UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE HONDURAS Mecánica Clásica I
Teoría del Caos. Modelo Aplicado al Clima.
Catedrático: M.Sc Bryan Larios.
Alumno: Luis Alberto Castillo Argueta.
Cuenta: 20070000466
1
Índice Pagina No.
Introducción …..………………………………….………… ………………………………….………………………………. ……………………. 3 Marco Teórico …………………………………………….……………………….4 Aplicaciones………………………………………………… Aplicaciones……………………… ………………………………………………… ……………………… .…….6
Aplicaciones del modelo caótico, trayectoria de un rayo……….…….7 Teoría Fractal……………..……………………………….………………………….…. 9 Anexos: A) Atractor….…….………………………………… Atractor….…….………………………………………………………… ……………………… 10 B) Fractales y Series de Fibonacci en la Naturaleza ……..……….13 Problemas Académicos C) Atractor de Lorenz ……………………………………………………..…19 D) Goteo de un Grifo…………………………………………………………..20 Grifo…………………………………………………………..20
Bibliografía……………………………………………………………………………....22
2
Introducción Caos es hoy la palabra más de moda en la ciencia. Desde las matemáticas a la física, la química o la biología, casi todas las ramas de la ciencia han sido alcanzadas por el auge de la “teoría del caos”. Es el centro de una serie de desarrollos que, unidos, significan que nuestro conocimiento de la naturaleza se encuentra en la etapa más emocionante desde la revolución científica del primer cuarto del siglo XX. Esa revolución, asociada sobre todo con el nombre de Albert Einstein, dio a luz la teoría de la relatividad y la mecánica cuántica, las que transformaron y profundizaron radicalmente nuestro conocimiento de la naturaleza. La teoría del caos se ha popularizado más con el ejemplo de lo que se llamó efecto mariposa. Este generalmente se presenta como sigue: nuevos progresos en experimentos científicos demuestran que el clima es tan sensible a variaciones minúsculas que el débil golpe de las alas de una mariposa puede ser la causa de un huracán a miles de millas de distancia. Esta sensibilidad increíble, en la que variaciones minúsculas de las causas producen enormes e impredecibles diferencias de efecto -de aquí el nombre de caos-, se dice que elimina las más exactas predicciones meteorológicas de largo plazo. Gran cosa, se podría contestar: el clima es, después de todo, una cosa muy-muy complicada. Sí, pero resulta que el mismo comportamiento “caótico” puede ser cierto en sistemas muy simples en los que previamente se creía que se conocía y entendía dicho comportamiento. Un simple péndulo, que fue por siglos el mismísimo símbolo del comportamiento predecible y regular, puede, bajo ciertas condiciones, comportarse “caóticamente”. Otro ejemplo es el movimiento de sólo tres cuerpos obedeciendo la ley de la gravedad descubierta por Newton hace 300 años. Tal sistema parecería ser absolutamente simple, pero no lo es, y puede comportarse también caóticamente. Aunque aún está en su infancia, la teoría del caos ya apunta a la posibilidad de alcanzar avances en el conocimiento y el control de la naturaleza, y promete aún mucho más. Promete arrojar algo de luz en los fenómenos de la turbulencia de los líquidos muy poco conocidos hasta ahora, pero con serias consecuencias para los barcos, aviones, yacimientos petrolíferos marinos, etc. En medicina, la fibrilación del corazón -que es cuando va repentinamente de latidos normales a oscilaciones irregulares con consecuencias a menudo fatales- promete ser más entendible y potencialmente controlable por medio del desarrollo de la teoría del caos. Los “reactores” aparentemente bizarros encontrados en el comportamiento caótico ya han sido utilizados para transmitir imágenes en movimiento a través de líneas telefónicas. Hay muchos otros ejemplos. En resumen, la teoría del caos es un paso adelante, no un alejamiento, hacia nuestro conocimiento de la naturaleza.
3
Marco Teórico. Teoría del caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que trata ciertos tipos de sistemas dinámicos muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales, pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la predicción a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas sean deterministas, es decir; su comportamiento está completamente determinado por sus condiciones iniciales. Tenemos que distinguir entre aleatorio y caótico. Lo primero hace referencia a problemas en los que verdaderamente no sabemos las fuerzas que actúan o en los que solo sabemos algunas medidas estadísticas de los parámetros. El término caótico está reservado para aquellos problemas deterministicos para los cuales no hay parámetros de entrada impredecibles o aleatorios Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
Estables Inestables Caóticos
Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión estos pueden tender a un atractor o a un sumidero (ver apéndice para más información acerca de los atractores y sumideros) Un sistema inestable se escapa de los atractores. Un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo. Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.
