Media, Mediana y Moda Media, Mediana y Moda RELACION EMPÍRICA ENTRE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA Para poder establecer una relacin e!p"rica entre !edia, !ediana y !oda #ay $ue saber di%erenciar las cur&as de distribucin de %recuencia de nuestros datosestad"sticos de la si'uiente %or!a( )i la cur&a de distribucin es si!*trica o bien %or!ada( es decir, si las obser&aciones tienen un e$uilibrio sus %recuencias $ue subiendo al respecto a sus %recuencias #asta lle'ar a una !+i!a yen despu*s descienden las&an %recuenciaslos &alores de !edia, !oda y !ediana son el !is!o
)i la cur&a de distribucin es asi!*trica ses'ada a la derec#a( )i la cola !ayor se presenta en la parte derec#a de la cur&a de distribucin de %recuencia se dice $ue esta ses'ada a la derec#a, $ue tiene ses'o positi&o y $ue su relacin es( !edia . !ediana . !oda )i la cur&a de distribucin es asi!*trica ses'ada a la i/$uierda( )i la cola !ayor se presenta en la parte i/$uierda de la cur&a de distribucin de %recuencia se dice $ue esta ses'ada a la i/$uierda, $ue tiene ses'o ne'ati&o y $ue su relacin es( !edia 0!ediana 0 !oda CA)O PARTIC1LAR si la cur&a de distribucin de %recuencia es uni!odal y poco asi!*trica ya sea ses'ada a la i/$uierda o a la derec#a tene!os la si'uiente relacin e!p"rica( Media 2 !oda 3 4 5!edia6!ediana7 COMPARACION ENTRE LA MEDIA ARITM8TICA, LA MEDIANA Y LA MODALa !edia, de un con9unto :nito de n;!eros, es i'ual a la su!a de todos sus&alores di&idida entre el n;!ero de su!andos- )e puede #allar la !edia para &ariables cuantitati&as
Media arit!*tica> Centro de 'ra&edad> Pro!edio > Media !uestral 5Cuando el con9unto es una !uestra aleatoria7
2.3.8 Relación entre media, mediana y moda En el caso de distribuciones unimodales, la mediana está con frecuencia comprendida entre la media y la moda (incluso más cerca de la media). En distribuciones que presentan cierta inclinación, es más aconsejable el uso de la mediana. Sin embargo en estudios relacionados con propósitos estadísticos y de inferencia suele ser más apta la media. Veamos un ejemplo de cálculo de estas tres magnitudes.
?-4-@- E9e!plo
Considera!os una tabla estad"stica relati&a a una &ariable continua, de la $ue nos dan los inter&alos, las !arcas de clase c , y las %recuencias absolutas, n i
i
Inter&alos
ci
ni
? 66 B
?
66 ?
4
66
@ 66
F
4
B6 @
G
?
ara calcular la media podemos a!adir una columna con las cantidades suma de los t#rminos de esa columna di$idida por n%&' es la media
Inter&alos
ci
ni
? 66 B
?
?
?
66 ?4
4
4
66
Ni
7
?B
. "a
@ 66 F
4
B
?
B6 @ G
?
?
@
?
"a mediana es el $alor de la $ariable que deja por debajo de sí a la mitad de las n obser$aciones, es decir . *onstruimos la tabla de las frecuencias absolutas acumuladas, Ni, y $emos que eso ocurre en la modalidad tercera, es decir,
ara el cálculo de la , lo primero es encontrar los inter$alos modales, buscando los má+imos relati$os en la columna de las frecuencias absolutas, ni. Vemos que ay dos modas, correspondientes a las modalidades i%&, i%-. En el primer inter$alo modal, (l,&/%(,'/, la moda se calcula como
El segundo inter$alo modal es (l',l-/%(01/, siendo la moda el punto perteneciente al mismo que se obtiene como
En este caso, como se $e en la figura '.2, la moda no toma un $alor 3nico, sino el conjunto
Figura: Dia'ra!as di%erencial e inte'ral con c+lculo 'eo!*trico de la !oda y de la !ediana de la &ariable-
RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA. Las curvas de frecuencia presentan determinadas características que la distinguen una de otras, las más usuales son: a)
LAS CURVAS ! "R!CU!#C$A S$%!&R$CAS ' ($!# "'R%AAS
Se caracterian por el *ec*o de que las o+servaciones tienen un equili+rio en sus frecuencias que van su+iendo al respecto a sus frecuencias *asta llegar a una máima - despu.s descienden las frecuencias/ '+servaciones: la media, la mediana - la moda coinciden
+) Las curvas asim.tricas 0 sesgadas/ Se caracterian de dos formas: i) Si la cola es ma-or se presenta a la derec*a, de la curva se dice que esa sesgado a la derec*a a que tiene sesgo positivo - su relaci0n es:
%oda
%ediana
'+servaciones: 1ara cuervas de frecuencia unimodales que sena moderadamente sesgadas 2asim.tricas) se refiere la relaci0n empírica %edia3 moda 4 5 2media3 mediana) Relaciones empíricas entre las medidas de dispersi0n
!": 1ara distri+uci0n moderadamente asim.tricas se tiene las formulas empíricas/
a)
esviaci0n media4
2 desviaciones típica)
+) Rango semiintercuartilico4
2esviaci0n típica)
!stas son consecuencias del *ec*o de que para distri+uciones normales se tiene que las desviaciones media - el rango semiintercuartilico son, respectivamente, iguales a 6/7878 6/97; veces la desviaci0n típica/
COEFICIENTE DE ASIMETRÍA DE PEARSON !": %ide la desviaci0n de la simetría, epresada la diferencia entre la media - la mediana con respecto a la desviaci0n estándar del grupo de mediciones la formula es:
!
Asimetría4 !
a)
Asimetría4
Sesgada a la derec*a: e los e>, >5, >;, >7,>=,?>,?>,?5,?;,?;,?9, ?8, 56, 56, 56, 5;, 59, ? %ediana4 ?;
Luego
Asimetría4 Sesgada ala iquierda
'+s/ Si
%ediana entonces los datos son sim.tricos/
USO DE LA DESVIACIÓN TÍPICA La desviaci0n típica e un con
Cuando una distribución de frecuencia es simétrica, la media, mediana y moda coinciden en su valor ( X = Me = Mo). En el caso de una distribución binomial simétrica, es necesario calcular el promedio de las modas.
En una distribución sesgada a la izquierda, la moda es menor a la mediana, y esta a su vez menor que la media ( X < Mo < Me) En una distribución sesgada a la dereca la relación se invierte, la moda es mayor a la mediana, y esta a su vez mayor que la media (Mo > Me >).
7.2.1 Ejemplo: Relación entre la media, mediana y moda Calcular la media, mediana y moda de los siguientes datos e interpretar su relación.
!"#"""
"#"$""
%$"#"$
##$$#$
%$"#!#
"$"#$"
SOLUCIÓN &e realiza el c'lculo de la mediana, moda y media En este caso se deduce que f'cilmente que los datos representan una distribución simétrica, como se puede observar en el gr'fico de barras.
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