Gentil Lopes - Espaços Métricos

´ ESPAC ¸ OS METRICOS (com aplica¸c˜ oes) Gentil, o taumaturgo

1a edi¸cão

Boa Vista-RR Edi¸cão do autor 2013

Pref´ acio Via de regra o que se faz em um prefácio é discorrer sobre o conte´ udo da obra. Nos dispensamos deste of´ıcio em raz˜ ao de que o leitor, se assim o desejar, pode apreciar o conte´ udo deste livro a partir do (extenso) sumário, dado logo a seguir. Aproveito esta oportunidade para alguns esclarecimentos a respeito da obra em si. Iniciei a escrita deste livro h´ a doze anos atr´ as, com várias interrup¸cões. ´ um livro escrito a “uma m˜ E aos”, sem nenhum apoio, inclusive institucional. Para um autor dos “grandes centros” n˜ ao é dif´ıcil encontrar motiva¸cão para escrever uma obra uma vez que ele, de antem˜ ao, já tem a certeza de que ser´ a publicada. J´ a para um autor de “periferia”, como é o meu caso, a teimosia é imprescind´ıvel. Com efeito, fiz duas tentativas anteriores para publica¸cão deste livro, a primeira na pr´ opria editora de minha universidade (ufrr); ap´ os um tempo considerável de espera o diretor me informou que a editora ainda estava tentando captar recursos externos. Numa segunda tentativa o submeti à editora da unb. Aproximadamente um ano depois recebi uma carta com o parecer de um referee (árbitro). O livro n˜ ao foi aceito para publica¸cão. Três foram as acusa¸cões principais contra a minha obra: (i) Muito volumosa (espessa). O árbitro argumentou que eu poderia transmitir o mesmo conte´ udo na metade do volume; (ii) um numero excessivo de figuras; (iii) nas pr´ oprias palavras do referee: “Em diversos pontos do texto o autor mistura aspectos de seu pr´ oprio entendimento filos´ ofico e religioso com a matéria espec´ıfica deste t´ opico da matem´ atica.” Pois bem, vou me permitir alguns comentários a respeito das duas tentativas malogradas. Come¸cando pela primeira: posteriormente descobri que para mim é muito mais fácil “captar recursos externos ”, para publicar um livro, do que para a editora de uma universidade. Com efeito, basta eu me dirigir ao caixa eletrˆ onico do meu Banco e passar meu cart˜ ao: pronto!, o recurso externo cai direto em minhas m˜ aos. De sorte que este já é o quarto livro que publico − tomando dinheiro emprestado no Banco, reitero (consigna¸ca õ em folha). Quanto aos argumentos do referee, observo que: escrever um livro fino n˜ ao seria dif´ıcil, agora se resultaria em um livro did´ atico a´ı é uma outra est´ oria. Não é o que se observa em rela¸cão aos que se encontram no mercado, inclusive livros com poucas ou nenhuma figura − via de regra, livros que desestimulam os estudantes. O que me parece é que uma grande parte de autores (e editoras) ainda n˜ ao se deu conta de que o p´ ublico para o qual eles escrevem n˜ ao existe mais − em decorrência do lastim´ avel estado em que se encontra a educa¸c˜ ao brasileira, estamos falando de qualidade. Muitos alunos, como se sabe, adentram às universidades com deficiência até na matem´ atica do ensino fundamental. Como ensinar a estes alunos a 3

matem´ atica abstrata das disciplinas do final da gradua¸cão? Aqui é onde situo a utilidade das figuras; de sorte que nesta nova vers˜ ao do livro decidir continuar cometendo os mesmos dois primeiros pecados assinalados pelo referee; quanto ao terceiro, achei que ele, em parte, tinha raz˜ ao, assim é que eliminei as referências religiosas e mantive da filosofia apenas o necessário. Mudando de assunto, meu primeiro livro sobre matem´ atica ([6]) foi publicado no ano 2000 − também às minhas expensas −, alguns anos depois esse livro chega ` as m˜ aos de um renomado matem´ atico brasileiro (Prof. Ubiratan D’Ambr´ osio) que tece − de livre e espontˆ anea vontade, isto é, sem que eu tenha solicitado − comentários elogiosos ao mesmo. Tomei a liberdade de reproduzir aqui o email do professor Ubiratan por duas raz˜ oes principais. Primeiro porque n˜ ao creio que eu tenha piorado, como autor, nestes doze anos decorridos; segundo, porque creio que muito do que ele fala a respeito daquele livro se aplica ao presente. Ei-lo: From: Ubiratan D, Ambr´ osio To: Gentil Lopes da Silva Sent: Saturday, November 06, 2004 10:46 AM Subject: Obrigado pelo livro Caro Gentil Muito obrigado pelo livro que você mandou pelo Chateau. Está muito bom, interessante e cheio de provoca¸cões. Dá oportunidade para os estudantes se iniciarem em pesquisas. Você fala que o livro destina-se a alunos de 2o e 3o graus. Eu diria que é também para a p´ os. Aritmética continua sendo grande fonte de problemas de pesquisa que podem ser trabalhados com relativamente pouco da complicada linguagem, nota¸cões e resultados que caracterizam muitas áreas da matem´ atica. S˜ ao formula¸cões simples que podem ser trabalhados com pouca técnica, exigindo imagina¸cão e criatividade. Vou recomendar aos meus alunos. Mas tive um problema. Nos sites das livrarias, o livro n˜ ao existe. E nem est´ a no site da Thesaurus. Recomendar um livro implica dizer como adquirir. O que você diz? Siga em frente com suas idéias. As suas reflexões iniciais, a sua escolha de ep´ıgrafes, e a pr´ opria capa, s˜ ao uma grande contribui¸cão para um novo pensar na urgente renova¸c˜ ao da educa¸c˜ ao em todos os n´ıveis. A sua trajetória desde seus estudos, lecionando em condi¸cões prec´ arias, e com as dificuldades para publicar o livro é um exemplo, muit´ıssimo frequente, do processo (certamente intencional) de desencorajar o florescimento dos criativos, e abrir o espa¸co para os executores de idéias de outros. ´ Uma curiosidade: você sabia que o Edouard Lucas, que você cita na p´ agina 393, é quem fez a revis˜ ao técnica para a publica¸cão p´ ostuma do livro “Mélanges de Calcul Intégral”, de Joaquim Gomes de Souza, o Souzinha, em 1882? O livro havia sido recusado por in´ umeras editoras enquanto ele estava vivo. Muito obrigado. Um abra¸co, Ubiratan Gentil, O taumaturgo/Boa Vista-RR/30.10.2012 4

Sumário

´ 1 ESPAC ¸ OS METRICOS 1.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Defini¸c˜ ao de espa¸cos métricos . . . . 1.2.1 Exemplos de espa¸cos métricos 1.2.2 Métricas sobre o R2 . . . . . 1.2.3 Distˆ ancia entre fun¸cões . . . 1.2.4 Espa¸cos de C´ odigos . . . . . 1.3 Distˆ ancia entre Ponto e Conjunto . . 1.4 Distˆ ancia entre conjuntos . . . . . . 1.5 Conjuntos limitados − Diâmetro . . 1.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . • Apêndice: Demonstra¸c˜ oes . . . . . . . .

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9 9 12 14 22 27 34 45 51 53 58 64

˜ DE ESPAC ´ 2 CONSTRUC ¸ AO ¸ OS METRICOS 2.1 Métricas a Partir de Métricas . . . . . . . . . . 2.2 Subespa¸cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Espa¸cos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Métricas Induzidas Por Fun¸cões . . . . . . . . . 2.5 Produto de espa¸cos métricos . . . . . . . . . . . 2.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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79 79 81 82 93 95 101

3 BOLAS ABERTAS 3.1 Defini¸c˜ ao e Exemplos . . . . . . . . . 3.1.1 Bolas na reta . . . . . . . . . 3.1.2 Bolas na métrica “zero-um” . 3.1.3 Bolas no espa¸co quântico . . 3.1.4 Bolas no plano . . . . . . . . 3.1.5 Bolas no quadrado quântico . • Topologia quântica . . . . . . . . . 3.1.6 Bolas nos espa¸cos de códigos

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105 105 106 107 108 111 113 115 118

5

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3.2

3.1.7 Bolas nos espa¸cos de fun¸cões . . . 3.1.8 Bolas em subespa¸cos . . . . . . . . 3.1.9 Bolas no espa¸co produto . . . . . . 3.1.10 Proposi¸cões sobre Bolas . . . . . . 3.1.11 Ponto isolado − Espa¸cos discretos Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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118 121 124 125 129 134

ˆ ´ 4 SEQUENCIAS EM ESPAC ¸ OS METRICOS 4.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Subsequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Sequências num Espa¸co Produto . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Sequências em Espa¸cos Vetoriais Normados . . . . . . . . . 4.4.1 Sequências na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Sequências em espa¸cos normados . . . . . . . . . . . 4.5 Quando eminentes matem´ aticos cometem erros elementares 4.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137 . 137 . 140 . 141 . 157 . 159 . 159 . 161 . 167 . 178

´ 5 A TOPOLOGIA DOS ESPAC ¸ OS METRICOS 5.1 Ponto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ponto fronteira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Conjuntos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Ponto aderente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Densidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Ponto de acumula¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . • Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Representa¸c˜ os bin´ arias . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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185 . 186 . 188 . 196 . 201 . 204 . 216 . 219 . 223 . 227 . 233

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237 . 251 . 271 . 288 . 294 . 310 . 325 . 328 . 337

˜ 6 FUNC ¸ OES CONT´ıNUAS 6.1 Isometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Propriedades das aplica¸cões cont´ınuas . . 6.3 Continuidade Uniforme . . . . . . . . . . 6.4 Homeomorfismos − Espa¸cos Homeomorfos 6.5 Métricas Equivalentes . . . . . . . . . . . 6.5.1 Normas Equivalentes . . . . . . . . 6.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . • Apêndice: Limites em espa¸cos métricos . . .

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´ 7 ESPAC ¸ OS METRICOS CONEXOS 349 7.1 Defini¸c˜ ao e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 7.2 Conexos na reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 7.3 Conjuntos conexos por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . 364 6

• Topologia quântica . . . . Espa¸cos localmente conexos Componentes Conexas . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . .

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383 392 396 401

´ 8 ESPAC ¸ OS METRICOS COMPLETOS 8.1 Espa¸cos métricos completos . . . . . . . 8.2 Espa¸cos de Banach . . . . . . . . . . . . 8.3 Espa¸cos de Hilbert . . . . . . . . . . . . 8.4 Completamento de Espa¸cos Métricos . . 8.5 Espa¸cos topologicamente completos . . . 8.6 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . 8.7 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . .

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407 416 428 432 444 456 467 473

7.4 7.5 7.6

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´ 9 ESPAC ¸ OS METRICOS COMPACTOS 475 9.1 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 9.1.1 Caracteriza¸c˜ ao de compacidade . . . . . . . . . . . . . 490 9.2 Produto Cartesiano de Conjuntos Compactos . . . . . . . . . 495 9.2.1 Compactos no Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 9.3 Distˆ ancia Entre Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . 497 9.4 N´ umero de Lebesgue Para Coberturas . . . . . . . . . . . . . 500 9.5 Espa¸cos Localmente Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 9.6 Representa¸c˜ oes decimais e Curva de Peano . . . . . . . . . . . 507 9.6.1 O Mito das ambiguidades nas representa¸cões decimais 507 9.6.2 A curva de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 9.6.3 O quadrado hiperm´ agico . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 9.7 A curva de Peano no cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 9.7.1 O cubo hiperm´ agico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 9.7.2 O universo esculpido em um palito de fósforo . . . . . 544 9.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 • Apêndice: Produtos cartesianos infinitos . . . . . . . . . . . . . . 551 10 CONSULTAS 10.1 Elementos de L´ ogica & Demonstra¸cões . . . . . . . . . . . 10.1.1 Opera¸c˜ oes L´ ogicas sobre Proposi¸cões . . . . . . . . 10.1.2 Técnicas (Engenharia) de Demonstra¸cão . . . . . . 10.1.3 Fun¸c˜ oes Proposicionais/Quantificadores . . . . . . 10.2 Conjuntos, Fun¸c˜ oes e Fam´ılia de conjuntos . . . . . . . . . 10.3 T´ opicos em Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1 Teoremas e Defini¸cões da Análise Real . . . . . . . 10.3.2 Supremo e Ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3 Espa¸cos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4 Interregno: A Matemática como arte e engenharia • Um desafio a quem interessar possa . . . . . . . . . . . . . . 7

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

563 563 564 568 576 583 600 603 605 615 620 621

Resumo das M´ etricas Conjunto

M´ etrica (S´ımbolo)

R

Usual µ

Defini¸ca õ µ(x, y) = |x−y|

“zero-um” M

[ 0, 1 [

δ Quˆ antica k Usual (Euclidiana) D1

R2

Da Soma D2 Do M´ aximo D3 Euclidiana D1

Mm×n (R)

C[ a, b ]

B(X,R)

ZN

Z∞

M1 ×M2

P´ ag.

δ(x, y) =

n

14

1, se e s´ o se x6=y; 0, se e s´ o se x=y.

k(x, y) = min |x−y|, 1−|x−y| D1 (x, y) =

√

15

17 58

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

D2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 |

22

D3 (x, y) = max{ |x1 − y1 |, |x2 − y2 | }

23

D1 (A, B) =

√

(a11 −b11 )2 +···+ (amn −bmn )2

Da Soma D2

D2 (A, B) = |a11 −b11 | +···+ |amn −bmn |

Do M´ aximo D3

D3 (A, B) = max |a11 −b11 |, ... ,|amn −bmn |

Da Integral Γ

Γ(f, g) =

Rb a

|f (x)−g(x)| dx

25

25

25 27

Do M´ aximo Υ

Υ(f, g) = max{ |f (x)−g(x)| : x ∈ [ a, b ]}

28

Do Sup Ψ

Ψ(f, g) = sup{ |f (x)−g(x)| : x ∈ X }

32

Hamming σ

σ(x, y) = n´ umero de posi¸co ˜es em que x e y diferem entre si. P n−1 ·(x −y ) ρ(x, y) = | N n n | n=1 2

rˆ o ρ

37 40

tau τ

τ (x, y) = maior posi¸ca õ em que x e y diferem entre si.

ni ν

ν(x, y) =

D1

D1 (x, y) =

D2

D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 )

95

D3

D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 ) }

95

P∞

8

n=1

q

|xn −yn | n 2

d12 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

41

42 95

Cap´ıtulo

1

´ ESPAC ¸ OS METRICOS A abstra¸ca õ desobstrui o esp´ırito, o torna mais leve e dinˆ amico. (Gaston Bachelard)

1.1

Introdu¸ c˜ ao

Na teoria dos espa¸cos métricos busca-se a generaliza¸cão de alguns dos conceitos estudados no C´ alculo e na Análise Real, especialmente aqueles onde intervêm a no¸c˜ ao de distˆ ancia (conceitos topológicos). A defini¸c˜ ao de espa¸cos métricos é uma abstra¸cão fundamentada, quase que totalmente, na experiência com os n´ umeros reais. Mas esta defini¸cão é suficientemente flex´ıvel para incluir uma grande variedade de objetos, como teremos oportunidade de constatar. A cita¸c˜ ao a seguir∗ ajudar´ a o leitor a enxergar com mais naturalidade a defini¸cão (postulacional) de espa¸cos métricos, dada logo mais: Uma das contribui¸co ˜es definitivas do século dezenove foi o reconhecimento de que a matem´ atica n˜ ao é uma ciência natural, mas uma cria¸ca õ intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no International Monthly em 1901: ‘O século dezenove, que se orgulha da inven¸ca õ do vapor e da evolu¸ca õ, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo a ` fama da descoberta da matem´ atica pura.’ Pelo fim do século era geralmente reconhecido mesmo por n˜ aomatem´ aticos que a matem´ atica é pensamento postulacional, em que de premissas arbitr´ arias s˜ ao tiradas conclus˜ oes v´ alidas. Que os postulados sejam ou n˜ ao verdadeiros num sentido cient´ıfico é indiferente. ∗

Extra´ıda do livro: Curso Moderno de Filosofia/Denis Huisman e André Vergez.

9

Medindo distˆ ancias Se num conjunto arbitrário temos como medir a distˆ ancia entre dois elementos quaisquer ent˜ ao o conjunto juntamente com essa distˆ ancia resulta no que em matem´ atica conhecemos como um espa¸ co m´ etrico. Dados dois pontos em um plano, como a seguir A

•

B

•

a matem´ atica admite n˜ ao apenas uma mas várias maneiras de se medir a distˆ ancia entre estes dois pontos. Apenas para contextualizar tentaremos convencer o leitor de que surgem de maneira natural diferentes modos de se medir a distˆ ancia entre estes pontos. De outro modo: em matem´ atica (e também na f´ısica) n˜ ao existe uma u ńica maneira de se medir distˆ ancias. Em outras palavras, a régua vendida em nossas livrarias, ou as trenas vendidas em nosso comércio, n˜ ao s˜ ao os u ńicos instrumentos de medida. Vejamos um exemplo trivial do nosso dia-a-dia: o t´ axi. Suponhamos que alguém queira se deslocar (em um táxi) do ponto A ao ponto B − separados por uma esquina − e que o ponto B esteja a uma distˆ ancia de quatro unidades para a direita e três unidades abaixo do ponto A, assim: A

A

•

4

•

5

•B

3

•B

Pois bem, existem duas distˆ ancias entre os pontos A e B: a que é mais conveniente e justa para o taxista, 4 + 3 = 7; e a que seria mais conveniente para o passageiro (“em linha reta”): 5. A distˆ ancia do t´ axi é também conhecida em matem´ atica como métrica da soma. A outra distˆ ancia (“em linha reta”) é a distˆ ancia usual ou euclidiana. Se o leitor parar para refletir um pouco se dar´ a conta de que vez ou outra, mesmo numa simples caminhada, teremos que optar (por vezes até por uma quest˜ ao de conveniência) por uma ou outra destas duas métricas − como por exemplo, ao “cortar caminho”. 10

Resumindo, entre os pontos A e B no plano a seguir

A

A

B

B

− Distância usual (euclidiana)

− Distância do táxi

mostramos dois modos de medir a distˆ ancia entre os mesmos. Na verdade, podemos ter muitas alternativas para medir a distˆ ancia entre dois pontos em um conjunto qualquer. Um ponto importante a ser observado é que do ponto de vista da matem´ atica, isto é, da l´ ogica, todas as métricas (distˆ ancias) gozam do mesmo status. Ou ainda, n˜ ao existe uma distˆ ancia mais ou menos verdadeira que outra, existe sim uma mais conveniente que outra para um determinado propósito. Por oportuno, acontece − no que diz respeito às métricas − o mesmo que ocorre no ˆ ambito das geometrias euclidiana e n˜ ao-euclidianas. A de Euclides n˜ ao é nem mais nem menos verdadeira que as outras; pode ou n˜ ao ser a mais conveniente a determinados propósitos; por exemplo, Einstein ao formular sua Teoria da Relatividade Geral teve que optar por uma das geometrias n˜ ao-euclidianas. (geometria riemanniana) O que acontece é que a métrica (régua) usual, vista a seguir

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 INMETRO

0

é a mais conveniente para, por exemplo: o pedreiro, o carpinteiro, o engenheiro civil, etc., porque esta é suficiente para resolver todos os seus problemas de medida. J´ a para o matem´ atico e o f´ısico, estes profissionais têm necessidade de “outras réguas”, as quais n˜ ao se encontram no comércio, pois s˜ ao, por assim dizer, abstratas. Um outro fato importante que o leitor deve ter em mente é que o matem´ atico (ou o f´ısico) para resolver um dado problema que se lhe apresenta pode, das duas uma: ou escolher uma dentre as várias distˆ ancias (réguas) já existentes ou, caso seja necessário, poder´ a até criar uma nova. Se ele decidir criar uma nova régua esta deve satisfazer alguns critérios, sob pena de n˜ ao ser validada pela comunidade matem´ atica. Aqui s´ o é necessário o leitor lembrar de que qualquer instrumento de aferi¸cão candidato a receber o selo do Inmetro ter´ a que passar por uma bateria rigorosa de testes. 11

Como dissemos, o matem´ atico e o f´ısico lidam com outros tipos de régua além da usual. O mais importante: qualquer que seja a nova régua proposta esta deve, na comunidade dos matem´ aticos, passar por uma bateria rigorosa de testes. Ao todo deve ser testado um conjunto de cinco ´ıtens − cinco critérios l´ ogicos −, dados a seguir:

1.2

Defini¸ c˜ ao de espa¸cos m´ etricos

Defini¸ c˜ ao 1 (Espa¸co Métrico). Seja M 6= ∅ um conjunto qualquer. Consiõ d : M × M −→ R, que associa a cada par ordenado deremos uma aplica¸ca (x, y) ∈ M × M um n´ umero real d(x, y) satisfazendo as seguintes condi¸co ˜es (para quaisquer x, y e z em M ): (M1 )

d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;

(M2 )

d(x, y) = d(y, x) ;

(M3 )

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).

Nestas condi¸co ˜es dizemos que d é uma métrica sobre M e que d(x, y) é a distˆ ancia do elemento x ao elemento y. Podemos dizer também que uma aplica¸ca õ d : M × M −→ R satisfazendo as condi¸co ˜es anteriores adquire status de métrica. O par (M, d ) é o que entendemos por espa¸co métrico. Nota: Chamamos a aten¸cão do leitor para o fato de que espa¸co métrico é ao um conjunto, tanto é que o mesmo conjunto munido uma “estrutura” e n˜ com métricas distintas d´ a origem a espa¸cos métricos distintos, isto é: d 6= d′ ⇒ (M, d ) 6= (M, d′ ) Doravante cada elemento de um espa¸co métrico ser´ a referido como ponto desse espa¸co, independentemente de sua natureza. A exigência feita em (M1 ) é bastante intuitiva: uma distˆ ancia nunca é negativa; se a distˆ ancia entre dois pontos é nula então, obrigatoriamente, estes pontos s˜ ao o mesmo (s˜ ao iguais), e; reciprocamente: a distˆ ancia de um ponto para si mesmo deve ser nula. A exigência feita em (M2 ), também assaz intuitiva, foi tomada de empréstimo do dito popular que todos conhecemos: “fulano!! vem cá! E o fulano responde: vem c´ a tu, pois a distˆ ancia daqui pr´ a lá, é a mesma de lá pr´ a cá”. Como se vê, qualquer um já possui intuitivamente os rudimentos para iniciar-se nos espa¸cos métricos. x A exigência feita em (M3 ), a menos intuitiva, s é conhecida como desigualdade triangular e se d(x, y) d(x, z) inspira no fato de que na geometria elementar cada lado de um triˆ angulo tem sempre medida s s y z d(z, y) menor que a soma das medidas dos outros dois lados. 12

Alternativamente, pode ser u ´til vermos um espa¸co métrico como um sistema de processamento de informa¸cões, onde temos: (M, d) software hardware

O conjunto de instru¸co ˜es (software) é passado através da métrica. Observe que se no par (M, d) mudarmos apenas a métrica (algoritmo, software) teremos um outro sistema de “processamento de informa¸cões”; um outro espa¸co métrico que − na maioria das vezes − pouco ter´ a a ver com o primeiro. A cita¸c˜ ao a seguir ajudar´ a o leitor a enxergar com mais naturalidade a defini¸cão de espa¸cos métricos, dada anteriormente: (rodap´ e p. 9) As defini¸co ˜es matem´ aticas parecem opor-se radicalmente ` as defini¸co ˜es emp´ıricas porque os seres matem´ aticos n˜ ao s˜ ao objetos que se descubram na natureza. As defini¸co ˜es emp´ıricas, no fundo, s˜ ao simples descri¸co ˜es de coisas j´ a existentes . . . . O naturalista que define o p´ assaro, n˜ ao o cria: descobre-o. Contrariamente, o c´ırculo n˜ ao designa um objeto existente, mas é a defini¸ca õ do c´ırculo que o cria. Também poder´ıamos dizer que “se a defini¸ca õ emp´ırica n˜ ao passa de uma c´ opia, a defini¸ca õ matem´ atica é um modelo”. A defini¸ca õ matem´ atica n˜ ao é descritiva é criadora. A rela¸ca õ entre o matem´ atico e os seres matem´ aticos é a mesma existente entre um deus e suas criaturas. A defini¸ca õ matem´ atica é uma regra ao é mesmo necess´ ario que alguma coisa de concreto lhe operat´ oria. N˜ corresponda (cf. o n´ umero negativo, os “imagin´ arios”), basta, como diz Le Roy, que o conceito por ela proposto “forne¸ca ao esp´ırito matéria de exerc´ıcio efetivo e operat´ orio. (Grifo nosso) ´ uma discuss˜ Um aparte: E ao pertinente à filosofia da matem´ atica se os objetos matem´ aticos − a exemplo dos n´ umeros − de fato existem; ou ainda, se podem ser encontrados na Natureza. Gostaria de expor meu parecer a este respeito. No meu entendimento os objetos matem´ aticos s˜ ao abstra¸c˜ oes que n˜ ao encontram-se em parte alguma da Natureza e, para existirem, necessitam do homem. Se um meteorito se chocasse com a terra e os homens − a exemplo dos dinossauros, por suposto − deixassem de existir, os n´ umeros concomitantemente desapareceriam. E afirmo mais: se na suposta hecatombe mencionada acima sobrevivessem apenas alguns homens “primitivos” e alguns livros de matem´ atica, ainda assim os n´ umeros deixariam de existir . . . por falta de um “instrumento” (cérebro, mente) apropriado que pudesse decodific´ a-los a partir dos livros. Uma analogia: se um bebê engatinhando numa sala encontra as pe¸cas de um xadrez para ele estas constituem-se em meros brinquedos − n˜ ao um jogo de xadrez (estrutura) propriamente. 13

1.2.1

Exemplos de espa¸cos m´ etricos

1) A reta usual (oficial) Considere o conjunto R dos n´ umeros reais. A seguinte fun¸cão d : R × R −→ R, dada por d(x, y) = |x − y|, é uma métrica sobre R. Vamos provar isto: (M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y. Então d(x, y) ≥ 0 ⇐⇒ d(x, y) = |x − y| ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ |x − y| = 0 ⇐⇒ x − y = 0 ⇐⇒ x = y. Observe que (M1 ) se desdobra em três condi¸cões a serem provadas. (M2 ) d(x, y) = d(y, x) ⇐⇒ |x − y| = |y − x|. (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ⇐⇒ |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Vamos precisar da desigualdade triangular do m´ odulo, isto é (p. |x + y| ≤ |x| + |y| Para tanto vamos nos valer do seguinte artif´ıcio x − y = (x − z) + (z − y) Sendo assim, temos |x − y| = (x − z) + (z − y) ≤ |x − z| + |z − y|

Por exemplo

5 3 3 d , −1 = − (−1) = . 2 2 2

d(5, 3) = |5 − 3| = 2 ; Geometricamente, temos

d

= 23 −(−1) =2,5 ⊣

3 , −1 2

⊢ s

q −1

q0

q1

s

d(5, 3)=|5−3|=2

⊢ s

q2

q3

14

⊣

q4

s

q5

R

602)

2) A m´ etrica “zero-um” Uma importante métrica − aplic´ avel a qualquer conjunto − é dada a seguir: Seja M um conjunto qualquer. Consideremos d : M × M −→ R definida por d(x, y) =

  1, se e s´ o se x 6= y;  0, se e s´ o se x = y.

Vamos mostrar que d, assim definida, é uma métrica. De fato, esta aplica¸c˜ ao, da maneira como foi definida, claramente satisfaz (M1 ) e (M2 ). Vamos mostrar que (M3 ) também é satisfeita: Dados x e y em M temos duas alternativas, x = y ou x 6= y:

( i ) Se x = y ent˜ ao d(x, y) = 0. Substituindo este resultado em (M3 ) devemos provar que 0 ≤ d(x, z) + d(z, y)

Como, pela defini¸c˜ ao de d, d(x, z) ≥ 0 e d(z, y) ≥ 0, temos que esta desigualdade é trivialmente satisfeita.

( ii ) Se x 6= y ent˜ ao ou x 6= z ou z 6= y (caso contrário, isto é, se x = z e sendo assim temos d(x, y) = 1 e ou d(x, z) = 1 ou d(z, y) = 1. Em qualquer situa¸cão a desigualdade z = y ent˜ ao x = y, contrariando a hip´ otese);

d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) 1 ≤ d(x, z) + d(z, y) estar´ a satisfeita. Observe que esta prova n˜ ao depende da natureza dos elementos de M , o que implica que o par (M, d) é um espa¸co métrico independentemente de quem seja o conjunto M . • Por exemplo considere o conjunto das vogais A = { a, e, i, o, u }, então o par (A, d) é um espa¸co métrico onde, por exemplo, temos as seguintes distˆ ancias d(a, e) = 1 ; d(o, u) = 1 ; d(u, u) = 0. uma vez que a 6= e, o 6= u e u = u.

Nota: Como neste livro trabalharemos com muitas métricas, vamos adotar s´ımbolos especiais para algumas e numerar (indexar) outras. Por exemplo a métrica “zero-um” ser´ a denotada por δ e a métrica usual sobre R por µ. Novamente enfatizamos que os espa¸cos métricos (R, µ) e (R, δ) s˜ ao distintos, inclusive por que para um mesmo par de pontos eles fornecem distˆ ancias diferentes, por exemplo: µ(5, 3) = |5 − 3| = 2 e δ(5, 3) = 1. 15

3) A M´ etrica Quˆ antica Quando o esp´ırito se apresenta ` a cultura cient´ıfica, nunca ´ e jovem. Ali´ as ´ e bem velho, porque tem a idade de seus preconceitos.

Aceder ` a ciˆ encia ´ e reju-

venescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ca õ que contradiz o passado. (Gaston Bachelard)

Introdu¸c˜ ao: A métrica que estaremos apresentando agora nos permitir´ a demonstrar, oportunamente, a plausibilidade matem´ atica de alguns fenômenos contraintuitivos observados no âmbito da f´ısica quˆ antica.∗ O que ´ e f´ısica quˆ antica? A f´ısica quˆ antica (também conhecida como mecˆ anica quˆ antica e teoria quˆ antica) é principalmente o estudo do mundo microscópio. Nesse mundo muitas grandezas f´ısicas s˜ ao encontradas apenas em m´ ultiplos inteiros de uma quantidade elementar; quando uma grandeza apresenta essa propriedade, dizemos que é quantizada. A quantidade elementar associada à grandeza é chamada quantum da grandeza (o plural é quanta). Uma grandeza quantizada que est´ a presente no nosso dia-a-dia é o dinheiro. O dinheiro no Brasil é quantizado, já que a moeda de menor valor é a de um centavo (R$ 0, 01), e os valores de todas as outras moedas e notas s˜ ao obrigatoriamente m´ ultiplos inteiros do centavo. Em outras palavras, o quantum de dinheiro em espécie é R$ 0, 01, e todas as quantias maiores s˜ ao da forma n × (R$ 0, 01), onde n é um n´ umero inteiro. Não é poss´ıvel, por exemplo, pagar com dinheiro vivo uma quantia de R$ 0, 755 = 75, 5 × (R$ 0, 01).

Em 1905 Einstein propôs que a radia¸cão eletromagnética (ou, simplesmente, a luz) era quantizada; a quantidade elementar de luz é hoje chamada de f´ oton. [. . . ] O conceito de quantum de luz, ou fóton, é muito mais sutil e misterioso do que Einstein imaginava. Na verdade, até hoje n˜ ao é compreendido perfeitamente. Segundo Einstein, um quantum de luz de frequência f tem uma energia dada por E = hf (energia do fóton) onde h é a chamada constante de Planck, que tem o valor h = 6, 63 × 10−34 J · s (Halliday & Resnick/Vol. ∗

4)

Como por exemplo, o de que uma part´ıcula pode encontrar-se em muitos lugares ao mesmo tempo; ou ainda: “elétrons que se movem de A para B sem nunca passar entre esses pontos”.

16

Consideremos o conjunto M = [ 0, 1 [ e a seguinte aplica¸cão k : [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ −→ R definida por

k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y|

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que k é uma métrica em [ 0, 1 [. Como funciona a métrica quântica? Funciona de modo bem simples, n˜ ao é necessário nenhum manual de instru¸cão, veja: dados dois pontos x e y, ambos no intervalo [ 0, 1 [, entre chaves obteremos dois valores, escolhemos o menor deles como sendo a distˆ ancia entre os pontos x e y. Por exemplo, k(0; 0, 4) = min |0 − 0, 4|, 1 − |0 − 0, 4| = min 0, 4; 0, 6 = 0, 4 k(0; 0, 6) = min |0 − 0, 6|, 1 − |0 − 0, 6| = min 0, 6; 0, 4 = 0, 4 k(0; 0, 8) = min |0 − 0, 8|, 1 − |0 − 0, 8| = min 0, 8; 0, 2 = 0, 2 Observe a localiza¸c˜ ao geométrica destes pontos:

0

t

0, 4

q1 2

t

0, 6

t

0, 8

1

Por oportuno, observe que, k (0; 0, 4) = k (0; 0, 6) > k (0; 0, 8).

(1.1)

´ isto mesmo que o leitor testemunha!: os dois primeiros pontos (0, 4 e 0, 6) E est˜ ao a uma mesma distˆ ancia da origem, e, como se n˜ ao bastasse, o terceiro ponto (0, 8) est´ a mais pr´ oximo da origem que os dois primeiros . . . pasmém! Poder´ıamos, com inteira raz˜ ao, cham´ a-la de “métrica maluca” ou até, quem sabe, “métrica hipermaluca”. No entanto, vejamos o que o eminente fil´ osofo tem a nos dizer a este respeito: Tudo isso, que ` a primeira vista parece excesso de irraz˜ ao, na verdade ´ e o efeito da finura e da extens˜ ao do esp´ırito humano e o m´ etodo para encontrar verdades at´ e ent˜ ao desconhecidas. (Voltaire)

Oportunamente estaremos provando que, desta vez, o fil´ osofo est´ a coberto de raz˜ ao. As palavras do fil´ osofo me serviram, ami´ ude, de apoio psicol´ ogico quando − a princ´ıpio − me sentir tentado a desdenhar da “métrica maluca”! 17

Distˆ ancia de um ponto arbitr´ ario ` a origem Vamos necessitar da distˆ ancia de um ponto arbitrário x ∈ [ 0, 1 [ à origem: k(x, 0) = min |x − 0|, 1 − |x − 0| = min |x|, 1 − |x|

Como 0 ≤ x < 1, temos |x| = x, logo, k(x, 0) = min x, 1 − x . Temos, x ≤ 1 − x ⇐⇒ x ≤

1 2

Sendo assim, podemos escrever:

k(x, 0) =

  x, 

se 0 ≤ x ≤ 12 ;

1 − x,

se

1 2

(1.2)

≤ x < 1.

Esta equa¸c˜ ao nos diz, simplesmente, que se x é um ponto na primeira metade do intervalo, ent˜ ao sua distˆ ancia para a origem é igual “a ele pr´ oprio”. Se x é um ponto na metade direita do intervalo, então sua distˆ ancia para a origem é 1 − x. Veja: k(x, 0) = min x, 1 − x x 0

s

x

1−x

q 12

x 1

0

q 12

s

x

1−x 1

A seguir esbo¸camos o gr´ afico da fun¸cão dada por (1.2): k(x, 0) 1

q

1 2

q

0

q12

1

x 0

q1 2

s

x

1

Este gr´ afico nos mostra como varia a distˆ ancia de um ponto arbitrário x, do intervalo [ 0, 1 [, a` origem. Na figura a seguir acrescentamos ao gr´ afico anterior (para efeito de compara¸c˜ ao) a distˆ ancia usual, d(x, 0) = |x − 0|, restrita ao intervalo [ 0, 1 [ : 18

k(x, 0) 1

q

1 2

q

q12

0

1

x

A partir do gr´ afico de k(x, 0) (ou da equa¸cão (1.2)) constru´ımos a régua oficial do universo [ 0, 1 [, k , assim: 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

1 INMETRO

0

- R´ egua quântica Nota: Observamos que a régua (“trena” ) acima é tão leg´ıtima quanto a usual, vendida em nossas livrarias, tanto é que já a homologamos junto ao Inmetro. O que confere status cient´ıfico a esta régua é justamente o fato de ela satisfazer a todas as condi¸c˜ oes para uma métrica. (p. 12) Esta régua nos ser´ a bastante u ´til para destrinchar (e produzir) alguns paradoxos (patologias), inclusive na f´ısica quântica como já mencionamos. E mais: Pelo ao menos no ˆ ambito da topologia podemos assegurar aos cépticos que milagres existem sim!, como estaremos provando a seu tempo. Por oportuno, adiantamos uma surpreendente igualdade: 0, 999 . . . = 0. Nota: Um espa¸co métrico é também um espa¸co topol´ ogico. (p. 280) Retomando: a régua quântica nos fornece diretamente a distˆ ancia de um ponto qualquer do intervalo [ 0, 1 [ para a origem 0, graficamente: 1 4

1 2

p

0

0,1

0,2

3 4

p

0,3

0,4

0,5

p

0,4

0,3

1

0,2

0,1

1 INMETRO

0

19

Vejamos como fica a patologia exibida anteriormente da régua anterior, veja: As 0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

com o uso

Cs

0,4

0,3

0,2

0,1

1 INMETRO

ր0

Bs

(p. 17)

Origem

Os pontos A e B encontram-se à mesma distˆ ancia da origem . . . Pasmém! Podemos escrever: k(A, 0) = 0, 4 = k(B, 0) E, o que é “pior”, o ponto C encontra-se mais pr´ oximo da origem que qualquer dos pontos A e B . . . pasmém !! Podemos escrever: k(C, 0) = 0, 2 < 0, 4 = k(A, 0) = k(B, 0)

(1.3)

Advertência: Aconselhamos ao estudante de topologia excessiva prudência: Esta régua n˜ ao dever´ a cair nas m˜ aos de profissionais n˜ ao devidamente habilitados, ainda aqui vale recordar do mestre Jesus: (Mt 7 : 6) N˜ ao deiteis aos porcos as vossas pérolas, para que n˜ ao suceda que eles lhes ponham os pés em cima, e tornando-se contra v´ os, vos despedacem.

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

INMETRO

0

1

1 INMETRO

Qu^ antica

Usual

Na figura a seguir colocamos as duas réguas − usual e quântica − lado a lado para efeitos de compara¸cão, veja:

Nota: Reescalonamos (dividimos por 10) a régua usual, para efeitos de compara¸c˜ ao. Observe que a régua quântica coincide com a régua usual s´ o até a metade, a partir da´ı as duas diferem radicalmente. 20

Tornando a r´ egua quˆ antica menos indigesta Dissemos que a régua quântica mede a distˆ ancia, para a origem, de qualquer ponto do intervalo [ 0, 1 [. O leitor poder´ a “digerir” melhor o funcionamento desta régua se imaginar que ela produz uma curvatura no espa¸co, digo, no intervalo [ 0, 1 [. Imagine este intervalo feito de arame flex´ıvel, curve-o segundo um c´ırculo, assim: 1 0

1 0 C

p1

s

s

B

2

1 4

p

p

3 4

p

1 4

p

3 4

p

1 2

s

A

Na figura da direita assinalamos os pontos A, B e C na rela¸cão (1.3) (p. 20). Agora fica mais fácil de entender por que d (C, 0) < d (A, 0) = d (B, 0). Nota: A rigor a métrica quântica n˜ ao curva o intervalo unit´ ario. Vejamos uma analogia: Ao redor de um im˜ a existe um campo magnético que “curva o espa¸co” em sua volta. A presen¸ca do campo altera a geometria − ou métrica − da regi˜ ao em volta do im˜ a. Porém, o pr´ oprio im˜ a n˜ ao é curvado. De igual modo, a presen¸ca da métrica k no universo [ 0, 1 [ é respons´ avel pela “geometria” da estrutura [ 0, 1 [, k , que é curva. Podemos buscar uma outra analogia para o espa¸co quântico na teoria da relatividade geral de Einstein: segundo essa teoria o espa¸co é uma estrutura cujas propriedades dependem da presen¸ca da matéria.

Matéria e energia em movimento curvam o espa¸co-tempo. Essa deforma¸c˜ ao muitas vezes é comparada a que ocorre em uma rede esticada quando nela se deposita uma esfera maci¸ca e pesada. De modo an´ alogo, como veremos oportunamente, a origem “0” do intervalo [ 0, 1 [ é que faz o papel da massa e é respons´ avel pela curogico [ 0, 1 [, k . vatura do espa¸co topol´ ր0

“massa”

q1 2

1

21

M´ etricas sobre o R2

1.2.2

Vamos agora definir algumas métricas sobre o conjunto R × R = R2 dos pares ordenados de n´ umeros reais. 4) O plano usual (oficial) A fun¸c˜ ao, D1 : R2 × R2 −→ R, dada por D1 (x, y) =

p

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ), é uma métrica sobre R2 . D1 é conhecida como métrica euclidiana ou usual do R2 e naturalmente se inspira na fórmula da distˆ ancia entre dois pontos da geometria anal´ıtica. No apêndice provamos que D1 é de fato uma métrica sobre R2 . (p. 68) Exemplo: Calcular a distˆ ancia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5). Solu¸ c˜ ao: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5). Então p D1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 p D1 (1, 1), (4, 5) = (1 − 4)2 + (1 − 5)2 = 5. Geometricamente temos R

p

p

s(4, 5)

s

p p p

s

D1

⇒ ⊡

(1, 1)

0

p

p

p

p

R

D1

s

e a medida da hipotenusa. ´

5) A m´ etrica da soma (ou do t´ axi) A fun¸c˜ ao, D2 : R2 × R2 −→ R, dada por D2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) é uma métrica sobre R2 . D2 é conhecida como métrica da soma (ou do táxi). No apêndice provamos que D2 é de fato uma métrica sobre R2 .

(p. 69)

Exemplo: Calcular a distˆ ancia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5). 22

Solu¸ ca õ: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5), então D2 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | D2 (1, 1), (4, 5) = |1 − 4| + |1 − 5| = 7.

Geometricamente temos R

p

p

s(4, 5)

s

p

⇒

p

p

s

s

⊡

(1, 1)

p

0

p

p

p

R

D2

D2

´ a soma das medidas e dos catetos.

6) A m´ etrica do m´ aximo A fun¸c˜ ao, D3 : R2 × R2 −→ R, dada por

D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 |

onde x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) é uma métrica sobre R2 . No apêndice provamos que D3 é de fato uma métrica sobre R2 . (p. Exemplo: Calcular a distˆ ancia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5).

70)

Solu¸ ca õ: Temos x = (x1 , x2 ) = (1, 1) e y = (y1 , y2 ) = (4, 5), então D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 | D3 (1, 1), (4, 5) = max |1 − 4|, |1 − 5| = max{ 3, 4 } = 4.

Geometricamente temos R

p

p

s(4, 5)

s

p

p

p

⇒

s

⊡

(1, 1)

0

p

p

p

p

R

D3

23

s

D3

´ a medida do maior e dos catetos.

Como era de se esperar, os três espa¸cos nos fornecem diferentes distˆ ancias para um mesmo par de pontos. Para efeitos de compara¸cão, temos R

Rn ,

p

p p

⊡

p

s

(1, 1)

p

p

p

R

0

s(4, 5)

p

p p

⊡

(1, 1)

0

s(4, 5)

p p

s

p

p

p

p

p

p

s(4, 5)

R

p

R

p

s

⊡

(1, 1)

p

p

p

R

0

p

p

p

p

As três distˆ ancias vistas para o R2 s˜ ao facilmente generalizadas para o do seguinte modo: D1 (x, y) =

p

(x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2

D2 (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn |

(1.4) (1.5) (1.6)

onde x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Rn .

7) Distˆ ancia entre matrizes Seja Mm×n (R) o conjunto das matrizes reais de ordem m por n. Para calcular a distˆ ancia entre duas matrizes lan¸caremos m˜ ao de um artif´ıcio: Identificaremos uma matriz do conjunto Mm×n (R) com um ponto do conjunto Rm×n do seguinte modo 

 a11 . . . a1n  a21 . . . a2n   A=  . . . . . . . . . . . . . .  ↔ a = (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , am1 , . . . , amn ) am1 . . . amn 

 b11 . . . b1n  b21 . . . b2n   B=  . . . . . . . . . . . . .  ↔ b = (b11 , . . . , b1n , b21 , . . . , b2n , . . . , bm1 , . . . , bmn ) bm1 . . . bmn Feito isto definiremos a distˆ ancia entre as matrizes A e B como sendo a distˆ ancia entre os respectivos pontos a e b. 24

R

Sendo assim temos as seguintes distˆ ancias entre matrizes p D1 (A, B) = (a11 − b11 )2 + · · · + (amn − bmn )2 D2 (A, B) = |a11 − b11 | + · · · + |amn − bmn | D3 (A, B) = max |a11 − b11 |, . . . , |amn − bmn |

(1.7) (1.8) (1.9)

Exemplo: Calcule a distˆ ancia entre as matrizes 2 1 3 0 2 1 A= e B= 3 0 2 3 4 5 Solu¸ ca õ: Temos A=

2 1 3 3 0 2

↔ a = (2, 1, 3, 3, 0, 2)

B=

0 2 1 3 4 5

↔ b = (0, 2, 1, 3, 4, 5)

2 −1 2 0 −4 −3

↔ a − b = (2, −1, 2, 0, −4, −3)

Ainda, A−B=

Vamos calcular a distˆ ancia entre as matrizes A e B em cada um dos espa¸cos métricos M2×3 (R), D1 , M2×3 (R), D2 e M2×3 (R), D3 onde D1 , D2 e D3 s˜ ao dadas pelas equa¸c˜ oes (1.7), (1.8) e (1.9). Pois bem: √ p D1 A, B = 22 + (−1)2 + 22 + 02 + (−4)2 + (−3)2 = 34; D2 A, B = |2| + | − 1| + |2| + |0| + | − 4| + | − 3| = 12; D3 A, B = max |2|, | − 1|, |2|, |0|, | − 4|, | − 3| = 4.

A fórmula a seguir

n = N (i − 1) + j

(1.10)

nos permite transferir os elementos de uma matriz de ordem M × N para um ponto de RM ×N . (para a prova desta f´ ormula veja [6]) A fórmula nos diz em que coordenada n (do ponto) devemos guardar o elemento aij da matriz. Por exemplo, para a matriz a11 a12 a13 a21 a22 a23 de ordem 2 × 3, procedemos assim: 25

a11

⇒

n = 3(1 − 1) + 1 = 1

⇒

( a11 , ? , ? , ? , ? , ? )

a12

⇒

n = 3(1 − 1) + 2 = 2

⇒

( a11 , a12 , ? , ? , ? , ? )

a13

⇒

n = 3(1 − 1) + 3 = 3

⇒

( a11 , a12 , a13 , ? , ? , ? )

a21

⇒

n = 3(2 − 1) + 1 = 4

⇒

( a11 , a12 , a13 , a21 , ? , ? )

a22

⇒

n = 3(2 − 1) + 2 = 5

⇒

( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , ? )

a23

⇒

n = 3(2 − 1) + 3 = 6

⇒

( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )

Portanto:

a11 a21

a12 a22

a13 a23

֌ ( a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 )

A fórmula a seguir (também uma contribui¸cão minha):   i = n−1 +1 N  j = n − N n−1 N

é a inversa da fun¸c˜ ao dada em (1.10) e nos diz, caso desejemos, como transferir de volta as coordenadas do ponto para a matriz. N é o n´ umero de colunas na matriz. ⌊ x ⌋ é chamado o maior inteiro que n˜ ao supera x (fun¸c˜ ao piso). Por exemplo, para a situa¸cão anterior temos:   i = 5−1 +1 =2 3 a5 ⇒  j = 5 − 3 5−1 = 2 3 Ou seja, a quinta coordenada do ponto (n = 5) corresponde a posi¸cão (i, j) = (2, 2) da matriz, assim:

(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , )

− − − − − −

Em [6] mostramos aplica¸cões destas fórmulas na computa¸cão. ∗

∗

∗

Para muitos pensar é uma tarefa fastidiosa. Para mim, nos meus dias felizes, uma festa e uma orgia. (Nietzsche, F. Vontade de poder, XIV, 24)

26

1.2.3

Distˆ ancia entre fun¸ c˜ oes

− Espa¸co das fun¸c˜ oes reais cont´ınuas definidas num intervalo fechado

8) O espa¸ co C[a, b], Γ Seja C[a, b] o conjunto das fun¸cões reais cont´ınuas definidas no intervalo fechado [a, b]. Isto é n o C[a, b] = f : [a, b] −→ R / f cont´ınua A aplica¸c˜ ao

Γ : C[a, b] × C[a, b] −→ R definida por Γ(f, g) =

Z

a

b

f (x) − g(x) dx

é uma métrica sobre C[a, b]. Isto est´ a demonstrado no apêndice.

(p. 72)

Exemplos: (a) Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões f, g : [ 0, 1 ] −→ R dadas por f (x) = 3x e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: Γ(f, g) = =

Z Z

a

b

1 0

f (x) − g(x) dx |3x − x| dx = 1

Interpreta¸c˜ ao geométrica: A distˆ ancia entre as fun¸co˜es f e g é dada pela ´ area da regi˜ ao entre seus gr´ aficos; no caso a área do triˆ angulo em destaque na figura a seguir y 3

q

2

q

1

q

(1, 3)

f (1, 1) g

0

q1

q2

x

(0, 0)

27

Para efeito de verifica¸cão, podemos calcular a área deste triˆ angulo, subtraindo da ´ area do triˆ angulo sob o gr´ afico de f a área do triˆ angulo sob o gr´ afico de g, assim 1×3 1×1 − = 1 = Γ(f, g). 2 2 (b) Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões f, g : [−1, 1] −→ R

dadas por f (x) = x3 e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao:

Γ(f, g) =

Z

a

=

Z

b

1

f (x) − g(x) dx

3 x − x dx = 1 . 2 −1

Interpreta¸c˜ ao geométrica: A distˆ ancia entre as fun¸co˜es f e g é dada pela ´ area da regi˜ ao entre seus gr´ aficos: y 1⊥

q

(1,1) g f

−1

⊢

f

g

x

⊢ 1

q

⊥ −1

(−1,−1)

Vejamos uma outra distˆ ancia no conjunto C[a, b].

9) O espa¸ co C[a, b], Υ

Sabemos (da Análise∗ ) que toda fun¸cão cont´ınua definida em um intervalo fechado assume valores m´ aximo e m´ınimo nesse intervalo. Sendo assim a aplica¸cão Υ : C[a, b] × C[a, b] −→ R dada por Υ(f, g) = max

n

o |f (x) − g(x)| : x ∈ [ a, b ]

(1.11)

estar´ a bem definida. No apêndice mostramos que Υ é uma outra métrica sobre C[a, b]. (p. 74) ∗

Teorema de Weierstrass, [AR] 1 (p. 603)

28

Exemplos: (a) Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões f, g : [ 0, 1 ] −→ R dadas por f (x) = 3x e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: Υ(f, g) = max

n

o |f (x) − g(x)| : x ∈ [ a, b ]

= max |3x − x| : x ∈ [ 0, 1 ] = max 2x : x ∈ [ 0, 1 ] = 2.

Porquanto

0 ≤ x ≤ 1 ⇒ 0 ≤ 2x ≤ 2 ⇒ 2x ∈ [ 0, 2 ] Observe que os espa¸cos (C, Γ) e (C, Υ) nos fornecem distˆ ancias diferentes para o mesmo par de pontos (f, g). Interpreta¸c˜ ao geométrica: A distˆ ancia Υ entre as fun¸cões f e g é o comprimento da maior corda vertical que se pode tra¸car ligando o gr´ afico de f ao gr´ afico de g. y 3

q

2

q

f

1

q g

0

q1

q2

x

(1,3)

←Υ(f,g)=2 (1,1)

(0,0)

(b) Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões f, g : [ −1, 1 ] −→ R dadas por f (x) = x3 e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: Υ(f, g) = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ a, b ] = max |x3 − x| : x ∈ [ −1, 1 ] 29

Esta u ´ltima igualdade nos diz que devemos encontrar o m´ aximo da fun¸c˜ ao dada por h(x) = |x3 −x| para x percorrendo o intervalo [ −1, 1 ]. Com o intuito de eliminar o m´ odulo, obtemos a seguinte decomposi¸ca õ  3 se x ∈ [ −1, 0 ]; 3  x − x, h(x) = x − x =  −x3 + x, se x ∈ [ 0, 1 ].

Inicialmente vamos pesquisar no “ramo direito” da fun¸cão; então, h(x) = −x3 + x. Igualando a derivada desta fun¸cão a zero, temos 1 h′ (x) = −3x2 + 1 = 0 =⇒ x = ± √ 3 ent˜ ao h

1 √ 3

=−

1 √ 3

3

+

1 √ 3

√ 2 3 . = 9

A outra alternativa nos conduz ao mesmo resultado, portanto n o 2√3 3 Υ(f, g) = max |x − x| : x ∈ [ −1, 1 ] = ≈ 0, 38 9

Interpreta¸c˜ ao geométrica: A distˆ ancia entre as fun¸co˜es f e g é o comprimento da maior corda vertical que se pode tra¸car ligando o gr´ afico de f ao gr´ afico de g.

y

1⊥ √

←−Υ(f, g)= 2 9 3 −1 ⊢

q3

0

√

3 f

g

⊥ −1

30

⊢1

x

Fun¸ co ˜es Limitadas Seja X um conjunto qualquer. Uma fun¸cão f : X −→ R se diz limitada quando existe k ∈ R tal que |f (x)| ≤ k para todo x ∈ X.

Exemplos a) Um exemplo de fun¸c˜ ao limitada em toda a reta (X = R) é a fun¸c˜ ao seno, pois −1 ≤ sen x ≤ 1, para todo x real. y 1

q −π

q

−qπ2

0

qπ 2

qπ

q

q 2π

3π 2

R

−1 q

Uma fun¸c˜ ao pode n˜ ao ser limitada em um dom´ınio D, mas sim em ′ ´ o que veremos agora. um seu subconjunto D ⊂ D. E b) Das fun¸c˜ oes abaixo f : [ −1, 1 ] −→ R x 7−→ x

e

g : R −→ R x 7−→ x

apenas a primeira é limitada, uma vez que −1 ≤ x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ f (x) ≤ 1 ⇒ |f (x)| ≤ 1. Por outro lado, n˜ ao existe k ∈ R de modo que |g(x)| = |x| ≤ k para todo x ∈ R. g(x)

f (x)

1

1

q

−1

1 −1

x

q

−1q

q1 −1

q

x

q

• f é limitada em seu dom´ınio, g n˜ ao. Sejam f e g fun¸c˜ oes limitadas, isto é, existem constantes k1 , k2 ∈ R tais que |f (x)| ≤ k1 e |g(x)| ≤ k2 , então as fun¸cões f ± g s˜ ao ainda limitadas, devido a que |f (x) ± g(x)| ≤ |f (x)| + |g(x)| ≤ k1 + k2 . 31

− Espa¸co das fun¸cões reais limitadas

10) O espa¸ co B(X, R), Ψ

Indiquemos por B(X, R) o conjunto das fun¸cões reais e limitadas de X em R. A aplica¸c˜ ao Ψ : B(X, R) × B(X, R) −→ R

dada por

Ψ(f, g) = sup est´ a bem definida.

|f (x) − g(x)| : x ∈ X

(devido ao axioma do supremo p. 612)

No apêndice mostramos Ψ é uma métrica sobre B(X, R). Exemplo: Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões

(p. 74)

f, g : [ 0, 1 [−→ R dadas por f (x) = 3x e g(x) = x. Solu¸ c˜ ao: Ψ(f, g) = sup |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 [ = sup |3x − x| : x ∈ [ 0, 1 [ = sup 2x : x ∈ [ 0, 1 [ = 2,

Porquanto

0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ 2x < 2 ⇒ |f (x) − g(x)| = 2x ∈ [ 0, 2 [. No gr´ afico fica assim y 3

q

2

q

1

q

0

f

(1,3)

← Ψ(f, g)=2 (1,1)

g

q1

q2

x

(0,0)

Observe que enquanto o par B(X, R), Ψ é um espa¸co métrico já n˜ ao acontece o mesmo com o par B(X, R), Υ . (ver p. 28) No caso do exemplo anterior as fun¸cões f e g n˜ ao têm m´ aximo no conjunto X = [ 0, 1 [: Υ(f, g) = max |3x − 2x| : x ∈ [ 0, 1 [ = max 2x : x ∈ [ 0, 1 [ 32

porquanto, 0 ≤ x < 1 ⇒ 0 ≤ 2x < 2 ⇒ 2x ∈ [ 0, 2 [. Isto é, a aplica¸c˜ ao Υ : B(X, R) × B(X, R) −→ R n˜ ao estar´ a bem definida. Porque o par B(X, R), Γ n˜ ao ´ e um espa¸ co m´ etrico

Mostraremos agora que Γ (p. 27) n˜ ao é uma métrica sobre B(X, R). Consideremos X = [ 0, 1 ] e as fun¸cões f, g ∈ B [ 0, 1 ], R , isto é,

f, g : [ 0, 1 ] −→ R; dadas por

f (x) = 1, ∀x ∈ [ 0, 1 ] e g(x) = Os gr´ aficos de f e g s˜ ao dados a seguir: f (x)

g(x)

1

1

se x 6=

1 2

 1 , se x = 1 . 4 2

q

q

1 2 1 4

x

q1

0

  1,

r

q q

q 12

0

q1

x

Observe que f e g diferem em um u ńico ponto. Portanto pelo teorema [AR] 2 : (p. 603) Z 1 Z 1 g(x) dx f (x) dx = 0

0

logo, Z

1 0

f (x) dx −

Z

1 0

g(x) dx = 0 ⇐⇒

Z

0

1

f (x) − g(x) dx = 0

observe que no intervalo dado f (x) ≥ g(x), isto é, f (x) − g(x) ≥ 0. Portanto neste intervalo |f (x) − g(x)| = f (x) − g(x), logo Z b |f (x) − g(x)| dx Γ(f, g) = a

=

Z

0

1

f (x) − g(x) dx = 0.

Resumindo: tomamos dois pontos, f 6= g ∈ B(X, R) e mostramos que Γ(f, g) = 0. O que fere (M1 ). (p. 12) 33

1.2.4

Espa¸cos de C´ odigos

Agora daremos um importante exemplo de espa¸co métrico, largamente utilizado em Teoria da Informa¸ca õ (transmiss˜ ao de dados). C´ odigos que contêm tanto caracteres alfabéticos como numéricos s˜ ao necessários quando microcomputadores se comunicam com dispositivos como fax ou um terminal de v´ıdeo, ou ainda para transformar os caracteres de um teclado em linguagem de computador. Esses códigos s˜ ao chamados c´ odigos alfanuméricos. O c´ odigo alfanumérico mais comumente usado em sistemas de microcomputador é o AMERICAN STANDARD Code for Information Interchange (C´ odigo Americano Padr˜ ao para Troca de Informa¸cões) Uma listagem parcial do código ASCII é mostrada na tabela a seguir Caracter

ASCII

Caracter

ASCII

<

00111100

A

01000001

>

00111110

B

01000010

!

00100001

C

01000011

P

11100100

D

00100100

#

00100011

E

01000101

$

00100100

F

01000110

%

00100101

G

01000111

&

00100110

H

01001000

(

00101000

I

01001001

)

00101001

J

01001010

∗

00101010

K

01001011

[

01011011

L

01001100

]

01011101

M

01001101

+

00101011

N

01001110

−

00101101

O

01001111

/

00101111

P

01010000

0

00110000

Q

01010001

1

00110001

R

01010010

2

00110010

S

01010011

3

00110011

T

01010100

4

00110100

U

01010101

5

00110101

V

01010110

6

00110110

W

01010111

7

00110111

X

01011000

8

00111000

Y

01011001

9

00111001

Z

01011010

− TABELA

ASCII

34

A t´ıtulo de curiosidade a seguir vemos o diagrama de blocos de uma calculadora. Entrada 7

8

9

4

5

6

1

2

3

+

0

−

Saida

CPU

Codificador

ր

00110001 00101011 00110010

Teclado

Decodificador

ր

00110011

Display

Na figura estamos simulando a soma 1+ 2 = 3. Ao digitarmos no teclado 1+2 existe um circuito codificador que codifica estas informa¸cões em bin´ ario de acordo com a TABELA ASCII vista anteriormente, ou seja, 1 ↔ 00110001;

+ ↔ 00101011;

2 ↔ 00110010

Estes c´ odigos bin´ arios s˜ ao entregues à CPU que executa a soma pedida, o resultado é colocado na entrada de um circuito decodificador que decodifica o código bin´ ario em sua entrada, e na saida temos o resultado na base decimal. Defini¸ c˜ ao 2 (C´ odigo). Um c´ odigo bin´ ario é um conjunto de vetores bin´ arios odigo. O processo de con(de mesmo comprimento) chamados vetores de c´ vers˜ ao de uma mensagem em vetores de c´ odigo é chamado codifica¸ca õ, e o processo inverso é chamado decodifica¸ca õ. A transmiss˜ ao de dados codificados − via ondas eletromagnéticas, pode ser − est´ a sujeita a várias fontes de erros, desde erros de digita¸cão até interferências eletromagnéticas; os poss´ıveis erros s˜ ao chamados de ru´ıdos. A teoria dos c´ odigos corretores de erro é um campo de pesquisa muito ativo atualmente, com aplica¸c˜ oes em diversas áreas tais como: matem´ atica, engenharia, computa¸c˜ ao e estat´ıstica.

Fonte de Informa¸ ca õ

Codifica¸ ca õ

Sinal

Canal

Ru´ıdo

35

Novo Sinal

Decodifica¸ ca õ

Destinat´ ario

C´ odigos bin´ arios e Espa¸cos m´ etricos O Nosso objetivo agora ser´ a contruir alguns espa¸cos métricos sobre os c´ odigos bin´ arios. Sequências bin´ arias de qualquer tamanho podem ser obtidas tomando-se o produto cartesiano do conjunto: Z = { 0, 1 } Por exemplo: Z2 = { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 00, 10, 01, 11 } Z3 = { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 } = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 } Temos: Z2 = { 00, 10, 01, 11 } Z3 = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 } Z4 = { 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110,

0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111 }

O n´ umero de sequências bin´ arias no conjunto Zn é 2n ; observe que os c´ odigos (sequências) do teclado de um computador (Tabela ASCII) pertencem todos ao conjunto Z8 , neste conjunto podemos codificar até 28 = 256 caracteres. Nota: Por quest˜ oes did´ aticas estaremos preferencialmente dando ênfase aos c´ odigos bin´ arios de tamanho 4, entretanto o tamanho (comprimento) pode ser arbitrário. Vamos dispor os elementos de Z4 segundo uma tabela, assim: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

⇒

Z4 = 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110, 0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111

36

11) Distˆ ancia de Hamming∗ Na teoria da informa¸ca õ a distˆ ancia de Hamming entre dois códigos de mesmo comprimento é o n´ umero de posi¸cões nas quais eles diferem entre si. Mais precisamente: Tomemos dois pontos x, y ∈ Z4 e consideremos a seguinte aplica¸c˜ ao σ : Z4 × Z4 −→ R dada por σ(x, y) = n´ umero de posi¸co˜es em que x e y diferem entre si. σ assim definida é uma métrica sobre Z4 , é o que estaremos provando logo mais. Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em Z4 , calcule a distˆ ancia entre x e y, e entre x e z. Solu¸ ca õ: Temos, x: 1 0 0 0 y: 0 1 0 0

x: 1 0 0 0 z: 1 1 1 1

x e y diferem em duas posi¸c˜ oes, enquanto x e z diferem em três posi¸cões, portanto σ(1000, 0100) = 2 e σ(1000, 1111) = 3. Considerando xi como sendo a i−ésima entrada da sequência x = x1 x2 x3 x4 de Z4 podemos, alternativamente, definir σ(x, y) como σ(x, y) =

4 X i=1

|xi − yi |

Forma esta mais apropriada para programa¸cão (e demonstra¸cões). Nota: Com um pouco de reflex˜ ao o leitor n˜ ao ter´ a dificuldade em concluir que o somat´ orio acima conta o n´ umero de posi¸co ˜es em que as sequências x e y diferem entre si. Observe a equivalência entre as opera¸c˜es: (xi − yi ) ≡ |xi − yi | onde a opera¸c˜ ao da esquerda verifica-se em Z

(p. 84)

e a da direita em R.

∗ Richard W. Hamming (1915−1998) obteve seu Ph.D. em Matem´ atica na Universidade de Illinois, em Urbana-Champaign, em 1942. De 1946 a 1976, trabalhou no Bell Labs, depois integrou-se ao corpo docente na US Naval Postgraduate School, em Monterey, Calif´ ornia. Em 1950, publicou seu trabalho fundamental em c´ odigos corretores de erros, dando uma constru¸c˜ ao expl´ıcita para os c´ odigos de otimiza¸c˜ ao que Claude Shannon tinha provado serem teoricamente poss´ıveis, em 1948.

37

Calculemos a distˆ ancia entre as sequências x = 1000 e y = 0100: 4 X |xi − yi | σ 1000, 0100 = i=1

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | + |x4 − y4 | = |1 − 0| + |0 − 1| + |0 − 0| + |0 − 0| = 2.

Mostremos que (Z4 , σ) é um espa¸co métrico: Prova: (M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

Obviamente σ(x, y) ≥ 0. Se σ(x, y) = 0 então, pela defini¸cão de σ, x e y diferem em 0 posi¸c˜ oes, isto é x = y. Se x = y então x e y coincidem em todas as posi¸c˜ oes, isto é σ(x, y) = 0. (M2 ) d(x, y) = d(y, x) :

Obviamente que o n´ umero de posi¸cões em que x difere de y é igual ao n´ umero de posi¸c˜ oes em que y difere de x, ou seja, σ(x, y) = σ(y, x). (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) : Devemos mostrar que σ(x, y) ≤ σ(x, z) + σ(z, y). Isto é que 4 X i=1

|xi − yi | ≤

4 X i=1

|xi − zi | +

4 X i=1

|zi − yi |

(1.12)

Pois bem, usando a desigualdade triangular para n´ umeros reais, podemos escrever: |x1 − y1 | ≤ |x1 − z1 | + |z1 − y1 | .............................. |x4 − y4 | ≤ |x4 − z4 | + |z4 − y4 | Somando estas quatro desigualdades obtemos |x1 − y1 | + · · · + |x4 − y4 | ≤ |x1 − z1 | + · · · + |x4 − z4 | + |z1 − y1 | + · · · + |z4 − y4 |

que é exatamente a desigualdade (1.12).

A t´ıtulo de curiosidade, as sequências em ZN s˜ ao os vértices de um hipercubo em dimensão N , por exemplo, para Z3 = { 000, 100, 010, 110, 001, 101, 011, 111 } 001

011

101

111 000

100

010 110

38

Uma f´ ormula para gerar os c´ odigos em ZN ´ um prazer puro da alma espalhar pelo mundo o fruto de seus esE tudos e medita¸co ˜es, ainda sem outra remunera¸ca õ que a consciência de fazer bem. (Jos´ e Bonif´ acio) J´ a n˜ ao conto mais o n´ umero de fórmulas que deduzi (e/ou demonstrei) na matem´ atica, confesso que, pela fórmula a seguir, tenho um carinho todo especial∗ .

xij =

   1, se

  0, se

i−1 j−1 2 i−1 j−1 2

é ´ımpar; (1.13) é par.

Esta fórmula nos permite gerar os códigos bin´ arios (ou os vértices do hipercubo), onde: xij é o j−ésimo bit do código i de ZN . Fixado N fazemos i = 1, 2, . . . , 2N e j = 1, 2, . . . , N Por exemplo, para N = 2, temos: i = 1, 2, 3, 4 e j = 1, 2. Então 1−1 i = 1, j = 1 ⇒ = 0 ⇒ x11 = 0 21−1 1−1 = 0 ⇒ x12 = 0 i = 1, j = 2 ⇒ 2−1 2

........................................... 2−1 i = 2, j = 1 ⇒ = 1 ⇒ x11 = 1 21−1 2−1 i = 2, j = 2 ⇒ = 0 ⇒ x12 = 0 2−1 2

........................................... 3−1 i = 3, j = 1 ⇒ = 2 ⇒ x11 = 0 21−1 3−1 = 1 ⇒ x12 = 1 i = 3, j = 2 ⇒ 2−1 2

........................................... 4−1 = 3 ⇒ x11 = 1 i = 4, j = 1 ⇒ 21−1 4−1 i = 4, j = 2 ⇒ = 1 ⇒ x12 = 1 2−1 2

Sendo assim, temos:

Z2 = { |{z} 00 , |{z} 10 , |{z} 01 , |{z} 11 } i=1

i=2

i=3

i=4

Os dois espa¸cos métricos a seguir s˜ ao também contribui¸cões minha. ∗

Precisamente pelos detalhes técnicos envolvidos em sua dedu¸c˜ ao e demonstra¸c˜ ao.

39

12) O espa¸ co Z4 , ρ Tomemos dois pontos x, y ∈ Z4 e consideremos a seguinte aplica¸cão ρ : Z4 × Z4 −→ R definida por

4 X 2i−1 · (xi − yi ) ρ(x, y) = i=1

ρ assim definida é uma métrica sobre Z4 .

(Apˆ endice, p. 76)

Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em Z4 , calcule a distˆ ancia entre x e y, e entre x e z. Solu¸ c˜ ao: temos, 4 X i−1 2 · (xi − yi ) ρ 1000, 0100 = i=1

Também

= 20 · (1 − 0) + 21 · (0 − 1) + 22 · (0 − 0) + 23 · (0 − 0) = 1.

ρ 1000, 1111 = 20 · (1 − 1) + 21 · (0 − 1) + 22 · (0 − 1) + 23 · (0 − 1) = 14.

Compare com as distˆ ancias obtidas no espa¸co (Z4 , σ). (p. 37) Uma outra alternativa para se calcular a distˆ ancia ρ(x, y) é converter as sequências x e y da base bin´ aria para a base 10 e usar a métrica µ. Na tabela seguinte a u ´ltima coluna é o correspondente em decimal da sequência bin´ aria. 20 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

21 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

22 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

23 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Por exemplo: ρ(1000, 0100) = |1−2| = 1. ρ(1000, 1111) = |1−15| = 14.

40

13) O espa¸ co ZN , τ

Tomemos dois pontos x, y ∈ ZN e consideremos a seguinte aplica¸cão τ : ZN × ZN −→ R definida por τ (x, y) = max i : xi 6= yi ,

1 ≤ i ≤ N.

τ assim definida é uma métrica sobre ZN . No apêndice mostramos que τ satisfaz a desigualdade triangular. (p. 77) Nota: max i : xi 6= yi = maior posi¸cão em que x e y diferem entre si. Exemplos: Dados x = 1000, y = 0100 e z = 1111 em Z4 , calcule a distˆ ancia entre x e y e entre x e z. Solu¸ ca õ: Temos, x: 1 0 0 0 y: 0 1 0 0

x: 1 0 0 0 z: 1 1 1 1

Ent˜ ao: i : xi 6= yi = {1, 2} i : xi 6= zi = {2, 3, 4}

⇒ ⇒

max 1, 2 = 2 max 2, 3, 4 = 4

⇒

τ (x, y) = 2.

⇒

τ (x, z) = 4.

A tabela a seguir compara as distˆ ancias vistas nos três espa¸cos métricos:

(x, y) (x, z)

σ

ρ

τ

2

1

2

3

14

4

x=1000 y=0100 z=1111

Nota: No caso de duas sequências iguais estamos assumindo que max =0

Esta igualdade pode ser provada por “vacuidade”, no sentido de que ela jamais poder´ a ser contraditada∗ . Alternativamente, poderiamos ter definido ( max i : xi 6= yi , se x 6= y; τ (x, y) = 0, se x = y. ∗´

E semelhante ` a prova de que o conjuto vazio é subconjunto de qualquer conjunto.

41

14) O espa¸ co Z∞ , ν Consideremos agora o produto cartesiano infinito Z∞ = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · · Os elementos deste conjunto s˜ ao sequências infinitas x = x1 x2 x3 . . . de 0′ s e 1′ s, como por exemplo x =1010101010 . . . y =1110101110 . . . z =0011001100 . . . Sendo σ(x, y) =

N X

n=1

|xn − yn |

uma métrica sobre ZN , poderiamos ser tentados a definir uma métrica sobre Z∞ assim ∞ X |xn − yn | σ(x, y) = n=1

Acontece que neste caso temos uma soma infinita (série) que pode n˜ ao resultar em um valor finito. Uma distˆ ancia é um n´ umero real. Por exemplo, seja x = 111111 . . . e y = 000000 . . ., então x − y = (x1 − y1 ) (x2 − y2 ) (x3 − y3 ) . . . = (1 − 0) (1 − 0) (1 − 0) (1 − 0) . . . = 1 1 1 1 . . . portanto σ(x, y) =

∞ X

n=1

|xn − yn |

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + |x3 − y3 | + · · · = 1 + 1 + 1 + 1 + ··· Esta série n˜ ao converge. Para contornar esta situa¸cão vamos introduzir um “fator de convergência” na série anterior. Para mostrar que a aplica¸cão ν : Z∞ × Z∞ −→ R dada por

∞ X |xn − yn | ν(x, y) = 2n n=1

est´ a bem definida, devemos mostrar que esta série é convergente. 42

Ent˜ ao, observe que para quaisquer x, y em Z∞ vale 0 ≤ |xn − yn | ≤ 1. Dividindo esta dupla desiguladade por 2n , temos 0≤

|xn − yn | 1 ≤ n n 2 2

P P 1 erie ∞ como a série ∞ n=1 n=1 2n converge segue-se que a s´ converge. Sendo assim ν est´ a bem definida. A propósito observe que

|xn −yn | 2n

também

∞ ∞ X |xn − yn | X 1 ≤ ν(x, y) = n n = 1. 2 2 n=1 n=1

Resumindo: 0 ≤ ν(x, y) ≤ 1. Isto é, a distˆ ancia entre duas sequências do espa¸co métrico Z∞ , ν nunca excede a unidade. Dos requisitos para uma métrica vamos mostrar que ν satisfaz a desigualdade triangular: A seguinte desigualdade |xn − yn | ≤ |xn − zn | + |zn − yn | é válida para xn , yn e zn reais (é mais do que necessitamos). Dividindo a desigualdade anterior por 2n , temos |x − z | |z − y | |xn − yn | ≤ n n n + n n n n 2 2 2 por conseguinte ∞ ∞ ∞ X |xn − yn | X |xn − zn | X |zn − yn | ≤ + 2n 2n 2n n=1

n=1

n=1

isto é, ν(x, y) ≤ ν(x, z) + ν(z, y)

Exemplo: Calcule a distˆ ancia entre x = 111111 . . . e y = 010101 . . .. Solu¸ ca õ: x − y = (1 − 0) (1 − 1) (1 − 0) (1 − 1) . . . = 1 0 1 0 1 0 . . . . portanto ν(x, y) =

∞ X |xn − yn | 1 0 1 0 1 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· n 2 2 2 2 2 2 2 n=1

=

1 1 1 1 + + + ··· = 2 2 8 32 1−

1 4

2 = . 3

A proposi¸c˜ ao seguinte assevera que se x e y s˜ ao duas sequências de Z∞ coincidentes nas primeiras j posi¸co˜es, então suas distˆ ancias n˜ ao excede 1j e 2 reciprocamente. 43

Proposi¸ c˜ ao 1. Sejam x e y ∈ Z∞ e suponha xn = yn para n = 1, 2, . . . , j. Ent˜ ao ν(x, y) ≤ 1j . Reciprocamente, se ν(x, y) < 1j ent˜ ao xn = yn para 2 2 n ≤ j. Prova: (⇒) Se xn = yn para n ≤ j, então ν(x, y) =

∞ X |xn − yn | 2n n=1

j ∞ X X |xn − yn | |xn − yn | + = n 2 2n n=1 n=j+1 | {z } =0

≤

∞ X

1 1 1 1 1 n = j+1 + j+2 + j+3 + · · · = j 2 2 2 2 2 n=j+1

(⇐) (Técnica (T-1), ν(x, y) =

p. 570)

Suponha xk 6= yk para algum k ≤ j , então

∞ k X |xn − yn | X |xn − yn | 1 1 ≥ ≥ k ≥ j n n 2 2 2 2 n=1 n=1

Coment´ arios: A primeira das desigualdades acima é sempre válida (´ obvio, pois somar infinitos termos positivos resulta sempre maior ou igual ao resultado da soma de uma quantidade finita destes mesmos termos ). A Pk |xn −yn | é no m´ınimo segunda desigualdade se justifica pois a soma n n=1 2 1 gual a k , pois para o ´ındice k temos xk 6= yk , isto é |xk − yk | = 1. A u ´ltima 2 desigualdade decorre de 1 1 j ≥ k ⇒ 2j ≥ 2k ⇒ j ≤ k 2 2 A importˆ ancia deste resultado é que podemos decidir de imediato quando ou n˜ ao duas sequências em Z∞ est˜ ao pr´ oximas uma da outra. Intuitivamente este resultado diz que duas sequências em Z∞ est˜ ao pr´ oximas se suas “primeiras” entradas coincidem. Para futuras referências, mencionaremos uma generaliza¸cão da desigualdade triangular, para n pontos: d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) (M, d) • x1

• xn • x2

• x3

...

• xn−1

Esta desigualdade pode ser estabelecida por indu¸cão sobre n. 44

(1.14)

A seguinte desigualdade também nos ser´ au ´til futuramente: Proposi¸ c˜ ao 2. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se x, y e z s˜ ao pontos quaisquer em M , ent˜ ao a seguinte desigualdade d(x, y) − d(x, z) ≤ d(y, z)

é verdadeira.

Prova: Da desigualdade triangular temos d(x, y) − d(x, z) ≤ d(z, y)

(1.15)

Por outro lado a mesma desiguldade triangular pode ser expressa como d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) ⇒ d(x, z) − d(x, y) ≤ d(y, z) Combinando (1.15) com esta u ´ltima desigualdade obtemos: d(x, y) − d(x, z) ≤ d(y, z).

1.3

Distˆ ancia entre Ponto e Conjunto

Lembramos − da geometria anal´ıtica − que a distˆ ancia de um ponto p = x0 , y0 a uma reta r : ax + by + c = 0 é dada por y

t

p

dpr

0

⊡

dpr

a x0 + b y 0 + c = √ a2 + b2

r

x

Este é um exemplo de distˆ ancia entre ponto e conjunto. Ainda aqui temos uma situa¸c˜ ao suscet´ıvel de generaliza¸cão no contexto dos espa¸cos métricos. 45

A t´ıtulo de exemplo, consideremos no espa¸co métrico (R, µ), o ponto p = 1 e o conjunto X = [ 3, 5 ]. Veja: q −1

q0

t

q p=1

q2

X

[ 3q

q4

q] 5

R

Desejamos calcular a distˆ ancia de p a X. Inicialmente vamos calcular o seguinte conjunto d( p, x) : x ∈ X

das distˆ ancias de p aos elementos de X. Observe,

q −1

q0

t

q p=1

d( p, x)

q2

[

3q

tx

↔ q

q] 5

R

Ent˜ ao, Temos

d( p, x) : x ∈ X = d(1, x) : x ∈ [ 3, 5 ] = |x − 1| : 3 ≤ x ≤ 5

3 ≤ x ≤ 5 ⇒ 2 ≤ x − 1 ≤ 4 ⇒ |x − 1| ∈ [ 2, 4 ] Portanto

d( p, x) : x ∈ X = [ 2, 4 ]

Este é o conjunto de todas as distˆ ancias poss´ıveis de p aos elementos de X. Vamos tomar como distˆ ancia do ponto p = 1 ao conjunto X, que denotaremos por d(1, X), a menor das distˆ ancias encontradas, isto é: d(1, X) = min d(1, x) : x ∈ X = min [ 2, 4 ] = 2

No gr´ afico fica assim:

q −1

q0

t

q p=1

d(1, X)

q2

[t

3q

X

q4

q] 5

R

Colocamos a seguinte questão: e se tivéssemos tomado o conjunto X aberto ` a esquerda? Isto é, X =] 3, 5 ]. Neste caso ter´ıamos obtido: d( p, x) : x ∈ X = ] 2, 4 ]

E este conjunto das distˆ ancias n˜ ao possui um menor elemento. Para os nossos propósitos isto n˜ ao constitui um problema. 46

Defini¸ c˜ ao 3. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Dados X ⊂ M (X 6= ∅) e p ∈ M , chama-se distˆ ancia de p ao conjunto X, e indica-se por d(p, X), o seguinte n´ umero real n˜ ao negativo: d(p, X) = inf d( p, x) : x ∈ X Observe d( p, X) assim definida existe pelo fato de que o conjunto d( p, x) : x ∈ X

é limitado inferiormente por zero, pois 0 ≤ d( p, x), ∀ x ∈ X.(prop.

146, p. 612)

Em particular, para o questionamento anterior, temos: d 1, ] 3, 5 ] = inf d(x, 1) : x ∈ ] 3, 5 ] = inf |x − 1| : 3 < x ≤ 5 = inf ] 2, 4 ] = 2. q −1

q0

t

q p=1

d(1, X)

q2

3

]

X

q4

q] 5

Exemplos: 1) Seja M = R, p = 0 e seja 1 1 1 1 : n ∈ N = 1, , , , . . . ⊂ R. X= n 2 3 4 • No espa¸co (R, δ), temos

d(p, X) = inf { d(p, x) : x ∈ X } o n 1 = inf δ(0, x) : x ∈ { : n ∈ N } n 1 = inf δ(0, ) : n ∈ N n 1 1 = inf δ(0, 1), δ(0, ), δ(0, ), . . . 2 2 = inf { 1, 1, 1, . . .} = 1.

• No espa¸co (R, µ), temos

d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X n o 1 = inf µ(0, x) : x ∈ { : n ∈ N} n o n 1 = inf 0 − : n ∈ N n n1 o = inf : n ∈ N = 0. n Ver exemplo 2 (p. 610). 47

R

2) Uma Patologia Seja M = [ 0, 1 [, seja X = [ 21 , 1 [ ⊂ M e seja p = 0 ∈ M . Veja, 0

1

s

0

1

1 2

M

X

Temos

(ver subespa¸co, p. 81)

d(0, X) = 1/2,

no espa¸co

[ 0, 1 [, µ

d(0, X) = 0,

no espa¸co

[ 0, 1 [, k

De fato,

d(0, X) = inf d(0, x) : x ∈ X = inf µ(0, x) : x ∈ X }

1 1 ,1 = = inf |x − 0| : x ∈ 2 2

Por outro lado,

d(0, X) = inf d(0, x) : x ∈ X

1 = inf k(0, x) : x ∈ ,1 2

Temos

(ver equa¸ca õ (1.2), p. 18)

1 1 1 ≤x <1 ⇒ 0<1−x≤ ⇒ k(0, x) = 1 − x ∈ 0, 2 2 2

Portanto,

1 1 ,1 = inf 0, = 0. d(0, X) = inf k(0, x) : x ∈ 2 2

Olhando para a figura abaixo s

0

1

1 2

X

fica dif´ıcil de “engolir” que a distˆ ancia do ponto 0 ao conjunto X seja nula. Ainda bem que os fil´ osofos existem para às vezes nos trazer algum conforto. (Voltaire, p. 17; Bachelard, p. 16)

48

3) Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario, X = 21 , 1 × 21 , 1 ; e p = (0, 0) ∈ M . Vamos mostrar que, √ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, D1 d(0, X) = 2/2, no espa¸co d(0, X) = 1, no espa¸co [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, D2 1

1

←− X ¬ 1 2

¬

1 2

0

s

1

p=0

1

De fato, d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D1 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ X np o 1 (x − 0)2 + (y − 0)2 : ≤ x, y < 1 = inf 2

para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ´ınfimo da fun¸cão, F (x, y) = Então,

p

x2 + y 2 , para

1 1 ≤x<1 ⇒ ≤ x2 < 1 2 4

1 ≤ x, y < 1. 2

1 1 ≤y<1 ⇒ ≤ y 2 < 1, 2 4

e

portanto, 1 ≤ x2 + y 2 < 2 ⇒ 2 Conclusão: se

portanto,

1 2

√

√ 2 p 2 ≤ x + y2 < 2 2

≤ x, y < 1 implica que

h p F (x, y) = x2 + y 2 ∈

√

2 √ h , 2 2

1 ≤ x, y < 1 2 h √2 √ h √2 , 2 = = inf 2 2

d(p, X) = inf

p

x2 + y 2 :

49

Por outro lado, d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D2 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ X n o 1 = inf |x − 0| + |y − 0| : ≤ x, y < 1 2

para encontrar d(p, X) vamos encontrar o ´ınfimo da fun¸cão, F (x, y) = |x| + |y| , para

1 ≤ x, y < 1. 2

Ent˜ ao, 1 ≤x<1 2

e

1 ≤y <1 ⇒ 1≤x+y <2 2

portanto, d(p, X) = inf [ 1, 2 [= 1. Proposi¸ c˜ ao 3. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se X ⊂ M (X 6= ∅) e p, q s˜ ao pontos fixados em M , tem-se d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q)

Prova: Tomemos y ∈ X arbitrário. Temos d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X ≤ d(p, y), uma vez que d(p, y) é um elemento do conjunto d(p, x) : x ∈ X . Portanto d(p, X) ≤ d(p, y) ≤ d(p, q) + d(q, y)

logo, d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, y). Como esta desigualdade vale para y ∈ X arbitrário, segue que a constante (n´ umero real) d(p, X) − d(p, q) é uma cota inferior do conjunto d(q, x) : x ∈ X como

inf d(q, x) : x ∈ X = d(q, X)

é a maior de tais cotas, segue que

d(p, X) − d(p, q) ≤ d(q, X) Esta desigualdade continua válida permutando-se p e q: d(q, X) − d(q, p) ≤ d(p, X) 50

Destas desigualdades decorrem, respectivamente, d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q) −d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X) donde −d(p, q) ≤ d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q) isto é,

d(p, X) − d(q, X) ≤ d(p, q)

O pr´ oximo ´ıtem generaliza o anterior (Distância entre ponto e conjunto).

1.4

Distˆ ancia entre conjuntos

A t´ıtulo de exemplo, consideremos no espa¸co métrico (R, µ) os conjuntos X = [ 1, 3 ] e Y = ] 5, 7 ]. Veja:

q −1

q0

[

q 1

X

q] 3

q2

q4

Y

q] 5

q6

q] 7

q8

R

Desejamos calcular a distˆ ancia de X a Y . Inicialmente vamos calcular o seguinte conjunto d( x, y) : x ∈ X e y ∈ Y

das distˆ ancias dos pontos de X aos pontos de Y . Observe,

q −1

q0

[

q 1

tx q ↔ q] 3

d(x, y)

q4

]

5q

ty

↔ q

q] 7

q8

R

Ent˜ ao,

d( x, y) : x ∈ X e y ∈ Y

Temos

= d( x, y) : x ∈ [ 1, 3 ] e y ∈ ] 5, 7 ] = |x − y| : 1 ≤ x ≤ 3 e 5 < y ≤ 7

1 ≤ x ≤ 3 e 5 < y ≤ 7 ⇒ |x − y| ∈ ] 2, 6 ] Portanto

d( x, y) : x ∈ X e y ∈ Y

= ] 2, 6 ]

Este é o conjunto de todas as distˆ ancias poss´ıveis entre os elementos de ambos os conjuntos. 51

Vamos tomar como distˆ ancia entre os conjuntos X e Y , que denotaremos por D(X, Y ), a “menor” das distˆ ancias encontradas, isto é: D(X, Y ) = inf d( x, y) : x ∈ X e y ∈ Y = inf ] 2, 6 ] = 2

No gr´ afico fica assim: D(X, Y )

q −1

q0

[

q 1

X

q] 3

q2

Y

q] 5

q4

q6

q] 7

q8

R

Defini¸ c˜ ao 4. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Dados dois subconjuntos X e Y do conjunto M , ambos n˜ ao vazios, chama-se distˆ ancia de X a Y , e indica-se por D(X, Y ), o n´ umero real obtido da seguinte forma: D(X, Y ) = inf d( x, y) : x ∈ X e y ∈ Y

Alternativamente podemos escrever

D(X, Y ) = inf d(x, y) : (x, y) ∈ X × Y

Exemplos: 1) No conjunto Z4 , sejam X, Y ⊂ Z4 dados por

X = 0001, 0100, 1100 Y = 0101, 0011

No espa¸co métrico Z4 , σ temos o seguinte diagrama de distˆ ancias Y

0011

1

3

4

0101

1

1

2

0001

0100

1100

X

portanto, D(X, Y ) = inf σ(x, y) : (x, y) ∈ X × Y = inf { 1, 2, 3, 4 } = 1. 52

isto é

D {0001, 0100, 1100}; {0101, 0011} = 1. 1 :n∈N . 2) Seja M = R; sejam X = { 0 } e Y = n s ⊢ 0

rrrrr r r r

...

1 4

r

1 3

r

r

1 2

1

R

• No espa¸co métrico ( R, δ), temos 1 D(X, Y ) = inf δ(x, y) : x ∈ { 0 } e y ∈ :n∈N n 1 1 = inf δ(0, 1), δ 0, , δ 0, ,... 2 3 = inf { 1, 1, 1, . . .} = 1.

Portanto, 1 : n ∈ N = 1. D { 0 }; n

• No espa¸co métrico ( R, µ), temos 1 D(X, Y ) = inf |x − y| : x ∈ { 0 } e y ∈ :n∈N n 1 = inf 0 − : n ∈ N n 1 = inf : n = 1, 2, . . . = 0. n Observe que X ∩ Y = ∅ e, no entanto, D(X, Y ) = 0.

1.5

Conjuntos limitados − Diˆ ametro

Defini¸ c˜ ao 5 (Conjunto limitado). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X um subconjunto de M . Se existir uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para quaisquer x e y em X, dizemos que X é um conjunto limitado no espa¸co métrico (M, d). Exemplos: 1) R é limitado no espa¸co métrico (R, δ), pois δ(x, y) ≤ 1, ∀x, y ∈ R. 2) R n˜ ao é limitado no espa¸co métrico (R, µ), pois n˜ ao existe uma constante c > 0 de modo que, por exemplo, |x − 0| ≤ c, ∀ x ∈ R. 53

N 3) O conjunto Z das sequências de comprimento N é limitado no espa¸co N métrico Z , σ , pois duas sequências quaisquer, neste conjunto, diferem em, no m´ aximo, N posi¸cões:

∀ x, y ∈ ZN .

σ(x, y) ≤ N,

A propósito as sequências x = 0 0 0 . . . 0 e y = 1 1 1 . . . 1 diferem em N posi¸c˜ oes. 4) O conjunto ZN é limitado no espa¸co métrico ZN , ρ , pois (p. 77) ρ(x, y) ≤ 2N − 1, ∀ x, y ∈ ZN

5) O conjunto Z∞ das sequências de comprimento infinito, é limitado no espa¸co métrico (Z∞ , ν), pois (p. 43) ν(x, y) ≤ 1, ∀ x, y ∈ Z∞ Se existir uma tal constante c > 0 de modo que d(x, y) ≤ c para quaisquer x e y em X ent˜ ao o conjunto d(x, y) : x, y ∈ X é limitado superiormente e o seu supremo chama-se diˆ ametro de X e é denotado por diam (X). Sendo assim: diam (X) = sup d(x, y) : x, y ∈ X Alternativamente podemos escrever diam (X) = sup d(x, y) : (x, y) ∈ X × X

Se o conjunto X n˜ ao é limitado colocamos diam(X) = ∞, por defini¸cão.

Exemplos: 1) Seja M = R = X. No espa¸co métrico (R, δ) o diˆ ametro de R fica: diam(R) = sup δ(x, y) : x, y ∈ R = sup { 0, 1 } = 1.

2) Seja M = [ 0, 1 [, temos:

De fato, Ent˜ ao,

diam(M ) = 1,

no espa¸co

[ 0, 1 [, µ

diam(M ) = 1/2,

no espa¸co

[ 0, 1 [, k

diam (M ) = sup |x − y| : (x, y) ∈ [ 0, 1 [×[ 0, 1 [ 0 ≤ x, y < 1 ⇒ 0 ≤ |x − y| < 1

Portanto, diam (M ) = sup [ 0, 1 [ = 1. 54

Por outro lado, diam (M ) = sup k(x, y) : (x, y) ∈ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

Observe que,

  |x − y|, k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| =  1 − |x − y|,

Então, se

Caso contr´ ario

1 1 ≤ |x − y| < 1 ⇒ 0 < 1 − |x − y| ≤ 2 2

|x − y| ≥ 1/2 ⇒

Portanto

se |x − y| ≥ 12 .

1 1 ⇒ k(x, y) = |x − y| ∈ 0, 2 2

|x − y| ≤

sendo assim

se |x − y| ≤ 12 ;

1 k(x, y) = 1 − |x − y| ∈ 0, 2

diam (M ) = sup

k(x, y) : (x, y) ∈ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

3) No espa¸co (Z∞ , ν) temos

=

1 2

0 ≤ ν(x, y) ≤ 1 ⇒ ν(x, y) ∈ [ 0, 1 ]. Portanto, diam (Z∞ ) = sup { ν(x, y) : (x, y) ∈ Z∞ × Z∞ } = sup [ 0, 1 ] = max [ 0, 1 ] = 1.

4) No espa¸co ZN , σ temos que

σ(x, y) ∈

Portanto

0, 1, 2, . . . , N

diam ZN = sup σ(x, y) : (x, y) ∈ ZN × ZN

= sup { 0, 1, 2, . . . , N } = max { 0, 1, 2, . . . , N } = N. Por exemplo, diam Z4 = 4, corresponde à distˆ ancia entre os códigos 0 0 0 0 e 1 1 1 1. 5) No espa¸co ZN , ρ temos que ρ(x, y) ∈ 0, 1, 2, . . . , 2N − 1 55

Portanto, diam ZN = sup ρ(x, y) : (x, y) ∈ ZN × ZN = sup 0, 1, 2, . . . , 2N − 1 = 2N − 1. Por exemplo, diam Z4 = 24 − 1 = 15, corresponde à distˆ ancia entre os c´ odigos 0 0 0 0 e 1 1 1 1. 6) Diˆ ametro do disco unit´ ario. Vamos calcular o diˆ ametro do seguinte conjunto R

x2

1

D

D=

x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1

no espa¸co métrico R2 , D1 .

x1 −1

1

R

−1

Seja p = (0, 0) e sejam x = (x1 , x2 ) ∈ D e y = (y1 , y2 ) ∈ D arbitrários. Temos D1 (x, y) ≤ D1 (x, p) + D1 (p, y) ≤ 2 porquanto p D1 (x, p) = D1 (x1 , x2 ), (0, 0) = (x1 − 0)2 + (x2 − 0)2 ≤ 1 p D1 (p, y) = D1 (0, 0), (y1 , y2 ) = (0 − y1 )2 + (0 − y2 )2 ≤ 1

Pois bem, 2 é uma cota superior do conjunto {D1 (x, y) : x, y ∈ D} = K. Para mostrar que 2 = sup K é suficiente, consoante o lema 10 (⇐) p. 606, para todo ε > 0 dado exibir x, y ∈ D tais que: 2 − ε < D1 (x, y). Consideremos duas possibilidades: 1a ) ε ≥ 2, isto é, 2 − ε ≤ 0. Neste caso quaisquer x e y em D nos serve uma vez que D1 (x, y) > 0. 2a ) 0 < ε < 2. Neste caso temos 2 − ε > 0, pela propriedade arquimediana 2−ε (p. 612) existe n = nε ∈ N de modo que n > ε . Vamos mostrar que, para este n, os pontos n n ,0 e y= − ,0 n+1 n+1

x=

satisfazem as duas seguintes exigências: a) x, y ∈ D, porquanto ±

n 2 + 02 ≤ 1 ⇐⇒ n ≤ n + 1 n+1 56

b) 2 − ε < D1 (x, y), porquanto r 2 n n D1 (x, y) = − − + (0 − 0)2 = n+1 n+1

2n n+1

e

2−ε 2n > 2 − ε ⇐⇒ n > n+1 ε

Esta u ´ltima desigualdade é verdadeira porque assim escolhemos, a priori, o valor de n. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que √ diam(D) = 2 2, na métrica D2 , diam(D) = 2,

na métrica D3 .

E mais: os pontos x, y cujas distˆ ancias proporcionam o diˆ ametro, em cada caso, s˜ ao extremidades das cordas nas figuras a seguir:

Ou seja: Na métrica euclidiana a equa¸cão D1 (x, y) = diam(D) é satisfeita por quaisquer pontos x, y extremos das cordas que passam pelo centro do disco. Na métrica D2 a equa¸cão D2 (x, y) = diam(D) é satisfeita apenas pelos pontos x, y extremos das cordas que passam pelo centro segundo os ângulos de 45◦ e 135◦ . Na métrica D3 a equa¸cão D3 (x, y) = diam(D) é satisfeita apenas pelos pontos x, y extremos das cordas que passam pelo centro segundo os ˆ angulos de 0◦ e 90◦ . No caso da métrica D2 o diˆ ametro de D é como na figura a seguir: √

√ 2 , 22 2

−

√ 2 ,− 22 2

√

√

√

√

√

diam(D) = D2 ( 22 , 22 );(− 22 ,− 22 ) √ √ √ √ = 22 −(− 22 ) + 22 −(− 22 ) √ = 2 2.

∗

∗

∗ Dogmas s˜ ao pris˜ oes, um esp´ırito que queira realizar belas obras, que tamb´ em queira os meios necess´ arios, tem de ser c´ etico.

Estar livre de toda forma de

cren¸ca pertence ` a for¸ca, ao poder de ver sem algemas.

57

(Nietzsche)

1.6

Exerc´ıcios

1) Quais das fun¸c˜ oes dadas a seguir s˜ ao métricas sobre R? a ) d(x, y) = |x + y|

b ) d(x, y) = |x| + |y| c ) d(x, y) = |x| − |y|

d ) d(x, y) = (x − y)2 e ) d(x, y) = 2 |x − y|

2) Quais das fun¸c˜ oes dadas a seguir s˜ ao métricas sobre R2 ? a ) d(x, y) = |x1 − y1 | b ) d(x, y) = 2 |x1 − y1 | + |x2 − y2 |

c ) d(x, y) = |x1 + y1 | + |x2 + y2 | d ) d(x, y) = |x1 − y1 | − |x2 − y2 | e ) d(x, y) = min |x1 − y1 |, |x2 − y2 | Onde, x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ). 3) Resolva, no intervalo [ 0, 1 [, as seguintes rela¸cões: a ) k(x, 0) < 14 b ) k(x, 0) = c ) k(x, 0) < d ) k(x, 41 ) < e ) k(x, 43 ) <

1 2 3 4 1 4 3 8

Fa¸ca um esbo¸co geométrico de cada uma das solu¸cões. 4) No Bhagavad Gita∗ est´ a escrito: “Est´ a dentro e fora de todos os seres; é movente e também imovente; é t˜ ao sutil que é impercept´ıvel; est´ a perto e ao mesmo tempo distante.” (Bhagavad Gita-XIII-16) Utilize as métricas µ e k para justificar essa u ´ltima afirmativa. (p. 19) 5) Em que condi¸c˜ oes a três métricas do R2 fornecem a mesma distˆ ancia? Isto é, resolva as equa¸co˜es: D1 (x, y) = D2 (x, y) = D3 (x, y) ∗

∗

∗

Na geometria a circunferência é definida como o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes de um ponto dado do mesmo plano. O ponto dado recebe o nome de centro da circunferência, e a distˆ ancia comum de todos os pontos do lugar ao centro é denominado raio. ∗

Escritura do hindu´ısmo.

58

6) Encontre, e esboce, a circunferência de centro na origem e raio 1 em cada uma das métricas do R2 . Isto é, fa¸ca um esbo¸co do conjunto de pontos: C (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : Di (x, y), (0, 0) = 1

para i = 1, 2, 3. Sugest˜ ao: No caso da métrica D3 poder´ a ser u ´til a seguinte equa¸cão: max{a, b} =

a + b + |a − b| 2

válida para a e b reais, como é fácil provar. A t´ıtulo de curiosidade observe que |x| + |y| + |x| − |y| = 2 é uma equa¸cão cartesiana (euclidiana) para o quadrado de lado 2. Fa¸ca um esbo¸co geométrico dessa equa¸cão. ao 7) Prove que cada uma das circunferências obtidas no exerc´ıcio anterior n˜ é uma circunferência em cada uma das outras duas métricas. 8) Encontre a circunferência de centro em p = 1 1 1 1 e raio r = 3 em cada um dos espa¸cos métricos (Z4 , σ), (Z4 , ρ) e (Z4 , τ ). 9) Encontre a circunferência de centro em p = 0 e raio r = [ 0, 1 [, k .

10) Encontre a circunferência de centro em p = [ 0, 1 [, k .

1 4

e raio r =

3 4

no espa¸co

1 5

no espa¸co

11) (CESCEM - 71) Define-se a distˆ ancia entre duas matrizes A = ( aij ) e B = ( bij ) quadradas e de mesma ordem n pela fórmula: d(A, B) = max |aij − bij |,

i, j = 1, 2, 3, . . . , n.

Assim a distˆ ancia entre as matrizes a) − 5

b) − 3

1 2 3 4

c)0

e

d)3

12) Os livros texto apresentam a seguinte fórmula 1/2  n m X X (aij − bij )2  d(A, B) = 

5 7 6 8

é : e)5

i=1 j=1

para o c´ alculo da distˆ ancia entre as matrizes A = ( aij ) e B = ( bij ), retangulares de ordem m × n. Esta equa¸cão é conhecida como distˆ ancia euclidiana. Calcule a distˆ ancia entre as matrizes 2 1 3 0 2 1 A= e B= 3 0 2 3 4 5 59

13) Mostre que a fórmula dada no exerc´ıcio anterior conduz ao mesmo resultado que a fórmula (1.7) (p. 25), obtida a partir do nosso artif´ıcio. 14) A equa¸c˜ ao (1.10) (p. 25) nos permite transferir uma matriz para um vetor, conforme exemplificado. A aplica¸cão definida abaixo, f : N × { 1, 2, . . . , N } ( i, j )

N N (i−1)+j

onde N é um natural arbitrariamente fixado, é invers´ıvel. Mostre que sua inversa é dada por f −1 : N n

com i e j dados por

N × { 1, 2, . . . , N }

( i, j )

  i = n−1 +1 N  j = n − N n−1 N

15) Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões

f, g : [ −1, 1 ] −→ R dadas por f (x) = |x| e g(x) = x2 , nos espa¸cos C[a, b], Γ e C[a, b], Υ . Em cada caso fa¸ca um esbo¸co geométrico das respectivas distˆ ancias. 16) Calcule a distˆ ancia entre as fun¸cões f, g : [ 0, 2π ] −→ R dadas por f (x) = sin x e g(x) = cos x, nos espa¸cos C[a, b], Γ e C[a, b], Υ . Em cada caso fa¸ca um esbo¸co geométrico das respectivas distˆ ancias. 17) Consultando a Tabela ASCII (p. 34) calcule as seguintes distˆ ancias entre os caracteres do teclado de um computador: a ) σ(A, D), σ(>, +), σ(#, %). b ) ρ(A, D), c ) τ (A, D),

ρ(>, +), τ (>, +),

ρ(#, %). τ (#, %).

18) Encontre a maior distˆ ancia que cada uma das métricas σ, ρ e τ pode 4 assumir em Z . 19) Encontre a maior distˆ ancia que cada uma das métricas σ, ρ e τ pode N assumir em Z . 20) Prove que a equa¸c˜ ao (1.13)

(p. 39)

de fato gera os códigos em ZN .

60

21) Considere M = R, calcule: a ) d(p, Q), ∀ p ∈ R, no espa¸co (R, µ); b ) d(p, Q), ∀ p ∈ R, no espa¸co (R, δ).

22) Considere em R a métrica usual. Justifique as seguintes desigualdades: 0 ≤ d(p, Z) ≤

1 , ∀ p ∈ R. 2

23) Seja M = [ 0, 1 [, seja X = [ 23 , 1 [ ⊂ M e seja p = 0 ∈ M . 0

1

s

0

1

2 3

M

X

Prove que d(0, X) = 2/3,

no espa¸co

[ 0, 1 [, µ

d(0, X) = 0,

no espa¸co

[ 0, 1 [, k

24) O resultado d(0, X) = 0, no exerc´ıcio anterior, implica em que arbitrariamente pr´ oximo da origem podemos encontrar um ponto do conjunto X = [ 23 , 1 [. (ver lema 11, p. 609) Para todo ε > 0 arbitrariamente fixado encontre x ∈ X satisfazendo k(x, 0) < ε. 25) Seja M = R2 , X = { (x, y) ∈ R2 : 3x + 4y − 12 = 0 } e p = (5, 4). Calcule, pela defini¸c˜ ao, a distˆ ancia do ponto p ao conjunto X, nas três métricas do R2 . Ademais, determine, em cada caso, o ponto q de X para o qual a distˆ ancia se verifica. Fa¸ca um esbo¸co geométrico. y

sp = (5, 4)

p

4 X

p

3

p

2

p

1

0

p1

p2

p3

61

p4

p5

p6

x

26) Considere M = R, calcule: a ) D(Q, R − Q), no espa¸co (R, µ); b ) D(Q, R − Q), no espa¸co (R, δ).

27) Seja M = [ 0, 1 [, considere X = [ 0,

1 3

] e Y = [ 32 , 1 [.

0

0

1

X

1 3

2 3

Y

M

1

Prove que D(X, Y ) = 1/3,

no espa¸co

[ 0, 1 [, µ

D(X, Y ) = 0,

no espa¸co

[ 0, 1 [, k

28) Com rela¸c˜ ao ao exerc´ıcio anterior, para todo ε > 0 arbitrariamente fixado encontre y ∈ Y satisfazendo d(y, X) < ε. (m´ etrica k) 29) Calcule o diˆ ametro do quadrado unit´ ario [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] para cada uma das métricas do R2 . Indique, em cada caso, dois pontos do quadrado cuja distˆ ancia (entre esses pontos) seja o diˆ ametro. 30) Considere D o disco unit´ ario do exemplo dado à p´ agina 56, mostre que √ diam(D) = 2 2, na métrica D2 , diam(D) = 2,

na métrica D3 .

31) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Mostre que também s˜ ao métricas sobre M as fun¸c˜ oes definidas assim: a ) d1 (x, y) = min{ 1, d(x, y) }; b ) d2 (x, y) = c ) d3 (x, y) =

p

d(x, y);

d(x, y) . 1 + d(x, y)

32) Considere o espa¸co (R, µ). A partir deste obtemos o espa¸co (R, d3 ), onde |x − y| d(x, y) = d3 (x, y) = 1 + d(x, y) 1 + |x − y| Mostre que em rela¸c˜ ao a essa métrica o diˆ ametro de R é igual a 1. 33) Seja f : R −→ R uma fun¸cão estritamente crescente; defina d : R×R −→ R por d(x, y) = |f (x) − f (y)|, prove que d é uma métrica sobre R. 62

34) Mostre que é uma métrica sobre ZN a fun¸cão dada por

τ ′ (x, y) =

    

1 , se x 6= y; min i : xi 6= yi

0,

se x 6= y.

35) Seja M = { ai : i ∈ N } um conjunto enumerável tal que, i 6= j implica ai 6= aj . Prove que d : M × M −→ R dada por  1 1  + , se i 6= j;  i+1 j+1 d(ai , aj ) =   0, se i = j.

é uma métrica sobre M .

36) Seja M = { 0, 2, 4, 6, 8, . . . } o conjunto dos pares. Mostre que d(2, 4) ≤ d(2, 0) + d(0, 4) para a métrica do exerc´ıcio anterior. 37) Mostre que a fórmula para gerar os códigos bin´ arios também pode ser escrita assim: (eq. (1.13), p. 39)

xij =

   1,   0,

i−1 j−1 2

se

i−1 j−1 2

se

Estamos assumindo que  m!   m n! (m − n)! =  n  0

é ´ımpar; é par.

, se m ≥ n; , se m < n.

n! 38) A conhecida fórmula da an´ alise combinat´ oria nr = r! (n−r)! nos fornece o n´ umero de combina¸c˜ oes dos n elementos de um conjunto, tomados r a r. Mas esta fórmula n˜ ao nos fornece as tais combina¸cões. Prove que a fórmula (1.13) serve a esse propósito.

(p. 39)

Sugest˜ ao: Para n = 4, por exemplo, na tabela da p´ agina 36, convencione que onde ocorre 1 o elemento entra na combina¸cão e que onde ocorre 0, n˜ ao entra. A prova dever´ a ser feita para n arbitrário. 63

Apˆ endice: Demonstra¸c˜ oes 1. Vamos provar que [ 0, 1 [, k é um espa¸co métrico.

(p. 17)

Teorema 1 (Métrica Quˆ antica). A aplica¸ca õ, k : [ 0, 1 [ ×[ 0, 1 [−→ R

definida por

k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y|

é uma métrica sobre M = [ 0, 1 [.

Prova: (M1 ) k(x, y) ≥ 0 e k(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ; Temos  0≤x<1 0≤y<1

⇒

  0≤x<1

−1 < −y ≤ 0

⇒ −1 < x−y < 1 ⇒ |x−y| < 1.

Sendo assim mostramos que k(x, y) ≥ 0. Agora suponhamos, k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| = 0

J´ a vimos que |x−y| < 1, isto é, 1−|x−y| > 0. Então se k(x, y) = 0 s´ o pode ser porque |x − y| = 0, isto é, x = y. Reciprocamente, se x = y, resulta, k(x, y) = min |x − y|, 1 − |x − y| = min |0|, 1 − |0| = 0.

(M2 ) k(x, y) = k(y, x) ; Temos

k(x, y) = min |x−y|, 1−|x−y| = min |y−x|, 1−|y−x| = k(y, x).

(M3 ) k(x, y) ≤ k(x, z) + k(z, y).

Devemos mostrar que k(x, y) ≤ k(x, z) + k(z, y). Isto é, min |x − y|, 1 − |x − y| ≤ min |x − z|, 1 − |x − z| + min |z − y|, 1 − |z − y|

(1.16)

Vamos separar o nosso problema em oito possibilidades, conforme tabela a seguir, 64

Temos: k(x, y)

k(x,z)

k(z,y)

|x−y|

|x−z|

|z−y|

(P1)

|x−y| ≤ 1−|x−y| ⇔ |x−y| ≤

1 2

1−|x−y|

|x−z|

|z−y|

(P2)

1−|x−y| ≤ |x−y| ⇔ |x−y| ≥

1 2

|x−y|

1−|x−z|

|z−y|

(P3)

1−|x−y|

1−|x−z|

|z−y|

(P4)

|x−z| ≤ 1−|x−z| ⇔ |x−z| ≤

1 2

|x−y|

|x−z|

1−|z−y|

(P5)

1−|x−z| ≤ |x−z| ⇔ |x−z| ≥

1 2

1−|x−y|

|x−z|

1−|z−y|

(P6)

|x−y|

1−|x−z|

1−|z−y|

(P7)

|z−y| ≤ 1−|z−y| ⇔ |z−y| ≤

1 2

1−|x−y|

1−|x−z|

1−|z−y|

(P8)

1−|z−y| ≤ |z−y| ⇔ |z−y| ≥

1 2

Ent˜ ao: (P1) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| a qual é trivialmente satisfeita por tratar-se da desigualdade triangular para n´ umeros reais. (P2) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |x − z| + |z − y| ≥ 1 Observe que na possibilidade (P2) se verifica |x − y| ≥

(1.17) 1 2

(∗).

Inicialmente vamos mostrar que n˜ ao podemos ter |x − z| + |z − y| <

1 2

De fato, se isto fosse poss´ıvel teriamos (utilizando a desigualdade triangular) 1 |x − y| ≤ |x − z| + |z − y| < 2 contradizendo (∗). Sendo assim s´ o pode ser |x − z| + |z − y| ≥ juntamente com (∗), nos fornece a desigualdade (1.17). (P3) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a |x − y| ≤ 1 − |x − z| + |z − y| 65

1 2

o que,

Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |x − z| − |z − y| ≤ 1

(1.18)

Pois bem, pela desigualdade triangular podemos escrever |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| ⇐⇒ |x − z| − |z − y| ≤ |x − y| somando |x − y| a ambos os membros desta u ´ltima desigualdade, obtemos |x−y|+|x−z|−|z−y| ≤ |x−y|+|x−y| ⇐⇒ |x−y|+|x−z|−|z−y| ≤ 2|x−y| ≤ 1. Na u ´ltima desigualdade usamos o fato de que na possibilidade (P3) se verifica |x − y| ≤ 12 . (P4) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ 1 − |x − z| + |z − y| Esta desigualdade é equivalente à seguinte |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| a qual é sempre verdadeira por tratar-se da desigualdade triangular para n´ umeros reais. (P5) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a |x − y| ≤ |x − z| + 1 − |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |z − y| − |x − z| ≤ 1

(1.19)

Pois bem, pela desigualdade triangular podemos escrever |z − y| ≤ |z − x| + |x − y| ⇐⇒ |z − y| − |x − z| ≤ |x − y| somando |x − y| a ambos os membros desta u ´ltima desigualdade, obtemos |x−y|+|z−y|−|x−z| ≤ |x−y|+|x−y| ⇐⇒ |x−y|+|z−y|−|x−z| ≤ 2|x−y| ≤ 1. Na u ´ltima desigualdade usamos o fato de que na possibilidade (P5) se verifica |x − y| ≤ 21 . (P6) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a 1 − |x − y| ≤ |x − z| + 1 − |z − y| 66

Esta desigualdade é equivalente à seguinte |z − y| ≤ |z − x| + |x − y| a qual é sempre verdadeira por tratar-se da desigualdade triangular para n´ umeros reais. (P7) Neste caso a desigualdade (1.16) reduz-se a |x − y| ≤ 1 − |x − z| + 1 − |z − y| Vamos mostrar a desigualdade equivalente |x − y| + |x − z| + |z − y| ≤ 2

(1.20)

Na possibilidade (P7) se verifica: (i) |x − y| ≤

1 2

(ii) |x − z| ≥

1 2

1 (iii) |z − y| ≥ . 2

Se dividirmos o intervalo [ 0, 1 [ ao meio; por (ii) vemos que x e z n˜ ao podem figurar na mesma metade do intervalo∗ . Por (iii) acontece o mesmo com respeito a z e y. Devemos ter a seguinte configura¸cão: ⊢

0

t

y

t

x

t

z

⊢

1 2

1

A partir de (1.20) podemos escrever f (x, y, z) = |x−y|+|x−z|+|z−y|. Vamos mostrar que o maior valor que esta fun¸cão pode assumir n˜ ao excede 2. Tendo em conta a figura anterior temos que, |x − y| = x − y,

|x − z| = z − x,

|z − y| = z − y

Não faz mal supor x ` a direita de y. Logo, f (x, y, z) = 2(z − y), então, ( 0 ≤ y ≤ 12 1 ⇒ − ≤ −y ≤ 0 ⇒ 0 ≤ z−y < 1 ⇒ 0 ≤ 2(z−y) < 2. 1 2 ≤z<1 2

Daqui inferimos que f (x, y, z) = |x − y| + |x − z| + |z − y| = 2(z − y) < 2, donde concluimos que a desigualdade (1.20) ser´ a sempre verdadeira. (P8) Neste caso a desigualdade triangular k(x, y) ≤ k(x, z) + k(z, y) estar´ a satisfeita por vacuidade ; o que significa que ela jamais poder´ a ser contraditada. Com efeito, nunca encontraremos três pontos x, y e z, no intervalo [ 0, 1 [, satisfazendo simultˆ aneamente: (i) |x − y| ≥

1 2

(ii) |x − z| ≥

1 2

(iii) |z − y| ≥

1 . 2

∗

Exceto nos casos triviais x = y = 0 e z = 1/2, ou z = 0 e x = y = 1/2.

67

2. Rn , D1 é um espa¸co métrico. Vamos mostrar que

p D1 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 ,

é uma métrica sobre Rn . (M1 ) : Claramente D1 (x, y) ≥ 0. Também D1 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = 0, ⇔ p (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = 0, ⇔ (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 = 0, ⇔

(xi − yi )2 = 0 (1 ≤ i ≤ n),

⇔

xi = yi (1 ≤ i ≤ n), ⇔ (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ). (M2 ) : p D1 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 p = (y1 − x1 )2 + · · · + (yn − xn )2 = D1 (y1 , . . . , yn ); (x1 , . . . , xn )

(M3 ) : Para demonstrar a desigualdade triangular devemos, antes, estabelecer a desigualdade de Cauchy-Schwarz no Rn cujo enunciado é o seguinte: Se x1 , . . . , xn e y1 , . . . , yn s˜ ao n´ umeros reais arbitrários, então !1/2 !1/2 n n n X X X x y ≤ (1.21) y2 · x2 i

i=1

i

i

i

i=1

i=1

De fato, consideremos a desigualdade

(r − s)2 = r 2 − 2rs + s2 ≥ 0 ⇔ 2rs ≤ r 2 + s2 , válida para quaisquer r, s ∈ R. Sendo assim, se fizermos q q p = x21 + · · · + x2n e q = y12 + · · · + yn2 s˜ ao verdadeiras as desigualdades 2·

x2 y 2 |xi | |yi | · ≤ 2i + i2 p q p q 68

(1 ≤ i ≤ n)

Somando em rela¸c˜ ao ao ´ındice i teremos 2 X |xi yi | ≤ 1 + 1 p·q

logo

X

q q 2 2 |xi yi | ≤ p · q = x1 + · · · + xn · y12 + · · · + yn2

que é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Agora estamos habilitados triangular. a demonstrar a desigualdade Sejam x = x1 , . . . , xn , y = y1 , . . . , yn e z = z1 , . . . , zn pontos do Rn . Ent˜ ao: n n h i 2 2 X 2 X xi − zi + zi − yi xi − y i = D1 x, y = i=1

i=1

=

n X i=1

≤ +

n X i=1

n X i=1

xi − zi xi − zi zi − yi

2

+2

2

+2

n X i=1

n hX i=1

xi − zi

xi − zi

zi − yi + 2 i1/2

·

n X i=1

n hX i=1

zi − yi

zi − yi

2

v v 2 u n u n uX 2 uX 2  =t xi − zi + t zi − yi i=1

i=1

2 = D1 (x, z) + D1 (z, y)

Por conseguinte: D1 (x, y) ≤ D1 (x, z) + D1 (z, y). 3. Rn , D2 é um espa¸co métrico. Vamos mostrar que D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | é uma métrica sobre Rn .

(M1 ) : Claramente D2 (x, y) ≥ 0. Também D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = 0, ⇔ |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | = 0, ⇔

|x1 − y1 | = 0, . . . , |xn − yn | = 0, ⇔ |xi − yi | = 0 (1 ≤ i ≤ n), ⇔ xi = yi (1 ≤ i ≤ n), ⇔ (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ). 69

2

2 i1/2

(M2 ) : D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | = |y1 − x1 | + · · · + |yn − xn |

= D2 (y1 , . . . , yn ); (x1 , . . . , xn ) (M3 ) : Sejam x = x1 , . . . , xn , y = y1 , . . . , yn e z = z1 , . . . , zn pontos do Rn . Devemos mostrar que D2 x, y ≤ D2 x, z + D2 z, y Ou ainda

|x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | ≤ |x1 − z1 | + · · · + |xn − zn | + |z1 − y1 | + · · · + |zn − yn | Temos x1 − y1 = x1 − z1 + z1 − y1

.............................. xn − yn = xn − zn + zn − yn destas igualdades decorrem |x1 − y1 | ≤ |x1 − z1 | + |z1 − y1 |

..............................

|xn − yn | ≤ |xn − zn | + |zn − yn | Somando estas n desigualdades decorre o resultado desejado. Por conseguinte: D2 (x, y) ≤ D2 (x, z) + D2 (z, y). 4. Rn , D3 é um espa¸co métrico. Vamos mostrar que D3 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | é uma métrica sobre Rn .

(M1 ) : Claramente D3 (x, y) ≥ 0. Também D3 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = 0, ⇔ max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | = 0, ⇔ |x1 − y1 | = 0, . . . , |xn − yn | = 0, ⇔

|xi − yi | = 0 (1 ≤ i ≤ n), ⇔ xi = yi (1 ≤ i ≤ n), ⇔ (x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ). 70

(M2 ) : D2 (x1 , . . . , xn ); (y1 , . . . , yn ) = max{|x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | = max |y1 − x1 |, . . . , |yn − xn | = D3 (y1 , . . . , yn ); (x1 , . . . , xn ) (M3 ) : Sejam x = x1 , . . . , xn , y = y1 , . . . , yn e z = z1 , . . . , zn pontos do Rn . Devemos mostrar que

D3 x, y ≤ D3 x, z + D3 z, y

Ou ainda max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | ≤ max |x1 − z1 |, . . . , |xn − zn | + max |z1 − y1 |, . . . , |zn − yn |

Observe que

max{ |x1 − y1 |, ..., |xn − yn | } = |xi − yi |, para algum 1 ≤ i ≤ n; max{ |x1 − z1 |, ..., |xn − zn | } = |xj − zj |, para algum 1 ≤ j ≤ n; max{ |z1 − y1 |, ..., |zn − yn | } = |zk − yk |, para algum 1 ≤ k ≤ n;

Sendo assim devemos mostrar que |xi − yi | ≤ |xj − zj | + |zk − yk | Temos por (1.23) ⇒

|xi − zi | ≤ |xj − zj |

por (1.24) ⇒

|zi − yi | ≤ |zk − yk |

Sendo assim, resulta |xi − yi | ≤ |xi − zi | + |zi − yi | ≤ |xj − zj | + |zk − yk | Por conseguinte: D3 (x, y) ≤ D3 (x, z) + D3 (z, y).

71

(1.22) (1.23) (1.24)

Rela¸c˜ oes entre as métricas do Rn As métricas D1 , D2 e D3 , guardam entre si as seguintes rela¸cões: D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n D3 (x, y) De fato, D3 (x, y) = |xr − yr | para algum r (1 ≤ r ≤ n) Logo D3 (x, y) = |xr − yr | = h

p (xr − yr )2 ≤ D1 (x, y)

Por outro lado i2 D1 (x, y) = (x1 − y1 )2 + · · · + (xn − yn )2 ≤ |x1 − y1 |2 + · · · + |xn − yn |2

+ 2|x1 − y1 | · |x2 − y2 | + · · · + 2|xn−1 − yn−1 | · |xn − yn | 2 = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | h i2 = D2 (x, y)

Portanto, D1 (x, y) ≤ D2 (x, y). Finalmente, supondo |xr − yr | = max |x1 − y1 |, . . . , |xn − yn | ent˜ ao

|x1 − y1 | ≤ |xr − yr |, . . . , |xn − yn | ≤ |xr − yr | portanto D2 (x, y) = |x1 − y1 | + · · · + |xn − yn | ≤ n |xr − yr | = n D3 (x, y). 5. C[a, b], Γ é um espa¸co métrico.

(M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y;

(M2 ) d(x, y) = d(y, x);

(M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). (M1 ) : Temos Γ(f, g) ≥ 0. De fato, como |f (x) − g(x)| ≥ 0, para todo x ∈ [a, b], temos: Z b |f (x) − g(x)| dx ≥ 0 a

(Ver teorema [AR] 8, p. 604)

72

(M1 ) : Γ(f, g) = 0 ⇒ f = g. Suponha f 6= g, isto é, f (c) 6= g(c) para algum c ∈ [a, b]. Logo |f (x) − g(x)| > 0, ent˜ ao: Z b |f (x) − g(x)| dx > 0 ⇒ Γ(f, g) 6= 0 a


Nota: Observe (hipótese do teorema [AR] 9) a necessidade de f e g serem cont´ınuas. (M1 ) : f = g ⇒ Γ(f, g) = 0. Então, f = g ⇒ f (x) = g(x), ∀ x ∈ [a, b] logo, pelo teorema [AR] 2 (p. 603): Z Z Z f= g ⇒ I

I

I

f −g = 0

⇒ Γ(f, g) = 0. Nota: Observe (hipótese do teorema [AR] 2) que n˜ ao necessitamos da continuidade de f e g, e nem de que sejam iguais em todos os pontos do intervalo. (M2 ) : Temos Γ(f, g) = Γ(g, f ). De fato, isto é uma decorrência imediata da igualdade |f (x) − g(x)| = |g(x) − f (x)|. (M3 ) : Temos Γ(f, g) ≤ Γ(f, h) + Γ(h, g). De fato, isto é fácil de provar tendo em conta que f (x) − g(x) = f (x) − h(x) + h(x) − g(x) logo, |f (x) − g(x)| = | f (x) − h(x) + h(x) − g(x) | ≤ |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|

uma vez que f (x), g(x) e h(x) s˜ ao n´ umeros reais. Sendo assim: Z b Z b Z b |f (x) − g(x)| dx ≤ |f (x) − h(x)| dx + |h(x) − g(x)| dx a

a

a


73

6. C[a, b], Υ é um espa¸co métrico.

(M1 ) : Não apresenta dificuldade. (M2 ) : ´ıdem. (M3 ) : Devemos mostrar que max |f (x) − g(x)| ≤ max |f (x) − h(x)| + max |h(x) − g(x)|

x ∈ [ a, b ]

x ∈ [ a, b ]

Prova: Pelo teorema [AR] 1 ∃ x1 ∈ [ a, b ] : ∃ x2 ∈ [ a, b ] :

x ∈ [ a, b ]

(p. 603):

max |f (x) − g(x)| = |f (x1 ) − g(x1 )|

(1.25)

max |f (x) − h(x)| = |f (x2 ) − h(x2 )|

(1.26)

max |h(x) − g(x)| = |h(x3 ) − g(x3 )|

(1.27)

x ∈ [ a, b ] x ∈ [ a, b ]

∃ x3 ∈ [ a, b ] :

x ∈ [ a, b ]

sendo assim devemos mostrar que |f (x1 ) − g(x1 )| ≤ |f (x2 ) − h(x2 )| + |h(x3 ) − g(x3 )| De (1.26) temos |f (x1 ) − h(x1 )| ≤ |f (x2 ) − h(x2 )|

(1.28)

|h(x1 ) − g(x1 )| ≤ |h(x3 ) − g(x3 )|

(1.29)

De (1.27) temos

Por outro lado, temos |f (x1 ) − g(x1 )| = |f (x1 ) − h(x1 ) + h(x1 ) − g(x1 )|

≤ |f (x1 ) − h(x1 )| + |h(x1 ) − g(x1 )|

De (1.28) e (1.29) resulta: |f (x1 ) − g(x1 )| ≤ |f (x2 ) − h(x2 )| + |h(x3 ) − g(x3 )| 7. B(X, R), Ψ é um espa¸co métrico.

(M1 ) : Não apresenta dificuldade. (M2 ) : ´ıdem. (M3 ) : Devemos mostrar que sup |f (x) − g(x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g(x)|

x∈X

x∈X

x∈X

74

Prova: Como f , g e h s˜ ao limitadas, existem M , N e P constantes positivas tais que |f (x) − g(x)| ≤ M , ∀ x ∈ X. |f (x) − h(x)| ≤ N , ∀ x ∈ X. |h(x) − g(x)| ≤ P , ∀ x ∈ X. Antes vamos provar a seguinte proposi¸cão: Se |f (x) − g(x)| ≤ M , ∀ x∈X ent˜ ao

sup |f (x) − g(x)| ≤ M.

(1.30)

x∈X

De fato, suponha, ao contr´ ario, que L = sup |f (x) − g(x)| > M . x∈X

Tomemos ε = L − M > 0, pela defini¸cão de sup (ver Lema 10, p. existe x0 ∈ X de modo que L − ε < |f (x0 ) − g(x0 )| , isto é,

606)

L − (L − M ) < |f (x0 ) − g(x0 )| ⇒ M < |f (x0 ) − g(x0 )| o que contraria a hip´ otese. Pois bem, temos |f (x) − g(x)| = |f (x) − h(x) + h(x) − g(x)| < |f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)| Mas, |f (x) − h(x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| : x ∈ X |h(x) − g(x)| ≤ sup |h(x) − g(x)| : x ∈ X

logo,

|f (x) − g(x)| < sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g(x)| x∈X x∈X | {z } | {z } constante

constante

Por (1.30), resulta

sup |f (x) − g(x)| ≤ sup |f (x) − h(x)| + sup |h(x) − g(x)|

x∈X

x∈X

x∈X

Nota: Esta prova é igualmente válida para o espa¸co C[ a, b ], Υ . 75

Espa¸cos de C´ odigos • (Z4 , ρ) é um espa¸co métrico

(p. 40)

:

(M1 ) d(x, y) ≥ 0 e d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y : Obviamente ρ(x, y) ≥ 0. Se x = y então xi = yi (i = 1, 2, 3, 4) e isto implica ρ(x, y) = 0. Se ρ(x, y) = 0 ent˜ ao 4 4 X X 2i−1 · (xi − yi ) = 0. 2i−1 · (xi − yi ) = 0 ⇒ i=1

i=1

isto é

1 · (x1 − y1 ) + 2 · (x2 − y2 ) + 4 · (x3 − y3 ) + 8 · (x4 − y4 ) = 0 Se fosse x1 6= y1 ter´ıamos 1 · (x1 − y1 ) = ±1. O que nos levaria a 2 · (x2 − y2 ) + 4 · (x3 − y3 ) + 8 · (x4 − y4 ) = ∓1 o que é, evidentemente, imposs´ıvel. Portanto nos resta 2 · (x2 − y2 ) + 4 · (x3 − y3 ) + 8 · (x4 − y4 ) = 0 Dividindo esta equa¸c˜ ao por 2, temos 1 · (x2 − y2 ) + 2 · (x3 − y3 ) + 4 · (x4 − y4 ) = 0 e o racioc´ınio se repete. Conclusão x = y. (M2 ) d(x, y) = d(y, x) : 4 X 2i−1 · (xi − yi ) ρ(x, y) = i=1

4 X 2i−1 · (−1)(yi − xi ) = i=1

4 X 2i−1 · (yi − xi ) = ρ(y, x) = i=1

(M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Finalmente mostremos que ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y). Então 20 (x1 − y1 ) + · · · + 23 (x4 − y4 ) = 20 (x1 − z1 + z1 − y1 ) + 21 (x2 − z2 + z2 − y2 ) + 22 (x3 − z3 + z3 − y3 ) + 23 (x4 − z4 + z4 − y4 ). 76

Aplicando o m´ odulo nesta equa¸c˜ ao e usando a desigualdade triangular para n´ umeros reais, temos 0 2 (x − y ) + · · · + 23 (x − y ) = 20 (x − z + z − y ) + · · · 1 1 4 4 1 1 1 1 3 + 2 (x4 − z4 + z4 − y4 ) = 20 (x1 − z1 ) + · · · + 23 (x4 − z4 ) 0 3 + 2 (z1 − y1 ) + · · · + 2 (z4 − y4 ) 0 3 ≤ 2 (x1 − z1 ) + · · · + 2 (x4 − z4 ) + 20 (z1 − y1 ) + · · · + 23 (z4 − y4 ) . Conclusão: ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y). A métrica ρ pode facilmente ser generalizada para ZN : N X 2i−1 · (xi − yi ) . ρ(x, y) = i=1

Vamos mostrar que ρ(x, y), assim definida, satisfaz a desigualdade ρ(x, y) ≤ 2N − 1, ∀ x, y ∈ ZN .

De fato, o maior valor que ρ(x, y) assume ocorre quando xi − yi = 1 (i = 1, 2, . . . , N ) − que corresponde a distˆ ancia entre os pontos x = 1 1 1 . . . 1 N e y = 0 0 0 . . . 0 − Sendo assim temos 20 +21 +· · ·+2N −1 = 1·22−1−1 = 2N −1. • (p. 41) τ satisfaz a desigualdade triangular. Das condi¸c˜ oes envolvidas na defini¸cão de métrica mostraremos (M3 ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). Prova: Primeiramente observe que τ pode ser escrita assim: τ (x, y) = max 1 · |x1 − y1 |, 2 · |x2 − y2 |, . . . , n · |xn − yn |

Pois bem, existem ´ındices i, j, k ∈ {1, 2, . . . , n} tais que τ (x, y) = max 1 · |x1 − y1 |, . . . , n · |xn − yn | = i · |xi − yi | τ (x, z) = max 1 · |x1 − z1 |, . . . , n · |xn − zn | = j · |xj − zj | τ (z, y) = max 1 · |z1 − y1 |, . . . , n · |zn − yn | = k · |zk − yk | 77

(1.31)

(1.32) (1.33) (1.34)

Sendo assim, devemos mostrar que i · |xi − yi | ≤ j · |xj − zj | + k · |zk − yk |

(1.35)

Temos i · |xi − zi | ≤ j · |xj − zj |,

por (1.33)

i · |zi − yi | ≤ k · |zk − yk |,

por (1.34)

Pela desigualdade triangular para n´ umeros reais, podemos escrever |xi − yi | ≤ |xi − zi | + |zi − yi | Portanto

( O que prova (1.35) )

i · |xi − yi | ≤ i · |xi − zi | + i · |zi − yi |

≤ j · |xj − zj | + k · |zk − yk |

M´ etodos dos Multiplicadores de Lagrange Um método∗ para obter o m´ aximo ou m´ınimo relativos de uma fun¸cão F (x, y, z) sujeita ` a condi¸ca õ de v´ınculo φ(x, y, z) = 0 consiste na forma¸cão da fun¸c˜ ao auxiliar G(x, y, z) ≡ F (x, y, z) + λ φ(x, y, z), sujeita às condi¸cões ∂G ∂G ∂G = = = 0 ∂x ∂y ∂z que s˜ ao as condi¸c˜ oes necessárias para a existência de m´ aximo e m´ınimo relativos. O parˆ ametro λ, que é independente de x, y e z, chama-se multiplicador de Lagrange. Exemplo: Minimizar a fun¸cão F (x, y) = (x − 5)2 + (y − 4)2 sujeita à restri¸c˜ ao φ(x, y) = 3x + 4y − 12 = 0. (exer. p. 61) Solu¸ c˜ ao: Formemos a fun¸cão auxiliar G(x, y) = F (x, y) + λ φ(x, y) = (x − 5)2 + (y − 4)2 + λ (3x + 4y − 12) Ent˜ ao Gx (x, y) = 2(x − 5) + 3λ = 0 Gy (x, y) = 2(y − 4) + 4λ = 0 Eliminando o parˆ ametro λ destas equa¸cões chegamos 4x − 3y − 8 = 0. Juntando esta equa¸c˜ ao com a restri¸cão obtemos ( 3x + 4y = 12 4x − 3y = 8

Resolvendo esse sistema encontramos x = ∗

68 25 .

Devido ao matem´ atico francês José Luis Lagrange (1736-1813)

78

Cap´ıtulo

2

˜ DE ESPAC CONSTRUC ¸ AO ¸ OS ´ METRICOS O oposto de uma verdade ´ e mentira, mas o oposto de uma verdade profunda pode muito bem ser outra verdade profunda.

(Niels Bohr)

Introdu¸ c˜ ao O objetivo prec´ıpuo deste cap´ıtulo é fornecer algumas técnicas para a constru¸c˜ ao de novos espa¸cos métricos.

2.1

M´ etricas a Partir de M´ etricas

Mudan¸ ca de Escala Dado um espa¸co métrico (M, d) a partir deste podemos obter um outro espa¸co (M, d′ ) tomando d′ = α d onde α é um n´ umero real positivo. ′ Para que d seja de fato uma métrica, as seguintes condi¸cões devem ser satisfeitas: (M1 ) d′ (x, y) ≥ 0 e d′ (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y ;

(M2 ) d′ (x, y) = d′ (y, x) ;

(M3 ) d′ (x, y) ≤ d′ (x, z) + d′ (z, y). De fato, todas estas condi¸c˜ oes decorrem trivialmente da hip´ otese de que d é uma métrica e α > 0. 79

Exemplo: Calcular a distˆ ancia entre os pontos x = 3 e y = 5 nos espa¸cos R, µ e R, d′ , onde d′ = 21 µ.

Solu¸ c˜ ao: Temos

1 |5 − 3| = 1. 2 Nota: Oportunamente estaremos mostrando em que sentido estas métricas s˜ ao topol´ ogicamente equivalentes em R. µ(5, 3) = |5 − 3| = 2

e

d′ (5, 3) =

Manipula¸ co ˜es alg´ ebricas Dado um espa¸co métrico (M, d) existem muitas outras maneiras de se construir, a partir deste, outros espa¸cos métricos. Para citar apenas três: 1) 2) 3)

d1 (x, y) = min{ 1, d(x, y) } ; p d2 (x, y) = d(x, y) ; d3 (x, y) =

d(x, y) . 1 + d(x, y)

Mostremos a primeira destas assertivas: (M1 ) d1 (x, y) ≥ 0 e d1 (x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.

De fato, d1 (x, y) = min{ 1, d(x, y) } ≥ 0 porquanto, por hip´ otese, d é métrica. d1 (x, y) = 0 = min{ 1, d(x, y) } ⇔ d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (M2 ) d1 (x, y) = d1 (y, x). d1 (x, y) = min{ 1, d(x, y) } = min{ 1, d(y, x) } = d1 (y, x) (M3 ) d1 (x, y) ≤ d1 (x, z) + d1 (z, y). Devemos mostrar que min{ 1, d(x, y) } ≤ min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) } Suponhamos o contr´ ario: min{ 1, d(x, y) } > min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) } Em particular: 1 > min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) }

d(x, y) > min{ 1, d(x, z) } + min{ 1, d(z, y) }

(⋆) (⋆⋆)

Da desigualdade (⋆) concluimos que min{ 1, d(x, z) } = d(x, z); min{ 1, d(z, y) } = d(z, y). Levando estes resultados na desigualdade (⋆⋆) obtemos d(x, y) > d(x, z) + d(z, y). O que contradiz o fato de d ser uma métrica. 80

Exemplos: a ) Fixemos o espa¸co (R2 , D2 ). Calcular a distˆ ancia entre os pontos x = (1, 1) e y = (4, 5) nos espa¸cos (R2 , d1 ), (R2 , d2 ) e (R2 , d3 ). Solu¸ ca õ: Temos D2 (1, 1), (4, 5) = |1 − 4| + |1 − 5| = 7.

Então,

d1 (x, y) = min{ 1, D2 (x, y) } = min{ 1, 7 } = 1. p √ d2 (x, y) = D2 (x, y) = 7.

7 7 D2 (x, y) = = . 1 + D2 (x, y) 1+7 8 b ) Fixemos o espa¸co Z4 , σ (p. 37). Calcular a distˆ entre os pontos ancia 4 4 4 x = 1000 e y = 0100 nos espa¸cos Z , d1 , Z , d2 e Z , d3 . d3 (x, y) =

Solu¸ ca õ: Temos σ(1000, 0100) = 2, portanto:

d1 (x, y) = min{ 1, σ(x, y) } = min{ 1, 2 } = 1. p √ d2 (x, y) = σ(x, y) = 2. d3 (x, y) =

2.2

2 2 σ(x, y) = = . 1 + σ(x, y) 1+2 3

Subespa¸cos

Dado um espa¸co métrico (M, d) podemos, a partir deste, obter tantos espa¸cos quantos s˜ ao os subconjuntos (n˜ ao-vazios) de M . Se d : M ×M −→ R ′ é uma métrica em M e N ⊂ M então d = d : N × N −→ R é métrica N×N em N . Em geral indica-se a métrica do subconjunto do mesmo modo que a métrica de M , isto é, faz-se d′ = d. Defini¸ c˜ ao 6 (Subespa¸co). Se (M, d) é um espa¸co métrico e N ⊂ M ent˜ ao o par (N, d) é chamado subespa¸co de (M, d). (M, d)

(N, d)

A métrica do subespa¸co é chamada métrica induzida pela de (M, d).

81

Exemplos: a ) (N, µ), (Z, µ) e (Q, µ) s˜ ao subespa¸cos de (R, µ). b ) Consideremos o seguinte subconjunto do R2 : R

S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1

S 1 é o c´ırculo ario. Sendo assim unit´ 1 S , D1 , S 1 , D2 e S 1 , D3 s˜ ao subespa¸cos dos espa¸cos R2 , D1 , R2 , D2 e R2 , D3 , respectivamente.

1

S1 −1

1

R

−1

c ) No espa¸co B(X, R), Ψ tomando X = [ a, b ] o espa¸co C[a, b], Υ torna-se um subespa¸co do primeiro. (p. 32, 28) 1 1 d ) O par 1, 2 , 3 , . . . , µ é um subespa¸co de (R, µ) e também de (Q, µ).

2.3

Espa¸ cos vetoriais

Importantes exemplos de espa¸cos métricos podem ser obtidos a partir dos espa¸cos vetoriais − objetos de estudos da álgebra linear. Antes, a t´ıtulo de revis˜ ao, vejamos o que seja: Um espa¸co vetorial n˜ ao é um conjunto mas sim uma estrutura, e, para construirmos uma de tais estruturas, iremos necessitar de algumas ferramentas; mais precisamente de quatro ferramentas, quais sejam: 1a ) Um conjunto V ; 2a ) Um corpo∗ K; 3a ) Uma opera¸c˜ ao, sobre os elementos de V , a qual chamaremos de adi¸c˜ ao e denotaremos por + ; assim: + : V × V −→ V

(u, v) 7−→ u + v

4a ) Uma opera¸c˜ ao, entre um n´ umero de K e um elemento de V , a qual chamaremos de multiplica¸cão por escalar e denotaremos por · ; assim: · : K × V −→ V

(λ, u) 7−→ λ · u

Este é apenas o primeiro passo para a constru¸cão da nossa estrutura. Um segundo passo é que estas opera¸cões satisfa¸cam alguns requisitos, a saber: ∗

O leitor n˜ ao perder´ a nada de essencial imaginando K = Reais ou K = Complexos.

82

− Exigˆ encias (axiomas) para a adi¸ c˜ ao: Para quaisquer u, v e w, elementos de V , devemos ter: A1) u + v = v + u

(Comutativa)

A2) (u + v) + w = u + (v + w) (Associativa) A3) Existe em V um elemento, denotado por 0, detentor da seguinte propriedade: u + 0 = 0 + u = u; ∀ u ∈ V. (Elemento neutro)

A4) Para todo elemento u de V existe um outro elemento de V , denotado por −u, detentor da seguinte propriedade: u + (−u) = −u + u = 0

(Elemento oposto)

− Exigˆ encias (axiomas) para a multiplica¸ c˜ ao:

Para quaisquer u e v em V e quaisquer λ e µ em K, devemos ter:

M1) λ · ( µ · u ) = (λ · µ) · u M2) ( λ + µ ) · u = λ · u + µ · u

(Associativa) (Distributiva)

M3) λ · ( u + v ) = λ · u + λ · v M4) 1 · u = u

(Distributiva) (elemento neutro)

A tripla (V, +, · ) é o que entendemos por um espa¸co vetorial − supondo o corpo K fixado. Ao construirmos uma estrutura de espa¸co vetorial sobre um conjunto V , seus elementos adquirem o status de vetores, independetemente de suas naturezas. Nota: Na verdade, para simplificar a nota¸cão é que, por vezes, utilizaremos V tanto para o espa¸co vetorial (a tripla designada acima) quanto para o conjunto subjacente ` a estrutura. Por vezes também utilizaremos a nota¸cão V = (V, +, · ), para enfatizar que V é a estrutura erigida sobre o conjunto V. − Exemplos de Espa¸ cos Vetoriais 1 ) O espa¸co vetorial Rn . Seja o conjunto das n-uplas de n´ umeros reais Rn = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ R

Tomemos dois elementos u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) neste conjunto e um escalar λ em R e vamos definir a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar, assim: u + v = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) λu = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn ) 83

Não é dif´ıcil mostrar que a estrutura resultante, Rn , +, · , é um espa¸co vetorial. 2 ) O espa¸co vetorial Kn . O exemplo anterior ainda pode ser generalizado. Seja K um corpo arbitrário. A nota¸cão Kn é utilizada para denotar o conjunto de todas as n-uplas de elementos de K: Kn = (x1 , x2 , . . . , xn ) : xi ∈ K

Dados dois pontos u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) neste conjunto podemos tornar Kn um espa¸co vetorial sobre K com as seguintes defini¸c˜ oes: (x1 , x2 , . . . , xn ) = (y1 , y2 , . . . , yn ) ⇔ x1 = y1 , x2 = y2 , . . . , xn = yn Adi¸c˜ ao entre pontos e multiplica¸cão por escalar, assim: u + v = (x1 , x2 , . . . , xn ) + (y1 , y2 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn ) λu = (λ x1 , λ x2 , . . . , λ xn )

Estas opera¸c˜ oes s˜ ao ditas “ponto a ponto” e conferem aos pontos do n “hiperespa¸co” K o status de vetores. Por exemplo, o vetor nulo em Kn é uma n-upla de zeros, 0 = (0, 0, . . . , 0) e o oposto do vetor u = (x1 , x2 , . . . , xn ) é o vetor −u = (−x1 , −x2 , . . . , −xn ).

A seguir damos um importante exemplo do que foi visto. 3 ) O espa¸co vetorial Zn .

Opera¸ co ˜es em Z = { 0, 1 } Inicialmente vamos construir uma estrutura de corpo sobre o conjunto Z = { 0, 1 }. Nesse conjunto vamos definir duas opera¸cões; a uma delas chamaremos de adi¸c˜ ao e a outra chamaremos de multiplica¸cão − dadas nas seguintes t´ abuas: A isto se acrescenta que todo s´ımbolo

+

0

1

1

´ e ambivalente e at´ e mesmo polivalente,

0

1

·

0

0

0

0

0

no sentido de que ele pode significar

1

1

0

1

0

1

uma pluralidade de realidades diversas e mesmo contradit´ orias. (L´ eon Bonaventure)

´ fácil, n˜ E ao obstante trabalhoso, provar que o sistema algébrico resultante Z = (Z, +, ·) é um corpo. O elemento neutro da adi¸cão é 0. O simétrico (oposto) de cada elemento encontramos na pr´ opria tabela de adi¸cão. Veja: 0+0 =0

⇒

−0 = 0

e

1+1=0

⇒

Isto é, o oposto aditivo de cada elemento é o pr´ oprio. 84

−1 = 1

Tendo em conta o exemplo anterior resulta que para cada n ≥ 1, os sistemas Zn s˜ ao espa¸cos vetorias com as opera¸cões “ponto a ponto”. Portanto, no presente contexto uma sequência bin´ aria (código) adquire status de vetor − Da´ı a defini¸c˜ ao 2. (p. 35)

Atente para o fato de que os escalares λ n˜ ao s˜ ao nem n´ umeros reais e nem n´ umeros complexos, mas sim n´ umeros do corpo Z = (Z, +, ·). Ademais, o leitor n˜ ao se escandalize com a opera¸cão 1 + 1 = 0, posto que, se servir de consolo, mesmo na f´ısica − supostamente mais aderente à realidade − nem sempre 1 + 1 = 2. Por exemplo, se adicionarmos duas velocidades iguais a 1, na f´ısica de Galileu teremos 1 + 1 = 2, já na de Einstein teremos 1 + 1 6= 2. (ver p. 104) N˜ ao h´ a mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer atˆ omica: sua verdade é apenas sua integra¸ca õ no sistema; e é por isso que teoremas incompat´ıveis entre si podem ser igualmente verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes. (Blanch´ e)

Normas em espa¸cos vetoriais O matem´ atico, como o pintor ou o poeta, ´ e um desenhista. Se os seus desenhos s˜ ao mais duradouros que os deles, ´ e porque s˜ ao feitos com id´ eias. (G.H. Hardy)

Introdu¸ c˜ ao: O m´ odulo de um n´ umero real definido como ( x, se x ≥ 0; |x| = −x, se x < 0.

(p. 600)

(2.1)

pode ser interpretado geometricamente como a distˆ ancia de um n´ umero (ponto) ` a origem, por exemplo: |3| = 3,

| − 2| = 2

Geometricamente, temos: |−2| = 2

...

p −3

p −2

p −1

|3| = 3 p 0

p 1

p 2

p 3

...

R

De um modo geral |x − y| é a distˆ ancia entre dois pontos da reta. Como já vimos, um dos conceitos mais férteis de toda a matem´ atica é o de distˆ ancia entre dois pontos, desejamos estender esse conceito para os espa¸cos vetoriais; ou seja, desejamos calcular a distˆ ancia entre dois vetores. 85

A defini¸c˜ ao a seguir generaliza a fun¸cão m´ odulo para o contexto dos espa¸cos vetoriais. Defini¸ c˜ ao 7 (Norma). Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita. Entende-se por norma sobre V uma aplica¸ca õ F que transforma cada vetor u ∈ V em um n´ umero real (indicado por kuk ), chamado norma de u F :V → R u 7→ kuk desde que as seguintes propriedades sejam satisfeitas para todos os vetores u e v e todos os escalares λ: (N1 )

kuk ≥ 0 e kuk = 0 ⇐⇒ u = 0 ;

(N2 )

kλ uk = |λ| kuk ;

(N3 )

ku + vk ≤ kuk + kvk.

