Espaços Métricos - Gentil Lopes Da Silva

´ ESPAC ¸ OS METRICOS l

20 08

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(COMENTADO) Cubo Hiper-Mágico

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CBPF-NF-002/06

Curva de Peano (S)

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antica − Topologia Qu^

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− O Milagre!: conexo por caminhos

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11.09.2008

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Teorema (Gentil/15.08.2008). Se 0, 999 . . . é um n´ umero ent˜ ao 1 = 0.

Gentil Lopes da Silva

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1

´ ESPAC ¸ OS METRICOS (COMENTADO) Gentil Lopes da Silva 28 de agosto de 2009

Aos servos cabe mentir; aos livres, dizer a verdade. ˆ nio. Apolo

˜ o me afadiguei so ´ para mim; - Vejam que eu na mas para todos aqueles que procuram ˜ o. a instruc ¸a

Eclesiastico 33 : 18

˜ es As mais belas orac ¸o e os mais belos sacrif´ıcios agradam menos a Divindade que uma alma virtuosa que se esforc ¸ a por assemelhar-se a Ela. ´ crates. So

A demonstra¸caõ é um ´ıdolo aos pés do qual os matemáticos se torturam a eles próprios. Sir Arthur Eddington

Pref´ acio Este livro pretende estabelecer uma ponte entre o aluno e textos outros, de leitura mais ´ arida, por assim dizer. Acreditamos - por várias raz˜ oes - que o aluno de matemática deva ter à ´ dentro sua disposi¸caõ mais que um livro da disciplina que esteja aprendendo. E deste contexto que situa-se esta obra, ou seja: nela o aluno ter´ a mais uma op¸caõ para auxili´ a-lo no seu aprendizado. Embora seja lugar-comum que figuras n˜ ao devam interferir na maior parte das demonstra¸co˜es da Análise − no que estamos de acordo − n˜ ao hesitamos em usá-las onde achamos que o entendimento do aluno poderia ser facilitado. ´ Obviamente que o peso maior é dado à lógica que é quem valida uma demonstra¸caõ. Por oportuno, se em Análise uma imagem n˜ ao vale mais que 1000 palavras; vale, pelo ao menos, umas 200. Via de regra o que se faz em um pref´ acio é discorrer sobre o conte´ udo da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em raz˜ ao de que o leitor, se assim o desejar, pode apreciar o conte´ udo deste livro a partir do sum´ ario, dado logo a seguir. Aproveito este pref´ acio para fazer algumas elucubra¸co˜es a respeito da Matem´ atica em si, as quais julgo de alguma importˆ ancia. Pensamos que uma raz˜ ao apenas é suficiente para justificar o aprendizado da matemática, em um n´ıvel mais avan¸cado: sua beleza intr´ınseca. Um belo teorema matem´ atico situa-se no mesmo n´ıvel de uma bela obra de arte. ´tica confunde-se com a Arte A uma certa altura a Matema Assim como n˜ ao tem sentido chegar-se em frente a uma obra de arte e perguntar para o que ela serve, t˜ ao pouco faz sentido priorizar a aplica¸caõ de um belo teorema. Um outro s´ımile: n˜ ao se pergunta a um compositor para o que serve a sua m´ usica. Aos utilitaristas, diremos que a matemática serve para o deleite espiritual de quantos a cultivam seriamente. Frente a esta aplica¸caõ as demais empalidecem. Embora, devo confessar, mesmo sem colocar poss´ıveis aplica¸co˜es num primeiro plano, n˜ ao raro tenho trope¸cado nas mesmas. Acreditamos que neste est´ agio de aprendizado o aluno deva desenvolver a percep¸caõ (sensibilidade) para contemplar a beleza-arte da matemática. Nestas alturas, a meu ver, aplica¸co˜es caem para um segundo ou terceiro plano − n˜ ao é o que deve interessar a um matemático puro, embora o seja a um “impuro”. Este livro n˜ ao contém lista de exerc´ıcios, por duas raz˜ oes. Primeira: no livro existem bastante exerc´ıcios resolvidos (exemplos). Segunda: Por experiência sabemos que o aluno que estuda, pela primeira vez, disciplinas como Análise e Topologia ainda n˜ ao tem maturidade suficiente para resolver exerc´ıcios destas disciplinas. Por outro lado acreditamos que o aprendizado do aluno se processa como o aprendizado das crian¸cas: por imita¸caõ (observa¸caõ) dos “adultos”. Sendo assim o que temos feito, quando ministramos espa¸cos métricos adotando este livro − e aqui vai uma sugestão aos professores que, por ventura, o adotarem − é sugerir aos alunos que estudem atentamente os exerc´ıcios resolvidos (exemplos). Na avalia¸caõ constam estes exerc´ıcios ou ligeira varia¸caõ dos mesmos. Percebi uma interessante analogia entre o Universo da m´ usica e o Univeros da ciência, a qual gostaria de compartilhar com o leitor: Sabe-se que na m´ usica alguns nascem, ou melhor, têm o dom de intérpretes (são excelentes intérpretes) mas n˜ ao são compositores. E rec´ıprocamente, outros h´ a que têm o dom da com-

posi¸caõ mas n˜ ao o de intérprete; ambos são importantes para o universo musical. Na Ciência, em particular na Matem´ atica, acontece algo semelhante: h´ a uma espécie de gênios que são os intérpretes, mas que n˜ ao compõem, isto é, n˜ ao produzem nada de significativo (estes são a maioria) e h´ a “gênios”, embora n˜ ao gênios, os quais são “compositores” na Ciência. Estes “gênios” embora, algumas vezes, n˜ ao sejam gênios (na acep¸caõ que se atribui a esta palavra) é desnecessário enfatizar que são t˜ ao (ou mais) importantes que os gênios. Tenho por certo que Einstein, por exemplo, foi um “gênio” embora n˜ ao tenha sido um gênio∗. Evidentemente que na Ciência, como na m´ usica, h´ a os que s˜ ao gênios e ao mesmo tempo “gênios”, como por exemplo: Newton, Poincaré, Gauss, Euler, Gallois, etc. Quanto a este ponto de vista, descobrir que n˜ ao estou só, vejam: “. . . A seu modo, Glasshow pode ser um extravagante ‘revolucionário anarquista’, mas a forma pela qual chega às suas idéias fá-lo avan¸car constantemente com novos conceitos, muitos deles loucos e imposs´ıveis, mas outros são avan¸cos genu´ınos em f´ısica. Certamente que conta com a ajuda de outros para separar as idéias más, n˜ ao obstante possui um instinto criativo que muitos n˜ ao possuem. Em f´ısica teórica ser simplesmente brilhante n˜ ao é suficiente. Deve-se ser capaz de gerar novas idéias, algumas bizarras, que são essenciais para o processo de descoberta cient´ıfica.” Do livro “Para Além de Eintein” de Michio Kaku/Jennifer Trainer. Da mesma forma digo que na matemática n˜ ao é suficiente ser brilhante: n˜ ao se deve olvidar o instinto criativo. Em resumo estou reinvidicando maior aten¸caõ aos “compositores” a exemplo do que tem ocorrido aos intérpretes. Este livro foi escrito usando o processador de texto LATEX 2ε . Seremos gratos por cr´ıticas e/ou sugestões: www.dmat.ufrr.br/∼gentil ∨ [email protected] Minha gratidão maior ao bom Deus, por ter me concedido gestar e dar à luz este trabalho. Isto é, assentar este tijolinho em sua magnânima obra. Gentil Lopes da Silva. Boa Vista − RR, setembro de 2008.

∗ Basta lembrar que Einstein foi reprovado nos exames de admiss˜ ao a ` Escola Polit´ ecnica de Zurich. Ou ent˜ ao, para se certificar de nossa afirmativa, leia o di´ alogo “sobre a natureza da verdade”, ocorrido em 1930 entre Einstein e o poeta indu Rabindranath Tagore. No nosso entendimento as concep¸co ˜es do poeta, no referido di´ alogo, foram geniais - ao contr´ ario das de Einstein, algumas das quais at´ e pueris.

ADENDO

Boa Vista-RR/30.05.2010

Foram feitas duas tentativas de publica¸caõ do presente livro. Na primeira o submetir ` a editora aqui mesmo da universidade (ufrr), ap´ os alguns meses conversei com o diretor da editora e numa conversa informal ele me disse que o livro havia sido submetido a dois especialistas da àrea (referees) e que até aquele momento apenas um havia emitido seu parecer, por sinal favor´ avel, e que, ademais, a editora estava correndo atr´ as de recursos. Algum tempo depois a editora trocou de diretor e o novo me informou que a editora n˜ ao tinha recursos próprios e que dependia de capta¸caõ de recursos externos. Desisti da empreitada e decidi enviar o livro a uma outra editora. Escolhi a editora da UNB (universidade de Bras´ılia). Aproximadamente um ano depois recebi uma carta com o parecer de um referee (´ arbitro). O livro n˜ ao foi aceito para publica¸caõ. Vou citar os t´ opicos mais relevantes do parecer, tidos como prejudiciais à obra como um todo, e vou me permiti o direito de coment´ a-los (uma espécie de réplica): Abrangˆ encia: O material abrange os t´ opicos fundamentais que geralmente s˜ ao abordados num curso de um semestre dessa disciplina e inclui um (longo) cap´ıtulo de “PréRequisitos”, este com cerca de 70 p´ aginas; o autor explora com certo exagero, um grande n´ umero de exemplos a cada conceito introduzido. - Coment´ ario: De fato, o longo cap´ıtulo de pré-requisitos foi uma tentativa minha de tornar a obra auto-suficiente. Numerei-o como cap´ıtulo 0 e o tenho como um cap´ıtulo apenas de consulta (e referências) tanto é que quando ministro essa disciplina inicio pelo cap´ıtulo 1, de espa¸cos métricos. No meu entendimento um grande n´ umero de exemplos só n˜ ao é bom para a editora∗ mas certamente é bom para os alunos. Qualidade do Conte´ udo e Organiza¸ c˜ ao L´ ogica: Em diversos pontos do texto o autor mistura aspectos de seu pr´ oprio entendimento filos´ ofico e religioso com a matéria espec´ıfica deste t´ opico da matem´ atica. Em outros, insere textos de palestras elementares, proferidas pelo mesmo em sua institui¸ca õ de origem, além de tecer in´ umeros coment´ arios pouco apropriados e até mesmo controversos; - Coment´ ario: A raz˜ ao pela qual a maioria das obras didáticas de matemática são réplicas quase perfeitas umas das outras é que grande parte dos autores são apenas intérpretes na matemática, poucos são os compositores. Na matemática me considero, além de intérprete, compositor; com efeito, o meu livro encontrase eivado de novidades, composi¸co˜es minhas. O fato de alguém conseguir unir matemática com filosofia e espiritualidade eu, sinceramente, n˜ ao vejo como um defeito, mas como uma excepcional qualidade. Digo espiritualidade e n˜ ao religi˜ ao, como o meu ´ arbitro se refere acima, fa¸co uma distin¸caõ entre ambas. No que diz respeito a mim, creio em Deus e em que a essência do homem (como de resto de todos os seres vivos) é espiritual e n˜ ao material, n˜ ao obstante, n˜ ao possuo nenhuma religi˜ ao, muito pelo contrário, de uma dada perspectiva, sou contra as religi˜ oes institu´ıdas; portanto, reitero, aqui misturo topologia com filosofia, f´ısica quˆ antica e espiritualidade (não religi˜ ao). Ademais, é verdade que utilizo a matemática para perscrustar o universo da espiritualidade. ∗ Pois

o livro torna-se volumoso e, consequentemente, encarece os custos de produ¸ca õ.

Quanto a inserir textos de palestras “elementares”, de fato fiz uso da topologia dos espa¸cos métricos para contribuir com uma quest˜ ao bastante (há séculos) controversa na matemática, qual seja: como se deve interpretar a igualdade: 0, 999 . . . = 1 Leio no livro de um renomado matemático o seguinte: “E, conquanto as ideias e o pensamento matem´ aticos estejam em constante evolu¸ca õ [. . .] a maioria dos problemas b´ asicos fundamentais nunca desaparece.” (Gregory Chaitin/METAMAT!)

O meu ´ arbitro n˜ ao atinou com este pequeno detalhe na matem´ atica. Com efeito, o problema das representa¸co˜es decimais, como na igualdade acima, é um de tais problemas b´ asicos fundamentais que tem dado dor de cabe¸ca a muitos matemáticos, inclusive no que diz respeito a interpreta¸co˜es equivocadas sobre as mesmas, como logramos demonstrar aqui. Por outro lado, e talvez mais importante ainda, muitas constru¸co˜es sofisticadas na matemática, a exemplo da curva de Peano, dependem de tais representa¸co˜es dos n´ umeros reais. Por exemplo aqui - pelo fato de havermos desvendado esta “quest˜ ao b´ asica” - construimos uma versão mais simples da curva de Peano bem como obtivemos uma outra transforma¸caõ, inédita e t˜ ao esdr´ uxula quanto a de Peano: construimos a “volta” da curva de Peano. Quanto a “coment´ arios pouco apropriados” talvez o árbitro esteja se referindo ao fato de eu ter afirmado que até hoje os matemáticos claudicam (trope¸cam) no conceito de n´ umero, em poucas palavras: muitos n˜ ao têm nitidez do que de fato seja um n´ umero (tanto é que alguns o tomam como um “conceito primitivo”, o que n˜ ao acho necessário). Com efeito, fa¸co esta afirmativa em um Resumo que encontra-se a partir da p´ agina 227, o leitor leia e julgue por si mesmo se tenho ou n˜ ao raz˜ ao. Por sinal publiquei este artigo (“Palestra”) h´ a mais de ano em minha home-page e h´ a vários meses no site Somatem´ atica e, até hoje, n˜ ao recebi nenhuma contesta¸caõ; pelo contrário, recebi um email entusiasmado de um leitor me dando conta de que leu, entendeu e concorda com tudo o que escrevi sobre o tema. Ademais, vejo uma incoerência na afirmativa do referee: se discorro sobre um tema elementar (conte´ udo de minha Palestra - pg. 227) como posso fazer afirmativas controversas? Digo, ele, como árbitro, n˜ ao teria capacidade de decidir se o que falo tem ou n˜ ao fundamento? Em matemática, no que de fato é elementar, n˜ ao cabe controvérsias, do contrário n˜ ao seria elementar. Continuando: Quanto a ` abordagem dos conte´ udos de Espa¸cos Métricos em s´ı, h´ a um exagero de exemplos seguindo cada conceito apresentado, em detrimento de um tratamento mais conciso dos pontos centrais do tema. - Coment´ ario: De fato, ele tem raz˜ ao, exagerei no n´ umero de exemplos. Quando decidi escrever este livro um dos objetivos que mentalizei é que o mesmo servisse também ao estudante auto-didata; digo, àquele que, por ventura, decidisse estudar (s´ ozinho) o assunto com antecedência - para suavizar seu aprendizado a posteriori (digo, com o professor), da´ı eu ter exagerado no n´ umero de exemplos. Outros Aspectos Negativos: 1. O autor apresenta todo um cap´ıtulo, com cerca de 70 p´ aginas, a t´ıtulo de “Pré-Requisitos”, em que s˜ ao inclu´ıdos t´ opicos de L´ ogica, Teoria dos Conjuntos,

´ C´ alculo, An´ alise e Algebra Linear. Com todos esses pré-requisitos, causa estranheza a afirma¸ca õ do autor: “. . . Por experiência sabemos que o aluno que estuda, pela primeira vez, disciplinas como An´ alise e Topologia ainda n˜ ao tem maturidade suficiente para resolver exerc´ıcios destas disciplinas. . . ”(cf. Pref´ acio). - Coment´ ario: Esqueci de dizer que escrevi este Cap´ıtulo 0 apenas para eventuais consultas e referências, tanto é que já inicio a matéria pelo Cap´ıtulo 1; com isso creio que continua sendo verdadeiro o que afirmo a respeito da imaturidade dos alunos em resolver quest˜ oes de demonstra¸co˜es (prove que, mostre que, etc.); também por isso exagero no n´ umero de exerc´ıcios resolvidos (exemplos) e pe¸co apenas que os alunos os estudem atentamente procurando entendê-los 100%, creio que por essa via o aprendizado possa ocorrer sem grandes traumas - como ocorre ami´ ude. 2. No contexto do tema, o autor explora conceitos tais como “Topologia Quˆ antica” e “Propriedades Topol´ ogicas” sem sequer introduzir o conceito geral de “Espa¸co Topol´ ogico”. - Coment´ ario: Este “aspecto negativo” assinalado pelo referee n˜ ao procede. De fato, podemos falar de “Propriedades Topológicas” apenas dentro do contexto dos espa¸cos métricos, sem necessidade de adentrarmos no conceito geral de “Espa¸co Topol´ ogico”, tanto isso é verdade que é assim mesmo que procede o Prof. Elon Lages em seu livro [5] (pg. 38); o mesmo se d´ a no que diz respeito ` a “Topologia Quˆ antica”, por sinal esse conceito foi criado por mim mesmo - me sinto muito ` a vontade para falar sobre o mesmo. Senhor referee, desta forma o senhor perde credibilidade! 3. Por fim, cabe observar que o autor utiliza cerca de 600 p´ aginas, usando fonte pequena e um n´ umero excessivo de figuras, para explorar assuntos que usualmente podem ser adequadamente abordados num texto de 250 a 300 p´ aginas. Bras´ılia, 05 de maio de 2009.

- Coment´ ario: Quando escrevo um livro confesso que a minha maior preocupa¸caõ n˜ ao é com o n´ umero de p´ aginas, mas sim em torná-lo didático, pensando em um aluno auto-didata até. Por exemplo, quanto ` as demonstra¸co˜es matemáticas, existem autores que preferem as mais curtas e elegantes, esquecendo que a demonstra¸caõ mais curta nem sempre é a mais did´ atica e compreens´ıvel ao aluno. Ademais, uma demonstra¸caõ compacta n˜ ao raro esconde (camufla) a interrela¸caõ dos conceitos envolvidos, muitas vezes n˜ ao mostra como as idéias est˜ ao interconectadas (imbrincadas); assim é que, por exemplo, uma demonstra¸caõ de apenas três linhas em livros congêneres, aqui deliberadamente a fazemos até em uma p´ agina inteira - dando ênfase ` a articula¸caõ dos conceitos envolvidos; Quando o ´ arbitro coloca “um n´ umero excessivo de figuras ” como um aspecto negativo em uma obra, com toda certeza ele desconhece o n´ıvel com que a maioria dos alunos chega na maioria de nossas universidades. Se ele é professor é poss´ıvel que o seja apenas da p´ os-gradua¸caõ. ´ Disciplinas tais como Algebra Linear, Estruturas Algébricas, Análise e Topologia são abstratas - os alunos, oriundos dos falidos (capengas) ensinos fundamental e médio, n˜ ao raro adentram ` as universidades sem ao menos saberem fazer contas quanto mais terem condi¸co˜es de pensar abstratamente, da´ı que em minhas aulas, a toda exposi¸caõ de um tema abstrato∗ procuro fazer corresponder ∗ Em matem´ atica o que ´ e “abstrato” ou n˜ ao ´ e discut´ıvel, acontece que para a maioria dos alunos quase tudo em matem´ atica ´ e abstrato, quem ´ e professor destas disciplinas sabe disso.

uma figura, digo-lhes: “Observem . . . quem n˜ ao conseguir alcan¸car com a mente (racioc´ınio) procure ao menos enxergar com os olhos f´ısicos, já é alguma coisa”. Existe um ditado que diz que uma imagem vale mais que mil palavras, isto é ainda mais verdadeiro quando se trata de ensinar matemática abstrata a nossos alunos. Por oportuno, tenho em mãos um livro de matemática de um professor da UNB (publicado pela Editora da UNB), por t´ıtulo “Introdu¸ca õ a à ´lgebra linear”, esse livro tem 156 p´ aginas, a primeira figura aparece na pg. de n´ umero 98 (isto é, bem depois da metade do livro), no livro todo constam apenas 5 figuras. Na minha opini˜ ao escrever um livro fino e com poucas figuras é muito fácil (e até mais cˆ omodo) agora se vai resultar em um livro didático a´ı é outra história. Por exemplo, analisei detidamente o livro citado acima e, sinceramente, n˜ ao achei que tenha ficado nenhum um pouco didático. Poucos exemplos, chega-se ao absurdo de se definir espa¸cos vetoriais e n˜ ao se mostra um u ´ nico exemplo de espa¸co vetorial! ´ bem verdade que o autor, após a defini¸caõ desses entes, exibe Nota: E apenas dois exemplos, entretanto n˜ ao prova, segundo a defini¸caõ dada, que realmente trata-se de tais objetos; ou pelo ao menos menciona ao aluno a necessidade de tal prova (da´ı n˜ ao considero como exemplos). Ademais, a qualidade da editora¸caõ eletrˆ onica dessa obra deixa muito a desejar. O que muitos autores de livros didáticos de matemática para gradua¸caõ ainda n˜ ao se deram conta (e, por conseguinte as editoras) é que o p´ ublico que eles tem em mente quando escrevem seus livros deixou de existir h´ a muito tempo! Estou falando da vergonhosa situa¸caõ na qual se encontram os ensinos fundamental e médio em nosso Pa´ıs, o que se reflete de imediato no preparo da clientela das universidades brasileiras. Para citar apenas um exemplo, an passant, quando ingressei na universidade em 1981 já sabia derivar e integrar j´ a resolvia problemas de máximos e m´ınimos, bem como calculava volumes de sólidos de revolu¸caõ∗, hoje os alunos adentram à universidade com dificuldades (trope¸cando) na matemática do ensino fundamental . . . pasmém! Conclus˜ ao: O referee em quest˜ ao só viu defeitos em minha obra, na sua carta ele n˜ ao cita um u ´ nico eventual ponto positivo. Creio que, com um pouco de boa vontade, podemos encontrar alguns. Por exemplo: exploro aqui uma métrica (“métrica divina”), a qual n˜ ao se encontra em nenhum outro livro sobre espa¸cos métricos (dos que eu conhe¸co, claro), a qual me permitiu descobrir toda uma série de exemplos interessantes (“patológicos”)† e inéditos, me dando ensejo inclusive de relacionar Topologia com F´ısica quântica. Ademais, essa mesma métrica me permitiu colocar um ponto final em um assunto bastante controverso (pouco compreendido) na matemática, qual seja, se 0, 999 . . . é ou n˜ ao igual a 1. Aqui mostramos, até prova em contrário, que até mesmo matemáticos profissionais estiveram equivocados quanto ao significado (interpreta¸caõ) da igualdade 0, 999 . . . = 1. Esse, certamente, foi um dos “coment´ arios pouco apropriados” que contribuiu negativamente para uma aprecia¸caõ sobre meu livro. Em 1890 o matemático italiano Giuseppe Peano (1858−1932) causou grande estupefa¸caõ na comunidade matemática ao construir sua famosa Curva (que ∗ Estudei

C´ alculo - para prestar o vestibular - pelo vol. 8 de os “Fundamentos de Matem´ atica Elementar”, cole¸ca õ muito conhecida para o ensino m´ edio (de antigamente). † Por exemplo, com um de tais exemplos mostramos que o Prof. Elon equivocou-se ao afirmar em seu livro, [5], que “espa¸co conexo por caminhos, ´ e um conceito provido de mais significado intuitivo do que o conceito geral de espa¸co conexo”.

cobre toda a superf´ıcie de um quadrado); no presente trabalho, simplificamos a constru¸caõ dessa curva (tal como consta em [5]) e, o que é melhor, construimos também um outro objeto (“monstro”) matemático que pode ser visto como “complementar” ` a curva de Peano. Se, com tudo isso (e mais ainda), o referee só viu defeitos em minha obra gostaria de lembrá-lo que é muito raro um livro de matemática que traga alguma contribui¸caõ (relevante). Por oportuno, neste preciso momento lembrei de que o meu primeiro livro publicado (no ano de 2000, ver [6]) j´ a vem com algumas contribui¸co˜es à matemática (Por exemplo, destaco uma f´ ormula fechada para a soma de potências dos primeiros naturais, que nenhum matemático - deste e de séculos anteriores - havia conseguido), por sinal esse livro mereceu elogios de um renomado matemático brasileiro (por coincidência um topólogo); n˜ ao obstante ele tenha emitido seu parecer (observo que de livre e expontˆ anea vontade, digo, sem eu ter solicitado) sobre esse meu primeiro livro, vou me permitir transcrever seu parecer (j´ a que o autor de ambos os livros é o mesmo), ei-lo: O endere¸co [email protected] foi recusado. Gostaria que ele recebesse esse e-mail. De fato, gostei muito do livro. Um Abra¸co, Ubiratan Original Message From: Ubiratan D, Ambrósio To: Gentil Lopes da Silva Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM Subject: Obrigado pelo livro Caro Gentil Muito obrigado pelo livro que você mandou pelo Chateau. Est´ a muito bom, interessante e cheio de provoca¸co˜es. Dá oportunidade para os estudantes se iniciarem em pesquisas. Você fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o graus. Eu diria que é também para a p´ os. Aritmética continua sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente pouco da complicada linguagem, nota¸co˜es e resultados que caracterizam muitas áreas da matemática. S˜ ao formula¸co˜es simples que podem ser trabalhados com pouca técnica, exigindo imagina¸caõ e criatividade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro n˜ ao existe. E nem est´ a no site da Thesaurus. Recomendar um livro implica dizer como adquirir. O que você diz? Siga em frente com suas idéias. As suas reflex˜ oes iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a própria capa, são uma grande contribui¸caõ para um novo pensar na urgente renova¸caõ da educa¸caõ em todos os n´ıveis. A sua trajetória desde seus estudos, lecionando em condi¸co˜es precárias, e com as dificuldades para publicar o livro é um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente intencional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espa¸co para os executores de idéias de outros. ´ Uma curiosidade: você sabia que o Edouard Lucas, que você cita na p´ agina 393, é quem fez a revis˜ ao técnica para a publica¸caõ p´ ostuma do livro “Mélanges de Calcul Intégral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro havia sido recusado por in´ umeras editoras enquanto ele estava vivo. Muito obrigado. Um abra¸co, Ubiratan

Nota: Como o Prof. Ubiratan n˜ ao estava conseguindo acessar o meu antigo endere¸co eletrˆ onico ([email protected]) ele enviou o email a um seu ex-aluno (saudoso Chateaubriand), colega meu, que me repassou. Leio em uma obra de um eminente matemático: Finalmente, permita-me também dizer que a hist´ oria das idéias é, penso eu, o melhor meio de aprender matem´ atica. Sempre detestei os compêndios. Sempre detestei livros cheios de f´ ormulas, livros secos, opini˜ oes descoradas, sem personalidade! Os livros que eu amava eram livros em que transparece a personalidade do autor, livros com montes de palavras, explica¸ co ˜es e id´ eias, n˜ ao s´ o de f´ ormulas e equa¸ co ˜es!(Gregory Chaitin/METAMAT!)(Grifo nosso) Penso que o presente livro cumpre os requisitos em destaque. Com efeito, n˜ ao apenas em meus livros como também em meus artigos deixo transparecer algo de minha personalidade e, nesta, deliberei cultivar uma pequena nesga de iconoclastia - tanto na plataforma intelectual quanto na espiritual. ´ Nota: Obviamente que seria um direito meu revisar o livro seguindo todas as orienta¸co˜es (cr´ıticas) do referee e submetê-lo novamente à Editora da UNB (ou a uma outra qualquer), decidi n˜ ao fazê-lo pois teria que mudar toda a filosofia do trabalho - j´ a me dou por satisfeito apenas por disponibilizá-lo em minha home-page. Já disse alhures que vejo e trabalho a matemática como uma obra de arte, isto é, considero meu livro uma obra de arte. Assim como n˜ ao teria o menor sentido alguém chegar em frente a um compositor de determinada m´ usica e d´ a palpites para que ele a alterasse (em pontos essenciais); ou, digamos, a um artista plástico para que ele alterasse (em pontos essenciais) uma obra sua, t˜ ao pouco vejo sentido alguém, por exemplo, me sugerir que eu n˜ ao misture matemática com filosofia ou espiritualidade, n˜ ao tem cabimento!

Garimpando P´ erolas “Um exame superficial da matem´ atica pode dar uma impress˜ ao de que ela é o resultado de esfor¸cos individuais separados de muitos cientistas espalhados por continentes e épocas diversas. No entanto, a l´ ogica interna de seu desenvolvimento nos lembra muito mais o trabalho de um u ńico intelecto, desenvolvendo o seu pensamento sistem´ atico e consistentemente, usando a variedade das individualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestra executando uma sinfonia composta por alguém. Um tema passa de um instrumento a outro, e quando chegou a hora de um dos participantes abandonar o tema, ele é substitu´ıdo por outro, que o executa com precis˜ ao irrepreens´ıvel...” I.R. Shafarevich “Nenhuma produ¸c˜ ao de ordem superior, nenhuma inven¸c˜ ao jamais procedeu do homem, mas emanou de uma fonte ultraterrena. Portanto, o homem deveria consider´ a-la um dom inspirado do Alto e aceit´ a-la com gratid˜ ao e venera¸c˜ ao. Nestas circunstˆ ancias, o homem é somente o instrumento de uma Potência Superior, semelhante a um vaso julgado digno de receber um conte´ udo divino”. Goethe “A obten¸c˜ ao de um resultado novo em pesquisa é, para o cientista, uma fonte de intenso prazer, ligado intimamente ao instinto de cria¸c˜ ao e eternidade, pois, independentemente da importˆ ancia da contribui¸c˜ ao no contexto da ciência, ou de sua utiliza¸c˜ ao, representa algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existência na terra”. Pierre Curie (F´ısico) “O que me solicita profundamente na vida é poder colaborar numa obra, numa Realidade, mais dur´ avel do que eu: é nesse esp´ırito e nessa perspectiva que procuro aperfei¸coar-me e dominar um pouco mais as coisas”. Teilhard de Chardin “Sois de tal modo levados a vos tomar por tipos do Universo, que credes sempre que fora do vosso mundo n˜ ao h´ a mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e crêem que o mundo n˜ ao vai mais longe”. O Livro dos M´ ediuns “Eu penso que seria uma aproxima¸c˜ ao relativamente boa da verdade (que é demasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproxima¸c˜ ao) dizer que as idéias matem´ aticas têm a sua origem em situa¸c˜ oes emp´ıricas. . . Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento pr´ oprios governados quase que inteiramente por motiva¸c˜ oes estéticas. . . ”. J. Von Newmann (1903 − 1957) “A matem´ atica é um campo demasiadamente ´ arduo e in´ ospito para agradar ` aqueles a quem n˜ ao oferece grandes recompensas. Recompensas que s˜ ao da mesma ´ındole que as do artista. . . . Acrescenta ainda que é no ato de criar que o matem´ atico encontra sua culminˆ ancia e que ‘nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸c˜ ao técnica pode substituir este momento de cria¸c˜ ao na vida de um matem´ atico, poeta ou m´ usico’ ”. Norbert Wiener “. . . que o meu pensamento quis aproximar-se dos problemas do esp´ırito pela via de uma diversa experimenta¸c˜ ao de car´ ater abstrato, especulativo, resultante das conclus˜ oes de processos l´ ogicos da mais moderna f´ısico-matem´ atica”. Pietro Ubaldi/Ascens˜ oes Humanas

´ uma experiência como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor coisa “E que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em ´ sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na natureza. E surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com o fato de que um construto de nossa pr´ opria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l´ a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande”. Leo Kadanoff “Apenas aqueles que pensam por metades se tornam ateus, aqueles que se aprofundam em seus pensamentos e vêem as maravilhosas rela¸c˜ oes entre as leis universais reconhecem um poder criador”. Max Planck “Um conceito é um estado vibrat´ orio individualizado e delicad´ıssimo que, uma vez perdido, n˜ ao mais se acha nem com a l´ ogica e muito menos com a vontade, n˜ ao retornando sen˜ ao quando excitado por uma conex˜ ao de idéias, isto é, por uma nova passagem pr´ oxima num estado vibrat´ orio afim”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “N˜ ao sabemos sen˜ ao em raz˜ ao da nossa faculdade de recep¸c˜ ao”.

Pit´ agoras

“Tenho agarrado pela garganta as inferiores leis biol´ ogicas da animalidade, para estrangul´ a-las e super´ a-las. Tenho vivido minhas afirma¸c˜ oes como realiza¸c˜ ao biol´ ogica antes de formul´ a-las em palavras”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “A fus˜ ao entre fé e ciência, t˜ ao auspiciada, j´ a se completou em meu esp´ırito: vis˜ ao u ńica na substˆ ancia e de uma a outra eu passo unicamente por uma mudan¸ca de perspectiva visual ou de focaliza¸c˜ ao de meus centros ps´ıquicos ”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “N˜ ao se pode imaginar que tenacidade de resistência, que massa de inércia representa o homem médio, justamente o que imp˜ oe as normas da vida social”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “Um teorema possui vida em abundˆ ancia: nasce, cresce, reproduz-se e . . . n˜ ao morre”. Gentil “O fenˆ omeno baseia-se na sintoniza¸c˜ ao ps´ıquica e a mente do observador, se n˜ ao afasta com suas emana¸c˜ oes um objeto do microsc´ opio, nem influencia um fenˆ omeno f´ısico ou qu´ımico, pode paralisar, todavia, o funcionamento de um fenˆ omeno psiqu´ıco. O fenˆ omeno tem suas defesas e se retira em face da amea¸ca ` a sua vitalidade e, ent˜ ao, a ciência n˜ ao consegue a observa¸c˜ ao, e sim, a destrui¸c˜ ao”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “Para poder avan¸car na investiga¸c˜ ao cient´ıfica e ver no ´ıntimo das coisas, é indispens´ avel a sutiliza¸c˜ ao do instrumento de pesquisa - a consciência”. Pietro Ubaldi/As No´ ures “Como na ciência, também nas religi˜ oes, a investiga¸c˜ ao deveria ser livre, n˜ ao fechada e condenada”. Pietro Ubaldi/A Descida dos Ideais “O homem é o art´ıfice de seu destino: tem que arrostar o esfor¸co de criar a si mesmo”. Pietro Ubaldi/A Grande S´ıntese

Sumário

´ 1 PRE-REQUISITOS 1.1 Elementos de L´ ogica & Demonstra¸co˜es . . . . . 1.1.1 Opera¸co˜es L´ ogicas sobre Proposi¸co˜es . . 1.1.2 Técnicas (Engenharia) de Demonstra¸caõ 1.1.3 Fun¸co˜es Proposicionais/Quantificadores 1.2 Conjuntos, Fun¸co˜es e Fam´ılia de conjuntos . . . 1.3 T´ opicos em Análise . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Teoremas e Defini¸co˜es da Análise Real . 1.3.2 Supremo e Ínfimo . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 A Propriedade de Completeza . . . . . . 1.4 Espa¸cos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Norma/Espa¸cos Vetoriais Normados . . 1.4.2 Espa¸cos Vetoriais com Produto Interno ⊲ Apêndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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17 17 18 22 29 35 54 56 58 64 68 72 75 80

´ 2 ESPAC ¸ OS METRICOS 2.1 Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Medindo distâncias . . . . . . . . . . 2.3 Defini¸caõ de espa¸cos métricos . . . . 2.3.1 Exemplos de espa¸cos métricos 2.3.2 Métricas sobre o R2 . . . . . 2.3.3 Distˆ ancia entre fun¸co˜es . . . 2.3.4 Espa¸cos de C´ odigos . . . . . 2.4 Distˆ ancia entre Ponto e Conjunto . . 2.5 Distˆ ancia entre conjuntos . . . . . . 2.6 Conjuntos limitados − Diˆ ametro . . ⊲ Apêndice: Demonstra¸co˜es . . . . . . . .

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83 83 84 86 87 95 101 108 118 122 124 128

˜ DE ESPAC ´ 3 CONSTRUC ¸ AO ¸ OS METRICOS 3.1 Métricas a Partir de Métricas . . . . . . . . . . 3.2 Subespa¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Métricas Induzidas por Normas . . . . . . . . . 3.4 Métricas Induzidas por Produto Interno . . . . 3.5 Métricas Induzidas Por Fun¸co˜es . . . . . . . . . 3.6 Produto de espa¸cos métricos . . . . . . . . . . .

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143 143 145 146 147 148 151

13

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4 BOLAS ABERTAS 4.1 Defini¸caõ e exemplos . . 4.2 Bolas em subespa¸cos . . 4.3 Bolas no espa¸co produto 4.4 Proposi¸co˜es sobre bolas 4.5 Ponto isolado − Espa¸cos

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159 159 172 176 178 186

¨ ENCIAS ˆ ´ 5 SEQU EM ESPAC ¸ OS METRICOS 5.1 Seq¨ uências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Subseq¨ uências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Seq¨ uências num Espa¸co Produto . . . . . . . . . . . 5.4 A Métrica Divina e o Paradoxo de Zenão . . . . . . 5.5 Seq¨ uências em Espa¸cos Vetoriais Normados . . . . . 5.5.1 Seq¨ uências em R, µ . . . . . . . . . . . . . 5.5.2 Seq¨ uências em Espa¸cos Normados Quaisquer

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195 195 198 199 214 216 243 243 244

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251 251 254 261 268 270 282 285 289 293 298

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . discretos

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´ 6 A TOPOLOGIA DOS ESPAC ¸ OS METRICOS 6.1 Ponto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Ponto fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ponto aderente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Ponto de acumula¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . ⊲ Apêndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸co˜s bin´ arias . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologia quˆ antica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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˜ 7 FUNC ¸ OES CONT´ıNUAS 7.1 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Propriedades das aplica¸co˜es cont´ınuas . . 7.3 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . 7.4 Homeomorfismos − Espa¸cos Homeomorfos 7.5 Métricas Equivalentes . . . . . . . . . . . 7.5.1 Normas Equivalentes . . . . . . . . ⊲ Apêndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Limites em espa¸cos métricos . . . . . . . . . .

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303 319 337 353 360 372 384 386 386

´ 8 ESPAC ¸ OS METRICOS CONEXOS 8.1 Defini¸caõ e Exemplos . . . . . . . . . 8.2 Conexos em R, µ . . . . . . . . . . 8.3 Conexidade por caminhos . . . . . . 8.4 Se¸caõ de Milagres . . . . . . . . . . . 8.5 Componentes Conexas . . . . . . . . ⊲ Apêndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . Topologia quˆ antica . . . . . . . . . . . . Supercordas . . . . . . . . . . . . . . . . Nosso universo e fenômenos n˜ ao-locais .

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395 395 400 407 418 434 438 438 438 439

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´ 9 ESPAC ¸ OS METRICOS COMPLETOS 9.1 Seq¨ uências de Cauchy . . . . . . . . . . 9.2 Espa¸cos métricos completos . . . . . . . 9.3 Espa¸cos de Banach . . . . . . . . . . . . 9.4 Espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . . . . . 9.5 Completamento de Espa¸cos Métricos . . 9.6 Espa¸cos topologicamente completos . . . 9.7 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . ⊲ Apêndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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447 447 454 464 466 477 487 496 499

´ 10 ESPAC ¸ OS METRICOS COMPACTOS 10.1 Cobertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2.1 Caracteriza¸caõ de Compacidade . . . . . . . 10.3 Produto Cartesiano de Conjuntos Compactos 10.3.1 Compactos no Rn . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Distˆ ancia Entre Conjuntos Compactos . . . . . . . . 10.5 N´ umero de Lebesgue Para Coberturas . . . . . . . . 10.6 Espa¸cos Localmente Compactos . . . . . . . . . . . . 10.7 Representa¸co˜es Decimais e Curva de Peano

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501 501 504 516 519 520 521 524 527

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(O Mito das Ambig¨ uidades nas Representa¸c˜ oes Decimais) . . . . . . . 529

10.7.1 A curva de Peano e o quadrado 10.8 O quadrado hiper-m´ agico . . . . . . . 10.9 A curva de Peano no cubo . . . . . . . 10.10 O cubo hiper-m´ agico . . . . . . . . . ⊲ Apêndice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produtos cartesianos infinitos . . . . . . .

hiper-m´ agico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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536 547 552 555 562 562

Resumo das M´ etricas Conjunto

M´ etrica (S´ımbolo)

R

Usual µ “zero-um”

M

[ 0, 1 [

δ Divina (quˆ antica) k Usual (Euclidiana) D1

R2

Da Soma D2 Do M´ aximo D3 Euclidiana D1

Mm×n (R)

B(X,R)

SN

M1 ×M2

µ(x, y)=|x−y|

87

n

1, se e s´ o se x6=y;

δ(x, y)=

88

0, se e s´ o se x=y.

k(x, y)=min

D1 (x, y)=

|x−y|, 1−|x−y|

√

95

D2 (x, y)=|x1 − y1 | + |x2 − y2 |

95

D3 (x, y)=max{ |x1 − y1 |, |x2 − y2 | }

96

D1 (A, B)=

√

(a11 −b11 )2 +···+ (amn −bmn )2

Do M´ aximo D3

D3 (A, B)=max |a11 −b11 |, ... ,|amn −bmn |

Γ

89

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

D2 (A, B)=|a11 −b11 | +···+ |amn −bmn |

Γ(f, g)=

Rb a

|f (x)−g(x)| dx

99

99

99 101

Do M´ aximo Υ

Υ(f, g)=max{ |f (x)−g(x)| : x ∈ [ a, b ]}

102

Do Sup Ψ

Ψ(f, g)=sup{ |f (x)−g(x)| : x ∈ X }

106

Hamming σ

σ(x, y)=n´ umero de posi¸ co ˜es em que x e y diferem entre si.

110

rˆ o ρ tau τ

S∞

P´ ag.

Da Soma D2

Da Integral C[ a, b ]

Defini¸ ca õ

ni ν

P n−1 ·(x −y ) ρ(x, y)=| N n n | n=1 2

τ (x, y)=maior posi¸ ca õ em que x e y diferem entre si.

ν(x, y)=

P∞

n=1

|xn −yn | n 2

q d21 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

113 114

115 151

D1

D1 (x, y)=

D2

D2 (x, y)=d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 )

151

D3

D3 (x, y)=max {d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 )}

151

16

Cap´ıtulo

1

´ PRE-REQUISITOS “Eu disse:

V´ os sois deuses,

e v´ os outros sois todos filhos do Alt´ıssimo.” (Sl 82 : 6)

Introdu¸ c˜ ao: O objetivo deste cap´ıtulo é estabelecer alguns resultados que serão utilizados nos demais cap´ıtulos do livro.

1.1

Elementos de L´ ogica & Demonstra¸c˜ oes

Nesta seçcaõ recordaremos, de modo resumido, alguns conceitos da L´ ogica Matem´ atica. De in´ıcio tecemos algumas considera¸co˜es sobre alguns s´ımbolos, objetivando transferi-los da L´ ogica para o contexto da Matem´ atica. Posteriormente estabeleceremos algumas técnicas de demonstra¸co˜es matemáticas. Proposi¸ c˜ ao: Chamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini¸caõ. ´ o que acontece, por exemplo, com o conceito de proposi¸ca E õ. Portanto, n˜ ao o definiremos. N˜ ao obstante, nada impede que conhe¸camos suas qualidades, tendo em conta que proposi¸caõ é uma senten¸ca declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo; via de regra sendo escrita na linguagem usual ou na forma simb´ olica. Por exemplo, são proposi¸co˜es: π = 1. 2 √ 2) π < 2 2.

1) sen

3) Todo quadrado é um retˆ angulo. 4) Todo retˆ angulo é um quadrado. 17

Dizemos que o valor l´ ogico de uma proposi¸caõ é a verdade (V ) se a proposi¸caõ é verdadeira; é a falsidade (F ) se a proposi¸caõ é falsa. Por exemplo, para as proposi¸co˜es anteriores,temos 1) V

1.1.1

2) F

3) V

4) F

Opera¸c˜ oes L´ ogicas sobre Proposi¸c˜ oes

Faremos um resumo das opera¸co˜es do c´ alculo proposicional também chamadas opera¸co ˜es l´ ogicas. Os principais operadores (conectivos) lógicos são os seguintes: ∨ ∧ ¯ −→ ←→

Disjun¸caõ (“ou”) Conjun¸caõ (“e”) Nega¸caõ Condicional (“se...ent˜ ao”) Bicondicional (“se e somente se”)

cujas tabelas-verdade são dadas a seguir (estas tabelas definem os respectivos operadores): p

q

p∨q

p

q

p∧q

p

p¯

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

F

F

F

F

F

F

p

q

p −→ q

p

q

p ←→ q

p

p¯

q

p¯ ∨q

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

V

Acrescentamos a tabela-verdade da proposi¸caõ p¯ ∨q a qual nos será de grande utilidade. Vamos agora enunciar uma rela¸caõ entre proposi¸co˜es, que se distingue dos operadores, porque n˜ ao cria nova proposi¸caõ. Defini¸ c˜ ao 1 (Implica¸caõ L´ ogica). Diz-se que uma proposi¸ca õ p implica logicamente ou apenas implica uma proposi¸ca õ q, se e somente se, na tabela de p e q, n˜ ao ocorre V F em nenhuma linha, com V na coluna de p e F na coluna de q. Exemplo: Da tabela a seguir inferimos que a proposi¸caõ q n˜ ao implica na proposi¸caõ p ∧ q, ao passo que a proposi¸caõ p ∧ q implica na proposi¸caõ q. p

q

p∧q

q

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

18

Indica-se que a proposi¸caõ p implica a proposi¸caõ q com a nota¸caõ: p =⇒ q. Nota: Os s´ımbolos −→ e =⇒ n˜ ao devem ser confundidos, pois p −→ q é uma proposi¸caõ enquanto p =⇒ q n˜ ao é proposi¸caõ. Isto é análogo ao que acontece com o sinal + e o sinal < na Aritmética: 2 + 5 é um n´ umero e 2 < 5 n˜ ao é um n´ umero. A escolha do conectivo (palavra) “se p ent˜ ao q” para a proposi¸caõ p −→ q, a nosso ver, foi infeliz. De fato, isto induz a que se conclua que a proposi¸caõ q se deduz ou é uma conseq¨ uˆ encia da proposi¸caõ p. Isto n˜ ao se d´ a, por exemplo: √ 5 é um n´ umero ´ımpar −→ 2 é irracional, (Se 5 ´ e um n´ umero ´ımpar ent˜ ao

√ 2´ e irracional)

´ é uma √ proposi¸caõ verdadeira (ver tabela-verdade do condicional). Obviamente ao é conseq¨ uência de 5 ser um n´ umero ´ımpar. que 2 ser irracional n˜ Ao contr´ ario do que acontece na L´ ogica, em Matem´ atica n˜ ao comparece o operador lógico −→, mas apenas =⇒ com os seguintes significados para p =⇒ q: 1) Se p, ent˜ ao q; 2) Se p for verdadeira, ent˜ ao q é verdadeira; 3) p implica q; 4) q é implicada por p; 5) q segue de p; 6) p é uma condi¸caõ suficiente para q; 7) q é uma condi¸caõ necessária para p; ´ imposs´ıvel termos p verdadeira e q falsa simultˆ 8) E aneamente, dentre outros significados poss´ıveis. Neste momento temos uma importante observa¸caõ a fazer: Dos ´ıtens 1) e 3) vemos que a matemática funde (confunde) os s´ımbolos −→ e =⇒. Como sempre, nestes casos, o “galho quebra” do lado do mais fraco: o aluno que ter´ a que distinguir no contexto matemático se o s´ımbolo =⇒ est´ a se referindo a ele próprio ou ao condicional −→. Chama-se tautologia toda proposi¸caõ composta cuja u ´ ltima coluna da sua tabela verdade encerra somente a letra V (verdade). Proposi¸ c˜ ao 1. A proposi¸ca õ p implica a proposi¸ca õ q (isto é, p =⇒ q) se, e somente se, a condicional p −→ q é tautol´ ogica. Prova: p q p −→ q (i) Se p implica q, ent˜ ao, n˜ ao ocorre que os valores lógicos simultˆ aneos destas duas proposi¸co˜es V V V sejam respectivamente V e F , e por conseguinte V F F na u ´ ltima coluna da tabela-verdade da condicional F V V p −→ q consta somente a letra V , logo, esta condiF F V cional é tautol´ ogica. (ii) Rec´ıprocamente, se a condicional p −→ q é tautol´ ogica, ent˜ ao n˜ ao ocorre 19

que os valores lógicos simultˆ aneos das proposi¸co˜es p e q sejam respectivamente V e F , e por conseguinte p implica q. Uma diferen¸ca b´ asica entre proposi¸caõ e teorema é que enquanto é l´ıcito se cogitar do valor lógico de uma proposi¸caõ (isto é, uma proposi¸caõ pode ser verdadeira ou falsa) o mesmo n˜ ao acontece com um teorema, que sempre é verdadeiro. N˜ ao se demonstra teoremas, mas sim proposi¸co˜es. Uma vez demonstrada a veracidade de uma proposi¸caõ: p −→ q, esta adquire status de teorema: p =⇒ q. p q p −→ q Em matemática, para demonstrar-se a validade de uma proposi¸caõ p −→ q assumimos a hipótese V → V V p como sendo verdadeira. Sendo assim podemos V F F nos restringir ` as duas primeiras linhas da tabela F V V verdade do condicional −→. F F V Uma vez assumido p verdadeira se conseguirmos demonstrar a veracidade de q ent˜ ao podemos riscar a segunda linha da tabela verdade do condicional. Após isto a proposi¸caõ p −→ q resulta tautol´ ogica e, por conseguinte, p =⇒ q

Isto é, a proposi¸caõ p −→ q tornou-se o teorema p =⇒ q. Defini¸ c˜ ao 2 (Equivalência L´ ogica). Diz-se que uma proposi¸ca õ p é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposi¸ca õ q, se as tabelasverdade destas duas proposi¸co ˜es s˜ ao iguais. Indica-se que a proposi¸caõ p é equivalente a proposi¸caõ q com a nota¸caõ: p ⇐⇒ q Os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒ n˜ ao devem ser confundidos, pois p ←→ q é uma proposi¸caõ enquanto p ⇐⇒ q n˜ ao é proposi¸caõ. Os argumentos arrolados anteriormente a respeito dos s´ımbolos −→ e =⇒ podem ser adaptados para os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒. A seguir listamos várias maneiras de se formular p ⇐⇒ q em palavras∗: 1) Se p, ent˜ ao q e rec´ıprocamente; 2) Se q, ent˜ ao p e rec´ıprocamente; 3) q é verdadeira se, somente se, p for verdadeira; 4) p implica q e rec´ıprocamente; 5) p é uma condi¸caõ necessária e suficiente para q; 6) q é uma condi¸caõ necessária e suficiente para p; 7) p e q são proposi¸co˜es equivalentes. Dos ´ıtens 1) e 4) acima, vemos que a matemática (con) funde os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒. ∗ Isto

na Matem´ atica, n˜ ao na L´ ogica.

20

Proposi¸ c˜ ao 2. A proposi¸ca õ p é equivalente a ` proposi¸ca õ q (isto é, p ⇐⇒ q) se, e somente se, a bicondicional p ←→ q é tautol´ ogica. Prova: (i) Se p é equivalente a q, ent˜ ao, têm tabelas-verdade iguais, e por conseguinte o valor lógico da bicondicional p ←→ q é sempre V , isto é, esta bicondicional é tautol´ ogica (ver tabela-verdade da bicondicional, pg. 18). (ii) Rec´ıprocamente, se a bicondicional p ←→ q é tautol´ ogica, ent˜ ao, a u ´ ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V , e por conseguinte os valores lógicos respectivos das proposi¸co˜es p e q são ambos V ou ambos F , isto é, estas duas proposi¸co˜es são equivalentes. Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautol´ ogica e vice-versa. Equivalencias Not´ aveis A seguir listamos algumas equivalencias entre proposi¸co˜es, as quais podem ser demonstradas com o aux´ılio das respectivas tabelas-verdade. 1) p¯ ⇐⇒ p

(Dupla Nega¸caõ)

2) Leis Idempotentes a) p ∨ p ⇐⇒ p b) p ∧ p ⇐⇒ p 3) Leis Comutativas a) p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p b) p ∧ p ⇐⇒ q ∧ p 4) Leis Associativas a) p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r b) p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r 5) Leis de De Morgan∗ a) ( p ∨ q ) ⇐⇒ p¯ ∧ q¯ b) ( p ∧ q ) ⇐⇒ p¯ ∨ q¯ 6) Leis Distributivas a) p ∧ ( q ∨ r ) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) b) p ∨ ( q ∧ r ) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ∗ Augustus De Morgan (1806 − 1873) lecionou no University College, Londres. Foi matem´ atico e l´ ogico, e contribuiu para preparar o caminho da L´ ogica matem´ atica moderna.

21

1.1.2

T´ ecnicas (Engenharia) de Demonstra¸c˜ ao

Os problemas em matemática dividem-se em duas classes: Determina¸ c˜ ao: calcule, encontre, ache, determine,. . . Demonstra¸ c˜ ao: mostre, prove, demonstre,. . . Costumo mesmo dizer que a matemática come¸ca com os problemas do segundo tipo. De fato, a resolu¸caõ da maioria dos problemas do primeiro tipo são algoritmicas (mecˆ anicas); enquanto os problemas do segundo tipo exigem muito de criatividade (engenhosidade). Um outro critério que utilizo para distinguir n˜ ao-matem´ atica (algoritmo) de matemática, é que a n˜ ao-matem´ atica é suscept´ıvel de programa¸caõ − a exemplo dos poderosos softwares algébricos − enquanto que a matemática em si (demostra¸co˜es) n˜ ao. Estou propenso a acreditar que podemos ver a maioria dos “objetos” como consistindo de matéria e esp´ırito. Para contextualizar minha tese vejamos alguns exemplos: 1o ) Um computador consiste de hardware e software, o hardware é a parte material e o software é o esp´ırito do computador. 2o ) Uma célula é composta de matéria (é o que os biólogos enxergam ao microscópio) e esp´ırito (software que comanda suas atividades) que os biólogos n˜ ao enxergam ao microscópio. umeros inteiros, são compostos de matéria: 3o ) Os n´ Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} e esp´ırito, que são seus axiomas de manipula¸caõ da matéria (s´ımbolos) tais como: comutatividade, associatividade, elemento neutro, elemento oposto, Princ´ıpio da Boa Ordem, etc. De igual modo, a matemática possui uma parte material (s´ımbolos) e uma parte espiritual (conceitos, idéias), o que se estar a manipular∗ por a´ı é apenas o corpo (cad´ aver) da matemática, seu esp´ırito fica de fora. − Para se lidar com o esp´ırito da matemática (viva) torna-se indispens´ avel o conhecimento de algumas técnicas de demonstra¸caõ. 1. Proposi¸co˜es Aparentadas p −→ q

:

Direta

q −→ p

:

Rec´ıproca

p¯ −→ q¯

:

Contrária

q¯ −→ p¯

:

Contrapositiva (contra-rec´ıproca)

∗ Por a´ ı a que me refiro ´ e a matem´ atica praticada at´ e o ensino m´ edio e em algumas cadeiras da universidade, ´ e uma matem´ atica mecˆ anica, morta. O fato de vocˆ e manusear o controle remoto de sua televis˜ ao n˜ ao significa que vocˆ e compreende como ele funciona. De igual modo, muitos manipulam a matem´ atica sem compreender como ela funciona, ´ e uma matem´ atica sem vida, sem esp´ırito!

22

2. Equivalência Entre Proposi¸co˜es Aparentadas 2.1 A proposi¸caõ direta equivale à contra-rec´ıproca. p −→ q ⇐⇒ q¯ −→ p¯ Para provar isto faremos uso da seguinte identidade: p −→ q = p¯ ∨ q Esta identidade pode ser obtida das respectivas tabelas-verdade. Prova: (i) p −→ q = p¯ ∨ q

(ii) q¯ −→ p¯ = q¯ ∨ p¯ = p¯ ∨ q

Isto significa que as proposi¸co˜es p −→ q e q¯ −→ p¯ assumem sempre os mesmos valores lógicos; isto é, ou são ambas verdadeiras (V ) ou são ambas falsas (F ). Sendo assim acabamos de estabelecer nossa primeira técnica de demonstra¸caõ indireta: (T-1) O teorema direto equivale ao contra-rec´ıproco† ¯ H =⇒ T ⇐⇒ T¯ =⇒ H Enunciemos nossa segunda técnica de demonstra¸caõ indireta: (T-2) Anexa¸caõ ` a hip´ otese da nega¸caõ da tese H =⇒ T ⇐⇒

H ∧ T¯ =⇒ T

Prova: Provemos a seguinte equivalência: p −→ q ⇐⇒ p ∧ q¯ −→ q

De fato,

(i) p −→ q = p¯ ∨ q. (ii) p ∧ q¯ −→ q = (p ∧ q¯) ∨ q = ( p¯ ∨ q¯) ∨ q

= p¯ ∨ q ∨ q = p¯ ∨ q. † H:

¯ Nega¸ca Hip´ otese, T : Tese, H: õ da hip´ otese, T¯ : Nega¸ca õ da tese.

23

(T-3) Redu¸ c˜ ao ao absurdo H =⇒ T ⇐⇒

H ∧ T¯ =⇒ f

Onde: f é uma proposi¸caõ de valor lógico falso (é qualquer contradi¸caõ). Prova: Provemos a seguinte equivalência: p −→ q ⇐⇒ p ∧ q¯ −→ f De fato,

(i) p −→ q = p¯ ∨ q. (ii) p ∧ q¯ −→ f = (p ∧ q¯) ∨ f = (p ∧ q¯)

= p¯ ∨ q¯

= p¯ ∨ q. Nota: Na tabela-verdade da proposi¸caõ p ∨ q vemos que quando o valor lógico de q é F , prevalece o valor lógico de p. Estamos dizendo que p ∨ f = p. Resumindo: Para utilizar esta técnica em uma demonstra¸caõ, devemos anexar à Hip´ otese a nega¸caõ da Tese e devemos exibir, ao final, alguma contradi¸caõ (algum absurdo). Uma Equivalencia Not´ avel Uma das equivalências mais utilizadas em demonstra¸co˜es matemáticas é a que segue (T-4) Teorema com hipótese composta (∧) Se a hip´ otese de um teorema é formada pela conjun¸caõ de duas outras, é válida a seguinte equivalência H1 ∧ H2 =⇒ T ⇐⇒

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Isto é, junta-se a uma das hipóteses a nega¸caõ da tese e demonstrase a nega¸caõ da outra hipótese. Prova: Provemos a seguinte equivalência p ∧ q −→ r ⇐⇒ p ∧ r¯ −→ q¯ De fato, p ∧ q −→ r = (p ∧ q) ∨ r = (¯ p ∨ q¯) ∨ r = p¯ ∨ q¯ ∨ r. 24

Por outro lado, p ∧ r¯ −→ q¯ = (p ∧ r¯) ∨ q¯ = (¯ p ∨ r¯) ∨ q¯

= p¯ ∨ r ∨ q¯. Vejamos alguns exemplos de aplica¸caõ desta equivalência: umeros: Se a divide b e a n˜ ao divide c ent˜ ao b n˜ ao divide c. 1o ) Em teoria dos n´    H1 :   H2 :

a|b ⇒

a6|c

T:

b 6 | c.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Prova: Para algum n1 e algum n2 inteiros, resulta   H :    1     T¯ : Observe que

b = n1 a =⇒ c = n2 b

c c = n2 = b a · n1

c ¯2 = n1 · n2 ≡ H a

2o ) Em Análise: Se a ≤ b e b ≤ a ent˜ ao a = b.    H1 :   H2 :

a≤b b≤a

⇒

T:

a = b.

¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Prova: Suponha a ≤ b e a 6= b, ent˜ ao a < b. 3o ) Em Análise: Se n ∈ N, x ∈ R, e n < x < n + 1, ent˜ ao x 6∈ N.   x>n  H1 : ⇒ T: x 6∈ N.   H2 : x

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2 Prova: Se x > n e x ∈ N ent˜ ao x ≥ n + 1.

4o ) Em Teologia (Unicidade de Deus) Suponhamos que existam dois Deuses D e D′ :   D é Deus  H1 : ⇒ T: D = D′  ′  H2 : D é Deus

Prova: H1 ∧ T¯ : Suponhamos que D é Deus e que D 6= D′ . Ent˜ ao existe algum atributo em D n˜ ao partilhado por D′ , por conseguinte D′ n˜ ao é Deus, o que contraria H2 .

Corol´ ario 1. Jesus Cristo n˜ ao é Deus. Sugest˜ ao: Quando você estudante encontrar-se frente a um teorema tipo H1 ∧ H2 =⇒ T e, após bater o desespero (ou antes mesmo), tente demonstrar o equivalente ¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2 (T-5) O seguinte teorema n˜ ao é raro em matemática: H1 ⇐⇒ H2 =⇒ T ´ um teorema, tipo “se e somente se”, isto é E H1 =⇒ H2 =⇒ T H1 ⇐= H2 =⇒ T Ent˜ ao

(i) H1 =⇒ H2 =⇒ T Observemos que a tese do teorema acima é um outro teorema. Isto significa que assumindo H1 devemos demonstrar H2 =⇒ T . Isto é, devemos mostrar que H2 acarreta T . Ainda, H1 ∧ H2 =⇒ T Esta conclusão pode ser provada assim: H1 −→ H2 −→ T = H¯1 ∨ H2 −→ T = H¯1 ∨ H¯2 ∨ T = (H1 ∧ H2 ) ∨ T

= H1 ∧ H2 −→ T. Portanto subsiste a seguinte equivalência H1 =⇒ H2 =⇒ T ⇐⇒ H1 ∧ H2 =⇒ T 26

(ii) H2 =⇒ T =⇒ H1

Consideremos a contrapositiva: H¯1 =⇒ H2 =⇒ T . Ent˜ ao, ¯2 ∨ T H¯1 −→ H2 −→ T = H¯1 −→ H = H¯1 −→ H2 ∧ T¯

Portanto subsiste a seguinte equivalência (H2 =⇒ T ) =⇒ H1 ⇐⇒ H¯1 =⇒ H2 ∧ T¯

(T-6) Teorema com hip´ otese composta (∨) Se a hip´ otese de um teorema é formada pela disjun¸caõ de duas outras, é válida a seguinte equivalência H1 ∨ H2 =⇒ T ⇐⇒

H1 =⇒ T ∧ H2 =⇒ T

Prova: Provemos a seguinte equivalência p ∨ q −→ r ⇐⇒ p −→ r ∧ q −→ r

De fato,

p ∨ q −→ r = (p ∨ q) ∨ r = (¯ p ∧ q¯) ∨ r = p¯ ∨ r ∧ q¯ ∨ r = p −→ r ∧ q −→ r

(T-7) Teorema com tese composta (∨) Se a tese de um teorema é formada pela disjun¸caõ de duas outras, é válida a seguinte equivalência H =⇒ T1 ∨ T2

⇐⇒

H ∧ T¯1 =⇒ T2

Prova: Provemos a seguinte equivalência

p −→ ( q ∨ r ) ⇐⇒ ( p ∧ q¯ ) −→ r De fato, p −→ ( q ∨ r ) = p¯ ∨ ( q ∨ r ) = ( p¯ ∨ q ) ∨ r = ( p ∧ q¯ ) ∨ r = ( p ∧ q¯ ) −→ r 27

Vejamos um exemplo de aplica¸caõ desta técnica em espa¸cos vetorias. Proposi¸ c˜ ao: Uma igualdade λ u = 0, com λ ∈ R e u ∈ V , só é poss´ıvel se λ = 0 ou u = 0. Prova: Inicialmente vamos reescrever a proposi¸caõ da seguinte forma:   T : λ=0   1 H: λu = 0 ⇒ ou    T2 : u = 0 Temos,

H ∧ T¯1 : λ u = 0 e λ 6= 0.

Sendo assim existe o n´ umero real λ−1 , multiplicando λ u = 0 por λ−1 , obtemos λ−1 ( λ u ) = λ−1 0 ⇒ ( λ−1 · λ )u = 0 ⇒ 1 u = 0 ⇒ u = 0

Resumo das T´ ecnicas de Demonstra¸ c~ oes ¯ H ⇒ T ⇐⇒ T¯ ⇒ H

( T-2 )

H ⇒ T ⇐⇒

( T-3 )

H ⇒ T ⇐⇒ H1 ∧ H2 ⇒ T ⇐⇒

( T-4 )

( T-5 )

( T-6 ) ( T-7 ) ( T-8 )

H1 ⇐⇒ H2 ⇒ T

H1 ∨ H2

(

1

H1 =⇒ H2 ⇒ T

H1 ⇐= H2 ⇒ T

⇒ T ⇐⇒

H ⇒ T1 ∨ T2

H ∧ T¯ ⇒ T H ∧ T¯ ⇒ f ¯ H ∧ T¯ ⇒ H

⇐⇒

H ⇒ T ⇐⇒

(f =absurdo) 2

⇐⇒ H1 ∧ H2 ⇒ T

⇐⇒ H¯1 ⇒ H2 ∧ T¯

H1 ⇒ T ∧ H2 ⇒ T

H ∧ T¯1 ⇒ T2 ¯ H ∧ T¯ ⇒ H

28

Gentil

( T-1 )

Dois outros recursos u ´ teis para a formula¸caõ de defini¸co˜es em matemática são dados a seguir.

1.1.3

Fun¸c˜ oes Proposicionais/Quantificadores

Consideremos as proposi¸co˜es: p : x + 6 < 10, V ( p ) =? q : 2 + 6 < 10, V ( q ) = 1 A proposi¸caõ q, como se vê, é verdadeira, ao passo que nada podemos afirmar sobre o valor lógico de p : V (p) =?; que somente será conhecido quando x for substituido por um n´ umero bem determinado. Neste caso, dizemos que a proposi¸caõ p é uma fun¸ca õ proposicional ( f.p. ) ou ainda, uma senten¸ca aberta. Na fun¸caõ proposicional p(x) : x + 6 < 10 o s´ımbolo x é chamado de variável. Chamamos conjunto universo da vari´ avel ao conjunto das possibilidades que podem substituir a variável na senten¸ca. Denotaremos este conjunto por U. Cada elemeto de U chama-se valor da variável. Algumas vezes o conjunto universo U é imposto pelo contexto e outras vezes pode ser escolhido livremente pelo agente de estudo em quest˜ ao. Exemplos: 1o ) Consideremos a fun¸caõ proposicional p dada por p(x) : x + 6 < 10 Podemos escolher para o conjunto dos valores da variável, por exemplo, um dos seguintes conjuntos: N, Z, Q, R ou {0, 2, 4, 6, . . .} 2o ) Consideremos a fun¸caõ proposicional p dada por p(x) : 1 ≤

x2 − 1 <3 x+1

Neste caso ainda temos uma certa liberdade na escolha do conjunto universo U, sendo que em qualquer escolha n˜ ao deve constar o n´ umero x = −1. Por exemplo, duas escolhas poss´ıveis são U = N e U = Z − {−1}. Conjunto-verdade (da senten¸ca aberta) é o conjunto dos valores da variável para os quais a senten¸ca torna-se verdadeira. Denotaremos este conjunto por V: V = x ∈ U : V p(x) = V

Quantificador universal

Usaremos o s´ımbolo “ ∀ ” , chamado quantificador universal, para exprimir o fato de que “para todo x em um dado conjunto, a proposi¸caõ p(x) é verdadeira”. Uma proposi¸caõ do tipo “Para todo x; p(x)” é simbolicamente escrita como: ∀ x ; p(x). 29

Quantificador existencial No caso de proposi¸co˜es que envolvem expressões do tipo “Existe”, “Há pelo menos um”, “para ao menos um” e “Algum”, usaremos o s´ımbolo “ ∃ ”, chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para pelo ao menos um elemento de um dado conjunto a proposi¸caõ p(x) é verdadeira. Uma proposi¸caõ do tipo “Existe x tal que p(x)” pode ser escrita simbolicamente como: ∃ x ; p(x). Valores l´ ogicos de senten¸ cas quantificadas A senten¸ca ∀ x ; p(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de p(x) e o conjunto universo forem iguais, isto é, V = U (ou se, substituindo de x por cada um dos elementos u do conjunto universo, p(u) é verdadeira) e, falsa quando V 6= U. Na tabela a seguir damos alguns exemplos do que acabamos de definir: ∀ x ; p(x) ∀ x ; x2 −4=0 x2 −4=0

U

V

V (∀ x ; p(x))

{ −2, 2 }

{ −2, 2 }

V

{ −2, 0, 2 }

{ −2, 2 }

F

∀x; x≤0

Z

Z−

F

∀x; x≤0 √ ∀ x ; x2 =x √ ∀ x ; x2 =|x|

Z−

Z−

V

R

R+

F

∀x;

∀x; ∀x;

R

R

V

x2 −1 x+1 =x−1

R−{−1}

R−{−1}

V

x2 −1 x+1 =x−1

N

N

V

A senten¸ca ∃ x ; p(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de p(x) é n˜ ao-vazio, ou seja, V 6= ∅ e, falsa quando V = ∅. Na tabela a seguir damos alguns exemplos do que acabamos de definir: ∃ x ; p(x) ∃ x ; x2 −4=0

U

V

V (∃ x ; p(x))

{ −2, 3 }

{ −2 }

V

x2 +1=0

R

∅

F

∃ x ; x2 +1=0

C

{ −i, i }

V

∃x; x<0

C

∅

F

∃ x ; (−1)·x6=−x √ ∃ x ; x2 6= x

R

∅

F

R

R− ∗

V

∃ x ; |x|=x

{ −1, −2}

∅

F

∃ x ; |x|=−x

{ −1, 2}

∃x;

{ −1}

V

Nega¸ c˜ ao de senten¸ cas quantificadas Já tivemos oportunidade de assinalar a diferen¸ca entre a atividade matemática (engenhosidade) e a atividade algoritmica (mecânica); pois bem, para fazerse matemática (isto é demonstra¸co˜es) o que h´ a de mais importante são as 30

defini¸ co ˜es e, juntamente com estas, suas nega¸co˜es; da´ı a importˆ ancia da nega¸ca õ de senten¸cas quantificadas. Proposi¸ c˜ ao 3 (Nega¸caõ de ∀ x ; p(x)). A seguinte equivalência é v´ alida: ∀ x ; p(x) ⇐⇒ ∃ x ; p(x)

(1.1)

Prova: Mostraremos que as proposi¸co˜es ∀ x ; p(x) e ∃ x ; p(x) são equivalentes mostrando que elas concordam em seus valores lógicos, isto é, V ∀ x ; p(x) = V ∃ x ; p(x) De fato, suponha que ∀ x ; p(x) é verdadeira. Ent˜ ao, ∀ x ; p(x) é falsa e, deste modo, existe u ∈ U de modo que p(u) é falsa. Ent˜ ao, para este elemento p(u) é verdadeira. Sendo assim, ∃ x ; p(x) é verdadeira. ao, ∀ x; p(x) é verdadeira e, deste Suponha agora que ∀ x ; p(x) é falsa. Ent˜ modo, para todo u ∈ U, tem-se p(u) é verdadeira. Ent˜ ao, para todo u ∈ U, tem-se p(u) é falsa. Sendo assim, ∃ x ; p(x) é falsa. Um importante corol´ ario é o que vem dado a seguir: Corol´ ario 2. A seguinte equivalência é v´ alida: ∀ x ; p(x) −→ q(x) ⇐⇒ ∃ x ; p(x) ∧ q(x) Prova: De fato, ∀ x ; p −→ q = ∃ x ; p −→ q = ∃ x ; p ∨ q = ∃ x ; p ∧ q. Deixamos como exerc´ıcio a prova da Proposi¸ c˜ ao 4 (Nega¸caõ de ∃ x ; p(x)). A seguinte equivalência é v´ alida: ∃ x ; p(x) ⇐⇒ ∀ x ; p(x) 31

(1.2)

Valores l´ ogicos de senten¸ cas quantificadas de duas vari´ aveis Seja p(x, y) uma senten¸ca aberta (ou fun¸caõ proposicional) com duas variáveis. Inicialmente observamos que, n˜ ao necessáriamente, as variáveis envolvidas têm o mesmo conjunto universo. Na “pr´ atica” é freq¨ uente que estes conjuntos sejam distintos. Assim é que os denotaremos por: Ux e Uy . Por exemplo, para a senten¸ca p(x, y) :

x2 − 1 y 2 − 1 + <0 x+1 y−1

os respectivos conjuntos universos são necessáriamente distintos, podendo ser, por exemplo: Ux = R − {−1} e Uy = R − {1}.

Obs: Quando em um dado contexto citarmos apenas um conjunto universo, significa que este é o mesmo para as duas variáveis, isto é, Ux = Uy . a) A senten¸ca ∀ x ∀ y ; p(x, y). A senten¸ca ∀ x ∀ y ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, para toda substitui¸caõ de x por elementos a de Ux e y por elementos b de Uy , p(a, b) é verdadeira. Exemplo: A senten¸ca ∀ x ∀ y ; x · y = y · x, é verdadeira com os conjuntos universo Ux = N e Uy = Z; mas n˜ ao com os conjuntos universo Ux = M2 (N)= conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, com elementos naturais e Uy = M2 (Z)= conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, com elementos inteiros. Por exemplo, para 1 0 0 −1 x= , y= , 0 2 1 0 temos x · y 6= y · x. Exemplo: A senten¸ca ∀ x ∀ y ; x2 < y, com os conjuntos universo Ux = { −1, 0, 1} e Uy = { 1, 2} é falsa, porquanto substituindo x por −1 e y por 1, a senten¸ca (−1)2 < 1 resulta falsa. b) A senten¸ca ∃ x ∃ y ; p(x, y). A senten¸ca ∃ x ∃ y ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, p(a, b) é verdadeira. para alguma substitui¸caõ de x por um elemento a de Ux e y por um elemento b de Uy . Exemplo: A senten¸ca ∃ x ∃ y ; x · y = y · x, é verdadeira com os conjuntos universo Ux = M2 (N) e Uy = M2 (Z). Por exemplo 1 0 0 −1 x= , y= , 0 1 1 0 32

são tais que x · y = y · x. Exemplo: A senten¸ca ∃ x ∃ y ; x2 < y, com o conjunto universo { −1, 0, 1} é verdadeira, porquanto substituindo x por 0 e y por 1, a senten¸ca 02 < 1 resulta verdadeira. Exemplo: A senten¸ca x √ ∃ x ∃ y ; = 2, y com o conjunto universo Z é falsa. c) A senten¸ca ∀ x ∃ y ; p(x, y). A senten¸ca ∀ x ∃ y ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, para toda substitui¸caõ de x por elementos a de Ux , a senten¸ca (de uma u ´ nica variável) ∃ y ; p(a, y) é verdadeira. Exemplo: A senten¸ca ∀x ∃y; x + y = 0 é verdadeira com o conjunto universo { −1, 0, 1}, porquanto ∃ y; ∃ y; ∃ y;

−1 + y = 0 0+y =0 1+y =0

(V ; y = 1) (V ; y = 0) ( V ; y = −1 )

Exemplo: A senten¸ca ∀x ∃y; y < x é falsa com o conjunto universo { 0, 1, 2}. Note que: ∃ y; ∃ y; ∃ y;

y<2 y<1 y<0

( V ; y = 0, ou 1 ) (V ; y = 0) (F; V = ∅)

d) A senten¸ca ∃ y ∀ x ; p(x, y). A senten¸ca ∃ y ∀ x ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, a senten¸ca (de uma u ´ nica variável) ∀ x ; p(x, b) é verdadeira para alguma substitui¸caõ de y por um elemento b do conjunto universo Uy . Exemplo: A senten¸ca ∃ y ∀ x ; |x| + |y| = 1 é verdadeira com os conjuntos universo Uy = {−1, 0, 1} e Ux = {−i, i, −1, 1}, porquanto a senten¸ca ∀ x ; |x| + |0| = 1 é verdadeira. Exemplo: A senten¸ca 33

∃y ∀x; y > x é falsa com o conjunto universo { −1, 0, 1}, porquanto cada uma das senten¸cas ∀ x; ∀ x; ∀ x;

−1 > x 0>x 1>x

é falsa. Exemplo: A senten¸ca ∃y ∀x; y ≥ x é verdadeira com o conjunto universo { −1, 0, 1}. Note que: ∀ x; ∀ x; ∀ x;

−1 ≥ x 0≥x 1≥x

( F ; x = 0, ou 1) (F; x = 1) (V ; y = 1)

Nega¸ c˜ ao de senten¸ cas quantificadas de duas vari´ aveis Observe que, por defini¸caõ, ∀ x ∃ y ; p(x, y) = ∀ x ; ∃ y ; p(x, y)

∀ x ∃ y ; p(x, y) = ∀ x ; ∃ y ; p(x, y)

Por conseguinte,

= ∃ x ; ∃ y ; p(x, y) = ∃ x ∀ y ; p(x, y)

Isto é, ∀ x ∃ y ; p(x, y) = ∃ x ∀ y ; p(x, y) Similarmente, ∃ x ∀ y ; p(x, y) = ∃ x ; ∀ y ; p(x, y)

∃ x ∀ y ; p(x, y) = ∃ x ; ∀ y ; p(x, y)

Por conseguinte,

= ∀ x ; ∀ y ; p(x, y) = ∀ x ∃ y ; p(x, y) Isto é, ∃ x ∀ y ; p(x, y) = ∀ x ∃ y ; p(x, y)

34

1.2

Conjuntos, Fun¸ c˜ oes e Fam´ılia de conjuntos

O objetivo desta se¸caõ será um breve resumo de fun¸co˜es e fam´ılia de conjuntos para futuras referências. Conjunto, Elementos O conceito de conjunto comparece em todos os ramos da Matem´ atica. Intuitivamente, um conjuto é qualquer cole¸caõ bem definida de objetos. Os conjuntos são designados por letras latinas mai´ usculas: A, B, C, . . . , X, Y, Z. Os objetos que constituem um conjunto chamam-se elementos do conjunto e serão designados por letras latinas min´ usculas: a, b, c, . . . , x, y, z. A afirma¸caõ “p é elemento de A” ou, de modo equivalente, “p pertence a A”, escreve-se p∈A A nega¸caõ de p ∈ A escreve-se p 6∈ A. S˜ ao duas as principais maneiras de se especificar - descrever - um dado conjunto. A primeira consiste em enumerar (evidentemente quando isto é poss´ıvel) seus elementos entre chaves e separados por v´ırgula. Por exemplo, A = {1, 2, 3, 4, 5} A segunda consiste em dar (sem ambig¨ uidade) uma propriedade - proposi¸caõ caracterizando todos os seus elementos. Por exemplo, B = {x : x é uma vogal} (lê-se: “B é o conjunto dos elementos x tais que x é uma vogal.”) Como mais um exemplo, C = {x : x é um n´ umero natural par} Subconjuntos Um conjunto A é dito subconjunto de B, escrevendo-se A ⊂ B ou B ⊃ A se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B. Em S´ımbolos, A ⊂ B ⇐⇒ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B. Nota: A 6⊂ B quando existe um elemento em A que n˜ ao pertence a B. Por exemplo, consideremos os conjuntos A = {1, 3, 5, 7, . . .}, B = {2, 3, 5, 7, . . .} C = {4n − 1 : n ∈ N} = {3, 7, 11, . . .} 35

Temos C ⊂ A, porquanto todo elemento de C é um n´ umero ´ımpar; por outro lado B 6⊂ A, porquanto 2 ∈ B e 2 6∈ A. Observe que, segundo a defini¸caõ de subconjunto, o conjunto dos n´ umeros reais n˜ ao é subconjunto do conjunto dos n´ umeros complexos. Isto é, R 6⊂ C. Isto porque os elementos de C são pares ordenados de n´ umeros reais. De outro modo: os elementos destes conjuntos são de naturezas distintas. Por exemplo, (1, 3), (−1, 2), (3, 0) ∈ C; √ 2, 3, π ∈ R. Reiteramos: N˜ ao h´ a um u ´ nico n´ umero real que também seja um n´ umero complexo. Igualdade de Conjuntos Defini¸ c˜ ao 3. Dois conjuntos A e B s˜ ao iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. Das defini¸co˜es dadas até aqui decorre o seguinte Teorema 1. Se A, B e C s˜ ao conjuntos quaisquer, ent˜ ao (i) (ii) (iii)

A ⊂ A; se A ⊂ B se A ⊂ B

B ⊂ A =⇒ A = B; B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.

e e

Importante! Uma observa¸caõ importante − e oportuna −: quando devemos mostrar que dois conjuntos A e B são iguais, esta prova deve ser feita em duas etapas: primeiro provamos que A ⊂ B e, para isto, devemos tomar um elemento arbitrário em A e mostrar que este elemento também est´ a em B; segundo, provamos que B ⊂ A, desta vez tomamos um elemento arbitrário de B e mostramos que este elemento também est´ a em A. Conjunto Vazio e Conjunto Universo Para que possamos criar uma “´ algebra” de conjuntos - o que faremos logo mais - é conveniente introduzir o conceito de conjunto vazio, como sendo o conjunto desprovido de qualquer elemento. Este conjunto é denotado pelo s´ımbolo ∅. Em toda aplica¸caõ da Teoria dos Conjuntos, todos os elementos e subconjuntos em considera¸caõ est˜ ao em um conjunto fixo. Este conjunto fixo chama-se conjunto universo, e design´ a-lo-emos pela letra U . Amiude, a solu¸caõ de um problema depende do conjunto universo fixado. Por exemplo, para conjunto solu¸caõ da equa¸caõ 3x = 2, temos: Se Se Se Se

U U U U

=N =Z =Q =R

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 36

S S S S

=∅ = ∅ = 2/3 = 2/3

Para conjunto solu¸caõ da equa¸caõ 2x3 − x2 + 2x − 1 = 0, temos: Se Se Se Se Se

U U U U U

=N =Z =Q =R =C

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

S S S S S

Opera¸ co ˜es com conjuntos

=∅ =∅ = {1/2} = {1/2} = − i, i, 1/2

Introduziremos agora alguns métodos de constru¸caõ de novos conjuntos, a partir de conjuntos dados. Defini¸ c˜ ao 4 (União). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A uni˜ ao de A com B é o subconjunto de U , indicado por A∪B, assim determinado: A ∪ B = x ∈ U : x ∈ A ou x ∈ B A opera¸caõ de uni˜ ao goza das seguintes propriedades: N N N N N

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A∪B = B∪A A∪∅ =A A∪U =U A∪A= A

(associativa) (comutativa) (elemento neutro) (Identidade) (Idempotência)

Defini¸ c˜ ao 5 (Interseçcaõ). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A interseç c˜ ao de A com B é o subconjunto de U , indicado por A ∩ B, assim determinado: A∩B = x∈U: x∈A e x∈B A opera¸caõ de interseçcaõ goza das seguintes propriedades: N N N N N

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A∩B =B ∩A A∩∅ = ∅ A∩U = A A∩A =A

(associativa) (comutativa) (absor¸caõ) (Identidade) (Idempotência)

As opera¸co˜es de uni˜ ao e interseçcaõ est˜ ao relacionadas através das propriedades distributivas: N N

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Defini¸ c˜ ao 6 (Complementa¸caõ). Para cada subconjunto A ⊂ U , indica-se por A ∁U e chama-se complementar de A em rela¸ca õ a U , o seguinte subconjunto de U : A ∁U = x ∈ U : x 6∈ A Nota: Quando, em um determinado contexto, o conjunto U estiver fixado, A a nota¸caõ ∁U será simplificada para Ac . 37

Defini¸ c˜ ao 7 (Diferen¸ca). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A diferen¸ ca entre A e B é o subconjunto de U , indicado por A − B, assim determinado: A − B = x ∈ U : x ∈ A e x 6∈ B ´ f´ E acil comprovar a seguinte identidade

A − B = A ∩ Bc A seguir relacionamos algumas propriedades envolvendo as opera¸co˜es de complementa¸caõ e diferen¸ca (para subconjuntos de um dado conjunto U ): N ∅c = U e c N Ac = A

Uc = ∅

N A ∩ Ac = ∅ e A ∪ Ac = U c c N A ∪ B = Ac ∩ B c ; A ∩ B = Ac ∪ B c N A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C) A

N Se A ⊂ B, ent˜ ao ∁B = Ac ∩ B. Proposi¸ c˜ ao 5. Os conjuntos A ∩ B e A − B s˜ ao disjuntos e A = (A ∩ B) ∪ (A − B) Prova: Suponhamos que exista x ∈ A ∩ B e x ∈ A − B. A primeira asser¸caõ nos diz que x ∈ A e x ∈ B, o que contradiz a segunda. Logo, os conjuntos são disjuntos. (⊂) Inicialmente mostremos que (ver Importante, pg. 36) A ⊂ (A ∩ B) ∪ (A − B) De fato, Seja x ∈ A, ent˜ ao ou x ∈ B ou x 6∈ B. No primeiro caso, x ∈ A e x ∈ B sendo assim x ∈ A ∩ B. No segundo caso, x ∈ A e x 6∈ B sendo assim x ∈ A − B. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. (⊂) Resta mostrar que (A ∩ B) ∪ (A − B) ⊂ A De fato, seja y ∈ (A ∩ B) ∪ (A − B), ent˜ ao ou y ∈ A ∩ B ou y ∈ A − B. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. Proposi¸ c˜ ao 6. Se A, B e C s˜ ao conjuntos quaisquer, ent˜ ao A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)

A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)

Prova: Provaremos a primeira identidade, deixando a segunda como exerc´ıcio. (⊂) Inicialmente mostremos que A − (B ∩ C) ⊂ (A − B) ∪ (A − C) 38

De fato, seja x ∈ A − (B ∩ C), ent˜ ao x ∈ A e x 6∈ B ∩ C; logo x ∈ A e x 6∈ B ou x 6∈ C, por conseguinte x ∈ A − B ou x ∈ A − C. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. (⊂) Resta mostrar que (A − B) ∪ (A − C) ⊂ A − (B ∩ C) De fato, seja y ∈ (A − B) ∪ (A − C), ent˜ ao ou y ∈ A − B ou y ∈ A − C. Sendo assim y ∈ A e y 6∈ B ou y ∈ A e y 6∈ C; logo y ∈ A e y 6∈ B ∩ C, do que decorre nossa tese. Produto Cartesiano de Conjuntos Daremos agora mais um método de constru¸caõ de conjuntos, a partir de conjuntos dados: O produto cartesiano∗. Defini¸ c˜ ao 8 (Produto Cartesiano). Sejam A e B dois conjuntos n˜ ao vazios. O produto (cartesiano) de A e B, denotado por A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a ∈ A e b ∈ B, isto é: A × B = (a, b) : a ∈ A e b ∈ B Nota: Esta defini¸caõ é um tanto informal, já que n˜ ao definimos a priori o que vem a ser um “par ordenado”. A propriedade fundamental destes entes é a que segue: (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d.

O produto de um conjunto A por si próprio, isto é, A × A, representa-se por A2 . Por exemplo, R × R = R2 = (a, b) : a ∈ R e b ∈ R R

6

r(a,b)

b

(0,0)

a

-R

O produto de três conjuntos A, B e C - n˜ ao vazios - se define como A×B×C = A×B ×C = (a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C

O produto de n conjuntos A1 , A2 , . . . , An é definido, por indu¸caõ, como segue: A1 × A2 × · · · × An = A1 × A2 × · · · × An−1 × An = (x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An

∗ Ren´ e Descartes (1596 − 1650), criador da geometria anal´ıtica, foi um nobre francês, soldado, matem´ atico, e um dos maiores fil´ osofos de todos os tempos.

39

Sejam E1 , E2 , . . . , En conjuntos quaisquer. Para cada ´ındice i (1 ≤ i ≤ n) sejam Ai e Bi subconjuntos quaisquer de Ei . Colocamos, por defini¸caõ: A1 × A2 × · · · × An = ∅ ⇐⇒ ∃ i ∈ {1, 2, . . . , n} : Ai = ∅. Se Ai 6= ∅ (i = 1, 2, . . . , n), deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que (i) A1 × · · · × An ⊂ B1 × . . . × Bn ⇐⇒ A1 ⊂ B1 , . . . , An ⊂ Bn . (ii)

A1 × · · · × An ∩ B1 × . . . × Bn = (A1 ∩ B1 ) × · · · × (An ∩ Bn ).

Fun¸ co ˜es/Aplica¸ co ˜es/Transforma¸ co ˜es

O conceito de fun¸caõ é de fundamental importˆ ancia uma vez que comparece impl´ıcita ou expl´ıcitamente - em todos os ramos da ciência. Práticamente todas as equa¸co˜es algébricas que comparecem na F´ısica, Biologia, Qu´ımica, Economia, Eletricidade, etc.; podem ser estudadas dentro do contexto de fun¸co˜es. Por exemplo: 1. Na F´ısica (i) P V = N R T (ii) S = S0 + v0 t + 12 t2 (iii) m =

m0 r

1−

(iv) E = m c2

v c

2

2. Na Eletricidade ℓ πr2 1 √ (ii) f0 = 2π LC

(i) R = ρ

3. Em Comunica¸caõ   t < 0; 0, f (t) = A 1 − e−t/RC , 0 < t < τ;   A 1 − e−τ /RC e−(t−τ )/RC , t > τ.

O conceito de fun¸caõ - como o entendemos hoje - veio evoluindo ao longo do tempo, sendo formalizado durante o século XIX. Na época de Euler† , fun¸caõ significava, em geral, aquelas que podiam ser expressas por uma equa¸caõ entre x e y, tais como: y = x3 − 2x2 + 5. Por exemplo a equa¸caõ dada por (sinal de x) † Leonard Euler (1707 − 1783), natural de Basil´ eia, Su´ı¸ca, estudou com Jo˜ ao Bernoulli. Residiu muitos anos em S˜ ao Petersburgo (hoje Leningrado), mas sua estada ali foi interrompida por um per´ıodo de 25 anos em Berlim. N˜ ao obstante ter sido pai de treze filhos e apesar de ter ficado cego, escreveu cerca de oitocentos “papers” e livros, tendo dado contribui¸co ˜es fundamentais a todos os ramos da matem´ atica.

40

R

6 1

sign(x)=

8 > > > > <

s

1, se x > 0; 0, se x = 0; > > > > :−1, se x < 0.

-R

−1

bem como aquela dada no ´ıtem 3. (Comunica¸caõ) n˜ ao representavam fun¸co˜es. Como vemos, a exigência de que uma fun¸caõ seja dada por uma equa¸caõ é bastante restritiva. Com a necessidade crescente - e premente - de resolver-se problemas de outras áreas - F´ısica por exemplo - é que surgiu a necessidade de se ampliar o conceito de fun¸caõ de modo a incluir uma classe bem maior de tais entes. Defini¸ c˜ ao 9 (Transforma¸caõ). Dados dois conjuntos A e B, ambos n˜ ao vazios, uma transforma¸ c~ ao de A em B é uma lei pela qual a cada elemento de A associa-se um u ńico elemento de B. Se f indica essa lei e x representa um elemento genérico de A, ent˜ ao o (´ unico) elemento de B associado a x é representado por f (x) (lemos “f de x”) e se denomina imagem de x por f . A

B f

x t

t f (x)

O conjunto A é o dom´ınio e o conjunto B é o contradom´ınio da transforma¸caõ f. Alternativamente, podemos representar uma transforma¸caõ f de A em B, assim: f: A x

B 7→ f (x)

Nota: Os termos fun¸ c~ ao e aplica¸ c~ ao são sinˆ onimos da palavra transforma¸ca õ, embora alguns autores prefiram reservar a palavra “fun¸caõ” para se referir a aplica¸co˜es de valores reais ou complexos. Exemplos 1. Na F´ısica (i) A press˜ ao de um g´ as pode estar em fun¸caõ da temperatura ou em fun¸caõ do volume (ou de ambos): P (T ) =

N RT N RT ; P (V ) = ; V V 41

P (V, T ) =

N RT . V

(ii) A posi¸caõ de um móvel é fun¸caõ do tempo: 1 S(t) = S0 + v0 t + t2 2 (iii) A massa é fun¸caõ da velocidade: m0 m(v) = q 2 1 − vc

(iv) A energia é fun¸caõ da massa:

E(m) = m c2 2. Na Eletricidade (i) A resistência de um condutor (cil´ındrico) é fun¸caõ do seu comprimento ou do raio de sua se¸caõ transversal (ou de ambos): R(ℓ) = ρ

ℓ ℓ ℓ ; R(r) = ρ 2 ; R(r, ℓ) = ρ 2 . πr2 πr πr

(ii) Em um receptor (rádio, TV, etc.) a freq¨ uência de ressonˆ ancia é fun¸caõ da indutância (L) ou da capacitância (C) (ou de ambas): f0 (L) =

1 1 1 √ √ ; f0 (C) = √ ; f0 (L, C) = . 2π LC 2π LC 2π LC

3. Na Matem´ atica Financeira O juro é fun¸caõ do capital (C) ou do tempo (t) (ou de ambos): a) Juros simples j(C) = C · i · t; j(t) = C · i · t; j(C, t) = C · i · t. b) Juros compostos j(C) = C[(1 + i)t − 1]; j(t) = C[(1 + i)t − 1]. 4. Na Geometria (i) A ´ area de um c´ırculo é fun¸caõ do raio: q

A : [0,+∞[ −→ [0,+∞[ r 7−→ πr 2

r տA(r)=πr2

(ii) A ´ area de um retˆ angulo é fun¸caõ da base ou da altura (ou de ambas): ⊤ h ⊥

↑ h ↓

A : [0,+∞[ −→ [0,+∞[ b 7−→ A(b)=b h

←− b −→ 42

A : [0,+∞[×[0,+∞[ −→ [0,+∞[ (b, h) 7−→ A(b, h)=b h

←− b −→

Imagem de um Conjunto Via Transforma¸c˜ ao Sejam f : A → B uma transforma¸caõ e X ⊂ A. Vamos reunir em um mesmo subconjunto de B todos os elementos que são imagem, por f , dos elementos de X. Formalizando, temos Defini¸ c˜ ao 10 (Imagem de Conjunto). Consideremos uma transforma¸ca õ f : A → B. Dado um subconjunto X ⊂ A, chama-se imagem de X por f , e indica-se por f (X), o seguinte subconjunto de B: f (X) = f (x) : x ∈ X A

X

sx

B

s

f

s

f (X)

f (x)

x′

s

f (x′ )

Se X = A, ent˜ ao f (A) recebe o nome de imagem de f e a nota¸caõ será Im f . Portanto, Im f = { f (x) : x ∈ A } (1.3) Exemplos: 1) Consideremos a fun¸caõ f : R −→ R dada por f (x) = x2 . Seja X = {−2, −1, 0, 1, 2}. Ent˜ ao f (X) = f (x) : x ∈ X = f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2) = 4, 1, 0, 1, 4 = 0, 1, 4 Consideremos agora os seguintes subconjuntos do dom´ınio: Y = [−2, −1] e X = [1, 2]. Sendo assim teremos f (X) = f (Y ) = [1, 4] conforme dedu¸caõ seguinte. f (x)

6 1≤ x ≤2 ⇒ 12 ≤ x·x ≤22

−2≤ x ≤−1 ⇒ 2≥ −x ≥1 ⇒ 1≤ −x ≤2 ⇒

12 ≤ −x·(−x) ≤22

⇒

1≤ x2

f (Y )=[1, 4]

ց

≤4

⇒ 1≤ x2 ≤4

f (X)=[1, 4] 4

ւ

⇒ 1≤ f (x) ≤4

1

⇒ 1≤ f (x) ≤4

]

[

−2

−1 Y

43

0

]

[2

1

X

-x

2) Consideremos a fun¸caõ f : R −→ R dada por f (x) = sign(x) (pg. 41). Sendo assim temos, por exemplo X = {0} ⇒ f (X) = f (x) : x ∈ {0} = {0} Y = [−2, −1] ⇒ f (Y ) = f (x) : x ∈ [−2, −1] = {−1} Z = [−1, 1] ⇒ f (Z) = f (x) : x ∈ [−1, 1] = {−1, 0, 1} W = [1, 2] ⇒ f (W ) = f (x) : x ∈ [1, 2] = {1} Qualidades de Uma Transforma¸ c˜ ao

Uma transforma¸caõ F : U → V se diz injetora se, para quaisquer x, y ∈ U , x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y). ou, de modo equivalente∗ f (x) = f (y) =⇒ x = y. Uma transforma¸caõ F : U → V se diz sobrejetora se Im(f ) = B; isto é ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : f (x) = y. Uma aplica¸caõ f : A −→ B ao mesmo tempo injetora e sobrejetora chama-se bijetora. Propriedades das Imagens Diretas Proposi¸ c˜ ao 7. Seja f : A −→ B, e sejam X, Y ⊂ A. Temos: (a) Se X ⊂ Y , ent˜ ao f (X) ⊂ f (Y ). (b) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).

(c) f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ). (d) f (∅) = ∅.

(e) f (X − Y ) ⊂ f (X). Prova: (ver Importante, pg. 36) (a)

(b)

Seja

Seja

f (x) ∈ f (X)

⇒

⇒

f (x) ∈ f (X ∪ Y )

x∈X

f (x) ∈ f (Y )

⇒

x∈Y

f (X) ⊂ f (Y ).

⇒

x∈ X ∪Y

⇒

f (x) ∈ f (X) ou f (x) ∈ f (Y )

⇒

⇒

⇒

∗ Ver

⇒

(T − 1), pg. 23.

44

x ∈ X ou x ∈ Y

f (x) ∈ f (X) ∪ f (Y ).

f (X ∪ Y ) ⊂ f (X) ∪ f (Y ).

Análogamente se mostra a inclusão contrária. (c)

f (x) ∈ f (X ∩ Y )

Seja

⇒

x∈ X ∩Y

⇒

f (x) ∈ f (X) e f (x) ∈ f (Y )

⇒

⇒

⇒

(d) f (∅) =

x∈X ex∈Y

f (x) ∈ f (X) ∩ f (Y ).

f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ).

f (x) : x ∈ ∅

= ∅.

(e) decorre de (a). Para mostrar que a inclusão contrária em (c) n˜ ao vale, consideremos a fun¸caõ do exemplo 1) (pg. 43). Observe que X = [1, 2] e Y = [−2, −1] ⇒ X ∩ Y = ∅

⇒ f (X ∩ Y ) = ∅.

por outro lado, f (X) ∩ f (Y ) = [1, 4] ∩ [1, 4] = [1, 4] ⇒ f (X) ∩ f (Y ) 6⊂ f (X ∩ Y ). Esta inclusão n˜ ao se verifica precisamente por ser f uma fun¸caõ n˜ ao injetora: Se f é injetora, ent˜ ao f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ). De fato, seja z ∈ f (X) ∩ f (Y ), logo, existem x ∈ X e y ∈ Y tais que z = f (x) = f (y). Pela injetividade de f concluimos que x = y ∈ X ∩ Y . Donde z ∈ f (X ∩ Y ). Como a inclusão contrária vale para f qualquer, fica provada a igualdade. Imagem Inversa de Conjunto Via Aplica¸ c˜ ao Sejam f : A −→ B uma aplica¸caõ e Y ⊂ B. Vamos reunir em um mesmo conjunto todos os elementos de A cujas imagens, por f , pertencem a Y . Formalizando, temos Defini¸ c˜ ao 11 (Imagem Inversa). Consideremos uma aplica¸ca õ f : A −→ B. Dado um subconjunto Y ⊂ B, chama-se imagem inversa de Y por f , e indicase por f −1 (Y ), o seguinte subconjunto de A: f −1 (Y ) = x ∈ A : f (x) ∈ Y A f −1 (Y

)

sx

B s

f

f (x)

45

Y

Observa¸ c˜ ao: N˜ ao confundir a nota¸caõ f −1 (Y ) com a da fun¸caõ inversa. Dada uma fun¸caõ f qualquer, a fun¸caõ inversa nem sempre existe, mas f −1 (Y ) sempre existe, podendo ser f −1 (Y ) = ∅. Todavia, se f −1 existe, ent˜ ao f −1 (Y ) −1 é a imagem direta de Y pela f . Exemplos: Consideremos a fun¸caõ f : R −→ R dada por f (x) = x2 . a) Seja Y =

0, 1, 4 . Ent˜ ao

f −1 (Y ) =

x ∈ A : f (x) ∈ Y

x ∈ R : f (x) ∈ { 0, 1, 4 } = x ∈ R : x2 ∈ { 0, 1, 4 } = {−2, −1, 0, 1, 2} =

Portanto,

f −1 { 0, 1, 4 } = {−2, −1, 0, 1, 2 }.

b) Seja agora Y = [1, 4]. Ent˜ ao,

f −1 (Y ) =

x ∈ A : f (x) ∈ Y

x ∈ R : f (x) ∈ [1, 4] = x ∈ R : x2 ∈ [1, 4] =

Resolvendo a dupla desigualdade: 1 ≤ x2 ≤ 4 ⇐⇒ x2 ≥ 1 e x2 ≤ 4.

encontramos

f −1 [1, 4] = [−2, −1] ∪ [1, 2]. f (x)

x2 ≥ 1 ⇒ x2 −1 ≥ 0

6

x2 ≤ 4 ⇒ x2 −4 ≤ 0

Y =[1, 4]

ց

⇒ x ∈ ]−∞, −1]∪[1, +∞[

⇒ x ∈ [−2, 2]

4

1

]

[

−2

−1

0

]

1

[2

-x

տ f −1 (Y ) ր Figura 1.1: Imagem inversa de Y por f . c) Seja agora Y = [−1, −2]. Ent˜ ao, −1 f (Y ) = x ∈ A : f (x) ∈ Y = x ∈ R : f (x) ∈ [−1, −2] = x ∈ R : x2 ∈ [−1, −2] . 46

Portanto, f −1 [−1, −2] = ∅. d) Seja f : R −→ R dada por f (x) =

(

1, se x ∈ Q; 0, caso contrário.

Seja Y ⊂ R, com um pouco de racioc´ınio, o   ∅, se 1 6∈ Y     Q, se 1 ∈ Y f −1 (Y ) =  R − Q, se 1 6∈ Y     R, se 1 ∈ Y

leitor h´ a de concordar que e 0 6∈ Y ;

e 0 6∈ Y ;

e 0∈ Y;

e 0 ∈ Y.

Por exemplo,

f −1 ] − 1, 1[ = R − Q f −1 ] − 1, 1] = R f −1

1 3 =Q , 2 2

Propriedades das Imagens Inversas Proposi¸ c˜ ao 8. Seja f : A −→ B, e sejam X, Y ⊂ B. Temos: (a) Se X ⊂ Y , ent˜ ao f −1 (X) ⊂ f −1 (Y ).

(b) f −1 (X ∪ Y ) = f −1 (X) ∪ f −1 (Y ).

(c) f −1 (X ∩ Y ) = f −1 (X) ∩ f −1 (Y ). c (d) f −1 (X c ) = f −1 (X) . (e) f (X − Y ) = f −1 (X) − f −1 (Y ).

Deixamos a prova desta proposi¸caõ como exerc´ıcio. Proposi¸ c˜ ao 9. f (X) ⊂ Y

⇐⇒ X ⊂ f −1 (Y ).

Prova: (⇒) De fato, Dado x ∈ X ⇒ f (x) ∈ f (X) ⇒ f (x) ∈ Y ⇒ x ∈ f −1 (Y ). (⇐) Seja f (x) ∈ f (X) ⇒ x ∈ X ⇒ x ∈ f −1 (Y ) ⇒ f (x) ∈ Y. Vamos agora relacionar as imagens direta e inversa. 47

Proposi¸ c˜ ao 10. Seja f : A −→ B. Ent˜ ao (a)

X ⊂A

=⇒

(b)

X ⊂A

=⇒

(c)

Y ⊂B

=⇒

(d)

Y ⊂B

=⇒

X ⊂ f −1 f (X) X = f −1 f (X) f f −1 (Y ) ⊂ Y f f −1 (Y ) = Y

(se f for injetora )

(se f for sobrejetora )

Prova: (a) De fato, se x ∈ X, ent˜ ao f (x) ∈ f (X) e da´ı, tendo em conta a defini¸caõ de imagem inversa, x ∈ f −1 f (X) . (b) Seja x ∈ f −1 f (X) , ent˜ ao f (x) ∈ f (X), portanto pela defini¸caõ de f (X) existe x′ ∈ X tal que f (x′ ) = f (x), da´ı, considerando a injetividade de f , x = x′ e portanto x ∈ X. (c) Seja y ∈ f f −1 (Y ) logo, pela defini¸caõ de imagem direta, existe x ∈ f −1 (Y ) tal que f (x) = y. Pela defini¸caõ de imagem inversa x ∈ f −1 (Y ) implica f (x) = y ∈Y. (d) Seja y ∈ Y , como f é sobrejetora, existe x ∈ A tal que f (x) = y ∈ Y . Pela defini¸caõ de imagem inversa, x ∈ f −1 (Y ) e pela defini¸caõ de imagem direta, f (x) = y ∈ f f −1 (Y ) . Igualdade Entre Aplica¸ co ˜es

Defini¸ c˜ ao 12 (Igualdade entre aplica¸co˜es). Dizemos que as aplica¸co ˜es f : A −→ B x 7−→ f (x)

e

g : C −→ D x 7−→ g(x)

s˜ ao iguais se, e somente se, A = C, B = D e f (x) = g(x) para todo x ∈ A. Exemplos: a) Se A = {1, 2, 3} e B = {−2, −1, 0, 1, 2}, ent˜ ao as fun¸co˜es de A em B definidas por: x2 − 1 f (x) = x − 1 e g(x) = x+1 são iguais, pois x=1 x=2 x=3

⇒

f (1) = 1 − 1 = 0

e

⇒

f (2) = 2 − 1 = 1

e

⇒

f (3) = 3 − 1 = 2

e

g(1) =

12 −1 1+1

= 0;

g(2) =

22 −1 2+1

= 1;

g(3) =

2

3 −1 3+1

= 2. (

b) As fun¸co˜es, de R em R, dadas por f (x) = |x−1| e g(x) = são iguais pois f (x) = g(x) para todo x real.

x − 1, se x ≥ 1; −x + 1, se x < 1.

c) As fun¸co˜es f : R −→ R e g : [0, ∞[ −→ R dadas por f (x) = x2 e g(x) = x2 são diferentes pois têm dom´ınios diferentes. Graficamente, temos 48

R

R

6

r(x, f (x)) -R

0

6

r(x, g(x)) - [0, ∞[

0

Observe que f n˜ ao é injetora e nem sobrejetora. g é injetora mas, n˜ ao sobrejetora. Se colocarmos h : [0, ∞[ −→ [0, ∞[ dada por h(x) = x2 , resulta h injetora e sobrejetora.

Fam´ılias Indexadas Seja A um conjunto e P(A) o conjunto de seus subconjuntos. Consideremos uma fun¸caõ f : I −→ P(A) i 7−→ f (i) Esta fun¸caõ é chamada fam´ılia indexada de subconjuntos de A. O dom´ınio I é chamado conjunto de ´ındices. Observe que f (i) é um elemento de P(A), ou seja, é um subconjunto de A; raz˜ ao porque trocaremos de nota¸caõ: f (i) = Ai . Nestas fun¸co˜es o aspecto que mais nos interessará é o conjunto imagem. Para a própria fun¸caõ adotaremos uma nota¸caõ especial: Ai i∈I ou, simplesmente, Ai quando o conjunto de ´ındices estiver fixado em um determinado contexto. Exemplos: 1. Consideremos A = [0, 1] e I = N. Para cada n ∈ N definamos

Sendo assim An Por exemplo,

1 An = 0, n

n∈N

é uma fam´ılia de subconjuntos do intervalo [0, 1].

⊢ 0

⊣ A1 1

⊢ 0

⊣ A2 1 2

⊢ 0

⊣ A3 1 3

2. Consideremos A = Z e I = N. Para cada n ∈ N definamos An =

m ∈ Z : m é m´ ultiplo de n 49

Por exemplo, A1 = Z A2 = {. . . , −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, . . .}

A3 = {. . . , −9, −6, −3, 0, 3, 6, 9, . . .}

3. Consideremos A = R2 e I = R. Para cada λ ∈ R definamos Aλ = (x, y) ∈ R2 : y = 2x + λ

Sendo assim Aλ λ∈R é uma fam´ılia de subconjuntos do R2 , onde cada conjunto Aλ é uma reta. Por exemplo, R

6 A√

3

−3q

q

3

A0

A−1 2 q 1 q −2q −1q q2 q1 0 −1 p −2 λ=0 √ p λ= 3

q3

-R

λ=−1

4. Consideremos A = M2×3 (R) o conjunto das matrizes de ordem 2 por 3 com entradas (elementos) reais e I = Z. Para cada m ∈ Z definamos m 1 3 Am = 3 0 mm 2 +1 Sendo assim Am m∈Z é uma fam´ılia de subconjuntos de M2×3 (R), onde cada conjunto Am é uma matriz. Por exemplo, 0 1 3 1 1 3 −1 1 3 ; A = . ; A = A−1 = 0 1 3 0 0 3 0 12 3 0 −1 2 Opera¸ co ˜es Generalizadas As opera¸co˜es de uni˜ ao e interseçcaõ de conjuntos; originalmente definidas para dois conjuntos, agora podem ser generalizadas. 50

ao dos membros Seja Ai i∈I uma fam´ılia de subconjuntos de A. Para a uni˜ desta fam´ılia usaremos uma das seguintes nota¸co˜es: [ [ [ Ai ; Ai ; Ai : i ∈ I . i∈I

S´ o usaremos a segunda das nota¸co˜es acima, quando o conjunto de ´ındices estiver fixado em um determinado contexto. Pois bem, por defini¸caõ, temos: [ Ai = x : x ∈ Ai , para algum i ∈ I i∈I

Por exemplo, consideremos a fam´ılia Aλ λ∈R do exemplo 3. dado anteriormente. Temos [ Aλ = (x, y) : (x, y) ∈ Aλ , para algum λ ∈ R = R2 . λ∈R

Porquanto dado qualquer (a, b) ∈ R2 este ponto pertence ao Aλ para λ = b−2a. Quando o conjunto de ´ındices for I = {1, 2, . . . , n} ou I = N ent˜ ao escrevemos ∞ n [ [ Ai Ai ; i=1

i=1

para indicar a uni˜ ao das fam´ılias A1 , A2 , . . . , An respectivamente. Por exemplo, ∞ [

0,

i=1

e

A1 , A2 , . . . , An , . . .

1 = [0, 1]. i

De modo análogo, para a interseçcaõ dos membros da fam´ılia Ai mos uma das nota¸co˜es abaixo: \ \ \ Ai : i ∈ I . Ai ; Ai ;

i∈I

usare-

i∈I

S´ o usaremos a segunda das nota¸co˜es acima, quando o conjunto de ´ındices estiver fixado em um determinado contexto. Pois bem, por defini¸caõ, temos: \ Ai = x : x ∈ Ai , para todo i ∈ I i∈I

Quando o conjunto de ´ındices for I = {1, 2, . . . , n} ou I = N ent˜ ao escrevemos ∞ n \ \ Ai Ai ; i=1

i=1

para indicar a interseçcaõ das fam´ılias A1 , A2 , . . . , An e A1 , A2 , . . . , An , . . . respectivamente. Por exemplo, ∞ \

i=1

0,

1 = {0}. i 51

Também (ver exemplo 2. dado anteriormente), ∞ \

i=1

m ∈ Z : m é m´ ultiplo de i

= {0}.

Fica como exerc´ıcio a comprova¸caõ destas interseçco˜es. As leis distributivas também são válidas para opera¸co˜es generalizadas: Proposi¸ c˜ ao 11. Consideremos uma fam´ılia Ai i∈I de subconjuntos de um dado conjunto A e B ⊂ A. Ent˜ ao ! \ \ (i) B ∪ B ∪ Ai Ai = i∈I

i∈I

(ii) B ∩

[

Ai

i∈I

!

=

[

i∈I

B ∩ Ai

Prova: Mostraremos a primeira destas identidades. T T ao x ∈ B ou x ∈ i ∈ I Ai . Se x ∈ B (⊂) De fato, seja x ∈ B ∪ i ∈ I Ai ent˜ T ent˜ aT o x ∈ B ∪ Ai para todo i ∈ I, e da´ı x ∈ i ∈ I B ∪ Ai . Por outro lado se ao x ∈ Ai para todo i ∈ I, logo x ∈ B ∪ Ai para todo i ∈ I, no x ∈ i ∈ I Ai ent˜ T que implica x ∈ i ∈ I B ∪ Ai . T ao y ∈ B ∪ Ai para todo i ∈ I. (⊃) De fato, seja y ∈ i ∈ I B ∪ Ai , ent˜ Logo T y ∈ B ou x ∈ A para todo i ∈ I; em qualquer dos casos temos x ∈ i B∪ i ∈ I Ai .

As leis de De Morgan também são válidas para opera¸co˜es generalizadas: Proposi¸ c˜ ao 12. Consideremos uma fam´ılia Ai i∈I de subconjuntos de um dado conjunto A. Ent˜ ao !c [ \ (i) Ai = Aci i∈I

(ii)

\

i∈I

i∈I

Ai

!c

=

[

Aci

i∈I

Prova: Mostraremos S a primeira c destas identidades. S (⊂) De fato, seja x ∈ A ent˜ ao x 6∈ i ∈ I Ai o que significaTque x 6∈ i∈I i Ai para todo i ∈ I. LogoTx ∈ Aci para todo i ∈ I, resultando que x ∈ i ∈ I Aci ao y ∈ Aci para todo i ∈ I. No que implica (⊃) De fato, seja y ∈ i ∈ I Aci ent˜ c S S que y 6∈ Ai para todo i ∈ I, logo y 6∈ i ∈ I Ai , no que resulta y ∈ i ∈ I Ai . A seguinte proposi¸caõ é de alguma utilidade Proposi¸ c˜ ao 13. Seja A um conjunto qualquer[ e, para cada x ∈ A, seja Gx um subconjunto de A tal que x ∈ Gx . Ent˜ ao A = Gx . x∈A

52

Prova: (⊂) Seja p ∈ A. Ent˜ ao p ∈ Gp , portanto, p ∈ (⊃) Seja q ∈

[

x∈A

[

Gx .

x∈A

Gx . Ent˜ ao, existe x0 ∈ A de modo que q ∈ Gx ⊂ A; disto 0

concluimos pela validade da inclusão desejada.

Proposi¸ c˜ ao 14. Seja Ai i∈I uma fam´ılia indexada e i0 ∈ I um ´ındice fixado. Ent˜ ao, \ [ Ai ⊂ Ai0 ⊂ Ai . i∈I

i∈I

T

ao, x ∈ Ai para todo i ∈ I. Em particular Prova: SejaTx ∈ i ∈ I Ai ; ent˜ x ∈ Ai0 . Logo, i ∈ I Ai ⊂ Ai0 . S S Seja agora y ∈ Ai0 . Como i0 ∈ I, resulta y ∈ i ∈ I Ai . Da´ı Ai0 ⊂ i ∈ I Ai . Imagens Diretas e Inversas de Conjuntos Indexados Proposi¸ c˜ ao 15. Consideremos uma fun¸ca õ f : A −→ B, uma fam´ılia Ai ao, de subconjuntos de A e uma fam´ılia Bj j∈J de subconjuntos de B. Ent˜ (i)

(ii) (iii) (iv)

i∈I

f ∪ Ai = ∪ f Ai f ∩ Ai ⊂ ∩ f Ai f −1 ∪ Bj = ∪ f −1 Bj f −1 ∩ Bj ⊂ ∩ f −1 Bj

Prova: Provemos as assertivas (i) e (iii). Ent˜ ao, (i) (⊂) Seja f (x) ∈ f ∪i∈I Ai ; pela defini¸caõ de imagem direta (pg. 43), x ∈ ∪i∈I Ai . Sendo assim x ∈ Ai′ para algum i′ ∈ I, acarretando; novamente ′ pela defini¸ caõ de imagem direta, que f (x) ∈ f Ai no que resulta f (x) ∈ ∪i∈I f Ai . (⊃) Análogo. (iii) (⊂) Seja x ∈ f −1 ∪ Bj ; pela defini¸caõ de imagem inversa (pg. 45), f (x) ∈ ∪j∈J Bj . Sendo assim f (x) ∈ Bj′ para algum j ′ ∈ J, acarretando; novamente pela defini¸caõ de imagem inversa, que x ∈ f −1 Bj′ , da´ı resulta x ∈ ∪j∈J f −1 Bj .

(⊃) Análogo.

53

1.3

T´ opicos em An´ alise

M´ odulo (Valor Absoluto) Se x ∈ R e x 6= 0, ent˜ ao um dos n´ umeros, x ou −x, é estritamente positivo. Defini¸ c˜ ao 13. Se x ∈ R, chamaremos m´ odulo de x (ou ainda: valor absoluto de x) e designaremos por |x| o maior dos n´ umeros x e −x; assim, por defini¸ca õ: |x| = max{ −x, x}. ´ f´ E acil ver que esta igualdade é equivalente a ( x, se x ≥ 0; |x| = −x, se x < 0.

Equa¸caõ esta que também é usada como defini¸caõ do módulo de x. Decorre trivialmente que |0| = 0. Intuitivamente é f´ acil constatar que, na interpreta¸caõ geométrica dos reais, o módulo do n´ umero x exprime (na unidade considerada) a distância do ponto x, a origem do referencial, isto é, ao ponto O, correspondente ao n´ ` umero 0, assim:

⊢ r

|−x|=−(−x)

−x

|x|=x

⊢ ⊣

⊣

r

q0

-R

x

A seguir listamos algumas propriedades do módulo. Proposi¸ c˜ ao 16. Temos: (a) |x| = 0, se e somente se, x = 0. (b) | − x| = |x| para todo x ∈ R. (c) |x · y| = |x| · |y| para todo x, y ∈ R. x |x| . (d) Se y 6= 0, = y |y|

(e) Se c ≥ 0, ent˜ ao |x| ≤ c, se e somente se, −c ≤ x ≤ c. (f ) −|x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R. Prova: (a) Decorre trivialmente da defini¸caõ de módulo. (b) |x| = max{ −x, x} = max

− (−x), −x

= | − x|

(c) Se x > 0 e y > 0, ent˜ ao x·y > 0, de modo que |x·y| = x·y = |x|·|y|. Se x > 0 e y < 0, ent˜ ao x · y < 0, de modo que |x · y| = −(x · y) = x · (−y) = |x| · |y|. Os demais casos são tratados de modo análogo. 54

(d) Sendo y 6= 0 vale

x=y·

x y

e portanto, pelo ´ıtem anterior: x |x| = |y| · | |; y desta desigualdade (e tendo em conta que |y| = 6 0, por ser y 6= 0) decorre que: x |x| = y |y| .

(e) Temos

|x| ≤ c ⇒ ⇒

x≤c e −x≤c (

x≤c x ≥ −c

pois |x| = max{−x, x}

⇒ −c ≤ x ≤ c.

Rec´ıprocamente, se esta u ´ ltima desigualdade se verifica, ent˜ ao x ≤ c e −x ≤ c, donde |x| ≤ c.

(f ) Basta por c = |x| e utilizar o ´ıtem anterior. As próximas desigualdades são utilizadas com bastante freq¨ uência:

Proposi¸ c˜ ao 17 (Desigualdade triangular). Se x e y s˜ ao n´ umeros reais quaisquer, ent˜ ao |x| − |y| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|. Prova: Utilizando os ´ıtens (f ) e (e) da proposi¸caõ 16, obtemos

−|x| ≤ x ≤ |x| −|y| ≤ y ≤ |y|

+ :

− |x|+|y| ≤ x+y ≤ |x|+|y|

(e) =⇒ |x+y| ≤ |x|+|y|.

Esta u ´ ltima desigualdade é conhecida como desigualdade triangular. Por outro lado, |x| = (x − y) + y ≤ |x − y| + |y| =⇒ |x| − |y| ≤ |x − y| |y| = (y − x) + x ≤ |y − x| + |x| =⇒ |y| − |x| ≤ |y − x|

Sendo assim, temos ( |x − y| ≥ |x| − |y|

|y − x| ≥ − |x| − |y|

=⇒ |x − y| ≥ |x| − |y| .

Esta é a primeira desigualdade com o sinal menos. Para obter a desigualdade com o sinal mais, substituimos (nesta u ´ ltima desigualdade) y por −y. 55

Defini¸ c˜ ao 14 (Distância em R, |·| ). Sendo x e y n´ umeros reais, chamaremos distˆ ancia de x a y ao m´ odulo da diferen¸ca x − y; a distˆ ancia de x a y ser´ a designada pelo s´ımbolo d(x, y); sendo assim, por defini¸ca õ: d(x, y) = |x − y|. Segundo as proposi¸co˜es vistas para o módulo, assinalamos as seguintes propriedades para a distância entre n´ umeros reais: (d1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ; (d2 ) d(x, y) = d(y, x) ; (d3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Esta u ´ ltima desigualdade é uma decorrencia imediata da desigualdade triangular, assim: x − y = (x − z) + (z − y) ⇒ |x − y| = (x − z) + (z − y) ⇒

≤ |x − z| + |z − y|.

No cap´ıtulo seguinte mostraremos como calcular a distância entre elementos de quaisquer conjuntos. Da defini¸caõ de intervalo aberto e da proposi¸caõ 16, ´ıtem (e), decorrem as seguintes equivalências: x ∈ ]a−r, a+r[ ⇐⇒ a−r < x
Em resumo: x ∈ ]a−r, a+r[ ⇐⇒ |x−a|
Esta equivalência é interpretada da seguinte forma: x pertence ao intervalo aberto de “centro a e raio r” se, e somente se, a distância de x a a n˜ ao excede r. Geometricamente tudo se passa como na figura a seguir:

⊢ ] a−r

1.3.1

r

x

|x−a|

⊣ qa

[

-R

a+r

Teoremas e Defini¸c˜ oes da An´ alise Real

A seguir enunciamos alguns resultados da Análise Real (AR) para futuras referências. A prova destes resultados é pertinente à Análise. 56

Um resultado freq¨ uentemente invocado é o teorema de Weierstrass∗ dado a seguir: Teorema[AR] 1 (Weierstrass). Toda fun¸ca õ cont´ınua f : [a, b] −→ R é limitada e assume valores m´ aximo e m´ınimo. (isto é, existem x1 e x2 ∈ [a, b] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) para todo x ∈ [a, b].) Teorema[AR] 2. Sejam f e g duas fun¸co ˜es cujos dom´ınios contenham o intervlo I e suponha-se que f (x) = g(x) em cada ponto x ∈ I, com exce¸ca õ dos pontos de um conjunto finito. Ent˜ ao f é integr´ avel em I se, e s´ omente se, g o fˆ or e, nesta hip´ otese, Z Z g

f=

I

I

Teorema[AR] 3. Suponha-seP que, para todo n ∈ N, se tem 0 ≤ an ≤ bn . P Se bn é convergente, ent˜ ao an é também convergente. P P Teorema[AR] as séries an e bn convergem e k é um n´ umero qualP 4. SeP quer, ent˜ ao kan e (an + bn ) convergem e X X X X X kan = k an e (an + bn ) = an + bn . P Teorema[AR] 5. Sendo convergente a série |an |, é também convergente a P série an e tem-se ainda ∞ ∞ X X a ≤ |an |. n n=1

n=1

Teorema[AR] 6. Se lim xn = a ent˜ ao lim |xn | = |a|. Esta assertiva pode ser reformulada como segue: Se (xn ) é uma seq¨ uência convergente ent˜ ao lim |xn | = | lim xn |. Teorema[AR] 7 (Passagem ao limite numa desigualdade). Sejam (xn ) e (yn ) seq¨ uências convergentes. Se a condi¸ca õ xn ≤ yn é verificada por infinitos valores de n ent˜ ao lim xn ≤ lim yn . Rb Rb Teorema[AR] 8. Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], ent˜ ao a f (x) ≤ a g(x). Teorema[AR] 9. Se f ≥ 0 é uma fun¸ca õ cont´ınua num intervalo [a, b], com Rb f (c) > 0 em algum ponto c ∈ [a, b], ent˜ ao a f > 0.

Defini¸ c˜ ao 15 (Continuidade Uniforme). Uma fun¸ca õ f : X → R diz-se uniformemente cont´ınua no conjunto X quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se exibir δ > 0 de modo que x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε. ∗ Karl Weierstrass (1815 − 1897) foi durante muitos anos professor em Berlim, e exerceu profunda influˆ encia no desenvolvimento da An´ alise. Sempre insistindo em demonstra¸co ˜es rigorosas, elaborou, mas n˜ ao publicou, uma introdu¸ca õ ao sistema de n´ umeros reais. Deu tamb´ em importantes contribui¸co ˜es a ` An´ alise Real e Complexa, a `s equa¸co ˜es diferenciais e ao c´ alculo das varia¸co ˜es.

57

Teorema[AR] 10. Seja X ⊂ R limitado e fechado. Toda fun¸ca õ cont´ınua f : X → R é uniformemente cont´ınua. Defini¸ c˜ ao 16 (Convergência Simples ou Pontual). Diz-se que a seq¨ uência de fun¸co ˜es fn : X → R converge simplesmente (ou pontualmente) para a fun¸ca õ f : X → R quando, para cada x ∈ X arbitrariamente fixado, a seq¨ uência de n´ umeros reais fn (x) converge para o n´ umero f (x). Ou seja, para todo x ∈ X fixado, tem-se lim fn (x) = f (x). n→∞

Defini¸ c˜ ao 17 (Convergência Uniforme). Diz-se que uma seq¨ uência de fun¸co ˜es (fn ) converge uniformemente para uma fun¸ca õ f num dom´ınio D se, dado qualquer ε > 0, existe um ´ındice n0 tal que, para todo x ∈ D, n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. Teorema[AR] 11. Se (fn ) é uma seq¨ uência de fun¸co ˜es cont´ınuas num mesmo dom´ınio D, que converge uniformemente para uma fun¸ca õ f , ent˜ ao f é cont´ınua em D. Teorema[AR] 12 (Teorema do Valor Médio, de Lagrange). Se f : [a, b] → R é cont´ınua e, se f é diferenci´ avel em cada ponto do intervalo ]a, b[, ent˜ ao existe um ponto c ∈ ]a, b[, tal que f ′ (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Teorema[AR] 13 (Teorema dos intervalos encaixados). Seja [ a1 , b 1 ] ⊃ [ a2 , b 2 ] ⊃ · · · ⊃ [ an , b n ] ⊃ · · · uma seq¨ uência de intervalos fechados, n˜ ao-vazios e encaixados. Suponha, ademais, que a sucess˜ ao (bn − an ) dos comprimentos de tais intervalos tende a 0. Ent˜ ao, existe um u ńico ponto comum a todos estes intervalos.

1.3.2

Supremo e Ínfimo

Os conceitos de supremo e ´ınfimo são da máxima importˆ ancia tanto na Análise Real quanto na teoria dos Espa¸cos Métricos. O leitor n˜ ao tenha a ilus˜ ao de ir muito longe na matemática sem uma perfeita compreensão destes conceitos. Antes definiremos Defini¸ c˜ ao 18 (Cota Superior/Cota Inferior). Seja K um subconjunto qualquer de R. (i) Diz-se que um elemento µ ∈ R é cota superior de K se µ ≥ k para todo k ∈ K. (ii) Diz-se que um elemento ν ∈ R é cota inferior de K se ν ≤ k para todo k ∈ K. 58

Uma primeira observa¸caõ importante é que a cota superior de um conjunto (se existir) pode ou n˜ ao pertencer ao conjunto. Por exemplo, o n´ umero real 1 é cota superior dos conjuntos K = [ 0, 1 ] e J =] 0, 1 [ mas pertence a K e n˜ ao a J. Observa¸caõ análoga vale para o ´ınfimo. Note-se que nem sempre um subconjunto K ⊂ R tem uma cota superior ou uma cota inferior. Por exemplo Z ⊂ R é um de tais conjuntos. Todavia, se um conjunto tem uma cota superior, ent˜ ao admite uma infinidade delas. De fato, se µ é uma cota superior de K, o mesmo se d´ a com µ + n, para todo n ∈ N. Quando um conjunto admite cota superior, dizemos que ele é cotado superiormente, e quando admite cota inferior, dizemos que é cotado inferiormente. Um conjunto dotado de cota superior e de cota inferior diz-se simplesmente cotado. Um conjunto que n˜ ao admite cota superior, ou inferior, diz-se n˜ ao-cotado. Por exemplo,

a) b) c) d)

Conjunto

Status

Z N ] − ∞, 1] ] − 1, 1]

N˜ ao cotado Cotado inferiormente Cotado superiormente Cotado

Defini¸ c˜ ao 19 (Supremo). Seja K um subconjunto qualquer de R. Se K é cotado superiormente, uma cota superior de K se diz supremo de K se é menor do que qualquer outra cota superior de K. Em outras palavras: Um n´ umero µ ∈ R se diz supremo de um subconjunto K de R se satisfaz as duas condi¸co˜es: (i) x ≤ µ para todo x ∈ K; (ii) se λ é um n´ umero tal que x ≤ λ para todo x ∈ K, ent˜ ao µ ≤ λ. De fato, pela condi¸caõ (i), µ é uma cota superior de K, e pela (ii), µ é menor que qualquer outra cota superior de K. O supremo µ de um subconjunto K de R, se existir, é u ´ nico. De fato, se µ1 e µ2 são supremos de K, ent˜ ao ambos verificam as condi¸co˜es (i) e (ii) acima, logo µ1 ≤ µ2 e µ2 ≤ µ1 , donde µ1 = µ2 . Nota¸ca õ: Se µ for o supremo de K, escrevemos µ = sup K A seguinte caracteriza¸caõ do supremo é u ´ til em muitas situa¸co˜es: Lema 1. Seja K ⊂ R. µ = sup K se, e somente se, µ for uma cota superior de K e, dado ε > 0, existe k ∈ K tal que µ − ε < k. Prova: (⇒) Se µ =sup K e ε > 0 ent˜ ao existe k ∈ K de modo que µ − ε < k. Vamos provar isto utilizando a técnica (T − 4) (pg. 24). Fa¸camos   ε>0  H1 : ⇒ T: ∃ k ∈ K : µ − ε < k.   H2 : µ =sup K 59

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2 Suponha que n˜ ao exista k ∈ K satisfazendo µ − ε < k. Isto é, suponha que µ − ε ≥ k para todo k ∈ K. Ora, se k ≤ µ − ε para todo k ∈ K, significa que µ − ε é uma cota superior de K. Uma vez que ε > 0 temos que µ − ε < µ, logo n˜ ao temos µ =sup K (porquanto µ n˜ ao é a menor das cotas superiores de K). (⇐) Se µ é uma cota superior de K e para todo ε > 0 dado existe k ∈ K satisfazendo µ − ε < k ent˜ ao µ =sup K. Ainda mais uma vez utilizemos a técnica (T − 4). Fa¸camos    H1 : µ é cota superior de K.

  H2 : ∀ ε > 0 ∃ k ∈ K : µ − ε < k.

⇒

T:

µ =sup K.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponhamos µ cota superior de K e µ 6=sup K. Logo, µ n˜ ao é a menor das cotas superiores de K. Portanto existe ε > 0 tal que µ − ε é cota superior de K; o que traz como conseq¨ uência que existe ε > 0 de modo que µ − ε ≥ k para todo k ∈ K. Isto é exatamente o que busc´ avamos: a nega¸caõ de H2 . Vejamos algumas aplica¸co˜es do lema anterior: Exemplos 1. Encontre o supremo de K = x ∈ R : 0 < x < 1 =] 0, 1[. Vamos mostrar que a cota superior µ = 1 é o supremo de K. Para tanto é suficiente - consoante o lema anterior (⇐) - para todo ε > 0 exibir x ∈ K de modo que 1 − ε < x. Para isto consideremos duas possibilidades: a) ε ≥ 1. Se ε ≥ 1 temos 1 − ε ≤ 0. Neste caso, tomando por exemplo x = 1/2, resulta 1 1−ε≤0
⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

0 > −ε > −1 −1 < −ε < 0 0 < 1 − ε < 1.

] 0

r ↑

[ 1

1−ε

Vamos tomar, por exemplo, o ponto médio entre 1 − ε e 1, isto é x=

1−ε+1 2

=1−

]

ε 2

0

60

r ↑

1−ε

r ↑

x

[ 1

e mostremos que este ponto satisfaz as duas condi¸co˜es desejadas: 1 a ) x ∈ K. Pois 0<1−

ε < 1 ⇐⇒ 0 < ε < 2. 2

e, por hip´ otese, ε < 1. 2 a ) 1 − ε < x. Pois 1−ε<1−

ε ε ⇐⇒ ε > . 2 2

Resumindo: dado ε > 0 tomamos ( 1 , se ε ≥ 1; xε = 2 ε 1 − 2 , se 0 < ε < 1. e teremos xε ∈ K e 1 − ε < xε , o que prova que sup ]0, 1[= 1. 2. Mostre que sup K = 1, onde n 1 2 3 , , , ··· , , ··· . K= 2 3 4 n+1 n < 1 para todo n natural. Sendo assim 1 é uma cota Temos que n+1 superior de K. Consoante o lema anterior, dado ε > 0 devemos exibir um x ∈ K de modo que 1 − ε < x. Ou ainda: para todo ε > 0 devemos encontrar n ∈ N de modo que

1−ε<

n . n+1

Esta desigualdade é satisfeita para todo n natural se 1 − ε < 0 (ε > 1). Sendo assim consideremos 1 − ε ≥ 0 (ε ≤ 1). Ent˜ ao, 1−ε<

n ⇐⇒ (1 − ε)(n + 1) < n n+1 1−ε ⇐⇒ n > . ε

Assim, dado ε > 0, escolhemos um natural nε > 1−ε <

1−ε ε

e teremos

nε . nε + 1

o que prova ser sup K = 1. Proposi¸ c˜ ao 18. Se µ for uma cota superior de K e µ ∈ K ent˜ ao µ = sup K. Prova: Por defini¸caõ de sup K (e tendo em conta que µ é uma cota superior de K) podemos escrever x ≤ sup K ≤ µ, ∀ x ∈ K. 61

Como, por hip´ otese, µ ∈ K temos em particular que µ ≤ sup K ≤ µ, donde µ = sup K. A proposi¸caõ que acabamos de provar nos permite obter alguns supremos a “olho n´ u”. Por exemplo, sup ]0, 1] = 1. Porquanto 1 é cota superior de ]0, 1] e pertence a este conjunto. Como mais um exemplo, consideremos 1 1 1 , , ··· , n, ··· K= 2 4 2 Ent˜ ao, sup K = 1/2. Isto se deve a que é cota superior de K e pertence a K.

1 2n

≤

1 2

para todo n natural. Isto é,

1 2

Defini¸ c˜ ao 20 (Ínfimo). Seja K um subconjunto qualquer de R. Se K é cotado inferiormente, uma cota inferior de K se diz ´ınfimo de K se é maior do que qualquer outra cota inferior de K. Em outras palavras: Um n´ umero ν ∈ R se diz ´ınfimo de um subconjunto K de R se satisfaz as duas condi¸co˜es: (i) x ≥ ν para todo x ∈ K; (ii) se λ é um n´ umero tal que x ≥ λ para todo x ∈ K, ent˜ ao ν ≥ λ. De fato, pela condi¸caõ (i), ν é uma cota inferior de K, e pela (ii), ν é maior que qualquer outra cota inferior de K. O ´ınfimo ν de um subconjunto K de R, se existir, é u ´ nico. De fato, se ν1 e ν2 são ´ınfimos de K, ent˜ ao ambos verificam as condi¸co˜es (i) e (ii) acima, logo ν1 ≥ ν2 e ν2 ≥ ν1 , donde ν1 = ν2 . Nota¸ca õ: Se ν for o ´ınfimo de K, escrevemos: ν = inf K. A seguinte caracteriza¸caõ do ´ınfimo é u ´ til em muitas situa¸co˜es: Lema 2. Seja K ⊂ R. ν = inf K se, e somente se, ν for uma cota inferior de K e, dado ε > 0, existe k ∈ K tal que k < ν + ε. Prova: (⇒) Se ν = inf K e ε > 0 ent˜ ao existe k ∈ K de modo que k < ν + ε. Vamos provar isto utilizando a técnica (T − 4) (pg. 24). Fa¸camos   ε>0  H1 : ⇒ T: ∃ k ∈ K : k < ν + ε.   H2 : ν = inf K ¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Suponha que n˜ ao exista k ∈ K satisfazendo k < ν + ε. Isto é, suponha que k ≥ ν + ε para todo k ∈ K. Ora, se k ≥ ν + ε para todo k ∈ K, significa que ν + ε é uma cota inferior de K. Uma vez que ε > 0 temos que ν + ε > ν, logo n˜ ao temos ν = inf K (porquanto ν n˜ ao é a maior das cotas inferiores de K). (⇐) Se ν é uma cota inferior de K e para todo ε > 0 dado existe k ∈ K satisfazendo k < ν + ε ent˜ ao ν = inf K. Ainda mais uma vez utilizemos a técnica (T − 4). Fa¸camos 62

   H1 : ν é cota inferior de K.

  H2 : ∀ ε > 0 ∃ k ∈ K : k < ν + ε.

⇒

T:

ν = inf K.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponhamos ν cota inferior de K e ν 6= inf K. Logo, ν n˜ ao é a maior das cotas inferiores de K. Portanto existe ε > 0 tal que ν + ε é cota inferior de K; o que traz como conseq¨ uência que existe ε > 0 de modo que k ≥ ν + ε para todo k ∈ K. Isto é exatamente o que busc´ avamos: a nega¸caõ de H2 . Vejamos algumas aplica¸co˜es do lema anterior: Exemplos 1. Encontre o ´ınfimo de K = x ∈ R : 0 < x < 1 =] 0, 1[. Vamos mostrar que a cota inferior ν = 0 é o ´ınfimo de K. Para tanto é suficiente - consoante o lema anterior (⇐) - para todo ε > 0 exibir x ∈ K de modo que x < 0 + ε. Para isto consideremos duas possibilidades: a) ε ≥ 1. Se ε ≥ 1 qualquer x ∈ K serve aos nossos prop´ ositos, porquanto x ∈ K ⇒ 0 < x < 1 ≤ ε. b) 0 < ε < 1. Neste caso é suficiente tomar xε = 2ε , porquanto 1 ε < 2 2 ⇒ 0 < xε < 1 e xε < ε.

0<ε<1 ⇒ 0< 2. Encontre inf K, onde

1 1 1 K = 1, , , · · · , , · · · 2 3 n Sendo n1 > 0, para todo n natural, temos que 0 é uma cota inferior de K. Para mostrar que 0 = inf K é suficiente exibir um x ∈ K de modo que x < 0 + ε qualquer que seja o ε > 0. Pois bem, dado ε > 0 escolhamos um natural n0 satisfazendo∗ n0 · ε > 1, isto é, n1 < ε. Logo x = n1 serve. 0

0

3. Encontre inf K, onde K=

1 1 1 1, , , · · · , 2 , · · · 4 8 n

Sendo n12 > 0, para todo n natural, temos que 0 é uma cota inferior de K. Para mostrar que 0 = inf K é suficiente exibir um x ∈ K de modo que ∗ Este

natural sempre existe, conforme veremos logo mais.

63

x < 0 + ε qualquer que seja o ε > 0. Pois bem, dado ε > 0 escolhamos um natural n0 satisfazendo n0 · ε > 1, isto é, n1 < ε. Observe que este n0 n˜ ao

encerra a quest˜ ao pois x =

1 n0

0

pode n˜ ao pertencer a K. Mas com certeza

n20 serve aos nossos prop´ ositos uma vez que 1 1 ≤ < ε. n20 n0 Proposi¸ c˜ ao 19. Se ν for uma cota inferior de K e ν ∈ K ent˜ ao ν = inf K. Prova: Por defini¸caõ de inf K (e tendo em conta que ν é uma cota inferior de K) podemos escrever ν ≤ inf K ≤ x, ∀ x ∈ K. Como, por hip´ otese, ν ∈ K temos em particular que ν ≤ inf K ≤ ν, donde ν = inf K. A proposi¸caõ que acabamos de provar nos permite obter alguns ´ınfimos a “olho n´ u”. Por exemplo, inf [0, 1[= 0. Porquanto 0 é cota inferior de [0, 1[ e pertence a este conjunto. Proposi¸ c˜ ao 20. Se A ⊂ B ⊂ R ent˜ ao, inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. (supondo-se que estes quatro n´ umeros existam.) Prova: Vamos separar a prova em algumas etapas. 1 a ) inf B ≤ inf A. Suponha o contr´ ario, isto é, que inf A < inf B. Como inf A é a maior das cotas inferiores de A esta desigualdade implica que inf B n˜ ao é uma cota inferior de A logo, por defini¸caõ de cota inferior, existe x ∈ A de modo que x < inf B. Como, por hipótese, A ⊂ B temos que x ∈ B e x < inf B. Isto nos diz que inf B n˜ ao é uma cota inferior de B. Piada! 2 a ) inf A ≤ sup A. Pela defini¸caõ de sup e inf, para todo x ∈ A temos inf A ≤ x ≤ sup A =⇒ inf A ≤ sup A. 3 a ) sup A ≤ sup B. Suponha, ao contrário, que sup B < sup A. Como sup A é a menor das cotas superiores de A esta desigualdade implica que sup B n˜ ao é cota superior de A; logo existe x ∈ A de modo que x > sup B. Como, por hipótese, A ⊂ B temos que x ∈ B e x > sup B. Isto nos diz que sup B n˜ ao é uma cota superior de B. Piada!

1.3.3

A Propriedade de Completeza

Estudaremos agora a propriedade mais importante do sistema de n´ umeros reais. Aliàs é justamente esta propriedade que diferencia este sistema do sistema de n´ umeros racionais. Esta propriedade se constitui no alicerce sobre o qual se constrói todo o edif´ıcio da Análise Real. 64

Axioma do Supremo: “Qualquer subconjunto de R n˜ ao vazio e cotado superiormente tem um supremo”. De posse deste axioma pode-se provar (exerc´ıcio) a seguinte Proposi¸ c˜ ao 21. Qualquer subconjunto de R n˜ ao vazio e cotado inferiormente tem um ´ınfimo. Uma das propriedades mais triviais e, n˜ ao obstante, das mais u ´ teis de toda a matemática é considerada a seguir A Propriedade Arquimediana Uma importante conseq¨ uência do Axioma do Supremo é que o subconjunto N dos n´ umeros naturais n˜ ao é cotado superiormente em R. Isto significa, em particular, que dado um real x, existe um n´ umero natural n que é maior do que x. Provemos isto: Proposi¸ c˜ ao 22 (Propriedade Arquimediana). Para todo x ∈ R existe um natural n = nx tal que nx > x. Prova: Suponha que a tese n˜ ao se verifica, isto é, para todo n natural ocorre n ≤ x. Sendo assim N é cotado superiormente. Pelo axioma do supremo existe µ = sup N. Como µ − 1 < µ segue que µ − 1 n˜ ao pode ser cota superior de N. Sendo assim existe um natural n0 satisfazendo n0 > µ − 1, ent˜ ao µ < n0 + 1. Como n0 + 1 é natural isto contradiz o fato de ser µ o supremo de N. Corol´ ario 3. Se x, y ∈ R, com x > 0, ent˜ ao (a) Existe n ∈ N de modo que n · x > y; (b) Existe n ∈ N de modo que 0 <

1 < x; n

(c) Existe n ∈ N de modo que n − 1 ≤ x < n. Prova: (a) Pela proposi¸caõ 22 existe um n ∈ N de modo que n > y/x, da´ı n · x > y. (b) Ainda pela mesma proposi¸caõ existe um n ∈ N de modo que 0 < 1 da´ı 0 < < x. n

1 x

< n,

(c) A propriedade arquimediana nos assegura que existem n´ umeros naturais n tais que x < n. Seja n0 o menor desses n´ umeros naturais∗ . Ent˜ ao n 0 − 1 ≤ x < n0 . O ´ıtem (c) acima, nos diz que todo real positivo situa-se entre dois naturais consecutivos. Como mais uma aplica¸caõ da propriedade arquimediana vamos provar a seguinte Proposi¸ c˜ ao 23. Sejam a, b, ε ∈ R. Se ∀ ε > 0, a − ε ≤ b ent˜ ao a ≤ b. ∗ Estamos invocando o Princ´ ıpio da Boa Ordena¸c˜ ao: “Todo subconjunto n˜ ao-vazio de n´ umeros naturais possui um menor elemento”.

65

Prova: A prova será feita segundo a técnica (T − 1) (pg. 23). Assumindo a nega¸caõ da tese, vamos mostrar que existe um ε > 0 de modo que a − ε > b. De fato, supondo a > b temos que a − b > 0. Pela propriedade arquimediana existe n0 natural de modo que n1 < a − b. Tomemos ε = n1 . Ent˜ ao 0

ε=

0

1 < a − b ⇒ a − ε > b. n0

o que contradiz a hip´ otese.

Conjuntos Densos Vamos definir agora um importante conceito topológico: Defini¸ c˜ ao 21 (Densidade). Um subconjunto X ⊂ R chama-se denso em R quando todo intervalo aberto ]a, b[ contém algum ponto de X. Mostraremos agora que entre dois reais distintos quaisquer existe um racional e um irracional (a bem da verdade, infinitos racionais e infinitos irracionais!), isto é, mostraremos que o conjunto Q dos n´ umeros racionais e o conjunto Qc dos n´ umeros irracionais são ambos densos em R. Proposi¸ c˜ ao 24. Sejam a e b n´ umeros reais, com a < b. (a) Ent˜ ao existe um racional r satisfazendo a < r < b; (b) Se µ é um irracional, ent˜ ao existe um racional s tal que o irracional µ · s satisfaz a < µ · s < b. Prova: Sem perda de generalidade vamos supor a > 0 (caso seja a < 0 trabalhamos com −a > 0). (a) Como b − a > 0, existe - pelo corol´ ario 3 (b) - um natural m satisfazendo 0 < 1/m < b − a (⋆). Pelo corol´ ario 3 (c) aplicado a m · a, existe um natural n satisfazendo n−1 ≤m·a< n

⇒

n−1 n ≤a< . m m

A prova estar´ a completa se mostrarmos que n/m < b. De fato, caso fosse n/m ≥ b teriamos a≥

n−1 m

n ≥b m

⇒ ⇒

−a ≤ b≤

1−n m ⇒

n m

b−a≤

1−n 1 n + = . m m m

o que contraria a escolha de m feita em (⋆). (b) Supondo 0 < a < b e µ > 0, decorre a/µ < b/µ. Logo, por (a), existe um racional s de modo que a/µ < s < b/µ. Donde, a < µ · s < b. ´ f´ E acil mostrar que µ · s é irracional, assumindo que µ seja irracional e s seja racional. De fato, utilizando a técnica (T − 4) (pg. 24). Fa¸camos 66

   H1 :

  H2 :

s é racional µ é irracional

⇒

T:

µ · s é irracional.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponha que µ·s seja racional; digamos, µ·s = r. Sendo assim µ = rs resulta racional, por ser o quociente de dois racionais. Para finalizar vamos rever, em uma outra forma por vezes u ´ til, os conceitos de sup e inf:

Defini¸ c˜ ao ( sup e inf ) Dada f : M → R, define-se: µ = sup f (x)

ν = inf f (x) x∈M

x∈M

através das propriedades: (i) f (x) ≤ µ

f (x) ≥ ν

′

∀ f (x′ ) > ν

(ii) ∀ f (x ) < µ ∃ x0 ∈ M t.q. f (x0 ) > f (x′ )

f (x0 ) < f (x′ )

67

Estruturas Alg´ ebricas Em matemática são freq¨ uentes conjuntos munidos de uma ou mais opera¸co˜es, que gozam de certas propriedades. Esses conjuntos com tais opera¸co˜es e respectivas propriedades constituem aquilo que denominamos estruturas algébricas. A seguir apresentaremos uma destas estruturas:

1.4

Espa¸ cos vetoriais

Vamos introduzir o conceito de espa¸ co vetorial. Os espa¸cos vetoriais con´ stituem os objetos de estudo da Algebra Linear. Para construir um espa¸co vetorial vamos precisar de: (i) um conjunto E 6= ∅; (ii) uma opera¸caõ de adi¸caõ∗ + : E × E −→ E

(u, v) 7−→ u + v

sobre E × E, satisfazendo as seguintes propriedades: A1) u + v = v + u; ∀ u, v ∈ E (comutativa)

A2) (u + v) + w = u + (v + w); ∀ u, v, w ∈ E (associativa)

A3) Existe em E um elemento neutro para essa adi¸caõ o qual será denotado por 0. Ou seja: ∃ 0 ∈ E : u + 0 = 0 + u = u; ∀ u ∈ E.

A4) Para todo elemento u de E existe o oposto para essa adi¸caõ o qual será denotado por −u. Ou seja: ∀ u ∈ E, ∃ − u ∈ E : u + (−u) = −u + u = 0. (iii) uma opera¸caõ de multiplica¸caõ · : R × E −→ E

(λ, v) 7−→ λ · v

sobre R × E, satisfazendo as seguintes propriedades† : M 1)

λ (µ u) = (λ µ) u ;

AM )

(λ + µ)u = λ u + µ u ;

M A)

λ(u + v) = λ u + λ v ;

M 2)

1 u = u.

∀u ∈ E

∀u ∈ E

∀ u, v ∈ E

e e e

∀ λ, µ ∈ R.

∀ λ, µ ∈ R. ∀ λ ∈ R.

∗ A opera¸ ca õ de adi¸ca õ ´ e a que ocorre com mais freq¨ uˆ encia na teoria dos espa¸cos vetoriais, mas nada impede que a opera¸ca õ seja uma outra. † Estamos omitindo o ponto (·) da opera¸ ca õ de multiplica¸ca õ.

68

Nestas condi¸co˜es dizemos que a tripla ordenada E, +, · é um espa¸co vetorial. Os elementos de E agora são chamados de vetores. Os elementos de R: λ, µ, . . . são chamados de escalares. Chamamos a aten¸caõ para um detalhe na equa¸caõ AM ): a opera¸caõ (adi¸caõ) que aparece no lado esquerdo desta equa¸caõ se d´ a entre escalares (n´ umeros, via de regra) enquanto que a opera¸caõ (adi¸caõ) do lado direito se d´ a entre vetores (é a opera¸caõ definida acima (ii), a qual aliàs nem adi¸caõ -usual- precisa ser). A rigor dever´ıamos usar s´ımbolos diferentes para estas opera¸co˜es. Exemplos (de espa¸cos vetoriais) 1. O espa¸co vetorial R, +, · . R, +, · é um espa¸co vetorial com a adi¸caõ e multiplica¸caõ usuais. Observe que Q, +, · e Z, +, · com as opera¸co˜es usuais n˜ ao são espa¸cos vetoriais. Isto se deve ao fato de que a opera¸caõ de multiplica¸caõ∗ · : R × Q −→ Q

(λ, v) 7−→ λ · v

n˜ ao est´ a bem definida. Por exemplo, √ √ 2, 3 7−→ 2 · 3 6∈ Q.

2. O espa¸co vetorial R2 , +, · Sobre o conjunto R2 = (x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ R podemos construir um espa¸co vetorial definindo (x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ) λ(x1 , x2 ) = (λx1 , λx2 ) Deixamos ao leitor a verifica¸caõ de que R2 , +, · é de fato um espa¸co vetorial. Observe que 0 = (0, 0) é o elemento neutro desta adi¸caõ; u = (x1 , x2 ) ⇒ −u = (−x1 , −x2 ) é o oposto de u. 3. O espa¸co vetorial Rn , +, · Sobre o conjunto Rn = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R podemos construir um espa¸co vetorial definindo (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) λ(x1 , x2 , . . . , xn ) = (λx1 , λx2 , . . . , λxn ) Deixamos ao leitor a verifica¸caõ de que Rn , +, · é de fato um espa¸co vetorial. Observe que 0 = (0, 0, . . . , 0) é o elemento neutro desta adi¸caõ; u = (x1 , x2 , . . . , xn ) ⇒ −u = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ) ∗ Ver

´ıtem (iii), pg. 68.

69

4. O espa¸co C[a, b], +, · .

Seja C[a, b] o conjunto das fun¸co˜es reais cont´ınuas definidas no intervalo fechado [a, b]. Isto é C[a, b] =

n

o f : [a, b] −→ R / f cont´ınua

Sobre este conjunto construimos um espaco vetorial assim: dados f, g ∈ C[a, b] e λ ∈ R definimos (f + g)(t) = f (t) + g(t), λf (t) = λf (t),

∀ t ∈ [a, b]

∀ t ∈ [a, b]

O C´ alculo nos assegura que ao é dif´ıcil f + g e λf são fun¸co˜es cont´ınuas. N˜ verificar que C[a, b], +, · é um espa¸co vetorial. Observamos que a fun¸caõ nula 0 : [a, b] −→ R t 7−→ 0

isto é, f (t) = 0, ∀ t ∈ [a, b] é o elemento neutro desta adi¸caõ. Dado f ∈ C[a, b] a fun¸caõ −f dada por (−f )(t) = −f (t), ∀ t ∈ [a, b] é tal que −f + f = 0 e f + (−f ) = 0. Isto é, −f é o oposto aditivo de f . Observe que somente dentro deste contexto é que uma fun¸caõ recebe a denomina¸caõ de vetor. 5. O espa¸co Mm×n (R), +, ·

Seja Mm×n (R) o conjunto das matrizes de ordem m por n com entradas (elementos) reais. Sobre este conjunto construimos um espa¸co vetorial assim: dados A = (aij ) e B = (bij ) matrizes m × n e λ ∈ R definimos  a11 + b11 a12 + b12 · · · a1n + b1n  a21 + b21 a22 + b22 · · · a2n + b2n   A+B=   .......................................  am1 + bm1 am2 + bm2 · · · amn + bmn 



 λa11 λa12 · · · λa1n  λa21 λa22 · · · λa2n   λ·A=  ........................  λam1 λam2 · · · λamn N˜ ao é dif´ıcil a verifica¸caõ de que Mm×n (R), +, · é um espa¸co vetorial. S´ o observamos que   0 0 ··· 0  0 0 ··· 0   0=  .............  0 0 ··· 0 70

é o elemento neutro para esta adi¸caõ e que  −a11 −a12 · · · −a1n  −a21 −a22 · · · −a2n  −A =  .......................... −am1 −am2 · · · −amn

   

é o oposto aditivo da matriz A. Observe que somente dentro deste contexto é que uma matriz recebe a denomina¸caõ de vetor. 6. O espa¸co Pn (R), +, ·

Indicaremos por Pn (R) o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau ≤ n, mais o polinômio nulo. Da teoria dos polinômios sabemos que f, g ∈ Pn (R)

a)

λ ∈ R, f ∈ Pn (R)

b)

⇒

⇒

f + g ∈ Pn (R); λ · f ∈ Pn (R).

Das propriedades destas opera¸co˜es concluimos que Pn (R), +, · é um espa¸co vetorial. Dentro deste contexto é que um polinômio passa a ser um vetor. 7. O espa¸co ℓ2 , +, ·

Consideremos agora ℓ2 das seq¨ uências de n´ umeros reais P∞o conjunto 2 (xn ) tais que a série n=1 xn seja convergente, isto é 2

ℓ =

(

(xn )n∈N ; xn ∈ R :

∞ X

n=1

2

)

xn < ∞

Por exemplo, sendo 1 1 1 1 √ √ √ √ , ,... = 1, xn = , n 2 3 4 1 1 1 1 yn = = 1, , , , . . . n 2 4 4 1 1 1 1, , , ,... 4 9 16 P∞ 2 Temos que (xn ) 6∈ ℓP porquanto n=1 n1 diverge, enquanto yn , zn ∈ ℓ2 ∞ devido a que a série n=1 n1p para p > 1 converge. Também pertencem a ℓ2 todas as seq¨ uências da forma zn =

1 n2

=

xn = (x1 , x2 , . . . , xk , 0, 0, 0, . . .); isto é, com termos nulos a partir de um certo ´ındice k. 71

Sobre o conjunto ℓ2 construimos um espaco vetorial assim: dados (xn ), (yn ) ∈ ℓ e λ ∈ R definimos 2

(xn ) + (yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . .) λ · (xn ) = (λ x1 , λ x2 , . . .) No apêndice (pg. 80) mostramos que estas opera¸co˜es est˜ ao bem definidas, isto é que (xn ) + (yn ) ∈ ℓ2 e λ · (xn ) ∈ ℓ2 . podemos mostrar ainda que ℓ2 , +, · é um espa¸co vetorial. Para referências futuras, destacaremos aqui o seguinte subconjunto de ℓ2 : C0 0 =conjunto das seq¨ uências reais que só possuem uma quantidade finita de termos n˜ ao nulos. Temos que x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . .) ∈ C0 0

se e, somente se, existe um ´ındice k = kx natural, de modo que xm = 0 para todo m > k. Ou ainda: uma seq¨ uência pertence a C0 0 se, e somente se, todos os seus termos são nulos a partir de uma certa ordem. Observe que C0 0 , +, · é um espa¸co vetorial. Dizemos, um subespa¸co vetorial de ℓ2 , +, · .

1.4.1

Norma/Espa¸cos Vetoriais Normados

Seja E, +, · um espa¸co vetorial. Uma norma sobre este espa¸co é qualquer fun¸caõ real k · k : E −→ R

que associa a cada vetor u ∈ E o n´ umero real kuk, chamado a norma de u, desde que sejam satisfeitas as condi¸co˜es seguintes: N1 ) Se u 6= 0 ent˜ ao kuk 6= 0; N2 ) kλ · uk = |λ| · kuk,

∀ λ ∈ R e ∀ u ∈ E;

N3 ) ku + vk ≤ kuk + kvk, ∀ u, v ∈ E.

Observe que quando tomamos λ = 0 em N2 ) resulta k0 · uk = |0| · kuk ⇒ k0 · uk = k0k = 0

tomando λ = −1 nesta mesma igualdade obtemos k − uk = kuk. Por outro lado tomando v = −u em N3 ) resulta k0k = 0 ≤ kuk + k − uk = 2kuk da´ı kuk ≥ 0 para todo u ∈ E. Disto resulta que kuk > 0 ⇔ u 6= 0. Um espa¸co vetorial munido de uma norma é o que entendemos por um espa¸co vetorial normado. Ao acrescentarmos uma norma sobre um espa¸co vetorial, estamos enriquecendo esta estrutura. Por exemplo, em fun¸caõ da norma, podemos definir a ˆngulo e distˆ ancia entre vetores, no que resulta uma estrutura assaz enriquecida. Exemplos (de espa¸cos vetoriais normados): 72

1. Sobre o espa¸co vetorial R, +, · . A aplica¸caõ | · | : R −→ R

x 7−→ |x|

é uma norma sobre o espa¸co R, +, · , porquanto a fun¸caõ módulo satisfaz todas as condi¸co˜es exigidas para uma norma. Ver proposi¸caõ 16 (pg. 54) ´ıtens (a) e (c) e proposi¸caõ 17 (pg. 55). Observamos, an passant, que norma e módulo n˜ ao são a mesma coisa, isto é, são conceitos distintos. De fato, a norma é definida no contexto de espa¸cos vetoriais, portanto só tem sentido falar de norma de um vetor. Por exemplo, se tivermos trabalhando no ao o módulo n˜ ao conjunto Q ou Z ent˜ é uma norma uma vez que Q, +, · e Z, +, · n˜ ao são espa¸cos vetoriais.

