Ense ns eñanza de las Mat em áticas ti cas con co n Tecn Tecnol olog ogíía
Más sobre Geometría Dinámica
Gonzalo Zubieta Badillo Mario Rivera Álvarez Rafael Molina Pérez
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Índice Introducción. Materiales de trabajo Ac tivi ti vidad dad es Para empezar Actividades de exploración exploración
Para empezar Actividades de exploración exploración
Dibujos y trazos geométricos Construcciones básicas
Ángulos Acerca del concepto concepto de ángulo
Construcción de triángulos Segmentos y medidas
Clasificación de triángulos Lados y ángulos
Triángulos Desigualdad triangular
Figuras planas Construcción de cuadriláteros
Cálculo de áreas. Justificación de fórmulas
Macro-construcciones Creación de macros
En las alturas. Altura de un triángulo triángulo
Puntos notables de un triángulo. Puntos notables
Papel Picado Simetría axial
Los azulejos Recubrimiento del plano por polígonos regulares.
Prismas y pirámides El plato prehispánico Exploraciones en el círculo
Disparo a gol Ángulo central e inscrito inscrito en una circunferencia circunferencia.
Ángulos, rotación y congruencia
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Pitágoras Generalizando el teorema de Pitágoras
Cuerpos Geométricos Representación plana de cuerpos en el espacio
Movimientos Cuerpos generados por deslizamiento y revolución
Presentación de las cónicas Introducción
Problemas Vinculación de actividades con programa
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Introducción. La Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología en la Escuela Secundaria (EMAT), tiene como principal objetivo impulsar el uso de nuevas tecnologías, tanto de comunicación vía Internet como computacionales, para fortalecer y ampliar la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de la escuela secundaria. Al realizar las actividades que se proponen en el libro Más sob re Geometría Dinámica, se espera que los lectores: Adquieran las capacidades básicas para el manejo del paquete de • computadora correspondiente. Reconozcan las ventajas de aprovechar la tecnología en la enseñanza de • las matemáticas. Identifiquen los temas curriculares que, por sus características, podrían • abordarse con alguno de los paquetes propuestos. Propongan estrategias didácticas y de evaluación acordes con el uso de las • nuevas tecnologías. Propongan actividades adicionales que posteriormente se implementarán • en el aula con los alumnos de secundaria . El programa de computadora que se usará para abordar los temas de geometría dinámica se caracteriza por los siguientes aspectos: •
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Abre nuevas perspectivas para la enseñanza y el aprendizaje de esta área de las matemáticas. La atención está centrada en crear objetos que conserven sus propiedades y relaciones con otros objetos, al realizar el movimiento. Las operaciones son rápidas, reversibles, progresivas y permiten una retroalimentación inmediata. Se actúa mediante acciones físicas (tales como presionar un botón) en vez de escribir con sintaxis complicada. Favorece la invención de construcciones por parte de los alumnos.
El presente documento pretende ser un apoyo y guía para quienes deseen incorporarse al uso de nuevas tecnologías para la enseñanza de las matemáticas. Precisando que los entornos computacionales que serán empleados para la enseñanza de las matemáticas, tienen una filosofía y una intencionalidad propios; esto obedece a los propósitos con los que han sido concebidos. Sin embargo, subsisten rasgos conceptuales y de diseño, en todos ellos, que hacen posible la integración en ambientes escolarizados que promuevan y estimulen las diversas formas de colaboración en el salón de clases: entre estudiante y máquina, entre los estudiantes y entre estos y el profesor; estas formas de interacción cognitiva difieren de las que se pueden establecer en los salones de clase tradicionales, debido en gran medida, a la naturaleza de la retroalimentación a que da lugar el entorno computacional. 4
Con el software Cabri-Géomètre, se propone el aprendizaje de la geometría en un ambiente de cómputo, donde el estudiante pueda manipular de manera controlada, las versiones electrónicas de los objetos geométricos. Es posible, entonces, abordar los problemas que se manifiestan a través de la necesidad de cerrar la brecha entre percepción y geometría. Las actividades que se realizaran tienen como antecedente el libro “geometría dinámica”, en ellas se contemplan ideas que forman la base del currículo de matemáticas de secundaria. Algunas actividades, sin embargo, van más allá del currículo y llevan a los alumnos a acercarse a nociones matemáticas más complejas. El presente texto debe concebirse como un acercamiento novedoso a la geometría, vía la tecnología, de apoyo a la labor docente. El programa no se agota al cubrir las sesiones de trabajo aquí propuestas, sino que abre una gama de posibilidades para el docente, a desarrollar a lo largo de todo el ciclo escolar. Se espera que después de estas sesiones, se analicen los contenidos curriculares para identificar los temas que conviene enseñar con apoyo de tecnología, explore los materiales ya existentes y empiece a diseñar sus propias actividades. El presente libro profundiza conceptos importantes del libro anterior, por ejemplo, el de ángulo; generaliza algunos resultados que aparecen en el libro anterior, como es el caso del teorema de Pitágoras; presenta temas de geometría del espacio a través de su representación plana, de los cuerpos más familiares, esto es, prismas y pirámides, que no aparecen en el libro anterior. En resumen, el libro Más sobre Geometría Dinámica es un complemento necesario del libro Geometr ía Dinámi ca.
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1. Materiales de trabajo Se recomienda trabajar una sesión de 50 minutos, cada semana, donde el profesor puede seguir las actividades propuestas en las hojas de trabajo. Las hojas de trabajo contienen los siguientes apartados: Apartado
Propósito
Título de la actividad
Señala el contenido matemático prioritario que se trabajará en la sesión. Instrucciones de construcción de figuras Indica de manera explícita los pasos y las herramientas necesarias para desarrollar la construcción. Ilustración de apoyo a las instrucciones Vincula el listado de indicaciones con la ilustración, de manera que el estudiante pueda comparar la figura construida por él y la presentada en la hoja de trabajo. Preguntas de reflexión
Analiza, a partir de la construcción y una serie de cuestionamientos, la importancia o vinculación de algunos conceptos y procedimientos, con las actividades realizadas en la sesión.
Las actividades propuestas pretenden fortalecer, entre otras, actitudes como: • •
•
• •
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Exploración, diálogo e investigación ; Flexibilidad para utilizar varios caminos al solucionar problemas ; Constancia para concluir sus actividades matemáticas ; Espíritu de cooperación entre sus compañeros; Interés y curiosidad para descubrir reglas y procedimientos ; Creatividad e inventiva en la resolución de problemas
Además del fomento de actitudes, desarrollo de habilidades y destrezas matemáticas, propiciando el uso constante del lenguaje matemático en la comunicación de ideas y es por ello que se recomienda, que el profesor plantee
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preguntas como: ¿por qué...? ¿Qué pasaría si...? y otras más. Debe evitarse el terminar una actividad dictando reglas y definiciones.
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Actividades
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Actividad 1 . Pa r a e m p e z a r
Actividades de exploración
Dibuja los puntos C y D como se indica y traza el segmento uniendo los dos puntos. D
C
Con el puntero arrastra uno de los extremos del segmento CD y describe lo que ocurre.
Toma el segmento en su parte intermedia y arrastra. Describe lo que ocurre. _____________________________
______________________________ _____________________________ ¿Sigue siendo un segmento? ___________
______________________________
Representa el aspecto del segmento con trazo punteado, continuo; cambia su color, su grosor.
Ahora, dibuja los puntos S y R como se indica. S
R
Traza semirrectas que partan del punto S.
Con el puntero arrastra el punto S, ¿Qué observas? Toma cualquier punto de una de las semirrectas distinto al punto S y arrastra. Comenta con tus compañeros lo que ocurre.
Traza rectas que pasen por el punto R
Con el puntero arrastra el punto R, ¿Qué ocurre? Selecciona una recta y arrastra cualquier punto de la recta diferente a R, ¿qué observas?
Traza rectas que pasen por los puntos S y R
Con el puntero arrastra el punto S o el punto R y describe lo que ocurre.
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Arrastra uno de los puntos de la recta diferente a S y R y comenta tus observaciones.
¿Cuántas rectas podrías trazar por un punto? _______________
¿Cuántas rectas podrías trazar por dos puntos? _______________
Escribe las diferencias que observas entre una recta, semirrecta y segmento de recta. __________________________________________________________ __________________________________________________________
¿Es igual la semirrecta SR que la semirrecta RS? ___________________ Explica.
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Actividad 2 . Pa r a e m p e z a r
Actividades de exploración
•
Dado el punto C, como centro, traza la circunferencia. C
Con el puntero arrastra cualquier punto de la circunferencia.¿Qué observas? ____________________________________________ Selecciona el punto C y arrastra ¿Qué ocurre? ________________________ •
Utilizando la herramienta compás, traza una circunferencia, considera al segmento AB como radio y al punto C como su centro.
Con el puntero arrastra un punto de la circunferencia. ¿Qué observas? ____________________________________________ Selecciona el punto C y arrastra ¿Qué ocurre? ________________________ Arrastra uno de los puntos extremos del segmento AB, ¿qué sucede? _________________________________________
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•
Traza una circunferencia dados dos puntos. Uno como su centro y otro sobre la circunferencia..
Con el puntero arrastra un punto de la circunferencia, diferente de A ¿Qué observas? ____________________________________________ Selecciona el punto C y arrastra ¿Qué ocurre? ________________________ Arrastra el punto A , ¿qué sucede? _________________________________________ Reproduce las siguientes figuras y comprueba que puedes modificar su tamaño sin alterar su forma.
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Actividad 3 .