Um espa¸co vetorial munido de uma norma é chamado de espa¸co vetorial normado. O postulado (N3 ) é conhecido como a desigualdade triangular da norma. Exemplos: 1 ) Uma norma no espa¸ co de c´ odigos. Vamos definir a seguinte aplica¸cão F : Zn → R u 7→ kuk onde, kuk = Por exemplo, para u = 1011 ∈ kuk =

4 X

Z4 ,

n X

xi

(2.2)

i=1

xi = x1 + x2 + x3 + x4

i=1

temos: ⇒

k1011k = 1 + 0 + 1 + 1 = 3

O somat´ orio (2.2) conta o n´ umero de 1s presentes no vetor u. Uma observa¸c˜ ao importante é a de que as adi¸cões que comparecem no desenvolvimento do somat´ orio n˜ ao é a adi¸cão em Z mas sim a de R. Apenas a t´ıtulo de curiosidade, em Z ter´ıamos: (tab. p. 84) 1+0+1+1 =1 Deixaremos como exerc´ıcio a prova de que a aplica¸cão definida em (2.2) de fato resulta em uma norma sobre Zn . 86

2 ) Uma segunda norma no espa¸ co de c´ odigos. Considere a seguinte aplica¸c˜ ao F : Zn → R u 7→ kuk onde,

kuk = max 1 x1 , 2 x2 , . . . , n xn

(2.3)

Por exemplo, para u = 1011, temos kuk = max 1 x1 , 2 x2 , 3 x3 , 4 x4 = max 1 · 1, 2 · 0, 3 · 1, 4 · 1 = 4

Vejamos um outro exemplo, seja u = 1010, então kuk = max 1 · 1, 2 · 0, 3 · 1, 4 · 0 = 3

A equa¸c˜ ao (2.3) nos d´ a a maior posi¸cão onde ocorre um bit 1 no vetor u.

Deixaremos como exerc´ıcio a prova de que a aplica¸cão assim definida é uma norma em Zn . 3 ) A seguir listamos três normas para o Rn : q kuke = x21 + x22 + · · · + x2n (2.4) kuks = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn | kukm = max |x1 |, |x2 |, . . . , |xn |

(2.5)

(2.6)

onde u = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn . Deixamos como exerc´ıcio a prova de que de fato estas aplica¸c˜ oes satisfazem a defini¸cão de norma. Na demonstra¸c˜ ao de (N3 ) para a primeira das normas acima sugerimos o uso da desigualdade Cauchy-Schwarz, que ser´ a provada logo mais. (p. 91) Qualquer espa¸co vetorial normado V pode se tornar um espa¸co métrico se considerarmos d : V × V −→ R, definida como: d(u, v) = ku − vk,

∀ u, v ∈ V.

Prova: Devemos mostrar que d assim definida satisfaz a todas as exigências para uma métrica. Primeiramente devemos mostrar que (M1 )

d(u, v) = ku − vk ≥ 0 e d(u, v) = ku − vk = 0 ⇐⇒ u = v.

´ uma decorrência imediata de (N1 ). E (M2 )

d(u, v) = ku − vk = k(−1)(v − u)k = | − 1| kv − uk = d(v, u). 87

(M3 ) Pela desigualdade triangular da norma podemos escrever ku − vk = ku − w + w − vk ≤ ku − wk + kw − vk Logo, ku − vk ≤ ku − wk + kw − vk ⇒ d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).

Observe que agora podemos d´ a uma interpreta¸caõ geométrica para a norma de um vetor, veja: d(u, 0) = ku − 0k = kuk

Isto é, podemos dizer que a norma de um vetor u ∈ V é igual à sua distˆ ancia para o vetor nulo (“origem”). Tal qual ocorre com a fun¸cão m´ odulo nos reais. Por exemplo, para u = (1, 2) e 0 = (0, 0), vetores em R2 , temos p √ d(u, 0) = ku − 0k = (1 − 0)2 + (2 − 0)2 = 5

Geometricamente, temos: R

s←− vetor

d(u, 0) = distˆ ancia 6= comprimento.

p

p

u=(1, 2)

0

s

p

տ vetor

p

R

Observa¸ca õ: Nos livros de álgebra linear os autores definem o comprimento de um vetor u como sendo a sua norma, kuk. Não nos sentimos à vontade com esta defini¸c˜ ao uma vez que n˜ ao vemos sentido em se atribuir um “comprimento” a um vetor (a n˜ ao ser em casos especiais); um vetor − segundo entendemos − é um “ponto em um espa¸co” e um “ponto” n˜ ao tem comprimento. Qual seria o comprimento de uma matriz? e de uma fun¸caõ? Uma excessiva geometriza¸cão da álgebra linear condiciona (induz) o estudante a confundir os vetores da matem´ atica com os da f´ısica. Os vetores da matem´ atica n˜ ao possuem “nem m´ odulo”, “nem dire¸cão” e “nem sentido”. Exemplos: A primeira norma exemplificada anteriormente no espa¸co de c´ odigos, origina a distˆ ancia de Hamming vista no cap´ıtulo anterior. (p. 37) A segunda norma exemplificada no espa¸co de códigos, origina a distˆ ancia dada na p´ agina 41. A três normas exibidas para o espa¸co vetorial Rn originam as três distˆ ancias dadas na p´ agina 24. 88

Defini¸ c˜ ao 8 (Produto Interno). Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ ao finita sobre R. Entende-se por produto interno sobre V uma aplica¸ca õ F que transforma cada par ordenado (u, v) ∈ V × V em um n´ umero real (indicado por h u, v i), isto é: F : V ×V →

R

(u, v) 7→ h u, v i

desde que as seguintes condi¸co ˜es sejam satisfeitas: ( a ) h u + v, w i = h u, w i + h v, w i,

∀ u, v, w ∈ V ;

( b ) h λu, v i = λ h u, vi,

∀ λ ∈ R e ∀ u, v ∈ V ;

( c ) h u, v i = h v, u i,

∀ u, v ∈ V ;

( d ) h u, u i > 0,

∀ u 6= 0.

As primeiras duas condi¸c˜ oes nos diz que um produto interno é linear com respeito ` a primeira vari´ avel. A terceira condi¸cão nos diz que o produto interno é simétrico, a quarta condi¸cão nos diz que o produto interno de um vetor n˜ ao nulo com ele mesmo é sempre positivo. Defini¸ c˜ ao 9 (Espa¸co Euclidiano). Um espa¸co euclidiano é um espa¸co vetorial sobre R munido de um produto interno. Nota: Ao acrescentarmos (definirmos) um produto interno sobre um espa¸co vetorial podemos dizer que estamos enriquecendo essa estrutura; por exemplo, em fun¸c˜ ao desse produto interno poderemos calcular a distˆ ancia e o ângulo entre dois vetores. (p. 103) Exemplo: Produto interno usual do Rn . Se u = (x1 , x2 , . . . , xn ) e v = (y1 , y2 , . . . , yn ) s˜ ao arbitrários em Rn , então: (u, v) 7→ h u, v i = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn

é um produto interno sobre o Rn .

(exerc´ıcio)

Propriedades do Produto Interno Seja V, h ·, · i um espa¸co vetorial munido de um produto interno. Valem as seguintes propriedades: P1 ) h 0, u i = h u, 0 i = 0, ∀u ∈ V.

Prova: Da teoria dos espa¸cos vetoriais sabemos que 0 u = 0, para todo u ∈ V . Logo, h 0, u i = h 0 u, u i = 0 h u, u i = 0. ↑ (b)

89

Como h u, 0 i = h 0, u i, então h u, 0 i = 0. P2 ) h u, λ v i = λ h u, v i,

∀ λ ∈ R e ∀ u, v ∈ V .

Prova: Temos:

h u, λ v i = h λ v, u i = λ h v, u i = λ h u, v i ↑ ↑ ↑ (c)

(b)

(c)

P3 ) h u, v + w i = h u, v i + h u, w i,

∀ u, v, w ∈ V .

Prova: Temos: h u, v + w i = h v + w, u i = h v, u i + h w, u i = h u, v i + h u, w i ↑ ↑ ↑ (c)

(a)

(c)

P4 ) Dado um n´ umero inteiro m ≥ 1, temos. m DX

λi ui , v

i=1

E

=

m X i=1

λi h ui , v i

Prova: Basta usar indu¸cão juntamente com os axiomas ( a ) e ( b ) da defini¸c˜ ao de produto interno. P5 ) Dado um n´ umero inteiro n ≥ 1, temos. D

u,

n X

αj vj

j=1

E

=

n X j=1

αj h u, vj i

Prova: Basta usar indu¸cão juntamente com as propriedades P2 e P3 demonstradas anteriormente. P6 ) Dados dois n´ umeros inteiros m, n ≥ 1, temos. m DX i=1

λi ui ,

n X

αj vj

j=1

E

=

m X n X i=1 j=1

λi αj h ui , vj i

Produto interno e norma Vimos que a partir de uma norma obtemos uma distˆ ancia, agora veremos que a partir de um produto interno se pode obter uma norma. Com efeito, é suficiente tomar p kuk = h u, u i (2.7)

Vamos provar que o lado direito desta equa¸cão de fato satisfaz os postulados para uma norma. 90

(N1 ) kuk ≥ 0 e kuk = 0 ⇐⇒ u = 0 . p Prova: De fato, da defini¸c˜ ao de produto interno decorre que h u, u i ≥ 0. Por outro lado (⇒)

kuk =

p

h u, u i = 0 ⇒ h u, u i = 0 ⇒ u = 0.

A u ´ltima implica¸c˜ ao se deve a que, pelo axioma ( d ) da defini¸cão de produto interno, se u 6= 0 ⇒ h u, u i > 0, o que contradiz h u, u i = 0. (⇐)

(N2 )

u = 0 ⇒ h 0, 0 i = 0 ⇒ k 0k =

p

h 0, 0 i =

√

0 = 0.

kλ uk = |λ| kuk.

Prova: Temos kλ uk =

p

h λ u, λ u i =

p

λ2 h u, u i = |λ|

p

h u, u i = |λ| kuk

(N3 ) ku + vk ≤ kuk + kvk. Para demonstrar a desigualdade triangular da norma iremos necessitar antes demonstrar um lema: Lema 1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Em qualquer espa¸co vetorial euclidiano V vale a seguinte desigualdade |h u, v i| ≤ kuk kvk,

∀ u, v ∈ V.

(2.8)

Prova: Faremos uso da seguinte identidade: h u − λ v, u − λ v i = kuk2 − 2λ h u, v i + λ2 kvk2 válida para quaisquer u, v ∈ V e para todo λ ∈ R.

(2.9) (exerc´ıcio)

Se v = 0 a desigualdade (2.8) fica

|h u, 0 i| ≤ kuk k 0k ⇒ |0| ≤ kuk 0 ⇒ 0 ≤ 0 e a desigualdade proposta resulta verdadeira. Suponhamos agora v 6= 0. Como a identidade (2.9) vale para qualquer λ ∈ R, em particular vale para λ=

h u, v i kvk2 91

isto é, h u − λ v, u − λ v i = kuk2 − 2λ h u, v i + λ2 kvk2 = kuk2 − 2

h u, v i 2 h u, v i h u, v i + kvk2 kvk2 kvk2

= kuk2 − 2

h u, v i2 h u, v i2 + kvk2 kvk2

= kuk2 −

h u, v i2 kvk2

Devido a que h u − λ v, u − λ v i ≥ 0, resulta que kuk2 − Logo,

h u, v i2 ≥0 kvk2

h u, v i2 ≥ 0 ⇒ h u, v i2 ≤ kuk2 kvk2 kvk2 Extraindo a raiz quadrada de cada um dos membros desta u ´ltima desigualdade resulta: |h u, v i| ≤ kuk kvk kuk2 −

Agora vamos demonstrar a desigualdade triangular da norma: ku + vk2 = h u + v, u + v i = h u, u i + h u, v i + h v, u i + h v, v i = kuk2 + 2 h u, v i + kvk2 Da desigualdade de Cauchy-Schwarz obtemos 2 |h u, v i| ≤ 2 kuk kvk somando kuk2 + kvk2 a ambos os membros desta desigualdade obtemos kuk2 + 2 |h u, v i| + kvk2 ≤ kuk2 + 2 kuk kvk + kvk2

Portanto ku + vk2 ≤ ( kuk + kvk )2

Extraindo a raiz quadrada obtemos

ku + vk ≤ kuk + kvk Sendo assim, mostramos que todo espa¸co vetorial com produto interno é um espa¸co vetorial normado e, portanto, também um espa¸co métrico. Todo produto interno origina uma norma, mas nem toda norma provém de um produto interno. Deixaremos o contraexemplo para os exerc´ıcios. 92

2.4

M´ etricas Induzidas Por Fun¸c˜ oes

Seja (M, d) um espa¸co métrico e N um conjunto qualquer. Se existir uma aplica¸c˜ ao f : N −→ M injetiva, então o par (N, d′ ), onde d′ (x, y) = d f (x), f (y)

é um espa¸co métrico. A distˆ ancia entre dois pontos quaisquer de N é definida como sendo a distˆ ancia entre suas imagens respectivas. d′ é dita a métrica induzida por f . (N, d′ )

r

y

r

r

(M, d)

f (y)

f R

x

←d′ (x, y) r

f (x)

Provemos que d′ é de fato uma métrica. Temos (M1 ) d′ (x, y) = d f (x), f (y) ≥ 0

porquanto d é métrica. Ademais d′ (x, y) = d f (x), f (y) = 0 ⇐⇒ f (x) = f (y) ⇐⇒ x = y.

Au ´ltima equivalência se verifica em fun¸cão de que f é injetora. (M2 ) d′ (x, y) = d f (x), f (y) = d f (y), f (x) = d′ (y, x). A desigualdade

(M3 ) d′ (x, y) ≤ d′ (x, z) + d′ (z, y). é verdadeira, porquanto

é verdadeira.

d f (x), f (y) ≤ d f (x), f (z) + d f (z), f (y)

Exemplos: a ) A partir da métrica µ vamos definir uma outra métrica sobre R com o aux´ılio da fun¸c˜ ao injetiva f : R −→ R x 7−→ y = 2x Sendo assim obtemos o espa¸co(R, d′ ), onde d′ (x, y) = d f (x), f (y) = f (x) − f (y) = 2x − 2y 93

Por exemplo, a distˆ ancia entre −1 e 1, neste espa¸co, fica d′ (−1, 1) = 2−1 − 21 = 1, 5.

Geometricamente tudo se passa assim:

y=2x

(R, µ)

2

q

d′ (−1, 1) −→ 1

q

−1q

0

(R, d′ )

q1

b ) Vamos construir uma métrica sobre R com o aux´ılio do espa¸co R2 , k·k e da aplica¸c˜ ao injetora f : R −→ R2

x 7−→ 12 (x + 1, x − 1)

Pois bem, obtemos o espa¸co (R, d′ ), onde d′ (x, y) = d f (x), f (y)

= f (x) − f (y)

1

1

=

2 (x + 1, x − 1) − 2 (y + 1, y − 1)

1 = (x − y, x − y) 2 Por exemplo, a distˆ ancia entre −1 e 1, neste espa¸co, fica

1 d′ (−1, 1) = (−1 − 1, −1 − 1) = (−1, −1) 2 Tendo em conta o exemplo 3 ) (p. 87), o espa¸co (R, d′ ) desdobra-se em três outros espa¸cos, sendo assim, temos: No espa¸co R, k · ke No espa¸co R, k · ks

p

√

=⇒

d′ (−1, 1) =

=⇒

=⇒

d′ (−1, 1) = | − 1| + | − 1| = 2 d′ (−1, 1) = max | − 1|, | − 1| = 1

No espa¸co R, k · km

94

(−1)2 + (−1)2 =

2

2.5

Produto de espa¸cos m´ etricos

Uma outra importante alternativa para se construir espa¸cos métricos é via produto cartesiano. Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. A partir destes dois espa¸cos vamos construir, por exemplo, três outros espa¸cos, do seguinte modo: Tomemos dois pontos x = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = M

e

y = (y1 , y2 ) ∈ M1 × M2 = M

e vamos definir três fun¸c˜ oes D1 , D2 , D3 : M × M −→ R dadas por D1 (x, y) =

q

d12 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

(2.10)

D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 ) } Pode ser mostrado que (M, D1 ), (M, D2 ) e (M, D3 ) s˜ ao também espa¸cos métricos. (p. 100) Observe que x1 , y1 ∈ M1 e x2 , y2 ∈ M2 de modo que d1 (x1 , y1 ) é calculado no espa¸co (M1 , d1 ) enquanto d2 (x2 , y2 ) é calculado no espa¸co (M2 , d2 ), assim:

M1 ×M2

y

y2

x2

x

(M2 , d2 ) x1

y1

(M1 , d1 )

Observe ainda que n˜ ao h´ a necessidade de v´ınculo − afinidade − entre os elementos dos conjuntos M1 e M2 . Isto é, estes podem ser de natureza completamente arbitrária.

95

Com o objetivo de convencer o leitor do grau de arbitrariedade de que estamos falando, vamos dar um exemplo: Sejam (M1 , d1 ) = (S4 , σ) e (M2 , d2 ) = M2×3 (R), D1 . (p. 25) Primeiramente observe que os elementos do conjunto M = S4 × M2×3 (R) s˜ ao pares ordenados (x1 , x2 ) onde x1 é uma sequência e x2 é uma matriz. Exemplo: Calcule no espa¸co (M, D1 ) a distˆ ancia entre os pontos x e y dados por 2 1 3 x = (x1 , x2 ) = 1110, 3 0 2 0 2 1 y = (y1 , y2 ) = 1010, 3 4 5 Solu¸ c˜ ao: Devemos calcular a seguinte distˆ ancia

D1 (x, y) =

q

d12 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

=

q

σ 2 (x1 , y1 ) + D12 (x2 , y2 )

Temos

Ent˜ ao,

x1 = 1110 , x2 =

2 1 3 3 0 2

y1 = 1010 , y2 =

0 2 1 3 4 5

σ(x1 , y1 ) = σ 1110, 1010 = 1

J´ a vimos que D1 (x2 , y2 ) =

D1

1110,

2 1 3 3 0 2

√

34. Portanto,

; 1010,

0 2 1 3 4 5

96

(p.25)

=

q

√ √ 12 + ( 34 )2 = 35.

A generaliza¸c˜ ao para um produto de n espa¸cos métricos n˜ ao apresenta dificuldade: Dados os espa¸cos (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ), o produto cartesiano M = M1 × M2 × · · · × Mn é o conjunto das n−uplas ordenadas x = (x1 , x2 , . . . , xn ), onde x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 ,. . . , xn ∈ Mn . As três fun¸cões dadas abaixo: D1 (x, y) =

q

d12 (x1 , y1 ) + · · · + dn2 (xn , yn )

D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn ) D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn ) } s˜ ao métricas sobre M . Para x, y ∈ M arbitrários, valem as seguintes desigualdades: D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n · D3 (x, y) Observe que quando M1 = M2 = · · · = Mn = R e d1 = d2 = · · · = dn = µ, então D1 , D2 e D3 coincidem respectivamente com as métricas D1 , D2 e D3 dadas na p´ agina 24. O quadrado quˆ antico Vejamos mais um exemplo de espa¸co produto. A partir do espa¸co métrico [ 0, 1 [, k podemos obter outros três no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ : 1

1

s

x = (x1 , x2 ) [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

0

0

1

s

y = (y1 , y2 )

1

assim:

D1 (x, y) =

q

k2 (x1 , y1 ) + k2 (x2 , y2 )

D2 (x, y) = k(x1 , y1 ) + k(x2 , y2 ) D3 (x, y) = max k(x1 , y1 ); k(x2 , y2 ) 97

(2.11) (2.12) (2.13)

Um objeto em v´ arios lugares ao mesmo tempo Um livro que trata inclusive de f´ısica quântica∗ afirma que uma part´ıcula pode encontrar-se em muitos lugares ao mesmo tempo, veja: O que a teoria quˆ antica revelou é t˜ ao espantoso que mais parece fiçca õ cient´ıfica: as part´ıculas podem estar em dois ou mais lugares ao mesmo tempo. (Uma experiência muito recente mostrou que uma part´ıcula pode estar em até 3 mil lugares!) O mesmo “objeto” pode aparentar ser uma part´ıcula, localizada em um lugar determinado, ou uma onda, espalhada pelo espa¸co e pelo tempo. (p. 55) Provaremos que um objeto − mais precisamente, um ponto geométrico − pode encontrar-se em um n´ umero arbitrário de lugares ao mesmo tempo. Podemos concluir: se isso é poss´ıvel para um ponto geométrico, que é sem dimensão, com mais raz˜ ao ainda podemos esperar que seja poss´ıvel para uma part´ıcula quântica. Antes necessitaremos de uma defini¸cão: Diremos que um objeto p (um ponto) encontra-se em uma regi˜ ao R contida em um universo† , se e s´ o se sua distˆ ancia para essa regi˜ ao for nula. De posse desta defini¸cão mostraremos agora que um ponto geométrico pode encontrar-se em quatro lugares ao mesmo tempo. Com efeito, consideremos no quadrado da esquerda 1

1

2 3

R4

R3

R1

R2

[ 0, 1 [ 2 1 3

0

s

1

0

1 3

2 3

1

a origem juntamente com as quatro regi˜ oes em destaque na figura da direita. Afirmamos que a origem encontra-se em todas essas quatro regi˜ oes. E mais: a distˆ ancia da origem para essas regi˜ oes é nula em qualquer das métricas produto. Faremos a prova para a regi˜ ao R3 e deixaremos as outras por conta do leitor. ∗

Quem somo n´ os? − A descoberta das infinitas possibilidades de alterar a realidade di´ aria. William Arntz, Betsy Chasse e Mark Vicente; tradu¸c˜ ao de Doralice Lima. Rio de Janeiro: Prest´ıgio Editorial, 2007. † Para os nossos prop´ ositos ser´ a suficiente considerar como universo o hipercubo [ 0, 1 [ n . Ou seja o cubo unit´ ario em qualquer dimens˜ ao: Intervalo, quadrado, cubo, etc.

98

Escolheremos a métrica D1 , então: d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = inf D1 (0, 0); (x, y) : (x, y) ∈ R3 o nq 2 k2 (x, 0) + k2 (y, 0) : ≤ x, y < 1 = inf 3

Temos,

(p. 97)

(eq. (1.2), p. 18)

k(x, 0) = min |x − 0|, 1 − |x − 0| = min x, 1 − x = 1 − x k(y, 0) = min |y − 0|, 1 − |y − 0| = min y, 1 − y = 1 − y

Portanto,

d (0, 0), R3 ) = inf

np

(x − 1)2 + (y − 1)2 :

o 2 ≤ x, y < 1 3

Para calcular essa distˆ ancia vamos encontrar o ´ınfimo da fun¸cão, F (x, y) = Então,

p

(x − 1)2 + (y − 1)2 , para

2 ≤ x, y < 1. 3

1 1 2 ≤x<1 ⇒ 0<1−x≤ ⇒ 0 < (1 − x)2 ≤ 3 3 9 Análogamente, 0 < (1 − y)2 ≤ 19 . Portanto,

√ p 2 2 2 2 0 < (1 − x) + (1 − y) ≤ ⇒ 0 < (1 − x) + (1 − y) ≤ 9 3 2

Conclusão: se

2 3

2

≤ x, y < 1, implica que

F (x, y) = Portanto,

p

d (0, 0), R3 ) = inf

(x

− 1)2

p

+ (y −

1)2

√ i 2 ∈ 0, 3 i

(x − 1)2 + (y − 1)2 :

√ i 2 = 0. = inf 0, 3 i

2 ≤ x, y < 1 3

No pr´ oximo cap´ıtulo estaremos justificando este resultado de uma outra perspectiva − mais pr´ oxima ` a realidade f´ısica. Ademais, oportunamente estaremos provando matem´ aticamente a plausibilidade de uma outra surpreendente (bizarra) afirmativa da f´ısica quântica: “Elétrons que se movem de A para B sem nunca passar entre esses pontos.” 99

Apˆ endice Vamos mostrar, por exemplo, que D1 satisfaz a desiguldade triangular: (eq. (2.10), p. 95)

D1 (x, y) ≤ D1 (x, z) + D1 (z, y) Prova: De fato, D12 (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) = d12 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 )

como d1 e d2 s˜ ao métricas vale

d1 (x1 , y1 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) e d2 (x2 , y2 ) ≤ d1 (x2 , z2 ) + d1 (z2 , y2 ) Sendo assim, podemos escrever D12 x, y = d12 (x1 , y1 ) + d22 (x2 , y2 ) 2 2 ≤ d1 (x1 , z1 ) + d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) + d2 (z2 , y2 ) ≤ d12 (x1 , z1 ) + 2 d1 (x1 , z1 ) · d1 (z1 , y1 ) + d12 (z1 , y1 )

+ d22 (x2 , z2 ) + 2 d2 (x2 , z2 ) · d2 (z2 , y2 ) + d22 (z2 , y2 ) Logo, D12 x, y ≤ D12 x, z + 2 d1 (x1 , z1 ) · d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) · d2 (z2 , y2 ) + D12 z, y (2.14) Neste momento faremos uso da seguinte desigualdade p p |a b + c d| ≤ a2 + c2 · b2 + d2

válida para a, b, c e d reais (como o leitor pode verificar facilmente). Então q 2 2 d1 (x1 , z1 ) · d1 (z1 , y1 ) + d2 (x2 , z2 ) · d2 (z2 , y2 ) ≤ d1 (x1 , z1 ) + d2 (x2 , z2 ) q 2 2 · d1 (z1 , y1 ) + d2 (z2 , y2 ) = D1 x, z · D1 z, y Sendo assim a desigualdade (2.14) pode ser escrita como D12 x, y ≤ D12 x, z + 2 D1 x, z · D1 z, y + D12 z, y 2 = D1 x, z + D1 z, y

Desta desigualdade − extraindo-se a raiz quadrada − decorre o resultado desejado. 100

2.6

Exerc´ıcios

1) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Mostre que também s˜ ao métricas sobre M as fun¸c˜ oes definidas assim: p a ) d2 (x, y) = d(x, y); b ) d3 (x, y) =

d(x, y) . 1 + d(x, y)

a b+c ≤ . 1+a 1+b+c 2) Mostre que a fun¸ca õ dada pela equa¸caõ (2.2) é uma norma em Zn .(p.

86)

3) Mostre que a fun¸c˜ ao dada pela equa¸cão (2.3) é uma norma em Zn .(p.

87)

4) Mostre que a fun¸c˜ ao dada pela equa¸cão (2.5) é uma norma em Rn .(p.

87)

5) Mostre que a fun¸c˜ ao dada pela equa¸cão (2.6) é uma norma em Rn .(p. 6) O espa¸co C[a, b], +, · .

87)

Sugest˜ ao: Se a, b, c ≥ 0 temos a ≤ b + c ⇐⇒

Seja C[a, b] o conjunto das fun¸cões reais cont´ınuas definidas no intervalo fechado [ a, b ]. Isto é n o C[a, b] = f : [ a, b ] −→ R / f cont´ınua

Sobre este conjunto defina duas opera¸cões assim: dados f, g ∈ C[a, b] e λ ∈ R ponha (f + g)(t) = f (t) + g(t), ∀ t ∈ [ a, b ] λf (t) = λf (t), ∀ t ∈ [ a, b ] Prove que C[a, b], +, · é um espa¸co vetorial.

7) Mostre que a aplica¸c˜ ao

k · k : C[a, b] −→ R definida por

kf k = max |f (x)| : x ∈ [a, b] é uma norma sobre o espa¸co C[a, b], +, · . 8) Calcule a norma do seguinte vetor:

f : [ −1, 1 ] −→ R

x 7−→ x2 + 1

Interprete o resultado geometricamente.

101

(2.15)

9) Mostre que a aplica¸caõ k · k : C[a, b] −→ R definida por kf k =

Z

b

a

|f (x)| dx

é uma outra norma sobre o espa¸co C[a, b], +, · . 10) Calcule a norma do seguinte vetor:

f : [ −1, 1 ] −→ R

x 7−→ x2 + 1

Interprete o resultado geometricamente. 11) Prove a seguinte identidade

(eq. (2.9), p. 91)

h u − λ v, u − λ v i = kuk2 − 2λ h u, v i + λ2 kvk2 12) Mostre que a desigualdade de Cauchy-Schwarz demonstrada para o Rn (des. (1.21), p. 68) pode ser obtida como um caso especial da desigualdade em espa¸cos vetoriais euclidianos (des. (2.8), p. 91). 13) Mostre que se uma norma provém de um produto interno então vale a identidade do paralelogramo: (eq. (2.7), p. 90) ku + vk2 + ku − vk2 = 2 kuk2 + kvk2

14) Prove que as normas dadas pelas equa¸cões (2.5) e (2.6) n˜ ao provêm de um produto interno. (p. 87) Sugest˜ ao: Tome, no caso especial do R2 , os vetores u = (1, 0) e v = (0, 1) e mostre que eles n˜ ao satisfazem a identidade do paralelogramo.

15) Prove que a norma dada pela equa¸cões (2.15) n˜ ao provêm de um produto interno. (p. 101) Sugest˜ ao: Tome os dois seguintes vetores f : [ a, b ] −→ R, dado por f (x) = 1 g : [ a, b ] −→ R, dado por g(x) =

x−a b−a

e mostre que eles n˜ ao satisfazem a identidade do paralelogramo. 16) Mostre que um produto interno pode ser obtido a partir de uma fun¸cão norma: 1 ku + vk2 − ku − vk2 h u, v i = 4 102

ˆ 17) Angulo entre vetores Sabemos da trigonometria que −1 ≤ cos θ ≤ 1. Da desigualdade de Cauchy-Schwarz, |h u, v i| ≤ kuk kvk, decorre: h u, v i ≤ 1. kuk kvk

−kuk kvk ≤ h u, v i ≤ kuk kvk ⇒ −1 ≤

Definimos o ˆ angulo entre dois vetores u e v, como: cos θ =

h u, v i , kuk kvk

0 ≤ θ ≤ π.

Calcule o ˆ angulo entre os vetores u = o produto interno usual do R2 .

1 2,

√

3 2

e v=

−

√

3 2 ,

− 12

com

(p. 89)

18) Na figura a seguir a distˆ ancia da origem para as quatro regi˜ oes é nula. 1

1

2 3

[ 0, 1 [

R4

R3

R1

R2

2 1 3

0

s

1

0

1 3

2 3

Prove isto para as métricas Di , com i = 1, 2, 3.

1 (p. 97)

19) O resultado d (0, 0), R3 ) = 0 obtido na p. 99 implica em que arbitrariamente pr´ oximo da origem podemos encontrar um ponto da regi˜ ao R3 . Para todo ε > 0 arbitrariamente fixado encontre um ponto (x, y) ∈ R3 satisfazendo D1 (0, 0); (x, y) < ε. (ver lema 11, p. 609)

20) Resolva, no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, a seguinte inequa¸cão: 1 D1 (0, 0); (x, y) < 3 Fa¸ca um esbo¸co geométrico do conjunto solu¸cão. 21) Resolva, no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, a seguinte inequa¸cão: 1 D2 (0, 0); (x, y) < 3 Fa¸ca um esbo¸co geométrico do conjunto solu¸cão. 22) Resolva, no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, a seguinte inequa¸cão: 1 3 1 D3 (x, y); ( , ) < 4 4 3 103

Esta p´ agina ficaria em branco (ociosa), decidi aproveitá-la para justificar a afirmativa que fiz na p. 85 de que na f´ısica de Einstein 1 + 1 6= 2. Suponhamos um observador O fixo em rela¸cão ao solo, e um vagão movendo-se com velocidade v em rela¸cão ao solo. Dentro do vagão h´ a uma bola que se move com velocidade u. u

•

∼

≀

v ·

q O

·

Sendo assim, Galileu nos diz que: V = v + u. Onde, V : velocidade da bola para o observador no solo. Einstein, respaldado em seu segundo postulado∗ , corrigiu a adi¸cão de Galileu da seguinte forma: V =

v+u v·u 1+ 2 c

Onde c = 3 · 108 (m/s) é a velocidade da luz. Tomando u = v = 1 teremos que para Galileu 1 + 1 = 2, já para Einstein 1 + 1 6= 2. De fato, V =

1+1 6= 2 1·1 1+ (3 · 108 )2

(2.16)

Claro, os f´ısicos argumentariam que “para todos os fins pr´ aticos” 10−16 = 0 e a´ı as duas adi¸c˜ oes coincidem. Primeiro que arredondamento é sempre uma op¸c˜ ao, nunca uma obriga¸cão. Segundo, n˜ ao trata-se de arredondamento, é uma quest˜ ao conceitual. Por exemplo, “para todos os fins pr´ aticos” π = 3, 14159265359, entretanto conceitualmente o n´ umero da esquerda é irracional e o da direita racional. A f´ısica de Newton-Galileu n˜ ao é um caso particular da de Einstein. Observe que s´ o existe uma maneira de obter 1 + 1 = 2 na f´ısica de Einstein, devemos fazer 10−16 = 0, o que implicaria 1 = 0 (multiplicando por 1016 ). Logo, estabelecemos (na f´ısica de Einstein): Se 1 + 1 = 2 ent˜ ao 1 = 0. Mas isto equivale a: Se 1 6= 0 então 1 + 1 6= 2. An passant, gostaria de deixar aqui um questionamento aos f´ısicos. A matem´ atica nos diz que a adi¸cão de vetores obedece a regra do paralelogramo, ~ |2 = | ~u |2 + | ~v |2 + 2 | ~u | · | ~v | · cos θ. Esta equa¸cão para θ = 0o dada por | V torna-se | V~ | = | ~u | + | ~v |. Tomando u = v = 1 teremos | V~ | = | 1 | + | 1 | = 2, contrariando (2.16)! Ent˜ ao velocidade n˜ ao é um vetor na f´ısica de Einstein?

∗ A velocidade da luz no v´ acuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz.

104

Cap´ıtulo

3

BOLAS ABERTAS H´ a uma qualidade de ˆ extase que n˜ ao ´ e prazer; s´ o vem esse ˆ extase quando existe em n´ os mesmos aquela ordem matem´ atica, que ´ e absoluta. (Krishnamurti)

Introdu¸ c˜ ao: Dada a importˆ ancia das bolas abertas para o estudo dos espa¸cos métricos, resolvemos abord´ a-las em um cap´ıtulo em separado. ´ de fundamental importˆ E ancia que o leitor compreenda bem este conceito, haja vista que muitas das defini¸cões em cap´ıtulos subsequentes s˜ ao em fun¸cão do mesmo. Que o estudante n˜ ao tenha a ilus˜ ao de ir muito longe na topologia sem uma perfeita compreens˜ ao das bolas abertas.

3.1

Defini¸ c˜ ao e Exemplos

Defini¸ c˜ ao 10 (Bola Aberta). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Considere um ponto fixado p ∈ M . Dado r > 0 um n´ umero real, a bola aberta de centro p e raio r, que indicaremos por B(p; r), é o seguinte subconjunto de M : B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r

Ou seja: a bola aberta de centro p e raio r > 0 é o conjunto formado pelos elementos de M que est˜ ao a uma distˆ ancia de p menor que r. Observe que para encontrar uma bola aberta deveremos sempre resolver ao a inequa¸c˜ d(x, p) < r, no conjunto universo U = M . Observe outrossim que quando x = p, teremos d(p, p) = 0 < r

⇒ 105

p ∈ B(p; r).

Conclusão: uma bola aberta nunca é vazia − pois o pr´ oprio centro sempre pertence ` a mesma. Observa¸ca õ: A nosso critério usaremos a nota¸cão Bd (p; r) para explicitar a métrica a qual a bola se refere. Agora daremos vários exemplos de bolas em vários espa¸cos métricos.

3.1.1

Bolas na reta

1) Considere M = R a reta real. Consideremos p = 3 ∈ R e r = 21 . Então: • No espa¸co (R, µ), temos B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B 3;

1 1 = x ∈ R : µ(x, 3) < 2 2 1 = x ∈ R : |x − 3| < 2 1 1 = x ∈ R: − < x − 3 < 2 2 1 5 7 1 , = = x ∈ R: 3 − < x < 3 + 2 2 2 2

A visualiza¸c˜ ao geométrica é como a seguir Bµ (3; 21 ) ⊣ 0

⊣ 1

⊣ 2

] 5 2

s [

3

7 2

⊣ 4

R

De um modo geral, a bola aberta de centro p e raio r, no espa¸co métrico (R, µ), coincide com o intervalo aberto de mesmo centro e mesmo raio. Assim B(p; r) = x ∈ R : |x − p| < r = x ∈ R: − r < x − p < r = x ∈ R : p − r < x < p + r = p − r, p + r Bµ (p; r) = p − r, p + r

Geometricamente, temos

Bµ (p; r)

] p−r

sr

p

[

R

p+r

106

• No espa¸co (R, δ), temos B(p; r) =

x ∈ M : d(x, p) < r

1 1 = x ∈ R : δ(x, 3) < 2 2

B 3;

Nesta bola entram apenas os n´ umeros reais que satisfazem a inequa¸cão δ(x, 3) <

1 2

pela defini¸c˜ ao de δ, temos

(p. 15)

δ(x, 3) =

  1,  0,

se e s´ o se x 6= 3; se e s´ o se x = 3.

Portanto o u ńico n´ umero real que satisfaz a exigência δ(x, 3) < x = 3, pois δ(3, 3) = 0 < 12 . Logo B 3;

1 2

é

1 1 = x ∈ R : δ(x, 3) < = 3 . 2 2

Este é um exemplo de que na bola s´ o consta o seu pr´ oprio centro. A geometria da situa¸c˜ ao é a seguinte Bδ (3; 21 ) ⊣ 0

3.1.2

⊣ 1

⊣s 3

⊣ 2

R

Bolas na m´ etrica “zero-um”

2) Vamos agora caracterizar a bola aberta no espa¸co métrico (M, δ), onde M é um conjunto arbitrário. Na defini¸c˜ ao de bola aberta temos que r > 0. Vamos separar a nossa an´ alise em dois casos: 1o ) Suponhamos 0 < r ≤ 1. Considere p ∈ M , arbitrariamente fixado. Então: B(p; r) = x ∈ M : δ(x, p) < r ≤ 1

observe que se x 6= p ent˜ ao δ(x, p) = 1, logo a desigualdade δ(x 6= p, p) = 1 < r ≤ 1

n˜ ao é verdadeira. Isto é nenhum x 6= p pode fazer parte de uma bola com 0 < r ≤ 1. Por conseguinte Bδ (p; r) = p , para 0 < r ≤ 1. 107

2o ) Suponhamos r > 1. Considere p ∈ M , arbitrariamente fixado. Então B(p; r) = x ∈ M : δ(x, p) < r Como 0 ≤ δ(x, p) ≤ 1, ou ainda δ(x, p) ∈ { 0, 1 }, a desigualdade 0 ≤ δ(x, p) ≤ 1 < r estar´ a sempre satisfeita para todo x ∈ M . Por conseguinte Bδ (p; r) = M,

para r > 1.

Resumindo: A bola aberta no espa¸co métrico (M, δ) est´ a perfeitamente caracterizada como

Bδ (p; r) =

  p , se 0 < r ≤ 1; 

M,

(3.1)

se r > 1.

Por exemplo, seja M = Z4 . Considere p = 0101, então   0101 , se 0 < r ≤ 1; Bδ 0101; r =  Z4 , se r > 1.

3.1.3

Bolas no espa¸co quˆ antico

3) Bolas no Espa¸ co

[ 0, 1 [, k

− Vamos inicialmente, a t´ıtulo de exemplo, esbo¸car a bola de centro 0 e raio r = 14 no espa¸co [ 0, 1 [, k . Então:

1 1 = x ∈ [ 0, 1 [ : k(x, 0) < 4 4 1 = x ∈ [ 0, 1 [ : min{ |x − 0|, 1 − |x − 0| } < 4 Devemos resolver a inequa¸cão 1 min{ x, 1 − x < , para 0 ≤ x < 1. 4 Com o aux´ılio do gr´ afico da fun¸cão k(x, 0), na p. 18, chegamos ao seguinte resultado: 1 1 = x ∈ [ 0, 1 [ : min{ x, 1 − x } < Bk 0; 4 4 3 1 ,1 ∪ = 0, 4 4 Bk 0;

108

Geometricamente a bola pedida fica assim:

3 4

1 4

0

1

Isto significa, enfatizamos, que estes s˜ ao os pontos do intervalo [ 0, 1 [ cujas distˆ ancias para a origem s˜ ao menores que 14 = 0, 25. Podemos confirmar isto com o aux´ılio da régua quântica, observe:

3 4

1 4

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,4

0,3

[ 0, 1 [

0,2

0,1

1 INMETRO

0

1

− Vejamos ainda um outro exemplo. Esbo¸car a bola de centro ao: r = 38 no espa¸co [ 0, 1 [, k . Ent˜ Bk

1 3 1 3 ; = x ∈ [ 0, 1 [ : k x, < 4 8 4 8 n 1 = x ∈ [ 0, 1 [ : min x − , 1 − x − 4

Devemos resolver a inequa¸c˜ ao n 1 1 o 3 min x − , 1 − x − < , 4 4 8

1 4

e raio

1 3 o < 4 8

para 0 ≤ x < 1.

Inicialmente vamos tra¸car o gr´ afico das fun¸cões dadas por 1 f (x) = x − 4

Então |x|

1 g(x) = 1 − x − 4

e

f (x) = |x− 14 |

−1p

0

p

p

⇒

p1

x

−1p

109

0

1 4

p1

x

Para obter o gr´ afico da fun¸cão g procedemos assim − |x− 41 |

g(x) = 1− |x− 41 |

⇒

−1p

p

p

1

0

x

p1

1 4

−1p

↑

0

x

p1

1 4

Na figura a seguir (esquerda) superpomos os gr´ aficos de f e g: h(x)

f (x) 1

−1 p

0

p

p

1

x

p1

1 4

−1p

0

1 4

3 4

p1

x

g(x)

Na figura da direita plotamos o gr´ afico da fun¸cão h dada por h(x) = min f (x), g(x) , 0 ≤ x < 1.

Ou seja, percorrendo o intervalo [ 0, 1 [ − na figura da esquerda − tomamos a parte do gr´ afico que “est´ a por baixo”. Para resolver a inequa¸cão h(x) <

3 8

consideremos os gr´ aficos a seguir h(x) = k(x, 41 )

h(x)

r=

1

p

1

p

3 8

ց

−1 p

r= 0

1 4

3 4

p1

x

3 8

−1 p

0

1 4

5 7 8 8

p1

Para obter as interseçcões no gr´ afico à direita resolvemos as equa¸cões 1 3 f (x) = x − = 4 8

e 110

1 3 g(x) = 1 − x − = 4 8

x

Do u ´ltimo gr´ afico obtemos 1 3 n 3o ; = x ∈ [ 0, 1 [ : h(x) < 4 8 8

Bk

5 7 = 0, ,1 ∪ 8 8

Cujo esbo¸co geométrico é como a seguir t

p

1 4

0

1 2

5 8

7 8

1

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar que

Bk (0; r) =

  [ 0, r [ ∪ ] 1 − r, 1 [ , 

[ 0, 1 [ ,

se 0 < r ≤ 12 ;

(3.2)

se r > 12 .

Geometricamente, temos 0

r

1−r

1

0

Bk (0; r < 12 )

r

Bk (0; r = 21 )

1

0

1

Bk (0; r > 21 )

Nota: A figura do centro poderia ter sido incluida na figura da esquerda.

3.1.4

Bolas no plano

4) Bolas nos Espa¸ cos (R2 , Di ) − Vamos inicialmente, a t´ıtulo de exemplo, esbo¸car a bola de centro 0 e raio r = 1 no espa¸co (R2 , D1 ). Então: B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D1 (x, y); (0, 0) < 1 o n p = (x, y) ∈ R2 : (x − 0)2 + (y − 0)2 < 1

Sendo assim B (0, 0); 1 é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade p (x − 0)2 + (y − 0)2 < 1, 111

isto é, s˜ ao os pontos interiores à circunferência de equa¸cão: x2 + y 2 = 1.

R B((a, b); r)

R b 1

q

B((0, 0); 1)

s r

−1

1

R

0

R

ap

−1

Para um ponto p = (a, b) ∈ R2 arbitrário, a bola B (a, b ; r) é o conjunto dos pontos interiores ` a circunferência de equa¸cão: (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 .

− Agora vamos esbo¸car a bola de centro 0 e raio r = 1 no espa¸co (R2 , D2 ). Ent˜ ao: B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D2 (x, y); (0, 0) < 1 = (x, y) ∈ R2 : |x − 0| + |y − 0| < 1 Sendo assim B (0, 0); 1 é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade |x − 0| + |y − 0| < 1 isto é, s˜ ao os pontos interiores à circunferência de equa¸cão: |x| + |y| = 1. R

R b

q

1

s

B((0, 0); 1) −1

1

B((a, b); r)

r R

0

ap

R

−1

Para um ponto p = (a, b) ∈ R2 arbitrário, a bola B (a, b ; r) é o conjunto dos pontos interiores ` a circunferência de equa¸cão: |x − a| + |y − b| = r. 112

− A bola de centro 0 e raio r = 1 no espa¸co (R2 , D3 ) fica assim: B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B (0, 0); 1 = (x, y) ∈ R2 : D3 (x, y); (0, 0) < 1 = (x, y) ∈ R2 : max {|x − 0|, |y − 0|} < 1 Sendo assim B (0, 0); 1 é o conjunto dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade max {|x − 0|, |y − 0|} < 1 s˜ ao os pontos interiores ` a circunferência: max {|x|, |y|} = 1. R

R b

q

1

s

B((0, 0); 1) −1

1

B((a, b); r)

r

R

0

ap

R

−1

Para um ponto p = (a, b) ∈ R2 arbitrário, a bola B (a, b ; r) é o conjunto dos pontos interiores ` a circunferência de equa¸cão: max {|x − a|, |y − b|} = r.

3.1.5

Bolas no quadrado quˆ antico

5) A t´ıtulo de exemplo construiremos agora a bola BD (0, 0); 41 e deixare1 mos como exerc´ıcio ao leitor a constru¸cão desta mesma bola nas duas outras métricas. Temos, (eq. (2.11), p. 97) n 1o 1 BD (0, 0); = (x, y) ∈ [ 0, 1 [ ×[ 0, 1 [ : D1 (x, y); (0, 0) < 1 4 4

Pertencem a esta bola todos os pontos do quadrado que satisfazem a desigualdade: q 1 D1 (x, y); (0, 0) = k2 (x, 0) + k2 (y, 0) < 4

Temos,

k(x, 0) = min |x − 0|, 1 − |x − 0| = min x, 1 − x k(y, 0) = min |y − 0|, 1 − |y − 0| = min y, 1 − y 113

Estas equa¸c˜ oes desdobram-se em cada um dos “quadrantes” da seguinte forma: (eq. (1.2), p. 18) 1 k(x, 0) = 1−x

k(y, 0) = 1−y

k(y, 0) = 1−y

k(x, 0) = x

k(x, 0) = 1−x

k(y, 0) = y

k(y, 0) = y

¬

k(x, 0) = x

1 2

¬1

0

1

2

Sendo assim, temos: k(x, 0) = x,

k(y, 0) = y

⇒

II )

k(x, 0) = 1 − x,

k(y, 0) = y

⇒

III )

k(x, 0) = 1 − x,

k(y, 0) = 1 − y

⇒

IV )

k(x, 0) = x,

k(y, 0) = 1 − y

⇒

I)

p

(x − 0)2 + (y − 0)2 <

1 4

p

(x − 1)2 + (y − 0)2 <

1 4

p

(x − 1)2 + (y − 1)2 <

1 4

p

(x − 0)2 + (y − 1)2 <

1 4

Tomando a interse¸c˜ ao de cada uma das respectivas circunferências com o quadrado unit´ ario obtemos a bola aberta procurada, assim: (` a direita)

(0, 1)1

(1, 1)

3 4

¬

=⇒

1 2

(0, 0)

0

1 4

¬

1 4

1 2

3 4

1

(1, 0)

114

Topologia quˆ antica

Tudo deve ser baseado em uma id´ eia simples. Depois de a descobrirmos ela ser´ a t˜ ao irresist´ıvel, t˜ ao bela, que comentaremos entre n´ os, sim, n˜ ao poderia ser diferente.

(John Wheeler, f´ısico)

As ondas de De Broglie Em 1924 o f´ısico francês Louis De Broglie levantou a conjectura de que a matéria, em certas circunstâncias, poderia ter caracter´ısticas ondulatórias, o que foi confirmado experimentalmente em 1927 através dos experimentos de C. J. Davisson e L.H. Germer, dos Bell Telephone Laboratories. Observamos que a conjectura de De Broglie foi decisiva para o estabelecimento da f´ısica quântica e, por conseguinte, diretamente respons´ avel por todo o desenvolvimento tecnol´ ogico que ora desfrutamos. Por outro lado, a proposta de De Broglie teve também profundas repercussões filos´ oficas. Por exemplo, inspirado nas ondas de De Broglie associaremos a um ponto geométrico uma onda e da´ı derivaremos toda uma série de consequências interessantes. Apenas para espica¸car a curiosidade do leitor, afirmamos que na figura a seguir t

A

P 0

p

2 3

1 3

1

conseguimos mover o ponto P até a posi¸cão A, do outro lado, sem passar pelo hiato central − e sem abandonar o conjunto, constituido pelos dois peda¸cos de reta. (p. 384)

Ondas geom´ etricas Dado um ponto p, no universo [ 0, 1 [ n , e um n´ umero r > 0, definiremos a onda associada ao ponto p (ou de centro em p) e raio r como: O = x ∈ [ 0, 1 [ n : d(x, p) < r

Leia-se: A onda de centro p e raio r > 0 é o conjunto de todos os pontos do espa¸co (hipercubo) tais que suas distˆ ancias para p é menor que r. 115

Ou seja, uma onda é uma bola aberta, estamos apenas − inspirados nas ondas de De Broglie − mudando a nomenclatura no presente contexto. Defini¸ c˜ ao 11. Seja (M, d) um espa¸co métrico, R ⊂ M uma regi˜ ao (subconjunto) de M , e p um ponto de M. Dizemos que o ponto p encontra-se na regi˜ ao R se e s´ o se sua distˆ ancia para esta regi˜ ao for nula.

Na p´ agina 48 mostramos que é nula a distˆ ancia da origem para o conjunto X na figura a seguir: s

0

1

1 2

X

De outro modo: A origem encontra-se nesta regi˜ ao. Agora estamos em condi¸c˜ oes de ver este fenômeno de uma nova perspectiva. De fato, oportuao se, namente estaremos provando que “um ponto encontra-se em uma regi˜ (cor. 8, p. 211) e somente se, sua onda intercepta essa regi˜ ao”. Mais precisamente (em s´ımbolos): d(p, R) = 0 ⇐⇒ O(p; r) ∩ R = 6 ∅;

∀ r > 0.

Da equa¸c˜ ao (3.2) (p. 111) concluimos que toda “Onda” de centro na origem intercepta o conjunto X (ou regi˜ ao R) na figura anterior, veja: O

s

O

0

R

1 2

1

Esta é precisamente a raz˜ ao pela qual o ponto encontra-se na regi˜ ao. De igual modo, a raz˜ ao pela qual a origem encontra-se presente nas quatro regi˜ oes da figura a seguir (esquerda) (p. 98)

s

0

R4

R3

R1

R2

s

s

é que toda Onda de centro nela (fig. do centro) intercepta as quatro regi˜ oes ao se, e (fig. ` a direita). Resumindo: Um ponto encontra-se em uma dada regi˜ somente se, toda onda “gerada por esse ponto” − ou associada a esse ponto − intercepta a regi˜ ao. 116

Uma m˜ ao “leva ` a outra” Os nossos resultados topol´ ogicos tornam plaus´ıvel matem´ aticamente a afirmativa quântica de que um objeto pode estar em vários lugares ao mesmo tempo. De fato, se isto pode se d´ a com um ponto geométrico, que é sem dimensão, com mais raz˜ ao ainda podemos concordar que possa verificar-se com uma part´ıcula quântica (que é um “ente”). Digo, n˜ ao temos porque duvidar desta afirmativa quântica uma vez que a matem´ atica afirma o mesmo relativamente a um ponto geométrico − que, “pior ainda”, é indimensional. Por outro lado, alguns poderiam manter uma postura reservada em rela¸cão aos nossos resultados, ou até mesmo rejeitá-los, com a justificativa de que eles est˜ ao totalmente distantes da “realidade”. Veja bem, toda a fundamenta¸cão lógica (matem´ atica) para os nossos resultados recai no fato de que ` a origem associamos uma onda e, por conta desta, a mesma encontra-se “presente” nos quatro “cantos do mundo”. Ora, sendo assim essa conclusão n˜ ao est´ a “tão distante” da realidade uma vez que a f´ısica quântica nos assegura o mesmo em rela¸cão a um objeto quântico: “Uma experiência muito recente mostrou que uma part´ıcula pode estar em até 3 mil lugares! O mesmo ‘objeto’ pode aparentar ser uma part´ıcula, localizada em um lugar determinado, ou uma onda. (p. 98) Se, por ventura, o leitor ainda sente dificuldade em compreender como uma Onda pode conectar objetos aparentemente distantes, vejamos uma analogia. Na figura a seguir imagine que você é o pontinho e que as regi˜ oes em destaque sejam três televisões, veja:

T.V.1

T.V.2

T.V.3

s

↑

Você

Pois bem, para que o leitor esteja conectado simultˆ aneamente aos três televisores basta ter em m˜ aos um controle remoto. Observe que a sua “presen¸ca” se faz sentir em vários lugares ao mesmo tempo gra¸cas a uma onda − desta vez eletromagnética. 117

3.1.6

Bolas nos espa¸cos de c´ odigos

6) Consideremos o conjunto de s´ımbolos S4 = 0000, 1000, 0100, 1100, 0010, 1010, 0110, 1110, 0001, 1001, 0101, 1101, 0011, 1011, 0111, 1111 Seja p = 0101 e r = 2. No espa¸co Z4 , σ , temos B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r B 0101; 2 = x ∈ Z4 : σ(x, 0101) < 2 As sequências de Z4 que pertencem à bola procurada s˜ ao aquelas que satisfazem a desigualdade 4 X |xn − pn | < 2 σ(x, 0101) = n=1

= |x1 − 0| + |x2 − 1| + |x3 − 0| + |x4 − 1| < 2 Ou ainda, que satisfazem x1 + |x2 − 1| + x3 + |x4 − 1| < 2 Observe que n˜ ao podemos ter x2 = x4 = 0 ou x1 = x3 = 1. Sendo assim obtemos Bσ 0101; 2 = 0100, 0001, 0101, 1101, 0111

3.1.7

x1 x2 x3 x4

0 1 0 X1 0 1 X0 1 0 X1 0 1 X0 1 0 1

0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

Bolas nos espa¸cos de fun¸ c˜ oes

7) • Bolas no espa¸co C[a, b], Γ . Consideremos a fun¸cão g : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ 0 Isto é, g é a fun¸c˜ ao identicamente nula (g ≡ 0).

Tomemos r = 12 . Vamos fazer algumas elucubra¸cões sobre a bola 1 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : Γ(f, g) < B g; 2 2 Z 1 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : |f (x) − g(x)| dx < 2 0 Z 1 1 |f (x) − 0| dx < = f ∈ C[ 0, 1 ] : 2 0 118

0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

0 X 0 X 0 0 0 X 0 X 0 0 X 1 1 1 1 1 1 X 1 1 X

Têm livre acesso a esta bola todas as fun¸cões cont´ınuas, com dom´ınio no intervalo [ 0, 1 ], que satisfazem a desigualdade Z 1 1 |f (x)| dx < . 2 0 Ou ainda: pertencem ` a bola em questão todas as fun¸cões f , cont´ınuas e com dom´ınio no intervalo [ 0, 1 ], cuja a´rea sob o gr´ afico de |f | n˜ ao excede 0, 5.

Exemplos: a) Perguntamos: a fun¸c˜ ao

pertence ` a bola B Γ 0;

1 2

Solu¸ ca õ:

Temos:

Z

1

x2 dx =

0

x3 3

f : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ y = x2 ? f (x)

1

= 0

1 1 < 3 2 1

q

0

x

q1

Resposta: Sim. b) Perguntamos: a fun¸c˜ ao

pertence ` a bola B Γ 0;

1 2

f : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ y = sen x ?

Solu¸ ca õ: Temos:

Z

1 0

1

sen x dx = − cos x

f (x)

0

= 1 − cos 1

1

1 2

0

≈ 0, 46 <

q

Resposta: Sim. 119

q1 q π2

qπ

x

c) Perguntamos: a fun¸cão f : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ y = cos x pertence ` a bola B Γ 0; Solu¸ c˜ ao:

1 2

? f (x)

Temos:

Z

1

1

1

q

cos x dx = sen x

0

0

= sen 1 ≈ 0, 84 >

1 2

π 2

q1 q

0

x

qπ

Resposta: Não. • Bolas no espa¸co C[a, b], Υ Consideremos a fun¸cão:

g : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ 0

Tomemos r = 12 . Vamos fazer algumas elucubra¸cões sobre a bola B g;

1 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : Υ(f, g) < 2 2 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : max{ |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] } < 2 1 = f ∈ C[ 0, 1 ] : max{ |f (x)| : x ∈ [ 0, 1 ] } < 2

Têm livre acesso a esta bola todas as fun¸cões cont´ınuas, com dom´ınio no intervalo [ 0, 1 ], que satisfazem a desigualdade

Isto equivale a

1 max |f (x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < 2

|f (x)| < 0, 5 ; ∀ x ∈ [ 0, 1 ] ⇒ −

1 1 < f (x) < ; ∀ x ∈ [ 0, 1 ]. 2 2 y 1 2

1 2

Isto é, pertencem ` a bola BΥ 0; todas as fun¸c˜ oes reais cont´ınuas, com dom´ınio [ 0, 1 ], cujos gr´ aficos situam-se na faixa retangular ao lado. 120

q

r 1 0 r − 12 q

x g= 0

De um modo geral é sempre poss´ıvel “visualizarmos” as bolas no espa¸co C[a, b], Υ . Sendo B(g; r) = f ∈ C[a, b] : Υ(f, g) < r = f ∈ C[a, b] : max {|f (x) − g(x)| : x ∈ [ a, b ] } < r Temos a seguinte equivalência

max { |f (x) − g(x)| : x ∈ [ a, b ] } < r ⇐⇒ |f (x) − g(x)| < r, ∀x ∈ [ a, b ]. Isto é, pertencem ` a bola B(g; r) todas as fun¸cões f ∈ C[a, b] tais que g(x) − r < f (x) < g(x) + r ; a ≤ x ≤ b. Lembramos que g ∈ C[a, b] é uma fun¸cão a priori fixada. Pertencem à bola B(g; r) as fun¸c˜ oes cont´ınuas f : [ a, b ] −→ R cujos gr´ aficos situam-se entre os gr´ aficos de g − r e g + r. Geometricamente esta bola fica assim: y

2r

g+r

g

f

g−r

0

3.1.8

a

b

x

Bolas em subespa¸cos

Dado um espa¸co métrico (M, d) e um subconjunto N ⊂ M , o nosso objetivo agora ser´ a estudar as bolas abertas no subespa¸co (N, d). Dado p ∈ N e r > 0 a bola de centro p e raio r no “espa¸co universo” (M, d) continuar´ a a ser indicada por B(p; r), ou por Bd (p; r) quando houver necessidade de explicitar a métrica. Enquanto a sub-bola, digo, a bola no subespa¸co (N, d) ser´ a indicada por B(p; r). Por defini¸c˜ ao temos B(p; r) = { x ∈ N : d(p, x) < r } Sendo B(p; r) = { x ∈ M : d(p, x) < r } 121

deixamos como exerc´ıcio ao aluno mostrar que a sub-bola de centro p e raio r é igual ` a bola no “espa¸co universo” interceptada com o conjunto N : B(p; r) = B(p; r) ∩ N Veremos agora que as bolas em um dado subespa¸co s˜ ao, ami´ ude, totalmente diferentes daquelas no “espa¸co universo”. Exemplos: (1) Consideremos o espa¸co métrico R, µ . Seja N = { 0 } ∪ [ 1, 2 [. Encontre − e esboce − no subespa¸co N, µ as seguintes bolas: 1 2

a) B 0;

b) B 0;

3 2

c) B 1;

1 2

(exerc´ıcio)

Solu¸ c˜ ao: a) Para encontrar B 0; 21 temos duas alternativas: encontrando diretamente da defini¸c˜ ao ou calculando a bola no espa¸co universo e fazendo a interse¸c˜ ao com N . Vamos optar pela segunda alternativa. Temos B 0; 21 = − 12 , 21 , então 1 1 = B 0; ∩N 2 2 1 1 ∩ { 0 } ∪ [ 1, 2 [ = 0 . = − , 2 2

B 0;

s

[

−1 2

]

[

1

0

N

2

s [ 1

0

B(0; 21 )

2

s

B(0; 12 )={ 0 }

0

b) Temos B 0; B 0;

3 2

s

]

− 32 ,

3 2

3 3 = B 0; ∩N 2 2 3 3 ∩ = − , 2 2 0

−3 2

=

[

s s

0

, então

3 { 0 } ∪ [ 1, 2 [ = 0 ∪ 1, . 2 [2

1

0

N

[3

B(0; 23 )

[3

B(0; 23 )={ 0 } ∪ 1, 32

2

[

1

2

122

(2) Considere o seguinte subconjunto de R2 N = S 1 = { (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 } Fa¸ca um esbo¸co − nos subespa¸cos (S 1 , Di ) (i = 1, 2, 3.) − das bolas a) BD (1, 0); 12 b) BD (0, 1); 43 c) BD (1, 0); 34 1

2

3

Solu¸ c˜ ao: Nos subespa¸cos (S 1 , Di ) uma bola aberta consiste de um arco de c´ırculo, aberto nas extremidades, assim a) R 1 S1

ւ

r

0

−1

R

⇒ BD ((1, 0); 12 )

ւ

1

R

r

0

BD((1, 0); 21 ) 1

R

−1

b) R

S

r

1

−1

0

ւ

BD ((0, 1); 43 ) 2

1

R

⇒

r ւ

R

BD ((0, 1); 34 ) 2

R

0

−1

c) R 1 S1 −1

0

R

⇒

r

ւ

BD ((1, 0); 43 ) 3

BD ((1, 0); 34 ) 3

ւ R

0

−1

123

r

R

3.1.9

Bolas no espa¸co produto

J´ a esbo¸camos

a bola aberta no espa¸co R2 , D3 , onde D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, |x2 − y2 |

(p. 113)

Alternativamente podemos escrever BD (a, b); r =] a − r, a + r [ × ] b − r, b + r [ 3 Isto é, BD (a, b); r é o produto cartesiano das bolas de centro a e raio r e 3 de centro b e raio r, ambas no espa¸co ( R, µ ). Em s´ımbolos: BD (a, b); r = Bµ (a; r) × Bµ (b; r) 3

Geometricamente temos

b+r

[

R

b −r

s

]

b

]

0

a−r

s

[

a

R

a+r

Este é um caso particular do seguinte resultado: Proposi¸ c˜ ao 4. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸cos métricos e consideremos sobre M = M1 × M2 × · · · × Mn a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn )

onde x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) e y = ( y1 , y2 , . . . , yn ) s˜ ao ponto de M . Fixe um ponto p = (p1 , p2 , . . . , pn ) ∈ M . Nestas condi¸co ˜es a seguinte identidade é v´ alida BD (p; r) = Bd (p1 ; r) × Bd (p2 ; r) × · · · × Bdn(pn ; r) 3

1

2

Prova: Seja x = ( x1 , x2 , . . . , xn ) um ponto arbitrário de M . Então: x ∈ BD (p; r) ⇐⇒ max d1 (x1 , p1 ), . . . , dn (xn , pn ) < r 3

⇐⇒ di ( xi , pi ) < r (i = 1, 2, . . . , n)

⇐⇒ xi ∈ Bd ( pi ; r) (i = 1, 2, . . . , n) i

⇐⇒ x ∈ Bd (p1 ; r) × Bd (p2 ; r) × · · · × Bdn(pn ; r) 1

2

124

Exemplo: Temos BD (0, 0); 3

1 1 1 = Bk 0; × Bk 0; 4 4 4 1 3 1 3 = 0, × 0, ,1 ,1 ∪ ∪ 4 4 4 4

Geometricamente esta bola fica assim: 1 3 4

=⇒

¬

1 2

Bola

1 4

1 4

¬

0

1 2

3 4

1

Seria bom o leitor rever o diagrama de bolas abertas à p´ agina 111. Na esteira deste panorama o estudante, a t´ıtulo de treinamento, pode tentar esbo¸car a seguinte bola aberta:

3.1.10

1 3 1 BD ( , ); 3 4 4 3

Proposi¸c˜ oes sobre Bolas

Provaremos − e interpretaremos − algumas propriedades das bolas abertas B(p; r) de um espa¸co métrico (M, d); genérico. (P1 ) Dadas B(p; r) e B(p; s), se s ≤ r, então B(p; s) ⊂ B(p; r). Isto é: Se duas bolas têm o mesmo centro, a de menor raio est´ a contida na outra. Embora isto pare¸ca trivial, em matem´ atica devemos sempre desconfiar do óbvio. Por exemplo, daqui a pouco mostraremos ao leitor que existem bolas cujo raio é maior que o pr´ oprio diˆ ametro! Prova: Seja x ∈ B( p; s) ent˜ ao d(x, p) < s, logo d(x, p) < s ≤ r ⇒ d(x, p) < r ⇒ x ∈ B(p; r).

Portanto B(p; s) ⊂ B(p; r).

125

(P2 ) Dado q ∈ B(p; r), então existe s > 0 tal que B(q; s) ⊂ B(p; r). Isto é: Escolhido um ponto qualquer de uma bola aberta, podemos tornar este ponto o centro de uma nova bola aberta contida na primeira. Prova: Como q ∈ B(p; r) temos que d(p, q) < r. A figura da esquerda nos B(p; r)

B(p; r) r

r

p

rs

r

q

d(p, q)

p

r rx ←

q

B(q; s)

sugere escolher s = r − d(p, q) > 0. Mostremos que para esta escolha de s efetivamente se verifica B(q; s) ⊂ B(p; r). Seja x ∈ B(q; s), então d(x, q) < s = r − d(p, q) ⇒ d(x, q) + d(p, q) < r A desigualdade triangular nos autoriza escrever

(3.3)

(fig. da direita)

d(x, p) ≤ d(x, q) + d(p, q) nos valendo da desigualdade (3.3) decorre que d(x, p) < r, o que implica x ∈ B(p; r). Como x ∈ B(q; s) é arbitrário, segue que B(q; s) ⊂ B(p; r). (P3 ) Sejam B(p; r) e B(q; s) bolas que se interceptam. Para todo x ∈ B(p; r) ∩ B(q; s), existe t > 0 satisfazendo B(x; t) ⊂ B(p; r) ∩ B(q; s) Isto é: Escolhido qualquer ponto na interseçcão de duas bolas abertas, podemos centrar neste ponto uma terceira bola contida nesta interse¸cão. Prova: Seja x ∈ B(p; r)∩ B(q; s), então x ∈ B(p; r) e x ∈ B(q; s). Devido a propriedade (P2 ) existem t1 > 0 e t2 > 0 tais que ` B(x; t1 ) ⊂ B(p; r) e B(x; t2 ) ⊂ B(q; s) Daqui segue que B(x; t1 ) ∩ B(x; t2 ) ⊂ B(p; r) ∩ B(q; s) Seja t = min {t1 , t2 }, então pela propriedade (P1 ), temos as inclusões B(x; t) ⊂ B(x; t1 )

e

B(x; t) ⊂ B(x; t2 )

portanto, B(x; t) ⊂ B(x; t1 ) ∩ B(x; t2 ) 126

(3.4)

de (3.4) conclu´ımos que B(x; t) ⊂ B(p; r) ∩ B(q; s)

que é o resultado desejado.

(P4 ) Sejam p 6= q pontos de um espa¸co (M, d). Então podemos centrar em cada um destes pontos, bolas abertas disjuntas. Prova: Como p 6= q ⇒ d(p, q) > 0. Vamos tomar r = d(p, q) e mostrar que, por exemplo, as bolas B p; 2r e B q; 2r s˜ ao disjuntas. (M, d)

p

r

rq

⊢ ⊣ r = d(p, q)

Suponha, ao contr´ ario, que exista w ∈ B p; 2r ∩ B q; 2r . Então d(w, p) < r2 e d(w, q) < 2r . Donde, invocando a desigualdade triangular, temos r r r = d(p, q) ≤ d(p, w) + d(w, q) < + = r. 2 2 Esta contradi¸c˜ ao mostra que a nossa suposi¸cão (qual seja: a de que existe um elemento na interse¸c˜ ao das bolas) é falsa. (P5 ) Sejam as bolas B(p; r) e B(q; s), se r + s ≤ d(p, q), então B(p; r) ∩ B(q; s) = ∅ Isto é: Se a soma dos raios é menor ou igual à distˆ ancia entre os centros, então estas bolas precisam ser disjuntas. Prova: Suponha, contrariamente, que exista w ∈ B(p; r) ∩ B(q; s). Então d(w, p) < r e d(w, q) < s. Donde, invocando a desigualdade triangular: d(p, q) ≤ d(p, w) + d(w, q) < r + s ≤ d(p, q). Esta contradi¸c˜ ao mostra que a nossa suposi¸cão (qual seja: a de que existe um elemento na interse¸c˜ ao das bolas) é falsa. (P6 ) O diˆ ametro de uma bola B(p; r) é menor ou igual a 2r. − Isto é, em qualquer espa¸co métrico a seguinte desigualdade sempre se verifica diam B(p; r) ≤ 2r.

Prova: Queremos mostrar que diam B(p; r) = sup d(x, y) : x, y ∈ B(p; r) ≤ 2r. 127

Sejam x e y pontos arbitrários de B(p; r), logo d(x, p) < r e d(y, p) < r, ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, p) + d(p, y) < r + r = 2r. portanto, 2r é uma cota superior do conjunto d(x, y) : x, y ∈ B(p; r) e, sendo sup d(x, y) : x, y ∈ B(p; r) a menor de tais cotas, disto segue o resultado desejado.

Como corol´ ario: toda bola aberta é um conjunto limitado. (p. 53) Proposi¸ c˜ ao 5. Num espa¸co vetorial real E, +, · , normado, com E 6= { 0 } sempre vale a seguinte igualdade diam B(p; r) = 2r. Prova: Qualquer que seja r > 0, temos três possibilidades: diam B(p; r) > 2r ou diam B(p; r) = 2r ou diam B(p; r) < 2r

Pela propriedade (P6 ) descartamos a primeira possibilidade. Sendo diam B(p; r) = sup d(x, y) : x, y ∈ B(p; r)

para excluir a terceira das possibilidades acima, devemos mostrar que nen hum n´ u mero s < 2r pode ser cota superior do conjunto d(x, y) : x, y ∈ B(p; r) . Isto é, que 2r é efetivamente a menor de tais cotas. Ou ainda, que 2r = sup d(x, y) : x, y ∈ B(p; r) = diam B(p; r) .

Para tanto é suficiente encontrar (construir) dois vetores x, y ∈ B(p; r) tal que d(x, y) > s. Tomemos 0 6= u ∈ E, vamos construir − a partir de u − os vetores x e u y satisfazendo a desigualdade acima. Inicialmente obtemos os vetores kuk e −u ario. Como entre dois n´ umeros reais sempre kuk ambos de comprimento unit´ existe um terceiro, vamos escolher um n´ umero real ε satisfazendo s < ε < 2r e multiplicar os dois vetores anteriores por ε/2. Com isto asseguramos que −u ε u ε em comprimentos menores que os novos vetores kuk 2 e kuk 2 assim obtidos, tˆ o raio r da bola. Para obter os vetores x e y aplicamos, aos dois u ´ltimos vetores, a seguinte transla¸cão: p+

u ε −u ε =x , p+ =y kuk 2 kuk 2

Vamos mostrar que, de fato, estes vetores cairam dentro da bola:

±u ε k ± uk ε ε

=

= < r. kx − pk = ky − pk =

kuk 2 kuk 2 2 128

Resta mostrar que d(x, y) > s. Com efeito,

u ε −u ε

= kuk ε = ε > s. d(x, y) = kx − yk = p + − p+ kuk 2 kuk 2 kuk

3.1.11

Ponto isolado − Espa¸cos discretos

Defini¸ c˜ ao 12 (Ponto Isolado). Seja um espa¸co métrico (M, d). Dado um ponto p ∈ M , se existir r > 0 de modo que { p } = B(p; r), ent˜ ao dizemos que p é um ponto isolado no espa¸co (M, d). Isto significa que n˜ ao existe ponto x ∈ M satisfazendo a desigualdade 0 < d(x, p) < r. Ou ainda: p ∈ M é isolado no espa¸co (M, d) se n˜ ao existe ponto de M a uma distˆ ancia de p menor que r. Observa¸ c˜ ao: Para mostrar que um ponto p ∈ M n˜ ao é isolado no espa¸co (M, d): ∀ r > 0 dado, devemos exibir um outro ponto x = xr ∈ M tal que xr ∈ B(p; r). Isto é, 0 < d(xr , p) < r. Exemplos: a ) No espa¸co (R, δ) todo n´ umero real é isolado. De fato, já vimos que se 0 < r ≤ 1 ⇒ Bδ (p; r) = { p }, ∀ p ∈ R. b ) No espa¸co (R, µ) nenhum n´ umero real é isolado. De fato, neste espa¸co a bola aberta de centro p e raio r coincide com o intervalo aberto Bµ (p; r) =] p − r, p + r [ = p + 2r , satisfaz 0 < d(xr , p) < r, Por exemplo, o ponto xr = p+p+r 2 pois xr 6= p e r r µ(xr , p) = (p + ) − p = < r. 2 2 s

Bµ(p; r)

] p−r

s

xr

p

[

R

p+r

c ) No espa¸co (Z, µ) todo ponto é isolado. De fato, dado p ∈ Z e r = 12 , por exemplo, temos Bµ p;

1 1 = x ∈ Z : |x − p| < 2 2 1 1 = { p }. = x ∈ Z: p − < x < p + 2 2 129

p− 12

s

s

]

p −1

p+ 21

s

[

p

Z

p+1

Observe que um n´ umero inteiro qualquer, é isolado no espa¸co (Z, µ) mas n˜ ao no espa¸co (R, µ). d ) O ponto p = 0101 é isolado em qualquer um dos espa¸cos Z4 ; σ, ρ, τ . De fato, isso se deve a que, Bσ 0101; 1 = x ∈ Z4 : σ(x, 0101) < 1 = { 0101 } Bρ 0101; 1 = x ∈ Z4 : ρ(x, 0101) < 1 = { 0101 } Bτ 0101; 1 = x ∈ Z4 : τ (x, 0101) < 1 = { 0101 } Observe que se x ∈ Z4 , então,

σ(x, 0101) ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 }

ρ(x, 0101) ∈ { 0, 1, 2, . . . , 9, 10 }

τ (x, 0101) ∈ { 0, 1, 2, 3, 4 } e ) Sendo X = n1 : n ∈ N ∪ { 0 }, todos os pontos de X, à exce¸cão do 0, s˜ ao isolados no espa¸co (X, µ). De fato, dado r > 0, podemos invocar a propriedade arquimediana para mostrar que 0 n˜ ao é isolado: Escolhemos n = nr ∈ N de modo que n1 < r, r portanto 1 1 1 , 0 = − 0 = < r. µ nr nr nr

Por outro lado, dado p = 1 . de p é x = n+1 s

0

Sendo,

1 n

··· s

1 n+1

µ(x, p) =

basta escolher r = rn <

∈ X o ponto de X que est´ a mais pr´ oximo

1 n(n+1)

s

s ···

1 n

1 n−1

s

1

1 1 1 − = n+1 n n(n + 1)

para isolar p.

1 e o ponto Resumindo: dado p = n1 ∈ X escolhemos r = rn < n(n+1) 1 mais pr´ oximo de p que é x = n+1 estar´ a fora da bola B(p; rn ), porquanto

r < µ(x, p) =

1 n(n + 1)

Vejamos um exemplo: Para isolar o ponto r<

1 1 = 3(3 + 1) 12 130

1 3

∈ X, é suficiente escolher

s

0

rrrrr r r r] r

...

1 4

1 3

[

r

r

1 2

1

f ) Ao contr´ ario dos espa¸cos ZN , nos quais todos os pontos s˜ ao isolados, no ∞ espa¸co (Z , ν) nenhum ponto é isolado. De fato, seja p = p1 p2 . . . ∈ Z∞ , para todo r > 0 dado, devemos

exibir x = x1 x2 . . . ∈ Z∞ de modo que 0 < ν(x, y) < r.

Dado r > 0 escolhemos n ∈ N tal que 21n < r. Então, de acordo com a proposi¸c˜ ao 1 (p. 44) se escolhermos x coincidindo com p nas n primeiras posi¸cões teremos ν(x, p) < r. Para garantir ν(x, y) > 0, isto é, x 6= p basta escolher um termo de x, ap´ os a posi¸c˜ ao n, diferente do termo de mesma posi¸cão de p. Por exemplo, o ponto x = p1 . . . pn p¯(n+1) p(n+2) p(n+3) . . . onde, p¯(n+1) =

  1, se p = 0; (n+1)  0, se p = 1. (n+1)

satisfaz as exigências mencionadas. Observe que a sequência x coincide com a sequência p em todas as posi¸cões, exceto na de n´ umero n + 1. Sendo assim, temos ν(x, p) =

∞ X 1 1 |xi − pi | = n+1 < n < r i 2 2 2 i=1

Resumindo: Dado p = ( pj ) ∈ Z∞ e r > 0, para mostrar que p n˜ ao é 1 isolado, escolhemos j ∈ N tal que j < r e tomamos 2

x = (xn ) ∈ Z∞ onde xj 6= pj e xn = pn , ∀ n ∈ N − {j}. ´ o Em espa¸cos vetoriais reais, normados, n˜ ao existem pontos isolados. E que nos garante a seguinte Proposi¸ c˜ ao 6. Num espa¸co vetorial real E, +, · , normado, com E 6= { 0 } n˜ ao existem pontos isolados. Prova: Dados, arbitrariamente, u ∈ E e r > 0 devemos exibir w = wr ∈ E de modo que 0 < d(u, wr ) < r. Escolhamos em E qualquer vetor v 6= u e consideremos o segmento de reta (p. 617) [ u, v ] =

(1 − t) u + t v : 0 ≤ t ≤ 1 131

Agora vamos determinar 0 < t ≤ 1 de tal modo que o vetor w = (1 − t)u + tv caia dentro da bola B(u, r). Isto é tal que d(u, w) = ku − wk < r. (E, k · k) B(u, r)

u t=0

ws

v t=1

t=?

Ent˜ ao, w − u = (1 − t) u + t v − u = (−u + v) t

logo kw − uk = k(−u + v) tk = t ku − vk < r portanto é suficiente escolher 0
r ku − vk

De modo mais preciso 0 < t < min

r ,1 ku − vk

Nota: Observe que, por exemplo, Zn , k · k (p. 86) é um espa¸co vetorial normado no qual todos os pontos s˜ ao isolados. Isto contradiz a proposi¸cão anterior? Observe que a demonstra¸cão anterior pode ser particularizada para uma infinidade de espa¸cos métricos. Por exemplo, para os seguintes: ( Rn , Di ) (i = 1, 2, 3.) (n = 1, 2, . . .) C[a, b], Γ ; C[a, b], Υ ; B(X, R), Ψ .

haja vista que a métrica de todos estes espa¸cos s˜ ao oriundas de uma norma. Defini¸ c˜ ao 13 (Espa¸co Discreto). Um espa¸co métrico é dito discreto quando todos os seus pontos s˜ ao isolados. 132

Como exemplos de espa¸cos discretos citamos: N

N

N

Z ,σ ; Z ,ρ ; Z ,τ

; R, δ

;

Z, µ

;

1 1 1, , . . . , , . . . , µ 2 n

Observe que qualquer conjunto M munido da métrica δ resulta em um espa¸co métrico discreto. Da´ı esta ser também conhecida como métrica discreta. Proposi¸ c˜ ao 7. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se M é finito ent˜ ao (M, d) é discreto. Prova: Seja M = a1 , a2 , . . . , an . Escolhendo r = min d(ai , aj ) : ai , aj ∈ M e i 6= j

nenhum aj ∈ M satisfaz d(ai , aj ) < r, a menos que j = i. Portanto B(ai , r) = { ai }. ∗

∗

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133

∗

3.2

Exerc´ıcios

1) Prove a seguinte identidade   [ 0, r [ ∪ ] 1 − r, 1 [ , Bk (0; r) =  [ 0, 1 [ ,

(p. 111)

se 0 < r ≤ 12 ; se r > 12 .

2) Encontre, pela defini¸cão, e fa¸ca um esbo¸co geométrico da seguinte bola aberta Bk 83 ; 14 .

3) Encontre, pela defini¸cão, e fa¸ca um esbo¸co geométrico das seguintes bolas abertas: b ) BD (0, 0); 14 a ) BD (0, 0); 14 3

2

4) Encontre e fa¸ca um esbo¸co geométrico da seguinte bola aberta 1 3 1 , ; BD 3 4 4 3 5) Encontre as seguintes bolas abertas: Bρ 0101; 2 e Bτ 0101; 2 . 6) Prove as seguintes igualdades:   p , Bσ p; r =  N Z ,   p , Bρ p; r =  N Z ,   p , Bτ p; r =  N Z ,

se 0 < r ≤ 1; se r > N. se 0 < r ≤ 1; se r > 2N − 1. se 0 < r ≤ 1; se r > N.

7) Considere o espa¸co métrico R, µ . Seja N = [ 1, 3 [. Encontre − e es boce − no subespa¸co N, µ as seguintes bolas: a) B 1; 1

b) B 2; 2

c) B 3; 1

8) No espa¸co Z, µ encontre a bola B(n; r), onde n é um inteiro arbitrariamente fixado e 0 < r ≤ 1.

Depois conclua que todos os pontos de um espa¸co podem ser isolados sem que a métrica seja a “zero-um”.

9) Dê exemplo de dois subconjuntos discretos X, Y ⊂ R tais X ∪ Y n˜ ao resulte discreto. 134

10) Seja N = { (x, y) ∈ R2 : x ≥ 1 }, fa¸ca um esbo¸co geométrico das seguintes (sub)bolas abertas: a ) BD (1, 1); 1 b ) BD (1, 1); 1 c ) BD (1, 1); 1 1

2

3

R2

11) Seja N = { (x, y) ∈ : y ≥ 1 }, fa¸ca um esbo¸co geométrico das seguintes (sub)bolas abertas: a ) BD (−1, 1); 1 b ) BD (−1, 1); 1 c ) BD (−1, 1); 1 1 2 3 2 12) Considere o seguinte subconjunto de R : N = (x, y) ∈ R2 : xy = 1 . Fa¸ca um esbo¸co − nos subespa¸cos (N, Di )(i = 1, 2) − das bolas abertas b ) BD (−1, −1); 12 a ) BD (1, 1); 12 2 1 13) Seja (M1 , d1 ) = Z4 , σ e (M2 , d2 ) = M2 (Z), δ . Considere M = M1 × M2 = Z4 × M2 (Z)

Calcule no espa¸co M, D3 a bola de centro p = ( p1 , p2 ) = e raio r = 1.

0101,

2 1 3 0

14) Com respeito a propriedade (P6 ), dê um exemplo de que a desigualdade ` diam B( p; r) < 2r efetivamente pode ocorrer. (p. 127)

15) Dê exemplo de uma (infinidade) de bolas com a seguinte propriedade: por mais que diminuamos o raio, ele permanece sempre maior que o diˆ ametro! 16) Considere o espa¸co C[ 0, 1 ], Γ juntamente com a fun¸cão p : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ t2 Seguindo os passos da demonstra¸cão da proposi¸cão 5 mostre que diam B( p; r) = 2r. (p. 128)

17) O exemplo 6) pode ser resolvido seguindo-se os passos da prova da proposi¸c˜ ao 5, fa¸ca isto. (p. 56) 2 18) Considere o espa¸co R , k · ke , o ponto u = (1, 1) e o raio r = 0, 75. Encontre um ponto wr satisfazendo as condi¸cões da prova da proposi¸cão 6. Fa¸ca um esbo¸co geométrico da sua solu¸cão. (p. 87, p. 131) 19) Considere o espa¸co R2 , k · ks , o ponto u = (1, 1) e o raio r = 0, 75. Encontre um ponto wr satisfazendo as condi¸cões da prova da proposi¸cão 6. Fa¸ca um esbo¸co geométrico da sua solu¸cão. (p. 87, p. 131) 20) Considere o espa¸co R2 , k · km , o ponto u = (1, 1) e o raio r = 0, 75. Encontre um ponto wr satisfazendo as condi¸cões da prova da proposi¸cão 6. Fa¸ca um esbo¸co geométrico da sua solu¸cão. (p. 87, p. 131) 135

21) Mostre que no espa¸co C[ −1, 1 ], Γ o ponto u ∈ C[ −1, 1 ] dado por u : [ −1, 1 ] −→ R x 7−→ x2

n˜ ao é isolado.

22) A distˆ ancia da origem para as quatro regi˜ oes na figura da p´ agina 116 é nula. Para cada bola aberta arbitrariamente fixada encontre um ponto em cada uma das regi˜ oes que perten¸ca à bola. 23) Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Prove que d(p, X) = 0 ⇐⇒ B(p; r) ∩ X 6= ∅ , ∀ r > 0. 24) Considere os espa¸cos C[ 0, 1 ], Γ e C[ 0, 1 ], Υ , prove que BΓ ( 0; r) 6⊂ BΥ 0;

1 , 2

∀ r > 0.

[ 0, 1 [, k , é como a

25) Prove que a bola de centro p e raio r no espa¸co seguir:  ] p − r, p + r [, se     Bk (p; r) = [ 0, p + r [ ∪ ] p − r + 1, 1 [, se     [ 0, 1 [, se  ] p − r, p + r [,     Bk (p; r) = [ 0, p + r − 1 [ ∪ ] p − r, 1 [,     [ 0, 1 [,

para 0 12 .

se 0 < r < 1 − p; se 1 − p ≤ r ≤ 12 ; se r > 12 .

 21

0

136

1 2

¬

0

¬

s

1 2

¬

p

p+r

¬

0

s

¬

p−r

1 2

p−r

s

p

s

p

s

p

p+r 1

1

1

0< r < 1−p

1−p≤ r ≤ r> 21

1 2

Cap´ıtulo

4

ˆ SEQUENCIAS EM ESPAC ¸ OS ´ METRICOS O mundo ´ e construido como uma estrutura matem´ atica, e n˜ ao material. (Werner Heisenberg)

4.1

Sequˆ encias

Para definir sequências n˜ ao precisamos estar inseridos no contexto de espa¸cos métricos. Com efeito, desde o ensino médio que passamos a lidar com sequências como, por exemplo, as progressões aritméticas e geométricas. Aqui a ênfase ser´ a dada a sequências mais gerais que sequências numéricas propriamente. Para os nossos propósitos assumiremos como conjunto dos n´ umeros naturais: N = { 1, 2, 3, . . . }. Defini¸ c˜ ao 14 (Sequência). Seja M um conjunto n˜ ao vazio, com elementos de natureza qualquer. Chamaremos de sequência de termos em M , ou õ apenas sequência em M a qualquer aplica¸ca x : N −→ M n 7−→ x(n) Para representar a sequência x : N −→ M usaremos uma das nota¸cões: (x1 , x2 , x3 , . . .)

ou

(xn )n ∈ N

ou

(xn ).

A imagem de n ∈ N pela fun¸c˜ ao x, isto é, x(n), ser´ a abreviada por xn ; é o n-ésimo termo da sequência. 137

Exemplos: ´ a progressão 1) Seja a sequência x : N −→ R dada por xn = 2n − 1. E aritmética (1, 3, 5, 7, . . .). 2) Uma sequência em R2 . Seja x : N −→ R2 n 7−→ 1 + (−1)n , 1 − (−1)n Ou ainda: xn = 1 + (−1)n , 1 − (−1)n . Alternativamente: (xn ) = (0, 2), (2, 0), (0, 2), (2, 0), . . . .

3) Uma sequência de matrizes. Seja x : N −→ M2 (R), dada por   0 1 − n1  xn =  1 0 1− n A sequência fica assim " # " 1 0 0 2 , 0 0 0

0 1 2

# " ,

2 3

0

0

2 3

#

, ...

!

4) Uma sequência de fun¸cões. Seja x : N −→ C[ 0, 1 ] n 7−→ xn

t . Os termos da sequência (x1 , x2 , x3 , . . .) s˜ ao fun¸cões n cont´ınuas definidas no intervalo [ 0, 1 ], onde

onde, xn (t) =

x1 (t) = t,

t x2 (t) = , 2

x3 (t) =

t , ... 3

A seguir plotamos os três primeiros termos da sequência (xn ) x1 (t)

x2 (t)

x3 (t)

1

1

1

q

q

q

1 2

0

q1

t

1 3

q1

0

138

t

0

q1

t

• Um outro exemplo de sequência no conjunto C[ 0, 1 ] podemos obter encontrando a equa¸c˜ ao da reta no gr´ afico xn (t)

1

q

1 n

0

t

q1

Deste gr´ afico deduzimos a seguinte equa¸cão para o termo geral de (xn )   1 − nt , se 0 ≤ t ≤ 1 ; n xn (t) =  0, 1 se n ≤ t ≤ 1.

A seguir plotamos os três primeiros termos da sequência (xn ) x1 (t)

x2 (t)

1

1

q

0

x3 (t)

1

q

q1

t

0

q

1 2

q1

t

5) Uma sequência em Z∞ . Considere a sequência δn δn = (δn1 , δn2 , δn3 , . . .)

onde

δnk =

0

  1,  0,

n∈N

1 3

, definida assim

se n = k; se n 6= k.

A seguir explicitamos os termos da sequência (δn ): δ1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .) δ2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) δ3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .) .. . δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) .. k-´ esima posi¸ca õ . 139

q1

t

4.1.1

Subsequˆ encias

Defini¸ c˜ ao 15 (Subsequência). Dada uma sequência x : N −→ M e um subconjunto (infinito) N1 = {n1 < n2 < n3 < . . .} de N, a restri¸ca õ x : N1 −→ M N1

é chamada subsequência de (xn ).

´ importante observar, na defini¸cão acima, que os ´ındices no Nota: E conjunto N1 devem cumprir dois requisitos: s˜ ao em n´ umero infinito e em ordem crescente. Para representar uma subsequência usaremos uma das nota¸cões a seguir (xn1 , xn2 , xn3 , . . .)

ou

(xn )n ∈ N1

Exemplo: Seja a sequência em R dada por xn =

1−(−1)n , 2

ou

(xn ) k

isto é, (1, 0, 1, 0, . . .).

Vamos obter duas subsequências de (xn ) escolhendo, por exemplo N1 = { 1, 3, 5, 7, . . .}

(´ımpares)

N2 = { 2, 4, 6, 8, . . .}

(pares)

ent˜ ao xn xn

n∈N1

n∈N2

= (1, 1, 1, 1, . . .) = (0, 0, 0, 0, . . .)

Como retirar um n´ umero arbitr´ ario de subsequˆ encias de uma dada sequˆ encia/Parti¸ c˜ ao dos naturais Vamos mostrar agora como retirar um n´ umero arbitrário de subsequências de uma dada sequência (xn ). Em um outro contexto, mais tarde, iremos necessitar do que veremos agora. Se quisermos retirar duas subsequências de uma dada sequência podemos nos valer dos seguintes conjuntos de ´ındices: N1 = { 1, 3, 5, 7, . . .} N2 = { 2, 4, 6, 8, . . .} Assim,

(x1 x3 x5 x7 . . .) (x1 x2 x3 x4 x5 . . .) 140

(x2 x4 x6 x8 . . .)

Se quisermos retirar três subsequências de uma dada sequência podemos nos valer dos seguintes conjuntos de ´ındices: N1 = { 1, 4, 7, 10, . . .} N2 = { 2, 5, 8, 11, . . .} N3 = { 3, 6, 9, 12, . . .} Assim, (x1 x4 x7 x10 . . .) (x1 x2 x3 x4 x5 . . .)

(x2 x5 x8 x11 . . .) (x3 x6 x9 x12 . . .)

´ fácil inferir a regra de constru¸cão destes conjuntos. Observamos que E estes conjuntos s˜ ao disjuntos, dois a dois, e que a reunião dos mesmos resulta no conjunto dos naturais. Resumimos estas duas observa¸cões dizendo que estes conjuntos (de ´ındices) formam uma parti¸ca õ dos naturais.

4.2

Convergˆ encia

Para falar de convergência de sequências necessitamos de uma métrica. Têm interesse especial as chamadas sequências convergentes. Intuitivamente, uma sequência (xn ) é convergente se, à medida que o ´ındice n aumenta, o termo xn vai-se tornando arbitrariamente pr´ oximo de um certo n´ umero a, chamado o limite da sequência. A proximidade entre xn e a é medida pela distˆ ancia d(xn , a) entre esses termos. Portanto, dizer que xn vai se tornando arbitrariamente pr´ oximo de a equivale dizer que d(xn , a) torna-se arbitrariamente pequeno. Vejamos a defini¸cão precisa de Defini¸ c˜ ao 16 (Convergência). Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn ) uma sequência em M . Diremos que (xn ) converge para a ∈ M quando, para todo n´ umero ε > 0 dado arbitrariamente, existe n0 ∈ N tal que ∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε.

(4.1)

Em palavras: uma sequência (xn ) converge para um ponto a ∈ M se, e somente se, fixado ε > 0, existe uma posi¸cão n0 a partir da qual a distˆ ancia de qualquer termo da sequência para o ponto a n˜ ao excede ε. Uma sequência que n˜ ao converge é dita divergente. A seguir escrevemos, em s´ımbolos, a defini¸c˜ ao de convergência e sua nega¸ca õ: (p. 579) ∀ε > 0

∃ n0 ∈ N :

∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε

(convergˆ encia)

∃ε > 0 :

∀ n0 ∈ N

∃ n ≥ n0 ∧

(divergˆ encia)

141

d(xn , a) ≥ ε

Para indicar que (xn ) converge para a, usaremos uma das nota¸cões: lim xn = a

ou

n→∞

lim xn = a n

ou

lim xn = a

ou

xn −→ a.

d

Ou ainda, xn −→ a, quando quisermos enfatizar a métrica d em questão. ´ importante observar na defini¸cão 16 que, uma vez dado o ε > 0, esse E n´ umero permanece fixo e n˜ ao muda até a determina¸cão do ´ındice n0 correspondente. Via de regra o ´ındice n0 depende − é fun¸cão − do ε > 0 dado, raz˜ ao pela qual algumas vezes escreveremos n0 = n0 (ε). Importante! Deve ficar bem claro (transparente) para o leitor o papel desempenhado pelo n´ umero ε e o ´ındice n0 , na defini¸cão de convergência. Com este intuito observemos o conte´ udo desta defini¸cão de uma outra perspectiva: Suponhamos que o leitor queira provar, a um seu − fict´ıcio − advers´ ario, que lim xn = a. Pois bem, seu advers´ ario fornecer´ a a você leitor os valores de ε > 0. Para cada valor de ε − arbitrariamente fixado − você ter´ a que devolver ao seu advers´ ario um ´ındice n0 satisfazendo a condi¸cão ∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , a) < ε Se o leitor conseguir executar esta fa¸canha, para cada valor de ε que lhe for fornecido, ent˜ ao ter´ a provado que a sequência converge para o ponto a.

Caracteriza¸c˜ ao de convergˆ encia via bolas abertas Proposi¸ c˜ ao 8. Uma sequência (xn ) em M converge para a ∈ M se, e somente se, para toda bola B(a; ε) arbitrariamente fixada existe um n0 : ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ B(a; ε)

(4.2)

´ imediato pois: d(xn , a) < ε ⇐⇒ xn ∈ B(a; ε). Prova: E

Em palavras: Se a ∈ M é limite de (xn ) então existe um ´ındice n0 a partir do qual todos os termos da sequência caem dentro da bola B(a; ε). Reciprocamente, se existe um ´ındice n0 a partir do qual todos os termos da sequência caem dentro da bola B(a; ε) então a ∈ M é limite de (xn ). Daqui concluimos que se lim xn = a, então a bola (de raio ε) centrada em a contém infinitos termos da sequência (xn ) : (xn0 , xn +1 , xn +2 , . . .). s s s s s s ss s ssssr ε a

0

xs5

s

x9

sx x6 s s4x3 x7 s s x8s s x2 ε s ssssr a

n0 (ε) = 9 142

sx

1

xs5

0

sx x6 s s4x3 x2 s x7 s x8s s s ssssr a

ε′

sx

n0 (ε′ ) = 11

1

Na figura anterior, ` a direita, reduzimos o raio da bola (ε′ < ε) o que tem como consequência o aumento do ´ındice do primeiro termo a cair dentro da nova bola. Observa¸ co ˜es: (i) Uma sequência (xn ) n˜ ao converge para a ∈ M quando existe uma bola centrada em a fora da qual ficam infinitos termos da sequência (xn ). (ii) A convergência − ou divergência − de uma sequência depende tanto do conjunto M quanto da métrica d, como teremos oportunidade de ver.

Caracteriza¸c˜ ao de convergˆ encia via reta real Podemos caracterizar a convergência em um espa¸co métrico (M, d) qualquer via convergência no espa¸co (R, µ). Este é o conte´ udo da pr´ oxima importante Proposi¸ c˜ ao 9. A sequência (xn ) converge para o ponto a em (M, d) se, e ∗ somente se, a sequência d(xn , a) converge para 0 no espa¸co (R, µ). Prova:

d

H: xn −→ a

µ

T: d(xn , a) −→ 0. De fato, para mostrar que d(xn , a) converge para 0 em (R, µ), devemos mostrar que ∀ ε > 0 dado existe n0 ∈ N tal que d(xn , a) − 0 < ε para todo n ≥ n0 . (4.3) (=⇒)

⇒

d

Por hip´ otese, xn −→ a; logo ∀ ε > 0 dado existe n0 tal que d(xn , a) < ε para todo n ≥ n0 . Fixado ε > 0, tomamos este mesmo n0 e garantimos d(xn , a) − 0 = d(xn , a) < ε, ∀n ≥ n 0

O que prova (4.3). (⇐=)

µ

H: d(xn , a) −→ 0

d

⇒

T: xn −→ a.

De fato, para mostrar que (xn ) converge para a em (M, d) devemos, ∀ ε > 0 dado, exibir um n0 tal que d(xn , a) < ε para todo n ≥ n0 . Por hip´ otese, a sequência d(xn , a) converge para 0 no espa¸co (R, µ); isto é, ∀ ε > 0 dado, existe um n0 tal que d(xn , a) − 0 = d(xn , a) < ε, para todo n ≥ n0 . Logo, o mesmo n0 − oriundo da hip´ otese − serve para corroborar a tese. Teremos agora oportunidade de ilustrar o conte´ udo das duas proposi¸cões anteriores. (prop.’s 8 e 9) ∗

Observe que d(xn , a) é uma sequência de n´ umeros reais n˜ ao negativos.

143

Exemplos: 1) Em qualquer espa¸co métrico (M, d) uma sequência (a, a, a, . . .) de termos constantes converge para este termo. De fato, dentro de qualquer bola B(a; ε) est˜ ao todos os termos da sequência. 2) Seja M = R e xn = n1 ∈ R. A sequência (xn ) = (1, 21 , 13 , . . .) n˜ ao é convergente no espa¸co (R, δ). No espa¸co (R, µ) esta sequência converge para 0. Isto é µ δ / xn −→ c e xn −→ 0. Onde c pode ser qualquer n´ umero real. Inicialmente vamos mostrar a primeira destas afirmativas. Com efeito, basta observar que todos os termos da sequência (xn ), à exce¸cão poss´ıvel de (p. 108). um deles, est˜ ao fora da bola Bδ c ; 1 = { c } µ Vamos mostrar agora que xn −→ 0. Inicialmente centramos uma bola Bµ , de raio ε, em 0, assim Bµ (0; ε) = 0 − ε, 0 + ε = − ε, +ε

Observe que

1 < ε. n Segundo a propriedade arquimediana, ∀ ε > 0 existe um n0 (ε) ∈ N tal que 1 estimo a Arquimedes − este n0 , resultando n < ε. Tomamos − de empr´ xn ∈ Bµ (0; ε) ⇐⇒ −ε <

0

∀ n ≥ n0 ⇒

1 1 ≤ < ε ⇒ xn ∈ Bµ (0; ε). n n0

Fa¸camos duas simula¸cões para ilustrar esse resultado: - Por exemplo, tomando ε = 31 , temos 1 1 <ε= ⇐⇒ n0 > 3. n0 3 Ou seja, todos os termos da sequência, a partir do quarto (inclusive), caem dentro da bola Bµ 0; 13 . Veja a ilustra¸cão a seguir ⊢ 0 ] −ε=− 31

⊢ 0

qqqq q q···q xq 4 xq 3 qqqq q q···q xq 4 [q

ր

ε=

xq 2

1 3

xq 2

xq 1 1

xq 1

1

Agora vamos reduzir o valor do raio, por exemplo, ε = 1 3 20 <ε= ⇐⇒ n0 > , n0 20 3 144

(xn )

n0 =4

3 20 ,

temos

Ou seja, todos os termos da sequência, a partir do sétimo (inclusive), caem 3 . Veja a ilustra¸cão a seguir dentro da bola Bµ 0; 20 ⊢ 0 ] −ε

⊢ 0

qqq q q ··· q q xq 4 xq 3

q

q

x2

qqqq q[ q q xq 4 xq 3

1

q

···ց

q

x2

3 ε= 20

(xn )

x1 x1

n0 =7

1

3) Esse exemplo (proposi¸c˜ ao) nos diz, de uma outra perspectiva, por que a ao é convergente no espa¸co (R, δ). sequência (xn ) = (1, 12 , 13 , . . .) n˜ Proposi¸ c˜ ao: Seja (M, d) um espa¸co discreto. Toda sequência (xn ) convergente em (M, d) deve ser constante a partir de um certo ´ındice. Prova: De fato, suponha que xn −→ a ∈ M . Então para todo ε > 0 dado, existe um ´ındice nε de modo que para todo n ≥ nε temos xn ∈ B(a; ε). Como (M, d) é discreto, existe εa > 0 de modo que B(a; εa ) = { a }. Logo, para este εa existe um ´ındice nεa de modo que Se n ≥ nεa

⇒ xn ∈ B(a; εa ) = { a } ⇒ xn = a.

Observe que esta é uma condi¸cão necessária (e também suficiente) para que uma sequência seja convergente em um espa¸co discreto. 4) Uma Patologia Considere a sequência dada por xn = 1 − n1 ∈ [ 0, 1 [ , cujos termos est˜ ao plotados na figura a seguir: r

r

x1

r

x2

x3

¬1

0

2

r r r r rrrrr

x4

...

1

O leitor diria que os termos desta sequência aproximam-se de que n´ umero? Vamos mostrar que para os habitantes do universo [ 0, 1 [, k , os termos da sequência (xn ) aproximam-se arbitrariamente de 0. De outro modo: Toda bola centrada em 0 contém todos os termos da sequência, a partir de uma certa ordem. Desejamos provar que lim

n→∞

1−

1 = 0. n

Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Bk (0; ε). 145

Ent˜ ao

Temos

xn ∈ Bk (0; ε) ⇐⇒ k(xn , 0) < ε ⇐⇒ min |xn − 0|, 1 − |xn − 0| < ε ⇐⇒ min xn , 1 − xn < ε n 1 1 o ⇐⇒ min 1 − , 1 − 1 − <ε n n n 1 1o <ε ⇐⇒ min 1 − , n n n 1 1o 1 min 1 − , = , ∀ n ≥ 2. n n n

Portanto, é suficiente tomar

1 n

< ε, isto é, n >

1 ε

ou ainda: n0 (ε) > 1ε .

Fa¸camos duas simula¸cões para ilustrar esse resultado: - Por exemplo, tomando ε = 41 , temos n0 (ε) >

1 1 4

= 4 ⇒ n0 = 5.

Logo, todos os termos da sequência, a partir do quinto (inclusive), caem dentro da bola Bk 0; 14 . Veja a ilustra¸cão a seguir r

r

x1

x2

¬1

0 Bk (0;

2

1 ) 4

r

x3

r r r r rrrrr

x4

...

1

3 4

1 4

Agora vamos reduzir o valor do raio, por exemplo, ε = 61 , temos n0 (ε) >

1 1 6

= 6 ⇒ n0 = 7.

Ou seja, todos os termos da sequência, a partir do sétimo (inclusive), caem dentro da bola Bk 0; 16 . Veja a ilustra¸cão a seguir r

r

x1

x2

¬1

0 Bk (0; 16 )

2

1 6

r

x3

r r r r rrrrr

x4

...

5 6

146

1

5) Uma Patologia-2D As quatro sequências dadas a seguir 1

xn =

1 1 , 1− n+1 n+1

zn =

1 , 1 n+1 n+1

rr

→

rr

→

rx3 rx2 rz

rz

rt

r

rr rt

1 1 ← tn = 1− n+1 , 1− n+1

3

2

r y2 ry3 rr

2

3

0

1 , ← yn = 1− n+1

1 n+1

1

pertencem todas ` as diagonais do quadrado unit´ ario [ 0, 1 [×[ 0, 1 [. O centro 1 1 do quadrado 2 , 2 é o primeiro termo de todas elas. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que √ 2 , D1 ((0, 0); xn ) = D1 ((0, 0); yn ) = D1 ((0, 0); zn ) = D1 ((0, 0); tn ) = (n + 1) D2 ((0, 0); xn ) = D2 ((0, 0); yn ) = D2 ((0, 0); zn ) = D2 ((0, 0); tn ) =

2 , (n + 1)

D3 ((0, 0); xn ) = D3 ((0, 0); yn ) = D3 ((0, 0); zn ) = D3 ((0, 0); tn ) =

1 . (n + 1)

Pois bem, o leitor pode mostrar que qualquer uma destas sequências converge para a origem do quadrado. (sugest˜ ao: prop. 9, p. 143) Isto é, mostre que: 1 1 lim = (0, 0), , 1− n→∞ n + 1 n+1 1 1 lim = (0, 0), , n→∞ n + 1 n + 1

1 1 = (0, 0) , n→∞ n+1 n+1 1 1 lim 1 − = (0, 0) , 1− n→∞ n+1 n+1 lim

1−

A bolas abertas cujos esbo¸cos encontram-se nas p. 125, p. 114 nos ajudam a compreender por que isto acontece. 6) Consideremos a sequência (xn ) de pontos do R2 dada por 2 1 xn = 1 − , 2 − n n Vamos mostrar (e ilustrar) que xn −→ (1, 2) nos espa¸cos R2 , Di . Consideremos inicialmente a métrica euclidiana. Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 1

147

Ent˜ ao xn ∈ BD

1

1 2 (1, 2); ε ⇐⇒ D1 1 − , 2 − ; (1, 2) < ε n n ⇐⇒

r

1−

2 2 1 2 −1 + 2− −2 < ε n n

√ 5 ⇐⇒ < ε. n

Logo, dado ε > 0 escolhemos um ´ındice n0 (ε) satisfazendo a desigualdade √ 5 n0 (ε) > ε e teremos √ 1 1 5 ∀ n ≥ n0 ⇒ ≤ < < ε ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 1 n n0 n0

Fa¸camos duas simula¸cões para ilustrar esse resultado: - Por exemplo, tomando ε = 32 , temos √ √ 3 5 5 2 = = 3, 354 . . . ⇒ n0 = 4. > n0 3 2/3 2

Logo, todos os termos da sequˆ encia, a partir do quarto (inclusive), caem dentro da bola BD (1, 2); 23 . Veja a ilustra¸cão a seguir (fig. esquerda) 1

y

y

r rrrr rx

2

q

1

q

r

(0, 0) x1

rx

rx

s(1, 2)

q

4

3

1

q

2

q1

q qq qq

2

q

x

(0, 0) x1

148

qx

qx qx 4

s

3

2

q1

x

Agora vamos reduzir o valor do raio, por exemplo, ε = 13 ; logo √ √ 1 5 n0 = 3 5 = 6, 708 . . . ⇒ n0 = 7. > 3 1/3

Logo, todos os termos da sequˆ encia, a partir do sétimo (inclusive), caem 1 dentro da bola BD (1, 2); 3 . Veja a figura anterior. (fig. direita) 1 • Consideremos agora o espa¸co R2 , D2 . Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 2

Então

2 1 xn ∈ BD (1, 2); ε ⇐⇒ D2 1 − , 2 − ; (1, 2) < ε 2 n n 2 1 ⇐⇒ 1 − − 1 + 2 − − 2 < ε n n 3 ⇐⇒ < ε. n Logo, dado ε > 0 escolhemos um ´ındice n0 (ε) satisfazendo a desigualdade n0 (ε) > 3ε e teremos ∀ n ≥ n0 ⇒

1 1 3 ≤ < < ε ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 2 n n0 n0

Fa¸camos duas simula¸c˜ oes para ilustrar esse resultado: - Por exemplo, tomando ε = 23 , temos n0

2 9 3 = = 4, 5 ⇒ n0 = 5. > 3 2/3 2

Logo, todos os termos da sequˆ encia, a partir do quinto (inclusive), caem dentro da bola BD (1, 2); 23 . 2

Agora vamos reduzir o valor do raio, por exemplo, ε = 13 ; então n0

3 1 = 9 ⇒ n0 = 10. > 3 1/3

Logo, todos os termos dasequência, a partir do décimo (inclusive), caem dentro da bola BD (1, 2); 13 . 2

149

A figura a seguir ilustra essas duas simula¸cões y

y

r rr rr rx

2

q

rx

1

q

r

(0, 0) x1

rx

s(1, 2)

q

4

3

1

q

2

qx

qx qx 4

s

3

2

q

x

q1

q qq qq

2

(0, 0) x1

x

q1

• Consideremos agora o espa¸co R2 , D3 . Prova: De fato, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 (ε) de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 3

Ent˜ ao

1 2 xn ∈ BD (1, 2); ε ⇐⇒ D3 1 − , 2 − ; (1, 2) < ε 3 n n n o 1 2 ⇐⇒ max 1 − − 1 , 2 − − 2 < ε n n 1 2 ⇐⇒ max , <ε n n 2 ⇐⇒ < ε. n Logo, dado ε > 0 escolhemos um ´ındice n0 (ε) satisfazendo a desigualdade n0 (ε) > 2ε e teremos ∀ n ≥ n0 ⇒

1 1 2 ≤ < < ε ⇒ xn ∈ BD (1, 2); ε . 3 n n0 n0

Fa¸camos duas simula¸cões para ilustrar esse resultado: - Por exemplo, tomando ε = 32 , temos n0

2 2 = 3 ⇒ n0 = 4. > 3 2/3 150

Logo, todos os termos da sequˆ encia, a partir do quarto (inclusive), caem (fig. esquerda) dentro da bola BD (1, 2); 32 . Veja a ilustra¸cão a seguir 3

y

y

rr rr rx

2

q

rx

1

q

rx

s (1, 2)

q

4

qx

3

1

q

2

r

qx qx 4

s

3

2

q

x

q1

(0, 0) x1

qq qq

2

q1

(0, 0) x1

x

Agora vamos reduzir o valor do raio, por exemplo, ε = 13 ; logo n0

2 1 = 6 ⇒ n0 = 7. > 3 1/3

Logo, todos os termos da sequˆ encia, a partir do sétimo (inclusive), caem dentro da bola BD (1, 2); 13 . Veja a figura anterior. (fig. direita) 3

Na figura seguinte juntamos as três bolas em um s´ o gr´ afico: y

y

rrr rr rx

2

q

1

q

r

(0, 0) x1

rx

rx

s (1, 2)

q

4

3

1

q

2

q1

qqq qq

2

q

x

(0, 0) x1

151

qx

qx qx 4

s

3

2

q1

x

7) Vamos mostrar que a sequência de fun¸cões (xn ), dada por

xn (t) =

(p. 139)

  1 − nt , se 0 ≤ t ≤ 1 ; n  0,

se

≤ t ≤ 1.

C[ 0, 1 ], Γ , mas n˜ ao no espa¸co

converge para ao nula, no espa¸co a fun¸c˜ C[ 0, 1 ], Υ . Isto é Γ xn −→ 0

1 n

Υ / xn −→ 0

e

Vamos mostrar a convergência de dois modos: Prova:

(prop. 8, p. 142)

Vamos centrar uma bola, de raio ε arbitrário, na fun¸cão nula: f ∈ C[ 0, 1 ] : Γ(f, 0) < ε Z 1 o n |f (x) − 0| dx < ε = f ∈ C[ 0, 1 ] :

BΓ (0; ε) =

0

Queremos obter n0 ∈ N de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ Γ(xn , 0) < ε

ou ainda xn ∈ BΓ (0; ε)

Temos Γ(xn , 0) =

Z

1

0

|xn (t)| dt =

1 2n

Obs: Esta integral é dada pela área sob o gr´ afico de xn (t).

(p. 139)

Impondo, 1 1 <ε ⇒ n> 2n 2ε Portanto qualquer n0 maior que

1 2ε

serve aos nossos propósitos.

Prova:

(prop. 9, p. 143) µ

Mostremos que d(xn , 0) = Γ(xn , 0) −→ 0. De fato, Γ(xn , 0) =

1 µ −→ 0 2n

Geometricamente esta convergência significa que as áreas (distˆ ancias) entre os gr´ aficos das fun¸co˜es xn e da fun¸cão nula vão tendendo a zero, à medida que n cresce. Veja: 152

x1 (t)

x2 (t)

1

x3 (t)

1

q

1

q

q1

0

t

q

q1

1 2

0

t

0

1 3

Vamos mostrar a divergência Pela proposi¸cão 9

q1

t

(p. 143)

Prova: Temos

se 0 ≤ t ≤

1 n,

Υ(xn , 0) = max |xn (t) − 0| : t ∈ [ 0, 1 ] = max |xn (t)| : t ∈ [ 0, 1 ]

ent˜ ao

0 ≤ nt ≤ 1 ⇒ −1 ≤ −nt ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 1 − nt ≤ 1 ⇒ xn (t) ∈ [ 0, 1 ].

ao, por defini¸cão, xn (t) = 0. Logo xn (t) = |xn (t)| ∈ e se n1 ≤ t ≤ 1 ent˜ [ 0, 1 ] para todo 0 ≤ t ≤ 1 e para todo n ∈ N. Logo, para todo n natural temos Υ(xn , 0) = max |xn (t)| : t ∈ [ 0, 1 ] = max [ 0, 1 ] = 1. Geometricamente Υ(xn , 0) representa o comprimento da maior corda ligando o gr´ afico de xn ao gr´ afico da fun¸cão nula 0. No gr´ afico seguinte xn (t)

1

q

maior corda →

0

1 n

q1

t

Observamos que o comprimento da maior corda é 1, para todo n natural, isto é, Υ(xn , 0) = 1, ∀ n ∈ N. Pois bem, µ d(xn , 0) = Υ(xn , 0) = (1, 1, 1, . . .) −→ 1.

Portanto a sequˆ ao n˜ ao converge para a fun¸cão nula, no espa¸co encia em quest˜ C[ 0, 1 ], Υ . 153

Proposi¸ c˜ ao 10. Se uma sequência xn é convergente, ent˜ ao existe uma bola que contém todos os seus termos. Prova: De fato, se xn −→ a ∈ M , então para todo ε1 dado, existe n0 ∈ N de modo que d(xn , a) < ε1 , ∀ n ≥ n0 . tomemos logo

ε2 > max d(xi , a) : i = 1, 2, . . . , n0 − 1 , d(xi , a) < ε2 , i = 1, 2, . . . , n0 − 1.

seja ε > max{ε1 , ε2 }. Logo d(xn , a) < ε1 < ε , ∀ n ≥ n0 ,

d(xi , a) < ε2 < ε , i = 1, 2, . . . , n0 − 1. Portanto todos os termos da sequência cabem dentro da bola B(a; ε).

Cabe aqui perguntar se uma sequência pode convergir para dois pontos distintos de um espa¸co métrico. Nos espa¸cos topológicos − que s˜ ao generaliza¸c˜ oes dos espa¸cos métricos − isto de fato pode acontecer. Mas n˜ ao nos espa¸cos métricos especificamente. Isto é o que nos garante a pr´ oxima Proposi¸ c˜ ao 11 (Unicidade do limite). Seja (xn ) uma sequência convergente no espa¸co métrico (M, d). Ent˜ ao é u ńico o limite dessa sequência. ∗ Prova:

Temos    H1 :  H : 2

lim xn = p n

⇒

lim xn = q

T:

p = q.

n

¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Suponha p 6= q. Pela propriedade (P4 ) (p. 127) podemos centrar em cada um destes pontos, bolas abertas disjuntas. Como lim xn = p então existe n um ´ındice n0 a partir do qual todos os termos da sequência caem dentro da bola de centro p; por conseguinte n˜ ao podemos ter lim xn = q. n

(prop. 8, p. 142).

∗

Faremos uso da técnica (T − 4)

(p. 571).

154

Proposi¸ c˜ ao 12. Seja (M, d) um espa¸co métrico e (xn ) uma sequência de pontos em M . Se lim xn = a, ent˜ ao toda subsequência de (xn ) também converge para a. Prova: De fato, seja (xn )n ∈ N , onde N1 = { n1 < n2 < n3 < . . . }, uma 1 subsequência de xn . Dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice k ∈ N de n∈N modo que d(xn , a) < ε, ∀ nj ∈ N1 : nj ≥ k (4.4) j

Como, por hip´ otese, (xn )n ∈ N converge para a, então ∀ ε > 0 dado, existe um ´ındice n0 ∈ N de modo que d(xn , a) < ε, ∀ n ≥ n0

(4.5)

como N1 ⊂ N é infinito, segue que existe um ´ındice k ∈ N1 tal que k ≥ n0 . Ent˜ ao, para todo ´ındice nj ∈ N1 tal que nj ≥ k ≥ n0 temos, por (4.5), a satisfeita. que d(xn , a) < ε e, portanto, (4.4) estar´ j

Esta proposi¸c˜ ao é de utilidade tanto para mostrar que uma sequência converge quanto para mostrar que uma sequência diverge. Por exemplo as sequências reais zn e wn dadas por zn =

1 1 e wn = 2 n 2 n

s˜ ao ambas convegentes para 0 no espa¸co (R, µ). De fato, temos que (zn ) = (xn )n ∈ N1 (wn ) = (xn )n ∈ N2 onde N1 = { 2, 4, 8, 16, 32, . . . }; N2 = { 1, 4, 9, 16, 25, . . . }. e (xn ) é a sequência vista no exemplo 2.

(p. 144)

Por outro lado, para mostrar que uma dada sequência diverge é suficiente exibir duas subsequências convergindo para limites distintos (isto é consequência das proposi¸c˜ oes 11 e 12). Por exemplo a sequência (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .) diverge, em todo espa¸co métrico, visto que temos duas subsequências x2n−1 = (1, 1, 1, . . .) −→ 1 ,

convergindo para limites distintos.

x2n = (−1, −1, −1, . . .) −→ −1.

155

Sequˆ encias limitadas Uma sequência (x1 , x2 , x3 , . . .) pode ser vista como uma “lista” ordenada infinita. Usaremos a seguinte nota¸cão { x1 , x2 , x3 , . . . } para o conjunto de seus termos. Aqui a ordem dos termos n˜ ao interessa e este conjunto pode ser finito, ao contr´ ario da lista, que é sempre infinita. Por exemplo, seja a sequência (xn ) dada por xn = (−1)n−1 . Temos xn = (1, −1, 1, −1, 1, −1, . . .) xn = { −1, 1 }

Uma sequência foi definida como uma aplica¸cão x : N −→ M , por conseguinte o conjunto dos termos da sequência é a imagem direta de N pela aplica¸c˜ ao, isto é, {xn } = x(N). Defini¸ c˜ ao 17 (Sequência limitada). Sejam (M, d) um espa¸co métrico e (xn ) uma sequência de pontos em M . A sequência (xn ) se diz limitada no espa¸co (M, d) quando o conjunto { xn } de seus termos é limitado. Ou ainda (Ver defini¸caõ à p. 53): xn é limitada no espa¸co (M, d) se existir uma constante c > 0 tal que d(x, y) ≤ c para quaisquer x e y em { xn }. Exemplo: a sequência (1, 2, 3, 4, . . .) é limitada no espa¸co (R, δ), mas n˜ ao no espa¸co (R, µ). Proposi¸ c˜ ao 13. Toda sequência convergente é limitada. Prova: Se uma sequência é convergente então existe uma bola no espa¸co contendo todos os seus termos, logo, pela proriedade (P6 ) (p. 127) das bolas abertas, concluimos que a sequência é limitada.

A rec´ıproca da proposi¸cão anterior n˜ ao vale. Isto é, uma sequˆ encia limitada 1 1 pode ou n˜ ao convergir. Por exemplo, a sequência 1, 2 , 3 , . . . é limitada nos espa¸cos (R, µ) e (R, δ), mas é convergente apenas no primeiro destes espa¸cos. ∗ ∗ ∗ Renunciar ` a meta de compreender a “coisa em si”, de conhecer a “verdade u ´ltima”, de decifrar a essência mais profunda do mundo, pode ser um sofrimento psicol´ ogico para os entusiastas ingênuos, mas de fato foi uma das mais frut´ıferas viradas no pensamento moderno. [. . .] Através dos tempos, os matem´ aticos têm considerado seus objetos, tais como n´ umeros, pontos, etc., como coisas substanciais em si. Uma vez que estas entidades sempre tinham desafiado tentativas de uma descri¸ca õ adequada, manifestou-se corretamente nos matem´ aticos do século XIX a conviçca õ de que a quest˜ ao do significado destes objetos como coisas substanciais n˜ ao fazia sentido dentro da Matem´ atica, ou mesmo em geral. (Richard Courant/O que ´ e Matem´ atica?)

156

4.3

Sequˆ encias num Espa¸ co Produto

Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos e as sequências xn = (x1 , x2 , x3 , . . .),

yn = (y1 , y2 , y3 , . . .)

em M1 e M2 , respectivamente. O “produto cartesiano” destas sequências xn × yn = (x1 , x2 , x3 , . . .) × (y1 , y2 , y3 , . . .) = (x1 , y1 ), (x2 , y2 ), (x3 , y3 ), . . .

é uma sequência no produto cartesiano M1 × M2 = M . A convergência (ou divergência) da sequência (xn , yn ) nos espa¸cos (M, Di ) (i = 1, 2, 3.) é objeto da pr´ oxima Proposi¸ c˜ ao 14. Uma sequˆ encia (xn , yn ) no produto M = M1 × M2 converge no espa¸co M, Di (i = 1, 2, 3.) para (a, b) ∈ M1 × M2 se, e somente se, xn −→ a em (M1 , d1 ) e yn −→ b em (M2 , d2 ). M

b

(a, b)

↑

..

.

...

y3

ր

(x3 , y3 )

y2

(x2 , y2 )

y1

(x1 , y1 )

(M2 , d2 ) x1

Prova: (=⇒)

D

(M1 , d1 )

x3 ··· → a

x2

i

H: (xn , yn ) −→ (a,b)

T:

 d1   xn −→ a d2   y −→ b n

Faremos a prova para a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 )

Deixando como exerc´ıcio a prova nas outras duas métricas. 157

Com efeito, seja ε > 0 dado, então existe um ´ındice n0 tal que n ≥ n0 ⇒ D3 (xn , yn ); (a, b) = max d1 (xn , a); d2 (yn , b) < ε

portanto, para todo n ≥ n0 , temos

d1 (xn , a) < ε e d2 (yn , b) < ε o que nos garante d

1 xn −→ a

(⇐=) H:

e

d1    xn −→ a

d

2 yn −→ b

D3

T: (xn , yn ) −→ (a,b)

d2   y −→ b n

Dado ε > 0, por hip´ otese, existem ´ındices n1 e n2 tais que n ≥ n1 ⇒ d1 (xn , a) < ε e n ≥ n2 ⇒ d2 (yn , b) < ε Considerando n0 = max{ n1 , n2 }, temos n ≥ n0 ⇒ d1 (xn , a) < ε e d2 (yn , b) < ε ⇒ max d1 (xn , a); d2 (yn , b) < ε ⇒ D3 (xn , yn ); (a, b) < ε. D

3 Portanto (xn , yn ) −→ (a, b).

Exemplos: (a) No espa¸co R2 , D1 a sequência xn , yn =

1 n, 1

1 1 (1, 1), ,1 , , 1 , ... 2 3

, isto é

converge para o ponto (0, 1), pois µ

xn −→ 0

e

µ

yn −→ 1

Observa¸ c˜ ao: Na verdade temos (para i = 1, 2, 3.) Di xn , yn −→ (0, 1). (b) Nos espa¸cos R2 , Di a sequência xn , yn =

1 n,

1 1 ,1 , , −1 , . . . (1, −1), 2 3 158

(−1)n , isto é

n˜ ao converge. R, µ .

Com efeito,

yn

= (−1, 1, −1, 1, . . .) n˜ ao converge em

(c) Seja o espa¸co métrico R2 , Di e a sequência de pontos do plano: 2 1 , então xn −→ (1, 2). xn , y n = 1 − , 2 − n n

Isto se deve a que

µ

µ

xn −→ 1 e yn −→ 2

Comparar com o exemplo 6, p. 147. (d) Ver exemplo 5, p. 147.

4.4 4.4.1

Sequˆ encias em Espa¸ cos Vetoriais Normados Sequˆ encias na reta

otonas No espa¸co R, µ s˜ ao importantes as chamadas sequências mon´ que s˜ ao classificadas como:

ao as sequências (xn ) tais que xn ≤ xn+1 , para todo ´ındice (a) Crescentes s˜ n. Em particular, quando xn < xn+1 , ∀n ∈ N, então (xn ) se diz estritamente crescente. r

r

x1

r

x2

r r ··· r rrrrr

x3 x4

R

(b) Decrescentes s˜ ao as sequências (xn ) tais que xn ≥ xn+1 , para todo ´ındice n. Em particular, quando xn > xn+1 , ∀n ∈ N, então (xn ) se diz estritamente decrescente. rrrrr r···r xr 4 xr 3

r

r

x2

x1

R

Exemplos:

(i)

1 n

(ii)

1−

(iii) (iv)

n∈N

1 n

= 1, 21 , 13 , . . .

n∈N

= 0, 12 , 23 , . . .

2n+1−(−1)n 4 1−(−1)n 2

é estritamente decrescente.

é estritamente crescente.

= (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .)

é crescente.

n∈N

= (1, 0, 1, 0, . . .)

n∈N

159

n˜ ao é mon´ otona.

Proposi¸ c˜ ao 15. Toda sequência crescente cujo conjunto dos termos é limitado superiormente converge para o supremo desse conjunto. Prova: Suponhamos (xn ) uma sequência em R satisfazendo: (i) x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · (ii) xn limitado. Isto é, existe c > 0 de modo que d(xi , xj ) ≤ c ; ∀ xi , xj ∈ xn . Respaldados na propriedade do supremo∗ fa¸camos sup xn : n = 1, 2, 3, . . . = p

Afirmamos que lim xn = p. De fato, dado ε > 0, n˜ ao pode ocorrer xn ≤ p−ε n para todo ´ındice n pois isto implicaria numa cota superior − para o conjunto xn − menor do que p (isto é, p n˜ ao seria supremo). Logo, existe um ´ındice r de modo que p − ε < xr ≤ p. Como a sequência é crescente, temos x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xr ≤ xr+1 ≤ xr+2 ≤ · · ·

logo p − ε < xr ≤ xr+1 ≤ xr+2 ≤ · · · isto é, p − ε < xn < p + ε, ∀ n ≥ r. Por conseguinte n ≥ r ⇒ |xn − p| < ε o que garante nossa tese: lim xn = p. n

Nota: De modo an´ alogo prova-se que: “Toda sequência decrescente cujo conjunto dos termos é limitado inferiormente converge para o ´ınfimo desse conjunto”. Proposi¸ c˜ ao 16. (Conserva¸ca õ do sinal) (a) Se (xn ) é uma sequência em R com lim xn = p > 0, ent˜ ao existem um n ´ındice r e uma constante c > 0 de modo que xn > c para todo n ≥ r. Isto é, se o limite de uma sequência é um n´ umero positivo ent˜ ao, a partir de uma certa ordem, todos os seus termos s˜ ao positivos. (b) Se lim xn = p < 0, ent˜ ao existem um ´ındice r e uma constante c < 0 de n modo que xn < c para todo n ≥ r. Prova: (a) Como lim xn = p, para todo ε > 0 existe um ´ındice n0 : n

n ≥ n0 ⇒ |xn − p| < ε ∗

Todo conjunto limitado superiormente tem supremo.

160

seja, por exemplo, ε =

p 2

> 0 e r = n0 , então

n ≥ r ⇒ |xn − p| <

p p p ⇒ − < xn − p < 2 2 2 ⇒

Tome c =

p 3p < xn < . 2 2

p . 2

(b) A demonstra¸c˜ ao deste caso é an´ aloga, toma-se ε =

4.4.2

|p| . 2

Sequˆ encias em espa¸cos normados

Consideraremos agora um espa¸co vetorial E, +, · normado. Lembramos que a origem de E, denotadad por 0, é o elemento neutro da adi¸cão (vetor nulo). Proposi¸ c˜ ao17. Seja xn uma sequência de pontos em um espa¸co vetorial real E, +, · , normado, que converge para p ∈ E. Ent˜ ao existe uma bola de centro na origem contendo todos os termos da sequência. Prova: Como lim xn = p, para todo ε > 0 dado, existe um ´ındice n0 de n modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , p) = kxn − pk < ε (4.6) Sendo kxn k = kxn − p + pk ≤ kxn − pk + kpk então para todo n ≥ n0 tem-se kxn k ≤ kxn − pk + kpk < kpk + ε

(4.7)

onde somamos kpk na desigualdade (4.6). Seja λ > max kx1 k, kx2 k, . . . , kxn −1 k, kpk + ε 0

Logo, usando (4.7), podemos escrever

kxn − 0k = kxn k < λ,

∀ n ∈ N.

Nota: Observe a diferen¸ca entre esta proposi¸cão e a proposi¸caõ 10 (p. 154). Aquela vale para espa¸cos métricos em geral e a bola est´ a centrada no limite da sequência. Aqui a proposi¸c˜ ao vale apenas para espa¸cos vetoriais normados e a bola est´ a centrada no vetor nulo. 161

Vamos ilustrar a proposi¸cão anterior para a sequência (xn ) vista no exemplo 6 (p. 147). Temos 2 1 −→ p = (1, 2). , 2− n n Vamos fixar ε = 32 , no espa¸co R2 , k · kD . J´ a vimos que para ε = 1 resulta n0 = 4. Escolhamos

1−

2 λ > max kx1 kD , kx2 kD , kx3 kD , kpkD + 1 1 1 1 3 onde p kx1 kD = k(0, 0)kD = 02 + 02 = 0 1 1 r √

1 2 1 5 kx2 kD = ,1 = + 12 =

1 2 2 2 D 1

kx3 kD

1

r √

2 4 2 2 4 2 2 5

= , = + = 3 3 D 3 3 3 1

kpkD = k(1, 2)kD = 1

1

Portanto

p

12 + 22 =

√

5.

) √ √ √ 2 2 5 2 5 √ ⇒ λ > 5 + = 2, 902 . . . , , 5+ λ > max 0, 2 3 3 3 (

Na ilustra¸c˜ ao seguinte tomamos λ = 2, 91 y

q q (1, 2) qq xq 4

qx2 3

B(0, λ)

x

0

qx

x

1

162

2 3

Defini¸ c a ˜ o 18. Sejam x e y sequˆ e ncias em E, +, · . Chama-se soma n n de xn com yn a sequência xn + y n = xn + y n = x1 + y 1 , x2 + y 2 , . . . Se λn é uma sequência de elementos em R. Chama-se produto de λn com xn a sequência λn xn = λn xn = λ1 x1 , λ2 x2 , λ3 x3 , . . . Proposi¸ c˜ ao 18. Sejam xn e yn sequências em um espa¸ c o vetorial E, +, · normado. Se lim xn = p e lim yn = q, ent˜ ao lim xn + yn = p + q. n

n

n

Prova: Dado ε > 0, por hip´ otese, existem ´ındices r e s tais que: ∀ n ≥ r ⇒ kxn − pk < ε/2 ∀ n ≥ s ⇒ kyn − qk < ε/2

Seja t = max{ r, s }, ent˜ ao

∀ n ≥ t ⇒ xn + yn − p + q ≤ kxn − pk + kyn − qk < ε o que implica xn + yn −→ p + q.

Proposi¸ c˜ ao 19. Se (xn ) é uma sequência convergente em um um espa¸co vetorial E, +, · normado, ent˜ ao lim − xn = − lim xn . n

n

Prova: Suponha lim xn = p, então dado ε > 0 existe um ´ındice n0 : n

∀ n ≥ n0 ⇒ kxn − pk < ε

⇒ k(−1) xn − p k < ε ⇒ k − xn − (−p)k < ε

⇒ lim(−xn ) = −p. n

Corol´ ario 1. Se (xn ) e (yn ) s˜ ao sequências convergentes em (R, µ) e se xn ≤ yn , a partir de uma determinada posi¸ca õ m, ent˜ ao lim xn ≤ lim yn . n

∗ Prova:

H : xn ≤ yn , ∀n ≥ m. T : lim xn ≤ lim yn n

∗

n

Faremos uso da técnica (T − 1) (p. 570).

163

n

De fato, suponhamos que lim xn > lim yn e consideremos a sequência n n xn − yn . Ent˜ ao lim xn − yn = lim xn − lim yn > 0 n

n

n

pela proposi¸c˜ ao 16 (p. 160) existe um ´ındice r de modo que xn − yn > 0 para todo ´ındice n ≥ r. Escolhamos um ´ındice k > max{ r, m }, então xk > yk o que contradiz a hip´ otese. Proposi¸ ao 20. Seja (xn ) uma sequência de pontos de um espa¸co vetorial c˜ E, +, · normado que converge para um ponto p ∈ E. Se (λn ) é uma sequência do espa¸co (R, µ) tal que lim λn = λ, ent˜ ao lim λn xn = λ p. n

n

Prova: Dado ε > 0, como lim λn = λ decorre que n

(i) tomando c > kpk, existe um ´ındice r de modo que ε 2c

∀ n ≥ r ⇒ |λn − λ| < (ii) segundo a proposi¸caõ 17

(4.8)

existe k > 0, tal que |λn | < k, ∀ n.

(p. 161)

Por outro lado, como lim xn = p, existe um ´ındice m de modo que n

∀ n ≥ m ⇒ kxn − pk <

ε 2k

Temos

λn x n − λ p = λn x n − λn p + λn p − λ p

= λn xn − p + λn − λ p

≤ λn xn − p + λn − λ p

= λn · xn − p + λn − λ · p

De (4.8) e (4.9) decorre

λn − λ · p < ε · p , 2c

λn · xn − p < λn · ε , 2k

∀ n ≥ r. ∀ n ≥ m.

Ent˜ ao, para n ≥ max{ r, m } sucede

λn − λ · p + λn · xn − p < ε · p + λn · ε 2c 2k

Por outro lado

λn < k ⇒ λn · ε < k · ε = ε 2k 2k 2 164

(4.9)

como c > p , isto é

p < c ⇒

ε ε ε · p < ·c= 2c 2c 2

Por conseguinte

λn xn − λ p ≤ λn · xn − p + λn − λ · p

ε ε · p + λn · < 2c 2k ε ε < + = ε. 2 2

Desta desigualdade decorre a tese.

Lema 2. Seja (xn ) uma sequência em um espa¸co vetorial E, +, · normado. Se (xn ) converge para p, ent˜ ao (kxn k) converge para kpk. Prova: Na proposi¸c˜ ao 3 q = xn obtemos

(p. 50)

tomando X = { 0 } ⊂ M = E, p = p e

kp − 0k − kxn − 0k ≤ kp − xn k ⇒ kxn k − kpk ≤ kxn − pk

Por outro lado, dado ε > 0, por hip´ otese existe um ´ındice n0 de modo que kxn − pk < ε, para todo n ≥ n0 . Portanto kxn k − kpk ≤ kxn − pk < ε

para todo n ≥ n0 . Antes de passarmos ` a pr´ oxima proposi¸cão vejamos um exemplo. Consideremos a sequência xn do exemplo 6 (p. 147): xn =

Temos • No espa¸co R2 , k · kD :

1 2 1 − ,2 − −→ p = (1, 2) n n

1

xn

D1

=

r

Por outro lado

p

D1

1−

√ 1 2 2 2 √ 1 + 2− = 5 1− −→ 5 n n n

= (1, 2)

D1

=

p

12 + 22 =

√

5.

Fica como exerc´ıcio a verifica¸c˜ ao nos espa¸cos R2 , k · kD 165

2

e R2 , k · kD . 3

Proposi¸ c˜ ao 21. Seja (λn ) uma sequência de pontos no espa¸co (R, µ) tal que lim λn = λ 6= 0. Ent˜ ao a sequência βn definida por n

  0, βn = 1   λn

se λn = 0;

se λn 6= 0.

1 . λ Prova: Devemos mostrar que o quociente |λn − λ| 1 1 λ − λ = |λ | · |λ| n n

converge para

a partir de um certo ´ındice n0 , é menor que qualquer ε > 0 fixado. De fato, como lim λn = λ segue, pelo lema anterior, que lim |λn | = |λ|. n n Como, por hip´ otese λ 6= 0 ⇒ lim |λn | = |λ| > 0. n

Pela prop. 16 que

(p. 160)

existem um ´ındice r e uma constante c > 0 de modo |λn | > c, ∀ n ≥ r.

(4.10)

Por outro lado, como lim λn = λ, dado ε > 0 arbitrário, existe um ´ındice m n de modo que |λn − λ| < c |λ| ε, ∀ n ≥ m. (4.11) De (4.10) temos c cε <1 ⇒ < ε, |λn | |λn |

∀ n ≥ r.

c |λ| ε |λn − λ| < = c ε, |λ| |λ|

∀ n ≥ m.

(4.12)

De (4.11) temos

logo |λn − λ| cε < , |λn | · |λ| |λn |

∀ n ≥ m.

Considerando n0 ≥ max{ r, m } e usando (4.12) podemos escrever |λn − λ| < ε, |λn | · |λ|

166

∀ n ≥ n0 .

4.5

Quando eminentes matem´ aticos cometem erros elementares E aquilo que nesse momento se revelar´ a aos povos, surpreender´ a a todos n˜ ao por ser ex´ otico mas pelo fato de poder ter sempre estado oculto quando ter´ a sido o obvio. ´

(O ´ındio/Caetano Veloso)

Introdu¸c˜ ao: Um dos resultados mais controversos de toda a matemática diz respeito ` a igualdade 0, 999 . . . = 1 (4.13) Na referência∗ o autor faz uma an´ alise das representa¸cões decimais onde lemos: “Comecemos com o caso mais simples, que é também o mais intrigante. Trata-se da express˜ ao decimal, ou seja, do n´ umero real α = 0, 999 . . . =

9 9 9 + + + ··· 10 100 1000

Afirmamos que α = 1”.

(grifo nosso)

Na referência† lemos: “[· · · ] você deve ter concluido que 0, 999 . . . = 1. Esse sinal de igual é igual mesmo! Não se trata de aproxima¸cão: 0, 999 . . . e 1 s˜ ao duas formas diferentes de apresentar o mesmo n´ umero”. (grifo nosso) Nesta se¸c˜ ao estarei defendendo a tese de que estes matem´ aticos − e quantos pensem assim − est˜ ao ingenuamente equivocados.

Com o aux´ılio da métrica quântica provaremos a surpreendente igualdade 0, 999 . . . = 0

´ isto mesmo caro leitor! Não, n˜ E ao trata-se de um erro de digita¸cão. A descoberta desta igualdade me forneceu mais muni¸cão − digo, me deu mais confian¸ca − para discordar dos matem´ aticos quanto à interpreta¸cão da igualdade (4.13). Para seguir em frente iremos necessitar relembrar o conceito de

S´ eries ∗

Lima, Elon Lages. et alii A Matem´ atica do Ensino Médio Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, 1997. † Brolezzi, Antonio Carlos/Monteiro, Martha Salerno, Matem´ atica: N´ umeros para quê? Universidade de S˜ ao Paulo, Publica¸c˜ ao eletrˆ onica.

167

Este tema já comparece no ensino médio quando procuramos por exemplo pela “soma infinita” (progress˜ ao geom´ etrica) 1 1 1 + + + ··· 2 4 8 que é dada pela fórmula da soma dos infinitos termos de uma progressão a1 , válida sempre que −1 < q < 1. No caso da série geométrica: S∞ = 1−q anterior, temos, 1 1 1 1 (4.14) + + + ··· = 2 1 = 1 2 4 8 1− 2 Formalizando a “teoria das séries”, temos: Seja (an ) uma sequência de n´ umeros reais. A partir dela, formamos uma nova sequência (sn ) cujos termos s˜ ao as somas: s 1 = a1 s 2 = a1 + a2 s 3 = a1 + a2 + a3 −− − − − − − − − − − − − − s n = a1 + a2 + a3 + · · · + an

Os ao chamados somas parciais da série infinita P termos da sequência (sn ) s˜ an . Se existir o limite, lim sn = lim (a1 + a2 + a3 + · · · + an ) n→∞

P

diremos que a série an é convergente e, nesse caso, lim sn = ℓ é chamado de soma da série. Em sendo este o caso, escrevemos, ℓ=

X

an =

∞ X

n=1

an = a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · ·

ao convergir, diremos que a série P∞Se a sequência (sn ), de somas parciais, n˜ e divergente. n=1 an ´ P Resumindo: A soma de uma série an é simplesmente o limite da sequência (sn ) de somas parciais. A equa¸c˜ ao sn = 1 − 101n é a sequência de somas parciais da série 9 9 9 + + + · · · = 0, 999 . . . 10 100 1000 sn foi obtida da equa¸c˜ ao Sn =

a1 (q n − 1) , q−1

(4.15)

soma dos n termos de uma P.G.

Nota: Podemos, sempre que for conveniente, identificar uma série com uma representa¸c˜ ao decimal, como acima. 168

Pois bem, a série (4.15) converge para 1 na métrica usual, veja: 1 1 |sn − 1| = 1 − n − 1 = n → 0 10 10

E converge para 0 na métrica quântica, observe:

(eq. (1.2), p. 18)

k(sn , 0) = min{sn , 1 − sn } n 1 1 o = min 1 − n , 1 − 1 − n 10 10 o n 1 1 1 = min 1 − n , n = n → 0 10 10 10

Em resumo, provamos que:

0, 999 . . . = 1

(4.16)

0, 999 . . . = 0

(4.17)

[. . .] A isto se acrescenta que todo

Aceder ` a ciˆ encia ´ e rejuvenescer espiri-

s´ımbolo ´ e ambivalente e at´ e mesmo po-

tualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ca õ

livalente, no sentido de que ele pode sig-

que contradiz o passado.

nificar uma pluralidade de realidades di-

(Gaston Bachelard)

versas e mesmo contradit´ orias. (L´ eon Bonaventure)

Uma exegese de nossos resultados Conviçco ˜es s˜ ao pris˜ oes, um esp´ırito que queira realizar belas obras, que tamb´ em queira os meios necess´ arios, tem de ser c´ etico. Estar livre de toda forma de cren¸ca pertence ` a for¸ca, ao poder de ver sem algemas.

(Nietzsche)

Antes de mais nada observe que a igualdade 9 9 9 + + + ··· = 0 10 100 1000 n˜ ao significa que “a soma de infinitas parcelas positivas é zero”; significa tão somente que a sequência de somas parciais, ( sn ), converge para 0 na métrica quântica, é s´ o isto! 169

Por outro lado, observe que n˜ ao podemos concluir apressadamente − a partir das equa¸c˜ oes (4.16) e (4.17) −, que 1 = 0, porquanto estes resultados pertencem a universos distintos: 0, 999 . . . = 1, em [ 0, 1 ], µ (4.18) 0, 999 . . . = 0, em [ 0, 1 [, k (4.19)

N˜ ao h´ a mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer, atˆ omica: sua verdade é apenas sua integra¸ca õ no sistema; e é por isso que teoremas incompat´ıveis entre si podem igualmente ser verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes. (Denis Huisman)

Um primeiro corol´ ario que se segue deste resultado é que 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero haja vista que depende da topologia (métrica) adotada. Esta conclusão contraria a afirmativa do prof. Elon feita anteriormente. Reiteramos: Um n´ umero é um conceito algébrico, n˜ ao topológico; digo, n˜ ao pode variar com a topologia (métrica/distância) adotada. A conclusão é ´ obvia: a “entidade” 0, 999 . . . s´ o pode ser vista como uma s´ erie∗ e nunca como um n´ umero. A igualdade (4.18) nos diz que a soma desta série é 1 na métrica usual; similarmente, a igualdade (4.19) nos diz que a soma desta mesma série é 0 na métrica quântica. Donde se conclui que o prof. comete o equ´ıvoco de confundir a série com seu limite.

Se 1 6= 0, ent˜ ao 0, 999 . . . n˜ ao ´ e um n´ umero

Ficou provado que 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero, entretanto tentaremos conseguir cavar uma contradi¸cão caso insistamos neste equ´ıvoco (tomar a série por um n´ umero). Inicialmente observe que em nosso universo [ 0, 1 [ n˜ ao est˜ ao definidas opera¸cões aritméticas − adi¸cão e multiplica¸cão −, raz˜ ao por que n˜ ao podemos sair operando a esmo. Entretanto, observando que se 0 ≤ x < 1 e 0 ≤ y < 1 então 0 ≤ x · y < 1 significa que a opera¸cão de multiplica¸c˜ ao (usual): · : [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ −→ [ 0, 1 [ em nosso universo é uma opera¸cão perfeitamente l´ıcita. Vamos agora estabelecer mais um limite que ser´ au ´til em nossos argumentos. Consideremos a seguinte sequência de somas parciais 0, 1; 0, 11; 0, 111; . . . , βn , . . . a express˜ ao de βn é dada por, βn = 19 · 1 − 101n .

∗ Ou uma representa¸c˜ ao decimal, j´ a que podemos identificar (fazer corresponder) uma série com uma representa¸c˜ ao decimal.

170

Esta sequência converge para 1/9, tanto na métrica usual quanto na quântica. Sendo assim, temos: 0, 111 . . . =

1 1 1 1 + + n + ··· = . 10 100 10 9

(4.20)

O pr´ oximo teorema rompe um paradigma de alguns séculos: umero ent˜ ao 1 = 0. Teorema 2 (Gentil/15.08.2008). Se 0, 999 . . . é um n´ Prova: De fato, consideremos a igualdade, 0, 999 . . . =

9 9 9 + + + · · · = 0, 10 100 10n

demonstrada anteriormente; sendo 0, 999 . . . por hip´ otese um n´ umero, esta igualdade nos diz que este n´ umero é igual a zero, vamos multiplic´ a-lo por 1/9, obtendo: 1 1 1 0, 111 . . . = + + n + · · · = 0. 10 100 10 Lembramos que esta igualdade (em fun¸cão da hip´ otese) d´ a-se no universo [ 0, 1 [. Deste resultado e da equa¸cão (4.20) concluimos que, 19 = 0, donde 1 = 0. Conclusão: O teorema acima mostra que é grave (grav´ıssimo∗ ) identificar uma série com seu limite.