2. Sobre o espa¸co vetorial Rn , +, · consideremos as aplica¸co˜es x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7−→kxk =

q x21 + x22 + · · · + x2n

x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7−→kxk = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7−→kxk = max |x1 |, |x2 |, . . . , |xn |

Aqui temos três exemplos de norma sobre o espa¸co vetorial Rn , +, · . O leitor pode mostrar que as condi¸co˜es da defini¸caõ de norma são satisfeitas. 3. Normas sobre o espa¸co C[a, b], +, · . A aplica¸caõ k · k : C[a, b] −→ R definida por kf k = max |f (x)| : x ∈ [a, b]

é uma norma sobre o espa¸co C[a, b], +, · . Isto est´ a demonstrado no apêndice (pg. 81). Por exemplo consideremos a fun¸caõ (vetor): f : [−1, 1] −→ R

x 7−→ x2 + 1

temos −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ |x| ≤ 1 ⇒ 1 ≤ x2 + 1 ≤ 2

Geometricamente temos

⇒ 1 ≤ f (x) ≤ 2 ⇒ kf k = max |f (x)| : − 1 ≤ x ≤ 1 = 2. 73

f (x)

r

2

6

ւ q

kf k

r

1q

p −1

p 1

0

-x

A aplica¸caõ k · k : C[a, b] −→ R definida por kf k =

Z

b a

|f (x)| dx

é uma outra norma sobre o espa¸co C[a, b], +, · . Isto est´ a demonstrado no apêndice (pg. 82). Por exemplo consideremos a fun¸caõ (vetor): f : [−1, 1] −→ R

x 7−→ x2 + 1

temos kf k =

Z

1

−1

|x2 + 1| dx =

8 3

Esta norma é dada pela área sob o gráfico da fun¸caõ: f (x)

r

2

6

q

r

1q kf k p −1

0

74

p 1

-x

1.4.2

Espa¸cos Vetoriais com Produto Interno

Seja E, +, · um espa¸co vetorial. Um produto interno sobre este espa¸co é qualquer fun¸caõ real h · , ·i : E × E −→ R que associa a cada par ordenado de vetores (u, v) ∈ E × E o n´ umero real hu, vi, chamado o produto interno de u por v, desde que sejam satisfeitas as condi¸co˜es seguintes: P1 ) P2 ) P3 ) P4 )

hu + v, wi = hu, wi + hv, wi,

hλ u, vi = λ · hu, vi,

hu, vi = hv, ui,

∀ u, v, w ∈ E;

∀ u, v ∈ E e ∀ λ ∈ R; ∀ u, v ∈ E;

u 6= 0 ⇒ hu, ui > 0.

Um espa¸co vetorial munido de um produto interno chama-se espa¸co vetorial com produto interno. Como corol´ ario das condi¸co˜es anteriores, obtemos: hu, v + wi = hu, vi + hu, wi; hu, λvi = λhu, vi; h0, vi = 0.

Mostremos a primeira identidade acima: P3

P1

P3

hu, v + wi = hv + w, ui = hv, ui + hw, ui = hu, vi + hu, wi. Ao acrescentarmos um produto interno sobre um espa¸co vetorial estamos enriquecendo esta estrutura. Por exemplo, em fun¸caõ do produto interno, podemos definir a ˆngulo e distˆ ancia entre vetores, no que resulta uma estrutura assaz enriquecida.

Norma Proveniente de Produto Interno O nosso objetivo agora é mostrar que, a partir de um produto interno, podemos obter uma norma. O que vai nos guiar em nosso objetivo é a seguinte exigência: kλ · uk = |λ| · kuk,

∀ λ ∈ R e ∀ u ∈ E.

Em fun¸caõ disto consideremos a equa¸caõ hλu, λui = λ2 · hu, ui

(1.4)

A fim de satisfazer a exigência mencionada vamos tomar a raiz quadrada nesta equa¸caõ: p p p hλu, λui = λ2 · hu, ui = |λ| · hu, ui Se definirmos

kuk =

p hu, ui

75

(1.5)

Teremos p hλu, λui p = λ2 · hu, ui p = |λ| hu, ui

kλ · uk =

= |λ| kuk

De imediato observamos que N1 ) e N2 ) (pg. 72) est˜ ao satisfeitas. Para provar N3 ) necessitamos da Desigualdade de Cauchy-Schwarz num espa¸co com produto interno que é a seguinte: hu, vi ≤ kuk kvk, ∀ u, v ∈ E. A prova desta desigualdade no caso particular em que u = 0 ou v = 0 é imediata. Se ambos estes vetores são n˜ ao nulos, ent˜ ao, para qualquer λ ∈ R, resulta: 0 ≤ ku + λvk2 = hu + λv, u + λvi

= hu, u + λvi + hλv, u + λvi = hu, ui + hu, λvi + hλv, ui + hλv, λvi = kuk2 + 2λhu, vi + kvk2 λ2 = kvk2 λ2 + 2 hu, viλ + kuk2 Aqui temos um trinômio do segundo grau em λ cujo valor é sempre n˜ ao negativo; no que resulta 2 ∆ = 2 hu, vi − 4kvk2 kuk2 ≤ 0 Logo

hu, vi2 ≤ kuk2 kvk2 ⇒ hu, vi ≤ kuk kvk.

Agora estamos habilitados a provar N3 ). Dados u, v ∈ E, temos: ku + vk2 = hu + v, u + vi

= hu, ui + hu, vi + hv, ui + hv, vi = kuk2 + 2hu, vi + kvk2 ≤ kuk2 + 2kuk kvk + kvk2 2 = kuk + kvk

Donde: ku + vk ≤ kuk + kvk. Sendo assim todo espa¸co vetorial com produto interno é também um espa¸co vetorial normado. Veremos oportunamente que a rec´ıproca deste fato n˜ ao vale. Exemplos (de espa¸cos vetoriais com produto interno) 1. Produto interno usual do espa¸co Rn , +, · Se u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) são vetores do espa¸co Rn , +, · , a aplica¸caõ (u, v) 7−→ hu, vi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . 76

é um produto interno neste espa¸co (exerc´ıcio). Observe que v v u n n n u X X u uX t 2 xi yi ≤ |hu, vi| ≤ kuk kvk ⇒ xi · t yi2 i=1

i=1

i=1

n

que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R . 2. Um produto interno sobre o espa¸co C[a, b], +, · . A aplica¸caõ Z b (f, g) 7−→ hf, gi = f (x) g(x) dx a

é produto interno sobre o espa¸co C[a, b], +, · (Exerc´ıcio). 3. Um produto interno sobre o espa¸co ℓ2 , +, · . No apˆ endice (pg. 80) mostramos que se (xn ) e (yn ) são elementos de P ℓ2 ent˜ ao ∞ e um n´ umero real (isto é, esta série é convergente). n=1 xn yn ´ Isto nos autoriza definir a aplica¸caõ h , i : ℓ × ℓ −→ R dada por

∞ X (xn ), (yn ) 7−→ xn yn n=1

que é um produto interno no espa¸co ℓ2 , +, · (Exerc´ıcio/sugestão: ver [AR] 4, pg. 57). 4. Um produto interno sobre o espa¸co C0 0 , +, · . A mesma aplica¸caõ anterior é um produto interno no espa¸co C0 0 , +, · .

Segmento de reta em espa¸cos vetoriais Segmento de reta no espa¸ co Rn , +, ·

Consideremos a = (a1 , . . . , an ) e b = (b1 , . . . , bn ) dois pontos no Rn . Definimos segmento de reta de extremos a e b como sendo o conjunto [a, b] = x = (1 − t)a + t b ∈ Rn : t ∈ [0, 1] . Observe que

t=0 t=1

⇒ ⇒

x = (1 − 0)a + 0 b = a x = (1 − 1)a + 1 b = b

Exemplos: (i) n = 2. Sejam a = (0, 0) e b = (1, 1). Temos [a, b] = x = (1 − t)a + t b ∈ Rn : t ∈ [0, 1]

(0, 0); (1, 1) = x = (1 − t)(0, 0) + t (1, 1) ∈ R2 : t ∈ [0, 1] = x = (t, t) ∈ R2 : t ∈ [0, 1] 77

y

6

q"

b

1

q

a (0,0)

(1,1)

տ

q

[a,b]

-x

q1

Figura 1.2: Segmento de reta de extremos (0, 0) e (1, 1). (ii) n = 3. Sejam a = (0, 1, 1) e b = (1, 0, 1). Temos [a, b] = x = (1 − t)a + t b ∈ Rn : t ∈ [0, 1]

(0, 1, 1); (1, 0, 1) = x = (1 − t)(0, 1, 1) + t (1, 0, 1) ∈ R2 : t ∈ [0, 1] = x = (t, 1 − t, 1) ∈ R2 : t ∈ [0, 1] z

6

q"

b

1

q

(1,0,1)

#q

a

(0,1,1)

q1

-x

1− y

Figura 1.3: Segmento de reta de extremos (0, 1, 1) e (1, 0, 1).

Segmento de reta em Espa¸ cos Quaisquer A defini¸caõ anterior para segmento de reta no espa¸co Rn , +, · se estende sem dificuldade para um espa¸co vetorial E, +, · arbitrário: Dados a, b ∈ E o segmento de reta de extremos a e b, que se indica por [a, b] é o seguinte subconjunto de E: [a, b] = x = (1 − t)a + t b ∈ E : 0 ≤ t ≤ 1 .

78

Exemplos: (i) Seja M2 (R), +, · o espa¸co vetorial no qual M2 é o conjunto da matrizes quadradas de ordem 2 com elementos reais. Fa¸ca um esbo¸co do segmento de reta de extremos 2 1 0 −2 a= e b= . 3 0 3 4 Ent˜ ao 2 1 0 −2 [a, b] = x = (1 − t) +t ∈ M2 : t ∈ [0, 1] 3 0 3 4 Atribuindo alguns valores a t, obtemos s ↑ 2 1 3 0

t= 12

t=0

2 6 6 4

3

2

7 7 5

6 6 4

s ↑ 1 − 21 3 2

s ↑ 0 −2 3 4 t=1

3 7 7 5

2 6 6 4

3 7 7 5

(ii) Seja C[a, b] o conjunto das fun¸co˜es reais cont´ınuas definidas no intervalo fechado [a, b]. Consideremos o espa¸co vetorial constru´ıdo sobre este conjunto. Fa¸ca um esbo¸co do segmento de reta de extremos X

a : [a, b] −→ R x 7−→ 2x+4 Ent˜ ao [a, b] =

b : [a, b] −→ R x 7−→ 4x2 +6

x = (1 − t)a + t b ∈ C : t ∈ [a, b] .

Atribuindo alguns valores a t, obtemos s ↑ a : [a, b] −→ R x 7−→ 2x+4 t=0

t= 12

s ↑ x : [a, b] −→ R x 7−→ 2x2 +x+5

s ↑ b : [a, b] −→ R x 7−→ 4x2 +6 t=1

Observe que, para t = 12 , obtemos:

Logo,

x = (1 − t)a + t b 1 1 1 1 a + b = a + b. = 1− 2 2 2 2 1 1 1 1 a(x) + b(x) = (2x + 4) + (4x2 + 6) 2 2 2 2 = x + 2 + 2x2 + 3 = 2x2 + x + 5.

Portanto, x1 : [a, b] −→ R 2 x 7−→ 2x2 +x+5 79

Apˆ endice: 1. Prova de que a soma e o produto em ℓ2 , +, · est˜ ao bem definidas (pg. 71). De fato, dado (xn ) ∈ ℓ2 temos ∞ X

n=1

λ · xn

2

=

∞ X

n=1

= λ2 ·

λ2 · x2n ∞ X

x2n ,

n=1

P∞

como, por hip´ otese, n=1 x2n é um n´ umero real (isto é, converge) segue que 2 P∞ também é convergente. Isto é, n=1 λ · xn se (xn ) ∈ ℓ2 ⇒ λ · (xn ) ∈ ℓ2 .

ver: [AR] 4, pg. 57. Vamos agora mostrar que a soma est´ a bem definida. Sejam (xn ) e (yn ) elementos de ℓ2 . Ent˜ ao ∞ X

xn + yn

n=1

2

= =

∞ X

n=1 ∞ X

x2n + 2xn yn + yn2 x2n +

n=1

∞ X

yn2 + 2

n=1

∞ X

xn yn .

n=1

P∞ P∞ 2 2 Como, por hip´ otese, n=1 xn < ∞ e n=1 P∞yn < ∞ por serem (xn ) e (yn ) elementos de ℓ2 , resta mostrar que n=1 xn yn < ∞ para termos 2 P∞ < ∞. n=1 xn + yn A desigualdade de Cauchy-Schwarz no Rk (pg. 77) que é v v u k u k k uX X X u t x y ≤ x2n · t yn2 n n n=1

n=1

n=1

juntamente com a desigualdade triangular∗ nos fornece v v k u k u k k X X uX u X t 2 xn · t yn2 xn yn ≤ xn yn ≤ n=1

n=1

n=1

n=1

Fazendo k −→ ∞ nesta desigualdade, obtemos v v u∞ ∞ ∞ X u X uX u 2 t xn yn ≤ xn · t yn2 < ∞. n=1

n=1

n=1

P∞ Daqui concluimos que se (xn ) e (yn ) são elementos de ℓ2 ent˜ ao n=1 xn yn é um n´ umero real. Ou ainda: (xn ) + (yn ) é um elemento de ℓ2 . ∗ Desigualdade

generalizada: |x1 y1 + · · · + xk yk | ≤ |x1 y1 | + · · · + |xk yk |.

80

2. Prova de que a aplica¸caõ dada por kf k = max |f (x)| : x ∈ [a, b] é uma norma sobre o espa¸co vetorial C[a, b], +, · .

N1 ) Se f 6= 0 ent˜ ao f (x) 6= 0 para algum x ∈ [a, b], logo kf k = max |f (x)| : x ∈ [a, b] 6= 0; N2 ) Seja agora λ ∈ R. Ent˜ ao,

kλf k = max |λ f (x)| : x ∈ [a, b] = max |λ| · |f (x)| : x ∈ [a, b] = |λ| · max |f (x)| : x ∈ [a, b] = |λ| · kf k; N3 ) Sejam f e g fun¸co˜es em C[a, b], +, · . Devemos mostrar que kf + gk ≤ kf k + kgk

isto é, max |f (x) + g(x)| : x ∈ [a, b] ≤ max |f (x)| : x ∈ [a, b] + max |g(x)| : x ∈ [a, b]

Pelo teorema [AR] 1 (pg. 57): ∃ x1 ∈ [a, b] :

x∈[a, b]

max |f (x) + g(x)| = |f (x1 ) + g(x1 )|

(1.6)

∃ x2 ∈ [a, b] :

x∈[a, b]

max |f (x)| = |f (x2 )|

(1.7)

∃ x3 ∈ [a, b] :

x∈[a, b]

max |g(x)| = |g(x3 )|

(1.8)

sendo assim devemos mostrar que |f (x1 ) + g(x1 )| ≤ |f (x2 )| + |g(x3 )| De (1.7) temos |f (x1 )| ≤ |f (x2 )|

(1.9)

|g(x1 )| ≤ |g(x3 )|

(1.10)

|f (x1 )| + |g(x1 )| ≤ |f (x2 )| + |g(x3 )|

(1.11)

De (1.8) temos Logo, Por outro lado, temos |f (x1 ) + g(x1 )| ≤ |f (x1 )| + |g(x1 )| De (1.11) resulta: |f (x1 ) + g(x1 )| ≤ |f (x2 )| + |g(x3 )| 81

2. Prova de que a aplica¸caõ dada por kf k =

Z

b

|f (x)| dx

a

é uma norma sobre o espa¸co vetorial C[a, b], +, · .

N1 ) Se f 6= 0 ent˜ ao f (x) 6= 0 para algum x ∈ [a, b], logo kf k =

Z

a

b

|f (x)| dx 6= 0;

Ver teorema [AR] 9 (pg. 57). N2 ) Seja agora λ ∈ R. Ent˜ ao, kλf k =

Z

b

a

= |λ|

|λf (x)| dx Z

b a

|f (x)| dx = |λ| · kf k;

N3 ) Sejam f e g fun¸co˜es em C[a, b], +, · . Devemos mostrar que kf + gk ≤ kf k + kgk

ent˜ ao, Z

b

kf + gk =

Z

b

≤

a

a

f + g (x) dx = f (x) dx +

Z

a

b

Z

a

b

f (x) + g(x) dx

g(x) dx = kf k + kgk.

Ver teorema [AR] 8 (pg. 57) + desigualdade △.

82

Cap´ıtulo

2

´ ESPAC ¸ OS METRICOS “A abstra¸caõ desobstrui o esp´ırito, o torna mais leve e dinˆ amico.” (Gaston Bachelard)

2.1

Introdu¸ c˜ ao

Na teoria dos espa¸cos métricos busca-se a generaliza¸caõ de alguns dos conceitos estudados no C´ alculo e na Análise Real, especialmente aqueles onde intervêm a no¸caõ de distância (conceitos topológicos). Esta generaliza¸caõ será suficientemente ampla para se aplicar a qualquer conjunto. Como veremos, podemos calcular a distância entre dois elementos de quaisquer conjuntos, n˜ ao importando a natureza destes elementos. A defini¸caõ de espa¸cos métricos dada a seguir é uma abstra¸caõ fundamentada, quase que totalmente, na experiência com os n´ umeros reais. Mas esta defini¸caõ é suficientemente flex´ıvel para incluir uma grande variedade de espa¸cos métricos, como teremos oportunidade de constatar. Antes de apresentarmos a defini¸caõ de espa¸co métrico, lembramos ao leitor que a matemática assemelha-se aos jogos nos quais as regras são arbitradas. Por exemplo, as regras do xadrez, futebol, voleybol, etc. s˜ ao conven¸co˜es e como tal podem ser questionadas e até n˜ ao aceitas. Acontece que aquele que n˜ ao aceitar as regras do jogo, por uma quest˜ ao de coerência, deve ficar de fora da “brincadeira”. A cita¸caõ a seguir ajudar´ a o leitor a enxergar com mais naturalidade a defini¸caõ de espa¸cos métricos, dada logo mais: “Uma das contribui¸co ˜es definitivas do século dezenove foi o reconhecimento de que a matem´ atica n˜ ao é uma ciência natural, mas uma cria¸ca õ intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no International Monthly em 1901: ‘O século dezenove, que se orgulha da inven¸ca õ do vapor e da evolu¸ca õ, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo a ` fama da descoberta da matem´ atica pura.’ Pelo fim do século era geralmente reconhecido mesmo por n˜ ao-matem´ aticos que a matem´ atica é pensamento postulacional, em que de premissas arbitr´ arias s˜ ao tiradas conclus˜ oes v´ alidas. Que os postulados sejam ou n˜ ao verdadeiros num sentido cient´ıfico é indiferente”. (Extra´ıdo do Livro: “Curso Moderno de Filosofia”/Por Denis Huisman e André Vergez/Biblioteca Universitária Freitas Bastos) 83

Quanto ao papel desempenhado pelos axiomas em um sistema axiomático, como o que estaremos a considerar, vejamos a seguinte cita¸caõ∗ : Sendo os axiomas considerados n˜ ao mais como evidências, mas simples conven¸co ˜es operat´ orias contingentes, as proposi¸co ˜es deles deduzidas, por sua vez, perdem o car´ ater de verdades absolutas. A soma dos a ˆngulos de um triˆ angulo é igual a dois retos? Sim, caso adotemos o axioma (ou postulado) euclidiano das paralelas; n˜ ao, caso adotemos axiomas n˜ ao-euclidianos. Como bem afirma Blanché: “N˜ ao h´ a mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer, atˆ omica: sua verdade é apenas sua integra¸ca õ no sistema; e é por isso que teoremas incompat´ıveis entre si podem ser igualmente verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes. Os pr´ oprios axiomas n˜ ao s˜ ao nem verdadeiros nem falsos.” (Extra´ıdo do Livro: “Curso Moderno de Filosofia”/Por Denis Huisman e André Vergez/Biblioteca Universitária Freitas Bastos) Ainda da mesma obra vejamos o que se tem a dizer com respeito às defini¸co˜es matemáticas: As defini¸co ˜es matem´ aticas parecem opor-se radicalmente a `s defini¸co ˜es emp´ıricas porque os seres matem´ aticos n˜ ao s˜ ao objetos que se descubram na natureza. ˜es emp´ıricas, no fundo, s˜ ao simples descri¸co ˜es de coisas j´ a existentes As defini¸co . . . . O naturalista que define o p´ assaro, n˜ ao o cria: descobre-o. Contrariaõ do c´ırculo mente, o c´ırculo n˜ ao designa um objeto existente, mas é a defini¸ca que o cria. Também poder´ıamos dizer que “se a defini¸ca õ emp´ırica n˜ ao passa de uma c´ opia, a defini¸ca õ matem´ atica é um modelo”. A defini¸ca õ matem´ atica n˜ ao é descritiva é criadora. A rela¸ca õ entre o matem´ atico e os seres matem´ aticos é a mesma existente entre um deus e suas criaturas. A defini¸ca õ matem´ atica é uma regra operat´ oria. N˜ ao é mesmo necess´ ario que alguma coisa de concreto lhe corresponda (cf. o n´ umero negativo, os “imagin´ arios”), basta, como diz Le Roy, que o conceito por ela proposto “forne¸ca ao esp´ırito matéria de exerc´ıcio efetivo e operat´ orio”.

2.2

Medindo distˆ ancias

Dados dois pontos em um plano, como na figura a seguir, A

•

B

•

a matemática admite n˜ ao apenas uma mas v´ arias maneiras de se medir a distˆ ancia entre estes dois pontos.

A distância (métrica) do “táxi” Aqui tentaremos convencer o leitor de que, dados dois pontos, surgem de maneira natural diferentes modos de se medir a distância entre estes pontos. De outro modo: em matemática (e também na f´ısica) n˜ ao existe uma u ´ nica maneira ∗ Esta cita¸ ca õ tamb´ em tem por objetivo “confortar” o leitor, em alguns momentos de “crise existencial” , pelos quais este certamente vir´ a a passar ao longo do nosso estudo.

84

de se medir distâncias. Em outras palavras, a régua vendida em nossas livrarias, ou as trenas vendidas em nosso comércio n˜ ao são os u ´ nicos instrumentos de axi. Suponhamos medida. Vejamos um exemplo trivial do nosso dia a dia: o t´ que alguém queira se deslocar (em um t´ axi) do ponto A ao ponto B - separados por uma esquina - e que o ponto B esteja a uma distância de quatro unidades para a direita e três unidades abaixo do ponto A, assim: A

A

•

4

•

ր

3

5

•B

•B

Pois bem, existem duas distâncias entre os pontos A e B: a que é mais conveniente (e justa) para o taxista, 4 + 3 = 7; e a que seria mais conveniente para o passageiro: 5. A métrica (medida) do t´ axi é também conhecida em matemática como métrica da soma. A outra distância (5) é conhecida como distância usual ou euclidiana. • N~ ao existe uma dist^ ancia mais ou menos verdadeira que outra A estas alturas uma pergunta ingênua, todavia pertinente, seria: Em existindo mais que uma distˆ ancia entre dois pontos, qual a verdadeira? Vamos responder esta pergunta de um modo que o leitor sinta na pele, por assim dizer, nosso argumento. Suponhamos que você deseja se deslocar, em seu local de trabalho, do prédio A para o prédio B e que entre ambos existem dois caminhos dispon´ıveis, assim:

−→

B

ր

A

Ao chegar “no atalho” (bifurca¸caõ), você percebe que o caminho mais curto (linha reta) encontra-se sob um sol causticante e que o outro caminho encontrase à sombra. Qual dos dois caminhos (distˆ ancias) escolher? Perceba aqui que o caminho (distˆ ancia) deve ser escolhido segundo um critério particular (pessoal); nenhum é mais, ou menos, “verdadeiro” que o outro, apenas mais conveniente segundo um dado critério. Por exemplo, se o 85

leitor tem tempo de sobra e n˜ ao quer suar, deve escolher o caminho mais longo; por outro lado, se tem pressa e n˜ ao se importa com o calor o caminho mais curto (euclidiano, “usual”) deve ser o escolhido. Do ponto de vista da matemática, isto é, da lógica, todas as métricas gozam do mesmo status. O que acontece é que a métrica (trena) usual é a mais conveniente para, por exemplo: o pedreiro, o carpinteiro, para o engenheiro civil, etc., porque esta é suficiente para resolver todos os seus problemas de medida. Já para o matemático e o f´ısico, estes profissionais têm necessidade − em seus trabalhos − de “outras réguas”, as quais n˜ ao se encontram no comércio, pois são, por assim dizer, abstratas. A prop´ osito, acontece − no que diz respeito às métricas − o mesmo que ocorre no ˆ ambito das geometrias euclidiana e n˜ ao-euclidianas. A de Euclides n˜ ao é nem mais nem menos verdadeira que as outras; pode ou n˜ ao ser a mais conveniente a determinados prop´ ositos; por exemplo, Einstein ao formular sua Teoria da Relatividade (Gravita¸caõ) preferiu optar por uma das geometrias n˜ aoeuclidianas (optou pela geometria riemanniana). Por exemplo, para provar (oportunamente) que os matemáticos equivocaramse quanto ao significado da igualdade 0, 999 . . . = 1, utilizaremos uma métrica que n˜ ao é a euclidiana, esta n˜ ao serviria a esse prop´ osito. Quais são as exigências que determinada “régua” deve satisfazer para que, de fato, seja considerada uma distância? Todos os matemáticos est˜ ao de acordo com a seguinte:

2.3

Defini¸ c˜ ao de espa¸cos m´ etricos

Defini¸ c˜ ao 22 (Espa¸co Métrico). Seja M 6= ∅ um conjunto qualquer. Consiõ d : M × M −→ R, que associa a cada par ordenado deremos uma aplica¸ca (x, y) ∈ M × M um n´ umero real d(x, y) satisfazendo as seguintes condi¸co ˜es (para quaisquer x, y e z em M ): (M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ; (M2 ) d(x, y) = d(y, x) ; (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Nestas condi¸co ˜es dizemos que d é uma métrica sobre M e que d(x, y) é a distˆ ancia do elemento x ao elemento y. Podemos dizer também que uma aplica¸ca õ d : M × M −→ R satisfazendo as condi¸co ˜es anteriores adquire status de métrica. O par (M, d) é o que entendemos por espa¸co métrico. Nota: Chamamos a aten¸caõ do leitor para o fato de que espa¸co métrico é ao um conjunto, tanto é que o mesmo conjunto munido uma “estrutura” e n˜ com métricas distintas d´ a origem a espa¸cos métricos distintos. Doravante cada elemento de um espa¸co métrico será referido como ponto desse espa¸co, independentemente de sua natureza. A exigência feita em (M1 ) é bastante intuitiva: uma distância nunca é negativa; se a distância entre dois pontos é nula ent˜ ao, obrigatoriamente, estes 86

pontos são o mesmo (s˜ ao iguais), e; reciprocamente: a distância de um ponto para si mesmo deve ser nula. A exigência feita em (M2 ), também assaz intuitiva, foi tomada de empréstimo do dito popular que todos conhecemos: “fulano!! vem c´ a! E o fulano responde: vem c´ a t´ u, pois a distância daqui prá lá, é a mesma de lá prá c´ a”. Como se vê, qualquer um j´ a possui, intuitivamente, os rudimentos para iniciar-se nos espa¸cos métricos. A exigência feita em (M3 ), a menos intuitiva, é conhecida como desigualdade triangular e se inspira no fato de que na geometria elementar cada lado de um triângulo tem sempre medida menor que a soma das medidas dos outros dois lados. xs

d(x, y)

s

y

d(x, z)

s

z

d(z, y)

Pode ser u ´ til vermos um espa¸co métrico como um sistema de processamento de informa¸co˜es, onde temos: ( M, d ) software hardware

O conjunto de instru¸co ˜es (software) é passado através da métrica. Observe que se no par ( M, d ) mudarmos apenas a métrica (algoritmo, software) teremos um outro sistema de “processamento de informa¸co˜es”; um outro espa¸co métrico que − na maioria das vezes − pouco ter´ a a ver com o primeiro.

2.3.1 1)

Exemplos de espa¸cos m´ etricos

A reta usual (oficial) Considere o conjunto R dos n´ umeros reais. A fun¸caõ d : R × R −→ R, dada por d(x, y) = |x − y|,

é uma métrica sobre R. As exigências (M1 ) e (M2 ) são decorrências imediatas das propriedades do módulo (ver pg. 56), quanto a (M3 ), devemos mostrar que |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| Isto decorre da desigualdade triangular para n´ umeros reais. Assim |x − y| = (x − z) + (z − y) ≤ |x − z| + |z − y|. Por exemplo

d(5, 3) = |5 − 3| = 2 ; Geometricamente, temos

5 3 3 d , −1 = − (−1) = . 2 2 2 87

d

⊢

s q

−1

2)

= 32 −(−1) =2,5 ⊣

3 2 , −1

q0

s

q1

d(5, 3)=|5−3|=2

⊢

s q3

q2

⊣

q4

s q5

-R

A m´ etrica “zero-um” Uma importante métrica - aplic´ avel a qualquer conjunto - é dada a seguir: Seja M um conjunto qualquer. Consideremos d : M × M −→ R

definida por d(x, y) =

(

1, se e só se x 6= y; 0, se e só se x = y.

Vamos mostrar que d, assim definida, é uma métrica. De fato, esta aplica¸caõ, da maneira como foi definida, claramente satisfaz (M1 ) e (M2 ). Vamos mostrar que (M3 ) também é satisfeita: Dados x e y em M temos duas alternativas, x = y ou x 6= y: ( i ) Se x = y ent˜ ao d(x, y) = 0. Substituindo este resultado em (M3 ), temos 0 ≤ d(x, z) + d(z, y), como, pela defini¸caõ de d, d(x, z) ≥ 0 e d(z, y) ≥ 0, temos que esta desigualdade é trivialmente satisfeita. ( ii ) Se x 6= y ent˜ ao ou x 6= z ou y 6= z. Neste caso temos d(x, y) = 1 e ou d(x, z) = 1 ou d(y, z) = 1. Em qualquer situa¸caõ a desigualdade d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) estar´ a satisfeita. Observe que esta prova n˜ ao depende da natureza dos elementos de M , o que implica que o par (M, d) é um espa¸co métrico independentemente de quem seja o conjunto M . • Por exemplo considere o conjunto das vogais A = { a, e, i, o, u }, ent˜ ao o par (A, d) é um espa¸co métrico onde, por exemplo, temos as seguintes distâncias d(a, e) = 1 ; d(o, u) = 1 ; d(u, u) = 0. uma vez que a 6= e, o 6= u e u = u. • Considere o seguinte conjunto de caracteres C = { θ, ρ, $, Ω }, ent˜ ao o par (C, d) é um espa¸co métrico, onde, por exemplo temos as seguintes distâncias d(θ, Ω) = 1 ; d(ρ, θ) = 1 ; d($, $) = 0. uma vez que θ 6= Ω, ρ 6= θ e $ = $. • Considere o conjunto R de n´ umeros reais , ent˜ ao o par (R, d) é um espa¸co métrico, onde, por exemplo temos as seguintes distâncias 3 √ √ d(5, 3) = 1 ; d , −1 = 1 ; d( 2, 3) = 1 ; d(π, π) = 0. 2 88

Nota: Como neste livro trabalharemos com muitas métricas, vamos adotar s´ımbolos especiais para algumas e numerar (indexar) outras. Por exemplo a métrica “zero-um”, será denotada por δ e a métrica oficial sobre R por µ. Novamente enfatizamos que os espa¸cos métricos ( R, µ) e ( R, δ) são distintos, inclusive por que para um mesmo par de pontos eles fornecem distâncias diferentes, por exemplo: µ(5, 3) = |5 − 3| = 2 e δ(5, 3) = 1. 3)

A M´ etrica Divina (ou quˆ antica)

“Quando

o esp´ırito se apresenta a `

cultura cient´ıfica, nunca ´ e jovem. Ali´ as ´ e bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder a ` ciˆ encia ´ e rejuvenescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ca õ que contradiz o passado.” (Gaston Bachelard)

Consideremos a seguinte aplica¸caõ k : [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [−→ R definida por

k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y|

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que k é uma métrica em [ 0, 1 [. Observe por que devemos excluir o extremo direito do intervalo unit´ ario: isto se deve a que, caso contr´ ario, k(1, 0) = min |1 − 0|, 1 − |1 − 0| = 0

o que estaria em flagrante desrespeito à exigência (M1 ) da defini¸caõ de métrica, digo: d(x, y) = 0 ⇒ x = y. Esta métrica é de f´ acil manipula¸caõ e funciona assim: dados dois pontos x e y, ambos no intervalo [ 0, 1 [, entre chaves obteremos dois valores: escolhemos o menor deles como sendo a distância entre os pontos x e y. Por exemplo, k(0, 2; 0, 6) = min |0, 2 − 0, 6|, 1 − |0, 2 − 0, 6| = min 0, 4; 0, 6 = 0, 4 k(0, 2; 0, 8) = min |0, 2 − 0, 8|, 1 − |0, 2 − 0, 8| = min 0, 6; 0, 4 = 0, 4 k(0, 2; 0, 9) = min |0, 2 − 0, 9|, 1 − |0, 2 − 0, 9| = min 0, 7; 0, 3 = 0, 3 t t t t ⊢ ⊢ 0

0, 2

1 2

0, 6

0, 8

0, 9

1

Por oportuno, observe que,

k ( 0, 2; 0, 6 ) = k ( 0, 2; 0, 8 ) > k ( 0, 2; 0, 9 ).

(2.1)

´ isto mesmo que o leitor presencia!!: a distˆ E ancia entre o primeiro e o segundo ponto − no diagrama acima − é igual à distância entre o primeiro e o terceiro ponto que . . . pasmem!! é maior que a distância entre o primeiro e o quarto ponto! 89

Poder´ıamos, com inteira raz˜ ao, cham´ a-la de “métrica maluca” ou até, quem sabe, “métrica hiper-maluca”. No entanto, vejamos o que o eminente filósofo tem a nos dizer a este respeito, “Tudo isso, que a ` primeira vista parece excesso de irraz˜ ao, na verdade é o efeito da finura e da extens˜ ao do esp´ırito humano e o método para encontrar verdades até ent˜ ao desconhecidas.” (Voltaire) De fato, as palavras do filósofo me serviram, ami´ ude, de apoio psicológico quando − a princ´ıpio − me sentir tentado a olhar com desdém para a “métrica maluca”! A quest˜ ao é que alguns matemáticos procedem como o pai que se detém mais nas qualidades do “filho” e, obstinadamente, negligenciam seus “defeitos”. N´ os decididamente consideramos também os “defeitos”, pois somos dos que acreditam que podemos tirar grandes li¸co˜es dos mesmos. Uma vez que a crian¸ca foi gerada devemos assum´ı-la integralmente, mesmo correndo o “risco” de sermos escarnecidos. Sou fascinado por paradoxos cient´ıficos. A exemplo do que ocorre nas f´ısicas quˆ antica e relativistica, a matemática também comporta seus paradoxos (“patologias”). Por exemplo a métrica k nos brinda com muitos paradoxos interessantes, os quais estaremos exibindo ao longo do livro. Vamos necessitar da distância de um ponto arbitrário x ∈ [ 0, 1[ ao ponto 0, assim k(x, 0) = min |x − 0|, 1 − |x − 0| = min |x|, 1 − |x| Como 0 ≤ x < 1, temos |x| = x, logo,

k(x, 0) = min x, 1 − x

Temos,

x≤ 1−x ⇔ x≤

1 2

Sendo assim, podemos escrever:

k(x, 0) = min x, 1 − x

=

  x,

se 0 ≤ x ≤ 21 ;

 1 − x,

se

1 2

(2.2)

≤ x < 1.

Esta equa¸caõ nos diz, simplesmente, que se x é um ponto na primeira metade do intervalo, ent˜ ao sua distância para a origem é igual “a ele próprio”. Se x é um ponto na metade direita do intervalo, ent˜ ao sua distância para a origem é 1 − x. Veja, x 0

s

x

1−x

q12

x 1

0

q12

A seguir esbo¸camos o gráfico da fun¸caõ dada por k(x, 0): 90

s

x

1−x

1

k(x, 0) 1

q

1 2

q

x

q

0

1

1 2

q12

0

s

1

x

Este gr´ afico nos mostra como varia a distância de um ponto arbitrário x à origem. Na figura a seguir acrescentamos ao gráfico anterior (para efeito de compara¸caõ) a distância usual, d(x, 0) = |x − 0|, de um ponto arbitrário x do intervalo [ 0, 1 [ ` a origem: k(x, 0) 1

q

1 2

q

x

q

0

1

1 2

A partir do gr´ afico de k(x, 0) constru´ımos a régua oficial do universo [0, 1[, k , assim:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

1 INMETRO

0

Figura 2.1: Régua divina Nota: Observamos que esta régua é t˜ ao leg´ıtima quanto a usual - vendida em nossas livrarias, tanto é que j´ a a homologamos junto ao Inmetro. Esta régua nos será bastante u ´ til para destrinchar alguns paradoxos. Nota: O “1” no extremo direito da régua é “virtual”, digo, na verdade n˜ ao existe. Como funciona a régua Divina? Funciona de modo bem simples, n˜ ao é necessário nenhum manual de instru¸caõ. Com efeito, a régua acima nos fornece diretamente a distância de um ponto qualquer para a origem 0. Ou ainda, mede a distância de qualquer ponto do intervalo [ 0, 1 [ para a origem, graficamente: 91

1 2

1 4

p

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

p

0,4

0,3

1

0,2

0,1

1 INMETRO

0

3 4

p

Já tive a oportunidade de mencionar que sou fascinado por paradoxos∗, por exemplo, observe que paradoxal, na ilustra¸caõ a seguir: As

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

Cs

0,3

0,2

0,1

1 INMETRO

ր0

Bs

Origem

Os pontos A e B encontram-se à mesma distância da origem . . . Pasmém! Podemos escrever: k(A, 0) = 0, 4 = k(B, 0) E, o que é “pior”, o ponto C encontra-se mais próximo da origem que qualquer dos pontos A e B . . . Pasmém ao cubo!!! Podemos escrever: k(C, 0) = 0, 2 < 0, 4 = k(A, 0) = k(B, 0)

(2.3)

A raz˜ ao dos nomes da m´ etrica O gr´ afico de k(x, 0) mostra que quanto mais nos “afastamos” da origem a partir da metade - mais nos aproximamos. Precisamente por esta raz˜ ao decidimos chamar k de a métrica divina: mesmo tendo a impressão de estar se afastando, na verdade você aproxima-se da origem. Digo, por mais que se caminhe (evolua) estamos sempre, a cada passo, mais próximo da origem de tudo. O alfa (α) e o ˆ omega (ω) de Teilhard de Chardin se confundem! Uma aplica¸ c˜ ao na m´ıstica/M´ etrica divina e

Bhagavad Gita

Existem asser¸co˜es que, ao nos encontrar desprevenidos, nos d˜ ao a sensa¸caõ, por assim dizer, de “um estupro à raz˜ ao”, tais como a afirmativa em destaque no verso seguinte : “Est´ a dentro e fora de todos os seres; ´ e movente e tamb´ em imovente; a perto e ao mesmo tempo distante". e t~ ´ ao sutil que ´ e impercept´ ıvel; est´ ( Bhagavad Gita - XIII-16 )

Veremos que, em casos como estes, a métrica divina nos restitui a “virgindade”. De fato, ao lê − pela primeira vez − a afirmativa: est´ a perto e ao mesmo tempo distante, confesso que senti um, por assim dizer, “desconforto intelectual”. Como algo pode est´ a perto e simultˆ aneamente distante? ∗ Como

o leitor pode ver, neste mundo de meu Deus existe maluco de tudo quanto ´ e tipo.

92

Devo admitir que minhas inquieta¸co˜es, a este respeito, foram totalmente dirimidas (dissipadas) com o uso da métrica divina; sen˜ ao vejamos: • 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

1 INMETRO

0

Figura 2.2: Régua divina e Bhagavad Gita Considere o ponto, do intervalo [ 0, 1 [, em destaque na régua acima, observe que ele est´ a perto e ao mesmo tempo distante da origem: k(0; 0, 9) = min |0, 9 − 0|, 1 − |0, 9 − 0| Distante pela régua humana: |0, 9 − 0| = 0, 9 e próximo pela divina: 1 − |0, 9 − 0| = 0, 1. Ainda podemos vislumbrar o paradoxo acima graficamente, assim: k(x, 0)

1

q

0, 9

1 2

q

0, 1

•

0

x 1

Para os que ficaram insatisfeitos com a interpreta¸ca õ m´ıstica que demos para a métrica k, vejamos uma outra, um tanto quanto mais − por assim dizer − materialista (concreta): vamos curvar o intervalo [ 0, 1 [ segundo um relógio de comprimento 1, ou ainda, de raio 2πr = 1, assim 1 0

rθ

p1

p1

2

2

93

tx

1 4

p

p

p

3 4

1 4

p

3 4

⌣

1 0

ty

Pois bem, definindo a “distˆ ancia angular” entre os ponteiros como sendo o menor dos angulos θ e 360o − θ, isto é d(x, y) = min{ θ, 360o − θ } ´ isto o que significa teremos uma idéia de como funciona a métrica divina. E dizer que a métrica curva o espa¸co. Nas figuras seguintes ilustramos as rela¸co˜es dadas em (2.1) (pg. 89),

0, 8

r

s

s0, 2

3 4

1 4

r

p1

s

p1

p1

2

2

2

0, 6

C

s

1 4

0

1 4

p

3 4

1

p

Na figura da direita ilustramos as rela¸co˜es dadas em (2.3), pg. 92.

s0, 2

p

3 4

p

1 4

1 0 0, 9

p

s0, 2

p

r

p

p

3 4

1 0

s

1 0

s

B

p

1 2

s

A

Nota: Oportunamente (pg. 298) ficará claro o porque do nome alternativo: Métrica quˆ antica.

94

2.3.2

M´ etricas sobre o R2

Vamos agora definir algumas métricas sobre o conjunto R×R = R2 dos pares ordenados de n´ umeros reais. 4) O plano usual (oficial) A fun¸caõ, D1 : R2 × R2 −→ R,

dada por

D1 (x, y) =

p (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ), é uma métrica sobre R2 . R

6

s

(x , x ) 1 2

D1 ց

⇒

s

⊡ (y , y ) 1 2

-R

0

D1 é conhecida como métrica euclidiana ou usual do R2 e naturalmente se inspira na f´ ormula da distância entre dois pontos da geometria anal´ıtica plana. No apêndice (pg. 132) provamos que D1 é de fato uma métrica sobre R2 . Exemplo: Calcular a distância entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5). Solu¸ c˜ ao: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5). Ent˜ ao p D1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 p D1 (1, 1), (4, 5) = (1 − 4)2 + (1 − 5)2 = 5. 5)

A m´ etrica da soma (ou do t´ axi) A fun¸caõ,

D2 : R2 × R2 −→ R,

dada por

D2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |

onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) é uma métrica sobre R2 . R

6

s(x1 , x2 ) |x2 −y2 |

(y1 , y2 )

s

⇒ D2 →

↓

⊡ |x −y | 1 1

-R

0

95

D2 é conhecida como métrica da soma (ou do t´ axi). No apêndice (pg. 133) provamos que D2 é de fato uma métrica sobre R2 . Exemplo: Calcular a distância entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5). Solu¸ c˜ ao: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5), ent˜ ao

6)

D2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | D2 (1, 1), (4, 5) = |1 − 4| + |1 − 5| = 7.

A m´ etrica do m´ aximo A fun¸caõ

D3 : R2 × R2 −→ R,

dada por

D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 |

onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) é uma métrica sobre R2 . R

6

(x , x ) 1 2

|x −y | 2 2

=⇒

D3 (y1 , y2 )

⊡ |x −y | 1 1

-R

0

D3 é conhecida como métrica do máximo. No apêndice (pg. 134) provamos que D3 é de fato uma métrica sobre R2 . Exemplo: Calcular a distância entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5). Solu¸ c˜ ao: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5), ent˜ ao D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 | D3 (1, 1), (4, 5) = max |1 − 4|, |1 − 5| = max{ 3, 4 } = 4.

Como era de se esperar, os três espa¸cos nos fornecem diferentes distâncias para um mesmo par de pontos. Vejamos estas distâncias graficamente: R

6

R

6

R

(4,5)

D1

5

4

5

3 (1,1) 0

6 (4,5)

(4,5)

5

4

(1,1) 0

Ou ainda, 96

D3

3

3

-R

4

D2

-R

(1,1) 0

-R

R

6

R

-R

0

6

R

-R

0

6

-R

0

Figura 2.3: Distˆ ancias diferentes para um mesmo par de pontos. ´ Parece Mas N˜ ao E Na geometria a circunferência é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano eq¨ uidistantes de um ponto dado do mesmo plano. O ponto dado recebe o nome de centro da circunferência, e a distância comum de todos os pontos do lugar ao centro é denominado raio. Observe que nesta defini¸caõ intervém o conceito de distância. Por exemplo, a equa¸caõ da circunferência de centro (0, 0) e raio r = 1, na métrica euclidiana fica R 1

√

s

(x−0)2 +(y−0)2 =1

⇓

6

−1

x2 +y 2 =1

1

-R

−1

Observe que esta figura n˜ ao é uma circunferência nas métricas D2 e D3 . Por exemplo, R 1

D2 (1, 0), (0, 0) =|1−0|+|0−0|=1 D2

√

2 2 ,

√

2 2

√ √ √ , (0, 0) = 22 −0 +| 22 −0|= 2

6 ←(

−1

(0,0)

√

2 2 ,

s- R

√

2 2 )

1

−1

´ N˜ ao Parece Mas E Perguntamos: como seria o lugar geométrico da circunferência nas métricas D2 e D3 ? A circunferência de centro (0, 0) e raio r = 1, por exemplo, na métrica D2 é o seguinte subconjunto do R2 : C (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D2 (x, y), (0, 0) = 1 = (x, y) ∈ R2 : |x − 0| + |y − 0| = 1 = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| = 1 ´ o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a equa¸caõ: |x| + |y| = 1. E A circunferência fica assim: 97

R

6

1

q C((0,0); 1)

−1

p

p1 −1

-R

q

A circunferência de centro (0, 0) e raio r = 1, por exemplo, na métrica D3 é o seguinte subconjunto do R2 : C (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D3 (x, y), (0, 0) = 1 = (x, y) ∈ R2 : max |x − 0|, |y − 0| = 1 = (x, y) ∈ R2 : max |x|, |y| = 1 ´ o conjunto dos pontos que satisfazem a equa¸caõ: max |x|, |y| = 1. E Uma alternativa para esbo¸car o gráfico desta equa¸caõ é escrevê-la como |x| + |y| + |x| − |y| =1 (2.4) max |x|, |y| = 2 porquanto max{a, b} =

a+b+|a−b| 2

vale para a e b reais, como é fácil de provar. R

Pois bem, separando a equa¸caõ (2.4) em cada um dos quadrantes visualizamos a circunferência, na métrica D3 , como na figura ao lado.

1

−1

6 C((0,0); 1)

1

-R

−1

A t´ıtulo de curiosidade observe que |x|+|y|+ |x|−|y| = 2 é uma equa¸caõ cartesiana (euclidiana) para o quadrado da figura. As três distâncias vistas para o R2 são facilmente generalizadas para o n R , do seguinte modo: p D1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 (2.5) D2 (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |

onde x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .

98

(2.6)

(2.7)

7)

Distˆ ancia entre matrizes

Seja Mm×n (R) o conjunto das matrizes reais de ordem m por n. Para calcular a distância entre duas matrizes lan¸caremos mão de um artif´ıcio: Identificaremos uma matriz do conjunto Mm×n (R) com um ponto do conjunto Rm×n do seguinte modo   a11 . . . a1n  a21 . . . a2n   A=  . . . . . . . . . . . . . .  ↔ a = (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn ) am1 . . . amn  b11 . . . b1n  b21 . . . b2n   B=  . . . . . . . . . . . . . .  ↔ b = (b11 , . . . , b1n , b21 , . . . , b2n , . . . , bm1 , . . . , bmn ) bm1 . . . bmn 

Feito isto definiremos a distância entre as matrizes A e B como sendo a distância entre os respectivos pontos a e b. Sendo assim temos as seguintes distâncias p D1 (A, B) = (a11 − b11 )2 + · · · + (amn − bmn )2 (2.8) D2 (A, B) = |a11 − b11 | + · · · + |amn − bmn | D3 (A, B) = max |a11 − b11 |, . . . , |amn − bmn |

(2.9)

(2.10)

Exemplo: Calcule a distância entre as matrizes 2 1 3 0 2 1 A= e B= 3 0 2 3 4 5 Solu¸ c˜ ao: Temos A=

2 1 3 0

3 2

↔ a = (2, 1, 3, 3, 0, 2)

B=

0 3

1 5

↔ b = (0, 2, 1, 3, 4, 5)

2 −3

↔ a − b = (2, −1, 2, 0, −4, −3)

2 4

Ainda, A−B=

2 −1 0 −4

Vamos calcular a distˆ A e B em cada um dos espa¸cos ancia entre as matrizes métricos M2×3 (R), D1 , M2×3 (R), D2 e M2×3 (R), D3 onde D1 , D2 e D3 são dadas pelas equa¸co˜es (2.8), (2.9) e (2.10). Pois bem: √ p D1 A, B = 22 + (−1)2 + 22 + 02 + (−4)2 + (−3)2 = 34; D2 A, B = |2| + | − 1| + |2| + |0| + | − 4| + | − 3| = 12; D3 A, B = max |2|, | − 1|, |2|, |0|, | − 4|, | − 3| = 4. 99

A f´ ormula a seguir n = N (i − 1) + j

(2.11)

nos permite transferir os elementos de uma matriz de ordem M × N para um ponto de RM×N (para a prova desta fórmula veja [6]). A f´ ormula nos diz em que posi¸caõ n (do ponto) devemos guardar o elemento aij da matriz. Por exemplo, para a matriz a11 a12 a13 a21 a22 a23 procedemos assim: a11

⇒

n = 3(1 − 1) + 1 = 1

⇒

( a11 , ?, ?, ?, ?, ? )

a12

⇒

n = 3(1 − 1) + 2 = 2

⇒

( a11 , a12 , ?, ?, ?, ? )

a13

⇒

n = 3(1 − 1) + 3 = 3

⇒

( a11 , a12 , a13 , ?, ?, ? )

a21

⇒

n = 3(2 − 1) + 1 = 4

⇒

( a11 , a12 , a13 , a21 , ?, ? )

a22

⇒

n = 3(2 − 1) + 2 = 5

⇒

( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , ? )

a23

⇒

n = 3(2 − 1) + 3 = 6

⇒

( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )

Portanto:

a11 a21

a12 a22

a13 a23

֌ ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )

A f´ ormula a seguir (também uma contribui¸caõ minha):   i = n−1 +1 N  j = n − N n−1 N

é a inversa da fun¸caõ dada em (2.11) e nos diz, caso desejemos, como transferir de volta as coordenadas do ponto para a matriz. N é o n´ umero de colunas na matriz. ⌊ x ⌋ é chamado o maior inteiro que n˜ ao supera x (fun¸caõ piso). Por exemplo, para a situa¸caõ anterior temos:   i = 5−1 +1 =2 3 a5 ⇒  j = 5 − 3 5−1 = 2 3 Ou seja, a quinta coordenada do ponto (n = 5) ocupará a posi¸caõ (i, j) = (2, 2) da matriz, assim:

(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , )

− − − −

− −

Em [6] mostramos aplica¸co˜es destas fórmulas na computa¸caõ. 100

2.3.3

Distˆ ancia entre fun¸ c˜ oes

− Espa¸co das fun¸co˜es reais cont´ınuas definidas num intervalo fechado 8)

O espa¸co C[a, b], Γ

Seja C[a, b] o conjunto das fun¸co˜es reais cont´ınuas definidas no intervalo fechado [a, b]. Isto é n o C[a, b] = f : [a, b] −→ R / f cont´ınua A aplica¸caõ

Γ : C[a, b] × C[a, b] −→ R definida por Γ(f, g) =

Z

b a

f (x) − g(x) dx

é uma métrica sobre C[a, b]. Isto est´ a demonstrado no apêndice (pg. 136). Exemplos: (a) Calcule a distância entre as fun¸co˜es f, g : [0, 1] −→ R dadas por f (x) = 3x e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: b

Γ(f, g) =

Z

1

=

Z Z

1

a

f (x) − g(x) dx |3x − x| dx

0

=

2x dx = 1.

0

Interpreta¸caõ geométrica: A distância entre as fun¸cões f e g é dada pela ´ area da regi˜ ao entre seus gráficos; no caso a área do triângulo em destaque na figura a seguir y

3

6 q

2

q

1

q

(1, 3)

f (1, 1) g

0

q1

q2

-x (0, 0)

101

Para efeito de verifica¸caõ, podemos calcular a área deste triângulo, subtraindo da ´ area do triângulo sob o gráfico de f a área do triângulo sob o gr´ afico de g, assim 1×3 1×1 − = 1 = Γ(f, g). 2 2 (b) Calcule a distância entre as fun¸co˜es f, g : [−1, 1] −→ R dadas por f (x) = x3 e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: b

Γ(f, g) =

Z

1

=

Z

a

f (x) − g(x) dx

3 x − x dx = 1 . 2 −1

Interpreta¸caõ geométrica: A distância entre as fun¸cões f e g é dada pela area da regi˜ ´ ao entre seus gráficos: y

6

q

(1,1)

1⊥ g f

−1 ⊢

f

0

⊢1

-x q

g

⊥ −1

9)

(−1,−1)

Vejamos uma outra distância no conjunto C[a, b].

O espa¸co C[a, b], Υ

Sabemos (da Análise∗ ) que toda fun¸caõ cont´ınua definida em um intervalo fechado assume valores máximo e m´ınimo nesse intervalo. Sendo assim a aplica¸caõ Υ : C[a, b] × C[a, b] −→ R dada por Υ(f, g) = max

n

o |f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b]

(2.12)

estar´ a bem definida. No apêndice (pg. 137) mostramos que Υ é uma outra métrica sobre C[a, b].

∗ Teorema

de Weierstrass, [AR] 1 (pg. 57)

102

Exemplos: (a) Calcule a distância entre as fun¸co˜es f, g : [0, 1] −→ R dadas por f (x) = 3x e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: n o Υ(f, g) = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b] = max |3x − x| : x ∈ [0, 1] = max 2x : x ∈ [0, 1] = 2.

Porquanto

0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇒ 2x ∈ [0, 2] Observe que os espa¸cos (C, Γ) e (C, Υ) nos fornecem distâncias diferentes para o mesmo par de pontos (f, g). Interpreta¸caõ geométrica: A distância Υ entre as fun¸co˜es f e g é o comprimento da maior corda vertical que se pode tra¸car ligando o gr´ afico de f ao gr´ afico de g. y

3

6 q

2

q

1

f

q g

0

q1

q2

-x

(1,3)

←Υ(f,g)=2 (1,1)

(0,0)

(b) Calcule a distância entre as fun¸co˜es f, g : [−1, 1] −→ R dadas por f (x) = x3 e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao:

Υ(f, g) = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b] = max |x3 − x| : x ∈ [−1, 1] 103

Devemos encontrar o máximo da fun¸caõ y = |x3 − x| para x percorrendo ´ fácil mostrar que, o intervalo [−1, 1]. E 3 x − x =

(

x3 − x,

se x ∈ [−1, 0];

3

−x + x,

se x ∈ [0, 1].

Fazendo y(x) = −x3 + x e igualando a derivada a zero, temos 1 y ′ = −3x2 + 1 = 0 =⇒ x = + √ 3 ent˜ ao y

1 √ 3

=−

1 √ 3

3

+

1 √ 3

√ 2 3 = . 9

A outra alternativa nos conduz ao mesmo resultado, portanto Υ(f, g) = max

n

o 2√3 |x3 − x| : x ∈ [−1, 1] = ≈ 0, 38 9

Interpreta¸caõ geométrica: A distância entre as fun¸cões f e g é o comprimento da maior corda vertical que se pode tra¸car ligando o gráfico de f ao gr´ afico de g. y

6

1⊥

√

−1

⊢

0

6 ←− Υ(f, g)= 2 9 3 ? -x ⊢ √ 1 q3 3

f

g

⊥ −1

Fun¸ co ˜es Limitadas Seja X um conjunto qualquer. Uma fun¸caõ f : X −→ R se diz limitada quando existe k ∈ R tal que |f (x)| ≤ k para todo x ∈ X. Exemplos a) Um exemplo de fun¸caõ limitada em toda a reta (X = R) é a fun¸caõ seno, pois −1 ≤ sen x ≤ 1, para todo x real. 104

y

6

1⊤ p −π

p −π 2

p π 2

0

p π

p R 2π

p 3π 2

−1⊤

Uma fun¸caõ pode n˜ ao ser limitada em um dom´ınio D, mas sim ´ o que veremos agora em um seu subconjunto D′ ⊂ D. E b) Das fun¸co˜es abaixo f : [−1, 1] −→ R x 7−→ x

♦

g : R −→ R x 7−→ x

apenas a primeira é limitada, uma vez que −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ f (x) ≤ 1 ⇒ |f (x)| ≤ 1. Por outro lado, n˜ ao existe k ∈ R de modo que |g(x)| = |x| ≤ k para todo x ∈ R. f (x)

6 1

q

−1q

q

g(x)

6

q q1

1

q

-x

−1

−1q

q1

-x

−1

q

q

Figura 2.4: f é limitada em seu dom´ınio; g n˜ ao. Sejam f e g fun¸co˜es limitadas, isto é, existem constantes k1 , k2 ∈ R tais que |f (x)| ≤ k1 e |g(x)| ≤ k2 , ent˜ ao as fun¸co˜es f ± g são ainda limitadas, devido a que |f (x) ± g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ k1 + k2 . − Espa¸co das fun¸co˜es reais limitadas

10) O espa¸ co B(X, R), Ψ Indiquemos por B(X, R) o conjunto das fun¸co˜es reais e limitadas de X em R. A aplica¸caõ Ψ : B(X, R) × B(X, R) −→ R 105

dada por Ψ(f, g) = sup

|f (x) − g(x)| : x ∈ X

estar´ a bem definida (devido ao axioma do supremo pg. 65). No apêndice (pg. 138) mostramos Ψ é uma métrica sobre B(X, R). Exemplo: Calcule a distância entre as fun¸co˜es f, g : [ 0, 1 [−→ R dadas por f (x) = 3x e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: Ψ(f, g) = sup |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 [ = sup |3x − x| : x ∈ [ 0, 1 [ = sup 2x : x ∈ [ 0, 1 [ = 2,

porquanto

0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ 2x < 2 ⇒ |f (x) − g(x)| = 2x ∈ [ 0, 2 [. No gr´ afico fica assim y

6 3 q 2

1

q q

0

◦

(1,3)

f

◦

g

q1

q2

-x

6 ← Ψ(f,g)=2 ? (1,1)

(0,0)

Observe que enquanto o par B(X,R), Ψ é um espa¸co métrico já n˜ ao acontece o mesmo com o par B(X, R), Υ (ver pg. 102). No caso do exemplo anterior as fun¸co˜es f e g n˜ ao têm máximo no conjunto X = [ 0, 1 [: Υ(f, g) = max |3x − 2x| : x ∈ [ 0, 1 [ = max 2x : x ∈ [ 0, 1 [

n˜ ao existe, porquanto

0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ 2x < 2 ⇒ 2x ∈ [ 0, 2 [. Isto é, a aplica¸caõ Υ : B(X, R) × B(X, R) −→ R n˜ ao estar´ a bem definida. 106

Porque o par B(X, R), Γ n˜ ao ´ e um espa¸ co m´ etrico Mostraremos agora que Γ (pg. 101) n˜ ao é uma métrica sobre B(X, R). Consideremos X = [ 0, 1 ] e as fun¸co˜es f, g ∈ B [ 0, 1 ], R , isto é, f, g : [ 0, 1 ] −→ R; dadas por ( 1, se x 6= 1/2 f (x) = 1, ∀x ∈ [ 0, 1 ] e g(x) = 1/4, se x = 1/2. Os gr´ aficos de f e g são dados a seguir: f (x)

g(x)

6

6

1

1

q

q

1 2

-x

q1

0

1 4

r

q q

q21

0

q1

-x

Observe que f e g diferem em um u ´ nico ponto. Portanto pelo teorema [AR] 2 (pg. 57): Z 1 Z 1 f (x) dx = g(x) dx 0

0

logo,

Z

1 0

f (x) dx −

Z

0

1

g(x) dx = 0 ⇐⇒

Z

0

1

f (x) − g(x) dx = 0

observe que no intervalo dado f (x) ≥ g(x), isto é, f (x) − g(x) ≥ 0. Portanto neste intervalo |f (x) − g(x)| = f (x) − g(x), logo Γ(f, g) = =

Z Z

b

|f (x) − g(x)| dx

a 1 0

f (x) − g(x) dx = 0.

Resumindo: tomamos dois pontos, f 6= g ∈ B(X, R) e mostramos que Γ(f, g) = 0. Isto é, Γ n˜ ao preenche os requisitos para uma métrica (fere (M1 ) − pg. 86).

107

2.3.4

Espa¸cos de C´ odigos

Agora daremos um importante exemplo de espa¸co métrico, largamente empregado na infórmática (transmiss˜ ao de dados). C´ odigos que contêm tanto caracteres alfabéticos como numéricos são necessários quando microcomputadores se comunicam com dispositivos como fax ou um terminal de v´ıdeo, ou ainda para transformar os caracteres de um teclado em linguagem de computador. Esses c´ odigos são chamados c´ odigos alfanuméricos. O c´ odigo alfanumérico mais comumente usado em sistemas de microcomputador é o AMERICAN STANDARD Code for Information Interchange (C´ odigo Americano Padr˜ ao para Troca de Informa¸co˜es) Uma listagem parcial do c´ odigo ASCII é mostrada na tabela a seguir Caracter

ASCII

Caracter

ASCII

<

00111100

A

01000001

>

00111110

B

01000010

!

00100001

C

01000011

P

11100100

D

00100100

#

00100011

E

01000101

$

00100100

F

01000110

%

00100101

G

01000111

&

00100110

H

01001000

(

00101000

I

01001001

)

00101001

J

01001010

∗

00101010

K

01001011

[

01011011

L

01001100

]

01011101

M

01001101

+

00101011

N

01001110

−

00101101

O

01001111

/

00101111

P

01010000

0

00110000

Q

01010001

1

00110001

R

01010010

2

00110010

S

01010011

3

00110011

T

01010100

4

00110100

U

01010101

5

00110101

V

01010110

6

00110110

W

01010111

7

00110111

X

01011000

8

00111000

Y

01011001

9

00111001

Z

01011010

− TABELA

ASCII

108

A seguir vemos o diagrama de blocos de uma calculadora. Entrada 7

8

9

4

5

6

1

2

3

+

0

−

Saida

Codificador

CPU

ր

00110001 00101011 00110010

Teclado

Decodificador

ր

00110011

Display

Na figura estamos simulando a soma 1 + 2 = 3. Ao digitarmos no teclado 1 + 2 existe um circuito codificador que codifica estas informa¸co˜es em binário de acordo com a TABELA ASCII vista anteriormente, ou seja, 1 ↔ 00110001 + ↔ 00101011 2 ↔ 00110010 Estas sequências bin´ arias (códigos) são entregues à CPU (unidade central de processamento) que executa a soma pedida, o resultado é colocado na entrada de um circuito decodificador que decodifica, ainda de acordo com a TABELA ASCII, a sequência bin´ aria em sua entrada e na saida (display) temos o resultado na base decimal. Um outro tipo de c´ odigos é o c´ odigo UPC associado aos c´ odigos de barra encontrados em muitos tipos de mercadorias.

0

74927 02094 6

As barras pretas e brancas escaneadas pelo laser da caixa registradora do mercado são codificadas em um vetor. O Nosso objetivo agora será contruir alguns espa¸cos métricos sobre os c´ odigos bin´ arios. Sequências bin´ arias de qualquer tamanho podem ser obtidas tomando-se o produto cartesiano do conjunto: S = { 0, 1 } Por exemplo: S2 = { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 00, 10, 01, 11 } S3 = { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 } 109

Temos: S2 = { 00, 10, 01, 11 } S3 = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 } S4 = { 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110,

0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111 }

O n´ umero de sequências binárias no conjunto Sn é 2n ; observe que os c´ odigos (sequências) do teclado de um computador (Tabela ASCII) pertencem todos ao conjunto S8 , neste conjunto podemos codificar até 28 = 256 caracteres. Vamos dispor os elementos de S4 segundo uma tabela, assim: 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1

⇒

S4 = 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110, 0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111

0 1 0 1 1 1 0 1

0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

11) Distˆ ancia de Hamming O espa¸co métrico que apresentaremos a seguir possui aplica¸co˜es em transmissão de dados - Na constru¸caõ de c´ odigos detectores de erro. Tomemos dois pontos x, y ∈ S4 e consideremos a seguinte aplica¸caõ σ : S4 × S4 −→ R definida por σ(x, y) = n´ umero de posi¸co˜es em que x e y diferem entre si. σ assim definida é uma métrica sobre S4 , é o que estaremos provando daqui a pouco.

110

Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em S4 , calcule a distância entre x e y, e entre x e z. Solu¸ c˜ ao: temos, x: 1 0 0 0 y: 0 1 0 0

x: 1 0 0 0 z: 1 1 1 1

x e y diferem em duas posi¸co˜es, enquanto x e z diferem em três posi¸co˜es, portanto σ(1000, 0100) = 2, σ(1000, 1111) = 3. Considerando xi como sendo a i−ésima entrada da seq¨ uência x = (x1 x2 x3 x4 ) ∈ S4 podemos, alternativamente, definir σ(x, y) como σ(x, y) =

4 X i=1

|xi − yi |

Forma esta mais apropriada para programa¸caõ (e demonstra¸co˜es). Por exemplo calculemos a distância entre as seq¨ uências x = 1000 e y = 0100: 4 X |xi − yi | σ 1000, 0100 = i=1

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | + |x4 − y4 | = |1 − 0| + |0 − 1| + |0 − 0| + |0 − 0| = 2. Mostremos que (S4 , σ) é um espa¸co métrico: (M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y : Obviamente σ(x, y) ≥ 0. Se σ(x, y) = 0 ent˜ ao, pela defini¸caõ de σ, x e y diferem em 0 posi¸co˜es, isto é x = y. Se x = y ent˜ ao x e y coincidem em todas as posi¸co˜es, isto é σ(x, y) = 0. (M2 ) d(x, y) = d(y, x) : Obviamente que o n´ umero de posi¸co˜es em que x difere de y é igual ao n´ umero de posi¸co˜es em que y difere de x, ou seja, σ(x, y) = σ(y, x). (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) : Devemos mostrar que σ(x, y) ≤ σ(x, z) + σ(z, y). Isto é que 4 X i=1

|xi − yi | ≤

4 X i=1

|xi − zi | +

4 X i=1

|zi − yi |

(2.13)

Pois bem, usando a desigualdade triangular para n´ umeros reais, podemos escrever: |x1 − y1 | ≤ |x1 − z1 | + |z1 − y1 | .............................. |x4 − y4 | ≤ |x4 − z4 | + |z4 − y4 | Somando estas quatro desigualdades obtemos |x1 − y1 | + · · · + |x4 − y4 | ≤ |x1 − z1 | + · · · + |x4 − z4 | + |z1 − y1 | + · · · + |z4 − y4 | 111

que é exatamente a desigualdade (2.13). Com isto conclu´ımos a prova de que σ satisfaz a desigualdade triangular. O que fizemos para S4 podemos repetir para SN , sendo N ≥ 2 um natural arbitrariamente fixado.

Uma f´ ormula para gerar os c´ odigos em Sn Uma f´ ormula que me deu muita satisfa¸caõ em tê-la deduzido e demonstrado foi a seguinte∗ :  1, se xij =  0, se

i−1 2j−1 i−1 2j−1

é ´ımpar; (2.14) é par.

Esta f´ ormula nos permite gerar os c´ odigos binários; onde xij é o j−ésimo bit do c´ odigo i de Sn . Fixado n fazemos i = 1, 2, . . . , 2n e j = 1, 2, . . . , n Por exemplo, para n = 2, temos: i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2. Ent˜ ao 1−1 i = 1, j = 1 ⇒ = 0 ⇒ x11 = 0 21−1 1−1 = 0 ⇒ x12 = 0 i = 1, j = 2 ⇒ 22−1 ............................................ 2−1 = 1 ⇒ x11 = 1 i = 2, j = 1 ⇒ 21−1 2−1 i = 2, j = 2 ⇒ = 0 ⇒ x12 = 0 22−1 ............................................ 3−1 = 2 ⇒ x11 = 0 i = 3, j = 1 ⇒ 21−1 3−1 = 1 ⇒ x12 = 1 i = 3, j = 2 ⇒ 22−1 ............................................ 4−1 i = 4, j = 1 ⇒ = 3 ⇒ x11 = 1 21−1 4−1 = 1 ⇒ x12 = 1 i = 4, j = 2 ⇒ 22−1

Sendo assim, temos:

S2 = { |{z} 00 , |{z} 10 , |{z} 01 , |{z} 11 } i=1

i=2

i=3

i=4

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que a fórmula (2.14) de fato nos permite obter todos os c´ odigos binários de Sn . Os dois espa¸cos métricos a seguir são contribui¸co˜es minha.

∗⌊ x ⌋

significa a parte inteira de x, por exemplo: ⌊ 2, 5 ⌋ = 2.

112

12)

O espa¸co S4 , ρ

Tomemos dois pontos x, y ∈ S4 e consideremos a seguinte aplica¸caõ ρ : S4 × S4 −→ R definida por

4 X i−1 2 · (xi − yi ) ρ(x, y) = i=1

ρ assim definida é uma métrica sobre S4 .

Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em S4 , calcule a distância entre x e y, e entre x e z. Solu¸ c˜ ao: temos, 4 X 2i−1 · (xi − yi ) ρ 1000, 0100 = i=1

Também

= 20 · (1 − 0) + 21 · (0 − 1) + 22 · (0 − 0) + 23 · (0 − 0) = 1.

ρ 1000, 1111 = 20 · (1 − 1) + 21 · (0 − 1) + 22 · (0 − 1) + 23 · (0 − 1) = 14.

Compare com as distâncias obtidas no espa¸co (S4 , σ) (pg. 111). No apêndice (pg. 139) mostramos que ρ é uma métrica. Uma outra alternativa para se calcular a distância ρ(x, y) é converter as seq¨ uências x e y da base bin´ aria para a base 10 e usar a métrica µ. Na tabela seguinte a u ´ ltima coluna é o correspondente em decimal da seq¨ uência binária. 20 21 22 23 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 1 0 0 3 0 0 1 0 4 1 0 1 0 5

Por exemplo:

0 1 1 0 6 1 1 1 0 7

ρ(1000, 0100)=|1−2|=1.

0 0 0 1 8 1 0 0 1 9

ρ(1000, 1111)=|1−15|=14.

0 1 0 1 10 1 1 0 1 11 0 0 1 1 12 1 0 1 1 13 0 1 1 1 14 1 1 1 1 15

113

13)

O espa¸co SN , τ

Tomemos dois pontos x, y ∈ SN e consideremos a seguinte aplica¸caõ τ : SN × SN −→ R definida por τ (x, y) = max i : xi 6= yi ,

1 ≤ i ≤ N.

τ assim definida é uma métrica sobre SN . No apêndice (pg. 140) mostramos que τ satisfaz a desigualdade triangular. Nota: max i : xi 6= yi = maior posi¸caõ em que x e y diferem entre si. Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em S4 , calcule a distância entre x e y e entre x e z. Solu¸ c˜ ao: temos, x: 1 0 0 0 y: 0 1 0 0 Ent˜ ao: i : xi = 6 yi = {1, 2} i : xi = 6 zi = {2, 3, 4}

x: 1 0 0 0 z: 1 1 1 1

⇒ ⇒

max 1, 2 = 2 max 2, 3, 4 = 4

⇒

τ (x, y) = 2.

⇒

τ (x, z) = 4.

A tabela a seguir compara as distâncias vistas nos três espa¸cos métricos:

(x, y) (x, z)

σ

ρ

τ

2

1

2

3

14

4

x=1000 y=0100 z =1111

∞

14) O espa¸ co S , ν Consideremos agora o produto cartesiano infinito ∞

S

= {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · ·

Os elementos deste conjunto são seq¨ uências infinitas x = (x1 x2 x3 . . .) de 0′ s e 1′ s, como por exemplo x =(1010101010 . . .) y =(1110101110 . . .) z =(0011001100 . . .) Sendo σ(x, y) =

N X

n=1

114

|xn − yn |

uma métrica sobre SN , poderiamos ser tentados a definir uma métrica sobre ∞ S como ∞ X |xn − yn | σ(x, y) = n=1

Acontece que neste caso temos uma soma infinita (série) que pode n˜ ao resultar em um valor finito. Uma distância é um n´ umero real. Por exemplo, seja x = (111111 . . .) e y = (000000 . . .), ent˜ ao x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 , . . .) = (1 − 0, 1 − 0, 1 − 0, 1 − 0, . . .) = (1, 1, 1, 1, . . .) portanto σ(x, y) =

∞ X

n=1

|xn − yn |

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | + · · · = 1 + 1 + 1 + 1 + ··· Esta série n˜ ao converge. Para contornar esta situa¸caõ vamos introduzir um “fator de convergência” na série anterior. Para mostrar que a aplica¸caõ ∞

ν: S

∞

×S

dada por ν(x, y) =

−→ R

∞ X |xn − yn | 2n n=1

est´ a bem definida, devemos mostrar que esta série é convergente. ∞ Ent˜ ao, observe que para quaisquer x, y em S vale 0 ≤ |xn − yn | ≤ 1. Dividindo esta dupla desiguladade por 2n , temos 0≤

|xn − yn | 1 ≤ n 2n 2

P∞ 1 P∞ como a série erie n=1 2n converge segue-se que a s´ n=1 converge. Sendo assim ν est´ a bem definida. A prop´ osito observe que ν(x, y) =

|xn −yn | 2n

também

∞ ∞ X |xn − yn | X 1 ≤ = 1. 2n 2n n=1 n=1

Resumindo: 0 ≤ uências do espa¸co ν(x, y) ≤ 1. Isto é, a distância entre duas seq¨ ∞ métrico S , ν nunca excede a unidade. Dos requisitos para uma métrica vamos mostrar que ν satisfaz a desigualdade triangular: A seguinte desigualdade |xn − yn | ≤ |xn − zn | + |zn − yn | 115

é válida para xn , yn e zn reais (é mais do que necessitamos). Dividindo a desigualdade anterior por 2n , temos |xn − yn | |x − z | |z − y | ≤ n n n + n n n n 2 2 2 por conseguinte ∞ ∞ ∞ X |xn − yn | X |xn − zn | X |zn − yn | ≤ + 2n 2n 2n n=1 n=1 n=1

isto é, ν(x, y) ≤ ν(x, z) + ν(z, y) Exemplos: Considere x = (111111 . . .), y = (000000 . . .) e z = (010101 . . .); calcule as distâncias entre x e y e x e z. Solu¸ c˜ ao: x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3 , . . .) = (1 − 0, 1 − 0, 1 − 0, 1 − 0, . . .) = (1, 1, 1, 1, . . .). portanto ν(x, y) =

∞ X |xn − yn | 2n n=1

|x1 − y1 | |x2 − y2 | |x3 − y3 | + + + ··· 21 22 23 1 1 1 = 1 + 2 + 3 · · · = 1. 2 2 2

=

também x − z = (x1 − z1 , x2 − z2 , x3 − z3 , . . .) = (1 − 0, 1 − 1, 1 − 0, 1 − 1, . . .) = (1, 0, 1, 0, 1, 0, . . .). Portanto, ν(x, z) =

∞ X |xn − yn | 1 0 1 0 1 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· n 2 2 2 2 2 2 2 n=1

=

1 1 1 1 + + + ··· = 2 2 8 32 1−

1 4

=

2 . 3 ∞

A proposi¸caõ seguinte assevera que se x e y são duas seq¨ uências de S coincidentes nas primeiras j posi¸co˜es, ent˜ ao suas distâncias n˜ ao excede 21j e rec´ıprocamente.

116

∞

Proposi¸ c˜ ao 25. Sejam x e y ∈ S e suponha xn = yn para n = 1, 2, . . . , j. ao xn = yn para n ≤ j. Ent˜ ao ν(x, y) ≤ 21j . Rec´ıprocamente, se ν(x, y) < 21j ent˜ Prova: (⇒) Se xn = yn para n ≤ j, ent˜ ao ν(x, y) =

=

∞ X |xn − yn | 2n n=1 j ∞ X X |xn − yn | |xn − yn | + n 2 2n n=1 n=j+1 | {z } =0

≤

∞ X

n=j+1

1 1 1 1 1 n = j+1 + j+2 + j+3 + · · · = 2 2 2 2 2j

(⇐) (Técnica (T-1) pg. 23) Suponha xk 6= yk para algum k ≤ j , ent˜ ao k ∞ X |xn − yn | X |xn − yn | 1 1 ≥ ≥ k ≥ j ν(x, y) = n n 2 2 2 2 n=1 n=1

Coment´ arios: A primeira das desigualdades acima é sempre válida (´ obvio, pois somar infinitos termos positivos resulta sempre maior ou igual ao resultado da soma de uma quantidade finita destes mesmos termos ). A segunda desigualPk |x −y | dade se justifica pois a soma n=1 n2n n é no m´ınimo gual a 1k , pois para o 2 ´ındice k temos xk 6= yk , isto é |xk − yk | = 1. A u ´ ltima desigualdade decorre de j ≥ k ⇒ 2j ≥ 2k ⇒

1 1 j ≤ 2 2k

A importˆ ancia deste resultado é que podemos decidir de imediato quando ou ∞ n˜ ao duas seq¨ uências em S est˜ ao próximas uma da outra. Intuitivamente este ∞ resultado diz que duas seq¨ uências em S est˜ ao próximas se suas “primeiras” entradas coincidem. ⊙

⊙

⊙

Para futuras referências, mencionaremos uma generaliza¸caõ para n pontos, da desigualdade triangular: d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) (M, d) • x1

• xn • x2

• x3

...

• xn−1

Esta desigualdade pode ser estabelecida por indu¸caõ sobre n. A seguinte desigualdade também nos será u ´ til futuramente: 117

(2.15)

Proposi¸ c˜ ao 26. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se x, y e z s˜ ao pontos quaisquer em M , ent˜ ao a seguinte desigualdade d(x, y) − d(x, z) ≤ d(y, z)

é verdadeira.

Prova: Da desigualdade triangular temos d(x, y) − d(x, z) ≤ d(z, y)

(♮)

Por outro lado a mesma desiguldade triangular pode ser expressa como d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ⇒ d(x, z) − d(x, y) ≤ d(y, z)

(♯)

De ( ♮ ) e ( ♯ ) obtemos: d(x, y) − d(x, z) ≤ d(y, z).

2.4

Distˆ ancia entre Ponto e Conjunto

Lembramos - da Geometria Anal´ıtica - que a distância de um ponto p = x0 , y0 a uma reta r : ax + by + c = 0 é dada por y6

p •

dpr

dpr

a x0 + b y0 + c = √ a2 + b 2

0

q

r

-x

Ainda aqui temos uma situa¸caõ suscet´ıvel de generaliza¸caõ no contexto dos espa¸cos métricos: Defini¸ c˜ ao 23. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Dados X ⊂ M (X 6= ∅) e p ∈ M , chama-se distˆ ancia de p ao conjunto X, e indica-se por d(p, X), o seguinte n´ umero real n˜ ao negativo: d(p, X) = inf d( p, x) : x ∈ X 118

Observe d( p, X) assim definida existe pelo fato de que o conjunto d( p, x) : x ∈ X é limitado inferiormente por zero, pois 0 ≤ d( p, x), ∀ x ∈ X (ver prop. 21, pg. 65). Exemplos: 1) Seja M = R, p = 0 e seja 1 1 1 1 : n ∈ N = 1, , , , . . . ⊂ R. n 2 3 4 • No espa¸co (R, δ), temos X=

d(p, X) = inf { d(p, x) : x ∈ X } o n 1 = inf δ(0, x) : x ∈ { : n ∈ N } n 1 = inf δ(0, ) : n ∈ N n 1 1 = inf δ(0, 1), δ(0, ), δ(0, ), . . . 2 2 = inf { 1, 1, 1, . . .} = 1.

• No espa¸co (R, µ), temos

d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X n o 1 = inf µ(0, x) : x ∈ { : n ∈ N} n o n 1 = inf 0 − : n ∈ N n = inf

o n1 : n ∈ N = 0. n

Ver exemplo 2 (pg. 63). 2) Uma Patologia Seja M = [ 0, 1 [, seja X = [ 12 , 1 [ ⊂ M e seja p = 0 ∈ M . Veja, 0

1

s

0

1

1 2

M

X

Temos (ver subespa¸co, pg. 145), d(0, X) = 1/2,

no espa¸co

[ 0, 1 [, µ

d(0, X) = 0,

no espa¸co

[ 0, 1 [, k

De fato, d(0, X) = inf d(0, x) : x ∈ X = inf µ(0, x) : x ∈ X }

1 1 ,1 = = inf |x − 0| : x ∈ 2 2 119

Por outro lado, d(0, X) = inf d(0, x) : x ∈ X

1 = inf k(0, x) : x ∈ ,1 } 2

Temos (ver equa¸caõ (2.2), pg. 90), 1 1 1 ≤x <1 ⇒ 0<1−x≤ ⇒ k(0, x) = 1 − x ∈ 0, 2 2 2

Portanto,

1 1 = 0. , 1 } = inf 0, d(0, X) = inf k(0, x) : x ∈ 2 2 3) Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario, X = 21 , 1 × 21 , 1 ⊂ M ; e p = (0, 0) ∈ M . Vamos mostrar que, √ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, D1 d(0, X) = 2/2, no espa¸co d(0, X) = 1, no espa¸co [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, D2 1

1

¬ 1 2

0

¬

1 2

s

1

0

1

De fato, d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D1 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ X = inf

np o 1 (x − 0)2 + (y − 0)2 : ≤ x, y < 1 2

para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ´ınfimo da fun¸caõ, F (x, y) = Ent˜ ao,

p 1 x2 + y 2 , para ≤ x, y < 1. 2

1 1 1 1 ≤x<1 ⇒ ≤ x2 < 1 / ≤y<1 ⇒ ≤ y 2 < 1, 2 4 2 4 120

portanto, 1 ≤ x2 + y 2 < 2 ⇒ 2 conclusão: se

1 2

≤ x, y < 1 implica que F (x, y) =

portanto,

√ √ 2 p 2 ≤ x + y2 < 2 2

h p x2 + y 2 ∈

√ 2 √ h , 2 2

p 1 x2 + y 2 : ≤ x, y < 1 2 h √2 √ h √2 = inf , 2 = 2 2

d(p, X) = inf

Por outro lado,

d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D2 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ X

o n 1 = inf |x − 0| + |y − 0| : ≤ x, y < 1 2

para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ´ınfimo da fun¸caõ, F (x, y) = |x| + |y| , para

1 ≤ x, y < 1. 2

Ent˜ ao, 1 1 ≤x<1 / ≤y <1 ⇒ 1≤x+y <2 2 2 portanto, d(p, X) = inf [ 1, 2 [= 1. Proposi¸ c˜ ao 27. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se X ⊂ M (X 6= ∅) e p, q s˜ ao pontos fixados em M , tem-se d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q) Prova: Tomemos y ∈ X arbitrário. Temos d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X ≤ d(p, y), uma vez que d(p, y) é um elemento do conjunto d(p, x) : x ∈ X . Portanto d(p, X) ≤ d(p, y) ≤ d(p, q) + d(q, y)

logo, d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, y). Como esta desigualdade vale para y ∈ X arbitrário, segue que a constante (n´ umero real) d(p, X) − d(p, q) é uma cota inferior do conjunto {d(q, x) : x ∈ X} 121

como inf {d(q, x) : x ∈ X} = d(q, X) é a maior de tais cotas, segue que d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, X) Esta desigualdade continua válida permutando-se p e q: d(q, X) − d(q, p) ≤ d(p, X) Destas desigualdades decorrem, respectivamente, d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q) −d(p, q) ≤d(p, X) − d(q, X) donde −d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q) isto é, d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q)

O próximo ´ıtem generaliza o anterior (Distância entre ponto e conjunto).

2.5

Distˆ ancia entre conjuntos

Defini¸ c˜ ao 24. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Dados dois subconjuntos X e Y do conjunto M , ambos n˜ ao vazios, chama-se distˆ ancia de X a Y , e indica-se por D(X, Y ), o n´ umero real obtido da seguinte forma: D(X, Y ) = inf d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y

Observe que 0 ≤ d(x, y), ∀ x ∈ X, ∀ y ∈ Y . Isto implica em que o conjunto d(x, y) : x ∈ X e y ∈ Y é limitado inferiormente por zero, o que significa que D(X, Y ) sempre existe. Alternativamente podemos escrever D(X, Y ) = inf d(x, y) : (x, y) ∈ X × Y

Exemplos: 1) No conjunto S4 , sejam X, Y ⊂ S4 dados por

X = 0001, 0100, 1100 Y = 0101, 0011

• No espa¸co métrico S4 , σ temos o seguinte diagrama de distâncias 122

Y

6

0011

1

3

4

0101

1

1

2

0001

0100

1100

-X

portanto, D(X, Y ) = inf σ(x, y) : (x, y) ∈ X × Y = inf { 1, 2, 3, 4 } = 1.

isto é

D {0001, 0100, 1100}; {0101, 0011} = 1.

2) Seja M = R; sejam X = [ 0, 1 ] e Y =] 3, 4 ] q0

q1

q2

q3

q4

q5

-R

• No espa¸co métrico ( R, δ), temos D(X, Y ) = inf δ(x, y) : x ∈ [ 0, 1 ] e y ∈ ] 3, 4 ]

Como X ∩ Y = ∅ segue que x 6= y, ∀ x ∈ X e ∀ y ∈ Y , portanto δ(x, y) = 1 para quaisquer (x, y) ∈ X × Y . Portanto, D [ 0, 1 ]; ] 3, 4 ] = inf δ(x, y) : x ∈ [ 0, 1 ] e y ∈] 3, 4 ] = inf { 1 } = 1.

• No espa¸co métrico ( R, µ), temos D(X, Y ) = inf µ(x, y) : x ∈ [ 0, 1 ] e y ∈ ] 3, 4 ] = inf |x − y| : x ∈ [ 0, 1 ] e y ∈ ] 3, 4 ]

como 0 ≤ x ≤ 1 e 3 < y ≤ 4, temos −4 ≤ x − y < −2, isto é, 2 < y − x ≤ 4, portanto 2 < |y − x| ≤ 4. Resumindo: Se 0 ≤ x ≤ 1 e 3 < y ≤ 4 ent˜ ao |y − x| ∈ ] 2, 4 ]. Portanto, D [ 0, 1 ]; ] 3, 4 ] = inf |x − y| : 0 ≤ x ≤ 1, 3 < y ≤ 4 = inf ] 2, 4 ] = 2. 123

3) Seja M = R; sejam X = { 0 } e Y = s ⊢ 0

rrrrr r r r . . . 41

r

1 3

r

1 :n∈N . n

1 2

r

-R

1

• No espa¸co métrico ( R, δ), temos 1 :n∈N D(X, Y ) = inf δ(x, y) : x ∈ { 0 } e y ∈ n 1 1 = inf δ(0, 1), δ 0, , δ 0, ,... 2 3 = inf { 1, 1, 1, . . .} = 1.

Portanto, 1 : n ∈ N = 1. D { 0 }; n

• No espa¸co métrico ( R, µ), temos 1 D(X, Y ) = inf |x − y| : x ∈ { 0 } e y ∈ :n∈N n 1 = inf 0 − : n ∈ N n 1 : n = 1, 2, . . . = 0. = inf n Observe que X ∩ Y = ∅ e, no entanto, D(X, Y ) = 0.

2.6

Conjuntos limitados − Diˆ ametro

Defini¸ c˜ ao 25 (Conjunto limitado). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X um subconjunto de M . Se existir uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para quaisquer x e y em X, dizemos que X é um conjunto limitado no espa¸co métrico (M, d). Exemplos: 1) R é limitado no espa¸co métrico (R, δ), pois δ(x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R. 2) R n˜ ao é limitado no espa¸co métrico (R, µ), pois n˜ ao existe uma constante c > 0 de modo que, por exemplo, |x − 0| ≤ c, ∀ x ∈ R. 3) O conjunto SN das seq¨ uências de comprimento N é limitado no espa¸co métrico SN , σ , pois duas seq¨ uências quaisquer, neste conjunto, diferem em, no máximo, N posi¸co˜es: σ(x, y) ≤ N,

∀ x, y ∈ SN .

A prop´ osito as seq¨ uências x = (000 . . . 0) e y = (111 . . . 1) diferem em N posi¸co˜es. 124

4) O conjunto SN é limitado no espa¸co métrico SN , ρ pois, ρ(x, y) ≤ 2N − 1, ∀ x, y ∈ SN (ver pg. 140). ∞ 5) O conjunto S das seq¨ uências de comprimento infinito, é limitado no espa¸co ∞ métrico S , ν pois, conforme j´ a vimos (pg. 115) temos ν(x, y) ≤ 1, ∀ x, y ∈ ∞ S . Se existir uma tal constante c > 0 de modo que d(x, y) ≤ c para quaisquer x e y em X ent˜ ao o conjunto d(x, y) : x, y ∈ X é limitado superiormente e o seu supremo chama-se diˆ ametro de X e é denotado por diam (X). Sendo assim: diam (X) = sup d(x, y) : x, y ∈ X Alternativamente podemos escrever diam (X) = sup d(x, y) : (x, y) ∈ X × X

Se o conjunto X n˜ ao é limitado, por defini¸caõ, colocamos diam(X) = ∞. Exemplos: 1) Seja M = R = X. No espa¸co métrico ( R, δ) o diâmetro de R fica: diam(R) = sup δ(x, y) : x, y ∈ R = sup { 0, 1 } = 1. 2) Seja M = [ 0, 1 [, temos:

De fato,

diam(M ) = 1,

no espa¸co

[ 0, 1 [, µ

diam(M ) = 1/2,

no espa¸co

[ 0, 1 [, k

diam (M ) = sup |x − y| : (x, y) ∈ [ 0, 1 [×[ 0, 1 [

Ent˜ ao,

0 ≤ x, y < 1 ⇒ 0 ≤ |x − y| < 1

(2.16)

Portanto, diam (M ) = sup [ 0, 1 [= 1. Por outro lado,

Observe que,

diam (M ) = sup k(x, y) : (x, y) ∈ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

 |x − y|, k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| = 1 − |x − y|,

Ent˜ ao, se

|x − y| ≤ Caso contr´ ario |x − y| ≥ 1/2 ⇒

se |x − y| ≤ 21 ; se |x − y| ≥ 12 .

1 1 ⇒ k(x, y) = |x − y| ∈ 0, 2 2 1 1 ≤ |x − y| < 1 ⇒ 0 < 1 − |x − y| ≤ 2 2 125

sendo assim

Portanto

1 k(x, y) = 1 − |x − y| ∈ 0, 2

1 diam (M ) = sup k(x, y) : (x, y) ∈ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ = 2

3) No espa¸co (S∞ , ν) temos

0 ≤ ν(x, y) ≤ 1 ⇒ ν(x, y) ∈ [ 0, 1 ]. Portanto, diam (S∞ ) = sup {ν(x, y) : (x, y) ∈ S∞ × S∞ } = sup [ 0, 1 ] = max [ 0, 1 ] = 1.

4) No espa¸co SN , σ temos que

σ(x, y) ∈

Portanto

0, 1, 2, . . . , N

diam SN = sup σ(x, y) : (x, y) ∈ SN × SN

= sup {0, 1, 2, . . . , N } = max {0, 1, 2, . . . , N } = N.

5) No espa¸co SN , ρ temos que

ρ(x, y) ∈

Portanto,

0, 1, 2, . . . , 2N − 1

diam SN = sup ρ(x, y) : (x, y) ∈ SN × SN = sup 0, 1, 2, . . . , 2N − 1 = 2N − 1.

6) Diˆ ametro do disco unit´ ario. Vamos calcular o diâmetro do seguinte conjunto R

x2 6

1

D

D=

x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1

no espa¸co métrico R2 , D1 . Temos

−1

1

x1 R

−1

Seja p = (0, 0) e sejam x = (x1 , x2 ) ∈ D e y = (y1 , y2 ) ∈ D arbitrários. D1 (x, y) ≤ D1 (x, p) + D1 (p, y) ≤ 2 126

porquanto p D1 (x, p) = D1 (x1 , x2 ), (0, 0) = (x1 − 0)2 + (x2 − 0)2 ≤ 1 p D1 (p, y) = D1 (0, 0), (y1 , y2 ) = (0 − y1 )2 + (0 − y2 )2 ≤ 1

Pois bem, 2 é uma cota superior do conjunto {D1 (x, y) : x, y ∈ D} = K. Para mostrar que 2 = sup K é suficiente, consoante o lema 1 (⇐) pg. 59, para todo ε > 0 dado exibir x, y ∈ D tais que: 2 − ε < D1 (x, y). Consideremos duas possibilidades: 1a ) ε ≥ 2, isto é, 2 − ε ≤ 0. Neste caso quaisquer x e y em D nos serve uma vez que D1 (x, y) > 0. 2a ) 0 < ε < 2. Neste caso temos 2 − ε > 0, pela propriedade arquimediana (pg. 65) existe n = nε ∈ N de modo que n > 2−ε ε . Vamos mostrar que, para este n, os pontos n n x= ,0 e y= − ,0 n+1 n+1 satisfazem as duas seguintes exigências: a) x, y ∈ D, porquanto ±

n 2 + 02 ≤ 1 ⇐⇒ n ≤ n + 1 n+1

b) 2 − ε < D1 (x, y), porquanto r 2 n n + (0 − 0)2 = D1 (x, y) = n+1 − − n+1

2n n+1

e

2n 2−ε > 2 − ε ⇐⇒ n > n+1 ε

Esta u ´ ltima desigualdade é verdadeira porque assim escolhemos, a priori, o valor de n. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que √ diam(D) = 2 2, na métrica D2 , diam(D) = 2,

na métrica D3 .

E mais: os pontos x, y cujas distâncias proporcionam o diâmetro, em cada caso, são extremidades das cordas nas figuras a seguir:

Ou seja: Na métrica euclidiana a equa¸caõ D1 (x, y) = diam(D) é satisfeita por quaisquer pontos x, y extremos das cordas que passam pelo centro do disco. Na métrica D2 a equa¸caõ D2 (x, y) = diam(D) é satisfeita apenas pelos pontos x, y extremos das cordas que passam pelo centro segundo os ângulos de 45◦ e 127

135◦ . Na métrica D3 a equa¸caõ D3 (x, y) = diam(D) é satisfeita apenas pelos pontos x, y extremos das cordas que passam pelo centro segundo os ângulos de 0◦ e 90◦ . No caso da métrica D2 o diâmetro de D é como na figura a seguir: √

√ 2 2 2 , 2

−

√

√ 2 2 2 ,− 2

diam(D)=D2 (

√ √ √ √ 2 2 2 2 2 , 2 );(− 2 ,− 2 )

˛√ ˛ ˛√ ˛ √ √ ˛ ˛ ˛ ˛ =˛ 22 −(− 22 )˛+˛ 22 −(− 22 )˛

√ =2 2.

Apˆ endice: Demonstra¸c˜ oes 1. Vamos provar que [ 0, 1 [, k é um espa¸co métrico (pg. 89).

Teorema 2 (M´ etrica Divina/Gentil/23.05.08). A aplica¸ca õ, k : [ 0, 1 [ ×[ 0, 1 [−→ R

definida por

k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y|

é uma métrica sobre M = [ 0, 1 [.

Prova: (M1 ) k(x, y) ≥ 0 e k(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ; Temos ( 0≤x<1 0≤y<1

⇒

(

0≤x<1 −1 < −y ≤ 0

⇒ −1 < x − y < 1 ⇒ |x − y| < 1.

Sendo assim mostramos que k(x, y) ≥ 0. Agora suponhamos, k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| = 0

Já vimos que |x − y| < 1, isto é, 1 − |x − y| > 0. Ent˜ ao se k(x, y) = 0 só pode ser porque |x − y| = 0, isto é, x = y. Reciprocamente, se x = y, resulta, k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| = min |0|, 1 − |0| = 0. (M2 ) k(x, y) = k(y, x) ;

Temos k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| = min |y − x|, 1 − |y − x| = k(y, x). (M3 ) k(x, y) ≤ k(x, z) + k(z, y).

128

Devemos mostrar que k(x, y) ≤ k(x, z) + k(z, y). Isto é, min |x − y|, 1 − |x − y| ≤ min |x − z|, 1 − |x − z| + min |z − y|, 1 − |z − y|

(2.17)

Vamos separar o nosso problema em oito possibilidades, conforme tabela a seguir,

k(x, y)

k(x,z)

k(z,y)

Temos:

|x−y|

|x−z|

|z−y|

(P1)

1−|x−y|

|x−z|

|z−y|

(P2)

|x−y|

1−|x−z|

|z−y|

(P3)

1−|x−y|

1−|x−z|

|z−y|

|x−y|

|x−z|

1−|x−y|

|x−y|≤1−|x−y| ⇔ |x−y| ≤

1 2

1−|x−y|≤|x−y| ⇔ |x−y| ≥

1 2

(P4)

|x−z|≤1−|x−z| ⇔ |x−z| ≤

1 2

1−|z−y|

(P5)

1−|x−z|≤|x−z| ⇔ |x−z| ≥

1 2

|x−z|

1−|z−y|

(P6)

|x−y|

1−|x−z|

1−|z−y|

(P7)

1−|x−y|

1−|x−z|

1−|z−y|

(P8)

|z−y|≤1−|z−y| ⇔ |z−y| ≤

1 2

1−|z−y|≤|z−y| ⇔ |z−y| ≥

1 2

Ent˜ ao: (P1) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| a qual é trivialmente satisfeita por tratar-se da desigualdade triangular para n´ umeros reais. (P2) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |x − z| + |z − y| ≥ 1 Observe que na possibilidade (P2) se verifica |x − y| ≥

(2.18) 1 2

(∗).

Inicialmente vamos mostrar que n˜ ao podemos ter |x − z| + |z − y| <

1 2

De fato, se isto fosse poss´ıvel teriamos (utilizando a desigualdade triangular) 1 |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| < 2 contradizendo (∗). Sendo assim só pode ser |x − z| + |z − y| ≥ juntamente com (∗), nos fornece a desigualdade (2.18). 129

1 2

o que,

(P3) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a |x − y| ≤ 1 − |x − z| + |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |x − z| − |z − y| ≤ 1

(2.19)

Pois bem, pela desigualdade triangular podemos escrever |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| ⇐⇒ |x − z| − |z − y| ≤ |x − y| somando |x − y| a ambos os membros desta u ´ ltima desigualdade, obtemos |x−y|+|x−z|−|z−y| ≤ |x−y|+|x−y| ⇐⇒ |x−y|+|x−z|−|z−y| ≤ 2|x−y| ≤ 1. Na u ´ ltima desigualdade usamos o fato de que na possibilidade (P3) se verifica |x − y| ≤ 21 . (P4) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ 1 − |x − z| + |z − y| Esta desigualdade é equivalente à seguinte |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| a qual é sempre verdadeira por tratar-se da desigualdade triangular para n´ umeros reais. (P5) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a |x − y| ≤ |x − z| + 1 − |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |z − y| − |x − z| ≤ 1

(2.20)

Pois bem, pela desigualdade triangular podemos escrever |z − y| ≤ |z − x| + |x − y| ⇐⇒ |z − y| − |x − z| ≤ |x − y| somando |x − y| a ambos os membros desta u ´ ltima desigualdade, obtemos |x−y|+|z−y|−|x−z| ≤ |x−y|+|x−y| ⇐⇒ |x−y|+|z−y|−|x−z| ≤ 2|x−y| ≤ 1. Na u ´ ltima desigualdade usamos o fato de que na possibilidade (P5) se verifica |x − y| ≤ 21 . (P6) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ |x − z| + 1 − |z − y| Esta desigualdade é equivalente à seguinte |z − y| ≤ |z − x| + |x − y| 130

a qual é sempre verdadeira por tratar-se da desigualdade triangular para n´ umeros reais. (P7) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a |x − y| ≤ 1 − |x − z| + 1 − |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |x − z| + |z − y| ≤ 2

(2.21)

Na possibilidade (P7) se verifica: (i) |x − y| ≤

1 2

(ii) |x − z| ≥

1 2

(iii) |z − y| ≥

1 . 2

Se dividirmos o intervalo [ 0, 1 [ ao meio; por (ii) vemos que x e z n˜ ao podem figurar na mesma metade do intervalo. Por (iii) acontece o mesmo com respeito a z e y. Devemos ter a seguinte configura¸caõ: t

y

⊢

0

t

x

t

z

⊢

1 2

1

A partir de (2.21) podemos escrever f (x, y, z) = |x − y| + |x − z| + |z − y|. Vamos mostrar que o maior valor que esta fun¸caõ pode assumir n˜ ao excede 2. Tendo em conta a figura anterior temos que, |x − y| = x − y,

|x − z| = z − x,

|z − y| = z − y

N˜ ao faz mal supor x ` a direita de y. Logo, f (x, y, z) = 2(z − y), ent˜ ao, ( 0 ≤ y ≤ 12 1 ⇒ − ≤ −y ≤ 0 ⇒ 0 ≤ z−y < 1 ⇒ 0 ≤ 2(z−y) < 2. 1 2 ≤z<1 2

Daqui inferimos que f (x, y, z) = |x−y|+|x−z|+|z −y| = 2(z −y) < 2, donde concluimos que a desigualdade (2.21) será sempre verdadeira. (P8) Neste caso a desigualdade (2.17) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ 1 − |x − z| + 1 − |z − y|

(2.22)

Esta alternativa (possibilidade) só pode ocorrer se tivermos simultˆ aneamente, (i) |x − y| ≥

1 2

(ii) |x − z| ≥

1 2

(iii) |z − y| ≥

1 . 2

Vamos mostrar que, dados três pontos x, y e z arbitrários, estas três possibilidades jamais ocorrem simultˆ aneamente e, por conseguinte, a possibilidade (2.22) n˜ ao pode ocorrer (pode ser ignorada, descartada). Com efeito, dados três pontos x, y e z arbitrários existem as seguintes possibilidades: a) x = y = z b) x = y 6= z c) x = z 6= y d) y = z 6= x e) x 6= y 6= z. 131

As possibilidades a) e b) contradizem (i), a possibilidade c) contradiz (ii) e a possibilidade d) contradiz (iii). Portanto, só nos resta considerar a possibilidade e), em que os três pontos são distintos. Ora, como é imposs´ıvel situarmos (ou escolhermos) três pontos distintos, no intervalo [ 0, 1 [, satisfazendo (i), (ii) e (iii) simultˆ aneamente∗ segue que (2.22) jamais ocorre. 2. Rn , D1 é um espa¸co métrico. Vamos mostrar que

p D1 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 ,

é uma métrica sobre Rn . (M1 ) : Claramente D1 (x, y) ≥ 0. Também D1 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = 0, ⇔ p (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = 0, ⇔ (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = 0, ⇔ (xi − yi )2 = 0

(1 ≤ i ≤ n),

⇔

xi = yi (1 ≤ i ≤ n),

⇔

(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ). (M2 ) : p D1 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 p = (y1 − x1 )2 + · · · + (yn − xn )2 = D1 (y1 , . . . , yn ); (x1 , . . . , xn )

(M3 ) : Para demonstrar a desigualdade triangular devemos, antes, estabelecer a desigualdade de Cauchy-Schwarz no Rn cujo enunciado é o seguinte: Se x1 , . . . , xn e y1 , . . . , yn são n´ umeros reais arbitrários, ent˜ ao ! ! 1/2 1/2 n n n X X X x y ≤ y2 · x2 i

i=1

i

i

i

i=1

i=1

De fato, consideremos a desigualdade

(r − s)2 = r2 − 2rs + s2 ≥ 0 ⇔ 2rs ≤ r2 + s2 , válida para quaisquer r, s ∈ R. Sendo assim, se fizermos q q p = x21 + · · · + x2n e q = y12 + · · · + yn2

∗ Observe que estas trˆ es condi¸co ˜es nos dizem que os trˆ es pontos devem estar − simultˆ aneamente − em metades opostas do intervalo unit´ ario o que ´ e, evidentemente, imposs´ıvel.

132

são verdadeiras as desigualdades 2·

y2 x2 |xi | |yi | · ≤ 2i + i2 p q p q

(1 ≤ i ≤ n)

Somando em rela¸caõ ao ´ındice i teremos 2 X |xi yi | ≤ 1 + 1 p·q

logo

X

|xi yi | ≤ p · q =

q q x21 + · · · + x2n · y12 + · · · + yn2

que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Agora estamos habilitados a demonstrar a desigualdade triangular. Sejam x = x1 , . . . , xn , y = y1 , . . . , yn e z = z1 , . . . , zn pontos do Rn . Ent˜ ao: n n h 2 2 X i2 X xi − zi + zi − yi xi − yi = = D1 x, y i=1

i=1

=

n X i=1

≤ +

n X i=1

n X i=1

xi − zi xi − zi zi − yi

2

+2

2

+2

n X

xi − zi

i=1

n hX i=1

n 2 X zi − yi zi − yi + i=1

n 2 i1/2 2 i1/2 h X · zi − yi xi − zi i=1

2

v v 2 u n u n uX 2 uX 2  =t xi − zi + t zi − yi i=1

i=1

2 = D1 (x, z) + D1 (z, y)

Por conseguinte: D1 (x, y) ≤ D1 (x, z) + D1 (z, y). 3. Rn , D2 é um espa¸co métrico. Vamos mostrar que D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | é uma métrica sobre Rn .

(M1 ) : Claramente D2 (x, y) ≥ 0. Também D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = 0, ⇔ |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | = 0, ⇔

|x1 − y1 | = 0, . . . , |xn − yn | = 0, ⇔ |xi − yi | = 0

(1 ≤ i ≤ n),

⇔

xi = yi (1 ≤ i ≤ n),

⇔

(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ). 133

(M2 ) : D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn |

= |y1 − x1 | + · · · + |yn − xn |

= D2 (y1 , . . . , yn ); (x1 , . . . , xn )

(M3 ) : Sejam x = x1 , . . . , xn , y = y1 , . . . , yn e z = z1 , . . . , zn pontos do Rn . Devemos mostrar que D2 x, y ≤ D2 x, z + D2 z, y

Ou ainda

|x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | ≤ |x1 − z1 | + · · · + |xn − zn | + |z1 − y1 | + · · · + |zn − yn | Temos x1 − y1 = x1 − z1 + z1 − y1

.............................. xn − yn = xn − zn + zn − yn destas igualdades decorrem |x1 − y1 | ≤ |x1 − z1 | + |z1 − y1 |

.............................. |xn − yn | ≤ |xn − zn | + |zn − yn | Somando estas n desigualdades decorre o resultado desejado. Por conseguinte: D2 (x, y) ≤ D2 (x, z) + D2 (z, y). 4. Rn , D3 é um espa¸co métrico. Vamos mostrar que D3 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | é uma métrica sobre Rn .

(M1 ) : Claramente D3 (x, y) ≥ 0. Também D3 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = 0, ⇔ max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | = 0, ⇔ |x1 − y1 | = 0, . . . , |xn − yn | = 0, ⇔ |xi − yi | = 0

(1 ≤ i ≤ n), ⇔

xi = yi (1 ≤ i ≤ n), ⇔ (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ). 134

(M2 ) : D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = max{|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | = max |y1 − x1 |, . . . , |yn − xn | = D3 (y1 , . . . , yn ); (x1 , . . . , xn ) (M3 ) : Sejam x = x1 , . . . , xn , y = y1 , . . . , yn e z = z1 , . . . , zn pontos do Rn . Devemos mostrar que D3 x, y ≤ D3 x, z + D3 z, y Ou ainda

max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | ≤ max |x1 − z1 |, . . . , |xn − zn | + max |z1 − y1 |, . . . , |zn − yn |

Observe que max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | = |xi − yi | para algum 1 ≤ i ≤ n; (2.23) max |x1 − z1 |, . . . , |xn − zn | = |xj − zj | para algum 1 ≤ j ≤ n; (2.24) max |z1 − y1 |, . . . , |zn − yn | = |zk − yk | para algum 1 ≤ k ≤ n. (2.25) Sendo assim devemos mostrar que |xi − yi | ≤ |xj − zj | + |zk − yk | Temos por (2.24) ⇒

por (2.25) ⇒

|xi − zi | ≤ |xj − zj |

|zi − yi | ≤ |zk − yk |

Sendo assim, resulta |xi − yi | ≤ |xi − zi | + |zi − yi | ≤ |xj − zj | + |zk − yk | Por conseguinte: D3 (x, y) ≤ D3 (x, z) + D3 (z, y). Rela¸co˜es entre as métricas do Rn As métricas D1 , D2 e D3 , guardam entre si as seguintes rela¸co˜es: D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n D3 (x, y) De fato, D3 (x, y) = |xr − yr | para algum r (1 ≤ r ≤ n) 135

Logo D3 (x, y) = |xr − yr | =

p (xr − yr )2 ≤ D1 (x, y)

Por outro lado h i2 D1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 ≤ |x1 − y1 |2 + · · · + |xn − yn |2

+ 2|x1 − y1 | · |x2 − y2 | + · · · + 2|xn−1 − yn−1 | · |xn − yn | 2 = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | h i2 = D2 (x, y) Portanto, D1 (x, y) ≤ D2 (x, y). Finalmente, supondo

ent˜ ao

|xr − yr | = max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | |x1 − y1 | ≤ |xr − yr |, . . . , |xn − yn | ≤ |xr − yr |

portanto D2 (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | ≤ n |xr − yr | = n D3 (x, y). 5. C[a, b], Γ é um espa¸co métrico.

(M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;

(M2 ) d(x, y) = d(y, x); (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). (M1 ) : Temos Γ(f, g) ≥ 0.

De fato, como |f (x) − g(x)| ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], pelo teorema [AR] 8 (pg. 57): Z b |f (x) − g(x)| dx ≥ 0 a

(M1 ) : Γ(f, g) = 0 ⇒ f = g. Suponha f 6= g, isto é, f (c) 6= g(c) para algum c ∈ [a, b]. Logo |f (x) − g(x)| > 0, pelo teorema [AR] 9 (pg. 57): Z

b

a

|f (x) − g(x)| dx > 0 ⇒ Γ(f, g) 6= 0

Nota: Observe (hip´ otese do teorema [AR] 9) a necessidade de f e g serem cont´ınuas. (M1 ) : f = g ⇒ Γ(f, g) = 0. Ent˜ ao, f = g ⇒ f (x) = g(x), ∀ x ∈ [a, b] 136

logo, pelo teorema [AR] 2 (pg. 57): Z Z Z f= g ⇒

I

I

I

f −g =0

⇒ Γ(f, g) = 0. Nota: Observe (hip´ otese do teorema [AR] 2) que n˜ ao necessitamos das continuidades de f e g, e nem de que sejam iguais em todos os pontos do intervalo. (M2 ) : Temos Γ(f, g) = Γ(g, f ). De fato, isto é uma decorrencia imediata da igualdade |f (x) − g(x)| = |g(x) − f (x)|. (M3 ) : Temos Γ(f, g) ≤ Γ(f, h) + Γ(h, g). De fato, isto é f´ acil de provar tendo em conta que f (x) − g(x) = f (x) − h(x) + h(x) − g(x) logo, |f (x) − g(x)| = | f (x) − h(x) + h(x) − g(x) | ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|

uma vez que f (x), g(x) e h(x) são n´ umeros reais. Logo, pelo teorema [AR] 8: Z b Z b Z b |f (x) − g(x)| dx ≤ |f (x) − h(x)| dx + |h(x) − g(x)| dx a

a

a

6. C[a, b], Υ é um espa¸co métrico. (M1 ) : N˜ ao apresenta dificuladade. (M2 ) : ´ıdem. (M3 ) : Devemos mostrar que max |f (x) − g(x)| ≤ max |f (x) − h(x)| + max |h(x) − g(x)|

x∈[a, b]

x∈[a, b]

x∈[a, b]

Prova: Pelo teorema [AR] 1 (pg. 57): ∃ x1 ∈ [a, b] :

x∈[a, b]

max |f (x) − g(x)| = |f (x1 ) − g(x1 )|

(2.26)

∃ x2 ∈ [a, b] :

x∈[a, b]

max |f (x) − h(x)| = |f (x2 ) − h(x2 )|

(2.27)

∃ x3 ∈ [a, b] :

x∈[a, b]

max |h(x) − g(x)| = |h(x3 ) − g(x3 )|

(2.28)

sendo assim devemos mostrar que |f (x1 ) − g(x1 )| ≤ |f (x2 ) − h(x2 )| + |h(x3 ) − g(x3 )| 137

De (2.27) temos |f (x1 ) − h(x1 )| ≤ |f (x2 ) − h(x2 )|

(2.29)

|h(x1 ) − g(x1 )| ≤ |h(x3 ) − g(x3 )|

(2.30)

De (2.28) temos

Por outro lado, temos |f (x1 ) − g(x1 )| = |f (x1 ) − h(x1 ) + h(x1 ) − g(x1 )|

≤ |f (x1 ) − h(x1 )| + |h(x1 ) − g(x1 )|

De (2.29) e (2.30) resulta: |f (x1 ) − g(x1 )| ≤ |f (x2 ) − h(x2 )| + |h(x3 ) − g(x3 )| 7. B(X, R), Ψ é um espa¸co métrico.

(M1 ) : N˜ ao apresenta dificuladade. (M2 ) : ´ıdem. (M3 ) : Devemos mostrar que sup |f (x) − g(x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g(x)|

x∈X

x∈X

x∈X

Prova: Como f , g e h são limitadas, existem M , N e P constantes positivas tais que |f (x) − g(x)| ≤ M , ∀ x ∈ X.

|f (x) − h(x)| ≤ N , ∀ x ∈ X. |h(x) − g(x)| ≤ P , ∀ x ∈ X. Antes vamos provar a seguinte proposi¸caõ:

Se |f (x) − g(x)| ≤ M , ∀ x ∈ X ent˜ ao sup |f (x) − g(x)| ≤ M. (2.31) x∈X

De fato, suponha, ao contrário, que L = sup |f (x) − g(x)| > M . x∈X

Tomemos ε = L − M > 0, pela defini¸caõ de sup (ver Lema 1, pg. 59) existe x0 ∈ X de modo que L − ε < |f (x0 ) − g(x0 )| , isto é, L − (L − M ) < |f (x0 ) − g(x0 )| ⇒ M < |f (x0 ) − g(x0 )| o que contraria a hipótese. Pois bem, temos |f (x) − g(x)| = |f (x) − h(x) + h(x) − g(x)| < |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| 138

Mas, |f (x) − h(x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| : x ∈ X |h(x) − g(x)| ≤ sup |h(x) − g(x)| : x ∈ X

logo,

|f (x) − g(x)| < sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g(x)| x∈X x∈X | {z } | {z } constante

constante

Por (2.31), resulta

sup |f (x) − g(x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g(x)| x∈X

x∈X

x∈X

Nota: Esta prova é igualmente válida para o espa¸co C[a, b], Υ (pg. 137).

Espa¸cos de C´ odigos

• (S4 , ρ) é um espa¸co métrico (pg. 113) : (M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y : Obviamente ρ(x, y) ≥ 0. Se x = y ent˜ ao xi = yi (i = 1, 2, 3, 4.) e isto implica ρ(x, y) = 0. Se ρ(x, y) = 0 ent˜ ao 4 4 X X i−1 2i−1 · (xi − yi ) = 0. 2 · (xi − yi ) = 0 ⇒ i=1

i=1

isto é

1 · (x1 − y1 ) + 2 · (x2 − y2 ) + 4 · (x3 − y3 ) + 8 · (x4 − y4 ) = 0 Se fosse x1 6= y1 ter´ıamos 1 · (x1 − y1 ) = ±1. O que nos levaria a 2 · (x2 − y2 ) + 4 · (x3 − y3 ) + 8 · (x4 − y4 ) = ∓1 o que é, evidentemente, imposs´ıvel. Portanto nos resta 2 · (x2 − y2 ) + 4 · (x3 − y3 ) + 8 · (x4 − y4 ) = 0 Dividindo esta equa¸caõ por 2, temos 1 · (x2 − y2 ) + 2 · (x3 − y3 ) + 4 · (x4 − y4 ) = 0 e o racioc´ınio se repete. Conclus˜ ao x = y. (M2 ) d(x, y) = d(y, x) : 4 X i−1 2 · (xi − yi ) ρ(x, y) = i=1

4 X i−1 2 · (−1)(yi − xi ) = i=1

4 X i−1 2 · (yi − xi ) = ρ(y, x) = i=1

139

(M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Finalmente mostremos que ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y). Ent˜ ao

20 (x1 − y1 ) + · · · + 23 (x4 − y4 ) = 20 (x1 − z1 + z1 − y1 ) + 21 (x2 − z2 + z2 − y2 ) + 22 (x3 − z3 + z3 − y3 ) + 23 (x4 − z4 + z4 − y4 ).

Aplicando o módulo nesta equa¸caõ e usando a desigualdade triangular para n´ umeros reais, temos 0 2 (x1 − y1 ) + · · · + 23 (x4 − y4 ) = 20 (x1 − z1 + z1 − y1 ) + · · · + 23 (x4 − z4 + z4 − y4 ) = 20 (x1 − z1 ) + · · · + 23 (x4 − z4 ) + 20 (z1 − y1 ) + · · · + 23 (z4 − y4 ) ≤ 20 (x1 − z1 ) + · · · + 23 (x4 − z4 ) + 20 (z1 − y1 ) + · · · + 23 (z4 − y4 ) . Conclus˜ ao: ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y). A métrica ρ pode facilmente ser generalizada para SN : N X i−1 2 · (xi − yi ) . ρ(x, y) = i=1

Vamos mostrar que ρ(x, y), assim definida, satisfaz a desigualdade ρ(x, y) ≤ 2N − 1, ∀ x, y ∈ SN .

De fato, o maior valor que ρ(x, y) assume ocorre quando xi − yi = 1 (i = 1, 2, . . . , N ) - que corresponde a distância entre os pontos x = (111 . . . 1) e N y = (000 . . . 0) - Sendo assim temos 20 + 21 + · · · + 2N −1 = 1·22−1−1 = 2N − 1. • (pg. 114) τ satisfaz a desigualdade triangular. Das condi¸co˜es envolvidas na defini¸caõ de métrica mostraremos (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Prova: Primeiramente observe que τ pode ser escrita assim: τ (x, y) = max 1 · |x1 − y1 |, 2 · |x2 − y2 |, . . . , n · |xn − yn |

Pois bem, existem ´ındices i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n} tais que τ (x, y) = max 1 · |x1 − y1 |, . . . , n · |xn − yn | = i · |xi − yi | τ (x, z) = max 1 · |x1 − z1 |, . . . , n · |xn − zn | = j · |xj − zj | τ (z, y) = max 1 · |z1 − y1 |, . . . , n · |zn − yn | = k · |zk − yk | 140

(2.32) (2.33) (2.34) (2.35)

Sendo assim, devemos mostrar que i · |xi − yi | ≤ j · |xj − zj | + k · |zk − yk |

(2.36)

Temos i · |xi − zi | ≤ j · |xj − zj |,

por (2.34)

i · |zi − yi | ≤ k · |zk − yk |,

por (2.35)

Pela desigualdade triangular para n´ umeros reais, podemos escrever |xi − yi | ≤ |xi − zi | + |zi − yi | Portanto i · |xi − yi | ≤ i · |xi − zi | + i · |zi − yi |

≤ j · |xj − zj | + k · |zk − yk |

o que prova (2.36).

141

142

Cap´ıtulo

3

˜ DE ESPAC CONSTRUC ¸ AO ¸ OS ´ METRICOS “ ...

ao atual monismo, que nos apre-

senta a Divindade n˜ ao s´ o como u ´ nica, justa e boa, mas realmente palpitante, qual sens´ıvel psiquismo animador, presente em todas as coisas.” (Pietro Ubaldi/As No´ ures)

Introdu¸ c˜ ao: O objetivo deste cap´ıtulo é fornecer algumas técnicas para constru¸caõ de espa¸cos métricos.

3.1

M´ etricas a Partir de M´ etricas

Mudan¸ ca de Escala Dado um espa¸co métrico (M, d) a partir deste podemos obter um outro espa¸co (M, d′ ) tomando d′ = α d onde α é um n´ umero real positivo. Para que d′ seja de fato uma métrica, as seguintes condi¸co˜es devem ser satisfeitas: (M1 ) d′ (x, y) ≥ 0 e d′ (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ; (M2 ) d′ (x, y) = d′ (y, x) ; (M3 ) d′ (x, y) ≤ d′ (x, z) + d′ (z, y). De fato, todas estas condi¸co˜es decorrem trivialmente da hipótese de que d é uma métrica e α > 0. Exemplos: (a) Calcular a distˆ a ncia entre os pontos x = 3 e y = 5 nos espa¸ c os R, µ e ′ ′ R, d , onde d = µ/2. 143

Temos µ(5, 3) = |5 − 3| = 2 e d′ (5, 3) =

|5 − 3| = 1. 2

(b) Calcular a distância entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5) nos espa¸cos (R2 , D2 ) e (R2 , d′ ), onde d′ = 1, 5 D2 . Solu¸ c˜ ao: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5), ent˜ ao D2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | D2 (1, 1), (4, 5) = |1 − 4| + |1 − 5| = 7,

3 d′ (1, 1), (4, 5) = |1 − 4| + |1 − 5| = 10, 5. 2

Geometricamente, temos

R

R

r(4,5)

6 r

4

+

s

4 =D2

3

(1,1) 0

s(4,5) 6,0

⇒

3

6

⇒

6,0 =d′ + 4,5

4,5

(1,1)

-R 0

-R

O leitor imagine o plano constru´ıdo de borracha: ele esticou. Dado um espa¸co métrico (M, d) h´ a muitas outras maneiras de se construir, a partir deste, outros espa¸cos métricos. Para citar apenas três: 1. d′ (x, y) = min{ 1, d(x, y) } p 2. d′′ (x, y) = d(x, y)

3. d′′′ (x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

Mostremos a primeira destas assertivas: (M1 ) d′ (x, y) ≥ 0 e d′ (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. De fato, d′ (x, y) = min{ 1, d(x, y) } ≥ 0 porquanto, por hipótese, d(x, y) ≥ 0. d′ (x, y) = 0 = min{ 1, d(x, y) } ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (M2 ) d′ (x, y) = d′ (y, x). d′ (x, y) = min{ 1, d(x, y) } = min{ 1, d(y, x) } = d′ (y, x) (M3 ) d′ (x, y) ≤ d′ (x, z) + d′ (z, y). Devemos mostrar que min{ 1, d(x, y) } ≤ min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) } 144

Suponhamos o contr´ ario: min{ 1, d(x, y) } > min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) } Em particular: 1 > min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) } d(x, y) > min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) }

(⋆) (⋆⋆)

Da desigualdade (⋆) concluimos que min{ 1, d(x, z) } = d(x, z); min{ 1, d(z, y) } = d(z, y). Levando estes resultados na desigualdade (⋆⋆) obtemos d(x, y) > d(x, z) + d(z, y). O que contradiz o fato de d ser uma métrica. Exemplos: (a) Fixemos o espa¸co (R2 , D2 ). Calcular a distância entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5) nos espa¸cos (R2 , d′ ), (R2 , d′′ ) e (R2 , d′′′ ). Solu¸ c˜ ao: Já vimos anteriormente que D2 (1, 1), (4, 5) = |1 − 4| + |1 − 5| = 7. Ent˜ ao,

d′ (x, y) = min{ 1, D2 (x, y) } = min{ 1, 7 } = 1. d′′ (x, y) =

p √ D2 (x, y) = 7.

D2 (x, y) 7 7 = = . 1 + D2 (x, y) 1+7 8 (b) Fixemos o espa¸co S4 , σ (pg. 110). Calcular a distˆ ancia entre os pontos x = 1000 e y = 0100 nos espa¸cos S4 , d′ , S4 , d′′ e S4 , d′′′ . d′′′ (x, y) =

Solu¸ c˜ ao: Temos σ(1000, 0100) = 2, portanto:

d′ (x, y) = min{ 1, σ(x, y) } = min{ 1, 2 } = 1. p √ d′′ (x, y) = σ(x, y) = 2.

d′′′ (x, y) =

3.2

σ(x, y) 2 2 = = . 1 + σ(x, y) 1+2 3

Subespa¸cos

Dado um espa¸co métrico (M, d) podemos, a partir deste, obter tantos espa¸cos quantos são os subconjuntos (não-vazios) de M . Se d : M × M −→ R é uma métrica em M e N ⊂ M ent˜ ao d′ = d : N × N −→ R é métrica em N . Em N ×N geral indica-se a métrica do subconjunto do mesmo modo que a métrica de M , isto é, faz-se d′ = d. 145

Defini¸ c˜ ao 26 (Subespa¸co). Se (M, d) é um espa¸co métrico e N ⊂ M ent˜ ao o par (N, d) é chamado subespa¸co de (M, d). A métrica do subespa¸co é chamada métrica induzida pela de (M, d). Exemplos: (a) (N, µ), (Z, µ) e (Q, µ) são subespa¸cos de (R, µ). (b) Consideremos o seguinte subconjunto do R2 : S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 e S 1 , D3 são S 1 é o c´ırculo unit´ ario. Sendo assim S 1 , D1 , S 1 , D 2 subespa¸cos dos espa¸cos R2 , D1 , R2 , D2 e R2 , D3 , respectivamente. (c) Um subespa¸co de B(X, R), Ψ .

Quando no espa¸ co B(X, R), Ψ (pg. 105) tomamos X = [a, b] o espa¸co C[a, b], Υ (pg. 102) torna-se um subespa¸co do primeiro. (d) O par 1, 21 , 13 , . . . , µ é um subespa¸co de (R, µ) e também de (Q, µ).

3.3

M´ etricas Induzidas por Normas

Em um espa¸co vetorial dotado de norma é poss´ıvel calcularmos distância entre vetores. Se E, +, · é um espa¸co vetorial normado, ent˜ ao d : E × E −→ R definida por d(u, v) = ku − vk é uma métrica sobre E pois (ver pg. 72): (M1 )

d(u, v) = ku − vk ≥ 0 e d(u, v) = ku − vk = 0 ⇔ u = v

(M2 )

d(u, v) = ku − vk = k(−1)(v − u)k = | − 1| kv − uk = d(v, u);

(M3 )

d(u, v) = ku − vk = k(u − w) + (w − v)k ≤ ku − wk + kw − vk = d(u, w) + d(w, v).

Exemplos: 1. Segundo o exemplo 1. (pg. 73) temos que d(u, v) = ku − vk = |u − v| é uma distância entre vetores da reta real. Observe que nos restringindo ao subespa¸co (métrico) Q, µ n˜ ao podemos usar a norma para calcular distâncias. De fato, Q, +, · n˜ ao é um espa¸co vetorial (sobre R). Por exemplo, d(3, 5) = k3 − 5k = |3 − 5| = 2 em R, +, · d(3, 5) = |3 − 5| = 2 em Q, +, · 146

2. Consideremos o espa¸co vetorial Rn , +, · . Sejam x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y = (y1 , y2 , . . . , yn )

⇒

x − y = (x1 − y1 , x2 − y2 , . . . , xn − yn ).

Segundo o exemplo 2. (pg. 73) temos que d(x, y) = kx − yk =

q

x1 − y1

2

+ x2 − y2

2

+ · · · + xn − yn

d(x, y) = kx − yk = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + · · · + |xn − yn | d(x, y) = kx − yk = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 |, . . . , |xn − yn |

2

são distâncias, induzidas por normas, no espa¸co vetorial Rn , +, · . Observe que existe uma diferen¸ca intr´ınseca entre o espa¸co vetorial Rn , +, · munido destas distâncias e os espa¸cos métricos R2 , D1 , R2 , D2 e R2 , D3 . De fato, o primeiro possui uma estrutura bem mais rica que os demais. Por exemplo, enquanto no primeiro podemos somar dois pontos, ou multiplicar um ponto por um n´ umero real, o mesmo já n˜ ao acontece nos espa¸cos métricos. Certa feita nos deparamos - em um livro texto - com a seguinte afirmativa: “Um espa¸co métrico n˜ ao é necessariamente um espa¸co vetorial.” Refutamos: um espa¸co métrico nunca é um espa¸co vetorial! (são estruturas distintas) O contr´ ario é que às vezes se verifica. Isto é, um espa¸co vetorial pode tornar-se um espa¸co métrico (ao ser dotado de uma norma) - nesse caso dizemos que enriquecemos a estrutura de espa¸co vetorial com uma distância. 3. Segundo o exemplo 3. (pg. 73) sobre o espa¸co vetorial C[a, b], +, · temos as duas seguintes distâncias d(f, g) = kf − gk = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b] Z b |f (x) − g(x)| dx d(f, g) = kf − gk = a

Novamente observamos que o espa¸co vetorial C[a, b], +, · munido destas distâncias e os espa¸cos métricos C[a, b], Υ e C[a, b], Γ são intr´ınsecamente distintos.

3.4

M´ etricas Induzidas por Produto Interno

Aqui só observamos que um produto interno sobre um espa¸co vetorial induz, neste, uma distância segundo a equa¸caõ (ver equa¸caõ (1.5), pg. 75): d(u, v) = ku − vk = 147

p hu − v, u − vi

3.5

M´ etricas Induzidas Por Fun¸c˜ oes

Seja (M, d) um espa¸co métrico e N um conjunto qualquer. Se existir uma aplica¸caõ f : N −→ M injetiva, ent˜ ao o par (N, d′ ), onde d′ (x, y) = d f (x), f (y)

é um espa¸co métrico. A distância entre dois pontos quaisquer de N é definida como sendo a distância entre suas imagens respectivas. d′ é dita a métrica induzida por f . (N, d′ )

q

y

q

q

(M, d)

f (y)

f R

x

← d′ (x, y) q

f (x)

Provemos que d′ é de fato uma métrica. Temos (M1 ) d′ (x, y) = d f (x), f (y) ≥ 0

porquanto d é métrica. Ademais d′ (x, y) = d f (x), f (y) = 0 ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y.

Au ´ ltima equivalência se verifica em fun¸caõ de que f é injetora. (M2 ) d′ (x, y) = d f (x), f (y) = d f (y), f (x) = d′ (y, x). A desigualdade

(M3 ) d′ (x, y) ≤ d′ (x, z) + d′ (z, y). é verdadeira, porquanto d f (x), f (y) ≤ d f (x), f (z) + d f (z), f (y)

é verdadeira. Exemplos: a) A partir da métrica µ vamos definir uma outra métrica sobre R com o aux´ılio da fun¸caõ injetiva f : R −→ R x 7−→ y = 2x Sendo assim obtemos o espa¸co (R, d′ ), onde d′ (x, y) = d f (x), f (y) = f (x) − f (y) = 2 x − 2 y 148

Por exemplo, a distância entre −1 e 1, neste espa¸co, fica d′ (−1, 1) = 2−1 − 21 = 1, 5.

Geometricamente tudo se passa assim:

(R, µ)

6

2 d′ (−1, 1) −→ 1

−1q

y=2x

q q

0

q1

- (R, d′ )

b) Vamos construir uma métrica sobre R com o aux´ılio do espa¸co R2 , k · k e da aplica¸caõ injetora

f : R −→ R2

x 7−→ 12 (x + 1, x − 1)

Pois bem, obtemos o espa¸co (R, d′ ), onde d′ (x, y) = d f (x), f (y)

= f (x) − f (y)

1

1

= (x + 1, x − 1) − (y + 1, y − 1)

2 2 =

1

(x − y, x − y) 2

Por exemplo, a distância entre −1 e 1, neste espa¸co, fica d′ (−1, 1) =

1

(−1 − 1, −1 − 1) = (−1, −1) 2

Tendo em conta o exemplo 2. (pg. 73), o espa¸co (R, d′ ) desdobra-se em três espa¸cos, segundo cada uma das normas seguintes: x = (x1 , x2 ) 7−→kxk =

q x21 + x22

x = (x1 , x2 ) 7−→kxk′ = |x1 | + |x2 | x = (x1 , x2 ) 7−→kxk′′ = max |x1 |, |x2 | 149

A distância entre −1 No espa¸co R, k · k No espa¸co R, k · k′ No espa¸co R, k · k′′

e 1 é dada por:

p √ d′ (−1, 1) = (−1, −1) = (−1)2 + (−1)2 = 2;

′ d′ (−1, 1) = (−1, −1) = | − 1| + | − 1| = 2;

′′ d′ (−1, 1) = (−1, −1) = max | − 1|, | − 1| = 1.

=⇒ =⇒ =⇒

A geometria da situa¸caõ é como a seguir:

(R, d′ )

1

0

r q q

−1 r q

R

R

6

6 f

-

1

−1q

q

6 1 f (1)

↓r q1

-R

−1 r← f (−1) q

150

−1q

q

−1 r q

√

2

r q1

-R

3.6

Produto de espa¸cos m´ etricos

Uma outra importante alternativa para se construir espa¸cos métricos é via produto cartesiano. Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. A partir destes dois vamos construir, por exemplo, três outros espa¸cos, do seguinte modo: Tomemos dois pontos x = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = M e y = (y1 , y2 ) ∈ M1 × M2 = M e vamos definir três fun¸co˜es D1 , D2 , D3 : M × M −→ R dadas por D1 (x, y) =

q d21 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

(3.1)

D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 )

D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 ) } Pode ser mostrado que (M, D1 ), (M, D2 ) e (M, D3 ) são também espa¸cos métricos. Observe que x1 , y1 ∈ M1 e x2 , y2 ∈ M2 de modo que d1 (x1 , y1 ) é calculado no espa¸co (M1 , d1 ) enquanto d2 (x2 , y2 ) é calculado no espa¸co (M2 , d2 ), assim: M1 ×M2

y

y2

x2

x

(M2 , d2 )

x1

y1

(M1 , d1 )

Observe ainda que n˜ ao h´ a necessidade de v´ınculo − afinidade − entre os elementos dos conjuntos M1 e M2 . Isto é, estes podem ser de naturezas completamente arbitrárias. Com o escopo de convencer o leitor do grau de arbitrariedade de que estamos falando, vamos dar um exemplo: Sejam (M1 , d1 ) = (S4 , σ) e (M2 , d2 ) = M2×3 (R), D1 (ver pg. 99). Primeiramente observe que os elementos do conjunto M = S4 × M2×3 (R) 151

são pares ordenados (x1 , x2 ) onde x1 é uma seq¨ uência e x2 é uma matriz. Exemplo: Calcule no espa¸co (M, D1 ) a distância entre os pontos x e y dados por 2 1 3 x = (x1 , x2 ) = 1110, 3 0 2 0 2 y = (y1 , y2 ) = 1010, 3 4

1 5

Solu¸ c˜ ao: Devemos calcular a seguinte distância q D1 (x, y) = d21 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 ) = Temos

q σ 2 (x1 , y1 ) + D12 (x2 , y2 )

x1 = 1110 , x2 =

2 3

1 0

3 2

y1 = 1010 , y2 =

0 2 3 4

1 5

Ent˜ ao,

σ(x1 , y1 ) = σ 1110, 1010 = 1 √ Já vimos (pg.99) que D1 (x2 , y2 ) = 34. Portanto,

D1

1110,

2 3

1 3 0 2

; 1010,

0 3

2 1 4 5

152

q √ √ = 12 + ( 34 )2 = 35.

O quadrado m´ agico Vejamos mais um exemplo de espa¸co produto. A partir do espa¸co métrico [ 0, 1 [, k podemos obter outros três, no conjunto [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [: 1

1

s(x1 , x2 )

s(y1 , y2 )

[ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

0

1

0

1

assim: D1 (x, y) =

q k2 (x1 , y1 ) + k2 (x2 , y2 )

(3.2)

D2 (x, y) = k(x1 , y1 ) + k(x2 , y2 ) D3 (x, y) = max k(x1 , y1 ); k(x2 , y2 )

(3.3) (3.4)

Uma Patologia Surpreendente: As quatro seqüências dadas a seguir 1

xn =

1 1 n+1 , 1− n+1

zn =

1 1 n+1 , n+1

ss

→

sx3 sx2

sz sz 2 ss 3

→

0

s

ss st 3

st 2

sy2 sy3 ss

1 1 , 1− n+1 ← tn = 1− n+1

1 ← yn = 1− n+1 ,

1 n+1

1

pertencem todas as diagonais do quadrado unit´ ario [0, 1[×[0, 1[. O centro do ` quadrado 12 , 21 é o primeiro termo de todas elas. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que √ D1 ((0, 0); xn ) = D1 ((0, 0); yn ) = D1 ((0, 0); zn ) = D1 ((0, 0); tn ) = 2/(n + 1), D2 ((0, 0); xn ) = D2 ((0, 0); yn ) = D2 ((0, 0); zn ) = D2 ((0, 0); tn ) = 2/(n + 1), D3 ((0, 0); xn ) = D3 ((0, 0); yn ) = D3 ((0, 0); zn ) = D3 ((0, 0); tn ) = 1/(n + 1). Chamamos este quadrado de mágico porquanto ele possui algumas propriedades interessantes. Por exemplo, todas as quatro seq¨ uências dadas acima est˜ ao aproximando-se, ao contr´ ario do que parece, da origem: 0 = (0, 0) (ver pg. 204). 153

Uma outra propriedade esdr´ uxula é vista a seguir: • Uma Patologia Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario, X = 21 , 1 × 21 , 1 ⊂ M ; e p = (0, 0) ∈ M . Vamos mostrar que, √ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, D1 d(p, X) = 2/2, no espa¸co d(p, X) = 0, no espa¸co [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, D1 1

1

¬ 1 2

0

¬

1 2

− Pasmem!:

s

1

0

1

A dist^ ancia de 0 para X ´ e nula!!!

A bem da verdade a primeira das distâncias acima já mostramos no exemplo 3), pg. 120. Quanto a segunda, temos, d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D1 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ X o nq 1 = inf k2 (x, 0) + k2 (y, 0) : ≤ x, y < 1 2 Temos,

k(x, 0) = min |x − 0|, 1 − |x − 0| = min x, 1 − x = 1 − x k(y, 0) = min |y − 0|, 1 − |y − 0| = min y, 1 − y = 1 − y

Devido ` a equa¸caõ (2.2) (pg. 90). Portanto, np o 1 d(p, X) = inf (x − 1)2 + (y − 1)2 : ≤ x, y < 1 2

Para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ´ınfimo da fun¸caõ, F (x, y) = Ent˜ ao,

p 1 (x − 1)2 + (y − 1)2 , para ≤ x, y < 1. 2

1 1 1 ≤x<1 ⇒ 0<1−x≤ ⇒ 0 < (1 − x)2 ≤ 2 2 4 Análogamente, 0 < (1 − y)2 ≤ 41 . Portanto,

√ p 1 2 2 2 ⇒ 0 < (1 − x) + (1 − y) ≤ 0 < (1 − x) + (1 − y) ≤ 2 2 2

2

154

Conclus˜ ao: se

Portanto,

1 2

≤ x, y < 1, implica que i p F (x, y) = (x − 1)2 + (y − 1)2 ∈ 0,

√ i 2 2

p 1 (x − 1)2 + (y − 1)2 : ≤ x, y < 1 2 i √2 i = inf 0, = 0. 2

d(p, X) = inf

Adendo: No que diz respeito a esse resultado, observando a igualdade, d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D1 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ X = 0

e tendo em conta a defini¸caõ de ´ınfimo (ver Lema 2, pg. 62), concluimos que dado ε > 0 existe x ∈ X tal que d(p, x) < ε. Ou ainda, dado ε > 0 existe (x, y) ∈ X de modo que D1 (0, 0); (x, y) < ε. Ou ainda, arbitráriamente oximo da origem (0, 0) encontramos um ponto do quadrado X = 21 , 1 × pr´ 1 2 , 1 . Encontramos um de tais pontos sobre a diagonal principal (reta y = x) do quadrado (por quê)?, assim: 1

1

¬

s t1

1 2

0

¬

1 2

s

1

0

sss ss sր

1

− Pasmem!:

Arbitr´ ariamente pr´ oximo a 0 encontramos um ponto de X. Podemos escolher o ponto (x, y) ∈ X tal que D1 (0, 0); (x, y) < ε na 1 1 seq¨ uência tn = 1 − n+1 , 1 − n+1 (ver quadrado mágico, pg. 153) porquanto, √ D1 ((0, 0); tn ) = 2/(n + 1). √ √ Ent˜ ao, dado ε > 0 temos: D1 ((0, 0); tn ) = 2/(n + 1) < ε ⇒ n > ε2 − 1. Para qualquer ´ındice n satisfazendo a desigualdade anterior, resulta: D1 (0, 0); 1 −

1 1 <ε , 1− n+1 n+1

Observe que um ponto da seq¨ uência (tn ) quanto mais afastado (métrica usual) estiver da origem, mais próximo estar´ a da origem. ⊙

⊙

155

⊙

Vamos mostrar, por exemplo, que D1 (ver equa¸caõ (3.1), pg. 151) satisfaz a desiguldade triangular: D1 (x, y) ≤ D1 (x, z) + D1 (z, y) Prova: De fato, D21 (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = d21 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

como d1 e d2 são métricas vale

d1 (x1 , y1 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) e d2 (x2 , y2 ) ≤ d1 (x2 , z2 ) + d1 (z2 , y2 ) Sendo assim, podemos escrever D21 x, y = d21 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 ) 2 2 ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) ≤ d21 (x1 , z1 ) + 2 d1 (x1 , z1 ) · d1 (z1 , y1 ) + d21 (z1 , y1 )

+ d22 (x2 , z2 ) + 2 d2 (x2 , z2 ) · d2 (z2 , y2 ) + d22 (z2 , y2 ) Logo, D21 x, y ≤ D21 x, z +2 d1 (x1 , z1 )·d1 (z1 , y1 )+d2 (x2 , z2 )·d2 (z2 , y2 ) +D21 z, y (3.5) Neste momento faremos uso da seguinte desigualdade p p |a b + c d| ≤ a2 + c2 · b2 + b2 válida para a, b, c e d reais (como o leitor facilmente pode mostrar). Ent˜ ao q d1 (x1 , z1 ) · d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) · d2 (z2 , y2 ) ≤ d21 (x1 , z1 ) + d22 (x2 , z2 ) q · d21 (z1 , y1 ) + d22 (z2 , y2 ) = D1 x, z · D1 z, y Sendo assim a equa¸caõ (3.5) pode ser escrita como D21 x, y ≤ D21 x, z + 2 D1 x, z · D1 z, y + D21 z, y 2 = D1 x, z + D1 z, y

Desta desigualdade − extraindo-se a raiz quadrada − decorre o resultado desejado.

156

A generaliza¸caõ para um produto de n espa¸cos métricos n˜ ao apresenta dificuldade: Dados os espa¸cos (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ), o produto cartesiano M = M1 × M2 × · · · × Mn é o conjunto das n−uplas ordenadas x = (x1 , x2 , . . . , xn ), onde x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 ,. . . , xn ∈ Mn . As três fun¸co˜es dadas abaixo: q D1 (x, y) = d21 (x1 , y1 ) + · · · + d2n (xn , yn ) D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn )

D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn ) } são métricas sobre M . Para x, y ∈ M arbitrários, valem as seguintes desigualdades: D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n · D3 (x, y) Observe que quando M1 = M2 = · · · = Mn = R e d1 = d2 = · · · = dn = µ, ent˜ ao D1 , D2 e D3 coincidem respectivamente com as métricas D1 , D2 e D3 definidas na p´ agina 98.

157

158

Cap´ıtulo

4

BOLAS ABERTAS “Sois

de tal modo levados a vos tomar por

tipos do Universo, que credes sempre que fora do vosso mundo n˜ ao h´ a mais nada. Pareceis verdadeiramente com esses selvagens que nunca sa´ıram de sua ilha e crˆ eem que o mundo n˜ ao vai mais longe.”

(O Livro dos M´ ediuns)

Bolas abertas Introdu¸ c˜ ao: Dada a importˆ ancia das bolas abertas para o estudo dos espa¸cos métricos, resolvemos abord´ a-las em um cap´ıtulo em separado. ´ de fundamental importˆ E ancia que o leitor compreenda bem este conceito, haja vista que muitas das defini¸co˜es em cap´ıtulos subseq¨ uentes são em fun¸caõ do mesmo. N˜ ao tenha a ilus˜ ao de ir muito longe na topologia sem uma perfeita compreens˜ ao deste t´ opico.

4.1

Defini¸ c˜ ao e exemplos

Defini¸ c˜ ao 27 (Bola Aberta). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Considere um ponto p ∈ M . Dado r > 0 um n´ umero real, a bola aberta de centro p e raio r, que indicaremos por B( p; r) é o seguinte subconjunto de M : B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r

Ou seja: a bola aberta de centro p e raio r > 0 é o conjunto formado pelos elementos de M que est˜ ao a uma distância de p menor que r. De outro modo: fixado arbitrariamente um ponto p no conjunto M e dado, também arbitrariamente, um n´ umero real r > 0, pertencem à bola aberta de centro p e raio r todos os elementos x ∈ M que satisfazem a desigualdade (inequa¸caõ): d(x, p) < r. Observe que tomando x = p, temos d(x = p, p) = 0 < r ⇒ p ∈ B( p; r). 159

Isto é, uma bola nunca é vazia, pois o próprio centro sempre pertence à mesma. Observa¸ c˜ ao: Quando necessário usaremos a nota¸caõ Bd ( p; r) para explicitar a métrica em quest˜ ao. Agora daremos vários exemplos de bolas em vários espa¸cos métricos. Exemplo 1: Considere M = R a reta real. Consideremos p = 3 ∈ R e r = 21 . • No espa¸co ( R, µ), temos B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r 1 1 B 3; = x ∈ R : µ(x, 3) < 2 2 1 = x ∈ R : |x − 3| < 2 1 1 = x ∈ R: − < x − 3 < 2 2 1 5 7 1 = x ∈ R: 3 − < x < 3 + = , 2 2 2 2 A visualiza¸caõ geométrica é como a seguir Bµ(3; ⊣ 0

⊣ 1

⊣ 2

] 5 2

1 2)

r [

3

7 2

⊣ 4

-R

De um modo geral, a bola aberta de centro p e raio r, no espa¸co métrico ( R, µ) coincide com o intervalo aberto de mesmo centro e mesmo raio. Assim B( p; r) = x ∈ R : |x − p| < r = x ∈ R: − r < x − p < r = x ∈ R : p − r < x < p + r = p − r, p + r Bµ ( p; r) = p − r, p + r Geometricamente, temos

r

Bµ ( p; r)

] p−r

p

-R

[ p+r

• No espa¸co ( R, δ), temos B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r 1 1 B 3; = x ∈ R : δ(x, 3) < 2 2 160

Nesta bola entram apenas os n´ umeros reais que satisfazem a desigualdade δ(x, 3) <

1 2

pela defini¸caõ de δ, temos δ(x, 3) =

(

1, se e só se x 6= 3; 0, se e só se x = 3.

Portanto o u ´ nico n´ umero real que satisfaz a exigência δ(x, 3) < δ(3, 3) = 0 < 21 . Logo 1 1 B 3; = 3 . = x ∈ R : δ(x, 3) < 2 2

1 2

é x = 3, pois

Este é um exemplo de que na bola só consta o seu próprio centro. A geometria da situa¸caõ é a seguinte ⊣s 3

Bδ(3; ⊣ 0

⊣ 1

⊣ 2

1 2)

-R

Exemplo 2: Vamos agora caracterizar a bola aberta no espa¸co métrico (M, δ), onde M é um conjunto arbitrário. Na defini¸caõ de bola aberta temos que r > 0. Vamos separar a nossa análise em dois casos: 1o ) Suponhamos 0 < r ≤ 1. Considere p ∈ M , arbitrariamente fixado. Ent˜ ao B( p; r) = x ∈ M : δ(x, p) < r ≤ 1 observe que se x 6= p ent˜ ao δ(x, p) = 1, logo a desigualdade δ(x 6= p, p) = 1 < r ≤ 1 n˜ ao é verdadeira. Isto é nenhum x 6= p pode fazer parte de uma bola com 0 < r ≤ 1. Por conseguinte Bδ ( p; r) = p , para 0 < r ≤ 1.

2o ) Suponhamos r > 1. Considere p ∈ M , arbitrariamente fixado. Ent˜ ao B( p; r) = x ∈ M : δ(x, p) < r Como 0 ≤ δ(x, p) ≤ 1, a desigualdade

0 ≤ δ(x, p) ≤ 1 < r é satisfeita para todo x ∈ M . Por conseguinte Bδ ( p; r) = M, para r > 1.

161

Resumindo: A bola aberta no espa¸co métrico (M, δ) est´ a perfeitamente caracterizada como

Bδ ( p; r) =

  p , 

se 0 < r ≤ 1;

M, se r > 1.

− Por exemplo considere M = M2 (Z) o conjunto das matrizes quadradas de ordem dois com elementos inteiros. Seja 2 1 p= 3 0 ent˜ ao Bδ

2 3

#) (" 2 1   , se 0 < r ≤ 1;   3 0 1 ;r = 0     M2 (Z), se r > 1.

− Como um outro exemplo, seja M = S4 . Considere p = 0101, ent˜ ao   0101 , se 0 < r ≤ 1; Bδ 0101; r = S4 , se r > 1. Exemplo 3: Bolas no Espa¸ co [ 0, 1 [, k

Vamos inicialmente esbo¸car a bola de centro 0 e raio r no espa¸co [ 0, 1 [, k . Isto é, queremos caracterizar Bk (0; r). Pois bem, Bk (0; r) = x ∈ [ 0, 1 [ : k(x, 0) < r = x ∈ [ 0, 1 [ : min |x − 0|, 1 − |x − 0| < r = x ∈ [ 0, 1 [ : min |x|, 1 − |x| < r

Isto é, pertencem ` a bola Bk (0; r) todos os 0 ≤ x < 1 que satisfazem a desigualdade (inequa¸caõ): min x, 1 − x < r. Observe que  se 0 ≤ x ≤ 12 ; x, k(x, 0) = min x, 1 − x = 1 − x, se 1 ≤ x < 1. 2

A seguir (esquerda) esbo¸camos o gráfico da fun¸caõ dada por k(x, 0): k(x, 0)

k(x, 0)

6

6

1

q

1

q

1 2

q

1 2

q

0

q

1 2

q1

r

-x

0

162

↑ r

q

1 2

↑

1−r

q1

-x

Com o objetivo de obter a bola Bk (0; r) fixamos (figura da direita) um valor para r. Uma análise deste gr´ afico nos informa os x ∈ [ 0, 1 [ que satisfazem a desigualdade k(x, 0) < r, assim:  [ 0, r [ ∪ ] 1 − r, 1 [, se 0 < r ≤ 21 ; Bk (0; r) = [ 0, 1 [, se r > 12 . Observe,

0

r

1−r

0

1

Bk (0; r< 21 )

r

1

0

Bk (0; r= 21 )

1

Bk (0; r> 21 )

Nota: A figura do centro poderia ter sido incluida na figura da esquerda. Com um procedimento análogo (e bem mais trabalhoso) obtemos a bola de centro p e raio r no espa¸co [ 0, 1 [, k , assim:  se 0 < r ≤ p;  ] p − r, p + r [,   Bk (p; r) = [ 0, p + r [ ∪ ] p − r + 1, 1 [, se p < r ≤ 21 ;     [ 0, 1 [, se r > 21 .  ] p − r, p + r [, se 0 < r < 1 − p;     Bk (p; r) = [ 0, p + r − 1 [ ∪ ] p − r, 1 [, se 1 − p ≤ r ≤ 21 ;     [ 0, 1 [, se r > 21 .

s

p

1 2

1

p< r ≤

1 2

0

p−r+1

1 2

p+r−1

¬

p

p+r

1

0< r ≤ p

1

1 2

p−r

0

1 2

0

1 2

¬

0

s

1 2

¬

0

p

p+r

¬

0

s

< p < 1, respectivamente. O esbo¸co das bolas no intervalo

¬

p−r

1 2

¬

para 0 < p < 12 e [ 0, 1 [ fica assim:

r> 21

163

p−r

s

p

s

p+r 1

p

1

p

1

s

0< r < 1−p

1−p≤ r ≤ r> 12

1 2

• Bolas nos Espa¸cos R2 , Di

Exemplo 4: Considere M = R2 , p = (0, 0) e r = 1. • No espa¸co R2 , D1 , temos

B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D1 (x, y); (0, 0) < 1 o n p = (x, y) ∈ R2 : (x − 0)2 + (y − 0)2 < 1

Sendo assim B (0, 0); 1 é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade p (x − 0)2 + (y − 0)2 < 1,

isto é são os pontos interiores à circunferência de equa¸caõ: x2+ y 2 = 1. Para um ponto p = (a, b) ∈ R2 arbitrário, a bola B (a, b ; r) é o conjunto dos pontos interiores ao c´ırculo de equa¸caõ: (x − a)2 + (y − b)2 = r2 . R

1

R

6

b

B ((0, 0); 1) D 1

−1

1

-R

6

q 0

B ((a, b); r) D1

r

r-⊣ ⊢

ap

-R

−1

• No espa¸co R2 , D2 , temos

B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D2 (x, y); (0, 0) < 1 = (x, y) ∈ R2 : |x − 0| + |y − 0| < 1

Sendo assim B (0, 0); 1 é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade: |x − 0| + |y − 0| < 1, isto é, são os pontos interiores a circunferência de equa¸caõ: |x| + |y| = 1. ` Para esbo¸car o gr´ afico desta equa¸caõ podemos nos valer da tabela seguinte: Quad.

M´ odulo

Equa¸ ca õ

I

|x|=x , |y|=y

x+y=1

II

|x|=−x, |y|=y

−x+y=1

III

|x|=−x, |y|=−y

−x−y=1

IV

|x|=x , |y|=−y

x−y=1

Ent˜ ao, 164

@ @

R

R

6

@ 1 q@ @ @ @ @ @ -R @p −1 @ p1 @ @ @ @ @ @ −1 q@ −x+y=1 x+y=1 @ @ x−y=1

⇒

6

1

q

B ((0, 0); 1) D 2

p

p1

−1

−1

-R

q

−x−y=1

Obs: A origem (0, 0) faz parte das solu¸co˜es da inequa¸caõ determinada por cada uma das retas. Para um ponto p = (a, b) ∈ R2 arbitrário, a bola B (a, b ; r) é o conjunto dos pontos interiores ` a circunferência de equa¸caõ R

|x − a| + |y − b| = r.

b

6

q

r

B ((a, b); r) D 2

r-⊣ ⊢ pa

-R

• No espa¸co R2 , D3 , temos B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D3 (x, y); (0, 0) < 1 = (x, y) ∈ R2 : max {|x − 0|, |y − 0|} < 1

Sendo assim B (0, 0); 1 é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade: max |x − 0|, |y − 0| < 1. Isto é, são os pontos interiores ` a circunferência de equa¸caõ (ver pg. 98): max |x|, |y| = 1. Inicialmente observe que max |x|, |y| < 1 ⇔ |x| < 1 e |y| < 1 ⇔ −1 < x < 1 e − 1 < y < 1.

A bola procurada é a interseçcaõ das faixas horizontal e vertical, assim:

165

R

6

x=−1

x=1

y=1

q p

-R

p

y=−1

q

Para um ponto p = (a, b) ∈ R2 arbitrário, abola B (a, b ; r) é o conjunto dos pontos interiores ao c´ırculo de equa¸caõ: max |x − a|, |y − b| = r. R

R

6

1

B ((0, 0); 1) D3

b

q

p

p1

−1

-R

6

q

0

B ((a, b); r) D 3

r

ap

⊤

6

2r ⊥?

-R

q

−1

• Bolas nos quadrados [ 0, 1 [ ×[ 0, 1 [, Di Exemplo 5: Construiremos agora a bola BD (0, 0); 41 (ver equa¸caõ (3.2), pg. 1

153) e deixaremos como exerc´ıcio ao leitor a constru¸caõ desta mesma bola nas duas outras métricas. Temos, 1o 1 n BD1 (0, 0); = (x, y) ∈ [ 0, 1 [ ×[ 0, 1 [ : D1 (x, y); (0, 0) < 4 4 Pertencem a esta bola todos os pontos do quadrado que satisfazem a desigualdade: q 1 D1 (x, y); (0, 0) = k2 (x, 0) + k2 (y, 0) < 4 Temos, k(x, 0) = min |x − 0|, 1 − |x − 0| = min x, 1 − x k(y, 0) = min |y − 0|, 1 − |y − 0| = min y, 1 − y 166

Tendo em conta a equa¸caõ (2.2) (pg. distâncias:

90), temos o seguinte diagrama de (1, 1)

1

k(x, 0) = 1 − x

k(x, 0) = x ¬

k(y, 0) = 1 − y k(y, 0) = 1 − y

1 2

k(x, 0) = x

k(x, 0) = 1 − x

k(y, 0) = y

k(y, 0) = y ¬ 1

0

1

2

Sendo assim, temos: k(x, 0) = x,

k(y, 0) = y

⇒

II )

k(x, 0) = 1 − x,

k(y, 0) = y

⇒

III )

k(x, 0) = 1 − x,

k(y, 0) = 1 − y

⇒

IV )

k(x, 0) = x,

k(y, 0) = 1 − y

⇒

I)

p (x − 0)2 + (y − 0)2 p (x − 1)2 + (y − 0)2 p (x − 1)2 + (y − 1)2 p (x − 0)2 + (y − 1)2

<

1 4

<

1 4

<

1 4

<

1 4

Tomando a interse¸caõ de cada uma destas circunferências com o quadrado unit´ ario obtemos a bola aberta procurada, assim: (1, 1)

1

3 4

¬

1 2

BD (0, 0); 1

1 4

=⇒

1 4

1 4

¬

0

1 2

3 4

1

• Bolas nos Espa¸cos com S4 Exemplo 6: Consideremos o conjunto de s´ımbolos S4 = 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110, 0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111 − Seja p = 0101 e r = 2. No espa¸co S4 , σ , temos B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B 0101; 2 = x ∈ S4 : σ(x, 0101) < 2 167

As seq¨ uências de S4 que pertencem à bola procurada são aquelas que satisfazem a desigualdade 4 X |xn − pn | < 2 σ(x, 0101) =

x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 X1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

n=1

= |x1 − 0| + |x2 − 1| + |x3 − 0| + |x4 − 1| < 2 Ou ainda,

X X X X

X0 1 1 0 1 1 1 0 X 0 0 0 1 X1 0 0 1

x1 + |x2 − 1| + x3 + |x4 − 1| < 2 Observe que n˜ ao podemos ter x2 = x4 = 0 ou x1 = x3 = 1. Sendo assim obtemos Bσ 0101; 2 = 0100, 0001, 0101, 1101, 0111

0 1 0 1 1 1 0 1 X0 0 1 1 1 0 1 1 X 0 1 1 1 1 1 1 1 X

− Seja p = 0101 e r = 2. No espa¸co S4 , ρ , temos B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B 0101; 2 = x ∈ S4 : ρ(x, 0101) < 2

As seq¨ uências de S4 que pertencem à bola procurada são aquelas que satisfazem 4 X n−1 ρ x, 0101 = 2 · (xn − pn ) < 2 n=1 = (x1 − 0) + 2 · (x2 − 1) + 4 · (x3 − 0) + 8 · (x4 − 1) < 2 ρ x, 0101 = x1 + 2 · (x2 − 1) + 4 · x3 + 8 · (x4 − 1) < 2 = x1 + 2x2 + 4 · x3 + 8x4 − 10 < 2

Refletindo um pouco sobre esta inequa¸caõ, podemos descartar todas as seq¨ uências em que x4 = 0. Isto é, eliminamos de imediato as oito primeiras linhas da tabela de S4 , obtendo: Bρ 0101; 2 = 1001, 0101, 1101

x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0

X0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 X0 0 1 1 X1 0 1 1 X0 1 1 1 X1 1 1 1

168

X X X X X X X X

− Seja p = 0101 e r = 2. No espa¸co S4 , τ , temos B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B 0101; 2 = x ∈ S4 : τ (x, 0101) < 2

As seq¨ uências de S4 que pertencem à bola procurada são aquelas que satisfazem a desigualdade (ver equa¸caõ (2.32), pg. 140): τ x, 0101 = max 1·|x1 −0|, 2·|x2 −1|, 3·|x3 −0|, 4·|x4 −1| < 2 Isto é,

max x1 , 2 · |x2 − 1|, 3 · x3 , 4 · |x4 − 1| < 2

Eliminamos de imediato as seq¨ uências em que x2 = 0 ou x3 = 1 ou x4 = 0. Logo: Bτ 0101; 2 = 0101, 1101

x1 x2 x3 x4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor justificar as seguintes igualdades: ( p , se 0 < r ≤ 1; Bσ p; r = N S se r > N.