Dibujos y trazos geométricos Construcciones básicas
El profesor Pérez propuso la siguiente situación: “Encuentren un punto que se localice a la misma distancia de los puntos extremos del segmento AB”
Representa esta situación en la pantalla y realiza lo que se pide. 1. Localiza un punto que cumpla con la condición dada por el profesor Pérez. 2. Localiza tres puntos distintos al anterior que sean e q u i d i s t a n t e s (a la misma distancia) a los puntos A y B. 3. Verifica que los puntos se encuentren a la misma distancia, comenta tu estrategia al grupo. 4. ¿Habrá otros puntos distintos de los que localizaste que cumplan con la condición dada?______________________Explica. 5. Si unes estos puntos, ¿qué observas? _____________________________________________________ _____________________________________________________ 6. Llama C al punto de intersección del segmento AB y la recta l trazada. ¿Cómo son los segmentos AC y CB? _______________ 13
7. ¿Cómo son entre si el segmento AB y la recta l ? _____________ 8. Dibuja un punto P sobre la recta l , traza los segmentos AP y BP y obtén su medida. Desplaza el punto P sobre la recta l . Comenta lo que observas con tus compañeros. En la siguiente secuencia de figuras, se muestra una manera de construir la m e d i a t r i z del segmento AB
Fig.1
Fig. 2
Fig. 3
Fig. 4
Fig. 5
Fig.6
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•
Reproduce la construcción y contesta. Arrastra una de las circunferencias, ¿qué observas? Arrastra uno de los puntos extremos del segmento CD, ¿Qué ocurre?
A la recta generada se le llama m e d i a t r i z Reproduce la siguiente figura y comprueba que puedes modificar su tamaño sin alterar su forma.
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Ángulos
Act iv id ad 4
Acerca del concepto de ángulo
En la figura que aparece a continuación
Compara al ángulo AOB con el ángulo POQ Ángulo AOB ________ ángulo POQ En la respuesta anterior, posiblemente te dejaste llevar por las longitudes de los arcos AB y PQ , trazados desde O , pero la pregunta no tenía nada que ver con arcos, sino con ángulos. Otra posibilidad, es que hayas comparado el sector de círculo AOB con el sector de círculo POQ y como sucedió con los arcos, la pregunta no hacía alusión a sectores de círculos, sino a ángulos; Otro caso, sería interpretar al ángulo formado por los lados OA y OB , comparando éstos con los lados OP y OQ lo que tampoco involucra al ángulo. Sin embargo, aprovecharemos la ocasión para ver que los arcos están relacionados con el radio del círculo correspondiente y con el ángulo central que abarca dicho arco, siempre que esté medido en radianes. Recuerda que el radián es una unidad para medir ángulos, así como el grado es otra unidad para medirlos; traza un círculo, del radio que quieras y además, traza dos radios de dicho círculo, como se muestra enseguida
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En la figura aparecen las medidas del radio, del arco y también del ángulo central, medido en radianes (rd), lo que es posible por las herramientas con que cuenta Cabri, en el tercer icono, de derecha a izquierda. Ahora, con el puntero acércate a cualquier punto sobre la circunferencia y arrástrala, ¿qué ocurre? ¿cambia el ángulo? Descríbelo a continuación
¿Qué relación guardan, entre si, éstos tres números? ____________ Sugerencia: utiliza el comando “calcular” que aparece en el menú del icono mencionado, hasta el penúltimo lugar, para encontrar dicha relación y posteriormente, mueve la circunferencia para validar tú conjetura. Finalmente, mueve uno de los extremos del arco hasta que aparezca 1,00 rd como medida del ángulo y después mueve la circunferencia, ¿qué sucede? Escríbelo a continuación
Estás en condiciones de definir lo que se entiende por 1 rd , escríbelo en las líneas que siguen
Regresando a la pregunta del inicio de la actividad, ¿cómo son entre sí los ángulos AOB y POQ ? _____________________________________________ ¿Podrías escribir qué es un ángulo? __________________________________ Lo que has escrito, ¿está de acuerdo a la respuesta dada a la penúltima pregunta? _______________________________________________________
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Actividad 5
Construcción de triángulos Segmentos y medidas
Construye un triángulo a partir de los segmentos dados a continuación.
Escribe el procedimiento que realizaste para la construcción.
¿Cómo compruebas que los lados del triángulo son los segmentos dados? Arrastra los elementos base de tu construcción y ve cuáles son los que se pueden mover. Explica: Si arrastras cualquier extremo de los segmentos originalmente dados, ¿qué pasa con el triángulo que construiste? Explica:
Para la construcción de un triángulo se puede partir, tanto de segmentos propuestos, como de las medidas de estos. Construye un triángulo cuyos lados midan 2 cm, 5 cm y 4 cm, respectivamente. Escribe en tu pantalla cada medida, utilizando el comando “Edición numérica”, para que estas sean reconocidas como medidas y no como texto, que es lo que pasaría si se usara la herramienta “Comentarios”. Construye los segmentos con las medidas propuestas. Para ello, te recomendamos utilizar la herramienta “Transferencia de medidas”. Para ello, elige
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un punto en la pantalla y luego con “Transferencia de medidas”, haz clic en uno de los números seleccionados -de Edición numérica- y regresando al punto, haz clic y obtendrás un nuevo punto cuya distancia al punto elegido es la medida del número seleccionado, finalmente traza la circunferencia utilizando dicha distancia y selecciona a cualquier radio como tu segmento. A partir de los segmentos obtenidos, como se indicó en el párrafo anterior, construye el triángulo y obtén la medida de sus lados, para verificar que cumple con las medidas dadas. Aplica el arrastre a los el ementos de tu construcción, ¿qué ocurre? Explica:
Si arrastras los extremos de los segmentos que construiste, ¿qué observas? Explica:
Otra forma, para producir cambios en forma y tamaño a la construcción que realizaste, es dando doble clic a los números. Al realizar esta acción aparece un recuadro con deslizadores a la derecha del número. Si das clic sostenido a cada uno de ellos podrás aumentar o disminuir el número considerado y el triángulo construido cambiará de tamaño, hazlo para cada una de las tres medidas consideradas, ¿qué ocurre con el segmento correspondiente? ¿Qué ocurre con el triángulo?
Vale la pena aclarar que si tenemos cantidades enteras, los cambios de edición numérica se da en enteros. Si observas, al momento de hacer doble clic al número, el cursor aparece a la derecha del número como una línea vertical que titila. En ocasiones se requiere que el número esté aproximado a décimos o a centésimos, etc. En este caso, se activa “Edición numérica” y dando un clic en pantalla se edita el número deseado. Con Ctrl-U, se obtiene una ventana en la que se enlistan las aproximaciones que pueden ser utilizadas. Para longitud podemos seleccionar centímetros, al dar clic en “centímetros”, aparece el número inicial, una coma (de punto decimal), dos ceros y la unidad seleccionada (cm). Esto es importante, porque si deseamos modificar el tamaño de nuestra construcción y de los segmentos, aumentando o disminuyendo el número de la edición en cantidades enteras, el cursor deberá estar a la derecha de la parte entera; por el contrario si se desea un cambio más lento, se podría realizar al colocar el cursor a la derecha de la parte decimal o centesimal correspondiente del número editado. 19
Construcción de triángulos
Dado un segmento AB , construye un triángulo isósceles, sabiendo que AB es su lado desigual; aplica a tu construcción el arrastre, para verificar que siempre se mantiene isósceles.
Ahora, si el segmento dado AB es el lado igual del triángulo isósceles, construye el triángulo; arrastra uno de los vértices del triángulo construido y verifica que siempre el triángulo es isósceles.
Con un segmento PQ , tomado como hipote nusa, construye un triángulo rectángulo; arrastra uno de sus vértices para verificar que siempre es rectángulo.
Construye dos triángulos distintos, que tengan el mismo perímetro, por ejemplo de 14 cm. ¿Podrían construirse otros triángulos que cumplieran la misma condición del perímetro?
Dados varios segmentos con me didas: 6 cm, 4 cm, 3 cm y 2 cm; con tres cualesquiera de estas medidas, ¿podría construirse un triángulo? ________ Elige, a continuación, dos ternas para las cuales se pueda construir el triángulo a) _______, _______ y _______ b) _______, _______ y _______ Compruébalo, hacie ndo las construcciones respectivas.
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Actividad 6
Clasificación de triángulos L ad os y án gu lo s
Seguramente conoces la s dos clasificaciones para triángulos que aparecen a continuación:
Por sus lados ; en este caso las categorías son: tres lados iguales, es decir, triángulos equiláteros; sólo dos lados iguales, esto es, triángulos isósceles; y tres lados distintos o triángulos escalenos. Por sus ángulos ; las categorías correspondientes son: tres ángulos agudos, es decir, triángulos acutángulos; un ángul o recto (de 90 grados), esto es, triángulos rectángulos; un ángulo obtuso o triángulos obtusángulos.
