Gentil Lopes - Novas Sequencias Aritméticas e Geomátricas

CONTRA CAPA

Pref´ acio ` a 1.a Edi¸ ca ~o Este livro desenvolve novos tipos de seq¨ uˆencias que s˜ ao generaliza¸c˜oes das progress˜ oes aritm´eticas e geom´etricas. Tem, portanto, o objetivo de aprofundar o que existe a respeito de tais seq¨ uˆencias. Onde n˜ a aprofundamos, simplificamos, como ´e o caso do Princ´ıpio da Dualidade, o qual possui aplica¸c˜ oes em teoria dos conjuntos e ´algebra de Boole, agora estamos aplicando-o pela primeira vez − assim cremos − no estudo das progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas. O leitor encontrar´ a novidades do primeiro ao u ´ltimo cap´ıtulo do presente trabalho. Por exemplo, j´a no primeiro cap´ıtulo deduzimos uma f´ormula geral e n˜ ao recursiva para a soma de potˆencias dos n´ umeros naturais. N˜ao tenho conhecimento de que exista uma f´ormula fechada para esta soma. Em 1713 apareceu na revista Ars Conjectandi (Arte de Conjecturar) uma f´ormula recursiva (isto ´e, n˜ ao fechada) para o referido somat´ orio. A f´ormula em quest˜ ao ´e atribu´ıda a Jacobi Bernoulli (1654-1705). Citamos ainda as progress˜ oes aritm´eticas planas e espaciais; uma generaliza¸c˜ao que nos permitir´a v´arias aplica¸c˜oes na resolu¸c˜ao de novos problemas n˜ ao s´ o da matem´ atica como tamb´em da computa¸c˜ao. Por exemplo deduzimos, com o aux´ılo das progress˜oes aritm´eticas espaciais, uma f´ormula que nos permite a representa¸c˜ao de um inteiro positivo em qualquer base num´erica; em particular na bin´ aria. No que concerne ` a computa¸c˜ ao, de h´ a muito existe uma controv´ersia a respeito do uso de calculadoras pelos estudantes e em que fase isto deve se dar. Concernente a isto, sou da opini˜ ao de que os alunos devem us´ a-la desde que a priori saibam “fazer na m˜ ao”. Neste sentido e t˜ao somente neste o aluno, a meu ver, est´ a apto a usar uma calculadora, em particular program´avel. A prop´osito, eu penso que os pais deveriam dar a seus filhos, juntamente com o video-game, uma calculadora program´avel, pois desta forma est˜ ao lhes abrindo as portas de uma alternativa profissional que ´e a da programa¸c˜ ao e, como se isto n˜ ao bastasse, porque a programa¸c˜ao desenvolve a inteligˆencia, logicamente falando. Quando come¸car a programar? Acredito que desde o primeiro grau, por exemplo, quando da resolu¸c˜ ao de equa¸c˜oes do 2 o grau ou na resolu¸c˜ao de sistemas lineares. H´a algum tempo tenho o sonho de ver estudantes, de todos os n´ıveis, com calculadoras program´aveis em sala de aula e programando os problemas em tempo real. Ainda com respeito ao uso de computadores, pe¸co permiss˜ao para expor meu pensamento a respeito de uma outra quest˜ao: Demonstra¸c˜oes via computador. Aqui entramos no campo subjetivo, isto ´e, alguns aceitam enquanto outros n˜ ao, demonstra¸c˜ oes com aux´ılio computacional. Eu, particularmente, me incluo dentre os que n˜ ao aceitam tais demonstra¸c˜oes e 3

gostaria de justificar minha op¸c˜ao: Primeiramente devemos ter em considera¸c˜ ao que todo processo computacional consta de duas partes: software e hardware. Software ´e l´ ogica e, portanto, podemos atingir 100% de confian¸ca no mesmo, isto ´e, podemos sem dificuldade atingir um grau de confiabilidade total no software. O problema come¸ca a aparecer quando nos voltamos para o hardware, que ´e F´ısica. Sabemos que os computadores utilizam a ´algebra Booleana, isto ´e, operam com os s´ımbolos “0” e “1” os quais, a n´ıvel de circuito, s˜ ao interpreta¸c˜ oes de n´ıveis de tens˜ ao (por exemplo “1” = 5V, “0” = 0V, ou ainda, [ 0, 0.8 ] ≡ “0” e [2, 5] ≡ “1”) e, como ´e sabido, o funcionamento dos chips depende da temperatura. Em outras palavras, que confiabilidade devemos dispensar a uma demonstra¸c˜ao que ´e fun¸c˜ao da temperatura?. Embora a dependˆencia da temperatura possa ser minimizada ao m´ aximo, o que se exige de uma demonstra¸c˜ ao ´e que dependa de argumentos l´ogicos apenas. Para os que insistem na validade de tais demonstra¸c˜oes quero lembrar que uma demonstra¸c˜ ao feita em uma esta¸c˜ao fria seria mais confi´ avel que outra feita em uma esta¸c˜ao quente. Mas se insistirem em que as condi¸c˜oes clim´ aticas da sala poderiam ser rigorosamente controladas, sugiro que as demonstra¸c˜ oes venham acompanhadas de um relat´ orio sobre tais controles. Para a transmiss˜ ao de dados (a qual ocorre tanto a n´ıvel externo quanto a n´ıvel interno ao computador) passamos a ter problemas com ru´ıdo. Uma fonte inevit´avel de ru´ıdo el´etrico ´e o movimento t´ermico de el´etrons em materiais condutores − fio, resistores, etc. − Tanto este ´e um aspecto que preocupa os engenheiros de comunica¸c˜oes que surgiu uma disciplina assaz importante que se chama “codifica¸c˜ao com controle de erros” o que prova que os sistemas computacionais n˜ ao garantem 100% de confiabilidade, que ´e o que se exige de uma demonstra¸c˜ao matem´ atica. ´ E´ obvio que o computador foi e sempre ser´ au ´til tanto `a matem´ atica aplicada quanto ` a pura. Por exemplo para nos auxiliar a formular conjecturas, ou refut´ a-las, mas nunca para demonstrar teoremas. Por exemplo, certa feita assisti a uma palestra na qual um matem´ atico havia utilizado um computador, durante v´arios dias, para “demonstrar”a n˜ ao n 2 primalidade de um dos n´ umeros de Fermat (n´ umeros da forma Fn = 2 + 1). Sa´ı da palestra com a “confian¸ca aumentada” mas n˜ ao convencido de que o n´ umero em quest˜ ao de fato n˜ ao era primo. Gostaria de chamar a aten¸c˜ao de alguns matem´ aticos para mais um aspecto: Sabe-se que na m´ usica alguns nascem, ou melhor, tˆem o dom de int´erpretes (s˜ ao excelentes int´erpretes) mas n˜ ao comp˜ oem nada. E, reciprocamente, outros h´ a que tˆem o dom da composi¸c˜ao mas que n˜ ao s˜ ao int´erpretes; ambos s˜ ao importantes para o universo musical. Na matem´ atica, como tamb´em nas outras ciˆencias (F´ısica, por exemplo), acontece algo semelhante: h´ a uma esp´ecie de gˆenios que s˜ ao os int´erpretes, 4

mas que n˜ ao comp˜ oem, isto ´e, n˜ ao produzem nada de substancial (estes s˜ ao a maioria) e h´ a “gˆenios” de outra esp´ecie, os quais s˜ ao “compositores” na ciˆencia. Estes “gˆenios” embora embora n˜ ao sejam gˆenios (na acep¸c˜ao que se d´ a a esta palavra) ´e desnecess´ ario dizer que s˜ ao t˜ao (ou mais) importantes que os gˆenios. Tenho por certo que Einstein, por exemplo, foi um “gˆenio” embora n˜ ao tenha sido um gˆenio. Evidentemente que, como na m´ usica, h´ a os que s˜ ao gˆenios e ao mesmo tempo “gˆenios”, como por exemplo: Newton, Poincar´e, Gauss, Euler, Gallois, etc. Quanto a este ponto de vista, descobri que n˜ ao estou s´ o, vejam: “. . . A seu modo, Glasshow pode ser um extravagante ‘revolucion´ ario anarquista’, mas a forma pela qual chega ` as suas id´eias f´ a-lo avan¸car constantemente com novos conceitos, muitos deles loucos e imposs´ıveis, mas outros s˜ ao avan¸cos genu´ınos em f´ısica. Certamente que conta com a ajuda de outros para separar as id´eias m´ as, n˜ ao obstante possui um instinto criativo que muitos n˜ ao possuem. Em f´ısica te´ orica ser simplesmente brilhante n˜ ao ´e suficiente. Deve-se ser capaz de gerar novas id´eias, algumas bizarras, que s˜ ao essenciais para o processo de descoberta cient´ıfica.” (Do livro “Para Al´em de Einstein”de Michio Kaku/Jennifer Trainer)

Da mesma forma afirmo que na matem´ atica n˜ ao basta ser brilhante, tem-se que ter o instinto criativo. Em resumo, estou reinvindicando da comunidade cient´ıfica, maior aten¸ca˜o aos “compositores”, a exemplo do que tem acontecido aos int´erpretes. Os assuntos aqui tratados podem ser estudados tanto a n´ıvel de 2o quanto ao n´ıvel de 3o grau. Deixo registrado aqui meus agradecimentos ao senhor Antˆonio Pedro de Souza por ter patrocinado a digita¸c˜ao do manuscrito de uma vers˜ ao anterior deste livro (1993) − vers˜ ao esta que n˜ ao chegou a ser editada. Agrade¸co tamb´em ao professor Dr. F´elix Pedro Quispe G´ omez (UFSC) pelo inestim´ avel aux´ılio que me prestou no que concerne `a digita¸c˜ao do presente livro, pelo sistema TEX. Finalmente minha gratid˜ ao maior a Deus, por ter me concedido gestar e dar `a luz a este trabalho. Isto ´e: Assentar este tijolinho em sua magnˆ anima obra. Bras´ılia, dezembro de 1999.

5

Desabafo (Desobstruindo o Peito e a Garganta) Quero deixar registrado aqui minha indigna¸c˜ao no que diz respeito ao tratamento dispensado a este trabalho por ´org˜ aos e pessoas competentes, que poderiam tˆe-lo apoiado e n˜ ao o fizeram. Se este livro tivesse que depender do apoio destas entidades, h´ a muito tempo que o mesmo teria ido parar nas latas de lixo ou, quem sabe, reciclado como papel higiˆenico para limpar a bunda destas mesmas pessoas. H´a quase dez (10) anos peregrino com este livro − desde o manuscrito − embaixo do sovaco ` a procura de apoio. N˜ao encontrando, continuei trabalhando no mesmo, assim ´e que alguns resultados s´ o consegui demonstrar recentemente (1999); mas mesmo esta u ´ltima vers˜ ao do livro foi rejeitada. E como foi poss´ıvel esta edi¸c˜ao? Dei aulas por trˆes meses em Bras´ılia; almo¸cando na rodovi´aria − sopa de R$ 1, 00 (hum real) − e andando a p´e para economizar no ˆonibus, juntei o suficiente para pagar uma tiragem de 400 exemplares. Est´a saindo sem revis˜ao t´ecnica, sem revis˜ao gramatical, etc.; pois apoio me faltou em todos estes sentidos. Eu pr´ oprio tive que digit´ a-lo sozinho, v´ırgula ap´ os v´ırgula. Num certo momento da minha vida me encontrei frente a uma bifurca¸c˜ao: Ganhar dinheiro ou dar minha contribui¸c˜ao `a Ciˆencia (criar). Digo bifurca¸c˜ ao pois, a meu ver, s˜ ao alternativas mutuamente excludentes. Optei pelo caminho mais dif´ıcil e incerto. Aqui est´ a minha presta¸c˜ao de contas: um livro com n˜ ao poucas contribui¸c˜oes para o Mundo e para a Eternidade! . . . Todo meu sacrif´ıcio-f´e, Deus me retribuiu com juros exorbitantes. E aqui est´ a impl´ıcito: Sacrif´ıcio-ren´ uncia-pen´ uria n˜ ao somente meus; mas tamb´em de toda a minha fam´ılia, que nestes anos todos foram privados de conforto e algumas vezes at´e do m´ınimo necess´ario. Sei que este livro ´e apenas uma semente, mas adubada − como foi − por minha ren´ uncia-sacrif´ıcio tenho certeza que jamais morrer´a. . .

N˜ ao deis aos c˜ aes o que ´e santo: nem deiteis aos porcos as vossas p´erolas, para que n˜ ao suceda que eles lhes ponham os p´es em cima, e tornando-se contra v´os, vos despedacem. (Mt 7 : 6)

“A obten¸ca˜o de um resultado novo em pesquisa ´e, para o cientista, uma fonte de intenso prazer, ligado intimamente ao instinto de cria¸ca˜o e eternidade, pois, independentemente da importˆ ancia da contribui¸ca˜o no contexto da ciˆencia, ou de sua utiliza¸ca˜o, representa algo acrescentado ao conhecimento humano que marca sua existˆencia na terra.” Pierre Curie (F´ısico)

6

A primeira edi¸c˜ ao deste livro chegou `as m˜ aos de um ilustre matem´ atico brasileiro, Prof. Ubiratan D’Amb´ osio, que me escreveu o seguinte email. O endere¸co [email protected] foi recusado. Gostaria que ele recebesse esse e-mail. De fato, gostei muito do livro. Um Abra¸co, Ubiratan −−−−− Original Message −−−−− From: Ubiratan D, Ambr´ osio To: Gentil Lopes da Silva Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM Subject: Obrigado pelo livro Caro Gentil Muito obrigado pelo livro que vocˆe mandou pelo Chateau. Est´a muito bom, interessante e cheio de provoca¸c˜ oes. D´a oportunidade para os estudantes se iniciarem em pesquisas. Vocˆe fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o graus. Eu diria que ´e tamb´em para a p´ os. Aritm´etica continua sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente pouco da complicada linguagem, nota¸c˜oes e resultados que caracterizam muitas ´ areas da matem´ atica. S˜ ao formula¸c˜oes simples que podem ser trabalhados com pouca t´ecnica, exigindo imagina¸c˜ao e criatividade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro n˜ ao existe. E nem est´ a no site da Thesaurus. Recomendar um livro implica dizer como adquirir. O que vocˆe diz? Siga em frente com suas id´eias. As suas reflex˜ oes iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a pr´ opria capa, s˜ ao uma grande contribui¸c˜ao para um novo pensar na urgente renova¸c˜ ao da educa¸c˜ ao em todos os n´ıveis. A sua trajet´ oria desde seus estudos, lecionando em condi¸c˜ oes prec´ arias, e com as dificuldades para publicar o livro ´e um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente intencional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espa¸co para os executores de id´eias de outros. ´ Uma curiosidade: vocˆe sabia que o Edouard Lucas, que vocˆe cita na p´ agina 393, ´e quem fez a revis˜ ao t´ecnica para a publica¸c˜ao p´ ostuma do livro “M´elanges de Calcul Int´egral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro havia sido recusado por in´ umeras editoras enquanto ele estava vivo. Muito obrigado. Um abra¸co, Ubiratan Nota: Como o Prof. Ubiratan n˜ ao estava conseguindo acessar o meu antigo email ([email protected]) ele enviou seu email a um seu ex-aluno (saudoso Chateaubriand), colega meu, que me repassou. 7

Pref´ acio ` a 2.a Edi¸ ca ~o Passaram-se j´a 15 (quinze) anos da primeira edi¸c˜ao deste livro. Alguns fatores me motivaram a sentar e trabalhar nesta segunda edi¸c˜ao − um volume de quase 600 p´ aginas, com muitas ilustra¸c˜oes −, tendo em conta que hoje meu tempo ´e bastante escasso. Vou arrolar os principais: − Perdi os arquivos tanto do programa fonte (TEX) quanto do pdf da primeira edi¸c˜ ao, o que me impedia de disponibiliz´ a-lo na internet; − O fato de um eminente matem´ atico brasileiro ter gostado da primeira edi¸c˜ ao naturalmente contribuiu para esta decis˜ ao; − Um segundo ilustre matem´ atico brasileiro (Prof. Dr. Carlos Gustavo T. de A. Moreira − IMPA/RJ) esteve aqui em minha Universidade, por ocasi˜ ao da IX Semana de Matem´atica (26 a 30/10/2015), conheceu meu livro e gostou muito, em particular de uma f´ormula que comparece no mesmo (p. 53); − Minha perfomance no processador de texto LATEX melhorou bastante nestes 15 anos − o que possibilitou uma segunda edi¸c˜ao bem mais esmerada que a primeira. Em fun¸c˜ ao desta u ´ltima raz˜ ao ´e que a presente edi¸c˜ao traz in´ umeras melhorias pontuais, em rela¸c˜ao `a primeira; ademais, a utiliza¸c˜ao de uma calculadora (HP Prime ) com programa¸c˜ao alg´ebrica trouxe uma melhoria exponencial ao livro, tanto ´e que o considero um novo livro. A calculdora HP Prime ´e uma potente e sofisticada ferramenta de computa¸c˜ ao num´erica e simb´ olica − sem falar que ´e tamb´em gr´ afica, colorida, com tela sens´ıvel ao toque (touchscreen) −, decidi adot´ a-la em todo este livro; escrevi o u ´ltimo cap´ıtulo para ensinar a programa¸c˜ao da mesma, inclusive o leitor pode baix´a-la (emulador) gratuitamente para seu notebook, tablet e at´e celular. Uma justificativa: talvez o leitor n˜ ao fa¸ca ideia do qu˜ao dif´ıcil ´e a diagrama¸c˜ ao (formata¸c˜ ao) de um livro, ainda mais de um livro cheio de figuras, f´ormulas e ilustra¸c˜ oes, como ´e o caso do presente e, por outro lado, em acr´escimo, muitas vezes ainda tive que decidir quando − por raz˜ oes did´ aticas − deveria for¸car uma figura (ou f´ormula) a ficar na mesma p´ agina da explana¸c˜ ao correspondente; por outro lado escrevi-o j´a pensando em utilizar o pdf como slide para proje¸c˜ao em minhas aulas; por exemplo, no pr´ oximo semestre vou ministrar a disciplina C´ alculo num´erico na qual adotarei a HP Prime, vou utilizar o u ´ltimo cap´ıtulo (projetando-o) para ensinar meus alunos a programar a calculadora. Quaisquer cr´ıticas ou sugest˜oes ser˜ ao bem-vindas, meu novo email ´e: [email protected] Gentil, o iconoclasta Boa Vista-RR, 25 de agosto de 2016. 8

Sum´ario

1 Sequˆ encias aritm´ eticas de ordem m 1.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 F´ormula do termo geral de uma P.A.m . . . 1.3.1 Calculadora HP Prime−Computa¸c˜ao 1.4 P.A.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos . 1.5 Propriedade fundamental de uma P.A.m . . 1.6 Soma dos termos de uma P.A.m . . . . . . 1.6.1 Uma f´ormula in´edita . . . . . . . . . 1.7 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . 1.8 Apˆendices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Princ´ıpio da indu¸c˜ ao finita . . . . . . . . • Triˆ angulo aritm´etico de Pascal . . . . . . • Demonstra¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . 2 Somas e Diferen¸ cas de ordem m 2.1 Diferen¸cas de ordem m . . . . . . . . . 2.2 Somas de ordem m . . . . . . . . . . . 2.3 Unifica¸c˜ ao de sequˆencias sob as P.A.m 2.4 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . 2.5 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . • Demonstra¸c˜ oes . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

3 Sequˆ encias geom´ etricas de ordem m 3.1 O princ´ıpio da dualidade . . . . . . . . . . . 3.2 Defini¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 F´ormula do termo geral de uma P.G.m . . . 3.4 P.G.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos 3.5 Propriedade fundamental de uma P.G.m . . 3.6 Produto dos termos de uma P.G.m . . . . . 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . alg´ebrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

13 13 16 19 31 36 42 46 53 58 64 64 68 71

. . . . . .

. . . . . .

81 82 94 113 116 119 119

. . . . . .

127 . 127 . 130 . 134 . 137 . 138 . 139

. . . . . . . . . . . . .

3.7 3.8 3.9 3.10 3.11

Quocientes de ordem m Produtos de ordem m . C´ alculo de combina¸c˜oes Exerc´ıcios propostos . . Apˆendices . . . . . . . . • Demonstra¸co˜es . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

140 147 164 172 177 177

4 Sequˆ encias Especiais 4.1 Constru¸c˜ ao de sequˆencias . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 progress˜ao geom´etrica-aritm´etica . . . . . . 4.1.2 progress˜ao aritm´etica peri´ odica . . . . . . . 4.1.3 progress˜ao geom´etrica-aritm´etica-aritm´etica 4.1.4 Um (ex)problema em aberto . . . . . . . . 4.2 Produto dos termos de uma P.A. . . . . . . . . . . 4.2.1 progress˜ao aritm´etica-geom´etrica . . . . . . 4.3 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

189 189 190 198 201 211 216 218 221 222

. . . . . . . . . . . . . .

227 . 227 . 228 . 232 . 238 . 242 . 247 . 248 . 254 . 261 . 270 . 277 . 277 . 281 . 294

. . . . . . . . .

299 . 299 . 302 . 304 . 304 . 307 . 307 . 312 . 313 . 322

5 Progress˜ ao aritm´ etica bidimensional 5.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 No¸c˜ oes iniciais: sequˆencias duplas . . . . . . . . . . . 5.3 F´ormula do termo geral de uma PA-2D . . . . . . . 5.3.1 Propriedades numa PA-2D . . . . . . . . . . 5.4 Soma dos termos de uma PA-2D . . . . . . . . . . . 5.5 Lineariza¸c˜ ao de sequˆencias duplas . . . . . . . . . . . 5.6 Equa¸c˜ oes de lineariza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Soma em uma sequˆencia linearizada . . . . . . . . . 5.8 Aplica¸c˜ oes da lineariza¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Um pouco de filosofia `as vezes faz bem ao esp´ırito • A filosofia do Nada − do Vazio, da Vacuidade . . • Demonstra¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Progress˜ ao geom´ etrica bidimensional 6.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 F´ormula do termo geral de uma PG-2D 6.2.1 Propriedades numa PG-2D . . . 6.3 Soma do termos de uma PG-2D . . . . . 6.4 Soma do termos de uma PG-2D infinita 6.5 Produto dos termos de uma PG-2D . . . 6.6 Lineariza¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Aplica¸c˜ oes da lineariza¸c˜ao . . . . . . . . 6.8 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . 10

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

6.9

Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 • Demonstra¸c˜ oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

7 Progress˜ ao aritm´ etica tridimensional 7.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 No¸c˜ oes iniciais: sequˆencias triplas . . . . 7.3 F´ormula do termo geral de uma PA-3D 7.3.1 Propriedades numa PA-3D . . . 7.4 Soma dos termos de uma PA-3D . . . . 7.5 Lineariza¸c˜ ao de sequˆencias triplas . . . . 7.6 Equa¸c˜ oes de lineariza¸c˜ ao . . . . . . . . . 7.7 Soma em uma sequˆencia linearizada . . 7.8 Aplica¸c˜ oes da lineariza¸c˜ ao . . . . . . . . 7.9 Exerc´ıcios propostos . . . . . . . . . . . 7.10 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

337 . 337 . 338 . 344 . 351 . 354 . 358 . 359 . 371 . 379 . 415 . 422

8 Mais aplica¸ co ˜es 8.1 Um algoritmo para vencer na Torre de Han´oi 8.2 Quadrados e cubos m´ agicos . . . . . . . . . . 8.2.1 Quadrados m´ agicos . . . . . . . . . . . 8.2.2 Cubos m´ agicos . . . . . . . . . . . . . 8.3 Apˆendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  Representa¸c˜ ao bin´ aria e Torre de Han´oi . .  Uma transforma¸c˜ ao linear especial . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

481 . 481 . 483 . 491 . 500 . 500 . 505 . 515 . 516 . 526 . 530 . 544 . 545 . 565 . 586

9 Programando a HP Prime 9.1 Introdu¸c˜ ao ` a programa¸c˜ ao da HP Prime 9.1.1 Programa¸c˜ ao num´erica . . . . . . 9.1.2 Programa¸c˜ ao alg´ebrica . . . . . . 9.2 Listas e Matrizes . . . . . . . . . . . . . 9.2.1 Listas . . . . . . . . . . . . . . . 9.2.2 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Estruturas de Programa¸ca˜o . . . . . . . 9.3.1 Estruturas c´ıclicas . . . . . . . . 9.3.2 Estruturas condicionais . . . . . 9.4 Algumas fun¸c˜ oes especiais . . . . . . . . • Tabela-Resumo . . . . . . . . . . . . • Resolvendo equa¸c˜ oes . . . . . . . . . . 9.5 Polinˆ omios . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 N´ umero inteiro . . . . . . . . . . . . . .

11

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

431 447 449 449 455 472 472 475

1 a Edi¸ c~ ao deste livro/Ano 2000

12

Cap´ıtulo

1

Sequˆencias aritm´eticas de ordem m Nem vocˆe nem eu nem ningu´em sabemos o que faz um matem´ atico vingar. N˜ ao ´e uma quest˜ ao de inteligˆencia. Conhe¸co matem´ aticos mais h´ abeis que eu, mas que n˜ ao tiveram sorte. Considere dois mineiros: um talvez seja perito em geologia, mas ´e o mineiro ignorante quem acha as pepitas douradas. (Louis J. Mordell/matem´ atico britˆanico)

1.1

Introdu¸ c˜ ao

O pr´e-requisito para a leitura deste cap´ıtulo ´e o Princ´ıpio da Indu¸ c˜ ao angulo Aritm´ etico de Pascal (TAP) que constam em um Finita e o Triˆ apˆendice, nas p´ aginas 64 e 68. Posso afirmar que todo este livro se iniciou a partir de uma simples observa¸c˜ao. Estava eu em dado momento necessitando da f´ormula para a soma dos quadrados dos n primeiros n´ umeros naturais: 12 + 22 + 32 + · · · + n2 = ? Como n˜ ao lembrava da f´ormula me propus a deduz´ı-la. Por onde come¸car? Me veio a ideia de fazer diferen¸cas sucessivas entre os termos da sequˆencia, 1

4

9

16

25 . . .

assim:

1

4 −

3

9 −

5

16 −

7

Ou ainda, 13

25 −

9

...

...

1

4

9

16

25

3

5

7

9

...

...

Notei∗ − e achei interessante − o fato de que as diferen¸cas entre termos consecutivos da primeira sequˆencia resultasse em uma sequˆencia que estava em progress˜ ao aritm´etica. Me perguntei: por que n˜ ao definir um tipo de sequˆencia cujas diferen¸cas dos termos fosse uma P.A. e n˜ ao uma constante? − como acontece com a diferen¸ca dos termos de uma P.A., veja: 1

4

9

16

25

3

5

7

9

...

2

2

2

...

...

Foi assim que defini (criei) as progress˜oes aritm´eticas de ordem dois, por exemplo: 1

4

9

16

25

...

3

5

7

9

...

P.A.1

2

2

2

...

P.A.0

P.A.2

Uma sequˆencia de termos constantes denominei de uma “progress˜ao aritm´etica de ordem zero”; nota¸c˜ao como no diagrama. Posteriormente constatei que a sequˆencia dos cubos dos n primeiros n´ umeros naturais, 13

23

33

43

53

63

...

tamb´em funciona neste esquema, veja: 1

8

27

64

125

216

...

7

19

37

61

91

...

P.A.2

12

18

24

30

...

P.A.1

6

6

6

...

P.A.0

P.A.3

Rapidamente me dei conta de que n˜ ao havia raz˜ ao para ficar apenas nas P.A.2 − meu objetivo inicial −, assim ´e que me propus a generalizar para uma ordem arbitr´aria m. ´ justamente a propriedade exposta anteriormente − comum a estas E sequˆencias e muitas outras − que vai nos permitir unific´a-las em uma s´ o f´ormula! ∗ Na ´epoca era rec´em formado em engenharia, mas teimosamente j´ a ensaiava minhas primeiras cria¸c˜ oes na matem´ atica.

14

Interregno cultural Ap´os a conclus˜ao deste livro† me deparei na literatura com as progress˜oes aritm´eticas de ordem m, logo dei-me conta de que a minha defini¸c˜ao destas sequˆencias ´e diferente da que consta na literatura, o que me permitiu obter v´arias f´ormulas que n˜ ao aparecem nos outros livros. Antes de apresentar a minha defini¸c˜ ao vejamos a que consta na literatura∗ : (p. 7) Uma progress˜ ao aritm´etica de segunda ordem ´e uma sequˆencia (an ) na qual as diferen¸cas ∆an = an+1 − an , entre cada termo e o termo anterior, formam uma progress˜ ao aritm´etica n˜ ao-estacion´ aria. Exemplo 15. A seq¨ uˆencia (an ) = (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .) ´e uma progress˜ao aritm´etica de segunda ordem porque a seq¨ uˆencia das diferen¸cas (bn ) = (an+1 − an ) = (2, 3, 4, 5, 6, . . .) ´e uma progress˜ao aritm´etica n˜ aoestacion´ aria. De modo geral, uma progress˜ ao aritm´etica de ordem k (k > 2) ´e uma seq¨ uˆencia na qual as diferen¸cas entre cada termo e o termo anterior formam uma progress˜ ao aritm´etica de ordem k − 1. Ent˜ao, retomando, como disse, sem ter conhecimento de que j´a existiam as progress˜ oes aritm´eticas de ordem m, tomei um caminho alternativo. A prop´osito, este caminho alternativo me permitiu n˜ ao apenas deduzir v´arias f´ormulas in´editas como, ademais, tamb´em definir as progress˜oes geom´etricas de ordem m; nos livros que consultei n˜ ao encontrei referˆencia a estas sequˆencias. Para o que se segue, necessitaremos de dois ´ındices para localizar um termo qualquer nestas sequˆencias: um que se refira ao pr´ oprio termo e, outro, que se refira ` a ordem da sequˆencia. Sendo assim, convencionamos:

anm = n - ´esimo termo da P.A. de ordem m. Por exemplo, observe a disposi¸c˜ao dos ´ındices no diagrama a seguir a13

a23

a33

a43

a53

a63

...

a12

a22

a32

a42

a52

...

P.A.2

a11

a21

a31

a41

...

P.A.1

a10

a20

a30

...

P.A.0

P.A.3

Nota: Em todo este livro consideraremos n ∈ N = { 1, 2, 3, . . . }

e

m ∈ N ∪ { 0 },

a menos que o contr´ ario seja explicitado. †

Refiro-me ` a primeira vers˜ ao, 1993. A matem´ atica do ensino m´edio − volume 2 / Elon Lages Lima, et. all; 6.ed. Rio de Janeiro: SBM 2006. ∗

15

1.2

Defini¸ c˜ ao

O nosso caminho alternativo (in´edito) consta da seguinte Defini¸ c˜ ao 1. Chama-se progress˜ao aritm´etica de ordem m ( P.A.m ) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia:   an0 = r, r 6= 0, n ≥ 1;    a1j = aj , j = 1, 2, . . . , m;     anm = a(n−1)m + a(n−1)(m−1) , m ≥ 1, n ≥ 2. Onde: (i) m ≥ 1 ´e um natural arbitrariamente fixado. (ii) r e aj s˜ ao constantes dadas. Podemos chamar r de raz˜ ao ou semente da P.A. de ordem m. Por defini¸c˜ao, r 6= 0. (iii) an0 = r (n ≥ 1) significa que uma P.A. de ordem zero tem todos os seus termos constantes (´e uma sequˆencia constante). Exemplo: Vejamos a ideia que est´ a por tr´ as desta defini¸c˜ao. Vamos cons2 ao, fixando m = 2, resulta: truir uma P.A. . Ent˜   a = r, r 6= 0, n ≥ 1;   n0  a1j = aj , j = 1, 2;     an2 = a(n−1)2 + a(n−1)(2−1) , n ≥ 2. Devemos fornecer trˆes termos, representados por uma “bolinha” na figura: a12 • a11 • a10 • O termo a10 ´e repetido indefinidamente para a direita, assim: a12 • a11 • • a10

• a10

16

• a10

• ... a10

Resumindo at´e aqui, fornecemos uma sequˆencia constante e o primeiro termo das P.A.1 e P.A.2 . Em seguida construimos a P.A.1 atrav´es das seguinte somas sucessivas, veja:

a12 • a11 •

+

• a10

•

•

•

...

P.A.1

• a10

• a10

• ... a10

P.A.0

+

+

Uma vez construida a P.A.1 usamos esta para − ainda atrav´es de somas sucessivas − construir a P.A.2 , assim:

a12 •

•

•

•

...

P.A.2

a11 •

•

•

•

...

P.A.1

• a10

• a10

• ... a10

P.A.0

+ +

• a10

+

+

+

+

Este ´e o algoritmo para construirmos uma P.A. de qualquer ordem. Uma das primeiras propriedades em uma P.A.m consta no seguinte Lema 1. Numa P.A.m o termo de ordem n ´e igual `a soma do primeiro termo, com a soma dos n − 1 primeiros termos da P.A. de ordem m − 1. Dedu¸ c˜ ao: Da f´ormula de recorrˆencia que define uma P.A.m , temos: a2m = a1m + a1(m−1) a3m = a2m + a2(m−1) a4m = a3m + a3(m−1) · · ························ · · anm = a(n−1)m + a(n−1)(m−1)

17

Somando estas n − 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados obtemos: anm = a1m + S(n−1)(m−1)

(1.1)

Onde: S(n−1)(m−1) ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A.m−1 . Prova: Indu¸c˜ ao sobre n. n = 1: a1m = a1m + S(1−1)(m−1) | {z } =0

Suponhamos a equa¸c˜ao v´alida para n = p, isto ´e:

(H.I.)

apm = a1m + S(p−1)(m−1) E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e:

(T.I.)

a(p+1)m = a1m + S((p+1)−1)(m−1) Da f´ormula de recorrˆencia, temos:

(def. 1, p. 16)

a(p+1)m = apm + ap(m−1) = a1m + S(p−1)(m−1) + ap(m−1) = a1m + S((p+1)−1)(m−1)  Nota: Alertamos o leitor a n˜ ao causar confus˜ ao entre dedu¸c˜ao e demonsao raro, s˜ ao coisas distintas. Por vezes uma tra¸c˜ ao de uma f´ormula; pois, n˜ dedu¸c˜ ao n˜ ao tr´ as em si a demonstra¸c˜ao e, reciprocamente, por vezes a demonstra¸c˜ ao n˜ ao d´ a nenhuma indica¸c˜ao de como a f´ormula foi obtida. Em todo este livro adotaremos a seguinte extens˜ao do coeficiente binomial:  n!    ,  n r! (n − r)! =  r  0,

para todo n, r ∈ Z.

18

se

0 ≤ r ≤ n;

se

r > n ou r < 0.

1.3

F´ ormula do termo geral de uma P.A.m

N˜ao seria sensato − e nem mesmo razo´ avel − recorrer `a defini¸c˜ao (p. 16) para o c´ alculo de um termo qualquer de uma P.A.m . Nosso objetivo agora ser´ a demonstrar uma f´ormula que nos forne¸ca diretamente qualquer termo de qualquer P.A.m . Vamos por passos: (i) m = 1 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos: an1 = a11 + S(n−1)(1−1) onde, S(n−1)0 ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A. de ordem zero, vale: S(n−1)0 = |r + r +{z· · · + r} = (n − 1) r (n−1) termos

Sendo assim, temos:

an1 = a11 + (n − 1) r

(1.2)

´ a f´ormula do termo geral de uma P.A.1 . E (ii) m = 2 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos: an2 = a12 + S(n−1)(2−1)

(1.3)

onde, S(n−1)1 ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A.1 . Vamos deduzir esta f´ormula utilizando a equa¸c˜ ao (1.2), assim: a11 = a11 a21 = a11 + r a31 = a11 + 2r ·····················

an1 = a11 + (n − 1) r Somando estas n igualdades, resulta:

a11 + a21 + a31 + · · · + an1 = (a11 + a11 + a11 + · · · + a11 )
+ 1 + 2 + · · · + (n − 1) r

O seguinte resultado j´a ´e conhecido, 1 + 2 + ··· + n =

(n − 1)n n(n + 1) ⇒ 1 + 2 + ··· + n − 1 = 2 2

Portanto, Sn1 = na11 + 19

n(n − 1) r 2

(1.4)

Ou ainda, (n − 1)(n − 2) r 2 Substituindo este resultado na equa¸ca˜o (1.3) (p. 19), resulta: S(n−1)1 = (n − 1)a11 +

an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) r 2

(1.5)

´ a f´ormula do termo geral de uma P.A.2 . E (iii) m = 3 : Utilizando o lema 1 (p. 17), temos: an3 = a13 + S(n−1)(3−1)

(1.6)

onde, S(n−1)2 ´e a soma dos n − 1 termos iniciais da P.A.2 . Vamos deduzir esta f´ormula utilizando a equa¸c˜ao (1.5), assim: a12 = a12 a22 = a12 + a11 a32 = a12 + 2 a11 + r a42 = a12 + 3 a11 + 3 r a52 = a12 + 4 a11 + 6 r a62 = a12 + 5 a11 + 10 r ·········································· an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) r 2

Somando estas n igualdades, resulta:
Sn2 = n a12 + 1 + 2 + 3 + · · · + (n − 1) a11

(1.7)

 (n − 1)(n − 2)  + 1 + 3 + 6 + 10 + · · · + r 2

Agora precisamos encontrar uma f´ormula para a seguinte soma 1 + 3 + 6 + 10 + · · · + Como proceder?

20

(n − 1)(n − 2) =? 2

(1.8)

Com um pouco de inspira¸c˜ ao percebemos que a sequˆencia 1, 3, 6, 10, . . . aparece na segunda diagonal do famoso Triˆ angulo Aritm´ etico de Pascal (TAP), veja (estamos contando as diagonais “de cima para baixo”, iniciando a contagem em zero): 1 ց

1

1

1

2

1

3

1

3

4

1

1

6

5

10

1 4

1

10

5

1

1 6 15 20 15 6 1 ················································ Em seguida desconfiamos de que a parcela (n − 1)(n − 2)/2 prov´em de um coeficiente binomial. De fato, podemos escrever (prop. 1, p. 68)     n−1 n−1 (n − 1)(n − 2) = = 2 2 n−3 O que nos leva a olhar para o Triˆ angulo na seguinte vers˜ ao: 0 0 1 0

5 0

n+1
0

n+2
0




4
0

3
0

5 1




2
0

4
1




3
1

5 2







2
1

4
2

1 1




3
2

5 3




2
2

4
3

3
3

5 4




4
4

5 5




················································ n
n
n
n
n
n
··· 0 1 2 3 4 n−1 n+1
1

n+2
1

n+1
2

n+2
2

n+1
3

n+2
3

n+1
4

n+2
4

···

···

n+1
n−1

n+2
n−1

n+1
n

n+2
n

n
n

n+1
n+1

n+2
n+1

n+2
n+2

··········································································· 21

Em seguida observe, na vers˜ ao anterior do triˆ angulo, que a sequˆencia 1, 2, 3, 4, 5, . . . aparece na diagonal um. J´ a sabemos que 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· + n =

n(n + 1) 2

(1.9)

´ vantajoso observarmos n(n + 1)/2 como oriundo de um coeficiente binoE mial, isto ´e,     n+1 n+1 n(n + 1) = = 2 2 n−1 Inspirados na diagonal um do TAP, escrevemos para a soma (1.9)             1 2 3 n n+1 n+1 + + + ··· + = = 0 1 2 n−1 2 n−1

Para nossa surpresa observamos que a soma dos n primeiros coeficientes binomiais − da diagonal um − ´e exatamente o coeficiente que se encontra n
imediatamente abaixo do coeficiente n−1 . Observe isto no diagrama: 0 0

4 0 5
0

n+2 0

n+1
0







3
0

2
0

4 1

5
1




1
0




2
1

3
1

4 2

5
2




1
1

3
2

5
3

2
2

4 3




3
3

5
4

4 4




5
5

················································ n
n
n
n
n
n
··· 0 1 2 3 4 n−1

n+2 1

n+1
1




n+2 2

n+1
2




n+2 3

n+1
3




n+2 4

n+1
4




···

···

n+2 n−1

n+1
n−1




n+2 n

n+1
n




n
n

n+2 n+1

n+1
n+1




n+2 n+2




··········································································· Esta observa¸c˜ ao nos sugere escrever − inspirados na diagonal dois − a soma (1.8) (p. 20), assim:           2 3 4 5 n+1 + + + + ··· + =? 0 1 2 3 n−1 22

E, com a experiˆencia do caso anterior, n˜ ao nos custa nada conjecturar (uma palavara sofisticada para “chute”)
que a soma anterior ´e o coeficiente binomial imediatamente abaixo de n+1 e, n−1 , isto ´             2 3 4 5 n+1 n+2 + + + + ··· + = 0 1 2 3 n−1 n−1

Escrevendo esta equa¸c˜ ao na forma a que nossos olhos est˜ ao acostumados, temos: n(n + 1) (n + 2)(n + 1)n 1 + 3 + 6 + 10 + · · · + = 2 6 Para obter exatamente a equa¸ca˜o (1.8) (p. 20), substituimos nesta equa¸c˜ao n por n − 2, obtendo: 1 + 3 + 6 + 10 + · · · +

(n − 2)(n − 1) n(n − 1)(n − 2) = 2 6

Podemos testar nossa conjectura para alguns valores de n, ent˜ao: n=3

⇒

1=1

n=4

⇒

1+3=4

n=5

⇒

1 + 3 + 6 = 10

Substituindo a equa¸c˜ ao anterior e mais a equa¸c˜ao (1.4) (p. 19) na equa¸c˜ao (1.7) (p. 20), obtemos: Sn2 = n a12 +

n(n − 1)(n − 2) (n − 1)n a11 + r 2 6

Substituindo S(n−1)2 na equa¸c˜ ao (1.6) (p. 20), obtemos: an3 = a13 + (n − 1) a12 +

(n − 2)(n − 1) (n − 1)(n − 2)(n − 3) a11 + r 2 6

Esta ´e a f´ormula do termo geral de uma P.A.3 . Seria um tanto quanto desanimador (para n˜ ao dizer impratic´avel) se tiv´essemos que deduzir uma f´ormula do termo geral para cada uma das progress˜oes aritm´eticas de ordem m. Vamos tentar generalizar os resultados j´a obtidos. Tendo em conta que r = a10 , temos: an1 = a11 + (n − 1) r =



   n−1 n−1 a11 + a10 0 1 23

Tamb´em, an2 = a12 + (n − 1)a11 + =



(n − 1)(n − 2) r 2

     n−1 n−1 n−1 a12 + a11 + a10 0 1 2

Ainda, an3 = a13 + (n − 1) a12 + =



(n − 1)(n − 2) (n − 1)(n − 2)(n − 3) a11 + r 2 6

       n−1 n−1 n−1 n−1 a13 + a12 + a11 + a10 0 1 2 3

Vamos reescrever as equa¸c˜oes anteriores da seguinte forma: an1 =

 1  X n−1

a1(1−j)

 2  X n−1

a1(2−j)

 3  X n−1

a1(3−j)

j

j=0

an2 =

j

j=0

an3 =

j

j=0

Agora fica f´acil generalizar: Teorema 1 (F´ormula do termo geral de uma P.A.m ). Em uma P.A.m o n − ´esimo termo vale

anm =

 m  X n−1 j

j=0

a1(m−j)

(1.10)

Nota: Esta f´ormula do termo geral de uma P.A.m ´e in´edita, isto ´e, n˜ ao consta na literatura − Assim como muitas outras que ainda aparecer˜ao oportunamente. Isto tudo ´e uma consequˆencia de nossa defini¸c˜ao de P.A.m ario da que se (def. 1, p. 16), que ´e uma defini¸c˜ao construtiva, ao contr´ apresenta na literatura (p. 15).

24

Prova: Indu¸c˜ ao sobre n (m fixo). n = 1:  m  X 1−1 a1m = a1(m−j) j j=0

  m   X 0 0 = a1(m−0) + a1(m−j) 0 j j=1

= 1 a1m + 0 = a1m Suponhamos a equa¸c˜ ao v´alida para n = p, isto ´e:  m  X p−1 apm = a1(m−j) j

(H.I.)

E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e:  m  X (p + 1) − 1 a(p+1)m = a1(m−j) j

(T.I.)

j=0

j=0

Da f´ormula de recorrˆencia, temos:

(def. 1, p. 16)

a(p+1)m = a((p+1)−1)m + a((p+1)−1)(m−1) = apm + ap(m−1) =

 m  X p−1 j=0

=

 m  X p−1 j=0

=

j

j

j

 p−1 a1((m−1)−j) j

 m  X p−1 + a j − 1 1(m−j)

a1(m−j)

j=0

+



p−1 j−1

 m  X (p + 1) − 1 j=0

m−1 X j=0

 m  X p−1 j=0

=

j

a1(m−j) +



a1(m−j)

a1(m−j) . 

Na u ´ltima igualdade usamos a rela¸ca ˜o de Stiefel, equa¸c˜ao (1.25), p. 68. Voltando ` a nossa conjectura − quanto `a soma das diagonais do TAP − enunciamos o seguinte resultado. 25

Teorema 2. Seja j um natural arbitrariamente fixado. Para n ≥ j vale a seguinte identidade:   n   X i n+1 = (1.11) j j+1 i=j

Prova: Apˆendice, p´ agina 71.



Exemplos: (a) Tomando j = 1 na equa¸c˜ao (1.11), obtemos: n   X i

i=1

Isto ´e,

1

=



n+1 1+1



        1 2 n n+1 + + ··· + = 1 1 1 2

Ou ainda, n(n + 1) 2 (b) Tomando j = 2 na equa¸ca˜o (1.11), obtemos: 1 + 2 + ··· + n = n   X i

i=2

Isto ´e,

2

=



n+1 2+1



          1 2 3 n n+1 + + + ··· + = 2 2 2 2 3

Ou ainda, 1 + 3 + 6 + ··· +

(n + 1)n(n − 1) n(n − 1) = 2 6

Observa¸ c˜ ao: A equa¸c˜ ao (1.11) nos fornece para j = m a soma dos n+1−m termos iniciais da diagonal m do TAP. Nota: O teorema 2 foi descoberto exatamente dentro do contexto descrito − isto ´e, surgiu da necessidade de estabelecermos uma f´ormula para a soma dos termos de uma P.A.2 −, posteriormente tivemos conhecimento de que o mesmo j´a existia (conhecido como Teorema das Diagonais). Achei por bem compartilhar com o leitor o processo heur´ıstico de descoberta.

26

Mostraremos oportunamente que a diagonal m do TAP est´ a em P.A.m : P.A.0 P.A.1 2

..

.

P.A.

ց

ց

1

1 2

3

1 3

4 5

1

1

1

1 1

ց

1

6 10

4 10

1 5

1

1 6 15 20 15 6 1 ················································ Voltando ao teorema 1 (p. 24) observe que para calcular o n-´esimo termo de uma P.A.m necessitaremos conhecer, a priori, o primeiro termo de todas as sequˆencias anteriores, ´e o que nos diz o coeficiente a1(m−j) (j = 0, 1, . . . , m) na equa¸ca˜o (1.10) (p. 24). No caso particular de uma P.A.3 , por exemplo, isto implica em que para conhecermos qualquer termo do retˆ angulo em destaque na horizontal a13

a23

a33

a43

a53

a63

...

a12

a22

a32

a42

a52

...

P.A.2

a11

a21

a31

a41

a10

a20

a30

...

P.A.3

P.A.1

P.A.0

...

deveremos conhecer os termos em destaque na vertical − como se observa na equa¸ca˜o de an3 , veja: an3 = a13 + (n − 1) a12 +

(n − 1)(n − 2) (n − 1)(n − 2)(n − 3) a11 + a10 2 6

Algoritmo Vamos sugerir um algoritmo para se obter os termos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

Oportunamente provaremos tal algoritmo. Dada a P.A.m (m ≥ 1) fazemos diferen¸cas sucessivas entre termos consecutivos das P.A.s de ordem m, m − 1, . . . , 1 e tomamos o primeiro termo de cada uma destas sequˆencias.

27

Exemplos: (a) Encontre a f´ ormula do termo geral da seguinte P.A.2 : 1

3

6

10

15

21

...

Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na f´ormula (1.10) (p. 24), obtemos: an2 =

=

 2  X n−1 a1(2−j) j j=0 

     n−1 n−1 n−1 a1(2−0) + a1(2−1) + a1(2−2) 0 1 2

Simplificando, obtemos: an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

(1.12)

Esta ´e a f´ ormula do termo geral de uma P.A.2 . Para encontrar os coeficientes a11 e a10 aplicamos o algoritmo, assim: 1

6

10

15

4

5

...

1

1

...

a12 → 1

3

6

10

15

a11 → 2

3

4

5

...

a10 → 1

1

1

...

2 1

3 − −

3

−

...

Ou ainda, ...

Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o (1.12) e simplificando, obtemos: an2 =

n(n + 1) 2

(1.13)

´e a f´ ormula para um termo qualquer da segunda diagonal do Triˆ angulo de Pascal.

28

(b) (UFRGS 04) Considere a disposi¸ca˜o de n´ umeros abaixo. 1 2

3

4

5

7

6

8

11

9

12

10

13

14

15

····································· O primeiro elemento da quadrag´esima linha ´e a) 777

b) 778

d) 780

e) 781

c) 779

Solu¸ c˜ ao: Vamos obter a f´ ormula do termo geral da sequˆencia 1

2

4

7

11

16

...

Aplicando o algoritmo, resulta a12 → 1

2

4

7

11

a11 → 1

2

3

4

5

a10 → 1

1

1

1

...

16

...

...

A sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.A.2 ; logo, substituindo estes dados na equa¸ca˜o (1.12) (p. 28), temos an2 = 1 + (n − 1) 1 + Simplificando, an2 = Ent˜ ao, a40,2 =

(n − 1)(n − 2) 1 2

n2 − n + 2 2

402 − 40 + 2 = 781 2

29

(c) Uma aplica¸ca˜o importante de uma P.A.m ´e a seguinte: Dada uma sequˆencia com m + 1 termos, podemos encontrar um polinˆomio de grau m que gera estes m + 1 termos. Exemplo: Encontre uma f´ormula para os cinco primeiros n´ umeros primos. Solu¸ c˜ ao: Devemos encontrar um polinˆomio que gere a sequˆencia: 2, 3, 5, 7, 11 Como temos 4 + 1 termos, estes determinam uma P.A.4 , da seguinte forma: an4

 4  X n−1 a1(4−j) = j j =0

Ou ainda,           n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 an4 = a14 + a13 + a12 + a11 + a10 0 1 2 3 4 Aplicando o algoritmo obtemos o seguinte diagrama: a14 →

2

3

5

7

a13 →

1

2

2

4

a12 →

1

0

2

a11 → −1

2

a10 →

11

3

Substituindo estes coeficientes e simplificando, obtemos: p(n) =

1 4 17 3 47 2 103 n − n + n − n+6 8 12 8 12

Onde, p(n) = an4 .

30

1.3.1

Calculadora HP Prime−Computa¸c˜ ao alg´ ebrica

No nosso entendimento uma das maiores conquistas da Ciˆencia da Computa¸ca˜o foi justamente a computa¸ca˜o alg´ebrica; hoje em dia uma “simples” calculadora como a HP Prime nos permite trabalhar com equa¸co˜es, com f´ormulas. Em particular podemos programar, por exemplo, n˜ ao apenas a f´ormula do termo geral de uma P.A.m como, ademais, muitas outras f´ ormulas que ainda aparecer˜ ao neste livro. Nota: No u ´ltimo cap´ıtulo ensinamos como programar esta Calculadora. Apenas a t´ıtulo de ilustra¸ca˜o, programamos (p. 75) a f´ormula do termo geral de uma P.A.m (eq. (1.10), p. 24), entramos com os m + 1 primeiros termos e o programa sai com a f´ ormula do termo geral. Por exemplo, na tela a seguir

temos a simula¸ca˜o do exemplo (a) dado na p´ agina 28, onde entramos (em um vetor) com os trˆes primeiros termos da sequˆencia 1

3

6

10

15

21

...

e o programa sai com a f´ ormula (1.13) (p. 28). Com o mesmo programa implementamos o exemplo (c) dado na p´ agina 30. Nas telas a seguir

entramos (em um vetor) com os cinco primeiros n´ umeros primos e o programa nos devolve o polinˆomio que gera estes cinco primos, em sequˆencia.

31

Um dos teoremas mais importantes ´e dado a seguir. Teorema 3 (Teorema da Unifica¸ca˜o). A f´ormula do termo geral de uma P.A.m ´e um polinˆomio de grau m e, reciprocamente. Prova: (⇒) Temos anm =

=

 m  X n−1 a1(m−j) j j =0 

     n−1 n−1 n−1 a1m + + ···+ a10 0 1 m

= a1m + (n − 1) a1(m−1) + · · · +

(n − 1)(n − 2) · · · (n − m) a10 m!

como, por defini¸ca˜o, a10 6= 0, temos um polinˆomio de grau m. (⇐) A prova da volta ser´a feita no pr´oximo cap´ıtulo.



Observe que o “reciprocamente” do teorema significa que toda sequˆencia que tem como f´ ormula do termo geral um polinˆomio de grau m ´e uma P.A.m − da´ı o nome de teorema da unifica¸ca˜o. Perceba que isto n˜ ao ´e pouco; por exemplo, a sequˆencia (an ) dada por an = nm (m natural arbitrariamente fixado) ´e uma P.A.m e, por conta disto, oportunamente obteremos uma f´ ormula geral e n˜ ao recursiva para a soma de potˆencias dos n primeiros n´ umeros naturais. Esta ser´a uma f´ormula in´edita.

[...]

1 a Edi¸ c~ ao deste livro/Ano 2000

32

N´ umeros poligonais de k lados como P.A.2 Temos, ainda como consequˆencia do teorema da unifica¸ca˜o, que os n´ umeros poligonais est˜ ao em P.A.2 . Consideremos a P.A. de primeiro termo 1 e de raz˜ ao k − 2, sendo k ≥ 3 um inteiro arbitrariamente fixado. Isto ´e, 1, k − 1, 2k − 3, 3k − 5, . . . , 1 + (n − 1)(k − 2), . . .

(1.14)

Defini¸ c˜ ao 2. Chama-se n´ umero poligonal de k lados todo n´ umero que ´e soma de termos consecutivos da P.A. (1.14), come¸cando pelo primeiro termo 1. Temos: p1, k = 1 p2, k = 1 + (k − 1) = k p3, k = 1 + (k − 1) + (2k − 3) = 3k − 3 p4, k = 1 + (k − 1) + (2k − 3) + (3k − 5) = 6k − 8 · · ······························································· pn, k = 1 + (k − 1) + (2k − 3) + · · · + [1 + (n − 1)(k − 2)] = 6k − 8 =

n(n − 1)(k − 2) +n 2

Casos especiais dos n´ umeros poligonais de k lados s˜ao: (i) N´ umeros triangulares (k = 3): pn, 3 =

n(n − 1)(3 − 2) +n 2

Listando, pn, 3 :

1

3

6

10

15

21

28

...

36

49

...

(ii) N´ umeros Quadr´ aticos (k = 4): pn, 4 =

n(n − 1)(4 − 2) +n 2

Listando, pn, 4 :

1

4

9

16

33

25

Triˆ angulo de Pascal e as P.A.m No triˆangulo aritm´etico de Pascal a diagonal m (m = 0, 1, 2, . . .) encontra-se em P.A.m , veja: P.A.0 P.A.1

ց

P.A.2

..

.

ց

1 2

1

3

1

3

4

1

1

1

1

1 5

1

ց

6

4

10

6

1

15

1

10 20

5

1

15

6

1

················································ Ou ainda, 0

P.A.

0 0

1

P.A.

1 0

2

P.A.

2 0 3 0 4 0 5 0










5 1




4 1







3 1







5 2

2 1

4 2







1 1




3 2




5 3








2 2

4 3




3 3




5 4




4 4







5 5




················································· n 0




n 1




n 2




n 3




···

n n−2




n n−1




n n




······························································· O n-´esimo termo da diagonal m ´e dado por   m+n−1 anm = n−1 Ou ainda,

(1.15) (prop. 1, p. 68)

anm =



m+n−1 m



34

=

(m + n − 1)! m! (n − 1)!

Temos, (m + n − 1)! = (n + m − 1) · . . . · (n + 1) · n · (n − 1)! {z } | (m+1) fator(es)

Sendo assim, temos

(m + n − 1)! = (n + m − 1) · . . . · (n + 1) · n (n − 1)! Portanto, anm =

(n + m − 1) · . . . · (n + 1) · n , m!

m≥1

(arbitrariamente fixado)

Observe que m=1:

⇒

an, 1 =

n =n 1!

m=2:

⇒

an, 2 =

(n + 1)n 2!

m=3:

⇒

an, 3 =

(n + 2)(n + 1)n 3!

´e o termo geral das diagonais um, dois e trˆes, respectivamente. Para cada m arbitrariamente fixado, anm ´e um polimˆ omio de grau m, por isto afirmamos que a diagonal m, no TAP, est´ a em P.A.m . ∗

∗

∗

N˜ ao creio que devo gastar anos estudando o trabalho dos outros, decifrando um campo complicado para poder contribuir com um pequeno aporte meu. Prefiro dar largas passadas numa dire¸c˜ ao totalmente nova, em que a imagina¸c˜ ao ´e, pelo menos, inicialmente, muito mais importante do que a t´ecnica, porque suas t´ecnicas correspondentes tˆem ainda de ser desenvolvidas. [. . .] Lembre-se que a matem´ atica ´e uma livre cria¸c˜ ao da mente humana e, como disse Cantor − o inventor da moderna teoria da infinitude, descrita por Wallace −, a essˆencia da matem´ atica reside na liberdade, na liberdade de criar. A hist´ oria, por´em, julga essas cria¸c˜ oes por sua beleza duradoura e pela extens˜ ao com que elas iluminam outras ideias matem´ aticas ou o universo f´ısico, em suma, por sua “fertilidade”. (Gregory Chaitin/Matem´atico e cientista da computa¸ca˜o)

35

1.4

P.A.m em fun¸ c˜ ao dos seus pr´ oprios termos

Observe a f´ ormula do termo geral de uma P.A.m ,

anm =

 m  X n−1 j

j =0

a1(m−j) | {z } ↑

o termo assinalado nos diz que para se obter um termo qualquer da P.A.m deveremos conhecer o primeiro termo das progress˜oes de ordens inferiores − como j´a haviamos mencionado antes (p. 27). Em nosso entendimento isto ´e um incˆ omodo, por exemplo, se quisermos escrever um programa computacional para encontrar este n-´esimo termo − com resultado num´erico ou simb´ olico. O que vamos tentar agora ´e obter a f´ormula do termo geral de uma P.A.m em fun¸ca˜o apenas dos seus pr´oprios termos. Como toda grande caminhada inicia-se com um pequeno passo, vamos por partes. Incialmente vamos escrever a f´ormula do termo geral de uma P.A.1 em fun¸ca˜o apenas dos seus pr´oprios termos, veja: an1 = a11 + (n − 1) a10 Precisamos eliminar desta equa¸ca˜o o termo a10 . Na defini¸ca˜o de uma P.A.m (p. 16), para m = 1, temos an1 = a(n−1)1 + a(n−1)(1−1) logo, a(n−1)0 = an1 − a(n−1)1 Substituindo n = 2 nesta equa¸ca˜o, resulta: a10 = a21 − a11 . Portanto, an1 = a11 + (n − 1) (a21 − a11 ) ´ a f´ E ormula do termo geral de uma P.A.1 em fun¸ca˜o apenas dos seus pr´oprios termos. Vamos agora ` a f´ ormula do termo geral da P.A.2 . Da defini¸ca˜o, temos: m=1:

an1 = a(n−1)1 + a(n−1)0

⇒

a(n−1)0 = an1 − a(n−1)1

m=2:

an2 = a(n−1)2 + a(n−1)1

⇒

a(n−1)1 = an2 − a(n−1)2

Substituindo n = 2 nestas duas u ´ltimas equa¸co˜es, resulta:   a10 = a21 − a11 Substituindo n = 3, temos

a

11

= a22 − a12

a21 = a32 − a22

36

Substituamos estas duas u ´ltimas equa¸co˜es na primeira, obtemos a10 = (a32 − a22 ) − (a22 − a12 ) = a32 − 2 a22 + a12 Resumindo, temos an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

Onde,   a11 = a22 − a12 a

10

= a32 − 2 a22 + a12

Vejamos o que acontece para a P.A.3 . Na defini¸ca˜o (p. 16), temos: m=1:

a(n−1)0 = an1 − a(n−1)1

m=2:

a(n−1)1 = an2 − a(n−1)2

m=3:

a(n−1)2 = an3 − a(n−1)3

Destas equa¸co˜es decorrem as seguintes:  a10 = a21 − a11     n=2 ⇒ a11 = a22 − a12     a12 = a23 − a13

(⋆)

(1) (2) (3)

e

 a20 = a31 − a21     n=3 ⇒ a21 = a32 − a22     a22 = a33 − a23

(4) (5) (6)

Substituindo (3) e (6) em (2), obtemos:

a11 = (a33 − a23 ) − (a23 − a13 ) = a33 − 2 a23 + a13

(7)

J´a temos a12 e a11 em fun¸ca˜o dos termos da P.A.3 , agora falta a10 . Olhando a eq. (1), vamos precisar de a21 em fun¸ca˜o dos termos da P.A.3 . De (5) precisamos de a32 e a22 ; mas a22 j´ a temos (eq. 6). Para calcular a32 vamos substituir n = 4 em (⋆), obtendo: a32 = a43 − a33

(8)

Substituindo (8) e (6) em (5), obtemos: a21 = (a43 − a33 ) − (a33 − a23 ) = a43 − 2 a33 + a23

37

(9)

Substituindo (9) e (7) em (1), obtemos: a10 = (a43 − 2 a33 + a23 ) − (a33 − 2 a23 + a13 ) = a43 − 3 a33 + 3 a23 − a13 E agora, o que faremos com todas estas informa¸ca˜oes? Imbu´ıdos de um sentimento de f´e, tentemos colocar ordem no caos! Vamos fazer o seguinte resumo das conclus˜oes j´a obtidas:

P.A.1 :

P.A.2 :

P.A.3 :

   a11 = 1 · a11     

a10 = a21 − a11        = 1 · a21 − 1 · a11

   a12 = 1 · a12           a11 = a22 −    = 1 · a22           a10 = a32 −      = 1 · a32

a12 − 1 · a12 2 a22 + a12 − 2 · a22 + 1 · a12

    a13 = 1 · a13           a12 = a23 − a13        = 1 · a23 − 1 · a13      a11 = a33 −         = 1 · a33          a10 = a43 −       = 1 · a43

2 a23 + a13 − 2 · a23 + 1 · a13

3 a33 + 3 a23 − a13 − 3 · a33 + 3 · a23 − 1 · a13

Os coeficientes num´ericos (valor absoluto) dos desenvolvimentos de a13 , a12 , a11 e a10 correspondem exatamente aos coeficientes nas linhas do TAP, observe:

38

a13 = 1 · a13 −→

a12 = 1 · a23 − 1 · a13 −→

a11 = 1 · a33 − 2 · a23 + 1 · a13 −→

a10 = 1 · a43 − 3 · a33 + 3 · a23 − 1 · a13 −→

1

1

1

1

2

1

1

3

1

3

4

1

6

4

1

1 5 10 10 5 1 ·········································· Desta forma somos at´e capazes de adivinhar os desenvolvimentos dos coeficientes na P.A.4 , veja:

1 · a14

a14 :

1 · a24

a13 :

1 · a34

a12 : a11 : a10 :

1 · a44 1 · a54

− 1 · a14

− 2 · a24

− 3 · a34

− 4 · a44

+ 1 · a14

+ 3 · a24

+ 6 · a34

− 1 · a14

− 4 · a24

+ 1 · a14

Para formalizar todo o exposto, observemos o triˆangulo na seguinte vers˜ao: 0 0

a14 : 1 0

a13 : 2 0

a12 : 3 0

a11 : a10 :

4 0










4 1

3 1








2 1





4 2




1 1

3 2





2 2




4 3




3 3




4 4




······································· Para a P.A.4 escrevemos (inspirados pela quarta linha do triˆangulo): a10 = 1 · a54

− 4 · a44

+ 6 · a34

− 4 · a24

+ 1 · a14

          4 4 4 4 4 = a54 − a44 + a34 − a24 + a14 0 1 2 3 4

39

Da terceira linha do triˆangulo, tiramos: a11 = 1 · a44

− 3 · a34

+ 3 · a24

− 1 · a14

        3 3 3 3 = a44 − a34 + a24 − a14 0 1 2 3 Da segunda linha do triˆangulo, tiramos: a12 = 1 · a34

− 2 · a24

+ 1 · a14

      2 2 2 = a34 − a24 + a14 0 1 2 Da primeira linha do triˆangulo, tiramos: a13 = 1 · a24 =

− 1 · a14

    1 1 a24 − a14 0 1

Podemos unificar as quatro equa¸co˜es anteriores da seguinte forma: a1(4−j) =

j X

  j a(1−k+j)4 , (−1) k k

j = 1, 2, 3, 4.

k=0

Generalizando este resultado para uma P.A.m , temos o seguinte Teorema 4 (Gentil). Em uma P.A.m ´e v´alida a seguinte identidade: j X

a1(m−j) =

  j a(1−k+j)m (−1) k k

(1.16)

k=0

Prova: Ser´ a feita oportunamente no pr´oximo cap´ıtulo.



Para recompensar o esfor¸co do leitor em ter nos acompanhado na dedu¸ca˜o desta f´ ormula − bem como para tranquilizar os c´epticos − adiantamos que com o aux´ılio da mesma obteremos, logo mais, uma f´ormula fechada (isto ´e, autossuficiente, n˜ ao recursiva) para a soma de potˆencias dos naturais. Por muito tempo os matem´aticos buscaram por tal f´ ormula, coube a n´ os materializar esta aspira¸ca˜o. 2 Exemplo: Escrever a P.A. em fun¸ca˜o dos seus pr´oprios termos. Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na equa¸ca˜o (1.16), temos a1(2−j) =

j X

(−1)k

k=0

  j a(1−k+j)2 , k

j = 1, 2.

Ent˜ ao, j=1

⇒

a11 =

1 X

(−1)k

k=0

  1 a(1−k+1)2 = 1 · a22 − 1 · a12 k

40

e j=2

⇒

a10 =

2 X

  2 a(1−k+2)2 = 1 · a32 − 2 · a22 + a12 (−1) k k

k=0

Portanto, an2 = a12 + (n − 1) a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

= a12 + (n − 1)(a22 − a12 ) +

(n − 1)(n − 2) (a32 − 2 · a22 + a12 ) 2

− P.A.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos na HP Prime Na tela a seguir

a1(m−j) =

j X

(−1)k

k=0

  j a(1−k+j)m k

temos o programa que implementa a f´ormula da direita. (p. 74) Como ilustra¸ca˜o, considerando o exemplo da p´ agina 30, entrando com os cinco primeiros n´ umeros primos, em um vetor,

a14 →

2

3

5

7

a13 →

1

2

2

4

a12 →

1

0

2

a11 → −1

2

a10 →

11

3

o programa nos devolve os coeficientes em destaque no diagrama acima.

41

1.5

Propriedade fundamental de uma P.A.m

Em uma progress˜ao aritm´etica a diferen¸ca entre dois termos consecutivos quaisquer ´e constante e igual ` a pr´opria raz˜ ao, isto ´e a(n+1)1 − an1 = r Este fato ´e uma decorrˆencia imediata da pr´opria defini¸ca˜o. Pois bem, perguntamos se existiria uma rela¸ca˜o equivalente para uma P.A.m . Como encontrar a raz˜ ao, por exemplo, em uma P.A.2 ?. Para a P.A.2 seguinte, por exemplo 1

3

6

10

15

21

...

qual a rela¸ca˜o que deve ser obedecida por termos consecutivos da mesma? Observe que a diferen¸ca entre termos consecutivos 1

3

6

10

2

3

4

5

15 6

21

...

...

n˜ ao ´e uma constante, a exemplo da P.A. Tentaremos resolver esta quest˜ ao inicialmente para a P.A.2 . Vamos recorrer `a origem, digo, ` a defini¸ca˜o m=2 :

an2 = a(n−1)2 + a(n−1)(2−1)

⇒ a(n−1)1 = an2 − a(n−1)2

Desta equa¸ca˜o obtemos as duas seguintes an1 = a(n+1)2 − an2 a(n+1)1 = a(n+2)2 − a(n+1)2 Portanto a(n+1)1 − an1 =

a(n+2)2 − a(n+1)2




−

a(n+1)2 − an2




= a(n+2)2 − 2 a(n+1)2 + an2 = r. Isto ´e, numa P.A.2 ´e v´alida a seguinte rela¸ca˜o entre trˆes termos consecutivos an+2 − 2 · an+1 + an = r Vejamos se conseguimos encontrar uma lei an´aloga entre termos consecutivos de uma P.A.3 . Ent˜ ao, m=3 :

an3 = a(n−1)3 + a(n−1)(3−1)

42

⇒ a(n−1)2 = an3 − a(n−1)3

Desta equa¸ca˜o obtemos as trˆes seguintes an2 = a(n+1)3 − an3 a(n+1)2 = a(n+2)3 − a(n+1)3 a(n+2)2 = a(n+3)3 − a(n+2)3 Portanto a(n+1)1 − an1 = a(n+2)2 − 2 a(n+1)2 + an2 =

a(n+3)3 − a(n+2)3




− 2 a(n+2)3 − a(n+1)3




+

a(n+1)3 − an3




= a(n+3)3 − 3 a(n+2)3 + 3 a(n+1)3 − an3 = r. Isto ´e, numa P.A.3 ´e v´alida a seguinte rela¸ca˜o entre quatro termos consecutivos an+3 − 3 · an+2 + 3 · an+1 − an = r Visando a uma generaliza¸ca˜o, escrevemos: 1 · a(n+1)1 1 · a(n+2)2 1 · a(n+3)3

− 1 · an1 = r

− 2 · a(n+1)2

− 3 · a(n+2)3

+ 1 · an2 = r

+ 3 · a(n+1)3

− 1 · an3 = r

Observando que os coeficientes num´ericos nas equa¸co˜es anteriores est˜ ao na primeira, segunda e terceira linhas, respectivamente, do TAP, escrevemos (→)

43

1 0

2 0

3 0










· a(n+1)1

· a(n+2)2

· a(n+3)3

−

1 1

− 2 1

− 3 1










· an1 = r

· a(n+1)2

· a(n+2)3

2 2

+ 3 2

+







· an2 = r

· a(n+1)3

−

3 3




· an3 = r

O que nos permite enunciar o seguinte Teorema 5 (Propriedade Fundamental das P.A.m ). m + 1 termos consecutivos de uma P.A.m est˜ ao relacionados pela seguinte identidade: m X

k

(−1)

k=0



m k



a(n−k+m)m = a10

(1.17)

Prova: Ser´ a feita oportunamente no pr´oximo cap´ıtulo.



Nota: A rela¸ca˜o (1.17) se aplica a toda sequˆencia (an ) que tem como f´ormula do termo geral um polinˆomio de grau m. Mostre que a10 = m! am ; sendo am o coeficiente de nm . Exemplos: (a) Trˆes termos consecutivos de uma P.A.2 satisfazem 2 X

  2 a(n−k+2)2 = a10 (−1) k k

k=0

Isto ´e, (−1)0

      2 2 2 a(n−2+2)2 = a10 a(n−1+2)2 + (−1)2 a(n−0+2)2 + (−1)1 2 1 0

Simplificando, 1 a(n+2)2 − 2 a(n+1)2 + 1 an2 = a10 Ou ainda, abandonando o segundo ´ındice, 1 an+2 − 2 an+1 + 1 an = a10 A propriedade anterior pode ser confirmada, por exemplo, para a sequˆencia dos quadrados dos naturais, veja: 1

4

9

16

25

36

Por exemplo: 1·9 − 2·4 + 1·1 = 2

44

...

Ou, 1 · 16 − 2 · 9 + 1 · 4 = 2 (b) Estando a sequˆencia (2x, x + 1, 3x + 1, 7x + 3) em P.A.2 , determine x. Solu¸ c˜ ao: Se (a1 , a2 , a3 , a4 ) est´ a em P.A.2 ent˜ ao devemos ter 1 · a3 − 2 · a2 + 1 · a1 = 1 · a4 − 2 · a3 + 1 · a2 Logo, 1 · (3x + 1) − 2 · (x + 1) + 1 · (2x) = 1 · (7x + 3) − 2 · (3x + 1) + 1 · (x + 1) resolvendo esta equa¸ca˜o encontramos x = 3. (c) Seja a sequˆencia (an ) dada por an = n3 . Mostre que a seguinte identidade se verifica:   3 X 3 a(n−k+3) = 3! (−1)k k k=0

Solu¸ c˜ ao: Temos       3 X 3 3 3 1 0 k a(n−1+3) a(n−0+3) + (−1) a(n−k+3) = (−1) (−1) 1 0 k k=0

    3 3 3 a(n−3+3) a(n−2+3) + (−1) + (−1) 3 2 2

Simplificando a express˜ao ` a direita obtemos,   3 X 3 a(n−k+3) = 1 (n + 3)3 − 3 (n + 2)3 + 3 (n + 1)3 − 1 n3 = 6 (−1)k k k=0

Apenas a t´ıtulo de curiosidade, veja que interessante, na calculadora HP Prime

3 X

(−1)k

k=0

|

  3 (n − k + 3)3 k {z }

Digitando esta express˜ao

primando esta tecla obtemos este resultado

45

1.6

Soma dos termos de uma P.A.m

Para uma progress˜ao aritm´etica temos a seguinte f´ormula para a soma dos seus n primeiros termos n(n − 1) r Sn = n a 1 + 2 Desejamos generalizar este resultado. J´a vimos que (pp. 19, 23) Sn1 = na11 +

n(n − 1) r 2

e

(n − 1)n n(n − 1)(n − 2) a11 + r 2 6 Procurando uma generaliza¸ca˜o, escrevemos     n n Sn1 = a11 + r 1 2 Sn2 = n a12 +

e Sn2

      n n n = a12 + a11 + r 1 2 3

Ou ainda, Sn1 =

 1  X n a j + 1 1(1−j) j =0

Sn2 =

 2  X n a j + 1 1(2−j) j =0

e

O que nos permite enunciar o seguinte (→)

46

Teorema 6 (Soma dos termos de uma P.A.m ). Em uma P.A.m a soma Snm dos n termos iniciais vale

Snm =

 m  X n a j + 1 1(m−j) j =0

Prova: Consideremos a equa¸ca˜o (1.1) anm = a1m + S(n−1)(m−1)

(1.18)

(p. 18) ⇒

S(n−1)(m−1) = anm − a1m

Ent˜ ao, Snm = a(n+1)(m+1) − a1(m+1) =

m+1 X

 (n + 1) − 1 a1((m+1)−j) − a1(m+1) j

m+1 X

 n a1((m+1)−j) − a1(m+1) j

j =0

=

j =0

= a1(m+1) +

m+1 X j=1

=

m+1 X j =1

 n a1((m+1)−j) − a1(m+1) j

 n a1((m+1)−j) j

 m  X n a = j + 1 1(m−j) j =0  Como vimos (p. 32) a f´ ormula do termo geral de uma P.A.m ´e um polinˆomio de grau m; da equa¸ca˜o (1.18) concluimos que a f´ormula da soma dos termos de uma P.A.m ´e um polinˆomio de grau m + 1. Nos exemplos a seguir podemos constatar isto em alguns casos.

47

Exemplos: (a) Considere a sequˆencia dada por an = n2 , dos quadrados dos naturais. Encontre uma f´ ormula para a soma dos seus n primeiros termos. Solu¸ c˜ ao: Pelo teorema da unifica¸ca˜o (p. 32), a sequˆencia dada ´e uma P.A.2 . Ent˜ ao        2  X n n n n a1(2−j) = a12 + a11 + a10 Sn2 = j + 1 1 2 3 j =0 Do diagrama seguinte

(Algoritmo, p. 27) a12 → 1

4

a11 → 3

5

9

a10 → 2 Obtemos, Sn2 =

      n n n 1+ 3+ 2 1 2 3

Simplificando, obtemos 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =

n(2n + 1)(n + 1) 6

(1.19)

Resultado este j´ a conhecido por outros m´etodos.

∗

∗

∗

No programa que comparece na p´ agina seguinte usamos a fatora¸ca˜o de uma express˜ao. Nas telas a seguir exemplificamos como fatorar e expandir uma express˜ao alg´ebrica.

48

− Soma dos termos de uma P.A.m na HP Prime Na tela a seguir

(p. 78)

Snm =

 m  X n a j + 1 1(m−j) j=0

temos o programa que implementa (alg´ebricamente) a f´ormula da direita. Por exemplo, entrando em um vetor com os termos 1, 4, 9 o programa nos devolve a f´ ormula (1.19) (p. 48):

49

(b) Os n´ umeros triangulares, 1

3

6

10

15

...

n(n + 1) 2

...

est˜ ao em P.A.2 . Encontre uma f´ormula para a soma de seus n primeiros termos. Solu¸ c˜ ao: Temos Sn2 =

       2  X n n n n a1(2−j) = a12 + a11 + a10 j + 1 1 2 3 j =0

Do diagrama seguinte, a12 → 1

3

a11 → 2

3

6

a10 → 1 Obtemos, Sn2

      n n n = 1+ 2+ 1 1 2 3

Simplificando, obtemos Sn =

n(n + 1)(n + 2) 6

Acho que muita gente vai ´ claro se beneficiar com este livro. E e com muitos exemplos e aplica¸co˜es interessantes. Parab´ens por ver seu grande esfor¸co coroado. (Ubiratan D’Ambr´osio/USP)

50

(c) Encontre o valor da soma, S = 2 · 12 + 5 · 22 + 8 · 32 + · · · + (3 n − 1) · n2 Solu¸ c˜ ao: Como an = (3 n − 1) · n2 , esta sequˆencia ´e uma P.A.3 . Ent˜ ao, Sn3 =

         3  X n n n n n a1(3−j) = a13 + a12 + a11 + a10 j + 1 1 2 3 4 j =0

Do diagrama seguinte (algoritmo), a13 → 2 · 12

5 · 22

8 · 32

a12 → 18

52

104

a11 → 34

52

11 · 42

a10 → 18 Obtemos, Sn3

        n n n n = 2+ 18 + 34 + 18 1 2 3 4

Entrando com a express˜ao da direita na HP Prime e pedindo para ela simplificar, obtemos n(n + 1)(9n2 + 5n − 2) Sn = 12 (d) Sendo f : R → R, definida por f (x) = x2 − 1, encontre S = f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) Solu¸ c˜ ao: Devemos encontrar a soma dos termos da sequˆencia 12 − 1, 22 − 1, 32 − 1, . . . , n2 − 1 O termo geral desta sequˆencia ´e an = n2 − 1, uma P.A.2 , portanto. Ent˜ ao, Sn2 =

       2  X n n n n a1(2−j) = a12 + a11 + a10 j + 1 1 2 3 j =0

Do diagrama seguinte, a12 → 0

3

a11 → 3

5

a10 → 2

51

8

Obtemos, Sn2

      n n n = 0+ 3+ 2 1 2 3

Logo, f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) = 3

    n n +2 2 3

(e) Os n´ umeros poligonais de k lados

(p. 33)

p1, k , p2, k , p3, k , p4, k , . . . , pn, k , . . . ou ainda, 1, k, 3k − 3, 6k − 8, . . . ,

n(n − 1)(k − 2) + n, . . . 2

est˜ ao em P.A.2 . Vamos estabelecer uma f´ormula para som´a-los. Solu¸ c˜ ao: Temos, Sn2

       2  X n n n n = a1(2−j) = a12 + a11 + a10 j + 1 1 2 3 j =0

Do diagrama seguinte, a12 → 1

k

a11 → k − 1

2k − 3

3k − 3

a10 → k − 2 Obtemos, Sn2

      n n n = 1+ (k − 1) + (k − 2) 1 2 3

Entrando com o lado direito desta equa¸ca˜o na HP Prime e pedindo para ela simplificar, obtemos a tela ao lado; logo,
(n + 1)n (n − 1) k − (2n − 5) Sn2 = 6

Nota: Quem tem charrete, desloca-se de charrete; quem tem bicicleta, deslocase de bicicleta; quem tem carro, de carro, e quem tem helic´ optero, desloca-se de helic´ optero . . . esta ´e a lei doravante em vigor!

52

1.6.1

Uma f´ ormula in´ edita “Gostei da sua f´ ormula” Carlos Gustavo T. de A. Moreira (Gugu/IMPA)

Durante muitos anos − possivelmente s´eculos − os matem´aticos estiveram `a procura de uma f´ ormula para a soma de potˆencias dos n´ umeros naturais, ningu´em teve ˆexito, coube a mim materializar essa aspira¸ca˜o. umero natural arbitrariamente fixado, Teorema 7 (Gentil/1997). Sendo m um n´ ´e v´alida a seguinte identidade:

1

m

+2

m

+3

m

Onde: a(m−j) =

+ ··· + n j X

k=0

m

 m  X n a(m−j) = j+1 j =0

  j (1 − k + j)m (−1) k k

(1.20)

(1.21)

´ uma consequˆencia imediata do teorema da unifica¸ca˜o (p. 32) e das Prova: E f´ormulas (1.18) (p. 47) e (1.16) (p. 40).  Observe que para consolidar esta f´ormula devemos ainda demonstrar a equa¸ca˜o (1.16). E mais: para poder utilizar a equa¸ca˜o (1.18) devemos mostrar que a sequˆencia dada por an = nm ´e, de fato, uma P.A.m . Isto sai do teorema da unifica¸ca˜o; mas este, ainda estamos devendo. O cap´ıtulo seguinte foi concebido e desenvolvido, em sua maior parte, no sentido de dar uma demonstra¸ca˜o rigorosa da f´ormula (1.20), este objetivo funcionou como uma b´ ussola. A dedu¸ca˜o da f´ ormula em quest˜ ao se deu por volta do ano de 1991∗, enquanto sua efetiva demonstra¸ca˜o se deu uns seis anos depois − ap´os algumas tentativas frustradas.

∗

At´e ent˜ ao, eu contava apenas com uma gradua¸c˜ ao em engenharia.

53

Vamos exemplificar a utiliza¸ca˜o da f´ormula para m = 3, ent˜ ao: 1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n3 = Onde: a(3−j) =

j X

(−1)k

k=0

Portanto,

 3  X n a(3−j) j+1 j=0

  j (1 − k + j)3 k

(1.22)

        n n n n 1 + 2 + 3 + ··· + n = a3 + a2 + a1 + a0 1 2 3 4 3

3

3

3

Fazendo j = 0, 1, 2, 3 em (1.22), obtemos j=0

j=1

⇒

a3 =

⇒

a2 =

⇒

j=2

⇒

j=3

0 X

  0 (1 − k + 0)3 = 1 (−1) k k

k=0

1 X

(−1)k

k=0

a1 =

2 X

k=0

a0 =

3 X

  1 (1 − k + 1)3 = 7 k

  2 (1 − k + 2)3 = 12 (−1) k

k=0

k

  3 (1 − k + 3)3 = 6 (−1) k k

Sendo assim, temos         n n n n 1 + 2 + 3 + ··· + n = 1+ 7+ 12 + 6 1 2 3 4 3

3

3

3

Simplificando, com ou sem a HP, obtemos 1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 4

(1.23)

Observe que a equa¸ca˜o (1.20) (p. 53) ´e n˜ ao recursiva. Em 1713 foi publicado na revista Ars Conjectandi (Arte de Conjecturar) uma f´ormula que, infelizmente, padece da recursividade − f´ormula esta atribuida a Jacques Bernoulli (1654-1705). Em um apˆendice (p. 73) mostramos e exemplificamos a f´ormula de Bernoulli.

54

− A f´ ormula in´ edita na HP Prime Nas telas a seguir

(p. 79)

1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm = a(m−j) =

j X

k=0

(−1)k

 m  X n a(m−j) j+1 j =0

  j (1 − k + j)m k

temos os programas que implementam a f´ormula da direita. O segundo programa (PAM4) recebe m e calcula os coeficientes dados pela equa¸ca˜o de a(m−j) e repassaos para o primeiro programa, que calcula o somat´orio na forma alg´ebrica. Por exemplo, fornecendo m = 3 para o primeiro programa (PAM5) ele nos devolve a f´ ormula para a soma dos cubos dos n primeiros n´ umeros naturais:

Compare com a f´ ormula (1.23).

(p. 54)

Jacques Bernoulli − e nenhum seu contemporˆaneo − jamais sonhou com esta possibilidade (desenvolvimento). A bem da verdade, n˜ ao precisamos ir muito longe, mesmo ap´os deduzir esta f´ormula − por volta do ano de 1991 − jamais sonhei que isto um dia seria poss´ıvel.

55

Interregno: A Matem´ atica como arte e engenharia O matem´ atico, como o pintor ou o poeta, ´e um desenhista. Se os seus desenhos s˜ ao mais duradouros que os deles, ´e porque s˜ ao feitos com id´eias. (G.H. Hardy) Tenho enfatizado junto a meus alunos menos o aspecto utilit´ario da matem´atica, mas, sobretudo, sua vertente como arte e engenharia − tal como de fato ela ´e em sua essˆencia. Assim como se desenvolve a sensibilidade para a m´ usica (ou outro tipo qualquer de arte) de igual modo desenvolve-se a sensibilidade para a matem´atica; digo, o enlˆevo experimentado pelo artista tamb´em faz parte da experiˆencia matem´atica. A verdadeira matem´atica conjuga arte com engenharia. Damos um exemplo disto na p´ agina a seguir. Me formei em engenharia (eletrˆonica) no ano de 1986 e fui trabalhar em minha cidade natal (Boa Vista-RR) no setor de Telecomunica¸co˜es (Sistema Telebr´ as), era detentor de um cargo de chefia e minha ocupa¸ca˜o ordin´aria se resumia em carimbar pap´eis e “monitorar” os “indicadores de desempenho operacional”, onde utilizava tabelas e gr´ aficos. Embora fosse relativamente bem remunerado n˜ ao estava nem um pouco satisfeito pois sentia que minhas atividades n˜ ao se enquadravam na concep¸ca˜o que se tem do que seja engenharia. Por outro lado, desde os tempos de estudante alimentei o sonho de deixar minha contribui¸ca˜o ` a ciˆencia; entretanto, n˜ ao desejava deixar uma contribui¸ca˜o efˆemera mas, se poss´ıvel, uma que “transcendesse os s´eculos”. Juntando a este requisito minha insatisfa¸ca˜o com a “engenharia” que eu praticava decidi me demitir para d´ a aulas de matem´atica na UFRR, que estava sendo criada na ocasi˜ao. A prop´ osito, quando estudava para prestar concurso na Universidade me ocorreu que naquele preciso momento (1989) milhares de indiv´ıduos, por este Brasil afora, estavam estudando para melhorar suas condi¸co˜es salariais e eu, aqui, me esfor¸cando para piorar a minha. Com efeito, de saida perderia a metade do sal´ario, afora outras vantagens − foi o que terminou acontecendo. Observe que aquele que opta por fazer pesquisas antes de mais nada d´ a (literalmente) um salto no escuro∗ porquanto, a priori, n˜ ao existe nenhuma garantia de que se ter´ a algum ˆexito. Pois bem, atuando no magist´erio, e n˜ ao descuidando do meu objetivo principal, comecei a ensaiar algumas cria¸co˜es na matem´atica; em retrospecto creio que fui bem sucedido. Hoje conto com oito livros j´a publicados − apresento outros resultados in´editos no meu livro de Espa¸cos M´etricos. Nota: Um dos objetivos deste relato ´e mostrar aos jovens que a vida nos disponibiliza outras modalidades de satisfa¸ca˜o, que n˜ ao apenas ganhar dinheiro. Tenho dito que uma maioria de jovens da atual gera¸ca˜o foi programada para ganhar dinheiro com vistas ao consumo. At´e a ´etica fica em segundo ou terceiro plano. Fica dif´ıcil servir a dois senhores, n˜ ao raro temos que optar. Tenho constatado no meio acadˆemico que aqueles que fazem do dinheiro seu objetivo principal, dificilmente d˜ ao uma contribui¸ca˜o relevante `a Ciˆencia. ∗

Pelo ao menos numa conjuntura semelhante a que eu me encontrava, inclusive em termos de preparo acadˆemico, apenas um curso de gradua¸c˜ ao em engenharia, digo, numa outra ´ area. Por oportuno, por essa ´epoca (ainda como “engenheiro”) foi que comecei a desenvolver, de modo um tanto quanto emp´ırico, as P.A.m e P.G.m .

56

Retomando, o interessante disso tudo ´e que somente muitos anos depois atinei com um fato deveras paradoxal: eu havia abandonado a “engenharia” e, sem d´ a-me conta, encontrava-me praticando a verdadeira engenharia! Com efeito, conto com verdadeiras obras de engenharia-matem´ atica dispersas por outros livros meus (como [8], p. ex.), apenas para contextualizar: 1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm (Eq. (1.20), p. 53)

Snm

a1(m−j)

Teo. 18

(Eq. (1.18), p. 47)

(Eq. (1.16), p. 40)

(Eq. (2.17), p. 113)

Binˆomio de Newton

Teo. do gene (Teo. 10, p. 91 )

F.T.G.

∆m f (n)

(eq. (1.10), p. 24)

(eq. (2.2), p. 85)

Triˆ angulo de Pascal

Defini¸ca˜o P.A.m (Def. 1, p. 16)

Aqui temos a “´ arvore geneal´ ogica” − ou fluxograma de interdependˆencia − do teorema 7 (p. 53). Para a “constru¸ca˜o” daquela f´ ormula foi necess´aria a constru¸ca˜o das equa¸co˜es de Snm e a1(m−j) e, ademais, a demonstra¸ca˜o do Teorema 18, etc., etc. A matem´atica ´e um campo demasiadamente a´rduo e in´ospito para agradar ` aqueles a quem n˜ ao oferece grandes recompensas. Recompensas que s˜ao da mesma ´ındole que as do artista. . . . Acrescenta ainda que ´e no ato de criar que o matem´atico encontra sua culminˆancia e que “nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸ca˜o t´ecnica pode substituir este momento de cria¸ca˜o na vida de um matem´atico, poeta ou m´ usico”. (Norbert Wiener)

57

1.7

Exerc´ıcios propostos

1) Verifique, em alguns casos, a equa¸ca˜o anm = a1m + S(n−1)(m−1) para a sequˆencia dos cubos an = n3 . Sugest˜ ao: Fa¸ca o diagrama correspondente. 2) Encontre a f´ ormula do n-´esimo termo da P.A.2 (0, 3, 8, . . .). 3) Mostre que a f´ ormula do termo geral de uma P.A., an = a1 + (n − 1) r, ´e um caso especial da f´ ormula (1.10) (p. 24). 4) (EsPCEx-2013) Os n´ umeros naturais ´ımpares s˜ao dispostos como mostra o quadro 1 a linha :

1

2 a linha :

3

5

3 a linha :

7

9

11

4 a linha :

13

15

17

19

5 a linha :

21

23

25

27

29

···

···

···

···

···

··· O primeiro elemento da 43 a linha ´e: [A] 807

[B] 1007

[D] 1507

[E] 1807

[C] 1307

5) A sequˆencia (an ) ´e definida por   a1 = 1, a

n+1

= an + 8n

Deduza uma f´ ormula fechada para an . 6) Determine qual(is) termo(s) ´e (s˜ao) nulo(s) na P.A.2 (36, 24, 14, . . .). 7) Determine o primeiro termo negativo na P.A.2 (36, 24, 14, . . .). 8) Podemos ter em uma P.A.2 termos de posi¸co˜es distintas que sejam iguais? E em uma P.A.1 ? 9) Dados ap e aq termos quaisquer (com p 6= q) de uma P.A.1 determin´a-la. 10) Dados a12 = 1, a52 = 25 e a102 = 100, encontre a raz˜ ao (a10 ) desta P.A.2 . 11) Dada a sequˆencia an = n3 − 1, obter an2 , an1 e an0 .

58

12) Dados a13 = 1, a33 = 27, a53 = 125 e a73 = 343, determine a10 = r. 13) Dado an2 = n2 + n + 1, obter an1 . 14) Dado an3 = −n3 + n2 + n + 1, obter an1 . 15) Mostre que os trˆes primeiros termos de uma P.A.2 n˜ ao podem estar em P.A.1 16) Na P.A.2 em que ap = α, aq = β e ar = γ (p 6= q 6= r) calcular ap+q+r . 17) Mostre que dado an3 podemos obter an1 da seguinte igualdade: an1 = 1 · a(n+2)3 − 2 · a(n+1)3 + 1 · an3 18) A sucess˜ao s dos n´ umeros 1, 2, 4, 7, . . . , ak , . . . possui a propriedade de que as diferen¸cas dk = ak+1 − ak , com k = 1, 2, 3, . . . formam uma P.A. Calcule o 20o termo da sucess˜ao. 19) Na sequˆencia (a1 , a2 , a3 , . . .) onde a1 = 1 e an = an−1 + n2 − 4n + 6, para todo n ≥ 2, calcule o 30o termo. 20) Dada a P.A.2 an = a n2 + b n + c mostre que a10 = r = 2 a. 21) Determine a P.A.2 em que a5 = a8 = 0. 22) Dados a31 = 3, a51 = 5 e a12 = −3, determine os termos a32 , a62 e a72 . 23) Numa P.A.1 temos a3 = 12 e a6 = 6. Obter a P.A.2 da mesma fam´ılia cujo primeiro termo ´e igual ao 10o da P.A.1 . 24) Dados a13 = 1, a33 = 0, a53 = −1 e a73 = −10, determine a raz˜ ao r. 25) Encontre uma f´ ormula para a sequˆencia (1, 2, 9, 28). 26) Encontre uma f´ ormula para os seis primeiros n´ umeros primos. 27) Encontre uma rela¸ca˜o satisfeita por quaisquer quatro termos consecutivos de uma P.A.3 . 28) Determine o 4o termo da P.A.2 (a, b, c, ?). 29) Determine x de modo que (3x, x + 1, 2x + 3, 6x + 2, 8x − 15) esteja em P.A.3 30) As medidas dos lados de um quadril´ atero s˜ao expressas por x−1, 3x, x2 , 2x2 −1 2 e est˜ ao em P.A. , nesta ordem. Encontre o per´ımetro deste quadril´ atero. 31) Os n´ umeros que exprimem o lado, a diagonal, o per´ımetro e a ´area de um quadrado est˜ ao em P.A.2 , nesta ordem. Encontre o lado do quadrado. 32) As medidas dos ˆ angulos internos de um quadril´ atero est˜ ao em P.A.2 de raz˜ ao o 10 ; sendo um dos ˆ angulos o dobro do seu oposto, determine o menor deles. 33) A sequˆencia (1, 3, 7, 13, 21) est´ a em P.A.2 ?

59

34) A sequˆencia (0, 3, 16, 45, 96) est´ a em P.A.3 ? 35) Quais da sequˆencias de n´ umeros primos, abaixo, est˜ ao em P.A.2 ? a) (5, 7, 11, 17)

b) (7, 11, 13, 13)

d) (13, 17, 19, 19)

e) (13, 11, 7, 19)

c) (11, 13, 17, 23)

36) Complete a P.A.2 (1, ?, 4, ?, 11). 37) Complete a P.A.3 (−1, −1, ?, ?, 71, 139). 38) Na sequˆencia (a1 , a2 , a3 , . . .) onde a1 = −1 e an = an−1 + n, para todo n ≥ 2, calcule a soma dos 20 primeiros termos. 39) Determine a P.A.2 de quatro termos em que r = 5, a soma ´e 34 e o produto dos termos do meio ´e 27. 40) Calcule o valor da soma S = 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + · · · + 50 · 51 · 52 41) Calcule o valor da soma S = 1 4 + 2 4 + 3 4 + · · · + n4 42) Calcule o valor da soma S=

n X

k (2k + 1)

k=1

43) Calcule o valor da soma S=

n X

k=1

(2k − 1)2 (k + 2)

44) Determine a P.A.2 em que o 5o termo ´e 40, o 10o termo ´e 185 e a soma dos 15 termos iniciais ´e 2285. 45) Qual ´e o 20o termo da P.A.2 de raz˜ ao 2, 10o termo 101 e soma dos 12 termos iniciais 662? 46) Quantos termos devem ser somados na P.A.2 (1, 3, 7, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja 2680? 47) Qual ´e o n´ umero m´ınimo de termos que devemos somar na P.A.2 (1, 2, 1, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? 48) A soma dos n primeiros termos de uma sucess˜ao ´e dada por Sn = n3 −2n2 +2n. Calcule o 20o termo. 49) Ao se efetuar a soma de 15 parcelas em P.A.2 (−3, −5, −5, . . .) por distra¸ca˜o n˜ ao foi somada a 10a parcela. Qual foi a soma encontrada?

60

50) Quantos termos devem ser somados na P.A.2 (1, 4, 9, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja 140? 51) Quantos termos devem ser somados na P.A.3 (0, 1, 8, 27, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja 2025? 52) Mostre que a equa¸ca˜o Sn = n a1 + (1.18) (p. 47).

n(n−1) r 2

´e um caso especial da equa¸ca˜o

53) Achar a soma dos 10 termos iniciais da P.A.3 (2, −1, −14, −43, . . .). 54) Quantos termos devem ser somados na P.A.2 (1, 0, 0, . . .) a partir do primeiro termo, para que a soma seja 2025? 55) Calcule a soma dos n termos iniciais da sequˆencia 1 · 2 · 3, 2 · 3 · 4, 3 · 4 · 5, . . . , k (k + 1) (k + 2), . . .




56) Determine a P.A.2 de 30 termos em que a soma dos 10 primeiros termos ´e 725, a soma dos 10 termos centrais ´e 625 e a soma dos 10 u ´ltimos termos ´e −1475. 57) Determinar a P.A.2 em que a soma dos 5 termos iniciais ´e 25, a soma dos 10 termos iniciais ´e −225 e a soma dos 15 termos iniciais ´e −1000. 58) Calcule o quociente entre a soma dos termos de ´ındices ´ımpar e a soma dos termos de ´ındice par da P.A.2 (−8, −15, −20, . . . , 201). 59) Dada a P.A.2 (−1, −1, 1, . . .) determine a soma dos n primeiros termos da P.A.1 correspondente. 60) Obter a P.A.2 em que a soma dos n primeiros termos ´e (n3 − n2 + 6n)/2 para todo n natural. 61) Calcular o 10o termo e a raz˜ ao de uma P.A.2 cuja soma dos n primeiros 3 2 termos ´e (n − 6n + 11n)/6 para todo n natural. 62) Sendo f : R → R, definida por f (x) = x2 + x − 1, encontre S = f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) 63) Sendo f : R → R, definida por f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 1, encontre S = f (1) + f (2) + f (3) + · · · + f (n) 64) Seja f : R → R uma fun¸ca˜o tal que f (1) = 1, f (2) = 3 e f (x + 2) = 2f (x + 1) − f (x) + 1, para todo valor real de x. Calcule f (n), para todo n natural. 65) A sequˆencia (a1 , a2 , a3 , . . . , an ) ´e uma P.A.2 de raz˜ ao 1, primeiro termo 1 e segundo termo 3. A fun¸ca˜o
f definida por f (x) = ax2 + bx + c ´e tal que f (a1 ), f (a2 ), f (a3 ), . . . , f (an ) ´e uma P.A.2 de raz˜ ao 16, primeiro termo 0 e segundo termo 2. Calcule f (2), f (4) e f (5).

61

66) Mostre que toda fun¸ca˜o f : R → R satisfazendo a rela¸ca˜o 1 · f (x + 2) − 2 · f (x + 1) + 1 · f (x) = c onde c ´e uma constante n˜ ao-nula, est´ a em P.A.2 para x = 1, 2, 3, . . .. 67) Mostre que em todo polinˆomio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d, temos: 1 · p(x + 3) − 3 · p(x + 2) + 3 · p(x + 1) − 1 · p(x) = 6a 68) Calcule a soma dos n primeiros termos dos n´ umeros quadr´ aticos.

