α produce dinámicas complicadas e incluso ca´ oticas y por el contrario, si el valor de α es relativamente peque˜ no la din´ amica es m´ as o menos estable con pocas fluctuaciones. Surge en forma natural la pregunta, ¿qué tan grande puede ser α para una especie cuya tasa reproductiva depende del tama˜ no de la poblaci´ on?. Los ecólogos se inclinan a pensar que una especie cuya población est´ a regulada por factores que

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dependen de su tama˜ no ( factores denso-dependientes ) tiende a tener una progenie m´ as peque˜ n a y más apta para la competencia que una regulada por factores independientes de la densidad . Al lector interesado en saber por qué la selección natural act´ ua as´ı, se le recomienda la lectura del trabajo de MacArthur y Wilson [7]. Modelos a tiempo continuo Cuando las poblaciones son grandes y las generaciones se traslapan es conveniente suponer que los niveles de población cambian en cada instante. En este caso si denotamos por N (t) el n´ umero de individuos en el instante t, la tasa de crecimiento R est´ a dada por R =

N  (t) , N (t)

donde N  (t) es la derivada de N (t) respecto a t. La derivada N  (t) se interpreta como el incremento de la población por unidad de tiempo en el instante t. Si R depende del tama˜ no o densidad de la poblaci´ on, la ecuaci´ on anterior se acostumbra escribir en la forma N  = R (N ) N.

(7.5)

Esta es la estructura de un modelo a tiempo continuo para una especie donde la competencia intraespec´ıfica influye sobre la tasa. Un modelo muy conocido es el llamado modelo log´ıstico, que se obtiene cuando R (N ) = r (K N ) . Entonces 7.5 es

−

N  = r (K

− N ) N.

(7.6)

Los mecanismos a trav´ es de los cuales la especie aprovecha el recurso se reflejan en la forma en que R depende de N . El investigador debe hacer uso de su conocimiento de la especie para dise˜ nar o proponer la relación funcional adecuada de R. Ahora ilustraremos en una situaci´ on simplificada cómo se puede obtener un modelo. Supongamos que se tiene una especie donde la competencia intraespec´ıfica se da por el aprovechamiento de un recurso, al que en principio todo individuo tiene la misma capacidad de utilizar. Por ejemplo, una especie de forrajeros que pastan en una sabana, o bien, de filtradores que se nutren

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de los microorganismos y de algunas de las sustancias presentes en el agua que filtran. Denotemos por p a la porci´ on de alimento que le corresponde a cada individuo. De esta porci´ on p, s´ olo una parte g ( p) es equivalente a la cantidad de nuevos individuos capaz de producir cada organismo, por cada unidad de tiempo. Si suponemos que de esos g ( p) nuevos individuos se mueren µ de ellos por cada unidad de tiempo, la tasa R es entonces R = g ( p)

− µ.

A µ se le llama Tasa de mortalidad . Agreguemos ahora la hip´ otesis de que la tasa µ no depende de la densidad. Esta hip´ otesis puede ser una buena aproximaci´ on para poblaciones que viven en un medio donde el recurso se distribuye homogéneamente y los individuos se pueden dispersar libremente y no se producen efectos nocivos por el hacinamiento ni tampoco una disminuci´ on en la porci´ on per cápita p se refleja en una generación de individuos m´ as d´ ebiles. Resulta natural suponer que p decrece cuando aumenta el tama˜ no de la poblaci´ on. Sea C la concentraci´ on del alimento o recurso. En el caso de filtradores se han utilizado las siguientes dos expresiones para p. p = C y p =

− γN,

(7.7)

C . 1 + βN

(7.8)

En 7.7, p = 0 si la población tiene C/γ individuos. Es decir, el medio no puede aceptar m´ as de C/γ individuos. En cambio, con 7.8 la porci´ on p se hace cada vez más peque˜ na conforme aumenta la poblaci´ on, pero nunca desaparece. Supongamos finalmente que g ( p) = k 1 p y se obtienen los modelos correspondientes a 7.7 y 7.8 N  = (k1 (C N  =



− γN ) − µ) N,

 −

k1 C 1 + βN

µ N.

(7.9) (7.10)

Si hacemos r = k 1 γ y K = (k1 C µ) /k1 γ, el modelo 7.9 se convierte en el modelo log´ıstico dado en 7.6. El modelo dado por 7.10 se le conoce como modelo de Schoener, véase [13].

−

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 

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Sea K l = (k1 C µ) /k1 γ y K s = (k1 C µ) /µβ. En el modelo log´ıstico se observa que si el nivel inicial es menor que K l , la poblaci´ on crecerá acerc´ andose hacia el nivel K l conforme transcurra el tiempo. En cambio decrecer´ a hacia K l si el nivel incial es mayor que K l . Por esta razón a K l se le llama capacidad de carga del medio. Lo mismo ocurre con el modelo de Schoener, donde la capacidad de carga es K s . La principal diferencia entre estos dos modelos es que en el modelo log´ıstico, el nivel en el que la poblaci´ on crece con mayor rapidez N l∗∗ es siempre igual a K l /2 y en el caso

−

−

del modelo de Schoener este nivel es N ∗∗ =

1 β

 −  k1 C µ

1 y es menor que K s /2 y entre más grande es el cociente k1 C/µ, m´ as peque˜ no es N s∗∗ . Los detalles de los c´ alculos se pueden consultar en el apéndice. s

Las dos trayectorias de la 7-1 inician en el nivel N 0 = .1. En ambos modelos se utilizaron los par´ ametros C = 5, k1 = .2, µ = 0.2. En el modelo log´ıstico γ = 1 y en el de Schoener, β = 1. La capacidad de carga del medio es 4. Los puntos indican los niveles N l∗∗ = 2 y N s∗∗ = 1.23. La elevada pendiente de la curva log´ıstica indica una fuerte tendencia hacia el equilibrio K l .

N 4 Mod. Logístico

3 Mod. De Schoener

2 1

5

10

15

20

t

Figura 7-1:

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 










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7.2.2

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Modelos con varios recursos

En el trabajo [2], Ayala describe una serie de experimentos diseñados para analizar los mecanismos que permiten la coexistencia de especies que compiten. El utiliz´ o varias especies de las llamadas moscas de la fruta y encontró evidencia de que las condiciones para la coexistencia son: (1) la adaptabilidad competitiva de dos especies es inversamente proporcional a su densidad y (2) existe una densidad para la cual las dos especies tienen la misma adaptabilidad. Esto se explica a trav´ es de dos formas de actuar de la selecci´ on natural. Una de ellas llamada habilidad competitiva positiva , supone que la selección aumenta la habilidad de una especie para explotar un recurso que comparte con otra. La otra forma es el fortalecimiento de una capacidad para que una especie utilice parte del recurso, anteriormente inú til. Estos genotipos crecer´ an en n´ umero hasta equilibrar la disponibilidad de este nuevo recurso. Este proceso de selección lleva a la diferenciaci´ on ecol´ ogica y ha sido llamado desplazamiento de los caracteres [3]. Esto se muestra en la figura 7-2. En el eje horizontal se marcan los tama˜ nos de las presas de tres especies de halcones, Accipiter gentilis, A. cooperi y A. striatus . La altura de la gráfica indica la frecuencia con que cada especie captura cada tama˜ no. Aunque capturan genéricamente el mismo tipo de presas, cada una tiene una tendencia a escoger un tama˜ no diferente.

Figura 7-2:

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 

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

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Ahora construiremos un modelo para analizar la din´ amica de una especie S que se alimenta de n recursos Ai , i, , n. La cantidad total que provee como alimento el recurso A i lo denotamos por R i . Supondremos que hay un flujo continuo de R i que var´ıa de acuerdo con su propia din´ amica; este es el caso si por ejemplo, Ai es una población de organismos vivos y entonces a Ai se le llama presa del depredador S . En lo que sigue llamaremos biomasa no de la poblaci´ on y supondremos que está dada en de una poblaci´ on al tama˜ unidades de masa. En términos no muy precisos pero que ayudan a entender la idea, la biomasa es la masa de todos los individuos de la poblaci´ on. Sea E la cantidad total de alimento que ingiere S por unidad de tiempo y por unidad de biomasa y e es la eficiencia de conversión de ese alimento en nuevos individuos, es decir, eE es la tasa de supervivencia de la población S. Si µ es la tasa de mortalidad entonces el tama˜ no N de S crece de acuerdo con la ecuaci´ on diferencial

· ··

N  = eEN

− µN.

(7.11)

Como en el caso mencionado de los halcones, la especie S puede tener distintas preferencias por cada una de las especies Ai . Esta preferencia queda determinada por la proporción pi de biomasa que S toma de la presa Ai . Denotemos por γ i el valor nutritivo de una unidad de materia del recurso Ai . As´ı se obtiene que E est´ a dado por n

E =



γ i pi Ri ,

i=1

y por lo tanto la ecuaci´ on 7.11 resulta n

N  = e

 

γ i pi Ri N

i=1

− µN.

Si cada poblaci´ on Ai es independiente de las otras su crecimiento en ausencia de S debe regirse por una ley de la forma Ri = f i (Ri ) .

(7.12)

La función f i sólo depende de Ri ya que su crecimiento no se ve afectado por las otras R j , j = i. Como la especie Ai pierde pi Ri unidades de masa





 










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por unidad de tiempo y por cada individuo de la especie S, la pérdida total debida a los N individuos es pi Ri N, por lo que en presencia de S, la ecuaci´ on 7.12 se modifica a Ri = f i (Ri ) pi Ri N.

−

Resumiendo, la din´ amica de una especie S que se alimenta de las especies Ai , i, , n, est´ a dada por el sistema

···

n

N  = e

 

γ i pi Ri N

i=1

− µN,

(7.13)

R = f i (Ri ) − pi Ri N. i

Si n = 1 y f 1 (R) = r (K R) R, el sistema anterior se conoce como modelo depredador-presa de Lotka-Volterra y toma la forma

−

N  = αRN µN, R = r (K R) R

− −

(7.14)

− βRN,

donde α = eγ 1 p1 , R = R1 y β = p1 . Este modelo (7.14) predice esencialmente dos comportamientos distintos. (1) Si K < µ/α, la poblaci´ on S se extinguir´ a y la poblaci´ on A tenderá a la capacidad de carga K , independientemente de cuales sean los tama˜ nos iniciales de las dos poblaciones. Esto ocurre cuando la presa es poco abundante (K peque˜ na) o la especie S no es un depredador fuerte (α peque˜ n a) o por u ´ltimo, si la mortalidad de S es relativamente grande (µ grande). (2) Si K > µ/α, entonces ambas especies tender´ an a alcanzar un nivel de equilibrio. En este caso las poblaciones se pueden acercar al equilibrio por medio de fluctuaciones amortiguadas o bien mon´ otonamente. Un an´ alisis completo de este modelo se puede ver en [5]. Regresando al caso general dado por (7.13), supongamos que la dinámica de cada especie Ai es de tipo log´ıstico, es decir Ri = r i (K i Ri ) Ri . Para facilitar su an´ alisis consideraremos que la din´ amica de Ai es mucho m´ as rápida que la de S, por lo que su población se recupera con prontitud del da˜ no sufrido. As´ı, en este caso se puede suponer que R i se mantiene m´ as o  menos constante y entonces con una buena exactitud se puede tomar Ri = 0, de donde ri K i pi N Ri = . ri

−

−



 












177


Al sustituir esta igualdad en 7.13 se obtiene n

N  =

  e

n

γ i pi K i

i=1

= αN

    − − µ

e

i=1

2

− βN .

γ i p2i ri

N N

Esta ecuaci´ on tiene algunas consecuencias interesantes. Nótese que si

n



i=1



γ i pi K i < µ/e, la derivada N  es menor que cero y

por lo tanto N tiende a decrecer por lo tanto µ/e es el m´ınimo de alimento que debe ser ingerido para que exista la posibilidad de que la especie S no desaparezca. Sea p = ni=1 pi , e introducimos el par´ ametro ui = pi /p. Nótese que ui es un n´ umero en el intervalo [0, 1] y expresa el grado de preferencia del consumidor por el i´ esimo alimento. Con esta notaci´ on el coeficiente β que mide la competencia intraespec´ıfica del consumidor, esta dado por γ i 2 β = ep 2 u . ri i





Esto quiere decir que β es proporcional a una suma con peso de la probabilidad de que dos individuos usen el mismo recurso al mismo tiempo. Este es un hecho interesante porque se extrae del modelo y no está contemplado dentro de las hip´ otesis.

