Enrique Rocha - Raciocinio Logico Para Concursos - 3a Ed. 2010

E nrique R ocha

Raciocínio Lógico

para Concursos

Você consegue aprender 3aedição

1

Niterói 2010

©2010, Editora Impetus Ltda.

E d ito ra Im p e tu s L td a. Rua Alexandre Moura, 51 - Gragoatá - Niterói CEP: 24210-200 - Teldàx: (21) 2621-7007

P r o jet o e E ditoração E l e t e ô n ic a : E d itora Im petus L tda . C apa: W ilso n C otium R evisão d e P o rtuguês : B ec k er programação e T ex to s L tda . I m pressã o e encadernação : S erm ocraf A rtes G ráficas L tda .

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Rocha, Enrique. Raciocínio lógico para concursos : você consegue aprender: teoria e questões / Enrique Rocha. - 3. ed. rev. - Niterói, R J: Impetus, 2010, 384 p .; 17 x 24 cm.

ISBN 978-85-7626-420-0 •f.f.

1. Serviço público - Brasil - Concursos. 2. Lógica simbólica e matemática - Problemas, questões, exercícios. I. Título. CDD-351.81076

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O autor é seu professor; respeite-o: não faça cópia ilegal. A Editora Impetus in fo r m a que se responsabiliza pelos defeitos gráficos da obra. Quaisquer vidos do produto concernentes aos conceitos doutrinários, às concepções ideológicas, às referências, à originalidade e à atualização da obra sSo de total responsabilidade do autor/aiualizador.

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Agradecimentos _________________________________ B

A DEUS, em primeiro lugar, por tudo em minha vida. A minha mãe, Maria Luiza (in memoriam), que me amou em toda a sua vida. A minha esposa, Karina, por ser minha melhor amiga, minha companheira, e me apoiar incondicionalmente nessa jornada. Ao meu pai, Almachio, por me ter ajudado em toda a minha vida e especialmente neste trabalho, melhorando e fazendo importantes observações. Às minhas filhas, Mariana e Milena, pela sua importância e pelo significado na minha vida. Aos “meus” meninos, Guilherme e Victor, por colaborarem grandemente com as minhas alegrias diárias. Ao meu irmão, Almachio, que, por meio de sua empresa, KAIZEN-CTD, tem me dado a oportunidade de aperfeiçoar as aulas e a metodologia de ensino do raciocínio lógico. Aos meus sogros, Zenor e Nininha, que têm acompanhado nossas lutas e delas participado ativamente. Ao Luís Fernando Pimentel, em Brasília, por me ter dado a oportunidade de iniciar minhas experiências como professor de cursos preparatórios para concursos. A todos aqueles que, por terem assistido às minhas aulas, me ajudaram a encontrar um caminho claro para o estudo do Raciocínio Lógico. Aos amigos que acreditaram nesse trabalho, adquiriram o livro e colaboraram com observações de extrema importância para que o material pudesse ser aperfeiçoado.

O Autor &

E nrique R ocha, brasüiense, dedicou-se desde a juventude ao estudo de Matemática, Física e informática. Formou-se em Matemática em Brasília pelo UNICEUB e cursou Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas. Atuou por 17 anos como analista de sistemas, gerenciando equipes de desenvolvimento de softwareem diversas empresas. Ensinou Matemática, Informática e Raciocínio Lógico em diversos cursos preparatórios para concursos públicos, no Brasil. Atualmente trabalha no Ministério da Saúde, em Brasília, atuando no Escritório de Gestão e Projetos e Processos da Coordenação Geral de Inovação Gerencial.

Apresentação da Série

A preparação para concursos públicos é composta por diversas etapas, dentre as quais se destaca a escolha e seleção dos materiais adequados ao estudo de cada disciplina. Ao longo dos anos, o mercado de apoio ao concurso vem se expandindo à medida que aumenta a procura de cidadãos pela boa remuneração e estabilidade asseguradas pelo cargo público. Observando este cenário e acompanhando as demandas e preferências dos concurseiros, a Editora Impetus oferece a Série Impetus Concursos, apresentando aos leitores os conteúdos mais completos e atualizados para sua preparação. Reforçando o caráter completo das obras, a Série prima pela adequação constante aos conteúdos abordados em concursos por meio do desenvolvimento de uma estrutura diferenciada, pensada especificamente para cada disciplina, atendendo, assim, às suas peculiaridades. Seu objetivo é alcançar a compreensão plena do conteúdo apresentado, pelo destaque das características essenciais e respeito à lógica interna da matéria. Para isso, disponibiliza o máximo de conteúdo da maneira mais eficiente, sem desperdiçar tempo de estudo ao abordar assuntos que não são cobrados pelas bancas. Editora Impetus

Palavras do Coordenador _________________________ ®

Em seu volume Raciocínio Lógico - Você Consegue Aprender apresenta de forma didática e descomplicada a síntese da teoria que rege este, que é um dos mais temidos tópicos, e é cada vez mais cobrado pelas mais respeitadas e exigentes bancas do país. Sobressaem nessa edição as técnicas de resolução dos exercícios e esquemas que encorajam o leitor a ultrapassar suas dificuldades com a matéria e desvendá-la. Apresenta, ainda, uma coletânea de questões para que o concurseiro possa treinar seus conhecimentos e cujos gabaritos são veiculados ao final da obra oferecendo, ainda, questões comentadas e resolvidas passo a passo com enfoque nos itens nos quais pairam as maiores dúvidas dos estudantes. Enrique Rocha, referência no estudo de raciocínio lógico para concursos, apresenta um manual de raciocínio lógico, fruto de seu estudo, pesquisa e experiência como professor, para todos aqueles que precisam desenvolver seus conhecimentos e garantir sua colocação.

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Professor, Escritor e Juiz Federal

Apresentação

É com muito prazer que ofereço a você este livro sobre Raciocínio Lógico. Ele é fruto de estudos, pesquisas e experiências que tive no decorrer de minha vida. As pesquisas incluem provas de concursos anteriores, apostilas e livros escritos por outros professores e páginas na internet. Talvez você seja um dos que já trazem consigo uma imagem predefmida a respeito das matérias de que gosta —e por isso consegue aprender —e daquelas com as quais “definitivamente não se dá bem”. Se Raciocínio Lógico estiver, para você, neste último grupo, quero encorajá-lo a esquecer-se um pouco disso e dar uma “mergulhada inicial”, dando-me a chance de mostrar-lhe as coisas de uma forma talvez um pouco diferente do que já conhece. Este livro mostrará a você que Raciocínio Lógico não é somente para “gênios” ou para as pessoas que “amam a Matemática”. É ^ o contrário, um estudo interessante, sem mistérios, agradável e quê despertará em você a curiosidade e a vontade de saber um pouco mais. A partir da compreensão inicial, e em se tratando de um ramo das Ciências Exatas, é imprescindível que você tente resolver muitos exercícios, dentro da maior variedade possível. Um outro aspecto que deve chamar sua atenção é o método que estarei apresentando para a resolução de cada um dos tipos de problemas. Tome muito cuidado ao adotar uma forma de resolução para um determinado tipo de problema, porque, mesmo que esteja chegando às soluções, você pode estar indo por um caminho muito mais longo ou, ainda, usando algumas “meias-verdades” como se fossem totalmente verdadeiras.

Nesses casos, é comum vermos pessoas que acertaram os problemas, mas, quando vamos validar o caminho adotado por elas, demonstramos que se a pergunta tivesse sido um pouco diferente, elas teriam errado a resposta. Ou, no mínimo, teriam ido por um caminho muito mais longo e gasto desnecessariamente um tempo que sabemos ser precioso em uma prova. Como você não quer depender do destino para passar em seu concurso, preste atenção aos métodos apresentados nesse livro, porque eles certamente tratam as questões da forma mais simples, configurando-se como importantes ferramentas a serem por você utilizadas. Bom estudo, e... sucesso! Prof. Enrique Rocha

Sumário

____________________________ m Capítulo 1 - Conhecendo os Vários Tipos de Problema........ ................................ .......1 C apítulo 2 - Problemas sobre Correlacionamento........................................................... 7 2.1. Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos....... ........................................7 2.2. Considerações Finais sobre a Técnica.....................................................................24 2.3. Exercícios Resolvidos de Correlacionamento.........................................................25 Exercícios Complementares de Tabelas..................................................................61 Gabarito de Exercícios de Correlacionamento........................................................62 Capítulo 3 - Álgebra das Proposições............................................................................63 3.1. Proposição............................................................................................................ 63 3.1.1. Proposições Abertas e Proposições Fechadas............................................ 64 3.1.2. Proposições Simples e Proposições Compostas.........................................64 3.1.3. Representação Literal das Proposições......................... ............................ 64 3.2. Tabela-verdade................ ...................................................................................... 64 3.3. Proposições Equivalentes (Símbolo o ) ................................................................. 65 3.4. Tautologias, Contradições e Contingências................................................. ....... 65 3.5. Operações com Proposições........... ....................................................................... 65 3.5.1. Propriedades de uma operação.................................................................. 66 3.6. Negação: Não p (representação: - p )......................................................................66 3.6.1. Modos de Negação de uma Proposição.....................................................67 3.7. Disjunção (inclusiva): p ou q (Representação: p v q ) ...........................................67 3.7.1. Negação da Disjunção: Não P e Não Q .....................................................68 3.7.2. Propriedades........................................,................. ................................ 69 3.8. Disjunção Exclusiva: Ou p ou q (Representação: p v q)........................................69 3.8.1. Negação de ou p OU q (A ser Estudada Posteriormente)......................... 70 3.8.2. Propriedades............................................................................................. 70 3.9. Conjunção: p e q (Representação: p Aq ).............................................. ................70 3.9.1. Negação da conjunção: Não p ou Não q ................................................... 71 3.9.2. Propriedades............................................................................................. 71

3.10. Implicação: Se p então q (Representação: p -> q)................................................. 72 3.10.1. Negação da Implicação: p e não q ............................................................. 74 3.10.2. Equivalência da Implicação: Não q -> não p ..... ......................... ............. 74 3.11. Condição Suficiente. Condição Necessária........................................................... 75 3.12. Dupla Implicação: Se p então q e se q então p (Representação: p q)................ 76 3.12.1. Negação da Dupla Implicação: Ou p ou q (Exclusivo).............................76 3.13. Condição Necessária e Suficiente..........................................................................77 3.14. Tautologia e Contradição..................................................................................... 77 Exercícios Resolvidos de Álgebra das Proposições...............................................103 Gabarito de Exercícios sobre Álgebra Linear...................................................... 107 Capítulo 4 - Silogismos: Todo, Algum, Nenhum..................... .................................. 109 4.1. Conceitos Iniciais........................................................................................... ....109 4.1.1. Tipos de raciocínio: analogia, indução e dedução............... .................. 109 4.1.2. Definição (Informal)..............................................................................110 4.1.3. Estrutura de um silogismo............................. ........... ...... ................... 110 4.1.4. Falácia.... ...............................................................................................111 4.1.5. Paradoxo................................................................................................112 4.1.6. Problemas de silogismos........................................................................ 112 4.2. Análise das Proposições Categóricas..................................................... ...»........ 112 4.3. Negações: Um Outro Ponto Importante.............................................................. 114 4.3.1. Negação de “todo”................................................................................. 115 4.3.2. Negação de “nenhum”............................................ ..................... .........115 4.3.3. Negação de “algum” ..............................................................................116 4.4. Exercícios Resolvidos Envolvendo Silogismos............................... .................... 116 Exercícios Envolvendo Silogismos......................................................................134 Gabarito de Exercícios de silogismos.............. .................................................. 136 Capítulo 5 - “Encontrando o Culpado” ................................................................. 137 5.1. Exercícios Resolvidos sobre “Encontrando o Culpado” ..................................... 139 Exercícios sobre “Encontrando o Culpado"....................................................... 178 Gabarito das Questões de “Encontrando o Culpado”......................................... 179 Capítulo 6 - Análise Combinatória............................................................................. 181 6.1. Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinações........ .....................................181 6.2. Princípio Fundamental da Contagem: O Grande Segredo.................................. 182 6.3. Arranjos........................................ .................................................................... 183 6.3.1. Fórmulas para arranjos.......................................................................... 187 6.4. Combinações...................................................................................................... 188 6.5. Convenções e Observações.................................................................................189

6.6. Alguns Tipos Comuns de Problemas..................................................... ........... 189 6.6.1. Agrupamentos com Elementos Sempre Juntos e em Determinada Ordem..... ........................... ........ ........... ............ .................................191 6.6.2. Agrupamentos com Elementos Juntos, em Qualquer Ordem..................192 6.7. Exercícios Resolvidos de Análise Combinatória.............. ....................................193 Exercícios de Análise Combinatória..... ......... ............. ...................................... 218 Gabarito de Exercícios de Análise Combinatória................................................ 220 CArtruio 7 - Álgebra lin ear........................................................................................ 221 7.1. O Que é uma Matriz?...........................................................................................221 7.2. Notações.............................................................. ............................................... 222 73. Classificação das Matrizes................................................................................... 222 7.3.1. Matriz-Linha........................................ ....................... ............................222 7.3.2. Matriz-Coluna........................................................ ............................... 223 7.3.3. Matriz Quadrada.............. ......................................................................223 7.3.4. Matriz Triangular.................................................................................... 224 7.3.5. Matriz Diagonal......................................................................................224 7.3.6. Matriz Escalar......................................................................................... 225 7.3.7. Matriz Nula.............................................................................................225 7.3.8. Matriz-Identidade................................................................................... 225 7.3.9. Igualdade de Matrizes...................................................................... ..... 225 7.3.10. Transposição de Matrizes........................................................................226 7.3.11. Matriz Oposta..........................................................................................226 7.3.12. Matriz Simétrica................................................................ ............ ...... 227 73.13. Matriz Antissimétrica................................................................. ............227 7.4. Adição ou Subtração de Matrizes................................................................... . 227 7.4.1. Propriedades........... ...... .........................................................................227 7.5. Produto de Escalar por Matriz.............................................................................228 7.6. Equações Matriciais............................................................................................. 228 7.6.1. Propriedades do Produto de Escalar por Matriz......................................229 7.7. Produto de Matriz por Matriz.................................. .............. ........................... 229 7.7.1. Calculando o Produto de Matriz por Matriz.......................................... 230 7.7.2. Propriedades da Multiplicação de Matriz por Matriz.............................. 233 7.7.3. Forma Prática para Produto de Matriz por Matriz.................................. 234 7.8. Complemento Algébrico ou Cofator e Matriz dos Cofatores.... .......................... 241 7.9. Matriz Adjunta.................................................................... ............................... 245 7.10. Matriz Inversa..................................................................................................... 245 7.11. Determinantes..................................................................................................... 247 7.11.1. Notação Matemática............................................................................... 247

7.11.2. Determinante de Matriz de Primeira Ordem................................ ........ 248 7.11.3. Determinante de Matriz de Segunda Ordem......................................... 248 7.11.4. Regra de Sarrus.........................................................................................249 7.12. Teorema de Laplace...............................................................................................251 7.13. Propriedades dos Determinantes...........................................................................252 7.13.1. Exercício Resolvido............................................................................... 257 7.14. Sistemas Lineares............................ ............. ................... ................................... 257 7.14.1. Resolução de Sistemas pelo Método da Substituição........... .................. 258 7.14.2. Representação Matricial dos Sistemas lineares............ .......... .................258 7.14.3. Sistema Normal...................................................................................... .259 7.14.4. Regra de Cramer.................................................................................. ....259 7.15. Submatrizes de uma Matriz.....,.......... ................................................................ 259 7.16. Menores de uma Matriz................................................. ......................... ............260 7.17. Característica de uma Matriz............................................................. ................. 261 7.17.1. Teorema de Kronecker............................................................................. 261 7.18. Análise de um Sistema de Equações Lineares....... .............................................. 262 7.18.1. Teorema de Rouché-Capelli.............. ...... ..... ................... ..... ................ 262 7.18.2. Regra de Cramer............................................. ................. ...................... 263 7.18.3. Sistemas Equivalentes............................................................................263 7.18.4. Propriedades..........................................................................................263 7.18.5. Sistema Homogêneo................................................................................264 7.19. Transformações Elementares de Sistemas Lineares..... ........ ................................265 7.19.1. Método de Gauss ou Método do Escalonamento................ ....................266 7.20. Exercícios Resolvidos sobre Álgebra Linear............................................... ........268 Exercícios sobre Álgebra Linear.......... .............................................................. 280 Gabarito de Exercícios sobre Álgebra Linear.................................. ..................... 281 Capítulo 8 - Probabilidades...................................................................................... ...283 8.1. Experimentos Aleatórios........................................................... ..........................283 8.2. Espaço Amostrai.................................................... ........ ................... ........ .......283 8.3. Evento. Evento Certo. Evento Impossível............................................................284 8.4. Fórmula Geral do Cálculo da Probabilidade........................... ....... ....... ...........286 8.4.1. Conclusões dos exemplos acima............................ ................................ 288 8.4.2. Probabilidade de ocorrer “A" e :P(A e B)..........................................288 8.4.3. Probabilidade de ocorrer “A” ou UBM :P(A ou B)........ .............................289 8.5. Exercícios Resolvidos sobre Probabilidades..... ...................................................289 Exercícios de Probabilidades...............................................................................313 Gabarito de Exercícios sobre Probabilidades...................................................... 314

9 - Álgebra...................................................................................................315 9.1. Exercícios Resolvidos......................................................................................... 315 Exercícios sobre Álgebra................................. ................... ............................... 345 Gabarito de Exercícios de Álgebra...................................................................... 348

C apítulo

Capítulo 10 - Seqüências e Psicotécnicos............. .................................................... 349 10.1. Seqüências........................................................................................................... 349 Questões sobre Seqüências e Psicotécnicos........................................................352 Gabarito das Questões sobre Seqüências e Psicotécnicos................................... 358

C apítulo 1 _________ —____ R

Conhecendo os Vários Tipos de Problema * _____________________ _________________B “A formapela qual você olhapara umproblema determina se você o encara ou corre dele. Tente olhá-lo sempre de igualpara igual, sem menosprezar, sem temer. ” Comece a pensar que seu objetivo é olhar para a prova de concurso - qualquer que seja ela —e se sentir capaz de resolvê-la. Para tanto, vamos dar a primeira sugestão. Em vez de avaliar a quantidade de teoria a ser estudada, vamos manter o foco sobre os tipos de problema com que estaremos nos defrontando. Existem vários tipos de problema de lógica, mas eles podem ser agrupados, de forma mais geral, da seguinte maneira: 1} Problemas sobre inter-relacionamento dos dados informados: são problemas em que aparecem alguns elementos que se relacionam entre si e perguntam “qual está relacionado com qual”. Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Os carros deArtur, Bernardo e Césarsão, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente (...) 2) Problemas sobre Álgebra das Proposições, chamada Álgebra de Boole. Álgebra das Proposições é, falando de modo geral, uma parte do raciocínio lógicomatemático que utiliza operações lógicas como: “se...então”, “se e somente se”, “e”, “ou” etc., para que se possa chegar às conclusões relacionadas ao enunciado. Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:

s Raciocínio Lógico —■Enrique Rocha a) Nestor e Júlia disseram a verdade; b) Nestor e Lauro mentiram; c) Raul e Lauro mentiram; d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade; e) Raul e júlia mentiram. 3) Silogismos são raciocínios lógicos em que se procura deduzir uma conclusão baseada em declarações preliminares chamadas premissas. Este tipo de problema geralmente apresenta os termos “todo”, “algum”, “nenhum” e “pelo menos um” como parte do enunciado e também das alternativas. Exemplo: Alguns escritores são poetas. Nenhum músico é poeta. Então, podemos concluir com segurança que: a) nenhum músico é escritor; b) algum escritor é músico; c) algum músico é escritor; d) algum escritor não é músico; e) nenhum escritor é músico. 4) Problemas que envolvem “encontre o culpado”, ou “encontre quem mentiu”, ou coisas deste tipo. Este grupo trata da identificação de um ou mais elementos que fizeram ou falaram alguma coisa. “Encontre o culpado” é uma técnica que mantém o foco sobre a exceção (se tivermos um culpado e quatro inocentes, o “culpado” será a exceção a ser procurada durante a resolução). Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca faia a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz: “Eu souJanete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica; b) Janete, Angélica e Tinia; c) Angélica, Janete e Tânia; d) Angélica, Tânia e Janete; e) Tânia, Angélica e Janete. 5) Problemas matemáticos sobre análise combinatória. A análise combinatória estuda o cálculo da quantidade de grupos distintos que podem ser formados a partir de um grupo maior.

Capítulo 1 —

Conhecendo os Vários Tipos de Problema m

3

Exemplo: Numa assembleia de doze cientistas, três são físicos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, incluindo, no mínimo, um físico? a) 378; d) 792; b) 72; e) 54. c) 36; 6) Problemas matemáticos sobre a Teoria das Probabilidades. Teoria das Probabilidades é a parte da Matemática que calcula a chance de acontecer um evento específico com base no universo de possibilidades existentes e na quantidade de ocorrências deste evento específico neste universo. Exemplo: Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, ò outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: a) 1/6; b) 1/3; c) 2/3; d) 4/5; e) 5/6* 7) Problemas de Álgebra Linear (matrizes e sistemas lineares). Apesar de matrizes, determinantes e sistemas lineares serem assuntos mais relacionados à Matemática pura do que ao Raciocínio Lógico em si, é comum encontrarmos problemas deste tipo em provas dessa disciplina. Exemplo: Sejam as matrizes '1 4" 1 3 4 5~ A — 2 6 eB = 1 2 3 4 3 3 e sejax.. o elemento genérico de uma matriz X tal que X=(AJB)C,isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre e xi2 é igual a: a) 2; d) 1/3; b) 1/2; e) 1. c) 3;

Raciocínio Lógico—

Enrique Rocha

8) Problemas gerais de Matemática. Inseridos em muitas provas de Raciocínio Lógico estão alguns problemas gerais de Matemática e estes podem envolver qualquer uma das diferentes áreas, como funções, proporções, álgebra elementar, geometria plana e outras. Exemplo: (ESAF/AFTN/96) Em determinado país, existem dois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oito dias. A produção do poço Pa, portanto, é: a) 60,0% da produção do poço Pb; b) 60,0% maior do que a produção do poço Pb; c) 62,5% da produção do poço Pb; d) 62,5% maior do que a produção do poço Pb; e) 75,0% da produção do poço Pb. 9) Problemas psicotécnicos. São problemas que envolvem seqüências numéricas ou gráficas, apresentando três ou quatro elementos e pedindo que você identifique o próximo elemento da lista. Exemplos: 1. Sejam os números 1, 2,4, 7, x. O valor de x é: a) 9; b) 10; c) 11; d) 12; e) 14. 2. (BACEN/94)

Capítulo 1 —

Conhecendo os Vários Tipos de Problema

b

5

a) 19T; b) 20U; c) 2IV; d) 22X; e) 23Z. Bem, agora que você já tem uma visão geral do que estará estudando, espero que esteja confortavelmente preparado para esta jornada.

G apítulo

Problemas Sobre Correlacionamento “Se caiu, levante e ande como se nunca tivesse caído, considerando que, a cada vez que vocêse esforça e se levanta de uma queda., suaspernas sefortalecem. ” 2.1.

Problemas Envolvendo Correlação entre Elementos

Problemas em que são prestadas informações de diferentes tipos, como por exemplo: nomes, carros, cores, qualidades, profissões, atitudes, atividades etc. O objetivo é descobrir o correlacionamento entre os dados dessas informações. Dito de outra forma, quando o exercício lhe pedir que identifique ‘ quem usou o quê, quando, com quem, aonde, de que cor etc”. Explicaremos abaixo um método que facilitará muito a resolução de problemas desse tipo. Para essa explicação, usaremos como exemplo um problema de nível fácil. Exemplo 1 (revista Problemas de Lógica, n223, da Edíouro): X) Três homens, Luís, Carlos e Paulo, são casados com Lúcia, Patrícia e Maria, mas não sabemos quem ê casado com quem. Eles trabalham com Engenharia, Advocacia e Medicina, mas também não sabemos quem faz o quê. Com base nas dicas abaixo, tente descobrir o nome de cada marido, a profissão de cada um e o nome de suas esposas. a) O médico é casado com Maria. b) Paulo é advogado. c) Patrícia não é casada com Paulo. d) Carlos não é médico.

8 a

Raciocínio Lógico —

Enrique Rocha

.Ajresoluçáo, abâixó deve ser vista passo a "passo, a ser acompanhada era um, ’ tpapel àj^ârte por Você/' \ C í r - ^ %r \V " ~ ^ " -~

Primeiro passo: preparação da tabela principal. Será construída, como meio de facilitação visual para a resolução desse tipo de problema, a seguinte tabela, dita principal. São três grupos de informações: homens, esposas e profissões. Escolha um deles e coloque cada um de seus elementos em uma linha. Neste exemplo, escolhemos os homens (Carlos, Luís e Paulo) como grupo de referência inicial: Carlos Luís Paulo

et C Ui

> 5

Maria

5

Patrícia

•ú '
Lúcia

O próximo passo é criar uma coluna para cada elemento dos outros grupos:

Carlos Luís Paulo

Por fim, toma-se o último grupo das colunas (neste caso, o das esposas) e cria-se uma linha para cada um dos seus elementos, colocando-os abaixo^da última linha.

> <

U) LCU

b

9

Maria

2

Patrícia

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Problemas Sobre Correlacionamento

Lúcia

Capítulo 2 —

Carlos Luís Pauio Lúcia Patrícia Maria

Castanho

Ruivo

Loiro

Maria

Patrícia

Lúcia

© Cft c UJ

Adv.