(p. 33)

69) Mostre que em todo polinˆomio f (x) = a x2 + b x + c, temos 1 · f (x + 2) − 2 · f (x + 1) + 1 · f (x) = 2a Aplica¸ c˜ ao: Considerando a equa¸ca˜o hor´ aria s(t) = a2 t2 +v0 t+s0 de um m´ovel em movimento retil´ıneo uniformemente variado, podemos escrever a seguinte rela¸ca˜o entre as posi¸co˜es do m´ovel em trˆes instantes consecutivos de tempo: s(t + 2) − 2 · s(t + 1) + s(t) = a 70) Determine o termo geral da sequˆencia (an ) assim definida: a1 = −1

e

an+1 − an = 4n

71) Mostre que toda fun¸ca˜o f : R → R satisfazendo a rela¸ca˜o 1 · f (x + 3) − 3 · f (x + 2) + 3 · f (x + 1) − 1 · f (x) = c onde c ´e uma constante n˜ ao-nula, est´ a em P.A.3 para x = 1, 2, 3, . . .. 72) Verifique, em alguns casos, a equa¸ca˜o (1.17) (p. 44) para a seguinte P.A.2 (1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .) 73) Dada uma P.A.2 , (an2 ), mostre que podemos obter a P.A.1 correspondente atrav´es da igualdade an1 = a(n+1)2 − an2 . 74) Mostre, a partir da equa¸ca˜o (1.17) (p. 44), a seguinte identidade an − an−1 = r para dois termos consecutivos de uma P.A.1 . 75) Seja a sequˆencia (an ) dada por an = n4 . Mostre que a seguinte identidade se verifica:   4 X 4 a(n−k) = 4! (−1)k k k=0

76) Dada a soma Sn1 dos n termos iniciais de uma P.A.1 , mostre que para obter a f´ ormula do termo geral da P.A.2 basta defasar Sn1 de uma unidade (isto ´e, n ← n − 1) e somar uma constante arbitr´aria.

77) Obtenha, a partir da equa¸ca˜o (1.18) (p. 47), a f´ormula anm do termo geral de uma P.A.m .

62

Um Belo Desafio! − A quem interessar possa.

Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequˆencia dos quadrados dos n´ umeros naturais,

22

32

42

52

62

72

...

No diagrama a seguir, 1

4

9

16

25

36

49

3

5

7

9

11

13

...

2

2

2

2

2

...

...

cas entre os termos da sequˆencia dos quadrados dos produzimos duas diferen¸ n´ umeros naturais. Considere a sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais, 13

23

33

43

53

63

73

...

No diagrama a seguir, 1

8

27

64

125

216

343

7

19

37

61

91

127

...

12

18

24

30

36

...

6

6

6

6

...

...

produzimos trˆ es diferen¸ cas entre os termos da sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais. A calculadora HP Prime possui uma fun¸ca˜o ∆List que produz a diferen¸ca entre os termos de uma lista,

← aqui

Desafio: Considere a sequˆencia dos naturais `a m-´esima potˆencia: 1m

2m

3m

4m

5m

6m

7m

...

prove que m diferen¸cas entre os termos desta sequˆencia resulta sempre numa constante igual a m! . Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/06.08.2016

63

1.8

Apˆ endices

Princ´ıpio da indu¸c˜ ao finita Proposi¸ co ˜es nos Naturais N = { 1, 2, 3, . . . } c˜ ao ou senten¸ ca aberta P (n) que depende da vari´avel n ∈ N Uma proposi¸ ´e uma afirma¸ca˜o que pode ser ou verdadeira ou falsa toda vez que substitu´ımos n por algum n´ umero natural. Exemplo: n P (n) : 22 + 1 ´e um n´ umero primo. Temos: 1

P (1) :

22 + 1 = 5

P (2) :

22 + 1 = 17

P (3) :

22 + 1 = 257

P (4) :

22 + 1 = 65 537

´e verdadeira (V )

2

´e verdadeira (V )

3

4

´e verdadeira (V ) ´e verdadeira (V )

A indu¸ca˜o vulgar − generaliza¸ca˜o de propriedades ap´os a verifica¸ca˜o de que a propriedade ´e v´alida em alguns casos particulares − pode conduzir a equ´ıvocos desastrosos na matem´atica. n O matem´atico Pierre de Fermat (1601-1665) acreditou que 22 + 1 daria n´ umeros primos para todo n ∈ N. Este ´e um exemplo de falsa indu¸ca˜o. Com efeito, para o n seguinte resulta P (5) :

5

22 + 1 = 4 294 967 297

´e falsa (F )

pois Euler (1707-1783) mostrou a seguinte decomposi¸ca˜o 4 294 967 297 = 641 × 6 700 417

64

Exemplo: (O trinˆomio de Euler) P (n) : n2 + n + 41

´e um n´ umero primo.

Temos: P (1) :

12 + 1 + 41 = 43

´e verdadeira (V )

P (2) :

22 + 2 + 41 = 47

´e verdadeira (V )

P (3) :

32 + 3 + 41 = 53

´e verdadeira (V )

P (4) :

42 + 4 + 41 = 61

´e verdadeira (V )

P (5) :

52 + 5 + 41 = 71

´e verdadeira (V )

·······

·····················

··················

P (39) :

392 + 39 + 41 = 1601

´e verdadeira (V )

P (40) :

402 + 40 + 41 = 1681

´e falsa (F )

Podemos verificar que P (n) acima ´e verdadeira para os 39 primeiros n´ umeros naturais, resulta falsa para n = 40. Temos 402 + 40 + 41 = 1681 = 41 × 41 Apenas a t´ıtulo de informa¸ca˜o a proposi¸ca˜o a seguir P (n) : n2 − n + 41

´e um n´ umero primo.

(1.24)

´e verdadeira para n = 1, 2, 3, . . . , 40; para n = 41 ´e falsa. Ainda a t´ıtulo de informa¸ca˜o, pode-se provar que n˜ ao existe nenhum polinˆomio em uma vari´avel com coeficientes inteiros cujos valores nos naturais sejam sempre n´ umeros primos. N˜ ao obstante, como mostramos em um caso particular − exemplo da p´ agina 30 − um simples programa computacional pode nos fornecer um polinˆomio para gerar quantos primos quisermos, em sequˆencia. Exemplo: Consideremos a proposi¸ca˜o P (n) : 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 que afirma a propriedade: “a soma dos n primeiros n´ umeros ´ımpares positivos ´e igual a n2 ”. Temos: P (1) :

1 = 12

´e verdadeira (V )

P (2) :

1 + 3 = 22

´e verdadeira (V )

P (3) :

1 + 3 + 5 = 32

´e verdadeira (V )

· · · · · · · ··

········································

··················

P (100) :

1 + 3 + 5 + 7 + · · · + (2 · 100 − 1) = 1002

´e verdadeira (V )

65

Mesmo que continuemos a verifica¸ca˜o at´e n = 1 000 000, N = { 1, 2, 3, . . . , 1 000 000, 1 000 001, . . . } | {z } | {z } ok

?

− ou fa¸camos um programa no computador para verificar at´e um natural N arbitrariamente fixado − ainda assim a proposi¸ca˜o n˜ ao estar´ a provada para todo n´ umero natural, uma vez que N ´e um conjunto infinito. ´ necess´ario, portanto, dispor de um m´etodo com base l´ogica que nos premita E decidir sobre a validade ou n˜ ao de uma proposi¸ca˜o envolvendo os n´ umeros naturais. Felizmente um tal m´etodo existe, ´e denominado Princ´ıpio da Indu¸c˜ ao Finita (PIF), assim enunciado:

(Princ´ıpio da Indu¸ c˜ ao Finita) Uma proposi¸ca˜o P (n), aplic´ avel aos n´ umeros naturais n, ´e verdadeira para todo n ∈ N, quando: 1 o ) P (1) ´e verdadeira, e ao P (k + 1) tamb´em ´e verdadeira. 2 o ) Se P (k) ´e verdadeira, ent˜

Exemplo: Prove que a proposi¸ca˜o P (n) : 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 ´e verdadeira para todo n ∈ N. Solu¸ c˜ ao: Verifiquemos que P (1) ´e verdadeira: P (1) :

(2 · 1 − 1) = 12

(V )

Suponhamos P (k) verdadeira, isto ´e P (k) :

1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) = k 2

(V )

Esta ´e a hip´ otese da indu¸ c˜ ao (H.I.). Devemos provar que P (k + 1) tamb´em ´e verdadeira. Isto ´e,
P (k + 1) : 1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 = (k + 1)2 (??)
Esta ´e a tese da indu¸ c˜ ao (T.I.). De fato, vamos somar 2(k + 1) − 1 a ambos os membros da hip´ otese da indu¸ca˜o, isto ´e,

1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2(k + 1) − 1 Ou ainda,


1 + 3 + 5 + · · · + (2k − 1) + 2(k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = (k + 1)2

Logo, pelo (PIF) a proposi¸ca˜o P (n) ´e verdadeira para todo n ∈ N. O PIF ´e tamb´em conhecido como “O Primeiro Princ´ıpio da Indu¸ca˜o”.

66

Generaliza¸ c˜ ao do Primeiro Princ´ıpio da Indu¸ c˜ ao Algumas proposi¸co˜es sobre os naturais n˜ ao s˜ao v´alidas a partir de n = 1 mas somente a partir de um certo natural n0 > 1. Nestes casos enunciamos:

(Generaliza¸ c˜ ao do primeiro princ´ıpio da Indu¸ c˜ ao) Uma proposi¸ca˜o P (n), aplic´ avel aos n´ umeros naturais n, ´e verdadeira para todo n ∈ N, n ≥ n0 , quando: 1 o ) P (n0 ) ´e verdadeira, e ao P (k + 1) tamb´em ´e 2 o ) Se k ∈ N, k ≥ n0 e P (k) ´e verdadeira, ent˜ verdadeira.

Exemplo: Prove que a proposi¸ca˜o P (n) :

2n + 1 < 2n ,

∀n ≥ 3

´e verdadeira. Solu¸ c˜ ao: Verifiquemos que P (3) ´e verdadeira: P (3) :

2 · 3 + 1 < 23 ,

(V )

Suponhamos P (k) verdadeira, isto ´e P (k) :

2 k + 1 < 2k ,

∀k ≥ 3

(V )

Devemos provar que P (k + 1) tamb´em ´e verdadeira. Com efeito, somando 2 a ambos os membros da hip´ otese de indu¸ca˜o, resulta 2 k + 1 + 2 < 2k + 2 Desta desigualdade resulta verdadeira a seguinte 2 (k + 1) + 1 < 2k + 2 < 2k + 2k Ou ainda, 2 (k + 1) + 1 < 2k + 2k = 2k (1 + 1) = 2k 2 = 2k+1

Nota: Para um estudo mais completo sobre o tema da Indu¸ca˜o sugerimos ao leitor consultar o material Indu¸ c~ ao Matem´ atica do professor Abramo Hefez − pdf dispon´ıvel na Internet.

67

N´ umeros binomiais Dados pois n´ umeros naturais n e p, umero (ou coefici
n ≥ p, chamamos de n´ umero ente) binomial e indicamos por np , o n´   n! n = p! (n − p)! p

N´ umeros binomiais complementares

Dois n´ umeros binomiais np e nq s˜ao ditos complementares se p + q = n. Exemplos:

(a) 74 e 73 s˜ao complementares, 4 + 3 = 7;

(b) 62 e 64 s˜ao complementares, 2 + 4 = 6. Proposi¸ c˜ ao 1. Dois n´ umeros binomiais complementares s˜ao iguais, isto ´e,     n n Se p + q = n, ent˜ ao = p q Prova: Se p + q = n, ent˜ ao q = n − p. Logo,       n! n n! n n = = = = (n − p)! (n − n + p)! (n − p)! p! p q n−p  ´ v´alida a seguinte identidade: Proposi¸ c˜ ao 2 (Rela¸ca˜o de Stiefel). E       n n n+1 + = p p+1 p+1

(1.25)

Prova: Temos     n! n n! n + + = p! (n − p)! (p + 1)! (n − p − 1)! p p+1 =

n!(p + 1) + n!(n − p) (p + 1)!(n − p)!

=

n!(p + 1 + n − p) (p + 1)!(n − p)!

=

(n + 1)! n!(n + 1) = = (p + 1)!(n − p)! (p + 1)!(n − p)!



n+1 p+1

 

68

Triˆ angulo Aritm´ etico de Pascal
´ um triˆangulo num´erico infinito formado por n´ E umeros binomiais np , onde n representa o n´ umero da linha (posi¸ca˜o horizontal) e p representa o n´ umero da coluna (posi¸ca˜o vertical), iniciando a contagem a partir do zero. O triˆangulo foi criado pelo matem´atico chinˆes Yang Hui (1238-1298) e 500 anos depois v´arias de suas propriedades foram estudadas pelo matem´atico francˆes Blaise Pascal. 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0










4 1

3 1








2 1




1 1




4 2

3 2







2 2







4 3

3 3







4 4




·········································· n 0




n 1




n 2




n 3




n 4




n n

···




······················································ Podemos tamb´em escrever o triˆangulo de Pascal substituindo cada coeficiente binomial pelo seu valor, isto ´e: 1 1 1 1 1 1 1

2 3

4 5

6

1 3 6

10 15

1 1 4 10

20

1 5

15

1 6

1

···················································

69

Propriedades do triˆ angulo de Pascal 1a ) Em cada linha do triˆangulo, o
primeiro elemento vale 1, pois, qualquer que seja a linha, o primeiro elemento ´e n0 = 1, ∀ n ∈ N. 1 1 1 1

1 2

3

1

4

1 3

6

1 4

1

···································· 2a ) Em cada linha do triˆangulo,
o u ´ltimo elemento vale 1, pois, qualquer que seja a linha, o ultimo elemento ´e nn = 1, ∀ n ∈ N. 1 1 1 1

1 2

3

1

4

1 3

6

1 4

1

···································· 3a ) A partir da terceira linha, cada elemento − com exece¸ca˜o do primeiro e do u ´ltimo − ´e a soma dos elementos da linha anterior, imediatamente acima dele. Esta propriedade ´e uma decorrˆencia da rela¸ca˜o de Stiefel (Michael Stifel, matem´atico alem˜ ao, 1487 - 1567).       n n−1 n−1 = + , n ≥ 2. p p−1 p Exemplos: 1 →

1→ 1

1 1

3

6

5→

3 6

10

10

→

1

4 15

1

20

1 4→ 1

→

1 1

2

5

15

6

1 1

···················································

70

4a ) Numa linha, dois coeficientes binomiais equidistantes dis extremos s˜ao iguias. Isto equivale a demonstrar que     n n = p n−p De fato, estes coeficientes s˜ao complementares. Exemplos:

(p. 68)

1 1

1

1

2 3

1 1 1 1

6

4

5

1 3

6

10 15

1 4

1

10 15

20

5

1 6

1

··················································· − Demonstra¸ca˜o do teorema 2 (p. 26). Teorema 2. Seja j um natural arbitrariamente fixado. Para n ≥ j vale a seguinte identidade:   n   X i n+1 = j j+1 i=j Prova: Indu¸ca˜o sobre n. n = j: j   X i

i=j

j

=



j+1 j+1



Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para n = p (p ≥ j), isto ´e: p   X i

i=j

j

=



p+1 j+1



E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e: p+1   X i

i=j

j

=



(p + 1) + 1 j+1

71

(H.I.)

(T.I.) 

Ent˜ ao, p+1 X

i=j

i j



p   X i

+



p+1 j



=



p+1 j+1



+



p+1 j



=



p+2 j+1



=



 (p + 1) + 1 . j+1

=

i=j

j



Nota: Na p´ agina seguinte apresentamos a f´ormula de Bernoulli para a soma 1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm = ? Assisti a duas palestras, uma na UFSC e outra na UNB, na qual os palestrantes (matem´ aticos) afirmaram que n˜ ao existia uma f´ormula para tal soma. Ou seja, os matem´aticos n˜ ao consideram a f´ormula de Bernoulli como sendo uma solu¸ca˜o definitiva para este problema, justamente por ela n˜ ao ser uma f´ormula fechada − ´e recursiva. Sendo assim, consideramos que resolvemos este problema em definitivo. E n˜ ao apenas isto, mas tamb´em (p. 55)

1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm = a(m−j) =

j X

k=0

72

(−1)k

 m  X n a(m−j) j+1 j =0

  j (1 − k + j)m k

A f´ ormula recursiva de Bernoulli 1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm =

 m  X (n + 1)m+1 m Bk + (n + 1)m−k+1 m+1 k m−k+1 k=1

Onde os Bk s˜ao os n´ umeros de Bernoulli. Sabendo-se que B0 = 1, os demais n´ umeros s˜ao calculados mediante a seguinte f´ ormula recursiva: Bk = −

k−1   X k Bi i k + 1−i i=0

(1.26)

Por exemplo (m = 2): 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 =

2   X 2 Bk (n + 1)2+1 + (n + 1)2−k+1 2+1 k 2−k+1 k=1

Ou seja, 2   X (n + 1)3 2 Bk + (n + 1)3−k 1 + 2 + 3 + ··· + n = 3 k 3−k 2

2

2

2

k=1

Desenvolvendo o lado direito (LD),   2   X (n + 1)3 (n + 1)3 2 2 B1 Bk 3−k LD = + (n + 1) = + (n + 1)2 3 3 k 3−k 1 2 k=1

+

  2 B2 (n + 1)1 2 1

Isto ´e, LD =

(n + 1)3 + B1 (n + 1)2 + B2 (n + 1) 3

(1.27)

Em (1.26), temos   1−1   X B 1 1 Bi 1 B0 =− =− 0 =− B1 = − 2 − i 2 − 0 2 2 i 0 i=0

e

temos

    2−1   X 2 B0 2 B1 2 Bi =− − B2 = − 3 2 0 1 i 2+1−i i=0 B2 = −

B0 1 −1 1 − B1 = − − = 3 3 2 6

Substituindo em (1.27), temos: LD =

−1 1 n(2n + 1)(n + 1) (n + 1)3 + (n + 1)2 + (n + 1) = 3 2 6 6

A simplifica¸ca˜o ` a direita obtive na HP. Compare com o exemplo (a), p. 48.

73

Programando f´ ormulas na HP Prime − P.A.m em fun¸ c˜ ao dos seus pr´ oprios termos Na tela a seguir

a1(m−j) =

j X

  j a(1−k+j)m (−1) k k

k=0

MAKEMAT: ver p. 544 temos o programa que implementa a f´ormula da direita.

(p. 40)

Considerando o exemplo da p´ agina 30, entrando com os cinco primeiros n´ umeros primos, em um vetor, a14 →

2

3

5

7

a13 →

1

2

2

4

a12 →

1

0

2

a11 → −1

2

a10 →

11

3

o programa dever´ a nos devolver os coeficientes em destaque no diagrama acima. ). Vamos executar este programa na vista do In´ıcio ( Coloque sua calculadora no modo de entrada alg´ ebrico.

←

Digitando PAM1([2, 3, 5, 7, 11]) e dando ENTER, observamos a tela `a direita.

74

Como o programa funciona Para ajudar o leitor no entendimento de como o programa funciona vamos simular, na tela vista de In´ıcio, os quatro comandos antes do FOR. Observe isto na tela da direita.

− F´ ormula do termo geral de uma P.A.m Na tela a seguir

anm

 m  X n−1 a1(m−j) = j j=0

Ver Adendo, p. 493 temos o programa que implementa a f´ormula da direita. (p. 24) Este programa utiliza o programa anterior (PAM1) como subrotina para calcular − na forma alg´ebrica − o n-´esimo termo de uma P.A.m . Considerando ainda o exemplo da p´ agina 30, entrando com os cinco primeiros n´ umeros primos, em um vetor, o programa dever´a nos devolver o seguinte polinˆomio p(n) =

1 4 17 3 47 2 103 n − n + n − n+6 8 12 8 12

Vamos executar este programa na vista do CAS ( Coloque sua calculadora no modo Exact

→

75

).

Digitando PAM2([2, 3, 5, 7, 11]) e dando ENTER, observamos a tela `a direita. Antes de verificar como o programa funciona, colocaremos em destaque uma raz˜ ao pela qual o programa anterior poder´ a n˜ ao rodar a contento em algumas calculadoras: se acaso houver algum valor num´erico previamente armazenado na vari´avel n o programa devolver´a um n´ umero, ao inv´es de um polinˆomio. Para solucionar este problema veja adendo na p´ agina 493.

Como o programa funciona Para ajudar o leitor no entendimento de como o programa funciona vamos simular, ainda na tela do CAS, os dois comandos antes do FOR. Observe isto na tela da direita.

H´ a de se observar (veja p. 75) que um mesmo comando devolve objetos distintos, na vista de In´ıcio e na vista do CAS, digo: m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := { 5 }, Na vista de In´ıcio. m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := 5,

76

Na vista do CAS.

(p. 75)

Uma observa¸ca˜o ´e que no somat´orio houve uma troca de ´ındices, assim: anm =

 m  X n−1 a1(m−j) j j=0

⇒

 m−1  X n−1 a1(j + 1) j j=0

anm =

Nota: m = m+ 1. m ´e a ordem da P.A.m e m ´e o comprimento do vetor de entrada. Na HP Prime os ´ındices nos vetores iniciam em 1 e n˜ ao em 0, ent˜ ao: j:

a1(j + 1) :

0

1

2

...

m−1

↓

↓

↓

...

↓

a1(2)

a1(3)

...

a1(1)

a1(m)

No caso do nosso exemplo, temos: a1 : [ 2

1

1

−1

↑

↑

↑

↑

a1(1)

a1(2)

a1(3)

3 ] ↑

a1(4)

a1(5)

Voltando ao exemplo dos n´ umeros primos dado na p´ agina 30, observe a “invers˜ao” nos coeficientes:

an4 =



         n−1 n−1 n−1 n−1 n−1 a10 a11 + a12 + a13 + a14 + 4 3 2 1 0 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

a1 : [ 2

1

1

−1

↑

↑

↑

↑

a1(1)

a1(2)

a1(3)

Observe a raz˜ ao da troca de a1(4−j) por a1(j + 1) : 3

5

7

a1(4) → a13 →

1

2

2

4

a1(3) → a12 →

1

0

2

a1(2) → a11 → −1

2

77

a1(5)

(para j = 0, 1, 2, 3, 4.)

2

3

↑

a1(4)

a1(5) → a14 →

a1(1) → a10 →

3 ]

11

− Soma dos termos de uma P.A.m na HP Prime Na tela a seguir

Snm =

 m  X n a j + 1 1(m−j) j =0

temos o programa que implementa a f´ormula da direita. Este programa foi obtido do programa PAM2 (p. 75), no qual foi feita uma pequena altera¸ca˜o.

78

− A f´ ormula in´ edita na HP Prime

Na tela a seguir

a(m−j) =

j X

(−1)k

k=0

  j (1 − k + j)m k

temos o programa que implementa a f´ormula da direita. Na tela a seguir entramos com m = 3 e o programa nos devolve os coeficientes como no exemplo da p. 54.

Na tela a seguir

1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm = a(m−j) =

j X

k=0

(−1)k

 m  X n a(m−j) j+1 j =0

  j (1 − k + j)m k

temos o programa que implementa a f´ormula da direita. Este programa utiliza o programa anterior como subrotina para o c´ alculo dos coeficientes. Na tela a seguir entramos com m = 3 e o programa nos devolve a f´ormula para a soma dos cubos dos n primeiros naturais − Veja o exemplo da p´ agina 54.

Ver Adendo, p. 493

79

Apˆ endice: O Homem Med´ıocre O homem med´ıocre que renunciasse a sua solenidade ficaria desorbitado, n˜ ao podendo viver. S˜ ao modestos por princ´ıpio. Pretendem que todos o sejam, o que n˜ ao lhes exige muito; neles sobra a mod´estia, pois est˜ ao desprovidos de m´eritos verdadeiros. Consideram t˜ ao nocivo quem afirma as pr´oprias superioridades em voz alta quanto quem ri de seus convencionalismos suntuosos. Denominam de mod´estia a proibi¸ca˜o de reclamar os direitos naturais da genialidade, da santidade ou do hero´ısmo. As u ´nicas v´ıtimas dessa falsa virtude s˜ao os homens excelentes, obrigados a n˜ ao pestanejar enquanto os invejosos empanam sua gl´oria. Para os tolos, nada mais f´acil que ser modestos. Eles o s˜ao por necessidade irrevog´avel. Os mais inflados fingem que o s˜ao por c´ alculo, considerando que essa atitude ´e o complemento necess´ario da solenidade e leva a suspeitar a existˆencia de m´eritos pudendos. Heine disse: “Os charlat˜aes da mod´estia s˜ao os piores de todos.” E Goethe sentenciou: “S´o os velhacos s˜ao modestos”. Isso n˜ ao impede que essa reputa¸ca˜o seja um tesouro nas mediocracias. Presume-se que o modesto nunca pretender´ a ser original, nem al¸car´ a sua palavra, nem ter´ a opini˜oes perigosas, nem desaprovar´a os governos, nem blasfemar´ a dos dogmas sociais. O homem que aceita essa m´ascara hip´ ocrita renuncia a viver mais do que permitem seus c´ umplices. [. . .] O orgulho, subsolo indispens´ avel da genialidade, imprime aos homens certo gesto bonito que as sombras censuram. Para isso, o bab´elico idioma dos vulgares emaranhou a significa¸ca˜o do voc´ abulo, acabando por se ignorar se significa um v´ıcio ou uma virtude. Tudo ´e relativo. Se h´ a m´eritos, o orgulho ´e um direito; se n˜ ao h´ a trata-se de vaidade. (Jos´e Ingenieros/O Homem Med´ıocre) ∗

∗

∗

. . . H´ a no mundo muitos pensamentos falsos, muitas supersti¸c˜ oes insensatas, e ningu´em que estiver escravizado por eles poder´ a fazer progresso. Portanto, n˜ ao deves acolher um pensamento simplesmente porque muitas outras pessoas o acolhem, nem porque se tenha acreditado nele por s´eculos, nem porque esteja escrito em algum livro que os homens julguem ser sagrado; tu tens de pensar sobre a quest˜ ao por ti mesmo, e julgar por ti mesmo se ela ´e razo´ avel. Lembrate que, embora um milhar de homens concorde sobre um assunto, se eles n˜ ao souberem nada sobre aquele assunto a sua opini˜ ao n˜ ao tem valor. Aquele que quiser trilhar a Senda tem de aprender a pensar por si mesmo, porque a supersti¸c˜ ao ´e um dos maiores males do mundo, um dos grilh˜ oes dos quais, por ti pr´ oprio, deves te libertar completamente. (Krishnamurti/Aos P´ es do Mestre)

80

Cap´ıtulo

2

Somas e Diferen¸cas de ordem m Matem´ atica: Esta “ciˆencia vazia” que − espantosamente − se aplica a todas as contingˆencias fenomenol´ ogicas, apesar de ser um puro formalismo reflexivo. A rigor este cap´ıtulo deveria vir antes do anterior, j´a que muitas demonstra¸co˜es do primeiro cap´ıtulo s˜ao feitas no presente contexto. No entanto assim preferimos, pois foi a ordem em que foram concebidos; isto ´e, fui levado a desenvolver as Somas e Diferen¸ cas de ordem m para dar suporte a algumas demonstra¸co˜es pendentes do cap´ıtulo 1.

Introdu¸c˜ ao A no¸ c˜ ao de operador: Operador ´e um s´ımbolo que, anteposto a fun¸co˜es, indica abreviadamente as transforma¸co˜es que devem sofrer essas fun¸co˜es. Usando a terminologia de sistema um operador pode ser entendido como uma caixa. No lado esquerdo, a seta representa a fun¸ca˜o que entra na caixa, e no lado direito, a seta representa a fun¸ca˜o correspondente que sai da caixa, ap´os ter sido operada ou transformada, segundo uma lei matem´atica. Representando um operador gen´erico por T , temos a seguinte figura f

T

Tf

Desde j´ a enfatizamos a importˆ ancia de se ter bem claro que f e T f s˜ao as fun¸co˜es de entrada e sa´ıda, respectivamente; enquanto que f (x) e T f (x) s˜ao valores num´ericos destas fun¸co˜es. O caso em que estaremos interessados no presente cap´ıtulo ´e aquele em que o dom´ınio e o contradom´ınio de um operador ´e o conjunto  R∞ = (a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .) : ai ∈ R

de sequˆencias de n´ umeros reais. Isto ´e, definiremos operadores que transformam sequˆencias de n´ umeros reais em sequˆencias de n´ umeros reais.

81

2.1

Diferen¸cas de ordem m

Defini¸ c˜ ao 3. Dada uma sequˆencia f : N → R definimos a Diferen¸ ca de ordem m de f pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:   ∆0 f (n) = f (n), 

∆m f (n) = ∆m−1 f (n + 1) − ∆m−1 f (n), m ≥ 1, n ≥ 1.

Observe que ∆m ´e um operador de R∞ em R∞ . Por exemplo, para m = 1, temos f

∆

∆f

Onde, ∆1 f (n) = ∆1−1 f (n + 1) − ∆1−1 f (n) Ou ainda, ∆ f (n) = ∆0 f (n + 1) − ∆0 f (n) Isto ´e, ∆ f (n) = f (n + 1) − f (n) Para m = 2, temos f

∆2

∆2 f

Onde, ∆2 f (n) = ∆ f (n + 1) − ∆ f (n) = [ f (n + 2) − f (n + 1) ] − [ f (n + 1) − f (n) ] = f (n + 2) − 2 f (n + 1) + f (n)

82

(2.1)

Exemplos: (a) Dado f (n) = n3 , calcule ∆ f (n), ∆ f (1), ∆2 f (n) e ∆2 f (1). Solu¸ c˜ ao: Temos ∆ f (n) = f (n + 1) − f (n) = (n + 1)3 − n3 = 3n2 + 3n + 1 Logo, ∆ f (1) = 3 · 12 + 3 · 1 + 1 = 7 Este exemplo pode ser visto da seguinte perspectiva: dada a sequˆencia 13

23

33

43

53

63

...

aplicando o operador ∆, obtemos f (n) : 1

8

27

64

125

216

∆ f (n) : 7

19

37

61

91

...

...

onde a sequˆencia ∆ f ´e obtida tomando-se diferen¸cas sucessivas entre termos consecutivos da sequˆencia f . Do diagrama anterior obtemos ∆ f (1) = 7. Temos ainda, ∆2 f (n) = f (n + 2) − 2 f (n + 1) + f (n) = (n + 2)3 − 2(n + 1)3 + n3 = 6n + 6 Logo, ∆2 f (1) = 6 · 1 + 6 = 12. Observe este exemplo sob a ´ otica do seguinte diagrama f (n) :

1

8

27

64

125

216

∆ f (n) :

7

19

37

61

91

...

∆2 f (n) : 12

18

24

30

...

Deste diagrama tiramos ∆2 f (1) = 12.

83

...

(b) Mostre que a Diferen¸ca de ordem 1 (ou Primeira Diferen¸ca) de uma P.A.1 resulta em uma P.A.0 . Isto ´e, mostre a seguinte identidade ∆ an1 = an0 Solu¸ c˜ ao: Temos, an1 = a11 + (n − 1)a10 . Ent˜ ao: ∆ an1 = a(n+1)1 − an1
= [ a11 + (n + 1) − 1 a10 ] − [ a11 + (n − 1)a10 ]

= a10 = an0

(c) Mostre que a Diferen¸ca de ordem 1 de uma P.A.2 resulta em uma P.A.1 e que a Diferen¸ca de ordem 2 resulta em uma P.A.0 . Isto ´e, mostre as seguintes identidades (ii) ∆2 an2 = an0

(i) ∆ an2 = an1 Solu¸ c˜ ao: (i) Temos, an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

Ent˜ ao: ∆ an2 = a(n+1)2 − an2 h

= a12


i
(n + 1) − 1 (n + 1) − 2) + (n + 1) − 1 a11 + a10 2

i h (n − 1)(n − 2) − a12 + (n − 1)a11 + a10 2

= a11 + (n − 1)a10 = an1 (ii) Temos,

∆2 an2 = a(n+2)2 − 2 a(n+1)2 + an2 = a10 = an0 Os c´ alculos ficam por conta do leitor. Recorrer ` a defini¸ca˜o 3 (p. 82) para o c´ alculo da m-´esima Diferen¸ca ´e enfadonho. A f´ ormula seguinte foi obtida com o aux´ılio do Triˆ angulo Aritm´etico de Pascal (TAP) e nos fornece a m-´esima Diferen¸ca sem recursividade.

84

Teorema 8 (m-´esima Diferen¸ca). Para todo n´ umero m, natural arbitrariamente fixado, a seguinte identidade se verifica: m

∆ f (n) =

m X

k

(−1)

k=0



m k



f (n − k + m)

(2.2)

Prova: Apˆendice, p. 119.



Exemplos: (a) Para m = 1, a primeira Diferen¸ca resulta: ∆1 f (n) =

1 X

(−1)k

k=0

= (−1)0

  1 f (n − k + 1) k

    1 1 f (n − 1 + 1) f (n − 0 + 1) + (−1)1 1 0

= f (n + 1) − f (n) (a) Para m = 2, a segunda Diferen¸ca resulta: 2

∆ f (n) =

2 X

  2 f (n − k + 2) (−1) k k

k=0

= (−1)0

2 0




f (n − 0 + 2) + (−1)1

2 1




f (n − 1 + 2) + (−1)2

2 2




f (n − 2 + 2)

= 1 · f (n + 2) − 2 · f (n + 1) + 1 · f (n) Logo, ∆2 f (n) = 1 · f (n + 2) − 2 · f (n + 1) + 1 · f (n)

(2.3)

Observe novamente que os coeficientes 1, 2, 1 encontram-se na segunda linha do TAP, veja: 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

1 5 10 10 5 1 ······································· · ·

85

− Diferen¸cas de ordem m na HP Prime Na tela a seguir

∆m f (n) =

m X

(−1)k

k=0



m k



f (n − k + m)

temos um programa que expande a f´ormula da direita. Por exemplo, na tela a seguir

rodamos o programa para trˆes valores de m, digo, m = 1, 2, 3. O programa a seguir recebe uma sequˆencia e a ordem m da diferen¸ca que se deseja,

na tela da direita fizemos duas simula¸co˜es com a sequˆencia f (n) = n3 do exemplo (a) da p´ agina 83.

86

Vamos agora demonstrar uma importante propriedade do operador Diferen¸ca de ordem m. Teorema 9 (Linearidade do operador ∆m ). O operador Diferen¸ca de ordem m ´e linear. Isto ´e, a seguinte identidade se verifica: ∆m ( a f + b g )(n) = a ∆m f (n) + b ∆m g(n) para todo a, b ∈ R. Prova: Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 0, pela defini¸ca˜o 3 (p. 82), temos: ∆0 ( a f + b g )(n) = ( a f + b g )(n) = a f (n) + b g(n) = a ∆0 f (n) + b ∆0 g(n) Suponhamos a validade da f´ ormula para m = p:

(H.I.)

∆p ( a f + b g )(n) = a ∆p f (n) + b ∆p g(n) e provemos que vale para m = p + 1. Ent˜ ao, pela defini¸ca˜o 3 (p. 82), temos: ∆p+1 ( a f + b g )(n) = ∆p ( a f + b g )(n + 1) − ∆p ( a f + b g )(n) 





= a ∆p f (n + 1) + b ∆p g(n + 1) − a ∆p f (n) + b ∆p g(n) 





= a ∆p f (n + 1) − ∆p f (n) + b ∆p g(n + 1) − ∆p g(n)





= a ∆p+1 f (n) + b ∆p+1 g(n) Na segunda igualdade acima usamos a hip´otese de indu¸ca˜o.

87



´ v´alida a seguinte identidade Corol´ ario 1. E ∆m f (n) = ∆m−1 ∆ f (n) Prova: Fa¸camos g(n) = f (n + 1). Ent˜ ao, g(n) − f (n) = f (n + 1) − f (n) = ∆ f (n) Isto ´e, ∆ f = g − f . Logo, ∆m f (n) = ∆m−1 f (n + 1) − ∆m−1 f (n) = ∆m−1 (g − f )(n) = ∆m−1 ∆ f (n)  Um resultado que nos ser´a u ´til na sequˆencia est´ a contido na seguinte Proposi¸ c˜ ao 3. Seja m um natural arbitrariamente fixado, e, 1 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es ´e v´alida a seguinte identidade: ∆j ∆m−j f (n) = ∆m f (n) Prova: Indu¸ca˜o sobre j. Para j = 1 temos: ∆1 ∆m−1 f (n) = ∆m−1 f (n + 1) − ∆m−1 f (n) = ∆m f (n) Suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para j = p (1 ≤ p < m):

(H.I)

∆p ∆m−p f (n) = ∆m f (n) Provemos que vale para j = p + 1:

(T.I)

∆p+1 ∆m−(p+1) f (n) = ∆m f (n) Ent˜ ao, ∆p+1 ∆m−(p+1) f (n) = ∆p ∆ ∆m−(p+1) f (n) = ∆p

n

∆m−(p+1) f (n + 1) − ∆m−(p+1) f (n)

o

= ∆p ∆m−p f (n) = ∆m f (n) 

88

Utilizando a f´ ormula do binˆ omio de Newton (a + b)n =

n   X n

i

i=0

an−i bi

podemos demonstrar a seguinte proposi¸ca˜o Proposi¸ c˜ ao 4. Considere a sequˆencia dada por f (n) = nm , com m ∈ N arbitrariamente fixado. Nestas condi¸co˜es ´e v´alida a seguinte identidade: ∆ nm =

 m  X m i

i=1

nm−i

(2.4)

Antes da prova vejamos um exemplo. Fixemos m = 3, ent˜ ao 3

∆n =

3   X 3

i

i=1

Ou ainda, ∆ n3 =

n3−i

      3 3 3 n3−1 + n3−2 + n3−3 1 2 3

Isto ´e, ∆ n3 = 3 n2 + 3 n + 1 Veja isto no seguinte diagrama: n3 : 1

8

27

64

125

216

∆ n3 : 7

19

37

61

91

...

...

Prova: De fato, ∆ f (n) = f (n + 1) − f (n) = (n + 1)m − nm =

 m  X m

nm−i · 1i − nm

 m  X m

nm−i

i=0

=

i=1

i

i

 Observe que o grau do polinˆomio ∆ f (n) ´e m−1. Tendo em conta que ∆m f (n) = ∆m−1 ∆ f (n) e da linearidade do operador ∆m , temos dois corol´ arios desta proposi¸ca˜o:

89

(i) Sendo p(n) um polinˆomio de grau m, resulta ∆m p(n) = constante. (ii) Se p(n) = nm−j , com 1 ≤ j ≤ m, ent˜ ao ∆m p(n) = 0. m−j Prova: Para p(n) = n , temos ∆m−j nm−j = constante. Aplicando ∆j a ambos os membros desta igualdade, resulta ∆j ∆m−j nm−j = ∆j constante Portanto, ∆m nm−j = 0 ,

1 ≤ j ≤ m.

(2.5) 

Exemplo: m = 3. Temos ∆3 n3−j = 0 ,

1 ≤ j ≤ 3.

Ou ainda,   ∆3 n2 = 0    ∆3 n1 = 0     ∆3 n0 = 0

O seguinte teorema assegura que se tomarmos j diferen¸cas sucessivas entre termos consecutivos de uma P.A.m obteremos uma P.A.m−j .

90

Teorema 10 (Teorema do gene - I). Seja m um natural arbitrariamente fixado e seja j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∆j anm = an(m−j)

(2.6)

Prova: Indu¸ca˜o sobre j. Para j = 0 temos: ∆0 anm = anm = an(m−0) Suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para j = p (0 ≤ p < m):

(H.I)

∆p anm = an(m−p) Provemos que vale para j = p + 1:

(T.I)

∆p+1 anm = an(m−(p+1)) Ent˜ ao, ∆p+1 anm = ∆p a(n+1)m − ∆p anm = a(n+1)(m−p) − an(m−p) = an(m−(p+1))  Na u ´ltima igualdade acima fizemos uso da terceira igualdade da defini¸ca˜o de P.A.m (def. 1, p. 16). O teorema 10 justifica o algoritmo dado na p´ agina 27 para se obter os termos a1(m−j) , uma vez que

para j = 0, 1, . . . , m.

a1(m−j) = ∆j anm

n=1

;

j = 0, 1, . . . , m.

Justifica ademais, diagramas tais como: 1

4

9

16

25

...

3

5

7

9

...

P.A.1

2

2

2

...

P.A.0

P.A.2

o qual pode ser visto da seguinte perspectiva: an2 :

1

4

9

16

25

...

∆1 an2 :

3

5

7

9

...

P.A.1

∆2 an2 :

2

2

2

...

P.A.0

91

P.A.2

F´ ormulas pendentes O momento agora ´e oportuno para demonstrar-mos as equa¸co˜es (1.16) (p. 40) e (1.17) (p. 44) Prova: (Equa¸ca˜o (1.16)) Utilizaremos o teorema 10 (p. 91) e a equa¸ca˜o (2.2) (p. 85), assim: j

an(m−j) = ∆ anm =

j X

  j a(n−k+j)m (−1) k k

(2.7)

k=0

Substituindo nesta equa¸ca˜o n = 1, resulta: j X

a1(m−j) =

(−1)k

k=0

  j a(1−k+j)m k 

Prova: (Equa¸ca˜o (1.17), p. 44) Tomemos j = m na equa¸ca˜o 2.6 (p. 91), ent˜ ao: m

an0 = ∆ anm =

m X

k

(−1)

k=0



m k



a(n−k+m)m = a10

Fizemos uso da equa¸ca˜o (2.2) (p. 85).



Observe que a f´ ormula (2.7) nos fornece a P.A. de ordem m−j (j = 1, 2, . . . , m) a partir da P.A.m . Exemplo: Seja an3 = n3 , obter an2 . Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 3 e j = 1 na equa¸ca˜o (2.7), temos an(3−1) =

1 X

(−1)k

k=0

  1 a(n−k+1)3 k

    1 1 1 a(n−1+1)3 a(n−0+1)3 + (−1) = (−1) 1 0 0

= a(n+1)3 − an3 = (n + 1)3 − n3 = 3 n2 + 3 n + 1 Veja isto no seguinte diagrama: an3 : 1

8

27

64

125

216

...

an2 : 7

19

37

61

91

...

P.A.2

92

P.A.3

Exemplo: Seja an3 = n3 , obter an1 . Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 3 e j = 2 na equa¸ca˜o (2.7) (p. 92), temos an(3−2) =

2 X

(−1)k

k=0

= (−1)0

  2 a(n−k+2)3 k

2 0




a(n−0+2)3 + (−1)1

= a(n+2)3 − 2 a(n+1)3 + an3

2 1




a(n−1+2)3 + (−1)2

2 2




a(n−2+2)3

= (n + 2)3 − 2 (n + 1)3 + n3 = 6 n + 6 Veja isto no seguinte diagrama: an3 : 1

8

27

64

125

216

...

an1 : 12

18

24

30

36

...

P.A.1

P.A.3

Desta forma saldamos nossa d´ıvida quanto a demonstra¸ca˜o destas duas f´ormulas. Devemos ainda convergir esfor¸cos para demonstrar a segunda parte do teorema da unifica¸ca˜o (p. 32), pois al´em da defini¸ca˜o n˜ ao temos mais nenhuma informa¸ca˜o do que seja uma progress˜ao aritm´etica de ordem m. A defini¸ca˜o de um conceito matem´atico ´e como se fosse o batismo de um rec´emnascido sabemos que estamos lhe dando um nome, mas o que este ser´a quando tornar-se um adulto, ami´ ude n˜ ao o sabemos. Com o intuito de desvendar um pouco mais da natureza de uma P.A.m definiremos um novo operador. (→)

Uma diferen¸ ca (evolu¸ c~ ao) abissal!

93

2.2

Somas de ordem m

Defini¸ c˜ ao 4. Dada uma sequˆencia f : N → R definimos a Soma de ordem m de f pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:  0 ∇ f (n) = f (n),      ∇ j f (1) = cj , j = 1, 2, . . . , m.      m ∇ f (n) = ∇m f (n − 1) + ∇m−1 f (n − 1) , m ≥ 1, n ≥ 2. Onde ∇ j f (1) = cj s˜ao constantes arbitr´arias dadas. ´ bom que se tenha em mente que Observa¸ c˜ ao: E ∇ f (1) = ∇ f

n=1

Isto ´e, ∇ f (1) quer dizer a sequˆencia ∇ f calculda em n = 1; ou ainda ∇ f (1) ´e o primeiro termo da sequˆencia ∇ f . Para m = 1, por exemplo, temos: f ∇f

∇

c1

Onde, c1 = ∇ f (1) ´e uma constante dada e para se obter ∇ f (n), fazemos ∇ f (n) = ∇ f (n − 1) + f (n − 1) ,

para n = 2, 3, 4, . . .

Observe de uma outra perspectiva, n

→

∇ f (n)

1

→

∇ f (1) ´e dado.

2

→

∇ f (2) = ∇ f (1) + f (1)

3

→

∇ f (3) = ∇ f (2) + f (2)

4

→

∇ f (4) = ∇ f (3) + f (3)

···

···

························

94

Exemplo: Dados f (n) = n e ∇ f (1) = 1, temos: n

→

∇ f (n)

1

→

∇ f (1) = 1 dado.

→

∇ f (1) = 1

2

→

∇ f (2) = ∇ f (1) + f (1)

→

∇ f (2) = 1 + 1 = 2

3

→

∇ f (3) = ∇ f (2) + f (2)

→

∇ f (3) = 2 + 2 = 4

4

→

∇ f (4) = ∇ f (3) + f (3)

→

∇ f (4) = 4 + 3 = 7

5

→

∇ f (5) = ∇ f (4) + f (4)

→

∇ f (5) = 7 + 4 = 11

···

···

························

···

·····················

Ainda podemos ver este exemplo de uma outra perspectiva. Dados c1 = ∇ f (1) :

1

f (n) :

1

2

3

4

...

Aplicando o operador ∇, obtemos ∇ f (n) : 1

2 +

f (n) : 1

4 +

2

7 +

3

11

...

+

4

...

A seguinte f´ ormula nos fornece a m-´esima Soma sem que tenhamos necessidade da f´ormula de recorrˆencia:

95

Teorema 11. Sendo m um natural arbitrariamente fixado ´e v´alida a seguinte identidade:

∇m f (n) =

n−1 X

i=1

∇m−1 f (i) + ∇m f (1)

(2.8)

Dedu¸ c˜ ao: Da f´ ormula de recorrˆencia (p. 94), temos: ∇m f (2) = ∇m f (1) + ∇m−1 f (1) ∇m f (3) = ∇m f (2) + ∇m−1 f (2) ∇m f (4) = ∇m f (3) + ∇m−1 f (3) ·········································· ∇m f (n) = ∇m f (n − 1) + ∇m−1 f (n − 1) Somando estas n − 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados obtemos o resultado desejado. Prova: Indu¸ca˜o sobre n (m fixo). n = 1: ∇m f (1) =

1−1 X

i=1

∇m−1 f (i) + ∇m f (1)

|

{z

=0

= ∇m f (1)

}

Suponhamos a validade da f´ormula para n = p: m

∇ f (p) =

p−1 X

i=1

∇m−1 f (i) + ∇m f (1)

E provemos que vale para n = p + 1:

(T.I.)

(p+1)−1 m

∇ f (p + 1) =

(H.I.)

X

i=1

∇m−1 f (i) + ∇m f (1)

96

Da f´ ormula de recorrˆencia, temos ∇m f (p + 1) = ∇m f (p) + ∇m−1 f (p) =

p−1 X

∇m−1 f (i) + ∇m f (1) + ∇m−1 f (p)

p X

∇m−1 f (i) + ∇m f (1)

i=1

=

i=1

(p+1)−1

=

X

i=1

∇m−1 f (i) + ∇m f (1) 

Exemplos: (a) Encontre a Primeira Soma da sequˆencia f dada por f (n) = n. Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 1 na equa¸ca˜o (2.8) (p. 96), temos: ∇1 f (n) =

n−1 X

i=1

∇1−1 f (i) + ∇1 f (1)

Da f´ormula de recorrˆencia (def. 4, p. 94) temos ∇0 f (i) = f (i) = i

e

∇ f (n) =

n−1 X

∇1 f (1) = c1

Sendo assim, temos

Logo, ∇ f (n) =

i + c1

i=1

n(n − 1) + c1 2

97

(b) Mostre que a Primeira Soma de uma P.A.0 ´e uma P.A.1 . Isto ´e, mostre que a seguinte identidade ´e v´alida: ∇ an0 = an1

Solu¸ c˜ ao: Temos

∇1 an0 = Sendo assim, temos

n−1 X

i=1

∇ an0 =

=

∇1−1 ai0 + ∇1 f (1)

n−1 X

∇0 ai0 + c1

n−1 X

∇0 a10 + c1

i=1

i=1

= (n − 1) a10 + c1 Sendo c1 uma constante arbitr´aria, tomemos c1 = a11 . Sendo assim, temos ∇ an0 = a11 + (n − 1) a10 = an1

(2.9)

(c) Mostre que a Segunda Soma de uma P.A.0 ´e uma P.A.2 . Isto ´e, mostre que a seguinte identidade ´e v´alida: ∇2 an0 = an2 Solu¸ c˜ ao: Temos ∇2 an0 = Sendo assim, podemos escrever

n−1 X

i=1

∇2 an0 =

∇2−1 ai0 + ∇2 f (1)

n−1 X

i=1

∇1 ai0 + c2

Da equa¸ca˜o (2.9), obtemos ∇ ai0 = a11 + (i − 1) a10 Portanto, ∇2 an0 =

n−1 X

i=1

[ a11 + (i − 1) a10 ] + c2

Finalmente (deixando os detalhes para o leitor), temos ∇2 an0 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 = an2 2

Vamos generalizar os dois exemplos anteriores. O teorema seguinte afirma que se tomarmos j somas em uma P.A.m obteremos uma P.A.m+j .

98

Teorema 12 (Teorema do gene-II). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j ∈ N ∪ { 0 }. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∇j anm = an(m+j)

(2.10)

Prova: Indu¸ca˜o sobre j. Para j = 0 temos: ∇0 anm = anm = an(m+0) Suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para j = p :

(H.I)

∇p anm = an(m+p) Provemos que vale para j = p + 1:

(T.I)

∇p+1 anm = an(m+(p+1)) Ent˜ ao, ∇p+1 anm =

=

n−1 X

∇p aim + ∇p+1 f (1)

n−1 X

ai(m+p) + ∇p+1 f (1)

i=1

i=1

(2.11)

Vamos recordar a f´ ormula (1.18) (p. 47)  m  X n a Snm = j + 1 1(m−j) j=0 Temos, n−1 X

ai(m+p) = S(n−1)(m+p)

i=1

Sendo assim,

S(n−1)(m+p) =

m+p X j =0

 n−1 a j + 1 1((m+p)−j)

Substituindo em (2.11), temos   m+p X n − 1 n−1 ∇p+1 anm = a1((m+p)−j) + a1(m+(p+1)) j+1 0 j =0 =

m+p+1 X  j =0

 n−1 a1(m+(p+1)−j) = an(m+(p+1)) j

 Prometemos dar, oportunamente, uma outra prova deste teorema; prova esta “mais elegante”− em duas linhas, no m´aximo.

99

− Somas de ordem m na HP Prime

Na tela a seguir

∇1 f (n) =

(p. 125)

n−1 X

i=1

∇1−1 f (i) + ∇1 f (1)

temos o programa que implementa a primeira Soma de uma sequˆencia. Por exemplo, na tela a seguir implementamos o exemplo da p´ agina 97.

Fizemos uma pequena altera¸ca˜o no programa anterior − figura direita, acima − para que ele seja utilizado como subrotina pelo pr´oximo programa. Na tela a seguir temos o programa que implementa a Soma de ordem m.

∇m f (n) =

n−1 X

i=1

∇m−1 f (i) + ∇m f (1)

Por exemplo, na tela a seguir implementamos o exemplo (c) da p´ agina 98. ∇2 an0 = an2 ,

an0 = a10

∇2 an0 = a12 + (n − 1)a11 +

(n−1)(n−2) 2

Temos: a12 = c(2), a11 = c(1), a10 = a10.

100

a10

Vamos agora demonstrar uma importante propriedade do operador Soma de ordem m. Teorema 13 (Linearidade do operador ∇m ). O operador Soma de ordem m ´e linear. Isto ´e, a seguinte identidade se verifica: ∇m ( a f + b g )(n) = a ∇m f (n) + b ∇m g(n) para todo a, b ∈ R. Prova: Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 0, pela defini¸ca˜o 4 (p. 94), temos: ∇0 ( a f + b g )(n) = ( a f + b g )(n) = a f (n) + b g(n) = a ∇0 f (n) + b ∇0 g(n) Suponhamos a validade da f´ ormula para m = p:

(H.I.)

∇p ( a f + b g )(n) = a ∇p f (n) + b ∇p g(n) e provemos que vale para m = p + 1:

(T.I.)

∇p+1 ( a f + b g )(n) = a ∇p+1 f (n) + b ∇p+1 g(n) Ent˜ ao, ∆p+1 ( a f + b g )(n) =

n−1 X

∇p ( a f + b g )(i) + c

n−1 X

[ a ∇p f (i) + b ∇p g(i) ] + c

i=1

=

i=1

=a

n−1 X

i=1

=a

∇p f (i) + b

 n−1 X

i=1

n−1 X

i=1

∇p f (i) + c1



∇p g(i) + a · c1 + b · c2

+b

 n−1 X

i=1

∇p g(i) + c2



= a ∇p+1 f (n) + b ∇p+1 g(n)  O seguinte teorema ´e de importˆ ancia decisiva no estabelecimento do teorema da unifica¸ca˜o (p. 32):

101

Teorema 14 (Teorema S - D Fundamental - I). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∇ j ∆m f (n) = ∆m−j f (n)

(2.12)

Prova: Indu¸ca˜o sobre j. Para j = 0 temos: ∇ 0 ∆m f (n) = ∆m f (n) = ∆m−0 f (n) Suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para j = p (0 ≤ p < m):

(H.I)

∇ p ∆m f (n) = ∆m−p f (n) Provemos que vale para j = p + 1:

(T.I)

∇ (p+1) ∆m f (n) = ∆m−(p+1) f (n) Ent˜ ao,   ∇ (p+1) ∆m f (n) = ∇ p+1 ∆m−1 f (n + 1) − ∆m−1 f (n)

= ∇ p+1 ∆m−1 f (n + 1) − ∇ p+1 ∆m−1 f (n)

  = ∇ p+1 ∆m−1 f (n) + ∇ p ∆m−1 f (n)

  − ∇ p+1 ∆m−1 f (n − 1) + ∇ p ∆m−1 f (n − 1)

  = ∇ p+1 ∆m−1 f (n − 1) + ∇ p ∆m−1 f (n − 1) + ∇ p ∆ m−1 f (n)

  − ∇ p+1 ∆m−1 f (n − 1) + ∇ p ∆m−1 f (n − 1) = ∇ p ∆m−1 f (n)

= ∆m−1−p f (n) = ∆m−(p+1) f (n) 

102

Observe que, em particular, temos ∇ m ∆m f (n) = f (n). Veja o significado desta identidade no diagrama de bloco:

∆m f f

∆

c1

m

m

c2 cm

.. .

∇

f

O diagrama acima ilustra o seguinte: dada f (n) e ap´os aplicarmos ∆m isto
m ´e, ap´os obtermos ∆ f (n) ´e sempre poss´ıvel recuperar f (n) atrav´es de ∇m , com ´ isto o que o teorema assegura. escolhas apropriadas das constantes arbitr´arias. E Um exemplo esclarecer´a melhor: Suponha que uma sequˆencia f ´e tal que ∆2 f (n) = 2 (n = 1, 2, . . .). Ent˜ ao, ∇ ∆2 f (n) =

=

n−1 X

∇0 ∆2 f (i) + ∇ f (1)

n−1 X

2 + ∇ f (1)

i=1

i=1

= 2 (n − 1) + ∇ f (1) Ainda, ∇2 ∆2 f (n) =

=

n−1 X

∇ ∆2 f (i) + ∇2 f (1)

n−1 X

[ 2 (i − 1) + ∇ f (1) ] + ∇2 f (1)

i=1

i=1


= n2 + ∇ f (1) − 3 n + ∇2 f (1) − ∇ f (1) + 2

E o teorema nos garante que, com escolhas apropriadas de ∇ f (1) e ∇2 f (1), podemos recuperar f , isto ´e, ∇2 ∆2 f (n) = f (n).

103

Proposi¸ c˜ ao 5. Seja m um natural arbitrariamente fixado. Se as sequˆencias ∇m f m−1 e ∇ ∇ f coincidirem no primeiro termo, ent˜ ao coincidem nos demais. Em s´ımbolos: Se

∇m f (1) = ∇m−1 ∇ f (1) ent˜ ao ∇m f (n) = ∇m−1 ∇ f (n), ∀ n ≥ 2.

Prova: Indu¸ca˜o sobre n (m fixo). n = 1: A igualdade ∇m f (1) = ∇m−1 ∇ f (1) vale por hip´otese. Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para n = p, isto ´e:

(H.I.)

∇m f (p) = ∇m−1 ∇ f (p) E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e:

(T.I.)

∇m f (p + 1) = ∇m−1 ∇ f (p + 1) Da f´ ormula de recorrˆencia, temos:

(def. 4, p. 94)

∇m f (p + 1) = ∇m f (p) + ∇m−1 f (p) = ∇m−1 ∇ f (p) + ∇m−1 f (p) = ∇m−1 ∇ f (p) + f (p) = ∇m−1 ∇ f (p + 1)




 Lembramos que ∇ f (1) e ∇ ∇ f (1) s˜ao constantes arbitr´arias dadas, portanto, se conveniente, podem ser tomadas iguais. m

m−1

Lema 2. Seja m um natural arbitrariamente fixado e j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica:
∆ ∇m−p f (n) = ∇m−p−1 f (n) Prova: Temos que ∆ f (n) = f (n + 1) − f (n), logo
∆ ∇m−p f (n) = ∇m−p f (n + 1) − ∇m−p f (n)

(2.13)

Pela defini¸ca˜o de Soma (p. 94) temos

∇m−p f (n + 1) = ∇m−p f (n) + ∇m−p−1 f (n) Desta igualdade resulta ∇m−p−1 f (n) = ∇m−p f (n + 1) − ∇m−p f (n) Comparando com a equa¸ca˜o (2.13), segue a tese.



O seguinte teorema, juntamente com o teorema 14 (p. 102), estabelece que os operadores Soma e Diferen¸ca de ordem m s˜ao “inversos” um do outro.

104

Teorema 15 (Teorema S - D Fundamental - II). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∆ j ∇m f (n) = ∇m−j f (n)

(2.14)

Prova: Indu¸ca˜o sobre j. Para j = 0 temos: ∆ 0 ∇m f (n) = ∇m f (n) = ∇m−0 f (n) Suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para j = p (0 ≤ p < m):

(H.I)

∆ p ∇m f (n) = ∇m−p f (n) Provemos que vale para j = p + 1:

(T.I)

∆ (p+1) ∇m f (n) = ∇m−(p+1) f (n) Ent˜ ao,

(def. 3, p. 82) ∆ (p+1) ∇m f (n) = ∆p ∇m f (n + 1) − ∆p ∇m f (n) = ∇m−p f (n + 1) − ∇m−p f (n)

Mas,

(def. 4, p. 94) ∇m−p f (n + 1) = ∇m−p f (n) + ∇m−p−1 f (n)

Tamb´em, ∇m−p f (n) = ∇m−p f (n − 1) + ∇m−p−1 f (n − 1) Subtraindo, membro a membro, as duas igualdades anteriores, temos ∇m−p f (n + 1) − ∇m−p f (n) = ∇m−p f (n) + ∇m−p−1 f (n) − ∇m−p f (n − 1) + ∇m−p−1 f (n − 1) Sendo assim, temos




∆ (p+1) ∇m f (n) = ∇m−p f (n) − ∇m−p f (n − 1) + ∇m−p−1 f (n) − ∇m−p−1 f (n − 1) O lado direito desta equa¸ca˜o pode ser escrito assim: ∇m−p f (n) − ∇m−p f (n − 1) + ∇m−p−1 f (n) − ∇m−p−1 f (n − 1) | {z } {z } |

∆ ∇m−p f (n−1)

Logo,

∆ ∇m−p−1 f (n−1)



∆ (p+1) ∇m f (n) = ∆ ∇m−p f (n − 1) + ∆ ∇m−p−1 f (n − 1)

Utilizando a linearidade do operador ∆, resulta


∆ (p+1) ∇m f (n) = ∆ ∇m−p f (n − 1) + ∇m−p−1 f (n − 1)

105

Temos, ∆ (p+1) ∇m f (n) = ∆ ∇m−p f (n − 1) + ∇m−p−1 f (n − 1) {z } | ∇m−p f (n)

Portanto,




∆ (p+1) ∇m f (n) = ∆ ∇m−p f (n) Pelo lema 2 (p. 104), resulta: ∆ (p+1) ∇m f (n) = ∇m−p−1 f (n) Isto ´e, ∆ (p+1) ∇m f (n) = ∇m−(p+1) f (n) 

Defini¸ c˜ ao 5 (Primitiva de uma sequˆencia). Uma sequˆencia F satisfazendo F (n) = ∇m f (n) ´e chamada uma primitiva de ordem m da sequˆencia f . Se F ´e uma primitiva de ordem m de f , ent˜ ao F (n)+c, onde c ´e uma constante, tamb´em ´e. Exemplos: (a) Calcular a Primeira primitiva da sequˆencia dada por f (n) = an , para a 6= 1. Solu¸ c˜ ao: Pela equa¸ca˜o (2.8) (p. 96), temos ∇ f (n) =

n−1 X

∇0 f (i) + ∇ f (1)

i=1

Logo, ∇ f (n) = 1

2

n−1

n−1 X

ai + c1

i=1

A sequˆencia (a , a , . . . , a ) ´e uma progress˜ao geom´etrica onde a1 = a e q = a 6= 1, portanto podemos utilizar a f´ormula Sn =

a1 q n − a1 q −1

Sendo assim, resulta ∇ f (n) = Verifica¸ca˜o:

⇒

Sn−1 =

an − a a−1

an − a + c1 a−1

∇ F (n) = F (n + 1) − F (n) =

  an − a   an+1 − a + c1 − + c1 = an a−1 a−1

106

(2.15)

Podemos utilizar o programa PAM9 (p. 100) para resolver este exemplo:

f (n) = an ⇒ ∇ f (n) =

an − a a−1

+ c1

Podemos fazer a verifica¸ca˜o utilizando o programa PAM7 (p. 86). Para isto, escreva na linha de comandos da tela anterior PAM7(|) (deixe o cursor entre os parˆenteses) e clique encima da express˜ao (fun¸ca˜o) que ser´a argumento de PAM7, tela esquerda, abaixo:

uma vez marcada a express˜ao clique COPY para obter uma c´ opia; ap´os, acrescente , 1 (primeira diferen¸ca), como na tela da direita, acima. Ao dar ENTER obtemos a tela da esquerda, abaixo.

Ap´os, apenas clique em simplify para simplificar, obtendo assim a tela da direita.

107

Podemos resumir nosso feito assim:

f (n) = an ⇒ ∇1 f (n) =

an − a a−1

+ c1 ⇒ ∆1 ∇1 f (n) = f (n) = an

(b) Calcular a Segunda primitiva da sequˆencia dada por f (n) = an , para a 6= 1. Solu¸ c˜ ao: Pela equa¸ca˜o (2.8) (p. 96), temos ∇2 f (n) =

n−1 X

i=1

∇ f (i) + ∇2 f (1)

Logo, utilizando (2.15), resulta ∇2 f (n) =

n−1 X

i=1

h ai − a i + c1 + c2 a−1

Logo, ∇2 f (n) = Simplificando, obtemos

n−1 1 X i (a − a) + (n − 1) c1 + c2 a − 1 i=1

F (n) = ∇2 f (n) =

 an − a a  (n − 1) + c2 + c1 − 2 (a − 1) a−1

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor verificar que ∆2 F (n) = ∆2 ∇2 f (n) = f (n) = an Vamos fazer a seguinte substitui¸ca˜o na equa¸ca˜o de F (n): a = 3, c1 = 1, c2 = 2. Ent˜ ao: F (n) = Simplificando, temos

 3n − 3 3  (n − 1) + 2 + 1 − (3 − 1)2 3−1 F (n) =

n 5 3n − 3 − + 4 2 2

108

(2.16)

Ainda a t´ıtulo de exemplo, vamos confirmar esta u ´ltima equa¸ca˜o na HP Prime . Vamos inicialmente calcular a segunda Soma da fun¸ca˜o dada por f (n) = 3n , assim:

F (n) = ∆2 3n = | {z }

Vamos substituir nesta express˜ao c1 = 1 e c2 = 2. Para isto a Calculadora disp˜oe da seguinte fun¸ca˜o: Substitui um valor por uma vari´ avel numa express˜ ao. Sintaxe: subst(Expr,Var=value) Escreva na linha de comando subst(|) (este tra¸co representa o cursor); ap´os, clique na express˜ao a ser avaliada, como na tela da esquerda, abaixo:

uma vez marcada a express˜ao clique COPY para obter uma c´ opia, figura da direita, acima. Ap´os, acrescente , c(1) = 1, c(2) = 2, como na tela da esquerda, abaixo. Ao dar ENTER obtemos a tela da direita, abaixo.

Ap´os, apenas clique em simplify para simplificar, obtendo a seguinte tela,

109

Agora basta conferir com a equa¸ca˜o (2.16), p. 108. Daremos agora uma outra prova do teorema 12 (p. 99), o qual repetimos: Teorema 16 (Teorema do gene - II). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j ∈ N ∪ { 0 }. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∇j anm = an(m+j) Prova: Considere a equa¸ca˜o ∆j anm = an(m−j) . Ent˜ ao, ∆j anm = an(m−j)

⇒

∆j an(m+j) = anm

Aplicando o operador ∇j a ambos os membros desta u ´ltima equa¸ca˜o, temos ∇j ∆j an(m+j) = ∇j anm

∇j anm = an(m+j)

⇒

 O teorema anterior justifica diagramas tais como: 1

4

9

16

25

...

3

5

7

9

...

P.A.1

2

2

2

...

P.A.0

P.A.2

o qual pode ser visto da seguinte perspectiva: ∇2 an0 :

1

4

9

16

25

...

∇1 an0 :

3

5

7

9

...

P.A.1

an0 :

2

2

2

...

P.A.0

P.A.2

Observe que at´e o presente momento ainda estamos devendo a demonstra¸ca˜o da equa¸ca˜o (1.20) (p. 53) para a soma de potˆencias dos naturais. A bem da verdade, ainda n˜ ao demonstramos que a sequˆencia dada por an = nm ´e uma P.A.m . Com o pr´oximo teorema vamos dar mais um passo no sentido de saldar este compromisso.

110

Teorema 17 (Caracteriza¸ca˜o de uma P.A.m ). Uma sequˆencia (an ) ´e uma P.A.m se, e somente se, ∆m an = c onde c ´e uma constante diferente de zero. Prova: (⇒) Se (an ) ´e uma P.A.m , ent˜ ao an = anm (para algum m ∈ N), logo aplicando o teorema do gene - I (p. 91) a esta equa¸ca˜o, obtemos ∆m anm = an0 6= 0 (⇐) Seja (an ) uma sequˆencia tal que ∆m an = c 6= 0. Podemos tomar esta constante n˜ ao nula para a semente de uma P.A.m ; isto ´e, podemos fazer an0 = c 6= 0. Portanto, ∆m an = an0 . Sendo assim, resulta: ∆m an = an0

⇒

∇m ∆m an = ∇m an0

⇒

an = anm

 Coment´ ario: Este teorema nos diz que se tomarmos m diferen¸cas em uma P.A.m obteremos uma sequˆencia constante e n˜ ao nula. Reciprocamente, se em uma dada sequˆencia tomarmos m diferen¸cas e obtivermos uma constante n˜ ao nula, ent˜ ao podemos concluir que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.A.m Observe que este teorema nos faculta uma outra defini¸ca˜o de P.A.m , assim: Defini¸ c˜ ao 6 (Progress˜ ao Aritm´etica de ordem m). Uma sequˆencia (an ) ´e uma progress˜ao aritm´etica de ordem m, se, e somente se, ∆m an = constante 6= 0 Exemplos: (a) Determine o termo geral da sequˆencia (an ) assim definida: a1 = −1 e an+1 − an = 4n ,

n≥1

Solu¸ c˜ ao: Observe que an+1 − an = ∆ an = 4n. Logo, ∆ ∆ an = ∆2 an = 4(n + 1) − 4n = 4 Portanto, a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.A.2 . Lembramos: an2 = a12 + (n − 1)a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

Temos (confirme) a12 = −1, a11 = 4 e a10 = 4. Substituindo este valores na equa¸ca˜o anterior obtemos an = 2n2 − 2n − 1. (b) Observe que, a rigor, at´e o presente momento n˜ ao provamos que a sequˆencia dos ´ o que faremos agora: Mostre quadrados dos n´ umeros naturais est´ a em P.A.2 . E

111

que a sequˆencia dada por an = n2 ´e uma P.A.2 . Solu¸ c˜ ao: Pela equa¸ca˜o (2.3) (p. 85), temos ∆2 an = an+2 − 2 · an+1 + an = (n + 2)2 − 2 (n + 1)2 + n2 = 2 Portanto, pelo teorema 17 (p. 111), a sequˆencia dada ´e uma P.A.2 . (c) Mostre que a sequˆencia dos cubos do naturais, dada abaixo, ´e uma P.A.3 . 13

23

33

43

53

63

...

Solu¸ c˜ ao: Faremos de dois modos: i) Tomando sucessivas diferen¸cas: an :

1

8

27

64

125

216

∆1 an :

7

19

37

61

91

...

∆2 an : 12

18

24

30

...

6

6

...

∆3 an :

6

...

Portanto, pelo teorema 17 (p. 111), a sequˆencia dada ´e uma P.A.3 . ii) Este modo de resolu¸ca˜o, a bem da verdade, ´e mais rigoroso que o anterior − ´e o correto. Utilizaremos a equa¸ca˜o (2.2) (p. 85), adaptada, assim: m

∆ an =

m X

k

(−1)

k=0



m k



a(n−k+m)

Logo, 3

∆ an =

3 X

  3 a(n−k+3) (−1) k k

k=0

Ent˜ ao, ∆3 an = (−1)0

3 0




a(n−0+3) + (−1)1

3 1




a(n−1+3) + (−1)2

3 2




a(n−2+3) + (−1)3

Simplificando um pouco,         3 3 3 3 3 ∆ an = a(n+3) − a(n+2) + a(n+1) − a(n) 0 1 2 3 Substituindo an = n3 , resulta         3 3 3 3 ∆3 an = (n + 3)3 − (n + 2)3 + (n + 1)3 − n3 0 1 2 3 Logo, ∆3 an = 1 (n + 3)3 − 3 (n + 2)3 + 3 (n + 1)3 − 1 n3 = · · · = 6

112

3 3




a(n−3+3)

Observe, an passant, que toda esta contalhada ´e resolvida com um ou dois cliques na HP Prime , assim: (PAM7, p. 86)

an = n3 ⇒ ∆3 an = 6

Portanto, para a sequˆencia dada por an = n3 , resulta ∆3 an = 6 Pelo teorema 17 (p. 111), concluimos que a sequˆencia dada ´e uma P.A.3 .

2.3

Unifica¸ c˜ ao de sequˆ encias sob as P.A.m

Somente agora estamos em condi¸co˜es de unificar, sob as P.A.m , todas as sequˆencias que tˆem como f´ ormula do termo geral um polinˆomio. Vamos mostrar agora que a sequˆencia dada por an = nm ´e uma P.A.m . O teorema seguinte generaliza o exemplo anterior. Teorema 18. Para a sequˆencia dada por an = nm , onde m ´e um natural arbitrariamente fixado, ´e v´alida a seguinte identidade: ∆m an = m!

(2.17)

Prova: Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 1 (an = n), temos: ∆ an = an+1 − an = (n + 1) − n = 1 = 1! Suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para m = p (an = np ):

(H.I)

∆p an = p! Provemos que vale para m = p + 1 (an = np+1 ):

(T.I)

∆p+1 an = (p + 1)! Temos, ∆p+1 an = ∆p ∆ an Observe que ∆ an = ∆ np+1 Substituindo m = p + 1 na equa¸ca˜o (2.4) (p. 89), resulta: ∆ np+1 =

 p+1  X p+1 i

i=1

113

n(p+1)−i

(2.18)

Abrindo este somat´orio, obtemos:

∆ np+1 =

p+1 1




np +

p+1 2




p+1 p

np−1 + · · · +

Substituindo este desenvolvimento na equa¸ca˜o (2.18), temos: n
p−1
p p+1 n + ··· + n + p+1 ∆p+1 an = ∆p ∆ an = ∆p 2 1




p+1 1




∆p np +

p+1 2




p+1 p

∆p np−1 + · · · +




p+1 p+1




p+1 p+1

p+1 p

Sendo assim, resulta:

∆p+1 an =

n1 +

n+

∆p n +

Utilizando a hip´ otese de indu¸ca˜o e o resultado (2.5) (p. 90), obtemos   p+1 ∆p+1 an = ∆p np = (p + 1) p! = (p + 1)! 1

p+1 p+1







n0


o 1

∆p 1

 Vamos ilustrar teorema 18 (p. 113) para m = 3. Ou seja, para a sequˆencia dada por an = n3 , a seguinte identidade se verifica ∆ n3 = 3! ,

n = 1, 2, 3, . . .

Veja o significado desta identidade no seguinte diagrama: an : 1

8

27

64

125

...

∆1 an : 7

19

37

61

...

P.A.2

∆2 an : 12

18

24

...

P.A.1

→ ∆3 an : 6

6

...

P.A.0

P.A.3

Dois corol´ arios imediatos do teorema 18 s˜ao: Corol´ ario 2. Se (an ) ´e a sequˆencia dada por an = am nm + am−1 nm−1 + · · · + a1 n + a0 com am 6= 0, ent˜ ao (an ) ´e uma P.A.m . Prova: Tendo em conta a linearidade do operador ∆ e o resultado (2.5) (p. 90), resulta ∆m an = m! am  Corol´ ario 3. Para m, n ∈ N vale a seguinte identidade: m X

k=0

(−1)k



m k



(n + m − k)m = m!

114

Prova: Basta aplicar a equa¸ca˜o (2.2) (p. 85) com f (n) = nm . No apˆendice mostramos que se



p(x) = am xm + am−1 xm−1 + · · · + a1 x + a0 com x ∈ R ou x ∈ C, ent˜ ao vale a seguinte identidade: m X

k=0

k

(−1)



m k



p(x + m − k) = m! am

Nas telas a seguir temos trˆes simula¸co˜es desta identidade:

Na tela da esquerda temos o polinˆomio p(x) = 4x3 + 1. Digite na linha de introdu¸c˜ ao da HP Prime assim, p(x) := 4 ∗ x ∧ 3 + 1. A calculadora faz distin¸ca˜o entre fun¸ c~ ao e express~ ao. Por exemplo, p(x) := 3 ∗ x ∧ 4 − 10,

´e uma fun¸ca˜o.

p := 3 ∗ x ∧ 4 − 10,

´e uma express˜ao.

p(x, y) := 5 ∗ x ∗ y − 3,

´e uma fun¸ca˜o.

p := 5 ∗ x ∗ y − 3,

´e uma express˜ao.

Ou seja, uma fun¸ca˜o possui um ou mais argumentos, como deve ser; j´a uma express˜ao n˜ ao possui argumentos. Na tela do centro temos o polinˆomio p(x) = 3x4 − 10, na tela da direita p(x) = 5x4 − 6x3 + 2x − 1.

115

2.4

Exerc´ıcios propostos

78) Seja f (n) = n2 − 9n + 5, calcule ∆ f (n). 79) Sendo f (n) = n2 − 9n + 5, determine, caso exista, o valor de n para o qual ∆ f (n) = 0. 80) Seja f (n) = n3 , resolva as seguintes equa¸co˜es: a) ∆0 f (n) = 125

b) ∆1 f (n) = 127

d) ∆3 f (n) = 6

e) ∆4 f (n) = 0

c) ∆2 f (n) = 36

81) Usando a equa¸ca˜o (2.2) (p. 85) calcule, para a fun¸ca˜o dada por f (n) = n3 , as seguintes sequˆencias : b) ∆2 f (n)

a) ∆ f (n)

82) Dado an = n3 , calcule: a) ∆1 f (1)

c) ∆3 f (n) b) ∆2 f (2)

c) ∆3 f (3).

83) Seja f (n) = 2n3 − 3n2 + 8n + 3, resolva as seguintes equa¸co˜es: a) ∆1 f (n) = 223

b) ∆2 f (n) = 66

c) ∆3 f (n) = 12

84) Seja f (n) = 2 (∀ n ∈ N). Encontre: b) ∇2 f (n) (dados c1 = 3, c2 = 1)

a) ∇ f (n) (dado c1 = ∇ f (1) = 3)

85) Seja an = n + 1, encontre ∇ an (dado c1 = 1). 86) Seja f (n) = 6(n + 1) resolva as seguintes equa¸co˜es: a) ∇ f (n) = 127 b) ∇2 f (n) = 343

(dado c1 = ∇ f (1) = 7) (dados c1 = 7, c2 = 1)

87) Seja f (n) = 1 (∀ n ∈ N), resolva as seguintes equa¸co˜es: a) ∇ f (n) = 50

(dado c1 = 3)

b) ∇2 f (n) = 28

(dados c1 = c2 = 3)

c) ∇3 f (n) = 84

(dados c1 = c2 = 3, c3 = 1)

88) Calcule ∇2 f (n) para a fun¸ca˜o dada por f (n) = 6(n + 1) (com c1 = 7, c2 = 1). 89) Calcule a Primeira Soma da sequˆencia dada por f (n) = 2n , com c1 = 1. 90) Seja f (n) = 3n , calcule ∇2 f (n). Tome c1 = 3/2 e c2 = 0. 91) Dadas as sequˆencias f e g mostre que ∆ f · g(n) = f (n + 1) ∆ g(n) + g(n) ∆ f (n) 92) Usando a f´ ormula anterior calcule ∆ h(n), onde h(n) = (2n − 1)(n2 + 1)

116

93) Dadas as sequˆencias f e g mostre que ∆ f /g(n) =

g(n)∆ f (n) − f (n)∆ g(n) g(n + 1)g(n)

94) Usando a f´ ormula anterior calcule ∆ h(n), onde h(n) = 95) Dada h(n) =

n2 − 1 n+1 ,

calcule ∆ h(n).

96) Dada h(n) =

n3 − 1 n−1 ,

calcule ∆2 h(n).

n+1 n−1

97) Seja an = n3 , mostre que ∆3 an = 3!. 98) Seja (an ) tal que ∆2 an = 2. Escolha constantes apropriadas tais que an = ∇2 ∆2 an = n2 99) Sendo h(n) =

1 , calcule ∆m h(n), onde m ´e um natural arbitr´ario. n

100) Para um m´ovel em M.R.U.V. mostre a seguinte identidade: v(t + 1) =

2 s(t + 1) − 2 s(t) − a 2

101) Encontre a sequˆencia y que satisfaz as seguintes condi¸co˜es: ∆2 y − n = 1,

y(1) = y(2) = 1.

102) Encontre uma sequˆencia y satisfazendo a condi¸ca˜o y(n + 1) − y(n) + 2n − n = 0 103) Encontre uma sequˆencia (yn ) satisfazendo a condi¸ca˜o yn+1 − yn = 2n , 104) Dada a sequˆencia an = 4 − 105) Dada a sequˆencia an = 4 −


1 2 2 ,
1 2 2

com y1 = 4. calcule ∆ an .

, calcule ∇ an (tome c1 = 0).

106) Sendo a1 = 1, a2 = 4 e an+2 − 2 an+1 + an = 2. Encontre a f´ormula do termo geral de an . 107) Mostre, via teorema da caracteriza¸ca˜o (p. 111), que a sequˆencia dada por an = a n2 + b n + c ´e uma P.A.2 .

117

Um Belo Desafio! - II − A quem interessar possa.

Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequˆencia dos quadrados dos n´ umeros naturais,

22

32

42

52

62

72

...

No diagrama a seguir, 1

4

9

16

25

36

49

3

5

7

9

11

13

...

2

2

2

2

2

...

...

cas entre os termos da primeira sequˆencia. Considere a produzimos duas diferen¸ sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais, 13

23

33

43

53

63

73

...

No diagrama a seguir, 1

8

27

64

125

216

343

7

19

37

61

91

127

...

12

18

24

30

36

...

6

6

6

6

...

...

produzimos trˆ es diferen¸ cas entre os termos da primeira sequˆencia.

Desafio: Considere a sequˆencia dos naturais `a m-´esima potˆencia: a(n) = nm , onde m ´e um natural arbitrariamente fixado. Fa¸ca um programa onde entramos com m e j e o mesmo saia com uma f´ormula para a sequˆencia que corresponde `a diferen¸ca de ordem j da sequˆencia a(n) = nm . Nota: Resolvemos este Desafio na HP Prime . Na tela da esquerda fazemos duas simula¸co˜es para o primeiro diagrama acima, a(n) = n2 . Na tela do centro fazemos duas simula¸co˜es para o segundo diagrama acima, a(n) = n3 . Na tela da direita, a partir da f´ ormula dada geramos os 10 primeiros termos das respectivas sequˆencias.

Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/07.08.2016

118

2.5

Apˆ endice

Demonstra¸c˜ oes Teorema 8

(p. 85) Para todo n´ umero m, natural arbitrariamente fixado, a seguinte identidade se verifica: m X

∆m f (n) =

(−1)k

k=0





m k

f (n − k + m)

Prova: Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 1, temos:   1 X 1 f (n − k + 1) ∆1 f (n) = (−1)k k k=0

Ent˜ ao,     1 1 1 f (n − 1 + 1) f (n − 0 + 1) + (−1) ∆ f (n) = (−1) 1 0 1

0

Logo, ∆1 f (n) = f (n + 1) − f (n)

O que est´ a de acordo com a equa¸ca˜o (2.1) (p. 82). Suponhamos a validade da f´ormula para m = p: (H.I.)   p X p f (n − k + p) (−1)k ∆p f (n) = k k=0

e provemos que vale para m = p + 1: ∆p+1 f (n) =

p+1 X

(T.I.)

(−1)k

k=0



p+1 k



Com efeito, da defini¸ca˜o 3 (p. 82), temos:


f n − k + (p + 1)

∆p+1 f (n) = ∆p f (n + 1) − ∆p f (n) Da hip´otese de indu¸ca˜o, temos ∆p f (n + 1) =

p X

(−1)k

k=0

 
p f (n + 1) − k + p k

Subtraindo desta equa¸ca˜o a hip´ otese de indu¸ca˜o, resulta:   p X
p f (n + 1) − k + p (−1)k ∆p f (n + 1) − ∆p f (n) = k k=0

−

p X

(−1)k

k=0

119

  p f (n − k + p) k

Fa¸camos a seguinte troca de ´ındices no segundo somat´orio acima, p X

(p. 18)

    p+1 X
p p (k−1) f (n + 1) − k + p (−1) f (n − k + p) = (−1) k−1 k k

k=0

k=0

Sendo assim, para a express˜ao p X

    p X
p p k f (n − k + p) (−1) f (n + 1) − k + p − (−1) k k k

k=0

k=0

Resulta, p X

    p+1 X

p p (k−1) (−1) f (n + 1) − k + p − (−1) f (n + 1) − k + p k k−1 k

k=0

k=0

Ou ainda, p X

(−1)k

k=0

    p+1 X

p p f (n + 1) − k + p (−1)k f (n + 1) − k + p + k−1 k k=0

Tendo ainda em conta a conven¸ca˜o dada na p´ agina 18, para esta mesma express˜ao resulta: p+1 X

(−1)k

k=0

    p+1 X

p p f (n + 1) − k + p (−1)k f (n + 1) − k + p + k−1 k k=0

Simplificando esta express˜ao, temos: p+1 X

k=0

   
p p + (−1) f (n + 1) − k + p k k−1 k

Usando a rela¸ca˜o de Stiefel, obtemos p+1 X

k=0

(−1)k



p+1 k



f (n + 1) − k + p




Sendo assim resulta ∆p+1 f (n) = ∆p f (n + 1) − ∆p f (n) =

p+1 X

k=0

que ´e a tese de indu¸ca˜o.

(−1)k



p+1 k




f n − k + (p + 1) 

120

Teorema 19. Para q(x) = xm com x ∈ N ou x ∈ R ou x ∈ C, ent˜ ao ´e v´alida a seguinte identidade: m X

k

(−1)

k=0



m k



q(x − k + m) = m!

Prova: Dividiremos a prova em duas partes: i) x ∈ C. Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 1, temos, q(x − k + 1) = (x − k + 1)1 Logo, 1 X

      1 1 1 1 1 1 0 (x − 1 + 1)1 (x − 0 + 1) + (−1) (x − k + 1) = (−1) (−1) 1 0 k k

k=0

= (x + 1) − x = 1 = 1! Suponhamos a validade da equa¸ca˜o para m = p:   p X p (x − k + p)p = p! (−1)k k

(H.I.)

Vamos mostrar a validade para m = p + 1:

(T.I.)

k=0

p+1 X

(−1)k

k=0



p+1 k




p+1 x − k + (p + 1) = (p + 1)!

Vamos trabalhar a hip´ otese de indu¸ca˜o. Inicialmente temos:     p X
p p p p p+1 k (x − k + p) + (−1) x − (p + 1) + p = p! (−1) p+1 k k=0

Isto ´e, p+1 X

(−1)k

k=0

Ainda, p+1 X

  p (x − k + p)p = p! k

p+1−k (−1) p+1

k=0

k



p+1 k



(x − k + p)p = p!

(2.19)

Observe que, por hip´ otese, a igualdade acima vale para todo x ∈ C. Vamos substituir x por y de modo que (y − k + p)p (p + 1 − k) = (x − k + p + 1)p+1

(2.20)

Esta ´e uma equa¸ca˜o polinomial em y, portanto tem solu¸ca˜o em C. Sendo assim, temos:   p+1 X
p+1 p+1 (−1)k x − k + (p + 1) = p! (p + 1) = (p + 1)! k k=0

121

Observe que a equa¸ca˜o (2.20) n˜ ao garante y real. ii) x ∈ R. Inicialmente vamos demonstrar a tese de indu¸ca˜o para x = 0. Isto ´e, vamos mostrar que p+1 X

(−1)k

k=0



p+1 k




p+1 0 − k + (p + 1) = (p + 1)!

Ent˜ ao, p+1 X

(−1)k

k=0



p+1 k



(−k + p + 1)p+1 =

p X



(−1)k

k=0

p+1

+ (−1)



p+1 k

p+1 p+1





(−k + p + 1)p+1

− (p + 1) + p + 1

Portanto, p+1 X

k

(−1)

k=0



p+1 k



p+1

(−k + p + 1)

p X

=

k

(−1)

k=0



p+1 k




p+1

(−k + p + 1)p+1

O lado direito desta igualdade pode ser escrito assim: p X

(−1)k

k=0



p+1 k



(−k + p + 1)p+1 =

p X

(−1)k

k=0

= (p + 1)

p+1 p+1−k

p X

(−1)k

k=0

  p (−k + p + 1)p+1 k

  p (−k + p + 1)p k

Utilizando o corol´ ario 3 (p. 114) temos p X

k

(−1)

k=0



p+1 k



(−k + p + 1)p+1 = (p + 1) p! = (p + 1)!

Seja agora x 6= 0. Inicialmente observe que se p ´e ´ımpar ent˜ ao a equa¸ca˜o 2.20 (p. 121) tem uma solu¸ca˜o real. Deste modo basta considerar p sendo par, isto ´e, p = 2n. Neste caso a hip´ otese de indu¸ca˜o fica assim 2n X

k

(−1)

k=0



2n k



(x − k + 2n)2n = (2n)!

(2.21)

A tese de indu¸ca˜o fica assim: 2n+1 X

(−1)k

k=0



2n + 1 k




2n+1 x − k + (2n + 1) = (2n + 1)!

Vamos trabalhar a equa¸ca˜o (2.21) para chegar nesta equa¸ca˜o.

122

(2.22)

Pois bem, integrando o polinˆomio dado em (2.21), obtemos 2n X

k

(−1)

k=0



2n k



(x − k + 2n)2n+1 = (2n)! x 2n + 1

Ou ainda, 2n X



2n k



(x − k + 2n)2n+1 = (2n)! (2n + 1) x

(−1)k



2n k



(−1)k

k=0

Isto ´e,

2n+1 X k=0

(x − k + 2n)2n+1 = (2n + 1)! x

Esta equa¸ca˜o pode ser escrita assim 2n+1 X k=0

2n + 1 − k (−1) 2n + 1 k



2n + 1 k



(x − k + 2n)2n+1 = (2n + 1)! x

Esta equa¸ca˜o ´e v´alida para todo 0 6= x ∈ R. Olhando para a equa¸ca˜o (2.22), vamos escolher um deles, digamos y, tal que
2n+1 2n + 1 − k (y − k + 2n)2n+1 · = x − k + (2n + 1) 2n + 1 y

Isto ´e,


2n+1 2n + 1 x − k + (2n + 1) y 2n + 1 − k A equa¸ca˜o acima ´e polinomial em y e de grau ´ımpar, logo existe y ∈ R satisfazendo nossas necessidades. Observe que a equa¸ca˜o anterior n˜ ao garante y ∈ N. • Uma outra prova para o caso x = n ∈ N (q(x) = f (n) = nm = an ). Daremos agora uma outra prova para o teorema 18 (p. 113). (y − k + 2n)2n+1 =

∆m an = m! Devemos provar que

(eq. (2.2), p. 85)

∆m f (n) =

m X

(−1)k

k=0

Ou ainda, m

∆ f (n) =

m X

k

(−1)

k=0





m k

m k





f (n − k + m) = m!

(n − k + m)m = m!

Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 1, temos ∆1 f (n) =

1 X

k=0

(−1)k

  1 (n − k + 1)1 = (n + 1) − n = 1 = 1! k

123

Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para m = p (f (n) = np ): ∆p f (n) =

p X

(−1)k

k=0

(H.I)

  p (n − k + p)p = p! k

Provemos que vale para m = p + 1 (f (n) = np+1 ): ∆p+1 f (n) =

p+1 X

(−1)k

k=0



p+1 k



(T.I)


p+1 n − k + (p + 1) = (p + 1)!

Ent˜ ao, temos ∆p+1 f (n) =

p X

(−1)k

k=0



p+1 k




p+1 n − k + (p + 1) + (−1)p+1



p+1 p+1



np+1

Vamos utilizar o fato de que ∆p+1 f (n) = ∆p+1 (np+1 ) = constante. (p. 90) Tomando n = 0 na equa¸ca˜o precedente, temos: p+1

∆

f (0) =

p X

k

(−1)

k=0



p+1 k




p+1 0 − k + (p + 1) + (−1)p+1



p+1 p+1



0p+1

0u ainda, p+1

∆

f (n) =

p X

p+1 (−1) p+1−k k

k=0

Isto ´e, ∆p+1 f (n) = (p + 1)

p X

 
p+1 p − k + (p + 1) k

(−1)k

k=0

  p (1 − k + p)p k

Agora vamos utilizar a hip´otese de indu¸ca˜o, assim: p+1

∆

p X

  p f (n) = (p + 1) (1 − k + p)p = (p + 1) p! = (p + 1)! (−1) k k=0 | {z } k

∆p f (1) = p!

124



Programando f´ ormulas na HP Prime − Somas de ordem m na HP Prime Na tela a seguir

1

∇ f (n) =

n−1 X

i=1

∇1−1 f (i) + ∇1 f (1)

temos o programa que implementa a f´ormula da direita, isto ´e, a primeira Soma de uma sequˆencia . Vamos apenas comentar o comando g:=subst(f,n=k). Este comando redefine uma fun¸ca˜o trocando a vari´avel de n para k; por exemplo, assim:

f (n) = n2 + 1

g:=subst(f,n=k)

g(k) = k 2 + 1

Observe uma simula¸ca˜o: Iniciando com a tela da esquerda,

dando ENTER vamos para a tela da direita. Na tela a seguir digitamos o referido comando, dando ENTER temos a tela da direita.

125

Solu¸ca˜o do Um Belo Desafio! - II − A quem interessar possa. (p. 543). Resolvemos este Desafio em apenas uma linha!

((2.2), p. 85)

Uma diferen¸ ca (evolu¸ ca ~o) abissal!

126

Cap´ıtulo

3

Sequˆencias geom´etricas de ordem m No lugar da verdade ou da realidade, temos unicamente o limitado discurso humano, os sistemas de cren¸ca e os atos de interpreta¸c˜ ao que cada um de n´ os faz na pris˜ ao da linguagem ou da cultura. Desafiar essas pretensas “verdades”, desconstruir as suposi¸c˜ oes nas quais elas se ap´ oiam, ´e a tarefa da nossa ´epoca. (Danah Zohar, f´ısica e fil´osofa)

Enfatizamos que afirmaremos em diversas ocasi˜oes que uma dada sequˆencia ´e uma progress˜ao geom´etrica de ordem m ( P.G.m ), embora a prova seja postergada at´e encontrarmos uma caracteriza¸ca˜o de uma tal sequˆencia .

3.1

O princ´ıpio da dualidade

Desenvolveremos o estudo das progress˜oes geom´etricas de ordem m atrav´es do Princ´ıpio da Dualidade; este princ´ıpio comparece em teoria dos conjuntos e ´algebra de Boole, agora iremos aplic´ a-lo, pela primeira vez − assim cremos −, ao estudo das progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas. Vamos definir dualidade para os nosso prop´ ositos. Defini¸ c˜ ao 7. Chamamos de uma express˜ ao aritm´ etica ordenada uma express˜ ao da seguinte forma y = k0 a0 + k1 a1 + k1 a1 + · · · + kn an + · · · onde ai ∈ R∗ e ki ∈ Z. Ademais, definimos a express˜ao dual de y, denotada por y¯, por y¯ = ak0 0 × ak1 1 × ak2 2 × · · · × aknn × · · · Definimos tamb´em y¯ = y.

127

Isto ´e, dada uma express˜ao aritm´etica ordenada, para obter sua express˜ao dual, intermudamos soma e produto, enquanto seus coeficientes passam a ser expoentes na express˜ao dual (tamb´em chamada express˜ao geom´etrica ordenada). Veja o diagrama seguinte:

+

inversas

duais

×

− duais

inversas

÷

Eis alguns exemplos de express˜oes aritm´eticas ordenadas e suas respectivas duais: y = n a1

⇐⇒

y¯ = an1

b) y = a1 − a2

⇐⇒

y¯ = a1 × a−1 2

⇐⇒

y¯ =

⇐⇒

y¯ = a2 × a4

a)

c)

y=

n X

f (i)

i=1

d) y = a2 + a4

n Y

f (i)

i=1

Neste u ´ltimo caso, temos y = 0 a1 + a2 + 0 a3 + a4 . Enunciaremos agora o importante∗ : Princ´ıpio da Dualidade − “Se certos axiomas implicam em seus pr´oprios duais, ent˜ ao o dual de qualquer teorema que ´e uma consequˆencia dos axiomas, ´e tamb´em uma consequˆencia dos axiomas. Pois, dado qualquer teorema e sua demonstra¸ca˜o, o dual do teorema pode ser provado da mesma maneira usando-se o dual de cada etapa na demonstra¸ca˜o original.”. Vamos exemplificar o Princ´ıpio da Dualidade (PD) em progress˜oes aritm´eticas e geom´etricas. Defini¸co˜es: ( ( a1 = a a1 = a P.A. : P.G. : an = an−1 + r an = an−1 × q Observe que as defini¸co˜es anteriores s˜ao duais o que significa − segundo o PD − que a toda propriedade de uma P.A. corresponde uma “propriedade dual” de uma P.G. Exemplos: ∗

O enunciado foi extra´ıdo do livro Teoria dos Conjuntos de Seymour Lipschutz.

128

a) − Em uma P.A. limitada a soma de dois termos equidistantes dos extremos ´e igual a soma dos termos extremos. − Em uma P.G. limitada o produto de dois termos equidistantes dos extremos ´e igual a produto dos termos extremos. edia b) − Em uma P.A., qualquer termo, exceptuando-se os extremos, ´e m´ aritm´ etica entre o anterior e o seguinte. edia − Em uma P.G., qualquer termo, exceptuando-se os extremos, ´e m´ geom´ etrica entre o anterior e o seguinte. c) − F´ormulas do termo geral P.G.

P.A. an = a1 + (n − 1) r

an = a1 × q n−1

⇐⇒

d) − F´ormulas da Soma e Produto P.A.

P.G. n(n−1) 2

Sn = n a 1 +

Sn = Pn = an1 × q

⇐⇒

r

n(n−1) 2

Antes de definir as progress˜oes geom´etricas de ordem m vamos, a t´ıtulo de motiva¸ca˜o, dar a exemplos de tais sequˆencias , deixando a prova para momento oportuno. Qualquer progress˜ao geom´etrica serve como exemplo de uma progress˜ao geom´etrica de ordem um; Um exemplo de uma progress˜ao geom´etrica de ordem dois ´e dado pela sequˆencia a seguir: 1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

...

Um outro exemplo ´e dado pela sequˆencia seguinte: 22

1

43

84

165

2n(n−1)

...

...

O que estas sequˆencias tˆem em comum ´e o fato de os quocientes sucessivos entre seus termos consecutivos resultar em uma sequˆencia constante, veja: 1

1

−1

−1

1

1

...

1

−1

1

−1

1

...

∆1

−1

−1

−1

−1

...

∆2

1

22

43

84

165

326

...

22

24

26

28

210

...

∆1

22

22

22

22

...

∆2

∆0

Ainda,

Onde anotamos: ∆m an = m - ´esimo quociente da sequˆencia an .

129

∆0

3.2

Defini¸ c˜ ao

Nos livros que consultei n˜ ao encontrei as progress˜oes geom´etricas de ordem m. De qualquer forma, a defini¸ca˜o a seguir ´e in´edita. Defini¸ c˜ ao 8. Chama-se progress˜ao geom´etrica de ordem m ( P.G.m ) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:   an0 = q, q 6= 0, 1; n ≥ 1;    a1j = aj , aj 6= 0; j = 1, 2, . . . , m;    a =a × a(n−1)(m−1) , m ≥ 1, n ≥ 2. nm (n−1)m Onde: (i) m ≥ 1 ´e um natural arbitrariamente fixado. (ii) q e aj s˜ao constantes dadas. Podemos chamar q de raz˜ ao ou semente da P.G. de ordem m. Por defini¸ca˜o, q 6= 0, 1. (iii) an0 = q (n ≥ 1) significa que uma P.G. de ordem zero tem todos os seus termos constantes (´e uma sequˆencia constante). Comparando a defini¸ca˜o anterior com a defini¸ca˜o de uma P.A.m (p. 16): Defini¸ c˜ ao 1. Chama-se progress˜ao aritm´etica de ordem m ( P.A.m ) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:   an0 = r, r 6= 0, n ≥ 1;    a1j = aj , j = 1, 2, . . . , m;    a =a + a(n−1)(m−1) , m ≥ 1, n ≥ 2. nm (n−1)m vemos que s˜ao duais, o que implica que a toda propriedade de uma P.A.m corresponde uma propriedade dual para uma P.G.m .

130

Exemplo: Vejamos a ideia que est´ a por tr´as desta defini¸ca˜o. Vamos construir uma P.G.2 . Ent˜ ao, fixando m = 2, resulta:   an0 = q, q= 6 0, 1; n ≥ 1;    a1j = aj , aj = 6 0; j = 1, 2, . . . , m;    a =a × a(n−1)(2−1) , m ≥ 1, n ≥ 2. n2 (n−1)2

Devemos fornecer trˆes termos, representados por uma “bolinha” na figura: a12 • a11 • a10 • O termo a10 ´e repetido indefinidamente para a direita, assim: a12 • a11 • • a10

• a10

• a10

• ... a10

Resumindo at´e aqui, fornecemos uma sequˆencia constante e o primeiro termo das P.G.1 e P.G.2 . Em seguida construimos a P.G.1 atrav´es das seguintes multiplica¸ co ˜es sucessivas, veja:

a12 • a11 •

×

• a10

•

•

•

...

P.G.1

• a10

• a10

• ... a10

P.G.0

×

×

Uma vez construida a P.G.1 usamos esta para − ainda atrav´es de multiplica¸co˜es sucessivas − construir a P.G.2 , assim:

131

a12 •

•

•

•

...

P.G.2

a11 •

•

•

•

...

P.G.1

• a10

• a10

• ... a10

P.G.0

× ×

×

• a10

×

× ×

Este ´e o algoritmo para construirmos uma P.G. de qualquer ordem. Exemplo: Sejam q = an0 = −1, a11 = 1 e a12 = 1.   a = −1,   n0  a11 = 1, a12 = 1,     an2 = a(n−1)2 × a(n−1)(2−1) ,

Ent˜ ao, q 6= 0, 1; n ≥ 1; aj 6= 0; j = 1, 2. m ≥ 1, n ≥ 2.

Fornecemos trˆes termos, representados por uma “bolinha” na figura: a12 • = 1 a11 • = 1 a10 • = −1 O termo a10 ´e repetido indefinidamente para a direita, assim: 1

a12 • 1

a11 • −1

• a10

−1

• a10

−1

• a10

−1

• ... a10

Resumindo at´e aqui, fornecemos uma sequˆencia constante e o primeiro termo das P.G.1 e P.G.2 . Em seguida construimos a P.G.1 atrav´es das seguintes multiplica¸ co ˜es sucessivas, veja:

1

a12 • 1

a11 • −1

×

• a10

−1

1

•

•

−1

−1

×

• a10

×

• a10

132

−1

...