7.3

Coexistencia de especies en competencia

7.3.1

Un modelo de nicho ecol´ ogico

Se debe hacer notar que en el modelo anterior no es necesario que los recursos pertenezcan a especies diferentes. Se puede suponer que Ai es un estadio (juvenil, adulto, etc.) de la presa y Ri es la abundancia de ese estadio. Si el estadio lo medimos por el tama˜ no, peso o cualquier otra cantidad que var´ıe continuamente, podemos caracterizar al recurso por una variable continua z y la abundancia correspondiente ser´ a R z . Si se tienen n especies entonces z = (z1 , z2 , , zn ) será un vector de n coordenadas donde zi indica el

···



 










178



Manuel Falconi

estadio del iésimo recurso. Por ejemplo, z puede ser el tamaño de un ave y Rz la abundancia de aves de ese tama˜ no. En ocasiones la variable z que describe el recurso puede tener más de una componente. Por ejemplo, en el caso de una jirafa que se alimenta de hojas, z podr´ıa consistir de tres componentes: el tama˜ no de la hoja, edad de la hoja y altura de la rama. Los ecólogos afirman que cada especie tiene su propio nicho; es decir, una función (oficio) u ńica en la red tr´ ofica o ecosistema. Elton lo expresa as´ı: el nicho del animal es su relaci´ on con su alimento y sus enemigos . Para definir la relaci´ on de una especie con su alimento debemos determinar la abundancia del recurso, el valor nutritivo del recurso y las preferencias por cada tipo del recurso. Básicamente se tienen las siguientes funciones. Funciones de abundancia

• ρ (z) es la tasa intr´ınseca de crecimiento del recurso z. • R (z) es la cantidad total del recurso de tipo z, disponible en ausencia del consumidor.

Funciones de valor nutritivo

• γ (z) es el valor nutritivo de una unidad de recurso del tipo z. Función de utilizaci´ on del recurso

• u (z) es la probabilidad de que un individuo escoja un recurso del tipo z por unidad de tiempo.

Ahora tenemos la siguiente definici´ o n. El dominio D de la variable z donde la funci´ on de utilizaci´ on u (z) es diferente de cero se le llama nicho ecol´ ogico. La posici´ on del nicho se define como el valor medio z =



zu (z) dz,

D

e indica en promedio que tipo prefiere la especie consumidora.



 










179


7.3.2



Coexistencia y semejanza de nichos

Uno de los tópicos importantes –y controvertido– de la ecolog´ıa te´ orica es el principio de exclusión competitiva, que afirma que no es posible la coexistencia estable de dos o más especies con idénticos modos de vida o en otros términos, que compartan el mismo nicho. Esto plantea el problema te´ orico de calcular qu´ e tan semejantes pueden ser los nichos de especies en competencia que coexisten establemente. Con el término coexistencia estable queremos decir que existe para cada población un nivel N i∗ = 0 hacia el cual tiende el tama˜ no de esa poblaci´ on. Para ilustrar una forma de analizar el problema con m´ etodos matem´ aticos consideraremos una situaci´ on muy simplificada. Dos especies están en competencia si la presencia de una de ellas provoca una disminuci´ on de la tasa de crecimiento de la otra y viceversa. El modelo m´ as simple para n especies en competencia es



   −  n

˙ i = N i N

ki

αij N j

,

i = 1, . . . , n .

(7.15)

j=1

Con k i > 0, αij 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . n . Es claro que un aumento o disminuci´ o n en el tama˜ no de la poblaci´ o n de la especie j provoca una disminuci´ on o aumento de la tasa de crecimiento de la especie i, respectivamente. Los par´ ametros αij son los coeficientes de competencia interespec´ıfica si i = j. Si i = j, el coeficiente αii mide la competencia intraespec´ıfica. Los par´ ametros ki son las tasas netas de crecimiento de las poblaciones. Ahora supongamos que el nicho que comparten las n especies es unidimensional y que todos los estadios del recurso son igualmente nutritivos, por lo que la funci´ on de valor nutritivo γ (z) toma el mismo valor en cualquier z. Como hip´ otesis fenomenol´ ogica se considerar´ a que

≥



(i) la tasa neta de crecimiento de una especie depende de la cantidad y calidad del alimento ingerido. y (ii) la competencia interespec´ıfica crece con la afinidad que tengan por los mismos alimentos.



 










180



Manuel Falconi

Para considerar estas hipótesis de un modo sencillo se definen los parámetros ki y α ij como sigue ki =

∞

 

γ (z) R (z) ui (z) dz =

−∞

αij =

∞

∞



cR (z) ui (z) dz,

−∞

ui (z) u j (z) dz,

i = 1, . . . , n , (7.16)

i = 1, . . . n , j = 1, . . . n .

−∞

Con c el valor constante de γ, y que a partir de aqu´ı se tomar´ a igual a 1. Tomemos las funciones u i como se muestran en la figura 7-3, donde σ es la desviaci´ on est´ andar y D es la distancia entre las medias. D

s

Figura 7-3:

La semejanza entre los nichos la medimos con el cociente D/σ. Es claro que hay una gran semejanza de los nichos cuando σ es grande o D es pequeña para un nivel fijo D o σ, respectivamente (véase figura 7-4). Ahora el problema que nos interesa se puede ver as´ı: encontrar para qué valores de D/σ, el sistema (7.15) tiene un punto de equilibrio estable N ∗ = (N 1∗ , . . . , Nn∗ ) , con N i∗ > 0, para i = 1, . . . n . Para simplificar la



 












181


notaci´ on supondremos que só lo se tienen dos especies y por lo tanto el sistema (7.15) es ˙ 1 = N 1 (k1 N ˙ 2 = N 2 (k2 N

− α11N 1 − α12N 2) , − α21N 1 − α22N 2) .

(7.17)

D2

D1

D< D1 2

< 1

2

1

Figura 7-4:

Como funciones de utilizaci´ on del recurso se tomar´ an densidades gaussianas dadas por 1 exp 2πσ 1 exp 2πσ

u1 (z) =

√

u2 (z) =

√

z2 , 2σ 2 (z D)2 2σ 2

−   −  −

.

Entonces los coeficientes de competencia definidos por (7.16), toman los valores



 










182



Manuel Falconi

α11 = α 22 =

1 √ , 2 πσ

1 α12 = α 21 = exp 2 πσ

√

Con la notaci´ on r =

1 √ 4 πσ

yα=

D2 4σ 2

−  − 

1 √ exp 4 πσ

convierte en (véase apéndice) ˙ 1 = N 1 (k1 N ˙ 2 = N 2 (k2 N

D2 4σ 2

. , el sistema (7.17) se

− rN 1 − rαN 2) , − rαN 1 − rN 2) .

El punto de equilibrio de la ecuación anterior, con las dos componentes diferentes de cero se obtiene de la pareja de ecuaciones k1 k2

− rN 1∗ − rαN 2∗ − rαN 1∗ − rN 2∗

= 0, = 0.

La soluci´ on est´ a dada por

  N 1∗ N 2∗

=



1 r (1

1

− α2) −α

−α 1

  k1 k2

.

Para que este punto de equilibrio sea estable se requiere que 1 entonces α debe satisfacer la desigualdad

− α2 > 0,

0 < α < 1. Por otra parte, la condición de que N 1∗ >0 y N 2∗ > 0, hace necesario que k1 αk2 > 0, αk1 + k2 > 0.

− De donde se obtiene

−

1 k1 > > α, α k2

o equivalentemente 1 exp

D2 4σ2

− 

k1 > > exp k2

D2 4σ 2

− 

.



 












183


Esta desigualdad establece en términos de la cercan´ıa de los nichos (D/σ) y de la cantidad de recurso disponible (k1 /k2 ) , los l´ımites de dos especies que coexisten establemente. Nótese que si D/σ es muy cercano a cero –los nichos son muy cercanos–, el intervalo (α, 1/α) es muy peque˜ no, lo que hace muy improbable que las especies coexistan.

7.4

Ap´ endice

7.4.1

An´ alisis de los modelos de Schoener y log´ıstico Sea f (N ) una función tal que 0 y N ∗ son sus dos u ńicas ra´ıces no negativas. La soluci´ on N (t) de una ecuación diferencial de primer orden con condici´ on inicial N  = f (N ) , N (0) = N 0 , es constante si N 0 es igual a N ∗ . Si N 0 < N ∗ y f (N 0 ) > 0, entonces la soluci´ on N (t) crece y converge a N ∗ cuando el tiempo t tiende a infinito. En cambio, N (t) decrece hacia N ∗ , si N 0 > N ∗ y f (N 0 ) < 0. La soluci´ on N (t) alcanza un nivel de máximo crecimiento si en alg´ un instante toma el df ∗∗ ∗∗ valor N donde N es ra´ız de la ecuación dN = 0. En el modelo log´ıstico dado por la ecuaci´ o n (7.9), f (N ) = (k1 (C γN ) µ) N. En este caso las ra´ıces se obtienen de la ecuaci´ on (k1 (C γN ) µ) N = 0. Una ra´ız es N = 0 y la otra que denotaremos por N l∗ , satisface k 1 (C γN ) µ = 0. Por lo tanto C γN = µ/k 1 . As´ı la capacidad del medio dada por N l∗ es

− −

− −

−

−

−





Ck 1 − µ N l∗ = . k1 γ

La derivada de f (N ) respecto a N es df = k 1 (C dN

− γN ) − µ − k1γN = k1C − µ − 2k1γN.

El nivel de crecimiento m´ as rápido, predicho por la log´ıstica es la ra´ız N l∗∗ de la ecuación k 1 C µ 2k1 γN = 0. Por lo tanto

− −

N l∗∗ =

k1 C µ . 2k1 γ

−



 










184



Manuel Falconi

Entonces N l∗∗ = 12 N l∗ . En el caso del modelo de Schoener dado por (7.10), f (N ) = k C µ N. De la ecuación f (N ) = 0, encontramos que N s∗ es la ra´ız de 1+βN



1

 −

k1 C 1 + βN

− µ = 0.

De donde la capacidad del medio N s∗ est´ a dado por



k1 C µ 1 k1 C N s∗ = . = µβ β µ

−

 − 1

(7.18)

Para encontrar el nivel de máxima rapidez de crecimiento se debe resolver la ecuaci´ on df/dN = 0, que para el modelo de Schoener es k1 C 1 + βN

N = 0. − µ − (1k+1βCβN ) 2

Multiplicando por (1 + βN )2 , ambos miembros de esta ecuaci´ on se obtiene k1 C (1 + βN )

− µ (1 + βN )2 − k1βC N = 0.

De aqu´ı se llega a (1 + βN )2 =

k1 C . µ

Finalmente 1 N s∗∗ = β



k1 C µ

−1



.

(7.19)

Veamos ahora que N s∗∗ < 12 N s∗ . N´ otese que como N s∗ 0, ya que es un k C nivel de poblaci´ o n, por lo tanto µ 1. Si hacemos x = k µC , de las 1 expresiones (7.18) y (7.19) se obtienen las igualdades 12 N s∗ = 2β (x 1) y N s∗∗ = β1 ( x 1) . Basta demostrar que h1 (x) = 12 (x 1) > h2 (x) = ( x 1) , cuando x > 1. Pero esto es claro, porque h1 (x) = 12 > h2 (x) = 1 √ , para toda x > 1 y adem´ as h1 (1) = h 2 (1) . 2 x 1

√ −

√ −

≥

≥

1

−

−



 










185


7.4.2

C´ alculo de



α

Definimos la función z

2 erf (z) = π

 −  √

Esta es una función impar y

t2 dt.

exp

0

lim erf (z) = 1.

z →∞

(7.20)

En efecto, 4 (erf (z))2 = π 4 = π 4 = π

z

z

 −   −     −  −     −    t2 dt

exp

0 z

s2 ds

exp

0

z

t2 exp

exp

0

s2 ds dt

0

z

z

t2 + s2

exp

0

ds dt.

0

Si introducimos coordenadas polares s = u cos(θ) , t = u sen(θ) se obtiene la igualdad (7.20)

4 = lim π r→∞ =

z

= 2 lim

r→∞

r→∞

Sean u1 y u 2 dados por u1 (z) = u2 (z) =

0

ds dt

0

r

π/2

u2 udθ du

exp

0

0

r

u2 udu

exp

0

1 exp 2

exp

1 exp 2πσ 1 exp 2πσ

√

t2 + s2

exp

4 π lim π r→∞ 2

= lim

z

  −      −    −  − −  |  − −     √ −  − 

4 lim (erf (z)) = lim z →∞ π z →∞ 2

u2

r 0

r2 + 1 = 1.

−

z2 , 2σ 2 (z D)2 2σ 2

.



 










186



Manuel Falconi

Entonces

 −  − −   − −   −  − −   −  −   −  √ −  √   √ − 1 α = 2πσ 2 1 = 2πσ 2

∞

exp

z2 2σ 2

exp

z 2 + (z D)2 2σ 2

0

∞

0

(z

exp

√

D2 4σ 2

erf

2z

D

2σ

dz.

es

. Por lo tanto

1 1 D2 lim πσ exp 2πσ 2 z →∞ 2 4σ2 1 1 D2 = πσ exp 2πσ 2 2 4σ2 1 D2 = exp . 4σ 2 4σ π

α =

dz

z2 + (z D)2 2σ2

Se verifica fácilmente que una primitiva de exp 1 πσ exp 2

D)2 2σ 2

erf

2z

D

2σ

Bibliograf´ıa [1] Abrams, P. Limiting similarity and the form of the competition coefficient. Theor. Pop. Biol. 8 (1975), pp. 356-375. [2] F. J. Ayala. Competition between species . Am. Scientist 60 (1972), pp. 348-357. [3] W. L. Brown y E. O. Wilson. Character displacement . Systematic Zoology 5 (1956), pp. 49-64. [4] C. T. De Witt, P. G. Tow y G. C. Ennik. Competition between legumes and grasses . Verslagen van landbouwkundige onderzoekingen 687 (1966), pp. 3-30. [5] M. Gatto. Introduzione all’ecologia delle popolazioni . Clup (1989).