Méd.

Observação: essa regra vale para qualquer número de grupos do problema. Ou seja, se forem, por exemplo, cinco grupos, um deles será a referência para as linhas iniciais e os outros quatro serão distribuídos nas colunas. Depois disso, da direita para a esquerda, os grupos serão “levados para baixo” na forma de linhas, exceto o primeiro. Veja um exemplo com quatro grupos: imagine que tenha sido afirmado que cada um dos homens tem uma cor de cabelo, a saber: loiro, ruivo ou castanho. Neste caso, teríamos um quarto grupo e a tabela resultante seria:

Carios Luís Paulo Loiro Ruivo Castanho Lúcia Patrícia Maria

A ordememquevocê copiaas colunas para as linhas é importanteparacriaresses “degraus” na tabela, ouseja, primeiro os elementos do grupo mais à direitapassampara as linhas, depois o “segundo mais à direita” e assimpor diante, até que fique apenas o primeiro grupo (mais à esquerda) sem ter sido copiado como linha.

10 0


Enrique Rocha

Esses “buracos” na tabela representam regiões onde as informações seriam cruzadas com elas mesmas, o que é desnecessário. Segundo passo: construção da rabela-gabarito Essa tabela não servirá apenas como gabarito, mas em alguns casos ela é fundamental para que você enxergue informações que ficam melo escondidas na tabela principal. Haverá também ocasiões em que ela lhe permitirá conclusões sobre um determinado elemento. É o caso, por exemplo, de serem quatro possibilidades e você notar que três já estão preenchidas na tabela-gabarito. Nesse caso, você perceberá que só resta uma alternativa para a célula não preenchida. Um outro ponto que deve ser ressaltado é que as duas tabelas se complementam para visualização das informações. Por isso, a tabela-gabarito deve ser usada durante o preenchimento da tabela principal, e não depois. A primeira linha de cabeçalho será preenchida com os nomes dos grupos. Nas outras linhas, serão colocados os elementos do grupo de referência inicial na tabela principal (no nosso exemplo, o grupo dos homens). Homens

Profissões

Esposas

Carlos Luis Paulo

Terceiro passo: início do preenchimento das tabelas (principal e gabarito) com as informações mais óbvias do problema, aquelas que não deixam margem a nenhuma dúvida. Em nosso exemplo: 1. O médico é casado com Maria —marque um “S” na tabela principal na célula comum a “médico” e “maria”, e um “n" nas demais células referentes a esse «r*»> c> .

Capítulo 2 —


b

11

Maria

Cf> C Ui

Patrícia

a

Lúcia

■ri sü £

Adv.

A tabela principal ficará assim:

Carlos Luís Paulo Lúcia Patrícia

É ü

Maria

Observe que: se o médico é casado com Maria, ele não pode ser casado nem com a Lúcia, nem com a Patrícia (por isso os cruzamentos de “médico” com cada uma dessas linhas foram marcados com “n”); se a Maria é casada com o médico, ela não pode ser casada nem com o engenheiro, nem com o advogado (por isso os cruzamentos de Maria com cada uma dessas colunas foram marcados com “n”). Note que não foi possível fazer qualquer atualização na tabela-gabarito, já que não houve nenhuma conclusão sobre Carlos, Luís ou Paulo. Imediatamente após ter marcado um “S”, preencha a tabela-gabarito com a informação, quando possível. 2.

Paulo é advogado —registre imediatamente esse informação na tabela-gabarito: Homens

Profissões

Esposas

Carlos Luís Pauio

Marque um “S* na tabela principal, na célula comum a Paulo e “advogado”, e “n” as demais células correspondentes a esse “S’\

OI

Ui C LU

Carlos

Maria

2

Patrícia

-à -V

Lúcia

Enrique Rocha

Adv.

a Raciocínio Lógico —

IS

Luís Paulo

ÍÍ&3

Lúcia

n

Patrícia

n

Maria

S

l:Í £

n

n

OI Ui c Ui

Carlos

n

Luís

n

Paulo

n

Lúcia

n

Patrícia

n

Maria

S

n

S

n

n

Patrícia

*d 'V s

Lúcia

3. Patrícia não é casada com Paulo—preenchemos com um “n” na tabela principal a célula comum a Patrícia e Paulo.

Adv.

12

Rí W flí

2

4. Carlos não é médico - preenchemos com um V na tabela principal a célula comum a Carlos e “médico”.

>' T3 <

Caríos

n

Luís

n

Pauio

n

Lúcia

n

Patrícia

n

Maria

S

n

S

n

n

Patrícia

O) c ÜJ


Lúcia

Méd.

Capítulo 2 —

a

13

JS

<5 S

n

Note que aqui temos uma definição de que Luís é médico, porque foi a única célula que sobrou na coluna “méd.”. Vamos marcar um “S” nessa célula e “n ’ na célula em branco correspondente a esse “S” (aí ficou eliminada a possibilidade de Luís ser engenheiro).

Complete a tabela-gabarito com esta nova informação: Homens

Profissões

Carlos Luís Pauio

Advogado

Esposas

14 a


Enrique Rocha

0 01 c LU

> XI <

Carlos

n

Luís

S

n

n

Pauto

n

n

S

Lúcia

n

Patrícia

n

Maria

S

n

n

Maria

2

Patrícia

13

Lúcia

6. Por ambas as tabelas acima, percebemos que Carlos tem que ser engenheiro, pois foi a única alternativa que ficou de profissão para ele.

n

n

Por fim, vamos transcrever as conclusões tiradas sobre as profissões para a tabelagabarito: Homens Carlos

Profissões

Esposas

U M

Luís

Médico

Paulo

Advogado

Quarto passo: Feitas as anotações óbvias das informações do problema, analise a tabela principal e a tabela-gabarito, procurando informações que levem a novas conclusões, que serão marcadas nessas tabelas. Observe, na tabela principal, que Maria é esposa do médico, que se descobriu ser Luís, lato que poderia ser registrado na tabela-gabarito. Mas não o faça agora, pois essa conclusão só foi facilmente encontrada porque o problema que está sendo analisado é muito simples. É melhor que você continue o raciocínio e faça as marcações mais tarde. Além disso, sabemos que Patrícia não é casada com Paulo. Como Paulo é o advogado, podemos concluir que Patrícia não é casada com o advogado.

cn c Ui

Carlos

n

s

n

Luís

S

n

n

Paulo

n

n

S

Lücía

n

............

c*

i

T3 •a> S

Lúcia I ........ — 1 Patrícia

Problemas Sobre Correlacionamento n

Adv.

Capítulo 2 —

15

to

(Õ S

...

n

:

...

Patrícia

n

Maria

S

n n

ri

& dOi IO

> •a <

Carlos

n

s

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Luís

S

n

n

Paulo

n

n

S

Lúcia

n

Patrícia

n

Maria

S

Maria

2

Patrícia

•d *
Lúcia

Verificamos, na tabela acima, que Patrícia tem de ser casada com o engenheiro, e Lúcia tem de ser casada com o advogado.

n

i l p ■n&m i i n

n n

Vemos, então, que Lucia é casada com o advogado (que é Paulo), Patrícia é rasarfo com o engenheiro (que e Carlos) e Maria é casada com o médico (que é Luís). Preenchendo a tabela-gabarito, vemos que o problema está resolvido: Homens

Profissões

Carlos

Engenheiro

Luís

Médico

Pauio

Advogado

Esposas Patrícia;:';:..--

16 b


Enrique Rocha

c

Carlos

n

S

n

w

Luís

S

n

n

jljj

Paulo

n

n

S

Lúcia

n

Patrícia

n

Maria

S

ttf n

M

Maria

0C1f> LU

Patrícia

S

Adv.

■ó ‘V

Lúcia

Não precisaríamos completar a tabela principal, mas, só para treinamento, o faremos:

iü H

n

t f

n n

Exemplo 2: (todos os exemplos foram retirados de revistas CoquetelLógica, da Ediouro.) 2) O Professor Jeremias Dainasceno dá aulas de Filosofia para uma turma bastante desinteressada. Quatro alunos da turma sentam invariavelmente na última fileira da sala, sempre ocupados com alguma coisa fora da aula. Na semana passada» o Professor Jeremias resolveu pegar cada um enquanto estivesse distraído com outra coisa e chamar-lhe a atenção. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada aluno, a atividade com que estava envolvido na hora da aula, a ordem em que foi pego e qual havia sido a nota dele na prova. ■ a) Lenildo foi pego fazendo palavras cruzadas. b) Breno tirou a nota mais baixa, mas não foi o primeiro a ser pego. c) Nilo foi o último a ser pego pelo professor. d) O segundo a ser pego pelo professor (que não foi Lenildo) tinhí tírado 60 na prova. e) O terceiro a ser pego estava escrevendo um relatório de outra matéria na hora da aula. f) O que foi pego dormindo em sala tinha tirado 50. g) Um deles se chamava Marcelo. h) As notas foram 48,50, 55 e 60. i) Um deles estava iendo revista.

Capítulo 2 —


b

17

Primeiro passo: preparamos a tabela principal e a tabeia-gabarito, conforme ensinado no exemplo 1, acima. Segundo passo: preenchimento básico da tabela principal e da tabeia-gabarito, com as informações mais óbvias, que náo deixam margem a nenhuma dúvida. As tabelas ficarão assim: P.Cruz.

Dorm.

Relat.

Rev.

48

50

UM

U nitdo

Marcelo

mm

Ia

2C 3* 4S 48 50 55

wm SP f

60

Ia

M m P&M M* g g fg §

2»

3»

4a

r -

Sjl

Breno Nilo

55

.0 s&M

Jg

«1H

-s"‘

■Èjfiít

0£Vf ®

W

sst

W0Ê IfSlt mm

iililp

60

Nome

Atividade

Leníldo

Ü Ü Ü

Ordem

NOU

Breno Nilo

liifiÉ lll

Marcelo

Terceiro passo: feitas as anotações óbvias das informações do problema, analise a tabela principal, procurando informações que levem a novas conclusões.

18 a

Raciocínio Lógico — Enrique Rocha

Faça uma análise de cada linha que contenha um “S”, buscando informações que o levem a novas conclusões. Linha do Lenildo, que fez palavras cruzadas: Lenildo (P. Cruzadas) não 48, náo 2a, não 42. Passe essas informações para a coluna “Palavras Cruzadas”, que é atividade de Lenildo: P. Cruz.

Dorm.

Relat.

Rev.

48

Lenildo

S

n

n

n

n

Breno

n

S

Nilo

n

n

Marcelo

n

n

1® 2* 39

55

- fíi * í' n

S

n n

n

48

1 * 22

32

n

n

n

n

n n

4S

n n

n

S rs

n

n n

60

n

n

49

50

50

n

n

S n n

n n

s

55

n

60

n

n

n

Perceba que só sobrou Ia para P. Cruzadas. Aproveite a informação e a ocasião e marque "S” nessa célula, e Kn” nas demais também correspondentes ao “S” marcado» Como P. Cruzadas foi a atividade de Lenildo, marque “S” na mesma informação (Ia) na linha do Lenildo, e “n” nas demais correspondentes. Registre na tabela-gabarito.

Capítulo 2 —


1s 2S

P.Cruz.

Dorrrt.

leniído

S

rs

Breno

n

S

Nilo

n

n

n

Marcelo

n

n

n

2a

n

3S

n

4B

n

48

n

n

50

n

S

n

Relat.

Rev.

48

R

n

n

n

S

55

60

n

n

n

S

n

n

n n

50

n

n

S

n

n

n

n

55

n

60

n

Nome Lenitdo

n

n

n

Atividade

Ordem

P. Cruzadas

I* 48

Breno Nilo Marcelo

Nota

49

n

39 n

n

□

4fi n n

n

n

S

n

20

b


Enrique Rocha

Linha do Breno, que tirou 48: Breno (48) -> náo ls, não 4°. Passe essas informações para a coluna 48, que foi a nota do Breno (48 não Ia e 48 não 4a). P.Cruz.

Dorm.

Relat,

Rev.

Lenildo

s

n

n

n

Breno

n

S

Nilo

n

n

Marcelo

n

1* 2B

S n

3B

n

48

50

55

60

n

n

n

n

n

n

S

4»

n

48

n

n

50

n

5

55

n

60

n

n

S

n

n

n

n

n n

n

S n

n n

n

n

n

S n

M

n

4®

n

n

n

3a

n

n n

1* 2 *

n

n

Perceba que só sobrou 3a para a nota 48. Aproveite a informação e a ocasião e marque “S” nessa célula, e “n” nas demais também correspondentes ao “S” marcado. Como nota 48 foi a nota de Breno, marque também "S” na mesma informação (32) na linha do Breno, e M n” nas demais correspondentes.

Capítulo 2 —

Problemas Sobre Correlacionamento a

Nome

Atividade

Ordem

Lenildoí, "........... . \ Breno ""

P. Cruzadas

Ia

21

Nota

48 4*

Nilo Marcelo

Observe, pelas duas tabelas, que só sobrou a ordem 2fl para Marcelo. Faça as marcações na tabela principal e tabela-gabarito. Ficarão conforme abaixo: P. Cruz.

Dorm.

Relat.

Rev.

Lenitdo

S

n

n

n

Breno

n

S

Nilo

n

Marceio

n

Ia

S

2a

n

3a

n

4e

n

48

n

n

50

n

S

n

n

n

n

n

S

n

n

60

n

Nome Lenildo

n

55

60

n

n

n

2S

3a

4*

n

s

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

S

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n fg g

n

n

n

n

n

n

•n

n

S

S

n

n

n n

n

Atividade

Ordem

?. Cruzadas

1a

Breno

3a

Nilo

4a

Marcelo

50

n

n

55

48

Nota

48

*

22 b


Enrique Rocha

Você pode aproveitar e continuar o seu raciocínio, agora examinando a 2* ordem. Linha da 2* ordem 2a ordem (nota 60) —> não P. Cruz., não Reiat. Podemos concluir que 60 não é P. Cruz. e 60 não é Relatório. Passe essas informações para a linha 60. Mas quem tirou 60 foi o Marcelo. Então, Marcelo não fez P. Cruz., nem fez Relatório. Passe essas informações para a linha do Marcelo. P.Cruz.

Dorm,

Reiat.

Rev.

4B

Lenildo

S

n

n

n

n

Breno

n

S

Nilo

n

n

Marcelo

n

1* 2°

s

3S

n

4*

n

48

n

n

50

n

S

vó ;;';/. n

n

n n

n

n

S

n

n

n

55

50

55

n

l8

2B

3* ~4B

n

S

n

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

s

S

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S

n

n

n

n

n

n

n

S

S

n

n

n

n

n

n

n

n

60

n

n

60

'll É i lf É

n

wm m

Veja que só sobrou “Revista” para a nota 60. Marque isso na tabela principal e na tabela-gabarito: P.Cruz.

Dorm,

Reiat.

Rev.

n

n

n

Breno

S n

Nilo

n

Marcelo

n

1» 2» 3* 4*

S

Leniido

48 50 55 60

n

50

n

n

n

n

n n n

n n S n n

n n S n n n

n

n

s fc i n

má fÉ f

ss

n S

n

n n n n

48

n n n 5 n

n n

1s 2« 5 n

3* 4»

n

n

n

n

n

S

n

60

n

n n n S n S n n S n n n

n S n r\

Capitulo 2 —

Nome Lenildo


Atividade

Ordem

P. Cruzadas

Ia

Breno

32

Nilo

4a

Nota

48

2a

Revista

23

-o.'--

Marcelo

a

Como conseqüência, sobrou apenas “Relatório” para a Unha 48. Marque isso. na tabela principal e na tabela-gabarito (lembre-se de marcar “Revista" para o Marcelo). Note ainda que, quando você marcar “Relatório” para a linha 48 e eliminar "Relatório” da linha 55, sobra apenas P. Cruzadas para 55. Preencha também essas informações nas duas tabelas.

P.Cruz.

Dorm.

Refat.

Rev.

48

Lenltdo

S

n

n

n

n

Breno

n

n

n

S

n

n

Nilo

n

Mareeio

n

Ia

S

2*

n

3*

n

4a

n

48

n

n

50

n

S

55

S

n

60

n

n

n n n

n

n

S

50

55

n

n

n

n

n

S

rt

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

S

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S

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n n

n

n

S

n

S

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n

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n

n

n

n

n n

n n

n

S

Atividade

Ordem

Lenildo

P. Cruzadas

ie

Breno

’iEReJatorfoV-;

3®

Nota

48

4-

Nilo Marcelo

39 4®

n

n

Nome

l 2 29

60

|§§§Sevísta’/~

2-

60


24 b

Enrique Rocha

Perceba, na tabela-gabarito, que sobrou apenas “Dormindo” para o N0o (que também é o 42). Perceba, também, que sobrou 50 para o Nilo. Marque essas informações na tabela principal e na tabela-gabarito. P. Cruz.

Dorm*

Lenildo

5

Breno

n

Nilo

n

Marcelo

n

Reiat.

Rev.

n

n

n

n

n

S

n

S

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

n

S

1»

S

2°

n

3°

n

4a

fe- n

48

n

n

S

n

50

n

S

n

n

n

n

n

n

n

n

S

55 60

48

n n

S n

50

n

n

55

n

n

1 E 2a

3«

4®

n

S

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

S

S

n

S

n

n

60

n

n

n

n

n

n

n

S n

n

O problema está resolvido, e não há necessidade de você completar a tabela principal. Pode fazê-lo para treinamento, se o desejar.

2.2.

Considerações Finais Sobre a Técnica

Nunca se esqueça de que essa técnica é composta por duas tabelas que devem ser utilizadas em paralelo, ou seja, quando uma conclusão for tirada pelo uso de alguma delas, as outras devem ser atualizadas. Este nível de problema não deve estar presente em provas de concurso, dado o tempo necessário para conduí-Io. No entanto, é importante que você esteja seguro

Capítulo 2 —


25

neste patamar de complexidade, o que vai fazer com que você possa até “dar umas risadas” quando encontrar problemas mais simples, no grau de dificuldade que temos encontrado nos exames. O último estágio da tabela-gabarito é a resposta ao problema (o que nos leva à imediata compreensão do porquê desse nome, não é mesmo???). Tente outros exercícios... Familiarize-se e internalize a técnica. Ela será útil inclusive em outros tipos de problema nos quais seja necessário fazer o cruzamento de informações). 2.3.

Exercícios Resolvidos de Correlacionamento

1. Célia e outros três parceiros fazem parte de um quarteto musical. Cada componente do grupo tem uma função diferente. Com base nas dicas a seguir, tente descobrir o nome de cada componente do quarteto, sua idade e função e o item que estava usando na última apresentação. 1) Décio usou óculos escuros na apresentação. 2) Célia é a vocalista. 3) O que usou gravata tem 25 anos. 4) O guitarrista» que não é Benício, tem 26 anos. 5) O tecladista usou gola de pele. 6) Roberto tem 28 anos e não toca bateria. 7) Benício e mais velho que Célia. 8) Um deles tem 23 anos. 9) Um deles usou botas altas. Resolução: A resolução abaixo deve ser vista passo a passo, a ser acompanhada por você em um papel à parte. Primeiro passo: identificar as variáveis em questão: Home: Benício, Célia, Décio, Roberto; Função: baterista, guitarrista, vocalista e tecladista; Idade: 23,25,26 e 28; Item: óculos, botas, golas e gravata.

26

a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha

Segundo passot preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: Função BAT

GUIT

voc

Item usado

Idade TEC

23

25

26

28

OCUL BOT

Benício e> Céiia F o 2 Décio Roberto

•D (0 01

OCUL BOT

E GOL GRAV. 23

0 •o *ffl 0

25 26 28

Nome Benício Célia Décio Roberto

Função

tdade

Item usado

GOL GRAV

Capítulo 2 —


b 27

Terceiro passo: preenchimento básico da tabela principal e da tabela-gabarito, com as informações mais óbvias, que não deixam margem a nenhuma dúvida. Função BAT Benício
n

g u ít

v o c

n

n

n

S

n

n

n

GRAV

26

n

CD 25 73 to X3

n n

n

S

n

n

n

n

n

S

n n

Item usado

28 n

n

n n

28

25

n

n

n

23

26

23

n

o OCUL -D C3 BOT tf)

e© GOL

TE C

idade

n

OCUL BOT

GOL GRAV

n

n

n

n

S

S

n

n

n

n

n

n

S

n

n

n

Nome

Função

tdade

item usado

Benício Célia

Vocaiista

Décio Roberto

Óculos 28

Verifique que pela dica “7”, quando percebemos que Benício é mais velho do que Célia, podemos concluir que Benício não pode ser o caçula (ter 23 anos, porque senão não seria mais velho que ninguém) e Célia não pode ser a mais velha (ter 28 anos, porque senão não seria mais nova que ninguém). Verifique, também, que pela dica “2” percebemos que: Benício não é guitarrista; Guitarrista tem 26 anos; Benício não tem 26 anos (porque não é guitarrista e quem tem 26 anos é o guitarrista).

28 q


Enrique Rocha

Quarto passo: feitas as anotações óbvias das informações do problema, analise a tabela principal, procurando informações que levem a novas conclusões.

Faça uma análise de cada linha (ou coluna) que contenha um “S”, buscando informações que o levem a novas conclusões. Linha da Célia Célia (vocalista) -> não 28; não óculos. Isso nos leva a concluir que, se Célia é a vocalista e não tem 28 anos, a vocalista não tem 28 anos. 4 y Graficamente:

Célia - Vocalista - N 28 - N Óculos A Da mesma forma, se Célia é a vocalista e não usou óculos, a vocalista não usou óculos. Graficamente: *

Céliá1^ Vocalista - N 28 - N Óculos A

Capítulo 2 —


29

Vamos marcar isso na tabela principal (duas novas marcações, de acordo com as conclusões acima): Função BAT

GU1T VOC

Benício o Célia F o Z Dédo Roberto

n

n

n

n

S

25

26

n n

n n

o T3 C wO BOT

n

rt

n

n

n

n

n

n

n

S n

23

n

Item usado

28

OCUL

n

n

n

n

n

S

S

n

BOT

n

GOL GRAV

n

n

n

n n

S

n

n

n

25 32 26

Idade 23

n n

OCUL

E GOL <ü GRAV

TEC

n n

28

S

n

rt

n

n

Linha do Décio Décio (óculos) -» não vocalista; não 28 ísso nos leva a conduir que, se Décio usou óculos e não é vocalista, quem usou óculos cão é vocalista. Graficamente:

Décio (óculos) -» não vocalista; não 28

Da mesma forma, se Dédo usou óculos e não tem 28 anos, quem usou óculos não. tem 28 anos. Graficamente:

Décio (óculos) -» não vocalista; não 28 A

30 b


Enrique Rocha

Note-se que as duas condusões já eram conhecidas (isso pode acontecer, nesses casos, passe para a leitura de outra, linha ou coluna). Linha do Roberto (agora que você já se familiarizou com a técnica, vamos fãzer todas as setinhas de uma vez): Roberto (28 anos) -» não baterista; não vocalista; não óculos. Graficamente:

Roberto (28)

não baterista; não vocalista; não óculos.

Condusões: quem tem 28 anos não é baterista, não usou oculos.J ~r ^

_ .

Vamos marcar isso na tabela principal (duas novas marcações, de acordo com as conclusões acima): Função BAT Beníclo Célia Décio Roberto OCUL BOT GOL GRAV 23____

2 5___ 26

GUIT

VOC

TE C

Idade 23

25

26

28

Item usado OCUL

BO T

GOL GRAV

Capitulo 2 —


s

31

Como Roberto tem 28 anos e quem tem 28 anos é o tecladista (acabamos de concluir isso), concluímos que Roberto é o Tecladista. Vamos marcar isso na tabela-gabarito e na tabela principal:

Nome

item usado

Idade

Função

Benício Vocalista

Célia Décio

Óculos

Roberto

28

Tecladista

Idade

Funçao gust

voc

TE C

23

n

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

n

S

n

n

n’

n

n

n

S

BAT Benício Q Célia F o 3£ Décio Roberto o OCUL •o «t BOT

£ GOL

n

n

n

GRAV 23

n

Ü> 25 T)

n

2

n

25

n

26

n

Item usado

28

OCUL

n

n

n

n

n

S

S

n

n

n

BOT

n

GOL GRAV

n

n

n n

S

n

n

n

n

26

n

S

n

n

28

n

n

n

S

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32 n

Radocfnio Lógico—

Enrique Rocha

Vamos marcar isso na tabeía-gabarito e na tabela principal: Nome

Função

Benício

Baterista

Célia

Vocalista

Idade

Décio Roberto

Item usado

Óculos Tecladísta

28

Veja que, ao definir Benício como baterista, só sobrou Guitarrista para Décio e isso já pode ser levado para as duas tabelas: Nome

Função

Benício

Baterista

Célia

Vocalista

Décio

Guitarrista

Roberto

Tecladista

Nome

Função

Benício

Baterista

Célia

Vocalista

Idade

Item usado

Óculos 28

idade

Item usado

Óculos

Décio

Guitarrista

26

Roberto

Tecladista

28

Com base na marcação acima e na dica “7” (Benício é mais velho que Célia), como só sobraram as idades 23 e 25, Benício tem que ter 25 e Célia tem que ter 23. Vamos marcar isso na tabela-gabarito: Nome

Função

idade

Benício

Baterista

25

Célia

Vocalista

23

Décio

Guitarrista

26

Roberto

Tecladista

28

item usado

Óculos

Capítulo 2 —


33

Pela dica “3” (o que usou gravata tem 25 anos) e olhando na tabeia-gabarito acima, podemos concluir que Benício usou gravata. Pela dica “5” (o tecladista usou gola de pele), descobrimos que Roberto usou gola de pele. Como já sabemos também que Décio usou óculos, podemos concluir que só ficou “Botas” para Célia. Vamos marcar isso na tabeia-gabarito: Nome

Função

Idade

Item usado

Benício

Baterista

25

Gravata

Céiia

Vocaíista

23

Botas

Décio

Guitarrista

26

Óculos

Roberto

Tecladista

28

Gola de Pele

Problema resolvido!