Bρ p; r =

( p , se 0 < r ≤ 1;

Bτ p; r =

SN se r > 2N − 1. ( p , se 0 < r ≤ 1; SN

X X X X X X X X X X

se r > N.

X X X X

(4.1)

(4.2)

(4.3)

• Bolas no espa¸co C[a, b], Γ . Consideremos a fun¸caõ g : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ 0

isto é, g é a fun¸caõ identicamente nula (g ∼ = 0). Tomemos r = 21 . Vamos fazer algumas elucubra¸co˜es sobre a bola 1 1 B g; = f ∈ C[ 0, 1 ] : Γ(f, g) < 2 2 Z 1 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : |f (x) − g(x)| dx < 2 0 Z 1 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : |f (x) − 0| dx < 2 0 Têm livre acesso a esta bola todas as fun¸co˜es cont´ınuas, com dom´ınio no intervalo [ 0, 1 ], que satisfazem a desigualdade Z

0

1

|f (x)| dx < 169

1 . 2

Ou ainda: pertencem ` a bola em quest˜ ao todas as fun¸co˜es f , cont´ınuas e com dom´ınio no intervalo [ 0, 1 ], cuja área sob o gráfico de |f | n˜ ao excede 0, 5. Exemplos: i) Perguntamos: a fun¸caõ

f : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ y = x2 pertence ` a bola BΓ 0; Solu¸ c˜ ao:

Temos:

Z

1 2

1

x2 dx = 0

? f (x)

x3 3

1

= 0

6

1 1 < 3 2 1

q 0

-x

q1

Resposta: Sim. ii) Perguntamos: a fun¸caõ f : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ y = sen x pertence ` a bola BΓ 0;

1 2

Solu¸ c˜ ao: Temos:

Z

0

? 1

1

sen x dx = − cos x

f (x)

1

= 1 − cos 1 ≈ 0, 46 <

6

0

1 2

q 0

Resposta: Sim. iii) Perguntamos: a fun¸caõ f : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ y = cos x pertence ` a bola BΓ 0;

1 2

?

170

q 1 q π2

qπ

-x

Solu¸ c˜ ao: f (x)

Temos:

Z

1

1

1

cos x dx = sen x

0

6

q

0

= sen 1 ≈ 0, 84 >

1 2

π 2

q1 q

0

qπ

-x

Resposta: N˜ ao. • Bolas no espa¸co (C[a, b], Υ) Consideremos a fun¸caõ:

g : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ 0

Tomemos r = 21 . Vamos fazer algumas elucubra¸co˜es sobre a bola 1 1 B g; = f ∈ C[ 0, 1 ] : Υ(f, g) < 2 2 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < 2 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : max |f (x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < 2

Têm livre acesso a esta bola todas as fun¸co˜es cont´ınuas, com dom´ınio no intervalo [ 0, 1 ], que atendem a desigualdade

Isto equivale a

1 max |f (x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < 2

|f (x)| < 0, 5 ; ∀ x ∈ [ 0, 1 ] ⇒ −

1 1 < f (x) < ; ∀ x ∈ [ 0, 1 ]. 2 2 y

1

Isto é, pertencem ` a bola BΥ g; 2 todas as fun¸co˜es reais cont´ınuas, com dom´ınio [ 0, 1 ], cujos gr´ aficos situam-se na faixa retangular ao lado.

1 2

6 q

0

− 21

q1

-x

q

De um modo geral é sempre poss´ıvel “visualizarmos” as bolas no espa¸co (C[a, b], Υ). Sendo B( g; r) = f ∈ C[a, b] : Υ(f, g) < r n o = f ∈ C[a, b] : max {|f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b]} < r 171

Temos a seguinte equivalência max { |f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b] } < r ⇐⇒ |f (x) − g(x)| < r ∀x ∈ [a, b].

Isto é, pertencem à bola B( g; r) todas as fun¸co˜es f ∈ C[a, b] tais que g(x) − r < f (x) < g(x) + r ; a ≤ x ≤ b. Lembramos que g ∈ C[a, b] é uma fun¸caõ a priori fixada. Pertencem à bola B( g; r) as fun¸co˜es f : [a, b] → R cujos gráficos situam-se entre os gráficos de g − r e g + r. Graficamente esta bola fica assim: y

6

g+r

g

f

g−r 0

4.2

a

b

-x

Bolas em subespa¸cos

Dado um espa¸co métrico (M, d) e um subconjunto N ⊂ M , o nosso objetivo agora será estudar as bolas abertas no subespa¸co (N, d). Dado p ∈ N e r > 0 a bola de centro p e raio r no “espa¸co universo” (M, d) continuar´ a a ser indicada por B(p; r), ou por Bd (p; r) quando houver necessidade de explicitar a métrica. Enquanto a sub-bola, digo, a bola no subespa¸co (N, d) será indicada por B(p; r). Por defini¸caõ temos B(p; r) = {x ∈ N : d(p, x) < r} Sendo B(p; r) = {x ∈ M : d(p, x) < r}

Vamos mostrar que a sub-bola de centro p e raio r é igual à bola no “espa¸co universo” interceptada com o conjunto N . Isto é, a seguinte identidade se verifica (M, d) qp

N

B(p; r) = B(p; r) ∩ N B(p; r)

172

B(p; r)

Prova: (Ver Importante! pg. 36) ⊂ De fato, Dado x ∈ B(p; r) ent˜ ao x ∈ N e d(p, x) < r. Como N ⊂ M temos que x ∈ M e d(p, x) < r, segue que x ∈ B(p; r). Portanto x ∈ B(p; r) ∩ N . ⊃ Dado x ∈ B(p; r)∩N segue que x ∈ N e d(p, x) < r, portanto x ∈ B(p; r). Veremos agora que as bolas em um dado subespa¸co são, amiude, totalmente diferentes daquelas no “espa¸co universo”. Exemplos: (1) Consideremos o espa¸co métrico R, µ . Seja N = { 0 } ∪ [ 1, 2 [. Encontre − e esboce − no subespa¸co N, µ as seguintes bolas: a) B 0;

1 2

Solu¸ c˜ ao:

b) B 0;

3 2

c) B 1;

1 2

a) Para encontrar B 0; 21 temos duas alternativas: encontrando diretamente da defini¸caõ ou calculando a bola no espa¸co universo e fazendo a interse¸ caõ com N . Vamos optar pela segunda alternativa. Temos ao B 0; 12 = − 21 , 12 , ent˜ 1 1 = B 0; ∩N 2 2 i 1 1h \ = − , { 0 } ∪ [ 1, 2 [ = 0 . 2 2

B 0;

O esbo¸co fica assim r

[

−1 2

]

r

-N

[

1

0

2

- B(0; 12 )

[1

0

2

r

- B(0; 12 )={ 0 }

0

b) Temos B 0; B 0;

3 2

= − 32 , 23 , ent˜ ao

3 3 = B 0; ∩N 2 2 3 i 3 3h \ { 0 } ∪ [ 1, 2 [ = 0 ∪ 1, . = − , 2 2 2

O esbo¸co fica assim r

0

−3 2

]

r

[

0

r

0

-N

[2

1

[3

- B(0; 23 )

[3

- B(0; 32 )={0}∪

2

[

1

2

173

1, 23

1 2

c) Temos B 1;

1

3 2, 2

r

[

, ent˜ ao

]

⊣ 0

-N

[2

1

0

1 2

1 1 = B 1; ∩N 2 2 3 i1 3h \ { 0 } ∪ [ 1, 2 [ = 1, . = , 2 2 2

B 1;

⊣ 0

=

1

r

[3

- B(1; 12 )

[

[3

- B(1; 12 )=

2

1

2

1, 23

(2) Considere o seguinte subconjunto de R2 : N = (x, y) ∈ R2 : xy = 1 . Fa¸ca um esbo¸co − nos subespa¸cos (N, Di )(i = 1, 2) − das bolas a) BD1 (1, 1); 12 b) BD2 (−1, −1); 21 Solu¸ c˜ ao: Nos subespa¸cos (N, Di ) uma bola aberta consiste de um arco de hipérbole, aberto nas extremidades, resultado das seguintes interseçco˜es 1 1 \ = BD (1, 1); N 1 1 2 2 1 \ 1 = BD (−1, −1); N (−1, −1); 2 2 2

BD (1, 1); BD

2

R

N

−1q

ր

BD (−1, −1); 2

1 2

r

1

R

6 r

q

q1

0

q

BD (1, 1); 1

1 2

BD (1, 1); 1

N

-R

−1q

−1 BD (−1, −1); 2

174

6

ր 1 2

r

1

ւ r

q

q1

0

q

−1

1 2

-R

(3) Considere o seguinte subconjunto de R2 N = S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} isto é, N é o c´ırculo unit´ ario. Fa¸ca um esbo¸co − nos subespa¸cos (S 1 , Di ) (i = 1, 2, 3.) − das bolas a) BD1 (1, 0); 21 b) BD2 (0, 1); 43 c) BD3 (1, 0); 34

Solu¸ c˜ ao: Nos subespa¸cos (S 1 , Di ) uma bola aberta consiste de um arco de c´ırculo, aberto nas extremidades, assim a) R 1 S1 −1q

R

6

q

BD (1, 0); 12

ւ

r

0

1

-R

6 ւ r

0

BD (1, 0); 12

(1,0)

1

-R

−1q

b) R

S

6 r

1

−1q

BD (0, 1); 43

ւ

2

6 BD (0, 1); 4 r ւ 2

3

-R

q1

0

R

-R

0

−1q

c) R 1 S1 −1q

R

6

q 0

BD (1, 0); 34 3

r

ւ

-R

−1q

175

6 BD (1, 0); 43 3

ւ 0

r

(1,0)

-R

4.3

Bolas no espa¸co produto

Já esbo¸camos (pg. 166) a bola aberta no espa¸co R2 , D3 , onde D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 | Alternativamente podemos escrever BD3 (a, b); r =] a − r, a + r [ × ] b − r, b + r [

Isto é, BD3 (a, b); r é o produto cartesiano das bolas de centro a e raio r e de centro b e raio r, ambas no espa¸co ( R, µ ). Em s´ımbolos: BD3 (a, b); r = Bµ (a; r) × Bµ (b; r) Geometricamente temos R

6

b+r

b

B ((a, b); r) D 3

⊢

2r

⊣

s

⊤6 2r

⊥?

b−r

]

0

a−r

s

a

[

-R

a+r

Este é um caso particular do seguinte resultado: Proposi¸ c˜ ao 28. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸cos métricos e consideremos sobre M = M1 × M2 × · · · × Mn a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn )

onde x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) e y = ( y1 , y2 , . . . , yn ) s˜ ao ponto de M . Fixe um ponto p = ( p1 , p2 , . . . , pn ) ∈ M . Nestas condi¸co ˜es a seguinte identidade é v´ alida BD3( p; r) = Bd ( p1 ; r) × Bd ( p2 ; r) × · · · × Bdn( pn ; r) 1

2

Prova: Seja x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) um ponto arbitrário de M . Ent˜ ao: x ∈ BD3( p; r) ⇐⇒ max d1 (x1 , p1 ), . . . , dn (xn , pn ) < r ⇐⇒ di ( xi , pi ) < r (i = 1, 2, . . . , n)

⇐⇒ xi ∈ Bd ( pi ; r) (i = 1, 2, . . . , n) i

⇐⇒ x ∈ Bd ( p1 ; r) × Bd ( p2 ; r) × · · · × Bdn( pn ; r) 1

2

176

Exemplo: Seja (M1 , d1 ) = S4 , σ

e (M2 , d2 ) = M2 (Z), δ . Considere

M = M1 × M2 = S4 × M2 (Z)

Calcule no espa¸co M, D3 a bola de centro p = ( p1 , p2 ) =

e raio r = 1.

2 0101, 3

1 0

Solu¸ c˜ ao: Pela proposi¸caõ anterior podemos escrever BD3( p; r) = Bd ( p1 ; r) × Bd ( p2 ; r) 1 2 ! ! 2 1 2 1 ;1 0101, ; 1 = Bσ 0101; 1 × Bδ 3 0 3 0

BD3

Já vimos (pg’s: 162 e 169) que 2 1 2 ;1 = Bδ 3 0 3

BD

3

0101,

Bσ 0101; 1 = 0101

Portanto,

1 0

2 3

1 0

!

;1

!

= 0101 ×

2 1 3 0

=

0101,

2 1 3 0

Vejamos mais dois exemplos, desta vez no espa¸co [ 0, 1 [×[ 0, 1 [, D3 (ver pg. 153). Exemplo: Temos 1 1 1 BD (0, 0); = Bk 0; × Bk 0; 3 4 4 4 1 3 1 3 ∪ ∪ , 1 × 0, ,1 = 0, 4 4 4 4

Geometricamente esta bola fica assim: 1

3 4

=⇒

¬

1 2

1 4

1 4

¬

0

1 2

3 4

1

177

Seria bom o leitor rever o diagrama de bolas abertas à p´ agina 163. Exemplo: Temos 1 3 1 1 1 3 1 = Bk ; ; × Bk ; , 3 4 4 3 4 3 4 3 7 11 1 5 ∪ ∪ , 1 × 0, ,1 = 0, 12 12 12 12

BD

Geometricamente esta bola fica assim: 1

rp

3 4

rp =⇒

¬

1 2 5 12

0

1 4

¬

1 12

1 2

7 12

11 12

1

Seria bom o leitor rever o diagrama das bolas abertas no espa¸co [ 0, 1 [, k (pg. 163).

4.4

Proposi¸ c˜ oes sobre bolas

Provaremos - e interpretaremos - algumas propriedades das bolas abertas B( p; r) de um espa¸co métrico (M, d); genérico. (P1 ) Dadas B( p; r) e B( p; s), se s ≤ r, ent˜ ao B( p; s) ⊂ B( p; r). Isto é: Se duas bolas têm o mesmo centro, a de menor raio está contida na outra. Embora isto pare¸ca trivial; em matemática devemos sempre desconfiar do obvio. Por exemplo, daqui a pouco mostraremos ao leitor que existem bolas ´ cujo raio é maior que o próprio diâmetro!. Prova: Seja x ∈ B( p; s) ent˜ ao d(x, p) < s, logo d(x, p) < s ≤ r ⇒ d(x, p) < r ⇒ x ∈ B( p; r).

Portanto B( p; s) ⊂ B( p; r).

178

(P2 ) Dado q ∈ B( p; r), ent˜ ao existe s > 0 de maneira que B( q; s) ⊂ B( p; r). Isto é: Escolhido um ponto qualquer de uma bola aberta, podemos tornar este ponto o centro de uma nova bola contida na primeira. Prova: Como q ∈ B( p; r) temos que d(p, q) < r. A figura seguinte (esquerda) B( p; r)

B( p; r)

p

⊢ r ⊢

r

d(p, q)

⊣

rq

⊣ ⊢

s

p

⊣

rx rq r B( q; s)

nos sugere escolher s = r − d(p, q) > 0. Mostremos que, para esta escolha de s, efetivamente se verifica B( q; s) ⊂ B( p; r). Seja x ∈ B( q; s), ent˜ ao d(x, q) < s = r − d(p, q) ⇒ d(x, q) + d(p, q) < r

(♮)

A desigualdade triangular nos autoriza escrever d(x, p) ≤ d(x, q) + d(p, q) nos valendo da desigualdade (♮) decorre que d(x, p) < r, o que implica x ∈ B( p; r). Como x ∈ B( q; s) é arbitrário, segue que B( q; s) ⊂ B( p; r). (P3 ) Sejam B( p; r) e B( q; s) bolas que se interceptam. Para todo x ∈ B( p; r)∩ B( q; s), existe t > 0 satisfazendo B( x; t) ⊂ B( p; r) ∩ B( q; s). Isto é: Escolhido qualquer ponto na interseçcaõ de duas bolas abertas, podemos centrar neste ponto uma terceira bola contida nesta interseçcaõ. Prova: Seja x ∈ B( p; r) ∩ B( q; s), ent˜ ao x ∈ B( p; r) e x ∈ B( q; s). Devido à propriedade (P2 ) existem t1 > 0 e t2 > 0 tais que B( x; t1 ) ⊂ B( p; r) e B( x; t2 ) ⊂ B( q; s)

179

Daqui segue que B( x; t1 ) ∩ B( x; t2 ) ⊂ B( p; r) ∩ B( q; s) B( p; r)

(4.4)

B( q; s)

p

r

rq

xr

6

B( x; t)

Seja t = min {t1 , t2 }, ent˜ ao pela propriedade (P1 ), temos as seguintes inclusões B( x; t) ⊂ B( x; t1 ) e B( x; t) ⊂ B( x; t2 ) portanto, B( x; t) ⊂ B( x; t1 ) ∩ B( x; t2 ) de (4.4) conclu´ımos que B( x; t) ⊂ B( p; r) ∩ B( q; s) que é o resultado desejado. (P4 ) Sejam p 6= q pontos de um espa¸co (M, d). Ent˜ ao podemos centrar em cada um destes pontos, bolas abertas disjuntas. Prova: Como p 6= q ⇒ d( p,q) > 0. Vamos tomar r = d(p, q) e mostrar que, por exemplo, as bolas B p; 2r e B q; r2 são disjuntas. (M, d)

p

r

rq

⊢ ⊣ r=d(p, q)

ao Suponha, ao contrário, que exista w ∈ B p; 2r ∩ B q; 2r . Ent˜ d(w, p) < 2r e d(w, q) < 2r . Donde, invocando a desigualdade triangular, temos r = d( p, q) ≤ d( p, w) + d( w, q) <

r r + = r. 2 2

Esta contradi¸caõ mostra que a nossa suposi¸caõ (qual seja: a de que existe um elemento na interse¸caõ das bolas) é falsa. 180

(P5 ) Sejam as bolas B( p; r) e B( q; s), se r + s ≤ d(p, q), ent˜ ao B( p; r) ∩ B( q; s) = ∅ Isto é: Se a soma dos raios é menor ou igual à distância entre os centros, ent˜ ao estas bolas precisam ser disjuntas. Prova: Suponha, contr´ ariamente, que exista w ∈ B( p; r) ∩ B( q; s). Ent˜ ao d( w, p) < r e d( w, q) < s. Donde, invocando a desigualdade triangular, temos d( p, q) ≤ d( p, w) + d( w, q) < r + s ≤ d( p, q). Esta contradi¸caõ mostra que a nossa suposi¸caõ (qual seja: a de que existe um elemento na interse¸caõ das bolas) é falsa. (P6 ) O diâmetro de uma bola B( p; r) é menor ou igual a 2r. - Isto é, em qualquer espa¸co métrico a seguinte desigualdade sempre se verifica diam B( p; r) ≤ 2r.

Prova: Queremos mostrar que diam B( p; r) = sup d(x, y) : x, y ∈ B( p; r) ≤ 2r.

Sejam x e y pontos arbitrários de B( p; r), logo d(x, p) < r e d(y, p) < r, ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, p) + d(p, y) < r + r = 2r. portanto, 2r é uma cota superior do conjunto d(x, y) : x, y ∈ B( p; r) e, sendo sup d(x, y) : x, y ∈ B( p; r) a menor de tais cotas, disto segue o resultado desejado. Como corol´ ario: toda bola aberta é um conjunto limitado (pg. 124). Vamos dar um exemplo de que a desigualdade diam B( p; r) < 2r efetivamente pode ocorrer. • No espa¸co S4 , σ considere a bola (pg. 168) Bσ 0101; 2 = 0100, 0001, 0101, 1101, 0111

podemos calcular o diâmetro desta bola com o aux´ılio do seguinte diagrama de distâncias Bσ (0101; 2)

6 0111

2

2

1

2

0

1101

2

2

1

0

2

0101

1

1

0

1

1

0001

2

0

1

2

2

0100

0

2

1

2

2

0100

0001

1101

0111

0101

181

- Bσ (0101; 2)

Ent˜ ao, diam Bσ (0101; 2) = sup σ(x, y) : (x, y) ∈ Bσ (0101; 2) × Bσ (0101; 2) = sup { 0, 1, 2 } = 2. Neste caso temos uma bola com diâmetro igual ao raio! O caro leitor n˜ ao se escandalize porquanto poderia ter sido pior. E de fato é: mostraremos agora uma, digo, uma infinidade de bolas com a seguinte propriedade: por mais que diminuamos o raio, ele permanece sempre maior que o diâmetro! Com efeito, considere qualquer conjunto M , munido da métrica δ. Já vimos (pg. 162) que ( p , se 0 < r ≤ 1; Bδ ( p; r) = M, se r > 1. Ent˜ ao neste espa¸co toda bola com 0 < r ≤ 1 tem diâmetro dado por diam B( p; r) = sup d(x, y) : x, y ∈ B( p; r) = sup δ(x, y) : x, y ∈ { p } = sup δ(p, p) = sup 0 = 0.

Vamos mostrar que este comportamento “anômalo” das bolas abertas, n˜ ao ocorre em espa¸cos vetoriais normados. Antes vamos calcular o diâmetro da bola B( p; r) no espa¸co R2 , D2 (ver fig. pg. 165). Temos diam B( p; r) = sup D2 (x, y) : x, y ∈ B( p; r) = sup |x1 − y1 | + |x2 − y2 | : x, y ∈ B( p; r) onde, x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ). Se x, y ∈ B( p; r), ent˜ ao ( D2 (x, p)
⇒

D2 (y, p)
|x1 − p1 |+|x2 − p2 |
(⋆)

|y1 − p1 |+|y2 − p2 |
onde p = (p1 , p2 ). Pela desigualdade triangular podemos escrever |x1 − y1 | ≤ |x1 − p1 | + |y1 − p1 |

|x2 − y2 | ≤ |x2 − p2 | + |y2 − p2 |

Somando estas duas desigualdes e invocando ( ⋆ ), temos |x1 − y1 |+|x2 − y2 | ≤

|x1 − p1 |+|x2 − p2 | + |y1 − p1 |+|y2 − p2 |

< r+r.

isto é, 0 ≤ |x1 − y1 | + |x2 − y2 | < 2r ou ainda, |x1 − y1 | + |x2 − y2 | ∈ [ 0, 2r [ 182

Portanto, diam B( p; r) = sup |x1 − y1 | + |x2 − y2 | : x, y ∈ B( p; r) = sup [ 0, 2r [= 2r.

Vimos (exemplo 2., pg. 147) que a métrica D2 provém de uma norma, portanto o resultado anterior constitui-se num caso especial do seguinte resultado Proposi¸ c˜ ao 29. Em um espa¸co vetorial E, +, · normado com E 6= {0} sempre vale a seguinte igualdade diam B( p; r) = 2r. Prova: Qualquer que seja r > 0, temos três possibilidades: diam B( p; r) > 2r ou diam B( p; r) = 2r ou diam B( p; r) < 2r

Pela propriedade (P6 ) (pg. 181) descartamos a primeira possibilidade. Sendo diam B(p; r) = sup d(x, y) : x, y ∈ B( p; r)

para excluir a terceira das possibilidades acima, devemos mostrar que nenhum n´ umero s < 2r pode ser cota superior do conjunto d(x, y) : x, y ∈ B( p; r) . Isto é, que 2r é efetivamente a menor de tais cotas. Ou ainda, que 2r = sup d(x, y) : x, y ∈ B( p; r) = diam B( p ; r) .

Para tanto é suficiente encontrar (construir) dois vetores x, y ∈ B( p; r) tal que d(x, y) > s. Tomemos 0 6= u ∈ E, vamos construir − a partir de u − os vetores x e u e y satisfazendo a desigualdade acima. Inicialmente obtemos os vetores kuk −u ambos de comprimento unit´ a rio. Como entre dois n´ u meros reais sempre kuk existe um terceiro, vamos escolher um n´ umero real ε satisfazendo s < ε < 2r e multiplicar os dois vetores anteriores por ε/2. Com isto asseguramos que os u ε −u ε novos vetores kuk em comprimentos menores que o 2 e kuk 2 assim obtidos, tˆ raio r da bola. Para obter os vetores x e y aplicamos, aos dois u ´ ltimos vetores, a seguinte transla¸caõ: p+

u ε −u ε =x , p+ =y kuk 2 kuk 2

Vamos mostrar que, de fato, estes vetores cairam dentro da bola:

±u ε k ± uk ε ε

=

= < r. kx − pk = ky − pk = kuk 2 kuk 2 2

Resta mostrar que d(x, y) > s. Com efeito,

−u ε u ε

= kuk ε = ε > s. − p + d(x, y) = kx − yk = p +

kuk 2 kuk 2 kuk

183

Nos reportando ao exemplo 6) (pg. 126) perguntamos: sendo R2 , D2 um √ espa¸co vetorial normado, por que resultou diam(D) = 2 2, na métrica D2 ? Para que o leitor sinta a for¸ca de um teorema (proposi¸caõ) perceba que a demonstra¸caõ anterior pode ser particularizada para uma infinidade de espa¸cos métricos. Por exemplo, para os seguintes: ( Rn , Di ) (i = 1, 2, 3.) (n = 1, 2, . . .) C[a, b], Γ ; C[a, b], Υ ; B(X, R), Ψ .

haja vista que a métrica de todos estes espa¸cos são oriundas de uma norma. Vamos dar alguns exemplos do que estamos falando: o 1 ) Considere o espa¸co C[ 0, 1 ], Γ e a fun¸caõ

p : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ t2 Vamos mostrar que diam B( p; r) = 2r. Seguindo os passos da demonstra¸caõ precedente, devemos inicialmente escolher qualquer vetor 0 6= u ∈ C[ 0, 1 ]; digamos,

u : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ t escolhemos agora um n´ umero real ε tal que s < ε < 2r. Com este vetor e este n´ umero, constru´ımos os vetores x, y ∈ C[ 0, 1 ] dados por −u ε u ε , y =p+ x=p+ kuk 2 kuk 2 precisamos da norma de u: Z 1 Z 1 1 kuk = |u(t)| dt = |t| = . 2 0 0 Portanto,

x(t) = p(t) + = t2 +

u(t) ε kuk 2

ε t · = t2 + ε · t 1/2 2

também, y(t) = p(t) + = t2 +

−u(t) ε kuk 2

−t ε · = t2 − ε · t 1/2 2

Vamos mostrar que x, y ∈ B( p; r) e Γ(x, y) > s. Ent˜ ao, Z 1 Z 1 2 t + ε t − t2 dt = ε Γ(x, p) = t dt 0

0

= ε

184

t2 2

1 0

=

ε < r. 2

também, Γ(y, p) =

Z

1

0

Por outro lado, Γ(x, y) =

Z

0

= 2ε

2 t − ε t − t2 dt = ε < r. 2 1

2 t + ε t − t2 − ε t dt

Z

1

t dt = ε > s.

0

Devido a escolha de ε que fizemos. 2o ) O exemplo 6) (pg. 126) pode ser resolvido seguindo-se os passos da prova da proposi¸caõ 29 (ver proposi¸caõ 64, pg. 278). Faremos mais que isto: mostraremos, de modo simultˆ aneo, que diam B((0, 0); 1) = 2 para as três bolas seguintes R

6

R

1

-R

1

k(x , x )k 1 2 1

=

√

x21 +x22

-R

−1

R 1

−1

1

−1

−1 k(x , x )k 1 2 2

6

1

1

−1

−1

R

6

= |x1 |+|x2 |

k(x , x )k 1 2 3

= max{ |x1 |, |x2 | }

Vimos (propriedade (P6 ) pg. 181) que 2 é uma cota superior do conjunto d(x, y) : x, y ∈ B (0, 0); 1 = K

Resta mostrar que 2 é, de fato, sup deste conjunto. Para tanto é suficiente mostrar que nenhum n´ umero s < 2 pode ser cota superior de K. Faremos isto construindo dois vetores x, y ∈ B (0, 0); 1 tal que d(x, y) > s. Com este objetivo em mente, tomemos 0 6= u = (1, 0) ∈ R2 , vamos construir - a partir de u - os vetores x e y satisfazendo a desigualdade acima. Inicialmente obtemos os vetores u (1, 0) = = (1, 0) e kuk k(1, 0)k

−

u (1, 0) =− = (−1, 0), kuk k(1, 0)k

ambos de comprimento unit´ ario. Como entre dois n´ umeros reais sempre existe um terceiro, vamos escolher um n´ umero real ε satisfazendo s < ε < 2 e multiplicar os dois vetores anteriores por ε/2. Com isto asseguramos que os novos vetores u ε ε −u ε ε = ,0 e = − ,0 , kuk 2 2 kuk 2 2 assim obtidos, têm comprimentos menores que o raio r = 1 da bola. Para obter os vetores x e y aplicamos, aos dois u ´ ltimos vetores, a seguinte transla¸caõ: p+

−u ε u ε =x , p+ =y kuk 2 kuk 2 185

ou melhor,

ε ε , 0 = x , (0, 0) + − , 0 = y 2 2 Obviamente que, neste caso, a transla¸caõ é desneces´ aria. Vamos mostrar que, de fato, estes vetores cairam dentro da bola:

ε

ε

kxk = kyk = ± , 0 = < 1 2 2 (0, 0) +

Resta mostrar que d(x, y) > s. Com efeito,

ε ε

d(x, y) = kx − yk = , 0 − − , 0 = ε > s. 2 2

Nota: k k pode ser substituida por qualquer uma das três normas k ki=1,2,3 .

4.5

Ponto isolado − Espa¸ cos discretos

Defini¸ c˜ ao 28 (Ponto Isolado). Seja um espa¸co métrico ( M, d ). Dado um ponto p ∈ M , se existir r > 0 de modo que { p } = B( p; r), ent˜ ao dizemos que p é um ponto isolado no espa¸co ( M, d ). Isto significa que n˜ ao existe ponto x ∈ M satisfazendo a desigualdade 0 < d(x, p) < r. Ou ainda: p ∈ M é isolado no espa¸co ( M, d ) se n˜ ao existe ponto de M a uma distância de p menor que r. Observa¸ c˜ ao: Para mostrar que um ponto p ∈ M n˜ ao é isolado no espa¸co ( M, d ): ∀r > 0 dado, devemos exibir um outro ponto x = xr ∈ M tal que xr ∈ B( p; r). Isto é, 0 < d(xr , p) < r. Exemplos: (1) No espa¸co ( R, δ) todo n´ umero real é isolado. De fato, já vimos (pg. 162) que se 0 < r ≤ 1 ⇒ Bδ ( p; r) = { p }, ∀ p ∈ R. (2) No espa¸co ( R, µ) nenhum n´ umero real é isolado. De fato, neste espa¸co a bola aberta de centro p e raio r coincide com o intervalo aberto Bµ ( p; r) =] p − r, p + r [ Por exemplo, o ponto xr = xr 6= p e

p+p+r 2

= p + r2 , satisfaz 0 < d(xr , p) < r, pois

r r µ(xr , p) = (p + ) − p = < r. 2 2 r

Bµ( p; r)

] p−r

p

186

r

xr

[ p+r

-R

(3) No espa¸co ( Z, µ) todo ponto é isolado. De fato, dado p ∈ Z e r = 12 , por exemplo, temos 1 1 Bµ p; = x ∈ Z : |x − p| < 2 2 1 1 = { p }. = x ∈ Z: p − < x < p + 2 2 r

p−1

p− 21

p+ 12

r

]

r

[

p

-Z

p+1

Observe que um n´ umero inteiro qualquer, é isolado no espa¸co ( Z, µ ) mas n˜ ao no espa¸co ( R, µ). (4) O ponto p = 0101 é isolado em qualquer um dos espa¸cos S4 ; σ, ρ, τ . De fato, isso se deve a que, Bσ 0101; 1 = x ∈ S4 : σ(x, 0101) < 1 = { 0101 } Bρ 0101; 1 = x ∈ S4 : ρ(x, 0101) < 1 = { 0101 } Bτ 0101; 1 = x ∈ S4 : τ (x, 0101) < 1 = { 0101 } Observe que se x ∈ S4 , ent˜ ao,

σ(x, 0101) ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }

ρ(x, 0101) ∈ { 0, 1, 2, . . . , 9, 10 } τ (x, 0101) ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }

(5) Sendo X = n1 : n ∈ N ∪ { 0 }, todos os pontos de X, à exce¸caõ do 0, são isolados no espa¸co (X, µ). De fato, dado r > 0, podemos invocar a propriedade arquimediana para mostrar que 0 n˜ ao é isolado: Escolhemos n = nr ∈ N de modo que 1 < r, portanto n r

1 1 1 ,0 = − 0 = < r. µ nr nr nr

Por outro lado, dado p = 1 . de p é x = n+1 r

0

Sendo,

1 n

···

∈ X o ponto de X que est´ a mais próximo r

1 n+1

r

1 n

r ···

1 n−1

1 1 1 µ(x, p) = − = n+1 n n(n + 1)

1 para isolar p. basta escolher r = rn < n(n+1) 1 Resumindo: dado p = n ∈ X escolhemos r = rn <

187

r

1

1 n(n+1)

e o ponto

mais próximo de p que é x =

1 n+1

estar´ a fora da bola B(p; rn ), porquanto

r < µ(x, p) =

1 n(n + 1)

Vejamos um exemplo: Para isolar o ponto r< s

0

rrrrr r r r] r . . . 14 31

1 3

∈ X, é suficiente escolher

1 1 = 3(3 + 1) 12 r

[

1 2

r

1

(6) Nos espa¸cos SN , σ , SN , ρ e SN , τ todos os pontos são isolados. De fato, podemos isolar qualquer ponto desses espa¸cos tomando 0 < r ≤ 1 (pg. 169). ∞ (7) No espa¸co S , ν nenhum ponto é isolado. ∞ De fato, seja p = (p1 p2 . . .) ∈ S , para todo r > 0 dado, devemos ∞

exibir x = (x1 x2 . . .) ∈ S de modo que 0 < ν(x, y) < r. ao, de acordo Dado r > 0 escolhemos n ∈ N tal que 21n < r. Ent˜ com a proposi¸caõ 25 (pg. 117) se escolhermos x coincidindo com p nas n primeiras posi¸co˜es teremos ν(x, p) < r. Para garantir ν(x, y) > 0, isto é, x 6= p basta escolher um termo de x, após a posi¸caõ n, diferente do termo de mesma posi¸caõ de p. Por exemplo, o ponto x = p1 , . . . , pn , p¯(n+1) , p(n+2) , p(n+3) , . . .

onde,

p¯(n+1) =

(

1, se p(n+1) = 0; 0, se p(n+1) = 1.

satisfaz as exigências mencionadas. Observe que a seq¨ uência x coincide com a seq¨ uência p em todas as posi¸co˜es, exceto na de n´ umero n + 1. Sendo assim, temos ν(x, p) =

∞ X |xi − pi | 1 1 = n+1 < n < r i 2 2 2 i=1

Resumindo: Dado p = ( pj ) ∈ S∞ e r > 0, para mostrar que p n˜ ao é isolado, escolhemos j ∈ N tal que 21j < r e tomamos x = (xn ) ∈ S∞ onde xj 6= pj e xn = pn , ∀ n ∈ N − {j}. ´ o que nos Em espa¸cos vetoriais normados n˜ ao existem pontos isolados. E assevera a seguinte

188

Proposi¸ c˜ ao 30. Em um espa¸co vetorial E, +, · normado com E 6= { 0 } n˜ ao existe ponto isolado. Prova: Dados, arbitrariamente, u ∈ E e r > 0 devemos exibir w = wr ∈ E de modo que 0 < d(u, wr ) < r. Escolhamos em E qualquer vetor v 6= u e consideremos o segmento de reta (ver pg. 78) [u, v] = (1 − t)u + tv : 0 ≤ t ≤ 1

Agora vamos determinar 0 < t ≤ 1 de tal modo que o vetor w = (1 − t)u + tv caia dentro da bola B(u, r). Isto é tal que d(u, w) = ku − wk < r. (E, k · k) B(u, r)

u t=0

ws

v

t=?

t=1

Ent˜ ao, w − u = (1 − t)u + tv − u = (−u + v)t logo kw − uk = k(−u + v)tk = tku − vk < r portanto é suficiente escolher 0
r ku − vk

De modo mais preciso 0 < t < min

r ,1 ku − vk

Para que o leitor n˜ ao duvide da potência de um teorema, perceba que a demonstra¸caõ anterior pode ser particularizada para uma infinidade de espa¸cos métricos. Por exemplo, para os seguintes: ( Rn , Di ) (i = 1, 2, 3.) (n = 1, 2, . . .) C[a, b], Γ ; C[a, b], Υ ; B(X, R), Ψ .

haja vista que a métrica de todos estes espa¸cos são oriundas de uma norma. Vamos dar alguns exemplos do que estamos falando. 189

1o ) Aqui vamos apenas simular alguns trechos da prova da proposi¸caõ an terior. Considere os espa¸cos R2 , Di , o ponto u = (1, 1) e o raio r = 0, 75. Encontre um ponto wr satisfazendo as condi¸co˜es da prova anterior. Ent˜ ao, guiados pela prova da proposi¸caõ 30, vamos escolher o vetor v = (2, 2) e, ademais, vamos optar pela norma euclidiana (ver pg. 73), ent˜ ao, p √ u − v = (1, 1) − (2, 2) = (−1, −1) ⇒ ku − vk = (−1)2 + (−1)2 = 2 Agora vamos escolher um valor do parˆ ametro t satisfazendo, r 0, 75 0 < t < min ,1 ⇒ 0 < t < min √ , 1 = min {0, 53 . . . , 1} ku − vk 2 Escolhendo, por exemplo, t = 0, 4, obtemos, wr = (1 − t)u + tv ⇒ wr = (1 − 0, 4) · (1, 1) + 0, 4 · (2, 2) = (1, 4; 1, 4) Geometricamente, temos o seguinte esbo¸co:

2

q

1

q

s

v

w

0

u

q1

q2

Vejamos a mesma simula¸caõ escolhendo agora a norma da soma, assim: u − v = (1, 1) − (2, 2) = (−1, −1) ⇒ ku − vk = | − 1| + | − 1| = 2 Agora vamos escolher um valor do parˆ ametro t satisfazendo, 0, 75 r ,1 ⇒ 0 < t < min , 1 = min {0, 375 . . . , 1} 0 < t < min ku − vk 2 Escolhendo, por exemplo, t = 0, 2, obtemos, wr = (1 − t)u + tv ⇒ wr = (1 − 0, 2) · (1, 1) + 0, 2 · (2, 2) = (1, 2; 1, 2) Geometricamente, temos o seguinte esbo¸co (esquerda):

2

q

1

q 0

sw

v

u

q1

q2

2

q

1

q 0

190

s

u

q1

s

v

q2

Na figura da direita fizemos uma superposi¸caõ das duas simula¸co˜es. 2 ) Mostre que no espa¸co C[ −1, 1 ], Γ o ponto u ∈ C[ −1, 1 ] dado por o

u : [ −1, 1 ] −→ R x 7−→ x2

n˜ ao é isolado.

Solu¸ c˜ ao: Considere r > 0 dado. Seguindo os passos da demonstra¸caõ precedente, devemos inicialmente escolher qualquer vetor v 6= u ∈ C[ −1, 1 ]; digamos v : [ −1, 1 ] −→ R x 7−→ 0

Devemos escolher

0 < t < min

r ,1 ku − 0k

vetor (fun¸ ca õ) nulo (nula) .

⇒ 0 < t < min

r ,1 kuk

onde kuk = =

Z

1

|u(x)| dx

−1

Z

1

x2 dx =

−1

2 3

logo 0 < t < min

r ,1 kuk

⇒ 0 < t < min

3 r, 1 2

Escolhendo, por exemplo, t = r (supondo r ≤ 2/3) temos wr (x) = (1 − t) u(x) + tv(x)

= (1 − r) u(x) + t 0 = (1 − r)x2 .

Geometricamente temos w(x)

6

r=0,1 →

u w w w

1

q

ր ր r=0,3

r=0,2

−1q

0

1q

-

x

Lembramos que a distância d(u, w) = ku − wk é o valor da área entre os 191

gr´ aficos das fun¸co˜es u e w. Por exemplo, para r = 0, 2 temos Z 1 |u(x) − w(x)| dx d(u, w) = −1

=

Z

1

|x2 − 0, 98x2 | dx

−1

=

Z

1

0, 2x2 dx =

−1

0, 4
A seguir visualizamos esta situa¸caõ:

w(x)

6

u

1

q

w

r=0,2

−1q

1q

0

x − d(u, w) ´ e dada pela a ´rea desta figura.

3o ) Vamos considerar o espa¸co M2×3 (R), k · kD3 , onde k · kD3 é a norma induzida de R2×3 , dada por (ver pg. 73) kAkD3 = max |a11 |, |a12 |, |a13 |, |a21 |, |a22 |, |a23 |

Mostremos que neste espa¸co o ponto 2 3 u= 0 1

−1 0

n˜ ao é isolado. Solu¸ c˜ ao: Considere r > 0 dado. Seguindo os passos da demonstra¸caõ precedente, devemos inicialmente escolher qualquer vetor v 6= u ∈ M2×3 (R); digamos 0 0 0 vetor (matriz) nulo (nula) . v= 0 0 0 Devemos escolher

0 < t < min

r ,1 ku − 0k

⇒ 0 < t < min

r ,1 kuk

onde, kukD = max |a11 |, |a12 |, |a13 |, |a21 |, |a22 |, |a23 | 3 = max |2|, |3|, | − 1|, |0|, |1|, |0| = 3. 192

logo,

nr o r 0 < t < min ,1 ⇒ 0 < t < min ,1 kuk 3 r Escolhendo, por exemplo, t = (supondo r ≤ 3) temos 10 w = (1 − t) u + tv r r r = 1− u+ u 0= 1− 10 10 10 r 2 3 −1 = 1− 0 1 0 10 Esta matriz satisfaz d(w, v) = kw − vk < r. De fato, r 2 3 −1 2 3 w−v = 1− − 0 1 0 0 1 10 2 3 −1 r = 1− −1 0 1 0 10 r 2 3 −1 = − 0 1 0 10

−1 0

ent˜ ao,

r 2 3 −1

kw − vk = − 0 1 0 10

r

2 3 −1 =

0 1 0 10 =

r ·3
Defini¸ c˜ ao 29 (Espa¸co Discreto). Um espa¸co métrico é dito discreto quando todos os seus pontos s˜ ao isolados. Como exemplos de espa¸cos discretos citamos: SN , σ ; SN , ρ ; SN , τ ;

R, δ

;

Z, µ ;

1 1 1, , . . . , , . . . , µ . 2 n

Observe que qualquer conjunto M munido da métrica δ resulta em um espa¸co métrico discreto. Da´ı esta ser conhecida como métrica discreta. Proposi¸ c˜ ao 31. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se M é finito ent˜ ao (M, d) é discreto. Prova: Seja M = a1 , a2 , . . . , an . Escolhendo r = min d(ai , aj ) : ai , aj ∈ M e i 6= j

nenhum aj ∈ M satisfaz d(ai , aj ) < r, a menos que j = i. Portanto B( ai , r) = {ai } 193

194

Cap´ıtulo

5

¨ ENCIAS ˆ SEQU EM ESPAC ¸ OS ´ METRICOS “O

matem´ atico, como o pin-

tor ou o poeta, ´ e um desenhista. Se os seus desenhos s˜ ao mais duradouros que os deles, ´ e porque s˜ ao feitos com id´ eias. (G.H. Hardy)

5.1

Seq¨ uˆ encias

Para definir seq¨ uências n˜ ao precisamos estar inseridos no contexto de espa¸cos métricos. Com efeito, desde o ensino médio que passamos a lidar com seq¨ uências como, por exemplo, as progressões aritméticas e geométricas. Defini¸ c˜ ao 30 (Seq¨ uência). Seja M um conjunto n˜ ao vazio, com elementos de natureza qualquer. Chamaremos de seq¨ uˆ encia de termos em M , ou apenas seq¨ uˆ encia em M a qualquer aplica¸ca õ x : N −→ M n 7−→ x(n) seguir

Para representar a seq¨ uência x : N −→ M usaremos uma das nota¸co˜es a (x1 , x2 , x3 , . . .) ou

xn

n∈N

ou

xn .

A imagem de n ∈ N pela fun¸caõ x, isto é, x(n), será indicada por xn ; é o n-ésimo termo da seq¨ uência. Exemplos: ´ a progressão ari(1) Seja a seq¨ uência x : N −→ R dada por xn = 2n − 1. E tmética (1, 3, 5, 7, . . .). 195

(2) Seja a seq¨ uência xn em R dada por 1 − (−1)n xn = 2

⇒

xn =

(

1, 0,

se n é impar; se n é par.

é a seq¨ uência (1, 0, 1, 0, 1, . . .). (3) Uma seq¨ uência em R2 . Seja x : N −→ R2 n 7−→ 1 + (−1)n , 1 − (−1)n

Alternativamente: (0, 2), (2, 0), (0, 2), (2, 0), . . . .

(4) Uma seq¨ uência de matrizes. Seja x : N −→ M2 (R), dada por   0 1 − n1  xn =  1 0 1− n A seq¨ uência fica  

0 0 0 0

  , 

1 2

0

0

1 2

  , 

2 3

0

0

2 3





 , . . .

(5) Uma seq¨ uência de fun¸co˜es. Seja x : N −→ C[ 0, 1 ] n 7−→ xn uência (x1 , x2 , x3 , . . .) são fun¸co˜es onde, xn (t) = nt . Os termos da seq¨ cont´ınuas definidas no intervalo [ 0, 1 ], onde x1 (t) = t, x2 (t) =

t t , x3 (t) = , . . . 2 3

A seguir plotamos os três primeiros termos da seq¨ uência xn : x1 (t)

x2 (t)

x3 (t)

6

6

6

1

1

q

1

q

q

1 2

0

q1 t

1 3

q1 t

0

196

0

q1 t

• Um outro exemplo de seq¨ uência no conjunto C[ 0, 1 ] podemos obter encontrando a equa¸caõ da reta no gráfico x (t)

6n

1

q

0

1 n

-t

q1

Deste gr´ afico deduzimos a seguinte equa¸caõ para o termo geral de (xn ): xn (t) =

(

1 n;

1 − nt , se 0 ≤ t ≤ 0,

se

1 n

≤ t ≤ 1.

A seguir plotamos os três primeiros termos da seq¨ uência xn : x1 (t)

x2 (t)

x3 (t)

6

6

6

1

1

q

0

qA A

q1

-t

0

1

q

A A

A A 1 2

q1

-t

∞

0

(6) Uma seq¨ uência em S . Considere a seq¨ uência δn

δn = (δn1 , δn2 , δn3 , . . .) onde δnk =

(

n∈N

δ1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .) δ2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) δ3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .) .. . δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) .. ↑ k-ésima posi¸caõ. .

q1

-t

, definida assim

1, se n = k; 0, se n 6= k.

A seguir explicitamos os termos da seq¨ uência (δn ).

197

1 3

5.1.1

Subseq¨ uˆ encias

Defini¸ c˜ ao 31 (Subseq¨ uência). Dada uma seq¨ uência x : N −→ M e um subconjunto (infinito) N1 = {n1 < n2 < n3 < . . .} de N, a restri¸ca õ x : N1 −→ M N

1

é chamada subseq¨ uência de xn .

´ importante observar, na defini¸caõ acima, que os ´ındices no conjunto Nota: E N1 são em n´ umero infinito e em ordem crescente. Para representar uma subseq¨ uência usaremos uma das nota¸co˜es a seguir xn , xn , xn , . . . ou xn n∈N ou xn . 1

2

3

k

1

Exemplos:

n

, isto é, (1, 0, 1, 0, . . .). (1) Seja a seq¨ uência em R dada por xn = 1−(−1) 2 Vamos obter duas subseq¨ uências de (xn ) escolhendo, por exemplo N1 = {1, 3, 5, 7, . . .} (´ımpares) N2 = {2, 4, 6, 8, . . .} (pares) ent˜ ao xn xn

n∈N1

n∈N2

= (1, 1, 1, 1, . . .) = (0, 0, 0, 0, . . .) n

(2) Seja a seq¨ uência em R dada por xn = 2n+1−(−1) , isto é, 4 xn = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .)

Considere N1 e N2 como no exemplo anterior. Sendo assim, temos xn n∈N = (1, 2, 3, 4, . . .); xn n∈N = (1, 2, 3, 4, . . .) 2

1

Como retirar um n´ umero arbitr´ ario de subseq¨ uˆ encias de uma dada seq¨ uˆ encia/Parti¸ c˜ ao dos naturais Vamos mostrar agoracomo retirar um n´ umero arbitrário de subseq¨ uências de uma dada seq¨ uência xn . Em um outro contexto, mais tarde, iremos necessitar do que veremos agora. Se quisermos retirar duas subseq¨ uências de uma dada seq¨ uência podemos nos valer dos seguintes conjuntos de ´ındices: N1 = {1, 3, 5, 7, . . .} N2 = {2, 4, 6, 8, . . .} Assim, 198

(x1 x3 x5 x7 . . .) (x1 x2 x3 x4 x5 . . .) (x2 x4 x6 x8 . . .) Se quisermos retirar três subseq¨ uências de uma dada seq¨ uência podemos nos valer dos seguintes conjuntos de ´ındices: N1 = {1, 4, 7, 10, . . .} N2 = {2, 5, 8, 11, . . .} N3 = {3, 6, 9, 12, . . .} Assim, (x1 x4 x7 x10 . . .) (x1 x2 x3 x4 x5 . . .)

(x2 x5 x8 x11 . . .) (x3 x6 x9 x12 . . .)

´ fácil inferir a regra de constru¸caõ destes conjuntos. E Observamos que estes conjuntos (de ´ındices) são disjuntos, dois a dois, e que a reuni˜ ao dos mesmos resulta no conjunto dos naturais. Resumimos estas duas observa¸co˜es dizendo que estes conjuntos formam uma parti¸ca õ dos naturais.

5.2

Convergˆ encia

Para falar de convergência de seq¨ uências necessitamos de uma métrica. Têm interesse especial as chamadas seq¨ uências convergentes. Intuitivamente, uma seq¨ uência (an ) é convergente se, à medida que o ´ındice n aumenta, o termo an vai-se tornando arbitrariamente próximo de um certo n´ umero a, chamado o limite da seq¨ uência. A proximidade entre an e a é medida pela distância d(xn , a) entre esses termos. Portanto, dizer que an vai-se tornando arbitrariamente próximo de a equivale dizer que d(xn , a) torna-se arbitrariamente pequeno. Vejamos a defini¸caõ precisa de Defini¸ c˜ ao 32 (Convergência). Sejam ( M, d ) um espa¸co métrico e xn uma seq¨ uência em M . Diremos que xn converge para a ∈ M quando, para todo n´ umero ε > 0 dado arbitrariamente, pudermos obter n0 ∈ N tal que se n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε. (5.1) Em palavras: uma seq¨ uência xn converge para um ponto a ∈ M se, e somente se, existir uma posi¸caõ n0 a partir da qual a distância de qualquer termo da seq¨ uência para o ponto a n˜ ao excede ε. Uma seq¨ uência que n˜ ao converge é dita divergente. A seguir escrevemos, em s´ımbolos, a defini¸caõ de convergência e de divergência: ∀ε > 0

∃ n0 ∈ N :

∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε

(convergˆ encia)

∃ε > 0 :

∀ n0 ∈ N

∃ n ≥ n0 ∧

(divergˆ encia)

199

d(xn , a) ≥ ε

Para indicar que xn converge para a, usaremos uma das seguintes nota¸co˜es lim xn = a; lim xn = a; lim xn = a; xn −→ a.

n→∞

n

d

Ou ainda, xn −→ a, quando quisermos enfatizar a métrica. ´ importante observar na defini¸caõ 32 que, uma vez dado o ε > 0, esse E n´ umero permanece fixo e n˜ ao muda até a determina¸caõ do ´ındice n0 correspondente. Via de regra o ´ındice n0 depende - é fun¸caõ - do ε > 0 dado, raz˜ ao pela qual algumas vezes escreveremos n0 = n0 (ε). Importante! Deve ficar bem claro (transparente) para o leitor o papel desempenhado pelo n´ umero ε e o ´ındice n0 , na defini¸caõ de convergência. Com este intuito observemos o conte´ udo desta defini¸caõ de uma outra perspectiva: Suponhamos que o leitor queira provar, a um seu - fict´ıcio - adversário, que lim xn = a. Pois bem, seu adversário fornecer´ a a você leitor os valores de ε > 0. Para cada valor de ε - arbitrariamente fixado - você ter´ a que devolver ao seu adversário um ´ındice n0 satisfazendo a condi¸caõ ∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε Se o leitor conseguir esta fa¸canha, para cada valor de ε que lhe for fornecido arbitrariamente, ent˜ ao ter´ a provado que a seq¨ uência converge para o ponto a.

Caracteriza¸c˜ ao de Convergˆ encia Via Bolas Abertas Proposi¸ c˜ ao 32. Uma seq¨ uência xn em M converge para a ∈ M se, e somente se, para toda bola B(a; ε) − arbitrariamente fixada − existe um ´ındice n0 tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ B(a; ε) (5.2) ´ imediato pois: d(x , a) < ε ⇐⇒ x ∈ B(a; ε). Prova: E n n ao existe um ´ındice n0 a partir Em palavras: Se a ∈ M é limite de xn ent˜ do qual todos os termos da seq¨ uência caem dentro da bola B(a; ε). Reciprocamente, se existe um ´ındice n0 a partir do qual todos os termos da seq¨ uência caem dentro da bola B(a; ε) ent˜ ao a ∈ M é limite de xn . Daqui concluimos que se lim xn = a, ent˜ ao a bola (de raio ε) centrada em a contém infinitos termos da seq¨ uência xn : (xn0 , xn0 +1 , xn0 +2 , . . .). ao, fora de qualquer bola centrada Ou ainda: se a ∈ M é limite de xn ent˜ em a fica apenas um n´ umero finito de termos da seq¨ uência (este n´ umero finito pode ser “zero termos”): (x1 , x2 , . . . , xn −1 ). Graficamente temos: 0

s s s s s s ss s ssssr ε a

s

xs5 sx4 x6 s s x3 x7 s s x8 s s x2 ε s ssssr a

n0 (ε) = 9 200

sx

1

xs5 sx4 x6 s s x3 x7 s x2 s x8 s s s ssssr ε′ a

sx

n0 (ε′ ) = 11

1

Na figura da direita reduzimos o raio da bola (ε′ < ε) o que tem como consequência o aumento do ´ındice do primeiro termo a cair dentro da nova bola. Observa¸ co ˜es: ao converge para a ∈ M quando existeuma bola cen(i) Uma seq¨ uência xn n˜ trada em a fora da qual ficam infinitos termos da seq¨ uência xn . (ii) A convergência - ou divergência - de uma seq¨ uência em um espa¸co métrico ( M, d ) depende tanto do conjunto M quanto da métrica d, como teremos oportunidade de ver. Podemos caracterizar (reduzir) a convergência em um espa¸co métrico (M, d) qualquer via convergência no espa¸co (R, µ). Este é o conte´ udo da próxima Proposi¸ c˜ ao 33. A seq¨ uência xn converge para a em ( M, d ) se, e somente ∗ se, a seq¨ uência d(xn , a) converge para 0 no espa¸co ( R, µ ). Prova: d (=⇒) H: xn −→ a

µ

⇒

T: d(xn , a) −→ 0.

De fato, para mostrar que d(xn , a) converge para 0 em ( R, µ), devemos mostrar que ∀ ε > 0 dado existe n0 ∈ N tal que d(xn , a) − 0 < ε para todo n ≥ n0 . d Por hip´ otese, xn −→ a; logo ∀ ε > 0 dado existe n0 tal que d(xn , a) < ε para todo n ≥ n0 . ε > 0, tomamos este mesmo n0 e garantimos Fixado (arbitrariamente) d(xn , a) − 0 = d(xn , a) < ε, ∀n ≥ n0 . µ

(⇐=) H: d(xn , a) −→ 0

⇒

d

T: xn −→ a.

De fato, para mostrar que xn converge para a em (M, d) devemos, ∀ ε > 0 dado, exibir um n0 tal que d(xn , a) < ε para todo n ≥ n0 . Por hip´ otese, a seq¨ uência d(xn , a) converge para 0 no espa¸co (R, µ); isto é, ∀ ε > 0 dado, existe um n0 tal que d(xn , a) − 0 = d(xn , a) < ε. Logo, o mesmo n0 - oriundo da hip´ otese - serve para corroborar a tese. Teremos agora oportunidade de ilustrar o conte´ udo das duas proposi¸co˜es anteriores (proposi¸co˜es 32 e 33). Exemplos: 1) Em qualquer espa¸co métrico ( M, d ) uma seq¨ uência (a, a, a, . . .) de termos constantes converge para este termo. De fato, dentro de qualquer bola B(a; ε) est˜ ao todos os termos da seq¨ uência. 1 1 1 uência xn = (1, 2 , 3 , . . .) n˜ ao é con2) Seja M = R e xn = n ∈ R. A seq¨ vergente no espa¸co ( R, δ ). No espa¸co ( R, µ) esta seq¨ uência converge para 0. Isto é δ

/ c xn −→

e

µ

xn −→ 0.

Onde c pode ser qualquer n´ umero real. Inicialmente vamos mostrar a primeira destas assertivas. O faremos de dois modos: ∗ Observe

` ´ que d(xn , a) ´ e uma seq¨ uˆ encia de n´ umeros reais n˜ ao negativos.

201

1o ) Basta observar que todos os termos da seq¨ uência xn , à exce¸caõ poss´ıvel de um deles, est˜ ao fora da bola Bδ c ; 1 = { c } (ver pg. 162).

2o ) Vamos mostrar que a seq¨ uência d(xn , c) = δ(xn , c) n˜ ao converge para 0, no espa¸co ( R, µ). De fato, dado qualquer c ∈ R temos duas possibilidades ( i ) c 6= n1 , ∀ n ∈ N; ( ii ) c = n1′ , para algum n′ ∈ N. Sendo assim temos

δ(xn , c) =

 µ  (1, 1, 1, 1, . . .) −→ 1

 µ  (1, 1, . . . , 1, 0, 1, 1, . . .) −→ 1 ↑

por ( i ) por ( ii )

posi¸ ca õ n′

Portanto, pela proposi¸caõ 33, a seq¨ uência em quest˜ ao n˜ ao converge no espa¸co ( R, δ ). Infelizmente no espa¸co (R, δ) n˜ ao podemos dar uma representa¸caõ geométrica para a seq¨ uência (1, 21 , 31 , . . .). µ Vamos mostrar agora que xn −→ 0. Inicialmente centramos uma bola Bµ , de raio ε, em 0, assim Bµ (0; ε) = 0 − ε, 0 + ε = − ε, +ε Observe que

1 < ε. n Segundo a propriedade arquimediana, ∀ ε > 0 existe um n0 (ε) ∈ N tal que 1 estimo a Arquimedes - este n0 , resultando n < ε. Tomamos - de empr´ xn ∈ Bµ (0; ε) ⇐⇒ −ε <

0

∀ n ≥ n0 ⇒

1 1 < ε ⇒ xn ∈ Bµ (0; ε). ≤ n n0

Fa¸camos duas simula¸co˜es: - Por exemplo, tomando ε = 13 , temos 1 1 <ε= ⇐⇒ n0 > 3. n0 3 Ou seja, todos os termos uência, a partir do quarto (inclusive), caem da seq¨ 3 dentro da bola Bµ 0; 13 . Já para ε = 20 , temos 3 20 1 <ε= ⇐⇒ n0 > , n0 20 3

isto só acontece a partir do sétimo termo. Veja a ilustra¸caõ a seguir

202

qqq q q ··· q q xq 4 xq 3

⊢ 0 ] −ε=− 31

⊢ 0 ] −ε

⊢ 0

qqq q q q q q

··· x4

···

q

q

x2

[q ε= 31

qqq q q[ q q xq 4 xq 3 3 ε= 20

1

q

q

x2

x1

q

q

x2

xr2 ¬1

0

2

-

n0 =4

1 x1

-

n0 =7

1

3) Considere a seq¨ uência dada por xn = 1 − plotados na figura a seguir: xr1

xn

x1

xr3

1 n

r rrrr

∈ [ 0, 1 [, cujos termos est˜ ao

1

O leitor diria que os termos desta seq¨ uência aproximam-se de que n´ umero? Vamos mostrar que para os habitantes do universo [ 0, 1 [, k , os termos da seq¨ uência (xn ) aproximam-se arbitrariamente de 0. De outro modo: Toda bola centrada em 0 contém todos os termos da seq¨ uência, a partir de uma certa ordem. Vamos mostrar que 1 = 0. lim 1 − n→∞ n Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Bk 0; ε . Ent˜ ao

xn ∈ Bk 0; ε

⇐⇒ k(xn , 0) < ε ⇐⇒ min |xn − 0|, 1 − |xn − 0| < ε ⇐⇒ min xn , 1 − xn < ε n 1 1 o ⇐⇒ min 1 − , 1 − 1 − <ε n n n 1 1o ⇐⇒ min 1 − , <ε n n

Tendo em conta que

1 1 ≤1− ⇐⇒ n ≥ 2. n n

Temos

n 1 1o 1 min 1 − , = , ∀ n ≥ 2. n n n Portanto, é suficiente tomar n1 < ε, isto é, n > 1ε . Fa¸camos duas simula¸co˜es. Tomando, por exemplo, ε = 41 , temos n0 (ε) >

1 1 4

= 4 ⇒ n0 = 5. 203

Logo, todos os termos da seq¨ uência, a partir do quinto (inclusive), caem dentro da bola Bk 0; 41 . Já para ε = 16 : n0 (ε) >

1 1 6

= 6 ⇒ n0 = 7.

isto só acontece a partir do sétimo termo. Veja ilustra¸co˜es a seguir (ver pg. 163): r

x1 Bk (0;

1 4)

r

r r rrrr

x2

0

1 4

x3 x4

3 4

r

x1 Bk (0;

1

1 6)

0

r

x2

1 6

r r rrrr

x3 x4

5 6

1

4) As quatro seq¨ uências dadas a seguir 1

xn =

1 1 n+1 , 1− n+1

zn =

1 1 n+1 , n+1

ss

→

sx3 sx2

sz sz 2 ss 3

→

s

ss st 3

st 2

1 1 ← tn = 1− n+1 , 1− n+1

sy2 sy3 ss

1 , ← yn = 1− n+1

0

1 n+1

1

pertencem todas ` as diagonais do quadrado unit´ ario [ 0, 1 [×[ 0, 1 [. O centro do quadrado 12 , 21 é o primeiro termo de todas elas. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que √ 2 D1 ((0, 0); xn ) = D1 ((0, 0); yn ) = D1 ((0, 0); zn ) = D1 ((0, 0); tn ) = , (n + 1) D2 ((0, 0); xn ) = D2 ((0, 0); yn ) = D2 ((0, 0); zn ) = D2 ((0, 0); tn ) =

2 , (n + 1)

D3 ((0, 0); xn ) = D3 ((0, 0); yn ) = D3 ((0, 0); zn ) = D3 ((0, 0); tn ) =

1 . (n + 1)

Pois bem, o leitor pode mostrar que qualquer uma destas seq¨ uências converge para a origem nos espa¸cos [ 0, 1 [×[ 0, 1 [, Di (sugestão: prop. 33, pg. 201). Isto é, mostre que: 1 1 1 1 lim = (0, 0), lim 1 − = (0, 0) , 1− , n→∞ n + 1 n→∞ n+1 n+1 n+1 lim

n→∞

1 1 = (0, 0), , n+1 n+1

lim

n→∞

1−

1 1 = (0, 0) , 1− n+1 n+1

A bola aberta cujo esbo¸co encontra-se na pg. 177, nos ajuda a compreender por que isto acontece. 204

5) Consideremos a seq¨ uência xn de pontos do R2 dada por 1 2 xn = 1 − , 2 − n n Vamos mostrar (e ilustrar) que xn −→ (1, 2) nos espa¸cos R2 , Di (i = 1, 2, 3.). Consideremos inicialmente o espa¸co R2 , D1 . Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ BD1 (1, 2); ε .

Ent˜ ao

xn ∈ BD (1, 2); ε 1

⇐⇒ D1 ⇐⇒ ⇐⇒

r

1 2 1− , 2− ; (1, 2) < ε n n

1−

2 2 1 2 −1 + 2− −2 <ε n n

√ 5 < ε. n

Logo, dado ε > 0 escolhemos um ´ındice n0 (ε) satisfazendo a desigualdade √ n0 (ε) > ε5 e teremos ∀ n ≥ n0

√ 5 1 1 ⇒ < < ε ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . ≤ 1 n n0 n0

Fa¸camos duas simula¸co˜es: - Tomando, por exemplo, ε = 23 , temos n0

√ √ 3 5 2 5 > = = 3, 354 . . . ⇒ n0 = 4. 3 2/3 2

Logo, todos os termos da seq¨ uência, a partir do quarto (inclusive), caem dentro da bola BD (1, 2); 23 . 1

- Já para ε = seguir.

2

1

6 q q

(0,0)

q

x 1

q

q

1 3

isto só acontece a partir do sétimo termo. Veja ilustra¸cão a 2ε= 4 3-⊣ ⊢

q(1,2) qpq qq

2

6 q

x x4 3

x 2

q1

1

q

(0,0)

qx1

qx

q qpq qq

qxx34

2

q1 205

n =4 0

2

1

6 q q

(0,0)

qx1

2ε= 32 -⊣ ⊢

qx

q qpq qq xq

n =7 0

x4 3

2

q1

-

• Consideremos agora o espa¸co R2 , D2 . Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ BD2 (1, 2); ε .

Ent˜ ao

xn ∈ BD (1, 2); ε 2

1 2 ; (1, 2) < ε ⇐⇒ D2 1 − , 2 − n n 1 2 ⇐⇒ 1 − − 1 + 2 − − 2 < ε n n

⇐⇒

3 < ε. n

Logo, dado ε > 0 escolhemos um ´ındice n0 (ε) satisfazendo a desigualdade n0 (ε) > 3ε e teremos ∀ n ≥ n0 ⇒

1 3 1 ≤ < < ε ⇒ xn ∈ BD2 (1, 2); ε . n n0 n0

Fa¸camos duas simula¸co˜es: - Tomando, por exemplo, ε = 23 , temos n0

3 9 2 > = = 4, 5 ⇒ n0 = 5. 3 2/3 2

Logo, todos os termos da seq¨ uência, a partir do quinto (inclusive), caem dentro da bola BD (1, 2); 32 . 2

− Já para ε = seguir.

2

6 q

1 3

isto só acontece a partir do décimo termo. Veja a ilustra¸caõ a 2ε= 4 3-⊣ ⊢

q(1,2) qq pq q x4

qx2 3

2

6 q

x

1

q

(0,0)

qx

1

q1

1

q

(0,0)

q

x 1

q

q qq pq q x4

n0 =5

2

6 q

x 3

1

x2

q

-

q1

(0,0)

2ε= 23 -⊣ ⊢

q

q qq pq q x4

n0 =10

x 3

x2

qx

1

q1

-

• Consideremos agora o espa¸co R2 , D3 . Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 3

206

Ent˜ ao

xn ∈ BD (1, 2); ε 3

1 2 ; (1, 2) < ε ⇐⇒ D3 1 − , 2 − n n 1 2 ⇐⇒ max 1 − − 1 , 2 − − 2 < ε n n 1 2 <ε , ⇐⇒ max n n 2 ⇐⇒ < ε. n

Logo, dado ε > 0 escolhemos um ´ındice n0 (ε) satisfazendo a desigualdade n0 (ε) > 2ε e teremos

∀ n ≥ n0 ⇒

1 2 1 < < ε ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . ≤ 3 n n0 n0

Fa¸camos duas simula¸co˜es: - Tomando, por exemplo, ε = 32 , temos

n0

2 2 > = 3 ⇒ n0 = 4. 3 2/3

Logo, todos os termos da seq¨ uência, a partir do quarto (inclusive), caem dentro da bola BD3 (1, 2); 23 . − Já para ε = 13 isto só acontece a partir do sétimo termo. Veja a ilustra¸caõ a seguir.

2

1

6 q q

(0,0)

q

x 1

q

2ε= 4 3-⊣ ⊢

q pq (1,2) qq q qx4

2

6 q

x 3

1

x2

q1

q

(0,0)

q

x 1

q

q pq qq q qx4

n0 =4

2

6 q

x 3

q pq qq q q x4

qx2 3

q

(0,0)

qx

1

Na figura seguinte juntamos as três bolas em um só gráfico 207

n0 =7

x

1

x2

q1

2ε= 32 -⊣ ⊢

q1

-

⊢

6

2

1

(0,0)

2ε =

2 3

-⊣

t u u usu uu u ux4

q

ux2

q

ux3

ux1

-

q1

6) Seja ( M, d ) um espa¸co discreto. Toda seq¨ uência xn convergente em ( M, d ), deve ser constante a partir de um certo ´ındice. De fato, suponha que xn −→ a ∈ M . Ent˜ ao para todo ε > 0 dado, existe um ´ındice nε de modo que para todo n ≥ nε temos xn ∈ B(a; ε). Como ( M, d) é discreto, existe εa > 0 de modo que B(a; εa ) = { a }. Logo, para este εa existe um ´ındice nεa de modo que Se n ≥ nεa ⇒ xn ∈ B(a; εa ) = {a} ⇒ xn = a. Observe que esta é uma condi¸caõ necessária (e também suficiente) para que uma seq¨ uência seja convergente em um espa¸co discreto. Em particular, a seq¨ uência (1, 21 , 13 , . . .) n˜ ao converge no espa¸co ( R, δ ) (ver ex. 2) pg. 201). 7) Vamos mostrar que a seq¨ uência de fun¸co˜es xn , dada por (ver pg. 197) xn (t) =

(

1 − nt , se 0 ≤ t ≤ 0,

se

1 n

1 n;

≤ t ≤ 1.

converge para a fun¸caõ nula, no espa¸co C[ 0, 1 ], Γ , mas n˜ ao no espa¸co C[ 0, 1 ], Υ . Isto é Γ

xn −→ 0

e

Υ

/ 0 xn −→

Vamos mostrar a convergência de dois modos: Prova: (pela proposi¸caõ 32 pg. 200) 208

Vamos centrar uma bola, de raio ε arbitrário, na fun¸caõ nula: BΓ(0; ε) = f ∈ C[ 0, 1 ] : Γ(f, 0) < ε Z n = f ∈ C[ 0, 1 ] :

0

1

|f (x) − 0| dx < ε

Queremos obter n0 ∈ N de modo que:

∀ n ≥ n0 ⇒ Γ(xn , 0) < ε Temos Γ(xn , 0) =

Z

ou ainda xn ∈ BΓ(0; ε)

1

0

o

|xn (t)| dt =

1 2n

Obs: Esta integral é dada pela ´ area sob o gráfico de xn (t) (pg. 197). Impondo, 1 1 <ε ⇒ n> 2n 2ε 1 Portanto qualquer n0 maior que 2ε serve aos nossos prop´ ositos.

Prova: (pela proposi¸caõ 33 pg. 201) µ

Mostremos que d(xn , 0) = Γ(xn , 0) −→ 0. De fato, Γ(xn , 0) =

1 µ −→ 0 2n

Geometricamente esta convergência significa que as áreas (distˆ ancias) entre os gráficos das fun¸co˜es xn e da fun¸caõ nula vão tendendo a zero, à medida que n cresce. Veja: x1 (t)

x2 (t)

x3 (t)

6

6

6

1

1

q

1

q

q1 t

0

0

q

1 2

q1 t

0

1 3

Vamos mostrar a divergência Pela proposi¸caõ 33 (pg. 201). Prova: Temos Υ(xn , 0) = max |xn (t) − 0| : t ∈ [ 0, 1 ] = max |xn (t)| : t ∈ [ 0, 1 ] se 0 ≤ t ≤

1 n,

ent˜ ao

0 ≤ nt ≤ 1 ⇒ −1 ≤ −nt ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 1 − nt ≤ 1 ⇒ xn (t) ∈ [ 0, 1 ]. 209

q1 t

e se n1 ≤ t ≤ 1 ent˜ ao, por defini¸caõ, xn (t) = 0. Logo xn (t) = |xn (t)| ∈ [ 0, 1 ] para todo 0 ≤ t ≤ 1 e para todo n ∈ N. Logo, para todo n natural temos Υ(xn , 0) = max |xn (t)| : t ∈ [ 0, 1 ] = max [ 0, 1 ] = 1.

Geometricamente Υ(xn , 0) representa o comprimento da maior corda ligando o gr´ afico de xn ao gr´ afico da fun¸caõ nula 0. No gráfico seguinte xn (t)

6

1

q

maior corda →

0

1 n

q1

-t

Observamos que o comprimento da maior corda é 1, para todo n natural, isto é, Υ(xn , 0) = 1, ∀ n ∈ N. Pois bem, µ d(xn , 0) = Υ(xn , 0) = (1, 1, 1, . . .) −→ 1. Portanto a seq¨ ao n˜ ao converge para a fun¸caõ nula, no espa¸co uência em quest˜ C[ 0, 1 ], Υ .

210

ao existe uma bola Proposi¸ c˜ ao 34. Se uma seq¨ uência xn é convergente, ent˜ que contém todos os seus termos. Prova: De fato, se xn −→ a ∈ M , ent˜ ao para todo ε1 dado, existe n0 ∈ N de modo que d( xn , a) < ε1 , ∀ n ≥ n0 . tomemos

ε2 > max d(xi , a) : i = 1, 2, . . . , n0 − 1 ,

logo

d(xi , a) < ε2 , i = 1, 2, . . . , n0 − 1. seja ε > max{ε1 , ε2 }. Logo d(xn , a) < ε1 < ε , ∀ n ≥ n0 ,

d(xi , a) < ε2 < ε , i = 1, 2, . . . , n0 − 1.

Portanto todos os termos da seq¨ uência cabem dentro da bola B(a; ε). xs5 sx4 x6 s s x3 x7 s s x8 s s x2 ε s ssssr 1 a

n0 (ε1 ) = 9

sx

1

sx5 sx4 x6 s s x3 x7 s ε s 2 x8 s s s ssssr ε1

sx

1

a

ε2 >max

sx5 sx4 x6 s s x3 x7 s ε s 2 x8 s s s ssssr ε1 a

d(x1 , a),...,d(x8 , a)

sx

1

ε

Cabe aqui perguntar se uma seq¨ uência pode convergir para dois pontos distintos de um espa¸co métrico. Nos espa¸cos topológicos − que são generaliza¸co˜es dos espa¸cos métricos − isto de fato pode acontecer. Mas n˜ ao nos espa¸cos métricos especificamente. Isto é o que nos garante a próxima uência convergente Proposi¸ c˜ ao 35 (Unicidade do limite). Seja xn uma seq¨ no espa¸co métrico ( M, d ). Ent˜ ao é u ńico o limite dessa seq¨ uência. ∗

Daremos duas provas desta proposi¸caõ: Prova: Suponhamos, ao contr´ ario, que lim xn = p e lim xn = q com p 6= q. n

n

Sendo assim temos d(p, q) > 0, tomando ε=

d(p, q) 2

resulta que existem ´ındices i e j tais que ∀ n ≥ i ⇒ d(xn , p) < ε ∀ n ≥ j ⇒ d(xn , q) < ε ∗ Faremos

uso da t´ ecnica (T − 3) (pg. 24).

211

(5.3)

Tomando k = max{i, j}, teremos ∀ n ≥ k ⇒ d(xn , p) < ε e d(xn , q) < ε ent˜ ao, para todo n ≥ k resulta d(p, q) ≤ d(p, xn ) + d(xn , q) < ε + ε

⇒ d(p, q) < 2ε

o que contradiz (5.3). ‡ Prova: Temos    H1 :   H2 :

lim xn = p n

⇒

lim xn = q

T:

p = q.

n

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponha p 6= q. Pela propriedade (P4 ) (pg. 180) podemos centrar em cada ao existe um um destes pontos, bolas abertas disjuntas. Como lim xn = p ent˜ n ´ındice n0 a partir do qual todos os termos da seq¨ uência caem dentro da bola de centro p; por conseguinte n˜ ao podemos ter lim xn = q (ver prop. 32, pg. 200). n uência de Proposi¸ c˜ ao 36. Seja ( M, d ) um espa¸co métrico e xn uma seq¨ pontos em M . Se lim xn = a, ent˜ ao toda subseq¨ uência de xn também converge para a. Prova: De fato, seja xn n∈N , onde N1 = {n1 < n2 < n3 < . . .}, uma 1 . Dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice k ∈ N de modo subseq¨ uência de xn n∈N que (5.4) d(xn , a) < ε, ∀ nj ∈ N1 : nj ≥ k j converge para a, ent˜ ao ∀ ε > 0 dado, existe um Como, por hip´ otese, xn n∈N ´ındice n0 ∈ N de modo que d(xn , a) < ε, ∀ n ≥ n0

(5.5)

como N1 ⊂ N é infinito, segue que existe um ´ındice k ∈ N1 tal que k ≥ n0 . Ent˜ ao, para todo ´ındice nj ∈ N1 tal que nj ≥ k ≥ n0 temos, por (5.5), que a satisfeita. d(xn , a) < ε e, portanto, (5.4) estar´ j

Esta proposi¸caõ é de utilidade tanto para mostrar que uma seq¨ uência converge quanto para mostrar que uma seq¨ uência diverge. Por exemplo as seq¨ uências reais zn e wn dadas por zn =

‡ Faremos

1 1 e wn = 2 2n n


212

são ambas convegentes para 0 no espa¸co ( R, µ). De fato, temos que zn = xn n∈N 1 wn = xn n∈N 2

onde

N1 = {2, 4, 8, 16, 32, . . .}; N2 = {1, 4, 9, 16, 25, . . .}.

uência vista no exemplo 2) (pg. 201). e xn é a seq¨ Por outro lado, para mostrar que uma dada seq¨ uência diverge é suficiente exibir duas subseq¨ uências convergindo para limites distintos (isto é conseq¨ uência das proposi¸co˜es 35 e 36). Por exemplo a seq¨ uência (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .) diverge, em todo espa¸co métrico, visto que temos duas subseq¨ uências x2n−1 = (1, 1, 1, . . .) −→ 1 , x2n = (−1, −1, −1, . . .) −→ −1. convergindo para limites distintos. Seq¨ uˆ encias limitadas Uma seq¨ uência (x1 , x2 , x3 , . . .) pode ser vista como uma “lista” ordenada infinita. Usaremos a seguinte nota¸caõ {x1 , x2 , x3 , . . .} para o conjunto de seus termos. Aqui a ordem dos termos n˜ ao interessa e este conjunto pode ser finito, ao contr´ ario da lista, que é sempre infinita. Por exemplo, seja a seq¨ uência xn dada por xn = (−1)n−1 . Temos xn = (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .) xn = − 1, 1 }

Uma seq¨ uência foi definida como uma aplica¸caõ x : N −→ M , por conseguinte o conjunto dos termos da seq¨ uência é a imagem direta de N pela aplica¸caõ, isto é, {xn } = x(N). Defini¸ c˜ ao 33 (Seq¨ uência limitada). Sejam ( M, d ) um espa¸co métrico e xn uma seq¨ uência de pontos em M . A seq¨ uência xn se diz limitada no espa¸co ( M, d ) quando o conjunto {xn } de seus termos é limitado. Ou ainda (Ver defini¸caõ ` a pg. 124): xn é limitada no espa¸co (M, d) se existir uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para quaisquer x e y em {xn }. Exemplo: a seq¨ uência (1, 2, 3, 4, . . .) é limitada no espa¸co ( R, δ ), mas n˜ ao no espa¸co ( R, µ ). Proposi¸ c˜ ao 37. Toda seq¨ uência convergente é limitada. Prova: Se uma seq¨ uência é convergente ent˜ ao existe uma bola no espa¸co contendo todos os seus termos, logo, pela proriedade (P6 ) (pg. 181) das bolas abertas, concluimos que a seq¨ uência é limitada. A reciproca da proposi¸caõ anterior n˜ ao vale. Isto é, uma seq¨ u ˆ e ncia limitada pode ou n˜ ao convergir. Por exemplo, a seq¨ uência 1, 12 , 13 , . . . é limitada nos espa¸cos (R, µ) e (R, δ), mas é convergente apenas no primeiro destes espa¸cos (Exemplo 2), pg. 201). 213

5.3

Seq¨ uˆ encias num Espa¸ co Produto

Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos e xn = (x1 , x2 , x3 , . . .), yn = (y1 , y2 , y3 , . . .)

seq¨ uências em M1 e M2 , respectivamente. O “produto cartesiano” destas seq¨ uências xn × yn = (x1 , x2 , x3 , . . .) × (y1 , y2 , y3 , . . .) = (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ), . . .

é uma seq¨ uência no produto cartesiano M1 × M2 = M . A convergência (ou divergência) da seq¨ uência (xn , yn ) nos espa¸cos M, Di (i = 1, 2, 3.) é objeto da próxima, Proposi¸ c˜ ao 38. Uma seq¨ uência (xn , yn ) de pontos no produto M = M1 ×M2 converge no espa¸co M, Di (i = 1, 2, 3.) para (a, b) ∈ M1 × M2 se, e somente se, xn −→ a em (M1 , d1 ) e yn −→ b em (M2 , d2 ). M1 ×M2 b ↑

(a, b)

.. .

··

y3

·

ր

(x , y ) 3 3

y2

(x , y ) 2 2

y1

(x , y ) 1 1

(M2 , d2 )

x1

Prova: (=⇒)

x2

D

(M1 , d1 )

x3 ··· → a

i

T:

H: (xn , yn )−→ (a,b)

8 d 1 > < xn −→ a > :

d2

yn −→ b

Faremos a prova para a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 )

uma vez que segundo a proposi¸caõ 92 (pg. 379) se uma seq¨ uência converge em um destas métricas também converge nas outras duas. De fato, seja ε > 0 dado, ent˜ ao existe um ´ındice n0 tal que n ≥ n0 ⇒ D3 (xn , yn ); (a, b) = max d1 (xn , a); d2 (yn , b) < ε portanto, para todo n ≥ n0 , temos

d1 (xn , a) < ε e d2 (yn , b) < ε 214

o que nos garante d

1 xn −→ a

(⇐=) H:

e

d 8 1 > < xn −→ a

> :

d

2 yn −→ b

D

3

T: (xn , yn )−→ (a,b)

d2

yn −→ b

Dado ε > 0, por hip´ otese, existem ´ındices n1 e n2 tais que n ≥ n1 ⇒ d1 (xn , a) < ε e n ≥ n2 ⇒ d2 (yn , b) < ε Considerando n0 = max{n1 , n2 }, temos n ≥ n0 ⇒ d1 (xn , a) < ε e d2 (yn , b) < ε ⇒ max d1 (xn , a); d2 (yn , b) < ε ⇒ D3 (xn , yn ); (a, b) < ε. D

3 Portanto (xn , yn ) −→ (a, b).

Exemplos: uência xn , yn = n1 , 1 , isto é (1) No espa¸co R2 , D1 a seq¨ 1 1 ,1 , , 1 , ... (1, 1), 2 3 converge para o ponto (0, 1), pois µ

µ

xn −→ 0 e yn −→ 1 Observa¸ c˜ ao: Na verdade temos ( para i = 1, 2, 3.) Di (0, 1). xn , yn −→

devido a proposi¸caõ 92, pg. 379. uência xn , yn = n1 , (−1)n , (2) Nos espa¸cos R2 , Di (i = 1, 2, 3.) a seq¨ isto é 1 1 (1, −1), ,1 , , −1 , . . . 2 3 ao converge n˜ ao converge. Isto se deve a que yn = (−1, 1, −1, 1, . . .) n˜ em R, µ . uência de pontos do plano dada por (3) Seja o espa¸co métrico R2 , Di e a seq¨ 2 1 , ent˜ ao xn −→ (1, 2). xn , yn = 1 − , 2 − n n Isto se deve a que

µ

µ

xn −→ 1 e yn −→ 2

Comparar com o exemplo 5) pg. 205. (4) Ver exemplo 4) pg. 204. 215

5.4

A M´ etrica Divina e o Paradoxo de Zen˜ ao

Neste ponto incluiremos trechos de um artigo que escrevemos intitulado:

A M´ etrica Divina (Aquiles e a Tartaruga/Ou A Revanche da Tartaruga) Gentil Lopes da Silva 14 de mar¸co de 2006 “. . . que

“Porque

o meu pensamento quis

os meus pensa-

aproximar-se dos problemas do esp´ırito

mentos n˜ ao s˜ ao os vossos pen-

pela via de uma diversa experi-

samentos, nem os vossos cam-

menta¸ ca õ de car´ ater abstrato, espe-

inhos, os meus caminhos, diz

culativo, resultante das conclus˜ oes de

o Senhor.”

(Is. 55 : 08)

processos l´ ogicos da mais moderna f´ısico-matem´ atica.” (Pietro Ubaldi/Ascens˜ oes Humanas)

Resumo: Este artigo nasceu de um sentimento meu de solidariedade com os “menos favorecidos”. No caso do − clássico − paradoxo de Zenão, Aquiles, numa atitude de puro esnobismo d´ a uma vantagem inicial à tartaruga. Em nosso paradoxo a situa¸caõ se inverte: a tartaruga dar´ a uma distância inicial a Aquiles para logo em seguida ultrapassá-lo e vencer a corrida. Mostraremos, com técnicas matemáticas recentes, que n˜ ao trata-se de um engodo − n˜ ao tomariamos em vão o precioso (e j´ a escasso) tempo do leitor! Introdu¸ c˜ ao ´ sabido que alguns animais têm conhecimento de matemática universitária. E Veja-se por exemplo, o caso das aranhas ao tecerem suas redes; os engenheiros, até hoje, pelejam para fazer algo parecido; ou o caso das abelhas, que conhecem de C´ alculo I, porquanto conseguem construir seus alvéolos de modo a armazenarem a maior quantidade de mel, com o m´ınimo gasto de material. Neste artigo mostraremos que as tartarugas têm conhecimento de Topologia . . . pasmem!: To-po-lo-gia! O paradoxo que construimos aqui est´ a em acordo com a mais estrita lógica matemática e, sendo assim, n˜ ao poder´ a ser refutado por nenhum matemático em sã consciência (isto é, munido apenas da lógica matemática). O paradoxo consiste no seguinte: Aquiles e a tartaruga disputar˜ ao uma corrida; a tartaruga, desta vez esnobando Aquiles, oferece-lhe uma vantagem inicial (isto mesmo, Aquiles posta-se à frente da tartaruga) para logo em seguida ultrapass´ a-lo e vencer a corrida. Como assim?! por acaso a tartaruga estaria mancomunada com algum pol´ıtico e subornar´ ao´ arbitro da contenda? N˜ ao, n˜ ao se trata desse expediente, porquanto constituiremos como árbitro da porfia um matemático puro (e, diga-se an passant, diretor do Inmetro) e, sendo assim, este estar´ a munido apenas da mais pura e cristalina lógica matemática. Por outro lado, e talvez isto seja o mais importante, com este artigo estamos 216

pretendendo iniciar uma nova disciplina, qual seja: a Teomatemática que ter´ a como escopo principal o estudo de Deus com o aux´ılio (respaldo) da matemática. De fato, neste artigo estaremos apresentando a métrica Divina, a qual “opera prod´ıgios inacreditáveis” , conforme constataremos, inclusive o paradoxo que descrevemos. Algumas defini¸ co ˜es necess´ arias Desde j´ a deixemos bem claro os seguintes conceitos: Defini¸ c˜ ao 1 (Paradoxo). Entendemos como paradoxal n˜ ao aquilo que é absurdo, mas sim o que, n˜ ao obstante, ser contr´ ario ao senso-comum, encontra explica¸ca õ (isto é, pode ser justificado - resolvido) dentro das leis da l´ ogica matem´ atica (ou ainda: aquilo que é contr´ ario ao senso comum, mas que, no entanto, é corroborado por todos os matem´ aticos - todo matem´ atico “assina em baixo”). Ao contr´ ario do que se poder´ a pensar, os paradoxos pertencem sim ao nosso mundo real, veja-se por exemplo, a Teoria da Relatividade (de Einstein) que nos fornece in´ umeros exemplos; isto para n˜ ao falar sobre a própria f´ısica quˆ antica onde sobejam os exemplos de fenômenos que agridem nosso bom senso! A bem da verdade, oportunamente estaremos relacionando o presente contexto matemático com a f´ısica quˆ antica. ` Defini¸ c˜ ao 2 (Estar ` a frente). Dados dois objetos A e B diremos que B est´ aa frente de A (ou que A encontra-se atr´ as de B) quando a posi¸ca õ de B é maior que a posi¸ca õ de A, ambas medidas a partir de um referencial comum. Por exemplo, na figura abaixo D

• −2q

C

• −1q

A

0q

• q1

B

• q2

R

a à frente de D, B est´ a ` a frente de A, porquanto xB = 2 > 1 = xA e C est´ porquanto. xC = −1 > −2 = xD . O que aconteceria se formularmos esta defini¸caõ em termos de distâncias?, assim: B est´ a` a frente de A quando sua distância (para a origem) é maior que a de A. Estas defini¸co˜es são equivalentes? A resposta é n˜ ao. Veja: Considerando o mesmo diagrama, B est´ a` a frente de A, porquanto dB = |2 − 0| > |1 − 0| = dA . Agora acontece algo interessante: D est´ a à frente de C, porquanto dC = |0 − (−1)| < |0 − (−2)| = xD . Tendo em conta a defini¸caõ de módulo: ( x, se x ≥ 0; |x| = −x, se x ≤ 0. concluimos que as duas defini¸co˜es tornam-se equivalentes se nos restringirmos ao semi-eixo positivo (isto é, [ 0, +∞ [ ) uma vez que aqui a distância (para a ´ esta a situa¸caõ que nos interessa (apenas origem) coincide com a posi¸caõ. E posi¸co˜es positivas). O importante a enfatizar é que definimos estar à frente em fun¸caõ de distâncias. Inicialmente vamos normalizar a distância a ser percorrida, isto é, torná-la igual 217

a “1” (1 m, 1 km, 1 ano-luz, etc. . . ), isto é, a disputa se dar´ a no intervalo [ 0, 1 [. Oportunamente o leitor saberá por que devemos excluir o 1 deste intervalo. Assumiremos também que o diretor do Inmetro seja um matemático. Esta hipótese se deve a que este diretor n˜ ao se recusar´ a a colocar o selo do Inmetro na régua que construiremos para medir as distâncias de nossos contendores (Aquiles e a tartaruga).

Defini¸ c˜ ao 3 (Atingir a meta). Diremos que um contendor atingi a meta quando sua distˆ ancia (“final”) para a meta é nula.

Defini¸ c˜ ao 4 (Vencer). Numa porfia entre dois contendores A e B diremos que B vence A se B atinge a meta e se existe um instante de tempo, a partir do qual, B estar´ a sempre a ` frente de A.

A Contenda Deixaremos o caso da porfia (paradoxo) entre Aquiles e a tartaruga para o final. Aqui construiremos um outro bem mais interessante/emocionante. A corrida que descreveremos a seguir deu-se ainda no tempo de Zenão (século V a.C.). Pois bem, a corrida acontecer´ a na arena [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ com quatro contendores: Aquiles (A), a tartaruga (T ), a lesma (L) e o bicho-pregui¸ca (P ). Os quatro adversários deverão posicionar-se inicialmente nos quatro pontos assinalados no quadrado abaixo: (1, 1)

1

3 4

1 2

1 4

q

r

r

q

C

q ↑

q 12

q 41

r r q 34

1

O=(0, 0)

O objetivo da disputa será atingir o vértice O (inferior esquerdo do tabuleiro), sendo que os participantes s´ o poder˜ ao deslocar-se sobre as diagonais do tabuleiro. Aquiles, por ser o mais inteligente dos animais, até “racional” êle se considera, manipula o sorteio das posi¸co˜es iniciais de modo que ir´ a posicionar-se no centro do quadrado. De formas que, para os animais “irracionais”, a escolha torna-se agora irrelevante; portanto a configura¸caõ inicial da disputa fica assim: 218

(1, 1)

1

3 4

1 2

1 4

rL

q

rT

r

q

A

rP

q q 12

q 41

↑

q 34

1

O=(0, 0)

Os três animais irracionais desenvolverão a mesma velocidade V e Aquiles, num acordo de cavalheiros, decide desenvolver uma velocidade que é apenas o dobro de V . Vamos resumir as condi¸co˜es do pleito: 1o ) Os adversários só poder˜ ao deslocar-se sobre as diagonais do tabuleiro; o ao chegar no vértice O (inferior esquerdo do tabuleiro); 2 ) Dever˜ o 3 ) Aquiles, que encontra-se posicionado no centro do tabuleiro, desenvolverá “apenas” o dobro da velocidade de seus adversários. Pedimos ao leitor que reflita sobre as circunstˆ ancias (condi¸co˜es) estabelecidas no pleito, e nos diga se “humanamente falando”, digo, racionalmente (logicamente) falando existe a menor chance de que algum dos “animais irracionais” ven¸ca Aquiles. O deslocamento de Aquiles se dar´ a da seguinte forma: num primeiro est´ agio (“passo”) de seu movimento percorrerá a metade da distância C O. No segundo est´ agio, percorre a metade do que resta, e assim sucessivamente. Pois bem, é dada a largada!!! O que, estarrecidos/embasbacados!, observamos?, veja: 1

3 4

1 2

1 4

q

rr

r

q q

O

r

r

L

r

r

r

A

q 14

q 21

rT rP q 34

r

r

rr

(1, 1)

rr

1

Figura 5.1: Precisava ser t˜ ao irracional? Pasmem! a tartaruga est´ a seguindo no sentido do vértice (1, 1), a pregui¸ca no sentido do vértice (1, 0) e a lesma no sentido do vértice (0, 1). Que pena . . . os coitados devem ter ficado atordoados com o tiro de largada. S´ o pode ser isto! Bem, de qualquer forma precisamos preencher a s´ umula do resultado final: 219

Aquiles em 1o lugar!?; quanto aos irracionais temos duas alternativas, ou os desclassificamos de imediato, ou os classificamos de acordo com suas distâncias finais para a meta, assim: Animal Aquiles

Classif.

1o

Animal Aquiles

Pregui.

Desclas.

Pregui.

Lesma

Desclas.

Lesma

Tartar.

Desclas.

Tartar.

Classif.

D.O.

1o 2o 2o 3o

0 1 1 √

2

O que aconteceu? O ego venceu? mas como o mal pode sair vencedor em um Universo de ordem?

. . . 26 s´ eculos depois/A Justi¸ca tarda mas n˜ ao falha! Os animais irracionais protestaram contra o resultado anterior alegando que disputaram a corrida pela métrica Divina e que esta injusti¸ca seria prontamente reparada em séculos posteriores (profetizaram até o dia da repara¸caõ: 14.03.06). Eu j´ a sabia que as abelhas têm conhecimento de matemática universitária, uma vez que conseguem construir seus alvéolos de modo a armazenarem a maior quantidade de mel, com o m´ınimo gasto de material. Agora que lesma, tartaruga e pregui¸ca entendam de topologia, ah! essa eu n˜ ao sabia, pago prá ver!. Bem, j´ a que as abelhas conhecem de c´ alculo I, n˜ ao nos custa nada averiguar se lesma conhece de topologia. Apelando para a jus. . . , digo, apelando para a métrica divina, vejamos o que podemos fazer. A partir da métrica k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| , do intervalo [ 0, 1 [ podemos construir três outras no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, assim: 1

D1 (x, y) =

INMETRO

p 2 k (x1 , y1 ) + k2 (x2 , y2 )

s(x1 , x2 )

D2 (x, y) = k(x1 , y1 ) + k(x2 , y2 ) D3 (x, y) = max k(x1 , y1 ); k(x2 , y2 )

s(y1 , y2 )

Onde: x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ).

0

1

Todas j´ a devidamente homologadas pelo Inmetro - lembramos que na dire¸caõ do Inmetro temos um matemático. Dados os critérios estabelecidos no pleito, podemos nos valer das seguintes seq¨ uências, para descrever o deslocamento dos quatro contendores: an = ln =

1 1 2n , 2n 1 2n+1 ,

,

1−

1 2n+1

,

pn = 1 −

1 1 2n+1 , 2n+1

tn = 1 −

1 2n+1 ,

1−

1 2n+1

Para prosseguir em nosso desiderato (averiguar se, de fato, tartaruga, lesma e bicho-pregui¸ca entendem de topologia) precisamos apelar para distância entre ponto e conjunto em espa¸cos métricos (ver defini¸caõ 23, pg. 118). Para medir distâncias na arena [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ podemos usar qualquer uma 220

das três métricas apresentadas acima. Vamos usar por, exemplo, a régua D2 : D2 (x, y) = k(x1 , y1 ) + k(x2 , y2 ), O conjunto das posi¸co˜es da tartaruga ao longo da diagonal é dado por, o n 1 1 T = { tn : n ∈ N } = 1 − n+1 , 1 − n+1 : n ∈ N 2 2

Para mostrar que a tartaruga atinge a meta - segundo a defini¸caõ 3 - devemos mostrar que sua distância para a origem é nula; ou ainda: d(O, T ) = 0 (ver defini¸caõ 23, pg. 118). Ent˜ ao, d(O, T ) = inf d( O, x) : x ∈ T = inf D2 (O, tn ) : tn ∈ T (5.6) Temos,

D2 (O, tn ) = D2

1−

1 2n+1

, 1−

1 ; (0, 0)

2n+1

1 1 , 0 + k 1 − n+1 , 0 2n+1 2 1 = 2 · k 1 − n+1 , 0 . 2 =k 1−

Ent˜ ao,

1 1 1 k 1 − n+1 , 0 = min 1 − n+1 − 0 , 1 − 1 − n+1 − 0 = n+1 2 2 2 2 1

Portanto,

D2 (O, tn ) = 2 · k 1 −

1

2n+1

Este resultado em (5.6), nos fornece: d(O, T ) = inf

, 0 =2·

1 1 = n. 2n+1 2

1 :n∈N =0 n 2

Portanto a reinvidica¸caõ da dona tartaruga é perfeitamente/lógicamente justa! Ela de fato chega na origem!!! Est´ a coberta de raz˜ oes! De modo inteiramente análogo mostramos que Aquiles também atinge a meta. E agora quem vence a disputa? Bem vamos recorrer à defini¸caõ de vencedor (pg. 218). O referencial comum para saber quem est´ a à frente de quem, é o centro do quadrado, sendo assim devemos calcular D2 (tn , C) e D2 (an , C). Pois ent˜ ao, 1 1 1 1 , D2 (tn , C) = D2 1 − n+1 , 1 − n+1 ; 2 2 2 2 1 1 1 1 = k 1 − n+1 , + k 1 − n+1 , 2 2 2 2 1 1 . = 2 · k 1 − n+1 , 2 2 221

Temos, k 1−

1

2

, n+1

Portanto,

1 1 1 1 1 1 1 = min 1 − n+1 − , 1 − 1 − n+1 − = − n+1 2 2 2 2 2 2 2

D2 (tn , C) = 2 · k 1 −

1 2n+1

,

Por outro lado, temos

1 1 1 1 =2· − n+1 = 1 − n 2 2 2 2

1 1 , ; 2n 2n 1 1 = k n, +k 2 2 1 1 . = 2 · k n, 2 2

D2 (an , C) = D2

Temos,

Portanto,

1 1 , 2 2 1 1 , 2n 2

1 1 1 1 1 1 1 1 k n, = min n − , 1 − n − = − n 2 2 2 2 2 2 2 2 D2 (an , C) = 2 · k

Como, 1−

1 1 1 1 1 =2· , = 1 − n−1 − 2n 2 2 2n 2

1 1 > 1 − n−1 , ∀ n ∈ N n 2 2

Conclus˜ ao: D2 (tn , C) > D2 (an , C);

∀ n ∈ N.

Isto é, a tartaruga sempre esteve à frente de Aquiles (e n´ os nem desconfi´ avamos!), por conseguinte é declarada vencedora!!! Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que os outros dois animais irracionais também vencem Aquiles (virou saco de pancada), por qualquer uma das réguas (métricas) que utilizemos. Ufa! após tanto tempo, finalmente podemos fazer justi¸ca. A nova s´ umula fica assim: Animal Tartar.

Classif.

1o

Pregui. Lesma Aquiles

Desclas.

Nota: Decidimos desclassificar o Aquiles porque ele roubou por ocasião do sorteio das posi¸co˜es iniciais. Observem que os animais vencem Aquiles de três modos distintos, isto é, por qualquer uma das três réguas D1 , D2 ou D3 ; enquanto que Aquiles só os venceria de um u ´ nico modo, pela régua usual (métrica euclidiana).

222

Exegese “Porque

“Por

os meus pensa-

um momento imaginei que

mentos n˜ ao s˜ ao os vossos pen-

Deus fosse matem´ atico . . . equivoquei-me,

samentos, nem os vossos cam-

Deus ´ e enxadrista posto que, propor-

inhos, os meus caminhos, diz

cionalmente a ` voracidade do advers´ ario,

o Senhor.”

sacrifica suas pe¸ cas e, ao final, arremata

(Is. 55 : 08)

com um lance brilhante!”

(Gentil)

Bem, quanto os pensamentos Divinos diferem do nosso já tivemos um vislumbre (sentimento), e quanto aos seus caminhos? Digo, e quanto a afirmativa, “nem os vossos caminhos, os meus caminhos, diz o Senhor.” ? Ainda aqui podemos ter um sentimento desta assertiva, veja: 1

3 4

1 2

1 4

1

3 4

q

r

q

1 2

A

1 4

q O

q 14

q 12

q 34

1

− Caminho do homem para atingir

q

r

q

D

q O

q 41

q 12

q 34

1

− Caminhos de Deus para atingir

O

O

Ou seja, enquanto o homem, para alcan¸car o ponto 0 dirige-se para o Norte, Deus, para atingir o mesmo ponto, pode dirigir-se tanto para o Leste quanto para o Oeste ou até mesmo para o Sul. “Qu˜ ao

grandes são, ó Senhor, as tuas obras! quão profundos são os teus pensamentos! O homem bruto nada sabe, e o louco não entende isto.” ( Sl. 92 : 5-6 )

223

´ A M´ etrica Divina e a Etica Uma outra − sutil/profunda − li¸caõ que a métrica Divina tem a nos transmitir, diz respeito ao campo da ética. Senão vejamos: qual a distância que Aquiles acreditava est´ a usurpando de seus adversários? Observe: (1, 1)

1

3 4

1 2

1 4

q

L r A

q

rT

r

=⇒

q 41

r

rP

q

O

distˆ ancia “usurpada”

q 12

A

q 34

rT 1 4

1 4

1

Ele acredita (pela a usurpando da pobre tartaruga uma √ lógica do homem) est´ distância igual a 2/4. Para o leitor perceber que é exatamente esta distância que ele est´ a, ` a revelia, concedendo à tartaruga, perceba que a métrica divina “transfere” a origem para todos os outros vértices do quadrado, assim: O

O

3 4

1 2

1 4

q

L r A

q

r

q

O

q 41

q 12

rT rP q 34

O

Nota: Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que essa transferência se deve ` a bola aberta de centro na origem (ver, por exemplo, pg. 167) Moral da f´ abula: A justi¸ca tarda (neste caso 26 séculos!), mas n˜ ao falha. Deus cumpre seus des´ıgnios - para n´ os muitas vezes incompreens´ıveis - e se permite o luxo de fazê-lo de três modos distintos, assim o queira. Deus, agindo estritamente de acordo com as leis da mais cristalina lógica, n˜ ao raras vezes “agride” nosso bom senso. Para Deus bom-senso e lógica são equivalentes (se confundem), isto, evidentemente, n˜ ao acontece para n´ os humanos. Uma aplica¸caõ da métrica k (talvez a mais importante) é nos auxiliar a entender que os des´ıgnios divinos, que − muitas vezes − nos parecem destituidos de sentido (isto é que carecem de lógica), est˜ ao em concordância com as leis da mais pura e cristalina das lógicas. 224

Para mim, que escrevi este trabalho∗ , o aprendizado n˜ ao se deu tanto no aspecto da matemática em si, mas no espiritual. Entendo perfeitamente a cita¸caõ (em ep´ıgrafe) de Pietro Ubaldi. Caso unidimensional Para observarmos o pleito (paradoxo) entre Aquiles e a tartaruga, prometido na introdu¸caõ deste trabalho, basta fazer a proje¸caõ (“no eixo x”) do caso bidimensional. Ao ser dado o tiro de largada Aquiles age como qualquer “racional” agiria, e segue em demanda de sua meta; a tartaruga (agora uma ex´ımia topologista), para estupefa¸caõ da platéia segue em sentido contrário! . . . o árbitro da contenda queda-se embasbacado!!! Pois bem, qual a distância que Aquiles acreditava est´ a usurpando de seu adversário? Observe: •

≀

∼

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

y y 0,4

0,3

0,2

1

0,1

1 INMETRO

0

·········· · q 43

q 12

q 14

0

Ele acredita (pela lógica do homem) est´ a usurpando da pobre tartaruga uma distância igual a 41 = 0, 25 (que é a distância em que ele se encontra à frente do quelônio). Ora, perceba o caro leitor que é precisamente esta mesma distância que ele est´ a, à revelia, concedendo ` a tartaruga. Perceba que a métrica divina “transfere” a origem “0” para o outro vértice do intervalo† . De uma outra perspectiva: Observe que na configura¸caõ inicial do pleito a distância de Aquiles para a meta, em qualquer das métricas é 0, 5; enquanto que a distância da tartaruga para a meta, na métrica divina, é de apenas 0, 25. Podemos ver o equ´ıvoco de Aquiles de um outro ângulo, no gr´ afico à pg. 91, assim:

∗ Por † Ou

conta de uma experiˆ encia m´ıstico-matem´ atica. ainda a m´ etrica divina curva o espa¸co − ver pg. 94.

225

k(x, 0)

1

q

0, 75

1 2

q

0, 25

0

•

A ←

•

T →

x 1

Observe que a distância inicial de Aquiles para a origem, tanto na concep¸ca õ humana quanto na divina∗ , é a mesma: 0, 5. Já para a tartaruga − que corre segundo a métrica divina − na concep¸caõ humana sua distância inicial é de 0, 75 (atrás de Aquiles, portanto), já na concep¸caõ divina (que faz justi¸ca aos “oprimidos” ) a distância inicial da tartaruga é de apenas 0, 25, encontrando-se, portanto, ` a frente de Aquiles!

“Tudo

“Finalizando,

isso, que a ` primeira

desejo exprimir

vista parece excesso de irraz˜ ao,

a esperan¸ ca de que . . . a matem´ atica

na verdade ´ e o efeito da finura e

possa servir agora como modelo

da extens˜ ao do esp´ırito humano

para a solu¸ ca õ de muitos problemas

e o m´ etodo para encontrar ver-

de nossa ´ epoca: revelar um obje-

dades at´ e ent˜ ao desconhecidas.”

tivo religioso supremo e avaliar o

Voltaire (17 a Carta)

significado da atividade espiritual da humanidade.” (I.R. Shafarevitch)

Nota: No que se segue apresentamos o conte´ udo (resumo) de uma palestra que proferimos no dia 01.09.2008 em nossa universidade (ufrr); esta é mais uma aplica¸caõ da métrica divina.

∗ Digo,

etrica divina. tanto na m´ etrica euclidiana (gr´ afico em azul) quanto na m´

226

PALESTRA T´ ıtulo: 0, 999 . . . = 1 ? Introdu¸cão: Um dos resultados mais controversos de toda a matemática diz respeito à igualdade 0, 999 . . . = 1. Na referência [1] o autor faz uma análise das representa¸cões decimais onde lemos: “Comecemos com o caso mais simples, que é também o mais intrigante. Trata-se da expressão decimal, ou seja, do n´ umero real 9 9 9 α = 0, 999 . . . = + + + ··· 10 100 1000 Afirmamos que α = 1”. (grifo nosso) Na referência [2] lemos: “[· · · ] você deve ter concluido que 0, 999 . . . = 1. Esse sinal de igual é igual mesmo! Não se trata de aproxima¸cão: 0, 999 . . . e 1 são duas formas diferentes de apresentar o mesmo n´ umero”. (grifo nosso) Nesta palestra provaremos que 0, 999 . . . = 0 (não, não trata-se de um erro de digita¸cão!) e que, portanto, estão equivocados os que afirmam que: 0, 999 . . . = 1, mesmo! Data: 01.09.2008 Local: UFRR/Bloco III/SALA 329/18 : 00 hs Prof. Gentil Referˆ encias [1] Lima, Elon Lages. et alii A Matem´ atica do Ensino Médio Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1997. [2] Brolezzi, Antonio Carlos/Monteiro, Martha Salerno, Matem´ atica: N´ umeros para quê? Universidade de S˜ ao Paulo, Publica¸caõ eletrˆ onica.

227

Palestra “E

aquilo que nesse momento

se revelar´ a aos povos, surpreender´ a a todos n˜ ao por ser ex´ otico mas pelo fato de poder ter sempre estado oculto quando ter´ a sido o o ´bvio.” (O ´ındio/Caetano V.)

Introdu¸ c~ ao: Decidi redigir um (pequeno) ensaio em fun¸caõ da palestra anunciada na p´ agina anterior, depois mudei de idéia e decidi ampliar o texto para disponibilizá-lo em minha home-page. O objetivo desta palestra é esclarecer o significado da igualdade, 0, 999 . . . = 1

(5.7)

Igualdades esp´ urias Inicialmente chamamos a aten¸caõ para o fato de que, na matemática, existem igualdades que na verdade n˜ ao são igualdades. Ou ainda, que precisam ser colocadas em seu devido contexto. Como um primeiro exemplo citamos a seguinte “igualdade”: 3 1 = (5.8) 3 9 Todos sabemos que estas n˜ ao são fra¸co˜es iguais mas sim equivalentes, o que quer dizer que, 3 1 ∼ ⇔ 1·9= 3·3 (5.9) 3 9 Outros exemplos de “igualdades esp´ urias” encontramos quando do estudo dos n´ umeros complexos. A bem da verdade, um n´ umero complexo é um par ordenado de n´ umeros reais. Em livros-texto nos deparamos com igualdades tipo, z = 1 + 2i = (1, 2) Ou, z = (1, 0) = 1 + 0i = 1 Estas “igualdades” só podem ser devidamente compreendidas dentro do conceito de isomorfismo entre estruturas algébricas, um assunto pertinente à álgebra moderna; aqui só chamamos a aten¸caõ, nesta u ´ ltima igualdade, que é imposs´ıvel (ilógico) um par ordenado ser igual a um n´ umero. Por conseguinte, a rigor n˜ ao é correto dizer que os Reais são subconjunto dos Complexos, uma vez que estes “conjuntos” têm elementos de naturezas distintas. Voltando ` a igualdade (5.8) entre fra¸co˜es, talvez o leitor nunca − em toda a sua vida − tenha sentido a necessidade de fazer distin¸caõ entre igualdade e equivalência entre fra¸co˜es. Confesso que eu, uma u ´ nica vez senti esta necessidade, foi quando achei por bem corrigir uma quest˜ ao em um gabarito de um cursinho. A quest˜ ao era mais ou menos assim: “Encontre uma fra¸caõ (pr´ opria) x/y em que a soma do numerador com o denominador seja 12 e o produto seja 27”. 228

Para resolver esta quest˜ ao montamos o seguinte sistema: ( cuja (a) (b) (c) (d) (e)

x+y

= 12

x·y

= 27

solu¸caõ é: x = 3 e y = 9. Na prova foram dadas algumas alternativas: − − −− − − −− − − −− 1 3

N.R.A

No gabarito a resposta “correta” foi dada como sendo a letra ( d ), a fra¸caõ equivalente da correta. Fiz ver que esta n˜ ao poderia ser a resposta porquanto a ao satisfaz o enunciado do problema (não satisfaz o sistema). A fra¸caõ xy = 31 n˜ resposta do gabarito foi mudada para a letra ( e ). Pois bem, defendemos que a “maioria” − inclusive − por negligenciar este contexto (das “igualdades esp´ urias”), n˜ ao est´ a sabendo interpretar corretamente igualdades tipo (5.7); estas devem ser entendidas em seu devido contexto; o objetivo de nossa palestra é deixar claro este contexto. Devemos agora lembrar o conceito de série:

S´ eries Este tema j´ a comparece no ensino médio quando procuramos por exemplo pela “soma infinita”, 1 1 1 + + + ··· 2 4 8 que é dada pela f´ ormula da soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica: a1 , válida sempre que −1 < q < 1. No caso da série anterior, temos, S∞ = 1−q 1 1 1 1 + + + ··· = 2 2 4 8 1−

1 2

=1

(5.10)

Formalizando a “teoria das séries”, temos: Seja ( an ) uma seq¨ uência de n´ umeros reais. A partir dela, formamos uma nova seq¨ uência ( sn ) cujos termos são as somas: s1 = a1 s2 = a1 + a2 s3 = a1 + a2 + a3 −− − − − − − − − − − − − − sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an

Os termos da seq¨ uência ( sn ) são chamados somas parciais da série infinita P an . Se existir o limite, lim sn = lim (a1 + a2 + a3 + · · · + an ) n→∞

229

P diremos que a série an é convergente e, nesse caso, lim sn = ℓ é chamado de soma da série. Em sendo este o caso, escrevemos, ℓ=

X

an =

∞ X

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

uência ( sn ), de somas parciais, n˜ ao convergir, diremos que a série P∞Se a seq¨ a ´ e divergente. n=1 n P Resumindo: A soma de uma série, an , é simplesmente o limite da seq¨ uência , ( sn ), de somas parciais. A t´ıtulo de exemplo, vamos calcular a soma da série vista em (5.10), para tanto vamos encontrar sua seq¨ uência de somas parciais, assim: 1 2 1 1 s2 = + 2 4 1 1 1 s3 = + + 2 4 8 −− − − − − − − − − − − − − 1 1 1 1 sn = + + + · · · + n 2 4 8 2 s1 =

Vamos necessitar da fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G.: Sn =

a1 (q n − 1) q−1

Ent˜ ao, 1 1 1 1 sn = + + + · · · + n = 2 4 8 2

1 2

·

1 2

1 n 2

−1

−1

=1−

1 n 2

Para provar que esta seq¨ uência converge para 1 na métrica usual, devemos mostrar que† d(sn , 1) → 0. De fato, 1 1 n − 1 = n → 0 d(sn , 1) = µ(sn , 1) = |sn − 1| = 1 − 2 2

− Esta seq¨ uência converge para 0 porque “podemos tornar 21n arbitrariamente pequeno, tomando n suficientemente grande”. Vamos agora provar que esta mesma série converge para 0 na métrica divina, isto é, 1 1 1 + + + ··· = 0 2 4 8 † Veja

proposi¸ca õ 33, pg. 201.

230

Com efeito, é suficiente provar que k(sn , 0) → 0, assim∗ : k(sn , 0) = min sn , 1 − sn 1 1 = min 1 − n , 1 − 1 − n 2 2 1 1 1 = min 1 − n , n = n → 0 2 2 2

Observe que,

1 1 ≤ 1 − n ⇔ 2n ≥ 2. n 2 2 Agora vamos calcular a soma da série: 9 9 9 + + + ··· 10 100 1000 Neste caso, para o c´ alculo na métrica usual basta usar a fórmula da soma dos infinitos termos de uma P.G., entretanto, vamos calcular em nosso contexto de espa¸cos métricos; para tanto necessitaremos da seq¨ uência de somas parciais: 0, 999 . . . =

9 10 9 9 + s2 = 10 100 −− − − − − − − − − − − − − 9 9 9 sn = + + ···+ n 10 100 10 Aplicando a f´ ormula da P.G., obtemos: s1 =

sn =

1 9 9 1 1 9 + + ··· + n = 9 · + + ··· + n 10 100 10 10 100 10 1 1 1 n − 1 = 9 · 10 110 = 1− n 10 − 1 10

Vamos mostrar que a série em quest˜ ao converge para 1 na métrica euclidiana, com efeito, 1 1 µ(sn , 1) = 1 − n − 1 = n → 0 10 10 Vamos provar que esta mesma série converge para 0 na métrica k, com efeito, k(sn , 0) = min sn , 1 − sn 1 1 = min 1 − n , 1 − 1 − n 10 10 1 1 1 = min 1 − n , n = n → 0 10 10 10 Em resumo, provamos que: 0, 999 . . . = 1 0, 999 . . . = 0 ∗ Veja

equa¸ca õ (2.2), pg. 90

231

Uma exegese de nossos resultados Observe que n˜ ao podemos concluir apressadamente que 1 = 0, porquanto estes resultados pertencem a universos distintos: 0, 999 . . . = 1, em ([ 0, 1 ], µ)

(5.11)

0, 999 . . . = 0, em ([ 0, 1 [, k)

(5.12)

Um primeiro corol´ ario que se segue deste resultado é que 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero porquanto depende da topologia (métrica) adotada. Reiteramos: Um n´ umero é um conceito algébrico, n˜ ao topológico; digo, n˜ ao pode variar com a topologia adotada. A conclusão é ´ obvia: a “entidade” 0, 999 . . . só pode ser vista como uma série (ou uma representa¸ca õ decimal, n˜ ao faz mal)∗ e nunca como um n´ umero. A igualdade (5.11) nos diz que a soma desta série é 1 na métrica µ; de igual modo, a igualdade (5.12) nos diz que a soma desta mesma série é 0 na métrica k. Observe que em nosso universo ([ 0, 1 [, k) n˜ ao est˜ ao definidas opera¸co˜es algébricas, raz˜ ao por que n˜ ao podemos sair multiplicando a esmo. Entretanto, observando que se 0 ≤ x < 1 e 0 ≤ y < 1 ent˜ ao 0 ≤ x · y < 1 significa que em nosso universo, · : [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ −→ [ 0, 1 [ a multiplica¸caõ é uma opera¸caõ perfeitamente l´ıcita.

Se 1 6= 0 então 0, 999 . . . não é um n´ umero

Dissemos anteriormente que, a despeito das igualdades 0, 999 . . . = 1 e 0, 999 . . . = 0, n˜ ao podemos concluir que 1 = 0 por conta de que estes resultados est˜ ao em universos distintos; entretanto, podemos cavar uma contradi¸caõ caso insistamos no disparate de acreditar em miragens (fantasmas), digo: confundir uma série com seu limite. Vamos estabelecer agora mais um limite que será u ´ til em nossos argumentos posteriores. Consideremos a seguinte série, 0, 111 . . . =

1 1 1 + + ···+ n + ··· 10 100 10

cuja seq¨ uência de somas parciais é dada assim, 1 1 βn = · 1 − n 9 10

Afirmamos que esta seq¨ uência converge para 1/9 na métrica k. De fato, n 1 o 1 k(βn , 1/9) = min βn − , 1 − βn − 9 9

ou ainda,

n 1 1 o 1 1 − 1 − 1 k(βn , 1/9) = min − − , 1 − 9 9 · 10n 9 9 9 · 10n 9 o n 1 1 1 = , 1− →0 = min 9 · 10n 9 · 10n 9 · 10n

∗ Queira

por favor lˆ er a cita¸ca õ em ep´ıgrafe deste artigo.

232

Portanto,

1 1 1 1 + + ··· + n + ··· = 10 100 10 9

(5.13)

O próximo teorema rompe um paradigma de alguns séculos: Teorema 3 (Gentil/15.08.2008). Se 0, 999 . . . é um n´ umero ent˜ ao 1 = 0. Prova: De fato, consideremos a igualdade, 0, 999 . . . =

9 9 9 + + · · · + n + · · · = 0, 10 100 10

demonstrada anteriormente; sendo 0, 999 . . . por hipótese um n´ umero, esta igualdade nos diz que este n´ umero é igual a zero, vamos multiplicá-lo por 1/9, obtendo: 1 1 1 0, 111 . . . = + + · · · + n + · · · = 0. 10 100 10 Deste resultado e da equa¸caõ (5.13) concluimos que,

1 9

= 0, donde 1 = 0.

O que o nosso teorema mostra é que confundir uma série com seu limite n˜ ao é uma “brincadeira sem importˆ ancia”, é t˜ ao grave quanto confundir 1 = 0. ´ − Obviamente que nossa conclusão a respeito da representa¸caõ decimal 0, 999 . . . se estende a todas as outras; por exemplo: 0, 4999 . . . pelas mesmas raz˜ oes n˜ ao é um n´ umero. A prop´ osito, podemos mostrar que a aplica¸caõ, k : [ 0, 1/2 [ × [ 0, 1/2 [−→ R dada por

k(x, y) = min |x − y|, 1/2 − |x − y|

é uma métrica; portanto o par ([ 0, 1/2 [, k) é um espa¸co métrico. Neste espa¸co n˜ ao é dif´ıcil provar a seguinte igualdade: 0, 4999 . . . = 0 De fato, a seq¨ uência de somas parciais desta série, 0, 4, 0, 49, 0, 499, 0, 4999, . . . é dada por γn = 1/2 − 1/10n, sendo assim, temos: 1 k(γn , 0) = min |γn − 0|, 1/2 − |γn − 0| = n → 0 10

• Podemos ainda mostrar que, que a aplica¸caõ,

k : [ 0, 1/3 [ × [ 0, 1/3 [−→ R dada por

k(x, y) = min |x − y|, 1/3 − |x − y| 233

é uma métrica; portanto o par ([ 0, 1/3 [, k) é um espa¸co métrico. Neste espa¸co n˜ ao é dif´ıcil provar a seguinte igualdade: 0, 333 . . . = 0

(5.14)

De fato, a seq¨ uência de somas parciais desta série, 0, 3, 0, 33, 0, 333, 0, 3333, . . . é dada por ξn = 1/3 − 1/(3 · 10n ), sendo assim, temos: k(ξn , 0) = min |ξn − 0|, 1/3 − |ξn − 0| =

1 → 0 3 · 10n

Conclus˜ ao: o resultado (5.14) nos for¸ca a ver 0, 333 . . . n˜ ao como um n´ umero, mas como uma série, porquanto depende da topologia considerada. Veja ainda, a igualdade 0, 999 . . . =

9 9 9 + + + ··· = 0 10 100 1000

n˜ ao significa que “a soma de infinitas parcelas positivas é igual a zero”; o verdadeiro significado desta igualdade é que a seq¨ uência αn = 1 − 101n , de somas parciais da série, converge para 0 na métrica k, é só isto! A igualdade 0, 999 . . . = 0 e a teoria da gravita¸ c~ ao de Einstein Os que gozam de uma acuidade visual razoável n˜ ao ter˜ ao dificuldade de enxergar que o paradigma quebrado pelo teorema 3 de certa forma é similar ao paradigma quebrado pela teoria da gravita¸caõ de Einstein relativamente à de Newton. De fato, na teoria de Newton, por exemplo, sempre se acreditou que a luz se propagava em linha reta (não fazia curva) por conta de que esta teoria era fundamentada na geometria euclidiana; já a de Einstein em uma “geometria curva”: a massa introduz uma curvatura (distor¸caõ) no espa¸co circunjacente. De igual modo, sempre se acreditou que 0, 999 . . . = 1 por conta de que esta igualdade esteve sempre atrelada à geometria, digo, métrica euclidiana (esta n˜ ao curva o espa¸co); quando introduzimos uma métrica que curva o espa¸co, como é o caso da métrica k, a´ı se revelou a verdadeira natureza de 0, 999 . . ., curva-se tal como um raio de luz em uma nova geometria! Conclus˜ ao: A miopia (catarata) que grassou durante todos estes séculos a respeito da igualdade 0, 999 . . . = 1 foi decorrência de se ter acreditado que 0, 999 . . . era independente da “geometria” (métrica) considerada; a igualdade 0, 999 . . . = 0 desfaz este equ´ıvoco. − Acredito mesmo que uma outra raz˜ ao pela qual os matemáticos estiveram equivocados durante “todo este tempo” − ao afirmarem que 0, 999 . . . é um n´ umero − se deve ao fato de que, parece mentira, eles n˜ ao sabem o que é um n´ umero. De fato, a come¸car pelo próprio Peano que ao encetar sua constru¸caõ dos n´ umeros naturais toma “n´ umero” como um conceito primitivo, isto prova que ele n˜ ao sabia como definir n´ umero. ´ Obviamente que quando se fala daquilo que n˜ ao se compreende corre-se o risco de proferir tolices. Foi o que ocorreu!

234

Na internet me deparei com a seguinte “prova” de que 0, 999 . . . = 1: “Tente escrever um n´ umero x tal que 0, 999 . . . < x < 1, verá que é imposs´ıvel. Dado que n˜ ao existe um tal x em R ent˜ ao 0, 999 . . . = 1.” • Esta é uma “prova” por demais ingênua. De fato, nunca poderemos exibir um tal x simplesmente porque 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero, isto é, n˜ ao encontrase na reta real. Para vermos a ingenuidade desta prova de um outro ângulo (uma analogia), consideremos que a seq¨ uência (pn ) de pol´ıgonos na figura a seguir, ... → p3

p4

p5 . . .

. . . p11

... →

σ

converge para o c´ırculo σ, isto é, lim pn = σ. n→∞ Observe a analogia: 0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; 0, 9999 ; . . . ; αn ; · · · → 1 onde, αn = 0, 999 . . . 9 = 1 −

1 10n .

Temos, lim αn = 1

n→∞

Escrever este resultado da seguinte forma, α∞ = 0, 999 . . . = 1 ´ como se para o limite, é apenas, e t˜ ao somente, uma nota¸caõ. E lim pn = σ

n→∞

escrevessemos, p∞ = σ ´ t˜ E ao ingênuo pretender que um pol´ıgono de infinitos lados seja igual a um c´ırculo quanto pretender que uma decimal com infinitas casas, no caso 0, 999 . . ., seja um n´ umero (= 1). Deveras, são objetos de naturezas distintas. Ent˜ ao, voltando ` a “prova” anterior, isto é, sobre a impossibilidade de se encontrar um n´ umero x tal que 0, 999 . . . < x < 1; é a mesma coisa que se pretender provar que um pol´ıgono de infinitos lados é um dado c´ırculo, pela impossibilidade de se encontrar um outro c´ırculo x entre ambos, assim: p∞ < x < σ

235

Adendo (19.12.2008) Enviei, no dia 20.10.2008, à Revista Matem´ atica Universit´ aria, uma versão compacta (13 p.) e “politicamente correta” deste trabalho, sob o t´ıtulo “Se 1 6= 0 ent˜ ao 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero”, para poss´ıvel publica¸caõ. Algum tempo depois recebi o seguinte email:

Gentil Lopes

Matem´ atica Universit´ aria 1 mensagem Eduardo Colli 5 de dezembro de 2008 12:23 Para: [email protected] Prezado Gentil, mais uma vez agradecemos o interesse em publicar na Matem´ atica Universitária. Em raz˜ ao da firme conviçcaõ do Corpo Editorial de que 0, 999 . . . é igual a 1 no corpo dos reais, e de que 0 é igual 1 no quociente de R por Z mas n˜ ao no corpo dos reais, lamentamos comunicar-lhe que seu artigo “Se 1 < > 0 ent˜ ao 0.999 . . . n˜ ao é um n´ umero” n˜ ao será publicado na revista. Quanto ao seu outro artigo, “Tra¸cados 3 − D. Um aux´ılio para o tra¸cado de figuras no LaTeX”, os editores o examinaram e julgaram que n˜ ao se enqua dra no perfil da revista. Atenciosamente, Eduardo Colli Editor-chefe da Matem´ atica Universitária

Confesso que, ao receber este email, me senti um tanto quanto feliz e até sorri. Como assim? n˜ ao est´ as sendo hipócrita? Minha consciência me diz que n˜ ao. De fato, de imediato vislumbrei que a incompreensão (ignorância) dos editores viria a valorizar ainda mais nossas aquisi¸co˜es; com efeito, como se vê, estamos lidando com quest˜ oes “filos´ oficas” sutis∗ e n˜ ao tenho como n˜ ao exultar em ser o primeiro terráqueo a enxergar n˜ ao com os olhos f´ısicos mas com os da lógica - tais sutilezas. Ou¸camos, novamente, o que os mais velhos têm a nos dizer: “Tudo isso, que a ` primeira vista parece excesso de irraz˜ ao, na verdade ´ e o efeito da finura e da extens˜ ao do esp´ırito humano e o m´ etodo para encontrar verdades at´ e ent˜ ao desconhecidas.” Voltaire ∗ Digo, sutis para os editores - que “trope¸ caram ao meio dia como se fosse no crep´ usculo” -, para mim s˜ ao quest˜ oes triviais.

236

Acreditamos - e vamos provar - que o “Corpo Editorial” n˜ ao compreendeu o nosso Artigo. Este equ´ıvoco, pelo ao menos a mim, prova mais uma vez que os matemáticos n˜ ao possuem uma clareza suficiente do que seja um n´ umero. Primeiro ponto: a ênfase do meu artigo, desde a capa, n˜ ao é contra a igualdade 0, 999 . . . = 1, mas sim contra a sua interpreta¸caõ literal, qual seja: a de umero” 0, 999 . . . seja igual ao n´ umero 1. Temos sempre dito que esta que o “n´ igualdade é insuficiente para conferir o status de n´ umero à representa¸caõ decimal 0, 999 . . .; como o meu artigo foi rejeitado devo assumir que os editores n˜ ao est˜ ao de acordo com minha tese principal; ou ainda: que êles, tal como o prof. Elon, acreditam que 0, 999 . . . = 1 mesmo! Pois bem, o Corpo Editorial alega que tem “conviçcaõ” de que 0, 999 . . . = 1 no corpo dos reais. ´ muito f´ E acil refutar-lhe se nos dermos conta de que o estabelecimento da igualdade 0, 999 . . . = 1 n˜ ao depende das propriedades de corpo dos n´ umeros reais.† Vamos seguir o itinerário do Prof. Elon em∗ para estabelecer a referida igualdade e mostrar que todos os passos podem ser aplicados ao nosso Universo [ 0, 1 [. Na pg. 59 o autor escreve: Uma express˜ ao decimal é um s´ımbolo da forma α = a0 , a1 a2 · · · a n · · · , onde a0 é um n´ umero inteiro ≥ 0 e a1 a2 · · · an · · · , são d´ıgitos, isto é, n´ umeros inteiros tais que 0 ≤ an ≤ 9. ao decimal. • Vemos que aqui temos uma defini¸caõ do que seja uma express˜ ´ importante observar que para esta defini¸caõ n˜ E ao precisamos das propriedades de corpo dos n´ umeros reais; tanto é que podemos adot´ a-la em nosso Universo; apenas que, em nosso contexto, fica: Uma express˜ ao decimal é um s´ımbolo da forma α = 0, a1 a2 · · · an · · · ,

(5.15)

onde a1 a2 · · · an · · · , são d´ıgitos, isto é, n´ umeros inteiros tais que 0 ≤ an ≤ 9. Observe que os nossos s´ımbolos, dados em (5.15), são os mesmos dos reais n˜ ao h´ a nenhuma raz˜ ao para que sejam diferentes. Mais ` a frente, ainda na mesma p´ agina, o autor escreve: Mais de que forma uma seq¨ uência de d´ıgitos, precedida de um n´ umero inteiro, representa um n´ umero real? A resposta é: a expressão decimal α, dada acima, representa o n´ umero real (∗)

α ¯ = a0 +

a a a1 + 2 + · · · + nn + · · · . 10 102 10

Na realidade, é meio pedante usar uma nota¸caõ diferente, α ¯ , para indicar o n´ umero real cuja expressão decimal é α. Na prática, n˜ ao se faz isso. Vamos ent˜ ao seguir o costume e usar a mesma nota¸caõ α, para o n´ umero e sua expressão decimal. † Digo,

∗ Lima,

pelo ao menos ao ponto de invalidar meus argumentos. Elon Lages. et alii A Matem´ atica do Ensino M´ edio Vol. 1. Rio de Janeiro:SBM,

1997.

237

• Aqui temos a defini¸caõ de um outro s´ımbolo; dizer que α ¯ representa um n´ umero real, no momento é apenas um abuso de linguagem por parte do prof. uma vez que como êle mesmo admite um pouco mais à frente “Mais importante é explicar o significado daquelas reticˆ encias no final da igualdade. Elas d˜ ao a entender de que se trata de uma soma com infinitas parcelas, mas isto ´ e uma coisa que n˜ ao tem sentido, pelo ao menos em princ´ıpio.”

(grifo nosso)

Pois bem, α ¯ é a defini¸c˜ ao de um outro s´ımbolo associado a α. Mais uma vez observamos que, para esta defini¸c˜ ao, n˜ ao precisamos das propriedades de corpo dos reais, tanto é que podemos adot´ a-la em nosso Universo; ent˜ ao, ao s´ımbolo (5.15) associamos um outro, da seguinte forma: α ¯=

a1 a a + 22 + · · · + nn + · · · . 10 10 10

(5.16)

Observe que podemos definir este s´ımbolo em nosso Universo mesmo que n˜ ao contemos com uma adi¸c˜ ao no mesmo; como bem pontuou o prof. Elon, de momento este s´ımbolo n˜ ao tem sentido, nem nos reais e nem em nosso Universo. Ainda observamos que os s´ımbolos s˜ ao os mesmos tanto nos reais quanto em [ 0, 1 [, n˜ ao h´ a nenhuma raz˜ ao para serem diferentes. Agora o prof. vai atribuir um significado ao s´ımbolo α ¯ que comparece em (∗), que é o significado que todos conhecemos: associa-se a este s´ımbolo uma seq¨ uência (de somas parciais, ou reduzidas); S0 = a 0 S1 = a 0 +

a1 10

a1 a + 22 10 10 −− − − − − − − − − − − − − − − a a a Sn = a0 + 1 + 22 + · · · + nn 10 10 10 S2 = a 0 +

dizemos que o limite desta seq¨ uência, quando existir, é a soma da “série” dada em (∗). Precisamos atribuir um significado ao nosso s´ımbolo α ¯ que comparece em (5.16), para tanto, tal como nos reais, associemos a este a seguinte seq¨ uência: s1 =

a1 10

a1 a + 22 10 10 −− − − − − − − − − − − − − a a a sn = 1 + 22 + · · · + nn 10 10 10 s2 =

onde, agora, a adi¸c˜ ao que comparece acima é a mesma dos reais. Uma quest˜ ao que temos que resolver de imediato é se estas express˜ oes fazem sentido em nosso universo [ 0, 1 [. Ou ainda: a seq¨ uência ( sn ) de somas parciais de fato é uma seq¨ uência em [ 0, 1 [? A situa¸c˜ ao mais “cr´ıtica” que pode ocorrer é quando sn =

9 9 9 + 2 + ··· + n 10 10 10

238

e, neste caso, sn =

`1 9 9 1 1 ´ 9 + + ··· + n = 9 · + +··· + n 10 100 10 10 100 10 ` 1 ´ 1 −1 1 10 10n =9· =1− n <1 1 10 − 1 10

Portanto, nosso desiderato foi atendido! Até aqui a defini¸c˜ ao (e significado) de nossos s´ımbolos (express˜ oes decimais e séries) é a mesma que nos reais, em particular o s´ımbolo 0, 999 . . . é o mesmo nos dois sistemas e, lembramos, trata-se de uma defini¸c˜ ao que n˜ ao depende das propriedades de corpo dos reais.∗ Agora, considerando a topologia (métrica) dos respectivos conjuntos, obtemos: 0, 999 . . . = 1,

em (R, µ)

0, 999 . . . = 0,

em ([ 0, 1 [, k)

Conclus˜ ao: o mesmo s´ımbolo assume valores distintos a depender da topologia considerada; logo, n˜ ao pode ser um n´ umero. Vamos resumir (compactar) nossos argumentos: 1o ) Definimos express˜ oes decimais, assim: α = 0, a1 a2 · · · an · · · , onde a1 a2 · · · an · · · , s˜ ao d´ıgitos, isto é, n´ umeros inteiros tais que 0 ≤ an ≤ 9.

Esta é apenas um caso especial de α = a0 , a1 a2 · · · an · · · , com a0 = 0. Pois bem, para uma tal defini¸c˜ ao n˜ ao precisamos das propriedades de corpo dos n´ umeros reais. 2o ) Em seguida associamos ao s´ımbolo anterior um outro s´ımbolo, α ¯=

a a a1 + 22 + · · · + nn + · · · . 10 10 10

(5.17)

que é um caso especial de ( ∗ ). Novamente, para uma tal defini¸c˜ ao n˜ ao precisamos das propriedades de corpo dos n´ umeros reais; a bem da verdade podemos considerar estes s´ımbolos mesmo que n˜ ao existissem os n´ umeros reais, uma vez que em suas defini¸c˜ oes entram apenas (alguns) inteiros positivos. 3o ) Agora precisamos atribuir um sentido ao s´ımbolo (5.17), para tanto devemos considerar a seq¨ uência, sn =

a1 a a + 22 + · · · + nn 10 10 10

Para obter sn consideramos a adi¸c˜ ao de R restrita a [ 0, 1 [; isto é poss´ıvel mesmo n˜ ao ` ´ sendo [ 0, 1 [, ×, + um corpo; digo, isto n˜ ao é necess´ ario. Deste modo o significado dado a (5.17) é: α ¯ = lim sn . Reitero: os s´ımbolos e seus significados n˜ ao dependem da estrutura de corpo dos reais, tanto é que s˜ ao perfeitamente v´ alidos no intervalo [ 0, 1 [ (desde que este conte com uma métrica). Sendo assim, temos:

µ

0, 999 . . . = 1 0, 999 . . .

k

0, 999 . . . = 0

∗ Entenda-se bem: n˜ ao depende ao ponto de nos impedir de adotar (e interpretar) estas defini¸co ˜es em nosso universo [ 0, 1 [, tanto ´ e que o fizemos.

239

Conclus˜ ao: A igualdade 0, 999 . . . = ? vai depender apenas da topologia que se considere. N˜ ao entendo por que raz˜ ao o s´ımbolo 0, 999 . . . deve adquirir o status de n´ umero real − como crêem todos matem´ aticos e, em particular, os editores da Matem´ atica Universit´ aria. Uma considera¸c˜ ao final: Acredito que os editores precipitaram-se ao ignorar o teorema 3 (pg. 233), deixo aqui aos matem´ aticos o desafio de me mostrarem onde encontra-se uma falha (l´ ogica) no mesmo.

Adendo:

Ocorreu-me mais um argumento contra a “igualdade mesmo!” entre representa¸c˜ oes e n´ umeros reais. Vamos partir do ponto em que o prof. Elon define representa¸c˜ oes decimais (pg. 237). Pergunto: como definir igualdade entre representa¸c˜ oes? ? a 0 , a 1 a 2 · · · a n · · · = b0 , b 1 b2 · · · bn · · ·

Para definir esta igualdade vou me inspirar (copiar) a defini¸c˜ ao de igualdade entre seq¨ uências, qual seja: a1 a2 · · · an · · · = b1 b2 · · · bn · · · ⇐⇒ ai = bi , ∀ i ∈ N De igual modo (a bem da verdade uma representa¸c˜ ao decimal é uma seq¨ uência), entre duas representa¸c˜ oes deve d´ a-se: a0 , a1 a2 · · · an · · · = b0 , b1 b2 · · · bn · · · ⇐⇒ ai = bi , ∀ i ∈ N ∪ { 0 }

(5.18)

Acho esta defini¸c˜ ao bastante razo´ avel e se, por ventura, algum matem´ atico se op˜ oe ` a mesma gostaria que me argumentasse suas raz˜ oes. Pois bem, vamos considerar as duas representa¸c˜ oes seguintes: 1, 0 0 0 · · · 0, 9 9 9 · · · Seguindo o desenvolvimento das idéias, temos (ver ( ∗ ), pg. 237): 1, 0 0 0 · · · = 1 +

0 0 0 + 2 + 3 + ··· = 1 10 10 10

(5.19)

Também, 0, 9 9 9 · · · =

9 9 9 + 2 + 3 + ··· = 1 10 10 10

(5.20)

Ora, se, 1, 0 0 0 · · · = 1 (mesmo!)

(5.21)

0, 9 9 9 · · · = 1 (mesmo!)

(5.22)

e,

e, usando o axioma de que duas quantidades iguais a uma terceira s˜ ao iguais entre si, obtemos, 1, 0 0 0 · · · = 0, 9 9 9 · · ·

(mesmo!)

Tendo em conta nossa defini¸c˜ ao em (5.18) concluimos que, 1 = 0 e 0 = 9 (mesmo!) Conclus˜ ao: Os matem´ aticos diriam que fui insensato em estabelecer a defini¸c˜ ao (5.18).

240

Da minha perspectiva; digo, para tentar me livrar da pecha de insensato, vejo as coisas da seguinte forma: primeiro, mantenho a defini¸c˜ ao (5.18), n˜ ao vejo nenhuma estult´ıcie nesta defini¸c˜ ao. Depois interpreto as (segundas) igualdades em (5.19) e (5.20) como a convergência de duas séries para um mesmo limite. Do exposto n˜ ao posso concluir (como o fazem os matem´ aticos) que as igualdades (5.21) e (5.22) s˜ ao absolutas! digo, que 0, 9 9 9 · · · e 1 representam o mesmo n´ umero! N˜ ao, n˜ ao trata-se disto senhores matem´ aticos, por favor parem um pouco pr´ a raciocinar! Reitero: podemos adotar a defini¸c˜ ao (5.18), entre representa¸c˜ oes, sem nenhum sentimento de culpa, da´ı que 0, 9 9 9 · · · e 1, 0 0 0 · · · s˜ ao duas representa¸c˜ oes distintas, bem como as respectivas séries em (5.19) e (5.20); agora o que estas séries têm em comum é o mesmo limite: 1. Daqui, seria tolice de minha parte confundir uma série com seu limite e concluir que 0, 9 9 9 · · · = 1, mesmo!

Ainda observe - para clarear a exposi¸c˜ ao - que, no presente contexto, podemos invocar o conceito de igualdades esp´ urias, com o qual abrimos nosso trabalho. Por exemplo, a primeira igualdade em (5.19) é uma de tais igualdades; digo, n˜ ao é uma igualdade absoluta, deve ser interpretada dentro de um contexto apropriado. N˜ ao é absoluta porque trata-se de dois s´ımbolos distintos. Podemos justificar (interpretar) esta igualdade se considerarmos uma bije¸c˜ ao (identifica¸ c~ ao) entre dois conjuntos: o das representa¸c˜ oes decimais e o das séries, assim: a0 , a1 a2 · · · an · · · ↔ a0 +

a1 a a + 22 + · · · + nn + · · · . 10 10 10

Conclus˜ ao: Vou prosseguir pela vida afora discordando dos matem´ aticos de que 0, 999 . . . = 1 (mesmo!) e, cˆ onscio de que minha u ńica “insensatez” (no presente contexto) foi ter adotado a defini¸c˜ ao (5.18). ∗

∗

∗ “E,

conquanto as ideias e o

pensamento matem´ aticos estejam em constante evolu¸ ca õ [. . .] a maioria dos problemas b´ asicos fundamentais nunca desaparece.”

“Eu

(G. Chaitin)

deveria logo dizer que discordo completamente daqueles que afirmam que o campo da

matem´ atica incorpora eternamente uma perfei¸ ca õ est´ atica, e que as ideias matem´ aticas n˜ ao s˜ ao humanas, nem mut´ aveis. Ao contr´ ario, esses estudos de caso, essas hist´ orias intelectuais ilustram o fato de que a matem´ atica est´ a constantemente em evolu¸ ca õ e mudan¸ ca, e que nossa perspectiva, mesmo nas quest˜ oes de matem´ atica b´ asica e mais aprofundada, se desloca, ami´ ude, de maneira surpreendente e inesperada. Tudo o que ela necessita ´ e de uma nova ideia! Vocˆ e precisa apenas estar inspirado e depois trabalhar feito louco para desenvolver sua nova concep¸ ca õ. De in´ıcio, as pessoas ir˜ ao combatˆ e-lo, mas, se vocˆ e estiver certo, ent˜ ao todos dir˜ ao, no fim de contas, que obviamente era o modo de encarar o problema, e que sua contribui¸ ca õ foi pequena ou nula! De certa maneira, este ´ e o maior dos cumprimentos.” (Gregory Chaitin/Metamat!/pg. 30-Grifo nosso)

241

Adendo

(12.06.2010):

Publiquei no site Somatematica um artigo intitulado:

“Sobre as v´ arias defini¸c˜ oes de n´ umero Complexos ” datado de 25.05.2009, no qual cito: “Que os matem´ aticos do século XVIII ainda n˜ ao tinham uma compreens˜ ao satisfat´ oria do conceito de n´ umeros - em particular o de n´ umeros complexos é o que se depreende da cita¸c˜ ao a seguir (ver [15]): A ambivalˆ encia dos matem´ aticos do s´ eculo XVIII em rela¸ ca õ aos n´ umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os n´ umeros conceb´ıveis s˜ ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ ao claro que as ra´ızes quadradas de n´ umeros negativos n˜ ao podem ser inclu´ıdas entre os n´ umeros poss´ıveis [n´ umeros reais]. E esta circunstˆ ancia nos conduz ao conceito de tais n´ umeros, os quais, por sua pr´ opria natureza, s˜ ao imposs´ıveis, e que s˜ ao geralmente chamados de n´ umeros imagin´ arios, pois existem somente na imagina¸ ca õ.”

Observe que, na mente de Euler, “todos os n´ umeros conceb´ıveis s˜ ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero”; o que prova que Euler e, por extens˜ ao os demais matem´ aticos, n˜ ao havia ainda atinado com uma compreens˜ ao necess´ aria do conceito de n´ umero. Nota: Como dissemos o conceito de n´ umero veio evoluindo ao longo dos séculos; portanto é perfeitamente compreens´ıvel que os matem´ aticos, de ent˜ ao, n˜ ao se sentissem ` a vontade com este conceito, bem sabemos que isto em nada diminui os méritos destes grandes matem´ aticos, o que n˜ ao nos impede, todavia, de pˆ or em evidência esta curiosa particularidade. Agora, o que é de surpreender é que uma parcela consider´ avel dos matem´ aticos hodiernos ainda se sintam trˆ opegos quanto ao conceito em quest˜ ao, como estaremos mostrando”. − O que me levou a acrescentar este adendo é o fato de que, nesse preciso momento, encontro-me lendo a obra “A forma¸c˜ ao do esp´ırito cient´ıfico ” do fil´ osofo e educador Gaston Bachelard na qual ele faz uma an´ alise contundente das diferentes etapas hist´ oricas do pensamento cient´ıfico; nessa an´ alise ele distingui um primeiro per´ıodo chamado o “estado pré-cient´ıfico ”, comprendendo tanto a Antiguidade cl´ assica quanto os séculos de renascimento e de novas buscas, como os séculos XVI, XVII e até XVIII. Bachelard detém-se preferencialmente na an´ alise de textos da alquimia, da qu´ımica e da f´ısica dos séculos XVII e XVIII. Pois bem, um aspecto que chama a aten¸c˜ ao de um leitor moderno desta obra é a ingenuidade (puerilidade) com que s˜ ao tratados (expostos) muitos temas “cient´ıficos” que proliferam nos textos analisados . . . é surpreendente! Com raz˜ ao ele a denominou de fase “pré-cient´ıfica” da ciência. N˜ ao me passou despercebido que a referida an´ alise poderia muito bem se estender aos matem´ aticos do século XVIII, ao menos no que diz respeito ao conceito de n´ umero, como atesta a supra-cita¸c˜ ao atribuida a Euler. Com efeito, a afirmativa de que “todos os n´ umeros conceb´ıveis s˜ ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero ” e, ademais: “fica ent˜ ao claro que as ra´ızes quadradas de n´ umeros negativos n˜ ao podem ser inclu´ıdas entre os n´ umeros poss´ıveis. E esta circunstˆ ancia nos conduz ao conceito de tais n´ umeros, os quais, por sua pr´ opria natureza, s˜ ao imposs´ıveis, e que s˜ ao geralmente chamados de n´ umeros imagin´ arios, pois existem somente na imagina¸c˜ ao.” se inclui na mesma categoria de muitos textos esdr´ uxulos - do mesmo século XVIII, enfatizo - analisados por Bachelard. Podemos também chamar a essa concep¸c˜ ao de n´ umero como “pré-cient´ıfica”. Mas o que surpreende mesmo, reitero, é que proeminentes matem´ aticos em pleno século XXI ainda sintam-se trˆ opegos quanto ao que seja um n´ umero. Com efeito, afirmar - como afirma o prof. Elon Lages e por extens˜ ao quase todos - que 0, 999 . . . é um n´ umero e que este n´ umero é igual a 1 (mesmo!), isto soar´ a t˜ ao ingênuo ` as gera¸c˜ oes “futuras”, como a afirmativa de Euler nos parece hoje.

242

5.5 5.5.1

Seq¨ uˆ encias em Espa¸ cos Vetoriais Normados Seq¨ uˆ encias em R, µ

` ´ No espa¸co R, µ s˜ ao importantes as chamadas seq¨ uências mon´ otonas que s˜ ao classificadas como: (a) Crescentes s˜ ao as seq¨ uências (xn ) tais que xn ≤ xn+1 , para todo ´ındice n. Em particular, quando xn < xn+1 , ∀n ∈ N, ent˜ ao (xn ) se diz estritamente crescente.

q

q

x1

x2

q

q q ··· q q qqqq

-R

x3 x4

ao as seq¨ uências (xn ) tais que xn ≥ xn+1 , para todo ´ındice n. (b) Decrescentes s˜ Em particular, quando xn > xn+1 , ∀n ∈ N, ent˜ ao (xn ) se diz estritamente decrescente.


q

q

x2

x1

-R

Exemplos: (i) (ii) (iii) (iv)

`

`

“

“

´

1 n n∈N

1−

` = 1,

´

1 n n∈N

` = 0,

2n+1−(−1)n 4 1−(−1)n 2

”

1 1 , , 2 3

”

´ ...

1 2 , , 2 3

é estritamente decrescente. ´ ...

é estritamente crescente.

= (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .)

é crescente.

n∈N

= (1, 0, 1, 0, . . .)

n˜ ao é mon´ otona.

n∈N

Proposi¸ c˜ ao 39. Toda seq¨ uência crescente cujo conjunto dos termos é limitado superiormente converge para o supremo desse conjunto. ` ´ Prova: Suponhamos xn uma seq¨ uência em R satisfazendo: (i) x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ˘ ¯ (ii) xn limitado. Isto é, existe c > 0 de modo que

˘ ¯ d(xi , xj ) ≤ c ; ∀ xi , xj ∈ xn .

Respaldados na propriedade do supremo∗ fa¸camos ˘ ¯ sup xn : n = 1, 2, 3, . . . = p

Afirmamos que lim xn = p. De fato, dado ε > 0, n˜ ao pode ocorrer xn ≤ p−ε para todo n ˘ ¯ ´ındice n pois isto implicaria numa cota superior - para o conjunto xn - menor do que p (isto é, p n˜ ao seria supremo). Logo, existe um ´ındice r de modo que p − ε < xr ≤ p. Como a seq¨ uência é crescente, temos x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xr ≤ xr+1 ≤ xr+2 ≤ · · · ∗ Todo

conjunto limitado superiormente tem supremo.

243

logo p − ε < xr ≤ xr+1 ≤ xr+2 ≤ · · ·

isto é,

p − ε < xn < p + ε, ∀ n ≥ r.

Por conseguinte

n ≥ r ⇒ |xn − p| < ε

o que garante nossa tese: lim xn = p. n

Nota: De modo an´ alogo prova-se que: “Toda seq¨ uência decrescente cujo conjunto dos termos é limitado inferiormente converge para o ´ınfimo desse conjunto.” Proposi¸ aó 40. (Conserva¸ c˜ ao do sinal) ` c˜ (a) Se xn é uma seq¨ uência em R com lim xn = p > 0, ent˜ ao existem um ´ındice r e n

uma constante c > 0 de modo que xn > c para todo n ≥ r. Isto é, se o limite de uma seq¨ uência é um n´ umero positivo ent˜ ao, a partir de uma certa ordem, todos os seus termos s˜ ao positivos. (b) Se lim xn = p < 0, ent˜ ao existem um ´ındice r e uma constante c < 0 de modo que n

xn < c para todo n ≥ r. Prova: (a) Como lim xn = p, para todo ε > 0 existe um ´ındice n0 tal que n

n ≥ n0 ⇒ |xn − p| < ε seja, por exemplo, ε =

p 2

> 0 e r = n0 , ent˜ ao

n ≥ r ⇒ |xn − p| <

p p p ⇒ − < xn − p < 2 2 2 ⇒

3p p < xn < . 2 2

p . 2 |p| . (b) A demonstra¸c˜ ao deste caso é an´ aloga, toma-se ε = 2 Tome c =

5.5.2

Seq¨ uˆ encias em Espa¸cos Normados Quaisquer

` ´ Consideraremos agora um espa¸co vetorial E, +, · normado qualquer. Lembramos que a origem de E, denotadad por O, é o elemento neutro da adi¸c˜ ao (vetor nulo). ` ´ ` ´ Proposi¸ c˜ ao 41. Seja xn uma seq¨ uência de pontos em um espa¸co vetorial E, +, · normado, que converge para p ∈ E. Ent˜ ao existe uma bola de centro na origem contendo todos os termos da seq¨ uência. Prova: que Sendo

Como lim xn = p, para todo ε > 0 dado, existe um ´ındice n0 de modo n

∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , p) = kxn − pk < ε

(♯)

kxn k = kxn − p + pk ≤ kxn − pk + kpk

ent˜ ao para todo n ≥ n0 tem-se

kxn k ≤ kxn − pk + kpk < kpk + ε onde somamos kpk na desigualdade (♯). Seja ˘ λ > max kx1 k, kx2 k, . . . , kxn

244

0

(♭)

−1

k, kpk + ε

¯

Logo, usando (♭), podemos escrever kxn k < λ,

∀ n ∈ N.

` ´ Vamos concretizar a proposi¸c˜ ao anterior para a seq¨ uência xn vista no exemplo 5) (pg. 205). Temos „ « 2 1 1− ,2− −→ p = (1, 2). n n

Vamos fixar ε = 23 . ` ´ a vimos que para ε = 1o ) Espa¸co R2 , k · kD . J´ 1



2 3

resulta n0 = 4. Escolhamos

λ > max kx1 kD , kx2 kD , kx3 kD , kpkD + 1

1

1

1

2 3

ff

onde kx1 kD = k(0, 0)kD = 1

1

p

02 + 02 = 0

r √ ‚ ‚ ‚` 1 ´ ‚ ` 1 ´2 5 2 = ‚ , 1 + 1 = kx2 kD = ‚ ‚ ‚ 2 1 2 2 D 1

kx3 kD

1

r √ ‚ ‚ ‚` 2 4 ´‚ ` 2 ´2 ` 4 ´2 2 5 ‚ ‚ =‚ , = + = 3 3 ‚D 3 3 3 1

kpkD = k(1, 2)kD = 1

1

Portanto

p

12 + 22 =

√

5.

