INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO NORBERT WIENER
Manual del Alumno ASIGNATURA:
Lima-Perú
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Los hombres dudan muchas veces antes de dar el primer paso, porque porque piensan que no podrán alcanzar alcanzar la meta que se han propuesto. Esta actitud es el principal obstáculo que se opone a su progreso, y que cada uno de nosotros con un pequeño esfuerzo de voluntad puede vencer. Mahatma Ma hatma Gandh i
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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ESTADISTICA I Índice General Pag N° 1. Estadística General ............................................ ................... ......................................... ................ 5 2. Estadística Descriptiva.................... Descriptiva............................................ ................................... ........... 7 3. Las Variables Estadísticas..................................................10 4. La Organización Organización de los Datos…….....................................11 Datos……..................... ................11 5. Práctica Calificada…….......................................................... 6. Presentación de los Datos...................................................24 7. Estadígrafos de Tendencia Central.................................... 25 8. Estadígrafos de Tendencia Central .................................. ....................... ........... 29 9. Estadígrafos de Tendencia No Central.…………..………35 Central.…………..………35 11 Estadígrafos de Dispersión……………………… Dispersión………………………….........41 ….........41
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12. Distribución Bidimensional ............................................. .34
14. Regresión Lineal…....……….............................................45 15. Regresión Lineal - Análisis de Correlación ……...............49 16. Análisis de Regresión Lineal .............................................65 17. Números Indices ................................................................75 Problemas resueltos……..…………... resueltos……..…………... ...................................83 .......................... .........83 10.
Problemas pro puestos…..…….…………………… puestos…..…….………………………….90 …….90
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SESION #1
– ESTADISTI CAPITULO CAPIT ULO I – ESTADISTICA CA GENERA L DEFINICION Y CLASIFICACION DE LA ESTADISITICA
ESTADISTICA:
Es una ciencia aplicada a cualquier tema del saber humano y se encarga de recopilar, ordenar, clasificar y presentar una información llamada Muestra, con el fin de inferir acerca del comportamiento de una población. La Estadística se clasifica en: 1. Estadística Descriptiva; es la que se encarga de recopilar, ordenar, clasificar y presenta una información, llamada muestra aleatoria. 2. Estadística Inferencial; es la parte de la Estadística que se encarga de inferir sobre el comportamiento de una población a partir de una muestra, bajo un margen de error o incertidumbre que es cuantificado por la teoría de probabilidades. CONCEP CO NCEPTOS TOS F UND AM ENTAL ES EN ES ESTADI TADI STI CA
POBLACION:
Es un conjunto de observaciones que tienen una característica caracterís tica en común la cual se desea estudiar, estudiar , la población representa la totalidad de elementos de un determinado estudio y puede ser finita o infinita.
Ejemplos: 1. Habitantes de Lima (aptos para el sufragio).
Infinita CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
Población
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2. Alumnos de WIENER (altura en mts.)
Población Finita
Una población si es infinita no se puede estudiar en forma completa; aún si es finita es muy engorroso estudiarla en forma completa por que involucra pérdida de tiempo, dinero, etc., por esta razón nos basamos en una muestra aleatoria. aleatoria.
MUESTRA Es un subconjunto de la población y para que la muestra sea representativa debe ser aleatoria o no sesgada. Una muestra es aleatoria cuando cada elemento de la población tiene la misma posibilidad de ser seleccionado en la muestra. La demostraremos por: n= tamaño de la muestra ó número total de observaciones en la muestra.
Ejemplos: 1. Encuesta a 900 personas de Lima aptos para el sufragio. n = 900 2. Altura (mts) de 45 alumnos de WIENER n = 45.
PARAMETRO Número que representa a la población. Este valor generalmente es estimado a partir de una muestra, porque para que sea calculado exactamente se requiere de la información completa de una población lo cual es muy difícil (los procesos de estimación de parámetros será tema de estudio en Estadística Inferencial).
ESTADIGRAFO Llamado también estadístico o estimador. Número que representa a la muestra y que puede ser calculado teniendo la información de una muestra. Los Los Estadígrafos Estadígrafos se dividen dividen en:
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1.
Estadígrafos de Posición o Tendencia Central: Son aquellos
números que tienden al centro de las observaciones. 2. Es tadígrafos de Dispersión: Son aquellos números que cuantifican la variabilidad de las observaciones de una muestra.
DATO: Es la recopilación o anotación de cada característica de las observaciones de una muestra.
Ejemplo: Altura (mts) de n=5 alumnos de WIENER: 1.65, 1.59, 1.68, 1.63, 1.69.
SESION # 2
CA PITULO II – ESTA DISTICA DESCRIPTIVA La Estadística Descriptiva, se encarga de recopilar la información de una muestra aleatoria, esta información tiene que ser ordenada para una buena presentación; Esta ordenación se basa en las llamadas Tablas de Frecuencias y también en los Gráficos Estadísticos.
RECOPILACION DE DATOS Es el momento en el cual el investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a estudio, con el propósito de obtener datos o respuestas de las variables consideradas; a partir de estos
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datos o respuestas se calculan los Estadígrafos o indicadores estadísticos.
FUENTES DE DATOS La fuente de datos, es el lugar, la institución, las personas o elementos donde están o que poseen los datos que se necesitan para cada uno de las variables o aspectos de la investigación o estudio. En general, se puede disponer de cinco tipos de fuentes de datos: 1.
Las Oficinas de Estadística.- Como instituciones responsables de recopilar, procesar y publicar las estadísticas sociales o nacionales.
2. Archivos o Registros Administrativos.- Como el Registro Civil, Electoral, Escalafón o Personal, Padrón de Contribuyentes, etc.. Estos registros no tienen fines Estadísticos, su función es de tipo legal y administrativo, sin embargo pueden utilizarse como fuentes de datos estadísticos. 3. Documentos.- Boletines, e informes estadísticos que son las publicaciones o estudios que preparan los organismos especializados. 4. Encuestas y Censos.- Son fuentes directas y especiales, que se construyen en un momento determinado, recopilando datos de una parte o de la totalidad de una población. 5. Los Elementos o Sujetos.- Son aquellos que están sometidos a un estudio, pueden ser personas, instituciones, animales u objetos. CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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TECNICAS DE RECOPILACION O RECOLECCION DE DATOS Es el conjunto de métodos y procedimientos que se llevan a cabo para recolectar los datos. Las más frecuentes técnicas utilizadas son: 1. La Observación.- Es la acción de mirar de mirar en forma sistemática y profunda, con el interés de descubrir la importancia de aquello que se observa. 2. La Técnica Documental.- Es aquella que busca datos a través de documentos, fuentes escritas o gráficas de todo tipo. Ejm.: Libros, Informes, Autobiografías, fotografías, planos, videos, etc. 3. La Entrevista.- Es la interrelación o diálogo entre personas, donde una de ellas se llama Entrevistador o Encuestador quien solicita a otra persona llamada Entrevistado o Encuestado le proporcione algunos datos o información. 4. El Cuestionario.- Es un instrumento constituido por un conjunto de preguntas sistemáticamente elaboradas, que se formulan al Entrevistado o Encuestado, con el propósito de obtener los datos de las variables consideradas en el estudio. El Cuestionario se desarrolla en el Formulario o Cédula, en donde las preguntas están debidamente organizadas. 5. La Encuesta.- Es la técnica por la cual se obtiene la información tal como se necesita, preparada exprofesamente y con objetivo estadístico. Permite observar y registrar características en las unidades de análisis de una determinada población o muestra,
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delimitada en el tiempo y en el espacio. El Entrevistado da respuesta a las preguntas en el formulario o Cédula..
SESION # 3
CA PITULO III – LA S VARIAB LES ESTADISTICAS
LA VARIABLE: Es la representación simbólica de los datos.
Ejemplo: Sea X: altura de 5 alumnos de WIENER Donde: X1= 1.65 mts., X4 = 1.63 mts.
Xi, i= 1 a 5
Las variables se clasifican en: I.
Variable Cualitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican cualidades, características, propiedades, etc., no son numéricas (no medibles).
Ejemplos: X=
Control de calidad de productos de una industria. Bueno, Malo, Regular, Muy Bueno.
Y=
Estado Civil de una muestra de 200 personas. Soltero, Casado, Viudo, Divorciado.
II.
Variable Cuantitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican valores numéricos (son medibles), y se clasifican en:
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Variable Discreta: Es aquella que representa a datos numéricos que no se pueden fraccionar, sirven para contar o enumerar (pertenecen a los reales).