2. (ESAF-AFC-2002) Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: a loura: “Não vou à França nem à Espanha”; a morena: “Meu nome não é Eíza nem Sara”; a ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França1. O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) a loura é Sara e vai à Espanha; b) a ruiva é Sara e vai à França; c) a ruiva é Bete e vai à Espanha; d) a morena é Bete e vai à Espanha; e) a loura é Elza e vai à Alemanha.


34 b

Enrique Rocha

Resolução: A resolução abaixo deve ser vista passo a passo, a ser acompanhada em um papel à parte por você. Primeiro passo: identificar as variáveis em questão: Nome: Bete, Elza e Sara, Cor de cabelo: Loira, Morena e Ruiva. Destino: Alemanha, Espanha e França. Segundo passo: preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: Destino ALE

ESP

Cor de Cabelo FRA

LOI

MOR

RUi

Bets s z

Elza Sara

© i. O O

S LOI XI MOR cs O RUI

Nome

Desiíno

Cabelo

Bete Elza Sara

Terceiro passo: preenchimento básico da tabela principal e da tabela-gabarito, com as informações mais óbvias, que não deixam margem a nenhuma dúvida. Observe que, quando ãjuiva diz “ nem,eu nem‘ Elza^vámos à França”, ela está afirmando o seguinte: > j ^ 1. a r u f v a n á õ J Ç r a n ç ã ; „ â t V * v s jjz l- «■ 2."Elzá’nãovai àFrançaj e.^ 3’. a ELzanão é a Ruivà Gll) -' ^ ^

Capítulo 2 —


Destino ALE

35

Cor de Cabelo

ESP

FRA

LOt

MOR

RUi

n

n

Bete

© §

Elza

n

Cor de Cabelo

Sara

n

LOl

n

n

MOR RUi

n

Nome

Destino

Cabelo

Bete Elza Sara

Com base nas marcações acima, podemos concluir (veja as células que sobraram e estão hachuradas): 1. Elza é a Loira. 2. A Loira vai para a Alemanha. 3. A morena vai para a França. 4. Bete é morena. Vamos marcar isso nas duas tabelas: Cor de Cabelo

Destino ALE
•Z.

ESP

FRA

LOI

MOR

RUi

n

S

n

S

n

n

n

n

S

Bete El2a

n

Cor de Cabelo

Sara LOi

S

n

n

MOR

n

n

S

RUI

n

Nome

n

Destino

Bete

MORENA

Elza

LOIRA

Sara

RUIVA

Cabelo

ALEMANHA

36


Enrique Rocha

Observando a tabeia-gabarito, podemos fazer uma nova marcação na tabela principal: Elza vai para a Alemanha. Além disso, para a coluna da Espanha, só sobrou “Ruiva”:

Destino ALE

E

2
Bete

n

Elza

S

ESP

Cor de Cabelo FRA

n

n

Sara

n

LOI

s

n

n

MOR

n

r»

S

RUI

n

S

n

LOI

MOR

RUI

n

S

n

S

n

n

n

n

S

Olhando para a tabela principal acima, vamos atualizar a tabeia-gabarito com as seguintes informações: 1. a Morena vai para a França; e 2. a Ruiva vai para a Espanha.

Nome Bete

Destino

Cabelo

MORENA

FRANÇA

Elza

LOIRA

ALEMANHA

Sara

RUIVA

ESPANHA

Problema resolvido!!! (não precisa terminar o preenchimento da tabela principal).

Capítulo 2 —


b 37

3. (ESAF-MPU-2004) Cinco irmãos exercem, cada um, uma profissão diferente. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. O matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Logo:

a) Mário é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e o economista é mais novo do que Luís; b) Oscar é engenheiro, e o matemático é mais velho do que o agrônomo, e Luís é mais velho do que o matemático; c) Pedro é matemático, e o arquiteto é mais velho do que o engenheiro, e Oscar é mais velho do que o agrônomo; d) Luís é arquiteto, e o engenheiro é mais velho do que o agrônomo, e Pedro é mais velho do que o matemático; e) Nédio é engenheiro, e o arquiteto é mais velho do que o matemático, e Mário é mais velho do que o economista. Resolução:

Primeiro passo: interpretar as sentenças apresentadas no enunciado: Este problema apresenta alguns “macetes” que precisam ser percebidos antes que você comece a resolvê-lo efetivamente: 1. Como ele fala de “mais moço” e “mais velho”, mas não cita as idades, uma boa dica ê você trabalhar com números escolhidos aleatoriamente. Eu sugiro: 25, 30,35,40 e 45. Isso é mais simples do que usar “II”, “12”, e assim por diante. 2. Muitas informações são inseridas no enunciado para confundir você. Por exemplo: a) "Luís é paulista"; b) "o economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo"; c) "o agrônomo, o economista e o médico residem no mesmo bairro"; d) "o matemático costuma ir ao cinema com Mário e Nédio". Elas fazem você pensar que tem que descobrir a UF, o time, o bairro e o passatempo de cada um, não é? No entanto, note que não existem outros

38 a


Enrique Rocha

bairros, outros times, nem outros passatempos. Logo, você não pode considerar essas informações como “variáveis” a serem identificadas. 3. Toda vez que eie fala algo do ripo “Luís é paulista como o agrônomo”, ele está afirmando que Luís não é o agrônomo. 4. Quando ele feia “o agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro”, ele está afirmando que Mário não é agrônomo, nem economista. 5. Ao falar "o economista é mais velho do que Nédio” ele está afirmando duas coisas: primeiro, que o economista não pode ser o caçula (porque senão não seria mais velho que ninguém); e segundo, que Nédio não pode ter a maior idade (porque senão ninguém seria mais velho do que ele). As observações acima são suficientes para podermos analisar cada uma das frases do enunciado: 1. Luís é paulista, como o agrônomo, e é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar. Luís não é agrônomo (porque ele é paulista como o agrônomo); Luís não ê o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o engenheiro); Luís não é o engenheiro (porque ele não poderia ser mais moço do que ele mesmo); o engenheiro não é o mais moço de todos (porque Luís é mais moço do que ele); Luís não é o mais moço de todos (porque ele e mais velho do que Oscar); Oscar não é o mais velho de todos (porque Luís é mais velho do que ele); Oscar não é o engenheiro (porque Luís é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar). 2. O agrônomo, o economista e Mário residem no mesmo bairro* Mário não é agrônomo; Mário não é economista. 3. O economista, o matemático e Luís são, todos, torcedores do Flamengo. Luís não é economista; Luís não é matemático. 4. O matemátíco costuma ir ao cinema com Mário e Nédio. Mário não é matemático; Nédio não é matemático. 5- O economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro; este, por sua vez, é mais moço do que o arquiteto. Nédio não é economista (porque o economista é mais velho do que Nédio); o economista não é o mais moço de todos (porque ele é mais velho do que Nédio);

Capitulo 2 —


a 39

Nédio não é o mais velho de todos (porque o economista é mais velho do que ele); Pedro não é economista (porque o economista é mais moço do que Pedro); o economista não é o mais velho (porque ele é mais moço do que Pedro); Pedro não é o mais moço (porque o economista é mais moço do que ele); Pedro não é arquiteto (porque ele é mais moço do que o arquiteto); Pedro não é o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o arquiteto); o arquiteto não é o mais moço de todos (porque Pedro é mais moço do que ele). Segundo passo: identificar as variáveis em questão: Nome: Luís, Mário, Nédio, Oscar e Pedro (observe que você poderia usar L, M, N, O e P, para. simplificar); Profissão: Agrônomo, Arquiteto, Economista, Engenheiro e Matemático; Idade: 25,30,35,40 c 45. Vamos, então, repetir todas as conclusões a que chegamos, ordenando-as (para simplificar a marcação): Sobre as profissões X) 2) 3) 4)

Luís não é agrônomo (porque ele é paulista como o agrônomo); Luís não é matemático; Luís não é economista; Luís não é o engenheiro (porque ele não poderia ser mais moço do que ele mesmo); 5) Mário não é agrônomo; 6) Mário não é economista; 7) Mário não é matemático; 8) Nédio não é matemático; 9) Nédio não é economista (porque o economista é mais velho do que Nédio); 10) Pedro não é economista (porque o economista é mais moço do que Pedro); 11) Pedro não é arquiteto (porque ele é mais moço do que o arquiteto); 12) Oscar não é o engenheiro (porque Luís é mais moço do que o engenheiro e mais velho do que Oscar). Sobre as idades 13) Luís não é o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o engenheiro); 14) Luís não é o mais moço de todos (porque ele e mais velho do que Oscar); 15) Nédio não é o mais velho de todos (porque o economista é mais velho do que ele);

40


b

16) 17) 18) 19) 20)

Pedro não é o mais moço (porque o economista é mais moço do que ele); Pedro não é o mais velho de todos (porque ele é mais moço do que o arquiteto); Oscar não é o mais velho de todos (porque Luís é mais velho do que ele); o engenheiro não é o mais moço de todos (porque Luís é mais moço do que ele); o economista não é o mais moço de todos (porque ele é mais velho do que Nédio); 21) o economista não é o mais veiho (porque ele é mais moço do que Pedro); 22) o arquiteto não é o mais moço de todos (porque Pedro é mais moço do que ele).

Terceiro passo: preparamos a tabela principal e a tabeia-gabarito: Profissão AGRO

o E

ARQ

ENG

MAT

25

n

n

n

Luís

n

n

Mário

n

n

Nédio

idade

ECO

35

40

n

n

n

n

Pedro

n

n

25

n

n

45

n

n

Oscar

30

n n

n

n

30 •o

aJ 35 X 40 45

n

Observe que para a coluna “ECO” só sobrou “Oscar”; e para a coluna “45” só sobrou “Mário”. Além disso, para Luís só sobrou “ARQ”. Vamos marcar isso na tabela principal:

Nome

Profissão AGRO

ARQ

Luís

n

S

n •

Mátio

n

n

n

R

n

n

n

S

Pedro

n

n

25

n

n

Nédio

tdade

Oscar

ECO

30 35 40 45

n

idade ENG

MAT

25

n

n

n

n

n

; 35

40

45

n

f!

rt

8

n

n

n n

n n

n

30

n

Capítulo 2 —

Problemas Sobre Correlacionamento m

Nome

Profissão

Luís

ARQUITETO

Mário

41

Idade 45

Nédio

Oscar

ECONOMISTA

Pedro

Vamos usar a técnica das “setmhas” para chegar a novas conclusões: Linha do Luís Luís (ARQ) *-» não 25; não 45 Isso nos leva a concluir que, se Luís é arquiteto e não tem 25 nem 45 anos, o arquiteto não tem 25 nem 45 anos. Graficamente:

Linha do Mário Mário (45) não,AGRO; não ECO Isso nos leva a concluir que, se Mário tem 45 anos e não è agrônomo, nem economista, quem tem 45 anos não é agrônomo, nem economista. Graficamente: Mário (45) -» não AGRO; não ECO * A


42 b

Conclusões: quem tem 45 anos não é agrônomo c não é "economista. Vamos registrar essas informações na tabela principal: Profissão

© E

Idade

AGRO

ARQ

ECO

ENG

MAT

25

Luís

n

S

n

n

n

n

Mário

n

n

n

n

n

n

n

n

n

S

Pedro

n

n

25

n

n

o

Nédio Oscar

30

35

40

45

n

n

n

S

n

n n

n

n

n n

n

n

30 ■o « ■o 35 40 45

n

n

Note que só sobrou “ENG” para Mário. Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão

§

AGRO

ARQ

ECO

ENG

MAT

25

Luís

n

S

n

n

n

n

Mário

n

n

n

S

n

n

n

n

rt

n

n

S

n

Pedro

n

n

25

n

n

Nédio Oscar

n

30 ■o

TR 3S

idade

35 40 45

n

n

35

40

45

n

n

n

S

n

n n n

n

30

n


Capítulo 2 —

a

43

Cora essa última marcação, só sobrou Pedro para “MAT”. Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão

fdade

AGRO

ARQ

e co

ENG

MAT

25

LuíS

n

S

n

n

n

n

Mário

n

rs

n

S

n

n

E Nédio o

S

n

n

n

n

Oscar

n

n

S

n

n

Pedro

R

n

n

n

S

n

n

n

25

30

35

40

45

n

n

n

S

n

n n n

n

30 T> <0 35 "O 40 45

rt

n

Com base na tabela principal acima, vamos completar a tabela-gabarito: Nome

Profissão

Luís

ARQUITETO

Mário

ENGENHEIRO

Nédio

AGRÔNOMO

Oscar

ECONOMISTA

Pedro

MATEMÁTICO

Idade

45

Pela tabela-gabarito acima, sabemos que o Engenheiro tem 45 anos e que o Agrônomo tem 25. Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão

idade

AGRO

ARQ

ECO

ENG

MAT

25

Luís

n

S

n

n

n

n

Mário e o Nédio

n

R

n

S

n

n

S

n

n

n

n

Oscar

n

n

S

n

n

Pedro

n

n

n

n

S

25

S

n

n

n

n

30 •aaj T3 35 40

n

/

n

/

45

n

n

/ n

n

S

n

30

35

40

45 n

n

n

n

S n n

n

rt

44 a


Enrique Rocha

Coluna do ECONOMISTA ECO (Oscar) —» não 25» não 45 Graficamente:

ECO (Oscar) —» não 25, não 45 A A

Vamos registrar essas informações na tabela principal:

Idade

Profissão

Luís

AGRO

ARQ

ECO

ENG

MAT

25

n

S

n

n

n

n n

30

35

40

45 n

n

n

S

n

n

n

n

n

Oscar

n

n

S

n

n

n

n

Pedro

n

n

n

n

S

n

n

25

S

n

n

n

n

Idade

n S

30

n

/

35

n

/

40

n

45

n

/ n

n

S

n

n

n

n

S

Mário 1 Nédio

n

Capítulo 2 —


a

45

Perceba que só sobrou o Nédio para a coluna do “25”. Vamos registrar isso: Profissão AGRO

ARQ

ECO

Luís

n

S

Mário

n

E o Nédio

Idade 30

35

40

45

n

n

n

n

S

n

S

n

n

n

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

ENG

MAT

25

n

n

n

n

n

n

S

n

S

n

n

n

Oscar

n

n

S

n

Pedro

n

n

n

25

S

n

n

30

n

/

■O •S 35

n

/

40

n

45

n

n

/ n

n

s

n

Vamos completar a tabela-gabarito:

Nome

Profissão

Luís

a r q u it e t o

Idade

Mário

ENGENHEIRO

45

Nédio

AGRÔNOMO

25

Oscar

e c o n o m is t a

Pedro

MATEMÁTICO

Veja a sentença “o economista é mais velho do que Nédio e mais moço do que Pedro”. Pela tabela, podemos ver que: as idades possíveis para Pedro são 30,35, ou 40; as idades possíveis para o economista (que é Oscar) também são 30,35, ou 40. Como o economista (Oscar) é mais moço do que Pedro, o economista não pode ter 30 (porque essa é a menor idade que Pedro poderia ter e não seria possível atender à condição). Além disso, Pedro não pode ter 40, porque assim não seria possível que o economista (Oscar) fosse mais velho do que ele (Pedro). Vamos marcar isso na tabela principal:

46

a


Enrique Rocha

Profissão ARQ

ECO

ENG

MAT

25

n

S

n

n

n

n

S

n

Nome

Luís

Idade

Idade

AGRO

i 30

35

40

45

n

n

S

n

n

n

Mário

n

n

n

n

n

Nédio

S

n

n

n

n

S

n

Oscar

n

n

S

R

n

n

n

Pedro

n

n

n

n

S

n

25

S

n

n

n

,n

30

n

35

n

/

40

n

/

45

n

n n

n

n

/

n

n

S

n

Vamos, mais uma vez, usar as “setinhas” na linha do Oscar e ver se chegamos a novas conclusões: Linha do Oscar Oscar (ECO) —> não 25; não 30; náo 45 Graficamente:

(Oscar) ECO -> não 25, não 30; não 45

Capítulo 2 —


a 47

Vamos marcar isso na tabela principal: Profissão

Idade

AGRO

ARQ

ECO

ENG

MAT

25

Luís

n

S

n

n

n

n

Mário

® E o Nédio

n

n

n

S

n

S

n

n

n

Oscar

n

n

S

n

Pedro

n

n

n

25

S

n

30

n

T» <5 ■c 35

n

40

n

45

n

30

35

40

45

n

n

n

n

s

n

S

n

n

n

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

/

n

n n

n

/ / n

n

s

n

Agora;, o macete é repetir as frases colocando os nomes (já identificados) nos lugares onde aparecem referências às profissões e vice-versa: (I) Luís (arquiteto) é paulista, como o agrônomo (Nédio), e é mais moço do que o engenheiro (Mário) e mais velho do que Osear (Economista). (II) O agrônomo (Nédio), o economista (Oscar) e Mário (Engenheiro) residem no mesmo bairro. (III) O economista (Oscar), o matemático (Pedro) e Luís (Arquiteto) são, todos, torcedores do Flamengo. (IV) O matemático (Pedro) costuma ir ao cinema com Mário (Engenheiro) e Nédio (Agrônomo). (V) O economista (Oscar) é mais velho do que Nédio (Agrônomo) e mais moço do que Pedro (Matemático); este (Pedro - Matemático), por sua vez, é mais moço do que o arquiteto (Luís). Olhando para a tabela-gabarito: idade j

Nome

Profissão

Lufs

ARQUITETO

Mário

ENGENHEIRO

45

Nédio

AGRÔNOMO

25

Oscar

ECONOMISTA

Pedro

MATEMÁTICO


48 a

Enrique Rocha

As idades possíveis para Luís sáo: 30, 35 ou 40. As idades possíveis para Oscar sáo: 35 ou 40. Como Luís é mais velho do que Oscar (veja a primeira das sentenças acima), Luís náo pode ter 30, nem 35 anos (porque ele não poderia, desta forma, ser mais velho que Oscar). Logo, Luís tem 40 anos. Vamos marcar isso nas duas tabelas: Profissão

idade

AGRO

ARQ

ECO

ENG

MAT

25

30

35

40

Luís

n

S

n

n

n

n

n

n

S

n

m Mário E o Nédio

n

n

n

S

n

n

n

n

n

S

S

n

n

n

n

S

n

n

n

n

Oscar

n

n

S

n

n

n

n

n

n

n

n

n

7

Pedro

n

n

n

n

S

25

S

n

n

n

n

30

n

a 35 V

n

X3

40

n

45

n

n

45

/ / /

n

n

S

n

Note que só sobrou 35 para o Oscar. Vamos marcar isso na tabeia-gabarito: Nome

Profissão

tdade

Luís

ARQUITETO

40

Mário

ENGENHEIRO

45

Nédio

AGRÔNOMO

25

Oscar

ECONOMISTA

35

Pedro

MATEMÁTICO

Consequentemente, só sobrou 30 para Pedro. Problema resolvido!!! Marque a tabeia-gabarito e você tem a resposta:

Resp.: A

Nome

Profissão

tdade

Luís

ARQUITETO

40

Mário

ENGENHEIRO

45

Nédio

AGRÔNOMO

25

Oscar

ECONOMISTA

35

Pedro

MATEMÁTICO

30

Capítulo 2 —


a 49

4. (ESAF-MPU-2004) Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil compraram, cada um, um barco. Combinaram, então, dar aos barcos os nomes de suas filhas. Cada um tem uma única filha, e todas têm nomes diferentes. Ficou acertado que nenhum deles poderia dar a seu barco o nome da própria filha e que a cada nome das filhas corres ponderia um e apenas um barco. Dédo e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís, mas acabaram entrando em um acordo: o nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto 4 ao barco dele, pai de Olga). Ao barco de Caio, coube o nome de Nair, e ao barco do pai de Nair coube o nome de Olga. As filhas de Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil são, respectivamente:

a) Mara, Nair, Paula, Olga, Laís.; b) Laís, Mara, Oíga, Nair, Paula; c) Nair, Laís, Mara, Paula, Olga; d) Paula, Olga, Laís, Nair, Mara; e) Laís, Mara, Paula, Olga, Nair. Resolução:

A resolução abaixo deve ser vista passo a passo, a ser acompanhada era um papel à parte por você. Primeiro passo: entender as regras do enunciado: Cada uma das filhas tem um nome diferente dos demais. Um pai não pode dar ao seu barco o nome de sua filha. Cada barco tem um nome diferente dos demais. Segundo passo: identificar as variáveis em questão: Nome: Caio, Décio, Éder, Felipe e Gil (observe que você poderia usar C, D, E, F e G, para simplificar). Filhas: Laís, Mara, Nair, Olga e Paula (observe; L, M, N, O e P). Barcos; Barco Laís, Barco Mara, Barco Nair, Barco Olga e Barco Paula (observe: L, M, N, O e P). Terceiro passo: interpretar as sentenças do enunciado:

Décio e Éder desejavam, ambos, dar a seus barcos o nome de Laís. Conclusões:

Laís não é filha de Dédo; Laís não é filha de Eder.

50 e


Enrique Rocha

O nome de Laís ficou para o barco de Décio e Éder deu a seu barco o nome de Mara. Conclusões:

Mara não é filha de Éder; o barco de Décio recebeu o nome de Laís; o barco de Éder recebeu o nome de Mara. Gil convenceu o pai de Olga a pôr o nome de Paula em seu barco (isto é, no barco dele, pai de Olga). Conclusões:

Olga não é filha de Gil; o barco do pai de Olga recebeu o nome de Paula, Ao barco de Caio, coube o nome de Nair. Conclusões:

Nair não é filha de Caio; o barco de Caio é o Barco Nair. Ao barco do pai de Nair coube o nome de Olga. Conclusão:

o barco do pai de Nair é o Barco Olga. Vamos, então, repetir todas as conclusões a que chegamos, ordenando-as (para. simplificar a marcação): Laís não é filha de Décio; Laís não é filha de Éder; Mara não é filha de Éder; Olga não é filha de Gil; o barco do pai de Olga recebeu o nome de Paula; Nair não é filha de Caio; o barco de Décio recebeu o nome de Laís; o barco de Éder recebeu o nome de Mara.

Capítulo 2 —


b

51

Quarto jpasso: preparamos a tabela principal e a tabela-gabarito: É importante que você perceba que pela regra do enunciado deve-se marcar “n” (eliminar a casa) para todo cruzamento entre o nome de uma filha e o barco com o mesmo nome. Isso porque o “Pai de Laís” (por exemplo), não pode ter um barco “Laís”. Para simplificar a visualização, essas marcações “n” vão estar em negrito. Barco

Filha Late

Mara

Cato m Décio £ Éder o

Nair

Olga

Paula Barco Barco Barco Barco Barco Laís Mara Nair Olga Paula

n

n

n n

n

Feüpe

n

n

n n n

n

n

Gil Barco Laís o Barco Mara o COBarco Nair

m

n

n

Barco Olga

n

n

S

n

Barco Pauta

n

n

n

S

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Filha

n

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n

n

n

n

n

S

n

R

n

n

n n

n

n n Barco

Caio Décio

Barco Laís

Éder

Barco Mara

Felipe Gil

Quinto passo: usamos a técnica das “setinhas” para chegar a novas conclusões: Linha do Éder Éder (Barco Mara)

não Laís; não Mara

Graficamente:

Éder (Barco Mara) não Laís; não Mara ♦..c...................... A A | Conclusões: ò Barco Mara'não é dó Pa| de Laís"e náo é do pai de Mara. '

-.

52


Enrique Rocha

Coluna da Nair

Nair (Barco Olga) —» não Calo Isso nos leva a concluir que: se Nair é filha do dono do “Barco Olga” e não é filha de Caio, Caio não é dono do “Barco Olga”. Graficamente:

Coluna da Olga Olga (Barco Paula) —> não Gil Isso nos leva a concluir que, se Olga é filha do dono do “Barco Paula” e não é filha de Gil, Gil não é dono do “Barco Paula”. Graficamente:

Vamos marcar todas essas conclusões na tabela principal: Conclusão: o Barco Mara não é do Pai de Laís. Conclusão: o Barco Mara não é do Pai de Mara. Conclusão: o Barco Olga não é de Caio. Conclusão: o Barco Paula não é de Gil (já marcado).

Capítulo 2 —


d 53

Observe que para Laís só sobrou “Barco Nair”. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís

Mara

Caio Décio

o E o Éder

Barco

Nair

Oiga

n

n

Paula

n n

n

Felipe Gil

n

rt

Barco Laís

n

n

n

Barco Mara

n

n

n

n

0] Barco Nair <2 Barco Olga

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n

n

n

n

n

rs

S

n

n

n

n

rt

S

n

Barco Paula

Barco Late

Barco Mara

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

n

rt

S

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

n

rt

Consequentemente, para Mara só sobrou o “Barco Laís”. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís

Mara

Caio Décio

& éder ê

Barco

Nair

Olga

n

n

Pauta

n n

n

Felipe ■.

