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TEOREMA DE TAYLOR Y TEORIA DE ERRORES
1.
2.
3.
Cada uno de los casos siguientes, halle el error absoluto, el error relativo y el error porcentual. a) x=2.71828182, x*=2.71828182
b) y=98350, y*=9800
c) z=0.000068, z*=0.00006
d) y=0.000012, y*=0.000009
Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9 999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10 000 y 10 cm, calcule a) el error verdadero y b) el error relativo porcentual verdadero en cada caso.
. Calcule los errores relativos rel ativos porcentuales de sus resultados.
4.
Evalué
usando la siguiente aproximación
y
compare con con el valor verdadero de
5.
6.
y comente los resultados. Use 25
términos para evaluar cada serie. Use los términos de la serie de Taylor del cero al cuarto orden para estimar para usando como punto base x=1. Calcúlese el error porcentual para cada aproximación. Analice los resultados. En aplicaciones reales no se conoce el valor verdadero de un cálculo por lo que es imposible calcular el error verdadero y se hace estimaciones de este error. En métodos iterativos una estimación para el error se obtiene tomando la diferencia entre entre la aproximación previa y la actual. Comenzando con el primer término , agréguese los términos uno a uno de la serie de Maclaurin correspondiente a para estimar , calculando los errores porcentuales exactos y aproximados. Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error, considerando considerando dos cifras significativas. Scarborough, 1966; demostró que si el siguiente criterio se cumple, se tendrá la seguridad que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas:
cos=1 cos cos(/4) cos(/4)
7.
<0.5×10−
8.
Donde es el error relativo aproximado. Determine el número de términos necesarios para aproximar a 8 cifras significativas con el uso de la serie de McLaurin. Calcule la aproximación con el empleo del valor de . Escriba un programa para determinar el resultado. Complete el siguiente calculo
Determine qué tipo de error se presenta en esta situación y compare su resultado con el valor exacto p=0.2553074606 9.
() =
Sea
() = 0 (0.5) (0.5) = 1 () () = √ 1 = 0 √ 0.0.5 √ 0.0.75 √ 1.1.25 √ 1.1.5 () () =2(2) ( 2) = 0 () (0.4) () (0.4) () = / () (0.5) () () = ∫. () a) Determine el polinomio de Taylor de 2do g rado b) Calcule el error relativo y porcentual al usar
c)
en torno a
para aproximar
Repita el inciso (a) y (b) usando
10. Obtenga el polinomio de Taylor ,
,
y
para la función
, usando
11. Sea
en torno a
. Aproxime
indicando los errores. errores.
y
a) Determine el polinomio de Taylor
y uselo para aproxima
b) Determine el polinomio de Taylor
y uselo para aproxima
c)
.
Indique los errores en cada caso (a) y (b).
12. Sea
, determine el polinomio de Maclaurin
13. Calcule el polinomio de Maclaurin Indique el error.
para
y uselo para aproxima
y úselo para aproximar
.
14. Usando series de Taylor con 4 términos, c alcule aproximadamente: a)
∫. ()
b)
∫. ln(1)
c)
15. Encuentre una identidad trigonométrica adecuada para que
∫ () (1cos)
pueda calcularse con
precisión para valores pequeños de x. (existen 2 respuestas correctas)
16. Encuentre para la expresión del problema anterior una serie de Taylor adecuada que se pueda calcular con precisión 17. Encuentre una forma adecuada de calcular dígitos significativos. 18. Analice el problema de calcular
ℎ
√ 12
sin que haya una perdida innecesaria de
a partir de su definición.
19. La pérdida de cifras significativas se puede evitar a veces reordenando los términos de la función usando una identidad conocida del algebra o la trigonometría. Encuentre en cada uno de los siguientes casos una formula equivalente a la dada que evite la perdida de cifras significativas. a) b) c) d) e) f) g)
a) Pruebe que estas raíces pueden calcularse mediante las formulas equivalentes:
b) Cuando
, hay que proceder con cuidado para evitar la pérdida de precisión por
cancelación. Use la fórmula adecuada para calcular la raíces de las siguientes ecuaciones: I)
III) c)
II)
IV)
Construya un algoritmo y un programa en MATLAB que calcule las raíces de una ecuación cuadrática en todas las situaciones posibles, i ncluyendo los casos problemáticos cuando
√ 4
| | ≈
21. En un proceso de cálculo hay que evaluar la serie:
= 1 12 21 21 21 ⋯ 21
Determinar cuántos términos de la serie tiene sentido calcular implementando el siguiente algoritmo: a1; half 0.5; i 0 b 2 Repetir mientras que (b>1) aa*half i i+1 b a+1 Fin de repetir Escribir i-1 y 2*a y FIN Explicar razonadamente el funcionamiento del algoritmo. ¿Por qué se escriben las variables i-1 y 2*a ? Realice el programa con format short y format long respectivamente.