Variable Continua: Es aquella variable que representa a datos que pueden ser fraccionados (pertenecen a los reales). Ejemplo: El Peso (Kg.) de 6 personas. 65, 56, 59, 70, 63. La variable continua es la que más utilizamos, especialmente para los estudios correspondientes en Ingeniería (Volumen, Temperatura, Pesos, Mediciones, etc.).
SESION # 4
CA PITULO IV – L A ORGA NIZACIÓN DE L OS DA TOS
Distribución o Tablas de Frecuencias: Es la condensación, simplificación, ordenación, del conjunto de observaciones que forman la muestra; la característica principal es no perder ningún dato de la muestra. También se puede decir que la Distribución de Frecuencia es la representación estructurada, en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia.
Categorías o Clases.- Son los datos que están agrupados por sus características comunes.
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Frecuencia de Clases.- Es el número o cantidad de datos que componen una Categoría o Clase. Las Frecuencias se clasifican en : 1. Frecuencia Absoluta (Simple).- Representa a la cantidad de datos de cada Clase. 2. Frecuencia Absoluta Acumulada.- Representa a la suma en forma acumulativa de Clase en Clase de sus respectivas Frecuencias Absolutas. 3. Frecuencia Relativa (Simple) .- Es el % que representa a la cantidad de datos de una Clase con respecto al total de datos. 4. Frecuencia Relativa Acumulada.- Representa a la suma en forma acumulativa de Clase en Clase de sus respectivas Frecuencias Relativas. Veamos
un ejemplo (4.1) :
Medimos la altura de los niños de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):
Alumno Estatura Alumno Estatura Alumno Estatura x Alumno 1 Alumno 2 Alumno 3 Alumno 4 Alumno 5 Alumno 6 Alumno 7 Alumno 8 Alumno 9 Alumno 10
x 1,25 1,28 1,27 1,21 1,22 1,29 1,30 1,24 1,27 1,29
X Alumno 11 Alumno 12 Alumno 13 Alumno 14 Alumno 15 Alumno 16 Alumno 17 Alumno 18 Alumno 19 Alumno 20
x 1,23 1,26 1,30 1,21 1,28 1,30 1,22 1,25 1,20 1,28
x Alumno 21 Alumno 22 Alumno 23 Alumno 24 Alumno 25 Alumno 26 Alumno 27 Alumno 28 Alumno 29 Alumno 30
Si presentamos esta información estructurada obtendríamos la siguiente Tabla de Frecuencias: CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
x 1,21 1,29 1,26 1,22 1,28 1,27 1,26 1,23 1,22 1,21
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Variable (Valor) X
Frecuencias Absolutas Simple Acumulada X
X
Frecuencias Relativas Simple Acumulada X
x
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30
4 4 2 1 2 3 3 4 3 3
5 9 11 12 14 17 20 24 27 30
13,3% 13,3% 6,6% 3,3% 6,6% 10,0% 10,0% 13,3% 10,0% 10,0%
16,6% 30,0% 36,6% 40,0% 46,6% 56,6% 66,6% 80,0% 90,0% 100,0%
Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendríamos una tabla de frecuencia muy extensa que aportaría muy poco valor a efectos de síntesis. Según los tipos de variables y formas de la tabla de frecuencias, tendremos las siguientes Tablas de frecuencias
1ER. CASO: Tablas de Frecuencias para la variable Cualitativa: En este caso como la variable cualitativa indica cualidades, propiedades, etc., y no son medibles; entonces se agrupa de acuerdo a cada categoría que se diferencia en la variable cualitativa. (Sin un orden establecido).
Ejemplo: (4.2). CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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Se tiene la siguiente información que representa el Estado Civil de 50 personas encuestadas (edad; 20-30 años).
Estado Civil
No. de personas
%
Soltero Casado Viudo Divorciado Conviviente
25 10 1 6 8
50% 20% 2% 12% 16%
Los gráficos que se presentan en este caso son los siguientes:
1). Diagrama de barra:
30 A N25 O S 20 R E 15 P E 10 D ° 5 N 0 o r e t l o S
o d a s a C
o d u i V
ESTADO CIVIL
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o d a i c r o v i D
e t n e i v i v n o C
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2. Gráfico por Sectores Circulares.
PORCENTAJES
Soltero
Conviviente
Divorciado Viudo
Casado
2DO. CASO: Tabla de frecuencia para la variable discreta y n < 30 : En este caso la variable es discreta y la muestra pequeña, además hay que considerar que no haya muchos datos diferentes. La Tabla de frecuencias es por CLASES, donde cada clase representa el valor numérico de la variable .
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La tdf es de la sgte. forma general:
Clase Xi
Fi
Fi
hi
Hi
x1 x2 . . . Xm
f1 f2 . . . Fm
F1 F2 . . . Fm=n
h1 h2 . . . hm
H1 H2 . . . .Hm=1
Donde:
n = numero de clases o intervalos de clase. fi = frecuencia absoluta: es el número de observaciones que hay en cada clase o intervalo de clase. Además: fi+f2+f3+. ...+ fm =n m fi = n
Fi = frecuencia absoluta acumulada: es el numero de observaciones acumuladas hasta la clase i, es decir: F1=f1 F2=f1+f2 . . CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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Fm=f1+f2+f3...+fm =
hi = frecuencia relativa: representa la relación que existe entre la frecuencia absoluta y el número total de observaciones:
Generalmente la frecuencia relativa se expresa en forma porcentual: hi % = 100%. Hi = frecuencia relativa acumuladas hasta la clase i.
acumulada:
Hi=h1 H2=h1+h2 . . Hm=h1+h2+....hm=1
También :
Se expresa en forma porcentual. Hi x 100%
Ejemplo: CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
frecuencias
relativas
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Los siguientes datos representan el numero de defectos en diskettes: 5, 10, 5, 11,6,6,3,3,3,5,5,5,10,6,3. Agrupar en tabla de frecuencias:
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Solución: Como la muestra es pequeña y la variable representa a datos discretos, entonces agrupamos en clases: No de Defectos Xi 3 5 6 10 11
No. diskettes fi
Fi
hi%
Hi%
4 5 3 2 1
4 9 12 14 15
26.7 33.3 20.0 13.3 6.7
23.7 60.0 80.0 93.3 100.0
Los gráficos que se presentan en este 2do. Caso son:
1. Histograma de frecuencias: En el sistema de coordenadas rectangulares comparamos Xi vs. fi (o hi%).
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HISTOGRAMA S E T 6 T E K4 S I D2 E D0 ° N
3´
5´
6´
10´
11´
DEFECTOS
3ER. CASO: Tabla de frecuencias por intervalos de clase: En este caso generalmente la variable es continua, también puede ser usado para la variable discreta siendo la muestra grande (generalmente n >= 30). La tdf tiene la siguiente forma: Intervalos (Li - Ls)
Xi
Fi
Fi
hi
Hi
[X’o
-
X’1>
[X’1
-
X’2>
X1 X2 . . . . . Xm
f1 f2 . . . . . Fm
F1 F2 . . . . . Fm
h1 h2 . . . . . hm
H1 H2 . . . . . Hm
. . . . . [X’m-1- X’m]
Donde:
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X i= marca de clase o punto medio de cada intervalo de clase, se obtiene mediante la semisuma de los limites de cada intervalo.
X i = Ls + Li 2
fi , Fi, hi, Hi ; representan las frecuencias definidas en el caso anterior. : Procedimiento para constr ui r un a tdf por inter valos de clase
1er. Paso: Calcular el número de intervalos de clase ( K ): Para calcular el valor de
K ,
tenemos dos criterios:
a) Criterio personal; de acuerdo a la experiencia del investigador se puede asumir un valor de m para un tamaño de muestra determinado. b) Mediante la Regla de
Sturges:
K =1 +3.3 log. n 2do. Paso: Calcular la amplitud o tamaño del intervalo de clase :(A) Para calcular la amplitud del intervalo (A) nos basaremos en la siguiente expresión:
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A = Rango de la muestra K donde:
Rango de la muestra = Valor Mayor – Valor Menor
Con este procedimiento calculamos una amplitud que será constante para cada intervalo, y lo mismo ocurrirá entre cada marca de clase. Los intervalos serán de la forma : [L i L s], pudiendo ser considerado cerrado en el último intervalo. La amplitud A es preferible que sea redondeada considerando la misma cantidad de decimales que tengan los dato de la muestra.