Gii

n

n

Barco Laís

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ca Barco Nair CO Barco Olga Barco Paula

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n

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n

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Barco Laís

Barco Mara

n

n

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

S

n

n

n

n

n

S

n

n

n

n

n

n

n

54

n Raciocínio Lógico —

Enrique Rocha

Finalmente, para Paula só sobrou o “Barco Mara”. Vamos marcar isso na tabela principal*. Filha Laís

Mara

Calo üi Décio £ O Édsr

Barco

Nair

Olga

n

n

Paula

n n

n

Felipe ■ n

Gil

n

Barco Lais

n

S

n

n

n

Barco Mara

n

n

n

n

S

(0 Barco Nair £0 Barco Olga

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n

n

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n

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n

n

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n

Barco Paula

Barco Laís

Barco Mara

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

n

n

S

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rt

n

n

n

S

n

n

n

n

n

n

n

Vamos, mais uma vez, usar as “setínhas” em busca de novas conclusões; Coluna da Olga (se você tentar as colunas “Laís” ou “Mara”, verá que as condusões já estão marcadas!!!). Olga (Barco Paula) -» não Caio; não Gil Isso nos leva a conduir que: se Olga é filha do dono do Barco Paula e não é filha de Caio, nem de Gil, Caio não é dono do Barco Paula e Gil não é dono do Barco Paula. Graficamente: Olga (Barco Paula) - * não Caio; não Gil

Capítulo 2 —

Problemas Sobre Correlacionamento m 55

Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís

Mara

Oiga

n

rt

Caio Décio

O E Éder o

Barco

Nair

Pauta

n n

n

Felipe n

Barc<

Gii

n

Barco Laís

n

S

n

n

n

Barco Mara

n

n

n

n

S

Barco Nair

S

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n

n

n

Barco Oiga

n

n

S

n

n

Barco Paula

n

n

n

S

n

Barco Laís

Barco Mara

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

n

n

S

n

n

n

n n

n

S

n

n

n

n

n

n

n

n

Vemos que só sobrou “Felipe” para a coluna "Barco Paula”. Vamos marcar isso na tabela principal*. Barco

Filha Laís

Mara

Nair

Oiga

n

n

Caio Décio

£ o Éder

Paula

n n

n

21

Felipe Gil

Barcc

Barco Laís

n

n

n

S

n

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n

Barco Mara

n

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n

n

S

Barco Nair

S

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n

n

Barco Olga

n

n

S

n

n

Barco Paula

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n

n

S

n

Barco Laís

Barco Mara

Barco Nair

Barco Oiga

n

n

n

S

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n

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n

n

S

n

n

n

n

n

n

n

s

n

n

Apenas para mantermos a visão geral, vamos atualizar a tabela-gabarito: Nome

Filha

Barco

Caio Décio

Barco Laís

Éder

Barco Mara

Felipe

Barco Paula

Gil

Barco Paula

n

56 a


Se Felipe é o dono do “Barco Paula”, ele não pode ser o pai de Paula, Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís

Mara

E o Éder

Olga

n

n

Paula

Barco Laís

Barco Mara

Barco Olga

Barco Paula n

n

n n

n

n

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Felipe

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n

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n

Barco Laís

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m Barco Nair ca

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Barco Olga

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n

Barco Paula

n

n

n

S

n

Barco Mara

Barco Nair

S

n n

Nair

n

Caio Décio

Barco

n

Uma das sentenças do enunciado é: “Ao barco do pai de Nair coube o nome Olga”. Ora, pela coluna do “Barco Olga” vemos que só pode ser de Caio ou de Gil. Examinando a tabela principal, vemos que Caio não pode sdr o pai de Nair* Logo, Gil é o pai de Nair. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha Laís

Mara

Caio

Barco

Nair

Oiga

n

n

n

£ o Éder z Felipe

n

Gil

n

n

S

n

Barco

Décio

Paula

n n

n n

n

Barco Laís

Barco Mara

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

n

n

n

n

S

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Barco Laís

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Barco Mara

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n

Barco Olga

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n

Barco Paula

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n

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n•

.

#>'■

n

Capítulo 2 —


b 57

Veja a coluna “Laís”. Só sobrou “Caio” para ela. Vamos marcar isso na tabela principal: Filha

Caio

Barco

Laís

Mara

Nair

Olga

Paula

Barco Laís

Barco Mara

S

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n

n

n

n

Décio O e Éder o

n

Feiipe

n

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Barco Laís

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2 3.

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Barco Nair

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Barco Paula n

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Barco Olga

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n

Barco Paula

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n

n

n

Vamos completar a tabela-gabarito:

Nome

Filha

Caio

Laís

Barco

Décio

Barco Laís

Éder

Barco Mara Barco Paula

Felipe Gil

Nair

Se Caio é o pai de Laís e o pai de Laís é dono do “Barco Nair”, concluímos que Caio é o dono do “Barco Nair”. Vamos marcar isso na tabela principal:

58

b


Enrique Rocha

Filha

Ü>

o co

Barco

Laís

Mara

Nair

Olga

Caio

S

n

n

n

Décio

n

Éder

n

Felipe

n

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Barco Laís

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Barco Olga

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Pauia Barco Barco Barco Barco Barco Laís Olga Paula Mara Nair n

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n

n

n n

n

n

Vemos que para a coluna “Barco Olga” só restou “Gil”, Logo, Gil é o dono do “Barco Olga”. Vamos atualizar a tabeia-gabarito: Nome

Filha

Calo

Lafs

Barco Barco Nair

Décio

Barco Lafs

Éder

Barco Mara

Fefipe

Barco Paula Nair

Gil

Barco OJga

Vamos atualizar a tabela principal: Fílha

ffi

Mata

Nair

Olga

Paula

Calo

S

n

n

n

n

Décio

n

& Éder

Barco

Barco

Lafs

n

n

Barco Laís

Barco Mara

Barco Nair

Barco Olga

Barco Paula

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Barco Laís

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Barco Olga

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n

S

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n

Barco Paula

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n

n

S

n

Capítulo 2 —


h 59

Observe que se Felipe é o dono do “Barco Paula”, ele não pode ser o pai de Paula. Vamos atualizar a tabela principal:

Barco

Nome

Filha

Barco

Laís

Mara

Nair

Oíga

Paula

Barco Laís

Calo

S

n

n

n

n

n

Oécio

n

Éder

n

FeSIpe

n

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S

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n

Barco Laís

n

S

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n

n

Barco Mara

n

n

n

n

S

Barco Nair

S

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n

n

n

Barco Olga

n

n

S

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n

n

S

n

n

Barco Paula

rt n

n

Barco Olga

n

Gii

Barco Paula

Barco Barco Mara Nair

Vamos examinar a coluna da Mara e usar as “setinhas”: Mara é filha do dono do Barco Laís, não é filha de Caio, nem de Éder, nem de Gil.

Mara(Barco Laís) n Caio, n Eder, n Gil 7

>

t

.

Concluímos que “Barco Laís” não é de Caio, nem de Éder, nem de Gil. Mas olhando para a parte de cima da tabela, vemos que Décio é dono do "Barco Laís”. Se Mara é filha do dono do “Barco Laís”, ela é filha de Décio. Vamos atualizar a tabela principal. Fíiha Laís Caio

Barco

Mara

Nair

Olga

S

n

n

n

Décio a) | Éder

n

S

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S n

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Barco

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Pauta Barco Barco Barco Barco Barco Lafs Mara Naír Oíga Paula S n n n n n S

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n

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S

n

n

60 b

Radocínio Lógico —

Enrique Rocha

Só sobrou, para a linha “Felipe”, a opção “Paula” (sendo Felipe o pai de Paula). Vamos completar a tabela-gabarito:

Nome

Filha

Barco

Caio

Laís

Barco Nair

Décio

Mara

Barco Laís

Felipe

Olga

Barco Pauia

Gii

Nair

Barco Olga

éder

Barco Mara

Consequentemente, Éder só pode ser o pai de Paula (a única que sobrou). Problema resolvido:

Nome

Filha

Barco

Caio

Laís

Barco Nair

Décio

Mara

Barco Laís

Éder

Paula

Barco Mara

Felipe

Olga

Barco Paula

Gii

Nair

Barco Oiga

Capítulo 2 —


61

Exercícios Complementares de Tabelas Os exercícios 1 c 2 foram extraídos da «vista CoquetelLógica, daEdiouro.

1. Três mulheres hospedaram-se recentemente em hotéis diferentes, cada qual com a intenção de cumprir um programa de dietas que o hotel oferecia. Com base nas dicas ao lado» tente descobrir o nome de cada mulher, o hotel onde se hospedou è a base da sua dieta. I) Bárbara fez uma dieta à base de saladas. 2} O Hotel Malta oferecia um programa de dieta à base de iogurte. 3} Célia não se hospedou no Hotel Malta nem no Capri. 4) Os outros hotéis eram o Capri e o Várzea. 5) Ã terceira dieta era à base de água de coco. 6) Uma delas se chamavaTatiana. 2, (ESAF/AFTN/96) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente: a) cinza, verde e azul; b) azul, cinza e verde; c) azul, verde e cinza; d) cinza, azul e verde; e) verde, azul e cinza.

62 b


Enrique Rocha

Gabarito de Exercidos de Correlacionamento

1. Nome

Dieta

Hotel

Bárbara

Salada

Capri

Célia

Coco

Várzea

Tatiana

Iogurte

Malta

2. D

C apítulo

Álgebra das Proposições “Abandonepor um instante essa sensação de estar sob pressão para passar em um concurso. Considere este momento de estudo umprazer. ” 3.1.

Proposição

Uma proposição é uma declaração (afirmativa ou negativa). Uma proposição pode ser ou verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribuímos-lhe o valor lógico V; quando é fàlsa, o valor lógico F. Axioma: sempre será possível atribuir um valor lógico, ou V ou F» a uma proposição, conforme ela seja verdadeira ou fàlsa. Examine as seguintes sentenças: “Sete mais dois é igual a nove” —é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). “Belém não é a capital do Brasil” —é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser verdadeira (valor lógico V). “Sete mais dois é igual a quinze” - é uma declaração (afirmativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). “Brasília não é a capital do Brasil” —é uma declaração (negativa); portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). “O dobro de cinco é dez?” —é uma pergunta, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Não se pode atribuir a ela um valor lógico (V ou F). “João, vá estudar sua lição” —é uma sentença imperativa, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. “5 + 3”- é indicação de uma operação aritmética, e não uma declaração. Portanto, não é uma proposição. Espera um resultado numérico, e não um resultado lógico (V ou F).

64


Enrique Rocha

“5 + 3 = 7”—é uma declaração (afirmativa) e, portanto, uma proposição. Sabemos ser falsa (valor lógico F). 3.1.1.

Proposições Abertas e Proposições Fechadas

Proposição fechada —é aquela que podemos garantir como sendo verdadeira ou falsa. Todas as proposições vistas acima são fechadas. Proposição aberta- é aquela que contém umavariável» um elemento desconhecido, e, portanto, não podemos garantir que seja verdadeira ou falsa. Exemplos: (( «5 *7» x+3=7 “A cidade x é a capital da Argentina” Essas proposições serão verdadeiras ou falsas, dependendo do valor que atribuirmos à variável x.

3.1.2.

Proposições Simples e Proposições Compostas

Proposição simples: como o próprio nome indica, é uma proposição única, isolada. Proposição composta: quando formada por duas ou mais proposições, ligadas entre si por conectivos operacionais, os quais estudaremos detalhadamente no item “Operações com proposições”. Exemplos: “Brasília é a capitai do Brasil e Lima é a capital do Peru” “3 + 5 = 8 ou 5 + 7 = 12” “Se 5 + 2 = 7 então 5 = 7 - 2 ”

3.1.3.

Representação Literal das Proposições

Neste trabalho, representaremos uma proposição simples qualquer por uma letra minúscula, preferindo “p”, “q”, “r” e V .

3.2.

Tabela-verdade

É uma forma usual de representação das regras da Álgebra Booleana. Nela, é representada cada proposição (simples ou composta) e todos os seus valores lógicos possíveis.

Capítulo 3 —

Álgebra das Proposições

a

65

Exemplo: p é a representação de uma proposição simples e V e F são seus valores lógicos possíveis: V

T Não é necessário você decorar as tabelas-verdade. Elas são apenas um instrumento a ser utilizado quando você precisar tirar alguma conclusão sobre algum resultado. 3.3.

Proposições Equivalentes (Símbolo o )

São proposições cujas tabelas-verdade são Iguais. Exemplos irão sendo dados no decorrer das explicações.

3.4.

Tautologias, contradições e contingências

Tàutología é uma proposição em que todos os seus valores lógicos são V. Contradição ê uma proposição em que todos os seus valores lógicos são F. Será feito um estudo mais detalhado sobre esse assunto no final deste capítulo. Contingência é toda a proposição que não for tautologia nem contradição; ou seja, que apresentou W V” e também “F” em sua tabela-verdade. 3.5.

Operações com Proposições

Assim como na Álgebra tradicional existem as operações com números (adição, subtração etc.), na Álgebra Booleana existem operações com as propoisições. • Negação: não p (-p). Lê-se “não p” (às vezes, o símbolo usado é “-i”: ~ip) • Conjunção: p E q (p A q) ® Disjunção: p OU q (p V q) • Disjunção exclusiva: OU p OU q (p v q) • Implicação: SE p ENTÁO q (p -> q) • Dupla implicação: p Se e Somente Se q (p <~»q)

3.5.1.

Propriedades de uma operação

Representemos duas operações pelos símbolos oe®, três operandos por aebec : —> Comutatividade: a * b = b ° a (quaisquer que sejam a, b) Exemplos aritméticos com números naturais: 1) a adição e a multiplicação são comutativas: a + b - b + a (para quaisquer a, b) a. b = b. a (para quaisquer a, b) 2) a subtração e a divisão não são comutativas: a - b& b —a (essa igualdade só é verdadeira quando a » b) Exemplo da não comutatividade: 5 —2 & 2 —5 (essa igualdade só é verdadeira quando a = b ou a » -b) Exemplo da não comutadvidade: 52 ^ 25 Associatividade: a ( b * c ) « ( a * b ) * c s = a * b » c (para quaisquer a, b, c) Exemplos aritméticos com números naturais. A adição e a multiplicação são associativas: a + (b + c) * ( a + b) + c « a + b + c (para-quaisquer a, b, c) a. (b. c) - (a. b). c = a. b. c (para quaisquer a, b, c) * —> Distributividade de • em relação a O: a 8 (boc) = ( a » b ) o ( a ' c ) (para quaisquer a, b, c) Exemplos aritméticos com números naturais. A multiplicação é distributiva.em relação à adição: a. (b + c) = a. b + a. c (para quaisquer a, b, c) A multiplicação é distributiva em relação à subtração: a. (b - c) = a. b - a. c (para quaisquer a, b, c)

[p (rejpreseBrôsçãog Defimçãoi umaproposição éa negação de outra quando: se uma forverdadeira, então a outra é obrigatoriamente falsa e, se uma for falsa, então a outra é obrigatoriamente verdadeira. Observação? às vezes, uma proposição contradiz outra, sem ser sua negação. Exemplo 1; “Este lápis é branco” contradiz, mas não ê negação de “Este lápis é azul”, porque a negação desta ('‘Este lápis não é azul”) não obriga a que a cor do lápis seja branca. Poderia ser de qualquer outra cor, diferente das citadas.

Capítulo 3 —


a

67

Exemplo 2: “x é igual a 7” contradiz, mas não é negação de “x é igual a 3”, porque a negação desta (“x náo é igual a 3”, ou ‘ x é diferente de 3”) não obriga a que x seja igual a 7. Poderia ser qualquer outro número diferente dos citados. 3.6.1.

Modos de Negação de uma Proposição

1. Antepondo-se a expressão “não” ao seu verbo. Ex.: “Jorge gosta de mamão” “Jorge não gosta de mamão’* 2. Retirando-se a negação antes do verbo. Ex,: “ Paulo não é primo de João” “Paulo é primo de João” 3. Substituindo-se um termo da proposição por um de seus antônimos. Ex.: “n é um número par ’ “n é um número ímpar”. Ex.: “Maria ê feia” “Maria é bonita”. Tabela-Verdade

F

V

Exemplo: Se "Jorge gosta de mamão” é verdadeiro, então “Jorge náo gosta de mamão” é obrigatoriamente falso. Se “Jorge gosta de mamão” é falso, então “Jorge não gosta de mamão” é obrigatoriamente verdade. Concluímos que “Jorge não gosta de mamão” é negação de “Jorge gosta de mamão”. 3.7.

Disjunção (inclusiva) p ou q (Representação;

p v q )

A proposição composta resultante da operação da disjunção de duas ou mais proposições só será falsa se todas as proposições envolvidas na operação forem falsas. Basta uma ser verdadeira, para que a proposição resultante seja falsa. Tabela-Verdade pvq

68 a

Raciocínio Lôgíco — Enrique Rocha

Exemplo 1: Tomando por base as proposições: p: “5 é um número par” q: “Brasília é a capital do Brasil” r: “x é divisível por 7" Você conclui que: p

q

F

v

r

pvq

pvr

qvr

pvq vr

V

>

V

V

/ ; ...

Náo conseguimos definir ovalorde “pvr” porquedesconhecemos ovalorlógicode r epor isso, como p é “F”, se r for V \ “pvr” será “V”. Poroutro lado, se r for “P também, teremos “pvr” assumindo valor “F”. Exemplo 2:

Vemos, acima, que as proposições pvq e qvp sáo equivalentes, pois têm a mesma tabela-verdade, ou seja, pvq <=> qvp 3.7.1.

Negação da Disjunção: Não P e Não Q

"(p v q) o "p a ^q

(uma das leis conhecidas como “Leis de Morgan”, a outra como veremos, é: ~(p A q ) 0 " p v ~q).

Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo, a qual você deverá construir passo a passo, como exercício. ! P V V F

q V F V

F

F

pvq V V V F

ÉhÉSÉS SIII8I8 í §éiéiè

~p

-q

-pv-q

F F V V

F V F

F V V V

V

Observe que "(p v q) <=> -p v «-q (segunda Lei de Morgan)

tS illfl

Capítulo 3 —

Álgebra das Proposições a

69

Exemplo 1: A negação da proposição “x é ímpar OU y é divisível por 7” é: “x não é ímpar E y não é divisível por 7 ” Poderia sen *x é par E y não é divisível por 7 “ Exemplo 2; A negação da proposição “Maria ê feia OU José é rico” é: “Maria não é feia E José não é rico.” Poderia sen “Maria é bonita E José é pobre.” 3.7.2.

Propriedades

Comutativa: p v q <=> q v p Associativa: p v ( q v r ) < s > ( p v q ) v r « - p v q v r Exercícioi como exercício» mostre as propriedades acima, usando tabelas-verdade.

3.8. Disjunção Exclusiva: Ou p ou q (Representação: pvq) A proposição composta resultante da operação da disjunção exclusiva de duas ou mais proposições só será verdadeira se as proposições envolvidas na operação tiverem valores lógicos contrários, isto é, se uma for verdadeira e a outra, falsa. Se tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas íàlsas), a proposição resultante da disjunção exclusiva será falsa. Isso significa que uma disjunção exclusiva não admite que os dois valores envolvidos sejam iguais, ou seja, quando isso acontecer a proposição (p v q) assumirá valor lógico "F". Tabela-Verdade

p V V F F Exemplo: Tomando por base as proposições: p: “5 é um número par” q: “Brasília é a capital do Brasil” n “xé divisível por 7”

q V F V F

p ^q F V V F

70 e


Você conclui que: p F

q

r

V

?

pyq

pvr

qv r

V

>

?

pvqyr

*As representam a impossibilidade de definirmos os valores lógicos, já que eles dependem do valor desconhecido na proposição r. **0 “ou...ou” pode ser melhor entendido da seguinte forma: imagine que duas pessoas estabeleçam a seguinte regra: “ou eu vou, ou você vai”. O que podemos inferir disso? Que um dos dois tem que ir; e que só um dos dois pode ir. Por isso, quando p for “V”, e q também “V”, teríamos que “os dois vão e a regra teria sido “F”urada. Da mesma forma, se P “F”icar, a regra também teria sido “F”urada, já que v dos dois teria que ter ido.

3.8.1.

Negação de ou

3.8.2.

Propriedades

d

OU o (a ser Estudada Posteriormente)

—» Comutatíva:pyqoqvp Associativa: p v ( q v r ) o ( p v q ) v r Exercício; mostre as propriedades acima, usando tabelas-verdade. 3.9.

Conjunção: p e q (Representação: p

a

q)

A proposição composta resultante da operação de conjunção de duas ou mais proposições só será verdadeira se todas as proposições envolvidas na operação forem verdadeiras. Basta uma ser falsa, para que a proposição resultante da conjunção seja falsa. Tabela-Verdade P V

<1 V

pAq

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Exemplo:

Tomando por base as proposições: p: “5 é um número par” q: “Brasília é a capital do Brasil” r: “x é divisível por 7”

V

Capítulo 3 —

Álgebra das Proposições m

71

Você conclui que: p F

q

r

V

>

P Aq F

p Ar

qar

p Aq a r

F

>

F

*A s representam a impossibilidade de definirmos os valores lógicos» já que eles dependem do valor desconhecido na proposição r.

Náo conseguimos definir o valor de “q a r” porque desconhecemos o valor lógico de r e, por isso, como q e “V", se r for “V”, “q a t” também será "V". Por outro lado, se r for “F”, teremos “q a r” também “F”.

3.9.1.

Negação da conjunção: Não p ou Não q

"(p a q) O "p v -q (segunda Lei de Morgan) Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo, a qual você deverá construir passo a passo, como exercício. P V V F F

PAq !H 8iSÍI q V V wmmmmEISS33I F V F F F

F v V

-q F V F V

-p A~q p F F V

Exemplo 1: A negação da proposição “x é ímpar E jé divisível por 7” é: “x não é ímpar OU y não é divisível por 7.” Poderia ser: “x è par OU y não è drasrvel por 7 ”

Exemplo 2í A negação da proposição “Maria é feia E José é rico” é: “Maria não é feia OU José náo é rico ” Poderia sen “Maria é bonita OU José é pobre ” 3.9.2.

Propriedades

-> Comutativa: p A q O q Ap

iilÉ SS jÉSftftK \ |g§

72 b


Enrique Rocha

-» Associativa: p a (q a p) O (p A q) a p —» Distributiva em relação à disjunção: p a (q v r) <=> (p a q) v (p a q) Exercido: mostre as propriedades acima, usando tabelas-verdade. 3.10.

Implicação: Se p então q (Representação: p -*• q)

Alguns autores usam o termo condicional. A primeira proposição (p) é chamada de antecedente ou hipótese; a segunda (q), de conseqüente. Essa operação é uma das mais importantes e deve ser analisada cuidadosamente. Sua perfeita compreensão leva à segurança na resolução de inúmeros exercícios e ela também é fundamental para que se consiga entender a operação dupla-implicação (ou bicondidonal) “p Se e Somente Se q” (p -O- q), apresentada mais adiante. Um exemplo desse tipo de proposição é: “SE o carro for barato, ENTÁO José o comprará” ou, em outras palavras: “José comprará o carro, SE o cajp> for barato.” A mesma proposição pode apresentar formas de dizer diferentes: “O carro ser barato é condição SUFICIENTE para José comprá-lo” “José comprar o carro é condição NECESSÁRIA para o carro ser barato.” “O carro será barato SOMENTE SE José o comprar” Essas três últimas formas de apresentação serão explicadas detalhadamente no tópico “Condição suficiente. Condição necessária”, mais abaixo. Por enquanto, vamos nos restringir à forma do título do item (Se p Então q). A proposição composta resultante da operação de implicação de uma proposição em outra só será falsa, se a antecedente (hipótese) for verdadeira e a conseqüente for falsa. Em todos os outros casos, a proposição resultante da implicação será verdadeira. Tabela-Verdade p V

9 V

V

F

p

q V F

Caro Leitor, você se surpreendeu com a afirmação acima e com as duas últimas linhas? Pareceu-lhe, à primeiravista, uma distração do autor ou uma falha na impressão? Mas não foi nem uma coisa nem outra. Veja a seguir.