 













187

[6] G. F. Gause. The struggle for existence . Williams & Wilkins (1934). Baltimore. [7] R. H. MacArthur y E. O. Wilson. The theory of island biogeography . Prinecton Univ. Press (1967). [8] May, R. M. On the theory of niche overlap. Theor. Pop. Biol. 5 (1974), pp. 297-332. [9] B. A. Menge y J. Sutherland. Species diversity gradients: Synthesis of the roles of predation, competition, and temporal heterogeneity . Amer. Nat. 110 (1976), pp. 351-369. [10] K. Myers, C. S. Hale, R. Mykytowycz y R. L. Hughs. The effects of varying density and space on sociability and health in animals . en A. H. Esser, Behavior and environment: The use of space by animals and men. Plenum (1971), pp. 148-187. [11] I. G. Palmblad. Competition studies on experimental populations of weeds with emphasis on the regulation of the population size . Ecology 49 (1968), pp. 26-34. [12] E. R. Pianka. Evolutionary Ecology . HarperCollins College Publishers (1994). [13] T. W. Schoener. Effects of density-restricted food encounter on some single-level competition model s. Theor. Pop. Biol. 13 (1978), pp. 365381.



 














 












8

Modelaci´ on matem´ atica de comportamientos temporales de sistemas biol´ ogicos

Carolina Barriga Montoya Lab. de Cronobiolog´ıa Facultad de Medicina, UNAM [email protected]

Jes´ us Enrique Escalante Mart´ınez Facultad de Matem´ aticas Universidad Veracruzana [email protected]

Beatriz Fuentes Pardo Lab. de Cronobiolog´ıa Facultad de Medicina, UNAM [email protected]

Miguel Lara Aparicio Departamento de Matem´ aticas Facultad de Ciencias, UNAM [email protected]

Pablo Padilla Longoria Depto. de MyM, IIMAS, UNAM [email protected]

8.1

Modelos matem´ aticos para esc´ epticos Haz las cosas tan simples como sea posible, pero no más.

Creemos que esta cita, com´ unmente atribuida a Albert Einstein, constituye un buen punto de partida; sin embargo como lo que tiene que ver con los modelos matem´ aticos puede parecer oscuro quizá convenga ser m´ as expl´ıcitos recordando parte de una conferencia de Einstein mismo [2]:



 










190



Carolina Barriga

La experiencia justifica nuestra confianza en que la naturaleza es la realizaci´ o n de lo m´ a s simple que puede ser matem´ aticamente concebido. Estoy convencido de que una construcción puramente matem´ atica puede permitirnos encontrar los conceptos y las conexiones necesarias entre ellos que proveen la clave del entendimiento de los fenómenos naturales. [Our experience hitherto justifies us in trusting that nature is the realization of the simplest that is mathematically conceivable. I am convinced that purely mathematical construction enables us to find those concepts and those lawlike connections between them that provide the key to the understanding of natural phenomena.] Es en el fondo la confianza en que los fenómenos naturales pueden ser descritos y entendidos en términos matem´ aticos lo que est´ a detr´ as del esfuerzo de muchos cient´ıficos al generar mo delos matem´ aticos. Particularmente importante es discutir si esta confianza está fundamentada o no, en especial en el caso de los sistemas biológicos, pues si bien es cierto que en el contexto de los fenómenos estudiados por la f´ısica pocos niegan la utilidad y pertinencia de los modelos matem´ a ticos, no sucede lo mismo en la biolog´ıa, a´rea en la que todav´ıa muchos estudiosos cuestionan la aplicaci´ on de métodos e ideas matemáticas. Para ponerlo en palabras simples, es com´ un la opini´ on de que los modelos matem´ aticos s´ olo ponen en términos m´ as complicados lo que de alguna forma ya se sab´ıa. Con estos antecedentes resulta curiosa la opini´ on, poco conocida, de Darwin, quien afirmaba en una carta que se arrepent´ıa de no haber profundizado en algunos de los principios matem´ aticos.1 Los modelos matem´ aticos pueden integrar informaci´ on experimental, cuantitativa o cualitativa. Inicialmente los modelos recuperan los comportamientos observados, pero eso, por s´ı solo, no puede considerarse una validaci´ on. Es en la medida en que un modelo permite derivar resultados a partir de un cuerpo de postulados sobre los cuales hay un acuerdo generalizado y de hacer predicciones (cualitativas y cuantitativas) que puede justificarse su formulación. M´ as a´ un, la construcción de un modelo matem´ atico, y esto es particularmente cierto en el caso de los sistemas biológicos, no es un 1

Citado en Nowak M. (2006). Evolutionary Dynamics. Exploring the equations of life , Harvard University Press.



 










Comportamientos temporales



191

proceso cerrado y unidireccional. La retroalimentación en las diferentes etapas del conocimiento es una de las caracter´ısticas m´ as importantes y u ´tiles, ya que un modelo matem´ atico proporciona los elementos requeridos para revisar las hip´ otesis hechas y, en su caso, para proponer nuevos experimentos. La figura 8-1 esquematiza estas ideas. Es importante mencionar que puede haber interacción entre todas los niveles representados (para una discusión m´ as detallada, puede consultarse el trabajo ”Modeling of Biological Rhythms” [4]).

Figura 8-1: Relaciones entre experimentos, modelo y teor´ıas.

Dados estos antecedentes, m´ as que seguir con una discusión conceptual, pretendemos ilustrar estas ideas con ejemplos que son interesantes per se . Para ello, en lo que sigue hablaremos de la elaboraci´ on de un modelo para ritmos circadianos, as´ı como del fen´ omeno de la sincronizaci´ on.



 










192



Carolina Barriga

8.2

Los ritmos circadianos y su modelaci´ on Aun cuando un sistema esté controlado por leyes espec´ıficas de la evoluci´ on, a menudo ocurre que su comportamiento cualitativo no es cuantificable ni predecible. Ren´ e Thom

En cierta ocasi´ on una bi´ ologa solicit´ o a unos matem´ aticos construir un modelo matem´ atico de los cambios peri´ odicos de sensibilidad a la luz que se detectan por medio del electrorretinograma (ERG) del acocil. La primera reacción de los matem´ aticos fue preguntar cuál era el objetivo. –Pues entender los mecanismos que subyacen al ritmo circadiano, para de esta manera, llegar a comprender con mayor profundidad el fenómeno experimental observado. Lo que sigui´ o fue analizar el proceso matem´ atico adecuado para explicar los correspondientes fen´ omenos biol´ ogicos, construyendo as´ı un modelo matem´ atico cualitativo. A continuaci´ on se presenta cómo fue la interacci´ on entre los dos grupos de trabajo, el biol´ ogico y el matem´ atico.

8.2.1

Las observaciones experimentales

La generaci´ on del ritmo circadiano El estudio de los ritmos biol´ ogicos est´ a enfocado a determinar los mecanismos que inducen la presencia de cambios peri´ odicos en las funciones de los organismos, as´ı como la relaci´ on que guardan con las señales externas. Las preguntas d´ onde y cómo, que dieron origen a las ciencias morfol´ ogicas y fisiol´ ogicas, ofrecen una visi´ on fragmentaria del proceso vital estudiado debido a que muchas de las variables implicadas son función del tiempo, es decir, del cuándo, ya que suelen cambiar de acuerdo con las se˜ nales temporales externas, como por ejemplo la hora del d´ıa o las estaciones del a˜ no. Dentro de la amplia gama de los fen´ omenos peri´ odicos biol´ ogicos se pueden distinguir los que son del tipo circa (cercano), designados as´ı debido a que cuando se eliminan las correspondientes señales peri´ odicas provenientes del medio ambiente, las oscilaciones persisten con un periodo cercano, pero diferente, al del fenómeno externo con el que están relacionados. Por ejemplo, si el ritmo est´ a ligado con el ciclo de las mareas (circa-



 











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193

mareal), en condiciones ambientales constantes se observarán oscilaciones con un periodo cercano a 12 horas; si está relacionado con la alternancia d´ıa-noche (circadiano), se medirá un periodo cercano a 24 horas; si lo est´ a con las fases de la luna (circalunar), el periodo ser´ a cercano a 28 d´ıas o si lo est´ a con las estaciones del a˜ no, se detectará un periodo cercano a 365 d´ıas (circanual). Vale la pena considerar que los cambios circa a los que se alude dependen de la presencia de un reloj biológico. La investigaci´ on sobre los relojes biol´ ogicos se ha centrado en los que tienen un periodo entre 20 y 28 horas o circadianos. De aqu´ı que suelan utilizarse como punto de referencia en lo que respecta a los valores de frecuencia. As´ı, por ejemplo, para aludir a los ritmos que tienen frecuencias menores a los de los circadianos se habla de ritmos infradianos y para referirse a aquéllos que tienen frecuencias mayores, se habla de ritmos ultradianos. Los ritmos circadianos poseen una naturaleza eminentemente adaptativa, son ubicuos y tienen como caracter´ıstica com´ un la de ser la expresión de redes de osciladores endógenos. En ellos se puede identificar una estructura, el marcapaso circadiano, que presenta como caracter´ıstica b´ asica su capacidad de oscilar con periodos cercanos a 24 horas en condiciones ambientales constantes, lo mismo cuando forma parte de un organismo que cuando ha sido separado del mismo. El marcapaso tiene, adem´ as, la capacidad de imponer su ritmo a otras estructuras del organismo llamadas efectoras. El acocil es un crustáceo nocturno dulceacu´ıcola que pertenece a la orden Dec´ apoda (Figura 8-2). En este animal se ha detectado una gran variedad de ritmos circadianos tanto en el comportamiento como en la actividad fisiológica. Algunos ejemplos son los ritmos de actividad locomotriz, de frecuencia card´ıaca, de sensibilidad a la luz, de niveles hormonales, de disparos de potenciales de acción, entre otros [1]. El ritmo circadiano que nos concierne es el ritmo de sensibilidad a la luz de los fotorreceptores visuales, el cual se vuelve aparente mediante cambios en la amplitud del electrorretinograma (ERG) durante el ciclo de 24 horas (Figura 8-3). Experimentalme el ERG se obtiene detectando el voltaje producido por las células fotorreceptoras cuando se env´ıa un est´ımulo luminoso. El ritmo circadiano de sensibilidad a la luz se consigue midiendo la amplitud del ERG durante el ciclo de 24 horas en condiciones ambien-

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tales constantes (de luminosidad, temperatura, presi´ on, alimento, etcétera). Como las caracter´ısticas del est´ımulo luminoso utilizado son las mismas a lo largo de todo el experimento, la amplitud depende tanto de la probabilidad de que un fotón alcance la retina, como de la excitabilidad de la c´ elula fotorreceptora.

Figura 8-2: Acocil Procambarus clarkii.

En este trabajo se construir´ a un modelo del ritmo circadiano de sensibilidad a la luz de los fotorreceptores visuales del acocil Procambarus clarkii. Desde hace al menos tres décadas, el ritmo circadiano del ERG del acocil ha sido estudiado, siendo todav´ıa materia de debate el establecimiento y la organizaci´ on de los principales elementos que participan en su generación y expresión. Una forma de aproximación a la comprensi´ on de los procesos que subyacen a la organizaci´ on de un sistema circadiano (en particular del ERG) se hizo llevando a cabo el registro de ERG desde que el organismo sale del huevecillo hasta que el animal alcanza la edad adulta. Para la expresi´ on de un patrón circadiano es necesario que las diferentes estructuras implicadas en la generaci´ on y expresión del ritmo del ERG establezcan entre s´ı las relaciones anat´ omicas y funcionales necesarias. Durante el desarrollo del acocil estas relaciones se generan de manera gradual, lo que significa que durante la ontogenia se pueden observar cambios de los

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patrones de respuesta que incluyen modificaciones del periodo, la amplitud relativa y el nivel de actividad del ritmo circadiano en cuesti´ on. Los cambios en la forma del ritmo permite hacer hip´ otesis e inferencias acerca de la organizaci´ on del sistema circadiano.

Figura 8-3: A la izquierda se muestra el electrorretinograma del acocil Procambarus clarkii . En el tiempo 0 se envi´ o un est´ımulo luminoso de 400 lux y 10 µs de duración. A la derecha se muestra el ritmo circadiano de la amplitud del electrorretinograma.