√  √ ff √ 5 2 5 √ 2 2 λ > max 0, , , 5+ ⇒ λ > 5 + = 2, 902 . . . 2 3 3 3 Na ilustra¸c˜ ao seguinte tomamos λ = 2, 91

2

1

6 q q

(0,0)

q

x 1

q

q pq qxq q q4

k·k

x 3

x 2

`

(0,0); λ

D1

´

-

q1

` ´ 2o ) Espa¸co R2 , k · kD . J´ a vimos que para ε = 2

B

2 3

resulta n0 = 5. Escolhamos

ff  2 , onde λ > max kx1 kD , kx2 kD , kx3 kD , kx4 kD , kpkD + 2 2 2 2 2 3

245

kx1 kD = k(0, 0)kD = |0| + |0| = 0 2 2 ‚ ‚ ‚` 1 ´ ‚ ˛1˛ 3 ‚ kx2 kD = ‚ = ˛ ˛ + |1| = ‚ 2, 1 ‚ 2 2 2 D 2

kx3 kD

2

‚ ‚ ˛2˛ ˛4˛ ‚` 2 4 ´ ‚ ‚ , = ˛ ˛+˛ ˛ =2 =‚ ‚ 3 3 ‚ 3 3 D 2

kx4 kD

2

‚ ‚ ‚` 3 6 ´ ‚ ˛3˛ ˛6˛ 9 ‚ , = ˛ ˛+˛ ˛ = =‚ ‚ 4 4 ‚ 4 4 4 D 2

kpkD = k(1, 2)kD = |1| + |2| = 3. 2

2

Portanto

 ff 3 9 2 11 λ > max 0, , 2, , 3 + ⇒ λ> = 3, 666 . . . 2 4 3 3 Na ilustra¸c˜ ao seguinte tomamos λ = 3, 7

2

6 q

q qq pq q x4

qx2

k·k

x 3

1

q

(0,0)

qx1

q1

`

(0,0); λ

B

D2

´

-

` ´ 3o ) Espa¸co R2 , k · kD . J´ a vimos que para ε = 23 resulta n0 = 4. Escolhamos 3  ff 2 λ > max kx1 kD , kx2 kD , kx3 kD , kpkD + , onde 3 3 3 3 3 ˘ ¯ kx1 kD = k(0, 0)kD = max |0|, |0| = 0 3 3 ‚ ‚ ff  ˛1˛ ‚` 1 ´ ‚ ‚ ˛ ˛, |1| = 1 , 1 = max kx2 kD = ‚ ‚ ‚ 2 3 2 D 3

kx3 kD

3

‚ ‚ ff  ‚` 2 4 ´ ‚ ˛2˛ ˛4˛ ‚ ˛ ˛, ˛ ˛ = 4 , = max =‚ ‚ 3 3 ‚ 3 3 3 D 3

˘ ¯ kpkD = k(1, 2)kD = max |1|, |2| = 2. 3 3 ¯ ˘ ⇒ λ > 38 = 2, 666 . . .. Na ilustra¸c˜ ao seguinte Portanto, λ > max 0, 1, 43 , 2 + 32 tomamos λ = 2, 7:

246

2

1

6 q

B

k·k

x 3

qx1

q1

`

D 3

x2

q

(0,0)

q

q pq qqxq4

(0,0); λ

´

-

` ´ ` ´ ` ´ ` ´ Defini¸ aó 34. Sejam xn e yn seq¨ uências em E, +, · . Chama-se soma de xn ` c˜ com yn a seq¨ uência ` ´ ` ´ ` ´ ` ´ x n + yn = x n + yn = x 1 + y1 , x 2 + y2 , . . . ` ´ ` ´ ` ´ Se λn é uma seq¨ uência de elementos em R. Chama-se produto de λn com xn a seq¨ uência ` ´` ´ ` ´ ` ´ λn x n = λn x n = λ1 x 1 , λ2 x 2 , λ3 x 3 , . . . ` ´ ` ´ ` ´ Proposi¸ c˜ ao 42. Sejam xn e yn seq¨ uências ` em um ´ espa¸co vetorial E, +, · normado. Se lim xn = p e lim yn = q, ent˜ ao lim xn + yn = p + q. n

n

n

Prova: Dado ε > 0, por hip´ otese, existem ´ındices r e s tais que: ∀ n ≥ r ⇒ kxn − pk < ε/2 ∀ n ≥ s ⇒ kyn − qk < ε/2

Seja t = max{r, s}, ent˜ ao ‚` ´ ` ´‚ ∀ n ≥ t ⇒ ‚ xn + yn − p + q ‚ ≤ kxn − pk + kyn − qk < ε ` ´ o que implica xn + yn −→ p + q. ` ´ Proposi¸ ao 43. Se xn é uma seq¨ ` ć˜ ` ´ uência convergente em um um espa¸co vetorial E, +, · normado, ent˜ ao lim − xn = − lim xn . n

n

Prova: Suponha lim xn = p, ent˜ ao dado ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que n

∀ n ≥ n0 ⇒ kxn − pk < ε ` ´ ⇒ k(−1) xn − p k < ε ` ´ ⇒ k − xn − (−p)k < ε ⇒ lim(−xn ) = −p. n

Obs: Ver N2 ) pg. 72. ` ´ ` ´ ` ´ Corol´ ario 4. Se xn e yn s˜ ao seq¨ uências convergentes em R, µ e se xn ≤ yn , a partir de uma determinada posi¸c˜ ao m, ent˜ ao lim xn ≤ lim yn . n

247

n

††

Prova: H : xn ≤ yn , ∀n ≥ m. T : lim xn ≤ lim yn n

n

` ´ De fato, suponhamos que lim xn > lim yn e consideremos a seq¨ uência xn − yn . n n Ent˜ ao ` ´ lim xn − yn = lim xn − lim yn > 0 n

n

n

pela proposi¸c˜ ao 40 (pg. 244) existe um ´ındice r de modo que xn − yn > 0 para todo ´ındice n ≥ r. Escolhamos um ´ındice k > max{r, m}, ent˜ ao xk > yk o que contradiz a hip´ otese. ` ´ ` ´ Proposi¸ c˜ ao 44. Seja xn uma seq¨ uência de pontos ` ´de um espa¸co vetorial E, +, · normado uência de pontos do ` que ćonverge para um ponto p ∈ E. Se λn é uma seq¨ espa¸co R, µ tal que lim λn = λ, ent˜ ao lim λn xn = λ p. n

n

Prova: Dado ε > 0, como lim λn = λ decorre que n

(i) tomando c > kpk, existe um ´ındice r de modo que ∀ n ≥ r ⇒ |λn − λ| <

ε 2c

(5.23)

(ii) segundo a proposi¸c˜ ao 41 (pg. 244) existe k > 0, tal que |λn | < k, para todo ´ındice n. Por outro lado, como lim xn = p, existe um ´ındice m de modo que n

∀ n ≥ m ⇒ kxn − pk <

ε 2k

Temos ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ λn x n − λ p ‚ = ‚ λn x n − λn p + λn p − λ p ‚ ‚ ` ´ ` ´ ‚ = ‚ λn x n − p + λn − λ p ‚ ‚ ` ´‚ ‚` ´ ‚ ≤ ‚ λn x n − p ‚ + ‚ λn − λ p ‚ ˛ ˛ ‚ ‚ ˛ ˛ ‚ ‚ = ˛λn ˛ · ‚ xn − p ‚ + ˛λn − λ˛ · ‚p‚

De (5.23) e (5.24) decorre

˛ ˛ ‚ ‚ ‚ ‚ ˛λn − λ˛ · ‚p‚ < ε · ‚p‚, 2c

˛ ˛ ‚ ‚ ˛ ˛ ˛λn ˛ · ‚ xn − p ‚ < ˛λn ˛ · ε , 2k

∀ n ≥ r. ∀ n ≥ m.

Ent˜ ao, para n ≥ max{ r, m } sucede

Por outro lado

†† Faremos

˛ ˛ ‚ ‚ ˛ ˛ ‚ ‚ ‚ ‚ ˛ ˛ ˛λn − λ˛ · ‚p‚ + ˛λn ˛ · ‚ xn − p ‚ < ε · ‚p‚ + ˛λn ˛ · ε 2c 2k ˛ ˛ ˛ ˛ ˛λn ˛ < k ⇒ ˛λn ˛ · ε < k · ε = ε 2k 2k 2


248

(5.24)

‚ ‚ como c > ‚p‚, isto é

‚ ‚ ‚p ‚ < c ⇒

Por conseguinte

‚ ε ε ε ‚ · ‚p‚ < ·c = 2c 2c 2

‚ ‚ ˛ ˛ ‚ ‚ ˛ ˛ ‚ ‚ ‚ λn x n − λ p ‚ ≤ ˛ λn ˛ · ‚ x n − p ‚ + ˛ λn − λ˛ · ‚ p ‚ ‚ ˛ ˛ ε ε ‚ · ‚ p ‚ + ˛ λn ˛ · 2c 2k ε ε < + = ε. 2 2

<

Desta desigualdade decorre a tese. ` ´ ` ´ Lema 3. `Seja´ xn uma seq¨ uência de pontos em ùm espa¸ ´ co vetorial E, +, · normado. Se xn converge para p, ent˜ ao a seq¨ uência kxn k converge para kpk. Prova: Na proposi¸c˜ ao 27 (pg. 121) tomando obtemos ˛ ˛ ˛ kp − 0k − kxn − 0k ˛ ≤ kp − xn k ⇒

X = { 0 } ⊂ M = E, p = p e q = xn ˛ ˛ ˛ kxn k − kpk ˛ ≤ kxn − pk

Por outro lado, dado ε > 0, por hip´ otese existe um ´ındice n0 de modo que kxn −pk < ε, para todo n ≥ n0 . Portanto ˛ ˛ ˛ kxn k − kpk ˛ ≤ kxn − pk < ε para todo n ≥ n0 . Antes de passarmos ` a pr´ o xima proposi¸ c ˜ a o vejamos um exemplo. Consideremos a ` ´ seq¨ uência xn do exemplo 5) (pg. 205): „ « 1 2 xn = 1 − , 2 − −→ p = (1, 2) n n Temos

” “ (i) No espa¸co R2 , k · kD : 1

‚ ‚ ‚x n ‚

D 1

=

Por outro lado

r

„ « √ ` 1 ´2 ` 1 2 ´2 √ 1− −→ 5 + 2− = 5 1− n n n

‚ ‚ ‚p ‚

D1

“

(ii) No espa¸co R2 , k · kD

2

Por outro lado “

‚ ‚ ‚x n ‚

” :

D 2

(iii) No espa¸co R2 , k · kD

3

‚ ‚ ‚x n ‚

Por outro lado

D3

D1

=

p √ 12 + 22 = 5.

„ « ˛ 1˛ ˛ 2˛ 1 = ˛1 − ˛ + ˛2 − ˛ = 3 1 − −→ 3 n n n

‚ ‚ ‚p‚ ”

‚ ‚ = ‚(1, 2)‚

:

D2

‚ ‚ = ‚(1, 2)‚



D2

= |1| + |2| = 3.

˛ 1˛ ˛ 2˛ = max ˛1 − ˛, ˛2 − ˛ n n

‚ ‚ ‚p ‚

D2

‚ ‚ = ‚(1, 2)‚

D2

249

ff

„

1 =2 1− n

«

= max{ |1|, |2| } = 2.

−→ 2

` ´ ` ´ Proposi¸ c˜ ao 45. Seja λn uma seq¨ uência de pontos no espa¸co R, µ tal que lim λn = n ` ´ λ 6= 0. Ent˜ ao a seq¨ uência βn definida por 8 > se λn = 0; <0, βn = 1 > se λn 6= 0. : λn

converge para

1 . λ

Prova: Devemos mostrar que o quociente ˛ ˛ ˛ 1 |λ − λ| 1 ˛˛ ˛ = n − ˛λ λ˛ |λn | · |λ| n

a partir de um certo ´ındice n0 , é menor que qualquer ε > 0 dado arbitrariamente. De fato, como lim λn = λ segue, pelo lema anterior, que lim |λn | = |λ|. Como, por

hip´ otese

n

n

λ 6= 0 ⇒ lim |λn | = |λ| > 0. n

Pela proposi¸c˜ ao 40 (pg. 244) existem um ´ındice r e uma constante c > 0 de modo que |λn | > c,

∀ n ≥ r.

(5.25)

Por outro lado, como lim λn = λ, dado ε > 0 arbitr´ ario, existe um ´ındice m de modo n que |λn − λ| < c |λ| ε, ∀ n ≥ m. (5.26) De (5.25) temos

De (5.26) temos

logo

c cε <1 ⇒ < ε, |λn | |λn |

∀ n ≥ r.

c |λ| ε |λn − λ| < = c ε, |λ| |λ|

∀ n ≥ m.

|λn − λ| cε < , |λn | · |λ| |λn |

(5.27)

∀ n ≥ m.

Considerando n0 ≥ max{r, m} e usando (5.27) podemos escrever |λn − λ| < ε, |λn | · |λ|

∀ n ≥ n0 .

250

Cap´ıtulo

6

A TOPOLOGIA DOS ESPAC ¸ OS ´ METRICOS “A

raz˜ ao frui emo¸ co ˜es

“Semeia

que os pr´ oprios cora¸ co ˜es

um pensamento e co-

lher´ as uma a¸ ca õ. Semeia uma

desconhecem.” ( ¬Pascal)

a¸ ca õ e colher´ as um h´ abito. Semeia um h´ abito e colher´ as um car´ ater. Semeia um car´ ater e colher´ as um destino.” (Buda)

Introdu¸ c˜ ao Lembramos que um espa¸co métrico pode ser visto como um sistema de processamento de dados, onde temos: ( M, d ) software hardware O conjunto de instru¸c˜ oes (software) é passado através da métrica. Por exemplo, uma das instru¸c˜ oes (programa) que j´ a vimos é como calcular uma bola aberta no sistema ( M, d ). Observe - dentro de nossa analogia - que um mesmo hardware ( M ) pode suportar softwares diversos. Uma instru¸c˜ ao que incorporaremos agora em nosso sistema é como decidir se um ponto é ou n˜ ao interior a um conjunto.

6.1

Ponto interior

Defini¸ c˜ ao 35 (Ponto Interior). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Considere X ⊂ M . Um ponto p ∈ X é chamado ponto interior de X se existir r > 0, tal que B( p; r) ⊂ X. Isto é, um ponto p ∈ X é ponto interior de X, se for poss´ıvel “centrar” neste ponto uma bola aberta que esteja contida em X.

251

Nota: Para provar que um ponto p ∈ X n˜ ao é ponto interior de X devemos mostrar que para todo r > 0, arbitrariamente fixado, B( p; r) 6⊂ X. Isto é: ∀ r > 0, devemos exibir x ∈ B( p; r) tal que x 6∈ X. Em geral este x, que devemos exibir, depende - é fun¸c˜ ao - do raio r dado, da´ı em algumas situa¸c˜ oes usarmos a nota¸c˜ ao x = xr .

Importante! Vamos chamar a aten¸c˜ ao do leitor para um aspecto, embora trivial, importante: Na defini¸c˜ ao de ponto interior intervém, de forma expl´ıcita, a bola aberta B( p; r) = {x ∈ M : d(p, x) < r}. E esta, como se vê, depende tanto da métrica d quanto do conjunto M . Portanto o fato de um ponto p ser interior, ou n˜ ao, a um subconjunto X ⊂ M vai depender essencialmente da métrica d e do conjunto M , como n˜ ao poderia deixar de ser. Ou ainda: um mesmo hardware ( M ) pode nos responder de modo distinto a depender do software ( d ). Esta observa¸c˜ ao se estende a outros tipos de pontos que ser˜ ao vistos neste cap´ıtulo. Para ilustrar o que estamos falando vejamos um exemplo. Consideremos M = R e X = [ 0, 1 ]. Temos que 0 é ponto interior de X na métrica δ, o que n˜ ao acontece na métrica µ. De fato, Bδ (0; 1) = { 0 } ⊂ X

e

Bµ (0; r) =] − r, r [ 6⊂ X,

∀r > 0

Exemplos: (1) Seja M = {a, b, c, . . . , x, y, z} e seja X = {a, e, i, o, u}. No espa¸co (M, δ) todo ponto p ∈ X é ponto interior de X. Por exemplo, seja a ∈ X e r = 1, ent˜ ao Bδ ( a; 1) = { a } ⊂ X Generalizando este exemplo, temos (2) Seja M um conjunto qualquer e X ⊂ M . No espa¸co (M, δ) todo ponto p ∈ X é ponto interior de X. De fato, j´ a vimos (pg. 162) que

Bδ ( p; r) =

8˘ ¯ > < p , > :

se 0 < r ≤ 1;

M,

se r > 1.

Isto significa que para “interiorizar” qualquer ponto p ∈ X, basta escolher r no intervalo 0 < r ≤ 1, pois Bδ ( p; r) = { p } ⊂ X. (3) Chamamos, novamente, a aten¸c˜ ao do leitor para o fato de que a no¸c˜ ao de ponto interior depende essencialmente da métrica d (software). Por exemplo, seja M = R e X = { 0 } ∪ [ 1, 2 [⊂ R. Temos que 0 e 1 s˜ ao pontos interiores de X no espa¸co ( R, δ), mas n˜ ao no espa¸co (R, µ), prove isto!. ◦

◦

− O conjunto dos pontos interiores de X ser´ a indicado por X ou por X d quando desejarmos destacar a métrica. Isto é, ◦

Xd =

˘

p ∈ X : ∃ r > 0, com Bd( p; r) ⊂ X

¯

(4) Seja M = R e X = [ a, b ]. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que ◦

◦

X µ =] a, b [ ; X δ = [ a, b ].

252

(5) Seja M = R e X = {1, 21 , 13 , . . .}, temos que ◦

◦

X µ = ∅ ; X δ = X. De fato, dado qualquer p ∈ X temos Bµ( p; r) =] p − r, p + r [ . Sendo assim é imposs´ıvel exibir r > 0 de modo que Bµ( p; r) =] p − r, p + r [ ⊂ X uma vez que todo intervalo aberto contém n´ umeros irracionais. Por conseguinte nenhum ponto p ∈ X pode ser ponto interior a X no espa¸co ( R, µ). Por outro ◦

lado, que X δ = X decorre do exemplo (2).

(6) Seja M = R e X = Q, temos que ◦

◦

Q µ = ∅ ; Q δ = Q. De fato, dado qualquer p ∈ Q temos Bµ( p; r) =] p − r, p + r [ . Sendo assim é imposs´ıvel exibir r > 0 de modo que Bµ( p; r) =] p − r, p + r [ ⊂ Q uma vez que todo intervalo aberto contém n´ umeros irracionais. ◦

Por conseguinte nenhum ponto p ∈ Q é interior a Q. Isto é Q µ = ∅. ◦

Por outro lado, Q δ = Q decorre do exemplo (2). ◦

ao enfatize a dependência do interior de X com Observa¸c˜ ao: Embora a nota¸c˜ ao X d n˜ respeito ao conjunto M , do qual X é subconjunto, isto est´ a impl´ıcito em ◦

Xd =

˘

p ∈ X : ∃ r > 0, com Bd ( p; r) ⊂ X

precisamente porque, Bd ( p; r) = {x ∈ M : d(p, x) < r}.

¯

◦

Uma nota¸c˜ ao para enfatizar ambas as dependencias seria X (M, d) . Por exemplo, segundo esta nota¸c˜ ao temos ◦

◦

Q (R,µ) = ∅ ; Q (Q,µ) = Q. A segunda das igualdades acima decorre do fato de que, na defini¸c˜ ao de ponto interior, tomando X = M , todo ponto p ∈ X é interior a X, uma vez que qualquer que seja r > 0 temos B( p; r) = {x ∈ M : d(x, p) < r} ⊂ X = M Em outras palavras: Todo ponto x ∈ M é interior ao “conjunto universo” M . A seguir estaremos enriquecendo nosso sistema de processamento de informa¸c˜ oes com mais uma instru¸c˜ ao.

253

6.2

Conjuntos abertos

Defini¸ c˜ ao 36 (Conjunto Aberto). Seja (M, d ) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Diremos que X é um conjunto aberto em (M, d ) quando todo ponto de X for ponto interior de X. ◦

Observe que pela defini¸c˜ ao de ponto interior temos X ⊂ X; quando a inclus˜ ao ◦

◦

contr´ aria se verificar, isto é, quando X ⊂ X , isto é, X = X , diremos que X é aberto no espa¸co ( M, d). Um conjunto deixa de ser aberto quando pelo ao menos um de seus pontos n˜ ao é ponto interior. Observa¸c˜ ao: Quando queremos mostrar que um subconjunto X ⊂ M é aberto, em geral tomamos um ponto x ∈ X arbitr´ ario, e mostramos que este ponto é ponto interior de X. Isto é, devemos exibir r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ X. Via de regra, este r que buscamos depende - é fun¸c˜ ao - do ponto x. Da´ı em algumas situa¸c˜ oes usarmos a nota¸c˜ ao r = rx . Exemplos: 1) O conjunto X =] a, +∞ [ é aberto no espa¸co (R, µ). De fato, fixado arbitrariamente x ∈ X, temos que x > a, isto é x − a > 0. nos faculta Mostremos que rx = x−a 3 Bµ (x; rx ) =] x − rx , x + rx [ ⊂ ] a, +∞ [

rxa

]

] x−rx

r

x

-X

[ x+rx

De fato, seja y ∈ ] x−rx , x+rx [, ent˜ ao y > x−rx = x− x−a = 2x+a > a; portanto, 3 3 com este raio temos Bµ( x; rx ) ⊂ ] a, +∞ [ ; o que prova que todo ponto x > a é ponto interior de X; por conseguinte X é aberto. ˘ ¯ 2) O conjunto X = (x, y) ∈ R2 : x > 0 é aberto em R2 com qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3.). R

R

6

R

6

-R

-R

254

6

-R

Provaremos que X é aberto na métrica D1 e o leitor provar´ a para as duas outras métricas. De fato, dado P = (p, q) ∈ X arbitr´ ario, para mostrar que P `é ponto interior, ´ centramos neste `ponto uma ´ bola de raio r = p > 0 e mostremos que B (p, q); p ⊂ X. Seja (x, y) ∈ B (p, q); p , se x = p > 0 ent˜ ao (x, y) ∈ X, nada mais restando a mostrar. R

R

6

6

r(p, q) r=p

r(x, y) r(p, q)

-R

-R

Suponha x 6= p. Ent˜ ao, ` ´ (x, y) ∈ B (p, q); p ⇒ (x − p)2 + (y − q)2 < p2 ⇒ (x − p)2 < p2

⇒ 0 < |x − p| < p ⇒ x > 0 ` ´ ⇒ (x, y) ∈ X ⇒ B (p, q); p ⊂ X ˘ ¯ 3) O conjunto X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, y ≤ 1 = [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] n˜ ao é aberto em 2 R com qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3.). R

R

6

R

6

-

-

R

R

6

-

R

Por exemplo p = (0, 0) n˜ ao é ponto interior de X, porquanto nenhuma bola de centro neste ponto pode estar totalmente contida em X. Observe que X é aberto no espa¸co (R2 , δ) (por quê?). ˘ ¯ 4) O conjunto X = (x, y) ∈ R2 : 0 < x, y < 1 =] 0, 1 [×] 0, 1 [ é aberto em R2 com qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3.), como o leitor pode mostrar.

255

R

R

6

R

6

-

6

-

R

-

R

R

5) Seja M um conjunto qualquer e X ⊂ M . No espa¸co (M, δ) todo ponto p ∈ X é ponto interior de X (ver exemplo (2), pg. 252). Logo, todo subconjunto X ⊂ M é aberto no espa¸co (M, δ). Mais geralmente: Um espa¸co (M, d) é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos s˜ ao abertos. Prova: (=⇒) Se (M, d) é discreto e X ⊂ M , ent˜ ao X é aberto. Com efeito, dado x ∈ X, x é isolado em (M, d). Portanto, existe rx > 0 tal que B(x; rx ) = {x} ⊂ X. Logo, x é ponto interior de X, portanto X é aberto. (⇐=) Se todo subconjuntos X ⊂ M é aberto, ent˜ ao (M, d) é discreto. De fato, em particular { x } é aberto para todo x ∈ M . Portanto existe rx > 0 tal que B(x; rx ) ⊂ { x }. Logo, B(x; rx ) = { x }. Isto implica que todo ponto x de M é isolado, isto é, (M, d) é discreto. Na pg. 193 temos v´ arios exemplos de espa¸cos discretos. 6) Vimos anteriormente que “todo ponto x ∈ M é interior ao conjunto universo M ”. Isto significa que o conjunto universo é aberto. ◦

7) Observe que a igualdade X = X d deixa claro que a no¸c˜ ao de conjunto aberto depende essencialmente da métrica d. Isto significa, por exemplo, que um subconjunto X ⊂ M aberto no espa¸co (M, d) pode n˜ ao ser aberto em um outro espa¸co (M, d′ ). ◦

Por exemplo seja X = { 0 } ∪ [ 1, 2 [ ⊂ R. J´ a vimos que X δ = { 0 } ∪ [ 1, 2 [ = X e ◦

que 0 6∈ X µ . Portanto X é aberto no espa¸co (R, δ), mas n˜ ao no espa¸co (R, µ).

8) Vimos na propriedade (P2 ) das bolas abertas (pg. 179) que “Escolhido um ponto qualquer de uma bola aberta, podemos tornar este ponto, o centro de uma nova bola, contida na primeira”. Isto é, todo ponto de uma bola aberta é um ponto interior desta bola, por conseguinte uma bola aberta é um conjunto aberto; em qualquer espa¸co (M, d). 9) O conjunto { a } ⊂ M é aberto no espa¸co (M, d) se, e s´ omente se, a é ponto isolado deste espa¸co. Prova: (=⇒) Se { a } é aberto ent˜ ao existe r > 0 de modo que B(a; r) ⊂ { a }, isto é, B(a; r) = { a }. Logo a é isolado neste espa¸co. (⇐=) Se a é isolado, ent˜ ao existe r > 0 tal que B(a; r) = { a }, isto é B(a; r) ⊂ { a }, logo, a é ponto interior de { a }. Portanto { a } é aberto. 10) Q n˜ ao é aberto no espa¸co (R, µ). De fato, nenhum ponto p ∈ Q é ponto interior de Q, porquanto ] p − r, p + r [ 6⊂ Q; ∀ r > 0, uma vez que em todo intervalo aberto encontramos n´ umeros irracionais. 11) Uma observa¸c˜ ao importante é a de que um conjunto pode n˜ ao ser aberto em um dado espa¸co métrico, mas pode ser em um seu subespa¸co. Este fenˆ omeno se deve a que a bola aberta no subespa¸co é diferente da bola aberta no espa¸co, como ser´ a ilustrado agora:

256

Por exemplo, consideremos o espa¸co (R, µ) e o seu subespa¸co (N, µ), onde N = [ 0, 2 ]. O conjunto X = [ 0, 1 [ n˜ ao é aberto no espa¸co (R, µ) uma vez que 0 n˜ ao é ◦

ponto interior de X neste espa¸co. Isto é 0 6∈ X (R, µ) . Vamos mostrar que X é aberto no subespa¸co (N, µ). Para isto devemos mostrar que todo ponto x ∈ X é ponto interior de X, neste subespa¸co. Inicialmente vamos mostrar que 0 é ponto interior de X. Para mostrar que 0 ∈ ◦

X (N,µ) devemos exibir uma bola, digo uma sub-bola B(0; r), de modo que B(0; r) ⊂ X. Temos (ver pg. 172): B(0; r) = B(0; r) ∩ N = ] − r, r [ ∩ [ 0, 2 ] ( [ 0, r [, se r≤2;

=

[ 0, 2 ], se r>2.

onde B(0; r) =] 0 − r, 0 + r [ é a bola aberta no espa¸co universo (R, µ).

O diagrama seguinte nos sugere o valor que devemos escolher para r: 1q

0

−r

0q

r

0

r

N

2

B(0; r)

B(0; r)

0

X

1

Devemos ajustar o raio r, de tal modo a inserir a sub-bola dentro de X. Isto é, devemos ter [ 0, r [ ⊂ [ 0, 1 [. Qualquer r ≤ 1 serve. Com isto mostramos que ◦

◦

0 ∈ X (N, µ) . Agora resta mostrar que se 0 < x < 1 ent˜ ao x ∈ X (N, µ) (Exerc´ıcio).

12) O conjunto X = {x ∈ R : 0 < x < 1} =] 0, 1 [ é aberto no espa¸co (R, µ). Enquanto o conjunto Y = {(x, 0) ∈ R2 : 0 < x < 1} =] 0, 1 [×{ 0 } n˜ ao é aberto no espa¸co (R2 , D1 ). De fato, X é aberto em (R, µ) porque é uma bola aberta. ao é Por outro lado, podemos mostrar (exerc´ıcio) que, por exemplo, ( 21 , 0) ∈ Y n˜ ponto interior de Y (sugest˜ ao: ver figuras a seguir). y

y

6

6 `

BD ( 1 ,0); r 2 1

Bµ( 1 ; r) 2

] 0

@ Rr 1 2

[1 - X

r

Y (0,0)

-x

( 1 ,0) 2

(1,0)

pr

(0,0)

r r r R @

´

-x

(1,0)

Observe que Y também n˜ ao é aberto nos espa¸cos (R2 , D2 ) e (R2 , D3 ). Veja ilustra¸c˜ oes a seguir:

257

y

y

6 `

1 ,0); r BD ( 2 2

pr (0,0)

r r

6 `

´

1 ,0); r BD ( 2 3

pr

-x

(1,0)

(0,0)

r r

´

-x

(1,0)

Observe que Y é aberto no espa¸co ( R2 , δ). Proposi¸ c˜ ao 46. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M aberto. Seja p ∈ X. Nestas condi¸c˜ oes, o conjunto X − { p } é aberto. Isto é: retirando-se um ponto de um conjunto aberto, esta propriedade se mantém. Prova: Devemos mostrar que dado x ∈ X − { p } arbitr´ ario, existe r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ X − { p }. Ent˜ ao, seja x ∈ X − { p }, logo x ∈ X e x 6= p. Como, por hip´ otese, X é aberto, existe r > 0 tal que B(x; r) ⊂ X. Temos duas possibilidades: (i) p 6∈ B(x; r) (i) Ent˜ ao,

(ii) p ∈ B(x; r)

8
(⋆) (⋆⋆)

Vamos mostrar que estas duas condi¸c˜ oes, conjuntamente, implicam em que B(x; r) ⊂ X − { p }. M

M X−{ p }

X

qp xq B(x; r) qy ←−

xq ←− B(x; r) ◦

De fato, seja y ∈ B(x; r) ent˜ ao, por (⋆), y ∈ X e, por (⋆⋆), y 6= p, isto é, y 6∈ { p }, logo y ∈ X − { p }. Por conseguinte B(x; r) ⊂ X − { p }.

(ii) Vejamos a segunda possibilidade: se p ∈ B(x; r) ⇒ d(x, p) < r e como x 6= p temos d(x, p) > 0, sendo assim podemos tomar 0 < r ′ = d(x, p) < r, logo B(x; r ′ ) ⊂ B(x; r) ⊂ X. Portanto, temos ( B(x; r ′ ) ⊂ X p 6∈ B(x; r ′ ). M X

M X−{ p }

qp q x

◦

m q

x

B(x; r′ )

B(x; r)

258

Estas duas condi¸c˜ oes, conjuntamente, implicam B(x; r ′ ) ⊂ X − { p }. Portanto, x é ponto interior de X − { p }; por conseguinte X − { p } é aberto.

Por indu¸c˜ ao: Se X é aberto, ent˜ ao X − {a1 , a2 , . . . , an } é aberto. Ou ainda: Se retirarmos uma quantidade finita de pontos de um conjunto aberto, ele n˜ ao perde esta propriedade. Observe que se acrescentarmos um u ńico ponto a um conjunto aberto, esta propriedade se perde. Por exemplo X =] 0, 1 [ ∪ { 1 } n˜ ao é aberto no espa¸co (R, µ). Proposi¸ c˜ ao 47. Seja (M, d ) um espa¸co métrico. (i) M e ∅ s˜ ao abertos;

(ii) Se X1 , X2 , . . . , Xn s˜ ao abertos, ent˜ ao X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn é aberto; (iii) Se {Xλ }λ∈L é uma fam´ılia arbitr´ aria de abertos, ent˜ ao [ Xλ é aberto. X= λ∈L

Prova: (i) J´ a vimos que o conjunto universo M é aberto. Para mostrar que um conjunto n˜ ao é aberto devemos exibir um ponto deste conjunto que n˜ ao é ponto interior. Como isto n˜ ao pode ser feito no caso do conjunto vazio, segue que o mesmo é aberto. (ii) Seja X = X1 ∩X2 ∩· · ·∩Xn . Se algum dos Xi for vazio, ou se dois quaisquer deles forem disjuntos, ent˜ ao X ser´ a vazio e, portanto, pelo ´ıtem anterior, aberto. Caso contr´ ario X 6= ∅. Seja p ∈ X, mostremos que p é ponto interior de X. Temos p ∈ X1 , . . . , p ∈ Xn . Como X1 , X2 , . . . , Xn s˜ ao abertos existem n´ umeros positivos r1 , r2 , . . . , rn tais que B( p; r1 ) ⊂ X1 , B( p; r2 ) ⊂ X2 , . . . , B( p; rn ) ⊂ Xn . Tomando r = min {r1 , r2 , . . . , rn } temos pela propriedade (P1 ) (pg. 178) B( p; r) ⊂ B( p; r1 ), B( p; r) ⊂ B( p; r2 ), . . . , B( p; r) ⊂ B( p; rn ) portanto, pela transitividade da inclus˜ ao, temos B( p; r) ⊂ X1 , B( p; r) ⊂ X2 , . . . , B( p; r) ⊂ Xn isto é B( p; r) ⊂ X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn = X.

portanto p é ponto interior de X. Isto é, X é aberto.

otese, (iii) Seja p ∈ X = ∪λ∈L Xλ . Ent˜ ao p ∈ Xλ′ para algum λ′ ∈ L. Como, por hip´ ′ este Xλ é aberto, existe r > 0 de modo que B( p; r) ⊂ Xλ′ . Logo [ Xλ = X, B( p; r) ⊂ λ∈L

portanto p é ponto interior de X. Isto é, X é aberto.

Observa¸ c˜ ao: A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia infinita de conjuntos abertos pode n˜ ao ser um conjunto aberto. Contra-exemplo: Seja a fam´ılia {Xn }n∈N , onde Xn =] − n1 , n1 [. No espa¸co (R, µ), os Xn (n = 1, 2, . . .) s˜ ao bolas abertas e, portanto, conjuntos abertos. Mas \ Xn = { 0 }, n∈N

n˜ ao é aberto neste espa¸co.

259

Corol´ ario . Um subconjunto X ⊂ M é aberto se, e somente se, é uma reuni˜ ao de bolas abertas. Prova: (=⇒) De fato, como X é aberto, ent˜ ao para cada x ∈ X, existe uma bola Bx tal que x ∈[Bx ⊂ X. Tomando, na proposi¸c˜ ao 13 (pg. 52), X = A e Bx = Gx Bx . Isto mostra que todo aberto é uma reuni˜ ao de bolas abertas. obtemos X = x∈X

(⇐=) Se X = ∪Bλ é uma reuni˜ ao de bolas abertas , ent˜ ao X é aberto, pelo ´ıtem (iii) do teorema. Uma aplica¸c˜ ao trivial deste corol´ ario é: No espa¸co (M, δ) todo X ⊂ M é aberto. De fato, se X = ∅ é imediato. Se X 6= ∅, ent˜ ao [ [ Bδ(x; 1) {x} = X= x∈X

x∈X

o que prova que X é aberto.

Abertos em subespa¸ cos Proposi¸ c˜ ao 48. Seja (M, d) um espa¸co métrico e (N, d) um subespa¸co de (M, d). Um subconjunto X ⊂ N é aberto (no subespa¸co) se, e somente se, existir um conjunto A, aberto em (M, d), tal que X = A ∩ N. Prova: (=⇒) Se X ⊂ N é aberto em (N, d) ent˜ ao existe um conjunto A, aberto em (M, d), tal que X = A ∩ N. Com efeito, como X é aberto em (N, d) ent˜ ao, pelo corol´ ario anterior, X pode ser escrito como uma reuni˜ ao de bolas abertas (em (N, d)), isto é de sub-bolas [ B(x; rx ) X= x∈X

J´ a vimos que B(x; rx ) = B(x; rx ) ∩ N , onde B(x; rx ) é a bola aberta em (M, d). Portanto podemos escrever∗ ” [ ` ´ “ [ B(x; rx ) ∩ N. B(x; rx ) ∩ N = X= x∈X

x∈X

como a reuni˜ [ ao de uma fam´ılia qualquer de abertos é um conjunto aberto, podemos escrever B(x; rx ) = A. Portanto, X = A ∩ N . x∈X

(⇐=) Seja X ⊂ N . Suponha que exista A ⊂ M , aberto em (M, d), de modo que X = A ∩ N . Ent˜ ao X é aberto no subespa¸co (N, d). Com efeito, seja x ∈ X um ponto arbitr´ ario de X. Devemos mostrar que x ∈ ◦

X (N, d) . Como, por hip´ otese, X = A ∩ N ent˜ ao x ∈ A ∩ N , logo x ∈ A e como A é aberto em (M, d) existe rx > 0 de modo que B(x; rx ) ⊂ A. Logo B(x; rx ) ∩ N ⊂ A ∩ N ; mas B(x; rx ) ∩ N = B(x; rx ) ⇒ B(x; rx ) ⊂ X. Conclus˜ ao: Dado x ∈ X arbitr´ ario, existe rx > 0 de modo que B(x; rx ) ⊂ X, isto é, ◦

x ∈ X (N, d) . Disto conclu´ımos que X, for¸cosamente, é aberto no subespa¸co (N, d).

∗ Ver

proposi¸ca õ 11 pg. 52

260

Proposi¸ c˜ ao 49. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se N é aberto em (M, d) e ◦

◦

U ⊂ N ent˜ ao U (N, d) = U (M, d) . (M, d) N

U

◦ ` ´ Prova: ⊂ De fato, dado p ∈ U (N, d) ent˜ ao existe um conjunto V , aberto em (N, d), tal que p ∈ V ⊂ U . Ent˜ ao, pela proposi¸c˜ ao anterior, V = V1 ∩ N para algum aberto V1 em (M, d). Como N é aberto em (M, d) temos que V também é aberto em ◦

(M, d), portanto p ∈ U (M, d) . ◦ ` ´ ⊃ Reciprocamente, dado q ∈ U (M, d) , existe W aberto em (M, d) com q ∈ W ⊂ U . ◦

Ent˜ ao W ∩ N é aberto em (N, d) e q ∈ W ∩ N ⊂ U , o que nos d´ a q ∈ U (N, d) .

Proposi¸ c˜ ao 50 (Abertos em produtos cartesianos). Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Consideremos X1 ⊂ M1 e X2 ⊂ M2 subconjuntos abertos. Ent˜ ao X1 × X2 é aberto no espa¸co (M, Di ), onde i = 1, 2, 3 e M = M1 × M2 . Prova: Faremos a prova aqui apenas para a métrica ˘ ¯ D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 )

para as outras duas sai como conseq¨ uência da proposi¸c˜ ao 92 (pg. 379). Seja x = (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , mostremos que x é ponto interior deste produto. De fato, x1 ∈ X1 e x2 ∈ X2 , portanto existem r1 , r2 > 0 de maneira que Bd ( x1 ; r1 ) ⊂ X1 e Bd ( x2 ; r2 ) ⊂ X2 . Escolhemos r = min{r1 , r2 }, logo 1 2 Bd ( x1 ; r) ⊂ X1 e Bd ( x2 ; r) ⊂ X2 e da´ı 1

2

Bd ( x1 ; r) × Bd ( x2 ; r) ⊂ X1 × X2 1

2

j´ a vimos (pg. 176) que ` ´ BD (x1 , x2 ); r = Bd ( x1 ; r) × Bd ( x2 ; r) 3

portanto,

1

2

` ´ BD (x1 , x2 ); r ⊂ X1 × X2 3

o que mostra que X1 × X2 é aberto no espa¸co (M, D3 ).

A seguir estaremos enriquecendo nosso sistema de processamento de informa¸ c~ oes com com mais uma instru¸c˜ ao.

6.3

Ponto fronteira

Defini¸ c˜ ao 37 (Ponto fronteira). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Um ponto p ∈ M é dito ponto fronteira de X, se para todo r > 0, tivermos na bola B( p; r) algum ponto de X e também algum ponto do complementar de X.

261

Isto é: p ∈ M é ponto fronteira de X se para todo r > 0 B( p; r) ∩ X 6= ∅ e B( p; r) ∩ X c 6= ∅. Ao conjunto de todos os pontos de fronteira de X, chamamos fronteira de X e o indicamos por ∂X ou por ∂Xd , quando quisermos enfatizar a métrica em quest˜ ao. Exemplos: (1) Seja M = R e X =] a, b ]. No espa¸co (R, µ) b é ponto fronteira de X, mas n˜ ao ponto interior. No espa¸co (R, δ) sucede exatamente o contr´ ario. A tabela seguinte resume nossas asser¸c˜ oes ◦

(R, µ)

b ∈ ∂Xµ

b 6∈ X µ

(R, δ)

b 6∈ ∂Xδ

b ∈ Xδ

◦

Deixamos ao leitor as justificativas. ˘ ¯ (2) A fronteira do quadrado aberto X = (x, y) ∈ R2 : 0 < x, y < 1 =] 0, 1 [×] 0, 1 [ em R2 , com qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3.) é o quadrado , como o leitor pode mostrar. R

R

6

R

6

տ

տ

∂X

∂X

-R

-R

6

տ

∂X

-R

Observe que em R2 com a métrica δ, temos ∂Xδ = ∅.

(3) Seja M = R e X = Q. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor a confirma¸c˜ ao da tabela: ◦

Q ∂Q (R, µ)

∅

R

(R, δ)

Q

∅

Aqui temos um exemplo de um conjunto que est´ a contido, propriamente, em sua fronteira: ∂ Q = R. ¯ ˘ (4) Seja M = R e X = 1, 21 , 31 , . . . . Deixamos ao leitor constatar que ∂Xµ = X ∪ { 0 } ; ∂Xδ = ∅.

Aqui temos um outro exemplo de um conjunto que est´ a contido, propriamente, em sua fronteira. Vejamos um outro exemplo neste sentido. ` ´ (5) Consideremos o espa¸co métrico [ 0, 1 ], µ e seja X = Q ∩ [ 0, 1 ]. Sendo assim, temos: ∂X = [ 0, 1 ].

262

(6) Seja (M, d) um espa¸co discreto e X ⊂ M . Ent˜ ao ∂X = ∅.

De fato, dado x ∈ M existe rx > 0 tal que B(x; rx ) = { x }. Temos que x ∈ X ou x ∈ X c , implicando B(x; rx ) ∩ X = ∅ ou B(x; rx ) ∩ X c = ∅.

Isto é, nenhum ponto x ∈ M pode estar na fronteira de um subconjunto de um espa¸co discreto. • Uma patologia A seguir colocaremos em um mesmo hardware duas instru¸c˜ oes distintas (ou ainda, softwares distintos) e veremos como o sistema responde. ˆ ˆ ao, 0 n˜ (7) Seja M = [ 0, 1 [ e X = 12 , 1 ; ent˜ ao est´ a na fronteira de X se tomarmos a na fronteira de X se tomarmos em M a métrica usual e, ao contr´ ario, 0 estar´ em M a métrica divina. De fato, inicialmente observemos estes conjuntos graficamente: 1 2

0

s

s

1

M=[ 0, 1 [

X=[

X c =[ 0,

1 2

1 2,1[

[

Figura 6.1: 0 é e n˜ ao é ponto fronteira de X. Para provar que 0 6∈ ∂Xµ observe que a bola Bµ (0; 41 ) n˜ ao intercepta X. J´ a a bola Bk (0; 41 ) intercepta o conjunto X e seu complementar, veja graficamente estas duas situa¸c˜ oes: Bµ (0;

1 4)

0

1 4

Xc

X=[

1 2

Bk (0;

1 4)

0

1 4

3 4

1 2,1[

1

Figura 6.2: 0 é e n˜ ao é ponto fronteira de X. Observe (na defini¸c˜ ao de ponto fronteira) que para provar que um ponto p ∈ M est´ a na fronteira de X n˜ ao é suficiente exibir uma bola (centrada em p) que intercepta X e seu complemento, isto deve se verificar para toda bola centrada em p. No caso em quest˜ ao, digo, para se convencer de que 0 ∈ ∂Xk veja o diagrama de bolas abertas, Bk (0; r), ` a pg. 163. − Ponto Exterior: Seja (M, d) um espa¸co métrico. Considere X ⊂ M . Um ponto p 6∈ X é chamado ponto exterior de X se existir r > 0, tal que B( p; r) ⊂ X c . Ou seja, um ponto é exterior a um conjunto quando é interior do complementar deste conjunto. Sendo assim, faz todo sentido a figura seguinte:

s

0

− Pasmem!:

1 2

s

1

0 n~ ao ´ e um ponto exterior a X!!!

Podemos depurar nosso programa e n˜ ao encontraremos erro algum!

263

(8) O exemplo anterior pode ser estendido para “duas ˆ ˆ ˆdimens˜ ˆ oes”, assim: Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario e X = 21 , 1 × 12 , 1 ⊂ M ; ent˜ ao, 0 = (0, 0) n˜ ao est´ a na fronteira de X se tomarmos em M qualquer uma das três métricas a na fronteira de X se tomarmos em M a métrica “usuais” e, ao contr´ ario, 0 estar´ divina. De fato, inicialmente observemos estes conjuntos graficamente: 1

1

0

1

1

0

1

0

1

Figura 6.3: 0 = (0, 0) é e n˜ ao é ponto fronteira de X. Na figura do centro temos o conjunto X e na figura da direita temos o conjunto X c . Para provar que 0 6∈ ∂X observe que a bola B(0; “usuais”) n˜ ao intercepta X. 1

1 ) 4

(em qualquer das métricas

1

0

1

1

0

1

0

1

` ´ J´ a a bola BD 0; 41 intercepta o conjunto X e seu complementar, veja isto grafica3 mente (ver pg. 177): 1

1

1

3 4

1 4

0

1 4

3 4

1

0

1

0

Figura 6.4: 0 = (0, 0) é ponto fronteira de X. Nota: Vale aqui a mesma observa¸c˜ ao do final do exemplo anterior.

264

1

` Também a bola BD 0; 1 graficamente:

1 4

´

intercepta o conjunto X e seu complementar, veja isto

1

1

1

3 4

1 4

0

1 4

3 4

0

1

1

0

1

• Uma patologia 1

s

0

− Pasmem!:

1

0 n~ ao ´ e um ponto exterior a X!!!

Podemos depurar nosso programa e n˜ ao encontraremos erro algum! Proposi¸ c˜ ao 51. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Ent˜ ao ∂X ∩ X = ∅ ⇐⇒ X é aberto. Prova: (=⇒) Seja x ∈ X, tendo em conta a hip´ otese, temos que x 6∈ ∂X. Isto significa que existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X c = ∅, portanto B(x; r) ⊂ X; o que mostra que x é ponto interior de X, por conseguinte X é aberto. (⇐=) Dado x ∈ X existe r > 0 tal que B(x; r) ⊂ X, logo B(x; r) ∩ X c = ∅, isto é, x 6∈ ∂X; portanto ∂X ∩ X = ∅. Proposi¸ c˜ ao 52. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Ent˜ ao, X − ∂X é um conjunto aberto. Prova: Com efeito, seja x ∈ X − ∂X, logo x ∈ X e x 6∈ ∂X, ent˜ ao existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X c = ∅; portanto B(x; r) ⊂ X. Vamos mostrar que B(x; r) ⊂ X − ∂X. Para tanto é suficiente mostrar que para todo y ∈ B(x; r) ⇒ y 6∈ ∂X. Ent˜ ao, seja y ∈ B(x; r), como B(x; r) é um conjunto aberto existe r ′ > 0 tal que B(y; r ′ ) ⊂ B(x; r) ⇒ B(y; r ′ ) ∩ X c = ∅ ⇒ y 6∈ ∂X. Portanto x é ponto interior de X − ∂X, o que mostra que este conjunto é aberto. Observe,˘geometricamente, esta proposi¸ ao no caso do quadrado: ¯ c˜ X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, y ≤ 1 = [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ]:

265

R

6

R

X

6

R

∂X

−

6

=

-R

-R

-R

Proposi¸ c˜ ao 53. Seja (M, d) um espa¸co métrico, X ⊂ M e p ∈ M . Se p ∈ ∂X ⇒ d(p, X) = 0. ˘ ¯ Prova: Seja p ∈ ∂X, para provar que d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = 0, dado ε > 0 arbitr´ ario devemos exibir x ∈ X de modo que d(p, x) < ε (ver Lema 2, pg. 62).

De fato, pela defini¸c˜ ao de ponto fronteira, ∀ ε > 0 acontce B( p; ε) ∩ X 6= ∅, o que significa que ∀ ε > 0 existe x ∈ X tal que d(p, x) < ε. Observe que a rec´ıproca da proposi¸c˜ ao anterior n˜ ao vale.

Observa¸c˜ ao: A partir das defini¸c˜ oes de ponto interior e ponto de fronteira observamos que: ◦ ◦ se x ∈ ∂X = ∂X c ⇒ x 6∈ X e x 6∈ X c ⇒

◦

∂X ∩ X = ∅

e

◦

∂X ∩ X c = ∅.

Sendo (M, d) um espa¸co métrico, temos ˘ ¯ B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r ` ć ˘ ¯ B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) ≥ r

Nota: A partir deste momento usaremos, onde acharmos conveniente, a nota¸c˜ ao int X ◦

para o interior do conjunto X; isto é, estaremos trocando a nota¸c˜ ao X pela nota¸c˜ ao int X.

266

Proposi¸ c˜ ao 54. Num espa¸co métrico (M, d) se ∂B( p; r) 6= ∅ ent˜ ao ˘ ¯ ∂B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) = r ◦

Prova: De fato, se na indentidade ∂X ∩ X = ∅ tomarmos X = B( p; r) concluiremos que nenhum ponto x ∈ M que satisfa¸ca d(x, p) < r pode estar na fronteira da bola. Portanto os pontos da fronteira (se existirem) satisfazem d(x, p) ≥ r. Vamos inicialmente ` ćmostrar que todo ponto que satisfaz d(x, p) > r pertence ao conjunto int B( p; r) . Seja q satisfazendo d(p, q) > r, devemos mostrar que existe s > 0 satisfazendo ` ć B( q; s) ⊂ B( p; r) (6.1)

Tomemos s = d(p, q) − r > 0 e mostremos que a inclus˜ ao (6.1) estar´ a satisfeita. Ent˜ ao, dado x ∈ B( q; s) ⇒ d(x, q) < s = d(p, q) − r

⇒ d(x, q) + r < d(p, q). ` ć Devemos mostrar que x ∈ B( p; r) , isto é, que d(x, p) > r. (M, d)

s

s

q

B(p; r)

p

s

sx `

r

B(p; r)

ć

Pela desigualdade do triˆ angulo, temos d(p, q) ≤ d(q, x) + d(x, p) logo d(x, q) + r < d(p, q) ≤ d(q, x) + d(x, p) ⇒ r < d(x, p). ◦

Por outro lado, se na identidade ∂X ∩ X c= ∅ tomarmos X = B( p; r) concluiremos que nenhum ponto x ∈ M que satisfa¸ca d(x, p) > r pode estar na fronteira da bola. Portanto, se a fronteira de uma bola aberta n˜ ao for vazia, teremos necessariamente ˘ ¯ ∂B( p; r) = x ∈ M : d(x, p) = r

Por exemplo, vamos determinar a fronteira de uma bola aberta no espa¸co (Q, µ), ˘ ¯ ∂B( p; r) = x ∈ Q : |x − p| = r ˘ ¯ = x ∈ Q: x = p ± r

Portanto,

∂B( p; r) =

(

{ p − r, p + r }, ∅,

267

se r ∈ Q; se r 6∈ Q.

` ´ Corol´ ario 5. Em um espa¸co vetorial E, +, · normado, com E 6= { 0 } a fronteira de uma bola aberta é sempre n˜ ao vazia. Prova: Dada uma bola aberta B( p; r) e, tendo em conta a proposi¸c˜ ao anterior, é suficiente mostrar que existe um q ∈ E satisfazendo d(p, q) = kp − qk = r. De fato, isto é verdade precisamente por estarmos em um espa¸co vetorial. Por exemplo o vetor q =p+

v r kvk

onde v ∈ E é qualquer vetor n˜ ao nulo, satisfaz esta exigência.

6.4

Conjuntos fechados

A partir dos conjuntos abertos definimos conjunto fechado Defini¸ c˜ ao 38 (Conjunto fechado). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Um subconjunto F ⊂ M se diz fechado no espa¸co (M, d) se, e somente se, seu complementar F c = M − F é aberto em (M, d). Esta defini¸c˜ ao nos diz que os conjuntos fechados de um espa¸co métrico s˜ ao os complementos dos conjuntos abertos deste espa¸co. Ao contr´ ario da linguagem ordin´ aria onde fechado e aberto s˜ ao antˆ onimos, e excludentes, na topologia temos conjuntos que n˜ ao s˜ ao nem fechados e nem abertos; e o que é pior: existem conjuntos que s˜ ao ao mesmo tempo abertos e fechados. Exemplos (1) F = [ a, b ] é fechado no espa¸co (R, µ) uma vez que F c = [ a, b ]c =] − ∞, a [ ∪ ] b, +∞[ é a uni˜ ao de dois abertos, portanto aberto. (2) O conjunto A =] a, b ] ⊂ R n˜ ao é aberto e nem fehado no espa¸co (R, µ), uma vez que Ac =] a, b ]c =] − ∞, a ] ∪ ] b, +∞[ n˜ ao é aberto, pois a ∈ Ac n˜ ao é ponto interior de Ac .

(3) Seja M = R e X = Q. Aqui temos um outro exemplo de conjunto que n˜ ao é aberto, nem fechado (em (R, µ)). Isto decorre do fato de que em todo intervalo aberto temos n´ umeros racionais e irracionais. Observe que Q é ao mesmo tempo aberto e fechado no espa¸co (R, δ). Este é um caso especial do pr´ oximo exemplo. (4) Em um espa¸co (M, d) discreto, todo subconjunto F ⊂ M é aberto e fechado ao mesmo tempo. De fato, vimos no exemplo 5) (pg. 256) que todo subconjunto de M é aberto. Por outro lado, dado F ⊂ M , temos que F c = M − F , continua sendo um subconjunto de M e, portanto, aberto; por conseguinte F é fechado. (5) Vamos mostrar que o conjunto X = {1, 12 , 31 , . . .} n˜ ao é fechado em (R, µ). Para isto mostremos que o seu complemento n˜ ao é aberto. Vamos mostrar que 0 ∈ X c n˜ ao é ponto interior de X c . Temos Bµ(0; r) =] − r, r [. Dado r > 0 escolhemos nr ∈ N de tal modo que n1 < r. Logo n1 ∈ Bµ(0; r) e n1 6∈ X c . Isto é, nenhuma r r r bola centrada em 0 pode estar contida em X c . (6) Em um espa¸co métrico (M, d) qualquer; todo conjunto finito {a1 , a2 , . . . , an } é fechado. Em particular o conjunto unit´ ario { a } ⊂ M é fechado. De fato, F c = M − { a1 , a2 , . . . , an } é aberto, pela proposi¸c˜ ao 46 (pg. 258).

268

(7) O conjunto X = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1} = [ 0, 1 ] é fechado no espa¸co (R, µ). Enquanto o conjunto Y = {(x, 0) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1} = [ 0, 1 ] × { 0 } é fechado no espa¸co (R2 , D1 ). Esse é um caso especial do pr´ oximo resultado Proposi¸ c˜ ao 55 (Fechados em produtos cartesianos). Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Consideremos F1 ⊂ M1 e F2 ⊂ M2 subconjuntos fechados. Ent˜ ao F1 × F2 é fechado no espa¸co (M, Di ), onde i = 1, 2, 3 e M = M1 × M2 . Prova: Vamos mostrar que (F1 × F2 )c é aberto. Para tanto é suficiente mostrar a seguinte identidade∗ (F1 × F2 )c = (F1c × M2 ) ∪ (M1 × F2c ) (⊂) Seja x = (x1 , x2 ) ∈ (F1 × F2 )c , logo (x1 , x2 ) 6∈ F1 × F2 ⇒ x1 6∈ F1 ou x2 6∈ F2 ⇒ x1 ∈ F1c ou x2 ∈ F2c ⇒ (x1 , x2 ) ∈ F1c × M2 ou (x1 , x2 ) ∈ M1 × F2c , logo (x1 , x2 ) ∈ (F1c × M2 ) ∪ (M1 × F2c ) (⊃) Seja x = (x1 , x2 ) ∈ (F1c × M2 )∪(M1 × F2c ), logo (x1 , x2 ) ∈ F1c ×M2 ou (x1 , x2 ) ∈ M1 × F2c , logo x1 ∈ F1c e x2 ∈ M2 ou x1 ∈ M1 e x2 ∈ F2c , logo x1 6∈ F1 ou x2 6∈ F2 , logo (x1 , x2 ) 6∈ F1 × F2 , isto é (x1 , x2 ) ∈ (F1 × F2 )c . Pois bem, F1 e F2 sendo fechados, por hip´ otese, temos que F1c e F2c s˜ ao abertos. c Pela proposi¸c˜ ao 50 (pg. 261) temos que F1 × M2 e M1 × F2c s˜ ao abertos, logo a uni˜ ao destes é aberto. Isto conclui a prova. Ainda como conseq¨ uência do resultado anterior temos que Q = [ a, b ] × [ a, b ] é fechado nos espa¸cos (M, Di ), onde i = 1, 2, 3. Teorema 4. Seja (M, d) um espa¸co métrico. (i) M e ∅ s˜ ao fechados; (ii) Se F1 , F2 , . . . , Fn s˜ ao fechados, ent˜ ao F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn é fechado; (iii) Se {Fλ }λ∈L é uma fam´ılia arbitr´ aria de fechados ent˜ ao F =

\

Fλ é fechado.

λ∈L

Prova: (i) J´ a vimos que M e ∅ s˜ ao abertos, portanto M c = ∅ e ∅c = M s˜ ao fechados.

(ii) Como cada Fi é fechado, ent˜ ao cada Fic é aberto e, pela propo. 47 (pg. 259), F1c ∩ F2c ∩ · · · ∩ Fnc é aberto; por conseguinte (F1c ∩ F2c ∩ · · · ∩ Fnc )c = F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn . é fechado. ∗ Ver

proposi¸ca õ proposi¸ca õ 50 (pg. 261).

269

(iii) Como cada Fλ é fechado, ent˜ ao Fλc é aberto e, pelo teorema 47, aberto, por conseguinte 0 1c [ c \ @ Fλ A = Fλ λ∈L

S

λ∈L

Fλc é

λ∈L

é fechado.

Do ´ıtem (ii) acima, juntamente com o exemplo (6) (pg. 268), conclu´ımos que se acrescentarmos uma quantidade finita de pontos a um conjunto fechado, esta propriedade n˜ ao é perdida. Obs: A uni˜ ao de uma fam´ılia infinita de conjuntos fechados pode ou n˜ ao ser um conjunto fechado. Contra-exemplo: Seja a fam´ılia {Xn }n∈N , onde Xn = { n1 }. Em qualquer espa¸co métrico os Xn (n = 1, 2, . . .) s˜ ao conjuntos fechados, por serem unit´ arios. Mas [ 1 1 Xn = {1, , , . . .}, 2 3 n∈N

n˜ ao é fechado no espa¸co (R, µ) embora o seja no espa¸co (R, δ). Ver: Exemplos (5) pg. 268 e (4) pg. 268.

6.5

Ponto aderente

Defini¸ c˜ ao 39 (Ponto aderente). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Um ponto p ∈ M se diz ponto aderente ao conjunto X se, para todo r > 0, se verifica B( p; r) ∩ X 6= ∅ Isto é, se toda bola centrada em p intersecta X. O conjunto dos pontos aderentes a X chama-se fecho (ou aderência) de X e é ¯ ou por X ¯ quando quisermos enfatizar a métrica. indicado por X d Na defini¸c˜ ao anterior o ponto p ∈ M pode ou n˜ ao pertencer a X. Caso p ∈ X ¯ portanto X ⊂ X. ¯ Ou ent˜ ao trivialmente se verifica B( p; r) ∩ X 6= ∅, isto é, p ∈ X, ainda: todo ponto de um conjunto é aderente a este conjunto. • Comparando as defini¸c˜ oes de ponto aderente e de fronteira, concluimos que todo ponto fronteira é também ponto aderente, a reciproca n˜ ao vale. ¯ devemos exibir r > 0 tal que B( p; r) ∩ X = ∅. Obs: Para mostrar que p 6∈ X Exemplos: (1) Seja M = R e X =] a, b ], ent˜ ao a ∈ R é ponto aderente a X no espa¸co (R, µ), mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). Isto é ¯µ ; a 6∈ X ¯ . a∈X δ ¯ µ basta ver que a ∈ ∂Xµ . De fato, para provar que a ∈ X

Por outro lado, por exemplo Bδ(a; 1) = { a }, logo Bδ(a; 1) ∩ X = ∅, o que ¯ . mostra que a 6∈ X δ

(2) Seja M = R e X =] a, b ]. Vamos mostrar que

¯ µ = [ a, b ] , X ¯ =] a, b ]. X δ ¯ e, tendo em conta o exemplo anterior, resta mostrar que se x < a Como X ⊂ X ¯ µ e x 6∈ X ¯δ . ou x > b ent˜ ao x 6∈ X

270

De fato, tomando r = 1 temos Bδ(x; 1)∩X = { x } ∩ ] a, b ] = ∅, o que mostra ¯ . que x 6∈ X δ ´ f´ Por outro lado, para x < a, tomamos, por exemplo, rx = a−x . E acil 2 mostrar que esta bola n˜ ao intersecta X.

r

Bµ(x; rx )

-

X

x

x−r

x+r

a

b

¯µ. De modo an´ alogo se mostra o caso x > b. Portanto x 6∈ X

(3) Seja M = R e X = Q. No espa¸co (R, µ) todo n´ umero real é aderente ao conjunto Q. Isto j´ a n˜ ao acontece no espa¸co (R, δ). Isto é ¯µ = R Q

e

¯ 6= R. Q δ

De fato, dado x ∈ R, temos Bµ(x; r) =] x − r, x + r [ como temos n´ umeros racionais presentes em qualquer intervalo aberto, segue que Bµ(x; r) ∩ Q 6= ∅, ¯ µ. logo x ∈ Q Agora, por exemplo, Bδ(x; 1) = { x }. Se x for irracional, obviamente Bδ(x; 1)∩ ¯ . Portanto Q = ∅, o que mostra que x 6∈ Q δ ¯µ = R , Q ¯ = Q. Q δ ˘ ¯ ¯ µ , mas 0 6∈ X ¯ . (4) Seja M = R e X = 1, 21 , 31 , . . . . Ent˜ ao 0 ∈ X δ De fato Bδ(0; 1) = { 0 } ⇒ Bδ(0; 1) ∩ X = ∅. ¯ . o que mostra que 0 6∈ X δ

Por outro lado, Bµ(0; r) =] − r, r [, dado r > 0 escolha n ∈ N tal que ent˜ ao ˛ ˛ ˛1 ˛ 1 1 1 ˛ µ(0, ) = ˛ − 0˛˛ = < r ⇒ ∈ Bµ(0; r) n n n n ¯µ . isto é, Bµ(0; r) ∩ X 6= ∅, isto mostra que 0 ∈ X ˘ 1 1 ¯ (5) Seja M = R e X = 1, 2 , 3 , . . . . Vamos mostrar que

1 n

< r,

¯µ = X ∪ { 0 } , X ¯ =X X δ

¯ e mais o exemplo (4), vamos mostrar que dado Tendo em conta que X ⊂ X ¯µ . x ∈ R, x 6= 0 e x 6∈ X n˜ ao temos x ∈ X De fato, temos três casos a considerar i) x < 0

iii) 0 < x < 1 (x 6∈ X)

ii) x > 1

Se x < 0 ou x > 1, escolhemos respectivamente rx = −x e rx = x − 1, neste caso temos (exerc´ıcio) Bµ (x; rx ) ∩ X = ∅; isto mostra que nenhum ponto nestes intervalos é aderente a X, no espa¸co (R, µ).

rx =−x r ⊣

x

rx =x−1 ⊣ 1

0

r

x

-

oes escolAgora suponhamos 0 < x < 1 (x 6= n1 , ∀ n ∈ N). Nestas condi¸c˜ hemos o menor n0 natural tal que n1 < x. Logo n0 − 1 n˜ ao satisfaz esta 0 desigualdade , digo 1 1
271

⊣ 0

r

q1

n0

Escolhamos

-

⊣ 1

q1

x

n0 −1

 ff 1 1 rx = min x − , −x n0 n0 − 1

vamos mostrar que com esta escolha temos Bµ (x; rx ) ∩ X = ∅. Suponha ao contr´ ario, isto é, que exista n′ ∈ N tal que n1′ ∈ B(x; rx ) ∩ X. Logo ˛ ˛ ˛ 1˛ 1 µ(x, ′ ) < rx ⇒ ˛˛x − ′ ˛˛ < rx n n Consideremos duas possibilidades 1a ) rx = x −

Logo

1 n0

∴ x−

1 n0

≤

˛ ˛ ˛ ˛ ˛x − 1 ˛ < x − 1 ˛ ′ n ˛ n0

1 n0 −1

− x ∴ 2x −

⇐⇒ −x +

1 n0

≤

1 . n0 −1

Ent˜ ao

1 1 1 < ′ −x < x− n0 n n0

1 1 1 1 1 1 1 < ′ < 2x − ≤ ⇒ < ′ < n0 n n0 n0 − 1 n0 n n0 − 1 Sendo assim, temos 8 8 1 1 ′ > > > < n0 < n′ > > : ′ : 1′ < 1 n0 − 1 < n n n −1 0

Contradi¸c˜ ao pois entre n0 − 1 e n0 n˜ ao pode haver outro natural.

2a ) rx =

1 n0 −1

−x ∴

1 n0 −1

−x ≤x−

1 n0

∴

1 n0

≤ 2x −

1 . n0 −1

Com racioc´ınio an´ alogo ao anterior chegamos a uma inverdade. ¯ = X, isto sai como um caso especial do pr´ Quanto a X oximo exemplo δ (6) Se um espa¸co (M, d) é discreto ent˜ ao os pontos de aderência de um subconjunto ¯ X ⊂ M s˜ ao os seus pr´ oprios pontos. Isto é, se a 6∈ X ent˜ ao a 6∈ X. De fato, se (M, d) é discreto, existe r > 0 tal que B(a; r) = { a }; e se a 6∈ X temos B(a; r) = { a } ∩ X = ∅. Isto mostra que a n˜ ao é aderente a X.

(7) Lembramos que todo ponto fronteira é também ponto aderente. Sendo assim, exibimos duas patologias, por conta da métrica divina:

s

X 1 2

0

− Pasmem!: Em 2 − D, temos:

0 ´ e um ponto aderente a X!!! 1

s

0

− Pasmem!:

1

1

0 ´ e um ponto aderente a X!!!

272

Proposi¸ c˜ ao 56. Em todo espa¸co métrico s˜ ao v´ alidas as duas seguintes identidades. ◦

◦

¯ c = Xc (ii) X

(i) X c = cX

Nota: Estamos convencionando as seguintes nota¸c˜ oes: c

◦

X = complementar do interior de X

◦

X c = interior do complementar de X Ent˜ ao: (i) O fecho do complementar de X é igual ao complemento do interior de X. (ii) O complemento do fecho de X é igual ao interior do complementar de X. Prova: (i) seja x ∈ X c ⇐⇒ ∀r > 0, B(x; r) ∩ X c 6= ∅ ⇐⇒ ∀r > 0, B(x; r) 6⊂ X ◦

◦

⇐⇒ x 6∈ X ⇐⇒ x ∈ c X . ¯ c ⇐⇒ x 6∈ X ¯ ⇐⇒ ∃ r > 0 : B(x; r) ∩ X = ∅ (ii) seja x ∈ (X) ◦

⇐⇒ ∃ r > 0 : B(x; r) ⊂ X c ⇐⇒ x ∈ X c. Proposi¸ c˜ ao 57. O fecho de qualquer conjunto, é sempre um conjunto fechado. ◦

¯ c = X c. Prova: Isto é imediato, a partir da identidade X

Proposi¸ c˜ ao 58. Seja (M, d) um espa¸co métrico. F ⊂ M é fechado se, e somente se, F¯ = F . Isto é: um conjunto é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos aderentes. Prova: (=⇒)∗ Se F é fechado ent˜ ao F¯ = F . Com efeito, A inclus˜ ao F ⊂ F¯ é sempre v´ alida;, resta mostrar que F¯ ⊂ F . Suponha que n˜ ao. Ent˜ ao existe p ∈ F¯ tal que p 6∈ F ; logo p ∈ F c . Como, por hip´ otese, F é fechado, segue que F c é aberto. Portanto existe r > 0 tal que B(p; r) ⊂ F c , o que implica B(p; r) ∩ F = ∅. Ora, mas isto contradiz o fato de que p ∈ F¯ . (⇐=) Se F¯ = F ent˜ ao F é fechado. Isto é imediato, a partir da proposi¸c˜ ao 57.

Coment´ ario: Vimos (exemplo (5) pg. 268) que o conjunto X = {1, 21 , 31 , . . .} n˜ ao é fechado no espa¸co (R, µ); o teorema anterior ( juntamente com o exemplo (4), pg. 271 ¯ e 0 6∈ X. ) nos diz precisamente porque isto acontece: 0 ∈ X ¯ = { 0 } ∪ {1, 1 , 1 , . . .} é fechado neste espa¸co. Portanto X 2 3 ¯ = X, o que mostra que X é fechado no No exemplo (6) (pg. 272) vimos que X δ espa¸co (R, δ). A pr´ oxima proposi¸c˜ ao relaciona o fecho de um conjunto no espa¸co com o fecho deste conjunto em um subespa¸co. ∗ Usaremos

a t´ ecnica (T − 3), pg. 24.

273

Proposi¸ c˜ ao 59. Seja (N, d) um subespa¸co do espa¸co métrico (M, d). Dado um subconjunto X ⊂ N a seguinte identidade é v´ alida ¯ ¯ X =X ∩ N. (N, d) (M, d) (M, d) (N, d) X

Prova:

`

⊂

´

¯ Seja p ∈ X , isto implica em que (N, d) p ∈ N e ∀ ε > 0, B(p, ε) ∩ X 6= ∅

(♮)

¯ Para mostrar que p ∈ X é suficiente mostrar que (M, d) ∀ ǫ > 0, B(p, ǫ) ∩ X 6= ∅ Pois bem, dado ǫ > 0, B(p, ǫ)∩N é uma bola no subespa¸co (N, d), isto é B(p, ǫ)∩N = B(p, ǫ) portanto, invocando (♮), podemos escrever ` ´ ` ´ B(p, ǫ) ∩ N ∩ X 6= ∅ ⇒ B(p, ǫ) ∩ N ∩ X 6= ∅ como ` ´ X ⊂ N ⇒ N ∩ X = X, portanto B(p, ǫ) ∩ X 6= ∅. ¯ ¯ ⊃ Seja q ∈ X ∩ N . Para mostrar que q ∈ X é suficiente mostrar que (M, d) (N, d) ∀ ε > 0, B(q, ε) ∩ X 6= ∅

De fato, ∀ ε > 0, B(q, ε) = B(q, ε) ∩ N , onde B(q, ε) é uma bola em (M, d). Como, ¯ por hip´ otese, q ∈ X ent˜ ao B(p, ε) ∩ X 6= ∅. Por outro lado (M, d) ` ´ X ⊂ N ⇒ X = X ∩ N ⇒ B(q, ε) ∩ X ∩ N 6= ∅

` ´ ¯ ⇒ B(q, ε) ∩ N ∩ X 6= ∅ ⇒ B(q, ε) ∩ X 6= ∅ ⇒ q ∈ X . (N, d)

Segundo a proposi¸c˜ ao anterior para encontrarmos o fecho de um conjunto X ⊂ N no subespa¸co (N, d) basta encontrar o fecho no espa¸co (M, d) e intersectar ˜ com ˆ N. Por exemplo, sejam (M, d) = (R, µ) a reta usual, N = [ 0, 1 [ e X = 12 , 1 ¬ 0

¬1

0

¬ 0

1

1 2

1

274

-R

-N -X

¯ J´ a vimos que X = (R, µ)

ˆ1 2

˜ , 1 , sendo assim temos

¯ ¯ X =X ∩N (N,µ) (R,µ) =

ˆ1 ˆ ˆ1 ˜ , 1 ∩ [ 0, 1 [= ,1 2 2

ˆ ˆ ¯ Observe que 21 , 1 = X é um conjunto fechado no subespa¸co (N, µ) embora n˜ ao (N, µ) o seja no espa¸co (R, µ). Uma quest˜ ao para o leitor refletir: O ponto p = 1 é aderente a X no espa¸co (R, µ) mas n˜ ao no subespa¸co (N, µ), embora tenhamos B(1, ε) ∩ X 6= ∅, ∀ε > 0. Como se explica isto? O corol´ ario a seguir nos conta por que os dois fechos no exemplo acima resultaram diferentes Corol´ ario 6. Seja (N, d) um subespa¸co fechado do espa¸co (M, d), ent˜ ao para todo X ⊂ N , tem-se ¯ ¯ X =X (N, d) (M, d) Prova: Temos as seguintes implica¸c˜ oes ¯ ⊂N ¯ =N ⇒ X ¯ ∩ N = X. ¯ X⊂N ⇒ X Portanto† , da proposi¸c˜ ao 59 concluimos ¯ ¯ ¯ ¯ X =X ∩N ⇒ X =X . (N, d) (M, d) (N, d) (M, d) Corol´ ario 7. Os subconjuntos fechados do subespa¸co (N, d) s˜ ao as interse¸c˜ oes F ∩ N , onde F é fechado em (M, d). Prova: Devemos mostrar que o

1 ) se F é fechado em (M, d) ent˜ ao F ∩ N é fechado em (N, d). De fato, F ∩ N = F¯(M, d) ∩ N = F¯(N, d) logo F ∩ N é fechado em (N, d).

2o ) se X é um subconjunto fechado em (N, d) ent˜ ao X = F ∩N para algum F fechado em (M, d). De fato, ¯ ¯ ¯ X=X ⇒ X=X =X ∩N (N, d) (N, d) (M, d) =F ∩N ¯ onde X = F é um fechado em (M, d). (M, d)

† Nota:

¯ =X ¯ ¯ =N ¯ X eN (M, d) (M, d)

275

Proposi¸ c˜ ao 60. Em qualquer espa¸co métrico é v´ alida a seguinte identidade ¯ ∩ Xc ∂X = X Prova: De fato, x ∈ ∂X ⇐⇒ ∀r > 0, B(x; r) ∩ X 6= ∅ e B(x; r) ∩ X c 6= ∅ ¯ e x ∈ Xc ⇐⇒ x ∈ X ¯ ∩ X c. ⇐⇒ x ∈ X

Proposi¸ c˜ ao 61. Em qualquer espa¸co métrico (M, d) a aderencia (fecho) de um subconjunto X ⊂ M é a reuni˜ ao do seu interior com sua fronteira. Prova: ◦ ◦ ` ´ `◦ ´ `◦ ´ ¯ ∩ Xc = X ∪ X ¯ ∩ X ∪ Xc X ∪ ∂X = X ∪ X ◦ ´ `◦ ¯ ∩ X ∪ cX =X

¯ ∩ M = X. ¯ =X

R

Observe, geometricamente, esta proposi¸c˜ ao no caso do quadrado: ˘ ¯ 2 X = (x, y) ∈ R : 0 < x, y < 1 =] 0, 1 [ × ] 0, 1 [:

6

◦

R

X

6

R

∂X

∪

6

¯ X

=

-R

-R ◦

-R ◦

¯ é disjunta; isto é, X ∩ ∂X = ∅, pelas pr´ Observa¸c˜ ao: A reuni˜ ao X ∪ ∂X = X oprias defini¸c˜ oes de ponto interior e ponto fronteira. ¯ também é v´ A identidade X ∪ ∂X = X alida, s´ o que aqui n˜ ao temos uma uni˜ ao ¯ = [ a, b ] e ∂X = disjunta. Por exemplo para X =] a, b ] no espa¸co (R, µ), temos X { a, b }. Corol´ ario8. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . A seguinte identidade subsiste ◦

¯ −X ∂X = X ◦

◦

¯ ⇒ ∂X = X ¯ −X. Prova: ∂X ∪ X = X Observa¸c˜ ao: N˜ ao tente realizar o procedimento anterior sem antes certificar-se de que a reuni˜ ao envolvida é disjunta. Observe, geometricamente, esta proposi¸c˜ ao no caso do quadrado: ˘ ¯ 2 X = (x, y) ∈ R : 0 < x, y < 1 =] 0, 1 [ × ] 0, 1 [:

276

R

6

R

∂X

6

R

¯ X

-R

1,

◦

X

−

=

˘

6

-R

-R

Podemos ¯ usar a identidade anterior para mostrar que a fronteira de X = . . . no espa¸co (R, µ) é ∂X = X ∪ { 0 }. ¯µ = X ∪ { 0 } e no exemplo (5) (pg. De fato, vimos no exemplo (5) (pg. 271) que X 1 1 , , 2 3

◦

253) que X µ = ∅.

Corol´ ario 9. Seja (M, d) um espa¸co métrico e seja X ⊂ M . Ent˜ ao ∂X = ∅ ⇐⇒ X é aberto e fechado. Prova: (⇒) Temos ◦

◦

¯ X ∪ ∂X = X

⇒

¯ X =X

¯ = X ∪ ∂X X

⇒

¯ =X X

Portanto X é aberto e fechado.

⇒

◦

¯ = X. X =X

◦

¯ levando este resultado na identidade (⇐) Se X é aberto e fechado ent˜ ao X = X = X, ◦ ¯ − X resulta ∂X = ∅. ∂X = X ` ´ Corol´ ario 10. Seja um espa¸co vetorial E, +, · normado com E 6= { 0 }. Ent˜ ao ˘ ¯ B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) ≤ r Isto é, o fecho da bola aberta é a bola fechada.

◦

´ uma decorrência imediata da identidade X ¯ = X ∪ ∂X juntamente com Prova: E a proposi¸c˜ ao 54 (pg. 267) e seu corol´ ario 5 (pg. 268). Esta afirmativa é falsa em um espa¸co n˜ ao normado. De fato, consideremos o espa¸co (R, δ). Neste espa¸co temos B(0; 1) = { 0 }. Como B é um conjunto fechado resulta que B(0; 1) = B(0; 1). Por outro lado, B[ 0; 1 ] = {x ∈ R : δ(x, 0) ≤ 1} = R. Proposi¸ c˜ ao 62. Em qualquer espa¸co métrico (M, d) a fronteira de um subconjunto X ⊂ M é um conjunto fechado. Prova: De fato, para conjuntos A e B quaisquer vale A − B = A ∩ B c , logo ◦

◦

¯ −X =X ¯ ∩ c X . Vamos mostrar que (∂X)c é um conjunto aberto: ∂X = X ◦ ◦ ´ ` ¯ ∩ cX c = X ¯c ∪ X (∂X)c = X ◦

◦

= Xc ∪ X .

logo (∂X)c é um conjunto aberto, por ser a uni˜ ao de dois abertos; por conseguinte ∂X é um conjunto fechado.

277

Proposi¸ c˜ ao 63. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se p ∈ M e X ⊂ M , ent˜ ao ¯ d(p, X) = 0 se, e somente se, p ∈ X. ¯ Prova: (=⇒) Se d(p, X) = 0 ent˜ ao p ∈ X.

Por hip´ otese

d(p, X) = inf { d(p, x) : x ∈ X } = 0

(6.2)

Isto é, 0 é a maior das cotas inferiores do conjunto { d(p, x) : x ∈ X }. Ou seja, qualquer r > 0 n˜ ao pode ser cota inferior deste conjunto. Logo, ∀ r > 0 existe x ∈ X de modo que d(p, x) < r. Ou ainda: para todo r > 0, temos B(x; r) ∩ X 6= ∅; o que ¯ mostra que p ∈ X. ¯ ent˜ (⇐=) Se p ∈ X ao d(p, X) = 0

Devemos mostrar que a igualdade (6.2) se verifica. Isto é, que 0 é a maior das cotas inferiores do conjunto { d(p, x) : x ∈ X }. De outro modo: nenhum r > 0 pode ser cota inferior deste conjunto. Para isto devemos exibir x ∈ X tal que d(p, x) < r. ¯ isto é, ∀ r > 0, temos B( p; r) ∩ X 6= ∅. Logo, Pois bem, por hip´ otese, p ∈ X, ∀ r > 0 existe x ∈ X de modo que d(p, x) < r. Isto conclui a prova. Proposi¸ c˜ ao 64. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Ent˜ ao para todo subconjunto X ⊂ M ¯ é l´ıcita a igualdade diam(X) = diam(X). Prova: Temos diam(X) = sup { d(x, y) : x, y ∈ X } ¯ = sup { d(x, y) : x, y ∈ X ¯} diam(X) Por defini¸c˜ ao de supremo temos d(x, y) ≤ diam(X), ∀ x, y ∈ X ¯ ¯ d(x, y) ≤ diam(X), ∀ x, y ∈ X ¯ s˜ e mais: diam(X) e diam(X) ao os menores n´ umeros satisfazendo estas desigualdades. Como ¯ ⇒ d(x, y) ≤ diam(X), ¯ X⊂X ∀ x, y ∈ X

mas como diam(X) é o menor n´ umero satisfazendo esta desigualdade, segue que ¯ diam(X) ≤ diam(X). ¯ temos B(x; r ) ∩ X 6= ∅ e Por outro lado, dado r > 0, para quaisquer x, y ∈ X 2 ′ ′ r B(y; 2 ) ∩ X 6= ∅, logo existem x , y ∈ X tais que d(x, x′ ) <

r 2

e

d(y, y ′ ) <

r 2

Da equa¸c˜ ao (2.15) (pg. 117), temos d(x1 , x4 ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + d(x3 , x4 ) ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , y ′ ) + d(y ′ , y) < r + diam(X)

Isto mostra que r + diam(X) é uma cota superior do conjunto ¯} { d(x, y) : x, y ∈ X ¯ ≤ r + diam(X), isto é, portanto diam(X) ¯ − r ≤ diam(X). diam(X)

278

¯ ≤ diam(X). PorComo esta desigualdade vale para todo r > 0, temos∗ que diam(X) ¯ = diam(X). tanto diam(X) Obs.: Uma aplica¸c˜ ao desta proposi¸c˜ ao é que, ao invés de` calcular diam(X), pode´ ¯ E qual a vantagem disto? Quando X, ¯ d é compacto, sendo mos calcular diam(X). d : X × X −→ R (x, y) 7−→ d(x, y)

cont´ınua (ver (ii), pg. 328), aplicamos o teorema de Weierstrass (pg. 512). Trocamos sup { d(x, y) : x, y ∈ X } por max { d(x, y) : x, y ∈ X } e teremos ` a nossa disposi¸c˜ ao as técnicas de m´ aximos e m´ınimos de fun¸c˜ oes reais. Observe que, ainda segundo o ¯ de modo teorema de Weierstrass, nas condi¸c˜ oes referidas, sempre existir˜ ao x′ , y ′ ∈ X ′ ′ ¯ que d(x , y ) = diam(X) = diam(X). ¯ ent˜ Proposi¸ c˜ ao 65. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Se p ∈ X, ao existe uma seq¨ uência (xn ) de pontos de X tal que lim xn = p. ¯ ent˜ Prova: Como p ∈ X, ao para cada r > 0 temos B( p; r)∩X 6= ∅. Em particular 1 para r = n , temos ` 1´ B p; ∩ X 6= ∅ , (n = 1, 2, . . .) n Daqui retiramos uma seq¨ uência (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) de pontos de X tal que xn ∈ B( p; n1 ). Vamos mostrar que xn → p.

B( p; 1 ) , (n=1,2,...) p n p p qj p (M, d)

X

Temos xn ∈ B( p;

1 ) n

⇒ d(xn , p) <

0 ≤ d(xn , p) <

1 , n

ou ainda 0 ≤ d(xn , p) <

1 . n

Ent˜ ao

1 1 ⇒† lim 0 ≤ lim d(xn , p) ≤ lim n n

isto é, 0 ≤ lim d(xn , p) ≤ 0, ent˜ ao lim d(xn , p) = 0 ⇒‡ xn → p.

∗ Proposi¸ ca õ

23, pg. 65 4, pg. 247. ‡ proposi¸ ca õ 33, pg. 201. † corol´ ario

279

Exemplos: ¯ ˘ a ) Vimos no exemplo (4) (pg. 271) que sendo M = R e X = 1, 12 , 13 , . . . , ent˜ ao ¯ µ , mas 0 6∈ X ¯ . Pela proposi¸c˜ 0 ∈ X ao anterior existe uma seq¨ uência de pontos de δ X que converge para 0. De fato, como a seq¨ uência dada por xn = n1 converge para 0 (com a métrica µ), qualquer subseq¨ uência sua também converge para 0. Por outro ¯ n˜ lado, como 0 6∈ X ao existe seq¨ uência de X convergindo para 0. De fato, vimos que δ toda seq¨ uência convergente em (M, δ) deve ser constante a partir de uma certa ordem. b ) Consideremos M = R e X = Q. Dado qualquer n´ umero q irracional existe uma seq¨ uência de racionais convergindo para q (na métrica usual). De fato, basta ter em conta o exemplo (3), pg. 271. Por exemplo, √ (1, 1, 4, 1, 41, 1, 414, 1, 4142, . . .) → 2 Também,

“

” 1 1 1 + − + ··· → π 3 5 7 c ) Exerc´ıcio: Tendo em conta as duas patologias do exemplo (7) (pg. 272) encontre uma seq¨ uência convergindo para o ponto 0 nas duas situa¸c˜ oes. 4·

1−

A rec´ıproca da proposi¸c˜ ao anterior também vale: Proposi¸ c˜ ao 66. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Se existe uma seq¨ uência ¯ (xn ) de pontos de X tal que lim xn = p ent˜ ao p ∈ X. Prova: Com efeito, se lim xn = p e xn ∈ X ent˜ ao toda bola aberta de centro p ¯ (ver proposi¸c˜ intersecta X, portanto p ∈ X ao 32, pg. 200). Vejamos dois exemplos desta situa¸c˜ ao: (i) Consideremos o seguinte subconjunto do plano R2 ˘ ¯ X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, y = x/n, n ∈ N

O conjunto X é formado dos pontos do segmento que liga a origem (0, 0) aos pontos (1, 1/n), n ∈ N. Vamos mostrar que todo ponto do conjunto

é ponto aderente a X.

¯ ˘ 1 A = (x, 0) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1 2

6

1

q

1

6

1

q 0

q

6

q p1

-

0

1 2

p

p1

0

280

1 2

p

q q qq

.. . p1

-

` ´ ` ´ Fixado 12 ≤ x ≤ 1 a seq¨ uência x, nx de pontos de X é tal que x, nx → (x, 0) ∈ A, isto prova que todo ponto de A é aderente a X. A figura anterior ilustra esta situa¸c˜ ao para o ponto x = 34 . (ii) Consideremos o seguinte subconjunto do plano R2 (métrica euclidiana).  ff `1´ 2 X = (x, y) ∈ R : x > 0 e y = cos x Vamos mostrar que todo ponto do conjunto ˘ ¯ A = (0, y) ∈ R2 : − 1 ≤ y ≤ 1 = { 0 } × [−1, 1 ].

é ponto aderente a X. A seguir vemos o conjunto X (gr´ afico da fun¸c˜ ao f (x) = cos(1/x)) em “tamanho natural” e ampliado 2 × . f (x)

6

1 f (x) 1

6

q

0 −1

q

X

X

-x

0

-x

q −1

q

De fato, fixado y ∈ [−1, 1 ] resolvendo a equa¸c˜ ao cos

` ´ `1´ = y = cos cos−1 (y) x

` ` ´´ 1 de uência xn , cos x1 obtemos a seguinte seq¨ uência, xn = 2nπ+cos −1 (y) . A seq¨ n pontos de X converge para o ponto (0, y) ∈ A e isto prova que todo ponto de A é aderente a X. A t´ıtulo de exemplo consideremos y = 1/2, neste caso temos 1 1 = → 0. 2nπ + cos−1 (1/2) 2nπ + π3 ` ` ´´ situam-se sobre a reta y = 1/2 e convergem os pontos da seq¨ uência xn , cos x1 n ´ ` para o ponto 0, 21 ∈ A. xn =

281

6 f (x) X

1¬

m qq q

A

q

-x

ր

−1 ¬

` ´ Observe que toda bola centrada no ponto 0, 12 intersecta o conjunto X. Toda bola centrada neste contém infinitos pontos de X. Por exemplo pontos da ` ` ponto ´´ seq¨ uência xn , cos x1 . n

Proposi¸ c˜ ao 67. Seja F ⊂ M . F é fechado se, e somente se, para toda seq¨ uência (xn ) de pontos de F com lim xn = a ∈ M tivermos a ∈ F .

Prova: (=⇒) Seja F fechado e (xn ) uma seq¨ uência de pontos de F com lim xn = a ∈ M . Ent˜ ao, pela proposi¸c˜ ao 66 (pg. 280) a ∈ F¯ , como F é fechado temos que F = F¯ , portanto a ∈ F . (⇐=) Suponhamos que toda seq¨ uência convergente de pontos de F tem limite em F , e mostremos que F = F¯ . Como F ⊂ F¯ , basta mostrar que F¯ ⊂ F . Seja a ∈ F¯ . Pela proposi¸c˜ ao 65 (pg. 279) existe uma seq¨ uência (xn ) de pontos de F tal que lim xn = p. Pela nossa hip´ otese, temos p ∈ F . Logo F¯ ⊂ F .

6.6

Densidade

Defini¸ c˜ ao 40 (Densidade). Dado um espa¸co métrico (M, d), um subconjunto X ⊂ M ¯ = M. se diz denso em M se X Isto significa: fixados arbitrariamente um ponto p ∈ M e um raio r > 0, B( p; r) ∩ X 6= ∅. Ou seja, arbitrariamente pr´ oximo de p encontramos um ponto de X. Exemplos: (1) Seja M = R e X = Q. No exemplo (3) (pg. 271) vimos que ¯µ = R , Q ¯ = Q R. δ 6 portanto Q é denso em R no espa¸co (R, µ); mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). (2) Seja M = C[a, b] e X = P onde P é o conjunto de polinˆ omios. P é denso no espa¸co (C[a, b], Υ). Isto é o que nos diz o Teorema da aproxima¸c˜ ao de Weierstrass: “Dada uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : [a, b] → R, existe uma seq¨ uência de polinˆ omios (pn ) tais que lim pn = f uniformemente em [a, b].” (ver [5] ). Logo, pela proposi¸c˜ ao anterior (proposi¸c˜ ao 66, pg. 280), temos f ∈ P¯Υ .

282

Nota: O corol´ ario 6 (pg. 275) nos permite inferir um resultado que ser´ a utilizado posteriormente, a saber: ¯ d ). X é denso no subespa¸co (X, De fato, para que esta assertiva seja verdadeira é suficiente mostrar que ¯ ¯ ¯ =X ¯ X =X (M, d) (X, d) ¯ no corol´ Para tanto basta tomar N = X ario. Proposi¸ c˜ ao 68. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se X ⊂ M é denso em M , ent˜ ao X ∩ A 6= ∅, para todo aberto A 6= ∅ desse espa¸co. Prova: Dado p ∈ A ⊂ M , ent˜ ao existe r > 0 de modo que B( p; r) ⊂ A. Como ¯ = M , p é aderente a X. Logo, B( p; r) ∩ X 6= ∅. Portanto existe q ∈ X e X q ∈ B( p; r) ⊂ A, logo A ∩ X 6= ∅.

Importˆ ancia da densidade A densidade nos permite aproximar − com precis˜ ao arbitr´ aria − pontos de um conjunto M por pontos de um seu subconjunto (é o que nos diz a proposi¸c˜ ao 65 pg. 279). Perceba que isto n˜ ao é pouco. Por exemplo, por raz˜ oes técnicas, um computador ¯ µ = R isto significa que podemos n˜ ao opera com n´ umeros reais, mas pelo fato de que Q representar um n´ umero real por um racional com a precis˜ ao que desejarmos. Ainda mais: a proposi¸c˜ ao 65 (pg. 279) nos assegura que existe uma seq¨ uência de racionais convergindo para qualquer n´ umero real. Por exemplo, da conhecida identidade π 1 1 1 = 1 − + − + ··· 4 3 5 7 obtemos a seguinte seq¨ uência de n´ umeros racionais convergindo para π an = 4 ·

n X (−1)i−1 2i − 1 i=1

A seguir exemplificamos como esta seq¨ uência converge para π, n

an → π

1

4

2

2, 66667

.. .

.. .

800

3, 14034

.. .

.. .

1500

3, 14093

uma convergencia, como se vê, bastante lenta. Mas converge. Como mais um exemplo, a seq¨ uência dada pela seguinte f´ ormula de recorrência – » 1 c an+1 = (N − 1)an + N −1 N an nos permite aproximar - com precis˜ ao arbitr´ aria - a raiz N −ésima de c > 0, apartir de um valor inicial a0 > 0 qualquer. √ Isto é, a partir de qualquer a0 > 0 dado, temos an → N c

283

A seguir apresentamos duas tabelas que exemplificam a f´ ormula anterior. Em ambas adotamos a0 = 1. √

n

an →

2

n

√ an → 3 5

0

1, 00000

0

1, 00000

1

1, 50000

1

2, 33333

2

1, 41667

2

1, 86168

3

1, 41422

3

1, 72200

4

1, 41421

4

1, 71006

5

1, 41421

5

1, 70998

Os valores fornecidos pelo computador s˜ ao √ 2 = 1, 41421356237 √ 3 5 = 1, 70997594668 Os circuitos aritméticos de computadores realizam apenas a opera¸c˜ ao de soma (as outras opera¸c˜ oes aritméticas podem ser implementadas a partir de circuitos somadores). Como ent˜ ao realizar c´ alculos mais complicados, digamos...transcendentes? A densidade de P no espa¸co das fun¸c˜ oes cont´ınuas nos garante que para toda fun¸c˜ ao cont´ınua existe um polinˆ omio que a aproxima com precis˜ ao arbitr´ aria. A t´ıtulo de exemplo, a seq¨ uência de polinˆ omios dada a seguir é uma aproxima¸c˜ ao para a fun¸c˜ ao seno p1 (x) = x x3 6 x3 x5 p3 (x) = x − + 6 120 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− p2 (x) = x −

pn (x) = x −

x3 x5 x2n−1 + − . . . + (−1)n−1 6 120 (2n − 1)!

π A tabela a seguir mostra o c´ alculo do seno de 15o ( 12 rad): π x= 12

π ) → sen ( π ) pn ( 12 12

p1 (x)

0, 261799

p2 (x)

0, 258809

p3 (x)

0, 258819

284

O terceiro polinˆ omio, p3 , da seq¨ uência j´ a nos fornece o valor correto com seis casas decimais. Confira p √ “π” 2− 3 sen = = 0, 258819 . . . 12 2

Mais dois exemplos de densidade No apêndice (pg. 289) mostramos mais dois exemplos de densidade: ( i ) O conjunto das fun¸ oes parcialmente lineares (ou fun¸c˜ oes poligonais) é denso no espa¸co ` ´ c˜ C([0, 1]); Υ . Isto significa que qualquer fun¸c˜ ao cont´ınua pode ser aproximada (arbitrariamente) por uma fun¸c˜ ao poligonal. ( ii ) Seja D o conjunto das fra¸c˜ oes di´ adicas (fra¸c˜ oes cujos denominadores s˜ ao potências de 2) no intervalo [ 0, 1 [, ou seja ff  13 15 1 1 3 1 3 5 7 1 3 , , , , , , , , , ..., , , ... D= 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 D é denso em [ 0, 1 [. Isto significa que qualquer n´ umero do intervalo [ 0, 1 [ (irracionais, por exemplo) pode ser aproximado (arbitrariamente) por uma fra¸c˜ ao di´ adica.

6.7

Ponto de acumula¸ c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 41 (Ponto de acumula¸c˜ ao). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Um ponto p ∈ M se diz ponto de acumula¸c˜ ao de X se, e somente se, para todo r > 0, se verifica ` ´ B( p; r) − { p } ∩ X 6= ∅ Isto é, se toda “bola furada” (sem o centro) centrada em p intersecta X.

(M, d)

(M, d)

X

s

X

B(p; r)

p

s

B(p; r)−{ p }

O conjunto dos pontos de acumula¸c˜ ao de X é chamado conjunto derivado de X e é indicado por X ′ ou por Xd′ quando desejarmos enfatizar a métrica. Observa¸ c˜ oes: (i) Dizer que p ∈ M n˜ ao é ponto de acumula¸c˜ ao de X, isto é, p 6∈ X ′ , significa dizer que existe r > 0 tal que ` ´ B( p; r) − { p } ∩ X = ∅ .

` ´ (ii) Se ∀ r > 0 tivermos B( p; r) − { p } ∩ X 6= ∅, com mais raz˜ ao ainda teremos B( p; r) ∩ X 6= ∅, o que significa que todo ponto de acumula¸c˜ ao de X é também ponto ¯ sempre se verifica. aderente de X (ver defini¸c˜ ao 39, pg. 270). Isto é, a inclus˜ ao X ′ ⊂ X Exemplos:

285

˘ (1) Seja M = R e X = 1,

1 1 , , 2 3

¯ . . . . Ent˜ ao

Xµ′ = { 0 } ; Xδ′ = ∅.

De fato, a prova da primeira destas afirmativas est´ a contida nos exemplos (4) e (5) (pg. 271). Neste espa¸co podemos visualizar os elementos do conjunto X “acumulandose” em torno de 0. Observe |

0

p pp p p p p p p p p p p p p p

1 1 ··· 5 4

p

p

1 2

1 3

p

1

A igualdade Xδ′ = ∅ é um caso especial do exemplo seguinte

(2) Se (M, d) é um espa¸co discreto e X ⊂ M ent˜ ao X ′ = ∅. Com efeito, dado p ∈ M existe rp > 0 de´modo que B( p; rp ) = { p }, logo ` B( p; rp ) − { p } = ∅, portanto B( p; rp ) − { p } ∩ X = ∅. Isto prova que nenhum ponto de M pode ser ponto de acumula¸c˜ ao de X. Em particular considere o espa¸co (R, δ) e X =] 0, 1 ]; 0 n˜ ao é ponto aderente a X, 1 é ponto aderente, mas n˜ ao ponto de acumula¸c˜ ao de X no espa¸co (R, δ) (ver exemplo (1), pg. 270). (3) Seja M = R , X = Q e Y = Z. Ent˜ ao Q′µ = R ; Z′µ = ∅. De fato, dado p ∈ R e r > 0 temos que ` ´ ` ´ B( p; r) − { p } ∩ Q = ] p − r, p + r [ − { p } ∩ Q 6= ∅

Por outro lado, dado p ∈ R, p ou é um inteiro ou est´ a entre dois inteiros consecutivos, digamos: n e n + 1. No primeiro caso tomamos r = 12 e no `segundo tomamos ´ r = min{ p − n, n + 1 − p }; em ambos os casos teremos B( p; r) − { p } ∩ Z = ∅. p− 1 2

p∈Z

p 6∈ Z

p

p+ 1 2

p

p−1

p

p

⊢

p−n

p n

⊣

p

p

p

⊢

-R

p+1

-R

n+1 n+1−p

⊣

(4) Seja M = [ 0, 1 [, X` = [ 1/2, ao, 0 é ponto de acumula¸c˜ ao ´ 1 [ ⊂ M e p = 0 ∈ M . Ent˜ de X no espa¸co M, k , veja:

s

0

− Pasmem!:

X

1 2

1

0 ´ e um ponto de acumula¸ c~ ao de X!!!

para se convencer disto basta volver ao diagrama de bolas abertas Bk (0; r), ` a pg. 163.

286

ˆ ˆ ˆ ˆ (5) Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario e X = 12 , 1 × 21 , 1 ⊂ M ; ent˜ ao, 0 = (0, 0) n˜ ao é ponto de acumula¸c˜ ao de X se tomarmos em M qualquer uma das três métricas “usuais” e, ao contr´ ario, 0 ser´ a ponto de acumula¸c˜ ao de X se tomarmos em M a métrica divina. Veja: 1

s

0

− Pasmem!:

1

0 ´ e um ponto de acumula¸ c~ ao de X!!!

Para se convencer de que 0 n˜ ao é ponto de acumula¸c˜ ao de X (nas três métricas usuais) reveja a figura (n˜ ao legendada) na pg. 264. Deixamos ao leitor a seguinte tarefa: dado r > 0 encontre (x, y) ∈ X de modo que, ` ´ B( 0; r) − { 0 } ∩ X 6= ∅. Escolha a bola em qualquer uma das métricas no espa¸co produto (pg. 153).

Proposi¸ c˜ ao 69. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . A seguinte identidade se verifica ¯ = X ∪ X′ X ¯ logo para todo r > 0 temos B( p; r) ∩ X 6= ∅ (⋆). Temos Prova: (⊂) Seja p ∈ X, ¯ ⊂ X ∪ X ′ . Se p 6∈ X ent˜ duas alternativas: p ∈ X ou p `6∈ X. Se p ∈ X´ ent˜ ao X ao de (⋆) conclu´ımos que ∀ r > 0 B( p; r) − { p } ∩ X 6= ∅, isto é, p ∈ X ′ . Neste caso ¯ ⊂ X ∪ X ′. também temos X ¯ e X ′ ⊂ X, ¯ logo X ∪ X ′ ⊂ X. ¯ O que demonstra a identidade. (⊃) J´ a vimos que X ⊂ X

287

Proposi¸ c˜ ao 70. Se p é um ponto de acumula¸c˜ ao de X ⊂ M , ent˜ ao toda bola aberta centrada em p contém infinitos pontos de X. Prova: Seja B(p; r) uma bola aberta que contém p e s´ omente um n´ umero finito de pontos de X diferentes de p (digamos a1 , a2 , . . . , an ). Precisamos mostrar que p n˜ ao é ponto de acumula¸c˜ ao de X. Para isto é suficiente exibir -construir- uma bola de centro p que n˜ ao contém quaisquer outros pontos de X diferentes de p. Com este intuito, escolhamos ε > 0 menor do que r e menor do que a distˆ ancia de p a qualquer dos pontos a1 , a2 , . . . , a n . Ent˜ ao ε < r ⇒ B(p; ε) ⊂ B(p; r)

e mais:

(6.3)

a1 6∈ B(p; ε)

ε < d(p, a1 ) ε < d(p, a2 ) ............... ε < d(p, an )

⇒

a2 6∈ B(p; ε) ............... an 6∈ B(p; ε)

Ent˜ ao a bola aberta B(p; ε) que contém p n˜ ao contém a1 , a2 , . . . , an ; e por (6.3) B(p; ε) n˜ ao contém quaisquer outros pontos de X diferentes de p. Esta u ´ltima conclus˜ ao contradiz o fato de que p é ponto de acumula¸c˜ ao de X. (M, d)

X

r rr r rp rr r rr

(M, d)

B(p; r)

X

r rr r rp rr r rr

B(p; r)

B(p; ε)

Proposi¸ c˜ ao 71. Seja (M, d) um espa¸co métrico. F ⊂ M é fechado se, e somente se, F ′ ⊂ F. Prova: (=⇒) Se F é fechado ent˜ ao F ′ ⊂ F .

Com efeito, j´ a vimos (proposi¸c˜ ao 58, pg. 273) que F ⊂ M é fechado ⇐⇒ F¯ = F

(⋆)

Se F é fechado ent˜ ao por (⋆) F¯ ⊂ F , mas como F ′ ⊂ F¯ ⇒ F ′ ⊂ F¯ ⊂ F.

(⇐=) Se F ′ ⊂ F ent˜ ao F é fechado. Com efeito, a inclus˜ ao F ⊂ F¯ é sempre v´ alida e como, por hip´ otese, F ′ ⊂ F , temos ′ ′ ¯ ¯ que F ∪ F ⊂ F ∪ F ⇒ F = F ∪ F ⊂ F . Portanto F = F e, novamente por (⋆), temos que F é fechado.

288

A tabela a seguir resume os diversos pontos vistos: Ponto

Defini¸ ca õ

Isolado

Conjunto

∃ r>0 : B( p; r)={ p }

(p∈M ) Interior

◦ X ou int X

∃ r>0 : B( p; r) ⊂ X

(p∈X ⊂M ) Fronteira (p∈M ) Aderente (p∈M ) Acumula¸ ca õ

∀ r>0 : B( p; r) ∩ X6= ∅ e B( p; r) ∩ X c 6= ∅

∂ X ou fr X

∀ r>0 : B( p; r) ∩ X6= ∅

¯ X

(fecho)

X′

(derivado)

∀ r>0 :

(p∈M )

`

´

B( p; r)−{ p } ∩ X6= ∅

Apˆ endice: Vejamos mais dois exemplos de densidade: 1o ) Seja f ∈ C[0, 1] e ε > 0 dado. Mostremos que ∃ n0 ∈ N e pontos ` i ε · ki ´ ` ε · kn 0 ´ ` ε · k0 ´ , , . . . , pi = , . . . , pn0 = 1, p0 = 0, 5 n0 5 5

ao inteiros) tais que, se g é a poligonal ligando os pi , ent˜ ao, (onde k0 , . . . , ki , . . . , kn s˜ 0

Υ(f, g) = max

n

o |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < ε

Em outras palavras, o `conjunto das´fun¸c˜ oes parcialmente lineares (ou fun¸c˜ oes poligonais) é denso no espa¸co C([0, 1]); Υ . yk

4ε 5 3ε 5 2ε 5

ε 5

0 −ε 5 − 2ε 5

6 r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r r r r

f

g

r

r

r r r

1/n

r

r

r 0

r r

2/n

r

r 0

r r r

r

r

r

r

r

r r r @ r @r r @ r r @ @r

r

r

r r

289

r r

r r r

r r r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r

⊢

r

- xi

1

1 n0

r

⊣

⊤ ⊥

ε 5

Prova: f sendo cont´ınua no intervalo I = [ 0, 1 ], é também uniformemente cont´ınua neste mesmo intervalo (teorema [AR] 10, pg. 58) ent˜ ao, por defini¸c˜ ao de continuidade uniforme (ver pg. 58), dado ε > 0 existe δ > 0 de modo que ∀ x, y ∈ [ 0, 1 ], |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| <

ε 5

(♮)

1 < δ, logo se (♮) é verdade, com mais raz˜ ao n0

Para este δ > 0 existe n0 ∈ N tal que ainda é verdade que

∀ x, y ∈ [ 0, 1 ], |x − y| ≤

ε 1 < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < n0 5

(6.4)

Consideremos o seguinte subconjunto de I × R:  ff i ε·k A = (xi , yk ) : xi = , yk = onde i = 0, 1, . . . , n0 ; k ∈ Z n0 5 Obs: A, na figura anterior, é a malha discreta. umero real e, como tal, Seja xi arbitrariamente fixado, temos que 5ε · f (xi ) é um n´ situa-se entre dois inteiros consecutivos, isto é, existe k ∈ Z de modo que k≤

5 · f (xi ) < k + 1 ε

multiplicando esta desigualdade por ε/5 temos ε·k ε ε·k ≤ f (xi ) < + 5 5 5 Fa¸camos yk = ε · k/5. Conclus˜ ao: existe um ponto (xi , yk ) ∈ A tal que yk ≤ f (xi ) < yk + 5ε . Ou ainda: fixado arbitrariamente uma abscissa xi existe uma ordenada yk de modo que (ver gr´ afico anterior) 0 ≤ f (xi ) − yk <

ε ε ⇒ |f (xi ) − yk | < 5 5

Observe que

ε 5 Conclus˜ ao: Fixada qualquer abscissa xi sempre podemos obter uma ordenada yk = g(xi ) de tal modo que a distˆ ancia (vertical) entre f (xi ) e g(xi ) é menor que ε/5. E mais: o ponto (xi , yk ) ∈ A satisfazendo a desigualdade anterior encontra-se abaixo do gr´ afico de f . Isto pode ser constatado no gr´ afico anterior. yk = g(xi ) ⇒ |f (xi ) − g(xi | <

Vamos agora interromper, por um momento, nossa demonstra¸c˜ ao para exemplificar a conclus˜ ao anterior para a fun¸c˜ ao dada por f (x) = x2 + 14 , por exemplo. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se x, y ∈ [ 0, 1 ] ent˜ ao |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < ε ⇒ |x + y| · |x − y| < ε Por outro lado 0 ≤ x, y ≤ 1

⇒

0 ≤ x+y ≤ 2

⇒

0 ≤ (x + y)|x − y| ≤ 2|x − y|

290

Dado ε > 0, tomando δ =

ε 2

teremos

|x − y| < δ =

ε ⇒ 2|x − y| < ε 2 ⇒ |x + y||x − y| ≤ 2|x − y| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < ε.

Por exemplo, para ε = 1 temos: n1 < δ = 2ε ⇒ n1 < 12 . Vamos escolher n0 = 4 0 0 (seria igualmente v´ alido n0 = 3). Ent˜ ao  ff i 1·k A = (xi , yk ) : xi = , yk = onde i = 0, 1, 2, 3, 4.; k ∈ Z 4 5 A seguir fornecemos maiores detalhes:

xi

f (xi )

5 ·f (x ) ε i

k

·k yk = ε 5

f (xi )−yk

ε 5

0.00

0.2500

1.2500

1

0.2

0.0500

0.2

0.25

0.3125

1.5625

1

0.2

0.1125

0.2

0.50

0.5000

2.5000

2

0.4

0.1000

0.2

0.75

0.8125

4.0625

4

0.8

0.0125

0.2

1.00

1.2500

6.2500

6

1.2

0.0500

0.2

6 q q q q q 1.0 q q q q q q q 0.4 q f 0.2 q g q q q 0 0.25 q −0.2 q q −0.4 q

q q q q q q q q q q

q q q q q q q q 0.75 q q

ε=1 ; n0 =4.

q q q q q q q q q1 q q

Vejamos mais um exemplo. Consideremos desta vez ε = 0, 5; ent˜ ao 1 ε 1 1 <δ= ⇒ < n0 2 n0 4 Vamos escolher n0 = 5. Ent˜ ao ff  0, 5 · k i onde i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.; k ∈ Z A = (xi , yk ) : xi = , yk = 5 5 A seguir fornecemos maiores detalhes

xi

f (xi )

5 ·f (x ) ε i

k

ε ·k yk = 5

f (xi )−yk

ε 5

0.0

0.25

2.5

2

0.2

0.05

0.1

0.2

0.29

2.9

2

0.2

0.09

0.1

0.4

0.41

4.1

4

0.4

0.01

0.1

0.6

0.61

6.1

6

0.6

0.01

0.1

0.8

0.89

8.9

8

0.8

0.09

0.1

1.0

1.25

12.5

12

1.2

0.05

0.1

6 q q q q q q q 1.0 q qq q q q q q q q q q q 0.4 q 0.3 q f q q q 0.2 g q 0.1 q q 0.2q 0q q q −0.2 q

q q q q q q q q q q q q q q q q

q q q q q q q q q q q q q q 0.6 q q

q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q1 q qq q q

ε=0.5 ; n0 =5.

291

Pois bem, voltando ` a demonstra¸c˜ ao, temos i 1 1 i+1 − = ⇒ |xi+1 − xi | ≤ n0 n0 n0 n0 ˛ ˛ Portanto, de (6.4), temos ˛f (xi+1 ) − f (xi )˛ < ε/5. Sendo assim temos xi+1 − xi =

˛ ˛ ˛ ˛ ˛g(xi+1 ) − g(xi )˛ ≤ |f (xi ) − g(xi )| + ˛f (xi+1 ) − f (xi )˛ ˛ ˛ + ˛g(xi+1 ) − f (xi+1 )˛ <

ε ε ε 3ε + + = 5 5 5 5

Para qualquer ponto z ∈ [ 0, 1 ] existe xi satisfazendo xi ≤ z < xi+1 . Como o gr´ afico de g entre xi e xi+1 é um segmento de reta, temos duas possibilidades: g é n˜ ao-decrescente ou g é n˜ ao-crescente entre xi e xi+1 . Consideremos g n˜ ao-decrescente neste intervalo (para g n˜ ao-crescente o racioc´ınio é o mesmo e seremos conduzidos ao mesmo resultado), ent˜ ao xi ≤ z < xi+1 ⇒ g(xi ) ≤ g(z) ≤ g(xi+1 ) ⇒ 0 ≤ g(z) − g(xi ) ≤ g(xi+1 ) − g(xi ) ˛ ˛ 3ε ⇒ 0 ≤ |g(z) − g(xi )| ≤ ˛g(xi+1 ) − g(xi )˛ < 5

Também

xi ≤ z < xi+1 ⇒ 0 ≤ z − xi < xi+1 − xi = ⇒ |f (z) − f (xi )| <

1 n0

ε 5

Logo, |f (z) − g(z)| ≤ |f (z) − f (xi )| + |f (xi ) − g(xi )| + |g(xi ) − g(z)| <

ε 5

ε 5

+

+

3ε 5

Como z ∈ [ 0, 1 ] é arbitr´ ario, segue que n o max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < ε ⇒ Υ(f, g) < ε.

292

=ε

Representa¸ c˜ os bin´ arias 2o ) O nosso objetivo agora ser´ a estabelecer um algoritmo que nos permita escrever um n´ umero x ∈ [ 0, 1 [ na base bin´ aria. Proposi¸ c˜ ao 72. Seja D o conjunto das fra¸c˜ oes di´ adicas (fra¸c˜ oes cujos denominadores s˜ ao potências de 2) no intervalo [ 0, 1 [, ou seja  ff 1 1 3 1 3 5 7 1 3 13 15 D= , , , , , , , , , ..., , , ... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 D é denso em [ 0, 1 [ (munido da métrica µ). Prova: Seja x ∈ [ 0, 1 [; dado ε > 0 arbitr´ ario devemos mostrar que no intervalo ]x − ε, x + ε[ existe um ponto m/q ∈ D. 1 1 A desigualdade n < vale para todo n natural. Pela propriedade arquimediana 2 n existe um natural n0 de modo que 1 1 1 <ε ⇒ < ε. < n 0 n0 n 2 0 n

Tomando q = 2 0 , considere os intervalos » » » » » » » » » » 1 1 2 2 3 q−2 q−1 q−1 0, , , , ,1 , , , ..., , q q q q q q q q h h contém x, , m+1 Como [ 0, 1 [ é a uni˜ ao dos intervalos acima, um dêles, digamos m q q isto é,

m q

≤x<

m+1 . q

Ent˜ ao

m m+1 m m 1 ≤x< ⇔ ≤x< + q q q q q Mas

1 q

< ε; logo 1 m 1 m <ε ⇒ + < +ε q q q q ⇒ x<

m 1 m + < +ε q q q

⇒ x−ε<

m . q

Portanto

m ≤x
O teorema seguinte nos mostra como obter a representa¸c˜ ao bin´ aria de qualquer ponto do intervalo [ 0, 1 [. Teorema 5 (Gentil). Dado x ∈ [ 0, 1 [ e ε > 0 existem um natural n0 e digitos xi ∈ { 0, 1 } tais que xn −1 xn x x x = 11 + 22 + · · · + n 0 −1 + n00 2 2 2 2 0 com erro menor que ε.

293

n0

Prova: Escolhamos n0 ∈ N de modo que n10 < ε. Fa¸camos 2 2 na proposi¸c˜ ao 72 existe um natural m de modo que

= q. Tal como

m+1 m ≤x< q q

(6.6)

Desta equa¸c˜ ao obtemos m, assim: m+1 m ≤x< ⇒ m ≤ q · x < m + 1 ⇒ m = ⌊q · x⌋. q q De seguida obtemos o desenvolvimento bin´ ario do natural m, assim: n −1 0

m = x1 · 2

n −2 0

+ x2 · 2

+ · · · + xn

n −(n −1) 0 0

0

−1

·2

n −n 0 0

+ xn0 · 2

Ou seja, n0 −1

m = x1 · 2

n0 −2

+ x2 · 2 n0

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por 2

+ · · · + xn

0

−1

· 21 + xn0 · 20

(6.7)

obtemos

xn −1 xn m x x = 11 + 22 + · · · + n 0 −1 + n00 n 0 2 2 2 0 2 2

(6.8)

Da equa¸c˜ ao (6.6) vemos que (6.8) é um valor aproximado (menor ou igual) de x, isto é xn −1 xn x1 m x2 0 0 ≃x n0 = n 1 + 2 + ··· + n −1 + 0 2 2 2 2 0 2 e, pelo lema, temos que m (6.9) |x − x ˜| < ε, onde x ˜ = n0 . 2 ⊙ ⊙ ⊙

Justificativa de (6.7): Os digitos bin´ arios no desenvolvimento de m devem ser n todos nulos a partir da potência 2 0 (inclusive). n De fato, se tal n˜ aon acontecesse ter´ıamos m ≥ 2 0 , o que é inconsistente com 0 m ≤ q · x, isto é, m ≤ 2 · x; pois sendo n

x<1 ⇒ 2

0

n

·x<2

0

n

⇒ m<2

0

.

Questionamento: Os digitos (x1 x2 . . . xn0 ) est˜ ao corretos (e s˜ ao u ńicos) para a fra¸c˜ ao x ˜= m e apenas uma aproxima¸c˜ ao para x (isto é, |x − x ˜| < ε). Até n0 , mas esta ´ 2 que ponto podemos confiar que estes sejam os n0 primeiros digitos do desenvolvimento de x?. Supondo que o desenvolvimento de x seja x=

xn −1 xn +1 xn +2 xn x x1 + 22 + · · · + n 0 −1 + n00 + n 0 +1 + n 0 +2 + · · · 0 0 21 2 2 2 2 2 0

para nos assegurar que os digitos (x1 x2 . . . xn ) estejam corretos para x, devemos 0 escolher∗ o menor natural n0 satisfazendo n01+1 < ε, isto é, 2

1 (n −1)+1 0

2

=

1 n0

2

≥ε

∗ A propriedade arquimediana e o Princ´ ıpio da boa ordena¸ca õ, conjuntamente, nos garantem que esta escolha sempre ´ e poss´ıvel.

294

De fato, suponhamos que apenas o digito xn0 esteja incorreto, sendo assim |x − x ˜| =

1 n

2

0

+

xn

+1 0 n +1 0

2

+··· ≥ ε

Isto contradiz (6.9). Se qualquer outro digito xk com k < n0 estiver incorreto, chegaremos ` a mesma contradi¸c˜ ao. Conclus˜ ao: Escolhendo n0 o menor natural satisfazendo n01+1 < ε podemos asse2

ario de x ∈ [0, 1[, est˜ ao gurar que os digitos x1 , x2 , . . . , xn , no desenvolvimento bin´ 0 todos corretos.

Algoritmo Os argumentos anteriores nos facultam um algoritmo para o desenvolvimento bin´ ario de um x ∈ [ 0, 1 [. Vejamos como através de um

Exemplo: Obter o desenvolvimento bin´ ario de x = 1/3 com uma precis˜ ao ε = 0, 01. Solu¸ c˜ ao: Vimos que devemos escolher o menor n0 satisfazendo

< ε, ent˜ ao

j 1k ⇒ n0 = log 2ε

1

n0 + 1 > log2ε Sendo assim,

1 n +1 2 0

— — 1 1 = 21. n0 = log 20,01 = 6 ⇒ m = 26 · 3

Observe que

˛ ˛ ˛ ˛ ˛m ˛ ˛ ˛ ˛ − x˛ = ˛ 21 − 1 ˛ = 0, 005208 . . . < ε. ˛ ˛ 26 ˛q 3˛

Agora desenvolvemos m = 21 na base bin´ aria:

21 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 n0

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por q = 2

6

= 2 , temos

21 1 0 1 0 1 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 26 2 2 2 2 2 =

0 1 0 1 0 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 21 2 2 2 2 2

Conclus˜ ao: (010101)2 é o desenvolvimento bin´ ario de x = 1/3 com erro menor que um centésimo. Para que possamos “automatizar” todo o processo anterior, vamos fornecer uma f´ ormula (a prova da mesma encontra-se em [6]) que nos faculta o desenvolvimento bin´ ario de um natural m, consoante o algoritmo anterior xn =

j

m n0 −n

2

k

j −2

m n0 −n+1

2

k ;

(n = 1, 2, . . . , n0 )

Exemplo: Considere o exemplo anterior em que n0 = 6 e m = 21. Pois bem, xn =

j 21 k j 21 k − 2 6−n+1 ; 6−n 2 2

295

(n = 1, 2, . . . , 6.)

ent˜ ao j 21 k j 21 k − 2 6−1+1 = 0, 6−1 2 2 j 21 k j 21 k − 2 6−2+1 = 1, n = 2 ⇒ x2 = 26−2 2 j 21 k j 21 k n = 3 ⇒ x3 = − 2 6−3+1 = 0, 26−3 2

n = 1 ⇒ x1 =

e assim por diante.

Representa¸ co ˜es tern´ arias O que foi feito para a base 2 pode ser repetido para a base 3. Dado ε > 0 escolhemos o menor n0 de modo que j 1k 1 1 ⇒ n0 + 1 > log 3ε ⇒ n0 = log3ε n +1 < ε 3 0 n

Obtido q = 3

0

, da equa¸c˜ ao

m q

≤x<

m+1 q

obtemos m; assim:

m+1 m ≤x< ⇒ m ≤ q · x < m + 1 ⇒ m = ⌊q · x⌋ q q Em seguida obtemos o desenvolvimento tern´ ario de m ∈ N, ou seja n −1 0

m = x1 · 3

n −2 0

+ x2 · 3 n

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por 3

0

+ · · · + xn

0 −1

· 31 + xn0 · 30

, temos

xn −1 xn x m x = 11 + 22 + · · · + n 0 −1 + n00 ≃ x n 0 3 3 3 3 3 0 Ilustraremos o desenvolvimento em base 3 através de um exemplo. Exemplo: • Obter o desenvolvimento tern´ ario de x = 2/7 com uma precis˜ ao ε = 0, 01. Solu¸ c˜ ao:

Observe que

— — 1 2 n0 = log30,01 = 4 ⇒ m = 34 · = 23. 7

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛m 2 ˛˛ ˛ − x˛ = ˛ 23 − = 0, 001764 . . . < 0, 01. ˛ ˛ 34 ˛q 7˛ Agora desenvolvemos m = 23 na base 3, temos 23 = 2 · 32 + 1 · 31 + 2 · 30 n0

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por q = 3

4

= 3 , temos

2 1 2 23 = 2 + 3 + 4 34 3 3 3 =

0 2 1 2 + 2 + 3 + 4 31 3 3 3

Conclus˜ ao: (0212)3 é o desenvolvimento na base 3 de x = 2/7 com erro menor que um centésimo.

296

Para que possamos “automatizar” todo o processo anterior, vamos fornecer uma f´ ormula que nos faculta o desenvolvimento na base 3 de um natural m, consoante o algoritmo anterior j k j m k m − 3 n −n+1 (n = 1, 2, . . . , n0 ) xn = n0 −n 0 3 3 Exemplo: Considere o exemplo anterior em que n0 = 4 e m = 23. Ent˜ ao j 23 k j 23 k − 3 4−n+1 ; (n = 1, 2, 3, 4.) xn = 34−n 3

ent˜ ao

j 23 k j 23 k − 3 4−1+1 = 0. 4−1 3 3 j 23 k j 23 k n = 2 ⇒ x2 = − 3 4−2+1 = 2. 34−2 3 j 23 k j 23 k n = 3 ⇒ x3 = − 3 4−3+1 = 1. 34−3 3

n = 1 ⇒ x1 =

E assim por diante.

297

Topologia quˆ antica Nota: Apenas para efeitos did´ aticos unificarei os conceitos de ponto fronteira, ponto aderente e ponto de acumula¸c˜ ao a um conjunto. Se um ponto estiver na fronteira, for aderente ou de acumula¸c˜ ao a um conjunto direi que este ponto est´ a “colado” ao conjunto. Meditando algum tempo sobre os (surpreendentes) resultados topol´ ogicos deste cap´ıtulo fui conduzido a um insuspeito paralelo com a f´ısica quˆ antica. Com efeito, observemos a figura a seguir,

s

X 1 2

0

− Pasmem!:

1

0 est´ a colado ao conjunto X!!!

Ou ainda, esta mesma figura em duas dimens˜ oes, 1

s

0

− Pasmem!:

1

0 est´ a colado ao conjunto X!!!

Perguntamos: o que faz com que o ponto 0 esteja colado† , ou n˜ ao, ao conjunto X? Uma resposta ´ obvia seria: a métrica escolhida. Contudo ainda estamos insatisfeitos. Perguntamos ainda: no caso do ponto est´ a colado, seria poss´ıvel vermos a “cola” que o liga ao conjunto? A resposta é afrimativa: Sim! esta cola é, precisamente, a bola aberta, veja: 1

1

0

1

0

− Métrica cl´ assica:

1

− Métrica divina:

0 n˜ ao est´ a colado a X.

0 est´ a colado a X.

No segundo caso, como se vê, de fato existe “algo” ligando (conectando) o ponto 0 ao conjunto X.

† Ou

ainda: que sua distˆ ancia ao conjunto seja nula.

298

Onda topol´ ogica Em 1924 o f´ısico francês Louis De Broglie levantou a conjectura de que a matéria, em certas circunstˆ ancias, poderia ter caracter´ısticas ondulat´ orias, o que foi confirmado experimentalmente em 1927 através dos experimentos de C. J. Davisson e L.H. Germer, dos Bell Telephone Laboratories. Aqui, inspirados pelas ondas de matéria de De Broglie, estaremos associando a um ponto topol´ ogico∗ uma “onda” e provaremos que por conta desta onda um ponto matem´ atico (topol´ ogico) pode encontrar-se simultˆ aneamente em v´ arios lugares e, ademais, pode transitar entre v´ arias regi˜ oes disjuntas† sem passar por pontos intermédios (isto é, por pontos “entre as regi˜ oes”). Raciocinamos: se isto pode se dar com um ponto matem´ atico - que é um ente abstrato e sem dimens˜ ao - com mais raz˜ ao ainda pode dar-se com um objeto quˆ antico. Pois bem, a todo ponto topol´ ogico podemos associar uma onda: uma bola aberta de centro neste ponto. ` ´ Observe que a “onda cl´ assica”, BD (0, 0); r , n˜ ao consegue conectar o ponto (0, 0) 1 ao conjunto X, tendo em vista que a defini¸c˜ ao de ponto aderente exige que para todo r > 0, a “onda” intercepte o conjunto X. Esta exigência é satisfeita pela “onda ` ´ divina”: BD (0, 0); r . 1

Uma outra observa¸c˜ ao é que podemos ver uma “onda topol´ ogica” em seu aspecto dinˆ amico uma vez que “ ∀ r > 0 ” faz as vezes do tempo, t > 0. Ou seja, em ambas as situa¸c˜ oes anteriores podemos ver a “dinˆ amica” da onda. No caso da “topologia cl´ assica”, digo, no caso da topologia euclidiana, nem todas as ondas interceptam o conjunto X, raz˜ ao porque a√distˆ ancia da origem (0, 0) ao conjunto X é positiva, mais precisamente d(0, X) = 2/2. No caso da “topologia quˆ antica”, digo, métrica divina, todas as ondas interceptam o conjunto X, raz˜ ao porque a distˆ ancia da origem (0, 0) ao conjunto X é nula. Nota: O que distingue a topologia quˆ antica da cl´ assica é apenas esta nova vis˜ ao (com todos os seus - poss´ıveis - corol´ arios) de que a todo ponto p, geométrico, est´ a associado uma onda (pulsante, quando necess´ ario): B(p, r).

Assim como foi decisiva, para o estabelecimento da mecˆ anica quˆ antica, a conjectura de De Broglie a respeito das ondas de matéria; de igual modo nossa, n˜ ao conjectura, mas perspectiva de associar uma onda a um ponto geométrico dever´ a inaugurar uma nova disciplina: a Topologia Qu^ antica. Vamos mostrar agora que algumas assertivas da f´ısica quˆ antica, que agridem o nosso “bom” senso - como por exemplo a de que um objeto pode est´ a em v´ arios lugares simultˆ aneamente - encontram respaldo na topologia quˆ antica. Defini¸ c˜ ao 5. Seja (M, d) um espa¸co métrico, R ⊂ M uma regi˜ ao (subconjunto) de M , e p um ponto de M. Dizemos que o ponto p encontra-se na regi˜ ao R se e s´ o se sua distˆ ancia para esta regi˜ ao for nula. N˜ ao é dif´ıcil provar que um ponto estar´ a presente em uma regi˜ ao se, e somente se, sua onda intercepta a regi˜ ao:

∗ Isto

† Isto

´ e, a um ponto de um espa¸co topol´ ogico. Um espa¸co m´ etrico ´ e um espa¸co topol´ ogico. ´ e, sem pontos em comum.

299

Proposi¸ c˜ ao 73. Seja (M, d) um espa¸co métrico, R ⊂ M uma regi˜ ao de M , e p um ponto de M. Ent˜ ao, d(p, R) = 0 ⇐⇒ B(p; r) ∩ R 6= ∅;

∀ r > 0.

Prova: ¯ logo, por defini¸c˜ ( ⇒ ) De fato, pela proposi¸c˜ ao 63 (pg. 278) p ∈ R, ao de ponto aderente, decorre a tese. ¯ portanto - ainda pela proposi¸c˜ ( ⇐ ) Com efeito, da hip´ otese decorre que p ∈ R, ao 63 - temos d(p, R) = 0.

Desta forma, uma quest˜ ao que resolvemos com a maior facilidade na topologia quˆ antica é: pode um objeto “est´ a simultˆ aneamente em dois (ou mais) lugares”? Respondemos que sim, e dizemos porquê. De fato, considere M = [ 0, 1 [, R = [ 1/2, 1[ e p = 0. Observe:

s

1 4

0

1 2

3 4

1

R

onde, em azul, temos a bola aberta Bk (0, 1/4). Tendo em conta a proposi¸c˜ ao anterior e o diagrama de bolas abertas ` a pg. 163 podemos dizer que o ponto p encontra-se em dois lugares (regi˜ oes, subconjuntos) simultˆ aneamente, quais sejam: R1 = { 0 } e R2 = [ 1/2, 1[ Observe que um ponto pode estar presente em v´ arios lugares por intermédio (influência) de sua onda. A figura acima nos mostra ainda como é plaus´ıvel a conjectura quˆ antica de que um ponto pode “deslocar-se” de um lugar a outro sem passar por pontos intermédios. Estaremos provando isto no cap´ıtulo 7 (pg. 438). O n´ umero de regi˜ oes em que um ponto pode estar presente simultˆ aneamente é fun¸c˜ ao da “dimens˜ ao” do espa¸co (hipercubo [ 0, 1[ n ). Por exemplo, no quadrado [ 0, 1[ 2 um ponto pode estar presente, simultˆ aneamente, em quatro regi˜ oes. Observe a figura a seguir, (1, 1)

1

3 4

¬

1 2

` BD (0, 0); 1

1 4

´

=⇒

1 4

1 4

¬

0

1 2

3 4

1

O ponto p = 0 est´ a presente, simultˆ aneamente, em quaisquer quatro regi˜ oes que “contenham” os vértices do quadrado (ver capa deste livro).

300

De um modo geral, no hipercubo [ 0, 1[ n um ponto pode estar presente em até 2n regi˜ oes. Por exemplo, no cubo a seguir (n = 3),

s

s

a origem (ponto em destaque) encontra-se presente em quaisquer oito regi˜ oes que contenham os vértices do cubo. Observe que, sob uma determinada ´ otica, n˜ ao é relevante se é assim mesmo que “ocorre na realidade”, o que importa aqui (o que é relevante) é que a matem´ atica nos fornece uma ferramenta para tentarmos compreender o que pode ocorrer no mundo subatˆ omico. Neste sentido é que afirmo que a matem´ atica é o mais poderoso dos microsc´ opios, como também o mais poderoso dos telesc´ opios. Pelo ao menos no que diz respeito a mim, quando lia na literatura a respeito de algumas “excentricidades quˆ anticas”, n˜ ao dispunha de nenhum fulcro para al¸car minha compreens˜ ao, a topologia quˆ antica me fornece um ponto de apoio. Ademais, o nosso ponto de vista se coaduna com o do cientista Stephen Hawking quando este assevera: N˜ ao h´ a, porém, como discernir o que é real no universo sem uma teoria. Assumo por isso o ponto de vista, j´ a qualificado de simpl´ orio ou ingênuo, de que uma teoria da f´ısica é nada mais nada menos que um modelo matem´ atico que usamos para expressar os resultados de observa¸c˜ oes. Uma teoria é boa se for um modelo elegante, se descrever uma ampla classe de observa¸c˜ oes, e se previr o resultado de novas observa¸c˜ oes. N˜ ao faz sentido ir além disso, perguntando se ela corresponde a ` realidade, porque, independentemente de uma teoria, n˜ ao sabemos o que é realidade. (Do livro: “Buracos Negros, Universos-Bebˆ es”)

Noumeno e Fenômeno Ainda dentro do contexto em pauta, o idealismo transcendental daquele que é considerado o mais importante filos´ ofo moderno, o alem˜ ao Immanuel Kant (1724 − 1804) aceita a existência de coisas-em-si (“noumeno”), mas considera que a ciência s´ o tem acesso ` as coisas-para-n´ os, os “fenˆ omenos”. Tais fenˆ omenos, porém, seriam organizados pelo nosso aparelho perceptivo e cognitivo, sendo assim em parte dependentes do sujeito.

301

Desafios

´ (Ilus˜ oes de Otica × Ilus˜ oes de L´ ogica)

Introdu¸ c˜ ao: O leitor certamente possui conhecimento de algumas ilus˜ oes de ´ otica tais como as três a seguir:

Em cada uma destas figuras podemos enxergar duas realidades distintas. Pois bem, pela primeira vez na hist´ oria, assim acreditamos, estamos criando as ilus˜ oes de l´ ogica - que s˜ ao figuras (“matem´ aticas”) nas quais podemos enxergar duas realidades distintas, tal como numa ilus˜ ao de ´ otica. No presente desafio apresentamos duas ilus˜ oes de l´ ogica. 1o )

Desafio

Na figura ao lado ponto 0 encontra-se isolado das três regi˜ oes em destaque, esta é uma realidade. A outra realidade é que podemos ver este mesmo ponto como n˜ ao isolado das três regi˜ oes. Nota: N˜ ao isolado significa “colado”, aderente. O desafio que deixamos ao leitor consiste precisamente em encontrar uma l´ ogica de modo que possamos ver esta segunda possibilidade.

s

0

Nota: Existe uma proposi¸c˜ ao (afirmativa) da f´ısica quˆ antica de que um objeto quˆ antico (életron, por exemplo) pode est´ a em v´ arios lugares simultˆ aneamente. Podemos considerar esta nossa ilus˜ ao de l´ ogica (paradoxo) como sendo uma vers˜ ao matem´ atica desta proposi¸c˜ ao quˆ antica - uma vez que podemos ver (na segunda realidade) o ponto 0 nas três regi˜ oes simultˆ aneamente. 2o )

Desafio

Dados dois pontos quaisquer na figura ao lado n˜ ao podemos un´ı-los por um tra¸co cont´ınuo totalmente contido na figura (como ilustrado). De outro modo: sentando a ponta de um l´ apis no primeiro ponto n˜ ao podemos alcan¸car o segundo sem levantar a ponta e sem sair da figura. Esta é uma realidade. O desafio consiste em encontrar uma l´ ogica de tal forma que isto sempre seja poss´ıvel (esta é a segunda realidade).

s

s

s

0

Nota: Existe uma proposi¸c˜ ao da f´ısica quˆ antica de que um objeto quˆ antico pode transitar entre v´ arias regi˜ oes disjuntas (sem pontos em comum) sem passar por pontos intermédios (pontos “entre” as regi˜ oes). Podemos considerar esta nossa ilus˜ ao de l´ ogica como sendo uma vers˜ ao matem´ atica desta proposi¸c˜ ao quˆ antica - uma vez que podemos tra¸car um caminho (tra¸co cont´ınuo) do ponto 0 a qualquer outro ponto das outras regi˜ oes. (www.dmat.ufrr.br/∼gentil)

302

Cap´ıtulo

7

˜ FUNC ¸ OES CONT´ıNUAS “Quando o esp´ırito se apresenta a` cultura cient´ıfica, nunca ´ e jovem. Ali´ as ´ e bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder a ` ciˆ encia ´ e rejuvenescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ca õ que contradiz o passado.” (Gaston Bachelard)

Introdu¸ c˜ ao Aqui generalizamos para o contexto dos espa¸cos métricos o (importante) conceito de fun¸c˜ ao cont´ınua, estudado no C´ alculo e na An´ alise. Prevendo poss´ıveis “crises existênciais” pelas quais o leitor poder´ a vir a passar em mais este cap´ıtulo é que julgamos oportuno lembrar: “[. . .] e é por isto que resultados incompat´ıveis entre si podem ser igualmente verdadeiros, contanto que os relacionemos com m´ etricas diferentes” (par´ afrase, pg. 84). Defini¸ c˜ ao 42 (Continuidade). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Diz-se que a aplica¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua no ponto a ∈ M quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pudermos exibir δ > 0 de modo que se ` ´ d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < ε.

f

(M, d1 )

qa

qf (x) q ε f (a)

x δ

(N, d2 )

∃ δ>0

∀ ε>0

Figura 7.1: Defini¸caõ de continuidade em um ponto a ∈ M. Diremos que f é cont´ınua em M quando f for cont´ınua em todo ponto a ∈ M . A seguir damos uma outra caracteriza¸c˜ ao de continuidade - via bolas abertas.

303

Proposi¸ c˜ ao 74. Uma fun¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, `d2 ) é cont´ ´ ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, dada arbitrariamente uma bola Bd f (a); ε existe uma bola Bd (a; δ) 2 1 de modo que ` ´ ` ´ f Bd (a; δ) ⊂ Bd f (a); ε 1

(M, d1 )

Bd (a; δ) 1

δ

(N, d2 )

q

qa x

2

f

q

qf (x)

-

Bd (f (a); ε) 2

f (a)

6

∃ δ>0

∀ ε>0

f ( Bd (a; δ) )={ f (x) : x ∈ Bd (a; δ) } 1

1

Resumindo: para mostrar que f : M −→ N é cont´ınua em a ∈ M primeiramente devemos centrar em f (a) uma bola de raio ε. Em seguida devemos procurar um raio δ > 0 de tal modo que a imagem, por f , de todo ponto x ∈ Bd (a; δ) caia dentro da 1 ` ´ bola Bd f (a); ε . 2

Descontinuidade

Quando uma fun¸c˜ ao f n˜ ao é cont´ınua no ponto que f é descont´ınua nesse ` a, dizemos ´ ponto. Isto significa que existe uma bola Bd f (a); ε0 com a seguinte propriedade: 2 para toda bola centrada em a, isto é, Bd (a; δ), podemos exibir um ponto xδ ∈ Bd (a; δ) 1 1 ´ ` tal que f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 . 2 A seguir colocamos em s´ımbolos, tanto a continuidade quanto a descontinuidade em um ponto a ∈ M : (continuidade em a)

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

“

∃

∀

∃

“

ε0 >0

δ>0

x

xδ

` ´” x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε 1

2

` ´” xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 1

2

(descontinuidade em a)

Nota: Para entender a nega¸c˜ ao de continuidade ver corol´ ario 2 (pg. 31).

Importante! Deve ficar bem claro (transparente) para o leitor o papel desempenhado pelos n´ umeros ε e δ, na defini¸c˜ ao de continuidade. Com este intuito observemos o conte´ udo desta defini¸c˜ ao de uma outra perspectiva: Suponhamos que você queira provar, a um seu - fict´ıcio - advers´ ario, que f é cont´ınua em um ponto a ∈ M . Pois bem, seu advers´ ario fornecer´ a a você os valores de ε > 0. Para cada valor de ε (que lhe for fornecido) você ter´ a que devolver ao seu advers´ ario um n´ umero δ > 0 satisfazendo a condi¸c˜ ao ` ´ ∀ x ∈ M com d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < ε. Se o leitor conseguir esta fa¸canha, para cada valor de ε que lhe for fornecido arbitrariamente, ent˜ ao ter´ a provado que f é cont´ınua no ponto a. O raio δ procurado é fun¸c˜ ao do ε fornecido, o que justificar´ a a nota¸c˜ ao δ = δ(ε) = δε .

304

Generalizando Por oportuno, n˜ ao apenas na defini¸c˜ ao de continuidade, mas em qualquer outra que aparecer “para todo” ( ∀ ) é seu advers´ ario quem fixa (arbitrariamente) um valor; j´ a onde aparece “existe” ( ∃ ) é você que devolve (exibe) a êle um valor (por exemplo, veja a defini¸c˜ ao de convergência de seq¨ uências, pg. 199). Como ilustra¸c˜ ao, vejamos a defini¸c˜ ao de descontinuidade em um ponto: ∃

ε0 >0

∀

δ>0

∃

xδ

“

` ´” xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 1

2

(descontinuidade em a)

Neste caso se você leitor quer provar a seu advers´ ario que uma dada fun¸c˜ ao é descont´ınua num ponto a ∈ M , ent˜ ao você deve exibir a êle um ε0 > 0 de sorte que: para todo δ > 0 que seu advers´ ario fixar, você deve exibir um ponto xδ dentro da bola de centro a e raio δ e tal que a imagem deste ponto n˜ ao caia dentro da bola de centro f (a) e raio ε0 (que você exibiu inicialmente). A afirmativa, remanescente do C´ alculo, de que o gr´ afico de uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um ponto n˜ ao apresenta “salto” neste ponto, deixa de valer na An´ alise. A seguir veremos um exemplo de uma fun¸c˜ ao cont´ınua em um ponto cujo gr´ afico apresenta um salto neste mesmo ponto. Por outro lado veremos também o caso de uma fun¸c˜ ao (identidade) cujo gr´ afico n˜ ao apresenta salto em ponto algum, mesmo assim a fun¸c˜ ao é descont´ınua em todo ponto. Exemplos e Contra-exemplos: (

1) Seja f : R −→ R dada por f (x) =

x,

se x 6= 1;

2,

se x = 1.

cujo gr´ afico est´ a dado a seguir f (x)

6 2

q

1

q

r

q1

305

-x

O nosso objetivo ser´ a estudar a continuidade de f no ponto x = 1, em diferentes espa¸cos métricos. Vamos confirmar a seguinte tabela f : (M, d1 )−→(N, d2 )

x=1

1.1)

(R, δ)

(R, δ)

C

1.2)

(R, µ)

(R, δ)

D

1.3)

(R, δ)

(R, µ)

C

1.4)

(R, µ)

(R, µ)

D

onde: C significa cont´ınua e D significa descont´ınua. 1.1) f : (R, δ) −→ (R, δ)

Aqui existe a possibilidade de confus˜ ao entre a métrica δ e o n´ umero real δ > 0, raz˜ ao porque quando os dois ocorrerem em um mesmo contexto colocaremos um ponto ˙ sobre o delta métrica: δ. Para mostrar que f é cont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola − de raio ε arbitr´ ario − em f (1) = 2. Temos (˘ ¯ f (1) , se 0 < ε ≤ 1; ` ´ Bδ˙ f (1); ε = R, se ε > 1. Devemos exibir δ > 0 de tal modo que a imagem de todo ponto dentro da bola Bδ˙(1; δ) caia dentro da bola Bδ˙ (2; ε). ´ suficiente escolher δ = 1 . Pois E 2 “ ` 1 ´” ` ´ = f ({ 1 }) = { 2 } ⊂ Bδ˙ f (1); ε ; ∀ ε > 0. f Bδ˙ 1; 2

Analise figura a seguir f (x) B˙(f (1); ε>1) =R δ

f (x)

6 2

q

1

q

B˙(f (1); ε≤1) ={ 2 }

r

ց

ց 2

1

1

q

6

δ

-x

տ

={ 1 } B˙(1; 1 2) δ

r

q

q 1

q

-x

տ

1 ={ 1 } B˙(1; 2 ) δ

Isto mostra que f é cont´ınua no ponto x = 1, considerando (R, δ) como espa¸co de partida e de chegada de f . 1.2) f : (R, µ) −→ (R, δ)

Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola em f (1) = 2, de raio, por exemplo, ε0 = 12 . Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola Bµ(1; δ) =]1 − δ, 1 + δ[ encontraremos um ponto xδ de modo que ` ´ f (xδ ) 6∈ Bδ˙ f (1); 21 = {f (1)} = { 2 }.

306

Vamos tomar, por exemplo, xδ =

(1−δ)+1 2

= 1 − 2δ .

f (x) ) ={ 2 } B˙(f (1); 1 2 δ

6 ց 2

q

1 f (xδ )q

r ] rq 1 [ տ 1+δ

1−δ

-x

xδ

Como δ 6= 0 ⇒ xδ 6= 1 ⇒ f (xδ ) = xδ = 1 − 2δ . Observe que, ` δ 1´ = {2} ⇐⇒ 1 − = 2 ⇐⇒ δ = −2. f (xδ ) ∈ Bδ˙ f (1); 2 2 ` ´ Isto mostra a impossibilidade de que f (xδ ) ∈ Bδ˙ f (1); 21 , qualquer que seja δ > 0. Portanto f é descont´ınua no ponto x = 1, considerando (R, µ) como espa¸co de partida e (R, δ) como espa¸co de chegada de f . 1.3) f : (R, δ) −→ (R, µ)

Para mostrar que f é cont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola - de raio ε arbitr´ ario - em f (1) = 2: Bµ(f (1); ε) =]f (1) − ε, f (1) + ε[=]2 − ε, 2 + ε[ Devemos exibir δ > 0 de tal modo que a imagem de todo ponto dentro da bola ´ suficiente escolher δ = 1 . Bδ˙(1; δ) caia dentro da bola Bµ(2; ε). E 2 f (x)

6

2+ε 2

q

2−ε 1

r

q

q

1տ

-x

1 ={ 1 } B˙ 1; 2 δ

(

)

Observe que “ ` 1 ´” f Bδ˙ 1; = f ({ 1 }) = {2} ⊂ Bµ(f (1); ε) =] 2 − ε, 2 + ε [; ∀ ε > 0. 2

Isto mostra que f é cont´ınua no ponto x = 1, considerando (R, δ) como espa¸co de partida e (R, µ) como espa¸co de chegada de f . Nota: Observe que o δ é constante, isto é, n˜ ao depende do ε fornecido. 1.4) f : (R, µ) −→ (R, µ)

Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola em

307

f (1) = 2, de raio, por exemplo, ε0 = 12 . Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola Bµ(1; δ) =]1 − δ, 1 + δ[ encontraremos um ponto xδ de modo que ` ´ ˜ ˆ ˜ ˆ f (xδ ) 6∈ Bµ f (1); 21 = 2 − 12 , 2 + 21 = 23 , 52 . Vamos tomar, por exemplo, xδ =

(1−δ)+1 2

= 1 − δ2 .

f (x) 5 2

2

6

r

q

3 2

1 f (xδ )q

] q q1 [ տ 1+δ

1−δ

-x

xδ

Como δ 6= 0 ⇒ xδ 6= 1 ⇒ f (xδ ) = xδ = 1 − 2δ . ` ´ Observe que 1 − 2δ < 1, o que significa que f (xδ ) 6∈ Bµ 2; 12 , ∀ δ > 0. Isto mostra que f é descont´ınua no ponto x = 1, considerando (R, µ) como espa¸co de partida e de chegada de f . 2) A fun¸c˜ ao f : (R − { 0 }, µ) −→ (R, µ) definida por R

6 1

x f (x) = = |x|

(

1, se x > 0; −1, se x < 0.

- R−{ 0 }

∴

−1

é cont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio. Com efeito, dado ε > 0 e a ∈ R − { 0 } é suficiente escolher 8 < a , se a > 0; 2 δ= :− a , se a < 0. 2 Pois (para a > 0)

∀ x ∈ Bµ(a; δ) =]a − δ, a + δ[=

–

a 3a , 2 2

»

⇒ x>

a >0 2

⇒ f (x) = 1 ∈ Bµ(f (a); ε) =]1 − ε, 1 + ε[ também (para a < 0) ∀ x ∈ Bµ(a, δ) =]a − δ, a + δ[=

–

3a a , 2 2

»

⇒ x<

a <0 2

⇒ f (x) = −1 ∈ Bµ(f (a), ε) =] − 1 − ε, −1 + ε[

308

Observe que δ = δ(a) independe do ε > 0 dado. R

R

6

6

1+ε

1

1

1−ε

q

]

a

a−δ

[a+δ

R−{ 0 }

∴

] a−δ

q

a

- R−{ 0 }

[ a+δ −1+ε

−1

−1

−1−ε

3) A fun¸c˜ ao f : (R∗+ , µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = Com efeito, dados a ∈ R∗+ e ε > 0 escolhemos a−δ =

1 a

1 é cont´ınua. x

1 a2 ε ⇒ δ= 1 + aε +ε

f (x)

6 f

1 +ε a 1 a 1 −ε a

0

q

1 1 +ε a

!

= 1 +ε ⇒ f −1 a

( a1 +ε)= 1 1+ε =a−δ a

] q[ a

a−δ

-x

a+δ

Vamos mostrar que para este δ = δ(ε, a), temos x ∈ R∗+ , |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε De fato,

ent˜ ao,

8 |x−a| a2 ε < xa < xa(1+aε) a2 ε |x − a| < ⇒ : 1 + aε a2 ε x − a > − 1+aε x−a>

(♭)

a2 ε a −a2 ε ⇒ x>a− = 1 + aε 1 + aε 1 + aε ⇒ x> ⇒

a ⇒ a < x(1 + aε) 1 + aε

a a2 ε <1 ⇒ < ε. x(1 + aε) xa(1 + aε)

309

Com aux´ılio da desigualdade ( ♭ ) conclu´ımos que |f (x) − f (a)| =

|x − a| <ε xa

Isto mostra que f é cont´ınua em a. 4) A fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, δ) dada por f (x) = x (identidade) é descont´ınua em cada ponto do seu dom´ınio. Vamos mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 (em qualquer outro ponto o racioc´ınio é o mesmo). Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola em f (1) = 1, de raio, por exemplo, ε0 = 12 : ` 1´ Bδ˙ f (1); = { f (1) } = { 1 }. 2

Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola

Bµ(1; δ) =]1 − δ, 1 + δ[ encontraremos um ponto xδ de modo que ` ´ f (xδ ) 6∈ Bδ˙ f (1); 12 . Vamos tomar xδ = (1−δ)+1 = 1 − 2δ . 2 f (x)

6 1 ={ 1 } B˙(f (1); 2 ) δ

ց 1

f (xδ )

ր

r q

] rq 1 [ տ 1+δ

1−δ

-x

xδ

Como δ 6= 0 ⇒ xδ 6= 1, logo ` 1´ f (xδ ) = xδ 6= 1 6∈ Bδ˙ f (1); = { f (1) } = { 1 }. 2 ´ ` Isto mostra a impossibilidade de que f (xδ ) ∈ Bδ˙ f (1); 12 , qualquer que seja δ > 0, portanto f é descont´ınua no ponto x = 1.

310

` ´ ` ´ 5) A fun¸c˜ ao f : [0, 1[, k −→ [0, 1[, µ dada por f (x) = x (identidade) é descont´ınua na origem. Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 0 vamos centrar uma bola em f (0) = 0, de raio, por exemplo, ε0 = 41 : ` 1´ ˆ 1ˆ Bµ f (0); = 0, 4 4

Vamos mostrar que, qualquer`que seja´ δ > 0, na bola Bk (0; δ) encontraremos um ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bµ f (0); 41 . O esbo¸co da bola Bk (0; r), ` a pg. 163, nos sugere o ponto xδ . Por exemplo, podemos = 1 − δ2 . Observe que, tomar xδ = (1−δ)+1 2 f (xδ ) = xδ = 1 −

δ 1 3 ≥ ⇐⇒ δ ≤ . 2 4 2

Se δ > 23 , temos Bk (0; δ) = [ 0, 1 [, podemos tomar, por exemplo, xδ = 12 . A geometria da situa¸c˜ ao é como a seguir (para δ < 21 ) 1 f (xδ )

¬ [

1 2

`

1 Bµ f (0); 4

´

0

δ

¬1

1−δ

2

s

1

xδ

` ´ ` ´ 6) A fun¸c˜ ao f : [0, 1], µ −→ [0, 1[, k dada por, 1

(

x,

0 ≤ x < 1;

0,

x = 1.

¬

f (x) =

1 2

¬1

0

2

s

1

é cont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio. Por exemplo, para mostrar que f é cont´ınua em x = 0 e x = 1; centramos uma bola de raio ε > 0 em 0 = f (0) = f (1), assim: 0

ε

1−ε

311

1

Nota: N˜ ao h´ a nenhum mal em considerarmos 0 < ε <

1 2

(ver pg. 163).

Esta bola encontra-se no contradom´ınio (“eixo vertical”), assim: 1

1

1−ε

1−ε

¬

¬ 1 2

1 2

ε

ε

0 0

s

¬1

0 δ= ε

0

1

2

Bµ(0; δ)

¬1

2

s

1

Bµ(1; δ)

Na figura da direita observamos que se tomarmos um raio δ = ε, ent˜ ao a imagem dos pontos nas (sub)bolas Bµ(0; δ) e Bµ(1; δ) caem dentro da bola Bk(0; ε). Nos demais pontos do dom´ınio vale um argumento an´ alogo, inclusive podemos tomar ainda δ = ε (ver diagramas de bolas abertas ` a pg. 163). Nota: Nossos “argumentos gr´ aficos” n˜ ao dispensam uma prova anal´ıtica a qual deixamos ao leitor. Em An´ alise (ou Topologia) se uma imagem n˜ ao vale mais que 1000 palavras, vale - pelo ao menos - umas 200; digo, ajuda bastante. ( 1, se x ∈ Q; 7) Seja f : R −→ R dada por f (x) = 0, caso contr´ ario. cujo gr´ afico n˜ ao pode ser plotado. O nosso objetivo ser´ a estudar a continuidade de f em um ponto a ∈ R arbitr´ ario, em diferentes espa¸cos métricos. Vamos confirmar a seguinte tabela f : (M, d1 )−→(N, d2 )

a∈R

7.1)

(R, δ)

(R, δ)

C

7.2)

(R, µ)

(R, δ)

D

7.3)

(R, δ)

(R, µ)

C

7.4)

(R, µ)

(R, µ)

D

7.1) f : (R, δ) −→ (R, δ)

Para mostrar que f cont´ınua no ponto a ∈ R vamos centrar uma bola - de raio ε arbitr´ ario - em f (a). Temos ` ´ Bδ˙ f (a); ε =

(˘

¯ f (a) ,

R,

se 0 < ε ≤ 1; se ε > 1.

Devemos exibir δ > 0 de tal modo que a imagem de todo ponto dentro da bola Bδ˙(a, δ) caia dentro da bola Bδ˙ (f (a), ε).

312

´ suficiente escolher δ = 1. Pois E ` ´ ` ´ ` ´ f Bδ˙(a; 1) = f { a } = { f (a) } ⊂ Bδ˙ f (a); ε ; ∀ ε > 0.

Isto mostra que f é cont´ınua no ponto a, considerando (R, δ) como espa¸co de partida e de chegada de f . Observe que o δ escolhido n˜ ao depende do ε fornecido. 7.2) f : (R, µ) −→ (R, δ)

Para mostrar que f é descont´ınua no ponto a vamos centrar uma bola em f (a), de raio, por exemplo, ε0 = 1 ` ´ Bδ˙ f (a); 1 = { f (a) }.

Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola Bµ(a; δ) =]a − δ, a + δ[ encontraremos um ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bδ˙ (f (a); 1). Consideremos duas possibilidades: (i) a é racional.

Neste caso Bδ˙(f (a); 1) = { f (a) } = { 1 }. Como em todo intervalo aberto ]a − δ, a + δ[ existem n´ umeros racionais e irracionais em abundˆ ancia vamos escolher um xδ irracional. Sendo assim ` ´ f (xδ ) = 0 6∈ Bδ˙ f (a); 1 = { f (a) } = { 1 }. (R, µ)

6

(R, δ)

ցq 1

→r

q0

a⊥

Q 6∋ xδ

a−δ

6

B (f (a); 1) δ˙

a+δ

f

(ii) a é irracional. Neste caso Bδ˙(f (a); 1) = { f (a) } = { 0 }. Agora vamos escolher na bola aberta ]a − δ, a + δ[ um xδ racional, sendo assim ` ´ f (xδ ) = 1 6∈ Bδ˙ f (a); 1 = { f (a) } = { 0 }. (R, µ)

6 →r

a+δ Q ∋ xδ

(R, δ)

6

-

q1

f

a⊥

a−δ B (f (a); 1) δ˙

ր

q0

Portanto f é descont´ınua em qualquer ponto a ∈ R, considerando (R, µ) como espa¸co de partida e (R, δ) como espa¸co de chegada de f . 7.3) f : (R, δ) −→ (R, µ)

313

Para mostrar que f é cont´ınua no ponto a vamos centrar uma bola − de raio ε arbitr´ ario − em f (a): ˜ ˆ Bµ(f (a); ε) = f (a) − ε, f (a) + ε . Devemos exibir δ > 0 de tal modo que a imagem de todo ponto dentro da bola Bδ˙(a; δ) caia dentro da bola Bµ(f (a); ε). ´ suficiente escolher δ = 1. E (R, δ)

(R, µ)

6

a

ր

B˙(a; 1) δ

q

6f (a)+ε

f

r f (a)

*

f (a)−ε

Observe que ` ` ´´ f Bδ˙ a; 1 = f ({ a }) = { f (a) } ⊂ ]f (a) − ε, f (a) + ε[; ∀ ε > 0.

Isto mostra que f é cont´ınua no ponto a, considerando (R, δ) como espa¸co de partida e (R, µ) como espa¸co de chegada de f . Observe que o δ escolhido n˜ ao depende do ε fornecido. 7.4) f : (R, µ) −→ (R, µ)

Para mostrar que f é descont´ınua no ponto a vamos centrar uma bola em f (a), de raio, por exemplo, ε0 = 1: ` ´ ˜ ˆ Bµ f (a); 1 = f (a) − 1, f (a) + 1 .

Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na`bola Bµ´(a; δ) =]a − δ, a + δ[ encontraremos um ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bµ f (a); 1 . Consideremos duas possibilidades: (i) a é racional.

` ´ ˜ ˆ Neste caso Bµ f (a); 1 = f (a) − 1, f (a) + 1 =] 0, 2 [. Como em todo intervalo aberto ]a − δ, a + δ[ existem n´ umeros racionais e irracionais em abundˆ ancia vamos escolher um xδ irracional, sendo assim ` ´ f (xδ ) = 0 6∈ Bµ f (a); 1 =] 0, 2 [ (R, µ)

(R, µ)

6 Bµ(f (a); 1)

a+δ

ց

→r a⊥

Q 6∋ xδ

a−δ

6 2

⊥1

q

R f

0

314

(ii) a é irracional. ` ´ ˜ ˆ Neste caso Bµ f (a); 1 = f (a) − 1, f (a) + 1 =] − 1, 1 [. Agora vamos escolher na bola aberta ]a − δ, a + δ[ um xδ racional, sendo assim

` ´ f (xδ ) = 1 6∈ Bµ f (a); 1 =] − 1, 1 [

(R, µ)

(R, µ)

6

f

→r

a+δ Q ∋ xδ

6

-

q1

a⊥

a−δ

⊥0 Bµ(f (a); 1)

ր −1

Portanto f é descont´ınua em qualquer ponto a ∈ R, considerando (R, µ) como espa¸co de partida e de chegada de f . ˘1 ¯ 8) `Seja ao f : (M, µ) −→ (R, µ) definida por f (0) = 0 ´ M = n : n ∈ N ∪{ 0 }. A fun¸c1˜ 1 e f n = n é cont´ınua em todo ponto n ∈ M mas n˜ ao é cont´ınua no ponto 0. De fato, o conjunto M −{ 0 } é discreto (pg. 193), o que significa que, fixado n0 ∈ N existe δn0 > 0 de modo que

` 1 ´ ˜ 1 ˆ 1 Bµ ; δn0 = − δn0 , + δn0 ∩ M = n0 n0 n0



1 n0

ff

˛ ˛ ˛ ˛ Nota: podemos tomar, por exemplo, δn = ˛ n1 − n 1+1 ˛ = n (n1 +1) . 0 0 0 0 0 Portanto dado ε > 0 para todo x na bola anterior se verifica a seguinte desigualdade

˛ ˛ ` ˛f (x) − f 1 ˛ n

0

˛ ˛ ´˛ ˛ ` 1 ´ ` 1 ˛ = ˛f ˛ ˛ n −f n 0

Isto prova que f é cont´ınua em todo ponto

1 n

315

0

∈ M.

˛ ´˛ ˛ = 0 < ε. ˛

f (x)

3

2

6 r1 ( 3 ,3)

q

R

6 f (x)

r( 12 ,2)

q

Bµ( n1 ; δn )={ n1 }

q

0

1

r(1,1)

q

(0,0)

r qqq q q q ... 1 1

43

1 2

0

0

ր

1 n0 +1

]q

ցq տ 0

-⊣

⊢

1 n0

[ q ↑

1 n0 −1

* f ⊣q - M

q

n0 +ε 1

f ( n0 )=n0 n0 −ε

··· 1

δn

0

q -x

q1

Observe que, no presente caso, δn0 n˜ ao depende do ε fornecido, mas t˜ ao somente do ponto n1 no qual examinamos a continuidade. Para mostrar que f n˜ ao é cont´ınua no ponto 0 ∈ M devemos mostrar que existe ε0 > 0 de modo que para todo δ > 0 é poss´ıvel encontrar xδ ∈ Bµ (0; δ) satisfazendo a seguinte condi¸c˜ ao xδ ∈ ]0 − δ, 0 + δ[ ⇒ |f (xδ ) − f (0)| ≥ ε0 Isto é −δ < xδ < δ ∴ |xδ | = xδ < δ ⇒ |f (xδ )| ≥ ε0 .