Capítulo 3 —


& 73

Exemplo explicativo informal:

Você prometeu a seu filho Júnior: “SE você lavar o carro, ENTÃO eu o empresto a você,” Toda proposição condicional deve ser analisada como um todo. Neste exemplo, a proposição é sua promessa e, como tal, deverá ser analisada. Aqui temos: p: você lavar o carro q: eu o empresto a você E a construção seria: você lavar o carro —» eu o empresto a você Analisemos as quatro possibilidades: Júnior lavou o carro (V) e você emprestou o carro (V). Promessa cumprida (V) Júnior lavou o carro (V) e você não emprestou o carro (F). Promessa não cumprida (F) Júnior não lavou o carro (F) e você emprestou o carro (V). Júnior não lavou o carro (F) e você não emprestou o carro (F). Não houve promessa para o caso de Júnior não lavar o carro; portanto, não se pode falar em promessa descumprida (F). Nesse caso, só poderemos avaliar se a promessa foi ou não foi cumprida quando Júnior lavar o carro. Então, nossa regra continua •Válida. Observe-se que uma proposição condicional pode, às vezes, parecer descabida, sem sentido prático, por poder não haver a menor coerência entre a condição apresentada e a conseqüência. Isso não deve influenciar quando formos determinar-lhe o valor lógico. Para isso, analisamos o valor das proposições componentes e daremos valor F somente no caso de a hipótese ser V e a conseqüência ser F. Em todos os demais casos, como já vimos, o valor lógico da proposição resultante será V. Podemos ver isso nos exemplos abaixo, em que todas as proposições resultantes são verdadeiras, já que, em nenhuma delas, a condição é verdadeira e a conclusão é falsa. “Se 4 é um número par, Então Brasília é a capital do Brasil.” “Se Recife não é a capital do Brasil, Então Brasília é a capitai do Brasil.” “Se 4 é menor que 2, Então 4 é maior que 7.” “Se o Brasil não é um país, Então 5 é menor que 7.” Exercício: Dê o valor lógico a cada uma das proposições resultantes abaixo. a) “Se (2 é maior que 5 E João é casado) Então Maria tem 17 anos.” Resp.s V

74 s

Raciocínio Lõgico —

Enrique Rocha

b) “Se 2 é menor que 5 E (2 é par Então 4 é menor que 2)” Resp.: F c) “Se (7 é maior que 5 OU Joáo é casado) Entáo 5 é par. Resp.: F 3.10.1. Negação da implicação: p e não q

Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo, a qual você deverá construir passo a passo, como exercício. p V

q V

p-»q V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

Das colunas hachuradas, podemos concluir que"(p -> q) O --p A -q, ou seja; "negar p ->■q é a mesma coisa (tem a mesma tabela-verdade) quer dizer pA -q)

Vemos que uma proposição condicional é negada quando acontece a condição (V), E a conseqüência náo acontece (F). Exemplo: A negação de “SE x é um número par ENTÃO y é um número par” é: “x é um número par E y é um número ímpar”. 3.10.2. Equivalência da Implicação: Não q - » não p P

q

V

V

V

F

F

V

F

F

'n,.

~(p -> q)

'P

-q

^ /-q

F

F

F

V

V

F

V

V

■4 v - y ;

F

V

F

F

= v ;# t .

F

V

V

V

J tíM

Cuidado especial é requerido agora: pela tabela-verdade acima, vemos que a expressão p -> q não é equivalente a -p -» -q, ou seja: “Se p Então q” não eqüivale a “Se não p Então não q Entretanto, pela mesma tabela-verdade, vemos que: “p -» qMé equivalente a “-q ^p” “Se p Então p” eqüivale a “Se não q Então não p”

Capítulo 3 —


ss 75

Exemplo explicativo informal: “Se Carlos passou de ano, Então Carlos passou em Matemática” náo significa o mesmo que: "Se Carlos não passou de ano, Então Carlos não passou em Matemática”, pois Carlos pode ter sido aprovado em Matemática e reprovado em Português, por exemplo. Entretanto: “Se Carlos passou de ano, Então Carlos passou emMatemática" significa o mesmo que: “Se Carlos não passou em Matemática, Então Carlos não passou de ano” (porque p —> q <=> -q —> -p). Exemplo: A proposição "Se o número x é par Então o número y é ímpar” eqüivale a dizer que “Se o número y é par Então o número x é ímpar” (porque p q <=> -q —> -p). 3.11. Co n d içã o S u ficie n te . C o n d içã o N e ce ssária

p —> q: p é suficiente para q (basta p acontecer para que q aconteça). -q -> ~p: q é necessário para p (se q não acontecer, p não acontece). Observação: muitas vezes, encontramos a proposição “q é necessário para p” com as seguintes palavras: “p somente se q”. Concluímos que as expressões: “p é suficiente para q”, “q é necessário para p” e “p somente se q” significam: p

q, que é equivalente a -q

-p.

Quando dizemos que “p é condição suficiente para q), estamos afirmando que “basta que p aconteça (seja “V”) para garantirmos que q também acontecerá (será V ’). Aqui você pode se perguntar: mas é possível que p seja “v” e q seja “F”? É sim! só que nesse caso, a regra que garantia que “se p ocorresse, q também ocorreria, “se tomará “F”urada! da mesma forma, quando dizemos que “q é condição necessária para p”, estamos dizendo que se “q não ocorrer” (for “F”), “p também não ocorrerá” (será falsa”. Ora, isso significa: “~q —^ -p” e já sabemos que K-q —> -p” eqüivale a “p q”. Resumindo: a condição suficiente fica ‘a esquerda” da seta e a necessária à direita. Assim p —> q representa *p suficiente para q” e “q necessária para p” (se q não ocorrer, p também não ocorrerá porque p q o -q -p. Exemplo explicativo informal (o mesmo do item anterior): Seja a proposição: “Se Carlos passou de ano, então Carlos passou em Matemática”: Carlos passou de ano —> Carlos passou em Matemática. Vemos aqui que “Carlos passou de ano” ser verdade é suficiente para que “Carlos passou em Matemática” seja verdade.

76

q


Na expressão equivalente (“volta negando”, da sentença original), “Se Carlos não passou em Matemática, então Carlos não passou de ano”: Carlos não passou em Matemática —> Carlos não passou de ano. Vemos que “Carlos passou em Matemática” ser verdade é condição necessária para "Carlos passou de ano” ser verdade. Conclusão: a proposição “Se Carlos passou de ano, então Carlos passou em Matemática” é exatamente a mesma que qualquer uma das abaixo: “Carlos passar de ano écondição suficientepara Carlos terpassado emMatemática.” “Carlos passar em Matemática é condição necessária para Carlos passar de ano.” “Carlos passou de ano somente se Carlos passou em Matemática.” 3.12. Dupla Implicação: Se p então q e s e q então p (Representação: p f > q ) Alguns autores usam o termo bicondicional. A proposição composta resultante da operação da dupla implicação de uma proposição em outra só será verdadeira se ambas as proposições envolvidas na operação tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas). Se uma for verdadeira e a outra fàlsa, a dupla implicação sera falsa, Tabela-Verdade p

q

p —y
q-»p

(p_»£) A(
V

V

V

V

V

liliB M m

V

F

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

. »**».•> &

s

Veja que em “p «-» q” a setinha vai “de p para q” e “de q para p” ao mesmo tempo. Por isso, para descobrirmos o valor lógico de “p q” usamos o raciocínio de FAZER (p «-> q) A(q -> p). 3.12.1. Negação da Dupla Implicação: Ou p ou q (Exclusivo)

Essa equivalência foi extraída da tabela abaixo, a qual você deverá construir passo a passo, como exercício. pxq F

q V

p++q V

F

V

F

F

V

V

F

V

F

V

V

F

F

V

F

F

p V

Capítulo 3 —


s

77

Exemplo: a negação de: ‘ x é um número par SE E SOMENTE SE y é um número par” é: “OU x é um número par OU y é um número par” (OU exclusivo) (e vice-versa)! 3.13. Condição Necessária e Suficiente A expressão “p é condição necessária e suficiente para q” significa exatamente a dupla implicação. Muitas vezes, essa expressão é dita como: p se e somente q. Neste caso de condição necessária e suficiente, abrem-se quatro possibilidades: 1) p —> q 2) -q -» -p (equivalência de "1”) 3) q -> p 4) -p -» -q (equivalência de “3”) Exemplo: “Você lavar o carro é condição necessária e suficiente para eu o emprestar a você.” ou: “Você lava o carro se e somente se eu o emprestar a você ” 1) Você lava o carro -> Eu o empresto a você. 2) Você não lava o carro —> Eu não o empresto a você (equivalência de “3”). 3) Eu empresto o carro a você —» Você lava o carro. 4) Eu não empresto o carro a você —> Você não lava o carro (equivalência de “1”). 3.14. Tautologia e Contradição Tautologia é toda proposição sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Sua tabela-verdade só contém o valor lógico V O exemplo mais simples de tautologia é (p v -p): p V

~P F

p v -p

F

V

V

V

Outros exemplos de tautologia Modus Ponens Observe que a última coluna da tabela-verdade abaixo é uma tautologia (todos os valores são verdadeiros). Essa tabela-verdade garante que, quando existe uma

78

a


proposição p —» q, podemos garantir que, se p ocorrer (for verdadeira), q também ocorrerá (em todos os casos). p

q

p -» q

V

V F V F

V F V V

v

F F

p

a

(p

q)

[p a (p

V F F F

q)] -> q

V V V V

Modm Tolfens p V V F F

<3 V F V F

"P F F V V

-q F V F V

P —^
"q A (p ->

[-q A (p —> q)] —^ "p V V V V

q)

F F F V

Observe que a última coluna da tabela-verdade abaixo também é uma tautologia (todos os valores sâo verdadeiros). Essa tabela-verdade garante que, quando existe uma proposição p —> q, podemos garantir que, se q não ocorrer (for falsa), p também não ocorrerá (em todos os casos). Contradição é toda proposição sempre falsa, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Sua tabela-verdade só contém o valor lógico E O exemplo mais simples de contradição é p a -p P V F

"P F V

pA-p

F F

Veja um exercício como exemplo. 1. (ESAF) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de tautologia é: a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo; b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo; c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo; d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo; e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

Capítulo 3 —


m 79

Resolução: Fazendo p: João é alto e q: Goüherme é gordo, vamos analisar as alternativas, a) Se João é alto, então João é alto OU Guilherme é gordo Isso eqüivale a p —> p v q. A tabela-verdade seria: p V V F F

q V F V F

p —p Vq Pv q V /V V V> , ' V F . - ,

Observe que a alternativa “A” já nos levou a uma proposição “sempre verdadeira”, ou seja, já encontramos a tautologia. Portanto, não seria necessário analisarmos as outras. Vamos fa2ê4o apenas para praticarmos um pouco mais o raciocínio, b) Se João é alto, então João é alto E Guilherme é gordo Isso eqüivale a p —> p a q. A tabela-verdade seria: P -» p A q.

P V

q V

pAq V

V

F

F

F

V

F

V

F

F

F

V

V

©—

Ao encontrarmos o l2 “F” você já saberia que não se trata de tautologia e po deria parar por aqui sua análise.

c) Se João é alto OU Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo Isso eqüivale a p v q —> q. A tabela-verdade seria: P v

q V

pvq

p Vq —> q

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

<£>— V V

Ao encontrarmos o ls “F” você já saberia que não se trata de tautologia e po deria parar por aqui sua análise.

80 a


Enrique Rocha

d) SeJoão é alto OU Guilherme é gordo, então João é alto E Guilherme é gordo Isso eqüivale a p v q —»pAq. A tabela-verdade seria: P V

q V

Pv q V

pvq

V

F

V

F

F

V p

V

F

F

F

F

V

pv q— >p a q Ao encontrarmos o Ia “F” você já saberia que náo se ------ ** trata de tautologia e po deria parar por aqui sua F análise. V V

©

e) Se João é alto OU não é alto, então Guilherme é gordo Isso eqüivale a p v -p —> q. A tabela-verdade seria: p V

q V

”P F

PV"P V

V

F

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

p v "p

q

V 0 — V F

Ao encontrarmos o Ia W F” você já saberia que não se trata de tautologia e pode ria parar por aqui sua aná lise.

Resp.:A

3.15.

Exercícios resolvidos de Álgebra das Proposições

1. (ESAF-AFC-2002) Dizer que náo é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto» é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto; b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto; c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto; d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto; . e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. " Resolução: A sentença “dizer que não é verdade” tem o mesmo significado de “negar”. Assim, o que o problema está pedindo é a negação de uma proposição composta que usa o • «T7» conectivo E. O primeiro passo é identificar as proposições envolvidas:

Capítulo 3 —


s

81

p: Pedro é pobre q: Alberto é alto Como sabemos que -(p a q) O -p v -q, (Lei de Morgan) temos que: (Pedro é Pobre E Alberto é alto) <=> Pedro náo é pobre OU Alberto não é alto. Resp.: A 2. (ESAF-AFC-2002) Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carmem não c cunhada de Carol. Se Carina não ê cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Logo,

a) b) c) d) e)

Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol; Carina não é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem; Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol; Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol; Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem.

Resolução:

Passo 1: Analisemos as proposições do problema, colocando resumidamente os resultados dessa análise. Se Carina é amiga de Carol, então Carmem é cunhada de Carol. Carina amiga Carol —» Carmem cunhada Carol Carmem não cunhada Carol —» Carina não amiga Carol (equivalência) Dica: Como sabemos p —> q <=> ^q — >~p, toda vez que você encontrar uma

implicação lógica, faça o que eu chamo de “volta negando”, ou seja, leia “p —> q” de trás para frente, negando as duas. Exemplo: se Pedro é pobre, então Alberto é alto. Pedro é pobre —> Alberto é alto (p—>q) Alberto não é alto —> Pedro não é pobre (volta negando) (-q —»^p) CARMEM NÃO É CUNHADA DE CAROL (é um dado do problema que só será considerado ao final). Se Carina não é cunhada de Carol, então Carina é amiga de Carol. Carina não cunhada Carol —> Carina amiga Carol Carina não amiga Carol -> Carina cunhada (volta negando) As anotações ficarão assim: 1) Carina amiga Carol —» Carmem cunhada Carol 2) Carmem não cunhada Carol —> Carina náo amiga Carol 3) CARMEM NÁO É CUNHADA DE CAROL

82

& Raciocínio Lógico —

Enrique Rocha

4) Carina não cunhada Carol —> Carina amiga Carol 5) Carina não amiga Carol —> Carina cunhada Carol Passo 2: Vamos preencheendo uma tabela pelas anotações Como vimos em (3), Carmem náo é cunhada de Carol, o que leva aos seguinres desdobramentos: 2) Carmem não cunhada Carol Carina não amiga Carol 5) Carina não amiga Carol —> Carina cunhada Carol Carmemcunhada Carol

Carina amiga Carol

Carina cunhada Carol

Falso (3)

Falso (2)

Verdadeiro (5)

Passo 3: Examinemos as alternativas do problema a) Carina é cunhada de Carmem e é amiga de Carol. FALSO (uma falsa, a segunda). b) Carina náo é amiga de Carol ou não é cunhada de Carmem. VERDADEIRO (uma V, a primeira). c) Carina é amiga de Carol ou não é cunhada de Carol. FALSO (ambas F). d) Carina é amiga de Carmem e é amiga de Carol. FALSO (uma F, a segunda). e) Carina é amiga de Carol e não é cunhada de Carmem. FALSO (umaF, a primeira). Resp.t B 3» (ESAF-TCU-2002) O rei ir à caça é condição necessária para. o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) a duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa; b) se o duque náo saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa; c) o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa; d) o rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim; e) o duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. Resolução: Vamos lembrar que: P é condição suficiente para q: p —»■q (p garante q) q é condição necessária para p:^q p (sem q, p não acontece)

Capítulo 3 —


s

83

Passo 1: Analisemos as proposições do problema, colocando resumidamente os

resultados dessa análise. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, rei não caça —> duque não sai castelo duque sai castelo -» rei caça (volta negando) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim, rei caça duquesa jardim duquesa não jardim —> rei não caça (volta negando) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. conde encontra princesa barão sorri barão sorri conde encontra princesa conde não encontra princesa barão não sorri barão não sorri <-> conde não encontra princesa Como sabemos que “p ^ q O ^ p O - q O q ^ p <=>~q <->-p” (se quiser, construa as tabelas-verdade para confirmar), nos casos de dupla implicação também podemos aplicar o “volta negando” (na verdade, nem precisaríamos “voltar”, já que “p <-> q <=> -p ^q”. O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim.

conde não encontra princesa —> duquesa não jardim duquesa jardim —> conde encontra princesa Análise: BARÃO NAO SORRI (é um dado do problema que só será considerado ao finai). As anotações ficarão assim: 1) rei não caça —» duque não sai castelo 2) duque sai castelo —> rei caça (equivalência) 3) rei caça —» duquesa jardim 4) duquesa não jardim -» rei não caça (volta negando) 5) conde encontra princesa —> barão sorri 6) barão sorri —» conde encontra princesa 7) conde não encontra princesa —» barão não sorri 8) barão não sorri —> conde não encontra princesa 9) conde não encontra princesa —» duquesa não jardim 10) duquesa jardim -> conde encontra princesa 11) BARÃO NÃO SORRI

84 a


Enrique Rocha

Passo 2: Vamos preencheendo uma tabela pelas anotações: Baráo sorri

Conde Princesa

DuquesaJardim

Rei caça

Duque Castelo

Falso (11)

Falso (8)

Falso (9)

Falso (4)

Falso (1)

Passo 3; Examinemos as alternativas do problema: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. FALSO (ambas F). b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa FALSO (V —> F) ou seja, a Ia parte é “V”, mas a 2a é “F”, o que torna “F” a implicação. c) O rei não foi à caça e o conEe não encontrou a princesa. VERDADEIRO (ambas V). d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim FALSO (uma F, a primeira). e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. FALSO (uma F, a primeira). Resp.: C 4. (ESAF-AFC-2002) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: a) se Geografia é difícil, então Lógica é difícil; b) Lógica é fócil e Geografia é difícil; c) Lógica é fácil e Geografia é fácil; d) Lógica é difícil e Geografia é difícil; e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. Resolução: 1) Analisemos as proposições do problema, colocando resumidamente os resultados dessa análise: Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de lógica r: Geografia é fácil

Capítulo 3 — Álgebra das Proposições s

85

Vamos agora aprender que “ou p ou q” é equivalente a “p <->-q”:

p V V V F

q V F V F

-p F F V V

~q F V F V

ou p ou q (pvq)

pO-q

F V V F

F V V F

Claro! dizer “ou eu vou”, ou “você vai” é a mesma coisa que dizer: Se eu vou, você não vai (p -»~q) Se você vai, eu não vou (q —>~p) (voita negando) Se eu não vou, você vai (-p — » q) Se você não vai, eu vou (-q —» p) (volta negando) Juntando tudo: p v q (ou p, ou q) <=> p <->~q Aqui, podemos identificar a estrutura “OU p OU q”, que deve ser montada como sendo: p ~ q (mantém-se a primeira como foi enunciada e nega-se a segunda): Lógica é fácil Artur gosta de Lógica Lógica é difícÜ Artur não gosta de Lógica (Lembre-se que na dupia implicação a equivalênciaé obtidapeio simples negação das duas proposições) "Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil5*. Essa proposição tem o mesmo significado de “Se Geografia é facil, então Lógica é difícil”. Assim, temos: r —» "p: Geografia fácil —» Lógica difícil Lógica fácil —> Geografia difícil (volta negando) Como o enunciado diz que Artur gosta de Lógica, temos que Lógica é fácil (Lógica é fácil <-> Artur gosta de Lógica). Como segunda conseqüência, temos que Geografia é difícil (Lógica facil -> Geografia difícil). Assim, temos que: "Lógica é fácil e Geografia é difícil”. Resp.: C

86 e


Enrique Rocha

5. (Fiscal do Trabalho-97) Ou A « B, ou B » C, mas não ambos. Se B = D, então A = D . Ora, B = D , logo:

a) B diferente de C; b) B diferente de A; c) C igual a A; d) C igual a D; e) D diferente de A. Resolução: Observação: Quando o enunciado diz “ou A=B, ou B~C’\ mas não ambos, a expressão ressaltada até poderia ter sido omitida e .mesmo assim teríamos um "ou exclusivo”. Ela foi criada apenas para reforçar exclusividade. 1) Analisamos as proposições do problema, colocando resumidamente os resultados dessa análise

Nomeando as proposições: p: A = B q: B = C r: B = D s: A = D Vamos, agora, montar as proposições compostas enunciadas no problema: Ou A - B, ou B = C, mas não ambos. Este é outro caso de “OU p OU q”. A expressão “mas não ambos” é apenas uma ênfase ao caráter exclusivo do OU. Como você já sabe, devemos montar isso como p~ q\ A~ B<-»B*C<=> A & B B = C (equivalência) Por outro lado, o enunciado disse: Se B = D , então A = D, que deve ser montada assim: r —» s: B = D->A = D o B & D —> A 3* D (equivalência) Por fim, o problema afirma que B = D, o que nos leva a: A = D ( B = D —Â = D); e, como A = D e B = D, podemos concluir que A - B e usar isso para afirmarmos que B ^ C í A ^ B ^ B ^ C). Assim, concluímos finalmente que B ^ C. Resp.t A

Capítulo 3 —


a

87

6. (ESAF-MPU-2004) Se Fulano é culpado, então Beltrano é culpado. Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Logo:

a) b) c) d) e)

Fulano é inocente, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente; Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é inocente; Fulano é culpado, e Beltrano é inocente, e Sicrano é inocente; Fulano é inocente, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado; Fulano é culpado, e Beltrano é culpado, e Sicrano é culpado.

Resolução; X) Analisemos as proposições do problema, colocando resumidamente os resultados dessa análise Se Fulano ê culpado, então Beltrano é culpado.

Fulano culpado -» Beltrano culpado <=> Beltrano inocente Fulano inocente (equivalência) Se Fulano é inocente, então ou Beltrano é culpado, ou Sicrano é culpado, ou ambos, Beltrano e Sicrano, são culpados. Perceba :iiüe, acjúi, jápèsar deencont&inQs:^ cse -í^fa dè um “ÒU.Exclusivò”^•pórqúé% ^n^^^^^lídê|= “tíu^àèbojs”;! Isso nos leva a uma proposição de disjunção simples (OU): Fulano inocente —> Beltrano culpado OU Sicrano culpado <=> Beltrano inocente E Sicrano inocente *-> Fulano culpado (volta negando) (Perceba aqui a troca do OU pelo E) Se Sicrano é inocente, então Beltrano é inocente. Sicrano inocente Beltrano inocente O Beltrano culpado Sicrano culpado (volta negando) Se Sicrano é culpado, então Fulano é culpado. Sicrano culpado —» Fulano culpado Fulano inocente -> Sicrano inocente (volta negando) A diferença a ser percebida neste exercício é que o enunciado não faz qual quer afirmação sobre a ocorrência de alguma das proposições e pede alguma condusão a respeito das mesmas. Esse tipo de exercício nos leva a analisar as possibilidades existentes e ver se, em algum caso, surge alguma incoerência, como faremos a seguir. l â possibilidade: Fulano culpado.

Fulano culpado —> Beltrano culpado

88 a

Raciocínio Lógico — Enrique Rocha Beltrano culpado —» Sicrano culpado Sicrano culpado Fulano culpado A conclusão possível aqui é que» se Fulano culpado, então Beltrano e Sicrano também culpados, levando-nos ao final do raciocínio de volta à hipótese “Fulano culpado”. Tudo OK 2a possibilidade: Fulano inocente.

Fulano inocente —> Sicrano inocente (equivalência) Sicrano inocente Beltrano inocente o Beltrano inocente E Sicrano inocente —> Fulano culpado (equivalência) Aqui, você deve notar que partimos de Fulano inocente e concluímos que Beltrano e Sicrano também inocentes, mas, no final do raciocínio, chegamos a “Fuiano culpado”, negando a hipótese. Esta conclusão final nos mostra uma incoerência, que é a seguinte: “se fulano é inocente, então fulano é culpado”. Por causa disso, podemos afirmar que a segunda hipótese não pode ser considerada correta, ou seja, podemos afirmar que, pelas regras do enunciado, Fulano, Beltrano e Sicrano são culpados. Resp.: E v; ' 7. (ESAF-TCU-1999) Se Flávia ê filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Ora» nem Ênia é filha de Elisa nem Inês ê filha de Isa.

a) b) c) d) e)

Paula é filha de Paulete e Flávia é filha de Fernanda. Paula é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. Paula náo é filha de Paulete e Ana é filha de Alice. Ênia é filha de Elisa ou Flávia é filha de Fernanda. Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda.

Resolução: Passo 1: Analisemos as proposições do problema, colocando resumidamente os

resultados dessa análise Se Flávia é filha de Fernanda, então Ana não é filha de Alice. Flávia filha Fernanda —> Ana não filha Alice Ana filha Alice —> Flávia não filha Fernanda (equivalência) Ou Ana é filha de Alice, ou Ênia é filha de Elisa. Estamos diante de uma estrutura “OU... OU”, que deve ser montada como sendo:/» <-» - q (mantém-se a primeira como foi enunciada e nega-se a segunda): Ana filha Alice <-> Ênia não filha Elisa Ênia filha Elisa Ana não filha Alice (equivalência)

Capítulo 3 —

Álgebra das Proposições &

89

Se Paula não é filha de Paulete, então Flávia é filha de Fernanda. Paula não filha Paulete - * Flávia filha Fernanda Flávia não filha Fernanda —> Paula filha Paulete (equivalência) Ora, nem Ênia é filha de Elisa nem Inês é filha de Isa. Esta é a afirmação do enunciado que nos diz “qual caminho seguir”. A afirmação é equivalente a: “Ênia não é filha de Elisa E Inês não é filha de Isa”. Observe que essa segunda parte não tem qualquer utilidade na resolução do problema e foi colocada apenas para confundir. Portanto, vamos fazer os desdobramentos associados a ela: Ana filha Alice <-> Ênia não filha Elisa (como estamos diante de um “Se e somente se”, podemos “voltar” e concluir que Ana é filha de Alice) Ana filha Alice —» Flávia não filha Fernanda Flávia não filha Fernanda —> Paula filha Paulete Daí, tiramos as conclusões: 1. Flávia não é filha de Fernanda; 2. Paula é filha de Paulete; 3. Ana é Filha de Alice; e 4. Ênia não é filha de Elisa. Passo 2: Examinemos as alternativas do problema Lembre-se de que, quando o conectivo usado fòr E, as duas partes têm que ser verdadeiras para que a alternativa seja avaliada como verdadeira; e, quando o conectivo for OU, basta que uma delas seja verdadeira para que a alternativa seja avaliada como verdadeira. a) Paula ê filha de Paulete E Flávia é filha de Fernanda. Paula ê filha de Paulete (verdadeiro: conclusão 2) e Flávia é filha de Fernanda (falso: conclusão 1). (Alternativa Incorreta.) b) Paula é filha de Paulete E Ana é filha de Alice. Paula é filha de Paulete (verdadeiro: conclusão 2) e Ana é filha de Alice (verdadeiro: conclusão 3). (Alternativa correta.) c) Paula não é filha de Paulete E Ana é filha de Alice. Paula é filha de Paulete (falso: conclusão 2) eAna é filha deAlice (verdadeiro: conclusão 3). (Alternativa incorreta.) d) Ênia é filha de Elisa OU Flávia é filha de Fernanda. Ênia é filha de Elisa (falso: conclusão 4) e Ana é filha de Alice (verdadeiro: conclusão 1). (Alternativa incorreta.) e) Se Ana é filha de Alice, Flávia é filha de Fernanda. Esta alternativa pede que você avalie uma estrutura “Se... Então”. Como

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s


Enrique Rocha

já sabemos, ela só será falsa no caso de a primeira parte ser verdadeira e a segunda ser falsa. Note que é exatamente o que acontece, porque Ana é filha de Alice (verdadeiro: conclusão 1) e Flávia não é filha de Fernanda. (Alternativa Incorreta.) Resp.: B 8. (ESAF/AFTN/96) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:

a) b) c) d) e)

Nestor e Júlia disseram a verdade; Nestor e Lauro mentiram; Raul e Lauro mentiram; Raul mentiu ou Lauro disse a verdade; Raul e Júlia mentiram.