P.G.1

• ... a10

P.G.0

•

−1

Uma vez construida a P.G.1 usamos esta para − ainda atrav´es de multiplica¸co˜es sucessivas − construir a P.G.2 , assim:

1

a12 • 1

×

a11 • −1

×

• a10

1

•

−1

×

−1

•

×

1

•

•

−1

−1

×

• a10

×

• a10

−1

•

...

P.G.2

−1

...

P.G.1

• ... a10

P.G.0

•

−1

Observe que esta sequˆencia ´e de fato uma P.G.2 porque foi construida segundo a defini¸ca˜o. Oportunamente iremos dar uma outra caracteriza¸ca˜o de uma P.G.m . Uma das primeiras propriedades em uma P.G.m consta no seguinte Lema 3. Numa P.G.m o termo de ordem n ´e igual a multiplica¸ca˜o do primeiro termo, com a multiplica¸ca˜o dos n − 1 primeiros termos da P.G. de ordem m − 1. Isto ´e, a seguinte identidade se verifica: anm = a1m × P(n−1)(m−1)

(3.1)

A t´ıtulo de ilustra¸ca˜o do Princ´ıpio da Dualidade, vamos deduzir e demonstrar a igualdade anterior fazendo uma “clonagem” do que foi feito nas P.A.m . Isto ´e, na demonstra¸ca˜o da propriedade dual (p. 18) trocaremos soma por multiplica¸ c˜ ao, veja: Dedu¸ c˜ ao: Da f´ ormula de recorrˆencia que define uma P.G.m , temos: a2m = a1m × a1(m−1) a3m = a2m × a2(m−1) a4m = a3m × a3(m−1) · · ························ · · anm = a(n−1)m × a(n−1)(m−1) Multiplicando estas n − 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados obtemos: anm = a1m × P(n−1)(m−1) Onde: P(n−1)(m−1) ´e o produto dos n − 1 termos iniciais da P.G.m−1 .

133

Prova: Indu¸ca˜o sobre n. n = 1:

a1m = a1m × P(1−1)(m−1) | {z }

0

1

=1

Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para n = p, isto ´e:

(H.I.)

apm = a1m × P(p−1)(m−1) E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e:

(T.I.)

a(p+1)m = a1m × P((p+1)−1)(m−1) Da f´ ormula de recorrˆencia, temos:

(def. 8, p. 130)

a(p+1)m = apm × ap(m−1) = a1m × P(p−1)(m−1) + ap(m−1) = a1m × P((p+1)−1)(m−1) 

3.3

F´ ormula do termo geral de uma P.G.m

Mais uma vez, a t´ıtulo de ilustra¸ca˜o, vamos nos valer do Princ´ıpio da Dualidade para deduzir e demonstrar a f´ormula do termo geral de uma P.G.m . Dedu¸ c˜ ao: Inicialmente considere a equa¸ca˜o do termo geral de uma P.A.m : anm =

 m  X n−1 a1(m−j) j j =0

Isto ´e, anm =



     n−1 n−1 n−1 a1(m−0) + a1(m−1) + · · · + a10 0 1 m

Tomando a express˜ao dual (i.e, trocando soma por produto), obtemos: m Y ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) j ) 1 ) m ) anm = a1(m−0) × a1(m−1) × · · · × a10 a1(m−j) = j =0

P Observe que ormula do termo geral de uma P.A.m trocamos soma ( )
Q na f´ por produto ( ) e o fator n−1 passou a ser expoente na f´ormula do termo geral j de uma P.G.m . Sendo assim podemos enunciar o seguinte teorema:

134

Teorema 20 (F´ ormula do termo geral de uma P.G.m ). Em uma P.G.m o n − ´esimo termo vale:

m Y ( n−1 j ) = a1(m−j)

anm

(3.2)

j =0

Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Isto ´e, basta trocar soma por produto na demonstra¸ca˜o da f´ ormula do termo geral de uma P.A.m , p. 25.  Observe que para calcular o n-´esimo termo de uma P.G.m necessitaremos conhecer, a priori, o primeiro termo de todas as sequˆencias anteriores, ´e o que nos diz o coeficiente a1(m−j) (j = 0, 1, . . . , m) na equa¸ca˜o (3.2).

Algoritmo Vamos sugerir um algoritmo para se obter os termos a1(m−j) ,

para j = 0, 1, . . . , m.

Oportunamente provaremos tal algoritmo. Dada a P.G.m (m ≥ 1) tomamos sucessivos quocientes entre termos consecutivos das P.G.s de ordem m, m − 1, . . . , 1 e tomamos o primeiro termo de cada uma destas sequˆencias. Exemplos: (a) Encontre a f´ ormula do termo geral da seguinte∗ P.G.2 : 1

1

−1

−1

1

−1

1

−1

...

Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na f´ ormula (3.2) (p. 135), obtemos: an2 =

2 Y ( n−1 j ) a1(2−j)

j =0

Simplificando, obtemos: ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) an2 = a12 × a11 × a10

(3.3)

Para encontrar os coeficientes a11 e a10 aplicamos o algoritmo, assim: 1 1 −1 ∗

1 ÷ ÷

−1

÷

−1

−1

−1

1

1

−1

...

−1

...

...

No momento oportuno provaremos que de fato trata-se de uma P.G.2 .

135

Ou ainda,

(ver p. 552)

a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o (3.3) e simplificando, obtemos: ( n−1 2 ) an2 = (−1) (b) Sabendo-se que a sequˆencia 1

1

1

−1

1

1

−1

1

1

1

1

...

´e uma P.G.3 , encontre a f´ormula do termo geral. Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 3 na f´ormula (3.2) (p. 135), obtemos: an3 =

3 Y ( n−1 j ) a1(3−j)

j=0

Simplificando, obtemos: ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) an3 = a13 × a12 × a11 × a10

(3.4)

Para encontrar os coeficientes aplicamos o algoritmo, ent˜ ao: a13 →

1

1

1

−1

1

1

...

a12 →

1

1

−1

−1

1

...

P.G.2

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.3

Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o (3.4) e simplificando, obtemos: ( n−1 3 ) an2 = (−1) Apenas a t´ıtulo de curiosidade, desta f´ormula e da sequˆencia correspondente, concluimos:   n−1 ´e ´ımpar se, e somente se, n ´e m´ ultiplo de 4. 3 Deixamos esta proposi¸ca˜o como exerc´ıcio ao leitor.

136

3.4

P.G.m em fun¸ c˜ ao dos seus pr´ oprios termos

Na determina¸ca˜o do n-´esimo termo de uma P.G.m existe um certo incˆ omodo em ter que recorrer ao primeiro termo das progress˜oes de ordens anteriores; al´em do que, se quisermos escrever um programa computacional para encontrar este n´esimo termo isto ser´a uma complica¸ca˜o adicional. A f´ormula seguinte nos permite obter (para j = 1, 2, . . . , m) uma P.G.m em fun¸ca˜o apenas de seus pr´oprios termos. Teorema 21. Em uma P.G.m ´e v´alida a seguinte identidade:

a1(m−j) =

j Y

(−1)k

( kj )

a(1−k+j)m

(3.5)

k=0 Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Esta ´e a equa¸ca˜o dual de (1.16), p. 40.



− P.G.m em fun¸c˜ ao dos seus pr´ oprios termos na HP Prime Na tela a seguir

a1(m−j) =

j Y

(−1)k ( j ) k a(1−k+j)m

k=0

temos o programa que implementa a f´ormula da direita. Como ilustra¸ca˜o, considerando o exemplo da p´ agina 136, entrando com os quatro primeiros termos em um vetor, a13 →

1

1

1

a12 →

1

1

−1

a11 →

1

−1

−1

a10 → −1 o programa nos devolve os coeficientes em destaque no diagrama acima.

137

3.5

Propriedade fundamental de uma P.G.m

Em uma progress˜ao geom´etrica o quociente entre dois termos consecutivos quaisquer ´e constante e igual ` a pr´opria raz˜ ao da P.G., isto ´e an+1 = q an Este fato ´e uma decorrˆencia imediata da pr´opria defini¸ca˜o. Pois bem, perguntamos se existiria uma rela¸ca˜o equivalente para uma P.G.m . A resposta est´ a no seguinte: Teorema 22 (Propriedade Fundamental das P.G.m ). m + 1 termos consecutivos de uma P.G.m , (anm ), est˜ ao relacionados pela seguinte identidade:

m Y

( mk )

(−1)k

a(n−k+m)m = a10

(3.6)

k=0 Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Esta equa¸ca˜o ´e a dual de (1.17), p. 44.



Exemplos: (a) Trˆes termos consecutivos de uma P.G.2 satisfazem a seguinte rela¸ca˜o

2 Y

(−1)k

( k2 )

a(n−k+2)2 = a10

k=0 Isto ´e,

2 2 2 (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) (−1)2 ( ) 0 1 2 a(n−0+2)2 · a(n−1+2)2 · a(n−2+2)2 = a10

Simplificando, −2

1

1

a(n+2)2 · a(n+1)2 · an2 = a10 Ou ainda, abandonando o segundo ´ındice, −2

an+2 · an+1 · an = a10 = q (b) Mostre que a rela¸ca˜o anterior ´e satisfeita pela sequˆencia abaixo: ( n−1 2 ) an = (−1) Solu¸ c˜ ao: (n+1)−1 −2 ( ( (n+2)−1 ) ) ( n−1 −2 2 2 2 ) an+2 · an+1 · an = (−1) · (−1) · (−1)

138

(p. 135)

Ou ainda, n −2 ( ) ( n+1 ( n−1 −2 2 ) 2 2 ) an+2 · an+1 · an = (−1) · (−1) · (−1)

Isto ´e, n n−1 −2 ( )+( ( n+1 −2 2 ) 2 2 ) an+2 · an+1 · an = (−1) = −1

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar a seguinte identidade:       n+1 n n−1 −2 + = 1 2 2 2 Coment´ ario: Segundo o teorema fundamental, toda P.G.m satisfaz a equa¸ca˜o (3.6) (p. 138), mas n˜ ao estamos autorizados a concluir a reciproca. Dizemos: deste exemplo n˜ ao estamos autorizados a concluir que a sequˆencia em quest˜ ao seja uma P.G.2 .

Produto dos termos de uma P.G.m

3.6

Para uma progress˜ao geom´etrica temos a seguinte f´ormula para o produto dos seus n primeiros termos Pn = an1 · q

n(n−1) 2

Este resultado ´e generalizado no seguinte: Teorema 23 (Produto dos termos de uma P.G.m ). Em uma P.G.m o produto Pnm dos n termos iniciais vale

Pnm

m n Y ( j+1 ) = a1(m−j)

(3.7)

j=0

Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Esta equa¸ca˜o ´e a dual da (1.18), p. 47.



Exemplo: Encontre o produto dos n termos iniciais da seguinte P.G.2 : 1

1

−1

−1

1

1

−1

Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na f´ ormula (3.7), obtemos: Pn2 =

2 n Y ( j+1 ) a1(2−j)

j =0

Simplificando, obtemos: ( n1 ) ( n2 ) ( n3 ) Pn2 = a12 · a11 · a10

139

−1

...

Do algoritmo retiramos os coeficientes, assim: a12 →

1

1

−1

−1

1

...

a11 →

1

−1

1

−1

...

P.G.1

a10 → −1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o precedente e simplificando: ( n3 ) Pn2 = (−1)

3.7

Quocientes de ordem m

O objetivo desta se¸ca˜o, juntamente com a pr´oxima, ´e fornecer subs´ıdios `aqueles que desejarem demonstrar os teoremas sobre as P.G.m diretamente, isto ´e, sem recorrer ao Princ´ıpio da dualidade; al´em do que, devemos buscar uma caracteriza¸ca˜o de uma P.G.m . Iniciamos definindo o operador quociente de ordem m. Defini¸ c˜ ao 9. Dada uma sequˆencia f : N → R (f (n) 6= 0, ∀ n ∈ N) definimos o Quociente de ordem m de f pela seguinte f´ormula de recorrˆencia:   ∆0 f (n) = f (n), 

∆m f (n) = ∆m−1 f (n + 1) / ∆m−1 f (n), m ≥ 1, n ≥ 1.

∞ Observe que ∆m ´e um operador de R∞ ∗ em R∗ . Por exemplo, para m = 1, temos

f ∆

∆f

Onde, ∆1 f (n) = ∆1−1 f (n + 1) / ∆1−1 f (n) Ou ainda, ∆ f (n) = ∆0 f (n + 1) / ∆0 f (n) Isto ´e, ∆ f (n) = f (n + 1) / f (n)

140

(3.8)

Para m = 2, temos f

∆2 f

∆2

Onde, ∆2 f (n) = ∆ f (n + 1) / ∆ f (n) = [ f (n + 2) / f (n + 1) ] = f (n + 2) ×

f (n + 1)

Portanto, ∆2 f (n) = f (n + 2) ×

.

f (n + 1)


−2

[ f (n + 1) / f (n) ]


−2

× f (n)

× f (n) =

f (n + 2) · f (n)
2 f (n + 1)

Exemplos: 2 (a) Dado f (n) = 2n − 1 , calcule ∆ f (n), ∆ f (1), ∆2 f (n) e ∆2 f (1). Solu¸ c˜ ao: Temos

∆ f (n) = f (n + 1) / f (n) = 2(n+1)

2

−1

2

/ 2n

−1

= 2 · 4n Logo, ∆ f (1) = 2 · 41 = 8. Por outro lado, temos,

∆2 f (n) =

=

f (n + 2) · f (n)
2 f (n + 1) 2(n+2)

2

−1

2(n+1)

2

· 2n − 1 = 4
2 2 −1

Logo, ∆2 f (1) = 4.

141

(b) Mostre que o Quociente de ordem 1 (ou Primeiro Quociente) de uma P.G.1 resulta em uma P.G.0 . Isto ´e, mostre a seguinte identidade ∆ an1 = an0 n−1

Solu¸ c˜ ao: Temos, an1 = a11 × a10 . Ent˜ ao: ∆ an1 = a(n+1)1 / an1 (n+1)−1

= [ a11 × a10 = a10 = an0

]

.

n−1

[ a11 × a10 ]

(c) Mostre que o Primeiro Quociente de uma P.G.2 resulta em uma P.G.1 e que o Segundo Quociente resulta em uma P.G.0 . Isto ´e, mostre as seguintes identidades (ii) ∆2 an2 = an0

(i) ∆ an2 = an1 Solu¸ c˜ ao: (i) Temos, n−1

(n−1)(n−2) 2

an2 = a12 × a11 × a10 Ent˜ ao:

∆ an2 = a(n+1)2 / an2 Isto ´e, (n+1)−1

∆ an2 = a12 × a11

((n+1)−1)((n+1)−2) 2

× a10

Fazendo as devidas simplifica¸co˜es, obtemos:

. (n−1)(n−2) n−1 a12 × a11 × a10 2

n−1

∆ an2 = a11 × a10 (ii) Temos,

∆2 an2 = a(n+2)2 × a(n+1)2 = a10 = an0


−2

× an2

Os c´ alculos ficam por conta do leitor. Recorrer ` a defini¸ca˜o 9 (p. 140) para o c´ alculo do m-´esimo Quociente ´e um tanto quanto enfadonho. A f´ormula seguinte nos fornece o m-´esimo Quociente sem recursividade. Teorema 24 (m-´esimo Quociente). Para todo n´ umero m, natural arbitrariamente fixado, a seguinte identidade se verifica:

∆m f (n) =

m Y

k=0 142

(−1)k

(m k )

f(n−k+m)

(3.9)

Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Esta equa¸ca˜o ´e a dual de (2.2), p. 85.



Exemplos: (a) O Terceiro Quociente vale: ∆3 f (n) =

3 Y

(−1)k ( 3 ) k f(n−k+3)

k=0

Desenvolvendo, temos 3 3 3 3 (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) (−1)2 ( ) (−1)3 ( ) 0 1 2 3 ∆3 f (n) = f(n−0+3) × f(n−1+3) × f(n−2+3) × f(n−3+3)

Ou ainda, ∆3 f (n) = [ f (n + 3) ]1 · [ f (n + 2) ]−3 · [ f (n + 1) ]3 · [ f (n) ]−1 Apenas a t´ıtulo de curiosidade, observe que os coeficientes 1, 3, 3, 1 encontramse na terceira linha do tri^ angulo aritm´ etico de Pascal, veja: 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

1

6

4

1

1 5 10 10 5 1 ···································· · · 2

(b) Mostre que o Segundo Quociente da sequˆencia dada por an = 2n constante. Solu¸ c˜ ao: Temos 2 2 Y (−1)k ( ) k ∆ 2 an = a(n−k+2)

−1

´e uma

k=0

Desenvolvendo,

2 2 2 (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) (−1)2 ( ) 0 1 2 ∆2 an = a(n−0+2) × a(n−1+2) × a(n−2+2)

Ou ainda, · an ∆2 an = a(n+2) · a−2 (n+1)

(3.10)

Substituindo, ∆2 an = 2(n+2)

2

−1

·

2(n+1)

143

2


− 1 −2

2

· 2n

−1

=4

( n−1 3 ) (c) Calcule o Terceiro Quociente da sequˆencia dada por an = (−1) . Solu¸ c˜ ao: Do exemplo (a) temos ∆3 f (n) = [ f (n + 3) ]1 · [ f (n + 2) ]−3 · [ f (n + 1) ]3 · [ f (n) ]−1 Logo, 1

∆3 an = (−1)

( (n+3)−1 ) 3

−3

· (−1)

( (n+2)−1 ) 3

3

· (−1)

( (n+1)−1 ) 3

−1

· (−1)

( n−1 3 )

Simplificando, 1

∆3 an = (−1)

−3 ( n+1 )+3 ( n )−1 ( n−1 ) ( n+2 3 ) 3 3 3

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que o expoente na equa¸ca˜o acima ´e identicamente 1. Sendo assim, temos: ∆3 an = −1 Adendo: Ao fazer a diagrama¸ca˜o desta p´ agina me ocorreu que se         n+2 n+1 n n−1 1 −3 +3 −1 = 1 3 3 3 3 e tendo em conta que os coeficientes num´ericos nesta igualdade constam na na linha 3 do TAP, veja: 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

1 5 10 10 5 1 ···································· · ···· n˜ ao nos custa nada conjecturar que para a linha seguinte do triˆangulo tenhamos:           n+3 n+2 n+1 n n−1 1 −4 +6 −4 +1 = 1 4 4 4 4 4 De fato isto foi confirmado na HP Prime . Pois bem, deixamos como exerc´ıcio ao leitor formular a conjectura geral e demonstr´a-la − ou refut´a-la, evidentemente.

144

− Quocientes de ordem m na HP Prime Na tela a seguir

m

∆ f (n) =

m Y

(−1)k

(m k )

f(n−k+m)

k=0

temos um programa que expande a f´ ormula da direita. Por exemplo, na tela

Ver p´ aginas 141, 143.

rodamos o programa para trˆes valores de m, digo, m = 1, 2, 3. O programa a seguir recebe uma sequˆencia e a ordem m do Quociente que se deseja,

2

Na tela da direita fizemos duas simula¸co˜es com a sequˆencia f (n) = 2n − 1 do exemplo (a) da p´ agina 141. Isto ´e, o programa calcula o Primeiro e o Segundo Quocientes desta sequˆencia. Ademais, simulamos o ´ıtem (i) do exemplo (c) da p´ agina 142; isto ´e, observamos que o Primeiro Quociente de uma P.G.2 ´e uma P.G.1 . Vamos agora demonstrar duas importantes propriedade do operador Quociente de ordem m.

145

Teorema 25. As seguintes identidades s˜ao v´alidas: ∆m f × g (n) = ∆m f (n) × ∆m g(n)

(i)

∆m f /g (n) = ∆m f (n) / ∆m g(n)

(ii) Prova: Apˆendice.

(p. 177)



´ v´alida a seguinte identidade: Corol´ ario 4. E ∆m f (n) = ∆m−1 ∆ f (n) Prova: Princ´ıpio da Dualidade.



O seguinte teorema assegura que se tomarmos j Quocientes sucessivos entre termos consecutivos de uma P.G.m obteremos uma P.G.m−j . Teorema 26 (Teorema do gene - III). Seja m um natural arbitrariamente fixado e seja j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∆j anm = an(m−j)

(3.11)

Prova: Princ´ıpio da Dualidade.  Este teorema justifica o algoritmo dado na p´ agina 135 para se obter os termos a1(m−j) , uma vez que

para j = 0, 1, . . . , m.

a1(m−j) = ∆j anm

n=1

;

j = 0, 1, . . . , m.

Justifica ademais, diagramas tais como: 1

1

−1

−1

1

1

...

1

−1

1

−1

1

...

P.G.1

−1

−1

−1

−1

...

P.G.0

P.G.2

o qual pode ser visto da seguinte perspectiva: an2 :

1

1

−1

−1

1

1

...

∆1 an2 :

1

−1

1

−1

1

...

P.G.1

∆2 an2 :

−1

−1

−1

−1

...

P.G.0

146

P.G.2

A f´ormula seguinte

j Y

j

an(m−j) = ∆ anm =

(−1)k

( kj )

a(n−k+j)m

k=0 nos fornece a P.G. de ordem m − j (j = 1, 2, . . . , m) a partir da P.G.m . Exemplo: Obter an1 a partir da sequˆencia ( n−1 2 ) an2 = (−1) Solu¸ c˜ ao: (m = 2, j = 1). Temos: 1 Y

an(2−1) =

1 (−1)k ( ) k a(n−k+1)2

k=0

Ent˜ ao, 1 1 (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) 0 1 an1 = a(n−0+1)2 × a(n−1+1)2

Isto ´e, 1

−1

an1 = a(n+1)2 × an2 Portanto, 1

an1 = (−1)

( (n+1)−1 ) 2

−1

× (−1)

( n−1 2 )

n−1

= (−1)

Devemos ainda convergir esfor¸cos para demonstrar um teorema de caracteriza¸ca˜o para as P.G.m . Com este desiderato em mente definiremos um novo operador.

3.8

Produtos de ordem m

Defini¸ c˜ ao 10. Dada uma sequˆencia f : N → R definimos o Produto de ordem m de f pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:  0 f (n) = f (n),      j f (1) = cj , cj 6= 0, j = 1, 2, . . . , m.      m m−1 f (n) = m f (n − 1) × f (n − 1) , m ≥ 1, n ≥ 2. ∆ ∆

∆

∆

∆

∆

j Onde f (1) = cj s˜ao constantes arbitr´arias dadas. A f´ormula seguinte nos fornece o m-´esimo Produto sem que tenhamos necessidade da f´ ormula de recorrˆencia.

147

Teorema 27. Sendo m um natural arbitrariamente fixado ´e v´alida a seguinte identidade:

m−1

∆

n−1 Y

f (n) =

∆

i=1

f (i) ×

∆

m

m

f (1)

(3.12)

Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Esta ´e a equa¸ca˜o dual de (2.8), p. 96.



Exemplos: n−1 (a) Encontre o Primeiro Produto da sequˆencia f dada por f (n) = (−1) . Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 1 na equa¸ca˜o (3.12), temos: 0

∆

∆

i=1

f (i) ×

1

∆

n−1 Y

f (n) =

f (1)

Da f´ ormula de recorrˆencia (def. 10, p. 147) temos i−1

f (i) = f (i) = (−1)

e

∆

0

1

f (1) = c1

∆ Sendo assim, temos

f (n) =

n−1 Y

i−1

(−1)

∆

i=1

Logo,

f (n) = (−1)

(n−1)(n−2) 2

× c1

× c1

∆ Ou ainda,

( n−1 2 ) f (n) = (−1) × c1

∆

Nota: Para calcular o produt´orio usamos a f´ormula (3.7) (p. 139) com m = 1. Posteriormente daremos uma caracteriza¸ca˜o de uma P.G.m . Observe que o produt´orio pode se transformar em um somat´orio − quando estamos trabalhando com potˆencias de expoentes inteiros:

f (n) =

n−1 Y

i−1

(−1)

∆

i=1

n−1 X

i=1

× c1 = (−1)

i−1 × c1

No caso do somat´orio devemos usar a equa¸ca˜o (1.18) (p. 47). n−1

(b) Encontre o Segundo Produto da sequˆencia f dada por f (n) = (−1) Solu¸ c˜ ao: Substituindo m = 2 na equa¸ca˜o (3.12), temos: n−1 Y

i=1

∆

f (n) =

1

f (i) ×

148

∆

2

2

f (1)

.

∆

Do exemplo anterior, temos 1

f (i) = (−1)

(i−1)(i−2) 2

× c1

∆ Logo,

n−1 Y

f (n) =

∆

i=1



(−1)

(i−1)(i−2) 2

× c1

Calculando este produt´orio, resulta 2



×

∆

2

2

f (1)

( n−1 3 ) · (−1) · c2

n−1

f (n) = c1

∆

(c) Mostre que o Primeiro Produto de uma P.G.0 ´e uma P.G.1 . Isto ´e, mostre que a seguinte identidade ´e v´alida: 1

an0 = an1

∆ Solu¸ c˜ ao: Temos

0

ai0 × c1

∆

an0 =

n−1 Y

∆

1

0

ai0 × c1

∆

i=1

Sendo assim, temos 1

an0 =

n−1 Y

∆

i=1

=

n−1 Y

a10 × c1

i=1 n−1

× c1

= a10

Sendo c1 uma constante arbitr´aria, tomemos c1 = a11 . Sendo assim, temos 1

n−1

an0 = a11 × a10

= an1

∆

Vamos agora demonstrar duas importantes propriedade do operador Produto de ordem m. Teorema 28. As seguintes identidades s˜ao v´alidas:

∆

m

f /g (n) =

m

m

f (n) ×

f (n) /

∆

∆

f × g (n) =

∆

∆

(ii)

m

∆

(i)

m

Prova: Apˆendice.

m

g(n)

g(n) (p. 178) 

Teorema 29 (Teorema Q - P Fundamental - I). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: j

∆m f (n) = ∆m−j f (n)

149

(3.13)

∆

Prova: Princ´ıpio da Dualidade.

(p. 102) 

´ v´alida a seguinte identidade Lema 4. E ∆

f (n) =

m−1

∆

m

f (n)

∆

Prova: Princ´ıpio da Dualidade.

(p. 88)  O seguinte teorema, juntamente com o teorema anterior estabelece que os operadores Produto e Quociente de ordem m s˜ao “inversos” um do outro.

Teorema 30 (Teorema Q - P Fundamental - II). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j um natural tal que 0 ≤ j ≤ m. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: ∆

∆j

m

f (n) = ∆m−j f (n)

(3.14)

Prova: Princ´ıpio da Dualidade.

(p. 105)  m O teorema seguinte afirma que se tomarmos j Produtos em uma P.G. obteremos uma P.G.m+j .

Teorema 31 (Teorema do gene - IV). Seja m um natural arbitrariamente fixado e j ∈ N ∪ { 0 }. Nestas condi¸co˜es a seguinte identidade se verifica: j

anm = an(m+j)

(3.15)

∆ Prova: Princ´ıpio da Dualidade.

(p. 99)  Com o aux´ılio dos teoremas do gene podemos dar a seguinte caracteriza¸ca˜o de uma P.G.m .

Teorema 32 (Caracteriza¸ca˜o de uma P.G.m ). Uma sequˆencia (an ) ´e uma P.G.m se, e somente se, ∆ m an = c onde c ´e uma constante diferente de 1. Prova: Princ´ıpio da Dualidade.

(p. 111)  Coment´ ario: Este teorema nos diz que se tomarmos m Quocientes em uma P.G.m obteremos uma sequˆencia constante (6= 1). Reciprocamente, se em uma dada sequˆencia tomarmos m Quocientes e obtivermos uma constante diferente de 1, ent˜ ao podemos concluir que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.G.m . Observe que este teorema nos faculta uma outra defini¸ca˜o de P.G.m , assim:

150

Defini¸ c˜ ao 11 (Progress˜ ao Geom´etrica de ordem m). Uma sequˆencia (an ) ´e uma progress˜ao geom´etrica de ordem m, se, e somente se, ∆m an = constante 6= 1 Exemplos: (a) Determine o termo geral da sequˆencia (an ) assim definida: a1 = −1 e an+1 = (−1)n · an ,

n≥1

Solu¸ c˜ ao: Para a sequˆencia em quest˜ ao, temos an+1 = (−1)n = ∆ an an Ainda, ∆ 2 an =

(−1)n+1 = −1 (−1)n

A sequˆencia dada ´e uma P.G.2 . Temos, a12 = −1, a11 = −1 (confirme). Logo, an2 =

e a10 = −1

2 Y ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) j ) 1 ) 2 ) a1(2−j) = a12 × a11 × a10

j=0

Ent˜ ao, 1

n−1

an2 = (−1) × (−1)

× (−1)

(n−1)(n−2) 2

Simplificando,

an2 = (−1)

n2 − n + 2 2

(b) Observe que at´e o presente momento n˜ ao provamos que a sequˆencia a seguir ´e uma P.G.2 . ( n−1 2 ) an = (−1) ´ o que faremos agora. Vamos retomar a equa¸ca˜o (3.10) (p. 143): E · an ∆2 an = a(n+2) · a−2 (n+1)

151

Substituindo, ( (n+2)−1 )  ( (n+1)−1 ) −2 ( n−1 2 2 2 ) ∆2 an = (−1) · (−1) · (−1)

Portanto,

n n−1 −2 ( )+( ( n+1 2 ) 2 2 ) = −1 ∆ an = (−1)

2

Como resultou ∆2 an = −1, pelo teorema 32 (p. 150) est´ a provado que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.G.2 .


Sugerimos ao leitor mostrar que n+1 − 2 n2 + n−1 = 1. Sugest˜ ao: Use a 2 2 rela¸ca˜o de Stiefel (p. 68). A prop´ osito, temos novamente um caso especial da conjectura formulada na p´ agina 144. Esta conjectura pode ser escrita assim: m X

(−1)k

k=0



m k



n+m−1−k m



? = 1

(3.16)

onde m = 0, 1, 2, . . . ´e a linha m-´esima linha do Triˆ angulo de Pascal. Por exemplo, para m = 2, temos: 2 X

         2 n+1−k n+1 n n−1 = −2 + (−1) k 2 2 2 2 k

k=0

Por curiosidade, digitamos o lado esquerdo da equa¸ca˜o (3.16) na HP Prime e pedimos para calcular e simplificar, 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

1 5 10 10 5 1 ···································· · ···· de fato ela nos deu o valor 1. Isto vale como uma confirma¸ c˜ ao de nossa conjectura, c˜ ao∗ , que continua como um exerc´ıcio ao leitor. todavia, n˜ ao como uma demonstra¸ ∗

N˜ ao obstante o “incomensur´ avel respeito” que temos pela HP Prime .

152

Fun¸c˜ ao maior inteiro Demonstra-se (em An´alise Real, por exemplo) que se x ∈ R, existe um u ´ nico inteiro n tal que n ≤ x ≤ n + 1. O inteiro n ´e usualmente denotado por ⌊ x ⌋ e ´e chamado o maior inteiro que n˜ ao supera x. Assim, por exemplo: √ √ ⌊ 3, 9 ⌋ = 3 , ⌊ −3, 9 ⌋ = −4 , ⌊π⌋ = 3, ⌊ 2 ⌋ = ⌊ 3 ⌋ = 1. Na proposi¸ca˜o 6 (p. 181) listamos algumas propriedades da fun¸ca˜o maior inteiro.

Uma fam´ılia de progress˜ oes geom´ etricas de ordem m Para cada m, natural arbitrariamente fixado, a sequˆencia seguinte jn−1 k jn−1 k −2 +1 an = 4 m 2 2m−1

(3.17)

´e uma P.G. de ordem 2m−1 . Na verdade temos uma fam´ılia de progress˜oes geom´etricas (m = 1, 2, 3, . . .). Por exemplo, substituindo m = 2 nesta equa¸ca˜o obtemos a sequˆencia 1

1

−1

−1

1

1

−1

−1

...

Vamos exemplificar como se prova a assertiva anterior para um dado valor de m. Antes deveremos fazer algumas considera¸co˜es sobre Parti¸ c˜ ao dos naturais Para os seguintes subconjuntos de N: N1 = {1, 3, 5, 7, . . .},

n = 2k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = {2, 4, 6, 8, . . .},

n = 2k,

k = 1, 2, 3, . . .

temos, N1 ∪ N2 = N e N1 ∩ N2 = ∅. Por esta raz˜ ao dizemos que os conjuntos N1 e N2 formam uma parti¸ca˜o de N. Isto ´e, todo natural pertence a um e somente um destes conjuntos. Os trˆes seguintes subconjuntos de N: N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .},

n = 3k − 2,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = { 2, 5, 8, 11, . . .},

n = 3k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N3 = { 3, 6, 9, 12, . . .},

n = 3k,

k = 1, 2, 3, . . .

formam uma outra parti¸ca˜o de N. ´Idem para os quatro subconjuntos a seguir: N1 = { 1, 5, 9, 13, . . .},

n = 4k − 3,

k = 1, 2, 3, . . .

N2 = { 2, 6, 10, 14, . . .},

n = 4k − 2,

k = 1, 2, 3, . . .

N3 = { 3, 7, 11, 15, . . .},

n = 4k − 1,

k = 1, 2, 3, . . .

N4 = { 4, 8, 12, 16, . . .},

n = 4k,

k = 1, 2, 3, . . .

Deste modo obtemos quantas parti¸co˜es desejarmos.

153

Exemplo:   Para m = 1 a sequˆencia (3.17) (p. 153) fica an = 4 n−1 − 2n + 3. Vamos 2 mostrar que esta sequˆencia ´e uma progress˜ao geom´etrica. Temos    (n + 1) − 1  − 2(n + 1) + 3 ∆ an = an+1 /an = 4 2     . n−1  4 n2 − 2n + 1 − 2n + 3 =  n−1  4 2 − 2n + 3 4 2 ´ suficiente mostrar que este quociente ´e constante (6= 1) para todo natural n. E Vamos tomar a seguinte parti¸ca˜o de N: n = 2k − 1,

:

1, 3, 5, 7, . . .

n = 2k,

:

2, 4, 6, 8 . . .

Ent˜ ao, ( i ) n = 2k − 1. Temos   4 2k−1 − 2(2k − 1) + 1 2 ∆ an =  (2k−1)−1  − 2(2k − 1) + 3 4 2 =

4(k − 1) − 4k + 3 = −1. 4(k − 1) − 4k + 5

Portanto, ∆ an = −1, para n = 1, 3, 5, 7, . . .. ( ii ) n = 2k. Temos   4 2k − 2(2k) + 1 2 ∆ an =  (2k)−1  4 − 2(2k) + 3 2 =

4k − 4k + 1 = −1. 4(k − 1) − 4k + 3

Portanto, ∆ an = −1, para n = 2, 4, 6, 8, . . .. Logo, ∆ an = −1, para todo n natural, e isto conclui a prova de que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.G. de ordem um. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que para m = 2 a sequˆencia (3.17) ´e uma P.G.2 .

154

Vamos agora construir mais uma fam´ılia de sequˆencias geom´etricas, com o aux´ılio do triˆangulo de Pascal. Consideremos o triˆangulo em sua seguinte vers˜ao: 1 1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

··························· Se tomarmos cada um destes n´ umeros como expoente de base −1, teremos ( −1 )1

( −1 )1

( −1 )1

( −1 )1

( −1 )3

( −1 )1

( −1 )1

( −1 )2

( −1 )1

( −1 )4

( −1 )6

( −1 )3

( −1 )1

( −1 )4

( −1 )1

·········································· Isto ´e, -1 -1

-1

-1

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

1

1

1

-1

-1

-1

1

1

-1

-1

-1

1

-1

1

-1

1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

···················································· Fica como exerc´ıcio mostrar que a diagonal m (m = 0, 1, 2, . . .) est´ a em P.G.m de n-´esimo termo dado por ( n+m−1 ) m an = ( −1 )

155

Expans˜ ao bin´ aria e as P.G.m O objetivo desta se¸ca˜o ´e construirmos novas progress˜oes geom´etricas com o aux´ılio da expans˜ao bin´ aria (ou de base 2) de um inteiro positivo n. Aqui vamos t˜ ao somente afirmar que determinada sequˆencia ´e uma progress˜ao geom´etrica de certa ordem. O leitor tenha paciˆencia pois, a seu tempo, tudo se esclarecer´a. Dado um natural n, a express˜ao n = c0 · 2 0 + c1 · 2 1 + c2 · 2 2 + · · · onde os ci ∈ { 0, 1}, ´e chamada expans˜ao bin´aria de n (ou ainda, desenvolvimento bin´ ario de n). Um algoritmo para se obter o desenvolvimento bin´ario de um inteiro positivo n ´e o seguinte: Considere o vetor abaixo, 20

21

22

23

Por exemplo, vamos obter o desenvolvimento de n = 5. Verifique no vetor quais quadrado somam 5; no caso, 20 + 22 ; coloque 1 nestes quadrados, assim: 20 1

21

22 1

23

coloque 0 nas demais posi¸co˜es do vetor: 20 1

21 0

22 1

23 0

´ costume escrever 5 = ( 1 0 1 0 ) . Portanto, temos, 5 = 1 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 . E 2 Este vetor com quatro colunas nos permite a convers˜ao de um inteiro menor ou igual a 15 (24 − 1). Se quisermos converter um n´ umero maior que 15, teremos que acrescentar mais colunas ao vetor. Por exemplo, considere n = 25; mais uma coluna ´e suficiente, ent˜ ao: 20

21

22

23

24

Com este vetor podemos converter os n´ umeros de 0 a 31 (25 − 1). Por exemplo, para n = 25, temos 20 1

21 0

22 0

23 1

24 1

Ent˜ ao, 25 = 1 · 20 + 0 · 21 + 0 · 22 + 1 · 23 + 1 · 24 ⇒ 25 = ( 1 0 0 1 1 )2 Faremos uso da seguinte nota¸ca˜o:

µn2j ´e o bit de posi¸c˜ao j no desenvolvimento bin´ ario de n. 156

Estamos contando as posi¸co˜es da esquerda para a direita, iniciando em zero. Por exemplo, para 25 = 1 · 20 + 0 · 21 + 0 · 22 + 1 · 23 + 1 · 24 ⇒ 25 = ( 1 0 0 1 1 )2 temos

= 1. = 1, µ25 = 0, µ25 = 0, µ25 = 1, µ25 µ25 24 23 22 21 20 Podemos considerar,

= · · · = 0. = µ25 = µ25 µ25 27 26 25

Vamos agora dar mais um exemplo de uma fam´ılia de sequˆencias geom´etricas. Passaremos agora uma nuvem escura por sobre a cabe¸ca do leitor, mas, a seu tempo, esta se dissipar´a e tudo se far´ a luz ! Mostraremos, oportunamente, que a sequˆencia dada abaixo

an = 2m−1

   1,

se µn−1 = 0; 2m−1

 −1, se µn−1 = 1. m−1 2

´e uma P.G. , onde m ´e um natural arbitrariamente fixado. Para obter o n-´esimo termo desta sequˆencia procedemos assim: obtemos inicialmente o desenvolvimento bin´ ario de n − 1 e olhamos para o bit de posi¸ca˜o m − 1. Se este for 0 atribuimos 1 a an , caso contr´ario atribuimos −1 a an . Exemplos: ( a ) m = 2 (m − 1 = 1). Temos, n=1

(n − 1 = 0)

⇒

0 = ( 0 0 0 0 . . . )2

⇒

a1 = 1

n=2

(n − 1 = 1)

⇒

1 = ( 1 0 0 0 . . . )2

⇒

a2 = 1

n=3

(n − 1 = 2)

⇒

2 = ( 0 1 0 0 . . . )2

⇒

a3 = −1

n=4

(n − 1 = 3)

⇒

3 = ( 1 1 0 0 . . . )2

⇒

a4 = −1

n=5

(n − 1 = 4)

⇒

4 = ( 0 0 1 0 . . . )2

⇒

a5 = 1

O leitor, prosseguindo, vai se deparar com a seguinte P.G.2 : an :

1

1

−1

−1

1

1

−1

−1

( b ) m = 3 (m − 1 = 2). Temos, n=1

(n − 1 = 0)

⇒

0 = ( 0 0 0 0 . . . )2

⇒

a1 = 1

n=2

(n − 1 = 1)

⇒

1 = ( 1 0 0 0 . . . )2

⇒

a2 = 1

n=3

(n − 1 = 2)

⇒

2 = ( 0 1 0 0 . . . )2

⇒

a3 = 1

n=4

(n − 1 = 3)

⇒

3 = ( 1 1 0 0 . . . )2

⇒

a4 = 1

n=5

(n − 1 = 4)

⇒

4 = ( 0 0 1 0 . . . )2

⇒

a5 = −1

157

...

O leitor, prosseguindo, vai se deparar com a seguinte P.G.4 : an : 1

1

1

−1

1

−1

−1

−1

1

1

1

1

...

Observe que, alternativamente, podemos definir ( an ) como

µn−1 2m−1 an = ( −1 ) Para obter uma fam´ılia (anm )n∈N (m = 1, 2, . . .) de progress˜oes geom´etricas de ordem 3m−1 , proceda assim: para cada m, natural arbitrariamente fixado, desenvolva 3m−1 na base 2. Para encontrar o n-´esimo termo da sequˆencia (an ) desenvolva n − 1 na base 2 e compare os bits de mesma posi¸ca˜o em ambos os desenvolvimentos. Se algum bit do desenvolvimento de n − 1 for menor que o bit correspondente (i.e., de mesma posi¸ca˜o) do desenvolvimento de 3m−1 , atribua 1 a an , caso contr´ario atribua −1 a an . Exemplos: (a) m = 2 ⇒ 3m−1 = 32−1 = 3 ⇒ 3 = (1 1 0 0 . . .)2 . Ent˜ ao, desenvolvendo n − 1, se o bit de posi¸ca˜o zero, ou o bit de posi¸ca˜o um for 0, atribua 1 a an , caso contr´ario atribua −1. De outro modo:

an = Exemplos:

   1,

= 0; = 0 ou µn−1 se µn−1 21 20

  −1, caso contr´ ario.

n=1

(n − 1 = 0)

⇒

0 = ( 0 0 0 0 . . . )2

⇒

a1 = 1

n=2

(n − 1 = 1)

⇒

1 = ( 1 0 0 0 . . . )2

⇒

a2 = 1

n=3

(n − 1 = 2)

⇒

2 = ( 0 1 0 0 . . . )2

⇒

a3 = 1

n=4

(n − 1 = 3)

⇒

3 = ( 1 1 0 0 . . . )2

⇒

a4 = −1

n=5

(n − 1 = 4)

⇒

4 = ( 0 0 1 0 . . . )2

⇒

a5 = 1

O leitor, prosseguindo, vai se deparar com a seguinte P.G.3 : an : 1

1

1

−1

1

1

1

−1

1

1

1

−1

(b) m = 3 ⇒ 3m−1 = 33−1 = 9 ⇒ 9 = (1 0 0 1 . . .)2 . A sequˆencia fica assim:

an =

   1,

= 0; = 0 ou µn−1 se µn−1 23 20

  −1, caso contr´ ario. 158

...

a conferir o a qual ´e uma P.G.9 , isto ´e, ∆9 an = −1, ∀ n ∈ N. O leitor poder´ seguinte desenvolvimento para os 32 primeiros termos desta sequˆencia. 1

1

1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

1

1

Uma sequˆ encia especial A seguinte sequˆencia nos permite o c´ alculo de combina¸co˜es, como ser´a mostrado no cap´ıtulo 6 (onde faremos a dedu¸ca˜o da mesma):

an = ( −1 )

j

n−1 m−1 2

k

(3.18)

onde: (i) m ´e um natural arbitrariamente fixado; (ii) ⌊ x ⌋ ´e o maior inteiro menor ou igual a x. Para m = 2, por exemplo, temos a seguinte sequˆencia: 1

1

−1

−1

1

−1

1

−1

...

m−1

A sequˆencia dada por (3.18) ´e uma P.G.2 . Na verdade temos uma fam´ılia de progress˜oes geom´etricas (m = 1, 2, . . .). Agora mostraremos isto para m = 2.  n−1 

Exemplo: Mostre que a sequˆencia dada por an = ( −1 )

2

´e uma P.G.2 .

Solu¸ c˜ ao: Vamos retomar a equa¸ca˜o (3.10) (p. 143):

· an ∆2 an = a(n+2) · a−2 (n+1) Substituindo,  (n+2)−1 

∆2 an = ( −1 )

2

Simplificando,

·



 (n+1)−1 

( −1 )

 n+1 

2

∆ an = ( −1 )

2

2

−2

−2

 n−1 

· ( −1 )

 n   n−1  2 2 +

2

´ suficiente mostrar que o expoente acima (Exp.) ´e um inteiro ´ımpar para todo E n natural. Para tanto vamos tomar a seguinte parti¸ca˜o de N: n = 2k − 1,

:

1, 3, 5, 7, . . .

n = 2k,

:

2, 4, 6, 8 . . .

159

Ent˜ ao, ( i ) n = 2k − 1. Temos Exp. =

=

 n+1  2

−2

n 2

+

 n−1  2

 (2k − 1) + 1   (2k − 1)   (2k − 1) − 1  −2 + =1 2 2 2

Portanto, ∆ an = −1, para n = 1, 3, 5, 7, . . .. ( ii ) n = 2k. Temos Exp. =

=

 n+1  n  n−1 −2 + 2 2 2

 (2k)   (2k) − 1   (2k) + 1  −2 + = −1 2 2 2

Portanto, ∆ an = −1, para n = 2, 4, 6, 8, . . ..

Logo, ∆ an = −1, para todo n natural, e isto conclui a prova de que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.G.2 . A prova para o caso geral consta num apˆendice, p´ agina 181.

Unifica¸c˜ ao de sequˆ encias sob as P.G.m Ap´os caracterizarmos as progress˜oes geom´etricas de ordem m (teorema 32, p. 150) ainda resta uma pergunta: quais tipos de sequˆencias conseguimos unificar sob as P.G.m ? Defini¸ c˜ ao 12 (Polinˆomio dual). Dada uma sequˆencia de n´ umeros reais positivos ai > 0, ∀ i ; am 6= 1

(am , am−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ) , consideremos a fun¸ca˜o p : R → R dada por m

m−1

2

x p(x) = axm × am−1 × · · · × ax2 × ax1 × a0

c˜ ao dupolinomial ou dupolinˆ omio associada(o) `a a fun¸ca˜o p ´e denominada fun¸ sequˆencia dada.

Exemplos: 3

2

4

2

(a)

p(x) = 2x · 3x · 4−x ·

(b)

p(x) = 2x · 3x · 5

(c)

p(x) = 3x

2

1 2

⇔ ⇔

−1

⇔

160

2, 3, 41 ,

1 2




( 2, 1, 3, 1, 5 ) 3, 1,

1 3




m

m−1

2

x Defini¸ c˜ ao 13 (Grau). Seja p(x) = axm × am−1 × · · · × ax2 × ax1 × a0 um dupolinˆomio n˜ ao identicamente 1. Chama-se grau de p, e representa-se por ∂ p ou gr p, o n´ umero natural q tal que aq 6= 1 e ai = 1 para todo i > q.

∂p= q

  aq 6= 1;

⇐⇒

 a = 1, ∀ i > q. i

Os dupolinˆomios do exemplo anterior tˆem grau 3, 4 e 2 respectivamente. Pelo teorema da caracteriza¸ca˜o (p. 150), uma sequˆencia (an ) ´e uma P.G.m se, e somente se, ∆m an = c 6= 1. J´a vimos no estudo das P.A.m (p. 115) que dado um polinˆomio p(x) = am xm + am−1 xm−1 + · · · + a1 x + a0 a seguinte identidade se verifica:   m X m p(x + m − k) = m! am (−1)k k k=0

Pelo Princ´ıpio da Dualidade (ou por demonstra¸ca˜o direta, ver apˆendice, p. 180) m 2 xm−1 omio p(x) = axm × am−1 × · · · × ax2 × ax1 × a0 vale a seguinte para um dupolinˆ identidade:

m Y

(−1)k

(m k )

p(x+m−k)

= am! m

k=0 Exemplo: Seja p(x) = 3x

2

2 Y

k=0

−1

; substituindo m = 2 na identidade anterior temos:

2 2 2 2 (−1)k ( ) (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) (−1)2 ( ) k 0 1 2 p(x+2−k) = p(x+2−0) × p(x+2−1) × p(x+2−2)

Simplificando, 2 Y

k=0

Substituindo, 2 Y

k=0

2 (−1)k ( ) 1 −2 1 k p(x+2−k) = p(x+2) × p(x+1) × p(x)

2 −2  (−1)k ( ) 2 2 2 k p(x+2−k) = 3(x+2) −1 · 3(x+1) −1 · 3x −1

Simplificando,

161

(3.19)

2 Y

(−1)k

( k2 )

p(x+2−k)

= 32!

k=0

Para x = n ∈ N o lado esquerdo da identidade (3.19) ´e justamente o m-´esimo quociente, isto ´e, (p. 142)

m Y

(−1)k

( mk )

p(n+m−k)

= am! m

(3.20)

k=0 Conclus˜ ao: Toda sequˆencia que tem como f´ormula do termo geral um dupolinˆ omio m de grau m e tal que am! = 6 1 ´ e uma P.G. . m Exemplo: 2

(a) Sendo f : R → R definida por f (x) = 2x − 1 , encontre f (1) × f (2) × · · · × f (n) Solu¸ c˜ ao: Para valores naturais a fun¸ca˜o acima est´ a em P.G.2 , pois, ∆2 f (n) = 2! 2 = 4. A equa¸ca˜o (3.7) (p. 139) para m = 2 fica assim: Pn2 =

2 n Y ( j+1 ) a1(2−j)

j =0

Simplificando, obtemos: ( n1 ) ( n2 ) ( n3 ) Pn2 = a12 · a11 · a10 Como f (1) = 1, f (2) = 8 e f (3) = 256, do algoritmo retiramos os coeficientes, assim:

a12 → 1

8

a11 → 8

32

256

a10 → 4

162

Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o precedente e simplificando: Pn2 = 2

3

( n2 ) + 2 ( n3 )

= 2

n(n−1)(2n+5) 6

3

(b) Calcule o Terceiro Quociente da sequˆencia dada por an = (−1)n Solu¸ c˜ ao: Temos: 3 Y

k=0

−1

.

3 3 3 3 3 (−1)k ( ) (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) (−1)2 ( ) (−1)3 ( ) k 0 1 2 3 a(n+3−k) = a(n+3−0) · a(n+3−1) · a(n+3−2) · a(n+3−3)

Simplificando, 3 Y

k=0

3 (−1)k ( ) −1 3 −3 1 k a(n+3−k) = a(n+3) · a(n+2) · a(n+1) · a(n)

Substituindo, 3 Y

k=0

3 −3  (−1)k ( ) 3 3 k a(n+3−k) = (−1)(n+3) − 1 · (−1)(n+2) − 1



·

(−1)(n+1)

3

−1

3

·



3

(−1)n

−1

−1

= (−1)3!

Observe que como o Terceiro Quociente ´e igual a 1 esta sequˆencia n˜ ao ´e uma P.G.3 . Calculando o Primeiro Quociente, provamos que ela ´e uma P.G.1 , veja: 1 Y

1 1 1 (−1)k ( ) (−1)0 ( ) (−1)1 ( ) k 0 1 a(n+1−k) = a(n+1−0) · a(n+1−1)

k=0

Simplificando, 1 Y

k=0

Substituindo, 1 Y

k=0

1 (−1)k ( ) −1 k a(n+1−k) = a1(n+1) · a(n)

1 −1  (−1)k ( ) 2 3 3 k a(n+1−k) = (−1)(n+1) − 1 · (−1)n − 1 = (−1)3 n + 3 n + 1 = −1

O expoente acima ´e sempre ´ımpar, para todo n natural. Veja ainda de um outro ˆ angulo: 3

an = (−1)n

−1

2

= (−1)(n−1)(n

+n+1)

Isto ´e, an = (an ) ´e uma P.G.1 .



2

(−1)(n

+n+1)

(n−1)

163

= (−1)n−1

3.9

C´ alculo de combina¸ c˜ oes

Introdu¸c˜ ao: A conhecida f´ ormula da an´alise combinat´oria   n! n = (n − r)! r! r nos fornece o n´ umero de combina¸co˜es dos n elementos de um conjunto, tomados r a r. Mas esta f´ ormula n˜ ao nos fornece as tais combina¸co˜es. O nosso objetivo nesta se¸ca˜o ´e estabelecer uma f´ ormula que tem precisamente esta finalidade. Certa feita, desenvolvendo um trabalho de matem´atica deparei-me com a necessidade de calcular algumas combina¸co˜es, teria que desenvolver um programa computacional com esta finalidade. Por onde come¸car? Do meu curso de eletrˆ onica digital sabia que tabelas como, por exemplo, esta a seguir A

B

C

D

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

¯ B ¯ C D → A ¯ B C ¯ D → A

se presta para encontrarmos todas as combina¸co˜es poss´ıveis de vari´aveis (digitais). Fiz algumas tentativas para encontrar uma f´ormula que gerasse estas tabelas, todas fracassaram. Foi quando me veio a ideia de substituir 0 por −1, assim:

164

1

1

1

1

−1

1

1

1

1

−1

1

1

−1

−1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

1

1

−1

1

−1

1

−1

−1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

−1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

At´e ent˜ ao eu j´ a contava com o desenvolvimento das progress˜oes geom´etricas de ordem m. Pois bem, observe que os termos da coluna um (j = 1) est˜ ao em P.G.1 , onde an1 = (−1)n−1 . Os termos da coluna dois (j = 2), como j´a vimos (p. 135) ( n−1 2 ) est˜ ao em P.G.2 , onde an2 = (−1) . Vamos mostrar que os termos da coluna trˆes (j = 3) est˜ ao em P.G.4 , assim: 1

1

1

1

−1

−1

−1

...

1

1

1

−1

1

1

...

∆1

1

1

−1

−1

1

...

∆2

1

−1

1

−1

...

∆3

−1

−1

−1

...

∆4

Deste diagrama, tiramos (primeira coluna de cima para baixo): a14 = 1, a13 = 1, a12 = 1, a11 = 1, a10 = −1. Substituindo em, an4 =

4 Y ( n−1 j ) a1(4−j)

j =0

Ou ainda, em ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) 3 ) 4 ) an4 = a14 × a13 × a12 × a11 × a10

165

∆0

Obtemos para a sequˆencia da coluna j = 3, ( n−1 4 ) an4 = (−1) Visando a uma generaliza¸ca˜o, escrevemos: − Coluna j = 1, temos: n−1

( 1−1 ) ( n−1 1 ) an1 = (−1)n−1 = (−1) = (−1) 2 − Coluna j = 2, temos: n−1

( 2−1 ) ( n−1 2 ) an2 = (−1) = (−1) 2 − Coluna j = 3, temos: n−1

( 3−1 ) ( n−1 4 ) an3 = (−1) = (−1) 2 Agora fica f´ acil generalizar: o n-´esimo termo na sequˆencia ´e o i-´esimo termo na matriz. Sendo assim, temos: i−1

( 2j−1 ) aij = (−1)

(3.21)

Onde, para j = 1, 2, . . . , n e i = 1, 2, . . . , 2n , teremos a matriz (tabela) da p´ agina 165. Claro que tudo isto n˜ ao passa de uma dedu¸ca˜o emp´ırica − indu¸ca˜o vulgar −, contudo, a seu tempo, daremos uma prova de nossas afirma¸co˜es. j−1

Por exemplo, os termos da coluna j da referida matriz est˜ ao em P.G.2 A prop´ osito, terminamos por encontrar uma f´ormula que gera a matriz digital da p´ agina 164, esta:

aij =

   1 se  

0 se

i−1 2j−1 i−1 2j−1

166







´e par; ´e ´ımpar.

C´ alculo de combina¸c˜ oes A t´ıtulo de ilustra¸ca˜o, vejamos como encontrar todas as combina¸co˜es − ou subconjuntos − do seguinte conjunto: A = { a1 , a2 , a3 , a4 }. Todas as combina¸co˜es podem ser obtidas da seguinte matriz:

{ a1 ,

a2 ,

a3 ,

a4 }

1

1

1

1

−1

1

1

1

1

−1

1

1

−1

−1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

1

1

−1

1

−1

1

−1

−1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

−1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

{ a1 , a2 , a3 , a4 } { a2 , a3 , a4 }

{ a1 , a3 , a4 } { a3 , a4 }

{ a1 , a2 , a4 } { a2 , a4 }

{ a1 , a4 } { a4 }

{ a1 , a2 , a3 } { a2 , a3 }

{ a1 , a3 } { a3 }

{ a1 , a2 } { a2 }

{ a1 }

{

}

Convencionamos que onde ocorre 1 o elemento entra na combina¸c˜ao, onde ocorre −1 o elemento n˜ ao entra na combina¸ca˜o. Oportunamente provaremos que a matriz de combina¸ co ˜es efetivamente se presta para tal. Adendo: Costumo dizer que, enquanto a gesta¸ca˜o da mulher dura nove meses, a do homem pode durar anos. Deduzi a f´ormula

i−1

( j−1 ) aij = (−1) 2 por volta do ano de 1989 e, naturalmente, senti uma certa euforia (na ocasi˜ao estava precisando, desesperadamente, calcular algumas combina¸co˜es). Mas, n˜ ao obstante o deslumbramento inicial, confesso que a euforia foi fugaz. N˜ ao tardei a me entristecer, sobremaneira, com a f´ormula em quest˜ ao (entrei em depress˜ao p´ osparto. O leitor pode estar certo de que isto tamb´em acontece para quem concebe pelas vias intelectuais). Explico: Ao programar a f´ormula para o c´ alculo de algumas combina¸co˜es, observei que o resultado n˜ ao era o esperado. Revi cuidadosamente a dedu¸ca˜o da f´ ormula e n˜ ao encontrei nenhum erro. Algum tempo depois percebi

167

que o erro era computacional; mais precisamente de arredondamentos. Observe que no expoente da equa¸ca˜o devemos ter um n´ umero inteiro, par ou ´ımpar; no que ir´ a resultar +1 ou −1 na matriz. Como devemos lidar com valores elevados de combina¸co˜es, o computador far´a um arredondamento e, por vezes, o que seria um n´ umero ´ımpar (no expoente) vai ser arredondado para um n´ umero par e, vice-versa. Por exemplo, a calculadora (estamos falando da HP-48, uma das mais conceituadas∗ ) nos fornece o seguinte resultado: ( 60 20 ) ( −1 ) = ( −1 )4.19184450581E15 = 1, ( 60 20 ) = −1. enquanto o resultado correto ´e, ( −1 ) Como j´ a disse, fiquei assaz frustrado, pois minha f´ormula n˜ ao era confi´ avel do ponto de vista computacional. Uma pena, pois ´e uma f´ormula t˜ ao bonitinha. Desta forma foi que perdi todo o encantamento com este rebento, rebelde `a t´ecnica. . . Bem, cerca de dez anos depois (1999, precisamente), consegui a ressurei¸ca˜o do que fora reputado como in´ util. . . Atrav´es de um teorema† do matem´atico francˆes ´ Edouard Lucas (1842 − 1891) estabeleci a seguinte curiosa identidade (p. 157) i−1

( j−1 ) µi−1 aij = ( −1 ) 2 = ( −1 ) 2j−1 Ou seja, n˜ ao existe a necessidade de calcularmos o binomial constante na f´ormula, basta obter o bit de posi¸ca˜o j − 1, na expans˜ao bin´aria de i − 1. Ainda tem mais, na verdade n˜ ao precisamos desenvolver a expans˜ao bin´aria de i − 1 para aproveitar apenas um bit e descartar todos os demais, pois no cap´ıtulo 7 demonstramos uma f´ ormula que nos d´ a acesso direto a qualquer bit de um desenvolvimento bin´ario . . . E assim ´e que, ap´os uma d´ecada de afastamento (rejei¸ca˜o p´ os-parto), consegui me reaproximar de meu rebento. Agora iremos mostrar que, para j arbitrariamente fixado, a sequˆencia resultante j−1 da matriz (3.21) (p. 166) ´e, de fato, uma P.G.2 . Antes necessitaremos de um lema.

∗ †

Era a calculadora que eu utilizava na ´epoca. Teorema 51 , p. 397.

168

Lema 5. Seja q um natural arbitrariamente fixado e 0 ≤ m ≤ q. Nestas condi¸c˜ oes ´e v´ alida a seguinte identidade: n ( nq ) (q−m ) = ( −1 ) ∆m ( −1 )

Prova: Indu¸ca˜o sobre m. Para m = 0, temos: ( nq ) ( nq ) ∆0 ( −1 ) = ( −1 ) n (q−0 ) = ( −1 )

Admitamos a validade da proposi¸ca˜o para m = p (0 ≤ p < q): ( ) ( = ( −1 ) ∆p ( −1 ) n q

n q−p

(H.I.)

)

e provemos que vale para m = p + 1:

(T.I.)

( ( ) ∆p+1 ( −1 ) = ( −1 )

n q−(p+1)

n q

)

Inicialmente vamos mostrar que n ( nq ) (q−1 ) = ( −1 ) ∆ ( −1 )

De fato, ( nq ) ( n+1 ( nq ) q ) ∆ ( −1 ) = ( −1 ) / ( −1 ) n n − ( n+1 (q−1 ) q ) (q) = ( −1 ) = ( −1 )

onde na u ´ltima igualdade nos valemos da rela¸ca˜o de Stiefel. Agora basta usar a identidade ∆m f (n) = ∆m−1 ∆ f (n), assim: ( nq ) ( nq ) = ∆p ∆ ( −1 ) ∆p+1 ( −1 ) n (q−1 ) = ∆p ( −1 ) n (q−1−p ) = ( −1 ) n (q−(p+1) ) = ( −1 )

 Uma consequˆencia imediata deste lema ´e o seguinte Teorema 33. A sequˆencia ( an ) dada pela f´ ormula abaixo n−1

( j−1 ) an = ( −1 ) 2 j−1

´e uma P.G.2

, para cada j natural fixo.

169

Prova: Tome m = q = 2j−1 , no lema anterior. Um corol´ ario imediato deste teorema ´e



Corol´ ario 5. Para j, n ∈ N, ´e v´ alida a seguinte identidade: j−1

2X

k=0

k

( −1 )



2

j−1

k



j−1

n−k+2 2j−1

−1



≡1

( mod 2)

Prova: Basta substituir an na equa¸ca˜o (3.9), (p. 142). Observe que, ainda segundo o lema, a sequˆencia dada abaixo n−1

( j−1 ) an = ( −1 ) 3 j−1

´e uma P.G.3 , para cada j natural fixo. Tamb´em, para j, n ∈ N, ´e v´alida a seguinte identidade: j−1

3X

k=0

( −1 )k



3

j−1

k



j−1

n−k+3 3j−1

e assim por diante.

170

−1



≡1

( mod 2)



Nota: A bem da verdade, para obter a matriz que comparece em eletrˆ onica digital precisamos “inverter” a matriz da esquerda a seguir A

B

C

D

A

B

C

D

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

1

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

0

1

1

1

1

obtendo a matriz da direita. A f´ ormula para gerar a matriz digital ´e:

aij =

   1 se  

0 se

i−1 2N −j i−1 2N −j







´e par; ´e ´ımpar.

onde N ´e o n´ umero de vari´aveis l´ogicas. Para N = 4 teremos a matriz da direita, acima.

171

3.10

Exerc´ıcios propostos

108) Determine x de modo que (8, 16, 16, x) esteja em P.G.2 . 109) Determine x de modo que (9, 31 , 1, x) esteja em P.G.2 . √ √ √ 110) Os trˆes primeiros termos de uma P.G.2 s˜ao a1 = 2, a2 = 3 2 e a3 = 6 128. Encontre o 4 o termo. √ √
2− 3 111) Complete a P.G.2 ?, 3−1 , . 4 16  a 3 a 3 = 4. 112) Se (a1 , a2 , a3 , a4 ) ´e uma P.G.2 , mostre que a2 a1 113) Existe x de tal modo que sen x, cos x, uma P.G.2 ?

1 1 , formem, nesta ordem, sen x cos x

114) Encontre uma f´ ormula para o termo geral da sequˆencia abaixo:

para x =

π 2

e x=

3π 2 .

 2n − (−1)n + 1  an = sen x + π 4

115) Calcular o n-´esimo termo da P.G.2 (2, 2, −2, −2, . . .). 116) Qual ´e a posi¸ca˜o do termo 1 na P.G.2 (27, 243, 729, . . .)? 117) Determine a posi¸ca˜o do termo 928 na P.G.2 em que a10 = a11 = a12 = 3. 118) Determine o primeiro termo da P.G.2 em que a11 = 2, a10 = −1 e a202 = 524.888. 119) Determine a raz˜ ao da P.G.2 em que a12 = 3, a11 = 4 e a102 = 49 · 3−35 . 120) Determine o n´ umero de termos na P.G.2 em que a10 = 1/2, a11 = 4, a12 = 3 e de u ´ltimo termo igual a 3. 121) Dada a P.G.3 (3, 6, 12, −24, . . .), determine an3 , an2 , an1 e an0 . 122) Mostre que a sequˆencia a seguir ´e uma P.G.2 

2−1 , 2−1 , −2−1 , . . . , (−1)

n2 −3n+2 2

· 2−1 , . . .

123) Mostre que a sequˆencia a seguir ´e uma P.G.3  
2n−1 , ... 1, 3−3 , 3−10 , . . . , 31−n

124) Mostre que os trˆes primeiros termos de uma P.G.2 P.G.1 .



n˜ ao podem estar em

125) Calcular o produto dos n primeiros termos da sequˆencia abaixo: 

2, 2, −2, −2, . . . , 2 · (−1)

172

n2 −3n+2 2

,...



126) Sendo f : R → R definida por f (x) = 2x

2

+1

, encontre

f (1) × f (2) × · · · × f (n) 127) Sendo f : R → R definida por f (x) = 3 · 2x , encontre f (1) + f (2) + · · · + f (n) 128) Sendo f : R → R definida por f (x) = 2 · 3x , encontre f (1) × f (2) × · · · × f (n) 2

129) Sendo f : R → R definida por f (x) = ax , encontre f (1) × f (2) × · · · × f (n) 130) A sucess˜ao s dos n´ umeros 8, 64, 128, 64, . . . , ak possui a propriedade de que as raz˜ oes dk = ak+1 /ak , com k = 1, 2, 3, . . . formam uma P.G.1 , calcule o 10 o termo da sucess˜ao. 131) Na sequˆencia (a1 , a2 , a3 , . . .), onde a1 = 1 e an = an−1 · 2n , para todo n ≥ 2, calcule o produto dos n primeiros termos. 132) Seja f uma fun¸ca˜o tal que f (1) = f (2) = 1 e f (x + 2) =

2 f 2 (x + 1) f (x)

para todo valor real de x. Calcule f (n) para todo n. 133) Mostre que em toda fun¸ca˜o f : R → R da forma f (x) = ax · b (a, b ∈ R∗+ ) temos

f (x + 1) =a f (x)

134) Mostre que em toda fun¸ca˜o f : R → R da forma 2

f (x) = ax · bx · c (a, b, c ∈ R∗+ ) temos

f (x + 2) · f (x) = a2 f 2 (x + 1)

135) Mostre que em toda fun¸ca˜o f : R → R da forma 3

2

f (x) = ax · bx · cx · d (a, b, c, d ∈ R∗+ ) temos

f (x + 3) · f 3 (x + 1) = a6 f 3 (x + 2) · f (x)

136) Seja f (n) = 2n(n−1) , calcule ∆ f (n). 137) Seja f (n) = 2n(n−1) , determine, caso exista, o valor de n para o qual ∆ f (n) = 1024. 138) Seja f (n) = 2

−n2 +5n+4 2

(i) ∆0 f (n) =

1 210

, resolva as seguintes equa¸co˜es (ii) ∆1 f (n) = 1

173

(iii) ∆2 f (n) = 2

139) Usando a equa¸ca˜o (3.9) (p. 142) calcule os seguintes quocientes para a fun¸ca˜o ( n3 ) dada por f (n) = (−1) . (i) ∆1 f (n)

(ii) ∆2 f (n)

n3 − 1

140) Dado an = (−2)

(iii) ∆3 f (n)

, calcule:

(i) ∆1 f (n)

(ii) ∆2 f (n) n(n−1) 2

141) Dada a sequˆencia an = 2 142) Dada a sequˆencia an = 8 143) Dada a sequˆencia an =

−

1 2

144) Dada a sequˆencia an = 8

, resolva a equa¸ca˜o ∆ an = 128.

n(n−1) 2

·8

(iii) ∆3 f (n)

, resolva a equa¸ca˜o ∆ an =

n(n−1) 2

n(n−1) +1 2

1 64 .

, resolva a equa¸ca˜o ∆ an = 256.

, resolva a equa¸ca˜o ∆ an =

√ 3 45n−1 .

145) Seja f (n) = −1. Encontre: ∆

n2 + 1

146) Seja an = (−1)

, encontre

n+1

147) Seja f (n) = (−2)

(ii) 1

2

f (n) (c1 = −1, c2 = 1)

an (dado c1 = 2).

, resolva a equa¸ca˜o

∆

f (n) (c1 = −1) ∆

1

∆

(i)

1

f (n) = 214 (c1 = 1).

148) Seja f (n) = −1. Resolva as seguintes equa¸co˜es: f (n) = 2 (c1 = 2) 2

150) Seja f (n) =

(ii)

2

f (n) = 25 (c1 = c2 = 1)

f (n) para f (n) = −2 · (−2)n (dados c1 = c2 = 1). 1 2


n

, resolva a equa¸ca˜o

∆

∆

∆

149) Calcule

1

∆

(i)

151) Sejam as fun¸co˜es dadas por f (n) = 2 seguintes identidades:

f (n) = n2 − 1

1 com c1 = 32. 240

e g(n) = 3

n+1

.

Verifique as

−1

. Verifique as

(i) ∆ f × g(n) = ∆ f (n) × ∆ g(n) (ii) ∆ f /g(n) = ∆ f (n)/ ∆ g(n) 2

152) Sejam as fun¸co˜es dadas por f (n) = (−1)n e g(n) = (−2)n seguintes identidades: (i) ∆2 f × g(n) = ∆2 f (n) × ∆2 g(n) (ii) ∆2 f /g(n) = ∆2 f (n)/ ∆2 g(n)

3

153) Mostre, pelo teo. da caracteriza¸ca˜o (p. 150 ), que a sequˆencia an = (−2)n ´e uma P.G.3 . ( n−1 3 ) 154) Mostre que a sequˆencia dada por an = −(−1) ´e uma P.G.3 .

174

155) Demonstre, por indu¸ca˜o finita, a f´ormula do n-´esimo termo de uma P.G.m , equa¸ca˜o (3.2), p. 135. 156) Demonstre a f´ ormula (3.7) (p. 139) para o produto dos n termos iniciais de uma P.G.m . 157) Demonstre a f´ ormula (3.9) (p. 142) para o m-´esimo quociente. 158) Demonstre a f´ ormula (3.12) (p. 148) para o m-´esimo produto. 159) Demonstre o teorema do gene - III (p. 146). 160) Aplicando dualidade na demonstra¸ca˜o do teorema 12 (p. 99) demonstre o teorema 31 (p. 150).  n−1  161) Mostre que a sequˆencia dada por an = ( −1 ) 4 ´e uma P.G.4 .  n−1   n−1  −2 2 + 1 ´e uma P.G.2 162) Mostre que a sequˆencia dada por an = 4 4

163) Fa¸ca um programa computacional, na linguagem de sua preferˆencia, para m−1

implementar a seguinte P.G.2

an =

:

   1,

se µn−1 = 0; 2m−1

 −1, se µn−1 = 1. 2m−1

Nota: O programa deve receber m e n e devolver an . Sugest˜ ao: Fa¸ca uma subrotina para obter o desenvolvimento bin´ario de um inteiro positivo. 164) Fa¸ca um programa computacional, na linguagem de sua preferˆencia, para implementar a seguinte sequˆencia :

an =

   1,  

= 0; = 0 ou µn−1 se µn−1 21 20

−1, caso contr´ ario.

165) Fa¸ca um programa computacional, na linguagem de sua preferˆencia, para confirmar (ou refutar) a seguinte identidade tripla:

( −1 )

j

i−1 m−1 2

k

i−1 µi−1 m−1 ( 2m−1 ) = (−1) = ( −1 ) 2

175

166) Fa¸ca um programa computacional, na linguagem de sua preferˆencia, que receba j, n ∈ N e confirme (em alguns casos, evidentemente) a seguinte identidade: j−1

2X

k=0

( −1 )k



2

j j−1 n−k+2 −1 k ≡1 j−1 k 2

j−1

( mod 2)

Ou seja, que o somat´orio em quest˜ ao ´e um n´ umero ´ımpar, ∀ n ∈ N. 167) Fa¸ca um programa para constatar, em alguns casos, que a sequˆencia (an ) dada por j−1  j−1   j−1 2X 2 n−k+2 −1 ( −1 )k an = k 2j−1 k=0

j−1

´e uma P.G.2

j−1

. E ainda, ∆2

j−1

an = 2 2

176

. Vocˆe deve fornecer j.

3.11

Apˆ endices

Vamos agora demonstrar duas importantes propriedades do operador Quociente de ordem m. Teorema 25 (p. 146) As seguintes identidades s˜ao v´alidas: ∆m f × g (n) = ∆m f (n) × ∆m g(n)

(i)

∆m f /g (n) = ∆m f (n) / ∆m g(n)

(ii) Prova: Indu¸ca˜o sobre m. (i) Para m = 0, temos:

∆0 f × g (n) = f × g (n) = f (n) × g (n) = ∆0 f (n) × ∆0 g (n) Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para m = p, isto ´e:

(H.I.)

∆p f × g (n) = ∆p f (n) × ∆p g(n) E provemos que vale para m = p + 1, isto ´e: ∆p+1 f × g (n) = ∆p+1 f (n) × ∆p+1 g(n) Ent˜ ao, . ∆p+1 f × g (n) = ∆p f × g(n + 1) ∆p f × g(n)

. = ∆p f (n + 1) × ∆p g(n + 1) ∆p f (n) × ∆p g(n) = ∆p f (n + 1)/∆p f (n) × ∆p g(n + 1)/∆p g(n)

= ∆p+1 f (n) × ∆p+1 g(n)

177

(T.I.)

(ii) Para m = 0, temos: ∆0 f /g (n) = f /g (n) = f (n)/g (n) = ∆0 f (n)/∆0 g (n) Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para m = p, isto ´e:

(H.I.)

∆p f /g (n) = ∆p f (n) / ∆p g(n) E provemos que vale para m = p + 1, isto ´e:

(T.I.)

∆p+1 f /g (n) = ∆p+1 f (n) / ∆p+1 g(n) Ent˜ ao, . ∆p+1 f /g (n) = ∆p f /g(n + 1) ∆p f /g(n)

. = ∆p f (n + 1)/∆p g(n + 1) ∆p f (n) / ∆p g(n)

= ∆p+1 f (n) / ∆p+1 g(n)  Teorema 28 As seguintes identidades s˜ao v´alidas:

∆

m

f /g (n) =

m

m

f (n) ×

f (n) /

∆

∆

f × g (n) =

∆

∆

(ii)

m

∆

(i)

(p. 149)

m

m

g(n)

g(n)

Prova: Indu¸ca˜o sobre m. (i) Para m = 0, temos: 0

f × g (n) = f × g (n)

∆

= f (n) × g (n) 0

f (n) ×

∆

∆

=

0

g (n)

Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para m = p, isto ´e: ∆

f × g (n) =

p

f (n) ×

∆

p

(H.I.) p

g(n)

∆

E provemos que vale para m = p + 1, isto ´e: ∆

f × g (n) =

p+1

178

f (n) ×

∆

p+1

(T.I.) p+1

g(n)

∆

Ent˜ ao,

∆

p

f (i) ×

i=1 p+1

∆

=

f (n) ×

Onde tomamos a constante arbitr´aria

p

f (1) ×

∆

n−1 Y

p+1

∆

=

g(i) ×

∆

i=1

p

p+1

p+1

n−1 Y

f × g(1)

p

i=1

g(i) ×

p

g(1)

g(n)

f × g(1) =

∆

f (i) ×

∆

n−1 Y

f × g(1)

p

f (1) ×

∆

∆

p

i=1

p+1

∆

f × g(i) ×

∆

p

∆

∆

=

n−1 Y

∆

f × g(n) =

∆

p+1

p

g(1).

(ii) Para m = 0, temos: 0

f /g (n) = f /g (n)

∆

= f (n)/g (n) 0

f (n)/

0

∆

∆

=

g (n)

Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para m = p, isto ´e: p

f (n) /

∆

p

f /g(i) ×

p+1

∆

p

f (i)/

∆

p

f (i) ×

∆

f /g (n) =

∆

p

(H.I.) p

g(n)

∆

E provemos que vale para m = p + 1:

p

g(i) ×

∆

p

f (1)

i=1

∆

=

p+1

f (n) /

Onde tomamos a constante arbitr´aria

p

i=1

p+1

∆

i=1

. n−1 Y

f /g(1)

p+1

179

g(i) ×

p

g(1)

g(n) f /g(1) =

∆

n−1 Y

∆

=

p+1

p

f (1) /

∆

n−1 Y

∆

=

f /g(1)

∆

∆

i=1

∆

n−1 Y

∆

f /g(n) =

∆

p+1

p

g(1).



m

Teorema 34. Seja p(x) = ax . Sendo 0 < a 6= 1 ´e v´alida a seguinte identidade: (p. 161)

m Y

(−1)k

(m k )

p(x+m−k)

= am!

k=0 Prova: Indu¸ca˜o sobre m. m Antes vamos reescrever a identidade acima substituindo p(x) = ax :

m h Y

a(x+m−k)

m

k=0

i(−1)k ( mk )

= am!

(i) Para m = 1, temos: 1 h Y

a(x+1−k)

1

k=0

i(−1)k ( k1 )

=

h

a(x+1−0)

1

i(−1)0 ( 10 )

×

h

a(x+1−1)

1

i(−1)1 ( 11 )

Simplificando, 1 h Y

a(x+1−k)

k=0

1

i(−1)k ( k1 )

= a(x+1) ×

ax )−1 = a1!

Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para m = p, isto ´e: p h Y

a(x+p−k)

p

k=0

i(−1)k ( pk )

(H.I.) = ap!

E provemos que vale para m = p + 1, isto ´e: p+1 Y

k=0

h

a(x+(p+1)−k)

p+1

(T.I.)

i(−1)k ( p+1 k )

= a(p+1)!

Tendo em conta a injetividade da fun¸ca˜o exponencial, escrevemos a tese de indu¸ca˜o como:   p+1 X
p+1 p+1 (−1)k x + (p + 1) − k = (p + 1)! k k=0

Vamos trabalhar a hip´ otese de indu¸ca˜o inicialmente: p h Y

k=0

a(x+p−k)

p

i(−1)k ( pk )

×

h

a(x+p−(p+1))

180

p

p i(−1)p+1 ( p+1 )

(p. 18)

= ap!

Isto ´e, p+1 Y

k=0

Ainda, p+1 Y

k=0

h

h

a(x+p−k)

a(x+p−k)

p

p

i(−1)k ( kp )

= ap!

p+1 i(−1)k · p+1−k p+1 ( k )

= ap!

A fun¸ca˜o exponencial ´e injetiva, sendo assim, resulta:   p+1 X p+1 k p+1−k (−1) (x + p − k)p = p! p+1 k k=0

Esta equa¸ca˜o ´e a mesma que comparece em (2.19) (p. 121) de formas que os argumentos se repetem.  Para a prova do pr´oximo teorema necessitaremos de alguns resultados. Listaremos agora algumas propriedades da fun¸ca˜o maior inteiro: Proposi¸ c˜ ao 6. Se x e y s˜ao n´ umeros reais, ent˜ ao: (i) ⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1. (ii) x ≤ y

⇒

⌊x⌋ ≤ ⌊y⌋.

(iii) ⌊x + m⌋ = ⌊x⌋ + m, para todo m ∈ Z.

(iv) ⌊x⌋ + ⌊y⌋ ≤ ⌊x + y⌋ ≤ ⌊x⌋ + ⌊y⌋ + 1.   x = m , para todo m ∈ Z. (v) ⌊x⌋ m   (vi) 0 ≤ ⌊x⌋ − 2 x2 ≤ 1.

Prova: ver [2]. Nota: Alguns resultados j´ a difundidos na literatura n˜ ao demonstraremos.



Teorema 35 (Algoritmo da Divis˜ ao). Para quaisquer a, b ∈ N, b 6= 0, existe um u ´nico par de n´ umeros naturais q e r, de maneira que a = b · q + r com 0 ≤ r < b. Prova: ver [3].  Facilmente podemos mostrar que o quociente ´e a parte inteira de uma divis˜ao, veja: Corol´ ario 6. Sejam a, b ∈ N com b > 0 e q o quociente da divis˜ao de a por b. Ent˜ ao q = ⌊ ab ⌋. Prova: De fato, sendo a = b · q + r com 0 ≤ r < b, dividindo por b > 0, temos a r r =q+ com 0≤ <1 (3.22) b b b Sendo assim, temos: jrk jak j rk = q+ =q+ b b b onde, na segunda igualdade acima utilizamos a proposi¸ j r k ca˜o 6 (´ıtem (iii)). Pela dupla desigualdade em (3.22) podemos concluir que = 0, donde segue o resultado b desejado.  Oportunamente, iremos necessitar do seguinte,

181

Lema 6. Se 0 < a < b ent˜ ao o quociente da divis˜ ao de a por b ´e q = 0. Prova: Dividindo a por b, pelo algoritmo da divis˜ao existem naturais q e r, tais que, a = bq + r, 0≤ r
⇒ bq ≥ b. Por outro lado,

a = bq + r ≥ bq ≥ b ⇒ a ≥ b. o que contradiz a hip´ otese.



Nota: Observe ainda que, como q = 0, por (3.23), a = b · 0 + r, logo, r = a > 0.

182

´ Lema 7 (Gentil/CEFET - PARANA/1993). Sendo N um natural arbitrariamente fixado, ´e v´alida a seguinte identidade   n se n+1  N , jn + 1k  N 6∈ Z ; = (3.24)  N n n+1 N + 1, se N ∈ Z. Prova: De fato, ao dividirmos n + 1 por N o Algoritmo da Divis˜ ao nos assegura a existˆencia de inteiros, r1 e q1 , com as seguintes propriedades: n + 1 = N · q1 + r1

e

0 ≤ r1 < N

(3.25)

An´alogamente, ao dividirmos n por N , temos n = N · q2 + r2

e

0 ≤ r2 < N

(3.26)

subtraindo esta u ´ltima igualdade da primeira obtemos (q1 − q2 )N + r1 − r2 = 1 (3.27)   n Observe que q1 = n+1 e q2 = N (Corol´ ario 6, p. 181). Ent˜ ao, sendo N j n k jn + 1k n+1 n ≤ ⇒ q2 ≤ q1 . < ⇒ N N N N

Tomando como hip´ otese n+1 N 6∈ Z, devemos mostrar que q2 = q1 . Suponha por um momento que q1 6= q2 . Ent˜ ao q1 ≥ q2 + 1, logo q1 − q2 ≥ 1 ⇒ (q1 − q2 )N ≥ N combinando esta desigualdade com (3.27) chegamos a r2 ≥ N + r1 − 1. Como n+1 ´ltima desigualdade contradiz N 6∈ Z segue de (3.25) que r1 6= 0, portanto esta u (3.26). Sendo assim somos for¸cados a admitir q1 = q2 . Agora tomamos como hip´ otese que n+1 ao segue de (3.25) que r1 = 0, N ∈ Z, ent˜ substituindo este resultado em (3.27) segue que r2 = (q1 −q2 )N −1. Desta igualdade concluimos que n˜ ao podemos ter q1 = q2 . Por conseguinte q1 > q2 . Isto ´e, existe um inteiro positivo k tal que q1 = q2 + k. Portanto, r2 = (q1 − q2 )N − 1 = kN − 1 Substituindo este resultado na desigualdade 0 ≤ r2 < N , obtemos: 0 ≤ kN − 1 < N ⇐⇒ 1 ≤ kN < N + 1 Ou ´nico valor de k que satisfaz esta dupla desigualdade ´e k = 1. Portanto, q1 = q2 + 1.  Nota: O lema que acabamos de provar ser´a u ´til na demonstra¸ca˜o, por indu¸ca˜o, de f´ormulas envolvendo a fun¸ca˜o m´aximo inteiro, como teremos oportunidade de exemplificar.

183

Teorema 36 (Gentil/20.06.99-BSB/F.O.M.E). A sequˆencia dada abaixo,

an = ( −1 ) ´e uma P.G. de ordem 2

j−1

j

n−1 j−1 2

k

(3.28)

, para todo j arbitrariamente fixado.

Prova: Inicialmente lembramos que um n´ umero ´e ´ımpar se, e somente se, ´e cˆ ongruo a 1 m´odulo 2. Reconsideremos a equa¸ca˜o (3.9) (p. 142) m Y

m

∆ f (n) =

(m k )

(−1)k

f(n−k+m)

k=0

Pois bem, tomando m = 2

j−1

nesta equa¸ca˜o, obtemos: j−1

∆

j−1 2

2Y

a(n) =

a

k=0

(−1)k

j−1

(2 k )

j−1 (n−k+2 )

Substituindo a(n) dado por (3.28), resulta: j−1

 2Y 



j−1

∆

j−1 2

a(n) =

k=0

(−1)



j−1 n−k+2 −1 j−1 2

 (−1)k ( 2 k )  

Esta equa¸ca˜o ´e equivalente `a seguinte: j−1

∆

j−1 2

2X

k=0

a(n) = (−1)

k

(−1)



2

j−1

k

j

j−1

n−k+2 2j−1

− 1k

´ suficiente mostrar que, E j−1

2X

k=0

(−1)k



2

j−1

k

j

j−1

n−k+2 2j−1

− 1k

≡ 1

(mod 2)

Ou seja, que o somat´orio em quest˜ ao ´e um n´ umero ´ımpar ∀ n ∈ N. Indu¸ca˜o sobre n.

184

n = 1: j−1

2X



k

(−1)

k=0

2

j−1

k

j

2

j−1

2

−kk

j−1

0

= (−1) |



2

j−1

0

+

k

(−1)

|



2

k

(−1)

k=0



2

j

j−1

k

2

j−1

k {z

− 0k

j−1

}

j

2

j−1

2

−kk

j−1

}

=0

Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para n = p, isto ´e: j−1

j−1

=1

k=1

2X

2

{z

j−1

2X

j

j−1

p−k+2 2j−1

−1k

≡ 1

(mod 2)

E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e: j−1

2X

k

(−1)

k=0



2

j

j−1

k

(p + 1) − k + 2 2j−1

(T.I.) j−1

− 1k

≡ 1

(mod 2)

Podemos reescrever estas equa¸co˜es como, j−1

2X

(−1)k

k=0



2

(H.I.)

 j  p−k−1 k + 1 ≡ 1 k 2j−1

j−1

(mod 2)

Tamb´em,

(T.I.) j−1

2X

k=0

k

(−1)



2

 j  p−k k +1 ≡ 1 k 2j−1

j−1

Utilizando o lema 7 (p. 183), temos: j k p−k−1  + 1, se  j−1 j p−k k  2 = j k  2j−1   p−k−1 , se j−1 2 Observe que se (p − k)/2

j−1

Suponhamos (p − k)/2

∈ Z. Somando∗ j−1

k=0

(−1)k



2

Este resultado sai do binˆ omio de Newton.

185

j−1

k



= 0

(mod 2)

p−k 2j−1

∈ Z;

p−k 2j−1

6∈ Z .

6∈ Z, o resultado ´e imediato.

j−1

2X

∗

(H.I.)

a hip´ ` otese de indu¸ca˜o, resulta: j−1

2X

k

(−1)

k=0



2

j−1

k

 j

p−k−1k +1 2j−1



j−1

+

2X

(−1)k

k=0



2

j−1

k



≡ 1 (mod 2)

Esta u ´ltima igualdade pode ser reescrita como: j−1

2X

(−1)k

k=0



2

 j  p−k−1k + 1 + 1 ≡ 1 (mod 2) k 2j−1

j−1

Sendo assim, temos: j−1

2X

k

(−1)

k=0



2

 j  p−k k + 1 ≡ 1 (mod 2) k 2j−1

j−1

com o que concluimos a demonstra¸ca˜o.  Agora demonstraremos que a sequˆencia dada por 3.17 (p. 153) ´e de fato uma m−1 P.G. de ordem 2 . Teorema 37. A sequˆencia dada abaixo jn−1k jn−1k −2 +1 an = 4 j 2 2j−1 j−1

´e uma P.G.2

, para cada j natural fixo.

Prova: Vamos provar a igualdade das sequˆencias a seguir: $

an = (−1) bn = 4

n−1 j−1 2

%

jn−1k 2j

−2

jn−1k 2j−1

+1

Indu¸ca˜o sobre n. Para n = 1 temos an = 1 = bn . Suponhamos a igualdade v´alida para n = p, isto ´e: $

(−1)

p−1 j−1 2

%

= 4

jp−1 k j

2 Mostremos que vale para n = p + 1, isto ´e: $

(−1)

(p+1)−1 j−1 2

%

= 4

Ou ainda: $

(−1)

p j−1 2

−2

j (p + 1) − 1 k

%

2

= 4

j

(H.I.)

jp−1k

−2

2j−1

+1

j (p + 1) − 1 k 2j−1

j p k j p k − 2 j−1 + 1 j 2 2

186

(T.I.) +1 (T.I.)

Lembramos que, j k p−1  + 1, se  j−1  2

j p k = j  2j−1  

Tamb´em,

p−1 2j−1

k

,

se

j k  p−1  2j + 1, se j p k  = j k  2j   p−1 , se j 2

p 2j−1

∈ Z;

p 2j−1

6∈ Z .

p 2j

∈ Z;

p 2j

6∈ Z .

Vamos separar a prova em dois casos:   p p (1) j ∈ Z ⇒ 2 · j ∈ Z . Neste caso a tese de indu¸ca˜o fica: 2 2 $

(−1)

p j−1 2

%

p 2· j 2

(−1)

= 4 ⇓ = 4

j p k j p k − 2 +1 2j 2j−1 p p − 2 j−1 + 1 2j 2

p

q

p −→ q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

←

´e verdadeira. p p p (2) 6∈ Z. Neste caso temos que 2 · j = j−1 pode ou n˜ ao pertencer aos 2j 2 2 inteiros: p p p (2.1) j 6∈ Z e 2 · j = j−1 6∈ Z. Neste caso, temos: 2 2 2 j p k j p−1 k = 2j 2j

e,

j p k j p−1k = 2j−1 2j−1 Neste caso, a hip´ otese de indu¸ca˜o ficam assim: $

(−1)

p−1 j−1 2

%

= 4 ⇓

$

(−1)

p j−1 2

%

= 4

jp−1k 2

j

−2

(H.I.)

jp−1k 2j−1

j p k j p k − 2 j−1 + 1 j 2 2

187

+1

Comparando com a tese de indu¸ca˜o: $

(−1)

p j−1 2

%

= 4

(T.I.)

j p k j p k − 2 j−1 + 1 j 2 2

vemos que a hip´ otese de indu¸ca˜o implica na tese de indu¸ca˜o. p p p 6∈ Z e 2 · j = j−1 ∈ Z. Neste caso, temos: (2.2) 2j 2 2 j p k jp−1k = 2j 2j j p k jp−1 k = +1 2j−1 2j−1

e,

Neste caso, a hip´ otese de indu¸ca˜o ficam assim: $

(−1)

p−1 j−1 2

%

= 4 ⇓

$

(−1)

%

p j−1 2

−1

= 4

jp−1 k 2

j

−2

(H.I.)

jp−1 k 2j−1

+1

j p k j p k  −2 −1 +1 j j−1 2 2

Comparando com a tese de indu¸ca˜o: $

(−1)

p j−1 2

%

= 4

(T.I.)

j p k j p k − 2 j−1 + 1 j 2 2

devemos provar que: j p k j p k j p k j p k −4 j + 2 j−1 − 3 = 4 j − 2 j−1 + 1 2 2 2 2 isto ´e, que,

2

j p k p +1 = 2 2j 2j

Com este objetivo vamos demonstrar o seguinte lema: Lema 8. Considere 0 < x ∈ R. Se x 6∈ Z e 2x ∈ Z, ent˜ ao: 2x = 2⌊x⌋ + 1 Prova: Se x 6∈ Z ent˜ ao x ´e da forma∗ x = ⌊ x ⌋ + p.d. (0 < p.d. < 1); ent˜ ao 2 x = 2 ⌊ x ⌋ + 2 p.d.,

(0 < 2 p.d. < 2)

como 2x ∈ Z, temos 2 p.d. ∈ Z, logo, 2 p.d. = 1; disto segue a tese. ∗

Onde, p.d.=parte decimal.

188

 

Cap´ıtulo

4

Sequˆencias Especiais “N˜ ao ´e poss´ıvel formular as leis da teoria quˆ antica de um modo absolutamente consistente sem referencia a uma consciˆencia”. (Eugene Wigner)

O objetivo deste cap´ıtulo ´e desenvolver (unificar) algumas outras sequˆencias que certamente ser˜ao u ´teis tanto na matem´atica quanto fora dela.

4.1

Constru¸c˜ ao de sequˆ encias

Voltando aos operadores Soma e Diferen¸ca de ordem m, devemos enfatizar que os mesmos nos permitem obter novas sequˆencias a partir de sequˆencias j´a conhecidas: (1) A partir da f´ ormula do termo geral an de uma dada sequˆencia, para obter uma nova sequˆencia fazemos: ∆ an = a(n+1) − an (2) A partir da f´ ormula Sn da soma dos termos de uma sequˆencia, para obter uma nova sequˆencia basta defasar esta f´ ormula de uma unidade (isto ´e n ← n − 1) e acrescentar uma constante, veja: ∇ an =

n−1 X

i=1

∇0 (ai ) + c = S(n−1) + c = an2

onde an2 ´e o n-´esimo termo da nova sequˆencia. A constante adicionada ´e o primeiro termo da nova sequˆencia, assim: n=1

⇒

a12 = S(1−1) + c = 0 + c = c

189

4.1.1

progress˜ ao geom´ etrica-aritm´ etica

Vamos exemplificar a constru¸ca˜o de sequˆencias a partir do operador ∇. Exemplo: Obter uma nova sequˆencia a partir da f´ormula da soma dos termos de uma progress˜ao geom´etrica. a q n − a1 Sn = 1 q−1

Solu¸ c˜ ao: Basta defasar esta f´ormula de uma unidade e acrescentar uma constante, assim: a q n−1 − a11 (4.1) an2 = a12 + 11 q−1

Esta sequˆencia nasce da uni˜ao do operador Soma com uma P.G., pelo qual motivo doravante a chamaremos de progress˜ ao geom´ etrica-aritm´ etica (P.G.A.). Observe que se em uma P.G.A. tomarmos a Primeira diferen¸ca obteremos a P.G. que a originou e, reciprocamente, se a Primeira diferen¸ca de uma sequˆencia resultar em uma P.G., esta sequˆencia ´e uma P.G.A. − a prova destas asser¸co˜es fica como exerc´ıcio para o entretenimento do leitor. Exemplos: (a) Na primeira regra de Simpsom para o c´ alculo de integrais comparece a seguinte sequˆencia: 4

2

4

2

4

2

4

2

Esta sequˆencia ´e uma P.G.A., veja: an :

4

2

4

2

4

∆ an : −2

2

−2

2

...

...

P.G.A.

P.G.

ent˜ ao, a12 = 4, a11 = −2 e q = −1. A f´ormula do termo geral fica: an2 = a12 + a11

q n−1 − 1 q−1

= 4 + (−2) ·

(−1)n−1 − 1 (−1) − 1

Simplificando, an2 = 3 − (−1)n

190

...

(b) A seguinte sequˆencia pode ser obtida emp´ıricamente no jogo conhecido como Torre de Han´ oi (a ser estudada no cap´ıtulo 8): 1

3

7

15

31

63

...

Esta sequˆencia ´e uma P.G.A., veja: an : 1

3

7

15

31

63

∆ an : 2

4

8

16

32

...

...

P.G.A.

P.G.

ent˜ ao, a12 = 1, a11 = 2 e q = 2. A f´ ormula do termo geral fica: an2 = a12 + a11

=1+2 ·

q n−1 − 1 q−1

2n−1 − 1 2−1

Simplificando, an2 = 2n − 1 (c) Obter a f´ ormula do termo geral da sequˆencia (a, b, a, b, a, b, . . .), onde a 6= b. Esta sequˆencia ´e uma P.G.A., veja: an :

a

∆ an : b − a

b

a

b

a

−(b − a)

b−a

−(b − a)

b−a

b ...

...

P.G.A.

P.G.

ent˜ ao, a12 = a, a11 = b − a e q = −1. A f´ormula do termo geral fica: an2 = a12 + a11

q n−1 − 1 q−1

= a + (b − a) ·

(−1)n−1 − 1 (−1) − 1

Simplificando, an2 =

1 + (−1)n 1 − (−1)n ·a + ·b 2 2

191

(4.2)

(d) Encontre uma f´ ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia: 1

11

111

1111

...

11 . . . 111

...

onde o n-´esimo termo ´e formado de n algarismos 1. Esta sequˆencia ´e uma P.G.A., veja: an :

1

11

111

1111

11111

∆ an : 10

102

103

104

...

...

P.G.A.

P.G.

ent˜ ao, a12 = 1, a11 = 10 e q = 10. A f´ormula do termo geral fica: an2 = a12 + a11

= 1 + 10 ·

q n−1 − 1 q−1

10n−1 − 1 10 − 1

Simplificando, 10n − 1 9

an2 =

− Como descobrir se uma dada sequˆ encia (an ) ´ e uma P.G.A. Exemplo:

an : 1

3

7

15

31

63

...

Aplicamos o operador Diferen¸ca, an : 1

3

7

15

31

63 . . .

∆ an : 2

4

8

16

32

...

Agora aplicamos o operador Quociente, an

: 1

3

7

15

31

63 . . .

∆ an

: 2

4

8

16

32

...

∆ ∆ an

: 2

2

2

2

...

Se resultar ∆ ∆ an = r 6= 1 (r constante), ent˜ ao a sequˆencia em quest˜ ao ´e de fato uma P.G.A.

192

Exemplo: Verificar se a sequˆencia dada por an = 2n − 1 ´e uma P.G.A. Solu¸ c˜ ao: Aplicando o operador diferen¸ca, temos ∆ an = an+1 − an = 2n+1 − 1 = 2n




−

2n − 1




De seguida aplicando o operador Quociente, temos ∆ ∆ an =

2n+1 = 2 2n

Deste resultado concuimos que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.G.A. Uma das aplica¸co˜es para a P.G.A. ´e escrever com apenas uma senten¸ca sequˆencias definidas por mais de uma senten¸ca. Por exemplo, considere a seguinte sequˆencia:   f1 (n), se n ´e ´ımpar; g(n) =  f (n), se n ´e par. 2

Queremos apenas uma f´ ormula (senten¸ca) para g(n), a qual pode ser, g(n) = a(n) f1 + b(n) f2 Podemos escrever: n g(n)

:

1

2

3

4

5

6

...

: f1

f2

f1

f2

f1

f2

...

Para determinar a(n) e b(n) usamos a f´ormula (4.2) (p. 191): an =

1 − (−1)n 1 + (−1)n ·a + ·b 2 2

Temos, para a(n) : a = 1 e

b = 0 ⇒ a(n) =

1 − (−1)n 2

para

b=1 ⇒

1 + (−1)n 2

b(n) : a = 0 e

Finalmente, g(n) =

b(n) =

1 − (−1)n 1 + (−1)n · f1 + · f2 2 2

193

(4.3)

Exemplos: (a) Obter uma f´ ormula para o termo geral da sequˆencia (1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, . . .) Solu¸ c˜ ao: A sequˆencia dada pode ser escrita assim:   n+1 e ´ımpar; 2 , se n ´ g(n) =  n, se n ´e par. 2 Sendo assim, temos

g(n) =

1 + (−1)n n 1 − (−1)n n + 1 · + · 2 2 2 2

Cansado de fazer conta, entrei com a express˜ao da direita na HP Prime e pedi para ela simplifica, me devolveu∗

Portanto,

(verifique) g(n) =

2 · n − (−1)n + 1 4

∗ Caso em sua calculadora esteja armazenado algum valor num´erico na vari´ avel n, n˜ ao vai funcionar, neste caso veja Adendo p. 493.

194

(b) Existe uma correspondencia entre os n´ umeros naturais e os n´ umeros inteiros, da seguinte forma: N

: 1

2

3

4

5

6

7

...

Z

: 0

−1

1

−2

2

−3

3

...