4
Aplicaciones La Teoría del Caos y la matemática caótica resultaron ser una herramienta con aplicaciones a muchos campos de la ciencia y la tecnología. Gracias a estas aplicaciones el nombre se torna paradójico, dado que muchas de las prácticas que se realizan con la matemática caótica tienen resultados concretos porque los sistemas que se estudian están basados estrictamente con leyes deterministas aplicadas a sistemas dinámicos. En Internet se desarrolla este concepto en Teoría del Caos, el tercer paradigma, de como la estadística inferencial trabaja con modelos aleatorios para crear series caóticas predictoras para el estudio de eventos presumiblemente caóticos en las Ciencias Sociales. Por esta razón la Teoría del Caos ya no es en sí una teoría: tiene postulados, fórmulas y parámetros recientemente establecidos con aplicaciones, por ejemplo, en las áreas de la meteorología o la física cuántica, y actualmente hay varios ejemplos de aplicación en la arquitectura a través de los fractales, por ejemplo el Jardín Botánico de Barcelona de Carlos Ferrater
En meteorología El tiempo atmosférico (no confundir con el clima), además de ser un sistema dinámico, es muy sensible a los cambios en las variables iniciales, es un sistema transitivo y también sus órbitas periódicas son densas, lo que hace del tiempo un sistema apropiado para trabajarlo con matemática caótica. La precisión de las predicciones meteorológicas es relativa, y los porcentajes anunciados tienen poco significado sin una descripción detallada de los criterios empleados para juzgar la exactitud de una predicción. Eduard Lorenz, quien estaba realizando un trabajo sobre modelos simples del clima de la Tierra en el Instituto de Tecnología de Massachussets a comienzo de los 60, dio un paso que fue clave. Utilizó una computadora y un simple conjunto de ecuaciones deterministas para probar y entender algo sobre clima. El advenimiento en el uso de computadoras veloces después de la Segunda Guerra Mundial fue, y sigue siendo, vital en el desarrollo conjunto de la teoría del caos. El trabajo de Lorenz se popularizó como efecto mariposa. En lugar de que dos puntos de partida dieran lugar a un desarrollo aproximadamente igual en el futuro, tal como Lorenz y prácticamente todo científico de la época hubieran esperado, esos puntos podrían guiar a comportamientos diferentes e impredecibles en el futuro. Lo mismo sucedía sin importar cuán cerca estuvieran los puntos de partida. La más insignificante divergencia en las condiciones iniciales podría llevar a enormes e impredecibles diferencias en el resultado. Desde entonces el trabajo de Lorenz ha sido desarrollado y generalizado, y se encontró en él la propiedad típica de muchos sistemas no lineales. El resultado es el conocimiento de dos cosas. Primero, leyes deterministas aparentemente simples, en muchos casos dan origen a comportamientos fantásticamente complicados, que son increíblemente sensibles a las condiciones iniciales -un efecto mariposa generalizado-.
5
Este resultado no se debe a nuestra ignorancia de las condiciones iniciales o a una falla para medirlas con precisión. Algunos sistemas son tan sensibles a las condiciones iniciales que, sin importar cuán cerca pudieran estar dos puntos de partida, aún así sus comportamientos futuros serán ampliamente divergentes en algún punto. Esta noción puede ser rigurosamente demostrada en forma matemática.
Figure 1: Diagrama de la trayectoria del sistema de Lorenz para los valores r = 28, σ = 10, b = 8/3.