Resolução:

Passo 1: Analisemos as proposições do problema, colocando resumidamente os resultados dessa análise. Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Nestor verdade —>Júlia mentiu E Raul mentiu Júlia verdade OU Raul verdade —> Nestor mentiu (equivalência) Observe a troca do ”E” pelo "OU". Se isso não for feito, a questão fica sem solução!!! Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade!!! Raul mentiu —> Lauro verdade Lauro mentiu —> Raul verdade (volta negando) Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Lauro verdade —» leão na sala Leão não na sala —» Lauro mentiu (equivalência) Como o enunciado afirma que “não há um feroz leão na sala”, podemos concluir que: 1. Leão não na sala; 2. Lauro mentiu; 3. Raul verdade; 4. Nestor mentiu. Note que esta última conclusão pôde ser feita por causa do OU em “Júlia verdade OU Raul verdade”, pois, sabendo que “Raul verdade” é verdadeira, independentemente de “Júlia verdade” ser verdadeira ou falsa, a proposição antecedente (do lado esquerdo da setinha) é toda verdadeira, garantindo que a conseqüente também será verdadeira.

Capitulo 3 —


a

91

Passo 2: Examinemos as alternativas do problema. a) Nestor e Julia disseram a verdade.

Falsa, porque Nestor mentiu (conclusão 4) e, mais ainda, nada podemos afirmar sobre o que Júlia disse. b) Nestor e Lauro mentiram. Verdadeira, porque Nestor mentiu (conclusão 4) e Lauro também mentiu (conclusão 2). c) Raul e Lauro mentiram. Falsa, porque Raul falou a verdade (conclusão 3) e, mesmo sabendo que Lauro mentiu (conclusão 2), o item fica falso por causa do conectivo E. d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. Falsa, porque Raul falou a verdade (conclusão 3) e Lauro mentiu (conclusão 2), levando a uma proposição composta com OU com duas partes falsas, que resulta em falso para a proposição global e) Raul e Júlia mentiram. Falsa, porque Raul falou a verdade (conclusão 3) e, mais ainda, nada podemos afirmar sobre o que Júlia disse. Resp.: B 9. (ESAF-MPOG-2002) M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então M = 2w —3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M ~ 0, então M + H = 1. Ora, M + H 1. Logo;

a) b) c) d) e)

2w —3r ~ 0; 4p + 3r # 2w - 3r; M ?= 2x + 3y; 2x + 3y 5* 2w - 3r; M = 2w —3r.

Resolução:

(1) M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r M » 2x + 3y M = 4p + 3r M 4p + 3r -» M & 2x + 3y (volta negando) (2) Se M = 4p + 3r> então M - 2w —3r M - 4p + 3r M -> 2w - 3r M ^ 2w —3r M 4p + 3r (volta negando) (3) Ou M = 2x + 3y, ou M = 0 (ou exclusivo) M = 2x-f-3y<-»M?60 M^2x + 3y<->M = 0 (voltanegando)

92 a


(4) Se M - 0, então M + H = 1 M = 0 —»M + H = 1 M+ (equivalência) Como o enunciado disse que M +- H ^ 1, temos: M + H * l-~»M *0(4) M = 2x + 3y <-» M & 0, logo M = 2x + 3y (3) M = 2x + 3y —> M = 4p + 3r (1) M = 4p + 3r —> M = 2w - 3r (2) Assim, concluímos que: M 3&0 e M = 2x + 3y - 4p + 3r = 2w —3r. Resp.: E 10. (ESAF-MPU-2004) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando náo faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje: a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor; b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove e fez calor; c) Vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e fez calor; d) Não vejo Carlos, e estou deprimida,e não chove e não fez calor; e) Vejo Carlos, e estou deprimida, e náo chove e fez calor. Resolução: Passo 1: escrever as proposições do enunciado. Sentença 1: Não vejo Carlos —> não passeio ou fico deprimida <=> Passeio e não fico deprimida -> vejo Carlos1 Sentença 2: Chove —> não passeio e fico deprimida O Passeio ou fico deprimida —> não chove2 Sentença3: Não fez calor e passeio —> não vejo Carlos O Vejo Carlos —> fez calor ou não passeio3

1 Observe o conectivo “OIT se transformando cm “E“ na negação de “náo passeio ou fico deprimida”. 2 Observe o conectivo “E” se transformando em “OU” na negação de “não passeio e fico deprimida”. 3 Observe o conectivo “£” se transformando em “OU" na negação de “Não íàz calor e passeio”.

Capítulo 3 —


a

93

Sentença 4:

Náo chove e estou deprimida -> não passeio Passeio chove ou não estou deprimida4 Passo 2: analisar os desdobramentos de “Hoje passeio”. Observe que “Passeio” aparece como antecedente em todas as sentenças. No entanto, a única em que aparece isolada é na última (sentença 4): Passeio —» chove ou náo estou deprimida Como "Passeio” é verdadeira, chove ou não estou deprimida também é. Assim, ou "Chove” é verdadeira, ou “Não estou deprimida” é verdadeira, ou ambas são verdadeiras. Observe que, na sentença 2, “Passeio ou fico deprimida”, temos uma das partes verdadeira (“Passeio”). Por isso, a conseqüência também será verdadeira, ou seja, “Não chove” é verdadeira. Passeio ou fico deprimida —> não chove Voltando em “Passeio -» chove ou não estou deprimida”, como “chove” é falsa, podemos concluir que “não estou deprimida” é verdadeira, já que a conseqüência é verdadeira. Dessa forma, já temos as seguintes verdades: Passeio; não estou deprimida; não chove. Usando “Passeio e não fico deprimida —» vejo Carlos” e sabendo que “Passeio” é verdadeira e “Não fico deprimida” também é verdadeira, podemos concluir que “Vejo Carlos” é verdadeira. Na sentença 3, “Vejo Carlos —> faz calor ou náo passeio”, sabendo que “Vejo Carlos” é verdadeira, podemos concluir que “fez calor ou não passeio” também é verdadeira. Como “não passeio” é falsa, “Faz calor” tem que ser verdadeira para que a conseqüência seja verdadeira. Finalmente, temos que sáo verdadeiras as seguintes proposições: passeio; não estou deprimida; não chove; vejo Carlos e faz calor. Resp.: C

4 Observe o conectivo "E” se transformando em ”OU" na negação de "Náo chove c estou deprimida”.

94 s


Enrique Rocha

11. (ESAF-AFC-2002) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara Ma italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton faia espanhol. Mas Eíton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não feia francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo: a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês; b) Ching náo fala chinês e Débora fala dinamarquês; c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol; d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano; e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. Resolução: Passo 1: separar as sentenças: (I) Se Iara não fàla Italiano, então Ana faia alemão, (II) Se Iara faia italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora, fala dinamarquês, (III) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. (IV) Eiton fàla espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Passo 2: usar a notação algébrica para representar cada uma das frases: (I) Se Iara não fala Italiano, então Ana fala Alemão. Iara NÁO ITALIANO Ana ALEMÃO Ana NÃO ALEMÃO —> Iara ITALIANO (essas duas sentenças são equivalentes: p —» q <=>-q —» -p) (II) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Esta sentença é o ponto-chave do problema. Como você pode ver, aparece um “ou... ou” e isso, como já aprendemos, indica a presença de um “OU Exclusivo”, ou seja, quando se diz “ou p, ou q”, as duas coisas não podem ser verdadeiras nem falsas ao mesmo tempo. Assim, a representação algébrica de “OU p, OU q” é: p <-» -q. Por outro lado (e para complicar), o enunciado insere essa estrutura (que já é um pouco complicada) dentro de uma outra estrutura "SE... ENTÃO”. Veja como você pode montar a sentença (II): Iara ITALIANO

[Ching CHINÊS <-> Débora NÃO DINAMARQUÊS]

Veja que se for verdadeiro que Iara fala Italiano, TODO o lado da direita [Ching CHINÊS Débora NÃO DINAMARQUÊS] deve também ser verdade.

Capítulo 3 —


e

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Considere esta sentença como uma “Grande Implicação”: Iara italiano —» q (onde q: Ching chinês Débora não dinamarquês) Assim podemos fazer o “volta negando”: "q - » Iara não italiano. Mas como negar “Chang chinês” Débora não dinamarquês”? Sabemos que "(p q) <=> (p -q, ou seja, a negação da dupla implicação é um “ou...ou” (ver 3.12.1). [Ching NÃO CHINÊS

Débora DINAMARQUÊS] Iara NÃO ITALIANO

(III) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol Débora DINAMARQUÊS -» Elton ESPANHOL Elton NÃO ESPANHOL ~> Débora NÃO DINAMARQUÊS (volta negando) (IV) Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês Aqui há um passo a mais de interpretação com relação à segunda parte da sentença: Se “não é verdade que Francisco não fala francês”, é porque ce mentira que Francisco não fala francês”. Logo, a sentença eqüivale a “Francisco fala francês”. Assim: Elton ESPANHOL 4 * Francisco FRANCÊS (“volta negando”) Elton NÃO ESPANHOL <-> Francisco NÃO FRANCÊS Passo 3: montar o problema com base nas sentenças representadas: (I) fiara NÃO ITALIANO -4-Ana ALEMÃO [Ana NÃO ALEMÃO -» Iara ITALIANO (II) {[Iara ITALIANO] -» [Ching CHINÊS DÉBORA NÃO DINAMARQUÊS] |[Ching NÃO CHINÊS ^ Débora DINAMARQUÊS] [IaraNÃO ITALIANO] (III) fDébora DINAMARQUÊS -> Elton ESPANHOL [Elton NÃO ESPANHOL Débora NÃO DINAMARQUÊS (“volta negando”) (IV) íElton ESPANHOL ^Francisco FRANCÊS [Eicon NÃO ESPANHOL Francisco NÃO FRANCÊS (equivalência) Passo 4: usar as informações dadas como verdadeiras para desenvolver as conseqüências: O problema considera duas verdades: (a) Francisco NÃO fala francês; e (b) Ching NÃO fala chinês.

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Enrique Rocha

Pela sentença (IV), se Francisco NÁO FRANCÊS, podemos garantir que Elton NÃO ESPANHOL (veja que ler “de trás para a frente” só é possível quando for uma estrutura “se e somente se” (setinha para os dois lados). Pela sentença (III), se Elton NÃO ESPANHOL, podemos garantir que Débora NÃO DINAMARQUÊS. Agora temos um complicador, que é a aplicação das verdades descobertas na sentença (II). Mas, antes disso, vamos analisar as alternativas com base no que já sabemos (como eu já disse era outras partes do livro, durante uma prova seu objetivo não é resolver o problema, mas encontrar a resposta): a) b) c) d) e)

Iara não feia italiano e Débora não fala dinamarquês; Ching não feia chinês e Débora fala dinamarquês; Francisco não faia francês e Elton feia espanhol; Ana não fala alemão ou Iara feia italiano; Ana feia alemão e Débora feia dinamarquês.

Já sabemos que: Francisco NÃO fala francês; Informações passadas pelo enunciado Ching NÃO feia chinês; Elton NÃO ESPANHOL; Débora NÃO DINAMARQUÊS. Alternativa a): nada podemos concluir, porque, mesmo sabendo que a segunda parte é verdadeira, ainda não sabemos se Iara feia ou não o italiano. Como o conectivo usado foi o “e”, para que ela seja verdadeira, ambas as proposições têm que ser verdadeiras.

}

Alternativa b): Como foi usado o conectivo “e”, basca que uma das partes seja felsa para que a alternativa seja falsa. A segunda parte diz que “Débora fala dinamarquês” e já sabemos que isso não è verdade, a alternativa (b) não pode ser verdadeira (e por isso pode ser eliminada das possibilidades). Alternativa c): Como foi usado o conectivo V \ basta que uma das partes seja falsa para que a alternativa seja felsa. A segunda parte diz que “Elton fala espanhol” e já sabemos que isso não é verdade, a alternativa (b) não pode ser verdadeira (e por isso pode ser eliminada das possibilidades). Alternativa d): nada podemos concluir, porque não sabemos o valor lógico de nenhuma das partes.

Capítulo 3 —

Álgebra das Proposições &

97

Alternativa e): Como foi usado o conectivo “e”, basta que uma das partes seja faisa para que a alternativa seja faisa. A segunda parte diz que “Débora feia dinamarquês”, o que sabemos que é “Falso”. Logo, a alternativa (d) não pode ser verdadeira (e por isso pode ser eliminada das possibilidades). Ficamos, então, com duas alternativas válidas: a) Iara não fàla italiano e Débora não fala dinamarquês; d) Ana náo fàla alemão ou Iara fala italiano; Para as duas precisamos saber se Iara feia Italiano. Vamos passar para a análise da sentença (II): (II) f [Iara ITALIANO] [Ching CHINÊS <-» DÉBORA NÃO DINAMARQUÊS [ [Ching NÁO CHINÊS Débora DINAMARQUÊS] -» [Iara NÃO ITALIANO] Quando temos uma sentença do tipo *p —> q”, se o lado esquerdo for verdadeiro, o direito temque ser (porque senão a estrutura “p —>q” se tomaria falsa, não é?) Vamos lembrar a tabela-verdade de “p q”: p y

q

p —> q

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

.

Por outro lado, para que uma estrutura “Se e somente Se”, ou seja, “p q”, seja verdadeira, se uma for verdadeira, a outra também tem que ser e vice-versa, como mostrado na tabela-verdade abaixo: P V

<1 V

P<“>9 V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

m Raciocínio Lógico —

Enrique Rocha

Observe a segunda sentença: [Ching NÃO CHINÊS ITALIANO].

Débora DINAMARQUÊS] -> [Iara NÁO

Temos que ver se o lado esquerdo ([Ching NÃO CHINÊS <-> Débora DINAMARQUÊS]) é verdadeiro, para podermos garantir que o lado direito também será (Iara NÂO ITALIANO). Acontece que para o lado esquerdo ser verdadeiro, por ser um “Se e somente Se”, as duas teriam que ter o mesmo valor lógico e isso não acontece, porque “Ching NÃO CHINÊS” é “verdadeiro” (o enunciado garante isso), mas “Débora DINAMARQUÊS” é “falso” (já concluímos isso anteriormente). Logo, o lado esquerdo da sentença é falso. Dessa forma, temos uma estrutura “p -> q” na qual o lado esquerdo é “Falso”. Na tabela-verdade “p q” acima, vemos que nesse caso, independentemente do valor de “q”, a sentença será verdadeira como um todo. Como resolver isso? Passemos à análise da primeira forma da sentença: [IaralTALIANO] -> [Ching CHINÊS *+ Débora NÁO DINAMARQUÊS] Mais uma vez estamos diante de uma expressão do tipo “p ->■ q5\ Acontece que não sabemos ainda se “Iara ITALIANO” é “verdadeiro” ou “falso”. No entanto, já sabemos que “Ching CHINÊS” é “falso” e que “Débora NÃO DINAMARQUÊS” é “verdadeiro”. Daí podemos concluir que a expressão “Ching CHINÊS * * Débora NÁO DINAMARQUÊS” é, como um todo, “falsa”. Voltemos à tabela-verdade de “p —> q”: p V V F F

q V F V F

p —> q v F V V

Observe que se “q” (lado direito da implicação lógica) é “F”, a única forma de termos um “p —> q” com valor lógico “V ’ é se “p” também for “F” (observe a segunda e a quarta linhas da tabela acima). Logo, para que o que foi dito no enunciado seja verdadeiro, temos que atribuir “F” à sentença “Iara ITALIANO”, concluindo finalmente que “Iara NÁO ITALIANO” (!!!!!!!).

Capítulo 3 —


a

99

Agora ficou fácil analisar a sentença 00: Pela sentença (I), se Iara NÃO ITALIANO Ana ALEMÃO. Podemos então garantir que Ana não fala alemão. Como só tínhamos duas alternativas possíveis (as outras foram eliminadas pelas conclusões anteriores): a) Iara não fala italiano e Débora nãp feia dinamarquês; d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano; Alternativa a): as duas partes da sentença que usa o conectivo “E” são verdadeiras e essa é a alternativa correta. Alternativa d): mesmo com o conectivo “OU”, que só requer que uma das partes seja verdadeira para que o todo seja verdadeiro, a alternativa é “Falsa”, porque as duas partes que compõem a sentença são “Falsas”. Resp.; A 12. (ESAF/AFTN/98) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: * se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; ° ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; 8 o mordomo não é inocente. Logo: a) a governanta e o mordomo são os culpados, somente o cozinheiro é inocente; b) somente a governanta é culpada; c) somente o mordomo é culpado; d) o cozinheiro e o mordomo são os culpados. Resolução: Passo 1: separar as sentenças: (I) Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. (II) Ou o mordomo é culpado, ou a governanta é culpada (a expressão “mas não os dois” simplesmente explicita o caráter de exclusividade do “Ou... Ou”)-

100 e


Passo 2: usar a notação algébrica para representar cada uma das frases:

(I) Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada. Cozinheiro INOCENTE -» Governanta CULPADA Governanta INOCENTE —> Cozinheiro CULPADO (volta negando) (II) Ou o mordomo é culpado, ou a governanta é culpada £ uma estrutura “OU p OU q” e deve ser montada como “p <-> -q” (conserva-se a primeira e nega-se a segunda). Mordomo CULPADO <— > Governanta INOCENTE Governanta CULPADA Mordomo INOCENTE Passo 3: usar a afirmação “o mordomo não é inocente” (que eqüivale a “Mordomo

culpado”) para tirarmos as conclusões: Pela sentença (II), se o Mordomo é culpado, podemos garantir que a Governanta é inocente. Pela sentença (I), como sabemos que a governanta é inocente, podemos garantir que o Cozinheiro é culpado. Problema resolvido!!! Resp.: D 13. (ESAF-AFTN-1998) Considere as afirmações: A) se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas três afirmações permite concluir que elas;

a) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa amiga; b) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa amiga; c) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade e que Helena não é uma boa amiga; d) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma boa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga; e) sáo inconsistentes entre si. Resolução:

íIm p o r ^ t« ;:íst^ p sid i^ te ^ que,^^diferenteidosíd^î .não;/ -indica uma situação verdadeira para que você possa tirar as conclusoès^Çomo resolver isso? Monte o problema e avalie as duas possibilidades (ppr exemplo, ■:CÕnsi4ere qüe “Patrícia é uma boa amiga” e; vejaasconsequençias.F^ para “Patrícia não é uma boa amiga” e veja as conseqüências). Certamente, apenas^ :;iunadelas levará à coerência e^ pòr isso, será á spluçãp párá o problema..

Capítulo 3 —


s

101

Passo 1: separar as sentenças: (I) Se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade. (II) Se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga. (III) Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. Passo 2: usar a notação algébrica para representar cada uma das frases: (I) Se Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade. Patrícia AMIGA *-» Vítor VERDADE Vítor MENTIRA -> Patrícia NÁO AMIGA (volta negando) (II) Se Vítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga. É uma estrutura “OU p OU q” e deve ser montada como “p ~q” (conserva-se a primeira e nega-se a segunda). Vítor VERDADE <-» Helena NÁO AMIGA Helena AMIGA <-> Vítor MENTIRA (equivalência) (III) Se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma boa amiga. É uma estrutura “OU p OU q” e deve ser montada como “p <-> ^q” (conserva-se a primeira e nega-se a segunda). Helena NÃO AMIGA *■» Patrícia AMIGA Patrícia NÁO AMIGA «-» Helena AMIGA Passo 3: considerar a hipótese de “Patrícia è uma boa amiga” ser “Verdadeira”: Pela sentença (I), se Patrícia é boa amiga, podemos garantir que Vítor diz a verdade. Pela sentença 01), se Vítor diz a verdade, podemos garantir que Helena não é uma boa amiga. Pela sentença (III), se Helena não é uma boa amiga, podemos garantir que Patrícia é uma boa amiga. Observe que partimos de “Patrícia é uma boa amiga” e voltamos a “Patrícia é uma boa amiga”. E um caminho que mantém sua coerência.

102 s


Passo 4: considerar a hipótese de "Patrícia não é uma boa amiga” ser "Verdadeira”: Pela sentença (III), se Patrícia não é boa amiga, podemos garantir que Helena é uma boa amiga. Pela sentença (II), se Helena é uma boa amiga, podemos garantir que Vítor não diz a verdade. Pela sentença (I), se Vítor não diz a verdade, podemos garantir que Patrícia não é uma boa amiga. Observe que partimos de "Patrícia nãó é uma boa amiga” e chegamos a “Patrícia não é uma boa amiga”. E um caminho que mantém sua coerência. Assim, concluímos que a alternativa (d) é correta. Problema resolvido!!! Resp.: D

Capítulo 3 —


a

103

Exercícios de Álgebra das Proposições

1. (ESAF-2003) Paula quer viajar à França para visitar Pedrita, mas náo tem certeza se Pedrita ainda mora em Paris. Suas primas, Patrícia, Pâmela e Priscila, têm opiniões discordantes sobre se Pedrita ainda mora, ou náo, em Paris. Se Patrida estiver certa, então Priscila está enganada. Se Priscila estiver enganada, então Pâmela está enganada. Se Pâmela estiver enganada, então Pedrita não mora mais em Paris. De outro lado, ou Pedrita ainda mora em Paris, ou Paula não viajará à França. 'Verificou-se que Patrida está em a (isto é, náo está enganada). Logo;

a) b) c) d) e)

Pâmela e Priscila náo estão enganadas; Pâmela está enganada e Paula não viajará à França; Priscila está enganada, mas não Pâmela; Pedrita ainda mora em Paris, e Patrícia está certa; Pedrita náo mora em Paris e Priscila não está enganada.

2 . (ESAF-TCU-I999) Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia, Se Beatriz briga com

Bia, então Bia vai áo bar. Se Bia vai ao bar, então Beto briga com Bia. Ora, Beto náo briga com Bia. Logo:

a) b) c) d) e)

Bia não vai ao bareBeatriz briga com Bia; Bia vai ao bar eBeatriz briga com Bia; Beatriz não briga com Bia e Beraldo náo briga com Beatriz; Beatriz briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz; Beatriz não briga com Bia e Beraldo briga com Beatriz.

3. (ESAF-MF-2000) João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a João, pergunta-lhe; “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João responde ao garçom; “Sou filho único, e o pai da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é

a) pai de João; b) filho de João; c) neto de João;

d)avô de João; e)tiode João.

4. (ESAF/AFTN/%) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo contra Fogo”, mas não tem certeza de que o mesmo esteja sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio, têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não era cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

a) b) c) d) e)

o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido; Luís eJúlio não estão enganados; Júlio está enganado, mas não Luís; Luís está enganado, mas não Júlio; José não irá ao cinema.

104 s


Enrique Rocha

5. (ESAF-MPU-2004) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:

a) b) c) d) e)

João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo; João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo; João está feliz, e Maria sorri, e Daniela náo abraça Paulo; João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela náo abraça Paulo; João náo está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

6. (ESAF) Ou Anais será professora, ou Anelise será cantora, ou Anaméiia será pianista. Se Ana for atleta, então Anaméiia será pianista. Se Anelise for cantora) então Ana será atleta. Ora Anaméiia não será pianista. Então;

a) b) c) d) e)

Anais será professora e Anelise náo será cantora; Anais não será professora e Ana não será adeta; Anelise não será cantora e Ana será atleta; Anelise será cantora ou Ana será atleta; Anelise será cantora e Anaméiia não será pianista.

7. (ESÀF-MPO G-2000) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que:

a) b) c) d) e)

André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro; se André é artista, então Bernardo náo é engenheiro; se André náo é artista, então Bernardo é engenheiro; se Bernardo é engenheiro, então André é artista; André não é artista e Bernardo é engenheiro.