Ou ainda (tendo em conta o dom´ınio de f ) devemos mostrar que, para todo δ > 0, existe um natural n ( n1 = xδ ) de modo que n1 < δ e f (xδ ) = f ( n1 ) = n ≥ ε0 . Escolhendo ε0 = 1 a propriedade arquimediana nos garante a existência do n procurado. ` ´ ` ´ 9) Seja ν : S4 , σ −→ S4 , ρ Onde x = (x1 x2 x3 x4 ) 7−→ y = (y1 y2 y3 y4 ) é tal que ( 1, se xi = 0; yi = 0, se xi = 1.

Por exemplo,

` ´ ` ´ ν 1010 = 0101 ; ν 1100 = 0011.

ν é cont´ınua em todo ponto a ∈ S4 . De fato, isto decorre da seguinte

316

Proposi¸ c˜ ao 75. Seja f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) se (M, d1 ) é um espa¸co discreto ent˜ ao f é cont´ınua. Prova: De fato, dado a ∈ M e ε > 0 arbitr´ ario, como (M, d1 ) é discreto ent˜ ao a é isolado, o que significa que existe δa > 0 de modo que Bd (a; δa ) = { a }, por 1 conseguinte ` ´ ` ´ ˘ ¯ ` ´ f Bd (a; δa ) = f { a } = f (a) ⊂ Bd f (a); ε ; ∀ ε > 0. 1

2

q q qq q '$ q q qq q q qa q q q q q δa &% ∃ δa >0 q

f -

(M, d1 )

'$ (N, d2 )

q (a) f ε &% ∀ ε>0

Ver exemplos: 1.1), pg. 306; 1.3), pg. 307 e 7), pg. 312. ∞

10) Seja a fun¸c˜ ao f : S

−→ [ 0, 1 ] dada por (ver pg. 114): ∞ “ ” X xn f (xn ) = 2n n=1

Exemplos: (i) Calcule, por f , a imagem da seq¨ uência (xn ) = (011000 . . .). Solu¸ c˜ ao: ∞ ` ´ X xn 1 1 0 0 1 0 1 3 f (xn ) = + = n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +··· = 2 4 8 8 2 2 2 2 2 n=1

(ii) Calcule, por f , a imagem da seq¨ uência (xn ) = (10101010 . . .). Solu¸ c˜ ao: ∞ ` ´ X 0 1 0 1 0 1 xn f (xn ) = n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· 2 2 2 2 2 2 2 n=1 1

=

1 1 1 2 + 3 + 5 +··· = 21 2 2 1−

(10101010...)

(01100000...)

=

2 . 3

-f

∞

S

1 2 2

q

⊤1

q 23

q

f

-

q 38

⊥0

Na pg. 295 mostramos um algoritmo para converter um n´ umero decimal do ∞ intervalo [ 0, 1 ] para a base 2. A fun¸c˜ ao f : S −→ [ 0, 1 ] faz o procedimento contr´ ario.

317

` ∞ ´ ` ´ ∞ Vamos mostrar que f : S , ν −→ [ 0, 1 ], µ é cont´ınua em todo ponto a ∈ S . ∞

Seja a = (a1 a2 a3 . . .) ∈ S , dado ε > 0 escolhemos n0 ∈ N tal que

Tomemos δ =

1

1 n 2 0

< ε.

e consideremos a bola

n 2 0

Vamos mostrar que se,

n ∞ 1 o Bν(a; δ) = x ∈ S : ν(x, a) < n0 2

` ´ ˜ ˆ x ∈ Bν(a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bµ f (a); ε = f (a) − ε, f (a) + ε ∩ [ 0, 1 ] `

∞

S

,ν

´

⊤1

'$

f (a)+ε

qa

f

xq &% δ

δ= n1 2 0

-

q f (a) q f (x)

f (a)−ε

⊥0

ao 25 (pg. 117) Ent˜ ao, seja x ∈ Bν(a; δ), logo ν(x, a) < n10 , pela proposi¸c˜ 2 xn = an ; n = 1, 2, . . . , n0 , portanto (ver teoremas [AR] 4 pg. 57 e [AR] 5 pg. 57) ˛∞ ˛ ˛∞ ˛ ∞ ∞ ˛X ˛ ˛ ˛ X xn an ˛ ˛ X xn − an ˛ X |xn − an | ˛ |f (x) − f (a)| = ˛ − = ≤ ˛ ˛ ˛ ˛ 2n 2n ˛ ˛n=1 2n ˛ n=1 2n n=1 n=1 =

n0 ∞ X X |xn − an | |xn − an | + n 2 2n n=n0 +1 n=1 | {z } =0

=

∞ X

n=n0 +1

|xn − an | 1 1 1 ≤ n +1 + n +2 + · · · = n0 < ε. 0 0 2n 2 2 2

∞

11) Considere a aplica¸c˜ ao f : S

∞

−→ S

dada por f (x1 x2 x3 x4 . . .) = (x2 x3 x4 x5 . . .).

Mostremos que f é cont´ınua. De fato, ∞ Seja a = (a1 a2 a3 . . .) ∈ S , dado ε > 0 escolhemos n0 ∈ N tal que

Tomemos δ =

1

1 n 2 0

< ε.

ao pela proposi¸c˜ ao n +1 . Se x = x1 x2 x3 x4 . . . satisfaz ν(x, a) < δ, ent˜ 0

2

25 (pg. 117) xi = ai para i ≤ n + ` 1. Sendo ássim as i−ésimas entradas de f (x) e f (a) concordam para i ≤ n. Isto é, ν f (x), f (a) ≤ n10 < ε. 2

Veremos agora algumas aplica¸c˜ oes cont´ınuas especiais:

318

7.1

Isometria

Defini¸ c˜ ao 43 (Imers˜ ao isométrica). Uma fun¸c˜ aof : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é chamada uma imers˜ ao isométrica quando preserva distˆ a ncias, isto é, quando para quaisquer ` ´ x, y ∈ M tivermos d2 f (x), f (y) = d1(x, y). (M, d1 )

q

y d1(x, y)

q

→

q

(M, d2 )

f (y)

f

R

x

q

← d2(f (x), f (y))

f (x)

Toda imers˜ ao isométrica é cont´ınua. De fato, dado a ∈ M e ε > 0 arbitr´ ario, é suficiente tomar δ = ε, pois ` ´ d1(x, a) < δ = ε =⇒ d2 f (x), f (a) = d1(x, a) < ε.

Exemplos:

(i) A fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R2 , D1 ) dada por f (x) = (x, 0) leva a reta no plano euclidiano.

R

x

0

6 q

f

R

-

6

⊤

(0,0)

q

(x,0)

տ

R

f (R)

f é uma imers˜ ao isométrica. De fato, ` ´ p ` ´ D1 f (x), f (y) = D1 (x, 0); (y, 0) = (x − y)2 + (0 − 0)2

= |x − y| = µ(x, y). ` 2 ´ Se no espa¸co R , D1 trocarmos D1 por D2 ou por D3 , f continua uma imers˜ ao isométrica. Exerc´ıcio.

319

´ ` ´ ´ ` ` (ii) A fun¸c˜ ao f : R2 , D1 −→ R3 , D1 dada por f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , 0) leva o plano euclidiano no espa¸co euclidiano. R

R

6

x2

6

f

q(x1 , x2 )

q

-

qx1

-R

x2

R

q(x1 , x2 , 0)

x1 R

f é uma imers˜ ao isométrica. De fato, ` ´ ` ´ D1 f (x1 , x2 ); f (y1 , y2 ) = D1 (x1 , x2 , 0); (y1 , y2 , 0) =

p

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + (0 − 0)2

p

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ` ´ = D1 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) =

` ´ Se no espa¸co R2 , D1 trocarmos D1 por D2 ou D3 , f n˜ ao ser´ a mais uma imers˜ ao isométrica. Por exemplo ` ´ D2 (1, 1); (2, 2) = |1 − 2| + |1 − 2| = 2.

enquanto,

√ ` ´ p D1 (1, 1, 0); (2, 2, 0) = (1 − 2)2 + (1 − 2)2 + (0 − 0)2 = 2. R

2

1

R

f

6

q

6 R

(2,2)

q

q

(1,1)

q

q1

`

← D2

q2

´

(1,1); (2,2) =2

-

R

1 2 R

320

q

y1

q

←−

y2

-

R

` ´ √ D1 (1,1,0); (2,2,0) = 2

(iii) Consideremos a aplica¸c˜ ao R

x

f : (R, µ)−→(R2 , Di ) x 7−→ (x, x)

6 q

R f

−→

6

x

q

q f (x) x

-R

Considerando sobre R2 a métrica D3 resulta que f é imers˜ ao isométrica. De fato, ` ´ ` ´ D3 f (x), f (y) = D3 (x, x); (y, y)

= max{|x − y|, |x − y|} = |x − y| = µ(x, y).

Geometricamente tudo se passa assim:

R

(R, µ)

6 q

y |x−y| → x

0

q

6

q

y f

−→

x

q

q x

|x−y|

|x−y|

y

-R

Considerando sobre R2 a métrica D1 ou D2 resulta que f n˜ ao é imers˜ ao isométrica. Vejamos um contra-exemplo (x = 1, y = 2): ` ´ ` ´ D1 f (1), f (2) = D1 (1, 1); (2, 2) p = (1 − 2)2 + (1 − 2)2 √ = 2 6= 1 = µ(1, 2). Também ` ´ ` ´ D2 f (1), f (2) = D2 (1, 1); (2, 2) = |1 − 2| + |1 − 2|

= 2 6= 1 = µ(1, 2). Geometricamente tudo se passa assim:

321

R

(R, µ)

6 2 q 1 q 0

2

6 q

qf (1) →

D 1

f

1

−→

q

q1

q

Exerc´ıcio:

qf (2)

R 2

6 q

q

qf (2) 1

f (1)

1

q2

q

-R

տ

1

q1

D 2

q2

-R

Perguntamos se existe (ou n˜ ao) uma imers˜ ao isométrica: ϕ : ( [ 0, 1 [, µ ) −→ ( [ 0, 1 [, k )

Se existe, exiba - a; se n˜ ao, prove! Uma imers˜ ao isométrica f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é sempre uma aplica¸c˜ ao injetiva. De fato, ` ´ f (x) = f (y) ⇒ d2 f (x), f (y) = 0 = d1(x, y) ⇒ x = y.

Defini¸ c˜ ao 44 (Isometria). Uma fun¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é chamada isometria se ela for uma imers˜ ao isométrica sobrejetiva. Exemplos: (1) Transla¸c˜ ao ` ´ Num espa¸co vetorial E, +, · normado fixamos um vetor a ∈ E. A aplica¸c˜ ao Ta : E −→ E dada por Ta (x) = x + a, executa uma “transla¸c˜ ao” no vetor x. Ta é uma isometria. De fato, 1o ) Ta é uma imers˜ ao isométrica. d

“

” Ta (x), Ta (y) = kTa (x) − Ta (y)k

= k(x + a) − (y + a)k = kx − yk = d(x, y).

2o ) Ta é sobrejetiva. Dado y ∈ E devemos exibir x ∈ E de modo que Ta (x) = y. Ent˜ ao basta resolver a equa¸c˜ ao x + a = y. Logo, x = y − a é tal que Ta (x) = Ta (y − a) = (y − a) + a = y. ao Rθ : R2 −→ R2 , dada por (2) Rota¸c˜ ao. A transforma¸c˜ Rθ(x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ) executa uma rota¸c˜ ao (anti-hor´ aria) - de θ graus - do ponto (x, y) em torno da origem.

322

Rθ

R

R

6

6

R

Rθ(x, y)

q

r

(x, y)

q

θ

-R

q

(0,0)

(x, y)

q

(0,0)

q

-R

q

Para mostrar que Rθ : (R2 , D1 ) −→ (R2 , D1 ) é uma isometria:

1o ) Rθ é uma imers˜ ao isométrica. Considere as duas imagens a seguir ` ´ Rθ(x1 , x2 ) = x1 cos θ − x2 sen θ, x1 sen θ + x2 cos θ ` ´ Rθ(y1 , y2 ) = y1 cos θ − y2 sen θ, y1 sen θ + y2 cos θ mostre que

` ´ ` ´ D1 Rθ(x1 , x2 ); Rθ(y1 , y2 ) = D1 (x1 , x2 ); (y1 , y2 )

2o ) Rθ é sobrejetiva. Dado (x′ , y ′ ) ∈ R2 , encontre um par ordenado (x, y) ∈ R2 tal que Rθ(x, y) = (x′ , y ′ ). Isto é, resolva o seguinte sistema linear ( x cos θ − y sen θ = x′ x sen θ + y cos θ = y ′

Conclua que dado (x′ , y ′ ) ∈ R2 para obter sua pré-imagem basta rotacion´ a-lo de θ graus no sentido hor´ ario. • A rota¸c˜ ao de um ˆ angulo θ em torno de um ponto é uma transforma¸c˜ ao que ancia; em sendo assim, a rota¸c˜ ao depende da métrica considerada. Por preserva a distˆ exemplo, a rota¸c˜ ao do ponto (1, 0) de 90o em torno da origem nas três métricas do 2 R , fica assim:

(0,1)

6 s s

(0,1)

-

(1,0)

6 s s

(0,1)

-

(1,0)

6 s s

-

(1,0)

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que a transforma¸c˜ ao rota¸c˜ ao em qualquer uma destas métricas n˜ ao é uma isometria em qualquer uma das outras duas métricas.

323

` ´ (3) Isometrias em SN , σ

Veremos agora uma fam´ılia de isometrias no espa¸co de s´ımbolos. Se π é uma bije¸c˜ ao do conjunto {1, 2, . . . , n} nele pr´ oprio, também chamada de permuta¸c˜ ao, a aplica¸c˜ ao permuta¸c˜ ao de coordenadas SN

Γπ :

SN

(x1 , x2 , ...,xn )

(x

π(1)

,x

π(2)

, ...,x

π(n)

)

` ´ é uma isometria no espa¸co SN , σ . O n´ umero de bije¸c˜ oes (permuta¸c˜ oes) do conjunto {1, 2, . . . , n} nele pr´ oprio é n! Listamos a seguir todas as permuta¸c˜ oes do conjunto {1, 2, 3}: « « „ « „ « „ « „ « „ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 . , , , , , 3 2 1 3 1 2 2 3 1 2 1 3 1 3 2 « „ 1 2 3 = π. Fixemos, a t´ıtulo de exemplo, uma destas permuta¸c˜ oes: 2 3 1 Sendo assim, temos „

1 2 3 1 2 3

π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 1. Ent˜ ao, S3

Γπ :

S3

(x1 , x2 , x3 )

(x

π(1)

,x

π(2)

,x

π(3)

)

A aplica¸c˜ ao Γπ executa a seguinte permuta¸c˜ ao nos termos de uma seq¨ uência de S3 : Γπ

` ´ x1 , x2 , x3 Por exemplo,

` ´ Γπ 101 = 011;

` ´ x2 , x3 , x1

(>)

` ´ Γπ 010 = 100.

` ´ 3 Veja acil mostrar que Γπ é ùma isometria: ` como é´ f´ ´ Dados x = x1 , x2 , x3 ∈ S e 3 y = y1 , y2 , y3 ∈ S mostremos que σ Γπ (x), Γπ (y) = σ(x, y). Pois bem, ` ´ x1 , x2 , x3

` ´ y1 , y2 , y3

Temos σ(x, y) =

Γπ

Γπ

` ´ x2 , x3 , x1 ` ´ y2 , y3 , y1

3 X ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛xn − yn ˛ = ˛x1 − y1 ˛ + ˛x2 − y2 ˛ + ˛x3 − y3 ˛

n=1

Por outro lado,

3 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ` ´ X ˛x − yπ(n) ˛ = ˛xπ(1) − yπ(1) ˛ + ˛xπ(2) − yπ(2) ˛ + ˛xπ(3) − yπ(3) ˛ σ Γπ (x), Γπ (y) = π(n) n=1

` ´ Portanto, σ Γπ (x), Γπ (y) = σ(x, y).

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ = ˛x2 − y2 ˛ + ˛x3 − y3 ˛ + ˛x1 − y1 ˛

324

A sobrejetividade de Γπ decorre do fato de que as permuta¸c˜ oes s˜ ao bije¸c˜ oes (isto é, têm inversa). Seja, por exemplo, y = 110 ∈ S3 , calcule sua pré-imagem por Γπ . Isto é, encontre x ∈ S3 tal que Γπ (x) = y. « „ 1 2 3 −1 . Temos, Solu¸ c˜ ao: Basta calcular Γπ−1 ( y ), onde π = 3 1 2 ` ´ Γπ−1 ( y1 , y2 , y3 ) = yπ−1 (1) , yπ−1 (2) , yπ−1 (3) = ( y3 , y1 , y2 ) Ent˜ ao, Γπ−1 ( 110 ) = 011. Observe que Γπ ( 011 ) = 110 (ver equa¸c˜ ao ( > )). ` N ´ ` N ´ (4) Uma Isometria em S , σ e S , τ .

Veremos agora um exemplo de isometria nos espa¸cos acima. Trata-se da aplica¸c˜ ao complementa¸c˜ ao, assim definida T :

SN

SN

(x1 , x2 , ...,xn )

onde xi =

(x1 , x2 , ...,xn )

(

1,

se xi = 0;

0,

se xi = 1.

Exemplos, ` ´ 1101

Observe que

Por outro lado,

` ´ 0111

T

T

` ´ 0010 ` ´ 1000

` ´ ` ´ σ 1 1 0 1, 0 1 1 1 = 2 ; σ 0 0 1 0, 1 0 0 0 = 2. ` ´ ` ´ τ 1 1 0 1, 0 1 1 1 = 3 ; τ 0 0 1 0, 1 0 0 0 = 3.

Isto é, ambas as distˆ ancias foram preservadas. Deixamos como exerc´ırcio ao leitor mostrar que ìsto sempre ´ ` acontece ´ e que T é sobrejetiva. Isto é, que T é uma isometria nos espa¸cos SN , σ e SN , τ . ` ´ Perguntamos ao leitor se T é isometria no espa¸co SN , ρ .

Defini¸ c˜ ao 45 (Contra¸c˜ ao). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma aplica¸c˜ ao f : M −→ N é chamada uma contra¸c˜ ao quando existe uma constante α, com 0 ≤ α < 1, tal que ` ´ d2 f (x), f (y) ≤ α d1 (x, y) para quaisquer x, y ∈ M.

Assim, numa contra¸c˜ ao, a distˆ ancia entre as imagens de dois pontos quaisquer é menor que a distˆ ancia entre os respectivos pontos. ` ´ Exemplo: Considere o espa¸co normado R2 , k · k e seja f : R2 −→ R2 , dada por ao f é uma contra¸c˜ ao, pois f (p) = 12 p. Ent˜ ‚ ‚ ‚1 ` ´ 1 ‚ ‚ p − q d2 f (p), f (q) = kf (p) − f (q)k = ‚ ‚2 2 ‚ 1 1 = kp − qk = d1 (p, q) < d1 (p, q). 2 2

325

Por exemplo, seja p = (3, 3) e q = (4, 1), ent˜ ao f (3, 3) =

`3 3´ ` 1´ 1 1 (3, 3) = , ♦ f (4, 1) = (4, 1) = 2, . 2 2 2 2 2 R

6 4

q

3

q

2

q

1

p

f (p)

q

q f (q)

(0,0)

q1

q2

q3

-R

q4

Toda contra¸c˜ ao f é cont´ınua. De fato, dado ε > 0, é suficiente tomar δε = ε/α, pois ` ´ d1 (x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) ≤ α d1 (x, y) < α · δ = ε. Defini¸ c˜ ao 46 (Fun¸c˜ oes de Lipschitz). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma aplica¸c˜ ao f : M −→ N é uma fun¸c˜ ao de Lipschitz∗ (ou lipschitziana) quando existe uma constante c > 0 (chamada constante de Lipschitz) satisfazendo ` ´ d2 f (x), f (y) ≤ c d1 (x, y) para quaisquer x, y ∈ M. Toda fun¸c˜ ao de Lipschitz é cont´ınua. De fato, dado ε > 0 é suficiente tomar δ = d1 (x, y) < δ = Exemplos:

ε c

e teremos

` ´ ε =⇒ d2 f (x), f (y) ≤ c d1 (x, y) < ε. c

` ´ 1) Dado um espa¸co vetorial E, +, · normado, cada escalar λ 6= 0 determina uma homotetia hλ : (E, k.k) −→ (E, k.k) definida por hλ(x) = λx, ∀ x ∈ E. Escolhamos c > 0 tal que c ≥ |λ|. Para quaisquer x, y ∈ E, temos: d2 (hλ(x), hλ(y)) = d2 (λx, λy) = kλx − λyk

= |λ| · kx − yk ≤ c kx − yk = c d1 (x, y)

e portanto hλ é lipschitziana e, por conseguinte, cont´ınua. 2) Para as fun¸c˜ oes f : (R, µ) −→ (R, µ) a condi¸c˜ ao de Lipschtiz significa que |f (x) − f (y)| ≤ c |x − y| =⇒ |f (x) − f (y)|/|x − y| ≤ c ou seja, a inclina¸c˜ ao de qualquer secante ao gr´ afico de f é, em valor absoluto, ≤ c. Se uma fun¸c˜ ao f : (I, µ) −→ (R, µ), definida em um intervalo I, tem derivada ∗ Rudolph Lipschitz (1832 − 1903) foi professor em Bonn. Deu contribui¸ co ˜es a ` a ´lgebra, a ` teoria dos n´ umeros, a ` geometria diferencial e a ` an´ alise.

326

limitada para todo x ∈ I − isto é existe c > 0 tal que |f ′ (x)| ≤ c, ∀ x ∈ I − ent˜ ao pelo teorema do valor médio ([AR] 12 (pg. 58)), dados x, y ∈ I quaisquer, existe um ponto t entre x e y, tal que f (x) − f (y) = f ′ (t)(x − y), portanto, |f (x) − f (y)| = |f ′ (t)| ≤ c =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ c |x − y|. |x − y| Resumindo: toda fun¸c˜ ao com derivada limitada em um intervalo é lipschitziana. Por exemplo, das fun¸c˜ oes abaixo f : R −→ R

g : [ −1, 1 ] −→ R

e

x 7−→ x2

x 7−→ x2 Apenas g é lipschitziana.

De fato, se f fosse de Lipschitz existiria c > 0 de modo que |x2 − y 2 | ≤ c |x − y| =⇒ |x + y| ≤ c, ∀ x 6= y ∈ R isto, em particular, implicaria em R ser limitado. Esta inverdade prova nossa assertiva. Por outro lado, sendo |x| ≤ 1 e |y| ≤ 1 para todo x, y ∈ [−1, 1 ], temos |x + y| ≤ |x| + |y| ≤ 2, logo |x2 − y 2 | = |x − y| · |x + y| ≤ 2|x − y| ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ 2|x − y|. Isto mostra que f é de Lipschitz. Observe que g ′ (x) = 2x e como −1 ≤ x ≤ 1 temos −2 ≤ 2x ≤ 2 =⇒ |2x| = |g ′ (x)| ≤ 2. isto é, g possui derivada limitada no intervalo [−1, 1 ]. Veja:

g ′ (x)

6 2

q

1

q

g(x)

6 1

−1 q

q 0

-x

q1

−1 q

0

−1

q

−2

327

q

-x

q1

3) Dados M1 , M2 , . . . , Mn , para cada i (i = 1, 2, . . . , n) fixado a fun¸c˜ ao pi : M1 × . . . × Mn −→ Mi (x1 ,... , xi , ..., xn )

chama-se proje¸c˜ ao i-ésima.

7−→

xi

A figura a seguir ilustra esta situa¸c˜ ao para o caso de dois espa¸cos métricos: M2

ր

p2 (x)=x2

s

M1 ×M2

sx = (x1 , x2 )

p2

ր

p1 (x)=x1

s

p1 M1

As proje¸c˜ oes s˜ ao exemplos de fun¸c˜ oes de Lipschitz. De fato, sejam x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) pontos arbitr´ arios de M = M1 × M2 × · · · × Mn , ent˜ ao (pg. 157) di (pi (x), pi (y)) = di (xi , yi ) ≤ Dk(x, y) (k = 1, 2, 3.)

Portanto as fun¸c˜ oes pi s˜ ao lipschitzianas com constante de Lipschitz c = 1.

As aplica¸c˜ oes lipschitzianas nas quais c = 1 s˜ ao também conhecidas como contra¸ c˜ oes fracas. Vejamos mais alguns exemplos de contra¸c˜ oes fracas: ` ´ (i) Num espa¸co vetorial E, +, · normado a adi¸c˜ ao de vetores s : E ×E −→ E definida por s(x, y) = x + y é uma contra¸c˜ ao fraca (portanto é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua). Vamos usar em E × E a métrica (pg. 151) ` ´ D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) = kx1 − y1 k + kx2 − y2 k.

Com efeito, para quaisquer (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ M × M , temos ` ´ ` ´ d2 s(x1 , x2 ); s(y1 , y2 ) = d2 x1 + x2 ; y1 + y2

(ii) A pr´ opria métrica

= k(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )k = k(x1 − y1 ) + (x2 − y2 )k ` ´ ≤ kx1 − y1 k + kx2 − y2 k = D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 )

d : M × M −→ R (x, y) 7−→ d(x, y) é uma contra¸c˜ ao fraca. De fato, Vamos usar em M × M a métrica ` ´ D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) = d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ).

Com efeito, para quaisquer (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ M × M , temos ˛ ˛ ˛ ˛ ˛d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 )˛ = ˛d(x1 , x2 ) − d(x2 , y1 ) + d(x2 , y1 ) − d(y1 , y2 )˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ≤ ˛d(x2 , x1 ) − d(x2 , y1 )˛ + ˛d(y1 , x2 ) − d(y1 , y2 )˛ ` ´ ≤ d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) = D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) .

328

Na u ´ltima desigualdade fizemos uso da proposi¸c˜ ao 26 (pg. 118) (iii) A norma k · k : E −→ R x 7−→ kxk

é uma contra¸c˜ ao fraca. Com efeito, para quaisquer x, y ∈ E temos ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ kxk − kyk ˛ = ˛d(x, 0) − d(y, 0)˛ ≤ d(x, y)

(iv) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Fixemos A ⊂ M . A fun¸c˜ ao f : M −→ (R, µ) x 7−→ d(x, A) é uma contra¸c˜ ao fraca. Com efeito, para quaisquer x, y ∈ M , temos (prop. 27 pg. 121): ˛ ˛ ˛ d(x, A) − d(y, A) ˛ ≤ d(x, y)

Em particular, tomando A = { a }, temos que a aplica¸c˜ ao da : M −→ R

x 7−→ d(x, a)

é cont´ınua. (v) A aplica¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = |x| é uma contra¸c˜ ao fraca. Com efeito, isto é uma conseq¨ uência imediata da desigualdade ˛ ˛ ˛|x| − |y|˛ ≤ |x − y| , ∀x, y ∈ R. Uma aplica¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) se diz localmente lipschitziana se, para cada ponto a ∈ M , existe uma bola Bd (a; r) ⊂ M de modo que a restri¸c˜ ao de f a essa 1 bola é lipschtziana. Uma aplica¸c˜ ao localmente lipschitziana é cont´ınua. De fato, dado a ∈ M existe uma bola Bd (a; r) de mameira que f restrita a essa bola é lipschtziana, logo existe 1 c > 0 tal que ` ´ d2 f (x), f (y) ≤ c d1 (x, y), ∀ x, y ∈ Bd (a; r). 1 ` ´ Assim, dada uma bola Bd f (a); ε , com ε arbitrariamente fixado, escolhemos δ > 0 2 de maneira que δ < r e δ < εc . Sendo assim temos: (
i) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = xn , onde n é um natural arbitrariamente fixado. Seja a ∈ R, consideremos a bola Bµ(a; r) =]a − r, a + r[. Tendo em conta que toda bola aberta é um conjunto limitado, existe k ∈ R de maneira que |x| ≤ k para todo x ∈ Bµ(a; r) =]a − r, a + r[

329

(⋆)

Devido ao teorema do valor médio, se x, y ∈ Bµ(a; r), x 6= y existe t ∈ R, situado entre x e y de modo que f (x) − f (y) = f ′ (t)(x − y) = n · tn−1 (x − y) Ent˜ ao,

|f (x) − f (y)| = n · |t|n−1 · |x − y|,

por (⋆), temos

∀ x, y ∈ ]a − r, a + r[

|t| ≤ k ⇒ |t|n−1 ≤ kn−1 ⇒ n · |t|n−1 · |x − y| ≤ n · kn−1 · |x − y| por conseguinte |f (x) − f (y)| ≤ n · kn−1 · |x − y|,

∀ x, y ∈ ]a − r, a + r[

isto é, f é localmente lipschtziana com constante de Lipschitz c = nkn−1 . Observe que a fun¸c˜ ao f : R −→ R dada por f (x) = x2 n˜ ao é lipschitziana, mas sim localmente lipschitziana. 1 ii) Seja f : (R∗ , µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = , ∀ x ∈ R∗ . x Tomemos inicialmente a ∈ R∗ =] − ∞, 0 [ ∪ ] 0, +∞ [ e a > 0. Como o conjunto ] 0, +∞ [ é aberto podemos centrar neste ponto uma bola aberta Bµ(a; r) = ] a − r, a + r [ ⊂ ] 0, +∞ [. Fa¸camos a − r = s > 0, ent˜ ao ∀ x, y ∈ ] a − r, a + r [=] s, s + 2r [ ⇒ x > s > 0 e y > s > 0 1 1 |x − y| |x − y| < 2 ⇒ < . |x| · |y| s |x| · |y| s2

⇒ |x| · |y| > s2 ⇒ f (x)

6

|f (x)−f (y)|

⊥ →⊤ 0

] a−r

⊢

⊣

q

x

⊢

q

a

q

y

[

-x

a+r

⊣

s |x−y| Pois bem, ∀ x, y ∈ ]a − r, a + r[, temos ˛ ˛ ˛1 |x − y| 1˛ 1 |f (x) − f (y)| = ˛˛ − ˛˛ = < 2 |x − y|. x y |x| · |y| s

Isto prova que f restrita a Bµ(a; r) é lipschitziana ( para a < 0 o tratamento é an´ alogo).

330

` ´ iii) Num espa¸co vetorial E, +, · normado, a multiplica¸c˜ ao por escalares m : R × E −→ E (α, u) 7−→ α u é localmente lipschitziana. Provaremos nossa assertiva usando sobre R × E a métrica ˘ ¯ D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 )

Nota: Aqui d1 é métrica usual de R:

d1 (x1 , y1 ) = |x1 − y1 |; ∀ x1 , y1 ∈ R. d2 é métrica de E: d2 (x2 , y2 ) = kx2 − y2 k; ∀ x2 , y2 ∈ E. Portanto,

˘ ¯ D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, kx2 − y2 k

onde x = (x1 , x2 ) ∈ R × E e y = (y1 , y2 ) ∈ R × E. Seja a = (α, u) um ponto arbitr´ ario de R × E, centremos neste ponto uma bola BD (a, r). 3 Primeiramente vamos mostrar que existe uma bola de centro na origem 0 = (0, 0) ∈ R × E e raio conveniente s, de maneira que BD (a; r) ⊂ BD (0; s). 3 3 Tomando s = D3(0, a) + r, vamos mostrar que BD (a; r) ⊂ BD (0; s). 3

# r qa BD (a; r) 3 "!

E

3

R×E

BD (0; s)

D3(0, a)

3

r

0=(0, 0)

R

Com efeito, seja x = (β, v) ∈ BD (a; r) um ponto arbitr´ ario nesta bola; logo 3 D3(x, a) < r, ou ainda ` ´ ˘ ¯ D3 (β, v); (α, u) = max |β − α|, ku − vk < r (7.1) Devemos mostrar que x ∈ BD (0; s) onde 3

` ´ s = D3(0, a) + r = D3 (0, 0); (α, u) + r ˘ ¯ = max |0 − α|, k0 − uk + r ˘ ¯ = max |α|, kuk + r.

Para tanto basta mostrar que D3(x, 0) < s. Sendo ` ´ D3(x, 0) = D3 (β, v); (0, 0) ˘ ¯ = max |β − 0|, kv − 0k ˘ ¯ = max |β|, kvk .

331

Devemos mostrar que De (7.1) temos

˘ ¯ ˘ ¯ max |β|, kvk < s = max |α|, kuk + r

(7.2)

|β − α| < r e ku − vk < r

(7.3)

Por outro lado

kvk = kv − u + uk ≤ ku − vk + kuk |β| = |β − α + α| ≤ |α − β| + |α|

com aux´ılio de (7.3) escrevemos kvk ≤ ku − vk + kuk < kuk + r |β| ≤ |α − β| + |α| < |α| + r

portanto, (

kvk < kuk + r |β| < |α| + r

˘ ¯ ˘ ¯ =⇒ max |β|, kvk < max |α|, kuk + r

E isto prova (7.2). Por conseguinte BD (a; r) ⊂ BD (0; s). 3

3

Pois bem, dados dois pontos quaisquer (α, u) e (β, v) na bola BD (a; r), como estes 3 pontos est˜ ao na bola BD (0; s), valem as desigualdades 3 ` ´ ` ´ D3 (α, u); (0, 0) < s e D3 (β, v); (0, 0) < s isto é

˘ ¯ ˘ ¯ max |α|, kuk < s e max |β|, kvk < s Agora calculemos a distˆ ancia entre as imagens, por m, destes pontos: ` ´ ` ´ d2 m(α, u); m(β, v) = d2 αu, βv = kαu − βvk

(7.4)

= kαu − βu + βu − βvk

= k(α − β)u + β(u − v)k ≤ |α − β| · kuk + |β| · ku − vk

(♯)

Sendo assim kαu − βvk ≤ |α − β| · kuk + |β| · ku − vk ˘ ¯ ≤ 2 max |α − β| · kuk, |β| · ku − vk

(♮)

De (7.4) temos,

kuk < s =⇒ |α − β| · kuk < s|α − β| |β| < s =⇒ |β| · ku − vk < sku − vk Destas desigualdades inferimos que ˘ ¯ ˘ ¯ max |α − β| · kuk, |β| · ku − vk < max s |α − β|, s ku − vk Ou ainda,

˘ ¯ ˘ ¯ 2 max |α − β| · kuk, |β| · ku − vk < 2s max |α − β|, ku − vk ` ´ = 2s D3 (α, u); (β, v)

Portanto de ( ♯ ), ( ♮ ) e ( ♭ ) conclu´ımos que ` ´ ` ´ d2 m(α, u); m(β, v) < 2s D3 (α, u); (β, v) Isto prova que m é localmente lipschitziana.

332

(♭)

Caracteriza¸ c˜ ao de Continuidade Via Convergˆ encia de Seq¨ uˆ encias Proposi¸ c˜ ao 76. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se f : M −→ N é cont´ınua no ponto a ∈ M e (xn ) é uma seq¨ uência de pontos de M convergindo para a ent˜ ao f (xn ) −→ f (a). (N, d2 )

(M, d1 )

sxր n

s

s

s

f (xn )

f (x2 )

f

·

···

··

x2

s

a

s ···

f (x3 )

ց

f (x1 )

·

s

s

x3

··

s

x1

s

f (a)

Em resumo: H:

(

f ≀a lim xn = a

=⇒ T : lim f (xn ) = f (a)

Nota: A nota¸c˜ ao f ≀ a significa: f é cont´ ` ınuańo ponto a. Prova: Para mostrar que a` seq¨ uência f (xn ) converge para o ponto f (a), centremos ´ neste ponto uma bola Bd f (a); ε de raio ε arbitr´ ario. Devemos exibir um ´ındice 2 ` ´ n0 `∈ N a partir do qual todos os termos da seq¨ u ˆ e ncia f (xn ) caiam dentro da bola ´ Bd f (a); ε . Isto é devemos exibir um ´ındice n0 ∈ N tal que 2

` ´ se n ≥ n0 ⇒ d2 f (xn ), f (a) < ε

(7.5)

Como f é cont´ınua em a ∈ M , para o ε dado existe δε > 0 de modo que ` ´ se x ∈ Bd (a; δε ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε 1

isto é

2

` ´ se d1 (x, a) < δε ⇒ d2 f (x), f (a) < ε.

(7.6)

Por outro lado, como xn −→ a, para todo δ > 0 existe nδ ∈ N tal que se n ≥ nδ ⇒ d1 (xn , a) < δ Daqui e de (7.6) concluimos que ` ´ se n ≥ n0 = nδ ⇒ d1 (xn , a) < δ = δε ⇒ d2 f (xn ), f (a) < ε.

Isto prova (7.5)

De forma sugestiva, a proposi¸c˜ ao anterior poderia ainda exprimir-se dizendo que a continuidade de f no ponto a equivale ` a possibilidade de permutar os s´ımbolos “lim” e “f ”: lim f (xn ) = f (lim xn ) (7.7)

333

Proposi¸ c˜ ao 77. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se f : M −→ N n˜ ao é cont´ınua no ponto a ∈ M ent˜ ao existe uma seq¨ uência M ∋ xn −→ a tal que f (xn ) −→ 6 f (a). Em resumo: H : f6 ≀ a =⇒ T :

8 <∃ (xn ) : lim xn = a :f (x ) −→ 6 f (a) n

Prova: Com efeito, n˜ ao sendo f cont´ınua em a (pg. 304), existe ε0 > 0 tal que, qualquer que seja δ > 0 haver´ a pelo ao menos um ponto xδ ∈ M verificando ambas as condi¸c˜ oes: ´ ` xδ ∈ Bd (a; δ) e f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 1

isto é

2

` ´ d1 (xδ , a) < δ e f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 2

1 Fa¸camos δ = ; ent˜ ao para todo n ∈ N existir´ a xn ∈ M tal que n ` ´ 1 d1 (xn , a) < e f (xn ) 6∈ Bd f (a); ε0 2 n portanto f (xn ) −→ 6 f (a); porém 0 ≤ d1 (xn , a) <

1 1 ⇒ lim 0 ≤ lim d1 (xn , a) ≤ lim n n ⇒ lim d1 (xn , a) = 0 ⇒ xn −→ a.

¯ da proposi¸c˜ Observe que a contra-positiva T¯ −→ H ao anterior é:

Proposi¸ c˜ ao 78. Se para toda seq¨ uência (xn ) com xn −→ a tivermos f (xn ) −→ f (a) ent˜ ao f é cont´ınua em a. A rec´ıproca da proposi¸c˜ ao 77 também vale, Proposi¸ c˜ ao 79. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se existe uma seq¨ uência M ∋ xn −→ a tal que f (xn ) −→ 6 f (a) ent˜ ao f : M −→ N n˜ ao é cont´ınua no ponto a ∈ M . Em resumo: H:

8 <∃ (xn ) : lim xn = a :f (x ) −→ 6 f (a) n

=⇒ T : f6 ≀ a

Prova: Com efeito, se xn −→ a, ent˜ ao

∀ δ > 0, ∃ n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Bd (a; δ) 1

(§)

Por outro lado, como f (xn ) −→ 6 f (a), ent˜ ao (ver pg. 199) existe ε0 > 0 de modo que ` ´ ∀ n ∈ N, ∃ n′ ≥ n tal que f (xn′ ) 6∈ Bd f (a); ε0 2

` ´ Em particular, para n = n0 existe n′ ≥ n = n0 tal que f (xn′ ) 6∈ Bd f (a); ε0 mas por 2 ( § ) temos que xn′ ∈ Bd (a; δ). 1 Conclus˜ ao: ∃ ε0 tal que ∀ δ > 0 conseguimos um ponto xn′ ∈ Bd (a; δ) com 1 ` ´ f (xn′ ) 6∈ Bd f (a); ε0 . Isto mostra que f n˜ ao é cont´ınua em a. 2 Esta proposi¸c˜ ao pode ser de grande utilidade para mostrar que uma fun¸c˜ ao f : M −→ N n˜ ao é cont´ınua em um ponto a: Basta exibir uma seq¨ uência (xn ) com xn −→ a ∈ M tal que f (xn ) −→ 6 f (a).

334

Vejamos alguns exemplos do que estamos falando: 1. Consideremos a fun¸c˜ ao sinal de x (de (R, µ) em (R, µ)) 8 > > > > <

1, sign(x)= 0, > > > > : −1,

se x > 0; se x = 0; se x < 0.

1 Esta fun¸c˜ ao é descont´ınua em x = 0. Com efeito, a seq¨ uência ` (xn´) dada por xn = n converge para 0, por outro lado como f (xn ) = 1, resulta f (xn ) = (1, 1, 1, . . .) → 1 6= 0 = f (0). R

1

s

6r r R

6

1

rr

-R

... x 2

r r

x1

-R

−1

−1

` ´ ` ´ 2. A fun¸c˜ ao f : [ 0, 1, [, k −→ [ 0, 1 [, µ dada por f (x) = x (identidade) é descont´ınua na origem (ver exemplo 5), pg. 311). De fato,` tomando uência xn = 1− n1 de pontos no dom´ınio, temos `que xn −→ ´ a seq¨ ´ 0 no espa¸co [ 0, 1 [, k ; enquanto que f (xn ) = xn n˜ ao converge no espa¸co [ 0, 1 [, µ . 3. Considere a fun¸c˜ ao (de (R2 , D1 ) em (R, µ)) f : R2 −→ R n 2, (x, y) 7−→ z= 1,

(0,

se y>0; se y≤0.

Esta fun¸c˜ ao é descont´ınua no ponto a = (0, 0) (origem). De fato, a seq¨ uência 1 1 ) converge para (0, 0), por outro lado, temos f (0, ) = 2, isto ´ e , n n ` 1 ´ f (0, ) = (2, 2, 2, . . .) → 2 6= 1 = f (0, 0) n z

s

2

f (a)=1

s

s s

s

semi-plano z=2

y

տ

sx2

a

sx3

sx1

x

335

A fun¸c˜ ao anterior é descont´ınua em todo ponto da forma (x, 0) (eixo x). Vejamos agora - via bolas abertas - como fica a demonstra¸c˜ ao de que esta fun¸c˜ ao é descont´ınua em (0, 0). De fato, consideremos uma bola (intervalo) centrado em f (0, 0) = 1 e de raio = 21 . Dado δ > 0 escolhemos n natural de modo que n1 < δ, “ ε0 ” ` ´ ˜ ˆ 1 sendo assim xδ = 0, n ∈ B (0, 0); δ e, no entanto, f (xδ ) = 2 6∈ 1 − 12 , 1 + 21 . Veja a figura seguinte, z

f (xδ )=2

→ s

) B(1; 1 2

B((0, 0); δ)

→

s

y

r s← xδ x

4. A fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) =

(

1,

se x ∈ Q;

0,

caso contr´ ario.

é descont´ınua em todo ponto a real. Vamos considerar duas possibilidades: i) a ∈ Q.

Com efeito, sendo R − Q denso no espa¸co (R, µ), existe uma seq¨ uência (xn ) de irracionais tal que xn −→ a. Portanto ` ´ f (xn ) = 0, ∀ n ∈ N ⇒ f (xn ) = (0, 0, 0, . . .) −→ 0 6= 1 = f (a).

ii) a 6∈ Q.

Com efeito, sendo Q denso no espa¸co (R, µ), existe uma seq¨ uência (xn ) de racionais tal que xn −→ a. Portanto ` ´ f (xn ) = 1, ∀ n ∈ N ⇒ f (xn ) = (1, 1, 1, . . .) −→ 1 6= 0 = f (a).

5. A fun¸c˜ ao f : R2 → R dada por 8 x·y > , se (x, y) 6= (0, 0); > > < x2 + y 2 f (x, y) = > > > : 1 , se (x, y) = (0, 0). 2

336

é cont´ınua no ponto (0, 0)? Solu¸ c˜ ao: Tomando, por exemplo, a seq¨ uência (xn , yn ) = (0, 0) e f (xn , yn ) = isto é,

“

1 1 , n n

´

teremos (xn , yn ) →

1 · n1 x n · yn 1 n = “ ” “ ”2 = , 2 x2n + yn2 2 1 + n1 n

” ` ´ “1 1 1 1 , , , . . . → = f (0, 0). f (xn , yn ) = 2 2 2 2 Contudo, segundo a proposi¸c˜ ao 78 (pg. 334), isto n˜ ao é suficiente para garantir a continuidade da fun¸c˜ ao na origem, pois pode existir uma outra seq¨ uência (xn , yn ) convergindo para (0, 0) mas com f (xn , yn ) n˜ ao convergindo para 12 = f (0, 0). De fato, tal seq¨ uência existe pois “1 2” (xn , yn ) = → (0, 0) , n n e, no entanto, 1 · 2 x ·y 2 f (xn , yn ) = 2n n2 = “ ”2n n“ ”2 = , x n + yn 5 1 + n2 n isto é,

” ` ´ “2 2 2 2 1 , , , . . . → 6= = f (0, 0). f (xn , yn ) = 5 5 5 5 2 ` ´ Sendo assim, f n˜ ao é cont´ınua em (0, 0). Observe que os pontos da seq¨ uência n1 , n1 converge para (0, 0)) est˜ ao sobre a reta y = x e que os pontos da seq¨ uência ´ `(que 1 2 , (que tamb´ e m converge para (0, 0)) est˜ a o sobre a reta y = 2x. n n

7.2

Propriedades das aplica¸c˜ oes cont´ınuas

Proposi¸ c˜ ao 80. A composi¸c˜ ao de aplica¸c˜ oes preserva a continuidade. Mais precisamente: se f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua no ponto a e g : (N, d2 ) −→ (P, d3 ) é cont´ınua no ponto f (a), ent˜ ao g ◦ f : (M, d1 ) −→ (P, d3 ) é cont´ınua no ponto a.

Prova: Dado ε > 0, a continuidade de g no ponto f (a) nos assegura δ ′ > 0 de modo que se y ∈ N e ` ´ ` ´ d2 y, f (a) < δ ′ ⇒ d3 g(y), g(f (a)) < ε.

Por outro lado, para este δ ′ a continuidade de f no ponto a nos assegura δ > 0 de modo que se x ∈ M e ` ´ ` ´ d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < δ ′ ⇒ d3 g(f (x)), g(f (a)) < ε. (M, d1 )

# @ I @a q δ

q x "!

(P, d3 )

(N, d2 )

f

-

#

@ I @ qf (a) q y=f (x) "! δ′

g

-

337

ε @ I @ qgf (a) gf (x) q "!

g◦f

#

Corol´ ario 11. A restri¸c˜ ao de uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) a um subespa¸co (X, d1 ) de (M, d1 ) é também cont´ınua. Prova: Com efeito, sendo i : X ⊂ M −→ M a inclus˜ ao (i.e., i(x) = x), temos ˛ (f ˛X)(x) = f (x), ∀ x ∈ X ` ´ = f i(x) , ∀ x ∈ X ` ´ = f ◦ i (x), ∀ x ∈ X. ˛ ˛ Portanto f ˛X = f ◦ i, ∀ x ∈ X. Como f e i s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f ˛X é também cont´ınua.

Sejam (M, dM ) e (N1 , d1 ), (N2 , d2 ), . . . , (Nn , dn ) espa¸cos métricos e sejam as aplica¸c˜ oes f1 : M −→ N1 , f2 : M −→ N2 , . . . , fn : M −→ Nn A partir destas n aplica¸c˜ oes construimos uma aplica¸c˜ ao f de M no produto cartesiano N1 × N2 × · · · × Nn dada por f : M −→ N1 × N2 × · · · × Nn ` ´ x 7−→ f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x)

A seguinte proposi¸c˜ ao caracteriza a continuidade de f em termos da continuidade das fun¸c˜ oes f1 , f2 , . . . , fn ; denominadas “as coordenadas de f ”.

338

Proposi¸ c˜ ao 81. A aplica¸c˜ ao f : M −→ N1 × N2 × · · · × Nn definida por ` ´ f (x) = f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) , ∀ x ∈ M,

é cont´ınua se, e somente se, suas coordenadas f1 : M −→ N1 , . . . , fn : M −→ Nn s˜ ao cont´ınuas. Prova: (=⇒) Vamos nos valer das fun¸c˜ oes proje¸c˜ oes (pg. 328) ` ´ p1 ◦ f (x) = p1 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = f1 (x) ⇒ p1 ◦f = f1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ` ´ pn ◦ f (x) = pn f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = fn (x) ⇒ pn ◦f = fn .

Como f e cada proje¸c˜ ao pi s˜ ao cont´ınuas, segue que cada fun¸c˜ ao coordenada fi também é cont´ınua. (⇐=) Para provar a rec´ıproca usaremos em N1 × N2 × · · · × Nn a métrica D3 (pg. 151). Sendo a um ponto arbitr´ ario de M , dado ε > 0 existe para cada ´ındice i = 1, 2, . . . , n um n´ umero δi > 0 de modo que ` ´ dM(x, a) < δi ⇒ di fi (x), fi (a) < ε. ˘ ¯ Pondo δ = min δ1 , δ2 , . . . , δn , temos 8 ` ´ > ´ : ` dn fn (x), fn (a) < ε Sendo assim, temos

´ ` ´¯ ˘ ` dM(x, a) < δ ⇒ max d1 f1 (x), f1 (a) , . . . , dn fn (x), fn (a) < ε ` ´ ⇒ D3 f (x), f (a) < ε. (M, dM )

# @ I @q q a x δ1

(N1 , d1 )

-

f1

"!

#

ε @ I @ qf1(a) f (x) q 1 "!

(Nn , dn )

(M, dM )

# δ I @ @anq q x

-

fn

"!

# @ I @aq q x δ

−−−−−−−−−−−−−−−

#

ε @ I @ qfn(a) fn(x) q "!

(N1 ×···×Nn ,D3 )

(M, dM )

f

-

"!

#

ε @ I @ qf(a) f(x) q "!

339

Corol´ ario 12. Se as n fun¸c˜ oes f1 : M1 −→ N1

,

f2 : M2 −→ N2

x1 7−→ f1 (x1 )

,...,

fn : Mn −→ Nn

x2 7−→ f2 (x2 )

xn 7−→ fn (xn )

s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao a fun¸c˜ ao f : M1 × . . . × Mn −→ N1 × . . . × Nn ` ´ x = (x1 , . . . , xn ) 7−→ f1 (x1 ), . . . , fn (xn )

também é cont´ınua.

Prova: Considerando as proje¸c˜ oes i−ésimas (i = 1, 2, . . . , n.) pi : M1 × . . . × Mn −→ Mi (x1 ,... , xi , ..., xn )

7−→

xi

podemos escrever ` ´ f (x) = f1 (x1 ), f2 (x2 ), . . . , fn (xn ) ` ´ = f1 ( p1 (x1 , . . . , xn ) ), . . . , fn ( pn (x1 , . . . , xn ) ) | | {z } {z } =x1

=xn

` ´ = f1 ◦ p1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn ◦ pn (x1 , . . . , xn ) ` ´ Portanto f = f1 ◦ p1 , f2 ◦ p2 , . . . , fn ◦ pn . Isto é, as fun¸c˜ oes fi ◦ pi s˜ ao as coordenadas de f . Sendo estas coordenadas fun¸c˜ oes cont´ınuas - por serem expressas como composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes cont´ınuas - segue que f também é cont´ınua.

Opera¸c˜ oes com Fun¸c˜ oes cont´ınuas (I) Soma. Dadas duas fun¸c˜ oes f : A −→ B

g : A −→ B

e

x 7−→ f (x)

x 7−→ g(x)

gostariamos de obter uma terceira fun¸c˜ ao que seria a soma de f com g f + g : A −→ B x 7−→ f (x) + g(x)

Ent˜ ao é evidente que no conjunto B dever´ a ser poss´ıvel somarmos dois elementos quaisquer. Sendo assim exigiremos que B esteja inserido em´ uma estrutura de espa¸co ` vetorial. Isto é, consideraremos um espa¸co vetorial E, +, ` · constru´ ´ ıdo sobre B = E. E mais: para falarmos de continuidade consideraremos E, +, · um espa¸co vetorial normado. ` ´ Proposi¸ c˜ ao 82. Sejam (M, d) um espa¸co métrico; E, +, · um espa¸co vetorial normado e f : M −→ E, g : M −→ E fun¸c˜ oes. Se f e g s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f + g : M −→ E é também cont´ınua. Prova: Com efeito, consideremos as duas seguintes “fun¸c˜ oes auxiliares” h : M −→ E × E ` ´ x 7−→ f (x), g(x)

e

s : E × E −→ E (x, y) 7−→ x + y

340

Vamos compor estas duas fun¸c˜ oes M

Isto é

h

s

E ×E

E ` ´ x 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x) + g(x) s◦h : M −→ E x 7−→ f (x) + g(x)

Observe, ` ´ ` ´ ` ´ s◦h (x) = s h(x) = s (f (x), g(x)) = f (x) + g(x).

Conclus˜ ao: s ◦ h = f + g é cont´ınua por ser expressa como composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes cont´ınuas. Observa¸c˜ ao: h é cont´ınua devido a proposi¸c˜ ao 81 (pg. 339). A continuidade de s foi demonstrada no ´ıtem (i) (pg. 328). oes (II) Multiplica¸c˜ ao. Dadas duas fun¸c˜ f : A −→ B

g : A −→ B

e

x 7−→ f (x)

x 7−→ g(x)

gostar´ıamos de obter uma terceira fun¸c˜ ao que seria o produto de f com g f · g : A −→ B x 7−→ f (x) · g(x) Ent˜ ao é evidente que no conjunto B dever´ a ser poss´ıvel multiplicarmos dois elementos quaisquer. No presente contexto n˜ ao podemos tomar o conjunto B de um espa¸co vetorial arbitr´ ario, uma vez que nesta estrutura n˜ ao contamos com produto de vetores. Nos contentaremos em tomar B = R. Proposi¸ c˜ ao 83. Sejam (M, d) um espa¸co métrico; o espa¸co vetorial normado (R, | · |) e f : M −→ R, g : M −→ R fun¸c˜ oes. Se f e g s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f · g : M −→ R é também cont´ınua.

Prova: Com efeito, consideremos as duas seguintes “fun¸c˜ oes auxiliares” h : M −→ R × R ` ´ x 7−→ f (x), g(x)

e

m : R × R −→ R (x, y) 7−→ x · y

Vamos compor estas duas fun¸c˜ oes

Isto é

h

m

R×R R ` ´ x 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x) · g(x)

M

341

m◦h : M −→ R x 7−→ f (x) · g(x) Observe, `

´ ` ´ ` ´ m◦h (x) = m h(x) = m (f (x), g(x)) = f (x) · g(x).

Conclus˜ ao: m ◦ h = f · g é cont´ınua por ser expressa como composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes cont´ınuas. Observa¸c˜ ao: A continuidade de m foi demonstrada no ´ıtem iii) (pg. 331). Como um exemplo trivial de aplica¸c˜ ao desta proposi¸c˜ ao conclu´ımos que a fun¸c˜ ao, de (R, µ) em (R, µ), dada por f (x) = x · x = x2 é cont´ınua, devido a que a aplica¸c˜ ao identidade f (x) = x é cont´ınua. oes (III) Quociente. Dadas duas fun¸c˜ f : A −→ R

e

g : A −→ R

x 7−→ f (x)

x 7−→ g(x)

Se g(x) 6= 0, ∀ x ∈ A, definimos a fun¸c˜ ao quociente de f e g por f : A −→ R g x 7−→ f (x)/g(x) Proposi¸ c˜ ao 84. Sejam (M, d) um espa¸co métrico; o espa¸co vetorial normado (R, | · |) e f : M −→ R, g : M −→ R fun¸c˜ oes. Se f e g (g(x) 6= 0, ∀ x ∈ M ) s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f /g : M −→ R é também cont´ınua. Prova: Com efeito, consideremos as três seguintes “fun¸c˜ oes auxiliares” h : M −→ R × R∗ ; ` ´ x 7−→ f (x), g(x)

j : R × R∗ −→ R × R ` ´ (x, t) 7−→ x, 1t

;

m : R × R −→ R (x, y) 7−→ x · y

Vamos compor estas três fun¸c˜ oes

Isto é

h

R × R∗

j

m

R×R R ” “ ` ´ 1 1 7−→ f (x) · g(x) x 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x), g(x)

M

m◦j ◦h : M −→ R x 7−→

f (x) g(x)

Observe, ` ´ ` ´` ´ ` ´` ´ m◦j ◦h (x) = m◦j h(x) = m◦j (f (x), g(x)) « „ ` ´ ` 1 1 ´ = f (x) · = m j((f (x), g(x))) = m f (x), g(x) g(x)

342

Conclus˜ ao: m ◦ j ◦ h =

f é cont´ınua por ser expressa como composi¸c˜ ao de fun¸c˜ oes g

cont´ınuas. Observa¸c˜ ao: A continuidade de j se deve ao corol´ ario 12 (pg. 340). A continuidade 1 de t 7−→ foi demonstrada no ´ıtem ii) (pg. 330). t fun¸ c˜ ao de Urysohn: Dados dois conjuntos fechados disjuntos F e G num espa¸co ` ´ métrico (M, d), a fun¸c˜ ao f : (M, d) −→ [0, 1], µ dada por f (x) =

d(x, F ) d(x, F ) + d(x, G)

é cont´ınua† . Observe∗ que f (x) = 0, para todo x ∈ F e f (x) = 1, para todo x ∈ G. Ou ainda f (F ) = { 0 } e f (G) = { 1 }. (M, d) ⊤1 F

G f

-

@ @q x

⊥0

Uma tal f é o que se chama uma fun¸c˜ ao de Urysohn do par F, G.

Caracteriza¸ c˜ ao da continuidade das transforma¸ co ˜es lineares. ` ´ ` ´ Proposi¸ c˜ ao 85. Sejam E, +, ·, k · k1 e F, +, ·, k · k2 espa¸cos vetoriais normados sobre R. Se T : E −→ F é uma transforma¸c˜ ao linear , ent˜ ao as seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes (i) T é cont´ınua; (ii) T é cont´ınua no ponto 0 ∈ E;

(iii) Existe k > 0 tal que kT (v)k2 ≤ kkvk1 , para todo v ∈ E;

(iv) T é lipschitziana.

Prova: Devemos provar as seguintes implica¸c˜ oes (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i). Com efeito, a implica¸c˜ ao (i) ⇒ (ii) vale por defini¸c˜ ao. Provaremos que (ii) ⇒ (iii): Sendo T cont´ınua em 0 para ε = 1, por exemplo, existe δ > 0 de maneira que ` ´ d1 (u, 0) = ku − 0k1 < δ ⇒ d2 T (u), T (0) = kT (u) − T (0)k2 < ε = 1. isto é

se kuk1 < δ ⇒ kT (u)k2 < 1 (♮) 1 Vamos escolher k > 0 de modo que < δ. Assim, dado qualquer vetor v 6= 0 de E, o k 1 v vetor é tal que k kvk1 ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚ ‚1 v ‚ ‚ = 1 ‚ v ‚ = 1 kvk1 = 1 < δ ‚ ‚ ‚ k kvk ‚ k kvk1 ‚1 k kvk1 k 1 1 † Exemplo

(iv), pg. 329 63, pg. 278.


343

portanto, por ( ♮ ), temos

‚ „ «‚ ‚ ‚ ‚T 1 v ‚ <1 ‚ k kvk1 ‚2

Da linearidade de T decorre ‚ ‚ ‚ ‚ 1 ‚ = 1 kT (v)k2 < 1 ‚ T (v) ‚ ‚ kkvk kkvk1 1 2 Donde:

kT (v)k2 < kkvk1

Esta desigualdade vale para todo v 6= 0 de E. Se v = 0 vale a igualdade kT (0)k2 = kk0k1 , posto que kT (0)k2 = k0k2 = 0 e k0k1 = 0. Portanto a tese: kT (v)k2 ≤ kkvk1 vale sem restri¸c˜ oes. (iii) ⇒ (iv). Dados u, v ∈ E, temos

kT (u) − T (v)k2 = kT (u − v)k2 ≤ kku − vk1 Portanto T é de Lipschitz. (iv) ⇒ (i). Toda aplica¸c˜ ao lipschitziana é cont´ınua (pg. 326).

Corol´ ario` 13. Seja (Rn ,´ k · k1 ) onde k · k1 é qualquer uma das normas usuais sobre ao toda aplica¸c˜ ao Rn e seja E, +, ·, k · k2 um espa¸co vetorial normado qualquer, ent˜ linear T : Rn −→ E é cont´ınua. Prova: Consideremos sobre Rn a base canˆ onica {e1 , e2 , . . . , en }: e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1). Podemos escrever qualquer vetor u ∈ Rn da seguinte forma u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ⇒ u = x1 e1 + · · · + xn en . Ent˜ ao ‚ ‚ kT (u)k2 = ‚T (x1 e1 + · · · + xn en )‚ 2 ‚ ‚ ‚ = x1 T (e1 ) + · · · + xn T (en )‚ 2 ‚ ‚ ≤ ‚x1 T (e1 )k2 + · · · + kxn T (en )‚

2

≤ |x1 | · kT (e1 )k2 + · · · + |xn | · kT (en )k2 .

Vamos pˆ or portanto

˘ ¯ max kT (e1 )k2 , . . . , kT (en )k2 = k ` ´ kT (u)k2 ≤ k |x1 | + · · · + |xn | = kkuk1

onde (ver exemplo 2 pg. 73) kuk1 = k(x1 , . . . , xn )k1 = |x1 | + · · · + |xn |. Sendo assim a proposi¸c˜ ao anterior nos assegura a continuidade de T .

Nota: Veremos oportunamente em que sentido as normas usuais sobre Rn (pg. 73) s˜ ao equivalentes.

344

Caracteriza¸ c˜ ao de Continuidade Via Conjuntos Abertos A pr´ oxima proposi¸c˜ ao caracteriza a continuidade em fun¸c˜ ao de abertos. Proposi¸ c˜ ao 86. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma fun¸c˜ ao f : M −→ N é cont´ınua se, e somente se, para todo aberto Y ⊂ N tivermos f −1 (Y ) aberto em M . Prova: (=⇒) Suponha, por hip´ otese, f cont´ınua e Y ⊂ N aberto. Devemos mostrar que f −1 (Y ) é aberto em M . De` fato, considere a ∈ f −1 (Y ), logo f (a) ∈ Y . ´ Sendo Y aberto, existe ε > 0 tal que Bd f (a); ε ⊂ Y . Como f é cont´ınua, para este 2` ´ ` ´ ε podemos obter δ > 0 de modo que f Bd (a; δ) ⊂ Bd f (a); ε , sendo assim (ver 1 2 proposi¸c˜ ao 9, pg. 47), ` ´ f Bd (a; δ) ⊂ Y ⇒ Bd (a; δ) ⊂ f −1 (Y ). 1

1

Isto prova que f −1 (Y ) é aberto.

#

f −1 (Y )

(M, d1 )

#

Y

@ I @q δ

f

"! a

-

(N, d2 )

ε @ I @q

"! f (a)

(⇐=) Reciprocamente, suponha que a imagem inversa, por f , de todo aberto em N seja um aberto em M . Devemos mostrar que f é cont´ınua em M . De fato, se para todo aberto Y` ⊂ N tivermos f −1 (Y ) aberto em M , ent˜ ao dado a ∈ M e ε > 0, ´ tomemos Y = Bd f (a); ε . Ent˜ ao f −1 (Y ) é aberto. Como a ∈ f −1 (Y ) existe δ > 0 2

de modo que Bd (a; δ) ⊂ f −1 (Y ). Portanto 1

` ´ ` ´ Bd (a; δ) ⊂ f −1 (Y ) ⇒ f Bd (a; δ) ⊂ Y = Bd f (a); ε . 1

1

2

Como a ∈ M foi tomado arbitrariamente, temos f cont´ınua em M .

#

f −1 (Y )

@ I @aq

(M, d1 )

δ

"!

#

Y f

-

(N, d2 )

ε @ I @q

"! f (a)

Exemplos: 1) Vimos no exemplo 4) (pg. 310) que a fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, δ) dada por f (x) = x é descont´ınua em cada ponto do seu dom´ınio. Mostremos isto com o aux´ılio da proposi¸c˜ ao anterior.

345

` ´ Consideremos c ∈ R, temos que { c } é aberto em (R, δ) enquanto f −1 { c } = { c } n˜ ao é aberto em (R, µ). (R,δ)

6 ց qc

{c} aberto

q

- (R,µ)

c

տ

f −1 ({c})={c} n˜ ao aberto

2) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Seja f : M −→ N qualquer fun¸c˜ ao. Se (M, d1 ) é discreto ent˜ ao f é cont´ınua. De fato, sendo (M, d1 ) discreto todos os seus subconjuntos s˜ ao abertos. Isto é, f −1 (Y ) é aberto em (M, d1 ) para qualquer Y ⊂ N . Isto mostra que f é cont´ınua. ( 1, se x ∈ Q; 3) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = 0, caso contr´ ario. ˜ ˆ Vamos mostrar que f n˜ ao é cont´ınua. Seja, por exemplo, o aberto Y = 21 , 32 , ent˜ ao  – »ff 1 3 , f −1 (Y ) = x ∈ R : f (x) ∈ =Q 2 2 Isto é, a pré-imagem do aberto Y resultou em Q, que n˜ ao é aberto. Por conseguinte f n˜ ao é cont´ınua. Ver exemplo d), pg. 47. 4) Seja M = [ 1, 2 ] ∪ { 3 }. Considere f : (M, µ) −→ (R, µ) dada por R

6

f (x) =

(

1,

se x ∈ [ 1, 2 ];

2,

se x = 3.

2

q

1

q

∴

0

r

[ 1

] 2

s

3

-M

Vamos mostrar que f é cont´ınua em M . Inicialmente observe que f (x) ∈ { 1, 2 }, ∀ x ∈ M. Seja Y ⊂ R um aberto qualquer. Temos quatro possibilidades a considerar: ˘ ¯ i) 1 6∈ Y e 2 6∈ Y ⇒ f −1 (Y ) = x ∈ M : f (x) ∈ Y = ∅; ii) 1 ∈ Y e 2 6∈ Y

⇒

f −1 (Y ) = [ 1, 2 ];

iii) 1 6∈ Y e 2 ∈ Y

⇒

f −1 (Y ) = { 3 };

iv) 1 ∈ Y e 2 ∈ Y

⇒

f −1 (Y ) = M .

346

Temos que ∅ e M s˜ ao abertos, por outro lado ` 1´ [ 1, 2 ] = M − { 3 } , { 3 } = B 3; . 2 Deste modo a pré-imagem de todo aberto Y ⊂ R é um aberto (ver prop. 46 pg. 258) em M ; portanto f é cont´ınua. Corol´ arios Corol´ ario 14. Seja f : (M, d) −→ (R, µ) uma fun¸c˜ ao real cont´ınua. O conjunto A = {x ∈ M : f (x) > 0} é aberto. R

6

(M, d) A

q

f

x

-

rf (x) 0

Prova: Temos que ` ´ ˘ ¯ f −1 ] 0, +∞ [ = x ∈ M : f (x) ∈ ] 0, +∞ [ = A.

Como a pré-imagem de um conjunto aberto por uma fun¸c˜ ao cont´ınua é um conjunto aberto, segue que A é ˘ aberto. ¯ Observe que Ac = x ∈ M : f (x) ≤ 0 é fechado. Exemplo 1: No C´ alculo prova-se que a fun¸c˜ ao f (x) = sen x de (R, µ) em (R, µ) é cont´ınua. Resolvendo a inequa¸c˜ ao ˘ ¯ f (x) = sen x > 0 ⇒ S = x ∈ R : 2kπ < x < π + 2kπ ⇒ S=

[˜

2kπ, (2k + 1)π

k∈Z

ˆ

conclu´ımos que S é um conjunto aberto (propo. 47, pg. 259). y

6

1

q

q

q

−2π

q

q −π

q

0

−1

...

a

−2π

a

−π

q

qπ

q

q2π

q

q3π

R q

q

4π

q

a

a

0

π

a

2π

a ...

3π

S

˘ ¯ Exemplo 2: Seja ∆ = (x, x) : x ∈ M a diagonal do produto M × M , onde (M, d) é um espa¸co métrico. O conjunto ˘ ¯ A = (x, y) ∈ M × M : d(x, y) > 0 = M × M − ∆

é aberto (´ıtem (ii), pg. 328).

347

Corol´ ario 15. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Sejam f, g : M −→ N fun¸c˜ oes cont´ınuas. O conjunto ˘ ¯ A = x ∈ M : f (x) 6= g(x)

é aberto em M.

Prova: Sendo f : M −→ N

g : M −→ N

e

x 7−→ f (x)

x 7−→ g(x)

fun¸c˜ oes cont´ınuas, segue (proposi¸c˜ ao 81, pg. 339) que a fun¸c˜ ao h : M −→ N × N

x 7−→ (f (x), g(x))

é cont´ınua. Vamos construir a seguinte fun¸c˜ ao auxiliar M

h

N ×N

d2

R ` ´ ` ´ x 7−→ f (x), g(x) 7−→ d2 f (x), g(x)

Portanto a fun¸c˜ ao auxiliar φ, dada por

φ = d2 ◦h : M −→ R

` ´ x 7−→ d2 f (x), g(x)

é cont´ınua, pois d2 é cont´ınua (´ıtem (ii), pg. 328). Portanto, pelo corol´ ario 14 (pg. 347) o conjunto ˘ ¯ ˘ ` ´ ¯ A = x ∈ M : φ(x) > 0 = x ∈ M : φ(x) = d2 f (x), g(x) > 0 ˘ ¯ = x ∈ M : f (x) 6= g(x)

é aberto. Observa¸ c˜ ao: Observe que o conjunto ˘ ¯ F = Ac = M − A = x ∈ M : f (x) = g(x)

(7.8)

é fechado. Em particular, tomando g(x) = 0, o conjunto ˘ ¯ R = x ∈ M : f (x) = 0 das ra´ızes de uma fun¸c˜ ao, é fechado. Como mais uma aplica¸c˜ ao de (7.8) temos o seguinte

Corol´ ario 16. Sejam f, g : M −→ N fun¸c˜ oes cont´ınuas. Se f (x) = g(x) para todo ¯ ponto x pertencente a um subconjunto X ⊂ M ent˜ ao f (y) = g(y) para todo y ∈ X. Isto é, se duas fun¸c˜ oes cont´ınuas coincidem em um subconjunto, ent˜ ao coincidem também no fecho deste mesmo subconjunto. Prova: De fato, o conjunto dos pontos x ∈ M para os quais f (x) = g(x) é fechado e ¯ contém X, logo contém o fecho de X. Como conseq¨ uência deste corol´ ario concluimos que se f, g : M −→ N s˜ ao cont´ınuas e coincidem num subconjunto denso X ⊂ M ent˜ ao f = g. Por exemplo, se f, g : I −→ R s˜ ao cont´ınuas em um intervalo I e f (x) = g(x) para todo x ∈ I racional ent˜ ao f (x) = g(x) para todo x ∈ R.

348

Como preliminar ` a demonstra¸c˜ ao do pr´ oximo corol´ ario faremos as seguintes considera¸c˜ oes: Dados M1 e M2 conjuntos quaisquer, consideremos A1 ⊂ M1 e A2 ⊂ M2 . Sejam as proje¸c˜ oes p1 : M1 × M2 −→ M1

e

(x1 , x2 ) 7−→ x1

p2 : M1 × M2 −→ M2 (x1 , x2 ) 7−→ x2

Temos

An´ alogamente

` ´ ˘ ¯ A1 = x ∈ M1 × M2 : p1 (x) ∈ A1 p−1 1 ¯ ` ´ ˘ = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 : p1 (x1 , x2 ) ∈ A1 ˘ ¯ = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 : x1 ∈ A1 ` ´ ˘ ¯ p−1 A2 = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 : x2 ∈ A2 2

Queremos provar a seguinte identidade ` ´ ` ´ A2 A1 × A2 = p−1 A1 ∩ p−1 1 2

De fato, temos

(x1 , x2 ) ∈ A1 × A2 ⇐⇒ x1 ∈ A1 e x2 ∈ A2 ` ´ ` ´ A2 A1 e (x1 , x2 ) ∈ p−1 ⇐⇒ (x1 , x2 ) ∈ p−1 2 1 ` ´ ` ´ −1 −1 ⇐⇒ (x1 , x2 ) ∈ p1 A1 ∩ p2 A2 .

O que foi feito aqui para dois conjuntos se estende sem dificuldades para n conjuntos. Corol´ ario17. Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao o produto A1 ×A2 , onde cada Ai ⊂ Mi é um conjunto aberto (i=1, 2.) é aberto no espa¸co produto M1 ×M2 (em rela¸c˜ ao a qualquer das métricas Dk (k = 1, 2, 3.)) ` ´ ` ´ A2 s˜ ao conjuntos abertos devido a que as proje¸c˜ oes s˜ ao A1 e p−1 Prova: p−1 2 1 cont´ınuas; por conseguinte ` ´ ` ´ A2 A1 ∩ p−1 A1 × A2 = p−1 2 1

é aberto por ser a interseçc˜ ao de dois conjuntos abertos. Por indu¸c˜ ao o resultado anterior se estende a um n´ umero finito qualquer de conjuntos. Para demonstrar o pr´ oximo corol´ ario lembramos a seguinte identidade (pg. 47) ` ´”c ` ´ “ f −1 Ac = f −1 A

Corol´ ario 18. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma fun¸c˜ ao f : M −→ N é cont´ınua se, e somente se, para todo Fechado F ⊂ N tivermos f −1 (F ) fechado em M.

Prova: (=⇒) Suponha, por hip´ otese, f cont´ınua e F ⊂ N fechado. Devemos mostrar que f −1 (F ) é fechado em M . ` ´ De fato, sendo F fechado, F c é aberto, logo pela proposi¸c˜ ao 86 (pg. 345) f −1 F c ”c “ ` ´ é fechado. Por conseguinte é aberto. Portanto f −1 F c é fechado.

“

` ´”c “` −1 ć ”c = f −1 (F ) f −1 F c = f (F )

349

(⇐=) Reciprocamente, suponha que a imagem inversa, por f , de todo fechado em N seja um fechado em M . Devemos mostrar que f é cont´ınua em ` M ´ . De fato, considere A ⊂ N um aberto qualquer, ent˜ ao Ac é fechado. Logo f −1 Ac é fechado, portanto “ ` ´”c “` −1 ć ”c f −1 Ac = f (A) = f −1 (A)

é aberto, logo f é cont´ınua.

Corol´ ario 19. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se A e B s˜ ao˛ subconjuntos ˛ fechados de M tais que M = A ∪ B e se f : M −→ N é tal que g = f ˛A e h = f ˛B s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao f também é cont´ınua. Prova: Seja P ⊂ N . Inicialmente mostremos a seguinte identidade f −1 (P ) = g −1 (P ) ∪ h−1 (P ) (M, d1 ) A

(N, d2 ) B

P f

h−1 (P ) g−1 (P )

h g

A t´ıtulo de recorda¸c˜ ao temos

`

˘ ¯ f −1 (P ) = x ∈ M : f (x) ∈ P ˘ ¯ g −1 (P ) = x ∈ A : g(x) ∈ P ˘ ¯ h−1 (P ) = x ∈ B : h(x) ∈ P

´ ⊂ Dado x ∈ f −1 (P ) ⇒ x ∈ M = A ∪ B e f (x) ∈ P . Logo x ∈ A e f (x) ∈ P ou x ∈ B e f (x) ∈ P . Se x ∈ A ent˜ ao g(x) = f (x) ∈ P ou se x ∈ B ent˜ ao h(x) = f (x) ∈ P , −1 −1 em qualquer dos casos x ∈ g (P ) ∪ h (P ). ` ´ ⊃ Seja x ∈ g −1 (P ) ∪ h−1 (P ), portanto x ∈ g −1 (P ) ou x ∈ h−1 (P ) ⇒ x ∈ A e g(x) ∈ P ou x ∈ B e h(x) ∈ P . Se x ∈ A e g(x) ∈ P ent˜ ao x ∈ M e f (x) = g(x) ∈ P ou se x ∈ B e h(x) ∈ P ent˜ ao x ∈ M e f (x) = h(x) ∈ P em qualquer dos casos x ∈ f −1 (P ). Pois bem, se P é um subconjunto fechado de N ent˜ ao pelo corol´ ario 18, g −1 (P ) é fechado em (A, d1 ), e portanto (corolario 6, pg. 275) fechado em (M, d1 ). Analogamente, h−1 (P ) é fechado em (M, d1 ). Logo f −1 (P ) = g −1 (P ) ∪ h−1 (P ) é fechado em (M, d1 ). Logo, ainda nos valendo do corol´ ario 18, concluimos que f é cont´ınua.

350

Fun¸cão Aberta Dada uma aplica¸c˜ ao cont´ınua ` ´ f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) e um subconjunto aberto A ⊂ M , sua imagem direta f A = {f (x) : x ∈ A} ⊂ N n˜ ao precisa ser um conjunto aberto em (N, d2 ). Por exemplo, considere f : (M, d) −→ (R, µ) onde (M, d) é discreto; ent˜ ao todo subconjunto A ⊂ M é aberto e f é cont´ınua (prop. 75, pg. 317). Em particular ` ´ ˘ ¯ ˘ ¯ f { a } = f (x) : x ∈ { a } = f (a) n˜ ao é um conjunto aberto em (R, µ).

Defini¸ c˜ ao 47 (fun¸c˜ ao aberta). Uma aplica¸c˜ ao f : (M,` d´1 ) −→ (N, d2 ) chama-se aberta quando para cada A ⊂ M aberto, sua imagem f A é um subconjunto aberto de (N, d2 ). Isto é, quando f transforma abertos em abertos. Vimos que uma aplica¸c˜ ao cont´ınua n˜ ao precisa ser aberta. Também uma aplica¸c˜ ao aberta n˜ ao precisa ser cont´ınua. Por exemplo, considere f : (R, µ) −→ (R, δ) dada por f (x) = x, f é aberta∗ mas n˜ ao é cont´ınua† . O nosso objetivo agora ser´ a mostrar que as fun¸c˜ oes proje¸c˜ ao: pi : M1 × . . . × Mn −→ Mi (x1 ,... , xi , ..., xn )

7−→

xi

s˜ ao abertas (i = 1, 2, . . . , n). Prova: Das três métricas usuais para o produto cartesiano (pg. 157) trabalharemos com a seguinte: D3 (x, y) = max {d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn )} j´ a que, como ser´ a demonstrado oportunamente (prop. 92, pg. 379), os abertos de M = M1 × · · · × Mn relativos a essas métricas s˜ ao os mesmos. Consideremos q = (q1 , . . . , qi , . . . , qn ) ∈ M = M1 × · · · × Mi × · · · × Mn . Vamos mostrar inicialmente que “ ” pi BD ( q; r) = Bdi( qi ; r) (i = 1, . . . , n) 3

onde (ver prop. 28, pg. 176)

BD ( q; r) = Bd1( q1 ; r) × · · · × Bdi( qi ; r) × · · · × Bdn( qn ; r) 3

e

˘ ¯ Bdi( qi ; r) = xi ∈ Mi : di (xi , qi ) < r

Pois bem, “ ” n o pi BD ( q; r) = pi (x) : x ∈ BD ( q; r) 3 3 n ` o ´ = pi (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ BD ( q; r) 3 ˘ ` ´ ¯ = xi : D3 (x1 , . . . , xi , . . . , xn ), (q1 , . . . , qi , . . . , qn ) < r ˘ ¯ = xi : di (xi , qi ) < r, (i = 1, . . . , n) = Bdi( qi ; r) (i = 1, . . . , n).

Sejam A ⊂ M aberto e ` ´ ˘ ¯ qi ∈ pi A = pi (x) : x ∈ A ˘ ` ´ ¯ = pi (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ A ˘ ¯ = xi : (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ A

∗ Exemplo

† Exemplo

5), pg. 256 4), pg. 310

351

` ´ pi A é o conjunto das i−é`simas ´ coordenadas de todos os pontos (x1 , . . . , xn ) ∈ A. Pois bem, como qi ∈ pi A , existe q = (q1 , . . . , qi , . . . , qn ) ∈ A tal que pi (q) = qi . Como A é aberto, existe r > 0 tal que BD ( q; r) ⊂ A. Pela proposi¸c˜ ao 7 (a) (pg. 44), 3 temos “ ” BD ( q; r) ⊂ A ⇒ pi BD ( q; r) ⊂ pi (A) 3

3

⇒ Bdi( qi ; r) ⊂ pi (A)

e assim qi resulta ponto interior de pi (A), por conseguinte, pi (A) é aberto em (Mi , di ). Portanto pi (i = 1, . . . , n) é uma fun¸c˜ ao aberta.

(Mi , di )

(M, D3 ) A q

q

pi (A)

pi

-

r

qi =pi (q)

352

7.3

Continuidade Uniforme

Vamos lembrar o que significa dizer que uma fun¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) seja cont´ınua em todo o seu dom´ınio. f é cont´ınua em um ponto arbitr´ ario y ∈ M quando: qualquer que seja ε > 0 dado, pudermos obter δ > 0 tal que x ∈ M , d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε. Isto pode traduzir-se pela f´ ormula: ∀

ε>0

∀

∃

y∈M

δ>0

∀

“

` ´” x ∈ Bd (y; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (y); ε

∀

`

` ´ ´ d1 (x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε

x∈M

Ou, de outro modo: ∀

ε>0

∀

∃

y∈M

x∈M

δ>0

1

2

Se atentarmos para os exemplos de continuidade, j´ a vistos, podemos perceber que podem ocorrer quatro situa¸c˜ oes quanto a dependencia do δ procurado, com respeito ao ponto a no qual se analisa a continuidade e ao ε fornecido, veja: δ = fun¸c˜ ao

Exemplos

δ = cte

1.3) : pg. 307; 7.3) : pg. 313 − Toda imers˜ ao isométrica: pg. 319 − Toda contra¸c˜ ao: pg. 326

δ = δ(ε)

− Toda fun¸c˜ ao de Lipschitz: pg. 326 δ = δ(a)

2) : pg. 308;

δ = δ(ε, a)

3) : pg. 309.

8) : pg. 315

No caso deste u ´ltimo exemplo (ver 3), pg. 309) ainda se poderia perguntar: n˜ ao poderia existir um δ = δ(ε) > 0 que n˜ ao dependa do particular ponto a em que se esteja analisando a continuidade? A resposta é pela negativa. De fato, suponhamos a > 0 e ε > 0 dados arbitrariamente. Temos ˛ ˛ 1˛ |x − a| ˛1 |f (x) − f (a)| = ˛ − ˛ = x a ax

Considerando |x − a| < δ (∗), isto é, a − δ < x < a + δ e tomando x > a − δ ⇒ ax > a(a − δ) ⇒

1 1 δ δ < ⇒ < ax a(a − δ) ax a(a − δ)

Multiplicando (∗) por 1/ax, obtemos |x − a| |x − a| δ δ < ⇒ |f (x) − f (a)| = < ax ax ax a(a − δ) Desta forma para que se tenha |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε é suficiente tomar

δ a(a−δ)

a−δ =a−

= ε, ou ainda, δ =

2

a ε 1+aε

(7.9)

(⋄). Observe que,

a2 ε a 1 + aε 1 = ⇒ f (a − δ) = = +ε 1 + aε 1 + aε a a

Mostraremos agora que δ dado por (⋄) é o maior valor que δ pode assumir de modo que (7.9) ainda se verifique. Com efeito, consideremos δ ′ > 0 satisfazendo

353

δ < δ ′ < a, ent˜ ao −δ > −δ ′ > −a ⇒ a − δ > a − δ ′ > 0; tomemos x satisfazendo ′ a − δ < x < a − δ, como f é decrescente resulta, ˜1 1 − ε, + ε[ f (a − δ ′ ) > f (x) > f (a − δ) ⇒ f (x) 6∈ ]f (a) − ε, f (a) + ε[= a a ˘ ¯ Considere agora A = a2 ε/(1 + aε) : a > 0 , sendo assim, ˘ ¯ inf A = inf a2 ε/(1 + aε) : a > 0 = 0

Como δ dado por (⋄) é o maior valor que δ pode assumir (de modo que (7.9) se verifique), segue-se que se existir δ ′ > 0, independente do ponto a que se tome em ]0, +∞[, este deve satisfazer 0 < δ′ < δ =

a2 ε 1 + aε

(7.10)

Como inf A = 0 e δ ′ > 0 isto significa que δ ′ n˜ ao pode ser cota inferior de A, logo ′ a′2 ε < δ , ou ainda, existe a′ > 0 satisfazendo 1+a ′ε a2 ε a′2 ε < δ′ < δ = ′ 1+a ε 1 + aε Acontece que para o a′ em quest˜ ao o maior valor que δ pode assumir (de modo que 2 ′ a′2 ε (7.9) se verifique) é δ = 1+a ′ ε , ora (7.10) nos diz que existe um δ (= a ε/(1+a ε)) > δ que satisfaz (7.9), o que é contradit´ orio; sendo assim é imposs´ıvel encontrar um δ > 0 satisfazendo (7.9) que independa do ponto a em considera¸c˜ ao. As fun¸c˜ oes cont´ınuas para as quais o δ encontrado n˜ ao depende do particular ponto a onde se analisa a continuidade, gozam de certas propriedades n˜ ao partilhadas por fun¸c˜ oes cont´ınuas em geral; da´ı a necessidade de isolarmos estas fun¸c˜ oes para estudos. ´ o que faremos agora através da seguinte E Defini¸ c˜ ao 48 (Continuidade uniforme). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Diz-se que uma aplica¸c˜ ao f : M −→ N é uniformemente cont´ınua quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pudermos exibir δ(ε) > 0 tal que ` ´ ∀ x, y ∈ M, d1(x, y) < δ(ε) ⇒ d2 f (x), f (y) < ε

A seguir escrevemos a defini¸c˜ ao de continuidade uniforme juntamente com sua nega¸c˜ ao:

ε>0

∀

δ>0

∃

y∈M

∀

x∈M

∃

∀

∃

∃

ε>0

δ>0

y∈M

∀

x∈M

`

`

d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε d1 (x, y) < δ ∧ d2 (f (x), f (y)) ≥ ε

´

´

Comparando as duas continuidades temos: continuidade

∀

ε>0

∀

y∈M

∃

δ>0

∀

` ´ d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε

∀

` ´ d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε

x∈M

δ=δ(ε,y)

continuidade uniforme

∀

ε>0

∃

δ>0 δ=δ(ε)

∀

y∈M

x∈M

Obseve que a segunda f´ ormula “s´ o” difere da primeira pela troca de posi¸c˜ ao de dois quantificadores.

354

Nota: Deve ficar bem claro (transparente) para o leitor a diferen¸ca entre os dois tipos de continuidade. Com este intuito reveja pg. 305 (Generalizando). Proposi¸ c˜ ao 87. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Toda aplica¸c˜ ao lipschitziana é uniformemente cont´ınua. Prova: De fato, sendo (pg. 326): d2 (f (x), f (y)) ≤ c d1 (x, y) para quaisquer x, y ∈ M ent˜ ao dado ε > 0, tomamos δ(ε) = εc . Logo se d1 (x, y) < δ =

ε ⇒ c d1 (x, y) < ε ⇒ d2 (f (x), f (y)) ≤ c d1 (x, y) < ε. c

Em particular, s˜ ao uniformemente cont´ınuas (pgs. 326-329): As homotetias, as fun¸c˜ oes reais com derivadas limitadas em um intervalo, as proje¸c˜ oes, as contra¸c˜ oes. Proposi¸ c˜ ao 88. Se f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) e g : (N, d2 ) −→ (P, d3 ) s˜ ao aplica¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas ent˜ ao g ◦f : (M, d1 ) −→ (P, d3 ) é também uniformemente cont´ınua. Prova: Dado ε > 0, sendo g uniformemente cont´ınua existe δ ′ > 0 tal que ` ´ (§) ∀ z, t ∈ N ; d2 (z, t) < δ ′ ⇒ d3 g(z), g(t) < ε

Como f é também uniformemente cont´ınua, para este δ ′ existe δ > 0 tal que ` ´ ∀ x, y ∈ M ; d1 (x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < δ ′ (‡)

De ( § ) e ( ‡ ) concluimos que

` ´ ∀ x, y ∈ M ; d1 (x, y) < δ ⇒ d3 g(f (x)), g(f (y)) < ε

isto é

` ´ ` ´ d3 g(f (x)), g(f (y)) = d3 (g ◦ f )(x), (g ◦ f )(y) < ε (M, d1 )

q

x

q

(N, d2 )

d1(x, y)<δ

q

f (x)

y

f

-

`

q

(P, d3 )

q

g(f (x)) g

-

f (y)

´

d2 f (x), f (y) <δ ′

g◦f

`

q

g(f (y))

´

d3 g(f (x)), g(f (y)) <ε

-

Proposi¸ ao 89. A aplica¸c˜ ao f ´: M −→ N1 × N2 × · · · × Nn definida por `c˜ f (x) = f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) , ∀ x ∈ M , é uniformemente cont´ınua se, e somente se, suas coordenadas f1 : M −→ N1 , . . . , fn : M −→ Nn s˜ ao uniformemente cont´ınuas.

355

Prova: (=⇒) Vamos nos valer das fun¸c˜ oes proje¸c˜ oes ` ´ p1 ◦ f (x) = p1 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = f1 (x) ⇒ p1 ◦f = f1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ` ´ pn ◦ f (x) = pn f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = fn (x) ⇒ pn ◦f = fn .

Como f e cada proje¸c˜ ao pi s˜ ao uniformemente cont´ınuas, segue que cada fun¸c˜ ao coordenada fi também é uniformemente cont´ınua. (⇐=) Para provar a rec´ıproca usaremos em N1 × N2 × · · · × Nn a métrica ˘ ¯ D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 ), . . . , dn (xn , yn )

Suponha que cada fi é uniformemente cont´ınua. Dado ε > 0 existe para cada ´ındice i = 1, 2, . . . , n um n´ umero δi > 0 de modo que ` ´ ∀ x, y ∈ M ; dM(x, a) < δi ⇒ di fi (x), fi (a) < ε. Pondo δ = min{δ1 , δ2 , . . . , δn }, temos

8 ` ´ > ´ : ` dn fn (x), fn (a) < ε

Sendo assim, temos

˘ ` ´ ` ´¯ ∀ x, y ∈ M ; dM(x, a) < δ ⇒ max d1 f1 (x), f1 (a) , . . . , dn fn (x), fn (a) < ε ` ´ ⇒ D3 f (x), f (a) < ε.

` ´ Proposi¸ c˜ ao 90. Seja (M, d) um espa¸co métrico e E, +, · um espa¸co vetorial normado. Se f, g : M −→ E s˜ ao aplica¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas ent˜ ao f + g : −→ E é também uniformemente cont´ınua. Prova: Exerc´ıcio. Vimos (proposi¸c˜ ao 75, pg. 317) que f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) onde (M, d1 ) é um espa¸co discreto é cont´ınua; todavia n˜ ao uniformemente cont´ınua, porquanto δ = δa . Ver exemplo 8), pg. 315. Nota: O produto de fun¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas pode n˜ ao ser uniformemente cont´ınuo. Por exemplo, a aplica¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = x é uniformemente cont´ınua, mas g : (R, µ) −→ (R, µ) dada por g(x) = f (x) · f (x) = x2 n˜ ao o é, conforme ser´ a visto no exemplo 2o ) adiante. Toda fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua é cont´ınua (prove isto!); mas a rec´ıproca, amiude n˜ ao se verifica, como veremos agora: 1o ) J´ a vimos (pg. 308) que a fun¸c˜ ao f : (R − { 0 }, µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = x/|x| é cont´ınua. Mostraremos que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x e y tais que |x − y| < δ e |f (x) − f (y)| ≥ ε. (Ver nega¸c˜ ao em s´ımbolos, pg. 354). Observe que f (x) ∈ { −1, 1 }, ∀ x ∈ R − { 0 }, portanto |f (x) − f (y)| ∈ { 0, 2 } ∀ x, y ∈ R − { 0 },

356

mais precisamente ˛ ˛ ˛f (x) − f (y)˛ =

(

0, se xy > 0; 2, se xy < 0.

Se escolhermos qualquer ε ≤ 2, para todo δ > 0 existir˜ ao sempre pontos x, y ∈ R − { 0 } tais que |x − y| < δ e |f (x) − f (y)| ≥ ε Por exemplo, tomando x = −δ/3 e y = δ/3, temos |x − y| =

2δ < δ e |f (x) − f (y)| = 2 ≥ ε. 3 R

6

|f (x)−f (y)|=2≥ε

⊤

1

q

q

x=− δ 3

y= δ 3

⊥

- R−{ 0 }

−1

⊢

⊣

|x−y|= 2δ <δ 3

2o ) A fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = x2 é cont´ınua (produto de fun¸c˜ oes cont´ınuas). Mostraremos que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x e y tais que |x − y| < δ e |f (x) − f (y)| ≥ ε Tomemos qualquer ε ≤ 2. Dado δ > 0, pela propriedade arquimediana existe n ∈ N tal que n1 < δ. Utilizando este n fa¸camos x = n e y = n + n1 . Ent˜ ao |x − y| = n1 < δ e, no entanto ˛ «2 ˛˛ „ ˛ 1 1 ˛ ˛ 2 |f (x) − f (y)| = ˛n − n + ˛=2+ 2 >ε ˛ n ˛ n f (x)

6

|f (x)−f (y)|=2+ 12 >ε n

ց⊤ ⊥ n

0

n+ 1 n

-x

x |x−y|= n1 <δ ⊢ ⊣ Nota: f é localmente lipschitziana (pg. 329), isto implica que em cada ponto a ∈ R existe uma bola ]a − r, a + r[ tal que a restri¸c˜ ao de f a essa bola é

357

uniformemente cont´ınua. Consideremos ainda f (x) = x2 desta vez sobre o dom´ınio [ 0, b ], onde b é qualquer n´ umero positivo. Dado ε > 0 escolhamos δ = ε/2b. Ent˜ ao se x, y ∈ [ 0, b ] e |x − y| < δ, temos ˛ ˛ ˛f (x) − f (y)˛ = |x2 − y 2 | = |x + y| · |x − y| ≤ 2b |x − y| < 2b δ = ε.

Sendo assim f (x) = x2 é uniformmente cont´ınua sobre [ 0, b ]. Este é um caso especial da proposi¸c˜ ao 142, pg. 526.

O exemplo acima mostra a dependencia da continuidade uniforme com respeito ao dom´ınio da fun¸c˜ ao. 3o ) J´ a vimos (pg. 309) que a fun¸c˜ ao f : (R∗+ , µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = 1/x é cont´ınua. Mostraremos que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x e y tais que |x − y| < δ e |f (x) − f (y)| ≥ ε Tomemos qualquer ε ≤ 1. Dado δ > 0, pela propriedade arquimediana escolhemos n ∈ N tal que 1 n

<δ ⇒

1 n(n+1)

Utilizando o n de Arquimedes fa¸camos x = |x − y| =

1 n+1

<δ

ey=

1 . n

Ent˜ ao

1 < δ e |f (x) − f (y)| = |n − (n + 1)| = 1 ≥ ε. n(n + 1) f (x)

6

|f (x)−f (y)|=1≥ε

ց⊤ ⊥ 0

1 n+1

⊢

-x

1 n 1 <δ x |x−y|= n(n+1) ⊣

Nota: f é localmente lipschitziana (pg. 330), isto implica que em cada ponto a ∈ R∗+ existe uma bola ]a − r, a + r[ tal que a restri¸c˜ ao de f a essa bola é uniformemente cont´ınua. 4o ) A fun¸c˜ ao f : (R∗ , µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = sen ( x1 ) é cont´ınua e limitada, mas n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f é cont´ınua consideremos as fun¸c˜ oes g e h g : R −→ R e h : R∗ −→ R x 7−→ sen x

358

x 7−→ 1/x

compondo estas duas fun¸c˜ oes, temos g

h

R∗ −→ R −→ R 1 x

x 7−→

7−→ sen ( x1 )

f = g◦h : R∗ −→ R

Isto é,

x 7−→ sen ( x1 )

é cont´ınua.

Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x e y tais que |x − y| < δ e |f (x) − f (y)| ≥ ε Tomemos qualquer ε ≤ 2. Dado δ > 0, pela propriedade arquimediana existe n ∈ N tal que 1 1 <δ ⇒ <δ ⇒ n 2n

1 2

1 <δ + 2n

⇒ `3 2

Utilizando o n de Arquimedes fa¸camos x= Ent˜ ao

3π 2

˛ ˛ 1 |x − y| = ˛˛ 3π − + 2nπ 2

e, no entanto

1 ´ ` ´ < δ. + 2n · 21 + 2n

1 , y= + 2nπ

π 2

π 2

1 + 2nπ

˛ ˛ 1 1 ˛= ` ´ `1 ´ <δ 3 + 2nπ ˛ + 2n · 2 + 2n 2

˛ “ 3π ” “π ”˛˛ ˛ ˛ |f (x) − f (y)| = ˛ sen + 2nπ − sen + 2nπ ˛˛ 2 2 ˛ ˛ = ˛ − 1 − 1˛ = 2 ≥ ε.

Agora daremos um exemplo de fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua mas n˜ ao lipschitziana. Trata-se da fun¸c˜ ao ` ´ ` ´ √ f : [0, +∞[, µ −→ [0, +∞[, µ definida por f (x) = x.

Para mostrar que f é uniformemente cont´ınua, para todo ε > 0 dado devemos exibir δ(ε) > 0 tal que ˛√ √ ˛ |x − y| < δ(ε) ⇒ ˛ x − y ˛ < ε Antes vamos estabelecer uma desigualdade auxiliar: para a, b ≥ 0, temos a + b ≥ a − b e a + b ≥ −(a − b) ⇒ |a + b| ≥ |a − b|. ˛√ √ ˛ ˛√ √ ˛ portanto ˛ x − y ˛ ≤ ˛ x + y˛ , ∀ x, y ≥ 0, logo ˛ ˛√ ˛ ˛√ ˛ ˛√ ˛ ˛√ ˛ x − √y ˛ · ˛ x − √y ˛ ≤ ˛ x − √y ˛ · ˛ x + √y ˛ ˛√ √ ˛2 ⇒ ˛ x − y˛ ≤ |x − y| ˛√ √ ˛ p ⇒ ˛ x − y ˛ ≤ |x − y|

359

Ent˜ ao, tomando δ(ε) = ε2 , temos p √ ˛√ √ ˛ |x − y| < δ = ε2 ⇒ ε = ε2 > |x − y| ≥ ˛ x − y ˛ ˛√ √ ˛ ⇒ ˛ x − y ˛ < ε.

Agora vamos mostrar que f n˜ ao é de Lipschitz. Para tanto (pg. 326) devemos provar que para qualquer c > 0, existem x, y ∈ [ 0, +∞[, x 6= y, tal que ˛ ˛√ ˛ x − √y˛ > c |x − y|

sendo

˛√ ˛ ˛ x − √y ˛ |x − y|

˛ ˛√ ˛ x − √y ˛ 1 = ˛˛√ √ √ ˛ ˛√ √ ˛ = √ x+ y x − y˛ · ˛ x + y ˛

basta tomar, por exemplo, x = √

7.4

1 16c2

1 √ = q x+ y

ey=

1 ; 4c2

posto que

1 1 16c2

+

q

1 4c2

=

4c >c 3

Homeomorfismos − Espa¸ cos Homeomorfos

Na ´ algebra, se existe uma bije¸c˜ ao entre dois grupos (G, ∗) e (J, △) que preserva as opera¸c˜ oes, ent˜ ao estes grupos s˜ ao ditos isomorfos e s˜ ao indistingu´ıveis sob o ponto de vista algébrico. De modo an´ alogo, em topologia se existe uma bije¸c˜ ao entre dois espa¸cos (M, d1 ) e (N, d2 ) que preserva os abertos (isto é, abertos s˜ ao tranformados em abertos), ent˜ ao estes espa¸cos s˜ ao ditos homeomorfos (ou topologicamente equivalentes) e s˜ ao indistingu´ıveis sob o ponto de vista da topologia. Vamos tornar estas considera¸c˜ oes mais precisas: Inicialmente chamamos a aten¸c˜ ao do leitor para o fato de que em topologia podemos ter uma bije¸c˜ ao cont´ınua, por exemplo a identidade (prop. 75, pg. 317): i : (R, δ) −→ (R, µ) x 7−→ x

cuja inversa (a qual também é a identidade) i−1 : (R, µ) −→ (R, δ) x 7−→ x

seja descont´ınua (exemplo 4) pg. 310). Veja também o exemplo 5), pg. 311. Defini¸ c˜ ao 49 (Homeomorfismo). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Dizemos que uma aplica¸c˜ ao f : M −→ N é um homeomorfismo do espa¸co (M, d1 ) no espa¸co (N, d2 ) se, e somente se, (a) f é bijetora; (b) f e sua inversa f −1 s˜ ao ambas cont´ınuas. De imediato concluimos, respaldados na proposi¸c˜ ao 86 (pg. 345), que se f é um homeomorfismo ent˜ ao todo aberto A ⊂ N é transformado por f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) em um aberto de M . Reciprocamente, todo aberto A ⊂ M é transformado por f −1 : (N, d2 ) −→ (M, d1 )

360

em um aberto de N . Dizemos ent˜ ao que o homeomorfismo preserva (n˜ ao destr´ oi) os conjuntos abertos destes espa¸cos. Defini¸ c˜ ao 50 (Espa¸cos Homeomorfos). Dois espa¸cos métricos (M, d1 ) e (N, d2 ) dizem-se homeomorfos ou topol´ ogicamente equivalentes se existe um homeomorfismo f : M −→ N . Exemplos de homeomorfismos/espa¸ cos homeomorfos: 1) A inversa de toda isometria é uma isometria, portanto toda isometria é um homeomorfismo; mas a rec´ıproca é falsa, é o caso do exemplo a seguir: ` ´ 2) Os espa¸cos (R, µ) e ] − 1, 1 [, µ s˜ ao homeomorfos, pois f : R −→ ] − 1, 1 [ x 7−→

e

f −1 : ] − 1, 1 [ −→ R

x 1+|x|

x x 7−→ 1−|x|

s˜ ao cont´ınuas (a cargo do leitor). Observe,

f (x)

f −1 (x)

6

6

1

-x

0

−1

é f´ acil ver que f n˜ ao é isometria.

361

−1

0

1

-x

Propriedades topol´ ogicas Uma propriedade P , de conjuntos, é chamada topol´ ogica ou invariante topol´ ogico se, sempre que um espa¸co métrico (M, d) goza de P , ent˜ ao todo espa¸co homeomorfo a (M, d) também goza de P . Se P é uma propriedade topol´ ogica e sendo toda isometria um homeomorfismo, ent˜ ao P é preservada por isometrias; logo, toda propriedade topol´ ogica é também uma propriedade métrica − que s˜ ao aquelas preservadas por isometrias − mas a rec´ıproca n˜ ao se verifica, como veremos. Como vimos no exemplo anterior a reta real R é homeomorfa ao intervalo aberto X =] − 1, 1 [. Ent˜ ao, “diˆ ametro” n˜ ao é um invariante topol´ ogico (mas sim métrico), pois X e R têm diˆ ametros diferentes. Também a propriedade de ser limitado n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica, pois X é limitado enquanto R n˜ ao o é. Temos um outro exemplo desta situa¸c˜ ao ao consideramos os conjuntos ˘ 1 ¯ 1 N = {1, 2, . . . , n, . . .} e M = 1, , . . . , , . . . 2 n

ambos com a métrica µ. A aplica¸c˜ ao,

f : N −→ M n 7−→ n1

é um homeomorfismo, pois é uma bije¸c˜ ao e ambos os espa¸cos (N, µ) e (M, µ) s˜ ao discretos; isto é f e f −1 s˜ ao cont´ınuas; mas enquanto M é limitado, N n˜ ao o é. Mostraremos agora que ser discreto é uma propriedade topol´ ogica (portanto, métrica). Seja f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) um homeomorfismo. Se (N, d2 ) é discreto ent˜ ao (M, d1 ) também o é. Com efeito, fixado arbitrariamente um ponto a ∈ M ; sendo (N, d2 ) discreto ent˜ ao f (a) é isolado, o que implica na existência de um ε = εf (a) > 0 tal que a bola Bd (f (a); ε) = { f (a) } se reduz ao seu centro. Sendo f cont´ınua, existe δ = δ(ε, a) > 0 2 tal que se x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd (f (a); ε) = { f (a) }, 1

2

e como f é injetiva conclui-se que na bola Bd (a; δ) s´ o existe o seu pr´ oprio centro, isto 1 é, Bd (a; δ) = { a }. Com isto mostramos que a ∈ M é isolado; como a foi tomado 1 arbitrariamente segue que (M, d1 ) é discreto. • A estrutura topol´ ogica de um espa¸co métrico é determinada pela cole¸c˜ ao dos abertos desse espa¸co. Isto se deve ` a proposi¸c˜ ao 47, pg. 259. 3) Homeomorfismo entre bolas: Duas bolas quaisquer em um espa¸co vetorial normado s˜ ao homeomorfas. ` ´ Dadas duas bolas B(a; r) e B(b; s) em um espa¸co vetorial E, +, · normado, vamos mostrar que existe um homeomorfismo entre ambas. A aplica¸c˜ ao, ϕ : E −→ E x 7−→ b + rs (x − a) isto é, ϕ(x) = b + sr (x − a), é cont´ınua por ser a composta das fun¸c˜ oes cont´ınuas: transla¸c˜ ao, homotetia e transla¸c˜ ao. E

T−a

hs

E

r

x 7−→ x − a 7−→

E s (x r

Tb

− a) 7−→ b +

isto é

362

E s (x r

− a)

ϕ = Tb ◦ hs ◦ T−a r

´ injetiva, pois E s s ϕ(x) = ϕ(y) ⇒ b + (x − a) = b + (y − a) ⇒ x = y r r é sobrejetiva, pois dado y ∈ E, existe x ∈ E de modo que ϕ(x) = y: r s ϕ(x) = b + (x − a) = y ⇒ x = a + (y − b) r s Observe que para este x, temos ϕ(x) = b + A inversa de ϕ é dada por

” ´ r s “` a + (y − b) − a = y r s

r ϕ−1 (x) = a + (x − b) s que também é cont´ınua, por ser composta por fun¸c˜ oes cont´ınuas. Com isto provamos que ϕ : E −→ E é um homeomorfismo. Para mostrar que a restri¸c˜ ao (ver corol´ ario 11, pg. 338) ˛ ˛ ϕ′ = ϕ˛ : B(a; r) −→ B(b; s) B(a; r)

é um homeomorfismo é suficiente mostrar que é sobrejetiva; isto é, que dado y ∈ B(b; s) existe x ∈ B(a; r) de modo que ϕ′ (x) = y. Para tanto basta mostrar que x = a + rs (y − b) ∈ B(a; r), isto é que kx − ak < r. Com efeito, ‚“` ‚ ´” r r ‚ ‚ kx − ak = ‚ a + (y − b) − a‚ = ky − bk s s como r r y ∈ B(b; s) ⇒ ky − bk < s ⇒ ky − bk < · s ⇒ kx − ak < r. s s O diˆ ametro de um conjunto é um invariante métrico − se mantém inalterado por isometrias. Com a demonstra¸c˜ ao anterior mais uma vez constatamos que o diˆ ametro de um conjunto n˜ ao é um invariante topol´ ogico. A transtorma¸c˜ ao∗ , ϕ : B(a; r) −→ B(b; s) transforma a primeira bola na segunda. De fato, ela pode ser desdobrada como, T−a

hs r

B(a; r) B(0; r) x 7−→ x − a 7−→

Tb

B(0; s) B(b; s) s − 7 → (x − a) b + rs (x − a) r

Onde: i) A transforma¸c˜ ao T−a translada a bola B(a; r) para a origem; ii) a transforma¸c˜ ao hs “expande” (caso r/s > 1) ou “contrai” (caso r/s < 1) a bola r B(0; r) de modo que esta fique com o raio s; iii) a transforma¸c˜ ao Tb superp˜ oe (via transla¸c˜ ao) a bola B(0; s) ` a bola B(b; s).

∗ Voltamos

a usar a nota¸ca õ ϕ.

363

Exemplos: ` ´ 1 ) No espa¸co R, | · | o homeomosfismo entre as bolas, o

B(a; r) = Bµ(0; 1) =] − 1, 1 [ e B(b; s) = Bµ(4; 2) =] 2, 6 [

é dado por, s ϕ(x) = b + (x − a) r =4+ por exemplo, ϕ( 12 ) = 2 ·

1 2

2 (x − 0) = 2x + 4 1

+ 4 = 5. No gr´ afico fica assim, R

6

6

5

q

4

q

3

q

1

q

←−

ϕ=2x+4

2

]

[

0

−1

1

364

-R

` ´ 2o ) No espa¸co R2 , k · k o homeomosfismo entre as bolas,

“ “ 1” 3” B(a; r) = B (1, 1); e B(b; s) = B (3, 2); 2 2

é dado por,

(7.11)

s ϕ(x) = b + (x − a) r = (3, 2) +

3 2 1 2

Ou ainda,

` ´ x − (1, 1)

` ´ ` ´ ϕ (x, y) = (3, 2) + 3 (x, y) − (1, 1) ` ´ = 3x, 3y − 1

A aplica¸c˜ ao ϕ transforma continuamente a primeira bola dada em (7.11) na segunda, assim: Na norma euclidiana (ver pg. 73), temos R

R

6

2

q

1

q

ϕ −→

q q1

0

q2

6

3

q

2

q

1

q

-R

r

q1

0

q2

q3

q4

-R

Na norma da soma, temos R

R

6

2

q

1

q

0

ϕ −→

q q1

q2

6

3

q

2

q

1

q

-R

0

365

r

q1

q2

q3

q4

-R

Na norma do m´ aximo, temos R

R

6

2

q

1

q

0

ϕ −→

q q1

3

q

2

q

1

q

-R

q2

6

r

q1

0

q2

q3

q4

-R

Observe que a aplica¸c˜ ao ϕ−1 transforma continuamente a segunda bola dada em (7.11) na primeira. Em um espa¸co métrico arbitr´ ario, duas bolas abertas podem n˜ ao ser homeomorfas. Por exemplo, tomemos o n 1 1 M = 1, , . . . , , . . . ∪ { 0 } 2 n com a métrica µ induzida da reta. Por exemplo, as bolas i 1 1h 1 ∩ M = { 1 } e Bµ(0; s) =] 0 − s, 0 + s [ ∩ M Bµ(1; ) = 1 − , 1 + 2 2 2

n˜ ao s˜ ao homeomorfas qualquer que seja s > 0, pois n˜ ao pode existir uma bije¸c˜ ao entre um conjunto unit´ ario e um conjunto infinito. ]

q qqqqqqqqqq q q q q q

s ⇀ [ 0↑

... 1 1

Bµ(0; s)=]−s,s[ ∩ M

5

4

q

1 3

q

1 2

q

1տ

-M

1 )={ 1 } Bµ(1; 2

Nota: Observe que a fun¸c˜ ao m´ odulo | · | : R −→ R é uma norma sobre o espa¸co vetorial ( R, | · | ) enquanto que a mesma fun¸c˜ ao restrita a M n˜ ao é uma norma sobre o par ( M, | · | ). De fato, M n˜ ao é um espa¸co vetorial e norma s´ o est´ a definida em espa¸cos vetoriais. Estamos tentando dizer que nem sempre o m´ odulo é uma norma, isto é, s˜ ao conceitos distintos. ( M, | · | ) é um espa¸co métrico (ou um subespa¸co de ( R, µ ), como queira), mas n˜ ao normado, isto é sua métrica n˜ ao provém de uma norma. Um outro exemplo de bolas abertas n˜ ao homeomorfas, s˜ ao dadas por Bδ (0; 1) = { 0 } e Bδ (0; 2) = R no espa¸co ( R, δ ). ` ´ 4) Em um espa¸co vetorial E, +, · normado, qualquer bola aberta é homeomorfa ao espa¸co inteiro. Este caso é uma generaliza¸c˜ ao do exemplo 2) pg. 361. Tendo em conta que duas bolas quaisquer s˜ ao homeomorfas, é suficiente exibir um homeomorfismo f : E −→ B(0; 1), onde aqui o homeomorfismo e seu inverso s˜ ao dados por f (x) =

x x e f −1 (x) = 1 + kxk 1 − kxk

4.1) Do exemplo anterior decorre que todo intervalo aberto limitado ] a, b [ é homeomorfo ao espa¸co ( R, µ ) uma vez que neste espa¸co o intervalo ] a, b [ é a bola aberta de centro no seu ponto médio e raio r = (b − a)/2 > 0. De fato,

366

Bµ

à + b ´ ã + b ˆ a+b ;r = − r, +r 2 2 2 ã + b b−a a+b b − aˆ = − , + = ] a, b [. 2 2 2 2

q

] a

r=

a−b 2

-

-

[ b

a+b 2

4.2) Pra falar a verdade todo intervalo aberto da reta é homeomorfo a R. De fato, se o intervalo for do tipo ] a, +∞ [, podemos considerar o seguinte o homeomorfismo, X

f : R −→ ] a, +∞ [

f −1 : ] a, +∞ [ −→ R

x 7−→ y = a + ex

x 7−→ y = ln(x − a)

A seguir plotamos os gr´ aficos de f e f −1 . ] a, +∞ [

6

f (x)=a+ex

R

6 f −1 (x)=ln(x−a)

a

0

-R

0

-

]a

] a, +∞ [

Se o intervalo for do tipo ] − ∞, b [, podemos considerar o seguinte o homeomorfismo f : R −→ ] − ∞, b [

X

f −1 : ] − ∞, b [ −→ R

x 7−→ y = b − e−x

x 7−→ y = − ln(b − x)

367

A seguir plotamos os gr´ aficos de f e f −1 . R

6

b f (x)=b−e−x

-

-

] −∞, b [

R 0

0

6

b

[

f −1 (x)=− ln(b−x)

] −∞, b [

5) Proje¸c˜ ao estereogr´ afica. Sejam S 1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1} e p = (0, 1). Consideremos os seguintes subespa¸cos, ` 1 ´ ` ´ S − { p }, D1 e (R × { 0 }, D1 ) de R2 , D1

Vamos agora construir um homeomorfismo entre estes subespa¸cos. A proje¸c˜ ao estereogr´ afica, π : S 1 − { p } −→ R × { 0 } é a aplica¸c˜ ao que associa a cada ponto q = (xc , yc ) ∈ S 1 − { p } o ponto π(q) ∈ R × {0}, obtido pela interse¸c˜ ao da semi-reta que liga p a q, com o eixo dos x.

6 p S

r

q

1

r

↑

π(q)

R×{ 0 } (r)

Para determinar analiticamente o ponto π(q) = (?, 0) devemos encontrar a equa¸c˜ ao da reta (r) que passa por p = (0, 1) e q = (xc , yc ): yr − 1 =

´ 1 − yc ` y −1 · xr − 0 ⇒ yr = 1 + c · xr 0 − xc xc

Fazendo yr = 0 encontramos, xr =

xc 1 − yc

⇒ π(q) =

Portanto a aplica¸c˜ ao π é dada por,

368

“ x ” c ,0 1 − yc

π : S 1 − { p } −→ R × { 0 } ` ´ x ,0 (x, y) 7−→ 1−y

Desejamos mostrar que π é um homeomorfismo. Mostremos inicialmente que π é uma bije¸c˜ ao. Dado (a, 0) ∈ R × { 0 }, consideremos a reta (s) que passa por (a, 0) e p = (0, 1).

6

S

1

?

r

r

bp

- R×{0}

(a,0)

(s)

A equa¸c˜ ao desta reta é y = 1 − x/a. Vamos verificar se existe algum ponto da reta (s) em S 1 − { p }. Resolvendo o sistema 8 < x2 + y 2 = 1 :y = 1 −

x a

encontramos duas solu¸c˜ oes; uma é o ponto (0, 1) que n˜ ao pertence a S 1 − { p } ` 2a a2 −1 ´ e a outra é o ponto v = a2 +1 , a2 +1 que é o u ńico ponto de S 1 − { p } tal que π(v) = (a, 0). Isto mostra que π é sobrejetiva e injetiva. Pelo que vimos acima, a fun¸c˜ ao inversa de π é dada por π −1 : R × { 0 } −→ S 1 − { p } ` ´ 2x , x2 −1 (x, 0) 7−→ x2 +1 x2 +1

Vejamos porque π e π −1 s˜ ao cont´ınuas. As fun¸c˜ oes, R2 −→ R ,

(x, y) 7−→ x

R2 −→ R ,

(x, y) 7−→ 1

R2 −→ R

(x, y) 7−→ y

s˜ ao cont´ınuas. A primeira e a u ´ltima por tratar-se de proje¸c˜ oes e a segunda porque é constante. Logo também é cont´ınua a fun¸c˜ ao, R2 −→ R

(x, y) 7−→ 1−y

369

diferen¸ca de fun¸c˜ oes cont´ınuas. Portanto as fun¸c˜ oes, R2 − {(0, 1)} −→ R (x, y)

7−→

R2 − {(0, 1)} −→ R

>

(x, y)

x

7−→

1−y

s˜ ao cont´ınuas (ver corol. pg. 338). Portanto a fun¸c˜ ao quociente, R2 − {(0, 1)} −→ R (x, y)

x 7−→ 1−y

também é cont´ınua (prop. 84, pg. 342). As fun¸c˜ oes R2 −→ {0}

R2 − {(0, 1)} −→ {0}

>

(x, y) 7−→ 0

(x, y)

7−→

0

s˜ ao cont´ınuas. Tomando M = R2 − {(0, 1)} na proposi¸c˜ ao 81 (pg. 339) temos que a fun¸c˜ ao f : R2 − {(0, 1)} −→ R × {0} ´ ` x ,0 (x, y) 7−→ 1−y ˛ ˛ é cont´ınua. Sendo π = f ˛ concluimos a continuidade de π. 1 S −{ p }

Para mostrar a continuidade de π −1 voltemos ` a proposi¸c˜ ao 81 com, M = R × { 0 } e consideremos as fun¸c˜ oes f1 : R × {0} −→ R (x, 0)

7−→

>

2x x2 +1

f2 : R × {0} −→ R (x, 0)

7−→

x2 −1 x2 +1

f1 e f2 s˜ ao cont´ınuas devido a proposi¸c˜ ao 84 (pg. 342). Portanto f : R × {0} −→ R × R ` ´ 2x , x2 −1 (x, 0) 7−→ x2 +1 x2 +1

é cont´ınua. Isto prova que π −1 : R × { 0 } −→ S 1 − { p } é cont´ınua. Notas:

(i) Dada uma aplica¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ), sendo (P, d2 ) um subespa¸co tal que f (x) ∈ P para todo x ∈ M , ent˜ ao a aplica¸c˜ ao fP : (M, d1 ) −→ (P, d2 ) é cont´ınua se, e somente se, f é cont´ınua. (ii) S 1 − { p } é também homeomorfo a R uma vez que R × {0} −→ R (x, 0)

7−→

x

é um homeomorfismo, como o leitor pode comprovar. 6) O gr´ afico de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua é homeomorfo ao dom´ınio. Seja f : M −→ N uma fun¸c˜ ao cont´ınua. O gr´ afico de f é o subconjunto G(f ) ⊂ M × N do produto cartesiano M × N , definido por ˘` ´ ¯ G(f ) = x, f (x) : x ∈ M Vamos construir um homeomorfismo entre G(f ) e M : As fun¸c˜ oes

370

f1 : M −→ M x 7−→ x

f2 : M −→ N x 7−→ f (x)

>

s˜ ao cont´ınuas. Portanto a fun¸c˜ ao, ∴

F : M −→ M × N ` ´ x 7−→ f (x), f (x) 1 2

F : M −→ M × N ` ´ x 7−→ x, f (x)

é cont´ınua. Logo, tendo em conta a nota (i) dada anteriormente, temos que a fun¸c˜ ao,

é cont´ınua. Sua inversa,

FG(f ) : M −→ G(f ) ` ´ x 7−→ x, f (x) −1

FG(f ) : G(f ) −→ M ` ´ x, f (x) 7−→ x também é cont´ınua por ser a restri¸c˜ ao ao gr´ afico de f da primeira proje¸c˜ ao, isto é, ˛ −1 ˛ FG(f ) = p1˛ G(f )

6

q 6

(x, f (x)) F

G(f )

G(f )

−1 G(f )

F

? q

x

M

Vejamos dois casos particulares desse homeomorfismo: ˘ ¯ a) Considerando o c´ırculo unit´ ario S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 , o seguinte subconjunto de S 1 ˘ ¯ 1 S+ = (x, y) ∈ S 1 : y > 0

também conhecido como hemisfério norte, é homeomorfo ` a bola aberta Bµ(0, 1) = ] − 1, +1 [ , uma vez que este hemisfério é o gr´ afico da fun¸c˜ ao, R

f : R −→ R √ x 7−→ 1−x2 −1

a

6 1 +

S

a -R

1

que é cont´ınua porquanto pode ser expressa como composta de fun¸c˜ oes cont´ınuas. ˘` ´ ¯ 2 b) A reta R é homeomorfa ` a par´ abola P = x, f (x) ∈ R : f (x) = x2 uma vez que esta par´ abola é o gr´ afico da fun¸c˜ ao

371

R

6

f : R −→ R x

7−→

p (x, f (x))

x2

p

x

7.5

-R

M´ etricas Equivalentes

Neste ´ıtem vamos considerar duas métricas d1 e d2 sobre um mesmo conjunto M , o que dar´ a origem a dois espa¸cos métricos distintos: (M, d1 ) e (M, d2 ). Iremos ver em que sentido estes dois espa¸cos podem ser considerados equivalentes. J´ a vimos no exemplo 4) (pg. 310) que a aplica¸c˜ ao identidade, i : (R, µ) −→ (R, δ) x 7−→ x é descont´ınua. Também vimos no exemplo 5) (pg. 311) que a aplica¸c˜ ao identidade, ` ´ ` ´ i : [ 0, 1 [, k −→ [ 0, 1 [, µ x 7−→ x é descont´ınua. Isto d´ a sentido ` a seguinte: Defini¸ c˜ ao 51. Dadas duas métricas d1 e d2 sobre um mesmo conjunto M , diremos que d1 é mais fina do que d2 e escrevemos d1 ≻ d2 quando a aplica¸c˜ ao identidade i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) x 7−→ x

for cont´ınua. Exemplos:

• Tendo em conta que iµδ : (R, µ) −→ (R, δ) n˜ ao é cont´ınua temos que µ 6≻ δ. Por outro lado, temos que iδµ : (R, δ) −→ (R, µ) é cont´ınua (Proposic˜ ao 75, pg. 317), portanto δ ≻ µ. ` ´ ` ´ • Tendo em conta que ikµ : [ 0, 1 [, k −→ [ 0, 1 [, µ n˜ ao é cont´ınua temos que k 6≻ µ. ` ´ ` ´ Por outro lado, temos que iµk : [ 0, 1 [, µ −→ [ 0, 1 [, k é cont´ınua (exerc´ıcio), portanto µ ≻ k. A imagem direta de qualquer subconjunto A ⊂ M pela aplica¸c˜ ao identidade i : M −→ M é o pr´ oprio A: ` ´ i A = { i(x) : x ∈ A }

= { x : x ∈ A } = A. ` ´ Em particular i B(a; r) = B(a; r). Tendo em conta a proposi¸c˜ ao 74 (pg. 304) deduzimos que se d1 ≻ d2` (isto é, se ´ a identidade i12 é cont´ınua) ent˜ ao para todo a ∈ M e para toda bola Bd i12 (a); r = 2 ` ´ Bd a; r existe uma bola Bd (a; s) de modo que 2 1 ` ´ ` ´ ` ´ i12 Bd (a; s) ⊂ Bd i12 (a); r ⇒ Bd (a; s) ⊂ Bd a; r 1

2

1

372

2

` ´ Ou ainda: Se d1 ≻ d2 ent˜ ao dada qualquer bola Bd a; r centrada em um ponto a 2 ` ´ arbitr´ ario, existe uma bola Bd (a; s) de modo que: Bd (a; s) ⊂ Bd a; r . No gr´ afico 1 1 2 fica assim: ( M, d1 )

( M, d2 )

∀ Bd (a; r)

∃ Bd (a; s)

2

1

i12

s

s

∀ r>0

a

r

a

∃ s>0

i12

que

`

´

Bd (a; s) =Bd (a; s) ⊂ Bd (a; r) 1

1

2

` ´ Reciprocamente, se para toda bola Bd a; r existe uma bola Bd (a; s) de modo 2

1

` ´ Bd (a; s) ⊂ Bd a; r 1

isto é

2

` ´ ` ´ i12 Bd (a; s) ⊂ Bd i12 (a); r 1

2

ent˜ ao (ainda pela proposi¸c˜ ao 74) i12 é cont´ınua, logo d1 ≻ d2 . Em resumo: ` ´ ` ´ d1 ≻ d2 ⇔ ∀ Bd a; r , ∃ Bd (a; s) : Bd (a; s) ⊂ Bd a; r 2

1

1

2

Quando acontecer d1 ≻ d2 e d2 ≻ d1 diremos que d1 e d2 s˜ ao equivalentes (ou topologicamente equivalentes) e escrevemos d1 ∼ d2 . De outro modo: d1 e d2 s˜ ao equivalentes quando a aplica¸c˜ ao identidade, for um homeomorfismo.

i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 )

• J´ a vimos que iδµ : (R, δ) −→ (R, µ) n˜ ao é um homeomorfismo porque sua inversa −1 iδµ = iµδ n˜ ao é cont´ınua. Portanto µ e δ n˜ ao s˜ ao métricas equivalentes em R. ` ´ ` ´ • J´ a vimos que iµk : [ 0, 1 [, µ −→ [ 0, 1 [, k n˜ ao é um homeomorfismo porque sua −1 inversa iµk = ikµ n˜ ao é cont´ınua. Portanto k e µ n˜ ao s˜ ao métricas equivalentes em [ 0, 1 [. ´ f´ E acil mostrar que “d1 ∼ d2 ” é uma rela¸c˜ ao de equivalência em qualquer cole¸c˜ ao de métricas em um conjunto M . Exemplos e contra-exemplos: 1) Consideremos as métricas δ e µ sobre R. δ ≻ µ, pois dados a ∈ R e r > 0, escolhemos s = 1 obtendo Bδ (a; 1) = { a } ⊂ Bµ(a; r) =] a − r, a + r [. ] a−r

r

a

↑

[

-R

a+r

Bδ(a; 1)

Para mostrar que µ 6≻ δ escolhemos Bδ (a; 1) = { a } e vemos que Bµ (a; s) =] a − s, a + s [ 6⊂ Bδ (a; 1), ∀s > 0. 2) No conjunto S4 as métricas σ e ρ s˜ ao equivalentes. De fato, é suficiente o leitor considerar as equa¸c˜ oes (4.1) e (4.2) na pg. 169. Os dois exemplos anteriores s˜ ao casos especiais do seguinte

373

3) Se o espa¸co (M, d1 ) é discreto (neste caso dizemos que a métrica d1 é discreta) ent˜ ao d1 ≻ d2 qualquer que seja a métrica d2 sobre M . De fato, sendo (M, d1 ) discreto ent˜ ao dado a ∈ M existe s = s(a) > 0 de modo que Bd (a; s) = { a } e, obviamente, { a } ⊂ Bd (a; r) qualquer que seja a 1 2 métrica d2 e qualquer que seja o raio r > 0. 4) No conjunto N as métricas δ e µ s˜ ao equivalentes. De fato, basta mostrar que µ ≻ δ, ent˜ ao Bµ (n; 1) = Bµ (n; 1) ∩ N

=] n − 1, n + 1 [ ∩ N

= { n } ⊂ Bδ (n; r), ∀ r > 0.

5) No conjunto R2 as métricas D1 , D2 e D3 s˜ ao duas a duas equivalentes. Isto se deve ao fato de que dada uma bola B(a; r) em qualquer uma destas métricas, podemos “inscrever” nesta uma bola em qualquer uma das outras duas métricas. Por exemplo, conforme as figuras abaixo: r 6

r q 2

r 6

r 6 r@ q@ 2 @ @

r q 2

@ 6 r @ r q @

@ 2 @ @

6) Seja C[ 0, 1 ] o conjunto de todas as fun¸c˜ oes cont´ınuas reais definidas no intervalo I = [ 0, 1 ]. Considere as métricas Υ e Γ em C[ 0, 1 ] definidas por n o Υ(f, g) = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] Γ(f, g) =

Z

1

0

|f (x) − g(x)| dx

Vamos mostrar que Υ ≻ Γ e que Γ 6≻ Υ. Seja BΓ (p; r) uma bola aberta com centro p ∈ C[ 0, 1 ] e raio r > 0 dado. Vamos tomar s = r e mostrar que, BΥ (p; s) ⊂ BΓ (p; r) De fato, seja f ∈ BΥ (p; s), logo n o Υ(f, p) = max |f (x) − p(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < s

sendo,

|f (x) − p(x)| ≤ max x∈I

temos, Z

1 0

|f (x) − p(x)| dx ≤ max x∈I

n

n

o |f (x) − p(x)| < s

(7.12)

o |f (x) − p(x)| < s ⇒ Γ(f, p) < s = r ⇒ f ∈ BΓ (p; r).

Sendo assim, Υ ≻ Γ.

Lembrete: Dada f : [ a, b ] −→ R, integr´ avel, se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [ a, b ] Rb ent˜ ao m(b − a) ≤ a f (x) dx ≤ M (b − a). Na desigualdade (7.12), temos M = n o max |f (x) − p(x)| . x∈I

374

Agora vamos mostrar Γ 6≻ Υ. Para isto devemos exibir uma bola BΥ (p; r) centrada em um ponto p ∈ C[ 0, 1 ] de modo que BΓ (p; s) 6⊂ BΥ (p; r), ∀ s > 0. Vamos escolher a fun¸c˜ ao constante, ∴

p : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ 2

p(x) = 2, ∀x ∈ [ 0, 1 ].

e o raio r = 1 e mostrar que, BΓ (p; s) 6⊂ BΥ (p; 1), ∀ s > 0. Para tanto é suficiente mostrar que qualquer que seja s > 0 podemos exibir uma fun¸c˜ ao fs ∈ BΓ (p; s) de modo que fs 6∈ BΥ (p; 1). A bola aberta BΥ (p; 1) constitui-se de todas as fun¸c˜ oes g situadas entre as fun¸c˜ oes p − 1 e p + 1, isto é (pg. 172): p(x) − 1 < g(x) < p(x) + 1 ⇒ 1 < g(x) < 3, ∀ x ∈ [ 0, 1 ].

6 4¬ p+1 3¬ 2¬

xp g

1¬

p−1 ¬ 1

0

-

Figura 7.2: Bola Aberta: BΥ (p; 1) Dado s > 0 para escolher fs ∈ BΓ (p; s) consideremos duas possibilidades: b) s ≥ 3.

a) 0 < s < 3

Se 0 < s < 3 consideremos fs a fun¸c˜ ao que consiste no segmento de reta entre os pontos (0, 0) e ( 31 s, 2) e no segmento de reta entre os pontos ( 31 s, 2) e (1, 2). Isto é, fs est´ a definida assim: 8 6x > se 0 ≤ x < s3 ; : 2, se 3s ≤ x ≤ 1. Se s ≥ 3 tomamos fs como sendo a fun¸c˜ ao constante dada por fs (x) = 1, ∀x ∈ I.

6

6

4¬

4¬

3¬

3¬

x fs

2¬ 1¬ 0

¬ 1s 3

¬

2¬ 1¬

-

1

0

xp x fs ¬

-

1

Agora vamos mostrar que estas fun¸c˜ oes preenchem os dois requisitos mencionados anteriormente.

375

Para 0 < s < 3, temos Z 1 Γ(fs , p) = |fs (x) − g(x)| dx 0

=

Z

s 3

=

Z

s 3

0

Z 1 ˛ 6x ˛ ˛ ˛ − 2 dx + |2 − 2| dx ˛ ˛ s s 3

0

“

” 6x s − + 2 dx = < s ⇒ fs ∈ BΓ (p, s). s 3

Observe que, 0≤x<

s 6x ⇒ 0 ≤ 6x < 2s ⇒ 0 ≤ <2 3 s ⇒ −2 ≤

˛ ˛ „ « ˛ 6x ˛ 6x 6x − 2 < 0 ⇒ ˛˛ − 2˛˛ = − −2 . s s s

Calculando a distancia Υ entre fs e p, temos n o Υ(fs , p) = max |fs (x) − p(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] = 2

(7.13)

⇒ fs 6∈ BΥ (p; 1).

Observe que, s 6x 6x ⇒ −2 ≤ −2<0 ⇒ 0 <2− ≤2 3 s s

para 0 ≤ x <

para

˛ ˛ 6x − 2˛ ≤ 2 ⇒ |fs (x) − p(x)| ∈ ] 0, 2 ] ⇒ 0<˛ s

s ≤ x ≤ 1 ⇒ |fs (x) − p(x)| = |2 − 2| = 0. 3

Da´ı (7.13). Quando s ≥ 3 temos fs (x) = 1, portanto Γ(fs , p) = =

Z

Z

1

|fs (x) − g(x)| dx

0 1 0

|1 − 2| dx = 1 < 3 ≤ s ⇒ fs ∈ BΓ (p; s).

Ainda, o |fs (x) − p(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] n o = max |1 − 2| : x ∈ [ 0, 1 ] = 1 ⇒ fs 6∈ BΥ (p; 1).

Υ(fs , p) = max

n

Observe que podemos concluir “a olho n´ u” que a fun¸c˜ ao fs n˜ ao pertence ` a bola BΥ (p; 1); veja que seu gr´ afico n˜ ao se encontra dentro das faixas horizontais p − 1 e p + 1, na figura 7.2. Em particular concluimos que as métricas Υ e Γ n˜ ao s˜ ao equivalentes em C[ 0, 1 ].

376

7) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Com aux´ılio da métrica d vamos definir uma outra métrica, ν digamos, dada por (ver 1. pg. 144) ˘ ¯ ν(x, y) = min 1, d(x, y) . Vamos mostrar que:

(i) para todo ε ∈ R tal que 0 < ε ≤ 1, temos Bd(a; ε) = Bν(a; ε);

(ii) d e ν s˜ ao equivalentes.

(i) Ent˜ ao, vamos mostrar inicialmente que Bd(a; ε) ⊂ Bν(a; ε). Seja x ∈ Bd(a; ε), isto é˘ , d(x, a) <¯ε, devemos mostrar que x ∈ Bν(a; ε), isto é, que ν(x, a) = min 1, d(x, a) < ε.

Resumindo (devemos mostrar que):

˘ ¯ Se 0 < ε ≤ 1 e d(x, a) < ε ent˜ ao min 1, d(x, a) < ε.

Pois bem, juntando as hip´ oteses podemos escrever ˘ ¯ d(x, a) < ε ≤ 1 ⇒ min 1, d(x, a) = d(x, a) < ε.

Agora vamos ˘ mostrar¯que Bν(a; ε) ⊂ Bd(a; ε). Seja x ∈ Bν(a; ε), isto é, ν(x, a) = min 1, d(x, a) < ε, devemos mostrar que x ∈ Bd(a; ε), isto é, que d(x, a) < ε. Resumindo (devemos mostrar que): ˘ ¯ Se 0 < ε ≤ 1 e min 1, d(x, a) < ε ent˜ ao d(x, a) < ε. Pois bem, juntando as hip´ oteses podemos escrever ˘ ¯ min 1, d(x, a) < ε ≤ 1,

portanto

˘ ¯ min 1, d(x, a) = d(x, a) < ε. ˘ ¯ Observe que n˜ ao pode ser min 1, d(x, a) = 1 sen˜ ao teriamos 1 < ε ≤ 1. (ii) Para mostrar que d e ν s˜ ao equivalentes devemos mostrar que dada Bd(a; ε) existe δ > 0 tal que Bν(a; δ) ⊂ Bd(a; ε) e vice-versa. Ent˜ ao, pelo ´ıtem anterior se 0 < ε ≤ 1 basta tomar δ = ε e teremos Bν(a; ε) = Bd(a; ε). Portanto resta considerar ε > 1. Seja ε > 1, queremos mostrar que existe˘δ > 0 tal ¯ que Bν(a; δ) ⊂ Bd(a; ε). Seja x ∈ Bν(a; δ), isto é, ν(x, a) = min 1, d(x, a) < δ; queremos mostrar (com uma escolha apropriada de δ) que x ∈ Bd(a; ε), isto é, que d(x, a) < ε. Isto é ˘ ¯ Se ε > 1 e min 1, d(x, a) < δ ent˜ ao d(x, a) < ε.

Pois bem, observe que tomando δ = 1 teremos ˘ ¯ Se ε > 1 e min 1, d(x, a) < 1 ⇒ d(x, a) < 1

⇒ d(x, a) < 1 < ε ⇒ x ∈ Bd(a; ε).

Por outro lado, dado ε > 1 vamos mostrar que existe δ > 0 de modo que Bd(a; δ) ⊂ Bν(a; ε). Ent˜ ao, seja x ∈ Bd(a; δ), devemos mostrar que x ∈ Bν(a; ε). Isto é ˘ ¯ Se ε > 1 e d(x, a) < δ ent˜ ao min 1, d(x, a) < ε.

377

Tomando δ = 1 teremos ˘ ¯ Se ε > 1 e d(x, a) < 1 ⇒ min 1, d(x, a) = d(x, a) < 1 ˘ ¯ ⇒ min 1, d(x, a) < ε ⇒ x ∈ Bν(a; ε).

8) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Com aux´ılio da métrica d vamos definir uma outra métrica, ν digamos, dada por (ver 3., pg. 144) ν(x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

Vamos mostrar que d e ν s˜ ao equivalentes. Inicialmente mostremos que dados a ∈ M e ε > 0 existe δ > 0 de modo que Bd(a; δ) ⊂ Bν(a; ε). Tomando δ = ε, dado x ∈ Bd(a; δ = ε) vamos mostrar que x ∈ Bν(a; ε), isto é que d(x, a) d(x, a) < ε ⇒ ν(x, a) = <ε 1 + d(x, a) Isto é imediato pois d(x, a) < ε ⇒ d(x, a) < ε + ε · d(x, a) ⇒

d(x, a) < ε. 1 + d(x, a)

ε Por outro lado, dado ε > 0, podemos tomar δε = 1+ε e mostrar que Bν(a; δε ) ⊂ Bd(a; ε). Isto é, seja x ∈ Bν(a; δε ) queremos mostrar que

ε d(x, a) < ⇒ d(x, a) < ε 1 + d(x, a) 1+ε Isto é verdade porquanto d(x, y) ε < ⇔ d(x, a) + ε d(x, a) < ε + ε d(x, a) 1 + d(x, y) 1+ε ⇔ d(x, a) < ε Os dois u ´ltimos exemplos mostram que toda métrica é equivalente a duas (pelo ao menos) métricas limitadas, uma vez que ν(x, y) ≤ 1. Proposi¸ c˜ ao 91. Sejam d1 e d2 métricas num conjunto M . Se existir uma constante α > 0 tal que d2(x, y) ≤ α d1(x, y) para todo x, y ∈ M ent˜ ao d1 ≻ d2 . Prova: Vamos mostrar que a aplica¸c˜ ao identidade i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) é cont´ınua. De fato, dados a ∈ M e ε > 0 é suficiente tomar δ = d1(x, y) < δ temos ` ´ d2 i12 (x), i12 (a) = d2(x, a)

ε α

e ent˜ ao quando

≤ α d1(x, a) ε < αδ = α = ε α

Isto mostra que i12 é cont´ınua e, por conseguinte, d1 ≻ d2 . Corol´ ario 20. Se existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y) para quaisquer x, y ∈ M , ent˜ ao d1 ∼ d2 .

378

Prova: Pela proposi¸c˜ ao anterior, se d2(x, y) ≤ β d1(x, y) decorre que d1 ≻ d2 . Por outro lado, se α d1(x, y) ≤ d2(x, y) decorre d1(x, y) ≤ α1 d2(x, y) e, novamente pela proposi¸c˜ ao anterior, temos d2 ≻ d1 . Portanto d1 ∼ d2 .

Nota: A rec´ıproca deste corol´ ario n˜ ao vale. Isto é, se duas métricas s˜ ao equivalentes n˜ ao implica que existam constantes α e β satisfazendo as desigualdades presentes no corol´ ario. |x−y| Para mostrar isto considere M = R e d(x, y) = |x − y|. Seja ν(x, y) = 1+|x−y| , j´ a vimos que ν ∼ d, no entanto n˜ ao existe uma constante β > 0 de modo que d(x, y) ≤ β ν(x, y) , ∀ x, y ∈ R. Pois, caso contr´ ario, ter´ıamos |x − y| ≤ β

|x − y| ⇒ 1 + |x − y| ≤ β (x 6= y) 1 + |x − y|

e isto implicaria em d ser uma métrica limitada, o que n˜ ao é verdade, como j´ a vimos. Exemplos: As três métricas usuais do Rn s˜ ao equivalentes (ver pg. 135). Dados os espa¸cos (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ), o produto cartesiano M = M1 × M2 × · · · × Mn é o conjunto das n−uplas ordenadas x = (x1 , x2 , . . . , xn ), onde x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 ,. . . , xn ∈ Mn . Para as três métricas abaixo D1 (x, y) =

q

d21 (x1 , y1 ) + · · · + d2n (xn , yn )

D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn ) D3 (x, y) = max {d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn )} valem as seguintes desigualdades: D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n · D3 (x, y)

(7.14)

as quais provamos de modo inteiramente an´ alogo ao do caso anterior. Portanto, estas métricas s˜ ao equivalentes. Proposi¸ c˜ ao 92. Sejam d e d′ métricas equivalentes sobre M . Se A é a cole¸c˜ ao dos conjuntos abertos de (M, d) e A′ é a cole¸c˜ ao dos conjuntos abertos de (M, d′ ), ent˜ ao A = A′ . Prova: Seja um aberto A ∈ A e considere a ∈ A um ponto arbitrariamente fixado. Ent˜ ao, por A ser aberto, existe ε > 0 tal que Bd (a; ε) ⊂ A. Da equivalência d ∼ d′ decorre que existe λ > 0 de maneira que Bd′ (a; λ) ⊂ Bd(a; ε). Sendo assim aloga se Bd′ (a; λ) ⊂ A o que mostra que A ∈ A′ . Portanto A ⊂ A′ . De maneira an´ mostra que A′ ⊂ A, o que conclui a demonstra¸c˜ ao. Nota: O significado da proposi¸c˜ ao anterior é que métricas equivalentes determinam a mesma estrutura topol´ ogica. Segundo esta proposi¸c˜ ao, para mostrar que duas métricas n˜ ao s˜ ao equivalentes basta exibir um conjunto aberto em uma delas e n˜ ao na outra. Vejamos um exemplo do que estamos falando: As métricas dos espa¸cos (R, δ) e (R, µ) n˜ ao s˜ ao equivalentes. Com efeito, o conjunto ] 0, 1 ] é um aberto no primeiro destes espa¸cos, mas n˜ ao no segundo. Julgamos oportuno também ressaltar que esta proposi¸c˜ ao n˜ ao diz que os espa¸cos (M, d) e (M, d′ ) têm a mesma cole¸c˜ ao de bolas abertas; mas t˜ ao somente de conjuntos abertos.

379

r

Por exemplo, a figura a esquerda é uma ` 2` ´ bola aberta no espa¸ c o R , D mas n˜ ao no 1 ` ´ espa¸co R2 , D2 (neste espa¸co é t˜ ao somente um conjunto aberto). Com a figura da direita sucede o contr´ ario (ver pg. 97).

r

Teorema 6. Sejam (M, d1 ), (N, d2 ), (M, d′1 ) e (N, d′2 ) espa¸cos métricos. Sendo ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua se, e somente se, d1 ∼ d′1 e d2 ∼ d′2 a aplica¸c˜ f : (M, d′1 ) −→ (N, d′2 ) é cont´ınua. Prova: (=⇒) Consideremos f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) cont´ınua e mostremos que f : (M, d′1 ) −→ (N, d′2 ) é cont´ınua. Para “tanto é suficiente mostrarmos que: dados ` ´” ` ´ a ∈ M e ε > 0 existe δ > 0 de modo que f Bd′ a; δ ⊂ Bd′ f (a); ε . Pois bem, 1

2

1 Como d2 ∼ d′2 ent˜ ao a identidade iN : (N, d2 ) −→ (N, d′2 ) é`cont´ınua. ´ Em particular é cont´ınua no ponto f (a), o que significa que para a bola Bd′ f (a); ε existe δ ′ > 0 de “ ` ´” ` ´ ` ´2 modo que iN Bd f (a); δ ′ = Bd f (a); δ ′ ⊂ Bd′ f (a); ε (⋆) 2

2

2

2 Como f`: (M, d1´) −→ (N, d2 ) é cont´ınua otese), isto implica em que para ` (por ´ hip´ a bola Bd f (a); δ ′ existe uma bola Bd a; δ ′′ de modo que 2 1 “ ` ´” ` ´ ′′ f Bd a; δ ⊂ Bd f (a); δ ′ (⋆⋆) 1

2

′

3 Como Como d1 ∼ d1 ent˜ ao` a identidade iM : (M, d′1 ) −→ ` (M, ´ d1 ) é cont´ınua, o que ´ ′′ significa que para a bola Bd a; δ existe uma bola Bd′ a; δ de modo que 1 1 “ ` ´” ` ´ ` ´ iM Bd′ a, δ = Bd′ a; δ ⊂ Bd a; δ ′′ 1

1

1

Aplicando f no lado direito desta igualdade e invocando (⋆⋆), temos “ ` “ ` “ ` ´” ´” ´” ´ ` f Bd′ a; δ ⊂ f Bd a; δ ′′ ⇒ f Bd′ a; δ ⊂ Bd f (a); δ ′ 1 2 1 1 “ ` ` ´ ´” ⊂ Bd′ f (a); ε . Era o que quer´ıamos mas por (⋆) podemos escrever f Bd′ a; δ 2 1 provar. (M, d1 )

#

Bd (a; δ ′′ ) 1

qa

iM

1

∃δ >0

3

2

∃δ >0

iN

q

1

"!

1

?

(M, d′ )

a

δ

q "! ′ f (a)

δ′

6

#

B ′ (a; δ) d

#

-

f

"! ′′ δ ′′

(N, d2 )

Bd (f (a); δ ′ ) 2

(N, d′ )

#

2

B ′ (f (a); ε) d 2

f

-

∃δ=?

q "! f (a)

ε

∀ε>0

(⇐=) An´ alogo.

380

Notas: i) No teorema anterior, obviamente podemos ter os casos particulares: d1 = d′1 ou d2 = d′2 . ii) Ao longo deste livro j´ a tivemos oportunidade de aplicar este teorema por diversas vezes.

Homeomorfismos Uniformes √ A fun¸c˜ ao f : R+ −→ R+ dada por f (x) = x é bijetora, uniformemente cont´ınua (pg. 359) mas sua inversa, dada por x 7−→ x2 , n˜ ao é uniformemente cont´ınua (pg. 357). Faz sentido a seguinte Defini¸ c˜ ao 52 (Homeomorfismo Uniforme). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma aplica¸c˜ ao f : M −→ N é chamada homeomorfismo uniforme se f é bijetora, é uniformemente cont´ınua e sua inversa f −1 também é uniformemente cont´ınua. Exemplo: Toda isometria f : M −→ N é um homeomorfismo uniforme porque é bijetora, lipschitziana (logo uniformemente cont´ınua - pg. 355) e sua inversa é também uma isometria. Em particular as transla¸c˜ oes em um espa¸co vetorial normado (pg. 322) e as rota¸c˜ oes no espa¸co euclidiano (pg. 322) s˜ ao homeomorfismos uniformes.

M´ etricas Uniformemente Equivalentes Defini¸ c˜ ao 53. Sejam d1 e d2 métricas sobre o mesmo conjunto M . Dizemos que d1 e d2 s˜ ao uniformemente equivalentes se a identidade i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) é um homeomorfismo uniforme. Nota¸c˜ ao: d1 ≃ d2 para indicar que d1 e d2 s˜ ao uniformemente equivalentes. Exemplos e Contra-exemplos: 1) Sejam d1 e d2 métricas sobre M . Se existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y), ∀x, y ∈ M ent˜ ao as métricas d1 e d2 ser˜ ao uniformemente equivalentes. De fato as desigualdades 1 d1(x, y) ≤ d2(x, y) X d2(x, y) ≤ β d1(x, y), ∀x, y ∈ M α provam respectivamente que as identidades i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) X i21 : (M, d2 ) −→ (M, d1 ) s˜ ao lipschitzianas (pg. 326) e, por conseguinte, uniformemente cont´ınuas (prop. 87, pg. 355). Em particular as três métricas do espa¸co produto M1 × M2 × · · · × Mn = M s˜ ao uniformemente equivalentes visto que vale (7.14) (pg. 379). 2) Seja (M, d) um espa¸co métrico. A métrica dada por ˘ ¯ ν(x, y) = min 1, d(x, y)

é uniformemente equivalente a d. Para provar esta afirma¸c˜ ao basta mostrar que a aplica¸c˜ ao identidade idν : (M, d) −→ (M, ν) é um homeomosfismo uniforme. Pois bem, como ˘ ¯ ν(x, y) = min 1, d(x, y) ≤ d(x, y) ` ´ ⇒ ν idν(x), idν(y) ≤ d(x, y)

381

segue que a identidade idν : (M, d) −→ (M, ν) é lipschitziana e, por conseguinte, uniformemente cont´ınua. Agora vamos mostrar que a identidade −1 idν = iνd : (M, ν) −→ (M, d)

é uniformemente cont´ınua. Para isto dado ε > 0 devemos exibir δ = δ(ε) > 0 de modo que ` ´ ν(x, y) < δ ⇒ d iνd(x), iνd(y) < ε Vamos mostrar que δ dado por δ(ε) = min{ 1, ε } serve. Pois, bem de ( ν(x, y) < 1 (⋆) ν(x, y) < δ = min{ 1, ε } ⇒ ν(x, y) < ε (⋆⋆)

˘ ¯ da defini¸c˜ ao ν(x, y) = min 1, d(x, y) e de (⋆) concluimos que devemos ter ν(x, y) = d(x, y) e de (⋆⋆) devemos ter ` ´ d(x, y) < ε ⇒ d(x, y) = d iνd(x), iνd(y) < ε

Portanto de fato a escolha δ(ε) = min{1, ε} nos conduz ao resultado desejado. Isto é, nos permitiu mostrar que a identidade iνd é uniformemente cont´ınua. 3) Seja (M, d) um espa¸co métrico. A métrica dada por ν(x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

é uniformemente equivalente a d. Para provar esta afirma¸c˜ ao basta mostrar que a aplica¸c˜ ao identidade idν : (M, d) −→ (M, ν) é um homeomosfismo uniforme. Ent˜ ao ν(x, y) =

` ´ d(x, y) ≤ d(x, y) ⇒ ν idν (x), idν (y) ≤ d(x, y) 1 + d(x, y)

Isto mostra que idν é lipschitziana e, portanto, uniformemente cont´ınua. Agora vamos mostrar que a identidade −1 idν = iνd : (M, ν) −→ (M, d)

é uniformemente cont´ınua. Para isto dado ε > 0 devemos exibir δ = δ(ε) > 0 de modo que ` ´ ν(x, y) < δ ⇒ d iνd(x), iνd(y) < ε Vamos mostrar que δ dado por δ(ε) = ν(x, y) < δ =

ε 1+ε

serve. Pois bem,

d(x, y) ε ε ⇒ ν(x, y) = < 1+ε 1 + d(x, y) 1+ε

Temos que d(x, y) ε < ⇔ d(x, y) + ε d(x, y) < ε + ε d(x, y) 1 + d(x, y) 1+ε ⇔ d(x, y) < ε ` ´ ε portanto ν(x, y) < δ ⇒ d iνd(x), iνd(y) < ε. De fato a escolha δ(ε) = 1+ε nos conduz ao resultado desejado. Isto é, nos permitiu mostrar que a identidade iνd é uniformemente cont´ınua. Os dois exemplos anteriores mostram que toda métrica possui pelo ao menos duas métricas limitadas que lhe s˜ ao uniformemente equivalentes.

382

4) Vejamos agora um exemplo de métricas equivalentes mas n˜ ao uniformemente equiv˙ onde alentes. Consideremos os espa¸cos (M, µ) e (M, δ), ( 1 se e s´ o se, x 6= y; ˘ 1 1 ¯ ˙ M = 1, , , . . . X δ(x, y) = 2 3 0 se e s´ o se, x = y. ˙ s˜ e µ(x, y) = |x − y|. Os espa¸cos (M, µ) e (M, δ) ao ambos discretos, logo as ˙ métricas µ e δ s˜ ao equivalentes (exemplo 3), pg. 374). No entanto a aplica¸c˜ ao ˙ n˜ identidade i : (M, µ) −→ (M, δ) ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que i n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x, y ∈ M tais que ` ´ µ(x, y) < δ e δ˙ i(x), i(y) ≥ ε

Pois bem, tome qualquer ε ≤ 1. Para todo δ > 0 existe n ∈ N tal que 1 e y = n1 , ent˜ ao Vamos tomar x = n+1 |x − y| =

1 n(n+1)

< δ.

` ´ ` 1 1´ 1 < δ e δ˙ i(x), i(y) = δ˙ , = 1 ≥ ε. n(n + 1) n+1 n

A continuidade uniforme n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica (pg. 362). Isto é, uma fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua f : M −→ N pode perder esta propriedade caso troquemos a métrica de M e/ou a de N por outra equivalente. Vejamos um caso destes. Consideremos M , µ, δ˙ como no exemplo anterior e verifiquemos o seguinte diagrama ˙ −→ (R, µ) f : (M, δ)

⇒

f ´ e uniformemente cont´ınua.

f : (M, µ) −→ (R, µ)

⇒

f n˜ ao ´ e uniformemente cont´ınua.

l∼

` ´ ˙ −→ (R, µ) é uniformeonde f é dada por f n1 = n. Vamos mostrar que f : (M, δ) mente cont´ınua. Para todo ε > 0 dado devemos exibir δ > 0 de modo que se ` ´ ˙ δ(x, y) < δ ⇒ µ f (x), f (y) < ε Tomando δ = 1, temos que

˙ ˙ se δ(x, y) < 1 ⇒ δ(x, y) = 0 ⇒ x = y ⇒ f (x) = f (y) ` ´ ⇒ µ f (x), f (y) = 0 < ε.

Agora vamos mostrar que f : (M, µ) −→ (R, µ) n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x, y ∈ M tais que ` ´ µ(x, y) < δ e µ f (x), f (y) ≥ ε Pois bem, tome qualquer ε ≤ 1. Para todo δ > 0 existe n ∈ N tal que 1 e y = n1 , ent˜ ao Vamos tomar x = n+1 |x − y| =

1 n(n+1)

` ´ 1 < δ e µ f (x), f (y) = |(n + 1) − n| = 1 ≥ ε. n(n + 1)

< δ.

Neste exemplo a continuidade uniforme foi perdida ao trocarmos uma métrica por outra equivalente - mas n˜ ao uniformemente equivalente - Perguntamos: E se trocarmos uma métrica por outra que lhe seja uniformemente equivalente n˜ ao teriamos a continuidade uniforme preservada? Isto de fato acontece:

383

Proposi¸ c˜ ao 93. Seja f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) uma fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua. A aplica¸c˜ ao f n˜ ao perde esta propriedade quando se substitui a métrica de M e/ou a de N por outra que lhe(s) seja(m) uniformemente equivalente(s). Prova: Vamos conduzir a prova para o caso particular de substituirmos d1 por d′1 ≃ d1 . As demais possibilidades s˜ ao tratadas de modo an´ alogo. Temos hip´ otese

f : (M, d1 ) −→ (N, d2 )

(f ´ e uniformemente cont´ınua.)

l≃

′

f : (M, d1 ) −→ (N, d2 )

Tese

(f ´ e uniformemente cont´ınua.)

Dado ε > 0 existe, por hip´ otese, ρ > 0 de modo que ` ´ d1(x, y) < ρ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε (⋆)

Como a identidade

i : (M, d′1 ) −→ (M, d1 )

é uniformemente cont´ınua, devido a que d′1 ≃ d1 , ent˜ ao para o ρ > 0 acima existe δ = δ(ρ) > 0 de modo que ` ´ d′1(x, y) < δ ⇒ d1 i(x), i(y) = d1(x, y) < ρ portanto, invocando (⋆), temos

` ´ d′1(x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε

o que garante a continuidade uniforme de

f : (M, d′1 ) −→ (N, d2 )

7.5.1

Normas Equivalentes

` ´ Vamos Considerar duas normas distintas sobre um mesmo espa¸co vetorial E, +, · . Para diferenci´ a-las usaremos a nota¸c˜ ao k k1 para uma delas e k k2 para a outra. Sendo assim d1 e d2 dadas por d1 (x, y) = kx − yk1 e d2 (x, y) = kx − yk2 ser˜ ao as métricas induzidas sobre E por essas normas. Defini¸ c´˜ ao 54 (Normas Equivalentes). Duas normas sobre o mesmo espa¸co vetorial ` E, +, · dizem-se equivalentes se, e somente se, as métricas induzidas por essas normas sobre E s˜ ao equivalentes. Se k k1 e k k2 s˜ ao as normas consideradas e d1 e d2 as respectivas métricas induzidas por` essas normas, ent˜ ao a equivalência definida ´ ` ´ acima significa que: dada uma bola Bd p; r , com p ∈ E, existe uma bola Bd p; s de modo que 1

2

` ´ ` ´ Bd p; s ⊂ Bd p; r 2

1

e, rec´ıprocamente. J´ a vimos que a existência de n´ umeros reais α > 0 e β > 0 tais que α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y) é uma condi¸c˜ ao suficiente para que as métricas d1 e d2 sejam equivalentes, mas esta condi¸c˜ ao n˜ ao é necess´ aria (ver nota pg. 379). Veremos agora que esta condi¸c˜ ao que é apenas suficiente para a equivalência de métricas em geral, é também necess´ aria quando tais métricas provêm de normas.

384

` ´ Proposi¸ c˜ ao 94. Duas normas k k1 e k k2 num espa¸co vetorial E, +, · s˜ ao equivalentes se, e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 para qualquer x ∈ E.

Prova: (⇐=) Dados x, y ∈ E, por hip´ otese, temos αkx − yk1 ≤ kx − yk2 ≤ βkx − yk1

ou seja, αd1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y).