Conclus˜ ao: Toda a celeuma que girou, até hoje, em torno da igualdade 0, 999 . . . = 1 se deve apenas ao equ´ıvoco de se confundir uma série com seu limite. Mesmo porque − como já vimos − a série em questão pode ter mais que um limite. Por conta desta confus˜ ao os terr´ aqueos, até hoje (melhor dizendo, até ontem), n˜ ao compreenderam o verdadeiro significado de 0, 999 . . . = 1. Acreditavam que, por ser 0, 999 . . . um n´ umero real, deveria situar-se em algum ponto da reta real. O s´ımbolo 0, 999 . . . n˜ ao pode ser localizado em parte † alguma da reta. Insistindo mais um pouco: na p. 61 da obra já citada − autor afirma:

(rodap´ e p. 167)

−o

(grifo nosso)

“A igualdade 1 = 0, 999 . . . costuma causar perplexidade aos menos experientes. A u ńica maneira de dirimir o aparente paradoxo é esclarecer que o s´ımbolo 0, 999 . . . na realidade significa o n´ umero cujos valores aproximados s˜ ao 0, 9, 0, 99, 0, 999 etc. E, como vimos acima, esse n´ umero é 1.” Quando os pr´ oprios autores misturam os conceitos n˜ ao é de admirar que os menos experientes fiquem perplexos (desorientados, confusos). ∗

T˜ ao grave quanto dizer que 1 = 0. E com raz˜ ao pois êle encontra-se em um outro conjunto, das representa¸c˜ oes decimais ou das séries. †

171

Estribados no teorema 2 damos a seguinte vers˜ ao (par´ afrase) da assertiva anterior : “A igualdade 1 = 0, 999 . . . costuma causar perplexidade aos menos experientes. A u ńica maneira de dirimir o aparente paradoxo é esclarecer que o s´ımbolo 0, 999 . . . na realidade significa uma série cujas reduzidas s˜ ao 0, 9, 0, 99, 0, 999 etc., e cuja soma é 1.” A propósito, podemos mostrar que a aplica¸cão (Exerc´ıcio) k : [ 0, 1/2 [ × [ 0, 1/2 [ −→ R dada por

k(x, y) = min |x − y|, 1/2 − |x − y| é uma métrica; portanto o par [ 0, 1/2 [, k é um espa¸co métrico. Neste espa¸co n˜ ao é dif´ıcil provar a seguinte igualdade: 0, 4999 . . . = 0 • Podemos ainda mostrar que, que a aplica¸cão k : [ 0, 1/3 [ × [ 0, 1/3 [ −→ R dada por

k(x, y) = min |x − y|, 1/3 − |x − y| é uma métrica; portanto o par [ 0, 1/3 [, k é um espa¸co métrico. Neste espa¸co n˜ ao é dif´ıcil provar a seguinte igualdade: 0, 333 . . . = 0.

A igualdade 0, 999 . . . = 0 e a teoria da gravita¸c˜ ao de Einstein Os que gozam de uma acuidade visual razo´ avel n˜ ao ter˜ ao dificuldade de enxergar que o paradigma quebrado pelo teorema 2 de certa forma é similar ao paradigma quebrado pela teoria da gravita¸c˜ ao de Einstein relativamente a de Newton. De fato, na teoria de Newton, ` por exemplo, sempre se acreditou que a luz se propagava em linha reta (n˜ ao fazia curva) por conta de que esta teoria era fundamentada na geometria euclidiana; já a de Einstein em uma “geometria curva”: a massa introduz uma curvatura (distor¸cão) no espa¸co circunjacente. De igual modo, sempre se acreditou que 0, 999 . . . = 1 por conta de que esta igualdade esteve sempre atrelada à geometria, digo, métrica euclidiana (esta n˜ ao curva o espa¸co); quando introduzimos uma métrica que curva o espa¸co, como é o caso da métrica k, a´ı se revelou a verdadeira natureza de 0, 999 . . ., curva-se tal como um raio de luz em uma nova geometria! 172

Conclusão: A miopia (catarata) que grassou durante todos estes séculos a respeito da igualdade 0, 999 . . . = 1 foi decorrência de se ter acreditado que 0, 999 . . . era independente da “geometria” (métrica) considerada; a igualdade 0, 999 . . . = 0 desfaz este equ´ıvoco. A figura a seguir nos mostra, de uma outra perspectiva, como a convergência da representa¸c˜ ao 0, 999 . . . depende da geometria do espa¸co, d(x, 0) 1

r

q

↑ 1 2

q r

↓

x 1 αn = 0,999...9 →

q

1 2

0

↑

A propósito, na internet encontrei a seguinte “prova” de que 0, 999 . . . = 1: “Tente escrever um n´ umero x tal que 0, 999 . . . < x < 1, ver´ a que é imposs´ıvel. Dado que n˜ ao existe um tal x em R então 0, 999 . . . = 1.” • No meu entendimento esta é uma “prova” por demais ingênua. De fato, nunca poderemos exibir um tal x simplesmente porque 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero, isto é, n˜ ao encontra-se na reta real. Para vermos a ingenuidade desta prova de um outro ângulo (uma analogia), consideremos que a sequência (pn ) de pol´ıgonos na figura a seguir,

p3

p4

p5 . . .

. . . p11

... →

... →

converge para o c´ırculo σ, isto é, lim pn = σ. Observe a analogia: n→∞

0, 9 ; 0, 99 ; 0, 999 ; 0, 9999 ; . . . ; αn ; · · · → 1 onde, αn = 0, 999 . . . 9 = 1 −

1 10n .

Temos,

lim αn = 1

n→∞

Escrever este resultado da seguinte forma, α∞ = 0, 999 . . . = 1 ´ como se para o limite, é apenas, e t˜ ao somente, uma nota¸cão. E lim pn = σ

n→∞

escrevessemos: p∞ = σ. 173

σ

´ t˜ E ao ingênuo pretender que um pol´ıgono de infinitos lados seja igual a um c´ırculo quanto pretender que uma decimal com infinitas casas, no caso 0, 999 . . ., seja um n´ umero (= 1). Deveras, s˜ ao objetos de naturezas distintas. Ent˜ ao, voltando ` a “prova” anterior, isto é, sobre a impossibilidade de se encontrar um n´ umero x tal que 0, 999 . . . < x < 1; é a mesma coisa que se pretender provar que um pol´ıgono de infinitos lados é um dado c´ırculo, pela impossibilidade de se encontrar um outro c´ırculo x entre ambos, assim: p∞ < x < σ atica Universit´ aria, uma No dia 20.10.2008, enviei à Revista Matem´ vers˜ ao compacta (13 p.) e “politicamente correta” deste trabalho, sob o t´ıtulo “Se 1 6= 0 ent˜ ao 0, 999 . . . n˜ ao é um n´ umero”, para poss´ıvel publica¸cão. Algum tempo depois recebi o seguinte email:

Gentil Lopes

Matem´ atica Universit´ aria 1 mensagem

Eduardo Colli 5 de dezembro de 2008 12:23 Para: [email protected] Prezado Gentil, mais uma vez agradecemos o interesse em publicar na Matemática Universit´ aria. Em raz˜ ao da firme conviçcão do Corpo Editorial de que 0, 999 . . . é igual a 1 no corpo dos reais, e de que 0 é igual 1 no quociente de R por Z mas n˜ ao no corpo dos reais, lamentamos comunicar-lhe que seu artigo “Se 1 < > 0 então 0.999 . . . n˜ ao é um n´ umero” n˜ ao ser´ a publicado na revista. Quanto ao seu outro artigo, “Tra¸cados 3 − D. Um aux´ılio para o tra¸cado de figuras no LaTeX”, os editores o examinaram e julgaram que n˜ ao se enquadra no perfil da revista. Atenciosamente, Eduardo Colli Editor-chefe da Matemática Universit´ aria

174

Acredito que o corpo editorial n˜ ao teve perspicácia suficiente para compreender meu artigo. Prá come¸car n˜ ao estou afirmando que 0, 999 . . . n˜ ao é igual a 1 “no corpo dos reais”, por sinal estabelecemos isto na equa¸cão (4.16) (p. 169), o que estamos defendendo é que 0, 999 . . . pode ser também igual a 0, e daqui resulta uma nova perspectiva, uma nova ótica, relativamente ` a interpreta¸c˜ ao de tais igualdades. Por exemplo, os matem´ aticos − falo aqui de matem´ aticos profissionais∗ − confundem uma representa¸cão decimal (bin´ aria, etc.) de um n´ umero com o pr´ oprio n´ umero − é nisto que n˜ ao estamos de acordo. ´ como se, na inform´ E atica, os engenheiros confundissem a codifica¸cão de um caracter com o pr´ oprio caracter, por exemplo, segundo a já citada tabela ASCII, temos (p. 34) A = 01000001 Não obstante essa igualdade, uma coisa é o caracter e outra, bem distinta, é sua representa¸c˜ ao (codifica¸c˜ ao). De modo perfeitamente similar d´ ar-se com respeito ` as igualdades 0, 999 . . . = 1 0, 999 . . . = 0 No universo euclidiano (métrica usual) 0, 999 . . . é uma representa¸cão (codifica¸c˜ ao) para o n´ umero 1; já no universo quântico 0, 999 . . . é uma codifica¸c˜ ao, desta vez, para 0 − mesmo porque 1 n˜ ao existe neste universo, digo em [ 0, 1 [. ∗ ∗ ∗ Ocorreu-me mais um argumento contra a “igualdade mesmo!” entre representa¸c˜ oes e n´ umeros reais. Pergunto: como definir igualdade entre representa¸cões? ? b , b b ···b ··· a0 , a1 a2 · · · an · · · = n 0 1 2 Para definir esta igualdade vou me inspirar (copiar) a defini¸cão de igualdade entre sequências (na verdade uma representa¸cão é uma sequência), qual seja: a1 a2 · · · an · · · = b1 b2 · · · bn · · · ⇐⇒ ai = bi , ∀ i ∈ N De igual modo, entre duas representa¸cões definimos: a0 , a1 a2 · · · an · · · = b0 , b1 b2 · · · bn · · · ⇐⇒ ai = bi , ∀ i ∈ N ∪ { 0 } (4.21) ∗

Como o Prof. Elon e o Corpo editorial da RMU.

175

Acho esta defini¸c˜ ao bastante razo´ avel e, se algum matem´ atico se op˜ oe ` mesma, gostaria que me argumentasse suas raz˜ a oes. Pois bem, vamos considerar as duas representa¸cões seguintes: 1, 0 0 0 · · ·

0, 9 9 9 · · ·

Podemos escrever: 1, 0 0 0 · · · = 1 +

0 0 0 + 2 + 3 + ··· = 1 10 10 10

(4.22)

Também, 0, 9 9 9 · · · =

9 9 9 + 2 + 3 + ··· = 1 10 10 10

(4.23)

Ora, se, 1, 0 0 0 · · · = 1 (mesmo!)

(4.24)

0, 9 9 9 · · · = 1 (mesmo!)

(4.25)

e, e, usando o axioma de que duas quantidades iguais a uma terceira s˜ ao iguais entre si, obtemos, 1, 0 0 0 · · · = 0, 9 9 9 · · ·

(mesmo!)

Tendo em conta nossa defini¸cão em (4.21) concluimos que, 1 = 0 e 0 = 9 (mesmo!) Conclus˜ ao: Os matem´ aticos diriam que fui insensato em estabelecer a defini¸cão (4.21). Da minha perspectiva; digo, para tentar me livrar da pecha de insensato, vejo as coisas da seguinte forma: primeiro, mantenho a defini¸cão (4.21), n˜ ao vejo nenhuma estult´ıcie na mesma. Depois interpreto as (segundas) igualdades em (4.22) e (4.23) como a convergência de duas séries para um mesmo limite. Do exposto n˜ ao posso concluir (como o fazem os matem´ aticos) que as igualdades (4.24) e (4.25) s˜ ao absolutas! digo, que 0, 9 9 9 · · · e 1 representam o mesmo n´ umero! Não, n˜ ao trata-se disto senhores matem´ aticos, por favor parem um pouco pr´ a raciocinar! Reitero: podemos adotar a defini¸cão (4.21), entre representa¸cões, sem nenhum sentimento de culpa, da´ı que 0, 9 9 9 · · · e 1, 0 0 0 · · · s˜ ao duas representa¸c˜ oes distintas, bem como as respectivas séries em (4.22) e (4.23); agora o que estas séries têm em comum é o mesmo limite: 1. Adendo: A cita¸c˜ ao a seguir encontrei, por acaso, no livro “O que é matem´ atica? ”, de Richard Courant/Herbet Robbins da Editora Ciência Moderna Ltda. (p. 76) 176

Vamos dividir o intervalo unit´ ario em duas metades, a segunda metade novamente em duas partes iguais, a segunda metade destas em duas outras partes iguais, e assim por diante, até que os menores intervalos assim obtidos tenham um comprimento de 2−n , onde n é escolhido arbitrariamente grande [. . .]. Ent˜ ao, adicionando os comprimentos de todos os intervalos exceto o u ´ltimo, obtemos um comprimento total igual a (3)

sn =

1 1 1 1 1 + + + + ··· + n. 2 4 8 16 2

Observamos que sn difere de 1 por ( 12 )n , e que esta diferen¸ca torna-se arbitrariamente pequena, ou “tende a zero” à medida que n aumenta indefinidamente. Não faz qualquer sentido afirmar que a diferen¸ca é zero se n for infinito. O infinito entra somente no procedimento sem fim e n˜ ao como uma quantidade efetiva. Descrevemos o comportamento de sn dizendo que a soma sn aproxima-se do limite 1 ` a medida que n tende para o infinito, escrevendo 1 1 1 1 (4) 1 = + 2 + 3 + 4 + ..., 2 2 2 2 onde temos, ` a direita uma série infinita. Esta “igualdade” n˜ ao significa que tenhamos efetivamente de adicionar infinitos termos; trata-se apenas de uma express˜ ao abreviada para o fato de que 1 é o limite da soma finita sn à medida que n tende para o infinito (de forma alguma é infinito). Assim, a igualdade (4) com seu s´ımbolo incompleto “+ . . .” é meramente uma estenografia matem´ atica para a afirma¸cão precisa 1 =limite ` a medida que n tende para o infinito da quantidade (5)

sn =

1 1 1 1 1 + + + + ··· + n 2 4 8 16 2

Eu deveria logo dizer que discordo completamente daqueles que afirmam que o campo da matem´ atica incorpora eternamente uma perfei¸ca õ est´ atica, e que as ideias matem´ aticas n˜ ao s˜ ao humanas, nem mut´ aveis. Ao contr´ ario, esses estudos de caso, essas hist´ orias intelectuais ilustram o fato de que a matem´ atica est´ a constantemente em evolu¸ca õ e mudan¸ca, oes de matem´ atica b´ asica e mais e que nossa perspectiva, mesmo nas quest˜ aprofundada, se desloca, ami´ ude, de maneira surpreendente e inesperada. Tudo o que ela necessita é de uma nova ideia! Você precisa apenas estar inspirado e depois trabalhar feito louco para desenvolver sua nova concep¸ca õ. De in´ıcio, as pessoas ir˜ ao combatê-lo, mas, se você estiver certo, ent˜ ao todos dir˜ ao, no fim de contas, que obviamente era o modo de encarar o problema, e que sua contribui¸ca õ foi pequena ou nula! De certa maneira, este é o maior dos cumprimentos. (Gregory Chaitin/Metamat!/p. 30-Grifo nosso)

177

4.6

Exerc´ıcios

1) Num espa¸co métrico (M, d) uma sequência estacion´ aria (xn ) é aquela que se repete a partir de um certo ´ındice r, assim: (xn ) = (x1 , . . . , xr , a, a, a, . . .) Mostre que tais sequências s˜ ao convergentes. 2) Seja (x1 , x2 , x3 , . . .) uma sequência em (M, d). Se (x1 , x3 , x3 , . . .) −→ a e (x2 , x4 , x6 , . . .) −→ a, mostre que (x1 , x2 , x3 , . . .) −→ a.

3) Consideremos a sequência (xn ) de pontos do R2 dada por 1 (−1)n xn = 1 + , n n

Mostre que esta sequência é convergente − nas três métricas do R2 . Para um raio ε = 13 encontre, para cada uma das bolas, o menor ´ındice n0 a partir do qual todos os termos da sequência caem dentro da respectiva bola. 4) Consideremos a sequência (xn ) de pontos do R2 dada por (−1)n xn = (−1)n , n discuta a convergência de (xn ).

5) Mostre, utilizando a prop. 9 (p. 143), que a sequência (xn ) = (1, 12 , 31 , . . .) n˜ ao é convergente no espa¸co (R, δ). 6) O C´ alculo, ou a Análise, nos dizem que 1 1 = lim 1 − lim lim 1 − =1 − 0=1 n→∞ n→∞ n n→∞ n 1 Aqui (p. 145), provamos que lim 1 − = 0. Explique esse “paradoxo”. n→∞ n

7) Mostre que toda sequência (xn) (0 ≤ xn < 1) que converge para o ponto p (0 ≤ p < 1) no espa¸co [ 0, 1 ], µ , converge para o mesmo ponto no espa¸co [ 0, 1 [, k . Mostre que existem sequências que convergem em [ 0, 1 [ mas que n˜ ao convergem em [ 0, 1 ]. Sugest˜ ao: Mostre que a bola de centro p (0 ≤ p < 1) e raio r > 0 na métrica usual est´ a contida nesta mesma bola na métrica quântica . . . 8) Considere a sequência de fun¸cões em C[0, 1 ] dada por xn (t) = n1 , estude sua convergência nos espa¸cos C[ 0, 1 ], Γ , C[ 0, 1 ], Υ . Interprete geometricamente seus argumentos.

178

9) Considere o conjunto B([ 0, 1 ], R) das fun¸cões reais limitadas de dom´ınio [ 0, 1 ] e neste a sequência (xn ) dada por xn (t) = tn . Em Análise aprendemos que esta sequência de fun¸cões cont´ınuas converge simplesmente, ou pontualmente, para a fun¸c˜ ao descont´ınua x : [ 0, 1 ] −→ R dada por ( 0, se 0 ≤ t < 1; x(t) = 1, se t = 1. Mostre que esta convergência n˜ ao se verifica no espa¸co B([ 0, 1 ], R), Ψ . xn (t)

x(t) Ψ /

1

s

1

q

q

x1 0

.x. 4 . q1

t

0

1

t

10) Prove a proposi¸c˜ ao 11 (p. 154) utilizando a técnica (T − 3) (p. 571). Sugest˜ ao: Suponha, ao contr´ ario, que lim xn = p e lim xn = q com p 6= q. n

n

11) Para a sequência (xn ) vista no exemplo 6 (p. 147), encontre uma bola de centro na origem contendo todos os seus termos. (prop. 17, p. 161) 2 2 − nos espa¸cos R , k · kD e R , k · kD . 2 3 12) Prove a proposi¸c˜ ao 14 (p. 157) nos espa¸cos M, D1 e M, D2 . 13) Mostre que a aplica¸c˜ ao k : [ 0, 1/2 [ × [ 0, 1/2 [ −→ R, dada por k(x, y) = min |x − y|, 1/2 − |x − y|

é uma métrica sobre [ 0, 1/2 [. Ademais, prove que: 0, 4999 . . . = 0. √ 14) Considere a sequência num´ erica dada por an = n a, onde a > 0 é um √ n´ umero real. Prove que lim n a = 1. n→∞ √ √ √ √ n A sequência a seguir: 2 a , 4 a , 8 a , . . . , 2 a , . . ., é uma subsequência √ da sequência ( n a ), portanto converge para 1. Uma consequência deste resultado é que se você coloca qualquer n´ umero real (positivo) em sua calculadora e vai apertando sucessivamente a tecla da √ a o n´ umero 1 no visor. raiz quadrada ( ) no final você sempre obter´

179

A Contenda A corrida que descreveremos a seguir deu-se ainda no tempo de Zen˜ ao (século V a.C.). Pois bem, a disputa acontecer´ a na arena [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ com quatro contendores: Aquiles (A), a tartaruga (T ), a lesma (L) e o bichopregui¸ca (P ). Os advers´ arios dever˜ ao posicionar-se inicialmente nos quatro pontos assinalados no quadrado abaixo: (1, 1)

1 3 4

q

1 2

q

1 4

q ↑

O=(0, 0)

r

r

C

r r

q1

q1

q3

4

2

4

1

O objetivo da disputa ser´ a atingir o vértice O (inferior esquerdo), sendo que os participantes s´ o poder˜ ao deslocar-se sobre as diagonais do quadrado. Aquiles, por ser o mais inteligente dos animais, até “racional” êle se considera, “manipula” (mancomunado com o árbitro) o sorteio das posi¸cões iniciais de modo que ir´ a posicionar-se no centro do quadrado. De formas que, para os animais “irracionais”, a escolha torna-se agora irrelevante; portanto a configura¸cão inicial da disputa fica assim: (1, 1)

1 3 4

q

1 2

q

1 4

q ↑

O=(0, 0)

rL

r

A

rT rP

q1

q1

q3

4

2

4

1

Os três animais irracionais desenvolver˜ ao a mesma velocidade V e Aquiles, num acordo de cavalheiros, decide desenvolver uma velocidade que é apenas o dobro de V . Vamos resumir as condi¸cões do pleito: 180

1o ) Os advers´ arios s´ o poder˜ ao deslocar-se sobre as diagonais do quadrado; o 2 ) Dever˜ ao chegar no vértice O (inferior esquerdo do quadrado); 3o ) Aquiles, que encontra-se posicionado no centro do quadrado, desenvolver´ a “apenas” o dobro da velocidade de seus advers´ arios. Pedimos ao leitor que reflita sobre as circunstâncias (condi¸cões) estabelecidas no pleito, e nos diga se “humanamente falando”, digo, racionalmente (logicamente) falando existe a menor chance de que algum dos “animais irracionais” ven¸ca Aquiles. O deslocamento de Aquiles se dar´ a da seguinte forma: num primeiro est´ agio (“passo”) de seu movimento percorrerá a metade da distˆ ancia C O (Centro-Origem). No segundo est´ agio, percorre a metade do que resta, e assim sucessivamente. Pois bem, é dada a largada!!! O que, estarrecidos, embasbacados!, observamos?, veja: rr

1 3 4

q

1 2

q

1 4

q

O

r

r

r

L

r r

r

A

rT rP

q1

q1

q3

4

2

4

r

r

rr

(1, 1)

rr

1

−Precisava ser tão irracional? Pasmem! a tartaruga est´ a seguindo no sentido do vértice (1, 1), a pregui¸ca no sentido do vértice (1, 0) e a lesma no sentido do vértice (0, 1). Que pena . . . os coitados devem ter ficado atordoados com o tiro de largada. S´ o pode ser isto! Bem, de qualquer forma precisamos preencher a s´ umula do resultado final: Aquiles em 1o lugar!?; quanto aos assim chamados irracionais temos duas alternativas, ou os desclassificamos de imediato, ou os classificamos de acordo com suas distˆ ancias finais para a meta, assim: Animal Aquiles Pregui. Lesma Tartar.

Classif.

Animal Aquiles Pregui. Lesma Tartar.

1o Desclas. Desclas. Desclas.

181

Classif.

D.O.

1o 2o 2o 3o

0 1 1

√

2

. . . 26 s´ eculos depois/A Justi¸ca tarda mas n˜ ao falha! Os animais (ditos) irracionais protestaram contra o resultado anterior alegando que disputaram a corrida pela métrica quântica∗ e que esta injusti¸ca seria prontamente reparada em séculos posteriores (profetizaram até o dia da repara¸c˜ ao: 14.03.2006). J´ a sab´ıamos que as abelhas têm conhecimento de matem´ atica universit´ aria (C´ alculo, no m´ınimo), uma vez que conseguem construir seus alvéolos de modo a armazenarem a maior quantidade de mel, com o m´ınimo gasto de material. Agora que lesma, tartaruga e bicho-pregui¸ca entendam de topologia . . . ah! essa n˜ ao sab´ıamos, pagamos pr´ a ver!. Bem, já que as abelhas conhecem de C´ alculo I, n˜ ao nos custa nada averiguar se lesma conhece de topologia. Apelando para a métrica quântica, vejamos o que podemos fazer. Dados os critérios estabelecidos no pleito, podemos nos valer das seguintes sequências, para descrever o deslocamento dos quatro contendores: 1

ln =

1 1 , 1− n+1 2n+1 2

an =

1 , 1 2n 2n

→

→

3 4

q

1 2

q

1 4

q

meta →

O

rr

r

r

L

r

r r

r

A

rT rP

q1

q1

q3

4

2

4

r

r

rr

rr

(1, 1)

← tn = 1−

1 1 , 1− n+1 2n+1 2

← pn = 1−

1 , 1 2n+1 2n+1

1

Ou ainda, fa¸camos a seguinte identifica¸cão: A = { an : n ∈ N } = e T = { tn : n ∈ N } =

n

1−

o n 1 1 , : n ∈ N 2n 2n

o 1 , 1 − : n ∈ N , etc. 2n+1 2n+1 1

Considere as duas seguintes defini¸cões:

Defini¸ c˜ ao 19 (Atingir a meta). Diremos que um contendor atinge a meta quando sua distˆ ancia (“final”) para a meta é nula. ∗

Que n˜ ao era do conhecimento dos matem´ aticos da época. An passant, apenas em 1906 foi que o matem´ atico Maurice Fréchet, em sua tese de doutoramento, sugeriu uma defini¸c˜ ao geral e abstrata do conceito de distˆ ancia, sendo este o ponto de partida da teoria dos espa¸cos métricos.

182

Defini¸ c˜ ao 20 (Vencer). Numa porfia entre dois contendores A e B diremos que B vence A se B atinge a meta e se existe um instante de tempo a partir do qual B estar´ a sempre ` a frente de A. Pois bem, voltemos aos exerc´ıcios: 15) Mostre que, pela “régua quântica”, a tartaruga atinge a meta. Ou ainda, mostre que: d(O, T ) = inf d( O, x) : x ∈ T = inf D1 (O, tn ) : tn ∈ T = 0

16) Mostre que todos os animais atingem a meta − por qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3). (p. 97)

17) Se todos os animais atingem a meta, quem vence a corrida? O referencial comum para saber quem est´ a` a frente de quem, é o centro do quadrado; mostre que a tartaruga − e os outros animais − vence Aquiles; mais precisamente mostre que: D1 (tn , C) > D1 (an , C); ∀ n ∈ N. Isto é, a tartaruga sempre esteve à frente de Aquiles∗ , por conseguinte é declarada vencedora!! Ufa! ap´ os tanto tempo, finalmente podemos fazer justi¸ca. A nova s´ umula fica assim: Animal Tartar. Pregui. Lesma Aquiles

Classif.

1o Desclas.

Nota: Decidimos desclassificar o Aquiles porque ele roubou por ocasi˜ ao do sorteio das posi¸c˜ oes iniciais. ∗

∗

∗ Uma teoria cient´ıfica n˜ ao ´ e mais do que

um modelo do universo, ou de uma parte restrita deste, e um conjunto de regras que relacionam quantidades do modelo com as observa¸co ˜es que praticamos. Existe apenas na nossa mente e n˜ ao tem nenhuma outra realidade, seja o que for que signifique. ∗

E n´ os nem desconfi´ avamos disto!

183

(Stephen Hawking)

Caso unidimensional Para observarmos o pleito (paradoxo) apenas entre Aquiles e a tartaruga, basta fazer a proje¸cão (“no eixo x”) do caso bidimensional. Ao ser dado o tiro de largada Aquiles age como qualquer “racional” agiria, e segue em demanda de sua meta; a tartaruga (agora uma ex´ımia e respeitada topologista), para estupefa¸cão da platéia segue em sentido contr´ ario! . . . o ´ arbitro da contenda queda-se embasbacado!!! A m´ etrica quˆ antica e a ´ etica Pois bem, qual a distˆ ancia que Aquiles acreditava est´ a usurpando de seu advers´ ario? Observe: •

≀

∼

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2

0,5

1

4

0,4

0,3

0,2

0,1

1 INMETRO

0

q

······ · ···· q3

y y

q

0

1 4

Ele acredita (pela “l´ ogica humana”) est´ a usurpando da pobre tartaruga ancia em que ele se encontra à uma distˆ ancia igual a 41 = 0, 25 (que é a distˆ frente do quelônio). Ora, perceba o caro leitor que é precisamente esta mesma distˆ ancia que ele est´ a, ` a revelia, concedendo à tartaruga. Ademais, lembre-se de que a métrica quântica “transfere” a origem “0” para o outro vértice do intervalo. De uma outra perspectiva: Observe que na configura¸cão inicial do pleito a distˆ ancia de Aquiles para a meta, em qualquer das métricas é 0, 5; enquanto que a distˆ ancia da tartaruga para a meta, na métrica quântica, é de apenas 0, 25. ∗ ∗ ∗ Naquela época [século XVIII], qualquer sistema geométrico que n˜ ao estivesse em absoluta concordˆ ancia com o de Euclides teria sido considerado um absurdo. Kant, o mais influente fil´ osofo do per´ıodo, formulou esta atitude na afirma¸ca õ de que os axiomas de Euclides s˜ ao inerentes a mente humana e, portanto, têm uma validade objetiva para o espa¸co ` “ real”. Esta cren¸ca nos axiomas da Geometria Euclidiana como verdades inalteradas, existindo no dom´ınio da pura intui¸ca õ, era um dos dogmas b´ asicos da filosofia de Kant. (Richard Courant/O que ´ e Matem´ atica? (p. 267))

184

Cap´ıtulo

5

A TOPOLOGIA DOS ESPAC ¸ OS ´ METRICOS A matem´ atica ´ e um campo demasiadamente ´ arduo e in´ ospito para agradar ` aqueles a quem n˜ ao oferece grandes recompensas. Recompensas que s˜ ao da mesma ´ındole que as do artista. . . . Acrescenta ainda que ´ e no ato de criar que o matem´ atico encontra sua culminˆ ancia e que “nenhuma quantidade de trabalho ou corre¸ca õ t´ ecnica pode substituir este momento de cria¸ca õ na vida de um matem´ atico, poeta ou m´ usico”.

(Norbert Wiener)

Introdu¸ c˜ ao Lembramos que um espa¸co métrico pode ser visto como um sistema de processamento de informa¸c˜ oes, onde temos: (M, d) software hardware

O conjunto de instru¸co ˜es (software) é passado através da métrica. Por exemplo, uma das instru¸c˜ oes (programa) que já vimos é como calcular uma bola aberta no sistema (M, d). Lembramos − dentro de nossa analogia − que um mesmo hardware ( M ) pode suportar softwares diversos. Uma instru¸c˜ ao que incorporaremos agora em nosso sistema é como decidir se um ponto é ou n˜ ao interior a um conjunto. 185

5.1

Ponto interior

Defini¸ c˜ ao 21 (Ponto Interior). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Considere X ⊂ M . Um ponto p ∈ X é chamado ponto interior de X se ∃ r > 0 : B(p; r) ⊂ X De outro modo: um ponto p ∈ X é ponto interior de X se for poss´ıvel “centrar” neste ponto uma bola aberta que esteja contida em X. Nota: Para provar que um ponto p ∈ X n˜ ao é ponto interior de X devemos mostrar que para todo r > 0, arbitrariamente fixado, B(p; r) 6⊂ X. Isto é: ∀ r > 0, devemos exibir x ∈ B(p; r) tal que x 6∈ X. Em geral este x, que devemos exibir, depende − é fun¸cão − do raio r dado, da´ı em algumas situa¸cões usarmos a nota¸cão x = xr . Importante! Vamos chamar a aten¸cão do leitor para um aspecto, embora trivial, importante: Na defini¸caõ de ponto interior intervém, de forma expl´ıcita, a bola aberta B(p; r) = { x ∈ M : d(p, x) < r }. E esta, como se vê, depende tanto da métrica d quanto do conjunto M . Portanto o fato de um ponto p ser interior, ou n˜ ao, a um subconjunto X ⊂ M vai depender essencialmente da métrica d e do conjunto M , como n˜ ao poderia deixar de ser. Ou ainda: um mesmo hardware ( M ) pode nos responder de modo distinto a depender do software ( d ). Esta observa¸c˜ ao se estende a outros tipos de pontos que ser˜ ao vistos neste cap´ıtulo. Para ilustrar do que estamos falando vejamos um exemplo. Consideremos M = R e X = [ 0, 1 ]. Temos que 0 é ponto interior de X na métrica δ, o que n˜ ao acontece na métrica µ. De fato, Bδ (0; 1) = { 0 } ⊂ X

e

Bµ (0; r) =] − r, r [ 6⊂ X,

∀r > 0

Exemplos: 1) Seja M = {a, b, c, . . . , x, y, z} e seja X = {a, e, i, o, u}. No espa¸co (M, δ) todo ponto p ∈ X é ponto interior de X. Por exemplo, seja a ∈ X e r = 1, ent˜ ao Bδ (a; 1) = { a } ⊂ X Generalizando este exemplo, temos

2) Seja M um conjunto qualquer e X ⊂ M . No espa¸co (M, δ) todo ponto p ∈ X é ponto interior de X. De fato, já vimos que (p. 108)   p , se 0 < r ≤ 1; Bδ (p; r) =  M, se r > 1. 186

Isto significa que para “interiorizar” qualquer ponto p ∈ X, basta escolher r no intervalo 0 < r ≤ 1, pois Bδ (p; r) = { p } ⊂ X. 3) Sejam M = R e X = { 0 } ∪ [ 1, 2 [ ⊂ R. ¬

R

0

s

0

[ 1

[ 2

X

Temos que 0 e 1 s˜ ao pontos interiores de X no espa¸co (R, δ), mas n˜ ao no espa¸co (R, µ). O que faz essa diferen¸ca é o “tipo” da bola aberta em cada um destes espa¸cos. ◦

◦

− O conjunto dos pontos interiores de X ser´ a indicado por X ou por X d quando desejarmos destacar a métrica. Isto é, ◦ X d = p ∈ X : ∃ r > 0, com Bd (p; r) ⊂ X

4) Sejam M = R e X = [ a, b ]. Deixamos como exerc´ıcio mostrar que ◦

Xµ = ] a, b [

e

◦

Xδ = [ a, b ].

5) Sejam M = R e X = {1, 21 , 31 , . . .}, temos que ◦

Xµ = ∅

e

◦

Xδ = X.

De fato, dado qualquer p ∈ X temos Bµ (p; r) = ] p − r, p + r [ . Sendo assim é imposs´ıvel exibir r > 0 de modo que Bµ (p; r) = ] p − r, p + r [ ⊂ X uma vez que todo intervalo aberto contém n´ umeros irracionais. Por conseguinte nenhum ponto p ∈ X pode ser ponto interior a X no espa¸co (R, µ). ◦ Por outro lado, que Xδ = X decorre do exemplo 2. ´ fácil ver que 0 é ponto 6) Seja M = [ 0, 1 [ e X = [ 0, 41 ] ∪ [ 34 , 1 [. E interior de X no espa¸co ([ 0, 1 [, k) e também no espa¸co ([ 0, 1 [, µ). ¬1

0

1

2

M X

0

3 4

1 4

◦

1

ao enfatize a dependência do interior Observa¸ca õ: Embora a nota¸c˜ ao X d n˜ de X com respeito ao conjunto M , do qual X é subconjunto, isto est´ a impl´ıcito em ◦ X d = p ∈ X : ∃ r > 0, com Bd (p; r) ⊂ X precisamente porque, Bd (p; r) = { x ∈ M : d(p, x) < r }. 187

◦

Uma nota¸c˜ ao para enfatizar ambas as dependencias seria X (M, d) . Por exemplo, segundo esta nota¸cão temos ◦

Q(R,µ) = ∅

◦

e

Q(Q,µ) = Q.

A segunda das igualdades acima decorre do fato de que, na defini¸cão de ponto interior, tomando X = M , todo ponto p ∈ X é interior a X, uma vez que qualquer que seja r > 0 temos B(p; r) = { x ∈ M : d(x, p) < r } ⊂ X = M Em outras palavras: Todo x ∈ M é interior ao “conjunto universo” M . A seguir estaremos enriquecendo nosso sistema de processamento de informa¸c˜ oes com mais uma instru¸cão.

5.2

Conjuntos abertos

Defini¸ c˜ ao 22 (Conjunto Aberto). Seja (M, d ) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Diremos que X é um conjunto aberto em (M, d) quando todo ponto de X for ponto interior de X. ◦

Observe que pela defini¸cão de ponto interior temos X ⊂ X; quando a ◦ ◦ inclusão contr´ aria se verificar, isto é, quando X ⊂ X , isto é, X = X , diremos que X é aberto no espa¸co (M, d). Um conjunto deixa de ser aberto quando pelo ao menos um de seus pontos n˜ ao é ponto interior. Observa¸c˜ ao: Quando quisermos mostrar que um subconjunto X ⊂ M é aberto devemos tomar um ponto x ∈ X arbitrário, e mostrar que este ponto é ponto interior de X. Isto é, devemos exibir r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ X. Via de regra, este r que buscamos depende − é fun¸cão − do ponto x. Da´ı em algumas situa¸c˜ oes usarmos a nota¸cão r = rx . Exemplos: 1) O conjunto X =] a, +∞ [ é aberto no espa¸co (R, µ). De fato, fixado arbitrariamente x ∈ X, temos que x > a, isto é x−a > 0. satisfaz Mostremos que rx = x−a 3 Bµ (x; rx ) = ] x − rx , x + rx [ ⊂ ] a, +∞ [ rx a]

] x−rx

s

x

[ x+rx

X

2x+a De fato, seja y ∈ ] x−rx , x+rx [, então y > x−rx = x− x−a > a; 3 = 3 portanto, com este raio temos Bµ( x; rx ) ⊂ ] a, +∞ [ ; o que prova que todo ponto x > a é ponto interior de X; por conseguinte X é aberto.

188

2) Seja M = R2 , o conjunto X = (x, y) ∈ R2 : x > 1 é aberto em R2 com qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3). Provaremos que X é aberto na métrica D1 e o leitor provar´ a para as duas outras métricas. De fato, dado (p, q) ∈ X arbitrário, devemos exibir uma bola de centro neste ponto e contida em X. Pois bem, pela defini¸cão de X temos que p > 1; vamos tomar para o raio da bola procurada r = p − 1 > 0 e mostrar que B (p, q); r ⊂ X. R r

0

R

X

1

r(x, y) r(p, q)

r(p, q) R

0

X

R

1 r = p −1

Seja (x, y) ∈ B (p, q); r = p − 1 um ponto qualquer nesta bola e mostremos que (x, y) ∈ X, isto é, que x > 1. Então (x, y) ∈ B (p, q); r ⇒ D1 (x, y), (p, q) < r p (x − p)2 + (y − q)2 1.

Sendo assim mostramos que qualquer ponto (p, q) ∈ X é ponto interior de X, logo X é aberto. 3) Seja M um conjunto qualquer e X ⊂ M . No espa¸co (M, δ) todo ponto p ∈ X é ponto interior de X (ex. 2, p. 186). Logo, todo subconjunto X ⊂ M é aberto no espa¸co (M, δ). Mais geralmente: Um espa¸co (M, d) é discreto se, e somente se, todos os seus subconjuntos s˜ ao abertos. Prova: (=⇒) Se (M, d) é discreto e X ⊂ M , então X é aberto.

Com efeito, dado x ∈ X, x é isolado em (M, d). Portanto, existe rx > 0 tal que B(x; rx ) = {x} ⊂ X. Logo, x é ponto interior de X, portanto X é aberto. 189

(⇐=) Se todo subconjuntos X ⊂ M é aberto, então (M, d) é discreto. De fato, em particular { x } é aberto para todo x ∈ M . Portanto existe rx > 0 tal que B(x; rx ) ⊂ { x }. Logo, B(x; rx ) = { x }. Isto implica que todo ponto x de M é isolado, isto é, (M, d) é discreto. 4) O conjunto universo é um conjunto aberto: Vimos anteriormente que “todo ponto x ∈ M é interior ao conjunto universo M ”. Isto significa que o conjunto universo é aberto. 5) O conjunto vazio é um conjunto aberto: Para mostrar que um conjunto n˜ ao é aberto devemos exibir um ponto deste conjunto que n˜ ao é ponto interior. Como isto n˜ ao pode ser feito no caso do conjunto vazio, segue que o mesmo é aberto. 6) Uma bola aberta é um conjunto aberto: Vimos na propriedade (P2 ) das bolas abertas (p. 126) que “Escolhido um ponto qualquer de uma bola aberta, podemos tornar este ponto, o centro de uma nova bola, contida na primeira”. Isto é, todo ponto de uma bola aberta é um ponto interior desta bola, por conseguinte uma bola aberta é um conjunto aberto; em qualquer espa¸co (M, d). 7) O conjunto { a } ⊂ M é aberto no espa¸co (M, d) se, e s´ omente se, a é ponto isolado deste espa¸co. Prova: (=⇒) Se { a } é aberto então existe r > 0 de modo que B(a; r) ⊂ { a }, isto é, B(a; r) = { a }. Logo a é isolado neste espa¸co.

(⇐=) Se a é isolado, então existe r > 0 tal que B(a; r) = { a }, isto é B(a; r) ⊂ { a }, logo, a é ponto interior de { a }. Portanto { a } é aberto. 8) Q n˜ ao é aberto no espa¸co (R, µ). De fato, nenhum ponto p ∈ Q é ponto interior de Q, porquanto ] p − r, p + r [ 6⊂ Q; ∀ r > 0,

uma vez que em todo intervalo aberto encontramos n´ umeros irracionais. 9) Uma observa¸c˜ ao importante é a de que um conjunto pode n˜ ao ser aberto em um dado espa¸co métrico, mas pode ser em um seu subespa¸co. Este fenômeno se deve a que a bola aberta no subespa¸co é, via de regra, diferente da bola aberta no espa¸co. Por exemplo, consideremos o espa¸co (R, µ) e o seu subespa¸co (N, µ), onde N = [ 0, 2 ]. O conjunto X = [ 0, 1 [ n˜ ao é aberto no espa¸co (R, µ) mas sim no subespa¸co (N, µ). (exerc´ıcio) ¬ 0 0 0

R

[

2 1

] N

X

190

Proposi¸ c˜ ao 22. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M aberto. Seja p ∈ X. Nestas condi¸co ˜es, o conjunto X − { p } é aberto.

Prova: Devemos mostrar que dado x ∈ X − { p } arbitrário, existe r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ X − { p }. Ent˜ ao, seja x ∈ X − { p }, logo x ∈ X e x 6= p. Como, por hip´ otese, X é aberto, existe r > 0 tal que B(x; r) ⊂ X. Temos duas possibilidades: (i) p 6∈ B(x; r)

(ii) p ∈ B(x; r)

(i) Ent˜ ao,   B(x; r) ⊂ X 

(5.1)

p 6∈ B(x; r)

(5.2)

Vamos mostrar que estas duas condi¸cões, conjuntamente, implicam em que B(x; r) ⊂ X − { p }. De fato, seja y ∈ B(x; r) ent˜ ao, por (5.1), y ∈ X e, por (5.2), y 6= p, isto é, y 6∈ { p }, logo y ∈ X − { p }. Por conseguinte B(x; r) ⊂ X − { p }. (M, d) r x r

y

r

rp

(M, d)

X

r x r

r

X− {p}

(ii) Vejamos a segunda possibilidade: se p ∈ B(x; r) ⇒ d(x, p) < r e como x 6= p temos d(x, p) > 0, sendo assim podemos tomar 0 < r ′ = d(x, p) < r, logo B(x; r ′ ) ⊂ B(x; r) ⊂ X. Portanto, temos   B(x; r ′ ) ⊂ X (M, d) r x r

 p 6∈ B(x; r ′ )

(M, d)

X p

r

x

rr′

r

X− {p}

Estas duas condi¸c˜ oes, conjuntamente, implicam B(x; r ′ ) ⊂ X − { p }.

Portanto, x é ponto interior de X − { p }; logo X − { p } é aberto. 191

Por indu¸c˜ ao: Se X é aberto, então X − { a1 , a2 , . . . , an } é aberto. Ou ainda: Se retirarmos uma quantidade finita de pontos de um conjunto aberto, ele n˜ ao perde esta propriedade. Observe que se acrescentarmos um u ńico ponto a um conjunto aberto, esta propriedade se perde. Por exemplo X = ] 0, 1 [ ∪ { 1 } n˜ ao é aberto em (R, µ). Proposi¸ c˜ ao 23. Seja (M, d ) um espa¸co métrico. (i) M e ∅ s˜ ao abertos;

(ii) Se X1 , X2 , . . . , Xn s˜ ao abertos, ent˜ ao

X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn é aberto; (iii) Se {Xλ }λ∈L é uma fam´ılia arbitr´ aria de abertos, ent˜ ao X=

[

Xλ é aberto.

λ∈L

Prova: (i) J´ a foi visto anteriormente. (p. 190) (ii) Seja X = X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn . Se algum dos Xi for vazio, ou se dois quaisquer deles forem disjuntos, então X ser´ a vazio e, portanto, pelo ´ıtem anterior, aberto. Caso contr´ ario X 6= ∅. Seja p ∈ X, mostremos que p é ponto interior de X. Temos p ∈ X1 , . . . , p ∈ Xn . Como X1 , X2 , . . . , Xn s˜ ao abertos existem n´ umeros positivos r1 , r2 , . . . , rn tais que B(p; r1 ) ⊂ X1 , B(p; r2 ) ⊂ X2 , . . . , B(p; rn ) ⊂ Xn . Tomando r = min {r1 , r2 , . . . , rn } temos pela propriedade (P1 )

(p. 125) :

B(p; r) ⊂ B(p; r1 ), B(p; r) ⊂ B(p; r2 ), . . . , B(p; r) ⊂ B(p; rn ) portanto, pela transitividade da inclusão, temos B(p; r) ⊂ X1 , B(p; r) ⊂ X2 , . . . , B(p; r) ⊂ Xn isto é B(p; r) ⊂ X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn = X. portanto p é ponto interior de X. Isto é, X é aberto. (iii) Seja p ∈ X = ∪λ∈L Xλ . Então p ∈ Xλ′ para algum λ′ ∈ L. Como, por hip´ otese, este Xλ′ é aberto, existe r > 0 de modo que B(p; r) ⊂ Xλ′ . Logo [ B(p; r) ⊂ Xλ = X, λ∈L

portanto p é ponto interior de X. Isto é, X é aberto.

192

Observa¸ c˜ ao: A interse¸c˜ ao de uma fam´ılia infinita de conjuntos abertos pode n˜ ao ser um conjunto aberto. Contraexemplo: Seja a fam´ılia {Xn }n∈N , onde Xn =] − n1 , n1 [ . No espa¸co (R, µ), os Xn (n = 1, 2, . . .) s˜ ao bolas abertas e, portanto, conjuntos abertos. Mas \ Xn = { 0 }, n∈N

n˜ ao é aberto neste espa¸co. Corol´ ario . Um subconjunto X ⊂ M é aberto se, e somente se, é uma reuni˜ ao de bolas abertas. Prova: (=⇒) De fato, como X é aberto, então para cada x ∈ X, existe uma bola Bx tal que x ∈ Bx ⊂ X. [ Tomando, na proposi¸cão 138 (p. 599), X = A e Bx = Gx obtemos X = Bx . Isto mostra que todo aberto é uma reunião x∈X

de bolas abertas.

(⇐=) Se X = ∪ Bλ é uma reunião de bolas abertas , então X é aberto, pelo ´ıtem (iii) do teorema. Uma aplica¸c˜ ao trivial deste corol´ ario é: No espa¸co (M, δ) todo X ⊂ M é aberto. De fato, se X = ∅ é imediato. Se X 6= ∅, então X=

[

x∈X

{x} =

[

Bδ (x; 1)

x∈X

o que prova que X é aberto. Abertos em subespa¸ cos Proposi¸ c˜ ao 24. Seja (M, d) um espa¸co e (N, d) um subespa¸co de (M, d). Um subconjunto X ⊂ N é aberto (no subespa¸co) se, e somente se, existir um conjunto A, aberto em (M, d), tal que X = A ∩ N. Prova: (=⇒) Se X ⊂ N é aberto em (N, d) então existe um conjunto A, aberto em (M, d), tal que X = A ∩ N.

Com efeito, como X é aberto em (N, d) então, pelo corol´ ario anterior, X pode ser escrito como uma reunião de bolas abertas (em (N, d)), isto é de sub-bolas [ X= B(x; rx ) x∈X

193

J´ a vimos que B(x; rx ) = B(x; rx ) ∩ N , onde B(x; rx ) é a bola aberta em (M, d). Portanto podemos escrever∗ X=

[

x∈X

[ B(x; rx ) ∩ N = B(x; rx ) ∩ N. x∈X

como a reunião de [ uma fam´ılia qualquer de abertos é um conjunto aberto, podemos escrever B(x; rx ) = A. Portanto, X = A ∩ N . x∈X

(⇐=) Seja X ⊂ N . Suponha que exista A ⊂ M , aberto em (M, d), de modo que X = A ∩ N . Ent˜ ao X é aberto no subespa¸co (N, d). Com efeito, seja x ∈ X um ponto arbitrário de X. Devemos mostrar que ◦ otese, X = A ∩ N então x ∈ A ∩ N , logo x ∈ A e x ∈ X (N, d) . Como, por hip´ como A é aberto em (M, d) existe rx > 0 de modo que B(x; rx ) ⊂ A. Logo B(x; rx ) ∩ N ⊂ A ∩ N ; mas B(x; rx ) ∩ N = B(x; rx ) ⇒ B(x; rx ) ⊂ X. Conclusão: Dado x ∈ X arbitrário, existe rx > 0 de modo que B(x; rx ) ⊂ X, ◦ isto é, x ∈ X (N, d) . Disto conclu´ımos que X, for¸cosamente, é aberto no subespa¸co (N, d).

Proposi¸ c˜ ao 25. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se N é aberto em (M, d) ◦ ◦ e U ⊂ N ent˜ ao U (N, d) = U (M, d) . (M, d) N U

Prova: ◦ ⊂ De fato, dado p ∈ U (N, d) então existe um conjunto V , aberto em (N, d), tal que p ∈ V ⊂ U . Então, pela proposi¸cão anterior, V = V1 ∩ N para algum aberto V1 em (M, d). Como N é aberto em (M, d) temos que ◦ V também é aberto em (M, d), portanto p ∈ U(M, d) . ◦ ⊃ Reciprocamente, dado q ∈ U (M, d) , existe W aberto em (M, d) com q ∈ W ⊂ U . Ent˜ ao W ∩ N é aberto em (N, d) e q ∈ W ∩ N ⊂ U , o que nos ◦ d´ a q ∈ U (N, d) . ∗ ∗ ∗ O que a matem´ atica pontua, n˜ ao raro a natureza corrobora. ∗

Ver proposi¸c˜ ao 136 p. 598.

194

(Gentil)

Proposi¸ c˜ ao 26 (Abertos em produtos cartesianos). Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Consideremos X1 ⊂ M1 e X2 ⊂ M2 subconjuntos abertos. Ent˜ ao X1 ×X2 é aberto no espa¸co (M, Di ), onde i = 1, 2, 3 e M = M1 ×M2 . Prova: Faremos a prova apenas para a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 )

para as outras duas sai como consequência da proposi¸cão 68.

(p. 319)

(M, Di )

X1 × X2

X2 x2

x=(x1 , x2 )

(M2 , d2 ) x1

(M1 , d1 )

X1

Seja x = (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , mostremos que x é ponto interior deste produto. De fato, x1 ∈ X1 e x2 ∈ X2 , portanto existem r1 , r2 > 0 de maneira que Bd (x1 ; r1 ) ⊂ X1 e Bd (x2 ; r2 ) ⊂ X2 . Escolhemos r = min{r1 , r2 }, logo 1 2 Bd (x1 ; r) ⊂ X1 e Bd (x2 ; r) ⊂ X2 e da´ı 1

2

Bd (x1 ; r) × Bd (x2 ; r) ⊂ X1 × X2 1

2

já vimos que

(p. 124)

BD (x1 , x2 ); r = Bd (x1 ; r) × Bd (x2 ; r) 3

portanto,

1

2

BD (x1 , x2 ); r ⊂ X1 × X2 3

o que mostra que X1 × X2 é aberto no espa¸co (M, D3 ).

A seguir estaremos enriquecendo nosso sistema de processamento de informa¸cões com mais uma instru¸c˜ ao.

195

5.3

Ponto fronteira

Defini¸ c˜ ao 23 (Ponto fronteira). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Um ponto p ∈ M é dito ponto fronteira de X se para todo r > 0 tivermos na bola B(p; r) algum ponto de X e também algum ponto do complementar de X. Isto é: p ∈ M é ponto fronteira de X se B(p; r) ∩ X 6= ∅

e

B(p; r) ∩ X c 6= ∅ ,

∀ r > 0.

Ao conjunto de todos os pontos de fronteira de X, chamamos fronteira de X e o indicamos por ∂X ou por ∂Xd , quando quisermos enfatizar a métrica. Exemplos: 1) A fronteira do quadrado aberto X = (x, y) ∈ R2 : 0 < x, y < 1 = ] 0, 1 [ × ] 0, 1 [ em R2 , com qualquer uma das métricas Di (i = 1, 2, 3) é o quadrado , como o leitor pode provar rigorosamente. R

R

R

տ

տ

∂X

տ

∂X

∂X

R

R

R

2) Seja (M, d) um espa¸co discreto e X ⊂ M . Então ∂X = ∅. De fato, dado x ∈ M existe rx > 0 tal que B(x; rx ) = { x }. Temos que x ∈ X ou (exclusivo) x ∈ X c , implicando B(x; rx ) ∩ X = ∅ ou B(x; rx ) ∩ X c = ∅. 3) Se X = (x, y) ∈ R2 : x > 1 , prove que ∂X = (x, y) ∈ R2 : x = 1 . R

0

R

X

1

r

R

0

196

X

R

1

տ ∂X

4) Considere M = [ 0, 1 [ , X =

1

2, 1

e o ponto p = 0. assim:

¬1

0

s

1

2

M

X

p=0

Afirmamos que 0 é ponto fronteira de X − considerando a métrica quântica em M . Por exemplo, observe como a bola de centro em p = 0 e raio r = 41 intercepta X e seu complementar. ¬1

0

Bk (0; 14 )

s

1

2

Xc

X

3 4

1 4

0

M

1

Observe (na defini¸c˜ ao de ponto fronteira) que para provar que um ponto p ∈ M est´ a na fronteira de X n˜ ao é suficiente exibir uma bola (centrada em p) que intercepta X e seu complementar, isto deve se verificar para toda bola centrada em p. No caso em questão, digo, para se convencer de que 0 ∈ ∂Xk veja o diagrama de bolas abertas, Bk (0; r). (p. 111)

5) O exemplo anterior pode ser estendido para “duas oes”, assim: dimens˜ Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario e X = 12 , 1 × 21 , 1 ⊂ M ; então, 0 = (0, 0) é ponto fronteira de X se tomarmos em M qualquer uma das três métricas quânticas. Na figura a seguir 1 X

Xc

0 0

1

t

0

à esquerda vemos o complementar de X, na figura do centro vemos o conjunto X e seu ponto fronteira, 0; na figura da direita vemos que uma das bolas de centro na origem de fato intercepta X e seu complementar.

197

Proposi¸ c˜ ao 27. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Ent˜ ao ∂X ∩ X = ∅ ⇐⇒ X é aberto. Prova: (=⇒) Seja x ∈ X, tendo em conta a hip´ otese, temos que x 6∈ ∂X. Isto significa que existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X c = ∅, portanto B(x; r) ⊂ X; o que mostra que x é ponto interior de X, por conseguinte X é aberto. (⇐=) Dado x ∈ X existe r > 0 tal que B(x; r) ⊂ X, logo B(x; r) ∩ X c = ∅, isto é, x 6∈ ∂X; portanto ∂X ∩ X = ∅. Proposi¸ c˜ ao 28. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Ent˜ ao, X − ∂X é um conjunto aberto. Prova: Com efeito, seja x ∈ X − ∂X, logo x ∈ X e x 6∈ ∂X, então existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ X c = ∅; portanto B(x; r) ⊂ X. Vamos mostrar que B(x; r) ⊂ X − ∂X. Para tanto é suficiente mostrar que para todo y ∈ B(x; r) ⇒ y 6∈ ∂X. Então, seja y ∈ B(x; r), como B(x; r) é um conjunto aberto existe r ′ > 0 tal que B(y; r ′ ) ⊂ B(x; r) ⇒ B(y; r ′ ) ∩ X c = ∅ ⇒ y 6∈ ∂X. Portanto x é ponto interior de X − ∂X, o que mostra que este conjunto é aberto. Observe, geometricamente, esta proposi¸cão no caso do quadrado: X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x, y ≤ 1 = [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ]: R

R

X

R

∂X

−

=

R

R

R

Proposi¸ c˜ ao 29. Seja (M, d) um espa¸co métrico, X ⊂ M e p ∈ M . Se p ∈ ∂X ⇒ d(p, X) = 0. Prova: Seja p ∈ ∂X, para provar que d(p, X) = inf d(p, x) : x ∈ X = 0, dado ε > 0 arbitrário devemos exibir x ∈ X de modo que d(p, x) < ε. (lema 11, p. 609)

De fato, pela defini¸c˜ ao de ponto fronteira, ∀ ε > 0 acontce B( p; ε) ∩ X 6= ∅, o que significa que ∀ ε > 0 existe x ∈ X tal que d(p, x) < ε. 198

Observe que a rec´ıproca da proposi¸cão anterior n˜ ao vale. Observa¸ca õ: A partir das defini¸co˜es de ponto interior e ponto de fronteira observamos que: se x ∈ ∂X = ∂X c

◦

⇒

x 6∈ X

⇒

∂X ∩ X = ∅

◦

◦

e

x 6∈ X c

e

∂X ∩ X c = ∅.

◦

Sendo (M, d) um espa¸co métrico, temos B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) < r c B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) ≥ r

Nota: A partir deste momento usaremos, onde acharmos conveniente, a nota¸cão int X para o interior do conjunto X; isto é, estaremos trocando a ◦ nota¸cão X pela nota¸c˜ ao int X. Proposi¸ c˜ ao 30. Num espa¸co métrico (M, d) se ∂B(p; r) 6= ∅ ent˜ ao ∂B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) = r ◦

Prova: De fato, se na indentidade ∂X ∩ X = ∅ tomarmos X = B(p; r) concluiremos que nenhum ponto x ∈ M que satisfa¸ca d(x, p) < r pode estar na fronteira da bola. Portanto os pontos da fronteira (se existirem) satisfazem d(x, p) ≥ r. Vamos inicialmente mostrar c que todo ponto que satisfaz d(x, p) > r pertence ao conjunto int B(p; r) . Seja q satisfazendo d(p, q) > r, devemos mostrar que existe s > 0 satisfazendo c B(q; s) ⊂ B(p; r) (5.3) Tomemos s = d(p, q) − r > 0 e mostremos que a inclusão (5.3) estar´ a satisfeita. Ent˜ ao, dado x ∈ B(q; s) ⇒ d(x, q) < s = d(p, q) − r

⇒ d(x, q) + r < d(p, q). c Devemos mostrar que x ∈ B(p; r) , isto é, que d(x, p) > r. (M, d)

s

s

q B(p; r)

p

s

sx

c

B(p; r)

r

199

Pela desigualdade do triˆ angulo, temos d(p, q) ≤ d(q, x) + d(x, p) logo d(x, q) + r < d(p, q) ≤ d(q, x) + d(x, p) ⇒ r < d(x, p). ◦

Por outro lado, se na identidade ∂X ∩ X c= ∅ tomarmos X = B(p; r) concluiremos que nenhum ponto x ∈ M que satisfa¸ca d(x, p) > r pode estar na fronteira da bola. Portanto, se a fronteira de uma bola aberta n˜ ao for vazia, teremos necessariamente ∂B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) = r

Por exemplo, vamos determinar a fronteira de uma bola aberta no espa¸co (Q, µ), ∂B(p; r) = x ∈ Q : |x − p| = r = x ∈ Q: x = p ± r Portanto,

∂B(p; r) =

  { p − r, p + r },  ∅,

se r ∈ Q; se r 6∈ Q.

Corol´ ario 2. Em um espa¸co vetorial E, +, · normado, com E 6= { 0 } a fronteira de uma bola aberta é sempre n˜ ao vazia. Prova: Dada uma bola aberta B(p; r) e, tendo em conta a proposi¸cão anterior, é suficiente mostrar que existe um q ∈ E satisfazendo d(p, q) = kp − qk = r. De fato, isto é verdade precisamente por estarmos em um espa¸co vetorial. Por exemplo o vetor q =p+

v r kvk

onde v ∈ E é qualquer vetor n˜ ao nulo, satisfaz esta exigência. R

R B(p; r)

p

∂B(p; r)

r

⇒

p

r 0

r r

R

0

200

R

5.4

Conjuntos fechados

Defini¸ c˜ ao 24 (Conjunto fechado). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Um subconjunto F ⊂ M se diz fechado no espa¸co (M, d) se, e somente se, seu complementar F c = M − F é aberto em (M, d). Esta defini¸c˜ ao nos diz que os conjuntos fechados de um espa¸co métrico s˜ ao os complementares dos conjuntos abertos deste espa¸co. Ao contr´ ario da linguagem ordinária onde fechado e aberto s˜ ao antônimos e excludentes, na topologia temos conjuntos que n˜ ao s˜ ao nem fechados e nem abertos e . . . o que é “pior” : existem conjuntos que s˜ ao ao mesmo tempo abertos e fechados. Exemplos 1) F = [ a, b ] é fechado no espa¸co (R, µ) uma vez que F c = [ a, b ]c = ] − ∞, a [ ∪ ] b, +∞[ é a uni˜ ao de dois abertos, portanto aberto. 2) O conjunto A =] a, b ] ⊂ R n˜ ao é aberto e nem fehado no espa¸co (R, µ), uma vez que Ac = ] a, b ]c = ] − ∞, a ] ∪ ] b, +∞[ n˜ ao é aberto, pois a ∈ Ac n˜ ao é ponto interior de Ac .

3) Seja M = R e X = Q. Aqui temos um outro exemplo de conjunto que n˜ ao é aberto, nem fechado em (R, µ). Isto decorre do fato de que em todo intervalo aberto temos n´ umeros racionais e irracionais. Observe que Q é ao mesmo tempo aberto e fechado no espa¸co (R, δ). Este é um caso especial do pr´ oximo exemplo. 4) Em um espa¸co (M, d) discreto, todo subconjunto F ⊂ M é aberto e fechado ao mesmo tempo. De fato, vimos no exemplo 3 (p. 189) que todo subconjunto de M é aberto. Por outro lado, dado F ⊂ M , temos que F c = M − F , continua sendo um subconjunto de M e, portanto, aberto; por conseguinte F é fechado. ao é fechado em 5) Vamos mostrar que o conjunto X = {1, 12 , 13 , . . .} n˜ (R, µ). Para isto mostremos que o seu complementar n˜ ao é aberto. Vamos mostrar que 0 ∈ X c n˜ ao é ponto interior de X c . Temos Bµ (0; r) = ] − r, r [. Dado r > 0 escolhemos nr ∈ N de tal modo que n1 < r. Logo n1 ∈ Bµ (0; r) r r e n1 6∈ X c . Isto é, nenhuma bola centrada em 0 pode estar contida em X c . r

6) Num espa¸co métrico (M, d) todo conjunto finito { a1 , a2 , . . . , an } é fechado. Em particular o conjunto unit´ ario { a } ⊂ M é fechado. c De fato, F = M − { a1 , a2 , . . . , an } é aberto, pela proposi¸cão 22. (p. 191)

7) O conjunto X = { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 } = [ 0, 1 ] é fechado no espa¸co (R, µ). Enquanto o conjunto Y = { (x, 0) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1 } = [ 0, 1 ]×{ 0 } é fechado no espa¸co (R2 , D1 ). Esse é um caso especial do pr´ oximo resultado. 201

Proposi¸ c˜ ao 31 (Fechados em produtos cartesianos). Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Consideremos F1 ⊂ M1 e F2 ⊂ M2 subconjuntos fechados. Ent˜ ao F1 × F2 é fechado no espa¸co (M, Di ), onde i = 1, 2, 3 e M = M1 × M2 . Prova: Vamos mostrar que (F1 × F2 )c é aberto. Para tanto é suficiente mostrar a seguinte identidade (prop. 26, p. 195) c c c (F1 × F2 ) = F1 × M2 ∪ M1 × F2 (M, Di )

F1 × F2 F2 x2

x=(x1 , x2 )

(M2 , d2 ) F1

x1

(M1 , d1 )

(⊂) Seja x = (x1 , x2 ) ∈ (F1 × F2 )c , logo (x1 , x2 ) 6∈ F1 × F2 ⇒ x1 6∈ F1 ou x2 6∈ F2 ⇒ x1 ∈ F1c ou x2 ∈ F2c ⇒ (x1 , x2 ) ∈ F1c × M2 ou (x1 , x2 ) ∈ M1 × F2c logo

(x1 , x2 ) ∈ F1c × M2 ∪ M1 × F2c (⊃) Seja x = (x1 , x2 ) ∈ F1c × M2 ∪ M1 × F2c , logo

(x1 , x2 ) ∈ F1c × M2 ou (x1 , x2 ) ∈ M1 × F2c

logo ent˜ ao

x1 ∈ F1c e x2 ∈ M2 ou x1 ∈ M1 e x2 ∈ F2c

x1 6∈ F1 ou x2 6∈ F2 ⇒ (x1 , x2 ) 6∈ F1 × F2 ⇒ (x1 , x2 ) ∈ (F1 × F2 )c

Pois bem, F1 e F2 sendo fechados, por hip´ otese, temos que F1c e F2c s˜ ao c c abertos. Pela proposi¸caõ 26 (p. 195) temos que F1 × M2 e M1 × F2 s˜ ao abertos, logo a uni˜ ao destes é aberto. Isto conclui a prova.

202

Proposi¸ c˜ ao 32. Seja (M, d) um espa¸co métrico. (i) M e ∅ s˜ ao fechados; (ii) Se F1 , F2 , . . . , Fn s˜ ao fechados, ent˜ ao

F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn é fechado; (iii) Se {Fλ }λ∈L é uma fam´ılia arbitr´ aria de fechados ent˜ ao F =

\

Fλ é fechado.

λ∈L

Prova: (i) J´ a vimos que M e ∅ s˜ ao abertos, portanto M c = ∅ e ∅c = M s˜ ao fechados. (ii) Como cada Fi é fechado, então cada Fic é aberto e, pela prop. 23 (p. 192), F1c ∩ F2c ∩ · · · ∩ Fnc é aberto; por conseguinte F1c ∩ F2c ∩ · · · ∩ Fnc

c

= F1 ∪ F2 ∪ · · · ∪ Fn .

é fechado. S Fλc (iii) Como cada Fλ é fechado, ent˜ ao Fλc é aberto e, pela prop. 23, λ∈L é aberto, logo [ c \ Fλc = Fλ λ∈L

λ∈L

é fechado.

Do ´ıtem (ii) acima, juntamente com o exemplo 6 (p. 201), conclu´ımos que se acrescentarmos uma quantidade finita de pontos a um conjunto fechado, esta propriedade n˜ ao é perdida. Obs: A uni˜ ao de uma fam´ılia infinita de conjuntos fechados pode ou n˜ ao ser um conjunto fechado. Contraexemplo: Seja a fam´ılia Xn , onde Xn = { n1 }. Em qualn∈N quer espa¸co métrico os Xn (n = 1, 2, . . .) s˜ ao conjuntos fechados, por serem unit´ arios. Mas [ 1 1 Xn = 1, , , . . . , 2 3 n∈N

n˜ ao é fechado no espa¸co (R, µ) embora o seja no espa¸co (R, δ). (Exemplos 5, p. 201 e 4, p. 201)

203

5.5

Ponto aderente

Defini¸ c˜ ao 25 (Ponto aderente). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Um ponto p ∈ M se diz ponto aderente ao conjunto X se B(p; r) ∩ X 6= ∅ ,

∀ r > 0.

Isto é, se toda bola centrada em p intersecta X. O conjunto dos pontos aderentes a X chama-se fecho (ou aderência) de ¯ ou por X ¯ , quando quisermos enfatizar a métrica. X e é indicado por X d Na defini¸c˜ ao anterior o ponto p ∈ M pode ou n˜ ao pertencer a X. Caso ¯ portanto p ∈ X ent˜ ao trivialmente se verifica B(p; r) ∩ X 6= ∅, isto é, p ∈ X, ¯ X ⊂ X. Ou ainda: todo ponto de um conjunto é aderente a este conjunto. • Comparando as defini¸cões de ponto aderente e de fronteira, B(p; r) ∩ X 6= ∅ e B(p; r) ∩ X c 6= ∅ , | {z }

∀r > 0

ponto fronteira

concluimos que todo ponto fronteira é também ponto aderente, a rec´ıproca n˜ ao vale. ¯ devemos exibir r > 0 tal que B(p; r) ∩ X = ∅. Para mostrar que p 6∈ X

Exemplos: 1) Sejam M = R e X = ] a, b ], então a ∈ R é ponto aderente a X no espa¸co (R, µ), mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). Isto é ¯µ a∈X

e

¯. a 6∈ X δ

¯ µ basta ver que a ∈ ∂Xµ . De fato, para provar que a ∈ X Por outro lado, por exemplo Bδ (a; 1) = { a }, logo Bδ (a; 1) ∩ X = ∅, o ¯ . que mostra que a 6∈ X δ

2) Seja M = R e X = Q. No espa¸co (R, µ) todo n´ umero real é aderente ao conjunto Q. Isto já n˜ ao acontece no espa¸co (R, δ). Isto é ¯µ = R Q

e

¯ 6= R. Q δ

De fato, dado x ∈ R, temos Bµ (x; r) = ] x − r, x + r [ como temos n´ umeros racionais em qualquer intervalo aberto, segue que Bµ (x; r) ∩ Q 6= ∅; sendo ¯ µ . Agora, por exemplo, B (x; 1) = { x }. Se x for irracional, assim, x ∈ Q δ ¯ . Portanto obviamente Bδ (x; 1) ∩ Q = ∅, o que mostra que x 6∈ Q δ ¯µ = R Q

¯ = Q. e Q δ 1 1 ¯ µ , mas 0 6∈ X ¯ . De fato 3) Seja M = R e X = 1, 2 , 3 , . . . . Então 0 ∈ X δ Bδ (0; 1) = { 0 } ⇒ Bδ (0; 1) ∩ X = ∅.

¯ . o que mostra que 0 6∈ X δ

204

1 n

Por outro lado, Bµ (0; r) = ] − r, r [, dado r > 0 escolha n ∈ N tal que < r, ent˜ ao µ(0,

1 1 1 1 ) = − 0 = < r ⇒ ∈ Bµ (0; r) n n n n

¯µ. isto é, Bµ (0; r) ∩ X 6= ∅, isto mostra que 0 ∈ X

4) Se um espa¸co (M, d) é discreto então os u ńicos pontos de aderência de um subconjunto X ⊂ M s˜ ao os seus pr´ oprios pontos. De fato, se (M, d) é discreto, existe r > 0 tal que B(a; r) = { a }; e se a 6∈ X temos B(a; r) = { a } ∩ X = ∅. Logo, a n˜ ao é aderente a X. 1 5) Considere M = [ 0, 1 [ , X = 2 , 1 e o ponto p = 0, assim: s

1 2

0

1

X

Afirmamos que 0 é ponto aderente a X − considerando a métrica quântica em M . Com efeito, já vimos que 0 é ponto fronteira. (p. 197) Proposi¸ c˜ ao 33. Em todo espa¸co métrico s˜ ao v´ alidas as duas seguintes identidades. ◦ ◦ ¯ c = Xc (ii) X (i) X c = cX Nota: Estamos convencionando as seguintes nota¸cões: ◦ cX

= complementar do interior de X

◦

X c = interior do complementar de X Ent˜ ao: (i) O fecho do complementar é igual ao complementar do interior. (ii) O complemento do fecho é igual ao interior do complementar. Prova: (i) seja x ∈ X c

⇐⇒ ∀r > 0, B(x; r) ∩ X c 6= ∅ ⇐⇒ ∀r > 0, B(x; r) 6⊂ X ◦

◦

⇐⇒ x 6∈ X ⇐⇒ x ∈ c X . ¯ c (ii) seja x ∈ (X)

¯ ⇐⇒ ∃ r > 0 : B(x; r) ∩ X = ∅ ⇐⇒ x 6∈ X ◦

⇐⇒ ∃ r > 0 : B(x; r) ⊂ X c ⇐⇒ x ∈ X c . 205

Proposi¸ c˜ ao 34. O fecho de qualquer conjunto, é sempre um conjunto fechado. ◦

¯ c = Xc . Prova: Isto é imediato, a partir da identidade X

Proposi¸ c˜ ao 35. Seja (M, d) um espa¸co métrico. F ⊂ M é fechado se, e somente se, F¯ = F . Isto é: um conjunto é fechado se, e somente se, contém todos os seus pontos aderentes. Prova: (=⇒) Se F é fechado então F¯ = F . ((T-3), p. 571) ¯ Com efeito, A inclusão F ⊂ F é sempre válida, resta mostrar que F¯ ⊂ F . Suponha que n˜ ao. Ent˜ ao existe p ∈ F¯ tal que p 6∈ F ; logo p ∈ F c . Como, por hip´ otese, F é fechado, segue que F c é aberto. Portanto existe r > 0 tal que B(p; r) ⊂ F c , o que implica B(p; r) ∩ F = ∅. Ora, mas isto contradiz o fato de que p ∈ F¯ . (⇐=) Se F¯ = F ent˜ ao F é fechado. Isto é imediato, a partir da proposi¸cão 34. 1 1 Coment´ ario: Vimos (ex. 5, p. 201) que o conjunto X = {1, 2 , 3 , . . .} n˜ ao é fechado no espa¸co (R, µ); o teorema anterior (mais o exemplo 3, (p. 204)) ¯ e 0 6∈ X. nos diz precisamente porque isto acontece: 0 ∈ X 1 1 ¯ Portanto X = { 0 } ∪ {1, 2 , 3 , . . .} é fechado neste espa¸co. A pr´ oxima proposi¸caõ relaciona o fecho de um conjunto no espa¸co com o fecho deste conjunto em um subespa¸co. Proposi¸ c˜ ao 36. Seja (N, d) um subespa¸co do espa¸co métrico (M, d). Dado um subconjunto X ⊂ N a seguinte identidade é v´ alida (M, d) (N, d)

¯ ¯ X =X ∩N (N, d) (M, d)

X

Prova: ¯ ⊂ Seja p ∈ X , isto implica em que (N, d) p∈N

e

∀ ε > 0, B(p; ε) ∩ X 6= ∅

¯ Para mostrar que p ∈ X (M, d)

é suficiente mostrar que

∀ ǫ > 0, B(p, ǫ) ∩ X 6= ∅ 206

(5.4)

Pois bem, dado ǫ > 0, B(p; ǫ) ∩ N é uma bola no subespa¸co (N, d), isto é B(p; ǫ) ∩ N = B(p; ǫ) portanto, invocando (5.4), podemos escrever B(p; ǫ) ∩ N ∩ X 6= ∅ ⇒ B(p; ǫ) ∩ N ∩ X 6= ∅

como X ⊂ N ⇒ N ∩ X = X, portanto B(p; ǫ) ∩ X 6= ∅. ¯ ¯ ⊃ Seja q ∈ X ∩ N . Para mostrar que q ∈ X basta mostrar que (M, d) (N, d) ∀ ε > 0, B(q; ε) ∩ X 6= ∅

De fato, ∀ ε > 0, B(q; ε) = B(q; ε) ∩ N , onde B(q; ε) é uma bola em (M, d). ¯ Como, por hip´ otese, q ∈ X então B(p; ε) ∩ X 6= ∅. Por outro lado (M, d) X ⊂ N ⇒ X = X ∩ N ⇒ B(q; ε) ∩ X ∩ N 6= ∅ ¯ ⇒ B(q; ε) ∩ N ∩ X 6= ∅ ⇒ B(q; ε) ∩ X 6= ∅ ⇒ q ∈ X . (N, d)

Segundo a proposi¸c˜ ao anterior para encontrarmos o fecho de um conjunto X ⊂ N no subespa¸co (N, d) basta encontrar o fecho no espa¸co (M, d) e intersectar com N. Por exemplo, sejam (M, d) = (R, µ) a reta usual, N = [ 0, 1 [ e X = 12 , 1 ¬ 0

¬1

1

0

¬ 0 ´ fácil ver que X ¯ E = (R, µ)

1 2

1

2,

1

R N X

1 , sendo assim temos

¯ ¯ X =X ∩N (N,µ) (R,µ) =

1 1 , 1 ∩ [ 0, 1 [ = ,1 2 2

¯ é um conjunto fechado no subespa¸co (N, µ) Observe que 12 , 1 = X (N, µ) embora n˜ ao o seja no espa¸co (R, µ). Uma questão para o leitor refletir: O ponto p = 1 é aderente a X no espa¸co (R, µ) mas n˜ ao no subespa¸co (N, µ), embora tenhamos B(1, ε) ∩ X 6= ∅, ∀ε > 0. Como se explica isto?

O corol´ ario a seguir nos nos diz por que os dois fechos no exemplo acima resultaram diferentes Corol´ ario 3. Seja (N, d) um subespa¸co fechado do espa¸co (M, d), ent˜ ao para todo X ⊂ N , tem-se ¯ ¯ X =X (N, d) (M, d) 207

Prova: Temos as seguintes implica¸cões ¯ ⊂N ¯ =N ⇒ X ¯ ∩ N = X. ¯ X⊂N ⇒ X Portanto† , da proposi¸c˜ ao 36 concluimos ¯ ¯ ¯ ¯ X =X ∩N ⇒ X =X (N, d) (M, d) (N, d) (M, d) Corol´ ario4. Os subconjuntos fechados do subespa¸co (N, d) s˜ ao as interse¸co ˜es F ∩ N , onde F é fechado em (M, d). Prova: Devemos mostrar que 1 o ) se F é fechado em (M, d) então F ∩ N é fechado em (N, d). De fato, F ∩ N = F¯(M, d) ∩ N = F¯(N, d) logo F ∩ N é fechado em (N, d). 2 o ) se X é um subconjunto fechado em (N, d) então X = F ∩ N para algum F fechado em (M, d). De fato, ¯ ¯ ¯ X=X ⇒ X=X =X ∩N (N, d) (N, d) (M, d) =F ∩N ¯ onde X = F é um fechado em (M, d). (M, d)

Proposi¸ c˜ ao 37. Em qualquer espa¸co métrico é v´ alida a seguinte identidade ¯ ∩ Xc ∂X = X Prova: De fato, x ∈ ∂X ⇐⇒ ∀r > 0, B(x; r) ∩ X 6= ∅ e B(x; r) ∩ X c 6= ∅ ¯ e x ∈ Xc ⇐⇒ x ∈ X ¯ ∩ X c. ⇐⇒ x ∈ X

†

¯ =X ¯ ¯ =N ¯ Nota: X e N (M, d) (M, d)

208

Proposi¸ c˜ ao 38. Em qualquer espa¸co métrico (M, d) a aderencia (fecho) de um subconjunto X ⊂ M é a reuni˜ ao do seu interior com sua fronteira. Prova: ◦

◦

X ∪ ∂X = X ∪

¯ ∩ Xc X

◦

¯ = X ∪X ¯ ∩ =X

◦

X ∪ Xc ◦ ◦ X ∪ cX ∩

¯ ∩ M = X. ¯ =X

Observe, geometricamente, esta proposi¸cão no caso do quadrado: R

◦

R

X

R

∂X

∪

¯ X

=

R

R

R

◦

◦

¯ é disjunta; isto é, X ∩ ∂X = ∅, Observa¸c˜ ao: A reunião X ∪ ∂X = X pelas pr´ oprias defini¸c˜ oes de ponto interior e ponto fronteira. ¯ também é válida, s´ A identidade X ∪ ∂X = X o que aqui n˜ ao temos uma uni˜ ao disjunta. Por exemplo para X = ] a, b ] no espa¸co (R, µ), temos ¯ = [ a, b ] e ∂X = { a, b }. X Corol´ ario 5. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . A seguinte identidade se verifica ◦ ¯ −X ∂X = X ◦

◦

¯ ⇒ ∂X = X ¯ − X. Prova: ∂X ∪ X = X

Observa¸c˜ ao: Não tente realizar o procedimento anterior sem antes certificarse de que a reunião envolvida é disjunta. Observe, geometricamente, esta proposi¸cão no caso do quadrado: R

R

¯ X

∂X

◦

X

−

=

R

R

209

Corol´ ario 6. Seja (M, d) um espa¸co métrico e seja X ⊂ M . Ent˜ ao ∂X = ∅ ⇐⇒ X é aberto e fechado. Prova: (⇒) Temos ◦

¯ X ∪ ∂X = X

◦

¯ ⇒ X=X

◦

¯ = X ∪ ∂X ⇒ X ¯ =X X

¯ = X. ⇒ X=X

Portanto X é aberto e fechado. ◦

¯ levando este resultado na (⇐) Se X é aberto e fechado então X = X = X, ◦ ¯ − X resulta ∂X = ∅. identidade ∂X = X Corol´ ario 7. Seja um espa¸co vetorial E, +, · normado com E 6= { 0 }. Ent˜ ao B(p; r) = x ∈ M : d(x, p) ≤ r Isto é, o fecho da bola aberta é a bola fechada.

◦

´ uma decorrência imediata da identidade X ¯ = X ∪ ∂X juntaProva: E mente com a proposi¸c˜ ao 30 (p. 199) e seu corol´ ario 2 (p. 200). Esta afirmativa é falsa em um espa¸co n˜ ao normado. De fato, consideremos o espa¸co (R, δ). Neste espa¸co temos B(0; 1) = { 0 }. Como B é um conjunto fechado resulta que B(0; 1) = B(0; 1). Por outro lado, B[ 0; 1 ] = { x ∈ R : δ(x, 0) ≤ 1 } = R. Proposi¸ c˜ ao 39. Em qualquer espa¸co métrico (M, d) a fronteira de um subconjunto X ⊂ M é um conjunto fechado. Prova: De fato, para conjuntos A e B quaisquer vale A − B = A ∩ B c , ◦ ◦ ¯ −X =X ¯ ∩ cX logo ∂X = X . Vamos mostrar que (∂X)c é aberto, então ◦ ¯ ∩ cX (∂X)c = X

c

◦

¯c ∪ X =X ◦

◦

= X c ∪ X.

logo (∂X)c é um conjunto aberto, por ser a uni˜ ao de dois abertos; por conseguinte ∂X é um conjunto fechado.

210

Proposi¸ c˜ ao 40. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se p ∈ M e X ⊂ M , ¯ ent˜ ao d(p, X) = 0 se, e somente se, p ∈ X. Prova: ¯ Com efeito, por hip´ ao p ∈ X. otese (=⇒) Se d(p, X) = 0 ent˜ d(p, X) = inf { d(p, x) : x ∈ X } = 0

(5.5)

Isto é, 0 é a maior das cotas inferiores do conjunto { d(p, x) : x ∈ X }. Ou seja, qualquer r > 0 n˜ ao pode ser cota inferior deste conjunto. Logo, ∀ r > 0 existe x ∈ X de modo que d(p, x) < r. Ou ainda: para todo r > 0, temos ¯ B(x; r) ∩ X 6= ∅; o que mostra que p ∈ X. ¯ ent˜ (⇐=) Se p ∈ X ao d(p, X) = 0

Devemos mostrar que a igualdade (5.5) se verifica. Isto é, que 0 é a maior das cotas inferiores do conjunto { d(p, x) : x ∈ X }.

De outro modo: nenhum r > 0 pode ser cota inferior deste conjunto. Para isto devemos exibir x ∈ X tal que d(p, x) < r. Então, por hip´ otese, ¯ isto é, ∀ r > 0, temos B(p; r) ∩ X 6= ∅. Logo, ∀ r > 0 existe x ∈ X p ∈ X, de modo que d(p, x) < r. Isto conclui a prova. Corol´ ario 8. Seja (M, d) um espa¸co métrico, R ⊂ M uma regi˜ ao de M , e p um ponto de M. Ent˜ ao, 6 ∅; d(p, R) = 0 ⇐⇒ O(p; r) ∩ R =

∀ r > 0.

Prova: ¯ logo, por defini¸cão de ponto ( ⇒ ) De fato, pela proposi¸c˜ ao 40 p ∈ R, aderente, decorre a tese. ¯ portanto − ainda pela ( ⇐ ) Com efeito, da hip´ otese decorre que p ∈ R, proposi¸c˜ ao 40 − temos d(p, R) = 0. Sendo assim, uma quest˜ ao que resolvemos com a maior facilidade na topologia quˆ antica é: pode um objeto “est´ a em vários lugares ao mesmo tempo”? Respondemos que sim, e dizemos porquê. (def. 11, p. 116)

Proposi¸ c˜ ao 41. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Ent˜ ao para todo subcon¯ junto X ⊂ M se verifica a igualdade diam(X) = diam(X). Prova: Temos diam(X) = sup { d(x, y) : x, y ∈ X } ¯ = sup { d(x, y) : x, y ∈ X ¯} diam(X) Por defini¸c˜ ao de supremo temos d(x, y) ≤ diam(X), ∀ x, y ∈ X ¯ ¯ d(x, y) ≤ diam(X), ∀ x, y ∈ X 211

¯ s˜ e mais: diam(X) e diam(X) ao os menores n´ umeros satisfazendo estas desigualdades. Como ¯ ⇒ d(x, y) ≤ diam(X), ¯ X ⊂X

∀ x, y ∈ X

mas como diam(X) é o menor n´ umero satisfazendo esta desigualdade, segue ¯ que diam(X) ≤ diam(X). ¯ temos B(x; r )∩X 6= Por outro lado, dado r > 0, para quaisquer x, y ∈ X 2 r ′ ′ ∅ e B(y; 2 ) ∩ X 6= ∅, logo existem x , y ∈ X tais que d(x, x′ ) <

r 2

e

d(y, y ′ ) <

r 2

Da equa¸c˜ ao (1.14), temos

(p. 44)

d(x1 , x4 ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + d(x3 , x4 ) ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, x′ ) + d(x′ , y ′ ) + d(y ′ , y) < r + diam(X) Isto mostra que r + diam(X) é uma cota superior do conjunto ¯} { d(x, y) : x, y ∈ X ¯ ≤ r + diam(X), isto é, portanto diam(X) ¯ − r ≤ diam(X). diam(X) ¯ ≤ Como esta desigualdade vale para todo r > 0, temos∗ que diam(X) ¯ diam(X). Portanto diam(X) = diam(X). Observa¸c˜ ao: Uma aplica¸cão desta proposi¸cão é que, ao invés de calcular ¯ E qual a vantagem disto? Quando diam(X), podemos calcular diam(X). ¯ X, d é compacto, sendo d : X × X −→ R (x, y) 7−→ d(x, y)

cont´ınua (ver (ii), p. 261), aplicamos o teorema de Weierstrass (p. 613). Trocamos sup { d(x, y) : x, y ∈ X } por max { d(x, y) : x, y ∈ X } e teremos à nossa disposi¸c˜ ao as técnicas de m´ aximos e m´ınimos de fun¸cões reais. Observe que, ainda segundo o teorema de Weierstrass, nas condi¸cões referidas, ¯ de modo que d(x′ , y ′ ) = diam(X) ¯ = diam(X). sempre existir˜ ao x′ , y ′ ∈ X ¯ Proposi¸ c˜ ao 42. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Se p ∈ X, ent˜ ao existe uma sequência (xn ) de pontos de X tal que lim xn = p. ∗

Proposi¸c˜ ao 148, p. 613.

212

¯ ent˜ Prova: Como p ∈ X, ao para cada r > 0 temos B(p; r) ∩ X 6= ∅. Em particular para r = n1 , temos B p;

1 ∩ X 6= ∅ , n

(n = 1, 2, . . .)

Daqui retiramos uma sequência (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) de pontos de X tal que xn ∈ B( p; n1 ). Vamos mostrar que xn → p. (M, d)

(M, d)

r=1 X

r

r=

r x2 r r p

x1

Temos xn ∈ B(p;

1 n)

X

1 2

r

x1

x2 r

rrp

ր

⇒ d(xn , p) < n1 , ou ainda 0 ≤ d(xn , p) < n1 . Então

0 ≤ d(xn , p) <

1 1 ⇒† lim 0 ≤ lim d(xn , p) ≤ lim n n

isto é, 0 ≤ lim d(xn , p) ≤ 0, ent˜ ao lim d(xn , p) = 0 ⇒‡ xn → p. Exemplos: 1) Vimos no exemplo 3 (p. 204) que sendo M = R e X = 1, 12 , 13 , . . . , ¯ µ , mas 0 6∈ X ¯ . Pela proposi¸cão anterior existe uma sequência então 0 ∈ X δ de pontos de X que converge para 0. A sequência dada por xn = n1 converge para 0 (com a métrica µ), qualquer subsequência sua também converge para 0. Por outro lado, na métrica δ, n˜ ao existe sequência de X convergindo para ¯ 0 o que implica em que 0 6∈ Xδ . 2) Consideremos M = R e X = Q. Dado qualquer n´ umero q irracional existe uma sequência de racionais convergindo para q (na métrica usual). De fato, basta ter em conta o exemplo 2 (p. 204). Por exemplo, √ (1; 1, 4; 1, 41; 1, 414; 1, 4142; . . .) → 2

Também,

† ‡

corol´ ario 1, p. 163. proposi¸c˜ ao 9, p. 143.

1 1 1 4 · 1 − + − + ··· → π 3 5 7

213

3) J´ a vimos no exemplo 5 a seguir s

(p. 205)

que 0 é aderente ao conjunto X na figura

1 2

0

1

X

Logo, existe uma sequência de pontos de X convergindo para 0. Exiba uma sequência cumprindo estas condi¸cões. A rec´ıproca da proposi¸cão anterior também vale: Proposi¸ c˜ ao 43. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Se existe uma ¯ sequência (xn ) de pontos de X tal que lim xn = p ent˜ ao p ∈ X. Prova: Com efeito, se lim xn = p e xn ∈ X então toda bola aberta de ¯ centro p intersecta X, portanto p ∈ X. (prop. 8, p. 142) Vejamos dois exemplos desta situa¸cão: 1o ) Consideremos o seguinte subconjunto do plano R2 X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, y = x/n, n ∈ N

O conjunto X é formado dos pontos do segmento que liga a origem (0, 0) aos pontos (1, 1/n), n ∈ N. Vamos mostrar que todo ponto do conjunto

é ponto aderente a X.

1 A = (x, 0) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1 2

1

1

q

q

ra 2 r

.. ↓ . q1

(0, 0)

ra1

(0, 0)

q

1 2

A

.. ↓ . q1

− Conjunto X

Fixado qualquer 21 ≤ x ≤ 1 a sequência dada por an = x, nx de pontos de X é tal que an → (x, 0) ∈ A, logo todo ponto de A é aderente a X. 214

2o ) Consideremos o seguinte subconjunto do plano R2 (métrica euclidiana). X=

n

(x, y) ∈ R2 : x > 0 e y = cos

1o x

Vamos mostrar que todo ponto do conjunto A = (0, y) ∈ R2 : − 1 ≤ y ≤ 1 = { 0 } × [−1, 1 ].

é ponto aderente a X. A seguir vemos o conjunto X (gr´ afico da fun¸cão f (x) = cos(1/x)) f (x) X

1

q

x

0

−1

q

De fato, fixado y ∈ [−1, 1 ] resolvendo a equa¸cão cos

1 = y = cos cos−1 (y) x

1 encia xn , cos( x1 ) obtemos a seguinte sequência, xn = 2nπ+cos −1 (y) . A sequˆ n de pontos de X converge para o ponto (0, y) ∈ A e isto prova que todo ponto de A é aderente a X. A t´ıtulo de exemplo consideremos y = 1/2, então 1 1 = → 0. −1 2nπ + cos (1/2) 2nπ + π3 os pontos da sequência xn , cos( x1 ) situam-se sobre a reta y = 1/2 e conn vergem para o ponto 0, 21 ∈ A. xn =

f (x)

1¬

j qq q

X

q x

Aր −1¬

215

Observe que toda bola centrada no ponto 0, 12 intersecta o conjunto X. Toda bola centrada neste ponto cont´ em infinitos pontos de X. Por exemplo pontos da sequência xn , cos( x1 ) . n

Proposi¸ c˜ ao 44. Seja F ⊂ M . F é fechado se, e somente se, para toda sequência (xn ) de pontos de F com lim xn = a ∈ M tivermos a ∈ F . Prova:

(=⇒) Seja F fechado e (xn ) uma sequência de pontos de F com lim xn = a ∈ M . Ent˜ ao, pela proposi¸cão 43 (p. 214) a ∈ F¯ , como F é fechado temos que F = F¯ , portanto a ∈ F .

(⇐=) Suponhamos que toda sequência convergente de pontos de F tem limite em F , e mostremos que F = F¯ . Como F ⊂ F¯ , basta mostrar que F¯ ⊂ F . Seja a ∈ F¯ . Pela proposi¸cão 42 (p. 212) existe uma sequência (xn ) de pontos de F tal que lim xn = p. Pela nossa hip´ otese, temos p ∈ F . Logo F¯ ⊂ F .

5.6

Densidade

Defini¸ c˜ ao 26 (Densidade). Dado um espa¸co métrico (M, d), um subcon¯ = M. junto X ⊂ M se diz denso em M se X Isto significa: fixados arbitrariamente um ponto p ∈ M e um raio r > 0, B(p; r) ∩ X 6= ∅. Ou seja, arbitrariamente pr´ oximo de p encontramos um ponto de X. Exemplos: 1) Seja M = R e X = Q. No exemplo 2

(p. 204)

vimos que

¯µ = R , Q ¯ = Q 6 R. δ portanto Q é denso em R no espa¸co (R, µ); mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). 2) Seja M = C[a, b] e X = P onde P é o conjunto de polinˆ omios. P é denso no espa¸co (C[a, b], Υ). Isto é o que nos diz o Teorema da aproxima¸ca õ de Weierstrass: “Dada uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : [a, b] → R, existe uma sequência de polinˆ omios (pn ) tais que lim pn = f uniformemente em [a, b].” (ver [5] ) ¯ Logo, pela proposi¸c˜ ao 43 (p. 214), temos f ∈ P . Υ

Nota: O corol´ ario 3 (p. 207) nos permite inferir um resultado que ser´ a utilizado posteriormente, a saber: ¯ d ). X é denso no subespa¸co (X,

De fato, para que esta assertiva seja verdadeira é suficiente mostrar que ¯ ¯ =X ¯ =X ¯ X (M, d) (X, d) ¯ no corol´ Para tanto basta tomar N = X ario. 216

Proposi¸ c˜ ao 45. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se X ⊂ M é denso em M , ent˜ ao X ∩ A 6= ∅, para todo aberto A 6= ∅ desse espa¸co. Prova: Dado p ∈ A ⊂ M , ent˜ ao existe r > 0 de modo que B(p; r) ⊂ A. ¯ = M , p é aderente a X. Logo, B(p; r) ∩ X 6= ∅. Portanto existe Como X q ∈ X e q ∈ B(p; r) ⊂ A, logo A ∩ X 6= ∅. Importˆ ancia da densidade A densidade nos permite aproximar − com precisão arbitrária − pontos de um conjunto M por pontos de um seu subconjunto (é o que nos diz a proposi¸c˜ ao 42, p. 212). Perceba que isto n˜ ao é pouco. Por exemplo, por raz˜ oes técnicas, um computador n˜ ao opera com n´ umeros reais, mas pelo ¯ fato de que Qµ = R isto significa que podemos representar um n´ umero real por um racional com a precisão que desejarmos. Ainda mais: a mesma proposi¸c˜ ao nos assegura que existe uma sequência de racionais convergindo para qualquer n´ umero real. Por exemplo, da conhecida identidade 1 1 1 π = 1 − + − + ··· 4 3 5 7 obtemos a seguinte sequência de n´ umeros racionais convergindo para π an = 4 ·

n X (−1)i−1 i=1

2i − 1

A seguir exemplificamos como esta sequência converge para π, n

an → π

1

4

2

2, 66667

.. .

.. .

800

3, 14034

.. .

.. .

1500

3, 14093

uma convergencia, como se vê, bastante lenta. Mas converge. Como mais um exemplo, a sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência " # c 1 (N − 1)an + N−1 an+1 = N an nos permite aproximar − com precisão arbitrária − a raiz N −ésima de c > 0, apartir de um valor inicial a0 > 0 qualquer. √ Isto é, a partir de qualquer a0 > 0 dado, temos an → N c 217

A seguir apresentamos duas tabelas que exemplificam a fórmula anterior. Em ambas adotamos a0 = 1. √

√ 3

n

an →

2

n

an →

0

1, 00000

0

1, 00000

1

1, 50000

1

2, 33333

2

1, 41667

2

1, 86168

3

1, 41422

3

1, 72200

4

1, 41421

4

1, 71006

5

1, 41421

5

1, 70998

5

Os valores fornecidos pelo computador s˜ ao √ 2 = 1, 41421356237 √ 3 5 = 1, 70997594668 Os circuitos aritméticos de computadores realizam apenas a opera¸cão de soma (as outras opera¸c˜ oes aritméticas podem ser implementadas a partir de circuitos somadores). Como então realizar cálculos mais complicados, digamos...transcendentes? A densidade de P no espa¸co das fun¸cões cont´ınuas nos garante que para toda fun¸c˜ ao cont´ınua existe um polinˆ omio que a aproxima com precisão arbitrária. A t´ıtulo de exemplo, a sequência de polinˆ omios dada a seguir é uma aproxima¸c˜ ao para a fun¸cão seno p1 (x) = x p2 (x) = x −

x3 6

x5 x3 + 6 120 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− p3 (x) = x −

pn (x) = x −

x3 x2n−1 x5 + − . . . + (−1)n−1 6 120 (2n − 1)!

A tabela ao lado mostra o cálculo do seno π rad): O terceiro polinˆ omio, p3 , da de 15o ( 12 sequência já nos fornece o valor correto com seis casas decimais. Confira p √ π 2− 3 = = 0, 258819 . . . sen 12 2 218

π π π pn ( 12 ) → sen ( 12 ) x= 12

p1 (x)

0, 261799

p2 (x)

0, 258809

p3 (x)

0, 258819

Mais dois exemplos de densidade No apêndice

(p. 223)

mostramos mais dois exemplos de densidade:

1o )

O conjunto das fun¸c˜ oes parcialmente lineares (ou fun¸co˜es poligonais) é denso no espa¸co C([0, 1]); Υ . Isto significa que qualquer fun¸cão cont´ınua pode ser aproximada (arbitrariamente) por uma fun¸c˜ ao poligonal. 2o ) Seja D o conjunto das fra¸c˜ oes di´ adicas (fra¸cões cujos denominadores s˜ ao potências de 2) no intervalo [ 0, 1 [, ou seja 13 15 1 1 3 1 3 5 7 1 3 , , , , , , , , , ..., , , ... D= 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 D é denso em [ 0, 1 [. Isto significa que qualquer n´ umero do intervalo [ 0, 1 [ (irracionais, por exemplo) pode ser aproximado, com precisão arbitrária, por uma fra¸cão di´ adica.

5.7

Ponto de acumula¸ c˜ ao

Defini¸ c˜ ao 27 (Ponto de acumula¸cão). Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Um ponto p ∈ M se diz ponto de acumula¸ca õ de X se, e somente se, para todo r > 0, se verifica B( p; r) − { p } ∩ X 6= ∅ Isto é, se toda “bola furada” (sem o centro) centrada em p intersecta X. (M, d)

X

s

(M, d)

X

B(p; r)

p

s

B(p; r)−{ p }

O conjunto dos pontos de acumula¸cão de X é chamado conjunto derivado de X e é indicado por X ′ ou por Xd′ quando desejarmos enfatizar a métrica. Observa¸ co ˜es: (i) Dizer que p ∈ M n˜ ao é ponto de acumula¸cão de X, isto é, p 6∈ X ′ , significa dizer que existe r > 0 tal que B( p; r) − { p } ∩ X = ∅ (ii) Se ∀ r > 0 tivermos B(p; r) − { p } ∩ X 6= ∅, com mais raz˜ ao ainda teremos B(p; r) ∩ X 6= ∅, o que significa que todo ponto de acumula¸cão de X é também ponto aderente de X (ver defini¸caõ 25, p. 204). Isto é, a inclusão ¯ sempre se verifica. X′ ⊂ X 219

Exemplos: 1) Seja M = R e X = 1, 21 , 13 , . . . . Então Xµ′ = { 0 }

e

(Justifique)

Xδ′ = ∅.

Neste espa¸co podemos visualizar os elementos do conjunto X “acumulando-se” em torno de 0. Observe |

0

rrrrrrrrrrrrrr r r r ···

1 1 5 4

r

1 3

r

r

1 2

1

A igualdade Xδ′ = ∅ é um caso especial do exemplo seguinte

2) Se (M, d) é um espa¸co discreto e X ⊂ M então X ′ = ∅.

Prova: Com efeito, dado p ∈ M existe rp > 0 de modo que B(p; rp ) = { p }, logo B(p; rp ) − { p } = ∅, portanto B(p; rp ) − { p } ∩ X = ∅. Isto prova que nenhum ponto de M pode ser ponto de acumula¸cão de X. Em particular considere o espa¸co (R, δ) e X = ] 0, 1 ]; 0 n˜ ao é ponto aderente a X, 1 é ponto aderente, mas n˜ ao ponto de acumula¸cão de X no espa¸co (R, δ). (ex. 1, p. 204) 1 3) Considere M = [ 0, 1 [ , X = 2 , 1 e o ponto p = 0. assim: s

0

1

1 2

X

Afirmamos que 0 é ponto de acumula¸cão de X − considerando a métrica quântica em M . Para se convencer disto basta volver ao diagrama de bolas abertas Bk (0; r), ` a p. 111. 4) M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario e X = 21 , 1 × 12 , 1 ⊂ M .

Deixamos como tarefa a justificativa de que 0 = (0, 0) é ponto de acumula¸c˜ ao de X se tomarmos em M qualquer uma das três métricas Di . 1 X

0 0

t

1

0

220

Proposi¸ c˜ ao 46. Seja (M, d) um espa¸co métrico e X ⊂ M . A seguinte identidade se verifica ¯ = X ∪ X′ X Prova: ¯ logo para todo r > 0 temos B(p; r) ∩ X 6= ∅. (⊂) Seja p ∈ X,

(⋆)

¯ ⊂ X ∪ X ′. Temos duas alternativas: p ∈ X ou p 6∈ X. Se p ∈ X então X Se p 6∈ X ent˜ ao de (⋆) conclu´ımos que ∀ r > 0 B(p; r) − { p } ∩ X 6= ∅, isto ′ ¯ ⊂ X ∪ X ′. é, p ∈ X . Neste caso também temos X

¯ e X ′ ⊂ X, ¯ logo X ∪ X ′ ⊂ X. ¯ O que demonstra a (⊃) J´ a vimos que X ⊂ X identidade. Proposi¸ c˜ ao 47. Se p é um ponto de acumula¸ca õ de X ⊂ M , ent˜ ao toda bola aberta centrada em p contém infinitos pontos de X. Prova: Seja B(p; r) uma bola aberta que contém p e s´ omente um n´ umero finito de pontos de X diferentes de p (digamos a1 , a2 , . . . , an ). Precisamos mostrar que p n˜ ao é ponto de acumula¸cão de X. Para isto é suficiente exibir (construir) uma bola de centro p que n˜ ao contém quaisquer outros pontos de X diferentes de p. Com este intuito, escolhamos ε > 0 menor do que r e menor do que a distˆ ancia de p a qualquer dos pontos: a1 , a2 , . . . , an . Ent˜ ao e mais:

ε < r ⇒ B(p; ε) ⊂ B(p; r) a1 6∈ B(p; ε)

ε < d(p, a1 ) ε < d(p, a2 ) ............

(5.6)

⇒

a2 6∈ B(p; ε) ............ an 6∈ B(p; ε)

ε < d(p, an )

Então a bola aberta B(p; ε) que contém p n˜ ao contém a1 , a2 , . . . , an ; e por (5.6) B(p; ε) n˜ ao contém quaisquer outros pontos de X diferentes de p. Esta u ´ltima conclusão contradiz o fato de que p é ponto de acumula¸cão de X. Proposi¸ c˜ ao 48. Seja (M, d) um espa¸co métrico. F ⊂ M é fechado se, e somente se, F ′ ⊂ F. Prova:

(=⇒) Se F é fechado ent˜ ao F ′ ⊂ F . Com efeito, já vimos que

(prop. 35, p. 206)

F ⊂ M é fechado ⇐⇒ F¯ = F

(5.7)

Se F é fechado ent˜ ao, por (5.7), F¯ ⊂ F , mas como F ′ ⊂ F¯ ⇒ F ′ ⊂ F¯ ⊂ F. 221

(⇐=) Se F ′ ⊂ F ent˜ ao F é fechado.

Com efeito, a inclusão F ⊂ F¯ é sempre válida e como, por hip´ otese, ′ ′ ¯ ¯ ⊂ F , temos que F ∪ F ⊂ F ∪ F ⇒ F = F ∪ F ⊂ F . Portanto F = F e, novamente por (5.7), temos que F é fechado. F′

∗

∗

∗

A tabela a seguir resume os diversos pontos vistos:

Ponto Isolado (p∈M ) Interior (p∈X ⊂M )

Conjunto

Defini¸ca õ ∃ r>0 : B( p; r)={ p }

◦ X ou int X

∃ r>0 : B( p; r) ⊂ X

Fronteira (p∈M )

∀ r>0 : B( p; r) ∩ X6= ∅ e B( p; r) ∩ X c 6= ∅

∂ X ou fr X

Aderente (p∈M )

∀ r>0 : B( p; r) ∩ X6= ∅

¯ X

Acumula¸ca õ (p∈M )

∀ r>0 :

B( p; r)−{ p } ∩ X6= ∅

222

(fecho)

X ′ (derivado)

Apˆ endice: Vejamos mais dois exemplos de densidade: O conjunto das fun¸c˜ oes parcialmente lineares (ou fun¸co˜es poligonais) é denso no espa¸co C([0, 1]); Υ . 1o )

Seja f ∈ C[ 0, 1 ] e ε > 0 dado. Mostremos que ∃ n0 ∈ N e pontos i ε·k ε · kn ε·k 0 i 0 , . . . , pi = , . . . , pn0 = 1, p0 = 0, , 5 n0 5 5

(onde k0 , . . . , ki , . . . , kn0 s˜ ao inteiros) tais que, se g é a poligonal ligando os pi , então, Υ(f, g) = max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < ε yk

4ε 5 3ε 5 2ε 5 ε 5

0 −ε 5 − 25ε

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r r r r r

r r r r

r r r r

1/n0 2/n0

r

r

r r r r r

r r r r r

r r r r r

r r r r r

r r r r r

r

f g

r

r r r

r

r

xi

1

r r

r

r

1 n0

r

ε 5

Prova: f sendo cont´ınua no intervalo I = [ 0, 1 ], é também uniformemente cont´ınua neste mesmo intervalo (teorema [AR] 10, p. 604) então, por defini¸cão de continuidade uniforme (ver p. 604), dado ε > 0 existe δ > 0 de modo que ε (5.8) ∀ x, y ∈ [ 0, 1 ], |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < 5 1 < δ, logo se (5.8) é verdade, com Para este δ > 0 existe n0 ∈ N tal que n0 mais raz˜ ao ainda é verdade que ∀ x, y ∈ [ 0, 1 ], |x − y| ≤

1 ε < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < n0 5

Consideremos o seguinte subconjunto de I × R: o n ε·k i , yk = onde i = 0, 1, . . . , n0 ; k ∈ Z A = (xi , yk ) : xi = n0 5

Obs: A, na figura anterior, é a malha discreta. 223

(5.9)

Seja xi arbitrariamente fixado, temos que 5ε · f (xi ) é um n´ umero real e, como tal, situa-se entre dois inteiros consecutivos, isto é, existe k ∈ Z de modo que 5 k ≤ · f (xi ) < k + 1 ε multiplicando esta desigualdade por ε/5 temos ε·k ε·k ε ≤ f (xi ) < + 5 5 5 Fa¸camos yk = ε · k/5. Conclusão: existe um ponto (xi , yk ) ∈ A tal que yk ≤ f (xi ) < yk + 5ε . Ou ainda: fixado arbitrariamente uma abscissa xi existe uma ordenada yk de modo que (ver gr´ afico anterior) ε ε 0 ≤ f (xi ) − yk < ⇒ |f (xi ) − yk | < 5 5 Observe que ε yk = g(xi ) ⇒ |f (xi ) − g(xi | < 5 Conclusão: Fixada qualquer abscissa xi sempre podemos obter uma ordenada yk = g(xi ) de tal modo que a distˆ ancia (vertical) entre f (xi ) e g(xi ) é menor que ε/5. E mais: o ponto (xi , yk ) ∈ A satisfazendo a desigualdade anterior encontra-se abaixo do gr´ afico de f . Isto pode ser constatado no gr´ afico anterior.

Vamos agora interromper por um momento nossa demonstra¸cão para exemplificar a conclusão anterior para a fun¸cão dada por f (x) = x2 + 14 , por exemplo. Dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se x, y ∈ [ 0, 1 ] então |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < ε ⇒ |x + y| · |x − y| < ε Por outro lado 0 ≤ x, y ≤ 1

Dado ε > 0, tomando δ = |x − y| < δ =

ε 2

⇒

0≤x+y ≤2

⇒

0 ≤ (x + y)|x − y| ≤ 2|x − y|

teremos

ε ⇒ 2|x − y| < ε 2 ⇒ |x + y||x − y| ≤ 2|x − y| < ε ⇒ |x2 − y 2 | < ε. 224

Por exemplo, para ε = 1 temos: n1 < δ = 2ε ⇒ n1 < 21 . Vamos 0 0 escolher n0 = 4 (seria igualmente válido n0 = 3). Então i 1·k A = (xi , yk ) : xi = , yk = onde i = 0, 1, 2, 3, 4; k ∈ Z 4 5 A seguir fornecemos maiores detalhes: yk

xi

f (xi )

ε k yk = 5 k f (xi )−yk

5 f (xi ) ε

ε 5

0,00 0,2500 1,2500 1

0,2

0,0500

0,2

0,25 0,3125 1,5625 1

0,2

0,1125

0,2

0,50 0,5000 2,5000 2

0,4

0,1000

0,2

0,75 0,8125 4,0625 4

0,8

0,0125

0,2

1,00 1,2500 6,2500 6

1,2

0,0500

0,2

r r 1,0 r 0,8 r 0,6 r 0,4 r f 0,2 r g r 0 −0,2 r −0,4 r

r r r r r r r r 0,25 r r

r r r r r r r r r r

r r r r r r r r 0,75 r r

ε=1 ; n0 =4.

r r r r r r r r 1 r r

xi

Vejamos mais um exemplo. Consideremos desta vez ε = 0, 5; então 1 ε 1 1 ⇒ <δ= < n0 2 n0 4 Vamos escolher n0 = 5. Ent˜ ao i 0, 5 · k A = (xi , yk ) : xi = , yk = onde i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; k ∈ Z 5 5 A seguir fornecemos maiores detalhes yk

xi f (xi )

5 f (xi ) ε

k

yk = 5ε k f (xi )−yk

ε 5

0,0

0,25

2,5

2

0,2

0,05

0,1

0,2

0,29

2,9

2

0,2

0,09

0,1

0,4

0,41

4,1

4

0,4

0,01

0,1

0,6

0,61

6,1

6

0,6

0,01

0,1

0,8

0,89

8,9

8

0,8

0,09

0,1

1,0

1,25

12,5

12

1,2

0,05

0,1

r r r 1,0 r r 0,8 r r 0,6 r r 0,4 r rf 0,2 r rg r 0r −0,2 r

r r r r r r r r r r r r r r0,2 r r

r r r r r r r r r r r r r r r r

r r r r r r r r r r r r r r0,6 r r

r r r r r r r r r r r r r r r r

ε=0,5 ; n0 =5.

225

r r r r r r r r r r r r r r r1 r

xi

Pois bem, voltando ` a demonstra¸cão, temos xi+1 − xi =

i 1 i+1 − = n0 n0 n0

⇒ |xi+1 − xi | ≤

1 n0

Portanto, de (5.9), temos f (xi+1 ) − f (xi ) < ε/5. Sendo assim temos g(x ) − g(x ) ≤ |f (x ) − g(x )| + f (x ) − f (x ) i+1 i i i i+1 i + g(xi+1 ) − f (xi+1 ) <

ε ε ε 3ε + + = 5 5 5 5

Para qualquer ponto z ∈ [ 0, 1 ] existe xi satisfazendo xi ≤ z < xi+1 . Como o gr´ afico de g entre xi e xi+1 é um segmento de reta, temos duas possibilidades: g é n˜ ao-decrescente ou g é n˜ ao-crescente entre xi e xi+1 . Consideremos g n˜ ao-decrescente neste intervalo (para g n˜ ao-crescente o racioc´ınio é o mesmo e seremos conduzidos ao mesmo resultado), então xi ≤ z < xi+1 ⇒ g(xi ) ≤ g(z) ≤ g(xi+1 ) ⇒ 0 ≤ g(z) − g(xi ) ≤ g(xi+1 ) − g(xi ) 3ε ⇒ 0 ≤ |g(z) − g(xi )| ≤ g(xi+1 ) − g(xi ) < 5

Também

xi ≤ z < xi+1 ⇒ 0 ≤ z − xi < xi+1 − xi = ⇒ |f (z) − f (xi )| <

1 n0

ε 5

Logo, |f (z) − g(z)| ≤ |f (z) − f (xi )| + |f (xi ) − g(xi )| + |g(xi ) − g(z)| <

ε 5

ε 5

+

+

3ε 5

=ε

Como z ∈ [ 0, 1 ] é arbitrário, segue que max |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] < ε ⇒ Υ(f, g) < ε. 226

Representa¸ c˜ os bin´ arias 2o ) O nosso objetivo agora ser´ a estabelecer um algoritmo que nos permita escrever um n´ umero x ∈ [ 0, 1 [ na base bin´ aria. Proposi¸ c˜ ao 49. Seja D o conjunto das fra¸co ˜es di´ adicas∗ no intervalo [ 0, 1 [ : 13 15 1 1 3 1 3 5 7 1 3 , , , , , , , , , ..., , , ... D= 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 D é denso em [ 0, 1 [ .

(munido da m´ etrica µ)

Prova: Seja x ∈ [ 0, 1 [; dado ε > 0 arbitrário devemos mostrar que no intervalo ] x − ε, x + ε [ existe um ponto m/q ∈ D. 1 1 A desigualdade n < vale para todo n natural. Pela propriedade 2 n arquimediana existe um natural n0 de modo que 1 1 1 < ε ⇒ n0 < < ε. n0 n0 2 n

Tomando q = 2 0 , considere os intervalos h 1h h1 2h h2 3h hq − 2 q − 1h hq − 1 h 0, , , , ..., , , , , ,1 q q q q q q q q m+1 Como [ 0, 1 [ é a uni˜ ao dos intervalos acima, um deles, digamos m q, q m+1 contém x, isto é, m ao q ≤ x < q . Ent˜ m+1 m m 1 m ≤x< ⇔ ≤x< + q q q q q Mas

1 q

< ε; logo m 1 m 1 <ε ⇒ + < +ε q q q q m 1 m + < +ε q q q m ⇒ x−ε< . q ⇒ x<

Portanto x−ε<

m ≤x
Ou seja, o intervalo aberto ] x − ε, x + ε [ contém o ponto a D. Por conseguinte D é denso em [ 0, 1 [. ∗

Fra¸c˜ oes com numeradores inteiros e denominadores potências de 2.

227

(5.10) m q

que pertence

Esta proposi¸c˜ ao garante que qualquer n´ umero do intervalo [ 0, 1 [ pode ser aproximado, com precisão arbitrária, por uma fra¸cão di´ adica. O teorema seguinte nos mostra como obter a representa¸cão bin´ aria de qualquer ponto do intervalo [ 0, 1 [ , com uma precisão arbitrária. Teorema 3 (Gentil). Dado x ∈ [ 0, 1 [ e ε > 0 existem um natural n0 e digitos xi ∈ { 0, 1 } tais que x=

xn −1 xn0 x2 x1 0 + + · · · + + n n −1 21 22 2 0 2 0

com erro menor que ε. Prova: Escolhamos n0 ∈ N de modo que 2n10 < ε. Fa¸camos 2n0 = q. Tal como na proposi¸c˜ ao 49 existe um natural m de modo que m+1 m ≤x< q q

(5.11)

Desta equa¸c˜ ao obtemos m, assim: m+1 m ≤x< ⇒ m ≤ q · x < m + 1 ⇒ m = ⌊q · x⌋. q q De seguida obtemos o desenvolvimento bin´ ario do natural m, assim: m = x1 · 2n0 −1 + x2 · 2n0 −2 + · · · + xn

· 2n0 −(n0 −1) + xn · 2n0 −n0

0 −1

0

Ou seja, m = x1 · 2n0 −1 + x2 · 2n0 −2 + · · · + xn

0 −1

· 21 + xn0 · 20

(5.12)

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por 2n0 obtemos xn −1 xn0 x1 m x2 0 + + · · · + n0 = n n0 −1 + 1 2 2 2 2 2 0 2

(5.13)

Da equa¸c˜ ao (5.11) vemos que (5.13) é um valor aproximado (menor ou igual) de x, isto é xn −1 xn0 x2 m x1 0 ≃x n0 = n 1 + 2 + ··· + n0 −1 + 2 2 2 2 0 2 e, pelo lema, temos que |x − x ˜| < ε, ∗

onde x ˜= ∗

m n . 2 0

(5.14)

∗

Justificativa de (5.12): Os digitos bin´ arios no desenvolvimento de m devem ser todos nulos a partir da potência 2n0 (inclusive). 228

De fato, se tal n˜ ao acontecesse ter´ıamos m ≥ 2n0 , o que é inconsistente com m ≤ q · x, isto é, m ≤ 2n0 · x; pois sendo x < 1 ⇒ 2n0 · x < 2n0 ⇒ m < 2n0 . ao corretos (e s˜ ao u ńicos) Questionamento: Os digitos (x1 x2 . . . xn0 ) est˜ m para a fra¸c˜ ao x ˜ = n0 , mas esta é apenas uma aproxima¸cão para x (isto é, 2 |x − x ˜| < ε). Até que ponto podemos confiar que estes sejam os n0 primeiros digitos do desenvolvimento de x?. Supondo que o desenvolvimento de x seja x=

xn −1 xn +1 xn +2 xn0 x2 x1 0 0 0 n0 + 1 + 2 + ··· + n0 −1 + n0 +1 + n0 +2 + · · · 2 2 2 2 2 2

para nos assegurar que os digitos (x1 x2 . . . xn0 ) estejam corretos para x, devemos escolher∗ o menor natural n0 satisfazendo 2n01+1 < ε, isto é, 1 (n0 −1)+1

2

=

1 ≥ε n 2 0

De fato, suponhamos que apenas o digito xn esteja incorreto, sendo assim 0

|x − x ˜| =

xn +1 1 0 n0 + n0 +1 + · · · ≥ ε 2 2

Isto contradiz (5.14). Se qualquer outro digito xk com k < n0 estiver incorreto, chegaremos à mesma contradi¸c˜ ao. Conclusão: Escolhendo n0 o menor natural satisfazendo 2n01+1 < ε podemos assegurar que os digitos x1 , x2 , . . . , xn0 , no desenvolvimento bin´ ario de x ∈ [ 0, 1 [, est˜ ao todos corretos. Algoritmo Os argumentos anteriores nos facultam um algoritmo para o desenvolvimento bin´ ario de um x ∈ [ 0, 1 [. Vejamos como através de um

Exemplo: Obter o desenvolvimento bin´ ario de x = 1/3 com uma precis˜ ao ε = 0, 01. Solu¸ ca õ: Vimos que devemos escolher o menor n0 satisfazendo n01+1 < ε, 2 então 1 1 n0 + 1 > log2ε ⇒ n0 = log2ε ∗ A propriedade arquimediana e o Princ´ıpio da boa ordena¸c˜ ao, conjuntamente, nos garantem que esta escolha sempre é poss´ıvel.

229

Sendo assim, n0 = Observe que

log

1 0,01 2

1 = 21. =6 ⇒ m= 2 · 3

6

21 1 m − x = 6 − = 0, 005208 . . . < ε. q 3 2

Agora desenvolvemos m = 21 na base bin´ aria:

21 = 1 · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 21 + 1 · 20 Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por q = 2n0 = 26 , temos 1 0 1 0 1 21 6 = 2 + 3 + 4 + 5 + 2 2 2 2 2 26 0 1 0 1 0 1 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 2 2 2 2 2 2 Conclusão: (010101)2 é o desenvolvimento bin´ ario de x = 1/3 com erro menor que um centésimo. Para que possamos “automatizar” todo o processo anterior podemos adaptar a fórmula (1.13), assim: (p. 39)

xn =

   1, se   0, se

m

n −n 2 0

m

n0 − n

2

é ´ımpar; (n = 1, 2, . . . , n0 ) é par.

Exemplo: Considere o exemplo anterior em que n0 = 6 e m = 21. Então: m 21 n=1 ⇒ = = 0 ⇒ x1 = 0 n0 − n 6−1 2

2

n=2 ⇒

m

n0 − n

2

=

21

6−2

2

=1

⇒ x2 = 1

.................................................. m 21 = = 21 ⇒ x6 = 1 n=6 ⇒ n0 − n 6−6 2

2

Alternativamente, podemos escrever a fórmula anterior sob a seguinte nota¸c˜ ao: j xn = MOD

m n0 − n

2

k

,2 230

(n = 1, 2, . . . , n0 )

Leia-se: xn = resto da divisão de

j

m n0 − n

2

k

por 2.

O programa a seguir

(Calculadora HP 50g)

≪ → x ε ≪ p FLOOR (LOG(1/ε)/LOG(2)) p EVAL p n0 p STO p FLOOR (2 ∧ n0 ∗ x ) p EVAL p m p STO 1 n0 FOR n p FLOOR (m/2 ∧ (n0 − n)) p EVAL 2 MOD NEXT n0 →ARRY ≫ ≫ tem como dados de entrada x e a precisão ε, e sai com um vetor contendo o desenvolvimento bin´ ario de x − com precisão ε. Por exemplo, para x = 13 e ε = 0, 01 o programa nos devolve [ 0 1 0 1 0 1 ]. Representa¸ co ˜es tern´ arias O que foi feito para a base 2 pode ser repetido para a base 3. Dado ε > 0 escolhemos o menor n0 de modo que 1

1

n0 +1

3

< ε ⇒ n0 + 1 > log3ε ⇒ n0 =

Obtido q = 3n0 , da equa¸c˜ ao

m q

≤x<

m+1 q

1

log3ε

obtemos m; assim:

m+1 m ≤x< ⇒ m ≤ q · x < m + 1 ⇒ m = ⌊q · x⌋ q q Em seguida obtemos o desenvolvimento tern´ ario de m ∈ N, ou seja m = x1 · 3n0 −1 + x2 · 3n0 −2 + · · · + xn

0 −1

· 31 + xn · 30 0

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por 3n0 , temos xn −1 xn0 m x1 x2 0 ≃x n0 = n n0 −1 + 1 + 2 + ··· + 3 3 3 3 0 3 Ilustraremos o desenvolvimento em base 3 através de um exemplo.

231

Exemplo: Obter o desenvolvimento tern´ ario de x = 2/7 com uma precisão ε = 0, 01. Solu¸ c˜ ao: n0 = Observe que

log

1 0,01 3

2 =4 ⇒ m= 3 · = 23. 7 4

23 2 m − x = 4 − = 0, 001764 . . . < 0, 01. q 7 3 Agora desenvolvemos m = 23 na base 3, temos 23 = 2 · 32 + 1 · 31 + 2 · 30

Dividindo a equa¸c˜ ao anterior por q = 3n0 = 34 , temos 2 1 2 23 4 = 2 + 3 + 3 3 3 34 0 2 1 2 1 + 2 + 3 + 4 3 3 3 3 Conclusão: (0212)3 é o desenvolvimento na base 3 de x = 2/7 com erro menor que um centésimo. =

Para que possamos “automatizar” todo o processo anterior fornecemos a seguinte fórmula: j xn = MOD

m n0 − n

3

k

,3

Leia-se: xn = resto da divisão de O programa a seguir

(n = 1, 2, . . . , n0 )

j

m n0 − n

3

k

por 3. (Calculadora HP 50g)

≪ → x ε ≪ p FLOOR (LOG(1/ε)/LOG(3)) p EVAL p p n0 p STO FLOOR (3 ∧ n0 ∗ x ) p EVAL p m p STO 1 n0 FOR n p FLOOR (m/3 ∧ (n0 − n)) p EVAL 3 MOD NEXT n0 →ARRY ≫ ≫

tem como dados de entrada x e a precisão ε, e sai com um vetor contendo o desenvolvimento tern´ ario de x − com precisão ε. Por exemplo, para x = √12 e ε = 0, 001 o programa nos devolve [ 2 0 1 0 0 2 ]. 232

5.8

Exerc´ıcios ◦

◦

1) Seja M = R e X = Q. Encontre: Qµ e Qδ . 2) Considere o espa¸co (R, µ) e o seu subespa¸co (N, µ), onde N = [ 0, 2 ]. O conjunto X = [ 0, 1 [ n˜ ao é aberto no espa¸co (R, µ), mostre que X é aberto no subespa¸co (N, µ). 3) O conjunto X = ] 0, 1 [ é aberto no espa¸co (R, µ). Mostre que o conjunto Y = ] 0, 1 [ × { 0 } n˜ ao é aberto no espa¸co (R2 , D1 ). 4) O conjunto X = ] − ∞, +∞ [ é aberto no espa¸co (R, µ). Mostre que o conjunto Y = ] − ∞, +∞ [ × { 0 } é fechado no espa¸co (R2 , D1 ). 5) Seja M = R2 , mostre que o conjunto X = (x, y) ∈ R2 : x > 1 é aberto em R2 munido das métricas D2 e D3 . 6) Seja M = R e X =] a, b ]. No espa¸co (R, µ) b é ponto fronteira de X, mas n˜ ao ponto interior. No espa¸co (R, δ) sucede exatamente o contr´ ario. A tabela seguinte resume nossas asser¸cões: ◦

(R, µ) b ∈ ∂Xµ b 6∈ Xµ ◦

(R, δ) b 6∈ ∂Xδ b ∈ Xδ Deixamos ao leitor as justificativas. 7) Seja M = R e X = Q. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor a confirma¸cão da tabela: ◦

Q ∂Q (R, µ) ∅

R

Q

∅

(R, δ)

Aqui temos um exemplo de um conjunto que est´ a contido, propriamente, em sua fronteira: ∂ Q = R. 8) Consideremos o espa¸co métrico [ 0, 1 ], µ e seja X = Q ∩ [ 0, 1 ]. Encontre: ∂X. 9) Prove que em todo espa¸co métrico (M, d), o complementar de uma bola fechada é um conjunto aberto. [ . No espa¸co (R, µ), 10) Considere a fam´ılia {Xn }n∈N , onde Xn = ] − n1 , n1 T os Xn (n = 1, 2, . . .) s˜ ao conjuntos abertos. Prove que n∈N Xn = { 0 }.

11) Mais geralmente: num espa¸co métrico (M, d) qualquer, fixado p ∈ M , \ 1 B p, fazendo Bn = B p, n1 (n = 1, 2, . . .), prove que = { p }. n n∈N

233

− Ponto Exterior: Seja (M, d) um espa¸co métrico. Considere X ⊂ M . Um ponto p 6∈ X é chamado ponto exterior de X se existir r > 0, tal que B(p; r) ⊂ X c . Ou seja, um ponto é exterior a um conjunto quando é interior do complementar deste conjunto. 12) Considere M = [ 0, 1 [ , X = 21 , 1 e o ponto p = 0. assim: ¬1

0

s

1

2

M

X

p=0

a ) Mostre que 0 é um ponto exterior a X no espa¸co ([ 0, 1 [ , µ); b ) Mostre que 0 n˜ ao ´ e um ponto exterior a X no espa¸co ([ 0, 1 [ , k). 13) Seja M = [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ o quadrado unit´ ario e X = 21 , 1 × 12 , 1 ⊂ M ; mostre que 0 = (0, 0) é ponto aderente de X se tomarmos em M qualquer uma das três métricas Di . Ademais, mostre que 0 = (0, 0) n˜ ao ´ e um ponto exterior a X. 1 X

0 0

t

1

0

14) Com respeito ao exerc´ıcio anterior a proposi¸cão 42 (p. 212) garante que existe uma uma sequência (xn ) de pontos de X tal que lim xn = 0. Encontre uma sequência satisfazendo estas condi¸cões. 15) Utilize a identidade que comparece ario 5 (p. 209) para provar no corol´ 1 1 que a fronteira de X = 1, 2 , 3 , . . . no espa¸co (R, µ) é ∂X = X ∪ { 0 }. 16) Seja M = R2 , encontre a fronteira de X = (x, y) ∈ R2 : x > 1 em 2 cada uma das métricas do R . Prove suas afirmativas. 17) Prove que toda bola fechada B[ p; r ] = x ∈ M : d(x, p) ≤ r num espa¸co métrico (M, d) é um conjunto fechado. 18) Dados X, Y ⊂ M mostre que: ◦

◦

◦

a ) X ∪ Y ⊂ (X ∪ Y)

◦

◦

◦

◦

◦

Dê um exemplo em que se tenha X ∪ Y 6= (X ∪ Y). 234

◦

b ) X ∩ Y = (X ∩ Y)

19) Sejam X e Y subconjuntos de M . Mostre que: ¯ ∪ Y¯ ; a) X ∪ Y = X

¯ ∩ Y¯ . b) X ∩ Y ⊂ X

¯ ∩ Y¯ . Dê um exemplo em que se tenha X ∩ Y 6= X

20) Num espa¸co métrico (M, d) considere X ⊂ M .

¯ é o menor fechado que contém X, isto é, se F é fechado a ) Mostre que X ¯ ⊂ F. e X ⊂ F , ent˜ ao X

¯ é a interse¸c˜ b ) Mostre que X ao de todos os fechados de M que contém F . 21) Mostre que o conjunto X = { (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn : x1 > 0, . . . , xn > 0 } é aberto em rela¸c˜ ao a qualquer das métricas do Rn . 22) Considere sobre M = R − { −1, 1 } a métrica induzida pela usual de R. Mostre que a bola fechada B[ 0; 1 ], em M , é um subconjunto aberto do espa¸co M . 23) Seja V um espa¸co vetorial sobre R. Um subespa¸co vetorial de V é um subconjunto U ⊂ V tal que: ( i ) 0 ∈ U; ( ii ) u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U ; ( iii ) u ∈ U e λ ∈ R ⇒ λ u ∈ U .

Se U é um subespa¸co vetorial do Rn tal que U 6= Rn mostre que U n˜ ao é aberto. Sugest˜ ao: Mostre que qualquer bola aberta de centro no vetor 0 ∈ U contém n vetores n˜ ao nulos do tipo (a1 , 0, . . . , 0), (0, a2 , 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , an ) e portanto n˜ ao pode estar contida em U visto que U 6= Rn . 24) Mostre que s˜ ao fechados a ) Z em R; b ) F = { (x, y) ∈ R2 : xy = 1 } em R2 ;

c ) A = { (x, y) ∈ R2 : x, y ≥ 0 } em R2 . 25) Achar o conjunto derivado de a ) Z nos espa¸cos (R, µ) e (R, δ); b ) Q ∩ [ 0, 1 [ nos espa¸cos ([ 0, 1 [, µ) e ([ 0, 1 [, k); c ) (Q × Q) ∩ ([ 0, 1 [ × [ 0, 1 [) nos espa¸cos ([ 0, 1 [ 2 , D1 ) e ([ 0, 1 [ 2 , D1 ); d ) Z × Q em R2 .

26) Se um conjunto e seu complementar têm ambos interior vazio, mostre que a fronteira de cada um deles é o espa¸co inteiro. 235

Essa p´ agina ficaria em branco (“ociosa”) raz˜ ao porque decidir aproveitála para divulgar mais um resultado meu em matem´ atica.

Uma F´ ormula In´ edita Nos livros de C´ alculo I constam algumas fórmulas para se encontrar a soma de potências dos n primeiros n´ umeros naturais, por exemplo: 1 + 2 + 3 + ··· + n =

n(n + 1) 2

Ou ainda 12 + 22 + 32 + · · · + n2 =

n(2n + 1)(n + 1) 6

13 + 23 + 33 + · · · + n3 =

n2 (n + 1)2 4

Ou ainda

(5.15)

Durante muitos anos − por décadas, talvez séculos − os matem´ aticos estiveram ` a procura de uma fórmula u ńica que incluisse como caso especial as anteriores. . . Ninguém teve êxito. Coube a mim materializar essa aspira¸cão. Em 1997 demonstrei o seguinte: Teorema 4 (Gentil/1997). Sendo m um natural arbitrariamente fixado, é v´ alida a seguinte identidade: m X n m m m m 1 + 2 + 3 + ··· + n = a j + 1 (m−j) j=0

Onde:

j X

a(m−j) =

k=0

Prova: Ver [6].

j m (−1) (1 − k + j) k k

Vejamos um exemplo de aplica¸cão desta fórmula (m = 3): 3 X n 1 + 2 + 3 + ··· + n = a j + 1 (3−j) 3

3

3

3

j=0

n n n n = a3 + a2 + a1 + a 1 2 3 4 0

Onde: a(3−j) =

j X k=0

(−1)k

j 3 (1 − k + j) ; k

( j = 0, 1, 2, 3. )

Substituindo e simplificando chegamos ao resultado (5.15). 236

Cap´ıtulo

6

˜ FUNC ¸ OES CONT´ıNUAS Eu penso que seria uma aproxima¸ca õ relativamente boa da verdade (que ´ e demasiadamente complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproxima¸ca õ) dizer que as id´ eias matem´ aticas tˆ em sua origem em situa¸co ˜es emp´ıricas . . . Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento pr´ oprios governados quase que inteiramente por motiva¸co ˜es est´ eticas.

(John Von Newmann)

Introdu¸ c˜ ao Aqui generalizamos para o contexto dos espa¸cos métricos o (importante) conceito de fun¸c˜ ao cont´ınua, estudado no C´ alculo e na Análise. Prevendo poss´ıveis “crises existênciais” pelas quais o leitor poder´ a vir a passar em mais este cap´ıtulo é que julgamos oportuno lembrar: “[. . .] e é por isto que resultados incompat´ıveis entre si podem ser igualmente verdadeiros, contanto que os relacionemos com métricas distintas.” (par´ afrase, p. 170)

Defini¸ c˜ ao 28 (Continuidade). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Diz-se que a aplica¸ca õ f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua no ponto a ∈ M quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pudermos exibir δ > 0 de modo que se d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < ε. (M, d1 )

(N, d2 )

xr r δ a

f

rf (x) rf (a)

ε ∃ δ>0

∀ ε>0

• Defini¸c˜ ao de continuidade em um ponto a ∈ M. 237

Diremos que f é cont´ınua em M quando for cont´ınua em todo ponto de M .

Caracteriza¸c˜ ao de continuidade via bolas abertas Uma defini¸c˜ ao equivalente de continuidade é dada na seguinte Proposi¸ c˜ ao 50. Uma fun¸ca õ f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua no ponto a ∈ M se, e somente se, dada arbitrariamente uma bola Bd f (a); ε existe 2 uma bola Bd (a; δ) de modo que 1

f Bd (a; δ) ⊂ Bd f (a); ε 1

2

(N, d2 )

(M, d1 ) xr r δ a

rf (x) rf (a)

f

∀ Bd (f (a); ε) 2

∃ Bd (a; δ) 1

f ( Bd (a; δ) ) = { f (x) : x ∈ Bd (a; δ) } 1

1

Resumindo: para mostrar que f : M −→ N é cont´ınua em a ∈ M primeiramente devemos centrar em f (a) uma bola de raio ε. Em seguida devemos procurar um raio δ > 0 de tal modo que aimagem, por f , de todo ponto x ∈ Bd (a; δ) caia dentro da bola Bd f (a); ε . 1

2

Descontinuidade

Quando uma fun¸c˜ ao f n˜ ao é cont´ınua no ponto a, dizemos que f é descont´ınua nesse ponto. Isto significa que existe uma bola Bd f (a); ε0 com a 2 seguinte propriedade: para toda bola centrada em a, isto é, Bd (a; δ), pode1 mos exibir um ponto xδ ∈ Bd (a; δ) tal que f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 . 1

2

A seguir colocamos em s´ımbolos, tanto a continuidade quanto a descontinuidade em um ponto a ∈ M : (continuidade em a)

∀

ε>0

∃

ε0 >0

∃

∀ x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε

δ>0 x

∀

1

2

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

δ>0 xδ

1

2

(descontinuidade em a)

Nota: ∧ é o s´ımbolo da conjun¸ca õ “e” . Para entender como esse s´ımbolo aparece na nega¸c˜ ao de continuidade veja corol´ ario 49. (p. 579)

238

Importante! Deve ficar bem claro (transparente) para o leitor o papel desempenhado pelos n´ umeros ε e δ, na defini¸c˜ ao de continuidade. Com este intuito observemos o conte´ udo desta defini¸c˜ ao de uma outra perspectiva: Suponhamos que você queira provar, a um seu − fict´ıcio − advers´ ario, que f é cont´ınua em um ponto a ∈ M . Pois bem, seu advers´ ario fornecer´ a a você os valores de ε > 0. Para cada valor de ε você ter´ a que devolver ao seu advers´ ario um n´ umero δ > 0 satisfazendo a condi¸cão ∀ x ∈ M com d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < ε.

Se o leitor conseguir esta fa¸canha, para cada valor de ε que lhe for fornecido, ent˜ ao ter´ a provado que f é cont´ınua no ponto a. O raio δ procurado, ami´ ude é fun¸cão do ε fornecido, o que justificar´ a− por vezes − a nota¸c˜ ao δ = δ(ε) = δε . Generalizando Por oportuno, n˜ ao apenas na defini¸cão de continuidade, mas em qualquer outra que aparecer “para todo” ( ∀ ) é seu advers´ ario quem fixa (arbitrariamente) um valor; já aonde aparece “existe” ( ∃ ) é você que devolve (exibe) a ele um valor (por exemplo, veja a defini¸caõ de convergência de sequências, p. 141). Como ilustra¸c˜ ao, vejamos a defini¸cão de descontinuidade em um ponto:

∃

ε0 >0

∀

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

δ>0 xδ

1

2

Neste caso se você leitor quer provar a seu advers´ ario que uma dada fun¸cão é descont´ınua num ponto a ∈ M , então você deve exibir a ele um ε0 > 0 de sorte que: para todo δ > 0 que seu advers´ ario fixar, você deve exibir um ponto xδ dentro da bola de centro a e raio δ e tal que a imagem deste ponto n˜ ao caia dentro da bola de centro f (a) e raio ε0 .

Aceder ` a ciˆ encia ´ e rejuvenescer espiritualmente, ´ e aceitar uma brusca muta¸ca õ que contradiz o passado.

(Bachelard)

A afirmativa, remanescente do C´ alculo, de que o gr´ afico de uma fun¸cão cont´ınua em um ponto n˜ ao apresenta “salto” neste ponto, deixa de valer na Topologia. Aqui veremos um importante exemplo de uma fun¸cão cujo gr´ afico apresenta um salto em um ponto e mesmo assim a fun¸cão é cont´ınua 239

neste ponto. Por outro lado veremos um exemplo de uma fun¸cão descont´ınua em todo ponto e cujo gr´ afico é “liso” em todo o dom´ınio da fun¸cão. Exemplos e Contraexemplos: ( x, se x 6= 1; 1) Seja f : R −→ R dada por f (x) = 2, se x = 1. cujo gr´ afico est´ a dado a seguir f (x)

2

q

r

1

q x

q1

O o objetivo ser´ a estudar a continuidade de f no ponto x = 1, em diferentes espa¸cos métricos. Vamos confirmar dois ´ıtens da seguinte tabela f : (M, d1 ) −→ (N, d2 )

x=1

1.1)

(R, δ)

(R, δ)

C

1.2)

(R, µ)

(R, δ)

D

1.3)

(R, δ)

(R, µ)

C

1.4)

(R, µ)

(R, µ)

D

onde: C significa cont´ınua e D significa descont´ınua. 1.1) f : (R, δ) −→ (R, δ) Aqui existe a possibilidade de confus˜ ao entre a métrica δ e o n´ umero real δ > 0, raz˜ ao porque quando os dois ocorrerem em um mesmo contexto ˙ colocaremos um ponto sobre o delta métrica: δ. Para mostrar que f é cont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola − de raio ε arbitrário − em f (1) = 2. Temos   { f (1) }, se 0 < ε ≤ 1; Bδ˙ f (1); ε =  R, se ε > 1.

Devemos exibir δ > 0 de tal modo que a imagem de todo ponto dentro da bola Bδ˙ (1; δ) caia dentro da bola Bδ˙ (2; ε). 240

´ suficiente escolher δ = 1 . Pois E 2 1 = f ({ 1 }) = { 2 } ⊂ Bδ˙ f (1); ε ; ∀ ε > 0. f Bδ˙ 1; 2

Isto mostra que f é cont´ınua no ponto x = 1, considerando (R, δ) como espa¸co de partida e de chegada de f . Vejamos a estenografia da continuidade: ∀

ε>0

∀ x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε

∃

1

δ>0 x

δ=

1 2

B˙ (1; δ

1 2

2

)={1}

B˙ (f (1); ε>1) = R ou B˙ (f (1); ε≤1) = { 2 }

f (1) = 2

δ

δ

Agora vejamos a geometria da situa¸cão: f (x) B˙ (f (1); ε>1) = R δ

ց 2

q

f (x) B˙ (f (1); ε ≤ 1) = { 2 } δ ց 2 r

r

1

r

1

q

q

r

1տ B˙ (1; δ

x 1 2

)={ 1 }

r

1տ B˙ (1; δ

x 1 2

)={ 1 }

1.2) f : (R, µ) −→ (R, δ)

Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola em f (1) = 2, de raio, por exemplo, ε0 = 21 . Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola Bµ(1; δ) = ] 1 − δ, 1 + δ [ encontraremos um 1 ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bδ˙ f (1); 2 = {f (1)} = { 2 }. Tomando, por exemplo, xδ = f (xδ ) = xδ = 1 − 2δ . Observe que,

(1−δ)+1 2

= 1 − 2δ , como δ 6= 0 ⇒ xδ 6= 1 ⇒

1 δ = {2} ⇐⇒ 1 − = 2 ⇐⇒ δ = −2. 2 2 Isto mostra a impossibilidade de que f (xδ ) ∈ Bδ˙ f (1); 21 , qualquer que seja δ > 0. Portanto f é descont´ınua no ponto x = 1, considerando (R, µ) como espa¸co de partida e (R, δ) como espa¸co de chegada de f . f (xδ ) ∈ Bδ˙ f (1);

241

Vejamos a estenografia da descontinuidade:

∃

ε0 >0

ε0 =

∀

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0 1

δ>0 xδ

1 2

2

Bµ(1; δ) = ] 1 − δ, 1 + δ [

B˙ (f (1); δ

xδ

xδ =1− δ2

1 2

)={ f (1) }={ 2 }

Agora vejamos a geometria da situa¸cão:

f (x) B˙ (f (1); 21 ) = { 2 } δ ց 2 r 1 f (xδ )q

r

] r q1 [ տ 1+δ

1−δ

x

xδ

A verifica¸c˜ ao dos demais ´ıtens da tabela ficar´ a como exerc´ıcio. 2) A fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, δ) dada por f (x) = x (identidade) é descont´ınua em cada ponto do seu dom´ınio. Vamos mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 (em qualquer outro ponto o racioc´ınio é o mesmo). Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 1 vamos centrar uma bola em f (1) = 1, de raio, por exemplo, ε0 = 12 : Bδ˙ f (1);

1 = { f (1) } = { 1 }. 2

Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola Bµ (1; δ) =] 1−δ, 1+δ [ encontraremos um ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bδ˙ f (1); 21 . Vamos tomar xδ =

(1−δ)+1 2

= 1 − δ2 . Como δ 6= 0 ⇒ xδ 6= 1, logo

1 = { f (1) } = { 1 }. 2 Isto mostra a impossibilidade de que f (xδ ) ∈ Bδ˙ f (1); 12 , qualquer que seja δ > 0, portanto f é descont´ınua no ponto x = 1. Veja a estenografia: f (xδ ) = xδ 6= 1 6∈ Bδ˙ f (1);

242

∃

ε0 >0

ε0 =

∀

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

δ>0 xδ

1

1 2

2

Bµ(1; δ) = ] 1 − δ, 1 + δ [

B˙ (f (1); δ

xδ

xδ =1− 2δ

1 2

)={ f (1) }={ 1 }

Veja a geometria: f (x) B ˙ (f (1); δ

1 2

)={ 1 } ց

1r r ր f (xδ )

] rq1 [ տ 1+δ

1−δ

x

xδ

3) A fun¸c˜ ao f : [0, 1[, k −→ [0, 1[, µ dada por f (x) = x (identidade) é descont´ınua na origem. Para mostrar que f é descont´ınua no ponto x = 0 vamos centrar uma bola em f (0) = 0, de raio, por exemplo, ε0 = 14 : Bµ f (0);

1 1 = 0, 4 4

Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, na bola Bk (0; δ) encon traremos um ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bµ f (0); 14 . O esbo¸co da bola Bk (0; r),

podemos tomar xδ =

(1−δ)+1 2

(p. 111),

nos sugere o ponto xδ . Por exemplo,

= 1 − 2δ . Observe que,

f (xδ ) = xδ = 1 −

δ 1 3 ≥ ⇐⇒ δ ≤ . 2 4 2

Se δ > 32 , temos Bk (0; δ) = [ 0, 1 [, podemos tomar, por exemplo, xδ = 12 . Veja a estenografia:

∃

ε0 >0

ε0 =

1 4

∀

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

δ>0 xδ

1

2

xδ

xδ =1− 2δ

Bk(0; δ) = ] 0, δ [ ∪ ] 1 − δ, 1 [

243

Bµ ( f (0);

1 4

) = [ 0,

1 4

[

Veja a geometria (para δ < 12 ): 1 f (xδ )

¬ [

1 2

Bµ f (0);

1 4

0

δ

¬1 2

1−δ

s

1

xδ

4) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) =

( 1,

se x ∈ Q;

0,

caso contr´ ario.

cujo gr´ afico n˜ ao pode ser plotado. Vamos provar que f é descont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio. Para mostrar que f é descont´ınua no ponto a vamos centrar uma bola em f (a), de raio, por exemplo, ε0 = 1: Bµ f (a); 1 = ] f (a) − 1, f (a) + 1 [ Vamos mostrar que, qualquer que seja δ > 0, encontraremos na bola Bµ (a; δ) = ] a − δ, a + δ [ um ponto xδ de modo que f (xδ ) 6∈ Bµ f (a); 1 . Consideremos duas possibilidades: (i) a é racional.

Neste caso Bµ f (a); 1 = ] f (a) − 1, f (a) + 1 [ = ] 0, 2 [.

Como em todo intervalo aberto ] a − δ, a + δ [ existem n´ umeros racionais e irracionais em abundância vamos escolher um xδ irracional, sendo assim f (xδ ) = 0 6∈ Bµ f (a); 1 = ] 0, 2 [ Veja a estenografia:

∃

ε0 >0

ε0 = 1

∀

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

δ>0 xδ

1

2

0

xδ irracional Bµ(a; δ) = ] a−δ, a+δ [

244

Bµ ( f (a); 1 ) = ] 0, 2 [

(ii) a é irracional. Neste caso Bµ f (a); 1 = ] f (a) − 1, f (a) + 1 [ = ] − 1, 1 [. Como em todo intervalo aberto ] a − δ, a + δ [ existem n´ umeros racionais e irracionais em abundância vamos escolher um xδ racional, sendo assim f (xδ ) = 1 6∈ Bµ f (a); 1 = ] − 1, 1 [ Veja a estenografia:

∃

ε0 >0

ε0 = 1

∀

∃ xδ ∈ Bd (a; δ) ∧ f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

δ>0 xδ

1

2

1

xδ racional

Bµ ( f (a); 1 ) = ] −1, 1 [

Bµ(a; δ) = ] a−δ, a+δ [

5) A fun¸c˜ ao f : ([ 0, 1 ], µ) −→ ([ 0, 1 [, k) dada por  1 1   6 (1 − 2x), se 0 ≤ x ≤ 2 ; f (x) =   1 (7 − 2x), se 1 < x ≤ 1. 6 2

(6.1)

cujo gr´ afico est´ a plotado a seguir

f (x)

p

1◦

p

p

5 6

p

p

3 6

p

1 6

0

1 2

p

p1

x

é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio. Vamos provar a continuidade de f no ponto “mais delicado” que é x = 12 . Pois bem, para todo ε > 0 arbitrariamente fixado, escolhemos δ = δε do seguinte modo:   14 , se ε ≥ 61 ; δ(ε) = 3ε, se ε < 1 . 6 245

Em fun¸c˜ ao do formato das bolas abertas na métrica k vamos separar nossa an´ alise em dois casos: 1o ) Podemos separar ε ≥ 61 em dois subcasos, assim:   16 ≤ ε ≤ 12 ⇒ Bk (0; ε) = [ 0, ε [ ∪ ] 1 − ε, 1 [ 1 ⇒ ε≥ (6.2)  6 ε > 1 ⇒ B (0; ε) = [ 0, 1 [ 2

k

Em qualquer situa¸c˜ ao, δ = 41 , sendo assim: Bµ

1 2;

δ = 12 − δ,

1 2

+δ

=

1

− 14 ,

2

1 2

+

1 4

=

1

3 4, 4

=

1 4

¬

1 2

3 4

Agora devemos mostrar que se x ∈ Bµ 21 ; δ então f (x) ∈ Bk (0; ε). Tomemos um x nesta bola e consideremos duas possibilidades: (i) 1 4

1 4

< x ≤ 12 . Neste caso, temos:

< x ≤

1 2

⇔ − 21 > −2x ≥ −1 ⇔

1 2

> 1 − 2x ≥ 0

⇔ 0 ≤ 1 − 2x < 1 6

⇔ 0 ≤

1 2

(1 − 2x) <

⇒ 0 ≤ f (x) <

1 12

<

1 12 1 6

≤ ε

⇒ 0 ≤ f (x) < ε Portanto, a imagem de x cai na primeira parte da bola em (6.2). (ii) 1 2

1 2

< x < 34 . Neste caso, temos:

< x <

3 4

⇔ −1 > −2x > − 32 ⇔ 6 > 7 − 2x >

Observe que

1 6

1−ε ≤

⇔

11 2

< 7 − 2x < 6

⇔

11 12

<

⇒

11 12

< f (x) < 1

1 6 (7

1 2

5 6

< f (x) < 1 ⇒ 1 − ε < f (x) < 1

<

11 12

≤ 1−ε ≤

5 6.