3er. Paso: Tabulaciones Tabular y presentar los datos agrupados en la tdf., Ejemplos: (2.3)
Los siguientes datos representan el peso (gr.) de 35 sobrecitos de unas sustancias: 68, 73, 61, 46, 49, 96, 68, 90, 97, 53, 75, 93, 72, 60,
71, 75, 74, 75, 71, 77, 83, 68, 85, 76, 88, 59, 78, 62, 55, 48, 43, 47, 60, 84, 80. Agrupar en tdf. Solución: 1) Calculamos K = 1 +3,3 Log 35 = 6.095 = 6 2) Calcula la amplitud del intervalo A:
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A
97 43 6
9
3) Tabular en tdf: Peso (grs) [43 – 52> [52 – 61> [61 – 70> [70 – 79> [79 – 88> [88 – 97]
Xi 47.5 56.5 65.5 74.5 83.5 92.5
fi 5 5 5 11 4 5
Fi 5 10 15 26 30 35
hi% 14.3 14.3 14.3 31.4 11.4 14.3
Hi% 14.3 28.6 42.9 74.3 85.7 100.0
Se observa por ejemplo que: 11 sobrecitos tienen un peso comprendido en el intervalo [70-79> grs. y representan el 31.4% del total. También vemos que 15 sobrecitos pesan menos de 70 grs. y representan el 42.9% del total.
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SESION # 5
PRI M ERA PRACTICA CALI F I CADA
SESION # 6
PRESENTACION DE DA TOS
LOS GRAFICOS Los gráficos son representaciones en forma de figuras geométricas, de superficie o volumen con el objeto de ilustrar los cambios o dimensión de una variable, para comparar visualmente dos o más variables similares o relacionadas. Para una rápida comprensión de situaciones o variaciones en cantidades, es muy útil traducir los números en gráficos o imágenes. Por su naturaleza, un gráfico no toma en cuenta los detalles y no tiene la misma precisión que una tabla estadística. Veamos algunos tipos de Gráficos : 1. Histograma de frecuencias: Representa un conjunto de rectángulos levantados desde cada intervalo de clase hasta la frecuencia correspondiente (absoluta ó relativa). 2. Polígono de frecuencias: Consiste en unir los puntos medios ó marcas de clase levantadas hasta cada frecuencia correspondientes, generalmente para su construcción nos podemos basar del Histograma de frecuencias. Propiedad: Area del Histograma = Area del Polígono de
frecuencia. CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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3. Ojiva: Se construye basándose en un diagrama escalonado, es decir considerando las frecuencias acumuladas (absoluta ó relativa), y uniendo los límites de cada intervalo.
HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
12.00 10.00 8.00
fi
6.00 4.00 2.00 0.00 .47.5 .56.5 .65.5 .74.5 .83.5 .92.5
Xi
SESION # 7
LO S ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL Se llaman así, porque tienden a ubicar el centro de las observaciones; Estos estadígrafos de posición son: media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, etc. Estudiaremos los más importantes:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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1. La Media Aritmética
X
Llamada también promedio, es el estadigrafo de posición más simple y fácil de calcular, por eso es el más común. Se calcula teniendo en cuenta los siguientes casos:
1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencias: Sean X1, X2............, Xn variables que representan los n datos de una muestra, la media aritmética se calcula:
2do. Caso: Datos Agrupados en tabla de frecuencias: En este caso se calcula mediante la siguiente fórmula:
fi = frec. Absoluta hi = frec. Relativa .
O
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
también:
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hi = frec. Relativa
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA 1. La media de los datos todos iguales a una misma constante es igual a la constante: Sea K = cte.
y cada Xi = k -----------------
X
X ( K )
2. Si a cada dato e le suma o resta una constante k, la media queda sumada o restada por dicha constante: Si Xi = Xi + K
-------------------- X(Y) = X(X+k) = X (X) + k
3. Si a cada dato se le multiplica o divide por una constante k, la media queda multiplicada o dividida por dicha constante. 4. Sí Yi = Xi* k ------------------------- X(Y) = X(X* k) = X (X) * k NOTA. Todas las propiedades cumplen para datos agrupados y no agrupados
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
K
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( Xi X )
Datos no agrupados
0
( Xi X ) * fi
0
Datos agrupados 5. La suma de las desviaciones respecto a la media
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es igual a cero.
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SESION # 8
ESTADI GRAF OS DE TEN DENCI A CENTRAL
2. Media Geométrica: se eleva cada valor al número de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raíz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).
Según el tipo de datos que se analice será más apropiado utilizar la media aritmética o la media geométrica. La media geométrica se suele utilizar en series de datos como tipos de interés anuales, inflación, etc., donde el valor de cada año tiene un efecto multiplicador sobre el de los años anteriores. En todo caso, la media aritmética es la medida de posición central más utilizada. Lo más positivo de la media es que en su cálculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna información. Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmética como geométrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anómalos podrían condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo ésta representatividad.
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3. La Mediana (Me) : Es aquel estadígrafo de posición que divide en dos partes iguales al conjunto de observaciones; es decir la mediana representa el valor central de una distribución de datos ordenados en forma creciente o decreciente.
1er. Caso: Datos No agrupados en TDF: Primero se ordena los datos en forma creciente o decreciente y luego se tiene en cuenta sí: a) n es impar. La mediana es el valor central. Me
X
n 1 2
Es el elemento que ocupa la posición (n+1) /2
Ejemplo: Calcular la Me de los siguientes valores: 32, 34, 31, 42, 36, 41, 32, 45, 37 ,
n=9
Ordenando: 31, 32, 32, 34, 34, 36, 37, 41, 42, 45. Observamos el valor central:
Me=36 (representa el 5to. dato) b) n es par.La mediana es igual al promedio o la semisuma de los valores centrales.
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Ejemplo: la Me de 12,21,16,18,20,19,16,15,16,17. Ordenando:
12,15,16,16,16,17,18,19,20,21,
2do. Caso: Datos Agrupados en TD: En este caso la Se me calcula mediante la siguiente fórmula:
Donde: Li = Ame := Fme-1 = mediana. fme =
limite inferior de la clase mediana. tamaño del intervalo de la clase mediana. Frec. Abs. Acumulada anterior a la clase Frecuencia absoluta de la clase mediana.
Clase Mediana: Es aquel intervalo que contiene el valor que ocupa la posición media, es decir contiene a la mediana. Se calcula mediante: El primer valor F i mayor o igual que n/2 CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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4. LA MODA (Mo) Representa al valor que más se repite en un conjunto de observaciones:
-
Si la distribución de frecuencias tiene un solo valor máximo, entonces: UNIMODAL. - Si la distribución presenta más de un valor máximo: , entonces: POLIMODAL. Si no hay algún valor que se repita con más frecuencia: DISTRIBUCION UNIFORME 1er. Caso: Datos no agrupadas Señalar el valor que más se repite. Ej. 4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5 UNIMODAL Ej.
Mo = 5
7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8 Mo = 8 BIMODAL
2do. Caso: Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias_
M o
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
Li
Amo *
D1 D1 D 2
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Donde:
Li Amo
= =
D1
=
D2
=
limite inferior de la clase modal. Amplitud de la clase modal. Diferencia ente la Frec. Absoluta de la clase modal menos la frecuencia absoluta anterior. Diferencia ente la Frec. Absoluta de la clase modal menos la siguiente.
Clase Modal: Representa el intervalo con la mayor frecuencia absoluta. Ejemplos. (3.1)
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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Calcular la Media Aritmética, Mediana y Moda de la Tabla de frecuencias del ejemplo (2.3).
X
47.5 * 5 56.5 * 5 .... 92.5 * 5 35
70.336
gramos
Para calcular la mediana, la clase mediana es el 4to. intervalo:
gramos
Para calcular la Moda, la clase modal es el 4to. intervalo, por que presenta la mayor frecuencia absoluta. D1=11 - 5 = 6 D2=11 – 4 =7 Gramos
Nota: La media =mediana = moda, si la distribución es simétrica.