Sendo assim o corol´ ario 20 (pg. 378) nos assegura que d1 ∼ d2 o que, por sua vez implica, por defini¸c˜ ao, que as normas s˜ ao equivalentes. ` ´ (=⇒) Por hip´ otese as normas dadas s˜ ao equivalentes. Portanto, dada a bola Bd 0; 1 1 ` ´ existe uma bola Bd 0; r de modo que 2 ` ´ ` ´ Bd 0; r ⊂ Bd 0; 1 2

1

αx , para todo Escolhendo um n´ umero real α de modo que 0 < α < r, o vetor kxk 2 ` ´ 0 6= x ∈ E, pertence ` a bola Bd 0; r pois 2 ‚ ‚ ‚ ‚ αx ‚ = αkxk2 = α < r ‚ − 0 ‚ ‚ kxk kxk2 2 2 ` ´ portanto esse vetor também pertence ` a bola Bd 0; 1 , o que implica 1 ‚ ‚ ‚ αx ‚ αkxk1 ‚ ‚ ‚ kxk − 0‚ = kxk < 1 2 2 1

ou seja,

αkxk1 < kxk2 ` ´ ` ´ Por outro lado, dada a bola Bd 0; 1 existe uma bola Bd 0; s de modo que 2 1 ` ´ ` ´ Bd 0; s ⊂ Bd 0; 1 1

2

Escolhamos um n´ umero real β que satisfa¸ca as desigualdades 0 < β1 < s. Logo, para ` ´ x todo 0 6= x ∈ E, o vetor βkxk pertence ` a bola Bd 0; s pois 1 1 ‚ ‚ ‚ ‚ x ‚ = kxk1 = 1 < s ‚ − 0 ‚ ‚ βkxk βkxk1 β 1 1 ` ´ portanto esse vetor também pertence ` a bola Bd 0; 1 o que implica 2 ‚ ‚ ‚ x ‚ kxk 2 ‚ ‚ ‚ βkxk − 0‚ = βkxk < 1 1 1 2 ou seja

Sendo assim temos para todo vetor x 6= 0. Lembramos que isto implica em que

kxk2 < βkxk1

α kxk1 < kxk2 < β kxk1 k0k1 = 0 = k0k2

α k0k1 = k0k2 = β k0k1 o que implica na tese: existem n´ umeros α > 0 e β > 0 tais que αkxk1 ≤ kxk2 ≤ βkxk1 para qualquer x ∈ E.

385

Apˆ endice: Limites em espa¸cos m´ etricos O conceito de limites de fun¸c˜ oes, estudado no C´ alculo e na An´ alise Real, é suscept´ıvel de generaliza¸c˜ ao para espa¸cos métricos arbitr´ arios, assim: Defini¸ c˜ ao 55. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ M um ponto de acumula¸c˜ ao de X. Dada uma fun¸c˜ ao f : X −→ N , diremos que f tem limite b, em a, se, para todo ε > 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo x ∈ X, a senten¸ca ` ´ 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

é verdadeira. Tal n´ umero b ser´ a indicado por lim f (x) = b. x→a

(M, d1 )

#

X

δ r ra

f

x

-

"!

#

(N, d2 )

ε @ I @q b qf (x) "!

A seguir colocamos, em s´ımbolos, a defini¸c˜ ao de limite juntamente com sua nega¸c˜ ao: (b ´ e limite de f em a)

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

x∈X

` ´ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

∃

∀

∃

` ´ ; 0 < d1 (xδ , a) < δ ∧ d2 f (xδ ), b ≥ ε0

ε0 >0

δ>0

xδ ∈X

( b n˜ ao ´ e limite de f em a)

Observa¸ c˜ oes: a

o tem sentido indagarmos pelo limite de uma fun¸c˜ ao f : X −→ N em um ponto 1 ) S´ a ∈ M , quando este ponto é de acumula¸c˜ ao do dom´ınio X de f . O que significa que se X tiver pontos isolados, ent˜ ao n˜ ao podemos perguntar pelo limite em tais pontos. Se desej´ assemos considerar a mesma defini¸c˜ ao no caso em que a 6∈ X ′ (isto é, para pontos isolados do dom´ınio da fun¸c˜ ao) ent˜ ao todo n´ umero real b seria limite de f (x) em a. Para provar esta assertiva faremos uma exegese da defini¸c˜ ao de limite, dada em s´ımbolos. De fato, seà 6∈ X ′ (isto ´ e , se a ´ e ponto isolado do dom´ınio de f ) ent˜ ao ´ existe δ ′ > 0 tal que X − { a } ∩ Bd (a; δ) = ∅. Isto é, 0 < d1 (x, a) < δ ′ , x ∈ X 1 n˜ ao se verifica para nenhum ponto x do dom´ınio. Isto quer dizer que, para o tal δ ′ , a senten¸ca ∀

x∈X

; 0 < d1 (x, a) < δ ′

é falsa. Esta senten¸ca pode ser reescrita assim: ∃

δ>0

∀

x∈X

; 0 < d1 (x, a) < δ

386

Pois bem, sendo esta senten¸ca falsa, torna-se verdadeira a senten¸ca: ` ´ ∃ ∀ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε δ>0

x∈X

` ´ independentemente do valor l´ ogico da senten¸ca q(x) : d2 f (x), b < ε. Isto é, independentemente do valor de b e de ε > 0. Porp tanto, sendo a senten¸ca: ∀

ε>0

∃

δ>0

∀

x∈X

` ´ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

verdadeira temos, por defini¸c˜ ao, lim f (x) = b. x→a

q

p −→ q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Portanto esta é a justificativa para exigirmos que a seja um ponto de acumula¸c˜ ao de X. Observe (prop. 70, pg. 288) que sendo a um um ponto de acumula¸c˜ ao de X, ent˜ ao todo intervalo aberto centrado em a contém infinitos pontos do dom´ınio. ao de X, a pode ou n˜ ao pertencer ao dom´ınio X 2a ) Sendo a um ponto de acumula¸c˜ da fun¸c˜ ao. Nos casos mais importantes de limite, tem-se a 6∈ X.

3a ) Considerando um ponto a do dom´ınio o valor b = lim f (x) (quando existe) pode x→a

ser independente do valor que f assume em a, isto é, de f (a). Quando estivermos interessados no limite de f em a, basta olharmos para os valores que f assume numa “pequena” bola aberta centrada em a; o conceito de limite é um conceito local. 4a ) Suponhamos f definida em a. Oportunamente mostraremos que f cont´ınua em a ⇐⇒

lim f (x) = f (a).

x→a

Proposi¸ c˜ ao 95 (Unicidade do limite). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ X ′ . Dada f : X −→ N , se lim f (x) = b e lim f (x) = c, ent˜ ao b = c. x→a

x→a

Prova: Se lim f (x) = b e lim f (x) = c ent˜ ao dado x→a

x→a

ε > 0 existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que ` ´ ε 0 < d1 (x, a) < δ1 =⇒ d2 f (x), b < 2 ` ´ ε 0 < d1 (x, a) < δ2 =⇒ d2 f (x), c < 2

Seja δ = min{ δ1 , δ2 }. Ent˜ ao, se x′ ∈ X − { a } temos 8 `
´ b < ´ c <

ε 2 ε 2

` ´ ` ´ ε ε d2 (b, c) ≤ d2 b, f (x′ ) + d2 f (x′ ), c < + = ε 2 2 Como ε > 0 é arbitr´ ario, concluimos que d2 (b, c) = 0 e assim b = c.

Exemplo 1. Considere a aplica¸c˜ ao f : [ 0, 1[ −→ [ 0, 1[ identidade f (x) = x. Mostre que para: ` ´ a) f : [ 0, 1[, µ −→ ([ 0, 1[, k) temos que lim x = 0; x→0 ` ´ b) f : [ 0, 1[, k −→ ([ 0, 1[, µ) temos que lim x 6= 0. x→0

Solu¸ c˜ ao:

a) Devemos mostrar que é verdadeira a senten¸ca

387

∃

δ>0

x∈X

∀

` ´ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

∃

∀

; 0 < |x − 0| < δ

∀

∀

δ>0 x∈[0,1[

ε>0

ε>0

` ´ =⇒ k f (x), 0 < ε

¯ , ε , resulta que ` ´ ` ´ 0 < x < δ =⇒ k f (x), 0 = k x, 0 = min{ x, 1 − x } = x < ε.

Tomando δ = min

˘1

2

Isto prova que lim x = 0. x→0

b) Devemos mostrar que é verdadeira a senten¸ca

ε0 >0

∃

ε0 >0

δ>0

∃

xδ ∈X

` ´ ; 0 < d1 (xδ , a) < δ ∧ d2 f (xδ ), b ≥ ε0

∀

∃

; 0 < k(xδ , 0) < δ

∀

Para mostrar que 1 4

xδ ∈X

δ>0

lim x

x→0

6=

0 1

tomemos ε0 = e mostremos que ∀ δ > 0, ˛∃ xδ ∈˛ [ 0, 1 [ com ; 0 < k(xδ , 0) < δ e ˛f (xδ )˛ ≥ 14 . Sem perda de generalidade consideremos δ < 21 e escolhamos = 1 − δ/2. Observe que xδ = (1−δ)+1 2 k(xδ , 0) = min{ xδ , 1 − xδ } = 1 − xδ = δ < δ e, 2

f (xδ )

¬

f (xδ ) = xδ = 1 −

˛ ˛ ∧ ˛f (xδ ) − 0˛ ≥ ε0

1 2

1 4

1 3 δ ≥ ⇐⇒ δ ≤ . 2 4 2

[

∃

0

δ

¬1

2

Na figura temos δ < 12 . Sendo assim mostramos que lim x 6= 0. x→0

1−δ

s

1

xδ

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que lim x n˜ ao existe. x→0

1 Exemplo 2. Consideremos ` ó espa¸co métrico ([ 0, 1[, k) e X = [ 2 , 1 [. Considere a aplica¸c˜ ao, f : X −→ [ 0, 1[, µ dada por f (x) = x. Mostre que lim x 6= 0. x→0

Solu¸ c˜ ao: Inicialmente vejamos graficamente o que est´ a acontecendo: 1 f (x)

s↑

¬ 1 2

s

→ 0

1 2

388

x

1

Por curiosidade observe que se no espa¸co ([ 0, 1[, k) trocarmos de métrica, isto é, se substituirmos k por µ, resulta que 0 n˜ ao é um ponto de acumula¸c˜ ao de X, o que significa que n˜ ao faz sentido indagarmos pelo limite lim f (x). Entretanto, em fun¸c˜ ao x→0

do exemplo (4), pg. 286, estamos autorizados a perquirir o referido limite. Pois bem, devemos mostrar que é verdadeira a senten¸ca,

∃

ε0 >0

∃

ε0 >0

δ>0

∃

xδ ∈X

` ´ ; 0 < d1 (xδ , a) < δ ∧ d2 f (xδ ), b ≥ ε0

∀

∃

; 0 < k(xδ , 0) < δ

∀

˛ ˛ ∧ ˛f (xδ ) − 0˛ ≥ ε0

δ>0 x ∈[1/2, 1[ δ

A prova é similar a do exemplo anterior; aqui s´ o observamos (graficamente) a raz˜ ao do por que lim x 6= 0: é que, enquanto x aproxima-se de 0, sua imagem afasta-se de x→0 0. − Neste mesmo exemplo, deixamos como exerc´ıcio ao leitor fechar o intervalo unit´ ario no contra-dom´ınio e mostrar que lim x = 1 (ver capa deste livro). x→0

Proposi¸ c˜ ao 96. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ X. Seja uma fun¸c˜ ao f : X −→ N . Se a ∈ X ′ , f ser´ a cont´ınua em a, se e somente se, lim f (x) = f (a). x→a

ao dado ε > 0 existir´ a δ > 0 de modo que ` Prova: Se´ f é cont´ınua no ponto a, ent˜ d2 f (x), f (a) < ε para todo x ∈ X com d (x, a) < δ. Em particular, se x ∈ X e 1 ` ´ 0 < d1 (x, a) < δ teremos d2 f (x), f (a) < ε. Logo lim f (x) = f (a). x→a

Reciprocamente, se lim f (x) = f (a), dado ε > 0 existir´ a δ > 0 de modo que x→a ` ´ ` ´ d2 f (x), f (a) < ε para todo x ∈ X−{a} com d1 (x, a) < δ.` Como por´ ém, d2 f (a), f (a) = 0 < ε, temos que x ∈ X com d1 (x, a) < δ implica em d2 f (x), f (a) < ε. Logo f é cont´ınua no ponto a. Proposi¸ c˜ ao 97. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ X ′ . Dada uma fun¸c˜ ao f : X −→ N teremos lim f (x) = p, se e somente se, para toda seq¨ uência x→a

(xn ) em X − {a} com lim xn = a tivermos lim f (xn ) = p. n

n

Coment´ ario: O teorema afirma a equivalência entre duas senten¸cas abertas P e Q, que s˜ ao: P : lim f (x) = p x→a

Q : ∀ (xn ) ; lim xn = a =⇒ lim f (xn ) = p n

n

Prova: (P =⇒ Q) Aplicaremos a técnica (T-5) (pg. 26): Suponhamos lim f (x) = p. Ent˜ ao, para todo ε > 0 dado, existe um δ > 0 tal que, x→a

para todo x ∈ X,

` ´ 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), p < ε.

Se (xn ) é uma seq¨ uência em X − {a} com lim xn = a, para este δ > 0 existe um ´ındice n0 tal que

n

n ≥ n0 =⇒ 0 < d1 (xn , a) < δ ` ´ Logo, para todo n ≥ n0 acontece d2 f (xn ), p < ε, e assim lim f (xn ) = p. n

389

(Q =⇒ P ) Provaremos a contrapositiva desta proposi¸c˜ ao, isto é: P =⇒ Q. Antes vejamos como ficam estas nega¸c˜ oes: P : lim f (x) 6= p x→a

Q : ∃ (xn ) ; lim xn = a ∧ lim f (xn ) 6= p n

n

Para entender a nega¸c˜ ao de Q o aluno dever´ a consultar o corol´ ario 2 (pg. 31). Pois bem, vamos supor que lim f (x) 6= p. Neste caso existe um ε0 > 0 tal que para x→a ` ´ todo δ > 0 se pode obter um ponto xδ ∈ X−{a} com d1 (xδ , a) < δ e d2 f (xδ ), p ≥ ε. Em particular, tomando δ > 0 da forma` δ = 1/n,´ para cada n ∈ N, podemos obter xn ∈ X − {a} com d1 (xn , a) < 1/n e d2 f (xn ), p ≥ ε. Logo a seq¨ uência (xn ) assim obtida cumpre lim xn = a mas n˜ ao cumpre lim f (xn ) = p. n

n

Destacamos o seguinte importante Corol´ ario21. Se existe uma seq¨ uência xn ∈ X −{ a } com lim xn = a e lim f (xn ) 6= p, n

n

ent˜ ao lim f (x) 6= p. x→a

Prova: De fato, é suficiente considerar a contrapositiva de (P =⇒ Q) (neste caso vale a rec´ıproca de P =⇒ Q) Exemplo 1. para: ` a) f : [ 0, 1], ` b) g : [ 0, 1[,

Solu¸ c˜ ao:

Considere as fun¸c˜ oes f e g dadas assim f (x) = g(x) = x2 . Mostre que ´ µ −→ ([ 0, 1[, k) temos que lim x2 = 0; x→0 ´ k −→ ([ 0, 1], µ) temos que lim x2 6= 0. x→0

a) Considere uma seq¨ uência (xn ) em X − {0} = [ 0, 1 ] − { 0 } =] 0, 1 ] de modo que µ µ xn −→ 0, sendo assim x2n −→ 0, donde concluimos que∗ x2n −→ 0, isto é, lim f (xn ) = 0 k n

e, pela proposi¸c˜ ao 97, concluimos que

lim f (x) = lim x2 = 0.

x→0 µ

x→0 µ

1 , sendo assim b) Considere a seq¨ uência (xn ) em ] 0, 1 [ dada por xn = 1 − n+1 ´ ` 2 µ k 1 −→ 1. Sendo lim f (xn ) 6= 0, pelo xn −→ 0. Por outro lado, f (xn ) = 1 − n+1 n

corol´ ario 21, concluimos que

lim f (x) = lim x2 6= 0.

x→0 k

x→0 k

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que o limite lim x2 n˜ ao existe. x→0 k

Exemplo 2. Mostraremos agora que n˜ ao existe o limite da fun¸c˜ ao f dada por f (x) = sen x1 no ponto 0. De fato, basta observar que a seq¨ uência xn =

π 2

1 + nπ

converge para zero e, no entanto, f (xn ) = sen ∗ Ver

corol´ ario 34, pg. 461.

`π ´ + nπ = (−1)n . 2

390

n˜ ao tem limite. ¯ ˘ Exemplo 3. Considere M = n1 : n ∈ N ∪ {0} e a fun¸c˜ ao f : M −→ N ∪ {0} definida `1´ por f (0) = 0 e f n = n, fa¸ca um estudo de lim f (x). x→a

(Obs: considere a métrica µ no dom´ınio e no contradom´ınio de f ).

Solu¸c˜ ao: O conjunto M − {0} é discreto (ver exemplo (5), pg. 187). Como o u ńico ponto de acumula¸c˜ ao do dom´ınio de f é a = 0 significa que este é o u ńico ponto em que faz sentido a pesquisa de lim f (x). Por outro lado, como f n˜ ao é cont´ınua no x→a

ponto 0, significa isto que lim f (x) 6= f (0) = 0. Observe que o fato de a fun¸c˜ ao n˜ ao x→0

ser cont´ınua em 0, nos permite concluir que o limite n˜ ao é f (0), o que n˜ ao significa que n˜ ao possa ser um outro n´ umero; isto é, até o presente momento n˜ ao podemos concluir que o limite em quest˜ ao n˜ ao existe. Observe que ` ´ f M − {0} = { 1, 2, 3, . . .} = N, o que significa que se lim f (x) existir, ent˜ ao dever´ a ser um n´ umero natural n′ . x→0

Vamos agora provar que qualquer que seja o natural n′ = b, arbitrariamente fixado, n˜ ao temos lim f (x) =

f (x)

6 r 1 (n

x→0

0<|

1 nδ

nδ

1 n′ + 2

q

δ

r( n1′ , n′ )

δ

−0| < δ e

n′

n′ − 1 2

q [

˛ ˛ ` 1 ´ ˛ ˛ − n′ ˛ = |nδ − n′ | ≥ ε0 ˛f nδ

, nδ )

[

b. Faremos isto seguindo a nega¸c˜ ao de limite, dada anteriormente em s´ımbolos. Pois bem, consideremos ε0 = 1/2, para todo δ > 0 na bola B(0; δ) existem infinitos pontos (0 é ponto de acumula¸c˜ ao), tomemos ao um natural nδ de modo que n1 < δ e nδ 6= n′ , ent˜

r

Portanto, n˜ ao existe lim f (x). x→0

q

r qqq q q [ q . . . q - x −→

(0,0)

1 n′

B(0; δ)

` ∞ ´ ` ´ Exemplo 4. Seja a fun¸c˜ ao f : S , ν −→ [ 0, 1 ], µ dada por ∞ “ ” X xn f (xn ) = 2n n=1

Calcule

lim

x → 101010...

f (x).

` ∞ ´ Solu¸c˜ ao: Primeiramente observe que S , ν n˜ ao tem pontos isolados, ou ainda: todos os seus pontos s˜ ao de acumula¸c˜ ao, o que significa que podemos perguntar por lim f (x) x→a

∞

em todo a ∈ S . Como f é cont´ınua (pg. 317) segue que lim

x → 101010...

f (x) = f (101010 . . .) =

391

2 . 3

Extens˜ ao de aplica¸ co ˜es cont´ınuas Consideremos uma aplica¸c˜ ao f : X ⊂ Y −→ N . A aplica¸c˜ ao F : Y −→ N ˛chama-se uma extens˜ ao de f quando F (x) = f (x) para todo x ∈ X, isto é, quando F ˛ X = f . Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e f : X −→ N cont´ınua. Diremos que f se estende continuamente a M quando f possui uma extens˜ ao F : M −→ N cont´ınua. Para os nossos prop´ ositos, no que diz respeito a extens˜ ao de aplica¸c˜ oes cont´ınuas, nos restringiremos a uma aplica¸c˜ ao f : X −→ N definida em um subconjunto denso X ⊂ M . Neste caso mostraremos que uma tal extens˜ ao é poss´ıvel se existe, para cada ponto a ∈ M o limite lim f (x). Dentro deste contexto h´ a de se x→a

notar que nem toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : X −→ N pode ser estendida continuamente ao espa¸co inteiro. Por exemplo a aplica¸c˜ ao (cont´ınua) f : ] 0, 1 [ −→ R x

7−→

1 x(x−1)

n˜ ao possui extens˜ ao cont´ınua a nenhum conjunto M contendo o intervalo fechado [ 0, 1 ], isto se deve a que n˜ ao existem os limites lim f (x) e lim f (x). x→0

x→1

Proposi¸ c˜ ao 98. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e ¯ − X existe lim f (x), ent˜ f : X −→ N cont´ınua. Se para todo a ∈ X ao a fun¸c˜ ao x→a ¯ F : X −→ N dada por F (y) =

8 < f (y),

se y ∈ X;

: lim f (x), x→y

é cont´ınua.

¯ − X. se y ∈ X

¯ Prova: Como f é cont´ınua em todo ponto a ∈ X, decorre que, seja qual for a ∈ X, temos F (a) = lim f (x). Da defini¸c˜ ao de limite resulta que dado ε > 0, existe δ > 0 x→a

de modo que, para todo x ∈ X

` ´ ε 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), F (a) < . 2

(7.15)

¯ e Afirmamos que se y ∈ X

` ´ d1 (y, a) < δ =⇒ d2 F (y), F (a) < ε

(F é cont´ınua em a.)

¯ segue que existe uma seq¨ De fato, como y ∈ X uência (xn ) com xn ∈ X de modo que lim xn = y. n

Como xn → y, tomando um raio 0 < δ1 ≤ δ − d1 (a, y), a partir de uma certa ordem n0 todos os termos da seq¨ uência (xn ) caem dentro da bola B(y; δ1 ) ⊂ B(a; δ). Escolhamos dentro desta bola um termo xm diferente de y e de a. Sendo assim temos 0 < d1 (xm , y) < δ1 e 0 < d1 (xm , a) < δ. Logo

r r ar δ1 y

xm

` ´ ` ´ ` ´ ε ε d2 F (y), F (a) ≤ d2 F (y), f (xm ) + d2 f (xm ), F (a) < + = ε. 2 2

Como afirmamos.

392

δ

¯ em particular vale para y ∈ X, ¯ da´ı que Nota: (7.15) vale seja qual for a ∈ X, ` ´ ε 0 < d1 (xm , y) < δ1 < δ =⇒ d2 f (xm ), F (y) < . 2

Proposi¸ c˜ ao 99. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, com (N, d2 ) completo. Se X ⊂ M e f : X −→ N é uniformemente cont´ınua ent˜ ao existe lim f (x) para todo x→a ¯ − X. (ou mais geralmente, para todo a ∈ X ′ ). a∈X Prova: Para demonstrar esta proposi¸ ao provaremos que para toda seq¨ uência (xn ) ` ´ c˜ em X com lim xn = a, existe lim f xn (prop. 97, pg. 389). Seja ent˜ ao (xn ) uma n

n

seq¨ uência em X com lim xn = a. Ent˜ ao (xn ) é de Cauchy. Dado ε > 0, a continuidade n

uniforme de f assegura um δ > 0 tal que (pg. 354) ` ´ ∀ x, y ∈ X, d1(x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε.

Sendo (xn ) de Cauchy, para este δ > 0 existe um ´ındice n ` 0 tal que d1(xń , xm ) < δ sempre` que m, n ≥ n . Assim, para m, n ≥ n teremos d 0 0 2 f (xn ), f (xm ) < ε, sendo ´ assim f (xn ) resulta uma seq¨ u ˆ e ncia de Cauchy em (N, d2 ). Como (N, d2 ) é com` ´ pleto, existe lim f xn e, por conseguinte, existe lim f (x). n

x→a

Proposi¸ c˜ ao 100. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, com (N, d2 ) completo. Se X ⊂ M é denso toda aplica¸c˜ ao f : X −→ N uniformemente cont´ınua, possui uma u ńica extens˜ ao cont´ınua F : M −→ N dada por 8 < f (y), se y ∈ X; F (y) = : lim f (x), se y ∈ M − X. x→y

F é também uniformemente cont´ınua.

¯ − X = M − X existe Prova: Da proposi¸c˜ ao 99 sabemos que para todo y ∈ X lim f (x). Assim, F est´ a bem definida e a proposi¸c˜ ao 98 nos assegura a continuidade de

x→y

F . Resta agora mostrar que F é uniformemente cont´ınua. Dado ε > 0, a continuidade uniforme de f nos assegura um δ = δ(ε) > 0 tal que ` ´ ε ∀ x, y ∈ X, d1(x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < . 2

Afirmamos que este mesmo δ atende ao ε para a continuidade uniforme de F . De fato, Sejam u, v ∈ M com d1(u, v) < δ. Da densidade de X em (M, d1 ) obtemos seq¨ uências (xn ) e (yn ) em X com lim xn = u e lim yn = v. Ent˜ ao, pela continuidade da fun¸c˜ ao n

n

distˆ ancia resulta ` ´ ` ´ d1 (u, v) = d1 lim xn , lim yn = lim d1 xn , yn < δ n

n

n

` ´ e portanto existe um ´ındice n0 de modo que d1 xn , yn < δ para todo n ≥ n0 , o que fornece ` ´ ε d2 f (xn ), f (yn ) < , ∀ n ≥ n0 . 2 Logo, ` ´ ` ´ d2 F (u), F (v) = d2 lim f (xn ), lim f (yn ) (7.16) ` ´ = lim d2 f (xn ), f (yn ) n

ε ≤ < ε. 2

393

Isto prova que F é uniformemente cont´ınua. Para provar que a extens˜ ao F é u ńica basta recorrer ao corol´ ario 16 (pg. 348). Nota: A igualdade em (7.16) se justifica assim: como xn ∈ X e tendo em conta a defini¸c˜ ao de F resulta que F (xn ) = f (xn ). Como F é cont´ınua, obtém-se ` ´ lim F (xn ) = lim f (xn ) ⇒ F lim xn = lim f (xn ) n

n

n

n

` ´ ⇒ F u = lim f (xn ). n

` ´ An´ alogamente se mostra que F v = lim f (yn ). n

Corol´ ario 22. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos completos e f : X −→ Y um homeomorfismo uniforme entre subespa¸cos densos X ⊂ M e Y ⊂ N , f se estende, de modo u ńico, a um homeomorfismo uniforme F : M −→ N .

Prova: De fato, seja g : Y −→ X o inverso de f . Pela proposi¸c˜ ao 100 existem aplica¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas F : M −→ N e G : N −→ M extens˜ oes de f e g respectivamente. oes cont´ınuas G`◦ F : M ao ` ´ As aplica¸c˜ ´ −→ M e F ◦ G : N −→ N s˜ tais que G ◦ F (x) = x para todo x ∈ X e F ◦ G (y) = y para todo y ∈ Y . Como X ⊂ M e Y ⊂ N s˜ ao ambos densos, segue que G ◦ F = idM e F ◦ G = idN . Logo, G = F −1 e, portanto, F é um homeomorfismo uniforme de M sobre N . Adendo:

Logo,

˛ F ˛X = f ⇒ F (x) = f (x), ∀ x ∈ X; ˛ G˛Y = g ⇒ G(y) = g(y), ∀ y ∈ Y. ` ´ ` ´ ` ´ ` ´ G ◦ F (x) = G F (x) = G f (x) = g f (x) = x, ∀ x ∈ X; ´ ` ´ ` ´ ` ´ ` F ◦ G (Y ) = F G(y) = F g(y) = f g(y) = y, ∀ y ∈ Y.

¯ = M ; duas aplica¸c˜ Portanto, G ◦ F = idX , como X oes que coincidem em um subconjunto denso s˜ ao iguais (ver corol. 16, pg. 348), isto é, G ◦ F = idM . O mesmo raciocinio se aplica ao caso F ◦ G = idN .

394

Cap´ıtulo

8

´ ESPAC ¸ OS METRICOS CONEXOS “O

senhor deu aos homens a

ciˆ encia para que pudessem glorific´ a-lo por causa das maravilhas ´ dele.” (ECLESIASTICO 38 : 6)

8.1

Defini¸ c˜ ao e Exemplos

Introdu¸ c˜ ao: A conexidade de um conjunto é mais um conceito importado da An´ alise Real; nesta - grosso modo - podemos dizer que um conjunto é conexo quando é constituido de um s´ o peda¸co. Em espa¸cos métricos em geral esta no¸c˜ ao “intuitiva” de conexidade deixa de valer, como teremos oportunidade de constatar em v´ arias oportunidades. Defini¸ c˜ ao 56 (Espa¸co desconexo). Um espa¸co métrico (M, d) se diz desconexo quando existem dois conjuntos abertos A e B, ambos n˜ ao vazios, de maneira que A∩B =∅ e A∪B =M

(8.1)

Diz-se ent˜ ao que o par A e B constitui uma desconex˜ ao de M . As condi¸c˜ oes dadas em (8.1) nos dizem que A = B c , o que significa que A também é fechado em M e ainda B = Ac o qual também é fechado em M . Em resumo, numa desconex˜ ao os conjuntos A e B s˜ ao simultˆ aneamente abertos e fechados em M . Um espa¸co conexo é um espa¸co que n˜ ao é desconexo. Portanto, dizer que M é conexo significa dizer que n˜ ao existe nenhuma desconex˜ ao de M . Um subconjunto X ⊂ M se diz conexo quando o subespa¸co (X, d), onde d é a métrica induzida sobre X pela métrica de M , é conexo. Exemplos 1. Em todo espa¸co métrico (M, d) um conjunto unit´ ario { a } é conexo. Com efeito, é imposs´ıvel exibir dois abertos A 6= ∅ e B = 6 ∅ tais que A ∩ B = ∅ e A ∪ B = { a }. 2. O espa¸co (R, δ) é desconexo, enquanto o espa¸co (R, µ) é conexo.

395

Prova: Consideremos qualquer a ∈ R. Os conjuntos A = { a } e B = R − { a } s˜ ao abertos no espa¸co (R, δ). Sendo assim A e B constituem uma desconex˜ ao de R. Para mostrar que o espa¸co (R, µ) é conexo procederemos por contradi¸c˜ ao, supondo que existem A e B abertos de modo que A 6= ∅, B 6= ∅; A ∩ B = ∅; A ∪ B = R. Tomemos a ∈ A e b ∈ B e suponhamos a < b. Consideremos o conjunto ˘ ¯ X = x ∈ A: x < b

de todos os elementos de A situados ` a esquerda de b. Pois bem, temos que a ∈ X e que b é uma cota superior de X. Portanto sendo X um conjunto n˜ ao-vazio e limitado superiormente possui supremo, digamos c = sup X. Como o supremo de um conjunto é a menor de suas cotas superiores resulta que c ≤ b (♯). Pela defini¸c˜ ao de supremo, para todo ε > 0 existe x ∈ X (por conseguinte x ∈ A) tal que c − ε < x ≤ c ∴ c − ε < x < c + ε ∴ x ∈ ] c − ε, c + ε [. De outro modo, ∀ ε > 0 ⇒ Bµ(c; ε) ∩ A 6= ∅ x∈A

]

ց

c−ε

r ¬ c

-R

[ c+ε

¯ Sendo A fechado temos que c ∈ A. portanto c é ponto aderente de A (c ∈ A). Portanto c 6= b, e, considerando (♯), concluimos que c < b. Sendo A aberto c é ponto interior de A, logo existe ǫ > 0 de modo que ] c − ǫ, c + ǫ [ ⊂ A. Invocando a propriedade arquimediana podemos encontrar dois ˘ naturais n′ e n′′ satisfazendo n1′ < ǫ e n1′′ < b − c. Vamos escolher n0 = max n′ , n′′ }, portanto n0 ≥ n′ e n0 ≥ n′′ do que resulta 1 1 ≤ ′ n0 n portanto,

8 1 > > < n0 ≤ > > :

1 n0

≤

de (♭) concluimos que c + 1 n0

1 n′ 1 n′′

1 n0

X

1 1 ≤ ′′ n0 n

<ǫ

⇒ c+

1 n0

< c+ǫ

(♭)

< b−c

⇒ c+

1 n0

(♮)

∈ ] c − ǫ, c + ǫ [ ⊂ A e, considerando (♮), concluimos que

∈ X. Isto contradiz o fato de que c = sup X. ˘ 3. Os espa¸cos (N, µ) e (M, µ), onde M = 1, 21 , . . . , Estes s˜ ao casos especiais da seguinte

c+

1 , n

...

¯

s˜ ao ambos desconexos.

Proposi¸ c˜ ao 101. Todo espa¸co (M, d) discreto (no qual M tem mais que um elemento) é desconexo. Prova: De fato, em um espa¸co métrico (M, d) discreto, todo subconjunto de M é aberto (exemplo 5), pg. 256). Sendo assim { a } e M − { a }, onde a ∈ M é arbitr´ ario, constitue uma desconex˜ ao do espa¸co M . 4. Q com a métrica µ induzida de R é desconexo. De fato, para exibir uma desconex˜ ao de Q tome α um irracional qualquer e considere os seguintes subconjuntos de Q A = {x ∈ Q : x < α} X B = {x ∈ Q : x > α}

396

Vamos mostrar que A e B s˜ ao abertos no subespa¸co (Q, µ). Para tanto considere os seguintes subconjuntos de R C = {x ∈ R : x < α} =] − ∞, α [ X D = {x ∈ R : x > α} =] α, +∞ [ C e D s˜ ao abertos em (R, µ). Como A = Q ∩ C e B = Q ∩ D segue que A e B s˜ ao abertos∗ no espa¸co (Q, µ). Além do mais temos, ` ´ ` ´ A∩B = Q∩C ∩ Q∩D ` ´ =Q∩ C ∩D =Q∩∅=∅

também, ` ´ ` ´ A∪B = Q∩C ∪ Q∩D ` ´ =Q∩ C ∪D ` ´ = Q ∩ R − {α} = Q

Portanto A e B constituem uma desconex˜ ao de Q. ˘ ¯ 5. Consideremos o subconjunto X = (x, y) ∈ R2 : xy = 1 do R2 . O subespa¸co 2 (X, D1 ), onde D1 é a métrica usual do R , é desconexo. De fato, para exibir uma desconex˜ ao de X considere os seguintes subconjuntos ˘ ¯ ˘ ¯ A = (x, y) ∈ X : x > 0 X B = (x, y) ∈ X : x < 0 Vamos mostrar que A e B s˜ ao abertos no subespa¸co (X, D1 ). Para tanto considere os seguintes subconjuntos de R2 ˘ ¯ ˘ ¯ C = (x, y) ∈ R2 : x, y > 0 X D = (x, y) ∈ R2 : x, y < 0 C e D s˜ ao abertos em (R2 , D1 ). R

6

R

6 C

A

X

-

-

R

R

B

D

Como A = X ∩ C e B = X ∩ D segue que A e B s˜ ao abertos no subespa¸co (X, D1 ). Além do mais temos, ` ´ ` ´ A∩B = X ∩C ∩ X ∩D ` ´ =X ∩ C ∩D =X ∩∅=∅

∗ proposi¸ ca õ

48, pg. 260.

397

também ` ´ ` ´ A∪B = X ∩C ∪ X ∩D ` ´ =X ∩ C ∪D = X.

Portanto A e B constituem uma desconex˜ ao de X. Proposi¸ c˜ ao 102. A imagem de um conjunto conexo por uma aplica¸c˜ ao f : M −→ N cont´ınua é um conjunto conexo. Prova: Vamos provar inicialmente para o caso particular em que f é sobrejetora, isto é f (M ) = N , e M é conexo. Procederemos por contradi¸c˜ ao. Suponhamos que existam abertos A, B ⊂ N formando uma desconex˜ ao de N , isto é, tais que A, B 6= ∅ , A ∩ B = ∅ , A ∪ B = N. Sendo assim obtemos ` ´ ` ´ f −1 A ∩ B = f −1 ∅

` ´ ` ´ ⇒ f −1 A ∩ f −1 B = ∅

` ´ ` ´ ` ´ ` ´ f −1 A ∪ B = f −1 N ⇒ f −1 A ∪ f −1 B = M ` ´ ` ´ Destas igualdades concluimos que f −1 A e f −1 B formariam uma desconex˜ ao (ver proposi¸c˜ ao 86, pg. 345) de M , contrariando a hip´ o tese de que o mesmo ´ e conexo. ` ´ ` ´ Nota: De N = f (M ) ⇒ f −1 N = f −1 f (M ) = M esta u ´ltima igualdade s´ o vale se f é sobrejetora. O caso geral reduz-se a este uma vez que sendo f : M −→ N cont´ınua e dado X ⊂ M conexo, ent˜ ao f : X −→ f (X) é uma sobreje¸c˜ ao cont´ınua o que implica na conexidade de f (X) pelo que acabamos de provar. Corol´ ario 23. Se M é conexo e N é homeomorfo a M , ent˜ ao N também é conexo. Portanto a conexidade é uma propriedade topol´ ogica. Dizemos: é um invariante topol´ ogico. Corol´ ario 24. Seja (M, d) um espa¸co métrico conexo. Se d′ ∼ d ent˜ ao o espa¸co ′ (M, d ) também é conexo. Prova: Se d ∼ d′ ent˜ ao a aplica¸c˜ ao identidade i : (M, d) −→ (M, d′ ) é um homeomorfismo. Portanto o corol´ ario anterior nos assegura que se (M, d) é conexo decorre que (M, d′ ) também é conexo. ¯ d) Proposi¸ c˜ ao 103. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se (X, d) é conexo ent˜ ao (X, também o é. Em outras palavras: o fecho de um conjunto conexo é conexo. ¯ = M (isto é, X é denso Prova: Vejamos inicialmente o caso particular em que X ¯ em M ). Procederemos por contradi¸c˜ ao. Suponha que X = M n˜ ao é conexo, ent˜ ao existem A, B abertos n˜ ao vazios tais que A∩B =∅ , A∪B =M

(♮)

Temos que A ∩ X e B ∩ X s˜ ao abertos (prop. 48, pg. 260) no subespa¸co (X, d) além do que s˜ ao n˜ ao-vazios (prop. 68, pg. 283). Pretendemos mostrar que estes conjuntos formam uma desconex˜ ao de X ∗ . Isto é, que ( (A ∩ X) ∪ (B ∩ X) = (A ∪ B) ∩ X = X (A ∩ X) ∩ (B ∩ X) = (A ∩ B) ∩ X = ∅ ∗ Se

o subespa¸co (X, d) n˜ ao ´ e conexo ent˜ ao X ⊂ M n˜ ao ´ e conexo, por defini¸ca õ, pg. 395.

398

Invocando (♮), temos (A ∪ B) ∩ X = M ∩ X = X; também (A ∩ B) ∩ X = ∅ ∩ X = ∅. Portanto temos uma nega¸c˜ ao de nossa hip´ otese. ¯ é conexo. Este caso No caso geral, considerando X conexo queremos provar que X ¯ d) conforme nota da reduz-se ao anterior uma vez que X é denso no subespa¸co (X, pg. 283. ¯ e X é conexo, ent˜ Corol´ ario 25. Se X ⊂ Y ⊂ X ao Y é conexo. Prova: De fato, o fecho de X no subespa¸co (Y, d) é† ¯ ¯ X =X ∩Y (Y, d) (M, d) ¯ ¯ ¯ como, por hip´ otese, Y ⊂ X segue que X ∩ Y = Y , portanto X = Y logo (M, d) (M, d) (Y, d) ¯ X é denso no subespa¸co (Y, d) e portanto, sendo X conexo, X(Y, d) = Y é conexo. − Um conexo com “dois peda¸cos”

Agora faremos uma aplica¸c˜ ao deste corol´ ario para chegarmos a uma “surpreendente” conclus˜ ao: a de que existem conjuntos conexos “formados de mais de um peda¸co”. Para construirmos um tal conjunto consideremos o espa¸co (R2 , D1 ), isto é o plano 2 R com sua métrica usual (poderia ser qualquer outra métrica equivalente a D1 ). Seja ˘ ¯ X = (x, y) ∈ R2 : y = cos(1/x), x > 0 .

Como a fun¸c˜ ao f dada por f (x) = cos(1/x) é cont´ınua − por ser composta de fun¸c˜ oes cont´ınuas − pelo exemplo 6) pg. 370, concluimos que X é homeomorfo ao dom´ınio ] 0, +∞ [ de f . Portanto X é conexo. Seja ainda o seguinte subconjunto do R2 ˘ ¯ Y = (0, y) ∈ R2 : − 1 ≤ y ≤ 1 = { 0 } × [ −1, 1 ]. Todo ponto y ∈ Y é aderente a X ( exemplo (ii), pg. 281). Y é fechado (proposi¸c˜ ao 55, pg. 269). Ent˜ ao ¯ ⇒ Y ⊂X ¯ ⇒ Y¯ = Y ⊂ X. ¯ ⇒ y∈X

y∈Y Ent˜ ao para todo

¯ ⇒ X ∪Z ⊂X ∪X ¯ =X ¯ Z⊂Y ⇒ Z⊂X ¯ ⇒ X ⊂ X ∪ Z ⊂ X. ¯ ⇒X ∪Z ⊂X Portanto, pelo corol´ ario anterior, X ∪ Z é conexo. No caso particular em que Z = Y temos que o conjunto na figura a seguir é conexo. X

1¬

0¬

−1 † proposi¸ ca õ

y

59 pg. 274

399

Observe que, n˜ ao obstante Y ∩ X = ∅, toda bola centrada em qualquer ponto de Y intersecta X, o que n˜ ao se configura no gr´ afico por raz˜ oes técnicas (ver pg. 282).

Conexos em R, µ

8.2

Iremos agora caracterizar os conjuntos conexos da reta. Mostraremos que na reta usual de fato um conjunto é conexo se, e somente se, é constituido de um s´ o “peda¸co”. Proposi¸ c˜ ao 104. Um subconjunto da reta é conexo se, e somente se, é um intervalo. Lembramos que os intervalos em R s˜ ao da seguinte forma: ] a, b [, ] a, b ], [ a, b [, [ a, b ];

intervalos limitados;

] − ∞, a [, ] − ∞, a ], ] a, +∞ [, [ a, +∞ [, ] − ∞, +∞ [; intervalos ilimitados. Um intervalo X pode caracterizar-se pela seguinte propriedade: a, b ∈ X, a < x < b ⇒ x ∈ X. `

´

Prova: ⇐= Todo intervalo aberto é conexo por ser homeomorfo a R (Exemplo 4.1 pg. 366). Daqui e da proposi¸c˜ ao 103 (pg. 398) concluimos que todo intervalo fechado ou semi-fechado ´ e conexo. ` ´ =⇒ Suponha X ⊂ R conexo e mostremos que X é um intervalo. Suponha a, b ∈ X e que a < c < b. Provaremos que c ∈ X. Com efeito, suponha contrariamente que c 6∈ X, fa¸camos A = X∩ ] − ∞, c [ , B = X∩ ] c, +∞ [

q

q

a

c

-

[

] −∞, c [

]

q

-R

b

] c, +∞ [

A e B s˜ ao abertos (no subespa¸co (X, µ)) s˜ ao n˜ ao vazios porque a ∈ A e b ∈ B. Mostremos que A e B formam uma desconex˜ ao de X. Ent˜ ao “ ”\“ ” A ∩ B = X∩ ] − ∞, c [ X∩ ] c, +∞ [ ” \“ =X ] − ∞, c [ ∩ ] c, +∞ [ = X ∩ ∅ = ∅.

Também “ ”[“ ´ A ∪ B = X∩ ] − ∞, c [ X∩ ] c, +∞ [ ” \“ =X ] − ∞, c [ ∪ ] c, +∞ [ ` ´ = X ∩ R − {c} = X.

Observe que neste momento usamos a hip´ otese de que c 6∈ X, pois se fosse c ∈ X ter´ıamos ` ´ X ∩ R −{c} = X − {c} = 6 X.

Conclus˜ ao: Se assumirmos que c 6∈ X ent˜ ao resulta X desconexo, contrariando a hip´ otese. Portanto X é um intervalo.

400

Corol´ ario 26. Se (M, d) é um espa¸co métrico conexo e f : M −→ R é uma fun¸c˜ ao cont´ınua, ent˜ ao f (M ) é um intervalo. Prova: De fato, tendo em conta a proposi¸c˜ ao 102 (pg. 398), f (M ) é um subconjunto conexo da reta e, portanto, um intervalo. (Nota: No caso em que f é constante f (M ) ser´ a um intervalo degenerado do tipo [ a, a ]).

Aplica¸ co ˜es do Corol´ ario 26 : 1. Teorema do Valor Intermedi´ ario Corol´ ario27. Seja (M, d) um espa¸co métrico conexo e f : M −→ R uma fun¸c˜ ao cont´ınua. Se y1 , y2 ∈ f (M ) e y1 < y < y2 , ent˜ ao existe x ∈ M tal que f (x) = y. Prova: Como f é cont´ınua, segue que f (M ) ⊂ R é conexo. Da´ı f (M ) é um intervalo e portanto y ∈ f (M ) = {f (x) : x ∈ M }. Portanto existe x ∈ M de modo que f (x) = y. Em outras palavras: Se o dom´ınio de uma fun¸c˜ ao cont´ınua é conexo, ent˜ ao f toma todos os valores entre dois valores quaisquer de sua imagem. A seguir ilustramos esta situa¸c˜ ao para o caso especial em que M é um intervalo da reta. R f (x)

6

⊤

f (M )

?

⊥

6

y2 y y y y1 y

p

0

x1

⊢

p

x

-R

p

x2

M

-⊣

Defini¸ c˜ ao 57 (Ponto fixo). Um ponto fixo de uma aplica¸c˜ ao f : M −→ M é um ponto p ∈ M tal que f (p) = p. 2. Teorema do Ponto fixo de Brower Caso Particular: Dada uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : [ a, b ] −→ [ a, b ], existe c ∈ [ a, b ] de maneira que f (c) = c. Prova: Com efeito, se f (a) = a ou f (b) = b nada a fazer. Suponhamos f (a) 6= a e f (b) 6= b. Sendo assim podemos escrever a < f (a) < b X a < f (b) < b. Consideremos a fun¸c˜ ao auxiliar g : [ a, b ] −→ R dada por g(x) = x − f (x). Obviamente g é cont´ınua (diferen¸ca de duas fun¸c˜ oes cont´ınuas) e ademais g(a) = a − f (a) < 0 X g(b) = b − f (b) > 0.

401

R

6

⊤

6

g(b) y

g([ a, b ])

g

a[

0

c

r

-x

]b

? g(a) y

⊥

Sendo g(a) < 0 < g(b) segue - do teorema do valor intermedi´ ario - que existe c ∈ [ a, b ] de modo que g(c) = 0 ⇒ c − f (c) = 0 ⇒ f (c) = c. Geometricamente o significado do teorema do ponto fixo é que a reta y = x intercepta o gr´ afico de y = f (x) em pelo ao menos um ponto: (c, f (c)). f (x)

6

b

y=x

f (x)

6

f

f (c) y

f (c) y

a ∡ 45o qc

0

-

x

0

a

[

qc

]b

Exemplos: 1. A fun¸c˜ ao dada por f (x) = x2 tem dois pontos fixos: x = 0 e x = 1. De fato, f (x) = x2 = x ⇒ x · (x − 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1.

402

-x

f (x)

6

-x

x=1

2. A fun¸c˜ ao cosseno tem como ponto fixo x ¯ = 0, 739085133215 . . ., com precis˜ ao suficiente para n˜ ao ser denunciado por qualquer calculadora cient´ıfica.

y=cos x

y=x

6 1

x ¯

π 2

π

-

3π 2

2π

x

−1

Figura 8.1: Um ponto fixo: x ¯ = 0, 739085133215 . . .. π = 1, 5707963268 . . . 2 π π = 0, 628318530718 . . . X = 0, 785398163398 . . . 5 4 π π
cos(0, 739085133215) = 0, 739085133215 Observa¸ c˜ ao: Sua calculadora deve estar no modo rad (radiano). 3. A fun¸c˜ ao cossecante (csc) também tem o seu ponto fixo: x = 1, 11415714087 . . . Uma vez que csc(1, 11415714087 . . .) =

1 sen (1, 11415714087 . . .)

= 1, 11415714087 . . .

403

Nota: No cap´ıtulo 8 aprenderemos como encontrar o ponto fixo de uma aplica¸c˜ ao. Consideremos a seguinte aplica¸c˜ ao (ver pg. 77) f : [ 0, 1 ] −→ Rn t 7−→ (1−t)a+t b Isto é, f (t) = (1 − t)a + t b. Ent˜ ao f (t) = (1 − t)a + t b

= (1 − t)(a1 , . . . , an ) + t(b1 , . . . , bn ) ` ´ = (1 − t)a1 + t b1 , . . . , (1 − t)an + t bn

As fun¸c˜ oes dadas a seguir

fi : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ (1−t)ai +t bi

(i = 1, 2, . . . , n)

` ´ isto é, fi (t) = − ai − bi t + ai s˜ ao fun¸c˜ oes cont´ınuas, disto segue - pela proposi¸c˜ ao 81, pg. 339 - que f é cont´ınua. Por outro lado ` ´ ˘ ¯ f [ 0, 1 ] = f (t) : t ∈ [ 0, 1 ] ˘ ¯ = (1 − t)a + t b : t ∈ [ 0, 1 ] = [ a, b ].

De modo que o segmento [ a, b ] é imagem do conexo [ 0, 1 ] pela aplica¸c˜ ao cont´ınua f . Portanto todo segmento de reta no Rn é conexo. Observe que a reuni˜ ao de conjuntos conexos n˜ ao é necessariamente conexa. Por exemplo os conjuntos X =] − ∞, 0 [ e Y =] 0, ∞ [ s˜ ao conexos no espa¸co (R, µ), mas X ∪ Y =] − ∞, 0 [ ∪ ] 0, ∞ [ n˜ ao é conexo neste espa¸co. Isto acontece porque X e Y ´ o que nos assevera a seguinte s˜ ao disjuntos. E ` ´ uma fam´ılia arbitr´ aria de conjuntos conexos num Proposi¸ c˜ ao 105. Seja Xλ λ∈L espa¸co métrico[(M, d). Se todos os Xλ contêm um ponto comum a ∈ M , ent˜ ao a Xλ também é conexa. reuni˜ ao X = λ∈L

Prova: Para mostrar que o subespa¸co (X, d) é conexo procederemos por contradi¸c˜ ao. Suponhamos que existam A e B abertos de modo que A, B 6= ∅, A ∩ B = ∅ e A ∪ B = X. Pois bem, o ponto a comum a todos os Xλ pertence a A ou a B. Suponhamos a ∈ A. Como B 6= ∅ e A ∩ B = ∅, existe b 6= a em X com b ∈ B. Este ponto b por sua vez dever´ a estar, para algum µ ∈ L, no conjunto Xµ . Os conjuntos A ∩ Xµ e B ∩ Xµ s˜ ao abertos no subespa¸co (X, d) e s˜ ao ambos n˜ ao-vazios uma vez que a ∈ A ∩ Xµ e b ∈ B ∩ Xµ . Por outro lado temos ` ´ ` ´ ` ´ A ∩ Xµ ∩ B ∩ Xµ = A ∩ B ∩ Xµ = ∅ também

` ´ ` ´ ` ´ A ∩ Xµ ∪ B ∩ Xµ = A ∪ B ∩ Xµ

= X ∩ Xµ = Xµ .

Portanto A ∩ Xµ e B ∩ Xµ formam ùma´ desconex˜ ao de Xµ , contrariando a hip´ otese de que todos os conjuntos da fam´ılia Xλ s˜ ao conexos. λ∈L

404

Corol´ ario 28. Um espa¸co métrico (M, d) é conexo se, e somente se, dois quaisquer de seus pontos estiverem contidos em algum conexo Xab ⊂ M . Prova: (=⇒) Dados a, b ∈ M e sendo M conexo por hip´ otese, fazemos M = Xab e a proposi¸c˜ ao est´ a provada. [ Xab . Como a ∈ Xab para (⇐=) Neste caso fixando a ∈ M podemos escrever M = b∈M

todo b ∈ M , a proposi¸c˜ ao 105 nos assegura que M é conexo.

Exemplos:

(i) Com o aux´ılio do corol´ ario anterior podemos mostrar que o espa¸co (Rn , D1 ) é conexo. Com efeito, dados dois pontos quaisquer a, b ∈ Rn o segmento de reta [a, b] é um conjunto conexo que contém a e b. (ii) Com aux´ılio da proposi¸c˜ ao 105 vamos construir mais um conjunto conexo “formado de dois peda¸cos”: Consideremos o seguinte subconjunto do plano R2 ˘ ¯ X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, y = x/n, n ∈ N

Este conjunto é formado dos pontos do segmento de reta que liga a origem (0, 0) aos pontos (1, 1/n), n ∈ N. De outro modo: [ ˆ 1 ˜ Xn , onde Xn = (0, 0); (1, ) X= n n∈N

Todo segmento Xn é conexo; ademais (0, 0) ∈ Xn , ∀n ∈ N; portanto pela proposi¸c˜ ao 105 X é conexo. Por outro lado considere o seguinte subconjunto do R2 ¯ ˆ1 ˜ ˘ 1 , 1 × {0} Y = (x, 0) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1 = 2 2 Todo ponto y ∈ Y é aderente a X (ver exemplo (i) pg. 280). Y é fechado (proposi¸c˜ ao 55, pg. 269). Ent˜ ao ¯ ⇒ Y ⊂X ¯ ⇒ Y¯ = Y ⊂ X. ¯ ⇒ y∈X

y∈Y Ent˜ ao para todo

¯ ⇒ X ∪Z ⊂X ∪X ¯ =X ¯ Z⊂Y ⇒ Z⊂X ¯ ⇒ X ⊂ X ∪ Z ⊂ X. ¯ ⇒X ∪Z ⊂X Portanto, pelo corol´ ario 25 (pg. 399) X ∪ Z é conexo. No caso particular em que Z = Y temos que o conjunto a seguir é conexo. R

6

1

X 1

q

X 2 X3

0

1 2

p

.. . -R p1

.. . 0

Veremos agora que a conexidade é preservada pelo produto cartesiano

405

Proposi¸ c˜ ao 106. Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao M1 × M2 é conexo, se e somente se, M1 e M2 s˜ ao conexos. Prova: (=⇒) Suponhamos M1 × M2 conexo. Consideremos as proje¸c˜ oes p1 : M1 × M2 −→ M1

e

p2 : M1 × M2 −→ M2

(x1 , x2 ) 7−→ x1

(x1 , x2 ) 7−→ x2

Temos ` ´ ˘ ` ´ ¯ p1 M1 × M2 = p1 (x1 , x2 ) : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 ˘ ¯ = x1 : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = M1 ` ´ An´ alogamente p2 M1 × M2 = M2 . Como as proje¸c˜ oes s˜ ao cont´ınuas temos pela proposi¸c˜ ao 102 (pg. 398) que M1 e M2 s˜ ao conexos. (⇐=) Reciprocamente suponhamos M1 e M2 conexos e mostremos que M1 × M2 é conexo. A demonstra¸c˜ ao consistir´ a no seguinte: dados dois pontos quaisquer a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ) em M1 ×M2 mostraremos que existe um conexo Xab ⊂ M1 ×M2 que os contêm e da´ı , pelo corol´ ario 28 (pg. 405), M1 × M2 resultar´ a conexo. Pois bem, inicialmente observemos que os conjuntos M1 × {b2 } e {a1 } × M2 s˜ ao conexos por serem homeomorfos a M1 e M2 , respectivamente. Por exemplo, a seguir temos dois homeomorfismos f : M1 −→ M1 × {b2 }

e

g : M2 −→ {a1 } × M2

x 7−→ (x, b2 )

x 7−→ (a1 , x)

´ ` ´ ` Por outro lado ` temos que ´ o `ponto (a1 , b´2 ) ∈ M1 ×{b2 } ∩ {a1 }×M2 implicando em que Xab = M1 × {b2 } ∪ {a1 } × M2 é um conexo (propos. 105, pg. 404) que contém a e b. {a1 }×M2

b2

a2

M2

↓

r

r

r

M1 ×M2

(a1 , b2 )

r

←

r

M1

(b1 , b2 )

r(a1 , a2 )

r

a1

b1

M1 ×{b2 }

Corol´ ario 29. Sejam (M1 , d1 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao M1 × . . . × Mn é conexo se, e somente se, cada Mi (i = 1, 2, . . . , n) é conexo. Corol´ ario 30. Rn = R × · · · × R é conexo.

406

8.3

Conexidade por caminhos

Estudaremos agora um outro tipo de conexidade: A conexidade por caminhos. Intuitivamente dizemos que um conjunto M é conexo por caminhos quando dois quaisquer de seus pontos podem ser ligados por uma linha cont´ınua totalmente contida em M. Vamos tornar este conceito mais preciso. Antes definiremos, Defini¸ c˜ ao 58 (Caminho em espa¸cos métricos). Um caminho num espa¸co métrico (M, d) é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : [ 0, 1 ] −→ M . Os pontos f (0) e f (1) s˜ ao chamados ponto inicial e ponto final, respectivamente, do caminho. (M, d)

-r

f (1)

1

f

- rf (0)

0

Figura 8.2: Caminho em espa¸co métrico. Um exemplo de caminho em qualquer espa¸co métrico (M, d) é o caminho constante f : [ 0, 1 ] −→ M

t 7−→ c onde c ∈ M é arbitrariamente fixado. Dados dois caminhos f, g : [ 0, 1 ] −→ M tal que f (1) = g(0), definamos a aplica¸c˜ ao f ∨ g : [ 0, 1 ] −→ M pondo 8 < f (2t), se 0 ≤ t ≤ 12 ; ` ´ (8.2) f ∨ g (t) = : g(2t − 1), se 1 ≤ t ≤ 1. 2

Como f (2t) coincide com g(2t − 1) no ponto t = 21 , ent˜ ao f ∨ g est´ a bem definida. Ademais f ∨ g é cont´ınua (ver corolario 19, pg. 350). Portanto f ∨ g : [ 0, 1 ] −→ M é um caminho (chamado caminho justaposto). Exemplo: Sejam os caminhos f : [ 0, 1 ] −→ R2 X g : [ 0, 1 ] −→ R2 t 7−→ (2t, 2t+1) t 7−→ (2t+2, 6t2 −5t+3) Nas figuras seguintes temos um esbo¸co dos caminhos f e g: R

6

rf (1)

3 1

⊤

0⊥

q

f

2

q

1

rf (0)

q

0

q

1

407

q

2

q

3

-R

R

6

rg(1)

4

q

r

g(0) 3 1

q

⊤

g

2

q

0⊥

1

q

0

Sendo Como

q

1

q

q

2

q

3

4

-R

f (t) = (2t, 2t + 1) X g(t) = (2t + 2, 6t2 − 5t + 3) f (1) = (2 · 1, 2 · 1 + 1) = (2, 3)

g(0) = (2 · 0 + 2, 6 · 02 − 5 · 0 + 3) = (2, 3)

podemos justapor estes caminhos. Encontremos o caminho justaposto f ∨ g: ` ´ f (2t) = 2(2t), 2(2t) + 1 = (4t, 4t + 1)

ainda, ` ´ g(2t − 1) = 2(2t − 1) + 2, 6(2t − 1)2 − 5(2t − 1) + 3 = (4t, 24t2 − 34t + 14)

Resumindo, temos ` ´ f ∨ g (t) =

(

(4t, 4t + 1) , (4t, 24t2 − 34t + 14) ,

A seguir mostramos um esbo¸co deste caminho

408

se 0 ≤ t ≤ 12 ; se

1 2

≤ t ≤ 1.

R

6

r(f ∨g)(1)

4

q

r

(f ∨g)( 1 ) 2

3 1

q

⊤

f ∨g

2

q

0⊥

r q (f ∨g)(0)

1

0

q

q

1

2

q

q4

3

-R

Figura 8.3: O caminho justaposto: f ∨ g. Defini¸ c˜ ao 59 (Espa¸cos conexos por caminhos). Um espa¸co métrico (M, d) se diz conexo por caminhos quando dois pontos quaisquer de M podem ser ligados por um caminho contido em M . (M, d)

r

y = f (1) 1

f

rx = f (0)

0

Figura 8.4: (M, d) é conexo por caminhos. Dizemos que um subconjunto X ⊂ M é conexo por por caminhos quando o subespa¸co (X, d) for conexo por caminhos. Exemplos: (i) O espa¸co (R, µ) é conexo por caminhos pois fixados x, y ∈ R o caminho ∴

f : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ (1−t)x+ty é tal que f (0) = x e f (1) = y. Veja:

s

x

s

y

f (t) = (1−t)x+ty

R

(ii) O espa¸co (Rn , Di ), para i = 1, 2, 3 é conexo por caminhos, pois fixados x, y ∈ Rn o caminho f : [ 0, 1 ] −→ Rn t 7−→ (1−t)x+ty

é tal que f (0) = x e f (1) = y.

409

` ´ Defini¸ c˜ ao 60 (Conjuntos convexos). Seja E, +, · um espa¸co vetorial. Um subconjunto X ⊂ E chama-se convexo quando sempre que a, b ∈ X ⇒ [ a, b ] ⊂ X, ou seja, o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X est´ a contido em X. Por exemplo, dos conjuntos abaixo Y

X

Z

a b

b

a

a

b

apenas o conjunto X é convexo. Todo subconjunto X ⊂ E convexo é conexo por caminhos porque, dados quaisquer a, b ∈ X o caminho retil´ıneo f : [ 0, 1 ] −→ E t 7−→ (1−t)a+tb é tal que f (0) = a e f (1) = b. Exemplos de conjuntos convexos: i) Um subespa¸co vetorial, X ⊂ E, é fechado para as opera¸c˜ oes do espa¸co (adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ ao por escalar), da´ı é f´ acil concluir que todo subespa¸co vetorial é um conjunto convexo. ` ´ ii) Toda bola aberta B(a; r) num espa¸co vetorial E, +, · normado.

Prova: Fixados x, y ∈ B(a; r), devemos provar que [ x, y ] ⊂ B(a; r). Seja ent˜ ao z ∈ [ x, y ] um vetor qualquer do segmento. Logo, existe 0 ≤ t′ ≤ 1 de modo que z = (1 − t′ ) x + t′ y. Por outro lado temos, 8 8 < |1 − t′ | kx − ak < |1 − t′ | r < kx − ak < r ⇒ : : ky − ak < r |t′ | ky − ak < |t′ | r Nota: Ao multiplicarmos as desigualdades da esquerda, e mantendo as desigualdades estritas ` a direita, estamos supondo t′ 6= 0 e t′ 6= 1 (caso contr´ ario a prova é imediata). Temos: kz − ak = k(1 − t′ ) x + t′ y − ak = k(1 − t′ )(x − a) + t′ (y − a)k

≤ |1 − t′ | kx − ak + |t′ | ky − ak

< |1 − t′ | r + |t′ | r = (1 − t′ ) r + t′ r = r.

portanto, z ∈ B(a; r) logo [ x, y ] ⊂ B(a; r).

iii) Se X ⊂ Rn é um conjunto convexo, ent˜ ao a aderência de X é convexa. De fato, ¯ pontos de aderência, logo existem (proposi¸c˜ sejam a, b ∈ X ao 65, pg. 279) seq¨ uências ` ´ ` ´ ak e bk de pontos de X tais que

ak → a e bk → b ˜ como X é convexo temos ak , bk ⊂ X. Para 0 ≤ t ≤ 1 fixado arbitrariamente, temos (proposi¸c˜ oes 42, 44; pgs. 247, 248) ˆ

(1 − t) ak + t bk → (1 − t) a + t b

410

¯ isto é [a, b] ⊂ X. ¯ Portanto pela propos. 66 (pg. 280), temos (1 − t) a + t b ∈ X,

Vejamos um exemplo de ˘ ¯ uma fam´ılia de conjuntos conexos por caminhos: A esfera S n = x ∈ Rn+1 : kxk = 1 é conexa por caminhos. De fato, dados x, y ∈ S n consideremos duas possibilidades: 1 ) x 6= −y. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar a proposi¸c˜ ao: a

Se x 6= −y ent˜ ao (1 − t) x + t y 6= 0 Pois bem, considerando f : [ 0, 1 ] −→ S n dada por f (t) =

(1 − t) x + t y k(1 − t) x + t yk

fica definido um caminho tal que f (0) = x e f (1) = y. 2a ) x = −y. Neste caso tomamos um ponto z ∈ S n − {x, y} do que obviamente resulta z 6= x e z 6= y, isto é, z 6= −x e z 6= −y. Devido ao caso anterior existe um caminho de x a z e um outro de z a y. Justapondo estes caminhos ligamos x a y. Vamos concretizar o que foi visto através de alguns exemplos: 1. Sejam n = 1, x = (1, 0), y = (0, 1). Ent˜ ao

f (t) =

=

(1 − t)x + ty k(1 − t)x + tyk (1 − t)(1, 0) + t(0, 1) (1 − t, t) = k(1 − t)(1, 0) + t(0, 1)k k(1 − t, t)k

1.1. Consideremos k(a, b)k = max{ |a|, |b| }. Ent˜ ao f (t) = =

(1 − t, t) ˘ ¯ max |1 − t|, |t| (1 − t, t) ˘ ¯ max 1 − t, t

mas 1 − t ≥ t ⇔ t ≤ 21 . Logo

f (t) =

8 (1−t, t) 1 > < 1−t , se 0 ≤ t ≤ 2 ; > : (1−t, t) t

Isto é,

f (t) =


8“ > > < 1,

t 1−t

, se

”

1 2

≤ t ≤ 1.

, se 0 ≤ t ≤ 12 ;

> > :` 1−t , 1´ , se t

411

1 2

≤ t ≤ 1.

R

S

1

6

(0, 1)

1 1y 2

-

f

(1, 0)

-R

0

1.2. Agora consideremos a norma euclidiana k(a, b)k =

f (t) =

√

a2 + b2 . Ent˜ ao

(1 − t, t) k(1 − t, t)k

= p

(1 − t, t) (1 − t)2 + t2

Logo f (t) =

„

√

1−t t ,√ 2t2 − 2t + 1 2t2 − 2t + 1

«

Geometricamente, temos R

6

(0, 1)

S

1

f

1

(1, 0)

0

1.3. Agora consideremos k(a, b)k = |a| + |b|. Ent˜ ao

f (t) =

(1 − t, t) k(1 − t, t)k

=

(1 − t, t) |1 − t| + |t|

=

(1 − t, t) = (1 − t, t). 1−t+t


412

-R

R

6

(0, 1)

S

1

-

f

@ @ @

1

@ @ @

0

(1, 0)

-R

2. Sejam n = 2, x = (1, 0, 0) e y = (−1, 0, 0). Neste caso como x = −y vamos escolher um terceiro ponto, digamos z = (0, 0, 1). z

z=(0, 0, 1)

6 r

r

r

y=(−1, 0, 0)

y

-x

x=(1, 0, 0)

Agora encontramos um caminho ligando x a z f (t) =

(1 − t)x + tz k(1 − t)x + tzk

=

(1 − t)(1, 0, 0) + t(0, 0, 1) k(1 − t)(1, 0, 0) + t(0, 0, 1)k

=

(1 − t, 0, t) = (1 − t, 0, t). 1−t+0+t

onde consideramos k(a, b, c)k = |a| + |b| + |c|. E um outro ligando z a y g(t) = =

(1 − t)z + ty k(1 − t)z + tyk (1 − t)(0, 0, 1) + t(−1, 0, 0) k(1 − t)(0, 0, 1) + t(−1, 0, 0)k

= (−t, 0, 1 − t) Agora vamos justapor estes caminhos: f (2t) = (1−2t, 0, 2t), também (ver equa¸c˜ ao (8.2), pg. 407) ` ´ g(2t − 1) = − (2t − 1), 0, 1 − (2t − 1) = (−2t + 1, 0, 2 − 2t)

Portanto

8 < (1 − 2t, 0, 2t), ` ´ f ∨ g (t) = : (−2t + 1, 0, 2 − 2t),

413

se 0 ≤ t ≤ 21 ; se

1 2

≤ t ≤ 1.

Geometricamente, temos z

(0, 0, 1)

S

f ∨g

r

ւ

(f ∨g)( 1 ) 2

2

r

1 1y 2

6

-

r

(−1, 0, 0)

0

y

-x

(1, 0, 0)

` ´ 3. Seja E, +, · um espa¸co vetorial normado, com dim E > 1. Para todo a ∈ E, E − { a } é conexo por caminhos. De fato, sejam x, y ∈ E − { a }. Se [ x, y ] ⊂ E − { a } este segmento de reta é um caminho em E − { a } ligando x a y. Por outro lado, se a ∈ [ x, y ], como dim E > 1, existe um ponto z n˜ ao alinhado com x e y. Ent˜ ao o caminho justaposto [ x, z ] ∨ [ z, y ] liga x com y em E − { a }. E−{ a }

q

a ◦

q

E−{ a }

x

a ◦

y

y

x

z

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo. Este é o conte´ udo da pr´ oxima Proposi¸ c˜ ao 107. Se o espa¸co métrico (M, d) é conexo por caminhos, ent˜ ao (M, d) é também conexo. Prova: Seja (M, d) conexo por caminhos. Dados a, b ∈ M existe um caminho f : [ 0, 1 ] −→` M tal´ que˘ f (0) = a e f (1) ¯ = b. Como f é cont´ınua e [ 0, 1 ] é conexo, temos que f [ 0, 1 ] = f (t) : t ∈ [ 0, 1 ] é um conjunto conexo (prop. 102, pg. 398) que contém a e b. Logo, pelo corol´ ario 28 (pg. 405) M é conexo.

- br

1

f

0

-r a

(M, d)

A proposi¸c˜ ao rec´ıproca da anterior n˜ ao é verdadeira. Vejamos um contra-exemplo:

414

Um espa¸co conexo, mas n˜ ao conexo por caminhos Considere o espa¸co métrico (R2 , D1 ) e o subespa¸co (X, D1 ), no qual  ff ` ˘ ¯ 1 ´ X= x, cos( ) ∈ R2 : x > 0 ∪ (0, 0) x

´ f´ E acil mostrar (basta adaptar o exemplo da pg. 399) que X é conexo. Mostraremos que X n˜ ao é conexo por caminhos. Para tanto mostraremos que todo caminho λ : [ 0, 1 ] −→ X com λ(0) = (0, 0) é constante. Sendo assim n˜ ao se pode obter um caminho ligando (0, 0) a qualquer outro ponto de X, o que garante n˜ ao ser X conexo por caminhos. Com efeito, considerando um caminho λ : [ 0, 1 ] −→ X podemos escrever ` ´ λ(t) = λ1 (t), λ2 (t) , ∀ t ∈ [ 0, 1 ]. Onde λ1 e λ2 s˜ ao cont´ınuas com ` ´ λ(0) = λ1 (0), λ2 (0) = (0, 0) ⇒ λ1 (0) = 0; λ2 (0) = 0. R

1

t 0

r

λ

λ(0)=(0, 0)

q

6 q

q

X

տ (λ տλ

1

1

(t), λ (t)) 2

-R

(t)

Para nossa prova devemos considerar a primeira proje¸c˜ ao, assim: p1 :

X

R

( λ1 (t), λ2 (t) )

Consideremos, A= 1

˘

t ∈ [ 0, 1 ] : λ1 (t) = 0

λ1

0

λ1 (t)

λ1 (0)=0

q

¯

-R

Desejamos provar que A = [ 0, 1 ]. Inicialmente observe que A é fechado‡ e n˜ aovazio, pois 0 ∈ A. Vamos mostrar que A é também aberto no subespa¸co ([ 0, 1 ], µ). Tomemos um ponto arbitr´ ario t`0 ∈ A´ e mostremos que t0 é ponto interior de A, isto é que que existe r > 0 tal que B t0 ; r ⊂ A. ` ´ A continuidade de λ : [ 0, 1 ] −→ X em t0 nos d´ a uma bola aberta B t0 ; δ de modo que ` ´ ` ´ ∀ t ∈ B t0 ; δ ⇒ D1 λ(t), λ(t0 ) < 1 como

‡ ver

t0 ∈ A ⇒ λ1 (t0 ) = 0 ⇒ λ(t0 ) = (0, 0) ` ´ ` ´ ⇒ ∀ t ∈ B t0 ; δ ⇒ D1 λ(t), (0, 0) < 1

oberva¸ca õ a ` pg. 348

415

(8.3)

Nota: N˜ ao pode ser λ(t0 ) = (0, c) com c 6= 0 porquanto este ponto n˜ ao pertence a X. Fa¸camos uma mudan¸ca de nota¸c˜ ao: ` ´ ` ´ B t0 ; δ = B t0 ; δ ∩ [ 0, 1 ] =] t0 − δ, t0 + δ [ ∩ [ 0, 1 ] = J

De modo que J (sub-bola) é um intervalo. Logo ` ´ ˘ ¯ λ1 J = λ1 (t) : t ∈ J

é um intervalo† contendo 0, uma vez que

t0 ∈ J e t0 ∈ A ⇒ λ1 (t0 ) = 0. ` ´ ` ´ Afirmamos que λ1 J = { 0 }, isto é, que λ1 J é um intervalo degenerado. De fato, se o contr´ ario`é ´que fosse verdade existiria, pela propriedade arquimediana, n ∈ N tal 1 1 que 2πn ∈ λ1 J , ent˜ ao existiria t ∈ J de modo que λ1 (t) = 2πn , o que acarretaria “ 1 ” “ 1 ” λ(t) = , cos(2πn) = ,1 2πn 2πn

contrariando (8.3) . Portanto,

∀ t ∈ J ⇒ λ1 (t) = 0 ⇒ J ⊂ A. Isto prova que A é aberto no subespa¸co ([ 0, 1 ], µ). A sendo aberto e fechado decorre∗ que A = [ 0, 1 ]. Sendo assim λ(t) = 0 para todo t ∈ [ 0, 1 ]; isto é, n˜ ao pode haver nenhum caminho ligando 0 a qualquer outro ponto de X; logo, X é conexo mas n˜ ao conexo por caminhos. Proposi¸ c˜ ao 108. A imagem de um conjunto conexo por caminhos através de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua é conexa por caminhos. Prova: Sejam M conexo por caminhos e f : M −→ N cont´ınua. Dados p, q ∈ f (M ) = {f (x) : x ∈ M }, existem a, b ∈ M tais que f (a) = p e f (b) = q. Como M é conexo por caminhos existe um caminho g : [ 0, 1 ] −→ M tal que g(0) = a e g(1) = b. Ent˜ ao a aplica¸c˜ ao f ◦ g : [ 0, 1 ] −→ f (M ) é cont´ınua e, ademais ` ´ ` ´ f ◦ g (0) = f g(0) = f (a) = p, ` ´ ` ´ f ◦ g (1) = f g(1) = f (b) = q. M

r

b=g(1) 1

⊤

g

0⊥

-

rg(0)=a

r

q

f

-

-

rp

N

f (M )

f ◦g

Logo, f ◦ g é um caminho em f (M ) ligando p a q. Portanto f (M ) é conexo por caminhos. Corol´ ario 31. Se M e N s˜ ao homeomorfos ent˜ ao M é conexo por caminhos se, e somente se, N o for. † proposi¸ co ˜es

104, 102; pgs. 400, 398. fosse A 6= [ 0, 1 ], teriamos Ac 6= ∅, seria tamb´ em aberto e fechado, logo A e Ac constituiriam uma desconex˜ ao do conexo [ 0, 1 ] o que ´ e absurdo. ∗ Se

416

Proposi¸ c˜ ao 109. Se M e N s˜ ao conexos por caminhos ent˜ ao M ×N é também conexo por caminhos. Prova: Sejam x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) dois pontos arbitr´ arios em M ×N . Como M e N s˜ ao conexos por caminhos, existe um caminho f : [ 0, 1 ] −→ M com f (0) = x1 e f (1) = y1 e um outro caminho g : [ 0, 1 ] −→ N com g(0) = x2 e g(1) = y2 . Com estes dois caminhos podemos construir a seguinte aplica¸c˜ ao h : [ 0, 1 ] −→ M × N t 7−→ (f (t), g(t)) Com o aux´ılio da proposi¸c˜ ao 81, pg. 339 concluimos que h é cont´ınua e, ` ´ h(0) = f (0), g(0) = (x1 , x2 ) = x; ` ´ h(1) = f (1), g(1) = (y1 , y2 ) = y.

Portanto h é um caminho ligando x a y e, por conseguinte, M × N é conexo por caminhos.

q

N

y y2 1

⊤

q

-

g

0⊥

x2

y

x

M ×N

h

q

⊤

1

⊥0

xp1

6 f ⊢

M

qy1 ⊣

1 ` ´ uma fam´ılia arbitr´ aria de conjuntos conexos por camProposi¸ c˜ ao 110. Seja Xλ λ∈L inhos, num espa¸co mé[ trico (M, d). Se todos os Xλ contêm um ponto comum a ∈ M , Xλ também é conexa por caminhos. ent˜ ao a reuni˜ ao X = 0

λ∈L

Prova: Com efeito, dados x, y ∈ X, existem µ, ν ∈ L tais que x ∈ Xµ e y ∈ Xν . Existem, por hip´ otese, dois caminhos f : [ 0, 1 ] −→ Xµ e g : [ 0, 1 ] −→ Xν tais que f (0) = x, f (1) = a, g(0) = a e g(1) = y, j´ a que o ponto a pertence a todos os Xλ . Justapondo os caminhos f e g obtemos um caminho ligando x a y. X

q

f (0)=x 1

⊤

-

f

Xµ 0⊥

r

Xν

q

g(1)=y

f (1)=g(0)=a

g

⊤

1

⊥0

6 f ∨g ⊢

0

⊣

1

417

8.4

Se¸ c˜ ao de Milagres

Produzir milagres n˜ ao ´ e prerrogativa de m´ısticos e avatares Introdu¸c˜ ao: Tenho dito que a produ¸cão de milagres não é privilégio de m´ısticos ou avatares. De fato, os matem´ aticos também os produzem! (literalmente falando!). Por oportuno, advirto ao leitor contra o erro de imaginar que os milagres do matem´ atico s˜ ao − apenas − de natureza abstrata (intelectual), nada mais falso! Os milagres do plano intelectual se imiscuem sim na matéria! Por exemplo, Peano em 1890 realizou um de tais milagre (“A Curva de Peano”∗ ) que hoje encontra aplica¸c˜ oes na inform´ atica − compacta¸c˜ ao de dados. ´ uma experiˆ “E encia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em sua mente corresponde exatamente a al´ surpreenguma coisa que aconteceu na natureza. E dente, todas as vezes que ocorre. Ficamos espantados com o fato de que um construto de nossa pr´ opria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l´ a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande”(Leo Kadanoff)

Nota: Observe que este cientista corrobora nossa tese de que um milagre do intelecto pode reverberar na matéria “l´ a fora”. Consultando um dicion´ ario estabelecemos a seguinte: Defini¸ c~ ao(Milagre) − Feito ou ocorrência extraordin´ aria, que n˜ ao se explica pelas leis da natureza; − Acontecimento admir´ avel, espantoso;

− Ocorrência que produz admira¸c˜ ao ou surpresa.

Estaremos agora produzindo um de tais milagre e, a seu devido tempo, faremos uma ponte (um caminho) entre nosso milagre e algumas quest˜ oes relevantes da f´ısica atual. O milagre consta do seguinte, Teorema 7 (O milagre/Gentil/11.09.2008). Considere a seguinte mutila¸c˜ ao de um quadrado unit´ ario:

Afirmamos que este é um conjunto conexo por caminhos! De modo intuitivo: Dados dois pontos quaisquer neste conjunto podemos sentar a ponta de um l´ apis em um deles e desloc´ a-la até o outro ponto, sem abandonar a regi˜ ao, isto é sem “levantar” a ponta do l´ apis! ∗ No

u ´ltimo cap´ıtulo estaremos estudando esta Curva e exibiremos um outro milagre nosso.

418

Prova: Nosso ambiente de trabalho ser´ a o “quadrado divino”, assim: 1

[ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

0

1

no qual tomaremos a seguinte mutila¸c˜ ao: 1

2 3

s

2 3

0

1

Nota: Sem perda de generalidade, do quadradinho inferior esquerdo estamos considerando apenas a origem; isto é, os pontos dos outros “peda¸cos” do conjunto estar˜ ao sendo ligados ` a origem. − Inicialmente vamos estabelecer um caminho entre o (sub)quadrado superior esquerdo e a origem, assim:

1

(0, 1)

1 , 1) (3

2) (0, 3

1 , 2 )=f (0) (3 3

f

s

0

(0, 0) =f (1)

` ´ ` Temos f (t) = f1 (t), f2 (t) , onde devemos ter f (0) = 13 , ent˜ ao deve ser, f2 (0) = 23 t = 0 ⇒ f1 (0) = 13 , t=1

⇒

f1 (1) = 0,

2 3

´

f2 (1) = 0

− Nestas condi¸c˜ oes temos, para f1 (t), f1 (t) 1

⇒ f1 (t) = t 0

1

419

1 3

−

1 3

t

e f (1) = (0, 0),

− Para f2 (t) temos, (1, 1)

1

) (0, 2 3

⇒ f2

f2 (t) =

s

0

8 < 32 +

1 3

t,

: 0,

0 ≤ t < 1; t = 1.

1

Agora vamos provar que f é cont´ınua, isto é, que de fato é um caminho. Inicialmente provemos que f é cont´ınua em 0. Para tanto vamos tomar noìntervalo [ 0, 1 ] ´ uma seq¨ uência (tn ) tal que tn → 0 e provemos que f (tn ) → f (0) = 31 , 23 . Temos, ` f (tn ) = f1 (tn ), f2 (tn ) )

onde, f1 (tn ) =

1 3

−

1 3

tn e,

f2 (tn ) =

8 < 23 + :

1 3

tn ,

0,

0 ≤ tn < 1; tn = 1.

Para nossas considera¸c˜ oes podemos tomar no quadrado qualquer uma de suas três métricas. Vamos tomar, por exemplo, a métrica da soma: D2 (x, y) = k(x1 , y1 ) + k(x2 , y2 ) ` ´ Para mostrar que f (tn ) → f (0) = 13 , 32 , mostremos que, “ ` 1 2 ´” D2 f (tn ), , → 0. 3 3 Onde,

f (tn ) = Temos,

“1 1 2 1 ” − tn , + tn 3 3 3 3

1 1” tn , 3 3 3 “2 1 2” + tn , k(x2 , y2 ) = k 3 3 3 k(x1 , y1 ) = k

Ent˜ ao, k(x1 , y1 ) = k

“1

3

−

“1

−

n˛1 ˛1 1 1” 1 1˛ 1 1˛ o = min ˛ − tn − ˛, 1 − ˛ − tn − ˛ tn , 3 3 3 3 3 3 3 3 = min

De modo an´ alogo, obtemos: k(x2 , y2 ) = k

n1 1 o 1 tn , 1 − tn = tn 3 3 3

“2 1 1 2” = tn + tn , 3 3 3 3

Substituindo estes resultados em (8.4), obtemos “ ` 1 2 ´” 2 , = tn → 0 D2 f (tn ), 3 3 3 uma vez que tn → 0.

420

(8.4)

Agora provemos que f é cont´ınua em 1. Para tanto vamos tomar no intervalo [ 0, 1 ] uma seq¨ uência (tn ) tal que tn → 1 e provemos que f (tn ) → f (1) = (0, 0). Temos, ` f (tn ) = f1 (tn ), f2 (tn ) )

onde, f1 (tn ) =

1 3

−

1 3

tn e,

f2 (tn ) =

8 < 23 +

1 3

0 ≤ tn < 1;

tn ,

: 0,

tn = 1.

Consideremos duas possibilidades: ( i ) Se tn = 1, ent˜ ao, f (tn ) =

” “1 1 − tn , 0 3 3

Para mostrar que f (tn ) → f (1) = (0, 0), mostremos que, “ ” D2 f (tn ), (0, 0) → 0

Temos,

k(x1 , y1 ) = k

“1

3

−

” 1 tn , 0 3

k(x2 , y2 ) = k( 0, 0 ) = 0 Ent˜ ao, k(x1 , y1 ) = k

“1 3

−

” n ˛1 ˛ ˛1 ˛o 1 1 1 tn , 0 = min ˛ − tn − 0˛, 1 − ˛ − tn − 0˛ 3 3 3 3 3 = min

= min

n ˛1 ˛ ˛ ˛o ˛ − 1 tn ˛ , 1 − ˛ 1 − 1 tn ˛ 3 3 3 3

n1 1 2 1 o 1 1 − tn , + tn = − tn 3 3 3 3 3 3

Substituindo estes resultados em (8.4), obtemos

uma vez que tn → 1.

“ ” 1 1 D2 f (tn ), (0, 0) = − tn → 0 3 3

( ii ) Consideremos agora 0 ≤ tn < 1, sendo assim temos, f (tn ) =

“1

3

−

1 2 1 ” tn , + tn 3 3 3

Para mostrar que f (tn ) → f (1) = (0, 0), mostremos que, “ ” D2 f (tn ), (0, 0) → 0

Temos,

k(x1 , y1 ) = k

“1

k(x2 , y2 ) = k(

3

−

” 1 tn , 0 3

1 2 + tn , 0 ) 3 3

421

Como no caso anterior, k(x1 , y1 ) =

1 1 − tn 3 3

k(x2 , y2 ) =

1 1 − tn 3 3

Também,

Substituindo estes resultados em (8.4), obtemos “ ” 2 2 D2 f (tn ), (0, 0) = − tn → 0 3 3

uma vez que tn → 1.

Agora vamos provar que f é cont´ınua em um ponto p ∈ [ 0, 1 ] e 0 < p < 1. Para tanto vamos tomar neste intervalo uma seq¨ uência (tn ) tal que tn → p e provemos que f (tn ) → f (p). Temos, ` f (tn ) = f1 (tn ), f2 (tn ) ) onde, f1 (tn ) = 13 − 13 tn e f2 (tn ) = 23 + 13 tn . Por outro lado, temos f (p) = ` ao, f1 (p), f2 (p) ), onde f1 (p) = 31 − 13 p e f2 (p) = 32 + 31 p. Ent˜

Logo, k(x1 , y1 ) = k

“1

1 1 1 ” tn , − p 3 3 3 3 “2 1 2 1 ” + tn , + p k(x2 , y2 ) = k 3 3 3 3 k(x1 , y1 ) = k

−

“1 n˛ 1 ˛ 1 1 1 1 ” 1 ˛ 1 ˛o − tn , − p = min ˛ − tn + p ˛, 1 − ˛ − tn + p ˛ 3 3 3 3 3 3 3 3 ˛ 1 1 ˛ 1 = ˛ − tn + p ˛ = | p − tn | 3 3 3

Por outro lado, k(x1 , y1 ) = k

“2

3

+

n˛1 ˛1 1 2 1 ” 1 ˛ 1 ˛o tn , + p = min ˛ tn − p ˛, 1 − ˛ tn − p ˛ 3 3 3 3 3 3 3 ˛1 1 ˛ 1 = ˛ tn − p ˛ = | p − tn | 3 3 3

Substituindo estes resultados em (8.4), obtemos

uma vez que tn → p.

“ ” 2 D2 f (tn ), f (p) = | p − tn | → 0 3

• Agora vamos estabelecer um caminho entre o (sub)quadrado inferior e a origem, assim:

1

0

2, 1) g(1)=( 3 3 ց

g

s

(1, 0)

g(0)=(0, 0)

422

` ´ ` ´ Temos g(t) = g1 (t), g2 (t) , onde devemos ter g(0) = 0, 0 e g(1) = ( 32 , ent˜ ao deve ser, t = 0 ⇒ g1 (0) = 0, g2 (0) = 0 t=1

g1 (1) = 23 ,

⇒

g2 (1) =

1 ), 3

1 3

− Nestas condi¸c˜ oes temos, para g2 (t), g2 (t) 1 1 3

⇒ g2 (t) =

t

t 0

1

− Para g1 (t) temos, (1, 1)

1

2) (0, 3

⇒

g1 (t) =

g1

s

0

8 <0, :

t = 0;

1−

1 3

t,

0 < t ≤ 1.

1

Para provar que g é cont´ınua procedemos de modo inteiramente an´ alogo ao do caminho f . − Agora vamos estabelecer um caminho entre o (sub)quadrado superior direito e a origem, assim: 2 , 1) (3

(1, 1)

2 , 2 )=λ(1) (3 3

1

(1, 2 ) 3

λ

s

0

(0, 0) =λ(0)

` ´ ` Temos λ(t) = λ1 (t), λ2 (t) , onde devemos ter λ(0) = (0, 0) e λ(1) = 23 , ent˜ ao deve ser, t = 0 ⇒ λ1 (0) = 0, λ2 (0) = 0 t=1

⇒

λ1 (1) = 32 ,

− Nestas condi¸c˜ oes temos, para λ1 (t),

423

λ2 (1) =

2 3

2 3

´ ,

(1, 1)

1

2) (1, 3

) (0, 2 3

⇒

s

λ1 (t) =

λ1

0

8 <0,

: 1−

t = 0; 1 3

t,

0 < t ≤ 1.

1

De igual modo, resulta, λ2 (t) =

8 <0,

t = 0;

: 1−

1 3

t,

0 < t ≤ 1.

− Decidimos explorar outros aspectos daâplica¸ ao ˆλ. Porˆ exemplo, podemos mostrar ˆc˜ que λ de fato est´ a contido no conjunto 23 , 1 × 32 , 1 ∪ { (0, 0) }. Por exemplo, mostremos que ˆ2 ˆ , 1 ∪ {0} 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ λ1 (t) ∈ 3 De fato, para t = 0 temos λ1 (0) = 0. Também, Se 0 < t ≤ 1 ⇒

2 1 2 ≤1− t<1 ⇒ ≤ λ1 (t) < 1. 3 3 3

Agora vamos mostrar que λ é de fato um caminho, s´ o que o faremos por uma técnica diferente da que usamos para provar a continuidade de f . ` ´ ` ´ Provaremos que λ1 : [ 0, 1 ], µ → { 0 } ∪ [ 23 , 1 [, k é cont´ınua.

• Pela defini¸c˜ ao de continuidade. Inicialmente vamos mostrar que λ1 é cont´ınua em 0. De fato, dado ε > 0 arbitr´ ario∗ , devemos exibir δ > 0 de modo que se, ` ´ | t − 0| < δ ⇒ k λ1 (t), λ1 (0) < ε (8.5) Em termos de bolas abertas tudo se passa assim: 1

(

1− ε 2 3

sε

)

δ

)

λ1

0

Pois bem, a implica¸c˜ ao (8.5) fica, ` ´ t < δ ⇒ k λ1 (t), 0 = min{ λ1 (t), 1 − λ1 (t) } < ε

∗A

bem da verdade n˜ ao faz mal considerarmos 0 < ε <

424

1 , 3

´ e o que faremos.

Ent˜ ao, 0
1 1 δ <1− t<1 3 3

Tomando δ = 3ε, resulta, ` ´ 0 < t < δ ⇒ 1 − ε < λ1 (t) < 1 ⇒ 0 < 1 − λ1 (t) < ε ⇒ k λ1 (t), λ1 (0) < ε

Nota: Estamos considerando 0 < ε < 31 , ent˜ ao em que 23 1 − λ1 (t).

2 < 1 − ε < 1 e isto implica 3 ` ´ < λ1 (t) < 1 e, nestas condi¸c˜ oes, k λ1 (t), 0 = min{ λ1 (t), 1 − λ1 (t) } =

• Vamos agora mostrar que λ1 é cont´ınua em 1. De fato, dado ε > 0 arbitr´ ario, devemos exibir δ > 0 de modo que se, ` ´ | t − 1| < δ ⇒ k λ1 (t), λ1 (1) < ε (8.6) Em termos de bolas abertas tudo se passa assim: 1

)

(

1−δ

2 3

λ1

2+ 3

ε

s

0

Pois bem, a implica¸c˜ ao (8.7) fica, n˛ “ ˛ 2˛ 2˛ o 2” = min ˛λ1 (t) − ˛, 1 − ˛λ1 (t) − ˛ < ε 1 − δ < t ≤ 1 ⇒ k λ1 (t), 3 3 3

Ent˜ ao,

1−δ < t≤1 ⇒

2 1 2 1 ≤ 1− t< + δ 3 3 3 3

Tomando δ = 3ε, resulta, | t − 1| < δ ⇒

` 2 2 2 2´ ≤ λ1 (t) < + ε ⇒ 0 ≤ λ1 (t) − < ε ⇒ k λ1 (t), <ε 3 3 3 3

• Vamos agora mostrar que λ1 é cont´ınua em 0 < p < 1. De fato, dado ε > 0 arbitr´ ario, devemos exibir δ > 0 de modo que se, ` ´ | t − p| < δ ⇒ k λ1 (t), λ1 (p) < ε (8.7) Em termos de bolas abertas tudo se passa assim:

s

2 3

λ1

1

(

p

p−δ

( )

)

p+δ

ւ 1 s←− λ1 (p) տ λ (p)−ε λ (p)+ε

1

0

425

s

Pois bem, a implica¸c˜ ao (8.7) fica, p−δ
1 1 1 1 1 p− δ <1− t<1− p+ δ 3 3 3 3 3

Tomando δ = 3ε, resulta, | t − p| < δ ⇒ λ1 (p) − ε < λ1 (t) < λ1 (p) + ε ou ainda,

` ´ | t − p| < δ ⇒ |λ1 (t) − λ1 (p)| = k λ1 (t), λ1 (p) < ε

Sendo δ = 3ε temos que λ1 é uniformemente cont´ınua, o mesmo vale para λ2 e, por conseguinte, para λ. Esta conclus˜ ao vale também para os caminhos f e g. Para concluir a prova do nosso teorema nos valemos da propo. 110 (pg. 417) . Notas: − Este é um resultado totalmente contra-intuitivo, por exemplo, na referência [5], lemos: “Outra maneira de exprimir a conexidade de um espa¸co é dizer que se pode passar de um qualquer de seus pontos para outro por um movimento cont´ınuo, sem sair do espa¸ co. Isto nos leva a ` no¸ ca õ de espa¸ co conexo por caminhos, conceito mais particular e provido de mais significado intuitivo do que o conceito geral de espa¸ co conexo.”

(grifo nosso). − A maior dificuldade relacionada com este teorema n˜ ao se deu em sua prova, mas em sua descoberta. De fato, observando o conjunto (quadrado mutilado) ninguém diria que ele é conexo por caminhos e, é ´ obvio, ninguém iria tentar demonstrar o contr´ ario daquilo que “tem certeza” (que acredita), “a vis˜ ao nos cegou a todos”: durante dois dias de trabalho (exaustivo) tentei provar o contr´ ario do teorema. − Podemos realizar um feito semelhante num cubo e até num hipercubo. Perguntamos: como ficaria nosso milagre em um cubo? (ver pg. 301). − No apêndice (p´ a. 438) estaremos levantando algumas quest˜ oes da f´ısica te´ orica como corol´ ario de nosso teorema. Nota: Na pg. 399 exibimos um conjunto, com partes disjuntas, e conexo, mas n˜ ao conexo por caminhos (pg. 415). Destaco (coloco em relevo) o fato de que sou o primeiro matem´ atico (assim creio) a exibir (construir) um conjunto, com partes disjuntas, e conexo por caminhos. Acredito que o nosso seja o primeiro exemplo (“elementar”) da hist´ oria!

Justaposi¸ c˜ ao dos caminhos f e g A t´ıtulo de curiosidade (e para referências posteriores) vamos justapor os caminhos f e g de nossa demonstra¸c˜ ao anterior. Temos, h = f ∨ g, onde ( f (2t), se 0 ≤ t ≤ 12 ; h(t) = g(2t − 1), se 12 ≤ t ≤ 1. Ent˜ ao,

Temos,

8 f (t) = 31 − 31 t > > > 1 > ` ´ < 8 f (t) = f1 (t), f2 (t) = < 32 + 13 t, > > > f (t) = > : 2 : 0, 8 8 <0, > > > > g (t) = ` ´ < 1 : 1− g(t) = g1 (t), g2 (t) = > > > > : g2 (t) = 13 t

426

1 3

t,

0 ≤ t < 1; t = 1. t = 0; 0 < t ≤ 1.

Ent˜ ao, 8 f1 (2t) = 13 − 31 2t > > > > ` ´ < 8 f (2t) = f1 (2t), f2 (2t) = < 32 + 13 2t, > > > f (2t) = > : 2 : 0,

0 ≤ 2t < 1; 2t = 1.

E mais, 8 8 <0, > > > > g (2t − 1) = ` ´ < 1 : 1 − 13 (2t − 1), g(2t−1) = g1 (2t−1), g2 (2t−1) = > > > > : g2 (2t − 1) = 13 (2t − 1)

2t − 1 = 0; 0 < 2t − 1 ≤ 1.

Sendo assim temos,

h(t) =

80 > > > > @1 − > 3 > > > > > > > <

2 3

> > > > 08 > > < > 0, > > > @ > > : :4 − 3

t,

8 <2 + 3

2 3

t,

0 ≤ t < 12 ; t = 21 .

:0,

1 2

t,

A,

0 ≤ t ≤ 12 ; (8.8)

t = 21 ; 2 3

1

< t ≤ 1.

,

2 3

t−

1

1A , 3

1 2

≤ t ≤ 1.

Uma exegese de nosso teorema J´ a se disse, alhures, que um assunto s´ o est´ a devidamente compreendido quando pudermos explic´ a-lo ao primeiro transeunte que encontrar-mos na rua; pensando nisto vamos envidar esfor¸cos para tentar aproximar nosso milagre do leigo em matem´ atica. Tentaremos entender de modo ao mesmo tempo intuitivo e l´ ogico (matem´ atico) como podemos ligar quaisquer dois pontos do conjunto,

s

por um tra¸co cont´ınuo totalmente contido no mesmo, isto é sem levantar a ponta do l´ apis. Inicialmente vamos necessitar do seguinte gr´ afico:

427

k(x, 0)

1

1 2

q

q

x

¬ 1

0

1

2

que nos d´ a a distˆ ancia de um ponto arbitr´ ario x ∈ [ 0, 1 [ ` a origem. Observe na figura seguinte,

k(x, 0)

1

1 2

0

q

q

x

¬ 1

y

2

x 1

que os pontos x e y est˜ ao ` a mesma distˆ ancia da origem. Definindo no intervalo unit´ ario a seguinte rela¸c˜ ao, x ∼ y ⇔ k(x, 0) = k(y, 0) ao o podemos considerar estes pontos equivalentes do ponto de vista da métrica: s˜ ´ f´ “mesmo” ponto. E acil ver que pontos simétricos em rela¸c˜ ao ` a reta x = 12 s˜ ao equivalentes. De outro modo: dado um ponto do intervalo a “imagem” deste ponto, visto em um espelho (plano) colocado no centro do intervalo, é o seu equivalente. Observe outrossim, que os pontos 0 e (reflex˜ ao), isto é, n˜ ao se “movem”.

1 2

s˜ ao pontos fixos em rela¸c˜ ao ao espelho

Consideremos o subespa¸co (conexo po caminhos) a seguir,

428

s

Tomando a “proje¸c˜ ao horizontal” ( p1 ) obtemos, assim:

r De sorte que esta proje¸c˜ ao é conexa por caminhos, assim: 1

λ1

r

2 3

0 0

1

Nota: Lembramos que o caminho λ1 est´ a explicitado na pg. 424. Isto significa, por exemplo, que se sentarmos a ponta do l´ apis em 0 podemos lig´ a-lo a qualquer outro ponto sem sair do conjunto. Como pode ser isto? Veja, vamos sentar a ponta do l´ apis na origem, assim: 1

λ1

r

2 3

0 0

1

Colocando um espelho na metade do intervalo, o que vemos?

1

λ1

r

0 0

1 3

2 3

◦

1

Os pontos do lado direito s˜ ao refletidos para o lado esquerdo, a´ı fica f´ acil deslocar o l´ apis sem sair do conjunto. O mesmo se d´ a no caso bidimensional, no qual existem três espelhos, assim:

429

⊙

s Nota: Temos um espelho no centro do quadrado (interse¸c˜ ao dos outros dois). Os três quadradinhos s˜ ao refletidos para a origem . . . “Se Maomé n˜ ao vai ` a montanha, a montanha vai a Maomé” − Bem, esta foi uma tentativa que levamos a efeito para tentar traduzir o teorema 7 para o leigo em matem´ atica. Mas, a rigor o que sucede? A rigor, a ponta do l´ apis percorre o intervalo [ 0, 1 ] enquanto sua imagem (pela fun¸c˜ ao, que é o caminho) é que percorre o sistema (conjunto∗ ). Para nos fazer entender, retomemos o exemplo unidimensional anterior. Na figura a seguir, a ponta do l´ apis aponta para a origem 0 do intervalo: 1

r

λ1

0 0

2 3

1

Sua imagem por λ1 ,

λ1 (t) =

8 <0,

t = 0;

: 1−

1 3

t,

0 < t ≤ 1.

apis (seta em azul) aponta para a origem do sitema. Pois bem, quando a ponta do l´ percorre − a partir de 0 − o intervalo o que acontece com sua imagem em X? Acontece o seguinte:

0
1 2 1 2 1 t ≤ , ..., ≤ 1 − t < 1 ⇒ ≤ λ1 (t) < 1 3 3 3 3 3

Sua imagem percorre o intervalo [ 2/3, 1[.

∗ Digo,

conjunto X = { 0 } ∪ [ 2/3, 1[

430

Fa¸camos algumas simula¸c˜ oes na tabela a seguir:

t = 0, 0 t = 0, 1 t = 0, 2 t = 0, 3 t = 0, 4 t = 0, 5 t = 0, 6 t = 0, 7 t = 0, 8 t = 0, 9 t = 1, 0

⇒

λ1 (0, 0) = 0

⇒

λ1 (0, 2) = 0, 9333 . . .

⇒

λ1 (0, 4) = 0, 8667 . . .

⇒

λ1 (0, 6) = 0, 8000

⇒

λ1 (0, 8) = 0, 7333 . . .

⇒

λ1 (1, 0) = 0, 6667 . . .

⇒

λ1 (0, 1) = 0, 9667 . . .

⇒

λ1 (0, 3) = 0, 9000

⇒

λ1 (0, 5) = 0, 8333 . . .

⇒

λ1 (0, 7) = 0, 7667 . . .

⇒

λ1 (0, 9) = 0, 7000

Na realidade est´ a ocorrendo o seguinte:

1

↑

r

λ1

← 2 3

0 0

↑

1

λ1 (0) =0

λ1 (1) =2/3

inicio do caminho

fim do caminho

Ao movermos a ponta do l´ apis por “um infinitésimo sequer” sua imagem j´ a “aparece do outro lado”, isto tudo “continuamente”, que é o mais importante! Ou seja, n˜ ao precisamos “levantar” a ponta do l´ apis para ligar dois pontos quaisquer de X. Novamente, é como se a métrica curvasse o espa¸co de modo a que o “buraco em 1” coincida com a origem, assim:

0 1

↑

0

λ1 2 3

1 3

− Voltemos ao nosso teorema pr´ opriamente dito (caso bidimensional):

431

(0, 1)

1 , 1) (3 1 , 2 )=f (0) (3 3

2) (0, 3

1

p

1 2

, 1) g(1)=( 2 3 3 ց

f ∨g

s

0

(1, 0)

↑

f (1/2) =(0, 0) =g(1/2)

Nesta figura representamos a justaposi¸ c~ ao dos caminhos f e g (ver equa¸c˜ ao (8.8), pg. 427). Observe que para 0 ≤ t ≤ 12 o caminho f é descrito. Este caminho inicia no vértice inferior direito (do quadradinho superior esquerdo), e termina na origem. Para 21 ≤ t ≤ 1 é descrito o caminho g, o qual inicia na origem e termina no vértice superior esquerdo (quadradinho inferior ` a direita). Fa¸camos algumas simula¸c˜ oes na tabela a seguir: t=0

⇒

t = 0, 1

⇒

t = 0, 2

⇒

t = 0, 3

⇒

t = 0, 4

⇒

t = 0, 5

⇒

t = 0, 6

⇒

t = 0, 7

⇒

t = 0, 8

⇒

t = 0, 9

⇒

t=1

⇒

h(0) = (0.3333 . . . , 0.6667 . . .) `1´ h 10 = (0.2667 . . . , 0.7333 . . .) `2´ h 10 = (0.2000, 0.8000) `3´ h 10 = (0.1333 . . . , 0.8667 . . .) `4´ h 10 = (0.0667 . . . , 0.9333 . . .) `5´ h 10 = (0, 0) `6´ = (0.9333 . . . , 0.0667 . . .) h 10 `7´ h 10 = (0.8667 . . . , 0.1333 . . .) `8´ = (0.8000, 0.2000) h 10 `9´ h 10 = (0.7333 . . . , 0.2667 . . .) h(1) = (0.6667 . . . , 0.3333 . . .)

− Vamos plotar os pontos do caminho justaposto h dados na tabela anterior, assim (pontos em vermelho):

s

(0, 1)

2) (0, 3

1

p

1 2

0

f ∨g

s

↑

s

s

s

1 , 1) (3

s( 31 , 23 )=f (0)

f (1/2) =(0, 0) =g(1/2)

432

s

g(1)=( 2 , 1) 3 3 ց

s

s

s

s

(1, 0)

Para gerar a tabela anterior utilizamos o seguinte programa (calculadoras HP − 48, 49, 50): ≪ → t ≪

IF

′

t ≥ 0 AN D t ≤ 0.5 ′ ′

T HEN IF

′

1/3 − 2/3 ∗ t ′ EV AL

t == 0.5 ′

T HEN ELSE EN D ELSE IF

′

0 ′

2/3 + 2/3 ∗ t ′ EV AL

R→C

t == 0 ′

T HEN ELSE

EN D

0

′

2/3 ∗ t − 1/3 ′ EV AL R → C

′

4/3 − 2/3 ∗ t ′ EV AL

′

2/3 ∗ t − 1/3 ′ EV AL R → C

EN D ≫

≫

Neste programa entramos com 0 ≤ t ≤ 1 e o mesmo sai com h(t) dado pela equa¸c˜ ao (8.8) (pg. 427).

433

8.5

Componentes Conexas

Defini¸ c˜ ao 61 (Parti¸c˜ ao de um conjunto). Chama-se parti¸c˜ ao de um conjunto n˜ ao vazio A todo conjunto P cujos elementos s˜ ao subconjuntos n˜ ao vazios de A, disjuntos dois a dois e cuja reuni˜ ao é A. Em outros termos, parti¸c˜ ao de um conjunto n˜ ao vazio A é todo conjunto P cujos elementos s˜ ao subconjuntos de A que satisfazem as três seguintes condi¸c˜ oes: ` ´` ´ (i) ∀X ∈ P X 6= ∅ ` ´` ´ (ii) ∀ X, Y ∈ P e X 6= Y X ∩Y =∅ [ X=A (iii) X∈P

Cada elemento do conjunto P chama-se uma cela da parti¸c˜ ao. Todo elemento do conjunto A pertence a uma e somente uma cela da parti¸c˜ ao P. Nosso objetivo agora ser´ a mostrar a existência de importante parti¸c˜ ao em todo espa¸co métrico (M, d): ou este é conexo ou é formado de partes conexas, disjuntas entre si. ˘ ¯ Seja (M, d) um espa¸co métrico e fixemos p ∈ M . Seja Ap = Ai a cole¸c˜ ao dos subconjuntos conexos de M que contêm p. Ap n˜ ao é vazia pois { p } ∈ Ap (exemplo 1, pg. 395). S Consideremos ainda Cp = i Ai e provemos que (a) Cp é conexo;

(b) Se B é um conjunto conexo de M contendo p, ent˜ ao B ⊂ Cp ; (c) Cp é um conjunto conexo maximal de M (isto é, Cp é o maior subconjunto conexo de M que contém p); (d) Cp é um conjunto fechado. De fato, (a) Como cada A ao p ∈ Si ∈ P contém p ent˜ 404) Cp = i Ai é conexo.

T

i

Ai , e assim, pela proposi¸c˜ ao 105 (pg.

(b) Se B é S um subconjunto conexo de M contendo p, ent˜ ao B ∈ Ap e, assim, B ⊂ Cp = {Ai : Ai ∈ Ap }. (c) Seja Cp ⊂ D, sendo D conexo. Como

[ ˘ ¯ Ai ⇒ p ∈ D { p } ∈ Ap = Ai ⇒ p ∈ Cp = i

logo, por (b), D ⊂ Cp ; isto é, Cp = D. (d) De fato, o fecho C¯p de Cp é conexo (proposi¸c˜ ao 103, pg. 398). Se Cp n˜ ao fosse ¯p seria pr´ fechado, a inclus˜ ao Cp ⊂ C opria, contradizendo (c) acima. Portanto ¯p . Cp = C Para cada p ∈ M , Cp é chamada componente conexa de p. Os fatos b´ asicos referentes ` as componentes conexas de um espa¸co (M, d) acham-se englobados na seguinte Proposi¸ c˜ ao 111. As componentes conexas de um espa¸co métrico (M, d) formam uma parti¸c˜ ao de M . Ademais, todo subconjunto conexo de M est´ a contido em alguma componente. Prova: ` ´` ´ (i) ∀ Cp Cp 6= ∅, pois p ∈ Cp

434

(ii)

` ´` ´ ∀ Cp , ∀ Cq ; p 6= q Cp ∩ Cq = ∅

Mostremos que componentes distintas s˜ ao disjuntas, ou, de modo equivalente, se Cp ∩ Cq 6= ∅, ent˜ ao Cp = Cq . De fato, se existisse x ∈ Cp ∩ Cq , ent˜ ao a reuni˜ ao Cp ∪ Cq também seria conexa e, pelo ´ıtem (c) provado anteriormente, Cp = Cp ∪ Cq , ou seja, Cq ⊂ Cp . Analogamente se chegaria a que Cp ⊂ Cq e, por conseguinte, valeria a igualdade Cp = Cq . ¯ S˘ ´ (iii) Obviamente M= Cp : p ∈ M .

Finalmente, se X é um subconjunto conexo n˜ ao-vazio de M , ent˜ ao X contém um ponto p0 ∈ M e, assim, X ⊂ Cp0 , pelo ´ıtem (b) provado anteriormente. E, se X = ∅, ent˜ ao X est´ a contido em toda componente. Exemplos: a) Seja o espa¸co (M, µ) onde M = [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ]. ˘ ¯ Consideremos, por exemplo, o ponto p = 0. Ent˜ ao, A0 = Ai é a cole¸c˜ ao dos subconjuntos conexos de M que contêm 0. Como todo subconjunto conexo na reta é um intervalo, pertencem a A0 : { 0 }, Ai = [ 0, i [, 0 < i ≤ 1

Ai = [ 0, i ], 0 < i ≤ 1

Ent˜ ao C0 =

[

0
Ai = [ 0, i [ ∪ [ 0, i ] = [ 0, 1 ].

Observe que C0 = Cp , 0 ≤ p ≤ 1. De modo semelhante concluimos que C2 = [ 2, 3 ]. b) Se um espa¸co é conexo ent˜ ao obviamente s´ o h´ a uma componente conexa, que é o pr´ oprio espa¸co. Em particular no espa¸co (R, µ), Cp = R, onde p ∈ R pode ser arbitrariamente fixado. c) As componentes conexas do espa¸co (R, δ) s˜ ao subconjuntos unit´ arios de R (ver exemplo 2, pg. 395). De fato, se X ⊂ R é um subconjunto n˜ ao vazio e n˜ ao unit´ ario, tomando-se p ∈ X os conjuntos A = X − {p} = 6 ∅ e B = {p} s˜ ao abertos e, além do mais, A ∩ B = ∅ e A ∪ B = X. Portanto X é desconexo. Por outro lado, todo subconjunto { p } ⊂ R é conexo. d) As componentes conexas do espa¸co (Q, µ) dos n´ umeros racionais s˜ ao subconjuntos unit´ arios de Q. De fato, se X ⊂ Q é um subconjunto n˜ ao vazio e n˜ ao unit´ ario, tomando-se p, q ∈ X de modo que p < q, seja α um n´ umero racional entre p e q: p < α < q (lembre-se que Q é denso no espa¸co (R, µ)). Com raciocinio an´ alogo ao do exemplo 4. pg. 396 podemos mostrar que A =] − ∞, α [ ∩ X e B =] α, +∞ [ ∩ X formam uma desconex˜ ao de X. Como, por outro lado, todo subconjunto unit´ ario de um espa¸co (M, d) é conexo, resulta que a cole¸c˜ ao dos subconjuntos unit´ arios de Q é a cole¸c˜ ao das componentes deste espa¸co.

435

e) Generalizando o exemplo anterior mostraremos que as componentes conexas de todo espa¸co (M, d) com M enumer´ avel reduzem-se a um u ńico ponto. Em outras palavras: se (M, d) é um espa¸co conexo com mais de um ponto ent˜ ao M n˜ ao pode ser enumer´ avel: 8 > > M é conexo; > H1 : < ⇒ T: M n˜ ao é enumer´ avel. > H : M tem mais > 2 > : de um ponto. Prova: Com efeito, fixemos a ∈ M e consideremos a fun¸c˜ ao

da : M −→ R

x

x 7−→ d(x, a)

r

a

r b

R

6

(M, d)

r

da

rd(x, a)

⊢0

J´ a vimos∗ que da é cont´ınua. Sendo M conexo ent˜ ao ` ´ ˘ ¯ da M = d(x, a) : x ∈ M = J

é um intervalo. Como existe em M um ponto umeros ` ´ b 6= a, J contém os n´ ao é um intervalo degenerado, 0 = d(a, a) e d(a, b) > 0. Portanto J = da M n˜ isto é, é n˜ ao enumer´ avel. Por conseguinte, M também n˜ ao é enumer´ avel.

Vejamos esta proposi¸c˜ ao sob outros ˆ angulos:

¯2 H1 ∧ T¯ −→ H Isto é, se M é conexo e enumer´ avel ent˜ ao M n˜ ao tem mais de um ponto. Logo, os u ńicos conjuntos conexos enumer´ aveis s˜ ao os unit´ arios. ¯1 H2 ∧ T¯ −→ H Se M tem mais de um ponto e é enumer´ avel ent˜ ao M n˜ ao é conexo. Daqui conclui-se que as componentes conexas de todo conjunto enumer´ avel s˜ ao conjuntos unit´ arios. De fato, se uma componente conexa tiver dois elementos, digamos {a, b}, como cada conjunto unit´ ario é conexo ent˜ ao ˘ ¯ ˘ ¯ a, b ∩ a 6= ∅

a interseçc˜ ao de duas componentes conexas n˜ ao seria ¯ ˘ vazia. ao os conjuntos Em particular as componentes conexas de M = 0, 1, 21 , 31 , . . . s˜ conexos ˘1¯ C0 = { 0 }, Cn = (n = 1, 2, 3, . . .) n − O conjunto de Cantor é construido assim: dividimos o intervalo [ 0, 1 ] em três partes iguais e removemos o intervalo aberto do meio, ( 31 , 13 ). Agora ficamos com dois intervalos fechados, I11 e I12 ; em cada um destes intervalos repetimos a mesma opera¸c˜ ao, removendo os intervalos (abertos) do meio. Isto nos deixa com quatro intervalos fechados, I21 , I22 , I23 e I24 (veja figuras a seguir). Deste modo prosseguimos indefinidamente. O conjunto C de Cantor é o conjunto dos pontos n˜ ao removidos. ∗ Exemplo

(iv), pg. 329

436

0

1

⊢

⊣ 1 3

0

⊢ 1 9

0

⊢ 0

2 3

⊣

⊣ 1 2 27 27

⊢ ⊣

1 9

⊢ ⊣

2 9

2 9

⊣ 7 8 27 27

⊢ ⊣

⊣

2 3

1 3

⊢

1

⊢ 7 9

⊢

1 3

2 3

⊢ ⊣

⊣ 19 20 27 27

⊢ ⊣

7 9

⊢ ⊣

8 9

1

⊢ 8 9

⊣ 25 26 27 27

⊢ ⊣

1

⊢ ⊣

Para referência futura destacamos que o conjunto de Cantor é um subconjunto fechado do espa¸co ([ 0, 1 ], µ). De fato, como cada intervalo aberto retirado de [ 0, 1 ], na constru¸c˜ ao, é um conjunto aberto em (R, µ), e também em ([ 0, 1 ], µ) (ver proposi¸c˜ ao 48, pg. 260) para construir o conjunto de Cantor foi retirado de [ 0, 1 ] uma reuni˜ ao de conjuntos abertos, que é por sua vez um conjunto aberto (propo. 47, pg. 259) tanto em (R, µ), como também em ([ 0, 1 ], µ). Logo, o conjunto de Cantor é complementar de um aberto, portanto fechado.

437

Apˆ endice: Topologia quˆ antica Os f´ısicos quˆ anticos afirmam† que: 1a ) Um objeto quˆ antico pode estar em v´ arios lugares simultˆ aneamente; antico pode transitar entre duas regi˜ oes sem passar pelos pon2a ) Um objeto quˆ tos intermédios (pontos “entre as regi˜ oes”). Para trazer estas assertivas para o campo da matem´ atica precisamos de três defini¸c˜ oes: • (Estar em uma regi~ ao) Diremos que um objeto encontra-se em uma regi˜ ao quando sua distˆ ancia para esta regi˜ ao for nula; • (Transitar) Diremos que um objeto pode transitar entre duas (ou mais) regi˜ oes se existe um caminho ligando este objeto a qualquer ponto destas regi˜ oes. • (Transitar sem passar por pontos interm´ edios) Diremos que um objeto transita (ou pode transitar) entre duas regi˜ oes disjuntas − sem passar por pontos intermédios − quando existe um caminho ligando este ponto a qualquer outro ponto destas regi˜ oes e, caminho este, totalmente contido nestas regi˜ oes. A plausibilidade matem´ atica da primeira assertiva acima foi provada no cap´ıtulo 5. Se todos estamos de acordo com estas defini¸c˜ oes ent˜ ao decorre, como um corol´ ario do teorema 7 (pg. 418), que: Um ponto topol´ ogico pode transitar entre duas regi˜ oes sem passar pelos pontos intermédios∗ . Se um ponto topol´ ogico (matem´ atico) que é um ente sem dimens˜ ao est´ a sujeito a estas propriedades com mais raz˜ ao ainda isto pode se verificar no caso de um ponto quˆ antico (um objeto real, por assim dizer). N˜ ao h´ a, por´ em, como discernir o que ´ e real no universo sem uma teoria. Assumo por isso o ponto de vista, j´ a qualificado de simpl´ orio ou ingˆ enuo, de que uma teoria da f´ısica ´ e nada mais nada menos que um modelo matem´ atico que usamos para expressar o resultado de observa¸ co ˜es. Uma teoria ´ e boa se for um modelo elegante, se descrever uma ampla classe de observa¸ co ˜es, e se previr o resultado de novas observa¸ co ˜es. N˜ ao faz sentido ir al´ em disso, perguntando se ela corresponde a ` realidade, porque, independentemente de uma teoria, n˜ ao sabemos o que ´ e a realidade. (grifo nosso) (Stephen Hawking/Buracos Negros, Universos-Bebˆ es/Rocco)

Supercordas Estribados em nosso teorema conjecturamos que se no mundo subatˆ omico da f´ısica quˆ antica um objeto pode estar em v´ arios lugares simultˆ aneamente e, ademais, pode transitar em v´ arias regi˜ oes − disjuntas − sem passar por pontos intermédios, s´ o pode ser em raz˜ ao de que o microcosmo tal como o macrocosmo (da teoria da gravita¸c˜ ao de Einstein) é curvo! Ou ainda: a geometria do submundo quˆ antico n˜ ao é euclidiana (plana) mas sim curva, tal como a geometria de Einstein. Pergunto: n˜ ao é precisamente isto que a teoria f´ısica das supercordas conjectura ao afirmar a respeito das “microdimens˜ oes enroladas”? ´ poss´ıvel que aqui resida o quid que falta para a unifica¸c˜ E ao da teoria quˆ antica com a gravita¸c˜ ao: o universo subatˆ omico é curvo, ou ainda: deve existir uma u ńica geometria (métrica) que unifica ambos os dom´ınios! Penso que esta conjectura encontra respaldo em nosso teorema! † Ou

∗ Um

conjecturam, desconhe¸co se h´ a consenso. ` ´ ponto topol´ ogico ´ e um ponto do espa¸co topol´ ogico [ 0, 1[ n , kn .

438

Nosso universo e fenˆ omenos n˜ ao-locais Introdu¸ c~ ao: Einstein, em 1905, publica numa revista cient´ıfica alem˜ a o trabalho intitulado “Sobre a eletrodinˆ amica dos corpos em movimento”, este trabalho se desenvolveu alicer¸cado sobre dois postulados (afirma¸c˜ oes aceitas como v´ alidas, sem necessidade de demonstra¸c˜ oes). O primeiro destes postulados foi chamado por Einstein de Princ´ıpio da relatividade: Postulado 1: As leis da f´ısica s˜ ao as mesmas para todos os referenciais inercias. Postulado 2: A velocidade da luz no v´ acuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz. Este segundo postulado foi o mais dif´ıcil de ser aceito, mesmo por f´ısicos famosos, pois contraria nossa experiência di´ aria (o “bom senso”). Alguns fenˆ omenos na f´ısica quˆ antica parecem violar o segundo postulado da teoria da relatividade de Einstein. Na referência [14], lemos: -

A defesa de uma n˜ ao-localidade no n´ıvel das potencialidades parece trazer problemas agudos

com rela¸ ca õ a ` Teoria da Relatividade Restrita. Ser´ a que a viola¸ ca õ da independˆ encia de resultados pode ser vista como uma influˆ encia causal entre eventos microsc´ opicos ou vari´ aveis ocultas? Se dermos primazia a ` Relatividade Restrita, nossa conclus˜ ao ser´ a que n˜ ao, pois segundo esta teoria nenhuma influˆ encia causal (ou transmiss˜ ao de informa¸ ca õ) pode se dar a uma velocidade igual ou superior a ` da luz no v´ acuo [. . .].

Acredito que em nosso Universo ([ 0, 1 [, k) podemos resolver este paradoxo. O problema todo que impede de interpretar-mos a “n˜ ao-localidade” é que somos v´ıtimas de uma “mente euclidiana”, digo, ami´ ude, estamos tentando ver (explicar) os fenˆ omenos presos a um modelo “linear” de tempo e espa¸co. Inicialmente vamos argumentar no sentido de mostrar que esta vis˜ ao euclidiana, arraigada em nosso psicol´ ogico (mente), pode f´ acilmente nos induzir ao erro; digo, podemos − inadvertidamente − concluir que em nosso universo a informa¸c˜ ao viaja com velocidade superior ` a da luz (isto é, contraria o segundo postulado de Einstein). De fato, retomemos o sistema (unidimensional) analisado anteriormente (o qual repetimos aqui para comodidade do leitor): 1

r

λ1

0 0

2 3

1

Aqui, no instante t = 0 a imagem da ponta do l´ apis encontra-se na origem, 0, do sistema X. Um “infinitésimo” de tempo depois esta mesma imagem encontra-se no outro extremo do intervalo, assim: 1

↑

r

λ1

0 0

← 2 3

1

Enfatizamos: Em t = 0 a ponta do l´ apis encontra-se no 0 do intervalo [ 0, 1 ], sua imagem encontra-se no 0 de X; qualquer δ > 0 de deslocamento que se dê no l´ apis (n˜ ao importa qu˜ ao pequeno seja), sua imagem aparece “instantˆ aneamente” do outro lado do intervalo! Daqui podemos concluir que em nosso sistema a informa¸c˜ ao pode viajar com velocidade (muito) superior ` a da luz. Na verdade instantˆ aneamente:

439

Considerando um deslocamento ∆ s = 1 (da imagem da ponta do l´ apis), temos: v = lim

∆ t→0

∆s 1 = lim = +∞ ∆ t→0 ∆ t ∆t

Vejamos o fenˆ omeno acima em duas dimens˜ oes, consideremos o sistema a seguir,

s

(0, 1)

2) (0, 3

1

p

↑

f ∨g

s

s

s

1 , 1) (3

s( 31 , 23 )=f (0) s

g(1)=( 2 , 1) 3 3 ց

s

0

↑

s

s

s

s

(1, 0)

f (1/2) =(0, 0) =g(1/2)

em t = 0 a`ponta apis encontra-se no 0 do intervalo [ 0, 1 ], sua imagem encontra-se ´ do l´ no ponto 31 , 23 ; ` a medida que deslocamos a ponta do l´ apis (t cresce) sua imagem vai tra¸cando a diagonal do (sub)quadrado (superior) rumo ao “vértice” (0, 1) do quadrado. Quando a ponta do l´ apis atingi a metade do intervalo sua imagem aparece “instantˆ aneamente” na origem do quadrado! A partir deste instante (digo, t = 1/2) qualquer δ > 0 de deslocamento que se dê no l´ apis (n˜ ao importa qu˜ ao pequeno seja), sua imagem aparece “instantˆ aneamente” no (sub)quadrado ` a direita! Nunca é demais lembrar que o caminho justaposto h é cont´ınuo, n˜ ao houve nenhum “salto”. − Chego ` a conclus˜ ao de que para avan¸carmos ainda mais na ciência (interpreta¸c˜ ao, fundamentos) teremos que, paulatinamente, ir nos libertando das informa¸c˜ oes que nos s˜ ao transmitidas pelos sentidos, notadamente pela vis˜ ao − haja vista o nosso pr´ oprio teorema 7 (pg. 418): a vis˜ ao nos diz que ali n˜ ao podemos ter um conjunto conexo por caminhos, a l´ ogica nos diz o contr´ ario. Entre os sentidos e a l´ ogica, fico com esta u ´ltima! Ao concluir, a partir dos argumentos anteriores, que a informa¸c˜ ao pode viajar instantˆ aneamente; novamente fomos ludibriados pelo sentido da vis˜ ao. Veremos que, estribados na l´ ogica, podemos ver diversamente (isto é, de um novo ˆ angulo) os fenˆ omenos anteriores. De fato, nosso pr´ oximo desiderato ser´ a compreender por que raz˜ ao fomos enganados no sentido de imaginar que em nosso “universo divino” a informa¸c˜ ao pode viajar instantˆ aneamente. Tudo come¸ca em raz˜ ao de que nosso universo∗ é conexo (por caminhos). E por que nosso universo é conexo? Porque 0 é aderente a Y = [ 2/3, 1 [, e por que 0 é aderente a Y ? Porque toda onda, digo, toda bola de centro 0 intercepta Y . Ver Conclus˜ ao: Em nosso universo o fenˆ omeno da n˜ ao-localidade† se deve a que a onda de centro em 0 tem uma contra-parte no outro extremo do sistema, veja: 1

↑

r )

λ1

0 0

∗ No

|

{z

) Bk (0; r< 1 2

← ( }

1

presente contexto, universo: ({ 0 } ∪ [ 2/3, 1 [, k). a imagem da ponta do l´ apis mover-se “instˆ aneamente” de uma extremidade a ` outra do sistema. † Digo,

440

Ent˜ ao, esta onda que encontra-se de um extremo ao outro (de nosso universo) é que carrega (transfere) a informa¸c˜ ao. Insistimos, é por causa desta onda que a informa¸c˜ ao é transmitida de modo cont´ınuo, digo a continuidade de λ1 se deve ` a esta bola, veja (pg. 424):

2 3

0

sε

)

sε

)

δ

1− ε 2 3

λ1

)

)

λ1 δ

1

1− ε

(

(

1

0

Na figura da esquerda a ponta do l´ apis aponta para a origem do intervalo ( t = 0 ), sua imagem aponta para o 0 do conjunto (isto é, λ1 (0) = 0). Na figura da direita movemos a ponta do l´ apis de um “infinitésimo” , a continuidade de λ1 exige que a imagem da ponta (seta em azul) caia dentro da bola Bk (0; ε); ora, como a aplica¸c˜ ao λ1 é injetiva a imagem n˜ ao pode cair na “parte inferior” da bola, ent˜ ao ter´ a que cair na “parte superior”, isto é, no outro extremo de X. Vimos (pg. 441) que, 0 < t < δ ⇒ 1 − ε < λ1 (t) < 1 ´ poss´ıvel que os f´ısicos estejam sendo ludibriados pelo sentido da vis˜ −E ao Vamos expor o que dissemos anteriormente de uma nova perspectiva (matem´ atica). No que diz respeito aos fenˆ omenos de a¸c˜ ao ` a distˆ ancia é poss´ıvel que os f´ısicos estejam sendo v´ıtimas da vista corp´ orea. De fato, a “vista espiritual” (intelecto, l´ ogica) pode nos mostrar algo diverso daquilo que a vis˜ ao ordin´ aria nos mostra‡ . Estou, a respeito da n˜ ao-localidade, conjecturando que toda aquela distˆ ancia que os cientistas vêem entre as partes do sistema n˜ ao existe! (ou ainda: é nula!) Como uma distˆ ancia que os nossos olhos carnais seguramente vêem ainda assim pode ser nula? Respondo, é simples, (re)veja a figura a seguir:

s

a distˆ ancia entre a origem e as demais partes do sistema, n˜ ao existe! é nula, como j´ a ´ que o ponto é aderente provamos.∗ E qual a raz˜ ao para a nulidade destas distˆ ancia? E aos três conjuntos (ver proposi¸c˜ ao 63, pg. 278). Vamos tentar ligar esta conclus˜ ao ` a situa¸c˜ ao f´ısica em si: Por que o ponto é aderoes, esta é a raz˜ ao ente? Porque toda onda (bola) de centro no ponto intercepta as regi˜ para que a distˆ ancia seja nula, conforme mostramos na proposi¸c˜ ao 73 (pg. 300). ‡ Para se convencer disto basta rever o enunciado do teorema 7. A raz˜ ao ´ e que tudo na Natureza incorpora um software e este n˜ ao pode ser detectado pela “vista” ou mesmo por instrumentos especiais, apenas pela matem´ atica, ´ e o que mostramos em nosso trabalho. ∗ A distˆ ancia divina, bem entendido; a euclidiana existe sim. Acontece que o sistema pode muito bem estar programado, digo, funcionando segundo a m´ etrica k2 .

441

Conclus˜ ao: Conjecturamos que toda aquela distˆ ancia, entre as partes do sistema, que os cientistas vêem nos fenˆ omenos de a¸c˜ ao ` a distˆ ancia, n˜ ao existe, é nula! Dos argumentos anteriores podemos concluir que esta distˆ ancia é nula porque existem ondas ligando as partes do sistema; ou seja, a distˆ ancia existe para a vista c´ orporea mas, na verdade, inexiste por conta de que as partes do sistema est˜ ao conectadas por ondas. Em sendo assim, enfatizo, o teorema 73 nos garante que esta distˆ ancia é nula (n˜ ao importa qu˜ ao grande seja a distˆ ancia euclidiana, isto é, a que nossos olhos testemunham). Com uma distˆ ancia nula n˜ ao é necess´ ario que a informa¸c˜ ao se desloque com velocidade superluminal! E assim pretendemos ter contribuido para reconciliar os fenˆ omenos de a¸c˜ ao ` a distˆ ancia com o segundo postulado de Einstein. Adendo: Ao dar crédito ` a vis˜ ao concluimos que a informa¸c˜ ao pode viajar com velocidade superluminal (na verdade instantˆ aneamente), a l´ ogica nos patenteou uma interpreta¸c˜ ao alternativa: tudo se deve a que a onda Bk (0; r), embora conexa, tem duas partes disjuntas, uma delas no outro extremo do sistema. − Reitero: Temos duas alternativas: pela métrica (topologia, vis˜ ao) euclidiana podemos interpretar nosso fenˆ omeno como sendo instantˆ aneo; pela topologia kn surge uma nova interpreta¸c˜ ao: O fenˆ omeno se deve a uma onda com partes disjuntas, porém conexa! ´ − Obviamente que em nosso universo devemos optar pela segunda alternativa acima. Devo esclarecer um outro ponto. Sou dos que acreditam que no nosso Universo as informa¸c˜ oes n˜ ao est˜ ao limitadas pela velocidade da luz, como preconiza o segundo postulado de Einstein; creio na realidade das ondas superluminais sem nenhum “artif´ıcio”− embora n˜ ao seja necess´ ario em nosso sistema apelar a este recurso para justificarmos fenˆ omenos “n˜ ao-locais” como o da “ponta do l´ apis”. O desiderato desta exegese é apontar um poss´ıvel caminho para os f´ısicos lidarem com seus paradoxos da n˜ ao-localidade. Quem sabe l´ a n˜ ao se resolva o paradoxo de forma similar (ou algo como a “curvatura” do espa¸co). Por oportuno, enfatizo que em todas as minhas incurs˜ oes na f´ısica n˜ ao fa¸co outra coisa sen˜ ao isto: apontar caminhos a serem investigados pelos f´ısicos; apenas desejo − secundado pela l´ ogica-matem´ atica − disponibilizar meios, ferramentas, no sentido de colaborar; meditem sobre minhas sugest˜ oes, se h´ a algo que se possa aproveitar ´ otimo, se n˜ ao . . . desculpo-me por tomarlhes o tempo. De outro modo: procedo como um matem´ atico que, através de c´ alculos matem´ aticos, delimita uma regi˜ ao do espa¸co de prov´ avel existência de um planeta; ele comunica seu resultado a um astrˆ onomo, cabe a este assestar seu telesc´ opio e vasculhar a regi˜ ao sugerida pelos c´ alculos matem´ aticos. Assim, pretendo com meus teoremas e corol´ arios delimitar aos f´ısicos uma regi˜ ao (caminho) de investiga¸c˜ ao . . . apontem seus “telesc´ opios”. O que me instiga a d´ a sugest˜ oes (palpites, se acharem melhor) em uma ´ area que n˜ ao é a minha é apenas − e t˜ ao s´ omente − uma fé demasiada nas estruturas matem´ aticas como intérpretes idˆ oneas da Natureza. E, digo mesmo, a partir da experiência acumulada com o teorema 7 agora é que tenho sobejas raz˜ oes para desconfiar dos sentidos (e instrumentos, por mais precisos que sejam) e d´ a cada vez mais crédito ao que as estruturas matem´ aticas me fazem “ver”. A prop´ osito, antes de atinar com a demonstra¸c˜ ao do referido teorema, trabalhei exaustivamente durante dois dias tentando demonstrar o seu contr´ ario, isto é, que o sistema n˜ ao era conexo por caminhos. A minha confian¸ca no que a vis˜ ao me patenteava era tanta que até cheguei, em certa ocasi˜ ao, a “provar” minha cren¸ca . . . posteriormente detectei uma falha em meus argumentos. Numa atitude de quase desespero decidi “fechar os olhos”; digo, ir contra o que os meus olhos me mostravam e, por fim, conclui (provei) que êles de fato me haviam cegado.

442

Deveras, sinto um certo deleite em ser o primeiro matem´ atico a construir um conjunto, com partes disjuntas, e mesmo assim conexo por caminhos! “O prazer é apenas um artif´ıcio imaginado pela natureza para obter do ser vivo a conserva¸ ca õ da vida; mas n˜ ao indica a dire¸ ca õ em que a vida ´ e lan¸ cada. J´ a o deleite anuncia sempre que a vida teve ˆ exito, que ganhou terreno, que alcan¸ cou uma vit´ oria: todo deleite tem um acento triunfal.” Bergson (em A Energia Espiritual)

O nosso universo ( [ 0, 1 [, k ) como modelo para o nosso Universo J´ a provamos que em nosso universo podemos justificar matem´ aticamente alguns fenˆ omenos da f´ısica quˆ antica. Animados por estes resultados é que, ousamos, propor nosso universo como um modelo para o nosso Universo (digo, nosso Universo de verdade!). Observe que vou argumentar com um universo unidimensional, no caso ( M = [ 0, 1 [, k ), apenas por raz˜ oes did´ aticas, isto é, para facilitar minha exposi¸c˜ ao e, concomitantemente, facilitar o entendimento do leitor − haja vista que meus argumentos podem f´ acilmente ser transferidos para qualquer dimens˜ ao, digo, para o universo: ( [ 0, 1 [ n , kn ). − Inicialmente observo que nosso universo comporta até o modelo te´ orico do bigbang, assim:

0

1 M

↑ -Origem -Singularidade -Big-bang

-Expans˜ ao

↑ -Fronteira

Vejam algumas das propriedades do nosso universo: − Limitado;

− Conexo por caminhos; − Compacto† ;

− “Curvo” (por conta de sua métrica, onda, topologia); − Fronteira aberta; − Em Expans˜ ao.

Nota: Com expans˜ ao, quero dizer que nosso universo (intervalo) pode ser expandido (ou “dilatado”) ` a vontade e ainda assim manter´ a suas propriedades topol´ ogicas. Nosso universo est´ a “normalizado”. − Como j´ a vimos, em nosso universo (Universo) podemos até justificar fenˆ omenos n˜ ao-locais (“instantˆ aneos”), da f´ısica quˆ antica, por conta da onda de centro na origem, lembramos: †A

ser provado no u ´ltimo cap´ıtulo.

443

1

↑

r )

λ1

0 0

|

{z

Bk (0; r< 1 ) 2

← ( }

1

Para fazer uma ponte, ou ainda, estabelecer um caminho entre nosso modelo te´ orico e nosso Universo é que terei que levantar uma conjectura, qual seja: “No big-bang (origem do nosso Universo) foi gerada uma onda e esta onda conecta a origem com sua fronteira”. Logo, por conta desta onda é que podemos explicar fenˆ omenos n˜ ao-locais da f´ısica; igualmente como se d´ a em nosso modelo te´ orico. Observemos esta onda em nosso modelo bidimensional:

s

s

sr

Admitindo nossa onda como um modelo para a “onda primordial” (digo, a onda gerada no big-bang) podemos dizer que esta (onda) é conexa por caminhos, ou ainda: conecta (por caminhos) todo o Universo. Insisto: Esta Onda (primordial) é quem transmite informa¸c˜ oes “instantˆ aneas” ` as diversas partes do nosso Universo que, volto a lembrar, é conexo! (por caminhos, justamente por conta desta Onda). Observe que nosso modelo nos permite fazer algumas previs˜ oes interessantes (surpreendentes) tais como: suponhamos que em nosso Universo surjam alguns “buracos negros” (t´ uneis, hiatos, etc.) tais como,

1

1

⇒

[ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

0

1

0

1

N˜ ao h´ a o menor problema pois todas as partes remanescentes continuam interagindo entre si (continuam intercomunicantes); digo: a informa¸c˜ ao pode transitar livremente entre os “peda¸cos” de nosso Universo; ou ainda: um objeto (ponto) pode transitar livremente entre as partes. Isto se deve a que nosso universo mutilado continua conexo por caminhos e, esta conexidade se deve ` a Onda, veja:

444

1

s

0

1

Observe que conseguimos colocar nosso Universo em uma casca de noz: [ 0, 1 [. Como diria Stephen Hawking. − Adendo: Dissemos anteriormente que nosso modelo, [ 0, 1 [ n , para o Universo é limitado, daqui segue-se que estou postulando (conjecturando) que nosso Universo é limitado. Penso que aqui cabe um esclarecimento: O “Universo informacional”∗ é que é limitado; com este conceito me refiro ao Universo tomado pela frente da onda promordial† , que encontra-se em expans˜ ao; agora, ´ obviamente que esta expans˜ ao deve d´ ar-se em “algo”; este “algo” podemos conceber como sendo o “vazio infinito”. Pontuando (resumindo): O Universo limitado refere-se ` aquele alcan¸cado pela frente da onda primordial. A “fronteira do Universo” refere-se ` a frente da onda primordial. “Tendo ouvido alguém ler num livro, cujo autor era Anax´ agoras, que ´ e o esp´ırito que ´ e o organizador e a causa de todas as coisas, a id´ eia dessa causa encantou-me, e pareceu-me que era de certa forma perfeito que o esp´ırito fosse a causa de tudo” (Sócrates/Fédon, 97 b)

∗ Universo

onde transita a “informa¸ca õ primordial”. no big-bang, lembramos.

† Originada

445

446

Cap´ıtulo

9

´ ESPAC ¸ OS METRICOS COMPLETOS “O

homem ´ e o art´ıfice

de seu destino: tem de arrostar o esfor¸ co de criar a si mesmo.” (Pietro Ubaldi)

Introdu¸ c˜ ao: Em An´ alise Real aprendemos que R é um corpo ordenado completo. Muitos resultados importantes, como por exemplo teoremas de existência dependem da completeza de R. Como uma modesta amostra podemos provar que em R existe solu¸c˜ ao para a equa¸c˜ ao x2 = 2. Desejamos estender para espa¸cos métricos em geral o importante conceito de comalise aprendemos que R é completo porque nele vale a propriedade (ou pleteza. Na An´ axioma) do supremo: “Se A ⊂ R é n˜ ao-vazio e majorado, ent˜ ao A tem supremo”. Acontece que para se definir supremo necessitamos de uma ordem (ver pg. 64), como num espa¸co métrico arbitr´ ario n˜ ao contamos com uma ordena¸c˜ ao entre seus elementos segue que n˜ ao podemos usar o axioma do supremo para definir espa¸co métrico completo, tal como ocorre no corpo ordenado R. A n˜ ao ser que exista uma outra caracteriza¸c˜ ao de completeza suscet´ıvel de generaliza¸c˜ ao para os espa¸cos métricos. Felizmente existe uma tal caracteriza¸c˜ ao, via seq¨ uências de Cauchy, portanto:

9.1

Seq¨ uˆ encias de Cauchy

Defini¸ c˜ ao 62 (Seq¨ uências de Cauchy). Seja (xn ) uma seq¨ uência num espa¸co métrico (M, d). Diremos que (xn ) é uma seq¨ uência de Cauchy se dado ε > 0 existir um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε. A seguir escrevemos em s´ımbolos a defini¸c˜ ao anterior e sua nega¸c˜ ao:

∀ ε>0

∃ : ∀ (m, n ≥ n0 ) ⇒ d(xm , xn )< ε n0 ∈N m, n∈N

∃ : ∀ ε>0 n0 ∈N

∃ (m, n ≥ n0 ) ∧ d(xm , xn )≥ ε m, n∈N

447

• De imediato inferimos que se (N, d) é um subespa¸co de (M, d), uma seq¨ uência ( xn ) de pontos de N é de Cauchy em (N, d) se, e somente se, é de Cauchy em (M, d). Proposi¸ c˜ ao 112. Se (xn ) é uma seq¨ uência convergente num espa¸co métrico (M, d) ent˜ ao (xn ) é de Cauchy. Prova: Consideremos (xn ) uma seq¨ uência convergente em um espa¸co métrico (M, d). Seja lim xn = a. Ent˜ ao dado ε > 0 existe n0 tal que d(xn , a) < ε2 para todo n ≥ n0 . Logo, para m, n ≥ n0 temos d(xm , xn ) ≤ d(xm , a) + d(a, xn ) <

ε ε + =ε 2 2

ent˜ ao, m, n ≥ n0 =⇒ d(xm , xn ) < ε.

Sendo assim, obtivemos uma condi¸c˜ ao sobre os termos da seq¨ uência na qual n˜ ao intervém o limite a. Intuitivamente essa condi¸c˜ ao nos mostra que se uma seq¨ uência (xn ) é convergente ent˜ ao, para ´ındices suficientemente grandes, seus termos aproximam-se arbitrariamente um dos outros. ´ o caso, por exemplo, da seq¨ E uência dada por xn = 1 , no espa¸co (R, µ). n

⊢ 0


q

x2

q

x1

-R

1

Aqui se faz oportuna a quest˜ ao de saber se toda seq¨ uência de Cauchy converge. A resposta é pela negativa. H´ a casos em que uma seq¨ uência de Cauchy em (M, d) n˜ ao converge por “culpa” do conjunto M e outras vezes por “culpa” da métrica d. Vamos exemplificar estas duas possibilidades: (a) Consideremos a seq¨ uência dada por xn = n1 e os espa¸cos (R, µ) e ( ] 0, 1 ], µ). Esta seq¨ uência converge para 0 no primeiro destes espa¸cos, portanto é de Cauchy − tanto no espa¸co quanto no subespa¸co. Se (xn ) convergisse no espa¸co ( ] 0, 1 ], µ), ent˜ ao iria convergir para um ponto 0 < p ≤ 1; sendo ] 0, 1 ] ⊂ R teriamos a unicidade do limite contraditada. Logo (xn ) n˜ ao converge em ( ] 0, 1 ], µ). (b) Consideremos a seq¨ uência dada por xn = 1 − n1 e os espa¸cos ( [ 0, 1 [, k) e ( [ 0, 1 [, µ). Esta seq¨ uência converge para 0 no primeiro destes espa¸cos, portanto é de Cauchy. A prova de que é de Cauchy no segundo destes espa¸cos, é an´ aloga ` a prova feita em (a). Se (xn ) convergisse no espa¸co ( [ 0, 1 [, µ), ent˜ ao iria convergir para um ponto 0 ≤ p < 1; sendo [ 0, 1 [ ⊂ R teriamos a unicidade do limite contraditada. Logo (xn ) n˜ ao converge em ( [ 0, 1 [, µ). Proposi¸ c˜ ao 113. Sendo M um conjunto arbitr´ ario, qualquer seq¨ uência de Cauchy converge no espa¸co (M, δ). Prova: De fato, se (xn ) é uma seq¨ uência de Cauchy no espa¸co (M, δ), ent˜ ao para ε = 1 existe um ´ındice n0 de maneira que: ∀ m, n ≥ n0 ⇒ δ(xm , xn ) < 1 Logo, ∀ m, n ≥ n0 ⇒ xm = xn

ou seja, toda seq¨ uência de Cauchy no espa¸co (M, δ) é constante a partir de uma certa ordem, portanto converge para o termo que se repete. Nota: N˜ ao é verdade que sendo (M, d) discreto qualquer seq¨ uência de Cauchy seja convergente. Por exemplo, tome M = { n1 : n ∈ N } com a métrica usual.

Vimos (prop. 41, pg. 244) que se uma seq¨ uência, em um espa¸co vetorial normado, é convergente ent˜ ao existe uma bola de centro no vetor nulo que contém todos os termos da seq¨ uência. Veremos agora que as seq¨ uências de Cauchy também gozam desta propriedade.

448

` ´ Proposi¸ c˜ ao 114. Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em um espa¸co vetorial E, +, · normado. Ent˜ ao existe uma bola de centro no vetor nulo que contém todos os termos da seq¨ uência. Prova: Inicialmente observemos que B(0; r) = {x ∈ E : d(x, 0) < r}

= {x ∈ E : kx − 0k < r} = {x ∈ E : kxk < r}

Sendo assim devemos encontrar um raio r de tal modo que todos os termos da seq¨ uência satisfa¸cam: kxn k < r. Por hip´ otese (xn ) é de Cauchy, logo tomando ε = 1 existe um ´ındice n0 tal que m, n ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) = kxn − xm k < 1. Sendo kxn − xm k < 1, ∀ m, n ≥ n0 ; fixemos m = n0 , ent˜ ao kxn − xn k < 1, ∀ n ≥ n0 .

(9.1)

kxn k = kxn − xn0 + xn0 k ≤ kxn − xn0 k + kxn0 k

(9.2)

0

Mas, De (9.1) temos, ∀ n ≥ n0 , kxn − xn k < 1 ⇒ kxn − xn k + kxn k < 1 + kxn k 0

0

0

0

este resultado em (9.2) resulta: kxn k < 1 + kxn0 k, ∀ n ≥ n0 .

Esta desigualdade est´ a a nos dizer que todos os termos da seq¨ uência (xn ), com ´ındices iguais ou superiores a n0 , est˜ ao dentro da bola de centro no vetor nulo e raio r ′ = 1 + kxn0 k. Para que possamos incluir os termos restantes: x1 , x2 , . . . , xn −1 , 0 escolhamos qualquer ˘ ¯ r > max kx1 k, kx2 k, . . . , kxn −1 k, 1 + kxn0 k (9.3) 0

Sendo assim temos,

kx1 k < r, kx2 k < r, . . . , kxn

0 −1

k < r, e

kxn k < 1 + kxn k < r, ∀ n ≥ n0 . 0

Portanto temos, kxn k < r, ∀ n ∈ N.

Sendo assim o raio escolhido em (9.3) consegue incluir todos os termos da seq¨ uência (xn ) em uma bola de centro no vetor nulo. Observe que a diferen¸ca desta proposi¸c˜ ao para aquela em que a seq¨ uência converge (prop. 41, pg. 244) é que na presente demonstra¸c˜ ao n˜ ao intervém o limite da seq¨ uência; ou ainda; n˜ ao exigimos que a seq¨ uência seja convergente, T˜ ao somente que seja de Cauchy. Seria instrutivo concretizarmos a demonstra¸c˜ ao anterior com um exemplo espec´ıfico. Consideremos o espa¸co vetorial normado ` 2 ´ R , k · k onde k(x, y)k = max{ |x|, |y| } ` ´ e a seq¨ uência (xn ) dada por xn = 1 − n1 , 2 − n2 . Esta seq¨ uência é convergente, portanto é de Cauchy. Seguindo os passos da demonstra¸c˜ ao anterior vamos encontrar um raio r que inclua todos os termos da seq¨ uência em uma bola centrada no vetor nulo. Para ε = 1 a partir

449

de que ´ındice n0 teremos d(xn , xm ) = kxn − xm k < 1? Sendo,

xn = temos,

„ « „ « 1 2 2 1 1− , 2− , xm = 1 − , 2 − n n m m „ « 2 1 − 1− , 2− m m « „ 1 2 2 1 = − + ,− + n m n m

xn − xm =

„

1−

2 1 , 2− n n

«

portanto,  ˛ 1 kxn − xm k = max ˛ − + n  ˛ 1 = max ˛ − + n ˛ 1 1˛ = 2˛ − + ˛. n m

Temos,

1 ˛˛ ˛˛ 2 2˛ , − + ˛ m n m

ff

ff 1 ˛˛ ˛˛ 1 1 ˛˛ ,2 − + m n m

˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ ˛1 ˛ − 1 ˛ ≤ ˛ 1 ˛ + ˛− 1 ˛ = 1 + 1 ˛m n˛ ˛m˛ ˛ n˛ m n

Agora se m, n ≥ n0 , teremos

1 1 1 1 1 1 2 ≤ , ≤ ⇒ + ≤ . m n0 n n0 m n n0 Vamos impor a restri¸c˜ ao

4 n0

< 1. Sendo assim, temos

˛ 1 4 1˛ kxn − xm k = 2˛ − + ˛ ≤ < 1. n m n0

Portanto para quaisquer m, n ≥ n0 = 5 garantimos kxn − xm k < 1. A desigualdade kxn k < 1 + kxn k, ∀ n ≥ n0 0

isto é, kxn k < 1 + kx5 k, ∀ n ≥ 5, nos garante que todos os termos da seq¨ uência, a partir uma bola de centro no vetor nulo e raio r ′ = 1 + kx5 k. x5 : « „ „ 2 4 1 , = x5 = 1 − , 2 − 5 5 5 ⇒ kx5 k = max



4 8 , 5 5

ff

=

Portanto, kxn k < 1 +

8 , ∀ n ≥ 5. 5

450

do quinto, est˜ ao incluidos em Calculemos a norma do vetor 8 5

«

8 . 5

Agora tomemos qualquer ˘ ¯ r > max kx1 k, kx2 k, . . . , kx4 k, 1 + kx5 k

Ent˜ ao,

x1 = (0, 0)

⇒

kx1 k = 0

´ x2 = 2 , 1

⇒

kx2 k = 1

⇒

kx3 k =

4 3

⇒

kx4 k =

6 4

x3 = x4 = portanto,

`1

`2 3

`3

4

,

4 3

,

6 4

´ ´

 ff 4 6 8 13 r > max 0, 1, , , 1 + = = 2, 6 3 4 5 5 Geometricamente temos,

6

R

2

q

p (1,2) qpq qq xq4

qx2

x 3

(0,0)

`

B (0,0); r

´

qx1

q1

-R

→

Nota: A rec´ıproca desta u ´ltima proposi¸c˜ ao n˜ ao vale: se todos os termos de uma seq¨ uência est˜ ao incluidos em uma bola com centro na origem, n˜ ao implica que a seq¨ uência seja de Cauchy. De fato, todos os termos da seq¨ uência (1, −1, 1, −1, . . .) de pontos de R est˜ ao contidos na bola Bµ (0; 2) =] − 2, 2 [, mas esta seq¨ uência n˜ ao é de Cauchy, uma vez que se tomarmos ε = 1, para qualquer ´ındice n0 , sempre existir˜ ao ´ındices m, n ≥ n0 tais que d(xm , xn ) = |xm − xn | = 2 > ε. Vimos (proposi¸c˜ ao 37, pg. 213) que toda seq¨ uência convergente é limitada. Na proposi¸c˜ ao seguinte mostraremos que as seq¨ uências de Cauchy também gozam desta propriedade. Proposi¸ c˜ ao 115. Toda seq¨ uência de Cauchy é limitada. Prova: Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy num espa¸co métrico (M, d). Ent˜ ao para ε = 1, existe um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < 1

451

fixemos m = n0 , ent˜ ao ∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , xn0 ) < 1 ⇒ xn ∈ B(xn0 ; 1). Fazendo X = {x1 , x2 , . . . , xn

0

−1

}, temos

{x1 , x2 , . . . , xn , . . .} = X ∪ {xn0 , xn

0

+1

, xn

0

+2

, . . .}

⊂ X ∪ B(xn ; 1) 0

Como X é limitado por ser finito, resulta que X ∪ B(xn0 ; 1) é limitado. Portanto o conjunto dos termos da seq¨ uência é limitado. Proposi¸ c˜ ao 116. Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em um espa¸co métrico (M, d). Se existe uma subseq¨ uência de (xn ) que converge para p ∈ M , ent˜ ao lim xn = p. Prova: Seja (xn1 , xn2 , . . .) uma subseq¨ uência conforme o enunciado. Ent˜ ao para todo ε > 0, existe um ´ındice nk tal que: ∀ ni ≥ nk =⇒ d(xn , p) < i

ε 2

(9.4)

Por outro lado, sendo (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy, existe um ´ındice n0 tal que: ∀ m, n ≥ n0 =⇒ d(xm , xn ) <

ε 2

(9.5)

uência. A desigualdade Consideremos um ponto xn da subseq¨ j

d(xn , p) ≤ d(xn , xn ) + d(xn , p) j

j

é sempre v´ alida. Gostar´ıamos que fosse d(xn , p) ≤ d(xn , xn ) + d(xn , p) < ε j

j

para isto é suficiente que tenhamos d(xn , p) < j

ε ε e d(xn , xn ) < j 2 2

(9.6)

Por (9.4) devemos escolher nj ≥ nk e por (9.5) devemos escolher n ≥ n0 e nj ≥ n0 . A fim de unificar os ´ındices fa¸camos ν = max{n0 , nk }. Logo, para nj ≥ ν e n ≥ ν teremos as desigualdades em (9.6) satisfeitas. Sendo assim, n˜ ao sem algum esfor¸co, conseguimos um ´ındice ν de modo que ∀ n ≥ ν ⇒ d(xn , p) < ε. Isto é suficiente para garantir a convergêcia de (xn ).

Corol´ ario . Se uma seq¨ uência (xn ) em um espa¸co métrico (M, d) contém duas subseq¨ uências que convergem para pontos diferentes desse espa¸co, ent˜ ao a seq¨ uência n˜ ao é de Cauchy. A imagem de uma seq¨ uência de Cauchy por uma aplica¸c˜ ao cont´ınua pode n˜ ao resultar em uma seq¨ uência de Cauchy. Vejamos dois contra-exemplos: (i) A fun¸c˜ ao, 1 f : ] 0, 1 ] → R, dada por f (x) = x ` ´ transforma a seq¨ uência de Cauchy ( n1 ) na seq¨ uência f (1/n) = (1, 2, 3, . . .) que n˜ ao é de Cauchy. Nota: Estamos considerando a métrica µ tanto no dom´ınio quanto no contradom´ınio de f .

452

(ii) A fun¸c˜ ao, g : ] 0, 1 ] → R, dada por g(x) = cos

„ « 1 x

` ´ 1 transforma a seq¨ uência de Cauchy ( 2nπ ) na seq¨ uência g(1/2nπ) = (1, 1, 1, . . .) que é de Cauchy. 1 ) na seq¨ uência fun¸c˜ ao transforma a seq¨ uência de Cauchy ( nπ ` Esta mesma ´ g(1/nπ) = (−1, 1, −1, . . .) que n˜ ao é de Cauchy.

Uma aplica¸c˜ ao uniformemente cont´ınua transforma, necess´ ariamente, seq¨ uências de Cauchy em seq¨ uências de Cauchy. Este é o conte´ udo da pr´ oxima

Proposi¸ c˜ ao 117. A imagem de uma seq¨ uência de Cauchy por uma aplica¸c˜ ao uniformemente cont´ınua é também uma seq¨ uência de Cauchy. Prova: Suponhamos f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) uniformemente cont´ınua e seja (xn ) uma seq¨ uências de Cauchy em M . Dado ε > 0, existe ent˜ ao δ > 0 tal que (def. 48, pg. 354): ` ´ d1 (x, y) < δ =⇒ d2 f (x), f (y) < ε. Por outro lado, para o δ em quest˜ ao, existe um ´ındice n0 de modo que m, n ≥ n0 =⇒ d1 (xm , xn ) < δ. Por conseguinte

` ´ m, n ≥ n0 =⇒ d2 f (xm ), f (xn ) < δ. ` ´ Isto mostra que a seq¨ uência f (xn ) é de Cauchy.

′

Corol´ ario 32. Se d e d s˜ ao métricas uniformemente equivalentes sobre M , ent˜ ao as seq¨ uências de Cauchy de (M, d) e (M, d′ ) s˜ ao as mesmas.

Em particular os espa¸cos produtos (M, D1 ), (M, D2 ) e (M, D3 ) (pg. 151) têm as mesmas seq¨ uências de Cauchy. Prova: Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy de (M, d). Como i : (M, d) →` (M,´d′ ) (onde i indica a aplica¸c˜ ao identidade de M ) é uniformemente cont´ınua† , logo i (xn ) = (xn ) é uma seq¨ uência de Cauchy de (M, d′ ). Analogamente se prova que toda seq¨ uência de Cauchy de (M, d′ ) também é seq¨ uência de Cauchy de (M, d). Nota: A rec´ıproca desta proposi¸c˜ ao: “se uma aplica¸c˜ ao transforma seq¨ uências de Cauchy em seq¨ uências de Cauchy, ent˜ ao esta aplica¸c˜ ao é uniformemente cont´ınua” n˜ ao é verdadeira. Para mostrar isto consideremos a fun¸c˜ ao f : R → R, dada por f (x) = x2 . Esta fun¸c˜ ao n˜ ao é uniformemente cont´ınua, como j´ a vimos. Mas transforma seq¨ uências de Cauchy em seq¨ uências de Cauchy. De fato, se (xn ) é uma seq¨ uência de Cauchy em (R, µ), ent˜ ao existe r > 0 tal que |xn | < r, ∀ n ∈ N (proposi¸c˜ ao 114, pg. 449). Mas a restri¸c`˜ ao de´f ` a bola ] − r, r [ é uniformemente cont´ınua (conforme Nota pg. 357). Donde f (xn ) é seq¨ uência de Cauchy em R. ` ´ Proposi¸ c˜ ao 118. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma seq¨ uência (xn , yn ) de pontos de M × N é de Cauchy se, e somente se, as seq¨ uências (xn ) em M e (yn ) em N s˜ ao de Cauchy. Prova: O enunciado refere-se a qualquer das métricas usuais (pg. 151) em M × N , indistintas no que a convergência (usaremos a métrica do m´ aximo). ` tange´` (=⇒) Seja (xn , yn ) de Cauchy em M × N , ent˜ ao dado ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que: ` ´ ˘ ¯ m, n ≥ n0 ⇒ D3 (xm , ym ), (xn , yn ) = max d1 (xm , xn ), d2 (ym , yn ) < ε † defini¸ co ˜es

52 (pg. 381) e 53 (pg. 381)

453

Segue que: d1 (xm , xn ) < ε e d2 (ym , yn ) < ε para quaisquer m, n ≥ n0 ; e portanto (xn ) e (yn ) s˜ ao seq¨ uências de Cauchy. (⇐=) Sendo (xn ) e (yn ) seq¨ uências de Cauchy, dado ε > 0 existem por hip´ otese ´ındices m0 e n0 tais que: ∀ m, n ≥ m0 ⇒ d1 (xm , xn ) < ε e ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d2 (ym , yn ) < ε. Considerando p0 = max{ m0 , n0 } temos ent˜ ao que: ∀ m, n ≥ p0 ⇒ d1 (xm , xn ) < ε e d2 (ym , yn ) < ε ˘ ¯ ⇒ max d1 (xm , xn ), d2 (ym , yn ) < ε ` ´ ⇒ D3 (xm , ym ), (xn , yn ) < ε

` ´ Isto prova que a seq¨ uência (xn , yn ) é de Cauchy em M × N .