Dado que la sobrevida de un animal en registro tiende a reducirse, para el registro del ERG en la ontogenia se emplearon tres grupos de acociles (reci´ en eclosionados, juveniles y adultos) cuyas edades fluctuaron respectivamente de 2 a 20 d´ıas, de 28 a 60 d´ıas y de 3 meses o m´ as [3]. En la figura 8-4 se pueden observar los cambios periódicos que muestra la amplitud del ERG durante las diferentes etapas del desarrollo del acocil. En los acociles recién eclosionados y hasta antes de haber alcanzado 20 d´ıas de haberlo hecho (etapa del desarrollo 0-1) se observa un ritmo claramente ultradiano (los periodos van de 15 minutos a 4 horas) cuya amplitud y nivel de oscilaci´ on son los m´ as bajos de todas las etapas. El an´ alisis de los registros de acociles juveniles de 4 semanas y hasta antes de 2 meses despu´ es de la eclosi´ on (etapa del desarrollo 1-2) muestra por primera vez la presencia de oscilaciones circadianas ( 24 horas), as´ı como la existencia de oscilaciones ultradianas sobrepuestas en aqu´ ellas; tambi´ en se observa que la amplitud y el nivel de oscilaci´ on son mayores comparados con las que se presentan en la etapa anterior. En los acociles m´ as viejos, después de 3 meses de haber eclosionado (etapa del desarrollo 2-3), ya no se observan los ciclos de alta frecuencia, de hecho la amplitud, el nivel y el periodo de la oscilaci´ on tienen los valores caracter´ısticos de la especie.

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Figura 8-4: Ontogenia del ritmo de la amplitud del electrorretinograma del acocil Procambarus clarkii . Véase el texto para una explicación. Figura modificada de [8].

Creemos que la aparición de las oscilaciones circadianas es concomitante a la maduraci´ on del sistema neuroendocrino del acocil, particularmente del complejo o´rgano x-gl´ andula sinusal (etapas del desarrollo 1-2 y 2-3). Antes de que esto suceda sólo se observan oscilaciones ultradianas (etapa del desarrollo 0-1). La propuesta est´ a sustentada en a) que la respuesta eléctrica de alta frecuencia a la luz aparece antes que madure el sistema endocrino y b) el resurgimiento de las oscilaciones de alta frecuencia cuando estas neurosecreciones se eliminan.

8.2.2

La sincronizaci´ on

La sincronizaci´ on (de sin , con; cronos , tiempo) es una expresi´ on de una organizaci´ on en el tiempo. En los sistemas circadianos podemos detectar dos tipos de sincronizaci´ on: una de la que depende que las células en un marcapaso act´ uen en forma coherente (sincronización intr´ınseca) y por lo mismo generen una se˜ nal robusta, y otra, mediante la cual las se˜ nales externas como la alternancia entre el d´ıa y la noche modifican la fase y el periodo de la oscilaci´ on del marcapaso para que éste imponga a los diferentes efectores de un organismo los tiempos adecuados de inicio y término en sus respectivas funciones (sincronizaci´ on extr´ınseca). Es evidente que del conocimiento de los mecanismos que subyacen a estas dos formas de sincronizaci´ on dependerá la posibilidad de incidir, y en su caso, verificar, el funcionamiento temporal de los organismos.

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Sincronizaci´ on intr´ınseca Hasta este punto hemos partido de la base de que los sistemas biol´ ogicos considerados presentan un comportamiento oscilatorio. Sin embargo, si tomamos en cuenta con detalle cada uno de los procesos que hemos descrito, podemos observar que las oscilaciones son en realidad el resultado de la acci´ on concertada de muchas células, por ejemplo, las que componen el marcapaso circadiano del acocil. Pensemos en otros ejemplos que pueden ser ilustrativos. El coraz´ o n es un órgano que muestra un comportamieno oscilatorio. En condiciones normales, las células cardiacas se comportan de manera coordinada, lo que permite que el órgano se contraiga y y se relaje para desempe˜ nar su función de bombeo. De manera an´ aloga, en todas las glándulas, por ejemplo el páncreas que produce la insulina, las células que las constituyen secretan hormonas de manera concertada. Si no hubiera un comportamiento colectivo coherente en estos o´rganos, ser´ıa dif´ıcil que desempeñaran su función de manera eficiente. El comportamiento al que hacemos referencia constituye, precisamente, lo que llamamos sincronizaci´ on intr´ınseca y puede observarse en multitud de sistemas biol´ ogicos y de muchos otros tipos. As´ı, por ejemplo, el p´ ublico tiende a aplaudir al un´ısono al final de un concierto, grupos de peatones o de ciclistas tienden a caminar o pedalear de manera sincr´ onica, las cigarras “cantan” en sincron´ıa por periodos relativamente largos, etcétera. Un ejemplo interesante y llamativo es el de la sincronizaci´ on de los destellos de las luciérnagas en algunos a´rboles de Tailandia (Figura 8-5) que llegan a emitir en ráfagas de luz. Es interesante observar que la sincronización ha despertado la curiosidad de los cient´ıficos desde hace mucho tiempo. En 1667 Christian Huygens (Figura 8-6) estaba enfermo y se vio obligado a pasar d´ıas en cama. En esa época le escribe a su padre en una carta:2 Es digno de menci´ o n que cuando se suspenden dos relojes construidos de dos ganchos de la misma viga de madera, los movimientos de los péndulos en direcciones opuestas coincidieron 2

Citado en Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. (2001). Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences . Cambridge University Press, Cambridge.

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tanto, que nunca se retrasaron en lo más m´ınimo uno con respecto a otro y su sonidos se escuchaban siempre al mismo tiempo.

Figura 8-5: Efecto de sincronización intr´ınseca de los destellos de luciérnagas en un árbol. Imagen tomada del video http://www.youtube.com/watch?v=sROKYelaWbo (diciembre de 2011).

Una versión ligeramente diferente del fenómeno observado por Huygens ocurre cuando se colocan varios metrómonos sobre una tabla, la que a su vez, puede desplazarse horizontalmente por estar sobre un par de latas (Figura 8-7). Despu´ es de cierto tiempo, los metr´ onomos oscilan de manera sincr´ onica. Podemos decir que si tenemos un conjunto de sistemas de naturaleza similar (células, animales, metr´ onomos, etcétera), éstos se sincronizan si sus dinámicas se ajustan debido a una cierta interacci´ on entre ellos. Est´ a claro que tenemos que precisar qué es lo que entendemos al decir que las din´ amicas se ajustan. Desde el punto de vista matem´ atico y en muchas aplicaciones f´ısicas, la sincronizaci´ on ocurre en sistemas oscilatorios y decir que las din´ amicas se ajustan quiere decir que cada uno de los osciladores recorre su ciclo al mismo tiempo que los otros (quiz´ a con alg´ un corrimiento en la fase). Esta observación es interesante porque desde el punto de vista de la descripci´ on matem´ atica significa que hay una simplificaci´ on o reducci´ on

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de la dimensionalidad del sistema. Es decir, en lugar de necesitar n variables para determinar el estado de un sistema con el mismo n´ umero de osciladores (si suponemos que el estado de cada uno de los osciladores est´ a descrito por su posición, por ejemplo, el desplazamiento angular de la barra del metr´ onomo), necesitamos u ´ nicamente saber c´ o mo se comporta uno. Los otros se comportan de la misma manera, excepto quizás por un corrimiento en la fase.

Figura 8-6: Christiaan. Huygens (1629-1695). Figura tomada de http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Christiaan Huygens-painting.jpeg bre de 2011).

(diciem-

Recordando nuestro inter´ es en los ritmos circadianos, vale la pena volver a mencionar que, como se describió en secciones anteriores, experimentalmente los ritmos circadianos pueden entenderse como el resultado de una cierta interacci´ on, tal vez a través de hormonas, neurohormonas o neurotransmisores, entre ciertas estructuras, presumiblemente células, que tengan alguna variable, como el voltaje a través de su membrana o la expresi´ on de prote´ınas, cuya dinámica muestre un comportamiento ultradiano. Es de-

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cir, podr´ıamos suponer que las células que constituyen los sistemas que nos interesan, muestran una din´ amica oscilatoria ultradiana (de alta frecuencia) y que de la interacción entre ellas emerge un comportamiento colectivo sincronizado de car´ acter circadiano (de baja frecuencia).

Figura 8-7: Sincronizaci´ on de metrónomos. Figura tomada del video http://salt.uaa.alaska.edu/dept/metro.html (diciembre de 2011).

La sincronizac´ on extr´ınseca En la secci´ on anterior propusimos que la oscilaci´ on circadiana robusta proviene del ajuste de las din´ amicas de las componentes del sistema que constituyen la red interna de osciladores debido a la interacci´ on entre ellas [9]. El ritmo emergente tiene la capacidad de ajustar su frecuencia con la de ciertas se˜ nales externas periódicas como la alternancia entre el d´ıa y la noche. El mecanismo que subyace a esta propiedad, llamada sincronizaci´ on extr´ınseca o por est´ımulo externo, es la dependencia de fase del marcapaso con respecto a la se˜ nal sincronizadora correspondiente. Si se considera el movimiento a lo largo del ciclo circadiano no hay un “valor preferido” en la fase ya que esta variable est´ a en un estado de equilibrio neutral o indiferente, lo que tiene como consecuencia que fácilmente pueda ser ajustada por la acci´ on de alg´ un est´ımulo externo. De todo esto se desprende la capacidad que tiene el organismo de ajustar sus ritmos para mantenerse en fase con los cambios ambientales [10].

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La fase de un ritmo circadiano que se encuentre en condiciones ambientales constantes (en oscilaci´ on libre), puede verse modificada incluso cuando el agente sincronizador se aplica durante un breve lapso (un pulso). Puede suceder que la fase avance, es decir, que el evento ocurra antes de lo que se esperar´ıa que ocurriera; en este caso se considera un desplazamiento de fase positivo. Si la fase se atrasa, es decir, si el evento ocurre después, se considera un desplazamiento de fase negativo. Se observa que la magnitud y la dirección de los desplazamientos de fase son funci´ on del tiempo de aplicaci´ on del est´ımulo. Esto queda gráficamente ilustrado por la llamada “curva respuesta de fase”. En la figura 8-8 se muestra la curva respuesta de fase del ritmo de sensibilidad a la luz del acocil.

Figura 8-8: Curva respuesta de fase del ritmo de sensibilidad a la luz del acocil Procambarus clarkii. Figura modificada de [6].

Entre todas las se˜ nales sincronizadoras que se conocen, la luz es con mucho el est´ımulo ambiental con mayor capacidad para sincronizar al oscilador circadiano. Sin embargo hay otros sincronizadores llamados no fóticos como,

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por ejemplo, las interacciones sociales, ciertas se˜ nales qu´ımicas (hormonas), el alimento, la actividad f´ısica, entre otras. Otra particularidad de los relojes circadianos es su independencia de la temperatura, lo que se manifiesta al observar que, a pesar de que la temperatura ambiental var´ıe, el periodo de las oscilaciones circadianas se mantiene dentro de un intervalo estrecho de valores.

8.2.3

La modelaci´ on matem´ atica

La generaci´ on del ritmo circadiano Con la informaci´ o n dada se procedi´ o a la construcci´ o n de un modelo matem´ atico que simulara y predijera el comportamiento del sistema biológico ante distintas condiciones experimentales. Despu´ es de analizar la literatura existente al respecto, se lleg´ o a la conclusi´ o n de que los osciladores deber´ıan de ser de tipo no lineal ya que el ritmo circadiano deb´ıa ser asociado con un oscilador con ciclo l´ımite como previamente hab´ıan sugerido Kalmus y Wigglesworth en 1960 [7]. Se consideraron tambi´ en las ventajas que un modelo cualitativo puede dar, por ejemplo, la posibilidad de proponer los mecanismos que subyacen a la generación de una respuesta y establecer una correlación entre los diversos integrantes del sistema. Se recurrió entonces al empleo de un oscilador van der Pol cuya ecuaci´ on es: x ¨ 2µx˙ 1 βx 2 + ω02 x = 0.

−

− 

Sin embargo se optó por un oscilador tipo van der Pol cuyo ciclo l´ımite es un c´ırculo, dado que en un van der Pol simple el ciclo l´ımite es m´ as complicado. De esta manera usamos un sistema de ecuaciones diferenciales cuya expresi´ on en coordenadas cartesianas es:

x˙ 1 =

− x21 − x22 a2 − x21 − x22 ,

−kx2 + e

x˙ 2 = kx1 + e





a2





(8.1)

en donde k es la frecuencia, e es el amortiguamiento (que indica con qu´ e rapidez se alcanza el ciclo l´ımite), a es la ra´ız cuadrada del radio, x1 es la salida del oscilador y x 2 la velocidad.

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As´ı, para el sistema 8.1 se tiene un ciclo l´ımite y una oscilaci´ on que se representa en la Figura 8-9.

Figura 8-9: Ciclo l´ımite correspondiente a la ecuaci´ on 8.1 (arriba) y evolución temporal del oscilador (abajo).

