E
ste Proyecto de esferas deformadas, consiste en hallar la solución de los volúmenes de dos tipos diferentes de esferas deformadas con la ayuda de software; así como existen deducciones para coordenadas rectangulares, existen también deducciones para el cálculo de volumen en coordenadas esféricas. Las integrales pueden desarrollar una gran cantidad de cálculos, es es por eso que lo tomamos en cuenta en la solución del proyecto (integrales triples), está basado en modelos que se usan para examinar tumores en el campo medico, el objetivo es lograr aplicar integrales múltiples por medio del uso de Mathematica para poder resolver problemas reales de una manera fácil y práctica. Aplicar y aumentar el conocimiento en integrales triples a las funciones con coordenadas esféricas utilizando el diferencial de volumen; mediante la posición espacial de un punto, usando una distancia y dos ángulos.
T
his Project of deformed spheres, consists in to find the solution of the volumes of two types different from spheres deformed with the software aid; as well as deductions for rectangular coordinates exist, also exist deductions for the calculation of volume in space polar coordinates. The integrals can develop a great amount of calculations, is we took why it into account in the solution from the project (integral triples), is based on models that are used to examine tumors in the medical field, the objective is to manage to apply integral manifolds by means of the use of Mathematica to be able to solve real problems of a easy and practical way. To apply and to increase the knowledge in triple integrals to the functions with space polar coordinates using the differential of volume; by means of the space position of a point, using one distance and two angles.
C
uando se hace uso de las integrales se pueden hacer una gran cantidad de cálculos. En este proyecto, se realizará el cálculo del volumen de dos esferas deformadas, modelos que se usan para examinar tumores en el campo medico. Ambas superficies presentan las siguientes funciones en forma esféricas:
El volumen de estas “esferas” será
calculado por medio de integrales triples. El cálculo se hizo en el programa de computadora Mathematica 5. Se incluye también el marco teórico de las correspondientes operaciones utilizadas para calcular estos volúmenes.
Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:
El sistema de se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r , el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ. Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π /2 a π /2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2 π en radianes) o de -180º a +180º (- π a π).
P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la línea que une el origen y el punto P, y θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.
Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:
θ la colatitud φ el acimut.
Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:
La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r ; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.
El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que
Sobre los conjuntos abiertos:
Existe una correspondencia unívoca entre las coordenadas cartesianas y las esféricas, definidas por las relaciones:
Estas relaciones singulares cuando extenderse al propio eje + y 2 = 0, en el cual definida. Además, φ no en ningún punto .
que para coordenadas esféricas da
se hacen tratan de , donde x 2 φ, no está es continua tal que
La función inversa F − 1 entre los dos mismos abiertos puede escribirse en términos de las relaciones inversas:
En los apartados a) y b), hallar el volumen de las esferas deformadas. Estos sólidos se usan como modelos de tumores. a) Esfera deformada
Con los límites de integración ya definidos pasamos a integrar:
b) Esfera deformada Teniendo ya el recorrido de y solo faltaría definir el recorrido (o límite superior de integración) de para poder aplicar la integral triple de orden
.
Para eso hacemos y =0 Y encontramos que el valor máximo que tomaría
es 1.
Teniendo ya el recorrido de y El volumen de un sólido en coordenadas esféricas está definido por:
solo faltaría definir el recorrido (o
límite superior de integración) de para poder aplicar la integral triple de orden
.
Para eso hacemos y =0 Y encontramos que el valor máximo Elevando
:
que tomaría
es 1.
El volumen de un sólido en coordenadas esféricas está definido por:
Elevando
:
Con los límites de integración ya definidos pasamos a integrar:
.
1) Se puede concluir que además de las integrales dobles se pueden usar las integrales triples para calcular volúmenes. 2) El uso de Mathematica facilita el cálculo de integrales triples:
función de z; el valor de
y
dan dan com como o res resul ulta tado do el valo valorr de de
.
4) Aunque parezca que alcanza un valor mayor a 1; basta con integrar con limites 0 1 ya que al barrer (integrar) se llega al valor esperado no importando el valor de porque y lo definen. 5) Los ángulos tienen sus límites:
3) Así como existen deducciones para coordenadas rectangulares, existen también deducciones para el cálculo de volumen en coordenadas esféricas, donde así como en rectangulares se está en
no puede pasar de , si se pasa de este valor no es necesario; basta con ubicarse en un valor menor a valores de
y girar con los
.
pued puede e pasa pasarr de 2 ; per pero o basta con llegar a este valor.
8ta. Edición Larson, Hostetler, Edwards Mc Graw Hill
Pedro Puig Adam
5ta Edición James Stewart
Mathematica 5 Wolfram Research
Información teórica:
