CIMA UAEH
Cognición y Didáctica
Maestría en Ciencias Matemáticas y su Didáctica
Marcos Campos
“Saber Matemáticas no es solamente aprender definiciones y teoremas, para reconocer la ocasión de utilizarlas y aplicarlas […] a veces se olvida que resolver un problema no es más que parte del trabajo; encontrar buenas preguntas es tan importante como encontrarle solución” Guy Brosseau
INTRODUCCIÓN El aprendizaje de las matemáticas escolares o institucionales es un problema que se ha abordado desde diferentes perspectivas a lo largo de los últimos años, para este fin han surgido distintas propuestas y representantes de las mismas, nombres como Teoría de Situaciones Didácticas (TSD), Teoría de Campos Conceptuales (TCC), Teoría Antropológica Didáctica (TAD), Teoría de Representaciones Semióticas Semióticas (TRS), Resolución de Problemas, etc. y sus respectivos representantes como Brosseau, Vergnaud, Chevallard, Duval y Polya son de uso común cuando se pretende hacer investigación en educación matemática; estos enfoques han buscado explicar las diferentes dimensiones del fenómeno del aprendizaje de la matemática por los individuos en etapa escolar, hoy día se busca la unificación de estas diferentes perspectivas teóricas en un afán de entender mejor este fenómeno y plantear propuestas de solución, al respecto Juan D Godino y su Enfoque Ontosemiótico Ontosemiótico (EOS) ha buscado en la época más reciente tomar lo más valioso de cada perspectiva, ampliarlo y hacerlos converger en su perspectiva teórica.
¿Por qué es necesario aprender matemática en la escuela? La matemática es la única asignatura que aparece en todos los diseños curriculares en cualquier parte del mundo, es, casi sin dudar, la disciplina con mayor carga horaria tanto en la enseñanza obligatoria como en la posterior. Aun en las carreras universitarias, son pocas las orientaciones que no incluyen una o más materias de matemática. La presencia de la matemática en la escuela aparece como algo natural y a la vez cuestionado; se empiezan a escuchar muchas voces que la cuestionan: ¿por qué estudiar matemática en la escuela? Y, ¿es necesario que todos los alumnos estudien matemática? Para responder a la pregunta de por qué enseñar matemática en la escuela se han dado y se siguen dando distintas respuestas a la par que algunas objeciones a ellas. Siguiendo a los autores citados: Charlot, Bkouche y Rouche, una de las respuestas hab ituales es: “Hay que aprender matemáticas en la escuela porque las matemáticas son útiles en la vida” Y a continuación señalan: “pero en realidad, pocas personas recurren en la realidad de la vida cotidiana a una matemática un poco sustancial. Y además, de más en más, las calculadoras o computadoras evitan tener que usar las nociones matemáticas, empezando por las operaciones aritméticas”. Se pueden avanzar argumentos en tres líneas distintas pero relacionadas, siguiendo los aportes de los autores citados:
porque forma parte del pensamiento humano; porque es una obra, una construcción de la humanidad, y como tal se transmite a las nuevas generaciones; y porque es una necesidad de la sociedad en que vivimos.
La matemática debería enseñarse en la escuela porque forma parte del pensamiento de toda persona de la misma manera que forman parte el dibujo o el deseo de representar objetos, personas, aspectos de la vida que la rodea en un papel. Es natural en los niños que disponen de lápices y
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papeles ponerse a dibujar, aun fuera de toda enseñanza; las tribus primitivas lo hicieron aun sin contar con esos elementos. No educar matemáticamente a un niño es mutilar, desfigurar su pensamiento, impedir que se desarrolle una parte importante de él. Hay que enseñar matemática a todos pero con una restricción fuerte: toda persona tiene el derecho de ser preservado de una matemática que haya perdido su razón de ser. Toda persona tiene derecho a entrar en el universo matemático, a aprender matemática sin pérdida del sentido que tiene, en la acepción más plena de la palab ra. La matemática forma parte de ese legado cultural, es una construcción humana, es parte de la cultura de nuestra sociedad y es objeto de la indagación infantil desde muy temprana edad. El niño se formula preguntas, establece relaciones, cuya sistematización remite a los objetos de la matemática.