El modelo matem´ atico no puede ser un oscilador simple, ya que en los resultados experimentales se detectan elementos oscilatorios que generan los componentes ultradiano y circadiano, el cual a su vez es el resultado de oscilaciones de mallas mutuamente acopladas. En la siguiente secci´ on se mostrar´ a, matem´ aticamente, c´ omo se lleva a cabo el acoplamiento de cuatro células con diferente valor de oscilaci´ on, las que al sincronizarse dan lugar a una sola oscilaci´ on. El comportamiento del oscilador cuyas ecuaciones aparecen en 8.1 puede simular la oscilaci´ on ultradiana, mientras que con la variaci´ on de la frecuencia de oscilaci´ on se puede simular la oscilaci´ on circadiana. Sin embargo, para representar las propiedades y relaciones conocidas gracias a los registros experimentales hubo que: 1. Acoplar los osciladores ultradianos y circadianos de manera que el circadiano gobernara al ultradiano, sin que suceda lo contrario. 2. Acoplar las oscilaciones de manera que la ultradiana se “monte” en la circadiana y la bloquee poco a poco

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Para ello se aument´ o la basal de la frecuencia del oscilador “ultradiano” con la ayuda de una curva sigmoidea obtenida por la ecuaci´ on diferencial log´ıstica (Figura 8-10): x˙ 3 = ux 3 vx23 .

−

Figura 8-10: Curva log´ıstica sigmoidea.

La salida x 3 afecta al centro del ciclo l´ımite, lo que conduce a un cambio de basal (Figura 8-11).

Figura 8-11: Cambio de basal en las oscilaciones ultradianas.

Tambi´ en empleamos un segundo oscilador del mismo tipo utilizado para construir la oscilaci´ on ultradiana pero con un periodo circadiano y cuya

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salida estar´ a dada por y 1 . También le a˜ nadimos un régimen de maduraci´ on dado por: y˙ 3 = uy 3

− vy32,

cuya salida y3 afecta tanto a los respectivos centros de los ciclos l´ımites de los osciladores “ultradiano” y “circadiano” como a otros par´ ametros como se podrá observar cuando se escriba la ecuaci´ on del modelo completo. La salida y1 del oscilador circadiano se aplica directamente al centro del ciclo l´ımite del oscilador ultradiano. Este acoplamiento permite que las oscilaciones del circadiano “enmascaren” las oscilaciones del ultradiano, lo que equivale a que desaparezcan, pues no se detectan a la salida. Espec´ıficamente se generan dos bifurcaciones, una para “apagar” la oscilaci´ on ultradiana (figura 8-12) y otra para “disparar” la oscilaci´ on circadiana (figura 8-13).

Figura 8-12: Bifurcaci´ on de Hopf que “apaga” al oscilador ultradiano.

Una vez construidos los osciladores que hemos denominado “ultradiano” y “circadiano” junto con sus generadores log´ısticos y usando el acoplamiento que acabamos de mencionar, ajustamos sus parámetros de la manera como aparecen en las ecuaciones finales del modelo matemático que se muestra a continuaci´ on:

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Figura 8-13: Bifurcaci´ on de Hopf que “dispara” el oscilador circadiano.

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x1 =

−kx2 + e

 

x1 + y1 a

·



−



+ ex2 a

·

− vx23

·



y1 =

·

−ly2 + e



y2 = l y1

·

y3 = U y3

−

− x3

−



 −   −

1 x3 y1 5

− 23 y3 − x3

x2 = k x1 + y1

x3 = ux 3

−

3 y3 2

x1 + y1

1 x3 y1 5

−

x1 + y1

3 y3 2

−

−  2

− x3

3 y3 2

y22

−  2

− x3

x22

      − − − −    −  −  − 

y1

3 y3 4

3 y3 + ey 4

1 y3 4

1 y3 4

2

y1

2

y1

3 y3 4

3 y3 4

2

2

y22

y22

− V y32.

A las variables y parámetros se les dio una interpretaci´ on biol´ ogica, por ejemplo, a y1 se le identificó con la cantidad de hormonas liberadas por el complejo o´rgano x-gl´ andula sinusal; a x 1 se le identificó con la amplitud del

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electrorretinograma (ERG) en el ojo del acocil; a x3 y y3 se les identificó con las maduraciones respectivas del sistema neuroendocrino que podr´ıan definirse como la cantidad de hormonas liberadas que influyen en el oscilador ultradiano y en el oscilador circadiano [8]. La curva simulada con el modelo matem´ atico se muestra en la figura 8-14.

Figura 8-14: Curva de respuesta generada por el modelo matemático.

Generaci´ on de un ritmo circadiano robusto a partir del acoplamiento de osciladores ultradianos. La sincronizaci´ on intr´ınseca Supongamos que tenemos cuatro osciladores cuyos movimientos est´ an descritos por un sistema de ecuaciones diferenciales en el que xi representa la posici´ on del i -ésimo oscilador: x ¨1 = f 1 (x1 , x˙ 1 ) + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 x ¨2 = f 2 (x2 , x˙ 2 ) + a21 x1 + a23 x3 + a24 x4 x ¨3 = f 3 (x3 , x˙ 3 ) + a31 x1 + a32 x2 + a34 x4 x ¨4 = f 4 (x4 , x˙ 4 ) + a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 . La f es una función que determina una dinámica oscilatoria y que posteriormente escogeremos en detalle. Los términos lineales, con sus respectivos

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coeficientes (las a s) representan el acoplamiento de estos osciladores. En el caso de los metr´ onomos o los p´ endulos de Huygens este acoplamiento estar´ıa dado por la tabla o la viga. Sin embargo, en el caso de las c´ elulas los mecanismos de acoplamiento son mucho m´ as complejos y sutiles y, de hecho, constituyen un campo de investigación actual muy interesante. Adoptamos ahora una forma espec´ıfica para la f , es decir,



x2i x˙ i

− 

f i (xi , x˙ i ) = ν 1

− kxi.

Es decir, cada sistema se comporta como el llamado oscilador de van der Pol cuyo comportamiento es, efectivamente, oscilatorio. M´ as a´ un, se trata, en el lenguaje matem´ atico, de una oscilaci´ on o ciclo l´ımite estable, en el sentido de que si el sistema es perturbado de su dinámica oscilatoria, después de alg´ un tiempo regresa a ella. Ahora consideramos un conjunto de osciladores de este tipo, adicionalmente analizamos el efecto de un par´ ametro, µ, que modula la intensidad global de las interacciones entre los osciladores; por ejemplo, podr´ıa pensarse como una medida de la maduraci´ on del organismo:

− x21)x˙ 1 − kx1 + µ(a12 x2 + a13x3 + a14x4) x ¨2 = ν (1 − x22 )x˙ 2 − kx2 + µ(a21 x1 + a23 x3 + a24 x4 ) x ¨3 = ν (1 − x23 )x˙ 3 − kx3 + µ(a31 x1 + a32 x2 + a34 x4 ) x ¨4 = ν (1 − x24 )x˙ 4 − kx4 + µ(a41 x1 + a42 x2 + a43 x3 ) x ¨1 = ν (1

En la figura 8-15 se muestra una simulaci´ on para este sistema. N´ otese que después de un periodo transitorio inicial en el que son claramente apreciables las oscilaciones individuales de alta frecuencia, se observa la emergencia de oscilaciones de baja frecuencia a tal grado que no es posible ya distinguir las curvas individuales de cada una de las variables, sino que se perciben como comportamientos coordinados que muestran una sincronizaci´ on total. La sincronizaci´ on por est´ımulo externo Una vez construido el modelo matem´ atico, se hizo la prueba de someterlo a la reproducci´ on de las curvas obtenidas por el modelo experimental, como la perturbación mediante un impulso u ´ nico que provoca un desplazamiento de

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Figura 8-15: Emergencia de comportamientos oscilatorios de baja frecuencia a partir de osciladores de alta frecuencia. Nótese el transitorio inicial en el que son claramente observables las oscilaciones de alta frecuencia.

fase que depende de la fase en la que se aplica el est´ımulo, y mediante la aplicaci´ on de ciclos luz-oscuridad, que además provocan un ajuste en el periodo del ritmo (véase sección 8.2.2). Dado que el modelo te´ oricamente tiene una sólida estabilidad, se procedi´ o a aplicar las perturbaciones de la ecuación log´ıstica acoplada al oscilador que gobierna (circadiano) al oscilador de alta frecuencia (ultradiano). El resultado es consistente con lo observado experimentalmente. En la figura 8-16 se muestra la perturbaci´ on dada mediante un impulso u ńico (un est´ımulo de luz de 400 lux y 10 µs de duración) en una fase del ciclo (marcada mediante una flecha en el registro experimental y en su modelo matem´ atico), en la que tanto en el modelo experimental como en el matem´ atico se observa un cambio de fase. Esto u´ltimo puede detectarse en las rayas verticales que marcan el m´ aximo de la respuesta. Al tener un comportamiento peri´ odico podemos predecir en dónde ocurrirá el siguiente m´ aximo y por consiguiente en dónde ocurrirán todos los m´ aximos. Después de la perturbación se observa una dinámica transitoria de alta frecuencia (que suponemos es el desacople de los osciladores de alta frecuencia;

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véase secci´ on 8.2.3) y despu´ es el resurgimiento de la oscilaci´ on circadiana pero con una fase distinta a la que se observar´ıa si no hubiera habido una perturbació n. Esto u´ltimo es evidenciado por la diferencia, que llamamos desplazamiento de fase, entre la fase esperada y la fase observada.

Figura 8-16: Efecto de un pulso de luz (marcado por las flechas) en la fase del ritmo circadiano del ERG del acocil Procambarus clarkii (arriba) y su modelación matem´ atica (abajo). N´ otese la diferencia de fase marcada arriba de la respuesta entre la fase esperada, si no hubiera habido perturbación, y la fase observada, después de la perturbación. Figura modificada de [5].

Asimismo, se le pidi´ o al modelo matem´ atico la simulaci´ on del modelo experimental correspondiente a la aplicación del fotoperiodo 12 horas de luz y 12 horas de obscuridad con lo cual se obtuvo el resultado observado en la figura 8-17. El modelo matem´ atico también simul´ o varios otros resultados experimentales que se pueden ver en el art´ıculo [5] que aparece en las referencias al final del cap´ıtulo.

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Figura 8-17: Sincronización del ritmo circadiano del electrorretinograma del acocil Procambarus clarkii por ciclos luz-oscuridad (12:12) (arriba) y su correspondiente modelación matemática (abajo). Nótese el ajuste de periodo de la respuesta cuando se aplican los ciclos luz-oscuridad. En el registro experimental los est´ımulos luzoscuridad se representan arriba de la gráfica mediante cuadros claros y oscuros, respectivamente. En el modelo matemático los est´ımulos se representan en la gráfica debajo de la respuesta; la luz se representa con las respuestas altas y la oscuridad con las bajas. Figura modificada de [5].

8.3

Comentarios finales

Esperamos que el estudio de los ritmos circadianos y de la sincronización que hemos presentado haya ilustrado de forma clara la utilidad, e incluso la necesidad, de desarrollar modelos matem´ aticos en el estudio de sistemas biológicos. Tambi´ en esperamos haber mostrado la interacci´ on que se mencionaba en un principio entre una teor´ıa biol´ ogica, los resultados experimentales, el modelo matem´ atico propiamente dicho y una teor´ıa matem´ atica. Desde el punto de vista cualitativo hemos discutido la importancia de los modelos matem´ aticos como herramienta para entender los mecanismos

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Carolina Barriga

subyacentes a cierto fenómeno y sugerir nuevos experimentos. Al proponer y estudiar el modelo correspondiente se han planteado preguntas sobre los posibles or´ıgenes de los ritmos biol´ o gicos y si son o no compatibles con diferentes explicaciones. Los modelos propuestos tienen un carácter cualitativo, pero pueden ser refinados para tratar de calibrarlos y obtener as´ı respuestas cuantitativas a ciertas preguntas. Es importante recordar que, por simples que se quieran hacer las cosas, los sistemas biol´ ogicos son de una diversidad y complejidad extraordinarios, por lo que el proceso de modelación dif´ıcilmente puede considerarse como cerrado.

Bibliograf´ıa [1] Aréchiga H., Fern´ andez-Quiroz F., Fernández de Miguel F., Rodr´ıguezSosa L. (1993). The circadian system of crustacean . Chronobiology International, 10: 1-19. [2] Einstein A (1934). On the method of theoretical physics , Phylosophy of Science, 1(2):163-9. [3] Fanjul-Moles M. L., Moreno-S´ aenz E., Villalobos Hiriart N., FuentesPardo B. (1987). ERG circadian rhythm in the course of the ontogeny in crayfish . Comparative Biochemical and Physiology. Part A, 88(2): 213-9. [4] Fuentes-Pardo B., Guzm´ an-G´ o mez A., Lara-Aparicio M., L´ o pez de Medrano S. (2005). Modeling of biological rhythms , Biological Rhythm Research, 36(1&2):3-8. [5] Fuentes-Pardo B., Lara-Aparicio M., L´ o pez de Medrano S. (1995). Perturbation of a circadian rhythm by single and periodic signals and its mathematical simulation . Bulletin of Mathematical Biology. 57(2):175-89.