Esta rela¸ca˜o pode ser escrita assim:   n−1 e ´ımpar; 2 , se n ´ g(n) =  −n , se n ´e par. 2

Sendo assim, temos

g(n) =

1 + (−1)n −n 1 − (−1)n n − 1 · + · 2 2 2 2

Cansado de fazer conta, entrei com a express˜ao da direita na HP Prime e pedi para ela simplifica, me devolveu:

Portanto,

(verifique) g(n) = −

(2n − 1) (−1)n + 1 4

A P.G.A. tem algumas propriedades interessantes, como tamb´em aplica¸co˜es. Por exemplo, n˜ ao ´e dif´ıcil mostrar que uma dada sequˆencia (an ) est´ a em P.G.A se, e somente se, satisfaz a seguinte rela¸ca˜o∗, an+2 − an+1 = q an+1 − an

∗

A qual serve para definir a P.G.A.

195

(4.4)

Ademais, podemos mostrar que a solu¸ca˜o da seguinte equa¸ c˜ ao de diferen¸ cas − linear com coeficientes constantes −, ´e uma P.G.A.: yn+1 + a yn = c Para resolver esta equa¸ca˜o vamos mostrar que yn ´e uma P.G.A. Ent˜ ao, yn+1 + a yn = c yn+2 + a yn+1 = c Subtraindo estas equa¸co˜es, temos yn+2 − yn+1 = −a (yn+1 − yn )

yn+2 − yn+1 = −a yn+1 − yn

⇒

Sendo assim, podemos usar a equa¸ca˜o (4.1) (p. 190) para resolver a equa¸ca˜o de diferen¸cas. No estudo das equa¸co˜es de diferen¸cas a posi¸ca˜o dos termos inicia em zero: y0 , y1 , y2 , . . .; o que significa que devemos defasar a f´ormula da P.G.A., assim: a(n+1)2 = a12 + a11

qn − 1 q−1

Nesta equa¸ca˜o, a12 = y0 (condi¸ca˜o inicial), q = −a e a11 = y1 − y0 . Sendo assi, yn+1 = c − a yn ⇒ y1 = c − a y0 Ent˜ ao, a11 = y1 − y0 = (c − a y0 ) − y0 = c − (a + 1) y0 Substituindo estes dados na f´ormula, resulta, yn = y0 + [c − (a + 1) y0 ] ·

(−a)n − 1 −a − 1

Simplificando, yn =



y0 −

c  c (−a)n + , a+1 a+1

a 6= −1

No caso em que a = −1, a equa¸ca˜o torna-se yn+1 − yn = c, isto ´e, uma progress˜ao aritm´etica, portanto, temos:  c c   (−a)n + , a 6= −1;  y0 − a+1 a+1 yn =   y0 + n c, a = −1.

196

Exemplo: Resolver a equa¸ca˜o yn+1 + 4 yn + 12 = 0, para a condi¸ca˜o inicial y0 = 6. Solu¸ c˜ ao: Da equa¸ca˜o tiramos, a = 4 e c = −12. sendo assim, temos yn = Simplificando,



6−

yn =

−12  −12 (−4)n + 4+1 4+1 42 (−4)n − 12 5

Na tela a seguir programamos a solu¸ca˜o yn da equa¸ca˜o de diferen¸cas yn+1 + a yn = c

Entramos com a, c e a condi¸ca˜o inicial y0 . Por exemplo, na tela da direita resolvemos a equa¸ca˜o yn+1 + 4 yn = −12,

y0 = 6

do exemplo dado. Ainda com o aux´ılio das P.G.A. podemos estudar o seguinte tipo de sequˆencia: a1

a2

a1 +r

a2 +r

a1 +2r

´ o que faremos agora. onde s˜ao dados a1 , a2 e r. E

197

a2 +2r

a1 +3r

...

4.1.2

progress˜ ao aritm´ etica peri´ odica

Defini¸ c˜ ao 14. Chama-se progress˜ao aritm´etica peri´odica uma sequˆencia dada pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:   a1 = a    a2 = b     an = an−2 + r , (n = 3, 5, 7, . . .) ; (n = 4, 6, 8, . . .) onde a, b e r s˜ao n´ umeros reais dados.

A equa¸ca˜o an = an−2 + r vale separadamente para n ´ımpar e para n par. Da f´ ormula de recorrˆencia chegamos sem dificuldade `a seguinte express˜ao para an :   a1 + n−1 r, n ´ımpar; 2 an =  a + n−2 r, n par. 2 2

Se quisermos a equa¸ca˜o acima em apenas uma senten¸ca podemos nos valer da f´ ormula (4.3) (p. 193). Ent˜ ao,

an =

1 − (−1)n 1 + (−1)n 2n − 3 − (−1)n a1 + a2 + r 2 2 4

(4.5)

Exemplo: Encontre uma f´ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia: 3

3

6

6

9

9

12

12

15

15

...

Solu¸ c˜ ao: Facilmente concluimos tratar-se de uma progress˜ao aritm´etica peri´odica em que a1 = a2 = 3 e r = 3. Temos: an =

1 − (−1)n 1 + (−1)n 2n − 3 − (−1)n 3+ 3+ 3 2 2 4

Na tela a seguir programamos a f´ormula (4.5),

rodamos o programa com os dados do exemplo anterior; ap´os, pedimos para simplificar − tela da direita.

198

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor a dedu¸ca˜o da seguinte f´ormula, para a soma dos n primeiros termos de uma progress˜ao aritm´etica peri´odica: Sn =

2n − (−1)n + 1 2n + (−1)n − 1 2n2 − 4n − (−1)n + 1 a + a + r 1 2 22 22 23

Na tela a seguir programamos a f´ormula Sn acima,

rodamos o programa com os dados do exemplo anterior; ap´os, pedimos para simplificar − tela da direita. Assim como desenvolvemos a progress˜ao aritm´etica peri´odica onde s˜ao dados a1 , a2 e r − podemos dizer de periodicidade k = 2 − podemos desenvolver, por exemplo, a progress˜ao aritm´etica onde s˜ao dados a1 , a2 , a3 , a4 e r (de per´ıodo k = 4): a1

a2

a3

a4

4

1

(a1 + r)

(a2 + r)

(a3 + r)

(a4 + r)

(a1 + 2r)

Exemplo: 3

2

7

8

5

onde a1 = 3, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2 e r = 4.

199

6

11

12

9

...

...

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor a dedu¸ca˜o da seguinte f´ormula para o n´esimo termo de uma progress˜ao aritm´etica de per´ıodo k (v´ alida quando k for uma potˆencia de 2):

an =

k X

aj fj (n) + r

k/2 X

aj gj (n)

(4.6)

j=1

j =1 onde:

fj (n) =

e

gj (n) =

 n−j +1 k/2   1 − (−1)   ,   2       0,

se

n−j + 1 ∈ Z; k/2

se

n−j + 1 6∈ Z. k/2

 n−j +1 k/2   n − (j + k/4) − (k/4) · (−1)   ,   k       0,

se

n−j + 1 ∈ Z; k/2

se

n−j + 1 6∈ Z. k/2

As fun¸co˜es fj funcionam como chaves “liga-desliga” pois abrem (“0”) e fecham (“1”) em determinados “momentos”. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor obter a f´ormula (4.5) (p. 198) como um caso especial da f´ ormula (4.6) (k = 2).

200

4.1.3

progress˜ ao geom´ etrica-aritm´ etica-aritm´ etica

Com o objetivo de construir uma nova sequˆencia, a partir da P.G.A., vamos deduzir uma f´ ormula Sn para a soma dos temos de uma P.G.A.. Sendo dada uma P.G.A., isto ´e, conhecendo-se os valores a12 , a11 e q, procuramos uma f´ ormula para calcular a soma dos seus n primeiros termos. Para tanto utilizaremos a seguinte identidade: n X qn − 1 q i−1 = 1 + q + q 2 + · · · + q n−1 = q −1 i=1

Da f´ormula do termo geral de uma P.G.A., an2 = a12 + a11

q n−1 − 1 q−1

Temos,

+

                          

a12 = a12 a22 = a12 + a11 a32 = a12 + a11 (1 + q) a42 = a12 + a11 (1 + q + q 2 ) ········································ an2 = a12 + a11 (1 + q + q 2 + · · · + q n−2 )

Somando essas n igualdades, temos: Sn2 = n a12 + a11 [ 1 + (1 + q) + (1 + q + q 2 ) + · · · + (1 + q + q 2 + · · · + q n−2 ) ] ′ Agora queremos Sn−1 , onde: ′ Sn−1 = 1 + (1 + q) + (1 + q + q 2 ) + · · · + (1 + q + q 2 + · · · + q n−2 )

Isto ´e,
′ Sn−1 = (n − 1) · 1 + (n − 2) · q + (n − 3) · q 2 + · · · + n − (n − 1) · q n−2

Multiplicando ambos os membros desta igualdade por q, obtemos:


′ = (n − 1) · q + (n − 2) · q 2 + (n − 3) · q 3 + · · · + n − (n − 1) · q n−1 q · Sn−1

comparando as duas equa¸co˜es anteriores podemos observar que a parcela n − 1 s´o aparece na primeira, a parcela q n−1 s´o aparece na segunda (estamos nos referindo `as potˆencias de q) e todas as demais s˜ao comuns `as duas igualdades. Subtraindo a primeira equa¸ca˜o da segunda, temos: ′ ′ = −(n − 1) + q + q 2 + · · · + q n−1 − Sn−1 q · Sn−1

Logo, ′ (q − 1) · Sn−1 = −(n − 1) +

201

q · q n−1 − q q−1

Sendo assim, temos: ′ Sn−1 =

(1 − n) (q − 1) + q n − q (q − 1)2

A soma procurada vale, (1 − n) (q − 1) + q n − q (q − 1)2

Sn = n a12 + a11

(4.7)

Exemplos: (a) Quantos termos devem ser somados, a partir do primeiro termo, na seguinte P.G.A. para que a soma seja 15? −1

2

−1

2

−1

2

−1

2

...

Solu¸ c˜ ao: Aplicando o operador Diferen¸ca, temos, 2

−1

2

−1

2

∆ an : −3

3

−3

3

−3

an :

−1 . . . ...

Logo, a12 = 2, a11 = −3 e q = −1. Levando estes valores na f´ormula (4.7), temos: Sn = n · 2 + (−3) · Simplificando, Sn =

(1 − n) (−1 − 1) + (−1)n − (−1) (−1 − 1)2 2 n − 3 (−1)n + 3 4

Logo,

2 n − 3 (−1)n + 3 = 15 ⇒ 2 n − 3 (−1)n = 57 4 Para resolver esta equa¸ca˜o devemos considerar dois casos: (i)

n ´ımpar ⇒ 2n + 3 = 57

(ii)

n par

⇒ 2n − 3 = 57

Resposta: 27 ou 30 termos.

202

Na tela a seguir programamos a f´ormula Sn dada em (4.7) (p. 202),

entramos com a12 , a11 e q. Rodamos o programa com os dados do exemplo anterior; ap´os, pedimos para simplificar − tela da direita.

A fun¸c˜ ao solve na HP Prime

Apresenta uma lista das solu¸co˜es (reais e complexas) de uma equa¸ca˜o polinomial ou de um conjunto de equa¸co˜es polinomiais. Sintaxe: solve(Eq,[Var])

ou

solve(Eq1, Eq2,. . . , [Var])

Exemplo, solve({x2 − 3 = 1, x + 2 = 0}, x)

d´ a

{ −2 }

Como um outro exemplo, na tela a seguir pedi para resolver a equa¸ca˜o quadr´ atica, a x2 + b x + c = 0,

ap´os pedir para simplificar a resposta, temos a f´ormula de B´askara como solu¸ca˜o − tela da direita. No entanto, em nosso contexto, estamos interessados em resolver equa¸co˜es do tipo: 2 n − 3 (−1)n + 3 = 15 4 A fun¸ca˜o solve n˜ ao resolve este tipo de equa¸ca˜o. Superamos este obst´aculo criando uma nova fun¸ca˜o (programa) a qual denominamos gsolve, como na tela a seguir:

203

Na tela da direita resolvemos a equa¸ca˜o anterior. Vejamos mais um exemplo. Consideremos o exemplo dado na p´ agina 198, isto ´e, a sequˆencia: 3

3

6

6

9

9

12

12

15

15

...

que tem como n-´esimo termo: an =

6n − 3 (−1)n + 3 4

Queremos, por exemplo, encontrar a posi¸ca˜o ocupada pelo termo 12 da sequˆencia. Devemos resolver a equa¸ca˜o: 6n − 3 (−1)n + 3 = 12 4 Entrando com esta equa¸ca˜o no programa, obtemos a tela:

Portanto, o termo 12 ocupa duas posi¸co˜es na sequˆencia, a de n´ umero 7 e a de n´ umero 8. (b) Encontre uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos da solu¸ca˜o da equa¸ca˜o de diferen¸ca de primeira ordem (para a 6= −1). Solu¸ c˜ ao (yn+1 + a yn = c): A f´ormula da soma dos termos da P.G.A. − eq. (4.7), p. 202 − para os nossos prop´ ositos fica: Sn = n y0 + a11

(1 − n) (q − 1) + q n − q (q − 1)2

Sendo a11 = c − (a + 1) y0 e q = −a, substituindo, temos: Sn = n y0 + [ c − (a + 1) y0 ]

(n − 1) (a + 1) + (−a)n + a (a + 1)2

204

Observa¸ c˜ ao: Nesta f´ ormula temos: n=1

⇒ S1 = y 0

n=2

⇒ S2 = y0 + y1 , etc.

Uma nova sequˆ encia A partir da equa¸ca˜o (4.7) (p. 202) obtemos, pelo procedimento descrito no in´ıcio deste cap´ıtulo (p. 190), a seguinte sequˆencia: an3 = a13 + (n − 1) a12 + a11

(2 − n) (q − 1) + q n−1 − q (q − 1)2

(4.8)

Esta sequˆencia ser´a denominada progress˜ ao geom´etrica-aritm´etica-aritm´etica, e denotada por P.G.A.2 . (ou P.G.A.A). Exemplos: (a) A sequˆencia seguinte est´ a em P.G.A.2 , encontre o 20o termo. 1

1

2

2

3

3

4

4

...

Solu¸ c˜ ao: Aplicamos o operador Diferen¸ca duas vezes, an

: 1

1

2

2

3

3

∆ an

: 0

1

0

1

0

...

∆2 an

: 1

−1

1

−1

...

...

Deste diagrama tiramos, a13 = 1, a12 = 0, a11 = 1 e q = −1. Temos ent˜ ao, an3 = a13 + (n − 1) a12 + a11

= 1 + (n − 1) · 0 + 1 · Simplificando, resulta, an3 = Logo, a20,3 =

(2 − n) (q − 1) + q n−1 − q (q − 1)2

(2 − n) (−1 − 1) + (−1)n−1 − (−1) (−1 − 1)2 2n + 1 − (−1)n 4

2 · 20 + 1 − (−1)20 = 10 4

(b) Qual a posi¸ca˜o do termo 44 na seguinte P.G.A.2 ?: 1

2

4

5

7

8

10

11

...

Solu¸ c˜ ao: Aplicamos o operador Diferen¸ca duas vezes, an

: 1

2

4

5

7

8

∆ an

: 1

2

1

2

1

...

∆2 an

: 1

−1

1

−1

...

205

...

Deste diagrama tiramos, a13 = 1, a12 = 1, a11 = 1 e q = −1. Temos, an3 = a13 + (n − 1) a12 + a11

= 1 + (n − 1) · 1 + 1 · Simplificando, resulta, an3 =

(2 − n) (q − 1) + q n−1 − q (q − 1)2

(2 − n) (−1 − 1) + (−1)n−1 − (−1) (−1 − 1)2 6n − (−1)n − 3 4

Logo,

6n − (−1)n − 3 = 44 4

Como a posi¸ca˜o ´e um n´ umero inteiro, concluimos que 44 ocupa a trig´esima posi¸ca˜o na sequˆencia dada. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor, mostrar que quatro termos consecutivos de uma P.G.A.2 verificam a seguinte rela¸ca˜o: an+3 − 2 an+2 + an+1 = q an+2 − 2 an+1 + an

206

P.G.A. de uma outra perspectiva A P.G.A. poderia ser estudada, alternativamente, a partir de sua defini¸ca˜o por f´ormula de recorrˆencia: Defini¸ c˜ ao 15. Chama-se progress˜ao geom´etrica-aritm´etica (P.G.A.) uma sequˆencia dada pela seguinte f´ ormula de recorrˆencia:  a = q, q 6= 0, 1, n ≥ 1;    n0     a11 = a, a 6= 0;   an1 = a(n−1) × q,      an2 = a12 + a(n−1)1 ,

n = 2, 3, . . . ; n = 2, 3, . . .

Onde, q, a11 e a12 s˜ao constantes dadas. Exemplo: Vamos construir a P.G.A. em que s˜ao dados q = −1, a11 = −2 e a12 = 4. Inicialmente, temos 4 −2 −1

−1

−1

−1

−1

...

Da f´ormula de recorrˆencia, obtemos: 4

2

4

2

4

2

−2

2

−2

2

−2

2

−1

−1

−1

−1

−1

...

4 ...

...

P.G.A.

P.G.

Existe ainda uma outra alternativa para abordamos as P.G.A. e P.G.A.2 . Inicialmente considere a propriedades fundamental da P.G.A.: (p. 195) an+2 − an+1 = q an+1 − an

⇐⇒

∆ an+1 = q ∆ an

Esta u ´ltima igualdade pode ser escrita assim: ∆ ∆ an = q

(4.9)

Esta equa¸ca˜o serve para definir a P.G.A. Vejamos como obter a f´ormula do termo (p. 148) geral. A plicando o operador , ∆

n−1 Y

i=1

f (i) ×

207

∆

f (n) =

f (1)

∆

a equa¸ca˜o (4.9), temos ` n−1 Y

q ×

∆

i=1

∆

Toamos

a1 = a11 . Logo,

Agora aplicamos o operador ∇,

∆

∆ ∆ an =

a1

∆ an = a11 · q n−1

∇ an =

n−1 X

(p. 96)

ai + ∇ a1

i=1

a ambos os membros desta u ´ltima equa¸ca˜o, obtendo ∆ ∆ an =

n−1 X

i=1

Logo,

a11 · q i−1 + a12 n−1 X

∆ ∆ an = an2 = a12 + a11

q i−1

i=1

Isto ´e, an2 = a12 + a11 Confira com a equa¸ca˜o (4.1), p. 190. Analogamente, para a P.G.A.2 , temos:

q n−1 − 1 q−1

an+3 − 2 an+2 + an+1 = q an+2 − 2 an+1 + an

∆2 an+1 = q ∆2 an

⇐⇒

Esta igualdade pode ser escrita assim: ∆ ∆2 an = q Esta equa¸ca˜o serve para definir a P.G.A.2 . Vejamos como obter a f´ormula do termo geral. Aplicando o operador , ∆

n−1 Y

∆

i=1

q ×

∆

∆ ∆2 an =

a1

a1 = a11 , resulta ∆2 an = a11 · q n−1 . Aplicando o operador ∇ a Tomando ambos os membros desta equa¸ca˜o, obtemos: ∆

∇ ∆2 an = Logo,

n−1 X

i=1

a11 · q i−1 + a12

∇ ∆2 an = a12 + a11

= a12 + a11

208

n−1 X

q i−1

i=1

q n−1 − 1 q −1

Aplicando novamente o operador ∇, temos: n−1 X q i−1 − 1  a12 + a11 ∇2 ∆2 an = + a13 q −1 i=1

Portanto,

an3 = a13 + (n − 1) a12 + Simplificando,

n−1 a11 X i−1 (q − 1) q − 1 i=1

(2 − n) (q − 1) + q n−1 − q (q − 1)2

an3 = a13 + (n − 1) a12 + a11

´ a f´ormula do termo geral de uma P.G.A.2 . Compare com a equa¸ca˜o (4.8), p. E 205. Seguindo a linha dos raciocinios anteriores definimos a P.G.A.3 pela seguinte rela¸ca˜o: ∆ ∆3 an = q Trabalhando esta equa¸ca˜o chegamos ao seguinte desenvolvimento: n−1 X (2 − i) (q − 1) + q i−1 − q  + a14 a13 + (i − 1) a12 + a11 ∇3 ∆3 an = (q − 1)2 i=1 {z } | P.G.A.2

Com um pouco de paciˆ encia chegamos a an4 = a14 + (n − 1) a13 + + a11

h (n − 1)(4 − n) 2(q − 1)

(n − 1)(n − 2) a12 2 +

q n−1 − 1 − q(q − 1)(n − 1) i (q − 1)3

´ a f´ormula do termo geral de uma P.G.A.3 . E Exemplo: A seguinte sequˆencia ´e uma P.G.A.3 , 0

1

3

5

8

11

15

19

24

...

...

pois aplicando os operadores ∆ e ∆ obtemos 0

1

3

5

8

11

15

19

24

1

2

2

3

3

4

4

5

...

1

0

1

0

1

0

1

...

−1

1

−1

1

−1

1

−1

−1

−1

−1

−1

...

...

Deste diagrama tiramos os seguintes dados (de cima para baixo): a14 = 0, a13 = 1, a12 = 1, a11 = −1, q = −1

209

Substituindo estes valores na f´ormula do termo geral P.G.A.3 , temos: an4 = 0 + (n − 1) · 1 + + (−1)

(n − 1)(n − 2) ·1 2

h (n − 1)(4 − n) 2(−1 − 1)

Simplificando, an =

+

(−1)n−1 − 1 − (−1)(−1 − 1)(n − 1) i (−1 − 1)3

2n + (−1)n − 1 (n − 1)(n + 4) − 4 8

Ou alternativamente,

an =

 2 n + 2n − 4   , n par;   4 

  2    n + 2n − 3 , n ´ımpar. 4

(4.10)

Na tela a seguir programamos a f´ormula do termo geral de uma P.G.A.3 .

entramos com os dados do exemplo anterior, a14 = 0, a13 = 1, a12 = 1, a11 = −1, q = −1 e, ap´os simplificar, obtivemos a tela ao lado.

210

4.1.4

Um (ex)problema em aberto

No livro “Aventuras Matem´ aticas” de Miguel de Guzman, Editora gradiva, o seguinte desafio consta como um problema em aberto.

(Problema das n bolas diferentes): Temos uma balan¸ca que s´o nos diz se o que est´ a num prato pesa mais do que est´ a no outro. Temos n bolas. N˜ ao h´ a duas que pesem o mesmo. Pretendemos orden´a-las pelos seus pesos. Qual o n´ umero m´ınimo de pesagens para o fazer em fun¸ca˜o de n?

Resolu¸ c˜ ao: Vamos orden´a-las da esquerda para a direita no sentido crescente dos pesos. Vamos raciocinar indutivamente: Se tivermos uma bola, evidentemente necessitaremos de 0 pesagem para “orden´ a-la”. Se tivermos duas bolas, necessitaremos obviamente de 1 pesagem para orden´a-las; ap´os o que j´a podemos construir a seguinte tabela − a qual nos fornece o n´ umero de pesagens p(n) em fun¸ca˜o de n (n = 1, 2, . . .).

n

1

2

3

4

5

6

p(n)

0

1

?

?

?

?

···

···

Agora temos trˆes bolas. Procedemos da seguinte forma: primeiramente ordenamos duas delas,onde gastamos p(2) = 1 pesagem, desta forma temos a seguinte configura¸ca˜o:

Agora para alocar a 3 a bola comparamo-la com a da esquerda. Na pior das hip´oteses, ela ´e mais pesada, isto ´e, devemos situ´a-la `a direita. Para saber precisamente onde − isto ´e, se ` a esquerda ou `a direita da 2 a bola −, pesamos a 3 a a com a 2 ; consumindo um total de p(3) = p(2) + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 pesagens.

211

Desta forma avan¸camos mais um passo em nossa tabela:

n

1

2

3

4

5

6

p(n)

0

1

3

?

?

?

···

···

Agora temos quatro bolas. Procedemos da seguinte forma: primeiramente ordenamos trˆes delas de acordo com o procedimento anterior; onde gastamos p(3) = 3 pesagens, desta forma temos a seguinte configura¸ca˜o:

Agora para alocar a 4 a bola comparamo-la com a bola do meio; onde surgem duas possibilidades: (i) se for mais pesada que esta, comparamos em seguida com a da direita; (ii) se for mais leve que esta, comparamos em seguida com a da esquerda. Em qualquer dos casos necessitaremos de um total de p(4) = p(3) + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 5 pesagens. Desta forma avan¸camos mais um passo em nossa tabela:

n

1

2

3

4

5

6

p(n)

0

1

3

5

?

?

···

···

Generalizando, propomos o seguinte algoritmo (indutivo) para n qualquer: Ordenamos inicialmente as n−1 bolas. Se n ´e par, temos que n−1 ´e ´ımpar. Para alocar au ´ltima bola comparamo-la com a bola do centro. Ap´os o que vamos comparandoa sucessivamente com todas as bolas `a direita (ou `a esquerda, tanto faz) da bola do centro. − Se n ´e ´ımpar (n − 1 ´e par) teremos sempre duas bolas “centrais”. Vamos comparar a u ´ltima bola com uma destas duas bolas do centro. Se escolhermos a bola mais ` a esquerda, vamos “caminhando” para a direita; isto ´e, vamos comparando a u ´ltima bola sucessivamente com as que est˜ ao `a direita. Se escolhermos a bola mais a direita, ent˜ ` ao caminhamos para a esquerda. Como ilustra¸ca˜o do algoritmo, vamos preencher a tabela anterior para n = 5 e n = 6.

212

Com n = 5 bolas, ordenamos quatro delas, onde gastamos p(4) = 5 pesagens, ficando com a seguinte configura¸ca˜o:

Observe que temos duas bolas centrais. Agora tanto faz comparar a u ´ ltima bola com a 2 a ou com a 3 a (estamos contando da esquerda para a direita). Se compararmos com a 2 a , na pior das hip´oteses, consideramo-la mais pesada e vamos caminhando para a direita. Se compararmos com a 3 a , na pior das hip´oteses consideramo-la mais leve e vamos caminhando para a esquerda. Em qualquer dos casos gastaremos: p(5) = p(4) + 1 + 1 + 1 = 5 + 3 = 8 pesagens. Com n = 6 bolas, ordenamos cinco delas, onde gastamos p(5) = 8 pesagens, ficando com a seguinte configura¸ca˜o:

Para alocar a u ´ltima bola comparamo-la com a do centro, na ordena¸ca˜o acima. Se ´e mais pesada vamos caminhando para a direita; caso contr´ario para a esquerda. Em qualquer dos casos gastaremos p(6) = p(5) + 1 + 1 + 1 = 8 + 3 = 11 pesagens. Desta forma nossa tabela fica assim:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

p(n)

0

1

3

5

8

11

?

?

···

···

Seguindo o algoritmo dado o leitor n˜ ao ter´ a dificuldades em ampliar a sequˆencia
p(n) para, por exemplo, p(n) :

0

1

3

5

8

11

15

19

24

...

Esta ´e a sequˆencia que comparece no exemplo da p´ agina 209, cuja f´ormula do termo geral ´e dada na equa¸ca˜o (4.10) (p. 210), portanto:

p(n) =

 2 n + 2n − 4   , n par;   4 

  2    n + 2n − 3 , n ´ımpar. 4

213

O nosso trabalho ainda n˜ ao est´ a concluido. Prova: Vamos demonstrar, por indu¸ca˜o, a validade da f´ormula (segundo o algoritmo dado): Para n = 3 e n = 4, temos: p(3) =

32 + 2 · 3 − 3 = 3, 4

p(4) =

42 + 2 · 4 − 4 =5 4

Suponhamos a validade da f´ormula para n = k. Consideremos duas possibilidades: 1 a ) n = k ´e par. (H.I.) p(k) =

k2 + 2 k − 4 4

Desejamos mostrar que a f´ormula ´e v´alida para n = k + 1: p(k + 1) =

(T.I.)

(k + 1)2 + 2 (k + 1) − 3 4

Para obter p(k + 1), segundo o algoritmo dado, observamos que se k ´e par teremos a seguinte ordena¸ca˜o: ... 1

... k 2

2

k 2

k−1

+1

k

Agora vamos alocar a u ´ltima bola: de acordo com o algoritmo dado podemos compar´a-la com a bola de n´ umero k/2 (caso em que teremos de caminhar para a direita) ou com a bola de n´ umero k/2 + 1 (caso em que teremos de caminha para a esquerda). Em qualquer dos casos gastaremos um total de pesagens igual a p(k + 1) = p(k) + Logo,

k

2

+1



p(k + 1) =

 k2 + 2 k − 4  k + +1 4 2

p(k + 1) =

k 2 + 2k + 1 + 2k + 2 − 3 4

p(k + 1) =

(k + 1)2 + 2 (k + 1) − 3 4

isto ´e,

Ou ainda,

214

2 a ) n = k ´e ´ımpar.

(H.I.) p(k) =

k2 + 2 k − 3 4

Desejamos mostrar que a f´ ormula ´e v´alida para n = k + 1: p(k + 1) =

(T.I.)

(k + 1)2 + 2 (k + 1) − 4 4

Para obter p(k + 1), segundo o algoritmo dado, observamos que se k ´e ´ımpar teremos a seguinte ordena¸ca˜o: ... 1

... k+1 2

2

k−1

k

Agora vamos alocar a u ´ltima bola: de acordo com o algoritmo dado devemos compar´a-la com a bola do centro, caso em que tanto faz caminhar para a direita ou para a esquerda. Em qualquer dos casos gastaremos um total de pesagens igual a p(k + 1) = p(k) + Logo,

k+1 2

p(k + 1) =

k2 + 2 k − 3  k + 1  + 4 2

p(k + 1) =

k 2 + 2k + 1 + 2k + 2 − 4 4

p(k + 1) =

(k + 1)2 + 2 (k + 1) − 4 4

isto ´e,

Ou ainda,



215

4.2

Produto dos termos de uma P.A.

Com o objetivo de construir uma nova sequˆencia, vamos agora deduzir (e demonstrar) uma f´ ormula para o produto dos n primeiros termos de uma progress˜ao aritm´etica. Da f´ ormula do termo geral, an = a1 + (n − 1) r, temos:

Pn = a1 · (a1 + r) · (a1 + 2r) · . . . · a1 + (n − 2) r · a1 + (n − 1) r

= a1 · (a1 + r) · (a1 + 2r) · . . . · a1 + (n − 2) r · a1 + (n − 1) r ·

r n a1 + n r · · r n a1 + n r

a1 r a1 r

Logo, Pn = Finalmente,

a1 r n

a1 r


+ 1 ···


!
!

a1 r


+ (n − 2) (a1 + n r)

a1 (n r + a1
r !

− 1)


a a1 rn r1 + n ! Pn = a
(a1 + n r) r1 !




a1 r

+n




a1 r


!

(4.11)

Ou, numa forma mais est´etica,

(a1 + n r) Pn = a1 r · (a1 + n r) n

1 r a1 r



!
!

(4.12)

Esta ´e a dedu¸ca˜o da f´ ormula, a demonstra¸ca˜o encontra-se no apˆendice, p. 221. A dedu¸ca˜o (e demonstra¸ca˜o) da equa¸ca˜o anterior se deu em 29.03.99. Vamos exemplific´ a-la e fazer alguns coment´ arios. Antes de mais nada o leitor poderia argumentar que a f´ormula em quest˜ ao ´e v´alida apenas para aquelas a sequˆencias aritm´eticas em que r1 ∈ N. Se assim fosse, esta seria uma f´ormula sem muita utilidade. Acontece que existe uma fun¸ca˜o matem´atica (fun¸ c~ ao gama) que generaliza o fatorial de um n´ umero para todos os reais, com exce¸ca˜o dos inteiros a negativos. Isto ´e, a f´ ormula Pn ´e v´alida sempre que r1 6∈ Z− .

216

Exemplos: (a) Calcular o produto dos n primeiros termos da P.A. (1, 2, 3, . . .). Solu¸ c˜ ao: a1 = 1 e r = 1. Ent˜ ao,

(1 + n · 1) 11 !
Pn = 1 · 1n · (1 + n · 1) 11 ! Simplificando,

Pn =

(n + 1)! = n! n+1

como era de se esperar. (b) Encontre uma f´ ormula para o produto dos n primeiros n´ umeros ´ımpares positivos. Solu¸ c˜ ao: a1 = 1 e r = 2. Ent˜ ao,

(1 + n · 2) 12 ! n
Pn = 1 · 2 · (1 + n · 2) 12 !

Podemos escrever,

(2n + 1) 1 · 3 · 5 · . . . · 2n − 1 = 2 · (2n + 1) n

A t´ıtulo de curiosidade, temos, (−0.5)! = 2 · (0.5)! =

1 2 1 2



!
!

√ π = 1, 772454 . . .

Nota: Embora existam calculadoras (HP Prime , por exemplo) e softwares que fornecem o fatorial de n´ umeros no conjunto R − Z− , isto ´e, que trabalham com a fun¸ca˜o gama, a vantagem da f´ ormula (4.12) ´e que podemos trabalh´a-la com qualquer calculadora; pois sempre ser´a poss´ıvel simplificar o fatorial de uma eventual fra¸ca˜o. Exemplo: No produto dos ´ımpares, temos,

(2 · 3 + 1) 21 ! 3
P3 = 2 · (2 · 3 + 1) 21 !

Simplificando,

P3 = 8 · Logo,

8 3, 5 · 2, 5 · 1, 5 · (0.5)! (3, 5)! = · 7 · (0.5)! 7 (0.5)! P3 =

8 · 3, 5 · 2, 5 · 1, 5 = 15 7

217

(c) Encontre uma f´ ormula para o produto dos n primeiros n´ umeros pares positivos. Solu¸ c˜ ao: a1 = 2 e r = 2. Ent˜ ao,

(2 + n · 2) 12 ! n
Pn = 2 · 2 · (2 + n · 2) 22 ! Simplificando,

(n + 1)! 2(n + 1)

Pn = 2 · 2n · Podemos escrever,

2 · 4 · 6 · . . . · 2n = 2n · n!

(d) Encontre uma f´ ormula para a fra¸ca˜o abaixo,

1 · 3 · 5 · . . . · 2n − 1 2 · 4 · 6 · . . . · 2n

Solu¸ c˜ ao: Usando os resultados dos dois ´ıtens anteriores, temos,

! (2n+1) 12 n
2 · 1 (2n+1) 2 ! 1 · 3 · 5 · . . . · 2n − 1 = 2 · 4 · 6 · . . . · 2n 2n · n! Logo,

(2n + 1) 12 ! 1 1 · 3 · 5 · . . . · 2n − 1 = · 2 · 4 · 6 · . . . · 2n n! (2n + 1) 12 )!

4.2.1

progress˜ ao aritm´ etica-geom´ etrica

Com a f´ ormula do produto dos termos de uma P.A. estamos habilitados a definir mais uma sequˆencia: Para construir uma progress˜ao aritm´etica-geom´etrica (P.A.G.) partimos de uma sequˆencia constante (n˜ao-nula): ∆ ∆ an = r

(4.13)

Exemplo: r:

1

1

1

1

1

1

...

Agora aplicamos o operador ∇ (Soma) ∇ an =

(p. 96)

n−1 X

i=1

ai + ∇ a1

a ambos os membros da equa¸ca˜o (4.13) obtendo, ∇ ∆ ∆ an =

n−1 X

i=1

r + ∇ a1 = a11 + (n − 1) r

(4.14)

No exemplo (tomando ∇ a1 = a11 = 2), temos, ∇r :

2

3

4

5

6

7

...

r:

1

1

1

1

1

1

...

218

∆

(Produto) f (n) =

(p. 148) n−1 Y

∆

Aplicando o operador

f (i) ×

∆

i=1

f (1)

`a equa¸ca˜o (4.14), temos ∆ an =

n−1 Y

∆

i=1

[ a11 + (i − 1) r ] × a12

Utilizando a equa¸ca˜o

(p. 216)
a a1 rn r1 + n ! Pn = a
(a1 + n r) r1 !

resulta a seguinte f´ ormula para o termo geral de uma P.G.A.:

an2 = a12


a a11 rn−1 r11 + (n − 1) !
a
· 11 a11 + (n − 1) r ! r

No exemplo (tomando a12 = 2), temos: ∇r :

2

4

12

48

240

∇r :

2

3

4

5

r:

1

1

1

1

1440

...

6

7

...

1

1

...

∆

Para descobrir se uma dada sequˆencia (an ) ´e uma P.A.G.: Exemplo: an :

2

2

6

30

210

...

aplicamos o operador Quociente: an

: 2

2

6

30

210

∆ an

: 1

3

5

7

...

...

agora aplicamos o operador Diferen¸ca: an

: 2

2

6

30

210

∆ an

: 1

3

5

7

...

∆∆ an

: 2

2

2

...

...

ao a sequˆencia em quest˜ ao ´e de fato uma P.A.G. Se resultar ∆∆ an = r 6= 0, ent˜

219

Exemplos: (a) Verificar se a sequˆencia (an ) dada por an = 2 (−1)n−1 (n − 1)! ´e uma P.AG. Solu¸ c˜ ao: Aplicando o operador Quociente, temos ∆ an =

an+1 an


2 (−1)(n+1)−1 (n + 1) − 1 ! = −n = 2 (−1)n−1 (n − 1)! agora aplicando o operador Diferen¸ca, temos ∆ ∆ an = −(n + 1) − (−n) = −1 Deste resultado concluimos que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.A.G. (b) A sequˆencia (an ) dada por an = n! ´e uma P.A.G. De fato, aplicando o operador Quociente, temos ∆ an =

an+1 (n + 1)! = =n+1 an n!

agora aplicando o operador Diferen¸ca, temos ∆ ∆ an = (n + 2) − (n + 1) = 1 Deste resultado concluimos que a sequˆencia em quest˜ ao ´e uma P.A.G. Este exemplo, visto de uma outra perspectiva, fica: an

:

1

2

6

24

120

∆ an

:

2

3

4

5

...

∆∆ an

:

1

1

1

...

220

...

4.3

Apˆ endice

Demonstra¸ca˜o da equa¸ca˜o (4.11) (p. 216):


a a1 rn r1 + n ! Pn = a
(a1 + n r) r1 ! Prova: Indu¸ca˜o sobre n. Para n = 1, temos:

a1
a a a1 r1 r1 + 1 ! a1 r r1 + 1 r ! P1 = = a1 a1
= a1
(a1 + 1 r) r ! (a1 + 1 r) r !

Consideremos a f´ ormula v´alida para n = k:


a a1 rk r1 + k ! Pk = a
(a1 + k r) r1 !

Mostremos que vale para n = k + 1: Pk+1 = Ent˜ ao,

(H.I)

(T.I)


a a1 rk+1 r1 + (k + 1) !
a (a1 + (k + 1) r) r1 !

Pk+1 = Pk × ak+1 =


a a1 rk r1 + k ! a
× ak+1 (a1 + k r) r1 !


mas, ak+1 = a1 + (k + 1) − 1 r = a1 + k r. Logo, Pk+1 = Pk × ak+1 Ou ainda, Pk+1 = Logo,


a a1 rk r1 + k ! = a
× (a1 + k r) (a1 + k r) r1 !


a
a1 rk r1 + k !
a1
× a1 + (k + 1) r a1 + (k + 1) r r !

Pk+1 =

a1 r k

Finalmente, Pk+1


+ (k + 1) r
a1 + (k + 1) r a1 r

a1 r + a1
r !


a a1 rk+1 r1 + (k + 1) ! = a
(a1 + (k + 1) r) r1 !

221


k !



4.4

Exerc´ıcios propostos

168) Escreva com apenas uma senten¸ca as seguintes sequˆencias: a)   1, n ´ımpar; an =  2, n par. b)

an =

  

n+1 2 ,

n ´ımpar;

n 2,

n par.

169) Encontre uma f´ ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia: 3

5

3

5

3

5

3

...

170) Encontre uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos da sequˆencia do exerc´ıcio anterior. 171) Quantos termos devem ser somados na sequˆencia 3

5

3

5

3

5

3

...

para que a soma seja igual a 1003? 172) Mostre que uma outra f´ormula para a sequˆencia do exerc´ıcio anterior ´e j n−1k an = 2n + 1 − 4 2 173) Encontre uma f´ ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia: 3

3

5

5

7

7

9

9

...

174) Mostre que uma outra f´ormula para a sequˆencia do exerc´ıcio anterior ´e jn−1 k an = 3 + 2 2 175) Quantos termos devem ser somados na sequˆencia 3

3

5

5

7

7

9

9

...

para que a soma seja igual a 240? 176) Quantos termos devem ser somados, a partir do primeiro termo, na seguinte P.G.A. para que a soma seja 30? 177) Para a sequˆencia dada por an = 2n − 1, mostre que ´e constante o seguinte quociente: an+2 − an+1 an+1 − an n

+1 , mostre que ´e constante o se178) Para a sequˆencia dada por an = 2n−(−1) 4 guinte quociente: an+3 − 2 an+2 + an+1 an+2 − 2 an+1 + an

222

179) Mostre que para uma P.G.A.2 ; ´e constante o seguinte quociente: an+3 − 2 an+2 + an+1 an+2 − 2 an+1 + an 180) Encontre uma sequˆencia (yn ) satisfazendo yn+1 − 2yn − 1 = 0,

com y0 = 3.

181) Resolva as seguintes equa¸co˜es a diferen¸cas: a)

yn+1 = 2yn + 1 ,

y0 = 5

b)

2yn+1 − yn = 4 ,

y0 = 3

c)

yn+1 = −yn + 1 ,

y0 = 1

d)

yn+1 = 2yn − 1 ,

y3 = 9

e)

yn+1 = yn + 3 ,

y4 = 12

182) Resolva as seguintes equa¸co˜es a diferen¸cas: a)

yn+1 = 3yn − 1 ,

y0 = 1/2

b)

yn+1 = 3yn − 1 ,

y0 = 1

c)

yn+1 + 3yn + 1 = 0 ,

y0 = 1

d)

2yn+1 − yn = 2 ,

y0 = 4

e)

yn+1 + yn = 0 ,

y0 = −1

183) Encontre uma f´ ormula para a soma Sn dos termos da solu¸ca˜o da seguinte equa¸ca˜o: yn+1 + yn = 1, y0 = 1. 184) Obter o n-´esimo termo da progress˜ao aritm´etica peri´odica em que a1 = 1, a2 = 2 e r = 2. 185) Qual a posi¸ca˜o ocupada pelo termo 28 na progress˜ao aritm´etica peri´odica em que a1 = a2 = −2 e r = 2? 186) Obter a soma dos 20 primeiros termos da seguinte progress˜ao aritm´etica peri´odica de per´ıodo k = 2: 1

2

4

5

7

8

10

11

13

...

187) Quantos termos devem ser somados na sequˆencia 4

4

12

12

20

20

28

a partir do primeiro termo, para que a soma seja 452?. 188) Mostre que a sequˆencia (1, 11, 111, 1111, . . .) ´e uma P.G.A.

223

28

...

189) Encontre uma equa¸ca˜o para o n-´esimo termo da sequˆencia 1

2

3

8

5

32

7

128

9

...

na qual os termos de ordem ´ımpar s˜ao os termos da P.A. (1, 2, . . .) e os termos de ordem par s˜ao os termos da P.G. (1, 2, . . .). 190) Obter o n-´esimo termo da progress˜ao aritm´etica peri´odica em que a1 = a2 = −1 e r = 2 191) Obter o n-´esimo termo da seguinte sequˆencia −1

−1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

...

considerando cada um dos seguintes casos: a) a sequˆencia ´e uma progress˜ao aritm´etica peri´odica de per´ıodo k = 2; b) a sequˆencia ´e uma ´e uma P.G.G.A. 192) Obter a soma dos 30 termos iniciais da seguinte sequˆencia −1

1

2

0

3

1

4

2

...

193) Obter a soma dos n primeiros termos da P.G.G.A.: 2

1

4

3

6

5

8

7

10

...

8

8

10

...

194) Quantos termos devemos somar na sequˆencia 2

2

4

4

6

6

a partir do primeiro termo para que a soma seja 480? 195) Mostre que toda progress˜ao aritm´etica peri´odica em que a2 − a1 6= P.G.G.A.

r 2

´e uma

196) Mostre que se em uma P.G.G.A.: (a1 , a2 , a3 , a4 , . . .) tivermos a4 − a3 = a2 − a1 , ent˜ ao esta mesma sequˆencia ´e tamb´em uma progress˜ao aritm´etica peri´odica de per´ıodo 2. 197) Utilizando a f´ ormula do termo geral de uma progress˜ao aritm´etica peri´odica, calcule o n-´esimo termo da seguinte P.G.G.A.: 1

1

2

2

3

3

4

4

5

...

198) Utilizando a f´ ormula da soma dos termos de uma progress˜ao aritm´etica peri´odica, calcule a soma dos termos da seguinte P.G.G.A.: −2

−2

0

0

2

2

4

4

...

199) Mostre que a equa¸ca˜o (4.5) (p. 198) ´e uma caso particular da equa¸ca˜o (4.6) (p. 200).

224

200) A partir da equa¸ca˜o (4.6) (p. 200) encontre uma f´ormula para o n-´esimo termo de uma progress˜ao aritm´etica peri´odica de per´ıodo k = 4. 201) Encontre uma f´ ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia 3

4

1

2

7

8

5

6

11

12

9

...

onde, a1 = 3, a2 = 4, a3 = 1, a4 = 2 e r = 4. 202) Fa¸ca um programa computacional para implementar a equa¸ca˜o (4.6). 203) Quantos termos devem ser somados, a partir do primeiro termo, na seguinte P.G.A. −1

2

−1

2

2

−1

−1

2

...

para que a soma seja 35? 204) Obter o n-´esimo termo da sequˆencia 1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

...

−1

...

205) Calcular a soma dos 20 primeiros termos da sequˆencia −1

2

−1

2

2

−1

−1

2

2

206) Quantos termos devem ser somados, a partir do primeiro termo, na sequˆencia −1

−1

4

−1

4

−1

4

4

...

para que a soma seja 20? 207) Obter o 20 o termo da progress˜ao aritm´etica peri´odica em que a1 = 1, a2 = 2 e r = 3. 208) Deduza, a partir da f´ ormula do termo geral da P.G.A.3 , uma f´ormula para a soma dos n primeiros termos da P.G.A.2 . 209) Utilizando a f´ ormula encontrada no exerc´ıcio anterior, encontre a soma dos n primeiros termos da sequˆencia 1

1

2

2

3

225

3

4

4

...

210) Calcule a soma Sn dos n primeiros termos da sequˆencia 1

11

111

1111

11111

111111

Depois confirme o triˆangulo abaixo: S1 = 1 S2 = 1

2

S3 = 1

2

3

S4 = 1

2

3

4

S5 = 1

2

3

4

5

S6 = 1

2

3

4

5

6

S7 = 1

2

3

4

5

6

7

S8 = 1

2

3

4

5

6

7

8

S9 = 1

2

3

4

5

6

7

8

9

211) Mostre que a seguinte identidade ´e v´alida π = 4



2 · 3



3 2

 2 !

212) Encontre a f´ ormula do termo geral da sequˆencia 2

2

6

30

210

213) Seja a sequˆencia (an ) dada por (2n − 1) an = 2 · (2n − 1) n

mostre que ∆ ∆ an = 2, ∀ n ∈ N.

226

1 2 1 2



!
!

...

...

Cap´ıtulo

5

Progress˜ao aritm´etica bidimensional “Este Mundo ´e um sonho, uma despretensiosa aventura da Consciˆencia”. Neste cap´ıtulo definiremos as Progress˜oes Aritm´eticas Bidimensionais − uma outra generaliza¸ca˜o das progress˜oes aritm´eticas − que nos possibilitar´a algumas aplica¸co˜es interessantes; cremos que outras se somar˜ao `as que aqui apresentamos.

5.1

Introdu¸ c˜ ao

As sequˆencias que estudaremos a seguir servir˜ao, dentre outras aplica¸co˜es, para se estudar “sequˆencias aritm´eticas”onde est˜ ao presentes duas raz˜ oes. Para citar trˆes exemplos: ao de R litros/min. A 1 o ) Uma caixa d’agua (inicialmente vazia) ´e abastecida `a raz˜ cada T minutos um dispositivo autom´ atico interrompe o abastecimento e a esvazia de r (r ≤ RT ) litros durante um minuto. Encontre uma f´ormula V (t) para o volume em fun¸ca˜o do tempo. 2 o ) Considere a sequˆencia dos n´ umeros naturais. Retire desta sequˆencia todos os m´ ultiplos de p, encontre para a sequˆencia resultante: a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. o ao r. Insira k 3 ) Considere uma progress˜ao aritm´etica de primeiro termo a1 e raz˜ n´ umeros: iguais ao 1 o termo entre o 1 o e o 2 o termos; iguais ao 2 o entre o 2 o e o 3 o ; iguais ao 3 o entre o 3 o e o 4 o termos e assim sucessivamente. Encontre para a sequˆencia resultante: a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. Exemplo: Para a1 = 1, r = 2 e k = 2, temos: an : 1

1

1

3

3

3

5

227

5

5

7

7

7

...

5.2

No¸ c˜ oes iniciais: sequˆ encias duplas

Uma sequˆencia dupla ´e uma aplica¸ca˜o do tipo: a(m, n) : N × N → R Em uma sequˆencia dupla qualquer, cada elemento ´e indicado por aij . O ´ındice i indica a linha e o ´ındice j a coluna `as quais o elemento pertence. Com a conven¸ca˜o de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo e as colunas da esquerda para a direita, temos: a11 a12 a13 a14 ... a21

a22

a23

a24

...

a31

a32

a33

a34

...

a41

a42

a43

a44

...

.............................. Exemplos de sequˆencias duplas: a) Seja a sequˆencia a : N × N → R dada por aij = (−1)i+j . Segundo a conven¸ca˜o feita, temos: 1 −1 1 −1 1 ... −1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

1

−1

1

1

...

.................................... b) Seja a sequˆencia a : N × N → R dada por

aij =

        

1, se i − j = 1; −1, se i − j = −1; 0, nos demais casos.

segundo a conven¸ca˜o feita, temos:

228

0

−1

0

0

0

...

1

0

−1

0

0

...

0

1

0

−1

0

...

0

0

1

0

−1

...

0

0

0

1

0

...

..................................

− Uma sequˆencia dupla limitada em linhas ´e a que possui um n´ umero finito M de linhas; uma sequˆencia dupla limitada em colunas ´e a que possui um n´ umero finito N de colunas; uma sequˆencia dupla limitada em linhas e colunas − ou simplesmente limitada − ´e a que possui M linhas e N colunas, assim: a11

a12

a13

...

a1N

a21

a22

a23

...

a2N

a31

a32

a33

...

a3N

................................ aM 1

aM 2

aM 3

...

aM N

− Uma sequˆencia dupla quadrada de ordem N ´e aquela em que M = N , isto ´e, uma sequˆencia com igual n´ umero de linhas e colunas. − Chama-se diagonal principal (D.P.) de uma sequˆencia dupla quadrada de ordem N o conjunto dos elementos que tˆem os dois ´ındices iguais, isto ´e: D.P. = { aij : i = j } = { a11 , a22 , . . . , aN N } − Chama-se diagonal secund´ aria (D.S.) de uma sequˆencia dupla quadrada de ordem N o conjunto dos elementos que tˆem soma dos ´ındices iguais N + 1, isto ´e: D.S. = { aij : i + j = N + 1 } = { a1N , a2, N −1 , . . . , aN 1 } • • • • • •

Chamaremos de primeiro termo: da sequˆencia dupla: a11 ; da linha i: ai1 ; da coluna j: a1j ; da diagonal principal: a11 ; da diagonal secund´ aria: a1N ; aM N ´e o u ´ltimo termo de uma sequˆencia limitada.

229

Observa¸ c˜ ao: Definimos uma sequˆencia dupla como sendo uma aplica¸ca˜o a : N × N → R, uma sequˆencia dupla limitada em linhas, por exemplo, deveria ser definida como a : { 1, 2, . . . , M } × N → R; vamos deixar estas considera¸co˜es de lado para n˜ ao nos alongarmos desnecessariamente. Vamos agora definir um tipo especial de sequˆencia dupla: Defini¸ c˜ ao 16. Chama-se progress˜ao aritm´etica bidimensional (PA-2D) uma sequˆencia dupla dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia:   a11 = a    a1j = a1(j−1) + r1 , j ≥ 2;    a =a + r2 , i ≥ 2, j ≥ 1. ij (i−1)j Onde: a11 = a, r1 e r2 s˜ao constantes dadas. Vejamos a ideia que est´ a por tr´as desta defini¸ca˜o. Inicialmente s˜ao dados: a11 •

r1

r2

Agora construimos a progress˜ao aritm´etica da linha 1, assim: a11 •

r1 •

•

•

• ...

r2

Agora podemos descer com “com passos de r2 ” por qualquer coluna, assim:

r2

r1

a11 •

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

··························· · ·

230

Exemplos: (a) a11 = 1, r1 = 2 e r2 = 1. Temos a seguinte PA-2D: 1

3

5

7

9

...

2

4

6

8

10

...

3

5

7

9

11

...

4

6

8

10

12

...

5

7

11

13

14

...

............................... (b) a11 = 5, r1 = −1 e r2 = 1. Temos a seguinte PA-2D: 5

4

3

2

1

...

6

5

4

3

2

...

7

6

5

4

3

...

8

7

6

5

4

...

9

8

7

6

5

...

...........................

Nota¸ c˜ ao: Adotaremos a seguinte simbologia para uma PA-2D: a11

r1

r2

As PA-2D dos dois exemplos anteriores s˜ao representadas por, 1

5

2

1

1

231

−1

5.3

F´ ormula do termo geral de uma PA-2D

N˜ ao seria razo´avel − nem mesmo sensato − recorrermos `a defini¸ca˜o para encontrar um termo qualquer de uma PA-2D. Faremos agora a dedu¸ca˜o e demonstra¸ca˜o de uma f´ ormula que nos d´ a acesso direto a qualquer termo de uma PA-2D. Dedu¸ c˜ ao: Da terceira equa¸ca˜o da defini¸ca˜o 16 (p. 230), temos: a2j = a1j + r2 a3j = a2j + r2 a4j = a3j + r2 ·················· aij = a(i−1)j + r2 Somando essas i − 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados, temos: aij = a1j + (i − 1)r2

(1)

Da segunda equa¸ca˜o da defini¸ca˜o 16 (p. 230), temos: a12 = a11 + r1 a13 = a12 + r1 a14 = a13 + r1 ·················· a1j = a1(j−1) + r1 Somando essas j − 1 igualdades e fazendo os cancelamentos apropriados, temos: a1j = a11 + (j − 1)r1

(2)

Substituindo (2) e (1), temos: aij = a11 + (j − 1)r1 + (i − 1)r2 Com o que podemos enunciar o seguinte teorema. Teorema 38 (F´ ormula do termo geral de uma PA-2D). Na PA-2D em que o primeiro termo ´e a11 , a raz˜ ao das linhas ´e r1 e a raz˜ ao das colunas ´e r2 o (i, j)-termo ´e: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2

232

(5.1)

Prova: Indu¸ca˜o sobre i (j fixo). Para i = 1 precisamos mostrar que, a1j = a11 + (j − 1) r1 De fato, para i = 1 a defini¸ca˜o torna-se a de uma progress˜ao aritm´etica, o que significa que a equa¸ca˜o anterior ´e v´alida. Admitamos a validade da f´ ormula para i = k: (H.I.) akj = a11 + (j − 1) r1 + (k − 1) r2 E provemos a validade da f´ ormula para i = k + 1:

(T.I.)


a(k+1)j = a11 + (j − 1) r1 + (k + 1) − 1 r2 Pela terceira equa¸ca˜o da defini¸ca˜o (p. 230), temos a(k+1)j = a((k+1)−1)j + r2 = akj + r2 = [ a11 + (j − 1) r1 + (k − 1) r2 ] + r2
= a11 + (j − 1) r1 + (k − 1) + 1 r2


= a11 + (j − 1) r1 + (k + 1) − 1 r2 Exemplos: (a) Calcule os termos a41 , a14 e a33 da seguinte PA-2D: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

........................... Solu¸ c˜ ao: Do diagrama tiramos: a11 = 5, r1 = 1 e r2 = −1. Ent˜ ao, aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2

= 5 + (j − 1) 1 + (i − 1) (−1) = −i + j + 5 Logo, a41 = −4 + 1 + 5 = 2, a14 = −1 + 4 + 5 = 8, a33 = −3 + 3 + 5 = 5.

233



Confira no diagrama, 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

...........................

F´ ormula do termo geral na HP Prime O que me faz entusiasta da calculadora HP Prime − al´em da computa¸ca˜o alg´ebrica − ´e a possibilidade de se fazer programas extremamente compactos, veja por exem´ nica linha!: plo a f´ ormula do termo geral de uma PA-2D em apenas uma u aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2

Neste programa entramos com a11 r1 e r2 e obtemos a PA-2D de ordem 6 × 6. Na tela da direita temos a PA-2D do exemplo anterior. MAKEMAT(expression, rows, columns) Cria uma matriz com a dimens˜ao linhas × colunas, utilizando a express˜ao para calcular cada elemento.

234

(b) Encontre todos os termos iguais a 7 na PA-2D em que a11 = −1, r1 = 2 e r2 = 2. Solu¸ c˜ ao: Substituindo os dados na f´ ormula do termo geral, temos: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 7 = −1 + (j − 1) 2 + (i − 1) 2 Simplificando, temos: i+j = 6

(5.2)

Isto ´e, os termos de valor 7 na PA-2D dada s˜ao aqueles cuja soma dos ´ındices vale 6. Quantos s˜ao estes termos? Observe que (i, j) ∈ N × N.

Breve resumo sobre equa¸c˜ oes diofantinas

Uma equa¸ c˜ ao diofantina linear em duas vari´aveis ´e uma express˜ao da forma a x + b y = c, na qual a, b e c s˜ao inteiros, com a e b n˜ ao simultaneamente nulos e cujas solu¸co˜es est˜ ao restritas ao conjunto dos n´ umeros inteiros. Uma solu¸ca˜o dessa equa¸ca˜o ´e ent˜ ao um par de inteiros (x0 , y0 ) tal que a x0 + b y0 = c. Condi¸ c˜ ao de Existˆ encia de Solu¸ c˜ ao Teorema: A equa¸ca˜o diofantina linear a x + b y = c, possui solu¸ca˜o se, e somente se, o m´aximo divisor comum de a e b divide c. Solu¸ co ˜es da equa¸ c˜ ao a x + b y = c. Seja (x0 , y0 ) uma solu¸ca˜o particular da equa¸ca˜o diofantina linear a x + b y = c, ent˜ ao qualquer solu¸ca˜o inteira dessa equa¸ca˜o ´e dada por X = x0 +

b k d

Y = y0 −

a k d

onde d = mdc(a, b) e k ´e um inteiro qualquer. Nota: No caso do mdc(a, b) = d e d|c, a equa¸ca˜o diofantina linear a x + b y = c admite um n´ umero infinito de solu¸co˜es. Corol´ ario: Se a, b s˜ao relativamente primos (mdc(a, b) = 1) ent˜ ao a equa¸ca˜o a x + b y = c sempre tem solu¸co˜es inteiras para qualquer c. Nas telas a seguir,

235

temos um (´ unico) programa que resolve a equa¸ca˜o diofantina a x + b y = c. Antes de exemplificar a utiliza¸ca˜o deste programa dois esclarecimentos: gcd(a, b) nos d´ a o m´aximo divisor comum de a e b. MAKELIST(expression,variable,begin,end,increment) Calcula uma lista a partir da express˜ao no que diz respeito `a vari´avel, `a medida que a vari´avel assume valores do in´ıcio ao fim, com incrementos. Por exemplo,

Nota: Para o exemplo da direita fixe sua calculadora ( par ordenado (a, b), em complex.

) na forma de

No caso do nosso programa, fizemos k = −10 , −9, −8, . . . , 8, 9, 10. Retomando a equa¸ca˜o i + j = 6, entramos no programa com (a, b, c) = (1, 1, 6), obtemos a seguinte tela:

Na tela temos a seguinte lista: { (−5, 11), (−4, 10), (−3, 9), (−2, 8), (−1, 7), (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3) (4, 2), (5, 1), (6, 0), (7, −1), (8, −2), (9, −3), (10, −4), (11, −5), (12, −6) (13, −7), (14, −8), (15, −9) } Em nosso contexto devemos ter i, j ∈ { 1, 2, 3, . . . }; as solu¸co˜es que nos interessam s˜ao: { (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1) }. Tendo em conta o problema original, confira no diagrama a seguir:

236

−1

1

3

5

7

9

...

1

3

5

7

9

11

...

3

5

7

9

11

13

...

5

7

9

11

13

15

...

7

9

11

13

15

17

...

9

11

13

15

17

19

...

−1

2

2

........................................ Ainda a t´ıtulo de ilustra¸ca˜o, consideremos a PA-2D do exemplo (a), p. 233: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

5

−1

1

aij = −i + j + 5

........................... Na tela da esquerda, a seguir, resolvemos a equa¸ca˜o aij = aij = 4.

237

1 2

e na tela da direita

5.3.1

Propriedades numa PA-2D

Decorrem da f´ ormula do termo geral de uma PA-2D, aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 as seguintes propriedades: P1) Qualquer linha ou coluna em uma PA-2D resulta em progress˜ao aritm´etica. Prova: Fixando uma coluna j = n, resulta:
a(i+1)n − ain = [ a11 + (n − 1) r1 + (i + 1) − 1 r2 ] − [ a11 + (n − 1) r1 + (i − 1) r2 ] = r2 .  Analogamente se demonstra que as colunas est˜ ao em P.A. P2) Dado qualquer “retˆangulo” em uma PA-2D a soma de dois v´ertices opostos ´e igual ` a soma dos outros dois v´ertices:

ai

j 1 1

+ ai

j 2 2

= ai

j 1 2

+ ai

j 2 1

Antes da prova, veja um exemplo:

5

6

7

8

9

...

a22

a24

4

5

6

7

8

...

5

6

7

3

4

5

6

7

...

5

6

2

3

4

5

6

...

4 a32

1

2

3

4

5

...

a34

a22 + a34 = a24 + a32

........................... Prova: Decorre da seguinte igualdade: [ a11 + (j1 − 1) r1 + (i1 − 1) r2 ] + [ a11 + (j2 − 1) r1 + (i2 − 1) r2 ] = [ a11 + (j2 − 1) r1 + (i1 − 1) r2 ] + [ a11 + (j1 − 1) r1 + (i2 − 1) r2 ] 

238

Duas consequˆencias imediatas desta propriedade s˜ao: 1 a ) Em qualquer PA-2D , qualquer termo ´e a soma do primeiro termo de sua linha com o primeiro termo de sua coluna menos o primeiro termo da PA-2D .

aij = ai1 + a1j − a11 Exemplo:

5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

a34 = a31 + a14 − a11

........................... 2 a ) Em uma PA-2D vale ainda:

aij = a(i−1)j + ai(j−1) − a(i−1)(j−1) Exemplo:

5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

a34 = a(3−1)4 + a3(4−1) − a(3−1)(4−1) a34 = a24 + a33 − a23

...........................

239

Observe o mˆes de janeiro de 2017:

1

1

7

temos na matriz acima uma PA-2D onde a11 = 1, r1 = 1 e r2 = 7. Confira as propriedades anteriores. Nos telefones de teclas, e tamb´em ha HP Prime, podemos discernir uma PA-2D:

A prop´ osito, em projeto de computadores existe a necessidade de se conhecer o valor de uma tecla em fun¸ca˜o de sua posi¸ca˜o no teclado.

aij = 3i + j − 3

240

P3) Os elementos da diagonal principal de uma PA-2D quadrada est˜ ao em P.A. de primeiro termo a11 e raz˜ ao r1 + r2 . Prova: Da f´ ormula do termo geral, temos: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 aii = a11 + (i − 1) r1 + (i − 1) r2 aii = a11 + (i − 1) (r1 + r2 )  Confira esta propriedade nas seguintes PA-2D:

−1

1

3

5

7

...

1

3

5

7

9

...

3

5

7

9

11

...

5

7

9

11

13

...

7

9

11

13

15

...

................................. P4) Os elementos da diagonal secund´aria de uma PA-2D quadrada de ordem N est˜ ao em P.A. de primeiro termo a1N e raz˜ ao r2 − r1 . Prova: Lembramos (p. 229) que os ´ındices dos termos da D.S. satisfazem a equa¸ca˜o i + j = N + 1; ent˜ ao: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2
ai(N +1−i) = a11 + (N + 1 − i) − 1 r1 + (i − 1) r2 = a1N + (i − 1) (r2 − r1 )

 Confira esta propriedade nas seguintes PA-2D:

N = 3, a13 = 9 −1

1

3

5

7

1

3

5

7

9

3

5

7

9

11

5

7

9

11

13

7

9

11

13

15

N = 3, a13 = 3

ւ

241

5.4

Soma dos termos de uma PA-2D

Vamos deduzir uma f´ ormula para calcular a soma Si×j dos i × j “primeiros” termos de uma PA-2D. Teorema 39 (Soma dos termos de uma PA-2D). Em uma PA-2D a soma Si×j dos i × j termos iniciais vale Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

(5.3)

Prova: Somaremos linha a linha os i × j primeiros termos da PA-2D: a11

a12

a13

...

a1j

...

a21

a22

a23

...

a2j

...

a31

a32

a33

...

a3j

...

................................... ai1

ai2

ai3

...

aij

...

................................... Utilizaremos a f´ ormula, Sn = n a 1 +

n(n − 1) r 2

da soma dos n termos iniciais de uma P.A., uma vez que, pela propriedade P1, as linhas de uma PA-2D est˜ ao em P.A. Ent˜ ao,  j(j−1) r1  S1j = j a11 +  2       j(j−1) r1    2  S2j = j a21 +    j(j−1) r1 + S3j = j a31 +  2        ··· ··················        j(j−1) r1 Sij = j ai1 + 2 Nota: Sij ´e a soma dos j termos iniciais da linha i. Somando estas i igualdades, temos:

S1j + S2j + S3j + · · · + Sij = (a11 + a21 + a31 + · · · + ai1 ) j + i × {z } | {z } | Si,1

Si×j

242

j(j − 1)r1 2

Nota: Si,1 ´e a soma dos i termos iniciais da linha 1. Logo, Si,1 = i a11 +

i(i − 1) r 2

Finalmente, temos: Si×j = Simplificando, resulta:



Si×j =

i a11 +

i(i − 1) r  i × j(j − 1)r1 + 2 2

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2 

Corol´ ario 7. Em toda PA-2D tem-se:

Si×j =

(a11 + aij ) i × j 2

(5.4)

´ uma consequˆencia das f´ Prova: E ormulas, (5.1), p. 232; (5.3), p. 242. Exemplos: (a) Calcule S2×3 para a PA-2D: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

5

1

−1

...........................

Solu¸ c˜ ao: Basta substituir os dados da PA-2D na f´ormula deduzida: S2×3 =

[ 2 · 5 + (3 − 1) 1 + (2 − 1) (−1) ] 2 × 3 = 33 2

243



Utilizando a propriedade P2, ai

j 1 1

(p. 238)

+ ai

j 2 2

= ai

j 1 2

+ ai

j 2 1

a11 + aij = a1j + ai1 e a equa¸ca˜o (5.4), podemos escrever: Si×j =

(ai1 + a1j ) i × j 2

Isto ´e, em uma PA-2D , a soma dos n´ umeros dentro de um “retˆangulo” de dimen˜ oes i × j, ´e o semiproduto da soma dos n´ umeros de quaisquer dois v´ertices opostos pela “´ area do retˆ angulo”. Observe isto nas PA-2D seguintes:

S2×3 =

(1 + 6) 2 × 3 = 21 2

S3×2 =

(7 + 2) 3 × 2 = 27 2

S2×6 =

(1 + 13) 2 × 6 = 84 2

S2×3 =

(4 + 3) 2 × 3 = 21 2

S3×2 =

(1 + 8) 3 × 2 = 27 2

S2×6 =

(8 + 6) 2 × 6 = 84 2

Observe que como as linhas e as colunas em uma PA-2D est˜ ao em P.A., nas “propriedades da soma” n˜ ao ´e necess´ario que o v´ertice superior esquerdo do retˆ angulo esteja fixo em a11 . Por exemplo, na figura ao lado,

S2×3 =

(4 + 9) 2×3 2

= 39

Um questionamento filos´ ofico Perguntamos ao leitor: Todas estas propriedades exibidas − para uma PA-2D − foram descobertas ou criadas? E mais geralmente: A matem´atica ´e descoberta ou criada pelo homem? Nota: Num apˆendice retomamos esta quest˜ ao, por enquanto a deixamos como um ponto de reflex˜ ao.

244

(b) Calcule o somat´orio duplo abaixo: 10 X 5 X

j =1 i=1

(3 i + 2 j − 1)

Solu¸ c˜ ao: Fa¸camos aij = 3 i + 2 j − 1. Vamos usar a equa¸ca˜o, Si×j =

(p. 243)

(a11 + aij ) i × j 2

Ent˜ ao, a11 = 3 · 1 + 2 · 1 − 1 = 4 e a5, 10 = 3 · 5 + 2 · 10 − 1 = 34 Logo, S5×10 =

(4 + 34) 5 × 10 = 950 2

Portanto, 10 X 5 X

j =1 i=1

(3 i + 2 j − 1) = 950

Generalizando este exemplo, temos: n X m X

(a i + b j + c) =

j =1 i=1

[ (m + 1) a + (n + 1) b + 2 c ] m × n 2

(c) Determine a soma de todos os inteiros que figuram na tabela abaixo: 1

2

3

...

n

2

3

4

...

n+1

3

4

5

...

n+2

........................................... n

n+1

n+2

...

n + (n − 1)

Solu¸ c˜ ao: O leitor n˜ ao ter´ a dificuldades em perceber que a soma pedida ´e equivalente ` a soma do n × n termos da seguinte PA-2D: a11 = 1, r1 = 1 e r2 = 1. Ent˜ ao: [ 2 · 1 + (n − 1) 1 + (n − 1) 1 ] n × n = n3 Sn×n = 2

245

Uma outra propriedade de uma PA-2D est´ a na seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸ c˜ ao 7. Considere uma PA-2D em que a11 , r1 e r2 s˜ao inteiros. Se i e j s˜ao ambos ´ımpares, ent˜ ao a11 + aij = ai1 + a1j ´e par. Antes da prova veja dois exemplos: 5

6

7

8

9

...

5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

1

2

3

4

5

...

............................

............................

Prova: Se a11 , r1 e r2 s˜ao inteiros ent˜ ao aij = a11 + (j − 1)r1 + (i − 1)r2 ´e inteiro, logo, Si×j ´e inteiro. A proposi¸ca˜o decorre das igualdades a seguir, Si×j =

(a + a1j ) i × j (a11 + aij ) i × j = i1 2 2

e do fato conhecido de que se um n´ umero primo divide um produto, ent˜ ao divide um dos fatores.  Observe que a contrapositiva da proposi¸ca˜o acima ´e: Se a11 + aij = ai1 + a1j ´e ´ımpar ent˜ ao i ou j ´e par. Exemplos: 5

6

7

8

9

...

5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

1

2

3

4

5

...

............................

............................

Observe que esta propriedade ´e menos trivial − menos imediata − que as anteriores, ainda aqui cabe reiterar a pergunta: Esta propriedade foi descoberta ou foi criada?

246

5.5

Lineariza¸ c˜ ao de sequˆ encias duplas

Nesta se¸ca˜o desenvolveremos o conceito de lineariza¸ c˜ ao de uma sequˆencia dupla, o qual aumentar´ a substancialmente o espectro de aplica¸co˜es das progress˜oes aritm´eticas 2 − D. O que chamaremos de lineariza¸c˜ ao de uma sequˆencia dupla − limitada em colunas − ´e o procedimento de transform´ a-la em uma sequˆencia simples (an ), colocando as linhas uma ap´os a outra. Nota: Sempre que falarmos em lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia dupla, fica subentendido que a mesma tem N colunas. Exemplo: Linearizar a sequˆencia dupla abaixo: a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

................ Solu¸ c˜ ao: Basta escrever uma linha ap´os a outra, assim: a11

a12

a13

a21

a22

a23

247

a31

a32

a33

...

5.6

Equa¸c˜ oes de lineariza¸ c˜ ao

No estudo da lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia dupla surgem dois problemas a serem resolvidos: 1 o ) Dada a posi¸ca˜o (i, j) de um termo qualquer na sequˆencia dupla , determinar sua posi¸ca˜o n na sequˆencia linearizada; e, inversamente: 2 o ) Dada a posi¸ca˜o n de um termo na sequˆencia linearizada, determinar sua localiza¸ca˜o (i, j) na sequˆencia dupla . Vamos nos ocupar inicialmente com o primeiro problema. Consideremos a sequˆencia dupla abaixo: a11

a12

...

a1N

a21

a22

...

a2N

a31

a32

...

a3N

........................ aM 1

aM 2

...

aM N

........................ Linearizando, temos: a11

a12

...

a1N

a21

a22

...

a2N

a31

a32

...

a3N

...

aM 1

aM 2

aM N

...

Ap´os a lineariza¸ca˜o teremos a seguinte correspondˆencia entre os ´ındices duplos e simples: a11

a12

...

a1N

a21

a22

↓

↓

...

aN

↓

↓

↓

a1

a2

aN +1

...

...

a2N

a31

a32

↓

↓

↓

a2N

a2N +1

...

a3N

↓

...

a3N

... ...

aM 1

↓

aM 2

↓

aN (M −1)+1

aM N

...

↓

...

Queremos colocar os ´ındices simples n em fun¸ca˜o dos ´ındices duplos (i, j); isto ´e, procuramos uma fun¸ca˜o n = f (i, j). Para isto coloquemos os ´ındices simples numa matriz, da seguinte forma: 1

2

3

...

N

N +1

N +2

N +3

...

2N

2N + 1

2N + 2

2N + 3

...

3N

....................................................................... N (M − 1) + 1

N (M − 1) + 2

N (M − 1) + 3

248

...

MN

E assim temos a seguinte PA-2D: (a11 , r1 , r2 ) = (1, 1, N ). Logo, pela f´ormula do termo geral, temos: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 n = aij = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) N Portanto, n = aij = N (i − 1) + j

(5.5)

Exemplo: Linearizando-se uma sequˆencia dupla com cinco colunas, qual a nova posi¸ca˜o ocupada pelos termos a32 , a24 , a35 e a21 ? Solu¸ c˜ ao: Para N = 5, temos: n = 5(i − 1) + j, logo, a32

⇒

n = 5(3 − 1) + 2 = 12

a24

⇒

n = 5(2 − 1) + 4 = 9

a35

⇒

n = 5(3 − 1) + 5 = 15

a21

⇒

n = 5(2 − 1) + 1 = 6

Confira, a11

a12

a13

a14

a15

a21

a22

a23

a24

a25

a31

a32

a33

a34

a35

a41

a42

a43

a44

a45

.................................... O programa seguinte recebe uma matriz e utiliza a f´ormula (5.5) para transfer´ıla para um vetor,

Na tela da direita vemos um exemplo de aplica¸ca˜o do programa.

249

Agora temos o segundo problema a resolver: Dada a posi¸ca˜o n de um termo na sequˆencia linearizada, determinar sua localiza¸ca˜o (i, j) na sequˆencia dupla . Para resolver este problema consideremos as duas restri¸co˜es seguintes: (i) n = N (i − 1) + j (ii) 1 ≤ j ≤ N . Solu¸ c˜ ao: Tirando j em (i) e substituindo em (ii), temos: j = n − N (i − 1)

⇒

1 ≤ n − N (i − 1) ≤ N

Simplificando esta inequa¸ca˜o, temos: n n N −1 ≤i≤ + N N N Sendo,

Para que,

(5.6)

j n n N −1k N −1 ≤ + + N N N N

j n N −1k + N N satisfa¸ca a inequa¸ca˜o (5.6) basta mostrar que i=

j n n N −1k ≥ + N N N

Para isto consideremos dois casos: n ∈ Z. Ent˜ ao, a) N j n N −1k n jN −1k n + + = = N N N N N b)

(p. 181)

n n 6∈ Z. Logo, pelo lema 7 (p. 183), temos ⌊ n−1 N ⌋ = ⌊ N ⌋, sendo assim, N j n k jn−1k n N −1k j n−1 = +1> + +1 = N N N N N

Portanto,

j n N −1k jn−1k = +1 + N N N ´e a solu¸ca˜o procurada. Encontrado i, voltamos na equa¸ca˜o n = N (i − 1) + j e calculamos j. Resumindo: i=

  n−1   i= N +1  

j=n − N

250

 n−1  N

(5.7)

Exemplos: (a) Para a PA-2D seguinte, 1

1

−1 calcular os termos a7 , a11 e a14 (sequˆencia linearizada), com N = 5. Solu¸ c˜ ao: Com N = 5, temos:   n−1   +1 i= 5  

Ent˜ ao,

j=n − 5

 n−1  5

n=7

⇒

i=

 7−1 

n = 11

⇒

i=

 11−1 

+1 = 3,

j = 11 − 5

 11−1 

=1

n = 14

⇒

i=

 14−1 

+1 = 3,

j = 14 − 5

 14−1 

=4

5

+1 = 2,

5

5

j=7 − 5

Na f´ormula do termo geral, temos

aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) (−1) = −i + j + 1 Portanto, a22 = −2 + 2 + 1 = 1 a31 = −3 + 1 + 1 = −1 a34 = −3 + 4 + 1 = 2

251

 7−1  5

=2

5

5

Confira,

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

−1

0

1

2

3

−2

−1

0

1

2

...............................

Linearizando esta PA-2D , temos: 1

2

3

4

5

0

1

2

3

−1

4

0

1

2

...

(b) No estudo da teoria das congruˆencias existe um problema cl´assico que podemos resolver em nosso presente contexto. Problema: Se hoje ´e sexta-feira, que dia da semana ser´a daqui a 1520 dias? Solu¸ c˜ ao: Para organizar o racioc´ınio vamos indicar o zero (0) para o dia de hoje (sexta) e o 1 para o dia de amanh˜a (s´abado) e assim por diante. Veja a tabela:

Sexta

S´ abado

Domingo

Segunda

Ter¸ca

Quarta

Quinta

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

···

···

···

···

···

···

···

Temos a seguinte PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (0, 1, 7), com N = 7. Ent˜ ao, linearizando a PA-2D acima temos uma P.A. de primeiro termo a1 = 0 e r = 1; a posi¸ca˜o do termo 1520 nesta P.A. ´e, an = a1 + (n − 1) r 1520 = 0 + (n − 1) 1

252

⇒

n = 1521

Substituindo este resultado na f´ ormula,   n−1  +1  i= N Obtemos,

   j = n − N n − 1  N

  1521−1   +1 i= 7  

j = 1521 − 7

 1521−1 

⇒

7

Portanto, para a coluna j = 2 o dia ´e S´ abado.

253

i = 218, j = 2.

5.7

Soma em uma sequˆ encia linearizada

Agora deduziremos uma f´ormula para a soma Sn dos n termos iniciais de uma sequˆencia linearizada, conhecidos a1 , r1 , r2 e N . Faremos uso das seguintes f´ormulas: (p. 242) Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

e

Sij = j ai1 +

j(j − 1) r1 2

O n-´esimo termo, an , da sequˆencia linearizada ocupa na PA-2D a posi¸ca˜o (i, j), onde i e j s˜ao dados pela equa¸ca˜o (5.7) (p. 250). Sendo assim temos Sn = S(i−1)×N + Sij

(5.8)

Onde, Sij = soma dos j termos iniciais da linha i. Veja: j .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . .. i−1 .. . i an ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

Temos, S(i−1)×N =

[ 2a11 + (N − 1) r1 + (i − 2) r2 ] (i − 1) × N 2

e Sij = j ai1 +

j(j − 1) r1 2

temos, aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ai1 = a1 + (1 − 1) r1 + (i − 1) r2 Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o (5.8), temos

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

254

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

j(j−1) r1 2

Exemplos: (a) Calcule a soma dos n primeiros termos da sequˆencia 1

1

2

2

3

3

4

4

...

Solu¸ c˜ ao: A sequˆencia em quest˜ ao pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-2D: 1

1

2

2

3

3

4

4

a11 = 1

r1 = 0

N =2 r2 = 1

...... Sendo assim, temos:

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sn =

[ 2·1 + (2−1) 0 + (i−2) 1 ] (i−1)×2 2

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

+ j(1 + (i − 1) 1) +

j(j−1) r1 2

j(j−1) 0 2

Simplificando, Sn = i (i − 1) + j i Substituindo,   j = n − N (i − 1)  i =  n−1  + 1 N

⇒

e simplificando, chegamos a,

  j = n − 2(i − 1)  i =  n−1  + 1 2

 n−1  n − 1 2 Sn = (n − 1) −2 +n 2 2

Este ´e o resultado que consta na primeira edi¸ca˜o deste livro. Acontece que na presente edi¸ca˜o estou de posse da HP Prime, decidir programar a equa¸ca˜o Sn acima:

255

Na tela da direita, acima, entrei com os dados do exemplo e pedi para simplificar o resultado, a calculadora me devolveu: Sn = n

 n−1  n − 1 2 n−1 +n− − 2 2 2

Comparando com meu resultado,

 n − 1 2  n−1  −2 +n Sn = (n − 1) 2 2

os dois resultados diferem. Calculei Sn para n = 1, 2, 3 pelas duas f´ormulas, a minha simplifica¸ca˜o est´ a errada. Como valorizar seus conhecimentos matem´ aticos (b) Calcule a soma dos n primeiros termos da sequˆencia 1

2

3

4

5

6

7

8

...

Solu¸ c˜ ao: Escolhendo um N arbitr´ario, digamos N = 3, a sequˆencia em quest˜ ao pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-2D:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

a11 = 1

r1 = 1

N =3 r2 = 3

.............. Sendo assim, temos:

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sn =

[ 2·1 + (3−1) 1 + (i−2) 3 ] (i−1)×3 2

Substituindo, j = n − 3(i − 1), i =

Sn =

 n−1  3

n(n+1) 2

256

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

+ j(1 + (i − 1) 3) +

j(j−1) r1 2

j(j−1) 1 2

+ 1 e simplificando, chegamos a

(c) Encontre as f´ ormulas do termo geral e da Soma para a sequˆencia: 0

1

2

0

1

2

0

1

2

...

Solu¸ c˜ ao: A sequˆencia em quest˜ ao pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-2D:

0

1

2

0

1

2

0

1

2

0

1

2

a11 = 0

r1 = 1

N =3 r2 = 0

........... Temos: a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 0 + (j − 1) 1 + (i − 1) 0 = j − 1 Substituindo,   j = n − N (i − 1)  i =  n−1  + 1 N

  j = n − 3(i − 1)  i =  n−1  + 1 3

⇒

temos,

a(n) = n − 3(i − 1) − 1 = n − 3 Portanto, a(n) = n − 1 − 3 Por outro lado,

 n−1 3

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sn =

[ 2·0 + (3−1) 1 + (i−2) 0 ] (i−1)×3 2

Substituindo, j = n − 3(i − 1), i =

 n−1  3

n−1 −1 3

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

+ j(0 + (i − 1) 0) +

257

j(j−1) 1 2

+ 1 e simplificando, chegamos a

 2  n−1  (9 − 6n) + 9 n−1 + n2 − n 3 3 Sn = 2

j(j−1) r1 2

Defini¸ c˜ ao 17. Dizemos que uma sequˆencia simples ´e equivalente a uma PA-2D quando existe uma PA-2D (com N colunas) que ao ser linearizada coincide com a sequˆencia simples. Exemplos: (a) A sequˆencia abaixo ´e equivalente a uma PA-2D: 1

1

2

2

3

3

4

4

...

De fato, a sequˆencia dupla abaixo 1

1

2

2

3

3

4

4

...... ´e uma PA-2D que, ao ser linearizada, coincide com a sequˆencia simples dada. (b) A sequˆencia dos ´ımpares positivos ´e equivalente a uma PA-2D: 1

3

5

7

9

11

13

15

...

De fato, a sequˆencia dupla abaixo 1

3

5

7

9

11

13

15

17

.............. ´e uma PA-2D que, ao ser linearizada, coincide com a sequˆencia simples dada.

258

Teorema 40. Toda progress˜ao aritm´etica ´e equivalente a uma PA-2D com um n´ umero de colunas N arbitr´ario. Prova: Seja a progress˜ao aritm´etica abaixo: a1

a1 + r

a1 + 2r

a1 + (n − 1)r

a1 + 3r

...

Afirmamos que, qualquer que seja o natural N a PA-2D seguinte a1

a1 + r

...

a1 + (N − 1)r

a1 + N r

a1 + (N + 1)r

...

a1 + (2N − 1)r

a1 + 2N r

a1 + (2N + 1)r

...

a1 + (3N − 1)r

................................................................... ao ser linearizada, resulta na P.A. original. Com efeito, do quadro anterior, tiramos a11 = a1 , r1 = r e r2 = N r Linearizando esta PA-2D, temos: a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = a1 + (j − 1) r + (i − 1) N r = a1 + [ (j − 1) + N (i − 1) ] r J´a vimos que j − 1 + N (i − 1) = n − 1; logo, a(n) = a1 + (n − 1) r. Exemplos: (a) A sequˆencia dos n´ umeros naturais, 1

2

3

4

5

6

7

8

em “duas dimens˜oes” fica (escolhendo N = 3): 1

2

3

4

5

6

7

8

9

........... Ent˜ ao, aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 = 3i + j − 3 ´e uma sequˆencia dupla que ao ser linearizada, coincide com os naturais.

259



...

(b) Escolhendo N = 5 para para a sequˆencia dos naturais 1

2

3

temos

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

8

...

................................. Ent˜ ao, aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 5 = 5i + j − 3 ´e uma sequˆencia dupla que ao ser linearizada, coincide com os naturais. Defini¸ c˜ ao 18. Dizemos que uma sequˆencia dupla ´e equivalente a uma P.A. quando, ao ser linearizada, a sequˆencia simples resultante est´ a em progress˜ao aritm´etica. Exemplos: A PA-2D abaixo: 1

1

2

2

3

3

4

4

...... n˜ ao ´e equivalente a uma P.A. pois, ao ser linearizada, resulta 1

1

2

2

3

3

4

4

...

Quando uma PA-2D ´e equivalente a uma P.A., diremos que ´e redut´ıvel, caso contr´ ario, que ´e irredut´ıvel.

260

Teorema 41. Em uma PA-2D com N colunas se r2 = N r1 , ent˜ ao esta PA-2D ´e redut´ıvel. Prova: Seja uma PA-2D em que r2 = N r1 , ent˜ ao: a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) N r1 = a11 + [ (j − 1) + N (i − 1) ] r1 = a11 + (n − 1) r1 

5.8

Aplica¸ c˜ oes da lineariza¸ c˜ ao

Agora faremos algumas aplica¸co˜es da lineariza¸ca˜o com vistas a mostrar a potˆencia deste conceito. − Problemas: (1) Considere a sequˆencia dos n´ umeros naturais. Retire desta sequˆencia todos os m´ ultiplos de p (p ≥ 2, natural arbitrariamente fixado). Encontre para a sequˆencia resultante: (a) Uma f´ ormula para o termo geral; (b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. Solu¸ c˜ ao: Inicialmente temos, N:

1

2

3

4

5

6

7

8

...

Se p = 2 teremos a sequˆencia dos ´ımpares. Consideremos p > 2. Neste caso, temos: 1

2

...

p−1

p

p+1

p+2

...

2p − 1

2p

Claramente esta sequˆencia pode ser arranjada no seguinte quadro: 1

2

...

p−1

p+1

p+2

...

2p − 1

2p + 1

2p + 2

...

3p − 1

...............................................

261

2p + 1

...

que nada mais ´e que a seguinte PA-2D limitada em colunas: r1 = 1

a11 = 1

N =p−1 r2 = p

Logo, a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) p = j + (i − 1) p Substituindo,     i = n−1 +1 N

 j = n − N (i − 1)

    i = n−1 p−1 + 1

⇒

 j = n − (p − 1)(i − 1)

e simplificando, chegamos a, an = n +

jn−1k p−1

A prop´ osito, neste momento, farei um programa na Prime para confirmar esta f´ ormula:

Desta vez nossa simplifica¸ca˜o est´ a correta.

262

Para a soma dos termos, temos:

Sn = Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

[ 2·1 + ((p−1)−1) 1 + (i−2) p ] (i−1)×(p−1) 2

+ j (1 + (i − 1) p) +

j(j−1) r1 2

j(j−1) 1 2

Simplificando, temos: j n − 1 k2 p(p − 1) j n−1 k j(j + 1) Sn = + pj + p−1 2 p−1 2  n−1  Substituindo j = n − (p − 1) p−1 , obtemos:

p − 1 j n − 1 k2 p − 1 − 2n j n − 1 k n(n + 1) − − 2 2 p−1 2 p−1

Sn =

Bem, depois deste esfor¸co herc´ uleo, vamos testar a HP Prime ,

(p. 255)

Obtivemos, n2 + 2n

j

n−1 p−1

k

+n−p

j

n−1 p−1

k2

−p

2

j

n−1 p−1

k

+

j

n−1 p−1

k2

+

j

n−1 p−1

k

At´e por inspe¸ca˜o direta vemos que os dois resultados s˜ao equivalentes. Exemplo: Para p = 3, temos a seguinte sequˆencia : 1

2

4

5

7

8

10

11

12

Com f´ormula do termo geral e da soma dadas por  n−1   an = n + ⌊ 2 ⌋  

Por exemplo,

Sn =

n(n+1) 2

n−1 2 + (n − 1) ⌊ n−1 2 ⌋ − ⌊ 2 ⌋

 8−1   a8 = 8 + ⌊ 2 ⌋ = 11  

S8 =

8(8+1) 2

8−1 2 + (8 − 1) ⌊ 8−1 2 ⌋ − ⌊ 2 ⌋ = 48

263

13

...

(2) Considere uma progress˜ao aritm´etica de primeiro termo a1 e raz˜ ao r. Insira k n´ umeros: iguais ao 1 o entre o 1 o e o 2 o termos; iguais ao 2 o entre o 2 o e o 3 o termos; iguais ao 3 o entre o 3 o e o 4 o termos, e assim sucessivamente. Encontre para a sequˆencia resultante: (a) Uma f´ ormula para o termo geral; (b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. Solu¸ c˜ ao: Seja a progress˜ao aritm´etica dada, a1

a1 + r

a1 + 2r

a1 + 3r

a1 + 4r

a1 + 5r

...

Inserindo os termos a nova sequˆencia resulta da lineariza¸ca˜o da seguinte PA-2D: a1

a1

...

a1

a1 + r

a1 + r

...

a1 + r

a1 + 2r

a1 + 2r

...

a1 + 2r

.................................................. Onde: a11 = a1 , r1 = 0, r2 = r e N = k + 1. Logo,        i = n−1  i = n−1 +1 N k+1 + 1 ⇒  j = n − N (i − 1)  j = n − (k + 1) n−1  k+1

Ent˜ ao,

a(n) = aij = a1 + (j − 1) 0 + (i − 1) r = a1 + (i − 1) r Isto ´e,

j n−1 k

r k+1 Exemplo: a1 = 1, r = 2; temos a seguinte progress˜ao aritm´etica: an = a1 +

1

3

5

7

7

9

11

...

Inserindo k = 2 termos, resulta, an

:1

1

1

3

3

3

5

A f´ ormula do termo geral da sequˆencia acima ´e an = 1 + 2

jn−1k

264

3

5

5

7

...

Para a soma dos termos, temos:

Sn =

[ 2a1 + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N 2

Sn =

[ 2·a1 + ((k+1)−1) 0 + (i−2) r ] (i−1)×(k+1) 2

Simplificando, Sn = Onde,

+ j(a1 + (i − 1) r2 ) +

j(j−1) r1 2

+ j (a1 + (i − 1) r) +

j(j−1) 0 2



2 · a1 + (i − 1) r (i − 1)(k + 1) + j a1 + (i − 1) r 2

j n−1k e j = n − (k + 1) k+1 k+1 Na primeira edi¸ca˜o deste livro parei por aqui, nesta, com o aux´ılio da Prime, me aventurei a dar mais um passo: j n − 1 k 2n − (k + 1)
j n − 1 k2 (k + 1) r Sn = n a 1 + − k+1 2 k+1 2 i−1=

j n−1 k

Em particular, para a sequˆencia do u ´ltimo exemplo, temos: (com a1 = 1, r = 2 e k + 1 = 2 + 1 = 3) j n − 1 k2 j n−1k −3 +n Sn = (2n − 3) 3 3

265

(3) Uma caixa d’agua (inicialmente vazia) ´e abastecida `a raz˜ ao de R litros/min. A cada T minutos de abastecimento, um dispositivo autom´ atico o interrompe e a esvazia de r (r ≤ RT ) litros durante um minuto. Encontre uma f´ormula V (t) para o volume em fun¸ca˜o do tempo. Solu¸ c˜ ao: Antes, consideremos o caso particular T = 3 min. Temos: t:

0

1

2

3

4

5

6

...

V (t) :

0

R

2R

3R

3R − r

4R − r

5R − r

...

A sequˆencia (V (t)) pode ser colocada na seguinte disposi¸ca˜o tabular: 0

R

2R

3R

3R − r

4R − r

5R − r

6R − r

6R − 2r

7R − 2r

8R − 2r

9R − 2r

9R − 3r

10R − 3r

11R − 3r

12R − 3r

...................................................... Isto ´e, temos a seguinte PA-2D: r1 = R

a11 = 0

N =3+1=4 r2 = 3R − r

Generalizando este procedimento temos, para T qualquer, a seguinte PA-2D: a11 = 0

r1 = R

N =T +1 r2 = R T − r

Com,   n−1  +1 i= N   j = n − N (i − 1)

266

Aqui precisamos fazer uma transla¸ca˜o de ´ındices para contemplar o caso t = 0. Isto ´e, substituiremos n − 1 por n. Ent˜ ao,   n   i= N +1 Logo,

 

j − 1 = n − N (i − 1)

aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = (j − 1) R + (i − 1) (R T − r) Simplificando, temos,  n  aij = R n − (R + r) N

Colocando nas condi¸co˜es do enunciado, temos:

V (t) = R t − (R + r)

j

t k T +1

(5.9)

Nota: No apˆendice damos uma demonstra¸ca˜o desta f´ormula. Vamos agora mostrar uma aplica¸ca˜o da lineariza¸ca˜o de sequˆencia dupla na programa¸ca˜o de computadores. (4) Podemos aplicar a lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia dupla para manipular, em computadores, matrizes bibimensionais atrav´es de vetores. Para armazenar os dados da matriz em um vetor basta utilizar a f´ormula n = aij = N (i − 1) + j Por exemplo, para uma matriz (AM ×N ), teremos

(p. 249)

A(I, J) = A(n) = A(N I + J − N ) isto quer dizer que o conte´ udo da posi¸ca˜o (i, j) ´e guardado na posi¸ca˜o n(i, j) do vetor. Seja, por exemplo, uma matriz de ordem 10 × 20, a fun¸ca˜o que relaciona suas posi¸co˜es i, j com as do vetor ´e: n(i, j) = 20(i − 1) + j Por exemplo, o conte´ udo da posi¸ca˜o (5, 6) ser´a armazenado na posi¸ca˜o, n(5, 6) = 20(5 − 1) + 6 = 86 o conte´ udo da posi¸ca˜o (9, 10) ser´a armazenado na posi¸ca˜o, n(9, 10) = 20(9 − 1) + 10 = 170

267

Multiplica¸ c˜ ao de matrizes Vamos mostrar agora um programa para multiplicar duas matrizes, segundo o artif´ıcio acima. Consideremos a matriz A = ( aij )m×n e a matriz B = ( bjk )n×p . O produto A · B (tamb´em indicado A B) ´e a matriz C = ( cik )m×p , veja A = ( aij )m×n B = ( bjk )n×p C = ( cik )m×p cujo termo geral ´e dado por: cik = ai1 · b1k + ai2 · b2k + ai3 · b3k + · · · + ain · bnk =

n X

j=1

aij · bjk

Onde: i = 1, 2, . . . , m e k = 1, 2, . . . , p. De outro modo,

          |

c11 c12 . . . c1k . . . c1p c21 c22 . . . c2k . . . c2p .............................. ci1 ci2 . . . cik . . . cip .............................. cm1 cm2 . . . cmk . . . cmp {z C = ( cik )m×p





}

|

        =        

a11 a12 a13 . . . a1n a21 a22 a23 . . . a2n .......................... ai1 ai2 ai3 . . . ain .......................... am1 am2 am3 . . . amn {z A = ( aij )m×n



        ·        }

b11 b12 . . . b1k . . . b1p b21 b22 . . . b2k . . . b2p b31 b32 . . . b3k . . . b3p ............................ bn1 bn2 . . . bnk . . . bnp | {z B = ( bjk )n×p

Os elementos A(I, J), B(J, K) e C(I, K) ser˜ao armazenados nos respectivos vetores como A(N I + J − N ) , B(P J + K − P ) , C(P I + K − P )

268

       

}

O programa ´e o seguinte:

Para rodar o programa acima, entramos com a matriz A em um vetor linha, juntamente com sua ordem; entramos com a matriz B em um vetor linha, juntamente com o n´ umero de colunas − j´ a que o n´ umero de linhas ´e o de colunas de A. Na tela da direita multiplicamos as matrizes:   " # 1 0 1 0 1   A= e B= 0 1  0 1 1 1 2

o programa sai com o vetor,

[2 2 1 3] Que ´e o resultado de, "

1 0 0 1

1 1

#



 " 1 0 2   · 0 1  = 1 1 2

2 3

#

O programa ´e transparente ao usu´ario; isto ´e, este pensa estar trabalhando com matrizes bidimensionais. Se, ao contr´ ario, quisermos armazenar um vetor em uma matriz, devemos usar as f´ormulas:  n−1  + 1, j = n − N (i − 1) i= N O programa seguinte transfere um vetor para uma matriz:

Entramos com um vetor e o n´ umero de colunas da matriz desejada. Na tela da direita temos uma simula¸ca˜o.

269

5.9

Exerc´ıcios propostos

214) Obter a PA-2D em que a23 = 8, a24 = 10 e a44 = 16. 215) Encontrar a posi¸ca˜o dos termos iguais a 7 na PA-2D, −1

2

2 216) Encontre a PA-2D de ordem 5 em que a D.P. est´ a em P.A. de raz˜ ao 5, a D.S. est´ a em P.A. de raz˜ ao 1 e o termo central vale 11. 217) Determine a PA-2D em que o termo de coordenadas (5, 3) ´e −4, a D.S. est´ a em P.A. de raz˜ ao −6 e a soma dos 3 × 5 “primeiros termos” ´e 75. 218) Determine a PA-2D em que a1j = 2j − 1 e ai1 = 3i − 2. 219) Determine o primeiro termo negativo da segunda coluna da PA-2D: 10

3

−1 220) O termo 49 pertence `a PA-2D abaixo? −2

3

2 221) Calcule o primeiro termo positivo da quarta linha da PA-2D em que a11 = −10, r1 = 1 e r2 = 2.

270

222) Queremos armazenar na mem´ oria de um computador a matriz abaixo. Encontre a f´ ormula A(I, J) que deve ser usada. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

223) Queremos armazenar na mem´ oria de um computador os 100 primeiros n´ umeros naturais, (1, 2, 3, . . . , 99, 100), encontre a f´ormula A(I, J), nos seguintes casos: a) matriz 10 × 10 b) matriz 5 × 20 c) matriz 20 × 5 224) Em projeto de computadores h´ a a necessidade de se conhecer o valor de uma tecla em fun¸ca˜o de sua posi¸ca˜o no teclado. Determine essa fun¸ca˜o para o seguinte teclado: 7 8 9 4

5

6

1

2

3

225) Qual a posi¸ca˜o do termo nulo que est´ a na 9a linha da a11 = −10, r1 = 2 e r2 = −1?.

PA-2D em que

226) Determine uma rela¸ca˜o entre as raz˜ oes de uma PA-2D para que a soma dos m × n primeiros termos seja igual ` a soma dos n × m primeiros termos, quaisquer que sejam m e n. 227) Determine a PA-2D em que o termo a11, 13 = 29, a soma dos 4 × 5 termos iniciais ´e 10 e a diagonal secund´ aria est´ a em P.A. de raz˜ ao −1. 228) Qual a “interpreta¸ca˜o geom´etrica” sugerida pelas f´ormulas seguintes?