DESARROLLO En la Didáctica de la Matemática los objetos que intervienen son: estudiantes, contenidos matemáticos y agentes educativos. Sus fuentes de investigación son los alumnos, situaciones de enseñanza-aprendizaje, puesta en juego de una situación didáctica y los fenómenos didácticos. d idácticos. Tiene como objetivo observar la producción de los alumnos y analizarla desde tres puntos de vista: estructura matemática, estructura curricular y estructura cognitiva y operacional. La didáctica de la Matemática como ciencia no aparece como un cuerpo que pueda estudiarse en forma secuencial, sino que abarca, desde distintos puntos de vista, todo un campo de problemas que se refieren al “triángulo didáctico”: alumno-saber-maestro. alumno -saber-maestro. Las principales teorías de la didáctica de la matemática provienen de la escuela francesa. Sin darles un orden de tratamiento ellas son:
Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau, 1986. Teoría de los Campos Conceptuales de George Vergnaud. Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard, 1992 Ingeniería Didáctica de Michèlle Artigue, 1991. Teoría de los Registros de Expresión o R egistros Semióticos de Raymond Duval, 1995.
La teoría de la transposición didáctica apunta al análisis de los procesos que conducen desde los productos legitimados por la institución matemática sabia a los objetos de enseñanza que viven cotidianamente en las clases. l ocal; apunta a modelar situaciones La teoría de situaciones didácticas se sitúa en un nivel más local; de enseñanza de modo de permitir una elaboración y una gestión controlada y se fundamentan en un enfoque eminentemente constructivista, partiendo del principio que los conocimientos se construyen por adaptación a un medio que aparece como problemático para el sujeto. La operacionalización de la teoría de situaciones se constituye en la llamada ingeniería didáctica , ingeniería por cuanto se ocupa tanto de la investigación acerca del sistema de enseñanza como de la producción de objetos de enseñanza.
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La teoría de los campos conceptuales se preocupa del “ecosistema” en el que viven los distintos saberes y las relaciones que aparecen ligando estos saberes a otros, por ejemplo: el campo de los problemas aditivos comprende comprende inseparablemente a los problemas de sustracción. Para describir un objeto matemático es necesario recurrir a los registros de expresión, que constituyen sistemas de signos que permiten expresar nociones, ideas, etc. y que pueden ser de diversa índole: diagramas, gráficos, registros figurales, expresiones algebraicas, etc. R. Duval ha estudiado, desde las ciencias cognitivas, cuáles son los fenómenos que se producen al hacer ca mbios desde un registro a otro.
TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS DE GUY BRUSSEAU Brosseau acuña términos términos (que más adelante serán retomados retomados por Chevallard en la TAD) tales como saber sabio (o conocimiento erudito) y saber o conocimiento constituido, tanto el profesor como el estudiante esperan que se genere el máximo de conocimientos en un mínimo de tiempo, esta postura tiene la desventaja sin embargo de que hace un lado la historia de cómo fue constituido ese saber; cuando para facilitar la enseñanza se aíslan elementos propios del origen del saber para su enseñanza, los epistemólogos le llaman a este fenómeno “Transposición Didáctica” El Trabajo del Matemático va más en función de constituir el saber o conocimiento, en sus investigaciones busca teorizar un saber descontextualizado y destemporalizado para que tenga el efecto de Teoría General; cabe mencionar mencionar que durante su trabajo, las demostraciones que que obtiene raramente son las de sus conjeturas consideradas. El Trabajo del alumno debe ser comparable al de un investigador, Saber Matemáticas implica no sólo resolver problemas, si no ser capaz de plantear nuevos a partir de situaciones planteadas previamente, “el profesor debe imaginar y proponer a los alumnos situaciones que puedan v ivir y en las que los conocimientos van a aparecer como la solución óptima y descubrible en los problemas planteados” El trabajo del profesor va encaminado realizar la recontextaulización y repersonalización del saber constituido por parte del investigador, para volverlo un saber enseñado. Brosseau ha identificado una serie de fenómenos que se presentan cuando la interacción profesorsaber a enseñar – estudiante entran en contacto; el primero es el efecto Topaze, el profesor escoge de antemano una pregunta fácil, intentando que el estudiante la responda sin problema, pensando que con ello le da más significado al acto de enseñanza-aprendizaje, nada más lejos de la realidad, reduciéndolo prácticamente a un acto de estímulo-respuesta. El efecto Jourdain es una forma de efecto Topaze, el profesor pretende que un saber sabio sea aprehendido por los estudiantes, llevándolo a realizar actividades que aparentemente tienen de fondo las características de dicho saber; el deslizamiento metacognitivo se presenta cuando se busca un método de enseñanza para determinado saber, que implica el conocimiento de ese método empleado; el uso abusivo de la analogía es efecto en el que el profesor incurre cuando en aras de ayudar al estudiante a que constituya el saber enseñado, lo remite una y otra vez a situaciones previas ya conocidas y resueltas por los alumnos que guarde relación con la nueva situación a resolver. Por último, el envejecimiento de situaciones de enseñanza, se refiere al fenómeno de la reproducibilidad de una sesión por parte del profesor, negándose a hacer cambios significativos, sin tomar en cuenta que la reproducción de una lección no tendrá el mismo resultado con uno u otro grupo y que además, mientras más interacción existen entre profesor y estudiantes y más reproducciones de la clase se hagan, más se acrecenta este efecto.