Las dos clasificaciones mencionadas, ¿se corresponden? Es decir, si eliges triángulos en una categoría de una de las clasificaciones, estos triángulos, ¿corresponderán a sólo una categoría de la otra clasificación? _____ Por ejemplo, si eliges la categoría triángulos rectángulos de la segunda clasificación mencionada, estos triángulos, ¿sólo pertenecerán a una categoría de la primera clasificación? ________ Dicho en otras palabras, ¿puedes construir triángulos rectángulos equiláteros? ________, ¿puedes construir triángulos rectángulos isósceles? ______; ¿puedes construir triángulos rectángulos escalenos? ______ En el espacio siguiente, realiza las construcciones donde hayas contestado si
Menciona otro ejemplo, eligiendo una categoría de una de las clasificaciones, distinta de la anterior, comparando los triángulos que están en dicha categoría con las tres categorías de la otra clasificación __________________________________________________________________ _______
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En la siguiente tabla escribe sí o no, según sea el caso. Equilátero
Isósceles
Escaleno
Acutángulo Rectángulo Obtusángulo De los ejemplos vistos, podrías contestar a la pregunta planteada ¿se corresponden las dos clasificaciones? _______________________________ Aunque la clasificación por los ángulos no se corresponde con la clasificación por los lados, sin embargo, veamos que ocurre al considerar, en lugar de los lados, sus cuadrados. Para ello, construye cualquier triángulo y ponle “marca de ángulo” al ángulo mayor y mide todos lo s ángulos del triángulo, así como sus lados, como aparece a continuación
Ahora, al mover M en la construcción anterior, el ángulo puede ser recto u obtuso y comparando la medida de a 2 + b 2 (que son los cuadrados de los lados que forman el ángulo en M ) con la medida de c 2 (que es el cuadrado del lado enfrente del ángulo en M ), siempre que los dos ángulos restantes del triángulo sean agudos, en caso contrario, cuando uno de estos ángulos restantes sea recto u obtuso, deberá compa rarse la medida del cuadrado del lado enfrente de este
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ángulo con la medida de la suma de los cuadrados de los lados que lo forman, ya sea el ángulo recto u obtuso. De acuerdo a lo anterior, llena la tabla siguiente Cuadrado del lado enfrente del ángulo mayor del triángulo
Suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo mayor del triángulo
Compara las medidas de la misma fila en las dos columnas anteriores
Tipo de triángulo
Según sus ángulos, (acutángulo, rectángulo y obtusángulo )
.
De la tabla anterior, observa los renglones de la última columna, en los que aparece una de las categorías de esta clasificación y en la penúltima columna, correspondiente a dichos renglones, verifica si la comparación resultante de las dos columnas anteriores siempre es la misma, lo que indicaría que la clasificación por los ángulos se correspondería con la clasificación por los cu adrados de sus lados –si comparamos la medida del cuadrado del lado opuesto al ángulo mayor con respecto a la medida de la suma de los cuadrados de los lados que forman dicho ángulo mayor-. Escribe en la tabla siguiente, para cada categoría de la clasificación por sus ángulos la categoría que le correspondería en la clasificación por los cuadrados de sus lados Clasificación de triángulos por sus ángulos
Clasificación de triángulos por los cuadrados de sus lados
Acut ángul o Rectángulo Obtusángulo
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Act iv id ad 7 Triángulos
Desigualdad triangular
Construye un triángulo, partiendo de los siguientes segmentos, con la medida propuesta para cada uno.
¿Se obtiene el triángulo? ___________. Explica:
¿Qué debería ocurrir para que se pueda construir el triángulo? ______________________
Posiblemente, realizaste la construcción como se ilustra a continuación
Las circunferencias, de radio 3 cm y de radio 4 cm, ¿se intersecan? __________ ¿A qué se reduce la construcción? ___________________________ ¿Qué deberías cambiar para que hubiera triángulo? _______________ ______
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Con el cambio propuesto, ¿puedes construir el triángulo? ______ hazlo a continuación
Con respecto al cambio propuesto, ¿cuáles son las nuevas medidas de los lados del triángulo? Escríbelas _______ cm, ________ cm, ______ cm.; ¿qué tienen éstas medidas que no tenían las medidas del problema inicial? ___________________________________ Escribe una conjetura que garantice la constr ucción del triángulo:
Verifica tu conjetura para varios casos particulares, esto es, realizando la construcción correspondiente. Ilustremos una variante del prob lema original, como se muestra a continuación
Observa cómo al modificar, únicamente l a medida del segmento mayor, permite la construcción del triángulo. ¿Qué hubiera ocurrido, si en lugar de disminuir la medida del segmento mayor, la hubiéramos aumentado? ________________________ puedes imaginar, ¿cómo sería la figura anterior, para este caso? Descríbelo No necesitas imaginártela, podrías realizarla con la ayuda de Cabri.
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Copia la construcción anterior y usando el comando “Edición numérica”, colócalo sobre la medida del segmento mayor; con el deslizador de abajo, es decir, el que disminuye la medida del segmento, haz clic sostenido y describe lo que sucede al triángulo, a continuación
¿Qué tan pequeño puede ser este lado, de manera que siga habiendo triángulo? ¿Qué ocurre con las medidas de los lados cuando desaparece el triángulo? Lo que se pretende es encontrar los puntos en los cuales deja de existir el triángulo al modificar la longitud de uno de sus lados y determinar entre que valores sigue habiendo triángulo. Indica para qué valores de la medida del lado mayor, en el problema inicial, deja de haber triángulo, ________________________________________________ Entre qué valores de la medida del lado mayor, hay triángulo, _______________ ¿Cómo podrías encontrar esos valores? ________________________________ Por lo anterior, ¿la conjetura que elaboraste es adecuada o habría que modificarse?
Lo anterior es muy importante en las aplicaciones. Por ejemplo, se tienen mecanismos de ventanas, puertas levadizas o puentes levadizos, construidos sobre esta propiedad de los triángulos, como ilustra la figura siguiente
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Actividad 8
Fi g u r a s p l a n a s
Construcción de cuadriláteros
Paralelogramos
a. Cuadrado Ac tivi dad 1. Construye un cuadrado que permanezca cuadrado cuando lo arrastres por la pantalla.
Explica tu procedimiento al grupo. Ac tivi dad 2. El punto A es el vértice de un cuadrado y el punto O es su centro. Construye el cuadrado, y somételo a la prueba del arrastre, ¿sigue siendo cuadrado?
Explica tu procedimiento al grupo. Ac tivi dad 3. El segmento RS es la diagonal de un cuadrado. Construye el cuadrado y arrastra R ó S, ¿sigue siendo cuadrado?
Explica tu procedimiento al grupo.
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Ac tividad 4 . El segmento WX es el lado de un cuadrado. Construye el cuadrado y arrastra X ó W, ¿sigue siendo cuadrado?
Explica tu procedimiento al grupo b. Rectángulo Acti vi dad 1. Construye un rectángulo que permanezca rectángulo cuando lo
arrastres por la pantalla. Explica tu procedimiento al grupo
Ac tivi dad 2. El punto A es el vértice del rectángulo y el punto O es su centro. Construye el rectángulo y arrastra el vértice A, ¿sigue siendo rectángulo?
Comenta la respuesta con tus compañeros. Ac tivi dad 3. El segmento XY es el lado de un rectángulo, construye el rectángulo y arrastra X ó Y, ¿sigue siendo rectángulo?
Comenta la respuesta con tus compañeros
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c) Rombo Construye los rombos de acuerdo con los datos que se te dan a continuación: •
Dado el lado y uno de los ángulos que forman
•
Conocidas sus diagonales.
Arrastra por uno de los vértices a los rombos construidos y verifica que sigan siendo rombos. ¿Cómo son entre si las diagonales del rombo?____________________ ¿Cómo son sus lados? ______________________________________. Comenta en el grupo la forma en que construiste los dos rombos. A partir de las construcciones anteriores, responde: •
Dado un punto, ¿Cuántos paralelogramos se pueden construir que tengan un vértice en el punto dado? Traza algunos ________________________________________________
•
Dados dos puntos, ¿Cuántos paralelogramos se pueden construir que tengan dos vértices en los dos puntos dados? Traza algunos _______________________________________
•
Dados tres puntos. ¿Cuántos paralelogramos se pueden construir que tengan sus tres vértices en los tres puntos dados? Traza algunos ________________________________________
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Cálculo de áreas.
Actividad 9
Justificación de fórmulas
Área de un paralelogramo. Si partimos el paralelogramo por la línea punteada determinamos un triángulo que si lo trasladamos, podemos formar un rectángulo como se muestra en la ilustración.
¿Cómo son las bases de las dos figuras? ¿Y sus alturas? Calcula el área del paralelogramo y el rectángulo, ¿cómo son entre sí? ________ Recuerda que para calcular el área de un rectángulo se multiplica la base por la altura. ¿Qué harías para calcular el área del paralelogramo? Explica. Escribe la fórmula para calcular su área: _______________ ¿Cómo se obtiene la fórmula para calcular el área de un paralelogramo en un caso como el siguiente?
a
b
b
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Área del triángulo Construye con el software un rectángulo como se muestra enseguida y calcula su área. Para verificar que la construcción fue realizada adecuadamente, arrastra uno de los vértices ¿Sigue siendo rectángulo? A
B
D
C
Traza el segmento BD, y determina el triángulo BCD. ¿Cuál es su área? ____________________ ¿Qué relación existe entre el área del rectángulo y el área del triángulo? ____________________ Realiza la misma actividad con las siguientes figuras: I)
B
C
a
A
D
Área del paralelogramo ABCD = Área del triángulo ABD =
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II) En la siguiente construcción el punto E está determinado como punto sobre objeto en el segmento BC. B
C
E
A
D
Calcula el área del rectángulo ABCD = Calcula el área del triángulo AED = Al desplazar el punto E ¿cambian las áreas del triángulo AED?___ Con los triángulos ABE y DEC ¿puedes construir un triángulo? ___ ¿que área tiene? ___________
III) Con ayuda del software realiza lo que se indica: Construye un triángulo ABC (Fig.1), y traza paralelas por cada vértice al lado opuesto. (Fig. 2)
C
X
C
A B
Z
A B
Fig.1
Fig. 2
A partir de la figura 2 obtenida, responde: Los paralelogramos YABC y AZBC, ¿tienen la misma área?__________ Los paralelogramos ZBCA y BXCA, ¿tienen la misma área?__________ Los paralelogramos XCAB y CYAB, ¿tienen la misma área?__________
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Cada uno de los seis paralelogramos mencionados contienen al triángulo ABC, el área del triángulo ABC, ¿cómo es respecto al área del cualesquiera de los seis paralelogramos? _______________________ El área de un triángulo no depende de qué lado se elija como la base. IV) Reproduce la siguiente figura y contesta.