SESION # 9
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA NO CENTRAL
Las medidas de Posición o de Tendencia no centrales permiten conocer otros puntos característicos de la distribución que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales: Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados. Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados. Percentiles : son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados. Ejemplo : Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos). Los deciles y percentiles se calculan de igual manera,
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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aunque haría falta distribuciones con mayor número de datos. Variable (Valor) X
Frecuencias absolutas Simple Acumulada x
x
Frecuencias relativas Simple Acumulada x
X
1,20
1
1
3,3%
3,3%
1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30
4 4 2 1 2 3 3 4 3 3
5 9 11 12 14 17 20 24 27 30
13,3% 13,3% 6,6% 3,3% 6,6% 10,0% 10,0% 13,3% 10,0% 10,0%
16,6% 30,0% 36,6% 40,0% 46,6% 56,6% 66,6% 80,0% 90,0% 100,0%
1º cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada). 2º cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1º cuartil se situa otro 25% de la frecuencia. 3º cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2º cuartil se sitúa otro 25% de la frecuencia. Además, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia. CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
36
Atención : cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido más de una vez (como ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posición no central sería realmente una de las repeticiones Fórmulas para calcular los Cuartiles Para calcular el Primer Cuartil n Q1
F 1 i
4
Li
F 2
Para calcular el Segundo Cuartil n Q2
Li
F 1 i
2
F 2
Para calcular el Tercer Cuartil 3n
Q3
DONDE: Q1 = Primer Cuartil Q2 = Segundo Cuartil Q3 = Tercer Cuartil CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
Li
4
F 1 i
F 2
37
Li = Límite Real inferior de la Clase que contiene el Cuartil n = Número de datos F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Cuartil F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Cuartil i = Intervalo de Clase
Ejemplo: Calcular el Primer Cuartil de la siguiente distribución de frecuencias, referente al consumo de energía eléctrica de un grupo de usuarios Consumo Kw Hora 05 - 24 25 - 44 45 - 64 65 - 84 85 - 104 105 - 124 125 - 144 145 - 164
Número de Frecuencia Consumidor Acumulada 4 4 6 10 14 24 22 46 14 60 5 65 7 72 3 75 75
Límites Reales 4.5 24.5 44.5 64.5 84.5 104.5 124.5 144.5
- 24.5 - 44.5 - 64.5 - 84.5 - 104.5 - 124.5 - 144.5 - 164.5
Como cada Cuartil representa el 25%, entonces el Primer Percerntil será el 25%. Respuesta .- El 25% de los usuarios consume 57 KW Hora.
Fórmula para calcular los Deciles CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
38
D = El Decil Li = Límite Real inferior de la Clase que contiene el Decil D # = El número de Decil que se quiere hallar n = Número de datos F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Cuartil F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Cuartil i = Intervalo de Clase
Utilizando el ejemplo: Calcular el Cuarto Decil de la distribución de frecuencias, referente al consumo de energía eléctrica del grupo de usuarios
Como cada Decil representa el 10%, entonces el Cuarto Decil será el 40%.. Respuesta .- El 40% de los usuarios consume 69.95 KW Hora.
Fórmula para calcular los Percentiles
P = El Percentil Li = Límite Real inferior de la Clase que contiene el Percentil CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
39
P # = El número de Percentil que se quiere hallar n = Número de datos F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Percentil F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Percentil i = Intervalo de Clase
Utilizando el ejemplo: Calcular el Percentil 79 de la distribución de frecuencias, referente al consumo de energía eléctrica del grupo de usuarios
Como cada Percentil representa el 1%, entonces el Percerntil 79 será el 79%.. Respuesta .- El 79% de los usuarios consume 103.43 KW Hora. SESION # 10
EXAMEN PARCIAL SESION # 11
ESTADIGRAFOS DE DISPERSION O VARIAB ILIDAD Son aquellos números que miden o cuantifican la variabilidad de las observaciones, con respecto a un estadígrafo posición (generalmente la media aritmética). Los principales estadígrafos de dispersión son los siguientes:
1. LA VARIANZA: V (X) CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
40
Se define como el promedio del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media. Cuando la varianza es muestral, entonces V(x) se puede denotar como y si la varianza es poblacional, entonces V(x) se denota como .En este capítulo estudiaremos la varianza muestral. La varianza se calcula, teniendo en cuenta los siguientes casos: 1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencia:
Desarrollando esta sumatoria, obtenemos una forma más simple para calcular la varianza:
2do. Caso: Datos agrupados en tablas de frecuencias:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
41
O también:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
42
Desarrollando esta sumatoria, obtenemos:
O también:
Donde: Xi fi hi
= = =
marca de clases. frecuencia absoluta frecuencia relativa
Propiedades de la Varianza:
1.
V(X)
2, 3.
V(K) = 0 V(X+/- K) = V(X) una constante K
4.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
>= 0
(siempre la varianza es positiva ó igual a cero). Esto es si cada Xi = k (constante). si a cada Xi se le suma (o resta), entonces la varianza no varia. si a cada dato se multiplica (o por una constante K, entonces la constante sale elevada cuadrado).
Siendo a y b constantes, X e Y variables independientes
43
5.
2. DESVIACION STANDART O TIPICA : S(X) Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza, y como la varianza esta expresada en unidades cuadradas, la desviación standart (que esta expresada en las mismas unidades de los datos), representa mejor la variabilidad de las observaciones.
3. COEFICIENTE DE VARIACION: C.V.
Representa la relación que existe entre la desviación standart y el promedio de un conjunto de observaciones. El C.V. como no tiene unidades se debe expresar en porcentaje y sirve como medios de comparación con otras distribuciones de cualquier tipo de unidad. Se calcula:
Donde: S(x) = X = CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
desviación típica promedio aritmético ó
44
Ejemplos:
1. Los siguiente datos son temperaturas en grados Fahrenheit 415,500,480,490,476,500,432,479,489,497,496,478,453.
Sin ordenar en tablas de frecuencias: a) Calcular la varianza. b) Si a cada dato se le divide entre 5 y luego se suma 10. Hallar la nueva varianza. Solución:
a) Primero tenemos que calcular el promedio para datos no agrupados:
°F Entonces, calculamos la varianza:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
45
b) Es decir:
Esto se resuelve usando propiedades: 2. Dada la siguiente tabla de frecuencias, que representa el peso (grs), de 34 sobres de cartas: Intervalos [ 7 – 8> [ 8 – 9> [ 9 – 10> [10 – 11> [11 – 12> [12 – 13]
Xi 7.5 8.5 9.5 10.5 11.5 12.5
fi 1 2 8 11 6 6
a) Calcular el peso promedio y la mediana. b) Calcular el Coeficiente de Variación (C.V.)
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
Fi 1 3 11 22 28 34
46
Solución: a) Calculando el promedio:
Gramos
Calculando la mediana:
Gramos
b) Para calcular el C.V. debemos primero calcular la varianza
Calculamos la desviación standart: S(X)=-1.2708 grs. Entonces:
3. Se tiene dos muestras:
En qué muestra cree Ud. Que halla menos variabilidad?
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
47
Solución:
Primero hay que tener en cuenta que no se puede comparar las desviaciones standares de cada nuestra, porque están expresadas en diferente unidades, pero si podemos compararlas con sus C.V. respectivos:
Entonces, comprando ambos coeficientes nos damos cuenta que existe menor dispersión en los datos de la primera muestra.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
48
NOTA: Un C.V. ideal debe estar:
SESION # 12
CA PITUL O V: DISTRIBUCION B IDIMENSIONAL ANA LISIS DE REGRESION Y CORRELA CION L INEAL SIMPLE Los métodos estadísticos presentados lo hemos referido hasta Ahora a una sola variable, muchos de los problemas de trabajo estadístico, sin embargo involucran 2 ó más variables. En algunos casos las variables se estudian Simultáneamente, para ver la forma en que se encuentran interrelacionadas, también si se desea estudiar una variable de interés particular. Estos dos casos de problemas se conocen por lo general con los nombres de correlación y regresión. Antes de definir estos casos hablaremos sobre aspectos importantes que involucran 2 variables: Distribución Bidimensional.
5.1. Cálculo de la Covarianza: S (XY)
La varianza, es la medida que estudia la dispersión de dos variables, se calcula teniendo en cuenta: 1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencia: En este caso, las variables X é Y se toman en forma simultánea; es decir se considera no agrupados porque se toman los valores
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
49
como puntos cartesianos (pares (X2,Y2)..........(Xm,Ym). Esto es: X Y
X1 Y1
X2 Y2
de
X3 Y3
valores).