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Comport Comportamientos temporales

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[6] Fuentes-Pardo uentes-Pardo B., Ramos-Carvajal J. (1983). The phase response curve of electroretinographic circadian rhythm of crayfish . Compara Comparativ tivee Biochemical and Physiology. Part A, 74(3): 711-4. [7] Kalmus Kalmus H., Wigglesworth Wigglesworth L. A. (1960). Shock excited systems as models Cold Spring Spring HarborSym HarborSymposi posiaa on Quantita Quantitativ tivee of biologic biological al rhythms rhythms . Cold Biology, 25, 211-6. [8] Lara-A Lara-Apar parici icioo M., L´ opez opez de Medrano Medrano S., Fuentes-P uentes-Pardo ardo B., MorenoMorenoS´ aenz aenz E. (1993). (1993). A qualitativ qualitativee mathematic mathematical al model of the ontogeny ontogeny Bulletin in of Mathem Mathematic atical al Biology Biology,, of a circadian rhythm in crayfish . Bullet 55(1):97-110. [9] Pavlidis Pavlidis T. T. (1973). Biological Oscillators: Their Mathematical Analysis , Academic Press, Nueva York, 207. [10] Pikov Pikovsky sky A., Rosen Rosenblu blum m M., Kurths Kurths J. (2001). (2001). Synchr Synchronizat onization. ion. A University Press, Universal Concept in Nonlinear Sciences . Cambridge University Cambridge.

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9

Modelaci´ on en din´ din´ amica de poblaciones

Ignacio Ignacio Barradas Barradas Centro de Investigaciones en Matem´ aticas aticas Aplicadas [email protected]

9.1 9.1

Intr In trodu oducc cci´ i´ on on

La modelaci´ on on de fenómenos omenos biol´ ogicos con herramientas matem´ ogicos aticas aticas es reciente comparada con otras áreas, area s, como la f´ısica, ısi ca, pero pe ro dentro de ntro de la biolog´ bio log´ıa ıa es la din´ amica de poblaciones la que m´ amica as as antig¨ uedad uedad presenta. Un modelo de algo es esencialmen esencialmente te una caricatura caricatura de ello, pero para ser una buena caricatura debe deb e cumplir con algunas caracter´ caracter´ısticas b´ asicas; asicas; debe permitir reconocer el objeto al cual representa y debe hacerlo en una forma simple. simple. Si el modelo no captura los elementos elementos esenciales esenciales o su complejidad complejidad es tan grande como la del fenómeno omeno original, el modelo ser´ a malo y no será util. u ´til. As´ As´ı pues, una de las primeras decisiones que se debe deb e tomar al plantear un modelo, y en particular un modelo matemático, atico, es elegir los elementos relevantes que describirán an su dinámica amica adecuadamente, es decir, hay que elegir las variables del problema. As´ As´ı pues, al modelar mo delar un proceso que cambia en el tiempo tomaremos una serie de elecciones, las primeras de las cuales son: ¿qu´ e variable o variables

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Ignacio Barradas Barradas

vamos a considerar? considerar?,, ¿qu´ ¿qué tipo de valores tomar´ an?, ¿discretos?, ¿discretos?, ¿conti¿continuos? nuos? ¿El tiempo tiempo correr´ correr´ a en forma forma contin continua ua o discre discreta? ta? ¿Cu´ ¿Cuales a´les son las reglas reglas fundamen fundamental tales es que describen describen el proceso proceso?? Al contes contestar tar a cada cada una de estas preguntas debemos tambi´ en en estar conscientes de que muy posiblemente mente estemos estemos plasmando plasmando nuestra nuestra experiencia personal y nuestra nuestra tradici´ tradici´ on on cultur cultural al al hacerl hacerlo. o. Por Por ejempl ejemplo, o, el modelo m´ as sencillo para representar as el crecimiento de una poblaci´ on on se presenta com´ unmente unmente como dx ax (t), dt = ax( dx donde dt representa la derivada con respecto al tiempo de la variable x variable x,, la cual representa a su vez al tama˜ no no de la poblaci´ on, on, medido en n´ umero umero de individuos, biomasa o alguna otra cantidad. Si analizamos con cuidado este planteamiento descubrimos que hay un número umero grande de suposiciones que se han hecho y de algunas de ellas quizá no somos conscien conscientes tes.. Primer Primeroo que nada, nada, se supuso supuso que la variabl ariable, e, un número umero real, es decir, puede tomar cualquier valor, no sólo o lo n´ umeros umeros enteros. En otras palabras, palabras, estamos estamos aceptando, aceptando, entre otras cosas, hablar de números umeros fraccionario fraccionarioss de individuos. individuos. Esto se explica explica normalmen normalmente te diciendo diciendo que si las cantidades involucradas son suficientemente grandes, la aproximación on que se obtiene de los números umeros enteros mediante los n´ umeros umeros reales es suficientemente buena. Sin embargo, es importante recordar que se tomó tal decisi´ on. on. ¿Qu´ ¿Qué hay respecto respecto a que la ley fundamental fundamental que rige al proceso sea descrita descrita mediante mediante ecuaciones diferenciales? diferenciales? En la f´ısica estamos estamos acostumbrados a que las cantidades se modifiquen con ciertas velocidades, pero en el mundo de la biolog´ biolog´ıa, ¿tiene sentido sentido pensar que lo que rige a un proceso es una velocidad de cambio? Sobre todo si se piensa que velocidad es un concepto originado en la f´ısica. ¿No ser´ a m´ as as adecuado pensar que el cambio en el tama˜ no no de una poblaci´ on no se describe necesariamente en on términos ermi nos de cómo omo var´ var´ıa su velocidad, sino quiz´ a mejor de su tama˜ no? n o? No siempre es claro cómo omo contestar a este tipo de preguntas, sin embargo debemos estar conscientes conscientes de que hay que formularlas. formularlas. Una respuesta, respuesta, aunque sea aproximada, har´ a de nuestro modelo algo m´ as as utilizable. Pero Pero volv volvamo amoss al modelo modelo m´ as as simple simple para para descri describir bir una poblaci poblaci´ on, oń, dx = ax( ax (t), donde dt representa la derivada del número umero de individuos con respecto respecto al tiempo. Otro punto punto importante importante en el que difieren difieren los sistemas f´ısicos ısi cos y los l os biol´ bio lógicos ogicos es que la transmisi´ on on de la informaci´ on on suele ser más as lenta en los sistemas biol´ ogicos. Esto se debe a que los canales de transferenogicos. cia de informació n pueden ser la producción on de alguna sustancia o la transdx dt

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217

Modelos de poblaciones

formaci´ on on de materia en biomasa. bio masa. Por ejemplo, si pensamos qué tan r´ apido se reproduce una poblaci´ on, su velocidad dependerá no tanto del tama˜ on, no no en ese momento del tiempo, sino del tama˜ no en un momento del tiempo en no el pasado. pasado. Pi´ ensese ensese por ejemplo ejemplo en el tiempo de gestaci´ gestaci´ on. on. As´ As´ı, un modelo en ocasiones m´ as adecuado, aunque matem´ as aticamente aticamente m´ as as dif di f´ıcil ıc il,, ser´ se r´ıa, ıa , dx ax (t τ ) τ ), donde τ donde τ representa representa el tiempo que le toma al sistema transfordt = ax( mar el hecho de que un individuo est´ e presente, en que genere descendencia. En este caso se trata de una ecuación on diferencial diferencial con retardo retardo discreto. discreto. Si piensa uno en que el tiempo de gestaci´ on o lo que represente el retraso no es on constante sino que f´ acilmente se le puede pensar como un retraso distribuido, acilmente lo que llevar´ llevar´ıa a una ecuaci´ on integrodiferencial o ecuaci´ on on on diferencial con − r dx( dx(t) retardo distribuido de la forma dt = a −r x(t τ ) τ )h(τ ) τ )dτ , dτ , donde se entiende que el retraso va desde r0 hasta r1 y sus pesos relativos están an dados por h por h evaluada evaluada en ese punto. La complejidad complejidad de este tipo de modelos es grande, grande, sin embargo, embargo, en muchos muchos casos, casos, la teor´ teor´ıa matem´ atica puede aportar resultados que, traducidos al contexto original, sean de relevancia biológica. ogica. Tambi´ en en es posible llegar a modelos matem´ aticos que involucren ecuaaticos ciones ciones difere diferenci nciale aless parcia parciales les.. Esto Esto ocurre ocurre cuando cuando el fen´ fenomeno o´meno describe describe varias variables simult´ aneamente aneamente y la dependencia entre ellas es expl´ expl´ıcita. Un ejemplo en el que ocurre esto es en los modelos que consideran distribución on espacial de los individuos involucrados o se les distingue en diferentes rentes grupos de edades. Habiendo Habiendo una o m´ as dimensiones espaciales, una as temporal y si se desea adem´ as as llevar registro del n´ umero umero de individuos, lo m´ as as natural natural es trabajar con ecuaciones ecuaciones diferenciales diferenciales en derivadas derivadas parciales. Hay sin embargo otra manera de involucrar las caracter´ caracter´ısticas espaciales sin entrar a ecuaciones diferenciales parciales. Se trata de los llamados modelos metapoblacionales. Este tipo de modelos hace uso de las distribuciones espaciales, espaciales, aunque aunque no necesariame necesariamente nte discriminando discriminando entre los puntos puntos del espacio.

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−

9.2 9.2



−

1

0

−

Model Modelos os meta metapobl poblac acio iona nale less

A pesar de que el problema en general consiste en describir la dinámica amica entre varias especies, tiene sentido empezar el análisis alisis describiendo un mo-

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Ignacio Barradas

delo metapoblacional para una sola especie, ya que dicho modelo presenta caracter´ısticas comunes a los modelos multiespecies y permite identificar fácilmente el efecto de algunos factores externos sobre los niveles de equilibrio de la especie. Considérese un medio ambiente dividido en un n´ umero infinito de parches idénticos, los cuales podr´ an estar o no ocupados por individuos de la u ńica especie presente en el medio. Se dice que un parche se encuentra en estado 1 si la especies está presente en él y se dice que el parche se encuentra en estado 0 si está vac´ıo. De esta manera, el estado global del ecosistema se denotado por un vector yR 2 , cuyas coordenadas, y0 y y1 , representan la fracci´ on de parches que se encuentran en estado 0 y 1, respectivamente. La din´ amica del sistema queda descrita por una cadena no lineal de Markov, cuya matriz de transición A y(t) , depende expl´ıcitamente del estado y(t), en el que se encuentra el ecosistema en el tiempo t. As´ı pues, se obtiene un sistema no lineal de la forma y(t + 1) = Ay(t) y(t)

(9.1)

Las entradas de A modelan los procesos de sobrevivencia y colonizaci´ on de la especie entre un momento t en el tiempo y una unidad de tiempo después, considerando el hecho de que el sistema est´ a sujeto a perturbaciones. Su forma expl´ıcita se deriva de acuerdo con las siguientes hip´ otesis: 1. El medio es afectado por perturbaciones de dos tipos: las que interfieren con el proceso de colonización y las que interfieren con el proceso de permanencia de la especie en un parche. 2. Perturbaciones del primer tipo ocurren con una probabilidad pe , 0 pd 1 y afectan el proceso de colonizaci´ on impidiendo el paso de un parche del estado 0 al estado 1. Dicha probabilidad es constante e igual para todos los parches.

≤

≤

3. Perturbaciones del segundo tipo ocurren con una probabilidad constante e igual en todos los parches. Si un parche es afectado por una perturbación de este tipo, la especie es eliminada y el parche pasa al estado 0.

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4. La colonizaci´ on de parches vac´ıos ocurre de acuerdo con una diseminaci´ on aleatoria de los individuos de la especie descrita por la distribuci´ on de Poisson C = 1

− exp(−dy1).

Es decir, la probabilidad de que un parche vac´ıo sea colonizado es proporcional a la fracci´ on de parches en estado 1. Obs´ ervese que y1 , y por lo tanto C , pueden depender de t. De acuerdo con las hipótesis anteriores la matriz de transici´ on A queda definida de la siguiente manera: Ay(t) =

9.2.1



1

− C (1 − P e ) pd C (1 − P e ) 1 − pd



An´ alisis del modelo para una especie

Una ventaja de tomar como unidades en el modelo a la fracci´ on de parches que se encuentran en un estado dado es que, en cierto sentido, la descripción de la din´ amica del sistema queda libre. Por ejemplo, en una soluci´ on estacionaria de (9.1) el ecosistema no necesariamente se encuentra est´ atico, por el contrario, aun si la proporci´ on de parches en un estado determinado permanece constante, eso no significa que sean los mismos parches los que conservan su estado. Todos ellos pueden cambiar, siempre y cuando se conserve la proporción de parches en cada uno de los estados. Dadas las condiciones del problema, solamente son de interés las soluciones de (9.1) que satisfacen la condici´ on adicional y0 + y 1 = 1 . Esta condici´ on implica que la ecuaci´ on matricial que debe satisfacerse para la existencia de un punto fijo de (9.1) es equivalente a la siguiente ecuación escalar:

(1

− exp(−dy))(1 − pe)(1 − y) − pdy = 0.