8. (SERPRO-2001) No último domingo, Domeles não saiu para ir à missa. Ora, sabe-se que sempre que Denise dança, o grupo de Denise ê aplaudido de pé. Sabe-se, também, que, aos domingos, ou Paula vai ao parque ou vai pescar na praia. Sempre que Paula vai pescar na praia, Domeles sai para ir à missa, e sempre que Paula vai ao parque, Denise dança. Então, no último domingo:

a) b) c) d)

o grupo de Denise náo foi aplaudido de pé e Paula não foi pescar na praia; Denise náo dançou e o grupo de Denise foi aplaudido de pé; Denise dançou e seu grupo foi aplaudido de pé; Paula náo foi ao parque e o grupo de Denise náo foi aplaudido de pé.

9. (SERPRO-2001) Cícero quer ir ao circo, mas náo tem certeza de que o circo ainda esteja na cidade. Suas amigas, Cecília, Célia e Cleusa, têm opiniões discordantes sobre se o circo está na cidade. Se Cecília estiver certa, então Cleusa está enganada. Se Cleusa estiver enganada, então Célia está enganada. Se Célia estiver enganada, então o circo não está na cidade. Ora, ou o circo está na cidade, ou Cícero não irá ao arco. Verificou-se que Cecília está certa. Logo:

a) b) c) d) e)

o circo está na cidade; Célia e Cleusa náo estão enganadas; Cleusa está enganada, mas náo Célia; Célia está enganada, mas náo Cleusa; Cícero náo irá ao circo.

Capítulo 3 —

Álgebra das Proposições m

105

10. (ESAF-AFC-2000) Se Veta viajou, aem Camiie nem Carla foram ao casamento. Se Carla náo foi ao casamento, Vanderleia viajou. Se Vanderleia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afun dou. Logo:

a) b) c) d) e)

Vera náo viajou e Carla não foi ao casamento; Camiie e Carla náo foram ao casamento; Carla não foi ao casamento eVanderleia não viajou; Carla não foi ao casamento ou Vanderleiaviajou; Vera e Vanderleia não viajaram.

11. (ESAF-MTb-1998) Sabe-se que a ocorrência de B ê condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A, Assim, quando C ocorres

a) b) c) d) e)

D ocorre e B não ocorre; nem B nemD ocorrem; D não ocorre ouA não ocorre; B nâo ocorre ou A não ocorre; B eA ocorrem.

12. (CESPE-PF-2G04) Texto para os itens de 1 a 3. Sejam P e Q variáveis preposicionais que podem ter valoraçóes ou ser julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais comoi a proposição condicional, denotada por /*-» Q, que será F quando P for V e Q for F, ou Y nos outras casosj a disjunção de P e Q, denotada por P a Q, que será F somente quando P e Q. forem E ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será Vsomente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F{ e a negação de P, denotada por -
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subsequentes. (1) As tabelas de valoraçóes das proposições P v Q e Q -> -iP são iguais. (2) As proposições (PvQ)~»Se(P—»Q)v (Q.—> S) possuemtabelas de valoraçóes iguais. (3) O número de tabelas de valoraçóes distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais é igual a 2. 13. (CESPE-PF-2004) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição -iR verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então concluise que R é verdadeira (ou -*R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições sáo equivalentes quando possuem as mesmas valoraçóes, julgue os itens que se seguem*

(1) De acordo coma regra da contradição, P - » Q. é verdadeira quando, ao supor P a ->Q verdadeira, obtém-se uma contradição. (2) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas —G —envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q. afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

106 e.


14. (ESAF-MP OG-2003) Asa é artista ou Carlos é carioca, Se Jorge é juiz, então Breno náo é bonito. Se Carlos é carioca, então Breno é bonito. Ora, Jorge é juiz. Logo:

a) b) c) d) e)

Jorge éjuize Breno é bonito; Carlos é carioca ou Breno é bonito; Breno é bonito e Ana é artista; Ana não é artista e Carlos é carioca; Ana é artista e Carlos não é carioca,

15. (ESAF'MRE-2002) Se a professora de Matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula, Se a professora de Francês náo deu aula, a professora de Português foi à reunião. Se a professora de Português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo:

a) b) c) d) e)

a professora de Matemática não foi à reunião e a professora de Francês não deu aula; a professora de Matemática e a professora de Português não foram à reunião; a professora de Francês não deu aula e a professora de Português não foi à reunião; a professora de Francês náo deu aula ou a professora de Português foi à reunião; a professora de Inglês e a professora de Francês náo deram aula,

16. (ESAF-AFC-2004) Ana é prima de Bia, ou Carlos é filho de Pedro. Se Jorge é irmão de Maria, então Breno não é neto de Beto, Se Carlos é filho de Pedro, então Breno é neto de Beto. Ora, Jorge ê irmão de Maria. Logo:

a) b) c) d) e)

Carlos é filho de Pedro ou Breno é neto de Beto; Breno é neto de Beto e Ana é prima de Bia; Ana não é prima de Bia e Carlos é filho de Pedro; Jorge é irmão de Maria e Breno é neto de Beto; Ana é prima de Bia e Carlos não é filho de Pedro.

17. (ESAF-AFC-2004) Uma professora de Matemática fez as três seguintes afirmações:

“X > Q. e Z < Y”; “X > Y e Q> Y, se e somente se Y > Z”; KR Q, se e somente se Y » X”. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que*. a) X > Y > Q > Z; b) X > R > Y > Z; c) Z < Y < X < R; d) X > Q> Z> R; e) Q < X < Z < Y.

Capítulo 3 —


Gabarito de exercícios de Álgebra das Proposições

1.B

10. £

2.C

ILE

3. B

12. E, E, E

4. E

13. C C

5. D

14. E

6. A

15. B

7. D

16. E

8. C

17. B

-9.E

s 107

C apítulo 4

Silogismos: Todo, Algum, Nenhum “Você não entende Matemática porque não gosta, ou não gosta porque não entende. Aprenda um pouquinho, goste um pouquinho mais... assim, cada vezserá maisfácildar opróximo passo (..).a 4.1.

Conceitos iniciais

4.1.1.

Tipos de raciocínio: analogia, indução e dedução

Analogia - raciocínio em que, comparando-se semelhanças entre situações diferentes, inferimos outras semelhanças. Exemplo: João, Maria, Paulo, Carlos e José sáo meus filhos e gostam de estudar Matemática. Então infiro que o meu filho que vai nascer também gostará de Matemática. Nem sempre a conclusão é verdadeira.

110 a


Enrique Rocha

Indutivo - raciocínio em que, partindo-se de Informações particulares, inferimos uma conclusão geral. Exemplo: A barata, o escorpião e o gafanhoto não têm ossos. Deduzimos que os insetos não têm ossos. Nem sempre a conclusão é correta. A barata, o escorpião e o gafanhoto não têm ossos. Deduzimos que os animais não têm ossos. Quanto maior o número de casos particulares observados, maior a probabilidade de a conclusão ser correta, Dedutivo - parte-se do geral para o particular. Exemplo: Todos os homens são mortais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal. 4.1.2.

Definição (informal)

Silogismo é uma forma de raciocínio dedutivo em que, partindo-se de certas informações, infere-se uma determinada conclusão. Neste livro, estudaremos os silogismos categóricos formais ou regulares que constam de duas proposições-base (premissas) para o raciocínio, conclusão e de três termos, tomando como base o exemplo dado para o raciocínio dedutivo. 4.1.3.

Estrutura de um silogismo

1. Premissas e conclusão: Premissa maior—é a premissa geral, de maior extensão, que vem geralmente citada primeiro. Todos os homens são mortais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal Premissa menor —é a premissa mais particular, que vem geralmente em segundo. Todos os homens são mortais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal.

Capítulo 4 —

Silogismos: Todo, Algum, Nenhum

s

111

Conclusão —é a proposição deduzida das premissas. Todos os homens são morrais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal. 2. Termos: Termo maior - é o predicado da premissa maior e da conclusão. Todos os homens são mortais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal. Termo médio —é o sujeito da premissa maior e o predicado da premissa menor. Náo aparece na conclusão. Todos os homens são mortais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal. . ; Termo menor - é o sujeito da premissa menor e da conclusão. Todos os homens são mortais. Carlos é um homem. Logo, Carlos é mortal. Vemos, então que: a premissa maior contémo termo maior como predicado (mortais) e o termo médio, como sujeko (homens); a premissa menor contém o termo médio como predicado (homem) e o termo menor, como sujeito (Carlos); a conclusão contém o termo menor como sujeito (Carlos) e o termo maior, como predicado (mortal).

4.1.4.

Falácia

Faláda é um falso raciocínio lógico com aparência de verdadeiro. O termo deriva do verbo latino fallere, que significa “enganar”. Algumas falácias são cometidas involuntariamente e, neste caso, são denominadas paralogismos; outras, elaboradas com o objetivo de confundir, são denominadas sofismas. As falácias podem ser elaboradas com base em premissas falsas ou premissas verdadeiras que, por representarem casos específicos (e não gerais), não podem ser generalizadas.

112 s


Enrique Rocha

Exemplo: premissa 1: Eu sou mortal; premissa 2: Marcelo é mortal; conclusão: Todos os homens são mortais. Ainda que a conclusão esteja correta do ponto de vista real, este argumento é uma falácia, porque as premissas apresentadas não levam à conclusão feita, já que a estrutura é enganosa. 4.1.5.

Paradoxo

São raciocínios em que se parte de enunciados não contraditórios, mas as conclusões feitas são contraditórias. Um paradoxo demonstra tanto a veracidade quanto a falsidade de um argumento. A palavra paradoxo significa literalmente o que está para além do senso comum. De modo geral, um paradoxo pode ser considerado um absurdo. Exemplo: O poeta cretense afirma que todos os cretenses são mentirosos. Perceba que, como o poeta que falou também é cretense, não temos como avaliar esta afirmação como verdadeira ou falsa. 4.1.6.

Problemas de silogismos

Geralmente, os problemas sobre silogismos apresentam expressões como “todos”, “algum”, “nenhum”, “pelo menos um”. Muitos problemas encontrados são resolvidos mais facilmente com base na Teoria de Conjuntos e utilizando-se os Diagramas de Venn. 4.2.

Análise das Proposições Categóricas

Todo A éB -se um elemento pertence ao conjunto A, então pertence também a B. Diagrama de Venn

Capítulo 4 —

Proposição categórica

Representação simbólica

Todo A éB

V%(A(x)-±B(x))

Silogismos: Todo, Algum, Nenhum m

113

Leitora Qualquer que seja x, se ele pertence a A, pertence necessariamente também a B

Algum A é B (ou: pelo menos um A é B) —existe pelo menos um elemento comum aos conjuntos A e B. Diagrama de Verm

"Algum A é B”



Algum A éB

3x\(A(x) a B(x)

Leitura Existe um elemento x tal que x peitence a A e também pertence a B

Os elementos comuns aos dois conjuntos estão representados pela parte sombreada. Nenhum A éB —não existe nenhum elemento comum aos conjuntos A e B, isto é, se um elemento pertence a A, então não pertence a B, e vice-versa. Diagrama deVenn

"Algum A NÁO é B" Algum A não é B - existe pelo menos um elemento que pertence a A, então não pertence a B, e vice-versa.

114 a




Nenhuma A é B

^ x \A(x) a B ( x)

Leitura Não existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence aB

Diagrama de Venn

"Algum A NÁO éB" Perceba-se que, nesta sentença, a atenção está sobre o(s) elemento(s) de A que não são B (enquanto que, no “Algum A é B”, a atenção estava sobre os que eram B, ou seja, na intercessão). Proposição categórica


Algum A não é B

3x| A(x) a -\B(x)

4.3.

Leitura Existe um elemento x tal que x pertence a A e não pertence a B

fcSegaçoess Um Outro Ponto importante

E muito comum encontrarmos em provas de concursos coisas como “Dizer que não é verdade que todos os atores são charmosos é logicamente equivalente a (...)” Bem, dizer que não é verdade é a mesma coisa que “negar”, náo é mesmo? Assim, negar que “todos os atores são charmosos” implica afirmar alguma coisa que prove que isso não é verdade. Vamos estudar caso a caso, ou seja, a negação para todo, algum e nenhum. Em uma prova de um concurso do Senado Federal, foi apresentada uma questão sobre esse assunto, na qual a tabela abaixo foi apresentada:

Capítulo 4 —


115



Todo A é B

Vx(A(x)-±B(x))

Qualquer que seja x, se ele pertence a A, pertence também (necessariamente a B)

Algum A é B

3x\(A(x) a B(x)

Existe um elemento x tal que x pertence a A e também pertence a B.

Nenhum A é B

fe\A (x) a B(x)

Náo existe um elemento x que pertença a A e também pertença a B.

Algum A não éB

3x| A(x) a —\B(x)

Existe um elemento x tal que x pertence a A e não pertence a B.

Leitura

Mesmo com base nas definições formais apresentadas acima, ainda consideramos que os conjuntos podem ser uma forma melhor de visualizar essas situações e, por isso, estaremos trabalhando com eles sempre que possível. 4.3.1.

Negação de “iodo”

Se alguém lhe dissesse que “todos os atores são charmosos” e você quisesse negar essa afirmação, bastaria você dizer “olha aqui, isso não é verdade, porque eu conheço um ator que não ê charmoso”. Concorda? Desta forma, quando alguma afirmação é feita sobre "Todo A é B”, sua negação implica simplesmente encontrar pelo menos um A que não seja B”; em outras palavras, negar “Todo A é B” é a mesma coisa que falar "pelo menos um A não é B” ou, ainda, “algum A não é B”. Note-se, aqui, que nossa tendência natural é negar “Todo ator é charmoso”, dizendo “Nenhum ator é charmoso”. Mas esta não é a negação correta, pois, para que a primeira proposição seja fàlsa, não é necessário que nenhum ator seja charmoso, mas que somente que algum ator não seja charmoso. 4.3.2.

Negação de “ nenhum”

Da mesma forma, se alguém afirma que “Nenhum ator é charmoso” e queremos negar essasentença, precisamos apenas mostrar que conhecemos pelo menos um ator charmoso, ou seja, bastaria afirmarmos que “algum ator é charmoso”. Esta negação traz o mesmo tipo de provocação que a anterior: temos o ímpeto de negar “nenhum ator é charmoso”, dizendo “todo ator é charmoso”. Isso também não está logicamente correto, porque, para que não seja verdade que “nenhum ator é charmoso”, náo é necessário que todos o sejam, mas apenas que “pelo menos um ator seja charmoso”.

116 e

4.3.3.


Enrique Rocha

Negação de “algum”

Nesta última situação, imagine que você escute a sentença “Algum ator é charmoso”. O que seria necessário para negá-ia? Aqui, você precisaria afirmar que “nenhum ator é charmoso”, já que a primeira sentença simplesmente afirmou que “algum é”. De forma análoga, se a primeira proposição fosse “Algum ator não é charmoso”, você negaria com “Todo ator é charmoso” ou, ainda, com “Nenhum ator não é charmoso”. Exemplos: Proposição -; :^^^tgfcLr^fôjijââcÍ^ftfe Todo A éB

^^^íõTme&s.'-:| f ^ fPelo;jmenos.;iüh^ :^^-im^não;éi3 ,-jqf :Sâl^ Sgu m ^ M ráSSy| :%^0^úxxüúsóitove^^0

'!!§ |f ||§ f

^ fl^ L ^ e n o s •j ;"; ./ :• :chármoso ■■.'■,■.■.-.•■■■.-.■ _v ífenhúm A éB *>.-

'I N ^ i n S o r c

M êMSSÍSMSI ;■■’"> .charmoso. ;.!■'. ■ 4.4.

Exercícios Resolvidos Envolvendo Silogismos

1. Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente: a) todo responsável é artista; b) todo responsável é filósofo ou poeta; c) todo artista é responsável; d) algum filósofo é poeta; e) Algum trabalhador é filósofo. Resolução: Temos aqui as seguintes proposições: 1. todo trabalhador é responsável;

Capítulo 4 —

Silogismos: Todo, Algum, Nenhum &

117

2. todo artista, se náo for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Dedução 1: nem todo artista é filósofo, equivalente a “Algum artista não ê filósofo.”

Dedução 2: se um artista não é filósofo, então ele é trabalhador (portanto, responsável) ou é poeta. Dedução 3: todo artista ou é filósofo, ou trabalhador ou poeta. Dedução 4: todo artista que não for filósofo é trabalhador. Como todo artista é filósofo, poeta ou trabalhador, podemos perceber que a área hachurada contém necessariamente todos os poetas e trabalhadores que não são filósofos. Artista

Todos da área hachurada são trabalhadores ou poetas

Não há filósofo e não há poeta que não seja responsável.

Esta sentença tem o mesmo significado de “todo filósofo é responsável e todo poeta é responsável”. A representação seria:

118 s

Raciocínio Lógico— Enrique Rocha

Conclusões: “Todos os artistas ou sáo filósofos, ou poetas ou trabalhadores. ‘‘Todo filósofo é responsável.” “Todo poeta é responsável/’ “Todo trabalhador é responsável.” “Todo artista é responsável.” Resp.: C 2. Todas as amigas de Beto são, também, amigas de Berenice, mas nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna. Todas as amigas de Bia são também amigas de Bela, e algumas amigas de Bela são também amigas de Bruna. Como nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice, e como Bela, Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum, então: a) pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna; b) pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna; c) todas as amigas de Bela são amigas de Beto; d) todas as amigas de Bela são amigas de Bia; e) nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto. Resolução: "^•-Nestç tipo t f è ! p r o b l ^

‘réirtrMênirp riHhs ç4£Íarinrià mif»n

^ l^ rro
Capítulo 4 —


s

119

Passo 1: Escrever uma a uma as frases do enunciado, montando os respectivos diagramas de Venn: Regra 1: todas as amigas de Beto são amigas de Berenice:

Regra 2: nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna (aqui, como os conjuntos são disjuntos, podemos complementar o diagrama, inserindo Beto como subconjunto de Berenice:

Regra 3: todas as amigas de Bia são amigas de Bela:

Regra 4: algumas amigas de Bela são amigas de Bruna: Bruna

120 b


Enrique Rocha

Regra 5: nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice:

Regra 6: Bela, Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum (esta frase não deve ser considerada por enquanto). Passo 2: : Identificar os conjuntos participantes do problema: Berenice Beto Bela Bia Bruna £ Passo 3: Montar a tabela, descrevendo os relacionamentos entre todos os conjuntos. Isto segue a mesma lógica da montagem das tabelas dos problemas de correlacionamento e deve ser feito, seguindo-se as seguintes etapas: (1) escolhe-se um dos conjuntos e cria-se uma linha para ele; (2) cada um dos outros é colocado como coluna; e (3) todas as colunas, menos a primeira, são repetidas çQmo linhas (abaixo da primeira linha): Beto

Berenice

Bruna

Bela Bruna

Bia

r- ■'

Berenice Passo 4: n Observando os diagramas montados no primeiro passo, identificar os relaciona mentos entre cada um dos conjuntos.

Capítulo 4 —

$ílogismos: Todo, Algum, Nenhum

e

121

Observações: i. na identificação de cada um dos relacionamentos, observe o diagrama, prestando atenção apenas aos conjuntos em questão; ii. no caso dos relacionamentos do tipo “Todo”, observe que a tabela deverá indicar a direção da leitura do relacionamento. Exemplo: o enunciado diz: “toda amiga de Bia é amiga de Bela”, o que não significa necessariamente que “toda amiga de Bela é amiga de Bia”. Neste caso, deve ser desenhada uma seta na direção de Bela, como mostrado na tabela abaixo; iii. quando o relacionamento não tiver sido explicitamente determinado pelo enunciado, trata-se de uma dúvida. Isso significa que o relacionamento poderia ser “Todo”, “Algum” ou "Nenhum” e você não pode escolher um deles a seu critério. Marque uma interrogação na tabela e conserve a dúvida até que seja possível saná-la; iv. mantenha em mente que, em alguns problemas você, nem vai chegar a decidir sobre este relacionamento e a resposta será dada sem essa parte. Beto

Berenice

Bia

Bruna

Bela

Nenhum

Nenhum

Todo

Algum

Bruna

Nenhum

Nenhum

. >

Bia

Nenhum

Nenhum

Berenice

Todo

Dica: neste ponto, simplesmente olhando para a tabela acima, já é possível eliminar algumas alternativas: 1. pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna (é exatamente aqui que reside nossa dúvida. Portanto, nada poderíamos concluir sobre esse item); 2. pelo menos uma amigade Beto éamiga de Bruna (falso, porquea tabela demonstra que o relacionamento entre estes dois conjuntos é do tipo “Nenhum”); 3. todas as amigas de Bela são amigas de Beto (falso, porque a tabela demonstra que o relacionamento entre estes dois conjuntos é do tipo “Nenhum”); 4. todas as amigas de Bela são amigas de Bia (falso e veja a importância da seta marcada na tabela. Esta alternativa tentou induzir você ao erro de inverter a sentença de “Todo”); 5. nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto (verdadeiro. Já poderíamos marcar esta alternativa como correta, mesmo antes da análise que vamos fazer a seguir com relação à nossa dúvida —Bia e Bruna).

122 is


Enrique Rocha

Passo 5: Análise da dúvida sobre Bia e Bruna. Como náo sabemos o relacionamento entre estes dois conjuntos, temos que considerar as três possibilidades existentes: todo, algum ou nenhum. O ponto de partida é começar a montar o diagrama global e isso é sempre feito, iniciando-se pelos conjuntos que se relacionam com “Algum”. Depois disso, os outros conjuntos vão sendo acrescentados ao diagrama global, observando-se as regras previamente enunciadas:

Ficam faltando os conjuntos Berenice, Beto e Bia. Como o Berenice não encosta em Bela (frase “5”) e náo encosta em Bruna (frase “2”), podemos simplesmente acrescentá-lo (com o do Beto dentro dele) à intercessâo acima, ficando:

Ainda temos que acrescentar a Bia, mas, como não sabemos o relacionamento dela com a Bruna, precisamos analisar as três possibilidades (todo, algum e nenhum): I a possibilidade; o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo "Todo” Se o relacionamento de Bia e Bruna for do tipo “Todo” e como Bia tem que estar dentro de Bela, seria: “Toda Bia é Bruna”, resultando em:

Capítulo 4 —


123

2a possibilidade: o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo “Algum” Se o relacionamento de Bia e Bruna for do tipo “Algum”, teremos:

3a possibilidade: o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo “Nenhum” Por fim, se o relacionamento de Bia e Bruna for do tipo “Nenhum”, teremos:

Berenice

124 e


Enrique Rocha

Agora é que você vai usar a frase 6: “Bela, Bia e Bruna não têm nenhuma amiga em comum”. Observe que, nos dois primeiros desenhos, é possível encontrar uma amiga de Bia que também seja amiga de Bela e de Bruna (o que é explicitamente proibido pela frase acima). —A amiga de Bia a que nos referimos está representada nos diagramas pelo elemento "x". Apenas no último caso - quando o relacionamento entre Bia e Bruna é do tipo “Nenhum” é que isso não tem como acontecer. Por isso, a alternativa (a), que diz “pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna”, é com certeza falsa. (Já que pela única possibilidade que obedece todas as regras do enunciado, o relacionamento entre Bia e Bruna é “nenhum”, ou seja, “nenhuma amiga de Bia é também amiga de Bruna”.) O O '

3. Para cada um dos itens abaiso, julgue a conclusão apresentada com base nas premissas:

a) Premissa 1: Premissa 2:

—iq

Conclusão:

p

Premissa 1:

P ^ (J

b) Premissa 2: Conclusão:

P

Resolução:

Neste tipo de problema, você deve avaliar se a conclusão pode ou não ser tirada com base nas premissas apresentadas. E um dos casos em que você se fará valer da tabela-verdade, conforme mostrado a seguir; a) Premissa 1:

pvq

Premissa 2:

—i£f

Conclusão:

P

Capítulo 4 — Silogismos: Todo, Algum, Nenhum

b

125

O primeiro passó é construir a tabela-verdade para a premissa 1: p

q

pvq

V V F F

V F V F

V V V F

Quando o enunciado diz quep v q é uma premissa, você deve considerar quep v q é verdadeira, ou seja, podemos eliminar, na tabela-verdade acima, a última linha, onde p e q são F, levando a p v q também F: P

q

V

V

V

V

F

V

V

V

F

Pv q

-- 1*--- ......Uv ....

1'

O segundo passo é usar a premissa 2, partindo do pressuposto de que ela é verdadeira, Se é verdadeira, então q é falsa. Isso nos leva a eliminar as linhas onde isso não acontece: p ...

x r.

V p

pv q

q

.

v

F

.

v V

.....

