Ensayo Máximos y Mínimos

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamientos, todos sencillos y fáciles.”

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René Descartes

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE FILOSOFÍA, LETRAS Y CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN

ASIGNATURA: MATEMÁTICA VII

NOMBRE: Herrera C. Dario Xavier

SEMESTRE mo

7

“2”

QUITO – ECUADOR

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René Descartes

Introducción _____________________________________________________________ 3 Cuerpo _________________________________________________________________ 3 Definición Definici ón _______________________ ______________________________________________ _____________________________________________ ____________________________ ______ 3 Métodos de resolución resoluci ón __________________________________________ ___________________ ____________________________________________ _____________________ 4 Problemas Problema s de aplicación aplicaci ón _____________________________________________ ______________________ ________________________________________ _________________ 8

Conclusión _____________________________________________________________ 10 Bibliografía ___________________________ _____________________________________________________ __________________________________ ________ 10 Webgrafía _____________________________________________________________ 10






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René Descartes

Máximos y mínimos Introducción

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Al graficar funciones sencillas como sabemos que como resultado gráfico de una función cuadrática tenemos una parábola cuyo vértice se tiene en el punto (0,0), pero si a la misma función cuadrática se le agrega otras expresiones algebraicas y ahora nuestra función tiene la siguiente expresión , ¿el vértice seguirá siendo el punto (0,0)? Y aun más si nuestra función está dada por , ¿tiene la función un vértice tal como en las funciones cuadráticas? Lo que sí es seguro es que en funciones de mayor complejidad, al graficarlas podemos encontrar puntos máximos o puntos mínimos, pero ¿qué son estos puntos, cómo los hallamos y para qué nos sirve ubicarlos? Durante el desarrollo de este tema nos centraremos en la definición, 2 métodos de resolución y problemas de aplicación, los mismos que, serán un instrumento científico poderoso para el avance de temas posteriores.

Cuerpo Definición Un valor de una función se considera máximo si máximo si es mayor que cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente; mientras que un valor de una función se considera un mínimo mínimo si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente. Máximos

Mínimos






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René Descartes

Métodos de resolución Primer método para calcular los máximos y mínimos.

Primer paso: paso: Se halla la primera derivada de la función Segundo paso: paso: Se igual a cero, y se igualan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Tercer paso: paso: Se considera los valores críticos uno por uno, y se calculan los signos de la primera derivada en primer lugar para un valor un poco menor que el valor crítico y después para un valor un poco mayor del punto crítico. Si el signo de la derivada es positivo y después negativo la función tiene un máximo para este punto crítico, en el caso contrario tiene un mínimo. Si el signo no cambia, la función carece de máximo y mínimo.

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+

-

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-

Máximo

Mínimo

Carece de máx. y mín.

Ejemplo 1: Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función

Primer paso. Segundo paso.

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Tercer paso.

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René

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Descartes

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Ejemplo 2: Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función


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Tercer paso.

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René Descartes

Segundo método para calcular los máximos y mínimos .

Primer paso: paso: Se halla la primera derivada de la función Segundo paso: paso: Se igual a cero, y se igualan las raíces reales de la ecuación resultante. Estas raíces son los valores críticos de la variable. Tercer paso: paso: Se hallar la segunda derivada. Cuarto paso. paso. Se sustituye en la segunda derivada, en lugar de la variable, cada uno de los valores críticos obtenidos. Si el resultado es negativo, la función tiene un máximo para este valor crítico; si el resultado es positivo la función tiene un mínimo. Ejemplo 1. Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función


Tercer paso. Cuarto paso.

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René Descartes

Ejemplo 2. Calcule los máximos y mínimos de la siguiente función


Tercer paso. Cuarto paso.

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René Descartes

Problemas de aplicación Los máximos y mínimos muy a menudo se utiliza en el cálculo de áreas y volúmenes, el saber cuál es el área máxima de un terreno o el mínimo volumen de un cubo o esfera ha sido de mucho utilidad para los matemáticos de hoy en día, pero, el resolver este tipo de problemas en ocasiones es muy complejo por el hecho de que no se sigue ninguna regla en especial, pues, a partir de los datos es necesario hallar la expresión matemática; para tratar de eliminar dicha barrera se sugiere considerar los siguientes aspectos. a) b) c) d)

Determinar la función cuyo máximo o mínimo se desea obtener. Procure expresar la función en una sola variable. A la función resultante se la resuelve por los mét odos antes propuestos. propuesto s. Conviene construir la gráfica para comprobar el resultado.

Ejemplo 1. De una pieza cuadrada de hojalata de lado a, se desea construir una caja, abierta por arriba, del mayor volumen posible cortando de las esquinas cuadrados iguales y doblando hacia arriba la hojalata para formar las caras laterales. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados?






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René Descartes

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Ejemplo 2. Los puntos A y B están situados uno frente al otro y en lados opuestos de un rio recto de 300 m de ancho. El punto D está a 600 m de B y en su misma orilla. Una compañía de teléfonos desea tender un cable desde A hasta D. Si el costo por metro de cable es el 25% más caro bajo el agua que por tierra. ¿Cómo se debe tender el cable, para que el costo total sea mínimo?

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René Descartes

El cable se estira de la siguiente manera:

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Conclusión Tras el análisis de los máximos y mínimos podemos señalar que el cálculo de los mismos es una herramienta de mucha utilidad para limitar recursos, lo que contribuye incluso a la economía –ahorro de materiales- y buena distribución del mismo; en el sentido escolar, el cálculo sirve para que un estudiante se dé cuenta de cómo es una gráfica lo que le ayudará incluso a ser más hábil para los procedimientos posteriores con relación al tema de funciones.

Bibliografía Calculo diferencial e integral. (Granville)

Webgrafía http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_10_1.pdf

Ensayo Máximos y Mínimos

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