Si×j =

(a11 + aij ) i × j 2

Si×j =

(ai1 + a1j ) i × j 2

271

229) Considere a PA-2D: 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

........................... verifique em alguns casos a propriedade: ai1 j1 + ai2 j2 = ai1 j2 + ai2 j1 230) Encontre o valor de k tal que k X 30 X

(−2 i + 3 j) = 300

j =1 i=1

231) Obter a PA-2D em que a soma dos i × j primeiros termos ´e (i − 2j + 6) i j, para todo i, j ∈ N. 232) Determine a nova posi¸ca˜o dos termos a14 , a24 , a34 e a44 , na lineariza¸ca˜o de uma PA-2D de 4 colunas. 233) Calcule o n´ umero de colunas de uma PA-2D que, ao ser linearizada, o termo a57 passa a ocupar a posi¸ca˜o n = 87. 234) Considere a lineariza¸ca˜o da PA-2D (com N = 5) em que a11 = 1, r1 = 2 e r2 = 3. Calcular os termos a5 , a10 , a15 , a30 , a40 e a50 . 235) Mostre que, se em uma PA-2D de N colunas tivermos r2 = N r1 , ent˜ ao a sequˆencia linearizada estar´ a em P.A. de primeiro termo a11 e raz˜ ao r = r1 . 236) Quantas colunas devemos tomar na PA-2D em que a11 = 1, r1 = 2 e r2 = 16 para que a sequˆencia linearizada resulte em P.A.? 237) Seja f uma fun¸ca˜o tal que f (1, 1) = 2, f (1, y) − f (1, y − 1) = −1 e f (x, y) − f (x − 1, y) = 1, para todo valor real de x e y. Encontre f (100, 100).

272

238) Considere a sequˆencia dos n´ umeros naturais. Retire desta sequˆencia todos os m´ ultiplos de 2 e 3. Encontre para a sequˆencia resultante: a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 239) Para a sequˆencia seguinte, 2

4

2

4

2

4

2

...

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 240) Generalize o resultado anterior para a seguinte sequˆencia: a

b

a

b

a

b

a

6

9

9

12

241) Para a sequˆencia seguinte, 3

3

6

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 242) Generalize o resultado anterior para a seguinte sequˆencia: a1

a2

a1 + r

a2 + r

a1 + 2r

a2 + 2r

a1 + 3r

...

Observe que esta sequˆencia ´e a progress˜ao aritm´etica de per´ıodo k = 2, estudada no cap´ıtulo 4 (p. 16). Aqui sendo vista sob o enfoque da lineariza¸ca˜o de uma PA-2D. 243) Para a sequˆencia seguinte, 1

1

1

2

2

2

3

3

3

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 244) Generalize o resultado anterior para a seguinte sequˆencia: a1

a2

a3

a1 + r

a2 + r

a3 + r

onde, a2 − a1 = a3 − a2 .

273

a1 + 2r

a2 + 2r

a3 + 2r

...

245) Considere a PA-2D quadrada construida a partir da sequˆencia 1, 2, 3, . . . , n2 mostre que os elementos da coluna do centro est˜ ao em P.A. de primeiro termo a1 = (n + 1)/2 e raz˜ ao r = r2 = n, e os elementos da linha central est˜ ao em P.A.
de primeiro termo a1 = 1 + (n + 1)/2 − 1 n e raz˜ ao r = r1 . 246) Considere a sequˆencia dos n´ umeros ´ımpares. Retire todos os m´ ultiplos de 3, encontre para a sequˆencia resultante: a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 247) Para a progress˜ao aritm´etica peri´odica seguinte, 2

1

4

3

6

5

8

7

10

9

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 248) Fa¸ca um programa computacional, na linguagem de sua preferˆencia, para implementar o c´ alculo das f´ormulas, i=

 n−1 + 1, N

j=n − N

 n−1  N

249) Vocˆe seria capaz de dar uma outra defini¸ca˜o de uma PA-2D? 250) Caso sua resposta tenha sido afirmativa para o exerc´ıcio anterior, encontre a f´ ormula do termo geral e da soma. 251) Calcule o duplo somat´orio seguinte, 10 X 5 X

j =1 i=1

(3 i + 2 j − 1)

de duas maneiras: i) Primeiro considere j fixo e some em rela¸ca˜o a i; finalmente some em rela¸ca˜o a j; ii) Usando a equa¸ca˜o (5.3) (p. 242). 252) Considere o duplo somat´orio do exerc´ıcio anterior. Fa¸ca o diagrama da PA2D correspondente e confirme “manualmente” a soma.

274

253) Determine x, y e z de modo que a tabela abaixo resulte em uma PA-2D −5x

4y

y+z

2z

3y

z

x + 2z

−2x

x+z

254) Dada a sequˆencia linearizada (1, 2, 3, 4, 5, 2, . . .) encontre os termos a7 , a10 , a15 , a20 e a25 , sabendo-se que a PA-2D ´e limitada em 5 colunas. 255) Usando a f´ ormula Si×j (p. 242) para a soma dos termos de uma PA-2D calcular o somat´orio abaixo, 10 5 X X

j =1 i=1

(2 i + 3 j − 1)

256) Determine n de modo que, n X n X

(i + j + 1) = 1200

j =1 i=1

257) Para a sequˆencia seguinte, 1

−1

0

1

−1

0

1

0

−1

...

1

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 258) Para a sequˆencia seguinte, −1

0

1

−1

0

1

−1

0

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 259) Na lineariza¸ca˜o de uma PA-2D com N = 5 colunas, determine a posi¸ca˜o que ocupar´a, na sequˆencia linear (1 − D), os termos a32 , a23 e a25 .

275

260) Ao linearizar a PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (1, 1, −1) com N = 5, calcule os termos a7 , a11 e a14 (termos da sequˆencia 1 − D). 261) Dada a PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (2, 3, −2) com N = 20, determine: a) a posi¸ca˜o n dos termos a29 , a52 e a8, 17 dentro da sequˆencia 1 − D correspondente; b) o valor dos termos de posi¸ca˜o n = 43, n = 52 e n = 125. 262) Dada a PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (−5, 2, 3) de ordem 7 × 9, determine o termo central. 263) Calcule o termo central na PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (1, 2, −3) de ordem 9 × 15. 264) A 10a coluna da PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (2, 3, −3) e a P.A. (1, 5, . . .) possuem um termo comum. Encontre este termo. 265) O termo 9 pertence ` a PA-2D (a11 , r1 , r2 ) = (5, −2, −1)?. 266) Dados trˆes termos amn , apq e ars , “n˜ao colineares” (isto ´e, n˜ ao pertencentes simultaneamente ` a mesma linha e coluna) encontre a PA-2D que os contenha. Fa¸ca um programa, na linguagem de sua preferˆencia, para implementar este exerc´ıcio. Isto ´e, o programa recebe trˆes termos, verifica se s˜ao ou n˜ ao colineares, caso n˜ ao, sai com (a11 , r1 , r2 ), e, ademais, a f´ormula do termo geral. 267) Determine utilizando as f´ormulas (ou o programa), obtidas no exerc´ıcio anterior, a PA-2D em que a33 = −1, a34 = −3 e a43 = 1. 268) Na lineariza¸ca˜o de uma PA-2D com N colunas, temos a9 = a31 . Calcule N .   −1 para n quando: 269) Resolva a equa¸ca˜o i = n+N N a) i = 10, N = 5; b) i = 11, N = 10. 270) Considere a sequˆencia , −2

−2

0

0

2

2

4

4

...

encontre uma f´ ormula do termo geral em cada um dos casos: a) progress˜ao aritm´etica peri´odica; b) P.G.A.A. (p. 205); c) lineariza¸ca˜o de uma PA-2D. 271) Considere a sequˆencia abaixo, 1

1

2

2

3

3

4

4

...

encontre uma f´ ormula Sn , em cada um dos casos: a) progress˜ao aritm´etica peri´odica; b) lineariza¸ca˜o de uma PA-2D. 272) Com rela¸ca˜o ` a sequˆencia do exerc´ıcio anterior, resolva a equa¸ca˜o Sn = n2 . 273) Fa¸ca um programa para implementar a f´ormula da caixa d’agua, (5.9) (p. 267).

276

5.10

Apˆ endice

Um pouco de filosofia ` as vezes faz bem ao esp´ırito encia de uma verdade matem´ atica fora do “Acreditar na existˆ esp´ırito humano exige do matem´ atico um ato de f´ e do qual a maioria deles n˜ ao est´ a consciente”. (Allan Calder) Retomamos aqui a discuss˜ ao levantada na p´ agina 244: As propriedades exibidas para uma PA-2D − foram descobertas ou criadas? E mais geralmente: A matem´atica ´e descoberta ou criada pelo homem? Esta ´e uma quest˜ ao de extrema relevˆancia para a matem´atica e para a filosofia da matem´atica, vem sendo debatida h´ a s´eculos. Apenas para pontuar sua relevˆancia ou¸camos um eminente matem´atico: Para mim, e suponho que para a maioria dos matem´ aticos, existe uma outra realidade, que chamarei “realidade matem´ atica”; e n˜ ao existe nenhuma esp´ecie de acordo sobre a natureza da realidade matem´ atica entre matem´ aticos ou fil´ osofos. Alguns defendem que ela seja “mental” e que, num certo sentido, n´ os a construimos; outros, que ´e externo e independente de n´ os. Um homem que pudesse dar uma explica¸c˜ ao convincente da realidade matem´ atica teria solucionado muit´ıssimos dos problemas mais dif´ıceis da metaf´ısica. Se pudesse incluir realidade f´ısica em sua explica¸c˜ ao, ele teria solucionado todos eles. Eu n˜ ao deveria desejar debater nenhuma destas quest˜ oes aqui, mesmo se eu fosse competente para fazˆe-lo, mas expressarei minha pr´ opria posi¸c˜ ao dogmaticamente para evitar mal-entendidos menores. Acredito que a realidade matem´ atica situa-se fora de n´ os, que nossa fun¸c˜ ao seja descobrir ou observ´ a-la e que os teoremas que demonstramos e que descrevemos com grandiloquˆencia como nossas “cria¸c˜ oes” sejam simplesmente nossas anota¸c˜ oes das nossas observa¸c˜ oes. Esse ponto de vista foi defendido, de uma forma ou outra, por muitos fil´ osofos de grande reputa¸c˜ ao desde Plat˜ ao em diante e usarei a linguagem que ´e natural a um homem que a defende. (Grifo nosso) (G. H. Hardy/Em defesa de um matem´ atico) Destacamos: “e que os teoremas que demonstramos e que descrevemos com grandiloquˆencia como nossas ‘cria¸c˜ oes’ sejam simplesmente nossas anota¸c˜ oes das nossas observa¸c˜ oes”. Neste livro∗ , em particular neste cap´ıtulo, demonstrei muitos teoremas, tive a oportunidade de observar (conscientemente) a mim mesmo produzindo matem´atica, como resultado decidi deixar registrado aqui o que creio ser uma contribui¸ca˜o a este relevante contexto da filosofia da matem´atica.

∗

E ainda em outros livros meus.

277

Observemos as estruturas A minha posi¸ca˜o atual, neste livro, ´e que as duas possibilidades − cria¸ca˜o e descoberta − devem ser consideradas; ou ainda, n˜ ao s˜ao mutuamente excludentes, devemos concili´ a-las sob uma perspectiva apropriada. Esta perspectiva apropriada a que me refiro chama-se estrutura. Primeiro a estrutura ´e criada, depois a propriedade ´e descoberta, surge − dentro da estrutura. Vejamos um exemplo elementar: consideremos os n´ umeros naturais, N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, . . . } Consideremos apenas os nove primeiros n´ umeros naturais. Vamos criar duas “estruturas”, primeira: 3 1 2 7

5

4

6

9

8

Desta “ca´ otica” estrutura n˜ ao emerge nenhuma propriedade, n˜ ao descobrimos nenhum teorema matem´atico. Vejamos a segunda estrutura:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Nesta estrutura j´ a conseguimos observar, descobrir algumas propriedades − por exemplo, as aqui apresentadas. De passagem, observe que estas propriedades descobertas s´o podem ser demonstradas (provadas) dentro de uma teoria, no caso a teoria das progress~ oes aritm´ eticas 2 − D. Em resumo: As propriedades (teoremas) referentes `as PA-2D foram descober´ isto tas (observados, provados) dentro de uma estrutura previamente construida. E o que pretendo ressaltar quando digo que tanto a cria¸ca˜o quanto a descoberta (observa¸ca˜o) devem ser consideradas numa perspectiva apropriada (das estruturas). Nota: A rigor defendemos que, ao final das contas, tudo ´e criado posto que as propriedades descobertas emergem de uma estrutura previamente construida; logo, tudo ´e criado pela mente humana. Ademais, n˜ ao esque¸ca que os pr´oprios n´ umeros (sistemas num´ericos) foram cria¸co˜es da mente humana. Os n´ umeros n˜ ao existem na Natureza; onde se encontra, por exemplo, o n´ umero −2 ? − para n˜ ao falar nos n´ umeros complexos, da forma a + b i. A constru¸ca˜o dos n´ umeros − e discuss˜ oes filos´oficas correlatas − ´e feita em meu livro “Fundamentos dos numeros”, cuja capa encontra-se na p´ agina 298.

278

Observe que o que acontece na matem´atica n˜ ao ´e muito diferente do que acontece na f´ısica: N˜ ao h´ a, por´em, como discernir o que ´e real no universo sem uma teoria. Assumo por isso o ponto de vista, j´ a qualificado de simpl´ orio ou ingˆenuo, de que uma teoria da f´ısica ´e nada mais nada menos que um modelo matem´ atico que usamos para expressar os resultados de observa¸c˜ oes. Uma teoria [verdade] ´e boa se for um modelo elegante, se descrever uma ampla classe de observa¸c˜ oes, e se previr o resultado de novas observa¸c˜ oes. N˜ ao faz sentido ir al´em disso, perguntando se ela corresponde ` a realidade, porque, independentemente de uma teoria, n˜ ao sabemos o que ´e realidade. (Stephen Hawking)

As propriedades surgem na dependˆ encia de uma estrutura

           

A luz surge nesta intera¸ c~ ao

O sol n˜ ao emite luz

            

Pretendemos aqui demonstrar que nossos argumentos n˜ ao precisam ficar restritos `a matem´atica, pelo contr´ ario, se estendem a “todo o Universo”, literalmente falando. Por exemplo, a luz n˜ ao tem existˆencia independentemente do olho (transdutor), ´e a estrutura olho que faz com que surja o fenˆomeno luz.

A c´elula (fenˆ omeno, propriedade) surgiu na biologia apenas ap´os ter sido construida a “estrutura microsc´opio”. Em 1665, o cientista inglˆes Robert Hooke (1635 – 1703) usou um microsc´ opio para observar uma grande variedade de pequenos objetos; ele publicou o livro Micrographia, descrevendo suas observa¸co˜es no qual usa a designa¸ca˜o “little boxes or cells” (pequenas caixas ou celas), dando origem assim ao termo c´elula.

279

Um outro exemplo de propriedade (teorema) que surgiu dentro de uma estrutura previamente construida foi a f´ormula in´edita: (p. 53)

1

m

+2

m

+3

m

a(m−j) =

+ ··· + n j X

m

 m  X n a(m−j) = j+1 j=0

  j (1 − k + j)m (−1) k k

k=0

Esta f´ ormula foi descoberta dentro de uma estrutura previamente construida, as progress˜ oes aritm´eticas de ordem m. A estrutura foi deliberadamente construida por mim, j´ a a f´ ormula n˜ ao. Ali´as, lembro que em dado momento do desenvolvimento do tema, eu j´ a estava de posse da f´ormula sem me d´ a conta − sem ter consciˆencia − disto. Com efeito, inicialmente demonstrei a f´ormula (p. 44) Snm =

 m  X n a j + 1 1(m−j) j =0

para a soma dos termos de uma P.A.m , depois que an = nm ´e uma P.A.m , etc. O que n˜ ao me permitiu ver o contexto inicialmente foi a nota¸ca˜o de duplo ´ındice. A f´ ormula, como se apresenta acima, foi um “polimento posterior”. Chegou um momento em que tomei consciˆencia . . . espera a´ı! acho que encontrei uma f´ormula para a soma de potˆencias dos naturais. Crear e criar A substitui¸ca˜o da tradicional palavra latina crear pelo neologismo moderno criar ´e aceit´ avel em n´ıvel de cultura prim´ aria, porque favorece a alfabetiza¸ca˜o e dispensa esfor¸co mental – mas n˜ ao ´e aceit´ avel em n´ıvel de cultura superior, porque deturpa o pensamento. Crear ´e a manifesta¸ca˜o da Essˆencia em forma de existˆencia – criar ´e a transi¸ca˜o de uma existˆencia para outra existˆencia. O Poder Infinito ´e o creador do Universo – um fazendeiro ´e criador de gado. H´ a entre os homens gˆenios creadores, embora n˜ ao sejam talvez criadores. A conhecida lei de Lavoisier diz que “na natureza nada se crea e nada se aniquila, tudo se transforma”, se grafarmos “nada se crea”, esta lei est´ a certa mas se escrevermos “nada se cria”, ela resulta totalmente falsa. Por isto, preferimos a verdade e clareza do pensamento a quaisquer conven¸co˜es acadˆemicas. Retirado do livro: “Orientando para a auto-realiza¸ca˜o”de Huberto Rohden.

280

A prop´ osito, creio que existe um processo colaborativo entre a Essˆencia, referida anteriormente pelo Professor Rohden, e o homem. Esta Essˆencia entendo como o V´ acuo, o mesmo da filosofia budista da vacuidade. Este V´ acuo, ainda segundo meu entendimento, ´e V´ acuo um Oceano de Consciˆencia, “o reposit´ orio de todas as potencialidades”. Homem

A filosofia do Nada − do Vazio, da Vacuidade

[. . .] Com base em tais observa¸c˜ oes e an´ alises matem´ aticas, quanto mais pr´ oximo das origens remontamos o universo, mais pr´ oximo chegamos da perfei¸c˜ ao, a mais implicada de todas as ordens da realidade. A natureza daquele v´ acuo perfeito pode conter a chave para o entendimento do universo como um todo. Como comenta Leonard Susskind, f´ısico de Stanford: “Qualquer um que sabe tudo sobre nada sabe tudo”. ([12], p. 147)

Todos os matem´aticos que se voltaram para os fundamentos da matem´atica foram, de um modo ou outro, influenciados por fil´osofos, como, por exemplo, Plat˜ao, Kant, Leibniz, etc. De igual modo, no desenvolvimento do presente ´ıtem (5.10) tamb´em fomos inspirados por uma filosofia, a qual denomino de “filosofia do Nada”, ou “filosofia do Vazio”, ou ainda, “filosofia da Vacuidade”. Essencialmente esta filosofia prega que o Vazio − ou V´ acuo − ´e o fundamento do Universo. Vejamos alguns testemunhos a favor da mesma. 1o ) Um matem´atico Charles Sanders Peirce (Cambridge, 10 de setembro de 1839 — Milford 19 de abril de 1914), foi um fil´osofo, cientista e matem´atico americano. Filho do matem´atico, f´ısico e astrˆonomo Benjamin Peirce, Charles, sob influˆencia paterna, formou-se na Universidade de Harvard em f´ısica e matem´atica, conquistando tamb´em o diploma de qu´ımico na Lawrence Scientific School. O livro “O Conceito de Continuidade em Charles S. Peirce”∗ trata de l´ogica e filosofia da matem´atica. Apresenta uma se¸ca˜o sobre cosmogonia que a mim surpreendeu pelo fato de um l´ogico, filos´ofo e matem´atico puro tamb´em colocar o Vazio (Nada) como fundamento do Universo. O texto a seguir foi retirado deste livro:

∗ Por Ant´ onio Machado Rosa. Funda¸c˜ ao Calouste Gulbenkian (Funda¸c˜ ao para a Ciˆencia e a Tecnologia)/Dezembro de 2003.

281

O Nada Inicial

(p. 290) Um dos objectivos das cosmologias ´e a origem do universo, a qual, no entanto, fica usualmente inexplicada. O princ´ıpio de continuidade obriga a ir para al´em dessa origem: obriga a compreender a passagem da n˜ ao existˆencia `a existˆencia. “Existˆencia” designa aqui o nosso universo actual e as rea¸co˜es materiais entre os objectos que o comp˜oe. Deve-se ir para l´a dessa existˆencia e conjecturar um processo evolutivo anterior ` a pr´opria origem. Resulta da´ı que a cosmologia peirceana ´e tamb´em uma cosmologia do universo anteriormente ` a sua existˆencia. [. . . ] H´ a, pois, um processo evolutivo anterior `a existˆencia. Globalmente, Peirce distingue nele dois momentos: um “nada ca´otico” e um nada ainda mais primitivo que ´ nesse Nada primitivo que devemos come¸car por nos concenesse nada ca´otico. E trar. O Nada primitivo ´e um estado em que “o universo n˜ ao existia”, um “absoluto nada”. Contudo, esse Nada absoluto tem propriedades not´aveis na medida em que a totalidade do nosso universo actual j´a se encontra nele em germe; com efeito, ele representa a totalidade das possibilidades.

antica 2o ) F´ısica quˆ Metaforicamente, como eu sugeri, podemos pensar o v´ acuo como um vasto mar; e tudo quanto existe − as estrelas, a Terra, as ´ arvores, n´ os e as part´ıculas de que somos feitos −, como ondas nesse mar. Os f´ısicos denominam tais “ondas” − n´ os e tudo quanto existe − “excita¸c˜ oes” ou “flutua¸c˜ oes” do v´ acuo. (Danah Zohar/F´ısica) osofo 3o ) Marcelo Malheiros/Fil´ ´ importante assinalar que a no¸c˜ E ao de que o Nada, ou o Vazio, ´e fonte de energia − e de energia inesgot´ avel − est´ a perfeitamente de acordo com o esquema b´ asico de pensamento inerente ` a mecˆ anica quˆ antica. A id´eia de que h´ a infinitos estados de energia negativa e positiva, e sobretudo a especula¸c˜ ao de que um estado neutro de energia (o vazio), mediante uma flutua¸c˜ ao quˆ antica decorrente da instabilidade do vazio, do princ´ıpio de indetermina¸c˜ ao de Heisenberg, pode dar nascimento a uma grande onda de energia positiva e outra negativa (cuja soma seja zero), ´e uma cogita¸c˜ ao que hoje tem sido seriamente considerada pelos f´ısicos te´ oricos mais representativos da atualidade (Stephen Hawking, Roger Penrouse, Alan Guth, Paul Davies, John Gribbin, Heinz Pagels e muitos outros). A hip´ otese de que o Universo surgiu do Nada, a partir de uma simples oscila¸c˜ ao ou perturba¸c˜ ao do vazio, foi pela primeira vez sugerida pelo f´ısico americano Tryon em 1969. ([13], p. 164)

282

4o ) A pr´opria Ciˆencia Na Super Interessante de fevereiro de 2011 saiu uma reportagem com t´ıtulo: ´ poss´ıvel criar mat´ E eria a partir do nada. Cientistas descobrem como extrair part´ıculas do vazio − sem depender de nenhuma mat´eria-prima da natureza. Nada se cria, tudo se transforma. Essa lei da f´ısica pode estar sendo ultrapassada por um grupo de pesquisadores da Universidade de Michigan, que diz ter descoberto um meio de gerar mat´eria a partir do v´ acuo − popularmente conhecido como “nada”. Isso seria poss´ıvel porque, na verdade, o que n´ os chamamos de nada n˜ ao ´e um vazio absoluto. Est´ a cheio de part´ıculas de mat´eria e antimat´eria, que se anulam mutuamente. A novidade ´e que os pesquisadores descobriram um jeito de separ´ a-las [. . .] 5o ) F´ısico Tomemos ent˜ ao um espa¸co sem mat´eria, “vazio”. A f´ısica quˆ antica mostra que, mesmo neste caso, flutua¸c˜ oes de energia existem. O nada tem uma energia associada. Sendo assim, part´ıculas podem surgir dessas flutua¸c˜ oes, mat´eria brotando do nada. Em 1948, H. Casimir, um f´ısico holandˆes, propˆ os que as flutua¸c˜ oes do v´ acuo provocariam uma for¸ca atrativa entre duas placas met´ alicas. O efeito foi confirmado: por incr´ıvel que pare¸ca, a energia do nada foi medida recentemente no laborat´ orio. ´ sempre bom lembrar que o vazio est´ E a cheio de energia. (Marcelo Gleiser/F´ısico)(grifo nosso) abio Lao Ts´e 6o ) S´

O Nada, ber¸co de todos os poss´ıveis Nas profundezas do Insond´ avel Jaz o Ser. Antes que c´eu e terra existissem, J´ a era o Ser Im´ ovel, sem forma, O V´ acuo, o Nada, ber¸co de todos os Poss´ıveis. Para al´em de palavra e pensamento Est´ a Tao, origem sem nome nem forma, A Grandeza, a Fonte eternamente borbulhante, O ciclo do Ser e do Existir.

(Lao Ts´e/Tao Te Ching)

283

7o ) F´ısico Contradit´ orio? A nova ciˆencia explica: a base da existˆencia ´e, ao mesmo tempo, plena de possibilidades, sim, mas as possibilidade n˜ ao s˜ ao “coisas”, e por isso tamb´em podem ser chamadas de nada. (Amit Goswami) O mais importante: No Vazio n˜ ao encontramos apenas energia, como tamb´em Consciˆencia, ´e o que afirma um fil´osofo budista. 8o ) Filosofia budista O princ´ıpio da incerteza de Heisenberg sugere que viola¸c˜ oes do princ´ıpio da conserva¸c˜ ao da energia podem ocorrer por causa de flutua¸c˜ oes espontˆ aneas e imprevis´ıveis do v´ acuo que ´e o espa¸co. Isso foi legitimado por in´ umeros experimentos. De acordo com a mecˆ anica quˆ antica, a energia pode surgir do nada por um breve instante; quanto menor o intervalo, maior o desvio de energia. [. . . ] sugere que o v´ acuo pode n˜ ao estar preenchido apenas de energia ponto-zero, que pode ser medida objetivamente com t´ecnicas da f´ısica, mas tamb´em permeado de consciˆencia, que pode ser experiˆenciada subjetivamente com t´ecnicas de introspec¸c˜ ao. (Wallace/[12], pp. 53, 54 )

www.profgentil.com.br [email protected]

284

A Estrutura Cognitiva de Referˆ encia Por oportuno, assistindo um v´ıdeo sobre mecˆanica quˆantica∗ ouvir dizer que: N˜ ao existe tal coisa como um el´etron, um el´etron − ou qualquer outra part´ıcula elementar − s´ o existe em rela¸c˜ ao a outras coisas, como em rela¸c˜ ao a outras part´ıculas ou ao Universo mesmo. Isto nos diz com suficiente profundidade, que quando se navega na natureza mesma da mat´eria, tudo o que sabemos do mundo cotidiano se dissolve, e n˜ ao existem objetos, s´ o rela¸ co ˜es. Isto corrobora nossa perspectiva de que algo surge na dependˆencia de uma estrutura. Encontrei em um livro† de um f´ısico, filos´ofo e meditador budista uma afirma¸ca˜o que de t˜ ao extraordin´aria a elevei ` a categoria de um postulado (axioma) em meu “sistema de Mundo”, esta: Todos os fenˆ omenos [tanto percept´ıveis quanto conceituais] podem ser postulados como existentes apenas em rela¸ c˜ ao a uma estrutura cognitiva (Wallace/[12], p. 97) de referˆ encia. Deste axioma deduzo que o Universo s´o existe − como existe − porque n´ os existimos. Por exemplo, veja o leitor como a nossa “estrutura cognitiva de referˆencia (c´erebro)” decodifica uma formiga que “existe l´a fora”: − Percept´ ıvel: Se a estrutura cognitiva de referˆencia, isto ´e, o hardware a decodificar a “formiga que existe l´a fora” ´e o c´erebro humano, a formiga aparece como na figura.

Vamos trocar de estrutura cognitiva de referˆencia, assim: − Percept´ ıvel: Por outro lado, tomando um microsc´opio como a estrutura cognitiva de referˆencia, isto ´e, do ponto de vista de um microsc´opio, uma formiga ´e como aparece ao lado.

∗

Mec´ anica Cu´ antica - La realidad es un sue˜ no-Morte.mp4 Wallace, B. Alan. Dimens˜ oes escondidas: a unifica¸c˜ ao de f´ısica e consciˆencia; tradu¸c˜ ao de L´ ucia Brito. S˜ ao Paulo: Peir´ opolis, 2009. †

285

Conceitual: Suponhamos um observador O fixo em rela¸ca˜o ao solo, e um vag˜ao movendo-se com velocidade v em rela¸ca˜o ao solo. Dentro do vag˜ao h´ a uma bola que se move com velocidade u (em rela¸ca˜o ao vag˜ao). u

•

∼

≀

v ·

q O

·

Tomando u = v = 1 teremos que a velocidade da bola para o observador depende de quem ´e este observador − a estrutura cognitiva de referˆencia. − Se Galileu, ent˜ ao 1 + 1 = 2; − Se Eintein, ent˜ ao 1 + 1 6= 2. (p. 293) Ou seja, Einstein criou uma estrutura (TRR) da qual emerge a propriedade de que 1 + 1 6= 2.

Di´ alogo entre Einstein e Tagore Na tarde de 14 de julho de 1930, o cientista Albert Einstein recebia em sua residˆencia, em Caputh, Alemanha − durante a Segunda Guerra Mundial − Rabindranath Tagore∗, para um di´alogo informal o qual ficou registrado nos apontamentos de Tagore que, posteriormente, publicou-o com o t´ıtulo “A Natureza da Realidade”. Aqui vamos apenas comentar um pequeno trecho, o leitor interessado no di´alogo completo pode baix´ a-lo na internet. Iniciamos o di´alogo com uma pergunta de Einstein. Apenas para situar: Einstein acredita que a verdade e a beleza s˜ao independentes do homem, Tagore, ao contr´ario, diz que n˜ ao.

× Pois bem, Einstein e Tagore discutiam sobre se ´e poss´ıvel que exista uma verdade “l´ a fora” independentemente do homem. Tagore diz que n˜ ao, Einstein diz que sim. Num certo momento Einstein tenta refutar a posi¸ca˜o de Tagore com a seguinte alega¸ca˜o: E: [. . .] Por exemplo, se n˜ ao estivesse ningu´em nesta casa, nem por isso deixaria de estar aqui esta mesa. ∗

Rabindranath Tagore nasceu a 7 de Maio de 1861 na cidade de Calcut´ a, a antiga capital da ´India. Poeta, dramaturgo, fil´ osofo, pintor, m´ usico e core´ ografo. A edi¸c˜ ao inglesa, traduzida e comentada por ele pr´ oprio, de uma obra sua em Bengali, o Gitanjali (“Can¸c˜ ao de oferendas” ou “Oferenda L´ırica”, 1912) fez com que Tagore ganhasse o Prˆemio Nobel de Literatura de 1913, pela primeira vez atribuido a um n˜ ao-ocidental.

286

Apenas a t´ıtulo de refor¸co, Einstein acredita que a mesa que existe “l´a fora” n˜ ao depende da presen¸ca dele, isto ´e um fato indiscut´ıvel, e que, portanto, Tagore seria um tolo se negasse esta “verdade evidente”. Coment´ ario: Observe, pelo conte´ udo da pergunta de Einstein, que ele acredita que a “realidade l´a fora (no caso a mesa)” ´e independente do homem. Tagore, responde: T: A ciˆencia demonstrou que a mesa, como objeto s´olido, ´e uma aparˆencia, e, por conseguinte, isso que a mente humana percebe como tal mesa n˜ ao existiria se n˜ ao (Grifo nosso) existisse a mente humana. Tagore responde que a mesa − como ´e observada por Einstein − n˜ ao existe independentemente da mente de Einstein. ∗

∗

∗

Mesmo que um grande n´ umero de pessoas olhem um carro de bomao significa que a cor exista indebeiro e o vejam como vermelho, isso n˜ pendentemente das faculdades visuais delas. Do mesmo modo, mesmo que um grande n´ umero de cientistas detecte a presen¸ ca de uma part´ıcula subatˆ omica, interpretando-a com base numa estrutura de uma teoria de base comum, isso n˜ ao significa que a part´ıcula exista independentemente das teorias e sistemas de medi¸ c˜ ao. A u ´ nica invariante atrav´ es de todos esses sistemas cognitivos de referˆ encia ´ e que nada existe por sua pr´ opria natureza, independentemente de todos os meios de detect´ a-lo ou concebˆ e-lo. Em outras palavras, n˜ ao h´ a jeito de separar o universo que conhecemos da informa¸ c˜ ao que temos sobre ele. (Wallace/[12], p. 100/Grifo nosso) Transpondo a lacuna entre o mundo da ciˆencia e o reino espiritual, B. Alan Wallace introduz uma teoria natural da consciˆencia humana com ra´ızes na f´ısica contemporˆ anea e no budismo. A “teoria especial da relatividade ontol´ ogica” sugere que os fenˆomenos mentais s˜ao condicionados pelo c´erebro, mas n˜ ao emergem dele. Em vez disso, o mundo de mente e mat´eria, sujeitos e objetos, surge de uma dimens˜ao unit´ aria da realidade que ´e mais fundamental que essas dualidades, conforme proposto por Wolfgang Pauli e Carl Jung.

Gedankenexperiment Consta que Einstein ami´ ude se servia de “experimentos mentais ” para refutar (tripudiar?) seus oponentes em quest˜ oes de f´ısica. Decidi usar a arma de Einstein contra ele pr´oprio, o feiti¸co virando-se contra o feiticeiro. Ap´os refletir um pouco elaborei um “Gedankenexperiment”∗ com o objetivo de evidenciar a ingenuidade de Einstein frente a Tagore. Como n˜ ao tenho a imagem de uma mesa ao microsc´opio irei substitu´ı-la por um pernilongo, sem perda de generalidade. Na ilustra¸ca˜o a seguir, ∗

A express˜ ao alem˜ a Gedankenexperiment significa um racioc´ınio l´ ogico sobre um experimento n˜ ao realiz´ avel na pr´ atica mas cujas consequˆencias podem ser exploradas cient´ıficamente.

287

(Caixa)

Pernilongo

Φ

Φ Pernilongo

(Gedankenexperiment) Einstein e um pequeno robˆ o (com a vis˜ao de um microsc´opio) observam “um mesmo pernilongo” que se encontra dentro de uma caixa. A pergunta que n˜ ao quer calar: quando os dois se retiram da presen¸ca da caixa, qual o pernilongo que fica l´a dentro, aquele que Einstein vˆe ou aquele que o robˆ o vˆe?

288

Este contexto ´e um caso especial do que afirma Wallace: Na teoria da relatividade ontol´ ogica, h´ a uma verdade que ´e invari´ avel atrav´es de todos os sistemas de referˆencia cognitivos: tudo o que apreendemos, seja perceptiva ou conceitualmente, ´e desprovido de natureza inerente pr´ opria, ou identidade, independentemente dos meios pelos quais seja conhecido. Objetos percebidos, ou entidades observ´ aveis, existem em rela¸c˜ ao ` as faculdades sensoriais ou sistemas de medi¸c˜ ao pelos quais s˜ ao detectados − n˜ ao de modo independente no mundo objetivo. (Wallace/[12], p. 99/Grifo nosso) Traduzindo para o nosso contexto, significa que o “pernilongo” que Einstein percebe “´e desprovido de natureza inerente pr´opria”. Ainda: as propriedades das PA-2D − as matem´aticas − s˜ao “desprovidas de natureza inerente pr´opria”. Resumindo e sendo ainda mais expl´ıcito, cristalinamente expl´ıcito, n˜ ao podemos afirmar a existˆencia de nada sem antes fixarmos um “referencial”. Existir implica existir em rela¸ca˜o a algo, a um referencial, a uma ECR. Pergunto ao leitor: Os n´ umeros azuis e vermelhos existem? Respondo: em rela¸ca˜o ` a minha mente sim, ` as dos demais matem´aticos n˜ ao, por enquanto n˜ ao. Este n´ umeros eu os criei recentemente, na verdade s˜ao dois novos modelos para os n´ umeros naturais, inteiros, etc. Veja p´ agina 298.

A Consciˆ encia cria a realidade Ainda uma outra interpreta¸ca˜o prop˜ oe que o ato de observa¸ca˜o cria a realidade f´ısica. Em sua forma forte, essa interpreta¸ca˜o assevera que a consciˆencia ´e o estado b´ asico fundamental, mais prim´ ario que a mat´eria ou energia. Essa posi¸ca˜o concede um papel especial ` a observa¸ca˜o, quando a transforma no agente ativo que provoca o colapso das possibilidades quˆ anticas em realidades. Muitos f´ısicos suspeitam dessa interpreta¸ca˜o porque ela lembra id´eias origin´arias das filosofias orientais e das propostas m´ısticas. Mas um not´ avel subconjunto de f´ısicos proeminentes, incluindo os laureados Nobel em F´ısica Eugene Wigner, Brian Josephson, John Wheeler e Jonh von Neumann, abra¸cou conceitos que s˜ao, pelo menos, um pouco simp´ aticos a este ponto de vista. O f´ısico Amit Goswami, da Universidade de Oregon, ´e um dos que o promovem com muito vigor. (Dean Radin/Mentes Interligadas, p.221) Papagaios Psicod´ elicos: Temos trˆes receptores de cor nos olhos (para verde, azul e vermelho). Ent˜ ao essas trˆes s˜ao as nossas cores prim´ arias − e a combina¸ca˜o entre elas cria as cores do nosso mundo. Os papagaios (e outras esp´ecies de aves, peixes e r´epteis) tˆem quatro receptores: os nossos mais um dedicado ao ultravioleta. A combina¸ca˜o desses quatro cria um mundo estupidamente mais colorido que o nosso − um mundo t˜ ao dif´ıcil de imaginar quanto uma realidade com quatro dimens˜oes, em vez das trˆes que agente conhece. (Super Interessante/out. 2012)

289

´ poss´ıvel que agora o leitor esteja em melhores condi¸co˜es de apreciar o conte´ E udo das seguintes extraordin´arias afirma¸co˜es: (p. 285) Todos os fenˆ omenos [tanto percept´ıveis quanto conceituais] podem ser postulados como existentes apenas em rela¸c˜ ao a uma estrutura cognitiva de referˆencia. (Wallace/[12], p. 97 ) O tempo linear de nossa dimens˜ ao, e de nossa consciˆencia, constitui o mundo onde essas possibilidades ainda n˜ ao existentes ter˜ ao condi¸c˜ ao de “existir”, de ser (ser aqui tem o significado “ser objeto para uma consciˆencia” ) (Marcelo/[13], p. 163) Insistindo ainda em nosso contexto, todas as propriedades das PA-2D (fenˆomenos conceituais) n˜ ao existem independentemente da mente humana, a estrutura cognitiva de referˆencia.

A no¸c˜ ao de Wheeler de um universo participativo foi ligada ao princ´ıpio antr´ opico, que afirma que o universo ´e desse jeito porque estamos aqui. Isso implica que, enquanto os humanos veem o universo por meio de conceitos humanos, que impomos ` a nossa experiˆencia, estamos sempre envolvidos num universo antropocˆentrico − estamos no centro do universo que habitamos e exploramos. Isso n˜ ao quer dizer que o universo, at´e mesmo todos os outros seres conscientes, n˜ ao John Wheeler existisse antes do surgimento da vida como a conhecemos, ou que v´ a desaparecer quando a esp´ecie humana extinguir-se. Apenas o universo como o concebemos, como existindo no passado, presente e futuro, vai desaparecer. De modo mais geral, todos os mundos poss´ıveis somem simultˆ aneamente com o desaparecimento das estruturas cognitivas de referˆencia dentro das quais s˜ ao apreendidos. Os mundos experiˆenciados por outros seres conscientes continuar˜ ao a existir em rela¸c˜ ao a eles. Nesse sentido, os observadores cocriam os mundos em que residem. ([12], p. 109) Nota: Para constatar − em um caso particular − que isto ´e verdade basta reconsiderar a figura de Einstein, o robˆ o e o pernilongo (p. 288). Se o robˆ o ou o Einstein (o ser humano) desparecesse da face do planeta a respectiva forma de percep¸ca˜o de um pernilongo concomitantemente tamb´em desapareceria. De outro modo: antes da inven¸ca˜o do microsc´opio aquela forma de percep¸ca˜o de um pernilongo n˜ ao existia.

290

Inven¸ c˜ ao ou descoberta? Tratemos da natureza dos objetos matem´ aticos. Duas posi¸c˜ oes diametralmente opostas foram defendidas, o “realismo” e o “construtivismo”. Para o “realista”, que se inspira diretamente em Plat˜ ao, o mundo ´e povoado de Id´eias, que possuem uma realidade distinta da realidade sens´ıvel. V´ arios s˜ ao os matem´ aticos contemporˆ aneos que se consideram “realistas”. Dieudonn´e, por exemplo, escreve em seu ´ bem dif´ıcil descrever as id´eias desses matem´ livro: “E aticos, que, ali´ as, variam de um para outro. Eles admitem que os objetos matem´ aticos possuem uma ‘realidade’ distinta da realidade sens´ıvel (quem sabe semelhante ` a realidade que Plat˜ ao atribu´ıa a suas ‘Id´eias’?)”. Um matem´ atico t˜ ao not´ avel como Cantor escreveu que “A maior perfei¸c˜ ao de Deus ´e a possibilidade de criar um conjunto infinito, e a sua imensa bondade o leva a cri´ a-lo”. Eis que nos encontramos em plena mathesis divina, em plena metaf´ısica! O que surpreende em cientistas s´erios. [. . . ] Para os “construtivistas”, os objetos matem´ aticos s˜ ao seres fict´ıcios, que s´ o existem no pensamento do matem´ atico, e n˜ ao em um mundo platˆ onico independente da mat´eria. Existem apenas nos neurˆ onios e sinapses dos matem´ aticos que os produzem, assim como daqueles que os compreendem e empregam. (Mat´eria e Pensamento/Jean-Pierre Changeux & Alain Connes/Unesp, p. 20/Grifo nosso) No meu entendimento, a posi¸ca˜o dos construtivistas, acima, est´ a correta, perfeita. Pode ser derivada como um corol´ ario do axioma: Todos os fenˆ omenos [tanto percept´ıveis quanto conceituais] podem ser postulados como existentes apenas em rela¸ c˜ ao a uma estrutura cognitiva (Wallace) de referˆ encia. Houve um tempo em que as progress˜oes aritm´eticas 2 − D − tamb´em a f´ormula in´edita − s´o existiam em minha mente. Reitero: (p. 290) De modo mais geral, todos os mundos poss´ıveis somem simultˆ aneamente com o desaparecimento das estruturas cognitivas de referˆencia dentro das quais s˜ ao apreendidos. Em particular − a t´ıtulo de ilustra¸ca˜o − todos os “mundos matem´aticos” criados por mim, teriam desaparecidos comigo se eu n˜ ao os tivesse revelado. O que n˜ ao significa que n˜ ao poderiam ser recriados por outros matem´aticos, obviamente. Para finalizar, ap´os todos estes argumentos expostos, reinvidico ter solucionado a quest˜ ao proposta por Hardy ` a p´ agina 277. Em resumo: Um homem que pudesse dar uma explica¸c˜ ao convincente da realidade matem´ atica teria solucionado muit´ıssimos dos problemas mais dif´ıceis da metaf´ısica. Se pudesse incluir realidade f´ısica em sua explica¸c˜ ao, ele teria solucionado todos eles.

291

Observe que esta minha proposta de solu¸c˜ ao se d´ a contrariamente ao que o pr´oprio Hardy defende (ou acredita): Acredito que a realidade matem´ atica situa-se fora de n´ os, que nossa fun¸c˜ ao seja descobrir ou observ´ a-la e que os teoremas que demonstramos e que descrevemos com grandiloquˆencia como nossas “cria¸c˜ oes” sejam simplesmente nossas anota¸c˜ oes das nossas observa¸c˜ oes. Esse ponto de vista foi defendido, de uma forma ou outra, por muitos fil´ osofos de grande reputa¸c˜ ao desde Plat˜ ao [. . . ] (G.H.HARDY) A minha tese ´e a de que “todos estes fil´osofos de grande reputa¸ca˜o desde Plat˜ao”, equivocaram-se. Plat˜ ao e o “Mundo das ideias” Na filosofia de Plat˜ao encontramos duas realidades diferentes que envolvem o ser humano, o Mundo das Ideias e o Mundo das Sombras, conhecido tamb´em como Mundo dos sentidos. O mundo sens´ıvel ´e apenas uma c´ opia do mundo ideal; o objeto da ciˆencia deve ser o mundo real das Ideias.

Para Plat˜ao, o mundo real (sens´ıvel) apenas reflete um mundo puro de entidades perfeitas, imut´aveis e eternas; em particular, os conceitos matem´aticos. A filosofia de Plat˜ao teve, e ainda tem, grande influˆencia na concep¸ca˜o filos´ofica de cientistas e matem´aticos; raz˜ ao porque decidimos incorporar em nosso trabalho este adendo. Em nossa concep¸ca˜o − que se harmoniza com a filosofia budista, em especial a da vacuidade −, n˜ ao existe um Mundo das Ideias, o que existe ´e o V´ acuo; este V´acuo (“Oceano”) de fato cont´em todas as possibilidades, todavia, apenas em potˆencia. As “Ideias” surgem da intera¸ca˜o entre o V´ acuo e a mente do homem, vejamos isto na ilustra¸ca˜o:

Artes (Mente)

292

Ideias

“Luz Branca”

         

Φ

        

N´ umeros Matem´ atica F´ısica

V´ acuo

Literatura Guerras N´ umeros Azuis

A bizarra adi¸ c˜ ao de Einstein Suponhamos um observador O fixo em rela¸ca˜o ao solo, e um vag˜ao movendo-se com velocidade v em rela¸ca˜o ao solo. Dentro do vag˜ao h´ a uma bola que se move com velocidade u. u

•

∼

≀

v ·

q O

·

Sendo assim, Galileu nos diz que: V = v + u. Onde, V : velocidade da bola para o observador no solo. Einstein, respaldado em seu segundo postulado∗ , corrigiu a adi¸ca˜o de Galileu da seguinte forma: v+u V = v·u 1+ 2 c Onde c = 3 · 108 (m/s) ´e a velocidade da luz. Tomando u = v = 1 teremos que para Galileu 1 + 1 = 2, j´ a para Einstein 1 + 1 6= 2. De fato† , V =

1+1 6= 2 1·1 1+ (3 · 108 )2

(5.10)

Claro, os f´ısicos argumentariam que “para todos os fins pr´ aticos ” 10−16 = 0, e a´ı as duas adi¸co˜es coincidem. Primeiro que neste caso arredondamento ´e uma op¸ca˜o, n˜ ao somos obrigados a tal. Segundo, n˜ ao trata-se de arredondamento, ´e uma quest˜ ao conceitual. Por exemplo, “para todos os fins pr´ aticos ” π = 3, 14159265359, entretanto conceitualmente o n´ umero da esquerda ´e irracional e o da direita racional. A f´ısica de Newton-Galileu n˜ ao ´e um caso particular da de Einstein. Observe que s´o existe uma maneira de obter 1 + 1 = 2 na f´ısica de Einstein, devemos fazer 10−16 = 0, o que implicaria 1 = 0 (multiplicando por 1016 ). Logo, estabelecemos (na f´ısica de Einstein): Se 1 + 1 = 2 ent˜ ao 1 = 0. Mas isto equivale a: Se 1 6= 0 ent˜ ao 1 + 1 6= 2. An passant, gostaria de deixar aqui um questionamento aos f´ısicos: a matem´atica nos diz que a adi¸ca˜o de vetores obedece a regra do paralelogramo, dada por ~ |2 = | ~u |2 + | ~v |2 + 2 | ~u | · | ~v | · cos θ |V ~ | = | ~u | + | ~v |. Tomando u = v = 1 teremos Esta equa¸ca˜o para θ = 0o torna-se | V ~ | = | 1 | + | 1 | = 2, contrariando (5.10)! |V Ent˜ ao velocidade n˜ ao ´e um vetor na f´ısica de Einstein? ∗

A velocidade da luz no v´ acuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz. † Na adi¸c˜ ao de Einstein, 1 + 1 < 2.

293

Demonstra¸c˜ oes (I) Vamos mostrar que as equa¸co˜es de lineariza¸ca˜o (p. 250) de uma sequˆencia dupla est˜ ao corretas, pela seguinte proposi¸ca˜o: Proposi¸ c˜ ao 8. Seja N um natural arbitrariamente fixado. A aplica¸ca˜o definida a seguir ´e invers´ıvel, f : N × { 1, 2, . . . , N }

N

(i, j)

N (i − 1) + j

com inversa dada por, f −1 = g : N

N × { 1, 2, . . . , N }

n

(i, j)

Onde, i=

 n−1 +1, N

j = n − N (i − 1)

Prova: Devemos mostrar que:
i) (g ◦ f )(i, j) = g f (i, j) = (i, j)
ii) (f ◦ g)(n) = f g(n) = n Temos:



g f (i, j) = g N (i − 1) + j =

j

N (i − 1) + j − 1 k + 1, N (i − 1) + j − N (i − 1) N

Temos que, j N (i − 1) + j − 1 k N

Pois, sendo

1≤j≤N

+ 1 = (i − 1) +

jj−1k N

+1=i

⇒ 0≤j−1≤N −1
Logo,

jj−1k j−1 =0 <1 ⇒ N N Portanto, (g ◦ f )(i, j) = (i, j). Vamos agora mostrar que (f ◦ g)(n) = n. Ent˜ ao, 0≤

 n − 1   n − 1 
+ 1, n − N (f ◦ g)(n) = f g(n) = f N N

294



Logo, (f ◦ g)(n) = N

 n − 1  N

 n−1 +1 − 1 +n−N =n N

 O que acabamos de provar, visto de uma outra perspectiva, ´e que os conjuntos N e N × { 1, 2, . . . , N } s˜ao equipotentes, para todo N arbitrariamente fixado. Exemplo: (N = 4) f : N × { 1, 2, 3, 4 } → N (i, j) → 4(i − 1) + j com inversa dada por, f −1 = g : N n

→ N × { 1, 2, 3, 4 }  
 n−1  + 1, n − 4 n−1 → 4 4

Para mais detalhes, veja o diagrama seguinte:

1 (1, 1)

(1, 2)

(1, 3)

(1, 4)

(2, 1)

(2, 2)

(2, 3)

(2, 4)

(3, 1)

(3, 2)

(3, 3)

(3, 4)

2 f f −1

(m, 2)

(m, 3)

6

(m, 4)

7 .. .

.........................................

Por exemplo, Tamb´em, f −1 (1000) = Confirmando,

4 5

......................................... (m, 1)

3


f (2, 3) = 4(2 − 1) + 3 = 7   1000 − 1  4

+ 1, 1000 − 4

 1000 − 1   4


f (250, 4) = 4(250 − 1) + 4 = 1000

295

= (250, 4)

(II) Agora faremos a demonstra¸ca˜o da f´ormula, j V (t) = R t − (R + r)

(p. 267) t T +1

k

Para isto utilizaremos a equa¸ca˜o (3.24) (p. 183), a qual para os nossos prop´ ositos fica∗ :   p se Tp+1  T +1 , jp+1k  +1 6∈ Z ; =  T +1  p  p+1 T +1 + 1, se T +1 ∈ Z . Usaremos indu¸ca˜o sobre t ∈ N ∪ { 0 } = { 0, 1, 2, . . . }. Prova: 1) t = 0 j 0 k = 0 V (0) = R 0 − (R + r) T +1 2) Suponhamos a validade da f´ormula para t = p, isto ´e, j p k V (t = p) = R p − (R + r) T +1 3) Mostremos que vale para t = p + 1, isto ´e,

(H.I.)

(T.I.)

j p+1 k V (t = p + 1) = R (p + 1) − (R + r) T +1

Pelo enunciado do problema, podemos escrever:   V (p) − r, t = k(T + 1); V (t = p + 1) =  V (p) + R, t 6= k(T + 1).

onde: k ´e um inteiro e t 6= k(T + 1) significa que t n˜ ao ´e m´ ultiplo de T + 1. Inicialmente vamos considerar o caso em que t ´e m´ ultiplo de T + 1. 3.1) t = k(T + 1) ⇒ p + 1 = k(T + 1) ⇒

p+1 T +1

∈ Z.

V (t = p + 1) = V (p) − r = R p − (R + r)

j

p k −r T +1

j  p+1 k = R p − (R + r) −1 − r T +1 = R p − (R + r)

j p+1 k + (R + r) − r T +1

= R (p + 1) − (R + r) ∗

Trocando N por T + 1 e n por p.

296

j p+1 k T +1

3.2) t 6= k(T + 1) ⇒ p + 1 6= k(T + 1) ⇒

p+1 T +1

6∈ Z.

V (t = p + 1) = V (p) + R = R p − (R + r)

j

p k +R T +1

= R (p + 1) − (R + r)

j p+1 k T +1



Exerc´ıcio: Qual a rela¸ca˜o entre as constantes do problema da caixa d’agua de maneira que n˜ ao tenhamos volume negativo? (isto ´e, o dispositivo n˜ ao tente retirar mais ´agua do que a caixa possui). Solu¸ c˜ ao: O t´ermino de cada esvaziamento se d´ a nos instantes m´ ultiplos de T + 1. Substituindo t = k(T + 1) na equa¸ca˜o, temos: j k(T + 1) k
V t = k(T + 1) = R k(T + 1) − (R + r) ≥0 T +1

resolvendo esta desigualdade obtemos, r ≤ R T . ∗

∗

∗

Esclarecimento: Na primeira edi¸cao deste livro denominei de “progress˜ oes aritm´eticas planas” o que nesta denomino de PA-2D. − − − − − − − − −− Forwarded message − − − − − − − − −− Date: Tue, 03 Feb 1998 08 : 27 : 35 - 0 5 0 0 From: Underwood Dudley < [email protected] > To: [email protected] Subject: College Math. J. paper Dear Professor da Silva: I’m the editor-elect of the − College Mathematics Journal− , so Bart Braden has sent me your planes arithmetic progressions manuscript. In its present form, it’s just too long for the Journal− ! Do you think that you could extract from it the parts that you think are the most interesting and informative and put them into a paper about one-third as long? I will understand if you think that this is not worth the effort. But if you do, I’d be happy to look at the result. By the way, could you send two copies of any revision? Thanks. Underwood Dudley

297

Publica¸ c~ ao Eletr^ onica.

298

Cap´ıtulo

6

Progress˜ao geom´etrica bidimensional “Transcender o ego n˜ ao ´e uma aberra¸c˜ ao mental nem uma alucina¸c˜ ao psic´ otica, sen˜ ao um estado ou n´ıvel de consciˆencia infinitamente mais rico, mais natural e mais satisfat´ orio do que o ego poderia imaginar em seus vˆ oos mais desatinados de fantasia.” (Ken Wilber/O Espectro da Consciˆencia, p. 21) Neste cap´ıtulo definiremos as Progress˜oes Geom´etricas Bidimensionais − uma outra generaliza¸ca˜o das progress˜oes geom´etricas − que nos possibilitar´a algumas aplica¸co˜es interessantes; cremos que outras se somar˜ao `as que aqui apresentamos.

6.1

Introdu¸ c˜ ao

As sequˆencias que estudaremos a seguir servir˜ao, dentre outras aplica¸co˜es, para se estudar “sequˆencias geom´etricas” onde est˜ ao presentes duas raz˜ oes. Para citar dois exemplos: 1 o ) Apliquei determinado capital C0 , a juros compostos, a uma taxa de i % a.d.. De T em T dias, retiro r % do capital acumulado. Encontre uma f´ormula M (t) para o montante em fun¸ca˜o do tempo. 2 o ) Considere uma progress˜ao geom´etrica de primeiro termo a1 e raz˜ ao q. Insira k n´ umeros: iguais ao 1 o termo entre o 1 o e o 2 o termos; iguais ao 2 o entre o 2 o e o 3 o ; iguais ao 3 o entre o 3 o e o 4 o termos e assim sucessivamente. Encontre para a sequˆencia resultante: a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para o produto dos n primeiros termos. Exemplo: Para a1 = 1, q = −1 e k = 2, temos: an : 1

1

1

−1

−1

299

−1

1

1

1

...

Vamos agora definir um outro tipo especial de sequˆencia dupla: Defini¸ c˜ ao 19. Chama-se progress˜ao geom´etrica bidimensional ( PG-2D) uma sequˆencia dupla dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia:   a11 = a    a1j = a1(j−1) × q1 , j ≥ 2;    a =a × q2 , i ≥ 2, j ≥ 1. ij (i−1)j Onde: a11 = a, q1 e q2 s˜ao constantes dadas (n˜ao nulas). Nota: Esta defini¸ca˜o e a das PA-2D (def. 16, p. 230) s˜ao duais; o que significa que a cada propriedade de uma PA-2D corresponde uma propriedade dual para uma PG-2D. Vejamos a ideia que est´ a por tr´as desta defini¸ca˜o. Inicialmente s˜ao dados: a11 •

q1

q2

Agora construimos a progress˜ao geom´etrica da linha 1, assim: a11 •

q1 •

•

•

• ...

q2

Agora podemos descer com “com passos de q2 ” por qualquer coluna, assim:

q2

q1

a11 •

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

•

•

•

•

• ...

··························· · ·

300

Exemplos: (a) a11 = 1, q1 = 2 e q2 = 3. Temos a seguinte PG-2D: 1

2

4

8

16

...

3

6

12

24

48

...

9

18

36

72

144

...

27

54

108

216

432

...

81

162

324

648

1296

...

....................................... (b) a11 = 1, q1 = −1 e q2 = −1. Temos a seguinte PA-2D: 1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

....................................

Nota¸ c˜ ao: Adotaremos a seguinte simbologia para uma PA-2D: a11

q1

q2

As PG-2D dos dois exemplos anteriores s˜ao representadas por, 1

1

2

−1

3

301

−1

6.2

F´ ormula do termo geral de uma PG-2D

Pelo Princ´ıpio da Dualidade estabelecemos facilmente a f´ormula para o c´ alculo dos termos de uma PG-2D.: Teorema 42 (F´ ormula do termo geral de uma PG-2D). Na PG-2D em que o primeiro termo ´e a11 , a raz˜ ao das linhas ´e q1 e a raz˜ ao das colunas ´e q2 o (i, j)-termo ´e: aij = a11 × q1j−1 × q2i−1

(6.1)

Prova: Princ´ıpio da Dualidade. Esta equa¸ca˜o ´e a dual da equa¸ca˜o: aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2  Exemplos: (a) Calcule os termos a41 , a14 e a33 da seguinte PG-2D: 1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

−1

1

−1

1

−1

...

1

−1

1

−1

1

...

....................................

Solu¸ c˜ ao: Do diagrama tiramos: a11 = 1, q1 = −1 e q2 = −1. Ent˜ ao, aij = a11 × q1j−1 × q2i−1 = 1 × (−1)j−1 × (−1)i−1 = (−1)i+j Logo, a41 = (−1)4+1 = −1, a14 = (−1)1+4 = −1, a33 = (−1)3+3 = 1. Confira no diagrama acima.

302

(b) Encontre todos os termos iguais a 8 na PG-2D em que a11 = −1, q1 = 2 e q2 = −2. Solu¸ c˜ ao: Substituindo os dados na f´ ormula do termo geral, temos: aij = a11 × q1j−1 × q2i−1 8 = −1 × 2j−1 × (−2)i−1 Simplificando, temos: (−1)i · 2i+j = 25 Esta equa¸ca˜o s´o possui solu¸ca˜o para i par. Neste caso temos, i + j = 5. Vamos utilizar o programa dado na p´ agina 235, temos:

Na tela temos a seguinte lista: { (−6, 11), (−5, 10), (−4, 9), (−3, 8), (−2, 7), (−1, 6), (0, 5), (1, 4), (2, 3) (3, 2), (4, 1), (5, 0), (6, −1), (7, −2), (8, −3), (9, −4), (10, −5), (11, −6) (12, −7), (13, −8), (14, −9) } Em nosso contexto devemos ter i, j ∈ { 1, 2, 3, . . . }; as solu¸co˜es que nos interessam s˜ao: { (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1) }; destas: { (2, 3), (4, 1) }. Tendo em conta o problema original, confira no diagrama a seguir:

−1

−2

−4

−8

−16

...

2

4

8

16

32

...

−4

−8

−16

−32

−64

...

8

16

32

64

128

...

−16

−32

−64

−128

−256

...

............................................

303

−1

−2

2

6.2.1

Propriedades numa PG-2D

Pelo Princ´ıpio da Dualidade a cada propriedade da PA-2D decorre uma propriedade dual para a PG-2D. P1) Qualquer linha ou coluna em uma PG-2D resulta em progress˜ao geom´etrica. P2) Dado qualquer “retˆangulo” em uma PG-2D o produto de dois v´ertices opostos ´e igual ao produto dos outros dois v´ertices:

ai1 j1 × ai2 j2 = ai1 j2 × ai2 j1 Duas consequˆencias imediatas desta propriedade s˜ao: 1 a ) Em qualquer PG-2D , qualquer termo ´e o produto do primeiro termo de sua linha com o primeiro termo de sua coluna dividido pelo primeiro termo da PG-2D .

aij = ai1 × a1j / a11 2 a ) Em uma PG-2D vale ainda:

aij = a(i−1)j × ai(j−1) / a(i−1)(j−1) P3) Os elementos da diagonal principal de uma PG-2D quadrada est˜ ao em P.G. de primeiro termo a11 e raz˜ ao q1 × q2 . P4) Os elementos da diagonal secund´aria de uma PG-2D quadrada de ordem N est˜ ao em P.G. de primeiro termo a1N e raz˜ ao q2 /q1 .

6.3

Soma do termos de uma PG-2D

Vamos deduzir uma f´ ormula para calcular a soma Si×j dos i × j “primeiros” termos de uma PG-2D. Teorema 43 (Soma dos termos de uma PG-2D). Em uma PG-2D a soma Si×j dos i × j termos iniciais vale Si×j = a11

q1j − 1 q2i − 1 · q1 − 1 q2 − 1

304

(6.2)

Prova: Somaremos linha a linha os i × j primeiros termos da PG-2D: a11

a12

a13

...

a1j

...

a21

a22

a23

...

a2j

...

a31

a32

a33

...

a3j

...

................................... ai1

ai2

ai3

...

aij

...

................................... Utilizaremos a f´ ormula, Sn = a 1 ·

qn − 1 q −1

da soma dos n termos iniciais de uma P.G., uma vez que, pela propriedade P1, as linhas de uma PG-2D est˜ ao em P.G. Ent˜ ao,  qj − 1   S1j = a11 · 1   q1 − 1        q1j − 1   S = a ·  2j 21   q1 − 1    + qj − 1  S3j = a31 · 1   q1 − 1       ··· ···············         qj − 1 S  = ai1 · 1 ij q1 − 1 Nota: Sij ´e a soma dos j termos iniciais da linha i. Somando estas i igualdades, temos:

qj − 1 S1j + S2j + S3j + · · · + Sij = (a11 + a21 + a31 + · · · + ai1 ) 1 | {z } q1 − 1 {z } | Si,1

Si×j

Nota: Si,1 ´e a soma dos i termos iniciais da linha 1. Logo, Si,1 = a11 · Finalmente, temos: Si×j = a11

q2i − 1 q2 − 1

q1j − 1 q2i − 1 · q1 − 1 q2 − 1

305



Nota: Observe que a11 · Si×j = S1×j × Si, j o que significa que podemos encontrar a soma Si×j multiplicando a soma dos j termos iniciais da linha 1 pela soma i termos iniciais da coluna 1 e dividindo o resultado pelo primeiro termo. Exemplos: (a) Calcule S3×2 para a PG-2D: 1

3

9

27

81

...

2

6

18

54

162

...

4

12

36

108

324

...

8

24

72

216

648

...

16

48

144

432

1296

...

1

3

2

......................................

Solu¸ c˜ ao: Basta substituir os dados da PG-2D na f´ormula deduzida: Si×j = a11

q1j − 1 q2i − 1 · q1 − 1 q2 − 1

32 − 1 23 − 1 · = 28 3−1 2−1 (b) Calcule o somat´orio duplo abaixo: S3×2 = 1

3 X 5 X

j =1 i=1

2i · 3j

Solu¸ c˜ ao: Fa¸camos aij = 2i · 3j . Ent˜ ao,

a11 = 21 · 31 = 6

e q1 =

21 · 32 a12 = =3 a11 6

q2 =

22 · 31 a21 = =2 a11 6

e

Logo, 33 − 1 25 − 1 · = 2418 3−1 2−1 Generalizando este exemplo, temos: S5×3 = 6 ·

n X m X

j =1 i=1

(ai · bj · c) =

a b c (am − 1) (bn − 1) (a − 1) (b − 1)

306

6.4

Soma do termos de uma PG-2D infinita

Vamos demonstrar uma f´ ormula para calcular a soma S∞×∞ dos “infinitos” termos de uma PG-2D. Teorema 44 (Soma dos termos de uma PG-2D infinita). Em uma PG-2D a soma Si×j dos i × j termos iniciais vale S∞×∞ =

a11 (q1 − 1) (q2 − 1)

(6.3)

Prova: Decorre da f´ ormula 6.2 (p. 304) e do fato de que se (xmn ) ´e uma sequˆencia dupla tal que xmn = am · an com am → a e an → b ent˜ ao xmn → a · b.  Exemplo: 1

1 2

1 4

1 8

...

1 2

1 4

1 8

1 16

...

1 4

1 8

1 16

1 32

...

1 8

1 16

1 32

1 64

...

.......................... Solu¸ c˜ ao: Da figura tiramos a11 = 1 q1 = 1/2 e q2 = 1/2, logo, S∞×∞ =

1 2

−1

= 2

e

Nota: Observe neste exemplo que, S1×∞ =

1 1−

1 2

1


1 2

−1


= 4

S∞×1 =

1 1−

1 2

= 2

Logo, a soma dos termos da linha 1 com os termos da coluna 1 somam 4, que ´e a soma total. Explique este “paradoxo”.

6.5

Produto dos termos de uma PG-2D

A partir da f´ ormula da soma Si×j dos i × j “primeiros” termos de uma PA2D deduzimos, pelo Princ´ıpio da Dualidade, a f´ormula Pi×j dos i × j “primeiros” termos de uma PG-2D.

307

Teorema 45 (Produto dos termos de uma PG-2D). Em uma PG-2D o produto Pi×j dos i × j termos iniciais vale: (j−1)

i×j

Pi×j = a11 × q1

i×j 2

(i−1)

× q2

i×j 2

(6.4)

Prova: Basta tomar a express˜ao dual de Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

= i × j a11 + (j − 1)

i×j i×j r1 + (i − 1) r 2 2 2 

Corol´ ario 8. Se a11 > 0 e aij > 0; ou dade:

i×j 2

∈ N ent˜ ao ´e v´alida a seguinte identi-

Pi×j = a11 × aij


i×j 2

(6.5)

Prova: Decorre do Princ´ıpio da Dualidade (p. 243) juntamente com regras de potencia¸ca˜o.  Observe que podemos escrever tamb´em,

Pi×j = ai1 × a1j


i×j 2

Em outras palavras, o produto dos n´ umeros dentro de um “retˆangulo” de dimens˜oes i × j ´e igual ao produto de quaisquer dois v´ertices opostos elevado a semi-´area do retˆ angulo. Corol´ ario 9. Se a11 , q1 , q2 > 0 ou se dade:

Pi×j =



i×j 2

2

∈ N, ent˜ ao ´e v´alida a seguinte identi-

j−1

a11 × q1

i−1

× q2


i×j 2

Prova: Decorre da equa¸ca˜o (6.4) (p. 308) mais regras de potencia¸c˜ao. Exemplos: (a) Calcule P3×2 para a PG-2D:

308

(6.6)



1

3

9

27

81

...

2

6

18

54

162

...

4

12

36

108

324

...

8

24

72

216

648

...

16

48

144

432

1296

...

1

3

2

......................................

Solu¸ c˜ ao: Como todas as constantes envolvidas s˜ao positivas significa que podemos usar qualquer uma das trˆes f´ ormulas apresentadas anteriormente. Ent˜ ao,

Pi×j =

P3×2 =



2



2

j−1

a11 × q1

1 ×3

2−1

×2

309

i−1

× q2

3−1


3×2 2


i×j 2

= 1728

(b) Calcule P2×3 e P1×1 para a PG-2D: −1

2

−4

8

−16

...

2

−4

8

−16

32

...

−4

8

−16

32

−64

...

8

−16

32

−64

128

...

−16

32

−64

128

−256

...

−1

−2

−2

........................................... Solu¸ c˜ ao: Como 2×3 es equa¸co˜es. A t´ıtulo 2 ∈ N podemos usar qualquer uma das trˆ de ilustra¸ca˜o faremos dos trˆes modos: (i) Equa¸ca˜o (6.4) (p. 242). Neste caso temos, (j−1)

i×j

Veja,

Pi×j = a11 × q1 2×3

P2×3 = (−1)

i×j 2

2×3 2

(3−1)

× (−2)

(i−1)

i×j 2

(2−1)

2×3 2

× q2

× (−2)

= (−2)9

(ii) Equa¸ca˜o (6.5) (p. 308). Neste caso temos,

Pi×j = a11 × aij

Veja,

P2×3 = (−1) × 8


i×j 2


2×3 2

= (−8)3

(iii) Equa¸ca˜o (6.6) (p. 308). Neste caso temos,

Pi×j = Veja,

P2×3 =



2



2

j−1

a11 × q1

3−1

(−1) × (−2)

i−1

× q2

2−1

× (−2)

310


i×j 2


2×3 2

= (−23 )3

Agora vamos calcular P1×1 . Como 1×1 o podemos usar a equa¸ca˜o (6.4); 2 6∈ N, s´ entretanto, por teimosia, faremos dos trˆes modos: (i) Equa¸ca˜o (5.3). Neste caso temos, (j−1)

i×j

Veja,

Pi×j = a11 × q1 1×1

P1×1 = (−1)

i×j 2

(1−1) 1×1 2

(i−1)

× q2

i×j 2

(1−1) 2×3 2

× (−2)

× (−2)

= −1

(ii) Equa¸ca˜o (6.5). Neste caso temos, Pi×j = a11 × aij

Veja, P1×1 = (−1) × (−1)


i×j 2


1×1 2

= 1

(iii) Equa¸ca˜o (6.6). Neste caso temos, Pi×j =

Veja, P1×1 =





2

2

j−1

a11 × q1

1−1

(−1) × (−2)

i−1

× q2


i×j 2

1−1

× (−2)


1×1 2

= 1

Evidentemente que apenas o primeiro resultado ´e correto. Confira:

P2×3 P1×1 −1

2

−4

8

−16

...

2

−4

8

−16

32

...

−4

8

−16

32

−64

...

8

−16

32

−64

128

...

−16

32

−64

128

−256

...

...........................................

311

6.6

Lineariza¸ c˜ ao

A lineariza¸ca˜o de sequˆencias duplas pode ser aplicada `as PG-2D, aqui s´o reproduzimos as equa¸co˜es da lineariza¸ca˜o: (i) n = N (i − 1) + j, (ii) i =

 n−1  N

j=n − N

+ 1,

 n−1  N

.

Soma em uma sequˆ encia linearizada De modo an´alogo ao que foi feito no cap´ıtulo anterior sobre PA-2D, podemos deduzir a seguinte f´ ormula para a soma Sn dos n termos iniciais de uma PG-2D linearizada.

N

Sn = a11

q1 − 1 q1 − 1

i−1

·

q2 −1 q2 − 1

j

+ a11

q1 − 1 q1 − 1

i−1

· q2

(6.7)

Onde i e j s˜ao como no ´ıtem (ii) acima.

Produto em uma sequˆ encia linearizada Da mesma forma podemos demonstrar a seguinte f´ormula para o produto Pn dos n termos iniciais de uma PG-2D linearizada.

(i−1)N

Pn = a11

(N −1)

× q1

(i−1)N 2

(i−2)

× q2

Onde i e j s˜ao como no ´ıtem (ii) acima.

312

(i−1)N 2

i−1 j

j(j−1) 2

× (a11 × q2 ) × q1

6.7

Aplica¸ c˜ oes da lineariza¸ c˜ ao

Agora faremos algumas aplica¸co˜es da lineariza¸ca˜o de uma PG-2D. − Problemas: (1) Apliquei determinado capital C0 , a juros compostos, a uma taxa de i % a.d. De T em T dias, retiro r % do capital acumulado. Encontre uma f´ormula M (t) para o montante em fun¸ca˜o do tempo. Solu¸ c˜ ao: Antes, consideremos o caso particular T = 3 dias. Temos: t:

0

1

2

3

4

...

M (t) :

C0

C0 (1 + i)

C0 (1 + i)2

C0 (1 + i)3 (1 − r)

C0 (1 + i)4 (1 − r)

...

A sequˆencia (M (t)) pode ser colocada na seguinte disposi¸ca˜o tabular: C0

C0 (1 + i)

C0 (1 + i)2

C0 (1 + i)3 (1 − r)

C0 (1 + i)4 (1 − r)

C0 (1 + i)5 (1 − r)

C0 (1 + i)6 (1 − r)2

C0 (1 + i)7 (1 − r)2

C0 (1 + i)8 (1 − r)2

.................................................................... Isto ´e, temos a seguinte PG-2D: a11 = C0

q1 = 1 + i

N =3 q2 = (1 + i)3 (1 − r) Generalizando temos, para T qualquer, a seguinte PG-2D:

a11 = C0

q1 = 1 + i

N =T q2 = (1 + i)T (1 − r)

313

Com, i= Sendo assim, temos: i−1=

 n−1  N

 n−1  N

=

j = n − N (i − 1)

+ 1,

 n−1 , T

j − 1 = n − 1 − T (i − 1)

Aqui precisamos fazer uma transla¸ca˜o de ´ındices para contemplar o caso t = 0. Isto ´e, substituiremos n − 1 por n. Ent˜ ao, jnk   i−1= T   j − 1 = n − T (i − 1) Sendo,

aij = a11 × q1j−1 × q2i−1 temos

n−T

aij = C0 × (1 + i)

jnk jnk T ×  (1 + i)T (1 − r)  T

Simplificando e colocando nas condi¸co˜es do enunciado, temos: j t k M (t) = C0 (1 + i)t (1 − r) T Nota: No apˆendice damos uma demonstra¸ca˜o desta f´ormula.

314

(6.8)

(2)

C´ alculo de combina¸c˜ oes

Agora faremos uma aplica¸ca˜o das PG-2D no c´ alculo de combina¸c˜oes. Vamos considerar a mesma matriz que aparece no cap´ıtulo 3 (p. 167):

{ a1 ,

a2 ,

a3 ,

a4 }

1

1

1

−1

1

1

1

1

−1

1

1

−1

−1

1

1

1

1

−1

1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

1

1

−1

1

1

−1

1

−1

−1

−1

1

−1

1

1

−1

−1

−1

1

−1

−1

1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

{ a1 , a2 , a3 , a4 } { a2 , a3 , a4 }

{ a1 , a3 , a4 } { a3 , a4 }

{ a1 , a2 , a4 } { a2 , a4 }

{ a1 , a4 } { a4 }

{ a1 , a2 , a3 } { a2 , a3 }

{ a1 , a3 } { a3 }

{ a1 , a2 } { a2 }

{ a1 }

{

}

Vamos obter com o aux´ılio das PG-2D uma f´ormula para a matriz acima. Pois bem, (i) A coluna j = 1 est´ a em P.G. (1, −1, 1, −1, . . .), logo, an1 = (−1)n−1 ; (ii) A coluna j = 2 ´e a lineariza¸ca˜o da seguinte PG-2D:

1

1

−1

−1

1

1

···

···

a11 = 1

q1 = 1

Onde N = 2 q2 = −1

315

Sendo, aij = a11 × q1j−1 × q2i−1 com, i= temos

 n−1  + 1, N

j = n − N (i − 1)

aij = a(n) = 1 × (1)j−1 × (−1)i−1 = (−1)i−1 j n−1 k onde, i − 1 = . Ent˜ ao, 2 an2

n−1 2 = (−1)

(iii) A coluna j = 3 ´e a lineariza¸ca˜o da seguinte PG-2D: 1

1

1

1

−1

−1

−1

−1

1

1

1

1

−1

−1

−1

−1

1

1

1

1

a11 = 1

q1 = 1

Onde N = 4 q2 = −1

.......................

Sendo, aij = a11 × q1j−1 × q2i−1 com, i= temos

 n−1  N

j = n − N (i − 1)

+ 1,

aij = a(n) = 1 × (1)j−1 × (−1)i−1 = (−1)i−1 j n−1 k . Ent˜ ao, onde, i − 1 = 4 an3

n−1 2 = (−1) 2

Generalizando para uma coluna j qualquer, temos: n−1

j−1 anj = (−1) 2

316

Sendo que o n-´esimo termo acima ´e o i-´esimo termo na matriz, portanto:



aij = ( −1 )

i−1 j−1 2



(6.9)

Deduzimos esta f´ ormula por volta do ano de 1994. Lembramos (p. 184) que para j arbitrariamente fixado a sequˆencia resultante ´e j−1 uma P.G. de ordem 2 . Oportunamente provaremos a seguinte curiosa identidade:

aij = ( −1 )

j

i−1 j−1 2

k

= ( −1 )

µ2i−1 j−1

Onde: µi−1 ´e o bit de posi¸ca˜o j − 1 na expans˜ao bin´aria de i − 1. (p. 157) 2j−1 A matriz de combina¸ co ˜es aparece em L´ ogica com as colunas trocadas, ficando:



aij = ( −1 )

2

i−1 N −j



(6.10)

Onde N ´e o n´ umero de vari´aveis l´ogicas. Podemos fazer a seguinte identifica¸cao: V ≡ 1 e F ≡ −1. Para obter a matriz que comparece em eletrˆ onica digital basta multiplicar a “matriz l´ogica” por −1, isto ´e,



aij = (−1) · ( −1 ) sendo que na matriz digital temos 0 no lugar de −1.

317

2

i−1 N −j



(6.11)

A f´ ormula para gerar a matriz digital ´e:

aij =

  i−1   ´e impar; N −j  1 se 2   0 se 

i−1 2 N −j



(6.12)

´e par.

onde N ´e o n´ umero de vari´aveis l´ogicas. Para N = 4 teremos a matriz seguinte: A

B

C

D

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

` direita temos o programa que gera a matriz digital, segundo a f´ormula (6.12), e A uma simula¸ca˜o para N = 4 vari´aveis.

318

Uma Matriz de Combina¸c˜ oes Na tabela que comparece na p´ agina 315 vamos trocar 1 por 0 e −1 por 1, obtendo:

{ a0 ,

a1 ,

a2 ,

a3 }

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

{

}

{ a0 }

{ a1 }

{ a0 , a1 } { a2 }

{ a0 , a2 }

{ a1 , a2 }

{ a0 , a1 , a2 } { a3 }

{ a0 , a3 }

{ a1 , a3 }

{ a0 , a1 , a3 }

{ a2 , a3 }

{ a0 , a2 , a3 }

{ a1 , a2 , a3 }

{ a0 , a1 , a2 , a3 }

Para obter uma f´ ormula para esta matriz, observe que a equa¸c˜ao (6.9) (p. 317) pode ser escrita assim:

aij =

  

1 se

  −1

se





i−1 2 j−1 i−1 2 j−1

 

´e par; ´e ´ımpar.

Agora vamos trocar 1 por 0 e −1 por 1, obtendo:

aij =

  0

 1

se se





i−1 2 i−1 i−1 2 j−1





´e par; (6.13)

´e ´ımpar.

Fa¸camos ainda uma ligeira simplifica¸ca˜o nesta f´ormula:

319

aij =

  i   0 se ´e par;  2j

  1 se  i  ´e ´ımpar. j 2

i = 0, 1, . . . , 2n − 1 ;

j = 0, 1, . . . , n − 1

Onde agora contamos as linhas e as colunas a partir do 0 (zero). No apˆendice provamos que esta matriz de fato se presta ao c´ alculo de combina¸co˜es − podendo ter outras aplica¸co˜es, por exemplo converter um inteiro para a base bin´ aria (p. 157). Na tela a seguir entramos com n e o programa sai com a matriz de combina¸co˜es − equa¸ca˜o (6.13), p. 319,

na tela da direita vemos uma simula¸ca˜o para n = 3 vari´aveis∗ Nas telas a seguir temos um (´ unico) programa que recebe um conjunto e sai com o conjunto das partes − conjunto de todos os subconjuntos −,

∗

Apenas a t´ıtulo de registro, ap´ os v´ arias tentativas este programa n˜ ao funcionou em minha calculadora; copiei (Copy) o corpo do programa e o executei a partir da linha de introdu¸c˜ ao, no CAS, funcionou − criei um programa na linha de introdu¸c˜ ao −; s´ o ap´ os o programa acima funcionou. Alguma vari´ avel foi reconfigurada. Uma vari´ avel CAS (programa) pode ser criada, e executada, na linha de introdu¸c˜ ao.

320

Nas telas a seguir,

temos duas simula¸co˜es do programa anterior; na tela da esquerda entramos com o conjunto { a0 , a1 , a2 , a3 } e na tela da direita com o conjunto { a, b, c }. Uma observa¸ca˜o importante quanto a este u ´ltimo exemplo: o programa s´o vai funcionar se nas vari´aveis a, b e c n˜ ao estiver a priori armazenado nenhum valor. Para saber basta digitar a letra (na linha de comando) e dar enter. Deve aparecer a pr´opria letra (a, b ou c). Caso isto n˜ ao aconte¸ca a vari´avel deve ser resetada (ou deletada). Para isto veja Adendo, p´ agina 493. Nota: Evite incluir a letra e em um conjunto, esta letra ´e reservada para a base do logaritmo neperiano. Nas telas a seguir,

entramos com um conjunto e r, o programa sai com todas as combina¸co˜es dos elementos do conjunto tomados r a r. Observe que o programa anterior, MTXC1, ´e utilizado como subrotina. Na tela da direita vemos uma simula¸ca˜o para o conjunto { a0 , a1 , a2 , a3 } e r = 3.

321

6.8

Exerc´ıcios propostos

274) Calcule os termos a41 , a14 e a33 da seguinte PG-2D: 1

2

4

8

16

...

3

6

12

24

48

...

9

18

36

72

144

...

27

54

108

216

432

...

.................................... 275) Encontre o termo geral da seguinte PG-2D: 1

1

1

1

1

1

1

1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

1

1

1

1

1

1

1

1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

−1

.................................................. 276) Encontre uma f´ ormula a(n) para a lineariza¸ca˜o da PG-2D do exerc´ıcio anterior. 277) Encontre todos os termos iguais a 8 e os termos iguais a −8 na seguinte PG2D (a11 , q1 , q2 ) = (1, 2, −2). Fa¸ca o diagrama correspondente. 278) Determine a PG-2D quadrada de ordem 5 em que a D.P. est´ a em P.G. de raz˜ ao 8, a D.S. est´ a em P.G. de raz˜ ao 2 e o termo central vale 32. 279) Calcule S3×2 para a PG-2D (1, 3, 2). Fa¸ca o diagrama e confira. 280) Calcule S3×3 para a PG-2D (1, −1, −1). Fa¸ca o diagrama e confira. 281) Para a seguinte PG-2D: −2

−2

−2

−2

−2

...

2

2

2

2

2

...

−2

−2

−2

−2

−2

...

2

2

2

2

2

...

.................................... calcule: a) P1×3

b) P3×1

c) P2×3

d) P3×2

e) P4×3 .

282) Verifique (em alguns casos) as seguintes propriedades para a PG-2D do

322

exerc´ıcio anterior: aij = ai1 × a1j /a11 aij = a(i−1)j × ai(j−1) /a(i−1)(j−1) 283) Qual a “interpreta¸ca˜o geom´etrica” sugerida pelas f´ormulas seguintes? Pi×j = a11 × aij Pi×j = ai1 × a1j


i×j 2


i×j 2

284) Para a seguinte PG-2D: 1

2

4

8

16

...

3

6

12

24

48

...

9

18

36

72

144

...

27

54

108

216

432

...

.................................... verifique em alguns casos a seguinte propriedade: ai1 j1 × ai2 j2 = ai1 j2 × ai2 j1 285) Mostre que, se em uma PG-2D de N colunas tivermos q2 = q1N ent˜ ao a sequˆencia linearizada estar´ a em P.G. de primeiro termo a11 e raz˜ ao q = q1 . 286) Para a sequˆencia seguinte, 2

4

2

4

2

4

2

4

2

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para o produto dos n primeiros termos. 287) Generalize o resultado anterior para a seguinte sequˆencia: a

b

a

b

323

a

b

a

...

288) Para a sequˆencia seguinte, 1

1

3

3

9

9

27

27

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para o produto dos n primeiros termos. 289) Generalize o resulatdo anterior para a sequˆencia seguinte, a1

a2

a1 q

a1 q 2

a2 q

a2 q 2

a1 q 3

a2 q 3 . . .

290) Vocˆe seria capaz de dar uma outra defini¸ca˜o de PG-2D? 291) Caso sua resposta tenha sido afirmativa para o exerc´ıcio anterior, encontre a f´ ormula do termo geral e do produto. 292) Calcule o duplo produt´orio seguinte, 3 3 Y Y

j =1 i=1

−2i

 1 j 2

de duas maneiras: i) Primeiro considere j fixo e multiplique em rela¸ca˜o a i; finalmente multiplique em rela¸ca˜o a j; ii) Usando a equa¸ca˜o (6.4) (p. 308). 293) Considere o duplo produt´orio do exerc´ıcio anterior. Fa¸ca o diagrama da PG2D correspondente e confirme “manualmente” o produto. 294) Para a sequˆencia abaixo, 2

−1

2

−1

2

−1

2

−1

2

−1

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para o produto dos n primeiros termos. 295) Para a sequˆencia abaixo, −1

4

−1

4

−1

4

−1

4

−1

4

...

encontre, a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para o produto dos n primeiros termos. 296) Mostre que em uma PG-2D qualquer linha ou coluna est´ a em P.G.. 297) Mostre que em uma PG-2D quadrada, a diagonal principal e a diagonal secund´ aria est˜ ao em progress˜ao geom´etrica.

324

298) Encontre todos os termos iguais a 8 na PG-2D em que a11 = 1 , q1 = 2 e q2 = 2. 299) Determine a coluna do termo 81 na PG-2D em que a11 = 1/4 , q1 = 2 e q2 = 3, sendo a sua linha a de n´ umero 5. 300) Dada a PG-2D em que a11 = 2 , q1 = 2 e q2 = 1/2, sabe-se que o termo 1/8 encontra-se na terceira coluna. Determine a linha deste termo. 301) Dada a PG-2D (quadrada) em que q1 = q e q2 = 1/q, mostre que os termos da diagonal principal s˜ao constantes e iguais a a11 . 302) O termo 81 encontra-se na PG-2D em que a11 = 1, q1 = 2 e q2 = 3? 303) Determine a PG-2D em que a1j = 3

j−2

e ai1 = 3

i−2

.

304) Queremos armazenar na mem´ oria de um computador os 9 primeiros termos da P.G. (2, 22 , . . . , 29 ). Encontre a f´ormula A(I, J) que deve ser usada para armazen´ a-los em uma matriz 3 × 3. 305) Queremos armazenar na mem´ oria de um computador os 100 primeiros termos da P.G. (3, 6, . . . ). Encontre uma f´ ormula A(I, J) para armazen´ a-los nos seguintes casos: a) matriz 10 × 10

b) matriz 5 × 20

c) matriz 20 × 5.

306) Qual a ´ area quadrada que devemos somar na q1 = q2 = 3, para que a soma resulte 1600?.

PG-2D em que a11 = 1,

307) Seja Sn×n a soma dos n × n n´ umeros da tabela abaixo. Encontre o menor n´ umero natural n tal que Sn×n > 0, 9801. 1 22

1 23

1 24

...

1 2n+1

1 23

1 24

1 25

...

1 2n+2

1 24

1 25

1 26

...

1 2n+3

....................................... 1

1

1

2n+1

2n+2

2n+3

325

...

1 22n

308) Calcule o produto dos termos da tabela abaixo: √ √ √ 3 9 27 π π π ... √ 6 π

√ π

54

√ π

108

18

√ π

12

36

√ π

...

√ π

...

........................... 309) Qual o erro cometido quando, em vez de somar os 10 × 10 termos iniciais, calcula-se a soma dos infinitos termos da PG-2D abaixo? 1

1 3

1 9

...

1 3

1 9

1 27

...

1 1 1 ... 9 27 81 ..................... 310) Calcule

3 X 5 X

2 ·3

3 5 Y Y

2 ·3

j =1 i=1

311) Calcule

j =1 i=1

312) Calcule

5 X 10 X

2

i

j

i

j

i+2j

j =1 i=1

313) Calcule

∞ X ∞ X

j =1 i=1

314) Calcule

30

 1 i 5

·

 1 j 3

∞ X ∞  X 1 i−1  1 j−1 · 3 2 j =1 i=1

315) Determine a PG-2D na qual a soma dos i × j termos iniciais vale,

(−1)i − 1 (−1)j − 1 4 para todo i, j ∈ N.

326

316) Determine a PG-2D na qual o produto dos i × j termos iniciais vale, p 2(i−j)i j

para todo i, j ∈ N. 317) Calcule

n m Y Y

j =1 i=1

ai · bj · c.

318) Mostre que as sequˆencias dadas por ⌊ n−1 ⌋ 4

an = (−1)

e

(n−1 4 ) bn = (−1)

s˜ao iguais. 319) Dada a PG-2D (−1, −2, 2), calcule os termos a34 , a42 e a10, 10 . 320) Calcule os termos a55 , a15 , a51 e a22 na PG-2D em que a11 = 1/2, q1 = 2 e q2 = 3. 321) Calcule o termo que est´ a na intersec¸ca˜o da quinta linha e sexta coluna na PG-2D em que a11 = 1/2, q1 = 2 e q2 = −1. 322) Dada a PG-2D (3, 1/3, 3), (de ordem 5 × 5) determine o termo central. 323) Determine a PG-2D em que a14 = 8, a41 = 8 e a44 = 64. 324) Determine a PG-2D em que a15 = 81, a51 = 81 e a55 = 6561. 325) Determine o primeiro termo da PG-2D em que q1 =

1 4

q2 , a54 = 2 e a33 = 1.

326) Dada a PG-2D (a11 , q, q) (de ordem n×n) mostre que os termos da diagonal secund´aria s˜ao constantes e iguais a a11 · q n−1 . 327) Calcule o primeiro termo da PG-2D em que a raz˜ ao das linhas ´e 2, a raz˜ ao das colunas ´e 12 e o termo a55 vale 3. 328) O termo 225 pertence ` a PG-2D (2, 3, 5)? 329) Quantos e qual a posi¸ca˜o dos termos iguais a 729 na PG-2D (1, 3, 3)? 330) Calcule o termo comum ` a quinta linha da (2, 8, . . .).

PG-2D (1/2, 2, 2) e `a P.G.

331) Em cada uma das PG-2D abaixo calcule a soma dos i × j termos iniciais: a) (1, 1/2, 1/2) e i × j = 5 × 5; b) (1, 2, 3) e i × j = 4 × 6; c) (3, 1/3, 1/3) e i × j = 10 × 10. 332) Qual a ´ area quadrada que devemos somar na PG-2D (2, 5, 5) para que a soma seja 48.672?. 333) Qual a ´ area quadrada que devemos somar na PG-2D (1, 2, 1/2) para que a soma seja 49/4?.

327

334) Calcule a soma dos termos da tabela abaixo (a 6= 1, b 6= 1): 1

a

a2

...

an−1

b

ab

a2 b

...

an−1 b

b2

a b2

a2 b 2

...

an−1 b2

............................................. bn−1

a bn−1

a2 bn−1

...

an−1 bn−1

335) Calcule a soma dos termos da matriz abaixo: 1

1 3

1 4

...

1 3

1 6

1 12

...

1 1 1 ... 9 18 36 ..................... 336) Calcule a soma dos termos da matriz abaixo: 4

2

1

0, 5

...

2

1

0, 5

0, 25

...

1

0, 5

0, 25

0, 125

...

0, 5

0, 25

0, 125

0, 0625

...

......................................

328

337) O limite da soma dos termos da matriz abaixo ´e x

x 2

x 4

...

x 5

x 10

x 20

...

x 25

x 50

x 100

...

15 2

qual o valor de x?:

........................ 338) Calcule

3 X

j =1

3 − (−1)i




339) Em cada uma das PG-2D abaixo calcule o produto dos i × j termos iniciais: a) (1, 2, 3) e i × j = 3 × 4; b) (2, 1/2, 2) e i × j = 5 × 4; c) (1, 1/3, 3) e i × j = m × n. 340) Determine a PG-2D em que a36 = secund´aria est´ a em P.G. de raz˜ ao 1.

1 28 ,

o produto P2×4 ´e

1 224

e a diagonal

341) Qual a rela¸ca˜o existente entre as raz˜ oes de uma PG-2D se aij = aji ? 342) Mostre que a f´ ormula do termo geral de uma P.G., an = a1 · q n−1 ´e um caso especial da equa¸ca˜o (6.1) (p. 302). 343) Mostre que a f´ ormula Pn = an1 · q (p. 308).

n(n−1) 2

´e um caso especial da equa¸ca˜o (6.4)

344) Demonstre por indu¸ca˜o a f´ ormula (6.1) (p. 302). 345) Demonstre a propriedade P2) (p. 304) para uma PG-2D. 346) Demonstre diretamente a f´ ormula (6.4) (p. 308). 347) Fa¸ca um programa para implementar a f´ormula dos juros compostos (p. 314).

329

348) Prove que as matrizes a seguir    0, se aij =   1, se

i 2j i 2j

 

´e par; ´e ´ımpar.

e aij =

  0, se 

1, se

i 2j i 2j

s˜ao iguais. Estamos convencionando que  m!      m n! (m − n)! =  n  0







´e par; ´e ´ımpar.

, se m ≥ n; , se m < n.

Sugest˜
que para i e j inteiros positivos arbitrariamente fixados os  ao: Mostre e 2ij tˆem a mesma paridade. n´ umeros 2ij

330

6.9

Apˆ endice

Demonstra¸c˜ oes (I) C´ alculo de Combina¸ co ˜es
n! A conhecida f´ ormula da an´alise combinat´oria nr = (n−r)! r! nos fornece o n´ umero de combina¸co˜es dos n elementos de um conjunto, tomados r a r. Mas esta f´ormula n˜ ao nos fornece as tais combina¸co˜es. O nosso objetivo ´e provar uma f´ormula que tem precisamente esta finalidade. Vejamos como as tabelas dadas anteriormente prestam-se ao c´ alculo de combina¸co˜es. A t´ıtulo de ilustra¸ca˜o, suponhamos o seguinte conjunto A = { a0 , a1 , a2 }. Podemos utilizar a tabela a seguir para o c´ alculo de todos os subconjuntos { a0 , a1 , a2 } 0

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

0 1

0

0

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

{

}

{ a0 }

{ a1 }

{ a0 , a1 }

{ a2 }

{ a0 , a2 }

{ a1 , a2 }

{ a0 , a1 , a2 }

onde convencionamos que quando ocorre 1 na sequˆencia o respectivo elemento (na coluna) participa da combina¸ca˜o, onde ocorre 0 n˜ ao participa. Esta matriz nos fornece todas as poss´ıveis combina¸co˜es de elementos do conjunto A. Uma f´ ormula geratriz A f´ormula seguinte,    0, se aij =   1, se

i 2j i 2j

 

´e par; (6.14) ´e ´ımpar.

gera a matriz de combina¸co˜es. Onde ( ⌊ x ⌋= parte inteira de x) Para provar que isto ´e verdade iniciamos com o seguinte lema.

331

Lema 9 (Propriedade do DNA). Seja n ≥ 2 um natural arbitrariamente fixado e j = 0, . . . , n − 2. Sob estas condi¸co˜es, temos aij = a(i+2n−1 )j

(6.15)

Prova: Tendo em conta (6.14) ´e suficiente provar que os inteiros a seguir tˆem a mesma paridade (i.e., ambos s˜ao pares ou ´ımpares)

Com efeito, temos

Sendo

2n−1 j 2

j i k 2j

j (i + 2n−1 ) k 2j

e

(6.16)

j i + 2n−1 k j i 2n−1 k = j j + 2 2 2j

= 2n−1−j , temos, por hip´otese

0 ≤ j ≤ n−2 ⇒ 1≤ n−1−j ≤ n−1 Sendo assim, 2n−1−j ´e sempre um inteiro, o que nos permite escrever j i + 2n−1 k j i 2n−1 k j i k = = + 2n−1−j j j + 2 2 2j 2j k j k j n−1 − 2ij , logo Daqui concluimos que 2n−1−j divide a diferen¸ca i+22j

Ent˜ ao

j i + 2n−1 k j i k ≡ 2j 2j

mod 2n−1−j

j i + 2n−1 k j i k ≡ 2j 2j

mod 2







O que significa que os dois n´ umeros em (6.16) tˆem a mesma paridade. Portanto, a identidade (6.15) est´ a provada.  Interpreta¸c˜ ao: Neste lema n ´e o n´ umero de bits (colunas na tabela de combina¸co˜es). Vamos concretizar a propriedade anterior: Observe i: i+2n−1 :

0

1

2n−1

2n−1 +1

... ...

2n−1 −1 2n −1

o que significa que a identidade aij = a(i+2n−1 )j nos assegura que haver´a uma c´ opia da metade superior para a metade inferior da matriz bin´aria (isto s´o at´e a coluna n − 2, bem entendido).

332

Exemplo: Nas matrizes a seguir temos n = 2 e n = 3, respectivamente

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0 1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

A contagem das linhas e colunas da matriz inicia-se em zero. Na verdade a identidade em quest˜ ao nos conta mais que esta interpreta¸ca˜o; mas, para o prop´ osito que temos em mente, isto j´a ´e suficiente. Sendo p (= n − 1) a u ´ltima coluna das tabelas, deixamos como exerc´ıcio a prova de que (Confira nas tabelas anteriores)   0, se i = 0, 1, . . . , 2p − 1; aip =  1, se i = 2p , . . . , 2p+1 − 1.

Agora vamos envidar esfor¸cos para demonstrar que a matriz digital, efetivamente se presta ao c´ alculo de combina¸co˜es. ((6.14) p. 331) Para a consecu¸ca˜o do nosso intento iremos precisar de alguns resultados: Lema 10. Seja A = { a0 , a1 , . . . , an−1 } um conjunto com n elementos, e seja A′ = A ∪ { an }. Ent˜ ao o n´ umero de subconjuntos de A′ ´e o dobro do n´ umero de subconjuntos de A; e mais: seus subconjuntos s˜ao precisamente os mesmos de A juntamente com cada um destes unido com { an }. Prova: Temos pela transitividade da inclus˜ao que todo subconjuto B de A o ´e de A′ (isto ´e, B ⊂ A, A ⊂ A′ ⇒ B ⊂ A′ ). Ainda: dado B ⊂ A ⇒ B ∪ { an } ⊂ A′ . Agora vamos mostrar que todo subconjunto de A′ ´e da forma acima, isto ´e: “Dado D ⊂ A′ ent˜ ao D ⊂ A ou D = B ∪ { an } para algum B ⊂ A”. De fato, se D = ∅ ´e ´ obvio. Suponha que ∅ = 6 D ⊂ A′ e D 6⊂ A e D 6= B ∪ { an }, ∀B ⊂ A. Ent˜ ao existe x ∈ D tal que x ∈ A′ e x 6∈ A; logo s´o pode ser x = an . Sendo D 6= B ∪ { an } ( ∀B ⊂ A ), temos duas possibilidades: (i) existe y ∈ D tal que y 6∈ B ∪ { an }, ∀B ⊂ A. Absurdo, tome B = A. (ii) ∀B ⊂ A existe z ∈ B ∪ { an } tal que z 6∈ D. Absurdo, tome B = ∅.  Usando demonstra¸ca˜o por indu¸ca˜o sobre n, decorre trivialmente do lema anterior o corol´ ario seguinte.