¿Tienen la misma área las dos partes sombreadas?_________________ Explica. Para verificar tu respuesta, usa la herramienta Área para obtener el área de los dos rectángulos sombreados. ¿Qué relación encuentras entre sus áreas? _________________ Al mover el punto G sobre la diagonal AC, ¿qué ocurre con las áreas de los rectángulos HGFD y EBIG? _________________________________ ¿Por qué sucede esto?________________________________________ Reproduce la figura de tal manera que conserve las condiciones y relaciones entre las figuras, aún con el arrastre. Área del trapecio. Construye con el software un trapecio como se muestra enseguida y calcula su área.
B
A
C
D
Determina dos triángulos a partir del trapecio ABCD. 33
Calcula el área de los triángulos ABC y ACD. Con la herramienta calcular obtén la suma de las áreas de los triángulos y compara con el área del trapecio. Modifica una de las dimensiones del trapecio. ¿Qué observas?
¿Qué harías para calcular el área de un trapecio? ____________
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A c t iv i d a d 1 0 Macro-construcciones Creación de macros
Un elemento muy útil al realizar construcciones es la creación de macros, es decir, para no estar repitiendo una misma construcción, ésta se hace una sola vez y a través de las macros, se guarda esta nueva herramienta para utilizarla en cualquier otro momento que se requiera. Para crear una macro se requiere determinar los objetos iniciales, esto es, con los que se inicia la construcción y al terminarla, determinar el objeto final que será la nueva herramienta, es decir, la macro. Aclaremos lo anterior con los siguientes ejemplos: Crear una macro para trazar un radio a partir de la circunferencia correspondiente. Realiza los siguientes pasos: Traza una circunferencia y un radio, por ejemplo CP
•
•
•
•
Arrastra el punto P, ¿sigue siendo radio el segmento CP?______ Selecciona la herramienta O b j e t o objeto inicial a la circunferencia. Selecciona la herramienta final el segmento CP. Selecciona D e f i n i r
i n i c ia l y
O b j e t o f i n a l y
establecemos como
establecemos como objeto
M a c r o .
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Aparece el siguiente cuadro de diálogo: Nombre de la nueva herramienta, ejemplo RADIO
Diseño del icono para indicar la nueva construcción
Finalmente, después de elegir el nombre para la nueva herramienta y colocarla en el cuadro anterior, haga clic en OK y desaparece dicho cuadro; luego vaya al comando macros y haga clic sostenido para constatar que aparece la herramienta recién creada y para verificar si su construcción de la macro ha sido correcta , trace una circunferencia y active su nueva herramienta, coloque el apuntador sobre la circunferencia y al hacer clic aparecerá uno de los radios de dicha circunferencia. Actividades .
Crear una macro para trazar un diámetro a partir de la circunferencia correspondiente. Arrastra cualquier punto extremo del segmento, ¿sigue siendo diámetro? ___________ Crear una macro para trazar un cuadrado a partir del segmento correspondiente al lado. Arrastra cualquier punto extremo del segmento dado, ¿sigue siendo cuadrado?______________
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A c t iv i d a d 1 1
En las alturas . Altura de un triángulo
Para esta actividad utilizarás la construcción que se muestra a continuación, para ello abre el archivo (altura. Fig.).
A A
Altura A
B
Base B
Base
C
Actividades. 1. Calcula el área del triángulo ABC, obteniendo para ello las medidas de su base y su altura. 2. Desplaza el punto A. ¿Qué pasa con el triángulo ABC? ______________________________________________
¿Cómo son la altura y la base de los triángulos generados? ____________________
¿Cómo son las áreas de los triángulos en relación al triángulo inicial? _________________
¿Qué dato cambiarías para variar el área de un triángulo? __________________________
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A ct i v i d a d 1 2
Puntos Notables de un triángulo. Puntos Notables
En esta actividad localizarás los puntos notables del triángulo, para ello recuerda que: Mediana
Segmento del vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto.
Bisectriz
Mediatriz
Recta que divide al ángulo interior en dos ángulos iguales.
Perpendicular trazada por el punto medio de cada lado.
Altura
Segmento perpendicular trazado desde un vértice Al lado opuesto o a su prolongación.
Realiza lo que se propone a continuación: Baricentro 1. Construye un triángulo PRQ. 2. Traza sus tres m e d i a n a s y etiqueta con B a su punto de intersección. El punto de intersección de las medianas de un triángulo se llama Baricentro.
3. Desplaza uno de los vértices del triángulo para deformarlo. ¿Qué observas con el baricentro (punto B)? ____________________ ¿El baricentro puede localizarse fuera del triángulo? _____________ ¿Cuándo puede ubicarse en un vértice del triángulo? _____________ 38
Comenta las respuestas con tus compañeros. Ahora, analicemos lo que ocurre en un triángulo rectángulo. 1. Construye un triángulo rectángulo y después mueve uno de sus vértices para verificar que siempre es rectángulo. 2. Traza la mediana (AM) que va a la hipotenusa.
3. Determina la medida de la mediana y de la hipotenusa. ¿Qué observas? _________________________________________ 4. Desplaza un vértice del triángulo rectángulo para modificar sus dimensiones ¿Qué relación existe entre la mediana y la hipotenusa? ____________________________ Comenta la respuesta con tus compañeros.
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Propiedades de las medianas Dado el triángulo ABC y una de sus medianas, ésta última divide al triángulo dado en dos nuevos triángulos, ¿cómo son entre sí estos triángulos? __________________ Argumenta tú respuesta. Sugerencia: arrastra uno cualesquiera de sus vértices, ¿sigue siendo válido lo que respondiste? __________________________
Al triángulo dibujado agrégale otra mediana
Las medianas CM y AN determinan al intersecarse dos triángulos sombreados, ¿cómo son entre sí dichos triángulos? ____________ Argumenta tú respuesta. Sugerencia: arrastra uno cualesquiera de los vértices del triángulo ABC, ¿sigue siendo válido lo que respondiste? _____________ Agrega la tercer mediana al triángulo ABC
¿Cómo son entre sí los triángulos BGM y MGC? _________ Al arrastrar uno cualesquiera de los vértices del triángulo ABC, sigue siendo válido lo que respondiste? _____________ ¿Cómo son entre sí los triángulos BGL y LGA? ____________ ¿Por qué? ______________
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¿Cómo son entre sí los triángulos BGL, BMG y MCG, si comparamos cualesquier par de ellos? _________________ Arrastra cualesquier vértice del triángulo ABC, ¿sigue siendo válido lo que respondiste? ______________________ ¿Cómo son entre si los triángulos CGB y GLB? __________ Si elegimos como bases de dichos triángulos los lados CG y GL, ya que la altura correspondiente a estas bases es común,¿cuánto vale CG/GL?___________ Lo que sucedió con la mediana CL, esto es, que el punto G la divide en dos partes CG y GL de manera que CG/GL = ______, ¿ocurrirá lo mismo para cualesquier otra de las medianas que faltan? _______ El punto G es el baricentro del triángulo ABC y es donde concurren las tres medianas del triángulo Circuncentro 1. En un triángulo cualquiera traza sus tres m e d i a t r i c e s y C como su punto de intersección (Circuncentro)
2. Desplaza un vértice del triángulo para deformarlo y a partir de lo que observes, completa la siguiente tabla: Triángulo
Posición del circuncentro con respecto al triángulo
Acutángulo Obtusángulo Rectángulo
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Incentro
1. En un triángulo cualquiera traza sus tres b i s e c t r i c e s y y determina el punto de intersección I (incentro)
2. Desplaza un vértice del triángulo para deformarlo. ¿Cuándo puede estar el incentro en un vértice? __________________ ¿Cuándo puede estar fuera del triángulo? ______________________ ¿Dónde se ubica el incentro en un triángulo equilátero? ___________ Ortocentro. 1. En un triángulo cualquiera traza sus tres a l t u r a s y O como su punto de intersección (Ortocentro)
2. Desplaza un vértice del triángulo para deformarlo y a partir de lo que observes, completa la siguiente tabla: Triángulo
Posición del ortocentro con ortocentro con respecto al triángulo
Acutángulo Obtusángulo Rectángulo
RECTA DE EULER.
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En un triángulo cualesquiera determina de termina el Baricentro, el Ortocentro, el Circuncentro y el Incentro.
Arrastra uno de los vértices del triángulo ABC, ¿qué observas?_____________ ¿En qué clase de triángulo coinciden los cuatro puntos notables de un triángulo? ____________ ¿Qué pasa con el ortocentro y el circuncentro en un triángulo rectángulo? _____________ ¿Por qué? _______________________________ _____ _____________________________________ ___________ ¿Qué puntos permanecen colineales, en cualquier triángulo? __________________
La recta que pasa por el Baricentro, el Ortocentro y el Circuncentro se le llama Recta de Euler, Reproduce la figura y comprueba que los tres puntos están alineados para cualquier triángulo.