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Para Brosseau, una situación didáctica es un conjunto de relaciones establecidas explícitamente y/o implícitamente entre un alumno o un grup o de alumnos, en un cierto “mileu” , comprendiendo, eventualmente, instrumentos y objetos y, un sistema educativo (el profesor) con la finalidad de posibilitar a estos alumnos un saber constituido o en vías de constitución, el trabajo del alumno debería, al menos en parte, reproducir las características del trabajo científico propiamente dicho, como garantía de una construcción efectiva de conocimientos pertinentes. Toda situación didáctica es regida por un determinado tipo de contrato didáctico, o sea un conjunto de obligaciones implícitas y explícitas relativas a un saber interpuesto entre el profesor y los alumnos. Evidentemente, no se trata de simplemente intentar reproducir el ambiente científico en que el saber fue establecido originalmente, original mente, ni es tampoco hacer una representación “teatral” del trabajo del matemático. La idea pedagógica en el redescubrimiento del conocimiento no es fácil de ser puesta en práctica y solamente cobra sentido en un cuadro muy bien reflexionado. Todo indica que tal vez una de las equivocaciones encontrados encontrados en la enseñanza de la matemática matemática sea la de pensar que su práctica educativa se reduciría a una simple reproducción, en menor escala, del contexto de trabajo del científico. No basta, como en la práctica pedagógica tradicional de la matemática, enfocarse a los aspectos científicos; científicos; la esencia del d el trabajo didáctico consiste en construir situaciones artificiales adecuadas al cuadro de sus condiciones pedagógicas. Según esa concepción concepción el profesor debe efectuar, efectuar, no una simple comunicación comunicación del conocimiento, sino una devolución de un buen problema. La devolución tiene aquí el significado de transferencia de responsabilidades, una actividad en la cual el profesor, además de comunicar el enunciado del problema, procura actuar de tal forma que el alumno acepte el desafío de resolverlo como si el problema fuese suyo y no solamente porque el profesor quiere. Si el alumno toma para si la convicción de su necesidad de resolver el problema, o sea si el acepta participar de este desafío intelectual y si él consigue éxito en su empresa, entonces se inicia el proceso de aprendizaje. Evidentemente que, entre la devolución del problema y el aprendizaje efectivo, hay diversas etapas que deben ser recorridas. Por lo tanto es necesario un análisis de ciertos tipos particulares de situaciones didácticas, que permitan esa progresión en el aprendizaje. Una situación a– a –didáctica se caracteriza esencialmente por el hecho de representar determinados momentos del aprendizaje en los cuales el alumno trabaja independientemente, no sufriendo ningún tipo de control directo del profesor. Una definición dada por Brousseau : Cuando el alumno se vuelve capaz de poner en funcionamiento y utilizar por sí mismo el saber que está construyendo, en una situación no prevista en cualquier contexto de enseñanza y también en ausencia de cualquier profesor, está ocurriendo entonces lo que puede ser llamada situación adidáctica Las situaciones a-didácticas representan los momentos más importantes del aprendizaje, pues el éxito del alumno en las mismas significa que él, por su propio mérito, consiguió sintetizar un conocimiento. Observamos entonces que la elección del problema por el profesor es una parte importante de una situación más amplia, planeada con fines pedagógicos, en la cual puede ocurrir una o más situaciones a-didácticas.. Toda la actividad pedagógica debe ser planeada por el profesor en el sentido de dirigir al alumno al umno para lo principal, que es la situación a-didáctica. En suma, toda vez que fuera posible caracterizar una intención, por parte del profesor, de orientación de un alumno para el aprendizaje, se puede inducir la existencia de una situación
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didáctica. Además de eso es necesario que haya también mecanismos socialmente instituidos para que esto se pueda realizar. Esto está directamente asociado con una propuesta constructivista en el sentido que ésta se caracteriza por la intención de colocar al alumno en una situación que involucre una producción de conocimiento. Esta producción puede también envolver adaptaciones, reformulaciones y al mismo tiempo, la generación de conflictos con conocimientos anteriores.