A generaliza¸c˜ ao do resultado anterior para um produto M = M1 × M2 × · · · × Mn é imediata. • A (outra) caracteriza¸c˜ ao de completeza, em R, a qual nos referimos na Introdu¸c˜ ao, é que a propriedade do supremo implica em que toda seq¨ uência de Cauchy de R converge (como ser´ a visto logo mais), a rec´ıproca∗ é vista na constru¸c˜ ao dos reais pelo método de Cantor, como o leitor poder´ a apreciar na referência [10].

9.2

Espa¸ cos m´ etricos completos

Defini¸ c˜ ao 63 (Espa¸cos métricos completos). Um espa¸co métrico (M, d) é chamado completo se toda seq¨ uência de Cauchy desse espa¸co converge para um ponto de M . Vejamos alguns exemplos de espa¸cos métricos completos e n˜ ao completos: 1. O espa¸co (Q, δ) é completo enquanto o espa¸co (Q, µ) n˜ ao o é. De fato, a “completeza” do espa¸co (Q, δ) é uma decorrência imediata da proposi¸c˜ ao 113 (pg. 448). Para mostrar que o espa¸co (Q, µ) n˜ ao é completo podemos nos valer do exemplo (3) (pg. 271) juntamente com a proposi¸c˜ ao 65 (pg. 279). Assim: Tomamos a ∈ R − Q ent˜ ao existe uma seq¨ uência (xn ) de racionais convergindo para a irracional. Sendo (xn ) convergente em (R, µ) ent˜ ao é de Cauchy, inclusive em (Q, µ). Pela unicidade do limite (xn ) n˜ ao pode convergir para um racional. Portanto (Q, µ) n˜ ao é completo, j´ a que conseguimos uma seq¨ uência de Cauchy em (Q, µ) que n˜ ao converge para um ponto de Q. Nota: De modo an´ alogo podemos mostrar que o espa¸co métrico (M, δ), onde M é qualquer conjunto n˜ ao vazio, é completo. 2. Veremos agora que o espa¸co (R, µ) é completo. Prova: Consideremos (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em (R, µ). Devido ` a proposi¸c˜ ao 114 (pg. 449) existe k > 0 tal que |xn | < k para todo n natural. De outro modo −k < xn < k, ∀ n ∈ N.

(9.7)

Por conta disto o conjunto {x1 , x2 , . . .} dos termos da seq¨ uência é limitado, logo possui supremo e inf´ımo. A partir da seq¨ uência (xn ) definamos uma outra seq¨ uência (yn ) do seguinte modo: ∗ Isto

´ e, a convergˆ encia de toda seq¨ uˆ encia de Cauchy implica na propriedade do supremo.

454

y1 = inf{x1 , x2 , x3 , . . .} y2 = inf{x2 , x3 , x4 , . . .} y3 = inf{x3 , x4 , x5 , . . .} −− − − − − − − − − − − − −− yn = inf{xn , xn+1 , xn+2 , . . .}

−− − − − − − − − − − − − −− Todos estes n´ umeros est˜ ao bem definidos. Observe, por exemplo que {x2 , x3 , x4 , . . .} ⊂ {x1 , x2 , x3 , . . .}, ent˜ ao∗ inf{x1 , x2 , x3 , . . .} ≤ inf{x2 , x3 , . . .} ⇒ y1 ≤ y2 . O que esta nova seq¨ uência tem de essencial é o fato de ser mon´ otona e limitada, isto é y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn ≤ · · · < k Observe que, por defini¸c˜ ao, yn ≤ xn , ∀ n ∈ N mas, por (9.7), podemos escrever yn ≤ xn < k ⇒ yn < k, ∀ n ∈ N. Conclus˜ ao∗ : (yn ) converge para p = sup { yn : n = 1, 2, . . .} que é um ponto de R. Mostremos que lim xn = p. Dado ε > 0 existe um ´ındice r tal que: n ≥ r ⇒ |yn − p| <

ε 3

por outro lado (xn ) sendo de Cauchy, existe um ´ındice s de modo que: m, n ≥ s ⇒ |xm − xn | <

ε 3

Agora vamos escolher um ´ındice t ≥ max{ r, s }. Tendo em conta que yt = inf{ xt , xt+1 , xt+2 , . . .} yt é a maior cota inferior do conjunto { xt , xt+1 , xt+2 , . . .} o que implica em que yt + 3ε n˜ ao é cota inferior deste conjunto. Por conseguinte existe um ´ındice j ≥ t de modo que ε ε ε yt ≤ x j < yt + ⇔ 0 ≤ x j − yt < ⇒ |xj − yt | < 3 3 3 Do artif´ıcio, xn − p = (xn − xj ) + (xj − yt ) + (yt − p) segue que |xn − p| = |(xn − xj ) + (xj − yt ) + (yt − p)| ≤ |xn − xj | + |xj − yt | + |yt − p| <

ε ε ε + + = ε, 3 3 3

∀ n ≥ t.

isto prova que lim xn = p.

3. O conjunto P[ 0, 1 ] das fun¸c˜ oes polinomiais p : [ 0, 1 ] → R é um espa¸co vetorial (exemplo 3, pg. 73). Podemos considerar em P[ 0, 1 ] a norma kpk = max{ |p(t)| : 0 ≤ t ≤ 1 } ∗ Lembramos:

∗ Ver

Se A ⊂ B ⇒ inf B ≤ inf A (prop. 20, pg. 64) proposi¸ca õ 39, pg. 243

455

do que resulta a métrica d sobre P[ 0, 1 ] dada por d(p, q) = max{ |p(t) − q(t)| : 0 ≤ t ≤ 1 } ` ´ O espa¸co métrico P[ 0, 1 ], d n˜ ao é completo. De fato, demonstra-se (no C´ alculo ou na An´ alise Real) que a seq¨ uência (pn ) de polinˆ omios dada por pn (t) = 1 + t +

t2 tn + ··· + 2! n!

converge uniformemente em ([ 0, 1 ], µ) para a fun¸c˜ ao cont´ınua f : [ 0, 1 ] → R, dada por f (t) = et que n˜ ao é um polinˆ omio. Como toda seq¨ é de Cauchy segue-se que ` uência convergente ´ (pn ) é uma seq¨ uência de Cauchy em P[ 0, 1 ], d que n˜ ao converge para um ponto deste espa¸co. ` ´ ` ´ 4. O espa¸co de fun¸c˜ oes C[ a, b ], Υ é completo enquanto o espa¸co C[ a, b ], Γ n˜ ao é completo. ` ´ Prova: (i) Temos de provar que, sendo (fn ) uma seq¨ uência de Cauchy em C[ a, b ], Υ , existe uma fun¸c˜ ao f ∈ C[ a, b ] para a qual a seq¨ uência (fn ) converge. Isto é, tal que kfn − f kΥ → 0† . Por hip´ otese, para qualquer ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que para todo m, n ≥ n0 temos n o ε Υ(fm , fn ) = max |fm (x) − fn (x)| : x ∈ [ a, b ] < 2 Conseq¨ uentemente para qualquer x ∈ [ a, b ] fixado, |fm (x) − fn (x)| <

ε 2

(m, n ≥ n0 ).

`

(9.8)

´

Isto mostra que f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x), . . . é uma seq¨ uência de Cauchy de n´ umeros reais∗ . Visto que (R, µ) é completo, esta seq¨ uência convergir´ a para um n´ umero real (em geral dependente de x) que podemos designar por f (x), ficando assim bem definida uma fun¸c˜ ao f : [ a, b ] → R dada por f (x) = lim fm (x), ∀ x ∈ [ a, b ]. m→∞

Vamos agora ver que f é cont´ınua em [ a, b ] (isto é, que f ∈ C[ a, b ]) e que se tem de fato kfn − f kΥ → 0, o que concluir´ a a demonstra¸c˜ ao. Na desigualdade (9.8) vamos conservar n fixo (embora arbitr´ ario, desde que maior ou igual a n0 ) e x fixo (arbitr´ ario em [ a, b ]) e tomar o limite quando m → +∞: lim |fm (x) − fn (x)| ≤ lim

m→∞

m→∞

ε 2

(n ≥ n0 )

Logo

˛ ` ´˛˛ ε ε ˛ ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ . ˛ lim fm (x) − fn (x) ˛ ≤ m→∞ 2 2 Deste modo mostramos que ˛ ˛ ˛f (x) − fn (x)˛ < ε, ∀ n ≥ n0 .

Segue, da defini¸c˜ ao de convergência uniforme de uma seq¨ uência de fun¸c˜ oes (pg. 58), que a seq¨ uência funcional (fn ) converge uniformente para a fun¸c˜ ao f . Isto é, a convergência fn → f é uniforme. Portanto pelo [AR] 11 (pg. 58) concluimos que f é † proposi¸ ca õ

33, pg. 201 (fn ) ´ e uma seq¨ uˆ encia de fun¸co ˜es enquanto, para x ∈ [ a, b ] fixado, (fn (x)) ´ e uma seq¨ uˆ encia de n´ umeros reais. ∗ Nota:

456

cont´ınua, isto é, f ∈ C[a, b]. Finalmente, da desigualdade: |f (x) − fn (x)| < ε, v´ alida para qualquer x ∈ [ a, b ] e qualquer n ≥ n0 , deduz-se (ver teorema [AR] 1 (pg. 57)) que se verificar´ a também, para n ≥ n0 , max |f (x) − fn (x)| = kfn − f kΥ < ε, x∈[ a, b ]

o que prova que kfn − f kΥ → 0 se n → +∞, ao. ` terminando ´ esta parte da demonstra¸c˜ (ii) Para mostrar que o espa¸co métrico C[ 0, 1 ], Γ n˜ ao é completo devemos exibir uma seq¨ uência de Cauchy e provar que esta seq¨ uência n˜ ao converge neste espa¸co. Consideremos a seq¨ uência de fun¸c˜ oes (fn ) cujo termo geral é dado por 8 > 0, 0 ≤ x ≤ 21 ; > > > < 1 fn (x) = 2n(x − 12 ), 12 ≤ x ≤ 21 + 2n ; > > > > :1, 1 1 + 2n ≤ x ≤ 1. 2 Na figura seguinte plotamos os três primeiros termos desta seq¨ uência:

f1 (x) 1

f2 (x)

6

1

q

f3 (x)

6

0

q

1 2

-x

q

0

q1

6

1

q

q

1 2

-x

q1

3 4

0

q

1 2

-x

q1

2 3

Vamos mostrar que a seq¨ uência (fn ) é de Cauchy. Para isto dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 de modo que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(fm , fn ) =

Z

1 0

|fm (x) − fn (x)| dx < ε

Do gr´ afico seguinte (` a direita) fn (x) ⊢

6

1 2n

⊢

⊣

6

1

1 2n

⊣

1 2m

1

q

q

fm

fn

0

q

1 2

an

q1

-x

0

q

1 2

am

an

q1

-x

concluimos que a distˆ ancia em quest˜ ao é dada pela ´ area do triˆ angulo compreendido

457

entre os gr´ aficos de fn e fm e vale `1 ´ „ « 1 − 2m ·1 1 1 1 B·h = 2n = · − A= 2 2 4 n m 1 onde estamos considerando m > n. Temos que an = 21 + 2n . Pois bem, queremos encontrar n0 de maneira que „ « 1 1 1 m, n ≥ n0 ⇒ · − <ε 4 n m

temos, m ≥ n0 , n ≥ n0 ⇒

1 1 1 1 ≤ , ≤ m n0 n n0

1 1 + ≤ m n „ 1 1 ⇒ · + 4 m

⇒

2 n0 « 1 1 2 ≤ · n 4 n0

por outro lado,

„ « „ « 1 1 1 1 1 1 1 · − < · + ≤ <ε 4 n m 4 m n 2n0 Au ´tima das desigualdades acima foi imposta. 1 Portanto dado ε > 0 escolhemos n0 > . Sen˜ ao vejamos: 2ε 1 1 1 1 m> , n> ⇒ < ε, <ε 2ε 2ε 2m 2n ⇒

1 1 + < 2ε 2m 2n

⇒

1 · 4

„

1 1 + m n

«

<ε

por outro lado,

„ „ « « 1 1 1 1 1 1 · − + < · <ε 4 m n 4 m n Com isto concluimos a prova de que a seq¨ uência (fn ) `de fato é de ´ Cauchy. S´ o nos resta mostrar que (fn ) n˜ ao converge em C[ 0, 1 ], Γ . Suponha, por um momento, que f seja uma fun¸c˜ ao em C[ 0, 1 ] tal que lim fn = f . Suponhamos ainda f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 21 . Ent˜ ao ˛ ˛ ˛ ˛ ˛fn (c) − f (c)˛ = ˛f (c)˛ > 0, para algum c ∈ [ 0, 1 ] 2

Logo (teorema [AR] 9, pg. 57),

d(fn , f ) = ≥ =

Z

Z

Z

1

|fn − f |

0 1 2

0 1 2

0

458

|fn − f | |f | > 0

Para todo n. Passando ao limite, temos lim d(fn , f ) ≥ lim

n→∞

n→∞

Z

1 2

0

|f | =

Z

1 2

0

|f | > 0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f (ver prop. 33, pg. 201). Logo n˜ ao temos f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 1/2. Ou ainda, f (x) = 0 para todo 0 ≤ x ≤ 1/2. Esta é a primeira conclus˜ ao que tiramos a respeito de f = lim fn . Agora suponhamos que para 21 < c ≤ 1 tivéssemos f (c) 6= 1. Ent˜ ao |fn (c) − f (c)| = |1 − f (c)| > 0

(9.9)

desde que n satisfa¸ca, 1 1 1 + < c ≤ 1, isto é n > 2 2n 2c − 1 Resumindo: Supondo que aconte¸ca f (c) 6= 1 para algum 1/2 < c ≤ 1, consideramos 1 , obtendo fn (c) = 1 e da´ı a validade de (9.9) a partir apenas as fn a partir de n > 2c−1 1 de n > 2c−1 . Ent˜ ao, Z 1 d(fn , f ) = |fn − f | 0

≥ = Para todo n >

1 . 2c−1

Z

Z

1

1 2

|fn − f |

1 1 2

|1 − f | > 0

Passando ao limite, temos

lim d(fn , f ) ≥ lim

n→∞

n→∞

Z

1 1 2

|1 − f | =

Z

1

|1 − f | > 0

1 2

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f . Logo n˜ ao temos f (c) 6= 1 para algum 1 1 ´ a segunda conclus˜ < c ≤ 1. Ou ainda, f (x) = 1 para todo < x ≤ 1. E ao que 2 2 tiramos a respeito de f = lim fn . Resumindo, temos f : [ 0, 1 ] → R, dada por f (x) 1

f (x) =

8 > <0, > : 1,

6

q

se 0 ≤ x ≤ 21 ; se

1 2

< x ≤ 1. 0

q 12

-x

q1

o que é imposs´ıvel` para uma´ fun¸c˜ ao cont´ınua no espa¸co ([ 0, 1 ], µ). Isto prova que n˜ ao existe lim fn em C[ a, b ], Γ . Vimos que o espa¸co (Q, µ) n˜ ao é completo. A pr´ oxima proposi¸c˜ ao nos mostra que isto acontece precisamente pelo fato de Q n˜ ao ser um subconjunto fechado em (R, µ) (conforme exemplo (3), pg. 268). Proposi¸ c˜ ao 119. Um subespa¸co fechado de um espa¸co métrico completo é completo. Rec´ıprocamente, um subespa¸co completo de qualquer espa¸co métrico é fechado.

459

Prova: (=⇒) Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em (N, d) (N ⊂ M ). Como (M, d) é completo, (xn ) converge em (M, d), isto é, existe a ∈ M tal que lim xn = a. Assim, temos que a ∈ N (pois N é fechado em (M, d) − ver proposi¸c˜ ao 66, pg. 280). Portanto (xn ) é convergente em (N, d) e (N, d) resulta completo. (⇐=) Para mostrar que (N, d) é fechado em (M, d) é suficiente tomar uma seq¨ uência de pontos em N convergindo para um ponto a ∈ M e mostrar que a ∈ N ( segundo ´ o que faremos: Seja (xn ) uma seq¨ proposi¸c˜ ao 67, pg. 282). E uência de pontos em N com lim xn = a ∈ M . Ent˜ ao pela proposi¸c˜ ao 112 (pg. 448) (xn ) é de Cauchy. Sendo (N, d) completo, (xn ) converge em (N, d). Isto é, existe b ∈ N tal que lim xn = b. Pela unicidade do limite de uma seq¨ uência temos b = a. Portanto a ∈ N . Assim, por exemplo, todo subespa¸co ([ a, b ], µ) é completo, por ser um subespa¸co fechado de (R, µ) que é completo. O produto cartesiano de espa¸cos métricos completos é completo. A pr´ oxima proposi¸c˜ ao sustenta mais que isto. Proposi¸ c˜ ao 120. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao o espa¸co (M × N, D) é completo se, e somente se, (M, d1 ) e (N, d2 ) s˜ ao completos. Prova: O enunciado refere-se a qualquer das métricas usuais (pg. 151) em (M × N, D) uma vez que, conforme j´ a vimos (corol´ ario 32, pg. 453), determinam neste espa¸co as mesmas seq¨ uências de Cauchy (usaremos a métrica do m´ aximo). (=⇒) Seja (x ) uma seq¨ u ˆ e ncia de Cauchy em (M, d ), ent˜ a o para cada y ∈ N , a n 1 ` ´ seq¨ uência (x1 , y); (x2 , y); . . . é de Cauchy no espa¸co (M × N, D3 ). De fato, dado ε > 0, existe um ´ındice n0 tal que: ` ´ ˘ ¯ m, n ≥ n0 ⇒ D3 (xm , y); (xn , y) = max d1 (xm , xn ), d2 (y, y)

= d1 (xm , xn ) < ε ` ´ Portanto, (xn , y) converge para um ponto (p, q) ∈ M × N e da´ı (xn ) converge para p ∈ M (proposi¸c˜ ao 38, pg. 214), logo (M, d1 ) resulta completo. De maneira an´ aloga se prova que (N, d2 ) é completo. ` ´ (⇐=) Seja (xn , yn ) uma seq¨ uência de Cauchy no espa¸co (M × N, D3 ), ent˜ ao (xn ) e (yn ) s˜ ao seq¨ uências de Cauchy em (M, d1 ) e (N, d2 ), respectivamente (proposi¸c˜ ao 118, pg. 453), e sendo completos estes espa¸cos, existem p ∈ M e q ∈ N de maneira que lim xn = p e lim yn = q. Portanto, novamente pela proposi¸c˜ ao 38 acima citada lim(xn , yn ) = ( p, q ) ` ´ Isto prova que (xn , yn ) é de Cauchy.

Corol´ ario 33. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . . , (Mn , dn ) espa¸cos métricos completos. Ent˜ ao (M1 × M2 × · · · × Mn , D) é completo se, e somente se, (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . . , (Mn , dn ) s˜ ao completos. Prova: Basta aplicar n − 1 vezes a proposi¸c˜ ao 120. Em particular temos o importante exemplo: Exemplo: J´ a vimos que o espa¸co (R, µ) é completo. Resulta da´ı que o espa¸co (Rn , Di ) é completo. Vamos mostrar agora que “ser completo” ou “n˜ ao ser completo” n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica (pg. 362) mas sim métrica. ` ´ Vimos (exemplo 2), pg. 361) que` os espa¸cos (R, ao home´ µ) e ] − 1, 1 [, µ s˜ omorfos, porém (R, µ) é completo e ] − 1, 1 [, µ n˜ ao é. Logo “ser completo” ou “n˜ ao ser completo” n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica, visto que n˜ ao é preservada por homeomorfismos. A proposi¸c˜ ao a seguir mostra que esta é uma propriedade “métrica”, isto é, propriedade que é preservada por isometrias (pg. 322).

460

Proposi¸ c˜ ao 121. Se f : (M, d1 ) → (N, d2 ) é uma isometria ent˜ ao (M, d1 ) é completo se, e somente se, (N, d2 ) o for. Prova: Sejam (M, d1 ) completo e f : (M, d1 ) → (N, d2 ) uma isometria. Dada uma seq¨ uência de Cauchy (yn ) em (N, d2 ), a seq¨ uência dada por xn = f −1 (yn ) é também de Cauchy, pois ` ´ d1 (xn , xm ) = d2 f (xn ), f (xm ) = d2 (yn , ym ).

Sendo (M, d1 ) completo, (xn ) converge. Seja a = lim xn . Ent˜ ao sendo f cont´ınua, da proposi¸c˜ ao 76 (pg. 333), podemos escrever a = lim xn ⇒ f (a) = f (lim xn ) ⇒ f (a) = lim f (xn ) = lim yn .

Portanto (yn ) é convergente e (N, d2 ) resulta completo. A outra parte da demonstra¸c˜ ao é an´ aloga. ´ o caso, por exemplo, do Nota: Ùm espa¸có pode ser conexo e n˜ ao ser completo. E espa¸co ] 0, 1 ], µ . Como j´ a vimos (proposi¸c˜ ao 104, pg. 400) no espa¸co (R, µ) todos os intervalos s˜ ao conexos. Como porém a seq¨ uência (1, 1/2, 1/3, . .`.) de pontos em ´ ] 0, 1 ] é de Cauchy mas n˜ ao converge neste espa¸co, ent˜ ao de fato ] 0, 1 ], µ n˜ ao é completo. Também pode ocorrer de um espa¸co ser completo sem ser conexo: basta considerar o espa¸co (M, δ), onde M é qualquer conjunto com pelo menos dois elementos. Em nota ` a pg. 454 dissemos que (M, δ) é completo. J´ a na proposi¸c˜ ao 101 (pg. 396) vimos que (M, δ) é desconexo.

O espa¸ co [ 0, 1 [, k ´ e completo

Para provar a pr´ oxima proposi¸c˜ ao lan¸caremos m˜ ao do fato de que o intervalo fechado [ 0, 1 ] é completo. Antes necessitaremos dos seguintes lemas:

Lema 4. ´ Considere (xn ) tal que 0 ≤ xn < 1. Se para 1 no espa¸co ` ` (xn ) converge ´ [ 0, 1 ], µ , ent˜ ao (xn ) converge para 0 no espa¸co [ 0, 1 [, k . Prova: Dado ε > 0, existe um ´ındice n0 de modo que ` ´ ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Bµ 1; ε . ` ´ Temos que Bµ 1; ε =] 1 − ε, 1 ]. Sendo assim (mostre) “ ` ” ´ Bµ 1; ε − { 1 } =] 1 − ε, 1 [ ⊂ Bk (0; ε) k portanto, xn −→ 0.

Nota: Nesta prova n˜ ao faz mal impor a restri¸c˜ ao ε ≤ 1. ` ´ Lema 5. Considere 0 ≤ p < 1 e r > 0, ent˜ ao Bµ p; r ⊂ Bk (p; r). ` ´ Prova: Seja x ∈ Bµ p; r ent˜ ao |x − p| < r. Temos duas possibilidades: ˘ ¯ k(x, p) = min |x − p|, 1 − |x − p| = |x − p| < r ˘ ¯ k(x, p) = min |x − p|, 1 − |x − p| = 1 − |x − p| ≤ |x − p| < r Em qualquer dos casos x ∈ Bk (p; r).

Corol´ ario 34. Toda uência (xn ) (0 ≤ xn < 1) que converge para o` ponto p´(0 ≤ ` seq¨ ´ p < 1) no espa¸co [ 0, 1 ], µ , converge para o mesmo ponto no espa¸co [ 0, 1 [, k . Em particular, toda seq¨ uência, (xn ) (0 ≤ xn < 1), de Cauchy no espa¸co [ 0, 1 ] também o é em [ 0, 1 [; mas a rec´ıproca é falsa, como veremos.

461

` ´ Proposi¸ c˜ ao 122 (Gentil/01.07.05). O espa¸co métrico [ 0, 1 [, k é completo. ` ´ Prova: Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em [ 0, 1 [, k . Isto significa que: ˘ ¯ ∀ ε > 0, ∃ n0 : ∀ m, n ≥ n0 ⇒ k(xm , xn ) = min |xm − xn |, 1 − |xm − xn | < ε (9.10) Temos duas alternativas: ` ´ 1a ) (xn ) é de Cauchy em [ 0, 1 ], µ . Neste caso, como este espa¸co é completo, (xn ) converge: µ

µ

k k Se xn −→ 1, ent˜ ao xn −→ 0. Se xn −→ p 6= 1, ent˜ ao xn −→ p. ` ´ a 2 ) (xn ) n˜ ao é de Cauchy em [ 0, 1 ], µ .

k Neste caso afirmamos que a seq¨ uência converge para 0, isto é: xn −→ 0. ` ´ De fato, se (xn ) n˜ ao é de Cauchy em [ 0, 1 ], µ , ent˜ ao (pg. 447): : ∀ ∃ ε0 >0 k∈N

∃ (m, n ≥ k) ∧ |xm − xn | ≥ ε0 m, n∈N

(9.11)

Podemos acompanhar a prova pelo seguinte fluxograma: ∃ ε0 > 0 (fixo) Tome k : 1/k < ε0 Tome ε<

(9.11)

(9.10)

1 k

∃ n0 ∈ N, n0 = n0 (ε)

( xm , xm , ... ) 1

2

( xn , xn , ... ) 1

2

Tome

(9.11)

k ≥ max{ n0 , k } ∃ mi , ni ≥ k

Tome um novo k > max{ mi , ni }

( 1−|xm −xn |< ε ) i i

Na primeira itera¸c˜ ao ( i = 1 ) por (9.11) existe ε0 > 0 (este est´ a fixo) em seguida, pela propriedade arquimediana, escolhemos um ´ındice k tal que k1 < ε0 . A´ı entramos na segunda caixa do fluxograma, tomando ε < k1 . Tome agora k ≥ max{ n0 , k }; sendo assim, por (9.11), podemos escolher dois ´ındices, digamos: m1 , n1 ≥ k de modo que |xm1 − xn1 | ≥ ε0 . A desigualdade (9.10) é satisfeita por todos os ´ındices superiores a n0 , como este é o caso dos ´ındices m1 e n1 , temos que ¯ ˘ k(xm1 , xn1 ) = min |xm1 − xn1 |, 1 − |xm1 − xn1 | < ε < ε0 ≤ |xm1 − xn1 |

Esta desigualdade imp˜ oe que seja k(xm1 , xn1 ) = 1 − |xm1 − xn1 | < ε. Observe que, 1 − |xm1 − xn1 | < |xm1 − xn1 |, ou ainda, |xm1 − xn1 | > 1/2; sendo assim os dois termos patrocinados por (9.11) resultam, for¸cosamente, em lados opostos do intervalo (ou metades opostas). Aqui termina a primeira itera¸c˜ ao. Iniciemos a segunda (i = 2); agora escolhemos um novo ´ındice k satisfazendo k > max{ m1 , n1 } e retornamos a (9.10).

462

Por raz˜ oes an´ alogas ao do caso precedente concluimos que: k(xm2 , xn2 ) = 1 − |xm2 − xn2 | < ε Geometricamente tudo se passa assim: xm

0

xn

2

xm

t

p 1 4

t

xn

t

1

p 1 2

2

t

1

p 3 4

1

Nota: N˜ ao faz mal escolhermos os ´ındices mj associados aos termos da esquerda e os ´ındices nj associados aos termos da direita. Fazemos duas observa¸c˜ oes quanto ao fluxograma: 1a ) k ≥ max{ n0 , k } garante que os ´ındices mi , ni ≥ k, patrocinados por (9.11), também satisfazem (9.10) o que vai garantir que 1 − |xm − xn | < ε. i

i

ao o novo k é maior 2a ) k > max{ mi , ni } ≥ k garante que a cada nova itera¸c˜ que o k da itera¸c˜ ao anterior, o que garante sempre ε < k1 < ε0 e, ademais, for¸ca (através de ∃ mi , ni ≥ k) que os ´ındices mi , ni sejam sempre crescentes (ver defini¸c˜ ao de subseq¨ uência).

Pois bem, por indu¸c˜ ao, obtemos duas subseq¨ uências (xm ), no primeiro quarto do j ´ltimo quarto do intervalo, tais que intervalo e (xn ), no u j

k(xm , xn ) = 1 − |xm − xn | < ε

(9.12)

j

j

j

j

Como ε é arbitrariamente pequeno (tendo em conta que k é sempre crescente a cada itera¸c˜ ao) a desigualdade (9.12) imp˜ oe que a distˆ ancia ( µ ): |xm − xn | aproxime-se j j arbitrariamente de 1; e isto for¸ca os termos de ambas as subseq¨ uências a aproximaremse, arbitrariamente, das extremidades do intervalo [ 0, 1 [. Lembrando da bola Bk (0; r): 1) Bk (0; r< 2

0

r

1−r

1

concluimos que ambas as subseq¨ uências (xm ) e (xn ) convergem para 0. Portanto, j ` j ´ k com o aux´ılio da prop. 116 (pg. 452), temos xn −→ 0 e [ 0, 1 [, k resulta completo.

Observe que esta prova caracteriza (nos diz quem s˜ ao e porque) todas as seq¨ uências (xn ) do intervalo [ 0, 1 [ que convergem neste, mas n˜ ao convergem no intervalo [ 0, 1 ]: s˜ ao as seq¨ uências que possuem uma subseq¨ uência na primeira metade do intervalo e outra na segunda metade. E mais: estas subseq¨ uências aproximam-se indefinidamente das extremidades do intervalo, ou seja, uma converge para 0 e a outra para 1, no intervalo [ 0, 1 ], da´ı a raz˜ ao da seq¨ uência (xn ) n˜ ao convergir em [ 0, 1 ]. Podemos observar um caso destes escolhendo a seq¨ uência (xn ) dada por, xn =

(1

n

,

1−

se n é par; 1 , n

se n é ´ımpar.

cujos primeiros termos est˜ ao plotados a seguir: x1

x6

s ... s

0

x4

x2

s

s

463

x3

s

x5

x7

s s. . .

1

Os termos de ´ındices pares convergem para 0 e os de ´ındices ´ımpares também (na métrica k), portanto a seq¨ uência converge para 0 e resulta de Cauchy. O mesmo j´ a n˜ ao acontece com respeito ` a métrica µ. Corol´ ario 35. Os três quadrados ( [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ , Di ) s˜ ao completos. (ver pg. 153).

9.3

Espa¸ cos de Banach

Defini¸ c˜ ao 64 (Espa¸cos de Banach). Um espa¸co vetorial normado e completo em rela¸c˜ ao ` a métrica induzida por esta norma é chamado espa¸co de Banach. Exemplos: 1. Exemplos de espa¸cos de Banach s˜ ao (Rn , k · k), (Rn , k · k′ ) e (Rn , k · k′′ ), onde, para x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se tem !1/2 n X p 2 kxk = |xi | = |x1 |2 + · · · + |xn |2 i=1

kxk′ =

n X i=1

|xi | = |x1 | + · · · + |xn |

kxk′′ = max |xi | = max{|x1 |, . . . , |xn |} 1≤i≤n

Ver corol´ ario 33 (pg. 460). ` ´ 2. O espa¸ co C[ a, b ], k · k , onde

kf k = max

n

o |f (x)| : x ∈ [ a, b ]

é de Banach. A completeza deste espa¸co foi mostrada no exemplo 4. ` a pg. 456. ` ´ 3. O espa¸ co C[ a, b ], k · k , onde Z 1 kf k = |f (x)| dx 0

n˜ ao é de Banach. A incompleteza deste espa¸co foi mostrada no exemplo 4. ` a pg. 456. ` ´ ` p´ 4. O espa¸ co B(X, R), k · k . A agina 105 consideramos o conjunto B(X, R) das fun¸c˜ oes limitadas de de X em R. Neste conjunto consideramos a métrica ˘ ¯ Ψ(f, g) = sup |f (x) − g(x)| : x ∈ X a qual é proveniente da norma

˘ ¯ kf kΨ = sup |f (x)| : x ∈ X

Mostraremos agora que o espa¸co vetorial aqui descrito é um espa¸co de Banach. ` ´ Prova: Temos de provar que, sendo (fn ) de Cauchy em B(X, R), k · kΨ , existe uma fun¸c˜ ao f ∈ B(X, R) para a qual (fn ) converge, isto é, tal que kfn − f kΨ → 0. Por hip´ otese, para qualquer ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que para todo m, n ≥ n0 temos n o ε Ψ(fm , fn ) = sup |fm (x) − fn (x)| : x ∈ X < 2 Conseq¨ uentemente para qualquer x ∈ X fixado, ˛ ˛ ˛fm (x) − fn (x)˛ < ε 2

464

(m, n ≥ n0 ).

(9.13)

` ´ Isto mostra que f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x), . . . é uma seq¨ uência de Cauchy de n´ umeros reais. Visto que (R, µ) é completo, esta seq¨ uência convergir´ a para um n´ umero real (em geral dependente de x) que podemos designar por f (x), ficando assim bem definida uma fun¸c˜ ao f : X → R dada por f (x) = lim fm (x), ∀ x ∈ X. m→∞

Vamos agora ver que f é limitada em X (isto é, que f ∈ B(X, R)) e que se tem de fato kfn − f kΨ → 0, o que concluir´ a a demonstra¸c˜ ao. Na desigualdade (9.13) vamos conservar n fixo (embora arbitr´ ario, desde que maior do que n0 ) e x fixo (arbitr´ ario em X) e tomar o limite quando m → +∞: lim |fm (x) − fn (x)| ≤ lim

m→∞

m→∞

ε 2

(n ≥ n0 )

Logo,

˛ ` ´˛˛ ε ε ˛ ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ . ˛ lim fm (x) − fn (x) ˛ ≤ m→∞ 2 2 Deste modo mostramos que |f (x) − fn (x)| ≤

Em particular, sendo assim,

ε < ε, ∀ n ≥ n0 e ∀ x ∈ X. 2

˛ ˛ ˛ ˛ ˛f (x) − fn0 (x)˛ < ε,

(9.14)

∀x ∈ X

|f (x)| = |f (x) − fn (x) + fn (x)| 0

0

≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x)| 0

0

< ε + |fn (x)| 0

para todo x ∈ X. Como fn (x) ∈ B(X, R), existe k tal que 0

|fn0 (x)| ≤ k,

∀ x ∈ X.

Logo, |f (x)| < ε + k,

∀ x ∈ X.

Isto mostra que f é limitada, ou seja f ∈ B(X, R). A desigualdade (9.14) nos diz que ε é uma cota superior do conjunto 2 ˘ ¯ |f (x) − fn (x)| : x ∈ X para n ≥ n0 . Como o sup é a menor de tais cotas superiores segue que

logo,

˘ ¯ ε sup |f (x) − fn (x)| : x ∈ X ≤ 2

˘ ¯ ε kfn − f kΨ = sup |f (x) − fn (x)| : x ∈ X ≤ < ε 2 o que prova que kfn − f kΨ → 0 se n → +∞; terminando a demonstra¸c˜ ao. Para o nosso pr´ oximo exemplo de espa¸co de Banach chamamos a aten¸c˜ ao do leitor para o fato de que estaremos considerando (simultaneamente) dois espa¸cos métricos:

i) ( X, d ), onde X 6= ∅ é um conjunto qualquer e d é uma métrica qualquer sobre X; ` ´ ii) B(X, R); k · kΨ , onde B(X, R) é o conjunto das fun¸c˜ oes f : X → R limitadas e k · kΨ é a métrica (norma) dada por ˘ ¯ kf − gkΨ = sup |f (x) − g(x)| : x ∈ X = Ψ(f, g)

465

Pois bem, dada uma fun¸c˜ ao f ∈ B(X, R) esta pode ou n˜ ao ser cont´ınua. Indicaremos por BC(X, R) o conjunto das fun¸c˜ oes limitadas e cont´ınuas f : X → R. Deixamos a cargo do leitor provar que BC(X, R) é um subespa¸co vetorial de B(X, R). ` ´ 5. `No presente exemplo mostraremos que BC(X, R); k · kΨ é um subespa¸co fechado ´ de B(X, R); k · kΨ e portanto um espa¸co métrico completo em virtude´ da proposi¸c˜ ao ` 119 (pg. 459). Em outras palavras, mostraremos que BC(X, R); k · kΨ é também um espa¸co de Banach. ` ´ ` ´ Prova: Para provar que BC(X, R); k·kΨ é um subespa¸co fechado de B(X, R); k· kΨ − consoante a proposi¸c˜ ao 67 (pg. 282) − basta mostrar que se (fn ) é uma seq¨ uência em BC(X, R) tal que lim fn = f ∈ B(X, R), ent˜ ao f ∈ BC(X, R). Para mostrar que f : ( X, d ) → R é cont´ınua, temos de provar que, fixado arbitrariamente um ponto a ∈ X e dado um n´ umero ε > 0 existe δ > 0 tal que, para x ∈ X e d(x, a) < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε. Consideremos ent˜ ao uma seq¨ uência (fn ) de fun¸c˜ oes cont´ınuas e limitadas fn : X → R, com lim fn = f ∈ B(X, R) Sendo assim dado ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ d(fn , f ) = kfn − f kΨ n o ε = sup |fn (x) − f (x)| : x ∈ X < ; 3

assim, escolhido um inteiro k ≥ n0 , ter-se-´ a |fk (x) − f (x)| <

ε ; 3

∀ x ∈ X.

Como fk : ( X, d ) → R é, por hip´ otese, uma fun¸c˜ ao cont´ınua existir´ a δ > 0 tal que |fk (x) − fk (a)| <

ε ; 3

∀ x ∈ X com d(x, a) < δ.

Logo, se x ∈ X e d(x, a) < δ teremos |f (x) − f (a)| = |f (x) − fk (x) + fk (x) − fk (a) + fk (a) − f (a)| ≤ |f (x) − fk (x)| + |fk (x) − fk (a)| + |fk (a) − f (a)| <

ε ε ε + + = ε. 3 3 3

o que prova a continuidade de f , ou seja f ∈ BC(X, R). ` ´ No exemplo 4. (pg. 456) dissemos que o espa¸ c o de fun¸ c ˜ o es cont´ ınuas C[ a, b ], Υ é ` ´ completo; isto é que C[ a, b ], k · kΥ é um espa¸co de Banach. Esta conclus˜ a o sai como ` ´ um caso particular do exemplo 5 acima desde que tomemos ( X, d ) = [ a, b ], µ .

9.4

Espa¸ cos de Hilbert

Defini¸ c˜ ao 65 (Espa¸cos de Hilbert). Um espa¸co de Hilbert é um espa¸co vetorial com produto interno que é completo em rela¸c˜ ao ` a métrica induzida por este produto interno. Os espa¸cos de Hilbert s˜ ao de grande utilidade na formaliza¸c˜ ao matem´ atica da Mecˆ anica Quˆ antica. Exemplos/contra-exemplos:

466

1. Vimos no exemplo 1. (pg. 464) que os espa¸cos (Rn , k · k), (Rn , k · k′ ) e (Rn , k · k′′ ), onde, para x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn temos

kxk = kxk′ =

n “X i=1

n X i=1

|xi |2

”1/2

=

p

|x1 |2 + · · · + |xn |2

|xi | = |x1 | + · · · + |xn |

kxk′′ = max |xi | = max{|x1 |, . . . , |xn |} 1≤ i ≤n

s˜ ao todos espa¸cos de Banach. Destes apenas o primeiro é também um espa¸co de Hilbert. Isto se deve a que apenas a primeira destas normas é oriunda de um produto interno (prove isto!). 2. Vejamos mais um exemplo de um espa¸co que é de `Banach mas ń˜ ao de Hilbert. Mostramos no exemplo 4. (pg. 456) que o espa¸co C[ a, b ], k · k , onde kf k = max

n

o |f (x)| : x ∈ [ a, b ]

é de Banach. Por outro lado, esta norma n˜ ao é proveniente de um produto interno. ` ´ 3. O espa¸co ℓ 2 , +, · . Este espa¸co j´ a foi estudado (pg. 71). Veremos agora que o mesmo é um espa¸co de Hilbert. Vamos definir a aplica¸c˜ ao h· , ·i : ℓ 2 × ℓ 2 −→ R P∞ (x, y) 7−→ n=1 xn yn ` 2 ´ que é um produto interno ` 2 em ´ℓ , +, · (pg. 77). O espa¸co vetorial ℓ ` , +, · é´ chamado: “O espa¸co das seq¨ uências de quadrado som´ avel ”. A norma em ℓ 2 , +, · se define da maneira usual por v u∞ p uX kxk = hx, xi = t x2n n=1

e a métrica induzida por esta norma é v u∞ uX (xn − yn )2 . d(x, y) = kx − yk = t n=1

Proposi¸ c˜ ao 123. O espa¸co espa¸co de Hilbert.

`

´ ℓ 2 , +, · , das seq¨ uências de quadrado som´ avel é um

467

Prova: Seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em ℓ 2 . Digamos∗ x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1k , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2k , . . .) x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3k , . . .) ................................. xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk , . . .) .................................... xm = (xm1 , xm2 , xm3 , . . . , xmk , . . .) .................................... Sendo (xn ) de Cauchy, dado ε > 0 existe um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε isto é, Mas,

∀ m, n ≥ n0 ⇒ kxm − xn k < ε xm − xn = (xm1 , xm2 , xm3 , . . . , xmk , . . .) − (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk , . . .) = (xm1 − xn1 , xm2 − xn2 , . . . , xmk − xnk , . . .)

Logo, para todo m, n ≥ n0 kxm

v u∞ uX − xn k = t (x k=1

mk

− xnk )2 < ε

(9.15)

Com mais raz˜ ao ainda, para cada componente da seq¨ uência (xm − xn ) vale q (xmk − xnk )2 < ε (k = 1, 2, . . .) ou seja,

|xmk − xnk | < ε

(k = 1, 2, . . .)

Assim, para cada k fixado, a seq¨ uência (xmk )m∈N é uma seq¨ uência de Cauchy em (R, µ). Esta seq¨ uência converge visto que (R, µ) é completo. Para cada k ∈ N fa¸camos, ak = lim xmk m→∞

Usando estes limites colocamos, (a1 , a2 , a3 , . . .) = a Para um melhor entendimento observe a figura seguinte

∗ Observe que uma seq¨ uˆ encia (xn ) de pontos no espa¸co ℓ 2 , ´ e uma “seq¨ uˆ encia de seq¨ uˆ encias”. Isto ´ e, cada termo da seq¨ uˆ encia (xn ) ´ e, por sua vez, uma seq¨ uˆ encia.

468

?

(xmk )m∈N

x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1k , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2k , . . .) x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3k , . . .) .. .. .. .. .. . . . . . ?↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . .) Vamos agora ver que a ∈ ℓ 2 e que se tem de fato lim xn = a, o que termina a demonstra¸c˜ ao. De (9.15) temos para todo m, n ≥ n0 j X

k=1

(xmk − xnk )2 < ε2

(j = 1, 2, . . .)

Nesta desigualdade podemos fazer m → ∞ conservando n fixo (embora arbitr´ ario, desde que maior ou igual a n0 ), ent˜ ao, j X

lim

m→∞

k=1

(xmk − xnk )2 ≤ lim ε2 m→∞

Logo,‡ j “ X k=1

Portanto,

lim xmk − xnk

m→∞

j X

(ak − xnk )2 ≤ ε2

∞ X

(ak − xnk )2 ≤ ε2

k=1

”2

≤ ε2

(∀ n ≥ n0 )

Agora podemos fazer j → ∞, obtendo

k=1

(∀ n ≥ n0 )

(9.16)

Sendo xn = (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .) o n-ésimo termo da seq¨ uência de Cauchy em ℓ 2 e a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . .) a seq¨ uência constru´ıda anteriormente; desta u ´ltima desigualdade concluimos que a − xn ∈ ℓ 2 − para todo n ≥ n0 bem entendido. Portanto, para todo n ≥ n0 , temos (a − xn ) + xn = a ∈ ℓ 2 visto estarmos em um espa¸co vetorial. Finalmente de (9.16) obtemos, para todo n ≥ n0 v u∞ uX t (ak − xnk )2 ≤ ε < 2ε k=1

isto é, d(xn , a) < 2ε para todo n ≥ n0 , ou seja, lim xn = a. Com isto completamos a prova da completeza de ℓ 2 . ‡ proposi¸ ca õ

42, pg. 247; proposi¸ca õ 44, pg. 248

469

Para vermos que nem todo espa¸ `co vetorial com ´ produto interno é um espa¸co de Hilbert, vamos considerar o espa¸co C[ 0, 1 ], h·, ·i , onde Z 1 hf, gi = f ·g 0

ent˜ ao, kf k = Neste espa¸co temos,

p

hf, f i ⇒ kf k =

d(f, g) = kf − gk =

sZ

sZ

1

0

f ·f

1

0

(f − g)2

` ´ O espa¸co C[ 0, 1 ], d n˜ ao é um espa¸co de Hilbert. Prova: Para provar esta assertiva consideremos a seq¨ uência (fn ) de fun¸c˜ oes cujo termo geral é dado por (ver pg. 457) 8 > 0, 0 ≤ x ≤ 21 ; > > < 1 fn (x) = 2n(x − 12 ), 21 ≤ x ≤ 21 + 2n ; > > > :1, 1 1 + 2n ≤ x ≤ 1. 2 ` ´ Inicialmente mostremos que (fn ) é de Cauchy no espa¸co C[ 0, 1 ], d . Ent˜ ao sZ 1

d(fm , fn ) =

0

Temos (ver gr´ afico pg. 457) Z 1 0

·=

onde, an =

Z

1 2

0

· +

Z

am 1 2

(fm − fn )2

+

Z

an

am

· +

Z

1 an

·

1 1 1 1 + X am = + 2 2n 2 2m

Mas, Z

1 2

0

·=

Z

1

an

·=0

Pois, nestes intervalos, fm = fn ⇒ (fm − fn )2 = 0. Logo, Z 1 Z am Z an ·= · + · 1 2

0

am

Para 1/2 ≤ x ≤ am , temos ` ` 1´ 1´ − 2n x − fm (x) − fn (x) = 2m x − 2 2 ` 1´ = 2(m − n) x − 2

e para am ≤ x ≤ an , temos

` 1´ fm (x) − fn (x) = 1 − 2n x − . 2

Ent˜ ao, Z

am 1 2

(fm − fn )2 =

Z

1+ 1 2 2m 1 2

` 1 ´2 (m − n)2 4(m − n)2 x − = 2 6m3

470

também, Z

an am

(fm − fn )2 =

Donde,

Sendo assim, temos

Z

1 0

·=

Z

1+ 1 2 2n 1+ 1 2 2m

Temos,

` (m − n)3 1 ´˜2 = 1 − 2n x − 2 6m3 · n

(m − n)2 (m − n)3 (m − n)2 + = 3 3 6m 6m · n 6m2 · n r

(m − n)2 6m2 · n

(n ≤ m)

1 m−n √ d(fm , fn ) = √ · m · n 6

(n ≤ m)

d(fm , fn ) = ou ainda,

ˆ

1 1 m−n m √ · √ < √ · √ <ε 6 m· n 6 m· n onde a u ´ltima das desigualdades é uma imposi¸c˜ ao de nossa parte. Ent˜ ao √

n>

ε·

1 √

6

⇒ n>

1 . 6ε2

Portanto, dado ε > 0 escolhemos n0 > 1/(6ε2 ). Agora consideremos o caso em que n > m. Sendo d(fm , fn ) = d(fn , fm ) podemos escrever 8 m−n √ , < √1 · m· se n ≤ m; n 6 d(fm , fn ) = : √1 · n−m √ , se n > m. n· m 6 Em resumo dado ε > 0 escolhemos n0 >

1 6ε2

e teremos

∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(fm , fn ) < ε ` ´ Isto é, a seq¨ uência (fn ) é de Cauchy no espa¸co C[ a, b ], h·, ·i . Vamos simular uma situa¸c˜ ao. Por exemplo, seja ε = 0, 01, ent˜ ao n0 >

1 6ε2

⇒ n0 >

1 = 1.666, 667 6 · 0, 012

Vamos tomar, ainda como exemplo, m = 1667 e n = 1700, ent˜ ao 1 1 n−m 1700 − 1667 √ = √ · √ d(fm , fn ) = √ · ≃ 1, 9 · 10−4 < ε. 6 n· m 6 1700 · 1667 Seja ainda, m = 1668 e n = 1667, ent˜ ao 1 1 m−n 1668 − 1667 √ = √ · √ d(fm , fn ) = √ · ≃ 6, 0 · 10−6 < ε. 6 m· n 6 1668 · 1667 ` ´ S´ o nos resta mostrar que (fn ) n˜ ao converge em C[ 0, 1 ], h·, ·i . Suponha, ao contr´ ario, que f seja uma fun¸c˜ ao em C[ 0, 1 ] tal que lim fn = f . Suponhamos ainda ao, f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 21 . Ent˜ |fn (c) − f (c)| = |f (c)| > 0 ⇒

` ´2 ˆ 1˜ f (c) > 0 para algum c ∈ 0, . 2

471

Logo, sZ

d(fn , f ) =

1

0

s

≥

s

=

Z

1 2

Z

1 2

(fn − f )2

0

(fn − f )2 f2 > 0

0

Para todo n. Passando ao limite, temos lim d(fn , f ) ≥ lim

n→∞

n→∞

s

Z

1 2

f2

=

0

s Z

1 2

f2 > 0

0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f . Logo n˜ ao temos f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 1/2. Ou ainda, f (x) = 0 para todo 0 ≤ x ≤ 1/2. Esta é a primeira conclus˜ ao que tiramos a respeito de f = lim fn . Agora suponhamos f (c) 6= 1 para ao algum 21 < c ≤ 1, ent˜ ` ´2 |fn (c) − f (c)| = |1 − f (c)| > 0 ⇒ 1 − f (c) > 0 (9.17)

desde que n satisfa¸ca

1 1 1 + < c ≤ 1, isto é n > . 2 2n 2c − 1

Resumindo: Supondo que aconte¸ca f (c) 6= 1 para algum 1/2 < c ≤ 1, consideramos 1 apenas as fn a partir de n > 2c−1 , obtendo fn (c) = 1 e da´ı a validade de (9.17) a 1 ao, apartir de n > 2c−1 . Ent˜ sZ 1

(fn − f )2

d(fn , f ) =

0

≥ =

1 . 2c−1

Para todo n >

sZ

sZ

1 1 2

(fn − f )2

1 1 2

(1 − f )2 > 0

Passando ao limite, temos sZ 1

lim d(fn , f ) ≥ lim

n→∞

n→∞

1 2

(1 − f )2 =

sZ

1 1 2

(1 − f )2 > 0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f . Logo n˜ ao temos f (c) 6= 1 para algum 1 1 ´ a segunda conclus˜ < c ≤ 1. Ou ainda, f (x) = 1 para todo < x ≤ 1. E ao que 2 2 tiramos a respeito de f = lim fn . Resumindo, temos f : [ 0, 1 ] → R, dada por f (x) 1

f (x) =

8 > <0, > :

1,

6

q

se 0 ≤ x ≤ 12 ; se

1 2

< x ≤ 1.

472

0

q 12

-x

q1

o que é imposs´ıvel` para uma fun¸ ao cont´ınua no espa¸co ([ 0, 1 ], µ). Isto prova que n˜ ao ´ c˜ existe lim fn em C[ a, b ], h·, ·i . Por conseguinte este espa¸co n˜ ao é de Hilbert.

Vejamos mais um exemplo de espa¸co vetorial com produto interno e que n˜ ao é de Hilbert. Exemplo − Considere o conjunto C0 0 das seq¨ uências reais que s´ o possuem uma quantidade finita de termos` n˜ ao nulos.´ Consideremos o espa¸co C0 0 , h·, ·i onde (ver pgs. 72 e 77) ∞ ˙ ¸ X (xn ), (yn ) = x n yn n=1

Neste espa¸co temos v u∞ q˙ uX ¸ (xn ), (xn ) ⇒ k(xn )k = t k(xn )k = xn xn n=1

A distˆ ancia entre duas seq¨ uências fica assim

v u∞ uX ` ´ (xn − yn )2 . d (xn ), (yn ) = k(xn ) − (yn )k = t n=1

Consideremos em C0 0 a seq¨ uência (xn ), de termos

x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1k , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2k , . . .) x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3k , . . .) ................................. xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk , . . .) ................................. ` ´ onde os termos xn de (xn ) s˜ ao seq¨ uências xn = xnk k∈N com termos dados por xnk =

8 <

1 , 2k−1

:0,

se k ≤ n;

(9.18)

se k > n.

A seguir explicitamos os termos de (xn ): x1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .) ` x2 = 1,

1 , 2

´ 0, 0, 0, . . .

` ´ x3 = 1, 21 , 41 , 0, 0, . . . . . . . . . .`. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´. . 1 1 xn = 1, 12 , 41 , . . . , 2n−2 , 2n−1 , 0, 0, . . . . . . . . . . `. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 1 1 1 1 , 2n−1 , 21n , . . . , 2m−2 , 2m−1 , 0, . . . xm = 1, 21 , 14 , . . . , 2n−2 .........................................................

Em nossas argumenta¸c˜ oes iremos considerar n < m. Pois bem, mostremos que esta seq¨ uência é de Cauchy. Isto é, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 tal que ` ´ ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d xm , xn = kxm − xn k < ε

473

Temos, xm − xn = Logo,

„

0, 0, . . . , 0,

1 1 1 1 , , . . . , m−2 , m−1 , 0, 0, . . . 2n 2n+1 2 2

«

v v um−1 „ «2 um−1 X 1 uX 1 ` ´ u =t d xm , xn = t i 2 4i i=n i=n

No radicando em quest˜ ao temos a soma dos (m − 1 − n) + 1 termos da progress˜ ao geométrica de primeiro termo a1 = 41n e raz˜ ao q = 14 . Ent˜ ao “` ´ ” m−n 1 « „ · 41 −1 4n 1 1 1 = · − Sm−n = 1 3 4n−1 4m−1 −1 4 Portanto,

Fa¸camos,

√

3 · 3

Mas,

r

` ´ d xm , xn =

√

3 · 3

r

1 1 − m−1 4n−1 4

1 1 1 1 − m−1 < ε ⇒ − m−1 < 3 ε2 4n−1 4 4n−1 4

1 1 1 − m−1 < n−1 < 3 ε2 4n−1 4 4 onde a u ´ltima desigualdade é uma imposi¸c˜ ao de nossa parte. Logo, 4n−1 >

1 3 ε2

⇒

`

2n−1

´2

>

1 3 ε2

√1 1 ⇒ 2n−1 > √ ⇒ n − 1 > log2 3 ε . 3ε

Portanto dado ε > 0 exibimos

√

n0 > 1 − log2 3·ε

e teremos nossas aspira¸c˜ oes satisfeitas. Em resumo, dado ε > 0 escolhemos n0 como acima e teremos ` ´ ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d xm , xn < ε onde,

` ´ d xm , xn =

8√ q 3 1 > > < 3 · 4n−1 −

q > √ > : 3· 1 − 3 4m−1

1 , 4m−1

se n ≤ m;

1 , 4n−1

se n > m.

Fa¸camos uma simula¸c˜ ao. Por exemplo, seja ε = 0, 01, ent˜ ao √

√

n0 > 1 − log2 3·ε ⇒ n0 > 1 − log2 3·0,01 = 6, 85. Vamos tomar, ainda como exemplo, m = 10 e n = 7, ent˜ ao √ r ` ´ 1 3 1 d xm , xn = · − 10−1 ≃ 0, 00895 < ε 3 47−1 4 Seja ainda, m = 7 e n = 8, ent˜ ao √ r ` ´ 3 1 1 d xm , xn = · − 8−1 ≃ 0, 00781 < ε 3 47−1 4

474

` ´ Resta mostrar que (xn ) n˜ ao converge no espa¸co C0 0 , h·, ·i . Suponhamos, por absurdo, que exista um ponto p = (p1 , p2 , p3 , . . .) ∈ C0 0 tal que lim xn = p. Consideremos, ademais, a seq¨ uência (δk ) de pontos de C0 0 onde, para todo k ∈ N, temos ( 1, se k = i; δk = (δk1 , δk2 , δk3 , . . .) onde δki = 0, se k 6= i. A seguir explicitamos os termos da seq¨ uência (δk ). δ1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .) δ2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) δ3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .) .. . δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) .. ↑ k-´ esima posi¸ ca õ. . As seq¨ uências δk (k = 1, 2, . . .) têm a seguinte propriedade - que nos interessa de perto: dada uma seq¨ uência (zn ) ∈ C0 0 qualquer, o produto hδk , (zn )i nos d´ a uma “amostra” do termo de posi¸c˜ ao k da seq¨ uência (zn ). Veja: δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) (zn ) = (z1 , z2 , . . . , zk , zk+1 , . . .) Ent˜ ao, hδk , (zn )i =

∞ X

δkn zn

n=1

= δk1 z1 + δk2 z2 + . . . + δkk zk + δk(k+1) zk+1 + . . . = 0 · z1 + 0 · z2 + . . . + 1 · zk + 0 · zk+1 + . . . = zk Isto é, hδk , (zn )i = zk

(k = 1, 2, 3, . . .)

Sendo assim vamos pedir ` as seq¨ uências δk (k = 1, 2, . . .) que nos mostrem os termos da seq¨ uência p = lim xn . Do seguinte modo∗ pk = hδk , pi = hδk , lim xn i = limhδk , xn i n

n

= lim xnk n→∞

onde xnk é dado pela equa¸c˜ ao (9.18) (pg. 473) a qual repetimos aqui 8 1 < k−1 , se n ≥ k; 2 xnk = :0, se n < k. Vamos calcular alguns destes limites. Temos,

p1 = lim xn1 n→∞

∗O

produto interno possui a propriedade: hlim xn , lim yn i = limhxn , yn i n

475

n

n

onde, xn1 =

8 <

1 , 21−1

se n ≥ 1;

:0,

se n < 1.

` ´ xn1 = (1, 1, 1, . . .) → 1

⇒

⇒ p1 = lim xn1 = 1. n→∞

Também, p2 = lim xn2 n→∞

onde, xn2 =

8 <

1 , 22−1

:0,

se n ≥ 2; se n < 2.

⇒

`

´ 1 1 1 xn2 = (0, , , . . .) → 2 2 2

⇒ p2 = lim xn2 = n→∞

1 . 2

E de um modo geral, temos

xnk =

8 <

1 , 2k−1

:0,

se n ≥ k; se n < k.

⇒

`

´ xnk = (0, . . . , 0,

⇒ pk = lim xnk = n→∞

1 1 1 , , . . .) → k−1 2k−1 2k−1 2

1 . 2k−1

Portanto, ` ´ p = p1 , p2 , p3 , . . . ´ ` 1 1 1 = 1, , , . . . , k−1 , . . . 6∈ C0 0 2 4 2 ` ´ logo a seq¨ uência de Cauchy (xn ) n˜ ao converge no espa¸co C0 0 , h·, ·i .

476

9.5

Completamento de Espa¸ cos M´ etricos

O espa¸co (Q, µ) n˜ ao é completo como j´ a vimos. A constru¸c˜ ao de (R, µ) ` a partir de (Q, µ) (ver [11], vol. 1 ou [10]) é o que denominamos de um “completamento” de (Q, µ). Veremos que todo espa¸co métrico pode ser “completado”. Ou, de modo mais preciso: a partir de qualquer espa¸co métrico podemos construir um espa¸co métrico completo. Defini¸ c˜ ao`66 (Completamento). Um completamento de um espa¸co métrico (M, d) ´ ˆ , D); ϕ , onde (M ˆ , D) é um espa¸co métrico completo, ϕ : M → M ˆ é um par (M ˆ , D) (isto é, é uma imers˜ ao isométrica (preserva distˆ ancia) e ϕ(M ) é denso em (M ˆ ). ϕ(M ) = M

y

q

xq

ˆ D) (M,

(M, d)

q ϕ(x)

ϕ ϕ(M)

q ϕ(y)

ˆ ϕ(M)=M

ˆ , D); ϕ) = Completamento de (M, d) / d(x, y) = D(ϕ(x), ϕ(y)) Figura 9.1: ( (M − De in´ıcio observamos que por ϕ ser uma imers˜ ao isométrica ent˜ ao ela transforma ˆ (ver prop. 117, pg. 453). seq¨ uências de Cauchy de M em seq¨ uências de Cauchy de M Exemplos: ˆ. Vamos, em um caso particular, justificar o porquê da exigência ϕ(M ) = M ˆ 1ˆ 1. Consideremos o espa¸co métrico (M, µ) onde M = 0, 4 este espa¸co n˜ ao é completo. Vamos complet´ a-lo. Primeiramente observemos que (M, µ) é um subespa¸co do espa¸co métrico completo ([ 0, 1 ], µ). Observe que a imers˜ ao isométrica ϕ(x) = x nos fornece: ˆ 1˜ ˆ 1˜ ˆ 3˜ ˆ 1ˆ ⊂ 0, ⊂ 0, ⊂ 0, ⊂ [ 0, 1 ] ϕ(M ) = M = 0, 4 4 2 4 ˆ ˜ ˆ ˜ ˆ ˜ Todos os quatro espa¸cos, 0, 41 , 0, 21 , 0, 43 e [ 0, 1 ] s˜ ao completos (por serem subespa¸cos fechados de um espa¸co completo).

Perguntamos: qual deles elegemos como completamento de M ? Aqui, precisamente ˆ ˜ ˆ nos manda escolher: M ˆ = 0, 1 como o completamento de M . a condi¸c˜ ao ϕ(M ) = M 4 Esta condi¸c˜ ao, como vimos, estabelece a unicidade do completamento, num sentido que ser´ a precisado oportunamente. ˆ esta mesma condi¸c˜ Observe, ademais que no caso em ϕ(M ) ⊂ M ao nos diz que o completamento de M é o “menor” fechado que contém M . Ou seja, basta juntar a ◦ ¯ = X ∪ ∂X). M seus pontos aderentes ou de fronteira (j´ a vimos que: X

2. Consideremos os espa¸cos (Q, µ) e (R, µ). Tomando ϕ : Q → R dada por ϕ(x) = x temos que ϕ é uma imers˜ ao isométrica (preserva distˆ ancias) e ϕ(Q) = Q é denso no espa¸co métrico completo (R, µ). Logo (R, µ) é um completamento de (Q, µ).

3. Toda seq¨ uência de Cauchy no espa¸co ( [ 0, 1 [, µ ) converge no espa¸co ( [ 0, 1 [, k ) que é completo. Sendo assim seriamos tentados a imaginar que o segundo destes espa¸cos é um completamento do primeiro. Acontece entretanto que pela defini¸c˜ ao de completamento, uma condi¸c˜ ao necess´ aria para tanto é que exista uma uma imers˜ ao isométrica: ϕ : ( [ 0, 1 [, µ ) −→ ( [ 0, 1 [, k ) (9.19)

477

Afirmamos que n˜ ao existe uma tal imers˜ ao. De fato, suponha pelo contr´ ario que exista uma ϕ imers˜ ao isométrica; sendo assim devemos ter, k( ϕ(x), ϕ(y) ) = |x − y|, ∀ x, y ∈ [ 0, 1 [ Tomemos nesta igualdade y = 0 e x = xn = 1 − n1 , assim: ” ˛ “ ` ˛ 1 1´ , ϕ(0) = ˛1 − − 0˛ k ϕ 1− n n

Tomemos o limite em ambos os membros, “ ` ” ˛ 1´ 1˛ lim k ϕ 1 − , ϕ(0) = lim ˛1 − ˛ n n

Tendo em conta a continuidade da aplica¸c˜ ao k (ver equa¸c˜ ao (7.7), pg. 333), obtemos “ ” ` 1´ k lim ϕ 1 − , ϕ(0) = 1 n ` ` ´´ Como (xn ) é uma seq¨ uência de Cauchy no dom´ınio segue-se que sua imagem ϕ xn é uma seq¨ uência de Cauchy no contra-dom´ınio. Como o contra-dom´ınio é um espa¸co completo segue que esta seq¨ uência tem um limite a ∈ [ 0, 1 [, portanto: ` ´ k a, ϕ(0) = 1 Ora, este resultado contradiz o fato que 0 ≤ k(x, y) < 1, ∀ x, y ∈ [ 0, 1 [. Portanto, n˜ ao existe nenhuma imers˜ ao isométrica da forma (9.19).

• A constru¸c˜ ao (completamento) do exemplo 1. acima pode sempre ser feita no caso de dois espa¸cos quaisquer (M, d) e (N, d) onde o primeiro é incompleto e o segundo completo (logo, fechado), e M ⊂ N . Isto é, basta tomar ˆ =M ⊂N ϕ : M −→ M x 7−→ x

E quando o espa¸co incompleto (M, d) n˜ ao é subespa¸co de um espa¸co completo, ainda assim podemos complet´ a-lo? A resposta est´ a no conte´ udo da pr´ oxima proposi¸c˜ ao. Por oportuno, observe que na defini¸c˜ ao de completamento n˜ ao exigimos que M ⊂ ˆ. M Proposi¸ c˜ ao 124 (Existência do completamento). Todo espa¸co métrico possui um completamento. Prova: Sejam (M, d) um espa¸ ` co métrico e púm ponto fixado em M . Invoquemos em nosso aux´ılio o espa¸co BC(M, R); k · kΨ das fun¸c˜ oes cont´ınuas e limitadas f : M → R que é completo conforme vimos no exemplo 5 (pg. 466). Vamos definir uma aplica¸c˜ ao: σ : (M, d) −→ BC(M, R) a 7−→ fa onde, σ(a) = fa : M −→ R x 7−→ d(x, a)−d(x, p) Isto significa que a cada ponto a ∈ M associamos a fun¸c˜ ao fa ∈ BC(M, R) dada por fa (x) = d(x, a) − d(x, p).

478

p

q

p

BC(M, R)

(M, d)

a

q

q

σ

(M, d)

a

x

q

q

q σ(a)=fa

-

(R, µ)

fa

-

6 r fa (x)=d(x, a)−d(x, p)

Devemos mostrar que σ est´ a bem definida, isto é, que fa efetivamente é um elemento do conjunto BC(M, R). Ou ainda, que fa : (M, d) −→ (R, µ), dada por fa (x) = d(x, a) − d(x, p) de fato é cont´ınua e limitada. Com efeito fa é cont´ınua por ser a diferen¸ca entre duas fun¸c˜ oes cont´ınuas∗ e é limitada porque para todo x ∈ M ocorre‡ |fa (x)| = |d(x, a) − d(x, p)| ≤ d(a, p) Vamos mostrar que σ é uma imers˜ ao isométrica. Consideremos M a 7−→ σ(a) = fa ∈ BC(M, R) M b 7−→ σ(b) = fb ∈ BC(M, R) mostremos que De fato,

kσ(a) − σ(b)kΨ = kfa − fb kΨ = d(a, b).

˘ ¯ kfa − fb kΨ = sup |fa (x) − fb (x)| : x ∈ M

˘˛` ´ ` ´˛ ¯ = sup ˛ d(x, a) − d(x, p) − d(x, b) − d(x, p) ˛ : x ∈ M

mas,

˛ ˘˛ ¯ = sup ˛d(x, a) − d(x, b)˛ : x ∈ M

|d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b)

logo, d(a, b) é uma cota superior do conjunto { |d(x, a) − d(x, b)| : x ∈ M }. Portanto, sup{ |d(x, a) − d(x, b)| : x ∈ M } ≤ d(a, b). ∗ Ver

‡ Ver

exemplo (iv), pg. 329 proposi¸ca õ 26, pg. 118

479

pois sup é a menor das cotas superiores. Ent˜ ao, kfa − fb kΨ ≤ d(a, b)

(♮)

Por outro lado, para x = b, temos ˛` ´ ` ´˛ |fa (b) − fb (b)| = ˛ d(b, a) − d(b, p) − d(b, b) − d(b, p) ˛ = |d(b, a)|

= d(a, b).

Portanto, d(a, b) = |fa (b) − fb (b)| ≤ sup { |fa (x) − fb (x)| } x∈M

= kfa − fb kΨ

(♯)

logo, (♮) e (♯) garantem que kfa − fb kΨ = d(a, b). Portanto, ` ´ σ : (M, d) −→ BC(M, R); k · kΨ

é uma imers˜ ao isométrica. ` ´ Porém n˜ ao h´ a garantia de que σ(M ) seja denso em BC(M, R); k · kΨ raz˜ ao porque tomamos ˆ = σ(M ) ⊂ BC(M, R) M ˆ Àssim (M , D) resulta ´ completo por ser subespa¸co fechado do espa¸co métrico completo BC(M, , R); k · kΨ . ˆ ` Observe da inclus˜ ´ ao anterior que a métrica do espa¸co (M , D) é a métrica do espa¸co BC(M, R); k · kΨ restrita ao fecho de σ(M ). Isto é, D(fa , fb ) = kfa − fb kΨ . Fa¸camos, ˆ ϕ : M −→ M a 7−→ fa

Observe que as aplica¸c˜ oes ϕ e σ têm o mesmo dom´ınio, s˜ ao dadas pela mesma lei a 7→ fa , mas têm contradom´ımios diferentes: o de σ é BC(M, R) enquanto o de ϕ é σ(M ) ⊂ BC(M, R). Temos, σ(M ) = {σ(a) : a ∈ M } = {fa : a ∈ M }

ϕ(M ) = {ϕ(a) : a ∈ M } = {fa : a ∈ M } Logo, ˆ. ϕ(M ) = σ(M ) ⇒ ϕ(M ) = σ(M ) = M ` ´ ˆ , D); ϕ é um completamento de (M, d). Por conseguinte (M

Faremos agora algumas observa¸c˜ oes no sentido de esclarecer em que sentido deveˆ , D) é um completamento do espa¸co (M, d): mos entender que o espa¸co (M ´ ˆ , porquanto os elementos de M e M ˆ têm naturezas distin1a N˜ ao temos M ⊂ M ˆ s˜ tas. Os elementos de M podem ser quaisquer, enquanto os de M ao sempre fun¸c˜ oes f : M → R cont´ınuas e limitadas. ´ ˆ , D) ao isométrica entre (M, d) e (M 2a Devido existir uma imers˜ ` ´ M, d

ϕ

` ´ ˆ, D M

480

dados dois elementos quaisquer a, b ∈ M temos duas op¸c˜ oes para calcular a distˆ ancia entre os mesmos: ou diretamente através da métrica d ou indiretamente, transferindoos (metamorfoseando-os) através de ϕ, e calculando a distˆ ancia entre as respectivas imagens ϕ(a) e ϕ(b) na métrica D uma vez que ` ´ ` ´ d(a, b) = D ϕ(a), ϕ(b) = D fa , fb = kfa − fb kΨ ´ 3a Dada uma seq¨ uência de Cauchy (xn ) em (M, d), como este espa¸co n˜ ao é completo, esta seq¨ uência n˜ ao tem obriga¸c˜ ao de convergir. Pela proposi¸c˜ ao 117 (pg. 453) uma aplica¸c˜ ao uniformemente cont´ınua transforma seq¨ uências de Cauchy em seq¨ uências de Cauchy e sendo uma imers˜ ao isom´ ao uniformemente ` etrica ´ uma aplica¸c˜ cont´ınua (ver quadro ` a pg. 353) segue que ϕ(xn ) é uma seq¨ uência de Cauchy no ˆ , D) e, por conseguinte, tem a obriga¸c˜ espa¸co métrico completo (M ao de convergir. Em resumo: embora uma seq¨ uências de Cauchy (xn ) n˜ ao convirja necessariamente em ˆ , D). (M, d) (incompleto) sua seq¨ uência imagem necessariamente converge em (M Vamos concretizar o que dissemos àcima atrav´ oes. ´ es de algumas simula¸c˜ • Consideremos o espa¸co métrico ] 0, 1 ], µ que n˜ a o ´ e completo. J´ a vimos que ` ´ uma completa¸c˜ ao deste espa¸co é [ 0, 1 ], µ . Agora obteremos uma outra constru¸c˜ ao (um outro completamento) seguindo os passos da demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 124. Ent˜ ao, definimos ` ´ ˆ ⊂ BC(M, R) ϕ : ] 0, 1 ], µ −→ M a

7−→

fa

onde, ϕ(a) = fa : ] 0, 1 ] −→ R 7−→

x

|x−a|−|x−p|

ˆ , D); ϕ), onde, M ˆ = ϕ( ] 0, 1 ] ) e, O completamento de ( ] 0, 1 ], µ) é o par ( (M D(fa , fb ) = kfa − fb kΨ = d(a, b), ∀ a, b ∈ ] 0, 1 ] Observe que, ϕ( ] 0, 1 ] ) =

˘

ϕ(a) : a ∈ ] 0, 1 ]

¯

= { fa : a ∈ ] 0, 1 ] }

Por exemplo, consideremos dois pontos a = 14 e b = 43 e calculemos a distˆ ancia entre eles tanto no espa¸co quanto no seu completamento. Temos M

1

b= 3 4

6 * r ` ´

ϕ 3 4

r f3 : ] 0, 1 ] −→ R 4

x

7−→

3 |−|x−p| |x− 4

1 ⊥ 2

1 a= 4

0

r H HH ` ´HH ϕ 1 H 4 j r H f1 : ] 0, 1 ] −→ R 4

x

481

7−→

1 |−|x−p| |x− 4

• Vamos mostrar que: d Temos,

‚ ‚ ‚ `1 3´ ˛1 ` ´ ‚ 1 3˛ ‚ f , − f = ˛ − ˛ = = d f1 , f3 = ‚ 1 3 ‚ ‚ 4 4 4 4 2 4 4 4 4 Ψ ˛ 1˛ f1 (x) = ˛x − ˛ − |x − p| 4 4 ˛ 3˛ f3 (x) = ˛x − ˛ − |x − p| 4 4

Logo,

˛ 3˛ 1˛ ˛ f1 (x) − f3 (x) = ˛x − ˛ − ˛x − ˛ 4 4 4 4 Observe que esta diferen¸ca independe do ponto p fixado no intervalo ] 0, 1 ]. Ent˜ ao, ‚ ‚  ff ‚ ˛ ˛ ` ´ ‚ ‚ ˛ ˛ d f1 , f3 = ‚ ‚f1 − f3 ‚ = sup f1 (x) − f3 (x) : x ∈ M 4

4

4

4

4

Ψ

Temos,

8 ˛ ˛
8
Graficamente temos,

4

ff ˛ ˛ 3 ˛˛ 1˛ ˛ ˛˛ = sup ˛˛x − ˛ − ˛x − ˛˛ : x ∈ ] 0, 1 ] 4 4

|x− 1 |=−x+ 1 4 4

|x− 1 |=x− 1 4 4

@ @⊣

⊣ 0

1 4

se x ≥ 34 ; se x ≤ 34 .

⊣

1 2

⊣

se x ≤ 14 .

⊣

1 4

⊣ 0

se x ≥ 14 ;

⊣ 1

3 4

|x− 3 |=−x+ 3 4 4

|x− 3 |=x− 3 4 4

-

@ @⊣

⊣

1 2

⊣ 1

3 4

Destes gr´ aficos obtemos, ˛ ˛ ˛ ` ˛ ´ ` ´ 0 < x ≤ 14 ⇒ ˛x − 14 ˛ − ˛x − 43 ˛ = − x + 14 − − x + 34 = − 21

Ent˜ ao,

1 4

≤x≤

3 4

⇒

3 4

≤x≤1

⇒

˛ ˛ ˛ ` ˛ ´ ` ´ ˛x − 1 ˛ − ˛x − 3 ˛ = x − 1 − − x + 3 = 2x − 1 4 4 4 4

˛ ˛ ˛ ` ˛ ´ ` ´ ˛x − 1 ˛ − ˛x − 3 ˛ = x − 1 − x − 3 = 4 4 4 4

1 2

˛˛ ˛˛ ˛ ˛ 1˛ ˛ 1˛ ˛ 3 ˛˛ 3 ˛˛ 1 ˛ ˛ sup ˛˛x − ˛ − ˛x − ˛˛ = sup ˛˛x − ˛ − ˛x − ˛˛ = 4 4 4 4 2 1 3 x∈ ]0, ] x∈ [ ,1] 4

4

482

-

-

Por outro lado, 3 1 3 1 1 1 ≤x≤ ⇔ ≤ 2x ≤ ⇔ − ≤ 2x − 1 ≤ 4 4 2 2 2 2 ⇔ |2x − 1| ≤

1 2

˛ ˛ ˆ 1˜ ⇒ ˛f1 (x) − f3 (x)˛ ∈ 0, 2 4 4

Portanto,

‚ ‚ ff ˛ ‚ ˛ ˛ ˛˛ ‚ ˛ ‚f1 − f3 ‚ = sup ˛˛˛x − 1 ˛ − ˛x − 3 ˛˛˛ : x ∈ ] 0, 1 ] = 1 ‚ 4 ‚ 4 4 2 4 Ψ

conforme haviamos previsto. • Consideremos em M` =] 0, 1 ] a´ seq¨ uência (xn ) dada por xn = 1/n. Esta seq¨ uência é de Cauchy no espa¸co ] 0, 1 ], µ mas n˜ ao converge neste espa¸co. Vamos mostrar ` ´ ` ´ ˆ , D . Temos (fixando p = 1) que a seq¨ uência imagem ϕ(xn ) converge no espa¸co M ϕ( n1 ) = f 1 : ] 0, 1 ] −→ R n

x

7−→

1 |−|x−1| |x− n

logo ˛ 1˛ f 1 (x) = ˛x − ˛ − |x − 1| n n

Alternativamente f 1 (x) pode ser escrita como, n

8 1 > > < n − 1, f 1 (x) = > n > :2x − 1 − 1, n

se 0 < x ≤ se

1 n

1 n

;

≤ x ≤ 1.

A seguir plotamos os três primeiros termos desta afico ´ uência juntamente com o gr´ ` seq¨ da fun¸c˜ ao f candidata ao limite da seq¨ uência f 1 . n

1

f1(x)

f1(x)

f1(x)

2

6

1

q

1 2

1

q

1 2

q

-

x

q

q

1 2

1

1 2

−1

−1

q

f (x)

3

6

6

-

−1

q

1 2

q 1 2

q q

6

q

q

x q1

◦ q

1

q

q

-

x q1

q 12 1 2

−1

-x

q1

q q

` ´ Observe que estas fun¸c˜ oes pertencem todas ao conjunto BC ] 0, 1 ], R . ` ´ ˆ , D) (por ser a A seq¨ uência f 1 é de Cauchy no espa¸co métrico completo (M n

imagem de uma seq¨ uência de Cauchy por uma imers˜ ao isométrica (ϕ)). Portanto ela converge neste espa¸co. Vamos mostrar que a seguinte convergência se verifica,

483

f1

D(·, ·)=k · kΨ

f

n

` ´ onde f ∈ BC ] 0, 1 ], R é dada por f (x) = 2x c˜ ao´33 (pg. 201) é ` − 1. Pela ´ proposi¸ ` suficiente mostrar que a seq¨ uência numérica d(f 1 , f ) = Ψ(f 1 , f ) converge para n

0 no espa¸co (R, µ). De fato,

 ff ˛ ˛ Ψ(f 1 , f ) = sup ˛f 1 (x) − f (x)˛ : 0 < x ≤ 1 n

onde

n

n

8 1 1 > > <−2x + n , se 0 < x ≤ n ; f 1 (x) − f (x) = > 1 n > :− , se n1 ≤ x ≤ 1. n A seguir vemos os gr´ aficos de h(x) = f 1 (x) − f (x) e |h(x)|. n

|h(x)|

h(x)

1

1 n

6

1

q

1 n

q q n1

1 −n

−1

6

q q

-x

q1

q n1 1 −n

q

−1

q

-x

q1

q q

Temos, 0
Portanto,

2 2 1 ⇔ 0 < 2x ≤ ⇔ − ≤ −2x < 0 n n n ˛ 1 1 1 1 1˛ ⇔ − ≤ −2x + < ⇒ ˛ − 2x + ˛ ≤ n n n n n ˛ ˆ 1˜ ˛ . ⇔ ˛f 1 (x) − f (x)˛ ∈ 0, n n

 ff ˛ ˛ 1 Ψ(f 1 , f ) = sup ˛f 1 (x) − f (x)˛ : 0 < x ≤ 1 = → 0. n n n Na proposi¸c˜ ao seguinte teremos a oportunidade de ver que, na defini¸c˜ ao de compleˆ vai nos permitir fixar (amarrar) a unicidade tamento, a exigência adicional ϕ(M ) = M do completamento. ` ´ ` ´ ˆ , D1 ); ϕ e (M ˜ , D2 ); ψ Proposi¸ c˜ ao 125 (Unicidade do completamento). Sejam (M dois completamentos do mesmo espa¸co métrico (M, d), ent˜ ao existe uma isometria ˆ →M ˜ tal que f ◦ ϕ = ψ. f: M ˆ , D1 ) e (M ˜ , D2 ) espa¸cos métricos completos, ϕ : M → M ˆ e Prova: Sejam (M ˜ ψ: M → M ˆ e ψ(M ) = M ˜ . Para construir a fun¸c˜ ao f deseimers˜ oes isométricas tais que ϕ(M ) = M ˆ ˆ existe jada observemos que dado y ∈ M e sendo ϕ(M ) = { ϕ(x) : x ∈ M } denso em M uma seq¨ uência yn ∈ ϕ(M ) de modo que lim yn = y (proposi¸c˜ ao 65, pg. `279). ´ Como yn ∈ ϕ(M ) existe an ∈ M com yn = ϕ(an ) de modo que: lim yn = lim ϕ an = y.

484

´ ` ˆ , D1 ent˜ ao é de Cauchy neste espa¸co. Como ϕ ´é Como ϕ(an ) converge em M ` imers˜ ao isométrica segue que an é de Cauchy em (M, d). Por conseguinte ψ(an ) ` ´ ˜ , D2 visto que ψ é também imers˜ é uma seq¨ uência de Cauchy em M ao isométrica. ´ ` ˜ , D2 é completo existe lim ψ(an ) neste espa¸co. Vamos definir ent˜ ao f (y) = Como M lim ψ(an ) ˆ,D ) (M 1

(M, d)

p qqqqq

ϕ

q

-

y

q. .

ϕ(M )

.q q q q q q

տ y =ϕ(a ) n n

an

ψ

?

˜,D ) (M 2

q q ψ(an ) qq q q ցq f (y)≡lim ψ(an )

f

Devemos verificar se f est´ a bem definida. Isto é, que se (an ) e (bn ) s˜ ao duas seq¨ uências em M com lim ϕ(an ) = lim ϕ(bn ) = y ent˜ ao lim ψ(an ) = lim ψ(bn ). Ent˜ ao∗ ` ´ ` ´ D2 lim ψ(an ), lim ψ(bn ) = lim D2 ψ(an ), ψ(bn )

= lim d(an , bn ) ` ´ = lim D1 ϕ(an ), ϕ(bn ) ` ´ = D1 lim ϕ(an ), lim ϕ(bn ) ` ´ = D1 y, y = 0.

Portanto lim ψ(an ) = lim ψ(bn ). ˆ , como ϕ(M ) Agora vamos mostrar que f é uma imers˜ ao isométrica. Dados x, y ∈ M ˆ é denso em M existem seq¨ uências xn , yn ∈ ϕ(M ) tais que lim xn = x, lim yn = y. Por outro lado, existem seq¨ uências (an ) e (bn ) em M tais que ϕ(an ) = xn ; ϕ(bn ) = yn de modo que lim ϕ(an ) = lim xn = x, lim ϕ(bn ) = lim yn = y.


76, pg. 333

485

Ent˜ ao ` ´ ` ´ D2 f (x), f (y) = D2 lim ψ(an ), lim ψ(bn ) ` ´ = lim D2 ψ(an ), ψ(bn ) = lim d(an , bn ) ` ´ = lim D1 ϕ(an ), ϕ(bn ) ` ´ = D1 lim ϕ(an ), lim ϕ(bn ) ` ´ = D1 x, y .

˜ devemos construir um ponto y ∈ M ˆ Devemos mostrar que f é sobrejetiva. Dado z ∈ M ˜ tal que f (y) = z. Pois bem, como ψ(M ) = {ψ(x) : x ∈ M } é denso em (M , D2 ), isto ˜ ent˜ ˜ existe uma seq¨ é, ψ(M ) = M ao para este z ∈ M uência (yn ) de pontos de ψ(M ) tal que lim yn = z. Como yn ∈ ψ(M ) existe` an ∈ ´M tal que yn = ψ(an ). Portanto ˆ . Sendo ψ e ϕ imers˜ lim ψ(an ) = z. a seq¨ uência ϕ(an ) em M oes ` Consideremos ´ ` ´ isométricas e ψ(an ) uma seq¨ uência de Cauchy, ent˜ ao a seq¨ uência ϕ(an ) é também de Cauchy. ` ´ Porquanto se ϕ(an ) n˜ ao fosse de Cauchy e como ϕ é imers˜ ao isométrica ent˜ ao (an ) t˜ ao pouco seria de Cauchy. Ora (a ) n˜ a o sendo de Cauchy e ψ sendo imers˜ a o n ` ´ isométrica ent˜ ao ψ(an ) n˜ ao seria de Cauchy. O que n˜ ao é verdade pois esta seq¨ uência converge. ˆ tal que y = lim ϕ(an ). Da defini¸c˜ Logo existe y ∈ M ao de f segue que f (y) = lim ψ(an ) = z. Portanto f é uma imers˜ ao isométrica sobrejetiva, isto é, uma isometria. Resta mostrar que f ◦ ϕ = ψ. Dado a ∈ M existe y = ϕ(a), tomemos em M uma seq¨ uência (an ) com lim an = a. Ent˜ ao ` ´ ` ´ f ◦ ϕ (a) = f ϕ(a) = f (y)

= lim ψ(an ) = ψ(lim an ) = ψ(a). ˆ →M ˜ nos permite identificar os dois completa− A existência da isometria f : M mentos.

a

r

˜,D ) (M 2

ˆ,D ) (M 1

(M, d)

ϕ

rϕ(a)

f

f −1

Ψ

486

rf (ϕ(a))=Ψ(a)

9.6

Espa¸ cos topologicamente completos

Observe que os espa¸cos (R, µ) e ( ] − 1, 1 [ ; µ) s˜ ao homeomorfos (exemplo 2) pg. 361) n˜ ao obstante o primeiro ser completo e o segundo n˜ ao. Isto é poss´ıvel pelo fato de que “ser completo” ou “n˜ ao ser completo” n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica, visto que n˜ ao é preservada por homeomorfismos. Consideremos dois espa¸cos (M, d) e (N, D) homeomorfos. Se h : (M, d) −→ (N, D) é um homeomorfismo ent˜ ao (ver pg. 148) ` ´ d′ (x, y) = D h(x), h(y)

(♭)

é uma métrica em M equivalente∗ a d, tal que

h′ : (M, d′ ) −→ (N, D) é uma isometria (devido a (♭)). Logo (M, d′ ) resultar´ a completo se (N, D) o for (proposi¸c˜ ao 121, pg. 461). Como d′ ∼ d temos que i : (M, d) −→ (M, d′ )

é um homeomorfismo sendo que (M, d) pode n˜ ao ser completo mas (M, d′ ) sim. Isto é, sendo (M, d) um espa¸co n˜ ao completo pode existir uma métrica d′ , equivalente a d, que o torne completo. Por exemplo, ` ´ ` ´ h : ] − 1, 1 [ , µ −→ R, µ

dada por h(x) =

x é um homeomorfismo. Fazendo 1 − |x| ` ´ d′ (x, y) = µ h(x), h(y)

= |h(x) − h(y)| ˛ ˛ ˛ x y ˛˛ ˛ − =˛ 1 − |x| 1 − |y| ˛

` ´ temos que ] − 1, 1 [ , d′ resulta um espa¸co métrico completo. Observe, uência dada por an = 1 − n1 é de Cauchy ` a t´ıtulo de ćuriosidade, que a seq¨ no espa¸co ] − 1, 1 [ , µ ; sendo este um` espa¸co n˜ ao completo esta seq¨ uência n˜ ao tem ´ obriga¸c˜ ao de convergir. J´ a no espa¸co ] − 1, 1 [ , d′ , que é completo, esta mesma seq¨ uência n˜ ao é de Cauchy, n˜ ao tendo portanto obriga¸c˜ ao de convergir. Das afirma¸c˜ oes feitas vamos mostra que (an ) n˜ ao é de Cauchy na métrica d′ . Para tanto devemos exibir ε > 0 de modo que para todo ´ındice n0 existam m ≥ n0 e n ≥ n0 tais que d′ (am , an ) ≥ ε (pg. 447). De fato, consideremos ε = 1/2 e dado n0 ∈ N tomemos m = n0 + 1 e n = n0 , ent˜ ao |m − n| = |(n0 + 1) − n0 | = 1, ∗ No

apˆ endice (pg. 499) mostramos que d′ ∼ d.

487

portanto isto implica em que ˛ ˛ ˛ ` ` 1´ 1 ´˛˛ |m − n| ≥ ε ⇒ ˛˛m 1 − −n 1− ≥ε m n ˛ ˛ ˛ ˛ 1− 1 1 ˛ 1 − ˛ ` m1´− ` n 1 ´ ˛˛ ≥ ε ⇒ ˛ ˛1 − 1 − m 1− 1− n ˛ ˛ ˛ ˛ ˛ 1− 1 1 − n1 ˛ m ˛ ˛ ˛− ˛ ˛˛ ≥ ε ⇒ ˛ 1 1 ˛ ˛ ˛ ˛ ˛1 − 1 − m 1− 1− n ˛

˛ ˛ ˛ ˛ an ˛ ˛ am ˛ ˛− ˛ ˛ ˛ ≥ ε ⇒ d′ (am , an ) ≥ ε. ⇒ ˛ ˛ 1 − ˛am ˛ 1 − ˛an ˛ ˛

Proposi¸ c˜ ao 126. Todo subconjunto aberto de um espa¸co métrico completo é homeomorfo a um espa¸co métrico completo. Prova: Seja A ⊂ M aberto no espa¸co métrico completo (M, d). A aplica¸c˜ ao, ϕ : M −→ R x 7−→ d(x, Ac ) é cont´ınua (pg. 329). Como Ac é fechado temos (proposi¸c˜ ao 63, pg. 278) ϕ(x) > 0 ⇔ x ∈ A. Portanto, podemos definir a fun¸c˜ ao f : A ⊂ M −→ R 1 x 7−→ ϕ(x) Observe que f é cont´ınua porque ϕ é cont´ınua. Vamos considerar as duas seguintes fun¸c˜ oes auxiliares g : A × R −→ R (x, t) 7−→ t

j : A × R −→ R 1 (x, t) 7−→ ϕ(x)

X

g é cont´ınua (proje¸c˜ ao) e mostremos que j também é cont´ınua. Para tanto vamos considerar no produto A × R a métrica (ver pg. 151) D2 (X, Y ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) = d(x, y) + |b − c| onde, X = (x, c) ∈ A × R e Y = (y, b) ∈ A × R. R

R

t

r g(x, t)

g

c

b

q q

r(x, t)

j(x, t)

r(x, c)

j

r(y, b)

q xp

yp

A

f

r

R

A×R

?

f (x)

r

f (y)

488

R

-

r

Vamos mostrar que j é cont´ınua em um ponto arbitr´ ario Y = (y, b). Dado ε > 0 devemos exibir δ > 0 de maneira que D2 (X, Y ) < δ ⇒ |j(X) − j(Y )| < ε ou ainda,

˛ ˛ ˛ 1 1 ˛˛ ˛ d(x, y) + |b − c| < δ ⇒ ˛ <ε − ϕ(x) ϕ(y) ˛

(♮)

Consideremos a continuidade de f no ponto y. Ent˜ ao, dado ε > 0 existe δ ′ > 0 de modo que ˛ ˛ ˛ 1 1 ˛˛ <ε d(x, y) < δ ′ ⇒ |f (x) − f (y)| = ˛˛ − ϕ(x) ϕ(y) ˛ Logo,

˛ ˛ ˛ 1 1 ˛˛ <ε d(x, y) + |b − c| < δ ′ + |b − c| ⇒ ˛˛ − ϕ(x) ϕ(y) ˛

Portanto tomando δ = δ ′ + |b − c| teremos (♮) satisfeita. Logo j é cont´ınua. Com este resultado asseguramos que o conjunto ˘ ¯ F = (x, t) ∈ A × R : g(x, t) = j(x, t)  ff 1 = (x, t) ∈ A × R : t = ϕ(x) é fechado (ver observa¸c˜ ao, pg. 348). Como F ⊂ A × R ⊂ M × R, decorre que F é um subespa¸co completo, por ser fechado em M × R, que é completo (proposi¸c˜ ao 120, pg. 460). Por outro lado o gr´ afico de f é dado por ˘` ´ ¯ G(f ) = x, f (x) : x ∈ A “ ff 1 ” = x, :x∈A ϕ(x) ff  1 = F. = (x, t) ∈ A × R : t = ϕ(x) Como o gr´ afico de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua é homeomorfo ao seu dom´ınio (ver exemplo 6), pg. 370) segue que o espa¸co completo F = G(f ) é homeomorfo ao aberto A. O homeomorfismo em quest˜ ao é dado por (exemplo 6), pg. 370) h : (A, d) −→ (G(f ), D2 ) ` ´ x 7−→ x, f (x)

ent˜ ao (ver equa¸c˜ ao (♭) pg. 487)

` ´ d′ (x, y) = D2 h(x), h(y)

é uma métrica em A equivalente a d, tal que ` ´ h′ : (A, d′ ) −→ G(f ), D2 ` ´ x 7−→ x, f (x)

489

(♯)

(‡)

´ ` é uma isometria; sendo que (A, d′ ) é completo porque G(f ), D2 o é. Na igualdade (♯) temos ` ´ “ 1 ” h(x) = x, f (x) = x, ϕ(x) ` ´ “ h(y) = y, f (y) = y,

ent˜ ao,

1 ” ϕ(y)

„“

1 ” “ 1 ” x, ; y, ϕ(x) ϕ(y) ˛ ˛ ˛ 1 1 ˛˛ = d(x, y) + ˛˛ − ϕ(x) ϕ(y) ˛

` ´ D2 h(x), h(y) = D2

ao mas ϕ(x) = d(x, Ac ), ent˜

˛ ˛ d′ (x, y) = d(x, y) + ˛˛

«

˛ ˛ 1 1 ˛ − c c d(x, A ) d(y, A ) ˛

(9.20)

Vamos concretizar a demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao anterior com um exemplo espec´ıfico. Consideremos o subespa¸co (A, µ) do espa¸co métrico completo (R, µ), onde A =] − 1, 1 [. Temos, ϕ : R −→ R x 7−→ d(x, Ac )

onde

c

A =] −∞, 1 ] ∪ [ 1, +∞ [

também, f : ] − 1, 1 [ −→ R 1 x 7−→ ϕ(x) Vamos explicitar as aplica¸c˜ oes ϕ e f . Consideremos um ponto x arbitrariamente fixado em A. Ent˜ ao, ˘ ¯ d(x, Ac ) = inf d(x, y) : y ∈ Ac ˘ ¯ = inf |x − y| : y ≤ −1 ou y ≥ 1

Temos,

|x − y| =

(

Consideremos quatro possibilidades: (i) (ii) (iii)

0≤x<1

0≤x<1

−1 < x ≤ 0

(iv) −1 < x ≤ 0 Ent˜ ao,

e e e e

x − y, −x + y,

se se

x ≥ y; x < y.

y ≥ 1;

y ≤ −1;

y ≥ 1;

y ≤ −1.

(i) 0 ≤ x < 1 e y ≥ 1.

Como x < y ⇒ |x − y| = −x + y. Como y ≥ 1 ⇒ −x + y ≥ 1 − x, isto é |x − y| = −x + y ≥ 1 − x

490

portanto, inf

0≤x<1

(ii) 0 ≤ x < 1 e y ≤ −1. Como x > y é

⇒

˘

¯ |x − y| : y ≥ 1 = 1 − x

|x − y| = x − y. Como y ≤ −1

⇒ x − y ≥ 1 + x, isto

|x − y| = x − y ≥ 1 + x portanto, inf

0≤x<1

mas,

˘

¯ |x − y| : y ≤ −1 = 1 + x

1−x ≤ 1+x ⇔ x ≥ 0 por conseguinte, ˘

inf

0≤x<1

¯ |x − y| : y ≤ −1 ou y ≥ 1 = 1 − x.

Com racioc´ınio an´ alogo, nos casos (iii) e (iv) chegamos a ˘

inf

−1
¯ |x − y| : y ≤ −1 ou y ≥ 1 = 1 + x.

Geometricamente tudo se passa do seguinte modo: x−(−1)=d(x, Ac )

r

⊢

] −∞, −1 ]

ց

⊣

◦ −1

qx

⊢

q0

qx

ւ

d(x, Ac )=1−x

r

⊣

◦ 1

[ 1, +∞ [

Sendo assim temos, 8 > > > <

0, 1 + x, ϕ(x) = > 1 − x, > > : 0,

Logo,

f (x) =

8 1 > , > > < 1+x > > > :

Temos,

1 , 1−x

se se se se

x ≤ −1; −1 < x ≤ 0; 0 ≤ x < 1; x ≥ 1.

se

−1 < x ≤ 0;

se

0 ≤ x < 1.

˘` ´ ¯ x, f (x) : x ∈ A n“ ” o = x, f (x) : − 1 < x < 1

G(f ) =

=

“

x,

ff [ “ ff 1 ” 1 ” : −1
A seguir vemos a geometria da situa¸c˜ ao (gr´ afico ` a esquerda)

491

G(f )⊂ R

2

r←−

−→

r←− f

` ´

3 =4 f 4

` ´

◦ −1

◦ −1

◦ 1

q0

q0

⊢⊣

↑

1 2

=2

◦ 1

d′

O homeomorfismo em quest˜ ao é dado por ` ´ h : ] − 1, 1 [, µ −→ (G(f ), D2 ) ` ´ x 7−→ x, f (x)

Ent˜ ao,

8` < x, h(x) = (x, f (x)) = ` : x,

1 1+x 1 1−x

′

´

´

se

−1 < x ≤ 0;

se

0 ≤ x < 1.

O espa¸co ( ] − 1, 1 [, d ) resulta completo, onde ` ´ d′ (x, y) = D2 h(x), h(y) ˛ ˛ ˛ 1 1 ˛˛ − = d(x, y) + ˛˛ ϕ(x) ϕ(y) ˛ = |x − y| + |f (x) − f (y)|.

Por exemplo, tomemos em A =] − 1, 1 [ , x =

1 2

ex=

3 4

ent˜ ao (eq. (9.20), pg. 490)

′

d (x, y) = |x − y| + |f (x) − f (y)| ˛1 ` 3 ´˛ 3˛ ˛ `1´ ˛ = ˛ − ˛ + ˛f −f 2 4 2 4

=

1 9 + |2 − 4| = = 2, 25. 4 4

Por outro lado (ver aplica¸c˜ ao h′ , pg. 489) „ « « „ 1 1 `1´ 1 7−→ ,f , 2 ∈ G(f ) = 2 2 2 2 3 7−→ 4 Ent˜ ao D2

„

„

« « „ 3 `3´ 3 ,f , 4 ∈ G(f ) = 4 4 4

« ˛1 ˛ `1 1 1 ´ `3 3 ´ 3˛ ˛ 9 = ˛ − ˛ + ˛2 − 4˛ = + 2 = = 2, 25. , f( ) ; , f( ) 2 2 4 4 2 4 4 4

Ver gr´ afico anterior (` a direita).

492

Defini¸ c˜ ao 67. Definiremos um espa¸co métrico topologicamente completo como um espa¸co métrico (M, d) que é homeomorfo a um espa¸co métrico completo. Ou, de modo equivalente, tal que existe uma métrica d′ , equivalente a d, de maneira que (M, d′ ) seja completo.

Propriedade das celas encaixantes Diremos que uma seq¨ uência de intervalos In , n ∈ N, é encaixante se a cadeia de inclus˜ oes: I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ · · ·

se verifica. Uma seq¨ uência de intervalos encaixantes n˜ ao tem necessariamente um ponto em comum. Por exemplo as seq¨ uências dadas por, ˜ 1ˆ In = [ n, +∞ [ X Jn = 0, n

s˜ ao encaixantes e, no entanto

∞ \

n=1

∞ \

In = ∅ X

n=1

Jn = ∅.

Uma propriedade importante do espa¸co (R, µ) é que toda seq¨ uência encaixante de intervalos fechados tem um ponto comum (Propriedade das Celas Encaixantes). Esta propriedade ser´ a generalizada na pr´ oxima proposi¸c˜ ao (lema). Antes disto vejamos um exemplo espec´ Consideremos a seq¨ uência (Fn ) de conjuntos com termo geral ˆ ıfico. ˜ dado por Fn = − n1 , n1 . Neste caso temos uma seq¨ uência encaixante F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · de subconjuntos fechados em (R, µ). Calculemos o diˆ ametro de Fn (uma vez que este se far´ a presente na hip´ otese da pr´ oxima proposi¸c˜ ao): ˘ ¯ diam Fn = sup d(x, y) : x, y ∈ Fn n ˆ 1 1 õ = sup |x − y| : x, y ∈ − , n n Ent˜ ao,

− n1 ≤ x ≤

1 n

− n1 ≤ y ≤

1 n

=⇒

− n1 ≤ x ≤

1 n

− n1 ≤ −y ≤

1 n

+ : − n2 ≤ x − y ≤

Portanto,

−1

h

2 n

⇒

|x − y| ≤

⇒

ˆ |x − y| ∈ 0,

2 n

˜

ˆ 2˜ 2 diam Fn = sup 0, = n n −1 2

ˆ ⊢

⊢

2 n

−1 3

[ ⊢

··· y

0

···

diam F3 =2/3 diam F2 =1 diam F1 =2

493

]1

3

⊣

˜

1 2

i

⊣ ⊣

-R 1

Observe que, lim diam Fn = lim

E ainda,

T∞

n=1

n→∞

n→∞

2 =0 n

Fn = { 0 }.

Lema 6. Um espa¸co métrico (M, d) é completo se, e somente se, para toda seq¨ uência encaixante F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ Fn+1 ⊃ · · · de subconjuntos fechados n˜ ao-vazios Fn ⊂ M , com lim diam Fn = 0, existe um u ńico ponto a ∈ M tal que n→∞

∞ \

n=1

Fn = { a }.

` ´ Prova: (=⇒) Seja (M, d) um espa¸co métrico completo e Fn uma seq¨ uência satisfazendo as hip´ oteses. Como os Fn s˜ ao n˜ ao vazios, para cada n ∈ N, escolhamos um ponto xn ∈ Fn . Deste modo obtemos uma seq¨ uência (xn ) de pontos de M . Vamos mostrar que a seq¨ uência assim constru´ıda é de Cauchy. Dado ε > 0 como lim diam Fn = 0 existe um ´ındice n0 de modo que, ∀ n ≥ n0 ⇒ |diam Fn − 0| < ε.

n→∞

Ent˜ ao,

˘ ¯ diam Fn0 = sup d(x, y) : x, y ∈ Fn0 < ε ⇒ ∀ x, y ∈ Fn

⇒ d(x, y) ≤ diam Fn < ε

0

(♮)

0

Como os conjuntos Fn s˜ ao encaixados para i < j ⇒ Fi ⊃ Fj . Logo, m ≥ n0

=⇒

n ≥ n0

como,

Fn0 ⊇ Fm Fn0 ⊇ Fn

xm ∈ Fm

=⇒ xm , xn ∈ Fn0 xn ∈ Fn logo se m, n ≥ n0 podemo garantir, por (♮), que d(xm , xn ) < ε. Portanto (xn ) é de Cauchy. Perceba que é a hip´ otese de que os diˆ ametros dos conjuntos Fn tornam-se arbitrariamente pequenos (isto é diam Fn → 0) que nos garante que escolhendo um ponto em cada conjunto, estes pontos tornam-se, a partir de uma certa ordem, arbitrariamente pr´ oximos uns dos outros (que é a condi¸c˜ ao para que (xn ) seja de Cauchy). (M, d)

Fn Fm

F 1

·· F 2

·

Fn

0

qx1

qx2

q

xn

qxm m, n ≥ n

0

Como (M, d) é completo temos que lim xn = a ∈ M . Considerando que a seq¨ uência (Fn ) é encaixada e tendo em conta a prop. 66 (pg. 280), temos (prop. 36, pg. 212):

494

F1 contém (xn )n≥1

⇒

lim xn = a ∈ F1

F2 contém (xn )n≥2 .. . Fk contém (xn )n≥k

⇒

lim xn = a ∈ F2 .. . lim xn = a ∈ Fk

⇒

∞ \

onde k é um natural arbitr´ ario. Conclus˜ ao:

n=1

Fn = { a }.

´ precisamente neste ponto que necessitamos da hip´ E otese de que todos os Fn sejam fechados. Pois se um deles, digamos Fj , n˜ ao fosse fechado poderia ocorrer ∞ \ lim xn = a 6∈ Fj e portanto a 6∈ Fn . n=1

Vamos mostrar que este é o u ńico ponto da interseçc˜ ao. Suponha, ao contr´ ario, ∞ \ Fn e b 6= a. Ent˜ ao d(a, b) > 0, tomando ε = d(a, b) > 0, vejamos o que que b ∈ n=1 T acontece: como a, b ∈ Fn temos que ∀ n; a, b ∈ Fn ⇒ ε = d(a, b) ≤ diam Fn ⇒ ∀ n, ε ≤ diam Fn

o que iria contrariar (♮). (⇐=) Rec´ıprocamente, consideremos que a interseçc˜ ao de toda seq¨ uência encaixante de fechados n˜ ao vazios, cujos diˆ ametros tendem a zero, é um ponto de M . Provemos que (M, d) é completo. De fato, seja (xn ) uma seq¨ uência de Cauchy em (M, d), a partir desta seq¨ uência construimos uma seq¨ uência (Xn ) de conjuntos colocando Xn = {xn , xn+1 , . . .} para todo n natural. Sendo assim X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ ¯ ⊂ B ¯ temos que (X ¯ n ) é uma Xn+1 ⊃ · · · , tendo em conta que se A ⊂ B ⇒ A seq¨ uência encaixante de fechados n˜ ao-vazios. Ademais temos que X1 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · ⇒ diam X1 ≥ · · · ≥ diam Xn ≥ · · · ≥ 0 ` ´ conseq¨ uentemente diam Xn é uma seq¨ uência decrescente de n´ umeros reais, limitada inferiormente por zero e, portanto, converge para zero (Nota pg. 244). Tendo em conta ainda a proposi¸c˜ ao 64 (pg. 278) podemos escrever ¯ n. 0 = lim diam Xn = lim diam X n→∞

n→∞

T¯ ¯ Logo, por hip´ otese, existe a ∈ M de modo que X n = { a }. Em particular a ∈ X1 logo (propo. 65 pg. 279) existe uma seq¨ uência (yn ) de pontos de X1 = {x1 , x2 , x3 , . . .} com lim yn = a. Ora sendo assim (yn ) é, na verdade, uma subseq¨ uência de (xn ) e como (xn ) é de Cauchy segue (proposi¸c˜ ao 116 pg. 452) que a = lim xn . Exemplos: 1. No espa¸co (R, µ) considere Fn = [ n, +∞ [. Ent˜ ao F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , e cada Fn é fechado (complementar aberto) e n˜ ao vazio,

- F1

⊢ x

0

ˆ

1

⊢ ˆ

2

⊢ ˆ

- F2 ···

3

495

- F3

⊢ x

c

n′

ˆ

-F

n′

-R

T todavia ∞ e ilimitado supen=1 Fn = ∅. Com efeito, tendo em vista que N ´ riormente, dado qualquer c ∈ R, existe n′ natural de modo que n′ > c, por conseguinte c 6∈ Fn′ . Assim nenhum n´ umero real pode pertencer a todos os Fn . Mas isto n˜ ao contraria o lema 6 uma vez que os Fn n˜ ao cumprem lim diam Fn = 0. n→∞ ˆ ` ´ ˆ ao F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , e lim diam Fn = 2. No espa¸co [ 0, 1 [, µ considere Fn = 0, n1 . Ent˜ n→∞ ` ´ T∞ 0 e ainda n=1 Fn = { 0 }. Mas [ 0, 1 [, µ n˜ ao é completo (por exemplo a seq¨ uência de termo geral xn = 1 − n1 é de Cauchy mas n˜ ao converge).

Esta` conclus˜ aó n˜ ao contraria o lema 6 uma vez que os Fn n˜ ao s˜ ao fechados no espa¸co [ 0, 1 [ , µ .

9.7

Teorema do Ponto Fixo de Banach

O Teorema do Ponto Fixo de Contra¸ co ˜es em Espa¸ cos M´ etricos Completos Vimos (pg. 401) que toda fun¸c˜ ao cont´ınua f : [ a, b ] → [ a, b ] admite um ponto fixo, isto é, existe um ponto c ∈ [ a, b ] de modo que f (c) = c. Este resultado é um caso especial de um famoso resultado de Topologia, conhecido como o Teorema do Ponto Fixo de Brower cujo enunciado é o seguinte: Toda aplica¸c˜ ao cont´ınua cujo dom´ınio e o contradom´ınio s˜ ao iguais ` a bola unit´ aria fechada ˘ ¯ B[ 0; 1 ] = u ∈ Rn : kuk ≤ 1 = B ∴ f : B ⊂ Rn → B ⊂ Rn tem um ponto fixo, isto é, um ponto p ∈ B[ 0; 1 ] tal que f (p) = p. Além desse, existem outros teoremas sobre pontos fixos, como o teorema do ponto fixo de Banach que estudaremos agora.

Proposi¸ c˜ ao 127 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Se (M, d) é um espa¸co métrico completo, ent˜ ao toda contra¸c˜ ao f : M → M tem precisamente um u ńico ponto fixo. Prova: Construiremos uma seq¨ uência (xn ) e mostraremos que ela é de Cauchy e, assim, converge no espa¸co completo (M, d). Em seguida mostraremos que o limite de (xn ) é o u ńico ponto fixo de f . Esta é a idéia da prova. Inicialmente escolhemos qualquer ponto x0 ∈ M e definimos uma seq¨ uência recursiva (xn ) por x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), . . . , xn+1 = f (xn ), . . .

(9.21)

Mostremos que (xn ) é de Cauchy. Da defini¸c˜ ao de contra¸c˜ ao (pg. 325) e de (9.21) podemos escrever ` ´ d(xm+1 , xm ) = d f (xm ), f (xm−1 ) ≤ α d(xm , xm−1 ) ` ´ = α d f (xm−1 ), f (xm−2 )

≤ α2 d(xm−1 , xm−2 ) ` ´ = α2 d f (xm−2 ), f (xm−3 ) ` ´ ≤ α3 d xm−2 , xm−3

........................ ≤ αm d(x1 , x0 )

496

pela desigualdade triangular generalizada (pg. 117) M • xm

• xn

... • xm+2

• xm+1

• xn−1

obtemos (para n > m) d(xm , xn ) ≤ d(xm , xm+1 ) + d(xm+1 , xm+2 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) ` ´ ≤ αm + αm+1 + · · · + αn−1 d(x0 , x1 ) = αm ·

1 − αn−m d(x0 , x1 ) 1−α

onde usamos a f´ ormula da soma dos termos de uma progress˜ ao geométrica. Da desigualdade 0 < α < 1 decorre que∗ 1 − αn−m < 1. Por conseguinte, 1 1 − αn−m 1 1 − αn−m < ⇒ αm · d(x0 , x1 ) < αm · d(x0 , x1 ) 1−α 1−α 1−α 1−α isto é

αm d(x0 , x1 ) (n > m) (9.22) 1−α Temos que 0 < α < 1 e d(x0 , x1 ) s˜ ao constantes (n˜ ao dependem de m), sendo assim podemos tornar o lado direito t˜ ao pequeno quanto desejarmos, bastando para isto tomar m suficientemente grande. Isto prova que (xn ) é de Cauchy. Sendo (M, d) completo, (xn ) converge, digamos, xn → p. Mostraremos que o limite p é o ponto fixo da aplica¸c˜ ao f . Da defini¸c˜ ao de contra¸c˜ ao e da desigualdade triangular d(xm , xn ) <

M p•

•f (p)

@ @ @ @•x n

decorre que ` ´ ` ´ d p, f (p) ≤ d(p, xn ) + d xn , f (p) ` ´ = d(p, xn ) + d f (xn−1 ), f (p) ≤ d(p, xn ) + α d(xn−1 , p)

podemos tornar esta u ´ltima soma menor ε > 0 pré-fixado porquanto∗ ` que qualquer ´ xn → p. Sendo assim concluimos que d p, f (p) = 0, ou ainda, p = f (p); isto é, p é um ponto fixo de f . p é o u ńico ponto fixo de f porque de f (p) = p e f (q) = q obtemos ` ´ d(p, q) = d f (p), f (q) ≤ α d(p, q) ∗ Se

0 < c < 1 e n ≥ m ent˜ ao 0 < cn ≤ cm < 1. 33, pg. 201.

∗ proposi¸ ca õ

497

portanto d(p, q) · (1 − α) ≤ 0 ⇒ d(p, q) ≤ 0

visto que α < 1. Por conseguinte, p = q e o teorema est´ a provado.

Corol´ ario 36 (Itera¸c˜ oes, limite superior para o erro). Sob as condi¸c˜ oes da proposi¸c˜ ao 127 a seq¨ uência iterativa (9.21) com x0 ∈ M arbitr´ ario converge para o u ńico ponto fixo p de f . O erro cometido ao se tomar o m−ésimo iterado xm como um valor aproximado para o ponto fixo p tem como limite superior d(xm , p) ≤

αm d(x0 , x1 ) 1−α

(9.23)

´ imediato da desigualdade (9.22) fazendo n → ∞. Prova: E Esta desigualdade pode ser usada para uma estimativa do n´ umero de itera¸c˜ oes necess´ ario, para se atingir uma precis˜ ao a priori fixada. Ami´ ude acontece de uma aplica¸c˜ ao n˜ ao ser uma contra¸c˜ ao no espa¸co inteiro (M, d), mas sim em um seu subespa¸co (N, d). Contudo, se (N, d) é fechado, ele é completo pela proposi¸c˜ ao 119 (pg. 459), sendo assim f tem um ponto fixo p em N , e com uma escolha apropriada de x0 teremos xn → p como anteriormente. Um t´ıpico e u ´til resultado deste gênero é como segue Corol´ ario 37. Seja f uma aplica¸c˜ ao de um espa¸co métrico completo (M, d) ˘sobre si mesmo. Suponha que f ´ e uma contra¸ ao sobre ¯ ` c˜ ´ uma bola fechada N = x ∈ M : d(x, x0 ) ≤ r , isto é, f satisfaz d f (x), f (y) ≤ α d(x, y) (α < 1) para todo x, y ∈ N . Ademais, assuma que ` ´ d x0 , f (x0 ) < (1 − α) r. (9.24) Ent˜ ao a seq¨ uência iterativa (9.21) converge para um ponto p ∈ N . Este p é um ponto fixo de f e é o u ńico ponto fixo de f em N . Prova: Tomando m = 0 na equa¸c˜ ao (9.22) temos d(x0 , xn ) <

1 d(x0 , x1 ) 1−α

(n > 0)

usando (9.24) chegamos a d(x0 , xn ) < r

(n > 0)

conseq¨ uentemente todos os termos da seq¨ uência (xn ) moram na bola N . Também p ∈ N visto que xn → p e N é fechado. A asser¸c˜ ao do corol´ ario segue agora da prova do teorema de Banach.

498

Apˆ endice: ` ´ Vamos mostrar que d′ ∼ d onde d′ (x, y) = D h(x), h(y) (pg. 487) Vamos mostrar inicialmente que a identidade i : (M, d) → (M, d′ ) é cont´ınua. Dados a ∈ M e ε > 0 devemos mostrar que existe δ > 0 de modo que: ` ´ d(x, a) < δ ⇒ d′ i(x), i(a) < ε

isto é,

` ´ d(x, a) < δ ⇒ d′ x, a < ε

a

r

x

(M, d)

i

r

(9.25)

ri(a)

(M, d′ )

ri(x)

Pois bem, como h é homeomorfismo (portanto cont´ınua) para todo ε > 0 dado existe δ > 0 tal que ` ´ d(x, a) < δ ⇒ D h(x), h(a) < ε a

r

x

Portanto,

(M, d)

h

r

rh(a)

(N, D)

rh(x)

` ´ ` ´ d(x, a) < δ ⇒ d′ x, a = D h(x), h(a) < ε.

Este δ nos serve em (9.25). Agora vamos mostrar que a identidade i : (M, d′ ) → (M, d) é cont´ınua. Dados a ∈ M e ε > 0 devemos mostrar que existe δ > 0 de modo que: ` ´ d′ (x, a) < δ ⇒ d i(x), i(a) < ε

isto é,

` ´ d′ (x, a) < δ ⇒ d x, a < ε

ou ainda,

` ´ ` ´ d′ (x, a) = D h(x), h(a) < δ ⇒ d x, a < ε

a

r

x

(M, d′ )

r

i

ri(a)

ri(x)

Pois bem, como h é homeomorfismo (portanto h−1 é cont´ınua)

499

(9.26)

(M, d)

a

r

x

(M, d)

h

r

h−1

rh(a)

(N, D)

rh(x)

h−1 é cont´ınua no ponto h(a), logo dado ε > 0 existe δ0 > 0 de modo que (N, D)

@ I δ@ 0 rh(a) rh(x) Ou ainda,

(M, d)

h−1

rε a

h−1 (h(a))

` ´ ` ` ´ ` ´´ D h(x), h(a) < δ0 ⇒ d h−1 h(x) , h−1 h(a) < ε ` ´ d′ (x, a) = D h(x), h(a) < δ0 ⇒ d(x, a) < ε.

Portanto em (9.26) é suficiente tomar δ = δ0 .

500

10

Cap´ıtulo

´ ESPAC ¸ OS METRICOS COMPACTOS “O

verdadeiro interˆ esse de minha vida

reside, j´ a h´ a muito tempo, num esfˆ or¸ co para uma melhor descoberta de Deus no mundo.

Isso ´ e bem a ´rduo, mas

a´ı est´ a a u ´ nica voca¸ ca õ em que eu me reconhe¸ co. Nada poderia dela me arredar.”

(Teilhard de Chardin)

Mais um importante conceito que importaremos da An´ alise Real para o contexto dos Espa¸cos Métricos é o de conjunto compacto. Iniciamos pela

10.1

Cobertura

Defini¸ c˜ ao 68 (Cobertura). Sejam (M, d ) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Uma cobertura de X é uma fam´ılia C = {Cλ }λ∈L de subconjuntos de M tal que X⊂

[

Cλ

λ∈L

Se cada Cλ for um conjunto aberto em M , diremos que C é uma cobertura aberta de X. Se existir L′ ⊂ L tal que [ Cλ X⊂ λ∈L′

′

diremos que C = {Cλ }λ∈L′ , é uma subcobertura de C para X. Quando L′ é um subconjunto pr´ oprio de L, diz-se que C ′ é uma subcobertura pr´ opria de C. Quando o conjunto L é finito, diz-se que C é uma subcobertura finita. Exemplos: ˆ ˜ 1. Consideremos o espa¸co ( R, µ). Seja X = 31 , 32 , a fam´ılia C = { C1 , C2 , C3 , C4 }, onde ˜ 2ˆ ˜1 5ˆ ˜2 3ˆ ˆ2 ˆ , , ,1 , C1 = 0, , C2 = , C3 = , C4 = 4 4 8 4 4 4

501

constitui uma cobertura de X. De fato, ˆ1 2˜ , ⊂ 3 3

[

Cλ

λ∈L={ 1, 2, 3, 4 } X

⊢ 0

1 3

⊣ 1

2 3

C1

C2 ⊢ 0

q1

q2

4

⊣ 1

q3

4

4

C3 C4

Da cobertura C podemos retirar duas subcoberturas: ˆ1 2˜ , ⊂ 3 3

[

ˆ1 2˜ , ⊂ 3 3

[

Cλ

λ∈L′ ={ 1, 4 }

e

Cλ

λ∈L′′ ={ 2, 3 }

Observe que C n˜ ao é uma cobertura aberta, enquanto C ′′ = {C2 , C3 } é uma subcobertura aberta. ˘ ¯ 2. Consideremos o espa¸co ( X, µ), onde X = n1 : n ∈ N ∪ { 0 }. No exemplo (5) (pg. 187) vimos que todos os pontos de X, ` a exce¸c˜ ao do 0, s˜ ao isolados. Isto significa que para cada ponto de X, ` a exce¸c˜ ao do 0, existe um rn > 0 de modo que Bµ( n1 , rn ) = { n1 }. Sendo assim X⊂

1 Bµ( , rn ) ∪ { 0 } n n∈N [

Observe que a cobertura C=

ff  ˘ ¯ 1 ∪ {0} Bµ( , rn ) n n∈N

n˜ ao admite subcobertura pr´ opria. De fato, se omitirmos qualquer bola, o centro da mesma fica “descoberto”. E mais: C s´ o n˜ ao é uma cobertura aberta devido a que { 0 } n˜ ao é um conjunto aberto em ( X, µ). 3. Consideremos o espa¸co ( R, µ). Seja X = {x ∈ R : x ≥ 0}. Respaldados na proposi¸c˜ ao 22 (pg. 65) podemos assegurar que a fam´ılia C = {Cn }n∈N , onde Cn =] − 1, n [, é uma cobertura X. Observe a figura seguinte:

502

-

⊢ 0

-

⊢ 0

−1

1

-

⊢ 0

−1

2

X

C1

C2

.. .

-

⊢ 0

−1

n

Cn

Temos, C1 ⊂ C2 ⊂ · · · ⊂ Cn ⊂ Cn+1 ⊂ · · ·

4. Consideremos o espa¸co ( R, µ). Seja X =] 0, 1 [. Vamos mostrar que ] 0, 1 [ ⊂

∞ [ ˜1 1ˆ , 1− n n n=3

Observe,

-X 0

1

⊢ 0

1 3

⊢ 0

⊢ 0

1 n 1 m

C3

1

C4

1

-

⊢

4 5

1 5

-

⊢

3 4

1 4

-

⊢

2 3

C5

1

Vamos provar a inclus˜ ao anterior: dado 0 < x < 1 existe n ∈ N de modo que < x. Como x < 1 temos que 1 − x > 0, portanto existe um m ∈ N satisfazendo 1 < 1 − x, isto é, x < 1 − m . Vamos escolher p = min{ m, n }; sendo assim, temos

Portanto,

p≤n

⇒

1 p

≤

1 n

p≤m

⇒

1 p

≤

1 m

⇒

1−

≤1−

⇒

x< 1−

1 1
503

1 m

1 p

≤1−

1 p

10.2

Compacidade

Defini¸ c˜ ao 69 (Compacidade). Um espa¸co métrico (M, d ) ser´ a dito compacto quando toda cobertura aberta de M possuir uma subcobertura finita. Um subconjunto K ⊂ M ser´ a dito compacto quando o subespa¸co (K, d ) for compacto. Logo, K ⊂ M é compacto quando de toda cobertura [ ′ Aλ K⊂ λ∈L

por meio de abertos A′λ em (K, d ) se pode extrair uma subcobertura finita. Acontece que∗ , para cada λ ∈ L, A′λ = Aλ ∩ K, onde Aλ é aberto em (M, d ). Sendo assim, [ [ [ ′ Aλ Aλ ∩ K ⇔ K ⊂ Aλ ⇔ K ⊂ K⊂ λ∈L

λ∈L

λ∈L

Em resumo, o subconjunto K ⊂ M é compacto se, e somente se, de toda cobertura K ⊂ ∪Aλ , por abertos Aλ em (M, d ), se pode extrair uma subcobertura finita K ⊂ A λ ∪ · · · ∪ A λn . 1 Observe que, segundo a defini¸c˜ ao, para demonstrar que um conjunto M é compacto, devemos considerar uma cole¸c˜ ao arbitr´ aria de abertos cuja uni˜ ao contenha M e mostrar que M est´ a contido na uni˜ ao de alguma subcole¸c˜ ao finita de tal cole¸c˜ ao. Por outro lado, para mostrar que um conjunto M n˜ ao é compacto, é suficiente exibir uma cobertura aberta que n˜ ao possa ser substitu´ıda por uma subcole¸c˜ ao finita que ainda cubra M . Exemplos: 1. O subconjunto I = [ 0, 1 ] é compacto no espa¸co ( R, µ) mas n˜ ao no espa¸co ( R, δ). Mostremos inicialmente a segunda destas assertivas. J´ a vimos∗∗ que todo n´ umero real é isolado no espa¸co ( R, δ). Por exemplo dado p ∈ [ 0, 1 ] temos Bδ ( p; 1) = { p }. Portanto [ Bδ ( p; 1) [ 0, 1 ] ⊂ p∈I

˘

¯

n˜ ao admite subcobertura finita. A bem da verdade, e a cobertura aberta Bδ ( p; 1) p∈I se retirarmos uma u ńica bola desta cole¸c˜ ao, a subfam´ılia restante n˜ ao ser´ a mais uma cobertura do intervalo [ 0, 1 ]. A primeira das assertivas anteriores sai como um caso especial da seguinte

∗ Ver

proposi¸ca õ 48 pg. 260 (1), pg. 186

∗∗ Exemplo

504

Proposi¸ ao 128 (Teorema de Heine-Borel). Se F ⊂ R é fechado e limitado e C = ˘ ¯ c˜ Cλ é uma cobertura aberta de F , ent˜ ao existe uma subcobertura finita de F .

Prova: Assumiremos que nenhum subconjunto finito de C cobre F e mostraremos que isto leva a uma contradi¸c˜ ao. De fato, visto que F é limitado, existe um n´ umero c > 0 tal que F ⊂ [ −c, c ]. Consideremos os dois intervalos [ −c, 0 ] e [ 0, c ]; ao menos um desses intervalos deve conter uma parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de conjuntos de C (do contr´ ario se C ′ ⊂ C é finito e cobre a parte de F em [ −c, 0 ] e C ′′ ⊂ C é finito e cobre a parte de F em [ 0, c ], ent˜ ao C ′ ∪ C ′′ é finito e cobre F , contradizendo nossa hip´ otese). Seja I0 um dos intervalos [ −c, 0 ] ou [ 0, c ], aquele que tem a propriedade de conter a parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de subconjuntos de C. Agora vamos dividir I0 em dois intervalos fechados e de igual comprimento; ao menos um desses intervalos deve conter uma parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de conjuntos de C. Chamemos um tal intervalo de I1 . Agora, dividamos I1 em dois intervalos fechados e de igual comprimento e seja I2 um desses intervalos que tem a propriedade de conter a parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de subconjuntos de C. Continuando este processo indefinidamente, obtemos uma seq¨ uência de intervalos fechados I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · com a propriedade de que o comprimento de Ik é c/2k e a parte de F em Ik n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de subconjuntos de C; isto para cada k = 0, 1, 2, 3, . . .. Pelo teorema dos intervalos encaixados ([AR] 13, pg. 58) existe um u ńico ponto µ comum a cada um dos intervalos fechados Ik . Mostremos que µ é um ponto de acumula¸c˜ ao de F . Seja ε > 0 arbitrariamente fixado. Escolhamos um natural n de modo que c/2n < ε. Ent˜ ao o comprimento de In , isto é c/2n , é menor que ε, e tendo em conta que µ ∈ In , segue que In ⊂ B(µ; ε) (isto é, In ⊂ ] µ − ε, µ + ε [ ). Mas In contém infinitos pontos de F (se F ∩ In fosse finito ent˜ ao certamente deveria ser coberto por um n´ umero finito de elementos de C, contrariando uma propriedade dos Ik ), por conseguinte existe um x ∈ F com x 6= µ e |x − µ| < ε. Portanto µ é um ponto de acumula¸c˜ ao de F . Sendo F fechado, resulta que µ ∈ F . Agora, visto que C é uma cobertura aberta de F , existe um Cλ ∈ C tal que 0 µ ∈ Cλ . Sendo Cλ um conjunto aberto existe um ǫ > 0 tal que B(µ; ǫ) ⊂ Cλ . 0 0 0 Como feito anteriormente, escolhamos um ´ındice m de modo que Im ⊂ B(µ; ǫ). Ent˜ ao Im ⊂ Cλ ; isto é, Im est´ a coberto por um n´ umero finito (no caso um u ńico) de 0 conjuntos de C, e claramente a parte de F em Im est´ a coberto por um n´ umero finito de conjuntos de C. Isto contradiz uma das propriedades de constru¸c˜ ao da seq¨ uência (Ik ) de intervalos fechados. Por conseguinte nossa hip´ otese de que nenhum subconjunto finito de C cobre F conduz a uma contradi¸c˜ ao, e isto estabelece a proposi¸c˜ ao. ˘ ¯ ˘ ¯ 2. O conjunto Y = n1 : n ∈ N = 1, 12 , 13 , . . . n˜ ao é compacto no espa¸co ( R, µ). Para se convencer disto, basta o leitor rever exemplo 2., pg. 502. ˘ ¯ ˘ ¯ 3. O conjunto X = n1 : n ∈ N ∪ { 0 } = 0, 1, 21 , 13 , . . . é compacto no espa¸co ( R, µ). De fato, seja C = {Cλ }λ∈L uma cobertura aberta de X. Sendo assim 0 pertence a um dos membros desta cole¸c˜ ao, digamos 0 ∈ Cλ . Existe um intervalo 0 aberto centrado em 0 satisfazendo 0 ∈ ] 0 − r, 0 + r [ ⊂ Cλ ] −r

s rrrr[rrrrrrrrrrr r r r r

0

r

... 1

4

r

1 3

r

1 2

0

r

-X

1

Qualquer que seja o intervalo aberto centrado em 0, dentro do mesmo teremos infinitos termos de X e, fora do mesmo, teremos sempre um n´ umero finito de termos de

505

X. Conseq¨ uentemente quase todos os pontos de X (` a exce¸c˜ ao poss´ıvel de um n´ umero finito) pertencem ao aberto Cλ . Por conseguinte X é coberto por um n´ umero finito 0 de abertos da cole¸c˜ ao C. 4. Todo conjunto finito é compacto. De fato, seja [ Aλ { x1 , x2 , . . . , x n } ⊂ λ∈L

onde os Aλ s˜ ao abertos. Pelas defini¸c˜ oes de inclus˜ ao e uni˜ ao de fam´ılias de subconjutos (pg. 51) existem λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ L tais que x 1 ∈ A λ , x 2 ∈ A λ , . . . , x n ∈ A λn . 1

2

Por conseguinte, { x 1 , x 2 , . . . , x n } ⊂ A λ ∪ A λ ∪ · · · ∪ A λn . 1

2

5. Um espa¸co discreto e compacto é finito e, reciprocamente. Daremos duas provas: Prova: (⇒) Seja (M, d) um espa¸co discreto e compacto. Dado p ∈ M existe rp > 0 de modo que B(p; rp ) = { p }. Por ser (M, d) compacto, da cobertura aberta [ M⊂ B(p; rp ) p∈M

podemos extrair uma subcobertura finita, o que prova que M é finito. (⇐) Conseq¨ uência do exemplo 4. acima, juntamente com a proposi¸c˜ ao 31 (pg. 193) Segunda prova: Prova: Utilizemos a técnica (T − 4). Fa¸camos 8 > < H1 : (M, d) é discreto.

> : H2 : (M, d) é compacto.

⇒

T:

M é finito.

¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Suponhamos (M, d) discreto e n˜ ao finito. Dado p ∈ M existe rp > 0 de modo que B(p; rp ) = { p }. Por ser M infinito da cobertura aberta [ B(p; rp ) M⊂ p∈M

n˜ ao podemos extrair uma subcobertura finita, o que prova que (M, d) n˜ ao é compacto. A contrapositiva da proposi¸c˜ ao anterior fica assim: ¯ : Se M é infinito ent˜ T¯ −→ H ao (M, d) ou n˜ ao é discreto ou n˜ ao é compacto.

6. O intervalo [ 0, +∞[ n˜ ao é um subconjunto compacto ˘ ¯de ( R, µ). é uma cobertura aberta De fato, seja Cn =] − 1, n [, de modo que C = Cn n∈N ˘ ¯ do dito intervalo (ver exemplo 3., pg. 502). Se Cn1 , Cn2 , . . . , Cn é qualquer k subcole¸c˜ ao finita de C, fa¸camos m = max{ n1 , n2 , . . . , nk }. Sendo assim temos 8 > Cn ⊆ Cm > 1 > > > < Cn ⊆ Cm 2 .. > > . > > > :C ⊆ C n m

⇒

k [

j=1

Cn ⊆ Cm j

k

506

Mas, o natural m que pertence a [ 0, +∞ [ n˜ ao pertence a Cm =] − 1, m [ , ou ainda, m 6∈ ∪kj=1 Cn . j Conclus˜ ao: N˜ ao h´ a uni˜ ao finita de conjuntos de C que contenha [ 0, +∞ [ e, assim, este intervalo n˜ ao é compacto. 7. O intervalo ] 0, aoˆé um subconjunto compacto de ( R, µ). ˜ 1 [ n˜ ˘ ¯ De fato, seja n1 , 1− n1 , de modo que C = Cn é uma cobertura aberta do dito n≥3 ˘ ¯ intervalo (ver exemplo 4., pg. 503). Se Cn1 , Cn2 , . . . , Cn é qualquer subcole¸c˜ ao k finita de C, fa¸camos m = max{ n1 , n2 , . . . , nk }. Sendo assim temos 8 > Cn 1 ⊆ Cm > > > > > . > > > :C ⊆ C n m

⇒

k [

j=1

Cn ⊆ Cm j

k

˜ 1 ˆ 1 1 Mas, o n´ umero real m pertence a ] 0, 1 [ mas n˜ ao pertence a Cm = m , 1− m , k ou ainda, m 6∈ ∪j=1 Cn . j Conclus˜ ao: N˜ ao h´ a uni˜ ao finita de conjuntos de C que contenha ] 0, 1 [ e, assim, este intervalo n˜ ao é compacto. 8. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se K, L ⊂ M s˜ ao subconjuntos compactos, ent˜ ao K ∪ L é compacto. De fato, se K ∪ L ⊂ Aλ (cada Aλ é aberto) decorre que K ⊂ Aλ e L ⊂ Aλ , da´ı K ⊂ A λ ∪ · · · ∪ A λn

L ⊂ A λ′ ∪ · · · ∪ A λ′

e

1

m

1

Portanto, K ∪ L ⊂ A λ ∪ · · · ∪ A λn ∪ A λ′ ∪ · · · ∪ A λ′ . 1

1

m

Por indu¸c˜ ao, segue que a reuni˜ ao de um n´ umero finito de compactos é compacta. Agora, uma reuni˜ ao infinita de compactos pode n˜ ao ser compacta. De fato, todo conjunto é reuni˜ ao de seus pontos, os quais s˜ ao compactos (ver exemplo 4., pg. 506). Proposi¸ c˜ ao 129. Todo subconjunto fechado de um espa¸co métrico compacto é compacto. Reciprocamente, um subconjunto compacto de qualquer espa¸co métrico é fechado. Prova: (⇒) Suponha ̥ ⊂ M um subconjunto fechado do espa¸co compacto (M, d). Seja [ Aλ ̥⊂ λ∈L

onde cada Aλ é aberto. Sendo assim, podemos escrever M⊂

` [

λ∈L

´ Aλ ∪ ̥ c

c

Como ̥ é aberto e M é compacto, existem λ1 , . . . , λn ∈ L tais que M ⊂ A λ ∪ · · · ∪ A λn ∪ ̥ c 1

Como ̥ e ̥c n˜ ao têm pontos em comum, segue que ̥ ⊂ A λ ∪ · · · ∪ A λn 1

507

e ̥ resulta compacto. ∗ (⇐) Reciprocamente, suponha ̥ ⊂ M um subconjunto compacto de um espa¸co arbitr´ ario (M, d). Admitindo ̥ n˜ ao fechado em (M, d) deveremos mostrar que ̥ n˜ ao é compacto. Para isto é suficiente exibir uma cobertura aberta que n˜ ao possa ser substitu´ıda por uma subcole¸c˜ ao finita que ainda cubra ̥. Passemos ` a constru¸c˜ ao de tal cobertura: ¯ e como ̥ ⊂ ̥ ¯ resulta que existe x ∈ ̥ ¯ tal sendo ̥ n˜ ao fechado decorre que ̥ 6= ̥, ¯ − ̥. Para cada n ∈ N fa¸camos que x 6∈ ̥, isto é, existe x ∈ ̥

` ´ Vamos agora mostrar que An

ˆ 1˜ An = M − B x; n

n∈N

é uma cobertura aberta de ̥, isto é, que ̥⊂

[

An

n∈N

˘ Nota: Para ver que os An = y ∈ M : d(y, x) > (iv) pg. 329 no qual x = a e corol´ ario 14, pg. 347.

1 n

¯

s˜ ao abertos, ver o exemplo

De fato, seja y ∈ ̥, como x 6∈ ̥ segue que x 6= y. Logo d(x, y) > 0. Portanto, nos valendo de Arquimedes, obtemos um ´ındice n0 ∈ N de modo que n1 < d(x, y). 0 ˜ ˆ ˜ ˆ Sendo d(x, y) > n1 resulta que y 6∈ B x; n1 , portanto y ∈ M − B x; n1 , isto é 0

0

y∈

[„

n∈N

ˆ 1˜ M − B x; n

̥

r

ry xr

¯ ̥

1

x

⇒ ̥⊂

[

An .

n∈N

(M, d)

(M, d) ¯ ̥

0

«

̥ B[x; 1]

(M, d)

¯ ̥

̥

r ry x I @ @

B[x; 1 ] n0

` ´ Agora mostremos que nenhuma subcole¸c˜ ao finita de An cobre ̥: De fato, n∈N ¯ temos que como x ∈ ̥, ∀ ε > 0 ⇒ B( x; ε) ∩ ̥ 6= ∅. ´ ˆ 1˜ 1 Isto é, toda bola aberta B x; ˜ B x; n contém algum ponto de ̥. Logo, ˆ o ponto ˜ ˆ n 1⊂ ao pertence ao conjunto An = M − B x; n1 . Ou de ̥ que pertence ` a bola B x; n n˜ seja, para todo n natural (n = 1, 2, 3, . . .), An n˜ ao contém algum ponto de ̥. Esta conclus˜ a o, por si s´ o , n˜ a o ´ e suficiente para garantir que nenhuma subcole¸c˜ ao finita de ` ´ cubra ̥ (por quê?). Pois bem, temos que An `

n∈N

A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · ·

Sendo An ⊂ An+1 a reuni˜ ao de qualquer cole¸c˜ ao finita An1 ∪ An2 ∪ · · · ∪ An ∗ Faremos


508

k

é igual ao conjunto com maior ´ındice da cole¸c˜ ao, tomando nj = max{n1 , . . . , nk }, ao finita. Mas, como j´ a vimos, temos que An contém todos os conjuntos da subcole¸c˜ j An (n = 1, 2, 3, . . .) n˜ ao contém algum ponto de ̥. Isto é, algum ponto de ̥ est´ a ao finita pode cobrir ̥. ausente de An , portanto nenhuma subcole¸c˜ j Exemplos ˘ ¯ 1. O conjunto ̥ = 0, 1, 21 , 31 , . . . é compacto. De fato, ̥ é um subconjuto fechado (ver Coment´ ario pg. 273) do compacto [0, 1]. Ver ainda exemplo 3., pg. 505.

2. Vimos (pg. 437) que o conjunto de Cantor é fechado no subespa¸co compacto ([ 0, 1 ], µ), portanto este conjunto é compacto.

3. A proposi¸c˜ ao anterior também nos diz porque o subconjunto ] 0, 1 [ n˜ ao é compacto no espa¸co (R, µ): porque n˜ ao é um subconjunto fechado. Corol´ ario` 38 ´(A Interse¸c˜ ao de Compactos é Compacta). Seja (M, d ) um espa¸co uma fam´ılia de subconjuntos compactos. Ent˜ ao, métrico e Kλ λ∈L

K=

\

Kλ

λ∈L

é compacto. Prova: De fato, pela proposi¸c˜ ao 129, cada Kλ é fechado em (M, d ), logo, pelo Teorema 4, pg. 269, K é fechado em (M, d ) e, portanto em (Kλ , d ) (ver corol´ ario 7, pg. 275) novamente, pela proposi¸c˜ ao 129, K resulta compacto. Proposi¸ c˜ ao 130 (Todo Compacto é Limitado). Seja (M, d ) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M é compacto ent˜ ao K é limitado. Prova: Seja K ⊂ M compacto. Para cada x ∈ K ponhamos Ax = B(x; 1). Ent˜ ao ´ é uma cobertuta aberta de K. Sendo K compacto existem x1 , x2 , . . . , xn ∈ K Ax x∈K tais que K ⊂ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn . Como cada Ax é limitado (ver (P6 ), pg. 181), i a reuni˜ ao finita A x ∪ A x ∪ · · · ∪ A xn `

1

2

também é limitada, resultando K limitado. Das duas u ´ltimas proposi¸c˜ oes concluimos:

Proposi¸ c˜ ao 131 (Todo Compacto é Fechado e Limitado). Seja (M, d ) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M é compacto ent˜ ao K é fechado e limitado. A contrapositiva desta proposi¸c˜ ao é a

Proposi¸ c˜ ao 132. Seja (M, d ) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M n˜ ao é fechado ou limitado ent˜ ao K n˜ ao é compacto. A reciproca da proposi¸c˜ ao 131 n˜ ao vale em geral. Vejamos dois contra-exemplos: a) Vejamos um exemplo de um subconjunto limitado e fechado, mas n˜ ao compacto: O subconjunto [ 0, 1 ] ⊂ R é limitado e fechado mas n˜ ao compacto no espa¸co (R, δ) (exemplo 1, pg. 504). ` ´ b) Consideremos o espa¸co espa¸co ℓ 2 , +, · ; e os seguintes elementos de ℓ 2 : δ1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .)

δ2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) .. . δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) .. ↑ k-´ esima posi¸ ca õ. .

509

Isto é, δn tem todas as coordenadas nulas, exceto a n-ésima que vale 1. Fa¸camos ̥ = { δ1 , δ2 , δ3 , . . .}. Temos δm = ( 0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) δn = ( 0, 0, . . . , 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .) ⇓ δm − δn = ( 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, −1, 0, . . .) Sendo assim, d(δm , δn ) = kδm

v u∞ uX − δn k = t (δmi − δni )2 i=1

=

=

p

√

02 + · · · + 02 + 12 + 02 + · · · + 02 + (−1)2 + 02 + · · ·

2.

Sempre que m 6= n. Sendo assim, temos ˘ ¯ √ diam(̥) = sup d(x, y) : x, y ∈ ̥ = 2

e ̥ resulta limitado. Sendo (δn ) uma seq¨ uência de Cauchy em ̥, dado ε > 0 arbitr´ ario, existe um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(δm , δn ) < ε

De

d(δm , δn ) =

(√

se m 6= n; se m = n.

2, 0,

(⋆)

decorre que toda seq¨ uência de Cauchy em ̥ é constante a partir de algum ´ındice. Sendo assim, toda seq¨ uência (δn ) de pontos de ̥ que converge em ℓ2 é constante a partir de algum ´ındice n0 , isto é δn = δn 0

0

+1

= δn

0

+2

= ···

e portanto lim δn = δn0 ∈ ̥. Logo ̥ é completo e, pela proposi¸c˜ ao 119 pg. 459, n

fechado. Todavia ̥ n˜ ao é compacto pois a cobertura aberta ̥⊂

∞ [

B(δk ; 1)

k=1

n˜ ao possui cobertura finita. Observe que ˘ ¯ B(δk ; 1) = δn ∈ ̥ : d(δn , δk ) < 1 = { δk },

devido a (⋆). ` ´ De outro modo: Observe que o subespa¸co métrico ̥, d é infinito e discreto, por conseguinte, n˜ ao pode ser compacto (ver a contrapositiva da proposi¸c˜ ao dada no exemplo 5., pg. 506).

510

Proposi¸ c˜ ao 133 (Imagem Cont´ınua de compactos). A imagem de um conjunto compacto por uma aplica¸c˜ ao cont´ınua é compacta. Prova: Seja K ⊂ M um conjunto compacto e f : M → N cont´ınua. Mostraremos que f (K) ⊂ N é compacto. Seja, [ Aλ f (K) ⊂ λ∈L

` ´ uma cobertura aberta de f (K). Como f é cont´ınua, Bλ = f −1 Aλ é aberto para todo λ ∈ L (proposi¸c˜ ao 86, pg. 345). Respaldados nas proposi¸c˜ oes 9 (pg. 47) e 15 (pg. 53) (´ıtem (iii)) podemos escrever ! [ −1 [ [ −1 f (Aλ ) Aλ ⇔ K ⊂ f Aλ ⇒ K⊂ f (K) ⊂ λ∈L

λ∈L

λ∈L

Portanto K ⊂ ∪Bλ . Como K é compacto, existem λ1 , . . . , λn tais que K ⊂ Bλ ∪ · · · ∪ Bλn . 1

` ´ Logo proposi¸c˜ oes 7 (pg. 44) e 15 (pg. 53) , ` ´ f (K) ⊂ f Bλ ∪ · · · ∪ Bλn 1 ` ´ ` ´ = f Bλ ∪ · · · ∪ f Bλn 1

⊂ A λ ∪ · · · ∪ A λn 1

sendo assim f (K) resulta compacto.

Corol´ ario 39. Se (M, d) e (N, d) s˜ ao espa¸cos métricos homeomorfos ent˜ ao (M, d) é compacto se, e somente se, (N, d) o for. Segue-se que a compacidade é um invariante topol´ ogico. ˘ ¯ Corol´ ario 40. O c´ırculo S1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 é compacto. Prova: De fato, a fun¸c˜ ao

f : R → R2 dada por f (t) = (cos t, sin t) ` ´ é cont´ınua, [ 0, 2π ] é compacto e, ademais, f [ 0, 2π ] = S1 .

Corol´ ario 41. Todo caminho∗ f : [ 0, 1 ] −→ M em um espa¸co espa¸co métrico é compacto, por ser a imagem do compacto [ 0, 1 ]. Em particular, num espa¸co vetorial normado, todo segmento de reta† ˘ ¯ [ a, b ] = x = (1 − t)a + t b ∈ E : 0 ≤ t ≤ 1 .

é um conjunto compacto por ser a imagem do compacto [ 0, 1 ] pela aplica¸c˜ ao cont´ınua dada por f (t) = (1 − t)a + t b. De fato, ` ´ ˘ ¯ f [ 0, 1 ] = f (t) : t ∈ [ 0, 1 ] ˘ ¯ = (1 − t)a + t b : t ∈ [ 0, 1 ] = [ a, b ]. ∗ Ver † Ver

defini¸ca õ a ` pg. 407. defini¸ca õ a ` pg. 78.

511

Corol´ ario 42. Se (M, d) é compacto, toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → N é fechada, isto é, ` ´ F ⊂ M fechado ⇒ f F ⊂ N fechado. Prova: De fato,

` ´ F ⊂ M fechado ⇒ F compacto ⇒ f F compacto ` ´ ⇒ f F fechado em (N, d′ ).

Corol´ ario 43. Se (M, d) é compacto, toda bije¸c˜ ao cont´ınua f : M → N é um homeomorfismo. Prova: Por hip´ otese f : (M, d) → (N, d′ ) é cont´ınua. Devemos mostrar que −1 ′ g = f : (N, d ) → (M, d) é cont´ınua. De ` ´fato, seja F ⊂ M fechado em (M, d). Como f : M → N é cont´ınua implica que f F ⊂ N é fechado em (N, d′ ), logo ` ´ ` ´ g −1 F = f F ⊂ N é fechado em (N, d′ ) Sendo assim o corol´ ario 18 (pg. 349) nos assegura que g é cont´ınua. Na pg. 360 vimos exemplos de bije¸c˜ oes cont´ınuas com inversas descont´ınuas. O corol´ ario anterior nos diz porque isto é poss´ıvel: aquelas aplica¸c˜ oes n˜ ao têm dom´ınio compacto.

Corol´ ario 44. Se (M, d) é compacto, ent˜ ao toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M → N é limitada. ` ´ Prova: De fato, f M ⊂ N , sendo compacto, é limitado.

Fun¸c˜ oes Reais Cont´ınuas com Dom´ınio Compacto

Proposi¸ c˜ ao 134 (Weierstrass). Se (M, d) é compacto, ent˜ ao toda fun¸c˜ ao real cont´ınua f : M → R é limitada e atinge valores m´ aximo e m´ınimo em M . Isto é, existem α, β ∈ M tais que f (α) ≤ f (x) ≤ f (β), ∀ x ∈ M. Prova: Que f é limitada vê-se pelo corol´ ario 44 acima. Sendo M compacto, ent˜ ao f (M ) também o é, j´ a que f é cont´ınua. Logo, f (M ) é limitado e fechado em (R, µ). Sendo assim, existem (ver quadro ` a pg. 67) ν = inf f (M ) e µ = sup f (M ) Assim, dado ε > 0, existem y1 , y2 ∈ f (M ) tais que: ν ≤ y1 < ν + ε e µ − ε < y2 ≤ µ Sendo assim, ν ≤ y1 < ν + ε ⇒ ν − ε < ν ≤ y1 < ν + ε ⇒ y1 ∈ ]ν − ε, ν + ε[ e µ − ε < y2 ≤ µ ⇒ µ − ε < y2 ≤ µ < µ + ε ⇒ y2 ∈ ] µ − ε, µ + ε [ o que implica ] ν − ε, ν + ε [ ∩ f (M ) 6= ∅ e ] µ − ε, µ + ε [ ∩ f (M ) 6= ∅ e, portanto, ν, µ ∈ f (M ). Como porém f (M ) = f (M ), pois f (M ) é fechado, ent˜ ao ν, µ ∈ f (M ) e, portanto, existem α, β ∈ M tais que f (α) = ν = inf f (M ) e f (β) = µ = sup f (M ).

512

Coment´ arios sobre o Teorema de Weierstrass ao de compacidade é essencial no teorema acima. Por exemplo, a fun¸c˜ ao 1 o ) A condi¸c˜ f : [ 0, 1 [ → R dada por f (x) = x + 1, é cont´ınua em todo o seu dom´ınio, mas n˜ ao tem m´ aximo, embora tenha supremo que é 2. Este valor n˜ ao é assumido pela fun¸c˜ ao, isto é, n˜ ao existe x ∈ [ 0, 1 [ de modo que f (x) = x + 1 = 2. y

6

sup f (x)

ց

r

2

q f (x) −→ l 1

q q1

0

-x

Um outro exemplo é dado pela fun¸c˜ ao cont´ınua f dada por f (x) = 1/x, em x > 0, cuja imagem é o semi-eixo ] 0, +∞ [. A fun¸c˜ ao n˜ ao tem m´ aximo nem m´ınimo. Se definida em um intervalo tipo [ a, +∞ [, onde a > 0, passa a ter m´ aximo igual a 1/a, mas continua sem m´ınimo. Esta fun¸c˜ ao continuar´ a sem m´ınimo mesmo se definida em um intervalo limitado tipo [ a, b [. Porém, em intervalos fechados (compactos) tipo [ a, b ] esta fun¸c˜ ao ter´ a m´ aximo 1/a e ter´ a m´ınimo 1/b. Estas situa¸c˜ oes est˜ ao ilustradas nas figuras seguintes. f (x)

f (x)

6

3

f (x)

6

q

1 a

6

1 a

q

q

2

q

2

q

2

q

1

q

1

q

1

q

0

q1

q2

-x

q3

f : ] 0, +∞ [ → R

n˜ ao tem m´ aximo nem m´ınimo

0

[ a

q1

q2

f : [ a, +∞ [ → R

tem m´ aximo= 1/a n˜ ao tem m´ınimo

513

-x

q3

1 b

q 0

[ a

q1

q2

-x

q3

f : [ a, b ] → R

tem m´ aximo= 1/a tem m´ınimo= 1/b

Por outro lado, uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : X → R pode ter m´ aximo e m´ınimo em X, ou f (X) pode ser compacto, sem que X seja compacto. Por exemplo, f (x) = sen x em X =] 0, 2π [, é tal que f (X) = [ −1, 1 ], que é compacto, +1 é o m´ aximo de f e −1 é o seu m´ınimo. y= sen x

6 1

π

π 2

3π 2

2π

-

x

−1

2 o ) Uma fun¸c˜ ao f : [ a, b ] → R, com dom´ınio compacto, se for descont´ınua n˜ ao precisa assumir um valor m´ aximo ou m´ınimo. Por exemplo, consideremos a fun¸c˜ ao (descont´ınua) f : [ 0, 1 ] → R definida do seguinte modo f (x)

6 1¬

f (x) =

(

x,

se x é irracional;

1/2,

se x é racional.

1 ¬ 2

0

¬

-

x

1

` direita temos um esbˆ A o¸co “grosseiro” do gr´ afico de f . As duas linhas pontilhadas est˜ ao contidas no gr´ afico de f e s˜ ao tais que, qualquer reta vertical - conduzida pelo dom´ınio de f (qualquer reta x = c com 0 ≤ x ≤ 1) - intercepta o gr´ afico em um u ńico ponto (isto é, contém um ponto da linha pontilhada inclinada (se c é irracional) ou contém um ponto da linha pontilhada horizontal (se c é racional)). Pois bem, esta fun¸c˜ ao assume valores t˜ ao pr´ oximos de 1 e de 0 quanto quisermos, se escolhermos um valor irracional para x suficientemente pr´ oximo de 1 ou de 0. Entretanto, f (x) nunca pode ser igual a 0 ou 1, porquanto as equa¸c˜ oes f (x) = 0 e f (x) = 1, ∀ x ∈ [ 0, 1 ] n˜ ao têm solu¸c˜ ao.

Conjuntos Totalmente Limitados Defini¸ c˜ ao 70 (Conjunto Totalmente Limitado). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Diremos que um subconjunto K ⊂ M é totalmente limitado se, para todo ε > 0 dado, existir um n´ umero finito de pontos x1 , x2 , . . . , xn ∈ K de maneira que K ⊂ B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε) ∪ · · · ∪ B(xn ; ε). Observa¸c˜ ao: Todo conjunto totalmente limitado é limitado; n˜ ao valendo a rec´ıproca. Exemplos

514

1. O subconjunto K = [ 0, 1 ] é totalmente limitado no espa¸co (R, µ), mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). Inicialmente mostremos a segunda destas assertivas. De fato, temos ˘ ¯ Bδ ( x; 1) = x , ∀ x ∈ [ 0, 1 ]. De modo que é imposs´ıvel selecionar n pontos em [ 0, 1 ] de modo que [ 0, 1 ] ⊂

n [

Bδ ( xi ; 1).

i=1

Observe que [ 0, 1 ] é um subconjunto limitado em (R, δ). Deste modo, ser totalmente limitado é uma condi¸c˜ ao mais forte do que ser limitado. Mostremos agora que [ 0, 1 ] é totalmente limitado no espa¸co (R, µ). De fato, dado ε > 0 escolhamos (pelo corol. 3, (a), pg. 65+Pr´ınc´ıpio da boa ordena¸c˜ ao) o menor natural n de modo que n · ε > 1 e fa¸camos x1 = 0, x2 = ε, x3 = 2ε, . . . , xn = (n − 1)ε ≤ 1. Temos, ] x1 − ε, x1 + ε [ = ] − ε, ε [ ] x2 − ε, x2 + ε [ = ] 0, 2ε [

] x3 − ε, x3 + ε [ = ] ε, 3ε [

....................................... ] xn − ε, xn + ε [ = ] n · ε − 2ε, n · ε [ Sendo assim, [ 0, 1 ] ⊂ Bµ ( x1 ; ε) ∪ Bµ ( x2 ; ε) ∪ · · · ∪ Bµ ( xn ; ε), o que prova nossa assertiva. 2. Todo conjunto limitado em (R, µ) é totalmente limitado. Prova: Para provar esta afirma¸c˜ ao é suficiente mostrar que todo intervalo [ a, b ] em (R, µ) é totalmente limitado. (Isto porque todo conjunto limitado em (R, µ) est´ a contido em algum intervalo do tipo [ a, b ]). De fato, dado ε > 0 escolhamos o menor natural n de modo que n · ε > b − a e fa¸camos x1 = a x2 = a + ε x3 = a + 2ε .. . xk = a + (k − 1)ε .. . xn = a + (n − 1)ε onde o n escolhido é tal que a + (n − 1)ε ≤ b < a + nε. Ent˜ ao, [ a, b ] ⊂ Bµ ( x1 ; ε) ∪ Bµ ( x2 ; ε) ∪ · · · ∪ Bµ ( xn ; ε) 3. Um outro exemplo de conjunto limitado, mas n˜ ao totalmente limitado, é o subconjunto ̥ = { δ1 , δ2 , δ3 , . . .} de ℓ2 visto na pg. 509.

515

10.2.1

Caracteriza¸c˜ ao de Compacidade

Em geral, n˜ ao é f´ acil provar que um conjunto é compacto, utilizando apenas a defini¸c˜ ao (ver por exemplo a proposi¸c˜ ao 128, pg. 505). A proposi¸c˜ ao seguinte nos fornece outras defini¸c˜ oes alternativas de compacidade. Proposi¸ c˜ ao 135. Seja (M, d) um espa¸co métrico. As seguintes afirma¸c˜ oes s˜ ao equivalentes: a) (M, d ) é compacto; b) Todo subconjunto infinito de M possui um ponto de acumula¸c˜ ao; c) Toda seq¨ uência em M possui uma subseq¨ uência convergente; d) (M, d ) é completo e totalmente limitado. Prova: Devemos mostrar que a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ d) ⇒ a). Ent˜ ao a) ⇒ b) Faremos uso da técnica (T − 4) (pg. 24). Fa¸camos, 8 > H : > > < 1 > > > : H : 2

(M, d ) é compacto. ⇒

T:

X possui um ponto de acumula¸c˜ ao.