(9.2)

El lado izquierdo de la ecuación es una funci´ on convexa de y, cuyo valor en 0 es igual a 0. Adem´ as la funci´ on toma valores negativos para y = 1. De ello se concluye que la existencia de una ra´ız positiva depende de la

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Ignacio Barradas

derivada en 0, es decir, existe y(d, pd , pe ), una soluci´ on positiva de (8.2), si y solamente si pd 1 pe

d>

−

Obsérvese que entonces el punto (1 y, y) es una soluci´ on estacionaria de (9.1). Su estabilidad global, en caso de que sea positiva, y la del 0 en caso contrario, se siguen igualmente de la convexidad del miembro izquierdo de (9.2). Tambi´ en se puede ver que el valor de y es una función creciente de d, de donde se sigue que el nivel máximo posible de ocupaci´ on sostenida del medio ambiente por la especie se obtiene sustituyendo d = en (9.2), lo que da

−

∞

y =

1 pe 1 pd pe

−

(9.3)

− −

De especial interés biológico resultan la dependencia de (9.2) y (9.3) en términos de pd y pe . En particular, las derivadas parciales del miembro derecho en (9.3) con respecto a p d y p e revelan a qué tipo de perturbaciones es m´ as sensible la especie. As´ı pues ∂ ∂p d



pd 1 pe

−



∂ > ∂p d



pd 1 pe

−



si y solamente si, pd + pe < 1. Una interpretaci´ on de esta desigualdad es que si una especie ocupa un medio ambiente donde las perturbaciones son poco frecuentes ( pd + pe < 1), su ganancia adaptativa (medida como la fracci´ o n de parches en los que la especie está presente en la posici´ on de equilibrio (t )), es mayor reduciendo pd que reduciendo pe . Por ello, en medio ambientes afectados por perturbaciones de baja frecuencia se puede esperar encontrar especies que invierten mayor energ´ıa en permanecer en un parche colonizado, que en colonizar nuevos parches. Por el contrario, si el medio ambiente est´ a expuesto a perturbaciones frecuentes, las especies que lo ocupen tender´ an a invertir energ´ıa en colonización de nuevos parches más que en la conservaci´ on de parches ya colonizados. Por otro lado, tambi´ en es importante destacar que del an´ alisis anterior queda claro que el efecto de las perturbaciones sobre distintos procesos

→ ∞

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221


biológicos puede ser cualitativamente muy diferente, as´ı pues, mientras que pd en (9.3) aparece en el numerador, pe aparece en el denominador, m´ as aún, si pe tiende a 1, el lado derecho en (9.3) tiende a infinito, cosa que no ocurre si pd tiende a 1. Este tipo de modelos puede ser generalizado fácilmente a dimensiones superiores. Por ejemplo, en el caso de dos especies, se obtendr´ıa un sistema descrito por una matriz de 2 2, en la cual las entradas describir´ıan cu´ al es la probabilidad de que un parche cambie de un estado en el cual está ocupado por, ninguna, s´ olo la primera de las especies, sólo la segunda o ambas a cualquiera otro de los estados.

×

9.3

Conclusiones

En la modelaci´ on en biolog´ıa hay que hacer uso de las técnicas existentes y aprovechar el desarrollo matemático en las a´reas que han sido mejor estudiadas. Es, sin embargo, de gran importancia estar conscientes que se toman decisiones al elegir los modelos y que tambi´ en se est´ a reflejando la experiencia personal. El mismo modelo podr´ a siempre ser modelado de diferentes formas. Hay que tener esto presente y elegir aquel o aquellos que m´ as informaci´ on nos aporten.

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10

An´ alisis num´ erico

Clara E. Garza Hume IIMAS, UNAM [email protected]

10.1

Introducci´ on The computer is mightier than the pen, the sword, and usually, the programmer. To err is human; to really foul things up requires a computer. Every program is either trivial or it contains at least one bug.

El prop´ osito de estas notas es dar una brev´ısima introducci´ on a los peligros y las maravillas de los métodos numéricos. Hoy en d´ıa muchos problemas matem´ aticos se resuelven por métodos num´ ericos. Hay computadoras muy poderosas y lenguajes de programaci´ on muy eficientes, como Fortran, C, C++ y algunos m´ as modernos como Python o los que se usan para programación en tarjetas gr´ aficas como CUDA u OpenCL. Además hay paquetes fácilmente utilizables por los no expertos como Matlab, Maple, Mathematica, etc., y varias opciones muy buenas de software libre. Por esto podr´ıa pensarse que es ya innecesario aprender la teor´ıa. Sin embargo, hay problemas inherentes a la computadora y a los métodos num´ ericos que implican que es muy dif´ıcil saber si los resultados obtenidos son correctos y qué tan correctos. “Casi siempre” lo son,

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Clara Garza

pero para detectar cu´ ando no, es necesario conocer la teor´ıa y entender el problema que se está resolviendo. El an´ alisis num´ erico consiste en encontrar métodos para aproximar de forma eficiente las soluciones de problemas matem´ aticos. La eficiencia depende de la exactitud requerida. En las situaciones pr´ acticas muchos problemas matem´ aticos vienen de fenómenos f´ısicos, qu´ımicos, biol´ ogicos, financieros, etc., donde se han hecho simplificaciones para lograr un modelo manejable. Para encontrar una soluci´ on aproximada se desarrolla un algoritmo. Un algoritmo es una serie de operaciones algebraicas y l´ ogicas que producen una aproximación a la soluci´ on del problema matem´ atico y uno espera también una aproximaci´ on a la soluci´ on del problema original con cierta exactitud. Qu´ e tan buena es la aproximaci´ on es algo latoso de calcular, pero debe hacerse para poder tener cierta confianza en los resultados obtenidos. La certeza absoluta de que el resultado num´ erico obtenido es una soluci´ on al problema original no se puede tener. En la bibliograf´ıa se dan varias referencias cl´ asicas para quien quiera profundizar en alguno de los temas mencionados aqu´ı.

10.2

Fuentes de error y aritm´ e tica de computadora

Cuando se usa una calculadora o computadora para hacer cálculos se debe considerar el inevitable error de redondeo. Algo tan sencillo como la suma deja de ser asociativa. Claro que 3+2 sigue siendo igual a 2+3, pero puede haber problemas con n´ umeros que son muy distintos entre s´ı. Si la computadora tiene, digamos, 8 d´ıgitos, si a 10 le sumamos 10−10 el resultado (incorrecto) ser´ a 10 porque la computadora no puede escribir 10.0000000001 si s´ olo tiene 8 d´ıgitos. Aunque sumemos 1011 veces 10−10 a 10 el resultado (incorrecto) ser´ a 10. Pero si primero sumamos 1011 veces 10−10 nos da 10, que sumado a 10 da 20, la respuesta correcta. Otras fuentes de error son los errores en los datos iniciales y los errores por truncamiento, cuando un proceso infinito se remplaza por uno finito. Otra fuente de error somos los usuarios. Si uno se equivoca en un signo

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225

´ lsis num´ Ana erico

o en una constante, por ejemplo al escribir una ecuación, la computadora no se da cuenta y podrá, en el mejor de los casos, dar la respuesta correcta al problema equivocado. Por todo esto es indispensable analizar los resultados obtenidos y cuando menos asegurarse de que hacen sentido, que tienen el signo correcto, el orden de magnitud correcto, el tipo de crecimiento o decrecimiento que uno esperar´ıa, el comportamiento asint´ otico razonable, etc. Para esto hay que utilizar an´ alisis. Los paquetes comerciales, como Matlab, Mathematica, Maple y otros muchos son muy buenos, casi nunca fallan, pero el u ´ nico modo de saber d´ onde est´ a ese “casi” es usando análisis. Adem´ as, los usuarios fallamos bastante y es indispensable la comprensión de los problemas y el an´ alisis para detectar esas fallas. A la computadora no “le suena a que algo anda mal”, por eso nos tiene que “sonar” a nosotros. Los métodos numéricos no sustituyen al an´ alisis, sino que lo complementan, enriquecen y ayudan. Veamos algunos ejemplos.

10.3

Ecuaciones no lineales

Uno de los primeros problemas matem´ aticos que se resuelven usando métodos numéricos son las ecuaciones no lineales. Uno aprende a resolver ecuaciones lineales en primaria y secundaria. Cosas como 4x + 5 = 8 se despejan sin dificultad. En cualquier ecuaci´ on de la forma ax +b = 0, donde a, b son constantes se puede despejar x. Pero este no es el caso para ecuaciones más complicadas. Supongamos que queremos “despejar x” de una ecuación de la forma: f (x) = 0. Si se trata de un polinomio cuadr´ atico, es decir f (x) = ax2 + bx + c = 0, se tiene la cl´ asica f´ ormula

√ − b ± b2 − 4ac x = ; 2a

si se trata de un polinomio c´ ubico de la forma f (x) = ax 3 + bx2 + cx + d = 0

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Clara Garza

o de orden 4 hay fórmulas, pero para orden m´ as alto puede probarse que no las hay. No que no las hemos encontrado, sino que no las hay. Entonces para una ecuaci´ on general f (x) = 0, a´ un si suponemos que f es continua, de una variable y con valores reales, que f es diferenciable si es necesario y que la ra´ız x∗ es simple (es decir, que f (x∗ ) = 0) “lo m´ as probable” es que no se pueda resolver expl´ıcitamente. Entonces no queda m´ as remedio que buscar aproximaciones a las soluciones. Pero esto no quiere decir que no haya que hacer análisis. El an´ alisis nos puede decir, por ejemplo, cu´ antas soluciones hay y en qu´ e regiones puede o no haber soluciones, lo cual permite detectar errores en los cálculos numéricos. En la mayor´ıa de los métodos numéricos utilizados para aproximar ra´ıces en este tipo de problemas se determina primero una aproximación x 0 de la ra´ız y luego se construye una sucesi´ on (xn )∞ ız: n=0 que converge a la ra´ 



lim xn = x ∗ .

n→∞

Este tipo de métodos se llaman iterativos . La aproximaci´ on inicial x0 se puede encontrar graficando la funci´ on, tabulando, usando el método de bisecci´ on etc. Veamos por ejemplo el caso f (x) = x

− e−x = 0.

Graficando las curvas y = x y y = e −x se obtiene la figura 10.3. Calculando se encuentra que f (0.5) = 0.11 y f (0.6 ) = 0.05 y por continuidad debe haber un cero entre 0.5 y 0.6. Obviamente esto no es cierto si f no es continua. En el método de la bisecci´ on se va partiendo el intervalo a la mitad sucesivamente y escogiendo la mitad en la que quedó la ra´ız. Es lento pero converge. Esto puede hacerse paso a paso con una calculadora si no se tiene algo m´ as sofisticado a la mano. Un método muy usado es el de Newton-Raphson, que viene simplemente de usar la serie de Taylor. Dada una aproximaci´ on xn de la ra´ız se puede pensar en encontrar una h tal que f (xn + h) = 0. Usando los primeros dos términos de la serie de Taylor alrededor de x n obtenemos:

−

f (xn + h)



 f (xn) + hf (xn).



 












227


Figura 10-1: Gráfica de y = x y y = e −

x



Si f (xn ) = 0 se puede despejar h:



hn =

− f f (x(xnn)) . 

Por lo tanto la nueva aproximaci´ on x n+1 est´ a dada por: xn+1 = x n + hn = x n

− f f (x(xnn)) . 

Se usa el valor de la funci´ on y de su derivada y converge más rápido. Si se usa a ciegas y uno no se asegura de que f (xn ) = 0 para toda n puede haber problemas. Para el sencill´ısimo caso de x2 = 0, si se pone x0 = 0 este método truena. Pregunta: Si buscando ra´ıces encuentran algo diferente para diferentes condiciones iniciales, ¿qué estar´ a pasando? 





 










228

10.4



Clara Garza

M´ aximos y m´ınimos

Encontrar m´ aximos y m´ınimos de funciones puede hacerse en forma similar. Es lo mismo encontrar puntos cr´ıticos de una funci´ on que ceros de su on o derivada, as´ı que puede aplicarse lo anterior a la derivada de la funci´ puede pensarse en usar la serie de Taylor ahora hasta orden 2 (porque las rectas no tienen puntos cr´ıticos), buscar el punto cr´ıtico de la aproximaci´ on cuadr´ atica, usar eso como nuevo punto inicial, etc. Este es el método de Newton para puntos cr´ıticos y se ve as´ı: 

xn+1 = x n

−

f (xn ) . f (xn ) 

Esto funciona si uno empieza suficientemente cerca del punto cr´ıtico.Pero si no, puede no converger. Tiene problemas si f (xn ) es cero o casi cero en alg´ un punto y además no se sabe si lo que se encontró fue un m´ aximo o un m´ınimo. Y en cualquier caso es sólo local. No se tiene garant´ıa de haber encontrado un m´ aximo o m´ınimo global. 