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Ac ti vi d ad 13
Papel Papel picado pic ado Simetría axial
En nuestro país los artesanos, en particular los que se dedican a la elaboración de papel picado son muy creativos. Seguramente has estado en festividades populares donde el decorado es realizado por estos artífices. Para darte una idea de lo que hacen estas personas, ponemos el ejemplo siguiente:
En la hoja de papel doblada, si con una tijera recortamos -siguiendo la línea punteada dibujada- ¿qué obtendremos de dicho recorte al desdoblar la hoja? Dibújalo a continuación
Compara lo que dibujaste con lo realizado por tus compañeros y si tienes dudas, toma una hoja de papel, hazle un doblez parecido al del dibujo anterior y pinta a partir del doblez las dos semicircunferencias que aparecen punteadas y finalmente, con unas tijeras recorta siguiendo el dibujo que pintaste y al separar el recorte que hiciste y desdoblar, obtendrás lo que debiste dibujar. Además, la hoja de papel se agujeró cuando separaste el recorte que hiciste; compara la forma del
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agujero y el recorte que obtuviste, escribiendo a continuación tus observaciones __________________________________________________________________ Precisamente estos agujeros que aparecen en el papel después del recorte realizado es lo que se llama papel picado. En la hoja doblada anterior, el doblez puede interpretarse como si fuera una recta y las dos partes de la figura que aparecen de uno y otro lado del doblez, se dice que una de ellas es simétrica de la otra. En otras palabras, si se sospecha que una recta es eje de simetría de una figura, para salir de tal suspicacia, debiera corroborarse que al doblar la figura a lo largo de la recta ambas partes de la figura –de uno y otro lado- se enciman o coinciden; en caso de no ocurrir lo señalado, podemos asegurar que dicha recta no es eje de simetría de la figura. A continuación se presentan varias figuras y se te pide trazar los ejes de simetría que consideres tienen cada una de dichas figuras:
Compara tus respuestas con las de tus compañeros y recuerda que puedes verificarlas. Una manera de verificar sería construir las figuras anteriores con Cabri y trazar el eje de simetría que consideres, luego activando el comando simetría axial, con el puntero vas a la figura y haces clic, después te acercas al eje elegido haciendo clic nuevamente, apareciendo la misma figura si la elección de tu eje fue la adecuada, en caso contrario una nueva figura traslapa a la dada originalmente. Veamos un ejemplo de ello a continuación
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La figura de la derecha, en trazo continuo, es una copia de la figura de la izquierda; además, en la figura de la derecha se propone una recta como eje de simetría y al activar el comando simetría axial, permite encontrar la figura simétrica –en trazo punteado- que no coincide con la figura dada originalmente, lo que nos indica que el eje de simetría propuesto no es eje de simetría de la figura dada, ya que no coincide con la figura original. Por lo tanto, imaginar cuál debe ser el eje de simetría de una figura dada no es fácil, es decir, debes proponer una recta particular, de manera que al utilizar Cabri, como se ha mencionado, la figura simétrica con respecto a la recta propuesta debe coincidir con la figura original, si tal recta es efectivamente eje de simetría de la figura original. Ahora, propongamos un nuevo eje de simetría para dicha figura como se ilustra a continuación
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Observa que en la figura de la derecha sólo aparece la figura simétrica, en trazo punteado, porque coincidió exactamente con la figura original, esto es, el nuevo eje de simetría propuesto si es eje de simetría de la figura original. Ahora, si una recta es eje de simetría de una figura dada, ¿cómo son entre si la parte de la figura a un lado del eje respecto a la parte de la figura al otro lado de dicho eje de simetría? ________________ , es decir, ¿cómo son las longitudes de una y otra parte de la figura respecto al eje de simetría? y ¿los ángulos? ________ __________________________________________________________________ Con el comando simetría axial puedes verificar si los ejes de simetría que propusiste, en las cuatro figuras presentadas en un dibujo anterior, son correctos o no.
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Los azulejos
A c t iv i d a d 1 4
Recubrimiento del plano por polígonos regulares.
Don Francisco quiere arreglar su cocina, para ello desea cambiar los mosaicos, pero se encuentra ante la problemática de seleccionar la forma de las piezas de tal manera que cubran el plano, no queden huecos, que dos de ellas no se traslapen y que sólo tengan en común lados o vértices. Los modelos de mosaicos que encontró Don Francisco son los siguientes:
¿Cuáles cumplen con las condiciones establecidas?____________________ Actividades a) Construye un cuadrado y etiqueta cada uno de sus vértices . b) Utilizando SIMETRÍA AXIAL construye cuadrados del mismo tamaño que coincidan con los lados del primer cuadrado construido. ¿Se pudo cubrir el plano? _______________ c) Ahora construye un triángulo equilátero y etiqueta cada uno de sus vértices. d) Construye triángulos que coincidan con los lados del primer triángulo.¿Se pudo cubrir el plano? _________________ Realiza la misma actividad con cada uno de los mosaicos presentados al inicio. ¿Con cuáles polígonos regulares se cubre un plano? ______________________ ¿Serán los únicos polígonos regulares del mismo tamaño que cubran el plano? Comenta tu respuesta con tus compañeros. Observa la siguiente construcción, reprodúcela y contesta las siguientes preguntas:
A
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¿Cuántos cuadrados concurren en el vértice A? __________ ¿Cuánto mide el ángulo interior de cualquier cuadrado? ____________ ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos que concurren en el vértice común A? ________________ Realiza la misma actividad con los polígonos restantes y escribe los datos que faltan en la tabla siguiente Polígono regular
Medida del ángulo interior del polígono regular
Suma de los ángulos ¿Cubre el plano? que concurren en el vértice común
¿Cuál es la característica de los polígonos regulares que cubren al plano?____________________ Compara la respuesta con el resto del grupo.
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Recubri miento del plano con co mbinacion es de polígonos r egulares
Don Francisco se decidió por combinar mosaicos de los presentados anteriormente. Algunas opciones que tiene son las siguientes,: Reprodúcelas
Construye otras combinaciones, distintas a las anteriores de manera que alrededor de un vértice se llene completamente el plano sin que los polígonos regulares se encimen. Trázalos aquí.
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A c t iv i d a d 1 5
Prismas y pirámides De los cuerpos familiares para todos –que se encuentran en casa como envases de productos varios, en nuestro entorno- están los prismas y pirámides, cuya característica común es que todas sus caras son planas. Prismas Recordarás que los prismas están constituidos por dos caras planas paralelas, una llamada la base y la otra denominada tapa, además sus caras laterales son rectángulos si el prisma es recto –esto es, si las caras laterales están en planos perpendiculares a la base- mientras que si el prisma es oblicuo –esto es, si sus caras laterales están en planos que no son perpendiculares a la base- sus caras laterales son paralelogramos; veamos a continuación lo mencionado, al utilizar el software para construir prismas
En la ilustración anterior se tiene un prisma aparentemente recto, sin embargo, al mover el vector que aparece a su izquierda tenemos un prisma oblicuo como se muestra en la figura siguiente
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El vector que se tiene en la figura sirve para mover al prisma, pero también es útil para construir la tapa del prisma, ya que con una traslación del polígono de la base se obtuvo la tapa, que aparece en la figura. Construye un prisma de base pentagonal utilizando el software y mueve el vector que usaste para la construcción, en el espacio que sigue
Ahora, contesta las preguntas siguientes: El prisma pentagonal de la figura ¿cuántas caras laterales tiene? __________ ¿Qué forma tienen sus caras laterales? __________________________________ Al mover el vector, ¿cambia la forma de sus caras laterales? __________ explica __________________________________________________________________ Dado cualquier prisma, que significará su área lateral, escríbelo a continuación ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ Y coméntalo con tus compañeros, hasta que lleguen a un acuerdo. ¿Qué se entenderá por el área total de cualquier prisma? ___________________ ¿Están de acuerdo con lo que escribiste tus compañeros? ___________________ Da tres ejemplos de prismas, mencionando objetos que te rodean _____________________ Los objetos que mencionaste ¿cumplen con las características que hemos citado de los prismas? Explica ______________________________________________
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Pirámides Recordarás que las pirámides tienen una base y una cúspide o punta –que está fuera del plano de la base- donde remata el cuerpo. La base es un polígono y las caras laterales son triángulos. Una pirámide se llama regular si las aristas que unen la cúspide con cada uno de los vértices del polígono de la base son iguales. Utilizando el software construyamos la pirámide siguiente
Al mover la cúspide obtienes diferentes pirámides, ¿para qué posiciones de la cúspide la pirámide resulta regular ? Antes de contestar discútelo con tus compañeros y si llegan a un acuerdo escríbelo a continuación ______________________________________________ Ahora, construye una pirámide cuya base sea un polígono de cuatro lados, utilizando el software, a continuación
Si mueves la cúspide de la pirámide que construiste, ¿habrá posiciones de la cúspide para las cuales la pirámide resulta regular ? Discútelo con tus compañeros y si llegan a un acuerdo escríbelo a continuación __________________________ Para finalizar, ¿qué condición debe cumplir el polígono de la base para que al mover la cúspide podamos, en ciertas posiciones, obtener pirámides regulares? __________________________________________________________________
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Ac ti vi dad 16
El Plato Prehis pánico Exploraciones en el círculo
En una excavación realizada en la zona de Oaxaca, se encontró la parte de un plato de barro como se muestra en la ilustración.
El arqueólogo desea completar el plato. ¿Cómo determina el centro del círculo? Para contestar a la pregunta, te sugerimos que lleves a cabo las siguientes actividades: 1. Realiza los trazos que se piden a continuación y contesta las preguntas. a) Traza circunferencias que pasen por el punto P.
¿Cuántas circunferencias se pueden trazar por un punto? ___________________ Después de trazar las circunferencias, mueve el punto P. ¿qué observas? Mueve el punto que representa el centro de una de las circunferencias que pasan por el punto P. ¿Qué observas? ________________________________________
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b) Traza circunferencias que pasen por dos puntos P y Q.
¿Cuántas circunferencias se pueden trazar por dos puntos? _________________ En relación a los centros de las circunferencias que pasan por los dos puntos ¿qué observas?
c) Traza circunferencias que pasen por tres puntos no colineales
¿Cuántas circunferencias se pueden trazar por tres puntos no colineales? __________________ d) Reproduce las figuras que aparecen en seguida.
e) Traza perpendiculares a la cuerda PQ que pasen por el centro del círculo. 55
¿Cuántas perpendiculares en un mismo círculo se pueden trazar con la característica anterior? ______________________ f) Llama M al punto de intersección de la perpendicular con la cuerda trazada. ¿Cuánto mide el ángulo OMQ? _________ Ahora desplaza al punto Q sobre la circunferencia. ¿Cambia el ángulo OMQ? __________ Explica. Traza el punto diametralmente opuesto a P y llámalo P’. PP’ es diámetro de la circunferencia. Traza el segmento P’Q, ¿qué posición guarda respecto del segmento OM? ___________________________________ Desplaza el punto Q sobre la circunferencia. ¿Sigue manteniéndose la propiedad entre P’Q y OM? ________________________Comenta con tus compañeros
g) Abre el archivo (cuerdas.fig) Cada pareja de cuerdas pertenece a un mismo círculo, ubica el centro de cada uno y trázalo.