− 2x) < 1

≤ ε ≤

⇒

1 2

11 2

Sendo assim, temos

Portanto, a imagem de x cai na segunda parte da bola em (6.2). 246

2o ) Agora consideremos 0 < ε <

1 6.

Sendo assim, temos:

Bk (0; ε) = [ 0, ε [ ∪ ] 1 − ε, 1 [

(6.3)

Neste caso tomamos δ = 3ε, obtendo: Bµ

1 2;

δ = 12 − δ,

1 2

+δ

=

1 2

− 3ε,

Agora devemos mostrar que se x ∈ Bµ

1 2

+ 3ε

1 2;

δ então f (x) ∈ Bk (0; ε).

=

1 2

− 3ε

¬

1 2

1 2

+ 3ε

Tomemos um x nesta bola e consideremos duas possibilidades: (I) 12 − 3ε < x ≤ 21 . Neste caso, temos: 1 2

− 3ε < x ≤

1 2

⇔ −1 + 6ε > −2x ≥ −1 ⇔ −1 ≤ −2x < −1 + 6ε ⇔ 0 ≤ 1 − 2x < 6ε ⇔ 0 ≤

1 6 (1

− 2x) < ε

⇔ 0 ≤ f (x) < ε Portanto, a imagem de x cai na primeira parte da bola em (6.3). (II) 1 2

1 2

< x <

< x <

1 2

1 2

+ 3ε. Neste caso, temos:

+ 3ε ⇔ −1 > −2x > −1 − 6ε ⇔ −1 − 6ε < −2x < −1 ⇔ 6 − 6ε < 7 − 2x < 6 ⇔ 1−ε <

1 6 (7

− 2x) < 1

⇔ 1 − ε < f (x) < 1 Portanto, a imagem de x cai na segunda parte da bola em (6.3). Com isto concluimos a prova de que f é cont´ınua no ponto x = 12 . ∗

∗

∗

N˜ ao h´ a mais, para os teoremas, verdade separada e, por assim dizer, atˆ omica: sua verdade é apenas sua integra¸ca õ no sistema; e é por isso que teoremas incompat´ıveis entre si podem igualmente ser verdadeiros, contanto que os relacionemos com sistemas diferentes. (Denis Huisman) 247

Vejamos como fica a estenografia da continuidade:

∀

ε>0

∀ x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε

∃

δ>0 x

 1    4, δ(ε) =   3ε,

1

se ε ≥

2

1 6;

Bk (0; ε) =

se ε < 16 .

      

 1 3    ] 4 , 4 [, 1 Bµ ( 2 ; δ) =    ] 1 − 3ε, 1 2 2

[0, ε[ ∪ ]1 − ε, 1[, se 0 < ε ≤ se ε > 12 .

[0, 1[,

1 6;

se ε ≥ + 3ε[,

1 2;

se ε < 61 .

Para finalizar, fa¸camos uma simula¸cão gr´ afica para ε = 62 . Nesse caso a estenografia fica:

∀

ε= 26

∀ x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε

∃

δ>0 x

δ=

1 4

1

2

Bµ ( 12 ; δ) = ] 14 , 43 [

f (x)=

 1     6

    1 6

Bk (0; ε) =[0, 26 [ ∪ ] 46 , 1[

(1 − 2x),

se

1 4

< x ≤ 12 ;

(7 − 2x),

se

1 2

< x < 34 .

E a geometria fica: f (x) 1◦

p

1

4 6

p

p

5 6

p

p

3 6 2 6

p

1 6 0

0

1 4

]

1 2

p

248

[3 4

p1

x

6) Seja a fun¸c˜ ao f : Z∞ −→ [ 0, 1 ] dada por:

(p. 42)

∞ X xn f (xn ) = 2n n=1

Exemplos: (i) Calcule, por f , a imagem da sequência (xn ) = (011000 . . .). Solu¸ ca õ: ∞ X xn 0 1 1 0 0 1 1 3 f (xn ) = + = n = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = 2 4 8 8 2 2 2 2 2 n=1

(ii) Calcule, por f , a imagem da sequência (xn ) = (10101010 . . .). Solu¸ ca õ: ∞ X xn 1 0 1 0 1 0 f (xn ) = = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· 2n 2 2 2 2 2 2 n=1

=

1 1 1 1 2 1 + 3 + 5 + ··· = 2 2 2 1−

1 22

2 = . 3

Na p. 229 mostramos um algoritmo para converter um n´ umero decimal do intervalo [ 0, 1 ] para a base 2. A fun¸cão f : Z∞ −→ [ 0, 1 ] faz o procedimento contr´ ario. Vamos provar que f : Z∞ , ν −→ [ 0, 1 ], µ é cont´ınua.

Prova: Com efeito, seja a = (a1 a2 a3 . . .) ∈ Z∞ , dado ε > 0 escolhemos n0 ∈ N tal que n10 < ε. Tomemos δ = n10 e consideremos a bola 2

2

n 1 o Bν (a; δ) = x ∈ Z∞ : ν(x, a) < n0 2 Vamos mostrar que se, x ∈ Bν (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bµ f (a); ε = f (a) − ε, f (a) + ε ∩ [ 0, 1 ] (Z∞ , ν)

1

δ=

1 n 2 0

ra

f f (x)

r r

]

δ

]

xr

f (a) + ε f (a) f (a) − ε 0

249

Ent˜ ao, seja x ∈ Bν (a; δ), logo ν(x, a) < 2n10 , pela proposi¸cão 1 (p. 44) xn = an ; n = 1, 2, . . . , n0 , portanto: ([AR] 4, p. 603 e [AR] 5, p. 603) ∞ ∞ ∞ ∞ X x X an X xn − an X |xn − an | n |f (x) − f (a)| = − = ≤ 2n 2n 2n 2n n=1

=

n=1

n=1

n=1

n0 ∞ X X |xn − an | |xn − an | + 2n 2n n=1 n=n0 +1 | {z } =0

=

∞ X

n=n0

|xn − an | 1 1 1 ≤ n0 +1 + n0 +2 + · · · = n0 < ε. n 2 2 2 2 +1

7) Considere a aplica¸c˜ ao f :

Z∞

−→

Z∞

dada por

f (x1 x2 x3 x4 . . .) = x2 x3 x4 x5 . . . Mostremos que f é cont´ınua. Com efeito, Seja a = a1 a2 a3 . . . ∈ Z∞ , dado ε > 0 escolhemos n0 ∈ N tal que 2n10 < ε. Tomemos δ = 2n01+1 . Se x = x1 x2 x3 x4 . . . satisfaz ν(x, a) < δ, então pela proposi¸cão 1 (p. 44) xi = ai para i ≤ n + 1. Sendo assim as i−´ esimas entradas de f (x) e f (a) concordam para i ≤ n. Isto é, ν f (x), f (a) ≤ 2n10 < ε.

Proposi¸ c˜ ao 51. Seja f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) se (M, d1 ) é um espa¸co discreto ent˜ ao f é cont´ınua.

Prova: De fato, dado a ∈ M e ε > 0 arbitrário, como (M, d1 ) é discreto ent˜ ao a é isolado, logo existe δa > 0 de modo que Bd (a; δa ) = { a }, portanto: 1 f Bd (a; δa ) = f { a } = f (a) ⊂ Bd f (a); ε ; ∀ ε > 0. 1

2

(M, d1 )

q

q qq qq

q

q q

(N, d2 )

qq q q qq q q

ra

δa

q

f

ε

∃ δa >0

∀

ε>0

∃

∀ ε>0

∀ x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε 1

δ>0 x

δa

q rf (a) q

2

Bd (a; δa )={a} 1

250

f (a)

Bd (f (a); ε) 2

6.1

Isometria

A palavra isometria literalmente significa “medidas iguais” j´ a que é derivada das ra´ızes gregas isos (“igual”) e metron (“medida”).

Defini¸ c˜ ao 29 (Imers˜ ao isométrica). Uma fun¸ca õf : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é ao isométrica quando preserva ancias, isto é, quando chamada uma imers˜ distˆ para quaisquer x, y ∈ M tivermos d2 f (x), f (y) = d1(x, y). (N, d2 )

(M, d1 ) y d1(x, y) →

f (x)

f

← d2 (f (x), f (y)) f (y)

x

Toda imersão isométrica é cont´ınua. De fato, dado a ∈ M e ε > 0 arbitrário, é suficiente tomar δ = ε, pois d1 (x, a) < δ = ε =⇒ d2 f (x), f (a) = d1(x, a) < ε. Exemplos: 1)

s

s

s

)

Uma rota¸c˜ ao em torno da origem preserva a distˆ ancia dos vetores − para a origem − e também o ˆ angulo entre os vetores.

s

)

s

0

s

2) s )

Uma reflex˜ ao numa reta pela origem preserva a distˆ ancia dos vetores − para a origem − e também o ˆ angulo entre os vetores.

)

0

251

s

s

3) Consideremos a rota¸cão de um ponto em torno da origem R

s(x, y) 0

sf (x, y)

R

fθ

(x, y) θ R

R

0

Onde f (x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ). Utilizando a distˆ ancia (norma) euclidiana, temos: p k f (x, y) k = (x cos θ − y sen θ)2 + (x sen θ + y cos θ)2 p = x2 (cos2 θ + sen 2 θ) + y 2 ( sen 2 θ + cos2 θ) p = x2 + y 2 = k (x, y) k

4) Consideremos a aplica¸cão

R x

f : (R, µ) −→ (R2 , Di ) x 7−→ (x, x)

r

R f

−→

x

r f (x) x

0

R

q

Considerando sobre R2 a métrica D3 resulta que f é imersão isométrica: D3 f (x), f (y) = D3 (x, x); (y, y) = max{ |x − y|, |x − y| } = |x − y| = µ(x, y). Geometricamente tudo se passa assim: (R, µ) y |x−y| → x

r r

R f

−→

y x

0q

|x−y| |x−y| x

252

y

R

Considerando sobre R2 a métrica D1 resulta que f n˜ ao é imersão isométrica. Vejamos um contraexemplo (x = 1, y = 2): D1 f (1), f (2) = D1 (1, 1); (2, 2) p = (1 − 2)2 + (1 − 2)2 √ = 2 6= 1 = µ(1, 2). Veja geometricamente:

2

r

1

r

0

q

R (R, µ) 2

f

−→

D1

1

→

rf (1)

1

rf (2)

R

2

Considerando sobre R2 a métrica D2 resulta que f n˜ ao é imersão isométrica. Vejamos um contraexemplo (x = 1, y = 2): D2 f (1), f (2) = D2 (1, 1); (2, 2) = |1 − 2| + |1 − 2|

= 2 6= 1 = µ(1, 2). Geometricamente tudo se passa assim:

2

1

0

r r

R

rf (2)

(R, µ) 2

f

−→

1

q

f (1)

r

1

1

տ

1 2

D2

R

Uma imersão isométrica f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é sempre uma aplica¸cão injetiva. De fato, f (x) = f (y) ⇒ d2 f (x), f (y) = 0 = d1 (x, y) ⇒ x = y. 253

Defini¸ c˜ ao 30 (Isometria). Uma fun¸ca õ f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é chamada isometria se ela for uma imers˜ ao isométrica sobrejetiva. Se f e g s˜ ao isometrias então a composta, g◦f , também é uma isometria, conforme mostra o diagrama a seguir. (N, d2 )

(M, d1 ) y

(P, d3 ) gf (y)

f

f (y)

x

g gf (x)

f (x) g◦f

d2 (f (x), f (y)) = d1(x, y) e d3 (gf (x), gf (y)) = d2 (f (x), f (y)) ⇒ d3 (g◦f (x), g◦f (y)) = d1 (x, y)

Ademais, o diagrama a seguir mostra que a inversa de uma isometria ainda é uma isometria. (N, d2 )

(M, d1 ) y

f

f −1 f (y)

f (y)

x

(M, d1 ) f −1

f (x) f −1 ◦ f = IM d2 (f (x), f (y)) = d1(x, y)

f −1 f (x)

? d1 (f −1 f (x), f −1 f (y)) = d2 (f (x), f (y))

Exemplos: 1) Transla¸c˜ ao Num espa¸co vetorial E, +, · normado fixamos um vetor a ∈ E. A aplica¸c˜ ao Ta : E −→ E dada por Ta (x) = x + a, executa uma “transla¸cão” no vetor x. Ta é uma isometria. De fato, (i) Ta é uma imersão isométrica. d Ta (x), Ta (y) = kTa (x) − Ta (y)k

= k(x + a) − (y + a)k = kx − yk = d(x, y).

(ii) Ta é sobrejetiva. Dado y ∈ E devemos exibir x ∈ E de modo que Ta (x) = y. Ent˜ ao basta resolver a equa¸cão x + a = y. Logo, x = y − a é tal que Ta (x) = Ta (y − a) = (y − a) + a = y. 254

2) Rota¸c˜ ao. fθ (x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ). Vimos anteriormente (p. 252) que a rota¸c˜ ao de um ponto em torno da origem é uma imersão isométrica. Para mostrar que fθ é sobrejetiva dado (x′ , y ′ ) ∈ R2 , encontremos um par ordenado (x, y) ∈ R2 tal que fθ(x, y) = (x′ , y ′ ). Isto é, resolvamos o seguinte sistema linear ( x cos θ − y sen θ = x′ x sen θ + y cos θ = y ′

Na forma matricial "

x′ y′

#

=

"

cos θ − sen θ

sen θ

cos θ

#"

x y

#

De outro modo: x′ =

x cos θ + y sen θ

′

y = −x sen θ + y cos θ Ou ainda: (x′ , y ′ ) = x cos(−θ) − y sen (−θ), x sen (−θ) + y cos(−θ)

Conclua que dado (x′ , y ′ ) ∈ R2 para obter sua pré-imagem basta rotacion´ alo de θ graus no sentido negativo (hor´ ario). 3) Isometrias em ZN , σ

Veremos agora uma fam´ılia de isometrias no espa¸co de s´ımbolos. Se π é uma bije¸c˜ ao do conjunto {1, 2, . . . , n} nele pr´ oprio, também chamada de permuta¸c˜ ao, a aplica¸c˜ ao permuta¸cão de coordenadas Γπ :

ZN

ZN

(x1 , x2 , ...,xn )

(xπ(1) , xπ(2) , ...,xπ(n) )

é uma isometria no espa¸co ZN , σ . O n´ umero de bije¸cões (permuta¸cões) do conjunto {1, 2, . . . , n} nele pr´ oprio é n!. Listamos a seguir todas as permuta¸cões do conjunto {1, 2, 3}:

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , , , , . 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 1 2 3 = π. Fixemos, a t´ıtulo de exemplo, uma destas permuta¸cões: 2 3 1 Sendo assim, temos 1 2 3 1 2 3

255

π(1) = 2, π(2) = 3, π(3) = 1. Ent˜ ao, Γπ :

Z3

Z3

(x1 , x2 , x3 )

(xπ(1) , xπ(2) , xπ(3) )

A aplica¸c˜ ao Γπ executa a seguinte permuta¸cão nos termos de uma sequência 3 de Z : x1 , x2 , x3 Γπ x2 , x3 , x1 (>) Por exemplo, Γπ 101 = 011;

Γπ 010 = 100.

Veja como é fácilmostrar que Γπ é uma isometria: Dados x = x1 , x2 , x3 ∈ Z3 e y = y1 , y2 , y3 ∈ Z3 mostremos que σ Γπ (x), Γπ (y) = σ(x, y). Pois bem, x2 , x3 , x1 x1 , x2 , x3 Γπ y1 , y2 , y3

Temos σ(x, y) =

Γπ

y2 , y3 , y1

3 X xn − yn = x − y + x − y + x − y 1 1 2 2 3 3 n=1

Por outro lado,

3 X x − yπ(n) = xπ(1) − yπ(1) + xπ(2) − yπ(2) + xπ(3) − yπ(3) σ Γπ (x), Γπ (y) = π(n) n=1

= x2 − y2 + x3 − y3 + x1 − y1

Portanto, σ Γπ (x), Γπ (y) = σ(x, y).

A sobrejetividade de Γπ decorre do fato de que as permuta¸cões s˜ ao 3 bije¸c˜ oes (isto é, têm inversa). Seja, por exemplo, y = 110 ∈ Z , calcule sua pré-imagem por Γπ . Isto é, encontre x ∈ Z3 tal que Γπ (x) = y. 1 2 3 −1 Solu¸ c˜ ao: Basta calcular Γπ−1 ( y ), onde π = . Temos, 3 1 2 Γπ−1 ( y1 , y2 , y3 ) = yπ−1 (1) , yπ−1 (2) , yπ−1 (3) = ( y3 , y1 , y2 ) Ent˜ ao, Γπ−1 ( 110 ) = 011. Observe que Γπ ( 011 ) = 110 (ver equa¸cão ( > )). 256

Defini¸ c˜ ao 31 (Contra¸c˜ ao). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma aplica¸ca õ f : M −→ N é chamada uma contra¸ca õ quando existe uma constante α, com 0 ≤ α < 1, tal que d2 f (x), f (y) ≤ α d1 (x, y) para quaisquer x, y ∈ M. Assim, numa contra¸c˜ ao, a distˆ ancia entre as imagens de dois pontos quaisquer é menor que a distˆ ancia entre os respectivos pontos. Exemplo: Considere o espa¸co normado R2 , k · k e seja f : R2 −→ R2 , ao f é uma contra¸cão, pois dada por f (p) = 21 p. Ent˜

1 1

d2 f (p), f (q) = kf (p) − f (q)k = p − q 2 2 1 1 = kp − qk = d1 (p, q) < d1 (p, q). 2 2 Por exemplo, seja p = (3, 3) e q = (4, 1), então 1 3 3 1 1 f (3, 3) = (3, 3) = , e f (4, 1) = (4, 1) = 2, . 2 2 2 2 2 Veja a geometria: R 4

q

3

q

2

q

1

q

p

f (p) q f (q)

(0, 0)

q1

q2

q3

Exemplo: Na figura a seguir (esquerda)

257

q4

R

rotacionamos um quadrado ( 2 ) com θ = 30o em torno do seu centro, aplicando uma contra¸c˜ ao com parˆ ametro α = 0, 7321; fizemos 9 itera¸cões (composi¸c˜ oes). Na figura da direita apenas mudamos os parˆ ametros para θ = 10o e α = 0, 8632 com 18 itera¸cões. O “fator de contra¸ca õ” α em fun¸cão do ângulo θ desejado é dado por: α = ( sen θ + cos θ)−1 Toda contra¸c˜ ao f é cont´ınua. De fato, dado ε > 0, é suficiente tomar δε = ε/α, pois d1 (x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) ≤ α d1 (x, y) < α · δ = ε.

Aplica¸c˜ oes lipschitziana

Defini¸ c˜ ao 32 (Fun¸c˜ oes de Lipschitz). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma aplica¸ca õ f : M −→ N é uma fun¸ca õ de Lipschitz∗ (ou lipschitziana) quando existe uma constante c > 0 (chamada constante de Lipschitz) satisfazendo d2 f (x), f (y) ≤ c d1 (x, y) para quaisquer x, y ∈ M. Toda fun¸c˜ ao de Lipschitz é cont´ınua. De fato, dado ε > 0 é suficiente tomar δ = d1 (x, y) < δ = Exemplos:

ε c

e teremos

ε =⇒ d2 f (x), f (y) ≤ c d1 (x, y) < ε. c

1) Dado um espa¸co vetorial E, +, · , normado, cada escalar λ 6= 0 determina uma homotetia hλ : (E, k.k) −→ (E, k.k) definida por hλ(x) = λ x, ∀ x ∈ E. Escolhamos c > 0 tal que c ≥ |λ|. Para quaisquer x, y ∈ E, temos: d2 (hλ(x), hλ(y)) = d2 (λ x, λ y) = kλ x − λ yk

= |λ| · kx − yk ≤ c kx − yk = c d1 (x, y)

e portanto hλ é lipschitziana e, por conseguinte, cont´ınua. 2) Para as fun¸c˜ oes f : (R, µ) −→ (R, µ) a condi¸cão de Lipschtiz significa |f (x) − f (y)| ≤ c |x − y| =⇒ |f (x) − f (y)|/|x − y| ≤ c ou seja, a inclina¸c˜ ao de qualquer secante ao gr´ afico de f é, em valor absoluto, ≤ c. ∗ Rudolph Lipschitz (1832 − 1903) foi professor em Bonn. Deu contribui¸c˜ oes ` a´ algebra, a teoria dos n´ ` umeros, ` a geometria diferencial e ` a an´ alise.

258

Se uma fun¸c˜ ao f : (I, µ) −→ (R, µ), definida em um intervalo I, tem derivada limitada para todo x ∈ I − isto é existe c > 0 tal que |f ′ (x)| ≤ c, ∀ x ∈ I − ent˜ ao pelo teorema do valor médio ([AR] 12, p. 604), dados x, y ∈ I quaisquer, existe um ponto t entre x e y, tal que f (x) − f (y) = f ′ (t)(x − y), portanto, |f (x) − f (y)| = |f ′ (t)| ≤ c =⇒ |f (x) − f (y)| ≤ c |x − y|. |x − y| Resumindo: toda fun¸c˜ ao com derivada limitada em um intervalo é lipschitziana. Por exemplo, das fun¸co˜es abaixo, apenas g é lipschitziana. f : R −→ R x 7−→

e

g : [ −1, 1 ] −→ R

x 7−→ x2

x2

De fato, se f fosse de Lipschitz existiria c > 0 de modo que |x2 − y 2 | ≤ c |x − y| =⇒ |x + y| ≤ c,

∀ x 6= y ∈ R

Isto, em particular, implicaria em R ser limitado. Esta inverdade prova nossa assertiva. Por outro lado, sendo |x| ≤ 1 e |y| ≤ 1 para todo x, y ∈ [−1, 1 ], temos |x + y| ≤ |x| + |y| ≤ 2, logo |x2 − y 2 | = |x − y| · |x + y| ≤ 2|x − y| ⇒ |f (x) − f (y)| ≤ 2|x − y|. Isto mostra que f é de Lipschitz. Observe que g′ (x) = 2x e como −1 ≤ x ≤ 1 temos −2 ≤ 2x ≤ 2 =⇒ |2x| = |g ′ (x)| ≤ 2. isto é, g possui derivada limitada no intervalo [−1, 1 ]. Veja: g ′ (x) 2

g(x)

q

1

1

q −1q

q

0

q1

x

−1q

0 −1

q

−2q

259

q1

x

3) Dados M1 , M2 , . . . , Mn , para cada i (i = 1, 2, . . . , n) fixado a fun¸cão pi : M1 × . . . × Mn −→ Mi (x1 ,... , xi , ..., xn ) 7−→ xi chama-se proje¸c˜ ao i-ésima. A figura a seguir ilustra esta situa¸cão para o caso de dois espa¸cos métricos:

M2

ր

p2 (x) = x2

s

M1 ×M2

sx = (x1 , x2 )

p2

ր

s

p1 M1

p1 (x) = x1

As proje¸c˜ oes s˜ ao exemplos de fun¸cões de Lipschitz. De fato, sejam x = (x1 , . . . , xn ) e y = (y1 , . . . , yn ) pontos arbitrários de M = M1 × M2 × · · · × Mn , então (p. 97) di (pi (x), pi (y)) = di (xi , yi ) ≤ Dk(x, y) (k = 1, 2, 3.) Portanto as fun¸c˜ oes pi s˜ ao lipschitzianas com constante de Lipschitz c = 1. As aplica¸c˜ oes lipschitzianas nas quais c = 1 s˜ ao também conhecidas como contra¸c˜ oes fracas. Vejamos mais alguns exemplos de contra¸cões fracas: (i) Num espa¸co vetorial E, +, · normado a adi¸cão de vetores s : E ×E −→ E definida por s(x, y) = x + y é uma contra¸cão fraca (portanto é uma aplica¸c˜ ao cont´ınua). Vamos usar em E × E a métrica D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 )

(p. 95)

= kx1 − y1 k + kx2 − y2 k.

Com efeito, para quaisquer (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ M × M , temos d2 s(x1 , x2 ); s(y1 , y2 ) = d2 x1 + x2 ; y1 + y2

= k(x1 + x2 ) − (y1 + y2 )k = k(x1 − y1 ) + (x2 − y2 )k ≤ kx1 − y1 k + kx2 − y2 k = D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) 260

(ii) A pr´ opria métrica d : M × M −→ R

(x, y) 7−→ d(x, y)

é uma contra¸c˜ ao fraca. De fato, Vamos usar em M × M a métrica D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) = d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ).

Com efeito, para quaisquer (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ M × M , temos d(x , x ) − d(y , y ) = d(x , x ) − d(x , y ) + d(x , y ) − d(y , y ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 ≤ d(x2 , x1 ) − d(x2 , y1 ) + d(y1 , x2 ) − d(y1 , y2 ) ≤ d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) = D2 (x1 , x2 ); (y1 , y2 ) . Na u ´ltima desigualdade fizemos uso da proposi¸cão 2. (iii) A norma

(p. 45)

k · k : E −→ R x 7−→ kxk é uma contra¸c˜ ao fraca. Com efeito, para quaisquer x, y ∈ E temos kxk − kyk = d(x, 0) − d(y, 0) ≤ d(x, y)

(iv) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Fixemos A ⊂ M . A fun¸cão f : M −→ (R, µ)

x 7−→ d(x, A)

é uma contra¸c˜ ao fraca. Com efeito, para quaisquer x, y ∈ M , temos: d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y)

(prop. 3, p. 50)

Em particular, tomando A = { a }, temos que a aplica¸cão da : M −→ R x 7−→ d(x, a)

é cont´ınua. (v) A aplica¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = |x| é uma contra¸cão fraca. Com efeito, isto é uma consequência imediata da desigualdade |x| − |y| ≤ |x − y| , ∀ x, y ∈ R. 261

Aplica¸c˜ oes localmente lipschitziana Uma aplica¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) se diz localmente lipschitziana se, para cada ponto a ∈ M , existe uma bola Bd (a; r) ⊂ M de modo que a 1 restri¸c˜ ao de f a essa bola é lipschtziana. Uma aplica¸c˜ ao localmente lipschitziana é cont´ınua. De fato, dado a ∈ M existe uma bola Bd (a; r) de mameira que f restrita a essa bola é lipschtziana, 1 logo existe c > 0 tal que d2 f (x), f (y) ≤ c d1 (x, y), ∀ x, y ∈ Bd (a; r). 1

Assim, dada uma bola Bd f (a); ε , com ε arbitrariamente fixado, escolhe2 mos δ > 0 de maneira que δ < r e δ < εc . Sendo assim temos: (
Agora vamos ver alguns exmplos de aplica¸cões localmente lipschitzianas:

i) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = xn , onde n é um natural arbitrariamente fixado. Seja a ∈ R, consideremos a bola Bµ (a; r) = ] a − r, a + r [. Tendo em conta que toda bola aberta é um conjunto limitado, existe k ∈ R tal que |x| ≤ k para todo x ∈ Bµ (a; r) = ] a − r, a + r [

(6.4)

Devido ao teorema do valor médio, se x, y ∈ Bµ(a; r), x 6= y existe t ∈ R, situado entre x e y de modo que f (x) − f (y) = f ′ (t)(x − y) = n · tn−1 (x − y) Ent˜ ao, |f (x) − f (y)| = n · |t|n−1 · |x − y|,

∀ x, y ∈ ] a − r, a + r [

por (6.4), temos |t| ≤ k ⇒ |t|n−1 ≤ kn−1 ⇒ n · |t|n−1 · |x − y| ≤ n · kn−1 · |x − y| por conseguinte |f (x) − f (y)| ≤ n · kn−1 · |x − y|,

∀ x, y ∈ ] a − r, a + r [

isto é, f é localmente lipschtziana com constante de Lipschitz c = nkn−1 . Observe que a fun¸c˜ ao f : R −→ R dada por f (x) = x2 n˜ ao é lipschitziana, mas sim localmente lipschitziana. 262

1 , ∀ x ∈ R∗ . x Tomemos inicialmente a ∈ R∗ = ] − ∞, 0 [ ∪ ] 0, +∞ [ e a > 0. Como o conjunto ] 0, +∞ [ é aberto podemos centrar neste ponto uma bola aberta Bµ (a; r) = ] a − r, a + r [ ⊂ ] 0, +∞ [. Fa¸camos a − r = s > 0, então ii) Seja f : (R∗ , µ) −→ (R, µ) definida por f (x) =

∀ x, y ∈ ] a − r, a + r [ = ] s, s + 2r [ ⇒ ⇒ |x| · |y| > s2 ⇒

x>s>0 e y>s>0

1 1 |x − y| |x − y| < 2 ⇒ < . |x| · |y| s |x| · |y| s2

f (x)

|f (x)−f (y)|

→

]

0

a−r

s

r

x

r

a

r

y

[

x

a+r

|x−y|

Pois bem, ∀ x, y ∈ ] a − r, a + r [, temos 1 1 |x − y| 1 |f (x) − f (y)| = − = < 2 |x − y|. x y |x| · |y| s

Isto prova que f restrita a Bµ (a; r) é lipschitziana. Para a < 0 o tratamento é an´ alogo. iii) Num espa¸co vetorial E, +, · normado, a multiplica¸cão por escalares m : R × E −→ E (α, u) 7−→ α u

é localmente lipschitziana. Provaremos nossa afirmativa usando sobre R × E a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 ) 263

Nota: Aqui d1 é métrica usual de R: d1 (x1 , y1 ) = |x1 − y1 | ,

∀ x1 , y1 ∈ R.

d2 é métrica de E: d2 (x2 , y2 ) = kx2 − y2 k , Portanto,

∀ x2 , y2 ∈ E.

D3 (x, y) = max |x1 − y1 |, kx2 − y2 k

onde x = (x1 , x2 ) ∈ R × E e y = (y1 , y2 ) ∈ R × E. Prova: Seja a = (α, u) um ponto arbitrário de R × E, centremos neste ponto uma bola BD (a, r). 3

Primeiramente vamos mostrar que existe uma bola de centro na origem 0 = (0, 0) ∈ R × E e raio conveniente s, de maneira que BD (a; r) ⊂ 3 BD (0; s). 3

Tomando s = D3 (0, a) + r, vamos mostrar que BD (a; r) ⊂ BD (0; s). 3

#

E

qa

3

R×E

r

BD (a; r) "! 3 D3 (0, a)

BD (0; s) 3

r

0=(0, 0)

R

Com efeito, seja x = (β, v) ∈ BD (a; r) um ponto arbitrário nesta bola; 3 logo D3 (x, a) < r, ou ainda D3 (β, v); (α, u) = max |β − α|, ku − vk < r (6.5)

Devemos mostrar que x ∈ BD (0; s) onde 3

s = D3 (0, a) + r = D3 (0, 0); (α, u) + r = max |0 − α|, k0 − uk + r = max |α|, kuk + r.

Para tanto basta mostrar que D3 (x, 0) < s. Sendo D3 (x, 0) = D3 (β, v); (0, 0) = max |β − 0|, kv − 0k = max |β|, kvk . 264

Devemos mostrar que max |β|, kvk < s = max |α|, kuk + r

(6.6)

De (6.5) temos

|β − α| < r

ku − vk < r

e

(6.7)

Por outro lado kvk = kv − u + uk ≤ ku − vk + kuk |β| = |β − α + α| ≤ |α − β| + |α| com aux´ılio de (6.7) escrevemos kvk ≤ ku − vk + kuk < kuk + r |β| ≤ |α − β| + |α| < |α| + r portanto, ( kvk < kuk + r

|β| < |α| + r

=⇒ max |β|, kvk < max |α|, kuk + r

E isto prova (6.6). Por conseguinte BD (a; r) ⊂ BD (0; s). 3

3

Pois bem, dados dois pontos quaisquer (α, u) e (β, v) na bola BD (a; r), 3 como estes pontos est˜ ao na bola BD (0; s), valem as desigualdades 3

isto é

D3 (α, u); (0, 0) < s

e

D3 (β, v); (0, 0) < s

max |α|, kuk < s

e

max |β|, kvk < s

(6.8)

Agora calculemos a distˆ ancia entre as imagens, por m, destes pontos: d2 m(α, u); m(β, v) = d2 (αu, βv) = kαu − βvk = kαu − βu + βu − βvk

= k(α − β)u + β(u − v)k ≤ |α − β| · kuk + |β| · ku − vk

(6.9)

Sendo assim kαu − βvk ≤ |α − β| · kuk + |β| · ku − vk ≤ 2 max |α − β| · kuk, |β| · ku − vk 265

(6.10)

De (6.8) temos, kuk < s =⇒ |α − β| · kuk < s|α − β| |β| < s =⇒ |β| · ku − vk < sku − vk Destas desigualdades inferimos que max |α − β| · kuk, |β| · ku − vk < max s |α − β|, s ku − vk Ou ainda,

2 max |α − β| · kuk, |β| · ku − vk < 2s max |α − β|, ku − vk = 2s D3 (α, u); (β, v) (6.11)

Portanto de (6.9), (6.10) e (6.11) concluimos que d2 m(α, u); m(β, v) < 2s D3 (α, u); (β, v)

Isto prova que m é localmente lipschitziana.

Interregno cultural: Uma das contribui¸co ˜es definitivas do século dezenove foi o reconhecimento de que a matem´ atica n˜ ao é uma ciência natural, mas uma cria¸ca õ intelectual do homem. Bertrand Russel escreveu no International Monthly em 1901 : O s´ eculo dezenove, que se orgulha da inven¸c˜ ao do vapor e da evolu¸c˜ ao, poderia derivar um t´ıtulo mais leg´ıtimo ` a fama da descoberta da matem´ atica pura.

[. . .] pelo fim do século era geralmente reconhecido mesmo por n˜ aomatem´ aticos que a matem´ atica é pensamento postulacional, em que de premissas arbitr´ arias s˜ ao tiradas conclus˜ oes v´ alidas. Que os postulados sejam ou n˜ ao verdadeiros num sentido cient´ıfico é indiferente; na verdade, as pr´ oprias palavras em que os postulados s˜ ao expressos s˜ ao termos n˜ ao-definidos. Isso levou Bertrand Russel a ` sua descri¸ca õ da matem´ atica, em 1901, como o assunto em que ninguém sabe do que est´ a falando, nem se o que est´ a dizendo é verdade. Dois anos depois, no in´ıcio de seus Principles of Mathematics, Russel formulou uma defini¸ca õ precisa da matem´ atica: A matem´ atica pura ´ e a classe de todas as proposi¸c˜ oes da forma “p implica q”, onde p e q s˜ ao proposi¸c˜ oes contendo uma ou mais vari´ aveis, as mesmas nas duas proposi¸c˜ oes e nem p e nem q cont´ em constantes exceto constantes l´ ogicas. (Fonte: Boyer, p.440)

266

Caracteriza¸c˜ ao de continuidade via convergˆ encia de sequˆ encias Proposi¸ c˜ ao 52. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se f : M −→ N é cont´ınua no ponto a ∈ M e (xn ) é uma sequência de pontos de M convergindo para a ent˜ ao f (xn ) −→ f (a). (N, d2 )

(M, d1 )

·

·· r ր x n

r

f (x2 )

f

··

x2

r

a

r

r

f (xn )

r ···

f (x3 )

ց

·

r

r·

x3

··

xr1

f (x1 )

r

f (a)

Em resumo: H:

  H1 : f ≀ a

 H : lim x = a n 2

=⇒ T : lim f (xn ) = f (a)

Nota: A nota¸c˜ ao f ≀ a significa: f é cont´ınua no ponto a. Prova: Para mostrar que a sequência f (xn ) converge para o ponto f (a), vamos centrar neste ponto uma bola Bd f (a); ε de raio ε arbitrário. Deve2 mos exibir um ´ındice n0 ∈ N a partir do qual todos os termos da sequência f (xn ) caem dentro da bola Bd f (a); ε . Isto é devemos exibir um ´ındice 2 n0 ∈ N tal que se n ≥ n0 ⇒ d2 f (xn ), f (a) < ε (6.12)

Como f é cont´ınua em a ∈ M , para o ε dado existe δε > 0 de modo que se x ∈ Bd (a; δε ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (a); ε 1

isto é

2

se d1 (x, a) < δε ⇒ d2 f (x), f (a) < ε.

(6.13)

Por outro lado, como xn −→ a, para todo δ > 0 existe nδ ∈ N tal que se n ≥ nδ ⇒ d1 (xn , a) < δ Daqui e de (6.13) concluimos que se n ≥ n0 = nδ ⇒ d1 (xn , a) < δ = δε ⇒ d2 f (xn ), f (a) < ε.

Isto prova (6.12)

De forma sugestiva, a proposi¸cão anterior poderia ainda exprimir-se dizendo que a continuidade de f no ponto a equivale à possibilidade de permutar os s´ımbolos “lim” e “f ”: lim f (xn ) = f (lim xn ) 267

(6.14)

Proposi¸ c˜ ao 53. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se f : M −→ N n˜ ao é cont´ınua no ponto a ∈ M ent˜ ao existe uma sequência xn −→ a tal que f (xn ) −→ 6 f (a). Em resumo: H : f6 ≀ a =⇒ T :

  T1 : ∃ (xn ) : lim xn = a  T : f (x ) −→ 6 f (a) n 2

Prova: Com efeito, n˜ ao sendo f cont´ınua em a (p. 238), existe ε0 > 0 tal que, qualquer que seja δ > 0 haver´ a pelo ao menos um ponto xδ ∈ M verificando ambas as condi¸c˜ oes: xδ ∈ Bd (a; δ)

e

f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

d1 (xδ , a) < δ

e

f (xδ ) 6∈ Bd f (a); ε0

1

2

isto é

Fa¸camos δ =

2

1 ; ent˜ ao para todo n ∈ N existirá xn ∈ M tal que n d1 (xn , a) <

1 n

e

f (xn ) 6∈ Bd f (a); ε0 2

portanto f (xn ) −→ 6 f (a); porém 0 ≤ d1 (xn , a) <

1 1 ⇒ lim 0 ≤ lim d1 (xn , a) ≤ lim n n ⇒ lim d1 (xn , a) = 0 ⇒ xn −→ a.

¯ da proposi¸cão anterior é: Observe que a contrapositiva T¯ −→ H Proposi¸ c˜ ao 54. Se para toda sequência (xn ) com xn −→ a tivermos f (xn ) −→ f (a) ent˜ ao f é cont´ınua em a. A rec´ıproca da proposi¸cão 53 também vale, Proposi¸ c˜ ao 55. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se existe uma sequência xn −→ a tal que f (xn ) −→ 6 f (a) ent˜ ao f : M −→ N n˜ ao é cont´ınua no ponto a ∈ M . Em resumo: H:

  H1 : ∃ (xn ) : lim xn = a  H : f (x ) −→ 6 f (a) n 2 268

=⇒ T : f6 ≀ a

Prova: Com efeito, se xn −→ a, então ∀ δ > 0, ∃ n0 ∈ N tal que n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Bd (a; δ)

(6.15)

1

Por outro lado, como f (xn ) −→ 6 f (a), então

existe ε0 > 0 tal que ∀ n ∈ N, ∃ n′ ≥ n de modo que f (xn′ ) 6∈ Bd f (a); ε0 (p. 141)

2

Em particular, para n = n0 existe n′ ≥ n = n0 tal que f (xn′ ) 6∈ Bd f (a); ε0 2 mas por (6.15) temos que xn′ ∈ Bd (a; δ). 1

Conclusão: ∃ ε0 tal que ∀ δ > 0 conseguimos um ponto xn′ ∈ Bd (a; δ) 1 com f (xn′ ) 6∈ Bd f (a); ε0 . Isto mostra que f n˜ ao é cont´ınua em a. 2 Esta proposi¸c˜ ao pode ser de grande utilidade para mostrar que uma fun¸cão f : M −→ N n˜ ao é cont´ınua em um ponto a: Basta exibir uma sequência (xn ) com xn −→ a ∈ M tal que f (xn ) −→ 6 f (a). Vejamos alguns exemplos do que estamos falando:

Exemplos: 1) Consideremos a fun¸c˜ ao sinal de x

f (x) = sign(x) =

            

(de (R, µ) em (R, µ))

1, se x > 0; 0, se x = 0; −1,

se x < 0.

Esta fun¸c˜ ao é descont´ınua em x = 0. Com efeito, a sequência (xn ) 1 dada por x = n n converge para 0, por outro lado como f (xn ) = 1, resulta f (xn ) = (1, 1, 1, . . .) → 1 6= 0 = f (0). sign(x)

sign(x)

1

0

s

x

−1

1

rr

0

... x

rr

−1

269

2

f (x1 ) ւ r

r

x1

x

2) A fun¸c˜ ao f : [ 0, 1 [, k −→ [ 0, 1 [, µ dada por f (x) = x (identidade) é descont´ınua na origem. (ex. 3, p. 243) 1 De fato, tomando a sequência xn = 1 − n de pontos no dom´ınio, temos que xn −→ 0 no espa¸ ao converge co [ 0, 1 [, k ; enquanto que f (xn ) = xn n˜ no espa¸co [ 0, 1 [, µ . r

r .. rrr .r 1

f (x3 )= 23

r r

¬

f (x2 )= 12

x1

r

¬r1

x2

0

r r rrrrrr

x3 ··· 2 3

2

1

3) Considere a fun¸c˜ ao

[ 0, 1 [, k

(de (R2 , D1 ) em (R, µ))

f : R2 −→ R n 2, (x, y) 7−→ z=

se y > 0; 1, se y ≤ 0.

Esta fun¸c˜ ao é descont´ınua no ponto a = (0, 0). De fato, a sequência 1 (0, n ) converge para (0, 0), por outro lado, temos f (0, n1 ) = 2, isto é, 1 f (0, ) = (2, 2, 2, . . .) → 2 6= 1 = f (0, 0) n z

s

2

f (a)=1

s

s

s s

semi-plano z=2

y

տ a

sx

sx

3

2

sx

1

x

A fun¸c˜ ao anterior é descont´ınua em todo ponto da forma (x, 0) (eixo x). 270

6.2

Propriedades das aplica¸c˜ oes cont´ınuas

Proposi¸ c˜ ao 56. A composi¸ca õ de aplica¸co ˜es preserva a continuidade. Mais precisamente: se f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua no ponto a e g : (N, d2 ) −→ (P, d3 ) é cont´ınua no ponto f (a), ent˜ ao g ◦ f : (M, d1 ) −→ (P, d3 ) é cont´ınua no ponto a. Prova: Dado ε > 0, a continuidade de g no ponto f (a) nos assegura δ′ > 0 de modo que se y ∈ N e d2 y, f (a) < δ′ ⇒ d3 g(y), g(f (a)) < ε

Por outro lado, para este δ′ a continuidade de f no ponto a nos assegura δ > 0 de modo que se x ∈ M e d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < δ′ ⇒ d3 g(f (x)), g(f (a)) < ε (M, d1 )

xr δ

ra

f

r

rf (a)

y=f (x) δ′

(P, d3 )

(N, d2 )

g ε

rgf (x) r gf (a)

g◦f

Corol´ ario 9. A restri¸ca õ de uma fun¸ca õ cont´ınua f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) a um subespa¸co (X, d1 ) de (M, d1 ) é também cont´ınua. Prova: Com efeito, sendo i : X ⊂ M −→ M a inclusão (i.e., i(x) = x): (f X)(x) = f (x), ∀ x ∈ X = f i(x) , ∀ x ∈ X = f ◦ i (x), ∀ x ∈ X. Portanto f X = f ◦ i, ∀ x ∈ X. Como f e i s˜ ao cont´ınuas então f X é também cont´ınua.

Sejam (M, dM ) e (N1 , d1 ), (N2 , d2 ), . . . , (Nn , dn ) espa¸cos métricos e sejam as aplica¸c˜ oes f1 : M −→ N1 , f2 : M −→ N2 , . . . , fn : M −→ Nn . A partir destas n aplica¸c˜ oes construimos uma aplica¸cão f de M no produto cartesiano N1 × N2 × · · · × Nn dada por f : M −→

N1 × N2 × · · · × Nn

x 7−→ f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) 271

Proposi¸ c˜ ao 57. A aplica¸ca õ f : M −→ N1 × N2 × · · · × Nn definida por f (x) = f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) , ∀ x ∈ M,

é cont´ınua se, e somente se, suas coordenadas

f1 : M −→ N1 , . . . , fn : M −→ Nn s˜ ao cont´ınuas. Prova: (=⇒) Vamos nos valer das fun¸cões proje¸cões p1 ◦ f (x) = p1 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = f1 (x) ⇒ p1 ◦f = f1

(p. 260)

···························································· pn ◦ f (x) = pn f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = fn (x) ⇒ pn ◦f = fn .

Como f e cada proje¸c˜ ao pi s˜ ao cont´ınuas, segue que cada fun¸cão coordenada fi também é cont´ınua. (⇐=) Para provar a rec´ıproca usaremos em N1 × N2 × · · · × Nn a métrica D3 (p. 95). Sendo a um ponto arbitrário de M , dado ε > 0 existe para cada ´ındice i = 1, 2, . . . , n um n´ umero δi > 0 de modo que dM (x, a) < δi ⇒ di fi (x), fi (a) < ε. Pondo δ = min δ1 , δ2 , . . . , δn , temos    d1 f1 (x), f1 (a) < ε dM (x, a) < δ ⇒ ·················· · ·   dn fn (x), fn (a) < ε Sendo assim, temos

dM (x, a) < δ ⇒ max d1 f1 (x), f1 (a) , . . . , dn fn (x), fn (a) < ε ⇒ D3 f (x), f (a) < ε. (N1 , d1 )

(M, dM )

rx ra

f1

rf1 (x) rf (a)

(N1 ×···×Nn , D3 )

1

δ1

ε

(M, dM )

rx ra

································· (M, dM )

rx ra δn

δ

(Nn , dn )

fn

rfn (x) rfn (a)

f

rf (x) rf (a) ε

ε

272

Corol´ ario 10. Se as n fun¸co ˜es f1 : M1 −→ N1

,

x1 7−→ f1 (x1 )

f2 : M2 −→ N2

, . . . , fn : Mn −→ Nn

x2 7−→ f2 (x2 )

xn 7−→ fn (xn )

s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao a fun¸ca õ f : M1 × . . . × Mn −→ N1 × . . . × Nn

x = (x1 , . . . , xn ) 7−→ f1 (x1 ), . . . , fn (xn )

também é cont´ınua.

Prova: Considerando as proje¸cões i−ésimas (i = 1, 2, . . . , n.) pi : M1 × . . . × Mn −→ Mi (x1 ,... , xi , ..., xn ) 7−→ xi podemos escrever f (x) = f1 (x1 ), f2 (x2 ), . . . , fn (xn )

= f1 ( p1 (x1 , . . . , xn ) ), . . . , fn ( pn (x1 , . . . , xn ) ) {z } {z } | | = x1

= xn

= f1 ◦ p1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fn ◦ pn (x1 , . . . , xn )

Portanto f = f1 ◦ p1 , f2 ◦ p2 , . . . , fn ◦ pn . Isto é, as fun¸cões fi ◦ pi s˜ ao as coordenadas de f . Sendo estas coordenadas fun¸cões cont´ınuas − por serem expressas como composi¸c˜ ao de fun¸cões cont´ınuas − segue que f também é cont´ınua.

Opera¸c˜ oes com Fun¸c˜ oes cont´ınuas oes (I) Soma. Dadas duas fun¸c˜ f : A −→ B

g : A −→ B

e

x 7−→ f (x)

x 7−→ g(x)

gostariamos de obter uma terceira fun¸cão que seria a soma de f com g f + g : A −→ B

x 7−→ f (x) + g(x)

Ent˜ ao é evidente que no conjunto B dever´ a ser poss´ıvel somarmos dois elementos quaisquer. Sendo assim exigiremos que B esteja inserido em uma estrutura de espa¸co vetorial. Isto é, consideraremos um espa¸co vetorial E, +, · constru´ıdo sobre B = E. E mais: para falarmos de continuidade consideraremos E, +, · um espa¸co vetorial normado. 273

Proposi¸ c˜ ao 58. Sejam (M, d) um espa¸co métrico; E, +, · um espa¸co vetorial normado e f : M −→ E, g : M −→ E fun¸co ˜es. Se f e g s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f + g : M −→ E é também cont´ınua. Prova: Com efeito, consideremos as duas seguintes “fun¸cões auxiliares” h : M −→ E × E

e

x 7−→ f (x), g(x)

s : E × E −→ E

(x, y) 7−→ x + y

Vamos compor estas duas fun¸cões s M h E×E E x 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x) + g(x)

Isto é

s◦h : M −→ E

x 7−→ f (x) + g(x)

Observe (s◦h)(x) = s h(x) = s (f (x), g(x)) = f (x) + g(x).

Conclusão: s ◦ h = f + g é cont´ınua por ser expressa como composi¸cão de fun¸c˜ oes cont´ınuas. Observa¸ca õ: h é cont´ınua devido a proposi¸cão 57 (p. de s foi demonstrada no ´ıtem (i) (p. 260).

272).

A continuidade

(II) Multiplica¸c˜ ao. Dadas duas fun¸cões f : A −→ B

e

x 7−→ f (x)

g : A −→ B

x 7−→ g(x)

gostar´ıamos de obter uma terceira fun¸cão que seria o produto de f com g f · g : A −→ B

x 7−→ f (x) · g(x)

Ent˜ ao é evidente que no conjunto B dever´ a ser poss´ıvel multiplicarmos dois elementos quaisquer. No presente contexto n˜ ao podemos tomar o conjunto B de um espa¸co vetorial arbitrário, uma vez que nesta estrutura n˜ ao contamos com produto de vetores. Nos contentaremos em tomar B = R. Proposi¸ c˜ ao 59. Sejam (M, d) um espa¸co métrico; o espa¸co vetorial normado (R, | · |) e f : M −→ R, g : M −→ R fun¸co ˜es. Se f e g s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f · g : M −→ R é também cont´ınua. 274

Prova: Com efeito, consideremos as duas seguintes “fun¸cões auxiliares” h : M −→ R × R

e

x − 7 → f (x), g(x)

m : R × R −→ R

(x, y) 7−→ x · y

Vamos compor estas duas fun¸cões h

m R x 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x) · g(x)

M

Isto é

R×R

m◦h : M −→ R

x 7−→ f (x) · g(x)

Observe (m◦h)(x) = m h(x) = m (f (x), g(x)) = f (x) · g(x).

Conclus˜ ao: m ◦ h = f · g é cont´ınua por ser expressa como composi¸cão de fun¸cões cont´ınuas. Observa¸c˜ ao: A continuidade de m foi demonstrada no ´ıtem iii) (p. 263). Como um exemplo trivial de aplica¸cão desta proposi¸cão conclu´ımos que a fun¸cão, de (R, µ) em (R, µ), dada por f (x) = x · x = x2 é cont´ınua, devido a que a aplica¸c˜ ao identidade f (x) = x é cont´ınua. (III) Quociente. Dadas duas fun¸c˜ oes f : A −→ R

g : A −→ R

e

x 7−→ f (x)

x 7−→ g(x)

Se g(x) 6= 0, ∀ x ∈ A, definimos a fun¸cão quociente de f e g por f : A −→ R g x 7−→ f (x)/g(x)

Proposi¸ c˜ ao 60. Sejam (M, d) um espa¸co métrico; o espa¸co vetorial normado (R, | · |) e f : M −→ R, g : M −→ R fun¸co ˜es.

Se f e g ( g(x) 6= 0, ∀ x ∈ M ) s˜ ao cont´ınuas ent˜ ao f /g : M −→ R é também cont´ınua. Prova: Com efeito, consideremos as três seguintes “fun¸cões auxiliares” h : M −→ R × R∗

;

x − 7 → f (x), g(x)

j : R × R∗ −→ R × R ; m : R × R −→ R (x, y) 7−→ x · y (x, t) 7−→ x, 1t 275

Vamos compor estas três fun¸cões m R×R R 1 1 x 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x), g(x) 7−→ f (x) · g(x)

M

Isto é

h

j

R × R∗

m◦j ◦h : M −→ R x 7−→

f (x) g(x)

Observe (m◦j ◦h)(x) = m◦j h(x) = m◦j (f (x), g(x)) 1 1 = m j((f (x), g(x))) = m f (x), = f (x) · g(x) g(x) Conclus˜ ao: m ◦ j ◦ h =

fun¸c˜ oes cont´ınuas.

f é cont´ınua por ser expressa como composi¸cão de g

Observa¸c˜ ao: A continuidade de j se deve ao corol´ ario 10 1 tinuidade de t 7−→ foi demonstrada no ´ıtem ii) (p. 263). t

(p. 273).

A con

Caracteriza¸c˜ ao da continuidade das transforma¸c˜ oes lineares Lembramos da ´ algebra linear: Defini¸ c˜ ao 33. Sejam U e V espa¸cos vetoriais sobre R. Uma fun¸ca õ F : U → V é dita uma transforma¸ca õ linear de U em V se, e somente se, (i)

F ( u1 + u2 ) = F ( u1 ) + F ( u2 ),

∀ u1 , u2 ∈ U

∀ λ ∈ R e ∀ u ∈ U. Proposi¸ c˜ ao 61. Sejam E, +, ·, k · k1 e F, +, ·, k · k2 espa¸cos vetoriais normados sobre R. Se T : E −→ F é uma transforma¸ca õ linear , ent˜ ao as seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes ( ii )

F ( λ u ) = λ F ( u ),

(i) T é cont´ınua; (ii) T é cont´ınua no ponto 0 ∈ E; (iii) Existe k > 0 tal que kT (v)k2 ≤ kkvk1 , para todo v ∈ E; (iv) T é lipschitziana. Prova: Devemos provar as seguintes implica¸cões (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) ⇒ (i). 276

Com efeito, a implica¸c˜ ao (i) ⇒ (ii) vale por defini¸cão. Provaremos que (ii) ⇒ (iii): Sendo T cont´ınua em 0 para ε = 1, por exemplo, existe δ > 0 de maneira que d1 (u, 0) = ku − 0k1 < δ ⇒ d2 T (u), T (0) = kT (u) − T (0)k2 < ε = 1.

isto é

se kuk1 < δ ⇒ kT (u)k2 < 1

(6.16)

1 < δ. Assim, dado qualquer vetor Vamos escolher k > 0 de modo que k 1 v v 6= 0 de E, o vetor é tal que k kvk1

1 v

= 1 v = 1 kvk1 = 1 < δ

k kvk

k kvk1 1 k kvk1 k 1 1 portanto, por (6.16), temos

<1

T 1 v

k kvk1 2

Da linearidade de T decorre

1

1

kkvk T (v) = kkvk kT (v)k2 < 1 1 1 2

Donde:

kT (v)k2 < kkvk1

Esta desigualdade vale para todo v 6= 0 de E. Se v = 0 vale a igualdade kT (0)k2 = kk0k1 , posto que kT (0)k2 = k0k2 = 0

e

k0k1 = 0.

Portanto a tese: kT (v)k2 ≤ kkvk1 vale sem restri¸cões. (iii) ⇒ (iv). Dados u, v ∈ E, temos kT (u) − T (v)k2 = kT (u − v)k2 ≤ kku − vk1 Portanto T é de Lipschitz. (iv) ⇒ (i). Toda aplica¸c˜ ao lipschitziana é cont´ınua

277

(p. 258).

Corol´ ario 11. Seja (Rn , k · k1 ) onde k · k1 é qualquer uma das normas usuais sobre Rn e seja E, +, ·, k · k2 um espa¸co vetorial normado qualquer, ent˜ ao toda aplica¸ca õ linear T : Rn −→ E é cont´ınua. Prova: Consideremos sobre Rn a base canˆ onica {e1 , e2 , . . . , en }:

e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) , . . . , en = (0, 0, 0, . . . , 1). Podemos escrever qualquer vetor u ∈ Rn da seguinte forma

u = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ⇒ u = x1 e1 + · · · + xn en .

Ent˜ ao

kT (u)k2 = T (x1 e1 + · · · + xn en ) 2

= x1 T (e1 ) + · · · + xn T (en ) 2

≤ x1 T (e1 )k2 + · · · + kxn T (en ) 2

≤ |x1 | · kT (e1 )k2 + · · · + |xn | · kT (en )k2 .

Vamos fazer a substitui¸cão max kT (e1 )k2 , . . . , kT (en )k2 = k Portanto

kT (u)k2 ≤ k |x1 | + · · · + |xn | = kkuk1

onde kuk1 = k(x1 , . . . , xn )k1 = |x1 | + · · · + |xn |.

Sendo assim a proposi¸caõ anterior nos assegura a continuidade de T .

Nota: Veremos oportunamente em que sentido as normas usuais sobre Rn s˜ ao equivalentes. Um exame superficial da matem´ atica pode dar uma impress˜ ao de que ela é o resultado de esfor¸cos individuais separados de muitos cientistas espalhados por continentes e épocas diversas. No entanto, a l´ ogica interna de seu desenvolvimento nos lembra muito mais o trabalho de um u ńico intelecto, desenvolvendo o seu pensamento sistem´ atico e consistentemente, usando a variedade das individualidades humanas somente como um meio. Assemelha-se a uma orquestra executando uma sinfonia composta por alguém. Um tema passa de um instrumento a outro, e quando chegou a hora de um dos participantes abandonar o tema, ele é substitu´ıdo por outro, que o executa com precis˜ ao irrepreens´ıvel . . . (I.R. Shafarevich)

278

Caracteriza¸c˜ ao de Continuidade Via Conjuntos Abertos A pr´ oxima proposi¸c˜ ao caracteriza a continuidade em fun¸cão de abertos. Proposi¸ c˜ ao 62. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma fun¸ca õ f : M −→ N é cont´ınua se, e somente se, para todo aberto Y ⊂ N tivermos f −1 (Y ) aberto em M . Prova: (=⇒) Suponha, por hip´ otese, f cont´ınua e Y ⊂ N aberto. Devemos mostrar que f −1 (Y ) é aberto em M . De fato, considere a ∈ f −1 (Y ), logo f (a) ∈ Y . Sendo Y aberto, existe ε > 0 tal que Bd f (a); ε ⊂ Y . Como f é cont´ınua, 2 para este ε podemos obter δ > 0 de modo que f Bd (a; δ) ⊂ Bd f (a); ε , 1 2 sendo assim (proposi¸caõ 134, p. 595), f Bd (a; δ) ⊂ Y ⇒ Bd (a; δ) ⊂ f −1 (Y ). 1

1

Isto prova que f −1 (Y ) é aberto. (M, d1 )

δ

ra

(N, d2 )

f −1 (Y ) ε

f

Y

r

f (a)

(⇐=) Reciprocamente, suponha que a imagem inversa, por f , de todo aberto em N seja um aberto em M . Devemos mostrar que f é cont´ınua em M . De fato, se para todo aberto Y ⊂ N tivermos f −1 (Y ) aberto em M , então dado a ∈ M e ε > 0, tomemos Y = Bd f (a); ε . Então f −1 (Y ) é aberto. Como 2 a ∈ f −1 (Y ) existe δ > 0 de modo que Bd (a; δ) ⊂ f −1 (Y ). Portanto 1

Bd (a; δ) ⊂ f −1 (Y ) ⇒ f Bd (a; δ) ⊂ Y = Bd f (a); ε . 1

1

2

Como a ∈ M foi tomado arbitrariamente, temos f cont´ınua em M . (M, d1 )

δ

ra

(N, d2 )

f −1 (Y ) f

ε

r

Y

f (a)

279

Interregno: Espa¸cos topol´ ogicos A proposi¸c˜ ao 62 afirma que para se decidir se uma fun¸cão f : M −→ N ´ bem verdade é cont´ınua ou n˜ ao basta conhecermos os abertos de M e N . E que − no contexto dos espa¸cos métricos − necessitamos de uma métrica para decidir se um conjunto é aberto ou n˜ ao. O estudo das fun¸cões cont´ınuas é de grande interesse n˜ ao apenas na Análise mas na matem´ atica em geral, da´ı surgiu a necessidade de se estudar (criar) novos espa¸cos nos quais se abstrai (dispensa) a no¸c˜ ao de métrica e onde se postula quem s˜ ao os abertos do espa¸co. Essa generaliza¸cão pretendida deve incluir os espa¸cos métricos como um caso especial o que nos leva a tomar em considera¸cão as propriedades dos conjuntos abertos destes espa¸cos, fixadas na proposi¸cão 23 (p. 192). Os axiomas (postulados) que comp˜ oem a defini¸cão de topologia que daremos a seguir foram pela primeira vez assim apresentados por Alexandroff e Hopf em 1935 e consagrados, a partir de 1940, pelos trabalhos do grupo Bourbaki. Defini¸ c˜ ao 34 (Espa¸co Topológico). Seja E 6= ∅ um conjunto qualquer. Uma cole¸ca õ T de subconjuntos de E é chamada topologia sobre E se: (T1 )

∅ e E ∈ T;

(T2 )

Se X1 , X2 , . . . , Xn ∈ T , ent˜ ao X1 ∩ X2 ∩ · · · ∩ Xn ∈ T ;

(T3 )

Se {Xλ }λ∈L é uma fam´ılia qualquer de conjuntos de T , ent˜ ao X=

[

λ∈L

Xλ ∈ T .

ogico. Nestas condi¸co ˜es dizemos que o par (E, T ) é um espa¸co topol´ Exemplos: 1) Seja (M, d) um espa¸co métrico. A cole¸cão T dos conjuntos abertos desse espa¸co satisfaz os axiomas da defini¸cão de espa¸co topológico conforme provamos na proposi¸c˜ ao 23 (p. 192). Essa topologia, T , é conhecida como topologia induzida pela métrica d sobre M . avel se existe uma métrica d Um espa¸co topol´ ogico (E, T ) se diz metriz´ sobre E tal que a cole¸c˜ ao dos abertos de (E, d) coincide com T . Duas métricas d1 e d2 sobre um conjunto M s˜ ao consideradas equivalentes se, e somente se, elas determinam a mesma topologia (cole¸cão de abertos) em M . 2) Dado E 6= ∅, a cole¸cão T = P(E) − de todos os subconjuntos de E − é obviamente uma topologia sobre E. Essa topologia é chamada topologia discreta sobre E. Observe que (E, T ) é metriz´ avel pois a cole¸cão dos abertos de (E, δ) coincide com P(E). (corol. , p. 193) 280

3) Dado E 6= ∅, a cole¸c˜ ao T ={ ∅, E } é uma topologia sobre E. Esta é conhecida como topologia trivial ou ca´ otica sobre E. Estaremos retornando aos espa¸cos topológicos nos exerc´ıcios. Retomando, vamos exemplificar a utiliza¸cão da proposi¸cão 62. Exemplos: 1) Vimos no exemplo 2 (p. 242) que a fun¸cão f : (R, µ) −→ (R, δ) dada por f (x) = x é descont´ınua em cada ponto do seu dom´ınio. Mostremos isto com o aux´ılio da proposi¸c˜ ao 62. Consideremos c ∈ R, temos que { c } é aberto em (R, δ) enquanto (def. 77, p. 593) f −1 (Y ) = x ∈ A : f (x) ∈ Y = x ∈ R : f (x) ∈ { c } = { c } n˜ ao é aberto em (R, µ).

(R,δ)

ց rc

{c} aberto

rc

տ

(R,µ)

f −1 ({c})={c} n˜ ao aberto

2) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Seja f : M −→ N qualquer fun¸cão. Se (M, d1 ) é discreto ent˜ ao f é cont´ınua. De fato, sendo (M, d1 ) discreto todos os seus subconjuntos s˜ ao abertos. −1 Isto é, f (Y ) é aberto em (M, d1 ) para qualquer Y ⊂ N . Isto mostra que f é cont´ınua. ( 1, se x ∈ Q; 3) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = 0, caso contr´ ario. Vamos mostrar que f n˜ ao é cont´ınua. Seja, por exemplo, o aberto Y = 12 , 32 , então

n 1 3 o =Q f −1 (Y ) = x ∈ R : f (x) ∈ , 2 2

(p. 244)

Isto é, a pré-imagem do aberto Y resultou em Q, que n˜ ao é aberto. Por conseguinte f n˜ ao é cont´ınua.

281

4) Seja M = [ 1, 2 ] ∪ { 3 }. Considere f : (M, µ) −→ (R, µ) dada por R

f (x) =

(

1, se x ∈ [ 1, 2 ];

2

q

1

q

∴

2, se x = 3.

r

[ 1

0

] 2

s

3

M

Vamos mostrar que f é cont´ınua em M . Inicialmente observe que f (x) ∈ { 1, 2 },

∀ x ∈ M.

Seja Y ⊂ R um aberto. Temos quatro possibilidades a considerar: i) 1 6∈ Y e 2 6∈ Y ⇒ f −1 (Y ) = x ∈ M : f (x) ∈ Y = ∅; ii)

1 ∈ Y

e 2 6∈ Y

⇒

f −1 (Y ) = [ 1, 2 ];

iii)

1 6∈ Y

e 2 ∈ Y

⇒

f −1 (Y ) = { 3 };

iv)

1 ∈ Y

e 2∈ Y

⇒

f −1 (Y ) = M .

Temos que ∅ e M s˜ ao abertos, por outro lado 1 . 2 Deste modo a pré-imagem de todo aberto Y ⊂ R é um aberto em M , logo f é cont´ınua. (prop. 22, p. 191) [ 1, 2 ] = M − { 3 } , { 3 } = B 3;

Alguns corol´ arios da proposi¸c˜ ao 62 Corol´ ario 12. Seja f : (M, d) −→ (R, µ) uma fun¸ca õ real cont´ınua. O conjunto A = { x ∈ M : f (x) > 0 } é aberto. Prova: Temos que f −1 ] 0, +∞ [ = x ∈ M : f (x) ∈ ] 0, +∞ [ = A.

Como a pré-imagem de um conjunto aberto por uma fun¸cão cont´ınua é um conjunto aberto, segueque A é aberto. Observe que Ac = x ∈ M : f (x) ≤ 0 é fechado. 282

Corol´ ario 13. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos e f, g : M −→ N fun¸co ˜es cont´ınuas. O conjunto A = x ∈ M : f (x) 6= g(x)

é aberto em M.

Prova: Sendo f : M −→ N x 7−→ f (x)

g : M −→ N x 7−→ g(x)

e

fun¸cões cont´ınuas, segue que a fun¸cão

(prop. 57, p. 272)

h: M N ×N x 7−→ (f (x), g(x)) é cont´ınua. Vamos construir a seguinte fun¸cão auxiliar M

h

N ×N

d2

R x 7−→ f (x), g(x) 7−→ d2 f (x), g(x)

Portanto a fun¸c˜ ao auxiliar φ, dada por

φ = d2 ◦h : M −→ R

x 7−→ d2 f (x), g(x)

é cont´ınua, pois d2 é cont´ınua. (´ıtem (ii), p. Portanto, pelo corol´ ario 12 (p. 282) o conjunto A = x ∈ M : φ(x) > 0 = x ∈ M : φ(x) = d2 f (x), g(x) > 0 = x ∈ M : f (x) 6= g(x)

é aberto.

Observa¸ c˜ ao: Observe que o conjunto F = Ac = M − A = x ∈ M : f (x) = g(x)

é fechado. Em particular, tomando g(x) = 0, o conjunto R = x ∈ M : f (x) = 0 das ra´ızes de uma fun¸c˜ ao, é fechado.

Como mais uma aplica¸c˜ ao de (6.17) temos o seguinte 283

261)

(6.17)

Corol´ ario 14. Sejam f, g : M −→ N fun¸co ˜es cont´ınuas. Se f (x) = g(x) para todo ponto x pertencente a um subconjunto X ⊂ M ent˜ ao f (y) = g(y) ¯ para todo y ∈ X. Isto é, se duas fun¸c˜ oes cont´ınuas coincidem em um subconjunto, então coincidem também no fecho deste mesmo subconjunto. Prova: De fato, o conjunto dos pontos x ∈ M para os quais f (x) = g(x) é ¯ fechado e contém X, logo contém o fecho de X. Como consequência deste corol´ ario concluimos que se f, g : M −→ N s˜ ao cont´ınuas e coincidem num subconjunto denso X ⊂ M então f = g. Por exemplo, se f, g : I −→ R s˜ ao cont´ınuas em um intervalo I e f (x) = g(x) para todo x ∈ I racional então f (x) = g(x) para todo x ∈ R.

Como preliminar ` a demonstra¸cão do pr´ oximo corol´ ario faremos as seguintes considera¸c˜ oes: Dados M1 e M2 conjuntos quaisquer, consideremos A1 ⊂ M1 e A2 ⊂ M2 . Sejam as proje¸c˜ oes p1 : M1 × M2 −→ M1

e

(x1 , x2 ) 7−→ x1

p2 : M1 × M2 −→ M2 (x1 , x2 ) 7−→ x2

Temos p−1 A1 = x ∈ M1 × M2 : p1 (x) ∈ A1 1 = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 : p1 (x1 , x2 ) ∈ A1 = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 : x1 ∈ A1

Análogamente

p−1 A2 = (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 : x2 ∈ A2 2

Queremos provar a seguinte identidade A1 × A2 = p−1 A1 ∩ p−1 A2 1 2

De fato, temos

(x1 , x2 ) ∈ A1 × A2 ⇐⇒ x1 ∈ A1 e x2 ∈ A2 ⇐⇒ (x1 , x2 ) ∈ p−1 A1 e (x1 , x2 ) ∈ p−1 A2 1 2 ⇐⇒ (x1 , x2 ) ∈ p−1 A1 ∩ p−1 A2 . 1 2

O que foi feito aqui para dois conjuntos se estende sem dificuldades para n conjuntos. Corol´ ario 15. Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao o produto A1 × A2 , onde cada Ai ⊂ Mi é um conjunto aberto (i = 1, 2.) é aberto no espa¸co produto M1 × M2 (em qualquer das métricas Dk (k = 1, 2, 3.)) 284

−1 A Prova: p−1 A e p s˜ ao conjuntos abertos devido a que as 1 2 1 2 proje¸cões s˜ ao cont´ınuas; por conseguinte A1 × A2 = p−1 A1 ∩ p−1 A2 1 2

é aberto por ser a interseçc˜ ao de dois conjuntos abertos. Por indu¸c˜ ao o resultado anterior se estende a um n´ umero finito qualquer de conjuntos. Para demonstrar o pr´ oximo corol´ ario lembramos a seguinte identidade (p. 594) c f −1 Ac = f −1 (A) Corol´ ario 16. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma fun¸ca õ f : M −→ N é cont´ınua se, e somente se, para todo Fechado F ⊂ N tivermos f −1 (F ) fechado em M .

Prova: (=⇒) Suponha, por hip´ otese, f cont´ınua e F ⊂ N fechado. Devemos mostrar que f −1 (F ) é fechado em M . De fato, sendo F fechado, F c é aberto, logo pela proposi¸cão 62 (p. 279) c −1 f (F c ) é aberto. Portanto f −1 (F c ) é fechado. Por conseguinte c c f −1 (F c ) = (f −1 (F ))c = f −1 (F )

é fechado. (⇐=) Reciprocamente, suponha que a imagem inversa, por f , de todo fechado em N seja um fechado em M . Devemos mostrar que f é cont´ınua em M . De fato, considere A ⊂ N um aberto qualquer, então Ac é fechado. Logo f −1 (Ac ) é fechado, portanto c c f −1 (Ac ) = (f −1 (A))c = f −1 (A)

é aberto, logo f é cont´ınua.

Corol´ ario 17. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se A e B s˜ ao subconjuntos fechados de M tais que M = A ∪ B e se f : M −→ N é tal que g = f A e h = f B s˜ ao cont´ınuas, ent˜ ao f também é cont´ınua. Prova: Seja P ⊂ N . Inicialmente mostremos a seguinte identidade f −1 (P ) = g −1 (P ) ∪ h−1 (P ) (N, d2 )

(M, d1 ) A

B f g −1 (P )

h−1 (P )

h g

285

P

A t´ıtulo de recorda¸c˜ ao temos −1 f (P ) = x ∈ M : f (x) ∈ P g−1 (P ) = x ∈ A : g(x) ∈ P h−1 (P ) = x ∈ B : h(x) ∈ P ⊂ Dado x ∈ f −1 (P ) ⇒ x ∈ M = A ∪ B e f (x) ∈ P . Logo x ∈ A e f (x) ∈ P ou x ∈ B e f (x) ∈ P . Se x ∈ A então g(x) = f (x) ∈ P ou se x ∈ B ent˜ ao h(x) = f (x) ∈ P , em qualquer dos casos x ∈ g −1 (P ) ∪ h−1 (P ). ⊃ Seja x ∈ g−1 (P ) ∪ h−1 (P ), portanto x ∈ g−1 (P ) ou x ∈ h−1 (P ) ⇒ x ∈ A e g(x) ∈ P ou x ∈ B e h(x) ∈ P . Se x ∈ A e g(x) ∈ P então x ∈ M e f (x) = g(x) ∈ P ou se x ∈ B e h(x) ∈ P então x ∈ M e f (x) = h(x) ∈ P em qualquer dos casos x ∈ f −1 (P ). Pois bem, se P é um subconjunto fechado de N então pelo corol´ ario 16, g−1 (P ) é fechado em (A, d1 ), e portanto (corol. 3, p. 207) fechado em (M, d1 ). Analogamente, h−1 (P ) é fechado em (M, d1 ). Logo f −1 (P ) = g −1 (P ) ∪ h−1 (P ) é fechado em (M, d1 ). Logo, ainda nos valendo do corol´ ario 16, concluimos que f é cont´ınua.

Fun¸c˜ ao Aberta Dada uma aplica¸c˜ ao cont´ınua f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) e um subconjunto aberto A ⊂ M , sua imagem direta f A = { f (x) : x ∈ A } ⊂ N n˜ ao precisa ser um conjunto aberto em (N, d2 ). Por exemplo, considere f : (M, d) −→ (R, µ) onde (M, d) é discreto; ent˜ ao todo subconjunto A ⊂ M é aberto e f é cont´ınua (prop. 51, p. 250). Em particular f { a } = f (x) : x ∈ { a } = f (a) n˜ ao é um conjunto aberto em (R, µ).

Defini¸ c˜ ao 35 (fun¸c˜ ao aberta). Uma aplica¸ca õ f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) chama-se aberta quando para cada A ⊂ M aberto, sua imagem f A é um subconjunto aberto de (N, d2 ). Isto é, quando f transforma abertos em abertos. Vimos que uma aplica¸cão cont´ınua n˜ ao precisa ser aberta. Também uma aplica¸c˜ ao aberta n˜ ao precisa ser cont´ınua. Por exemplo, considere f : (R, µ) −→ (R, δ) dada por f (x) = x, f é aberta∗ mas n˜ ao é cont´ınua† . O nosso objetivo agora ser´ a mostrar que as fun¸cões proje¸cão: pi : M1 × . . . × Mn −→ Mi (x1 ,... , xi , ..., xn ) 7−→ xi s˜ ao abertas (i = 1, 2, . . . , n). ∗ †

Exemplo 3), p. 189. Exemplo 2), p. 242.

286

Prova: Das três métricas usuais para o produto cartesiano trabalharemos com a D3 , já que, como ser´ a demonstrado oportunamente (prop. 68, p. 319), os abertos de M = M1 × · · · × Mn relativos a essas métricas s˜ ao os mesmos. Consideremos q = (q1 , . . . , qi , . . . , qn ) ∈ M = M1 × · · · × Mi × · · · × Mn . Vamos mostrar inicialmente que (i = 1, . . . , n) pi BD (q; r) = Bdi (qi ; r) 3

onde

(prop. 4, p. 124)

BD (q; r) = Bd1(q1 ; r) × · · · × Bdi (qi ; r) × · · · × Bdn (qn ; r) 3

e Bdi (qi ; r) =

xi ∈ Mi : di (xi , qi ) < r

Pois bem, pi BD (q; r) = pi (x) : x ∈ BD (q; r) 3 3 = pi (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ BD (q; r) 3 = xi : D3 (x1 , . . . , xi , . . . , xn ), (q1 , . . . , qi , . . . , qn ) < r = xi : di (xi , qi ) < r, (i = 1, . . . , n) = Bdi(qi ; r) (i = 1, . . . , n).

Sejam A ⊂ M aberto e qi ∈ pi (A) = { pi (x) : x ∈ A } = pi (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ A

= { xi : (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ A } pi A é o conjunto das i−ésimas coordenadas dos pontos (x1 , . . . , xn ) ∈ A. Pois bem, como qi ∈ pi A , existe q = (q1 , . . . , qi , . . . , qn ) ∈ A tal que pi (q) = qi . Como A é aberto, existe r > 0 tal que BD (q; r) ⊂ A. 3 Pela proposi¸c˜ ao 132 (a) (p. 592), temos BD (q; r) ⊂ A ⇒ pi BD (q; r) ⊂ pi (A) 3

3

⇒ Bdi (qi ; r) ⊂ pi (A)

e assim qi resulta ponto interior de pi (A), por conseguinte, pi (A) é aberto em (Mi , di ). Portanto pi (i = 1, . . . , n) é uma fun¸cão aberta. (Mi , di )

(M, D3 ) A

pi (A)

rq

pi

287

s

qi = pi (q)

6.3

Continuidade Uniforme

Vamos lembrar o que significa dizer que uma fun¸cão f : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) seja cont´ınua em todo o seu dom´ınio. f é cont´ınua em um ponto arbitrário y ∈ M quando: qualquer que seja ε > 0 dado, pudermos obter δ > 0 tal que x ∈ M , d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε. Isto pode traduzir-se pela fórmula: x ∈ Bd (y; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd f (y); ε ∀ ∀ ∃ ∀ ε>0

y∈M δ>0

x∈M

1

2

Ou, de outro modo: ∀

ε>0

∀

∃

y∈M δ>0

d1 (x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε

∀

x∈M

Quando se tenta provar que uma dada fun¸cão é cont´ınua em um ponto a podem ocorrer quatro situa¸cões quanto a dependencia do δ procurado com respeito ao ponto a no qual se analisa a continuidade e ao ε fornecido, veja: δ = constante,

δ = δ(ε),

δ = δ(a),

δ = δ(ε, a).

Ou seja: o δ pode ser constante; isto é, n˜ ao depender nem do ponto a e nem do ε fornecido. No segundo caso, o δ procurado depende apenas do ε fornecido e n˜ ao do particular ponto no qual se analisa a continuidade. No terceiro caso ocorre a situa¸cão contr´ aria, o δ depende apenas do ponto a e n˜ ao do ε fornecido. No quarto caso o δ encontrado depende de ambos. As fun¸c˜ oes cont´ınuas para as quais o δ encontrado n˜ ao depende do particular ponto a onde se analisa a continuidade, gozam de certas propriedades n˜ ao partilhadas por fun¸cões cont´ınuas em geral; da´ı a necessidade de isolar´ o que faremos agora através da seguinte mos estas fun¸c˜ oes para estudos. E Defini¸ c˜ ao 36 (Continuidade uniforme). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Diz-se que uma aplica¸ca õ f : M −→ N é uniformemente cont´ınua quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pudermos exibir δ(ε) > 0 : ∀ x, y ∈ M, d1 (x, y) < δ(ε) ⇒ d2 f (x), f (y) < ε A seguir escrevemos a defini¸cão de continuidade uniforme juntamente com sua nega¸c˜ ao:

∀

∃

∀

x∈M

∃

∀

∃

∃

ε>0 δ>0 y∈M ε>0 δ>0 y∈M

∀

x∈M

d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε d1 (x, y) < δ ∧ d2 (f (x), f (y)) ≥ ε

Comparando as duas continuidades temos: 288

continuidade

∀

ε>0

∀

∃

y∈M δ>0

∀

x∈M

δ = δ(ε, y)

d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε

continuidade uniforme

∀

ε>0

∃

δ>0

∀

∀

y∈M x∈M

δ = δ(ε)

d1 (x, y) < δ ⇒ d2 (f (x), f (y)) < ε

Observe que a segunda fórmula “s´ o” difere da primeira pela troca da posi¸cão de dois quantificadores. Proposi¸ c˜ ao 63. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Toda aplica¸ca õ lipschitziana é uniformemente cont´ınua. Prova: De fato, sendo:

(p. 258)

d2 (f (x), f (y)) ≤ c d1 (x, y) para quaisquer x, y ∈ M

então dado ε > 0, tomamos δ(ε) = εc . Logo se ε ⇒ c d1 (x, y) < ε ⇒ d2 (f (x), f (y)) ≤ c d1 (x, y) < ε. d1 (x, y) < δ = c Em particular, s˜ ao uniformemente cont´ınuas (p.’s 258-261): As homotetias, as fun¸c˜ oes reais com derivadas limitadas em um intervalo, as proje¸cões, as contra¸c˜ oes. Proposi¸ c˜ ao 64. Se f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) e g : (N, d2 ) −→ (P, d3 ) s˜ ao aplica¸co ˜es uniformemente cont´ınuas ent˜ ao g ◦ f : (M, d1 ) −→ (P, d3 ) é também uniformemente cont´ınua. Prova: Dado ε > 0, sendo g uniformemente cont´ınua existe δ′ > 0 : ∀ z, t ∈ N ; d2 (z, t) < δ′ ⇒ d3 g(z), g(t) < ε (6.18)

Como f é também uniformemente cont´ınua, para este δ′ existe δ > 0 tal que ∀ x, y ∈ M ; d1 (x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < δ′ (6.19) De (6.18) e (6.19) concluimos que

∀ x, y ∈ M ; d1 (x, y) < δ ⇒ d3 g(f (x)), g(f (y)) < ε

isto é

d3 g(f (x)), g(f (y)) = d3 (g ◦ f )(x), (g ◦ f )(y) < ε (M, d1 )

y x

d1 (x, y) < δ

(N, d2 )

f

(P, d3 )

gf (x)

f (x)

g

d2 (f (x), f (y)) < δ′ f (y) g◦f

289

d3 (gf (x), gf (y)) < ε gf (y)

Proposi¸ c˜ ao 65. A aplica¸ca õ f : M −→ N1 × N2 × · · · × Nn definida por f (x) = f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) , ∀ x ∈ M , é uniformemente cont´ınua se, e somente se, suas coordenadas f1 : M −→ N1 , . . . , fn : M −→ Nn s˜ ao uniformemente cont´ınuas. Prova: (=⇒) Vamos nos valer das fun¸cões proje¸cões p1 ◦ f (x) = p1 f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = f1 (x) ⇒ p1 ◦f = f1

······························································· pn ◦ f (x) = pn f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) = fn (x) ⇒ pn ◦f = fn .

Como f e cada proje¸c˜ ao pi s˜ ao uniformemente cont´ınuas, segue que cada fun¸c˜ ao coordenada fi também é uniformemente cont´ınua. (⇐=) Para provar a rec´ıproca usaremos em N1 × N2 × · · · × Nn a métrica D3 (x, y) = max d1 (x1 , y1 ), d2 (x2 , y2 ), . . . , dn (xn , yn )

Suponha que cada fi é uniformemente cont´ınua. Dado ε > 0 existe para cada ´ındice i = 1, 2, . . . , n um n´ umero δi > 0 de modo que ∀ x, y ∈ M ; dM (x, a) < δi ⇒ di fi (x), fi (a) < ε. Pondo δ = min{ δ1 , δ2 , . . . , δn }, temos

   d1 f1 (x), f1 (a) < ε ∀ x, y ∈ M ; dM (x, a) < δ ⇒ ·····················   dn fn (x), fn (a) < ε

Sendo assim, temos

∀ x, y ∈ M ; dM (x, a) < δ ⇒ max d1 f1 (x), f1 (a) , . . . , dn fn (x), fn (a) < ε ⇒ D3 f (x), f (a) < ε.

Proposi¸ c˜ ao 66. Seja (M, d) um espa¸co métrico e E, +, · um espa¸co vetorial normado. Se f, g : M −→ E s˜ ao aplica¸co ˜es uniformemente cont´ınuas ent˜ ao f + g : −→ E é também uniformemente cont´ınua. Prova: Exerc´ıcio.

Nota: O produto de fun¸cões uniformemente cont´ınuas pode n˜ ao ser uniformemente cont´ınuo. Por exemplo, a aplica¸cão f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = x é uniformemente cont´ınua, mas g : (R, µ) −→ (R, µ) dada por g(x) = f (x) · f (x) = x2 n˜ ao o é, conforme ser´ a visto. Toda fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua é cont´ınua (prove isto!); mas a rec´ıproca é falsa como veremos agora: 290

Exemplos: 1) A fun¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = x2 é cont´ınua (produto de fun¸c˜ oes cont´ınuas). Mostraremos que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x e y : |x − y| < δ

e

|f (x) − f (y)| ≥ ε

Tomemos qualquer ε ≤ 2. Dado δ > 0, pela propriedade arquimediana existe n ∈ N tal que n1 < δ. Utilizando este n fa¸camos x = n e y = n + n1 . Então |x − y| = n1 < δ e, no entanto 1 2 1 |f (x) − f (y)| = n2 − n + =2+ 2 >ε n n Veja a estenografia: ∃

∀

∃

∃

ε>0 δ>0 y∈M

ε0 ≤ 2

x∈M

d1 (x, y) < δ ∧ d2 (f (x), f (y)) ≥ ε

xδ = n 1 yδ = n+ n

|f (xδ ) − f (yδ )| ≥ ε0 |xδ − yδ | < δ

Veja a geometria: f (x)

|f (x)−f (y)| = 2+ 12 >ε n

ց

n

0

1 n+ n

x

x|x−y| = n1 <δ Nota: f é localmente lipschitziana (p. 262), isto implica que em cada ponto a ∈ R existe uma bola ] a − r, a + r [ tal que a restri¸cão de f a essa bola é uniformemente cont´ınua. Consideremos ainda f (x) = x2 desta vez sobre o dom´ınio [ 0, b ], onde b é qualquer n´ umero positivo. Dado ε > 0 escolhamos δ = ε/2b. Ent˜ ao se x, y ∈ [ 0, b ] e |x − y| < δ, temos f (x) − f (y) = |x2 − y 2 | = |x + y| · |x − y| ≤ 2b |x − y| < 2b δ = ε.

291

Sendo assim f (x) = x2 é uniformmente cont´ınua sobre [ 0, b ]. Este é um caso especial da proposi¸cão 119, pg. 503. O exemplo acima mostra a dependência da continuidade uniforme com respeito ao dom´ınio da fun¸cão. 2) A fun¸c˜ ao f : (R∗ , µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = sen ( x1 ) é cont´ınua e limitada, mas n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f é cont´ınua consideremos as fun¸c˜ oes g e h g : R −→ R

h : R∗ −→ R

e

x 7−→ sen x

x 7−→ 1/x

compondo estas duas fun¸cões, temos g

h R∗ −→ R −→ R

x 7−→

1 x

7−→ sen ( x1 )

Isto é f = g◦h : R∗ −→ R

x 7−→ sen ( x1 )

é cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que, para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x e y tais que |x − y| < δ e |f (x) − f (y)| ≥ ε

Tomemos qualquer ε ≤ 2. Dado δ > 0, pela propriedade arquimediana existe n ∈ N tal que 1 1 <δ ⇒ <δ ⇒ n 2n

⇒

1 <δ + 2n

1 2

3 2

1 + 2n ·

Utilizando o n de Arquimedes fa¸camos x=

3π 2

1 + 2nπ

e

y=

π 2

1 2

+ 2n

< δ.

1 + 2nπ

Ent˜ ao 1 |x − y| = 3π − 2 + 2nπ

e, no entanto

π 2

1 = + 2nπ

3 2

1 + 2n ·

1 2

+ 2n

<δ

π 3π + 2nπ − sen + 2nπ = | − 1 − 1| = 2 ≥ ε. |f (x) − f (y)| = sen 2 2 292

Veja a estenografia: ∃

∀

∃

ε>0 δ>0 y∈M

ε0 ≤ 2

∃

x∈M

xδ = yδ =

1 π +2nπ 2

d1 (x, y) < δ ∧ d2 (f (x), f (y)) ≥ ε |xδ − yδ | < δ

1 3π +2nπ 2

|f (xδ ) − f (yδ )| ≥ ε0

• Agora daremos um exemplo de fun¸cão uniformemente cont´ınua mas n˜ ao lipschitziana. Trata-se da fun¸cão √ f : [0, +∞[, µ −→ [0, +∞[, µ definida por f (x) = x.

Para mostrar que f é uniformemente cont´ınua, para todo ε > 0 dado devemos exibir δ(ε) > 0 tal que √ √ |x − y| < δ(ε) ⇒ x − y < ε Antes vamos tabelecer uma desigualdade auxiliar: para a, b ≥ 0, temos

a + b ≥ a − b e a + b ≥ −(a − b) ⇒ |a + b| ≥ |a − b|. √ √ √ √ portanto x − y ≤ x + y , ∀ x, y ≥ 0, logo √ √ √ √ x − √y · x − √y ≤ x − √y · x + √y √ √ 2 ⇒ x − y ≤ |x − y| √ √ p ⇒ x − y ≤ |x − y|

Então, tomando δ(ε) = ε2 , temos

√ p √ √ |x − y| < δ = ε2 ⇒ ε = ε2 > |x − y| ≥ x − y √ √ ⇒ x − y < ε.

Agora vamos mostrar que f n˜ ao é de Lipschitz. Para tanto (p. 258) devemos provar que para qualquer c > 0, existem x, y ∈ [ 0, +∞ [, x 6= y, tal que √ x − √y > c |x − y| sendo

√ x − √y |x − y|

√ x − √y 1 = √ √ √ √ √ = √ x+ y x− y · x+ y

basta tomar, por exemplo, x =

1 16c2

1 √ √ =q x+ y

e y=

1 ; 4c2

1 1 16c2

+

293

q

1 4c2

posto que

=

4c >c 3

6.4

Homeomorfismos − Espa¸ cos Homeomorfos

Na ´ algebra, se existe uma bije¸cão entre dois grupos (G, ∗) e (J, △) que preserva as opera¸c˜ oes, então estes grupos s˜ ao ditos isomorfos e s˜ ao indistingu´ıveis sob o ponto de vista algébrico. De modo an´ alogo, em topologia se existe uma bije¸cão entre dois espa¸cos (M, d1 ) e (N, d2 ) que preserva os abertos (isto é, abertos s˜ ao tranformados em abertos), ent˜ ao estes espa¸cos s˜ ao ditos homeomorfos (ou topologicamente equivalentes) e s˜ ao indistingu´ıveis sob o ponto de vista da topologia. Vamos tornar estas considera¸cões mais precisas: Inicialmente chamamos a aten¸c˜ ao do leitor para o fato de que em topologia podemos ter uma bije¸cão cont´ınua, por exemplo a identidade: (prop. 51, p. 250) i : (R, δ) −→ (R, µ) x 7−→ x cuja inversa (a qual também é a identidade)

(ex. 2, p. 242)

i−1 : (R, µ) −→ (R, δ) x 7−→ x seja descont´ınua. Veja também o exemplo 3.

(p. 243)

Vejamos um exemplo clássico de bije¸cão cont´ınua cuja inversa é descont´ınua. Consideremos os subespa¸cos ([ 0, 2π [, µ) de (R, µ) e (S 1 , D1 ) de (R2 , D1 ), onde S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 é o c´ırculo unit´ ario. Consideremos a aplica¸caõ f : [ 0, 2π [ −→ S 1 t

7−→

(cos t, sin t)

f é cont´ınua, pois suas cordenadas s˜ ao cont´ınuas. Da trigonometria sabe-se que f é bijetiva. De forma sugestiva podemos dizer que f consiste em enrolar (em sentido anti-hor´ ario) o segmento [ 0, 2π [ sobre o c´ırculo unit´ ario. P. ex.   f (0) = (cos 0, sin 0) = (1, 0) f (t) = (cos t, sin t) ⇒  f ( π ) = (cos π , sin π ) = (0, 1) 2 2 2 (0, 1)

f S1

[ 0

2π

294

(1, 0)

Vamos mostrar que f −1 é descont´ınua no ponto (1, 0) ∈ S 1 . Para isto faremos uso da proposi¸c˜ ao 55 (p. 268). Considere a sequência (sn ) dada por 1 1 , sen 2π − sn = cos 2π − n n Observe que (sn ) é uma sequência de pontos de S 1 , pois cos2 2π −

1 1 + sen 2 2π − = 1 n n

E ainda: sn → (cos 2π, sen 2π) = (1, 0). Por outro lado f −1 (sn ) = 2π −

1 6→ 0 = f −1 (1, 0) n

Veja a geometria:

f −1 S1

rr rr

(1, 0)

r ↑s

↑s 1

f −1 (s2 )

r

0տ f −1 (1, 0)

ր

rցr rrr [

2π

f −1 (s1 )

2

Defini¸ c˜ ao 37 (Homeomorfismo). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Dizemos que uma aplica¸ca õ f : M −→ N é um homeomorfismo do espa¸co (M, d1 ) no espa¸co (N, d2 ) se, e somente se, (a) f é bijetora; (b) f e sua inversa f −1 s˜ ao ambas cont´ınuas. De imediato concluimos, respaldados na proposi¸cão 62 (p. 279), que se f é um homeomorfismo ent˜ ao todo aberto A ⊂ N é transformado por f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) em um aberto de M . Reciprocamente, todo aberto A ⊂ M é transformado por f −1 : (N, d2 ) −→ (M, d1 ) em um aberto de N . Dizemos então que o homeomorfismo preserva (n˜ ao destrói) os conjuntos abertos destes espa¸cos. 295

Defini¸ c˜ ao 38 (Espa¸cos Homeomorfos). Dois espa¸cos métricos (M, d1 ) e ogicamente equivalentes se existe um (N, d2 ) dizem-se homeomorfos ou topol´ homeomorfismo f : M −→ N . Exemplos: 1) A inversa de toda isometria é uma isometria, portanto toda isometria é um homeomorfismo; mas a rec´ıproca é falsa, é o caso do exemplo a seguir: 2) Os espa¸cos (R, µ) e ] − 1, 1 [, µ s˜ ao homeomorfos, pois f : R −→ ] − 1, 1 [ x 7−→

f −1 : ] − 1, 1 [ −→ R

e

x 1+|x|

x 7−→

s˜ ao cont´ınuas (a cargo do leitor). Observe,

x 1−|x|

f −1 (x)

f (x) 1 x

0

−1

0

1

x

−1

é fácil ver que f n˜ ao é isometria. 3) Provamos anteriormente que a aplica¸cão entre o intervalo [ 0, 2π [ e o c´ırculo unit´ ario S 1 dada por f : [ 0, 2π [ −→ S 1 t

7−→

(cos t, sin t)

n˜ ao é um homeomorfismo. Agora vamos provar “o contr´ ario”, que é sim um homeomorfismo. Mais precisamente, a aplica¸cão dada por f : ([ 0, 2π [, k) −→ (S 1 , D1 )

7−→ (cos t, sin t) é um homeomorfismo. Onde: k(x, y) = min |x − y|, 2π − |x − y| , é uma métrica em [ 0, 2π [, como o leitor pode conferir seguindo os passos da prova dada para a métrica quântica. (p. 64) t

296

Inicialmente observe que a sequência contraexemplo dada anteriormente: 1 1 sn = cos 2π − , sen 2π − n n

no presente caso n˜ ao se aplica (digo, n˜ ao serve como contraexemplo), posto que: sn → (cos 2π, sen 2π) = (1, 0) e f −1 (sn ) = 2π − n1 → 0 = f −1 (1, 0). f −1 S1

r rr

r ↑s

↑s 1

f −1 (s2 )

r

(1, 0)

0տ f −1 (1, 0)

ր

rցr rrr [

2π

f −1 (s1 )

2

Vamos provar que f −1 é cont´ınua no ponto (1, 0) − a prova de que é cont´ınua nos demais pontos do c´ırculo é deixada ao leitor. Inicialmente exibimos a seguinte express˜ ao para f −1 :  cos−1 x, se x ≥ 0, y ≥ 0; f −1 (x, y) =  sen −1 y + 2π, se x ≥ 0, y < 0.

Onde: cos−1 x = arc cos x e sen −1 x = arc sen x. Exibimos a express˜ ao para f −1 (o leitor est´ a convidado a confirmá-la) restrita apenas ao primeiro e quarto quadrantes − o suficiente para os nossos propósitos. Faremos uso da proposi¸c˜ ao 54 (p. 268). Seja então (xn , yn ) uma sequência de pontos do c´ırculo tal que (xn , yn ) → (1, 0). Pela proposi¸cão 14 (p. 157): D1

(xn , yn ) → (1, 0) ⇐⇒

π 2

−1

 µ  xn → 1 µ y → 0 n

=⇒

arc sen x

1

 µ  xn → 1− µ y → 0− n

π arc cos x

x

− π2

−1

297

0

1

x

Ent˜ ao lim f k

−1

(xn , yn ) =

 −1   lim cos (xn ),

se xn ≥ 0, yn ≥ 0;

k

  lim sen −1 (yn ) + 2π, k

Temos µ

xn → 1−

(6.20)

se xn ≥ 0, yn < 0.

lim cos−1 (xn ) = cos−1 ( lim xn ) = cos−1 (1− ) = 0

⇒

µ

µ

Na primeira igualdade acima estamos levando em conta que a fun¸cão arccos é cont´ınua em todos os pontos do seu dom´ınio, o que significa que podemos fazer uso da identidade (6.14) (p. 267). Análogamente, µ

yn → 0−

⇒

lim sen −1 (yn ) + 2π = sen −1 (lim yn ) + 2π → 2π µ

µ

Mais precisamente: lim sen −1 (yn ) + 2π → 2π − . µ

Agora Faremos uso dos seguintes lemas:

(ver an´ alogos, p. 425)

Lema 3. Considere (xn ) tal que 0 ≤ xn < 2π. Se (xn ) converge para 2π no espa¸co [ 0, 2π ], µ , ent˜ ao (xn ) converge para 0 no espa¸co [ 0, 2π [, k .

Lema 4. Toda sequência (xn ) (0 ≤ xn < 2π) que converge para o ponto p (0 ≤ p < 2π) no espa¸co [ 0, 2π ], µ , converge para o mesmo ponto no espa¸co [ 0, 2π [, k . Sendo assim a equa¸cão (6.20), fica:   0, se xn ≥ 0, yn ≥ 0; lim f −1 (xn , yn ) =  k 0, se xn ≥ 0, yn < 0.

Conclusão: lim f −1 (xn , yn ) = 0 = f −1 (1, 0). cont´ınua no ponto (1, 0) ∈ S 1 .

O que prova que f −1 é

Propriedades topol´ ogicas

Uma propriedade P , de conjuntos, é chamada topológica ou invariante topol´ ogico se, sempre que um espa¸co métrico (M, d) goza de P , então todo espa¸co homeomorfo a (M, d) também goza de P . A Topologia é um ramo da geometria que lida apenas com as propriedades topol´ ogicas de figuras (conjuntos de pontos). Se P é uma propriedade topológica e sendo toda isometria um homeomorfismo, ent˜ ao P é preservada por isometrias; logo, toda propriedade topol´ ogica é também uma propriedade métrica − que s˜ ao aquelas preservadas por isometrias − mas a rec´ıproca n˜ ao se verifica, como veremos. 298

Como vimos no exemplo anterior a reta real R é homeomorfa ao intervalo aberto X = ] − 1, 1 [. Ent˜ ao, “diˆ ametro” n˜ ao é um invariante topológico, pois X e R têm diˆ ametros diferentes. Também a propriedade de ser limitado n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica, pois X é limitado enquanto R n˜ ao o é. Temos um outro exemplo desta situa¸cão ao considerarmos os conjuntos N = { 1, 2, . . . , n, . . . }

e

ambos com a métrica µ. A aplica¸cão,

1 1 M = 1, , . . . , , . . . 2 n

f : N −→ M n 7−→ n1 é um homeomorfismo, pois é uma bije¸cão e ambos os espa¸cos (N, µ) e (M, µ) s˜ ao discretos; isto é f e f −1 s˜ ao cont´ınuas; mas enquanto M é limitado, N n˜ ao o é. Mostraremos agora que ser discreto é uma propriedade topológica (portanto, métrica). Seja f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) um homeomorfismo. Se (N, d2 ) é discreto então (M, d1 ) também o é. Com efeito, fixado arbitrariamente um ponto a ∈ M ; sendo (N, d2 ) discreto ent˜ ao f (a) é isolado, o que implica na existência de um ε = εf (a) > 0 tal que a bola Bd (f (a); ε) = { f (a) } se reduz ao seu centro. Sendo f cont´ınua, 2 existe δ = δ(ε, a) > 0 tal que se x ∈ Bd (a; δ) ⇒ f (x) ∈ Bd (f (a); ε) = { f (a) }, 1

2

e como f é injetiva conclui-se que na bola Bd (a; δ) s´ o existe o seu pr´ oprio 1 centro, isto é, Bd (a; δ) = { a }. Com isto mostramos que a ∈ M é isolado; 1 como a foi tomado arbitrariamente segue que (M, d1 ) é discreto. • A estrutura topol´ ogica de um espa¸co métrico é determinada pela cole¸cão dos abertos desse espa¸co. Isto se deve à proposi¸cão 23, p. 192. 4) Homeomorfismo entre bolas: Duas bolas quaisquer em um espa¸co vetorial normado s˜ ao homeomorfas. Dadas duas bolas B(a; r) e B(b; s) em um espa¸co vetorial (E, +, ·), normado, vamos mostrar que existe um homeomorfismo entre elas. A aplica¸c˜ ao, ϕ : E −→ E

x 7−→ b + rs (x − a)

isto é, ϕ(x) = b + rs (x − a), é cont´ınua por ser a composta das fun¸cões cont´ınuas: transla¸c˜ ao, homotetia e transla¸cão. 299

hs

T

Tb

r E −a E E E s x 7−→ x − a 7−→ r (x − a) 7−→ b + sr (x − a)

isto é ϕ = Tb ◦ h s ◦ T−a r

´ injetiva, pois E s s ϕ(x) = ϕ(y) ⇒ b + (x − a) = b + (y − a) ⇒ x = y r r é sobrejetiva, pois dado y ∈ E, existe x ∈ E de modo que ϕ(x) = y: r s ϕ(x) = b + (x − a) = y ⇒ x = a + (y − b) r s Observe que para este x, temos s r ϕ(x) = b + a + (y − b) − a = y r s A inversa de ϕ é dada por r ϕ−1 (x) = a + (x − b) s que também é cont´ınua, por ser composta por fun¸cões cont´ınuas. Com isto provamos que ϕ : E −→ E é um homeomorfismo. Para mostrar que a restri¸cão (corol. 9, p. 271) : B(a; r) −→ B(b; s) ϕ′ = ϕ B(a; r)

é um homeomorfismo é suficiente mostrar que é sobrejetiva; isto é, que dado y ∈ B(b; s) existe x ∈ B(a; r) de modo que ϕ′ (x) = y. Para tanto basta mostrar que x = a + rs (y − b) ∈ B(a; r), isto é que kx − ak < r. Com efeito,

r r

kx − ak = a + (y − b) − a = ky − bk s s como r r y ∈ B(b; s) ⇒ ky − bk < s ⇒ ky − bk < · s ⇒ kx − ak < r. s s O diˆ ametro de um conjunto é um invariante métrico − se mantém inalterado por isometrias. Com a demonstra¸cão anterior mais uma vez constatamos que o diˆ ametro de um conjunto n˜ ao é um invariante topológico. A transforma¸c˜ ao∗ , ϕ : B(a; r) −→ B(b; s) ∗

Voltamos a usar a nota¸c˜ ao ϕ.

300

transforma a primeira bola na segunda. De fato, ela pode ser desdobrada:

B(a; r) x

hs

T−a

r

B(0; r)

7−→

x−a

B(0; s) s r (x

7−→

Tb

B(b; s) b + rs (x − a)

− a) 7−→

Onde: i) A transforma¸c˜ ao T−a translada a bola B(a; r) para a origem;

ii) a transforma¸c˜ ao hs “expande” (caso rs > 1) ou “contrai” (caso r a bola B(0; r) de modo que esta fique com o raio s;

r s

< 1)

iii) a transforma¸c˜ ao Tb superp˜ oe (via transla¸cão) a bola B(0; s) à bola B(b; s). Exemplos: 1o ) No espa¸co R, | · | o homeomosfismo entre as bolas, B(a; r) = Bµ (0; 1) = ] − 1, 1 [

e

B(b; s) = Bµ (4; 2) = ] 2, 6 [

é dado por, s ϕ(x) = b + (x − a) r 2 = 4 + (x − 0) = 2x + 4 1 1 2

+ 4 = 5. No gr´ afico fica assim, R

2

]

6

5

q

4

q

3

q

1

] −1

←− ϕ = 2x+4

]

por exemplo, ϕ( 12 ) = 2 ·

q [

0

1

301

R

2o ) No espa¸co R2 , k · k o homeomosfismo entre as bolas, 1 2

B(a; r) = B (1, 1);

é dado por,

e

B(b; s) = B (3, 2);

3 2

(6.21)

s ϕ(x) = b + (x − a) r 3 2 1 2

= (3, 2) + Ou ainda,

x − (1, 1)

ϕ (x, y) = (3, 2) + 3 (x, y) − (1, 1) = (3x, 3y − 1)

A aplica¸c˜ ao ϕ transforma continuamente a primeira bola dada em (6.21) na segunda, assim: Na norma euclidiana, temos R

R

ϕ −→

2

q

1

q

q

0

q1

q2

R

3

q

2

q

1

q

0

r

q1

q2

q3

q4

R

q4

R

Na norma da soma, temos R

R

ϕ −→

2

q

1

q

q

0

q1

q2

R

3

q

2

q

1

q

0

302

r

q1

q2

q3

Na norma do m´ aximo, temos R

R

ϕ −→

2

q

1

q

q

0

q1

q2

R

3

q

2

q

1

q

r

q1

0

q2

q3

q4

R

Observe que a aplica¸c˜ ao ϕ−1 transforma continuamente a segunda bola dada em (6.21) na primeira. Em um espa¸co métrico arbitrário, duas bolas abertas podem n˜ ao ser homeomorfas. Por exemplo, tomemos n 1 o 1 M = 1, , . . . , , . . . ∪ { 0 } 2 n com a métrica µ induzida da reta. Por exemplo, as bolas i 1 1 1h ∩ M = { 1 } e Bµ (0; s) = ] 0 − s, 0 + s [ ∩ M Bµ (1; ) = 1 − , 1 + 2 2 2

n˜ ao s˜ ao homeomorfas qualquer que seja s > 0, pois n˜ ao pode existir uma bije¸cão entre um conjunto unit´ ario e um conjunto infinito. s ⇀ q [qqqqqqqqqqq q q q q ... 1 0↑ 5 Bµ (0; s) = ] −s, s [ ∩ M ]

q

1 4

q

q

1 3

1 2

q

1տ

M

Bµ (1; 12 ) = { 1 }

Nota: Observe, an passant, que a fun¸cão m´ odulo | · | : R −→ R é uma norma sobre o espa¸co vetorial ( R, |·| ) enquanto que a mesma fun¸cão restrita a M n˜ ao é uma norma sobre o par (M, | · |). De fato, M n˜ ao é um espa¸co vetorial e norma s´ o est´ a definida em espa¸cos vetoriais. Estamos tentando dizer que nem sempre o m´ odulo é uma norma, isto é, s˜ ao conceitos distintos. (M, | · |) é um espa¸co métrico (ou um subespa¸co de (R, µ), como queira), mas n˜ ao normado, isto é sua métrica n˜ ao provém de uma norma. Um outro exemplo de bolas abertas n˜ ao homeomorfas, temos nas bolas dadas por Bδ (0; 1) = { 0 } e Bδ (0; 2) = R no espa¸co (R, δ). 303

5) Num espa¸co vetorial E, +, · normado, qualquer bola aberta é homeomorfa ao espa¸co inteiro. Este caso generaliza o exemplo 2 (p. 296). Tendo em conta que duas bolas quaisquer s˜ ao homeomorfas, é suficiente exibir um homeomorfismo f : E −→ B(0; 1), onde aqui o homeomorfismo e seu inverso s˜ ao dados por f (x) =

x 1 + kxk

f −1 (x) =

e

x 1 − kxk

5.1) Do exemplo anterior decorre que todo intervalo aberto limitado ] a, b [ é homeomorfo ao espa¸co (R, µ) uma vez que neste espa¸co o intervalo ] a, b [ é a bola aberta de centro no seu ponto médio e raio r = (b − a)/2 > 0. Com efeito, Bµ

a+b a + b a + b ;r = − r, +r 2 2 2 a + b b − a a + b b − a − , + = ] a, b [. = 2 2 2 2

5.2) Na verdade todo intervalo aberto da reta é homeomorfo a R. De fato, se o intervalo for do tipo ] a, +∞ [, podemos considerar o seguinte homeomorfismo, f : R −→ ] a, +∞ [

f −1 : ] a, +∞ [ −→ R

e

x 7−→ y = a + ex

x 7−→ y = ln(x − a)

A seguir plotamos os gr´ aficos de f e f −1 . ] a, +∞ [

f (x) = a+ex

R f −1 (x) = ln(x−a)

]

a

0

R

0

304

]a

] a, +∞ [

Se o intervalo for do tipo ] − ∞, b [, podemos considerar o seguinte o homeomorfismo f : R −→ ] − ∞, b [

f −1 : ] − ∞, b [ −→ R

e

x 7−→ y = b − e−x

x 7−→ y = − ln(b − x)

A seguir plotamos os gr´ aficos de f e f −1 .

R

]

b

f (x) = b−e−x

] −∞, b [

R 0

0

b

[

f −1 (x) = − ln(b−x)

] −∞, b [

6) Proje¸ca õ estereogr´ afica. Sejam S 1 = { (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 } e p = (0, 1). Consideremos os seguintes subespa¸cos, S 1 − { p }, D1 e (R × { 0 }, D1 ) de

R2 , D1

Vamos agora construir um homeomorfismo entre estes subespa¸cos. A proje¸c˜ ao estereográfica: π : S 1 − { p } −→ R × { 0 } é a aplica¸cão que associa a cada ponto q = (xc , yc ) ∈ S 1 − { p } o ponto π(q) ∈ R × { 0 }, obtido pela interse¸c˜ ao da semi-reta que liga p a q, com o eixo dos x.

p S

1

sq

s

↑

π(q)

305

R×{ 0 } (r)

Para determinar analiticamente o ponto π(q) = (?, 0) devemos encontrar a equa¸c˜ ao da reta (r) que passa por p = (0, 1) e q = (xc , yc ): yr − 1 =

1 − yc y −1 · xr − 0 ⇒ y r = 1 + c · xr 0 − xc xc

Fazendo yr = 0 encontramos, xr =

xc 1 − yc

⇒ π(q) =

Portanto a aplica¸c˜ ao π é dada por,

x c ,0 1 − yc

π : S 1 − { p } −→ R × { 0 } x (x, y) 7−→ 1−y ,0

Desejamos mostrar que π é um homeomorfismo. Mostremos inicialmente que π é uma bije¸c˜ ao. Dado (a, 0) ∈ R × { 0 }, consideremos a reta (s) que passa por (a, 0) e p = (0, 1).

S

1

?

s

s

bp R×{ 0 }

(a,0)

(s)

A equa¸c˜ ao desta reta é y = 1 − x/a. Vamos verificar se existe algum ponto da reta (s) em S 1 − { p }. Resolvendo o sistema   x2 + y 2 = 1 y = 1 −

x a

encontramos duas solu¸co˜es; uma é o ponto (0, 1) que n˜ ao pertence a S 1 −{ p } 2 2a a − 1 e a outra é o ponto v = 2 , 2 que é o u ńico ponto de S 1 − { p } a +1 a +1 tal que π(v) = (a, 0). Isto mostra que π é sobrejetiva e injetiva. Pelo que vimos acima, a fun¸cão inversa de π é dada por π −1 : R × { 0 } −→ S 1 − { p } (x, 0)

7−→

2 2x , x −1 x2 +1 x2 +1

Vejamos porque π e π −1 s˜ ao cont´ınuas. As fun¸cões, 306

R2 −→ R (x, y) 7−→ y

R2 −→ R , (x, y) 7−→ 1

R2 −→ R , (x, y) 7−→ x

s˜ ao cont´ınuas. A primeira e a u ´ltima por tratar-se de proje¸cões e a segunda porque é constante. Logo também é cont´ınua a fun¸cão, R2 −→ R (x, y) 7−→ 1−y diferen¸ca de fun¸c˜ oes cont´ınuas. Portanto as fun¸cões, R2 − {(0, 1)} −→ R (x, y) 7−→ x s˜ ao cont´ınuas

(corol. p. 271).

R2 − {(0, 1)} −→ R (x, y) 7−→ 1−y

e

Portanto a fun¸cão quociente, R2 − {(0, 1)} −→ R x (x, y) 7−→ 1−y

também é cont´ınua

(prop. 60, p. 275).

R2 −→ {0} (x, y)7−→ 0

As fun¸cões R2 − {(0, 1)} −→ {0} (x, y) 7−→ 0

e

s˜ ao cont´ınuas. Tomando M = R2 − { (0, 1) } na proposi¸cão 57 que a fun¸c˜ ao

(p. 272)

temos

f : R2 − {(0, 1)} −→ R × {0} x (x, y) 7−→ 1−y ,0 é cont´ınua. Sendo π = f 1 concluimos a continuidade de π. Para S −{p}

mostrar a continuidade de π −1 voltemos à proposi¸cão 57 com, M = R × { 0 } e consideremos as fun¸c˜ oes f1 : R × {0} −→ R (x, 0) 7−→ x22x+1

f2 : R × {0} −→ R 2 (x, 0) 7−→ xx2−1 +1

e

f1 e f2 s˜ ao cont´ınuas devido a proposi¸cão 60

(p. 275).

Portanto

f : R × {0} −→ R × R (x, 0) 7−→ x22x+1 , xx22−1 +1 é cont´ınua. Isto prova que π −1 : R × { 0 } −→ S 1 − { p } é cont´ınua. 307

Notas: (i) Dada uma aplica¸c˜ ao f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ), sendo (P, d2 ) um subespa¸co tal que f (x) ∈ P para todo x ∈ M , então a aplica¸cão fP : (M, d1 ) −→ (P, d2 ) é cont´ınua se, e somente se, f é cont´ınua. (ii) S 1 − { p } é também homeomorfo a R uma vez que R × {0} −→ R (x, 0) 7−→ x é um homeomorfismo, como o leitor pode comprovar. afico de uma aplica¸cão cont´ınua é homeomorfo ao dom´ınio. 7) O gr´ Seja f : M −→ N uma fun¸cão cont´ınua. O gr´ afico de f é o subconjunto G(f ) ⊂ M × N do produto cartesiano M × N , definido por G(f ) = x, f (x) : x ∈ M Vamos construir um homeomorfismo entre G(f ) e M : As fun¸cões f1 : M −→ M x 7−→ x

f2 : M −→ N x 7−→ f (x)

e

s˜ ao cont´ınuas. Portanto a fun¸cão, F : M −→ M × N x

7−→

e

f1 (x), f2 (x)

F : M −→ M × N x 7−→ x, f (x)

é cont´ınua. Logo, tendo em conta a nota (i) dada anteriormente, temos que a fun¸c˜ ao, FG(f ) : M −→ G(f ) x

7−→

x, f (x)

é cont´ınua. Sua inversa, −1

FG(f ) : G(f ) −→ M x, f (x) 7−→ x

é cont´ınua, por ser a restri¸cão ao gr´ afico de f da primeira proje¸cão, isto é, −1 FG(f ) = p1 G(f )

308

q

(x, f (x)) FG(f )

q

G(f )

F −1

x

G(f )

M

Vejamos dois casos particulares desse homeomorfismo: a) Considerando o c´ırculo unit´ ario S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 , o seguinte subconjunto de S 1 S+1 = (x, y) ∈ S 1 : y > 0

também conhecido como hemisfério norte, é homeomorfo à bola aberta Bµ (0, 1) = ] − 1, +1 [ , uma vez que este hemisfério é o gr´ afico da fun¸cão, R

f : R −→ R x

7−→

√

S+1

a

1−x2

a

−1

R

1

que é cont´ınua porquanto pode ser expressa como composta de fun¸cões cont´ınuas. b) A reta R é homeomorfa ` a par´ abola P = x, f (x) ∈ R2 : f (x) = x2 uma vez que esta par´ abola é o gr´ afico da fun¸cão R

f : R −→ R x 7−→ x2

p (x, f (x)) p

x

309

R

6.5

M´ etricas Equivalentes

Neste ´ıtem vamos considerar duas métricas d1 e d2 sobre um mesmo conjunto M , o que dar´ a origem a dois espa¸cos métricos distintos: (M, d1 ) e (M, d2 ). Iremos ver em que sentido estes dois espa¸cos podem ser considerados equivalentes. J´ a vimos no exemplo 2 (p. 242) que a aplica¸cão identidade, i : (R, µ) −→ (R, δ) x 7−→ x é descont´ınua. Também vimos no exemplo 3 (p. 243) que a aplica¸cão identidade, i : [ 0, 1 [, k −→ [ 0, 1 [, µ x 7−→ x é descont´ınua. Isto d´ a sentido à seguinte: Defini¸ c˜ ao 39. Dadas duas métricas d1 e d2 sobre um mesmo conjunto M , diremos que d1 é mais fina do que d2 e escrevemos d1 ≻ d2 quando a aplica¸ca õ identidade i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) x 7−→ x

for cont´ınua. Exemplos:

1) Sendo que iµδ : (R, µ) −→ (R, δ) n˜ ao é cont´ınua temos que µ 6≻ δ. Por outro lado, sendo iδµ : (R, δ) −→ (R, µ) cont´ınua segue que δ ≻ µ. 2) Tendo em conta que ikµ : [ 0, 1 [, k −→ [ 0, 1 [, µ n˜ ao é cont´ınua resulta que k 6≻ µ. Por outro lado, sendo iµk : [ 0, 1 [, µ −→ [ 0, 1 [, k cont´ınua segue que µ ≻ k. A imagem direta de qualquer subconjunto A ⊂ M pela aplica¸cão identidade i : M −→ M é o pr´ oprio A: i(A) = { i(x) : x ∈ A } = { x : x ∈ A } = A. Em particular i B(a; r) = B(a; r). Tendo em conta a proposi¸cão 50 (p. 238) deduzimos que se d1 ≻ d2 (isto é, se a identidade i12 é cont´ ınua) então para todo a ∈ M e para toda bola Bd i12 (a); r = Bd a; r existe uma bola Bd (a; s) de modo que 2 2 1 i12 Bd (a; s) ⊂ Bd i12 (a); r ⇒ Bd (a; s) ⊂ Bd a; r 1

2

1

310

2

Ou ainda: Se d1 ≻ d2 ent˜ ao dada qualquer bola Bd (a; r) centrada em um 2 ponto a arbitrário, existe uma bola Bd (a; s) de modo que: Bd (a; s) ⊂ 1 1 Bd (a; r). No gr´ afico fica assim: 2

(M, d2 )

(M, d1 ) ∃ Bd (a; s) 1

s

∀ Bd (a; r) 2

sa

i12

s ∀ r>0

s

r

a

∃ s>0 i12 (Bd (a; s)) = Bd (a; s) ⊂ Bd (a; r) 1

1

2

Reciprocamente, se para toda bola Bd a; r existe uma bola Bd (a; s) 2 1 de modo que Bd (a; s) ⊂ Bd a; r 1

isto é

2

i12 Bd (a; s) ⊂ Bd i12 (a); r 1

2

então (ainda pela proposi¸c˜ ao 50) i12 é cont´ınua, logo d1 ≻ d2 . Em resumo: d1 ≻ d2 ⇔ ∀ Bd a; r , ∃ Bd (a; s) : Bd (a; s) ⊂ Bd a; r 2

1

1

2

Quando ocorrer d1 ≻ d2 e d2 ≻ d1 diremos que d1 e d2 s˜ ao equivalentes (ou topologicamente equivalentes) e escrevemos d1 ∼ d2 . De outro modo: d1 e d2 s˜ ao equivalentes quando a aplica¸cão identidade, i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) for um homeomorfismo. (i) J´ a vimos que iδµ : (R, δ) −→ (R, µ) n˜ ao é um homeomorfismo porque −1 ao é cont´ınua. Portanto µ e δ n˜ ao s˜ ao métricas sua inversa iδµ = iµδ n˜ equivalentes em R. (ii) J´ a vimos que iµk : [ 0, 1 [, µ −→ [ 0, 1 [, k n˜ ao é um homeomorfismo = i n˜ a o ´ e cont´ ınua. Portanto k e µ n˜ ao s˜ ao porque sua inversa i−1 kµ µk métricas equivalentes em [ 0, 1 [. ´ fácil mostrar que “d ∼ d ” é uma rela¸ca E õ de equivalência em qualquer 1 2 cole¸cão de métricas em um conjunto M . 311

Exemplos: 1) Consideremos as métricas δ e µ sobre R. δ ≻ µ, pois dados a ∈ R e r > 0, escolhemos s = 1 obtendo Bδ (a; 1) = { a } ⊂ Bµ (a; r) =] a − r, a + r [. s

]

[

a

a−r

↑

R

a+r

Bδ (a; 1)

Para mostrar que µ 6≻ δ escolhemos Bδ (a; 1) = { a } e vemos que Bµ (a; s) = ] a − s, a + s [ 6⊂ Bδ (a; 1), ∀s > 0. 2) No conjunto Z4 as métricas σ e ρ s˜ ao equivalentes. De fato, é suficiente o leitor considerar o exerc´ıcio 6, p. 134. Os dois exemplos anteriores s˜ ao casos especiais do seguinte 3) Se o espa¸co (M, d1 ) é discreto (neste caso dizemos que a métrica d1 é discreta) ent˜ ao d1 ≻ d2 qualquer que seja a métrica d2 sobre M .

De fato, sendo (M, d1 ) discreto então dado a ∈ M existe s = s(a) > 0 de modo que Bd (a; s) = { a } e, obviamente, { a } ⊂ Bd (a; r) qualquer que 1 2 seja a métrica d2 e qualquer que seja o raio r > 0. 4) No conjunto N as métricas δ e µ s˜ ao equivalentes. De fato, basta mostrar que µ ≻ δ, então Bµ (n; 1) = Bµ (n; 1) ∩ N

= ] n − 1, n + 1 [ ∩ N

= { n } ⊂ Bδ (n; r),

∀ r > 0.

5) No conjunto R2 as métricas D1 , D2 e D3 s˜ ao duas a duas equivalentes. Isto se deve ao fato de que dada uma bola B(a; r) em qualquer uma destas métricas, podemos “inscrever” nesta uma bola em qualquer uma das outras duas métricas. Por exemplo, conforme as figuras abaixo:

r

r

r

312

r

6) Seja C[ 0, 1 ] o conjunto de todas as fun¸cões cont´ınuas reais definidas no intervalo I = [ 0, 1 ]. Considere as métricas Υ e Γ em C[ 0, 1 ] dadas por Υ(f, g) = max{ |f (x) − g(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] } Z 1 |f (x) − g(x)| dx Γ(f, g) = 0

Vamos mostrar que Υ ≻ Γ e que Γ 6≻ Υ.

Seja BΓ (p; r) uma bola aberta com centro p ∈ C[ 0, 1 ] e raio r > 0 dado. Vamos tomar s = r e mostrar que, BΥ (p; s) ⊂ BΓ (p; r) De fato, seja f ∈ BΥ (p; s), logo Υ(f, p) = max{ |f (x) − p(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] } < s sendo, |f (x) − p(x)| ≤ max{ |f (x) − p(x)| } < s x∈I

temos, Z 1 0

(6.22)

|f (x) − p(x)| dx ≤ max{ |f (x) − p(x)| } < s ⇒ Γ(f, p) < s = r x∈I

⇒ f ∈ BΓ (p; r).

Sendo assim, Υ ≻ Γ.

Lembrete: Dada f : [ a, b ] −→ R, integr´ avel, se m ≤ f (x) ≤ M para todo Rb x ∈ [ a, b ] ent˜ ao m(b − a) ≤ a f (x) dx ≤ M (b − a). Na desigualdade (6.22), temos M = max{ |f (x) − p(x)| }. x∈I

Agora vamos mostrar que Γ 6≻ Υ. Para isto devemos exibir uma bola BΥ (p; r) centrada em um ponto p ∈ C[ 0, 1 ] de modo que BΓ (p; s) 6⊂ BΥ (p; r), ∀ s > 0. Vamos escolher a fun¸c˜ ao constante, p : [ 0, 1 ] −→ R x 7−→ 2 e o raio r = 1 e mostrar que BΓ (p; s) 6⊂ BΥ (p; 1), ∀ s > 0. Para tanto é suficiente mostrar que qualquer que seja s > 0 podemos exibir uma fun¸c˜ ao fs ∈ BΓ (p; s) de modo que fs 6∈ BΥ (p; 1). 313

A bola aberta BΥ (p; 1) constitui-se de todas as fun¸cões g situadas entre as fun¸c˜ oes p − 1 e p + 1, isto é: (p. 121) p(x) − 1 < g(x) < p(x) + 1 ⇒ 1 < g(x) < 3,

4¬

p+1

3¬ 2¬ 1¬

∀ x ∈ [ 0, 1 ]

x

g

p

p−1 ¬ 1

0

Bola aberta: BΥ (p; 1)

Dado s > 0 para escolher fs ∈ BΓ (p; s) consideremos duas possibilidades:

a) 0 < s < 3 b) s ≥ 3. Se 0 < s < 3 consideremos fs a fun¸cão que consiste no segmento de reta entre os pontos (0, 0) e ( 13 s, 2) e no segmento de reta entre os pontos ( 31 s, 2) e (1, 2). Isto é, fs est´ a definida assim:  6x  ,  s fs (x) =   2,

se 0 ≤ x < se

s ; 3

s ≤ x ≤ 1. 3

Se s ≥ 3 tomamos fs como sendo a fun¸cão constante dada por fs (x) = 1, ∀x ∈ I. (gr´ afico ` a direita abaixo)

(gr´ afico ` a esquerda abaixo).

4¬

4¬

3¬

3¬

x fs

2¬

2¬

1¬ 0

1¬ 1 3

s

¬ 1

0

xp x fs ¬ 1

Agora vamos mostrar que estas fun¸cões preenchem os dois requisitos mencionados anteriormente. 314

Para 0 < s < 3, temos Z 1 |fs (x) − g(x)| dx Γ(fs , p) = 0

= =

Z

Z

s 3

6x − 2 dx + s

0 s 3

−

0

Observe que, 0≤x<

Z

1

s 3

|2 − 2| dx

s 6x + 2 dx = < s ⇒ fs ∈ BΓ (p, s). s 3

s 6x ⇒ 0 ≤ 6x < 2s ⇒ 0 ≤ <2 3 s ⇒ −2 ≤

6x 6x 6x −2 < 0 ⇒ − 2 = − −2 . s s s

Calculando a distancia Υ entre fs e p, temos

Υ(fs , p) = max{ |fs (x) − p(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] } = 2 ⇒ fs 6∈ BΥ (p; 1). Observe que, para 0≤x<

Para

6x 6x s ⇒ −2 ≤ −2 <0 ⇒ 0 <2− ≤2 3 s s 6x ⇒ 0< − 2 ≤ 2 ⇒ |fs (x) − p(x)| ∈ ] 0, 2 ] s s ≤ x ≤ 1 ⇒ |fs (x) − p(x)| = |2 − 2| = 0. 3

Da´ı (6.23). Quando s ≥ 3 temos fs (x) = 1, portanto Γ(fs , p) =

Z

1

Z

1

|fs (x) − g(x)| dx

0

=

0

|1 − 2| dx = 1 < 3 ≤ s ⇒ fs ∈ BΓ (p; s).

Ainda, Υ(fs , p) = max{ |fs (x) − p(x)| : x ∈ [ 0, 1 ] } = max{ |1 − 2| : x ∈ [ 0, 1 ] } = 1 ⇒ fs 6∈ BΥ (p; 1). 315

(6.23)

Observe que podemos concluir “a olho nu” que a fun¸cão fs n˜ ao pertence ` bola BΥ (p; 1); veja que seu gr´ a afico n˜ ao se encontra dentro das faixas horizontais p − 1 e p + 1, na figura da p. 314.

Em particular concluimos que as métricas Υ e Γ n˜ ao s˜ ao equivalentes em C[ 0, 1 ]. 7) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Com aux´ılio da métrica d vamos definir uma outra métrica, ν digamos, dada por ν(x, y) = min{ 1, d(x, y) }. Vamos mostrar que: (i) para todo ε ∈ R tal que 0 < ε ≤ 1, temos Bd (a; ε) = Bν (a; ε); (ii) d e ν s˜ ao equivalentes.

Ent˜ ao: (i) Vamos mostrar inicialmente que Bd (a; ε) ⊂ Bν (a; ε). Seja x ∈ Bd (a; ε), isto é, d(x, a) < ε, devemos mostrar que x ∈ Bν (a; ε), isto é, que ν(x, a) = min{ 1, d(x, a) } < ε.

Resumindo (devemos mostrar que): Se

0<ε≤1

e

d(x, a) < ε

ent˜ ao

min{ 1, d(x, a) } < ε.

Pois bem, juntando as hip´ oteses podemos escrever d(x, a) < ε ≤ 1 ⇒ min{ 1, d(x, a) } = d(x, a) < ε. Agora vamos mostrar que Bν (a; ε) ⊂ Bd (a; ε). Seja x ∈ Bν (a; ε), isto é, ν(x, a) = min{ 1, d(x, a) } < ε, devemos mostrar que x ∈ Bd (a; ε), isto é, que d(x, a) < ε. Resumindo (devemos mostrar que): Se

0<ε≤1

e

min{ 1, d(x, a) } < ε

ent˜ ao

d(x, a) < ε.

Pois bem, juntando as hip´ oteses podemos escrever min{ 1, d(x, a) } < ε ≤ 1, portanto min{ 1, d(x, a) } = d(x, a) < ε. Observe que n˜ ao pode ser min{ 1, d(x, a) } = 1 sen˜ ao teriamos 1 < ε ≤ 1. (ii) Para mostrar que d e ν s˜ ao equivalentes devemos mostrar que dada Bd (a; ε) existe δ > 0 tal que Bν (a; δ) ⊂ Bd (a; ε) e vice-versa. Então, pelo ´ıtem anterior se 0 < ε ≤ 1 basta tomar δ = ε e teremos Bν (a; ε) = Bd (a; ε). Portanto resta considerar ε > 1.

316

Seja ε > 1, queremos mostrar que existe δ > 0 tal que Bν (a; δ) ⊂ Bd (a; ε). Seja x ∈ Bν (a; δ), isto é, ν(x, a) = min{ 1, d(x, a) } < δ; queremos mostrar (com uma escolha apropriada de δ) que x ∈ Bd (a; ε), isto é, que d(x, a) < ε. Isto é Se

ε>1

min{ 1, d(x, a) } < δ

e

ent˜ ao

d(x, a) < ε.

Pois bem, observe que tomando δ = 1 teremos Se

ε>1

min{ 1, d(x, a) } < 1 ⇒ d(x, a) < 1

e

⇒ d(x, a) < 1 < ε

⇒ x ∈ Bd (a; ε).

Por outro lado, dado ε > 1 vamos mostrar que existe δ > 0 de modo que Bd (a; δ) ⊂ Bν (a; ε). Ent˜ ao, seja x ∈ Bd (a; δ), devemos mostrar que x ∈ Bν (a; ε). Isto é Se

ε>1

e

d(x, a) < δ

ent˜ ao

min{ 1, d(x, a) } < ε.

Tomando δ = 1 teremos Se

ε>1

e

d(x, a) < 1 ⇒ min{ 1, d(x, a) } = d(x, a) < 1 ⇒ min{ 1, d(x, a) } < ε

⇒ x ∈ Bν (a; ε).

8) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Com aux´ılio da métrica d vamos definir uma outra métrica, ν digamos, dada por ν(x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

Vamos mostrar que d e ν s˜ ao equivalentes. Inicialmente mostremos que dados a ∈ M e ε > 0 existe δ > 0 de modo que Bd (a; δ) ⊂ Bν (a; ε). Tomando δ = ε, dado x ∈ Bd (a; δ = ε) vamos mostrar que x ∈ Bν (a; ε), isto é que d(x, a) <ε d(x, a) < ε ⇒ ν(x, a) = 1 + d(x, a) Isto é imediato pois d(x, a) < ε

⇒

d(x, a) < ε + ε · d(x, a)

⇒

d(x, a) < ε. 1 + d(x, a)

ε e mostrar que Por outro lado, dado ε > 0, podemos tomar δε = 1+ε Bν (a; δε ) ⊂ Bd (a; ε). Isto é, seja x ∈ Bν (a; δε ) queremos mostrar que

d(x, a) ε < 1 + d(x, a) 1+ε 317

⇒

d(x, a) < ε

Isto é verdade porquanto d(x, y) ε < ⇔ d(x, a) + ε d(x, a) < ε + ε d(x, a) 1 + d(x, y) 1+ε ⇔ d(x, a) < ε. Os dois u ´ltimos exemplos mostram que toda métrica é equivalente a duas (pelo ao menos) métricas limitadas, uma vez que ν(x, y) ≤ 1. Proposi¸ c˜ ao 67. Sejam d1 e d2 métricas num conjunto M . Se existir uma constante α > 0 tal que d2 (x, y) ≤ α d1 (x, y) para todo x, y ∈ M ent˜ ao d1 ≻ d2 . Prova: Vamos mostrar que a aplica¸cão identidade i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) é cont´ınua. De fato, dados a ∈ M e ε > 0 é suficiente tomar δ = quando d1 (x, a) < δ temos d2 i12 (x), i12 (a) = d2 (x, a) ε ≤ α d1 (x, a) < α δ = α = ε α Isto mostra que i12 é cont´ınua e, por conseguinte, d1 ≻ d2 .

ε α

e então

Corol´ ario 18. Se existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que α d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ β d1(x, y) para quaisquer x, y ∈ M , ent˜ ao d1 ∼ d2 . Prova: Pela proposi¸c˜ ao anterior, se d2 (x, y) ≤ β d1 (x, y) decorre que d1 ≻ d2 . Por outro lado, se α d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) decorre d1 (x, y) ≤ α1 d2 (x, y) e, novamente pela proposi¸cão anterior, temos d2 ≻ d1 . Portanto d1 ∼ d2 .

Nota: A rec´ıproca deste corol´ ario n˜ ao vale. Isto é, se duas métricas s˜ ao equivalentes n˜ ao implica que existam constantes α e β satisfazendo as desigualdades presentes no corol´ ario. Para mostrar isto considere M = R e d(x, y) = |x − y|. Seja ν(x, y) = |x−y| a vimos que ν ∼ d, no entanto n˜ ao existe uma constante β > 0 de 1+|x−y| , j´ modo que d(x, y) ≤ β ν(x, y) , ∀ x, y ∈ R. Pois, caso contr´ ario, ter´ıamos |x − y| ≤ β

|x − y| ⇒ 1 + |x − y| ≤ β 1 + |x − y|

(x 6= y)

e isto implicaria em d ser uma métrica limitada, o que n˜ ao é verdade, como já vimos. 318

Exemplos: As três métricas usuais do Rn s˜ ao equivalentes (p. 72). Dados os espa¸cos (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ), o produto cartesiano M = M1 × M2 × · · · × Mn é o conjunto das n−uplas ordenadas x = (x1 , x2 , . . . , xn ), onde x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 ,. . . , xn ∈ Mn . Para as três métricas abaixo (p. 97) q D1 (x, y) = d12 (x1 , y1 ) + · · · + dn2 (xn , yn ) D2 (x, y) = d1 (x1 , y1 ) + · · · + dn (xn , yn )

D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ), . . . , dn (xn , yn ) } valem as seguintes desigualdades: D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n · D3 (x, y)

(6.24)

as quais provamos de modo inteiramente an´ alogo ao do caso anterior. Portanto, estas métricas s˜ ao equivalentes. Proposi¸ c˜ ao 68. Sejam d e d′ métricas equivalentes sobre M . Se A é a cole¸ca õ dos conjuntos abertos de (M, d) e A′ é a cole¸ca õ dos conjuntos ′ ′ abertos de (M, d ), ent˜ ao A = A . Prova: Seja um aberto A ∈ A e considere a ∈ A um ponto arbitrariamente fixado. Ent˜ ao, por A ser aberto, existe ε > 0 tal que Bd (a; ε) ⊂ A. Da equivalência d ∼ d′ decorre que existe λ > 0 de maneira que Bd′ (a; λ) ⊂ Bd (a; ε). Sendo assim Bd′ (a; λ) ⊂ A o que mostra que A ∈ A′ . Portanto A ⊂ A′ . De maneira an´ aloga se mostra que A′ ⊂ A, o que conclui a demonstra¸cão. Nota: O significado da proposi¸c˜ ao anterior é que métricas equivalentes determinam a mesma estrutura topológica. Segundo esta proposi¸c˜ ao, para mostrar que duas métricas n˜ ao s˜ ao equivalentes basta exibir um conjunto aberto em uma delas e n˜ ao na outra. Vejamos um exemplo do que estamos falando: As métricas dos espa¸cos (R, δ) e (R, µ) n˜ ao s˜ ao equivalentes. Com efeito, o conjunto ] 0, 1 ] é um aberto no primeiro destes espa¸cos, mas n˜ ao no segundo. Julgamos oportuno também ressaltar que esta proposi¸cão n˜ ao diz que os ′ espa¸cos (M, d) e (M, d ) têm a mesma cole¸cão de bolas abertas; mas tão somente de conjuntos abertos. Por exemplo, a figura ` a esquerda é 2 uma bola aberta no espa¸ co R , D1 mas n˜ ao no espa¸co R2 , D2 (neste espa¸co é tão somente um conjunto aberto). Com a figura da direita sucede o contr´ ario. 319

r

r

Teorema 5. Sejam (M, d1 ), (N, d2 ), (M, d′1 ) e (N, d′2 ) espa¸cos métricos. Sendo d1 ∼ d′1 e d2 ∼ d′2 a aplica¸ca õ f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) é cont´ınua se, e somente se, f : (M, d′1 ) −→ (N, d′2 ) é cont´ınua.

Prova: (=⇒) Consideremos f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) cont´ınua e mostremos que f : (M, d′1 ) −→ (N, d′2 ) é cont´ınua. Para tanto é suficiente mostrar mos que: dados a ∈ M e ε > 0 existe δ > 0 de modo que f Bd′ (a; δ) ⊂ 1 Bd′ f (a); ε . Pois bem, 2

1 Como d2 ∼ d′ ent˜

ao a identidade iN : (N, d2 ) −→ (N, d′2 ) é cont´ınua. 2 Em particular é cont´ınua no ponto f (a), o que significa que para a bola Bd′ f (a); ε existe δ′ > 0 de modo que 2 (6.25) iN Bd (f (a); δ′ ) = Bd (f (a); δ′ ) ⊂ Bd′ (f (a); ε) 2

2

2

2 Como f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) ´

e cont´ınua (por hip´ otese), isto implica em que para a bola Bd f (a); δ′ existe uma bola Bd a; δ′′ de modo que 1 2 ′′ f Bd (a; δ ) ⊂ Bd (f (a); δ′ ) (6.26) 1

2

d′

3 Como d1 ∼ 1 ent˜

ao a identidade iM: (M, d′1 ) −→ (M, d1 ) é cont´ ınua, o que significa que para a bola Bd a; δ′′ existe uma bola Bd′ a; δ tal que 1 1 ′′ iM Bd′ (a, δ) = Bd′ (a; δ) ⊂ Bd (a; δ ) 1

1

1

Aplicando f no lado direito desta igualdade e invocando (6.26), temos f Bd′ (a; δ) ⊂ f Bd (a; δ′′ ) ⇒ f Bd′ (a; δ) ⊂ Bd (f (a); δ′ ) 2 1 1 1 mas por (6.25) podemos escrever f Bd′ (a; δ) ⊂ Bd′ f (a); ε . 1

2

(M, d1 )

(N, d2 )

Bd (a; δ′′ ) 1

Bd (f (a); δ′ ) 2

ra

f 2

δ′′

∃ δ′′ >0 iM (M, d′1 ) Bd′ (a; δ) 1

δ

∃ δ′ >0 iN

3

1

(N, d′2 ) Bd′ (f (a); ε) 2

ra

rf (a)

δ′

f ε ∃ δ=?

rf (a) ∀ ε)>0

(⇐=) Análogo. 320

Notas: i) No teorema anterior, obviamente podemos ter os casos particulares: d1 = d′1 ou d2 = d′2 . ii) Ao longo deste livro já tivemos oportunidade de aplicar este teorema por diversas vezes.

Homeomorfismos Uniformes √ A fun¸c˜ ao f : R+ −→ R+ dada por f (x) = x é bijetora, uniformemente cont´ınua (p. 293) mas sua inversa, dada por x 7−→ x2 , n˜ ao é uniformemente cont´ınua (p. 291). Faz sentido a seguinte Defini¸ c˜ ao 40 (Homeomorfismo Uniforme). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma aplica¸ca õ f : M −→ N é chamada homeomorfismo uniforme se f é bijetora, é uniformemente cont´ınua e sua inversa f −1 também é uniformemente cont´ınua. Exemplo: Toda isometria f : M −→ N é um homeomorfismo uniforme porque é bijetora, lipschitziana (logo uniformemente cont´ınua, p. 289) e sua inversa é também uma isometria. Em particular as transla¸cões em um espa¸co vetorial normado (p. 254) e as rota¸cões no espa¸co euclidiano (p. 255) s˜ ao homeomorfismos uniformes.

M´ etricas Uniformemente Equivalentes Defini¸ c˜ ao 41. Sejam d1 e d2 métricas sobre o mesmo conjunto M . Dizemos que d1 e d2 s˜ ao uniformemente equivalentes se a identidade i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) é um homeomorfismo uniforme. Nota¸ca õ: d1 ≃ d2 para indicar que d1 e d2 s˜ ao uniformemente equivalentes. Exemplos e Contraexemplos: 1) Sejam d1 e d2 métricas sobre M . Se existirem constantes α > 0 e β > 0 tais que α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y), ∀x, y ∈ M então as métricas d1 e d2 ser˜ ao uniformemente equivalentes. De fato as desigualdades

1 d (x, y) e d2(x, y) ≤ β d1(x, y), α 2 provam respectivamente que as identidades d1(x, y) ≤

i12 : (M, d1 ) −→ (M, d2 ) s˜ ao lipschitzianas

(p. 258),

e

i21 : (M, d2 ) −→ (M, d1 )

logo, uniformemente cont´ınuas 321

∀x, y ∈ M

(prop. 63, p. 289).

Em particular as três métricas do espa¸co M1 × M2 × · · · × Mn = M s˜ ao uniformemente equivalentes visto que vale (6.24) (p. 319). 2) Seja (M, d) um espa¸co métrico. A métrica dada por ν(x, y) = min{ 1, d(x, y) } é uniformemente equivalente a d. Para provar esta afirma¸cão basta mostrar que a aplica¸c˜ ao identidade idν : (M, d) −→ (M, ν) é um homeomosfismo uniforme. Pois bem, como ν(x, y) = min{ 1, d(x, y) } ≤ d(x, y) ⇒ ν idν (x), idν (y) ≤ d(x, y)

segue que a identidade idν : (M, d) −→ (M, ν) é lipschitziana e, portanto, uniformemente cont´ınua. Agora vamos mostrar que a identidade = iνd : (M, ν) −→ (M, d) i−1 dν é uniformemente cont´ınua. Para isto dado ε > 0 devemos exibir δ = δ(ε) > 0 de modo que ν(x, y) < δ ⇒ d iνd (x), iνd (y) < ε Vamos mostrar que δ dado por δ(ε) = min{ 1, ε } serve. Pois, bem de   ν(x, y) < 1 (⋆) ν(x, y) < δ = min{ 1, ε } ⇒  ν(x, y) < ε (⋆⋆)

da defini¸c˜ ao ν(x, y) = min{ 1, d(x, y) } e de (⋆) concluimos que devemos ter ν(x, y) = d(x, y) e de (⋆⋆) devemos ter d(x, y) < ε ⇒ d(x, y) = d iνd (x), iνd (y) < ε

Portanto de fato a escolha δ(ε) = min{ 1, ε } nos conduz ao resultado desejado. Isto é, nos permitiu mostrar que a identidade iνd é uniformemente cont´ınua. 3) Seja (M, d) um espa¸co métrico. A métrica dada por ν(x, y) =

d(x, y) 1 + d(x, y)

é uniformemente equivalente a d. Para provar esta afirma¸cão basta mostrar que a aplica¸c˜ ao identidade idν : (M, d) −→ (M, ν) é um homeomosfismo uniforme. Ent˜ ao d(x, y) ≤ d(x, y) ⇒ ν idν (x), idν (y) ≤ d(x, y) ν(x, y) = 1 + d(x, y) Isto mostra que idν é lipschitziana e, portanto, uniformemente cont´ınua. 322

Agora vamos mostrar que a identidade = iνd : (M, ν) −→ (M, d) i−1 dν é uniformemente cont´ınua. Para isto dado ε > 0 devemos exibir δ = δ(ε) > 0 de modo que ν(x, y) < δ ⇒ d iνd (x), iνd (y) < ε Vamos mostrar que δ dado por δ(ε) = ν(x, y) < δ =

ε 1+ε

serve. Pois bem,

d(x, y) ε ε ⇒ ν(x, y) = < 1+ε 1 + d(x, y) 1+ε

Temos que ε d(x, y) < ⇔ d(x, y) + ε d(x, y) < ε + ε d(x, y) 1 + d(x, y) 1+ε ⇔ d(x, y) < ε portanto ν(x, y) < δ ⇒ d iνd (x), iνd (y) < ε.

ε De fato a escolha δ(ε) = 1+ε nos conduz ao resultado desejado. Isto é, nos permitiu mostrar que a identidade iνd é uniformemente cont´ınua. Os dois exemplos anteriores mostram que toda métrica possui pelo ao menos duas métricas limitadas que lhe s˜ ao uniformemente equivalentes.

4) Vejamos agora um exemplo de métricas equivalentes mas n˜ ao uniforme˙ mente equivalentes. Consideremos os espa¸cos (M, µ) e (M, δ), onde 1 1 M = 1, , , . . . 2 3

e

˙ δ(x, y) =

(

1 se e s´ o se, x 6= y; 0 se e s´ o se, x = y.

˙ s˜ e µ(x, y) = |x − y|. Os espa¸cos (M, µ) e (M, δ) ao ambos discretos, logo ˙ as métricas µ e δ s˜ ao equivalentes (ex. 3, p. 312). No entanto a aplica¸cão ˙ n˜ identidade i : (M, µ) −→ (M, δ) ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que i n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x, y ∈ M : µ(x, y) < δ e δ˙ i(x), i(y) ≥ ε

Pois bem, tome qualquer ε ≤ 1. Para todo δ > 0 existe n ∈ N tal que 1 1 1 ao n(n+1) < δ. Vamos tomar x = n+1 e y = n , ent˜ |x − y| =

1 <δ n(n + 1)

e

δ˙ i(x), i(y) = δ˙ 323

1 1 , = 1 ≥ ε. n+1 n

• A continuidade uniforme n˜ ao é uma propriedade topológica. (p. 298) Isto é, uma fun¸c˜ ao uniformemente cont´ınua f : M −→ N pode perder esta propriedade caso troquemos a métrica de M e/ou a de N por outra equivalente. Vejamos um caso destes. Consideremos M , µ, δ˙ como no exemplo anterior e verifiquemos o seguinte diagrama ˙ −→ (R, µ) ⇒ f : (M, δ) l∼ f : (M, µ) −→ (R, µ) ⇒

f´ e uniformemente cont´ınua.

f n˜ ao ´ e uniformemente cont´ınua.