LA TEORÍA DE LA TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA Yves Chevallard es el principal exponente de esta teoría, dada a conocer en 1992. En la enseñanza usual, rara vez se introducirá un concepto en los mismos problemas en los que funcionó como medio o a partir de los cuales los sabios los inventaron, siempre se toman en cuenta saberes o reorganizaciones de los saberes creados con posterioridad, para hacer menos complejo el concepto. Se produce así, un desfase inevitable entre el objeto de saber y el objeto de enseñanza. El proceso a través del cual se adaptan los saberes a los diferentes medios, es decir, proceso de transformación o adecuación del saber matemático erudito al saber matemático a enseñar en el aula es el que se ha llamado transposición didáctica. En palabras de Y ves Chevallard, transposición didáctica es “el conjunto de las transformaciones que sufre un saber con el fin de ser enseñado.” Para comprender las fases de este fenómeno, se debe comenzar por analizar las características que posee el objeto de saber. Este objeto de sa ber corresponde a un conocimiento que pertenece al saber erudito o saber sabio, es decir, aquel que poseen y al cual siguen aportando los matemáticos profesionales e investigadores. Este conocimiento (el del saber erudito), para ser comunicado a la comunidad científica científica con el rigor y generalización que se exige, ha sido despersonalizado y descontextualizado; lo que quiere decir, que se ha hecho desaparecer en él todo lo que constituye su historia, el camino que se recorrió para su creación o descubrimiento: descubrimiento: las reflexiones inútiles inútiles y los errores que se hayan cometido cometido en el curso de la investigación, investigación, referencias al tiempo tiempo en que se hizo la misma, las motivaciones motivaciones personales del investigador y las estrategias de descubrimiento utilizadas. (lo que constituye la epistemología del saber en cuestión) Ahora bien, de todo el saber acumulado en el curso curso de la historia, no todo se enseñará en la escuela y es responsabilidad del sistema social de enseñanza (noósfera), seleccionar entre los conocimientos del saber sabio aquellos objetos que serán pertinentes en la formación matemática de los alumnos. Una vez designado los objetos de enseñanza, que serán dados a conocer en programas promulgados por el Ministerio de Educación, junto con los fundamentos de su selección, algunas orientaciones metodológicas, un ordenamiento y jerarquización de los saberes y los objetivos que la sociedad espera que se logren a través de ellos, ellos, éstos deben ser transformados en conocimientos a adquirir por los alumnos; de una forma lógica y coherente, adecuando su estructuración estructuración y presentación a la etapa de desarrollo del alumno y a la forma en que se cree que éstos aprenden (hipótesis de aprendizaje). Para ello, los expertos reescriben las definiciones y propiedades de estos objetos ya seleccionados en textos y manuales, donde se propone una organización y se exponen nociones del Programa en capítulos, aportando ilustraciones y constituyéndose en base de datos para ejercicios y problemas, que servirán de referencia para la comunidad escolar.
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Toda esta elaboración, que tiene su mejor reflejo en los textos escolares, es lo que se llama saber escolar o saber institucionalizado institucionalizado .