¿En cuál de los tres casos no pudiste localizar el centro del círculo?__________ ¿Por qué? Completa el plato que se encontró en la región oaxaqueña y explica tu estrategia.
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Disparo a gol
A c t iv i d a d 1 7
Ángulo central e inscrito en una circunferencia. Observa la ilustración, en ella se representan con números a tres jugadores de fútbol, ¿quién tiene mejor ángulo de tiro a la portería? Comenta la respuesta con tus compañeros.
La siguiente construcción muestra la ubicación de los jugadores en relación con la portería, reproduce la figura y realiza lo que se pide. Considera que los puntos A, B, 1,2 y 3 están sobre la circunferencia.
¿Cuál de los tres jugadores tiene mejor ángulo de disparo a gol?___________ Traza los ángulos A1B, A2B y A3B y usa la herramienta Ángulo para encontrar sus medidas. ¿Cómo son las medidas de los tres ángulos? _________________ ¿Qué tienen en común los tres ángulos? ___________________ Desplaza los puntos A y B para hacer la portería más grande o más pequeña, ¿qué observas? ________________________________________________________
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Desplaza el punto 2 ¿qué observas? ______________________________________ Haz lo mismo con los puntos 1 y 3 y comenta tus observaciones al grupo. Ahora, coloca un punto C en el centro de la circunferencia y mide el ángulo central ACB, compáralo con el ángulo inscrito A2B ¿qué relación hay entre sus medidas?____________________________
Desplaza el punto A o B, ¿Qué observas? _________________________ Un caso especial del ángulo inscrito es cuando sus cuerdas llegan a ser diámetros. Reproduce la construcción.
Determina la medida del ángulo ABC, desplaza el punto B, ¿Qué observas?_____________ ¿Qué arco determina el ángulo ABC? ______________________ ¿Cuál es su medida en grados? ______________________
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Ac ti vi dad 18
Ángulos, rotación y congruencia Iniciaremos construyendo ángulos, a partir de un segmento dado y un número el cual representa la medida en grados del ángulo. Por ejemplo, se da un segmento y a partir de uno de sus extremos se rota para determinar un ángulo particular, dado de antemano, como se ilustra a continuación
En la figura anterior aparece el segmento dado, el número 30 (se utilizó el comando “edición numérica”, que abre una ventana y el número se teclea) que representa al ángulo elegido, en grados y finalmente, el segmento rotado con respecto al extremo O del segmento dado, acorde al ángulo mostrado –en el sentido positivo, es decir, contrario a como se mueven las manecillas de un reloj- Ahora, si en la construcción realizada en Cabri, quisiéramos cambiar el ángulo bastaría usar el comando mencionado y al colocarlo sobre el número 30 aparece una ventana y a su derecha dos botones, el de arriba para aumentar el ángulo y el de abajo para disminuir dicho ángulo, haciendo clic sostenido en uno de ellos se manifiesta la rotación, como aparece en la figura siguiente
en la que aumentamos el ángulo, para pasar de 30 grados a 120 grados, mostrando sólo la instantánea anterior, sin tener la posibilidad de mostrar la rotación, como sucede en la pantalla al usar Cabri. Haz la construcción mencionada en Cabri, aumenta y disminuye el ángulo que decidas escribir, para 59
observar los movimientos correspondientes del segmento que representa a uno de los lados que determinan el ángulo, en el espacio siguiente
Lo anterior nos sirve si queremos verificar la congruencia entre dos figuras, por ejemplo, veamos la situación de los triángulos que aparecen en la siguiente figura
los triángulos sombreados -que se obtuvieron al intersecar las diagonales del paralelogramo- ¿son congruentes? Una manera de contestar a la pregunta planteada, ya que ambos triángulos tienen un vértice común, sería realizar una rotación de uno de dichos triángulos, cuyo centro fuera el vértice común y un ángulo arbitrario, por ejemplo de 30 grados (usando el comando de “edición numérica”) y pasaríamos a obtener lo que se ilustra a continuación
en la instantánea anterior, el triángulo de la derecha ha girado 30 grados; ahora, si realizas la construcción anterior en Cabri y colocas sobre el número 30, nuevamente el comando de “edición numérica” y haces clic sostenido sobre el botón superior que aparece, el triángulo se mueve hasta que llega un momento en que tapa enteramente al otro triángulo y en ese momento, ¿qué ángulo se tiene en pantalla? ________ Hazlo, para poder contestar la última pregunta. Recuerda que dos figuras son congruentes si al mover una de ellas es posible encimarla sobre la otra, de manera que coincidan en todas sus partes.
En la figura anterior, ¿cómo son entre si los dos triángulos no sombreados? ____________ 60
Para verificar tú respuesta, construye la figura anterior y mueve uno de dichos triángulos, a través de una rotación, describiendo a continuación lo ocurrido _________________________________________________________________ Veamos otro ejemplo, que considera la figura siguiente
En la figura anterior, se tiene el rombo ABCD y O es el punto donde se intersecan sus diagonales; los triángulos sombreados, ¿son congruentes? ________________________ Es decir, si aplicamos una rotación con centro O, al triángulo sombreado de la derecha, por un ángulo de 25 grados con el comando “edición numérica”, la figura anterior se vería como se ilustra enseguida
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Ahora, construye con Cabri la figura anterior y elige “edición numérica” para colocar el cursor sobre el número 25 y hacer clic sostenido en el botón superior para que observes la rotación del triángulo, ¿pueden coincidir en todas sus partes los dos triángulos, al hacer la rotación de uno de ellos? ________ Sin embargo, que pasaría si los triángulos sombreados fueran los que aparecen a continuación
Al hacer una rotación, con centro en O, de uno de los triángulos sombreados, ¿podrán hacerse coincidir en todas sus partes, ambos triángulos sombreados? _____________ Haz la construcción correspondiente y verifica tu respuesta. De las dos últimas figuras, ¿qué explicación darías? Escríbela a continuación __________________________________________________________________
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Pitágoras
Actividad 19
Generalizando el teorema de Pitágoras
¿Recuerdas lo que dice el Teorema de Pitágoras? Escribe en los renglones siguientes lo que recuerdes
Para auxiliarte hemos realizado la figura que se muestra a continuación:
En la figura se tiene un triángulo rectángulo; ahora, sobre cada lado del triángulo rectángulo se construyeron cuadrados y lo que podemos concluir es: __________ ____________________________ que en palabras sería ___________________
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¿Qué ocurriría, si en lugar de construir cuadrados sobre cada lado del triángulo rectángulo, construimos triángulos equiláteros? Para contestar, primero construye un triángulo rectángulo y después sobre cada lado del triángulo rectángulo, construye triángulos equiláteros, utilizando el Cabri; recuerda mover un vértice del triángulo rectángulo para verificar tú construcción. Finalmente, obtén las áreas de estos últimos, ¿qué conjetura harías? Escríbela __________________________________________________________________ Al mover uno de los vértices del triángulo rectángulo en la figura que construiste, ¿siempre se cumple tú conjetura? _______ Ahora, veamos qué sucede, si en lugar de construir cuadrados o triángulos equiláteros sobre cada lado del triángulo rectángulo, construimos semicírculos:
¿Se sigue cumpliendo la conjetura que escribiste, si lo construido son semicírculos sobre cada lado del triángulo rectángulo? ________________________________ Las figuras utilizadas hasta el momento son, en orden de aparición, cuadrados, triángulos equiláteros y semicírculos, que se construyeron sobre los lados del triángulo rectángulo dado, ¿y qué tienen en común cada una de las figuras utilizadas? En otras palabras, ¿cómo son entre si los cuadrados? o ¿los triángulos equiláteros? o ¿los semicírculos? _______________________________________ Por lo tanto, qué diría esta generalización del teorema de Pitágoras, escríbela a continuación: ____________ ______________________________________________________ 64
__________________________________________________________________ Esto lo ilustra la figura siguiente:
¿Cómo son entre si los polígonos construidos sobre los lados del triángulo rectángulo? __________________________ ¿Qué relación cumplen las áreas de dichos polígonos? _____________________ __________________________________________________________________
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Cuerpos Geométricos
Actividad 20
Representación plana de cuerpos en el espacio
Representar cuerpos del espacio en el plano, requiere la interpretación por parte del lector para darle profundidad al plano de referencia. Por ejemplo, de las siguientes representaciones indica a que cuerpos del espacio corresponden
Siempre el observador sólo percibe parte del cuerpo, sin embargo, ¿qué forma tendrá la parte oculta de dichos cuerpos? En otras palabras, ¿existen diferentes posibilidades para la parte oculta de los cuerpos anteriormente ilustrados? Veámoslo para el caso de la pirámide
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En los tres casos anteriores se observan líneas punteadas –convención adoptada para representar la forma de la parte oculta de cualquier cuerpo- que determinan diferentes formas para la parte oculta del cuerpo, esto es de izquierda a derecha tendríamos la pirámide triangular, luego la pirámide de base cuadrangular y finalmente, la pirámide pentagonal. Utilizando Cabri construye dos copias del cuerpo que aparece en el siguiente dibujo y traza las líneas punteadas que determinan la parte oculta de dicho cuerpo
Si todas las caras del cuerpo son figuras planas, es decir polígonos, entonces al cuerpo se le llama poliedro. Los vértices de los polígonos son los vértices del poliedro y los segmentos que determinan dichos vértices son las aristas del poliedro. Hasta ahora, de todos los dibujos presentados en esta sección, ¿cuál de ellos no es poliedro? Una manera usual de determinar todas las partes de un cuerpo es mirarlo desde tres posiciones: vista de frente, vista lateral y vista desde arriba. En la tabla siguiente se muestran las tres vistas de un cuerpo y se pide dibujar dicho cuerpo
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Vista frontal
Vista lateral
Vista desde arriba Dibujo del cuerpo
Ahora, al revés, es decir, en la tabla siguiente aparecen los dibujos de varios cuerpos y se te pide, de cada uno de ellos, que dibujes las vistas de frente, lateral y desde arriba Vista frontal
Vista lateral
Vista desde arriba
Cuerpo
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Actividad 21 Movimientos Cuerpos generados por deslizamiento y revolución
Presentaremos algunas maneras de generar cuerpos; la idea es, sobre una curva dada elegir un punto -sobre objeto- que pertenece a ella y a partir de este punto como extremo, se construye un segmento, que interpretaremos fuera del plano donde está dicha curva; al recorrer el extremo la curva dada, el segmento construido genera un cuerpo. A continuación se muestran varios ejemplos:
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En el primer recuadro –primera fila, primera columna- aparece un cono, cuya base está en un plano y la cúspide F (fuera de este plano) está sobre la perpendicular a dicho plano que pasa por el centro O de la circunferencia; al recorrer el punto M la circunferencia de la base, el segmento MF –llamado generatriz- describe un cono recto. En el segundo recuadro –primera fila, segunda columna- aparece un cilindro circular recto sin tapa, donde la base es una circunferencia y el segmento MN es siempre paralelo al vector que está a su izquierda, el cual se está interpretando como perpendicular al plano donde se encuentra la circunferencia; al recorrer el punto M la circunferencia de la base, el segmento MN genera un cilindro circular recto sin tapa. Utilizando el Cabri, haz la construcción correspondiente de cada uno de los dos cuerpos mencionados. Describe lo que representan los dos recuadros que faltan a continuación
Dado un rectángulo, si giramos –fuera del plano donde está el rectángulo- respecto a uno de sus lados tomado como eje de giro, ¿qué cuerpo se genera? _________________ Realiza la construcción correspondiente utilizando el Cabri. Dada una recta en un plano y un vector que no está en dicho plano, si la recta se desplaza en la dirección indicada por el vector manteniéndose siempre paralela a la recta inicial, ¿qué superficie se determina? ______________________________________ Haz la construcción correspondiente usando el Cabri.