10.5

M´ınimos cuadrados

El método de m´ınimos cuadrados se usa para a justar curvas a datos experimentales, que siempre tienen errores y la idea es minimizar el efecto de los errores. En el caso más sencillo se trata de ajustar una recta a los datos dados. Lo que se encuentra es la mejor recta que se ajusta a los datos pero no se demuestra que haya una dependencia lineal entre ellos. T´ omese por ejemplo la estatura promedio contra la edad para los ni˜ nos. Estatura 75 92 108 121 130 142 155 edad 1 3 5 7 9 11 13 Si se supone que hay una recta de la forma mx + b que casi pasa por los puntos, entonces para determinar la recta hay que minimizar n

E (m, b) =



(yi

i=1

− (mxi + b))2,



 












229


donde n es el n´ umero de datos que se tienen. N´ otese que E es función de m y de b, s´ olo hay dos parámetros por determinar y se hace en la forma siguiente: n ∂E 0= = [yi (mxi + b)]xi ∂m

 −  − −

−

∂E 0= = ∂b Esto puede rescribirse como

i=1

n

2

[yi

i=1

n

0=

(mxi + b)].

n

n

 −  −  −  − xi yi

i=1

x2i

m

i=1

n

0=

xi

i=1

n

yi

i=1

b

m

xi

nb.

i=1

Es un sistema de dos ecuaciones con dos inc´ ognitas y puede resolverse fácilmente. El resultado no demuestra que hay una relaci´ o n lineal entre edad y estatura, s´ olo encuentra la recta que “mejor” aproxima los datos. Para cualquier conjunto de datos puede hacerse lo mismo y encontrar “la mejor recta”, que puede estar bastante lejos de los datos. Si al graficar los datos parecen seguir, digamos, un polinomio cuadr´ atico 2 de la forma y = a + bx + cx se pueden determinar los valores de a, b y c que minimizan la suma de los cuadrados de las distancias de los datos experimentales a la curva propuesta. Nuevamente esto no prueba que los datos sigan una relaci´ on cuadr´ atica sino que supone que siguen una relación cuadr´ atica y encuentra la curva de esa familia que mejor se ajusta a los datos.

10.6

Ecuaciones diferenciales

Otra rama en la que frecuentemente se recurre a las soluciones numéricas son las ecuaciones diferenciales. Una ecuaci´ on diferencial es una ecuaci´ on



 










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Clara Garza

que involucra la(s) derivada(s) de una funci´ on desconocida de una o varias variables. Tomemos s´ olo una ecuaci´ on ordinaria (que depende de una sola variable) de primer orden de la forma y = f (x, y), donde y(x) es la funci´ on que queremos encontrar. Para determinar la soluci´ on en forma u ´ nica es necesario agregar una condición inicial. Entonces el problema es y  = f (x, y), y(a) = α. No todas las ecuaciones tienen soluci´ on. Es indispensable estar seguro de que la soluci´ o n existe y es única antes de buscarla num´ ericamente. Para esto se utiliza el teorema: Sea f (x, y) una funci´ on definida y continua para todos los puntos (x, y) tales que a x b, < y < , donde a y b son finitos. Si f satisface una condici´ on de Lipschitz, es decir, existe una constante L tal que

≤ ≤ −∞

∞

|f (x, y) − f (x, y∗)| ≤ L|y − y∗| para todo a x b y todo y, y ∗ , entonces para cualquier valor inicial α existe una soluci´ on unica ´ al problema con valores iniciales

≤ ≤

y = f (x, y),

y(a) = α.

Hay muchas ecuaciones de este tipo que se pueden resolver anal´ıticamente. Es necesario saber cu´ a les son y có mo se encuentra la soluci´ on exacta. Sin embargo, la mayor´ıa de las ecuaciones que aparecen en las aplicaciones no se pueden resolver anal´ıticamente y por lo tanto se buscan aproximaciones numéricas. Pero tambi´ en en esos casos hay que hacer todo el an´ alisis que sea posible. Aunque no se pueda encontrar la soluci´ on expl´ıcita muchas veces se pueden encontrar propiedades cualitativas de las soluciones, cotas inferiores o superiores comparando con ecuaciones que s´ı puedan resolverse expl´ıcitamente o algunas otras propiedades comparando con casos l´ımite que s´ı sean manejables. Todo esto ayuda a tener confianza en la soluci´ on numérica obtenida.



 












231


Muchos de los métodos numéricos se basan en la siguiente idea: como no podemos determinar y(x) para toda x en el intervalo [a, b] nos conformaremos con encontrar aproximaciones yi de y(xi ) para algunos puntos (xi )N i=0 en el intervalo. Supongamos que xi = a + ih,

i = 0,...N,

donde el tama˜ no de paso h se define como h = (b

− a)/N,

para alg´ un entero N . El valor inicial nos da y0 = y(x0 ) = α. Para calcular los dem´ as valores lo que se hace es discretizar la ecuaci´ on diferencial, es decir, se reemplaza la derivada por el cociente diferencial: 

y (xn )

 y(xn+1)h− y(xn) ,

que es equivalente a tomar nuevamente serie de Taylor a primer orden, y la ecuaci´ on diferencial se convierte en y(xn+1 ) y(xn ) h

−

 f (xn, y(xn)).

Después sustituimos y(xn+1 ) y y(xn ) por sus aproximaciones yn+1 y yn y obtenemos yn+1 = y n + hf (xn , yn ), y0 = α. Es decir, como sabemos resolver ecuaciones lineales, suponemos que en intervalos “suficientemente peque˜ nos” la ecuaci´ on se comporta como si fuera lineal. Este es el famoso método de Euler. Es f´ acil, conciso... y muchas veces da resultados incorrectos. Veamos por ejemplo una ecuaci´ on que aparece en la teor´ıa de poblaciones: y = ay, y(0) = y 0 . 

En este caso la soluci´ on es conocida y está dada por y(x) = y0 eax . Si se resuelve usando el método de Euler se obtiene una curva muy parecida a la soluci´ on, véase figura 10-2: Pero veamos otro ejemplo, que aparece frecuentemente en f´ısica y se conoce como oscilador arm´ onico. Considérese una caja sobre un soporte



 










232

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Clara Garza

r´ıgido sujeta a la pared por un resorte. Sea y(t) la posici´ o n de la caja al tiempo t. La ley de Hooke dice que el resorte ejerce una fuerza en la caja proporcional a y. La fricci´ on es proporcional a y (t). La segunda ley de Newton dice que la masa por la aceleración es igual a la fuerza. Por lo tanto 



my =



−qy − φy ,

donde m es la masa de la caja, q y φ son constantes. Véase figura 10-3.

Figura 10-2: Crecimiento de poblaciones.

Para poder resolver el problema es necesario tener las condiciones iniciales: y(0) = α, y (0) = β, 

donde α y β son constantes dadas. Si se pone y = y 1 = y2 la ecuaci´ on se puede escribir como un sistema: 





y1 = y2 , 

my2 =

−qy1 − φy2,

con y1 (0) = α y y2 (0) = β .



 












233


Figura 10-3: Oscilador.

Si la fricción es 0 (es decir, φ = 0) se encuentra anal´ıticamente que dos soluciones linealmente independientes son sen q/mx y cos q/mx. En el plano fase (el plano y1 y2 ) esto se ve como órbitas peri´ odicas, de hecho c´ırculos en este caso. Si se aplica el m´ etodo de Euler las o´rbitas NO se cierran. La soluci´ on no se parece a la verdadera. El método numérico introduce una fricción que no está ah´ı. La solución numérica es cualitativamente diferente a la solución real y no sirve de nada (v´ ease la figura 10-4.)

−





El error local de truncamiento en el punto x n+1 es la diferencia entre el valor calculado y n+1 y el valor en el punto x n+1 de la soluci´ on que pasa por el punto (xn , yn ). El error global de truncamiento en el punto x n+1 es yn+1

− y(xn+1).

Usando la expansi´ on de Tayor se puede ver que si la soluci´ on a la ecuaci´ on 2 diferencial tiene dos derivadas continuas, entonces el error local es O(h ) y el error global es O(h). Si se toman m´ as términos en la serie de Taylor se encuentran métodos m´ as exactos. El que se usa m´ as com´ unmente es el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Tiene un error global O(h4 ). La idea es que si se toman más términos en la serie de Taylor aparecen derivadas de f , y eso es muy latoso de calcular, entonces se sustituyen las derivadas por combinaciones inteligentes de la funci´ on evaluada en diferentes puntos.

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 





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Clara Garza

El método clásico es: k1 = hf (xn , yn ), k2 = hf (xn + h/2, yn + k1 /2), k3 = hf (xn + h/2, yn + k2 /2), k4 = hf (xn + h, yn + k3 ), 1 yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ). 6

Figura 10-4: Plano fase (¡incorrecto!) del oscilador arm´ onico resuelto con Euler (con tama˜ no de paso demasiado grande).

Si se usa este método para resolver la ecuaci´ on del oscilador arm´ onico las órbitas casi se cierran. Si se corre mucho tiempo se ve que hay una peque˜ na pérdida de energ´ıa pero si no, a simple vista la soluci´ on es correcta.

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 












235


´ Figura 10-5: Orbitas que a simple vista cierran.

Sin embargo, si se usa Euler con una peque˜ na variaci´ on (sugerida por el Dr. Arturo Olvera) se obtienen resultados a´ un m´ as exactos. La variaci´ on toma en cuenta el hecho de que la ecuaci´ on conserva energ´ıa. Si se escribe la ecuaci´ on como y˙ = z z˙ =

−y

el método de Euler dar´ıa: yn+1 = yn + hzn zn+1 = zn

− hyn

y la variación consiste en sustituir el u ´ltimo término por yn+1 . Es decir, el an´ alisis y la comprensión del problema vuelven muy bueno un método muy sencillo pero usualmente poco confiable.

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 

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236

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Figura 10-6: Corriendo más tiempo se observa que las órbitas no cierran.

10.7

La ecuaci´ on de Laplace y el ´ algebra lineal

Le ecuación de Laplace es la ecuaci´ on diferencial parcial de tipo el´ıptico m´ as sencilla. Con ella mostraremos el método de las diferencias finitas y su conexión con el álgebra lineal. La ecuaci´ on de Laplace en dos dimensiones est´ a dada por ∂ 2 u ∂ 2 u + = 0. ∂x 21 ∂x 22 Supondremos que se tienen condiciones de Dirichlet u = f (x1 , x2 ) en la frontera del dominio que tomaremos como el cuadrado unitario. La manera m´ a s fácil de resolver este problema es usar diferencias finitas. El cuadrado se cubre con una malla con lados paralelos a los ejes coordenados y de tama˜ no h.



 












237


Figura 10-7: Malla bidimensional.

Usando la serie de Taylor nuevamente se obtiene: U +1,m = (U + h U −1,m = (U

−

∂ u 1 2 ∂ 2 u 1 3 ∂ 3 u 1 4 ∂ 4 u + h + h + h + ∂x 1 2 ∂x 21 6 ∂x 31 24 ∂x 41

∂ u 1 2 ∂ 2 u h + h ∂x 1 2 ∂x 21

−

1 3 ∂ 3 u 1 4 ∂ 4 u h + h + 6 ∂x 31 24 ∂x 41

· · · ),m · · · ),m

y sumando: U +1,m + U −1,m

− 2U ,m =

2 2 ∂ u (h ∂x 21

1 4 ∂ 4 u + h + 12 ∂x 41

· ·· ),m

y por lo tanto (U +1,m + U −1,m + U ,m+1 + U ,m−1 )/h2 = (

∂ 2 u ∂ 2 u 1 2 ∂ 4 u ∂ 4 u + ) + h ( 4 + 4 ),m + ,m 12 ∂x 21 ∂x 22 ∂x 1 ∂x 2

·· ·

y se sustituye la ecuación por una ecuación en diferencias U l+1,m + U l−1,m + U l,m+1 + U l,m−1

− 4U l,m = 0,



 










238



Clara Garza

donde U l,m es la función que satisface la ecuaci´ on en diferencias en el punto ¯ como de la malla X 1 = lh, X 2 = mh. Si se define el vector U [U 1,1 ...U M −1,1 ; U 1,2 ...U M −1,2 ; ...; U 1,M −1 ]T donde []T denota la transpuesta, entonces las ecuaciones para todos los nodos internos se escriben como ¯ = ¯k AU

− 1)2 dada por

donde A es una matriz de orden (M

  − 

B J

A =

−J B

−J

0

0 ..

. J

−

donde J es la matriz unitaria de orden (M (M 1) dada por

−

  − 

4 1

B =

−1 4

−1

0

B

−J −J

B

− 1) y B es una matriz de orden 0

..

. 1 4

−

  

−1 −1

4

  

¯ Los elementos del vector k dependen de los valores de frontera. Estos sistemas matriciales son exactamente los que se resuelven en álgebra lineal, s´ o lo que no son de 2 2 sino de 1000 1000 por ejemplo. El modo tradicional de soluci´ on que es invirtiendo la matriz es lo menos eficiente para matrices grandes. Se usan métodos como la eliminaci´ on gaussiana y muchas formas de descomponer la matriz en un producto de matrices m´ as f´ aciles de manejar. Aqu´ı est´ an incluidos la descomposici´ on LU, SVD, GR, etc. (véase Golub, 1983). El a´lgebra lineal computacional es diferente al a´lgebra lineal tradicional. Por ejemplo, hay que tener mucho cuidado con los valores propios, que dan problemas si son 0, pero tambi´ en si son cercanos a cero o si son muy distinto entre ellos. Es un tema muy complejo e indispensable para el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales y por lo tanto de muchos de los modelos que surgen de las aplicaciones.

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Esteva, Lourdes Falconi, Manuel - Biologia Matematica

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