(X1,Y2),
.......... XN .......... YN
N: número de observaciones ó total de pares de valores. De cada observación se analiza dos variables Simultáneamente. Las Covarianza; S (XY) se define: ............................. ( I )
desarrollando la sumatoria y simplificando:
.........................( II)
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
50
Para calcular la covarianza S(XY), es preferible utilizar la ec. (II). Los promedios de X y de Y, así como las desviaciones standares S(X) Y S(Y), se calculan como en los capítulos 3 y 4. 2do. Caso: Datos Agrupados en tablas de frecuencias:
En este caso cada variable X e Y, están agrupados en tablas de frecuencias presentándose lo que se llama: Distribución Bidimensional o Tabla de Doble Entrada. En forma tabular: X Y
: :
agrupado en K intervalos (y = 1... k) agrupado en m intervalos (j = 1.. m).
: :
marca de clase (variable X) marca de clase (variable Y) frecuencia absoluta conjunta, corresponde al número de observaciones que existe en el I-ésimo intervalo de X con el j-ésimo intervalo de Y.
Donde:
Xi Yj fij
:
Observaciones:
(1) (2) (3)
Según la definición de la covarianza (tanto para datos agrupados como no agrupados), la covarianza puede ser negativa. La covarianza presenta unidades de cada una de las variables involucradas. La covarianza S(XY), también se denota: Cov (X,Y)
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
51
Ejemplos:
(5.1) Dada la siguiente tabla, que representa la medida (X) en cm. De 8 barretas de metal y el peso (Y) en libras de cada una de ellas, calcular: X Y
a) S(X) b) S(Y) c) S(XY) 1 3 4 6 1 2 4 4
8 5
9 7
11 8
14 9
Solución:
Este ejemplo, corresponde a datos no agrupados en tabla de frecuencias. 2
a) (X)
S
S (X) = 4.06
= 2
b) S (Y)
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
S (Y) = 2.65
52
S (XY) = 10.5 cm. lbs
(5.2)
Dada la siguiente tabla en el cual se estudia las alturas (pulg) y los pesos (libras) de 300 estudiantes hombres en una Universidad: X Y
Y
: :
X
90-110 100-120 130-140 50-160 170-180 190-200 210-220 Total Fx
altura (pulgadas). peso (libras).
58-62
62-66
2 7 5 2
1 8 15 12 7 2
16
45
Calcular:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
66-70
70-74
74-78
Total fy
4 22 63 28 10 1
2 7 19 32 20 4
1 5 12 7 2
3 21 50 101 79 39 7
128
84
27
300
53
S (X)
, S(Y) ,
S (XY)
Solución:
Como la tabla es Bidimensional, podemos formar tablas de frecuencias para cada una de las variables por separado, a este proceso se le conoce como TABLAS MARGINALES.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
54
Tabla marginal para x:: Intervalos Xi 58 – 62 60 62 – 66 64 66 – 70 68 70 – 74 72 74 – 78 76
Tabla Marginal para Yi: Intervalos Yj 90 – 110 100 110 – 130 120 130 – 150 140 150 – 170 160 170 – 190 180 190 – 210 200 210 – 230 220
Fi 16 45 128 84 27 300
f.j. 3 21 50 101 79 39 7 300
La variable X presenta 5 intervalos ( i = 1 .....5) La variable Y presenta 7 intervalos ( j = 1 .....7) Calculando:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
55
S (X) = 3.929 pulgadas
S (Y) = 24.202 Lbs.
Calculando la Covarianza:
S(XY) =51.370 pulg/lib. CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
56
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
57
SESION # 14 REGRESION LINEAL 5.2. Diagrama de Puntos y Curvas de Ajuste: Representan los puntos (X1, Y1), (X2, Y2)..... (XN, YN) en un sistema de coordenadas rectangulares, donde al sistema de puntos resultantes lo llamaremos Diagrama de Dispersión o Diagrama de Puntos: Con el diagrama de dispersión es posible representar una curva que se aproxime a los datos: Curva de Aproximación.
Entonces, encontrar ecuaciones de curvas de aproximaciones que se ajusten a los datos, es buscar una: Curva de Ajuste . Tenemos: a) Conjunto de puntos que se ajustan a una línea recta (ajuste lineal o relación lineal).
* * * * *
* *
Observamos que el diagrama de puntos gira alrededor de una recta: Y = a+ bX
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
58
b)
Conjunto de puntos o diagrama de puntos cuya relación no es lineal.
*** *** *** *** ***
Algunas de las ecuaciones de curvas de aproximación:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
59
Relación lineal
Curva Polinomial
Hipérbola
Entonces, lo que se desea es encontrar una curva de aproximación que se ajuste mejor a los datos, y así mostrar la ecuación de la curva respectiva. El tipo más sencillo de una curva de aproximación es la línea recta cuya ecuación puede escribirse: Y = a +b*X
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
60
5.3 Método de mínimos Cuadrados: De todas las curvas de aproximación a una serie de datos puntuales, la curva tiene la propiedad de que:
sea mínimo Se conoce como la mejor curva de ajuste por el método de mínimos cuadrados. Di= desviación de cada punto con respecto ala línea recta. Este método consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones Di. Entonces para ajustar un diagrama de dispersión a la línea recta, utilizaremos este método de los MINIMOS CUADRADOS. Es decir una recta de aproximación de mínimos cuadrados del conjunto de puntos (x1, y1), (x2,y2),......,(xn,yn), tiene la ecuación: Y = a+b*X , donde a y b se determinan mediante el sistema de ecuaciones normales, son las siguientes:
Donde al desarrollar y despejar a y b se obtienen:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
61
Otras ecuaciones más practicas para calcular los valores de a y b de la ecuación aproximada Y = a +b*X son las siguientes:
Ejemplo: Sean los valores: x 3 y 2
1 1
4 4
6 4
8 5
a) Construye el diagrama de puntos b) Encuentra las ecuaciones normales c) Encuentra la ecuación de la curva de ajuste.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
9 7
11 8
14 9
62
Solución: a) Llevando los puntos al sistemas de coordenadas rectangulares.
DISPERSION 10 8 6 Y 4 2 0 0
2
4
6
8
10
12
14
X
b) Al observar el diagrama de puntos, notamos que se aproxima o ajusta a una línea recta, cuya ecuación es: Y = a+b*X c) Para encontrar las ecuaciones normales:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
63
Entonces las ecuaciones normales son: 40 = 8*a +b* 56 364 = 56*a +b*524 Resolviendo el sistema (Método de Mínimos Cuadrados) a= 6/11 = 0.545
b=7/11=0.636
d) La ecuación resultante será : Y = 0.545 + 0.636X nota : Si la ecuación es Y = a +b*X entonces b mide la pendiente de la línea recta.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
64
SESION # 15 SEGUNDA PRACTICA CALIFICADA SESION # 16 5.4 Análisis de correlación lineal simple: Definición: Estudia el grado de asociación que existe entre las variables en estudio, el coeficiente que mide la mutua asociación se denomina: Coeficiente de Correlación ( r).
Las asociaciones que se pueden presentar son: 1) Correlación o asociación Positiva (+), es decir a medidas altas de una variable, le corresponden medidas altas de otra variable, cambios en el mismo sentido (Relación Directamente Proporcional) X
entonces Y
X
entonces Y
Ejemplo : altura y peso
2) Correlación o Asociación Negativa (-), En este caso, a valores altos de una variable, corresponden valores bajos de la otra variable y viceversa. (Relación inversamente proporcional). 3) Medidas no Correlaciónales ; No existe ninguna asociación entre las variables. Características de Coeficiente de Correlación Lineal Simple
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
65
1) r se calcula mediante la siguiente fórmula:
S (XY) : S (X) : S (Y) :
covarianza de X e Y desviación standart de X desviación standart de Y
2) r es un número abstracto decir:
(sin unidades) y oscila entre –1 y 1, es
3) - Si r es positivo (Correlación Positiva), entonces las dos características tienden a variar en el mismo sentido. -
Si r es negativo (Correlación Negativa), las dos características tienden a variar en sentido contrario.
4) Si r=+1 ó r=-1, entonces la asociación es perfecta. 5) Si r = 0, no existe asociación entre las variables: 6) La asociación, tiende a ser más estrecha, cuando r:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
66
Ejemplo:
(5.4)
Calcula el coeficiente de correlación, del ejemplo (5.1); donde: S(X) =4.06; S(Y) =2.65; S(XY)=10.5
Interpretación.- Existe una alta asociación entre las variables estudiadas.