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Actividad 22
Presentación de las c ó n i c a s Introducción
Los ambientes dinámicos, como Cabri-Géomètre, tienen la característica de que el usuario debe proponer y realizar construcciones con las herramientas que dicho software proporciona, al intentar solucionar cualquier problema planteado. Por otro lado, la motivación para la presentación de las cónicas es a través de fenómenos físicos como el tiro parabólico, la trayectoria del planeta Tierra alrededor del sol y la ley de los gases (Boyle-Mariotte), cuyo inconveniente es la poca comprensión que para dichos fenómenos se tiene por parte de los estudiantes. A continuación presentamos dos actividades, en el espíritu de los ambientes dinámicos, que dan lugar a las cónicas sin una definición previa de ellas, más bien que, después de realizar la construcción correspondiente se podrá derivar su definición como lugar geométrico. Los problemas de construcción que dan lugar a estas actividades son los siguientes:
Dada una recta y un punto que no está sobre ella, construir todas las circunferencias tangentes a la recta y que pasan por el punto dado. ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias que cumplen con las dos condiciones pedidas? Dada una circunferencia y un punto que no está sobre ella, construir todas las circunferencias tangentes a la circunferencia dada y que pasen por el punto dado. ¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de las circunferencias pedidas?
Vale la pena destacar que en los ambientes dinámicos es fácil obtener la gráfica de dos variables que están relacionadas, sin conocer su ecuación, proceso que no se contempla en la matemática escolar, mientras que el proceso inverso, esto es, dada la ecuación construir la gráfica, si está presente en los programas; esto nos lleva a complementar lo que se realiza en el aprendizaje y en este sentido, podemos decir que el software aporta nuevos elementos y no sólo es un apoyo para lo que antes hacíamos. Además, una corriente en Educación Matemática vinculada con los diferentes registros de representación hace hincapié en que pasar de un registro a otro y viceversa es una actividad cognitiva fundamental para el aprendizaje de las matemáticas.
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En la pantalla, la situación descrita en el primer problema de construcción mencionado, ¿cómo localizar el centro de la circunferencia tangente a la recta (trazo continuo) y que pase por el punto fijo F? ____________________________ En el espacio siguiente puedes proponer una solución
El punto F es fijo, sin embargo el punto M puede variar sobre la recta dada y por lo tanto, una solución particular encontrada representará a cualquier solución. A continuación al activar el comando lugar geométrico y hacer clic en el centro de la circunferencia que cumple ambas condiciones, y después, hacer clic en el punto M obtendrás el lugar geométrico o sea la curva correspondiente. Hazlo y encontrarás una pantalla como la siguiente:
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La curva descrita por el centro de la circunferencia que cumple ambas condiciones, ¿sabes cómo se llama? ________________________ Cualquier punto de la curva, ¿qué característica tiene? ______________________________ Veamos ahora el segundo problema de construcción mencionado
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En la pantalla, la circunferencia dada y el punto dado A. Se trata de construir la circunferencia tangente a la circunferencia dada y que además pase por A. Si M es cualquier punto sobre la circunferencia dada entonces el centro C de cualquier circunferencia tangente a la dada en el punto M se encuentra sobre la recta que pasa por el centro de la circunferencia dada y el punto M, como se ilustra en la pantalla. Ahora, cómo localizar C de manera que dicha circunferencia tangente a la dada en M también pase por A, escribe a continuación la solución que propongas __________________________________________________________________ Habiendo dado una solución nos faltaría encontrar el lugar geométrico del centro de la circunferencia que cumple ambas condiciones, cuando el punto M recorre a la circunferencia dada. En la pantalla siguiente se muestra el lugar geométrico correspondiente, en el caso de que el punto dado A está en el exterior de la circunferencia dada
Reconoces este lugar geométrico ______ ¿cómo se llama? _________________
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Todo punto X (centro de la circunferencia tangente a la circunferencia dada y que pasa por el punto A) sobre el lugar geométrico cumple con la siguiente característica:
¿Qué sucedería si el punto dado A se encuentra en el interior de la circunferencia dada? Veámoslo en la pantalla que sigue:
El lugar geométrico que ahora se ilustra, ¿es diferente del anterior? ________ Es decir, si el punto dado A está en el interior de la circunferencia dada, el lugar geométrico de los puntos X (centros de las circunferencias tangentes a la circunferencia dada y que pasan por A) se llama ________________________ Todo punto X sobre el lugar geométrico, ¿qué característica cumple? _______________________________________________________ _ _________________________________________________________________
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Examen Diagnóstico
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1. Relaciona ambas columnas. Escribe en el paréntesis la letra que corresponda.
Recta (
)
A
A)
Semirrecta
(
A
)
B
B)
Segmento
(
)
C) 2. Dados dos segmentos iguales, que son lados de un triángulo ¿Cuántos triángulos se pueden construir?________________________
3. Con los siguientes tres segmentos, ¿es posible construir un triángulo? __________ Justifica tu respuesta.
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2
4. El área de un triángulo es 45 cm y su base 15 cm., ¿cuánto mide su altura? a) 3 cm.
b) 5 cm.
c) 6 cm.
d) 4 cm.
5. Determina el área del triángulo sombreado. Considera que el punto M es punto medio del lado del cuadrado.
6. En la figura siguiente, compara los ángulos a b y c y elige la respuesta correcta.
a) a = b = c
b) c = a + b
c) a es menor que b
d) c es mayor que b
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6. ¿Con cuál de los siguientes desarrollos se puede armar un cubo?
7. De las siguientes figuras, la que tiene más ejes de simetría es: (
)
8. ¿En qué caso la recta l es un eje de simetría?
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9. Determina el área de la región sombreada
EDITOR: Ver impreso para la región sombreada 10. Completa la figura considerando que la recta l es el eje de simetría
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11. ¿Con cuál de las siguientes figuras no se puede cubrir un plano?
12. Los valores de m y n son:
13. Es el perímetro de la siguiente figura:
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14. Escribe falso o verdadero según corresponda. •
Cualquiera de las alturas del triángulo siempre es menor que uno de sus lados __________
•
Cuando la mediana correspondiente a un lado de un triángulo, es también mediatriz de éste, el triángulo es isósceles ___________________________
•
De acuerdo con la ilustración, la recta t es tangente a la circunferencia en el punto P. _______________________
15 De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es incorrecta? a) La circunferencia permanece invariante al aplicarle una traslación del vector cuya longitud sea el diámetro de la misma. b) Toda figura queda invariante al aplicarle una traslación del vector nulo. c) Toda recta queda invariante al realizar una traslación de un vector paralelo a ella, 16. ¿Qué objeto al girar no cambia de posición? ____________________ 17. ¿Qué amplitud debe tener un giro para dejar invariante a cualquier figura? 18. ¿Qué objeto al realizarle una simetría central no cambia de posición? 83
19. De las siguientes afirmaciones, ¿cuál es la incorrecta? a. La composición de dos simetrías centrales de d istinto centro es un giro de 360º b. Una identidad es un movimiento en la que la figura se transforma en sí misma c. La composición de dos simetrías centrales de igual centro es una identidad d. La composición de dos simetrías centrales de distinto centro es una traslación 20. ¿Cómo deben ser colocados los ejes de simetría para que de la composición de dos simetrías axiales sea una simetría central?
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Desafíos
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1. Reproduce la siguiente figura.