333

Corol´ ario 10. Dado um conjunto com n elementos, o n´ umero de seus subconjuntos ´e 2n . Prova: n = 1: A = { a0 } ⇒ P(A) = { ∅, { a0 } }. Admitamos a validade da proposi¸ca˜o para n = p. Isto ´e, se A = { a0 , a1 , . . . , ap−1 } ⇒ #P(A) = 2p . Mostremos que a proposi¸ca˜o ainda ´e verdadeira para n = p + 1. Isto ´e, se A = { a0 , a1 , . . . , ap−1 , ap } ent˜ ao #P(A) = 2p+1 . Mas isto ´e imediato pelo lema anterior.  Teorema 46. Dado um conjunto A = {a0 , a1 , . . . , an−1 } com n elementos, a matriz abaixo   i   0, se ´e par; 2j aij = (6.17)  i   1, se ´ e ´ ımpar. j 2 nos fornece todos os seus subconjuntos, para i = 0, 1, . . . , 2n −1 e j = 0, 1, . . . , n− 1; de acordo com a conven¸ca˜o feita anteriormente. Prova: Indu¸ca˜o sobre o n´ umero n de elementos de A. (i) n = 1 ( A = { a0 } ) ⇒ j = 0 e i = 0, 1. Na matriz temos a00 = 0

e

a10 = 1

De acordo com a conven¸ca˜o feita, temos {a0 } 0 { } 1 { a0 }

⇒

P(A) =



∅, { a0 }



(ii) Suponhamos a validade da f´ormula para n = p elementos. Por hip´ otese a matriz ( aij ) nos fornece os 2p subconjuntos de A = { a0 , a1 , . . . , ap−1 }. (ii) Mostremos que a f´ ormula ´e v´alida para n = p + 1 elementos. Isto ´e, que a f´ ormula nos fornece todos os 2p+1 subconjuntos de A′ = {a0 , a1 , . . . , ap−1 , ap }. De fato, tendo em conta os dois lemas anteriores, ´e suficiente mostrar   0, se i = 0, 1, . . . , 2p − 1; aip =  1, se i = 2p , . . . , 2p+1 − 1. Com efeito, temos

i = 0, 1, . . . , 2p − 1 ⇒ 0 ≤ i ≤ 2p − 1 ⇒ 0 ≤ i < 2p ⇒ 0 ≤

j i k i = 0 ⇒ aip = 0. p < 1 ⇒ 2 2p

334

Por outro lado i = 2p , . . . , 2p+1 − 1 ⇒ 2p ≤ i ≤ 2p+1 − 1 ⇒ 2p ≤ i < 2p+1 ⇒ 1 ≤

j i k i =1 p < 2 ⇒ 2 2p

⇒ aip = 1. 

a0 a1 ··· ap−1 ap 0 Para melhor entendimento

.. .

da demonstra¸ c˜ ao anterior veja a figura ao lado:

Hip´ otese

1

p

0 de Indu¸ c˜ ao

2 −1 2p

Propriedade

p

2 +1

.. .

0

do DNA

2p+1 −1

.. .

0 1 1

.. .

1

(II) Agora faremos a demonstra¸ca˜o da f´ormula,

(p. 314)

j t k M (t) = C0 (1 + i)t (1 − r) T Para isto utilizaremos a equa¸ca˜o (3.24) (p. 183), a qual para os nossos prop´ ositos fica∗ :   p se Tp+1  T +1 , jp+1k  +1 6∈ Z ; =  T +1  p  p+1 T +1 + 1, se T +1 ∈ Z . Usaremos indu¸ca˜o sobre t ∈ N ∪ { 0 } = { 0, 1, 2, . . . }. Prova: 1) t = 0 j0k M (0) = C0 (1 + i)0 (1 − r) T

= C0

2) Suponhamos a validade da f´ ormula para t = p, isto ´e, jpk

(H.I.)

3) Mostremos que vale para t = p + 1, isto ´e,

(T.I.)

M (t = p) = C0 (1 + i)p (1 − r) T

jp+1k

M (t = p + 1) = C0 (1 + i)p+1 (1 − r) ∗

Trocando N por T + 1 e n por p.

335

T

Pelo enunciado do problema, podemos escrever:   M (p) · (1 + i), M (t = p + 1) =  M (p) · (1 + i) (1 − r),

t 6= k T ; t = k T.

onde: k ´e um inteiro e t 6= k T significa que t n˜ ao ´e m´ ultiplo de T . Inicialmente vamos considerar o caso em que t ´e m´ ultiplo de T . 3.1) t = k T

⇒ p+1 = kT

⇒

p+1 T

∈ Z.

M (t = p + 1) = M (p) · (1 + i) (1 − r) jpk = C0 (1 + i)p (1 − r) T (1 + i) (1 − r) jp+1k

= C0 (1 + i)p+1 (1 − r) 3.2) t 6= k T

⇒ p + 1 6= k T

⇒

p+1 T

T

6∈ Z.

M (t = p + 1) = M (p) · (1 + i) jpk = C0 (1 + i)p (1 − r) T (1 + i) jp+1k

= C0 (1 + i)p+1 (1 − r)

T



336

Cap´ıtulo

7

Progress˜ao aritm´etica tridimensional Na teoria da relatividade ontol´ ogica, h´ a uma verdade que ´e invari´avel atrav´es de todos os sistemas de referˆencia cognitivos: tudo o que apreendemos, seja perceptiva ou conceitualmente, ´e desprovido de natureza inerente pr´ opria, ou identidade, independentemente dos meios pelos quais seja conhecido. (Allan B. Wallace/Dimens˜ oes Escondidas, p. 99)

Neste cap´ıtulo definiremos as Progress˜oes Aritm´eticas tridimensionais ( PA3D) − uma outra generaliza¸ca˜o das progress˜oes aritm´eticas − que nos possibilitar´a algumas aplica¸co˜es interessantes; cremos que outras se somar˜ao `as que aqui apresentamos.

7.1

Introdu¸ c˜ ao

As sequˆencias que estudaremos a seguir servir˜ao, dentre outras aplica¸co˜es, para se estudar “sequˆencias aritm´eticas” onde est˜ ao presentes trˆes raz˜ oes. Para citar trˆes exemplos: umeros ´ımpares, retire desta sequˆencia todos os 1 o ) Considere a sequˆencia dos n´ m´ ultiplos de p (p ≥ 3 ´ımpar arbitrariamente fixado). Encontre para a sequˆencia resultante: a) Uma f´ ormula para o termo geral; b) Uma f´ ormula para a soma dos n primeiros termos. 2 o ) Encontre duas f´ ormulas que permitam o tratamento de matrizes 3 − D via vetores e vice-versa. ormula que nos permita o desenvolvimento de um n´ umero na 3 o ) Encontre uma f´ base 10 em uma outra base qualquer.

337

7.2

No¸ c˜ oes iniciais: sequˆ encias triplas

Uma sequˆencia tripla ´e uma aplica¸ca˜o do tipo: a(m, n, p) : N × N × N → R Em uma sequˆencia tripla qualquer, cada elemento ´e indicado por aijk . O ´ındice i indica a linha, o ´ındice j a coluna e o ´ındice k a cota (altura) `as quais o elemento pertence. Com a conven¸ca˜o de que as linhas sejam numeradas de cima para baixo, as colunas da esquerda para a direita e as cotas de baixo para cima, temos: a113

a123

a213

a133

a223 a112

a233 a122

a313

a132

a323

a333

a212

a222 a111

a232 a121

a131 k

a312

a322

a332

a211

a221

a231 j

a311

a321

i

a331

(O cubo se estende indefinidamente nas dire¸co˜es “x, y, z”) Veja esta figura de uma outra perspectiva: a113

a123

a213

a223

a313

a233

a323

a333

a112

a122

a212

a132

a222

a312

a232

a322

a332

a111

a121

a211

a311

a133

a131

a221

a321

a231

a331

338

− Uma sequˆencia tripla de base quadrada N ´e aquela em que M = N , isto ´e, uma sequˆencia com igual n´ umero de linhas e colunas; − Chama-se diagonal principal (D.P.) de uma sequˆencia de base quadrada N o conjunto dos elementos que tˆem os trˆes ´ındices iguais, isto ´e: D.P. = { aijk : i = j = k } = { a111 , a222 , . . . , aN N N } − Chama-se diagonal secund´ aria (D.S.) de uma sequˆencia de base quadrada N o conjunto dos elementos cujos ´ındices satisfazem a rela¸ca˜o 2i + j + k = 2(N + 1) isto ´e: D.S. = { aijk : 2i + j + k = 2(N + 1) } = { a1N N , a2 (N −1)(N −1) , a3 (N −2)(N −2) , . . . , aN 11 } Em uma sequˆencia tripla temos alguns planos a definir: • Plano-linha: ´e todo plano em que i = m (m ∈ N fixado); • Plano-coluna: ´e todo plano em que j = n (n ∈ N fixado); • Plano-cota: ´e todo plano em que k = p (p ∈ N fixado).

− Plano-linha

− Plano-coluna

− Plano-cota

Em uma sequˆencia tripla de base quadrada definimos: • Plano-diagonal principal (P.D.P.): ´e o plano em que i = j; • Plano-diagonal secund´ ario (P.D.S.): ´e o plano em que i + j = N + 1.

− Plano P.D.P.

− Plano P.D.S.

339

Vamos agora definir um tipo especial de sequˆencia tripla: Defini¸ c˜ ao 20. Chama-se progress˜ao aritm´etica tridimensional (PA-3D) uma sequˆencia tripla dada pela seguinte f´ormula de recorrˆencia:  a111 = a        a1j1 = a1(j−1)1 + r1 , j ≥ 2; i ≥ 2, j ≥ 1.

  aij1 = a(i−1)j1 + r2 ,      aijk = aij(k−1) + r3 ,

i ≥ 1, j ≥ 1, k ≥ 2.

Onde: a111 = a, r1 , r2 e r3 s˜ao constantes dadas.

a113

a123

a213

a133

a223 a112

a313

a233 a122

a323 a212

a132 a333

a222 a111

a232 a121

a131 z

a312

a322 a211

a332 a221

a231 y

a311

a321

x

a331

Observe como se d´ a a dinˆamica desta constru¸ca˜o,

r3

k

r1

j i

aijk = aij(k−1) + r3

r2

a111

a1j1 = a1(j−1)1 + r1

aij1 = a(i−1)j1 + r2

340

Vejamos a ideia que est´ a por tr´ as desta defini¸ca˜o. Inicialmente s˜ao dados: r3

• a111

r1

r2 Agora construimos a progress˜ao aritm´etica da linha 1, assim: r3

k

r1

• a111

a1j1 = a1(j−1)1 + r1

j i

r2 Isto ´e, a111

a121

a131

a partir daqui podemos construir qualquer coluna, assim: a111

a121

r1 ...

a131 ...

a211 ...

a311 r2

aij1 = a(i−1)j1 + r2

... ..

.

..

.

..

.

..

.

a partir daqui podemos construir qualquer cota, assim: .. .

.. .

.. .

.. .

.. . .. . .. .

r3

a111 a211

a121

a131 ... ...

a311 r2

r1 ...

... ..

.

..

.

..

.

..

.

341

aijk = aij(k−1) + r3

r1 ...

Exemplos: (a) A seguir temos uma PA-3D em que a111 = 4, r1 = 2, r2 = 3 e r3 = 1.

6

8

9

10

11

13

5

7

12

14

9

16

8

10

12

4

6

11

13

8 15

7

9

10

11

12

14

(b) A seguir temos uma PA-3D com a111 = −1, r1 = 1, r2 = 3 e r3 = 2. 5

6

8

9

11

14

12

15

16

10

17

11 15

6

9

2

8

9

0

1

4

7

10

7

r3 = 2

13

3

6

4

10

12 −1

5

3

5

11

9

2

8

6

12

14

4

10

5

8

1

7

14

7

13

8

11

4

6

9

10 13

3

12

7

2

5

8

11

342

−1

r2 = 3

r1 = 1

Por uma quest˜ ao de curiosidade observe que todos os planos (plano-linha, planocoluna ou plano-cota) resultam em em uma PA-2D. Por exemplo, para o plano k = 1, temos (p. 232) aij1 = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = −1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 Isto ´e, a f´ ormula do termo geral do plano k = 1 ´e aij1 = 3i + j − 5. Para o plano k = 2, temos aij2 = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 Isto ´e, a f´ ormula do termo geral do plano k = 2 ´e aij2 = 3i + j − 3. Veja,

1

2

4

5

7

11

8

13 0

3

6

9

10

12 −1

5

1

4

7

10

aij2 = 3i + j − 3

7

9

2

4

6

8

10

3

2

5

8

11

Isto pode ser provado (Exerc´ıcio).

343

aij1 = 3i + j − 5

7.3

F´ ormula do termo geral de uma PA-3D

De modo an´alogo ao que fizemos na PA-2D chegamos `a seguinte equa¸ca˜o para o c´ alculo dos termos de uma PA-3D. Teorema 47 (F´ ormula do termo geral de uma PA-3D). Na PA-3D em que o primeiro termo ´e a111 , a raz˜ ao das linhas ´e r1 , a raz˜ ao das colunas ´e r2 e a raz˜ ao das cotas ´e r3 o (i, j, k)-termo ´e: aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3

(7.1)

Prova: Indu¸ca˜o sobre k (i, j fixos). Para k = 1 precisamos mostrar que, aij1 = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (1 − 1) r3 De fato, para k = 1 a defini¸ca˜o torna-se a de uma PA-2D, o que significa que a equa¸ca˜o anterior ´e v´alida. Admitamos a validade da f´ormula para k = p: (H.I.) aijp = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (p − 1) r3 E provemos a validade da f´ormula para k = p + 1:

(T.I.)


aij(p+1) = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (p + 1) − 1 r3 Pela quarta equa¸ca˜o da defini¸ca˜o (p. 340), temos aij(p+1) = aij((p+1)−1) + r3 = aijp + r3 = [ a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (p − 1) r3 ] + r3
= a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (p − 1) + 1 r3


= a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (p + 1) − 1 r3

344



Exemplos: (a) Calcule os termos a222 , a323 e a343 da PA-3D em que a111 = −1, r1 = 1, r2 = 3 e r3 = 2. Solu¸ c˜ ao: Considere f´ ormula do termo geral, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 Substituindo os dados, aijk = −1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 + (k − 1) 2 Simplificando, aijk = 3i + j + 2k − 7 Sendo assim, temos, a222 = 3 · 2 + 2 + 2 · 2 − 7 = 5 a323 = 3 · 3 + 2 + 2 · 3 − 7 = 10 a344 = 3 · 3 + 4 + 2 · 4 − 7 = 14 Confira no diagrama a seguir, 5

6

8

9

11

14

12

15

9

16

8

7

r3 = 2

13 0

3

1

4

7

10

4

10

12

6

9

3

6

−1

5

12

9

2

9

2

↓

8

6

15

5

11

14

5

11

4

10

11

8

14 1

8

17

7

↓

13

7

↓

4

10

12

10 13

3

6

7

2

5

8

11

345

−1

r2 = 3

r1 = 1

(b) Obter a PA-3D em que a131 = 3, a123 = 8, a234 = 14, e a333 = 13. Solu¸ c˜ ao: Para obter a PA-3D ´e necess´ario encontrar a111 , r1 , r2 e r3 . Ent˜ ao, a131 = 3

⇒ a111 + (3 − 1) r1 + (1 − 1) r2 + (1 − 1) r3 = 3

a123 = 8

⇒ a111 + (2 − 1) r1 + (1 − 1) r2 + (3 − 1) r3 = 8

a234 = 14 ⇒ a111 + (3 − 1) r1 + (2 − 1) r2 + (4 − 1) r3 = 14 a333 = 13 ⇒ a111 + (3 − 1) r1 + (3 − 1) r2 + (3 − 1) r3 = 13 Simplificando temos o seguinte  1 2  1 1    1 2 1 2

sistema linear,  a111 0 0   0 2   r1  1 3   r2 r3 2 2





    =  

3 8 14 13

    

Resolvendo este sistema, encontramos, 10

11

12 14

16

17

18

11

10

12

9

↓

13 2

4

r3 = 3 1

3

5

7

9

7

11

12

6

8

6

10

3

7

14

8

1

5

12

5

9

10

16

7

11

9

11

15

6

10

ւ

↓

4

8

15 17

13

14

13

19 8

9

14

16

7

13

↓

13 15

12

4

r2 = 2

6

8

10

346

r1 = 1

(c) (FUVEST-SP) Os n´ umeros inteiros positivos s˜ao dispostos em “quadrados” da seguinte maneira: 1

2

3

10

11

12

19

4

5

6

13

14

15

7

8

9

16

17

18

··

··

··

··

··

··

·· ··

···

O n´ umero 500 se encontra em um desses “quadrados”. A “linha” e a “coluna” em que o n´ umero 500 se encontra s˜ao, respectivamente: a) 2 e 2

b) 3 e 3

c) 2 e 3

d) 3 e 2

e) 3 e 1

Solu¸ c˜ ao: Podemos considerar os quadrados como planos em uma PA-3D: 19 22 25

20 23

26

16

11 14 18

1

2 5

8

12 15

17

4 7

24 27

10 13

21

r3 = 9 3

1

r1 = 1

r2 = 3

6 9

Neste caso, temos, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 + (k − 1) 9 Logo, aijk = 3i + j + 9k − 12. Fazendo, 3i + j + 9k − 12 = 500

⇒

k=

512 − (3i + j) 9

Observe que 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3. A u ´nica combina¸ca˜o de i e j que produz k inteiro ´e i = j = 2. Para estes valores descobrimos ainda que o n´ umero 500 se encontra no “quadrado” (plano) de n´ umero k = 56.

347

A aplica¸c˜ ao MAP na HP Prime Vamos apresentar ao leitor uma importante fun¸ca˜o da HP Prime .

map Esta fun¸ca˜o faz um mapeamento de um vetor (ou lista) do dom´ınio de uma fun¸ca˜o. Exemplos: a) Consideremos a fun¸ca˜o dada por f (x) = x3 , temos: map([1, 2, 3], x → x3 )

d´ a

[1 8 27]

O interessante ´e que “concatenando” esta fun¸ca˜o podemos trabalhar com fun¸co˜es de duas vari´aveis. b) Consideremos a PA-2D que comparece na p´ agina 234, 5

6

7

8

9

...

4

5

6

7

8

...

3

4

5

6

7

...

2

3

4

5

6

...

1

2

3

4

5

...

........................... cuja f´ ormula do termo geral ´e, aij = −i + j + 5. Digitando a tela a seguir

dando Enter teremos a tela da direita. Nota: Caso tenha algum valor armazenado na vari´avel j n˜ ao vai funcionar, reset esta vari´avel, p. 493.

348

Aplicando novamente a fun¸ca˜o map ao resultado anterior, desta vez fazendo j variar,

obtemos a tela da direita. Agora basta tomar a transposta desta matriz, isto ´e feito com o comando transpose. Concatenando duas vezes a fun¸ca˜o map podemos obter uma matriz 3-D; o programa seguinte, 19 22 25

20 23

26

16

11 14 18

1

2 5

8

12 15

17

4 7

24 27

10 13

21

3 6

9

recebe uma PA-3D e sai com os trˆes primeiros planos. Na tela inferior temos uma simula¸ca˜o para a quest˜ ao da FUVEST. Nota: “duplicamos” os ´ındices por que estava dando problema.

349

Na figura seguinte adaptamos o programa anterior para sair com quatro planos de uma PA-3D, 5

6

8

9

11

14

12

15

16

10

17

11 15

6

9

2

8

9

13 1

4

7

10

7

0

3

6

4

10

12 −1

5

3

5

11

9

2

8

6

12

14

4

10

5

8

1

7

14

7

13

8

11

4

6

9

10 13

3

12

7

2

5

8

11

Na tela da direita fizemos uma simula¸ca˜o para a PA-3D da esquerda. Caso se queira ver a PA-3D plano a plano basta digitar o plano desejado, por exemplo, veja:

Ainda conseguimos introduzir uma melhoria no programa anterior.

350

O programa seguinte, 10

11

12 14

16

13 15

17

18

12

19

13 16

8

10

3

7

8

13 3

5

7

9

9

2

4

6

7

11

12 1

5

6

7

11

12

5

9

10

14

15

6

10

9

11

4

8

17

10

14

13

15

8

9

11

14 16

7

13

12

4

6

8

10

sai com uma PA-3D plano a plano, em uma lista.

7.3.1

Propriedades numa PA-3D

Decorrem da f´ ormula do termo geral de uma PA-3D, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 as seguintes propriedades:

(exerc´ıcio)

P1) Qualquer plano (linha, coluna ou plano cota) em uma PA-3D resulta em progress˜ao aritm´etica plana.

− Plano-linha

− Plano-coluna

351

− Plano-cota

P2) Em uma PA-3D o plano cota k = p est´ a em PA-2D de primeiro termo a11p e raz˜ oes r1 e r2 .

10

11

12 14

16

13 15

17

18

12

19

13

10

8

2

3

5

7

9

9

11

4

6

7

13

1

7

6

8

12

3

a11p r1 r2

5

9

5

12

16

7

11

10

14

15

6

8

9

11

4

10

17

10

14

13

15

8

9

11

14 16

7

13

12

4

6

− Plano-cota

8

10

P3) Em uma PA-3D de base quadrada o plano diagonal principal est´ a em PA-2D de primeiro termo a111 e raz˜ oes r1 + r2 e r3 .

r3 a111

r1 + r2

− Plano P.D.P. 352

P4) Em uma PA-3D de base quadrada o plano diagonal secund´ario est´ a em PA-2D de primeiro termo a1N 1 e raz˜ oes r2 − r1 e r3 .

r3

r2

− r1

a1N 1

− Plano P.D.S. P5) Dado qualquer “paralelep´ıpedo” em uma PA-3D, a soma dos termos das arestas verticais opostas de um dos planos diagonais ´e igual a soma dos termos das arestas verticais opostas do outro plano diagonal. Veja um exemplo: 6

8

9

11 5

12

14

11

13

13

↓

16 12

10

15 11

9

↑

15 9

12

8

12 6

7

9

14

13

11

16 10

4

10

13 7

8

↓

10

11

↑ 12

14

14

No paralelep´ıpedo em destaque na figura da direita, temos: (11 + 16) + (10 + 15) + (9 + 14) = (12 + 11) + (13 + 12) + (14 + 13)

Esta propriedade ´e decorrˆencia da propriedade P2 das PA-2D (p. 238) e do fato de que todo plano-cota ´e uma PA-2D.

353

7.4

Soma dos termos de uma PA-3D

Vamos deduzir uma f´ ormula para calcular a soma Si×j×k dos i×j×k “primeiros” termos de uma PA-3D. Teorema 48 (Soma dos termos de uma PA-3D). Em uma PA-3D a soma Si×j×k dos i × j × k termos iniciais vale Si×j××k =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 ] i × j × k 2

(7.2)

Prova: Somaremos plano a plano os termos da PA-3D. Utilizaremos a f´ormula da soma dos termos de uma PA-2D uma vez que, segundo propriedade vista, todos os planos de uma PA-3D est˜ ao em PA-2D. Nota: Si×j p ´e a soma dos i × j termos iniciais do plano p.

a11p r 1 r2

− Plano-cota Plano k = 1. Neste caso temos: a111

r1

r2

Si×j 1 =

[ 2a111 + (j−1) r1 + (i−1) r2 ] i×j 2

Si×j 2 =

[ 2a112 + (j−1) r1 + (i−1) r2 ] i×j 2

Plano k = 2. Neste caso temos: a112

r2

r1

354

Plano k = k. Neste caso temos: a11k

r1

Si×j k =

r2

[ 2a11k + (j−1) r1 + (i−1) r2 ] i×j 2

Resumindo, temos k igualdades a serem somadas, veja: Si×j 1 =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Si×j 2 =

[ 2a112 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

............................................. Si×j k =

[ 2a11k + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Sendo assim, temos

Si×j×k = 2(a111 + a112 + · · · + a11k )

i×j i×j + k [ (i − 1) r2 + (j − 1) r1 ] 2 2

Pela f´ ormula de recorrˆencia da PA-3D (p. 340) concluimos no primeiro parenteses acima temos a soma dos k termos iniciais da P.A. de primeiro termos a111 e raz˜ ao r3 ; logo, k(k − 1) r3 Sk = k a111 + 2 Portanto,  k(k − 1) r3  i × j i×j Si×j×k = 2 k a111 + + k [ (i − 1) r2 + (j − 1) r1 ] 2 2 2

Simplificando,

Si×j×k =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 ] i × j × k 2 

Corol´ ario 11. Em toda PA-3D tem-se:

Si×j×k =

(a111 + aijk ) i × j × k 2

´ uma consequˆencia das f´ Prova: E ormulas, (7.1), p. 344; (7.2), p. 354.

355

(7.3)



Exemplos: (a) Calcule S2×2×3 para a PA-3D dada por a111 = 4, r1 = 2, r2 = 3 e r3 = 1. Solu¸ c˜ ao: Calcularemos de dois modos, temos:

Si×j×k =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 ] i × j × k 2

S2×2×3 =

[ 2 · 4 + (2 − 1) 2 + (2 − 1) 3 + (3 − 1) 1 ] 2 × 2 × 3 = 90 2

Na outra alternativa, temos: Si×j×k =

(a111 + aijk ) i × j × k 2

S2×2×3 =

(4 + a223 ) 2 × 2 × 3 2

Na f´ ormula do termo geral temos, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 a223 = 4 + (2 − 1) 2 + (2 − 1) 3 + (3 − 1) 1 = 11 Substituindo, obtemos S2×2×3 = 90. Ao calcularmos S2×2×3 estamos somando, simultaneamente, todos os n´ umeros dentro do “volume” 2 × 2 × 3. No caso do exemplo em quest˜ ao, observe geometricamente:

6

8

10

S2×2×3 9

11 5

12

14

11

9

16

13

7

8

8

15 9

12

11 5

12 6

7

8

9

10 4

10

13 7

8

6

7

14

356

10 4

11

6

9

(b) Calcule o somat´orio triplo abaixo: 2 2 X 3 X X

k=1 j =1 i=1

(3 i + j + 9 k − 12)

Solu¸ c˜ ao: Fa¸camos aijk = 3 i + j + 9 k − 12. Vamos usar a equa¸ca˜o, Si×j×k =

(a111 + aijk ) i × j × k 2

Ent˜ ao, a111 = 3 · 1 + 1 + 9 · 1 − 12 = 1 e a322 = 3 · 3 + 2 + 9 · 2 − 12 = 17 Logo, S3×2×2 =

(1 + 17) 3 × 2 × 2 = 108 2

Portanto,

Generalizando o resultado anterior, para: S =

p n X m X X

(a i + b j + c k + d)

k=1 j =1 i=1

temos, S =

[ (m + 1) a + (n + 1) b + (p + 1) c + 2d ] m × n × n × p 2

357

7.5

Lineariza¸ c˜ ao de sequˆ encias triplas

A exemplo do que foi feito para as sequˆencias duplas, tamb´em ´e de interesse linearizar uma sequˆencia tripla. c˜ ao de uma sequˆencia tripla, limitada em linhas O que chamamos de lineariza¸ e colunas, ´e o procedimento de transform´a-la em uma sequˆencia simples (an ), colocando as linhas plano a plano, uma ap´os a outra. Nota: Sempre que falarmos em lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia tripla fica subentendido que a mesma tem M linhas e N colunas (ordem M × N × ∞). Exemplo: Linearizar a sequˆencia tripla abaixo (M = N = 3):

a113

a123

a213

a133

a223 a112

a233 a122

a313

a323

a132 a333

a212

a222 a111

a232 a121

a312

a322

a131 a332

a211

a221

a311

a231

a321

a331

Solu¸ c˜ ao: Basta escrever uma linha ap´os a outra, assim: a111

a121

a131

a211

a221

a231

a311

a321

a331

...

a112

a122

a132

a212

a222

a232

a312

a322

a332

...

a113

a123

a133

a213

a223

a233

a313

a323

a333

...

Observe o leitor que a segunda linha no diagrama acima vem logo ap´os a primeira, e a terceira logo ap´os a segunda.

358

7.6

Equa¸c˜ oes de lineariza¸ c˜ ao

No estudo da lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia tripla surgem dois problemas a serem resolvidos: 1 o ) Dada a posi¸ca˜o (i, j, k) de um termo qualquer na sequˆencia tripla determinar sua posi¸ca˜o n na sequˆencia linearizada; e, inversamente: 2 o ) Dada a posi¸ca˜o n de um termo na sequˆencia linearizada, determinar sua localiza¸ca˜o (i, j, k) na sequˆencia tripla. Vamos resolver o primeiro problema, inicialmente para a sequˆencia tripla do exemplo anterior (M = N = 3). Seja a sequˆencia linearizada do u ´ltimo exemplo. Colocando um u ´nico ´ındice, temos: a111 a1

a121 a2

a131 a3

a211 a4

a221 a5

a231 a6

a311 a7

a321 a8

a331 a9

...

a112 a10

a122 a11

a132 a12

a212 a13

a222 a14

a232 a15

a312 a16

a322 a17

a332 a18

...

a113 a19

a123 a20

a133 a21

a213 a22

a223 a23

a233 a24

a313 a25

a323 a26

a333 a27

...

Queremos colocar os ´ındices simples n em fun¸ca˜o dos ´ındices triplos (i, j, k); isto ´e, procuramos uma fun¸ca˜o n = f (i, j, k). Para isto coloquemos os ´ındices simples numa matriz 3 × 3 × 3, da seguinte forma:

19

20

22

21

23 10

25

24 11

26 13

12

27 14

1

15 2

3 3×3

16

17 4

18 5

6 1

7

8

9

359

3

1

Assim, obtivemos uma PA-3D cujos termos em fun¸ca˜o de i, j e k, valem: n = f (i, j, k) = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 + (k − 1) 3 × 3 = 3(i − 1) + j + 9(k − 1) Para o caso geral em que a sequˆencia tripla ´e de ordem M × N × ∞, o leitor n˜ ao ter´ a dificuldade em ver que os ´ındices n podem ser dispostos segundo a PA-3D abaixo: M ×N 1

1

N Desta forma, temos: n = f (i, j, k) = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) N + (k − 1) M × N Portanto, n = aijk = N (i − 1) + j + M N (k − 1)

360

(7.4)

Exemplos: (a) Linearizando-se uma sequˆencia tripla de ordem 4 × 4 × ∞, qual a nova posi¸ca˜o ocupada pelos termos a222 , a323 e a344 ?. Solu¸ c˜ ao: Para M = N = 4, temos, n = N (i − 1) + j + M N (k − 1) = 4(i − 1) + j + 4 · 4 (k − 1) Simplificando, n = 4 i + j + 16 k − 20 Logo, a222

⇒ n = 4 · 2 + 2 + 16 · 2 − 20 = 22

a323

⇒ n = 4 · 3 + 2 + 16 · 3 − 20 = 42

a344

⇒ n = 4 · 3 + 4 + 16 · 4 − 20 = 60

Interprete estes resultados para a sequˆencia tripla a seguir: 5

6

8

9

11

14

12

15

9

16

11

11

2

6

9

r3 = 2

13 1

4

7

10

7

0

3

6

4

10

12 −1

8

3

9

2

9

12

5

8

6

15

↓

4

5

5

8

14 1

10

14

17

7

↓

13

7

↓

8

11

4

10

12

10 13

3

6

7

2

5

8

11

361

−1

r2 = 3

r1 = 1

(b) Na lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia tripla com N colunas, mostre que as posi¸co˜es dos N “primeiros termos” (isto ´e, os termos da primeira linha) coincidem na sequˆencia tripla e na sequˆencia simples. Solu¸ c˜ ao: Os N primeiros termos possuem coordenadas (1, n, 1), s˜ao os termos a1n1 (n = 1, 2, . . . , N ). Ent˜ ao, a1n1

⇒ n = f (1, n, 1) = N (1 − 1) + n + M N (1 − 1) = n

Agora temos o segundo problema a resolver: Dada a posi¸ca˜o n de um termo na sequˆencia linearizada, determinar sua localiza¸ca˜o (i, j, k) na sequˆencia tripla. Precisamos determinar os ´ındices i, j e k em fun¸ca˜o de n. Isto ´e, procuramos fun¸co˜es f1 , f2 e f3 tais que, i = f1 (n),

j = f2 (n)

e

k = f3 (n)

Para resolver este problema consideremos as trˆes restri¸co˜es seguintes:

Ent˜ ao,

  1≤i≤M   1≤j≤N     n = N (i − 1) + j + M N (k − 1)

(III)

⇒

N i + j = n + N − M N (k − 1)

(I) (II) (III) (III)

′

Tamb´em, N · (I) + (II)

⇒

N + 1 ≤ Ni + j ≤ MN + N

(IV)

Substituindo (III)′ em (IV), resulta: N + 1 ≤ n + N − M N (k − 1) ≤ M N + N Simplificando esta inequa¸ca˜o, encontramos: n MN − 1 n ≤k≤ + MN MN MN A dupla desigualdade acima ´e idˆentica a` inequa¸ca˜o (5.6) (p. 250) e, portanto, tem como solu¸ca˜o: j n−1 k k= +1 MN Encontrado o valor de k, devemos agora determinar i e j. Ent˜ ao, j = n − N (i − 1) − M N (k − 1) substituindo em (II), temos 1 ≤ n − N (i − 1) − M N (k − 1) ≤ N simplificando, n − M N (k − 1) + N − 1 n − M N (k − 1) ≤i≤ N N

362

para resolver esta equa¸ca˜o fa¸camos n − M N (k − 1) = P ent˜ ao,

P N −1 P ≤i≤ + N N N Observe que P ´e um inteiro n˜ ao negativo (natural). De fato,

Logo,

jn−1k n−1 jn−1k ⇒ n − 1 ≥ MN ≥ MN MN MN n ≥ MN

Portanto,

jn−1k MN

+ 1 = M N (k − 1) + 1

n − M N (k − 1) = P ≥ 1 Isto nos autoriza a usar mais uma vez a solu¸ca˜o da inequa¸ca˜o (5.6) (p. 250) para obter: jP −1k +1 i= N Desta forma a solu¸ca˜o final do nosso problema fica assim: j k  n−1  k = +1  MN      j k P −1 (7.5) i = + 1, onde P = n − M N (k − 1) N        j = P − N (i − 1) Nota: No apˆendice demonstramos que as equa¸co˜es da lineariza¸ca˜o est˜ ao corretas.

363

Exemplo: Considere a sequˆencia dos n´ umeros ´ımpares, 1

3

5

7

9

11

13

15

17

...

armazenando esta sequˆencia em uma PA-3D de ordem 3 × 3 × ∞ encontre a nova posi¸ca˜o ocupada pelos ´ımpares 13, 27 e 51. Solu¸ c˜ ao: Substituindo M = N = 3 nas equa¸co˜es da lineariza¸ca˜o, temos: k j  n−1  +1 k =  3·3      k j P −1 + 1, onde P = n − 3 · 3(k − 1) i = 3        j = P − 3(i − 1) Necessitamos encontrar a posi¸ca˜o n de cada um dos termos na sequˆencia dada por an = 2n − 1. Ent˜ ao, 13 ⇒ 13 = 2n − 1 ⇒ n = 7; 27 ⇒ 27 = 2n − 1 ⇒ n = 14; 51 ⇒ 51 = 2n − 1 ⇒ n = 26 Sendo assim, temos j k  7−1  k = +1  9      j k P −1 n=7 ⇒ i = + 1, 3        j = P − 3(i − 1) j k  14−1  k = +1  9      k j P −1 n = 14 ⇒ + 1, i = 3        j = P − 3(i − 1) j k  26−1  k = +1  9      j k P −1 n = 26 ⇒ i = + 1, 3        j = P − 3(i − 1)

onde P = 7 − 9(k − 1)

 k=1    ⇒ i=3    j=1

onde P = 14 − 9(k − 1)

 k=2    ⇒ i=2    j=2

onde P = 26 − 9(k − 1)

 k=3    ⇒ i=3    j=2

364

Resumindo, os ´ımpares 13, 27 e 51 ocupar˜ao na PA-3D as seguintes posi¸co˜es, (i, j, k) = (3, 1, 1);

(i, j, k) = (2, 2, 2);

(i, j, k) = (3, 2, 3)

respectivamente. Observe isto na “pr´ atica”,

37 43 49

39 45

51

31

21 27

33

↑

1 7 13

47 53

↑ 19 25

23 29

35 3

9 15

41

5 11

17

↑ Aproveitamos o espa¸co sobrando na figura acima para fornecer um programa que implementa as equa¸co˜es da lineariza¸ca˜o; na tela inferior resolvemos o exemplo em quest˜ ao. Exemplo: Como mais um exemplo de aplica¸ca˜o das equa¸co˜es de lineariza¸ca˜o, podemos resolver a quest˜ ao da FUVEST-SP, p. 347. Naquela quest˜ ao temos: M = N = 3 e n = 500. j k  n−1  k = +1  MN      k j P −1 + 1, onde P = n − M N (k − 1) i = N        j = P − N (i − 1) Ent˜ ao,

k j  500−1  + 1 = 56 k =  3·3      j k 5−1 i = + 1 = 2, 3        j = 5 − 3(2 − 1) = 2

onde P = 500 − 3 · 3(56 − 1) = 5

365

ˆ ˜ UM DESAFIO AOS ESTUDANTES DE CIENCIA DA COMPUTAC ¸ AO

Desafio: Desejamos armazenar termos de uma sequˆencia em uma matriz 3 -D. Fa¸ca um programa que recebe como entradas a f´ormula do termo geral da sequˆencia e as dimens˜oes M × N × P da matriz. O programa deve sair com uma matriz 3 -D contendo os M · N · P primeiros termos da sequˆencia. Exemplo: Suponhamos que desejamos guardar os n´ umeros ´ımpares, 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

...

em uma matriz de dimens˜oes 3×3×4. Devemos fornecer ao programa: an = 2n−1, M = 3, N = 3, P = 4. Na saida do programa deveremos ter a seguinte matriz: 55 61 67

57 63

69

49

45

13

21

23 29

33

35

1

3 9

15

41 47

27

7

⇐⇒

53

19 25

⇐⇒

39

51

31

65 71

37 43

59

5 11

17

Nota: Resolvi este Desafio na Calculadora HP Prime. Nas telas `a direita temos trˆes simula¸co˜es do meu programa. Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa Vista-RR/09.07.2016

366

Como resolvemos o Desafio anterior Resolvemos com o programa ` a direita a seguir,

que ´e uma adapta¸ca˜o do programa dado na p´ agina 351 (esquerda acima). Na f´ormula do termo geral da sequˆencia , an , substituimos n pelo n dado na equa¸ca˜o (7.4) (p. 360), este: n = N (i − 1) + j + M N (k − 1)

Progress˜ ao aritm´ etica 4-D Vamos falar, sem muitas considera¸co˜es, sobre a progress˜ao aritm´etica em dimens˜ao 4 ( PA-4D). A f´ ormula do termo geral de uma PA-4D ´e dada por: aijkl = a1111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 + (l − 1) r4 onde l denota o hiperplano ao qual o elemento pertence. Para melhor entendimento, observe a figura seguinte: r4

r4

l=1

l=2

l=3

r3 r1

···

a1111

r2 Onde cada um destes bloquinhos ´e uma PA-3D de raz˜ oes r1 , r2 e r3 , infinitos nas trˆes dire¸co˜es. l = 1 ´e o hiperplano 1, l = 2 ´e o hiperplano 2, etc. Observe que a diferen¸ca entre termos de mesma posi¸ca˜o entre hiperplanos consecutivos ´e r4 .

367

Podemos linearizar uma sequˆencia de 4 a dimens˜ao se esta for limitada em linhas colunas e planos (isto ´e, se cada um dos bloquinhos acima ´e limitado), neste caso devemos ter, 1 ≤ i ≤ M,

1≤j≤N

1≤k≤Q

Seguindo os mesmos passos dos casos anteriores (lineariza¸ca˜o de sequˆencias duplas e triplas), obtemos as seguintes equa¸co˜es: n = f (i, j, k, l) = N (i − 1) + j + M N (k − 1) + M N Q (l − 1) onde,  j n−1 k  l = +1    MNQ     jP −1k     + 1, k= MN  j P′ − 1 k     + 1, i =   N       j = P ′ − N (i − 1)

(7.6)

onde P = n − M N Q(l − 1) onde P ′ = n − M N (k − 1) − M N Q(l − 1)

Como exemplo de aplica¸ca˜o das equa¸co˜es anteriores, consideremos a seguinte sequˆencia (simples) 0

1

2

3

6

7

8

9

18

19

20

21

24

25

26

27

54

55

56

57

60

61

62

63

72

73

74

75

78

79

80

81

Observamos que nesta sequˆencia a segunda linha vem logo ap´os a primeira. A sequˆencia anterior pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte progress˜ao aritm´etica em dimens˜ao 4, veja: r4 = 54 18

24

19

25 0

6

20

26 1

7

21

27 2

8

72

78 3

73

79 54

9

60

368

74

80 55

61

75

81 56

62

57

63

Temos neste exemplo uma PA-4D limitada em linhas (M = 2), limitada em colunas (N = 4), limitada em planos (Q = 2) e limitada em hiperplanos (dois hiperplanos), assim:

r3 = 2 · 3

r4 = 2 · 33

2

M = 2, N = 4, Q = 2

0

r1 = 1

r2 = 2 · 31 Observe que a “distˆ ancia” de cada termo no primeiro bloco para o termo de posi¸ca˜o correspondente no segundo bloco ´e r4 = 54. Vamos obter o n-´esimo termo da sequˆencia simples. Ent˜ ao, l−1= e

j n−1 k j n−1k = 2·4·2 16

P = n − M N Q(l − 1) = n − 2 · 4 · 2(l − 1) e k−1= simplificando,

j P − 1 k j n − 2 · 4 · 2(l − 1) − 1 k = MN 2·4 k−1=

Tamb´em,

j n−1 k 8

− 2(l − 1)

P ′ = n − M N (k − 1) − M N Q(l − 1) = n − 2 · 4(k − 1) − 2 · 4 · 2(l − 1) = n − 8(k − 1) − 16(l − 1) Ainda, i−1=

j P′ − 1 k

=

j n − 8(k − 1) − 16(l − 1) − 1 k

i−1=

j P′ − 1 k

=

j n−1k

simplificando,

Por u ´ltimo,

N

N

4

4

− 2(k − 1) − 4(l − 1)

j = P ′ − N (i − 1) = n − 8(k − 1) − 16(l − 1) − 4(i − 1)

369

Temos, a(n) = aijkl = a1111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 + (l − 1) r4 = 0 + (j − 1) 1 + (i − 1) 6 + (k − 1) 18 + (l − 1) 54 = (j − 1) + 6(i − 1) + 18(k − 1) + 54(l − 1) fazendo as devidas substitui¸co˜es, resulta: a(n) = n − 1 + 2

jn−1k 4

+6

v´alida para n = 1, 2, . . . , 24+1 .

370

jn−1k 8

+ 18

jn−1k 16

7.7

Soma em uma sequˆ encia linearizada

Agora deduziremos uma f´ ormula para a soma Sn dos n termos iniciais de uma sequˆencia linearizada (oriunda de uma PA-3D), conhecidos a1 , r1 , r2 , r3 , M e N . ← plano k

r3 r1 a1 r2

M N

O n-´esimo termo, an , da sequˆencia linearizada estar´ a ocupando na PA-3D a posi¸ca˜o (i, j, k) dada por, (eq. (7.5), p. 363) j k  n−1  k = +1  MN      k j P −1 + 1, i = N        j = P − N (i − 1)

onde P = n − M N (k − 1)

Sendo assim, temos:

S(n) = SM ×N ×(k−1) + S(i−1)×N k + Sijk onde: Si×j k = soma dos i × j termos do plano k. Sijk = soma dos j termos iniciais da linha i, do plano k. Observe a figura seguinte: Plano k j .. .. .. .. .. .. .. . . . .. .. .. . . .. i−1 .. . i an = aijk ր ai1k ··· ··· ··· ··· ··· ··· ··· ···

371

Ent˜ ao,

Sendo,

 [ 2a111 + (N −1) r1 + (M−1) r2 + (k−2) r3 ] M×N ×(k−1)  SM ×N ×(k−1) =  2      [ 2a11k + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N S(i−1)×N k = 2        j(j−1) r1 Sijk = jai1k + 2 S(n) = SM ×N ×(k−1) + S(i−1)×N k + Sijk

(7.7)

Defini¸ c˜ ao 21. Dizemos que uma sequˆencia simples ´e equivalente a uma PA-3D quando existe uma PA-3D (com N colunas e M linhas) que ao ser linearizada coincide com a sequˆencia simples. Exemplo: A sequˆencia dos n´ umeros ´ımpares positivos, sem os m´ ultiplos de 5, isto ´e, 1

3

7

9

11

13

17

19

21

23

27

29

...

´e equivalente a uma PA-3D,

31

33

21

23

11

13

r3 = 10 37 27

39 1

29

1 r2 = 6

17

19

7

9

r1 = 2

3

372

M = 2, N = 2

Teorema 49. Toda progress˜ao aritm´etica ´e equivalente a uma PA-3D com um n´ umero M de linhas e um n´ umero N de colunas arbitr´arios. Prova: J´a vimos que uma P.A. pode ser escrita como (ou ´e equivalente) `a seguinte PA-2D: a1

a1 + r

...

a1 + (N − 1)r

a1 + N r

a1 + (N + 1)r

...

a1 + (2N − 1)r

a1 + 2N r

a1 + (2N + 1)r

...

a1 + (3N − 1)r

...................................................................

a11 = a1

r1 = r

r2 = N r

Afirmamos que a seguinte PA-3D, r3 = M r2 a1111 = a1

r1 = r

r2 = N r com M arbitrariamente fixado, ao ser linearizada, coincide com a P.A. original. De fato, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = a1 + (j − 1) r + (i − 1) N r + (k − 1) M N r = a1 + [ (j − 1) + N (i − 1) + M N (k − 1) ] r j´a vimos que,

(p. 360) (j − 1) + N (i − 1) + M N (k − 1) = n − 1

Portanto, an = a1 + (n − 1) r.



373

Exemplo: A sequˆencia dos naturais, 1, 2, 3, . . ., ´e equivalente a seguinte PA-3D (escolhendo M = N = 3): 19

20

22

23

24

10

25

11

26 13

27 15 2

17 4

7

12

14 1

16

21

3 18

5

6

8

9

Sendo assim, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = a1 + (j − 1) r + (i − 1) N r + (k − 1) M N r = 1 + (j − 1) 1 + (i − 1) 3 · 1 + (k − 1) 3 · 3 · 1 simplificando, n(i, j, k) = 3i + j + 9k − 12 Esta f´ ormula gera o “cubo” acima, de dimens˜oes 3 × 3 × ∞, para 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3

e

k = 1, 2, 3, . . .

Por exemplo, k = 2 ⇒ n(i, j, k) = 3i + j + 6 gera o segundo plano-cota, para 1 ≤ i, j ≤ 3.

374

Ademais, utilizando o programa do Desafio (p. 366), nas telas a seguir temos duas simula¸co˜es para os naturais,

Generalizando, n˜ ao ´e dif´ıcil mostrar que uma P.A. ´e equivalente a uma progress˜ao aritm´etica de qualquer dimens˜ao; em outras palavras, podemos “transportar” uma P.A. para qualquer dimens˜ao.

Planifica¸c˜ ao de uma sequˆ encia 3D Podemos, alternativamente, armazenar uma sequˆencia 3D (com M linhas e N colunas) em uma matriz colocando todos os planos (k = 2, 3, . . .) um ap´os o outro na vertical. Por exemplo, planificar a sequˆencia 3D seguinte (na qual M = N = 2):

a113

a213

a123

a112

a212

a122

a222 a111

a211

⇐⇒

a223

a121

a221

375

a111

a121

a211

a221

a112

a122

a212

a222

a113

a123

a213

a223

a114

a124

a214

a224

...

...

Devemos determinar a posi¸ca˜o (i′ , j ′ ) dos termos na sequˆencia 2D em fun¸ca˜o da posi¸ca˜o (i, j, k) dos termos na sequˆencia 3D. De in´ıcio observamos que j ′ = j, e assim precisamos determinar apenas i′ = i′ (i, j, k). Para obter i′ faremos o seguinte artif´ıcio: primeiramente linearizamos a sequˆencia 3D, obtendo, como j´a vimos (p. 360), n = aijk = N (i − 1) + j + M N (k − 1) Agora planificamos esta sequˆencia linearizada, obtendo (ver eq. (5.7), 250), i′ = Portanto, i′ − 1 = Simplificando,

j n−1 k N

+1

j N (i − 1) + j + M N (k − 1) − 1 k N

i′ − 1 = (i − 1) + Observe que, 1≤j≤N ⇒ 0≤

j j−1k N

+ M (k − 1)

j j−1 k j−1 =0 ≤1 ⇒ N N

Logo, i′ = i + M (k − 1). Isto ´e, o termo de posi¸ca˜o (i, j, k) ocupar´a, ap´os a planifica¸ca˜o, a posi¸ca˜o (i′ , j ′ ) dada por, (i′ , j ′ ) =

i + M (k − 1), j




(7.8)

Observe que quando k = 1 teremos i′ = i + M (1 − 1) = i; isto ´e, as posi¸co˜es dos termos do plano k = 1 coincidem na sequˆencia 3D e em sua planifica¸ca˜o. Nas telas a seguir utilizamos a equa¸ca˜o (7.8) para “planificar” uma sequˆencia 3D,

Devemos fornecer a sequˆencia 3D em uma lista, plano a plano. Veja um exemplo na figura da direita.

376

Teorema 50. Ao planificarmos uma PA-3D com M linhas a sequˆencia dupla resultante estar´ a em PA-2D se r3 = M r2 . Prova: Temos, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 devemos ter ai′ j = aijk . Para mostrar que a sequˆencia dupla resultante (ai′ j ) estar´ a em PA-2D ´e suficiente mostrar que, fixada uma coluna qualquer, a diferen¸ca entre dois termos consecutivos ´e constante e igual `a raz˜ ao das linhas, isto ´e, ai′ j − a(i′ −1) j = r2 De fato, j´ a vimos que i′ = i + M (k − 1), logo, k = ai′ j = aijk = a

ij(

i′ − 1 +1) M

= a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + Ademais, a(i′ −1) j = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + sendo assim, temos, ai′ j − a(i′ −1) j = Observe que

1 M

i′ − 1 + 1. Ent˜ ao, M

 i′ − 1  + 1 − 1 r3 M   i′ − 1 − 1 + 1 − 1 r3 M

1 r M 3

r3 = r2 ⇔ r3 = M r2 .



Exemplo:

7

9

8

10 4

6

5

r3 = 3

7 1

M = 2, N = 2

2

1 r2 = 2

3

4

377

r1 = 1

Temos, r3 = 3 6= M r2 = 2 × 2 = 4. Logo, a PA-3D ao ser planificada, n˜ ao resulta em PA-2D, veja: 1

2

3

4

4

5

6

7

7

8

9 ...

10 ...

Observe que ao planificarmos uma PA-3D qualquer, n˜ ao podemos usar a f´ ormula aij da PA-2D, pois n˜ ao se sabe, a priori, se a sequˆencia dupla resultante estar´ a em PA-2D. O certo ´e que conhecemos a posi¸ca˜o (i, j, k) do termo e seu valor aijk , pegamos este valor e armazenamos na posi¸ca˜o (i′ , j ′ ) da sequˆencia dupla. A exemplo do que definimos para a PA-2D dizemos que uma PA-3D ´e irredut´ıvel quando, ao ser planificada (linearizada), a sequˆencia dupla (simples) resultante n˜ ao ´e uma PA-3D (P.A.). Exemplo: A sequˆencia dos n´ umeros ´ımpares positivos, sem os m´ ultiplos de 5, isto ´e, 1

3

7

9

11

13

17

19

21

23

27

29

...

montamos a seguinte PA-3D, 31

33

21

23

11

13

r3 = 10 37 27

39 1

29

1 r2 = 6

17

19

7

9

r1 = 2

3

M = 2, N = 2

Temos, r3 = 10 6= M r2 = 2 × 6 = 12. Isto significa que, ao planificarmos esta PA-3D, n˜ ao obteremos uma PA-2D; isto ´e, temos uma PA-3D irredut´ıvel (a uma PA-2D).

378

Proposi¸ c˜ ao 9. Uma PA-3D ao ser linearizada estar´ a em progress˜ao aritm´etica se r2 = N r1 e r3 = M r2 . Prova: Temos, aijk = a(n) = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) N r1 + (k − 1) M N r1 = a111 + [ (j − 1) + (i − 1) N + (k − 1)M N ] r1 = a111 + (n − 1) r1  Conclus˜ ao: Toda progress˜ao aritm´etica em dimens˜ao p ´e equivalente a uma outra em dimens˜ao p + 1. A reciproca desta afirma¸ca˜o ´e falsa.

7.8

Aplica¸ c˜ oes da lineariza¸ c˜ ao

Agora faremos algumas aplica¸co˜es da lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia 3D com vistas a mostrar a potˆencia deste conceito − al´em das aplica¸co˜es j´a vistas. Primeira aplica¸ c˜ ao: Considere a sequˆencia dos n´ umeros ´ımpares, retire desta sequˆencia todos os m´ ultiplos de p (p ≥ 3 ´ımpar arbitrariamente fixado). Encontre uma f´ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia resultante. Solu¸ c˜ ao: Vamos resolver o problema inicialmente para p = 3. Ent˜ ao, 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

retirando os m´ ultiplos de 3, temos: 1

5

7

11

13

17

19

23

...

Esta sequˆencia pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-3D, .. . .. .

19

23

13

17

7

11

1

r3 = 6 1

r1 =?

r2 = 4 M = 2, N = 1

5

379

...

Ent˜ ao, considere a equa¸ca˜o (7.5) (p. 363), j k  n−1  k = +1  2·1      j k P −1 i = + 1, onde P = n − 2 · 1(k − 1) 1        j = P − 1 · (i − 1) Temos, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (1 − 1) r1 + (i − 1) 4 + (k − 1) 6 = 1 + 4(i − 1) + 6(k − 1) logo,

jP −1k jn−1 k +6 1 2·1 Fazendo as simplifica¸co˜es apropriadas, resulta: a(n) = 1 + 4

a(n) = 4n − 2

jn−1k 2

−3

Na tela a seguir programamos a equa¸ca˜o (7.5) (p. 363),

na tela da direita resolvemos o exemplo em quest˜ ao. Observe que o valor de r1 ´e irrelevante, no programa entramos com r1 = 0. Ap´os pedir para simplificar obtivemos,   jn−1k jn−1k a(n) = 6 +4 n−2 −1 +1 2 2 Utilizando a propriedade:

(prop. 6, p. 181)

⌊x + m⌋ = ⌊x⌋ + m, para todo m ∈ Z confirmamos facilmente nosso resultado.

380

Observe que, alternativamente, poderiamos ter adotado a seguinte PA-3D: .. .

.. . 19

23

r3 = 6 13

17

1 7

r1 = 4

11

r2 =? 1

5

M = 1, N = 2

onde r2 ´e indeterminado (pode assumir qualquer valor), em particular podemos tomar r2 = 6; obtendo r3 = 6 = M r2 = 1 · 6. Isto significa que a PA-3D anterior pode ser planificada, resultando em uma PA-2D. De outro modo: podemos, alternativamente, resolver o problema via PA-2D. Planificando a PA-3D, temos:

1

5

7

11

13

17

19

23

a11 = 1

r1 = 4

N =2 r2 = 6

........ Ent˜ ao, a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 1 + (j − 1) 4 + (i − 1) 6 Onde,

(eq. (5.7), p. 250)   n−1   i= N +1  

j=n − N

 n−1 

  n−1   +1 i= 2

⇒

 

N

Fazendo as substitui¸co˜es, temos a(n) = 4n − 2

jn−1k

381

2

j=n − 2

−3

 n−1  2

Agora vamos esbo¸car o problema para p = 5. Ent˜ ao seja, 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

...

retirando os m´ ultiplos de 5, temos: 1

3

7

9

11

13

17

19

21

23

27

...

Esta sequˆencia pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-3D, 21

27

23

29 11

17

M = 2, N = 2

13

r3 = 10

19 1

3

1 r2 = 6

7

Ent˜ ao,

Temos,

9

k j  n−1  +1 k =  2·2      k j P −1 + 1, i = 2        j = P − 2 · (i − 1)

onde P = n − 2 · 2(k − 1)

aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (j − 1) 2 + (i − 1) 6 + (k − 1) 10 Fazendo as substitui¸co˜es e devidas simplifica¸co˜es, resulta: a(n) = 2n − 1 + 2

jn−1k 2

Resumindo − e generalizando − temos:

382

−2

jn−1k 4

r1 = 2

r3 = 6 p=3

1

r1 =?

M ×N =2×1

r2 = 4

r3 = 10 p=5

1

r1 = 2

M ×N =2×2

r2 = 6

r3 = 14 p=7

1

r1 = 2

M ×N =2×3

r2 = 8

r3 = 18 p=9

1

r1 = 2

M ×N =2×4

r2 = 10 .. .

.. .

r3 = 2p p

1

r1 = 2

r2 = p + 1

383

M ×N =2×

p−1 2

Para o caso geral, temos:

r3 = 2p 1

M ×N =2×

r1 = 2

p−1 2

r2 = p + 1 Ent˜ ao,

Temos,

j k   k = n−1 +1  p−1      k j P −1 i = (p−1)/2 + 1,        j = P − p−1 2 · (i − 1)

onde P = n − 2 ·

p−1 2 (k

− 1)

aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 1 + (j − 1) 2 + (i − 1) (p + 1) + (k − 1) 2p Logo, a(n) = 1 + 2

j

 n−1 k 2· − 2(k − 1) + 2(n − 1) + 2(k − 1) p−1

Fazendo as substitui¸co˜es e devidas simplifica¸co˜es, resulta:

j j n−1k n−1k a(n) = 2n − 1 + 2 2 · −2 p−1 p−1

384

(7.9)

Para obter uma f´ ormula para a soma dos termos desta sequˆencia iniciamos com a equa¸ca˜o (p. 372) S(n) = SM ×N ×(k−1) + S(i−1)×N k + Sijk onde,  [ 2a111 + (N −1) r1 + (M−1) r2 + (k−2) r3 ] M×N ×(k−1)  SM ×N ×(k−1) =  2      [ 2a11k + (N −1) r1 + (i−2) r2 ] (i−1)×N S(i−1)×N k = 2        j(j−1) r1 Sijk = jai1k + 2

susbtituindo os dados,

M = 2, N =

p−1 , r1 = 2, r2 = p + 1, r3 = 2p 2

resulta,

Sendo,

  S = [ 2 + ((p−1)/2−1)2 + (p+1)2 + (k−2) 2p ] (p−1)×(k−1)   M ×N ×(k−1)     [ 2a11k + ((p−1)/2−1)2 + (i−2) (p+1) ] (i−1)×(p−1)/2 S(i−1)×N k = 2        S = ja + j(j−1)2 ijk i1k 2 aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3

temos, a11k = 1 + (1 − 1) r1 + (1 − 1) r2 + (k − 1) 2p = 1 + (k − 1)2p e ai1k = 1 + (1 − 1) 1 + (i − 1) (p + 1) + (k − 1) 2p simplificando, ai1k = 1 + (i − 1) (p + 1) + (k − 1) 2p Onde,

k j  n−1  +1 k =  p−1      j k P −1 i = (p−1)/2 + 1,        j = P − p−1 2 (i − 1)

onde P = n − (p − 1)(k − 1)

385

ˆ ˜ UM DESAFIO AOS ESTUDANTES DE CIENCIA DA COMPUTAC ¸ AO-II

Introdu¸c˜ ao: Em nosso entendimento uma das grandes conquistas da Ciˆencia da Computa¸ca˜o foi justamente a computa¸ca˜o alg´ebrica (ou simb´ olica). Por exemplo, compare as calculadoras de Pascal (1623-1662) e Leibnitz (1646-1716):

com uma calculadora moderna, a HP Prime , por exemplo,

ao centro temos a solu¸ca˜o alg´ebrica da equa¸ca˜o do 2o grau (f´ ormula de Bh´askara) e` a direita a f´ ormula para a soma dos cubos dos naturais. Desafio: Considere a sequˆencia dos n´umeros ´ımpares positivos, 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

...

retire desta sequˆencia todos os m´ ultiplos de p (p ≥ 3 ´ımpar arbitrariamente fixado). Fa¸ca um programa onde entramos com p e o mesmo nos devolve duas f´ormulas: a do termo geral an e a da soma Sn dos n primeiros termos da sequˆencia resultante. Por exemplo, entrando com p = 3 na sa´ıda deveremos ter an e Sn para a sequˆencia a seguir, 1

5

7

11

13

17

19

23

25

29

31

...

Nota: Resolvi este Desafio na calculadora HP Prime. Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/14.07.2016

386

O programa a seguir

recebe um ´ımpar p (p ≥ 3) e sai com a f´ormula da soma da sequˆencia resultante − tirando-se os m´ ultiplos de p da sequˆencia dos ´ımpares. A seguir temos duas simula¸co˜es do programa, para p = 3 e p = 5,

Observe que n˜ ao necessitamos “anotar” a f´ormula e t˜ ao pouco simplific´a-la. De fato, a f´ ormula resultante encontra-se guardada (armazenada) na vari´avel Soma. Para utiliz´a-la basta usar o comando subst(Soma,n=valor) Nas telas acima fizemos algumas simula¸co˜es (para n = 1, 2, 3, 4, 5). Nota: Confira listagem dos ´ımpares, sem os respectivos m´ ultiplos, nas telas abaixo. Como mais um exemplo do que estamos falando, na tela a seguir programamos a f´ormula (7.9) (p. 384). A f´ ormula a(n) fica guardada na vari´avel an.

Na tela do centro temos uma simula¸ca˜o para p = 3, a partir da f´ormula (armazenada na vari´avel an, reiteramos) listamos 13 termos da sequˆencia . Na tela da direita fizemos o mesmo para p = 5.

387

Segunda aplica¸ c˜ ao: Matriz N -´ aria Matriz Bin´ aria ´ Sabe-se (da Algebra, por exemplo) que dados dois inteiros a e N , com a ≥ 0 e N > 1, existem (e s˜ao u ´nicos) inteiros c0 , c1 , . . . , cn ; de tal modo que, a = c0 + c1 · N + c2 · N 2 + · · · + cn · N n com 0 ≤ ci < a (i = 0, 1, . . . , n). A express˜ao anterior ´e chamada expans˜ao N -´aria do inteiro a. O sistema de numera¸ca˜o de base 2 obt´em-se escolhendo um conjunto com dois s´ımbolos: S = { 0, 1 }. Na matriz seguinte temos a expans˜ao dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 15.

20 21 22 23

=⇒

20 21 22 23 0 0 0 0

0 = 0·20 + 0·21 + 0·22 + 0·23

1

0

0

0

1 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 0·23

0

1

0

0

2 = 0·20 + 1·21 + 0·22 + 0·23

1

1

0

0

3 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 0·23

0

0

1

0

4 = 0·20 + 0·21 + 1·22 + 0·23

1

0

1

0

5 = 1·20 + 0·21 + 1·22 + 0·23

0

1

1

0

6 = 0·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23

1

1

1

0

7 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 0·23

0

0

0

1

8 = 0·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23

1

0

0

1

9 = 1·20 + 0·21 + 0·22 + 1·23

0

1

0

1

10 = 0·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23

1

1

0

1

11 = 1·20 + 1·21 + 0·22 + 1·23

0

0

1

1

12 = 0·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23

1

0

1

1

13 = 1·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23

0

1

1

1

14 = 0·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23

1

1

1

1

15 = 1·20 + 1·21 + 1·22 + 1·23

a primeira linha ´e preenchida com 0. A frequˆencia de mudan¸cas em cada coluna est´ a de acordo com a respectiva potˆencia de 2. Nota: Alguns livros escrevem os d´ıgitos bin´arios na ordem inversa, por exemplo, 14 = (1 1 1 0)2 . Uma f´ ormula para a matriz bin´aria pode ser obtida via lineariza¸ca˜o de sequˆencias 3D.

388

Por exemplo, a coluna j = 1 pode ser vista como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D, assim:

↓

20 21 22 23 0 0 0 0 1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

M = 2, N = 2

1 0

0 r3 = 0

1

1 0

1

r1 = 0

0

0 1

r2 = 1

A coluna j = 2 pode ser vista como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D, assim:

↓

20 21 22 23 0 0 0 0 1

0

0

0

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0 1

0 1

0

0 1

0

0 M = 2, N = 4

1 0

0 r3 = 0

1

1 0

1

1 0

1

1 0

1

389

0 1

0 r2 = 1

r1 = 0

De um modo geral a coluna j (j = 0, 1, 2, . . .) pode ser vista como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D, onde: a111 = 0,

r1 = 0,

r2 = 1,

r3 = 0,

M =2

e

N =2

j

Ent˜ ao, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 an = 0 + (j − 1) 0 + (i − 1) 1 + (k − 1) 0 = i − 1 onde,

ent˜ ao,

k j  n−1  +1 k =  MN      j k P −1 i = + 1, N        j = P − N (i − 1)

onde P = n − M N (k − 1)

 j k n−1  k = +1  j  2·2

k j    i = P −1 + 1, j

j

onde P = n − 2 · 2 (k − 1)

2

logo,

P =n−2

j+1

jn−1k 2j+1

e,

j+1

j

n−1 2j+1

k

i−1=

j n−2

i−1=

j n−1 k 2j

−2

jn−1k

jn−1k

−2

jn−1 k

simplificando,

substituindo em (7.10), temos, a(n) =

(7.10)

2

j

2j

Vamos fazer uma transla¸ca˜o no ´ındice n,

anj =

−1 k

2j+1

2j+1

j n k j n k − 2 j+1 j 2 2

(7.11)

Esta ´e a matriz que nos d´ a acesso direto a qualquer bit no desenvolvimento bin´ ario de um inteiro positivo n − sem necessidade de recorrermos ao algoritmo da divis˜ ao.

390

Na nota¸ca˜o adotada na p´ agina 157, temos:

µn2j

=

j

n 2j

k

−2

j

n

j+1

2

k

De outro modo: se fixarmos n e fizermos j variar, esta f´ormula vai cuspindo os bits do desenvolvimento bin´ ario de n. Observe que 0 ≤ anj < 2, isto ´e, anj = 0 ou anj = 1 (ver tamb´em proposi¸ca˜o 6, ´ıtem (vi)). Para programar a matriz bin´ aria necessitaremos da varia¸ca˜o de j. Observe que se, 1 n n n <1 ⇒ = j+1 < 1 ⇒ anj = 0. · 2 2j 2j 2 Portanto, devemos considerar apenas os valores de j, satifazendo a desigualdade j n ⇐⇒ 2 ≤ n. Isto ´e, j = 0, 1, 2, . . . , ⌊log2n ⌋. j ≥ 1 2

Exemplo: Encontre a expans˜ao bin´ aria de 20. 20

Solu¸ c˜ ao: ⌊log2 ⌋ = 4. Para j = 0, 1, 2, 3, 4; obtemos j=0

20 ⇒ a20,0 = ⌊ 2200 ⌋ − 2⌊ 20+1 ⌋ = 20 − 2 · 10 = 0

j=1

20 ⇒ a20,1 = ⌊ 2201 ⌋ − 2⌊ 21+1 ⌋ = 10 − 2 · 5

=0

j=2

20 ⇒ a20,2 = ⌊ 2202 ⌋ − 2⌊ 22+1 ⌋= 5−2·2

=1

j=3

20 ⇒ a20,3 = ⌊ 2203 ⌋ − 2⌊ 23+1 ⌋= 2−2·1

=0

j=4

20 ⇒ a20,4 = ⌊ 2204 ⌋ − 2⌊ 24+1 ⌋= 1−2·0

= 1.

Logo, 20 = (0 0 1 0 1)2 . Ou ainda, 20 = 0 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 . Nota: Se fizermos j = 4, 3, 2, 1, 0; obteremos 20 = (1 0 1 0 0)2 ; que ´e a forma encontrada nos livros de eletrˆ onica digital.

391

Matriz Tern´ aria O sistema de numera¸ca˜o de base 3 obt´em-se escolhendo um conjunto com trˆes s´ımbolos: S = { 0, 1, 2 }. Na matriz seguinte temos a expans˜ao dos inteiros 0, 1, 2, . . . , 26, na base 3.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

30 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2

31 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2

32 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

0 = 0 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 1 = 1 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 2 = 2 · 30 + 0 · 31 + 0 · 32 3 = 0 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 4 = 1 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 5 = 2 · 30 + 1 · 31 + 0 · 32 6 = 0 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 7 = 1 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 8 = 2 · 30 + 2 · 31 + 0 · 32 9 = 0 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32 10 = 1 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32

11 = 2 · 30 + 0 · 31 + 1 · 32 12 = 0 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 13 = 1 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 14 = 2 · 30 + 1 · 31 + 1 · 32 15 = 0 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 16 = 1 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 17 = 2 · 30 + 2 · 31 + 1 · 32 18 = 0 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 19 = 1 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 20 = 2 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 21 = 0 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 22 = 1 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 23 = 2 · 30 + 1 · 31 + 2 · 32 24 = 0 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32 25 = 1 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32 26 = 2 · 30 + 2 · 31 + 2 · 32

Uma f´ ormula para a matriz tern´aria pode ser obtida via lineariza¸c˜ao de sequˆencias 3D.

392

Por exemplo, a coluna j = 1 pode ser vista como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D, assim: 0

0

1

0

1

2

1

2

2

0

0

1

0

1

2

1

2

r3 = 0

2

0

0

1

0

1

2

M = 3, N = 3

1

2

r1 = 0

0 r2 = 1

2

A coluna j = 2 pode ser vista como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D:

0

0

1

...

2 0

0

1

1

2 0

2

0

...

M = 3, N = 32

1 r3 = 0

2 ...

0

...

1 2

... ...

0

1

1 2

...

2

0

...

1

2

...

1 2

393

0 r2 = 1

r1 = 0

De um modo geral a coluna j (j = 0, 1, 2, . . .) pode ser vista como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D, onde: a111 = 0,

r1 = 0,

r2 = 1,

r3 = 0,

M =3

e

N =3

j

Ent˜ ao, aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 an = 0 + (j − 1) 0 + (i − 1) 1 + (k − 1) 0 = i − 1 onde,

ent˜ ao,

k j  n−1  +1 k =  MN      j k P −1 i = + 1, N        j = P − N (i − 1)

onde P = n − M N (k − 1)

 j k n−1  k = +1  j  3·3

k j    i = P −1 + 1, j

j

onde P = n − 3 · 3 (k − 1)

3

logo,

P =n−3

j+1

jn−1k 3j+1

e,

j+1

j

n−1 3j+1

k

i−1=

j n−3

i−1=

j n−1 k 3j

−3

jn−1k

jn−1k

−3

jn−1 k

simplificando,

substituindo em (7.12), temos, a(n) =

(7.12)

3

j

3j

Vamos fazer uma transla¸ca˜o no ´ındice n,

anj =

−1 k

3j+1

3j+1

j n k j n k − 3 j+1 j 3 3

394

(7.13)

Esta ´e a matriz que nos d´ a acesso direto a qualquer digito no desenvolvimento tern´ario de um inteiro positivo n − sem necessidade de recorrermos ao algoritmo da divis˜ ao. Para programar a matriz tern´aria necessitaremos da varia¸ca˜o de j. Observe que se, 1 n n n <1 ⇒ = j+1 < 1 ⇒ anj = 0. · 3 3j 3j 3 Portanto, devemos considerar apenas os valores de j, satifazendo a desigualdade j n ≥ 1 ⇐⇒ 3 ≤ n. Isto ´e, j = 0, 1, 2, . . . , ⌊log3n ⌋. 3j

Exemplo: Encontre a expans˜ao tern´aria de 19. 19

Solu¸ c˜ ao: ⌊log3 ⌋ = 2. Para j = 0, 1, 2; obtemos j=0

19 ⇒ a19,0 = ⌊ 3190 ⌋ − 3⌊ 30+1 ⌋ = 19 − 3 · 6

=1

j=1

19 ⌋=6−3·2 ⇒ a19,1 = ⌊ 3191 ⌋ − 3⌊ 31+1

=0

j=2

19 ⌋=2−3·0 ⇒ a19,2 = ⌊ 3192 ⌋ − 3⌊ 32+1

=2

Logo, 19 = (1 0 2)3 . Ou ainda, 19 = 1 · 30 + 0 · 31 + 2 · 32 . O sistema de numera¸ca˜o de base N > 1 obt´em-se escolhendo um conjunto com N s´ımbolos: S = { s0 , s1 , . . . , sN −1 }. No sistema de base 10 usualmente tomase S = { 0, 1, 2, . . . , 9 }. Se N ≤ 10, utilizam-se os s´ımbolos 0, 1, 2, . . . , 9 e se N > 10 utilizam-se os s´ımbolos 0, 1, 2, . . . , 9 e se introduzem s´ımbolos adicionais para representar 10, . . . , N − 1. Por exemplo, o sistema de numera¸ca˜o hexadecimal (base 16), largamente utilizado em eletrˆ onica digital, usa 16 s´ımbolos: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F } Pois bem, n˜ ao ´e dif´ıcil deduzir a f´ ormula para a “matriz N -´aria”, como sendo:

anj =

j n k j n k − N Nj N j+1

Onde (fixado n), j = 0, 1, 2, . . . , ⌊logNn ⌋. Nota: Deduzi a matriz N -´aria em abril/1999.

395

(7.14)

Exemplo: Obter o desenvolvimento de 538 na base hexadecimal. Solu¸ c˜ ao: Para N = 16, temos ⌊log16538 ⌋ = 2. Ent˜ ao, a538, j = Temos,

j 538 k 16

j

− 16

j 538 k , 16j+1

j = 0, 1, 2.

j=0

538 538 ⇒ a538, 0 = ⌊ 16 ⌋ = 538 − 16 · 33 = 10 0 ⌋ − 16⌊ 160+1

j=1

538 538 ⌋ = 33 − 16 · 2 ⇒ a538, 1 = ⌊ 16 1 ⌋ − 16⌊ 161+1

=1

j=2

538 538 ⌋ = 2 − 16 · 0 ⇒ a538, 2 = ⌊ 16 2 ⌋ − 16⌊ 162+1

=2

Como 10 ≡ A, resulta, 538 = (A 1 2)16 .

Identificando duas matrizes Durante muito tempo procurei identificar as duas matrizes seguintes: (p. 166) i−1

( 2j−1 ) aij = (−1) e

(p. 317 )

$

aij = (−1)

i−1 j−1 2

%

Embora tendo desenvolvido trˆes tentativas com este objetivo, as duas primeiras deixaram − em meu esp´ırito − um resqu´ıcio de insatisfa¸ca˜o. Isto ´e, n˜ ao entraram em “ressonˆ ancia”. Assim ´e que agora vamos apresentar a mais recente destas tentativas. Esta sim, vibrou na mesma frequˆencia.

396

Antes precisaremos de um lema. Vamos por partes: Sejam n, r ∈ N e p um primo. Escrevendo n e r na base p, temos: n = n0 + n1 · p + n2 · p2 + · · · + nk · pk r = r0 + r1 · p + r2 · p2 + · · · + rk · pk onde k ´e um inteiro n˜ ao negativo e ni , ri ∈ { 0, 1, . . . , p − 1 }. Observe que podemos tomar k = max{ ⌊logpn ⌋, ⌊logpr ⌋ }. O meu ˆexito em demonstrar que as duas matrizes referidas anteriormente s˜ao iguais foi gra¸cas a um resultado demonstrado em 1878 pelo matem´atico ´ francˆes Edouard Lucas (1842-1891). A ele minha gratid˜ ao. ´ Teorema 51 (Edouard Lucas). Considerando os desenvolvimentos p-n´arios de n e r, ´e v´alida a seguinte identidade:        nk n1 n n0 ··· ≡ rk r1 r0 r

(mod p)

Nota: Este teorema encontra-se (como exerc´ıcio) na referˆencia [1], p. 115. Em particular, tomando p = 2, escrevemos n e r na base bin´aria, n = (n0 n1 n2 . . . nk )2 r = (r0 r1 r2 . . . rk )2 resultando no seguinte crit´erio:

397

(7.15)

Corol´ ario 12. Nas condi¸co˜es do teorema, temos   n ´e ´ımpar ⇐⇒ ni ≥ ri , ∀ i = 0, 1, . . . , k. r Prova:
( ⇒ ) Suponha que nj < rj para algum j ∈ { 0, 1, . . . , k }; ent˜ ao nr j = 0, substij

tuindo este resultado no lado direito de (7.15), resulta nr ≡ 0 (mod 2), logo nr ´e par. ( ⇐ ) Sendo ni ≥ ri para todo i = 0, 1, . . . , k e ni ,
ri ∈
{ 0, 11
}, temos que no 0 1 lado direito de (7.15) s´o aparecem fatores da forma , ou 1 . Isto ´e, todos os 0 0
fatores s˜ao iguais a 1. Portanto, nr ≡ 1 (mod 2), donde resulta a tese.  Exemplos:
(a) Determine a paridade de 20 15 . Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 20 e 15 na base 2, temos 20 = ( 0 0 1 0 1 )2 15 = ( 1 1 1 1 0 )2 como n0 < r0 , temos que




20 15

´e par.
60

(b) Determine a paridade de 20 Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 60 e 20 na base 2, temos 60 = ( 0 0 1 1 1 1 )2 20 = ( 0 0 1 0 1 0 )2
como ni ≥ ri , temos que 60 e ´ımpar. 20 ´ Observe que decorre deste u ´ltimo corol´ ario a seguinte identidade: i−1

( j−1 ) µi−1 aij = ( −1 ) 2 = ( −1 ) 2j−1 onde,

(p. 157)

e o bit de posi¸ca˜o j − 1 no desenvolvimento bin´ario de i − 1. µ2i−1 j−1 ´ A prova da identidade entre as matrizes que comparecem na p´ agina 396 depende essencialmente do seguinte lema.

398

Lema 11 (Gentil/18.07.1999). Sejam j e n inteiros positivos arbitrariamente fixados. Temos que     n n−1 n ∈ Z ⇐⇒ e tˆem paridades distintas. 2j−1 2j−1 2j−1 Antes da prova do lema veja na tabela a seguir alguns casos especiais desta proposi¸ca˜o:

Onde:


m n

=

(2j−1 )

n−1

n ) (2j−1

1

0

1

2

0.5

0

0

3

0.25

0

0

1

4

0.125

0

0

1

5

0.0625

0

0

2

1

2

1

2

2

2

1

0

1

2

3

0.5

0

0

2

4

0.25

0

0

2

5

0.125

0

0

3

1

3

2

3

3

2

1.5

1

3

3

3

0.5

0

0

3

4

0.375

0

0

3

5

0.1875

0

0

4

1

4

3

4

4

2

2

3

6

4

3

1

0

1

4

4

0.5

0

0

4

5

0.25

0

0

5

1

5

4

5

5

2

2.5

6

10

5

3

1.25

1

5

5

4

0.625

0

0

5

5

0.3125

0

0

n

j

1

1

1 1

 

n j−1 2

m! n!(m−n)!

0

, se m ≥ n; , se m < n.

399

Prova: j−1 (=⇒) Inicialmente observamos que 2 tem, em seu desenvolvimento bin´ario, um bit 1 na posi¸ca˜o j − 1 e 0 nas demais posi¸co˜es, isto ´e 2

j−1

= 0 · 20 + 0 · 21 + · · · + 0 · 2

j−2

+1·2

j−1

Vamos focalizar nossa aten¸ca˜o na posi¸ca˜o j − 1. j−1 n Por hip´ otese n/2 ∈ Z, ent˜ ao 21 · 2j−1 = 2nj pode ou n˜ ao ser inteiro. Consideremos dois casos: n ∈ Z e 2nj ∈ Z. Neste caso, pelo lema 7 (p. 183), temos 1o ) 2j−1 j n k jn−1k j n k j n−1k = +1 , = + 1. j−1 j−1 2 2 2j 2j

Com estas informa¸co˜es vamos compor o seguinte bit (quem disse que os bits s˜ao indecompon´ıveis?): j n k j n k an(j−1) = −2 j j−1 2 2 =

j n−1k

+1−2

=

j n−1k

−2

2j−1

2

j−1

j n−1k 2j

jn−1k 2j

+1



−1

Desta igualdade conclu´ımos que, jn−1 k j n−1 k −2 = a(n−1)(j−1) = 1 ⇒ an(j−1) = 0. j−1 2 2j

(p. 181)

Conclus˜ ao: Todos os d´ıgitos do desenvolvimento bin´ario de n −
1 s˜ao maiores ou j−1 iguais aos do desenvolvimento de 2 , o que significa que 2n−1 ´e ´ımpar. j−1 − Por outro lado, o d´ıgito de posi¸ca˜o j − 1 do desenvolvimento bin´ario de n ´e menor
j−1 n que o d´ıgito de posi¸ca˜o correspondente no desenvolvimento de 2 , portanto 2j−1 ´e par. n 2o ) j−1 ∈ Z e nj 6∈ Z. Neste caso, temos 2

2

j n k jn−1 k j n k j n−1 k = + 1 , = . 2j−1 2j−1 2j 2j

Com estes resultados vamos compor o seguinte bit: j n k j n k −2 j an(j−1) = j−1 2 2 =

j n−1k 2

j−1

+1−2

jn−1k 2j

.

Desta igualdade inferimos que jn−1 k j n−1 k −2 = a(n−1)(j−1) = 0 ⇒ an(j−1) = 1. j−1 2 2j

400

Conclus˜ ao: O d´ıgito de posi¸ca˜o j − 1 do desenvolvimento bin´ario de n − 1 ´e menor
j−1 que o d´ıgito de posi¸ca˜o correspondente no desenvolvimento de 2 , portanto 2n−1 j−1 ´e par. − Por outro lado, todos os d´ıgitos do desenvolvimento bin´ario de
n s˜ao maiores ou j−1 n ´e ´ımpar. iguais aos do desenvolvimento de 2 , o que significa que 2j−1
n−1
n n ( ⇐= ) Se 2j−1 e 2j−1 tˆem paridades distintas ent˜ ao, 2j−1 ∈ Z. Suponha, sem perda de generalidade, que 
n  ´e ´ımpar.  H1 : 2j−1  H : 2

n−1


´e par.

2j−1




n 2j−1




´e ´ımpar e

⇒

T:

n−1
2j−1

n 2j−1

´e par. Ent˜ ao

∈ Z.

n n Suponhamos∗ 2j−1 ´ımpar e que 2j−1 6∈ Z. Ent˜ ao o d´ıgito de posi¸ca˜o j − 1 no desenvolvimento bin´ ario de n deve ser 1, isto ´e j n k j n k an(j−1) = − 2 =1 2j−1 2j

Temos que

Portanto

1 2

·

n 2j−1

=

n 2j

6∈ Z, logo

j n k j n−1k j n k j n−1k = e = j−1 j−1 2 2 2j 2j j n−1k

jn−1k

j n k j n k −2 j =1 j−1 2 2 2 2 Conclus˜ ao: a(n−1)(j−1) = 1, o que contraria H2 . j−1

−2

j

=



Ufa!!!

∗

Usaremos a seguinte t´ecnica de demonstra¸c˜ ao: H1 ∧ H2 ⇒ T onde a barra superior, em T¯, significa nega¸c˜ ao.

401

¯2 , ⇐⇒ H1 ∧ T¯ =⇒ H

Nota: Embora esta demonstra¸ca˜o seja impec´avel, do ponto de vista do rigor l´ogico, um leitor mais exigente poderia argumentar: “Toda a demonstra¸c˜ao est´ a assente no pressuposto de que a matriz (7.11) (p. 390) efetivamente fornece o desenvolvimento bin´ ario de um inteiro n; mas isto n˜ ao foi provado, foi feita t˜ ao somente a dedu¸ca˜o da matriz, n˜ ao sua demonstra¸ca˜o.”. O leitor que assim argumentasse estaria com toda a raz˜ ao, tamb´em nos fizemos este questionamento. No apˆendice colocamos uma outra dedu¸c˜ao (e demonstra¸ca˜o) para a matriz bin´ aria. As sequˆencias dadas abaixo,

( an = (−1)

n−1 m−1 2

)



,

bn = (−1)

2

n−1 m−1



onde m ´e um natural arbitrariamente fixado, s˜ao progress˜oes geom´etricas de ordem 2m−1 . Mostraremos, como uma consequˆencia do lema 11 (p. 399), que estas sequˆencias s˜ao iguais. Teorema 52 (Gentil/1999). As sequˆencias ( an ) e ( bn ) dadas acima s˜ao iguais. Prova: Pela defini¸ca˜o de igualdade de fun¸co˜es, devemos mostrar apenas que an = bn para todo n ∈ N. Faremos isto por indu¸ca˜o sobre n. Para n = 1, temos: an = 1 = b n Admitamos a validade da proposi¸ca˜o para n = p: 

p−1

( m−1 ) = (−1) (−1) 2

p−1 m−1 2

(H.I.) 

e provemos que vale para n = p + 1:

(T.I.)

(p+1)−1 m−1 2

( (−1)

)



= (−1)

(p+1)−1 m−1 2



Vamos separar a demonstra¸ca˜o em dois casos: o

1 )

(p+1)−1 2m−1

=

(p−1)+1 2m−1

∈ Z. Sendo assim, temos 

(−1)

(p+1)−1 m−1 2





= (−1)

p−1 m−1 2



+1

p−1

( m−1 )+1 = (−1) 2 p−1
2m−1

+1 e p−1
ou, de modo equivalente, que 2m−1 e no lema 11.

´e suficiente mostrar que

(p+1)−1
2m−1 p 2m−1

402




tˆem a mesma paridade,

tˆem paridades distintas. Isto foi feito

2o )

(p+1)−1 2m−1

=

(p−1)+1 2m−1

6∈ Z. Sendo assim, temos 

(−1)

(p+1)−1 m−1 2





= (−1)

p−1 m−1 2



p−1

( m−1 ) = (−1) 2 ´e suficiente mostrar que lema 11.

p−1
2m−1

e

(p+1)−1
2m−1

tˆem a mesma paridade. Isto foi feito no 

Corol´ ario 13. Sejam n, m ∈ N; ´e v´alida a seguinte identidade:   j k n n ≡ m ≡ µn2m (mod 2) 2m 2
j n k aneamente par ou ´ımpar. Isto ´e, 2nm , m e µn2m s˜ao simultˆ 2 Observe que este corol´ a um crit´erio bastante simples para decidirmos
ario nos d´ sobre a paridade de 2nm ; bem como para obter o m-´esimo bit no desenvolvimento bin´ario de n. Exemplos: (a) n = 50, m = 3 ⇒ 2503 = 6, 25. Como a parte inteira de 50/8 ´e par, conclu´ımos
que 50 e par. E ainda, µ50 = 0. 8 ´ 23 (b) n = 100, m = 2 ⇒

100 22

= 25.

Como a parte inteira de 100/4 ´e ´ımpar, conclu´ımos que µ100 = 1. 2 2

403




100 4

´e ´ımpar. E ainda,

Terceira aplica¸ c˜ ao: Conjunto de Cantor O conjunto de Cantor − que ´e um fractal − ´e muito explorado em matem´atica, por suas bizarras propriedades topol´ogicas.

O conjunto de Cantor ´e construido assim: Dividimos o intervalo [ 0, 1 ] em trˆes partes iguais e removemos o intervalo aberto do meio, ( 13 , 32 ). Agora ficamos com dois (sub)intervalos fechados; em cada um destes subintervalos repetimos a mesma opera¸ca˜o, removendo os intervalos (abertos) do meio. Isto nos deixa com quatro (sub)intervalos fechados. Deste modo prosseguimos indefinidamente. O conjunto de Cantor ´e o conjunto dos pontos n˜ ao removidos.

0

1

0 3

0 9

0 27

1 9

1 27

2 27

3 27

2 9

6 27

7 27

8 27

1 3

2 3

3 9

6 9

9 27

18 27

3 3

7 9

19 27

20 27

21 27

8 9

24 27

9 9

25 27

26 27

27 27

O exemplo seguinte n˜ ao apenas fornece mais um exemplo de aplica¸c˜ao da lineariza¸ca˜o de uma PA-3D, mas tamb´em mostra a necessidade de generalizar este conceito para progress˜oes aritm´eticas em dimens˜ao N . Estamos interessados em encontrar uma f´ormula que nos forne¸ca a abscissa dos pontos extremos na N -´esima etapa da constru¸ca˜o do conjunto de Cantor. Vamos fazer isto para alguns casos particulares e depois generalizar:

404

(i) N = 1. Na primeira etapa, temos:

0

1

2

r1 = 1

0

3

Para a primeira etapa as abscissas est˜ ao em P.A., onde: n = 1, 2, . . . , 21+1

a(n) = n − 1,

(ii) N = 2. A sequˆencia para a segunda etapa, 0

1

2

3

6

7

8

pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-2D:

0

1

2

3

6

7

8

9

0

r1 = 1 N =4

r2 = 2 · 31 Logo, a(n) = aij = a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 = 0 + (j − 1) 1 + (i − 1) 6 = 6(i − 1) + (j − 1) Onde,   n−1   i= N +1  

⇒

j = n − N (i − 1)

Fazendo as substitui¸co˜es e simplificando, temos a(n) = n − 1 + 2

jn−1 k 4

,

405

  n−1   i−1= 4  

j = n − 4(i − 1)

n = 1, 2, . . . , 22+1

9

(iii) N = 3. A sequˆencia para a terceira etapa, 0

1

2

3

6

7

8

9

18

19

20

21

24

25

26

27

pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte PA-3D:

18

24

19

25 0

6

20

26

r3 = 2 · 32

27

1

2

7

M = 2, N = 4

21

8

0

3

r1 = 1

r2 = 2 · 31

9

Para obter a f´ ormula do termo geral, devemos utilizar k j  n−1  +1 k =  2·4      j k P −1 i = + 1, onde P = n − 2 · 4(k − 1) 4        j = P − 4(i − 1) Ent˜ ao, a(n) = aijk = a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 = 0 + (j − 1) 1 + (i − 1) 6 + (k − 1) 18 = 6(i − 1) + (j − 1) + 18(k − 1) Fazendo as substitui¸co˜es, obtemos a(n) = n − 1 + 2

jn−1 k 4

+6

jn−1 k 8

406

,

n = 1, 2, . . . , 23+1

(p. 363)

(iv) N = 4. Esta ´e a sequˆencia para a quarta etapa,

0

1

2

3

6

7

8

9

18

19

20

21

24

25

26

27

54

55

56

57

60

61

62

63

72

73

74

75

78

79

80

81

Observamos que nesta sequˆencia a segunda linha vem logo ap´os a primeira. A sequˆencia anterior pode ser vista como a lineariza¸ca˜o da seguinte progress˜ao aritm´etica em dimens˜ao 4, veja: r4 = 54 18

24

19

25 0

6

20

26

21

27

1

78

2

7

72

8

73

79

3

54

9

60

74

80 55

61

75

81 56

62

57

63

Temos neste exemplo uma PA-4D limitada em linhas (M = 2), limitada em colunas (N = 4), limitada em planos (Q = 2) e limitada em hiperplanos (dois hiperplanos), assim:

r3 = 2 · 3

2

r4 = 2 · 33 0

M = 2, N = 4, Q = 2 r1 = 1

r2 = 2 · 31 Na p´ agina 370, encontramos, a(n) = n − 1 + 2 4+1

jn−1k 4

+6

jn−1 k 8

+ 18

jn−1 k 16

v´alida para n = 1, 2, . . . , 2 . Nota: Observe que 54 = r4 6= Qr3 = 36, o que significa que temos uma PA-4D irredut´ıvel.

407

A conclus˜ao ´e a de que as abscissas dos pontos extremos na N -´esima etapa da constru¸ca˜o do conjunto de Cantor est˜ ao em uma progress˜ao aritm´etica em dimens˜ao N. Deixamos como exerc´ıcio o leitor prosseguir para chegar no seguinte resultado geral, o qual nos fornece a sequˆencia dos pontos extremos na N -´esima etapa da constru¸ca˜o do conjunto de Cantor: N X

a(n) =

k=1

Onde:

  2 · 3N −k ,

r(N +1)−k = e,

i(N +1)−k =

n = 1, 2, 3, . . . , 2N +1

ik · rk ,

 1,

k 6= N ; k = N.

  k−1  X n−1    − 2m · i(N +1−k)+m ,    2N −(k−1)  m=1       k−1  X    n − 1 − 2 · 2m · i(N +1−k)+m ,  

k 6= N ;

k = N.

m=1

Exemplo: Para N = 3 (terceira etapa), temos: a(n) =

3 X

k=1

Onde:

ik · rk = i1 · r1 + i2 · r2 + i3 · r3

r(3+1)−k = e,

i(3+1)−k =

  2 · 33−k ,  1,

k 6= 3; k = 3.

  k−1  X n−1    2m · i(3+1−k)+m , −    23−(k−1)  m=1       k−1  X    n − 1 − 2 · 2m · i(3+1−k)+m ,  

k 6= 3;

k = 3.

m=1

Para k = 1, 2, 3, temos: k = 1: r(3+1)−1 =

  2 · 33−1 ,  1,

1 6= 3; 1 = 3.

408

⇒

r3 = 2 · 33−1 = 18

(7.16)

e, i(3+1)−1 =





n−1

23−(1−1)

−

1−1 X

m=1

O somat´orio ` a direita vale 0, ent˜ ao, 

i3 =

2m · i(3+1−1)+m



n−1 8

k = 2: r(3+1)−2 = e,

  2 · 33−2 ,  1,

i(3+1)−2 =



23−(2−1)

i2 = logo,



i2 =

r(3+1)−3 = e,





−



n−1 4

2−1 X

m=1



n−1 4

2m · i(3+1−2)+m

− 2 · i3

− 2·

  2 · 33−3 ,

r2 = 2 · 33−2 = 6

⇒

2 = 3.

n−1

simplificando,

k = 3:

2 6= 3;



n−1 8

3 6= 3;

 1,

3 = 3.

i(3+1)−3 = n − 1 − 2 ·

3−1 X

m=1

simplificando,



⇒

r1 = 1

2m · i(3+1−3)+m

i1 = n − 1 − 4 · i2 − 8 · i3

logo, i1 = n − 1 − 4 · ent˜ ao,



n−1 4



Substituindo todos estes resultados em, a(n) =

k=1

n−1 8





n−1 4



− 2·

i1 = n − 1 − 4 · 3 X



−8



n−1 8



ik · rk = i1 · 1 + i2 · 6 + i3 · 18

resulta a(n) = n − 1 + 2

j n−1k 4

409

+6

j n−1k 8

(7.17)

ˆ ˜ UM DESAFIO AOS ESTUDANTES DE CIENCIA DA COMPUTAC ¸ AO-III

Introdu¸c˜ ao: O conjunto de Cantor − que ´e um fractal − ´e muito explorado em matem´atica, por suas bizarras propriedades topol´ogicas.

O conjunto de Cantor ´e construido assim: Dividimos o intervalo [ 0, 1 ] em trˆes partes iguais e removemos o intervalo aberto do meio, ( 13 , 32 ). Agora ficamos com dois (sub)intervalos fechados; em cada um destes subintervalos repetimos a mesma opera¸ca˜o, removendo os intervalos (abertos) do meio. Isto nos deixa com quatro (sub)intervalos fechados. Deste modo prosseguimos indefinidamente. O conjunto de Cantor ´e o conjunto dos pontos n˜ ao removidos. 0

1

0 3

0 9

0 27

1 9

1 27

2 27

3 27

2 9

6 27

7 27

8 27

1 3

2 3

3 9

6 9

9 27

18 27

3 3

7 9

19 27

20 27

21 27

8 9

24 27

9 9

25 27

26 27

27 27

O Desafio: Fa¸ca um programa que recebe N (etapa da constru¸ca˜o) e saia com os numeradores das coordenadas dos pontos extremos dos subintervalos da etapa N ; ah! . . . e se n˜ ao for pedir muito, que, ademais, o programa saia com uma f´ormula para a respectiva sequˆencia de pontos.

Resolvi este Desafio na HP Prime . Na tela da direita temos uma simula¸ca˜o para N = 3, terceira etapa da constru¸ca˜o. Gentil, o iconoclasta Boa vista-RR/22.07.2016 [email protected]

410

A f´ormula para as raz˜ oes, r(N +1)−k =

  2 · 3N −k ,  1,

k 6= N ; k = N.

est´ a implementada no seguinte programa,

`a direita vemos trˆes execu¸co˜es do programa. A f´ormula a seguir,   k−1  X  n−1   − 2m · i(N +1−k)+m ,  N −(k−1)  2   m=1   i(N +1)−k =     k−1  X    n − 1 − 2 · 2m · i(N +1−k)+m ,  

k 6= N ;

k = N.

m=1

est´ a implementada no seguinte programa,

Nestas duas telas temos um u ´nico programa. Importante: Para este programa funcionar a vari´avel n deve estar resetada em sua calculadora, ver p. 493. REPLACE, p. 533.

411

Nas telas a seguir,

vemos duas simula¸co˜es do programa anterior. Entrando com N = 2, recebemos um vetor, cujo significado ´e,   n−1 +n−1 i1 = −4 · 4 e, i2 =



n−1 4



Entrando com N = 3 (tela da direita), recebemos um vetor, cujo significado ´e,   n−1 i1 = −4 · +n−1 4 e, i2 = e,



n−1 4 i3 =





−2



n−1 8

412

n−1 8





Com um pequeno acr´escimo no programa ICANTOR,

(observe, o programa RCANTOR ´e subrotina) implementamos a f´ormula, a(n) =

N X

k=1

ik · rk

Na tela da direita entramos com N = 3; compare com (7.17) (p. 409). Observe que se quisermos listar as abscissas dos pontos extremos na etapa N n˜ ao precisamos nem anotar a f´ ormula, uma vez que esta encontra-se armazenada na vari´avel FCC. Nas telas a seguir,

listamos as abscissas das etapas N = 3 e N = 4, respectivamente. Caso se queira as coordenadas dos extremos como uma fra¸ca˜o, coloque − se necess´ario − sua calculadora no modo exact,

e depois multiplique a lista por N = 3.

1 3N

. Na tela da direita vemos uma simula¸ca˜o para

413

Adendo: Fizemos um acr´escimo ao final do programa ICANTOR (p. 413) para mais informa¸co˜es na saida do programa, veja:

Na tela da direita temos uma simula¸ca˜o para N = 3; no item 1) temos a f´ ormula, no item 2) temos a varia¸ca˜o de n, no item 3) substituimos os valores de n na f´ ormula do item 1), no item 4) temos as abscissas do item 3) divididas por 1/3N . Deixamos como exerc´ıcio ao leitor, deduzir (via lineariza¸ca˜o de uma PA-3D ) a seguinte vers˜ao das f´ ormulas (3.21) (p. 166) e (6.9) (p. 317) para a matriz de combina¸co˜es,

aij = 4

ji−1k 2j

−2

∗

∗

ji−1 k 2j−1

+1

(7.18)

∗

Nota: O pr´oximo cap´ıtulo deveria ser o das progress˜oes geom´etricas espaciais ( PG-3D). Em uma vers˜ao anterior deste livro − n˜ ao publicada − constava o referido cap´ıtulo; como a presente vers˜ao ia ficar mais volumosa do que j´a ´e, decidimos sacrific´ a-lo∗. Para definir a PG-3D basta trocar soma por produto na defini¸ca˜o da PA-3D. ´ conveniente explorar o Princ´ıpio da Dualidade e tentar generalizar os conceitos E da progress˜ao geom´etrica 2D.

∗

Decidimos incluir alguma coisa sobre o assunto na lista de Exerc´ıcios.

414

7.9

Exerc´ıcios propostos

349) Vocˆe seria capaz de dar uma outra defini¸ca˜o de uma PA-3D? 350) Dada a PA-3D (a111 , r1 , r2 , r3 ) = (5, −1, 2, 3), calcule os termos a352 , a333 e a10, 2, 1 . 351) Dada a PA-3D, − 2r 3 r 3

a1111 r 3

mostre que todos os termos da D.P. s˜ao constantes e iguais a a111 . 352) Dada a PA-3D, −r 2r a1111 r de base quadrada de dimens˜ao n, mostre que os termos da D.S. s˜ao constantes e iguais a a111 + (n − 1) r. 353) Encontre o primeiro termo da seguinte PA-3D, (a111 , r1 , r2 , r3 ) = (?, 2, 2, 3) sendo a345 = 26. 354) Encontre a raz˜ ao das linhas na seguinte PA-3D, (a111 , r1 , r2 , r3 ) = (5, ?, −2, 2) conhecendo-se a444 = 14. 355) Encontre a linha a qual pertence o termo 6 na PA-3D (4, −2, −2, 2) sendo que o mesmo encontra-se na primeira coluna e na quinta cota.

415

356) Dada a PA-3D (3 × 5 × 7) 3 1 1 2 encontre o termo central. 357) Determine a PA-3D em que a131 = 5, a222 = 8, a333 = 17 e a311 = 3. 358) Determine o termo central na PA-3D (5 × 7 × 9) −2 1 1

−5

359) Obter o primeiro termo da PA-3D de raz˜ oes r1 = r2 = r3 = 5, sendo 17 o valor do termo que est´ a na posi¸ca˜o (1, 2, 4). 360) Determine a PA-3D na qual se verificam as rela¸co˜es, a123 + a456 = 22, a678 + a9, 10, 11 = 42, a123 − a231 = 4, a312 − a322 = 1 361) Determine a PA-3D na qual, ai11 = −i + 6, a1j1 = −j + 6, a11k = 2k + 3 362) Determine a PA-3D na qual, a(2i)11 = 6i + 1, a1(2j)1 = 4j + 2, a11k = −4k + 8 363) Determine a PA-3D na qual ai(2i)i2 = 4i2 + 7i − 8.

416

364) Determine a PA-3D na qual temos, D.P. (1, −5, . . .),

D.S. (−8, −8, . . .) e a442 = −14.