Lo descrito hasta ahora es un trabajo anterior al del profesor, es la parte de la transposición en que él no interviene directamente. En la siguiente fase, quien administra y adapta esta transposición transposición didáctica es el profesor, él toma los objetos del saber escolar y los organiza en el tiempo de acuerdo a su conocimiento, a su propia relación al saber y a sus propias hipótesis de aprendizaje. Este saber escolar enseñado a los alumnos por el profesor se llama saber enseñado, pero no es exactamente el que retienen los alumnos, sino que en una última etapa de la transposición, son ellos los que tienen a su cargo transformar este saber en en saber suyo: saber del alumno. En síntesis, según la Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard, el trabajo del profesor consiste en realizar para sus alumnos el proceso inverso al que realiza el matemático; su labor será buscar el o los problemas de donde surgió el saber sabio con el fin de recontextualizarlo, adaptar estos problemas a la realidad de sus alumnos, de modo que ellos los acepten como “sus problemas”, es decir repersonalizarlos y luego provocarlos, a través de problemas adecuados, para que los integren al cuerpo teórico conocido, emulando ellos al matemático en su nueva descontextualización y despersonalización.
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS GEORGE POLYA ¿Y qué pasa con la Resolución de Problemas? No considerada por los teóricos en Didáctica de la Matemática como una Teoría, este enfoque cobra fuerza primero con George Polya y la publicación de su libro How to solve it y retomada en época reciente por Allan Schoenfeld. How to solve it se ha convertido en un clásico en la enseñanza de la Matemática bajo el enfoque de la resolución de problemas, es una lástima que siendo tan accesible y en idioma español, muchos profesores de matemáticas no la conozcan o la hallan leído. La primer parte del libro se centra en las etapas que se deben seguir dentro del salón al trabajar bajo este enfoque, estas van desde comprender el problema, concebir un plan, ejecutar el plan y examinar la solución obtenida; además de una lista de preguntas que el profesor de matemáticas puede incorporar a su discurso mientras los estudiantes buscan resolver dicho problema. Tal y como lo menciona Polya, la lista de preguntas que el profesor debe tener presente, es tan de sentido común, que probablemente el estudiante pueda llegar pos sí mismo a formulárselas, por ejemplo ¿cuál es la incógnita?, ¿cuáles son los datos?, ¿existe relación entre los datos y la incógnita, cuál?, etc. sin embargo es común encontrarse con estudiantes que al intentar resolver un problema, no logren por sí mismos hacerse algunas de las primeras preguntas de la lista, lo único que intentan es operar con los datos de algún manera para obtener la solución. Lo anterior tal vez suceda porque los estudiantes no son capaces de librar la primera etapa del trabajo, es decir, comprender el problema; esta etapa inicial debe ser transitada con éxito o difícilmente se podrá llegar a una solución satisfactoria sin comprender el problema, además ¿de qué sirve tratar de resolver algo que no se ha entendido?
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El profesor juega un papel de gran importancia cuando decide enseñar a sus estudiantes bajo el enfoque de resolución de problemas, contrario a la de una postura muy constructivista como por ejemplo Teoría de Situaciones, en la cuál el trabajo principal del profesor radica en diseñar con cuidado el juego que llevará al aula, y que en las primeras fases dejará que los estudiantes “construyan” por si mismos la solución (situación a -didáctica), en Resolución de Problemas, el profesor además de seleccionar el problema adecuado a plantear en su clase, original, poco convencional, que capte el interés del estudiante, que no sea ni sumamente fácil ni sumamente difícil como para frustrarlos, que sea un problema que logre conexiones hacia otros problemas u otras áreas de la matemática; también debe estar en todo momento pendiente de los estudiantes, haciendo las preguntas adecuadas y en el momento oportuno de la lista sugerida. Se debe tener incluso mucho cuidado en la forma de realizar las preguntas, como se ejemplifica en el texto, si al estudiante se le pregunta ¿conoce algún problema relacionado que le ayude a resolver este? o ¿conoce algún problema con la misma incógnita incógnita que este? Es diferente a preguntarle ¿Cómo puede usar el Teorema de Pitágoras en este problema?, pregunta que afectará considerablemente el objetivo que se pretende lograr con los estudiantes. Algo por demás interesantes es como Polya nos lleva de la mano con algunos casos que se entiende que él trabajó, ejemplos por demás interesantes de cómo implementar en nuestro salón este tipo de actividades. Una conclusión personal, en nuestras aulas los estudiantes tienen características características muy distintas a los estudiantes estadounidenses, estadounidenses, sin bien el autor menciona que cuando el estudiante estudiante se queda callado ante alguna pregunta, se debe hacer otra y otra hasta que él encuentre una conexión, con estudiantes como los que están a nuestro cargo, pasarían la mayor parte del tiempo y ante casi todas las preguntas callados (…), creo yo en gran parte por falta de conocimientos previos bien fundamentados que les permitan no solo encontrar una solución, ni varias, si no extensiones del trabajo, además de la visión retrospectiva; probablemente porque son en gran parte reflejo de sus propios profesores.