(5.5)
del ejemplo (5.2), donde: S(X)=3.929 pulgadas S(Y)=24.202 libras, S(XY)=51.370 pulg/lbs
Interpretación.- Existe asociación entre las alturas y pesos de los estudiantes de la Universidad dada, esta asociación es directamente proporcional.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
67
5.4 Análisis de Regresión Lineal Simple:
En las relaciones entre las variables se pueden presentar los siguientes casos: i)
X influye en Y :
X Y
: :
Ejemplo: Edad
ii)
X
Y
variable independiente variable dependiente agilidad mental
Y influye en X Y: variable independiente X: Variable dependiente
Y
X
X = f(Y)
III) Las dos están influenciadas entre si: X Y X Y Ejemplo : precio y producción de un articulo. Definición: La regresión permite estudiar la dependencia de una característica respecto a la otra, para establecer como varía el promedio de la primera característica al variar la segunda en una unidad de su medida. Se dice regresión lineal, porque las variaciones de la variable independiente, pueden provocar variaciones proporcionales en las variables dependientes (ajuste a la línea recta). Se dice que la regresión es simple, si una variable independiente influye sobre otra variable dependiente.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
68
Ejemplo: Proteína de harina
volumen de pan
Ecuación de Regresión Lineal Simple. Es una ecuación para estimar una variable dependiente a partir de la variable independiente.
Si X : Variable independiente Y : Variable dependiente
Donde :
Y = variable dependiente estimada : b = coeficiente de R.L.S.
Características del Coeficiente de R.L.S. (b)
1) b : indica el número de unidades en que varía la variable dependiente al variar la independiente en una unidad de su medida. 2) Si b es positivo los cambios son directamente proporcionales. Si b es negativo entonces los cambios son inversamente proporcional 3) b : mide la pendiente de la línea de regresión. 4) b , esta dado en unidades de la variable dependiente. 5) b y r siempre tienen el mismo signo. 6) b se calcula:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
69
Sí Y = f(X), entonces:
Y el valor de la constante a:
Si X= f (Y)
(se realiza cambio de X por Y y viceversa)
Línea de Regresión.- consiste en el trazo o gráfica de la ecuación de regresión lineal simple, es decir el gráfico de los puntos si la ecuación es: Regresión de Y sobre X; o el gráfico de los puntos (X,Y) si la ecuación es X= a+ bY : Regresión de X sobre Y. Ejemplo: selecciona al azar cuatro meses de un año y se registra tanto los ingresos como los gastos, en miles de dólares, de cierta empresa:
Ingreso (miles de dólares) Egresos (miles de dólares) I.
10 4
11 5
12 9
13 10
Efectuar un estudio de Regresión Lineal Simple, asumiendo que los egresos están en función de los Ingresos: 1) Calculando el coeficiente de Regresión b e interpretándolo 2) Calculando el coeficiente de intersección a
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
70
3) Encontrando la ecuación trazar la línea de Regresión. II.
de Regresión Lineal Simple y
Realiza un análisis de Correlación Lineal Simple, e interprete el valor de r.
Solución: I. Como el egreso está en función de los ingresos:
Egresos: variable dependiente: Y Ingresos: variable independiente : X 1) Calculando b
Primero calculamos:
Entonces:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
71
Interpretación.- Por cada mil dólares adicional en el Ingreso de dicha empresa, habrá un aumento en el Egreso de 2.2 miles de dólares en promedio.
2) Para calcular a : 3) Ecuación de Regresión Lineal Simple: Como Y es variable dependiente, entonces:
Para el trazo en el sistema de ejes cartesianos se tendrá que reemplazar en la ecuación de Regresión, los diferentes valores de X: Y=-18.30 +2.2. (10) = 3.7 Y=-18.30 +2.2 (11) = 5.9 Y=-18.30 +2.2 (12) = 8.1 Y=-18.30 +2.2 (13) =10.30 También se puede estimar nuevos valores de los Egresos (Yi) a partir de un valor Xi. Ejemplo: Para un ingreso de 15mil dólares, se espera tener en promedio un Egreso de:
Y =-18.30 + (2.2) (15) = 14.7 miles de dólares La línea de Regresión: unión de puntos (Xi,Yi) II.
Análisis de Correlación:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
72
Interpretación.- Existe una alta asociación entre los ingresos y los egresos, siendo los cambios directamente proporcionales.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
73
SESION #17 CA PITUL O VI: NUMEROS INDICES Definición.- Un número índice es una medida estadística diseñada para mostrar los cambios en una variable (o en un grupo de variables) con respecto al tiempo, situación geográfica, renta, profesión, etc. Aplicaciones: 1. Comparar el costo de alimentos en otros costos de vida durante un año o período con respecto al año o período anterior. 2. En negocios y Economía. Tipos de Indice:
(6.1)
Indices Simples: Cambios en un solo bien determinado 1) Indices de Precios Relativos.- uno de los ejemplos más sencillos de número índice es un precio relativo, que representa la razón del precio de un bien determinado en un período con respecto a otro período llamado base.
Indice de Precio Relativo: IPR
Po : precio de un bien en período base Pn : precio de un bien en período dado Sí
Pa: precio de un bien en el período a Pb : precio de un bien en el período b
Ejemplo:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
74
(6.1) Supóngase que los precios de consumo de 1 tarro de leche en junio de 1990 es de 22,000 intis y en junio de 1989 fue de 5,000 intis, tomando 89 como base. El IPR Simple: Es decir: en 1990 el precio de leche fue el 440% del que tenía en el año 89, es decir se incrementó en un 340% Observación: IPR Simple es un bien en un período a (Pa), con respecto al mismo período a (Pa) =1 2) Indices de Cantidades (o volumen) Relativos .- En lugar de comparar precios de un bien, se puede también comparar cantidades de un bien (cantidad de producción, consumo, exportación, etc.) calculemos la cantidad o volumen relativo (suponiendo que las cantidades dentro de cualquier otro período son constantes). Indice de Cantidad Relativo: IQR
qn : cantidad de un bien en el período n qo : cantidad de un bien en el período base 3) Valor Relativo .- Si p es precio de un bien durante un período y la cantidad o volumen producido, vendido, etc., durante ese período. Valor total = p * q Ejemplo: Si se han vendido 1000 tarros de leche a $0.75 c/u Valor total = 0.75 * 1000 = $ 750
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
75
Si Po Y qo denotan precio y cantidad de un bien durante un período base y pn y qn denotan el precio correspondiente durante un período dado, los valores totales durante estos períodos son Vo y Vn respectivamente y el valor relativo (VR) se define:
(6.2)
Indices Compuestos:
En la práctica, no se esta tan interesada en comparaciones de precios, cantidades etc., de bienes individualmente considerados, como en comparaciones de grandes grupos de tales bienes, es decir es preferible considerar un grupo de bienes para medir los cambios respectivos. Los principales Indices compuestos se calculan teniendo en cuenta los siguientes métodos: 1) Método de Agregación Simple .- Este método de cálculo de un índice de precio (o cantidad), expresa el total de los precios (o cantidades) de bienes en el período dado, como porcentaje del total de los precios (o cantidades de bienes en el período base. Tenemos: Indice de Precios de Agregación Simple: IPAS
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
76
Donde:
Pn = suma total de precios de bienes empleados en el periodo dado. Po = suma total de precios de bienes empleados en el año base. Desventaja: No tiene en cuenta la importancia relativa de las cantidades de los diferentes bienes. 2)
método de Media de Relativo Simple. En este método existen varias posibilidades dependiendo del procedimiento empleado para promediar los precios relativos (o cantidades relativas), tal como la media aritmética, media geométrica, Mediana, etc.
Tenemos : Indice de precios de Media de Relativo Simple: IPMRS (Promedio de los precios relativos de cada uno de los bienes empleados):
Donde: (Pn/Po) = suma de los precios relativos de bienes. N = número total de bienes empleados.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
77
Método de Agregación Ponderada . Para salvar algún inconveniente del método de agregación simple, se da un peso al precio de cada bien mediante un factor adecuado, tomando a menudo una cantidad o volumen del bien determinado durante el periodo dado, o algún periodo típico (que puede ser una media de varios años). Tales pesos indican la importancia de cada bien particular.
Aparecen así, los tres siguientes índices para precios: (I). Indice de Precios de Laspeyres (o método del año base): IPL Pondera los precios considerando como factor de ponderación a las cantidades en el periodo base.
Cuando los bienes empleados corresponden a la canasta familiar , el IPL se denomina índice de Precios del Consumidor o Indice del Costo de Vida, y se utiliza para medir el nivel de inflación. (II) Indice de Precios de Paasche (o método del año dado): IPP Pondera los precios de cada bien, considerando como factor de ponderación a las cantidades del periodo dado.