365) Quantos e quais s˜ao os termos iguais a 8 na PA-3D (3, 1, 3, 2)? 366) Quantos e quais s˜ao os termos nulos do plano k = 7, na PA-3D (1, 5, −6, 1)? 367) Dada a PA-3D (−5, 2, 3, 2) e a P.A. (1, 4, 7, . . .), encontre o termo comum `a intersec¸ca˜o dos planos i = 2, j = 3 e a P.A. 368) Dada a PA-3D (10, −2, −1, 2) e a P.A. (12, 10, . . .), encontre o termo comum `a intersec¸ca˜o dos planos j = 4, k = 3 e a P.A. 369) Dada a PA-3D (−5, 2, 3, 1) e a P.A. (0, 3, . . .) encontre o termo comum `a intersec¸ca˜o dos planos i = 5, k = 3 e a P.A.. 370) Dada a PA-3D (−1, 2, 3, 4) determine a PA-2D fixada pelo plano k = 3. 371) Dada a PA-3D (5, −2, 3, 4) determine a PA-2D fixada pelo plano i = 7. 372) Dada a PA-3D (15, −3, −4, 2) determine a PA-2D fixada pelo plano j = 8. 373) Qual o primeiro termo negativo da intersec¸ca˜o dos planos i = 3 e j = 5 na PA-3D (10, −1, 2, −1)? 374) Qual o primeiro termo positivo da intersec¸ca˜o dos planos i = 2 e k = 3 na PA-3D (−10, 1, 2, 1)? 375) Qual a posi¸ca˜o do termo nulo da intersec¸ca˜o dos planos j = 5 e k = 3 na PA-3D (−5, −13/4, 2, 3)? 376) Mostre que a intersec¸ca˜o de dois planos quaisquer (plano-linha, plano-coluna ou plano cota) em uma PA-3D ´e uma progress˜ao aritm´etica. 377) Dada a PA-3D (4, 2, 3, 1) encontre as progress˜oes aritm´eticas definidas pelas intersec¸co˜es dos seguintes planos: (i) i = 3, j = 3

(ii) i = 2, k = 2

417

(iii) j = 3, k = 4.

378) Queremos armazenar na mem´oria de um computador a matriz,

19

20

22

21

23 10

25

24 11

26 13

12

27 14

1

15 2

3 3×3

16

17 4

18 5

6 1

7

8

9

1

3

Encontre uma f´ ormula A(I, J, K) que atenda a este prop´ osito. 379) Encontre uma f´ ormula para se armazenar na mem´oria de um computador os 64 primeiros n´ umeros naturais utilizando uma matriz 4 × 4 × 4. 380) Encontre uma f´ ormula para se armazenar na mem´oria de um computador os 125 primeiros n´ umeros naturais utilizando uma matriz 5 × 5 × 5. 381) Encontre uma f´ ormula para se armazenar na mem´oria de um computador os n´ umeros 1, 2, 3, . . . , N 3 , utilizando uma matriz N × N × N . 382) Mostre que quatro termos n˜ ao coplanares (n˜ao pertencentes simultaneamente a um mesmo plano) determinam uma PA-3D. 383) Obter a soma dos 3 × 4 × 5 termos iniciais da PA-3D (1, 1, 3, 9). 384) Obter a soma dos 2 × 4 × 2 termos iniciais da PA-3D (3, −2, 2, 2). 385) Encontre a soma dos 3 × 3 termos iniciais do plano j = 4 na (−1, 1, 3, 2).

PA-3D

386) Encontre a soma dos n primeiros termos da diagonal principal da PA-3D (2, 1, 2, 1). 387) Encontre a soma dos 20 primeiros termos da P.A. definida pelos planos i = 5 e j = 7 na PA-3D (−5, 1, 2, 3). 388) Obter a PA-3D na qual a soma dos i × j × k primeiros termos ´e (i + 2j − 2k − 3) i · j · k para todo i, j, k natural.

418

389) Obter a PA-3D na qual a soma dos i × j × k primeiros termos ´e 3i2 j k + i j 2 k + 4i j k 2 − 5i j k para todo i, j, k natural. 390) Calcule

3 2 X 2 X X

(3 i + j + 9 k − 12).

5 5 X 5 X X

(2 i − 4j + k + 2).

p m n X X X

(a i + bj + ck + d).

k=1 j =1 i=1

391) Calcule

k=1 j =1 i=1

392) Calcule

k=1 j =1 i=1

393) Determine a nova posi¸ca˜o dos termos a125 , a367 e a9, 10, 8 , na lineariza¸ca˜o de uma PA-3D de ordem 10 × 15 × ∞. 394) Linearizando-se uma sequˆencia tripla (5 × 10 × ∞), qual a nova posi¸ca˜o ocupada pelos termos a1, 11, 1 , a5, 10, 3 e a4, 5, 10 ?. 395) Considere a lineariza¸ca˜o da PA-3D (10 × 10 × ∞) abaixo, 1 2 4 3 calcule os termos a5 , a9 , a20 , a100 , a750 e a900 . 396) Calcule o n´ umero de linhas e de colunas de uma sequˆencia tripla (ordem M × N × ∞) que, ao ser linearizada, o termo a252 passa a ocupar a posi¸ca˜o 60 e o termo a553 passa a ocupar a posi¸ca˜o 125. 397) Mostre que se em uma PA-3D (ordem M × N × ∞) tivermos r2 = N r1 e r3 = M N r1 , ent˜ ao a sequˆencia linearizada estar´ a em P.A. de primeiro termo a111 e raz˜ ao r1 . 398) Quantas linhas e quantas colunas devemos tomar na PA-3D (a111 , r1 , r2 , r3 ) = (1, 3, 15, 105) para que a sequˆencia linearizada resulte em P.A.? 399) Mostre que dispondo os n´ umeros 1, 2, 3, . . . , n3 em uma PA-3D c´ ubica de ordem n, os elementos do plano-coluna central est˜ ao em PA-2D de primeiro termo (n + 1)/2 e raz˜ oes r2 e r3 , e os elementos do plano-linha central est˜ ao em PA-2D de primeiro termo,
a11 = 1 + (n + 1)/2 − 1 n

e raz˜ oes r1 e r3 .

419

400) Para a matriz bin´ aria,

(p. 390) aij =

j i k j i k − 2 j+1 j 2 2

mostre que vale a proriedade do DNA enunciada a seguir:

(p. 332)

Seja n ≥ 2 um natural arbitrariamente fixado e j = 1, . . . , n − 2. Sob estas condi¸co˜es ´e v´alida a identidade: aij = a(i+2n−1 )j Ademais, mostre que, j =n−1 e

i = 0, . . . , 2n /2 − 1

⇒ aij = 0;

j =n−1 e

i = 2n /2, . . . , 2 · 2n /2 − 1

⇒ aij = 1.

Com isto se justifica a u ´ltima coluna nas matrizes que comparecem na p´ agina 333; bem como prova-se que a matriz bin´aria acima efetivamente se presta ao c´ alculo de combina¸co˜es − raciocinio semelhante ao usado no teorema 46 (p. 334). 401) A sequˆencia a seguinte ´e a dos inteiros de 1 a 20 primos com 20, 1

3

7

9

11

13

17

19

considerando-a como a lineariza¸ca˜o de uma PA-3D de ordem 2 × 2 × 2 encontre uma f´ ormula para o seu termo geral. 402) Sejam m, n ∈ N e p um primo. Mostre as seguintes identidades: (i)

     m − p⌊ m p⌊ m p⌋ p⌋ m   ≡ n p⌊ np ⌋ n − p⌊ np ⌋

(ii)

onde k = max

n

 m  m   k ⌊ j ⌋ − p⌊ pj+1 ⌋ Y p m   ≡ n n ⌋ ⌊ pnj ⌋ − p⌊ pj+1 j=0

o ⌊logpm ⌋, ⌊logpn ⌋ .

420

( mod p)

( mod p)

Alguns resultados sobre PG-3D 403) Demonstre a seguinte f´ ormula do termo geral para uma PG-3D:

aijk = a111 · q2i−1 · q1j−1 · q3k−1

404) Demonstre a seguinte f´ ormula,

Si×j×k = a111 ·

q2i − 1 q1j − 1 q3k − 1 · · q2 − 1 q1 − 1 q3 − 1

para a soma dos i × j × k termos de uma PG-3D. 405) Soma dos termos de uma PG-3D infinita. Demonstre a seguinte f´ormula,

S=

−a111 (q1 − 1)(q2 − 1)(q3 − 1)

v´alida para −1 < qi < 1, i = 1, 2, 3. 406) Produto. Demonstre a seguinte f´ormula,

 i×j×k  2 Pi×j×k = a2111 · q2i−1 · q1j−1 · q3k−1

421

7.10

Apˆ endice

Lema 12. Se M e N s˜ao naturais arbitr´arios e 1 ≤ j ≤ N , 1 ≤ i ≤ M , ent˜ ao, ji−1 M

Prova: Temos que,

+

j−1k = 0 MN

1≤i≤M ⇒ 0≤

i−1 <1 M

Ademais, 1 ≤ j ≤ N ⇒ 0 ≤ j − 1 ≤ N − 1 < N ≤ MN ⇒ 0 ≤ logo, 0≤

j−1 <1 MN

i−1 j−1 + <2 M MN

Ent˜ ao, se j i−1 M

+

ji−1 j−1k j−1 k 6= 0, s´o pode ser = 1 + MN M MN

Tomando, M = 1, temos 1 ≤ i ≤ 1 ⇒ i = 1, isto ´e, 1≤

i−1 M

= 0. Logo,

j−1 < 2 ⇒ N ≤ j − 1 < 2N N

isto ´e, N + 1 ≤ j < 2N + 1, o que contradiz j ≤ N .  Vamos mostrar que as equa¸co˜es da lineariza¸ca˜o de uma sequˆencia 3D (eq. (7.5), p. 363) est˜ ao corretas, pela seguinte proposi¸ca˜o:

422

Proposi¸ c˜ ao 10. Sejam M e N naturais arbitrariamente fixados. A aplica¸ca˜o definida a seguir ´e invers´ıvel,

f : { 1, 2, . . . , M } × { 1, 2, . . . , N } × N

→ N

(i, j, k) → N (i − 1) + j + M N (k − 1) com inversa dada por, f −1 = g : N

→ { 1, 2, . . . , M } × { 1, 2, . . . , N } × N

n →

(i, j, k)

Onde, j k  n−1  k = +1  MN      k j P −1 + 1, i = N        j = P − N (i − 1)

onde P = n − M N (k − 1)

Prova: Devemos mostrar que: i) ii)


(g ◦ f )(i, j, k) = g f (i, j, k) = (i, j, k)
(f ◦ g)(n) = f g(n) = n

Observe que g pode ser escrita como,  j j n−1k j n−1k jn−1k N −1k −M + 1, n − N , +1 g(n) = N MN N MN Lembramos da equa¸ca˜o (7.4) (p. 360), n = f (i, j, k) = N (i − 1) + j + M N (k − 1)

Calculando g f (i, j, k) = g N (i − 1) + j + M N (k − 1) , temos, jn−1k N

=

j N (i − 1) + j + M N (k − 1) − 1 k N

= (i − 1) +

j j−1k N

+ M (k − 1)

= (i − 1) + M (k − 1)

423

Ainda, j n−1 k MN

=

j N (i − 1) + j + M N (k − 1) − 1 k N

=

j i−1 M

+

j−1k +k−1 MN

=k−1 Ent˜ ao, j N −1k jn−1k −M + 1 = (i − 1) + M (k − 1) − M (k − 1) + 1 N MN =i Ainda, n−N

jn−1k N

= N (i − 1) + j + M N (k − 1) − N [ (i − 1) + M (k − 1) ] =j

tamb´em, jn−1k MN

+1=k


Portanto, g f (i, j, k) = (i, j, k). Vamos agora mostrar que (f ◦ g)(n) = n. Ent˜ ao,
(f ◦ g)(n) = f g(n) isto ´e,

 n − 1  
n−1  n−1  n−1 f g(n) = f −M + 1, n − N , +1 N MN N MN

portanto,




f g(n) = N



n−1 n−1 −M +1−1 N MN

+n−N

n−1 + MN N

424





 n−1  +1−1 MN



=n 

Matriz Bin´ aria Daremos agora uma outra prova para a matriz (7.11) (p. 390). Faremos alguns preliminares. Teorema 53 (Representa¸ca˜o de um inteiro em uma base b). Seja b ≥ 2 um inteiro. Todo inteiro positivo a pode ser escrito de modo u ´nico na forma a = r0 + r1 b + · · · + rn−1 bn−1 + rn bn

(7.19)

em que n ≥ 0, rn 6= 0 e, para cada ´ındice i, 0 ≤ i ≤ n, tem-se que 0 ≤ ri < b. Prova: ver [1], [4] ou [5]. Do teorema acima, podemos escrever,



a = r0 r1 . . . rn−1 rn




b

que ´e a representa¸ca˜o do inteiro positivo a na base b ≥ 2. Daremos agora um exemplo de como converter um n´ umero para a base bin´aria, o algoritmo − que far´ a esta convers˜ao − decorre (´e oriundo) da demonstra¸ca˜o do teorema 53 acima. Pois bem, vamos converter o inteiro a = 20 para a base dois. Inicialmente dividimos a = 20 por b = 2, assim: 20 0

2 10

Como o quociente q = 10 ´e n˜ ao-nulo podemos prosseguir na divis˜ao, assim: 20 0

2 10 0

2 5

Como o quociente q = 5 ´e n˜ ao-nulo podemos prosseguir na divis˜ao, assim: 20 0

2 10 0

2 5 1

2 2

Como o quociente q = 2 ´e n˜ ao-nulo podemos prosseguir na divis˜ao, assim: 20 0

2 10 0

2 5 1

425

2 2 0

2 1

Como o quociente q = 1 ´e n˜ ao-nulo podemos prosseguir na divis˜ao, assim: 20 0

2 10 0

2 5 1

2 2 0

2 1 1

2 0

Observe nesta u ´ltima divis˜ao que temos o dividendo 1 menor que o divisor 2, recaimos exatamente no caso do lema 6 (p. 182). Como obtemos um quociente nulo paramos o processo. Agora ´e s´o tomar os restos na seguinte ordem: 20 0

2 10 0

2 5 1

2 2 0

2 1 1

2 0

Sendo assim, temos: 20 = (0 0 1 0 1)2 . Ou ainda, 20 = 0 · 20 + 0 · 21 + 1 · 22 + 0 · 23 + 1 · 24 Este exemplo ser´a generalizado a seguir. Deduziremos agora uma f´ormula que ir´ a nos permitir escrever um inteiro positivo a na base b = 2. O procedimento que ser´a desenvolvido a seguir se estende facilmente a uma base b qualquer.

Dedu¸c˜ ao da f´ ormula Vamos deduzir (e demonstrar) uma f´ormula que nos forne¸ca a representa¸ca˜o bin´ aria de um inteiro positivo a. Para tanto iremos demonstrar o teorema 53 para o caso especial b = 2. Ent˜ ao, Prova: Dividindo a por 2 o Algoritmo da Divis˜ ao nos assegura a existˆencia de dois inteiros positivos q0 e r0 tais que a 2 r0 q0

⇒

a = 2q0 + r0

com 0 ≤ r0 < 2

Segundo o corol´ ario 6 (p. 181), temos q0 = ⌊ a2 ⌋, portanto jak r0 = a − 2q0 = a − 2 2

• Dividindo q0 por 2, obtemos q1 e r1 tais que a 2 r0 q0 2 r1 q1

⇒

q0 = 2q1 + r1

426

com 0 ≤ r1 < 2

onde q1 = portanto

jq k 0

2

=

jak 2

=

2

jak

r1 = q0 − 2q1 =

2

−2

• Dividindo q1 por 2, obtemos q2 e r2 tais que a 2 r0 q0 2 r1 q1 2 r2 q2

⇒

q2 = portanto

1

2

=

j a k 22

q1 = 2q2 + r2

onde jq k

jak 22

j

r2 = q1 − 2q2 =



a 22

2



k

=

com 0 ≤ r2 < 2

jak 23

j a k j a k −2 3 2 2 2

− − − − − − − − −− Esse processo pode ser repetido; por´em, como cada quociente obtido ´e n˜ ao negativo e necessariamente menor que o anterior (q0 > q1 > q2 > · · · ) vai chegar um momento em que o quociente ´e menor que 2; logo, pelo lema 6 (p. 182), na divis˜ao seguinte obteremos um quociente nulo. Chamemos este passo (etapa em que o quociente ´e nulo) de n-´esimo. Ent˜ ao, podemos escrever a = 2q0 + r0 ,

0 ≤ r0 < 2

q0 = 2q1 + r1 ,

0 ≤ r1 < 2

q1 = 2q2 + r2 , − − − − −− qn−2 = 2qn−1 + rn−1 ,

0 ≤ r2 < 2 −−−−− 0 ≤ rn−1 < 2

qn−1 = 2 · 0 + rn ,

0 < rn < 2.

(7.20)

Observe, nesta u ´ltima desigualdade, que rn > 0, isto est´ a justificado na nota logo ap´os a prova do lema 6 (p. 182). Agora vamos substituir o valor de q0 na primeira express˜ao, para obter: a = 2(2q1 + r1 ) + r0 = 22 q1 + 2r1 + r0 Agora vamos substituir o valor de q1 nesta express˜ao, para obter: a = 22 (2q2 + r2 ) + 2r1 + r0 = 23 q2 + 22 r2 + 2r1 + r0

427

Procedendo desta forma, obtemos, a = 22 q1 + 2r1 + r0 a = 23 q2 + 22 r2 + 2r1 + r0 ................................................... a = 2n−1 qn−2 + 2n−2 rn−2 + · · · + 22 r2 + 2r1 + r0 Substituindo nesta equa¸ca˜o a pen´ ultima das equa¸co˜es de (7.20), obtemos: a = 2n qn−1 + 2n−1 rn−1 + 2n−2 rn−2 + · · · + 22 r2 + 2r1 + r0 Substituindo nesta equa¸ca˜o a u ´ltima das equa¸co˜es de (7.20), obtemos: a = 2n rn + 2n−1 rn−1 + 2n−2 rn−2 + · · · + 22 r2 + 2r1 + r0 Ou ainda, a = r0 + r1 · 2 + r2 · 22 + · · · + rn−1 · 2n−1 + rn · 2n

que ´e, precisamente a equa¸ca˜o (7.19) (teorema 53), para b = 2. Nota: Para a unicidade da representa¸ca˜o o leitor poder´ a consultar [4].
Observe que, a = r0 r1 r2 · · · rn−1 rn 2 , onde, j a k j a k r0 = −2 1 0 2 2 j a k j a k −2 2 r1 = 21 2 j a k j a k r2 = −2 3 22 2 ........................ j a k j a k − 2 n+1 rn = n 2 2 Para provar esta u ´ltima f´ ormula vamos, antes, mostrar que  a  qj = j+1 2 Prova: Por indu¸ca˜o sobre j, ent˜ ao  a  j = 1 ⇒ q1 = 1+1 (o.k.) 2  a  (Hip´otese de Indu¸ca˜o) 2k+1 Mostremos que a proposi¸ca˜o permanece v´alida para j = k + 1:  a  k j q k j k+1 k 2 = qk+1 = 2 2 pela proposi¸ca˜o 6, ´ıtem (v), podemos escrever a k j a k j k+1 = (k+1)+1 qk+1 = 2 2 2



(7.21)

j = k ⇒ qk =

428



Agora vamos provar a f´ ormula , j a k j a k − 2 n+1 rn = n 2 2

O resto na etapa n ´e obtido dividindo-se o quociente na etapa anterior por 2, assim: qn−1 rn

⇒

2 qn

qn−1 = 2qn + rn

com 0 ≤ rn < 2

Sendo assim, temos rn = qn−1 − 2qn Agora, utilizando a equa¸ca˜o (7.21), obtemos k j a k j a − 2 n+1 rn = (n−1)+1 2 2

que ´e o resultado desejado. Sendo assim enunciaremos o seguinte, Teorema 54 (Gentil/2000). Dado um inteiro positivo n a matriz dada a seguir j n k j n k − 2 j+1 (7.22) anj = j 2 2

nos fornece todos os digitos do desenvolvimento bin´ario de n.

Observe que 0 ≤ anj < 2, isto ´e, anj = 0 ou anj = 1 (ver tamb´em proposi¸ca˜o 6 (p. 181), ´ıtem (vi)).

Adendo: O lema 11 (p. 399) surgiu quando tentavamos demonstrar a igualdade entre as matrizes que comparecem na p´ agina 396. Posteriormente concebemos uma prova mais direta da referida identidade: Pelo corol´ ario do teorema de Lucas (p. 396) podemos escrever i−1 ( j−1 ) µi−1 ( −1 ) 2 = ( −1 ) 2j−1 e o bit de posi¸ca˜o j − 1 no desenvolvimento bin´ario de i − 1. onde µi−1 j−1 ´ 2

Portanto, i−1

$

i−1 j−1 2

%

$

i−1 j−1 2

%

$

i−1 j−1 2

%

( j−1 ) = (−1) (−1) 2

= (−1)

= (−1)

429

$

−2

i−1 j 2

%

$

−2

× (−1)

i−1 j 2

%

Adendo: Sem querer ser saudosista − apenas a t´ıtulo de informa¸ca˜o aos estudan-

tes de hoje e para que apreciem devidamente a vantagem de se ter uma HP Prime −, na minha ´epoca de estudante ainda n˜ ao existiam calculadoras program´ aveis, apenas cient´ıficas (e ainda n˜ ao sofisticadas como as atuais). H´ a apenas uma d´ecada antes ainda era pior. Com efeito, recebi um email de um engenheiro que estudou a vers˜ao anterior deste livro (“Programando a HP 50g ”) e me escreveu − dentre outras coisas: Gentil, bom dia! (email: 11/06/2012) Aproveitei esses feriados estendidos em SP e li bem seu livro. Pratiquei todos os exerc´ıcios propostos e pratiquei todos os programas. Foi muito bom mesmo. Aprendi muito! [. . .] N˜ ao sou matem´ atico, sou engenheiro mecˆ anico formado em 1975. Na minha ´epoca de faculdade, n˜ ao havia calculadoras ainda. Tudo era feito na r´egua de c´ alculo ou no l´ apis e borracha. A minha Aristo tenho at´e hoje. [. . .] Apesar de eu j´ a me encontrar no fim da linha (fim de carreira - 60 anos), ainda tenho disposi¸c˜ ao para aprender. Pedir ao Ariovaldo (Siqueira) para que me enviasse uma foto da sua r´egua para que eu pudesse mostr´a-la aos meus alunos. Ele respondeu: Em anexo encontra-se para sua aprecia¸c˜ ao o seu pedido. Tenho duas r´eguas de c´ alculo, a Aristo e a Sterling Slide Rule. Na ´epoca eu fazia tudo com elas em engenharia, ambas eu comprei em 1970 e as usei at´e 1978. Depois aposentei as duas e comprei minha primeira Texas.

Foto-Ariovaldo

430

Cap´ıtulo

8

Mais aplica¸c˜oes Do ponto de vista cognitivo, a evolu¸c˜ ao tamb´em avan¸ca no chamamento ou na cria¸c˜ ao de “sentido”, de significa¸c˜ ao, ou, em outras palavras, de novos conceitos e novas formas de inteligibilidade. Criar, portanto, n˜ ao ´e apenas produzir novas formas, mas sobretudo criar compreens˜ ao e entendimento. Novas figuras mentais, conceituais; novas formas e maneiras de existir, de expressar-se, de perceber e perceber-se, de sentir e de sentir-se. (A Potˆencia do Nada)

Introdu¸c˜ ao O escopo deste cap´ıtulo ´e mostrar outras aplica¸co˜es de assuntos estudados anteriormente: Estudamos o jogo conhecido como Torre de Han´oi − inventado pelo ´ matem´atico Edouard Lucas (p. 397) em 1883 − onde demonstramos v´arias proposi¸co˜es sobre o mesmo; ademais, mostramos uma rela¸ca˜o entre este jogo e a matriz de combina¸co˜es, bem como um algoritmo vitorioso. Aplicamos as PA-2D para estudar os conhecidos quadrados m´ agicos e, como generaliza¸ca˜o dos mesmos, definimos e estudamos, via PA-3D, os cubos m´ agicos.

A torre de Han´ oi Disp˜oe-se de k discos perfurados de diˆametros decrescentes enfiados numa haste a e de duas outras hastes b e c. k ´e um n´ umero natural arbitrariamente fixado; k = 5 na figura ao lado. a

431

b

c

O jogo consiste em transferir toda a pilha de discos para a haste b ou c ∗ , deslocando um disco de cada vez para qualquer haste, com a condi¸ca˜o de que nenhum disco seja colocado sobre um outro de menor diˆametro.

Proposi¸ co ˜es concernentes ao jogo Agora demonstraremos uma s´erie de proposi¸co˜es concernentes ao jogo; onde a primeira delas garante que o mesmo ´e sempre poss´ıvel, para qualquer n´ umero de discos na pilha. Proposi¸ c˜ ao 11. p(k) : Em uma Torre de Han´oi ´e sempre poss´ıvel transferir k discos de qualquer uma das trˆes hastes para qualquer uma das outras duas. Prova: (Indu¸ca˜o sobre k). Para k = 1 a proposi¸ca˜o ´e trivialmente verdadeira. Suponhamos p(k) verdadeira para k = p. Mostremos que p(k) ´e verdadeira para k = p + 1. Devemos mostrar, apoiados na hip´otese de indu¸ca˜o, que sempre ´e poss´ıvel transferir p + 1 discos de qualquer uma das trˆes hastes para qualquer uma das outras duas: (i) Transferˆencia para a haste b (por exemplo). Inicialmente transferimos os p primeiros discos para a haste c. Agora o u ´ ltimo disco vai para a haste b, e, finalmente − e ainda pela hip´otese de indu¸ca˜o −, os p discos de c s˜ao colocados em b. (ii) Transferˆencia para a haste c (An´alogo).  Por indu¸ca˜o vulgar estabelecemos a seguinte f´ormula para o n´ umero m´ınimo de movimentos necess´arios para a Torre de Han´oi. Teorema 55 (N´ umero m´ınimo de movimentos). p(k) : O n´ umero m´ınimo de movimentos para se transferir k discos na Torre de Han´oi ´e f (k) = 2k − 1. Prova: (Indu¸ca˜o sobre k). k = 1. Com um disco na haste a necessitamos de um movimento para transfer´ı-lo para a haste b ou c. Pela f´ormula necessitamos de f (1) = 21 − 1 = 1. Suponhamos a equa¸ca˜o v´alida para n = p, isto ´e: (H.I.) f (p) = 2p − 1 E provemos que vale para n = p + 1, isto ´e: f (p + 1) = 2p+1 − 1

∗

No caso da mesma estar inicialmente em a, como ´e o caso geralmente.

432

(T.I.)

Estamos com p + 1 discos na haste a e vamos transfer´ı-los para a haste b, por exemplo.

1

2

b

3

.. .

p p+1

a

c

Para transferir todos os discos para a haste b, s´o temos uma alternativa: colocar os p primeiros discos na haste c para em seguida transferir o u ´ltimo disco para a haste b. Para transferir os p primeiros discos gastamos, por hip´otese de indu¸ca˜o, 2p − 1 movimentos. Transferindo o u ´ltimo disco para b acumulamos um gasto de (2p − 1) + 1 movimentos. Para finalizar devemos transferir os p discos de c para b, gastando (ainda por hip´ otese) 2p − 1 movimentos. Ent˜ ao, o gasto total ´e de, f (p + 1) = [ (2p − 1) + 1 ] + 2p − 1 = 2 · 2p − 1 = 2p+1 − 1  ´ Nota: E razo´avel convencionarmos que vencer o jogo significa n˜ ao apenas transferir todos os discos, como, ademais, fazˆe-lo no menor n´ umero de movimentos. Corol´ ario 14. A cada disco acrescentado na Torre, dobra o n´ umeros de movimentos +1. Prova: f (k + 1) − 2f (k) = (2k+1 − 1) − 2 · (2k − 1) = 1 ⇒ f (k + 1) = 2f (k) + 1  Se numerarmos os discos a partir do menor, teremos: Corol´ ario 15. O disco de n´ umero j deve ser movimentado pela primeira vez no movimento de n´ umeros g(j) = 2j−1 . Prova: Para j = 1 a f´ ormula ´e verdadeira. Para movimentar o disco de n´ umero j (j ≥ 2) pela primeira vez, devemos antes transferir a pilha de j − 1 discos que est´ a j−1 sobre o mesmo; para tanto precisamos de f (j − 1) = 2 − 1 movimentos; ent˜ a o,
no total teremos g(j) = 2j−1 − 1 + 1 = 2j−1 . 

433

Corol´ ario 16. p(n): Se k ´e ´ımpar o jogo termina na haste em que foi iniciado; o que n˜ ao acontece se k ´e par. Prova: (Indu¸ca˜o sobre n) (k = 2n − 1, ∀ n ∈ N) (i) p(1) ´e verdadeira. Suponhamos a validade da proposi¸ca˜o para n = p (k = 2p − 1) Esta hip´ otese de indu¸ca˜o significa que se inicialmente os (k = 2p − 1) discos estavam na haste a e o jogo foi iniciado na haste b, por exemplo, ent˜ ao a configura¸ca˜o final ´e esta:

1

2 3

.. .

2p−2 2p−1

b

a

c

Mostremos que p(n) ´e verdadeira para n = p + 1 Suponhamos que o jogo foi iniciado na haste b.

1

(k = 2p + 1)

2 3

.. .

2p−2 2p−1

b

a

2p 2p+1

c

Transfiramos o disco de n´ umero 2p para a haste c, em seguida os 2p − 1 discos de b para c. Agora transfiramos o disco de n´ umero 2p + 1 para b, e, finalmente, os 2p discos de c para b. Mostremos que esta sequˆencia de movimentos ´e a ´otima:


f (2p + 1) = 22p−1 − 1 + (1) + 22p−1 − 1 + (1) + 22p − 1 simplificando,

f (2p + 1) = 22p+1 − 1 (ii) k par (exerc´ıcio).



434

Proposi¸ c˜ ao 12. A movimenta¸ca˜o de qualquer disco, exceto o menor, ´e for¸cada. Em outras palavras: existe uma u ´nica alternativa para movimentar qualquer disco, com exce¸ca˜o do menor deles. ´ imediato, pelo fato de que o disco menor sempre est´ Prova: E a no topo em qualquer das hastes e n˜ ao podemos colocar qualquer outro sobre ele.  Proposi¸ c˜ ao 13. p(n): O disco menor ´e sempre transferido em movimentos de n´ umero ´ımpar. Prova: (Indu¸ca˜o sobre n). Devemos mostrar que o menor disco ´e sempre transferido em movimentos de n´ umero 2n − 1 (n ∈ N). Para n = 1 a proposi¸ca˜o ´e trivial, pois o menor disco ´e o primeiro a ser transferido. Suponhamos a validade de p(n) e mostremos que vale p(n + 1). Por hip´otese, o menor disco foi transferido no movimento de n´ umero 2n − 1.

.. . b

a

c

No movimento seguinte, de n´ umero (2n − 1) + 1, evidentemente ser´a transferido algum outro disco.
Agora, no movimento de n´ umero (2n − 1) + 1 + 1 = 2(n + 1) − 1, n˜ ao podemos movimentar o disco transferido anteriormente∗, e nem o disco que estava sob este u ´ltimo por ser maior. Logo, s´o podemos movimentar o menor disco. 

∗

Perderiamos um movimento se volt´ assemos com o mesmo para a posi¸c˜ ao original.

435

A dinˆ amica da Torre e a matriz de combina¸c˜ oes O n´ umero de subconjuntos de um conjunto com n elementos ´e 2n e o de n´ umero m´ınimo de movimentos na Torre de Han´oi com n discos ´e 2n − 1, isto nos sugere uma rela¸ca˜o entre estes dois dados. De fato, a dinˆamica do jogo (isto ´e, como os discos se movem) pode ser estudada pela matriz de combina¸co˜es, dada na p´ agina 388. A seguir exibimos a matriz com quatro colunas, correspondendo a quatro discos na Torre. (p. 472)

0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

1

2 3

a

c

Agora numeramos os discos a partir do 0, para estar de acordo com a potˆencia de 2 que encima cada coluna da matriz. Fixada uma coluna, convencionamos que uma mudan¸ca de 0 para 1 (0 → 1) significa que o respectivo disco deve ser (´e) movimentado. Observe na coluna “0” que o disco 0 ´e movimentado em movimentos de n´ umero ´ımpar (prop. 13, p. 435). Podemos tirar v´arias informa¸co˜es desta matriz, por exemplo, a frequˆencia de movimentos do disco 0 ´e duas vezes a do disco 1, que ´e duas vezes a do disco 2, etc. Lembramos que, (p. 390), aij =

j i k j i k − 2 j+1 j 2 2

´e a f´ ormula que gera esta matriz. Temos, i = 0, 1, 2, . . . , 2n − 1; linhas da matriz. n ´e o n´ umero de discos. j = 0, 1, 2, . . . , n − 1; j n´ umero da coluna e do disco.

436

A matriz bin´ aria nos diz como jogar; ademais, observe que propriedades na matriz se refletem em propriedades no jogo. Por exemplo, iniciemos com dois discos. Obseve a (sub)matriz que corresponde aos dois discos:

0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

1

a

c

Esta submatriz nos mostra como movimentar os discos. Vamos acrescentar mais um disco: 0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

1

a

2

c

Estas submatrizes nos dizem que devemos proceder como para dois discos, depois movimentar o terceiro disco e, novamente, proceder como para dois discos. Este algoritmo vale para qualquer n´ umero de discos. Observe que dois 1’s consecutivos em uma mesma linha implica que os discos est˜ ao superpostos na pilha. Atente para o corol´ ario 16 (p. 434).

437

ˆ ˜ UM DESAFIO AOS ESTUDANTES DE CIENCIA DA COMPUTAC ¸ AO-IV

Torre de Han´ oi ´ um jogo bastante popular inventado em em 1883 pelo matem´atico francˆes E ´ Edouard Lucas (1842-1891).

(Lucas) Disp˜ oe-se de n discos perfurados de diˆametros decrescentes enfiados numa haste A e de duas outras hastes B e C. n ´e um n´ umero natural arbitrariamente fixado; n = 5 na figura acima. O jogo consiste em transferir toda a pilha de discos para a haste B ou C, deslocando um disco de cada vez para qualquer haste, com a condi¸ca˜o de que nenhum disco seja colocado sobre um outro de menor diˆametro. O n´ umero m´ınimo de movimentos numa Torre com n discos ´e dado pela f´ormula:

f (n) = 2n − 1 O Desafio: Fa¸ca um programa que recebe n (n´umero de discos) e k n´umero do disco na pilha, e saia com a “dinˆ amica do disco k”; isto ´e, em quais movimentos o disco k ´e transferido durante o jogo. Por exemplo, num jogo com n = 4 discos, o disco de n´ umero∗ k = 2 ´e transferido nos movimentos de n´ umeros [ 2, 6, 10, 14 ]. J´a o disco de n´ umero k = 3 ´e transferido nos movimentos de n´ umeros [ 4, 12 ]. Nota: Resolvi este Desafio na HP Prime . Gentil, o iconoclasta [email protected]

∗

Boa vista-RR/27.07.2016

Numera¸c˜ ao do topo para a base da pilha.

438

O programa a seguir recebe n e j (n´ umero de discos e n´ umero do disco, respectivamente) e sai com a “dinˆ amica do disco”,

0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

Na tela inferior temos duas simula¸co˜es, pilha com n = 4 discos e discos de n´ umero j = 1 e j = 3. Para a elabora¸ca˜o deste programa utilizamos a equa¸ca˜o da matriz bin´ aria,

aij =

j i k j i k − 2 2j 2j+1

Um disco se movimenta onde ocorre a transi¸ca˜o 0 → 1. Por exemplo, o disco j = 3 ´e movimentado uma u ´nica vez, no movimento de n´ umero 8. ormula que forne¸ ca em Me propus o seguinte Desafio: Encontrar uma f´ quais movimentos um disco qualquer ´ e transferido. Vamos por partes. No exemplo acima, HANOI(4,1), o disco 1 (segundo) ´e movido nas transi¸co˜es 0 → 1 que ocorrem no vetor, [0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1] Em que posi¸co˜es ocorrem estas transi¸co˜es? Inicialmente vamos colocar esta sequˆencia em uma lista: {0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1} Na HP Prime existe um operador que calcula a diferen¸ca entre os elementos de uma lista. Operador: ∆ List, veja na tela a seguir. Aplicando este operador na lista anterior,

439

obtemos a tela da direita. Ou seja, as transi¸co˜es ocorrem nas posi¸co˜es onde temos 1 na lista, {0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0} isto ´e, 2, 6, 10, 14. A HP Prime possui uma fun¸ca˜o, POS(list, element), que nos d´ a a posi¸ca˜o de um elemento em uma lista. Se o elemento ocorre mais de uma vez na lista, ela nos devolve apenas a posi¸ca˜o da primeira ocorrˆencia. Para obter as posi¸co˜es em que o 1 ocorre em listas como a acima, faremos um programa cuja estrat´egia ´e a seguinte: ap´os obter a posi¸ca˜o da primeira ocorrˆencia do 1 na lista, substituimos este elemento por um outro, digamos 3. Em seguida pedimos novamente a posi¸ca˜o do 1, a fun¸ca˜o POS nos dar´ a agora a posi¸ca˜o da segunda ocorrˆencia, novamente substituimos este elemento por 3, etc. O programa a seguir incorpora esta estrat´egia:

Na tela da direita obtemos uma lista com os n´ umeros dos movimentos onde o disco 1 (segundo a partir do topo) ´e transferido em uma torre com 4 discos. Tendo em mente o Desafio que me propus, utilizando este programa fiz a seguinte listagem:

440

Disco j = 0 n=1:

{1}

n=2:

{ 1, 3 }

n=3:

{ 1, 3, 5, 7 }

n=4:

{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }

n=5:

{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31 }

Esta tabela nos mostra em que movimentos o disco j = 0 (topo) ´e transferido em fun¸ca˜o de n, o n´ umero de discos. Aplicando ∆ List nesta u ´ltima lista obtemos, { 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2 }. Analogamente, temos: Disco j = 1 n=1:

−

n=2:

{2}

n=3:

{ 2, 6 }

n=4:

{ 2, 6, 10, 14 }

n=5:

{ 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30}

n=6:

{ 2, 6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 46, 50, 54, 58, 62 }

Aplicando ∆ List nesta u ´ltima lista obtemos, { 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4 } Analogamente, temos: Disco j = 2 n=1:

−

n=2:

−

n=3:

{4}

n=4:

{ 4, 12 }

n=5:

{ 4, 12, 20, 28 }

n=6:

{ 4, 12, 20, 28, 36, 44, 52, 60 }

Aplicando ∆ List nesta u ´ltima lista obtemos, { 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 } Analogamente, temos:

441

Disco j = 3 n=1:

−

n=2:

−

n=3:

−

n=4:

{8}

n=5:

{ 8, 24 }

n=6:

{ 8, 24, 40, 56 }

n=7:

{ 8, 24, 40, 56, 72, 88, 104, 120 }

Aplicando ∆ List nesta u ´ltima lista obtemos, { 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16 } Resumindo o que temos at´e aqui, enunciamos: • Para o disco j = 0, seus movimentos ocorrem segundo a progress˜ao aritm´etica: a1 = 1 e r = 2; • Para o disco j = 1, seus movimentos ocorrem segundo a progress˜ao aritm´etica: a1 = 2 e r = 4; • Para o disco j = 2, seus movimentos ocorrem segundo a progress˜ao aritm´etica: a1 = 4 e r = 8; • Para o disco j = 3, seus movimentos ocorrem segundo a progress˜ao aritm´etica: a1 = 8 e r = 16. Sendo assim, enunciamos a seguinte: Conjectura 1. Numa Torre de Hanoi com n discos, o disco de n´ umero j ´e transferido com movimentos ditados pela seguinte progress˜ao aritm´etica:

j

k = 1, . . . , 2n−(j+1)

ak = (2k − 1) 2 ,

442

Vamos criar na HP Prime uma fun¸ca˜o − de duas vari´aveis − para fazer um teste na f´ormula acima. Digitando na linha de comando o conte´ udo da tela `a esquerda, dando Enter teremos a tela da direita:

A seguir mostramos duas simula¸co˜es, Disco j = 3 n=1:

−

n=2:

−

n=3:

−

n=4:

{8}

n=5:

{ 8, 24 }

n=6:

{ 8, 24, 40, 56 }

n=7:

{ 8, 24, 40, 56, 72, 88, 104, 120 }

Motivado por estes resultados achei por bem elaborar mais um Desafio∗ :

∗

Nota: Concomitantemente ` a escrita deste livro, estou ministrando duas disciplinas que envolvem Computa¸c˜ ao, C´ alculo Num´erico e Matem´ atica Discreta; estou repassando estes Desafios a meus alunos. (29.07.2016).

443

ˆ ˜ UM DESAFIO AOS ESTUDANTES DE CIENCIA DA COMPUTAC ¸ AO-V

Torre de Han´ oi ´ um jogo bastante popular inventado em em 1883 pelo matem´atico francˆes E ´ Edouard Lucas (1842-1891).

1

(Lucas)

2 3 4 5

Disp˜ oe-se de n discos perfurados de diˆametros decrescentes enfiados numa haste A e de duas outras hastes B e C. n ´e um n´ umero natural arbitrariamente fixado; n = 5 na figura acima. O jogo consiste em transferir toda a pilha de discos para a haste B ou C, deslocando um disco de cada vez para qualquer haste, com a condi¸ca˜o de que nenhum disco seja colocado sobre um outro de menor diˆametro.

O Desafio: Fa¸ca um programa que recebe n (n´umero de discos) e j, n´umero do disco na pilha, e saia com uma f´ormula que nos fornece em quais movimentos o disco j ´e transferido durante o jogo. Nota: Resolvi este Desafio na HP Prime . Nas telas a seguir temos trˆes simula¸co˜es:

A tela da esquerda nos diz que em uma torre com n = 3 discos, o disco j = 1 (do topo) ´e transferido nos movimentos dados pela equa¸ca˜o a(k) = 2 k − 1, com k ∈ { 1, 2, 3, 4 }. No item 4) substituimos os valores de k na equa¸ca˜o, o item 5) simplifica o resultado nos informando que o disco 1 ´e transferido nos movimentos de n´ umero: 1, 3, 5, 7. Observe que o item 3), varia¸ca˜o de k, faz parte da f´ormula. O mesmo raciocinio vale para as outras duas telas. Gentil, o iconoclasta Boa vista-RR/28.07.2016 [email protected]

444

O programa que resolve este Desafio ´e como a seguir,

Nota: Neste programa a contagem dos discos inicia em 1. Por exemplo, na tela da direita j = 4 ´e o quarto disco, como na figura que consta no Desafio.

Ondas digitais na Torre de Han´ oi A t´ıtulo de curiosidade observe que podemos associar uma “onda bin´ aria” a cada disco numa Torre de Han´ oi. 0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

1

2

a

3

c

A seguir temos as ondas para cada um dos discos de uma torre com quatro discos. Observe, os discos s˜ao “ativados”(transferidos) na transi¸c˜ao 0 → 1.

445

Dois Desafios aos Estudantes de Matem´ atica, Engenharia e Computa¸ c˜ ao

Torre de Han´ oi e Representa¸ c˜ ao Bin´ aria O n´ umero m´ınimo de movimentos na torre de han´oi com n discos ´e 2n − 1. Desenvolva na base bin´ aria os inteiros 0, 1, 2, . . . , 2n − 1. Apenas para fixar ideias, considere n = 4, como na figura abaixo. Numere as colunas desta matriz como 0, 1, 2, 3; assim como os discos, a partir do menor (topo). 0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

1

2

a

3

c

Cada coluna desta matriz corresponde aos movimentos do respectivo disco. A “matriz bin´ aria” fornece um algoritmo para vencer na torre de han´oi: Considere que os discos s˜ao “ativados”(transferidos) na transi¸ca˜o 0 → 1 (olhe para cada coluna), veja:

0

1

2

↑ ↑ ↑

3

↑

Desafio-1: Prove que este algoritmo funciona para um n´umero qualquer de discos.

Desafio-2: Considere que a, b e c denotam as trˆes hastes, como na figura. Prove que a sequˆencia de movimentos a → b → c → a para o menor disco sempre vence. Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/30.07.2016

446

8.1

Um algoritmo para vencer na Torre de Han´ oi

O nosso objetivo nesta sec¸ca˜o ´e demonstrar um algoritmo que nos permite vencer (sempre) no jogo conhecido como Torre de Han´oi. Na primeira edi¸ca˜o deste livro demos uma outra demonstra¸ca˜o do algoritmo, nesta edi¸ca˜o atinamos com a presente demonstra¸ca˜o, mais compacta (curta) comparada com a anterior. Lembramos (prop. 12, p. 435) que a movimenta¸ca˜o de qualquer disco ´e for¸cada, exceto a do menor, para este existem duas alternativas. Teorema 56 (Algoritmo vencedor). Em uma Torre de Han´oi com n discos a sequˆencia de movimentos para o menor disco dada pelo diagrama a seguir

a 7−→ b 7−→ c

b a

c

sempre vence; onde a, b e c s˜ao as hastes que constam na figura `a direita. Prova: (Indu¸ca˜o sobre n) Para n = 3 discos,

a 7−→ b 7−→ c b 0

1 2

a

c

jogue assim, 0 → b; 1 → c; 0 → c; 2 → b; 0 → a; 1 → b; 0 → b. Observe como o menor disco se movimenta: 0 → b; 0 → c; 0 → a; 0 → b.

447

Por hip´ otese de indu¸ca˜o, suponhamos a proposi¸ca˜o v´alida para n = p (p ≥ 3), o que significa que o algoritmo nos garante que os p discos,

a 7−→ b 7−→ c 0

1

b

2

.. .

p−1 p

a

c

podem ser transferidos de uma haste qualquer para qualquer uma das outras duas. Para n = p + 1 desejamos provar que seguindo os passos do algoritmo conseguimos tranferir os p + 1 discos de uma haste qualquer para qualquer uma das outras duas. Pois bem, suponhamos que na hip´otese de indu¸ca˜o os p discos estavam inicialmente na haste a e que (seguindo os passos do algoritmo) foram transferidos para a haste b, assim:

0

1

a 7−→ b 7−→ c

2

.. .

p−1 p

b p+1

a

c

agora transferimos o disco p + 1 para a haste c e, em seguida − usando novamente a hip´ otese de indu¸ca˜o −, transferimos os p discos de b para c.  Deixamos como exerc´ıcio ao leitor a prova de que o algoritmo a seguir tamb´em vence.

a ←− b ←− c

448

8.2 8.2.1

Quadrados e cubos m´ agicos Quadrados m´ agicos

O objetivo nesta sec¸ca˜o ´e desenvolver atrav´es das progress˜oes aritm´eticas 2D e 3D alguns resultados referentes a quadrados e cubos m´agicos (estes uma novidade, creio). Ao lado um quadrado m´agico na obra “A melancolia”, de Albrecht D¨ urer, 1514.

Iniciamos com uma, Defini¸ c˜ ao 22. Um quadrado num´erico ´e m´agico se possui n2 n´ umeros inteiros positivos − diferentes entre si − tais que a soma dos n n´ umeros que figuram nas linhas, colunas e diagonais ´e constante. Em particular, chamaremos de quadrado m´ agico natural ao quadrado m´agico formado pelos 1, 2, . . . , n2 primeiros n´ umeros naturais. Exemplo de quadrado m´agico (natural): 1

9

2

3

5

7

8

1

6

Observe que a soma dos n´ umeros em cada uma das linhas, em cada uma das colunas e em cada uma das diagonais ´e sempre 15. Este valor ´e chamado de a constante m´ agica do quadrado m´ agico. Defini¸ c˜ ao 23. Chamamos quadrado natural formado pelos n × n primeiros n´ umeros naturais ` a PA-2D de primeiro termo a11 = 1, raz˜ ao das linhas r1 = 1 e raz˜ ao das colunas r2 = n.

449

Exemplos n = 3 e n = 4: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

s˜ao os quadrados naturais associados aos 3 × 3 e aos 4 × 4 primeiros n´ umeros naturais, respectivamente. Proposi¸ c˜ ao 14. A constante m´agica do quadrado m´agico natural, vale k=

n(n2 + 1) 2

(8.1)

Prova: Dados os n´ umeros 1, 2, . . . , n2 , temos o quadrado natural associado: a11 = 1

r1 = 1

r2 = n cuja soma dos termos ´e dada pela equa¸ca˜o, Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Sn×n =

[ 2 · 1 + (n − 1) 1 + (n − 1) n ] n × n 2

(p. 242)

Logo,

simplificando,

n2 (n2 + 1) 2 Como temos n linhas de mesma soma, resulta: Sn×n =

Sn×n 1 n2 (n2 + 1) n(n2 + 1) = · = n n 2 2 

450

Proposi¸ c˜ ao 15. Em todo quadrado natural n × n, a soma dos termos em cada uma das diagonais (D.P. e D.S.) ´e igual `a constante m´agica do quadrado m´agico natural de tamanho n. Prova: Em uma PA-2D a D.P. est´ a em progress˜ao aritm´etica de primeiro termo a11 e raz˜ ao r1 + r2 e a D.S. est´ a em progress˜ao aritm´etica de primeiro termo a1n e raz˜ ao r2 − r1 ; logo, (i) D.P.: a1 = a11 = 1 e r = r1 + r2 = 1 + n, ent˜ ao, S(n) = n a1 + = n1+ = (ii) D.S.:

n(n − 1)r 2

n(n − 1)(1 + n) 2

n(n2 + 1) 2

a1 = a1n = n e r = r1 − r2 = n − 1, ent˜ ao, S(n) = n a1 + = nn+ =

n(n − 1)r 2

n(n − 1)(n − 1) 2

n(n2 + 1) 2 

Proposi¸ c˜ ao 16. Em todo quadrado natural ´ımpar (n ´ımpar), a soma dos termos da coluna central (e da linha central) ´e igual `a constante m´agica do quadrado m´agico natural de tamanho n. Prova: Em um quadrado natural de tamanho n ´ımpar os elementos da coluna do centro est˜ ao em P.A. de primeiro termo a1 = (n + 1)/2 e raz˜ ao r = r2 = n; e os elementos da linha
central est˜ ao em progress˜ao aritm´etica de primeiro termo a1 = 1 + (n + 1)/2 − 1 n e raz˜ ao r = r1 = 1; logo, (i) Coluna: S(n) = n a1 + =n =

n(n − 1)r 2

n(n − 1)n (n + 1) n+ 2 2

n(n2 + 1) 2

451

(ii) Linha: n(n − 1)r 2  i n(n − 1)(n − 1) h n+1 −1 n + =n 1+ 2 2

S(n) = n a1 +

=

n(n2 + 1) 2

 Verifique: (a) n = 3, k =

(b) n = 4, k =

(c) n = 5, k =

3(32 + 1) 2

4(42 + 1) 2

5(52 + 1) 2

= 15, veja: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

= 34, veja: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

= 65, veja: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

452

Constru¸ c˜ ao de quadrados m´ agicos Faremos agora a constru¸ca˜o de alguns quadrado m´agicos, a partir dos respectivos quadrados naturais. Obteremos quadrados de tamanhos n = 3, 4, 5. (a) n = 3. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

⇒

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 3 × 45 o em cada uma das diagonais do quadrado natural. Temos uma outra alternativa, 1

2

3

4

5

6

7

8

9

⇒

6

1

8

7

5

3

2

9

4

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 3 × 45 o na linha e coluna centrais do quadrado natural. (b) n = 4. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

⇒

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

15

1

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 4 × 45 o em cada uma das diagonais do quadrado natural. Se fixarmos as diagonais do quadrado natural obteremos um outro quadrado m´agico de tamanho 4.

453

(c) n = 5. 1

2

3

4

5

23

2

25

4

11

6

7

8

9

10

6

18

19

12

10

11

12

13

14

15

5

9

13

17

21

16

17

18

19

20

16

14

7

8

20

21

22

23

24

25

15

22

1

24

3

⇒

A linha e a coluna centrais foram rotacionadas de 5 × 45 o . 5 × 45 = 225 = 180 + 45 Temos ainda uma outra alternativa para o quadrado n = 5, 1

2

3

4

5

15

2

21

4

23

6

7

8

9

10

6

14

17

18

10

11

12

13

14

15

25

19

13

7

1

16

17

18

19

20

16

8

9

12

20

21

22

23

24

25

3

22

5

24

11

⇒

As duas diagonais foram rotacionadas de 5 × 45 o . 5 × 45 = 225 = 180 + 45

454

8.2.2

Cubos m´ agicos

At´e onde sei os cubos m´agicos s˜ao in´editos. Defini¸ c˜ ao 24. Um cubo num´erico ´e m´agico se possui n3 n´ umeros inteiros positivos − diferentes entre si − tais que a soma dos n × n n´ umeros que figuram nos planoslinha, planos-coluna ou planos-diagonais ´e constante. Lembramos que,

(p. 339)

− Plano-linha

− Plano-coluna

e,

− Plano P.D.P.

− Plano P.D.S.

Em particular, chamaremos de cubo m´ agico natural ao cubo m´agico formado pelos 1, 2, . . . , n3 primeiros n´ umeros naturais. A soma constante recebe o nome de a constante m´ agica do cubo m´ agico.

455

Exemplo de cubo m´agico (natural):

22

27

21

20

23 13

25 18

26

11

19 12

24 14

4

16 9

17

2

10 3

15 5

8

7

1

6

Veja de uma outra perspectiva − evidenciando os planos-coluna:

22

27

21

23 13

26

18

12

11 24

14 4

16 9

10 3

8

25

19

17

20

2 15

5

1

7

6

A soma em cada um destes planos ´e constante e vale: 126.

456

Veja de uma outra perspectiva − evidenciando os planos-linha: Plano-linha 1: 22

27

20

13

18

11

4

9

2

21

23

25

12

14

16

3

5

7

26

19

24

17

10

15

8

1

6

Plano-linha 2:

Plano-linha 3:

A soma dos termos em cada um destes planos vale: 126.

457

Veja de uma outra perspectiva − evidenciando os planos-diagonais: Plano-diagonal 1 (P.D.P.):

22

23 13

24 14 4 15 5

6 Plano-diagonal 2 (P.D.S.): 20

23 11 26 14 2 17 5

8 A soma dos termos em cada um destes planos vale: 126.

458

Defini¸ c˜ ao 25. Chamamos cubo natural formado pelos n × n × n primeiros n´ umeros naturais ` a PA-3D de primeiro termo a111 = 1, raz˜ ao das linhas r1 = 1, raz˜ ao das colunas r2 = n e raz˜ ao das cotas r3 = n2 . Exemplo de cubo natural (n = 3):

19

20

22

21

23

24

10

25

11

12

26 13

27 14

15

1

2

3 3×3

16

17 4

18 5

6 1

7

8

9

1

3

Proposi¸ c˜ ao 17. A constante m´agica do cubo m´agico natural, vale k=

n2 (n3 + 1) 2

Prova: Dados os n´ umeros 1, 2, . . . , n3 , temos o cubo natural associado: r3 = n2 1

r1 = 1

r2 = n cuja soma dos termos ´e dada pela equa¸ca˜o, Si×j×k =

[ 2a111 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 + (k − 1) r3 ] i × j × k 2

Logo,

459

(p. 354)

Sn×n×n =

[ 2 · 1 + (n − 1) 1 + (n − 1) n + (n − 1) n2 ] n × n × n 2

simplificando,

n3 (n3 + 1) 2 Como temos n planos-linha de mesma soma, resulta: Sn×n×n =

Sn×n×n 1 n3 (n3 + 1) n2 (n3 + 1) = · = n n 2 2  Proposi¸ c˜ ao 18. Em todo cubo natural a soma dos termos em cada um dos planosdiagonais (P.D.P. e P.D.S.) ´e igual `a constante m´agica do cubo m´agico natural de tamanho n. Prova: Segundo propriedade vista, em uma PA-3D o P.D.P. est´ a em PA-2D, de primeiro termo a111 e raz˜ oes r1 + r2 e r3 .

r3 a11 = 1

a111

r1 = n2

r1 + r2 r2 = n + 1

− Plano P.D.P. (i) P.D.P.:

a11 = 1, r1 = n2 e r2 = n + 1, ent˜ ao, Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Substituindo os dados, temos: Sn×n =

[ 2 · 1 + (n − 1) n2 + (n − 1) (n + 1) ] n × n 2

Simplificando, Sn×n =

n2 (n3 + 1) 2

Segundo propriedade vista, em uma PA-3D o P.D.S. est´ a em PA-2D de primeiro termo a1N 1 e raz˜ oes r2 − r1 e r3 .

460

r3 a1N 1

r2 −

r1 = n2

r1

r2 = n − 1

− Plano P.D.S. (ii) P.D.S.:

a11 = n

a11 = n, r1 = n2 e r2 = n − 1, ent˜ ao, Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Substituindo os dados, temos: Sn×n =

[ 2 · n + (n − 1) n2 + (n − 1) (n − 1) ] n × n 2

Simplificando, Sn×n =

n2 (n3 + 1) 2 

461

Proposi¸ c˜ ao 19. Em todo cubo natural ´ımpar (n ´ımpar), a soma dos termos do plano-linha central e do plano-coluna central ´e igual `a constante m´agica do cubo m´agico natural de tamanho n.

− Plano-linha

− Plano-coluna

Prova: Em um cubo natural de tamanho n ´ımpar os termos do plano-linha central est˜ ao em PA-2D de primeiro termo, n+1  a11 = 1 + − 1 n e raz˜ oes r1 e r3 . 2 (i) P.L.C.: a11 = 1 +

n−1 2

Si×j =

n, r1 = n2 e r2 = 1. Ent˜ ao,

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Substituindo os dados, temos: h i
2 · 1 + (n−1)n + (n − 1) n2 + (n − 1) 1 n × n 2 Sn×n = 2 Simplificando,

n2 (n3 + 1) 2 Em um cubo natural de tamanho n ´ımpar os termos do plano-coluna central est˜ ao em PA-2D de primeiro termo, Sn×n =

a11 = (ii) P.C.C.: a11 =

n+1 2 ,

n+1 2

e raz˜ oes r2 e r3 .

r1 = n2 e r2 = n. Ent˜ ao,

Si×j =

[ 2a11 + (j − 1) r1 + (i − 1) r2 ] i × j 2

Substituindo os dados, temos: h i 2 · (n+1) + (n − 1) n2 + (n − 1) n n × n 2 Sn×n = 2 Simplificando, Sn×n =

n2 (n3 + 1) 2 

462

Constru¸ c˜ ao de cubos m´ agicos Faremos agora a constru¸ca˜o de alguns cubos m´agicos, a partir dos respectivos cubos naturais. A partir do quadrado m´agico de tamanho n n˜ ao h´ a nenhuma dificuldade para se obter o cubo m´agico de tamanho n, uma vez que este tem no plano da base (plano k = 1) o pr´oprio quadrado m´agico. O procedimento ´e o seguinte: Construa o cubo natural, movimente os planos verticais deste cubo de modo a obter no plano da base o quadrado m´agico de tamanho n (o qual deve ser conhecido a priori∗ ). Com este procedimento teremos para cada quadrado m´agico um cubo m´agico. Exemplos: (a) (n = 3) Para o quadrado m´agico, 1

2

3

4

5

6

7

8

9

⇒

4

9

2

3

5

7

8

1

6

teremos o seguinte cubo m´agico:

(p. 456)

22

27

21

23 13

26

19

11

24 14

4

16 9

10 3

8

25 18

12

17

20

2 15

5

1

7

6

∗ Ou, alternativamente, passamos diretamente aos cubos m´ agicos rotacionando os planos verticais com os mesmos ˆ angulos que usamos para a constru¸c˜ ao dos quadrados m´ agicos.

463

N˜ ao deixa de ser surpreendente o fato de todos os planos-cota resultarem em quadrados m´agicos,

− Plano-cota

veja: 22

27

21

23

26

25

19

24

13

18

12

11

14

17

16

10

15

4

9

3

8

20

2

5

1

7

6

A constante m´agica do quadrado m´agico da base ´e 15. A constante m´agica do quadrado m´agico do plano intermedi´ ario ´e 42. A constante m´agica do quadrado m´agico do plano superior ´e 69.

464

Cubos m´ agicos e HP Prime J´a vimos que a HP Prime trabalha com matrizes 3D, na tela a seguir armazenamos∗ (na vari´avel CM3) o cubo m´agico de tamanho 3 que comparece na p´ agina 463.

Vejamos, na tela do centro, o que o duplo somat´orio, 3 3 X X

CM3(K, I, 1)

I =1 K =1

representa. O somat´orio interno faz k = 1, 2, 3, isto ´e, k=1    4   3   8

k=2  

9 2 13 18   5 7  ,  12 14 1 6 17 10

k=3  11 22 27 20      16  ,  21 23 25    15 26 19 24  

para cada k fixo a linha varia de 1 a 3 (somat´orio externo), a coluna permanece fixa em 1. Temos a soma do plano-coluna 1 (j = 1). 22

27

21

20

23 13

26

25 18

19 12

11

24 14

4

16 9

2 k=1,2,3

17

10 3

15 5

7 j=1,2,3

8

1

6

i=1,2,3

´ poss´ıvel uma outra interpreta¸ca˜o para o duplo somat´orio; de qualquer Nota: E modo teremos a soma do plano-coluna j = 1. ∗

Simplesmente coloque em uma lista os trˆes planos do cubo, k = 1, 2, 3.

465

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor verificar o significado da tela `a direita. Na p´ agina 339, definimos, • Plano-diagonal principal (P.D.P.): ´e o plano em que i = j; • Plano-diagonal secund´ ario (P.D.S.): ´e o plano em que i + j = N + 1. No nosso exemplo N = 3, ent˜ ao, ⇒

i+j =3+1

j =4−i

Nas telas a seguir temos a soma dos planos (P.D.P.) e (P.D.S.),

Confira,

22

27

21

23 13

26

19

11

24 14

4

16 9

10 3

8

25 18

12

17

20

2 15

5

1

7

6

466

(b) n = 4. 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

⇒

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

15

1

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 4 × 45 o em cada uma das diagonais do quadrado natural. Vamos realizar no cubo natural estas mesmas opera¸co˜es em cada plano-cota. Vamos partir do cubo natural, 49

50

53 57

61

54 58

62

63

37

41

26

19

23

27

r3 = 42

28 32

6

1 3

7

11

15

20

24

2

10

14

44 48

31

5

36

40

18

1

13

39

22

30

9

35

43

17

25

64

47

21

56

34

42

52

60

38

46

29

55 59

33

45

51

4

8

r1 = 1

r2 = 4

12

16

Vamos listar cada um dos planos-cota (a partir do segundo, o plano da base j´a temos) e executar as opera¸co˜es de rota¸ca˜o, como na p´ agina a seguir

467

Plano-cota 2: 17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

⇒

32

18

19

29

21

27

26

24

25

23

22

28

20

30

31

17

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 4 × 45 o em cada uma das diagonais do quadrado `a esquerda. A constante m´agica do quadrado m´agico ` a direita ´e 98. Plano-cota 3: 33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

⇒

48

34

35

45

37

43

42

40

41

39

38

44

36

46

47

33

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 4 × 45 o em cada uma das diagonais do quadrado `a esquerda. A constante m´agica do quadrado m´agico ` a direita ´e 162. Plano-cota 4: 49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

⇒

64

50

51

61

53

59

58

56

57

55

54

60

52

62

63

49

Obtivemos o quadrado m´agico dando uma rota¸ca˜o (sentido anti-hor´ario) de 4 × 45 o em cada uma das diagonais do quadrado `a esquerda. A constante m´agica do quadrado m´agico ` a direita ´e 226. De posse destes resultados parciais vamos montar agora o cubo m´agico,

468

Veja, 64

50

53 57

52

59 55

62

63

37

41

39

38

22

k=

n2 (n3 + 1) 2

k=

42 (43 + 1) = 520 2

24

28

2

3

10

6

15

29

17

11

7

14

19

26

16

4

44

31

5

40

18

23

45

33

27

30

9

35

42

32

25

60

49

47

21

61

56

34

43

46

20

58 54

48

36

51

13

8

12

1

Na tela a seguir − as duas primeiras telas s˜ao uma s´o − guardamos o cubo m´agico anterior

na tela `a direita temos a soma dos termos do plano-linha 1. Nas telas a seguir temos a soma dos planos (P.D.P.) e (P.D.S.),

469

Um Desafio a Quem Interessar possa Quadrados e cubos m´ agicos A origem dos quadrados m´agicos n˜ ao ´e conhecida, mas h´ a registros de sua existˆencia em ´epocas anteriores ` a nossa era na China e na ´India. O quadrado de 9 casas (3 × 3) ´e encontrado pela primeira vez num manuscrito ´arabe, no fim do S´eculo VIII, e atribu´ıdo a Apolˆonio de Tiana (I S´eculo). Ao lado um quadrado m´agico na obra “A melancolia”, de Albrecht D¨ urer, 1514. A seguir vemos dois quadrados m´agicos (de ordem 3 e 4): 4

9

2

3

5

7

8

1

6

16

2

3

13

5

11

10

8

9

7

6

12

4

14

15

1

No da esquerda a soma de qualquer linha, coluna ou diagonal ´e sempre constante (= 15) (constante m´agica). No da direita acontece o mesmo (= 34). Para o que se segue, definimos os seguintes planos em um cubo,

− Plano-linha

− Plano-coluna

− Plano P.D.P.

− Plano P.D.S.

N˜ ao temos conhecimento da existˆencia de cubos m´agicos, de qualquer forma vamos cri´a-los atrav´es da seguinte: Defini¸ c˜ ao 26. Um cubo num´erico ´e m´agico se possui n3 n´ umeros inteiros positivos − diferentes entre si − tais que a soma dos n × n n´ umeros que figuram nos planoslinha, planos-coluna ou planos-diagonais ´e constante. Nota: Dizemos que n ´e o tamanho (ou ordem) do cubo m´agico.

470

A seguir vemos um cubo m´agico de ordem n = 3, cuja constante m´ agica vale 126. 22

27

21

20

23

25

13

26

18

19 12

11

24 14

16

4 17

9 10

3

2 k=1,2,3

15 5

7 j=1,2,3 i=1,2,3

8

1

6

Ou seja, neste cubo, a soma de qualquer plano-linha, plano-coluna ou planosdiagonais ´e sempre constante e vale 126.

Cubos m´ agicos e a HP Prime A HP Prime trabalha com matrizes 3D, na tela a seguir armazenamos† (na vari´avel CM3) o cubo m´agico acima.

Na tela do centro temos a soma dos termos do plano-coluna j = 1. Na tela da direita temos a soma dos termos do plano P.D.P. (i = j). Observe que cada plano (k = 1, 2, 3) ´e, por sua vez, um quadrado m´agico.

Desafio: Construa um cubo m´ agico de ordem n = 4. Gentil, o iconoclasta

Boa vista-RR/04.08.2016

[email protected]

†

Simplesmente coloque em uma lista os trˆes planos do cubo, k = 1, 2, 3.

471

8.3

Apˆ endice

Representa¸c˜ ao bin´ aria e Torre de Han´ oi Nosso objetivo aqui ´e mostrar que a matriz de combina¸co˜es descreve a dinˆamica da Torre de Han´ oi; faremos isto por indu¸ca˜o sobre n, o n´ umero de discos na Torre. Lembramos: fixada uma coluna, convencionamos que uma mudan¸ca de 0 para 1 (0 → 1) significa que o respectivo disco deve ser (´e) movimentado. Prova: (Indu¸ca˜o sobre n). Para n = 1, temos,

0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

a

−→

−→

c

A matriz (submatriz) para n = 1 disco nos diz que o disco 0 ´e movimentado; na figura da direita (Torre) o disco 0 ´e movimentado (para a haste b ou c). Portanto, para n = 1 disco a matriz descreve a dinˆamica da Torre. Por hip´ otese de indu¸ca˜o, suponhamos que a matriz descreve a dinˆamica da Torre para n = p discos, veja:

20 21 ···

2p−1

0

0 0

···

0

1 0

1

0

1

1

···

.. .

.. .

1

1

··· ··· ··· ···

0

p−2 p−1

b

0

.. .

1 2

.. .

0

a

c

1

O significado desta figura ´e: os p discos iniciais estavam na haste a (ou c) e, seguindo as “prescri¸co˜es” da matriz, foram transferidos para a haste b. Ou ainda, estando a pilha de discos inicialmente em qualquer uma das hastes, seguindo as prescri¸co˜es da matriz, podemos transfer´ı-la para qualquer uma das outras duas.

472

Vamos mostrar que a proposi¸ca˜o ´e v´alida para n = p + 1 discos. Isto ´e, aumentando-se uma coluna na matriz − que corresponde a acrescentar um disco na Torre − esta ainda descreve a dinˆ amica da Torre. Consideremos a figura: 20 21 ···

2p−1

2p

0

0

1

0

···

0

1

1

1

···

.. .

.. .

1

1

···

1

0

0

0

1

0

···

0

1

1

1

···

.. .

.. .

1

1

0

0

···

0

0

0

0

···

0

0

···

.. .

0

1 2

.. .

p−2 p−1

1

0

1

0

1

···

0

1

.. .

.. .

1

1

··· ···

y

7−→ C´ opia

0

···

b p

a

c

Primeiro: a prova de que a “matriz aumentada” ´e como acima decorre do exerc´ıcio que consta na p´ agina 420. Ent˜ ao, consideremos que todos os p + 1 discos encontravam-se inicialmente na haste a. Por hip´otese de indu¸ca˜o∗ , transferimos para a haste b os p primeiros discos, ficando com a configura¸ca˜o acima. Na coluna j = 2p da matriz aumentada observamos que o disco de n´ umero p deve ser movimentado (0 → 1), ent˜ ao vamos transfer´ı-lo para a haste c. Agora a metade inferior da matriz nos diz, ainda pela hip´ otese de indu¸ca˜o, como transferir os p discos de b para c.  a0 a1 ··· ap−1 ap 0

.. .

da demonstra¸ c˜ ao anterior veja a figura ao lado:

Hip´ otese

2p −1

(Ver p´ agina 335)

2p

de Indu¸ c˜ ao

Propriedade

p

2 +1

.. .

do DNA

2p+1 −1

∗

0 0

1

Para melhor entendimento

.. .

0 1 1

.. .

1

Parte n˜ ao hachurada na matriz bin´ aria acima.

473

Ademais, podemos mostrar − ainda por indu¸ca˜o sobre n − que quando ocorrem 1’s consecutivos na matriz bin´aria, isto significa que os respectivos discos est˜ ao superpostos na Torre. Apenas observe isto para n = 2, 3, 4 discos.

0

20 21 22 23 0 0 0 0

1

1

0

0

0

2

0

1

0

0

3

1

1

0

0

4

0

0

1

0

5

1

0

1

0

6

0

1

1

0

7

1

1

1

0

8

0

0

0

1

9

1

0

0

1

10

0

1

0

1

11

1

1

0

1

12

0

0

1

1

13

1

0

1

1

14

0

1

1

1

15

1

1

1

1

b 0

1

a

474

2

c

´ APOCRIFO Pedimos licen¸ca ao leitor para inserirmos neste ponto um texto ap´ocrifo, a fim de que o mesmo n˜ ao pere¸ca juntamente com este autor.

Uma transforma¸ c˜ ao linear especial Interregno cultural: Precisamente no ano de 1988 senti a necessidade de fazer um programa computacional para tra¸car o gr´afico de superf´ıcies z = f (x, y). Na ´epoca n˜ ao existiam os potentes softwares alg´ebricos existentes hoje e que tra¸cam gr´aficos com a maior facilidade. Inicialmente, para desenvolver meu programa consultei dois ou trˆes livros sobre computa¸ca˜o gr´afica, entretanto achei os algoritmos − constantes nestes livros − um tanto quanto complicados para serem implementados; foi quando decidi criar meu pr´oprio algoritmo.

Dedu¸c˜ ao do meu algoritmo Ap´os alguns instantes de reflex˜ ao me coloquei o seguinte problema: Como plotar um ponto (x, y, z), do espa¸co tridimensional, em uma superf´ıcie bidimensional (a tela do computador ou uma folha de papel, por exemplo)? Para resolver meu problema devo construir a seguinte transforma¸ca˜o

T : R3 → R2 z

z

t (x, y, z)

t (X, Y )

y

y

x

Observe que o ponto a ser plotado ´e “o mesmo” nas duas figuras − Isto ´e, n˜ ao muda de posi¸ca˜o. Digo, para plotar o ponto de coordenadas (x, y, z) “no espa¸co” basta plotar o ponto de coordenadas (X, Y ) no plano − de modo que esta plotagem nos dˆe a ilus˜ ao de que o ponto encontra-se no espa¸co, entenderam?

475

Pois bem, s´o nos resta agora relacionar as “coordenadas virtuais” X e Y com as coordenadas reais x, y e z. Isto pode ser feito a partir das figuras

z z

t (X, Y )

t (X, Y ) ≡ (x, y, z) y

y

` θ

x

` θ

տ

x

Nota: θ ´e um ˆ angulo entre o eixo x e o eixo z (negativo). O nosso interesse estar´ a centrado na figura da direita. Desta figura destacamos o seguinte triˆangulo (ver seta): y−X ⊡ z−Y

θ

sen θ =

y−X x

⇒ X = y − x · sen θ

cos θ =

z−Y x

⇒ Y = z − x · cos θ

x

a

Ent˜ ao, o “menor algoritmo do mundo” para o tra¸cado de superf´ıcies, ´e:

(x, y, z) ≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ )

476

Aplica¸c˜ oes do algoritmo Na figura seguinte temos o gr´ afico da superf´ıcie dada por z(x, y) = cos x · cos y no dom´ınio [0, 4π] × [0, 2π] (isto ´e, 0 ≤ x ≤ 4π, 0 ≤ y ≤ 2π), com θ = 35 o :

Na figura seguinte temos o gr´ afico da superf´ıcie dada por z(x, y) = sen x · cos y no dom´ınio [0, 4π] × [0, 2π] (isto ´e, 0 ≤ x ≤ 4π, 0 ≤ y ≤ 2π ), com θ = 35 o :

477

Morte e ressurrei¸c˜ ao de um algoritmo Alguns anos depois da concep¸ca˜o do meu algoritmo surgem os poderosos softwares computacionais para o tra¸cado de gr´aficos (inclusive superf´ıcies), devo confessar que, com muito pesar, vislumbrei a morte de meu rebento. Entretanto, alguns anos depois as circustˆ ancias me levaram a utilizar o processador de texto∗ LATEX 2ε e neste existe um ambiente (picture) para o tra¸cado de figuras que trabalha com as coordenadas cartesianas bidimensionais (X, Y ). Somente ent˜ ao me dei conta de que a finalidade principal de meu algoritmo n˜ ao estava no tra¸cado de superf´ıcies mas sim em plotar um ponto no espa¸co R3 e, em fun¸ca˜o disto, o mesmo se revelaria de grande utilidade dentro do ambiente de figuras do referido processador de texto. Por exemplo, os seguintes paralelepipedos foram tra¸cados com o algoritmo.

Nota: As duas superf´ıcies anteriores foram tra¸cadas no ambiente de figuras (pspicture) do LATEX, programei a equa¸ca˜o (algoritmo) em minha H.P. para me fornecer as coordenadas dos pontos da superf´ıcie. Uma outra aplica¸ca˜o inestim´avel que encontrei para o meu algoritmo se deu ´ 21 anos ap´os sua concep¸ca˜o, quando iniciei a escrever um livro de Algebra Linear (capa p. 170). Ainda uma outra aplica¸ca˜o inestim´avel se deu 28 anos depois† ao escrever a segunda edi¸ca˜o deste livro. As figuras 3D do presente livro − cap´ıtulos 7 e 8 − foram feitas com o algoritmo, programei a f´ormula para um ˆangulo θ = 40 o . ´ uma experiˆencia como nenhuma outra que eu possa E descrever, a melhor coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma coisa que aconteceu na na´ surpreendente, todas as vezes que ocorre. Ficamos tureza. E espantados com o fato de que um construto de nossa pr´opria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l´a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande. (Leo Kadanoff, f´ısico)

∗ †

No qual foi feita a Editora¸c˜ ao eletrˆ onica deste livro. 2016 − 1988 = 28.

478

˜ DE LIVROS QUEIMAO “Acho que muita gente vai se beneficiar com este livro. ´ claro e com muitos exemplos e aplica¸co˜es interessantes. E Parab´ens por ver seu grande esfor¸co coroado.” (Ubiratan D’Ambrosio/USP)

↓

“Obras colocadas no ‘´ ındex’ pela UFRR.”

“Um Sacrif´ ıcio no Altar da Estupidez.” “Ok, ...A Estupidez Venceu!” (UFRR/13.05.2014/Prof. Gentil, o iconoclasta) 479

˜ DE LIVROS FOTOS DO QUEIMAO

˜ DE LIVROS” foi um protesto que fiz em 13.05.2014 contra Nota: O “QUEIMAO o descaso da UFRR em rela¸ca˜o aos meus livros − queimei v´arios livros em frente `a reitoria. Com v´arios livros publicados a Universidade nunca adquiriu (comprou) um u ´ nico livro meu. Na biblioteca existem alguns exemplares da primeira edi¸ca˜o deste livro (“Novas Sequˆencias. . . ”) todos doados por mim. Por exemplo, com respeito ao meu outro livro de matem´atica (“Espa¸cos M´etricos”), como eu n˜ ao doei nenhum exemplar `a biblioteca, l´a n˜ ao consta nenhum exemplar − at´e a presente data: 17/08/2016.

480

Cap´ıtulo

9

Programando a HP Prime A despeito da cr´ıtica de Laplace, a vis˜ ao de Leibniz, pela qual o mundo ´e criado a partir dos 0’s e 1’s, recusa-se a sair de cena. De fato, ela come¸cou a inspirar alguns f´ısicos contemporˆ aneos, que provavelmente nunca ouviram falar de Leibniz. (Gregory Chaitin/Metamat!)

Introdu¸ c˜ ao Este cap´ıtulo foi o u ´ltimo do livro a ser escrito, e n˜ ao estava previsto, inicialmente meu plano era apenas escrever um pequeno apˆendice no cap´ıtulo 1 sobre programa¸ca˜o, acontece que quando iniciei a escrita deste pequeno apˆendice o mesmo foi se avolumando a tal ponto que decidi por um cap´ıtulo; ademais, no pr´oximo semestre vou ministrar a meus alunos a disciplina C´alculo Num´erico − na qual adotarei a HP Prime −, estou preparando este cap´ıtulo para usar nesta disciplina como uma introdu¸ca˜o ` a programa¸ca˜o.

9.1

Introdu¸ c˜ ao ` a programa¸ c˜ ao da HP Prime

A calculadora gr´ afica HP Prime ´e uma potente e sofisticada ferramenta computacional, n˜ ao apenas num´erica como, ademais, alg´ebrica − e tamb´em gr´afica. A seguir a legenda do teclado∗

∗

Retirado do manual “Guia de consulta r´ apida”.

481

A calculadora ´e um universo praticamente inesgot´avel, apresentaremos aqui material suficiente para iniciar o leitor no fascinante universo da programa¸ca˜o, daremos os primeiros passos na programa¸ c~ ao num´ erica e alg´ ebrica; muitos outros programas s˜ao apresentados no desenvolver do presente livro − do cap´ıtulo 1 em diante. A HP Prime utiliza uma linguagem de programa¸ca˜o pr´opria conhecida como “linguagem de programa¸ c˜ ao da HP Prime ” : Uma potente e sofisticada linguagem de programa¸c˜ ao. ), aqui podemos realizar Ent˜ ao, a base da calculadora ´e a vista de In´ıcio ( alculos num´ ericos. Os c´ alculos simb´ olicos (ou alg´ ebricos) s˜ao reatodos os c´ lizados na vista do CAS ( ), a ser exemplificado oportunamente. Escrevi um livro sobre programa¸ca˜o da calculadora HP 50g no qual adotei o modo pilha (RPN− Reverse Polish Notation), na HP Prime o modo RPN foi praticamente banido, j´a que n˜ ao podemos utiliz´a-lo em programa¸ca˜o, sendo assim optaremos (fixaremos) o modo alg´ ebrico. Inicialmente, coloque sua calculadora no modo de entrada alg´ ebrico.

←

482

Voltando ` a vista de in´ıcio (

) destacamos,

→ Linha de entrada

Linha de entrada

A linha de entrada (de dados) no modo alg´ebrico ´e “unidimensional” (em uma linha); ap´os pressionar teremos a tela da direita.

9.1.1

Programa¸c˜ ao num´ erica

Programar a calculadora significa introduzir em sua mem´oria (RAM− Random Access Memory − mem´ oria de acesso aleat´ orio) uma s´erie de instru¸co˜es e comandos para que ela os execute sequˆencialmente, cumprindo alguma tarefa espec´ıfica. Por exemplo, resolver uma equa¸ca˜o, multiplicar ou dividir polinˆomios, imprimir textos, elaborar um gr´ afico, construir tabelas trigonom´etricas, etc. Para tanto ´e necess´ario que as instru¸co˜es e os comandos sejam digitados no padr˜ ao sint´ atico da linguagem da calculadora e dispostos sequˆencialmente na ordem em que devem ser executados. A fim de que a execu¸ca˜o seja perfeita e apresente ´ preos resultados objetivados com precis˜ao, n˜ ao basta atender estes requisitos. E ciso que o programa n˜ ao contenha erros de l´ogica, cuja detec¸ca˜o n˜ ao ´e feita pela calculadora, que est´ a preparada para apontar somente erros de sintaxe. Os recursos de programa¸ca˜o postos `a nossa disposi¸ca˜o pela calculadora HP Prime s˜ao excepcionalmente valiosos e variados e a melhor forma de conhecˆe-los, entender sua finalidade e alcance e fix´a-los em nossa mem´oria ´e atrav´es da pr´atica. Embora mencionada como uma calculadora por causa de seu formato compacto similar aos dispositivos de c´ alculo manuais t´ıpicos, a HP Prime deve ser vista como um sofisticado computador program´ avel/gr´ afico. Antes de se iniciar a programa¸ca˜o de determinado problema ´e importante que se tenha bem claro em mente quais s˜ao os dados de entrada e quais s˜ao os dados de sa´ıda; por exemplo:

483

1o ) Resolver a equa¸ca˜o quadr´ atica ax2 + bx + c = 0. √ −b ± b2 − 4ac x= 2a Temos:

a b c

R.E.Q.

r1 r2

Onde: − Dados de entrada: a, b e c. − Dados de sa´ıda: r1 e r2 (s˜ao as ra´ızes). − R.E.Q.: Vari´avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´a referenciada sempre que o programa for executado). Observa¸ c˜ ao: o nome R.E.Q. ´e apenas um exemplo, o nome poderia ser um outro, a seu crit´erio. A bem da verdade existem algumas restri¸co˜es na escolha do nome de uma vari´avel. O modo mais pr´atico ´e tentar um nome, caso a calculadora reclame (erro) mude-o. 2o ) Calcular o n−´esimo termo de uma progress˜ao aritm´etica: an = a1 + (n − 1)r Temos, a1 r n

an

P.A.

Onde: − Dados de entrada: O primeiro termo a1 ; a raz˜ ao r da P.A. e a posi¸ca˜o n do termo que desejamos encontrar. − Dados de sa´ıda: O n−´esimo termo an . − P.A.: Vari´avel que ir´ a armazenar o programa (e que ser´a referenciada sempre que o programa for executado).

484

Inicialmente vamos fazer um programa para calcular o n-´esimo termo de uma P.A. Entre na ´ area de programa¸ca˜o digitando as teclas,

A calculadora exibir´ a a seguinte tela (esquerda-Cat´ alogo de programas):

↑ pressione a tecla virtual New, para um novo programa. A tela da direita ser´a exibida. Escolha um nome para o programa e pressione OK (2×). Nota: Na programa¸ca˜o num´erica n˜ ao marcamos a caixa CAS. A tela a seguir (esquerda) ser´a exibida, j´a com o nome escolhido para o programa.

Nota: Inicialmente escolhi o nome P.A., a calculadora reclamou, escolhi PA, ela aceitou. Na tela da esquerda entre parenteses digite as vari´aveis de entrada e, no corpo do programa, a f´ ormula do termo geral da progress˜ao aritm´etica. Estrutura de comandos Na HP Prime os comandos s˜ao separados por ponto e v´ırgula ( ; ). Nos comandos que requerem v´arios argumentos, esses argumentos s˜ao colocados entre parˆenteses e separados por uma v´ırgula ( , ). Ao terminar de digitar um programa pressione a tecla virtual Check, para a calculadora verificar se existe algum erro de sintaxe. Se n˜ ao houver erro(s) no programa a calculadora exibir´ a a seguinte tela:

485

Pressione em seguida OK e para retornar ao cat´ alogo de programas, onde consta o programa que acabamos de fazer.

Como executar um programa Temos duas alternativas para executar um programa. Vejamos as duas. 1 ) A partir do cat´ alogo de programas. Selecione o programa a ser executado, como na tela a seguir, a

Ap´os pressione a tecla virtual Run, ser´a exibida a tela `a direita, na qual deveremos entrar com os dados do programa. Vamos executar o programa, por exemplo, para a progress˜ao aritm´etica a seguir, 1

3

5

7

9

11

13

onde, a1 = 1 e r = 2. Vamos escolher, por exemplo, n = 7.

486

15

17

...

Entrando com os dados na tela da esquerda e pressionando OK no final, teremos a tela da direita,

Portanto, o termo de posi¸ca˜o n = 7 ´e 13, na P.A. do exemplo, 1

3

5

7

9

11

13 |{z}

15

17

...

n=7

2a ) A partir da vista de in´ıcio. Podemos executar o programa diretamente da vista de in´ıcio,

Estando na vista de in´ıcio digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo programa, como na tela a seguir,

→

e teremos a tela da direita, com o resultado desejado.

Ap´os, pressione 1

3

5

7

9

11

13 |{z} n=7

487

15

17

...

A partir da f´ ormula, n(n − 1) r 2 da soma dos n primeiros termos de uma P.A. vamos elaborar mais um programa. Entre novamente na ´ area de programa¸ca˜o, conforme p´ agina 485. Sn = n a 1 +

Pressionando New escolhemos o nome STPA, digitamos como na tela da direita. Ap´os Check, o programa n˜ ao cont´em erros. Selecione o programa a ser executado, como na tela a seguir,

Ap´os pressione a tecla virtual Run, ser´a exibida a tela `a direita, na qual deveremos entrar com os dados. Vamos execut´a-lo para a mesma progress˜ao aritm´etica do exemplo anterior, onde, a1 = 1 e r = 2. Vamos escolher, por exemplo, n = 6. Entrando com os dados como na tela da esquerda e pressionando OK no final, teremos a tela da direita,

Portanto, a soma dos seis primeiros termos da P.A. ´e 36.

488

Editando programas Vamos editar o primeiro programa. Uma vez ele assinalado,

pressione Edit e complete conforme tela `a direita. Aqui definimos uma vari´ avel local − s˜ao as que s˜ao v´alidas (dispon´ıveis) apenas dentro do programa em que foram definidas. O comando := ´e de atribui¸ca˜o. O primeiro PRINT(), sem argumentos, ´e para limpar a tela de qualquer impress˜ao anterior. No segundo PRINT, o que vem entre aspas duplas ´e tratado como string (ser´a impresso tal como), o sinal + significa justaposi¸c˜ ao (concatena). Ap´os digita¸ca˜o, pressione Check para verificar se n˜ ao existem erros no programa. Entre com os dados da tela ` a esquerda,

para obter a tela da direita. O termo de posi¸ca˜o n = 7 ´e 13 na P.A. 1

3

5

7

9

11

13 |{z}

a(7) = 13

Como mais um exemplo, vamos editar o segundo programa.

489

15

17

...

Uma vez ele assinalado,

pressione Edit e complete conforme tela `a direita. Ap´os digita¸ca˜o, pressione Check para verificar se n˜ ao existem erros no programa. Entrando com os dados como na tela da esquerda e pressionando OK no final, teremos a tela da direita,

Portanto, a soma dos seis primeiros termos da P.A. ´e 36, 1 |

3

5

{z 7

9

S(6) = 36

∗

∗

11}

13

15

17

...

∗

Adendo: Nas telas a seguir exemplificamos como fatorar e expandir uma express˜ao alg´ebrica.

490

9.1.2

Programa¸c˜ ao alg´ ebrica

Na programa¸ca˜o alg´ebrica, que ser´a bastante utilizada ao longo de todo este livro, teremos f´ ormulas na sa´ıda de um programa. Estes programas pertencem `a ´ vista do CAS − Computer Algebra System (Sistema de Algebra Computacional).

Modo CAS Aproximado e Exato No modo CAS existe uma importante configura¸ca˜o, acesse assim,

← Ademais, pe¸ca isto

Aqui

Se Exact estiver marcado as opera¸co˜es simb´ olicas ser˜ao calculadas como express˜ oes alg´ebricas, caso contr´ ario como num´ericas. Ou ainda, com Exact ativo (marcado) as constantes ser˜ao tratadas simbolicamente, caso contr´ario, numericamente (i.e., aproximadas por seus valores num´ericos). Por exemplo, na tela a seguir (esquerda),

entramos com as respectivas constantes com Exact ativo, na tela da direita desmarcamos Exact e entramos novamente com as mesmas constantes. Pois bem, vamos iniciar a programa¸ca˜o alg´ebrica por um programa bem simples. Antes, marque Exact. Considere a f´ ormula do termo geral de uma P.A.: an = a1 + (n − 1) r. Vamos fazer um programa onde entramos com o primeiro termo e a raz˜ ao e ele nos devolve a f´ ormula do termo geral. Entre na ´ area de programa¸ca˜o digitando as teclas,

A calculadora exibir´ a a seguinte tela (esquerda-Cat´ alogo de programas):

491

↑ pressione a tecla virtual New, para um novo programa. A tela da direita ser´a exibida. Escolha um nome para o programa (escolhemos FPA), marque a caixa CAS e pressione OK. Ser´ a exibida a tela da esquerda a seguir,

Digite a tela da direita. Vamos executar este programa, a partir da vista do CAS, para a P.A., 1

3

5

7

9

11

onde, a1 = 1 e r = 2. Pressione a tecla,

13

15

17

...

; na linha de entrada,

→ digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo programa. Ap´os, pressione e teremos a tela da direita (acima). Logo, an = 2n − 1.

492

Importante:

´ poss´ıvel que este programa n˜ E ao funcione em algumas calculadoras: se houver algum valor previamente armazenado na vari´avel n. Para saber, digite n (min´ usculo) na linha de entrada e pressione Enter, se n˜ ao aparecer o pr´oprio n, ent˜ ao esta vari´avel deve ser reinicializada. Se for este o seu caso veja como resolver este problema no adendo a seguir.

Adendo: Para resetar uma vari´avel CAS, acesse a mem´oria da calculadora a partir das teclas:

Em seguida selecione CAS Vars,

→ ↑

↑

pe¸ca para ver as vari´aveis do CAS; selecione a que deseja deletar (resetar, reinicializar).

493

Vamos ver mais um exemplo de programa¸ca˜o alg´ebrica. A partir da f´ormula, Sn = n a 1 +

n(n − 1) r 2

da soma dos n primeiros termos de uma P.A. vamos elaborar mais um programa, que sair´ a com esta f´ ormula para uma dada P.A.. Entre novamente na ´ area de programa¸ca˜o, conforme p´ agina 485.

Pressionando New escolhemos o nome FSPA, digitamos como na tela da direita. Ap´os Check, o programa n˜ ao cont´em erros. Vamos executar este programa, a partir da vista do CAS, para a P.A. 1

3

5

7

9

11

onde, a1 = 1 e r = 2. Pressione a tecla,

13

15

17

...

; na linha de entrada,

→ digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo programa. e teremos a tela da direita (acima). Ap´os, pressione Da tela ` a direita temos que Sn = n2 ´e a f´ormula para a soma dos n primeiros termos da P.A. do exemplo dado.

494

Progress˜ oes aritm´ eticas de 2 a ordem Considere a sequˆencia dos quadrados dos n´ umeros naturais, isto ´e, 12

22

32

42

52

···

Tome duas diferen¸cas sucessivas entre os termos desta sequˆencia , assim, 1

4

9

16

25

3

5

7

9

...

2

2

2

...

...

Obtivemos uma sequˆencia constante. Se em uma dada sequˆencia ap´os duas diferen¸cas consecutivas se obt´em uma sequˆencia constante ent˜ao esta sequˆencia ´e uma progress˜ao aritm´etica de 2 a ordem. Nota¸ca˜o: P.A.2 . A f´ormula do termo geral de uma P.A.2 ´e dada assim: (p. 20) an2 = a12 + (n − 1) a11 +

(n − 1)(n − 2) a10 2

Onde, a12 ´e o primeiro termo da P.A.2 , a11 ´e o primeiro termo da primeira diferen¸ca e a10 ´e o primeiro termo da segunda diferen¸ca. Por exemplo, a12 → 1

4

9

16

25

a11 → 3

5

7

9

...

a10 → 2

2

2

...

...

O programa seguinte recebe os primeiros termos, a12 , a11 , a10 (nesta ordem) e sai com a f´ ormula do termo geral da P.A.2 ,

Na tela da direita vemos uma simula¸ca˜o do programa, para o exemplo acima. Portanto, an = n2 , ´e a f´ ormula do termo geral da P.A.2 do exemplo.

495

Vejamos mais um exemplo. Considere a segunda diagonal do triˆ angulo aritm´etico (p. 27) de Pascal, 1

3

6

10

15

21

...

2

Este ´e um outro exemplo de uma P.A. , veja:

a12 → 1

3

6

10

15

a11 → 2

3

4

5

...

a10 → 1

1

1

...

...

Na tela da direita rodamos o programa para esta sequˆencia, logo, an = A f´ ormula para a soma dos termos de uma P.A.2 ´e esta: Sn2 = n a12 +

n2 +n 2 .

(p. 46)

(n − 1)n n(n − 1)(n − 2) a11 + a10 2 6

O programa seguinte recebe os primeiros termos, a12 , a11 , a10 (nesta ordem) e sai com a f´ ormula da soma dos termos da P.A.2 ,

Nota: O s´ımbolo “:=” ´e de atribui¸ca˜o, atribui um objeto a uma vari´avel. Neste programa introduzimos uma novidade: a f´ormula da soma sai n˜ ao como uma express˜ ao mais como uma fun¸ c˜ ao − diferen¸ca na p´ agina 530. Na tela da direita temos a f´ormula (fun¸ca˜o) da soma dos termos da sequˆencia dos quadrados dos naturais: 1

4

9

16

25

···

A vantagem ´e que vocˆe pode utilizar a f´ormula diretamente da vista do CAS, sem precisar “anot´a-la em seu caderno”. A f´ormula fica armazenada − “` a sua disposi¸ca˜o”− na vari´avel S2.

496

Por exemplo, na tela a seguir, temos duas simula¸co˜es,

Isto ´e, 1 |

e

4 {z

9}

S2(3)=14

1 |

4

9{z

16

25

···

16

25}

···

S2(5)=55

Rodamos o programa anterior para a sequˆencia a seguir,

a12 → 1

3

6

10

15

a11 → 2

3

4

5

...

a10 → 1

1

1

...

...

Por exemplo, na tela a seguir, temos uma simula¸ca˜o,

Isto ´e, 1 |

3

{z 6

S2(4)=20

10}

497

15

···

Progress˜ ao aritm´ etica peri´ odica O que estamos chamando de uma progress˜ao aritm´etica peri´odica (PAP) ´e uma sequˆencia do tipo: a1

a2

a1 +r

a2 +r

a1 +2r

a2 +2r

a1 +3r

...

onde s˜ao dados a1 , a2 e r. A f´ormula do termo geral destas sequˆencias ´e,   a1 + n−1 r, n ´ımpar; 2 an =  a + n−2 r, n par. 2 2 Se quisermos a equa¸ca˜o acima em apenas uma senten¸ca fica assim:

an =

1 − (−1)n 1 + (−1)n 2n − 3 − (−1)n a1 + a2 + r 2 2 4

Exemplo: Encontre uma f´ormula para o n-´esimo termo da sequˆencia: 3

3

6

6

9

9

12

12

15

15

...

Vamos fazer melhor, o programa a seguir, nos d´ a a f´ormula do termo geral de uma PAP.

Na tela da direita rodamos o programa para os dados do exemplo, onde a1 = a2 = 3 e r = 3. Logo, para a sequˆencia do exemplo, temos, a(n) =

6n − 3(−1)n + 3 4

Na tela da direita calculamos esta f´ormulas para quatro valores de n. Mais uma vez observe que n˜ ao precisamos “tomar nota da f´ormula”.

498

A f´ormula para a soma dos termos de uma PAP ´e esta, Sn =

2n − (−1)n + 1 2n + (−1)n − 1 2n2 − 4n − (−1)n + 1 a1 + a2 + r 2 2 2 2 23

Na tela a seguir programamos esta f´ormula,

Na tela da direita, simulamos para a PAP do exemplo anterior; logo, 6n2 + 12n − 3(−1)n + 3 8

Sn = Ainda na tela da direita, temos,

e

3|

3 {z 6

6}

9

9

12

12

15

15

...

3|

3

6

{z 9

9

12

12}

15

15

...

S(4)=18

6

S(8)=60

Exemplo: Quantos termos devem ser somados, a partir do primeiro termo, na seguinte PAP para que a soma seja 15? 2

−1

2

−1

2

−1

2

−1

...

Na tela a seguir encontramos a f´ormula para a soma dos termos desta sequˆencia ,

S(n) =

2n − 3(−1)n + 3 = 15 4

Por enquanto, deixamos este problema como exerc´ıcio ao leitor, oportunamente vamos ver como resolver equa¸co˜es como esta pela HP Prime .

499

9.2

Listas e Matrizes

Com o objetivo de aumentar ainda mais nosso poder (potˆencia) de programa¸ca˜o ´e que incluimos nesta sec¸ca˜o dois importantes recursos para programa¸ca˜o: listas e matrizes.

9.2.1

Listas

Uma lista ´e constituida de objetos (n´ umeros, letras, matrizes, etc.) entre chaves e separados por v´ırgulas. Uma lista ´e o que, em matem´atica, comumente conhecemos por conjunto. Exemplo de lista: { 1, 5, a, { b, c } } Este ´e um recurso muito importante para manipula¸ca˜o de objetos.

Criando listas As listas podem ser criadas a partir da linha de entrada, veja:

Ap´os, pressione

para obter a tela da direita.

Importante: Estamos na vista do CAS; para que a letra a, por exemplo, apare¸ca como elemento da lista nesta letra n˜ ao deve constar nenhum valor previamente armazenado, deve estar resetada. Veja adendo, p´ agina 493. A mesma observa¸ca˜o vale para as demais letras, obviamente. As listas podem ser armazenadas (guardadas) em uma vari´avel, assim:

500

Com o comando de atribui¸ca˜o, := , L1 := { 1, 5, a, { b, c } } estamos guardando (armazenando) a lista na vari´avel L1. Existe uma outra alternativa para se armazenar um objeto em uma vari´avel, na tela a seguir,

→ ap´os digitar a lista pressione a tecla virtual assinalada (Sto (armazenar)), em seguida o nome da vari´avel. Ap´os Enter a lista foi armazenada na vari´avel L2, temos: L2 :=

n

a, b,

o 1 , { c, d } 3

Acessando os elementos de uma lista

Podemos ter acesso aos elementos de uma lista digitando o nome da lista e a posi¸ca˜o do elemento entre parenteses. Considere as duas listas anteriores

na tela da direita fizemos algumas simula¸co˜es; observe, na u ´ltima linha, que at´e operamos com os elementos de uma lista.

501

Pedindo o comprimento (tamanho) de uma lista Um importante comando em programa¸ca˜o ´e SIZE, que nos devolve o tamanho de uma lista, veja trˆes simula¸co˜es na tela a seguir,

nesta tela temos os tamanhos das duas listas anteriores e mais o tamanho de uma nova lista que criamos. Na tela da direita temos mais um exemplo.

O comando MAKELIST Um importante comando em programa¸ca˜o ´e MAKELIST, cuja sintaxe ´e vista a seguir, MAKELIST (express˜ao, vari´avel, inicio, fim, incremento) Calcula uma sequˆencia de elementos para uma nova lista. Nas telas a seguir,

temos dois exemplos deste importante comando. Obviamente que o incremento pode ser diferente de 1.

502

O menu Math/List

Menus Toolbox ) (Caixa de ferramentas) s˜ao uma cole¸ca˜o Os menus Toolbox ( de menus que oferece fun¸co˜es e comandos u ´teis em matem´atica e programa¸ca˜o. Os menus Matem´ atica, CAS e Cat´alogo (Catlg) oferecem mais de 400 fun¸co˜es e comandos. De momento o que nos interessa ´e o menu List, para isto prima a tecla “caixa de ferramentas”,

→ em seguida a tecla virtual assinalada acima (Math). Em seguida des¸ca at´e o item 6 (List), como na tela a seguir,

→

Selecionando este item comparecem v´arios comandos para se operar com listas, veja tela da direita.