Situaciones Didácticas y Resolución de Problemas Para comprender mejor las relaciones existentes entre las situaciones didácticas y las actividades de resolución de problemas, debemos, de partida, reflexionar a propósito de la diferencia que hay entre una situación de enseñanza, enseñanza , entendida en el sentido de la práctica pedagógica tradicional, y la noción que constituye nuestro objeto de estudio. Esta reflexión es esencial en el desenvolvimiento de nuestras consideraciones, pues, si no hubiese diferencia entre esas dos formas de estructurar la enseñanza de la matemática, es evidente que el estudio de las situaciones didácticas perdería su interés pedagógico, aunque en palabras del propio Brosseau no es lo mismo “Situación problema” problema ” que “Resolución de Problemas” Problemas ”, Una vez establecida una intención de enseñanza, a través de la resolución de un problema, es principalmente la presencia, la valoración y la funcionalidad de situaciones a-didácticas en el transcurrir de una situación didáctica, didáctica , las que diferencian fundamentalmente esas dos formas de enseñar. En el proceso de enseñanza- aprendizaje debe haber condiciones para que el alumno realice el mismo sus aproximaciones, movilice sus conocimientos y sea capaz de explicitar sus procedimientos y los raciocinios utilizados. En el caso de la matemática, la concepción de aprendizaje se vuelve evidente, cuando se analizan las situaciones didácticas didácticas relativas al trabajo con la resolución de situaciones – problema.
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TEORÍA DE LAS REPRESENTACIONES SEMIÓTICAS, DUVAL 1995 Para empezar podemos decir que semiosis constituye el estudio de los signos y en base a esto lo primero que nos preguntamos fue ¿qué tendrá que ver la semiosis con el pensamiento? a lo que logramos decir que existe una relación demasiado estrecha entre semiosis y pensamiento, puesto que, los signos se utilizan para comunicar nuestras ideas y es la semiosis la que permite que estas ideas sean transformadas en símbolos. Todas las disciplinas poseen una simbología característica, es el caso ta mbién de las matemáticas. El aprendizaje de las matemáticas constituye un campo de estudio privilegiado para el análisis de actividades cognitivas fundamentales como la conceptualización, el razonamiento, la resolución de problemas e incluso la comprensión de textos. La particularidad del aprendizaje de las matemáticas hace que estas actividades cognitivas requieran de la utilización de sistemas de expresión y de representación distinta a los del lenguaje natural o de las imágenes. Según Duval, "mientras más representaciones o símbolos hayan de un concepto, mejor es la aprehensión de este mismo". Llevando esto al ámbito escolar, los estudiantes, una vez terminada una clase, siempre se quedan con una sola representación, a modo de ejemplo, piensan que f(x) representa una función. Entonces, según este ejemplo, nuestra obligación como docentes es dar más opciones de aprendizaje no dar siempre los mismos ejemplos, no incurrir en lo que nuestros profesores hicieron con nosotros, en el caso de no tener más opciones, buscarlas puesto que es nuestra labor y existen muchos lugares y formas para encontrar lo que necesitemos. Otro punto importante mencionado por Duval es la relación existente entre Semiosis y Noesis. Podemos decir que Noesis viene a ser como nuestra representación mental que es expresada al mundo en forma de signos o símbolos a través de la Semiosis, en otras palabras, sin semiosis no hay noesis. En matemáticas, las representaciones semióticas no sólo son indispensables para fines de comunicación, sino que también son necesarias para el desarrollo de la actividad matemática misma. A partir de esto último, cabe mencionar que muchos de los obstáculos o dificultades que se encuentran en el aprendizaje da las matemáticas, se puede remediar, puesto que si nosotros somos capaces de encontrar más y mejores formas de representar un determinado concepto matemático, podemos llegar a cada vez más alumnos y por ende lograr que cada uno de ellos tome una de estas representaciones representaciones y la asimile de la mejor forma según su propio estilo de aprendizaje. ¿De qué sirve el rigor matemático sin la comprensión del significado de los objetos involucrados? Encuestas muestran gran fracaso de los estudiantes en la movilización de los diversos registros y realizar cambios a los registros. Este fracaso es mayor si las conversiones no son congruentes. Hay un "mantener" el registro que impide que el estudiante a reconocer el mismo objeto en dos representaciones representaciones matemáticas de sus muy diferentes. La comprensión de la matemática implica implica la capacidad para cambiar el registro porque no se debe confundir nunca un objeto y su representación. El acceso a los objetos matemáticos, inevitablemente, significa semiótica representaciones, toda confusión entre el objeto y su representación provoca, en un plazo más o menos amplio, una perdida en la comprensión.