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(III). Indice Ideal de Fisher Representa la media geométrica de los índices de Laspeyres y Paasche (promedio de los índices ponderados).
Ejemplo: (6.3) La tabla muestra los precios y cantidades consumidas de cierto país de distintos productos férreos en los años 79, 86 y 87.
Año
Precios ($/Lbs) 1979 1986
Plata Cobre Plomo Staño Zinc
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17.00 19.36 15.18 99.32 12.15
26.01 41.88 15.81 101.26 13.49
1987 27.52 29.99 14.46 96.17 11.40
79
Año
Cantidad (Mills de bls) 1979 1986
Plata Cobre Plomo Staño Zinc
1357 2144 1916 161 1872
3707 2734 2420 202 2018
1987 3698 2478 2276 186 1424
a) Calcular Indice de Precios de Agregación Simple para el año 86, considerando como año base 1979 b) Calcular el IPL para el año 87, con base en el año 79 c) Calcular el IPP para el año 87, con año 86 Solución
Esto significa, que los precios del conjunto de productos férreos, en el año 86, representa el 121.7% de los precios que tenían en el año 79, es decir se incrementaron en 21%. Nota: Las fórmulas descritas anteriormente para obtener números índice de precios se modifican fácilmente para obtener números índices de cantidad o volumen, con el simple intercambio de p y q.
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80
Ejemplo : Indice de cantidad de Agregación Simple: IQAS
(6.4)
Deflación Aunque los ingresos de las personas pueden elevarse teóricamente en un período de dos años, su ingreso real puede netamente ser inferior, debido al incremento del costo de vida y por consiguiente su poder de adquisición. Ejemplo (5.3) Si el ingreso de una persona en 1990 es el 150% de su ingreso en 1989 (es decir a aumentado en 50%) mientras que el ICV es el 500% del año 89, el salario real de la persona será en 1990
Salario Real
El salario real de la persona en 1990 es el 30% del que tenía en 1989, es decir el poder adquisitivo de esta persona ha disminuido en 70%.
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ANEXOS PROBLE MAS RESUELTOS a) tablas de frecuencia y Estadigrafos de po sición:
1) La siguiente distribución muestra el peso en gramos de 30 paquetes de un determinado producto: Gramos h i
[10 14.5> M/2
[14.5 19.5> 0.17
[19.5 24.5> 2M
Se pide completar la tabla: Solución Si la sumatoria de las hi = 1 Sabemos que : M/2 + 0.17 +2M +M +0.13 = 1
M/2 +3M = 1-0.30 M/2 +3M = 0.7 7M = 1.4 M = 0.2
sabemos que
Por lo tanto fi = hi * n Remplazando valores de hi
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hi
fi n
[24.5 29.5> M
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hi M/2 0.17 2M M 0.13
Completando el cuadro: Intervalos Xi [10.5 14.5> 12.25 [14.5 19.5> 17 [19.5 24.5> 22 [24.5 29.5> 27 [29.5 35> 32.25
hi 0.10 0.17 0.40 0.20 0.13
fi 3 5 12 6 4
Fi 3 5 12 6 4
30
hi 0.10 0.17 0.40 0.20 0.13
Hi 0.10 0.17 0.67 0.87 1.00
1.00
2)Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen de Estadística I: 33, 50, 61, 69, 80,
35, 52, 64, 71, 81,
35, 53, 65, 73, 84,
39, 54, 65, 73, 85,
41, 55, 65, 74, 85,
41, 55, 66, 74, 88,
42, 57, 66, 76, 89,
45, 59, 66, 77, 91,
47, 60, 67, 77, 94,
48, 60, 68, 78, 97.
Clasificar estos datos convenientemente convenientemente en intervalos de clase de igual igual amplitud y construir los gráficos respectivos. Solución I) Rango = 97-33 = 64 II) K = 1+3.32 * log (10) = 1+ 3.22 (1.699) = 6.47
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Redondeando al entero inmediato superior intervalos)
K = 7 (siete
III) La amplitud de Clase Clase A = 64 / 7 = 9.14, aproximando aproximando al entero entero mayor mayor (recuerda que la amplitud debe tener la característica de los datos) A = 10
Para facilitar el conteo de las frecuencias, tomaremos como límite inferior de la primera clase 30. clases [30, 40> [40, 50> [50, 60> [60, 70 > [70, 80> [80, 90> [90, 100> TOTAL
xi
fi
Fi
hI
HI
35 45 55 65 75 85 95
4 6 8 13 9 7 3 50
4 10 18 31 40 47 50
0.08 0.12 0.16 0.26 0.18 0.14 0.06 1.00
0.08 0.20 0.36 0.62 0.80 0.94 1.00
Nótese que en el ultimo intervalo el límite superior puede ser abierto ya que sobrepasa al valor más alto de los datos. GRAFICOS
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2) El supervisor de una planta de producción desea comprobar si los pesos netos de las latas de conserva de durazno tienen el peso reglamentario (18 onzas) para lo cual registra el peso de 36 latas obteniendo los siguientes datos:
17.0, 17.6, 18.1, 18.4,
17.5, 18.5, 18.1, 17.5, 18.0, 17.5, 17.3, 18.0, 18.0, 18.0, 18.2, 17.6, 18.4, 17.7, 17.7, 17.9, 18.3, 17.1, 17.8, 17.3, 17.6, 17.7, 18.2, 18.4, 18.0, 18.2, 17.1, 18.6, 18.1, 18.5, 17.9, 18.2.
Se pide : a) b) c) d)
Presentar los datos en una tabla de frecuencia. Determine el peso promedio. Determine el peso central (la mediana). Determine el peso Modal.
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Solución
i)
Rango = 18.6 – 17.0 =1.6
ii)
K = 1+ 3.32 * log (36) = 6.17 redondeamos a 6 intervalos
iii)
A = 1.6 / 6 = 0.266 lo aproximamos a 0.3 (recuerden siempre se redondea A hacia el mayor respetando la característica de los datos, en este caso con un digito decimal). A = 0.3
a) La tabla queda: Clases [17.0, 17.3> [17.3, 17.6> [17.6, 17.9> [17.9, 18.2> [18.2, 18.5> [18.5, 18.8> TOTAL
Xi 17.15 17.45 17.75 18.05 18.35 18.65
fi 3 5 7 11 8 2 36
Fi 3 8 15 26 34 36
hi 0.08 0.14 0.19 0.31 0.22 0.06 1.00
Hi 0.08 0.22 0.42 0.72 0.94 1.00
Xi*fi 51 87 124 199 147 37 645.6
Clase modal
Clase mediana b)
onzas
c) Para la mediana buscar en Fi aquel que sea igual o mayor que n/2, es decir
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Fi>= 36/2 =18.
Onzas
d) Para calcular la moda usamos el intervalo de mayor fi
Onzas
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PROBLE MAS PROPUESTOS:
1) La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas de 200 alumnos. EDADES Hi%
16 10
19 15
22 37
25 75
28 85
31 100
a) Muestra los límites de cada intervalo de clase. b) Que tanto por ciento de los estudiantes tienen edades entre 12 y 26 años. 2) Los siguientes datos son las velocidades en Km./h. De 30 carros que pasaron por un punto de control de velocidades. 60, 30, 38, 60, 45, 20, 35, 20, 40, 54, 38, 35, 40, 10, 45, 60, 49, 49, 30, 55, 46, 105, 29, 38, 80, 40, 28, 15, 82, 72.
a) Calcular la media de los datos sin clasificar. b) Agrupa estos datos convenientemente. c) Calcule la media, mediana y moda. 3)Un grupo de 50 empleados de sistemas de una gran compañía recibe un curso intensivo de Programación de Ordenadores. De los varios ejercicios distribuidos durante el curso, se muestra el número de ejercicios completados satisfactoriamente por los miembros del grupo: 13, 9, 8, 14, 16, 15, 6, 15, 11, 5, 3, 11, 11, 9, 18, 18, 5, 1,15, 12, 16, 12, 14, 9, 6, 10, 5, 12, 17, 11, 12, 13, 8, 19, 12, 11, 18, 15, 13, 9, 10, 9, 10, 7, 21, 16, 12 , 9, 2, 13.
a) b) c)
Agrupar estas cifras en una tabla de distribución de frecuencias, usando el método de Sturges. Calcula la media, mediana y moda. Estima la desviación típica para datos no agrupados.