X ⊂ M é infinito. ¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Suponhamos (M, d ) compacto e X ⊂ M um subconjunto sem ponto de acu¯ = X ∪ X ′ = X, isto é, X é fechado em (M, d ), mula¸c˜ ao. Sendo X ′ = ∅ resulta que X donde, utilizando H1 , X é compacto. Afirmamos, ademais, que o subespa¸co (X, d ) é discreto. De fato, se isto n˜ ao fosse verdade existiria um ponto p ∈ X n˜ ao isolado. Logo (ver observa¸c˜ ao pg. 186) para todo r > 0 dado, existe um outro ponto x ∈ X tal que x ∈ B(p; r), isto é, 0 < d(x, p) < r. Portanto, ` ´ ` ´ B(p; r) − { p } ∩ X 6= ∅ ⇒ B(p; r) − { p } ∩ X 6= ∅

e p resultaria ponto de acumula¸c˜ ao de X, contrariando nossa hip´ otese. Pois bem, (X, d ) compacto e discreto implica (exemplo 5., pg. 506) que X é finito. b) ⇒ c) Seja (xn ) uma seq¨ uência em M . Se {xn : n ∈ N} é finito ent˜ ao existe algum valor a que se repete infinitas vezes: a = xn = xn = · · · = xn = · · · . Portanto 2 1 k a subseq¨ uência (xn ) converge para a. Se, porém, o conjunto { x1 , x2 , . . . , xn , . . .} é k infinito ent˜ ao possui um ponto de acumula¸c˜ ao a. Tendo em conta a observa¸c˜ ao (ii), pg. 285 e a proposi¸c˜ ao 65, pg. 279, concluimos que existe uma seq¨ uência de pontos de X = { x1 , x2 , . . . , xn , . . .} (isto é, uma subseq¨ uência de (xn )) convergindo para a. c) ⇒ d) Supondo c) como hip´ otese, temos que toda seq¨ uência de Cauchy em M possui uma subseq¨ uência convergente, logo (proposi¸c˜ ao 116, pg. 452) é convergente. Sendo assim (M, d ) resulta completo. Ainda resta mostrar que (M, d ) é totalmente limitado: vamos mostrar que, para todo ε > 0 arbitrariamente fixado, podemos incluir M numa reuni˜ ao de um n´ umero finito de bolas de raio ε. De fato, dado ε > 0, escolhamos um ponto x1 ∈ M . Se acontece M ⊂ B(x1 ; ε), paramos aqui. Caso contr´ ario, existe x2 ∈ M de modo que d(x2 , x1 ) ≥ ε. Se acontece M ⊂ B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε), terminou. Caso contr´ ario, existe x3 ∈ M de modo que d(x3 , x2 ) ≥ ε e d(x3 , x1 ) ≥ ε. Prosseguindo desta forma, ou chegamos a um n tal que M ⊂ B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε) ∪ · · · ∪ B(xn ; ε) ou ent˜ ao obtemos uma seq¨ uência (xn ) satisfazendo d(xm , xn ) ≥ ε para m 6= n quaisquer. Sendo assim, (xn ) n˜ ao possui nenhuma subseq¨ uência de Cauchy, ou ainda: nenhuma subseq¨ uência convergente. O que contraria a hip´ otese, logo a segunda das alternativas

516

propostas n˜ ao ocorre, por conseguinte (M, d ) é totalmente limitado. d) ⇒ a) Seja (M, d ) completo e totalmente limitado. Suponhamos, por absurdo, que (M, d ) n˜ ao é compacto. Sendo assim existe uma cobertura aberta A = {Aλ }λ∈L de M que n˜ ao admite subcobertura finita. Como (M, d ) é totalmente limitado, existe um n´ umero finito de pontos x1 , x2 , . . . , xn em M tais que M⊂

– n » [ ` ` 1´ 1´ B xi ; ⇒ M= . M ∩ B xi ; 2 2 i=1 i=1 n [

Assim, M pode ser decomposto num n´ umero finito de subconjuntos com diˆ ametro menor ou igual a 1. `

1 M ∩B xi ; 2

´

`

1 ⊂ B xi ; 2

´

„ ` ´« ` ´ ⇒ diam M ∩B xi ; 1 ≤ diam B xi ; 1 ≤1. 2 2

Como (M, d ) n˜ ao é compacto pelo ao menos um desses conjuntos, digamos ` 1´ , M1 = M ∩ B xk ; 2

`

´ k ∈ {1, 2, . . . , n}

n˜ ao est´ a contido em reuni˜ ao finita alguma de elementos de A (ver exemplo 8., pg. 507). Como M1 é totalmente limitado, M1 pode ser decomposto num n´ umero finito de subconjuntos cada qual com diˆ ametro menor ou igual a 21 . Pelo menos um desses conjuntos, digamos, M2 , n˜ ao est´ a contido em reuni˜ ao finita alguma de elementos de A. Prosseguindo dessa forma obtemos M1 ⊃ M2 ⊃ M3 ⊃ · · · Com Mn 6= ∅ para todo n, e diam Mn ≤

1 . n

Seja Mn o fecho de Mn em (M, d ), ent˜ ao

M 1 ⊃ M2 ⊃ M3 ⊃ · · · é uma cadeia de subconjuntos fechados do espa¸co completo (M, d ), com Mn 6= ∅ para todo n e lim diam Mn = 0. Logo, o lema 6, pg. 494, nos assegura que existe p ∈ M n

de modo que

∞ \

n=1

Mn = {p}.

Como p ∈ M , existe Aλ′ em A tal que p ∈ Aλ′ . Afirmamos: Se lim diam Mn = 0 ent˜ ao ∃ n0 ∈ N tal que Mn ⊂ Aλ′ 0

n

ao existe n0 ∈ N de modo que De fato, suponha que lim diam Mn = 0 e que n˜ n

Mn ⊂ Aλ′ . Logo, para todo n existe xn ∈ Mn de modo que xn 6∈ Aλ′ . Como 0 p ∈ Aλ′ , ent˜ ao para todo n natural xn 6= p. Logo ∀ n ∈ N existe xn ∈ Mn tal que d(xn , p) > 0

(⋆)

Por outro lado, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que ˛ ˛ ˛diam Mn − 0˛ = diam Mn < ε, ∀ n ≥ n0 . Logo,

˘ ¯ diam Mn = sup d(x, y) : x, y ∈ Mn < ε,

517

∀ n ≥ n0 .

Ent˜ ao, ∀ n ≥ n0 ⇒ d(x, y) < ε;

x, y ∈ Mn .

∀ n ≥ n0 ⇒ d(x, y) = 0;

x, y ∈ Mn .

Respaldados na proposi¸c˜ ao 23, pg. 65; podemos escrever

Mas esta conclus˜ ao contradiz (⋆). Pois bem, existe um ´ındice n0 tal que Mn0 ⊂ Aλ′

⇒ Mn0 ⊂ Aλ′

Mas isto é uma contradi¸c˜ ao uma vez que, como dissemos acima, os Mn n˜ ao est˜ ao contidos em nenhuma reuni˜ ao finita de elementos da cobertura A = {Aλ }λ∈L . Defini¸ c˜ ao 71 (Espa¸cos Seq¨ uencialmente Compactos). Um espa¸co (M, d) é seq¨ uencialmente compacto se, e somente se, toda seq¨ uência em M possui uma subseq¨ uência convergente. A proposi¸c˜ ao 135 (pg. 516) nos assevera ent˜ ao que todo espa¸co métrico compacto é seq¨ uencialmente compacto e, rec´ıprocamente, todo espa¸co seq¨ uencialmente compacto é compacto. Todo espa¸co métrico compacto possui um subconjunto enumer´ avel e denso. Sen˜ ao vejamos: c˜ ao 136. Seja (M, d) um espa¸co métrico ao existe uma seq¨ uência `Proposi¸ ´ ˘ compacto. ¯ Ent˜ yn de pontos de M tal que o conjunto Y = y1 , y2 , . . . é denso em (M, d).

Prova: Como (M, d) é compacto, é totalmente limitado, logo (ver defini¸c˜ ao 70, pg. 514) para ε = 1, existem m1 pontos de M , digamos x11 , x12 , x13 . . . , x1m tais que,

1

` ´ ` ´ ` ´ B x11 ; 1 ∪ B x12 ; 1 ∪ · · · ∪ B x1m ; 1 ⊃ M 1

Para ε =

1 2

existem, existem m2 pontos de M , digamos x21 , x22 , x23 . . . , x2m

2

tais que,

` ` ` 1´ 1´ 1´ B x21 ; ∪ B x22 ; ∪ · · · ∪ B x2m ; ⊃M 2 2 2 2 E assim sucessivamente, para ε = n1 existem, existem mn pontos de M , digamos xn1 , xn2 , xn3 . . . , xnmn

tais que,

` ` ` 1´ 1´ 1´ B xn1 ; ∪ B xn2 ; ∪ · · · ∪ B xnmn ; ⊃M n n n Vamos organizar as informa¸c˜ oes anteriores. Temos a seguinte seq¨ uência dupla: x11 x12 x13 ... x1m 1 x21 x22 x23 ... x2m 2 ...................................... xn1 xn2 xn3 ... xnmn ......................................

Observe que esta seq¨ uência dupla, ao contr´ ario do que parece, n˜ ao possui o mesmo n´ umero de colunas, mas é sempre limitada em colunas; digo: todas as linhas têm um

518

n´ umero finito de elementos. Em correspondencia a esta seq¨ uência dupla obtemos: ` ´ ` ´ ` ´ B x11 ; 1 ∪ B x12 ; 1 ∪ · · · ∪ B x1m ; 1 ⊃ M 1

` ´ ` ´ ` ´ B x21 ; 12 ∪ B x22 ; 21 ∪ · · · ∪ B x2m ; 12 ⊃ M 2 . . `. . . . . . . .´. . . . . `. . . . . . . .´. . . . . . . . . . `. . . . . . . . . .´. . . . . . B xn1 ; n1 ∪ B xn2 ; n1 ∪ · · · ∪ B xnmn ; n1 ⊃ M ................................................. ` ´ Pois bem, a seq¨ uência yn procurada é obtida ao “linearizarmos” a seq¨ uência dupla anterior, da seguinte forma: ´ ` x11 , . . . , x1m ; x21 , . . . , x2m ; · · · ; xn1 , . . . , xnmn ; · · · 1

2

De fato, vamos provar que sendo ¯ ˘ Y = x11 , . . . , x1m ; x21 , . . . , x2m ; · · · ; xn1 , . . . , xnmn ; · · · 1

2

temos Y¯ = M . Dados p ∈ M e ε > 0 devemos mostrar que existe xij ∈ Y tal que xij ∈ B( p; ε). Ent˜ ao, dado ε > 0 tomamos, de empréstimo a Arquimedes, um natural n de modo que n1 < ε. Como ` ` ` 1´ 1´ 1´ ∪ B xn2 ; ∪ · · · ∪ B xnmn ; ⊃M B xn1 ; n n n

p pertence a uma destas bolas, digamos

` 1´ , para algum k ∈ {1, 2, . . . , mn } p ∈ B xnk ; n

portanto d(p, xnk ) <

10.3

1 n

< ε, isto é, xnk ∈ B( p; ε).

Produto Cartesiano de Conjuntos Compactos

Proposi¸ c˜ ao 137 (Produto de Compactos). Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Consideremos sobre M1 × M2 uma qualquer das métricas equivalentes D1 , D2 ou D3 (pg. 151; pg. 379 ). Ent˜ ao M1 × M2 é compacto se, e somente se, M1 e M2 o forem. Prova: (⇒) Se M1 × M2 é compacto ent˜ ao M1 e M2 também o ser˜ ao pois s˜ ao imagens do compacto M1 × M2 pelas fun¸c˜ oes cont´ınuas (proje¸c˜ oes): p1 : M1 × M2 −→ M1

e

(x1 , x2 ) 7−→ x1

p2 : M1 × M2 −→ M2 (x1 , x2 ) 7−→ x2

Assim, ` ´ ˘ ` ´ ¯ p1 M1 × M2 = p1 (x1 , x2 ) : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 ˘ ¯ = x1 : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = M1 ` ´ An´ alogamente p2 M1 × M2 = M2 . (⇐) Para provar a rec´ıproca mostraremos que se M1 e M2 s˜ ao compactos ent˜ ao toda seq¨ uência em M = M1 × M2 possui uma subseq¨ uência convergente. De fato, seja (zn ) uma seq¨ uência em M . Ent˜ ao, zn = (xn , yn ), sendo (xn ) uma seq¨ uência em M1 e (yn ) uma seq¨ uência em M2 . Como M1 é compacto, (xn ) possui uma subseq¨ uência convergente, isto é, existem N1 ⊂ N infinito (pg. 198) e a ∈ M1 tais que lim xn = a. n∈N1

519

Como M2 é compacto, a seq¨ uência (yn )n∈N possui uma subseq¨ uência convergente, 1 isto é, existem N2 ⊂ N1 infinito e b ∈ M2 tais que lim yn = b. Observe que (xn )n∈N n∈N2

2

é uma subseq¨ uência da subseq¨ uência (xn )n∈N , portanto pela proposi¸c˜ ao 36 (pg. 212) 1 temos lim xn = a. Sendo assim, temos n∈N2

8 lim xn = a > > > n∈N2 < > > lim yn = b > : n∈N

propo. 38

` ´ lim xn , yn = (a, b).

=⇒

n∈N2

(pg. 214)

2

` ´ Ent˜ ao zn

n∈N

é a subseq¨ uência procurada.

2

Corol´ ario 45. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao, o produto M = M1 × M2 × · · · × Mn é compacto se, e somente se, cada Mi o for. Prova: Basta aplicar n − 1 vezes a proposi¸c˜ ao 137.

10.3.1

Compactos no Rn

Ami´ ude, n˜ ao é f´ acil provar que um conjunto é`compacto. ´ Esta dificuldade deixa de existir no caso de subconjuntos compactos do Rn , Di (i = 1, 2, 3.) (pg. 98) . Na seq¨ uência provamos umaìmportante ao que caracteriza completamente os ´ proposi¸c˜ subconjuntos compactos do Rn , Di . Vimos (prop. 131, pg. 509) que todo subconjunto compacto de um espa¸co métrico é fechado e limitado. Mas, devido ao exemplo 1. (pg. 504), num espa¸co métrico um conjunto ` n ´ pode ser fechado e limitado sem ser compacto. No caso porém dos espa¸cos R , Di compacto é o mesmo que fechado e limitado. Sen˜ ao vejamos, ` n ´ Proposi¸ c˜ ao 138. Sejam os espa¸cos métricos R , Di (i = 1, 2, 3.). Um subconjunto K ⊂ Rn é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado. Prova: (⇒) Vale para qualquer espa¸co métrico. (⇐) Um subconjunto K ⊂ Rn diz-se limitado quando existe um n´ umero real c > 0 de modo que kxk ≤ c para todo x ∈ K. Isto é o mesmo que dizer que K est´ a contido na bola de centro na origem e raio c. Consideremos sobre Rn a norma ˘ ¯ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7−→ kxk = max |x1 |, |x2 |, . . . , |xn | Pois bem, sendo K limitado, para todo x ∈ K existe c > 0 de modo que ˘ ¯ kxk ≤ c ⇔ max |x1 |, |x2 |, . . . , |xn | ≤ c 8 |x1 | ≤ c > > > > <|x2 | ≤ c ⇔ > ... > > > : |xn | ≤ c

8 x1 ∈ [ −c, c ] > > > > ... > > > : xn ∈ [ −c, c ]

⇔ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [ −c, c ] × · · · × [ −c, c ]

⇒ K ⊂ [ −c, c ] × · · · × [ −c, c ].

520

Como cada [`−c, c ] é´ compacto em R, segue que o produto [ −c, c ] ×`· · · × [ −c, ´ c] é compacto em Rn , Di . Sendo assim K é um subconjunto fechado em Rn , Di que est´ a contido num compacto deste espa¸co. Donde, tendo em conta a proposi¸c˜ ao 129 (pg. 507), K resulta compacto. Nota: Devido as desigualdades (pg. 379), D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n · D3 (x, y)

v´ alidas para as respectivas normas do Rn , se um subconjunto X ⊂ Rn é limitado em rela¸c˜ ao a uma dessas normas o é também em rela¸c˜ ao ` as outras duas.

O espa¸ co [ 0, 1 [, k ´ e compacto

` ´ Proposi¸ c˜ ao 139 (Gentil/29.06.05). O espa¸co métrico [ 0, 1 [, k é compacto.

Prova: De fato, sendo o mesmo completo (prop. 122, pg. 462) é suficiente mostrar que é totalmente limitado. Sendo [ 0, 1 [ totalmente limitado no espa¸co (R, µ), segue que, dado ε > 0 arbitr´ ario podemos, selecionar n pontos: x1 , x2 , x3 , . . . , xn em [ 0, 1 [ de sorte que [`0, 1 [⊂ ´ Bµ ( x1 ; ε) ∪ Bµ ( x2 ; ε) ∪ · · · ∪ Bµ ( xn ; ε). Pelo lema 5 (pg. 461) temos que Bµ xi ; ε ⊂ Bk (xi ; ε), (i = 1, 2, . . . , n). Portanto [ 0, 1[ ⊂

n [

i=1

n ` ´ ` ´ [ Bk xi ; ε Bµ xi ; ε ⊂ i=1

` ´ Sendo [ 0, 1 [, k completo e totalmente limitado, resulta também compacto.

Ap´ os esta prova concebemos uma outra mais direta. De fato, sendo (xn ) uma seq¨ uência arbitr´ aria em [ 0, 1 [ podemos mostrar que esta possui uma subseq¨ uência convergente. Com efeito, (xn ) é também uma seq¨ uência no espa¸co compacto ([ 0, 1 ], µ) e, portanto, possui uma subseq¨ uência (xn ) convergente. Sendo assim, (xn ) também k k ` ´ converge no espa¸co [0, 1[, k . ` ´ − Podemos dar ainda uma terceira prova da compacidade do espa¸co [0, 1[, k . De fato, o exemplo 6), pg. 311 nos mostra que este espa¸co é a imagem cont´ınua de um compacto logo, pela proposi¸c˜ ao 133 (pg. 511) é compacto. ` ´ Corol´ ario . Os quadrados [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, Di s˜ ao compactos.

10.4

Distˆ ancia Entre Conjuntos Compactos

No exemplo 2) (pg. 123) tivemos a oportunidade de calcular a distˆ ancia entre os subconjuntos X = [ 0, 1 ] e Y =] 3, 4 ] no espa¸co ( R, µ). Encontramos “ ” D [ 0, 1 ]; ] 3, 4 ] = 2. Vamos agora calcular a distˆ ancia entre o ponto p = 1 ∈ X e o subconjunto Y : ˘ ¯ d(p, Y ) = inf d( p, y) : y ∈ Y ˘ ¯ d(1, Y ) = inf d( 1, y) : y ∈ Y ˘ ¯ = inf |1 − y| : 3 < y ≤ 4

Ent˜ ao, 3 < y ≤ 4 ⇔ 2 < y − 1 ≤ 3 ⇔ 2 < |y − 1| ≤ 3 ⇔ |y − 1| ∈ ] 2, 4 ] ⇔ d(1, Y ) = 2.

521

Resultando,

“ ” ` ´ D [ 0, 1 ]; ] 3, 4 ] = d 1; ] 3, 4 ]

Isto é, encontramos um ponto no conjunto X que proporciona a distˆ ancia entre X e Y . Isto aconteceu em virtude de que X é compacto. Este fenˆ omeno pode ser generalizado para todos os espa¸cos métricos. Este é o conte´ udo da pr´ oxima proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 140. Seja (M, d) um espa¸co métrico e K ⊂ M um subconjunto compacto. Se X ⊂ M , ent˜ ao existe p ∈ K de modo que D(K, X) = d(p, X). (M, d)

K

p q

X ν

Prova: Antes devemos lembrar: ˘

d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X ˘ ¯ d(p, X) = inf d( p, x) : x ∈ X

D(K, X) = inf

¯

Inicialmente observe que se p ∈ K ent˜ ao ˘

¯ ˘ ¯ d( p, x) : x ∈ X ⊂ d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X

˘

¯ ˘ ¯ d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X ≤ inf d( p, x) : x ∈ X

portanto (prop. 20, pg. 64) inf

isto é, d(p, X) ≥ D(K, X). Pois bem, seja ν = ao de inf, ν é a maior das cotas ˘ D(K, X) ≥ 0. Pela defini¸ ¯ c˜ inferiores do conjunto d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X ; portanto para todo n natural, ν + n1 n˜ ao pode ser cota inferior deste conjunto. Isto é o mesmo que afirmar (lema 2, pg. 62) a existência de kn ∈ K e xn ∈ X tais que ` ´ 1 ν ≤ d kn , x n < ν + n

Consideremos a seq¨ uência (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) e seja A = { xn : n ∈ N } o conjunto dos seus termos. Existem duas alternativas: (i) A é finito. Neste caso existe p ∈ K tal que xn = p a partir de uma certa posi¸c˜ ao n. Afirmamos que D(K, X) = d(p, X). De fato, suponha, ao contr´ ario, que d(p, X) > D(K, X), sendo assim existe δ > 0 de modo que d(p, X) = ν + δ, e 1 escolhamos um n´ umero natural m satisfazendo xm = p e m < δ2 . Sendo assim, temos ν + δ = d(p, X) = d(xm , X) ≤ d(xm , ym ) < ν + o que é absurdo.

522

1 δ <ν+ m 2

(ii) A é infinito. Da compacidade de K resulta que existe uma subseq¨ uência (xn ) de (xn ) tal k que lim xn = p ∈ K. Afirmamos que D(K, X) = d(p, X). De fato, suponha, k ao contr´ ario, que d(p, X) > D(K, X), sendo assim existe δ > 0 de modo ` que´ d(p, X) = ν + δ. Da convergência xn −→ p decorre que a bola B p; δ2 k ` ´ contém infinitos termos da seq¨ uência (xn ). Escolhamos xm ∈ B p; δ2 de modo δ 1 que m < 2 . Sendo assim, d(p, xm ) + d(xm , ym ) <

1 δ δ δ +ν+ < +ν+ 2 m 2 2

= ν + δ = d(p, X) ≤ d(p, ym ). Esta contradi¸c˜ ao com a desigualdade triangular encerra a demonstra¸c˜ ao. (M, d)

K

q`` ``` q @ p q ym

xm

X

d(p, ym ) ≤ d(p, xm )+d(xm , ym )

Corol´ ario 46. Seja (M, d) um espa¸co métrico e K ⊂ M um subconjunto compacto. Se X ⊂ M é um subconjunto fechado tal que X ∩ K = ∅, ent˜ ao D(K, X) > 0. Prova: Faremos uso da técnica (T − 4) (pg. 24). Fa¸camos 8 > < H1 : > : H : 2

K compacto ∧ X fechado. K ∩ X = ∅.

⇒

T:

D(K, X) > 0

¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Suponhamos K compacto, X fechado e D(K, X) = 0. Ent˜ ao, pela proposi¸c˜ ao 140, existe um ponto p ∈ K satisfazendo d(p, X) = 0. Pela proposi¸c˜ ao 63 (pg. 278) somos ¯ Como p ∈ K e X ¯ = X, resulta p ∈ K ∩ X, o que contradiz informados de que p ∈ X. H2 . Mostraremos agora que a distˆ ancia entre dois subconjuntos compactos de um dado espa¸co métrico, pode ser expressa pela distˆ ancia entre dois pontos: um de cada desses subconjuntos. Corol´ ario 47. Seja (M, d) um espa¸co métrico e K, ̥ ⊂ M subconjuntos compactos. Ent˜ ao existem p ∈ K e q ∈ ̥ tais que D(K, ̥) = d(p, q). Prova: Como K é compacto a proposi¸c˜ ao 140 nos diz que existe um ponto p ∈ K satisfazendo D(K, ̥) = d(p, ̥). Como ̥ `é compacto a `mesma ´proposi¸c˜ ao nos diz ´ que existe um ponto q ∈ ̥ satisfazendo D ̥, { p } = d q, { p } . Tendo em conta que ` ´ ˘ ¯ D ̥, { p } = inf d(x, y) : x ∈ ̥ e y ∈ { p } ˘ ¯ = inf d(x, p) : x ∈ ̥ ` ´ = d ̥, p

523

e ` ´ ˘ ¯ d { p }, q = inf d(x, q) : x ∈ { p } ˘ ¯ = inf d( p, q) = d(p, q)

decorre que D(K, ̥) = d(p, q).

10.5

N´ umero de Lebesgue Para Coberturas

Proposi¸ c˜ ao 141. Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto. Se A = {Aλ }λ∈L é um recobrimento aberto de M , ent˜ ao existem um n´ umero real δ > 0 e um aberto Aν ∈ A tais que para todo x ∈ M vale a inclus˜ ao B(x; δ) ⊂ Aν . Coment´ ario: O n´ umero δ > 0 serve para todos os pontos x ∈ M . O que pode mudar de ponto para ponto de M é o elemento Aν da fam´ılia A = {Aλ }λ∈L . Ou ainda: o raio da bola B(x; δ) é o mesmo para todo x ∈ M . Agora dependendo do x ∈ M , B(x; δ) vai estar contido num ou noutro Aν ∈ A. A seguir destacamos, em s´ımbolos, a tese e sua nega¸c˜ ao: ∃ δ>0 ∀ x ∈ M ∃ Aν ∈ A ⇒ B(x; δ) ⊂ Aν ∀ δ>0 ∃ x ∈ M ∀ Aν ∈ A ⇒ B(x; δ) 6⊂ Aν

Prova: Supondo falsa a tese, para todo δ > 0 existe x ∈ M de modo que B(x; δ) 6⊂ Aλ , para todo ´ındice λ ∈ L. Sendo assim, existe uma seq¨ uência (x1 , x2 , . . .) de pontos de M de modo que B(x1 ; 1) 6⊂ Aλ , ∀ λ ∈ L; ` B x2 ;

` B x3 ;

1 2 1 3

´ ´

.. .

6⊂ Aλ ,

∀ λ ∈ L;

6⊂ Aλ ,

∀ λ ∈ L;

Quanto ao conjunto {xn : n ≥ 1} dos termos da seq¨ uência (xn ) podem ocorrer duas possibilidades: (i) X = { x1 , x2 , . . .} é finito. Neste caso existe p ∈ X tal que xn = p a partir de uma certa posi¸c˜ ao n. Como p ∈ M ⊂ ∪Aλ , ent˜ ao p ∈ Aν para algum ´ındice ν ∈ L, e como Aν é aberto existe r > 0 de modo que p ∈ B(p; r) ⊂ Aν Escolhendo um ´ındice m tal que xm = p e

1 m

< r, teremos:

` 1´ ⊂ B(p; r) ⊂ Aν B xm ; m ` ´ 1 Mas isto contradiz o fato de que B xm ; m 6⊂ Aλ para todo Aλ na cobertura A.

(ii) X = { x1 , x2 , . . .} é infinito. Da compacidade de M resulta que existe uma subseq¨ uência (xn ) de (xn ) k tal que lim xn = p ∈ M . Como p ∈ M ⊂ ∪Aλ , ent˜ ao p ∈ Aν para algum ´ındice k ν ∈ L, e como Aν é aberto existe r > 0 de modo que p ∈ B(p; r) ⊂ Aν

524

(⋆)

Como lim xn = p existem (prop. 32, pg. 200) infinitos pontos de X = k ` ´ { x1 , x2 , . . .} na bola B p; 2r , ent˜ ao podemos escolher um ´ındice m de modo que ` r´ r 1 < e xm ∈ B p; 2 m 2 Afirmamos, ` 1´ B xm ; ⊂ B(p; r) m ´ ` 1 1 , ent˜ ao , isto é, d(y, xm ) < m De fato, seja y ∈ B xm ; m d(y, p) ≤ d(y, xm ) + d(xm , p) 1 r < +
o que garante y ∈ B(p; r). Utilizando (⋆) obtemos ` 1´ B xm ; ⊂ B(p; r) ⊂ Aν . m ´ ` Mas isto contradiz o fato de que B xn ; n1 6⊂ Aλ para todo Aλ na cobertura A.

Corol´ ario 48. Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto e A = {Aλ }λ∈L um recobrimento aberto de M . Ent˜ ao existe um n´ umero real δ > 0 tal que, para todo subconjunto X de M , com diam X < δ, existe um aberto Aν ∈ A de modo que X ⊂ Aν . (M, d)

X

Aν

∃ δ> 0 : ∀ X⊂M (diam X<δ) ⇒ ∃ Aν ∈ A : X⊂Aν .

Prova: Pela proposi¸c˜ ao 141 existe δ > 0 de modo que para todo x ∈ M se pode obter um aberto Aν em A com B( x; δ) ⊂ Aν (⋆). Sejam X ⊂ M com diam X < δ e p ∈ X. Ent˜ ao, de ˘ ¯ diam(X) = sup d(x, y) : x, y ∈ X < δ decorre,

d(x, y) < δ, Como p ∈ X, tomando y = p, obtemos

∀ x, y ∈ X.

∀ x ∈ X, d(x, p) < δ ⇒ X ⊂ B( p; δ) Tendo em conta (⋆), resulta X ⊂ B( p; δ) ⊂ Aν . Devido ao corol´ ario anterior faz sentido a seguinte defini¸c˜ ao:

Defini¸ c˜ ao 72 (N´ umero de Lebesgue de uma Cobertura). Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto e A = {Aλ }λ∈L uma cobertura aberta de M . Diz-se que um n´ umero umero de Lebesgue para a cobertura A quando todo subconjunto X ⊂ M δ > 0 é um n´ com diˆ ametro menor do que δ est´ a contido em algum Aν da cobertura. Obviamente, se δ é um n´ umero de Lebesgue de uma cobertura e 0 < δ ′ < δ, ′ ent˜ ao δ também é um n´ umero de Lebesgue da mesma cobertura.

525

Compacidade e Continuidade Uniforme Proposi¸ c˜ ao 142. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se (M, d1 ) é compacto ent˜ ao toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : M −→ N é uniformemente cont´ınua. Isto é∗ , para todo ε > 0 dado arbitrariamente, existe δ(ε) > 0 tal que ` ´ ∀ x, y ∈ M, d1(x, y) < δ(ε) ⇒ d2 f (x), f (y) < ε.

Daremos duas provas desta proposi¸c˜ ao: 1a ) Prova: Como f : M −→ N é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua, dado ε > 0, para cada x ∈ M existe em correspondencia um δ(x, ε) > 0 tal que ` ´ 1 ∀ y ∈ M com d1 (x, y) < δ(x, ε) ⇒ d2 f (x), f (y) < ε 2

(10.1)

A fam´ılia de bolas abertas



` 1 ´ B x; δ(x, ε) : x ∈ M 2

ff

é uma cobertura aberta de M ; logo, existe uma subcobertura finita, digamos ff  ´ ` ´ ` ´ ` 1 1 1 B x1 ; δ(x1 , ε) , B x2 ; δ(x2 , ε) , . . . , B xn ; δ(xn , ε) 2 2 2 ˘1 ¯ Fa¸camos, δ(ε) = min 2 δ(x1 , ε), 12 δ(x2 , ε), . . . , 21 δ(xn , ε) e sejam

x, y ∈ M com d1 (x, y) < δ(ε). ` ´ Para algum ´ındice k ∈ { 1, 2, . . . , n}, x ∈ B xk ; 21 δ(xk , ε) . Sendo assim, d1 (x, xk ) < 1 δ(xk , ε). Com o aux´ılio desta desigualdade obtemos duas outras: 2 ` ´ (i) por (10.1): d2 f (x), f (xk ) < 21 ε.

(ii)

d1 (xk , y) ≤ d1 (xk , x) + d1 (x, y) 1 < δ(xk , ε) + δ(ε), 2 como δ(ε) ≤ fornece

1 δ(xk , 2

ε) obtemos d1 (xk , y) < δ(xk , ε). Por conseguinte (10.1) nos

` ´ ` ´ ` ´ d2 f (x), f (y) ≤ d2 f (x), f (xk ) + d2 f (xk ), f (y)) 1 1 < ε+ ε = ε 2 2 Isto prova que f é uniformemente cont´ınua sobre M .

2a ) Prova: Como f : M −→ N` é uma aplica¸ ao cont´ınua, dado ε > 0, para cada ´ c˜ x ∈ M existe uma bola aberta B x; δ(x, ε) de modo que ` ´ ` 1 ´ ∀ y ∈ B x; δ(x, ε) ⇒ f (y) ∈ B f (x); ε 3

A fam´ılia de bolas abertas

∗ Ver

defini¸ca õ, pg. 354

n ` o ´ A = B x; δ(x, ε) : x ∈ M

526

(10.2)

é uma cobertura aberta de M ; logo − pela compacidade de M − existe uma subcobertura finita, digamos n ` ´ ` ´ ` ó B = B x1 ; δ(x1 , ε) , B x2 ; δ(x2 , ε) , . . . , B xn ; δ(xn , ε) e, pelo corol´ ario 48 (pg. 525), a cobertura B possui um n´ umero de Lebesgue δ > 0. Sejam agora x, y ∈ M com d1 (x, y) < δ (ver coment´ ario ap´ os propo. 141, pg. 524). Como ` ´ ˘ ¯ diam {x, y} = sup d1 (x, y) : x, y ∈ { x, y } = d1 (x, y) < δ ` ´ implica que { x, y } est´ a contido em um membro B xk ; δ(xk , ε) da cobertura B. Por conseguinte, por (10.2), temos ( Como

` ´ y ∈ B xk ; δ(xk , ε) ` ´ x ∈ B xk ; δ(xk , ε)

⇒

(

` ´ f (y) ∈ B f (xk ); 13 ε ` ´ f (x) ∈ B f (xk ); 31 ε

« „ ` ´ ` 1 1 1 ´ diam B f (xk ); ε ≤ 2 · ε ⇒ d2 f (x), f (y) ≤ 2 · ε < ε 3 3 3

Isto prova que f é uniformemente cont´ınua sobre M .

10.6

Espa¸ cos Localmente Compactos

Defini¸ c˜ ao 73 (Espa¸cos localmente compactos). Um espa¸co métrico (M, d) é localmente compacto se, e somente se, cada ponto de M possui uma vizinhan¸ca compacta. De outro modo: Dizemos que um espa¸co métrico (M, d) é localmente compacto quando, para todo x ∈ M , existe um compacto K, com x ∈ int K. Um subconjunto N ⊂ M é localmente compacto quando o subespa¸co (N, d) o for. Exemplos:

1. O espa¸co (R, µ) é localmente compacto. De fato, dado p ∈ R tomamos K = [ p − 1, p + 1 ] e temos p ∈ int K =] p − 1, p + 1 [. Sendo K um subconjunto fechado e limitado de (R, µ), K é compacto; portanto K é uma vizinhan¸ca compacta de p em (R, µ) e (R, µ) resulta localmente compacto. Vemos assim, que um espa¸co localmente compacto n˜ ao é necess´ ariamente compacto. Por outro lado, como um espa¸co métrico é sempre uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos, a rec´ıproca é verdadeira. 2. Todo espa¸co (M, d) discreto é localmente compacto. De fato, cada ponto é uma vizinhan¸ca compacta de si mesmo. Veja os exemplos 4. (pg. 506) e (4) (pg. 268). ` ´ 3. Os espa¸cos Rn , Di (i = 1, 2, 3.) s˜ ao localmente compactos. De fato, dado p ∈ Rn , tomamos K = B[ p; 1 ] e `temos p´ ∈ int K = B(p; 1). Sendo K um subconjunto fechado e limitado Rń , D ` de ` i , K é´ compacto; portanto K é uma n vizinhan¸ca compacta de p em R , Di e Rn , Di resulta localmente compacto.

527

Proposi¸ c˜ ao 143. Seja (M, d) localmente compacto. Se F ⊂ M é fechado ent˜ ao F é localmente compacto. Prova: Dado um ponto p ∈ F , como (M, d) é localmente compacto, existe um compacto K em (M, d) com p ∈ int K. p ∈ int K ⇒ ∃ r > 0 : B(p; r) ⊂ K

⇒ ∃ r > 0 : B(p; r) ∩ F ⊂ K ∩ F

⇒ ∃ r > 0 : B(p; r) ⊂ K ∩ F ` ´ ` ´ ⇒ p ∈ int K ∩ F no subespa¸co (F, d) .

Vamos mostrar agora que K ∩ F é compacto. De fato, ` ´ K sendo compacto, é fechado em (M, d). Portanto K ∩ F é fechado em (M, d) por ser a interseçc˜ ao de dois fechados. Isto é, K ∩ F = (K ∩ F )(M, d) Pelo corol´ ario 6 (pg. 275) podemos escrever K ∩ F = (K ∩ F )(M, d) = (K ∩ F )(K, d) . Logo, K ∩ F é um subconjunto fechado no subespa¸co compacto (K, d), portanto, compacto (prop. 129, pg. 507). Em resumo: K ∩ F é uma vizinhan¸ca compacta de p em F , sendo assim F resulta localmente compacto. Proposi¸ c˜ ao 144. Seja f : (M, d1 ) → (N, d2 ) aberta, cont´ınua e sobrejetiva. Se (M, d1 ) é localmente compacto ent˜ ao (N, d2 ) também o é. Prova: De fato, seja q ∈ N , como f é sobrejetiva, existe p ∈ M de modo que f (q) = p. Como (M, d1 ) é localmente compacto, existe uma vizinhan¸ca compacta K`p de p ém M . Ent˜ ao p ∈ int Kp e Kp é compacto. Como f é aberta, resulta que f int K ´ e uma vizinhan¸ ca de p = `f (q).´ Por outro lado, a continuidade de f garante p ` ´ que f Kp é compacto. Ou seja: f Kp é vizinhan¸ca compacta de p, resultando que (N, d2 ) é localmente compacto. (N, d2 )

(M, d1 )

p

q

f

-

Kp

q q=f (p)

f (Kp )

Proposi¸ c˜ ao 145. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸co métricos e M = M1 × M2 × · · · × Mn . Ent˜ ao M é localmente compacto se, e somente se, cada Mi é localmente compacto. Prova: (⇒) Seja M localmente compacto. Como as proje¸c˜ oes pi : M → Mi s˜ ao cont´ınuas, abertas (pg. 351) e sobrejetivas, a proposi¸c˜ ao 144 nos assegura que os fatores Mi s˜ ao localmente compactos. (⇐) Reciprocamente, suponhamos que cada Mi é localmente compacto. Ent˜ ao dado x = (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ M , cada xi possui uma vizinhan¸ca compacta Ki em Mi . Ent˜ ao pelo corol´ ario 45 (pg. 520), a vizinhan¸ca K = K1 × · · · × Kn de x é compacta. Portanto, M resulta localmente compacto.

528

10.7

Representa¸ c˜ oes Decimais e Curva de Peano (O Mito das Ambig¨ uidades nas Representa¸ c˜ oes Decimais)

Na presente se¸c˜ ao pretendemos por fim ` as intermin´ aveis pendengas sobre as representa¸c˜ oes decimais de reais do intervalo [ 0, 1 ] − bem como preparar terreno para um assunto posterior: Curva de Peano. Mostraremos, oportunamente, que as supostas ambig¨ uidades de algumas destas representa¸c˜ oes, tipo: 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . s˜ ao um mito. O conceito do éter revelou-se um fantasma criado pela imagina¸c˜ ao dos f´ısicos do século XIX. Neste trabalho mostramos, igualmente, que representa¸c˜ oes tipo 0, 5 = ao dos 1/2 = 0, 4999 . . . n˜ ao têm “existência real”; s˜ ao fantasmas criados pela imagina¸c˜ matem´ aticos. Mostraremos que o esclarecimento desta quest˜ ao − aqui a deixamos assaz cristalina − vai simplificar, ami´ ude, muitas constru¸c˜ oes matem´ aticas; a exemplo da constru¸c˜ ao da curva de Peano. Aqui mostramos uma constru¸c˜ ao desta curva mais simples que as constantes na literatura. Representa¸ c˜ oes decimais Existem duas alternativas para se definir as representa¸c˜ oes decimais: via convergência de séries e via bije¸c˜ ao entre conjuntos. Para exemplificar a primeira alternativa (ver [5]/pg. 231): “Antes de definir ϕ, lembremos que os n´ umeros reais admitem n˜ ao somente uma express˜ ao decimal como também, fixado qualquer n´ umero b > 1, todo n´ umero real possui uma express˜ ao na base b. Em particular, se 0 ≤ x ≤ 1, a express˜ ao x = 0, x1 x2 . . . xn . . . de x na base b significa que x=

x1 x x + 22 + · · · + nn + · · · ” b b b

Ainda mais ` a frente, nesta mesma p´ agina, o autor escreve: “Para ver que ϕ é injetiva, basta lembrar que, assim como a representa¸ c˜ ao decimal de um n´ umero x ∈ [ 0, 1 ] é u ńica, exceto por ambig¨ uidades do tipo 0, 47999 . . . = 0, 48000 . . .”. Vejamos mais um exemplo, segundo este autor 0, 011000 . . . e 0, 010111 . . . s˜ ao duas representa¸c˜ oes, na base 2, de 38 , porquanto 0 1 1 0 0 0 3 1 0 1 1 1 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · = = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + · · · (10.3) 8 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Defini¸c˜ ao via bije¸c˜ ao Construiremos agora uma representa¸c˜ ao alternativa para os n´ umeros reais. Vamos nos restringir aos reais do intervalo [ 0, 1 ] uma vez que qualquer n´ umero real situa-se entre dois inteiros consecutivos, isto é, dado x ∈ R sucede que x ∈ [ m, m + 1 ] para algum inteiro m. Em suma, todo real pode ser transladado para o intervalo [ 0, 1 ]. Também vamos nos restringir ao caso da base 2 − base bin´ aria − uma vez que o que faremos aqui com respeito a esta base pode ser repetido para uma outra base qualquer. Para a constru¸c˜ ao de uma representa¸c˜ ao bin´ aria − para os n´ umeros reais − iremos necessitar do seguinte produto cartesiano: { 0, 1 }N = { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 } × · · · Este é o conjunto das seq¨ uências infinitas de 0′ s e 1′ s. Por exemplo, dois elementos deste conjunto s˜ ao: 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 . . . e 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .. Gostariamos de definir uma bije¸c˜ ao entre os conjuntos { 0, 1 }N e [ 0, 1 ], assim: ˘ ¯N f : 0, 1 −→ [ 0, 1 ] P∞ xn (xn ) 7−→ n=1 2n

529

Esta c˜ ao est´ a bem definida uma vez que a série em quest˜ ao é majorada Paplica¸ 1 pela série ∞ cuja soma ´ e 1 . Infelizmente f n˜ a o ´ e injetiva porquanto, n n=1 2 ` ´ ` ´ f x1 . . . xj 000 . . . = f x1 . . . xj−1 (xj − 1)111 . . . (10.4)

Como é f´ acil verificar. Rec´ıprocamente, supondo f (x) = f (y) e x 6= y vamos mostrar que x = x1 x2 x3 . . . e y = y1 y2 y3 . . . s´ o podem ser da forma das representa¸c˜ oes que aparecem em (10.4). Prova: De fato, seja j o primeiro ´ındice onde x difere de y; suponhamos, ademais, que xj = 1. Sendo assim podemos escrever x = x1 x2 . . . xj−1 1 xj+1 xj+2 . . . y = x1 x2 . . . xj−1 0 yj+1 yj+2 . . . Devemos mostrar que f (x) = f (y) =⇒ A igualdade

P∞

xn n=1 2n

=

P∞

yn n=1 2n

(

xj+1 = xj+2 = · · · = 0; yj+1 = yj+2 = · · · = 1.

pode ser escrita assim

xj−1 xj−1 xj+1 yj+1 x x 1 x 0 x1 + 22 + · · · + j−1 + j + j+1 + · · · = 11 + 22 + · · · + j−1 + j + j+1 + · · · 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Logo,

xj+1 yj+1 1 + ··· j + j+1 + · · · = 2 2 2j+1

Ou ainda,

como

∞ ∞ X X xn yn 1 n = j + 2 2n 2 n=j+1 n=j+1

∞ X 1 yn o poder´ a ser satisfeita n ≤ j , isto implica em que esta igualdade s´ 2 2 n=j+1

em uma u ńica situa¸c˜ ao; qual seja, aquela em que xn = 0, para n ≥ j + 1 e yn = 1, para n ≥ j + 1. Tendo em vista os argumentos anteriores, resulta injetiva a seguinte aplica¸c˜ ao λ : B −→ [ 0, 1 ] P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn n 2

˘ ¯N onde B é o subconjunto de 0, 1 cujos elementos n˜ ao têm todos os termos iguais a 1, a partir de alguma posi¸c˜ ao∗ .

Por exemplo: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . . ∈ B e 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 . . . 6∈ B. Mostraremos agora que λ é sobre [ 0, 1 [. Seja dado, arbitrariamente, um ponto x ∈ [ 0, 1 [ e mostremos que este é imagem, por λ, de alguma seq¨ uência bin´ aria de B. De fato, dividamos o intervalo [ 0, 1 [ ao meio, assim [ 0, 1 [=

1 h [ ˆ 1ˆ ˆ 1 ˆ j j + 1h = 0, , ,1 ∪ 2 2 2 2 j=0

sendo assim, x pertence a um, e s´ o um, desses subintervalos, digamos x ∈ I1 = ˆ x1 x1 +1 ˆ , : 2 2 ∗ Com

au ńica exce¸ca õ feita para a seq¨ uˆ encia (1 1 1 1. . . ) a qual incluimos neste conjunto.

530

0

¬x

1 2

I1

1

Ap´ os o “corte” se x resulta no subintervalo da esquerda x1 = 0, se, no da direita x1 = 1. No caso da figura temos x1 = 1. A seguir dividamos este subintervalo em 1 h h h [ x1 j x j + 1h x x +1 dois outros, assim 21 , 12 = + 2 , 1 + 2 . Selecionemos x2 tal que 2 2 2 2 h j=0 h x1 x2 x2 +1 x1 x ∈ I2 = 2 + 2 , 2 + 2 . 2

2

x

x

(parentêsis:) Observe que o extremo esquerdo deste intervalo, no caso, 21 + 22 2 P xn nada mais é que a segunda soma parcial da série c˜ ao de λ). Por n (da defini¸ x1 x3 2 x2 exemplo, o extremo esquerdo de I3 seria 2 + 2 + 3 , a terceira soma parcial da 2 2 referida série. 0 1 2

¬x

2 4

¬x

1 3 4

I1

I2 1

No caso da figura x2 = 0. Dividindo o intervalo [ 0, 1 [ em quatro partes os dois primeiros digitos (x1 x2 . . .) da seq¨ uência que pretendemos associar a x, s˜ ao as “coordenadas” do ponto x de acordo com o diagrama a seguir: 00

0

s1 0

01 1 2

1 4

x x 1 2

11

1

3 4

x

0 0 1 1

0 1 0 1

Resumindo: x1 nos diz em qual metade do intervalo encontra-se x; x1 x2 nos diz em qual quarta parte do intervalo encontra-se x. Dividindo o intervalo [ 0, 1 [ em oito partes os três primeiros digitos (x1 x2 x3 . . .) da seq¨ uência que pretendemos associar a x, s˜ ao as “coordenadas” do ponto x de acordo com o diagrama a seguir: x x x 1 2 3

0

000

001

010

011

100 x

1 8

1 4

3 8

1 2

s

101 5 8

110 3 4

111 7 8

1

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Este processo de divis˜ oes sucessivas é continuado indefinidamente. Consideremos ¯In o intervalo fechado com os mesmos extremos de In . Observe que ( ¯In ) é uma seq¨ uência de intervarlos que cumpre as hip´ oteses do teorema dos intervalos encaix¯ antes (ver pg. 58), por conseguinte ∩∞ ńico ponto. Como n=1 In consiste em um u ¯ x ∈ ∩∞ a seq¨ uência formada pelas extremidades esquerdas dos In n=1 In , resulta queP xn ∞ converge para x, isto é, uência bin´ aria n=1 2n = x. Sendo assim tomamos a seq¨ (x1 x2 x3 . . .) para corresponder a x. Resulta assim que λ é uma bije¸c˜ ao e, desta forma, podemos identificar os elementos de ambos os conjuntos: [ 0, 1 ] e B. λ : B −→ [ 0, 1 ] P (xn ) 7−→ ∞ n=1

• Defini¸c˜ ao de representa¸c˜ ao bin´ aria

xn n 2

λ sendo uma bije¸c˜ ao possui inversa λ−1 : [ 0, 1 ] → B. A imagem de um x ∈ [ 0, 1 ] −1 ao bin´ aria de x. Isto é, diremos, por por λ é o que chamamos de representa¸c˜ defini¸c˜ ao, que uma representa¸c˜ ao bin´ aria é um elemento de B. Sendo assim, por

531

exemplo, (101010 . . .) é uma representa¸c˜ ao bin´ aria, enquanto (0101111 . . .) n˜ ao. Dizemos que os n´ umeros do intervalo [ 0, 1 ] s˜ ao codificados pelos elementos de B. Mais uma alternativa para se definir representa¸ c˜ ao O que aconteceria se, na constru¸c˜ ao anterior, optarmos por abrir todos os subintervalos ` a esquerda?, por exemplo assim: 001

000 0

1 8

011

010 1 4

3 8

101

100 1 2

5 8

111

110 3 4

7 8

1

x1 x2 x3

Observe que com esta escolha estamos optando pelas representa¸c˜ oes: ˜ ˜ ⇒ 18 = (0 0 0 1 1 1 . . .)2 x = 18 ⇒ x ∈ 0, 81 ˜ ˜ x = 41 ⇒ x ∈ 81 , 14 ⇒ 14 = (0 0 1 1 1 1 . . .)2 ˜ ˜ x = 43 ⇒ x ∈ 85 , 34 ⇒ 34 = (1 0 1 1 1 1 . . .)2 ˜ ˜ x = 87 ⇒ x ∈ 43 , 78 ⇒ 78 = (1 1 0 1 1 1 . . .)2

Procedendo como na constru¸c˜ ao anterior podemos mostrar que a aplica¸c˜ ao, ˜: B ˜ −→ ] 0, 1 ] λ P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn n 2

˜: B ˜ −→ [ 0, 1 ] λ P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn n 2

˘ ¯ ˜ é o subconjunto de 0, 1 N cujos elementos n˜ resulta injetiva. Onde, B ao têm todos os termos iguais a 0, a partir de alguma posi¸c˜ ao. Se incluirmos a seq¨ uência (0 0 0 0 . . .) ˜ podemos fechar o intervalo unit´ em B ario ` a esquerda. Pelo teorema dos intervalos ˜ é também sobrejetiva, portanto, encaixantes, resulta que λ

oes é uma bije¸c˜ ao. Deste modo, temos duas alternativas para definir representa¸c˜ bin´ arias. Por exemplo, 3 = (0 1 1 0 0 0 . . .) 8

ou

3 = (0 1 0 1 1 1 . . .) 8

˜ respectivamente. dependendo se optarmos pela bije¸c˜ ao λ ou λ,

Duplicidade × Ambig¨ uidade

H´ a que se fazer distin¸c˜ ao entre duplicidade e ambig¨ uidade nas representa¸c˜ oes bin´ arias (ou decimais). Duplicidade significa, precisamente, que temos duas op¸c˜ oes para definir representa¸c˜ oes; ambig¨ uidade significa que n˜ ao optamos, ficamos com as duas representa¸c˜ oes simultˆ aneamente. − Entendemos uma representa¸c˜ ao (bin´ aria no caso) como uma codifica¸c˜ ao dos elementos de um conjunto (no caso [ 0, 1 ]) pelos elementos de um outro conjunto (no ˜ esta codifica¸c˜ caso B ou B), ao se d´ a justamente via bije¸c˜ ao. Importante! O leitor, com um pouco de reflex˜ ao, h´ a de concluir que a existência da representa¸c˜ ao (bije¸c˜ ao) s´ o ser´ a poss´ıvel se a op¸c˜ ao for feita (geometricamente significa que devemos optar por um dos diagramas: abertos ` a esquerda ou ` a direita) − caso contr´ ario n˜ ao haver´ a bije¸c˜ ao e, em decorrência, n˜ ao poder´ a haver representa¸c˜ ao (codifica¸c˜ ao). Ora, uma vez feita a op¸c˜ ao, as ambig¨ uidades deixam de existir (tornam-se meros fantasmas, a assombrar criancinhas desavisadas). Adendo: Vou insistir, de uma outra perspectiva, na diferen¸ca entre ambigüidade e duplicidade, desta vez me valendo de uma analogia com a inform´ atica. Vejo a quest˜ ao

532

da representa¸c˜ ao (decimal, bin´ aria, . . . ) dos reais algo similar ao que acontece com a codifica¸c˜ ao dos caracteres do teclado de um computador, que s˜ ao codificados pela tabela ASCII, por exemplo (ver pg. 108): A ↔ 01000001

B ↔ 01000010 < ↔ 00111100 ! ↔ 00100001

O fato de existirem v´ arias possibilidades para a codifica¸c˜ ao dos caracteres de um computador n˜ ao inviabiliza∗ a inform´ atica; isto significa, t˜ ao somente, que devemos optar por uma dentre estas v´ arias possibilidades. De outro modo: Ambig¨ uidade seria, por exemplo, se a letra A tivesse duas codifica¸c˜ oes. No caso da inform´ atica existe n˜ ao duplicidade mas multiplicidade, uma vez que podemos codificar um caracter de in´ umeros modos. Mas o que acontece é que na inform´ atica n˜ ao se ouve falar de ambig¨ uidade na representa¸c˜ ao de um caracter, simplesmente porque todos os fabricantes optaram por uma u ńica codifica¸c˜ ao; caso contr´ ario a inform´ atica se tornaria invi´ avel: alguém digitaria a letra A em um email e o destinat´ ario receberia a letra B, por exemplo, uma verdadeira torre de babel. Aproveitando este exemplo, observe que a elimina¸c˜ ao da ambig¨ uidade (multiplicidade) traz vantagens, simplifica¸c˜ oes; é precisamente isto que estou defendendo que deva ocorrer na matem´ atica no que diz respeito ` as representa¸c˜ oes que nada mais s˜ ao que codifica¸c˜ oes para os n´ umeros reais. Conclus˜ ao: Quando dizemos o “mito das ambig¨ uidades” ou “fantasmas das ambig¨ uidades” entendemos que as ambig¨ uidades (fantasmas) de fato existem apenas se adotamos a defini¸c˜ ao de representa¸c˜ oes via convergência de séries, caso contr´ ario n˜ ao. Com efeito, pela alternativa das bije¸c˜ oes surge uma duplicidade (n˜ ao ambig¨ uidade), ˜ a representa¸c˜ uma vez que optemos por uma das bije¸c˜ ao, λ ou λ, ao torna-se u ńica. Por oportuno, na referência [10]/pg. 60 o autor define a representa¸c˜ ao dos inteiros via bije¸c˜ ao. Na pg. 62 lemos: “A justificativa da validade da representa¸ c˜ ao acima se apoia no Teorema 7 que nos garante ser uma bije¸c˜ ao a fun¸c˜ ao + Z+ b −→ Z

xn . . . x0 −→ c0 + · · · + cn · bn onde Z+ e o conjunto dos elementos da forma xn . . . x0 , com xn = 6 0 se n > 1 e onde b ´ para cada i, tem-se que ci é o inteiro correspondente ao s´ımbolo xi .” De igual modo deve suceder na representa¸c˜ ao do reais; digo, se escolhermos definir via bije¸c˜ ao ent˜ ao somos for¸cados a optar entre duas bije¸c˜ oes poss´ıveis; caso n˜ ao optemos, insistimos, n˜ ao haver´ a bije¸c˜ ao e, por conseguinte, n˜ ao haver´ a representa¸c˜ ao; a n˜ ao ser via séries como faz o autor j´ a referido ( [5] ) mas a´ı surge o inconveniente das ambig¨ uidades (fantasmas). . . é uma quest˜ ao de pura l´ ogica (inteligência!).

∗ E nem complica, como acontece na matem´ atica com algumas constru¸co ˜es que dependem de representa¸co ˜es (codifica¸co ˜es), a exemplo da Curva de Peano. Neste particular, os engenheiros de hardware foram mais inteligentes que os matem´ aticos. Isto ´ e, fixaram uma das - poss´ıveis - codifica¸co ˜es e pronto!

533

Nossa perspectiva e a literatura No que se segue vamos considerar, a exemplo das representa¸c˜ oes bin´ arias, as seguintes representa¸c˜ oes (bije¸c˜ oes) decimais: λ : D −→ [ 0, 1 ] P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn n 10

˜: D ˜ −→ [ 0, 1 ] λ P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn n 10

˘ ¯N onde D é o subconjunto de 0, 1, 2, . . . , 9 cujos elementos n˜ ao têm todos os termos iguais a 9, a partir de alguma posi¸c˜ ao∗ . Observe que, neste caso, .4999 . . . n˜ ao é a representa¸c˜ ao decimal de 12 . Também,

˘ ¯ ˜ é o subconjunto de 0, 1, 2, . . . , 9 N cujos elementos n˜ onde D ao têm todos os termos iguais a 0, a partir de alguma posi¸c˜ ao† . Observe que, neste caso, .4999 . . . é a representa¸c˜ ao decimal de 21 . • No livro “Meu Professor de Matem´ atica” (4a Edi¸c˜ ao) o Prof. Elon Lages Lima, trata das representa¸c˜ oes decimais. Vejamos, ` a luz de nossas considera¸c˜ oes, a an´ alise de alguns pontos considerados pelo autor, (pg. 162): 7. D´ uvidas sobre d´ızimas . . . Duas das mais interessantes entre essas perguntas foram feitas por Sun Hsien Ming, de S˜ ao Paulo, SP. Elas s˜ ao: 1a ) Existe alguma fra¸c˜ ao ordin´ aria tal que, dividindo-se o numerador pelo denominador, obtenha-se a d´ızima peri´ odica 0, 999 . . .? Nossa exegese desta quest˜ ao estar´ a respaldada em nosso teo. 3 (pg. 233). Existe um equ´ıvoco tanto na pergunta quanto na resposta, precisamente devido ao mito de se crê que 0, 999 . . . seja um n´ umero. Com efeito, o Prof., argumenta: “Se a e b forem n´ umeros naturais com a/b = 0, 999 . . .” − J´ a vimos que 0, 999 . . . é uma série e n˜ ao um n´ umero, por conseguinte n˜ ao faz sentido a divis˜ ao de dois n´ umeros resultar em uma série; s˜ ao objetos (entes) de naturezas distintas. 2a ) O fato de a mesma fra¸c˜ ao ordin´ aria poder ter duas representa¸c˜ oes decimais distintas (como 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .) n˜ ao apresenta inconveniente nem origina paradoxos? Uma boa pergunta. No nosso entendimento achamos que o Prof. Elon usa de tergiversa¸c˜ ao ao tentar respondê-la, como o leitor pode verificar lendo sua resposta no citado livro. No final da argumenta¸c˜ ao lemos: “Nenhuma dessas escolhas é muito natural.” N˜ ao sei o que o prof. entende por “muito natural”, porquanto do ponto de vista da l´ ogica as duas s˜ ao igualmente naturais, basta que optemos por uma das bije¸c˜ oes: ˜ λ ou λ. Em seguida: “Por isso me parece mais razo´ avel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. H´ a coisas piores no mundo.” Este n˜ ao me parece um conselho muito s´ abio, embora em um ponto o Prof. tenha ∗ Com

† Com

au ńica exce¸ca õ feita para a seq¨ uˆ encia (9 9 9 9. . . ) a qual foi inclu´ıda neste conjunto. au ńica exce¸ca õ feita para a seq¨ uˆ encia (0 0 0 0. . . ) a qual foi inclu´ıda neste conjunto.

534

raz˜ ao, de fato h´ a coisas piores no mundo: as bombas sobre hiroshima e nagasaki, ou a prolifera¸c˜ ao, em nosso pa´ıs, de surrupiadores dos cofres p´ ublico, por exemplo. − Eu diria que n´ os n˜ ao devemos nos “resignar” com a falta de biunivocidade mas, sim, nos “rejubilar” pelo excesso; pelo contr´ ario, existe excesso: existem duas ˜ ). aplica¸c˜ oes bi´ univocas ( λ e λ De nossa perspectiva respondemos a Sun Hsien Ming: a dupla igualdadade 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . é v´ alida apenas do ponto de vista de convergência de séries, do ponto de vista das representa¸c˜ oes decimais ela é falsa∗ , n˜ ao tem sustenta¸c˜ ao l´ ogica. O correto é, 2/5 = 0, 4000 . . . , se escolhermos λ, ou, 2/5 = 0, 3999 . . . ,

˜ se escolhermos λ.

Em um outro contexto, mas que, n˜ ao obstante contribui para nossa discuss˜ ao, lemos o seguinte argumento: “Se o n´ umero x = 0, 4999 . . . n˜ ao for igual a 0, 5, 0, 5 − x ser´ a um n´ umero positivo infinitamente pequeno, e logo 1/(0, 5 − x) ser´ a um n´ umero positivo maior que todos os naturais, e R n˜ ao seria arquimediano”. Este “argumento” est´ a eivado de impropérios l´ ogicos. Primeiro, a diferen¸ca 0, 5 − 0, 4999 . . . se d´ a entre duas séries e n˜ ao entre n´ umeros. Segundo, n˜ ao pode existir umero positivo infinitamente pequeno”, porquanto n´ umero é uma constante e “um n´ “infinitamente pequeno”, (ou t˜ ao pequeno quanto se queira) deve referir-se a algo vari´ avel. Logo, a afirmativa, “1/(0, 5 − x) ser´ a um n´ umero positivo maior que todos os naturais”, torna-se sem sentido.

Infinito atual × Infinito potencial

A nossa exegese (sobre as representa¸c˜ oes) poderia ainda levar em conta a controversa quest˜ ao dos infinitos potencial e atual, n˜ ao nos estenderemos mais, apenas a este respeito citaremos a referência† , na qual lemos (pg. 18):

“O pr´ıncipe dos matem´ aticos, Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855), expressando um sentimento compartilhado pela comunidade matem´ atica de sua época, escreveu, por exemplo: “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo completo; em matem´ atica, essa opera¸c˜ ao é proibida; o infinito é s´ o um modo de dizer” . Isto tem a ver com (ver pg. 235): lim αn = 1

⇔

α∞ = 0, 999 . . . = 1

lim pn = σ

⇔

p∞ = σ

n→∞ n→∞

Os infinitos, α∞ e p∞ , “s˜ ao apenas modos de dizer”. Ou ainda: 0, 999 . . . 9 | {z }

⇒

infinito potencial

0, 999 . . . | {z }

infinito atual

A passagem do infinito potencial para o infinito atual “é apenas um modo de dizer. . . ”

∗ Ver

Importante! na p´ agina 532. American - Edi¸ca õ Especial - As diferentes faces do infinito.

† Scientific

535

10.7.1

A curva de Peano e o quadrado hiper-m´ agico

A elimina¸c˜ ao dos fantasmas das ambig¨ uidades nas representa¸c˜ oes bin´ arias nos facultou, de imediato, três vantagens: 1a ) Simplifica¸c˜ ao numa das constru¸c˜ oes da curva de Peano. De fato, na constru¸c˜ ao desta curva constante em [5] o autor se utiliza − para contornar as supostas ambig¨ uidades − de duas bases de representa¸c˜ oes: a bin´ aria e a tern´ aria, além do conjunto de Cantor. Em nossa constru¸c˜ ao dispensamos a base três e o conjunto de Cantor. 2a ) A constru¸c˜ ao de uma nova patologia: o quadrado hiper-m´ agico, uma espécie de “inversa” da curva de Peano. 3a ) A constru¸c˜ ao de uma curva de Peano inédita, desta vez no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [.

O século XIX se iniciou com a descoberta de que curvas e fun¸c˜ oes n˜ ao precisam ser do tipo bem comportado, o que até ent˜ ao se supunha. Peano∗ em 1890 mostrou até que ponto a matem´ atica podia insultar o senso comum quando, tratando do aprofundamento dos conceitos de continuidade e dimens˜ ao, publica a sua famosa curva, proposta como cobrindo totalmente uma superf´ıcie plana quadrangular. A curva de Peano hoje possui aplica¸c˜ oes em compress˜ ao de imagens digitais, aqui sugerimos uma aplica¸c˜ ao desta curva − em conex˜ ao com uma outra patologia por n´ os construida − na teoria das supercordas, no que concerne a transferência de objetos entre dimens˜ oes arbitr´ arias. Defini¸ c˜ ao 74 (Curva de Peano). Chama-se curva `de ´Peano num espa¸co métrico (M, d) a uma aplica¸c˜ ao cont´ınua χ : I → M tal que χ I = M . Por exemplo, de momento iremos construir a seguinte curva de Peano: χ : [ 0, 1 ] −→ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] 1

0

1

r

χ

0

r

(1,1)

1

Antes de prosseguir vamos mostrar ao leitor − de uma outra perspectiva − o que a curva de Peano tem de paradoxal. Qual das duas tarefas a seguir o leitor acharia mais f´ acil de realizar? 1a ) Na figura abaixo temos 10 bolinhas ` a esquerda e ` a direita um quadrado com 10 × 10 posi¸c˜ oes (escaninhos). • • • • • • • • • • Desafio: Transferir as 10 bolinhas para o quadrado 10 × 10. Esta seria uma tarefa extremamente f´ acil, se n˜ ao fosse por uma condic˜ ao adicional: ∗ Giuseppe Peano (1858−1932), natural de Cuneo, It´ alia, foi professor da Academia Militar de Turin, com grandes contribui¸co ˜es a ` Matem´ atica. Seu nome ´ e lembrado hoje em conex˜ ao com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas constru¸co ˜es rigorosas da a ´lgebra e da an´ alise.

536

no quadrado n˜ ao devem sobrar posi¸c˜ oes (escaninhos) vazias! 2a ) Na figura a seguir as bolinhas (do desafio anterior) foram substituidas por uma quantidade infinita de pontos; da mesma forma o quadrado agora disp˜ oe de infinitas posi¸c˜ oes pontuais.

Desafio: Transferir as infinitas bolinhas (podemos dizer, pontos do intervalo [ 0, 1 ]) para o quadrado [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] ` a direita. Esta seria uma tarefa extremamente f´ acil, se n˜ ao fosse por uma condic˜ ao adicional: no quadrado n˜ ao devem sobrar posi¸c˜ oes vazias! O milagre de Peano foi, precisamente, realizar esta segunda tarefa. ´ Nota: Obviamente que a primeira tarefa é irrealiz´ avel (imposs´ıvel), assim enunciamos apenas para efeito de contraste. Fa¸camos uma r´ apida simula¸c˜ ao: Na figura seguinte transferimos alguns pontos do intervalo para o quadrado, assim:

1 0,8 0,5 5/12 0,3 0

r r rr r

1

r

χ

r

r

r r

r

r(1, 1)

1

A idéia desta figura é mostrar que, ao transferirmos (através de χ) um ponto (“bolinha”) do intervalo a sua posi¸c˜ ao fica vazia (resta um “buraco”) e este ponto aparece no quadrado. A figura seguinte mostra a correspondência entre os pontos do intervalo e do quadrado, na figura anterior:

1 0,8 0,5 5/12 0,3 0

r r rr r

1

r

χ(0,3) χ

r

r

χ(0)

r

r

χ(0,8)

rχ(1)

5 ) χ( 12

r

χ(0,5)

1

Enfatizando, novamente, o “milagre” de Peano: χ (curva de Peano) consegue transferir os pontos do intervalo para o quadrado de formas que todo o quadrado fica preenchido; n˜ ao sobra uma u ńica posi¸c˜ ao vazia, e, “o que é pior”: em infinitas posi¸c˜ oes do quadrado s˜ ao guardados até três pontos do intervalo! (como ser´ a visto oportunamente). • Aproveitando o ensejo vamos adiantar, informalmente, a patologia por n´ os construida: O “inverso” da curva de Peano

537

No ano de 2006 realizamos o feito da constru¸c˜ ao da “inversa” da curva de Peano. A qual pode ser apreciada assim: Qual das duas tarefas a seguir o leitor acharia mais f´ acil de realizar? 3a ) Na figura a seguir temos 10 × 10 bolinhas ` a esquerda e ` a direita um escaninho com 10 posi¸c˜ oes. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •••••••••• • Desafio: Transferir as 100 bolinhas ` a esquerda para o escaninho ` a direita. Esta seria uma tarefa extremamente f´ acil, se n˜ ao fosse por uma condi¸c˜ ao adicional: n˜ ao devemos, em nenhuma posi¸c˜ ao do escaninho, guardar mais que uma bolinha! E, o que é pior, devem sobrar gavetas vazias! 4a ) Na figura a seguir as bolinhas (do desafio anterior) foram substituidas por uma quantidade infinita de pontos; da mesma forma, agora o escaninho disp˜ oe de infinitas posi¸c˜ oes pontuais.

Desafio: Transferir as infinitas bolinhas (podemos dizer, pontos do quadrado [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ]) para o escaninho [ 0, 1 ] ` a direita. Esta seria uma tarefa extremamente f´ acil, se n˜ ao fosse por uma condic˜ ao adicional: n˜ ao devemos, em nenhuma posi¸c˜ ao do escaninho, guardar mais que um ponto do quadrado! E, o que é pior, devem sobrar lugares (posi¸c˜ oes) vazios no intervalo! O nosso feito foi, precisamente, realizar esta segunda tarefa. Fa¸camos uma r´ apida simula¸c˜ ao: Na figura seguinte transferimos alguns pontos do quadrado para o intervalo, assim:

1

r

r

r r r

r (1, 1)

1

ϕ

r

0

1

r rr 3 r4 rr 12 r 15 r

A idéia desta figura é mostrar que, ao transferirmos (através de ϕ) um ponto (“bolinha”) do quadrado a sua posi¸c˜ ao fica vazia (resta um “buraco”) e este ponto aparece no intervalo. Ademais, assinalamos no intervalo dois pontos (bolinhas azuis) que n˜ ao ser˜ ao ocupados por nenhum dos pontos do quadrado, s˜ ao buracos, digo, posi¸c˜ oes ociosas. Nunca é demais repetir: todos os pontos do quadrado s˜ ao transferidos para o intervalo, dois pontos nunca ser˜ ao guardados em uma mesma posi¸c˜ ao do intervalo (ϕ é injetiva) e ainda sobram infinitas posi¸c˜ oes ociosas (buracos) no intervalo (ϕ n˜ ao é sobrejetiva).

538

Uma constru¸c˜ ao simplificada da curva de Peano Inicialmente vamos definir a seguinte aplica¸c˜ ao B 1

Ψ : [ 0, 1 ] −→ B

x

x 7−→ (xn )

r

Ψ

r(xn )

0

Onde associamos a cada x ∈ [ 0, 1 ] sua representa¸c˜ ao na base bin´ aria. Ψ é uma bije¸c˜ ao. De fato, é injetiva porquanto se x 6= y, como a representa¸c˜ ao bin´ aria é u ńica∗ , resulta que (xn ) 6= (yn ), isto é, Ψ(x) 6= Ψ(y). P xn ´ sobrejetiva, porquanto dado (xn ) ∈ B esta é imagem, por Ψ, de x = E n ∈ 2 −1 [ 0, 1 ]. Portanto Ψ admite inversa: Ψ . Para mostrar que a aplica¸c˜ ao ` ´ ` ´ [ 0, 1 ], µ −→ B, ν

Ψ:

x 7−→ (xn )

é cont´ınua, vamos mostrar inicialmente que sua inversa: Ψ−1 :

` ´ ` ´ B, ν −→ [ 0, 1 ], µ (xn ) 7−→ x

é cont´ınua. Mas isto j´ a foi feito, tendo em conta o exemplo (ii) (pg. 317) e o corol´ ario 11 (pg. 338). Agora com o aux´ılio do corol´ ario 43 (pg. 512) concluimos que Ψ é cont´ınua. Ou melhor: Ψ é um homeomorfismo. • Agora vamos definir uma aplica¸c˜ ao (η), assim: B

η: B (xn )

N

:

N

{0, 1} × {0, 1} ` ´ η1 (xn ), η2 (xn )

(xn )

η

q

{0, 1}

N

q (η1 ,η2 ) {0, 1}

N

Onde ηi : B −→ {0, 1}N (i = 1, 2.) s˜ ao dadas por ` ´ η1 (xn ) = η1 (x1 x2 x3 . . .) = (x1 x3 x5 . . .)

` ´ η2 (xn ) = η2 (x1 x2 x3 . . .) = (x2 x4 x6 . . .)

∗ Uma vez feita a escolha da representa¸ ca õ esta passa a ser u ´ nica, como j´ a argumentamos. Por sinal vamos optar pela representa¸ca õ λ, ver pg. 531.

539

` ´ ` ´ Isto é, η1 toma de xn sua subseq¨ uência de ´ındices ´ımpares e η2 toma de xn sua subseq¨ uência de ´ındices pares: η1

(x1 x3 x5 x7 . . .)

(x1 x2 x3 x4 x5 . . .) η2

(x2 x4 x6 x8 . . .) ` ´ uência xn . Dizemos que a aplica¸c˜ ao η demultiplexa a seq¨ A aplica¸c˜ ao η é injetiva porquanto ` ´ ` ´ η(xn ) = η(yn ) ⇒ η1 (xn ), η2 (xn ) = η1 (yn ), η2 (yn ) ` ´ ` ´ ⇒ (x1 x3 x5 . . .), (x2 x4 x6 . . .) = (y1 y3 y5 . . .), (y2 y4 y6 . . .) ⇒ (x1 x3 x5 . . .) = (y1 y3 y5 . . .); (x2 x4 x6 . . .) = (y2 y4 y6 . . .) ⇒ (xn ) = (yn ). A aplica¸c˜ ao η n˜ ao é sobrejetiva. De fato, por exemplo o ponto N

N

(0 1 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) ∈ {0, 1} × {0, 1}

n˜ ao é imagem de nenhum ponto do dom´ınio (por quê?). Vamos agora envidar esfor¸cos para mostrar que η é cont´ınua. Antes mostraremos que é cont´ınua a seguinte restri¸c˜ ao de η: α : B′ −→ B′ × B′

(10.5)

′

onde B ⊂ B, é tal que:

(xn ) ∈ B′ ⇐⇒ suas subseq¨ uências de ´ındices ´ımpares e pares pertencem a B.

No apêndice (pg. 569) mostramos que B′ é compacto e denso. A aplica¸c˜ ao α é uma bije¸c˜ ao. De fato, é injetiva porquanto ` ´ ` ´ α(xn ) = α(yn ) ⇒ α1 (xn ), α2 (xn ) = α1 (yn ), α2 (yn ) ` ´ ` ´ ⇒ (x1 x3 x5 . . .), (x2 x4 x6 . . .) = (y1 y3 y5 . . .), (y2 y4 y6 . . .) ⇒ (x1 x3 x5 . . .) = (y1 y3 y5 . . .); (x2 x4 x6 . . .) = (y2 y4 y6 . . .)

⇒ (xn ) = (yn ). ` ´ ´ sobrejetiva porquanto dado (x1 x2 x3 . . .), (y1 y2 y3 . . .) ∈ B′ × B′ este ponto é imE agem, por α, da seq¨ uência (x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .), como é f´ acil verificar. A inversa da aplica¸c˜ ao α é: α−1 :

De outro modo,

B′ × B′ ` ´ (x1 x2 x3 . . .), (y1 y2 y3 . . .)

B′ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .)

x = (x1 x2 x3 x4 . . .) α−1

(x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .)

y = (y1 y2 y3 y4 . . .) −1

Dizemos que a aplica¸c˜ ao α

` ´ ` ´ faz uma multiplexagem das seq¨ uências xn e yn .

540

• Para mostrar que a aplica¸c˜ ao α : B′ (xn )

B′ × B′ ` ´ α1 (xn ), α2 (xn )

é cont´ınua vamos mostrar que sua inversa é cont´ınua: α−1 : `

B′ × B′ ´ (x1 x2 x3 . . .), (y1 y2 y3 . . .)

B′ (x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .)

Utilizaremos no produto B′ × B′ a métrica D3 (x, y) = max {d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 )}. Pois bem, dados a ∈ B′ × B′ e ε > 0 devemos exibir δ > 0 de modo que, se ` ´ ` ´ x ∈ BD a; δ =⇒ α−1 (x) ∈ Bν α−1 (a); ε 3

Ou, de modo equivalente

Observe que

Temos

` ´ D3 (x, a) < δ =⇒ ν α−1 (x), α−1 (a) < ε

` ´ a = (a1 a2 a3 . . .), (b1 b2 b3 . . .) ` ´ x = (x1 x2 x3 . . .), (y1 y2 y3 . . .) D3 (x, a) < δ ⇐⇒ max

Também

(

⇒ ⇒

α−1 (a) = (a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . .) α−1 (x) = (x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .)

∞ ∞ X |xn − an | X |yn − bn | , , n 2 2n n=1 n=1

)

<δ

∞ ∞ X ` ´ |xn − an | X |yn − bn | ν α−1 (x), α−1 (a) < ε ⇐⇒ + <ε 2n−1 22n 2 n=1 n=1

Observe que

e, de igual modo

∞ ∞ X X |xn − an | |xn − an | <δ < 2n−1 2n 2 n=1 n=1 ∞ ∞ X X |yn − bn | |yn − bn | < <δ 2n 2n 2 n=1 n=1

Somando estas desigualdades vemos que é suficiente tomar 2 δ = ε, isto é, δ = 2ε . Pois bem, com o aux´ılio do corol´ ario 43 (pg. 512) concluimos que α é cont´ınua. Sendo α : B′ −→ B′ × B′ cont´ınua, ou melhor ainda, um homeomorfismo uniforme entre subespa¸cos densos B′ ⊂ {0, 1}N e B′ × B′ ⊂ {0, 1}N × {0, 1}N , α se estende, de modo u ńico, a um homeomorfismo uniforme (corol. 22, pg. 394): F : {0, 1}N −→ {0, 1}N × {0, 1}N Portanto a restri¸c˜ ao de F : N

N

η : B −→ {0, 1} × {0, 1} é cont´ınua.

541

• Agora vamos definir a aplica¸c˜ ao ξ: N

N

ξ : {0, 1} × {0, 1} ` ´ (xn ), (yn )

onde,

(x, y) =

{0, 1}

(yn )

I×I (x, y)

∞ ∞ “X x n X yn ” n , 2 n=1 2n n=1

6 1

ξ

N

q

(xn )

q

(1,1) (x,y)

{0, 1}

0

N

1

A aplica¸c˜ ao ξ n˜ ao é uma bije¸c˜ ao. De fato, ξ n˜ ao é injetiva (por quê?). ` P xn P y n ´ ∈ I × I este ponto é ξ é sobrejetiva porquanto dado (x, y) = n , n 2 2 ` ´ N N imagem, por ξ, do ponto (xn ), (yn ) ∈ {0, 1} × {0, 1} . Para mostrar que a aplica¸c˜ ao ξ é cont´ınua, utilizaremos a métrica do m´ aximo N N em ambos os produtos cartesianos. Com efeito, dados a ∈ {0, 1} × {0, 1} e ε > 0, devemos exibir δ > 0 de modo que se ` ´ D3 (x, a) < δ ⇒ D3 ξ(x), ξ(a) < ε Observe que,

Ent˜ ao,

` ´ a = (a1 a2 a3 . . .), (b1 b2 b3 . . .) ` ´ x = (x1 x2 x3 . . .), (y1 y2 y3 . . .)

⇒

ξ(a) =

⇒

ξ(x) =

˛ X ` ´ xn X an ˛˛ ˛ D3 ξ(x), ξ(a) < ε ⇐⇒ max ˛ − ˛, 2n 2n

Resumindo temos que determinar δ > 0 de modo que nP o n˛ P P ˛ |xn −an | P |yn −bn | xn max , < δ ⇒ max ˛ n n n − 2 2 2

`P

`P

an n , 2 xn n , 2

P

P

bn ´ n 2 yn ´ n 2

˛X y X b ˛˛ff ˛ n n ˛ <ε ˛ n − 2 2n

an n 2

˛ ˛P P ˛ ˛ yn ˛, ˛ n − 2

Observando que ˛X x X a ˛˛ ˛˛ X x − a ˛˛ X |x − a | ˛ n n n n n n <δ ˛=˛ ˛≤ ˛ n − 2 2n 2n 2n ˛X X b ˛˛ ˛˛ X y − b ˛˛ X |y − b | yn ˛ n n n n n <δ ˛ ˛=˛ ˛≤ n − 2 2n 2n 2n

vê-se que é suficiente tomar δ = ε.

542

bn n 2

˛o ˛ ˛ <ε

Compondo as aplica¸c˜ oes anteriores, temos a seguinte curva de Peano: B

1⊤ z

q :

Ψ :

q

{0, 1}N

η

q

η2

0⊥

1

ξ :

η1

q(x, y)

0

{0, 1}N

1

Figura 10.1: Curva de Peano Simplificada Resumindo, temos 1

0

1

r

χ

r

0

(1,1)

1

onde χ : I −→ I × I é tal que

z 7−→ (x, y) ` ´ ` ´` ´ χ = ξ ◦ η ◦ Ψ ⇒ χ(z) = ξ ◦ η ◦ Ψ (z) = ξ ◦ η Ψ(z) ` ´ = ξ η(Ψ(z))

Nota: Para efeito dos exemplos a seguir continuaremos com a codifica¸c˜ ao λ (ver pg. 531). − Para obter uma representa¸c˜ ao bin´ aria ver Algoritmo, pg. 295.

Exemplos:

(1) Calcule a imagem, por χ, de z = 0, 8. Solu¸ c˜ ao (acompanhe pela figura 10.1, pg. 543): Desenvolvendo 0, 8 na base 2, temos 0, 8 = (1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .)2 ent˜ ao Ψ(0, 8) = (1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .). Aplicamos η ` a seq¨ uência anterior:

η1

(1 0 1 0 1 0 1 01 . . .)

(1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .) η2

(1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .)

` ´ ` ´ ` ´ Temos η1 , η2 ∈ {0, 1}N ×{0, 1}N . Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde 1 0 1 0 2 x = y = 1 + 2 + 3 + 4 +··· = 3 2 2 2 2 ´ ` Portanto χ(0, 8) = 32 , 32 .

543

(2) Calcule a imagem, por χ, de z = 0, 3. Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 0, 3 na base 2, temos 0, 3 = (0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .)2 Ent˜ ao Ψ(0, 3) = (0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .). Aplicamos η ` a seq¨ uência anterior:

η1

(0 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .)

(0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .) η2

(1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .)

` ´ ` ´ Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde x=

0 0 1 0 1 0 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 6 21 2 2 2 2 2

0 1 0 1 0 2 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 3 21 2 2 2 2 2 `1 2´ ao fica Portanto χ(0, 3) = 6 , 3 . A geometria da situa¸c˜ y=

6

1 0,8

q q

1⊣ 2

0,3 0

χ

:

1 2 3¬ 1¬ 3

χ

:

q

0 1 6

(3) Calcule a imagem, por χ, de z =

(1,1)

q ¬

1 3

¬

2 3

1

-

5 . 12

Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 5/12 na base 2, obtemos 5 = ( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .)2 12 Ent˜ ao Ψ(5/12) = ( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .). Aplicamos η ` a seq¨ uência anterior:

η1

( 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .)

( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) η2

( 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .)

` ´ ` ´ Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde x=

0 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 2 21 2 2 2 2 2

0 0 0 0 0 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 2 21 2 2 2 2 2 ` 5 ´ `1 1´ Portanto χ 12 = 2 , 2 . y=

544

Os pontos de auto-interse¸ c˜ ao na curva de Peano Agora mostraremos como encontrar os pontos de auto-interse¸c˜ ao na curva de Peano: •

Iniciamos com uma dupla convergência tal como 1 1 0 0 0 3 1 0 1 1 1 0 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +··· = = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· 8 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ` ´ Na figura seguinte escolhemos para ponto duplo x, 38 , isto é, fixamos a ordenada (altura) enquanto a abscissa pode variar. {0, 1}

N

r

(xn , 011000...)

r (x, 8 )

r

3

(xn , 010111...) {0, 1}

x

N

Os dois ponto no diagrama ` a esquerda s˜ ao imagens de pontos distintos em B, assim: B

(x1 0 x2 1 x3 1 x4 0 x5 0 x6 0 ··· ) (x1 0 x2 1 x3 0 x4 1 x5 1 x6 1 ··· )

{0, 1}

r

N

q

(xn , 011000...)

q

r

(xn , 010111...) {0, 1}

N

Devemos escolher a seq¨ uência (xn ) de tal modo que (x1 0 x2 1 x3 0 x4 1 x5 1 x6 1 · · · ) ∈ B. Por exemplo, a a seq¨ uência nula (0 0 0 0 . . .) satisfaz este requisito. Deste modo os dois pontos seguintes (0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 . . .) =

5 32

(0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 . . .) =

13 192

s˜ ao tais que Ψ Vejamos mais um exemplo:

“5” “ 13 ” “ 3 ” =Ψ = 0, . 32 192 8

Exemplo: Encontrar os pontos do intervalo que s˜ ao levados no ponto

545

`1

2

,

3 4

´

.

Solu¸ c˜ ao: Usaremos de um artif´ıcio: considere as seguintes alternativas: ≬

8 > VV : (1 0 0 0 0 . . . , 1 1 0 0 0 . . .) −→ (1 1 0 1 0 0 0 0 0 . . .) > > > > > > > < VF : (1 0 0 0 0 . . . , 1 0 1 1 1 . . .) −→ (1 1 0 0 0 1 0 1 0 . . .) ≬

1 3 , 2 4

”

→

≬

“

≬

> > > FV : (0 1 1 1 1 . . . , 1 1 0 0 0 . . .) −→ (0 1 1 1 1 0 1 0 1 . . .) > > > > > : FF : (0 1 1 1 1 . . . , 1 0 1 1 1 . . .) −→ (0 1 1 0 1 1 1 1 1 . . .) 6∈ B

Onde: V significa a verdadeira codifica¸c˜ ao (da fra¸c˜ ao) em bin´ ario e F a falsa. ˜ tornaNota: Uma vez que optamos pela codifica¸c˜ ao λ, esta é a Verdadeira; a outra, λ, se a Falsa. ≬

significa multiplexa¸c˜ ao; ou seja, as seq¨ uências da esquerda foram • O s´ımbolo: multiplexadas, resultando na seq¨ uência da direita. Sendo assim temos:

39 48

{ 0, 1 }N

B

1

, 3) (1 2 4

(1 1 0 1 0 0 0 0 0...)

ր

(1 0 0 0 0..., 1 1 0 0 0...)

0

Ψ

η

concluimos que χ

` 39 ´ 48

`1 2

,

3 4

ξ

´ . Da alternativa seguinte { 0, 1 }N

B

1

37 48

=

{ 0, 1 }N

(1 , 3) 2 4

(1 1 0 0 0 1 0 1 0...)

ր

(1 0 0 0 0..., 1 0 1 1 1...)

0

Ψ

η

concluimos que χ

` 37 ´ 48

=

`1 2

,

3 4

ξ

´ . Da alternativa seguinte { 0, 1 }N

B

1

{ 0, 1 }N

, 3) (1 2 4

(0 1 1 1 1 0 1 0 1...) 23 48

(0 1 1 1 1..., 1 1 0 0 0...)

0

Ψ

η

Deste diagrama concluimos que χ

{ 0, 1 }N

` 23 ´ 48

=

`1 2

,

3 4

´ .

ξ

A multiplexa¸c˜ ao na u ´ltima alternativa ( FF ) n˜ ao resulta em B, portanto n˜ ao é considerada. Resumindo, temos

546

(1, 3) 2 4 39 )=χ( 23 )=χ( 37 )=( 1 , 3 ) χ( 48 48 48 2 4

r

χ

Seja (x, y) um ponto do quadrado. Com um pouco de reflex˜ ao o leitor chegar´ a` as seguintes conclus˜ oes: oes di´ adicas ent˜ ao, neste ponto s˜ ao 1a ) Se ambas as coordenadas, x e y, forem fra¸c˜ colocados três pontos da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa três vezes por pontos com ambas as coordenadas fra¸c˜ oes di´ adicas; ao forem fra¸c˜ oes di´ adicas ent˜ ao, neste ponto é 2a ) Se ambas as coordenadas, x e y, n˜ colocado apenas um ponto da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa uma u ńica vez em pontos com ambas as coordenadas n˜ ao di´ adicas; 3a ) Se apenas uma das coordenadas, x ou y, é uma fra¸c˜ ao di´ adica ent˜ ao, neste ponto é colocado dois pontos da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa duas vezes em pontos com apenas uma coordenada fra¸c˜ ao di´ adica; ao da curva é infinito enumer´ avel e denso 4a ) O conjunto dos pontos de auto-interse¸c˜ no quadrado.

10.8

O quadrado hiper-m´ agico

A seguir construiremos um objeto matem´ atico (t˜ ao patol´ ogico quanto a curva de Peano) o qual, em conjunto com a curva de Peano, nos permitir´ a transitar entre dimens˜ oes arbitr´ arias. Defini¸ c˜ a agico). Chama-se quadrado hiper-m´ agico num espa¸co ` o 75 ´(Quadrado hiper-m´ métrico M, d , com M um quadrado (unit´ ario), a uma aplica¸c˜ ao cont´ınua ϕ : M → I injetiva e n˜ ao sobrejetora. I é um intervalo unit´ ario. O que h´ a de paradoxal no quadrado hiper-m´ agico é que conseguimos transferir todos os pontos do quadrado para sua aresta inferior (ou qualquer outra), sem sobrepor um ponto a outro e ainda sobram infinitos buracos (lacunas) na aresta! O quadrado hiper-m´ agico resume-se na composi¸c˜ ao das aplica¸c˜ oes mostradas na figura a seguir: B

6

B

(1,1)

1

y

q

0

x

h

q

q

g

1

B

Figura 10.2: Quadrado hiper-m´ agico Onde a aplica¸c˜ ao h : I × I −→ B × B ` ´ (x, y) 7−→ (xn ), (yn )

547

1

f

0

qz

é um homeomorfismo. A aplica¸c˜ ao g: `

B×B

B

(xn ), (yn )

´

7−→

(x1 y1 x2 y2 x3 y3 ...)

é cont´ınua por ser a extens˜ ao cont´ınua de α : B′ × B′ −→ B′ (ver (10.5), pg. 540). uências (xn ) e (yn ). Dizemos que a aplica¸c˜ ao g executa uma multiplexagem das seq¨ Vamos mostrar que g é injetiva mostrando que g(x) = g(y) ⇒ x = y. De fato, sejam as seq¨ uências: (xn ) = g(x) = g(y) = (yn ). (xn ) e (yn ) s˜ ao imagens, por g, dos pares de seq¨ uências g

x = (u1 u2 u3 . . . , v1 v2 v3 . . .)

7−→

(u1 v1 u2 v2 u3 v3 . . .) = (x1 x2 x3 . . .)

7−→

(z1 t1 z2 t2 z3 t3 . . .) = (y1 y2 y3 . . .)

g

y = (z1 z2 z3 . . . , t1 t2 t3 . . .) Como (xn ) = (yn ) segue que u1 = z1 ,

u2 = z2 ,

u3 = z3 , . . .

v1 = t1 ,

v2 = t2 ,

v3 = t3 , . . .

⇒

⇒

(un ) = (zn ) (vn ) = (tn )

portanto x = y. Esta aplica¸c˜ ao n˜ ao é sobrejetora, por exemplo o ponto ( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) ∈ B n˜ ao é imagem, por g, de nenhum ponto de ario, que ` B × B. De´ fato, suponha, ao`contr´ ´ isto aconte¸ca; isto é que exista um ponto (xn ), (yn ) ∈ B × B tal que g (xn ), (yn ) = ( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .), sendo assim resulta (x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .) = ( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) ent˜ ao, x1 = 0,

x2 = 1,

x3 = 1,

x4 = 1, . . .

y1 = 1,

y2 = 0,

y3 = 0,

y4 = 0, . . .

⇒

⇒

(xn ) = (0 1 1 1 1 . . .) (yn ) = (1 0 0 0 0 . . .)

Logo,

` ´ ` ´ (xn ), (yn ) = (0 1 1 1 1 . . .), (1 0 0 0 0 . . .) ∈ B × B, o que contradiz a constru¸c˜ ao (defini¸c˜ ao) de B.

Definimos a aplica¸c˜ ao f como f = Ψ−1 (ver pg. 539), resultando assim que f é um homeomorfismo. Resumindo, temos 1

0

r

(1,1)

1

ϕ

0

1

onde ϕ : I × I −→ I é tal que

(x, y) 7−→ z ` ´ ϕ = f ◦ g ◦ h ⇒ ϕ(x, y) = f ◦ g ◦ h (x, y) ` ´ = (f ◦ g) h(x, y) ` ` ´´ = f g h(x, y)

548

rz

Exemplos: ` ´ (1) O centro do quadrado é levado em qual ponto de I ? Isto é, calcule ϕ 12 , 12 .

Solu¸ c˜ ao (acompanhe pela figura 10.2, pg. 547): Temos (1 0 0 0 0 0 . . .)2 = 21 . Ent˜ ao “1 1” h , = (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) 2 2 Aplicando g a este ponto obtemos: (1 0 0 0 0 0 . . .) g

(1 1 0 0 0 0 0 0 . . .)

(1 0 0 0 0 0 . . .) logo,

` ´ g (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) = (1 1 0 0 0 0 0 0 . . .) ∈ B.

Neste ponto dizemos que houve uma multiplexa¸c˜ ao das seq¨ uências (1 0 0 0 0 0 . . .) e (1 0 0 0 0 0 . . .). Agora entregamos a seq¨ uência (1 1 0 0 0 0 0 0 . . .) a f , isto é f (1 1 0 0 0 0 0 0 . . .) =

3 1 1 0 0 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = 4 21 2 2 2 2

` ´ Finalmente, ϕ 12 , 12 = 34 . Geometricamente, temos B

6

h

(1,1)

1

y

q

0

x

B

-

q

(1000...)

( 12 , 12 )

-

1

Observe que χ ´ ` (2) Calcule ϕ 31 , 13 .

q

(11000...)

g

1

R f

(1000...)

B

`

5 12

´

=

`1 2

,

1 2

´

(exemplo (3), pg. 544)

Solu¸ c˜ ao: Temos (0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .)2 = 31 . Ent˜ ao “1 1” = (0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . . , 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) h , 3 3 Aplicando g a este ponto obtemos: (0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) g

(0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .)

(0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) Logo, ` ´ g (0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . . , 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) = (0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .)

549

0

q

3 4

Entregando esta u ´ltima seq¨ uência a f , temos 0 0 1 1 0 0 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ··· 21 2 2 2 2 2 2 2 „ « „ « 1 1 1 1 1 1 = + 3 + 7 + 11 + · · · 4 + 8 + 12 + · · · 2 2 2 2 2 2

f (0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .) =

=

1 1 2 + = 15 15 5

` ´ Portanto ϕ 13 , 31 = 51 . Geometricamente, temos

6

y

0

h

(1,1)

1

q( x

:

B

(0101...)

1, 1 3 3

) 1

-

B

q

(00110011...)

q

g

1

R f

(0101...)

0

B

q

1 5

Como encontrar buracos na aresta do quadrado Mostraremos agora como encontrar pontos na aresta [ 0, 1 ] × {0} que n˜ ao s˜ ao imagens, por ϕ, de pontos do quadrado. Inicialmente observe que sendo f um homeomorfismo as propriedades topol´ ogicas de B s˜ ao transferidas para [ 0, 1 ]. Para construir um buraco no intervalo basta construir um em B, como por exemplo, B (0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) = 5 ∈ [ 0, 1 ] (ver exemplo (3), pg. 544). O diagrama a seguir sugere como construir 12 uma quantidade infinita de buracos: ∈

8 < (0 1 1 1 1 1 1 . . .) :

(0 0 0 0 0 0 0 . . .)

:

(0 0 0 0 0 0 0 . . .)

:

(0 0 0 0 0 0 0 . . .)

(0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) ∈ B

8 < (0 0 1 1 1 1 1 . . .)

(0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) ∈ B

8 < (0 0 0 1 1 1 1 . . .)

(0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 . . .) ∈ B

Os pontos ` a direita n˜ ao s˜ ao imagens, por g, de pontos de B × B, por conseguinte suas imagens, por f , s˜ ao vazios (buracos) em [ 0, 1 ]. De modo geral, para “gerar”um buraco na aresta tome no quadrado um ponto (x, y) no qual apenas uma das cordenadas é fra¸c˜ ao di´ adica. Sendo assim temos as seguintes possibilidades: (x, y) :

(

V : B×B

F : B × {0, 1}N ou {0, 1}N × B

550

A verdadeira (V) codifica¸c˜ ao do par (x, y) est´ a no conjunto B × B e a falsa (F) em B × {0, 1}N se y for a fra¸c˜ ao di´ adica ou em {0, 1}N × B se x for a fra¸c˜ ao di´ adica. Pois bem, a codifica¸c˜ ao verdadeira vai para um ponto da aresta (ou do intervalo) e a falsa “vai” para um buraco. Esclarecendo melhor: Dado (x, y) ∈ I2 no qual x ou (exclusivo) y é fra¸c˜ ao di´ adica temos, para este ponto, uma codifica¸c˜ ao légitima (xn , yn ) e uma esp´ uria (x′n , yn′ ). ao di´ adica se x ou se y) tem Temos que (x′n ) ou (yn′ ) (dependendo de quem seja fra¸c˜ todos os termos iguais a 1 a partir de alguma posi¸c˜ ao, enquanto que a outra seq¨ uência, n˜ ao sendo oriunda de uma fra¸c˜ ao di´ adica, tem um 0 e também um 1 em posi¸c˜ oes arbitrariamente grandes. Logo ao se multiplexar (x′n , yn′ ) resulta um ponto em B e a este um buraco na aresta. Se no par (x, y) tivermos duas cordenadas di´ adicas, teremos as seguintes possibilidades: 8 > V V : B × B → gera ponto > > > > < V F : B × {0, 1}N → gera buraco (x, y) : > > F V : {0, 1}N × B → gera buraco > > > : F F : {0, 1}N × {0, 1}N ⇒ 6∈ B. Seja (x, y) um ponto do quadrado. Com um pouco de reflex˜ ao o leitor chegar´ a` as seguintes conclus˜ oes:

1a ) Se ambas as coordenadas, x e y, forem fra¸c˜ oes di´ adicas ent˜ ao este ponto vai para um ponto da aresta e “gera” dois buracos; 2a ) Se ambas as coordenadas, x e y, n˜ ao forem fra¸c˜ oes di´ adicas ent˜ ao este ponto vai para um ponto do intervalo e n˜ ao “gera”nenhum buraco; ao di´ adica ent˜ ao este ponto vai 3a ) Se apenas uma das coordenadas, x ou y, é uma fra¸c˜ para um ponto do intervlo e “gera” um buraco; 4a ) o conjunto dos buracos é infinito enumer´ avel, porquanto o conjunto dos pontos (x, y) ∈ I2 com coordenadas di´ adicas é enumer´ avel. ` Exemplo: Tendo em conta o exemplo dado ` a pg. 545 o ponto 12 , 34 ) vai, por ϕ, para 23 37 39 o ponto 48 e gera os buracos 48 e 48 , assim: (1, 3) 2 4

r

ϕ

Vamos agora provar que o conjunto destes buracos é denso na aresta do quadrado (ou ainda, no intervalo [ 0, 1 ]). Consideremos B′′ ⊂ B o complementar de B′ em B. Isto é, (x1 x2 x3 x4 . . . ) ∈ B′′ se, e somente se, (x1 x3 x5 . . . ) 6∈ B ou (x2 x4 x6 . . . ) 6∈ B. Provemos que B′′ é denso em B. De fato, seja ε > 0 e a ∈ B dados. Devemos mostrar que existe p ∈ B′′ de modo que ν(p, a) < ε. Pois bem, escolhamos j tal que 1j < ε e tomemos pn = an para 2 n = 1, 2, . . . , j; e para n ≥ j + 1 tomemos os termos com ´ındices ´ımpares iguais a 1 e os termos com ´ındices pares iguais a 0. Sendo assim p ∈ B′′ e ν(p, a) ≤ 1j < ε. Como 2 é f´ acil inferir a cada ponto de B′′ corresponde um “lugar ocioso” na aresta.

551

10.9

A curva de Peano no cubo

De modo inteiramente an´ alogo, podemos construir uma curva de Peano χ entre o intervalo unit´ ario e o cubo unit´ ario [ 0, 1 ]3 , assim:

1 {0, 1}N 1⊤ xq

B

Ψ :

q

η3

η :

q

@ @ @ q@ @

@ @ @

@ @

(x,y,z)

0 η2 {0, 1}N

η1

0⊥

ξ :

{0, 1}N

@ @ @ @ @ 1

1

Figura 10.3: Curva de Peano no Cubo ` ´ Nesta figura η`fazúma demultiplexagem de uma seq¨ uência xn ∈ B. Isto é, η toma uma seq¨ uência xn e a separa em três subseq¨ uências ` ´ ` ´ η (xn ) = η1 (xn ), η2 (xn ), η3 (xn ) Ent˜ ao podemos tomar:

η1 (x1 x2 x3 . . .) = (x1 x4 x7 x10 . . .) η2 (x1 x2 x3 . . .) = (x2 x5 x8 x11 . . .) η3 (x1 x2 x3 . . .) = (x3 x6 x9 x12 . . .) (x1 x4 x7 x10 . . .) (x1 x2 x3 x4 x5 . . .)

(x2 x5 x8 x11 . . .) (x3 x6 x9 x12 . . .)

552

Exemplos: (1) Calcule a imagem, por χ, de x = 0, 5. Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 0, 5 na base 2, temos (10000 . . .)2 = 21 . Ent˜ ao Ψ(0, 5) = (1000000 . . .). Agora aplicamos η ` a seq¨ uência anterior, assim η1 (1000000 . . .) = (1000000 . . .) η2 (1000000 . . .) = (0000000 . . .) η3 (1000000 . . .) = (0000000 . . .) ` ´ ` ´ `1´ Agora `1 áplicamos ξ ao ponto η1 , η2 , η3 : ξ (η1 , η2 , η3 ) = (x, y, z), obtendo χ 2 = , 0, 0 . 2 (2) Calcule a imagem, por χ, de x = 2/3.

ao Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 2/3 na base 2, obtemos 32 = (1010101010 . . .)2 . Ent˜ Ψ(2/3) = (1010101010 . . .). Aplicamos η ` a seq¨ uência anterior: η1 (1010101010 . . .) = (1010101 . . .) η2 (1010101010 . . .) = (0101010 . . .) η3 (1010101010 . . .) = (1010101 . . .) ` ´ ` ´ ` ´ Agora ξ ao ponto η1 , η2 , η3 : ξ (η1 , η2 , η3 ) = (x, y, z), obtendo χ 23 = ` 2 1 2aplicamos ´ , , . Graficamente, temos 3 3 3 z

χ

1 2→ 3 1 2

q q

1

χ

0

0

6 @ @ @ @ q @ @ @ @ 1 @ y R @ 1 2

@ @ (2,1,2) q3 3 3 @@ (1,1,1) -x

1

(3) Encontre todos os pontos do intervalo aó transferidos, por χ, para o centro ` que s˜ do cubo. Isto é, resolva a equa¸c˜ ao χ(x) = 21 , 21 , 12 .

Solu¸ c˜ ao: Temos as seguintes alternativas:

≬

8 > VVV: (1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (1 1 1 > > > > > > VVF : (1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 . . .) −→ (1 1 0 > > > > > > VFV : (1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (1 0 1 > > > >
“1 1 1” → , , > 2 2 2 FVV : (0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (0 1 1 > > > > > > FVF : (0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 . . .) −→ (0 1 0 > > > > > > FFV : (0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (0 0 1 > > > > : FFF : (0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 . . .) −→ (0 0 0

0 0 0 0 0 0 . . .) 0 0 1 0 0 1 . . .) 0 1 0 0 1 0 . . .) 0 1 1 0 1 1 . . .) 1 0 0 1 0 0 . . .) 1 0 1 1 0 1 . . .) 1 1 0 1 1 0 . . .) 1 1 1 1 1 1 . . .)

Nota: Os digitos na cor azul, em cada seq¨ uência, representam o per´ıodo; isto é, s˜ ao os três digitos que se repetem em seguida.

553

Para ilustrar a finalidade do diagrama acima consideremos, por exemplo, a segunda das combina¸c˜ oes (VVF), assim: 1 {0, 1}N

1

43 56

B ⊤

q

0⊥

Ψ

:

q

ξ

:

η

3

η

:

q

(1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1...) η

(1 1 0 0 0 1 0 0 1...)

2

{0, 1}N

η

1

{0, 1}N

0

@ @ @ q@ @ 1 1 1 (

2

,

2

,

2

)

@ @ @ @ @ 1

@ @ @ @ @ 1

` 43 ´ ` ´ Deste diagrama concluimos que, χ 56 = 12 , 21 , 12 . Das combina¸c˜ oes anteriores apenas uma (FFF) n˜ ao pertence a B, portanto n˜ ao é oriunda da codifica¸c˜ ao de nenhum ponto do intervalo [ 0, 1 ], sendo assim temos: “ 43 ” “ 37 ” “ 31 ” “ 25 ” “ 19 ” “ 13 ” “ 1 1 1 ” “ 49 ” =χ =χ =χ =χ =χ =χ = , , χ 56 56 56 56 56 56 56 2 2 2 Seja (x, y, z) um ponto do cubo. Com um pouco de reflex˜ ao o leitor chegar´ a` as seguintes conclus˜ oes:

1a ) Se as três coordenadas, x, y e z, forem fra¸c˜ oes di´ adicas ent˜ ao, neste ponto s˜ ao colocados sete pontos da aresta do cubo (digo, do intervalo unit´ ario). De outro modo: a curva passa sete vezes por pontos com as três coordenadas di´ adicas; 2a ) Se apenas duas coordenadas forem fra¸c˜ oes di´ adicas ent˜ ao, neste ponto s˜ ao colocados quatro pontos da aresta do cubo. De outro modo: a curva passa quatro vezes por pontos com duas coordenadas di´ adicas; ao di´ adica ent˜ ao, neste ponto s˜ ao colocados dois 3a ) Se apenas uma coordenada for fra¸c˜ pontos da aresta do cubo. De outro modo: a curva passa duas vezes por pontos com uma coordenada di´ adicas; 4a ) Se nenhuma das coordenadas é di´ adica ent˜ ao, neste ponto é colocado um u ńico ponto da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa uma u ńica vez em pontos com nenhuma coordenada di´ adica; ao da curva é infinito enumer´ avel e denso 5a ) O conjunto dos pontos de auto-interse¸c˜ no quadrado.

554

10.10

O cubo hiper-m´ agico

A exemplo do que foi feito para o quadrado também podemos transferir todos os pontos do cubo para uma de suas arestas. Sendo que esta transforma¸c˜ ao cumpre as mesmas condi¸c˜ oes que a do quadrado: é cont´ınua, injetiva e n˜ ao sobrejetiva. 1 B

h

η

3

1

B ⊤

w

q

q

f

0⊥

g

Solu¸ c˜ ao: Temos

1 2

η

1

@ @ @ @ @

(x,y,z)

0 η

2

B

B

Exemplos: ` ´ (1) Calcule ϕ 0, 0, 21 .

q

@ @ @ q@ @

1

@ @ @ @ @ 1

= (1 0 0 0 0 0 0 0 . . .)2 . Logo,

“ 1” h 0, 0, = (0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) 2

- Agora aplicamos, ao ponto anterior, g. ` ´ ` ´ ` ´ Observa¸ c˜ ao: Dadas três seq¨ uências xn , yn e zn , g faz uma multiplexagem das mesmas, segundo a parti¸c˜ ao ` ´ N1 = {1, 4, 7, 10, . . .}; xn ` ´ N2 = {2, 5, 8, 11, . . .}; yn ` ´ N3 = {3, 6, 9, 12, . . .}; zn ` ´ Ou seja, g (xn ), (yn ), (zn ) = (x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 . . .). Portanto, ` ´ g (0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) = (0 0 1 0 0 0 0 0 0 . . .) - Agora aplicamos, ` a seq¨ uência anterior, f . Ent˜ ao,

` ´ 1 0 0 1 0 0 f (0 0 1 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = . 8 2 2 2 2 2 ` ´ Portanto, ϕ 0, 0, 21 = 81 . ` ´ (2) Calcule ϕ 21 , 12 , 12 . Solu¸ c˜ ao: Temos

1 2

= (1 0 0 0 0 0 0 0 . . .)2 . Logo

“1 1 1” h , , = (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) 2 2 2

- Agora aplicamos, ao ponto anterior, g. Portanto ` ´ g (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) = (1 1 1 0 0 0 0 0 0 . . .)

- Agora aplicamos, ` a seq¨ uência anterior, f . Ent˜ ao,

` ´ 7 1 1 1 0 0 1 1 1 f (1 1 1 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = + + = . 2 4 8 8 2 2 2 2 2 `1 1 1´ 7 Portanto, ϕ 2 , 2 , 2 = 8 . Graficamente, temos

555

z

ϕ

-

6

q 78

1

1

r

r

0

1

z ϕ

(1,1,1)

q 81

0

@ R y

Deste exemplo e do exemplo (3) (pg. 553) concluimos que o centro do cubo vai para o ponto 7/8 e gera seis buracos na aresta do cubo (ou no intervalo unit´ ario). Observe que paradoxal: A exemplo do que ocorreu no quadrado hiper-m´ agico aqui também conseguimos, por ϕ, transferir o cubo para uma de suas arestas, com a “agravante” de que agora “mais” buracos ser˜ ao gerados na aresta. Por exemplo um ponto (x, y) ∈ I2 com ambas as coordenadas di´ adicas gera dois buracos na aresta do quadrado; por outro lado um ponto (x, y, z) ∈ I3 com duas coordenadas di´ adicas gera quatro buracos na aresta do cubo e com três coordenadas di´ adicas gera seis buracos. Resumindo: estamos transferindo para a aresta um “volume” maior de pontos enquanto o n´ umero de lugares vazios na aresta aumenta. Naturalmente que, o que foi feito para o quadrado e o cubo, se estende sem dificuldade ao “hipercubo”.

Cubo Hiper-M´ agico

4

s7

s

5

1

s

s

s

esp´ırito humano e o m´ etodo para en-

s3

s9

contrar verdades at´ e ent˜ ao desconhecidas.”

s2

ϕ

8

6

7

1

4

Voltaire (17 a Carta)

s6 ϕ : [ 0, 1 ]3 −→ [ 0, 1 ]

s s s s s s s9s s

5

“Tudo isso, que a` primeira vista parece excesso de irraz˜ ao, na verdade ´ e o efeito da finura e da extens˜ ao do

2

“O

que a matem´ atica pontua,

n˜ ao raro a natureza corrobora.”

3

Gentil (1 o Bilhete)

Gentil/2005

8

Nota: Os seis buracos constantes na aresta foram abertos pelo centro do cubo.

556

Buracos:

≬

- O centro do cubo vai, por ϕ, para o ponto 7/8 ∈ [ 0, 1 ] e “gera” (“reserva”) seis buracos no intervalo (ver exemplo (2), pg. 555). Para esclarecer esta assertiva observe o diagrama seguinte, 8 > VVV: (1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (1 1 1 0 0 0 . . .) = 49 > 56 > > > 43 > > 0 0 1 . . .) = VVF : (1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 . . .) −→ (1 1 0 > 56 > > > 37 > > 0 1 0 . . .) = VFV : (1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (1 0 1 > 56 > > > 2 2 2 1 0 0 . . .) = FVV : (0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (0 1 1 > > 56 > > > > FVF : (0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 . . .) −→ (0 1 0 1 0 1 . . .) = 19 > > 56 > > > 13 > FFV : (0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 . . .) −→ (0 0 1 1 1 0 . . .) = > 56 > > > : 7 FFF : (0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 . . .) −→ (0 0 0 1 1 1 . . .) = 56 1

h ×

B

B

1

g

(1000..., 1000..., 0111...) ×

f

B

43 56

0

B

0

@ @ @ q@ @ 1 1 1 (

2

,

2

,

2

)

@ @ @ @ @ 1

@ @ @ @ @ 1

Observe que a pseudo-codifica¸c˜ ao VVF, do centro, “gera” um buraco: (1 0 0 0. . . , 1 0 0 0. . . , 0 1 1 1. . . ), no espa¸co B3 e este, por sua vez, gera um buraco em B: (1 1 0 0 0 1 0 0 1. . . ), que, por sua vez, gera um outro buraco em [ 0, 1 ]: 43/56. Desta forma acontece com todas as pseudo-codifica¸c˜ oes (exceto a u ´ltima: FFF). Nos seis pontos seguintes 43/56 = 0, 7679; 37/56 = 0, 6607; 31/56 = 0, 5536; 25/56 = 0, 4464; 19/56 = 0, 3393; 13/56 = 0, 2321. localizam-se os buracos na aresta do cubo (ou no intervalo unit´ ario), ver fig. pg. 556. -Inserindo dimens˜ oes arbitr´ arias dentro de dimens˜ oes arbitr´ arias As aplica¸c˜ oes χ e ϕ, conjuntamente, nos permitem inserir dimens˜ oes arbitr´ arias “dentro” de dimens˜ oes arbitr´ arias. Por exemplo para inserir um cubo a dez dimens˜ oes em um cubo a três dimens˜ oes proceda assim: ϕ

χ

[ 0, 1 ]10 −→ [ 0, 1 ] −→ [ 0, 1 ]3

Para inserir um cubo a três dimens˜ oes em um cubo a 10 dimens˜ oes proceda assim: χ

ϕ

[ 0, 1 ]10 ←− [ 0, 1 ] ←− [ 0, 1 ]3

557

Poss´ıveis aplica¸c˜ oes na Teoria das Supercordas Estivemos a imaginar poss´ıveis aplica¸c˜ oes pr´ aticas para estas aplica¸c˜ oes. Tivemos duas idéias as quais deixamos aqui, a t´ıtulo de sugest˜ ao, a quem interessar possa: 1a ) Na inform´ atica: Se tivermos um “volume” de informa¸c˜ oes (dados) a transmitir, podemos compactar estes dados em uma dimens˜ ao, em seguida transmitir e, no receptor, recuper´ a-los, assim [0, 1]3 −→ [0, 1] −→ [0, 1]3 . a 2 ) Na F´ısica: a Teoria das Supercordas é consistente em 10 dimens˜ oes. O problema é saber como um Universo a dez dimens˜ oes pode ser reduzido a três dimens˜ oes (espaciais). Nossa sugest˜ ao (conjectura) é que as dimens˜ oes extras foram multiplexadas. Com estas técnicas (multiplexa¸c˜ ao/demultiplexa¸c˜ ao) n˜ ao apenas fazemos uma transposi¸c˜ ao de dimens˜ oes (isto é, de um espa¸co em outro), como podemos transferir uma corda (ou uma p-brana) de uma dimens˜ ao ` a outra. Vejamos um exemplo do que estamos falando. Suponhamos que um ramo (peda¸co) de uma corda (uma-brana) seja dado pelo gr´ afico da fun¸c˜ ao f : [ 0, 1 ] −→ [ 0, 1 ] dada por f (x) =`x2 . Vamos transferir ´ os cinco pontos seguintes desta curva, para a terceira dimens˜ ao para [ 0, 1 ]3 , assim: 8 > ( > <0 0 0 0 0 . . . , x = 0 ` ´ 000000... 0, 0 : 00000000... ⇒ ⇒ 00000..., y = 0 > 000000... > :0 0 0 0 0 . . . , z = 0 8 > ( > <0 0 0 0 0 . . . , x = 0 `1 1 ´ 010000... ⇒ 001000010... ⇒ , : 0 0 1 0 0 . . . , y = 41 4 16 > 000100... > :1 0 0 0 0 . . . , z = 1 2 8 3 > ( > <1 1 0 0 0 . . . , x = 4 `1 1´ 100000... : , 10010000... ⇒ ⇒ 00000..., y = 0 2 4 > 010000... > :0 0 0 0 0 . . . , z = 0 8 1 > ( > <1 0 0 0 0 . . . , x = 2 `3 9 ´ 110000... ⇒ 111000010... ⇒ , : 1 0 1 0 0 . . . , y = 58 4 16 > 100100... > :1 0 0 0 0 . . . , z = 1 2 8 > ( > <1 1 1 1 1 . . . , x = 1 ` ´ 111111... 1, 1 : 11111111... ⇒ ⇒ 11111..., y = 1 > 111111... > :1 1 1 1 1 . . . , z = 1 Graficamente, temos

z

6

p

9/16

1/16

p p

1/4

0

r p

1 4

r

p

1 2

r p

3 4

ϕ

1

-

0

r r r r r

1

χ

¬

1

1

1 2

0 r

r

r r1 1

y

558

x

r

Nota: Na referência [12] desenvolvemos uma nova constru¸c˜ ao para os n´ umeros: Naturais, Inteiros, Racionais, Reais; via seq¨ uências bin´ arias − cremos que esta abordagem poder´ a revelar-se de utilidade na Teoria das Supercordas. Holografia No livro “O UNIVERSO NUMA CASCA DE NOZ” (Stephen Hawking/pg. 198): “A holografia codifica as informa¸c˜ oes de uma regi˜ ao do espa¸co em uma superf´ıcie com uma dimens˜ ao a menos. . . Em um modelo de mundo brana, a holografia seria uma correspondência de um para um entre estados em nosso mundo quadridimensional e estados em dimens˜ oes superiores. Mais ` a frente: Entretanto, sob um ponto de vista positivista, n˜ ao se pode perguntar: qual é a realidade, brana ou bolha? Ambas s˜ ao modelos matem´ aticos que descrevem as observa¸c˜ oes. Cada um é livre para usar o modelo mais conveniente.” N˜ ao podemos deixar de vislumbrar uma interse¸c˜ ao entre estas declara¸c˜ oes e nossas constru¸c˜ oes.

Uma quebra de paradigma Creio que um dos dogmas dos quais os f´ısicos devem se libertar∗ é o de acreditar que vivemos em um espa¸co tridimensional (“comprimento, largura e altura”)† , Z

Y

X

De fato, podemos até admitir que o homem, no que diz respeito a seu corpo f´ısico, habita um espa¸co de três dimens˜ oes; a contece que a realidade do homem n˜ ao se resume apenas a seu corpo f´ısico; existe também a dimens˜ ao intelectual (l´ ogica) e, esta dimens˜ ao, n˜ ao est´ a limitada ao espa¸co; digo, n˜ ao est´ a restrita a dimens˜ oes. Se o objetivo do cientista é buscar a verdade, por que o f´ısico escolhe enclausurar-se dentro ´ verdade que a f´ısica j´ de um “cubo”? E a ensaia aventurar-se em “outras dimens˜ oes”, como é o caso da teoria da relatividade geral de Einstein, mas ainda s˜ ao passos t´ımidos. Reporto-me ` a teoria f´ısica das supercordas onde, até hoje, os f´ısicos tentam conciliar 10 dimens˜ oes l´ ogicas (abstratas), com as 3 dimens˜ oes de seus cubos (imagin´ arios). Acredito que as u ńicas restri¸c˜ oes que devemos nos submeter s˜ ao as da consistência l´ ogica (da raz˜ ao). Por oportuno, até hoje cientistas e fil´ osofos debatem sobre a quest˜ ao do que vem a ser o “espa¸co”; ora, por que raz˜ ao o f´ısico ensaia suas experiências dentro de uma gaiola imagin´ aria? Digo, se o espa¸co (como também o tempo) é um conceito ainda n˜ ao devidamente compreendido, por que assumir que ele tem três, quatro ou dez dimens˜ oes? O matem´ atico, ao contr´ ario do f´ısico, n˜ ao vive restrito a nenhum n´ umero de dimens˜ oes; quem ousaria afirmar que o f´ısico vive numa realidade mais “real” que a do matem´ atico? Citaremos assertivas de dois cientistas que d˜ ao sustenta¸c˜ ao a nossos argumentos, veja: ∗ Assim

como os matem´ aticos j´ a o fizeram h´ a s´ eculos. por que raz˜ ao os trˆ es eixos que determinam as trˆ es “dimens˜ oes f´ısicas” devem estar “espa¸cados” precisamente por um a ˆngulo de 90o ? E as dimens˜ oes fractais? † Perguntamos,

559

−

“Para entendermos o in´ıcio, precisaremos de algumas inova¸ co ˜es nos nossos conceitos de

espa¸ co e tempo; uma nova teoria das for¸ cas da natureza que combine a gravidade com o mundo quˆ antico. Provavelmente a id´ eia de que o espa¸ co tem trˆ es dimens˜ oes e o tempo apenas passa no tique taque do rel´ ogio ser´ a transcendida. Precisaremos visualizar o mundo em dez dimens˜ oes no lugar das trˆ es de que temos consciˆ encia.” (grifo

nosso)

Martin Rees/Do livro: “Algumas raz˜ oes para ser um cientista” (pg. 77 − 78)/CBPF −

N˜ ao h´ a, por´ em, como discernir o que ´ e real no universo sem uma teoria. Assumo por isso o

ponto de vista, j´ a qualificado de simpl´ orio ou ingˆ enuo, de que uma teoria da f´ısica ´ e nada mais nada menos que um modelo matem´ atico que usamos para expressar o resultado de observa¸ co ˜es. Uma teoria ´ e boa se for um modelo elegante, se descrever uma ampla classe de observa¸ co ˜es, e se previr o resultado de novas observa¸ co ˜es. N˜ ao faz sentido ir al´ em disso, perguntando se ela corresponde a ` realidade, porque, independentemente de uma teoria, n˜ ao sabemos o que ´ e a realidade. (grifo nosso) (Stephen Hawking/Buracos Negros, Universos-Bebˆ es/Rocco)

Penso que os conceitos de espa¸ co e tempo deveriam se originar de um modelo matem´ atico e n˜ ao da “realidade em si” que, como pontua Hawking, n˜ ao nos é acess´ıvel. Ademais, o idealismo transcendental daquele que é considerado o mais importante filos´ ofo moderno, o alem˜ ao Immanuel Kant (séc. XVIII), corrobora o ponto de vista de Hawking: aceita a existência de coisas-em-si (“noumeno”), mas considera que a ciência s´ o tem acesso ` as coisas-para-n´ os, os “fenˆ omenos”. Tais fenˆ omenos, porém, seriam organizados pelo nosso aparelho perceptivo e cognitivo, sendo assim em parte dependentes do sujeito. Penso mais, assim como podemos ter mais que um modelo matem´ atico descrevendo um aspecto da “realidade”; digo, assim como uma realidade pode ser vista de ˆ angulos distintos, n˜ ao é verdade que devemos ter um u ńico modelo para tempo e espa¸co. Uma Curva de Peano in´ edita (A curva de Peano e o quadrado hiper-m´ agico na m´ etrica divina) A constru¸c˜ ao da curva de Peano nos permite inferir que a compacidade do espa¸co ([ 0, 1 [, k) nos permite construir a seguinte curva: χk : [ 0, 1 [−→ [ 0, 1 [×[ 0, 1 [ 1

0

r

1

r

χk

0

(1,1)

1

Observamos que, por ser a métrica µ mais fina que a métrica k, isto implica em que Ψ−1 :

`

´ ` ´ B, ν −→ [ 0, 1 [, k (xn ) 7−→ x

permanece cont´ınua. A mesma observa¸c˜ ao vale para a nova ξ. Nota: Neste caso continuamos usando a mesma nota¸c˜ ao para as fun¸c˜ oes “intermedi´ arias”. A constru¸c˜ ao desta curva segue os mesmos passos da anterior. Bem, a mudan¸ca radical de uma curva para a outra fica por conta dos aspectos topol´ ogicos, como n˜ ao poderia deixar de ser. Vejamos alguns exemplos: 1o ) Lembramos que para uma fun¸c˜ ao cont´ınua f vale: lim f (xn ) = f (lim xn ). Por exemplo, considere a seq¨ uência de pontos xn = (1 − 1/n) do intervalo unit´ ario.

560

Temos k:

lim xn = 0 =⇒ lim χk (xn ) = χk (0) = (0, 0), (origem do quadrado).

µ:

lim xn = 1 =⇒ lim χ(xn ) = χ(1) = (1, 1).

n

n

o

2 ) As quatro seq¨ uências dadas a seguir: 1

`

ss

´

1 , 1− 1 xn = n+1 → n+1

ss

´

`

1 , 1 → zn = n+1 n+1

sx3 sx2 sz sz3 2

st

s

ss st

`

1 , 1− 1 ← tn = 1− n+1 n+1

3

2

sy2 sy3 ss

`

1 , 1 ← yn = 1− n+1 n+1

0

´

´

1

convergem todas, por ϕk , para a origem do intervalo: ` ´ ` ´ ` ´ ` ´ lim ϕk xn = lim ϕk yn = lim ϕk zn = lim ϕk tn = 0 (origem do intervalo). n

n

n

n

o

3 ) Para a seq¨ uência (xn ) dada por, (1 , n xn = 1−

se n é par; 1 , n

se n é ´ımpar.

cujos primeiros termos est˜ ao plotados a seguir: x1

x6

s ... s

0

x4

x2

s

s

x3

s

x5

x7

s s. . .

1

Temos χk (xn ) → (0, 0), enquanto χ(xn ) diverge.

Toda seq¨ uência (xn , yn ), com 0 ≤ xn , yn < 1 que converge em [ 0, 1 ]2 também converge em [ 0, 1 [2 , mas a rec´ıproca n˜ ao vale. Se (xn , yn ) → (p, q) em [ 0, 1 ]2 ; no quadrado [ 0, 1 [2 vai convergir para: (xn , yn ) → (p, q) se p 6= 1, q 6= 1, (xn , yn ) → (0, q) se p = 1, q 6= 1, (xn , yn ) → (p, 0) se p 6= 1, q = 1, (xn , yn ) → (0, 0) se p = 1, q = 1. Estes argumentos fundamentam-se na proposi¸c˜ ao 38 (pg. 214) e no corolario 34 (pg. 461). Existem seq¨ uências que convergem no quadrado [ 0, 1 [2 e n˜ ao convergem no quadrado [ 0, 1 ]2 , por exemplo a seq¨ uência (xn , 0) onde xn é dada como no exemplo 3o ), dado anteriormente. Evidentemente que podemos construir uma curva de Peano (com a métrica do rel´ ogio) no cubo [ 0, 1 [n , bem como um cubo [ 0, 1 [n hiper-m´ agico.

561

Apˆ endice: Produtos cartesianos infinitos Considere uma fam´ılia enumer´ avel de espa¸cos métricos: (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), (M3 , d3 ), . . . , (Mi , di ), . . . o produto cartesiano M = M1 × M2 × M3 × · · · =

∞ Y

Mi é o conjunto de todas as

i=1

seq¨ uências x = (x1 , x2 , . . . , xi , . . .) onde xi ∈ Mi para cada i ∈ N. Os pontos xi s˜ ao chamados as coordenadas do ponto x = (xi )i∈N . Para cada ´ındice i, a i−ésima proje¸c˜ ao pi : M

Mi

x = (xi ) 7−→ xi associa a cada ponto x = (xi ) do produto cartesiano M sua i−ésima coordenada. A figura a seguir ilustra esta situa¸c˜ ao para o caso de dois espa¸cos métricos: M2

ր

p2 (x)=x2

M1 ×M2

s

sx=(x1 , x2 )

p2

ր

p1 (x)=x1

s

p1 M1

Desejamos definir uma métrica no produto cartesiano M , chamada métrica pro∞ Y duto, da qual exigiremos a seguinte propriedade: uma aplica¸c˜ ao f : M −→ Ni ser´ a i=1

cont´ınua se, e somente se, cada uma de suas coordenadas pi ◦ f : M → Ni for cont´ınua. Inicialmente assumiremos as seguintes hip´ oteses sobre os espa¸cos m´ etricos (Mi , di ): P Existe, para cada ´ındice i, uma constante ci > 0 de modo que a série ∞ e converi=1 ci ´ gente e, ademais, Q di (xi , yi ) ≤ ci , ∀ xi , yi ∈ Mi . Sendo assim, definiremos a métrica produto em M = ∞ i=1 Mi , pondo, para quaisquer dois pontos x = (xi ), y = (yi ) em M: ∞ X di (xi , yi ) d(x, y) = i=1

Com o aux´ılio das hip´ oteses feitas sobre os espa¸cos (Mi , di ), o leitor pode mostrar que d, como definida acima, de fato satisfaz os axiomas que definem uma métrica. O par (M, d) é chamado o espa¸co métrico produto dos espa¸cos (Mi , di ).

• Vamos abrir um parênteses aqui para particularizar o que foi feito acima para o espa¸co que nos interessa mais de perto: Consideremos o conjunto M = {0, 1} munido da métrica d0 (x, y) = |x − y|. Observe que d0 (x, y) = |x − y| ≤ 1. Para cada i ∈ N definiremos: di (xi , yi ) = 1i |xi − yi | 2 (ver mudan¸ca de escala, pg. 143). Sendo assim, para cada i ∈ N, di (xi , yi ) ≤ 1i . 2

562

Deste modo obtemos os seguintes espa¸cos métricos: |x1 −y1 | 2

(M1 , d1 ),

onde

M1 = {0, 1}

e

d1 (x1 , y1 ) =

(M2 , d2 ), .........

onde ......

M2 = {0, 1} ............

e ...

d2 (x2 , y2 ) = 2 2 2 2 .....................

(Mi , di ), .........

onde ......

Mi = {0, 1} ............

e ...

di (xi , yi ) = i i i 2 .....................

|x −y |

|x −y |

Como estas métricas satisfazem as hip´ oteses assumidas para os espa¸cos (Mi , di ) significa que no produto: M=

∞ Y

i=1

Mi = M1 × M2 × M3 × · · · = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · · = {0, 1}∞

a métrica produto fica: d(x, y) =

∞ X

di (xi , yi ) =

i=1

∞ X |xi − yi | 2i i=1

Coincidindo, portanto, com a métrica “usual” deste espa¸co. •

As proje¸c˜ oes pi : (M, d) → (Mi , di ) s˜ ao contra¸c˜ oes fracas (ver pg. 328, caso finito) e, deste modo, s˜ ao aplica¸c˜ oes` cont´ ınuas. Sendo assim, se tomarmos um aberto Ai ⊂ ´ Ai resulta um subconjunto aberto no espa¸co produto Mi , sua imagem invresa p−1 i (M, d) (ver prop. 86, pg. 345). Temos (ver pg. 45): o Y ` ´ n Ai = x ∈ M = Mi : pi (x) = xi ∈ Ai p−1 i = M1 × · · · × Mi−1 × Ai × Mi+1 × Mi+2 × · · ·

o conjunto acima é chamado a “fatia aberta de largura Ai ”. Vamos simular uma situa¸c˜ ao destas: Suponhamos M1 = M2 = [ 0, 1 ] e consideremos os abertos i1 2h i2 h A1 = ∈ M1 ; A2 = , , 1 ∈ M2 . 3 3 3 Ent˜ ao,

¯ ` ´ ˘ A1 = x ∈ M1 × M2 : p1 (x) = x1 ∈ A1 p−1 1 n ˜ 1 2 ô = x = (x1 , x2 ) ∈ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] : p1 (x) = x1 ∈ , 3 3 ˜1 2ˆ × [ 0, 1 ]. = , 3 3 ` ´ ˜ ˆ De modo similar obtemos p−1 A2 = [ 0, 1 ]× 23 , 1 . No gr´ afico estas fatias abertas 2 ficam assim: 1 p−1 (A2 ) 2

M1 ×M2

0

p−1 (A1 ) 1

1

563

Tomando A1 ⊂ M1 , A2 ⊂ M2 , . . . , An ⊂ Mn abertos nos respectivos fatores, o conjunto ` ´ ` ´ ` ´ A = p−1 A1 ∩ p−1 A2 ∩ · · · ∩ p−1 An n 2 1 Y Mi = A1 × A2 × · · · × An × i>n

é aberto no espa¸co produto (M, d) por ser a interse¸c˜ ao de um n´ umero finito de abertos. Os conjuntos A do tipo acima s˜ a o chamados abertos b´ a sicos do produto cartesiano Q M = Mi . Vejamos agora uma importante propriedade dos abertos b´ asicos: ∞ Y

Proposi¸ c˜ ao 146. Todo subconjunto aberto A ⊂

Mi pode ser escrito como uma

i=1

reuni˜ ao de abertos b´ asicos.

Prova: Sendo A aberto, por hip´ otese, para todo P x = (x1 , x2 , . . . , xi , . . .) ∈ A existe r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ A. Como a série ent˜ ao, pelo critério X ci é convergente r de Cauchy, existe uma ordem n0 tal que ci < . Para cada i = 1, 2, . . . n0 , 2 i>n 0

fa¸camos Ai = B(xi ; r/2n0 ) a bola de centro xi e raio r/2n0 . Vamos mostrar agora que o aberto b´ asico Y Mi Ax = A1 × A2 × · · · × An0 × i>n0

= B(x1 ; r/2n0 ) × B(x2 ; r/2n0 ) × · · · × B(xn ; r/2n0 ) × 0

Y

Mi

i>n0

est´ a contido em B(x; r) e portanto em A. De fato, seja r r , . . . , dn0 (xn0 , xn0 ) < 2n0 2n0 X X r r ⇒ d(x, y) = di (xi , yi ) + di (xi , yi ) < + = r, 2 2 i>n i≤n

y = (yi ) ∈ Ax ⇒ d1 (x1 , y1 ) <

0

0

porquanto,

X

i>n0

di (xi , yi ) ≤

X

ci <

i>n0

r . 2

Sendo assim, para cada x ∈ A, temos asico Ax tal que x ∈ Ax ⊂ A. Logo [um aberto b´ Ax . (prop. 13, pg. 52), temos que A = x∈A

Corol´ ario 49. As proje¸c˜ oes pi : M → Mi s˜ ao aplica¸c˜ oes abertas do produto M = Q Mi . Q Prova: Seja A = A1 × A2 × · · · × An × i>n Mi um aberto b´ asico, ent˜ ao ( Ai , se i ≤ n; pi (A) = Mi , se i > n. Portanto pi (A) é aberto em (Mi , di ). Dado um aberto qualquer A ⊂ M , temos A = ∪Ax , reuni˜ ao de abertos b´ asicos. Logo, `[ ´ [ pi (Ax ) Ax = pi (A) = pi x

x

é uma reuni˜ ao de abertos, por conseguinte, resulta um aberto em (Mi , di ).

564

Na prova da pr´ oxima proposi¸c˜ ao faremos uso da seguinte identidade entre imagens inversas: Consideremos as `seguintes oes: f : A → B e g : B → C. Se ´ aplica¸c˜ Z ⊂ C, ent˜ ao (g ◦ f )−1 (Z) = f −1 g −1 (Z) . C

B

A

rx

r f (x)

f

g

r

g(f (x))

g −1 (Z)

ր

Z

f −1 (g −1 (Z)) g◦f

Provemos esta identidade, assim: ` ´ ` ´ x ∈ f −1 g −1 (Z) ⇔ f (x) ∈ g −1 (Z) ⇔ g f (x) ∈ Z ` ´ ⇔ g ◦ f (x) ∈ Z ⇔ x ∈ (g ◦ f )−1 (Z). Q Proposi¸ c˜ ao 147. Uma aplica¸c˜ ao f : N → ∞ e cont´ınua se, e somente se, cada i=1 Mi ´ uma de suas coordenadas fi = pi ◦ f : N → Mi é cont´ınua. Prova: (⇒) Se f é cont´ınua, ent˜ ao para todo ´ındice i, fi = pi ◦ f é cont´ınua por ser composta de aplica¸c˜ oes cont´ınuas. Q (⇐) Suponhamos agora cada fì cont´ ınua.` Seja A = A1 × À2 ×´ · · · × An × i>n Mi ´ ´ um aberto b´ asico, ent˜ ao A = p−1 A1 ∩ p−1 A2 ∩ · · · ∩ p−1 An , sendo assim n 1 2 “ ” ` ´ ` ´ ` ´ ` ´ f −1 A = f −1 p−1 An A2 ∩ · · · ∩ p−1 A1 ∩ p−1 n 2 1 ` ´ ` ´ ` ´ = f −1 p−1 (A1 ) ∩ f −1 p−1 (A2 ) ∩ · · · ∩ f −1 p−1 (An ) n 1 2 ` ´−1 ` ´−1 ` ´−1 = p1 ◦ f (A1 ) ∩ p2 ◦ f (A2 ) ∩ · · · ∩ pn ◦ f (An ) = f1−1 (A1 ) ∩ f2−1 (A2 ) ∩ · · · ∩ fn−1 (An )

` ´ Pela prop. 86 (pg. 345) cada fi−1 (Ai ) é um aberto, portanto f −1 A é aberto em N ao de abertos. Pela prop. 146, dado um aberto A arbitr´ ario em Q, por ser interseçc˜ Mì , éste pode ser escrito como reuni˜ a o de abertos b´ a sicos: A = ∪A . Portanto x ´ ` ´ ` ao de abertos é aberto; f −1 A = f −1 ∪ Ax = ∪x f −1 (Ax ); f −1 A sendo uma reuni˜ logo, pela mesma prop. 86 concluimos que f é cont´ınua.

Demonstraremos um importante corol´ ario da proposi¸c˜ ao anterior, mas antes necessitaremos de um lema. ¯ ˘ Consideremos o subconjunto N = 0, 1, 21 , . . . , n1 , . . . ⊂ R e o subespa¸co (N, µ). Dada uma seq¨ uência (xn ) em um espa¸co `mé´trico (M, d), e um ponto a ∈ M , definiremos uma aplica¸c˜ ao f : N → M , assim: f n1 = xn e f (0) = a.

s

(N, µ) 1

1 2 1 3 1 n

0

s s

(M, d)

s x1 s x2 s x3

f

sxn =f ( n1 )

.. . s .. .

.. . .. .

sa=f (0)

s 565

Lema 7. f : N → M é cont´ınua se, e somente se, lim xn = a. n

Prova: (⇒) Suponhamos f cont´ınua e mostremos que lim xn = a. De fato, f sendo n ` ´ ` ´ cont´ınua em 0 implica que para toda bola centrada em f (0): B f (0); ε = B a; ε , existe um δ > 0 de modo que: ` ´ x ∈ B(0; δ) ⇒ f (x) ∈ B a; ε ˛1 ˛ ` ´ ` ´ ˛ − 0˛ < δ ⇒ f 1 = xn ∈ B a; ε n n ` ´ 1 ⇒ xn ∈ B a; ε . n> δ

Isto significa que se escolhermos um ´ındice n0 > 1/δ, todos os termos da seq¨ uência com ´ındices superiores a este caem dentro da bola de centro a e raio ε, isto garante que lim xn = a. n

(⇐) Suponhamos que lim xn = a e mostremos que f é cont´ınua. Com efeito, é sufin

ciente mostrar que f é cont´ınua em 0 uma vez que todos os outros pontos de N s˜ ao isolados. Para ` mostar ´ que `f é cont´ ´ ınua em 0 centremos em f (0) uma bola de raio ε arbitr´ ario: B f (0); ε = B a; ε . Como lim xn = a existe um ´ındice n0 de modo que: n

Pondo δ =

1 n0

, resulta

` ´ ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈ B a; ε .

` ´ 1 1 < δ ⇒ n > = n0 ⇒ xn ∈ B a; ε . n δ

Isto prova que f é cont´ınua em 0.

Corol´ ario 50. Uma seq¨ uência (xn ) no produto M =

∞ Y

Mi converge para o limi-

i=1

te a = (a1 , a2 , . . . , ai , . . .) ∈ M se, e somente se, para cada i ∈ N, a seq¨ uência (x1i , x2i , . . . , xni , . . .) = (xni )n∈N , converge em Mi para o limite ai . Ou ainda, lim xn = a ⇐⇒

n→∞

lim xni = ai , ∀ i ∈ N.

n→∞

Prova: (⇒) Se lim xn = a, ent˜ ao lim xni = ai , ∀ i ∈ N. n

n

Inicialmente observe que uma seq¨ uência (xn ) em M se escreve assim: x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . . x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ........................... xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ........................... ˘ ¯ Considerando, como no lema 7, N = 0, 1, 21 , . . . , n1 , . . . vamos definir a seguinte aplica¸c˜ ao: 8 ` ´
566

Observe que as fun¸c˜ oes coordenadas fi = pi ◦ f : N → Mi de f s˜ ao dadas por “1” ` “ ` 1 ´” ´“ 1 ” fi = pi ◦ f = pi f = pi (xn ) = xni n n n ` ´ ` ´ fi (0) = pi ◦ f (0) = pi f (0) = pi (a) = ai .

Pois bem, pelo lema 7 se lim xn = a ent˜ ao f é cont´ınua e, pela prop. 147, cada fi é n

cont´ınua, sendo assim, novamente pelo lema 7 temos que lim xni = ai . n

(⇐) Se lim xni = ai , ent˜ ao lim xn = a. n

n

De fato, se lim xni = ai , ent˜ ao pelo lema 7 cada fi = pi ◦ f : N → Mi é cont´ınua n Q logo, pela prop. 147 tem-se que f : N −→ M = Mi resulta cont´ınua, portanto − novamente pelo lema 7 − lim xn = a. n

O diagrama seguinte pode ser u ´til para eventuais esclarecimentos: (xni )n∈N

f (1) −→ ) −→ f( 1 2 f( 1 ) −→ 3

1 ) −→ f( n

l

x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . . x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ........................... xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni←− ... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = ( a1 a2 a3 . . . ai . . .)

1) fi ( n

Proposi¸ c˜ ao 148. (Teorema de Cantor-Tychonov) ! ∞ Y Mi , d é compacto se, e somente se, cada espa¸co fator O espa¸co (M, d) = i=1

(Mi , di ) (i = 1, 2, 3, . . .) é compacto.

Prova: (⇒) Se (M, d) é compacto, ent˜ ao (Mi , di ) é compacto. ` ´ uência arbitr´ aria em Mi , assim: De fato, seja xni n ∈ N uma seq¨ i = 1 : x11 x21 x31 . . . xn1 . . . ∈ M1

i = 2 : x12 x22 x32 . . . xn2 . . . ∈ M2 i = 3 : x13 x23 x33 . . . xn3 . . . ∈ M3

................................. ` ´ uência convergente. Com efeito, tomando Mostremos que xni n ∈ N possui uma subseq¨ a transposta da matriz anterior, obtemos: (xn1 ) ∈ M1

...

(xni ) ∈ Mi

l

l

x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . . x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ........................... xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = ( a1 a2 a3 . . . ai . . .)

567

Obtemos uma seq¨ uência (xn )n∈N em M e, como este é compacto, esta seq¨ uência possui uma subseq¨ uência (xn )n∈N1 convergindo para um ponto a = (a1 , . . . , ai , . . .) ∈ M . Pelo corol´ ario 50, temos que (xni )n∈N1 converge em Mi para o limite ai . (⇐) Se (Mi , di ) é compacto, ent˜ ao (M, d) é compacto.

Pela proposi¸c˜ ao 135 (pg. 516) é suficiente provar que dada uma seq¨ uência arbitr´ aria (xn ) em M , esta possui uma subseq¨ uência convergente para um ponto a ∈ M . Inicialmente obseve que (xn ) pode ser escrita na seguinte disposi¸c˜ ao matricial: (xn1 ) ∈ M1 . . . (xni ) ∈ Mi l

l

x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . . x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ........................... xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = ( a1 a2 a3 . . . ai . . .) A estratégia da prova ser´ a a seguinte: obteremos um subconjunto infinito N∗ ⊂ N ao fazemos a = (a1 , a2 , . . . , ai , . . .) ∈ tal que existe lim∗ xni = ai ∈ Mi (i = 1, 2, 3, . . .). Ent˜ n∈N

M e teremos, pelo corol´ ario 50, lim∗ xn = a ∈ M . n∈N

De fato, sendo M1 compacto, a seq¨ uência (x11 , x21 , x31 , . . . , xn1 , . . .) em M1 possui uma subseq¨ uência convergente. Logo, existem N1 ⊂ N infinito e a1 ∈ M1 tais que lim xn1 = a1 .

n∈N1

Observe que no diagrama anterior n˜ ao temos a seq¨ uência (xn1 )n∈N convergindo para a1 , mas sim uma sua subseq¨ uência: (xn1 )n∈N . 1 Pois bem, sendo M2 compacto, a seq¨ uência (xn2 )n∈N em M2 possui uma sub1 seq¨ uência convergente. Logo, existem N2 ⊂ N1 infinito e a2 ∈ M2 tais que lim xn2 = n∈N2

a2 . Prosseguindo deste modo, obtemos uma seq¨ uência de conjuntos infinitos: N ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ N3 ⊃ · · · ⊃ Ni ⊃ · · ·

(10.6)

e um ponto a = (a1 , a2 , . . . , ai , . . .) ∈ M , com lim xni = ai (i = 1, 2, 3, . . .). n∈Ni

Observe que quando definimos subseq¨ uência (ver pg. 198) exigimos uma “ordena¸c˜ ao” no conjunto de ´ındices, como por exemplo: N1 = {n1 < n2 < n3 < . . .}. Vamos construir o conjunto N∗ assim: Tomamos emprestado de N1 o seu primeiro ´ındice n1 : N∗ = { n1 . . .}. Como N2 é infinito existe um ´ındice n2 ∈ N2 tal que n2 > n1 ; tomemos emprestado de N2 este ´ındice: N∗ = { n1 < n2 . . .}. Como N3 é infinito existe um ´ındice n3 ∈ N3 tal que n3 > n2 ; tomemos emprestado de N3 este ´ındice: N∗ = { n1 < n2 < n3 . . .}. E assim prosseguimos tomando emprestado ni ∈ Ni tal que: ˘ ¯ N∗ = n1 < n2 < n3 < · · · < ni−1 < ni < · · · Tendo em conta a cadeia de inclus˜ oes (10.6), obtemos ˘ ¯ n1 < n2 < n3 < · · · < ni−1 < ni < · · · ⊂ N1 ˘ ¯ n2 < n3 < n4 < · · · < ni−1 < ni < · · · ⊂ N2 ˘ ¯ n3 < n4 < n5 < · · · < ni−1 < ni < · · · ⊂ N3 .............................................

568

` ´ Sendo assim, para cada ´ındice i, a seq¨ uência xni n ∈ N∗ é, a partir do seu i-ésimo ` ´ elemento, uma subseq¨ uência da subseq¨ uência xni n ∈ N e, portanto, converge para o i mesmo limite ai ∈ Mi , isto é, lim∗ xni = ai , e isto completa a prova. n∈N

` ´ Corol´ ario 51. O espa¸co { 0, 1 }∞ , ν é compacto. ` ´ Apˆ endice B: B′ , ν é compacto e denso (pg. 540) Consideremos o subconjunto B′ ⊂ B, onde

(xn ) ∈ B′ ⇐⇒ suas subseq¨ uências de ´ındices ´ımpares e pares pertencem a B. ` ´ Lema 8 (Gentil/03.05.05). O subespa¸co B′ , ν é compacto. ` ´ Prova: Vamos mostrar inicialmente que B′ , ν é fechado. Mostraremos que ¯ ′ ⊂ B′ . De fato, Considere p ∈ B ¯ ′ e tal que p 6∈ B′ . Ent˜ B ao existe um ´ındice k de modo que p tem, em sua subseq¨ uência de ´ındices ´ımpares (ou pares- vamos supor ´ımpares), todos os termos iguais a 1 a partir de 2k − 1, assim ( p1 , p3 , p5 , . . . , p2k−1 , 1, 1, 1, . . .) 6∈ B

p = ( p1 , p2 , p3 , . . . , pn , . . .) ( p2 , p4 , p6 , . . . , p2n , . . .) ¯ ′ existe uma seq¨ Como p ∈ B uência (xn ) de pontos de B′ de modo que lim xn = p. Observe que os termos de (xn ) s˜ ao da forma: x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1i , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2i , . . .) x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3i , . . .) ................................. xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xni , . . .) .................................... Como xn ∈ B′ existem ´ındices i, arbitrariamente grandes, onde vamos encontrar um 0 na posi¸c˜ ao 2i − 1 de xn , assim ( xn1 , . . . , xn(2i−3) , 0, xn(2i+1) , . . .) ` ´ xn = xn1 , xn2 , . . . , xn(2i−2) , 0, xn(2i) , . . .

( xn2 , xn4 , . . . , xn(2i−2) , . . .)

Escolhamos um ´ındice i de modo que 2i − 1 > 2k − 1. Tomando ε > 2i − 1, teremos 1 < 22i−1 . Como lim xn = p, significa que existe um ´ındice n0 , a partir do qual se 1 . Isto significa que xn deve coincidir com p até a posi¸c˜ ao verifica ν(xn , p) < 21ε < 22i−1 2i − 1 (no m´ınimo) o que é absurdo. Sendo assim, B′ resulta fechado. Por outro lado o conjunto {0, 1}N = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · · ` ´ é compacto. Sendo assim, B′ , ν resulta compacto, por ser um subconjunto fechado de um compacto. 1 2ε

Podemos mostrar também que B′ é denso em B. De fato, seja ε > 0 e a ∈ B dados. Devemos mostrar que existe p ∈ B′ de modo que ν(p, a) < ε. Pois bem, escolhamos j tal que 1j < ε e tomemos pn = an para n = 1, 2, . . . , j; fa¸camos pn = 0 para n ≥ j +1. 2 Sendo assim p ∈ B′ e ν(p, a) ≤ 1j < ε. 2

569

570

Referências Bibliográficas

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571

GENTIL LOPES DA SILVA Gentil Lopes da Silva (1960 − ?) nasceu em Boa Vista-RR em 24.05.1960. (Neo-) ayahuasqueiro e pai de quatro filhos: Agnus, Aline, Ananda e Aar˜ ao. Até 1979/1 (ano de conclus˜ ao do 2o Grau/atual ensino médio) o autor, n˜ ao sendo exce¸c˜ ao ` a regra, possuia avers˜ ao pela Matem´ atica; tendo sido reprovado em dois anos asico − aqui aquelas famosas express˜ oes algébricas: “de dentro escolares (6a série e b´ para fora: primeiro parentesis, depois colchetes e, por u ´ltimo, chaves” que tortura!...). Em 1979, ap´ os ter deixado incompleto um curso por correspondência em eletrˆ onica (Instituto Universal Brasileiro), partiu, com “toda” esta bagagem, para Belém-Pa com o intuito de cursar Enga Elétrica. Ap´ os um semestre (79/2) de estudos ininterruptos (o autor morava em uma rep´ ublica de estudantes e sobrevivia com uma bolsa da SEC do seu estado...“sem dinheiro no banco, sem parentes importantes e vindo do interior...”) o autor foi reprovado no vestibular de jan./80, sendo que nas provas de F´ısica e Matem´ atica (60 quest˜ oes cada uma) fez 7 e 8 quest˜ oes, respectivamente (com “chute e tudo”). Acontece que o autor sempre acreditou no velho ad´ agio popular que diz: ´ “Agua molhe, pedra dura, tanto bate ate que fura” Uma li¸c˜ ao ficou do malogro no vestibular: Precisava rever toda a ´ algebra elementar ´ (aproximadamente a matem´ atica de 5a a 8a séries). Cruzou com um livro “Algebra elementar” (de Barnett Rich) − Cole¸c˜ ao Schaum − estudou este livro com afinco por três meses ininterruptos, ap´ os o que, n˜ ao mais sentiu dificuldades quanto ` a Matem´ atica e F´ısica secund´ arias. Em fun¸c˜ ao disto, sempre que solicitado, sugere a seus alunos que adquiram um forte fundamento de: fra¸c˜ oes, potência¸c˜ ao, radicia¸c˜ ao, polinˆ omios,. . . e por a´ı vai. Nota: Hoje, chego ` a conclus˜ ao de que a parte “algoritmica” (mecˆ anica) − ou ainda: c´ alculos, contas − embora essencial (pré-requisito) n˜ ao chega a ser matem´ atica. Matem´ atica é l´ ogica, é criatividade. Estou tentando contribuir no sentido de se entender (justificar) por que embora um indiv´ıduo n˜ ao seja um “ex´ımio calculista” mesmo assim pode ter êxito na matem´ atica (l´ ogica). ⊙

⊙

⊙

O autor é graduado em Engenharia Elétrica/Eletrˆ onica pela Universidade Federal do Par´ a e Mestre em Matem´ atica pela Universidade Federal de Santa Catarina. Ensinou nas seguintes institui¸c˜ oes: ( i ) Universidade Federal de Roraima; ( ii ) Centro de Educa¸c˜ ao Tecnol´ ogica do Paran´ a (CEFET-Pr); (iii) Universidade Federal de Santa Catarina; (iv) Faculdades Integradas do Planalto Central (FIPLAC- Bras´ılia-D.F.); (v) Universidade Federal de Roraima (Novamente/atual). Também trabalhou como engenheiro de telecomunica¸c˜ oes do Sistema Telebr´ as. www.dmat.ufrr.br/∼gentil [email protected]

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Índice Remissivo

Algoritmo bin´ ario, 295 Axioma do Supremo, 65 Bola aberta, 159 em subespa¸cos, 172 no espa¸co produto, 176 proposi¸c˜ oes, 178 C´ odigo ASCII, 108 Caminho em espa¸cos métricos, 407 Cobertura, 501 Compacidade, 504 Completamento, 477 Conjunto, 575 convexo, 410 de Cantor, 436 limitado, 124 totalmente limitado, 514 aberto, 254 num subespa¸co, 260 fechado, 268 Continuidade, 303 Continuidade uniforme, 354 Contra¸c˜ ao, 325 Convergência, 199 Cota Superior, 58 Inferior, 58 Cubo hiper-m´ agico, 555 Densidade, 66, 282 Descontinuidade, 304 Desigualdade, 575 de Cauchy-Schwarz, 76, 132 triangular, 55, 87 Diˆ ametro, 125 Distˆ ancia, 575 de Hamming, 110 entre dois conjuntos, 122 entre dois pontos, 86 entre ponto e conjunto, 118

Equivalência L´ ogica, 20 Equivalencias Not´ aveis, 21 Espa¸co, 575 conexo por caminho, 409 de Banach, 464 de Hilbert, 466 desconexo, 395 discreto, 193 métrico, 86 métrico completo, 454 Fam´ılias Indexadas, 49 Fenˆ omenos n˜ ao-locais, 439 Fun¸c˜ ao, 575 aberta, 351 de Lipschitz, 326 de Urysohn, 343 limitada, 104 Fun¸c˜ oes Proposicionais, 29 Homeomorfismo, 360 Imagem Direta, 43 Imagem Inversa, 45 Imers˜ ao isométrica, 319 Implica¸c˜ ao L´ ogica, 18 Importˆ ancia da densidade, 283 Infimo, 62 Isometria, 322 Limites em espa¸cos métricos, 386 Métrica Divina/quˆ antica, 89 Métrica zero-um, 88 N´ umero de Lebesgue, 525 Nega¸c˜ ao de senten¸cas quantificadas, 30 Norma, 72 Opera¸c˜ oes Generalizadas, 50 Opera¸c˜ oes L´ ogicas, 18

573

Parti¸c˜ ao dos naturais, 198 Ponto, 575 aderente, 270 de acumula¸c˜ ao, 285 fixo, 401 fronteira, 261 interior, 251 Isolado, 186 Produto interno, 75 Proje¸c˜ ao i-ésima, 328 Proposi¸c˜ ao, 17 Propriedade Arquimediana, 65 Propriedades topol´ ogicas, 362 Quadrado hiper-m´ agico, 547 Quantificadores, 29 Representa¸c˜ oes bin´ arias, 295 tern´ arias, 296 Rota¸c˜ ao, 322 Seq¨ uência, 195 Seq¨ uências em espa¸cos vetoriais normados, 243 limitadas, 213 num espa¸co produto, 214 Seq¨ uências de Cauchy, 447 Subespa¸cos, 145 Subseq¨ uência, 198 Supercordas, 438 Supremo, 59 Teorema, 575 de Heine-Borel, 505 do Ponto Fixo de Banach, 496 Topologia quˆ antica, 298, 438 Unicidade do limite, 211

574

Matem´ atica & Arte “. . . da

matem´ atica que

“. . . que n−1

´ e eterna, porque suas melhores manifesta¸ co ˜es podem, como

as

melhores

anm = (−1)

(2m−1 )

do esp´ırito pela via de uma diversa

mani-

experimenta¸ ca õ de car´ ater abs-

festa¸ co ˜es da literatura, con-

trato, especulativo, resultante das

tinuar causando uma intensa satisfa¸ ca õ emocional a mil-

o meu pensamento

quis aproximar-se dos problemas

anm = (−1)

—

n−1 m−1 2

hares de pessoas, milhares de

conclus˜ oes de processos l´ ogicos da mais moderna f´ısico-matem´ atica.” (Pietro Ubaldi)

anos depois.” (G.H. Hardy)

A matem´ atica quando alcan¸ca um determinado n´ıvel confunde-se com a Arte. Da mesma forma que um apreciador das artes experimenta um certo enlevo ao contemplar um quadro − ou ouvi uma can¸c˜ ao − de igual modo um matem´ atico compartilha deste mesmo sentimento ao contemplar um belo teorema matem´ atico. Penso que uma raz˜ ao apenas é suficiente para justificar o aprendizado da matem´ atica, em um n´ıvel mais avan¸cado: sua beleza intr´ınseca. Um belo teorema matem´ atico situa-se no mesmo n´ıvel de uma bela obra de arte. Assim como n˜ ao tem sentido chegar-se em frente a uma obra de arte e perguntar para o que ela serve, t˜ ao pouco faz sentido indagar para o que serve a matem´ atica − neste n´ıvel bem entendido. Um outro s´ımile: n˜ ao se pergunta a um compositor para o que serve a sua m´ usica. Aos utilitaristas, diremos que a matem´ atica serve para o arroubo (êxtase) espiritualintelectual de quantos a cultivam seriamente. Frente a esta utilidade as demais empalidecem, caem para um segundo ou terceiro plano. Da mesma forma que um m´ usico necessita de anos e anos de treinamento para o atico desenvolvimento (aperfei¸coamento) de sua sensibilidade, com o aspirante a matem´ n˜ ao é diferente. Por oportuno, ouso afirmar: o que se est´ a a praticar “por a´ı ” n˜ ao chega a ser matem´ atica, apenas calculeira; o esp´ırito da matem´ atica fica de fora; trabalha-se apenas em cima de seu cad´ aver. Com estes argumentos pretendemos responder ` a freq¨ uente pergunta: para o que ´ isto, como se n˜ serve a matem´ atica? E ao bastasse as in´ umeras aplica¸c˜ oes no plano da matéria (basta olhar ` a sua volta), agora estamos patenteando as aplica¸c˜ oes no plano do Esp´ırito. Acreditamos que neste est´ agio (universit´ ario) de aprendizado o aluno deva desenvolver a sensibilidade para contemplar a beleza-arte da matem´ atica. Colocar poss´ıveis aplica¸c˜ oes como condi¸c˜ ao para o aprendizado seria como prostituir a matem´ atica/arte. Numa obra did´ atica lemos: “A preferência de Plat˜ ao pelos aspectos mais te´ oricos e conceituais o fazia estabelecer uma clara diferencia¸c˜ ao entre a ciência dos n´ umeros, que chamava aritmética, e a arte de calcular, que chamava log´ıstica, a qual desprezava por ser ‘infantil e vulgar’. ” “A abstra¸caõ desobstrui o esp´ırito, o torna mais leve e dinˆ amico.” (Gaston Bachelard)

“Quando o esp´ırito se apresenta a` cultura cient´ıfica, nunca ´ e jovem. Ali´ as ´ e bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos. Aceder a ` ciˆ encia ´ e rejuvenescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ca õ que contradiz o passado.” (Gaston Bachelard)

575

Espaços Métricos - Gentil Lopes Da Silva

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