Lo segundo es que resulta que el comportamiento de un sistema tan caótico no puede predecirse de otra manera que para un corto plazo -también puede ser rigurosamente hecho en forma matemática-. ¿Qué significa esto? Uno puede, bajo ciertas condiciones, predecir en minutos, por ejemplo, el movimiento de unos satélites varios años antes, resolviendo algunas ecuaciones simples derivadas de las leyes de Newton. El satélite repetirá más o menos el mismo movimiento u órbita una y otra vez. Una vez conocido el comportamiento de una órbita podemos predecir cómo será el comportamiento futuro. Simplemente repetirá el mismo movimiento o uno muy similar. En el peor caso tendremos que considerar algún efecto de largo plazo que, lenta pero predecible y suavemente, modificará la órbita. Sin embargo, no es posible esta clase de predicción en los sistemas caóticos. Las ecuaciones subyacentes aún son estrictamente deterministas, y a menudo derivan de las leyes de Newton, pero la única manera de ver un comportamiento futuro es esperar y mirar -ya sea que suceda en el mundo real o en un modelo de computadoraEl problema es que el movimiento nunca se repite en algún punto. Para averiguar lo que sucede tenemos que, figurativamente hablando, sentarnos a mirar. A diferencia de los sistemas no
6
caóticos, los comportamientos del pasado no son de mucha ayuda para decirnos qué sucederá en el futuro. Al final del siglo XX se ha vuelto común atribuirles una precisión de entre 80 y 85% en plazos de un día. Los modelos numéricos estudiados en la teoría del caos han introducido considerables mejoras en la exactitud de las previsiones meteorológicas en comparación con las predicciones anteriores, realizadas por medio de métodos subjetivos, en especial para periodos superiores a un día. En estos días es posible demostrar la confiabilidad de las predicciones específicas para periodos de hasta cinco días gracias a la densidad entre las orbitas periódicas del sistema, y se han logrado algunos éxitos en la predicción de variaciones anormales de la temperatura y la pluviosidad para periodos de hasta 30 días.
Aplicación del Modelo Caótico: Trayectoria de los Rayos El rayo es una poderosa descarga electrostática natural, producida durante una tormenta eléctrica. La descarga eléctrica precipitada del rayo es acompañada por la emisión de luz (el relámpago), causada por el paso de corriente eléctrica que ioniza las moléculas de aire, y por el sonido del trueno, desarrollado por la onda de choque. La electricidad (corriente eléctrica) que pasa a través de la atmósfera calienta y expande rápidamente el aire, produciendo el ruido característico del rayo; es decir, el trueno. Generalmente, los rayos son producidos por partículas positivas por la tierra y negativas a partir de nubes de desarrollo vertical llamadas cumulonimbos. Cuando un cumulonimbo alcanza la tropopausa, las cargas positivas de la nube atraen a las cargas negativas, causando un relámpago o rayo. Esto produce un efecto de ida y vuelta; se refiere a que al subir las partículas instantáneamente regresan causando la visión de que l os rayos bajan.
Formación del rayo Cómo se inicia la descarga eléctrica sigue siendo un tema de debate. Los científicos han estudiado las causas fundamentales, que van desde las perturbaciones atmosféricas (viento, humedad y presión) hasta los efectos del viento solar y a la acumulación de partículas solares cargadas. Se cree que el hielo es el elemento clave en el desarrollo, propiciando una separación de las cargas positivas y negativas dentro de la nube.
Hipótesis del mecanismo de polarización El mecanismo por el cual la separación de cargas sucede sigue siendo objeto de investigación. Otra hipótesis es el mecanismo de polarización, que tiene dos componentes: 1. La caída de las gotas de hielo y agua se vuelven eléctricamente polarizadas en el momento en que caen a través del campo eléctrico natural de la Tierra;
7
2. Las partículas de hielo que chocan se cargan por inducción electroestática.
En una nube de tormenta, una carga eléctrica igual pero opuesta a la carga de la base de la nube se induce en la tierra por debajo de la nube. El suelo con carga inducida sigue el movimiento de la nube manteniéndose por debajo de esta. La descarga inicial bipolar, o ruta de aire ionizado, empieza con una combinación de agua con carga negativa y una región de hielo en la nube de tormenta. Los canales de descarga ionizados son conocidos como líderes de paso, la mayoría de los líderes superan los 45 metros de longitud. Los líderes cargados positiva y negativamente avanzan en direcciones opuestas. Los cargados negativamente avanzan hacia abajo en una serie de saltos rápidos (pasos). A medida que continúa el descenso, los líderes de paso pueden ramificarse en varios caminos. La progresión de los líderes de paso toma un tiempo relativamente largo en llegar al suelo (cientos de milisegundos). Esta fase inicial necesita de una relativamente pequeña corriente eléctrica (decenas o cientos de amperios siendo esta casi invisible cuando se compara con el canal de rayos posterior). Una vez el canal de aire ionizado se establece entre la nube y el suelo se convierte en una ruta de menos resistencia eléctrica y permite que una mayor corriente sea propagada desde el suelo para luego regresar al líder de la nube. Este es el impacto de retorno y es el que más intensidad luminosa posee siendo una de las partes más notables de la descarga del rayo. Cuando se analiza detenidamente un rayo, se descubre que cada ramificación eléctrica tiene la misma forma general de todo el rayo pero a menor escala, y lo mismo ocurre con cada subsiguiente ramificación, repitiéndose de manera fractal el mi smo esquema. Para poder analizar este fenómeno con el modelo caótico es necesaria la utilización de ciertas herramientas como:
Algebra Fractal. Geometría Fractal Probabilidad Fractal.