2. Dado el triángulo ABC, construir un triángulo que tenga cuatro veces el área del triangulo ABC.
3. Dado un segmento y su mediatriz, dibujar un rombo. 4. En el cuadrado, las bisectrices y las diagonales coinciden. Construye otro cuadrilátero con esta propiedad. 5. Construye un octágono regular a partir del cuadrado inscrito.
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6. Reproduce la siguiente figura.
7. Construir un segmento de 10 cm. de longitud y con base en él, construir todos los rectángulos que tengan como perímetro la longitud de ese segmento. 8. Construir un triángulo equilátero ABC. Si M es un punto interior del triángulo y P, Q y R son los pies de las perpendiculares desde M hacia cada uno de los lados del triángulo, calcular PM + QM + RM. ¿ Qué sucede al mover el punto M? 9. Dado un triángulo, encontrar su circuncírculo y su incírculo. 10. Una escalera que mide 7 metros está apoyada sobre una pared. a) Simula la situación anterior. b) Si el pie de la escalera está a 1.5 metros de la pared ¿Qué altura alcanza? c) ¿Cuándo la distancia a la pared y la altura son iguales?
11. Construye dos circunferencias tangentes, externa e internamente, utilizando el software; ¿tienen alguna propiedad el punto de tangencia y los centros de ambas circunferencias? ____ Verifica tú respuesta arrastrando una de dichas circunferencias.
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12. Dadas dos circunferencias tangentes (externas o interna una de ellas), construir una circunferencia tangente a las otras dos (para cada caso), haciendo uso del Cabri; verifica tú construcción arrastrando una de las circunferencias dadas al inicio.
13.
En la figura que aparece a continuación D
A
C
B
ABCD ABCD es
un paralelogramo, en él se localizan los puntos medios de dos lados opuestos y se traza una de las diagonales; éstos puntos medios se unen por segmentos a los vértices del otro lado de la diagonal y se obtienen los triángulos sombreados. Con el Cabri, realiza la construcción de la figura y utilizando alguna transformación verifica que los triángulos sombreados son congruentes. Describe la transformación que utilizaste para verificar la congruencia y qué elementos consideraste para usarla.
14. Utilizando el software, construye un triángulo isósceles cuyos ángulos iguales sean el doble del ángulo frente al lado desigual. Traza la circunferencia circunscrita a dicho triángulo y las bisectrices de los ángulos iguales; verifica que los tres vértices del triángulo y los dos puntos donde las bisectrices de los ángulos iguales intersecan a la circunferencia determinan un pentágono regular. Arrastra uno de los vértices del triángulo para verificar tú construcción. 15. Con Cabri, utilizando la herramienta polígono regular construye un triángulo equilátero, luego un cuadrado y posteriormente un pentágono regular; traza una cuerda -cuyos extremos estén sobre el contorno del polígono regular correspondiente- y desde el centro del polígono regular construye la perpendicular a la cuerda, localizando 88
el punto de intersección de ambas; al arrastrar uno de los extremos de la cuerda a través del contorno del polígono correspondiente, dicho punto de intersección de la cuerda y la perpendicular a ésta última desde el centro del polígono, sigue una trayectoria. Describe para cada uno de los polígonos mencionados la trayectoria correspondiente. Sugerencia: la trayectoria anterior se puede obtener con la herramienta lugar , que aparece donde están los comandos de construcción. 16. Utilizando el Cabri, verifica que toda recta que pasa por el centro de un paralelogramo lo parte en dos figuras congruentes. Describe la transformación utilizada para verificar que las dos figuras mencionadas son congruentes, así como los elementos necesarios para usar dicha transformación. 17. Con el software, construye un prisma triangular recto y señala cómo partirlo por planos en tres pirámides triangulares. 18. Con Cabri, realiza una construcción para trazar la tangente a tangente a dos circunferencias ajenas, esto es, que una está en la región exterior de la otra. 19. Usando Cabri construye un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 5 y 3 cms. respectivamente. Al girar sobre uno cualesquiera de los catetos se forma un cono. cono. ¿Cuál de estos dos conos tiene mayor volumen? ____________________ 20. En algunos ríos se tiene que cruzar sin necesidad de utilizar algún tipo de transporte acuático, pero al mismo tiempo, se debe permitir la navegación por sus aguas. Realiza la construcción que simule un puente levadizo “que funcione”. Esto es, que se eleven por la mitad las dos secciones al mismo tiempo, teniendo cada una de ellas su centro de giro en cada orilla del río.
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21. Construye un rectángulo, como el que se muestra en figura, de manera que la circunferencia sea tangente a tres lados del rectángu lo y que el triángulo sea rectángulo isósceles. Arrastra un vértice del triángulo para verificar si se cumple lo pedido. ¿Qué relación debe existir entre el ancho y el largo del rectángulo, par a que se cumpla las condiciones indicadas?
22. Un mecanismo en el que se lleva a cabo la rotación con un movimiento de vaivén, lo podemos encontrar en el pistón. Construye uno que sea accionado por una biela, que simule el movimiento de vaivén, similar al que presentan los pistones de un motor de combustión interna y del que permite accionar las ruedas de l as locomotoras. Obtén la representación gráfica de la rotación de la biela. Obtén la representación gráfica del desplazamiento del pistón dentro de su camisa (cilindro). 23. Construye el triángulo equilátero ABC y un triángulo inscrito a él de manera que uno de sus vértices sea el punto D, de forma que al desplazarlo, el triángulo siempre permanezca inscrito y que se conserve para los tres vértices la misma distancia del vértice al punto D.
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B
A
D
C
El método que aplicaste para inscribir el triángulo, ¿se puede aplicar a un cuadrado inscrito dentro de otro cuadrado? ________. Comprueba tu conjetura por medio de su construcción. ¿Se puede aplicar para el caso de un pentágono inscrito dentro de otro pentágono? ______: Comprueba tu conjetura por medio de su construcción. 24. En la siguiente figura se muestra el lugar geométrico producido por el desplazamiento de uno de los puntos construidos sobre la circunferencia pequeña. Reproduce la figura, de tal manera que se obtenga lo que se muestra. Indica los pasos que realizaste para tal fin.
z
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25.
Reproduce la siguiente figura e indica los pasos para obtenerla.
A
B
C
Aplica la prueba del arrastre a uno de los vértices e indica cómo son las circunferencias pequeñas, al obtener los diferentes tipos de triángulos.
26. Construye el cuadrado ABCD, donde F sea el punto medio del lado AD; E sea un punto sobre AB. Traza las rectas que pasen por FB y EC. Si construyes la recta que pase por el vértice D y el punto de intersección de FB y EC, denominado G, ésta cruza al lado AB del cuadrado en el punto H. ¿Cómo son entre sí las longitudes de los segmentos EH y BH? Arrastra el punto E y observa lo que ocurre. Explica
27. Construye un cuadrado, de tal manera que un punto M que se encuentra en su interior y cuyas longitudes a tres vértices consecutivos del cuadrado, de acuerdo al movimiento de las manecillas del reloj, midan 4 cm, 6 cm y 8 cm. Determina el perímetro del cuadrado a partir de estos datos.
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28. Calcula el área del triángulo naranja que se muestra en la siguiente figura.
4,00 cm 45,0 °
29. Se tienen tres cuadrados de lado dos, alineados como se muestra en la figura, calcula el área de la zona sombreada.
2,00 cm
30. Traza el segmento AC y un punto B sobre él. Construye la circunferencia de centro O de radio igual al segmento AB y que pase por los puntos B y C, y una línea recta que pase por AO. La recta AO, corta a la circunferencia en los puntos D y E, y D está sobre el segmento AO. Determina si existe alguna relación entre los ángulos COE y BAD. 31. Considera un triángulo acutángulo ABC y dos puntos, T sobre el segmento BC y M sobre el segmento AC. Traza circunferencias de diámetros AT y BM, cuyos puntos de intersección son P y Q. Desplaza los puntos T y M y determina en qué rango son colineales por puntos P, Q y H (ortocentro). 93
32. construye la siguiente figura, si se sabe que el triángulo es un equilátero y las circunferencias tienen el mismo radio. Los puntos de contacto son de tangencia.
33. Construye la figura que se muestra a continuación, donde el triángulo es equilátero y las circunferencias tienen el mismo radio y los puntos de contacto son de tangencia.
34. Dadas las medidas de un lado de un triángulo, la suma de las medidas de los otros dos lados y del ángulo adyacente al lado conocido, construye el triángulo.
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Vinculación de Activid ades con Programa Eje
Tema
Subtemas
Conocimientos y habilidades Clasificar figuras según tengan o no simetría axial. Construir figuras simétricas respecto de un eje. Analizar
a d i d e m y I o e i c u a q o p l s B e , a m r o F
Figuras y cuerpos geométricos
Figuras planas y movimientos en el plano
y explicitar las propiedades
Geometría Dinámica Páginas: 32 34 40 52 58
que se conservan en figuras tales
como:
triángulos
isósceles
y
equiláteros,
rombos,
cuadrados
y
rectángulos. Justificar las fórmulas del perímetro Medida
Justificación de fórmulas
de
cuadriláteros
triángulos, y
60,62,64,66
polígonos
regulares, así como del área de cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
a d i d e m y I I o e i c u a q o p l s B e , a m r o F
Construir polígonos 106 y 110 Formas geométricas
Figuras planas
regulares a partir de distintas informaciones Justificar las fórmulas de
Medida
Justificación de fórmulas
área de triángulos, trapecios y polígonos regulares. Construir
y o i c I I a a I p d s i e d u e , e q o l a m B m r o F
100
triángulos
y
cuadriláteros. Analizar las
32,34,36,40,62 y 64
condiciones de posibilidad y Formas geométricas
Figuras planas
unicidad
en
las
construcciones, así como las propiedades
de
la
desigualdad triangular.
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