4) Sean los siguientes datos: f1=3, F2=8, F3=18, f5=2, x4=3, K=6, H4=0.875, A=2, n=24. Completa la tabla de distribución de frecuencias y calcular la Varianza.
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5) y
dada la siguiente tdf: intervalos
hi%
2.5> 4.5> 6.5> 8.5> 10.5> 12.5> 14.5>
2% 10% h3% 16% h5% 10% 2%
[0.5 [2.5 [4.5 [6.5 [8.5 [10.5 [12.5 a)Calcula h3% y h5% b)Calcula la Varianza.
7) Se tiene una distribución simétrica de frecuencias con 7 intervalos de igual amplitud A =20 y considerando los siguientes datos: X3*f3 = 1260, f2 + f5 = 62, H6% = 96%, f1 = 8, h3% = 21%. a) Calcula la media, mediana y moda b) Calcula el C.V. 8) Se conocen los siguientes datos del peso de un grupo de estudiantes: Intervalos [20 30> [30 40> [40 50> [50 60> [60 70>
fi
5
Hi
0.96
fi = 50 si se sabe que: h1=h3 y h2=h4
Determina: a) La media, mediana y desviación típica. b) Presenta los datos en un Histograma y polígono de frecuencias.
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9) Sabiendo que la tabla de frecuencias, es simétrica, completarla con los datos, dados, si además se sabe que la mediana es igual a 27.5. Luego calcula la media, la moda y la desviación estándar.
Intervalo L0 L1 L1 L2 L2 L3 L3 L4 L4 L5 L5 50 50 L7
Xi
fi
Fi
hi
Hi
0.20 0.65 0.95
fi = 60 10) Una fabrica tiene dos departamentos uno de producción y otro de ventas. Las siguientes tablas de frecuencias presentan los haberes percibidos hasta fines de abril en cada uno de los departamentos.
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Haberes semanales en dólares [10 15> [15 20> [20 25> [25 30> [30 35> [35 40 [40 45 Total
N°de trabajadores dpto. de producción 15 25 30 20 5 5 0 100
Haberes m ensuales en N°de trabajadores dólares Dpto . de Ventas
[20 60> 0 [60 80> 5 [80 100> 5 [100 120> 15 [120 140> 20 [140 160> 5 total 50 Calcule: a) El haber promedio mensual y la desviación típica correspondiente a cada departamento. b) El haber promedio mensual y la desviación típica del conjunto de trabajadores de ambos departamentos. 11) Se ha recibido una muestra compuesta de 100 probetas de concreto con el objetivo de analizarlas. Una de las pruebas consistió en determinar la carga de rotura de dichas probetas, encontrándose los siguientes resultados:
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Intervalo de rotura [120 125> [125 130> [130 135> [135 140> [140 145>
N° de probetas 10 20 38 25 7
Determine : a) La carga media de rotura. b) La carga mediana de rotura.
Regresión lineal
1) La tabla muestra alturas con aproximación de pulgadas y los pesos con aproximación de libras de una muestra seleccionada al azar: altura
70
63
72
60
66
70
74
65
62
67
65
68
peso
155
150
180
135
156
168
178
160
132
145
139
152
a) Hallar la ecuación de la recta de ajuste usando mínimos cuadrados. b) Estimar el peso de un estudiante cuya altura es de 61 pulgadas. c) Estimar la altura de un estudiante cuyo peso es de 170 libras.
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93
Solución: X
Y
70 63 72 60 66 70 74 65 62 67 65 68
155 150 180 135 156 168 178 160 132 145 139 152
X = 802
Y=1850
Calculando a y b:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
X*Y
4900 3969 5184 3600 4356 4900 5476 4225 3844 4489 4225 4624 = 53792
10850 9450 12960 8100 10296 11760 13172 10400 8184 9715 9035 10336 X*Y 124258
=
94
a = -60.75
b = 3.22 a)
Y = -60.75 + 3.22 X
b)Y = -60.75 + 3.22(61) = 135.67 libras. Redondeando Y =136 lib ras .
c) 170 = -60.75 + 3.22 X
Pulgadas, redondeando X = 72 pulgadas
2) La producción de acero en Estados Unidos en millones de toneladas cortas (una tonelada corta = 2000 libras), durante los años 1946 – 1956 aparecen en la siguiente tabla:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
95
Añ os
Pro d u cc ión en Ton. cortas
1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956
66.6 84.9 88.6 78.0 96.8 105.2 93.2 111.6 88.3 117.0 115.2
a) Halla la ecuación de ajuste (recta de mínimos cuadrados). b) Estima la producción de acero durante los años 1957 y 1958. c) Estima la producción de acero durante los años 1945 y 1944.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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Solución: Para poder trabajar con los años se debe colocar una escala paralela que inicie en cero (pues las fechas no sirven para estos cálculos). Añ os 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 TOTALES
X
Y
X * Y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
66.6 84.9 88.6 78.0 96.8 105.2 93.2 111.6 88.3 117.0 115.2
0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
0 84.9 177.2 234.0 387.2 526.0 559.2 781.2 706.4 1053 1152
55
1045.4
385
5661.1
a) Hallando la recta de ajuste
a = 75.30
b = 3.95 Y = 75.30 + 3.95 X
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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b y c) Estimando la prod uc ción:
Añ os 1944 1945 1957 1958
X
Pro d u cc ión
-2 -1 11 12
67.40 71.35 118.75 122.70
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
98
PROBL EM AS PROPUE STOS
1) Construir una línea recta que aproxime los datos de la tabla:
X
2
3
5
7
9
10
Y
1
3
7
11
15
17
a) estimar los valores de y para: x= 11, x= 15, x=4, x= 6 b) estimar los valores de x para: = 2, =5,
2)La producción de acero en Estados Unidos en millones de toneladas cortas(1 tonelada corta = 2000 libras) durante los años 1986 – 1996 aparece en la tabla:
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
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Añ o
a) Realiza el diagrama de dispersión. b) Determina la ecuación de la recta de ajuste. c) Estima la producción de acero durante los años: 1997 y 1998. d) Estima la producción de acero durante los años: 1985 y1984 e) Halla r e interpreta.
Producción de acer o en EE .UU.(mill ones de ton eladas cortas)
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996
66.6 84.9 88.6 78.0 96.2 105.2 93.2 111.6 88.3 117.0 115.2
3)Se desea encontrar una ecuación que estime los ingresos anuales en función de los salarios mensuales,con este fin se ha recopilado los salarios mensuales e ingresos anuales de 8 trabajadores de una empresa. 100 Salarios mensuales I ngr esos anuales 1200
150
200
275
300
325
350
375
1800
2400
3300
3600
3900
4200
4500
a) Crea el diagrama de dispersión respectivo. b) Determina la recta CURSO: ESTADISTICA I de mínimos cuadrados. CICLO III c) Estima los salarios mensuales para aquellos trabajadores cuyo ingreso anual es de 5700. d) Calcula el coeficiente de Correlación (interpretar).
100
4)La producción de cigarrillos en Perú durante los años 1985 –1992 fue:
Año N° cigar ri llos (millones)
a) b) c) d)
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
98.2
92.3
80.0
89.1
83.5
68.9
69.2
7.1
Representa el diagrama de dispersión con recta de aproximación. Halla la ecuación de mínimos cuadrados. Determina e interpretar el coeficiente de Correlación Estima la producción de cigarrillos para los años 1995 y 1998.
Núm er o s ín d ic es P r o b l em a s p r o p u e s to s :
1) La siguiente tabla muestra los precio y cantidades de alguno cereales en los años 1989 y 1998.
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
101
1989 producto Cebada Maíz Avena Arroz Centeno Trigo
Precio 1.39 1.24 0.72 0.086 1.42 2.24
Cantidad 237 3238 1220 4077 18.1 1098
1998 producto Cebada Maíz Avena Arroz Centeno Trigo
Precio 1.24 1.15 0.65 0.097 1.27 2.23
Cantidad 470 3800 1422 4702 32.5 1462
A) Tomando como base a 1989 hallar el índice de Laspeyres, El índice de Paashe, el índice ideal de Fisher. Para el año 1998. B)
Tomando como base a 1989 hallar el índice de Laspeyres, El índice de Paashe, el índice ideal de Fisher. Para el año 1989. C) Determine el índice de agregación simple para los años 1989 y 1998. 2) La tabla muestra los precios al por menor y producciones medias de antracita y gasolina en EE.UU. durante los años 1949 y 1958.
precios producto
CURSO: ESTADISTICA I CICLO III
1949
1958