˙ −→ (R, µ) é onde f é dada por f n1 = n. Vamos mostrar que f : (M, δ) uniformemente cont´ınua. Para todo ε > 0 dado devemos exibir δ > 0 de modo que se ˙ δ(x, y) < δ ⇒ µ f (x), f (y) < ε Tomando δ = 1, temos que

˙ ˙ se δ(x, y) < 1 ⇒ δ(x, y) = 0 ⇒ x = y ⇒ f (x) = f (y)

⇒ µ f (x), f (y) = 0 < ε.

Agora vamos mostrar que f : (M, µ) −→ (R, µ) n˜ ao é uniformemente cont´ınua. Para mostrar que f n˜ ao é uniformemente cont´ınua devemos exibir um ε > 0 tal que para todo δ > 0 possamos encontrar dois pontos x, y ∈ M tais que µ(x, y) < δ e µ f (x), f (y) ≥ ε Pois bem, tome qualquer ε ≤ 1. Para todo δ > 0 existe n ∈ N tal que 1 1 1 ao n(n+1) < δ. Vamos tomar x = n+1 e y = n , ent˜ |x − y| =

1 <δ n(n + 1)

e

µ f (x), f (y) = |(n + 1) − n| = 1 ≥ ε.

Neste exemplo a continuidade uniforme foi perdida ao trocarmos uma métrica por outra equivalente − mas n˜ ao uniformemente equivalente − Perguntamos: E se trocarmos uma métrica por outra que lhe seja uniformemente equivalente n˜ ao teriamos a continuidade uniforme preservada? Isto de fato acontece: Proposi¸ c˜ ao 69. Seja f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) uma fun¸ca õ uniformemente cont´ınua. A aplica¸ca õ f n˜ ao perde esta propriedade quando se substitui a métrica de M e/ou a de N por outra que lhe(s) seja(m) uniformemente equivalente(s). Prova: Vamos conduzir a prova para o caso particular de substituirmos d1 por d′1 ≃ d1 . As demais possibilidades s˜ ao tratadas de modo an´ alogo. Temos

324

hip´ otese

Tese

f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) l≃ f : (M, d′1 ) −→ (N, d2 )

(f ´ e uniformemente cont´ınua.)

(f ´ e uniformemente cont´ınua.)

Dado ε > 0 existe, por hip´ otese, ρ > 0 de modo que d1(x, y) < ρ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε

(6.27)

Como a identidade

i : (M, d′1 ) −→ (M, d1 )

é uniformemente cont´ınua, devido a que d′1 ≃ d1 , então para o ρ > 0 acima existe δ = δ(ρ) > 0 de modo que d′1(x, y) < δ ⇒ d1 i(x), i(y) = d1(x, y) < ρ portanto, invocando (6.27), temos

d′1(x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε

o que garante a continuidade uniforme de

f : (M, d′1 ) −→ (N, d2 )

6.5.1

Normas Equivalentes

Vamos Considerar duas normas distintas sobre um mesmo espa¸co vetorial E, +, · . Para diferenci´ a-las usaremos a nota¸cão k k1 para uma delas e k k2 para a outra. Sendo assim d1 e d2 dadas por d1 (x, y) = kx − yk1 e d2 (x, y) = kx − yk2 ser˜ ao as métricas induzidas sobre E por essas normas. Defini¸ c˜ ao 42 (Normas Equivalentes). Duas normas sobre o mesmo espa¸co vetorial E, +, · dizem-se equivalentes se, e somente se, as métricas induzidas por essas normas sobre E s˜ ao equivalentes. Se k k1 e k k2 s˜ ao as normas consideradas e d1 e d2 as respectivas métricas induzidas por essas normas, ao a equivalência definida acimasignifica que ent˜ dada uma bola Bd p; r , com p ∈ E, existe uma bola Bd p; s tal que 1 2 Bd p; s ⊂ Bd p; r 1

2

e, reciprocamente. J´ a vimos que a existência de n´ umeros reais α > 0 e β > 0 tais que α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y)

é uma condi¸c˜ ao suficiente para que as métricas d1 e d2 sejam equivalentes, mas esta condi¸c˜ ao n˜ ao é necessária. (ver nota pg. 318) 325

Veremos agora que esta condi¸cão que é apenas suficiente para a equivalência de métricas em geral, é também necessária quando tais métricas provêm de normas. Proposi¸ c˜ ao 70. Duas normas k k1 e k k2 num espa¸co vetorial E, +, · s˜ ao equivalentes se, e somente se, existem constantes α > 0 e β > 0 tais que α kxk1 ≤ kxk2 ≤ β kxk1 para qualquer x ∈ E. Prova: (⇐=) Dados x, y ∈ E, por hip´ otese, temos α kx − yk1 ≤ kx − yk2 ≤ β kx − yk1 Ou seja, α d1(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ β d1(x, y). Sendo assim o corol´ ario 18 (p. 318) nos assegura que d1 ∼ d2 o que, por sua vez implica − por defini¸cão − que as normas s˜ ao equivalentes. (=⇒) Por otese as normas dadas ao equivalentes. Portanto, dada a bola hip´ s˜ Bd 0; 1 existe uma bola Bd 0; r de modo que 1

2

Bd 0; r ⊂ Bd 0; 1 2

1

Escolhendo um n´ umero real α de modo que 0 < α < r, o vetor todo 0 6= x ∈ E, pertence à bola Bd 0; r pois

αx kxk2 ,

para

2

αx

αkxk2

kxk − 0 = kxk = α < r 2 2 2

portanto esse vetor também pertence à bola Bd 0; 1 , o que implica 1

Ou seja,

αx

αkxk1

kxk − 0 = kxk < 1 2 2 1

αkxk1 < kxk2 Por outro lado, dada a bola Bd 0; 1 existe uma bola Bd 0; s tal que 2

1

Bd 0; s ⊂ Bd 1

2

0; 1

Escolhamos um n´ umero real β que satisfa¸ca as desigualdades 0 < β1 < s. x pertence à bola Bd 0; s pois Logo, para todo 0 6= x ∈ E, o vetor βkxk 1

x

= kxk1 = 1 < s − 0

βkxk

βkxk1 β 1 1 326

1

portanto esse vetor também pertence à bola Bd 0; 1 o que implica 2

x

kxk2

βkxk − 0 = βkxk < 1 1 1 2

ou seja

kxk2 < βkxk1

Sendo assim temos α kxk1 < kxk2 < β kxk1 para todo vetor x 6= 0. Lembramos que k0k1 = 0 = k0k2 isto implica em que α k0k1 = k0k2 = β k0k1 o que implica na tese: existem n´ umeros α > 0 e β > 0 tais que α kxk1 ≤ kxk2 ≤ β kxk1

para qualquer x ∈ E.

Interregno cultural: A revolu¸ca õ do espa¸co curvo teve uma influência profunda em todas as ´ areas da matem´ atica. Desde o tempo de Euclides até a época em que os trabalhos de Gauss e de Riemann foram descobertos postumamente, a matem´ atica era principalmente pragm´ atica. A estrutura de Euclides era interpretada como descrevendo o espa¸co f´ısico. A matem´ atica era, num certo sentido, um tipo de f´ısica. Quest˜ oes sobre a consistência das teorias matem´ aticas pareciam discut´ıveis − a demonstra¸ca õ encontravase no mundo f´ısico. Mas, por volta de 1900, os matem´ aticos tinham a opini˜ ao de que os axiomas eram afirma¸co ˜es arbitr´ arias, sendo apenas a base de um sistema cujas consequências deveriam ser investigadas num tipo de jogo mental. Subitamente, os espa¸cos matem´ aticos eram considerados como estruturas l´ ogicas abstratas. A natureza do espa¸co f´ısico tornou-se uma quest˜ ao separada, uma quest˜ ao de f´ısica, n˜ ao de matem´ atica. Para os matem´ aticos, surgiu agora um novo tipo de quest˜ ao: a de mostrar a consistência l´ ogica de suas estruturas. A idéia de demonstra¸ca õ, que tinha ficado em posi¸ca õ secund´ aria durante os séculos recentes de avan¸cos em técnicas de c´ alculos, tornou-se novamente dominante. (Leonard Mlodinow/A janela de Euclides)

327

6.6

Exerc´ıcios

1) Verifique os ´ıtens 1.3) e 1.4) da tabela da p. 240, utilizando a defini¸cão de continuidade ou uma de suas caracteriza¸cões equivalentes. 2) Mostre que a fun¸c˜ ao afim f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = ax + b é cont´ınua. Mais que isto, é uniformemente cont´ınua. 3) Mostre, pela defini¸c˜ ao (ou alguma de suas caracteriza¸cões), que a fun¸cão f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = x2 é cont´ınua. 4) Mostre, pela defini¸c˜ ao (ou alguma de suas caracteriza¸cões), que a fun¸cão f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = x3 é cont´ınua. 5) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) cont´ınua em a e f (a) > 0. Prove que existe uma bola B(a; δ) tal que f (x) > 0, para todo x ∈ B(a; δ). 6) Dê exemplo de uma fun¸cão definida em (R, µ) e que seja cont´ınua em todos os pontos, exceto em −1, 0, 1. 7) Dê exemplo de uma fun¸cão definida em (R, µ) e que seja cont´ınua em todos os pontos exceto nos inteiros. 8) Determine o conjunto dos pontos em que a fun¸cão dada é cont´ınua. ( ( x, se x ∈ Q; x2 − 1, se x ∈ Q; a ) f (x) = b ) f (x) = −x, se x 6∈ Q. −x2 + 1, se x 6∈ Q. 9) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos e seja f : M −→ N . Se a ∈ M e para todo ε ∈ R tal que 0 < ε < 1 existe δ > 0 de modo que se d1(x, a) < δ ⇒ d2 f (x), f (a) < ε mostre que f é cont´ınua em a.

10) Mostre, pela defini¸caõ (ou alguma de suas caracteriza¸cões), que a fun¸cão f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = |x| é cont´ınua. 11) A fun¸c˜ ao f : (R − { 0 }, µ) −→ (R, µ) definida por R

6

1

x = f (x) = |x|

(

1, se x > 0; −1, se x < 0.

- R−{ 0 }

∴ −1

é cont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio. Prove isto! 328

12) Mostre que f , do exerc´ıcio anterior, n˜ ao é uniformemente cont´ınua. 13) Mostre, pela defini¸c˜ ao (ou alguma de suas caracteriza¸cões), que a fun¸cão 1 f : (R∗+ , µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = é cont´ınua. x 14) A fun¸c˜ ao f : [0, 1], µ −→ [0, 1[, k dada por, 1

0,

0 ≤ x < 1;

¬

f (x) =

( x,

1 2

x = 1.

¬1

0

2

s

1

é cont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio. Por exemplo, mostre que f é cont´ınua em x = 0 e x = 1. N ∪ { 0 } e a fun¸cão f : (M, µ) −→ (R, µ) 15) Considere M = n1 : n ∈ definida por f (0) = 0 e f n1 = n. Estude a continuidade de f . 16) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por ( x + 1, se x ∈ N; f (x) = x, se x 6∈ N.

Mostre que f é cont´ınua nos pontos de R − N mas n˜ ao é cont´ınua em N. 17) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos e f, g : M −→ N fun¸cões cont´ınuas. Se f (a) 6= g(a), para algum a ∈ M , mostre que existe uma bola B(a; ε) tal que f (x) 6= g(y), para quaisquer x, y ∈ B(a; ε). 18) Sejam f, g : (R, µ) −→ (R, µ) fun¸cões cont´ınuas tais que f (x) = g(x) para todo x ∈ Q. Prove que f = g. Sugest˜ ao: Use o exerc´ıcio anterior.

19) Considere f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por ( x, se x ∈ Q; f (x) = 0, se x 6∈ Q. mostre que f s´ o é cont´ınua no ponto 0. Sugest˜ ao: Use a proposi¸c˜ ao 52

(p. 267)

e 55

329

(p. 268).

20) Seja ν : Z4 , σ −→ Z4 , ρ Onde x = x1 x2 x3 x4 7−→ y = y1 y2 y3 y4 é tal que yi = Por exemplo,

( 1,

se xi = 0;

0,

se xi = 1.

ν 1010 = 0101 ; ν 1100 = 0011.

Estude a continuidade de ν.

21) Mostre que a transforma¸cão f : (R, µ) −→ ( ] − 1, 1 [, µ) dada por x é um homeomorfismo. f (x) = 1 + |x|

22) A aplica¸c˜ ao f : (R, µ) −→ (R2 , D1 ) dada por f (x) = (x, 0) leva a reta no plano euclidiano. Mostre que f é uma imersão isométrica. Mostre que se no espa¸co R2 , D1 trocarmos D1 por D2 ou por D3 , f continua uma imersão isométrica. 23) A aplica¸c˜ ao f : R2 , D1 −→ R3 , D1 dada por f (x1 , x2 ) = (x1 , x2 , 0) leva o plano euclidiano no espa¸co euclidiano. Mostre que f é uma imersão isométrica. Mostre que se no espa¸co 2 R , D1 trocarmos D1 por D2 ou D3 , f n˜ ao ser´ a mais uma imersão isométrica. Interprete geometricamente suas conclusões. 24) Perguntamos se existe (ou n˜ ao) uma imersão isométrica: ϕ : ( [ 0, 1 [, µ ) −→ ( [ 0, 1 [, k ) Se existe, exiba-a; se n˜ ao, prove! 25) A rota¸c˜ ao de um ˆ angulo θ em torno de um ponto é uma transforma¸cão ancia; em sendo assim, a rota¸cão depende da métrica que preserva a distˆ considerada. Por exemplo, a rota¸cão do ponto (1, 0) de 90o em torno da origem nas três métricas do R2 , fica assim:

(0,1)

s s

(0,1)

s

(1,0)

(0,1)

(1,0)

s s

(1,0)

Mostre que a transforma¸cão rota¸cão em qualquer uma destas métricas n˜ ao é uma isometria em qualquer uma das outras duas métricas.

330

26) Uma isometria em ZN , σ e ZN , τ . Considere a aplica¸c˜ ao complementa¸ca õ, assim definida T :

SN

SN

(x1 , x2 , ...,xn )

onde xi =

(

(x1 , x2 , ...,xn )

1, se xi = 0; 0, se xi = 1.

Exemplos, 1101

Observe que

0111

T

T

0010 1000

σ 1 1 0 1, 0 1 1 1 = 2 ; σ 0 0 1 0, 1 0 0 0 = 2.

Por outro lado,

τ 1 1 0 1, 0 1 1 1 = 3 ; τ 0 0 1 0, 1 0 0 0 = 3.

Isto é, ambas as distˆ ancias foram preservadas. Mostre que T é uma isometria. Perguntamos se T é isometria no espa¸co ZN , ρ . ( 1, se x ∈ Q; 27) Seja f : (R, µ) −→ (R, µ) dada por f (x) = 0, caso contr´ ario. Mostre − utilizando as proposi¸c˜ oes 42 (p. scont´ınua em todo ponto do seu dom´ınio.

212)

e 55

(p. 268)

− que f é de-

28) Mostre que a fun¸c˜ ao f : R2 → R dada por  x·y  , se (x, y) 6= (0, 0);  2   x + y2 f (x, y) =     1 , se (x, y) = (0, 0). 2 n˜ ao é cont´ınua no ponto (0, 0).

Sugest˜ ao: Considere a sequência (xn , yn ) =

1 2 n, n

.

29) Mostre que a fun¸c˜ ao f : (R∗+ , µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = 1/x n˜ ao é uniformemente cont´ınua.

331

30) Mostre que a bije¸caõ f : [ 0, 1 [ ∪ { 2 } −→ [ 0, 1 ] dada por f (x) =

(

x, se x ∈ [ 0, 1 [ ; 1,

se x = 2.

é cont´ınua e sua inversa descont´ınua. 31) Seja f uma fun¸c˜ ao definida em R e suponha que existe M > 0 tal que |f (x) − f (p)| ≤ M |x − p| para todo x. Prove que f é cont´ınua em p. 32) Estabele¸ca um homeomorfismo entre os quadrados a seguir f =?

R

R

1

1 |x| + |y|=1

−1

1

max{ |x|, |y| }=1

R

−1

−1

1

R

−1

Nota: Considere a métrica usual do R2 . Sugest˜ ao: Aplique uma rota¸cão seguida de uma homotetia.

h√2

R45o

33) Com respeito ao exerc´ıcio anterior mostre que se (x, y) ∈ 3 então f (x, y) ∈ 2, de acordo com a figura. 34) Estabele¸ca um homeomorfismo entre o quadrado e o triˆ angulo da figura: f =?

R

R

1

1 |x| + |y|=1

−1

1

R

−1

−1

1

−1

332

R

35) Estabele¸ca um homeomorfismo entre o quadrado e o c´ırculo da figura: f =?

R

R

1

1 |x| + |y|=1

−1

1

R

−1

1

−1

R

−1

Sugest˜ ao: Inicialmente obtenha uma rela¸cão entre as coordenadas dos pontos no c´ırculo (xc , yc ) e as cordenadas dos pontos no quadrado (xq , yq ): R yc xc

1

−1

=

yq xq

R

1

−1

Depois considere os sistemas:   x2 + y 2 = 1 c c  xc = y c

xq yq

e

  |xq | + |yq | = 1  xc = y c

xq yq

Resolva o sistema da esquerda para xc , yc para encontrar f : 3 −→ dada por

x y f (x, y) = p , p x2 + y 2 x2 + y 2

36) No exerc´ıcio anterior resolva o sistema da direita para xq , yq para encontrar f −1 : −→ 3 e, ap´ os, confirme os seguintes diagramas:

333

f −1

f

f −1 ◦ f = I3 e f −1

f

f ◦ f −1 = I◦ Resumindo: concluimos que podemos transformar (homeomorfamente) qualquer uma das figura seguintes

nas outras três. De modo sugestivo podemos considerar qualquer uma destas figuras como constru´ıda com um fio delgado, flex´ıvel e elástico. O fato de serem homeomorfas significa que podemos transformá-las entre si sem causar a ruptura do fio. 37) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos e seja f : M −→ N . Mostre que f é cont´ınua se, e somente se, f (A¯ ) ⊂ f (A), para todo A ⊂ M . 38) Seja f : ] 0, +∞ [ −→ R, assim definida: f (x) =

(

0,

se x é irracional;

1 n,

se x =

m n,

com mdc(m, n) = 1.

Prove que f é cont´ınua em todo irracional e descont´ınua em todo racional. 334

39) Prove que a fun¸c˜ ao f : ([ 0, 1 ], µ) −→ ([ 0, 1 [, k) dada por  2 1   3 + 3 x, se 0 ≤ x < 1; f (x) =   0, se x = 1.

(6.28)

cujo gr´ afico est´ a plotado a seguir

f (x) 1◦

p

2 3

p

1 3

0

1 2

ps1

p

x

é cont´ınua. 40) Prove que a fun¸c˜ ao f : ([ 0, 1 ], µ) −→ ([ 0, 1 [, k) dada por  1   1 − 3 x, se 0 < x ≤ 1; f (x) =   0, se x = 0. cujo gr´ afico est´ a plotado a seguir

f (x) 1◦

p

2 3

p

1 3

0

s

1 2

p

p1

é cont´ınua.

335

x

(6.29)

41) Suponha que f : R −→ R seja cont´ınua e peri´ odica (isto é, para algum a ∈ R, f (x) = f (x + a), x ∈ R). Mostre que f é uniformemente cont´ınua. 42) Suponha f definida e cont´ınua em R e que f (x) = 0 para todo x racional. Prove que f (x) = 0 para todo x real. 43) Mostre que a métrica usual em R, µ(x, y) = |x−y|, ao é uniformemente n˜ equivalente ` a métrica d sobre R dada por d(x, y) = 1, |x3 − y 3 | . 44) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos e seja f : M −→ N um homeomorfismo. Se x ∈ M e f (x) = y, mostre que M − { x } e N − { y } s˜ ao homeomorfos.

45) Considere E = { a, b, c, d }. Determine qual(is) das cole¸cões a seguir s˜ ao topologias sobre E: (p. 280) a ) T 1 = { { a }, { a, b }, ∅, E } b ) T 2 = { { a }, { a, b }, { c, d }, { a, c, d }, ∅, E } c ) T 3 = { { a }, { b }, { d }, { a, b }, ∅, E } 46) Sejam E um conjunto infinito, mostre que o par (E, T ), onde T = { X ⊂ E : X = ∅ ou E − X é finito } é um espa¸co topol´ ogico. Defini¸ c˜ ao 43. Sejam E e F espa¸cos topol´ ogicos. Uma fun¸ca õ f : E −→ F ser´ a dita cont´ınua quando para todo aberto A ⊂ F tivermos f −1 (A) aberto em E. 47) Sejam E = { a, b, c, d } e a aplica¸cão f : (E, T 2 ) −→ (E, T 1 ), dada por f (x) = x, onde T 1 e T 2 s˜ ao como no exerc´ıcio 45. Mostre que f é cont´ınua, porém sua inversa n˜ ao. 48) Seja (E, T ) o espa¸co topológico definido no exerc´ıcio 46, verifique se a fun¸c˜ ao f : E −→ R dada por f (x) = x é cont´ınua ou n˜ ao. 49) Considere o espa¸co topológico (N, T ), onde T é a topologia definida no exerc´ıcio 46, verifique se a fun¸cão f : N −→ N dada por f (n) = n2 é cont´ınua ou n˜ ao. Defini¸ c˜ ao 44. Seja (E, T ) um espa¸co topol´ ogico. Dizemos que uma sequência (xn ) de pontos de E converge para p ∈ E se, para todo aberto G que contém p, existe um ´ındice natural r tal que: xn ∈ G, ∀ ≥ r. O ponto p chama-se limite da sequência . 50) Ao contr´ ario do que ocorre nos espa¸cos métricos, num espa¸co topológico uma sequência pode convergir para mais de um ponto. Para um exemplo, considere o espa¸co (E, T ), onde E = { a, b, c, d } e T = { { a }, { c, d }, { a, c, d }, ∅, E } e a sequência (a, a, a, . . .). Mostre que neste espa¸co essa sequência converge para dois limites. 336

Apˆ endice: Limites em espa¸cos m´ etricos O conceito de limites de fun¸c˜ oes, estudado no C´ alculo e na Análise Real, é suscept´ıvel de generaliza¸c˜ ao para espa¸cos métricos arbitrários, assim: Defini¸ c˜ ao 45. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ M um ponto de acumula¸ca õ de X. Dada uma fun¸ca õ f : X −→ N , diremos que f tem limite b, em a, se, para todo ε > 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo x ∈ X, a senten¸ca seguinte é verdadeira 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε Tal n´ umero b ser´ a indicado por lim f (x) = b. x→a

(M, d1 ) X

r

x

δ ra

(N, d2 )

f

rb rf (x)

ε

A seguir colocamos, em s´ımbolos, a defini¸cão de limite juntamente com sua nega¸c˜ ao: (b ´ e limite de f em a)

∀

ε>0

∃

ε0 >0

∃

∀ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

δ>0 x∈X

∀

∃ ; 0 < d1 (xδ , a) < δ ∧ d2 f (xδ ), b ≥ ε0

δ>0 xδ ∈X

( b n˜ ao ´ e limite de f em a)

Observa¸ co ˜es: 1a ) S´ o tem sentido indagarmos pelo limite de uma fun¸cão f : X −→ N em um ponto a ∈ M , quando este ponto é de acumula¸cão do dom´ınio X de f . O que significa que se X tiver pontos isolados, então n˜ ao podemos perguntar pelo limite em tais pontos. Se desej´ assemos considerar a mesma defini¸cão no caso em que a 6∈ X ′ (isto é, para pontos isolados do dom´ınio da fun¸cão) ent˜ ao todo n´ umero real b seria limite de f (x) em a. 337

Para provar esta u ´ltima afirmativa faremos uma exegese da defini¸cão de limite, dada em s´ımbolos. De fato, se a 6∈ X ′ (isto é, se a é ponto isolado do dom´ınio de f ) ent˜ ao existe δ′ > 0 tal que X − { a } ∩ Bd (a; δ) = ∅. Isto é, 1 0 < d1 (x, a) < δ′ , x ∈ X n˜ ao se verifica para nenhum ponto x do dom´ınio. Isto quer dizer que, para o tal δ′ , a senten¸ca ∀

x∈X

; 0 < d1 (x, a) < δ′

é falsa. Esta senten¸ca pode ser reescrita assim: ∃

δ>0

∀

x∈X

; 0 < d1 (x, a) < δ

Pois bem, sendo esta senten¸ca falsa, torna-se verdadeira a senten¸ca: ∃ ∀ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε δ>0 x∈X

independentemente do valor lógico da senten¸ca q(x) : d2 f (x), b < ε. Isto é, independentemente do valor de b e de ε > 0. Portanto, sendo a senten¸ca: ∀ ∃ ∀ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

ε>0

δ>0 x∈X

p

q

p −→ q

V V F F

V F V F

V F V V

verdadeira temos, por defini¸cão, lim f (x) = b. x→a

Portanto esta é a justificativa para exigirmos que a seja um ponto de acumula¸c˜ ao de X. Observe (prop. 47, p. 221) que sendo a um um ponto de acumula¸c˜ ao de X, então todo intervalo aberto centrado em a contém infinitos pontos do dom´ınio. ao pertencer ao 2a ) Sendo a um ponto de acumula¸cão de X, a pode ou n˜ dom´ınio X da fun¸c˜ ao. Nos casos mais importantes de limite, tem-se a 6∈ X.

3a ) Considerando um ponto a do dom´ınio o valor b = lim f (x) (quando x→a

existe) pode ser independente do valor que f assume em a, isto é, de f (a). Quando estivermos interessados no limite de f em a, basta olharmos para os valores que f assume numa “pequena” bola aberta centrada em a; o conceito de limite é um conceito local. 4a ) Suponhamos f definida em a. Oportunamente mostraremos que f cont´ınua em a ⇐⇒

lim f (x) = f (a).

x→a

Proposi¸ c˜ ao 71 (Unicidade do limite). Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ X ′ . Dada f : X −→ N , se lim f (x) = b e x→a

lim f (x) = c, ent˜ ao b = c.

x→a

338

Prova: Se lim f (x) = b e lim f (x) = c então x→a x→a dado ε > 0 existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que ε 0 < d1 (x, a) < δ1 =⇒ d2 f (x), b < 2 ε 0 < d1 (x, a) < δ2 =⇒ d2 f (x), c < 2

Seja δ = min{ δ1 , δ2 }. Ent˜ ao, se x′ ∈ X − { a } temos   d2 f (x′ ), b < 0 < d1 (x′ , a) < δ =⇒  d f (x′ ), c < 2

ε 2 ε 2

Logo,

ε ε d2 (b, c) ≤ d2 b, f (x′ ) + d2 f (x′ ), c < + = ε 2 2 Como ε > 0 é arbitrário, concluimos que d2 (b, c) = 0 e assim b = c.

Exemplos: 1) Considere a aplica¸c˜ ao f : [ 0, 1[ −→ [ 0, 1[ identidade f (x) = x. Mostre que para: a) f : [ 0, 1[, µ −→ ([ 0, 1[, k) temos que lim x = 0; x→0

b) f : [ 0, 1[, k −→ ([ 0, 1[, µ) temos que lim x 6= 0.

Solu¸ ca õ:

x→0

a) Devemos mostrar que é verdadeira a senten¸ca

∀

ε>0

∀

ε>0

∃

∀ ; 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), b < ε

δ>0 x∈X

∃

∀ ; 0 < |x − 0| < δ

δ>0 x∈[ 0, 1 [

=⇒ k f (x), 0 < ε

Tomando δ = min{ 21 , ε }, resulta que 0
Isto prova que lim x = 0. x→0

339

b) Devemos mostrar que é verdadeira a senten¸ca

∃

ε0 >0

∃

ε0 >0

∀

∃ ; 0 < d1 (xδ , a) < δ ∧ d2 f (xδ ), b ≥ ε0

δ>0 xδ ∈X

∀

∃ ; 0 < k(xδ , 0) < δ ∧ f (xδ ) − 0 ≥ ε0

δ>0 xδ ∈[ 0, 1 [

Para mostrar que lim x 6= 0 tomemos ε0 = 41 e mostremos que ∀ δ > 0, x→0 ∃ x ∈ [ 0, 1 [ com ; 0 < k(x , 0) < δ e f (x ) ≥ 1 . δ

δ

4

δ

Sem perda de generalidade consideremos δ < 12 e escolhamos xδ = (1−δ)+1 = 2 1 − δ/2. Observe que k(xδ , 0) = min{ xδ , 1 − xδ } = 1 − xδ = 2δ < δ e, f (xδ ) = xδ = 1 −

1 3 δ ≥ ⇐⇒ δ ≤ . 2 4 2

Sendo assim mostramos que lim x 6= 0. Veja a geometria (para δ < 21 ): x→0

1 f (xδ )

¬ [

1 2

0

δ

¬1 2

1−δ

s

1

xδ

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que lim x n˜ ao existe. x→0

340

2) Consideremos o espa¸co métrico ([ 0, 1[, k) e X = [ 21 , 1 [. Considere a aplica¸cão, f : X −→ [ 0, 1[, µ dada por f (x) = x. Mostre que lim x 6= 0. x→0

Solu¸ ca õ: Inicialmente vejamos graficamente o que est´ a acontecendo: 1

f (x) s↑

¬ 1 2

1 2

0

→ s x

1

Por curiosidade observe que se no espa¸co ([ 0, 1[, k) trocarmos de métrica, isto é, se substituirmos k por µ, resulta que 0 n˜ ao é um ponto de acumula¸cão de X, o que significa que n˜ ao faz sentido indagarmos pelo limite lim f (x). x→0

Entretanto, em fun¸c˜ ao do exemplo 3 (p. 220), estamos autorizados a perquirir o referido limite. Pois bem, devemos mostrar que é verdadeira a senten¸ca,

∃

ε0 >0

∃

ε0 >0

∀

∃ ; 0 < d1 (xδ , a) < δ ∧ d2 f (xδ ), b ≥ ε0

δ>0 xδ ∈X

∀

∃ ; 0 < k(xδ , 0) < δ ∧ f (xδ ) − 0 ≥ ε0

δ>0 xδ ∈[ 1/2, 1 [

A prova é similar a do exemplo anterior; aqui s´ o observamos (graficamente) a raz˜ ao do porque lim x 6= 0: é que, enquanto x aproxima-se de 0, x→0

sua imagem afasta-se de 0.

Neste mesmo exemplo, deixamos como exerc´ıcio ao leitor fechar o intervalo unit´ ario no contradom´ınio e mostrar que lim x = 1. x→0

Proposi¸ c˜ ao 72. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ X. Seja uma fun¸ca õ f : X −→ N . Se a ∈ X ′ , f ser´ a cont´ınua em a, se e somente se, lim f (x) = f (a). x→a

Prova: Se f é cont´ınua no ponto a, então dado ε > 0 existirá δ > 0 de modo que d2 f (x), f (a) < ε para todo x ∈ X com d1 (x, a) < δ. Em particular, se x ∈ X e 0 < d1 (x, a) < δ teremos d2 f (x), f (a) < ε. Logo lim f (x) = f (a).

x→a

341

Reciprocamente, se lim f (x) = f (a), dado ε > 0 existirá δ > 0 de modo x→a que d2 f (x), f (a) < ε para todo x ∈ X − {a} com d1 (x, a) < δ. Como porém, d2 f (a), f(a) = 0 < ε, temos que x ∈ X com d1 (x, a) < δ implica em d2 f (x), f (a) < ε. Logo f é cont´ınua no ponto a.

Proposi¸ c˜ ao 73. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e a ∈ ′ X . Dada uma fun¸ca õ f : X −→ N teremos lim f (x) = p, se e somente se, x→a

para toda sequência (xn ) em X − { a } com lim xn = a tivermos lim f (xn ) = n n p.

Coment´ ario: O teorema afirma a equivalência entre duas senten¸cas abertas P e Q, que s˜ ao: P : lim f (x) = p x→a

Q : ∀ (xn ) ; lim xn = a =⇒ lim f (xn ) = p n

n

Prova: (P =⇒ Q) Aplicaremos a técnica (T-5):

(p. 573)

Suponhamos lim f (x) = p. Então, para todo ε > 0 dado, existe um x→a δ > 0 tal que, para todo x ∈ X, 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), p < ε.

Se (xn ) é uma sequência em X − { a } com lim xn = a, para este δ > 0 n existe um ´ındice n0 tal que n ≥ n0 =⇒ 0 < d1 (xn , a) < δ Logo, para todo n ≥ n0 acontece d2 f (xn ), p < ε, e assim lim f (xn ) = p. n

(Q =⇒ P ) Provaremos a contrapositiva desta proposi¸cão, isto é: P =⇒ Q. Antes vejamos como ficam estas nega¸cões: P : lim f (x) 6= p x→a

Q : ∃ (xn ) ; lim xn = a ∧ lim f (xn ) 6= p n

n

Para entender a nega¸c˜ ao de Q o aluno dever´ a consultar o corol. 49 (p. 579). Pois bem, vamos supor que lim f (x) 6= p. Neste caso existe um ε0 > x→a

0 tal que para todo δ > 0 se pode obter um ponto xδ ∈ X − { a } com d1 (xδ , a) < δ e d2 f (xδ ), p ≥ ε. Em particular, tomando δ > 0 da forma δ = 1/n, para cada n ∈ N, podemos obter xn ∈ X − { a } com d1 (xn , a) < 1/n e d2 f (xn ), p ≥ ε. Logo a sequência (xn ) assim obtida cumpre lim xn = n

a mas n˜ ao cumpre lim f (xn ) = p. n

Destacamos o seguinte importante 342

Corol´ ario 19. Se existe uma sequência xn ∈ X − { a } com lim xn = a e n

lim f (xn ) 6= p, ent˜ ao lim f (x) 6= p. n

x→a

Prova: De fato, é suficiente considerar a contrapositiva de (P =⇒ Q) (neste caso vale a rec´ıproca de P =⇒ Q) Exemplos: 1) Considere as fun¸c˜ oes f e g dadas assim f (x) = g(x) = x2 . Mostre que: a) f : [ 0, 1], µ −→ ([ 0, 1[, k) temos que lim x2 = 0; x→0

b) g : [ 0, 1[, k −→ ([ 0, 1], µ) temos que lim x2 6= 0.

Solu¸ ca õ:

x→0

a) Considere uma sequência (xn ) em X − {0} = [ 0, 1 ]− { 0 } = ] 0, 1 ] de µ µ modo que xn −→ 0, sendo assim x2n −→ 0, donde concluimos que∗ x2n −→ 0, k isto é, lim f (xn ) = 0 e, pela proposi¸cão 73, concluimos que n

lim f (x) = lim x2 = 0.

x→ µ 0

x→ µ 0

1 b) Considere a sequência (xn ) em ] 0, 1 [ dada por xn = 1 − n+1 , sendo 2 µ k 1 −→ 1. Sendo assim xn −→ 0. Por outro lado, f (xn ) = 1 − n+1 lim f (xn ) 6= 0, pelo corol´ ario 19, concluimos que n

lim f (x) = lim x2 6= 0.

x→0 k

x→0 k

Deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que o limite lim x2 n˜ ao existe. x→0 k

2) Mostraremos agora que n˜ ao existe o limite da fun¸cão f dada por f (x) = sen x1 no ponto 0. De fato, basta observar que a sequência xn =

π 2

1 + nπ

converge para zero e, no entanto, f (xn ) = sen n˜ ao tem limite.

π + nπ = (−1)n . 2

3) Considere M = n1 : n ∈ N ∪ {0} e a fun¸cão f : M −→ N ∪ {0} definida por f (0) = 0 e f n1 = n, fa¸ca um estudo de lim f (x). x→a

(Obs: considere a métrica µ no dom´ınio e no contradom´ınio de f ). ∗

Ver corol´ ario 31, p. 425.

343

Solu¸ c˜ ao: O conjunto M − { 0 } é discreto. Como o u ńico ponto de acumula¸c˜ ao do dom´ınio de f é a = 0 significa que este é o u ńico ponto em que faz sentido a pesquisa de lim f (x). Por outro lado, como f n˜ ao é x→a

cont´ınua no ponto 0, significa isto que lim f (x) 6= f (0) = 0. x→0

Observe que o fato de a fun¸cão n˜ ao ser cont´ınua em 0 (por quê?), nos permite concluir que o limite n˜ ao é f (0), o que n˜ ao significa que n˜ ao possa ser um outro n´ umero; isto é, até o presente momento n˜ ao podemos concluir que o limite em quest˜ ao n˜ ao existe. Observe que f M − {0} = { 1, 2, 3, . . .} = N, o que significa que se lim f (x) existir, dever´ a ser um n´ umero natural n′ . x→0

f (x)

x→0

n′ n′ − 12

r(

1 n δ

n

r

δ

q

1 − n′ = |nδ − n′ | ≥ ε0 f nδ

, nδ )

r( 1′ , n′ )

q

Portanto, n˜ ao existe lim f (x). x→0

(0,0)

r rrrr r[ r . . . r

−→

δ

n′ + 12

q

[

de limite, dada anteriormente em s´ımbolos. Pois bem, consideremos ε0 = 1/2, para todo δ > 0 na bola B(0; δ) existem infinitos pontos (0 é ponto de acumula¸c˜ ao), tomemos um natural nδ de modo que n1 < δ e nδ 6= n′ , então 0 < | n1 − 0 | < δ e

nδ

[

Vamos agora provar que qualquer que seja o natural n′ = b, arbitrariamente fixado, n˜ ao temos lim f (x) = b. Faremos isto seguindo a nega¸cão

x

1 n′

B(0; δ)

4) Seja a fun¸c˜ ao f : Z∞ , ν −→ [ 0, 1 ], µ dada por ∞ X xn f (xn ) = 2n n=1

Calcule

lim

x → 101010...

f (x).

Solu¸ c˜ ao: Primeiramente observe que Z∞ , ν n˜ ao tem pontos isolados, ou ainda: todos os seus pontos s˜ ao de acumula¸cão, o que significa que podemos perguntar por lim f (x) em todo a ∈ Z∞ . x→a Como f é cont´ınua segue que (p. 249) lim

x → 101010...

2 f (x) = f (101010 . . .) = . 3 344

Extens˜ ao de aplica¸ co ˜es cont´ınuas Consideremos uma aplica¸c˜ ao f : X ⊂ Y −→ N . A aplica¸cão F : Y −→ N chama-se uma extens˜ a o de f quando F (x) = f (x) para todo x ∈ X, isto é, quando F X = f . Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e f : X −→ N cont´ınua. Diremos que f se estende continuamente a M quando f possui uma extens˜ ao F : M −→ N cont´ınua. Para os nossos propósitos, no que diz respeito a extens˜ ao de aplica¸cões cont´ınuas, nos restringiremos a uma aplica¸cão f : X −→ N definida em um subconjunto denso X ⊂ M . Neste caso mostraremos que uma tal extensão é poss´ıvel se existe, para cada ponto a ∈ M o limite lim f (x). Dentro deste contexto h´ a de se notar que nem x→a toda aplica¸c˜ ao cont´ınua f : X −→ N pode ser estendida continuamente ao espa¸co inteiro. Por exemplo a aplica¸cão (cont´ınua) f : ] 0, 1 [ −→ R 1 x 7−→ x(x−1) n˜ ao possui extens˜ ao cont´ınua a nenhum conjunto M contendo o intervalo fechado [ 0, 1 ], isto se deve a que n˜ ao existem os limites lim f (x) e lim f (x). x→0

x→1

Proposi¸ c˜ ao 74. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, X ⊂ M e ¯ − X existe lim f (x), ent˜ f : X −→ N cont´ınua. Se para todo a ∈ X ao a x→a ¯ fun¸ca õ F : X −→ N dada por  se y ∈ X;  f (y), F (y) = ¯ − X.  lim f (x), se y ∈ X x→y

é cont´ınua.

Prova: Como f é cont´ınua em todo ponto a ∈ X, decorre que, seja qual ¯ temos F (a) = lim f (x). Da defini¸cão de limite resulta que dado for a ∈ X, x→a ε > 0, existe δ > 0 de modo que, para todo x ∈ X ε 0 < d1 (x, a) < δ =⇒ d2 f (x), F (a) < . 2

(6.30)

¯ e Afirmamos que se y ∈ X

d1 (y, a) < δ =⇒ d2 F (y), F (a) < ε

(F é cont´ınua em a.)

¯ segue que existe uma sequência (xn ) com xn ∈ X De fato, como y ∈ X de modo que lim xn = y. n

345

Como xn → y, tomando um raio 0 < δ1 ≤ δ−d1 (a, y), a partir de uma certa ordem n0 todos os termos da sequência (xn ) caem dentro da bola B(y; δ1 ) ⊂ B(a; δ). Escolhamos dentro desta bola um termo xm diferente de y e de a. Sendo assim temos 0 < d1 (xm , y) < δ1 e 0 < d1 (xm , a) < δ. Logo

r r ar

y

δ1

xm

δ

ε ε d2 F (y), F (a) ≤ d2 F (y), f (xm ) + d2 f (xm ), F (a) < + = ε. 2 2

Como afirmamos. ¯ ¯ Nota: (6.30) vale seja qual for a ∈ X, em particular vale para y ∈ X, da´ı ε 0 < d1 (xm , y) < δ1 < δ =⇒ d2 f (xm ), F (y) < . 2

Proposi¸ c˜ ao 75. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, com (N, d2 ) completo. Se X ⊂ M e f : X −→ N é uniformemente cont´ınua ent˜ ao existe ¯ − X. (ou mais geralmente, para todo a ∈ X ′ ). lim f (x) para todo a ∈ X x→a

Prova: Para demonstrar esta proposi¸cão provaremos que para toda sequência (xn ) em X com lim xn = a, existe lim f xn (prop. 73, p. 342). n

n

Seja ent˜ ao (xn ) uma sequência em X com lim xn = a. Então (xn ) é de n Cauchy (def. 53, p. 407). Dado ε > 0, a continuidade uniforme de f assegura um δ > 0 tal que (p. 288) ∀ x, y ∈ X, d1(x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < ε.

Sendo (xn ) de Cauchy, para este δ > 0 existe um ´ındice n0 tal que d1(xn , xm ) < δ sempre que m, n ≥ n0 . Assim, para m, n ≥ n0 teremos d2 f (xn ), f (xm ) < ε, sendo assim f (xn ) resulta uma sequência de Cauchy em (N, d2 ). Como (N, d2 ) é completo, existe lim f xn e, por conseguinte, existe lim f (x). n

x→a

Proposi¸ c˜ ao 76. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos, com (N, d2 ) completo. Se X ⊂ M é denso toda aplica¸ca õ f : X −→ N uniformemente cont´ınua, possui uma u ńica extens˜ ao cont´ınua F : M −→ N dada por   f (y), se y ∈ X; F (y) =  lim f (x), se y ∈ M − X. x→y

F é também uniformemente cont´ınua.

¯ −X =M −X Prova: Da proposi¸c˜ ao 75 sabemos que para todo y ∈ X existe lim f (x). Assim, F est´ a bem definida e a proposi¸cão 74 nos assegura x→y

a continuidade de F . Resta agora mostrar que F é uniformemente cont´ınua. 346

Dado ε > 0, a continuidade uniforme de f nos assegura um δ = δ(ε) > 0 tal que ε ∀ x, y ∈ X, d1(x, y) < δ ⇒ d2 f (x), f (y) < . 2 Afirmamos que este mesmo δ atende ao ε para a continuidade uniforme de F . De fato, Sejam u, v ∈ M com d1(u, v) < δ. Da densidade de X em (M, d1 ) obtemos sequências (xn ) e (yn ) em X com lim xn = u e lim yn = v. n n Então, pela continuidade da fun¸c˜ ao distˆ ancia resulta d1 (u, v) = d1 lim xn , lim yn = lim d1 xn , yn < δ n

n

n

e portanto existe um ´ındice n0 de modo que d1 xn , yn < δ para todo n ≥ n0 , o que fornece ε d2 f (xn ), f (yn ) < , ∀ n ≥ n0 . 2 Logo, d2 F (u), F (v) = d2 lim f (xn ), lim f (yn ) (6.31) = lim d2 f (xn ), f (yn ) n

ε ≤ < ε. 2

Isto prova que F é uniformemente cont´ınua. Para provar que a extensão F é u ńica basta recorrer ao corol´ ario 14 (p. 284). Nota: A igualdade em (6.31) se justifica assim: como xn ∈ X e tendo em conta a defini¸c˜ ao de F resulta que F (xn ) = f (xn ). Como F é cont´ınua, obtém-se lim F (xn ) = lim f (xn ) ⇒ F lim xn = lim f (xn ) n n n n ⇒ F u = lim f (xn ). n

Análogamente se mostra que F v = lim f (yn ). n

Corol´ ario 20. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos completos e um homeomorfismo uniforme f : X −→ Y entre subespa¸cos densos X ⊂ M e Y ⊂ N , f se estende, de modo u ńico, a um homeomorfismo uniforme F : M −→ N . Prova: De fato, seja g : Y −→ X o inverso de f . Pela proposi¸cão 76 existem aplica¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas F : M −→ N e G : N −→ M extensões de f e g respectivamente. As aplica¸ cões cont´ınuas G ◦ F : M −→ M e F ◦ G : N −→ N s˜ ao tais que G ◦ F (x) = x para todo x ∈ X e F ◦ G (y) = y para todo y ∈ Y . Como X ⊂ M e Y ⊂ N s˜ ao ambos densos, segue que G ◦ F = idM e F ◦ G = idN . Logo, G = F −1 e, portanto, F é um homeomorfismo uniforme de M sobre N . 347

Adendo:

Logo,

F X = f ⇒ F (x) = f (x), ∀ x ∈ X; G Y = g ⇒ G(y) = g(y), ∀ y ∈ Y. G ◦ F (x) = G F (x) = G f (x) = g f (x) = x, ∀ x ∈ X; F ◦ G (Y ) = F G(y) = F g(y) = f g(y) = y, ∀ y ∈ Y.

¯ = M ; duas aplica¸cões que coincidem em Portanto, G ◦ F = idX , como X um subconjunto denso s˜ ao iguais (ver corol. 14, p. 284), isto é, G ◦ F = idM . O mesmo racioc´ınio se aplica ao caso F ◦ G = idN . ∗

∗

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348

∗

Cap´ıtulo

7

´ ESPAC ¸ OS METRICOS CONEXOS ´ uma experiˆ E encia como nenhuma outra que eu possa descrever, a melhor coisa que pode acontecer a um cientista, compreender que alguma coisa que ocorreu em sua mente corresponde exatamente a alguma ´ surpreendente, todas as vezes que coisa que aconteceu na natureza. E ocorre. Ficamos espantados com o fato de que um construto de nossa pr´ opria mente possa realmente materializar-se no mundo real que existe l´ a fora. Um grande choque, e uma alegria muito grande.

7.1

(Leo Kadanoff, f´ısico)

Defini¸ c˜ ao e Exemplos

Introdu¸ c˜ ao: A conexidade de um conjunto é mais um conceito da an´ alise real transplantado para a teoria dos espa¸cos métricos. Como frisou acertadamente o eminente Von Newmann, na ep´ıgrafe do cap´ıtulo anterior, as idéias matem´ aticas têm sua origem em situa¸cões emp´ıricas, ou “euclidianas”, por assim dizer; mas, como o filho pr´ odigo da par´ abola, abandonam a casa paterna e assumem uma identidade e crescimento pr´ oprios motivados quase que inteiramente por “orgias estéticas”. Este é o caso do conceito de conexidade que surgiu da observa¸cão de conjuntos formados de um “´ unico peda¸co”; aqui, na topologia, veremos conjuntos constituidos de muitos − milhares de peda¸cos − “t˜ ao distantes entre si quanto se queira” e, mesmo assim, conexos − e, o que é “pior”, conexo por caminhos! Ademais, no presente cap´ıtulo estaremos dando respaldo matem´ atico a mais uma afirmativa abstrusa da f´ısica quântica, qual seja: a de que “elétrons se movem de A para B sem nunca passar entre esses pontos.” Defini¸ c˜ ao 46 (Espa¸co desconexo). Um espa¸co métrico (M, d) se diz desao vazios, de conexo quando existem dois conjuntos abertos A e B, ambos n˜ maneira que A∩B =∅ e A∪B =M (7.1) ao de M . Diz-se ent˜ ao que o par A e B constitui uma desconex˜ 349

Um espa¸co conexo é um espa¸co que n˜ ao é desconexo. Portanto, dizer que M é conexo significa dizer que n˜ ao existe nenhuma desconex˜ ao de M . c As condi¸c˜ oes dadas em (7.1) nos dizem que A = B , o que significa que A também é fechado em M e ainda B = Ac o qual também é fechado em M . Em resumo, numa desconex˜ ao os conjuntos A e B s˜ ao simultˆ aneamente abertos e fechados em M . Um subconjunto X ⊂ M se diz conexo quando o subespa¸co (X, d), onde d é a métrica induzida sobre X pela métrica de M , é conexo. Exemplos: 1) Em todo espa¸co métrico (M, d) um conjunto unit´ ario { a } é conexo. Com efeito, é imposs´ıvel exibir dois abertos A 6= ∅ e B 6= ∅ tais que A ∩ B = ∅ e A ∪ B = { a }.

2) O espa¸co (R, δ) é desconexo, enquanto o espa¸co (R, µ) é conexo. Prova: Consideremos qualquer a ∈ R. Os conjuntos A = { a } e B = R − { a } s˜ ao abertos no espa¸co (R, δ). Sendo assim A e B constituem uma desconex˜ ao de R. Para mostrar que o espa¸co (R, µ) é conexo procederemos por contradi¸cão, supondo que existem A e B abertos de modo que A 6= ∅, B 6= ∅; A ∩ B = ∅;

A ∪ B = R.

Tomemos a ∈ A e b ∈ B e suponhamos a < b. Consideremos o conjunto X = x ∈ A: x < b

de todos os elementos de A situados à esquerda de b. Pois bem, temos que a ∈ X e que b é uma cota superior de X. Portanto sendo X um conjunto n˜ ao-vazio e limitado superiormente possui supremo, digamos c = sup X. Como o supremo de um conjunto é a menor de suas cotas superiores resulta que c ≤ b (♯). Pela defini¸cão de supremo, para todo ε > 0 existe x ∈ X (por conseguinte x ∈ A) tal que c − ε < x ≤ c ∴ c − ε < x < c + ε ∴ x ∈ ] c − ε, c + ε [. De outro modo,

x∈A ցs

]

∀ ε > 0 ⇒ Bµ (c; ε) ∩ A 6= ∅

c−ε

¬c

[

R

c+ε

¯ Sendo A fechado temos que c ∈ A. portanto c é ponto aderente de A (c ∈ A). Portanto c 6= b, e, considerando (♯), concluimos que c < b. Sendo A aberto c é ponto interior de A, logo existe ǫ > 0 de modo que ] c − ǫ, c + ǫ [ ⊂ A. Invocando a propriedade arquimediana podemos encontrar dois naturais n′ e n′′ satisfazendo n1′ < ǫ e n1′′ < b − c. 350

Vamos escolher n0 = max n′ , n′′ }, portanto n0 ≥ n′ e n0 ≥ n′′ do que resulta 1 1 1 1 ≤ ′ X ≤ ′′ n0 n n0 n portanto,  1 1  ⇒ c + n1 < c + ǫ (♭)  n0 ≤ n′ < ǫ  0   

1 n0

≤

1 n′′

de (♭) concluimos que c + cluimos que c +

1 n0

⇒ c+

1 n0

(♮)

∈ ] c − ǫ, c + ǫ [ ⊂ A e, considerando (♮), con-

∈ X. Isto contradiz o fato de que c = sup X.

s˜ ao ambos

3) Os espa¸cos (N, µ) e (M, µ), onde M = 1, 12 , . . . , desconexos. Estes s˜ ao casos especiais da seguinte

1 n,

...

Proposi¸ c˜ ao 77. Todo espa¸co (M, d) discreto (no qual M tem mais que um elemento) é desconexo. Prova: De fato, em um espa¸co métrico (M, d) discreto, todo subconjunto de M é aberto. Sendo assim { a } e M − { a }, onde a ∈ M é arbitrário, constitue uma desconex˜ ao do espa¸co M . 4) Q com a métrica µ induzida de R é desconexo. De fato, para exibir uma desconex˜ ao de Q tome α um irracional qualquer e considere os seguintes subconjuntos de Q A = {x ∈ Q : x < α}

e

B = {x ∈ Q : x > α}

Vamos mostrar que A e B s˜ ao abertos no subespa¸co (Q, µ). Para tanto considere os seguintes subconjuntos de R C = {x ∈ R : x < α} = ] − ∞, α [

e

D = {x ∈ R : x > α} = ] α, +∞ [

C e D s˜ ao abertos em (R, µ). Como A = Q ∩ C e B = Q ∩ D segue que A e B s˜ ao abertos (prop. 24, p. 193) no espa¸co (Q, µ). Além do mais temos, A ∩ B = (Q ∩ C) ∩ (Q ∩ D) = Q ∩ (C ∩ D) =Q∩∅=∅ também, A ∪ B = (Q ∩ C) ∪ (Q ∩ D) = Q ∩ (C ∪ D) = Q ∩ (R − { α }) = Q Portanto A e B constituem uma desconex˜ ao de Q. 351

5) Consideremos o subconjunto X = { (x, y) ∈ R2 : x y = 1 } do R2 . O subespa¸co (X, D1 ), onde D1 é a métrica usual do R2 , é desconexo. De fato, para exibir uma desconex˜ ao de X considere os seguintes subconjuntos A = { (x, y) ∈ X : x > 0 }

e

B = { (x, y) ∈ X : x < 0 }

Vamos mostrar que A e B s˜ ao abertos no subespa¸co (X, D1 ). Para tanto considere os seguintes subconjuntos de R2 C = { (x, y) ∈ R2 : x, y > 0 }

e

D = { (x, y) ∈ R2 : x, y < 0 }

C e D s˜ ao abertos em (R2 , D1 ).

R

R

C

0

R

A

X

0

R

B

D

Como A = X ∩C e B = X ∩D segue que A e B s˜ ao abertos no subespa¸co (X, D1 ). Além do mais temos, A ∩ B = (X ∩ C) ∩ (X ∩ D) = X ∩ (C ∩ D) =X ∩∅=∅ também A ∪ B = (X ∩ C) ∪ (X ∩ D) = X ∩ (C ∪ D) = X. Portanto A e B constituem uma desconex˜ ao de X.

352

Proposi¸ c˜ ao 78. A imagem de um conjunto conexo por uma aplica¸ca õ cont´ınua, f : M −→ N , é um conjunto conexo. Prova: Vamos provar inicialmente para o caso particular em que f é sobrejetora, isto é f (M ) = N , e M é conexo. Procederemos por contradi¸cão. Suponhamos que existam abertos A, B ⊂ N formando uma desconex˜ ao de N , isto é, tais que A, B 6= ∅ , A ∩ B = ∅ , A ∪ B = N. Sendo assim obtemos f −1 (A ∩ B) = f −1 (∅)

⇒ f −1 (A) ∩ f −1 (B) = ∅

f −1 (A ∪ B) = f −1 (N ) ⇒ f −1 (A) ∪ f −1 (B) = M Destas igualdades concluimos que f −1 (A) e f −1 (B) formariam uma desconexão (prop. 62, p. 279) de M , contrariando a hip´ otese de que o mesmo é conexo. Nota: De N = f (M ) ⇒ f −1 (N ) = f −1 (f (M )) = M esta u ´ltima igualdade s´ o vale se f é sobrejetora. O caso geral reduz-se a este uma vez que sendo f : M −→ N cont´ınua e dado X ⊂ M conexo, ent˜ ao f : X −→ f (X) é uma sobreje¸cão cont´ınua o que implica na conexidade de f (X) pelo que acabamos de provar. Corol´ ario 21. Se M é conexo e N é homeomorfo a M , ent˜ ao N também é conexo. Portanto a conexidade é uma propriedade topol´ ogica. Dizemos: é um invariante topol´ ogico. Corol´ ario 22. Seja (M, d) um espa¸co métrico conexo. Se d′ ∼ d ent˜ ao o ′ espa¸co (M, d ) também é conexo. Prova: Se d ∼ d′ ent˜ ao a aplica¸cão identidade i : (M, d) −→ (M, d′ ) é um homeomorfismo. Portanto o corol´ ario anterior nos assegura que se (M, d) é conexo decorre que (M, d′ ) também é conexo. Proposi¸ c˜ ao 79. Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se (X, d) é conexo ent˜ ao ¯ d) também o é. Em outras palavras: o fecho de um conjunto conexo é (X, conexo. ¯ = M (isto é, Prova: Vejamos inicialmente o caso particular em que X ¯ =M X é denso em M ). Procederemos por contradi¸cão. Suponha que X n˜ ao é conexo, ent˜ ao existem A, B abertos n˜ ao vazios tais que A∩B = ∅ , A∪B = M 353

(7.2)

Temos que A ∩ X e B ∩ X s˜ ao abertos no subespa¸co (X, d) (prop. 24, p. 193) além do que s˜ ao n˜ ao-vazios (prop. 45, p. 217). Pretendemos mostrar que estes conjuntos formam uma desconex˜ ao de X ∗ . Isto é, que ( (A ∩ X) ∪ (B ∩ X) = (A ∪ B) ∩ X = X (A ∩ X) ∩ (B ∩ X)

= (A ∩ B) ∩ X = ∅

Invocando (7.2), temos (A ∪ B) ∩ X = M ∩ X = X; também (A ∩ B) ∩ X = ∅ ∩ X = ∅. Portanto temos uma nega¸cão de nossa hip´ otese. ¯ é conexo. No caso geral, considerando X conexo queremos provar que X ¯ d) Este caso reduz-se ao anterior uma vez que X é denso no subespa¸co (X, conforme nota da p. 216. ¯ e X é conexo, ent˜ Corol´ ario 23. Se X ⊂ Y ⊂ X ao Y é conexo. Prova: De fato, o fecho de X no subespa¸co (Y, d) é† ¯ ¯ X =X ∩Y (Y, d) (M, d) ¯ ¯ como, por hip´ otese, Y ⊂ X segue que X ∩ Y = Y , portanto (M, d) (M, d) ¯ X = Y logo X ´ e denso no subespa¸ c o (Y, d) e portanto, sendo X conexo, (Y, d) ¯ X = Y é conexo. (Y, d)

Um conexo com “dois peda¸cos” Agora faremos uma aplica¸cão deste corol´ ario para chegarmos a uma “surpreendente” conclusão: a de que existem conjuntos conexos “formados de mais de um peda¸co”. Para construirmos um tal conjunto consideremos o espa¸co (R2 , D1 ). Seja X = (x, y) ∈ R2 : y = cos(1/x), x > 0

A fun¸c˜ ao f dada por f (x) = cos(1/x) é cont´ınua, pelo exemplo 7 (p. 308), concluimos que X é homeomorfo ao dom´ınio ] 0, +∞ [ de f . Portanto X é conexo. Seja ainda o seguinte subconjunto do R2 Y = (0, y) ∈ R2 : − 1 ≤ y ≤ 1 = { 0 } × [ −1, 1 ].

Todo ponto y ∈ Y é aderente a X Ent˜ ao y∈Y

(ex. 2o , p. 215),

Y é fechado

(prop. 31, p. 202).

¯ ⇒ Y ⊂X ¯ ⇒ Y¯ = Y ⊂ X. ¯ ⇒ y∈X

Ent˜ ao para todo ¯ ⇒ X ∪Z ⊂X ∪X ¯ =X ¯ Z⊂Y ⇒ Z⊂X ¯ ⇒ X ⊂ X ∪ Z ⊂ X. ¯ ⇒X ∪Z ⊂X ∗ †

Se o subespa¸co (X, d) n˜ ao é conexo ent˜ ao X ⊂ M n˜ ao é conexo, por def. (p. 350). proposi¸c˜ ao 36 (p. 206)

354

Portanto, pelo corol´ ario anterior, X ∪ Z é conexo. No caso particular em que Z = Y temos que o conjunto na figura a seguir é conexo. X

1¬

0¬

−1 y

Observe que, n˜ ao obstante Y ∩ X = ∅, toda bola centrada em qualquer ponto de Y intersecta X, o que n˜ ao se configura no gr´ afico por limita¸cões técnicas. (p. 215)

7.2

Conexos na reta

Iremos agora caracterizar os conjuntos conexos da reta. Mostraremos que na reta usual de fato um conjunto é conexo se, e somente se, é constituido de um s´ o “peda¸co”− veremos, oportunamente, que para outras métricas isto deixa de ser verdade. Proposi¸ c˜ ao 80. Um subconjunto da reta é conexo se, e somente se, é um intervalo. Lembramos que os intervalos em R s˜ ao da seguinte forma: ] a, b [, ] a, b ], [ a, b [, [ a, b ];

intervalos limitados;

] −∞, a [, ] −∞, a ], ] a, +∞ [, [ a, +∞ [, ] −∞, +∞ [; intervalos ilimitados. Um intervalo X pode caracterizar-se pela seguinte propriedade: a, b ∈ X, a < x < b ⇒ x ∈ X. Prova: ⇐= Todo intervalo aberto é conexo por ser homeomorfo a R.

(p. 304)

Daqui e da proposi¸c˜ ao 79 (p. 353) concluimos que todo intervalo fechado ou semi-fechado é conexo. =⇒ Suponha X ⊂ R conexo e mostremos que X é um intervalo. Suponha a, b ∈ X e que a < c < b.

355

Provaremos que c ∈ X. Com efeito, suponha contrariamente que c 6∈ X, fa¸camos A = X ∩ ] − ∞, c [ e B = X ∩ ] c, +∞ [ s

s

a

c

-

[

] −∞, c [

]

s

R

b

] c, +∞ [

A e B s˜ ao abertos (no subespa¸co (X, µ)) s˜ ao n˜ ao vazios porque a ∈ A e b ∈ B. Mostremos que A e B formam uma desconex˜ ao de X. Então A ∩ B = ( X ∩ ] − ∞, c [ ) ∩ ( X ∩ ] c, +∞ [ ) = X ∩ ( ] − ∞, c [ ∩ ] c, +∞ [ ) = X ∩ ∅ = ∅. Também A ∪ B = ( X ∩ ] − ∞, c [ ) ∪ ( X ∩ ] c, +∞ [ ) = X ∩ ( ] − ∞, c [ ∪ ] c, +∞ [ ) = X ∩ (R − {c})

= X.

Observe que neste momento usamos a hip´ otese de que c 6∈ X, pois se fosse c ∈ X ter´ıamos X ∩ R − {c} = X − {c} = 6 X.

Conclus˜ ao: Se assumirmos que c 6∈ X então resulta X desconexo, contrariando a hip´ otese. Portanto X é um intervalo. Corol´ ario 24. Se (M, d) é um espa¸co métrico conexo e f : M −→ R é uma fun¸ca õ cont´ınua, ent˜ ao f (M ) é um intervalo. Prova: De fato, tendo em conta a proposi¸cão 78 subconjunto conexo da reta e, portanto, um intervalo.

(p. 353),

f (M ) é um

Nota: No caso em que f é constante f (M ) ser´ a um intervalo degenerado do tipo [ a, a ]. A teoria dos n´ umeros irracionais n˜ ao foi colocada em solo firme até as obras de Georg Cantor e seu contemporˆ aneo Richard Dedekind no final do século 19. Ainda assim, da Idade Média até aquela época, a maioria dos matem´ aticos e cientistas ignorou o fato de que os n´ umeros irracionais pareciam n˜ ao existir e, felizmente, usaram-nos de qualquer maneira − embora de forma desajeitada. Aparentemente, a recompensa por se obter a resposta correta suplantou o desagrado de se trabalhar com n´ umeros que n˜ ao existiam. (Leonard Mlodinow/A janela de Euclides, p. 78) 356

Aplica¸ co ˜es do Corol´ ario 24: 1. Teorema do Valor Intermedi´ ario Corol´ ario 25. Seja (M, d) um espa¸co métrico conexo e f : M −→ R uma fun¸ca õ cont´ınua. Se y1 , y2 ∈ f (M ) e y1 < y < y2 , ent˜ ao existe x ∈ M tal que f (x) = y. Prova: Como f é cont´ınua, segue que f (M ) ⊂ R é conexo. Da´ı f (M ) é um intervalo e portanto y ∈ f (M ) = { f (x) : x ∈ M }. Portanto existe x ∈ M de modo que f (x) = y. Em outras palavras: Se o dom´ınio de uma fun¸cão cont´ınua é conexo, então f toma todos os valores entre dois valores quaisquer de sua imagem. A seguir ilustramos esta situa¸cão para o caso especial em que M é um intervalo da reta. R f (x)

⊤

6

y2 y

f (M ) y y y y ⊥? 1

0

⊢

xp1

xp xp2 M

R

-⊣

• Teorema do Valor Intermediário. ∗

∗

∗

Interregno: Uma palavrinha ao leitor Talvez o leitor n˜ ao fa¸ca idéia do quão dif´ıcil é a diagrama¸cão (formata¸cão) de um livro, ainda mais de um livro cheio de figuras, como é o caso do presente e, por outro lado, em acréscimo, muitas vezes ainda tenho que decidir quando − por raz˜ oes did´ aticas − devo for¸car uma figura a ficar na mesma p´ agina da explana¸c˜ ao correspondente, como aconteceu na p´ agina seguinte. Algumas vezes, para n˜ ao deixar um espa¸co razo´ avel de uma p´ agina em branco, decidi inserir algumas informa¸cões matem´ aticas u ´teis ao estudante, como aconteceu na p´ agina precedente. Ademais, devo informar que o presente livro est´ a sendo escrito a “uma m˜ aos” − inclusive sem nenhum apoio institucional − e que n˜ ao sou diagramador profissional, tenho me esfor¸cado bastante para fazer o melhor. õ f : M −→ M Defini¸ c˜ ao 47 (Ponto fixo). Um ponto fixo de uma aplica¸ca é um ponto p ∈ M tal que f (p) = p. 357

2. Teorema do Ponto fixo de Brower Caso Particular: Dada uma fun¸cão cont´ınua f : [ a, b ] −→ [ a, b ], existe c ∈ [ a, b ] de maneira que f (c) = c. Prova: Com efeito, se f (a) = a ou f (b) = b nada a fazer. Suponhamos f (a) 6= a e f (b) 6= b. Sendo assim podemos escrever a < f (a) < b

e

a < f (b) < b.

Consideremos a fun¸c˜ ao auxiliar g : [ a, b ] −→ R dada por g(x) = x − f (x). Obviamente g é cont´ınua (diferen¸ca de duas fun¸cões cont´ınuas) e ademais g(a) = a − f (a) < 0

g(b) = b − f (b) > 0.

e

R

y ⊤ g(b)

6

g([ a, b ])

g

a[

0

c

]b

s

x

⊥? g(a) y

Sendo g(a) < 0 < g(b) segue − do teorema do valor intermediário − que existe c ∈ [ a, b ] de modo que: g(c) = 0 ⇒ c − f (c) = 0 ⇒ f (c) = c. Geometricamente o significado do teorema do ponto fixo é que a reta y = x intercepta o gr´ afico de y = f (x) em pelo ao menos um ponto: (c, f (c)). f (x) b

y=x

]

f (x) f

f (c) y

f (c) y

] a

)45o 0

qc

x

0

358

a

[

qc

]b

x

Exemplos: 1) A fun¸c˜ ao dada por f (x) = x2 tem dois pontos fixos: x = 0 e x = 1. De fato, f (x) = x2 = x ⇒ x · (x − 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1. f (x)

0

x

x=1

2) A fun¸c˜ ao cosseno tem como ponto fixo x ¯ = 0, 739085133215 . . ., com precis˜ ao suficiente para n˜ ao ser denunciado por qualquer calculadora cient´ıfica. y = cos x

y=x

1

x ¯

π 2

π

3π 2

2π

x

−1

π = 1, 5707963268 . . . 2 π = 0, 628318530718 . . . 5

e

π = 0, 785398163398 . . . 4

π π < x ¯ < 5 4 Sugerimos ao leitor confirmar em uma calculadora cient´ıfica que

cos(0, 739085133215) = 0, 739085133215 Observa¸ca õ: Sua calculadora deve estar no modo rad (radiano). 359

3) A fun¸c˜ ao cossecante (csc) também tem o seu ponto fixo: x = 1, 11415714087 . . . Uma vez que csc(1, 11415714087 . . .) =

1 sen (1, 11415714087 . . .)

= 1, 11415714087 . . . Nota: No pr´ oximo cap´ıtulo aprenderemos como encontrar o ponto fixo de uma aplica¸c˜ ao. Consideremos a seguinte aplica¸cão

(p. 616)

f : [ 0, 1 ] −→ Rn t 7−→ (1−t) a+t b Isto é, f (t) = (1 − t) a + t b. Então f (t) = (1 − t) a + t b = (1 − t) (a1 , . . . , an ) + t (b1 , . . . , bn ) = (1 − t) a1 + t b1 , . . . , (1 − t) an + t bn As fun¸c˜ oes dadas a seguir fi : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ (1−t) ai +t bi

(i = 1, 2, . . . , n)

Isto é, fi (t) = −(ai − bi ) t + ai s˜ ao fun¸cões cont´ınuas, disto segue que f é cont´ınua (prop. 57, p. 272). Por outro lado f [ 0, 1 ] = f (t) : t ∈ [ 0, 1 ] = (1 − t) a + t b : t ∈ [ 0, 1 ] = [ a, b ].

De modo que o segmento [ a, b ] é imagem do conexo [ 0, 1 ] pela aplica¸cão cont´ınua f . Portanto todo segmento de reta no Rn é conexo. Observe que a reunião de conjuntos conexos n˜ ao é necessariamente conexa. Por exemplo os conjuntos X = ] − ∞, 0 [ e Y = ] 0, ∞ [ s˜ ao conexos no espa¸co (R, µ), mas X ∪ Y = ] − ∞, 0 [ ∪ ] 0, ∞ [ n˜ ao é conexo neste espa¸co. ´ o que nos assegura a seguinte Isto acontece porque X e Y s˜ ao disjuntos. E 360

uma fam´ılia arbitr´ aria de conjuntos coneProposi¸ c˜ ao 81. Seja Xλ λ∈L xos num espa¸co métrico (M, d). [ Se todos os Xλ contêm um ponto comum a ∈ M , ent˜ ao a reuni˜ ao X = Xλ também é conexa. λ∈L

Prova: Para mostrar que o subespa¸co (X, d) é conexo procederemos por contradi¸c˜ ao. Suponhamos que existam A e B abertos de modo que A, B 6= ∅, A ∩ B = ∅

e

A ∪ B = X.

Pois bem, o ponto a comum a todos os Xλ pertence a A ou a B. Suponhamos a ∈ A. Como B 6= ∅ e A ∩ B = ∅, existe b 6= a em X com b ∈ B. Este ponto b por sua vez dever´ a estar, para algum µ ∈ L, no conjunto Xµ . Os conjuntos A ∩ Xµ e B ∩ Xµ s˜ ao abertos no subespa¸co (X, d) e s˜ ao ambos n˜ ao-vazios uma vez que a ∈ A ∩ Xµ e b ∈ B ∩ Xµ . Por outro lado temos

também

A ∩ Xµ ∩ B ∩ Xµ = A ∩ B ∩ Xµ = ∅ A ∩ Xµ ∪ B ∩ Xµ = A ∪ B ∩ Xµ

= X ∩ Xµ = Xµ .

Portanto A ∩ Xµ e B ∩ Xµ formam uma desconex˜ ao de Xµ , contrariando a s˜ ao conexos. hip´ otese de que todos os conjuntos da fam´ılia Xλ λ∈L

Corol´ ario 26. Um espa¸co métrico (M, d) é conexo se, e somente se, dois quaisquer de seus pontos estiverem contidos em algum conexo Xab ⊂ M .

Prova: (=⇒) Dados a, b ∈ M e sendo M conexo por hip´ otese, fazemos M = Xab e a proposi¸c˜ ao est´ a provada. [ (⇐=) Neste caso fixando a ∈ M podemos escrever M = Xab . Como b∈M

a ∈ Xab para todo b ∈ M , a proposi¸cão 81 nos assegura que M é conexo.

Exemplos: (i) Com o aux´ılio do corol´ ario anterior podemos mostrar que o espa¸co n (R , D1 ) é conexo. Com efeito, dados dois pontos quaisquer a, b ∈ Rn o segmento de reta [ a, b ] é um conjunto conexo que contém a e b.

(ii) Com aux´ılio da proposi¸caõ 81 vamos construir mais um conjunto conexo “formado de dois peda¸cos”: Consideremos o seguinte subconjunto do plano R2 X = (x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 1, y = x/n, n ∈ N 361

Este conjunto é formado dos pontos do segmento de reta que liga a origem (0, 0) aos pontos (1, 1/n), n ∈ N. De outro modo: [ 1 X= Xn , onde Xn = (0, 0); (1, ) n n∈N

Todo segmento Xn é conexo; ademais (0, 0) ∈ Xn , ∀n ∈ N; portanto pela proposi¸c˜ ao 81, X é conexo. Por outro lado considere o seguinte subconjunto: 1 1 Y = (x, 0) ∈ R2 : ≤ x ≤ 1 = , 1 × {0} 2 2 Todo ponto y ∈ Y é aderente a X (p. 214) Y é fechado (prop. 31, p. 202). Então ¯ ⇒ Y ⊂X ¯ ⇒ Y¯ = Y ⊂ X. ¯ ⇒ y∈X

y∈Y Ent˜ ao para todo

¯ ⇒ X ∪Z ⊂X ∪X ¯ =X ¯ Z⊂Y ⇒ Z⊂X ¯ ⇒ X ⊂ X ∪ Z ⊂ X. ¯ ⇒X ∪Z ⊂X Portanto, pelo corol´ ario 23 (p. 354) X ∪ Z é conexo. No caso particular em que Z = Y temos que o conjunto a seguir é conexo. R 1

X1

q

X2 X3

0

1 2

.. . p1

p

.. .

R

0

Veremos agora que a conexidade é preservada pelo produto cartesiano ∗

∗

∗

Como a teoria quˆ antica, em que as leis da f´ısicas assumem novas formas bizarras, mas somente em dom´ınios muito menores do que os encontrados na vida di´ aria, o espa¸co curvo pode existir, mas sendo t˜ ao pr´ oximo do euclidiano que, na escala da vida terrestre normal, n˜ ao detectamos a diferen¸ca. E no entanto, como a teoria quˆ antica, as implica¸coes da curvatura para as teorias da f´ısica podem ser enormes. (Leonard Mlodinow/A janela de Euclides, p. 111)

362

Proposi¸ c˜ ao 82. Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao M1 × M2 é conexo, se e somente se, M1 e M2 s˜ ao conexos. Prova: (=⇒) Suponhamos M1 × M2 conexo. Consideremos as proje¸cões p1 : M1 × M2 −→ M1

e

(x1 , x2 ) 7−→ x1

p2 : M1 × M2 −→ M2 (x1 , x2 ) 7−→ x2

Temos p1 M1 × M2 = p1 (x1 , x2 ) : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = x1 : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = M1 Análogamente p2 M1 × M2 = M2 . Como as proje¸cões s˜ ao cont´ınuas temos pela proposi¸c˜ ao 78 (p. 353) que M1 e M2 s˜ ao conexos. (⇐=) Reciprocamente, suponhamos M1 e M2 conexos e mostremos que M1 × M2 é conexo. A demonstra¸cão consistirá no seguinte: dados dois pontos quaisquer a = (a1 , a2 ) e b = (b1 , b2 ) em M1 × M2 mostraremos que existe um conexo Xab ⊂ M1 × M2 que os contêm e da´ı , pelo corol´ ario 26 (p. 361), M1 × M2 resultar´ a conexo. Pois bem, inicialmente observemos que os conjuntos M1 ×{ b2 } e { a1 }×M2 s˜ ao conexos por serem homeomorfos a M1 e M2 , respectivamente. Por exemplo, a seguir temos dois homeomorfismos f : M1 −→ M1 × { b2 }

e

x 7−→ (x, b2 )

g : M2 −→ { a1 } × M2

x 7−→ (a1 , x) Por outro lado temos que o ponto (a1 , b2 ) ∈ M1 × { b2} ∩ { a1 } × M2 implicando em que Xab = M1 × { b2 } ∪ { a1 } × M2 é um conexo que contém a e b. (prop. 81, p. 361) M2

{ a1 }×M2

↓

b2

s

s

a2

s

s(a1 , a2 )

M1 ×M2

(a1 , b2 )

s

a1

s

(b1 , b2 )

← M1 ×{ b2 }

s

M1

b1

363

Corol´ ario 27. Sejam (M1 , d1 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao M1 × . . . × Mn é conexo se, e somente se, cada Mi (i = 1, 2, . . . , n) é conexo. Em particular Rn = R × · · · × R é conexo.

7.3

Conjuntos conexos por caminhos

Considere o quadrado ao lado. Fixando arbitrariamente dois pontos no mesmo, podemos un´ı-los por um tra¸co cont´ınuo. De outro modo, sentando a ponta de um lápis em um dos pontos podemos atingir o outro sem levantar a ponta.

r

O nome técnico (matem´ atico) do tra¸co descrito pelo lápis é caminho e um objeto com tal propriedade, no caso o quadrado, é chamado de conjunto conexo por caminhos. Outra maneira de exprimir a conexidade de um espa¸co é dizer que se pode passar de um qualquer de seus pontos para outro por um movimento cont´ınuo, sem sair do espa¸co. Isto nos leva ` a no¸ca õ de espa¸co conexo por caminhos. (Elon Lages/[5]) Observe que podemos até mutilar o quadrado de alguns modos, p. ex.

e mesmo assim ainda conseguimos ligar dois pontos quaisquer “sem levantar a ponta do l´ apis” − Ou seja, o quadrado n˜ ao perde a propriedade de conexidade por caminhos. Entretanto, isto nem sempre ocorre, veja: Na mutila¸c˜ ao ao lado retiramos a “ter¸ca” parte central do quadrado original. Agora acreditamos que o leitor n˜ ao poder´ a ligar os pontos de lados opostos por um tra¸co cont´ınuo; isto é, sem levantar a ponta do lápis (sem sair da regi˜ ao remanescente). 364

s s

Esta foi a apresenta¸c˜ ao intuitiva do conceito de conexidade. Vejamos o que seja, precisamente, um caminho. Defini¸ c˜ ao 48 (Caminho em espa¸cos métricos). Um caminho num espa¸co métrico (M, d) é uma aplica¸ca õ cont´ınua f : [ 0, 1 ] −→ M . Os pontos f (0) e f (1) s˜ ao chamados ponto inicial e ponto final, respectivamente, do caminho. Traduzindo essa defini¸c˜ ao em um gr´ afico, temos o seguinte: (M, d) q

1

f p

0

O caminho é a transforma¸c˜ ao (ou ainda, uma fun¸cão; ou um algoritmo) f que vai do intervalo no conjunto M − De um modo equivalente: f transforma um ponto do intervalo em um ponto do conjunto M . Na figura temos uma curva (cont´ınua) ligando os pontos p e q no conjunto M . Dizemos que esta curva é a imagem do intervalo pelo caminho f . Por simplifica¸cão (abuso de linguagem), por vezes estaremos considerando a pr´ opria curva como o caminho. O ponto p é chamado de ponto inicial do caminho, e o ponto q é chamado de ponto final; no sentido de que p é imagem, por f , do ponto 0 e q é imagem, por f , do ponto 1 do intervalo. Indicamos isto, assim: f (0) = p e f (1) = q Para considera¸c˜ oes posteriores ser´ a u ´til termos em mente o seguinte: enquanto o “l´ apis” percorre o intervalo [ 0, 1 ] sua imagem, o caminho, vai sendo tra¸cado no conjunto M , assim: (M, d) f (1) = q

1

f ↑

f (0) = p

0

Refor¸cando: A idéia dessa figura é a seguinte: no inicio o lápis∗ aponta para a origem do intervalo, sua imagem é o ponto p, inicio do caminho; à medida que o l´ apis percorre o intervalo − no sentido do outro extremo − o caminho (curva) vai sendo descrito; quando o lápis atinge o extremo superior do intervalo o caminho termina de ser tra¸cado, isto é, estamos no ponto λ(1) = q. ∗

Representado na figura pela setinha:

365

Um exemplo de caminho em qualquer espa¸co métrico (M, d) é o caminho constante f : [ 0, 1 ] −→ M t 7−→ c onde c ∈ M é arbitrariamente fixado.

Justaposi¸c˜ ao de caminhos

Dados dois caminhos f, g : [ 0, 1 ] −→ M tal que f (1) = g(0), definamos a aplica¸c˜ ao f ∨ g : [ 0, 1 ] −→ M pondo   f (2t), se 0 ≤ t ≤ 12 ; (7.3) f ∨ g (t) =  g(2t − 1), se 12 ≤ t ≤ 1.

Como f (2t) coincide com g(2t − 1) no ponto t = 21 , então f ∨ g est´ a bem definida. Ademais f ∨ g é cont´ınua. (corol. 17, p. 285) Portanto f ∨g : [ 0, 1 ] −→ M é um caminho (chamado caminho justaposto). Exemplo: Sejam os caminhos f : [ 0, 1 ] −→ R2 t 7−→ (2t, 2t+1)

g : [ 0, 1 ] −→ R2 t 7−→ (2t+2, 6t2 −5t+3)

e

Na figura seguinte temos um esbo¸co dos caminhos f e g:

R

rg(1)

4

q

R

r

g(0) 3

q

1

f g

3

q

f (1)

2

2

1 f (0)

1

q

q

0

q

0

q

q

1

q2

R

366

0

q

1

q2

q3

q4

R

Sendo f (t) = (2t, 2t + 1)

e

g(t) = (2t + 2, 6t2 − 5t + 3)

Como f (1) = (2 · 1, 2 · 1 + 1) = (2, 3)

g(0) = (2 · 0 + 2, 6 · 02 − 5 · 0 + 3) = (2, 3)

podemos justapor estes caminhos. Encontremos o caminho justaposto f ∨ g: f (2t) = 2(2t), 2(2t) + 1 = (4t, 4t + 1)

ainda, g(2t − 1) = 2(2t − 1) + 2, 6(2t − 1)2 − 5(2t − 1) + 3 = (4t, 24t2 − 34t + 14)

Resumindo, temos (f ∨ g)(t) =

  (4t, 4t + 1) ,

se 0 ≤ t ≤ 12 ;

 (4t, 24t2 − 34t + 14) , se

1 2

≤ t ≤ 1.

A seguir mostramos um esbo¸co deste caminho

R

s(f ∨g)(1)

4

q (f ∨g)( 1 2)

3

q

1

f ∨g

2

q

0 1

q (f ∨g)(0)

0

q

1

q

2

q

3

q

4

• O caminho justaposto: f ∨ g.

367

R

Defini¸ c˜ ao 49 (Espa¸cos conexos por caminhos). Um espa¸co métrico (M, d) se diz conexo por caminhos quando dois pontos quaisquer de M podem ser ligados por um caminho contido em M . (M, d) 1

y = f (1)

f 0

x = f (0)

Dizemos que um subconjunto X ⊂ M é conexo por por caminhos quando o subespa¸co (X, d) for conexo por caminhos. Exemplos: 1) O espa¸co (R, µ) é conexo por caminhos pois fixados x, y ∈ R o caminho f : [ 0, 1 ] −→ R t 7−→ (1−t) x + t y

∴

f (t) = (1−t) x + t y

é tal que f (0) = x e f (1) = y. Veja: s

x

s

y

R

Generalizando o exemplo anterior 2) O espa¸co (Rn , Di ), para i = 1, 2, 3 é conexo por caminhos, pois fixados x, y ∈ Rn o caminho f : [ 0, 1 ] −→ Rn t 7−→ (1−t) x + t y é tal que f (0) = x e f (1) = y. Defini¸ c˜ ao 50 (Conjuntos convexos). Seja E, +, · um espa¸co vetorial. Um subconjunto X ⊂ E chama-se convexo quando sempre que a, b ∈ X ⇒ [ a, b ] ⊂ X, ou seja, o segmento de reta que liga dois pontos quaisquer de X est´ a contido em X. (p. 617) 368

Por exemplo, dos conjuntos abaixo X

Y a

b

Z b

a

a

b

apenas o conjunto X é convexo. Todo subconjunto X ⊂ E convexo é conexo por caminhos porque, dados quaisquer a, b ∈ X o caminho retil´ıneo f : [ 0, 1 ] −→ E t 7−→ (1−t) a + t b é tal que f (0) = a e f (1) = b. Exemplos de conjuntos convexos: 1) Um subespa¸co vetorial, X ⊂ E, é fechado para as opera¸cões do espa¸co (adi¸cão e multiplica¸c˜ ao por escalar), da´ı é fácil concluir que todo subespa¸co vetorial é um conjunto convexo. 2) Toda bola aberta B(a; r) num espa¸co vetorial E, +, · normado.

Prova: Fixados x, y ∈ B(a; r), devemos provar que [ x, y ] ⊂ B(a; r). Seja então z ∈ [ x, y ] um vetor qualquer do segmento. Logo, existe 0 ≤ t′ ≤ 1 de modo que z = (1 − t′ ) x + t′ y. Por outro lado temos,    kx − ak < r  |1 − t′ | kx − ak < |1 − t′ | r ⇒  ky − ak < r  |t′ | ky − ak < |t′ | r

Nota: Ao multiplicarmos as desigualdades da esquerda, e mantendo as desigualdades estritas ` a direita, estamos supondo t′ 6= 0 e t′ 6= 1 (caso contr´ ario a prova é imediata). Temos: kz − ak = k(1 − t′ ) x + t′ y − ak = k(1 − t′ )(x − a) + t′ (y − a)k

≤ |1 − t′ | kx − ak + |t′ | ky − ak

< |1 − t′ | r + |t′ | r = (1 − t′ ) r + t′ r = r. portanto, z ∈ B(a; r) logo [ x, y ] ⊂ B(a; r). n 3) Se X ⊂ R é um conjunto convexo, então a aderência de X é convexa. ¯ sejam a, b ∈ X pontos de aderência, logo existem sequências De fato, (prop. 42, p. 212) ak e bk de pontos de X tais que ak → a

e

369

bk → b

como X é convexo temos ak , bk ⊂ X. Para 0 ≤ t ≤ 1 fixado arbitrariamente, temos (prop’s. 18, 20; p’s. 163, 164) (1 − t) ak + t bk → (1 − t) a + t b Portanto pela prop. 43

(p. 214),

¯ isto é [a, b] ⊂ X. ¯ temos (1 − t) a + t b ∈ X,

Vejamos um de uma fam´ exemplo ılia de conjuntos conexos por caminhos: n n+1 A esfera S = x ∈ R : kxk = 1 é conexa por caminhos. De fato, dados x, y ∈ S n consideremos duas possibilidades: a 1 ) x 6= −y. Deixamos como exerc´ıcio ao leitor provar a proposi¸cão: Se x 6= −y então (1 − t) x + t y 6= 0 Pois bem, considerando f : [ 0, 1 ] −→ S n dada por f (t) =

(1 − t) x + t y k(1 − t) x + t yk

fica definido um caminho tal que f (0) = x e f (1) = y. 2a ) x = −y. Neste caso tomamos um ponto z ∈ S n − { x, y } do que obviamente resulta z 6= x e z 6= y, isto é, z 6= −x e z 6= −y. Devido ao caso anterior existe um caminho de x a z e um outro de z a y. Justapondo estes caminhos ligamos x a y. Vamos concretizar o que foi visto através de alguns exemplos: 1. Sejam n = 1, x = (1, 0), y = (0, 1). Então f (t) = =

(1 − t)x + ty k(1 − t)x + tyk (1 − t, t) (1 − t)(1, 0) + t(0, 1) = k(1 − t)(1, 0) + t(0, 1)k k(1 − t, t)k

1.1. Consideremos k(a, b)k = max{ |a|, |b| }. Então f (t) = =

(1 − t, t) max |1 − t|, |t| (1 − t, t) max 1 − t, t

mas 1 − t ≥ t ⇔ t ≤ 21 . Logo   (1−t, t) , 1−t f (t) =  (1−t, t) , t

370

se 0 ≤ t ≤ 12 ; se

1 2

≤ t ≤ 1.

Isto é,   1, t , 1−t f (t) =  1−t , 1, t

se 0 ≤ t ≤ 12 ; se

1 2

≤ t ≤ 1.

Geometricamente, temos

R S1 1 1 2

(0, 1)

f

y

(1, 0)

R

0

1.2. Agora consideremos a norma euclidiana k(a, b)k = f (t) =

(1 − t, t) k(1 − t, t)k

=p

(1 − t, t)

(1 − t)2 + t2

Logo f (t) =

1−t t √ ,√ 2 2 2t − 2t + 1 2t − 2t + 1

Geometricamente, temos R (0, 1)

S1

1 1 2

y

f (1, 0)

0

371

R

√ a2 + b2 . Então

1.3. Agora consideremos k(a, b)k = |a| + |b|. Então f (t) =

(1 − t, t) k(1 − t, t)k

=

(1 − t, t) |1 − t| + |t|

=

(1 − t, t) = (1 − t, t). 1−t+t

Geometricamente, temos R (0, 1)

S1

1 1 2

f

y

(1, 0)

R

0

2. Seja (E, +, ·) um espa¸co vetorial normado, com dim E > 1. Para todo a ∈ E, E − { a } é conexo por caminhos. De fato, sejam x, y ∈ E − { a }. Se [ x, y ] ⊂ E − { a } este segmento de reta é um caminho em E − { a } ligando x a y. Por outro lado, se a ∈ [ x, y ], como dim E > 1, existe um ponto z n˜ ao alinhado com x e y. Então o caminho justaposto [ x, z ] ∨ [ z, y ] liga x com y em E − { a }. E−{ a } a ◦ x

E−{ a }

x

y

a ◦

y z

Todo conjunto conexo por caminhos é conexo. Este é o conte´ udo da pr´ oxima Proposi¸ c˜ ao 83. Se o espa¸co métrico (M, d) é conexo por caminhos, ent˜ ao (M, d) é também conexo. 372

Prova: Seja (M, d) conexo por caminhos. Dados a, b ∈ M existe um caminho f : [ 0, 1 ] −→ M tal que f (0) = a e f (1) = b. Como f é cont´ınua e [ 0, 1 ] é conexo, temos que f [ 0, 1 ] = f (t) : t ∈ [ 0, 1 ] é um conjunto conexo (prop. 78, p. 353) que contém a e b. Logo, pelo corol´ ario 26 (p. 361) M é conexo. (M, d) f (1) = b

1

f 0

f (0) = a

A proposi¸c˜ ao rec´ıproca da anterior n˜ ao é verdadeira. Vejamos um contraexemplo:

Um espa¸co conexo, mas n˜ ao conexo por caminhos Considere o espa¸co métrico (R2 , D1 ) e o subespa¸co (X, D1 ), no qual X=

1 (x, cos( )) ∈ R2 : x > 0 ∪ { (0, 0) } x

´ fácil mostrar (basta adaptar o exemplo da p. 354) que X é conexo. E Mostraremos que X n˜ ao é conexo por caminhos. Para tanto mostraremos que todo caminho λ : [ 0, 1 ] −→ X com λ(0) = (0, 0) é constante. Sendo assim n˜ ao se pode obter um caminho ligando (0, 0) a qualquer outro ponto de X, o que garante n˜ ao ser X conexo por caminhos. Com efeito, considerando um caminho λ : [ 0, 1 ] −→ X podemos escrever λ(t) = λ1 (t), λ2 (t) , ∀ t ∈ [ 0, 1 ].

Onde λ1 e λ2 s˜ ao cont´ınuas com λ(0) = λ1 (0), λ2 (0) = (0, 0) ⇒ λ1 (0) = 0; λ2 (0) = 0. R

r

1

tr

λ

0

λ(0)=(0, 0)

r

X

տ(λ r

տλ

1 (t), λ2 (t)) R

1 (t)

Para nossa prova devemos considerar a primeira proje¸ca õ, assim: 373

p1 :

X

R

( λ1 (t), λ2 (t) )

Consideremos, A=

λ1 (t)

t ∈ [ 0, 1 ] : λ1 (t) = 0 r

1

λ1 0

R

λ1 (0) = 0

Desejamos provar que A = [ 0, 1 ]. Inicialmente observe que A é fechado∗ e n˜ ao-vazio, pois 0 ∈ A. Vamos mostrar que A é também aberto no subespa¸co ([ 0, 1 ], µ). Tomemos um ponto arbitrário t0 ∈ A e mostremos que t0 é ponto interior de A, isto é que que existe r > 0 tal que B(t0 ; r) ⊂ A. A continuidade de λ : [ 0, 1 ] −→ X em t0 nos d´ a uma bola aberta B(t0 ; δ) de modo que ∀ t ∈ B(t0 ; δ) ⇒ D1 λ(t), λ(t0 ) < 1

como

t0 ∈ A ⇒ λ1 (t0 ) = 0

⇒ λ(t0 ) = (0, 0)

⇒ ∀ t ∈ B(t0 ; δ) ⇒ D1 λ(t), (0, 0) < 1

(7.4)

Nota: Não pode ser λ(t0 ) = (0, c) com c 6= 0 porquanto este ponto n˜ ao pertence a X. Fa¸camos uma mudan¸ca de nota¸cão: B(t0 ; δ) = B(t0 ; δ) ∩ [ 0, 1 ] = ] t0 − δ, t0 + δ [ ∩ [ 0, 1 ] = J De modo que J (sub-bola) é um intervalo. Logo λ1 (J) = { λ1 (t) : t ∈ J } é um intervalo† contendo 0, uma vez que t0 ∈ J

e

t0 ∈ A ⇒ λ1 (t0 ) = 0.

Afirmamos que λ1 (J) = { 0 }, isto é, que λ1 (J) é um intervalo degenerado. De fato, se o contr´ ario é que fosse verdade existiria, pela propriedade ar1 ∈ λ1 (J), então existiria t ∈ J de modo que quimediana, n ∈ N tal que 2πn ∗ †

Ver observa¸c˜ ao ` a p. 283. Proposi¸c˜ oes 80, 78; p’s. 355, 353.

374

λ1 (t) =

1 2πn ,

o que acarretaria λ(t) =

1 1 , cos(2πn) = ,1 2πn 2πn

contrariando (7.4) . Portanto,

∀ t ∈ J ⇒ λ1 (t) = 0 ⇒ J ⊂ A. Isto prova que A é aberto no subespa¸co ([ 0, 1 ], µ). A sendo aberto e fechado decorre∗ que A = [ 0, 1 ]. Sendo assim λ(t) = 0 para todo t ∈ [ 0, 1 ]; isto é, n˜ ao pode haver nenhum caminho ligando 0 a qualquer outro ponto de X; logo, X é conexo mas n˜ ao conexo por caminhos. Proposi¸ c˜ ao 84. A imagem de um conjunto conexo por caminhos através de uma aplica¸ca õ cont´ınua é conexa por caminhos. Prova: Sejam M conexo por caminhos e f : M −→ N cont´ınua. Dados p, q ∈ f (M ) = { f (x) : x ∈ M }, existem a, b ∈ M tais que f (a) = p

e

f (b) = q.

Como M é conexo por caminhos existe um caminho g : [ 0, 1 ] −→ M tal que g(0) = a e g(1) = b. Ent˜ ao a aplica¸cão f ◦ g : [ 0, 1 ] −→ f (M ) é cont´ınua e, (f ◦ g)(0) = f g(0) = f (a) = p, (f ◦ g)(1) = f g(1) = f (b) = q. M

r

b = g(1)

1 0

g

rg(0) = a

r

q

f

rp

N f (M )

f ◦g

Logo, f ◦ g é um caminho em f (M ) ligando p a q. Portanto f (M ) é conexo por caminhos. Corol´ ario 28. Se M e N s˜ ao homeomorfos ent˜ ao M é conexo por caminhos se, e somente se, N o for. ∗ Se fosse A 6= [ 0, 1 ], teriamos Ac 6= ∅, seria também aberto e fechado, logo A e Ac constituiriam uma desconex˜ ao do conexo [ 0, 1 ] o que é absurdo.

375

Proposi¸ c˜ ao 85. Se M e N s˜ ao conexos por caminhos ent˜ ao M × N é também conexo por caminhos. Prova: Sejam x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) dois pontos arbitrários em M × N . Como M e N s˜ ao conexos por caminhos, existe um caminho f : [ 0, 1 ] −→ M com f (0) = x1 e f (1) = y1 e um outro caminho g : [ 0, 1 ] −→ N com g(0) = x2 e g(1) = y2 . Com estes dois caminhos podemos construir a seguinte aplica¸c˜ ao h : [ 0, 1 ] −→ M × N t 7−→ (f (t), g(t)) Com o aux´ılio da proposi¸cão 57

(p. 272)

concluimos que h é cont´ınua e,

h(0) = f (0), g(0) = (x1 , x2 ) = x; h(1) = f (1), g(1) = (y1 , y2 ) = y.

Portanto h é um caminho ligando x a y e, por conseguinte, M × N é conexo por caminhos.

N

1 0

M ×N

y

y2

1

g

h x2

0

x

x1

y1

M

f

0

1

376

uma fam´ılia arbitr´ aria de conjuntos conexos Proposi¸ c˜ ao 86. Seja Xλ λ∈L por caminhos, num espa¸co métrico (M, [d). Se todos os Xλ contêm um ponto comum a ∈ M , ent˜ ao a reuni˜ ao X = Xλ também é conexa por caminhos. λ∈L

Prova: Com efeito, dados x, y ∈ X, existem µ, ν ∈ L tais que x ∈ Xµ e y ∈ Xν . Existem, por hip´ otese, dois caminhos f : [ 0, 1 ] −→ Xµ e g : [ 0, 1 ] −→ Xν tais que f (0) = x, f (1) = a, g(0) = a e g(1) = y, já que o ponto a pertence a todos os Xλ . Justapondo os caminhos f e g obtemos um caminho ligando x a y. X 1

f

Xµ

f (0) = x

Xν

0

g

1 0

g(1) = y f (1) = g(0) = a

f ∨g 0

1

Um conjunto com partes disjuntas e conexo por caminhos Na p. 354 exibimos um conjunto, com partes disjuntas, e conexo, mas n˜ ao conexo por caminhos (p. 373). Vamos agora construir uma fam´ılia de conjuntos com partes disjuntas e, mesmo assim, conexos por caminhos. Creio que o exemplo que estaremos exibindo aqui seja o primeiro na literatura matem´ atica − pelo ao menos nos três livros sobre espa¸cos métricos constantes em nossas referências n˜ ao consta nenhum exemplo do gênero. Para facilitar a exposi¸c˜ ao, torn´ a-la mais did´ atica, exibiremos nosso objeto em um caso particular, o caso geral n˜ ao apresentar´ a dificuldades. Enunciaremos nosso resultado (“monstrinho”) na forma de um Teorema 6 (Gentil/11.09.2008). Afirmamos que o conjunto a seguir

0

1 3

2 3

1

é conexo por caminhos − quando se considera a métrica quˆ antica no intervalo unit´ ario. 377

Traduzindo em termos intuitivos, o que estamos afirmando é que dados dois pontos quaisquer neste conjunto, como, por exemplo os pontos p e q vistos a seguir s

1 3

p

0

2 3

s

q

1

podemos uni-los por um tra¸co cont´ınuo, sem abandonar o conjunto. De outro modo: sentando a ponta de um lápis no primeiro ponto, p, podemos atingir o segundo ponto, q, sem levantar a ponta do lápis e sem sair do conjunto. Prova: Para n˜ ao complicar desnecessariamente a prova do nosso teorema observamos que, se os dois pontos dados no conjunto encontram-se de um mesmo lado, ent˜ ao eles podem ser ligados “trivialmente”. (p. 368) De formas que o problema maior é quando os pontos dados situam-se em lados opostos − é esse o caso que estaremos considerando. Observamos ainda mais o seguinte, dados dois pontos p e q, como na figura anterior, ligaremos inicialmente (e trivialmente) o ponto p à origem, assim: s

1 3

p

0

2 3

s

q

1

e, ap´ os, ligaremos a origem a algum ponto “do outro lado”. De formas que todo o nosso desafio se resume em ligar a origem a um ponto qualquer do outro lado, veja: s

?

0

2 3

s

q

1

Buscaremos um caminho inspirados na figura seguinte λ(1)

1

s

λ ↑

0 0

2 3

1

λ(0)

Ou seja, λ(0) ser´ a o in´ıcio do caminho e λ(1) o seu término. Ou ainda, quando a ponta do l´ apis estiver na origem do intervalo, sua imagem estar´ a na 378

origem do conjunto. Quando a ponta do lápis estiver no topo do intervalo, sua imagem estar´ a no ponto 2/3 do conjunto. Nestas condi¸c˜ oes o gr´ afico a seguir ser´ a de grande aux´ılio:

λ(t) 1 2 3

0

rs

t

λ

0

t p →

1

Desse gr´ afico deduzimos a seguinte express˜ ao para o caminho λ:

λ(t) =

  0,

t = 0;

 1 − 1 t, 0 < t ≤ 1. 3

(7.5)

Onde t é um parˆ ametro que indica a posi¸cão da ponta do lápis no intervalo [ 0, 1 [ e λ(t) é a imagem da ponta no conjunto dado. Fa¸camos algumas simula¸c˜ oes no sentido de entender graficamente o que se passa. Utilizando a equa¸c˜ ao (7.5), calculamos: t=0

⇒ λ(0) = 0

t=

1 4

⇒ λ( 41 ) = 1 −

1 3

·

1 4

=

11 12

= 0, 917

t=

1 2

⇒ λ( 21 ) = 1 −

1 3

·

1 2

=

5 6

= 0, 833

t=

3 4

⇒ λ( 43 ) = 1 −

1 3

·

3 4

=

3 4

= 0, 750

t=1

⇒ λ(1) = 1 −

1 3

·1=

2 3

= 0, 667

Geometricamente, fica assim: 379

1

↑

1 4

λ( 12 )

p

λ(1) 1 2

s

λ

2 3

0

p

p

3 4

0

λ( 34 )

λ(0)

1 λ( 14 )

Do exposto podemos concluir que quando o lápis aponta para a origem do intervalo sua imagem encontra-se na origem do conjunto − in´ıcio do caminho. Se dermos qualquer deslocamento ao lápis − mesmo que um “infinitésimo” − sua imagem comparece “instantâneamente” “do outro lado” do conjunto, e ` a medida que deslocamos o lápis o caminho vai sendo descrito:

1 2

lápis

↑

p

1

λ(0)

λ(1)

s

λ

0

2 3

← 1

0

O que dissemos pode ainda ser visto no seguinte gr´ afico, observe: λ(t) 1 2 3

0

rs 0

t

→

1

Para que o nosso extraordin´ ario feito esteja devidamente (matem´ aticamente) consolidado, resta um porém. A defini¸cão 48 (p. 365) exige que o caminho λ seja cont´ınuo. Em termos intuitivos, o tra¸cado (imagem) do lápis deve ser cont´ınuo, isto é, n˜ ao deve apresentar nenhum “salto”. Aqui apenas mencionamos que o ponto “mais delicado” ocorre quando movemos o lápis da origem e sua imagem “salta” instˆ antaneamente para o outro extremo do intervalo. Podemos questionar se esse “salto” se d´ a de forma cont´ınua. A resposta é pela afirmativa, o que, a estas alturas é fácil provar. 380

Mostramos anteriormente (p. 116) que a raz˜ ao pela qual a origem pode estar em muitos lugares simultˆ aneamente é o formato da onda centrada nela. Essa continua sendo, precisamente, a raz˜ ao pela qual o “salto” referido anteriormente se d´ a de modo cont´ınuo (suave). Acontece que os nossos olhos nos dizem que a origem na figura a seguir s

2 3

0

s

q

1

encontra-se isolada da regi˜ ao ` a direita. Ora, mas isso é apenas uma ilus˜ ao de ótica; digo, de l´ ogica, uma vez que na métrica quântica podemos dizer que, na verdade, a origem é aderente à regi˜ ao, em raz˜ ao de que podemos sempre exibir um ponto da regi˜ ao arbitrariamente pr´ oximo da origem. Melhor dizendo, a distˆ ancia da origem para a regi˜ ao à direita é nula, em fun¸cão de que toda onda centrada nela, intercepta a regi˜ ao, observe uma delas: O

s

) 2 3

0

s

(

O

q

1

Na figura a seguir

1 2

lápis

↑

p

1

λ

O

s

)

(

0

2 3

λ(0)

λ(1)

R

O 1

0

toda Onda de centro na origem intercepta a regi˜ ao R à direita, por essa raz˜ ao a distˆ ancia da origem para essa regi˜ ao é nula, o que significa que arbitrariamente pr´ oximo da origem encontramos um ponto da regi˜ ao; sendo assim, ao movermos a ponta do l´ apis, um infinitésimo que seja, sua imagem aparece “do outro lado” sem qualquer descontinuidade, isto é, de modo cont´ınuo. Lembramos que a equa¸c˜ ao dada em (7.5) (p. 379) nos fornece, na regi˜ ao R, o ponto que é imagem da ponta do lápis em qualquer posi¸cão do intervalo.

381

A maior dificuldade em rela¸cão ao teorema 6 (p. 377) n˜ ao residiu tanto em sua demonstra¸c˜ ao mas sim em sua descoberta. Tanto isso é verdade que até hoje n˜ ao encontramos na literatura um exemplo similar. A seguinte afirma¸c˜ ao de um matem´ atico profissional Outra maneira de exprimir a conexidade de um espa¸co é dizer que se pode passar de um qualquer de seus pontos para outro por um movimento cont´ınuo, sem sair do espa¸co. Isto nos leva ` a no¸ca õ de espa¸co conexo por caminhos, conceito mais particular e provido de mais significado intuitivo do que o conceito geral de espa¸co conexo. (Elon Lages) é o que me faz dar crédito ao que afirmo. O que devemos destacar na afirma¸c˜ ao acima − relativamente aos conjuntos conexos por caminhos − é a frase: “conceito mais particular e provido de mais significado intuitivo do que o conceito geral de espa¸co conexo”. A partir do nosso contraexemplo, isso deixa de ser verdade. Observando o conjunto a seguir

0

1 3

2 3

1

ninguém diria que ele é conexo por caminhos e, é óbvio, ninguém iria tentar demonstrar o contr´ ario daquilo que “tem certeza” (que acredita). ´ precisamente neste contexto que afirmo que a visão (f´ısica, corp´ E orea) pode nos cegar. Antes de demonstrar o teorema em questão, trabalhei exaustivamente durante dois dias tentando provar o contr´ ario − isto é, que o conjunto acima n˜ ao é conexo por caminhos −, lembro que certa feita até consegui provar isto; para, posteriormente, detectar uma falha na minha “prova”. Em dado momento, num ato de desespero, tive que cerrar os “olhos” e tentar demonstrar o contr´ ario do que eu acreditava − digo, do que meus olhos me davam a certeza: “Cuidado com a vis˜ ao! . . . ela pode nos cegar! ” Por oportuno, um outro exemplo em que acredito que a visão esteja cegando os cientistas é no que se refere à compreensão dos fenômenos “n˜ aolocais” na f´ısica quântica. Daqui a pouco estaremos voltando a esse tema. ∗

∗

∗

Schwarz viu algo na teoria das cordas que outros poucos viram, uma beleza matem´ atica essencial que ele sentiu que n˜ ao podia ter sido acidental. A teoria era dif´ıcil de ser desenvolvida, mas isso n˜ ao o desanimou. Ele estava tentando resolver um problema que confundiu Einstein e todo mundo depois de Einstein − reconciliar a teoria quˆ antica com a relatividade. A solu¸ca õ n˜ ao poderia ser f´ acil. (A janela de Euclides, p. 218) 382

Um conjunto conexo por caminhos em 2 − D

Por raz˜ oes an´ alogas ` as da constru¸cão anterior∗ , podemos afirmar que o conjunto ` a esquerda, na figura a seguir

r

r

sr

é conexo por caminhos. De outro modo: podemos ligar dois pontos quaisquer desse conjunto por um tra¸co cont´ınuo totalmente contido no conjunto. Isso é poss´ıvel devido ao formato da onda de centro na origem.

Topologia quˆ antica Deve estar ficando f´ acil ver por que f´ısica e mistiscismo se cruzam. Coisas separadas mas sempre se tocando (n˜ ao-localidade); elétrons que se movem de A para B sem nunca passar entre esses pontos. (Referˆ encia no rodap´ e p. 98)

Nosso objetivo agora ser´ a referendar matem´ aticamente a afirmativa da f´ısica quântica − já comprovada em laborat´ orio − de que “elétrons se movem de A para B sem nunca passar entre esses pontos.” Mais precisamente, provaremos que isto é poss´ıvel para um ponto geométrico e raciocinamos: se isto é poss´ıvel para um ponto, que é indimensional, n˜ ao temos por que duvidar de que seja poss´ıvel para uma entidade f´ısica. Para trazer a citada assertiva quântica para o dom´ınio da matem´ atica precisamos de duas defini¸c˜ oes: • (Transitar) Diremos que um objeto pode transitar entre duas (ou mais) regi˜ oes se existe um caminho ligando este objeto a qualquer ponto destas regi˜ oes. • (Transitar sem passar por pontos interm´ edios) Diremos que um objeto transita (ou pode transitar) entre duas regi˜ oes disjuntas − sem passar por pontos intermédios − quando existe um caminho ligando este ponto a qualquer outro ponto destas regi˜ oes e, caminho este, totalmente contido nestas regi˜ oes. ∗

Ou via produto cartesiano, prop. 85, p. 376.

383

Se todos estamos de acordo com estas defini¸cões então decorre, como um corol´ ario de nosso teorema, que: Um ponto quˆ antico pode transitar entre duas regi˜ oes sem passar pelos pontos intermédios.∗ Como um exemplo, moveremos o ponto quântico p, na figura a seguir t

B

A p=

0

p

2 3

1 3

1 6

5 6

1

de A para B, sem passar pelo hiato central. A estratégia consistirá no seguinte: Inicialmente ligaremos o ponto p à origem e, em seguida, ligaremos a origem ao ponto q, como na figura: B

A

t

p=

0

pt

2 3

1 3

1 6

q=

5 6

1

Pois bem, dos gr´ aficos a seguir f (t)

g(t)

1

1 5 6

1 6

t

0

0

rs

t

g

f

0

t p →

1

0

t p →

1

deduzimos as seguintes express˜ oes para os caminhos: f (t) =

1 (1 − t) 6

∗ Estamos antico um ponto do universo considerando como um ponto quˆ [ 0, 1[ n , k , onde k é a métrica quˆ antica na dimens˜ ao n correspondente.

384

e

  0,

g(t) =

t = 0;

 1 − 1 t, 0 < t ≤ 1. 6

Justapondo estes caminhos, isto é, aplicando a equa¸cão (7.3) caminhos deduzidos anteriormente, obtemos:

λ(t) =

       

1 6

(p. 366)

aos

se 0 ≤ t ≤ 21 ;

(1 − 2t),

  0,     g(2t − 1) =    1 − 1 (2t − 1),  6

2t − 1 = 0; 0 < 2t − 1 ≤ 1.

, se

1 2

≤ t ≤ 1.

onde fizemos λ = f ∨ g. Simplificando, obtemos:

λ(t) =

  

1 6

 

1 6

(1 − 2t), se 0 ≤ t ≤ 12 ; (7 − 2t), se

1 2

(7.6)

< t ≤ 1.

O gr´ afico de λ fica assim:

λ(t)

p

p

p

p

p

1 5 6

1 6

0

p

1 2

p1

t

Esse gr´ afico nos mostra que quando a ponta do lápis est´ a na origem do intervalo unit´ ario (t = 0) sua imagem aponta para o ponto p = 16 . Ao movermos o l´ apis, o caminho vai sendo tra¸cado no sentido da origem (do conjunto), quando a ponta do l´ apis atinge a metade do intervalo, sua imagem encontra-se precisamente na origem do conjunto, veja isso graficamente 385

1

↑

lápis

s

λ

p

1 2

t

0

p=

2 3

1 3

1 6

t

q=

5 6

1

0 λ( 12 )

λ(0)

λ(1)

Ao movermos o l´ apis a partir da metade, por um infinitésimo que seja, sua imagem (o caminho) já aparece do “outro lado” do conjunto; quando a ponta do l´ apis alcan¸ca o topo do intervalo, alcan¸camos o fim do caminho, ponto q. A continuidade de λ no ponto “mais delicado” (t = 12 ) já foi provada no exemplo 5 (p. 245) − nos demais pontos deixamos por conta do estudante.

Nosso prod´ıgio apreciado de uma outra perspectiva

Vejamos uma outra perspectiva, perfeitamente válida, segundo a qual podemos compreender como na figura a seguir t

B

A p=

0

p

1 6

2 3

1 3

5 6

1

conseguimos mover o ponto p de A para B, sem passar pelo hiato central. J´ a vimos (ex. 3, p. 296) que o intervalo quântico é homeomorfo ao c´ırculo e, ademais, que a imagem de um conjunto conexo por uma aplica¸caõ cont´ınua é um conjunto conexo. (prop. 78, p. 353) O que significa que, topologicamente falando, s˜ ao equivalentes a conexidade no intervalo e no c´ırculo, veja:

f

t

B

A 0

p=

1 3

1 3

2 3

5 6

t

0 1 (1, 0)

p

1 6

A

1 2 3

pB

O homeomorfismo é dado por: f (t) = (cos 2π t, sen 2π t). Esta transforma¸c˜ ao “enrola” (sentido anti-hor´ ario) o intervalo no c´ırculo unit´ ario. 386

Interregno cultural: Nosso teorema e fenˆ omenos n˜ ao-locais Por exemplo: nenhum sinal pode ser transmitido mais depressa que a velocidade da luz. Mas, além dessas conex˜ oes locais, outro tipo de conex˜ oes, n˜ ao-locais, veio recentemente ` a luz; conex˜ oes que s˜ ao instantˆ aneas e que n˜ ao podem ser preditas, nos dias que correm, de uma forma precisa, matem´ atica. (Capra, Fritjof. O Tao da f´ısica/p. 230) Eu creio que nosso teorema pode contribuir para predizer “de uma forma precisa, matem´ atica” fenômenos n˜ ao-locais no dom´ınio da f´ısica quântica. Com efeito, estribados em nosso teorema conjecturamos que se no mundo subatômico da f´ısica quântica um objeto pode estar em vários lugares simultˆ aneamente e, ademais, pode transitar em várias regi˜ oes − disjuntas − sem passar por pontos intermédios, s´ o pode ser em raz˜ ao de que o microcosmo tal como o macrocosmo (da teoria da gravita¸cão de Einstein) é curvo! Ou ainda: a geometria do submundo quântico n˜ ao é euclidiana (plana) mas sim curva, tal como a geometria de Einstein. Pergunto: n˜ ao é precisamente isto que a teoria f´ısica das supercordas conjectura ao afirmar a respeito das “microdimensões enroladas”? ´ poss´ıvel que aqui resida o quid que falta para a unifica¸cão da teoria E quântica com a gravita¸c˜ ao: o universo subatômico é curvo, ou ainda: deve existir uma u ńica geometria (métrica) que unifica ambos os dom´ınios! Penso que esta conjectura encontra respaldo em nosso teorema! − Conjecturamos também da plausibilidade da métrica quântica se aplicar ao microcosmo das part´ıculas quânticas.

Nosso universo e o segundo postulado de Einstein Einstein, em 1905, publica numa revista cient´ıfica alem˜ a o trabalho intitulado “Sobre a eletrodinˆ amica dos corpos em movimento”, este trabalho se desenvolveu alicer¸cado sobre dois postulados (afirma¸cões aceitas como válidas, sem necessidade de demonstra¸cões). O primeiro destes postulados foi chamado por Einstein de Princ´ıpio da relatividade: Postulado 1: As leis da f´ısica s˜ ao as mesmas para todos os referenciais ∗ inercias . Não existe um referencial absoluto. Postulado 2: A velocidade da luz no vácuo tem o mesmo valor c em qualquer referencial inercial, independentemente da velocidade da fonte de luz. Este segundo postulado foi o mais dif´ıcil de ser aceito, mesmo por f´ısicos famosos, pois contraria nossa experiência di´ aria (o “bom senso”). ∗

Referenciais inerciais s˜ ao aqueles em que as leis de Newton s˜ ao v´ alidas.

387

Ainda decorre deste segundo postulado que nenhum sinal (informa¸cão) pode ser transmitido com velocidade superior à da luz. Em f´ısica, uma “conexão local” é qualquer “conexão” entre dois pontos que obedece o segundo postulado de Einstein − isto é, que d´ ar-se com velocidade n˜ ao superior a da luz. ` Entretanto, recentemente foram observados − no dom´ınio quântico − fenômenos f´ısicos que, aparentemente, se d˜ ao a uma velocidade instantânea; ou seja, ` a primeira vista, estes fenômenos (chamados “n˜ ao-locais”) parecem violar o segundo postulado de Einstein. Creio que com o aux´ılio do nosso teorema 6 (p. 377) podemos lan¸car uma luz nesta quest˜ ao − ainda hoje controvertida, isto é, ainda n˜ ao satisfatoriamente compreendida. Vamos considerar, para efeitos de argumenta¸cão, os dois universos seguintes: e E = [ 0, 1 [, µ U = [ 0, 1 [, k Da experiência obtida com o teorema 6 creio que o que nos impede de compreender satisfatoriamente a “n˜ ao-localidade” é que somos v´ıtimas de uma “mente euclidiana”, digo, ami´ ude, estamos tentando ver (explicar) os fenômenos presos a um modelo “linear” de tempo e espa¸co. Inicialmente vamos argumentar no sentido de mostrar que esta visão euclidiana, arraigada no psicol´ ogico (mente) dos cientistas, pode fácilmente induzi-los ao erro; digo, podem − inadvertidamente − concluir que nos fenômenos n˜ ao-locais a informa¸cão viaja com velocidade instantânea − ver cita¸c˜ ao em ep´ıgrafe. (Capra, p. 387) De fato, retomemos nosso sistema analisado anteriormente (o qual repetimos aqui para comodidade do leitor): 1

r

λ

0

0

2 3

1

Aqui, no instante t = 0 a imagem da ponta do lápis encontra-se na origem, 0, do sistema. Um “infinitésimo” de tempo depois esta mesma imagem encontra-se no outro extremo do intervalo, assim: 1

↑

r

λ

0

0

← 2 3

1

Esse fenômeno∗ pode ser analisado de duas perspectivas: ∗

A informa¸c˜ ao (imagem da ponta do l´ apis) viaja da origem do conjunto ao extremo

388

1a ) No universo euclidiano E. Inicialmente observe que o nosso espa¸co [ 0, 1 [ é normalizado (tem comprimento unit´ ario), o que significa que o comprimento “1”, pode significar um cent´ımetro, um metro, um kilômetro, um ano-luz, etc., n˜ ao importa. Pois bem, no universo euclidiano† sendo a distˆ ancia entre a origem e o outro extremo do conjunto n˜ ao nula, a conclusão, naturalmente, é a de que a informa¸c˜ ao viajou instantˆ aneamente, contrariando assim o segundo postulado de Einstein. 2a ) No universo quântico U . Neste universo a interpreta¸c˜ ao do fenômeno muda radicalmente. Com efeito, pr´ a come¸car n˜ ao existe nenhuma distˆ ancia entre a origem e o extremo direito do conjunto (universo) − de fato a distˆ ancia é nula. Sendo assim, neste universo, a informa¸cão n˜ ao precisa viajar com velocidade instantˆ anea, uma vez que n˜ ao deve cobrir nenhuma distˆ ancia. Vimos, ademais, que a raz˜ ao para que a referida distˆ ancia seja nula é que toda Onda de centro na origem intercepta o extremo direito do intervalo, veja: 1

↑

r )

λ

0

0

|

{z O

← ( }

1

Conclus˜ ao: Para salvar-mos o segundo postulado de Einstein devemos concluir que o universo no qual se d˜ ao os fenômenos n˜ ao-locais − na f´ısica quântica − n˜ ao é o euclidiano; digo, a métrica subjacente a esses fenômenos n˜ ao é a usual. Por conseguinte, conjecturamos que “toda aquela distˆ ancia”, entre as partes do sistema, que os cientistas vêem nos fenômenos de a¸cão à distˆ ancia, n˜ ao existe, é nula! Dos argumentos anteriores podemos concluir que esta distˆ ancia é nula porque existem ondas ligando as partes do sistema; ou seja, a distˆ ancia existe para a vista f´ısica mas, na verdade, inexiste por conta de que as partes do sistema est˜ ao conectadas por ondas. “Cuidado com a vis˜ ao! . . . ela pode nos cegar! ”

O universo U como modelo para o nosso Universo J´ a provamos que no universo quântico podemos justificar matem´ aticamente alguns fenômenos da f´ısica quântica. Animados por estes resultados é que ousamos propor nosso universo ( [ 0, 1 [, k ) como um modelo (isomorfismo) para o nosso Universo (digo, nosso Universo de verdade!). direito do intervalo [ 32 , 1 [. † Que é a distˆ ancia que, ami´ ude, se tem em mente; ou ainda, é o que os nossos olhos vêm “em toda parte”.

389

Argumentarei com um universo unidimensional, apenas por raz˜ oes did´ aticas, isto é, para facilitar minha exposi¸cão e, concomitantemente, facilitar o entendimento do leitor − haja vista que meus argumentos podem fácilmente ser transferidos para qualquer dimensão (hipercubo), digo, para o universo: U = ( [ 0, 1 [ n , k ). Retomando, inicialmente observo que nosso universo comporta até o modelo te´ orico do Big Bang, assim: 0

1

↑

↑

-Origem -Singularidade -Big Bang

-Expansão

U

-Fronteira

Vejam algumas das propriedades do nosso universo: − Limitado; − Conexo por caminhos;

− Compacto† ; − “Curvo” (por conta de sua métrica, onda, topologia); − Fronteira aberta; − Em Expansão.

Nota: Com expans˜ ao, quero dizer que nosso universo (intervalo) pode ser expandido (ou “dilatado”) à vontade e ainda assim manter´ a suas propriedades topol´ ogicas. Nosso universo est´ a “normalizado”. − Como já vimos, em nosso universo podemos até justificar fenômenos n˜ ao-locais (“instantˆ aneos”), da f´ısica quântica, por conta da onda de centro na origem, lembramos: 1

↑

r )

λ

0

0

|

{z O

← ( }

1

Para fazer uma ponte, ou ainda, estabelecer um caminho entre nosso modelo te´ orico e nosso Universo é que terei que levantar uma conjectura, qual seja: “No Big Bang (origem do nosso Universo) foi gerada uma Onda e esta onda conecta a origem com sua fronteira”. Logo, por conta desta onda (“campo”) é que podemos explicar fenômenos n˜ ao-locais da f´ısica; igualmente como se d´ a em nosso modelo teórico. †

A ser provado no cap´ıtulo 9.

390

Observemos esta onda em nosso modelo bidimensional:

O s

s

sr

Admitindo essa Onda como um modelo para a “onda primordial” (digo, a onda gerada no Big Bang) podemos dizer que a mesma é conexa por caminhos, ou ainda: conecta (por caminhos) todo o Universo. Insisto: Esta Onda (primordial) é quem transmite informa¸cões “instantâneas” ` as diversas partes do nosso Universo que, volto a lembrar, é conexo! (por caminhos, justamente por conta desta Onda). Observe que nosso modelo nos permite fazer algumas previs˜ oes interessantes (surpreendentes) tais como: suponhamos que em nosso Universo surjam alguns “buracos negros” (t´ uneis, hiatos, etc.) tais como, 1

1

⇒

[ 0, 1 [ × [ 0, 1 [

0

0

1

1

Não h´ a o menor problema pois todas as partes remanescentes continuam interagindo entre si (continuam intercomunicantes); digo: a informa¸cão pode transitar livremente entre os “peda¸cos” de nosso Universo; ou ainda: um objeto (ponto) pode transitar livremente entre as partes. Isto se deve a que nosso Universo mutilado continua conexo por caminhos e, esta conexidade se deve ` a Onda, veja: Observe que 1 conseguimos colocar nosso Universo − isto é, uma réplica dele − em uma casca de noz: [ 0, 1 [. Como 0 s diria Stephen Hawking.

Para ver o Mundo em um Gr˜ ao de Areia, E um C´ eu em uma Flor Selvagem, Pegue o Infinito na Palma de sua m˜ ao, E a Eternidade em uma hora. (William Blake/Poeta) 1

391

7.4

Espa¸ cos localmente conexos

Defini¸ c˜ ao 51 (Espa¸co localmente conexo). Um espa¸co métrico (M, d) se diz localmente conexo, quando para todo p ∈ M e todo aberto U contendo p existir um aberto conexo V , tal que p ∈ V ⊂ U . Exemplos: 1) O espa¸co (R, µ) é localmente conexo. Com efeito, sejam p ∈ R e um aberto U tal que p ∈ U . Sendo assim, p é ponto interior de U , o que significa que existe r > 0 tal que B(p; r) = ] p − r, p + r[ ⊂ U Como todo intervalo aberto é conexo, podemos tomar V = ] p − r, p + r[, e concluir pela conexidade local de R.

]

[

R

p+r

    

p−r

s

p

   

Uց

V

2) Considere o seguinte subconjunto do plano N=

(x, y) ∈ R2 : x = 0 ou y = 0 ou y =

1 com n ∈ N n

x=0 y=1

y= 12

↓

y=0

Este é um exemplo de um conjunto conexo (por caminhos) mas não localmente conexo. Provaremos a segunda assertiva e deixaremos a primeira como exerc´ıcio. Com efeito, inicalmente fixemos um ponto p ∈ M e um aberto contendo p, assim: p = (1, 0) ∈ U = B (1, 0); 1) 392

Lembramos que B (1, 0); 1) − a bola no subespa¸co (N, Di ) − é a interse¸cão da bola B (1, 0); 1) no espa¸co (R2 , Di ) com o subconjunto N . Considerando a métrica usual, temos: x=0 y=1

y= 12

r

↓

y=0

(1, 0)

Ou ainda:    U = B (1, 0); 1  

y= 12

r

↓

y=0

(1, 0)

Seja V ⊂ U um aberto arbitrário contendo p = (1, 0). Provaremos que nenhum de tais abertos pode ser conexo. Pois bem, sendo V aberto existe r > 0 tal que B (1, 0); r) ⊂ V Pela proposi¸c˜ ao 24 (p. V = A ∩ U , digamos:    U = B (1, 0); 1  

193)

existe um aberto A em (R2 , D1 ) de modo que

y= 12

↓

r

(1, 0)

393

y=0 A

Logo V

r

↓

(1, 0)

Como diz´ıamos existe r > 0 tal que B (1, 0); r) ⊂ V

V

⇒ r

↓

(1, 0)

B((1, 0); r) B((1, 0); r)

n

r

↓

(1, 0)

Pela propriedade arquimediana existe um natural n0 tal que sendo assim temos que

(1,

1 n0 )

∈ B((1, 0); r)

B((1, 0); r)

n

rւ

r

↓

1 n0

(1,

1 n0

< r,

)

(1, 0)

Vamos considerar os seguintes subconjuntos A = V ∩ (x, y) ∈ N : y >

V

↓

r

(1, 0)

1 n0 + 1

↑A ↓B

y=

e

1 n0 + 1

1 B = V ∩ (x, y) ∈ N : y < n0

↓

rւ

r

(1, 0)

(1,

1 n0

)

o

B((1, 0); r)

Observe que A e B s˜ ao n˜ ao-vazios porquanto, 1,

1 ∈A n0

e

(1, 0) ∈ B

A e B s˜ ao abertos disjuntos em V e, ademais, V = A ∪ B; logo o par A, B constitui uma desconex˜ ao de V , isto é V é desconexo e resulta que N n˜ ao é localmente conexo. 394

Justificativa: Queremos justificar, com detalhes, a afirmativa feita anteriormente de que A e B s˜ ao abertos em V . Primeiramente observamos que cada linha y = n1 ∈ N é um conjunto aberto no subespa¸co (N, D1 ). Com efeito, fixemos uma de tais linhas; cada um de seus ponto é ponto interior, 1 uma vez que podemos escolher r = n1 − n+1 e obter B(p; r) = B(p; r) ∩ N ⊂

(x, y) ∈ N : y =

1 n

A figura a seguir ilustra a afirma¸cão para o caso particular n = 2 (linha y = 12 ). x=0 y=1

sւ

B(p; 16 )

y= 12

p

y= 31

↓

y=0

Sendo assim, os conjuntos

(x, y) ∈ N : y >

1 n0 + 1

e

1 n0

(x, y) ∈ N : y <

reuniões de tais retas (abertos) s˜ ao abertos em N .

(prop. 23, p. 192)

Logo, tendo em conta “a volta” (⇐=) da prop. 24 abertos no subespa¸co (V, D1 ).

(p. 193)

A e B s˜ ao

Proposi¸ c˜ ao 87. Todo subespa¸co aberto de um espa¸co localmente conexo é localmente conexo. Prova: Seja (M, d) um espa¸co localmente conexo e A ⊂ M um aberto. Fixado um ponto p ∈ A e um aberto (em (A, d)) U contendo p, como (prop. 25, p. 194)

(M, d) A ◦

s

◦

U (A, d) = U (M, d)

p

395

U

Logo, U é também um aberto em (M, d). Sendo M localmente conexo existe um aberto conexo V (em (M, d)) contendo p tal que V ⊂ U ; logo V ⊂ A e como ◦ ◦ p ∈ V (M, d) = V(A, d) temos que o conexo V é também um aberto assim, A é localmente conexo.

(em (A, d))

contendo p. Sendo

(M, d) A

s

p

7.5

U V

Componentes Conexas

Defini¸ c˜ ao 52 (Parti¸c˜ ao de um conjunto). Chama-se parti¸ca õ de um conjunto n˜ ao vazio A todo conjunto P cujos elementos s˜ ao subconjuntos n˜ ao vazios de A, disjuntos dois a dois e cuja reuni˜ ao é A. Em outros termos, parti¸ca õ de um conjunto n˜ ao vazio A é todo conjunto P cujos elementos s˜ ao subconjuntos de A que satisfazem as três seguintes condi¸co ˜es: (i) ∀X ∈ P X 6= ∅ (ii) ∀ X, Y ∈ P e X 6= Y X ∩ Y = ∅ (iii)

[

X=A

X∈P

Cada elemento do conjunto P chama-se uma cela da parti¸cão. Todo elemento do conjunto A pertence a uma e somente uma cela da parti¸cão P. Nosso objetivo agora ser´ a mostrar a existência de importante parti¸cão em todo espa¸co métrico (M, d): ou este é conexo ou é formado de partes conexas, disjuntas entre si. (M, d)

396

Seja (M, d) um espa¸co métrico e fixemos p ∈ M . Seja Ap = Ai a cole¸cão dos subconjuntos conexos de M que contêm p. Ap n˜ ao é vazia pois { p } ∈ Ap (ex. 1, p. 350). S Consideremos ainda Cp = i Ai e provemos que

(a) Cp é conexo;

(b) Se B é um conjunto conexo de M contendo p, então B ⊂ Cp ; (c) Cp é um conjunto conexo maximal de M (isto é, Cp é o maior subconjunto conexo de M que contém p); (d) Cp é um conjunto fechado. De fato, (a) Como cada Ai ∈ S P contém p então p ∈ 81 (p. 361) Cp = i Ai é conexo.

T

i

Ai , e assim, pela proposi¸cão

(b) Se B é um subconjunto conexo de M contendo p, então B ∈ Ap e, S assim, B ⊂ Cp = {Ai : Ai ∈ Ap }.

(c) Seja Cp ⊂ D, sendo D conexo. Como

[ { p } ∈ Ap = Ai ⇒ p ∈ Cp = Ai ⇒ p ∈ D i

logo, por (b), D ⊂ Cp ; isto é, Cp = D. (d) De fato, o fecho C¯p de Cp é conexo (proposi¸cão 79, p. 353). Se Cp n˜ ao fosse fechado, a inclusão Cp ⊂ C¯p seria pr´ opria, contradizendo (c) ¯ acima. Portanto Cp = Cp . Para cada p ∈ M , Cp é chamada componente conexa de p. Os fatos b´ asicos referentes ` as componentes conexas de um espa¸co (M, d) acham-se englobados na seguinte Proposi¸ c˜ ao 88. As componentes conexas de um espa¸co métrico (M, d) formam uma parti¸ca õ de M . Ademais, todo subconjunto conexo de M est´ a contido em alguma componente. Prova: (i) ∀ Cp Cp 6= ∅, pois p ∈ Cp . (ii) ∀ Cp , ∀ Cq ; p 6= q Cp ∩ Cq = ∅

Mostremos que componentes distintas s˜ ao disjuntas, ou, de modo equivalente, se Cp ∩ Cq 6= ∅, ent˜ ao Cp = Cq .

De fato, se existisse x ∈ Cp ∩ Cq , então a reunião Cp ∪ Cq também seria conexa e, pelo ´ıtem (c) provado anteriormente, Cp = Cp ∪ Cq , ou seja, 397

Cq ⊂ Cp . Analogamente se chegaria a que Cp ⊂ Cq e, por conseguinte, valeria a igualdade Cp = Cq . S ´ (iii) Obviamente M= Cp : p ∈ M .

Finalmente, se X é um subconjunto conexo n˜ ao-vazio de M , então X contém um ponto p0 ∈ M e, assim, X ⊂ Cp0 , pelo ´ıtem (b) provado anteriormente. E, se X = ∅, então X est´ a contido em toda componente.

Exemplos: a) Seja o espa¸co (M, µ) onde M = [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ]. Consideremos, por exemplo, o ponto p = 0. Então, A0 = Ai é a cole¸c˜ ao dos subconjuntos conexos de M que contêm 0. Como todo subconjunto conexo na reta é um intervalo, pertencem a A0 : { 0 }, Ai = [ 0, i [,

0
0
Ai = [ 0, i ],

Ent˜ ao C0 =

[

0
Ai = [ 0, i [ ∪ [ 0, i ] = [ 0, 1 ].

Observe que C0 = Cp , 0 ≤ p ≤ 1. De modo semelhante concluimos que C2 = [ 2, 3 ]. b) Se um espa¸co é conexo então obviamente s´ o h´ a uma componente conexa, que é o pr´ oprio espa¸co. Em particular no espa¸co (R, µ), Cp = R, onde p ∈ R pode ser arbitrariamente fixado. c) As componentes conexas do espa¸co (R, δ) s˜ ao subconjuntos unit´ arios de R (ex. 2, p. 350). De fato, se X ⊂ R é um subconjunto n˜ ao vazio e n˜ ao unit´ ario, tomandose p ∈ X os conjuntos A = X − {p} = 6 ∅

e

B = {p}

s˜ ao abertos e, além do mais, A ∩ B = ∅ e A ∪ B = X. Portanto X é desconexo. Por outro lado, todo subconjunto { p } ⊂ R é conexo. d) As componentes conexas do espa¸co (Q, µ) dos n´ umeros racionais s˜ ao subconjuntos unit´ arios de Q. De fato, se X ⊂ Q é um subconjunto n˜ ao vazio e n˜ ao unit´ ario, tomandose p, q ∈ X de modo que p < q, seja α um n´ umero racional entre p e q: p < α < q (lembre-se que Q é denso no espa¸co (R, µ)). Com raciocinio an´ alogo ao do exemplo 4 (p. 351) podemos mostrar que A = ] − ∞, α [ ∩ X

e 398

B = ] α, +∞ [ ∩ X

formam uma desconex˜ ao de X. Como, por outro lado, todo subconjunto unit´ ario de um espa¸co (M, d) é conexo, resulta que a cole¸cão dos subconjuntos unit´ arios de Q é a cole¸c˜ ao das componentes deste espa¸co. e) Generalizando o exemplo anterior mostraremos que as componentes conexas de todo espa¸co (M, d) com M enumerável reduzem-se a um u ńico ponto. Em outras palavras: se (M, d) é um espa¸co conexo com mais de um ponto então M n˜ ao pode ser enumerável:     H : M é conexo;   1 ⇒ T : M n˜ ao é enumerável.  H : M tem mais  2    de um ponto. Prova: Com efeito, fixemos a ∈ M e consideremos a fun¸cão

da : M −→ R x 7−→ d(x, a)

J´ a vimos

(p. 261)

xr

a

r b

R

(M, d)

r

da

rd(x, a)

⊢0

que da é cont´ınua. Sendo M conexo então da (M ) = d(x, a) : x ∈ M = J

é um intervalo. Como existe em M um ponto b 6= a, J contém os n´ umeros 0 = d(a, a) e d(a, b) > 0. Portanto J = da (M ) n˜ ao é um intervalo degenerado, isto é, é n˜ ao enumerável. Por conseguinte, M também n˜ ao é enumerável. Vejamos esta proposi¸c˜ ao sob outros ângulos: ¯ H1 ∧ T¯ −→ H 2 Isto é, se M é conexo e enumerável então M n˜ ao tem mais de um ponto. Logo, os u ńicos conjuntos conexos enumeráveis s˜ ao os unit´ arios. ¯ H2 ∧ T¯ −→ H 1 Se M tem mais de um ponto e é enumerável então M n˜ ao é conexo. Daqui conclui-se que as componentes conexas de todo conjunto enumer´ avel s˜ ao conjuntos unit´ arios. De fato, se uma componente conexa tiver dois elementos, digamos { a, b }, como cada conjunto unit´ ario é conexo então { a, b } ∩ { a } = 6 ∅ 399

a interseçc˜ ao de duas componentes conexas n˜ ao seria vazia. ao os Em particular as componentes conexas de M = 0, 1, 12 , 13 , . . . s˜ conjuntos conexos 1 C0 = { 0 }, Cn = (n = 1, 2, 3, . . .) n

Conjunto de Cantor

O conjunto de Cantor é construido assim: dividimos o intervalo [ 0, 1 ] em três partes iguais e removemos o intervalo aberto do meio, ( 13 , 13 ). Agora ficamos com dois intervalos fechados, I11 e I12 ; em cada um destes intervalos repetimos a mesma opera¸cão, removendo os intervalos (abertos) do meio. Isto nos deixa com quatro intervalos fechados, I21 , I22 , I23 e I24 (veja figuras a seguir). Deste modo prosseguimos indefinidamente. O conjunto C de Cantor é o conjunto dos pontos n˜ ao removidos. 0

1

0

0

0

1 2 27 27

1 9

2 9

1 9

2 9

7 8 27 27

1 3

2 3

1 3

2 3

1 3

2 3

1

19 20 27 27

7 9

8 9

7 9

8 9

1 25 26 27 27

1

Para referência futura destacamos que o conjunto de Cantor é um subconjunto fechado do espa¸co ([ 0, 1 ], µ). De fato, como cada intervalo aberto retirado de [ 0, 1 ] é um conjunto aberto em (R, µ), e também em ([ 0, 1 ], µ) (prop. 24, p. 193) para construir o conjunto de Cantor foi retirado de [ 0, 1 ] uma reunião de conjuntos abertos, que é por sua vez um conjunto aberto (prop. 23, p. 192) tanto em (R, µ), como tamb´ em em ([ 0, 1 ], µ). Logo, o conjunto de Cantor é complementar de um aberto, portanto fechado. ∗

∗

∗

A matem´ atica é um meio de caracterizar ou expressar uma estrutura. E o universo parece ter sido construido, em algum n´ıvel fundamental, a partir da estrutura matem´ atica. [. . .] Qual foi a evidência que convenceu os antigos gregos de que o mundo é compreens´ıvel? Em parte foi a beleza da matem´ atica, especialmente a geometria e a teoria dos n´ umeros e, em parte, a obra pitag´ orica sobre a f´ısica dos instrumentos de corda e os tons musicais e, na astronomia, as regularidades dos movimentos dos planetas, dos céus estrelados e dos eclipses. (Gregory Chaitin/Metamat!) 400

7.6

Exerc´ıcios

1) No espa¸co ([ 0, 1 [, µ) mostre que I = [ 0, 1 [ −{ 21 } é desconexo.

2) No espa¸co ([ 0, 1 [, k) mostre que I = [ 0, 1 [−{ 12 } é conexo.

3) Mostre que X = [ 0, 1 ] ∪ [ 2, 3 ] é desconexo, com a métrica usual de R. 4) No espa¸co (R2 , D1 ), mostre que S 2 − { (0, 1) } é conexo.

Sugest˜ ao: Proje¸c˜ ao estereográfica.

5) Mostre que X é conexo se, e somente se, ∀ A ⊂ X com ∅ 6= A 6= X tivermos ∂A 6= ∅.

6) Se u e v s˜ ao pontos distintos de S 1 , mostre que S 1 − { u, v } é desconexo. 7) Mostre que o gr´ afico de uma fun¸cão cont´ınua f : [ a, b ] −→ R é um subconjunto conexo do R2 . 8) Se um espa¸co métrico (M, d) possuir um subconjunto conexo e denso, mostre que M é conexo. 9) Sejam X e Y subconjuntos conexos de um espa¸co métrico (M, d) tais ¯ ∩ Y 6= ∅. Prove que X ∪ Y é conexo. que X 10) Sejam X e Y subconjuntos n˜ ao vazios de um espa¸co métrico (M, d) ¯ ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y¯ ) = ∅. Prove que X ∪ Y é desconexo. tais que (X 11) Seja (M, d) um espa¸co métrico tal que para quaisquer subconjuntos n˜ ao ¯ ∩ Y ) ∪ (X ∩ Y¯ ) 6= ∅. Prove que M é vazios X, Y ⊂ M , vale a rela¸c˜ ao (X conexo. 12) Na figura a seguir desloque “quanticamente” o elétron da órbita A até a órbita B. A

0

1 3

B

ւ elétron

2 3

Em resumo, encontrar um caminho ligando os pontos espa¸co quântico ([ 0, 31 ] ∪ [ 23 , 1 [, k).

1

1 3

e

2 3

− no sub-

Leio em uma publica¸c˜ ao eletrˆ onica∗ a respeito da hierarquia entrela¸cada:

De acordo com Doug Hofstadter, F´ısico e pesquisador de inteligência artificial, em uma hierarquia entrela¸cada o n´ıvel superior (causa) gera e influi sobre o n´ıvel inferior (efeito) por meio de uma “descontinuidade” (um processo semelhante ao salto quˆ antico, que n˜ ao pode ser explicado em termos de mecanismos l´ ogicos). ∗

F´ısica E Consciência No Pensamento De Mokiti Okada.

401

Aqui apenas observamos que em nosso universo, ([ 0, 1 [, k), o “salto quântico” entre duas ´ orbitas se d´ a de modo cont´ınuo (n˜ ao h´ a descontinuidade) e, ademais, pode ser explicado em termos de mecanismos lógicos. 13) Na figura a seguir conduza o elétron da órbita A diretamente à órbita C − sem passar pela ´ orbita B. A

B

C

1 4

¬1

3 4

s

0

2

s

1

1 4

Isto é, encontre um caminho ligando os pontos ponto 21 .

e

3 4,

sem incluir o

14) Na figura a seguir (esquerda) desloque “quanticamente” o elétron até a posi¸c˜ ao A. 1

s← elétron

s ← elétron

2 3

rւ

A

s

rւ

A

s

2 3

0

1

Na figura da direita acrescentamos os detahes necessários. Em resumo, o aluno dever´ a encontrar um caminho − no subespa¸co quântico − ligando os pontos ( 13 , 23 ) e ( 32 , 13 ). 15) Prove que o conjunto N=

(ex. 2, p. 392)

(x, y) ∈ R2 : x = 0 ou y = 0 ou y =

é conexo por caminhos.

1 com n ∈ N n

16) Considere os seguintes subconjuntos do plano R2 : Y = e

(x, y) ∈ R2 : y = 0 ou ou x =

X = Y ∪ { (0, 1) } 402

1 com n ∈ N n

(0, 1)

r

¬

y=0

0

← x= 12

x=1

Prove que X é conexo, mas n˜ ao conexo por caminhos. 17) Prove que todo espa¸co discreto é localmente conexo. 18) Prove que Q n˜ ao é localmente conexo. 19) Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos e seja f : M −→ N . Prove que se f é cont´ınua e aberta (p. 286) e M é localmente conexo, então f (M ) é também localmente conexo. 20) Este exerc´ıcio tem como objetivo refor¸car a interpreta¸cão de “fenômenos n˜ ao-locais” no universo quântico. Pois bem, retomemos o sistema (unidimensional) analisado anteriormente (o qual repetimos aqui para comodidade do leitor): (p. 378) 1

r

λ

0

0

2 3

1

Aqui, no instante t = 0 a imagem da ponta do lápis encontra-se na origem, 0, do sistema X = { 0 } ∪ [ 23 , 1 [. Um “infinitésimo” de tempo depois esta mesma imagem encontra-se no outro extremo do intervalo, assim: 1

↑

r

λ

0

0

← 2 3

1

Conclusão: Em nosso universo o fenômeno da n˜ ao-localidade† se deve a que a onda de centro em 0 tem uma contra-parte no outro extremo do sistema, veja: † Digo, a imagem da ponta do l´ apis mover-se “instˆ aneamente” de uma extremidade ` a outra do sistema.

403

1

↑

r )

λ

0

0

{z

|

Bk (0; r< 21 )

← ( }

1

Ent˜ ao, esta onda que encontra-se de um extremo ao outro (de nosso universo) é que carrega (transfere) a informa¸cão. Insistimos, é por causa desta onda que a informa¸cão é transmitida de modo cont´ınuo, digo a continuidade de λ se deve à esta bola, veja: (p. 111):

2 3

δ

0

1−ε 2 3

sε

)

sε

)

λ

)

)

λ δ

1

1−ε

(

(

1

0

Na figura da esquerda a ponta do lápis aponta para a origem do intervalo ( t = 0 ), sua imagem aponta para o 0 do conjunto (isto é, λ(0) = 0). Na figura da direita movemos a ponta do lápis de um “infinitésimo” , a continuidade de λ exige que a imagem da ponta (seta em vermelho) caia dentro da bola Bk (0; ε); ora, como a aplica¸cão λ é injetiva a imagem n˜ ao pode cair na “parte inferior” da bola, então ter´ a que cair na “parte superior”, isto é, no outro extremo de X. Prove que para 0 < t < δ ⇒ 1 − ε < λ(t) < 1 e, ademais, prove, utilizando a proposi¸cão 50 cont´ınua.

(p. 238),

que λ

(eq. 7.5, p. 379)

é

Apˆ endice Após minhas conjecturas, sobre a estrutura topológica do nosso Universo − derivadas da métrica quântica − me deparei com algumas informa¸cões na literatura que vêm d´ a apoio a nossas afirmativas. Por exemplo: 1a ) No dia 18.09.2009 − aproximadamente um ano depois de minha conjectura (à pág. 390) − encontro uma confirma¸cão da mesma no livro “A MATRIZ DIVINA”, de Gregg Braden, onde lemos: 404

Em segundo lugar, aparentemente esse campo surgiu juntamente com a cria¸ca õ do universo − com o Big Bang, ou seja l´ a o que tenhamos ´ a natureza dessa conex˜ escolhido chamar de o “princ´ıpio”. [. . .] E ao sempre presente que possibilita a n˜ ao-localidade das coisas que existem dentro da Matriz. (Braden, p. 72) 2a ) No dia 21 de fevereiro de 1870, William Kingdon Clifford apresentou um artigo para a Cambridge Philosophical Society (Sociedade Filófica de Cambridge), intitulado “Sobre a Teoria Espacial da Matéria”. No seu artigo, Clifford proclamou ousadamente∗ : Na verdade, eu mantenho que: (1) as pequenas por¸co ˜es do espa¸co s˜ ao de uma natureza an´ aloga aos pequenos montes numa superf´ıcie que é, na média, plana, (2) a propriedade de ser curvo ou distorcido é transmitida continuamente de uma por¸ca õ de espa¸co para outra como uma onda; (3) esta varia¸ca õ da curvatura do espa¸co é realmente o que acontece naquele fenˆ omeno que chamamos de movimento da matéria. . .

oria curva de el´ etrons ´ e observada pela primeira vez 3a ) Trajet´ Quando part´ıculas carregadas, como os elétrons, viajam por um campo magnético, a trajetória fica curvada por esse campo, e acaba se tornando um c´ırculo. Quanto maior a for¸ca do campo magnético, menor o c´ırculo. Em 1930, o f´ısico Lev Landau fez uma previs˜ ao matem´ atica sobre o raio m´ınimo para estes c´ırculos, que agora leva o seu nome: “n´ıveis de Landau”. Não é poss´ıvel fazer uma “fotografia” dos elétrons, e até agora ninguém tinha uma confirma¸c˜ ao em laborat´ orio destes n´ıveis, mas isto mudou com o trabalho do f´ısico Koichi Hashimoto, da Universidade Tohoku do Japão, e Rudolf Roemer da Universidade de Warwick, Inglaterra. Eles prenderam os elétrons na superf´ıcie de um material semicondutor, e usaram técnicas de espectroscopia de escaneamento de tunelamento para encontrar os locais poss´ıveis onde os elétrons estavam. Para cada pixel da imagem, eles têm meia hora de captura de dados, que foram obtidos permitindo que um elétron tentasse passar. Se a posi¸cão representasse um estado poss´ıvel para o elétron, uma part´ıcula acabava por viajar para ela no processo conhecido como tunelamento, e era representada por um pixel claro. Caso contr´ ario, o pixel era escuro. Com isto, uma imagem da ´ orbita poss´ıvel do elétron foi obtida, e a figura criada se parece muito com os resultados previstos pelas simula¸cões teóricas, confirmando a previs˜ ao de 1930. (Fonte: Publica¸ca õ eletrˆ onica, LiveScience)

∗ Extra´ıda da referência: Mlodinow, Leonard. A Janela de Euclides/ p. 157. Tradu¸c˜ ao de Enézio de Almeida. S˜ ao Paulo: Gera¸c˜ ao Editorial, 2008.