503

Nas telas a seguir, temos algumas simula¸co˜es,

MAKELIST gera uma lista, como j´a vimos; SORT classifica os elementos de uma lista na ordem crescente; REVERSE reverte a ordem da lista; CONCAT concatena duas listas; POS nos d´ a a posi¸ca˜o de um elemento que est´ a numa lista. Nas telas a seguir,

SIZE nos d´ a o comprimento de uma lista, como j´a vimos; ∆LIST cria uma nova lista composta pelas primeiras diferen¸cas de uma lista; isto ´e, as diferen¸cas entre elementosPconsecutivos na lista. A nova lista tem um elemento a menos que a lista Q original; LIST calcula a soma de todos os elementos numa lista; LIST calcula o produto de todos os elementos numa lista. Na tela da direita DIFFERENCE apresenta a lista de elementos n˜ ao comuns de duas listas; UNION apresenta a uni˜ao das listas como um vetor; INTERSECT apresenta a intersec¸ca˜o de duas listas como um vetor∗ . Observei que na vista de in´ıcio, ( ), a uni˜ao e a intersec¸ca˜o de duas listas ´e uma lista, como deve ser.

∗

Logo mais veremos o que ´e um vetor para a HP Prime .

504

9.2.2

Matrizes

Uma das potˆencias da HP Prime ´e o trato com matrizes, tanto num´ericas quanto simb´ olicas. Por exemplo, veja,

Podemos at´e multiplicar duas matrizes simb´ olicas, como aparece na tela da direita. Reiteramos: Estamos na vista do CAS; para que a letra a, por exemplo, apare¸ca como elemento da matriz nesta letra n˜ ao deve constar nenhum valor previamente armazenado, deve estar resetada. Veja adendo, p´ agina 493.

Criando matrizes As matrizes podem ser criadas a partir da linha de entrada, veja∗

Digitando na linha de entrada o que vemos na tela esquerda, ap´os teremos a tela da direita.

∗

Sua calculadora deve est´ a fixada no modo alg´ ebrico, veja p´ agina 482.

505

,

As matrizes podem ser armazenadas (guardadas) em uma vari´avel; por exemplo, para guardar a matriz da tela anterior na vari´avel MT1, inicialmente escreva na linha de entrada MT1:= , ap´os “clique” na matriz, como na tela a seguir,

em seguida pe¸ca uma c´ opia da matriz, i.e., pressione a tecla virtual Copy. Ap´os, prima a tecla e teremos a tela da direita, j´a com a matriz armazenada.

Acessando os elementos de uma matriz Podemos ter acesso aos elementos de uma matriz digitando o nome da matriz e a posi¸ca˜o do elemento entre parenteses. Considere a matriz armazenada anteriormente,

Na tela da direita, inicialmente pedimos o elemento MT1(2,2) que ´e igual a 5; em seguida pedimos a soma de dois elementos da matriz.

506

C´ alculo de Matrizes com Elementos Alg´ ebricos Um estudante de engenharia civil (Liercio Feital) me escreveu com a seguinte d´ uvida∗ : Como fazer um programa para gerar matrizes tipo: " # 12E/L 10E/2L 8E/L

5E

“onde eu entraria com os valores E = 10 e L = 2, o programa mostraria a matriz resultante”: " # 60 25 40 50

Antes do programa vejamos como resolver este problema diretamente na vista do CAS, na tela a seguir,

criamos uma vari´avel − na verdade uma fun¸ca˜o − de dois parˆ ametros (E e L), ap´os teremos a tela da direita. MLF pode ser vista como uma fun¸ca˜o de duas vari´aveis. Na tela a seguir,

fazemos uma simula¸ca˜o, isto ´e, digitamos na linha de entrada MLF(10,2), ap´os teremos o resultado. Na tela da direita, temos o programa equivalente.

∗

Ainda na HP 50g .

507

Opera¸ co ˜es com matrizes complexas Na disciplina Circuitos El´etricos ocorre com bastante frequˆencia produtos de matrizes complexas, tais como # # " " 1 3i 1+i 1−i · 1−i 1+i 2 2 + 3i A HP Prime realiza este produto com a maior facilidade. Inicialmente, se necess´ ario, fixe sua calculadora no modo Complex a+bi, assim:

→

A tela a seguir mostra como entramos com o produto das matrizes,

ap´os teremos a tela da direita, com o resultado do produto. Para dividir estas duas matrizes basta clicar em cima do produto,

pedir uma c´ opia para a linha de entrada e trocar ∗ por ÷, ap´os a tela da direita, com o resultado da divis˜ao.

508

teremos

Pedindo as dimens˜ oes de uma matriz Um importante comando em programa¸ca˜o ´e DIM, que nos devolve o tamanho de uma matriz, na tela a seguir,

temos uma matriz de ordem {2, 3}; na tela da direita armazenamos uma matriz em uma vari´avel e depois pedimos a dimens˜ao da matriz.

O comando MAKEMAT Um importante comando em programa¸ca˜o ´e MAKEMAT, cuja sintaxe ´e vista a seguir, MAKEMAT (express˜ao, linhas, colunas) Cria uma matriz com a dimens˜ao linhas × colunas, utilizando a express˜ao para calcular cada elemento. Se a express˜ao cont´em as vari´aveis I e J, ent˜ ao, o c´ alculo para cada elemento substitui o n´ umero de linha atual para I e o n´ umero da coluna atual para J. A seguir vemos dois exemplos,

na tela da esquerda construimos uma matriz 2 × 2 com termo geral dado por aij = j − i2 ; na tela da direita construimos uma matriz 3 × 4 com termo geral dado por aij = i − 2 j. Devemos usar letras mai´ usculas na express˜ao da matriz, o i min´ usculo ´e reservado para a unidade complexa.

509

A prop´ osito, vejamos um exemplo um pouco mais sofisticado. A matriz a seguir, (p. 317)



aij = ( −1 )

i−1 j−1 2



serve para o c´ alculo de combina¸co˜es, como ser´a visto no cap´ıtulo 6 deste livro. O s´ımbolo ⌊ x ⌋ representa a fun¸ca˜o m´ aximo inteiro (que n˜ ao supera x), ou fun¸ca˜o piso. Na HP Prime ´e denotada por FLOOR, na tela a seguir vemos alguns exemplos,

Na tela da direita construimos a matriz aij , 4 × 2, dada pela equa¸ca˜o acima. Na tela a seguir usando a equa¸ca˜o aij construimos uma fun¸ca˜o de duas vari´aveis: m, n´ umero de linhas e n, n´ umero de colunas.

Dando

teremos a tela da direita.

510

Vetores Vetor na HP Prime ´e uma matriz unidimensional (uma linha), por exemplo, [ −1, 2, 5, 7 ] ´ importante fazer distin¸ca˜o entre um vetor e uma matriz de uma u E ´ nica linha na hora de acessar um elemento. Na tela a seguir,

criamos uma matriz unidimensional e um vetor, digitando na linha de entrada, MT1:=[[−1, −1, 0, 0, 1, 1]]

e

VT1:=[−1, −1, 0, 0, 1, 1]

na tela da direita tentamos acessar o segundo elemento da matriz com apenas uma coordenada, o que redundou em erro, em seguida acessamos o segundo elemento de maneira correta no vetor e na matriz.

∗

∗

∗

Adendo: H´ a de se observar que um mesmo comando devolve objetos distintos, na vista de In´ıcio e na vista do CAS, digo: m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := { 5 }, Na vista de In´ıcio. m:=SIZE([2, 1, 1, −1, 3]) ⇒ m := 5,

511

Na vista do CAS.

Somat´ orios Um outro importante recurso para a programa¸ca˜o ´e o somat´orio. Acesse o somat´orio primando a tecla,

A sintaxe do somat´orio ´e, X (express˜ao, vari´avel, in´ıcio, fim)

Por exemplo, observe a equivalˆencia, X

(express˜ ao, vari´avel, in´ıcio, fim)

⇐⇒

5 X

k=1

Ou ainda, X (k ∧ 2, k, 1, 5) | {z } na HP Prime

⇐⇒

5 X

k2

k=1

Digitando na linha de entrada,

→

pressionando

teremos o resultado na tela da direita.

512

k2

O somat´orio produz at´e resultados alg´ebricos, digitando na linha de entrada k variando de 1 a n,

pressionando

teremos o resultado na tela da direita. Portanto, n X

k2 =

k=1

2n3 + 3n2 + n 6

Lembramos que as vari´aveis k e n devem estar resetadas − adendo, p. 493. Caso se queira o resultado fatorado, escreva factor() na linha de entrada, clique na express˜ao e pe¸ca uma c´ opia,

pressionando teremos o resultado na tela da direita. Podemos at´e criar fun¸co˜esPenvolvendo somat´orios; por exemplo, digitando na linha de entrada, f (m, n) := (k ∧ m, k, 1, n), temos,

Veja duas simula¸co˜es.

1| 1

21

1| 2

22

31

1 {z 4 6 X k 1 = 21 f (1, 6)=

51

6}1

5}2

62

k=1

f (2, 5)=

3{z2 5 X

k=1

513

42 k 2 = 55

Podemos operar com os elementos de uma matriz (ou vetor, ou lista) atrav´es de somat´orios. Para exemplificar este recurso vamos armazenar uma matriz em uma vari´avel, como na tela a seguir,

Na tela da direita somamos os elementos da linha 1 da matriz. Na tela a seguir,

somamos os termos da diagonal principal (I=J) da matriz, e na tela da direita, atrav´es de um duplo somat´orio, temos a soma de todos os elementos da matriz. A sintaxe do duplo somat´orio (na linha de entrada) ´e, P P

(

(MS(I, J), I, 1, 4), J, 1, 4)

O duplo somat´orio na tela a seguir,

soma as duas primeiras colunas da matriz MS, tela da direita.

514

9.3

Estruturas de Programa¸c˜ ao

Introdu¸ c˜ ao Uma estrutura de programa¸ c˜ ao permite a um programa tomar uma decis˜ ao sobre como ele deve ser executado, dependendo das condi¸co˜es dadas ou dos valores de argumentos em particular. Um uso cuidadoso e inteligente destas estruturas torna poss´ıvel a cria¸ca˜o de programas com extraordin´aria flexibilidade. Diriamos que a programa¸ca˜o propriamente dita come¸ca aqui com estruturas de programa¸ca˜o, pois o que fizemos anteriormente foi praticamente a programa¸ca˜o de f´ormulas apenas. Estas estruturas que iremos estudar s˜ao comuns a v´arias linguagens de programa¸ca˜o, como por exemplo, PASCAL, FORTRAN, C++ , MATLAB, etc. Quero dizer: vocˆe entendendo-as neste contexto, tamb´em estar´ a apto a execut´a-las em qualquer outra linguagem em que estas se fa¸cam presentes; da´ı a importˆ ancia de entendˆe-las nesta aqui, isto ´e, na HP Prime .

Estruturas de programa¸c˜ ao As estruturas que iremos estudar s˜ao as seguintes:

• Estruturas c´ıclicas :

• Estruturas condicionais :

  FOR    FOR - STEP     WHILE - REPEAT - END   IF - THEN - END

 IF - THEN - ELSE - END

515

9.3.1

Estruturas c´ıclicas

FOR Para exemplificar o uso desta estrutura vamos construir um programa para calcular a soma dos N primeiros n´ umeros Naturais. Isto ´e, queremos o valor de: N X

i=1

i = 1 + 2 + 3 + ···+ N

(9.1)

Devemos fornecer ao programa o valor de N (at´e onde queremos que o mesmo some) e este deve nos devolver o valor da soma correspondente. Vamos iniciar o programa de acordo com a tela a seguir, (p. 485)

↑ Para inserir a estrutura FOR no programa pressione a tecla virtual assinalada (Tmplt); atrav´es da roda direcional (veja, p. 482, 17) des¸ca at´e o item 3Loop; ainda na roda direcional v´a para a direita. Estamos na tela da direita acima. Agora pressione ; ap´os, teremos a tela a seguir,

complete o programa conforme tela da direita. Podemos executar o programa diretamente da vista de in´ıcio,

516

Estando na vista de in´ıcio digite o nome do programa e, entre parenteses, os dados requeridos pelo programa; como, por exemplo, na tela a seguir,

→ Portanto, a soma dos cinco primeiros n´ umeros naturais ´e 15, veja, 1|

2

3 {z

S(5)

4

5}

6

7

8

9

...

Como funciona a estrutura FOR  FOR contador FROM in´ıcio TO fim DO    cl´ ausula c´ıclica Loop    END

Esta estrutura executa uma por¸ca˜o do programa por um n´ umero definido de vezes usando o conte´ udo de uma vari´ avel local como contador, a qual pode ser usada dentro do loop para c´ alculos ou outros prop´ ositos. No final do loop o contador ´e testado se j´ a atingiu o fim, caso n˜ ao o contador ´e incrementado de uma unidade e a cla´ usula c´ıclica ´e executada mais uma vez; este processo se repete at´e que o ao o loop ´e abandonado. contador atinja o fim, quando ent˜

No programa ao lado temos: I: contador, 1: in´ıcio do contador, N: fim do contador, S:=S+I: cl´ ausula c´ıclica. Neste caso o contador est´ a sendo utilizado dentro do loop.

No caso deste programa a vari´avel S ´e inicializada com 0, e, a cada ciclo, S ´e atualizada adicionando-se o valor de I ao seu valor anterior.

517

FOR-STEP Esta estrutura funciona de modo semelhante a anterior (FOR) exceto que a vari´avel de controle pode ser incrementada de um valor diferente da unidade. Vejamos um exemplo: Para obter uma parti¸ca˜o (regular) do intervalo [ a, b ] em N subintervalos de mesmo comprimento, fazemos h = b−a N , no que resulta xn = x0 + n h,

[ a = x0

x1 h

x2

n = 0, 1, 2, . . . , N.

...

xn−1

h

] xn = b

x

h

Por exemplo, para x ∈ [ a, b ] = [ 0, 1 ] e N = 4 subintervalos, temos h=

b−a 1−0 1 = = = 0. 25 N 4 4

A discretiza¸ca˜o do intevalo fica:

p

p

x0 = 0

x1 =

(n = 0, 1, 2, 3, 4)

p 1 4

x2 =

p 1 2

x3 =

p 3 4

x

x4 = 1

Vamos elaborar um programa que recebe a, b e N , e sai com uma lista contendo a parti¸ca˜o do intervalo [ a, b ]. Inicie como na tela a seguir,

↑ em seguida, como no caso anterior, insira a estrutura FOR-STEP; ap´os, teremos a tela a seguir,

518

complete o programa conforme tela da direita. Iniciamos a vari´avel que vai sair com a parti¸ca˜o com uma lista vazia. O comando CONCAT concatena duas listas, p. 504. O resultado ´e, novamente, armazenado (Sto) na vari´avel VP. Vamos executar o programa diretamente da vista de in´ıcio, na tela a seguir temos duas simula¸co˜es,

Este programa foi feito apenas para ilustrar a estrutura FOR-STEP; no entanto, na tela da direita criamos − na vista do CAS − uma fun¸ca˜o que executa o mesmo que teremos a tela da esquerda, a seguir, o programa, ap´os

na tela da direita temos as mesmas duas simula¸co˜es do programa.

519

FOR - END’s concatenados O que chamamos de concatena¸ca˜o de FOR - END’s ´e o mesmo que encaixe (ou aninhamento) de FOR - END’s que, dependendo do programa, pode tomar diversas configura¸co˜es. Por exemplo, assim: FOR FOR

a)

b)

FOR FOR FOR

END

END END

END

END

FOR FOR

c)

END FOR END END

A concatena¸ca˜o ´e, ami´ udo, u ´til para se trabalhar com matrizes. Vejamos o seguinte exemplo: Exemplo 1: (U.E.LONDRINA - 84) Dada a matriz A = ( amn )2×2 onde amn = 2n−m , a soma de todos os elementos que comp˜oe a matriz A2 ´e igual a: a ) 81/4

b ) 10

c)9

d ) 25/4

e) − 6

Motivados pelo desafio acima vamos fazer um programa para construir uma matriz (quadrada de ordem N ) e que, em particular (N = 2) tenhamos a matriz do problema anterior. o programa consta da tela a seguir,

Na tela da direita temos duas simula¸co˜es. Observe que temos uma concatena¸ca˜o tipo a ). O primeiro FOR (ou ainda, o primeiro la¸co) fixa a linha e o segundo varia as colunas, de modo que a matriz vai sendo construida linha a linha e de cima para baixo. Para obter a resposta da quest˜ ao do vestibular, clique na primeira matriz (tela anterior), pe¸ca uma c´ opia para a linha de entrada, eleve ao quadrado.

520

O programa anterior foi feito apenas para ilustrar a concatena¸ca˜o de FOR END’s, no entanto, na tela da esquerda a seguir, criamos − na vista do CAS − uma fun¸ca˜o que executa o mesmo que o programa;

ap´os teremos a tela da direita, onde tamb´em consta a mesma simula¸ca˜o do programa (para N= 3). Digamos que vocˆe queira os elementos da matriz n˜ ao na forma de fra¸ca˜o, mas aproximados (approx) com trˆes decimais; o caminho ´e este,

Aqui

521

WHILE - REPEAT - END Esta ´e uma outra estrutura c´ıclica bastante utilizada. Para exemplificar o uso desta estrutura vamos resolver o seguinte problema: umero natural diferente de zero. (UNESP - 84) Seja Sn = 211 + 212 + · · · + 21n , n um n´ O menor n´ umero n tal que Sn > 0, 99 ´e: a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

A ideia aqui ´e variarmos n (a partir de 1) e irmos somando os termos que o resultado da soma seja maior que 0, 99. Veja alguns exemplos, n

Sn

1

1 2

= 0, 5

2

1 2

+

3 ...

1 2

1 22

1 2n

at´e

= 0, 75

+ 212 + 213 = 0, 875 ........................

Vamos fazer melhor: o programa vai receber como entrada um n´ umero L que, em particular, pode ser L = 0, 99. Vamos iniciar o programa de acordo com a tela a seguir,

Para inserir a estrutura WHILE, v´a para a tela da direita acima. Agora pressione ; ap´os, complete com a tela a seguir,

Na tela da direita temos duas simula¸co˜es do programa.

522

Digitando na linha de entrada (vista do CAS), SUN(n) := criamos uma fun¸ca˜o de n, esta, Sn =

P

(1/2 ∧ k, k, 1, n)

1 1 1 + 2 + ···+ n 1 2 2 2

As telas a seguir,

mostram Sn para alguns valores de n. Para os valores aparecerem como na tela acima, em estar desmarcada.

a caixa Exact deve

Como funciona a estrutura WHILE   WHILE      cla´ usula de teste   DO Loop    comandos      END

Esta estrutura executa uma por¸ca˜o do programa (comandos) enquanto a cla´ usula de teste for verdadeira. No programa ao lado temos: cla´ usula de teste: S≤L. comandos: n:=n+1; S:=S+1/2 ∧ n. O loop s´o ´e abandonado quando S for tal que S>L.

523

Vejamos mais um exemplo de aplica¸ca˜o da estrutura WHILE. Antes, Considere a sequˆencia num´erica dada por, an =

√ n

a

onde a > 0 ´e um n´ umero real. Em An´alise matem´atica demonstra-se que, √ lim n a = 1 n→∞

Um outro resultado conhecido da An´alise ´e que se uma sequˆencia converge para um limite ent˜ ao toda subsequˆencia desta sequˆencia converge para o mesmo limite. A sequˆencia a seguir: √ √ √ √ n 2 a, 4 a, 8 a, ..., 2 a, ... √ ´e uma subsequˆencia da sequˆencia ( n a ), portanto converge para 1. umero real Uma consequˆencia deste resultado ´e que se vocˆe coloca qualquer n´ (positivo) em sua calculadora e vai apertando sucessivamente a tecla da raiz qua√ umero 1 no visor. drada ( ) no final vocˆe sempre obter´a o n´ O nosso problema ´e: Dado um n´ umero a > 0 e um erro ε > 0 quantas vezes devemos pressionar a tecla de nossa calculadora de modo que a diferen¸ca (“distˆancia”) entre o resultado no visor e 1 seja menor que ε? De outro modo: resolva, para n, a seguinte inequa¸ca˜o: 2√ n a−1 < ε O seguinte programa resolve nosso problema:

Na tela da direita temos algumas simula¸co˜es, de outro modo, a ε

50 50 0, 1 0, 01

n0

6

9

524

0, 5 0, 5 0, 1 0, 01 3

7

Temos algumas equivalˆencias, por exemplo, ABS(x) ⇐⇒ |x| e,

(m´ odulo)

√ 3 8 ⇐⇒ 3 NTHROOT 8

teclas,

. Para obter letras gregas, o caminho ´e este,

Para confirmar o programa anterior (tabela) elaboramos o seguinte programa,

→

Este programa recebe a, ε e N (n´ umero de itera¸co˜es) e sai com uma matriz onde na primeira coluna consta a subsequˆencia, √ √ √ √ N 2 a, 4 a, 8 a, ..., 2 a, ... e, na segunda coluna, a diferen¸ca entre cada termo desta subsequˆencia e 1. Na linha assinalada na simula¸ca˜o, podemos confirmar a primeira coluna da tabela a seguir,

Isto ´e,

a ε

50 50 0, 1 0, 01

n0

6

9

0, 5 0, 5 0, 1 0, 01 3

7

√ 26 50 − 1 = 0.06303216697 . . . < ε = 0.1

525

9.3.2

Estruturas condicionais

IF - THEN - END Para exemplificar o uso desta estrutura vamos construir um programa que nos diz se um dado n´ umero ´e par ou n˜ ao. Faremos este programa de dois modos distintos, para ilustrar dois comandos da HP Prime : FP e MOD. O primeiro programa consta da tela a seguir,

O comando FP nos devolve a parte fracion´ aria de um n´ umero; este comando pode ser digitado ou acessado conforme a seguir,

Na tela da direita temos duas simula¸co˜es do programa. A estrutura IF - THEN - END executa uma sequˆencia de comandos somente se o teste ´e verdadeiro. A palavra IF inicia a cl´ausula-de-teste, a qual deixa o resultado do teste (0 ou 1). THEN remove este resultado. Se o valor ´e 1, a cl´ausula verdadeira ´e executada. Caso contr´ ario, a execu¸ca˜o do programa prossegue com a instru¸ca˜o seguinte a END.

526

O segundo programa consta da tela a seguir,

Na tela da direita temos duas simula¸co˜es do programa. O comando MOD nos devolve umero inteiro a por um n´ umero inteiro b. Por exemplo, o resto da divis˜ao de um n´ dividindo a = 5 por b = 2, temos: 5 1

2 2

տ 5 MOD 2 IF - THEN - ELSE - END Esta estrutura condicional ´e bem mais interessante que a anterior. Para exemplific´a-la faremos um programa para sair com os N primeiros termos da sequˆencia, n  se n ´e par;   2, an =    n + 1 , se n ´e ´ımpar. 2 Inicie o programa como a seguir,

complete-o como na tela do centro. Na tela da direita temos duas simula¸co˜es do programa.

527

Como funciona a estrutura IF - THEN - ELSE - END    IF      cla´ usula-de-teste        THEN Estrutura cla´ usula-verdadeira    ELSE      cla´ usula-falsa       END

Esta estrutura executa uma sequˆencia de comandos se o teste resultar verdadeiro e outra, caso seja falso. A palavra IF inicia a cl´ausula-de-teste, a qual sai com o resultado (0 ou 1). THEN verifica este resultado. Se o valor ´e 1, a cl´ausula-verdadeira ´e executada; caso contr´ ario, a cl´ ausula-falsa ´e executada. Ap´os ter executado a cl´ausula apropriada, o programa prossegue com a instru¸ca˜o seguinte `a END.

No programa ao lado temos: cla´ usula de teste: FP(n/2)==0 cla´ usula verdadeira: TS(n):=n/2 cla´ usula falsa: TS(n):=(n+1)/2

Vejamos mais um exemplo de aplica¸ca˜o desta estrutura. (PUC- SP - 76) Se A ´e uma matriz 3 por 2 definida pela lei  1, se i = j; aij = 2 i , se i 6= j.

Ent˜ ao A se escreve: a)



1 1

4 1

9 9





1  4 b) 9

    1 1 1 1 1 1  c)  1 4  d) 1 4 9 9 9

9 9





1  e) 4 6

 1 1  6

Vamos resolver este problema para uma matriz de dimens˜ao gen´erica M × N .

528

O programa ´e como a seguir,

na tela da direita temos trˆes simula¸co˜es.

Uma diferen¸ ca (evolu¸ c~ ao) abissal!

529

9.4

Algumas fun¸ c˜ oes especiais

Neste t´ opico vamos arrolar mais algumas fun¸co˜es da HP Prime que julgamos relevantes no contexto da programa¸ca˜o.

Distin¸c˜ ao entre express˜ ao e fun¸ c˜ ao Antes vamos destacar que a calculadora faz uma distin¸ca˜o entre express˜ ao e fun¸ c˜ ao. Por exemplo, na tela a seguir temos uma express˜ao e como podemos avali´a-la para um dado valor da vari´avel,

Na tela da direita, temos uma express˜ao de duas vari´aveis e sua avalia¸ca˜o para dois valores das vari´aveis. Uma fun¸ca˜o para a HP Prime possui um ou mais argumentos∗ entre parenteses, separados por v´ırgula. A tela a seguir mostra como definimos uma fun¸ca˜o,

Ap´os x = 1.

∗

teremos a tela do centro; `a direita avaliamos esta fun¸ca˜o para

Por exemplo, um programa pode ser visto como uma fun¸c˜ ao.

530

Na tela a seguir definimos uma fun¸ca˜o de duas vari´aveis,

Ap´os teremos a tela do centro; `a direita avaliamos esta fun¸ca˜o para x = 1 e y = −1. De uma fun¸ca˜o, podemos extrair uma express˜ao (seu lado direito), assim:

Ademais, extraimos o numerador e o denominador de uma fra¸ca˜o, bem como o lado esquerdo e direito de uma equa¸ca˜o.

531

A fun¸ c˜ ao apply Aplica um vetor (ou lista) − do dom´ınio de uma fun¸ca˜o − no c´ alculo dos valores da fun¸ca˜o, Sintaxe apply ( Var → f(Var), vetor) Por exemplo,

(para acessar a setinha, veja p´ agina 525),

No lugar do vetor pode ser uma lista. Nas telas a seguir utilizamos esta fun¸ca˜o para calcular duas “tabelas trigonom´etricas”, do seno e do cosseno:

Nota: Sua calculadora deve estar fixada no modo Exact, p. 491. As tabelas trigonom´etricas constantes nos livros n˜ ao trazem alguns “arcosπ , na HP Prime ´e f´acil, veja: metade”, como, por exemplo, 15o = 12

532

A fun¸ c˜ ao REPLACE Substitui parte de uma matriz ou vetor guardados em nome por um objeto a partir da posi¸ca˜o in´ıcio. In´ıcio para uma matriz ´e uma lista que cont´em dois n´ umeros. Para um vetor, ´e um u ´nico n´ umero. REPLACE tamb´em funciona com listas, gr´ aficos e strings. Sintaxe REPLACE(nome, in´ ıcio, objeto) Nas telas a seguir, vemos dois exemplos,

Observe mais duas substitui¸co˜es,

Vamos montar uma tabela trigonom´etrica do seno. Considere novamente a tela a seguir,

`a direita criamos uma matriz, que vai ser a tabela ao final.

533

A seguir, criamos uma matriz que cont´em os valores do dom´ınio,

a direita calculamos o seno para esta matriz. ` A seguir, crie uma vari´avel VC, clique em cima do u ´ltimo vetor (matriz) e guarde uma c´ opia nesta vari´avel,

na tela da direita substituimos a primeira coluna da matriz MTR pelo transposto do vetor VD. Este u ´ltimo resultado salvamos em MTR,

na tela da direita substituimos em MTR o transposto do vetor VC.

534

A seguir salvamos esta u ´ltima matriz em MTR,

na tela da direita colocamos uma “legenda” na tabela. Opcionalmente, podemos ver a tabela na horizontal, tomando o transposto, assim,

Clique em cima da tabela e pe¸ca para ver (Show),

Vamos encimar a tabela com grau, no lugar de radiano. Para isto salvamos a tabela em uma nova vari´avel. Digite na linha de entrada como a seguir,

535

Apenas a t´ıtulo de curiosidade, veja como nos “tempos primitivos” calculava-se, π por exemplo, o seno de 15o = 12 . Vamos partir da f´ormula, sen

a 2

=

r

1 − cos a 2

Substituindo nesta f´ ormula a = 30o , obtemos,  30o  r 1 − cos 30o = sen 2 2 Ent˜ ao,

sen 15 Simplificando,


o

=

s

1− 2

√ 3 2

p √ 2− 3 sen 15 = 2 Na tela a seguir, pedimos para a HP Prime calcular o seno de 15o , o





mude sua calculadora para grau (Degrees) na tela da direita pedimos para ela simplificar o resultado obtido pela f´ormula, para efeito de compara¸ca˜o.

536

A fun¸ c˜ ao Map Segundo o manual (da HP Prime ): Existem duas utiliza¸co˜es para esta fun¸ca˜o, nas quais o segundo argumento ´e sempre um mapeamento de uma vari´avel para uma express˜ao. Se a express˜ao for uma fun¸ca˜o da vari´avel, a fun¸ca˜o ´e aplicada a cada elemento do vetor ou matriz (o primeiro argumento) e ´e apresentado o vetor ou matriz resultante. Se a express˜ao for um teste booleano, cada elemento do vetor ou matriz ´e testado e os resultados s˜ao apresentados como um vetor ou matriz. Cada teste apresenta 0 (falha) ou 1 (aprova¸ca˜o). Sintaxe map ( Matrix, Var → Fun¸ c~ ao) Ou map ( Matrix, Var → Teste) Em seguida o manual fornece os dois exemplos seguintes,

Na tela da direita acrescentei mais um exemplo. O manual n˜ ao fornece nenhum exemplo de um caso onde o primeiro argumento da map seja uma matriz; fiz algumas tentativas, no entanto, pelas respostas, n˜ ao encontrei uma “l´ogica”, um padr˜ ao. Por exemplo, na tela a seguir,

apliquei a fun¸ca˜o x → 2 x ` a matriz de entrada, o resultado foi o esperado: cada elemento da matriz ´e multiplicado por 2. Quando apliquei a fun¸ca˜o x → x − 1, eu esperava que cada elemento da matriz fosse subtraido de 1, isto aconteceu apenas com os elementos da terceira coluna. Na matriz da direita temos duas outras simula¸co˜es, apenas a segunda me ´e intelig´ıvel; de formas que a explica¸ca˜o do manual para mim ficou um tanto quanto nebulosa; cansado de tentar encontrar uma l´ogica

537

decidi criar a minha pr´opria fun¸ca˜o “map”, isto ´e, uma que atenda ao enunciado “Se a express˜ ao for uma fun¸c˜ ao da vari´ avel, a fun¸c˜ ao ´e aplicada a cada elemento da matriz (o primeiro argumento) e ´e apresentado a matriz resultante.” A fun¸ca˜o que criei tem a seguinte: Sintaxe mapii ( Matrix, Var → express~ ao) ei-la:

a direita temos duas simula¸co˜es. ` Decidi criar uma outra fun¸ca˜o “map”, que eventualmente poder´ a ser u ´ til. Iniciemos com o seguinte retˆ angulo, a≤x≤b c≤y≤d Inicialmente fazemos uma parti¸ca˜o do retˆ angulo anterior em nx subintervalos em [ a, b ] e em ny subintervalos em [ c, d ], assim:

yn−1

p

yn = d

p

y

.. .

.. .

(xi , yj )

p

yj

.. .

···

.. .

s

···

y0 = c

p

p

y1

p x0 = a

p

p

x1

x2

···

p xi

···

p

p

xn−1

xn = b

x

Na verdade o n que comparece no eixo x ´e nx e o n que comparece no eixo y ´e ny (n˜ao s˜ao necess´ariamente iguais).

538

Vamos criar uma func˜ao “map” na qual entramos com dois vetores e uma fun¸ca˜o f de duas vari´aveis dada por f (x, y); os dois vetores, o primeiro ´e uma parti¸ca˜o do intervalo [ a, b ] e o segundo uma parti¸ca˜o do intervalo [ c, d ]; na sa´ıda da fun¸ca˜o “map” deveremos ter uma matriz com a amostragem da fun¸ca˜o na malha (v´ertices) da parti¸ca˜o, isto ´e,
F (xi , yj ) ; (i = 0, 1, 2, . . . , nx), (j = 0, 1, 2, . . . , ny) Ou ainda,



F (x0 , y0 )



F (x0 , y1 )

F (x0 , y2 )

...

F (x0 , yny )

  F (x , y ) F (x1 , y1 ) 1 0    ... ...  F (xnx , y0 ) F (xnx , y1 )

F (x1 , y2 )

...

...

...

 F (x1 , yny )     ...  F (xnx , yny )

F (xnx , y2 ) . . .

Pois bem, a sintaxe da nossa nova fun¸ca˜o ser´a, Sintaxe mapig ( Vx, Vy, express~ ao das vari´ aveis x e y)

Nota: Vx ´e o vetor que cont´em a parti¸ca˜o do intervalo [ a, b ] e Vy ´e o vetor que cont´em a parti¸ca˜o do intervalo [ c, d ]. Na p´ agina 530 destacamos que a calculadora faz distin¸ca˜o entre express˜ ao e fun¸c˜ ao. Na mapig o terceiro argumento ´e uma express˜ao de duas vari´aveis, x e y. O que me faz entusiasta da calculadora HP Prime , al´em da computa¸ca˜o alg´ebrica, ´e a possibilidade de fazermos programas extremamente compactos; por exemplo, a fun¸ca˜o que criamos se resume a uma u ´nica linha! Ei-la:

`a direita temos uma simula¸ca˜o. Na tela da direita digitamos na linha de entrada, mapig([0, π/6, π/3, π/2], [0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4], (y ∧ 2 + y) ∗ cos(x))

539

A fun¸ca˜o a ser amostrada ´e, F (x, y) = (y 2 + y) · cos x A seguir vemos a malha da parti¸ca˜o e os valores da amostragem de F ,

f (x, y)

f (x, y)

r

0 π 6 π 3 π 2

r

0,1 0,2 0,3 0,4

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

y π 6 π 3 π 2

x

y

r

r

r

r r

r

r

r

x

Enfatizamos que na figura da direita os valores verticais (cotas) correspondem aos valores da matriz de saida, 



0.0000

0.1100

0.2400

0.3900

0.5600

  0.0000   0.0000  0.0000

0.0953

0.2078

0.3377

0.0550

0.1200

0.1950

0.0000

0.0000

0.0000

 0.4850   0.2800   0.0000

com 4 casas decimais (na vista de inicio fixe sua calculadora em 4 casas decimais). O Desafio que consta na p´ agina seguinte recai em um problema de programa¸ca˜o alg´ebrica. At´e a presente data (24.08.2016) n˜ ao recebemos nenhuma proposta de solu¸ca˜o. A solu¸ca˜o do “Desafio do S´eculo” encontra-se na p´agina 55. Quanto aos outros dois Desafios, veja ´ındice remissivo.

540

O Desafio do S´eculo Um desafio dirigido − preferencialmente − aos estudantes de ciˆencia da computa¸ca˜o, mas n˜ ao apenas a estes. N˜ ao fazemos discrimina¸c˜ao. Nos livros de C´ alculo I constam algumas f´ormulas (deduzidas a duras penas) para se encontrar a soma de potˆencias dos n primeiros n´ umeros naturais, por exemplo: n(n + 1) 1 + 2 + 3 + ··· + n = 2 Ou ainda n(2n + 1)(n + 1) 1 2 + 2 2 + 3 2 + · · · + n2 = 6 Ou ainda n2 (n + 1)2 1 3 + 2 3 + 3 3 + · · · + n3 = 4 No entanto, n˜ ao existe uma f´ ormula para uma potˆencia arbitr´aria. O Desafio: fa¸ca um programa no qual entramos (apenas) com a potˆencia m e o mesmo saia com a f´ ormula correspondente: 1 m + 2 m + 3 m + · · · + nm = ? Nota: m ´e um inteiro positivo arbitrariamente fixado. Por exemplo, se entrarmos com m = 2, teremos

m=2

Programa

?

n(2n+1)(n+1) 6

− Fa¸ca o programa na linguagem de sua preferˆencia − deixamos livre. Nota: Tente resolver o desafio, de preferˆencia sem nenhuma ajuda minha. − As poss´ıveis solu¸co˜es devem ser enviadas para: [email protected] Uma curiosidade: Se o eminente matem´atico Gauss vivesse nos dias atuais, e, se eu quisesse mantˆe-lo ocupado por algum tempo, ser´a que ele resolveria este desafio antes de Jesus voltar? − O arquivo .pdf deste desafio encontra-se dispon´ıvel em: www.profgentil.com.br Prof. Gentil, o taumaturgo Boa Vista, RR/17.05.2013

541

Um Belo Desafio! − A quem interessar possa.

Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequˆencia dos quadrados dos n´ umeros naturais,

22

32

42

52

62

72

...

No diagrama a seguir, 1

4

9

16

25

36

49

3

5

7

9

11

13

...

2

2

2

2

2

...

...

cas entre os termos da sequˆencia dos quadrados dos produzimos duas diferen¸ n´ umeros naturais. Considere a sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais, 13

23

33

43

53

63

73

...

No diagrama a seguir, 1

8

27

64

125

216

343

7

19

37

61

91

127

...

12

18

24

30

36

...

6

6

6

6

...

...

produzimos trˆ es diferen¸ cas entre os termos da sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais. A calculadora HP Prime possui uma fun¸ca˜o ∆List que produz a diferen¸ca entre os termos de uma lista,

← aqui

Desafio: Considere a sequˆencia dos naturais `a m-´esima potˆencia: 1m

2m

3m

4m

5m

6m

7m

...

prove que m diferen¸cas entre os termos desta sequˆencia resulta sempre numa constante igual a m! . Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/06.08.2016

542

Um Belo Desafio! - II − A quem interessar possa.

Introdu¸ c˜ ao: 12

Considere a sequˆencia dos quadrados dos n´ umeros naturais,

22

32

42

52

62

72

...

No diagrama a seguir, 1

4

9

16

25

36

49

3

5

7

9

11

13

...

2

2

2

2

2

...

...

cas entre os termos da primeira sequˆencia. Considere a produzimos duas diferen¸ sequˆencia dos cubos dos n´ umeros naturais, 13

23

33

43

53

63

73

...

No diagrama a seguir, 1

8

27

64

125

216

343

7

19

37

61

91

127

...

12

18

24

30

36

...

6

6

6

6

...

...

produzimos trˆ es diferen¸ cas entre os termos da primeira sequˆencia.

Desafio: Considere a sequˆencia dos naturais `a m-´esima potˆencia: a(n) = nm , onde m ´e um natural arbitrariamente fixado. Fa¸ca um programa onde entramos com m e j e o mesmo saia com uma f´ormula para a sequˆencia que corresponde `a diferen¸ca de ordem j da sequˆencia a(n) = nm . Nota: Resolvemos este Desafio na HP Prime . Na tela da esquerda fazemos duas simula¸co˜es para o primeiro diagrama acima, a(n) = n2 . Na tela do centro fazemos duas simula¸co˜es para o segundo diagrama acima, a(n) = n3 . Na tela da direita, a partir da f´ ormula dada geramos os 10 primeiros termos das respectivas sequˆencias.

Gentil, o iconoclasta [email protected]

Boa vista-RR/07.08.2016

543

Tabela-Resumo p.

Sintaxe

Comando MAKELIST

MAKELIST (express˜ao, vari´avel, inicio, fim, incremento)

502

MAKEMAT

MAKEMAT (express˜ao, linhas, colunas) P (express˜ ao, vari´avel, in´ıcio, fim)

509

Somat´ orio

512

FOR

FOR contador FROM in´ıcio TO fim DO cla´ usula c´ıclica END

517

FOR-STEP

FOR variavel FROM in´ıcio TO fim STEP h DO cla´ usula c´ıclica END

518

WHILE

WHILE cla´ usula de teste

523

IF-THEN

usula de teste IF cla´

THEN comandos END

526

IF-THENELSE-END

IF cla´ usula de teste

THEN cla´ usula verdadeira ELSE cla´ usula falsa

528

DO comandos END

END apply

apply ( Var → f(Var),

map

map ( Matrix, Var → Fun¸ c~ ao)

537

REPLACE

REPLACE(nome, in´ ıcio, objeto)

533

Zip

zip(‘function’ , List1, List2, Default)

558

remove

remove(Test, List)

578

532

vetor)

www.profgentil.com.br [email protected]

544

Resolvendo equa¸c˜ oes A fun¸c˜ ao solve na HP Prime A fun¸ca˜o solve − e outras que nos interessam − pode ser acessada na caixa de ferramentas, assim:

Ademais, escolha a configura¸ca˜o da tela `a direita. Solve: Apresenta uma lista das solu¸co˜es (reais e complexas) de uma equa¸ca˜o polinomial ou de um conjunto de equa¸co˜es polinomiais. Sintaxe: solve(Eq,[Var]) ou solve(Eq1, Eq2,. . . , [Var]) Nas telas a seguir, temos alguns exemplos,

Como um outro exemplo, na tela a seguir pedimos para resolver a equa¸ca˜o quadr´ atica, a x2 + b x + c = 0,

Na tela da direita criamos uma fun¸ca˜o (programa) para resolver uma equa¸ca˜o quadr´ atica, vemos uma simula¸ca˜o.

545

Na p´ agina 499, propomos a resolu¸ca˜o da seguinte equa¸ca˜o,

S(n) =

2n − 3(−1)n + 3 = 15 4

Ao tentar resolver esta equa¸ca˜o com a aplica¸ca˜o solve, ela n˜ ao consegue. Superamos este obst´aculo criando uma nova fun¸ca˜o (programa) a qual denominamos gsolve, como na tela a seguir:

Na tela da direita resolvemos a equa¸ca˜o anterior. Vejamos mais um exemplo. Consideremos o exemplo dado na p´ agina 498, isto ´e, a sequˆencia: 3

3

6

6

9

9

12

12

15

15

...

Queremos, por exemplo, encontrar a posi¸ca˜o ocupada pelo termo 12 da sequˆencia. Devemos resolver a equa¸ca˜o: 6n − 3 (−1)n + 3 = 12 4 Entrando com esta equa¸ca˜o no programa, obtemos a tela:

Portanto, o termo 12 ocupa duas posi¸co˜es na sequˆencia, a de n´ umero 7 e a de n´ umero 8.

546

HP Prime e f´ ormula de Moivre

Defini¸ c˜ ao 27.√Dado um n´ umero complexo z, chama-se raiz en´ esima de z, e denota-se por n z , a um n´ umero complexo zk tal que zkn = z. √ n z = zk

zkn = z

⇐⇒

√ n z possui n valores. Existe uma f´ormula para se encontrar estas ra´ızes. Dados o n´ umero complezo z = ρ (cos θ + i sen θ) e o n´ umero natural n (n ≥ 2), exitem n ra´ızes en´esimas de z que s˜ao da forma:

√ zk = n ρ



cos



θ 2π +k· n n



+ i sen



θ 2π +k· n n



√ ormula acima e pela HP Prime , para efeitos de comVamos calcular 3 8 pela f´ para¸ca˜o. Ent˜ ao, temos z = 8, ρ = 8 e θ = 0 Logo, zk =

√ 3

8



cos



0 2π +k· 3 3



+ i sen



0 2π +k· 3 3



Ou ainda, zk = 2



cos k

2π 2π + i sen k 3 3



,

k = 0, 1, 2.

Logo, k=0

⇒ z0 = 2 (cos 0 + i sen 0) = 2

k=1

⇒ z1 = 2 cos 1 ·

2π 3

+ i sen 1 ·

2π 3

k=2

⇒ z2 = 2 cos 2 ·

2π 3

+ i sen 2 ·

2π 3





= −1 + i = −1 − i

√ 3 √ 3

Isto por que alguns passos foram economizados nestas contas. Na HP Prime resolvemos esta quest˜ ao em menos de uma linha (linha de entrada). Devemos resolver a equa¸ca˜o: z3 = 8

547

Na tela a seguir temos o resultado,

Na tela da direita multiplicamos a lista por ela mesma (2×). Ainda tem mais: a f´ ormula de Moivre s´o resolve ra´ızes “redondinhas” como a acima. Por exemplo, uma simples raiz quadrada como esta, √ −16 + 30 i n˜ ao sai pela f´ ormula de Moivre. Vamos resolver esta raiz do modo como se encontra na literatura e depois pela HP Prime, para efeito de compara¸ca˜o. Pela defini¸ca˜o 27 (p. 547), temos: √ 2 z = z ′ ⇐⇒ z ′ 2 = z

Tomando z ′ = x + y i, temos: √ −16 + 30 i = x + y i

⇐⇒

−16 + 30 i = (x + y i)2

Desenvolvendo (x + y i)2 pela f´ormula do binˆomio de Newton, a u ´ ltima igualdade acima fica:   −16 + 30 i = x2 + 2xy i + y 2 i2  −16 + 30 i = (x2 − y 2 ) + 2xy i

Portanto,

  x2 − y 2 = −16  2xy = 30

Desta u ´ltima equa¸ca˜o, vem y = x2 − donde,

√

15 x

, substituindo na primeira, resulta:

15
2 = −16 ⇒ x4 + 16x2 − 225 = 0 x

  x = 3,

 x = −3,

portanto, y =

15 3

portanto, y =

15 −3

= 5; = −5

Resposta: −16 + 30 i ´e igual a 3 + 5 i ou −3 − 5 i. Isto por que alguns passos foram economizados nestas contas. Na HP Prime resolvemos esta raiz em menos de uma linha. Devemos resolver a equa¸ca˜o: z 2 = −16 + 30 i

548

Na tela a seguir temos o resultado,

Na tela da direita elevamos cada uma das ra´ızes a 2, para efeito de confirma¸ca˜o. Por u ´ltimo, vejamos ainda a resolu¸ca˜o de uma simples equa¸ca˜o que se encontra na literatura∗ . Resolver, 3x6 + 192 = 0 Solu¸ c˜ ao: 3x6 + 192 = 0

⇐⇒

x6 = −

192 3

⇐⇒

x =

√ 6 −64

Nota: Observe que sai “tudo redondinho”. Fazendo z = −64, vem ρ = |z| = 64 e θ = π, ent˜ ao:      √ π 2π 2π π 6 zk = 64 cos + i sen +k· +k· 6 6 6 6 Logo, π h π π π i + i sen , +k· +k· zk = 2 cos 6 3 6 3

∗ Fundamentos de Matem´ atica Elementar (Vol. edi¸c˜ ao.

549

k = 0, 1, . . . , 5.

6)/Gelson Iezzi/Atual Editora/7.a

Temos, k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5

 ⇒ z0 = 2 cos

π 6

+0·

π 3

 ⇒ z1 = 2 cos

π 6

+1·

π 3

 ⇒ z2 = 2 cos

π 6

+2·

π 3

 ⇒ z3 = 2 cos

π 6

+3·

π 3

 ⇒ z4 = 2 cos

π 6

+4·

π 3

π 6

+3·

π 3

 ⇒ z5 = 2 cos




+ i sen

π 6

+0·

π 3




+ i sen

π 6

+1·

π 3




+ i sen

π 6

+2·

π 3




+ i sen

π 6

+3·

π 3




+ i sen

π 6

+4·

π 3




+ i sen

π 6

+3·

π 3

√ 3+i




=




√ = − 3+i




= −2 i




= 2i




√ = − 3−i




=

√ 3−i

portanto, o conjunto solu¸ca˜o de 3x6 + 192 = 0 ´e n√ o √ √ √ S = 3 + i, 2 i, − 3 + i, − 3 − i, −2 i, 3 − i,

Isto por que alguns passos foram economizados nestas contas. Na HP Prime resolvemos esta equa¸ca˜o em menos de uma linha, veja:

Na tela da direita salvamos o conjunto solu¸ca˜o em uma vari´avel e a substituimos no lado esquerdo da equa¸ca˜o, para tirar “a prova dos nove”.

550

Sistema linear Dados um vetor de equa¸co˜es lineares e um vetor de vari´aveis correspondente, apresenta a solu¸ca˜o para o sistema de equa¸co˜es lineares. Sintaxe: linsolve([EqLin1, EqLin2,...], [Var1, Var2,...]) Exemplos:

Reescrever lncollect Reescreve uma express˜ao com os logaritmos recolhidos. ln(a) + n ∗ ln(b) = ln(a ∗ bn ) para um n´ umero inteiro n. Exemplo,

551

powexpand Reescreve uma express˜ao com uma potˆencia que ´e uma soma como um produto de potˆencias. ab+c = ab ∗ ac Exemplo:

Adendo Por falar em potˆencia, uma opera¸ca˜o (simplifica¸ca˜o) bem simples que eu necessitava fazer − na HP 50g − e que n˜ ao conseguia era, (−1)2n ,

na HP 50g ao pedir para valiar (simplificar) esta express˜ao ela n˜ ao consegue. Os projetistas da PRIME ouviram minhas ora¸co˜es. No contexto da p´ agina 135 me deparei com o seguinte problema: (a) Encontre a f´ ormula do termo geral da seguinte sequˆencia: 1

1

−1

−1

1

1

−1

−1

...

Solu¸ c˜ ao: A f´ ormula ´e dada pelo produt´orio, an2

2 Y ( n−1 j ) a1(2−j) = j=0

Simplificando, obtemos: ( n−1 ( n−1 ( n−1 0 ) 1 ) 2 ) an2 = a12 × a11 × a10

552

(9.2)

Onde, a12 = 1, a11 = 1 e a10 = −1, obtidos da pr´opria sequˆencia. Substituindo estes resultados na equa¸ca˜o e simplificando, obtemos: ( n−1 2 ) an2 = (−1) H´ a muito tempo − desde a HP 50g − meu desejo foi programar a f´ormula,

anm

m Y ( n−1 j ) = a1(m−j) j =0

da qual a equa¸ca˜o (9.2) ´e apenas um caso particular (m = 2). (p. 135) Nota: Este relato tem como objetivo(s) mostrar como um problema que eu n˜ ao conseguir resolver no contexto da HP 50g , foi solucionado no contexto da HP Prime ; deixar este registro, para mim mesmo, e, caso o leitor um dia se depare com um problema semelhante. . . Pois bem, o problema surge no seguinte contexto, (p. 512)

J´a conhecemos o resultado, ( n−1 2 ) an2 = (−1) onde,



n−1 2



=

(n − 1)(n − 2) 2

Nota: Na verdade o leitor n˜ ao deve se preocupar com os c´ alculos anteriores, pois o problema que desejo enfatizar inicia-se precisamente aqui: simplifica¸ca˜o do resultado da u ´ltima tela acima.

553

Vamos pedir para a calculadora simplificar a u ´ltima tela, acima,

n˜ ao adiantou nada, trocou seis por meia d´ uzia. Tentei v´arios outros caminhos alternativos, inclusive Log e exp (logaritmo e exponencial). Se pelo ao menos pudessemos arrancar o expoente da potˆencia, (−1)

(−1+n)! 2(−3+n)!

simplificariamos fora e depois colocariamos ele no lugar. . . Depois de algumas tentativas neste sentido, me veio uma ideia na qual n˜ ao depositei muita esperan¸ca. Acesse,

o manual da calculadora nos diz que o comando Right Side nos devolve o lado direito de uma equa¸ca˜o; num ato de desespero vamos us´a-lo para extrair o expoente de uma potˆencia − tentei esta alternativa sem levar muita f´e.

Ap´os pressionar OK na u ´ltima tela, clique em cima da express˜ao e pe¸ca uma c´ opia. . . ???

554

Deu certo! a calculadora nos devolveu o expoente da potˆencia!. Ap´os fatorar obtivemos a tela da direita. Ap´os fatorar a express˜ao, a devolvemos ao seu lugar de origem,

texpand Expande uma express˜ao transcendental. Exemplo:

555

Reescrever − Exp e Ln

ey ln x → xy

Uma express˜ao da forma ey ln x reescrita como uma potˆencia de x. Sintaxe: exp2pow(Exp) Exemplo:

xy → ey ln x Apresenta uma express˜ao com as potˆencias reescritas como uma exponencial. Essencialmente, ´e o inverso de exp2pow. Sintaxe: pow2exp(Expr) Exemplo:

556

Um Desafio Imagin´ario Considere a equa¸ca˜o de Euler:

eθ i = cos θ + i sen θ Vamos substituir nesta equa¸ca˜o o n´ umero irracional e pelo n´ umero irracional π e enunciar a seguinte:

Defini¸ c˜ ao (Equa¸c˜ao do iconoclasta) Seja θ um n´ umero real, decretamos

π θ i = cos θ + i sen θ O Desafio: Existe algum problema com esta f´ormula? Ou ainda: Esta f´ormula conduz a alguma contradi¸ca˜o matem´atica? ∗

∗

∗

Adendo: Observe que n˜ ao vale vocˆe apontar uma contradi¸ca˜o com a f´ormula de Euler, ou com qualquer resultado que fa¸ca uso desta f´ormula. N˜ ao existe uma demonstra¸ca˜o matem´atica para a equa¸ca˜o de Euler, ´e como se ela tivesse sido estabelecida por defini¸ca˜o (decreto). Curiosidades: Substituinto θ = π na equa¸ca˜o do iconoclasta, obtemos

π π i = cos π + i sen π

⇒ ππ i + 1 = 0

Ademais, desta equa¸ca˜o resultam os dois seguintes resultados:

cos θ =

π θ i + π −θ i 2

sen θ =

π θ i − π −θ i 2i

e

Boa Vista-RR/29.03.2016

[email protected]

557

A fun¸ c˜ ao Zip Aplica uma fun¸ca˜o bivariada aos elementos de duas listas ou vetores e apresenta os resultados num vetor. Sem o valor predefinido, o comprimento do vetor ´e o m´ınimo dos comprimentos das duas listas. Com o valor predefinido, a lista mais curta ´e preenchida com o valor predefinido. Sintaxe: zip(‘function’ , List1, List2, Default)

Gentil Lopes

Livro HP50g 1 mensagem

Cleber Pertel 9 de maio de 2013 22:11 Para: [email protected] Professor Gentil, Chamo-me Cleber e sou acadˆemico do curso de Engenharia Qu´ımica da Universidade Federal do Paran´a. Estou escrevendo para o senhor para parabeniz´a-lo pela sua obra “Programando a HP - 50g”. Esse livro ´e fant´ astico! Tem me ajudado muito. Confesso que quando necessitei comprar a referida calculadora, senti-me extremamente ignorante. Tinha a ferrari, mas me sentia andando num monociclo. O seu livro fez toda a diferen¸ca no caminho que percorri para adentrar no fant´ astico mundo da programa¸ca˜o. Embora meus passos ainda sejam mod´estos, tornaram-se firmes gra¸cas ` a sua preciosa ajuda. Embora n˜ ao seja seu aluno fisicamente, sinto-me tal e qual, pois o senhor, atrav´es do seu livro, tornou-se indispens´ avel em minha vida acadˆemica, da mesma forma que os mestres que possuo na universidade. Infelizmente n˜ ao estamos pr´oximos, pois eu gostaria muito de um aut´ografo seu, mas, de qualquer forma, receba com estas palavras meu carinho e gratid˜ao por uma obra t˜ ao rica que, humildemente, fala aos iniciantes (categoria na qual estou inclu´ıdo) e, mais do que isso, nos abre as portas do interesse e da curiosidade para adentrar nesse mundo ´ımpar que o seu livro conduz-nos os primeiros passos, quando estes ainda s˜ao vacilantes. Que Deus o aben¸coe! Um forte abra¸co, com votos de paz, Cleber Pertel

558

HP Prime e f´ ormula de Cardano O frade italiano Luca Pacioli (1445-1515), renomado professor de matem´atica, tendo ensinado em diversas Universidades da It´ alia, em seu livro sobre aritm´etica e ´algebra, Summa de Aritm´ etica e Geometria (1494), afirmou que a solu¸ca˜o da c´ ubica x3 + px + q = 0 (usando nota¸ca˜o moderna) era imposs´ıvel; o que foi desmentido na virada do s´eculo XV para o XVI.

x =

s 3

q − + 2

r

q2 4

+

p3 27

+

s 3

q − − 2

r

p3 q2 + 4 27

´ a f´ormula que resolve a equa¸ca˜o∗ , E x3 + px + q = 0

(9.3)

Um fato curioso ´e que passaram-se nada mais nada menos que 3 mil anos entre a f´ormula de Bhaskara e a f´ ormula acima, de Cardano. Pois bem, tomando, q2 p3 + D= 27 4 Temos as seguintes possibilidades:†  A equa¸ca˜o tem uma raiz real e duas complexas;   D > 0,    D = 0, A equa¸ca˜o tem trˆes ra´ızes reais, uma repetida;      D < 0, A equa¸ca˜o tem trˆes ra´ızes reais e distintas.

Em seguida o autor do artigo referido resolve v´arios exemplos de equa¸co˜es tipo (9.3); ainda aqui vejamos a contribui¸ca˜o da HP Prime . 1 o ) x3 − 6x − 9 = 0, neste caso, D=

q2 (−6)3 (−9)2 49 p3 + = + = >0 27 4 27 4 4

A equa¸ca˜o tem uma raiz real e duas complexas. Na tela a seguir programamos a f´ormula de Cardano,

A equa¸c˜ ao geral ax3 + bx2 + cx + d = 0 se reduz a esta mediante transforma¸c˜ oes convenientes. † Para a prova destas afirmativas, veja o artigo “A Equa¸c˜ ao do Terceiro Grau” do Prof. Elon Lages Lima/Matem´ atica Universit´ aria, N o 5, Junho de 1987, 9-23. ∗

559

Na tela da direita resolvemos a equa¸ca˜o x3 − 6x − 9 = 0 pela f´ormula de Cardano (programa) e encontramos a raiz x = 3, em seguida resolvemos a equa¸ca˜o utilizando a aplica¸ca˜o solve da Calculadora, obtivemos as trˆes ra´ızes. Na tela a seguir resolvemos mais duas equa¸co˜es, desta vez utilizando a aplica¸ca˜o zeros da Calculadora,

Uma equa¸ca˜o bem mais complicada ´e a que segue, 2 ) x3 + 3x + 2 = 0, neste caso, o

D=

p3 q2 33 22 + = + =2>0 27 4 27 4

A equa¸ca˜o tem uma raiz real e duas complexas. Na tela a seguir obtivemos a solu¸ca˜o real pelo programa (f´ ormula de Cardano)

Na tela da direita resolvemos diretamente pela Calculadora, obtivemos uma solu¸ca˜o apenas aproximada − no entanto, as trˆes solu¸co˜es.

560

F´ ormula de Cardano e a imis¸c˜ ao dos n´ umeros complexos Cardano publicou em 1545, em Nurenberg, na Alemanha, o livro Ars Magna (A grande Arte), onde trata de ra´ızes negativas de equa¸co˜es, n´ umeros imagin´arios e regra de sinais, entre outros estudos. Por oportuno, muitos estudantes pensam, equivocadamente, que os n´ umeros complexos surgiram em fun¸ca˜o da f´ ormula de Bhaskara, √ −b ± ∆ 2 , ∆ = b2 − 4ac ax + bx + c = 0, x= 2a quando ∆ < 0. Uma equa¸ca˜o do 2 o grau ou possui duas ra´ızes reais (podendo ser iguais) ou n˜ ao possui nenhuma. Quando ocorria ∆ < 0 os matem´aticos (de ent˜ ao) simplesmente davam o assunto por encerrado, afirmando que a equa¸ca˜o n˜ ao tinha solu¸ca˜o, ponto final! − E estavam certos, uma vez que os n´ umeros complexos ainda n˜ ao existiam. Algo bem diverso ocorria com uma equa¸ca˜o do 3 o grau,

x3 + px + q = 0,

x =

r r q √ q √ 3 − + D + 3 − − D 2 2

D=

p3 q2 + 27 4

aqui, obrigatoriamente uma das ra´ızes ´e real, podendo ser as trˆes. Como foi citado na p´ agina 559, quando D < 0 a equa¸ca˜o tem trˆes ra´ızes reais e distintas. Vejamos um exemplo que consta na Ars Magna de cardano, x3 − 15x − 4 = 0 onde, p = −15 e q = −4. Para estes valores, temos, D=

(−4)2 (−15)3 + = −121 < 0 27 4

portanto, a equa¸ca˜o tem trˆes ra´ızes reais e distintas. Vejamos o que a f´ormula de Cardano tem para nos oferecer, r r −4 √ −4 √ 3 3 + −121 + − −121 x = − − 2 2 simplificando, x =

q q √ √ 3 3 2 + −121 + 2 − −121

???!!

Aqui Cardano n˜ ao podia simplesmente jogar a toalha posto que a equa¸ca˜o possui n˜ ao apenas uma mas trˆes ra´ızes reais e distintas; de antem˜ao ele sabia que x = 4 era uma das solu¸co˜es. Ora, al´em da f´ ormula de Cardano n˜ ao fornecer o resultado que ele esperava, para complicar ainda mais o jogo, fornecia uma solu¸c˜ao que envolvia a raiz quadrada de um n´ umero negativo! − que n˜ ao existia! E as outras duas ra´ızes reais onde est˜ ao?.

561

Adendo: Observe que se quisessemos fundir ainda mais a cabe¸ca do pobre Cardano, o transportariamos “em esp´ırito” ao s´eculo XXI e mostrariamos a ele uma “outra solu¸ca˜o” expelida por sua f´ormula,

Isto mesmo, esta!

e

1 ln(2+11 i) 3

+ e

1 ln(2−11 i) 3

Bem, deixemos estas modernidades de lado e voltemos ao S´eculo XVI; ent˜ ao, nem Cardano e nenhum matem´atico seu contemporˆaneo sabia o que estava acontecendo. Cardano chegou a duvidar de sua pr´opria f´ormula, o sentimento era de frustra¸ca˜o. Ademais, Cardano referia-se `as ra´ızes quadradas de n´ umeros negativos como “grandezas sof´ısticas” e as considerava “t˜ ao engenhosas quanto in´ uteis” − observe que naqueles tempos j´a se costumava desdenhar do que n˜ ao se entendia −. Por oportuno, os n´ umeros complexos hoje, e desde h´ a muito, s˜ao imprescind´ıveis tanto na engenharia el´etrica (na an´alise de circuitos) quanto na f´ısica, em particular na mecˆanica quˆantica; por exemplo, observem que a unidade imagin´ aria comparece na famosa equa¸ca˜o de Schr¨oedinger, z

2

ℏ ∂ − 2m

2

Ψ(x, t) ∂x2

aqui ց + V (x, t) Ψ(x, t) = i ℏ

∂ Ψ(x, t) ∂t

θ

y φ

x

562

P (r, θ, φ)

y x

2

ℏ ∇2 ψ(r, θ, φ) + V (r) ψ(r, θ, φ) = i E ψ(r, θ, φ) − 2m

r

Retomando, vejamos a solu¸ca˜o da equa¸ca˜o de Cardano, x3 − 15x − 4 = 0 pela HP Prime , veja:

Na tela da direita temos a solu¸ca˜o pela f´ormula de Cardano (programada) quando pedimos uma solu¸ca˜o apenas “aproximada”. Reiteramos: Para que os n´ umeros complexos se manifestassem em nosso plano − “for¸cassem passagem” (imis¸ca˜o) − a f´ormula de Cardano foi essencial. Registra a hist´oria que, desde Cardano, ainda seriam necess´arios cerca de 200 anos para que os n´ umeros complexos fossem devidamente compreendidos, isto ´e, adquirissem legitimidade matem´atica. Observem que at´e matem´aticos da estatura de um Leonhard Euler claudicavam no trato com os n´ umeros complexos, vejam∗ : A ambivalˆencia dos matem´ aticos do S´eculo XVIII em rela¸c˜ ao aos n´ umeros complexos pode mais uma vez ser evidenciada em Euler. Apesar de seus trabalhos em que ensinava a operar com eles, afirma “Como todos os n´ umeros conceb´ıveis s˜ ao maiores ou menores do que zero ou iguais a zero, fica ent˜ ao claro que as ra´ızes quadradas de n´ umeros negativos n˜ ao podem ser inclu´ıdas entre os n´ umeros poss´ıveis [n´ umeros reais]. E esta circunstˆ ancia nos conduz ao conceito de tais n´ umeros, os quais, por sua pr´ opria natureza, s˜ ao imposs´ıveis, e que s˜ ao geralmente chamados de n´ umeros imagin´ arios, pois existem somente na imagina¸c˜ ao.” Vamos ainda um pouco mais longe, dentro do j´a avan¸cado S´eculo XIX os n´ umeros negativos ainda n˜ ao eram aceitos por todos os matem´aticos . . . pasm´em! Isto mesmo, os pr´oprios “n´ umeros negativos” ainda n˜ ao gozavam de legitimidade matem´atica! Ainda n˜ ao eram n´ umeros! Vejam caros leitores como n˜ ao estou mentindo:

∗ Fonte: Carmo, Manfredo Perdig˜ ao do, et alii, Trigonometria/N´ umeros complexos. Rio de Janeiro-IMPA/VITAE,1992.

563

Peacock n˜ ao produziu resultados novos not´ aveis em matem´ atica, mas teve grande importˆ ancia na reforma do assunto na inglaterra, especialmente no que diz respeito ` a´ algebra. Tinha havido em Cambridge uma tendˆencia t˜ ao conservadora em ´ algebra quanto na geometria e na an´ alise; ao passo que, no Continente, os matem´ aticos estavam desenvolvendo a representa¸c˜ ao gr´ afica dos n´ umeros complexos, na inglaterra havia protestos de que mesmo os n´ umeros negativos n˜ ao tinham validade. (Boyer, p. 420) ´ discut´ıvel se “havia Isto tudo dentro do j´ a avan¸cado S´eculo XIX, reiteramos. E em Cambridge uma atitude t˜ ao conservadora”. Ademais, perguntamos: o que significa existir em matem´atica? Por que h´ a apenas poucos s´eculos atr´ as os n´ umeros complexos − e os negativos − n˜ ao existiam e hoje eles existem? Os n´ umeros, e mais geralmente a matem´atica, existem “l´a fora” ou s˜ao cria¸co˜es humanas? Na p´ agina 277 deste livro discutimos estas quest˜ oes; ampliamos e aprofundamos a discuss˜ ao em nosso livro “Fundamentos dos N´ umeros ”, onde tamb´em fazemos uma constru¸ca˜o dos n´ umeros partindo do 0.

564

9.5

Polinˆ omios

Coeficientes Dado um polinˆomio em x, apresenta um vetor que cont´em os coeficientes. Se o polinˆomio estiver numa vari´avel que n˜ ao x, ent˜ ao, declare a vari´avel como o segundo argumento. Com um n´ umero inteiro como terceiro argumento opcional, apresenta o coeficiente do polinˆomio cujo grau coincide com o n´ umero inteiro. Sintaxe: coeff(Poly, [Var], [Integer]) Exemplos:

p(x) = x2 + 0 x − 2

p(y) = y 2 + 0 y − 2

Divisores Dado um polinˆomio, apresenta um vetor que cont´em os divisores do polinˆomio. Sintaxe: divis(Poli) ou divis(Poli1, Poli2,...) Exemplos:

565

Lista de fatores Apresenta um vetor com os fatores primos de um polinˆomio ou uma lista de polinˆomios, com cada fator seguido pela respectiva multiplicidade. Sintaxe: factors(Poly) ou factors(Poly1, Poly2,...) Exemplos:

MDC Apresenta o m´aximo divisor comum a dois ou mais polin´omios. Sintaxe: gcd(Poli1,Poli2...) Exemplos:

MMC Apresenta o m´ınimo m´ ultiplo comum a dois ou mais polinˆomios. Sintaxe: lcm(Poli1, Poli2,...) Exemplos:

566

Polinˆ omio – Criar Poli. → Coef.

Dado um polinˆomio, apresenta um vetor que cont´em os coeficientes do polinˆ omio. Com uma vari´avel como segundo argumento, apresenta os coeficientes de um polinˆomio relativamente ` a vari´avel. Com uma lista de vari´aveis como segundo argumento, apresenta o formato interno do polinˆomio. Sintaxe: symb2poly(Expr,[Var]) ou symb2poly(Expr, Var1, Var2,...) Exemplos:

Coef. → Poli.

Com um vetor como argumento, apresenta um polinˆomio em x com coeficientes (por ordem descendente) obtidos a partir do vetor do argumento. Com uma vari´avel como segundo argumento, apresenta um polinˆomio semelhante nessa vari´avel. Sintaxe: poly2symb(Vetor, [Var]) Exemplos:

567

Ra´ızes → Coef.

Apresenta um vetor que cont´em os coeficientes (por ordem decrescente) do polinˆ omio de uma u ´nica vari´avel, cujas ra´ızes s˜ao especificadas no vetor do argumento. Sintaxe: pcoeff(Lista) Exemplos:

→

p(x) = x2 − 1

p(x) = x2 − 2

Na u ´ltima linha da tela da direita observamos que podemos concatenar (compor) estes comandos.

Ra´ızes → Poli.

Assume um vetor como argumento. O vetor cont´em cada raiz ou polo de uma fun¸ca˜o racional. Cada raiz ou polo ´e seguido pela respetiva ordem, tendo os polos uma ordem negativa. Apresenta a fun¸ca˜o racional em x que possui as ra´ızes e polos (com as respetivas ordens) especificados no vetor do argumento. Sintaxe: fcoeff(Vetor)

em que em que Vetor tem a forma [Root1, Order1, Root2, Order2...]). Exemplo:

568

Incluimos a tela da direita para facilitar o entendimento deste comando. Calculamos as ra´ızes do numerador (da fun¸ca˜o racional) e o fatoramos. No vetor do argumento, [1, 2, 0, 1, 3, −1] temos que 1 ´e ra´ız do numerador, com multiplicidade 2; 0 ´e ra´ız do numerador, com multiplicidade 1 e, como ´e f´ acil ver, 3 ´e ra´ız do denominador (por isto chama-se p´ olo da fun¸ca˜o racional) com multiplicidade 1.

´ Polinˆ omio – Algebra Quociente. Apresenta um vetor que cont´em os coeficientes do quociente euclidiano de dois polin´omios. Os polin´omios podem ser escritos como uma lista de coeficientes ou em forma simb´ olica. Sintaxe: quo(List1, List2, [Var]) ou quo(Poli1, Poli2, [Var])

Resto. Apresenta um vetor que cont´em os coeficientes do resto do quociente euclidiano de dois polinˆomios. Os polinˆomios podem ser escritos como uma lista de coeficientes ou em forma simb´ olica. Sintaxe: rem(List1, List2, [Var]) ou rem(Poli1, Poli2, [Var]) Antes de exemplificar na Calculadora, vejamos um exemplo, “na m˜ao”; vamos dividir os dois polinˆomios a seguir, x4 + 2x3 + 3x2 + 4x

e

− x2 + 2x

Veja como fica,

x4 + 2x3 + 3x2 + 4x

−x2 + 2x

−x2 − 4x − 11

−x4 + 2x2 4x3 + 3x2 + 4x

+ :

−4x3 + 8x2 11x2 + 4x

+ :

−11x2 + 22x + :

26x

← (resto)

569

← (quociente)

Na HP Prime fica assim,

Na tela da direita temos um outro exemplo.

Grau. Apresenta o grau de um polinˆomio. Sintaxe: degree(Poli) Exemplos:

Coef. MDC. Apresenta o m´aximo divisor comum (MDC) dos coeficientes de um polin´omio. Sintaxe: content(Poli,[Var]) Exemplos:

570

ratnormal Reescreve uma express˜ao como uma fra¸ca˜o racional irredut´ıvel. Sintaxe: ratnormal(Expr)

Fra¸c˜ ao parcial Realiza a decomposi¸ca˜o de uma fra¸ca˜o em fra¸co˜es parciais. Sintaxe: partfrac(RatFrac) Exemplos:

Adendo polar− point Dados o raio e o ˆ angulo de um ponto na forma polar, apresenta o ponto com as coordenadas retangulares na forma complexa. Sintaxe: polar− point(Radius, Angle)

rectangular− coordinate

Dado um vetor que cont´em as coordenadas polares de um ponto, apresenta um vetor que cont´em as coordenadas retangulares do ponto. Sintaxe: retangular− coordinate(vector) Exemplos:

571

Polinˆ omios e Matem´ atica Financeira Introdu¸c˜ ao

× Veremos que, mesmo em casos onde se deve ter um n´ umero como sa´ıda de um programa a programa¸ca˜o alg´ebrica pode facilitar bastante; apenas para contextualizar, vejamos um importante exemplo da matem´atica financeira: “Um congelador no valor de $ 950, 00 a vista ´e vendido em 12 pagamentos mensais e sem entrada no valor de $ 100, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?” Ao tentar resolver esse problema nos deparamos com a seguinte equa¸ca˜o: 100 i(1 + i)12 = (1 + i)12 − 1 950

Como isolar i (taxa) nesta equa¸ca˜o? O sentimento generalizado nos livros de matem´atica financeira ´e que n˜ ao ´e poss´ıvel isolar a taxa nesta equa¸ca˜o. Por exemplo∗ , “Se ´e poss´ıvel uma f´ ormula especial para o c´ alculo de n, tal n˜ ao acontece para o c´ alculo de i, quando se conhecem P V , P M T e n. O c´ alculo de i s´o ´e poss´ıvel por aproxima¸co˜es sucessivas. Calcula-se o valor de P V com v´arias taxas at´e que se consigam valores pr´oximos do valor dado para P V . Em seguida, com o aux´ılio da regra de trˆes, faz-se uma interpola¸ca˜o para determinar a taxa correspondente a esse valor dado.” Este ´e um m´etodo tosco de resolu¸ca˜o, comparado com o que aqui vamos apresentar. Vamos mostrar que ´e poss´ıvel sim obter “uma f´ormula especial para o c´ alculo de i”. Veremos como, atrav´es da computa¸ca˜o alg´ebrica, obter uma f´ormula para o c´ alculo da taxa e sem aproxima¸co˜es − num sentido a ser esclarecido oportunamente.

∗

Veras, Lilia Ladeira. Matem´ atica Financeira 6. ed. S˜ ao Paulo: Atlas, 2009.

572

Sequˆ encia Uniforme de Pagamentos C´ alculo de presta¸c˜ oes Quando compramos um artigo a prazo efetuamos geralmente seu pagamento em uma s´erie de presta¸co˜es igualmente espa¸cadas no tempo. Essa s´erie de presta¸co˜es ´e equivalente a um pagamento u ´nico, que seria o pagamento `a vista. A f´ormula − deduzida nos livros de matem´atica financeira − a ser utilizada ´e a seguinte:

V = P ·

1 − ( 1 + i )−n i

(9.4)

Essa f´ ormula nos fornece o valor `a V ista de uma compra feita em n parcelas iguais a P quando embutida uma taxa de juros de valor i. Vamos passar esta f´ ormula para a linguagem da calculadora financeira HP 12C , temos

V =P ·

1−( 1+i )−n i

P V = P MT ·

1−( 1+i )−n i

Onde: P V = Valor Presente e P M T = Pagamento = Presta¸co˜es. S´ eries postecipadas e antecipadas Nos pagamentos peri´odicos, os pagamentos podem ser feitos no in´ıcio do per´ıodo de capitaliza¸ca˜o, quando s˜ao chamados de antecipados, ou no final do per´ıodo, quando s˜ao chamados de postecipados. Por exemplo, os sal´arios, por serem pagos no fim do mˆes, s˜ao rendas postecipadas; as mensalidades escolares, por sua vez, s˜ao rendas antecipadas.

P

P

P

P

···

p

p

p

p

0

1

2

3

···

− Antecipados

P

P

p

p

p

p

0

1

2

3

− Postecipados

573

··· ···

Temos a seguinte f´ ormula:

PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

(9.5)

como uma generaliza¸ca˜o da f´ormula (9.4) (p. 573). Quando m = 0 temos as s´eries antecipadas e m = 1 as s´eries postecipadas. ´ Obviamente que a f´ ormula (9.5) contempla outras possibilidades. Por exemplo, se a primeira parcela for paga no final do segundo per´ıodo (ou in´ıcio do terceiro) (m = 2):

P

P

P

p

p

p

p

p

0

1

2

3

4

··· − Postecipados, m = 2

···

C´ alculo da taxa de juros Reconsideremos o seguinte problema: Um congelador no valor de $ 950, 00 a vista ´e vendido em 12 pagamentos mensais e sem entrada no valor de $ 100, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Substituindo os dados na f´ormula (9.5) (p. 574), temos: PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

isto ´e, 100 = 950 ·

i(1 + i)12−1 (1 + i)1 (1 + i)12 − 1

Ou ainda, 10 i(1 + i)12 = (1 + i)12 − 1 95 Para isolar i nesta equa¸ca˜o iremos iniciar com o binˆ omio de Newton: n   X n n−k k (a + b) = a b k n

k=0

Tomando nesta equa¸ca˜o a = 1 e b = i, resulta: (1 + i )n =

n   X n k=0

574

k

ik

(9.6)

Vejamos um caso particular desta equa¸ca˜o:         3   X 3 k 3 0 3 1 3 2 3 3 (1 + i) = i = i + i + i + i k 0 1 2 3 3

k=0

= 1 + 3i + 3i2 + i3

Resulta um polinˆomio do terceiro grau em i. Polinˆomios ´e uma das especialidades da HP Prime , como j´ a vimos. Apenas para pegar intimidade com o somat´orio, n

(1 + x ) =

n   X n

k=0

k

xk

(9.7)

vamos criar uma fun¸ca˜o na HP Prime , como na tela a seguir,

ap´os , teremos a tela da direita, onde vemos duas simula¸co˜es. Lembramos que todas as vari´aveis envolvidas (n, k, x) devem estar resetadas (Adendo, p. 493). Lembramos que a letra i ´e reservada para a unidade imagin´aria. Ademais, observe o seguinte,

←−

Vamos manipular alg´ebricamente a f´ormula PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

para obter: (1 + i)n − 1 − i(1 + i)n+m−1 · P V /P M T = 0

575

Ou ainda,

(ver somat´orio (9.7), p. 575) n   X n k=0

Sendo

k

ik − 1 − i ·

n   X n k=0

k

e n+m−1 X  k=0

n+m−1 k



n+m−1 X  k=0

n+m−1 k



i k · P V /P M T = 0

      n n n 0 1 i = i + i + ···+ in 0 1 n | {z } k

=1

k

i =



n+m−1 0



0

i + ···+



n+m−1 n+m−1



i n+m−1

Observe que temos uma diferen¸ca entre dois polinˆomios em i: n   X n k=1

|

k {z

p1 (i)

k

i − P V /P M T · }

|

n+m−1 X  k=0

{z

n+m−1 k

p2 (i)



i k+1 = 0 }

Para o pr´oximo programa fixe a seguinte configura¸ca˜o em sua calculadora (Vista de in´ıcio e Vista do CAS):

576

O programa seguinte calcula a taxa de juros dada pela equa¸ca˜o (9.5) (p. 574).

Problema: Um congelador no valor de $ 950, 00 a vista ´e vendido em 12 pagamentos mensais iguais e sem entrada no valor de $ 100, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? O diagrama de fluxo de caixa da opera¸ca˜o ´e visto a seguir: VP

PMT

PMT

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Solu¸ c˜ ao: Entrando no programa anterior com os dados: P V = 950, P M T = 100, n = 12, m = 1 (sem entrada), temos a tela a seguir,

o programa nos devolve a seguinte lista: { −178.6066 0.0000 3.7909 } Ou seja: o polinˆomio resultante do problema em quest˜ ao possui trˆes ra´ızes reais. A que nos interessa ´e: i = 3.7909. Vamos modificar o programa anterior para sair apenas com a taxa que nos interessa, isto ´e, entre 0 e 100.

577

Tentando resolver este problema de “forma compacta” (e elegante) ´e que fui levado a uma nova e interessante fun¸ca˜o da Calculadora, ei-la: remove Dado um vetor ou lista, remove as ocorrˆencias de Valor ou remove os valores que tornam o Teste verdadeiro e apresenta o vetor ou lista resultante. Sintaxe: remove(Value, List) ou remove(Test, List) Antes dos exemplos, volte sua calculadora para as configura¸co˜es,

−→ −→

Veja os dois exemplos seguintes,

Aqui cabe uma pergunta: e se quisermos eliminar na lista do exemplo os x tais que x ≤ −2 e x ≥ 2 ?. Basta concatenar remove, assim:

Pois bem, agora volte a sua Calculadora para a configura¸ca˜o anterior aos exemplos (p. 576).

578

Ent˜ ao, o programa para o c´ alculo da taxa de juros modificado, fica assim:

Na tela da direita recalculamos o problema do congelador. Vejamos mais dois exemplos. Problema: Uma loja de decora¸co˜es anuncia a venda de um objeto de arte por $ 600, 00 a vista ou em 1 + 8 (isto ´e, com uma entrada e oito parcelas mensais) de $ 80, 00 cada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja? Solu¸ c˜ ao: O diagrama de fluxo de caixa da opera¸ca˜o ´e visto a seguir:

PMT

p 0

PMT = $ 80, 00

p

p

p

p

p

p

p

p

1

2

3

4

5

6

7

8

PV = $ 600, 00

Entrando no programa com os dados: P V = 600, P M T = 80, n = 9, m = 0 (com entrada), o programa nos devolve: i = 4.8598 (a.m.).

579

Problema: Um aparelho de som ´e anunciado com um pre¸co a vista de $ 1200, 00 ou em trˆes parcelas mensais iguais a $ 500, 00. Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a primeira parcela seja paga: a) no ato; b) 30 dias ap´os a compra. Solu¸ c˜ ao: a) m = 0, b) m = 1,

Entrando no programa com os dados: P V = 1200, P M T = 500, n = 3, o programa nos devolve: i = 27.4659 (a.m.). Entrando no programa com os dados: P V = 1200, P M T = 500, n = 3, o programa nos devolve: i = 12.0444 (a.m.).

Conclus˜ ao: Pela “dedu¸ca˜o” do programa podemos dizer que o valor da taxa de juro ´e um valor “l´ ogicamente exato” , embora, eventualmente, possa n˜ ao ser num´ericamente exato, uma vez que no c´ alculo das ra´ızes do polinˆomio, pela HP Prime , introduz-se aproxima¸co˜es nos algoritmos num´ericos. Este programa pode ser visto, efetivamente, como uma f´ormula para o c´ alculo da taxa de juros; ´e uma fun¸ca˜o (f´ ormula) de quatro vari´aveis. Contrariando a afirmativa da autora citada na p´ agina 572: “Se ´e poss´ıvel uma f´ ormula especial para o c´ alculo de n, tal n˜ ao acontece para o c´ alculo de i, quando se conhecem P V , P M T e n. O c´ alculo de i s´o ´e poss´ıvel por aproxima¸co˜es sucessivas. Calcula-se o valor de P V com v´arias taxas at´e que se consigam valores pr´oximos do valor dado para P V . Em seguida, com o aux´ılio da regra de trˆes, faz-se uma interpola¸ca˜o para determinar a taxa correspondente a esse valor dado.”

580

Capitaliza¸c˜ ao composta em per´ıodos fracion´ arios Os exemplos apresentados at´e agora − com respectivos fluxos de caixa − foram para transa¸co˜es financeiras em que os juros come¸cam a acumular no in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento regular. No entanto, muitas vezes os juros come¸cam a acumular antes do in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento regular − pode ser o caso de um empr´estimo banc´ ario, por exemplo. O per´ıodo referido, durante o qual os juros come¸cam a acumular antes da data do primeiro pagamento, ´e denominado per´ıodo fracion´ ario.

PMT VP

··· n

p0

p1

p2

Antecipado

p3

Per´ıodo fracion´ario

PMT VP

··· n

p0

p1

p2

Postecipado

p3

Per´ıodo fracion´ario

Consideremos o seguinte problema: Um empr´estimo de $ 3 950 por 42 meses para comprar um carro come¸ca a acumular juros 13 dias antes do in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento. Pagamentos de $ 120 s˜ao feitos no final de cada mˆes. Calcule a taxa de juros do financiamento considerando os dias extras. Solu¸ c˜ ao: O diagrama de fluxo de caixa ´e visto a seguir: VP= $ 3 950

PMT

PMT= $ 120

··· n

p0

p1

p2

p 42

p3

13 dias O n´ umero de per´ıodos que devemos utilizar no exemplo ´e: n = 42 + 13 ormula (9.5) (p. 30 = 42, 43. Substituindo os dados do problema na f´ 574), temos:

581

120 = 3950 · Simplificando ligeiramente, temos i(1 + i)42, 43 =

i(1 + i)42, 43−1 (1 + i)1 (1 + i)42, 43 − 1  120  (1 + i)42, 43 − 1 3950

E n˜ ao podemos aplicar a f´ ormula do binˆomio de Newton para desenvolver o binˆomio acima posto que o expoente n˜ ao ´e um n´ umero natural. O desenvolvimento matem´atico que se segue ´e com vistas a construir um algoritmo (programa) para resolver problemas do gˆenero. Antes precisamos generalizar o coeficiente binomial, assim: Defini¸ c˜ ao 28. Se m for qualquer n´ umero real e k um n´ umero natural, ent˜ ao definimos o coeficiente binomial, assim:  se k = 0;     1, m
=  k  m(m − 1)(m − 2) · · · m − (k − 1) , se k ≥ 1. k! Por exemplo,
a ) Calcule 42 .


Solu¸ c˜ ao: Sendo m = 4 e k = 2, temos, m − (k − 1) = 4 − 1, ent˜ ao   4·3 4(4 − 1) 4 = =6 = 2! 2 2
b ) Calcule 4,35 .
Solu¸ c˜ ao: Sendo m = 4, 5 e k = 3, temos, m − (k − 1) = 4, 5 − 2, ent˜ ao   4, 5 · 3, 5 · 2, 5 4, 5 (4, 5 − 1)(4, 5 − 2) 4, 5 = = 6, 5625 = 3! 6 3
c ) Calcule −42 .
Solu¸ c˜ ao: Sendo m = −4 e k = 2, temos, m − (k − 1) = −4 − 1, ent˜ ao   −4(−4 − 1) −4 −4 · (−5) = = = 10 2 2! 2 A HP possui uma fun¸ca˜o, COMB, que calcula combina¸co˜es COMB(m, k), no entanto se m n˜ ao for inteiro ou se for negativo a calculadora acusar´a um erro. Vamos contornar esta limita¸ca˜o. . . Espere!

582

Isto foi o que escrevi no meu livro sobre a programa¸ca˜o da calculadora HP 50g, na PRIME, neste momento, observei que ela calcula sim o “binomial generalizado”, como na defini¸ca˜o 28, acima. Isto facilita nossa vida.

Retomando, iremos necessitar da s´erie binomial (estudada no C´alculo), ei-la:
m(m − 1) · · · m − (k − 1) k m(m − 1) 2 x + ··· + x + ··· 1 + mx + 2! k! Pode-se provar, que se m n˜ ao for um n´ umero Natural, ent˜ ao a s´erie binomial converge para (1 + x)m para |x| < 1. Sendo assim,
m(m − 1) · · · m − (k − 1) k m(m − 1) 2 m (1 + x) = 1 + mx + x + ··· + x + ··· 2! k! Tendo em conta nossa extens˜ao do coeficiente binomial, temos: m

(1 + x)

 +∞  X m = xk k k=0

Esta identidade vale se m n˜ ao ´e um n´ umero natural. Na verdade ´e o caso que nos interessa agora, uma vez que para m natural j´a tratamos anteriormente. A t´ıtulo de exemplo, vamos substituir x por i e m por −n para obter:  ∞  X −n k ( 1 + i )−n = i (9.8) k k=0

Vejamos dois casos particulares:        ∞  X −2 k −2 0 −2 1 −2 2 −2 (1 + i) = i = i + i + i + ··· k 0 1 2 k=0

= 1 + −2i + 3i2 + · · ·

e −3

(1 + i)

       ∞  X −3 k −3 0 −3 1 −3 2 = i = i + i + i + ··· k 0 1 2 k=0

= 1 + −3i + 6i2 + · · ·

583

Veja isto na calculadora,

←−

Vamos manipular alg´ebricamente a f´ormula, PMT = PV ·

i(1 + i)n−1 (1 + i)m (1 + i)n − 1

para obter: (1 + i)n − 1 − i(1 + i)n+m−1 · P V /P M T = 0 Considerando que n n˜ ao ´e um n´ umero Natural, podemos escrever:  +∞   +∞  X X n k n+m−1 k i −1−i i · P V /P M T = 0 k k k=0

k=0

Ou ainda, +∞   X n

k=0

k

i k − 1 − P V /P M T · i

 +∞  X n+m−1 k=0

k

ik = 0

O programa para esta f´ormula muda muito pouco em rela¸ca˜o ao programa da p. 579. Devemos estabelecer um limite N para o somat´orio (N = 10 no programa a seguir).

584

Este ´e o programa que calcula a taxa de juros para capitaliza¸ca˜o composta, incluindo per´ıodos fracion´arios,

Entrando neste programa com os dados (p. 581): PV= 3950, PMT= 120, n = 42.43 e M = 1 (postecipada); o programa nos devolve a seguinte taxa: i = 1.2279 (a.m.). Nota: N˜ ao esque¸ca que a sua calculadora deve estar na configura¸ca˜o da p´ agina 576. Vejamos mais um exemplo: Um empr´estimo de $ 4 500 por 36 meses come¸ca a acumular juros 15 dias antes do in´ıcio do primeiro per´ıodo de pagamento. Pagamentos de $ 157, 03 s˜ao feitos no in´ıcio de cada mˆes. Calcule a taxa de juros do financiamento considerando os dias extras. Solu¸ c˜ ao: O diagrama de fluxo de caixa ´e visto a seguir: VP= $ 4 500

PMT

PMT= $ 157, 03

··· n

p0

p1

p2

p 35

p3

15 dias O n´ umero de per´ıodos que devemos utilizar no exemplo ´e: n = 36 +

15 = 36, 5 30

Entrando no programa com os dados: PV= 4500, PMT= 157.03, n = 36.5 e m = 0 (antecipada); o programa nos devolve a seguinte taxa: i = 1.4366.

585

9.6

N´ umero inteiro

Divisores Apresenta a lista de divisores de um n´ umero inteiro ou uma lista de n´ umeros inteiros. Sintaxe: idivis(Integer) ou idivis({Intgr1, Intgr2,...}) Exemplos:

Fatores Apresenta a decomposi¸ca˜o dos fatores primos de um n´ umero inteiro. Sintaxe: ifactor(Integer) Exemplos:

586

Nota: Em alguns casos, ifactor pode falhar. Nestes casos, ir´ a dar o produto de -1 e o oposto da entrada. O-1 indica que a decomposi¸ca˜o falhou.

Lista de fatores Apresenta um vetor com os fatores primos de um n´ umero inteiro ou uma lista de n´ umeros inteiros, com cada fator seguido pela respetiva multiplicidade. Sintaxe: ifactors(Integer) ou ifactors({Intei1, Intei2,...}) Exemplo:

MDC Apresenta o m´aximo divisor comum a dois ou mais n´ umeros inteiros. Sintaxe: gcd(Intei1, Intei2,...) Exemplo:

587

MMC Apresenta o m´ınimo m´ ultiplo comum a dois ou mais n´ umeros inteiros. Sintaxe: lcm(Intei1, Intei2,...) Exemplo:

N´ umero inteiro – Primo Testa se ´ e Primo Testa se um determinado n´ umero inteiro ´e ou n˜ ao um n´ umero primo. Sintaxe: isPrime(Integer) Exemplos:

N-´ esimo Primo Apresenta o n-´esimo n´ umero primo. Sintaxe: isPrime(Integer) Exemplo:

588

Primo seguinte Apresenta o primo ou pseudo-primo seguinte ap´os um n´ umero inteiro. Sintaxe: nextprime(Integer) Exemplo:

Primo anterior Apresenta o n´ umero primo ou pseudo-primo mais pr´oximo de, mas inferior a, um n´ umero inteiro. Sintaxe: prevprime(Integer) Exemplo:

589

N´ umero-Divis˜ ao Quociente Apresenta o quociente inteiro da divis˜ao euclidiana de dois n´ umeros inteiros. Sintaxe: iquo(Intei1, Intei2) Exemplo:

63

23

17

2 ← (quociente)

Resto Apresenta o resto inteiro da divis˜ao euclidiana de dois n´ umeros inteiros. Sintaxe: irem(Intei1, Intei2) Exemplo:

590

63

23

17

2 ← (quociente)

տ

(resto)

an MOD p Para os trˆes n´ umeros inteiros a, n e p, apresenta an m´odulo p em [0, p − 1]. Sintaxe: powmod(a, n, p,[Expr],[Var]) Exemplo:

52

13

42

3

12

1 ← (quociente)

1

5 ← (quociente)

տ

(resto)

տ

(resto)

Resto chinˆ es Teorema do Resto Chinˆes de n´ umeros inteiros para duas equa¸c˜oes. Pega em dois vetores de n´ umeros inteiros, [a, p] e [b, q], e apresenta um vetor de dois n´ umeros inteiros, [r, n], de modo que x ≡ r mod n. Neste caso, x ´e tal que x ≡ a mod p e x ≡ b mod q; tamb´em n = p ∗ q. Sintaxe: ichinrem([a,p],[b,q]) Exemplo:

591

592

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] Hefez, Abramo. Curso de ´ algebra, volume 1. Rio de Janeiro: IMPA,1993. [2] Niven, Ivan.et alii. An Introduction To The Theory of Numbers. Nueva Yorky, USA: John Wiley & Sons, 1966. [3] Hygino, H.D. Fundamentos de aritm´etica. S˜ ao Paulo: Atual, 1991. [4] Alencar Filho, Edgar de. Aritm´etica dos inteiros. S˜ ao Paulo: Nobel, 1987. [5] Milies, Francisco C´esar Polcino. N´ umeros: Uma introdu¸c˜ ao ` a Matem´ atica. S˜ ao Paulo: Editora da Universidade de S˜ ao Paulo, 2000. [6] Silva, Gentil Lopes. Novas Seq¨ uˆencias Aritm´eticas e Geom´etricas. Bras´ılia - DF: THESAURUS EDITORA, 2000. [7] Silva, Gentil Lopes. Fundamentos dos N´ umeros − Tudo o que vocˆe gostaria de saber sobre os n´ umeros mas n˜ ao tinha a quem perguntar. Publica¸ca˜o Eletrˆ onica, 2016. [8] Silva, Gentil Lopes. Espa¸cos M´etricos com aplica¸c˜ oes. Taguatinga-DF: Editora Kiron, 2013. [9] Silva, Gentil Lopes. Programando a HP 50g (Com Programa¸c˜ ao Simb´ olica). Manaus-AM: Grafisa Gr´afica e Editora, 2015. [10] Contador, Paulo Roberto Martins. Matem´ atica, uma breve hist´ oria. S˜ ao Paulo: Editora Livraria da F´ısica, 2008. [11] Silva, Gentil Lopes. Programando a HP 50g (Com Programa¸c˜ ao Simb´ olica). Manaus-AM: Grafisa Gr´afica e Editora, 2015. [12] Wallace, B. Alan. Dimens˜ oes escondidas: a unifica¸c˜ ao de f´ısica e consciˆencia; tradu¸ca˜o de L´ ucia Brito. S˜ ao Paulo: Peir´opolis, 2009. [13] Galvez, Marcelo Malheiros. A Potˆencia do Nada: O Vazio Incondicionado e a Infinitude do Ser. Bras´ılia: Editora Teos´ ofica, 1999.

593

´Indice Remissivo

A A A A

bizarra adi¸ca˜o de Einstein, 293 Consciˆencia cria a realidade, 289 Estrutura Cognitiva, 285 potˆencia do Nada cria¸ca˜o de sentido, 431 A torre de Han´ oi, 431 Adi¸ca˜o de Einstein, 293 Algoritmo da Divis˜ ao, 181 Allan Wallace, 337, 431 Ap´ocrifo, 475

Um Belo Desafio, 63, 542 -II, 118, 126, 543 V-Torre de Han´oi, 444 VI-Torre de Han´oi-Bin´ aria, 446 VII-Cubo m´agico, 470 Dimens˜ oes escondidas, 285

Edouard Lucas, 397 Edouard Lucas, Teorema, 397 Efeito Casimir, 283 Einstein 1 + 1 6= 2, 293 Baner-Queim˜ao, 479 Gedankenexperiment, 287 Bernoulli, f´ ormula, 73 Einstein × Tagore, 286 Binˆomio de Newton, 574 Email Cleber, 558 Calculadora HP Prime, 31 Email Ubi, 7 Calculadoras: HP Prime , Leibnitz, Pas- Email Underwood Dudley, 297 cal, 93 Equa¸co˜es diofantinas, 235 Capa: Dimens˜ oes Escondidas, 287 Eugene Wigner-consciˆencia, 189 Capas, Gentil, 12, 32, 50, 170, 284, 298 Euler, ambivalˆencia, 563 Cardano, 559 Evolu¸ca˜o: integral, 126 Charles Peirce, 281 Expans˜ao bin´aria, 156 Combina¸co˜es, 164, 315 Conjunto F´ormula de Cardano, 559 de Cantor, 404, 410 F´ormula de Moivre, 547 Consciˆenca do V´ acuo, 284 F´ormula in´edita, 24, 53 Filosofia, da Vacuidade, 281 Danah Zohar Filosofia, um pouco. . . , 277 ´ tarefa de nossa ´epoca, 127 E Fotos-Queim˜ ao, 480 Ondas no mar, 282 Fun¸ca˜o maior inteiro, 153 Defini¸ca˜o na literatura, 15 Desabafo, Desobstruindo, 6 G. H. Hardy, pintor, 56 Desafio imagin´ ario, 557 G. H. Hardy, Platonista, 277 Desafios Gedankenexperiment, 288 Aos Estudantes. . . , 366, 386, 410 Gentil Desafio do S´eculo, 541 Capa A.L., 170 IV-Torre de Han´ oi, 438 Capa E.M., 50

594

Capa FN, 298 Capa NSAG-gugu, 12 Capa NSSAG, 32 Gregory Chaitin, 35, 481 Gugu, HP Prime , 53

O homem med´ıocre, 80 Ken Wilber, 299 Krishnamurti, 80

HP PRIME Adendo (Resetar), 493 apply, 532 Binˆomio de Newton, 575 F´ormula de Cardano, 559 F´ormula de Moivre, 547 Factor, Expand, 490 FOR, 516, 517 FOR-STEP, 518 Fra¸ca˜o irredut´ıvel (limite), 571 Fra¸ca˜o parcial, 571 IF - THEN - ELSE - END, 527, 528 IF - THEN - END, 526 Letras gregas, 525 Listas, 500 MAKELIST, 502 MAKEMAT, 509 map, 537 mapig, 539 mapii, 538 Matem´ atica Financeira, 572 Matrizes, 505 Menus Toolbox, 503 N´ umero inteiro, 586 Polar-Complexo, 571 Polar-Retangular, 571 Polinˆomios, 565 Reescrever, 551 remove, 578 REPLACE, 533 Resetar vari´avel, 493 Resolvendo equa¸co˜es, 545 Sistema linear, 551 SIZE (distintos), 511 Solve, 545 Somat´ orios, 512 Tabela seno, 533 Tabela-Resumo, 544 Vetores, 511 WHILE, 522, 523 Zip, 558 John Wheeler, 290 Jos´e Ingenieros

Lema (Gentil-CEFET), 183 Leo Kadanoff, 478 Lineariza¸ca˜o de sequˆencias duplas, 247 Lineariza¸ca˜o de sequˆencias triplas, 358 Matem´ atica como arte e engenharia, 56 Matriz Bin´aria, 388, 425 Matriz de combina¸co˜es, 331 Matriz digital, 171, 318 N´ umeros binomiais, 68 N´ umeros poligonais, 33 Norbert Wiener, 57 Papagaios Psicod´elicos, 289 Pernilongo, figura, 288 Planifica¸ca˜o, 375 Plat˜ao, 292 Princ´ıpio da dualidade, 127 Princ´ıpio da indu¸ca˜o finita, 64 Problema das n bolas diferentes, 211 Produto dos termos de uma P.A., 216 Queim˜ao de Livros, 479 R´egua, Ariovaldo, 430 R´eguas de C´alculo, 529 Sequˆencia especial, 159 Sequˆencias duplas, 228 Sequˆencias triplas, 338 Stephen Hawking, 279 Super Interessante, 283 Teoria da relatividade ontol´ ogica, 289 Torre de Han´oi, 431 Torre de Han´oi-Algoritmo, 447 Torre de Han´oi-Matriz Bin´aria, 436, 472 Torre de Han´oi-Ondas Digitais, 445 Triˆ angulo Aritm´etico de Pascal, 69 Ubiratan D’Ambr´osio, 32, 50 Um (ex)problema em aberto, 211 Vacuidade, 281 Wallace, 281 Wallace & Marcelo, 290 Wallace, Susskind, 281

595