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ENFOQUE ONTOSEMIÓTICO Juan D. Godino, el hombre que trata de unificar las diferentes perspectivas a través de su Enfoque Ontosemiótico Ontosemiótico (EOS) y su Teoría de las Funciones Semióticas y la Ontología de la Matemática. En palabras propias de Godino, haciendo un análisis de las distintas perspectivas en Educación Matemática: el Potencial de TSD radica en:
La TSD proporciona herramientas para analizar los procesos de instrucción matemática y valorar la idoneidad de tales procesos en términos de los aprendizajes matemáticos logrados.
La asunción de la hipótesis del aprendizaje matemático en términos de adaptación a un medio adidáctico orienta de manera consistente en la construcción de situaciones didácticas mediante las cuales los alumnos construyan los conocimientos matemáticos de manera significativa.
Sin embargo la TSD tiene las siguientes limitaciones:
En la práctica, no todos los objetivos de aprendizaje matemático se pueden lograr mediante procesos de adaptación en situaciones adidácticas La articulación entre las situaciones adidácticas y didácticas, no es obvia. La enseñanza directa del profesor puede jugar un papel esencial en una instrucción matemática significativa .
(Vygotsky; Ausubel; ...) Nuevamente en palabras de Godino: “ Nuestra Teoría de las Funciones Semióticas y la ontología pragmático-realista asociada trata de superar las limitaciones de los enfoques representacionistas y pragmatistas, a isladamente considerados. El punto de partida de nuestra teorización es la formulación de una ontología de los objetos matemáticos que tiene en cuenta el triple aspecto de la matemática como actividad de resolución de problemas, socialmente compartida, como lenguaje simbólico y sistema conceptual lógicamente organizado, pero también la dimensión cognitiva individual ” ”
CONCLUSIÓN: Como se ha mencionada con anterioridad, el problema del aprendizaje de la Matemática es multifactorial, pretender abordarlo desde un marco o perspectiva teórica no es lo más recomendable, pues se puede perder la riqueza que aportan otros enfoques. Como se ha podido constatar, cada teórico bajo su perspectiva a tomado en cuenta ciertos aspectos que le han parecido de relevancia y a dejado de incluir o ha tratado de manera superficial otros. Las diferentes teorías o perspectivas que existen en el campos de estudio de la Didáctica de la Matemática no son opuestas o contradictorias, por el contrario pueden amalgamar una perspectiva más completa que ayude a entender y estudiar con más elementos el complejo problema del a prendizaje de las matemáticas. Dos años como estudiante de una maestría en Matemáticas con énfasis en la didáctica son pocos para estudiar y comprender este complejo campos de investigación, si bien fueron suficientes para sufrir una desequilibración cognitiva y estar pasando apenas por una etapa de asimilación, que vislumbra un panorama amplio como futuro investigador en este campo campo del conocimiento.
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Referencias: Brosseau, G. (1997). Foundations and Methods of Didactique. Theory of Didactical Situations in Mathematics. En N. Balacheff et al (Ed), , (pp 3, 75 ). Kluwer Academic Publisher. Publisher. Great Britain Chevallard, Bosch, Gascón, Estudiar Matemáticas: El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje, SEP, ISBN 970-18-1040-6, Barcelona, España Duval, R. Semiosis y Pensamiento Humano, Humano, Universidad del Valle, Cali (2004) Traducción Myriam Vega Restrepo Polya, G. (1996). Cómo plantear y resolver problemas . México, Editorial Trillas (pp 19-53)