405

Os fenˆ omenos s˜ ao organizados pelo nosso aparelho perceptivo e cognitivo, sendo assim em parte dependentes do sujeito.

(Immanuel Kant)

(Irina Antonenko)

(Jimena Navarrete)

Diziamos na p´ agina 11: “n˜ ao existe uma distˆ ancia mais ou menos verdadeira que outra, existe sim uma mais conveniente que outra para um determinado prop´ osito”. Pois bem, observe as imagens a seguir:

` “distˆ A ancia” (aproxima¸cão) de um microscópio observe como se veria o cabelo da Jimena Navarrete! a l´ıngua da Irina Antonenko! . . . horr´ıveis!

L´ ıngua humana

C´ ılios

Conclus˜ ao: Pelo ao menos para os fins da reprodu¸cão humana, a “velha distˆ ancia euclidiana” − com a qual a natureza nos dotou − é perfeita! 406

Cap´ıtulo

8

´ ESPAC ¸ OS METRICOS COMPLETOS Sim, eu sou um matem´ atico, por´ em estou realmente interessado em tudo: o que ´ e vida, o que ´ e inteligˆ encia, o que ´ e consciˆ encia, mas tamb´ em o que o universo cont´ em de aleatoriedade, e se o espa¸co e o tempo s˜ ao cont´ınuos ou discretos.

(Gregory Chaitin)

Introdu¸ c˜ ao Em Análise Real aprendemos que R é um corpo ordenado completo. Muitos resultados importantes, como por exemplo teoremas de existência dependem da completeza de R. Como uma modesta amostra podemos provar que em R existe solu¸c˜ ao para a equa¸cão x2 = 2. Desejamos estender para espa¸cos métricos em geral o importante conceito de completeza. Na Análise aprendemos que R é completo porque nele ao-vazio e vale a propriedade (ou axioma) do supremo: “Se A ⊂ R é n˜ majorado, ent˜ ao A tem supremo”. Acontece que para se definir supremo neao cessitamos de uma ordem (p. 611), como num espa¸co métrico arbitrário n˜ contamos com uma ordena¸c˜ ao entre seus elementos segue que n˜ ao podemos usar o axioma do supremo para definir espa¸co métrico completo, tal como ocorre no corpo ordenado R. A n˜ ao ser que exista uma outra caracteriza¸cão de completeza suscet´ıvel de generaliza¸c˜ ao para os espa¸cos métricos. Felizmente existe uma tal caracteriza¸cão, via sequências de Cauchy, portanto: Defini¸ c˜ ao 53 (Sequências de Cauchy). Seja (xn ) uma sequência num espa¸co métrico (M, d). Diremos que (xn ) é uma sequência de Cauchy se dado ε > 0 existir um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε. 407

A seguir escrevemos em s´ımbolos a defini¸cão anterior e sua nega¸cão: ∀

∃

n0 ∈ N

ε>0

∃

ε>0

:

∀

n0 ∈ N

:

∀

( m, n ≥ n0 ) ⇒ d(xm , xn ) < ε

∃

( m, n ≥ n0 ) ∧ d(xm , xn ) ≥ ε

m, n ∈ N m, n ∈ N

De imediato inferimos que se (N, d) é um subespa¸co de (M, d), uma sequência (xn ) de pontos de N é de Cauchy em (N, d) se, e somente se, é de Cauchy em (M, d). Proposi¸ c˜ ao 89. Se (xn ) é uma sequência convergente num espa¸co métrico (M, d) ent˜ ao (xn ) é de Cauchy. Prova: Consideremos (xn ) uma sequência convergente em um espa¸co métrico (M, d). Seja lim xn = a. Então dado ε > 0 existe n0 tal que d(xn , a) < 2ε para todo n ≥ n0 . Logo, para m, n ≥ n0 temos d(xm , xn ) ≤ d(xm , a) + d(a, xn ) <

ε ε + =ε 2 2

ent˜ ao, m, n ≥ n0 =⇒ d(xm , xn ) < ε. Sendo assim, obtivemos uma condi¸cão sobre os termos da sequência na qual n˜ ao intervém o limite a. Intuitivamente essa condi¸cão nos mostra que se uma sequência (xn ) é convergente então, para ´ındices suficientemente grandes, seus termos aproximam-se arbitrariamente um dos outros. ´ o caso, por exemplo, da sequência dada por xn = 1 , no espa¸co (R, µ). E n

⊢ 0

rrrrr r···r xr 4 xr 3

r

x2

r

x1 1

Aqui se faz oportuna a questão de saber se toda sequência de Cauchy converge. A resposta é pela negativa. Há casos em que uma sequência de Cauchy em (M, d) n˜ ao converge por “culpa” do conjunto M e outras vezes por “culpa” da métrica d. Vamos exemplificar estas duas possibilidades: (a) Consideremos a sequência dada por xn = n1 e os espa¸cos (R, µ) e ( ] 0, 1 ], µ). Esta sequência converge para 0 no primeiro destes espa¸cos, portanto é de Cauchy − tanto no espa¸co quanto no subespa¸co. Se (xn ) convergisse no espa¸co ( ] 0, 1 ], µ), então iria convergir para um ponto 0 < p ≤ 1; sendo ] 0, 1 ] ⊂ R teriamos a unicidade do limite contraditada. Logo (xn ) n˜ ao converge em ( ] 0, 1 ], µ). (b) Consideremos a sequência dada por xn = 1− n1 e os espa¸cos ( [ 0, 1 [, k) e ( [ 0, 1 [, µ). Esta sequência converge para 0 no primeiro destes espa¸cos, 408

portanto é de Cauchy. A prova de que é de Cauchy no segundo destes espa¸cos, é an´ aloga ` a prova feita em (a). Se (xn ) convergisse no espa¸co ( [ 0, 1 [, µ), ent˜ ao iria convergir para um ponto 0 ≤ p < 1; sendo [ 0, 1 [ ⊂ R teriamos a unicidade do limite contraditada. Logo (xn ) n˜ ao converge em ( [ 0, 1 [, µ). Proposi¸ c˜ ao 90. Sendo M um conjunto arbitr´ ario, qualquer sequência de Cauchy converge no espa¸co (M, δ). Prova: De fato, se (xn ) é uma sequência de Cauchy no espa¸co (M, δ), então para ε = 1 existe um ´ındice n0 de maneira que: ∀ m, n ≥ n0 ⇒ δ(xm , xn ) < 1 Logo, ∀ m, n ≥ n0 ⇒ xm = xn ou seja, toda sequência de Cauchy no espa¸co (M, δ) é constante a partir de uma certa ordem, portanto converge para o termo que se repete. Nota: Não é verdade que sendo (M, d) discreto qualquer sequência de Cauchy seja convergente. Por exemplo, tome M = { n1 : n ∈ N } com a métrica usual. Vimos (prop. 17, p. 161) que se uma sequência, em um espa¸co vetorial normado, é convergente ent˜ ao existe uma bola de centro no vetor nulo que contém todos os termos da sequência. Veremos agora que as sequências de Cauchy também gozam desta propriedade. Proposi¸ ao 91. Seja (xn ) uma sequência de Cauchy em um espa¸co vetorial c˜ E, +, · normado. Ent˜ ao existe uma bola de centro no vetor nulo que contém todos os termos da sequência. Prova: Inicialmente observemos que B(0; r) = { x ∈ E : d(x, 0) < r } = { x ∈ E : kx − 0k < r } = { x ∈ E : kxk < r } Sendo assim devemos encontrar um raio r de tal modo que todos os termos da sequência satisfa¸cam: kxn k < r. Por hip´ otese (xn ) é de Cauchy, logo tomando ε = 1 existe um ´ındice n0 tal que m, n ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) = kxn − xm k < 1. Sendo kxn − xm k < 1, ∀ m, n ≥ n0 ; fixemos m = n0 , então kxn − xn0 k < 1, ∀ n ≥ n0 . 409

(8.1)

Mas, kxn k = kxn − xn0 + xn0 k ≤ kxn − xn0 k + kxn0 k

(8.2)

De (8.1) temos, ∀ n ≥ n0 , kxn − xn0 k < 1 ⇒ kxn − xn0 k + kxn0 k < 1 + kxn0 k este resultado em (8.2) resulta: kxn k < 1 + kxn0 k, ∀ n ≥ n0 .

Esta desigualdade est´ a a nos dizer que todos os termos da sequência (xn ), com ´ındices iguais ou superiores a n0 , est˜ ao dentro da bola de centro no vetor nulo e raio r ′ = 1 + kxn k. Para que possamos incluir os termos 0 restantes: x1 , x2 , . . . , xn −1 , escolhamos qualquer 0

r > max kx1 k, kx2 k, . . . , kxn

0 −1

Sendo assim temos,

k, 1 + kxn0 k

kx1 k < r, kx2 k < r, . . . , kxn

0 −1

(8.3)

k
e kxn k < 1 + kxn0 k < r, ∀ n ≥ n0 . Portanto temos, kxn k < r, ∀ n ∈ N. Sendo assim o raio escolhido em (8.3) consegue incluir todos os termos da sequência (xn ) em uma bola de centro no vetor nulo. Observe que a diferen¸ca desta proposi¸cão para aquela em que a sequência converge (prop. 17, p. 161) é que na presente demonstra¸cão n˜ ao intervém o limite da sequência; ou ainda; n˜ ao exigimos que a sequência seja convergente, T˜ ao somente que seja de Cauchy. Seria instrutivo concretizarmos a demonstra¸cão anterior com um exemplo espec´ıfico. Consideremos o espa¸co vetorial normado R2 , k · k onde k(x, y)k = max{ |x|, |y| }

e a sequência (xn ) dada por xn = 1 − n1 , 2 − n2 . Esta sequência é convergente, portanto é de Cauchy. Seguindo os passos da demonstra¸cão anterior vamos encontrar um raio r que inclua todos os termos da sequência em uma bola centrada no vetor nulo. Para ε = 1 a partir de que ´ındice n0 teremos d(xn , xm ) = kxn − xm k < 1? Sendo,

2 1 xn = 1 − , 2 − n n

e 410

1 2 xm = 1 − , 2 − m m

temos,

portanto,

Temos,

1 1 2 2 xn − xm = 1 − , 2 − − 1− , 2− n n m m 1 1 2 2 = − + ,− + n m n m n 1 kxn − xm k = max − + n n 1 = max − + n 1 1 = 2 − + . n m

1 , m 1 , m

o 2 − + 2 n m 1 1 o 2 − + n m

1 1 1 1 1 1 + − ≤ + − = m n m n m n Agora se m, n ≥ n0 , teremos 1 1 1 1 1 2 1 ≤ , ≤ ⇒ + ≤ . m n0 n n0 m n n0 Vamos impor a restri¸c˜ ao

4 n0

< 1. Sendo assim, temos

1 1 4 kxn − xm k = 2 − + ≤ < 1. n m n0

Portanto para quaisquer m, n ≥ n0 = 5 garantimos kxn − xm k < 1. A desigualdade kxn k < 1 + kxn0 k, ∀ n ≥ n0 isto é, kxn k < 1 + kx5 k, ∀ n ≥ 5, nos garante que todos os termos da sequência, a partir do quinto, est˜ ao in′ cluidos em uma bola de centro no vetor nulo e raio r = 1+kx5 k. Calculemos a norma do vetor x5 : 2 4 8 1 = , x5 = 1 − , 2 − 5 5 5 5 ⇒ kx5 k = max 411

4 8 8 , = . 5 5 5

Portanto,

8 kxn k < 1 + , ∀ n ≥ 5. 5

Agora tomemos qualquer

Ent˜ ao,

r > max kx1 k, kx2 k, . . . , kx4 k, 1 + kx5 k x1 = (0, 0)

1 ⇒ kx2 k = 1

x2 =

1 2,

x3 =

2 4 3, 3

x4 =

3 6 4, 4

portanto, r > max

n

0, 1,

Geometricamente temos,

⇒ kx1 k = 0

⇒ kx3 k =

4 3

⇒ kx4 k =

6 4

8 o 13 4 6 = , , 1+ = 2, 6 3 4 5 5 R

2

q q

p pq (1, 2) qq q qx x34

x2

r

(0,0) x1

q1

R

B((0,0); r) →

Nota: A rec´ıproca desta u ´ltima proposi¸cão n˜ ao vale: se todos os termos de uma sequência est˜ ao incluidos em uma bola com centro na origem, n˜ ao implica que a sequência seja de Cauchy. De fato, todos os termos da sequência (1, −1, 1, −1, . . .) de pontos de R est˜ ao contidos na bola Bµ (0; 2) = ] − 2, 2 [, mas esta sequência n˜ ao é de Cauchy, uma vez que se tomarmos ε = 1, para qualquer ´ındice n0 , sempre existir˜ ao ´ındices m, n ≥ n0 tais que d(xm , xn ) = |xm − xn | = 2 > ε. 412

Vimos (prop. 13, p. 156) que toda sequência convergente é limitada. Na proposi¸c˜ ao seguinte mostraremos que as sequências de Cauchy também gozam desta propriedade. Proposi¸ c˜ ao 92. Toda sequência de Cauchy é limitada. Prova: Seja (xn ) uma sequência de Cauchy num espa¸co métrico (M, d). Então para ε = 1, existe um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(xn , xm ) < 1 fixemos m = n0 , ent˜ ao ∀ n ≥ n0 ⇒ d(xn , xn0 ) < 1 ⇒ xn ∈ B(xn0 ; 1). Fazendo X = { x1 , x2 , . . . , xn

0 −1

}, temos

{ x1 , x2 , . . . , xn , . . . } = X ∪ { xn0 , xn

0 +1

, xn

0 +2

, ...}

⊂ X ∪ B(xn0 ; 1) Como X é limitado por ser finito, resulta que X ∪ B(xn0 ; 1) é limitado. Portanto o conjunto dos termos da sequência é limitado. Proposi¸ c˜ ao 93. Seja (xn ) uma sequência de Cauchy em um espa¸co métrico (M, d). Se existe uma subsequência de (xn ) que converge para p ∈ M , ent˜ ao lim xn = p. Prova: Seja (xn1 , xn2 , . . .) uma subsequência conforme o enunciado. Então para todo ε > 0, existe um ´ındice nk tal que: ∀ ni ≥ nk =⇒ d(xn , p) < i

ε 2

(8.4)

Por outro lado, sendo (xn ) uma sequência de Cauchy, existe um ´ındice n0 tal que: ε (8.5) ∀ m, n ≥ n0 =⇒ d(xm , xn ) < 2 Consideremos um ponto xn da subsequência. A desigualdade j

d(xn , p) ≤ d(xn , xn ) + d(xn , p) j

j

é sempre válida. Gostar´ıamos que fosse d(xn , p) ≤ d(xn , xn ) + d(xn , p) < ε j

j

para isto é suficiente que tenhamos d(xn , p) < j

ε 2

e 413

d(xn , xn ) < j

ε 2

(8.6)

Por (8.4) devemos escolher nj ≥ nk e por (8.5) devemos escolher n ≥ n0 e nj ≥ n0 . A fim de unificar os ´ındices fa¸camos ν = max{ n0 , nk }. Logo, para nj ≥ ν e n ≥ ν teremos as desigualdades em (8.6) satisfeitas. Sendo assim, n˜ ao sem algum esfor¸co, conseguimos um ´ındice ν de modo que ∀ n ≥ ν ⇒ d(xn , p) < ε. Isto é suficiente para garantir a convergêcia de (xn ).

Corol´ ario . Se uma sequência (xn ) em um espa¸co métrico (M, d) contém duas subsequências que convergem para pontos diferentes desse espa¸co, ent˜ ao a sequência n˜ ao é de Cauchy. A imagem de uma sequência de Cauchy por uma aplica¸cão cont´ınua pode n˜ ao resultar em uma sequência de Cauchy. Vejamos dois contraexemplos: (i) A fun¸c˜ ao, 1 f : ] 0, 1 ] → R, dada por f (x) = x transforma a sequência de Cauchy ( n1 ) na sequência f (1/n) = (1, 2, 3, . . .) que n˜ ao é de Cauchy. (ii) A fun¸c˜ ao, 1 g : ] 0, 1 ] → R, dada por g(x) = cos x 1 leva a sequência de Cauchy ( 2nπ ) na sequência g(1/2nπ) = (1, 1, 1, . . .) que é de Cauchy. 1 ) na sequência Esta mesma fun¸c˜ ao transforma a sequência de Cauchy ( nπ g(1/nπ) = (−1, 1, −1, . . .) que n˜ ao é de Cauchy. Uma aplica¸c˜ ao uniformemente cont´ınua transforma, necessáriamente, sequências de Cauchy em sequências de Cauchy.

Proposi¸ c˜ ao 94. A imagem de uma sequência de Cauchy por uma aplica¸ca õ uniformemente cont´ınua é também uma sequência de Cauchy. Prova: Suponhamos f : (M, d1 ) −→ (N, d2 ) uniformemente cont´ınua e seja (xn ) uma sequências de Cauchy em M . Dado ε > 0, existe então δ > 0 tal que: (def. 36, p. 288) d1 (x, y) < δ =⇒ d2 f (x), f (y) < ε. Por outro lado, para o δ em questão, existe um ´ındice n0 de modo que m, n ≥ n0 =⇒ d1 (xm , xn ) < δ. Por conseguinte m, n ≥ n0 =⇒ d2 f (xm ), f (xn ) < ε. Isto mostra que a sequência f (xn ) é de Cauchy. 414

Corol´ ario 29. Se d e d′ s˜ ao métricas uniformemente equivalentes sobre M , ent˜ ao as sequências de Cauchy de (M, d) e (M, d′ ) s˜ ao as mesmas. Em particular os espa¸cos produtos (M, D1 ), (M, D2 ) e (M, D3 ) têm as mesmas sequências de Cauchy. Prova: Seja (xn ) uma sequência de Cauchy de (M, d). Como i : (M, d) → (M, d′ ) (onde ao identidade de M ) é uniformemente cont´ınua† , i indica a aplica¸c˜ logo i (xn ) = (xn ) é uma sequência de Cauchy de (M, d′ ). Analogamente se prova que toda sequência de Cauchy de (M, d′ ) também é sequência de Cauchy de (M, d). Nota: A rec´ıproca desta proposi¸c˜ ao: “Se uma aplica¸ca õ transforma sequências de Cauchy em sequências de Cauchy, ent˜ ao esta aplica¸ca õ é uniformemente cont´ınua” n˜ ao é verdadeira. Para mostrar isto consideremos a fun¸cão f : R → R, dada por f (x) = x2 . Esta fun¸c˜ ao n˜ ao é uniformemente cont´ınua, como já vimos. Mas transforma sequências de Cauchy em sequências de Cauchy. De fato, se (xn ) é uma sequência de Cauchy em (R, µ), então existe r > 0 tal que |xn | < r, ∀ n ∈ N (prop. 91, p. 409). Mas a restri¸cão de f à bola ] − r, r [ é uniformemente cont´ınua (nota p. 291). Donde f (xn ) é sequência de Cauchy.

Proposi¸ c˜ ao 95. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Uma sequência (xn , yn ) de pontos de M × N é de Cauchy se, e somente se, as sequências (xn ) em M e (yn ) em N s˜ ao de Cauchy.

Prova: O enunciado refere-se a qualquer das métricas usuais (p. 95) em M × N , indistintas no que tange à convergência. Usaremos a métrica do m´ aximo. (=⇒) Seja (xn , yn ) de Cauchy em M × N , então dado ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que: m, n ≥ n0 ⇒ D3 (xm , ym ), (xn , yn ) = max d1 (xm , xn ), d2 (ym , yn ) < ε Segue que:

d1 (xm , xn ) < ε

e

d2 (ym , yn ) < ε

para quaisquer m, n ≥ n0 ; e portanto (xn ) e (yn ) s˜ ao sequências de Cauchy.

(⇐=) Sendo (xn ) e (yn ) sequências de Cauchy, dado ε > 0 existem por hip´ otese ´ındices m0 e n0 tais que: ∀ m, n ≥ m0 ⇒ d1 (xm , xn ) < ε

e

∀ m, n ≥ n0 ⇒ d2 (ym , yn ) < ε.

Considerando p0 = max{ m0 , n0 } temos então que: ∀ m, n ≥ p0 ⇒ d1 (xm , xn ) < ε e d2 (ym , yn ) < ε ⇒ max d1 (xm , xn ), d2 (ym , yn ) < ε ⇒ D3 (xm , ym ), (xn , yn ) < ε Isto prova que a sequência (xn , yn ) é de Cauchy em M × N . †

defini¸c˜ oes 40 (p. 321) e 41 (p. 321).

415

A generaliza¸c˜ ao deste resultado para um produto M = M1 × · · · × Mn é imediata. • A (outra) caracteriza¸cão de completeza, em R, a qual nos referimos na Introdu¸c˜ ao, é que a propriedade do supremo implica em que toda sequência de Cauchy de R converge (como ser´ a visto logo mais), a rec´ıproca∗ é vista na constru¸ca õ dos reais pelo método de Cantor, como o leitor poder´ a apreciar na referência [9].

8.1

Espa¸ cos m´ etricos completos

Defini¸ c˜ ao 54 (Espa¸cos métricos completos). Um espa¸co métrico (M, d) é chamado completo se toda sequência de Cauchy desse espa¸co converge para um ponto de M . Vejamos exemplos de espa¸cos métricos completos e n˜ ao completos: Exemplos: 1) O espa¸co (Q, δ) é completo enquanto o espa¸co (Q, µ) n˜ ao o é. De fato, a “completeza” do espa¸co (Q, δ) é uma decorrência imediata da proposi¸c˜ ao 90 (p. 409). Para mostrar que o espa¸co (Q, µ) n˜ ao é completo podemos nos valer do exemplo 2 (p. 204) juntamente com a proposi¸cão 42 (p. 212). Assim: Tomamos a ∈ R − Q ent˜ ao existe uma sequência (xn ) de racionais convergindo para a irracional. Sendo (xn ) convergente em (R, µ) ent˜ ao é de Cauchy, inclusive em (Q, µ). Pela unicidade do limite (xn ) n˜ ao pode convergir para um racional. Portanto (Q, µ) n˜ ao é completo, já que conseguimos uma sequência de Cauchy em (Q, µ) que n˜ ao converge para um ponto de Q. Nota: De modo an´ alogo podemos mostrar que o espa¸co métrico (M, δ), onde M é qualquer conjunto n˜ ao vazio, é completo. 2) Veremos agora que o espa¸co (R, µ) é completo. Prova: Consideremos (xn ) uma sequência de Cauchy em (R, µ). Devido à proposi¸c˜ ao 91 (p. 409) existe k > 0 tal que |xn | < k para todo n natural. De outro modo −k < xn < k, ∀ n ∈ N. (8.7) Por conta disto o conjunto { x1 , x2 , . . . } dos termos da sequência é limitado, logo possui supremo e inf´ımo. A partir da sequência (xn ) definamos uma outra sequência (yn ) do seguinte modo: ∗ Isto é, a convergência de toda sequência de Cauchy implica na propriedade do supremo.

416

y1 = inf{ x1 , x2 , x3 , . . . } y2 = inf{ x2 , x3 , x4 , . . . } y3 = inf{ x3 , x4 , x5 , . . . } ······························ yn = inf{ xn , xn+1 , xn+2 , . . . } ······························ Todos estes n´ umeros est˜ ao bem definidos. Observe, por exemplo que { x2 , x3 , x4 , . . . } ⊂ { x1 , x2 , x3 , . . . }, então∗ inf{ x1 , x2 , x3 , . . . } ≤ inf{ x2 , x3 , . . . } ⇒ y1 ≤ y2 . O que esta nova sequência tem de essencial é o fato de ser mon´ otona e limitada, isto é y1 ≤ y2 ≤ · · · ≤ yn ≤ · · · < k Observe que, por defini¸c˜ ao, yn ≤ xn , ∀ n ∈ N mas, por (8.7), podemos escrever yn ≤ xn < k ⇒ yn < k, ∀ n ∈ N.

Conclus˜ ao† : (yn ) converge para p = sup { yn : n = 1, 2, . . .} que é um ponto de R. Mostremos que lim xn = p. Dado ε > 0 existe um ´ındice r tal que: n ≥ r ⇒ |yn − p| <

ε 3

por outro lado (xn ) sendo de Cauchy, existe um ´ındice s de modo que: m, n ≥ s ⇒ |xm − xn | <

ε 3

Agora vamos escolher um ´ındice t ≥ max{ r, s }. Tendo em conta que yt = inf{ xt , xt+1 , xt+2 , . . . } yt é a maior cota inferior do conjunto { xt , xt+1 , xt+2 , . . .} o que implica em ao é cota inferior deste conjunto. Por conseguinte existe um que yt + 3ε n˜ ´ındice j ≥ t de modo que y t ≤ xj < y t + ∗ †

ε ε ε ⇔ 0 ≤ xj − y t < ⇒ |xj − yt | < 3 3 3

Lembramos: Se A ⊂ B ⇒ inf B ≤ inf A (prop. 145, p. 611). Ver proposi¸c˜ ao 15, p. 160.

417

Do artif´ıcio, xn − p = (xn − xj ) + (xj − yt ) + (yt − p) segue que |xn − p| = |(xn − xj ) + (xj − yt ) + (yt − p)| ≤ |xn − xj | + |xj − yt | + |yt − p| ε ε ε < + + = ε, ∀ n ≥ t. 3 3 3 isto prova que lim xn = p. 3) O conjunto P[ 0, 1 ] das fun¸cões polinomiais p : [ 0, 1 ] → R é um espa¸co vetorial. Podemos considerar em P[ 0, 1 ] a norma kpk = max{ |p(t)| : 0 ≤ t ≤ 1 } do que resulta a métrica d sobre P[ 0, 1 ] dada por d(p, q) = max{ |p(t) − q(t)| : 0 ≤ t ≤ 1 } O espa¸co métrico P[ 0, 1 ], d n˜ ao é completo. De fato, demonstra-se (no C´ alculo ou na Análise Real) que a sequência (pn ) de polinˆ omios dada por pn (t) = 1 + t +

t2 tn + ··· + 2! n!

converge uniformemente em ([ 0, 1 ], µ) para a fun¸cão cont´ınua f : [ 0, 1 ] → R, dada por f (t) = et que n˜ ao é um polinˆ omio. Como toda sequência convergente é de Cauchy segue-se que (pn ) é uma sequência de Cauchy em P[ 0, 1 ], d que n˜ ao converge para um ponto deste espa¸co. 4) O espa¸co de fun¸c˜ oes C[ a, b ], Υ é completo enquanto o espa¸co C[ a, b ], Γ n˜ ao é completo.

Prova: (i) Temos de provar que, sendo (fn ) uma sequência de Cauchy em C[ a, b ], Υ , existe uma fun¸c˜ ao f ∈ C[ a, b ] para a qual a sequência (fn ) converge. Isto é, tal que kfn − f kΥ → 0∗ . Por hip´ otese, para qualquer ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que para todo m, n ≥ n0 temos ε Υ(fm , fn ) = max |fm (x) − fn (x)| : x ∈ [ a, b ] < 2

Consequentemente para qualquer x ∈ [ a, b ] fixado, |fm (x) − fn (x)| < ∗

ε 2

Prop. 9, p. 143.

418

(m, n ≥ n0 ).

(8.8)

Isto mostra que f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x), . . . é uma sequência de Cauchy de n´ umeros reais∗ . Visto que (R, µ) é completo, esta sequência convergir´ a para um n´ umero real (em geral dependente de x) que podemos designar por f (x), ficando assim bem definida uma fun¸cão f : [ a, b ] → R

dada por

f (x) = lim fm (x), ∀ x ∈ [ a, b ]. m→∞

Vamos agora ver que f é cont´ınua em [ a, b ] (isto é, que f ∈ C[ a, b ]) e que se tem de fato kfn − f kΥ → 0, o que concluirá a demonstra¸cão. Na desigualdade (8.8) vamos conservar n fixo (embora arbitrário, desde que maior ou igual a n0 ) e x fixo (arbitrário em [ a, b ]) e tomar o limite quando m → +∞: lim |fm (x) − fn (x)| ≤ lim

m→∞

Logo

m→∞

ε 2

(n ≥ n0 )

ε ε ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ . fm (x) − fn (x) ≤ m→∞ 2 2 Deste modo mostramos que f (x) − fn (x) < ε, ∀ n ≥ n0 . lim

Segue, da defini¸c˜ ao de convergência uniforme de uma sequência de fun¸cões (p. 604), que a sequˆ encia funcional (fn ) converge uniformente para a fun¸cão f . Isto é, a convergência fn → f é uniforme. Portanto pelo [AR] 11 (p. 604) concluimos que f é cont´ınua, isto é, f ∈ C[a, b].

Finalmente, da desigualdade: |f (x) − fn (x)| < ε, válida para qualquer x ∈ [ a, b ] e qualquer n ≥ n0 , deduz-se que se verificará também, para n ≥ n0 , ([AR] 1, p. 603) max

x ∈ [ a, b ]

|f (x) − fn (x)| = kfn − f kΥ < ε,

o que prova que kfn − f kΥ → 0 se n → +∞, terminando esta parte da demonstra¸c˜ ao. (ii) Para mostrar que o espa¸co métrico C[ 0, 1 ], Γ n˜ ao é completo devemos exibir uma sequência de Cauchy e provar que esta sequência n˜ ao converge neste espa¸co. Consideremos a sequência de fun¸cões (fn ) cujo termo geral é dado por  0, 0 ≤ x ≤ 12 ;     1 fn (x) = 2n(x − 12 ), 21 ≤ x ≤ 12 + 2n ;     1 1 1, 2 + 2n ≤ x ≤ 1.

∗ Nota: (fn ) é uma sequência de fun¸c˜ oes enquanto, para x ∈ [ a, b ] fixado, (fn (x)) é uma sequência de n´ umeros reais.

419

Na figura seguinte plotamos os três primeiros termos desta sequência: f1 (x)

f2 (x)

f3 (x)

1

1

1

q

q

q

1 2

0

q1

1 2

x

1 2

0

q1

3 4

1 2

x

0

1 2

2 3

q1

x

Vamos mostrar que a sequência (fn ) é de Cauchy. Para isto dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 de modo que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(fm , fn ) =

Z

1

0

|fm (x) − fn (x)| dx < ε

Do gr´ afico seguinte (à direita) 1 2m

fn (x) 1 2n

1

1 2n

1

q

fm

q

fn

0

1 2

an

q1

x

0

1 2

am an

q1

x

concluimos que a distˆ ancia em questão é dada pela área do triˆ angulo compreendido entre os gr´ aficos de fn e fm e vale B·h = A= 2

1 2n

−

1 2m

2

·1

=

1 1 1 · − 4 n m

onde estamos considerando m > n. Temos que an = 21 + Pois bem, queremos encontrar n0 de maneira que m, n ≥ n0 ⇒

1 1 1 <ε · − 4 n m 420

1 2n .

temos, m ≥ n0 , n ≥ n0 ⇒

por outro lado,

1 1 1 1 ≤ ≤ , m n0 n n0

⇒

1 2 1 + ≤ m n n0

⇒

1 1 2 1 1 ≤ · · + 4 m n 4 n0

1 1 1 1 1 1 1 < · ≤ · − + <ε 4 n m 4 m n 2n0

Au ´tima das desigualdades acima foi imposta. 1 ao vejamos: Portanto dado ε > 0 escolhemos n0 > . Sen˜ 2ε 1 1 1 1 ⇒ < ε, <ε m> , n> 2ε 2ε 2m 2n

por outro lado,

⇒

1 1 + < 2ε 2m 2n

⇒

1 1 1 <ε · + 4 m n

1 1 1 1 1 1 < · <ε · − + 4 m n 4 m n

Com isto concluimos a prova de que a sequência (fn ) de fato é de Cauchy. S´ o nos resta mostrar que (fn ) n˜ ao converge em C[ 0, 1 ], Γ . Suponha, por um momento, que f seja uma fun¸cão em C[ 0, 1 ] tal que lim fn = f . Suponhamos ainda f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 21 . Então fn (c) − f (c) = f (c) > 0, para algum c ∈ [ 0, 1 ] 2 Logo ([AR] 9, p. 604) Z 1 |fn − f | d(fn , f ) = 0

≥

Z

=

Z

1 2

0 1 2

0

421

|fn − f | |f | > 0

Para todo n. Passando ao limite, temos Z 1 Z 2 lim d(fn , f ) ≥ lim |f | = n→∞

n→∞

0

1 2

|f | > 0

0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f .

(prop. 9, p. 143)

Logo n˜ ao temos f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 1/2. Ou ainda, f (x) = 0 para todo 0 ≤ x ≤ 1/2. Esta é a primeira conclusão que tiramos a respeito de f = lim fn . Agora suponhamos que para 21 < c ≤ 1 tivéssemos f (c) 6= 1. Então |fn (c) − f (c)| = |1 − f (c)| > 0

(8.9)

desde que n satisfa¸ca, 1 1 1 + < c ≤ 1, isto é n > 2 2n 2c − 1

Resumindo: Supondo que aconte¸ca f (c) 6= 1 para algum 1/2 < c ≤ 1, 1 consideramos apenas as fn a partir de n > 2c−1 , obtendo fn (c) = 1 e da´ı a 1 validade de (8.9) a partir de n > 2c−1 . Então, Z 1 |fn − f | d(fn , f ) = 0

≥ Para todo n >

Z

1 1 2

|fn − f | =

Z

1

|1 − f | > 0

1 2

1 2c−1 .

Passando ao limite, temos Z Z 1 |1 − f | = lim d(fn , f ) ≥ lim

n→∞

n→∞

1 2

1 1 2

|1 − f | > 0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f . Logo n˜ ao temos f (c) 6= 1 para 1 1 algum 2 < c ≤ 1. Ou ainda, f (x) = 1 para todo 2 < x ≤ 1. ´ a segunda conclusão que tiramos a respeito de f = lim fn . Resumindo, E temos f : [ 0, 1 ] → R, dada por f (x) 1

f (x) =

 0, 1,

se 0 ≤ x ≤ se

1 2

q

1 2;

< x ≤ 1. 0

q1 2

q1

x

o que é imposs´ıvel para uma fun¸cão cont´ ınua no espa¸co ([ 0, 1 ], µ). Isto prova que n˜ ao existe lim fn em C[ a, b ], Γ . 422

Vimos que o espa¸co (Q, µ) n˜ ao é completo. A pr´ oxima proposi¸cão nos mostra que isto acontece precisamente pelo fato de Q n˜ ao ser um subconjunto fechado em (R, µ). (ex. 3, p. 201) Proposi¸ c˜ ao 96. Um subespa¸co fechado de um espa¸co métrico completo é completo. Rec´ıprocamente, um subespa¸co completo de qualquer espa¸co métrico é fechado. Prova: (=⇒) Seja (xn ) uma sequência de Cauchy em (N, d) (N ⊂ M ). Como (M, d) é completo, (xn ) converge em (M, d), isto é, existe a ∈ M tal que lim xn = a. Assim, temos que a ∈ N (pois N é fechado em (M, d) − (prop. 43, p. 214). Portanto (xn ) é convergente em (N, d) e (N, d) resulta completo. (⇐=) Para mostrar que (N, d) é fechado em (M, d) é suficiente tomar uma sequência de pontos em N convergindo para um ponto a ∈ M e mostrar ´ o que faremos: Seja (xn ) uma sequência de que a ∈ N (prop. 44, p. 216). E pontos em N com lim xn = a ∈ M . Então pela proposi¸cão 89 (p. 408) (xn ) é de Cauchy. Sendo (N, d) completo, (xn ) converge em (N, d). Isto é, existe b ∈ N tal que lim xn = b. Pela unicidade do limite de uma sequência temos b = a. Portanto a ∈ N . Assim, por exemplo, todo subespa¸co ([ a, b ], µ) é completo, por ser um subespa¸co fechado de (R, µ) que é completo. O produto cartesiano de espa¸cos métricos completos é completo. A pr´ oxima proposi¸c˜ ao sustenta mais que isto. Proposi¸ c˜ ao 97. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao o espa¸co (M × N, D) é completo se, e somente se, (M, d1 ) e (N, d2 ) s˜ ao completos. Prova: O enunciado refere-se a qualquer das métricas usuais (p. 95) em (M × N, D) uma vez que, conforme já vimos (corol. 29, p. 415), determinam neste espa¸co as mesmas sequências de Cauchy. (=⇒) Seja (xn ) uma sequência de Cauchy em (M, d1 ), então para cada y ∈ N , a sequência (x1 , y); (x2 , y); . . . é de Cauchy no espa¸co (M ×N, D3 ). De fato, dado ε > 0, existe um ´ındice n0 tal que: m, n ≥ n0 ⇒ D3 (xm , y); (xn , y) = max d1 (xm , xn ), d2 (y, y) = d1 (xm , xn ) < ε

Portanto, (xn , y) converge para um ponto (p, q) ∈ M × N e da´ı (xn ) converge para p ∈ M (prop. 14, p. 157), logo (M, d1 ) resulta completo. De maneira an´ aloga se prova que (N, d2 ) é completo. (⇐=) Seja (xn , yn ) uma sequência de Cauchy no espa¸co (M × N, D3 ), então (xn ) e (yn ) s˜ ao sequências de Cauchy em (M, d1 ) e (N, d2 ), respectivamente (prop. 95, p. 415), e sendo completos estes espa¸cos, existem p ∈ M e 423

q ∈ N de maneira que lim xn = p e lim yn = q. Portanto, novamente pela proposi¸c˜ ao 14 acima citada lim(xn , yn ) = ( p, q ) Isto prova que (xn , yn ) é de Cauchy.

Corol´ ario30. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . . , (Mn , dn ) espa¸cos métricos completos. Ent˜ ao (M1 × M2 × · · · × Mn , D) é completo se, e somente se, (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . . , (Mn , dn ) s˜ ao completos.

Prova: Basta aplicar n − 1 vezes a proposi¸cão 97. Exemplo: J´ a vimos que o espa¸co (R, µ) é completo. Resulta da´ı que o espa¸co (Rn , Di ) é completo. Vamos mostrar agora que “ser completo” ou “n˜ ao ser completo” n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica (p. 298) mas sim métrica. Vimos (ex. 2, p. 296) que os espa¸cos (R, µ) e ] − 1, 1 [, µ s˜ ao homeomorfos, porém (R, µ) é completo e ] − 1, 1 [, µ n˜ ao é. Logo “ser completo” ou “n˜ ao ser completo” n˜ ao é uma propriedade topológica, visto que n˜ ao é preservada por homeomorfismos. A proposi¸c˜ ao a seguir mostra que esta é uma propriedade “métrica”, isto é, propriedade que é preservada por isometrias. (p. 254) Proposi¸ c˜ ao 98. Se f : (M, d1 ) → (N, d2 ) é uma isometria ent˜ ao (M, d1 ) é completo se, e somente se, (N, d2 ) o for. Prova: Sejam (M, d1 ) completo e f : (M, d1 ) → (N, d2 ) uma isometria. Dada uma sequência de Cauchy (yn ) em (N, d2 ), a sequência dada por xn = f −1 (yn ) é também de Cauchy, pois d1 (xn , xm ) = d2 f (xn ), f (xm ) = d2 (yn , ym )

Sendo (M, d1 ) completo, (xn ) converge. Seja a = lim xn . Então sendo f cont´ınua, da proposi¸c˜ ao 52 (p. 267), podemos escrever a = lim xn ⇒ f (a) = f (lim xn ) ⇒ f (a) = lim f (xn ) = lim yn

Portanto (yn ) é convergente e (N, d2 ) resulta completo. A outra parte da demonstra¸c˜ ao é an´ aloga. ´ Nota: Um espa¸co pode ser ao ser completo. E o caso, por exem conexo e n˜ plo, do espa¸co ] 0, 1 ], µ . Como já vimos (prop. 80, p. 355) no espa¸co (R, µ) todos os intervalos s˜ ao conexos. Como porém a sequência (1, 1/2, 1/3, . . .) de pontos em ] 0, 1 ] é de Cauchy mas n˜ ao converge neste espa¸co, então de fato ] 0, 1 ], µ n˜ ao é completo. 424

Também pode ocorrer de um espa¸co ser completo sem ser conexo: basta considerar o espa¸co (M, δ), onde M é qualquer conjunto com pelo menos dois elementos. Em nota (p. 416) dissemos que (M, δ) é completo. J´ a na proposi¸c˜ ao 77 (p. 351) vimos que (M, δ) é desconexo. O espa¸ co [ 0, 1 [, k ´ e completo

Para provar a pr´ oxima proposi¸cão lan¸caremos m˜ ao do fato de que o intervalo fechado [ 0, 1 ] é completo. Antes necessitaremos dos seguintes lemas: Lema 5. Considere (xn ) tal que 0 ≤ xn < 1. Se (xn ) converge para 1 no ao (xn ) converge para 0 no espa¸co [ 0, 1 [, k . espa¸co [ 0, 1 ], µ , ent˜ Prova: Dado ε > 0, existe um ´ındice n0 de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ xn ∈ Bµ 1; ε . Temos que Bµ 1; ε = ] 1 − ε, 1 ]. Sendo assim (mostre) Bµ 1; ε − { 1 } = ] 1 − ε, 1 [ ⊂ Bk (0; ε)

k portanto, xn −→ 0. Nota: Nesta prova n˜ ao faz mal impor a restri¸cão ε ≤ 1. Lema 6. Considere 0 ≤ p < 1 e r > 0, ent˜ ao Bµ p; r ⊂ Bk (p; r). Prova: Seja x ∈ Bµ p; r ent˜ ao |x − p| < r. Temos duas possibilidades: k(x, p) = min |x − p|, 1 − |x − p| = |x − p| < r k(x, p) = min |x − p|, 1 − |x − p| = 1 − |x − p| ≤ |x − p| < r

Em qualquer dos casos x ∈ Bk (p; r).

Corol´ ario 31. Toda sequência (xn) (0 ≤ xn < 1) que converge para o ponto p (0 ≤ p < 1) no espa¸co [ 0, 1 ], µ , converge para o mesmo ponto no espa¸co [ 0, 1 [, k .

Em particular, toda sequência, (xn ) (0 ≤ xn < 1), de Cauchy no espa¸co [ 0, 1 ] também o é em [ 0, 1 [ ; mas a rec´ıproca é falsa, como veremos.

425

Proposi¸ c˜ ao 99 (Gentil/01.07.05). O espa¸co métrico [ 0, 1 [, k é completo. Prova: Seja (xn ) uma sequência de Cauchy em [ 0, 1 [, k . Isto implica: ∀

∃

n0 ∈ N

ε>0

: ∀ ( m, n ≥ n0 )

⇒ k(xm , xn ) = min{ |xm − xn |, 1−|xm − xn | } < ε

(8.10)

Temos duas alternativas: (xn ) é de Cauchy em [ 0, 1 ], µ . Neste caso, como este espa¸co é completo, (xn ) converge: 1a )

µ µ k k Se xn −→ 1, ent˜ ao xn −→ 0. Se xn −→ p 6= 1, então xn −→ p. a 2 ) (xn ) n˜ ao é de Cauchy em [ 0, 1 ], µ . k Neste caso afirmamos que a sequência converge para 0, isto é: xn −→ 0. De fato, se (xn ) n˜ ao é de Cauchy em [ 0, 1 ], µ , então: (p. 408)

∃

ε0 >0

:

∀

k∈N

∃

m, n ∈ N

(8.11)

( m, n ≥ k ) ∧ |xm − xn | ≥ ε0

Podemos acompanhar a prova pelo seguinte fluxograma: ∃ ε0 > 0 (fixo) Tome k : 1/k < ε0

(8.11)

Tome

(8.10)

ε<

1 k

∃ n0 ∈ N, n0 = n0 (ε) Tome

( xm , xm , ... ) 1

( xn , xn , ... ) 1

Tome um novo k > max{ mi , ni }

∃ mi , n i ≥ k

2

( 1−|xm −xn |< ε ) i

(8.11)

k ≥ max{ n0 , k }

2

i

Na primeira itera¸c˜ ao ( i = 1 ) por (8.11) existe ε0 > 0 (este est´ a fixo) em seguida, pela propriedade arquimediana, escolhemos um ´ındice k tal que 1 ı entramos na segunda caixa do fluxograma, tomando ε < k1 . k < ε0 . A´ Tome agora k ≥ max{ n0 , k }; sendo assim, por (8.11), podemos escolher dois ´ındices, digamos: m1 , n1 ≥ k de modo que |xm1 − xn1 | ≥ ε0 . A desigualdade (8.10) é satisfeita por todos os ´ındices superiores a n0 , como este é o caso dos ´ındices m1 e n1 , temos que k(xm , xn ) = min |xm − xn |, 1 − |xm − xn | 1

1

1

1

< ε < ε0 ≤ |xm1 − xn1 | 426

1

1

Esta desigualdade imp˜ oe que seja k(xm1 , xn1 ) = 1 − |xm1 − xn1 | < ε.

Observe que, 1− |xm1 − xn1 | < |xm1 − xn1 |, ou ainda, |xm1 − xn1 | > 1/2; sendo assim os dois termos patrocinados por (8.11) resultam, for¸cosamente, em lados opostos do intervalo (ou metades opostas). Aqui termina a primeira itera¸cão. Iniciemos a segunda (i = 2); agora escolhemos um novo ´ındice k satisfazendo k > max{ m1 , n1 } e retornamos a (8.10). Por raz˜ oes an´ alogas ao do caso precedente concluimos que: k(xm2 , xn2 ) = 1 − |xm2 − xn2 | < ε Geometricamente tudo se passa assim: xm

xn

2

0

2

xm

t

p1 t

xn

t

1

p1

4

2

1

p3 4

t

1

Nota: Não faz mal escolhermos os ´ındices mj associados aos termos da esquerda e os ´ındices nj associados aos termos da direita. Fazemos duas observa¸c˜ oes quanto ao fluxograma: ( i ) k ≥ max{ n0 , k } garante que os ´ındices mi , ni ≥ k, patrocinados por (8.11), também satisfazem (8.10) o que vai garantir que 1 − |xm − xn | < ε. i

i

( ii ) k > max{ mi , ni } ≥ k garante que a cada nova itera¸cão o novo k é maior que o k da itera¸c˜ ao anterior, o que garante sempre ε < k1 < ε0 e, ademais, for¸ca (através de ∃ mi , ni ≥ k) que os ´ındices mi , ni sejam sempre crescentes (ver defini¸c˜ ao de subsequência). Pois bem, por indu¸c˜ ao, obtemos duas subsequências (xm ), no primeiro j quarto do intervalo e (xn ), no u ´ltimo quarto do intervalo, tais que j

k(xm , xn ) = 1 − |xm − xn | < ε j

j

j

j

(8.12)

Como ε é arbitrariamente pequeno (tendo em conta que k é sempre crescente a cada itera¸c˜ ao) a desigualdade (8.12) imp˜ oe que a distˆ ancia ( µ ): |xm − xn | aproxime-se arbitrariamente de 1; e isto for¸ca os termos de ambas j j as subsequências a aproximarem-se, arbitrariamente, das extremidades do intervalo [ 0, 1 [. Lembrando da bola Bk (0; r): Bk (0; r< 21 )

0

r

1−r

1

concluimos que ambas as subsequências (xm ) e (xn ) convergem para 0. j j k Portanto, com o aux´ılio da prop. 93 (p. 413), temos xn −→ 0 e [ 0, 1 [, k resulta completo. 427

Observe que esta prova caracteriza (nos diz quem s˜ ao e porque) todas as sequências (xn ) do intervalo [ 0, 1 [ que convergem neste, mas n˜ ao convergem no intervalo [ 0, 1 ]: s˜ ao as sequências que possuem uma subsequência na primeira metade do intervalo e outra na segunda metade. E mais: estas subsequências aproximam-se indefinidamente das extremidades do intervalo, ou seja, uma converge para 0 e a outra para 1, no intervalo [ 0, 1 ], da´ı a raz˜ ao da sequência (xn ) n˜ ao convergir em [ 0, 1 ]. Podemos observar um caso destes escolhendo a sequência (xn ) dada por, (1 , se n é par; xn = n 1 se n é ´ımpar. 1 − n,

cujos primeiros termos est˜ ao plotados a seguir: x1

x6 x4

s ... s

0

s

x2

s

x3

s

x5 x7

s s. . .

1

Os termos de ´ındices pares convergem para 0 e os de ´ındices ´ımpares também (na métrica k), portanto a sequência converge para 0 e resulta de Cauchy. O mesmo já n˜ ao acontece com respeito à métrica µ. Corol´ ario 32. Os três quadrados ( [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ , Di ) s˜ ao completos.

8.2

Espa¸ cos de Banach

Defini¸ c˜ ao 55 (Espa¸cos de Banach). Um espa¸co vetorial normado e completo em rela¸ca õ ` a métrica induzida por esta norma é chamado espa¸co de Banach. Exemplos: 1) Exemplos de espa¸cos de Banach s˜ ao (Rn , k · k), (Rn , k · k′ ) e (Rn , k · k′′ ), onde, para x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se tem !1/2 n X p 2 = |x1 |2 + · · · + |xn |2 |xi | kxk = i=1

kxk′ =

n X i=1

|xi | = |x1 | + · · · + |xn |

kxk′′ = max |xi | = max{|x1 |, . . . , |xn |} 1≤i≤n

Ver corol´ ario 30

(p. 424).

428

2) O espa¸ co C[ a, b ], k · k , onde

kf k = max{ |f (x)| : x ∈ [ a, b ] }

é de Banach. A completeza deste espa¸co foi mostrada no exemplo 4 3) O espa¸ co C[ a, b ], k · k , onde kf k =

Z

(p. 418).

1

0

|f (x)| dx

n˜ ao é de Banach. A incompleteza deste espa¸co foi mostrada no exemplo 4 (p. 418). ` p´ 4) O espa¸ co B(X, R), k · k . A agina 32 consideramos o conjunto B(X, R) das fun¸c˜ oes limitadas de de X em R. Neste conjunto consideramos a métrica Ψ(f, g) = sup |f (x) − g(x)| : x ∈ X

a qual é proveniente da norma

kf kΨ = sup |f (x)| : x ∈ X

Mostraremos agora que o espa¸co vetorial aqui descrito é um espa¸co de Banach. Prova: Temos de provar que, sendo (fn ) de Cauchy em B(X, R), k · kΨ , existe uma fun¸c˜ ao f ∈ B(X, R) para a qual (fn ) converge, isto é, tal que kfn − f kΨ → 0. Por hip´ otese, para qualquer ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que para todo m, n ≥ n0 temos ε Ψ(fm , fn ) = sup |fm (x) − fn (x)| : x ∈ X < 2

Consequentemente para qualquer x ∈ X fixado, fm (x) − fn (x) < ε (m, n ≥ n0 ) (8.13) 2 Isto mostra que f1 (x), f2 (x), . . . , fm (x), . . . é uma sequência de Cauchy de n´ umeros reais. Visto que (R, µ) é completo, esta sequência convergir´ a para um n´ umero real (em geral dependente de x) que podemos designar por f (x), ficando assim bem definida uma fun¸cão f: X →R

dada por

f (x) = lim fm (x), ∀ x ∈ X. m→∞

Vamos agora ver que f é limitada em X (isto é, que f ∈ B(X, R)) e que se tem de fato kfn − f kΨ → 0, o que concluirá a demonstra¸cão. 429

Na desigualdade (8.13) vamos conservar n fixo (embora arbitrário, desde que maior do que n0 ) e x fixo (arbitrário em X) e tomar o limite quando m → +∞: ε lim |f (x) − fn (x)| ≤ lim (n ≥ n0 ) m→∞ m m→∞ 2 Logo, ε ε ⇒ |f (x) − fn (x)| ≤ . lim fm (x) − fn (x) ≤ m→∞ 2 2 Deste modo mostramos que |f (x) − fn (x)| ≤ Em particular, sendo assim,

ε < ε, 2

∀ n ≥ n0

f (x) − fn0 (x) < ε,

e

∀x ∈ X

(8.14)

∀x ∈ X

|f (x)| = |f (x) − fn0 (x) + fn0 (x)| ≤ |f (x) − fn (x)| + |fn (x)| 0

0

< ε + |fn0 (x)| para todo x ∈ X. Como fn0 (x) ∈ B(X, R), existe k tal que |fn0 (x)| ≤ k,

∀ x ∈ X.

Logo, |f (x)| < ε + k,

∀ x ∈ X.

Isto mostra que f é limitada, ou seja f ∈ B(X, R). A desigualdade (8.14) nos diz que 2ε é uma cota superior do conjunto |f (x) − fn (x)| : x ∈ X para n ≥ n0 . Como o sup é a menor de tais cotas superiores segue que

logo,

ε sup |f (x) − fn (x)| : x ∈ X ≤ 2

ε kfn − f kΨ = sup |f (x) − fn (x)| : x ∈ X ≤ < ε 2 o que prova que kfn − f kΨ → 0 se n → +∞; terminando a demonstra¸cão. Para o nosso pr´ oximo exemplo de espa¸co de Banach chamamos a aten¸cão do leitor para o fato de que estaremos considerando (simultaneamente) dois espa¸cos métricos: 430

i) ( X, d ), onde X 6= ∅ é um conjunto qualquer e d é uma métrica sobre X; ii) B(X, R); k · kΨ , onde B(X, R) é o conjunto das fun¸cões f : X → R limitadas e k · kΨ é a métrica (norma) dada por kf − gkΨ = sup |f (x) − g(x)| : x ∈ X = Ψ(f, g)

Pois bem, dada uma fun¸c˜ ao f ∈ B(X, R) esta pode ou n˜ ao ser cont´ınua. Indicaremos por BC(X, R) o conjunto das fun¸cões limitadas e cont´ınuas f : X → R. Deixamos a cargo do leitor provar que BC(X, R) é um subespa¸co vetorial de B(X, R). 5) No presente exemplo mostraremos que BC(X, R); k·kΨ é um subespa¸co fechado de B(X, R); k · kΨ e portanto um espa¸co métrico completo em virtude da proposi¸ ao 96 (p. 423). Em outras palavras, mostraremos que c˜ BC(X, R); k · kΨ é também um espa¸co de Banach. Prova: Para provar que BC(X, R); k · kΨ é um subespa¸co fechado de B(X, R); k · kΨ − consoante a proposi¸cão 44 (p. 216) − basta mostrar que se (fn ) é uma sequência em BC(X, R) tal que lim fn = f ∈ B(X, R), então f ∈ BC(X, R). Para mostrar que f : ( X, d ) → R é cont´ınua, temos de provar que, fixado arbitrariamente um ponto a ∈ X e dado um n´ umero ε > 0 existe δ > 0 tal que, para x∈X

e

d(x, a) < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε.

Consideremos ent˜ ao uma sequência (fn ) de fun¸cões cont´ınuas e limitadas fn : X → R,

lim fn = f ∈ B(X, R)

com

Sendo assim dado ε > 0 existe um ´ındice n0 de modo que ∀ n ≥ n0 ⇒ d(fn , f ) = kfn − f kΨ ε = sup |fn (x) − f (x)| : x ∈ X < 3

assim, escolhido um inteiro k ≥ n0 , ter-se-´ a |fk (x) − f (x)| <

ε , 3

∀ x ∈ X.

Como fk : ( X, d ) → R é, por hip´ otese, uma fun¸cão cont´ınua existirá δ > 0 tal que |fk (x) − fk (a)| <

ε ; 3

∀ x ∈ X com d(x, a) < δ. 431

Logo, se x ∈ X e d(x, a) < δ teremos |f (x) − f (a)| = |f (x) − fk (x) + fk (x) − fk (a) + fk (a) − f (a)| ≤ |f (x) − fk (x)| + |fk (x) − fk (a)| + |fk (a) − f (a)| ε ε ε + + = ε. 3 3 3

<

No exemplo 4 (p. 418) dissemos que o espa¸ co de fun¸cões cont´ınuas C[ a, b ], Υ é completo; isto é que C[ a, b ], k · kΥ é um espa¸co de Banach. Esta conclus˜ ao sai como um caso particular do exemplo 5 acima desde que tomemos ( X, d ) = [ a, b ], µ . o que prova a continuidade de f , ou seja f ∈ BC(X, R).

8.3

Espa¸ cos de Hilbert

Defini¸ c˜ ao 56 (Espa¸cos de Hilbert). Um espa¸co de Hilbert é um espa¸co vetorial com produto interno que é completo em rela¸ca õ a ` métrica induzida por este produto interno. Os espa¸cos de Hilbert s˜ ao de grande utilidade na formaliza¸cão matem´ atica da Mecânica Quˆ antica. Exemplos/contraexemplos: 1) Vimos no exemplo 1 (p. 428) que os espa¸cos (Rn , k · k), (Rn , k · k′ ) e (Rn , k · k′′ ), onde, para x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn temos kxk = kxk′ =

n X i=1

n X i=1

|xi |2

1/2

=

p

|x1 |2 + · · · + |xn |2

|xi | = |x1 | + · · · + |xn |

kxk′′ = max |xi | = max{|x1 |, . . . , |xn |} 1≤ i ≤n

s˜ ao todos espa¸cos de Banach. Destes apenas o primeiro é também um espa¸co de Hilbert. Isto se deve a que apenas a primeira destas normas é oriunda de um produto interno (prove isto!). 2) Vejamos mais um exemplo de um espa¸co que é de Banach mas n˜ ao de Hilbert. Mostramos no exemplo 4 (p. 418) que o espa¸co C[ a, b ], k · k , onde kf k = max{ |f (x)| : x ∈ [ a, b ] } 432

é de Banach. Por outro lado, esta norma n˜ ao é proveniente de um produto interno. 3) O espa¸co ℓ 2 , +, · . Este espa¸co já foi estudado (p. 615). Veremos agora que o mesmo é um espa¸co de Hilbert. Vamos definir a aplica¸c˜ ao h· , ·i : ℓ 2 × ℓ 2 −→ P R (x, y) 7−→ ∞ n=1 xn yn que é um produto interno em ℓ 2 , +, · . (Exerc´ıcio/sugestão: ver [AR] 4, p. 603). O espa¸co vetorial ℓ 2 , +, · é chamado: “O espa¸co das sequências de quadrado som´ avel ”. A norma em ℓ 2 , +, · se define da maneira usual por v u∞ p uX kxk = hx, xi = t x2n n=1

e a métrica induzida por esta norma é

v u∞ uX (xn − yn )2 . d(x, y) = kx − yk = t n=1

Proposi¸ c˜ ao 100. O espa¸co ℓ 2 , +, · , das sequências de quadrado som´ avel é um espa¸co de Hilbert. Prova: Seja (xn ) uma sequência de Cauchy em ℓ 2 . Digamos∗ x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1k , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2k , . . .) x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3k , . . .) ................................. xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk , . . .) .................................... xm = (xm1 , xm2 , xm3 , . . . , xmk , . . .) .................................... Sendo (xn ) de Cauchy, dado ε > 0 existe um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(xm , xn ) < ε ∗ Observe que uma sequência (xn ) de pontos no espa¸co ℓ 2 , é uma “sequência de sequências”. Isto é, cada termo da sequência (xn ) é, por sua vez, uma sequência.

433

isto é, ∀ m, n ≥ n0 ⇒ kxm − xn k < ε Mas, xm − xn = (xm1 , xm2 , xm3 , . . . , xmk , . . .) − (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk , . . .) = (xm1 − xn1 , xm2 − xn2 , . . . , xmk − xnk , . . .) Logo, para todo m, n ≥ n0 v u∞ uX (xmk − xnk )2 < ε kxm − xn k = t

(8.15)

k=1

Com mais raz˜ ao ainda, para cada componente da sequência (xm − xn ) vale q (xmk − xnk )2 < ε (k = 1, 2, . . .) ou seja,

|xmk − xnk | < ε

(k = 1, 2, . . .)

Assim, para cada k fixado, a sequência (xmk )m∈N é uma sequência de Cauchy em (R, µ). Esta sequência converge visto que (R, µ) é completo. Para cada k ∈ N fa¸camos, ak = lim xmk m→∞

Usando estes limites colocamos, (a1 , a2 , a3 , . . .) = a Para um melhor entendimento observe a figura seguinte

(xmk )m∈N x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1k , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2k , . . .) x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3k , . . .) .. .. .. .. .. . . . . . ?↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = (a1 , a2 , a3 , . . . , ak , . . .) Vamos agora ver que a ∈ ℓ 2 e que se tem de fato lim xn = a, o que termina a demonstra¸c˜ ao. 434

De (8.15) temos para todo m, n ≥ n0 j X k=1

(xmk − xnk )2 < ε2

(j = 1, 2, . . .)

Nesta desigualdade podemos fazer m → ∞ conservando n fixo (embora arbitrário, desde que maior ou igual a n0 ), então, j X

lim

m→∞

Logo,‡

k=1

j X k=1

Portanto,

(xmk − xnk )2 ≤ lim ε2 m→∞

lim xmk − xnk

m→∞

j X

(ak − xnk )2 ≤ ε2

∞ X

(ak − xnk )2 ≤ ε2

k=1

2

≤ ε2

(∀ n ≥ n0 )

Agora podemos fazer j → ∞, obtendo

k=1

(∀ n ≥ n0 )

(8.16)

Sendo xn = (xn1 , xn2 , . . . , xnk , . . .) o n-ésimo termo da sequência de Cauchy em ℓ 2 e a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . .) a sequência constru´ıda anteriormente; desta u ´ltima desigualdade concluimos que a − xn ∈ ℓ 2 − para todo n ≥ n0 bem entendido. Portanto, para todo n ≥ n0 , temos (a − xn ) + xn = a ∈ ℓ 2 visto estarmos em um espa¸co vetorial. Finalmente de (8.16) obtemos, para todo n ≥ n0 v u∞ uX t (ak − xnk )2 ≤ ε < 2ε k=1

isto é, d(xn , a) < 2ε para todo n ≥ n0 , ou seja, lim xn = a. Com isto completamos a prova da completeza de ℓ 2 . Para vermos que nem todo espa¸co vetorial com produto interno é um espa¸co de Hilbert, vamos considerar o espa¸co C[ 0, 1 ], h·, ·i , onde hf, gi =

‡

Z

0

1

f ·g

Proposi¸c˜ ao 18, (p. 163); Proposi¸c˜ ao 20, (p. 164).

435

ent˜ ao, kf k = Neste espa¸co temos,

p

s

hf, f i ⇒ kf k =

d(f, g) = kf − gk =

s

Z

Z

0

1

f ·f

1 0

(f − g)2

O espa¸co C[ 0, 1 ], d n˜ ao é um espa¸co de Hilbert. Prova: Para provar esta assertiva consideremos a sequência (fn ) de fun¸cões cujo termo geral é dado por (p. 419)  0, 0 ≤ x ≤ 21 ;    1 fn (x) = 2n(x − 12 ), 12 ≤ x ≤ 12 + 2n ;    1 1 1, 2 + 2n ≤ x ≤ 1.

Inicialmente mostremos que (fn ) é de Cauchy no espa¸co C[ 0, 1 ], d . Então s Z 1 d(fm , fn ) = (fm − fn )2 0

Temos

(gr´ afico p. 420)

Z

1 0

·=

onde, an =

Z

1 2

0

· +

Z

am 1 2

1 1 + 2 2n

Mas, Z

1 2

0

·+

e

·=

Z

Z

an am

am =

· +

Z

1

·

an

1 1 + 2 2m

1 an

·=0

Pois, nestes intervalos, fm = fn ⇒ (fm − fn )2 = 0. Logo, Z am Z 1 Z an ·= · + · 0

1 2

am

Para 1/2 ≤ x ≤ am , temos 1 1 − 2n x − 2 2 1 = 2(m − n) x − 2

fm (x) − fn (x) = 2m x −

436

e para am ≤ x ≤ an , temos fm (x) − fn (x) = 1 − 2n x − Então, Z

am 1 2

2

(fm − fn ) =

Z

1 + 1 2 2m 1 2

4(m − n)2 x −

1 . 2 1 2 (m − n)2 = 2 6m3

também, Z Donde,

an am

2

(fm − fn ) = Z

1

0

Sendo assim, temos

·=

Z

1 + 1 2 2n 1 + 1 2 2m

Temos,

1 − 2n x −

1 2 (m − n)3 = 2 6m3 · n

(m − n)2 (m − n)3 (m − n)2 = + 6m3 6m3 · n 6m2 · n r

(m − n)2 6m2 · n

(n ≤ m)

1 m−n √ d(fm , fn ) = √ · 6 m· n

(n ≤ m)

d(fm , fn ) = ou ainda,

1 m−n 1 m √ · √ <√ · √ <ε 6 m· n 6 m· n onde a u ´ltima das desigualdades é uma imposi¸cão de nossa parte. Então √

n>

ε·

1 √

6

⇒ n>

1 . 6ε2

Portanto, dado ε > 0 escolhemos n0 > 1/(6ε2 ). Agora consideremos o caso em que n > m. Sendo d(fm , fn ) = d(fn , fm ) podemos escrever  m−n 1   √6 · m·√n , se n ≤ m; d(fm , fn ) =   √1 · n−m √ , se n > m. 6 n· m Em resumo dado ε > 0 escolhemos n0 >

1 6ε2

e teremos

∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(fm , fn ) < ε Isto é, a sequência (fn ) é de Cauchy no espa¸co C[ a, b ], h·, ·i . 437

Vamos simular uma situa¸cão. Por exemplo, seja ε = 0, 01, então n0 >

1 1 ⇒ n0 > = 1.666, 667 2 6ε 6 · 0, 012

Vamos tomar, ainda como exemplo, m = 1667 e n = 1700, então 1 n−m 1700 − 1667 1 √ √ =√ · d(fm , fn ) = √ · ≃ 1, 9 · 10−4 < ε. 6 n· m 6 1700 · 1667 Seja ainda, m = 1668 e n = 1667, então m−n 1 1668 − 1667 1 √ =√ · √ ≃ 6, 0 · 10−6 < ε. d(fm , fn ) = √ · m · n 6 6 1668 · 1667 S´ o nos resta mostrar que (fn ) n˜ ao converge em C[ 0, 1 ], h·, ·i . Suponha, ao contr´ ario, que f seja uma fun¸cão em C[ 0, 1 ] tal que lim fn = f . Suponhamos ainda f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 21 . Então, |fn (c) − f (c)| = |f (c)| > 0 ⇒ Logo, d(fn , f ) = ≥ =

2 1 f (c) > 0 para algum c ∈ 0, . 2 s Z

s Z

s Z

1 0 1 2

0 1 2

(fn − f )2 (fn − f )2 f2 > 0

0

Para todo n. Passando ao limite, temos s s Z 1 Z 2 2 lim d(fn , f ) ≥ lim f = n→∞

n→∞

0

1 2

f2 > 0

0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f . Logo n˜ ao temos f (c) 6= 0 para algum 0 ≤ c ≤ 1/2. Ou ainda, f (x) = 0 para todo 0 ≤ x ≤ 1/2. Esta é a primeira conclusão que tiramos a respeito de f = lim fn . Agora suponhamos f (c) 6= 1 para algum 12 < c ≤ 1, então |fn (c) − f (c)| = |1 − f (c)| > 0 ⇒ 438

2 1 − f (c) > 0

(8.17)

desde que n satisfa¸ca 1 1 1 + < c ≤ 1, isto é n > . 2 2n 2c − 1 Resumindo: Supondo que aconte¸ca f (c) 6= 1 para algum 1/2 < c ≤ 1, 1 , obtendo fn (c) = 1 e da´ı a consideramos apenas as fn a partir de n > 2c−1 1 validade de (8.17) a apartir de n > 2c−1 . Então, d(fn , f ) =

≥ Para todo n >

1 2c−1 .

s

Z

1

(fn − f )2

0

sZ

1

(fn − f )2 =

1 2

sZ

1 1 2

(1 − f )2 > 0

Passando ao limite, temos

lim d(fn , f ) ≥ lim

n→∞

n→∞

sZ

1 1 2

(1 − f )2 =

sZ

1 1 2

(1 − f )2 > 0

contrariando a hip´ otese de que lim fn = f . Logo n˜ ao temos f (c) 6= 1 para ´ a algum 12 < c ≤ 1. Ou ainda, f (x) = 1 para todo 12 < x ≤ 1. E segunda conclusão que tiramos a respeito de f = lim fn . Resumindo, temos f : [ 0, 1 ] → R, dada por f (x) 1

f (x) =

 0,

1,

se 0 ≤ x ≤ se

1 2

q

1 2;

< x ≤ 1. 0

q1 2

q1

x

o que é imposs´ıvel para uma fun¸cão cont´ınua no espa¸co ([ 0, 1 ], µ). Isto prova que n˜ ao existe lim fn em C[ a, b ], h·, ·i . Por conseguinte este espa¸co n˜ ao é de Hilbert.

Vejamos mais um exemplo de espa¸co vetorial com produto interno e que n˜ ao é de Hilbert. Exemplo − Considere o conjunto C0 0 das sequências reais que s´ o possuem uma quantidade finita de termos n˜ ao nulos. Consideremos o espa¸co C0 0 , h·, ·i onde (p. 615)

∞ X xn y n (xn ), (yn ) = n=1

439

Neste espa¸co temos k(xn )k =

q

v u∞ uX xn xn (xn ), (xn ) ⇒ k(xn )k = t n=1

A distˆ ancia entre duas sequências fica assim v u∞ uX d (xn ), (yn ) = k(xn ) − (yn )k = t (xn − yn )2 . n=1

Consideremos em C0 0 a sequência (xn ), de termos x1 = (x11 , x12 , x13 , . . . , x1k , . . .) x2 = (x21 , x22 , x23 , . . . , x2k , . . .)

x3 = (x31 , x32 , x33 , . . . , x3k , . . .) ................................. xn = (xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnk , . . .) ................................. onde os termos xn de (xn ) s˜ ao sequências xn = xnk k∈N com termos dados por  1  k−1 , se k ≤ n; (8.18) xnk = 2 0, se k > n. A seguir explicitamos os termos de (xn ): x1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .) x2 = 1, 12 , 0, 0, 0, . . .

x3 = 1, 12 , 41 , 0, 0, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 1 1 , 2n−1 , 0, 0, . . . xn = 1, 12 , 14 , . . . , 2n−2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 xm = 1, 12 , 14 , . . . , 2n−2 , 2n−1 , 21n , . . . , 2m−2 , 2m−1 , 0, . . . ............................................................ Em nossas argumenta¸cões iremos considerar n < m. Pois bem, mostremos que esta sequência é de Cauchy. Isto é, dado ε > 0 devemos exibir um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d xm , xn = kxm − xn k < ε 440

Temos, xm − xn = Logo,

1 1 1 1 0, 0, . . . , 0, n , n+1 , . . . , m−2 , m−1 , 0, 0, . . . 2 2 2 2

v v um−1 2 um−1 uX 1 uX 1 d xm , xn = t =t i 2 4i i=n

i=n

No radicando em quest˜ ao temos a soma dos (m − 1 − n) + 1 termos da ao q = 14 . Então progress˜ ao geométrica de primeiro termo a1 = 41n e raz˜ 1 m−n 1 · − 1 4n 4 1 1 1 = · − Sm−n = 1 3 4n−1 4m−1 4 −1 Portanto, d xm , xn Fa¸camos,

√

3 · = 3

r

1 4n−1

−

1 4m−1

√ r 1 1 1 3 1 · − m−1 < ε ⇒ n−1 − m−1 < 3 ε2 n−1 3 4 4 4 4 Mas,

1 1 1 − < n−1 < 3 ε2 4n−1 4m−1 4 onde a u ´ltima desigualdade é uma imposi¸cão de nossa parte. Logo, 4n−1 >

1 ⇒ 3 ε2

2n−1

2

>

1 3 ε2

√1 1 ⇒ 2n−1 > √ ⇒ n − 1 > log2 3 ε . 3ε

Portanto dado ε > 0 exibimos √

n0 > 1 − log2 3·ε e teremos nossas aspira¸c˜ oes satisfeitas. Em resumo, dado ε > 0 escolhemos n0 como acima e teremos ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d xm , xn < ε

onde,

d xm , xn =

√ q 3 1    3 · 4n−1 −

q  √   3· 1 − 3 4m−1 441

1 , 4m−1

se n ≤ m;

1 , 4n−1

se n > m.

Fa¸camos uma simula¸cão. Por exemplo, seja ε = 0, 01, então √

√

n0 > 1 − log2 3·ε ⇒ n0 > 1 − log2 3·0,01 = 6, 85. Vamos tomar, ainda como exemplo, m = 10 e n = 7, então d xm , xn

√

3 · = 3

r

1 1 − ≃ 0, 00895 < ε 47−1 410−1

Seja ainda, m = 7 e n = 8, então d xm , xn

√ r 3 1 1 = · − ≃ 0, 00781 < ε 3 47−1 48−1

Resta mostrar que (xn ) n˜ ao converge no espa¸co C0 0 , h·, ·i . Suponhamos, por absurdo, que exista um ponto p = (p1 , p2 , p3 , . . .) ∈ C0 0 tal que lim xn = p. Consideremos, ademais, a sequência (δk ) de pontos de C0 0 onde, para todo k ∈ N, temos δk = (δk1 , δk2 , δk3 , . . .) onde δki =

(

1, se k = i; 0, se k 6= i.

A seguir explicitamos os termos da sequência (δk ). δ1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .) δ2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) δ3 = (0, 0, 1, 0, 0, . . .) .. . δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) .. . As sequências δk (k = 1, 2, . . .) têm a seguinte propriedade − que nos interessa de perto: dada uma sequência (zn ) ∈ C0 0 qualquer, o produto hδk , (zn )i nos d´ a uma “amostra” do termo de posi¸cão k da sequência (zn ). Veja: δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) (zn ) = (z1 , z2 , . . . , zk , zk+1 , . . .) 442

Então, hδk , (zn )i =

∞ X

δkn zn

n=1

= δk1 z1 + δk2 z2 + . . . + δkk zk + δk(k+1) zk+1 + . . . = 0 · z1 + 0 · z2 + . . . + 1 · zk + 0 · zk+1 + . . . = zk Isto é, hδk , (zn )i = zk

(k = 1, 2, 3, . . .)

Sendo assim vamos pedir ` as sequências δk (k = 1, 2, . . .) que nos mostrem os termos da sequência p = lim xn . Do seguinte modo∗ pk = hδk , pi = hδk , lim xn i = limhδk , xn i n

n

= lim xnk n→∞

onde xnk é dado pela equa¸c˜ ao (8.18) (p. 440) a qual repetimos aqui  1  k−1 , se n ≥ k; xnk = 2 0, se n < k. Vamos calcular alguns destes limites. Temos, p1 = lim xn1 n→∞

onde, xn1 =

 

1 21−1 ,

0,

se n ≥ 1; se n < 1.

xn1 = (1, 1, 1, . . .) → 1

⇒

⇒ p1 = lim xn1 = 1. n→∞

Também, p2 = lim xn2 n→∞

onde, xn2 =

∗

 

1 , 22−1

0,

se n ≥ 2; se n < 2.

⇒

1 1 1 xn2 = (0, , , . . .) → 2 2 2

1 ⇒ p2 = lim xn2 = . n→∞ 2

O produto interno possui a propriedade: hlim xn , lim yn i = limhxn , yn i. n

443

n

n

E de um modo geral, temos

xnk =

 

1 , 2k−1

0,

se n ≥ k; se n < k.

xnk = (0, . . . , 0,

⇒

⇒ pk = lim xnk = n→∞

1 2k−1

,

1 2k−1

, . . .) →

1 2k−1

1 . 2k−1

Portanto, p = p1 , p2 , p3 , . . . = 1,

1 1 1 , , . . . , k−1 , . . . 6∈ C0 0 2 4 2

logo a sequência de Cauchy (xn ) n˜ ao converge no espa¸co C0 0 , h·, ·i .

8.4

Completamento de Espa¸ cos M´ etricos

O espa¸co (Q, µ) n˜ ao é completo como já vimos. A constru¸cão de (R, µ) ` partir de (Q, µ) (ver [10], vol. 1 ou [9]) é o que denominamos de um a “completamento” de (Q, µ). Veremos que todo espa¸co métrico pode ser “completado”. Ou, de modo mais preciso: a partir de qualquer espa¸co métrico podemos construir um espa¸co métrico completo. Defini¸ c˜ ao 57 (Completamento). Um completamento de um espa¸co métrico ˆ , D); ϕ , onde (M ˆ , D) é um espa¸co métrico completo, (M, d) é um par (M ˆ é uma imers˜ ϕ: M → M ao isométrica (preserva distˆ ancia) e ϕ(M ) é denso ˆ ). ˆ em (M , D) (isto é, ϕ(M ) = M

ˆ , D) (M

(M, d) yq

xq

q ϕ(x)

ϕ ϕ(M )

q ϕ(y)

ˆ ϕ(M )=M

ˆ , D); ϕ) = Completamento de (M, d) / d(x, y) = D(ϕ(x), ϕ(y)) • ( (M De in´ıcio observamos que por ϕ ser uma imersão isométrica então ela ˆ. transforma sequências de Cauchy de M em sequências de Cauchy de M (prop. 94, p. 414)

444

Exemplos: ˆ. Vamos, em um caso particular, justificar o porquê da exigência ϕ(M ) = M 1 ao 1) Consideremos o espa¸co métrico (M, µ) onde M = 0, 4 este espa¸co n˜ é completo. Vamos complet´ a-lo. Primeiramente observemos que (M, µ) é um subespa¸co do espa¸co métrico completo ([ 0, 1 ], µ). Observe que a imersão isométrica ϕ(x) = x nos fornece: 1 1 1 3 ϕ(M ) = M = 0, ⊂ 0, ⊂ 0, ⊂ 0, ⊂ [ 0, 1 ] 4 4 2 4 ao completos (por Todos os quatro espa¸cos, 0, 14 , 0, 12 , 0, 34 e [ 0, 1 ] s˜ serem subespa¸cos fechados de um espa¸co completo).

Perguntamos: qual deles elegemos como completamento de M ? Aqui, ˆ nos manda escolher: M ˆ = 0, 1 como precisamente a condi¸c˜ ao ϕ(M ) = M 4 o completamento de M . Esta condi¸cão, como vimos, estabelece a unicidade a precisado oportunamente. do completamento, num sentido que ser´ ˆ esta mesma condi¸cão nos Observe, ademais que no caso em ϕ(M ) ⊂ M diz que o completamento de M é o “menor” fechado que contém M . Ou seja, basta juntar a ◦ ¯ = X ∪ ∂X). M seus pontos aderentes ou de fronteira (já vimos que: X

2) Consideremos os espa¸cos (Q, µ) e (R, µ). Tomando ϕ : Q → R dada por ϕ(x) = x temos que ϕ é uma imersão isométrica (preserva distˆ ancias) e ϕ(Q) = Q é denso no espa¸co métrico completo (R, µ). Logo (R, µ) é um completamento de (Q, µ). 3) Toda sequência de Cauchy no espa¸co ( [ 0, 1 [, µ ) converge no espa¸co ( [ 0, 1 [, k ) que é completo. Sendo assim seriamos tentados a imaginar que o segundo destes espa¸cos é um completamento do primeiro. Acontece entretanto que pela defini¸c˜ ao de completamento, uma condi¸cão necessária para tanto é que exista uma uma imersão isométrica: ϕ : ( [ 0, 1 [, µ ) −→ ( [ 0, 1 [, k )

(8.19)

Afirmamos que n˜ ao existe uma tal imersão. De fato, suponha pelo contr´ ario que exista uma ϕ imersão isométrica; sendo assim devemos ter, k( ϕ(x), ϕ(y) ) = |x − y|, ∀ x, y ∈ [ 0, 1 [ Tomemos nesta igualdade y = 0 e x = xn = 1 − n1 , assim: k ϕ 1−

1 1 , ϕ(0) = 1 − − 0 n n

Tomemos o limite em ambos os membros, lim k ϕ 1 −

1 1 , ϕ(0) = lim 1 − n n 445

Tendo em conta a continuidade da aplica¸cão k

(eq. (6.14), p. 267),

obtemos

1 , ϕ(0) = 1 k lim ϕ 1 − n

Como (xn ) é uma sequência de Cauchy no dom´ınio segue-se que sua imagem ϕ xn é uma sequência de Cauchy no contra-dom´ınio. Como o contradom´ınio é um espa¸co completo segue que esta sequência tem um limite a ∈ [ 0, 1 [, portanto: k a, ϕ(0) = 1

Ora, este resultado contradiz o fato que 0 ≤ k(x, y) < 1, ∀ x, y ∈ [ 0, 1 [. Portanto, n˜ ao existe nenhuma imersão isométrica da forma (8.19). • A constru¸c˜ ao (completamento) do exemplo 1 acima pode sempre ser feita no caso de dois espa¸cos quaisquer (M, d) e (N, d) onde o primeiro é incompleto e o segundo completo (logo, fechado), e M ⊂ N . Isto é, basta tomar ˆ =M ⊂N ϕ : M −→ M x 7−→ x

E quando o espa¸co incompleto (M, d) n˜ ao é subespa¸co de um espa¸co completo, ainda assim podemos complet´ a-lo? A resposta est´ a no conte´ udo da pr´ oxima proposi¸c˜ ao. Por oportuno, observe que na defini¸cão de completamento não exigimos ˆ. que M ⊂ M Proposi¸ c˜ ao 101 (Existência do completamento). Todo espa¸co métrico possui um completamento. Prova: Sejam (M, d) um espa¸co métrico e p um ponto fixado em M . In voquemos em nosso aux´ılio o espa¸co BC(M, R); k·kΨ das fun¸cões cont´ınuas e limitadas f : M → R que é completo conforme vimos no exemplo 5 (p. 431). Vamos definir uma aplica¸cão: σ : (M, d) −→ BC(M, R) a 7−→ fa onde, σ(a) = fa : M −→ R x 7−→ d(x, a)−d(x, p) Isto significa que a cada ponto a ∈ M associamos a fun¸cão fa ∈ BC(M, R) dada por fa (x) = d(x, a) − d(x, p). 446

BC(M, R)

(M, d)

pr

a

r

(M, d)

pr

a

x

r

r

r σ(a) = fa

σ -

(R, µ)

r fa (x)=d(x, a) − d(x, p)

fa

Devemos mostrar que σ est´ a bem definida, isto é, que fa efetivamente é um elemento do conjunto BC(M, R). Ou ainda, que fa : (M, d) −→ (R, µ), dada por fa (x) = d(x, a) − d(x, p) de fato é cont´ınua e limitada. Com efeito fa é cont´ınua por ser a diferen¸ca entre duas fun¸c˜ oes cont´ınuas∗ e é limitada porque para todo x ∈ M ocorre‡ |fa (x)| = |d(x, a) − d(x, p)| ≤ d(a, p) Vamos mostrar que σ é uma imersão isométrica. Consideremos M a 7−→ σ(a) = fa ∈ BC(M, R) M b 7−→ σ(b) = fb ∈ BC(M, R) mostremos que kσ(a) − σ(b)kΨ = kfa − fb kΨ = d(a, b). De fato, kfa − fb kΨ = sup |fa (x) − fb (x)| : x ∈ M

= sup d(x, a) − d(x, p) − d(x, b) − d(x, p) : x ∈ M

∗ ‡

= sup d(x, a) − d(x, b) : x ∈ M

Exemplo (iv), p. 261. Prop. 2, p. 45.

447

mas, |d(x, a) − d(x, b)| ≤ d(a, b)

logo, d(a, b) é uma cota superior do conjunto { |d(x, a) − d(x, b)| : x ∈ M }. Portanto, sup{ |d(x, a) − d(x, b)| : x ∈ M } ≤ d(a, b). pois sup é a menor das cotas superiores. Então, kfa − fb kΨ ≤ d(a, b)

(8.20)

Por outro lado, para x = b, temos |fa (b) − fb (b)| = d(b, a) − d(b, p) − d(b, b) − d(b, p) = |d(b, a)| = d(a, b).

Portanto, d(a, b) = |fa (b) − fb (b)| ≤ sup { |fa (x) − fb (x)| } x∈M

= kfa − fb kΨ logo, (8.20) e esta u ´ltima igualdade garantem que kfa − fb kΨ = d(a, b). Portanto, σ : (M, d) −→ BC(M, R); k · kΨ

é uma imersão isométrica. Porém n˜ ao h´ a garantia de que σ(M ) seja denso em BC(M, R); k · kΨ raz˜ ao porque tomamos ˆ = σ(M ) ⊂ BC(M, R) M

ˆ , D) resulta completo por ser subespa¸co fechado do espa¸co métrico Assim (M completo BC(M, , R); k · kΨ . ˆ , D) é a métrica Observe da inclusão anterior que a métrica do espa¸co (M do espa¸co BC(M, R); k · kΨ restrita ao fecho de σ(M ). Isto é, D(fa , fb ) = kfa − fb kΨ . Fa¸camos, ˆ ϕ : M −→ M a 7−→ fa Observe que as aplica¸co˜es ϕ e σ têm o mesmo dom´ınio, s˜ ao dadas pela mesma lei a 7→ fa , mas têm contradom´ımios diferentes: o de σ é BC(M, R) enquanto o de ϕ é σ(M ) ⊂ BC(M, R). Temos, σ(M ) = { σ(a) : a ∈ M } = { fa : a ∈ M } ϕ(M ) = { ϕ(a) : a ∈ M } = { fa : a ∈ M }

448

Logo, ˆ. ϕ(M ) = σ(M ) ⇒ ϕ(M ) = σ(M ) = M ˆ , D); ϕ é um completamento de (M, d). Por conseguinte (M

Faremos agora algumas observa¸cões no sentido de esclarecer em que senˆ , D) é um completamento do espa¸co tido devemos entender que o espa¸co (M (M, d): ˆ , porquanto os elementos de M e M ˆ têm na1a Não temos M ⊂ M turezas distintas. Os elementos de M podem ser quaisquer, enquanto os de ˆ s˜ M ao sempre fun¸c˜ oes f : M → R cont´ınuas e limitadas. a ˆ , D) 2 Devido existir uma imersão isométrica entre (M, d) e (M ϕ

M, d

ˆ, D M

dados dois elementos quaisquer a, b ∈ M temos duas op¸cões para calcular a distˆ ancia entre os mesmos: ou diretamente através da métrica d ou indiretamente, transferindo-os (metamorfoseando-os) através de ϕ, e calculando a distˆ ancia entre as respectivas imagens ϕ(a) e ϕ(b) na métrica D uma vez que d(a, b) = D ϕ(a), ϕ(b) = D fa , fb = kfa − fb kΨ 3a Dada uma sequência de Cauchy (xn ) em (M, d), como este espa¸co n˜ ao é completo, esta sequência n˜ ao tem obriga¸cão de convergir. Pela proposi¸cão 94 (p. 414) uma aplica¸c˜ ao uniformemente cont´ınua transforma sequências de Cauchy em sequências de Cauchy e sendo uma imers˜ ao isométrica uma aplica¸cão uniformemente cont´ınua segue que ϕ(xn ) é uma sequência de ˆ , D) e, por conseguinte, tem a Cauchy no espa¸co métrico completo (M obriga¸c˜ ao de convergir. Em resumo: embora uma sequências de Cauchy (xn ) n˜ ao convirja necessariamente em (M, d) (incompleto) sua sequência ˆ , D). imagem necessariamente converge em (M Vamos concretizar o que dissemos acima atrav´ es de algumas simula¸cões. • Consideremos o espa¸co métrico ] 0, 1 ], µ que n˜ ao é completo. J´ a vimos que uma completa¸c˜ ao deste espa¸co é [ 0, 1 ], µ . Agora obteremos uma outra constru¸c˜ ao (um outro completamento) seguindo os passos da demonstra¸c˜ ao da proposi¸c˜ ao 101. Então, definimos ˆ ⊂ BC(M, R) ϕ : ] 0, 1 ], µ −→ M a

7−→ fa

onde, ϕ(a) = fa : ] 0, 1 ] −→ R x 7−→ |x−a|−|x−p| ˆ , D); ϕ), onde, M ˆ = ϕ( ] 0, 1 ] ) O completamento de ( ] 0, 1 ], µ) é o par ( (M 449

e, Observe que,

D(fa , fb ) = kfa − fb kΨ = d(a, b), ∀ a, b ∈ ] 0, 1 ]

ϕ( ] 0, 1 ] ) =

ϕ(a) : a ∈ ] 0, 1 ]

= { fa : a ∈ ] 0, 1 ] }

Por exemplo, consideremos dois pontos a = 14 e b = 43 e calculemos a distˆ ancia entre eles tanto no espa¸co quanto no seu completamento. Temos M 1

b=

a=

3 4

ϕ

3 4

ϕ

1 4

r

1 2

⊥

1 4

r

0

r f3 : ] 0, 1 ] −→ R 4

7−→

x

|x− 43 |−|x−p|

r f : ] 0, 1 ] −→ R 1 4

7−→

x

|x− 41 |−|x−p|

• Vamos mostrar que:

1 3 1 3 1

d , − = = d f1 , f3 = f1 − f3 = 4 4 4 4 2 4 4 4 4 Ψ

Temos,

1 f1 (x) = x − − |x − p| 4 4 3 f3 (x) = x − − |x − p| 4 4

Logo,

1 3 f1(x) − f3(x) = x − − x − 4 4 4 4 Observe que esta diferen¸ca independe do ponto p fixado no intervalo ] 0, 1 ]. Ent˜ ao,

n o

d f1 , f3 = f1 − f3 = sup f1 (x) − f3(x) : x ∈ M 4

4

4

4

Ψ

4

4

1 = sup x − − x − 4 450

3 : x ∈ ] 0, 1 ] 4

Temos,  x − 1 , 4 x − 1 = −x + 1 , 4 4

 x − 3 , 4 x − 3 = −x + 3 , 4 4

Graficamente temos,

1 | = −x+ 1 |x− 4 4

1 |x− 1 4 | = x− 4

@ @⊣

⊣ 0

se x ≤ 14 . se x ≥ 34 ;

se x ≤ 34 .

-

⊣

⊣

1 2

1 4

⊣ 0

se x ≥ 14 ;

⊣

1 4

⊣ 1

3 4

3 | = x− 3 |x− 4 4

3 |x− 3 4 | = −x+ 4

-

@ @⊣

⊣

1 2

⊣ 1

3 4

Destes gr´ aficos obtemos, 1 0 < x ≤ 4 ⇒ x − 41 − x − 43 = − x + 41 − − x + 43 = − 21 1 4

≤x≤

3 4

⇒

3 4

≤x≤1

⇒

Então,

x − 1 − x − 3 = x − 1 − − x + 3 = 2x − 1 4 4 4 4

x − 1 − x − 3 = x − 1 − x − 3 = 4 4 4 4

1 sup x − − x − 4 x ∈ ]0, 1 ] 4

3 = sup x− 4 3 x ∈ [ ,1] 4

1 − x− 4

1 2

3 1 = 4 2

Por outro lado, 3 1 3 1 1 1 ≤x≤ ⇔ ≤ 2x ≤ ⇔ − ≤ 2x − 1 ≤ 4 4 2 2 2 2 1 ⇔ |2x − 1| ≤ 2 1 ⇒ f1(x) − f3 (x) ∈ 0, 2 4 4 Portanto,

1 1 3

f1 − f3 = sup x − − x − : x ∈ ] 0, 1 ] = 4 4 2 4 4 Ψ

conforme haviamos previsto.

451

• Consideremos em M = ] 0, 1 ] a sequência (x n ) dada por xn = 1/n. Esta sequência é de Cauchy no espa¸co ] 0, 1 ], µ mas n˜ ao converge neste espa¸co. Vamos mostrar que a sequência imagem ϕ(xn ) converge no espa¸co ˆ , D . Temos (fixando p = 1) M ϕ( n1 ) = f 1 : ] 0, 1 ] −→ R n x 7−→ |x− n1 |−|x−1|

logo 1 f 1 (x) = x − − |x − 1| n n

Alternativamente f 1 (x) pode ser escrita como, n

 1   se 0 < x ≤ n1 ;  n − 1, f 1 (x) =  n   2x − 1 − 1, se 1 ≤ x ≤ 1. n n

A seguir plotamos os três primeiros termos desta sequência juntamente com o gr´ afico da fun¸c˜ ao f candidata ao limite da sequência f 1 . n

f1(x)

f1(x)

f1(x)

f (x)

1

q

1

q

1

1 2

q

1 2

q

1 2

2

1

q

q

x 1

q

1 2 1 2

−1

q

3

q

x q1

q 1 2

q

−1

x

q1

q

−1

−1

q

q21 1 2

q

q

x q1

q

q

Observe que estas fun¸cões pertencem todas ao conjunto BC ] 0, 1 ], R . ˆ , D) (por A sequência f 1 é de Cauchy no espa¸co métrico completo (M n ser a imagem de uma sequência de Cauchy por uma imersão isométrica (ϕ)). Portanto ela converge neste espa¸co. Vamos mostrar que a seguinte convergência se verifica, f1

D(·, ·)=k · kΨ

n

f

onde f ∈ BC ] 0, 1 ], R é dada por f (x) = 2x − 1. Pela prop. 9 (p. 143) é su ficiente mostrar que a sequência numérica d(f 1 , f ) = Ψ(f 1 , f ) converge n

para 0 no espa¸co (R, µ). De fato,

452

n

n o Ψ(f 1 , f ) = sup f 1 (x) − f (x) : 0 < x ≤ 1 n

onde

n

 1  1  −2x + , se 0 < x ≤ n ; n f 1 (x) − f (x) =  n 1  − , se n1 ≤ x ≤ 1. n A seguir vemos os gr´ aficos de h(x) = f 1 (x) − f (x) e |h(x)|. n

h(x) 1

q

1

1 n

q

1 n

q

qn1

q1

|h(x)|

q

x

qn1

1 −n q

1 −n q

−1

−1

q

q1

x

q

Temos, 0
Portanto,

2 2 1 ⇔ 0 < 2x ≤ ⇔ − ≤ −2x < 0 n n n 1 1 1 1 1 ⇔ − ≤ −2x + < ⇒ − 2x + ≤ n n n n n 1 ⇔ f 1 (x) − f (x) ∈ 0, . n n

n o 1 Ψ(f 1 , f ) = sup f 1 (x) − f (x) : 0 < x ≤ 1 = → 0. n n n

Na proposi¸c˜ ao seguinte teremos a oportunidade de ver que, na defini¸cão ˆ vai nos permitir fixar de completamento, a exigência adicional ϕ(M ) = M (amarrar) a unicidade do completamento. Proposi¸ c˜ ao 102 (Unicidade do completamento). Consideremos dois com ˆ , D ); ϕ e (M ˜ , D ); ψ do mesmo espa¸co métrico (M, d), pletamentos (M 1 2 ˆ →M ˜ tal que f ◦ ϕ = ψ. ent˜ ao existe uma isometria f : M ˆ , D ) e (M ˜ , D ) espa¸cos métricos completos, ϕ : M → Prova: Sejam (M 1 2 ˆ e ψ(M ) = M ˜. ˆ ˜ M e ψ : M → M imersões isométricas tais que ϕ(M ) = M ˆ e sendo Para construir a fun¸c˜ ao f desejada observe que dado y ∈ M 453

ˆ existe uma sequência yn ∈ ϕ(M ) ϕ(M ) = { ϕ(x) : x ∈ M } denso em M de modo que lim yn = y (prop. 42, p. 212). Como yn ∈ ϕ(M ) existe an ∈ M com yn = ϕ(an ) de modo que: lim yn = lim ϕ an = y. ˆ , D então é de Cauchy neste espa¸co. Como ϕ(an ) converge em M 1 Como ϕ é imersão isométrica segue que an é de Cauchy em (M, d). Por ˜ , D visto que ψ conseguinte ψ(an ) é uma sequência de Cauchy em M 2 ˜ , D é completo existe lim ψ(an ) é também imersão isométrica. Como M 2 neste espa¸co. Vamos definir então f (y) = lim ψ(an ) ˆ,D ) (M 1

(M, d)

p qqqqq

ϕ(M ) yq տ yn =ϕ(an ) q

ϕ

an

..

.q q q q q q

ψ ˜,D ) (M 2

q q ψ(an ) qq q q ցq f (y) ≡ lim ψ(an )

f

Devemos verificar se f est´ a bem definida. Isto é, que se (an ) e (bn ) s˜ ao duas sequências em M com lim ϕ(an ) = lim ϕ(bn ) = y então lim ψ(an ) = lim ψ(bn ). Ent˜ ao∗ D2 lim ψ(an ), lim ψ(bn ) = lim D2 ψ(an ), ψ(bn ) = lim d(an , bn )

= lim D1 ϕ(an ), ϕ(bn )

= D1 lim ϕ(an ), lim ϕ(bn ) = D1 y, y

= 0.

Portanto lim ψ(an ) = lim ψ(bn ). ˆ, Agora vamos mostrar que f é uma imersão isométrica. Dados x, y ∈ M ˆ existem sequências xn , yn ∈ ϕ(M ) tais que como ϕ(M ) é denso em M lim xn = x, lim yn = y. Por outro lado, existem sequências (an ) e (bn ) em M tais que ϕ(an ) = xn ; ϕ(bn ) = yn ∗


454

de modo que lim ϕ(an ) = lim xn = x, lim ϕ(bn ) = lim yn = y.

Então D2 f (x), f (y) = D2 lim ψ(an ), lim ψ(bn ) = lim D2 ψ(an ), ψ(bn ) = lim d(an , bn )

= lim D1 ϕ(an ), ϕ(bn )

= D1 lim ϕ(an ), lim ϕ(bn ) = D1 x, y .

˜ devemos construir um Devemos mostrar que f é sobrejetiva. Dado z ∈ M ˆ tal que f (y) = z. Pois bem, como ψ(M ) = {ψ(x) : x ∈ M } ponto y ∈ M ˜ , D ), isto é, ψ(M ) = M ˜ então para este z ∈ M ˜ existe uma é denso em (M 2 sequência (yn ) de pontos de ψ(M ) tal que lim yn = z. Como yn ∈ ψ(M ) existe an ∈ M tal que yn = ψ(an ). Portanto lim ψ(an ) = z. Consideremos a ˆ . Sendo ψ e ϕ imersões isométricas e ψ(an ) uma sequência ϕ(an ) em M sequência de Cauchy, ent˜ ao a sequência ϕ(an ) é também de Cauchy.

Porquanto se ϕ(an ) n˜ ao fosse de Cauchy e como ϕ é imersão isométrica então (an ) t˜ ao pouco seria de Cauchy. Ora (an ) n˜ ao sendo de Cauchy e ψ sendo imersão isométrica ent˜ ao ψ(an ) n˜ ao seria de Cauchy. O que n˜ ao é verdade pois esta sequência converge. ˆ tal que y = lim ϕ(an ). Da defini¸cão de f segue que Logo existe y ∈ M f (y) = lim ψ(an ) = z.

Portanto f é uma imersão isométrica sobrejetiva, isto é, uma isometria. Resta mostrar que f ◦ ϕ = ψ. Dado a ∈ M existe y = ϕ(a), tomemos em M uma sequência (an ) com lim an = a. Então f ◦ ϕ (a) = f ϕ(a) = f (y)

= lim ψ(an ) = ψ(lim an ) = ψ(a). 455

ˆ →M ˜ nos permite identificar os dois − A existência da isometria f : M completamentos.

a

r

˜,D ) (M 2

ˆ,D ) (M 1

(M, d)

rϕ(a)

ϕ

f

f −1

rf (ϕ(a))=Ψ(a)

Ψ

8.5

Espa¸ cos topologicamente completos

Observe que os espa¸cos (R, µ) e ( ] − 1, 1 [ ; µ) s˜ ao homeomorfos (ex. 2 p. 296) n˜ ao obstante o primeiro ser completo e o segundo n˜ ao. Isto é poss´ıvel pelo fato de que “ser completo” ou “n˜ ao ser completo” n˜ ao é uma propriedade topol´ ogica, visto que n˜ ao é preservada por homeomorfismos. Consideremos dois espa¸cos (M, d) e (N, D) homeomorfos. Se h : (M, d) −→ (N, D) é um homeomorfismo então

(p. 93)

d′ (x, y) = D h(x), h(y)

(8.21)

é uma métrica em M equivalente∗ a d, tal que

h′ : (M, d′ ) −→ (N, D) é uma isometria (devido a (8.21)). Logo (M, d′ ) resultará completo se (N, D) o for (prop. 98, p. 424). Como d′ ∼ d temos que i : (M, d) −→ (M, d′ )

é um homeomorfismo sendo que (M, d) pode n˜ ao ser completo mas (M, d′ ) sim. Isto é, sendo (M, d) um espa¸co n˜ ao completo pode existir uma métrica d′ , equivalente a d, que o torne completo. Por exemplo, h : ] − 1, 1 [ , µ −→ R, µ dada por h(x) =

∗

x é um homeomorfismo. Fazendo 1 − |x| d′ (x, y) = µ h(x), h(y) = |h(x) − h(y)| x y = − 1 − |x| 1 − |y|

No apêndice (p. 471) mostramos que d′ ∼ d.

456

temos que ] − 1, 1 [ , d′ resulta um espa¸co métrico completo. Observe, a t´ıtulo de curiosidade, que a sequência dada por an = 1 − n1 é de Cauchy no espa¸co ] − 1, 1 [ , µ ; sendo este um espa¸co n˜ ao completo esta sequência n˜ ao tem obriga¸c˜ ao de convergir. J´ a no espa¸co ] − 1, 1 [ , d′ , que é completo, esta mesma sequência n˜ ao é de Cauchy, n˜ ao tendo portanto obriga¸c˜ ao de convergir. Das afirma¸c˜ oes feitas vamos mostra que (an ) n˜ ao é de Cauchy na métrica d′ . Para tanto devemos exibir ε > 0 de modo que para todo ´ındice n0 existam m ≥ n0 e n ≥ n0 tais que d′ (am , an ) ≥ ε (p. 408). De fato, consideremos ε = 1/2 e dado n0 ∈ N tomemos m = n0 + 1 e n = n0 , então |m − n| = |(n0 + 1) − n0 | = 1, portanto isto implica em que 1 1 −n 1− ≥ε |m − n| ≥ ε ⇒ m 1 − m n 1− 1 1 − n1 m ⇒ − ≥ε 1 1 − 1 − m 1 − 1 − n1 1− 1 1 − n1 m ≥ ε ⇒ 1 − 1 − 1 − m 1 − 1 − n1 a a m − n ≥ ε ⇒ d′ (am , an ) ≥ ε. ⇒ 1 − am 1 − an

Proposi¸ c˜ ao 103. Todo subconjunto aberto de um espa¸co métrico completo é homeomorfo a um espa¸co métrico completo. Prova: Seja A ⊂ M aberto no espa¸co métrico completo (M, d). A aplica¸c˜ ao,

ϕ : M −→ R x 7−→ d(x, Ac )

é cont´ınua (p. 261). Como Ac é fechado temos podemos definir a fun¸c˜ ao

(prop. 40, p. 211)

ϕ(x) > 0 ⇔ x ∈ A. Portanto,

f : A ⊂ M −→ R 1 x 7−→ ϕ(x) Observe que f é cont´ınua porque ϕ é cont´ınua. Vamos considerar as duas seguintes fun¸cões auxiliares g : A × R −→ R (x, t) 7−→ t

e

j : A × R −→ R 1 (x, t) 7−→ ϕ(x) 457

g é cont´ınua (proje¸c˜ ao) e mostremos que j também é cont´ınua. Para tanto vamos considerar no produto A × R a métrica (p. 95) D2 (X, Y ) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ) = d(x, y) + |b − c| onde, X = (x, c) ∈ A × R e Y = (y, b) ∈ A × R. R

R

s g(x, t)

g

t

q

c

q

b

q

R

A×R

s(x, t)

j(x, t)

s(x, c)

j

-

s

s(y, b)

xp

yp

A

f

s

?

f (x)

s

R

f (y)

Vamos mostrar que j é cont´ınua em um ponto arbitrário Y = (y, b). Dado ε > 0 devemos exibir δ > 0 de maneira que D2 (X, Y ) < δ ⇒ |j(X) − j(Y )| < ε ou ainda,

1 1 <ε (8.22) − d(x, y) + |b − c| < δ ⇒ ϕ(x) ϕ(y) Consideremos a continuidade de f no ponto y. Então, dado ε > 0 existe δ′ > 0 de modo que 1 1 ′ d(x, y) < δ ⇒ |f (x) − f (y)| = <ε − ϕ(x) ϕ(y) Logo,

1 1 d(x, y) + |b − c| < δ + |b − c| ⇒ <ε − ϕ(x) ϕ(y) Portanto tomando δ = δ′ +|b−c| teremos (8.22) satisfeita. Logo j é cont´ınua. Com este resultado asseguramos que o conjunto ′

(x, t) ∈ A × R : g(x, t) = j(x, t) n 1 o = (x, t) ∈ A × R : t = ϕ(x)

F =

458

é fechado (ver observa¸caõ, p. 283). Como F ⊂ A × R ⊂ M × R, decorre que F é um subespa¸co completo, por ser fechado em M × R, que é completo (prop. 97, p. 423). Por outro lado o gr´ afico de f é dado por G(f ) = x, f (x) : x ∈ A o n 1 :x∈A = x, ϕ(x) n 1 o = F. = (x, t) ∈ A × R : t = ϕ(x) Como o gr´ afico de uma aplica¸c˜ ao cont´ınua é homeomorfo ao seu dom´ınio segue que o espa¸co completo F = G(f ) é homeomorfo ao aberto A. O homeomorfismo em quest˜ ao é dado por

(ex. 7, p. 308)

h : (A, d) −→ (G(f ), D2 ) x 7−→ (x, f (x)) então

(eq. (8.21), p. 456)

d′ (x, y) = D2 h(x), h(y)

(8.23)

é uma métrica em A equivalente a d, tal que

h′ : (A, d′ ) −→ G(f ), D2 x

7−→

(x, f (x))

é uma isometria; sendo que (A, d′ ) é completo porque G(f ), D2 o é. Na igualdade (8.23) temos 1 h(x) = x, f (x) = x, ϕ(x) 1 h(y) = y, f (y) = y, ϕ(y) então,

D2 h(x), h(y) = D2 x,

mas ϕ(x) = d(x, Ac ), ent˜ ao

1 1 ; y, ϕ(x) ϕ(y) 1 1 − = d(x, y) + ϕ(x) ϕ(y)

1 1 − d (x, y) = d(x, y) + c c d(x, A ) d(y, A ) ′

459

(8.24)

Vamos concretizar a demonstra¸cão da proposi¸cão anterior com um exemplo espec´ıfico. Consideremos o subespa¸co (A, µ) do espa¸co métrico completo (R, µ), onde A = ] − 1, 1 [. Temos, ϕ : R −→ R x 7−→ d(x, Ac )

Ac = ] −∞, 1 ] ∪ [ 1, +∞ [

onde

também, f : ] − 1, 1 [ −→ R 1 x 7−→ ϕ(x) Vamos explicitar as aplica¸cões ϕ e f . Consideremos um ponto x arbitrariamente fixado em A. Então, d(x, Ac ) = inf d(x, y) : y ∈ Ac = inf |x − y| : y ≤ −1 ou y ≥ 1

Temos,

|x − y| =

 

x − y,

se

x ≥ y;

 −x + y,

se

x < y.

Consideremos quatro possibilidades: (i) (ii) (iii) (iv)

0≤x<1

e

−1 < x ≤ 0

e

0≤x<1 −1 < x ≤ 0

y ≥ 1;

y ≤ −1; y ≥ 1;

e e

y ≤ −1.

Ent˜ ao, (i) 0 ≤ x < 1 e y ≥ 1.

Como x < y ⇒ |x − y| = −x + y. Como y ≥ 1 ⇒ −x + y ≥ 1 − x, isto é |x − y| = −x + y ≥ 1 − x

portanto, inf

0 ≤ x<1

(ii) 0 ≤ x < 1 e y ≤ −1.

|x − y| : y ≥ 1

=1−x

Como x > y ⇒ |x − y| = x − y. Como y ≤ −1 ⇒ x − y ≥ 1 + x, isto é |x − y| = x − y ≥ 1 + x 460

portanto, inf

0 ≤ x<1

mas,

|x − y| : y ≤ −1

=1+x

1−x≤1+x ⇔ x≥0 por conseguinte, inf

|x − y| : y ≤ −1 ou y ≥ 1

0 ≤ x<1

= 1 − x.

Com racioc´ınio an´ alogo, nos casos (iii) e (iv) chegamos a |x − y| : y ≤ −1 ou y ≥ 1 = 1 + x. inf −1 < x ≤ 0

Geometricamente tudo se passa do seguinte modo: x−(−1) = d(x, Ac )

] −∞, −1 ]

r

ւ

ց

◦ −1

qx

q0

qx

d(x, Ac ) = 1−x

r

◦ 1

[ 1, +∞ [

Sendo assim temos,   0,     1 + x, ϕ(x) =  1 − x,     0,

Logo,

f (x) =

 1  ,    1+x    

Temos,

1 , 1−x

se se se se

x ≤ −1; −1 < x ≤ 0; 0 ≤ x < 1; x ≥ 1.

se

−1 < x ≤ 0;

se

0 ≤ x < 1.

x, f (x) : x ∈ A = x, f (x) : − 1 < x < 1

G(f ) =

=

n

x,

o[n o 1 1 : −1
A seguir vemos a geometria da situa¸cão (gr´ afico à esquerda) 461

r←− f

G(f )⊂ R2 −→

r←−f

−1

q0

q0

−1

1

1 2

3 4

=4

=2

1

↑

d′

O homeomorfismo em questão é dado por h : ] − 1, 1 [, µ −→ (G(f ), D2 ) x 7−→ (x, f (x)) Ent˜ ao,

h(x) = (x, f (x)) =

  x,

 x,

1 1+x 1 1−x

se

−1 < x ≤ 0;

se

0 ≤ x < 1.

O espa¸co ( ] − 1, 1 [, d′ ) resulta completo, onde d′ (x, y) = D2 h(x), h(y) 1 1 = d(x, y) + − ϕ(x) ϕ(y) = |x − y| + |f (x) − f (y)|.

Por exemplo, tomemos em A = ] − 1, 1 [ , x =

1 2

ex=

3 4

d′ (x, y) = |x − y| + |f (x) − f (y)| 1 3 1 3 = − + f −f 2 4 2 4 9 1 = + |2 − 4| = = 2, 25. 4 4 462

então (eq. (8.24), p. 459)

Por outro lado

(aplica¸ca õ h′ , p. 459)

1 7−→ 2

1 1 ,f 2 2

3 7−→ 4

3 3 ,f 4 4

=

1 , 2 ∈ G(f ) 2

=

3 , 4 ∈ G(f ) 4

Então D2

1 1 3 3 , f( ) ; , f( ) 2 2 4 4

1 1 3 9 = − + 2 − 4 = + 2 = = 2, 25. 2 4 4 4

Ver gr´ afico anterior (` a direita).

Defini¸ c˜ ao 58. Definiremos um espa¸co métrico topologicamente completo como um espa¸co métrico (M, d) que é homeomorfo a um espa¸co métrico completo. Ou, de modo equivalente, tal que existe uma métrica d′ , equivalente a d, de maneira que (M, d′ ) seja completo.

Propriedade das celas encaixantes Diremos que uma sequência de intervalos In , n ∈ N, é encaixante se a cadeia de inclusões: I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ In+1 ⊃ · · · se verifica. Uma sequência de intervalos encaixantes n˜ ao tem necessariamente um ponto em comum. Por exemplo as sequências dadas por, In = [ n, +∞ [

e

s˜ ao encaixantes e, no entanto ∞ \

n=1

In = ∅

e

1 Jn = 0, n ∞ \

n=1

Jn = ∅.

Uma propriedade importante do espa¸co (R, µ) é que toda sequência encaixante de intervalos fechados tem um ponto comum (Propriedade das Celas a generalizada na pr´ oxima proposi¸cão Encaixantes). Esta propriedade ser´ (lema). Antes disto vejamos um exemplo espec´ıfico. Consideremos a sequência (Fn ) de conjuntos com termo geral dado por Fn = − n1 , n1 . Neste caso temos uma sequência encaixante F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · · 463

de subconjuntos fechados em (R, µ). Calculemos o diˆ ametro de Fn (uma vez que este se fará presente na hip´ otese da pr´ oxima proposi¸cão): diam Fn = sup d(x, y) : x, y ∈ Fn n 1 1 o = sup |x − y| : x, y ∈ − , n n

Ent˜ ao,

− n1 ≤ x ≤

1 n

− n1

1 n

≤y≤

− n1 ≤ x ≤

=⇒

1 n

− n1 ≤ −y ≤ +:

1 n

− n2 ≤ x − y ≤

2 n

2 n

⇒

|x − y| ≤

⇒

|x − y| ∈ 0,

Portanto,

2 n

2 2 diam Fn = sup 0, = n n h

− 21

−1

[ −1 3

··· y

0

···

diam F3 =2/3

]1

3

i

1 2

1

R

diam F2 =1 diam F1 =2

Observe que, lim diam Fn = lim

n→∞

E ainda,

T∞

n=1 Fn

n→∞

2 =0 n

= { 0 }.

Lema 7. Um espa¸co métrico (M, d) é completo se, e somente se, para toda sequência encaixante F1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ Fn+1 ⊃ · · · de subconjuntos fechados n˜ ao-vazios Fn ⊂ M , com lim diam Fn = 0, existe um u ńico ponto n→∞ a ∈ M tal que ∞ \ Fn = { a }. n=1

Prova: (=⇒) Seja (M, d) um espa¸co métrico completo e Fn uma sequência satisfazendo as hip´ oteses. Como os Fn s˜ ao n˜ ao vazios, para cada n ∈ N, escolhamos um ponto xn ∈ Fn . Deste modo obtemos uma sequência (xn ) de 464

pontos de M . Vamos mostrar que a sequência assim constru´ıda é de Cauchy. Dado ε > 0 como lim diam Fn = 0 existe um ´ındice n0 de modo que n→∞

∀ n ≥ n0 ⇒ |diam Fn − 0| < ε Então, diam Fn0 = sup d(x, y) : x, y ∈ Fn0 < ε

⇒ ∀ x, y ∈ Fn0 ⇒ d(x, y) ≤ diam Fn0 < ε

(8.25)

Como os conjuntos Fn s˜ ao encaixados para i < j ⇒ Fi ⊃ Fj . Logo, m ≥ n0

Fn0 ⊇ Fm

=⇒

Fn ⊇ Fn

n ≥ n0

como,

xm ∈ F m

0

xm , xn ∈ Fn0

=⇒

xn ∈ F n

logo se m, n ≥ n0 podemo garantir, por (8.25), que d(xm , xn ) < ε. Portanto (xn ) é de Cauchy. Perceba que é a hip´ otese de que os diˆ ametros dos conjuntos Fn tornamse arbitrariamente pequenos (isto é diam Fn → 0) que nos garante que escolhendo um ponto em cada conjunto, estes pontos tornam-se, a partir de uma certa ordem, arbitrariamente pr´ oximos uns dos outros (que é a condi¸cão para que (xn ) seja de Cauchy). (M, d)

··

·

Fn

F2 F1

Fm Fn 0

r

rxm

xn

r x2

rx1

m, n ≥ n0

Como (M, d) é completo temos que lim xn = a ∈ M . Considerando que a sequência (Fn ) é encaixada e tendo em conta a prop. 43 (p. 214), temos: 465

(prop. 12, p. 155)

F1 contém (xn )n≥1

⇒

lim xn = a ∈ F1

F2 contém (xn )n≥2 .. .

⇒

lim xn = a ∈ F2 .. .

Fk contém (xn )n≥k

⇒

lim xn = a ∈ Fk

onde k é um natural arbitrário. Conclusão:

∞ \

n=1

Fn = { a }.

´ precisamente neste ponto que necessitamos da hip´ E otese de que todos os Fn sejam fechados. Pois se um deles, digamos Fj , n˜ ao fosse fechado poderia ∞ \ Fn . ocorrer lim xn = a 6∈ Fj e portanto a 6∈ n=1

Vamos mostrar que este é o u ńico ponto da interseçcão. Suponha, ao ∞ \ Fn e b 6= a. Então d(a, b) > 0, tomando ε = d(a, b) > contr´ ario, que b ∈ n=1 T 0, vejamos o que acontece: como a, b ∈ Fn temos que ∀ n; a, b ∈ Fn ⇒ ε = d(a, b) ≤ diam Fn ⇒ ∀ n, ε ≤ diam Fn

o que iria contrariar (8.25)

(p. 465).

(⇐=) Reciprocamente, consideremos que a interseçcão de toda sequência encaixante de fechados n˜ ao vazios, cujos diˆ ametros tendem a zero, é um ponto de M . Provemos que (M, d) é completo. De fato, seja (xn ) uma sequência de Cauchy em (M, d), a partir desta sequência construimos uma sequência (Xn ) de conjuntos colocando Xn = { xn , xn+1 , . . . } para todo n natural. Sendo assim X1 ⊃ X2 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ Xn+1 ⊃ · · · , tendo em conta ¯ temos que (X ¯ n ) é uma sequência encaixante de que se A ⊂ B ⇒ A¯ ⊂ B fechados n˜ ao-vazios. Ademais temos que X1 ⊃ · · · ⊃ Xn ⊃ · · · ⇒ diam X1 ≥ · · · ≥ diam Xn ≥ · · · ≥ 0 consequentemente diam Xn é uma sequência decrescente de n´ umeros reais, limitada inferiormente por zero e, portanto, converge para zero (Nota p. 160). Tendo em conta ainda a proposi¸cão 41 (p. 211) podemos escrever ¯ n. 0 = lim diam Xn = lim diam X n→∞

n→∞

T¯ Logo, por hip´ otese, existe a ∈ M de modo que X n = { a }. Em partic¯ logo (prop. 42, p. 212) existe uma sequência (yn ) de pontos de ular a ∈ X 1 X1 = { x1 , x2 , x3 , . . . } com lim yn = a. Ora sendo assim (yn ) é, na verdade, uma subsequência de (xn ) e como (xn ) é de Cauchy segue (prop. 93, p. 413) que a = lim xn .

466

Exemplos: 1) No espa¸co (R, µ) considere Fn = [ n, +∞ [. Então F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , e cada Fn é fechado (complementar aberto) e n˜ ao vazio,

F1

x 0

1

2

F2

···

3

F3

Fn′

x

c

n′

R

T todavia ∞ e ilimitado superin=1 Fn = ∅. Com efeito, tendo em vista que N ´ ′ ′ ormente, dado qualquer c ∈ R, existe n de modo que n > c, por conseguinte c 6∈ Fn′ . Assim nenhum n´ umero real pode pertencer a todos os Fn . Mas isto n˜ ao contraria o lema 7 uma vez que os Fn n˜ ao cumprem lim diam Fn = 0. n→∞ 1 2) No espa¸co [ 0, 1 [, µ considere Fn = 0, n . Então F1 ⊃ F2 ⊃ · · · , e T lim diam Fn = 0 e ainda ∞ F = { 0 }. Mas [ 0, 1 [, µ n˜ ao é completo n=1 n n→∞

ao (por exemplo a sequência de termo geral xn = 1 − n1 é de Cauchy mas n˜ converge). Esta conclusão n˜ ao contraria o lema 7 uma vez que os Fn n˜ ao s˜ ao fecha dos no espa¸co [ 0, 1 [ , µ .

8.6

Teorema do Ponto Fixo de Banach

O Teorema do Ponto Fixo de Contra¸ co ˜es em Espa¸ cos M´ etricos Completos Vimos (p. 358) que toda fun¸c˜ ao cont´ınua f : [ a, b ] → [ a, b ] admite um ponto fixo, isto é, existe um ponto c ∈ [ a, b ] de modo que f (c) = c. Este resultado é um caso especial de um famoso resultado de Topologia, conhecido como o Teorema do Ponto Fixo de Brower cujo enunciado é o seguinte: Toda aplica¸c˜ ao cont´ınua cujo dom´ınio e o contradom´ınio s˜ ao iguais à bola unit´ aria fechada B[ 0; 1 ] =

u ∈ Rn : kuk ≤ 1

=B ∴

f : B ⊂ Rn → B ⊂ Rn

tem um ponto fixo, isto é, um ponto p ∈ B[ 0; 1 ] tal que f (p) = p. Além desse, existem outros teoremas sobre pontos fixos, como o teorema do ponto fixo de Banach que estudaremos agora. Proposi¸ c˜ ao 104 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Se (M, d) é um espa¸co métrico completo, ent˜ ao toda contra¸ca õ f : M → M tem precisamente um u ńico ponto fixo. 467

Prova: Construiremos uma sequência (xn ) e mostraremos que ela é de Cauchy e, assim, converge no espa¸co completo (M, d). Em seguida mostraremos que o limite de (xn ) é o u ńico ponto fixo de f . Esta é a idéia da prova. Inicialmente escolhemos qualquer ponto x0 ∈ M e definimos uma sequência recursiva (xn ) por x1 = f (x0 ), x2 = f (x1 ), x3 = f (x2 ), . . . , xn+1 = f (xn ), . . . Mostremos que (xn ) é de Cauchy. Da defini¸cão de contra¸cão (8.26) podemos escrever d(xm+1 , xm ) = d f (xm ), f (xm−1 )

(8.26)

(p. 257)

e de

≤ α d(xm , xm−1 )

= α d f (xm−1 ), f (xm−2 )

≤ α2 d(xm−1 , xm−2 )

= α2 d f (xm−2 ), f (xm−3 ) ≤ α3 d xm−2 , xm−3

........................ ≤ αm d(x1 , x0 ) pela desigualdade triangular generalizada

(p. 44) M

• xm

• xn • xm+1

... • xm+2

• xn−1

obtemos (para n > m) d(xm , xn ) ≤ d(xm , xm+1 ) + d(xm+1 , xm+2 ) + · · · + d(xn−1 , xn ) ≤ αm + αm+1 + · · · + αn−1 d(x0 , x1 ) = αm ·

1 − αn−m d(x0 , x1 ) 1−α

onde usamos a fórmula da soma dos termos de uma progressão geométrica. Da desigualdade 0 < α < 1 decorre que∗ 1 − αn−m < 1. Por conseguinte, 1 − αn−m 1 1 − αn−m 1 < ⇒ αm · d(x0 , x1 ) < αm · d(x0 , x1 ) 1−α 1−α 1−α 1−α ∗

Se 0 < c < 1 e n ≥ m ent˜ ao 0 < cn ≤ cm < 1.

468

isto é d(xm , xn ) <

αm d(x0 , x1 ) 1−α

(n > m)

(8.27)

Temos que 0 < α < 1 e d(x0 , x1 ) s˜ ao constantes (n˜ ao dependem de m), sendo assim podemos tornar o lado direito tão pequeno quanto desejarmos, bastando para isto tomar m suficientemente grande. Isto prova que (xn ) é de Cauchy. Sendo (M, d) completo, (xn ) converge, digamos, xn → p. Mostraremos que o limite p é o ponto fixo da aplica¸cão f . Da defini¸c˜ ao de contra¸c˜ ao e da desigualdade triangular M

p•

• f (p)

• xn

decorre que d p, f (p) ≤ d(p, xn ) + d xn , f (p)

= d(p, xn ) + d f (xn−1 ), f (p)

≤ d(p, xn ) + α d(xn−1 , p)

podemos tornar esta u ´ltima soma menor que qualquer ε > 0 prefixado porquanto∗ xn → p. Sendo assim concluimos que d p, f (p) = 0, ou ainda, p = f (p); isto é, p é um ponto fixo de f . p é o u ńico ponto fixo de f porque de f (p) = p e f (q) = q obtemos

portanto

d(p, q) = d f (p), f (q) ≤ α d(p, q) d(p, q) · (1 − α) ≤ 0 ⇒ d(p, q) ≤ 0

visto que α < 1. Por conseguinte, p = q e o teorema est´ a provado.

Corol´ ario 33 (Itera¸c˜ oes, limite superior para o erro). Sob as condi¸co ˜es da proposi¸ca õ 104 a sequência iterativa (8.26) com x0 ∈ M arbitr´ ario converge para o u ńico ponto fixo p de f . O erro cometido ao se tomar o m−ésimo iterado xm como um valor aproximado para o ponto fixo p tem como limite superior αm d(x0 , x1 ) (8.28) d(xm , p) ≤ 1−α ∗


469

´ imediato da desigualdade (8.27) fazendo n → ∞. Prova: E Esta desigualdade pode ser usada para uma estimativa do n´ umero de itera¸c˜ oes necessário, para se atingir uma precisão a priori fixada. Ami´ ude acontece de uma aplica¸cão n˜ ao ser uma contra¸cão no espa¸co inteiro (M, d), mas sim em um seu subespa¸co (N, d). Contudo, se (N, d) é fechado, ele é completo pela proposi¸cão 96 (p. 423), sendo assim f tem um ponto fixo p em N , e com uma escolha apropriada de x0 teremos xn → p como anteriormente. Um t´ıpico e u ´til resultado deste gênero é como segue Corol´ ario 34. Seja f uma aplica¸ca õ de um espa¸co métrico completo (M, d) sobre si mesmo. Suponha que f é uma contra¸ca õ sobre uma bola fechada N = x ∈ M : d(x, x0 ) ≤ r , isto é, f satisfaz d f (x), f (y) ≤ α d(x, y) (α < 1) para todo x, y ∈ N . Ademais, assuma que d x0 , f (x0 ) < (1 − α) r. (8.29)

Ent˜ ao a sequência iterativa (8.26) converge para um ponto p ∈ N . Este p é um ponto fixo de f e é o u ńico ponto fixo de f em N . Prova: Tomando m = 0 na equa¸cão (8.27) temos d(x0 , xn ) <

1 d(x0 , x1 ) 1−α

(n > 0)

usando (8.29) chegamos a d(x0 , xn ) < r

(n > 0)

consequentemente todos os termos da sequência (xn ) moram na bola N . Também p ∈ N visto que xn → p e N é fechado. A asser¸cão do corol´ ario segue agora da prova do teorema de Banach. ∗

∗

∗

N˜ ao creio que devo gastar anos estudando o trabalho dos outros, decifrando um campo complicado para poder contribuir com um pequeno aporte meu. Prefiro dar largas passadas numa dire¸ca õ totalmente nova, em que a imagina¸ca õ é, pelo menos, inicialmente, muito mais importante do que a técnica, porque suas técnicas correspondentes têm ainda de ser desenvolvidas. [. . .] Lembre-se que a matem´ atica é uma livre cria¸ca õ da mente humana e, como disse Cantor − o inventor da moderna teoria da infinitude, descrita por Wallace −, a essência da matem´ atica reside na liberdade, na liberdade de criar. A hist´ oria, porém, julga essas cria¸co ˜es por sua beleza duradoura e pela extens˜ ao com que elas iluminam outras ideias matem´ aticas ou o universo f´ısico, em suma, por sua “fertilidade”. (Gregory Chaitin/Matem´ atico e cientista da computa¸ca õ)

470

Apˆ endice: Vamos mostrar que d′ ∼ d onde d′ (x, y) = D h(x), h(y) . (p. 456) ′ Mostraremos inicialmente que a identidade i : (M, d) → (M, d ) é cont´ınua. Dados a ∈ M e ε > 0 devemos mostrar que existe δ > 0 de modo que: d(x, a) < δ ⇒ d′ i(x), i(a) < ε

isto é,

d(x, a) < δ ⇒ d′ x, a < ε

a

r

(M, d)

i

xr

(8.30)

ri(a)

(M, d′ )

ri(x)

Pois bem, como h é homeomorfismo (portanto cont´ınua) para todo ε > 0 dado existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ ⇒ D h(x), h(a) < ε a

r

xr

(M, d)

(N, D)

h

rh(a)

rh(x)

Portanto, d(x, a) < δ ⇒ d′ x, a = D h(x), h(a) < ε.

Este δ nos serve em (8.30). Agora vamos mostrar que a identidade i : (M, d′ ) → (M, d) é cont´ınua. Dados a ∈ M e ε > 0 devemos mostrar que existe δ > 0 de modo que:

isto é, ou ainda,

d′ (x, a) < δ ⇒ d i(x), i(a) < ε d′ (x, a) < δ ⇒ d x, a < ε d′ (x, a) = D h(x), h(a) < δ ⇒ d x, a < ε 471

(8.31)

a

r

(M, d′ )

ri(a)

i

xr

(M, d)

ri(x)

Pois bem, como h é homeomorfismo (portanto h−1 é cont´ınua)

a

r

(M, d)

(N, D)

rh(a)

h

xr

rh(x)

h−1

h−1 é cont´ınua no ponto h(a), logo dado ε > 0 existe δ0 > 0 de modo que (N, D)

(M, d)

rh(a)

Ou ainda,

rεa

h−1

rh(x)

δ0

h−1 (h(a))

D h(x), h(a) < δ0 ⇒ d h−1 h(x) , h−1 h(a) < ε d′ (x, a) = D h(x), h(a) < δ0 ⇒ d(x, a) < ε.

Portanto em (8.31) é suficiente tomar δ = δ0 . ∗

∗

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472

∗

8.7

Exerc´ıcios

1) Verifique se as sequências (xn ) definidas abaixo s˜ ao sequências de Cauchy: a ) xn = b ) xn =

1 n2 em (Q, µ); 1 n + 1 em (Q, µ);

1 em (] 0, 1 ], µ); n2 1 xn = n2 em ([ 0, 1 [, k); xn = n12 em (] 0, 1 ], δ); 1 xn = n + 1 em (] 0, 1 ], δ);

c ) xn = d) e) f)

g ) xn =

( n−1

h ) xn =

( n−1

n

1 n

n

1 n

se n é ´ımpar; se n é par. se n é ´ımpar; se n é par.

em ([ 0, 1 [, µ);

em ([ 0, 1 [, k).

2) Sejam (xn ) e (yn ) sequências num espa¸co (M, d) tais que lim d(xn , yn ) = 0

n→∞

Mostre que xn é de Cauchy se, e somente se, yn o for. 3) Seja (xn ) uma sequência de Cauchy num espa¸co (M, δ). Mostre que (xn ) é estacion´ aria. 4) Dê um exemplo de duas sequências de Cauchy (xn ) e (yn ) com lim d(xn , yn ) = 1

n→∞

tais que uma delas seja de Cauchy e a outra n˜ ao. 5) Seja V um espa¸co vetorial normado sobre R. Se (xn ) e (yn ) s˜ ao sequências de Cauchy em V e se λ ∈ R, prove que as sequências (xn + yn ) e (λ xn ) também s˜ ao sequências de Cauchy em V. 6) Se (xn ) e (yn ) s˜ ao sequências de Cauchy em R mostre que (xn yn ) é também uma sequência de Cauchy em R. 7) Se (M, d) é um espa¸co métrico tal que M é finito, mostre que (M, d) é completo. 8) Mostre que o espa¸co (M, d) é completo, onde: 1 1 o n 1 1 e d(x, y) = − M = 1, , , . . . 2 3 x y 9) Mostre que o espa¸co (M, d) n˜ ao é completo, onde: o n 1 1 e d(x, y) = |x − y| M = 1, , , . . . 2 3 473

10) Considere o espa¸co vetorial C[0, 2], +, · , onde:

(p. 101)

C[0, 2] = { f : [ 0, 2 ] −→ R / f cont´ınua } R2 com o produto inerno h f, g i = 0 f · g. Mostre que este n˜ ao é um espa¸co de Hilbert. Sugest˜ ao: Considere a sequência fn : [ 0, 2 ] −→ R dada por   1 se x ≤ 1;    fn = −nx + n + 1 se 1 < x < 1 + n1 ;     0 se x ≥ 1 + n1 .

11) Se X e Y s˜ ao subespa¸cos completos de (M, d) mostre que X ∪ Y é completo.

12) Considere o seguinte subespa¸co de (R2 , D1 ) o n 1 1 e y = 0 ou y = onde m, n ∈ N N = (x, y) ∈ R2 : x = 0 ou x = n m Perguntamos se N é um subespa¸co completo ou n˜ ao.

13) Mostre que f : (R, µ) −→ (R, µ) definida por f (x) = 2 + x/3 é uma contra¸c˜ ao e, ademais, encontre as sequências definidas por f n (0) e f n (1), ache os respectivos limites. 14) Seja (M, d) um espa¸co métrico e (xn ) e (yn ) sequências de Cauchy em M , mostre que d(xn , yn ) converge. 15) Mostre que o conjunto M de todos os inteiros com a métrica d definida por d(m, n) = |m − n| é um espa¸co métrico completo. 16) Mostre que o conjunto M de todos os inteiros positivos com a métrica d definida por d(m, n) = |m−1 − n−1 | n˜ ao é um espa¸co métrico completo. 17) Mostre que o subespa¸co N ⊂ C[ 0, 1 ] consistindo das fun¸cões f ∈ C[ 0, 1 ] tais que f (0) = f (1) é completo. 18) Mostre que que a sequência (fn ) dada por  n, 0 ≤ x ≤ n12 ; fn (x) =  √1 , 1 ≤ x ≤ 1. x

n2

é uma outra sequência de Cauchy em C[ 0, 1 ], Γ .

(p. 419)

19) Mostre que a sequência do exerc´ıcio anterior n˜ ao converge. 20) Se (M, d) é completo, mostre que (M, d˜), onde d˜ = d/(1 + d), é completo. 474

Cap´ıtulo

9

´ ESPAC ¸ OS METRICOS COMPACTOS Até ent˜ ao a ciência se caracterizara por duas abordagens. “Aqueles que trataram de ciência foram ou homens de experimento ou homens de dogma. Os homens de experimento s˜ ao como a formiga; apenas colhem e usam; os raciocinadores assemelham-se a aranhas, que fazem teias com sua pr´ opria substˆ ancia. Mas a abelha adota o meio-termo; colhe seu material das flores do jardim e do campo, mas o transforma e digere por um poder que lhe é pr´ oprio.” ( Paul Strathern/“O sonho de Mendeleiev”) Mais um importante conceito que importaremos da an´ alise real para o contexto dos espa¸cos métricos é o de conjunto compacto. Iniciamos pela Defini¸ c˜ ao 59 (Cobertura). Sejam (M, d ) um espa¸co métrico e X ⊂ M . Uma cobertura de X é uma fam´ılia C = {Cλ }λ∈L de subconjuntos de M tal que [ X⊂ Cλ λ∈L

Se cada Cλ for um conjunto aberto em M , diremos que C é uma cobertura aberta de X. Se existir L′ ⊂ L tal que [ X⊂ Cλ λ∈L′

diremos que C ′ = {Cλ }λ∈L′ , é uma subcobertura de C para X. Quando L′ é um subconjunto pr´ oprio de L, diz-se que C ′ é uma subcobertura pr´ opria de C. Quando o conjunto L é finito, diz-se que C é uma subcobertura finita.

475

Exemplos: 1) Sejam o espa¸co ( R, µ) e X =

1

2 3, 3

, a fam´ılia C = { C1 , C2 , C3 , C4 }:

2 1 5 2 3 2 , , ,1 , C1 = 0, , C2 = , C3 = , C4 = 4 4 8 4 4 4 constitue uma cobertura de X. De fato, 1 2 , ⊂ 3 3

[

Cλ

λ ∈ L = { 1, 2, 3, 4 }

Veja a geometria

X 1 3

0

2 3

C1 0

q1

q2

4

4

C2

1

q3

1

4

C3

C4

Da cobertura C podemos retirar duas subcoberturas: [ 1 2 , ⊂ Cλ 3 3 ′ λ ∈ L = { 1, 4 }

e

1 2 , ⊂ 3 3

[

λ ∈ L′′

Cλ

= { 2, 3 }

Observe que C n˜ ao é uma cobertura aberta, enquanto C ′′ = {C2 , C3 } é uma subcobertura aberta. 2) Consideremos o espa¸co ( X, µ), onde X = n1 : n ∈ N ∪ { 0 }. No exemplo e (p. 130) vimos que todos os pontos de X, à exce¸cão do 0, s˜ ao isolados. Isto significa que para cada ponto de X, à exce¸cão do 0, existe um rn > 0 de modo que Bµ ( n1 ; rn ) = { n1 }. Sendo assim [ 1 X⊂ Bµ ; rn ∪ { 0 } n n∈N

Observe que a cobertura 1 C = Bµ ; rn ∪ {0} n n∈N

n˜ ao admite subcobertura pr´ opria. De fato, se omitirmos qualquer bola, o centro da mesma fica “descoberto”. E mais: C s´ o n˜ ao é uma cobertura aberta devido a que { 0 } n˜ ao é um conjunto aberto em ( X, µ). 476

9.1

Compacidade

Defini¸ c˜ ao 60 (Compacidade). Um espa¸co métrico (M, d ) ser´ a dito compacto quando toda cobertura aberta de M possuir uma subcobertura finita. Um subconjunto K ⊂ M ser´ a dito compacto quando o subespa¸co (K, d ) for compacto. Logo, K ⊂ M é compacto quando de toda cobertura [ K⊂ A′λ λ∈L

por meio de abertos A′λ em (K, d ) se pode extrair uma subcobertura finita. Acontece que∗ , para cada λ ∈ L, A′λ = Aλ ∩ K, onde Aλ é aberto em (M, d ). Sendo assim, [ [ [ K⊂ ⇔ K⊂ A′λ Aλ ∩ K ⇔ K⊂ Aλ λ∈L

λ∈L

λ∈L

Em resumo, o subconjunto K ⊂ M é compacto se, e somente se, de toda cobertura K ⊂ ∪Aλ , por abertos Aλ em (M, d ), se pode extrair uma subcobertura finita K ⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn . 1 Observe que, segundo a defini¸c˜ ao, para demonstrar que um conjunto M é compacto, devemos considerar uma cole¸cão arbitrária de abertos cuja uni˜ ao contenha M e mostrar que M est´ a contido na uni˜ ao de alguma subcole¸cão finita de tal cole¸c˜ ao. Por outro lado, para mostrar que um conjunto M n˜ ao é compacto, é suficiente exibir uma cobertura aberta que n˜ ao possa ser substitu´ıda por uma subcole¸c˜ ao finita que ainda cubra M . Exemplos: 1) O subconjunto I = [ 0, 1 ] é compacto no espa¸co (R, µ) mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). Mostremos inicialmente a segunda destas assertivas. J´ a vimos que todo n´ umero real é isolado no espa¸co (R, δ). Por exemplo dado p ∈ [ 0, 1 ] temos Bδ (p; 1) = { p }. Portanto [ [ 0, 1 ] ⊂ Bδ ( p; 1) p∈I

e a cobertura aberta

Bδ (p; 1)

p∈I

n˜ ao admite subcobertura finita.

A bem da verdade, se retirarmos uma u ńica bola desta cole¸caõ, a subfam´ılia restante n˜ ao ser´ a mais uma cobertura do intervalo [ 0, 1 ]. A primeira das assertivas anteriores sai como um caso especial da seguinte: ∗

Ver proposi¸c˜ ao 24, p. 193.

477

Proposi¸ ao 105 (Teorema de Heine-Borel). Se F ⊂ R é fechado e limitado c˜ ao existe uma subcobertura e C = Cλ é uma cobertura aberta de F , ent˜ finita de F . Prova: Assumiremos que nenhum subconjunto finito de C cobre F e mostraremos que isto leva a uma contradi¸cão. De fato, visto que F é limitado, existe um n´ umero c > 0 tal que F ⊂ [ −c, c ]. Consideremos os dois intervalos [ −c, 0 ] e [ 0, c ]; ao menos um desses intervalos deve conter uma parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de conjuntos de C (do contr´ ario se C ′ ⊂ C é finito e cobre a parte de F em [ −c, 0 ] e C ′′ ⊂ C é finito e cobre a parte de F em [ 0, c ], então C ′ ∪ C ′′ é finito e cobre F , contradizendo nossa hip´ otese). Seja I0 um dos intervalos [ −c, 0 ] ou [ 0, c ], aquele que tem a propriedade de conter a parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de subconjuntos de C. Agora vamos dividir I0 em dois intervalos fechados e de igual comprimento; ao menos um desses intervalos deve conter uma parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de conjuntos de C. Chamemos um tal intervalo de I1 . Agora, dividamos I1 em dois intervalos fechados e de igual comprimento e seja I2 um desses intervalos que tem a propriedade de conter a parte de F que n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de subconjuntos de C. Continuando este processo indefinidamente, obtemos uma sequência de intervalos fechados I0 ⊃ I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⊃ In ⊃ · · · com a propriedade de que o comprimento de Ik é c/2k e a parte de F em Ik n˜ ao pode ser coberta por um n´ umero finito de subconjuntos de C; isto para cada k = 0, 1, 2, 3, . . .. Pelo teorema dos intervalos encaixados ([AR] 13, p. 604) existe um u ńico ponto µ comum a cada um dos intervalos fechados Ik . Mostremos que µ é um ponto de acumula¸cão de F . Seja ε > 0 arbitrariamente fixado. Escolhamos um natural n de modo que c/2n < ε. Então o comprimento de In , isto é c/2n , é menor que ε, e tendo em conta que µ ∈ In , segue que In ⊂ B(µ; ε) (isto é, In ⊂ ] µ − ε, µ + ε [ ). Mas In contém infinitos pontos de F (se F ∩ In fosse finito então certamente deveria ser coberto por um n´ umero finito de elementos de C, contrariando uma propriedade dos Ik ), por conseguinte existe um x ∈ F com x 6= µ e |x − µ| < ε. Portanto µ é um ponto de acumula¸c˜ ao de F . Sendo F fechado, resulta que µ ∈ F . Agora, visto que C é uma cobertura aberta de F , existe um Cλ ∈ C 0 tal que µ ∈ Cλ . Sendo Cλ um conjunto aberto existe um ǫ > 0 tal que 0 0 B(µ; ǫ) ⊂ Cλ . Como feito anteriormente, escolhamos um ´ındice m de modo 0 a coberto por um n´ umero que Im ⊂ B(µ; ǫ). Ent˜ ao Im ⊂ Cλ ; isto é, Im est´ 0 finito (no caso um u ńico) de conjuntos de C, e claramente a parte de F em Im est´ a coberto por um n´ umero finito de conjuntos de C. Isto contradiz uma das propriedades de constru¸cão da sequência (Ik ) de intervalos fechados. Por conseguinte nossa hip´ otese de que nenhum subconjunto finito de C cobre F conduz a uma contradi¸cão, e isto estabelece a proposi¸cão.

478

2) O conjunto Y = n1 : n ∈ N = 1, 12 , 31 , . . . n˜ ao é compacto no espa¸co (R, µ). Para se convencer disto, basta o leitor rever exemplo 2. (p. 476) 1 3) O conjunto X = n : n ∈ N ∪ { 0 } = 0, 1, 21 , 13 , . . . é compacto no espa¸co ( R, µ). De fato, seja C = {Cλ }λ∈L uma cobertura aberta de X. Sendo assim 0 pertence a um dos membros desta cole¸cão, digamos 0 ∈ Cλ . 0 Existe um intervalo aberto centrado em 0 satisfazendo 0 ∈ ] 0 − r, 0 + r [ ⊂ Cλ ] s rrrr[rrrrrrrrrrr r r r 1r

−r

0

r

...

4

r

0

r

r

1 2

1 3

1

X

Qualquer que seja o intervalo aberto centrado em 0, dentro do mesmo teremos infinitos termos de X e, fora do mesmo, teremos sempre um n´ umero finito de termos de X. Consequentemente quase todos os pontos de X (à exce¸c˜ ao poss´ıvel de um n´ umero finito) pertencem ao aberto Cλ . Por 0 conseguinte X é coberto por um n´ umero finito de abertos da cole¸cão C. 4) Todo conjunto finito é compacto. De fato, seja [ { x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ Aλ λ∈L

onde os Aλ s˜ ao abertos. Pelas defini¸cões de inclusão e uni˜ ao de fam´ılias de subconjuntos (p. 597) existem λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ L tais que x1 ∈ Aλ , x2 ∈ Aλ , . . . , xn ∈ Aλn . 1

2

Por conseguinte, { x1 , x2 , . . . , xn } ⊂ Aλ ∪ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn . 1

2

5) Um espa¸co discreto e compacto é finito e, reciprocamente. Prova: (⇒) Seja (M, d) um espa¸co discreto e compacto. Dado p ∈ M existe rp > 0 de modo que B(p; rp ) = { p }. Por ser (M, d) compacto, da cobertura aberta [ M⊂ B(p; rp ) p∈M

podemos extrair uma subcobertura finita, o que prova que M é finito. (⇐) Sai do exemplo 4 acima, juntamente com a proposi¸cão 7

(p. 133).

A contrapositiva da proposi¸c˜ ao anterior fica assim: ¯ : Se M é infinito então (M, d) ou n˜ T¯ −→ H ao é discreto ou n˜ ao é compacto.

479

6) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se K, L ⊂ M s˜ ao subconjuntos compactos, ent˜ ao K ∪ L é compacto. S De fato, se K ∪ L ⊂ Aλ (cada Aλ é aberto) decorre que K ⊂ Aλ e L ⊂ Aλ , da´ı K ⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn

e

1

L ⊂ Aλ′ ∪ · · · ∪ Aλ′

m

1

Portanto, K ∪ L ⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn ∪ Aλ′ ∪ · · · ∪ Aλ′ . 1

1

m

Por indu¸c˜ ao, segue que a reunião de um n´ umero finito de compactos é compacta. Agora, uma reunião infinita de compactos pode n˜ ao ser compacta. De fato, todo conjunto é reunião de seus pontos, os quais s˜ ao compactos. (ex. 4, p. 479) Proposi¸ c˜ ao 106. Todo subconjunto fechado de um espa¸co métrico compacto é compacto. Reciprocamente, um subconjunto compacto de qualquer espa¸co métrico é fechado. Prova: (⇒) Suponha ̥ ⊂ M um subconjunto fechado do espa¸co compacto (M, d). Seja [ ̥⊂ Aλ λ∈L

onde cada Aλ é aberto. Sendo assim, podemos escrever [ M⊂ Aλ ∪ ̥c λ∈L

Como ̥c é aberto e M é compacto, existem λ1 , . . . , λn ∈ L tais que M ⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn ∪ ̥c 1

Como ̥ e ̥c n˜ ao têm pontos em comum, segue que ̥ ⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn 1

e ̥ resulta compacto. ∗ (⇐) Reciprocamente, suponha ̥ ⊂ M um subconjunto compacto de um espa¸co arbitrário (M, d). Admitindo ̥ n˜ ao fechado em (M, d) deveremos mostrar que ̥ n˜ ao é compacto. Para isto é suficiente exibir uma cobertura aberta que n˜ ao possa ser substitu´ıda por uma subcole¸cão finita que ainda cubra ̥. Passemos ¯ e a constru¸c˜ ` ao de tal cobertura: sendo ̥ n˜ ao fechado decorre que ̥ 6= ̥, ∗

Faremos uso da técnica (T-1) (p. 570).