8
Un fractal es un objeto semigeométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observación. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente). Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica. Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No basta con una sola de estas características para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas. Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la [3] geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación es aproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
9
Anexos: A) Atractor Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo. Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias que le sean suficientemente próximas han de permanecer próximas incluso si son ligeramente perturbadas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como atractor extraño. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos. La trayectoria del sistema dinámico en el atractor no tiene que satisfacer ninguna propiedad especial excepto la de permanecer en el atractor; puede ser periódica, caótica o de cualquier otro tipo.
Definición Los sistemas dinámicos suelen ser definidos en términos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un período breve. Para determinar el comportamiento del sistema para períodos más largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea analíticamente o por métodos numéricos (iteración), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los ordenadores. Los sistemas dinámicos procedentes de aplicaciones físicas tienden a ser disipativos: si no fuera por alguna fuerza externa el movimiento cesaría. La disipación puede proceder de fricción interna, pérdidas termodinámicas o pérdida de material, entre otras causas. La disipación y la fuerza externa tienden a combinarse para eliminar el transitorio inicial y hacer entrar al sistema en su comportamiento típico. La parte del espacio de fases del sistema dinámico que corresponde al comportamiento típico es el atractor.
Tipos de atractores Los atractores son partes del espacio de fases del sistema dinámico. Hasta los años 60, se creyó que los atractores eran conjuntos geométricos del espacio de fases (puntos, líneas, superficies o volúmenes) y que los conjuntos topológicamente extraños eran frágiles anomalías. Stephen Smale demostró que su mapa de herradura de caballo (herradura de Smale) era estructuralmente robusta y que su atractor tenía la estructura de un conjunto de Cantor. El punto fijo y el ciclo límite son atractores simples o clásicos. Cuando los conjuntos son complicados de describir, nos encontramos ante un atractor extraño.
10
Atractores clásicos En los atractores clásicos, todas las trayectorias convergen en un único punto, es decir, todas las trayectorias terminan en un estado estacionario. Punto fijo
Un punto fijo o punto de equilibrio es el punto correspondiente al estado del sistema que permanece constante el tiempo. Ejemplos: el estado final de una piedra que cae, un péndulo o un vaso con agua. Ciclo límite
Un ciclo limite es una órbita periódica del sistema que está aislada. Ejemplos: el circuito de sintonía de una radio.
Toro límite
Una trayectoria periódica de un sistema puede ser gobernada por más de una frecuencia. Si dos de estas frecuencias forman una fracción irracional (es decir, si son inconmensurables), la trayectoria no se cerrará y el ciclo límite se convertirá en un toro.
11
Atractor extraño A diferencia de los atractores clásicos, los atractores extraños tienen estructura a todas las escalas. Un atractor es extraño si tiene dimensión de Hausdorff no entera (o "fractal") o si la dinámica en el atractor es caótica.
Atractor de Lorenz
12
B) Fractales y Series de Fibonacci en la Naturaleza Los patrones matemáticos dirigen muchas formas en la naturaleza; hay numerosos ejemplos de sistemas en forma de fractales , sucesiones de Fibonacci, patrones que siguen el número áureo y que dan lugar a formas muy bellas:
Conchas de moluscos Especialmente vistosas, las conchas de los Nautilus se forman siguiendo un patrón de número áureo:
Helechos Las hojas de los helechos en forma de fractal:
13
Romanescu El romanescu es una variedad de brocoli que presenta formas de fractal espectaculares:
Accidentes geográficos, geomorfologías La red que forman los rios y sus afluentes recuerdan mucho a un fractal. También ocurre con las cadenas montañosas y la formas de estas tras ser erosionadas por los cursos de agua. Los grandes deltas y fiordos también suelen aparecer en formas fractales.