480

¯ resulta que existe x ∈ ̥ ¯ tal que x 6∈ ̥, isto é, existe x ∈ ̥ ¯ − ̥. como ̥ ⊂ ̥ Para cada n ∈ N fa¸camos 1 An = M − B x; n Vamos agora mostrar que An é uma cobertura aberta de ̥, isto é, que n∈N [ ̥⊂ An n∈N

Nota: Para ver que os An = y ∈ M : d(y, x) > n1 s˜ ao abertos, ver o exemplo (iv) (p. 261) no qual x = a e corol´ ario 12 (p. 282). De fato, seja y ∈ ̥, como x 6∈ ̥ segue que x 6= y. Logo d(x, y) > 0. Portanto, nos valendo de Arquimedes, obtemos um ´ındice n0 ∈ N de modo que n1 < d(x, y). Sendo d(x, y) > n1 resulta que y 6∈ B x; n1 , portanto 0 0 0 y ∈ M − B x; n1 , isto é 0 [ [ 1 ⇒ ̥⊂ y∈ An . M − B x; n n∈N

n∈N

¯ ̥ ̥

s

x

¯ ̥ 1

̥ B[ x; 1 ]

(M, d)

(M, d)

(M, d)

s s

y x

s s

¯ ̥ 1

y x

̥

B[ x; n1 ] 0

Agora mostremos que nenhuma subcole¸cão finita de An ¯ temos que De fato, como x ∈ ̥,

n∈N

cobre ̥:

∀ ε > 0 ⇒ B(x; ε) ∩ ̥ 6= ∅. Isto é, toda bola aberta B x; n1 ⊂ B x; n1 contém algum ponto de ̥. Logo, o ponto de ̥ que pertence ` a bola B x; n1 n˜ ao pertence ao conjunto 1 An = M − B x; n . Ou seja, para todo n natural (n = 1, 2, 3, . . .), An n˜ ao contém algum ponto de ̥. Esta conclusão, por o, n˜ ao é suficiente si s´ para garantir que nenhuma subcole¸cão finita de An cubra ̥ (por quê?). n∈N Pois bem, temos que A1 ⊂ A2 ⊂ A3 ⊂ · · · Sendo An ⊂ An+1 a reunião de qualquer cole¸cão finita An1 ∪ An2 ∪ · · · ∪ An

k

é igual ao conjunto com maior ´ındice da cole¸cão. 481

Tomando nj = max{ n1 , . . . , nk }, temos que An contém todos os conj juntos da subcole¸c˜ ao finita. Mas, como já vimos, An (n = 1, 2, 3, . . .) n˜ ao contém algum ponto de ̥. Isto é, algum ponto de ̥ est´ a ausente de An , j portanto nenhuma subcole¸cão finita pode cobrir ̥. Exemplos: 1) O conjunto ̥ = 0, 1, 21 , 13 , . . . é compacto. De fato, ̥ é um subconjuto fechado do compacto [ 0, 1 ] (ver Comentário, p. 206). Ver ainda exemplo 3, p. 479. 2) Vimos (p. 400) que o conjunto de Cantor é fechado no subespa¸co compacto ([ 0, 1 ], µ), portanto este conjunto é compacto. 3) A proposi¸c˜ ao anterior também nos diz porque o subconjunto ] 0, 1 [ n˜ ao é compacto no espa¸co (R, µ): porque n˜ ao é um subconjunto fechado. Corol´ ario 35 (A Interse¸ cão de Compactos é Compacta). Seja (M, d ) um uma fam´ılia de subconjuntos compactos. Ent˜ ao, espa¸co métrico e Kλ λ∈L

K=

\

Kλ

λ∈L

é compacto. Prova: De fato, pela proposi¸cão 106, cada Kλ é fechado em (M, d ), logo, pelo teorema 32 (p. 203), K é fechado em (M, d ) e, portanto em (Kλ , d ) (corol. 4, (p. 208)) novamente, pela proposi¸cão 106, K resulta compacto. Proposi¸ c˜ ao 107 (Todo Compacto é Limitado). Seja (M, d ) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M é compacto ent˜ ao K é limitado. Prova: Seja K ⊂ M compacto. Para cada x ∈ K ponhamos Ax = B(x; 1). Ent˜ ao Ax é uma cobertuta aberta de K. Sendo K compacto existem x∈K x1 , x2 , . . . , xn ∈ K tais que K ⊂ Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn . Como cada Ax é i limitado, a reunião finita ( (P6 ), p. 127) Ax1 ∪ Ax2 ∪ · · · ∪ Axn também é limitada, resultando K limitado. Das duas u ´ltimas proposi¸cões concluimos:

Proposi¸ c˜ ao 108 (Todo Compacto é Fechado e Limitado). Seja (M, d ) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M é compacto ent˜ ao K é fechado e limitado. A contrapositiva desta proposi¸cão é a Proposi¸ c˜ ao 109. Seja (M, d ) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M n˜ ao é fechado ou limitado ent˜ ao K n˜ ao é compacto. 482

A rec´ıproca da proposi¸c˜ ao 108 n˜ ao vale em geral. Vejamos dois contraexemplos: a) Vejamos um exemplo de um subconjunto limitado e fechado, mas n˜ ao compacto: O subconjunto [ 0, 1 ] ⊂ R é limitado e fechado mas n˜ ao compacto no espa¸co (R, δ). (ex. 1, p. 477) b) Considere o espa¸co ℓ 2 , +, · e os seguintes elementos de ℓ 2 : δ1 = (1, 0, 0, 0, 0, . . .)

δ2 = (0, 1, 0, 0, 0, . . .) .. . δk = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) .. k-´ esima posi¸ca õ. . Isto é, δn tem todas as coordenadas nulas, exceto a n-ésima que vale 1. Fa¸camos ̥ = { δ1 , δ2 , δ3 , . . .}. Temos δm = ( 0, 0, . . . , 0, 1, 0, 0, . . .) δn = ( 0, 0, . . . , 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . .) ⇓

δm − δn = ( 0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, −1, 0, . . .) Sendo assim, v u∞ uX d(δm , δn ) = kδm − δn k = t (δmi − δni )2 i=1

=

=

p √

02 + · · · + 02 + 12 + 02 + · · · + 02 + (−1)2 + · · ·

2.

Sempre que m 6= n. Sendo assim, temos

√ diam(̥) = sup d(x, y) : x, y ∈ ̥ = 2

e ̥ resulta limitado.

Sendo (δn ) uma sequência de Cauchy em ̥, dado ε > 0 arbitrário, existe um ´ındice n0 tal que ∀ m, n ≥ n0 ⇒ d(δm , δn ) < ε 483

De d(δm , δn ) =

(√

2,

se m 6= n;

0,

se m = n.

(9.1)

decorre que toda sequência de Cauchy em ̥ é constante a partir de algum ´ındice. Sendo assim, toda sequência (δn ) de pontos de ̥ que converge em ℓ2 é constante a partir de algum ´ındice n0 , isto é δn0 = δn

0 +1

= δn

0 +2

= ···

e portanto lim δn = δn0 ∈ ̥. Logo ̥ é completo e, pela prop. 96 n fechado. Todavia ̥ n˜ ao é compacto pois a cobertura aberta ∞ [ ̥⊂ B(δk ; 1)

(p. 423),

k=1

n˜ ao possui cobertura finita. Observe que B(δk ; 1) = δn ∈ ̥ : d(δn , δk ) < 1 = { δk }, devido a (9.1).

De outro modo: Observe que o subespa¸co métrico (̥, d) é infinito e discreto, por conseguinte, n˜ ao pode ser compacto (ver a contrapositiva da proposi¸c˜ ao dada no exemplo 5, p. 479). Proposi¸ c˜ ao 110 (Imagem Cont´ınua de compactos). A imagem de um conjunto compacto por uma aplica¸ca õ cont´ınua é compacta. Prova: Seja K ⊂ M um conjunto compacto e f : M → N cont´ınua. Mostraremos que f (K) ⊂ N é compacto. Seja, [ f (K) ⊂ Aλ λ∈L

uma cobertura aberta de f (K). Como f é cont´ınua, Bλ = f −1 Aλ é aberto para todo λ ∈ L (prop. 62, p. 279). Respaldados nas proposi¸cões 134 (p. 595) e 140 (p. 599) (´ıtem (iii)) podemos escrever [ [ [ f (K) ⊂ Aλ ⇔ K ⊂ f −1 Aλ ⇒ K⊂ f −1 (Aλ ) λ∈L

λ∈L

λ∈L

Portanto K ⊂ ∪Bλ . Como K é compacto, existem λ1 , . . . , λn tais que K ⊂ Bλ ∪ · · · ∪ Bλ n . 1

Logo

(prop.’s 132, p. 592 e 140, p. 599)

f (K) ⊂ f Bλ ∪ · · · ∪ Bλn 1 = f Bλ ∪ · · · ∪ f Bλ n 1

⊂ Aλ ∪ · · · ∪ Aλn 1

sendo assim f (K) resulta compacto. 484

Corol´ ario 36. Se (M, d) e (N, d) s˜ ao espa¸cos métricos homeomorfos ent˜ ao (M, d) é compacto se, e somente se, (N, d) o for. Segue-se que a compacidade é um invariante topológico. Corol´ ario 37. O c´ırculo S 1 = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1 é compacto. Prova: De fato, a fun¸c˜ ao

f : R → R2 dada por f (t) = (cos t, sin t) é cont´ınua, [ 0, 2π ] é compacto e, ademais, f [ 0, 2π ] = S 1 .

Corol´ ario38. Todo caminho f : [ 0, 1 ] −→ M em um espa¸co espa¸co métrico é compacto, por ser a imagem do compacto [ 0, 1 ]. Em particular, num espa¸co vetorial normado, todo segmento de reta [ a, b ] = x = (1 − t) a + t b ∈ E : 0 ≤ t ≤ 1

é um conjunto compacto por ser a imagem do compacto [ 0, 1 ] pela aplica¸ca õ cont´ınua dada por f (t) = (1 − t) a + t b. De fato, f [ 0, 1 ] = f (t) : t ∈ [ 0, 1 ] = (1 − t) a + t b : t ∈ [ 0, 1 ] = [ a, b ]. Corol´ ario 39. Se (M, d) é compacto, toda aplica¸ca õ cont´ınua f : M → N é fechada, isto é, F ⊂ M fechado ⇒ f F ⊂ N fechado. Prova: De fato,

F ⊂ M fechado ⇒ F compacto ⇒ f F

⇒ f F

compacto fechado em (N, d′ ).

Corol´ ario 40. Se (M, d) é compacto, toda bije¸ca õ cont´ınua f : M → N é um homeomorfismo. Prova: Por hip´ otese f : (M, d) → (N, d′ ) é cont´ınua. Devemos mostrar −1 que g = f : (N, d′ ) → (M, d) é cont´ınua. De fato, seja F ⊂ M fechado em (M, d). Como f : M → N é cont´ınua implica que f F ⊂ N é fechado em (N, d′ ), logo g −1 F = f F ⊂ N é fechado em (N, d′ )

Sendo assim o corol´ ario 16

(p. 285)

nos assegura que g é cont´ınua.

Na p. 294 vimos exemplos de bije¸cões cont´ınuas com inversas descont´ınuas. O corol´ ario anterior nos diz porque isto é poss´ıvel: aquelas aplica¸cões n˜ ao têm dom´ınio compacto. Corol´ ario41. Se (M, d) é compacto, ent˜ ao toda aplica¸ca õ cont´ınua f : M → N é limitada. Prova: De fato, f M ⊂ N , sendo compacto, é limitado. 485

Fun¸c˜ oes Reais Cont´ınuas com Dom´ınio Compacto Proposi¸ c˜ ao 111 (Weierstrass). Se (M, d) é compacto, ent˜ ao toda fun¸ca õ real cont´ınua f : M → R é limitada e atinge valores m´ aximo e m´ınimo em M . Isto é, existem α, β ∈ M tais que f (α) ≤ f (x) ≤ f (β),

∀ x ∈ M.

Prova: Que f é limitada vê-se pelo corol´ ario 41 acima. Sendo M compacto, ent˜ ao f (M ) também o é, já que f é cont´ınua. Logo, f (M ) é limitado e fechado em (R, µ). Sendo assim, existem (ver quadro ` a p. 614) ν = inf f (M )

e

µ = sup f (M )

Assim, dado ε > 0, existem y1 , y2 ∈ f (M ) tais que: ν ≤ y1 < ν + ε

e

µ − ε < y2 ≤ µ

Sendo assim, ν ≤ y1 < ν + ε ⇒ ν − ε < ν ≤ y1 < ν + ε ⇒ y1 ∈ ] ν − ε, ν + ε [ e µ − ε < y2 ≤ µ ⇒ µ − ε < y2 ≤ µ < µ + ε ⇒ y2 ∈ ] µ − ε, µ + ε [ o que implica ] ν − ε, ν + ε [ ∩ f (M ) 6= ∅ e ] µ − ε, µ + ε [ ∩ f (M ) 6= ∅ Portanto, ν, µ ∈ f (M ). Como porém f (M ) = f (M ), pois f (M ) é fechado, ent˜ ao ν, µ ∈ f (M ) e, portanto, existem α, β ∈ M tais que f (α) = ν = inf f (M )

e

f (β) = µ = sup f (M ).

∗

∗

∗

Se uma prova é “elegante” , se for o resultado de duzentos anos de enjoado polimento, ela ser´ a t˜ ao inescrut´ avel como uma direta revela¸ca õ divina, e ser´ a imposs´ıvel adivinhar como alguém poderia tê-la descoberto ou inventado. Ela n˜ ao lhe fornecer´ a nenhum insight, nada, provavelmente nada em absoluto. (Gregory Chaitin/Metamat!)

486

Coment´ arios sobre o Teorema de Weierstrass 1 o ) A condi¸c˜ ao de compacidade é essencial no teorema acima. Por exemplo, a fun¸cão f : [ 0, 1 [ → R dada por f (x) = x + 1, é cont´ınua em todo o seu dom´ınio, mas n˜ ao tem m´ aximo, embora tenha supremo que é 2. Este valor n˜ ao é assumido pela fun¸c˜ ao, isto é, n˜ ao existe x ∈ [ 0, 1 [ de modo que f (x) = x + 1 = 2. sup f (x)

ց

y

r

2

f (x) −→ l 1

q1

0

x

Um outro exemplo é dado pela fun¸cão cont´ınua f dada por f (x) = 1/x, em x > 0, cuja imagem é o semi-eixo ] 0, +∞ [. A fun¸cão n˜ ao tem m´ aximo nem m´ınimo. Se definida em um intervalo tipo [ a, +∞ [, onde a > 0, passa a ter m´ aximo igual a 1/a, mas continua sem m´ınimo. Esta fun¸cão continuar´ a sem m´ınimo mesmo se definida em um intervalo limitado tipo [ a, b [. Porém, em intervalos fechados (compactos) tipo [ a, b ] esta fun¸cão ter´ a m´ aximo 1/a e ter´ a m´ınimo 1/b. Estas situa¸c˜ oes est˜ ao ilustradas nas figuras seguintes. f (x)

f (x)

3

q

1 a

2

1

1

q

1

q

q1

q2

f : ] 0, +∞ [ → R

q3

n˜ ao tem máximo nem m´ınimo

x

0

q

2

q

q

0

1 a

q

2

q

f (x)

q

[ a

q1

q2

f : [ a, +∞ [ → R

q3

tem máximo= 1/a n˜ ao tem m´ınimo

x

1 b

q 0

[ a

q1

q2

q3

x

f : [ a, b ] → R

tem máximo= 1/a tem m´ınimo= 1/b

Por outro lado, uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : X → R pode ter m´ aximo e m´ınimo em X, ou f (X) pode ser compacto, sem que X seja compacto. Por exemplo, f (x) = sen x em X =] 0, 2π [, é tal que f (X) = [ −1, 1 ], que é compacto, +1 é o m´ aximo de f e −1 é o seu m´ınimo. 487

y= sen x

1

π 2

3π 2

π

x

2π

−1

2 o ) Uma fun¸c˜ ao f : [ a, b ] → R, com dom´ınio compacto, se for descont´ınua n˜ ao precisa assumir um valor m´ aximo ou m´ınimo. Por exemplo, consideremos a fun¸c˜ ao (descont´ınua) f : [ 0, 1 ] → R definida assim f (x)

f (x) =

(

1¬

x,

se x é irracional;

1 2,

se x é racional.

1 2

¬

0

¬

1

x

` direita temos um esbo¸co “grosseiro” do gr´ A afico de f . As duas linhas pontilhadas est˜ ao contidas no gr´ afico de f e s˜ ao tais que, qualquer reta vertical − conduzida pelo dom´ınio de f (qualquer reta x = c com 0 ≤ x ≤ 1) − intercepta o gr´ afico em um u ńico ponto (isto é, contém um ponto da linha pontilhada inclinada (se c é irracional) ou contém um ponto da linha pontilhada horizontal (se c é racional)). Pois bem, esta fun¸c˜ ao assume valores tão pr´ oximos de 1 e de 0 quanto quisermos, se escolhermos um valor irracional para x suficientemente pr´ oximo de 1 ou de 0. Entretanto, f (x) nunca pode ser igual a 0 ou 1, porquanto as equa¸c˜ oes f (x) = 0 e f (x) = 1, ∀ x ∈ [ 0, 1 ], n˜ ao têm solu¸cão.

Conjuntos Totalmente Limitados Defini¸ c˜ ao 61 (Conjunto Totalmente Limitado). Seja (M, d) um espa¸co métrico. Diremos que um subconjunto K ⊂ M é totalmente limitado se, para todo ε > 0 dado, existir um n´ umero finito de pontos x1 , x2 , . . . , xn ∈ K de maneira que K ⊂ B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε) ∪ · · · ∪ B(xn ; ε). 488

Observa¸ca õ: Todo conjunto totalmente limitado é limitado; n˜ ao valendo a rec´ıproca. Exemplos: 1) O subconjunto K = [ 0, 1 ] é totalmente limitado no espa¸co (R, µ), mas n˜ ao no espa¸co (R, δ). Inicialmente mostremos a segunda destas assertivas. De fato, temos Bδ (x; 1) = x , ∀ x ∈ [ 0, 1 ].

De modo que é imposs´ıvel selecionar n pontos em [ 0, 1 ] de modo que [ 0, 1 ] ⊂

n [

Bδ (xi ; 1).

i=1

Observe que [ 0, 1 ] é um subconjunto limitado em (R, δ). Deste modo, ser totalmente limitado é uma condi¸cão mais forte do que ser limitado. Mostremos agora que [ 0, 1 ] é totalmente limitado no espa¸co (R, µ). De fato, dado ε > 0, escolhamos o menor natural n de modo que n ·ε > 1 e fa¸camos: x1 = 0, x2 = ε, x3 = 2 ε, . . . , xn = (n − 1) ε ≤ 1. Temos, ] x1 − ε, x1 + ε [ = ] − ε, ε [ ] x2 − ε, x2 + ε [ = ] 0, 2ε [ ] x3 − ε, x3 + ε [ = ] ε, 3ε [

....................................... ] xn − ε, xn + ε [ = ] n · ε − 2ε, n · ε [ Sendo assim, [ 0, 1 ] ⊂ Bµ (x1 ; ε) ∪ Bµ (x2 ; ε) ∪ · · · ∪ Bµ (xn ; ε), o que prova nossa assertiva. 2) Todo conjunto limitado em (R, µ) é totalmente limitado. Prova: Para provar esta afirma¸c˜ ao é suficiente mostrar que todo intervalo [ a, b ] em (R, µ) é totalmente limitado. (Isto porque todo conjunto limitado em (R, µ) est´ a contido em algum intervalo do tipo [ a, b ]). De fato, dado ε > 0 escolhamos o menor natural n de modo que n · ε > b − a e fa¸camos x1 = a x2 = a + ε x3 = a + 2 ε .. . xk = a + (k − 1) ε .. . xn = a + (n − 1) ε 489

onde o n escolhido é tal que a + (n − 1) ε ≤ b < a + n ε. Então, [ a, b ] ⊂ Bµ (x1 ; ε) ∪ Bµ (x2 ; ε) ∪ · · · ∪ Bµ (xn ; ε) 3) Um outro exemplo de conjunto limitado, mas n˜ ao totalmente limitado, é o subconjunto ̥ = { δ1 , δ2 , δ3 , . . . } de ℓ2 visto na p. 483.

9.1.1

Caracteriza¸c˜ ao de compacidade

Em geral, n˜ ao é fácil provar que um conjunto é compacto, utilizando apenas a defini¸c˜ ao (ver por exemplo a proposi¸cão 105, p. 478). A proposi¸cão seguinte nos fornece outras defini¸cões alternativas de compacidade. Proposi¸ c˜ ao 112. Seja (M, d) um espa¸co métrico. As seguintes afirma¸co ˜es s˜ ao equivalentes: a) (M, d ) é compacto; b) Todo subconjunto infinito de M possui um ponto de acumula¸ca õ; c) Toda sequência em M possui uma subsequência convergente; d) (M, d ) é completo e totalmente limitado. Prova: Devemos mostrar que a) ⇒ b) ⇒ c) ⇒ d) ⇒ a). Então a) ⇒ b) Faremos uso da técnica (T − 4) (p.    H : (M, d ) é compacto.    1 ⇒      H2 : X ⊂ M é infinito.

571).

Fa¸camos,

T:

X possui um ponto de acumula¸cão.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponhamos (M, d ) compacto e X ⊂ M um subconjunto sem ponto de ¯ = X ∪X ′ = X, isto é, X é fechado acumula¸c˜ ao. Sendo X ′ = ∅ resulta que X em (M, d ), donde, utilizando H1 , X é compacto. Afirmamos, ademais, que o subespa¸co (X, d ) é discreto. De fato, se isto n˜ ao fosse verdade existiria um ponto p ∈ X n˜ ao isolado. Logo (ver observa¸cão p. 129) para todo r > 0 dado, existe um outro ponto x ∈ X tal que x ∈ B(p; r), isto é, 0 < d(x, p) < r. Portanto, B(p; r) − { p } ∩ X 6= ∅ ⇒ B(p; r) − { p } ∩ X 6= ∅ e p resultaria ponto de acumula¸cão de X, contrariando nossa hip´ otese. 490

Pois bem, (X, d ) compacto e discreto implica (ex. 5, p. 479) que X é finito. b) ⇒ c) Seja (xn ) uma sequência em M . Se { xn : n ∈ N } é finito então existe algum valor a que se repete infinitas vezes: a = xn = xn = · · · = xn = · · · 1

2

k

Portanto a subsequência (xn ) converge para a. Se, porém, o conjunto k { x1 , x2 , . . . , xn , . . . } é infinito então possui um ponto de acumula¸cão a. Tendo em conta a observa¸c˜ ao (ii) (p. 219) e a proposi¸cão 42 (p. 212), concluimos que existe uma sequência de pontos de X = { x1 , x2 , . . . , xn , . . .} (isto é, uma subsequência de (xn )) convergindo para a. c) ⇒ d) Supondo c) como hip´ otese, temos que toda sequência de Cauchy em M possui uma subsequência convergente, logo (prop. 93, p. 413) é convergente. Sendo assim (M, d ) resulta completo. Ainda resta mostrar que (M, d ) é totalmente limitado: vamos mostrar que, para todo ε > 0 arbitrariamente fixado, podemos incluir M numa reunião de um n´ umero finito de bolas de raio ε. De fato, dado ε > 0, escolhamos um ponto x1 ∈ M . Se acontece M ⊂ B(x1 ; ε), paramos aqui. Caso contr´ ario, existe x2 ∈ M de modo que d(x2 , x1 ) ≥ ε. Se acontece M ⊂ B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε), terminou. Caso contr´ ario, existe x3 ∈ M de modo que d(x3 , x2 ) ≥ ε e d(x3 , x1 ) ≥ ε. Prosseguindo desta forma, ou chegamos a um n tal que M ⊂ B(x1 ; ε) ∪ B(x2 ; ε) ∪ · · · ∪ B(xn ; ε) ou então obtemos uma sequência (xn ) satisfazendo d(xm , xn ) ≥ ε para m 6= n quaisquer. Sendo assim, (xn ) n˜ ao possui nenhuma subsequência de Cauchy, ou ainda: nenhuma subsequência convergente. O que contraria a hip´ otese, logo a segunda das alternativas propostas n˜ ao ocorre, por conseguinte (M, d ) é totalmente limitado. d) ⇒ a) Seja (M, d ) completo e totalmente limitado. Suponhamos, por absurdo, que (M, d ) n˜ ao é compacto. Sendo assim existe uma cobertura aberta A = {Aλ }λ∈L de M que n˜ ao admite subcobertura finita. Como (M, d ) é totalmente limitado, existe um n´ umero finito de pontos x1 , x2 , . . . , xn em M tais que n n [ [ 1 1 ⇒ M= M ∩ B xi ; . B xi ; M⊂ 2 2 i=1

i=1

Assim, M pode ser decomposto num n´ umero finito de subconjuntos com diˆ ametro menor ou igual a 1. M ∩ B xi ;

1 2

⊂ B xi ;

1 2

⇒

diam M ∩ B xi ;

1 2

≤ diam B xi ;

1 2

≤ 1.

Como (M, d ) n˜ ao é compacto pelo ao menos um desses conjuntos, digamos M1 = M ∩ B xk ;

1 , 2

491

k ∈ { 1, 2, . . . , n }

n˜ ao est´ a contido em reunião finita alguma de elementos de A (ex. 6, p. 480). Como M1 é totalmente limitado, M1 pode ser decomposto num n´ umero finito de subconjuntos cada qual com diˆ ametro menor ou igual a 12 . Pelo menos um desses conjuntos, digamos, M2 , n˜ ao est´ a contido em reunião finita alguma de elementos de A. Prosseguindo dessa forma obtemos M1 ⊃ M2 ⊃ M3 ⊃ · · ·

Com Mn 6= ∅ para todo n, e diam Mn ≤ n1 . Seja Mn o fecho de Mn em (M, d ), ent˜ ao M 1 ⊃ M2 ⊃ M3 ⊃ · · ·

é uma cadeia de subconjuntos fechados do espa¸co completo (M, d ), com Mn 6= ∅ para todo n e lim diam Mn = 0. Logo, o lema 7 (p. 464) nos assegura n que existe p ∈ M de modo que ∞ \ Mn = {p}. n=1

Como p ∈ M , existe Aλ′ em A tal que p ∈ Aλ′ . Afirmamos:

Se lim diam Mn = 0 então ∃ n0 ∈ N tal que Mn ⊂ Aλ′ n

0

De fato, suponha que lim diam Mn = 0 e que n˜ ao existe n0 ∈ N de modo n

que Mn0 ⊂ Aλ′ . Logo, para todo n existe xn ∈ Mn de modo que xn 6∈ Aλ′ . Como p ∈ Aλ′ , ent˜ ao para todo n natural xn 6= p. Logo ∀ n ∈ N existe xn ∈ Mn tal que d(xn , p) > 0

(9.2)

Por outro lado, para todo ε > 0, existe n0 ∈ N tal que diam Mn − 0 = diam Mn < ε, ∀ n ≥ n . 0 Logo,

Ent˜ ao,

diam Mn = sup d(x, y) : x, y ∈ Mn < ε, ∀ n ≥ n0 . ∀ n ≥ n0 ⇒ d(x, y) < ε; x, y ∈ Mn .

Respaldados na proposi¸cão 148

(p. 613),

podemos escrever

∀ n ≥ n0 ⇒ d(x, y) = 0;

x, y ∈ Mn .

Mas esta conclusão contradiz (9.2). Pois bem, existe um ´ındice n0 tal que Mn0 ⊂ Aλ′ ⇒ Mn0 ⊂ Aλ′ Mas isto é uma contradi¸cão uma vez que, como dissemos acima, os Mn n˜ ao est˜ ao contidos em nenhuma reunião finita de elementos da cobertura A = {Aλ }λ∈L . 492

Defini¸ c˜ ao 62 (Espa¸cos Sequencialmente Compactos). Um espa¸co (M, d) é sequencialmente compacto se, e somente se, toda sequência em M possui uma subsequência convergente. A proposi¸c˜ ao 112 (p. 490) nos assevera então que todo espa¸co métrico compacto é sequencialmente compacto e, rec´ıprocamente, todo espa¸co sequencialmente compacto é compacto. Todo espa¸co métrico compacto possui um subconjunto enumerável e denso. Sen˜ ao vejamos: Proposi¸ c˜ ao 113. Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto. Ent˜ ao existe uma sequência (yn ) de pontos de M tal que o conjunto Y = { y1 , y2 , . . . } é denso em (M, d). Prova: Como (M, d) é compacto, é totalmente limitado, logo para ε = 1, existem m1 pontos de M , digamos

(def. 61, p. 488)

x11 , x12 , x13 , . . . , x1m

1

tais que,

B x11 ; 1 ∪ B x12 ; 1 ∪ · · · ∪ B x1m ; 1 ⊃ M 1

Para ε =

1 2

existem m2 pontos de M , digamos

x21 , x22 , x23 , . . . , x2m

2

tais que, B x21 ;

1 1 1 ∪ B x22 ; ∪ · · · ∪ B x2m ; ⊃M 2 2 2 2

E assim sucessivamente, para ε = n1 existem, existem mn pontos de M , digamos xn1 , xn2 , xn3 , . . . , xnmn tais que, 1 1 1 ∪ B xn2 ; ∪ · · · ∪ B xnmn ; ⊃M n n n Vamos organizar as informa¸c˜ oes anteriores. Temos a seguinte sequência dupla: x11 x12 x13 ... x1m 1 x21 x22 x23 ... x2m B xn1 ;

2

................................. xn1 xn2 xn3 ... xnmn ................................. 493

Observe que esta sequência dupla, ao contr´ ario do que parece, n˜ ao possui o mesmo n´ umero de colunas, mas é sempre limitada em colunas; digo: todas as linhas têm um n´ umero finito de elementos. Em correspondencia a esta sequência dupla obtemos: B x11 ; 1 ∪ B x12 ; 1 ∪ · · · ∪ B x1m ; 1 ⊃ M 1

B x21 ; 12 ∪ B x22 ; 21 ∪ · · · ∪ B x2m ; 21 ⊃ M 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . B xn1 ; n1 ∪ B xn2 ; n1 ∪ · · · ∪ B xnmn ; n1 ⊃ M ...............................................

Pois bem, a sequência (yn ) procurada é obtida ao “linearizarmos” a sequência dupla anterior, da seguinte forma: x11 , . . . , x1m ; x21 , . . . , x2m ; · · · ; xn1 , . . . , xnmn ; · · · 1

2

De fato, vamos provar que sendo Y = x11 , . . . , x1m ; x21 , . . . , x2m ; · · · ; xn1 , . . . , xnmn ; · · · 1

2

temos Y¯ = M . Dados p ∈ M e ε > 0 devemos mostrar que existe xij ∈ Y tal que xij ∈ B( p; ε). Então, dado ε > 0 tomamos, de empréstimo a Arquimedes, um natural n de modo que n1 < ε. Como B xn1 ;

1 1 1 ∪ B xn2 ; ∪ · · · ∪ B xnmn ; ⊃M n n n

p pertence a uma destas bolas, digamos p ∈ B xnk ; portanto d(p, xnk ) <

1 n

1 , para algum k ∈ { 1, 2, . . . , mn } n

< ε, isto é, xnk ∈ B(p; ε). ∗

∗

∗

As teorias matem´ aticas, as boas, consistem na defini¸ca õ de uns poucos novos conceitos-chave e depois o fogo de artif´ıcio come¸ca: elas revelam novos panoramas, abrem a porta a mundos inteiramente novos. [. . .] O fascinante é que, simples como s˜ ao os n´ umeros inteiros e os primos, ainda assim é f´ acil propor quest˜ oes diretas e claras a seu respeito que ningu´ em sabe como responder, e podemos dizer que nem mesmo daqui a dois mil anos, nem sequer os melhores matem´ aticos do mundo, saber˜ ao! (Gregory Chaitin/Metamat!)

494

9.2

Produto Cartesiano de Conjuntos Compactos

Proposi¸ c˜ ao 114 (Produto de Compactos). Sejam (M1 , d1 ) e (M2 , d2 ) espa¸cos métricos. Consideremos sobre M1 × M2 uma qualquer das métricas equivalentes D1 , D2 ou D3 . Ent˜ ao M1 × M2 é compacto se, e somente se, M1 e M2 o forem. Prova: (⇒) Se M1 × M2 é compacto então M1 e M2 também o ser˜ ao pois s˜ ao imagens do compacto M1 × M2 pelas fun¸cões cont´ınuas (proje¸cões): p1 : M1 × M2 −→ M1

e

(x1 , x2 ) 7−→ x1

p2 : M1 × M2 −→ M2 (x1 , x2 ) 7−→ x2

Assim, p1 M1 × M2 = p1 (x1 , x2 ) : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = x1 : (x1 , x2 ) ∈ M1 × M2 = M1 Análogamente p2 M1 × M2 = M2 . (⇐) Para provar a rec´ıproca mostraremos que se M1 e M2 s˜ ao compactos então toda sequência em M = M1 × M2 possui uma subsequência convergente. De fato, seja (zn ) uma sequência em M . Então, zn = (xn , yn ), sendo (xn ) uma sequência em M1 e (yn ) uma sequência em M2 . Como M1 é compacto, (xn ) possui uma subsequência convergente, isto é, existem N1 ⊂ N infinito (p. 140) e a ∈ M1 tais que lim xn = a. Como M2 é compacto, n∈N1

a sequência (yn )n∈N possui uma subsequência convergente, isto é, existem 1 N2 ⊂ N1 infinito e b ∈ M2 tais que lim yn = b. Observe que (xn )n∈N é uma n∈N2

2

subsequência da subsequência (xn )n∈N , portanto pela proposi¸cão 12 1 temos lim xn = a. Sendo assim, temos

(p. 155)

n∈N2

  lim x = a   n ∈ N2 n    lim yn = b n ∈ N2

Ent˜ ao zn

n ∈ N2

prop. 14

lim xn , yn = (a, b).

=⇒

n∈N2

(p. 157)

é a subsequência procurada.

Corol´ ario 42. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸cos métricos. Ent˜ ao, o produto M = M1 × M2 × · · · × Mn é compacto se, e somente se, cada Mi o for. Prova: Basta aplicar n − 1 vezes a proposi¸cão 114. 495

9.2.1

Compactos no Rn

Via de regra, n˜ ao é fácil provar − pela defini¸cão, ou uma de suas formas equivalentes − que um conjunto é compacto. Estadificuldade deixa de existir no caso de subconjuntos compactos do Rn , Di . Na sequência provamos uma importante proposi¸ cão que caracteriza completamente os subconjuntos compactos do Rn , Di . Vimos (prop. 108, p. 482) que todo subconjunto compacto de um espa¸co métrico é fechado e limitado. Mas, devido ao exemplo 1 (p. 477), num espa¸co métrico um conjunto pode ser fechado e limitado sem ser compacto. No caso n porém dos espa¸cos R , Di compacto é o mesmo que fechado e limitado. Sen˜ ao vejamos Proposi¸ c˜ ao 115. Sejam os espa¸cos métricos Rn , Di . Um subconjunto K ⊂ Rn é compacto se, e somente se, K é fechado e limitado. Prova: (⇒) Vale para qualquer espa¸co métrico. (⇐) Um subconjunto K ⊂ Rn diz-se limitado quando existe um n´ umero real c > 0 de modo que kxk ≤ c para todo x ∈ K. Isto é o mesmo que dizer que K est´ a contido na bola de centro na origem e raio c. Consideremos sobre Rn a norma x = (x1 , x2 , . . . , xn ) 7−→ kxk = max |x1 |, |x2 |, . . . , |xn | Pois bem, sendo K limitado, para todo x ∈ K existe c > 0 de modo que kxk ≤ c ⇔ max |x1 |, |x2 |, . . . , |xn | ≤ c  |x1 | ≤ c     |x | ≤ c 2 ⇔ ..   .    |xn | ≤ c

 x1 ∈ [ −c, c ]     x ∈ [ −c, c ] 2 ⇔ ..   .    xn ∈ [ −c, c ]

⇔ x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ [ −c, c ] × · · · × [ −c, c ] ⇒ K ⊂ [ −c, c ] × · · · × [ −c, c ].

Como cada [ −c, c ] é compacto em R, segue que o produto [ −c, c ] × n · · · × [ −c, c ] é compacto em R , Di . Sendo assim K é um subconjunto a contido num compacto deste espa¸co. Donde, fechado em Rn , Di que est´ tendo em conta a proposi¸cão 106 (p. 480), K resulta compacto.

496

Nota: Devido as desigualdades

(p. 319)

D3 (x, y) ≤ D1 (x, y) ≤ D2 (x, y) ≤ n · D3 (x, y) válidas para as respectivas normas do Rn , se um subconjunto X ⊂ Rn é limitado em rela¸c˜ ao a uma dessas normas o é também em rela¸cão às outras duas. Proposi¸ c˜ ao 116. O espa¸co métrico [ 0, 1 [, k é compacto. Prova: De fato, sendo o mesmo completo (prop. 99, p. 426) é suficiente mostrar que é totalmente limitado. Sendo [ 0, 1 [ totalmente limitado no espa¸co (R, µ), segue que, dado ε > 0 arbitrário podemos, selecionar n pontos: x1 , x2 , x3 , . . . , xn em [ 0, 1 [ de sorte que [ 0, 1 [ ⊂ Bµ (x1 ; ε) ∪ Bµ (x2 ; ε) ∪ · · · ∪ Bµ (xn ; ε) Pelo lema 6 (p. 425) temos que Bµ xi ; ε ⊂ Bk (xi ; ε), (i = 1, 2, . . . , n). Portanto n n [ [ Bk xi ; ε Bµ xi ; ε ⊂ [ 0, 1[ ⊂ i=1

i=1

Sendo [ 0, 1 [, k completo e totalmente limitado, resulta também compacto.

Após esta prova concebemos uma outra mais direta. De fato, sendo (xn ) uma sequência arbitrária em [ 0, 1 [ podemos mostrar que esta possui uma subsequência convergente. Com efeito, (xn ) é também uma sequência no espa¸co compacto ([ 0, 1 ], µ) e, portanto, possui uma subsequência (xn ) k convergente. Sendo assim, (xn ) também converge no espa¸co [0, 1[, k . k Corol´ ario . Os quadrados [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [, Di s˜ ao compactos.

9.3

Distˆ ancia Entre Conjuntos Compactos

Na p. 51 tivemos a oportunidade de calcular a distˆ ancia entre os subconjuntos X = [ 1, 3 ] e Y = ] 5, 7 ] no espa¸co ( R, µ). Encontramos D [ 1, 3 ]; ] 5, 7 ] = 2.

Vamos calcular a distˆ ancia entre o ponto p = 3 ∈ X e o subconjunto Y : d(p, Y ) = inf d(p, y) : y ∈ Y d(3, Y ) = inf d(3, y) : y ∈ Y = inf |3 − y| : 5 < y ≤ 7 497

Ent˜ ao, 5 < y ≤ 7 ⇔ 2 < y − 3 ≤ 4 ⇔ 2 < |y − 3| ≤ 4 ⇔ |y − 3| ∈ ] 2, 4 ] ⇔ d(1, Y ) = 2. Resultando,

D [ 1, 3 ]; ] 5, 7 ] = d 1; ] 3, 4 ]

Isto é, encontramos um ponto no conjunto X que proporciona a distˆ ancia entre X e Y . Isto aconteceu em virtude de que X é compacto. Este fenômeno pode ser generalizado para todos os espa¸cos métricos. Este é o conte´ udo da pr´ oxima proposi¸c˜ ao. Proposi¸ c˜ ao 117. Seja (M, d) um espa¸co métrico e K ⊂ M um subconjunto compacto. Se X ⊂ M , ent˜ ao existe p ∈ K de modo que D(K, X) = d(p, X). (M, d) K

s

p

X ν

Prova: Antes devemos lembrar: D(K, X) = inf d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X d(p, X) = inf d( p, x) : x ∈ X Inicialmente observe que se p ∈ K então d(p, x) : x ∈ X ⊂ d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X

portanto

(prop. 145, p. 611)

inf d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X

≤ inf d( p, x) : x ∈ X

isto é, d(p, X) ≥ D(K, X). Pois bem, seja ν = D(K, X) ≥ 0. Pela defini¸cão de inf, ν é a maior das cotas inferiores do conjunto d(k, x) : k ∈ K e x ∈ X ; portanto para ao pode ser cota inferior deste conjunto. Isto é o todo n natural, ν + n1 n˜ mesmo que afirmar (lema 11, p. 609) a existência de kn ∈ K e xn ∈ X tais que 1 ν ≤ d kn , xn < ν + n 498

Consideremos a sequência (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) e seja A = { xn : n ∈ N } o conjunto dos seus termos. Existem duas alternativas: (i) A é finito. Neste caso existe p ∈ K tal que xn = p a partir de uma certa posi¸cão ario, que n. Afirmamos que D(K, X) = d(p, X). De fato, suponha, ao contr´ d(p, X) > D(K, X), sendo assim existe δ > 0 de modo que d(p, X) = ν + δ, 1 < 2δ . Sendo e escolhamos um n´ umero natural m satisfazendo xm = p e m assim, temos ν + δ = d(p, X) = d(xm , X) ≤ d(xm , ym ) < ν +

δ 1 <ν+ m 2

o que é absurdo. (ii) A é infinito. Da compacidade de K resulta que existe uma subsequência (xn ) de k (xn ) tal que lim xn = p ∈ K. Afirmamos que D(K, X) = d(p, X). De k fato, suponha, ao contr´ ario, que d(p, X) > D(K, X), sendo assim existe δ > 0 de modo que d(p, X) = ν + δ. Da convergência xn −→ p decorre k que a bola B p; 2δ contém infinitos termos da sequência (xn ). Escolhamos 1 xm ∈ B p; 2δ de modo que m < 2δ . Sendo assim, d(p, xm ) + d(xm , ym ) <

1 δ δ δ +ν+ < +ν+ 2 m 2 2

= ν + δ = d(p, X) ≤ d(p, ym ). Esta contradi¸c˜ ao com a desigualdade triangular encerra a demonstra¸cão. (M, d) K

xrm

r

rym

p

X

d(p, ym ) ≤ d(p, xm ) + d(xm , ym )

Corol´ ario 43. Seja (M, d) um espa¸co métrico e K ⊂ M um subconjunto compacto. Se X ⊂ M é um subconjunto fechado tal que X ∩ K = ∅, ent˜ ao D(K, X) > 0. Prova: Faremos uso da técnica (T − 4)    H1 :  H : 2

K compacto ∧ X fechado. K ∩ X = ∅.

499

(p. 571).

⇒

Fa¸camos

T:

D(K, X) > 0

¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H Suponhamos K compacto, X fechado e D(K, X) = 0. Então, pela proposi¸c˜ ao 117, existe um ponto p ∈ K satisfazendo d(p, X) = 0. Pela ¯ Como p ∈ K e proposi¸c˜ ao 40 (p. 211) somos informados de que p ∈ X. ¯ X = X, resulta p ∈ K ∩ X, o que contradiz H2 . Mostraremos agora que a distˆ ancia entre dois subconjuntos compactos de um dado espa¸co métrico, pode ser expressa pela distˆ ancia entre dois pontos: um de cada desses subconjuntos.

Corol´ ario 44. Seja (M, d) um espa¸co métrico e K, ̥ ⊂ M subconjuntos compactos. Ent˜ ao existem p ∈ K e q ∈ ̥ tais que D(K, ̥) = d(p, q). Prova: Como K é compacto a proposi¸cão 117 nos diz que existe um ponto p ∈ K satisfazendo D(K, ̥) = d(p, ̥). Como ̥ é compacto a mesma proposi¸c˜ ao nos diz que existe um ponto q ∈ ̥ satisfazendo D ̥, { p } = d q, { p } . Tendo em conta que D ̥, { p } = inf d(x, y) : x ∈ ̥ e y ∈ { p } = inf d(x, p) : x ∈ ̥ = d ̥, p e

d { p }, q = inf d(x, q) : x ∈ { p } = inf d( p, q) = d(p, q)

decorre que D(K, ̥) = d(p, q).

9.4

N´ umero de Lebesgue Para Coberturas

Proposi¸ c˜ ao 118. Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto. Se A = {Aλ }λ∈L é um recobrimento aberto de M , ent˜ ao existem um n´ umero real δ > 0 e um aberto Aν ∈ A tais que para todo x ∈ M vale a inclus˜ ao B(x; δ) ⊂ Aν . Coment´ ario: O n´ umero δ > 0 serve para todos os pontos x ∈ M . O que pode mudar de ponto para ponto de M é o elemento Aν da fam´ılia A = {Aλ }λ∈L . Ou ainda: o raio da bola B(x; δ) é o mesmo para todo x ∈ M . Agora dependendo do x ∈ M , B(x; δ) vai estar contido num ou noutro Aν ∈ A. A seguir destacamos, em s´ımbolos, a tese e sua nega¸cão: ∃

δ>0

∀

δ>0

:

∀

x∈M

∃

x∈M

∃

( Aν ∈ A ) ⇒ B(x; δ) ⊂ Aν

∀

( Aν ∈ A ) ∧ B(x; δ) 6⊂ Aν

ν ∈L

:

ν ∈L

500

Prova: Supondo falsa a tese, para todo δ > 0 existe x ∈ M de modo que B(x; δ) 6⊂ Aλ , para todo ´ındice λ ∈ L. Sendo assim, existe uma sequência (x1 , x2 , . . .) de pontos de M de modo que B(x1 ; 1) 6⊂ Aλ , B x2 ;

1 2

B x3 ;

1 3

.. .

∀ λ ∈ L;

6⊂ Aλ ,

∀ λ ∈ L;

6⊂ Aλ ,

∀ λ ∈ L;

Quanto ao conjunto { xn : n ≥ 1 } dos termos da sequência (xn ) podem ocorrer duas possibilidades: (i) X = { x1 , x2 , . . . } é finito. Neste caso existe p ∈ X tal que xn = p a partir de uma certa posi¸cão n. Como p ∈ M ⊂ ∪Aλ , ent˜ ao p ∈ Aν para algum ´ındice ν ∈ L, e como Aν é aberto existe r > 0 de modo que p ∈ B(p; r) ⊂ Aν Escolhendo um ´ındice m tal que xm = p e

1 m

< r, teremos:

1 ⊂ B(p; r) ⊂ Aν m 1 Isto contradiz o fato de que B xm ; m 6⊂ Aλ para todo Aλ na cobertura A. B xm ;

(ii) X = { x1 , x2 , . . . } é infinito. Da compacidade de M resulta que existe uma subsequência (xn ) de k (xn ) tal que lim xn = p ∈ M . Como p ∈ M ⊂ ∪Aλ , então p ∈ Aν para k algum ´ındice ν ∈ L, e como Aν é aberto existe r > 0 de modo que p ∈ B(p; r) ⊂ Aν

(9.3)

Como lim xn = p existem (prop. 8, p. 142) infinitos pontos de X = { x1 , x2 , . . . } k ao podemos escolher um ´ındice m de modo que na bola B p; 2r , ent˜ xm ∈ B p;

Afirmamos,

r 2

e

r 1 < m 2

1 B xm ; ⊂ B(p; r) m 1 1 , isto é, d(y, xm ) < m , então De fato, seja y ∈ B xm ; m d(y, p) ≤ d(y, xm ) + d(xm , p) <

r 1 +
o que garante y ∈ B(p; r). Utilizando (9.3) obtemos 1 ⊂ B(p; r) ⊂ Aν . m Isto contradiz o fato de que B xn ; n1 6⊂ Aλ para todo Aλ na cobertura A. B xm ;

Corol´ ario 45. Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto e A = {Aλ }λ∈L um recobrimento aberto de M . Ent˜ ao existe um n´ umero real δ > 0 tal que, para todo subconjunto X de M , com diam X < δ, existe um aberto Aν ∈ A de modo que X ⊂ Aν . (M, d) Aν X ∃ δ> 0 : ∀ X⊂M (diam X<δ) ⇒ ∃ Aν ∈ A : X⊂Aν .

Prova: Pela proposi¸c˜ ao 118 existe δ > 0 de modo que para todo x ∈ M se pode obter um aberto Aν em A com B( x; δ) ⊂ Aν (⋆). Sejam X ⊂ M com diam X < δ e p ∈ X. Então, de

decorre,

diam(X) = sup d(x, y) : x, y ∈ X < δ d(x, y) < δ,

∀ x, y ∈ X.

Como p ∈ X, tomando y = p, obtemos ∀ x ∈ X, d(x, p) < δ ⇒ X ⊂ B( p; δ) Tendo em conta (⋆), resulta X ⊂ B( p; δ) ⊂ Aν . Devido ao corol´ ario anterior faz sentido a seguinte:

Defini¸ c˜ ao 63 (N´ umero de Lebesgue de uma Cobertura). Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto e A = {Aλ }λ∈L uma cobertura aberta de M . Diz-se que um n´ umero δ > 0 é um n´ umero de Lebesgue para a cobertura A quando todo subconjunto X ⊂ M com diˆ ametro menor do que δ est´ a contido em algum Aν da cobertura. Obviamente que se δ é um n´ umero de Lebesgue de uma cobertura e 0 < δ′ < δ, ent˜ ao δ′ também é um n´ umero de Lebesgue da mesma cobertura. 502

Compacidade e Continuidade Uniforme Proposi¸ c˜ ao 119. Sejam (M, d1 ) e (N, d2 ) espa¸cos métricos. Se (M, d1 ) é compacto ent˜ ao toda aplica¸ca õ cont´ınua f : M −→ N é uniformemente cont´ınua. Isto é, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, existe δ(ε) > 0 tal que ∀ x, y ∈ M, d1 (x, y) < δ(ε) ⇒ d2 f (x), f (y) < ε.

(p. 288)

Daremos duas provas desta proposi¸cão: 1a ) Prova: Como f : M −→ N é uma aplica¸cão cont´ınua, dado ε > 0, para cada x ∈ M existe em correspondencia um δ(x, ε) > 0 tal que 1 ∀ y ∈ M com d1 (x, y) < δ(x, ε) ⇒ d2 f (x), f (y) < ε 2

(9.4)

A fam´ılia de bolas abertas o n 1 B x; δ(x, ε) : x ∈ M 2

é uma cobertura aberta de M ; logo, existe uma subcobertura finita, digamos n o 1 1 1 B x1 ; δ(x1 , ε) , B x2 ; δ(x2 , ε) , . . . , B xn ; δ(xn , ε) 2 2 2 1 Fa¸camos, δ(ε) = min 2 δ(x1 , ε), 12 δ(x2 , ε), . . . , 21 δ(xn , ε) e sejam x, y ∈ M com d1 (x, y) < δ(ε).

Para algum ´ındice k ∈ { 1, 2, . . . , n }, x ∈ B xk ; 12 δ(xk , ε) . Sendo assim, d1 (x, xk ) < 12 δ(xk , ε). Com o aux´ılio desta desigualdade obtemos duas outras: (i) por (9.4): d2 f (x), f (xk ) < 21 ε. (ii)

d1 (xk , y) ≤ d1 (xk , x) + d1 (x, y) < como δ(ε) ≤ nos fornece

1 2

1 δ(xk , ε) + δ(ε), 2

δ(xk , ε) obtemos d1 (xk , y) < δ(xk , ε). Por conseguinte (9.4)

d2 f (x), f (y) ≤ d2 f (x), f (xk ) + d2 f (xk ), f (y)) <

1 1 ε+ ε=ε 2 2

Isto prova que f é uniformemente cont´ınua sobre M . 503

2a ) Prova: Como f : M −→ N é uma aplica¸cão cont´ınua, dado ε > 0, para cada x ∈ M existe uma bola aberta B x; δ(x, ε) de modo que 1 ∀ y ∈ B x; δ(x, ε) ⇒ f (y) ∈ B f (x); ε 3

(9.5)

A fam´ılia de bolas abertas

n o A = B x; δ(x, ε) : x ∈ M

é uma cobertura aberta de M ; logo − pela compacidade de M − existe uma subcobertura finita, digamos n o B = B x1 ; δ(x1 , ε) , B x2 ; δ(x2 , ε) , . . . , B xn ; δ(xn , ε) e, pelo corol. 45 (p.

502),

a cobertura B possui um n´ umero de Lebesgue δ > 0.

Sejam agora x, y ∈ M com d1 (x, y) < δ. Como

(coment´ ario ap´ os prop. 118, p.

500)

diam {x, y} = sup d1 (x, y) : x, y ∈ { x, y } = d1 (x, y) < δ implica que { x, y } est´ a contido em um membro B xk ; δ(xk , ε) da cobertura B. Por conseguinte, por (9.5), temos ( Como

y ∈ B xk ; δ(xk , ε) x ∈ B xk ; δ(xk , ε)

⇒

(

f (y) ∈ B f (xk ); f (x) ∈ B f (xk );

1 3 1 3

ε ε

1 1 1 diam B f (xk ); ε ≤ 2 · ε ⇒ d2 f (x), f (y) ≤ 2 · ε < ε 3 3 3

Isto prova que f é uniformemente cont´ınua sobre M .

9.5

Espa¸ cos Localmente Compactos

Defini¸ c˜ ao 64 (Espa¸cos localmente compactos). Um espa¸co métrico (M, d) é localmente compacto se, e somente se, cada ponto de M possui uma vizinhan¸ca compacta. De outro modo: Dizemos que um espa¸co métrico (M, d) é localmente compacto quando, para todo x ∈ M , existe um compacto K, com x ∈ int K. Um subconjunto N ⊂ M é localmente compacto quando o subespa¸co (N, d) o for. 504

Exemplos: 1) O espa¸co (R, µ) é localmente compacto. De fato, dado p ∈ R tomamos K = [ p − 1, p + 1 ] e temos p ∈ int K = ] p − 1, p + 1 [. Sendo K um subconjunto fechado e limitado de (R, µ), K é compacto; portanto K é uma vizinhan¸ca compacta de p em (R, µ) e (R, µ) resulta localmente compacto. Vemos assim, que um espa¸co localmente compacto n˜ ao é necessáriamente compacto. Por outro lado, como um espa¸co métrico é sempre uma vizinhan¸ca de cada um de seus pontos, a rec´ıproca é verdadeira. 2) Todo espa¸co (M, d) discreto é localmente compacto. De fato, cada ponto é uma vizinhan¸ca compacta de si mesmo. Veja os exemplos 4 (p. 479) e 4 (p. 201). ao localmente compactos. 3) Os espa¸cos Rn , Di (i = 1, 2, 3.) s˜ n De fato, dado p ∈ R , tomamos K = B[ p; 1 ] e temos p ∈ int K = B(p; 1). Sendo K um subconjunto fechado e limitado de Rn , Di , K é n compacto; portanto K é uma vizinhan¸ca compacta de p em R , Di e n R , Di resulta localmente compacto. Proposi¸ c˜ ao 120. Seja (M, d) localmente compacto. Se F ⊂ M é fechado ent˜ ao F é localmente compacto. Prova: Dado um ponto p ∈ F , como (M, d) é localmente compacto, existe um compacto K em (M, d) com p ∈ int K. p ∈ int K ⇒ ∃ r > 0 : B(p; r) ⊂ K

⇒ ∃ r > 0 : B(p; r) ∩ F ⊂ K ∩ F

⇒ ∃ r > 0 : B(p; r) ⊂ K ∩ F

⇒ p ∈ int (K ∩ F )

(no subespa¸co (F, d)).

Vamos mostrar agora que K∩F é compacto. De fato, K sendo compacto, é fechado em (M, d). Portanto K ∩ F é fechado em (M, d) por ser a interseçc˜ ao de dois fechados. Isto é, K ∩ F = (K ∩ F )(M, d) Pelo corol´ ario 3

(p. 207)

podemos escrever

K ∩ F = (K ∩ F )(M, d) = (K ∩ F )(K, d) Logo, K ∩ F é um subconjunto fechado no subespa¸co compacto (K, d), portanto, compacto (prop. 106, p. 480). Em resumo: K ∩ F é uma vizinhan¸ca compacta de p em F , sendo assim F resulta localmente compacto.

505

Proposi¸ c˜ ao 121. Seja f : (M, d1 ) → (N, d2 ) aberta, cont´ınua e sobrejetiva. Se (M, d1 ) é localmente compacto ent˜ ao (N, d2 ) também o é. Prova: De fato, seja q ∈ N , como f é sobrejetiva, existe p ∈ M de modo que f (q) = p. Como (M, d1 ) é localmente compacto, existe uma vizinhan¸ca compacta Kp de p em M . Ent˜ ao p ∈ int Kp e Kp é compacto. Como f é aberta, resulta que f int Kp é uma vizinhan¸ ca de p = f (q). Por outro lado, a continuidade de f garante que f Kp é compacto. Ou seja: f Kp é vizinhan¸ca compacta de p, resultando que (N, d2 ) é localmente compacto. (M, d2 )

(M, d1 )

r

f

p

Kp

r q = f (p)

f (Kp )

Proposi¸ c˜ ao 122. Sejam (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), . . ., (Mn , dn ) espa¸co métricos e M = M1 × M2 × · · · × Mn . Ent˜ ao M é localmente compacto se, e somente se, cada Mi é localmente compacto. Prova: (⇒) Seja M localmente compacto. Como as proje¸cões pi : M → Mi s˜ ao cont´ınuas, abertas (p. 286) e sobrejetivas, a proposi¸cão 121 nos assegura que os fatores Mi s˜ ao localmente compactos. (⇐) Reciprocamente, suponhamos que cada Mi é localmente compacto. Ent˜ ao dado x = (x1 , . . . , xi , . . . , xn ) ∈ M , cada xi possui uma vizinhan¸ca compacta Ki em Mi . Então pelo corol´ ario 42 (p. 495), a vizinhan¸ca K = K1 × · · · × Kn de x é compacta. Portanto, M resulta localmente compacto. No decorrer dos anos percebi muitas vezes, na qualidade de f´ısico de poltrona, lugares em que os c´ alculos f´ısicos divergem até o infinito em distˆ ancias extremamente pequenas. Os f´ısicos s˜ ao partid´ arios de que n˜ ao se fa¸ca a pergunta errada, aquela que proporcione uma resposta infinita. Mas eu sou um matem´ atico, e a cada vez eu me perguntava se a Natureza n˜ ao estava realmente tentando nos dizer algo, isto é, que n´ umeros reais e continuidade constituem uma impostura, e que distˆ ancias infinitesimalmente pequenas n˜ ao existem! [. . .] Portanto, como você vê, h´ a muitas raz˜ oes para suspeitar de que n´ os poder´ıamos estar vivendo em um universo digital, de que Deus prefere ser capaz de copiar coisas de modo exato quando é obrigado, mais do que obter o inevit´ avel aumento de ru´ıdo que acompanha o copiar anal´ ogico! (Gregory Chaitin/Metamat!)

506

9.6 9.6.1

Representa¸ c˜ oes decimais e Curva de Peano O Mito das ambiguidades nas representa¸c˜ oes decimais

Na presente se¸c˜ ao pretendemos por fim às intermináveis pendengas sobre as representa¸c˜ oes decimais de reais do intervalo [ 0, 1 ] − bem como preparar terreno para um assunto posterior: Curva de Peano. Mostraremos, oportunamente, que as supostas ambiguidades de algumas destas representa¸cões, tipo: 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . s˜ ao um mito. O conceito do éter revelou-se um fantasma criado pela imagina¸cão dos f´ısicos do século XIX. Neste trabalho mostramos, igualmente, que representa¸cões tipo 0, 5 = 1/2 = 0, 4999 . . . n˜ ao têm “existência real”; s˜ ao fantasao dos matem´ aticos. mas criados pela imagina¸c˜ Mostraremos que o esclarecimento desta questão − aqui a deixamos assaz cristalina − vai simplificar, ami´ ude, muitas constru¸cões matem´ aticas; a exemplo da constru¸c˜ ao da curva de Peano. Aqui mostraremos uma constru¸cão desta curva mais simples que as constantes na literatura. Representa¸ co ˜es decimais Existem duas alternativas para se definir as representa¸cões decimais: via ao entre conjuntos. convergência de séries e via bije¸c˜ Para exemplificar a primeira alternativa: (ver [5]/p. 231) “Antes de definir ϕ, lembremos que os n´ umeros reais admitem n˜ ao somente uma express˜ ao decimal como também, fixado qualquer n´ umero b > 1, todo n´ umero real possui uma express˜ ao na base b. Em particular, se 0 ≤ x ≤ 1, a express˜ ao x = 0, x1 x2 . . . xn . . . de x na base b significa que x=

x x x1 + 22 + · · · + nn + · · · ” b b b

Ainda mais ` a frente, nesta mesma p´ agina, o autor escreve: “Para ver que ϕ é injetiva, basta lembrar que, assim como a representa¸ c˜ ao decimal de um n´ umero x ∈ [ 0, 1 ] é u ńica, exceto por ambiguidades do tipo 0, 47999 . . . = 0, 48000 . . .”. Vejamos mais um exemplo, segundo este autor 0, 011000 . . . e 0, 010111 . . . s˜ ao duas representa¸c˜ oes, na base 2, de 83 , porquanto 1 1 0 0 0 3 0 1 0 1 1 1 0 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +· · · (9.6) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +· · · = 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Defini¸cão via bije¸c˜ ao Construiremos agora uma representa¸cão alternativa para os n´ umeros reais. Vamos nos restringir aos reais do intervalo [ 0, 1 ] uma vez que qualquer n´ umero real situa-se entre dois inteiros consecutivos, isto é, dado x ∈ R sucede que x ∈ [ m, m + 1 ] para algum inteiro m. Em suma, todo real pode ser transladado para o intervalo [ 0, 1 ]. 507

Também vamos nos restringir ao caso da base 2 − base bin´ aria − uma vez que o que faremos aqui com respeito a esta base pode ser repetido para uma outra base qualquer. Para a constru¸ca õ de uma representa¸cão bin´ aria − para os n´ umeros reais − iremos necessitar do seguinte produto cartesiano: { 0, 1 }N = { 0, 1 } × { 0, 1 } × { 0, 1 } × · · · Este é o conjunto das sequências infinitas de 0′ s e 1′ s. Por exemplo, dois elementos deste conjunto s˜ ao: 110011001100...

e

010101010101...

Gostariamos de definir uma bije¸cão entre os conjuntos { 0, 1 }N e [ 0, 1 ], assim: N −→ [ 0, 1 ] f : 0, 1 P∞ x n (xn ) 7−→ n=1 2n

Esta aplica¸c˜ aoP est´ a bem definida uma vez que a série em questão é ma∞ 1 e 1 . Infelizmente f n˜ ao é injetiva jorada pela série n=1 2n cuja soma ´ porquanto, f x1 . . . xj 000 . . . = f x1 . . . xj−1 (xj − 1)111 . . . (9.7)

Como é fácil verificar. Rec´ıprocamente, supondo f (x) = f (y) e x 6= y vamos mostrar que x = x1 x2 x3 . . . e y = y1 y2 y3 . . . s´ o podem ser da forma das representa¸c˜ oes que aparecem em (9.7).

Prova: De fato, seja j o primeiro ´ındice onde x difere de y; suponhamos, ademais, que xj = 1. Sendo assim podemos escrever x = x1 x2 . . . xj−1 1 xj+1 xj+2 . . . y = x1 x2 . . . xj−1 0 yj+1 yj+2 . . . Devemos mostrar que f (x) = f (y) =⇒ A igualdade

P∞

xn n=1 2n

=

P∞

(

xj+1 = xj+2 = · · · = 0; yj+1 = yj+2 = · · · = 1.

yn n=1 2n

pode ser escrita assim

xj−1 1 xj+1 xj−1 0 yj+1 x1 x2 x1 x2 1 + 2 + · · · + j−1 + j + j+1 + · · · = 1 + 2 + · · ·+ j−1 + j + j+1 + · · · 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Logo,

xj+1 yj+1 1 + ··· j + j+1 + · · · = 2 2 2j+1 508

Ou ainda,

∞ ∞ X X yn 1 xn = + n j 2 2n 2 n=j+1 n=j+1

∞ X 1 yn o poder´ a ser satisn ≤ j , isto implica em que esta igualdade s´ 2 2 n=j+1 feita em uma u ńica situa¸c˜ ao; qual seja, aquela em que xn = 0, para n ≥ j +1 e yn = 1, para n ≥ j + 1.

como

Tendo em vista os argumentos anteriores, resulta injetiva a seguinte aplica¸cão λ : B −→ [ 0, 1 ] P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn 2n

N onde B é o subconjunto de 0, 1 cujos elementos n˜ ao têm todos os termos ∗ iguais a 1, a partir de alguma posi¸cão . Por exemplo: 0101010101... ∈ B

e

1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 . . . 6∈ B

Mostraremos agora que λ é sobre [ 0, 1 [. Seja dado, arbitrariamente, um ponto x ∈ [ 0, 1 [ e mostremos que este é imagem, por λ, de alguma sequência bin´ aria de B. De fato, dividamos o intervalo [ 0, 1 [ ao meio, assim [ 0, 1 [=

1 h [ 1 1 j j + 1h = 0, , ,1 ∪ 2 2 2 2

j=0

sendo assim, x pertence a um, e s´ o um, desses subintervalos, digamos x ∈ x1 x1 +1 I1 = 2 , 2 : 0

0

p1 2

1 2

1

s

x

1

I1

Após o “corte” se x resulta no subintervalo da esquerda x1 = 0, se, no da direita x1 = 1. No caso da figura temos x1 = 1. A seguir dividamos este 1 h h [ h x1 j x j + 1h x1 x1 +1 = + 2, 1 + 2 . subintervalo em dois outros, assim 2 , 2 2 2 2 2 j=0 h h x1 x2 x1 x2 +1 Selecionemos x2 tal que x ∈ I2 = 2 + 2 , 2 + 2 . 2

∗

2

Com a u ńica exce¸c˜ ao feita para a sequência 1 1 1 1 . . . a qual incluimos neste conjunto.

509

(parentêsis:) Observe que o extremo esquerdo deste P intervalo, no caso, x xn + 22 nada mais é que a segunda soma parcial da série cão 2n (da defini¸ 2 x1 x2 x3 de λ). Por exemplo, o extremo esquerdo de I3 seria 2 + 2 + 3 , a terceira 2 2 soma parcial da referida série. x1 2

x1 = 0

x1 = 1

s

x2 = 0

x2 = 1

1

x2 = 0

x2 = 1

x

3 4

s

1 2

1 4

0

I1

x

1 2

0

I2

1

No caso da figura x2 = 0. Dividindo o intervalo [ 0, 1 [ em quatro partes os dois primeiros digitos (x1 x2 . . .) da sequência que pretendemos associar a x, s˜ ao as “coordenadas” do ponto x de acordo com o diagrama a seguir: x1 x2 00 0

01 1 4

10

11

1 2

3 4

1

0 0 1 1

0 1 0 1

Resumindo: x1 nos diz em qual metade do intervalo encontra-se x; x1 x2 nos diz em qual quarta parte do intervalo encontra-se x. Este processo de divisões sucessivas é continuado indefinidamente. Consideremos ¯In o intervalo fechado com os mesmos extremos de In . Observe que ( ¯In ) é uma sequência de intervarlos que cumpre as hip´ oteses do teorema ∞ ¯ dos intervalos encaixantes (p. 604), por conseguinte ∩n=1 In consiste em um ¯ u ńico ponto. Como x ∈ ∩∞ encia formada pelas n=1 In , resulta que a sequˆ P xn extremidades esquerdas dos In converge para x, isto é, ∞ n=1 2n = x. Sendo assim tomamos a sequência bin´ aria (x1 x2 x3 . . .) para corresponder a x. Resulta assim que λ é uma bije¸cão e, desta forma, podemos identificar os elementos de ambos os conjuntos: [ 0, 1 ] e B. λ : B −→ [ 0, 1 ] P (xn ) 7−→ ∞ n=1 510

xn 2n

Defini¸c˜ ao de representa¸c˜ ao bin´ aria λ sendo uma bije¸c˜ ao possui inversa λ−1 : [ 0, 1 ] → B. A imagem de um −1 aria de x. Isto x ∈ [ 0, 1 ] por λ é o que chamamos de representa¸cão bin´ é, diremos, por defini¸c˜ ao, que uma representa¸cão bin´ aria é um elemento de B. Sendo assim, por exemplo, 1 0 1 0 1 0 . . . é uma representa¸cão bin´ aria, enquanto 0 1 0 1 1 1 1 . . . n˜ ao. Dizemos que os n´ umeros do intervalo [ 0, 1 ] s˜ ao codificados pelos elementos de B. Mais uma alternativa para se definir representa¸ c˜ ao O que aconteceria se, na constru¸cão anterior, optarmos por abrir todos os subintervalos ` a esquerda?, por exemplo assim: 000 0

001 1 8

010 1 4

011 3 8

100 1 2

101 5 8

110 3 4

111 7 8

1

x1 x2 x3

Observe que com esta escolha estamos optando pelas codifica¸cões: ⇒ 18 = 0 0 0 1 1 1 . . . x = 18 ⇒ x ∈ 0, 81 ⇒ 41 = 0 0 1 1 1 1 . . . x = 41 ⇒ x ∈ 18 , 14 x = 43 ⇒ x ∈ 58 , 34 ⇒ 43 = 1 0 1 1 1 1 . . . ⇒ 87 = 1 1 0 1 1 1 . . . x = 87 ⇒ x ∈ 34 , 78

Procedendo como na constru¸c˜ ao anterior podemos mostrar que a aplica¸cão, ˜: B ˜ −→ ] 0, 1 ] λ P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn 2n

˜ é o subconjunto de 0, 1 N cujos elementos n˜ resulta injetiva. Onde, B ao têm todos os termos iguais a 0, a partir de alguma posi¸cão. Se incluirmos ˜ podemos fechar o intervalo unit´ a sequência 0 0 0 0 . . . em B ario à esquerda. ˜ é também sobrejetiva, Pelo teorema dos intervalos encaixantes, resulta que λ portanto, ˜: B ˜ −→ [ 0, 1 ] λ P xn (xn ) 7−→ ∞ n=1 2n

é uma bije¸c˜ ao. Deste modo, temos duas alternativas para definir representa¸cões (codifica¸c˜ oes) bin´ arias. Por exemplo, 3 = 011000... 8

ou

3 = 010111... 8

˜ respectivamente. dependendo se optarmos pela bije¸cão λ ou λ, 511

Duplicidade × Ambiguidade

Há que se fazer distin¸cão entre duplicidade e ambiguidade nas representa¸c˜ oes bin´ arias (ou decimais). Duplicidade significa, precisamente, que temos duas op¸c˜ oes para definir representa¸cões; ambiguidade significa que n˜ ao optamos, ficamos com as duas representa¸cões simultˆ aneamente. − Entendemos uma representa¸cão (bin´ aria no caso) como uma codifica¸c˜ ao dos elementos de um conjunto (no caso [ 0, 1 ]) pelos elementos de ˜ esta codifica¸cão se d´ um outro conjunto (no caso B ou B), a justamente via bije¸c˜ ao. Importante! O leitor, com um pouco de reflexão, h´ a de concluir que a existência da representa¸cão (bije¸cão) s´ o ser´ a poss´ıvel se a op¸cão for feita (geometricamente significa que devemos optar por um dos diagramas: abertos ` a esquerda ou ` a direita) − caso contr´ ario n˜ ao haver´ a bije¸cão e, em decorrência, n˜ ao poder´ a haver representa¸cão. Ora, uma vez feita a op¸cão, as ambiguidades deixam de existir − tornam-se meros fantasmas a assombrar criancinhas desavisadas. Adendo: Vou insistir, de uma outra perspectiva, na diferen¸ca entre ambiguidade e duplicidade, desta vez me valendo de uma analogia com a inform´ atica. Vejo a quest˜ ao da representa¸cão (decimal, bin´ aria, . . . ) dos reais algo similar ao que acontece com a codifica¸ca õ dos caracteres do teclado de um computador, que s˜ ao codificados pela tabela ASCII, por exemplo (p. 34):

As

3s .. .

α

α−1

s0 1 0 0 0 0 0 1

s0 0 1 1 1 1 0 0 s0 0 1 1 0 0 1 1

.. .

{ 0, 1 }8

Teclado

O fato de existirem várias possibilidades para a codifica¸cão dos caracteres de um computador n˜ ao inviabiliza∗ a inform´ atica; isto significa, tão somente, que devemos optar por uma dentre estas várias possibilidades. Enfatizo: A diferen¸ca entre ambas é que na ambiguidade − no que os matem´ aticos crêm − um n´ umero é codificado de dois modos distintos e na duplicidade, apenas de um modo − embora tenhamos duas alternativas à nossa escolha. ∗

E nem complica, como acontece na matem´ atica com algumas constru¸c˜ oes que dependem de representa¸c˜ oes (codifica¸c˜ oes), a exemplo da Curva de Peano. Neste particular, os engenheiros de hardware foram mais inteligentes que os matem´ aticos. Isto é, fixaram uma das − poss´ıveis − codifica¸c˜ oes e pronto!

512

De outro modo: Ambiguidade seria, por exemplo, se a letra A tivesse duas codifica¸c˜ oes. No caso da inform´ atica existe n˜ ao duplicidade mas multiplicidade, uma vez que podemos codificar um caracter de in´ umeros modos. Mas o que acontece é que na inform´ atica n˜ ao se ouve falar de ambiguidade na representa¸c˜ ao de um caracter, simplesmente porque todos os fabricantes optaram por uma u ńica codifica¸c˜ ao; caso contr´ ario a inform´ atica se tornaria inviável: alguém digitaria a letra A em um email e o destinatário receberia a letra B, por exemplo, uma verdadeira torre de babel. Aproveitando este exemplo, observe que a elimina¸cão da ambiguidade (multiplicidade) traz vantagens, simplifica¸cões; é precisamente isto que estou defendendo que deva ocorrer na matem´ atica no que diz respeito às representa¸co ˜es que nada mais s˜ ao que codifica¸co ˜es para os n´ umeros reais. Conclus˜ ao: Quando dizemos o “mito das ambiguidades” ou “fantasmas das ambiguidades” entendemos que as ambiguidades (fantasmas) de fato existem apenas se adotamos a defini¸cão de representa¸cões via convergência de séries, caso contr´ ario n˜ ao. Com efeito, pela alternativa das bije¸cões surge uma duplicidade (n˜ ao ˜ a repreambiguidade), uma vez que optemos por uma das bije¸cão, λ ou λ, senta¸cão torna-se u ńica. Por oportuno, na referência [9]/p. 60 o autor define a representa¸cão dos inteiros via bije¸c˜ ao. Na p. 62 lemos: “A justificativa da validade da representa¸ c˜ ao acima se apoia no Teorema 7 que nos garante ser uma bije¸cão a fun¸cão + Z+ b −→ Z xn . . . x0 7−→ c0 + · · · + cn · bn

onde Z+ e o conjunto dos elementos da forma xn . . . x0 , com xn 6= 0 se n > 1 b ´ e onde para cada i, tem-se que ci é o inteiro correspondente ao s´ımbolo xi .” De igual modo deve suceder na representa¸cão dos reais; digo, se escolhermos definir via bije¸c˜ ao ent˜ ao somos for¸cados a optar entre duas bije¸cões poss´ıveis; caso n˜ ao optemos, insistimos, n˜ ao haver´ a bije¸cão e, por conseguinte, n˜ ao haver´ a representa¸c˜ ao; a n˜ ao ser via séries como faz o autor já referido ( [5] ) mas a´ı surge o inconveniente das ambiguidades (fantasmas). . . é uma quest˜ ao de pura l´ ogica (inteligência!). Nossa perspectiva e a literatura No que se segue vamos considerar, a exemplo das representa¸cões bin´ arias, as seguintes representa¸c˜ oes (bije¸c˜ oes) decimais: λ : D −→ [ 0, 1 ] P (xn ) 7−→ ∞ n=1 513

xn 10n

N onde D é o subconjunto de 0, 1, 2, . . . , 9 cujos elementos n˜ ao têm todos os termos iguais a 9, a partir de alguma posi¸cão∗ . Observe que, neste caso, .4999 . . . n˜ ao é a representa¸cão decimal de 21 . Também, ˜: D ˜ −→ [ 0, 1 ] λ P (xn ) 7−→ ∞ n=1

xn n 10

˜ é o subconjunto de 0, 1, 2, . . . , 9 N cujos elementos n˜ onde D ao têm todos † os termos iguais a 0, a partir de alguma posi¸cão . Observe que, neste caso, .4999 . . . é a representa¸c˜ ao decimal de 12 . • No livro “Meu Professor de Matemática” (4a Edi¸cão) o Prof. Elon Lages Lima, trata das representa¸cões decimais. Vejamos, à luz de nossas considera¸c˜ oes, a an´ alise de alguns pontos considerados pelo autor (p. 162): 7. D´ uvidas sobre d´ızimas . . . Duas das mais interessantes entre essas perguntas foram feitas por Sun Hsien Ming, de S˜ ao Paulo, SP. Elas s˜ ao: 1a ) Existe alguma fra¸caõ ordinária tal que, dividindo-se o numerador pelo denominador, obtenha-se a d´ızima peri´ odica 0, 999 . . .? No nosso entendimento existe um equ´ıvoco tanto na pergunta quanto na resposta, precisamente devido ao mito de se crê que 0, 999 . . . seja um n´ umero. Com efeito, o Prof., argumenta: “Se a e b forem n´ umeros naturais com a/b = 0, 999 . . .” − J´ a vimos (p. 167) que 0, 999 . . . é uma série e n˜ ao um n´ umero, por conseguinte n˜ ao faz sentido a divisão de dois n´ umeros resultar em uma série; s˜ ao objetos (entes) de naturezas distintas. 2a ) O fato de a mesma fra¸cão ordinária poder ter duas representa¸cões decimais distintas (como 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . .) n˜ ao apresenta inconveniente nem origina paradoxos? Uma boa pergunta. No nosso entendimento achamos que o Prof. Elon usa de tergiversa¸c˜ ao ao tentar respondê-la, como o leitor pode verificar lendo sua resposta no citado livro. No final da argumenta¸cão lemos: “Nenhuma dessas escolhas é muito natural.” Não sei o que o prof. entende por “muito natural”, porquanto do ponto de vista da l´ ogica as duas s˜ ao igualmente naturais, basta que optemos por ˜ uma das bije¸c˜ oes: λ ou λ. ∗

Com a u ńica exce¸c˜ ao feita para a sequência (9 9 9 9. . . ) a qual foi inclu´ıda neste conjunto. † Com a u ńica exce¸c˜ ao feita para a sequência (0 0 0 0. . . ) a qual foi inclu´ıda neste conjunto.

514

Em seguida: “Por isso me parece mais razo´ avel que nos resignemos com a falta de biunivocidade. H´ a coisas piores no mundo.” Este n˜ ao me parece um conselho muito s´ abio, embora em um ponto o Prof. tenha raz˜ ao, de fato h´ a coisas piores no mundo: as bombas sobre hiroshima e nagasaki, ou a prolifera¸cão, em nosso pa´ıs, de surrupiadores dos cofres p´ ublico, por exemplo. − Eu diria que n´ os n˜ ao devemos nos “resignar” com a falta de biunivoario, existe excesso: cidade mas, sim, nos “rejubilar” pelo excesso; pelo contr´ ˜ ). oes bi´ univocas ( λ e λ existem duas aplica¸c˜ De nossa perspectiva respondemos a Sun Hsien Ming: a dupla igualdadade 2/5 = 0, 4000 . . . = 0, 3999 . . . é válida apenas do ponto de vista de convergência de séries, do ponto de vista das representa¸cões decimais ela é falsa∗ , n˜ ao tem sustenta¸c˜ ao l´ ogica. O correto é, 2/5 = 0, 4000 . . . , se escolhermos λ, ou,

˜ 2/5 = 0, 3999 . . . , se escolhermos λ.

Infinito atual × Infinito potencial A nossa exegese (sobre as representa¸cões) poderia ainda levar em conta a controversa quest˜ ao dos infinitos potencial e atual, n˜ ao nos esten† deremos mais, apenas a este respeito citaremos a referência , na qual lemos: “O pr´ıncipe dos matem´ aticos, Carl Friedrich Gauss (1777 − 1855), expressando um sentimento compartilhado pela comunidade matem´ atica de sua época, escreveu, por exemplo: “Eu contesto o uso de um objeto infinito como um todo completo; em matem´ atica, essa opera¸ca õ é proibida; o infinito é s´ o um modo de dizer” . Isto tem a ver com: (p. 173) lim αn = 1

⇔

α∞ = 0, 999 . . . = 1

lim pn = σ

⇔

p∞ = σ

n→∞ n→∞

ao apenas modos de dizer”. Ou ainda: Os infinitos, α∞ e p∞ , “s˜ 0, 999 . . . 9 | {z }

⇒

infinito potencial

0, 999 . . . | {z }

infinito atual

A passagem do infinito potencial para o infinito atual “é apenas um modo de dizer. . . ” (p. 177) ∗ †

agina 512. Ver Importante! na p´ Scientific American - Edi¸c˜ ao Especial - As diferentes faces do infinito/p. 18.

515

9.6.2

A curva de Peano

A elimina¸c˜ ao dos fantasmas das ambiguidades nas representa¸cões bin´ arias nos facultou, de imediato, três vantagens: 1a ) Simplifica¸c˜ ao numa das constru¸cões da curva de Peano. De fato, na constru¸c˜ ao desta curva constante em [5] o autor se utiliza − para contornar as supostas ambiguidades − de duas bases de representa¸cões: a bin´ aria e a tern´ aria, além do conjunto de Cantor. Em nossa constru¸cão dispensamos a base três e o conjunto de Cantor. ao de uma nova patologia: o quadrado hiperm´ agico, uma 2a ) A constru¸c˜ espécie de “inversa” da curva de Peano. 3a ) A constru¸c˜ ao de uma curva de Peano inédita, desta vez no quadrado [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [. O século XIX se iniciou com a descoberta de que curvas e fun¸cões n˜ ao precisam ser do tipo bem comportado, o que até então se supunha. Peano∗ em 1890 mostrou até que ponto a matem´ atica podia insultar o senso comum quando, tratando do aprofundamento dos conceitos de continuidade e dimens˜ ao, publica a sua famosa curva, proposta como cobrindo totalmente uma superf´ıcie plana quadrangular. A curva de Peano hoje possui aplica¸cões em compressão de imagens digitais, aqui sugerimos uma aplica¸cão desta curva − em conexão com uma outra patologia por n´ os construida − na teoria das supercordas, no que concerne a transferência de objetos entre dimensões arbitrárias. Defini¸ c˜ ao 65 (Curva de Peano). Chama-se curva de Peano num espa¸co métrico (M, d) a uma aplica¸ca õ cont´ınua χ : I → M tal que χ I = M . Por exemplo, de momento iremos construir a seguinte curva de Peano:

χ : [ 0, 1 ] −→ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] 1

0

1

r

χ

0

∗

r

(1,1)

1

Giuseppe Peano (1858 − 1932), natural de Cuneo, It´ alia, foi professor da Academia Militar de Turin, com grandes contribui¸c˜ oes ` a Matem´ atica. Seu nome é lembrado hoje em conex˜ ao com os axiomas de Peano dos quais dependem tantas constru¸c˜ oes rigorosas da ´ algebra e da an´ alise.

516

Uma constru¸c˜ ao simplificada da curva de Peano Inicialmente vamos definir a seguinte aplica¸cão B 1 xr

Ψ : [ 0, 1 ] −→ B

x 7−→ (xn )

Ψ

r(xn )

0

Onde associamos a cada x ∈ [ 0, 1 ] sua representa¸cão na base bin´ aria. Ψ é uma bije¸c˜ ao. De fato, é injetiva porquanto se x 6= y, como a representa¸cão bin´ aria é u ńica∗ , resulta que (xn ) 6= (yn ), isto é, Ψ(x) 6= Ψ(y). ´ EPsobrejetiva, porquanto dado (xn ) ∈ B esta é imagem, por Ψ, de xn ∈ [ 0, 1 ]. Portanto Ψ admite inversa: Ψ−1 . x= 2n Para mostrar que a aplica¸c˜ ao Ψ:

[ 0, 1 ], µ −→ B, ν x

7−→ (xn )

é cont´ınua, vamos mostrar inicialmente que sua inversa: Ψ−1 :

B, ν −→ [ 0, 1 ], µ (xn ) 7−→ x

é cont´ınua. Mas isto já foi feito, tendo em conta o exemplo (ii) (p. 249) e o corol´ ario 9 (p. 271). Agora com o aux´ılio do corol´ ario 40 (p. 485) concluimos que Ψ é cont´ınua. Ou melhor: Ψ é um homeomorfismo. No que segue necessitaremos dos seguintes conceitos

Multiplexa¸c˜ ao e Demultiplexa¸c˜ ao Multiplexa¸ca õ é o nome de uma opera¸cão muito comum a n´ıvel de hardware em computa¸c˜ ao e telefonia. Vejamos em que consiste: uma mensagem em computa¸c˜ ao é codificada em uma sequência de digitos bin´ arios. Quando duas ou mais mensagens necessitam trafegar em um u ńico canal − uma u ńica via − utiliza-se do recurso ilustrado na figura a seguir: ∗ Uma vez feita a escolha da representa¸c˜ ao esta passa a ser u ńica, como j´ a argumentamos. Por sinal vamos optar pela representa¸c˜ ao λ, ver p. 511.

517

... 0 1 0 0 0 0 0 1

... 0 1 0 0 0 0 0 1

ց

Z

... 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 TX

ր

... 0 1 0 1 1 0 1 0

∼

A

RX

r

ր ց

... 0 1 0 1 1 0 1 0

Na figura estamos transmitindo as letras A e Z (tabela ASCII). Na transmiss˜ ao (TX) as duas sequências bin´ arias s˜ ao entrela¸cadas (multiplexadas); isto é, a sequência a ser transmitida, no u ńico canal, é formada pelo primeiro bit de A, seguido pelo primeiro bit de Z, seguidos pelo segundo bit de A, seguido pelo segundo bit de Z, e assim sucessivamente. Na recep¸cão (RX) d´ ar-se-´ a o procedimento inverso (demultiplexa¸cão). Com esse “truque” milhares de pessoas, em localidades distantes, podem se comunicar utilizando-se de um u ńico canal − suas mensagens (voz, imagem, m´ usica, email, etc.) s˜ ao codificadas em sequências bin´ arias. • Agora vamos definir uma aplica¸cão (η), assim: B

η: B (xn )

N

:

N

{0, 1} × {0, 1} η1 (xn ), η2 (xn )

η

(xn ) q

{0, 1}N

q (η

1 ,η2 )

N

{0, 1}

Onde ηi : B −→ {0, 1}N (i = 1, 2) s˜ ao dadas por η1 (xn ) = η1 (x1 x2 x3 . . .) = x1 x3 x5 . . .

η2 (xn ) = η2 (x1 x2 x3 . . .) = x2 x4 x6 . . .

Isto é, η1 toma de xn sua subsequência de ´ındices ´ımpares e η2 toma de xn sua subsequência de ´ındices pares: η1

x1 x2 x3 x4 x5 . . .

η2

x1 x3 x5 x7 . . .

x2 x4 x6 x8 . . .

Ou seja, a aplica¸c˜ ao η demultiplexa a sequência xn . 518

A aplica¸c˜ ao η é injetiva porquanto η(xn ) = η(yn ) ⇒ η1 (xn ), η2 (xn ) = η1 (yn ), η2 (yn ) ⇒ x1 x3 x5 . . . , x2 x4 x6 . . . = y 1 y 3 y 5 . . . , y 2 y 4 y 6 . . . ⇒ x1 x3 x5 . . . = y 1 y 3 y 5 . . . e x2 x4 x6 . . . = y 2 y 4 y 6 . . .

⇒ (xn ) = (yn ). A aplica¸c˜ ao η n˜ ao é sobrejetiva. De fato, por exemplo o ponto N

N

(0 1 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) ∈ {0, 1} × {0, 1} n˜ ao é imagem de nenhum ponto do dom´ınio (por quê?).

Vamos agora envidar esfor¸cos para mostrar que η é cont´ınua. Antes mostraremos que é cont´ınua a seguinte restri¸cão de η: α : B′ −→ B′ × B′

(9.8)

onde B′ ⊂ B, é tal que:

(xn ) ∈ B′ ⇐⇒ suas subsequências de ´ındices ´ımpares e pares pertencem a B. No apêndice (p. 560) mostramos que B′ é compacto e denso. A aplica¸c˜ ao α é uma bije¸c˜ ao. De fato, é injetiva porquanto α(xn ) = α(yn ) ⇒ α1 (xn ), α2 (xn ) = α1 (yn ), α2 (yn ) ⇒ x1 x3 x5 . . . , x2 x4 x6 . . . = y 1 y 3 y 5 . . . , y 2 y 4 y 6 . . . ⇒ x1 x3 x5 . . . = y 1 y 3 y 5 . . . e x2 x4 x6 . . . = y 2 y 4 y 6 . . .

⇒ (xn ) = (yn ). ´ sobrejetiva porquanto dado (x x x . . . , y y y . . .) ∈ B′ × B′ este ponto E 1 2 3 1 2 3 é imagem, por α, da sequência x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . ., como é fácil verificar. A inversa da aplica¸c˜ ao α é: α−1 : B′ × B′ (x1 x2 x3 . . . , y1 y2 y3 . . .)

B′ x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3 . . .

De outro modo, x = x1 x2 x3 x4 . . . α−1

x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3 . . .

y = y1 y2 y3 y4 . . . −1

A aplica¸c˜ ao α

faz uma multiplexagem das sequências xn e yn . 519

• Para mostrar que a aplica¸cão α : B′ (xn )

B′ × B′ α1 (xn ), α2 (xn )

é cont´ınua vamos mostrar que sua inversa, α−1 , é cont´ınua: Utilizaremos no produto B′ × B′ a métrica D3 (x, y) = max { d1 (x1 , y1 ); d2 (x2 , y2 ) } Pois bem, dados a ∈ B′ × B′ e ε > 0 devemos exibir δ > 0 de modo que, se x ∈ BD a; δ =⇒ α−1 (x) ∈ Bν α−1 (a); ε 3

Ou, de modo equivalente

Observe que

D3 (x, a) < δ =⇒ ν α−1 (x), α−1 (a) < ε

a = (a1 a2 a3 . . . , b1 b2 b3 . . .)

⇒

x = (x1 x2 x3 . . . , y1 y2 y3 . . .)

⇒

α−1 (a) = a1 b1 a2 b2 a3 b3 . . . α−1 (x) = x1 y1 x2 y2 x3 y3 . . .

Temos (

∞ ∞ X |xn − an | X |yn − bn | D3 (x, a) < δ ⇐⇒ max , , 2n 2n n=1

n=1

)

<δ

Também −1

ν α

−1

(x), α

Observe que

e, de igual modo

∞ ∞ X |xn − an | X |yn − bn | + <ε (a) < ε ⇐⇒ 22n−1 22n n=1 n=1 ∞ ∞ X |xn − an | X |xn − an | < <δ 2n 22n−1 n=1 n=1 ∞ ∞ X |yn − bn | X |yn − bn | < <δ n 2n 2 2 n=1 n=1

Somando estas desigualdades vemos que é suficiente tomar 2 δ = ε, isto é, δ = 2ε . Pois bem, com o aux´ılio do corol´ ario 40 (p. 485) concluimos que α é cont´ınua. Sendo α : B′ −→ B′ × B′ cont´ınua, ou melhor ainda, um homeomorfismo uniforme entre subespa¸cos densos B′ ⊂ {0, 1}N e B′ ×B′ ⊂ {0, 1}N ×{0, 1}N , α se estende, de modo u ńico, a um homeomorfismo uniforme: 520

(corol. 20, p. 347) N

N

N

F : {0, 1} −→ {0, 1} × {0, 1} Portanto a restri¸c˜ ao de F : N

N

η : B −→ {0, 1} × {0, 1} é cont´ınua. • Agora vamos definir a aplica¸c˜ ao ξ: N

N

ξ : {0, 1} × {0, 1} (xn ), (yn )

onde,

(x, y) =

∞ X x

n n

n=1

,

∞ X y n n

2 n=1

ξ

{0, 1}N

(yn )

2

I×I (x, y)

1

r (xn )

0

{0, 1}N

r (x, y)

(1,1)

1

A aplica¸c˜ ao ξ n˜ ao é uma bije¸c˜ ao. De fato, ξ n˜ ao é injetiva (por quê?). P x n P yn ξ é sobrejetiva porquanto dado (x, y) = ∈ I×I este ponto , 2n 2n N N é imagem, por ξ, do ponto (xn ), (yn ) ∈ {0, 1} × {0, 1} .

Para mostrar que a aplica¸c˜ ao ξ é cont´ınua, utilizaremos a métrica do N m´ aximo em ambos os produtos cartesianos. Com efeito, dados a ∈ {0, 1} × N {0, 1} e ε > 0, devemos exibir δ > 0 de modo que se D3 (x, a) < δ ⇒ D3 ξ(x), ξ(a) < ε

Observe que,

a = (a1 a2 a3 . . . , b1 b2 b3 . . .)

⇒

x = (x1 x2 x3 . . . , y1 y2 y3 . . .)

⇒

Então,

P bn P ) ξ(a) = ( a2nn , 2n P x n P yn ξ(x) = , 2n 2n

X xn X an − D3 ξ(x), ξ(a) < ε ⇐⇒ max , 2n 2n 521

X y X b n n − <ε 2n 2n

Resumindo temos que determinar δ > 0 de modo que nP max

|xn − an | P |yn − bn | , n n 2 2

o

n P < δ ⇒ max

xn n 2

−

P

an n 2

P y , n n 2

−

P

bn n 2

Observando que X x X a X x − a X |x − a | n n n n n n − <δ = ≤ 2n 2n 2n 2n X y X b X y − b X |y − b | n n n n n n − <δ ≤ n n = n n 2 2 2 2

o <ε

vê-se que é suficiente tomar δ = ε.

Compondo as aplica¸cões anteriores, temos a seguinte curva de Peano: B

1

z

s

s

Ψ

{ 0, 1 }N

η

ξ

1

s

η2

0

η1

{ 0, 1 }N

s(x, y)

0

1

• Curva de Peano simplificada A composi¸c˜ ao destas várias transforma¸cões é a transforma¸cão procurada. Resumindo, temos 1

z 0

1

r

χ

r

0

(1,1)

1

onde χ : I −→ I × I é tal que

z 7−→ (x, y)

χ = ξ ◦ η ◦ Ψ ⇒ χ(z) = ξ ◦ η ◦ Ψ (z) = ξ ◦ η Ψ(z) = ξ η(Ψ(z))

Para efeito dos exemplos a seguir continuaremos com a codifica¸cão λ (p.

522

511).

Exemplos: 1) Calcule a imagem, por χ, de z = 0, 8. Solu¸ ca õ (acompanhe pela figura, p. 522): Desenvolvendo 0, 8 na base 2, temos 0, 8 = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . . então Ψ(0, 8) = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .. Aplicamos η à sequência anterior:

η1

1 0 1 0 1 0 1 01 . . .

11001100110011... η2

101010101...

Temos η1 , η2 ∈ {0, 1}N × {0, 1}N . Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde x=y=

Portanto χ(0, 8) =

2 2 3, 3

1 0 1 0 2 1 + 2 + 3 + 4 + ··· = 3 2 2 2 2

.

2) Calcule a imagem, por χ, de z = 0, 3. Solu¸ ca õ: Desenvolvendo 0, 3 na base 2, temos 0, 3 = 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . . Então Ψ(0, 3) = 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .. Aplicamos η à sequência anterior:

η1

001010101...

01001100110011... η2

101010101...

Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde x=

0 1 0 1 0 1 0 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 6 21 2 2 2 2 2

y=

1 0 1 0 1 0 2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 3 21 2 2 2 2 2

523

Portanto χ(0, 3) =

1 0,8

0

. A geometria da situa¸cão fica 6

χ

:

r

1 2 3¬

r

1 2¬

0,3

1 2 6, 3

1¬ 3

χ

:

r ¬

0

3) Calcule a imagem, por χ, de z =

r

(1,1)

1 1 6 3

¬

2 3

1

-

5 12 .

Solu¸ c˜ ao: Desenvolvendo 5/12 na base 2, obtemos 5 = 01101010101010... 12 Ent˜ ao Ψ(5/12) = 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .. Aplicamos η ` a sequência anterior: η1

011111111...

01101010101010... η2

100000000...

Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 : ξ (η1 , η2 ) = (x, y), onde x=

1 1 1 1 1 1 0 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 2 2 2 2 2 2 2

1 0 0 0 0 0 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 2 2 2 2 2 2 2 5 = 12 , 12 . Portanto χ 12 y=

Pontos duplos e triplos no quadrado

J´ a vimos que na transforma¸cão a seguir 1

1 z

0

s

χ

0

524

1

os pontos do intervalo cobrem toda a superf´ıcie do quadrado (sobrejetora). Como a aplica¸c˜ ao n˜ ao é injetiva, concluimos que existem posi¸cões no quadrado que recebem mais de um ponto do intervalo. Nosso objetivo agora ser´ a descobrir esses pontos. Exemplo: Quais pontos do intervalo chegam no ponto 41 , 12 ?

Solu¸ ca õ: Tendo em conta a figura na p. 522: da figura a seguir

s

{ 0, 1 }N

(a, b)

1 4

s

1 2

( 14 , 21 )

{ 0, 1 }N

concluimos que a e b s˜ ao sequências que devem convergir para 1/4 e 1/2, respectivamente. Tendo em conta que 1 2

= 10000...

1 4

= 01000...

1 2

= 01111...

1 4

= 00111...

Interregno: Estas igualdades devem ser entendidas no sentido de convergência e n˜ ao de codifica¸c˜ ao (representa¸cões). Se bem que as duas primeiras s˜ ao também codifica¸c˜ oes − por pertencerem a B. Essa distin¸c˜ ao, sou eu quem est´ a criando, os matem´ aticos n˜ ao fazem tal diferen¸ca − confudem tudo∗ −, da´ı uma das raz˜ oes, segundo creio, pelas quais eles nunca atinaram, n˜ ao apenas com essa constru¸cão que ora desenvolvo, como também com a “inversa” (“volta”) da curva de Peano, que estaremos construindo logo mais. Pois bem, sendo assim, temos as seguintes possibilidades para o par (a, b): 1 4

1 2

↓

↓

(0 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) (0 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) (0 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) (0 0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) Multiplexando cada um destes pares de sequências, obtemos: ∗

Ainda por conta dos fantasmas das ambiguidades.

525

010000 ... 01100000...

100000 ... 010000 ...

00110101...

011111 ... 001111 ...

01001010...

100000 ... 001111 ...

00011111...

011111 ...

6∈ B

Au ´ltima sequência n˜ ao pertence ao conjunto das codifica¸cões − pode ser ignorada. Convertendo as outras três para decimal, obtemos: 10 7 3 , 00110101... = , 01001010... = 8 48 24 Portanto estes s˜ ao os três pontos do intervalo que ser˜ ao guardados na 1 1 posi¸c˜ ao 4 , 2 do quadrado. Isto é, 3 10 7 1 1 χ =χ =χ = , 8 48 24 4 2 Ou ainda, uniformizando os denominadores 10 14 18 1 1 =χ =χ = , χ 48 48 48 4 2 Imaginando o intervalo como sendo uma das arestas do quadrado, temos 01100000... =

s( 1 , 1 )

)=χ( 14 )=χ( 18 )=( 14 , 12 ) χ( 10 48 48 48

4

2

sss λ

Observe que um outro modo de interpretar χ é que ela transfere os pontos da aresta do quadrado, para o pr´ oprio quadrado, de modo que toda a superf´ıcie do quadrado é coberta e, como se n˜ ao bastasse, podemos ter até três pontos da aresta transferidos para uma mesma posi¸cão do quadrado. Exemplo: 526

Encontrar os pontos do intervalo que s˜ ao levados no ponto 12 , 34 . Solu¸ ca õ: Da experiência adquirida no exemplo anterior, podemos escrever:   VV : (1 0 0 0 0 . . . , 1 1 0 0 0 . . .) −→ 1 1 0 1 0 0 0 0 0 . . .      VF : (1 0 0 0 0 . . . , 1 0 1 1 1 . . .) −→ 1 1 0 0 0 1 0 1 0 . . .  1 3 , → 2 4   FV : (0 1 1 1 1 . . . , 1 1 0 0 0 . . .) −→ 0 1 1 1 1 0 1 0 1 . . .      FF : (0 1 1 1 1 . . . , 1 0 1 1 1 . . .) −→ 0 1 1 0 1 1 1 1 1 . . . 6∈ B

Onde: V significa a verdadeira codifica¸cão (da fra¸cão) em bin´ ario e F a falsa (apenas no sentido de convergência). As sequências ap´ os cada seta foram obtidas pela multiplexa¸cão das sequências em cada par ordenado. Sendo assim temos:

39 48

(1 0 0 0 0..., 1 1 0 0 0...)

Ψ

η

concluimos que λ

=

1 3 2, 4

{ 0, 1 }N

ξ

. Da alternativa seguinte { 0, 1 }N

( 21 , 34 )

1 1 0 0 0 1 0 1 0...

ր 0

39 48 B

1 37 48

( 21 , 34 )

1 1 0 1 0 0 0 0 0...

ր 0

{ 0, 1 }N

B

1

(1 0 0 0 0..., 1 0 1 1 1...)

Ψ

η

concluimos que λ

37 48

=

1 3 2, 4

{ 0, 1 }N

. Da alternativa seguinte { 0, 1 }N

B

1

ξ

( 21 , 34 )

0 1 1 1 1 0 1 0 1... 23 48

0

(0 1 1 1 1..., 1 1 0 0 0...)

Ψ

concluimos que λ

η 23 48

=

1 3 2, 4

{ 0, 1 }N

. 527

ξ

A multiplexa¸c˜ ao na u ´ltima alternativa ( FF ) n˜ ao resulta em B, portanto n˜ ao é considerada. Resumindo, temos 1, 3) (2 4

λ( 23 )=λ( 37 )=λ( 39 )=( 12 , 43 ) 48 48 48

s

χ

s

ss

Seja (x, y) um ponto do quadrado. Com um pouco de reflexão o leitor chegar´ a` as seguintes conclusões: a adicas então, neste ponto 1 ) Se ambas as coordenadas, x e y, forem fra¸cões di´ s˜ ao colocados três pontos da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa três vezes por pontos com ambas as coordenadas fra¸co˜es di´ adicas; 2a ) Se ambas as coordenadas, x e y, n˜ ao forem fra¸cões di´ adicas então, neste ponto é colocado apenas um ponto da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa uma u ńica vez em pontos com ambas as coordenadas n˜ ao di´ adicas; adica então, 3a ) Se apenas uma das coordenadas, x ou y, é uma fra¸cão di´ neste ponto é colocado dois pontos da aresta do quadrado. De outro modo: a curva passa duas vezes em pontos com apenas uma coordenada fra¸cão di´ adica; Uma quarta propriedade, menos evidente, é a que segue avel e denso no 4a ) O conjunto dos pontos duplos e triplos é infinito enumer´ quadrado. Infinito enumerável significa que podemos “cont´ a-los ”, assim como contamos os Naturais: N : 1,

2,

3,

4,

5, . . .

Denso significa que: fixado qualquer ponto no quadrado; arbitrariamente pr´ oximo − ou t˜ ao pr´ oximo quanto se queira − deste ponto fixado existir´ a um ponto duplo ou triplo.

9.6.3

O quadrado hiperm´ agico

A seguir construiremos um objeto matem´ atico (tão patol´ ogico quanto a curva de Peano) o qual, em conjunto com a curva de Peano, nos permitirá “transitar entre dimensões arbitrárias”. Defini¸ c˜ ao 66 (Quadrado hiperm´ agico). Chama-se quadrado hiperm´ agico num espa¸co métrico M, d , com M um quadrado (unit´ ario), a uma aplica¸ca õ cont´ınua ϕ : M → I injetiva e n˜ ao sobrejetora. I é um intervalo unit´ ario. 528

O que h´ a de paradoxal no quadrado hiperm´ agico é que conseguimos transferir todos os pontos do quadrado para sua aresta inferior (ou qualquer outra), sem sobrepor um ponto a outro e ainda sobram infinitos buracos (lacunas) na aresta! − como estaremos mostrando.

O quadrado hiper-m´ agico resume-se na composi¸cão das aplica¸cões mostradas na figura a seguir: B B

(1,1)

1

y

q

0

x

r

g

r

h

1

1 f

rz

0

B

• Quadrado hiperm´ agico Onde a aplica¸c˜ ao h : I × I −→ B × B (x, y) 7−→ (xn ), (yn )

é um homeomorfismo. A aplica¸c˜ ao g:

B×B

B

(xn ), (yn )

7−→

x1 y1 x2 y2 x3 y3 ...

é cont´ınua por ser a extens˜ ao cont´ınua de α : B′ × B′ −→ B′ ((9.8), p. 519). A aplica¸c˜ ao g executa uma multiplexagem das sequências (xn ) e (yn ). Vamos mostrar que g é injetiva mostrando que g(x) = g(y) ⇒ x = y. De fato, sejam as sequências: (xn ) = g(x) = g(y) = (yn ). (xn ) e (yn ) s˜ ao imagens, por g, dos pares de sequências x = (u1 u2 u3 . . . , v1 v2 v3 . . .) y = (z1 z2 z3 . . . , t1 t2 t3 . . .)

g

7−→

u1 v1 u2 v2 u3 v3 . . . = x1 x2 x3 . . .

7−→

z1 t1 z2 t2 z3 t3 . . . = y1 y2 y3 . . .

g

Como (xn ) = (yn ) segue que u1 = z1 , v1 = t 1 ,

u2 = z2 , v2 = t 2 ,

u3 = z3 , . . . v3 = t3 , . . .

⇒ ⇒

(un ) = (zn ) (vn ) = (tn )

portanto x = y. Esta aplica¸c˜ ao n˜ ao é sobrejetora, por exemplo o ponto ( 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) ∈ B n˜ ao é imagem, por g, de nenhum ponto de B × B. 529

De fato, suponha, ao contr´ ario, que isto aconte¸ ca; isto é que exista um ponto (xn ), (yn ) ∈ B×B tal que g (xn ), (yn ) = 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . ., sendo assim resulta x1 y 1 x2 y 2 x3 y 3 . . . = 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . . ent˜ ao, x1 = 0,

x2 = 1,

x3 = 1,

x4 = 1, . . .

y1 = 1,

y2 = 0,

y3 = 0,

y4 = 0, . . .

Logo,

⇒

⇒

(xn ) = (0 1 1 1 1 . . .) (yn ) = (1 0 0 0 0 . . .)

(xn ), (yn ) = (0 1 1 1 1 . . .), (1 0 0 0 0 . . .) ∈ B × B,

o que contradiz a constru¸cão (defini¸cão) de B. Definimos a aplica¸caõ f como f = Ψ−1 é um homeomorfismo. Resumindo, temos 1

0

r

(p. 517),

(1,1)

resultando assim que f

1

ϕ

rz

0

1

onde ϕ : I × I −→ I é tal que

(x, y) 7−→ z

ϕ = f ◦ g ◦ h ⇒ ϕ(x, y) = f ◦ g ◦ h (x, y) = (f ◦ g) h(x, y) = f g h(x, y)

Vejamos agora, através de exemplos, como essa transforma¸cão atua. Exemplos: 1) Como um primeiro exemplo, vamos transferir o centro do quadrado para o intervalo. O centro do quadrado é dado pelo par ordenado 12 , 12 .

Solu¸ c˜ ao: A transforma¸c˜ ao h obtém a representa¸cão bin´ aria de um ponto do quadrado (codifica-o), ou seja 1 1 = (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) h , 2 2 530

A transforma¸c˜ ao g faz uma multiplexa¸ca õ (entrela¸camento) destas duas sequências, veja: 100000 ... g

11000000...

100000 ... A transforma¸c˜ ao f converte esta u ´ltima sequência em um n´ umero do intervalo (decodifica), assim: 1 1 0 0 0 3 f (1 1 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · = 4 2 2 2 2 2 3 1 1 Finalmente, γ 2 , 2 = 4 . Vamos resumir o que aconteceu: B

B

s

1 y

0

s1

(

x

1 2, 2

1000...

h

) 1

1000...

g

s 11000...

1

f

4

0

B

2) Como mais um exemplo, vamos transferir o ponto

s3

1 1 3, 3

para o intervalo.

Solu¸ ca õ: Aplicando a transforma¸cão h a este ponto obtemos 1 1 h , = (0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . . , 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) 3 3 Aplicando g a este ponto obtemos: 010101010... g

001100110011...

010101010... Entregando esta u ´ltima sequência a f , obtemos 0 0 1 1 0 0 1 1 + ··· 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 2 2 2 2 2 2 2 28 1 1 1 1 1 1 = + 7 + 11 + · · · + + 8 + 12 + · · · 23 2 2 24 2 2

f (0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 . . .) =

=

2 1 1 + = 15 15 5 531

Portanto γ

1 1 3, 3

= 15 . Geometricamente, temos B B

s

1 0101...

y

h

s

s 00110011...

g

1

f

s1

( 31 , 13 )

0

5

1

x

0101...

0

B

Como encontrar buracos na aresta do quadrado Mostraremos agora como encontrar pontos no intervalo que n˜ ao s˜ ao imagens, por ϕ, de pontos do quadrado − é o que chamo de buracos no intervalo (ou posi¸c˜ oes ociosas). Inicialmente consideremos, por exemplo, a sequência ν dada assim 001010101010... Essa sequência pertence a B. A multiplexagem a seguir 0111111... 001010101010... ∈ B

0000000...

mostra que a sequência ν n˜ ao é imagem, por g, de nenhum ponto do espa¸co B × B, observe B

sν

00101010...

B 1 h

0

1

01111... 6∈ B

g

1 f f (ν) =

00000...

B

0

1 6

Logo, nenhum ponto de B × B chega na sequência ν. Isso implica em dizer que a imagem, por f , de ν, n˜ ao ser´ a ocupada por nenhum ponto do quadrado. Digo, f (ν), n˜ ao ser´ a imagem, por ϕ, de nenhum ponto do quadrado. Para encontrar o buraco no intervalo, calculamos:

532

f (0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .) =

=

0 0 1 0 1 0 1 0 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + ··· 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 + 5 + 7 + ··· = 6 2 2 2

O diagrama a seguir sugere como construir uma quantidade infinita de buracos no intervalo:  0 1 1 1 1 1 1 . . .

001010101010... ∈ B

0 0 0 0 0 0 0 . . .  0 0 1 1 1 1 1 . . .

000010101010... ∈ B

0 0 0 0 0 0 0 . . .  0 0 0 1 1 1 1 . . .

000000101010... ∈ B

0 0 0 0 0 0 0 . . .

Os pontos ` a direita n˜ ao s˜ ao imagens, por g, de pontos de B × B, por conseguinte suas imagens, por f , s˜ ao vazios (buracos) em [ 0, 1 ]. Vamos mostrar como, de modo geral, podemos encontrar um buraco no intervalo. Pois bem, tome no quadrado um ponto (x, y) no qual apenas uma das coordenadas é fra¸c˜ ao di´ adica. Sendo assim, temos as seguintes possibilidades (combina¸c˜ oes):   V : B×B    F : { 0, 1 }N × B, se x é di´ adica; (x, y) :    F : B × { 0, 1 }N , se y é di´ adica.

onde: A Verdadeira codifica¸c˜ ao do ponto (x, y) est´ a no espa¸co B × B, e a N falsa codifica¸c˜ ao em { 0, 1 } × B, caso x seja a fraçcão di´ adica e no espa¸co B × { 0, 1 }N se y for a fraçc˜ ao di´ adica.

Pois bem, a codifica¸c˜ ao verdadeira vai para um ponto da aresta (ou do intervalo) e a falsa “vai” para um buraco. Esclarecendo melhor: Dado (x, y) no quadrado, no qual x ou (exclusivo) y é fra¸c˜ ao di´ adica temos, para este ponto, uma codifica¸cão légitima (xn , yn ) 533

e uma esp´ uria (x′n , yn′ ). Temos que (x′n ) ou (yn′ ) (dependendo de quem seja fra¸c˜ ao di´ adica se x ou se y) tem todos os termos iguais a 1 a partir de alguma posi¸c˜ ao, enquanto que a outra sequência, n˜ ao sendo oriunda de uma fra¸cão di´ adica, tem um 0 e também um 1 em posi¸cões arbitrariamente grandes. Logo ao se multiplexar (x′n , yn′ ) resulta um ponto em B e a este um buraco na aresta. Se no par (x, y) tivermos duas cordenadas di´ adicas, teremos as seguintes possibilidades:

(x, y) :

  V V : B×B        V F : B × { 0, 1 }N

֌ gera ponto ֌ gera buraco

 F V : { 0, 1 }N × B        F F : { 0, 1 }N × { 0, 1 }N

֌ gera buraco ⇒ 6∈ B

Seja (x, y) um ponto do quadrado. Com um pouco de reflexão o leitor chegar´ a` as seguintes conclusões: adicas então este ponto 1a ) Se ambas as coordenadas, x e y, forem fra¸cões di´ vai para um ponto da aresta e “gera” dois buracos; ao forem fra¸cões di´ adicas então este 2a ) Se ambas as coordenadas, x e y, n˜ ponto vai para um ponto do intervalo e n˜ ao “gera”nenhum buraco; 3a ) Se apenas uma das coordenadas, x ou y, é uma fra¸cão di´ adica então este ponto vai para um ponto do intervalo e “gera” um buraco. Uma quarta propriedade, menos evidente, é a que segue 4a ) O conjunto dos buracos é infinito enumer´ avel e denso no intervalo. 1 1 Exemplo: Vamos considerar o ponto 4 , 2 , do quadrado. Como visto anteriormente, temos 1 4

1 2

↓

↓

V V : (0 1 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) V F : (0 1 0 0 0 . . . , 0 1 1 1 1 . . .) F V : (0 0 1 1 1 . . . , 1 0 0 0 0 . . .) F F : (0 0 1 1 1 . . . , 0 1 1 1 1 . . .)

Multiplexando cada um destes pares de sequências, obtemos: 534

V :

010000 ...

V :

100000 ...

V :

010000 ...

F :

011111 ...

F :

001111 ...

V :

100000 ...

F :

001111 ...

F :

011111 ...

01100000...

֌ gera ponto

00110101...

֌ gera buraco

01001010...

֌ gera buraco

00011111...

6∈ B

Volvendo ao exemplo dado na p´ agina 525: 3 01100000... = , 8

00110101... =

Então ϕ

10 , 48

01001010... =

7 24

1 1 3 , = 4 2 8

Os outros dois s˜ ao buracos. Imaginando o intervalo como sendo uma das arestas do quadrado, temos (veja fig., p. 526)

ϕ

1 1 , 4 2

= 83 = 18 48 10 48

֌ ponto s( 1 , 1 )

֌ buraco

4

2

ϕ

14 48

s

֌ buraco

Observe que um outro modo de interpretar ϕ é que ela transfere todos os pontos do quadrado para uma de suas arestas, sem sobrepor um ponto a outro e, “o que é pior”, ainda sobram lugares vazios na aresta . . . Pasmém! Vamos agora provar que o conjunto destes buracos é denso na aresta do quadrado (ou ainda, no intervalo [ 0, 1 ]). Consideremos B′′ ⊂ B o complementar de B′ em B. Isto é, x1 x2 x3 x4 . . . ∈ B′′ ⇐⇒ x1 x3 x5 . . . 6∈ B ou x2 x4 x6 . . . 6∈ B 535

Provemos que B′′ é denso em B. De fato, seja ε > 0 e a ∈ B dados. Devemos mostrar que existe p ∈ B′′ de modo que ν(p, a) < ε. Pois bem, escolhamos j tal que 1j < ε e tomemos pn = an para n = 1, 2, . . . , j; e para n ≥ j + 1 2 tomemos os termos com ´ındices ´ımpares iguais a 1 e os termos com ´ındices pares iguais a 0. Sendo assim p ∈ B′′ e ν(p, a) ≤ 1j < ε. Como é fácil inferir 2 a cada ponto de B′′ corresponde um “lugar ocioso” na aresta.

9.7

A curva de Peano no cubo

De modo inteiramente an´ alogo, podemos construir uma curva de Peano χ entre o intervalo unit´ ario e o cubo unit´ ario [ 0, 1 ]3 , assim:

η3 B

1 p

s

Ψ

s

η

1

{ 0, 1 }N

s

ξ η2

η1

0

0

1

{ 0, 1 }N

{ 0, 1 }N

1

• Curva de Peano no Cubo Nesta figura η faz uma demultiplexagem de uma sequência xn ∈ B. Isto é, η toma uma sequência xn e a separa em três subsequências η (xn ) = η1 (xn ), η2 (xn ), η3 (xn ) Ent˜ ao podemos tomar:

η1 ( x1 x2 x3 . . . ) = x1 x4 x7 x10 . . . η2 ( x1 x2 x3 . . . ) = x2 x5 x8 x11 . . . η3 ( x1 x2 x3 . . . ) = x3 x6 x9 x12 . . . Veja, x1 x4 x7 x10 . . . x1 x2 x3 x4 x5 . . .

x2 x5 x8 x11 . . . x3 x6 x9 x12 . . .

536

Exemplos: 1) Calcule a imagem, por χ, de p = 0, 5. Solu¸ ca õ: Desenvolvendo 0, 5 na base 2, temos 1 0 0 0 0 . . . = 12 . Ent˜ ao Ψ(0, 5) = 1 0 0 0 0 0 0 . . .. Agora aplicamos η à sequência anterior: η1 (1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .) = 1 0 0 0 0 0 0 . . . η2 (1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 0 0 0 0 0 . . . η3 (1 0 0 0 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 0 0 0 0 0 . . . Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 , η3 , então ξ (η1 , η2 , η3 ) = (x, y, z), obtendo λ 12 = 12 , 0, 0 . 2) Calcule a imagem, por χ, de p = 2/3.

Solu¸ ca õ: Desenvolvendo 2/3 na base 2, obtemos

2 3

= 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . ..

Ent˜ ao Ψ(2/3) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 . . .. Aplicamos η à sequência anterior: η1 (1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .) = 1 0 1 0 1 0 1 . . . η2 (1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .) = 0 1 0 1 0 1 0 . . . η3 (1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . .) = 1 0 1 0 1 0 1 . . . Agora aplicamos ξ ao ponto η1 , η2 , η3 , então, ξ (η1 , η2 , η3 ) = (x, y, z), obtendo χ 23 = 23 , 31 , 23 . Graficamente, temos 1 1 1 2

s s

z

χ y

1 x

0 1

3) Encontre todos os pontos do intervalo que s˜ ao transferidos, por χ, para o centro do cubo. Isto é, resolva, para p, a equa¸cão χ(p) = 12 , 12 , 12 . Solu¸ ca õ: Temos as seguintes alternativas:

537

1 1 1 2, 2, 2

→

                                

VVV : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0...)→ 1 1 1 0 0 0 0 0 0... =

49 56

VVF : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 1 1 0 0 0 1 0 0 1... =

43 56

VFV : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 1 0 1 0 1 0 0 1 0... =

37 56

VFF : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 1 0 0 0 1 1 0 1 1... =

31 56

FVV : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0... )→ 0 1 1 1 0 0 1 0 0... =

25 56

FVF : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 0 1 0 1 0 1 1 0 1... =

19 56

FFV : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 0 0 1 1 1 0 1 1 0... =

13 56

FFF : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 0 0 0 1 1 1 1 1 1... =

7 56

Nota: As sequências ap´ os a seta foram obtidas via multiplexa¸caõ das três sequências ` a esquerda. Os digitos na cor vermelha, em cada sequência, representam o per´ıodo; isto é, s˜ ao os três digitos que se repetem em seguida. Para ilustrar a finalidade do diagrama acima consideremos, por exemplo, a segunda das combina¸cões (VVF), assim:

η3 1 43 56

s

B

Ψ

↑

s

s

1

{ 0, 1 }N

η

ξ η2

1 1 0 0 0 1 0 0 1... η1

0

0

1

{ 0, 1 }N

{ 0, 1 }N

1

(1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )

Deste diagrama concluimos que, χ

43 56

=

1 1 1 2, 2, 2

.

Das combina¸c˜ oes anteriores apenas uma (FFF) n˜ ao pertence a B, portanto n˜ ao é oriunda da codifica¸cão de nenhum ponto do intervalo [ 0, 1 [, sendo assim temos:

χ

43 37 31 25 19 13 1 1 1 49 =χ =χ =χ =χ =χ =χ = , , 56 56 56 56 56 56 56 2 2 2

Podemos imaginar o intervalo unit´ ario como sendo uma das arestas do cubo unit´ ario. Na figura seguinte plotamos os sete pontos da aresta que s˜ ao transferidos para o centro do cubo 538

χ

z x y

Observe que em duas dimensões (quadrado) três pontos da aresta s˜ ao transferidos para o centro do quadrado. Em três dimensões (cubo) sete pontos da arestas s˜ ao transferidos para o centro do cubo. Seja (x, y, z) um ponto do cubo. Com um pouco de reflexão o leitor chegar´ a` as seguintes conclusões: adicas então, neste ponto 1a ) Se as três coordenadas, x, y e z, forem fra¸cões di´ s˜ ao colocados sete pontos da aresta do cubo (digo, do intervalo unit´ ario). adicas então, neste ponto 2a ) Se apenas duas coordenadas forem fra¸cões di´ s˜ ao colocados quatro pontos da aresta do cubo. 3a ) Se apenas uma coordenada for fra¸cão di´ adica então, neste ponto s˜ ao colocados dois pontos da aresta do cubo. adica então, neste ponto é colocado 4a ) Se nenhuma das coordenadas é di´ um u ńico ponto da aresta do quadrado. 5a ) O conjunto dos pontos m´ ultiplos é infinito enumerável e denso no cubo.

9.7.1

O cubo hiperm´ agico

A exemplo do que foi feito para o quadrado também podemos transferir todos os pontos do cubo para uma de suas arestas. Sendo que esta transforma¸c˜ ao cumpre as mesmas condi¸cões que a do quadrado: é cont´ınua, injetiva e n˜ ao sobrejetiva. B

1 η3 h 0

1

B

s

g η2 B

η1 1

s

B

• Cubo hiperm´ agico 539

1

f 0

sp

Chamaremos de γ a composta de todas estas transforma¸cões. Exemplos: 1) Calcule γ 0, 0, 12 . Solu¸ c˜ ao: Temos h 0, 0,

1 2

= 1 0 0 0 0 0 0 0 . . .. Logo,

1 = (0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) 2

Agora aplicamos g ao ponto anterior.

Observa¸ c˜ ao: Dadas três sequências xn , yn e zn , g faz uma multiplexagem das mesmas, isto é x1 x2 x3 x4 . . . y1 y2 y3 y4 . . .

x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 x4 y4 z4 . . .

z1 z2 z3 z4 . . . Portanto 000000 ... 000000 ...

001000000 ...

100000 ... Isto é, g(0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . . . Ou ainda, g(0 0 0 0 0 0 . . . , 0 0 0 0 0 0 . . . 1 0 0 0 0 0 . . .) = 0 0 1 0 0 0 0 . . . Agora, aplicamos f ` a sequência anterior, obtendo f (0 0 1 0 0 0 0 0 0 . . .) =

0 0 1 0 0 0 1 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· = 8 2 2 2 2 2 2

Portanto, γ 0, 0, 12 = 81 . 2) Calcule γ 12 , 12 , 21 .

Solu¸ c˜ ao: Temos 21 = 1 0 0 0 0 0 0 0 . . .. Logo 1 1 1 h , , = (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) 2 2 2

Agora aplicamos g ao ponto anterior, obtendo

g (1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . . , 1 0 0 0 0 0 . . .) = 1 1 1 0 0 0 0 0 0 . . . 540

- Agora aplicamos, ` a sequência anterior, f . Então, 7 1 1 1 0 0 1 1 1 f 111000000... = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ··· = + + = . 2 4 8 8 2 2 2 2 2 Portanto, γ 21 , 12 , 21 = 87 . Graficamente, temos 1

s7

1 z

8

γ y

0

s1

1

x

8

0 1

Deste exemplo e do exemplo 3 (p. 537) concluimos que o centro do cubo vai para o ponto 7/8 e gera seis buracos na aresta do cubo (ou no intervalo unit´ ario). Observe que paradoxal: A exemplo do que ocorreu no quadrado aqui também conseguimos, por γ, transferir o cubo para uma de suas arestas, com a “agravante” de que agora “mais” buracos ser˜ ao gerados na aresta. Por exemplo um ponto (x, y) ∈ [ 0, 1 [2 com ambas as coordenadas di´ adicas gera dois buracos na aresta do quadrado; por outro lado um ponto (x, y, z) ∈ [ 0, 1 [3 com duas coordenadas di´ adicas gera quatro buracos na aresta do cubo e com três coordenadas di´ adicas gera seis buracos. Resumindo: estamos transferindo para a aresta um “volume” maior de pontos enquanto o n´ umero de lugares vazios na aresta aumenta. Naturalmente que, o que foi feito para o quadrado e o cubo, se estende sem dificuldade ao “hipercubo”. Buracos na aresta do cubo: O centro do cubo vai, por γ, para o ponto 7/8 ∈ [ 0, 1 ] e “gera” (“reserva”) seis buracos no intervalo. Para esclarecer esta assertiva observe o diagrama:

1 1 1 2, 2, 2

→

                                

VVV : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0...)→ 1 1 1 0 0 0 0 0 0... =

49 56

VVF : (1 0 0 0..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 1 1 0 0 0 1 0 0 1... =

43 56

VFV : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 1 0 1 0 1 0 0 1 0... =

37 56

VFF : (1 0 0 0..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 1 0 0 0 1 1 0 1 1... =

31 56

FVV : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 1 0 0 0... )→ 0 1 1 1 0 0 1 0 0... =

25 56

FVF : (0 1 1 1..., 1 0 0 0..., 0 1 1 1... )→ 0 1 0 1 0 1 1 0 1... =

19 56

FFV : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 1 0 0 0... )→ 0 0 1 1 1 0 1 1 0... =

13 56

FFF : (0 1 1 1..., 0 1 1 1..., 0 1 1 1... )→ 0 0 0 1 1 1 1 1 1... =

7 56

541

Por exemplo, a pseudo codifica¸ c˜ ao V V F “gera” um buraco no espa¸co B3 e este, por sua vez, gera um buraco em B: 1 1 0 0 0 1 0 0 1 . . ., que, por sua vez, gera um outro buraco em [ 0, 1 [: 43/56. B

1

B

1 43 56

η3

g

h 0

f

η2

1

0

B η1 B

1

(1 0 0 0 ..., 1 0 0 0 ..., 0 1 1 1 ...)

Nos seis pontos seguintes: 43/56 = 0, 7679; 37/56 = 0, 6607; 31/56 = 0, 5536; 25/56 = 0, 4464; 19/56 = 0, 3393; 13/56 = 0, 2321. localizam-se os buracos na aresta do cubo (ou no intervalo unit´ ario),veja:

γ

z

χ

x y

Na figura da esquerda plotamos a imagem do centro do cubo, bem como os buracos “reservados” na aresta − pelo centro. Na figura da direita repetimos, para efeitos de compara¸cão, a figura da p´ agina 539.

Poss´ıveis aplica¸c˜ oes Estive a imaginar poss´ıveis aplica¸cões pr´ aticas para estas aplica¸cões: 1a ) Na F´ısica: a Teoria das Supercordas é consistente em 10 dimensões. O problema é saber como um Universo a dez dimensões pode ser reduzido a três dimensões (espaciais). Nossa sugestão (conjectura) é que as dimensões extras foram multiplexadas. 542

-Inserindo dimens˜ oes arbitr´ arias dentro de dimens˜ oes arbitr´ arias As aplica¸c˜ oes χ e ϕ, conjuntamente, nos permitem inserir dimensões arbitrárias “dentro” de dimensões arbitrárias. Por exemplo para inserir um cubo a dez dimensões em um cubo a três dimensões proceda assim: ϕ

χ

[ 0, 1 [10 −→ [ 0, 1 [ −→ [ 0, 1 [3 Para inserir um cubo a três dimensões em um cubo a 10 dimens˜ oes proceda assim: χ ϕ [ 0, 1 [10 ←− [ 0, 1 [ ←− [ 0, 1 [3 atica: Se tivermos um “volume” de informa¸cões (dados) a 2a ) Na inform´ transmitir, podemos compactar estes dados em uma dimensão, em seguida transmitir e, no receptor, recuper´ a-los, assim [ 0, 1 [3 −→ [ 0, 1 [−→ [ 0, 1 [3 . Uma Curva de Peano in´ edita (A curva de Peano e o quadrado hiperm´ agico na m´ etrica quˆ antica)

A constru¸c˜ ao da curva de Peano nos permite inferir que a compacidade do espa¸co ([ 0, 1 [, k) nos faculta a constru¸cão da seguinte curva: χk : [ 0, 1 [ −→ [ 0, 1 [ × [ 0, 1 [ 1

0

r

1

r

χk

0

(1,1)

1

Observamos que, por ser a métrica µ mais fina que a métrica k, isto implica em que Ψ−1 : B, ν −→ [ 0, 1 [, k (xn ) 7−→ x

permanece cont´ınua. A mesma observa¸cão vale para a nova ξ. Nota: Neste caso continuamos usando a mesma nota¸cão para as fun¸cões “intermediárias”. A constru¸c˜ ao desta curva segue os mesmos passos da anterior. Bem, a mudan¸ca radical de uma curva para a outra fica por conta dos aspectos topol´ ogicos, como n˜ ao poderia deixar de ser. Observamos que a defini¸c˜ ao de curva de Peano dada na literatura deve ser alterada ligeiramente para incluir a possibilidade do intervalo [ 0, 1 [. A defini¸cão corrente − excluindo o intervalo [ 0, 1 [ −, a mim s´ o prova que os matem´ aticos jamais cogitaram da possibilidade de uma tal curva ser construida a partir do intervalo [ 0, 1 [. 543

O universo ´ e um computador quˆ antico Do que o universo é feito? Matéria? Matéria escura? Energia? Vibra¸c˜ oes? De acordo com um f´ısico chamado Vlatko Vedral, nosso universo é feito de informa¸c˜ ao. Segundo o f´ısico, se quebrarmos o universo em peda¸cos cada vez menores o que sobraria no final s˜ ao bits. Numa escala min´ uscula, o universo seria controlado pelas malucas leis da f´ısica quântica. (Fonte: New Scientist) O eminente fil´ osofo Leibniz est´ a de acordo com o f´ısico, veja: [. . .] Sim, de fato ele [Leibniz] percebeu no bit 0 e no bit 1 o poder combinat´ orio para criar o universo inteiro, que é exatamente o que acontece nos modernos computadores digitais eletrˆ onicos e no restante de nossa tecnologia de informa¸ca õ digital: CDS, DVDS, cˆ ameras digitais, PCS. . . Tudo isso é 0’s e 1’s, e esta é a nossa imagem do mundo! Você combina apenas 0’s e 1’s e você consegue tudo. [. . .] A despeito da cr´ıtica de Laplace, a vis˜ ao de Leibniz, pela qual o mundo é criado a partir dos 0’s e 1’s, recusa-se a sair de cena. De fato, ela come¸cou a inspirar alguns f´ısicos contemporˆ aneos, que provavelmente nunca ouviram falar de Leibniz. (Gregory Chaitin/Metamat!/p.’s 99-101)

9.7.2

O universo esculpido em um palito de f´ osforo

Para ver o Mundo em um Gr˜ ao de Areia,

Blake viu o mundo em um gr˜ ao de

E um C´ eu em uma Flor Selvagem,

areia; Hawking viu o universo em uma

Pegue o Infinito na Palma de sua m˜ ao,

casca de noz, eu vejo Tudo em um palito

E a Eternidade em uma hora.

de f´ osforo − e ainda por cima carcomido

(William Blake/Poeta)

pelas tra¸cas.

(Gentil)

Em meu livro O Tao da Matem´ atica, publicado em 2011, a partir de uma experiência m´ıstico-matem´ atica − e de forma independente − defendo a mesma tese que Leibniz e Vedral. Blake viu o Mundo em um gr˜ ao de areia, Hawking viu o Universo em uma casca de noz, eu vejo o Todo em um palito de fósforo. . . e como se n˜ ao bastasse todo pinicado. Com uma diferen¸ca significativa: enquanto as visões do poeta e do cientista resultaram de intui¸cões, a nossa resultará de uma esmerada constru¸cão matem´ atica. A propósito, eu estava precisando da imagem de um palito de fósforo para ilustrar uma figura e fui buscá-la na internet. Fiquei surpreso com a quantidade de informa¸cões dispon´ıveis para “palito de fósforo ”. Muitas delas relacionadas a obras de arte produzidas com palitos. 544

Em uma delas lemos: Impressionantes esculturas feitas com

O matem´ atico, como o pintor ou o

palitos de f´ osforos, pelo escocˆ es David

poeta, ´ e um desenhista. Se os seus de-

Mach, por´ em estas esculturas est˜ ao em

senhos s˜ ao mais duradouros que os deles,

perigo constante, qualquer descuido e

´ e porque s˜ ao feitos com id´ eias.

uma fa´ısca elas podem se transformar em

(G.H. Hardy)

cinzas. Para fazer a escultura de Elvis Presley, ele utilizou 50 mil f´ osforos, gastando 500 horas de trabalho.

Estarei construindo agora uma portentosa estrutura de engenharia-matem´ atica (uma obra de arte) também com “palitos de f´ osforo”. Na verdade, necessitarei de um u ńico palito! . . . e muita imagina¸cão. A obra que estarei executando, nesse u ńico palito, tenho certeza que jamais foi imaginada (construida) por homem algum − incluindo-se aqui os de todos os séculos passados. Pois bem: ´ nico palito de fósforo” “Estarei esculpindo todo o Universo em um u ´ isso mesmo que o leitor ouviu! De outro modo: guardarei (armazenarei) E todo o Universo dentro de um u ńico palito de fósforo, inclusive, é claro, a escultura do escocês David Mach com 50 mil palitos. Como se n˜ ao bastasse, ainda prometo mais um pouco: n˜ ao utilizarei todo o palito! Com efeito, Segundo Leibniz, Vedral e Gentil, todo o Universo pode ser identificado com o conjunto { 0, 1 }N , então inserindo este Universo∗ em um palito de fósforo, teremos feito uma imersão de Todo o nosso Universo manifesto em um palito de fósforo. Por oportuno! lembrei-me de que podemos convocar mais um f´ısico de peso para juntar-se ao nosso time − e, se necessário, mais o matem´ atico Chaitin (p. 506): Tudo deve ser baseado em uma id´ eia simples. Depois de a descobrirmos ela ser´ a t˜ ao irresist´ıvel, t˜ ao bela, que comentaremos entre n´ os, sim, n˜ ao poderia ser diferente.

(John Wheeler, f´ısico)

[. . .] cada todo − cada part´ıcula, cada campo de for¸ca, até mesmo o pr´ oprio continuo espa¸co-temporal − deriva inteiramente suas fun¸co ˜es, seu significado, sua pr´ opria existência −, mesmo que, em determinados contextos, isto ocorra de forma indireta −, das [. . .] respostas a quest˜ oes “sim” ou “n˜ ao”, das escolhas bin´ arias, dos bits. (John Weeler) ∗´

E um conjunto de infinitas combina¸c˜ oes, possibilidades.

545

De fato, trata-se de operar a passagem do mundo sens´ıvel ao mundo intelig´ıvel, e esse movimento é um doloroso e dif´ıcil movimento de alforria. Exige etapas pelas quais a alma se esfor¸ca progressivamente por se elevar em dire¸ca õ ` as Idéias. (Simone Manon/ Plat˜ ao, p. 108) ¯ todas as Antes, reuniremos em um conjunto, que denotaremos por B, sequências do universo { 0, 1 }N cujos elementos têm todos os termos iguais a 1 a partir de alguma posi¸cão† . Por exemplo ¯ 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 . . . 6∈ B

¯ 101010011111... ∈ B Observe que pelas defini¸cões de B

(p. 509)

¯ podemos escrever: eB

¯ { 0, 1 }N = B ∪ B Pois bem, nosso desiderato se cumpre através da seguinte transforma¸cão: { 0, 1 }N B

¯ B

t

1

t

1

t

χ

t

ϕ

t

0

0

• O Universo em um palito de fósforo Ent˜ ao, dado arbitrariamente um ponto (xn ) em { 0, 1 }N , para transfer´ılo para o palito de fósforo − intervalo à direita − procedemos assim: se o referido ponto encontra-se no conjunto das codifica¸cões (isto é, em B) transferimo-lo para o primeiro intervalo,∗ caso contr´ ario − isto é, se (xn ) ¯ − transferimo-lo para a aresta inferior do quadrado,† o que mora em B significa que esse ponto ter´ a como imagem um ponto na aresta, (x, 0), onde x é uma fra¸c˜ ao di´ adica. Como já vimos, o ponto (x, 0) é transferido, por ´ precisamente este buraco que ϕ, para o intervalo e gera um buraco. E ¯ escolhemos para imagem do ponto (xn ), fixado em { 0, 1 }N , no caso em B. †

Exce¸c˜ ao feita ` a sequência 1 1 1 1 . . . j´ a incluida em B, p. 509. Em seguida aplicamos χ e, ap´ os, aplicamos ϕ − com certeza ele chega l´ a! P xi 2 † Isto pode ser feito pela aplica¸c˜ ao (xn ) → ( ∞ i=1 i , 0) ∈ [ 0, 1 [ .

∗

2

546

Ora, como um intervalo é sem dimensão − e um palito de fósforo possui dimensão − concluimos que podemos colocar o intervalo dentro do palito, da´ı que nossa constru¸c˜ ao pode ser vista, assim:

{ 0, 1 }N

G

Resumindo: pela transforma¸c˜ ao, chamamemo-la de G, inserimos todo o universo em um palito de fósforo e, “o que é pior”, n˜ ao o ocupamos inteiramente, digo sobram posi¸c˜ oes vazias (buracos) − de fato, infinitas − no intervalo unit´ ario.

O Universo como um grande Vazio Estive elucubrando: como pode ser que consigamos inserir um hipercubo em uma de suas arestas∗ e ainda sobra espa¸co? O espanto se d´ a pelo fato de estarmos condicionados a imaginar um ponto como tendo dimensão (“uma bolinha”), se atentarmos para o fato de que, na realidade, um ponto é indimensional, concluiremos que um intervalo, um quadrado, um cubo, etc., n˜ ao têm dimensão, melhor dizendo, n˜ ao ocupam nenhum espa¸co, isto é, s˜ ao Vazios!! Contradit´ orio? A nova ciência explica: a base da existência é, ao mesmo tempo, plena de possibilidades, sim, mas as possibilidades n˜ ao s˜ ao “coisas”, e por isso também podem ser chamadas de nada. (Amit Goswami)

Ora, ent˜ ao ao inserir todo o Universo { 0, 1 }N em algo vazio (e ainda sobrando espa¸co) s´ o podemos concluir que o pr´ oprio Universo { 0, 1 }N é vazio! ´ importante entender que houve apenas uma pessoa, Gautama Buda, E que usou o nada, o vazio, para a experiência suprema. [. . .] Ele chamou o supremo de nada, de vazio, suniata, zero. (Osho) O poeta inicia sua prece Ponteando em cordas e lamentos Escrevendo seus novos mandamentos Na fronteira de um mundo alucinado Cavalgando em martelo agalopado E viajando com loucos pensamentos (Can¸ca õ Agalopada/Z´ e Ramalho) ∗

Sem sobrepor um ponto a outro.

547

Para concluir a respeito de nossa constru¸cão, observe que interessante: os matem´ aticos estabeleceram uma bije¸cão entre os dois conjuntos a seguir B ↔ [ 0, 1 ] ¯ foram Essa bije¸c˜ ao s´ o foi poss´ıvel por que os elementos do conjunto B N excluidos do universo { 0, 1 } . Sendo assim, podemos ver essa bije¸cão como ¯ ↔ [ 0, 1 ] { 0, 1 }N − B Em nossa constru¸c˜ ao fizemos a seguinte imersão G { 0, 1 }N −→ [ 0, 1 ] uma aplica¸c˜ ao injetiva e n˜ ao sobrejetiva. ∗

∗

∗

Adendo: A volta da curva de Peano eu a construi no ano de 2006; sendo assim, uma questão pertinente é a seguinte: dada a importˆ ancia da curva de Peano é de se presumir que a sua volta seja de algum interêsse (relevância) para a matem´ atica e qui¸cá em outras áreas como por exem† plo a computa¸c˜ ao ; pergunto: por que transcorreram nada menos que 126 (= 2006 − 1890) anos entre as duas concep¸cões? Segundo entendo, esta demora se deu em fun¸cão de uma quest˜ ao b´ asica, n˜ ao devidademente compreendida (assimilada) pelos matem´ aticos: novamente a quest˜ ao das supostas ambiguidades. Reitero: o fato dos matem´ aticos terem acreditado durante séculos − inclusive, até hoje acreditam − na existência de tais espectros é, precisamente, o que os impediu de atinar com a referida constru¸cão.

Há muitos anos atr´ as, estudando a tal constru¸cão, comecei a desconfiar de que ela poderia ser consideravelmente simplificada se n˜ ao houvessem as ambiguidades nas representa¸cões, foi a partir da´ı que comecei a focar neste tema. E de fato, ao exorcizar estes fantasmas, consegui a constru¸cão aqui desenvolvida. Na época em que estudei a constru¸cão que consta no livro do Prof. Elon comecei a suspeitar de que ela pudesse estar errada, já que leva em conta as supostas ambiguidades e, para mim, as ambiguidades constituem-se num erro de l´ ogica, uma vez que, como já frisei, uma representa¸cão é uma codifica¸ca õ e, como tal, exige-se unicidade. Uma bije¸c˜ ao entre conjuntos identifica elementos, já um isomorfismo, entre estruturas, identifica um pouco mais: n´ umeros, digamos. † Encontrei na internet um artigo técnico aplicando a curva de Peano na computa¸c˜ ao, justamente em compacta¸c˜ ao de dados.

548

9.8

Exerc´ıcios

1) No espa¸co (R, µ) considere o subconjunto X = { x ∈ R : x ≥ 0 }. Mostre que a fam´ılia C = {Cn }n∈N , onde Cn = ] − 1, n [, é uma cobertura X. 2) No espa¸co (R, µ) considere o subconjunto X = ] 0, 1 [, prove que ] 0, 1 [ ⊂

∞ [ 1 1 , 1− n n n=3

3) Considere o espa¸co métrico (R, µ). As seguintes afirma¸cões s˜ ao verdadeiras, justifique-as: a) Q n˜ ao é compacto; 1 2 3 b) 1, 2 , 3 , 4 , . . . é compacto; c) B = { 2 } ∪ [ 3, 4 ] é compacto; d) Z n˜ ao é compacto; e) [ 1, 2 ] ∩ Q n˜ ao é compacto. f ) R n˜ ao é compacto. 4) Considere num espa¸co métrico (M, d) uma sequência (xn ) que converge para a ∈ M . Prove que A = { a } ∪ { x1 , x2 , x3 , . . . } é compacto. 5) Considere (V, +, ·) um espa¸co vetorial normado. Se A ⊂ V é um subconjunto compacto e p ∈ V mostre que Ap = { x + p : x ∈ A } é compacto. 6) Prove que: Um espa¸co discreto e compacto é finito e, reciprocamente. S´ o que utilizando a técnica (T − 4). 7) O intervalo ] 0, 1 [ n˜ ao é um subconjunto compacto de (R, µ). , onde Cn = n1 , 1 − n1 , Prove que da cobertura aberta C = Cn n≥3 n˜ ao podemos extrair uma subcobertura finita. 8) O intervalo [ 0, +∞ [ n˜ ao é um subconjunto compacto de (R, µ). Prove que da cobertura aberta C = Cn , onde Cn = ] − 1, n [, n˜ ao n∈N podemos extrair uma subcobertura finita. 9) Exiba uma cobertura aberta de A = { (x, y) ∈ R2 : y > x } admite subcobertura finita.

que n˜ ao

10) Sejam A e B subconjuntos de um espa¸co métrico tais que A é compacto e B é fechado. Prove que A ∩ B é compacto. 11) Sejam A e B subconjuntos compactos do espa¸co (M, d), prove que A ∩ B e A ∩ B também s˜ ao compactos. 549

12) Se (M, d) é compacto e d′ ∼ d, mostre que d′ é limitada. 13) Utilizando a proposi¸cão 110 espa¸co [0, 1[, k é compacto.

(p. 484)

e o exemplo 14

(p. 329)

prove que o

14) Mostre que se A e B s˜ ao subconjuntos n˜ ao-vazios de um espa¸co (M, d), compacto, e sendo d(A, B) = 0 então existe p ∈ ∂A ∩ ∂B.

15) Seja (M, d) um espa¸co métrico compacto. Se d′ é uma métrica sobre M tal que d′ (x, y) ≤ k d(x, y), ∀ x, y ∈ M , onde k > 0 é uma constante dada, prove que (M, d′ ) também é compacto. 16) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se A ⊂ M é compacto, mostre que todo subconjunto infinito B ⊂ A tem um ponto de acumula¸cão em A. Sugest˜ ao: Suponha B ⊂ A infinito, de modo que B ′ ∩ A = ∅. Da´ı, ∀ x ∈ A, existe B(x; rx ) tal que B(x; rx ) ∩ B = ∅ ou B(x; rx ) ∩ B = { x }. Em seguida, use o fato de que B(x; rx ) x∈A é uma cobertura aberta de A que é compacto. 17) Seja (M, d) um espa¸co métrico. Se K ⊂ M (K 6= ∅) é compacto, mostre que existe uma fun¸c˜ ao cont´ınua f : M −→ R tal que K = { x ∈ M : f (x) = 0 }.

Sugest˜ ao: Considere a fun¸cão dada por x −→ d(x, K). 18) Seja A um subconjunto compacto de um um espa¸co métrico (M, d). Prove que A¯ também é compacto. Sugest˜ ao: Para toda sequência (xn ) em A¯ existe uma sequência (yn ) em A de modo que d(xn , yn ) < nλ , para qualquer λ > 0 fixado “a priori”. Se ¯ (yni ) converge para um ponto de A, mostre que (xni ) converge em A. 19) Considere a seguinte curva de Peano B

1 zs

Ψ

s

{ 0, 1 }N

η η2

0

ξ

1

s η1

{ 0, 1 }N

s(x, y)

0

1

• Curva de Peano quântica Localize no quadrado a imagem dos pontos z = 0, 5 e z = 0, 6. Nota: Observe que neste caso temos uma u ńica alternativa para codificar os pontos do intervalo [ 0, 1 [; aqui, com mais raz˜ ao ainda, n˜ ao existe “ambiguidade”. 20) Considerando o “Universo em um palito de f´ osforo” (p. 546), localize (insira, guarde), no palito, o caracter # (sustenido) do teclado. 550

Apˆ endice: Produtos cartesianos infinitos Considere uma fam´ılia enumerável de espa¸cos métricos: (M1 , d1 ), (M2 , d2 ), (M3 , d3 ), . . . , (Mi , di ), . . . o produto cartesiano M = M1 × M2 × M3 × · · · =

∞ Y

Mi é o conjunto de

i=1

todas as sequências x = (x1 , x2 , . . . , xi , . . .) onde xi ∈ Mi para cada i ∈ N. Os pontos xi s˜ ao chamados as coordenadas do ponto x = (xi )i∈N . Para cada ´ındice i, a i−ésima proje¸c˜ ao pi : M

Mi

x = (xi ) 7−→ xi

associa a cada ponto x = (xi ) do produto cartesiano M sua i−ésima coordenada. A figura a seguir ilustra esta situa¸cão para o caso de dois espa¸cos métricos: M1 ×M2

M2

ր

p2 (x)=x2

s

p2

s x = (x1 , x2 )

ր

s

p1 M1

p1 (x)=x1

Desejamos definir uma métrica no produto cartesiano M , chamada métrica produto, da qual exigiremos a seguinte propriedade: uma aplica¸cão f : M −→

∞ Y

Ni

i=1

ser´ a cont´ınua se, e somente se, cada uma de suas coordenadas pi ◦f : M → Ni for cont´ınua. Inicialmente assumiremos as seguintes hip´ oteses sobre os espa¸cos métricos (Mi , P di ): Existe, para cada ´ındice i, uma constante ci > 0 de modo que a série ∞ e convergente e, ademais, di (xi , yiQ ) ≤ ci , ∀ xi , yi ∈ Mi . Sendo i=1 ci ´ assim, definiremos a métrica produto em M = ∞ i=1 Mi , pondo, para quaisquer dois pontos x = (xi ), y = (yi ) em M : d(x, y) =

∞ X i=1

551

di (xi , yi )

Com o aux´ılio das hip´ oteses feitas sobre os espa¸cos (Mi , di ), o leitor pode mostrar que d, como definida acima, de fato satisfaz os axiomas que definem uma métrica. O par (M, d) é chamado o espa¸co métrico produto dos espa¸cos (Mi , di ). • Vamos abrir um parênteses aqui para particularizar o que foi feito acima para o espa¸co que nos interessa mais de perto: Consideremos o conjunto M = { 0, 1 } munido da métrica d0 (x, y) = |x − y|. Observe que d0 (x, y) = |x − y| ≤ 1. Para cada i ∈ N definiremos: di (xi , yi ) = 1i |xi −yi |. Sendo assim, para cada i ∈ N, di (xi , yi ) ≤ 1i . Deste 2 2 modo obtemos os seguintes espa¸cos métricos: |x1 −y1 | 2 |x2 −y2 |

(M1 , d1 ),

onde

M1 = {0, 1}

e

d1 (x1 , y1 ) =

(M2 , d2 ), .........

onde ......

M2 = {0, 1} ............

e ...

d2 (x2 , y2 ) = 2 2 .....................

(Mi , di ), .........

onde ......

Mi = {0, 1} ............

e ...

di (xi , yi ) = i i i 2 .....................

|x −y |

Como estas métricas satisfazem as hip´ oteses assumidas para os espa¸cos (Mi , di ) significa que no produto: M=

∞ Y i=1

Mi = M1 × M2 × M3 × · · · = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · · = {0, 1}∞

a métrica produto fica: d(x, y) =

∞ X

di (xi , yi ) =

i=1

∞ X |xi − yi | i 2 i=1

Coincidindo, portanto, com a métrica “usual” deste espa¸co. • As proje¸c˜ oes pi : (M, d) → (Mi , di ) s˜ ao contra¸cões fracas (p. 260, caso finito) e, deste modo, s˜ ao aplica¸cões cont´ınuas. Sendo assim, se tomarmos um aberto Ai ⊂ Mi , sua imagem invresa p−1 A resulta um subconjunto i i aberto no espa¸co produto (M, d) (prop. 62, p. 279). Temos:

(p. 593)

p−1 Ai = i

n

x∈M =

Y

Mi : pi (x) = xi ∈ Ai

o

= M1 × · · · × Mi−1 × Ai × Mi+1 × Mi+2 × · · ·

o conjunto acima é chamado a “fatia aberta de largura Ai ”. Vamos simular uma situa¸cão destas: Suponhamos M1 = M2 = [ 0, 1 ] e consideremos os abertos i2 h i1 2h ∈ M1 ; A2 = , 1 ∈ M2 . A1 = , 3 3 3 552

Então, p1−1 A1 = x ∈ M1 × M2 : p1 (x) = x1 ∈ A1 n 1 2 o = x = (x1 , x2 ) ∈ [ 0, 1 ] × [ 0, 1 ] : p1 (x) = x1 ∈ , 3 3 1 2 × [ 0, 1 ]. = , 3 3 De modo similar obtemos p−1 afico estas A2 = [ 0, 1 ] × 23 , 1 . No gr´ 2 fatias abertas ficam assim: 1 p−1 2 (A2 ) M1 ×M2

0

p−1 1 (A1 )

1

Tomando A1 ⊂ M1 , A2 ⊂ M2 , . . . , An ⊂ Mn abertos nos respectivos fatores, o conjunto A = p−1 A1 ∩ p−1 A2 ∩ · · · ∩ p−1 An n 1 2 Y = A1 × A2 × · · · × An × Mi i>n

é aberto no espa¸co produto (M, d) por ser a interse¸cão de um n´ umero finito de abertos. Os conjuntosQ A do tipo acima s˜ ao chamados abertos b´ asicos do produto cartesiano M = Mi . Vejamos agora uma importante propriedade dos abertos b´ asicos: ∞ Y Mi pode ser escrito Proposi¸ c˜ ao 123. Todo subconjunto aberto A ⊂ como uma reuni˜ ao de abertos b´ asicos.

i=1

Prova: Sendo A aberto, por hip´ otese, para todo x = (x P1 , x2 , . . . , xi , . . .) ∈ A existe r > 0 de modo que B(x; r) ⊂ A. Como a série ci é convergente X r então, pelo critério de Cauchy, existe uma ordem n0 tal que ci < . 2 i>n0

Para cada i = 1, 2, . . . n0 , fa¸camos Ai = B(xi ; r/2n0 ) a bola de centro xi e raio r/2n0 . Vamos mostrar agora que o aberto b´ asico Y Mi Ax = A1 × A2 × · · · × An0 × i>n0

= B(x1 ; r/2n0 ) × B(x2 ; r/2n0 ) × · · · × B(xn0 ; r/2n0 ) × est´ a contido em B(x; r) e portanto em A. 553

Y

i>n0

Mi

De fato, seja r r , . . . , dn0 (xn0 , xn0 ) < 2n0 2n0 X X r r di (xi , yi ) + ⇒ d(x, y) = di (xi , yi ) < + = r, 2 2

y = (yi ) ∈ Ax ⇒ d1 (x1 , y1 ) n0

i≤n0

porquanto,

X

i>n0

di (xi , yi ) ≤

X

i>n0

r ci < . 2

Sendo assim, para cada x ∈ A, temos um aberto b´ asico Ax tal que x ∈ Ax ⊂ [ A. Logo (prop. 138, p. 599), temos que A = Ax . x∈A

Corol´ ario 46. As proje¸co ˜es pi : M → Mi s˜ ao aplica¸co ˜es abertas do produto Q M = Mi . Q Prova: Seja A = A1 × A2 × · · · × An × i>n Mi um aberto b´ asico, então  Ai , se i ≤ n; pi (A) = M , se i > n. i

Portanto pi (A) é aberto em (Mi , di ). Dado um aberto qualquer A ⊂ M , temos A = ∪Ax , reunião de abertos b´ asicos. Logo, [ [ pi (Ax ) Ax = pi (A) = pi x

x

é uma reunião de abertos, por conseguinte, resulta um aberto em (Mi , di ).

Na prova da pr´ oxima proposi¸cão faremos uso da seguinte identidade entre imagens inversas: Consideremos as seguintes aplica¸ cões: f : A → B e g : B → C. Se Z ⊂ C, então (g ◦ f )−1 (Z) = f −1 g−1 (Z) . A

rx

C

B

f

r f (x)

g −1 (Z)

ր

g

r

g(f (x)) Z

f −1 (g −1 (Z)) g◦f

Provemos esta identidade, assim: x ∈ f −1 g−1 (Z) ⇔ f (x) ∈ g −1 (Z) ⇔ g f (x) ∈ Z ⇔ g ◦ f (x) ∈ Z ⇔ x ∈ (g ◦ f )−1 (Z). 554

Q Proposi¸ c˜ ao 124. Uma aplica¸ca õ f : N → ∞ e cont´ınua se, e soi=1 Mi ´ mente se, cada uma de suas coordenadas fi = pi ◦ f : N → Mi é cont´ınua. Prova: (⇒) Se f é cont´ınua, ent˜ ao para todo ´ındice i, fi = pi ◦ f é cont´ınua por ser composta de aplica¸c˜ oes cont´ınuas. (⇐) Suponhamos agora cada fi cont´ınua. Seja A = A1 × A2 × · · · × An × Q asico, ent˜ ao A = p−1 A1 ∩ p−1 A2 ∩ · · · ∩ p−1 An , i>n Mi um aberto b´ n 1 2 sendo assim −1 −1 f −1 A = f −1 p−1 A ∩ p A A ∩ · · · ∩ p n 1 2 n 1 2 −1 −1 −1 −1 = f −1 p−1 (A ) ∩ f p (A ) ∩ · · · ∩ f p (A ) n 1 2 n 1 2 −1 −1 −1 = p1 ◦ f (A1 ) ∩ p2 ◦ f (A2 ) ∩ · · · ∩ pn ◦ f (An ) = f1−1 (A1 ) ∩ f2−1 (A2 ) ∩ · · · ∩ fn−1 (An )

Pela prop. 62 (p. 279) cada fi−1 (Ai ) é um aberto, portanto f −1 A é aberto em N , por serQinterseçc˜ ao de abertos. Pela prop. 123, dado um aberto A arbitrário em Mi , este pode ser escrito ao de abertos b´ asicos: como reuni˜ −1 −1 −1 −1 A sendo uma A = ∪Ax . Portanto f A =f ∪ Ax = ∪x f (Ax ); f reunião de abertos é aberto; logo, pela mesma prop. 62 concluimos que f é cont´ınua. Demonstraremos um importante corol´ ario da proposi¸cão anterior, mas antes necessitaremos de um lema. Consideremos o subconjunto N = 0, 1, 12 , . . . , n1 , . . . ⊂ R e o subespa¸co (N, µ). Dada uma sequência (xn ) em um espa¸co métrico (M, d), e um ponto a ∈ M , definiremos uma aplica¸cão f : N → M , assim: f n1 = xn e f (0) = a. (N, µ) 1s 1 2 1 3 1 n

0

s s

(M, d)

s x1 s x2 s x3

f

.. . s .. .

.. . .. .

s xn =f ( 1 ) n

s a=f (0)

s

Lema 8. f : N → M é cont´ınua se, e somente se, lim xn = a. n

Prova: (⇒) Suponhamos f cont´ınua e mostremos que lim xn = a. De n

fato, f sendo cont´ınua em 0 implica que para toda bola centrada em f (0): 555

B f (0); ε = B a; ε , existe um δ > 0 de modo que: x ∈ B(0; δ) ⇒ f (x) ∈ B a; ε 1 − 0 < δ ⇒ f 1 = xn ∈ B a; ε n n 1 ⇒ xn ∈ B a; ε . n> δ

Isto significa que se escolhermos um ´ındice n0 > 1/δ, todos os termos da sequência com ´ındices superiores a este caem dentro da bola de centro a e raio ε, isto garante que lim xn = a. n

(⇐) Suponhamos que lim xn = a e mostremos que f é cont´ınua. Com efeito, n é suficiente mostrar que f é cont´ınua em 0 uma vez que todos os outros pontos de N s˜ ao isolados. Para mostar que f é cont´ınua em 0 centremos em f (0) uma bola de raio ε arbitrário: B f (0); ε = B a; ε . Como lim xn = a n existe um ´ındice n0 de modo que: ∀n ≥ n0 ⇒ xn ∈ B a; ε . Pondo δ =

1 n0 ,

resulta

1 1 < δ ⇒ n > = n0 ⇒ xn ∈ B a; ε . n δ

Isto prova que f é cont´ınua em 0.

Corol´ ario 47. Uma sequência (xn ) no produto M =

∞ Y

Mi converge para

i=1

o limite a = (a1 , a2 , . . . , ai , . . .) ∈ M se, e somente se, para cada i ∈ N, a sequência (x1i , x2i , . . . , xni , . . .) = (xni )n∈N , converge em Mi para o limite ai . Ou ainda, lim xn = a ⇐⇒

n→∞

lim xni = ai , ∀ i ∈ N.

n→∞

Prova: (⇒) Se lim xn = a, então lim xni = ai , ∀ i ∈ N. n

n

Inicialmente observe que uma sequência (xn ) em M se escreve assim: x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . . x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ........................... xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ........................... 556

Considerando, como no lema 8, N = a seguinte aplica¸c˜ ao:

f : N −→ M =

Y

Mi , dada por

 f

1 n

0, 1, 12 , . . . , n1 , . . .

f (0)

vamos definir

= xn = (xn1 xn2 xn3 . . . xni . . .) = a = (a1 a2 a3 . . . ai . . .)

Observe que as fun¸co ˜es coordenadas fi = pi ◦ f : N → Mi de f s˜ ao dadas por 1 1 = pi f = pi (xn ) = xni n n n fi (0) = pi ◦ f (0) = pi f (0) = pi (a) = ai .

fi

1

= pi ◦ f

Pois bem, pelo lema 8 se lim xn = a então f é cont´ınua e, pela prop. 124, n cada fi é cont´ınua, sendo assim, novamente pelo lema 8 temos que lim xni = n ai . (⇐) Se lim xni = ai , ent˜ ao lim xn = a. n

n

De fato, se lim xni = ai , ent˜ ao pelo lema 8 cada fi = pi ◦ f : N → Mi n Q é cont´ınua logo, pela prop. 124 tem-se que f : N −→ M = Mi resulta cont´ınua, portanto − novamente pelo lema 8 − lim xn = a. n

O diagrama seguinte pode ser u ´til para eventuais esclarecimentos: (xni )n∈N f (1) −→

l x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . .

f ( 12 ) −→

x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . .

f ( 13 ) −→

x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . .

1 f( n ) −→

························· 1 xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni←− . . . fi ( n ) ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = ( a1 a2 a3 . . . ai . . .)

Proposi¸ c˜ ao 125. (Teorema de Cantor-Tychonov) ∞ Y O espa¸co (M, d) = Mi , d é compacto se, e somente se, cada espa¸co i=1

fator (Mi , di ) (i = 1, 2, 3, . . .) é compacto.

Prova: (⇒) Se (M, d) é compacto, então (Mi , di ) é compacto. 557

De fato, seja xni

n∈N

uma sequência arbitrária em Mi , assim:

i = 1 : x11 x21 x31 . . . xn1 . . . ∈ M1 i = 2 : x12 x22 x32 . . . xn2 . . . ∈ M2 i = 3 : x13 x23 x33 . . . xn3 . . . ∈ M3

................................. Mostremos que xni n ∈ N possui uma subsequência convergente. Com efeito, tomando a transposta da matriz anterior, obtemos: (xn1 ) ∈ M1

···

(xni ) ∈ Mi

l l x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . .

x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ························· xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = ( a1 a2 a3 . . . ai . . .) Obtemos uma sequência (xn )n∈N em M e, como este é compacto, esta sequência possui uma subsequência (xn )n∈N1 convergindo para um ponto a = (a1 , . . . , ai , . . .) ∈ M . Pelo corol´ ario 47 (p. 556), temos que (xni )n∈N1 converge em Mi para o limite ai . (⇐) Se (Mi , di ) é compacto, então (M, d) é compacto. Pela proposi¸c˜ ao 112 (p. 490) é suficiente provar que dada uma sequência arbitrária (xn ) em M , esta possui uma subsequência convergente para um ponto a ∈ M . Inicialmente obseve que (xn ) pode ser escrita na seguinte disposi¸c˜ ao matricial: (xn1 ) ∈ M1

···

(xni ) ∈ Mi

l l x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . .

x2 = x21 x22 x23 . . . x2i . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ························· xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ a = ( a1 a2 a3 . . . ai . . .) 558

A estratégia da prova ser´ a a seguinte: obteremos um subconjunto infinito N∗ ⊂ N tal que existe lim∗ xni = ai ∈ Mi (i = 1, 2, 3, . . .). Então fazemos n∈N

a = (a1 , a2 , . . . , ai , . . .) ∈ M e teremos, pelo corol´ ario 47, lim∗ xn = a ∈ M . n∈N

De fato, sendo M1 compacto, a sequência (x11 , x21 , x31 , . . . , xn1 , . . .) em M1 possui uma subsequência convergente. Logo, existem N1 ⊂ N infinito e a1 ∈ M1 tais que lim xn1 = a1 . n∈N1

Observe que no diagrama anterior n˜ ao temos a sequência (xn1 )n∈N convergindo para a1 , mas sim uma sua subsequência: (xn1 )n∈N . 1 Pois bem, sendo M2 compacto, a sequência (xn2 )n∈N em M2 possui uma 1 subsequência convergente. Logo, existem N2 ⊂ N1 infinito e a2 ∈ M2 tais que lim xn2 = a2 . Prosseguindo deste modo, obtemos uma sequência de n∈N2

conjuntos infinitos: N ⊃ N1 ⊃ N2 ⊃ N3 ⊃ · · · ⊃ Ni ⊃ · · ·

(9.9)

e um ponto a = (a1 , a2 , . . . , ai , . . .) ∈ M , com lim xni = ai (i = 1, 2, 3, . . .). n∈Ni

Observe que quando definimos subsequência (p. 140) exigimos uma “ordena¸cão” no conjunto de ´ındices, como por exemplo: N1 = {n1 < n2 < n3 < . . .} Vamos construir o conjunto N∗ assim: Tomamos emprestado de N1 o seu primeiro ´ındice n1 : N∗ = { n1 . . .}. Como N2 é infinito existe um ´ındice n2 ∈ N2 tal que n2 > n1 ; tomemos emprestado de N2 este ´ındice: N∗ = { n1 < n2 . . .}. Como N3 é infinito existe um ´ındice n3 ∈ N3 tal que n3 > n2 ; tomemos emprestado de N3 este ´ındice: N∗ = { n1 < n2 < n3 . . .}. E assim prosseguimos tomando emprestado ni ∈ Ni tal que: N∗ = n1 < n2 < n3 < · · · < ni−1 < ni < · · ·

Tendo em conta a cadeia de inclusões (9.9), obtemos n1 < n2 < n3 < · · · < ni−1 < ni < · · · ⊂ N1 n2 < n3 < n4 < · · · < ni−1 < ni < · · · ⊂ N2 n3 < n4 < n5 < · · · < ni−1 < ni < · · · ⊂ N3

............................................. Sendo assim, para cada ´ındice i, a sequência xni n ∈ N∗ é, a partir do seu i-ésimo elemento, uma subsequência da subsequência xni n ∈ N e, portanto, i converge para o mesmo limite ai ∈ Mi , isto é, lim∗ xni = ai , e isto completa n∈N

a prova.

Corol´ ario 48. O espa¸co { 0, 1 }N , ν é compacto. 559

Apˆ endice B: B′ , ν ´ e compacto e denso Consideremos o subconjunto (xn ) ∈

B′

B′

(p. 519)

⊂ B, onde

⇐⇒ suas subsequências de ´ındices ´ımpares e pares pertencem a B. Lema 9 (Gentil/03.05.05). O subespa¸co B′ , ν é compacto. Prova: Vamos mostrar inicialmente que B′ , ν é fechado. Mostraremos ¯ ′ ⊂ B′ . De fato, Considere p ∈ B ¯ ′ e tal que p 6∈ B′ . Então existe um que B ´ındice k de modo que p tem, em sua subsequência de ´ındices ´ımpares (ou pares − vamos supor ´ımpares), todos os termos iguais a 1 a partir de 2k − 1, assim p = p1 p2 p3 . . . pn . . .

p1 p3 p5 . . . p2k−1 1 1 1 . . . 6∈ B p2 p4 p6 . . . p2n . . .

¯ ′ existe uma sequência (x ) de pontos de B′ de modo que Como p ∈ B n lim xn = p. Observe que os termos de (xn ) s˜ ao da forma: x1 = x11 x12 x13 . . . x1i . . . x2 = x21 x22 x23 . . . x2i , . . . x3 = x31 x32 x33 . . . x3i . . . ........................... xn = xn1 xn2 xn3 . . . xni . . . ........................... Como xn ∈ B′ existem ´ındices i, arbitrariamente grandes, onde vamos encontrar um 0 na posi¸c˜ ao 2i − 1 de xn , assim xn1 . . . xn(2i−3) 0 xn(2i+1) . . . xn = xn1 xn2 . . . xn(2i−2) 0 xn(2i) . . . xn2 xn4 . . . xn(2i−2) . . . Escolhamos um ´ındice i de modo que 2i−1 > 2k−1. Tomando ε > 2i−1, 1 teremos 21ε < 22i−1 . Como lim xn = p, significa que existe um ´ındice n0 , a 1 . Isto significa que xn deve partir do qual se verifica ν(xn , p) < 21ε < 22i−1 coincidir com p até a posi¸cão 2i − 1 (no m´ınimo) o que é absurdo. Sendo assim, B′ resulta fechado. Por outro lado o conjunto {0, 1}N = {0, 1} × {0, 1} × {0, 1} × · · · é compacto. Sendo assim, B′ , ν resulta compacto, por ser um subconjunto fechado de um compacto. 560

Podemos mostrar também que B′ é denso em B. De fato, seja ε > 0 e a ∈ B dados. Devemos mostrar que existe p ∈ B′ de modo que ν(p, a) < ε. Pois bem, escolhamos j tal que 1j < ε e tomemos pn = an para n = 1, 2, . . . , j; 2

fa¸camos pn = 0 para n ≥ j + 1. Sendo assim p ∈ B′ e ν(p, a) ≤ ∗

∗

1 j 2

< ε.

∗

quis

Se quisermos procurar “Deus” na

aproximar-se dos problemas do esp´ırito

f´ısica, o v´ acuo ´ e o melhor lugar onde fazˆ e-

pela via de uma diversa experimenta¸ca õ

lo. Enquanto estado b´ asico subjacente

de car´ ater abstrato, especulativo, resul-

de tudo que existe, o v´ acuo tem todas as

tante das conclus˜ oes de processos l´ ogicos

caracter´ısticas do Deus imanente ou da

Que

o

meu

pensamento

da mais moderna f´ısico-matem´ atica. (Pietro Ubaldi/Ascens˜ oes Humanas)

ր

divindade de que falam os m´ısticos. (Danah Zohar/f´ısica e fil´ osofa)

1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 = {}

(Universo)

0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

+

Assim como um dia a explos˜ ao aconteceu e milh˜ oes de coisas nasceram a partir do nada, da mesma maneira, quando a implos˜ ao acontece, formas e nomes desaparecem, e novamente o nada nasce da´ı. O c´ırculo est´ a completo. (Osho/Buda, p. 112)

.. .

.. .

0 1

0 0

0 0

s˜ ao simultˆ aneas, e por isso se anulam reci-

0

1

0

procamente. O Nada ´ e, assim, a totalidade

1 0

1 0

0 1

simultˆ anea das possibilidades contradit´ orias.

1 0

0 1

1 1

1

1

1

No Nada as possibilidades contradit´ orias

(Marcelo Malheiros/fil´ osofo)

561

Plotando Pontos no Espa¸co Esta p´ agina ficaria em branco (ociosa) decidi aproveitá-la para compar´ um algoritmo para plotagem de pontos no tilhar mais um trabalho meu. E espa¸co − o qual ser´ a de utilidade aos usuários do processador de texto LATEX, no qual este livro foi escrito. Por exemplo, as figuras no espa¸co que comparecem neste livro − como as deste cap´ıtulo (“cubos”) − foram tra¸cadas com o aux´ılio do presente algoritmo.

Dedu¸c˜ ao do meu algoritmo Me coloquei o seguinte problema: Como plotar um ponto (x, y, z), do espa¸co tridimensional, em uma superf´ıcie bidimensional (a tela do computador ou uma folha de papel, por exemplo)? Para resolver meu desafio devo construir a seguinte transforma¸cão T : R3 → R2 z z

t (X, Y ) ≡ (x, y, z)

y

y

` θ

t (X, Y ) ≡ (x, y, z)

x

` θ

տ

x

Observe que o ponto a ser plotado é “o mesmo” nas duas figuras. Digo, para plotar o ponto de coordenadas (x, y, z) “no espa¸co” basta plotar o ponto de coordenadas (X, Y ) no plano. Pois bem, s´ o nos resta agora relacionar as “coordenadas virtuais” X e Y com as coordenadas reais x, y e z. Isto pode ser feito a partir da figura da direita, da qual destacamos o seguinte triˆ angulo (ver seta): ⊡ z−Y

θ a

y−X

sen θ =

y−X x

cos θ =

z−Y x

⇒ X = y − x · sen θ

x

⇒ Y = z − x · cos θ

Ent˜ ao, o “menor algoritmo do mundo” para o tra¸cado de superf´ıcies, é:

(x, y, z) ≡ (X, Y ) = ( y − x · sen θ, z − x · cos θ ) Nota: θ é um ˆ angulo, fixado, entre o eixo x e o eixo z (negativo). 562

Cap´ıtulo

10

CONSULTAS N˜ ao sem algum denodo, e at´ e deleite, tenho tentado cultivar em meu esp´ırito uma pequena nesga de iconoclastia. Fui programado para detectar fissura nas estruturas. (Gentil)

Introdu¸c˜ ao: O objetivo deste cap´ıtulo é estabelecer alguns resultados (prerequisitos) para fins de consultas e referências.

10.1

Elementos de L´ ogica & Demonstra¸c˜ oes

Nesta seçc˜ ao recordaremos, de modo resumido, alguns conceitos da L´ ogica Matemática. De in´ıcio tecemos algumas considera¸cões sobre alguns s´ımbolos, objetivando transferi-los da L´ ogica para o contexto da Matemática. Posteriormente estabeleceremos algumas técnicas de demonstra¸cões matem´ aticas. Proposi¸ c˜ ao: Chamamos conceito primitivo aquele conceito que aceitamos sem defini¸cão. ´ o que acontece, por exemplo, com o conceito de proposi¸ca E õ. Portanto, n˜ ao o definiremos. Não obstante, nada impede que conhe¸camos suas qualidades, tendo em conta que proposi¸c˜ ao é uma senten¸ca declarativa, afirmativa e que deve exprimir um pensamento de sentido completo; via de regra sendo escrita na linguagem usual ou na forma simb´ olica. Por exemplo, s˜ ao proposi¸cões: π = 1. 2 √ 2) π < 2 2.

1) sen

563

3) Todo quadrado é um retˆ angulo. 4) Todo retˆ angulo é um quadrado. Dizemos que o valor l´ ogico de uma proposi¸cão é a verdade (V ) se a proposi¸c˜ ao é verdadeira; é a falsidade (F ) se a proposi¸cão é falsa. Por exemplo, para as proposi¸cões anteriores,temos 1) V

10.1.1

2) F

3) V

4) F

Opera¸c˜ oes L´ ogicas sobre Proposi¸c˜ oes

Faremos um resumo das opera¸cões do c´ alculo proposicional também chamadas opera¸co ˜es l´ ogicas. Os principais operadores (conectivos) lógicos s˜ ao os seguintes: ∨ ∧ ¯ −→ ←→

Disjun¸cão (“ou”) Conjun¸cão (“e”) Nega¸cão Condicional (“se...então”) Bicondicional (“se e somente se”)

cujas tabelas-verdade s˜ ao dadas a seguir (estas tabelas definem os respectivos operadores): p

q

p∨q

p

q

p∧q

p

p¯

V V F F

V F V F

V V V F

V V F F

V F V F

V F F F

V F

F V

p

q

p −→ q

p

q

p ←→ q

p

p¯

q

p¯ ∨q

V V F F

V F V F

V F V V

V V F F

V F V F

V F F V

V V F F

F F V V

V F V F

V F V V

Acrescentamos a tabela-verdade da proposi¸cão p¯ ∨ q a qual nos ser´ a de grande utilidade. Vamos agora enunciar uma rela¸cão entre proposi¸cões, que se distingue dos operadores, porque n˜ ao cria nova proposi¸cão. Defini¸ c˜ ao 67 (Implica¸cão L´ ogica). Diz-se que uma proposi¸ca õ p implica logicamente ou apenas implica uma proposi¸ca õ q, se e somente se, na tabela de p e q, n˜ ao ocorre V F em nenhuma linha, com V na coluna de p e F na coluna de q. 564

Exemplo: Da tabela a seguir inferimos que a proposi¸cão q n˜ ao implica na proposi¸c˜ ao p ∧ q, ao passo que a proposi¸cão p ∧ q implica na proposi¸cão q. p

q

p∧q

q

V V F

V F V

V F F

V F V

F

F

F

F

Indica-se que a proposi¸c˜ ao p implica a proposi¸cão q com a nota¸cão: p =⇒ q. Nota: Os s´ımbolos −→ e =⇒ n˜ ao devem ser confundidos, pois p −→ q é uma proposi¸c˜ ao enquanto p =⇒ q n˜ ao é proposi¸cão. Isto é an´ alogo ao que acontece com o sinal + e o sinal < na Aritmética: 2 + 5 é um n´ umero e 2 < 5 n˜ ao é um n´ umero. A escolha do conectivo (palavra) “se p então q” para a proposi¸cão p −→ q, a nosso ver, foi infeliz. De fato, isto induz a que se conclua que a proposi¸c˜ ao q se deduz ou é uma consequˆ encia da proposi¸cão p. Isto n˜ ao se d´ a, por exemplo: √ 5 é um n´ umero ´ımpar −→ 2 é irracional (Se 5 ´ e um n´ umero ´ımpar ent˜ ao

√

2´ e irracional)

´ é uma ao verdadeira (ver tabela-verdade do condicional). Obviamente √ proposi¸c˜ ao é consequência de 5 ser um n´ umero ´ımpar. que 2 ser irracional n˜ Ao contr´ ario do que acontece na L´ ogica, em Matemática n˜ ao comparece o operador l´ ogico −→, mas apenas =⇒ com os seguintes significados para p =⇒ q: 1) Se p, ent˜ ao q; 2) Se p for verdadeira, ent˜ ao q é verdadeira; 3) p implica q; 4) q é implicada por p; 5) q segue de p; 6) p é uma condi¸c˜ ao suficiente para q; 7) q é uma condi¸c˜ ao necessária para p; ´ imposs´ıvel termos p verdadeira e q falsa simultˆ 8) E aneamente, dentre outros significados poss´ıveis. Neste momento temos uma importante observa¸cão a fazer: Dos ´ıtens 1) e 3) vemos que a matem´ atica funde (confunde) os s´ımbolos −→ e =⇒. 565

Como sempre, nestes casos, o “galho quebra” do lado do mais fraco: o aluno que ter´ a que distinguir no contexto matem´ atico se o s´ımbolo =⇒ est´ a se referindo a ele pr´ oprio ou ao condicional −→.

Chama-se tautologia toda proposi¸cão composta cuja u ´ltima coluna da sua tabela verdade encerra somente a letra V (verdade).

Proposi¸ c˜ ao 126. A proposi¸ca õ p implica a proposi¸ca õ q (isto é, p =⇒ q) se, e somente se, a condicional p −→ q é tautol´ ogica. Prova: (i) Se p implica q, então, n˜ ao ocorre p q p −→ q que os valores l´ ogicos simultˆ aneos destas duas V V V proposi¸c˜ oes sejam respectivamente V e F , e por V F F conseguinte na u ´ltima coluna da tabela-verdade F V V da condicional p −→ q consta somente a letra V , F F V logo, esta condicional é tautol´ ogica. (ii) Reciprocamente, se a condicional p −→ q é tautol´ ogica, então n˜ ao ocorre que os valores l´ ogicos simultˆ aneos das proposi¸co˜es p e q sejam respectivamente V e F , e por conseguinte p implica q. Uma diferen¸ca b´ asica entre proposi¸cão e teorema é que enquanto é l´ıcito se cogitar do valor l´ ogico de uma proposi¸cão (isto é, uma proposi¸cão pode ser verdadeira ou falsa) o mesmo n˜ ao acontece com um teorema, que sempre é verdadeiro. Não se demonstra teoremas, mas sim proposi¸cões. Uma vez demonstrada a veracidade de uma proposi¸cão: p −→ q, esta adquire status de teorema: p =⇒ q. Em matem´ atica, para demonstrar-se a valip q p −→ q dade de uma proposi¸caõ p −→ q assumimos a → V V V hip´ otese p como sendo verdadeira. Sendo assim V F F podemos nos restringir às duas primeiras linhas F V V da tabela verdade do condicional −→. F F V Uma vez assumido p verdadeira se conseguirmos demonstrar a veracidade de q então podemos riscar a segunda linha da tabela verdade do condicional. Após isto a proposi¸cão p −→ q resulta tautol´ ogica e, por conseguinte, p =⇒ q Isto é, a proposi¸c˜ ao p −→ q tornou-se o teorema p =⇒ q. Defini¸ c˜ ao 68 (Equivalência L´ ogica). Diz-se que uma proposi¸ca õ p é logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposi¸ca õ q, se as tabelas-verdade destas duas proposi¸co ˜es s˜ ao iguais. 566

Indica-se que a proposi¸c˜ ao p é equivalente a proposi¸cão q com a nota¸cão: p ⇐⇒ q Os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒ n˜ ao devem ser confundidos, pois p ←→ q é uma proposi¸c˜ ao enquanto p ⇐⇒ q n˜ ao é proposi¸cão. Os argumentos arrolados anteriormente a respeito dos s´ımbolos −→ e =⇒ podem ser adaptados para os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒. A seguir listamos várias maneiras de se formular p ⇐⇒ q em palavras∗ : 1) Se p, ent˜ ao q e rec´ıprocamente; 2) Se q, ent˜ ao p e rec´ıprocamente; 3) q é verdadeira se, somente se, p for verdadeira; 4) p implica q e rec´ıprocamente; 5) p é uma condi¸c˜ ao necessária e suficiente para q; 6) q é uma condi¸c˜ ao necessária e suficiente para p; 7) p e q s˜ ao proposi¸c˜ oes equivalentes. Dos ´ıtens 1) e 4) acima, vemos que a matem´ atica (con) funde os s´ımbolos ←→ e ⇐⇒. Proposi¸ c˜ ao 127. A proposi¸ca õ p é equivalente ` a proposi¸ca õ q (isto é, p ⇐⇒ q) se, e somente se, a bicondicional p ←→ q é tautol´ ogica. Prova: (i) Se p é equivalente a q, então, têm tabelas-verdade iguais, e por conseguinte o valor l´ ogico da bicondicional p ←→ q é sempre V , isto é, esta bicondicional é tautol´ ogica (ver tabela-verdade da bicondicional, p. 564). (ii) Rec´ıprocamente, se a bicondicional p ←→ q é tautol´ ogica, então, a u ´ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V , e por conseguinte os valores l´ ogicos respectivos das proposi¸cões p e q s˜ ao ambos V ou ambos F , isto é, estas duas proposi¸cões s˜ ao equivalentes. Portanto, a toda equivalência lógica corresponde uma bicondicional tautológica e vice-versa. ∗

∗

∗

Tomemos ent˜ ao um espa¸co sem matéria, “vazio”. A f´ısica quˆ antica mostra que, mesmo neste caso, flutua¸co ˜es de energia existem. O nada tem uma energia associada. Sendo assim, part´ıculas podem surgir dessas flutua¸co ˜es, matéria brotando do nada. (Marcelo Gleiser/F´ısico) ∗

Isto na Matem´ atica, n˜ ao na L´ ogica.

567

Equivalencias Not´ aveis A seguir listamos algumas equivalencias entre proposi¸cões, as quais podem ser demonstradas com o aux´ılio das respectivas tabelas-verdade. 1) p¯ ⇐⇒ p

(Dupla Nega¸cão)

2) Leis Idempotentes a) p ∨ p ⇐⇒ p

b) p ∧ p ⇐⇒ p 3) Leis Comutativas a) p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p

b) p ∧ p ⇐⇒ q ∧ p 4) Leis Associativas a) p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r

b) p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r

5) Leis de De Morgan∗ a) ( p ∨ q ) ⇐⇒ p¯ ∧ q¯ b) ( p ∧ q ) ⇐⇒ p¯ ∨ q¯ 6) Leis Distributivas a) p ∧ ( q ∨ r ) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

b) p ∨ ( q ∧ r ) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)

10.1.2

T´ ecnicas (Engenharia) de Demonstra¸c˜ ao

Os problemas em matem´ atica dividem-se em duas classes: Determina¸ c˜ ao: calcule, encontre, ache, determine,. . . Demonstra¸ c˜ ao: mostre, prove, demonstre,. . . Costumo mesmo dizer que a matem´ atica come¸ca com os problemas do segundo tipo. De fato, a resolu¸cão da maioria dos problemas do primeiro tipo s˜ ao algoritmicas (mecˆ anicas); enquanto os problemas do segundo tipo exigem muito de criatividade (engenhosidade). Um outro critério que utilizo para distinguir n˜ ao-matem´ atica (algoritmo) ∗ Augustus De Morgan (1806 − 1873) lecionou no University College, Londres. Foi matem´ atico e l´ ogico, e contribuiu para preparar o caminho da L´ ogica matem´ atica moderna.

568

de matem´ atica, é que a n˜ ao-matem´ atica é suscept´ıvel de programa¸cão − a exemplo dos poderosos softwares algébricos − enquanto que a matem´ atica em si (demostra¸c˜ oes) n˜ ao. Ademais, estou propenso a acreditar que podemos ver a maioria dos “objetos” como consistindo de matéria e esp´ırito. Para contextualizar minha tese vejamos alguns exemplos: 1o ) Um computador consiste de hardware e software, o hardware é a parte material e o software é o esp´ırito do computador. ologos enxergam 2o ) Uma célula é composta de matéria (é o que os bi´ ao microscópio) e esp´ırito (software que comanda suas atividades) que os bi´ ologos n˜ ao enxergam ao microscópio. o 3 ) Os n´ umeros inteiros, s˜ ao compostos de matéria: Z = { . . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } e esp´ırito, que s˜ ao seus axiomas de manipula¸cão da matéria (s´ımbolos) tais como: comutatividade, associatividade, elemento neutro, elemento oposto, Princ´ıpio da Boa Ordem, etc. De igual modo, a matem´ atica possui uma parte material (s´ımbolos) e uma parte espiritual (conceitos, idéias), o que se estar a manipular∗ por a´ı é apenas o corpo (cad´ aver) da matem´ atica, seu esp´ırito fica de fora. − Para se lidar com o esp´ırito da matem´ atica (viva) torna-se indispens´ avel o conhecimento de algumas técnicas de demonstra¸cão. 1. Proposi¸c˜ oes Aparentadas p −→ q

:

Direta

q −→ p

:

Rec´ıproca

p¯ −→ q¯

:

Contr´ aria

q¯ −→ p¯

:

Contrapositiva (contra-rec´ıproca)

2. Equivalência Entre Proposi¸c˜ oes Aparentadas 2.1 A proposi¸c˜ ao direta equivale à contra-rec´ıproca. p −→ q ⇐⇒ q¯ −→ p¯ ∗

Por a´ı a que me refiro é a matem´ atica praticada até o ensino médio e em algumas cadeiras da universidade, é uma matem´ atica mecˆ anica, morta. O fato de você manusear o controle remoto de sua televis˜ ao n˜ ao significa que você compreende como ele funciona. De igual modo, muitos manipulam a matem´ atica sem compreender como ela funciona, é uma matem´ atica sem vida, sem esp´ırito!

569

Para provar isto faremos uso da seguinte identidade: p −→ q = p¯ ∨ q Esta identidade pode ser obtida das respectivas tabelas-verdade. Prova: (i) p −→ q = p¯ ∨ q

(ii) q¯ −→ p¯ = q¯ ∨ p¯

= p¯ ∨ q

Isto significa que as proposi¸cões p −→ q e q¯ −→ p¯ assumem sempre os mesmos valores lógicos; isto é, ou s˜ ao ambas verdadeiras (V ) ou s˜ ao ambas falsas (F ). Sendo assim acabamos de estabelecer nossa primeira técnica de demonstra¸cão indireta: (T-1) O teorema direto equivale ao contra-rec´ıproco† ¯ H =⇒ T ⇐⇒ T¯ =⇒ H Enunciemos nossa segunda técnica de demonstra¸cão indireta: (T-2) Anexa¸c˜ ao ` a hip´ otese da nega¸cão da tese H =⇒ T ⇐⇒

H ∧ T¯ =⇒ T

Prova: Provemos a seguinte equivalência: p −→ q ⇐⇒ p ∧ q¯ −→ q

De fato,

(i) p −→ q = p¯ ∨ q. (ii) p ∧ q¯ −→ q = (p ∧ q¯) ∨ q = ( p¯ ∨ q¯ ) ∨ q

= p¯ ∨ q ∨ q = p¯ ∨ q. †

¯ Nega¸c˜ H: Hip´ otese, T : Tese, H: ao da hip´ otese, T¯ : Nega¸c˜ ao da tese.

570

(T-3) Redu¸ c˜ ao ao absurdo H =⇒ T ⇐⇒

H ∧ T¯ =⇒ f

Onde: f é uma proposi¸cão de valor lógico falso (é qualquer contradi¸c˜ ao). Prova: Provemos a seguinte equivalência: p −→ q ⇐⇒ De fato,

p ∧ q¯ −→ f

(i) p −→ q = p¯ ∨ q. (ii) p ∧ q¯ −→ f = (p ∧ q¯) ∨ f = (p ∧ q¯) = p¯ ∨ q¯

= p¯ ∨ q. Nota: Na tabela-verdade da proposi¸cão p ∨ q vemos que quando o valor l´ ogico de q é F , prevalece o valor lógico de p. Estamos dizendo que p ∨ f = p. Resumindo: Para utilizar esta técnica em uma demonstra¸cão, devemos anexar ` a Hipótese a nega¸cão da Tese e devemos exibir, ao final, alguma contradi¸cão (algum absurdo). Uma Equivalencia Not´ avel Uma das equivalências mais utilizadas em demonstra¸cões matem´ aticas é a que segue (T-4) Teorema com hip´ otese composta (∧) Se a hip´ otese de um teorema é formada pela conjun¸cão de duas outras, é válida a seguinte equivalência H1 ∧ H2 =⇒ T ⇐⇒

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Isto é, junta-se a uma das hip´ oteses a nega¸cão da tese e demonstra-se a nega¸c˜ ao da outra hip´ otese. Prova: Provemos a seguinte equivalência p ∧ q −→ r ⇐⇒ p ∧ r¯ −→ q¯ 571

De fato, p ∧ q −→ r = (p ∧ q) ∨ r = (¯ p ∨ q¯) ∨ r = p¯ ∨ q¯ ∨ r. Por outro lado, p ∧ r¯ −→ q¯ = (p ∧ r¯) ∨ q¯ = (¯ p ∨ r¯) ∨ q¯ = p¯ ∨ r ∨ q¯. Vejamos alguns exemplos de aplica¸cão desta equivalência: umeros: Se a divide b e a n˜ ao divide c então b n˜ ao divide c. 1o ) Teoria dos n´    H1 : a|b ⇒ T : b 6 | c.  H : a6|c 2 ¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Prova: Para algum n1 e algum n2 inteiros, resulta    H :    1      T¯ :

Observe que

b = n1 a =⇒ c = n2 b

c c = = n2 b a · n1

c ¯ = n1 · n2 ≡ H 2 a

2o ) Em Análise: Se a ≤ b e b ≤ a então a = b.    H1 :  H : 2

a≤b b≤a

⇒

T:

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2 572

a = b.

Prova: Suponha a ≤ b e a 6= b, então a < b.

3o ) Em Análise: Se n ∈ N, x ∈ R, e n < x < n + 1, então x 6∈ N.    H1 : x > n ⇒ T : x 6∈ N.  H : x
Prova: Se x > n e x ∈ N então x ≥ n + 1. 4o ) Em Teologia (Unicidade de Deus) Suponhamos que existam dois Deuses D e D ′ :    H1 : D é Deus ⇒ T : D = D′   H : D ′ é Deus 2

Prova: H1 ∧ T¯ : Suponhamos que D é Deus e que D 6= D ′ . Então existe algum atributo em D n˜ ao partilhado por D ′ , por conseguinte ′ D n˜ ao é Deus, o que contraria H2 . Sugest˜ ao: Quando você estudante encontrar-se frente a um teorema tipo H1 ∧ H2 =⇒ T

e, ap´ os bater o desespero (ou antes mesmo), tente demonstrar o equivalente ¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2 (T-5) O seguinte teorema n˜ ao é raro em matem´ atica: H1 ⇐⇒ H2 =⇒ T ´ um teorema, tipo “se e somente se”, isto é E H1 =⇒ H2 =⇒ T H1 ⇐= H2 =⇒ T Ent˜ ao

(i) H1 =⇒ H2 =⇒ T Observemos que a tese do teorema acima é um outro teorema. 573

Isto significa que assumindo H1 devemos demonstrar H2 =⇒ T . Isto é, devemos mostrar que H2 acarreta T . Ainda, H1 ∧ H2 =⇒ T Esta conclusão pode ser provada assim: H1 −→ H2 −→ T = H¯1 ∨ H2 −→ T = H¯1 ∨ H¯2 ∨ T = (H1 ∧ H2 ) ∨ T

= H1 ∧ H2 −→ T. Portanto subsiste a seguinte equivalência H1 =⇒ H2 =⇒ T ⇐⇒ H1 ∧ H2 =⇒ T

(ii) H2 =⇒ T =⇒ H1

Consideremos a contrapositiva: H¯1 =⇒ H2 =⇒ T . Então, ¯ ∨T H¯1 −→ H2 −→ T = H¯1 −→ H 2 = H¯1 −→ H2 ∧ T¯

Portanto subsiste a seguinte equivalência (H2 =⇒ T ) =⇒ H1 ⇐⇒ H¯1 =⇒ H2 ∧ T¯

(T-6) Teorema com hip´ otese composta (∨) Se a hip´ otese de um teorema é formada pela disjun¸cão de duas outras, é válida a seguinte equivalência H1 ∨ H2 =⇒ T ⇐⇒ H1 =⇒ T ∧ H2 =⇒ T Prova: Provemos a seguinte equivalência p ∨ q −→ r ⇐⇒ p −→ r ∧ q −→ r

De fato,

p ∨ q −→ r = (p ∨ q) ∨ r = (¯ p ∧ q¯) ∨ r = p¯ ∨ r ∧ q¯ ∨ r = p −→ r ∧ q −→ r 574

(T-7) Teorema com tese composta (∨) Se a tese de um teorema é formada pela disjun¸cão de duas outras, é válida a seguinte equivalência H =⇒ T1 ∨ T2

⇐⇒

H ∧ T¯1 =⇒ T2

Prova: Provemos a seguinte equivalência

p −→ ( q ∨ r ) ⇐⇒ ( p ∧ q¯ ) −→ r De fato, p −→ ( q ∨ r ) = p¯ ∨ ( q ∨ r ) = ( p¯ ∨ q ) ∨ r = ( p ∧ q¯ ) ∨ r = ( p ∧ q¯ ) −→ r Vejamos um exemplo de aplica¸c˜ ao desta técnica em espa¸cos vetorias. Proposi¸ c˜ ao: Uma igualdade λ u = 0, com λ ∈ R e u ∈ V , s´ o é poss´ıvel se λ = 0 ou u = 0. Prova: Inicialmente vamos reescrever a proposi¸cão da seguinte forma:   T : λ=0   1 H: λu = 0 ⇒ ou    T2 : u = 0

Temos,

H ∧ T¯1 : λ u = 0 e λ 6= 0.

Sendo assim existe o n´ umero real λ−1 , multiplicando λ u = 0 por λ−1 , obtemos λ−1 ( λ u ) = λ−1 0 ⇒ ( λ−1 · λ )u = 0 ⇒ 1 u = 0 ⇒ u = 0

575

Resumo das T´ ecnicas de Demonstra¸ co ~es ¯ H ⇒ T ⇐⇒ T¯ ⇒ H

(T-2)

H ⇒ T ⇐⇒

(T-3) (T-4) (T-5)

(T-6) (T-7) (T-8)

H ∧ T¯ ⇒ T H ∧ T¯ ⇒ f ¯ H1 ∧ T¯ ⇒ H 2

H ⇒ T ⇐⇒ H1 ∧ H2 ⇒ T ⇐⇒  H1 =⇒ H2 ⇒ T H1 ⇐⇒ H2 ⇒ T H ⇐= H ⇒ T 1 2 H1 ∨ H2 ⇒ T ⇐⇒

H ⇒ T1 ∨ T2

⇐⇒

H ⇒ T ⇐⇒

(f =absurdo)

⇐⇒ H1 ∧ H2 ⇒ T

⇐⇒ H¯1 ⇒ H2 ∧ T¯

H1 ⇒ T ∧ H2 ⇒ T

Gentil

(T-1)

H ∧ T¯1 ⇒ T2

¯ H ∧ T¯ ⇒ H

Dois outros recursos u ´teis para a formula¸cão de defini¸cões em matem´ atica s˜ ao dados a seguir.

10.1.3

Fun¸c˜ oes Proposicionais/Quantificadores

Consideremos as proposi¸cões: p : x + 6 < 10, V ( p ) =? q : 2 + 6 < 10, V ( q ) = 1 A proposi¸c˜ ao q, como se vê, é verdadeira, ao passo que nada podemos afirmar sobre o valor l´ ogico de p : V (p) =?; que somente ser´ a conhecido quando x for substituido por um n´ umero bem determinado. Neste caso, dizemos que a proposi¸c˜ ao p é uma fun¸ca õ proposicional ( f.p. ) ou ainda, uma senten¸ca aberta. Na fun¸cão proposicional p(x) : x + 6 < 10 o s´ımbolo x é chamado de vari´ avel. Chamamos conjunto universo da vari´ avel ao conjunto das possibilidades que podem substituir a vari´ avel na senten¸ca. Denotaremos este conjunto por U. Cada elemento de U chama-se valor da vari´ avel. Algumas vezes o conjunto universo U é imposto pelo contexto e outras vezes pode ser escolhido livremente pelo agente de estudo em questão. 576

Exemplos: 1o ) Consideremos a fun¸c˜ ao proposicional p dada por p(x) : x + 6 < 10 Podemos escolher para o conjunto dos valores da vari´ avel, por exemplo, um dos seguintes conjuntos: N, Z, Q, R ou { 0, 2, 4, 6, . . . } ao proposicional p dada por 2o ) Consideremos a fun¸c˜ p(x) : 1 ≤

x2 − 1 <3 x+1

Neste caso ainda temos uma certa liberdade na escolha do conjunto universo U, sendo que em qualquer escolha n˜ ao deve constar o n´ umero x = −1. Por exemplo, duas escolhas poss´ıveis s˜ ao U = N e U = Z − { −1 }. Conjunto-verdade (da senten¸ca aberta) é o conjunto dos valores da vari´ avel para os quais a senten¸ca torna-se verdadeira. Denotaremos este conjunto por V: V = x ∈ U : V p(x) = V Quantificador universal

Usaremos o s´ımbolo “ ∀ ” , chamado quantificador universal, para exprimir o fato de que “para todo x em um dado conjunto, a proposi¸cão p(x) é verdadeira”. Uma proposi¸c˜ ao do tipo “Para todo x; p(x)” é simbolicamente escrita como: ∀ x ; p(x). Quantificador existencial No caso de proposi¸c˜ oes que envolvem express˜ oes do tipo “Existe”, “Há pelo menos um”, “para ao menos um” e “Algum”, usaremos o s´ımbolo “ ∃ ”, chamado quantificador existencial, para exprimir o fato de que para pelo ao menos um elemento de um dado conjunto a proposi¸cão p(x) é verdadeira. Uma proposi¸c˜ ao do tipo “Existe x tal que p(x)” pode ser escrita simbolicamente como: ∃ x ; p(x). Valores l´ ogicos de senten¸ cas quantificadas A senten¸ca ∀ x ; p(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de p(x) e o conjunto universo forem iguais, isto é, V = U (ou se, substituindo de x por cada um dos elementos u do conjunto universo, p(u) é verdadeira) e, falsa quando V 6= U. Na tabela a seguir damos alguns exemplos do que acabamos de definir: 577

∀ x ; p(x) ∀ x ; x2 −4=0

x2 −4=0

U

V

{ −2, 2 }

{ −2, 2 }

V

V (∀ x ; p(x))

{ −2, 0, 2 } { −2, 2 }

F

∀x; x≤0

Z

Z−

F

∀x; x≤0 √ ∀ x ; x2 =x √ ∀ x ; x2 =|x|

Z−

Z−

V

R

R+

F

R

R

V

∀x;

R−{ −1 }

R−{ −1 }

V

N

N

V

∀x;

∀x;

x2 −1 =x−1 x+1

x2 −1 =x−1 x+1

A senten¸ca ∃ x ; p(x) é verdadeira se, e somente se, o conjunto-verdade de p(x) é n˜ ao-vazio, ou seja, V 6= ∅ e, falsa quando V = ∅. Na tabela a seguir damos alguns exemplos do que acabamos de definir: ∃ x ; p(x)

U

x2 −4=0

V

V (∃ x ; p(x))

{ −2, 3 }

{ −2 }

V

∃ x ; x2 +1=0

R

∅

F

∃x;

C

{ −i, i }

V

C

∅

F

∃ x ; (−1)·x6=−x R √ ∃ x ; x2 6= x R

∅

F

R− ∗

V

∃ x ; |x|=x

{ −1, −2 }

∅

F

∃ x ; |x|=−x

{ −1, 2 }

∃x;

x2 +1=0

∃x; x<0

{ −1 }

V

Nega¸ c˜ ao de senten¸ cas quantificadas J´ a tivemos oportunidade de assinalar a diferen¸ca entre a atividade matem´ atica (engenhosidade) e a atividade algoritmica (mecˆ anica); pois bem, para fazer-se matem´ atica (isto é demonstra¸cões) o que h´ a de mais importante s˜ ao as defini¸ co ˜es e, juntamente com estas, suas nega¸cões; da´ı a importˆ ancia da nega¸ca õ de senten¸cas quantificadas. Proposi¸ c˜ ao 128 (Nega¸cão de ∀ x ; p(x)). A seguinte equivalência é v´ alida: ∀ x ; p(x) ⇐⇒ ∃ x ; p(x)

(10.1)

Prova: Mostraremos que as proposi¸cões ∀ x ; p(x) e ∃ x ; p(x) s˜ ao equivalentes mostrando que elas concordam em seus valores lógicos, isto é, V ∀ x ; p(x) = V ∃ x ; p(x) 578

De fato, suponha que ∀ x ; p(x) é verdadeira. Então, ∀ x ; p(x) é falsa e, deste modo, existe u ∈ U de modo que p(u) é falsa. Então, para este elemento p(u) é verdadeira. Sendo assim, ∃ x ; p(x) é verdadeira. Suponha agora que ∀ x ; p(x) é falsa. Então, ∀ x; p(x) é verdadeira e, deste modo, para todo u ∈ U, tem-se p(u) é verdadeira. Então, para todo u ∈ U, tem-se p(u) é falsa. Sendo assim, ∃ x ; p(x) é falsa. Um importante corol´ ario é o que vem dado a seguir: Corol´ ario 49. A seguinte equivalência é v´ alida: ∀ x ; p(x) −→ q(x) ⇐⇒ ∃ x ; p(x) ∧ q(x) Prova: De fato, ∀ x ; p −→ q = ∃ x ; p −→ q = ∃ x ; p ∨ q = ∃ x ; p ∧ q. Deixamos como exerc´ıcio a prova da Proposi¸ c˜ ao 129 (Nega¸c˜ ao de ∃ x ; p(x)). A seguinte equivalência é v´ alida: ∃ x ; p(x) ⇐⇒ ∀ x ; p(x)

(10.2)

Valores l´ ogicos de senten¸ cas quantificadas de duas vari´ aveis Seja p(x, y) uma senten¸ca aberta (ou fun¸cão proposicional) com duas vari´ aveis. Inicialmente observamos que, n˜ ao necessáriamente, as vari´ aveis envolvidas têm o mesmo conjunto universo. Na “pr´ atica” é frequente que estes conjuntos sejam distintos. Assim é que os denotaremos por: Ux e Uy . 579

Por exemplo, para a senten¸ca p(x, y) :

x2 − 1 y 2 − 1 + <0 x+1 y−1

os respectivos conjuntos universos s˜ ao necessáriamente distintos, podendo ser, por exemplo: Ux = R − { −1 } e Uy = R − { 1 }. Obs: Quando em um dado contexto citarmos apenas um conjunto universo, significa que este é o mesmo para as duas vari´ aveis, isto é, Ux = Uy . a) A senten¸ca ∀ x ∀ y ; p(x, y). A senten¸ca ∀ x ∀ y ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, para toda substitui¸cão de x por elementos a de Ux e y por elementos b de Uy , p(a, b) é verdadeira. Exemplo: A senten¸ca ∀ x ∀ y ; x · y = y · x, é verdadeira com os conjuntos universo Ux = N e Uy = Z; mas n˜ ao com os conjuntos universo Ux = M2 (N)= conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, com elementos naturais e Uy = M2 (Z)= conjunto das matrizes quadradas de ordem 2, com elementos inteiros. Por exemplo, para x=

1 0 0 2

, y=

0 −1 1 0

,

temos x · y 6= y · x. Exemplo: A senten¸ca ∀ x ∀ y ; x2 < y, com os conjuntos universo Ux = { −1, 0, 1 } e Uy = { 1, 2 } é falsa, porquanto substituindo x por −1 e y por 1, a senten¸ca (−1)2 < 1 resulta falsa. b) A senten¸ca ∃ x ∃ y ; p(x, y). A senten¸ca

∃ x ∃ y ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, p(a, b) é verdadeira. para alguma substitui¸c˜ ao de x por um elemento a de Ux e y por um elemento b de Uy . Exemplo: A senten¸ca ∃ x ∃ y ; x · y = y · x, 580

é verdadeira com os conjuntos universo Ux = M2 (N) e Uy = M2 (Z). Por exemplo 0 −1 1 0 , , y= x= 1 0 0 1

s˜ ao tais que x · y = y · x. Exemplo: A senten¸ca ∃ x ∃ y ; x2 < y, com o conjunto universo { −1, 0, 1 } é verdadeira, porquanto substituindo x por 0 e y por 1, a senten¸ca 02 < 1 resulta verdadeira.

Exemplo: A senten¸ca x √ ∃ x ∃ y ; = 2, y com o conjunto universo Z é falsa. c) A senten¸ca ∀ x ∃ y ; p(x, y). A senten¸ca ∀ x ∃ y ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, para toda substitui¸cão de x por elementos a de Ux , a senten¸ca (de uma u ńica vari´ avel) ∃ y ; p(a, y) é verdadeira. Exemplo: A senten¸ca ∀x ∃y; x+ y = 0 é verdadeira com o conjunto universo { −1, 0, 1 }, porquanto ∃ y;

∃ y; ∃ y;

−1 + y = 0

0+y =0 1+y =0

(V ; y = 1) (V ; y = 0) ( V ; y = −1 )

Exemplo: A senten¸ca ∀x ∃y; y < x é falsa com o conjunto universo { 0, 1, 2 }. Note que: ∃ y; ∃ y;

∃ y;

y<2 y<1

( V ; y = 0, ou 1 ) (V ; y = 0)

y<0

(F; V = ∅)

d) A senten¸ca ∃ y ∀ x ; p(x, y). A senten¸ca ∃ y ∀ x ; p(x, y) é verdadeira se, e somente se, a senten¸ca (de uma u ńica vari´ avel) ∀ x ; p(x, b) é verdadeira para alguma substitui¸cão de y por um elemento b do conjunto universo Uy . 581

Exemplo: A senten¸ca ∃ y ∀ x ; |x| + |y| = 1 é verdadeira com os conjuntos universo Uy = { −1, 0, 1 } e Ux = { −i, i, −1, 1 }, porquanto a senten¸ca ∀ x ; |x| + |0| = 1 é verdadeira. Exemplo: A senten¸ca ∃y ∀x; y > x é falsa com o conjunto universo { −1, 0, 1 }, porquanto cada uma das senten¸cas ∀ x; −1 > x ∀ x; 0>x ∀ x;

1>x

é falsa. Exemplo: A senten¸ca ∃y ∀x; y ≥ x é verdadeira com o conjunto universo { −1, 0, 1 }. Note que: ∀ x;

−1 ≥ x

∀ x;

1≥x

∀ x;

0≥x

( F ; x = 0, ou 1) (F; x = 1) (V ; y = 1)

Nega¸ c˜ ao de senten¸ cas quantificadas de duas vari´ aveis Observe que, por defini¸cão, ∀ x ∃ y ; p(x, y) = ∀ x ; ∃ y ; p(x, y)

∀ x ∃ y ; p(x, y) = ∀ x ; ∃ y ; p(x, y)

Por conseguinte,

= ∃ x ; ∃ y ; p(x, y) = ∃ x ∀ y ; p(x, y)

Isto é, ∀ x ∃ y ; p(x, y) = ∃ x ∀ y ; p(x, y) Similarmente, ∃ x ∀ y ; p(x, y) = ∃ x ; ∀ y ; p(x, y) 582

Por conseguinte, ∃ x ∀ y ; p(x, y) = ∃ x ; ∀ y ; p(x, y) = ∀ x ; ∀ y ; p(x, y) = ∀ x ∃ y ; p(x, y)

Isto é, ∃ x ∀ y ; p(x, y) = ∀ x ∃ y ; p(x, y)

10.2

Conjuntos, Fun¸ c˜ oes e Fam´ılia de conjuntos

O objetivo desta se¸c˜ ao ser´ a um breve resumo de fun¸cões e fam´ılia de conjuntos para futuras referências. Conjunto, Elementos O conceito de conjunto comparece em todos os ramos da Matemática. Intuitivamente, um conjuto é qualquer cole¸cão bem definida de objetos. Os conjuntos s˜ ao designados por letras latinas mai´ usculas: A, B, C, . . . , X, Y, Z. Os objetos que constituem um conjunto chamam-se elementos do conjunto e ser˜ ao designados por letras latinas min´ usculas: a, b, c, . . . , x, y, z. A afirma¸c˜ ao “p é elemento de A” ou, de modo equivalente, “p pertence a A”, escreve-se p∈A

A nega¸c˜ ao de p ∈ A escreve-se p 6∈ A. S˜ ao duas as principais maneiras de se especificar - descrever - um dado conjunto. A primeira consiste em enumerar (evidentemente quando isto é poss´ıvel) seus elementos entre chaves e separados por v´ırgula. Por exemplo, A = { 1, 2, 3, 4, 5 } A segunda consiste em dar (sem ambiguidade) uma propriedade − proposi¸cão − caracterizando todos os seus elementos. Por exemplo, B = { x : x é uma vogal } (lê-se: “B é o conjunto dos elementos x tais que x é uma vogal.”) Como mais um exemplo, C = { x : x é um n´ umero natural par } 583

Subconjuntos Um conjunto A é dito subconjunto de B, escrevendo-se A ⊂ B ou B ⊃ A se, e somente se, todo elemento de A é também elemento de B. Em S´ımbolos, A ⊂ B ⇐⇒ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B. Nota: A 6⊂ B quando existe um elemento em A que n˜ ao pertence a B. Por exemplo, consideremos os conjuntos A = { 1, 3, 5, 7, . . . }, B = { 2, 3, 5, 7, . . . }

C = { 4n − 1 : n ∈ N } = { 3, 7, 11, . . . }

Temos C ⊂ A, porquanto todo elemento de C é um n´ umero ´ımpar; por outro lado B 6⊂ A, porquanto 2 ∈ B e 2 6∈ A. Observe que, segundo a defini¸cão de subconjunto, o conjunto dos n´ umeros reais n˜ ao é subconjunto do conjunto dos n´ umeros complexos. Isto é, R 6⊂ C. Isto porque os elementos de C s˜ ao pares ordenados de n´ umeros reais. De outro modo: os elementos destes conjuntos s˜ ao de naturezas distintas. Por exemplo, (1, 3), (−1, 2), (3, 0) ∈ C; √ 2, 3, π ∈ R. Reiteramos: Não h´ a um u ńico n´ umero real que também seja um n´ umero complexo. Igualdade de Conjuntos Defini¸ c˜ ao 69. Dois conjuntos A e B s˜ ao iguais se, e somente se, A ⊂ B e B ⊂ A. Das defini¸c˜ oes dadas até aqui decorre o seguinte Teorema 7. Se A, B e C s˜ ao conjuntos quaisquer, ent˜ ao (i) (ii) (iii)

A ⊂ A; se A ⊂ B se A ⊂ B

e e

B ⊂ A =⇒ A = B; B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.

584

Importante! Uma observa¸c˜ ao importante − e oportuna −: quando devemos mostrar que dois conjuntos A e B s˜ ao iguais, esta prova deve ser feita em duas etapas: primeiro provamos que A ⊂ B e, para isto, devemos tomar um elemento arbitrário em A e mostrar que este elemento também est´ a em B; segundo, provamos que B ⊂ A, desta vez tomamos um elemento arbitrário de B e mostramos que este elemento também est´ a em A.

Conjunto Vazio e Conjunto Universo Para que possamos criar uma “álgebra” de conjuntos − o que faremos logo mais − é conveniente introduzir o conceito de conjunto vazio, como sendo o conjunto desprovido de qualquer elemento. Este conjunto é denotado pelo s´ımbolo ∅. Em toda aplica¸c˜ ao da Teoria dos Conjuntos, todos os elementos e subconjuntos em considera¸c˜ ao est˜ ao em um conjunto fixo. Este conjunto fixo chama-se conjunto universo, e designá-lo-emos pela letra U . Amiude, a solu¸c˜ ao de um problema depende do conjunto universo fixado. Por exemplo, para conjunto solu¸c˜ ao da equa¸cão 3x = 2, temos: Se Se Se Se

U U U U

=N =Z =Q =R

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

S S S S

=∅ =∅ = { 2/3 } = { 2/3 }

Para conjunto solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao 2x3 − x2 + 2x − 1 = 0, temos: Se Se Se Se Se

U U U U U

=N =Z =Q =R =C

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

S S S S S

=∅ =∅ = { 1/2 } = { 1/2 } = { −i, i, 1/2 }

Opera¸ co ˜es com conjuntos Introduziremos agora alguns métodos de constru¸cão de novos conjuntos, a partir de conjuntos dados.

Defini¸ c˜ ao 70 (União). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A uni˜ ao de A com B é o subconjunto de U , indicado por A ∪ B, assim determinado: A ∪ B = x ∈ U : x ∈ A ou x ∈ B 585

A opera¸c˜ ao de uni˜ ao goza das seguintes propriedades: N N N N N

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A∪B = B∪A A∪∅ = A A∪U = U A∪A = A

(associativa) (comutativa) (elemento neutro) (Identidade) (Idempotência)

Defini¸ c˜ ao 71 (Interseçcão). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A interseç c˜ ao de A com B é o subconjunto de U , indicado por A ∩ B, assim determinado: A∩B =

x∈U: x∈A e x∈B

A opera¸c˜ ao de interseçcão goza das seguintes propriedades: N N N N N

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A∩B = B∩A A∩∅=∅ A∩U =A A∩A =A

(associativa) (comutativa) (absor¸cão) (Identidade) (Idempotência)

As opera¸c˜ oes de uni˜ ao e interseçcão est˜ ao relacionadas através das propriedades distributivas: N N

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Defini¸ c˜ ao 72 (Complementa¸cão). Para cada subconjunto A ⊂ U , indicaA se por ∁U e chama-se complementar de A em rela¸ca õ a U , o seguinte subconjunto de U : A ∁U = { x ∈ U : x 6∈ A } Nota: Quando, em um determinado contexto, o conjunto U estiver fixA ado, a nota¸c˜ ao ∁U ser´ a simplificada para Ac . Defini¸ c˜ ao 73 (Diferen¸ca). Sejam A e B subconjuntos de um dado conjunto U . A diferen¸ ca entre A e B é o subconjunto de U , indicado por A − B, assim determinado: A − B = { x ∈ U : x ∈ A e x 6∈ B } 586

´ fácil comprovar a seguinte identidade E A − B = A ∩ Bc A seguir relacionamos algumas propriedades envolvendo as opera¸cões de complementa¸c˜ ao e diferen¸ca (para subconjuntos de um dado conjunto U ): N ∅c = U e c N Ac = A

Uc = ∅

N A ∩ Ac = ∅ e A ∪ Ac = U c c N A ∪ B = Ac ∩ B c ; A ∩ B = Ac ∪ B c

N A ∩ (B − C) = (A ∩ B) − (A ∩ C) A

N Se A ⊂ B, ent˜ ao ∁B = Ac ∩ B. Proposi¸ c˜ ao 130. Os conjuntos A ∩ B e A − B s˜ ao disjuntos e A = (A ∩ B) ∪ (A − B) Prova: Suponhamos que exista x ∈ A ∩ B e x ∈ A − B. A primeira asser¸cão nos diz que x ∈ A e x ∈ B, o que contradiz a segunda. Logo, os conjuntos s˜ ao disjuntos. (⊂) Inicialmente mostremos que (ver Importante, p. 585) A ⊂ (A ∩ B) ∪ (A − B) De fato, Seja x ∈ A, ent˜ ao ou x ∈ B ou x 6∈ B. No primeiro caso, x ∈ A e x ∈ B sendo assim x ∈ A ∩ B. No segundo caso, x ∈ A e x 6∈ B sendo assim x ∈ A − B. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. (⊂) Resta mostrar que (A ∩ B) ∪ (A − B) ⊂ A De fato, seja y ∈ (A ∩ B) ∪ (A − B), então ou y ∈ A ∩ B ou y ∈ A − B. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. Proposi¸ c˜ ao 131. Se A, B e C s˜ ao conjuntos quaisquer, ent˜ ao A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C)

A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C)

Prova: Provaremos a primeira identidade, deixando a segunda como exerc´ıcio. (⊂) Inicialmente mostremos que A − (B ∩ C) ⊂ (A − B) ∪ (A − C) 587

De fato, seja x ∈ A − (B ∩ C), então x ∈ A e x 6∈ B ∩ C; logo x ∈ A e x 6∈ B ou x 6∈ C, por conseguinte x ∈ A − B ou x ∈ A − C. Em qualquer dos casos temos nossa tese comprovada. (⊂) Resta mostrar que (A − B) ∪ (A − C) ⊂ A − (B ∩ C) De fato, seja y ∈ (A − B) ∪ (A − C), então ou y ∈ A − B ou y ∈ A − C. Sendo assim y ∈ A e y 6∈ B ou y ∈ A e y 6∈ C; logo y ∈ A e y 6∈ B ∩ C, do que decorre nossa tese. Produto Cartesiano de Conjuntos Daremos agora mais um método de constru¸cão de conjuntos, a partir de conjuntos dados: O produto cartesiano∗ . Defini¸ c˜ ao 74 (Produto Cartesiano). Sejam A e B dois conjuntos n˜ ao vazios. O produto (cartesiano) de A e B, denotado por A × B, é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b), com a ∈ A e b ∈ B, isto é: A × B = { (a, b) : a ∈ A e b ∈ B } Nota: Esta defini¸c˜ ao é um tanto informal, já que n˜ ao definimos a priori o que vem a ser um “par ordenado”. A propriedade fundamental destes entes é a que segue: (a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d. O produto de um conjunto A por si pr´ oprio, isto é, A × A, representa-se por A2 . Por exemplo, R × R = R2 = (a, b) : a ∈ R e b ∈ R R

b

(0, 0)

r(a, b) a

R

O produto de três conjuntos A, B e C − n˜ ao vazios − se define como A×B×C = A×B ×C = (a, b, c) : a ∈ A, b ∈ B e c ∈ C

∗ René Descartes (1596 − 1650), criador da geometria anal´ıtica, foi um nobre francês, soldado, matem´ atico, e um dos maiores fil´ osofos de todos os tempos.

588

O produto de n conjuntos A1 , A2 , . . . , An é definido, por indu¸cão, como segue: A1 × A2 × · · · × An = A1 × A2 × · · · × An−1 × An = (x1 , x2 , . . . , xn ) : x1 ∈ A1 , . . . , xn ∈ An

Sejam E1 , E2 , . . . , En conjuntos quaisquer. Para cada ´ındice i (1 ≤ i ≤ n) sejam Ai e Bi subconjuntos quaisquer de Ei . Colocamos, por defini¸cão: A1 × A2 × · · · × An = ∅ ⇐⇒ ∃ i ∈ { 1, 2, . . . , n } : Ai = ∅. Se Ai 6= ∅ (i = 1, 2, . . . , n), deixamos como exerc´ıcio ao leitor mostrar que (i) A1 × · · · × An ⊂ B1 × . . . × Bn ⇐⇒ A1 ⊂ B1 , . . . , An ⊂ Bn . (ii)

A1 × · · · × An ∩ B1 × . . . × Bn = (A1 ∩ B1 ) × · · · × (An ∩ Bn ).

Fun¸ co ˜es/Aplica¸ co ˜es/Transforma¸ co ˜es

O conceito de fun¸c˜ ao é de fundamental importˆ ancia uma vez que comparece − impl´ıcita ou expl´ıcitamente − em todos os ramos da ciência. Práticamente todas as equa¸c˜ oes algébricas que comparecem na F´ısica, Biologia, Qu´ımica, Economia, Eletricidade, etc.; podem ser estudadas dentro do contexto de fun¸c˜ oes. Por exemplo: 1. Na F´ısica (i) P V = N R T (ii) S = S0 + v0 t + 12 t2 (iii) m =

m0

r

1−

(iv) E = m c2

v c

2

2. Na Eletricidade ℓ πr 2 1 (ii) f0 = √ 2π LC

(i) R = ρ

3. Em Comunica¸c˜ ao   t < 0; 0, −t/RC f (t) = A 1 − e , 0 < t < τ;  −(t−τ )/RC  −τ /RC A 1−e e , t > τ. 589

O conceito de fun¸caõ − como o entendemos hoje − veio evoluindo ao longo do tempo, sendo formalizado durante o século XIX. Na época de Euler† , fun¸c˜ ao significava, em geral, aquelas que podiam ser expressas por uma equa¸c˜ ao entre x e y, tais como: y = x3 − 2x2 + 5. Por exemplo a equa¸cão dada por (sinal de x) R 1

     

1, sign(x)= 0,     −1,

se x > 0; se x = 0; se x < 0.

s

R

−1

bem como aquela dada no ´ıtem 3. (Comunica¸cão) n˜ ao representavam fun¸cões. Como vemos, a exigência de que uma fun¸cão seja dada por uma equa¸cão é bastante restritiva. Com a necessidade crescente − e premente − de resolver-se problemas de outras ´ areas − F´ısica por exemplo − é que surgiu a necessidade de se ampliar o conceito de fun¸cão de modo a incluir uma classe bem maior de tais entes.

Defini¸ c˜ ao 75 (Transforma¸cão). Dados dois conjuntos A e B, ambos n˜ ao vazios, uma transforma¸ c~ ao de A em B é uma lei pela qual a cada elemento de A associa-se um u ńico elemento de B. Se f indica essa lei e x representa um elemento genérico de A, ent˜ ao o (´ unico) elemento de B associado a x é representado por f (x) (lemos “f de x”) e se denomina imagem de x por f .

A x t

B f t f (x)

†

Leonard Euler (1707 − 1783), natural de Basiléia, Su´ı¸ca, estudou com Jo˜ ao Bernoulli. Residiu muitos anos em S˜ ao Petersburgo (hoje Leningrado), mas sua estada ali foi interrompida por um per´ıodo de 25 anos em Berlim. N˜ ao obstante ter sido pai de treze filhos e apesar de ter ficado cego, escreveu cerca de oitocentos “papers” e livros, tendo dado contribui¸c˜ oes fundamentais a todos os ramos da matem´ atica.

590

O conjunto A é chamado de dom´ınio e o conjunto B de contradom´ınio da transforma¸c˜ ao f . Alternativamente, podemos representar uma transforma¸caõ f de A em B, assim: f : A −→ B x 7−→ f (x) Nota: Os termos fun¸ c~ ao e aplica¸ c~ ao s˜ ao sinˆ onimos da palavra transforma¸ca õ, embora alguns autores prefiram reservar a palavra “fun¸cão” para se referir a aplica¸c˜ oes de valores reais ou complexos.

Imagem de um Conjunto Via Transforma¸c˜ ao Sejam f : A → B uma transforma¸cão e X ⊂ A. Vamos reunir em um mesmo subconjunto de B todos os elementos que s˜ ao imagem, por f , dos elementos de X. Formalizando, temos Defini¸ c˜ ao 76 (Imagem de Conjunto). Consideremos uma transforma¸ca õ f : A → B. Dado um subconjunto X ⊂ A, chama-se imagem de X por f , e indica-se por f (X), o seguinte subconjunto de B: f (X) = f (x) : x ∈ X B

A

X

sx

s

f

s

f (X)

f (x)

x′

s

f (x′ )

Se X = A, ent˜ ao f (A) recebe o nome de imagem de f e a nota¸cão ser´ a Im f . Portanto, Im f = { f (x) : x ∈ A } (10.3) Exemplos: 1) Consideremos a fun¸c˜ ao f : R −→ R dada por f (x) = x2 . Seja X = { −2, −1, 0, 1, 2 }. Então f (X) = { f (x) : x ∈ X } = { f (−2), f (−1), f (0), f (1), f (2) } = { 4, 1, 0, 1, 4 } = { 0, 1, 4 }

591

2) Consideremos a fun¸cão f : R −→ R dada por f (x) = sign(x) Sendo assim temos, por exemplo

(p. 590).

X = {0}

⇒

f (X) = { f (x) : x ∈ { 0 } } = { 0 }

Y = [ −2, −1 ]

⇒

f (Y ) = { f (x) : x ∈ [ −2, −1 ] } = { −1 }

Z = [ −1, 1 ]

⇒

f (Z) = { f (x) : x ∈ [ −1, 1 ] } = { −1, 0, 1 }

W = [ 1, 2 ]

⇒

f (W ) = { f (x) : x ∈ [ 1, 2 ] } = { 1 }

Qualidades de Uma Transforma¸ c˜ ao Uma transforma¸c˜ ao F : U → V se diz injetora se, para quaisquer x, y ∈ U , x 6= y =⇒ f (x) 6= f (y).

ou, de modo equivalente∗

f (x) = f (y) =⇒ x = y. Uma transforma¸c˜ ao F : U → V se diz sobrejetora se Im(f ) = B; isto é ∀ y ∈ B, ∃ x ∈ A : f (x) = y.

Uma aplica¸c˜ ao f : A −→ B ao mesmo tempo injetora e sobrejetora chama-se bijetora. Propriedades das Imagens Diretas Proposi¸ c˜ ao 132. Seja f : A −→ B, e sejam X, Y ⊂ A. Temos: (a) Se X ⊂ Y , ent˜ ao f (X) ⊂ f (Y ). (b) f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).

(c) f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ).

(d) f (∅) = ∅.

(e) f (X − Y ) ⊂ f (X).

Prova: (ver Importante, p. 585) (a)

(b)

Seja

Seja

f (x) ∈ f (X)

⇒

⇒

f (x) ∈ f (X ∪ Y )

x∈X

f (x) ∈ f (Y ) ⇒

⇒

⇒

x∈Y

f (X) ⊂ f (Y ).

x∈ X ∪Y

x ∈ X ou x ∈ Y

⇒

f (x) ∈ f (X) ou f (x) ∈ f (Y )

⇒

f (X ∪ Y ) ⊂ f (X) ∪ f (Y ).

⇒

∗

⇒

Ver (T − 1), p. 570.

592

f (x) ∈ f (X) ∪ f (Y ).

Análogamente se mostra a inclusão contr´ aria. (c)

Seja

f (x) ∈ f (X ∩ Y )

⇒

x∈X ∩Y

⇒

f (x) ∈ f (X) e f (x) ∈ f (Y )

⇒

f (X ∩ Y ) ⊂ f (X) ∩ f (Y ).

⇒

⇒

(d) f (∅) = (e) decorre de (a).

x∈X ex∈Y

f (x) ∈ f (X) ∩ f (Y ).

f (x) : x ∈ ∅

= ∅.

Para mostrar que a inclusão contr´ aria em (c) n˜ ao vale, consideremos a fun¸cão do exemplo 1) (p. 591). Observe que X = [ 1, 2 ] e Y = [ −2, −1 ] ⇒ X ∩ Y = ∅

⇒ f (X ∩ Y ) = ∅.

por outro lado, f (X) ∩ f (Y ) = [ 1, 4 ] ∩ [ 1, 4 ] = [ 1, 4 ] ⇒ f (X) ∩ f (Y ) 6⊂ f (X ∩ Y ). Esta inclusão n˜ ao se verifica precisamente por ser f uma fun¸cão n˜ ao injetora: Se f é injetora, ent˜ ao f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ). De fato, seja z ∈ f (X) ∩ f (Y ), logo, existem x ∈ X e y ∈ Y tais que z = f (x) = f (y). Pela injetividade de f concluimos que x = y ∈ X ∩ Y . Donde z ∈ f (X ∩ Y ). Como a inclusão contr´ aria vale para f qualquer, fica provada a igualdade.

Imagem Inversa de Conjunto Via Aplica¸c˜ ao Sejam f : A −→ B uma aplica¸cão e Y ⊂ B. Vamos reunir em um mesmo conjunto todos os elementos de A cujas imagens, por f , pertencem a Y . Formalizando, temos Defini¸ c˜ ao 77 (Imagem Inversa). Consideremos uma aplica¸ca õ f : A −→ B. Dado um subconjunto Y ⊂ B, chama-se imagem inversa de Y por f , e indica-se por f −1 (Y ), o seguinte subconjunto de A: f −1 (Y ) = x ∈ A : f (x) ∈ Y A

f −1 (Y

)

sx

B

s

f

f (x)

593

Y

Observa¸ c˜ ao: Não confundir a nota¸cão f −1 (Y ) com a da fun¸cão inversa. Dada uma fun¸c˜ ao f qualquer, a fun¸cão inversa nem sempre existe, mas f −1 (Y ) sempre existe, podendo ser f −1 (Y ) = ∅. Todavia, se f −1 existe, ent˜ ao f −1 (Y ) é a imagem direta de Y pela f −1 . Exemplos: Consideremos a fun¸cão f : R −→ R dada por f (x) = x2 . a) Seja Y = 0, 1, 4 . Então f −1 (Y ) = x ∈ A : f (x) ∈ Y = x ∈ R : f (x) ∈ { 0, 1, 4 } = x ∈ R : x2 ∈ { 0, 1, 4 } = { −2, −1, 0, 1, 2 }

Portanto,

f −1 { 0, 1, 4 } = { −2, −1, 0, 1, 2 }. ( 1, se x ∈ Q; b) Seja f : R −→ R dada por f (x) = 0, caso contr´ ario.

Seja Y ⊂ R, com um pouco de racioc´ınio, o leitor h´ a de concordar que   ∅, se 1 6∈ Y e 0 6∈ Y ;     Q, se 1 ∈ Y e 0 6∈ Y ; f −1 (Y ) =  R − Q, se 1 6∈ Y e 0 ∈ Y ;      R, se 1 ∈ Y e 0 ∈ Y.

Por exemplo,

f −1 ] − 1, 1[ = R − Q f −1 ] − 1, 1] = R 1 3 f −1 , =Q 2 2

Propriedades das Imagens Inversas

Proposi¸ c˜ ao 133. Seja f : A −→ B, e sejam X, Y ⊂ B. Temos: (a) Se X ⊂ Y , ent˜ ao f −1 (X) ⊂ f −1 (Y ). (b) f −1 (X ∪ Y ) = f −1 (X) ∪ f −1 (Y ).

(c) f −1 (X ∩ Y ) = f −1 (X) ∩ f −1 (Y ). c (d) f −1 (X c ) = f −1 (X) . (e) f (X − Y ) = f −1 (X) − f −1 (Y ).

Deixamos a prova desta proposi¸cão como exerc´ıcio.

594

Proposi¸ c˜ ao 134. f (X) ⊂ Y

⇐⇒ X ⊂ f −1 (Y ).

Prova: (⇒) De fato, Dado x ∈ X ⇒ f (x) ∈ f (X) ⇒ f (x) ∈ Y ⇒ x ∈ f −1 (Y ). (⇐) Seja f (x) ∈ f (X) ⇒ x ∈ X ⇒ x ∈ f −1 (Y ) ⇒ f (x) ∈ Y. Vamos agora relacionar as imagens direta e inversa. Proposi¸ c˜ ao 135. Seja f : A −→ B. Ent˜ ao (a) X ⊂ A =⇒ X ⊂ f −1 f (X) (b) X ⊂ A =⇒ X = f −1 f (X) (c) Y ⊂ B =⇒ f f −1 (Y ) ⊂ Y (d) Y ⊂ B =⇒ f f −1 (Y ) = Y

(se f for injetora )

(se f for sobrejetora )

Prova: (a) De fato, se x ∈ X, ent˜ ao f (x) ∈ f (X) e da´ı, tendo em conta a defini¸cão de imagem inversa, x ∈ f −1 f (X) . (b) Seja x ∈ f −1 f (X) , ent˜ ao f (x) ∈ f (X), portanto pela defini¸cão de ′ f (X) existe x ∈ X tal que f (x′ ) = f (x), da´ı, considerando a injetividade de f , x = x′ e portanto x ∈ X. (c) Seja y ∈ f f −1 (Y ) logo, pela defini¸cão de imagem direta, existe x ∈ f −1 (Y ) tal que f (x) = y. Pela defini¸cão de imagem inversa x ∈ f −1 (Y ) implica f (x) = y ∈ Y . (d) Seja y ∈ Y , como f é sobrejetora, existe x ∈ A tal que f (x) = y ∈ Y . Pela defini¸c˜ ao de imagem inversa, x ∈ f −1 (Y ) e pela defini¸cão de imagem −1 direta, f (x) = y ∈ f f (Y ) .

Fam´ılias Indexadas

Seja A um conjunto e P(A) o conjunto de seus subconjuntos. Consideremos uma fun¸c˜ ao f : I −→ P(A) i 7−→ f (i) Esta fun¸c˜ ao é chamada fam´ılia indexada de subconjuntos de A. O dom´ınio I é chamado conjunto de ´ındices. 595

Observe que f (i) é um elemento de P(A), ou seja, é um subconjunto de A; raz˜ ao porque trocaremos de nota¸cão: f (i) = Ai . Nestas fun¸c˜ oes o aspecto que mais nos interessará é o conjunto ima gem. Para a pr´ opria fun¸cão adotaremos uma nota¸cão especial: Ai i∈I ou, simplesmente, Ai quando o conjunto de ´ındices estiver fixado em um determinado contexto. Exemplos:

1) Consideremos A = [ 0, 1 ] e I = N. Para cada n ∈ N definamos

Sendo assim An Por exemplo,

1 An = 0, n

n∈N

é uma fam´ılia de subconjuntos do intervalo [ 0, 1 ].

0

1

0

1 2

0

1 3

A1

A2

A3

2) Consideremos A = R2 e I = R. Para cada λ ∈ R definamos Aλ = (x, y) ∈ R2 : y = 2x + λ Sendo assim Aλ λ∈R é uma fam´ılia de subconjuntos do R2 , onde cada conjunto Aλ é uma reta. Por exemplo, R

3

A√

A0 3

q A−1

−3q

−2q

−1q

2

q

1

q q1

0

p−1 √ λ= 3

λ=0

p−2

λ=−1

596

q2

q3

R

Opera¸ co ˜es Generalizadas As opera¸c˜ oes de uni˜ ao e interseçcão de conjuntos, originalmente definidas para dois conjuntos, agora podem ser generalizadas. ao dos memSeja Ai i∈I uma fam´ılia de subconjuntos de A. Para a uni˜ bros desta fam´ılia usaremos uma das seguintes nota¸cões: [ [ [ Ai ; Ai ; Ai : i ∈ I . i∈I

S´ o usaremos a segunda das nota¸cões acima, quando o conjunto de ´ındices estiver fixado em um determinado contexto. Pois bem, por defini¸c˜ ao, temos: [ Ai = x : x ∈ Ai , para algum i ∈ I i∈I

Por exemplo, consideremos a fam´ılia Aλ λ∈R do exemplo 3 dado anteriormente. Temos [ Aλ = (x, y) : (x, y) ∈ Aλ , para algum λ ∈ R = R2 . λ∈R

Porquanto dado qualquer (a, b) ∈ R2 este ponto pertence ao Aλ para λ = b − 2a. Quando o conjunto de ´ındices for I = { 1, 2, . . . , n } ou I = N então escrevemos ∞ n [ [ Ai Ai ; i=1

i=1

para indicar a uni˜ ao das fam´ılias A1 , A2 , . . . , An e A1 , A2 , . . . , An , . . . respectivamente. Por exemplo, ∞ [

i=1

0,

1 = [ 0, 1 ]. i

De modo an´ alogo, para a interseçcão dos membros da fam´ılia Ai usaremos uma das nota¸c˜ oes abaixo: \ \ \ Ai ; Ai ; Ai : i ∈ I .

i∈I

i∈I

S´ o usaremos a segunda das nota¸cões acima, quando o conjunto de ´ındices estiver fixado em um determinado contexto. Pois bem, por defini¸c˜ ao, temos: \ Ai = x : x ∈ Ai , para todo i ∈ I i∈I

597

Quando o conjunto de ´ındices for I = { 1, 2, . . . , n } ou I = N então escrevemos ∞ n \ \ Ai Ai ; i=1

i=1

para a interseçc˜ ao das fam´ılias A1 , A2 , . . . , An respectivamente. Por exemplo, ∞ \

0,

i=1

e A1 , A2 , . . . , An , . . . ,

1 = { 0 }. i

Fica como exerc´ıcio a comprova¸cão desta interseçcão. As leis distributivas também s˜ ao válidas para opera¸cões generalizadas: Proposi¸ c˜ ao 136. Consideremos uma fam´ılia Ai i∈I de subconjuntos de um dado conjunto A e B ⊂ A. Ent˜ ao \ \ B ∪ Ai (i) B ∪ Ai = i∈I

i∈I

(ii) B ∩

[

i∈I

[ B ∩ Ai Ai = i∈I

Prova: Mostraremos a primeira destas identidades. T T ∈ B ou x ∈ i ∈ I Ai . Se x ∈ B (⊂) De fato, seja x ∈ B ∪ i ∈ I Ai então x T ent˜ ao xT ∈ B ∪ Ai para todo i ∈ I, e da´ı x ∈ i ∈ I B ∪ Ai . Por outro lado se x ∈ i ∈ I Ai ent˜ ao x ∈TAi para todo i ∈ I, logo x ∈ B ∪ Ai para todo i ∈ I, no que implica x ∈ i ∈ I B ∪ Ai . T (⊃) De fato, seja y ∈ i ∈ I B ∪ Ai , então y ∈ B ∪ Ai para todo i ∈ I. Logo y ∈TB ou x ∈ Ai para todo i ∈ I; em qualquer dos casos temos x∈B∪ i ∈ I Ai . As leis de De Morgan também s˜ ao válidas para opera¸cões generalizadas: Proposi¸ c˜ ao 137. Consideremos uma fam´ılia Ai i∈I de subconjuntos de um dado conjunto A. Ent˜ ao (i)

[

Ai

\

Ai

i∈I

(ii)

i∈I

c

=

c

=

\

Aci

[

Aci

i∈I

598

i∈I

Prova: Mostraremos a primeira destas identidades. c S S então x 6∈ i ∈ I Ai o que significa que (⊂) De fato, seja x ∈ i ∈ I Ai x 6∈ TAi para todo i ∈ I. Logo x ∈ Aci para todo i ∈ I, resultando que x ∈ i ∈ I Aci T (⊃) De fato, seja y ∈ i ∈ I Aci ent˜ aoS y ∈ Aci para todo i ∈ I. No que c S implica que y 6∈ Ai para todo i ∈ I, logo y 6∈ i ∈ I Ai , no que resulta y ∈ i ∈ I Ai . A seguinte proposi¸c˜ ao ser´ a de alguma utilidade Proposi¸ c˜ ao 138. Seja A um conjunto qualquer e, para [ cada x ∈ A, seja Gx um subconjunto de A tal que x ∈ Gx . Ent˜ ao A = Gx . x∈A

Prova:

(⊂) Seja p ∈ A. Ent˜ ao p ∈ Gp , portanto, p ∈ (⊃) Seja q ∈

[

x∈A

[

Gx .

x∈A

Gx . Ent˜ ao, existe x0 ∈ A de modo que q ∈ Gx0 ⊂ A; disto

concluimos pela validade da inclusão desejada.

Proposi¸ c˜ ao 139. Seja Ai uma fam´ılia indexada e i0 ∈ I um ´ındice i∈I fixado. Ent˜ ao, \ [ Ai ⊂ Ai0 ⊂ Ai . i∈I

i∈I

Prova: T Seja xT∈ i ∈ I Ai ; ent˜ ao, x ∈ Ai para todo i ∈ I. Em particular x ∈ Ai0 . Logo, i ∈ I Ai ⊂ Ai0 . S S Seja agora y ∈ Ai0 . Como i0 ∈ I, resulta y ∈ i ∈ I Ai . Da´ı Ai0 ⊂ i ∈ I Ai . Imagens Diretas e Inversas de Conjuntos Indexados Proposi¸ c˜ ao 140. Consideremos uma fun¸ca õ f : A −→ B, uma fam´ılia de subconjuntos de A e uma fam´ılia Bj de subconjuntos de B. Ai i∈I j∈J Ent˜ ao, (i) f ∪ Ai = ∪ f Ai (ii) f ∩ Ai ⊂ ∩ f Ai (iii) f −1 ∪ Bj = ∪ f −1 Bj (iv) f −1 ∩ Bj ⊂ ∩ f −1 Bj

Prova: Provemos as assertivas (i) e (iii). Então, (i) (⊂) Seja f (x) ∈ f ∪i∈I Ai ; pela defini¸cão de imagem direta x ∈ ∪i∈I Ai . 599

(p. 591),

novamente pela Sendo assim x ∈ Ai′ para algum i′ ∈ I, acarretando; defini¸c˜ ao de imagem direta, que f (x) ∈ f Ai′ no que resulta f (x) ∈ ∪i∈I f Ai .

(⊃) Análogo. (iii) (⊂) Seja x ∈ f −1 ∪ Bj ; pela defini¸cão de imagem inversa (p. 593), f (x) ∈ ∪j∈J Bj . Sendo assim f (x) ∈ Bj′ para algum j ′ ∈ J, acarretando; novamente pela defini¸c˜ ao de imagem inversa, que x ∈ f −1 Bj′ , da´ı resulta x ∈ ∪j∈J f −1 Bj .

(⊃) Análogo.

10.3

T´ opicos em An´ alise

M´ odulo (Valor Absoluto) Se x ∈ R e x 6= 0, então um dos n´ umeros, x ou −x, é estritamente positivo. Defini¸ c˜ ao 78. Se x ∈ R, chamaremos m´ odulo de x (ou ainda: valor absoluto de x) e designaremos por |x| o maior dos n´ umeros x e −x; assim, por defini¸ca õ: |x| = max{ −x, x }. ´ fácil ver que esta igualdade é equivalente a E   x, se x ≥ 0; |x| = −x, se x < 0.

Equa¸c˜ ao esta que também é usada como defini¸cão do m´ odulo de x. Decorre trivialmente que |0| = 0. Intuitivamente é fácil constatar que, na interpreta¸cão geométrica dos reais, o m´ odulo do n´ umero x exprime (na unidade considerada) a distˆ ancia do ponto x, ` a origem do referencial, isto é, ao ponto O, correspondente ao n´ umero 0, assim:

r

−x

|x|=x

|−x|=−(−x)

q0

r

x

A seguir listamos algumas propriedades do m´ odulo. 600

R

Proposi¸ c˜ ao 141. Temos: (a) |x| = 0, se e somente se, x = 0. (b) | − x| = |x| para todo x ∈ R. (c) |x · y| = |x| · |y| para todo x, y ∈ R. x |x| (d) Se y 6= 0, = . y |y|

(e) Se c ≥ 0, ent˜ ao |x| ≤ c, se e somente se, −c ≤ x ≤ c. (f ) −|x| ≤ x ≤ |x| para todo x ∈ R. Prova: (a) Decorre trivialmente da defini¸cão de m´ odulo. (b) |x| = max{ −x, x } = max

− (−x), −x

= | − x|

(c) Se x > 0 e y > 0, ent˜ ao x · y > 0, de modo que |x · y| = x · y = |x| · |y|. Se x > 0 e y < 0, ent˜ ao x · y < 0, de modo que |x · y| = −(x · y) = x · (−y) = |x| · |y|. Os demais casos s˜ ao tratados de modo an´ alogo. (d) Sendo y 6= 0 vale

x=y·

x y

e portanto, pelo ´ıtem anterior: x |x| = |y| · | |; y desta desigualdade (e tendo em conta que |y| = 6 0, por ser y 6= 0) decorre que: x |x| = y |y| .

(e) Temos

|x| ≤ c ⇒

x≤c e −x≤c

( x≤c ⇒ x ≥ −c

pois |x| = max{ −x, x }

⇒ −c ≤ x ≤ c.

Rec´ıprocamente, se esta u ´ltima desigualdade se verifica, então x ≤ c e −x ≤ c, donde |x| ≤ c. (f ) Basta por c = |x| e utilizar o ´ıtem anterior. 601

As pr´ oximas desigualdades s˜ ao utilizadas com bastante frequência: Proposi¸ c˜ ao 142 (Desigualdade triangular). Se x e y s˜ ao n´ umeros reais quaisquer, ent˜ ao |x| − |y| ≤ |x ± y| ≤ |x| + |y|. Prova: Utilizando os ´ıtens (f ) e (e) da proposi¸cão 141, obtemos −|x| ≤ x ≤ |x| −|y| ≤ y ≤ |y|

+ :

− |x|+|y| ≤ x+y ≤ |x|+|y|

(e) =⇒ |x+y| ≤ |x|+|y|.

Esta u ´ltima desigualdade é conhecida como desigualdade triangular. Por outro lado, |x| = (x − y) + y ≤ |x − y| + |y| =⇒ |x| − |y| ≤ |x − y| |y| = (y − x) + x ≤ |y − x| + |x| =⇒ |y| − |x| ≤ |y − x|

Sendo assim, temos   |x − y| ≥ |x| − |y|

 |y − x| ≥ − |x| − |y|

=⇒ |x − y| ≥ |x| − |y| .

Esta é a primeira desigualdade com o sinal menos. Para obter a desigualdade com o sinal mais, substituimos (nesta u ´ltima desigualdade) y por −y.

Da defini¸c˜ ao de intervalo aberto e da proposi¸cão 141, ´ıtem (e), decorrem as seguintes equivalências: x ∈ ] a − r, a + r [ ⇐⇒ a − r < x < a + r ⇐⇒ −r < x − a < r ⇐⇒ |x − a| < r. Em resumo: x ∈ ] a − r, a + r [ ⇐⇒ |x − a| < r Esta equivalência é interpretada da seguinte forma: x pertence ao intervalo aberto de “centro a e raio r” se, e somente se, a distˆ ancia de x a a n˜ ao excede r. Geometricamente tudo se passa como na figura a seguir:

] a−r

s

x

|x−a|

qa 602

[ a+r

R

10.3.1

Teoremas e Defini¸c˜ oes da An´ alise Real

A seguir enunciamos alguns resultados da Análise Real (AR) para futuras referências. A prova destes resultados é pertinente à Análise. Um resultado frequentemente invocado é o teorema de Weierstrass∗ dado a seguir: Teorema[AR] 1 (Weierstrass). Toda fun¸ca õ cont´ınua f : [ a, b ] −→ R é limitada e assume valores m´ aximo e m´ınimo. (isto é, existem x1 e x2 ∈ [ a, b ] tais que f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) para todo x ∈ [ a, b ].) Teorema[AR] 2. Sejam f e g duas fun¸co ˜es cujos dom´ınios contenham o intervlo I e suponha-se que f (x) = g(x) em cada ponto x ∈ I, com exce¸ca õ dos pontos de um conjunto finito. Ent˜ ao f é integr´ avel em I se, e s´ omente se, g o fˆ or e, nesta hip´ otese, Z Z f= g I

I

Teorema[AR] 3. Suponha-seP que, para todo n ∈ N, se tem 0 ≤ an ≤ bn . P Se bn é convergente, ent˜ ao an é também convergente. P P Teorema[AR] P 4. Se as P séries an e bn convergem e k é um n´ umero qualquer, ent˜ ao kan e (an + bn ) convergem e X

kan = k

X

an e

X

(an + bn ) =

X

an +

X

bn .

P Teorema[AR] 5. Sendo convergente a série |an |, é também convergente P a série an e tem-se ainda ∞ ∞ X X |an |. an ≤ n=1

n=1

Teorema[AR] 6. Se lim xn = a ent˜ ao lim |xn | = |a|. Esta assertiva pode ser reformulada como segue: Se (xn ) é uma sequência convergente ent˜ ao lim |xn | = | lim xn |. Teorema[AR] 7 (Passagem ao limite numa desigualdade). Sejam (xn ) e (yn ) sequências convergentes. Se a condi¸ca õ xn ≤ yn é verificada por infinitos valores de n ent˜ ao lim xn ≤ lim yn . ∗

Karl Weierstrass (1815 − 1897) foi durante muitos anos professor em Berlim, e exerceu profunda influência no desenvolvimento da An´ alise. Sempre insistindo em demonstra¸c˜ oes rigorosas, elaborou, mas n˜ ao publicou, uma introdu¸c˜ ao ao sistema de n´ umeros reais. Deu também importantes contribui¸c˜ oes ` a An´ alise Real e Complexa, ` as equa¸c˜ oes diferenciais e ao c´ alculo das varia¸c˜ oes.

603

Teorema[AR] 8. Se f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], ent˜ ao Rb a g(x).

Rb a

f (x) ≤

Teorema[AR] 9. Se f ≥ 0 é uma fun¸ca õ cont´ınua num intervalo [ a, b ], Rb com f (c) > 0 em algum ponto c ∈ [ a, b ], ent˜ ao a f > 0.

Defini¸ c˜ ao 79 (Continuidade Uniforme). Uma fun¸ca õ f : X → R diz-se uniformemente cont´ınua no conjunto X quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se exibir δ > 0 de modo que x, y ∈ X, |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε.

Teorema[AR] 10. Seja X ⊂ R limitado e fechado. Toda fun¸ca õ cont´ınua f : X → R é uniformemente cont´ınua. Defini¸ c˜ ao 80 (Convergência Simples ou Pontual). Diz-se que a sequência de fun¸co ˜es fn : X → R converge simplesmente (ou pontualmente) para a fun¸ca õ f : X → R quando, para cada x ∈ X arbitrariamente fixado, a sequˆ e ncia de n´ umeros reais fn (x) converge para o n´ umero f (x). Ou seja, para todo x ∈ X fixado, tem-se lim fn (x) = f (x). n→∞

Defini¸ c˜ ao 81 (Convergência Uniforme). Diz-se que uma sequência de fun¸co ˜es (fn ) converge uniformemente para uma fun¸ca õ f num dom´ınio D se, dado qualquer ε > 0, existe um ´ındice n0 tal que, para todo x ∈ D, n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)| < ε. Teorema[AR] 11. Se (fn ) é uma sequência de fun¸co ˜es cont´ınuas num mesmo dom´ınio D, que converge uniformemente para uma fun¸ca õ f , ent˜ ao f é cont´ınua em D. Teorema[AR] 12 (Teorema do Valor Médio, de Lagrange). Se f : [ a, b ] → R é cont´ınua e, se f é diferenci´ avel em cada ponto do intervalo ] a, b [, ent˜ ao existe um ponto c ∈ ] a, b [, tal que f ′ (c) =

f (b) − f (a) . b−a

Teorema[AR] 13 (Teorema dos intervalos encaixados). Seja [ a1 , b1 ] ⊃ [ a2 , b2 ] ⊃ · · · ⊃ [ an , bn ] ⊃ · · · uma sequência de intervalos fechados, n˜ ao-vazios e encaixados. Suponha, ademais, que a sucess˜ ao (bn − an ) dos comprimentos de tais intervalos tende a 0. Ent˜ ao, existe um u ńico ponto comum a todos estes intervalos. 604

10.3.2

Supremo e Ínfimo

Os conceitos de supremo e ´ınfimo s˜ ao da m´ axima importˆ ancia tanto na an´ alise real quanto na teoria dos espa¸cos métricos. O leitor n˜ ao tenha a ilus˜ ao de ir muito longe na matem´ atica sem uma perfeita compreensão destes conceitos. Antes definiremos Defini¸ c˜ ao 82 (Cota Superior/Cota Inferior). Seja K um subconjunto qualquer de R. (i) Diz-se que um elemento µ ∈ R é cota superior de K se µ ≥ k para todo k ∈ K. (ii) Diz-se que um elemento ν ∈ R é cota inferior de K se ν ≤ k para todo k ∈ K. Uma primeira observa¸c˜ ao importante é que a cota superior de um conjunto (se existir) pode ou n˜ ao pertencer ao conjunto. Por exemplo, o n´ umero real 1 é cota superior dos conjuntos K = [ 0, 1 ] e J =] 0, 1 [ mas pertence a K e n˜ ao a J. Observa¸c˜ ao an´ aloga vale para o ´ınfimo. Note-se que nem sempre um subconjunto K ⊂ R tem uma cota superior ou uma cota inferior. Por exemplo Z ⊂ R é um de tais conjuntos. Todavia, se um conjunto tem uma cota superior, então admite uma infinidade delas. De fato, se µ é uma cota superior de K, o mesmo se d´ a com µ + n, para todo n ∈ N. Quando um conjunto admite cota superior, dizemos que ele é cotado superiormente, e quando admite cota inferior, dizemos que é cotado inferiormente. Um conjunto dotado de cota superior e de cota inferior diz-se simplesmente cotado. Um conjunto que n˜ ao admite cota superior, ou inferior, diz-se n˜ ao-cotado. Por exemplo, Conjunto

Status

a)

Z

Não cotado

b)

N

Cotado inferiormente

c) d)

] − ∞, 1 ] ] − 1, 1 ]

Cotado superiormente Cotado

Defini¸ c˜ ao 83 (Supremo). Seja K um subconjunto qualquer de R. Se K é cotado superiormente, uma cota superior de K se diz supremo de K se é menor do que qualquer outra cota superior de K. 605

Em outras palavras: Um n´ umero µ ∈ R se diz supremo de um subconjunto K de R se satisfaz as duas condi¸cões: (i) x ≤ µ para todo x ∈ K; (ii) se λ é um n´ umero tal que x ≤ λ para todo x ∈ K, então µ ≤ λ.

De fato, pela condi¸caõ (i), µ é uma cota superior de K, e pela (ii), µ é menor que qualquer outra cota superior de K. O supremo µ de um subconjunto K de R, se existir, é u ńico. De fato, se µ1 e µ2 s˜ ao supremos de K, então ambos verificam as condi¸cões (i) e (ii) acima, logo µ1 ≤ µ2 e µ2 ≤ µ1 , donde µ1 = µ2 . Nota¸ca õ: Se µ for o supremo de K, escrevemos: µ = sup K. A seguinte caracteriza¸cão do supremo é u ´til em muitas situa¸cões:

Lema 10. Seja K ⊂ R. µ = sup K se, e somente se, µ for uma cota superior de K e, dado ε > 0, existe k ∈ K tal que µ − ε < k. Prova: (⇒) Se µ =sup K e ε > 0 ent˜ ao existe k ∈ K de modo que µ − ε < k. Vamos provar isto utilizando a técnica (T − 4) (p. 571). Fa¸camos    H1 : ε > 0 ⇒ T : ∃ k ∈ K : µ − ε < k.   H : µ =sup K 2 ¯2 H1 ∧ T¯ =⇒ H

Suponha que n˜ ao exista k ∈ K satisfazendo µ − ε < k. Isto é, suponha que µ − ε ≥ k para todo k ∈ K. Ora, se k ≤ µ − ε para todo k ∈ K, significa que µ − ε é uma cota superior de K. Uma vez que ε > 0 temos que µ − ε < µ, logo n˜ ao temos µ =sup K (porquanto µ n˜ ao é a menor das cotas superiores de K). (⇐) Se µ é uma cota superior de K e para todo ε > 0 dado existe k ∈ K satisfazendo µ − ε < k ent˜ ao µ =sup K. Ainda mais uma vez utilizemos a técnica (T − 4). Fa¸camos    H1 : µ é cota superior de K.

  H : ∀ ε > 0 ∃ k ∈ K : µ − ε < k. 2

⇒

T:

µ =sup K.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponhamos µ cota superior de K e µ 6=sup K. Logo, µ n˜ ao é a menor das cotas superiores de K. Portanto existe ε > 0 tal que µ−ε é cota superior de K; o que traz como consequência que existe ε > 0 de modo que µ − ε ≥ k para todo k ∈ K. Isto é exatamente o que buscávamos: a nega¸cão de H2 . 606

Vejamos algumas aplica¸c˜ oes do lema anterior: Exemplos: 1) Encontre o supremo de K = x ∈ R : 0 < x < 1 =] 0, 1 [. Vamos mostrar que a cota superior µ = 1 é o supremo de K. Para tanto é suficiente − consoante o lema anterior (⇐) − para todo ε > 0 exibir x ∈ K de modo que 1 − ε < x. Para isto consideremos duas possibilidades:

a) ε ≥ 1. Se ε ≥ 1 temos 1− ε ≤ 0. Neste caso, tomando por exemplo x = 1/2, resulta 1 1−ε ≤0
b) 0 < ε < 1. Neste caso temos 0<ε<1

⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒

0 > −ε > −1 −1 < −ε < 0 0 < 1 − ε < 1.

] 0

r

[

↑

1

1−ε

Vamos tomar, por exemplo, o ponto médio entre 1 − ε e 1, isto é x=

1−ε+1 2

=1−

]

ε 2

0

r

↑

1−ε

r

↑

x

e mostremos que este ponto satisfaz as duas condi¸cões desejadas: 1 a ) x ∈ K. Pois 0<1−

ε < 1 ⇐⇒ 0 < ε < 2. 2

e, por hip´ otese, ε < 1. a 2 ) 1 − ε < x. Pois 1−ε <1−

ε ε ⇐⇒ ε > . 2 2

Resumindo: dado ε > 0 tomamos ( 1 , se ε ≥ 1; xε = 2 ε 1 − 2 , se 0 < ε < 1. e teremos xε ∈ K e 1 − ε < xε , o que prova que sup ] 0, 1 [= 1.

2) Mostre que sup K = 1, onde K=

n1 2 3 o n , , , ··· , , ··· . 2 3 4 n+1 607

[ 1

n Temos que n+1 < 1 para todo n natural. Sendo assim 1 é uma cota superior de K. Consoante o lema anterior, dado ε > 0 devemos exibir um x ∈ K de modo que 1−ε < x. Ou ainda: para todo ε > 0 devemos encontrar n ∈ N de modo que n 1−ε< . n+1 Esta desigualdade é satisfeita para todo n natural se 1 − ε < 0 (ε > 1). Sendo assim consideremos 1 − ε ≥ 0 (ε ≤ 1). Então,

1−ε<

n ⇐⇒ (1 − ε)(n + 1) < n n+1 1−ε ⇐⇒ n > . ε

Assim, dado ε > 0, escolhemos um natural nε > 1−ε<

1−ε ε

e teremos

nε . nε + 1

o que prova ser sup K = 1. Proposi¸ c˜ ao 143. Se µ for uma cota superior de K e µ ∈ K ent˜ ao µ = sup K. Prova: Por defini¸caõ de sup K (e tendo em conta que µ é uma cota superior de K) podemos escrever x ≤ sup K ≤ µ, ∀ x ∈ K. Como, por hip´ otese, µ ∈ K temos em particular que µ ≤ sup K ≤ µ, donde µ = sup K. A proposi¸c˜ ao que acabamos de provar nos permite obter alguns supremos a “olho nu”. Por exemplo, sup ] 0, 1 ] = 1. Porquanto 1 é cota superior de ] 0, 1 ] e pertence a este conjunto. Como mais um exemplo, consideremos n1 1 o 1 K= , , ··· , n, ··· 2 4 2

Ent˜ ao, sup K = 1/2. Isto se deve a que 1 ´ e cota superior de K e pertence a K. 2

1 2n

≤

1 2

para todo n natural. Isto é,

Defini¸ c˜ ao 84 (Ínfimo). Seja K um subconjunto qualquer de R. Se K é cotado inferiormente, uma cota inferior de K se diz ´ınfimo de K se é maior do que qualquer outra cota inferior de K. Em outras palavras: Um n´ umero ν ∈ R se diz ´ınfimo de um subconjunto K de R se satisfaz as duas condi¸cões: 608

(i) x ≥ ν para todo x ∈ K; (ii) se λ é um n´ umero tal que x ≥ λ para todo x ∈ K, então ν ≥ λ.

De fato, pela condi¸c˜ ao (i), ν é uma cota inferior de K, e pela (ii), ν é maior que qualquer outra cota inferior de K. O ´ınfimo ν de um subconjunto K de R, se existir, é u ńico. De fato, se ν1 e ν2 s˜ ao ´ınfimos de K, ent˜ ao ambos verificam as condi¸cões (i) e (ii) acima, logo ν1 ≥ ν2 e ν2 ≥ ν1 , donde ν1 = ν2 . Nota¸ca õ: Se ν for o ´ınfimo de K, escrevemos: ν = inf K. A seguinte caracteriza¸c˜ ao do ´ınfimo é u ´til em muitas situa¸cões:

Lema 11. Seja K ⊂ R. ν = inf K se, e somente se, ν for uma cota inferior de K e, dado ε > 0, existe k ∈ K tal que k < ν + ε. Prova:

(⇒) Se ν = inf K e ε > 0 ent˜ ao existe k ∈ K de modo que k < ν + ε. Vamos provar isto utilizando a técnica (T − 4) (p. 571). Fa¸camos    H1 : ε > 0 ⇒ T : ∃ k ∈ K : k < ν + ε.   H : ν = inf K 2 ¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponha que n˜ ao exista k ∈ K satisfazendo k < ν + ε. Isto é, suponha que k ≥ ν + ε para todo k ∈ K. Ora, se k ≥ ν + ε para todo k ∈ K, significa que ν + ε é uma cota inferior de K. Uma vez que ε > 0 temos que ν + ε > ν, logo n˜ ao temos ν = inf K (porquanto ν n˜ ao é a maior das cotas inferiores de K). (⇐) Se ν é uma cota inferior de K e para todo ε > 0 dado existe k ∈ K satisfazendo k < ν + ε ent˜ ao ν = inf K. Ainda mais uma vez utilizemos a técnica (T − 4). Fa¸camos    H1 : ν é cota inferior de K.

  H : ∀ ε > 0 ∃ k ∈ K : k < ν + ε. 2

⇒

T:

ν = inf K.

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponhamos ν cota inferior de K e ν 6= inf K. Logo, ν n˜ ao é a maior das cotas inferiores de K. Portanto existe ε > 0 tal que ν + ε é cota inferior de K; o que traz como consequência que existe ε > 0 de modo que k ≥ ν + ε para todo k ∈ K. Isto é exatamente o que buscávamos: a nega¸cão de H2 . 609

Vejamos algumas aplica¸cões do lema anterior: Exemplos 1) Encontre o ´ınfimo de K = x ∈ R : 0 < x < 1 = ] 0, 1 [. Vamos mostrar que a cota inferior ν = 0 é o ´ınfimo de K. Para tanto é suficiente − consoante o lema anterior (⇐) − para todo ε > 0 exibir x ∈ K de modo que x < 0 + ε. Para isto consideremos duas possibilidades: a) ε ≥ 1. Se ε ≥ 1 qualquer x ∈ K serve aos nossos propósitos, porquanto x ∈ K ⇒ 0 < x < 1 ≤ ε. b) 0 < ε < 1. Neste caso é suficiente tomar xε = 2ε , porquanto 1 ε < 2 2 ⇒ 0 < xε < 1 e xε < ε.

0<ε<1 ⇒ 0< 2) Encontre inf K, onde K=

n

1,

o 1 1 1 , , ··· , , ··· 2 3 n

Sendo n1 > 0, para todo n natural, temos que 0 é uma cota inferior de K. Para mostrar que 0 = inf K é suficiente exibir um x ∈ K de modo que x < 0 + ε qualquer que seja o ε > 0. Pois bem, dado ε > 0 escolhamos um natural n0 satisfazendo∗ n0 · ε > 1, isto é, n1 < ε. Logo x = n1 serve. 0

0

3) Encontre inf K, onde

K=

1 1 1 1, , , · · · , 2 , · · · 4 8 n

Sendo n12 > 0, para todo n natural, temos que 0 é uma cota inferior de K. Para mostrar que 0 = inf K é suficiente exibir um x ∈ K de modo que x < 0 + ε qualquer que seja o ε > 0. Pois bem, dado ε > 0 escolhamos um ao natural n0 satisfazendo n0 · ε > 1, isto é, n1 < ε. Observe que este n0 n˜ encerra a quest˜ ao pois x =

1 n0

0

pode n˜ ao pertencer a K. Mas com certeza

n20 serve aos nossos propósitos uma vez que 1 1 ≤ < ε. 2 n0 n0

∗

Este natural sempre existe, conforme veremos logo mais.

610

Proposi¸ c˜ ao 144. Se ν for uma cota inferior de K e ν ∈ K ent˜ ao ν = inf K. Prova: Por defini¸c˜ ao de inf K (e tendo em conta que ν é uma cota inferior de K) podemos escrever ν ≤ inf K ≤ x, ∀ x ∈ K. Como, por hip´ otese, ν ∈ K temos em particular que ν ≤ inf K ≤ ν, donde ν = inf K. A proposi¸c˜ ao que acabamos de provar nos permite obter alguns ´ınfimos a “olho nu”. Por exemplo, inf [ 0, 1 [ = 0. Porquanto 0 é cota inferior de [ 0, 1 [ e pertence a este conjunto. Proposi¸ c˜ ao 145. Se A ⊂ B ⊂ R ent˜ ao, inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. (supondo-se que estes quatro n´ umeros existam.) Prova: Vamos separar a prova em algumas etapas. 1 a ) inf B ≤ inf A. Suponha o contr´ ario, isto é, que inf A < inf B. Como inf A é a maior das cotas inferiores de A esta desigualdade implica que inf B n˜ ao é uma cota inferior de A logo, por defini¸c˜ ao de cota inferior, existe x ∈ A de modo que x < inf B. Como, por hip´ otese, A ⊂ B temos que x ∈ B e x < inf B. Isto nos diz que inf B n˜ ao é uma cota inferior de B. Piada! 2 a ) inf A ≤ sup A. Pela defini¸c˜ ao de sup e inf, para todo x ∈ A temos

inf A ≤ x ≤ sup A =⇒ inf A ≤ sup A. 3 a ) sup A ≤ sup B.

Suponha, ao contr´ ario, que sup B sup B. Como, por hip´ otese, A ⊂ B temos que x ∈ B e x > sup B. Isto nos diz que sup B n˜ ao é uma cota superior de B. Piada!

A Propriedade de Completeza Estudaremos agora a propriedade mais importante do sistema de n´ umeros reais. Aliàs é justamente esta propriedade que diferencia este sistema do sistema de n´ umeros racionais. Esta propriedade se constitui no alicerce sobre o qual se constrói todo o edif´ıcio da an´ alise real. 611

Axioma do Supremo: “Qualquer subconjunto de R n˜ ao vazio e cotado superiormente tem um supremo”. De posse deste axioma pode-se provar (exerc´ıcio) a seguinte Proposi¸ c˜ ao 146. Qualquer subconjunto de R n˜ ao vazio e cotado inferiormente tem um ´ınfimo. Uma das propriedades mais triviais e, n˜ ao obstante, das mais u ´teis de toda a matem´ atica é considerada a seguir A Propriedade Arquimediana Uma importante consequência do Axioma do Supremo é que o subconjunto N dos n´ umeros naturais n˜ ao é cotado superiormente em R. Isto significa, em particular, que dado um real x, existe um n´ umero natural n que é maior do que x. Provemos isto: Proposi¸ c˜ ao 147 (Propriedade Arquimediana). Para todo x ∈ R existe um natural n = nx tal que nx > x. Prova: Suponha que a tese n˜ ao se verifica, isto é, para todo n natural ocorre n ≤ x. Sendo assim N é cotado superiormente. Pelo axioma do supremo existe µ = sup N. Como µ − 1 < µ segue que µ − 1 n˜ ao pode ser cota superior de N. Sendo assim existe um natural n0 satisfazendo n0 > µ−1, ent˜ ao µ < n0 + 1. Como n0 + 1 é natural isto contradiz o fato de ser µ o supremo de N. Corol´ ario 50. Se x, y ∈ R, com x > 0, ent˜ ao (a) Existe n ∈ N de modo que n · x > y; (b) Existe n ∈ N de modo que 0 <

1 < x; n

(c) Existe n ∈ N de modo que n − 1 ≤ x < n. Prova: (a) Pela proposi¸c˜ ao 147 existe um n ∈ N de modo que n > y/x, da´ı n·x > y. (b) Ainda pela mesma proposi¸cão existe um n ∈ N de modo que 0 < 1 da´ı 0 < < x. n

1 x

< n,

(c) A propriedade arquimediana nos assegura que existem n´ umeros naturais n tais que x < n. Seja n0 o menor desses n´ umeros naturais∗ . Então n0 − 1 ≤ x < n0 . ∗ Estamos invocando o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ ao: “Todo subconjunto n˜ ao-vazio de n´ umeros naturais possui um menor elemento”.

612

O ´ıtem (c) acima, nos diz que todo real positivo situa-se entre dois naturais consecutivos. Como mais uma aplica¸c˜ ao da propriedade arquimediana vamos provar a Proposi¸ c˜ ao 148. Sejam a, b, ε ∈ R. Se ∀ ε > 0, a − ε ≤ b ent˜ ao a ≤ b.

Prova: A prova ser´ a feita segundo a técnica (T − 1) (p. 570). Assumindo a nega¸c˜ ao da tese, vamos mostrar que existe um ε > 0 de modo que a−ε > b. De fato, supondo a > b temos que a − b > 0. Pela propriedade arquimediana existe n0 natural de modo que n1 < a − b. Tomemos ε = n1 . Então 0

ε=

0

1 < a − b ⇒ a − ε > b. n0

o que contradiz a hip´ otese.

Conjuntos Densos Vamos definir agora um importante conceito topológico: Defini¸ c˜ ao 85 (Densidade). Um subconjunto X ⊂ R chama-se denso em R quando todo intervalo aberto ] a, b [ contém algum ponto de X. Mostraremos agora que entre dois reais distintos quaisquer existe um racional e um irracional (a bem da verdade, infinitos racionais e infinitos irracionais!), isto é, mostraremos que o conjunto Q dos n´ umeros racionais e o conjunto Qc dos n´ umeros irracionais s˜ ao ambos densos em R. Proposi¸ c˜ ao 149. Sejam a e b n´ umeros reais, com a < b. (a) Ent˜ ao existe um racional r satisfazendo a < r < b; (b) Se µ é um irracional, ent˜ ao existe um racional s tal que o irracional µ · s satisfaz a < µ · s < b.

Prova: Sem perda de generalidade vamos supor a > 0 (caso seja a < 0 trabalhamos com −a > 0). (a) Como b − a > 0, existe − pelo corol´ ario 50 (b) − um natural m satisfazendo 0 < 1/m < b − a (⋆). Pelo corol´ ario 50 (c) aplicado a m · a, existe um natural n satisfazendo n n−1 ≤a< . n−1≤m·a
n−1 m

⇒

−a ≤

1−n m

⇒

n n ≥b ⇒ b≤ m m o que contraria a escolha de m feita em (⋆). 613

b−a≤

1−n 1 n + = . m m m

(b) Supondo 0 < a 0, decorre a/µ < b/µ. Logo, por (a), existe um racional s de modo que a/µ < s < b/µ. Donde, a < µ · s < b. ´ E fácil mostrar que µ · s é irracional, assumindo que µ seja irracional e s seja racional. De fato, utilizando a técnica (T − 4) (p. 571). Fa¸camos    H1 :

s é racional

 H : 2

⇒

µ é irracional

µ · s é irracional.

T:

¯ H1 ∧ T¯ =⇒ H 2

Suponha que µ · s seja racional; digamos, µ · s = r. Sendo assim µ = rs resulta racional, por ser o quociente de dois racionais. Para finalizar vamos rever, em uma outra forma por vezes u ´til, os conceitos de sup e inf: Defini¸ c˜ ao ( sup e inf ) Dada f : M → R, define-se: µ = sup f (x)

ν = inf f (x) x∈M

x∈M

através das propriedades: (i) f (x) ≤ µ

(ii)

∀ f (x′ )

f (x) ≥ ν

∀ f (x′ ) > ν

<µ ∃ x0 ∈ M t.q.

f (x0 ) > f (x′ )

f (x0 ) < f (x′ ) ∗

∗

∗

No meu entendimento uma das conclusões mais importantes − para a humanidade −, a que um cientista já chegou é a que segue: Você, suas alegrias e tristezas, suas mem´ orias e ambi¸co ˜es, sua no¸ca õ de identidade e seu livre-arb´ıtrio nada mais s˜ ao do que a intera¸ca õ de um vasto conjunto de células nervosas. (Francis Crick/Fonte: Veja: 4 de Julho, 2012)

Por oportuno, em meu livro O Tao da Matem´ atica dendo algo parecido. 614

(p. 61),

estou defen-

10.3.3

Espa¸cos vetoriais

Aqui apenas aditaremos alguns complementos ao texto.

(p. 82)

Vejamos mais um importante exemplo de espa¸co vetorial. O espa¸co ℓ2 , +, ·

Consideremos o conjunto ℓ2 das sequências de n´ umeros reais (xn ) Pagora ∞ 2 tais que a série n=1 xn seja convergente, isto é ℓ2 =

n

(xn )n∈N ; xn ∈ R :

∞ X

n=1

x2n < ∞

o

Por exemplo, sendo 1 1 1 1 √ √ √ √ xn = , , ,... = 1, n 2 3 4 yn =

1

1 1 1 = 1, , , , . . . n 2 4 4

1 1 1 1 , , , . . . = 1, n2 4 9 16 P ∞ 1 2 Temos que (xn ) 6∈ P ℓ2 porquanto n=1 n diverge, enquanto yn , zn ∈ ℓ 1 devido a que a série ∞ em pertencem a ℓ2 n=1 np para p > 1 converge. Tamb´ todas as sequências da forma zn =

xn = (x1 , x2 , . . . , xk , 0, 0, 0, . . .); isto é, com termos nulos a partir de um certo ´ındice k. Sobre o conjunto ℓ2 construimos um espaco vetorial assim: dados (xn ), (yn ) ∈ 2 ℓ e λ ∈ R definimos (xn ) + (yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . .) λ · (xn ) = (λ x1 , λ x2 , . . .) No apêndice isto é que

(p. 619)

mostramos que estas opera¸cões est˜ ao bem definidas,

(xn ) + (yn ) ∈ ℓ2 e λ · (xn ) ∈ ℓ2 . podemos mostrar ainda que ℓ2 , +, · é um espa¸co vetorial. Para referências futuras, destacaremos aqui o seguinte subconjunto de ℓ2 : C0 0 =conjunto das sequências reais que s´ o possuem uma quantidade finita de termos n˜ ao nulos. 615

Temos que x = (x1 , x2 , x3 , . . . , xn , . . .) ∈ C0 0 se e, somente se, existe um ´ındice k = kx natural, de modo que xm = 0 para todo m > k. Ou ainda: uma sequência pertence a C0 0 se, e somente se, todos os seus termos s˜ ao nulos a partir de uma certa ordem. Observe que C00 , +, · é um espa¸co vetorial. Dizemos, um subespa¸co vetorial de ℓ2 , +, · .

Segmento de reta em espa¸cos vetoriais Segmento de reta no espa¸ co Rn , +, ·

Consideremos a = (a1 , . . . , an ) e b = (b1 , . . . , bn ) dois pontos no Rn . Definimos segmento de reta de extremos a e b como sendo o conjunto [ a, b ] = x = (1 − t)a + t b ∈ Rn : t ∈ [ 0, 1 ] Observe que

t=0 t=1

⇒

⇒

x = (1 − 0)a + 0 b = a

x = (1 − 1)a + 1 b = b

Exemplos: (i) n = 2. Sejam a = (0, 0) e b = (1, 1). Temos [ a, b ] = x = (1 − t)a + t b ∈ Rn : t ∈ [ 0, 1 ]

(0, 0); (1, 1) = x = (1 − t)(0, 0) + t (1, 1) ∈ R2 : t ∈ [ 0, 1 ] = x = (t, t) ∈ R2 : t ∈ [ 0, 1 ] y 1

b

"

q

(1, 1)

տ

[ a, b ]

a

q1

(0, 0)

616

x

(ii) n = 3. Sejam a = (0, 1, 1) e b = (1, 0, 1). Temos [ a, b ] = x = (1 − t)a + t b ∈ Rn : t ∈ [ 0, 1 ]

(0, 1, 1); (1, 0, 1) = x = (1 − t)(0, 1, 1) + t (1, 0, 1) ∈ R2 : t ∈ [ 0, 1 ] = x = (t, 1 − t, 1) ∈ R2 : t ∈ [ 0, 1 ] z

1

#

b

"

q

(1, 0, 1)

a

(0, 1, 1)

q1

x

1− y

Segmento de reta em Espa¸ cos Quaisquer n A defini¸c˜ ao anterior para segmento de reta no espa¸ co R , +, · se estende sem dificuldade para um espa¸co vetorial E, +, · arbitrário: Dados a, b ∈ E o segmento de reta de extremos a e b, que se indica por [ a, b ] é o seguinte subconjunto de E: [ a, b ] = x = (1 − t)a + t b ∈ E : 0 ≤ t ≤ 1 . Exemplos:

(i) Seja M2 (R), +, · o espa¸co vetorial no qual M2 é o conjunto da matrizes quadradas de ordem 2 com elementos reais. Fa¸ca um esbo¸co do segmento de reta de extremos 2 1 0 −2 a= e b= . 3 0 3 4 Então [ a, b ] =

x = (1 − t)

2 1 3 0

+t

Atribuindo alguns valores a t, obtemos 617

0 −2 3 4

∈ M2 : t ∈ [ 0, 1 ]

t= 12

t=0 s   

↑

t=1 s

s

2 1 3 0

  

  

↑ 1 − 12 3 2

  

  

↑

0 −2 3 4

  

(ii) Seja C[ a, b ] o conjunto das fun¸cões reais cont´ınuas definidas no intervalo fechado [ a, b ]. Consideremos o espa¸co vetorial constru´ıdo sobre este conjunto. Fa¸camos um esbo¸co do segmento de reta de extremos a : [ a, b ] −→ R e b : [ a, b ] −→ R x 7−→ 2x+4 x 7−→ 4x2 +6 Ent˜ ao [ a, b ] = x = (1 − t)a + t b ∈ C : t ∈ [ 0, 1 ] .

Atribuindo alguns valores a t, obtemos t=0 s

↑ a : [ a, b ] −→ R x 7−→ 2x+4

t= 21

s

t=1 s

↑ ↑ x : [ a, b ] −→ R b : [ a, b ] −→ R x x 7−→ 2x2 +x+5 7−→ 4x2 +6

Observe que, para t = 12 , obtemos:

Logo,

x = (1 − t)a + t b 1 1 1 1 = 1− a + b = a + b. 2 2 2 2 1 1 1 1 a(x) + b(x) = (2x + 4) + (4x2 + 6) 2 2 2 2 = x + 2 + 2x2 + 3 = 2x2 + x + 5.

Portanto, x1 : [ a, b ] −→ R 2 x 7−→ 2x2 +x+5

618

Apˆ endice: Prova de que a soma e o produto em ℓ2 , +, · est˜ ao bem definidas. 2 De fato, dado (xn ) ∈ ℓ temos ∞ X

n=1

λ · xn

2

=

∞ X

n=1

= λ2 · P∞

(p. 615)

λ2 · x2n ∞ X

x2n ,

n=1

como, por hip´ otese, n=1 x2n é um n´ umero real (isto é, converge) segue que 2 P∞ também é convergente. Isto é, n=1 λ · xn se (xn ) ∈ ℓ2 ⇒ λ · (xn ) ∈ ℓ2 .

ver: [AR] 4, p. 603. Vamos agora mostrar que a soma est´ a bem definida. Sejam (xn ) e (yn ) 2 elementos de ℓ . Ent˜ ao ∞ ∞ X 2 X x2n + 2xn yn + yn2 xn + y n = n=1

=

n=1 ∞ X

x2n +

∞ X

yn2 + 2

xn y n .

n=1

n=1

n=1

∞ X

P P 2 2 e ∞ (xn ) e (yn ) Como, por hip´ otese, ∞ n=1 xn < ∞ n=1 yn < ∞ por serem P P ∞ 2 elementos de ℓ , resta mostrar que n=1 xn yn < ∞ para termos ∞ n=1 xn + 2 yn < ∞. A desigualdade de Cauchy-Schwarz no Rk (p. 68) que é v v u k u k k uX u X X 2 xn y n ≤ t xn · t yn2 n=1

n=1

n=1

juntamente com a desigualdade triangular∗ nos fornece v v k u k u k k X X uX u X t 2 xn · t yn2 xn y n ≤ xn y n ≤ n=1

n=1

n=1

n=1

Fazendo k −→ ∞ nesta desigualdade, obtemos v v ∞ u∞ ∞ u X X uX u 2 t xn y n ≤ xn · t yn2 < ∞. n=1

n=1

n=1

Daqui concluimos que se (xn ) e (yn ) s˜ ao elementos de ℓ2 então é um n´ umero real. Ou ainda: (xn ) + (yn ) é um elemento de ℓ2 . ∗

Desigualdade generalizada: |x1 y1 + · · · + xk yk | ≤ |x1 y1 | + · · · + |xk yk |.

619

P∞

n=1 xn yn

10.3.4

Interregno: A Matem´ atica como arte e engenharia

Tenho enfatizado (junto a meus alunos) menos o aspecto utilit´ ario da matem´ atica, mas, sobretudo, sua vertente como arte e engenharia − tal como de fato ela é em sua essência. Assim como se desenvolve a sensibilidade para a m´ usica (ou outro tipo qualquer de arte) de igual modo desenvolve-se a sensibilidade para a matem´ atica; digo, o enlêvo experimentado pelo artista também faz parte da experiência matem´ atica. A verdadeira matem´ atica conjuga arte com engenharia. Me formei em engenharia (eletrˆ onica) no ano de 1986 e fui trabalhar em minha cidade natal (Boa Vista-RR) no setor de Telecomunica¸cões (Sistema Telebr´ as), era detentor de um cargo de chefia e minha ocupa¸cão ordin´ aria se resumia em carimbar p´ apeis e “monitorar” os “indicadores de desempenho operacional”, onde utilizava tabelas e gr´ aficos. Embora fosse relativamente bem remunerado n˜ ao estava (nem um pouco) satisfeito pois sentia que minhas atividades n˜ ao se enquadravam na concep¸cão que se tem do que seja engenharia. Por outro lado, desde os tempos de estudante alimentei o sonho de deixar minha contribui¸cão à ciência; entretanto, n˜ ao desejava deixar uma contribui¸c˜ ao efêmera mas, se poss´ıvel, uma que “transcendesse os séculos”. Juntando a este requisito minha insatisfa¸cão com a “engenharia” que eu praticava decidi me demitir para d´ a aulas de matem´ atica na u.f.r.r., que estava sendo criada na ocasi˜ ao∗ . Observe que aquele que opta por fazer pesquisas antes de mais nada d´ a † (literalmente) um salto no escuro porquanto, a priori, n˜ ao existe nenhuma garantia de que se ter´ a algum êxito. Pois bem, atuando no magistério, e n˜ ao descuidando do meu objetivo principal, comecei a ensaiar algumas cria¸cões na matem´ atica; em retrospecto creio que fui bem sucedido. Por exemplo, em 2000 publiquei um livro onde constam alguns dos meus feitos − além dos que constam no presente trabalho. O interessante disso tudo é que somente muitos anos depois atinei com um fato deveras paradoxal: eu havia abandonado a “engenharia” e, sem d´ a-me conta, encontrava-me praticando a verdadeira engenharia! Com efeito, considero os prod´ıgios exibidos anteriormente − como o cubo hiperm´ agico e a topologia quˆ antica − como verdadeiras obras de engenhariamatem´ atica. ∗

Quando estudava para prestar concurso na universidade me ocorreu que naquele preciso momento (1989) milhares de indiv´ıduos, por este Brasil afora, estavam estudando para melhorar suas condi¸c˜ oes salariais e eu, aqui, estudando para piorar a minha. Com efeito, de saida perderia a metade do sal´ ario, afora outras vantagens − foi o que aconteceu. † Pelo ao menos numa conjuntura semelhante a que eu me encontrava, inclusive em termos de preparo acadêmico, apenas um curso de gradua¸c˜ ao em engenharia, digo, numa outra ´ area.

620

Um desafio a quem interessar possa . . . da matem´ atica que ´ e eterna, porque suas

melhores

manifesta¸co ˜es

podem,

como as melhores manifesta¸co ˜es da literatura, continuar causando uma intensa satisfa¸ca õ emocional a milhares de pessoas, milhares de anos depois. (G.H. Hardy)

Esta p´ agina ficaria em branco (ociosa), decidi preenchê-la deixando aqui aos meus leitores um dos problemas que mais me deu satisfa¸caõ em tê-lo resolvido. . . “uma intensa satisfa¸ca õ emocional ”. Uma outra raz˜ ao é que eu n˜ ao gostaria de morrer (“fazer a passagem”) sem antes conhecer uma outra solu¸cão diferente da minha. Apenas curiosidade se haveria uma outra − qui¸ca´ mais simples que a minha. Minhas congratula¸c˜ oes e agradecimentos àquele que obtiver êxito e me enviar a resolu¸c˜ ao.

Desafio (Gentil, o taumaturgo/18.07.1999) Sejam j e n inteiros positivos arbitrariamente fixados. Mostre que n n−1 n ⇐⇒ e têm paridades distintas. j−1 ∈ Z 2j−1 2j−1 2 Nota: Dizemos que dois n´ umeros têm a mesma paridade se ambos s˜ ao pares ou ambos s˜ ao ´ımpares. Exemplos: n

j

n

j−1

2

n−1 j−1 2

n

j−1

2

1

1

1

0

1

2

1

2

1

2

2

3

0, 5

0

0

3

2

1, 5

1

3

Nota:

m n

=

 

m! n!(m−n)!

0

, se m ≥ n; , se m < n.

Nota: O Desafio anterior surgiu quando fomos tentar demonstrar (indu¸cão sobre n) que as sequências abaixo s˜ ao iguais. m é um natural fixado. n−1

( m−1 ) an = (−1) 2

e

bn = (−1)

n−1 m−1 2

Nota: Este desafio foi resolvido pelo aluno Juan Carlos Moraga Gonz´ alez da UFRR (em Junho de 2014). Ademais, agrade¸co ao Juan por ter me apontado algumas corre¸c˜ oes a serem feitas neste livro. 621

Definir ou compreender o mundo como rela¸cão é também reconhecer-lhe uma grande plasticidade, ou seja, uma variabilidade que é fun¸cão de representa¸c˜ oes elas mesmas variadas. O mundo n˜ ao é portanto esta realidade r´ıgida e válida para todos que o vulgo crê, afirma Paul Foulquié. Ele varia com os indiv´ıduos, com os povos e com as épocas [. . .] Heidegger qualifica a riqueza de tal mundo pelo termo de mundo ambiente: O ambiente no qual vivemos é realmente estruturado por n´ os, e n˜ ao depende sen˜ ao de n´ os. O mundo assume então o sentido de uma abertura t˜ ao impressionante quanto variada; pode revestir um n´ umero infinito de combina¸co ˜es de que somos os u ńicos senhores. (Hist´ oria do Existencialismo, p.110/Denis Huisman)

A Consciˆ encia cria a realidade Ainda uma outra interpreta¸cão propõe que o ato de observa¸cão cria a realidade f´ısica. Em sua forma forte, essa interpreta¸cão assevera que a consciência é o estado b´ asico fundamental, mais primário que a matéria ou energia. Essa posi¸c˜ ao concede um papel especial à observa¸cão, quando a transforma no agente ativo que provoca o colapso das possibilidades quânticas em realidades. Muitos f´ısicos suspeitam dessa interpreta¸cão porque ela lembra idéias origin´ arias das filosofias orientais e das propostas m´ısticas. Mas um not´ avel subconjunto de f´ısicos proeminentes, incluindo os laureados Nobel em F´ısica Eugene Wigner, Brian Josephson, John Wheeler e Jonh von Neumann, abra¸cou conceitos que s˜ ao, pelo menos, um pouco simpáticos a este ponto de vista. O f´ısico Amit Goswami, da Universidade de Oregon, é um dos que o promovem com muito vigor. (Mentes Interligadas, p.221/Dean Radin) Com isto explica-se (ou unifica-se) a diversidade de Deuses construidos pelo homem ao longo das eras. Deus-Parens Brahman Vazio C´ eu Luz Branca

Deus

Tao (Mente)

Jeov´ a Al´ a Pai Kami

(Tenrikyo) (Hindu´ısmo) (Budismo) (Confucionismo) (Tao´ısmo) (Juda´ısmo) (Islamismo) (Cristianismo) (Xinto´ısmo)

Deus + Homem = Deus Todos os Deuses, sem exce¸cão, s˜ ao constru¸cões da mente humana. (Exuma¸ca õ e Julgamento de Deus/Gentil/ver p. 133)

622

Referências Bibliográficas

[1] White, A.J. An´ alise real: uma introdu¸ca õ. Tradu¸cão de Elza F. Gomide. ¨ S. Paulo - SP: EDGAR BLUCHER, 1993. [2] Figueiredo, Djairo Guedes de, An´ alise I. 2a ed. Rio de Janeiro: LTC Livros Técnicos e Cient´ıficos,1996 . [3] Kuelkamp, Nilo. Introdu¸ca õ a ` Topologia Geral. Florian´ opolis: Ed. da UFSC, 1988. [4] Domingues, Higino Hugueros. Espa¸cos Métricos e Introdu¸ca õ a ` Topologia. S˜ ao Paulo: Atual, 1982. [5] Lima, Elon Lages. Espa¸cos Métricos. Rio de Janeiro:IMPA - CNPq,1993. [6] Silva, Gentil Lopes. Novas Seq¨ uências Aritméticas e Geométricas. Bras´ılia - DF: THESAURUS EDITORA, 2000. [7] Silva, Gentil Lopes. O Mito das Ambig¨ uidades nas Representa¸co ˜es Decimais, CBPF-NF-001/06. [8] Silva, Gentil Lopes. Uma sugest˜ ao para o tratamento das dimens˜ oes na Teoria das Supercordas, CBPF-NF-002/06. ´ [9] Hefez, Abramo. Curso de Algebra, Volume 1. Rio de Janeiro: IMPA CNPq, 1993. [10] Guidorizzi, Hamilton Luiz, C´ alculo, Volumes 1−4. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Cient´ıficos, 2001.

623

Índice Remissivo

Ínfimo, 608 ˆ Angulo entre vetores, 103 A contenda, 180 Algoritmo bin´ ario, 229 Aquiles e a tartaruga, 184 Atˆ omica, verdade, 170 Axioma do Supremo, 612 Blanché, 85 Bola aberta, 105 como Ondas, 115 em subespa¸cos, 121 no espa¸co produto, 124 proposi¸c˜ oes, 125

totalmente limitado, 488 aberto, 188 num subespa¸co, 193 fechado, 201 Continuidade, 237 Continuidade uniforme, 288 Contra¸cão, 257 Convergência, 141 Cota Superior, 605 Inferior, 605 Cubo hiperm´ agico, 539 Curva de Peano inédita, 543 Curva de Peano no cubo, 536

Danah Zohar e Pietro Ubaldi, 561 Defini¸cão Ínfimo, 608 C´ odigo ASCII, 34 Bola aberta, 105 Caminho em espa¸cos métricos, 365 C´ odigo, 35 Chaitin Caminhos, 365 As boas teorias, 494 Cobertura, 475 Bits na Natureza, 506 Compacidade, 477 Distˆ ancias pequenas, 506 Completamento, 444 Ninguém sabe como resolver, 494 Conjunto aberto, 188 Prova elegante, 486 Conjunto fechado, 201 Cobertura, 475 Conjunto limitado, 53 Compacidade, 477 Conjunto totalmente limitado, 488 Completamento, 444 Conjuntos convexos, 368 Conexo por caminhos, 364 Continuidade, 237 Conjunto, 628 Continuidade uniforme, 288 convexo, 368 Contra¸cão, 257 de Cantor, 400 Convergência de sequências, 141 limitado, 53 Curva de Peano, 516 624

Defini¸c˜ oes matem´ aticas, 13 Densidade, 216 Descontinuidade, 238 Distˆ ancia entre conjuntos, 52 Distˆ ancia entre ponto e conjunto, 47 Espa¸cos Homeomorfos, 296 Espa¸co desconexo, 350 Espa¸co discreto, 133 Espa¸co euclidiano, 89 Espa¸co métrico, 12 Espa¸co métrico completo, 416 Espa¸co topol´ ogico, 280 Espa¸cos de Banach, 428 Espa¸cos de Hilbert, 432 Espa¸cos topologicamente completos, 463 Espa¸cos vetoriais, 82 Fun¸c˜ oes de Lipschitz, 258 Homeomorfismo, 295 Imagem Direta, 591 Imagem Inversa, 593 Imers˜ ao isométrica, 251 Isometria, 254 Métrica mais fina, 310 Métricas equivalentes, 311 Norma, 86 Normas equivalentes, 325 Ponto aderente, 204 Ponto de acumula¸c˜ ao, 219 Ponto fronteira, 196 Ponto interior, 186 Produto Interno, 89 quadrado hiperm´ agico, 529 Sequências de Cauchy, 407 Sequência, 137 Sequências limitadas, 156 Subespa¸co, 81 Supremo, 606 Densidade, 216, 613 Descontinuidade, 238 Desigualdade, 628 de Cauchy-Schwarz, 68, 91 triangular, 12, 602

Diâmetro, 54 Distância, 628 de Hamming, 37 entre dois conjuntos, 52 entre dois pontos, 12 entre ponto e conjunto, 47 Gentil, rˆ o, 40 Gentil, tau, 41 Dogma kantiniano, 184 Einstein 1 + 1 6= 2, 104 A massa curva o espa¸co, 21 Acuidade visual, 172 Email: RMU, 174 Eminentes matem´ aticos, 167 Equivalência L´ ogica, 566 Equivalencias Notáveis, 568 Erro de eminentes matem´ aticos, 167 Espa¸co, 628 euclidiano, 89 conexo por caminho, 368 de Banach, 428 de Hilbert, 432 desconexo, 349 discreto, 132 localmente conexo, 392 métrico, 12 métrico completo, 416 topológico, 280 Espa¸cos vetoriais, 82 Fam´ılias Indexadas, 595 Fenˆ omenos n˜ ao-locais, 387 Fréchet, 182 Francis Crick, 614 Fun¸cão, 628 aberta, 286 de Lipschitz, 258 limitada, 31 Fun¸cões Proposicionais, 576 G.H. Hardy, 85 Gaston Bachelard A abstra¸cão, 9

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Brusca muta¸c˜ ao, 16 Gentil Algoritmo bin´ ario, 230 Algoritmos, pontos, 562 Capa Deus Quˆ antico, 628 Capa EJD, 133 Capa HP, 222 ao, 628 Capa HP 2a Edi¸c˜ Capa NSAG, 472 Capa O TAO, 348 Fórmula bin´ aria, 230 Fórmula c´ odigos, 39, 63 Fórmula inédita, 236 Fórmula tern´ aria, 232 Fluxograma, 426 Iconoclasta, 563 O Universo em um palito, 544 Teorema, 228 Teorema patol´ ogico, 377 Gregory Chaitin, 177 Hawking, 183 Heisenberg, 137 Homeomorfismo, 295 I.R. Shafarevich, 278 Imagem Direta, 591 Imagem Inversa, 593 Imers˜ ao isométrica, 251 Implica¸c˜ ao L´ ogica, 564 Importˆ ancia da densidade, 217 Isometria, 254 Jimena e Irina, 406 John Von Newmann, 237 John Wheeler bits, 545 Idéias simples, 115 Krishnamurti, 105 Léon Bonaventure, 84 Lagrange, 78 Leibniz e os bits, 544 Leo Kadanoff, 349

Limites em espa¸cos métricos, 337 Louis De Broglie, 115 Métrica quântica, 16 Métrica zero-um, 15 Métrica quântica, prova, 64 Marcelo Malheiros, 561 Matéria brotando do Nada, 567 Matemática e engenharia, 620 Multiplexa¸cão, 517 N´ umero de Lebesgue, 502 Nega¸cão de senten¸cas quantificadas, 578 Niels Bohr, 79 Nietzsche Dogmas s˜ ao prisões, 57 Norbert Wiener, 185 O mito das ambiguidades, 507 Ondas geométricas, 115 Opera¸cões Generalizadas, 597 Opera¸cões L´ ogicas, 564 Osho Buda, vazio, 547 Implos˜ ao acontece, 561 Parti¸cão dos naturais, 140 Patologias, 48, 145, 147, 197, 220, 377 Pietro Ubaldi e Danah Zohar, 561 Ponto, 628 aderente, 204 de acumula¸cão, 219 fixo, 357 fronteira, 196 interior, 186 Isolado, 129 Proje¸cão i-ésima, 260 Proje¸cão estereográfica, 305 Proposi¸cão, 563 Propriedade Arquimediana, 612 Propriedades topológicas, 298 Prova métrica quântica, 64 626

Quadrado quântico, 97 Quadrado hiperm´ agico, 528 Quantificadores, 576 Régua quântica, 19 Representa¸c˜ oes bin´ arias, 229 tern´ arias, 231 Resumo das técnicas, 576 Richard Courant, 156 Rota¸cão, 255 Sequência, 137 Sequências em espa¸cos vetoriais normados, 159 limitadas, 156 num espa¸co produto, 157 Sequências de Cauchy, 407 Stephen Hawking, 183 Subespa¸cos, 81 Subsequência, 140 Supremo, 605 Técnicas de demonstra¸c˜ ao, 568 Tabela resumo pontos, 222 Teorema, 628 2 Rompe paradigma, 171 de Heine-Borel, 478 do Ponto Fixo de Banach, 467 Topologia quântica, 98, 115, 383 Uma m˜ ao leva ` a outra, 117 Unicidade do limite, 154 Universo esculpido em um palito, 544, 546 Voltaire, 17 William Blake O Mundo em um Gr˜ ao, 391, 544

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Gentil Lopes - Espaços Métricos

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