14
Árboles Ramas fractales…
Vía imagenes: 1 y 2
15
Hojas Los nervios de las hojas en forma de fractal:
Cactus, flores…
Como veis el mundo vegetal rebosa matemáticas. Los cactus, forman a veces fractales y algunas flores siguen la sucesión Fibonacci: el ejemplo clásico es el girasol.
16
Cristales minerales, cristales de hielo, copos de nieve Especialmente espectaculares son los fractales que forman los copos de nieve:
17
Rayos Algunos rayos al formarse lo hacen en forma de fractal:
Aloe espiral Otro ejemplo espectacular de sucesión de Fibonacci en el mundo vegetal:
18
Ejercicios Académicos: C) Atractor de Lorenz: El atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema dinámico determinístico tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de convección que se producen en las ecuaciones dinámicas de la atmósfera terrestre. Para ciertos valores de los parámetros a,b,c el sistema exhibe un comportamiento caótico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extraño; esto fue probado por W. Tucker en 2001 El sistema aparece en láseres, en generadores eléctricos y en determinadas ruedas de agua.
[1]
Donde a es llamado el Número de Prandtl y b se llama el número de Rayleigh. a,b,c > 0, pero es usualmente a = 10, c = 8 / 3 y b es variado. El sistema exhibe un comportamiento caótico para b = 28 pero muestra órbitas periódicas para otros valores de b; por ejemplo, con b = 99.96 se convierte en un nudo tórico llamado T (3,2). La forma de mariposa del atractor de Lorenz puede haber inspirado el nombre del efecto mariposa en la Teoría del Caos
Proyeccion del atractor de Lorenz 1
19
D) El goteo de un grifo El goteo de un grifo es uno de los ejemplos más interesantes que muestran la conducta caótica de los osciladores no lineales. Un modelo sencillo constituido por una masa variable unida a un muelle elástico, describe las características esenciales de este sistema complejo.
Descripción del modelo Las ecuaciones que describen el modelo son
Esta ecuación, es similar a la de un oscilador amortiguado bajo la acción del peso mg de la gota de agua.
x es el desplazamiento de la gota de agua m es la masa del gota de agua, que va creciendo con el tiempo k es la constante del muelle β es la constante de amortiguamiento
La masa de la gota m no es constante sino que crece debido al flujo Φ de agua que circula por la tubería.
El amortiguamiento β, se debe al movimiento del agua en la gota y al flujo Φ de agua. Su expresión es β= β1+ β2Φ
20
Donde
β1
y β2 son constantes
La gota va descendiendo a medida que incrementa su tamaño, cuando alcanza una altura x 0, el hilo de agua que la sostiene ya no es capaz de soportar el peso de la gota y se rompe, desprendiéndose una masa Δm de agua que viene dada por la siguiente expresión
Cada vez que se desprende una gota, las condiciones iniciales que determinan la evolución de la siguiente son:
Posición inicial x 0 Velocidad inicial dx/dt =0 Masa inicial m0=m-Δm
Se resuelve la ecuación diferencial por el procedimiento de Runge -Kutta con los siguientes valores de los parámetros, tomados del artículo citado en las referencias. Parámetro
Valor (unidades arbitrarias)
k
0.01
β1
0.0003
β2
0.1
α
0.0286
x 0
0.03
En la simulación, se mantienen fijos estos parámetros y se puede cambiar el flujo Φ supuesto -6
-6
constante, en el intervalo comprendido entre10·10 y 100·10 unidades arbitrarias. La primera gota Para resolver la ecuación diferencial tenemos que asignar unos valores iniciales, en el instante t =0, a la posición, velocidad y masa del sistema que va producir después de un cierto tiempo el desprendimiento de la primera gota.
21
Posición inicial x =0.02 Velocidad inicial dx/dt =0 -6 Masa inicial m0=1.0·10
La evolución de la primera gota, no debe ser tenida en cuenta, al haberse calculado con condiciones iniciales arbitrarias. Son las sucesivas gotas más allá de las iniciales, las que se deben de tener en consideración. Véase el apartado Dependencia del estado inicial de la página titulada Bifurcaciones y régimen caótico.
Bibliografía: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_del_caos http://www.nodo50.org/ciencia_popular/articulos/caos.htm http://eyeintheskygroup.com/1/00-azar-graficos/caos.htm http://www.gran-angular.net/fractales-y-series-de-fibonacci-en-la-naturaleza/2008/09/11/ http://divulgamat.ehu.es/weborriak/TestuakOnLine/07-08/PG-07-08-Sastre.pdf
22