V

V .......•s.r.......

v

..r ... ... r .... ■■v... Com isso, podemos perceber que só restou a linha em que p é verdadeira e q é falsa. Como o enunciado apresenta como conclusão, afirmamos que a conclusão é correta, já que, na única alternativa que restou, p realmente ocorre, ou seja, é verdadeira. Logo, a letra a) é verdadeira, b) Premissa 1:

p~*q

Premissa 2: Conclusão:

p

126 s


Enrique Rocha

O primeiro passo é construir a tabela-verdade para a premissa X:

p~>q: p V

q V

P"M V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Quando o enunciado diz que p -» q ê uma premissa, ele está afirmando que/> —> q é verdadeira, ou seja, podemos eliminar, na tabela-verdade acima, a linha onde p é verdadeira e q é falsa, levando a p - > q também F: p V v

q

p —» q

V

V

F

V

V

F

F

V

i

O segundo passo ê usar a premissa 2, partindo do pressuposto de que ela é verdadeira. Se é verdadeira, então q é falsa. Isso nos leva a eliminar as linhas onde isso não acontece: P V

q V

p -» q

V

F

F

F

V

V

F

F

V

V

Com isso, podemos perceber que só restou a linha em que p e q sáo falsas. Como o enunciado apresenta como conclusão, afirmamos que a conclusão é incorreta, já que, na única alternativa, p é falsa. Logo, a letra b) é falsa. Resp.: a) V b) F

Capítulo 4 —


s

127

4. Em um grupo de amigas, todas as meninas loiras são, também, altas e magras, mas nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos, e algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Como nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra, e como neste grupo de amigas não existe nenhuma menina que tenha cabelos crespos, olhos azuis e seja alegre, então: a) pelo menos uma menina alegre cem olhos azuis; b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis; c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras; d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres; e) nenhuma menina alegre é loira. Resolução: Comentário: Esta questão tem exatamente a mesma estrutura da questão 2 (a ESAF constumava fazer isso!!!). Use-a apenas como reforço para assimilação do método. Passo 1: extrair as sentenças do enunciado: Todas as meninas loiras são também altas e magras. Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos. Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre. Passo 2: identificar os conjuntos que fazem parte do problema: Aqui há uma observação importante: apesar de “Altas” e "Magras” parecerem dois conjuntos distintos, você deve considerar como um conjunto único "Altas e Magras”. Por quê? Porque em nenhum momento o enunciado faz citações isoladas a ‘Altas” ou a “Magras”. Vamos simplificar os nomes dos conjuntos: Alta e Magra Loira Azuis Crespos Alegre

128


Passo 3: representar as sentenças diagramas de conjuntos: Regra 1: Todas as meninas loiras são também altas e magras. Aita e Magra

Regra 2: Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Alta e Magra

Azuis

Regra 3: Todas as meninas alegres possuem cabelos crespos.

Regra 4: Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis. Crespos

Azuis

Regra 5: Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. Crespos

Aita e Magra

Regra 6: Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre. Esta sentença não pode ser representada ainda, mas será importante para que possamos chegar à resposta do problema.

Capítulo 4 —


0 129

Passo 4: construir uma tabela que represente os relacionamentos entre os conjuntos identificados (veja que aqui as tabelas sáo construídas usando-se a mesma técnica apresentada no Capítulo 2). Cada célula desta tabela é o cruzamento entre dois conjuntos e seu valor é definido com base nos diagramas acima: Alta e Magra Loira

Azuis

Crespos

Alegre

Todo T

Alegre

Todo t

Crespos

Nenhum

Azuis

Nenhum

Algum

Observações importantes: 1. Os relacionamentos do tipo “Todo” têm direção e ela deve ser marcada com uma setinha no sentido em que se lê a sentença. Isso porque dizer “Toda Loira tem olhos azuis” não significa afirmar que “Toda menina de olhos azuis é loira”. 2. Algumas células ficaram vazias e poderão ser preenchidas no próximo passo. Passo 5: melhorar a representação dos conjuntos: (identificar informações “náo obvias”) Isso é iniciado com base nas sentenças do tipo “NENHUM”. Veja um exemplo: Nenhuma menina alta e magra tem olhos azuis. Alta e Magra

Azuis

Como sabemos que dentro de “Alta e Magra” está o conjunto das loiras, podemos representar tudo isso de uma vez: Afta e Magra

Azuis

Com isso, podemos concluir que o relacionamento entre “Loira” e “Azuis” também é do tipo NENHUM (os conjuntos não se encostam).

130 a


Enrique Rocha

Vamos completar nossa tabela de relacionamentos: Alta e Magra

Azuis

Loira

Todo f

Nenhum

Alegre

Nenhum

???

Crespos

Nenhum

Algum

Azuis

Nenhum

Crespos

Alegre

Todo f

O mesmo pode ser feito com: Nenhuma menina de cabelos crespos é alta e magra. Crespos

Aíta e Magra

Como sabemos que dentro de “Crespos” está o conjunto das “Alegres” e que dentro de “Alta e Magra” está o conjunto das “Loiras”, podemos representar tudo isso de uma vez: Alta e Magra

Com isso, podemos concluir que: a) O relacionamento entre “Loira” e “Alegre” é do tipo NENHUM. b) O relacionamento entre “Alegre” e “Alta e Magra é do tipo NENHUM. c) O relacionamento entre “Crespos” e “Loira” é do tipo NENHUM. Vamos completar nossa tabela de relacionamentos: Alta e Magra

Azuis

Crespos

Alegre

Loira

Todo t

Nenhum

Nenhum

Nenhum

Alegre

Nenhum

???

Todo T

Crespos

Nenhum

Algum

Azuis

Nenhum

Capítulo 4 —


o

131

Observe que só um dos relacionamentos continua indefinido, que é entre “Alegre” e “Azuis”. Neste ponto é importantíssimo que você avalie as alternativas, porque pode ser que já seja possível responder o problema: a) pelo menos uma menina alegre tem olhos azuis; b) pelo menos uma menina loira tem olhos azuis; c) todas as meninas que possuem cabelos crespos são loiras; d) todas as meninas de cabelos crespos são alegres; e) nenhuma menina alegre é loira. Alternativa (a): não podemos responder porque não sabemos o relacionamento entre “Alegre” e “Azuis”. Alternativa (b): olhe para a célula que cruza “Loira” com “Azuis”* O relacionamento entre esses dois conjuntos é do tipo “NENHUM” e por isso é impossível. Alternativa (c): olhe para a célula que cruza “Crespos” com “Loira”. O relacionamento entre esses dois conjuntos é do tipo “NENHUM” e por isso é impossível. Alternativa (d): olhe para a célula que cruza “Crespos” com “Alegre”. O objetivo da alternativa é justamente induzir você ao erro de “não dar direção ao relacionamento do tipo TODO”. O problema diz que “Toda menina alegre tem cabelos crespos” e não o contrário (alternativa eliminada). Alternativa (e): olhe para a célula que cruza “Alegre” com “Loira”. O relacionamento entre esses dois conjuntos é realmente do tipo “NENHUM” e por isso essa alternativa está correta. Mas, e se o problema fosse do tipo “CERTO” ou “ERRADO” (como no CESPE, por exemplo) e o único item a ser avaliado fosse a letra (a)? ;:P^ -inpxitar üm3agrama tóm todos òs conjuntos, e^Ó;séîn te: comece peló conjunto que tem interseção, ou sejai olhe para a sentença que contém a expressão “Algum” (ou alguns, algumas, pelo menos um): Vejamos como isso funcionaria no nosso problema: Algumas meninas de cabelos crespos têm também olhos azuis*

132 a


Enrique Rocha

Temos 3 “grandes conjuntos” no nosso contexto: “Crespos”, “Alta e Magra” e “Azuis”. Falta, então, representarmos “Alta e Magra”. Para isso, precisamos analisar o relacionamento deste conjunto com os outros dois. Veja um fragmento da tabela de relacionamentos: Alta e Magra Crespos

Nenhum

Azuis

Nenhum

Como o relacionamento de “Alta e Magra”, tanto com “Crespos”, quanto com “Azuis” é do tipo “NENHUM”, podemos concluir que “Aita e Magra” não encosta em nenhum dos dois. Além disso, dentro de “Aita e Magra” temos o “Loira” e o desenho poderia ser:

Dos cinco conjuntos, só fàlta inserirmos “Alegre” no desenho que estamos montando. Como não sabemos o tipo de relacionamento entre “Alegre” e “Azuis”, precisamos considerar as três hipóteses possíveis: TODO, ALGUM e NENHUM. Vamos fazer um desenho para cada uma dessas alternativas: Se o relacionamento entre “Azuis” e “Alegre” fosse ‘TODO”, o conjunto das alegres estaria dentro do conjunto das “Azuis”. Mas como ele também tem que estar dentro de “Crespos”) ele teria que estar totalmente contido na interseção dos dois conjuntos: Crespos

Azuis

Toda menina alegre tem olhos azuis.

Capítulo 4 —


a

133

Se o relacionamento entre “Azuis” e “Alegre” fosse “ALGUM”, o conjunto das alegres teria apenas uma interseção com “Azuis” (sem estar totalmente dentro dele): Crespos

Azuis

AJguma menina alegre tem cihos azuis.

Alta e Magra

Se o relacionamento entre “Azuis” e “Alegre” fosse “NENHUM”, o conjunto das alegres não poderia encostar em “Azuis” (mas continuaria tendo que estar dentro de “Crespos”)* Crespos

Azuis

Nenhuma menina alegre tem oihos azuis.

Alta e Magra

Chegando à conclusão final: Como o problema diz que “Nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre” a única alternativa é a última, ou seja, o relacionamento entre “Azuis” e "Alegre” é do tipo "NENHUM”. Isso pode ser percebido porque nos dois primeiros desenhos (‘TODO” e “ALGUM”) é possível marcar um “X” dentro do conjunto das “Alegres” que também esteja simultaneamente dentro de “Crespos” e de "Azuis”, o que contrariaria essa sentença. Só no último caso é que seria possível garantir que “nenhuma menina tem cabelos crespos, olhos azuis e é alegre”. Veja abaixo:

Resp: E

134 a


3 & x e rcíd o s e n v o lv e n d o s ilo g is m o s

1. Na formatura de Hélcio, todos os que foram à solenidade de colação de grau estiveram, antes, no casamento de Hélio. Como nem todos os amigos de Hélcio estiveram no casamento de Hélio, conclui-se que, dos amigos de Héldo:

a) todos foramà solenidade de colação de grau de Héldo e alguns náo foramao casamento de Hélio; b) pelo menos um não foi à solenidade de colação de grau de Hélcio; c) alguns foram à solenidade de colação de grau de Hélcio, mas não foram ao casamento de Hélio; d) alguns foramà solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhumfoi ao casamento de Hélio; e) todos foram à solenidade de colação de grau de Hélcio e nenhumfoi ao casamento de Hélio. 2. Dizer que a afirmação “todos os economistas sáo médicos” é falsa, do posto de vista lógico, eqüivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) b) c) d) e)

pelo menos um economista não é médico; nenhum economista é médico; nenhum médico é economista; pelo menos um médico não é economista; todos os não médicos são não economistas.

3. Se é verdade que “Alguns escritores são poetas** e que “Nenhum músico é poeta”, então, também é necessariamente verdade quet

a) b) c) d) e)

nenhum músico é escritor, algum escritor é músico; algummúsico é escritor; algum escritor não é músico; nenhum escritor é músico.

4. Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que:

a) algumA não éG; b) algum A éG;

c) nenhumA é G; d) algum G éA; e) nenhum GéA.

Capítulo 4 — Silogismos: Todo>Algum,

Nenhum

a

135

5. Uma escola de arte oferece aulas de canto, dança, teatro, violão e piano. Todos os professores de canto são, também, professores de dança, mas nenhum professor de dança ê professor de teatro. Todos os professores de violão são, também, professores de piano, e alguns professores de piano são, também, professores de teatro. Sabe-se que nenhum professor de piano é professor de dança, e como as aulas de piano, violão e teatro não têm nenhum professor em comum, então:

a) b) c) d) e)

nenhumprofessor de violão é professor de canto; pelo menos um professor de violáo é professor de teatro; pelo menos um professor de canto é professor de teatro; todos os professores de piano são professores de canto; todos os professores de piano são professores de violão.

136 a


Enrique Rocha

Gabarito de exercícios de silogismos

1.B 2. A 3. D 4. A 5. A

G apítulo r' Vf ''"1 '■ 5 _.......... ________ H

“Encontrando o Culpado” “Umajornada ele mil milhas começa com um único passo. Dê agora oprimeiro e sinta-se caminhando. ” O enunciado apresenta Informações sobre algumas pessoas sempre falarem a verdade, outras sempre mentirem, e outras, às vezes, falarem a verdade e, às vezes, mentirem. A essas informações chamaremos regras do enunciado. Apresenta, também, perguntas feitas a essas pesspas e as respostas respectivas. A essas respostas chamaremos respostas das pessoas envolvidas. A questão apresentada é deduzirmos, por análise do enunciado, através de inferências lógicas, qual ou quais pessoas geraram tal ou qual situação. Nessa análise, partiremos de hipóteses, supondo que cada pessoa envolvida seja verdadeira ou mentirosa, culpada ou inocente etc. Nos problemas resolvidos, procuraremos manter uma forma mais ou menos padronizada de resolução, organizando os raciocínios para facilitar a aprendizagem. Essa forma constará de fazermos um resumo das regras do enunciado, das respostas das pessoas envolvidas e da análise do enunciado. Há inúmeros modos de resolvermos problemas desse tipo. Mas algumas dicas poderão facilitar essa resolução: 1) É aconselhável ler com atenção as alternativas de solução apresentadas para o problema. Primeiro, para que saibamos exatamente o que vamos procurar; segundo, e principalmente, porque, às vezes, são apresentadas alternativas que nos permitem conclusões preliminares, que, no mínimo, diminuirão a quanti dade de hipóteses a serem criadas. 2) Algumas vezes até chegamos à resposta do problema por meio dessas conclu sões preliminares. É o que veremos em alguns dos exercícios apresentados. 3) Mas, é muito importante que não gastemos muito tempo procurando essas alternativas impossíveis, só se as percebermos quase de imediato.

138 e


Enrique Rocha

4) De preferência, escolhamos para nossas hipóteses as situações de exceção, isto é, que ocorrem menos frequentemente. Por exemplo: se quatro pessoas faiam a verdade e uma pessoa mente, escolheremos para nossas hipóteses ser cada pessoa mentirosa. 5) Como segunda preferência, escolhamos em nossas hipóteses as pessoas que sempre dizem a verdade ou sempre dizem a mentira, evitando começar pelas pessoas que, às vezes, dizem a verdade e às vezes, mentem. 6) Também, devemos dar preferência a criar hipóteses por proposições simples, evitando as proposições compostas, que podem exigir um trabalho mais demorado. 7) Muitos problemas poderão ser facilitados se utilizarmos tabelas auxiliares que iremos preenchendo com as nossas conclusões parciais. 8) Se, durante a análise de uma hipótese, for gerada uma proposição incoerente (incompatível) com qualquer regra do enunciado, ou com qualquer dedução anterior, a hipótese é falsa, e trabalharemos com sua negação, que, com certeza, é verdadeira. 9) Alguns problemas apresentam uma pergunta a uma pessoa envolvida que não sabemos se diz a verdade ou se mente, e essa pessoa dá uma resposta cujo significado não conhecemos. Entretanto, apesar do acima, podemos tirar conclusões certas sobre qual resposta foi dada. Exemplo 1:

a) Pergunta-se a alguém: “Você é mentiroso?”, e esse alguém responde: “BrrrrM. Podemos concluir que “Brrr” significa “Não”, porque: se ele for verdadeiro, sua resposta será “Não”. se ele for mentiroso, sua resposta também será “Não”. b) Pergunta-se a alguém: “Você é verdadeiro?”, e esse alguém responde: “Crrrr”. Podemos concluir que “Crrr” significa “Sim”, porque: se ele for verdadeiro, sua resposta também será “Sim”, se ele for mentiroso, sua resposta será também: “Sim”, Exemplo 2:

Sabemos que moças de olhos pretos sempre dizem a verdade e moças de olhos azuis sempre mentem. Uma moça está toda coberta por um pano, impossível ver a cor de seus olhos, a) Pergunta-se a ela: “Seus olhos são pretos?” Ela responde numa linguagem desconhecida: “Çapeng”. Se ela tiver olhos pretos (fala a verdade), sua resposta será “Sim”, se ela tiver olhos azuis (mente), sua resposta também será “Sim”. E concluímos que “Çapeng” significa “Sim”.

Capítulo 5 —

"Encontrando o Culpado"

k 139

b) Pergunta-se a ela: “Seus olhos são azuis?” Ela responde numa linguagem desconhecida: "Tiçung”. Se ela tiver olhos pretos (fala a verdade), sua resposta será “Náo”. Se ela tiver olhos azuis (mente) sua resposta também será “Não”. E concluímos que “Tiçung” significa "Não”.

5.1.

E x e rc íc io s resoivScScs sofore êsicositrando o cwBjpacii©”

1. (ESAF-AFC-20Ô2) Cinco aldeões foram trazidos à presença de um velho rei, acusados de haver roubado laranjas do pomar real. Abelim, o primeiro a falar, falou tão baixo que o rei —que era um pouco surdo - não ouviu o que ele disse. Os outros quatro acusados disseram: Bebeíim: “Cebelim é inocente” . Cebelim: “Dedelim é inocente” . Dedelim: “Ebelim é culpado” . Ebelim: “Abelim é culpado” . O mago Merlim, que vira o roubo das laranjas e ouvira as declarações dos cinco acusados, disse então ao rei: “Majestade» apenas um dos cinco acusados é culpado, e ele disse a verdade; os outros quatro são inocentes e todos os quatro mentiram”. O velho rei, embora um pouco surdo, muito sábio, logo concluiu que o culpado era: a) Abelim; b) Bebelim; c) Cebelim;

d) Dedelim; e) Ebelim.

Resolução: Representaremos Abelim, Bebelim, Cebelim, Dedelim e Ebelim por suas iniciais respectivas: A, B, C, D e E. Resumo das regras enunciadas: 1 só culpado -> verdade 4 inocentes —> mentira

140 es


Enrique Rocha

Resumo do que foi dito: A: ? (não foi possível ouvir o que ele falou) B: C é inocente C: D é inocente D: E é culpado E: A é culpado Analisando as possibilidades: B culpado (falou verdade) —> C inocente (mentiu) -—> D é culpado —> Houve dois culpados B e 0 (incoerência). Com base nessa incoerência, podemos concluir, COM CERTEZA, que B é inocente. C culpado (falou verdade) —> D inocente (mentiu) E inocente (mentiu) - * A inocente. Como já sabemos que, B inocente (mentiu) e C culpado. Não houve incoerência. Esta é a opção correta! D culpado (falou verdade) -» E inocente (mentiu) —» A inocente (mentiu.

Nada podemos concluir porque não sabemos o que foi dito por A). Nesse caso, B culpado, e já vimos que isso é falso. E culpado (falou verdade) - * A é culpado (dois culpados. Incoerência). Com base no exposto, podemos concluir, com certeza, que C é o culpado e, por isso, chegamos à solução final do problema: Cebelim é o culpado pelo roubo das laranjas. Resp.: C 2. (ESAF-TCU-2002) Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro, de camisa branca e o outro, de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos ê culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e, às vezes, mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado.

“Disse o de camisa azul; “Eu sou o culpado”. “Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado” .

Capítulo 5 —


ss 141

“Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que:

a) b) c) d) e)

o culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente; o culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente; o culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente; o culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade; o culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

Resolução: Regras do enunciado;

• • • •

um único culpado que, às vezes, diz a verdade, às vezes, mente; dois inocentes; um inocente sempre diz a verdade; o outro inocente sempre mente.

Resumo das respostas dos suspeitos:

Azul: Eu sou o culpado. Branca: Sim, o azul é o culpado. Preta: Eu sou o culpado. Análise: Como a quantidade de culpados (1) é menor que a quantidade de inocentes (2), criaremos nossas hipóteses em alguém ser culpado. Hipótese: Azul culpado —> Branca e Preta são inocentes. ~ Azul é culpado e disse a verdade (eu sou o culpado). - Branca é inocente e diz a verdade (azul é o culpado). - Preta è inocente e mente (eu sou o culpado). Sem incoerência. Portanto o culpado éAzul, Branca diz a verdade e Preta mente. Resp.: A Apenas para confirmarmos a nossa conclusão e verificarmos a validade do método, analisemos as outras hipóteses. Hipótese: Branca é culpado —> Azul e Preta são inocentes. - Branca é culpado e mentiu (disse que o azul é o culpado). - Azul é inocente e mente (disse que ele é o culpado). - Preta ó inocente e mente (disse que ele é o culpado). Incoerência: dois inocentes mentirosos. Logo, Branca é inocente.

142 «


Enrique Rocha

Hipótese: Preta é culpado —> Azul e Branca são inocentes. - Preta é culpado e disse a verdade (eu sou o culpado) ~ Azul é inocente e mente (disse que ele é o culpado) - Branca é inocente e mente (disse que o azul é o culpado) Incoerência: dois inocentes mentirosos. Logo, Preta é inocente. Obs.t Porque a alternativa “e” está incorreta? Porque o fato de o camisa azul (culpado) rer falado a verdade nesse caso não nos permite afirmar que ele sempre fala a verdade, já que o enunciado nos diz que “o culpado às vezes fala a verdade, mas às vezes mente”. 3. (ESAF-MF-2000) Percival encontra-se à frente de três portas» numeradas de 1 a 3» cada uma das quais conduz a uma sala diferente, Em uma das salas, encontra-se uma linda princesa; em outra, um valioso tesouro; finalmente, na outra, um feroz dragão. Em cada uma das portas encontra-se uma inscrição: Porta 1: “Se procuras a linda princesa, não entres; ela está atrás da porta 2.” Porta 2: “Se aqui entrares, encontrarás um valioso tesouro; mas cuidado: não entres na porta 3, pois atrás dela encontra-se um feroz dragão.*’ Porta 3: “Podes entrar sem medo, pois atrás desta porta não há dragão algum.” Alertado por um mago de que uma e somente uma dessas inscrições é falsa (sendo as duas outras verdadeiras), Percival conclui, então, corretamente que, atrás das portas 1,2 e 3, encontram-se, respectivamente:

a) b) c) d) e)

o feroz dragão, o valioso tesouro, a linda princesa; a linda princesa, o valioso tesouro, o feroz dragão; o valioso tesouro, a linda princesa, o feroz dragão; a linda princesa, o feroz dragão, o valioso tesouro; o feroz dragão, a linda princesa, o valioso tesouro.

Resolução: Regras do enunciado:

Uma inscrição é falsa e duas são verdadeiras. Resumo das inscrições nas portas:

Representaremos as inscrições nas portas por II, 12,13, e as salas por Sl, S2, S3. II: Princesa em S2 12: Tesouro em S2 E Dragão em S3 13: Dragão não na S3 Conclusões preliminares, que geraram uma forma de solução rápida:

12 e 13 se contradizem na informação sobre o dragão. Então uma é verdadeira e a outra é falsa.

Capítulo 5 —

" Encontrando o Culpado" z

143

Se 12 for a verdadeira (e 13 a falsa), então II é falsa (por serem incompatíveis as informações quanto à porta S2). E, entáo, haveria duas falsas (incoerência). Portanto, 12 é falsa, 13 é verdadeira e II é verdadeira. Dragão na sala 1, Princesa na sala 2, Tesouro na sala 3. Resp.; E Para o caso de náo ter sido percebida a solução rápida - e o autor insiste em que não se gaste muito tempo nessa procura-, o problema será resolvido conforme abaixo. Análise:

Como a quantidade de inscrições falsas (1) é menor que a quantidade de inscrições verdadeiras, criaremos nossas hipóteses para cada inscrição ser falsa. Hipótese: 11 falsa —> 12 e 13 verdadeiras. -12 verdadeira -» Tesouro em S2 E dragão em S3. -13 verdadeira -» Dragáo não em S3Incoerência: dragão em S3 e dragão não em S3. Portanto, II é verdadeira. Certeza: II verdadeira (Princesa em S2) —» ou 12 verdadeira ou II verdadeira. —12 verdadeira —» Tesouro em S2 (incoerência) 12 é falsa. —13 verdadeira —> Dragão não em $3 —» Dragáo em SI —5»Tesouro em S3. Resp.; E 4. (ESAF/AFTN/96) - Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tania sempre fala a verdadej Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca feia a verdade. A que está sentada à esquerda diz: “Tania é quem está sentada no meio” . A que está sentada no meio diz: “Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:

a) Janete, Tânia e Angélica; b) Janete, Angélica e Tânia; c) Angélica, Janete e Tânia; d) Angélica, Tânia e Janete; e) Tânia, Angélica e Janete. Resolução: Regras do enunciado: Tânia sempre fala a verdade; Janete diz a verdade ou mente (não sabemos); Angélica sempre mente.

144 a


Enrique Rocha

Resumo das respostas dos suspeitos:

Esquerda: Tania no meio. Meio: Eu sou Janete. Direita: Angélica no meio* Análise:

Devemos resolver esse problema nas hipóteses das posições possíveis de Tânia (que sempre diz a verdade) ou das posições possíveis de Angélica (que sempre mente). Faremos este exercício com as posições possíveis de Tania. Você deve depois desenvolver o raciocínio com as posições possíveis de Angélica. Hipótese: Tânia na esquerda -» Ela teria mentido porque estaria na esquerda e falado “Tania está no meio” Hipótese: Tânia no meio -> Ela teria mentido porque estaria no meio e dito “eu sou Janete” * Portanto: Tânia na direita. Como Tânia sempre fala a verdade, Angélica está no meio. Logo, Janete então está na esquerda. Janete

Angélica

Tânia

Resp.: B 5. (ESAF-MPU-2004) Você está à frente de duas portas. Uma delas conduz a um tesouro; a outra, a uma sala vazia. Cosme guarda uma das portas» enquanto Damião guarda a outra. Cada um dos guardas sempre diz a verdade òu sempre mente, ou seja, ambos os guardas podem sempre mentir, ambos podem dizer a verdade, ou um sempre dizer a verdade e o outro sempre mentir. Você náo sabe se ambos são mentirosos, se ambos são verazes, ou se um ê veraz e o outro é mentiroso. Mas, para descobrir qual das portas conduz ao tesouro, você pode fazer três (e apenas três) perguntas aos guardas, escolhendo-as da seguinte relação: P l: o outro guarda é da mesma natureza que você (isto é, se você é mentiroso ele também o é, e se você é veraz ele também o é)í P2: Você é o guarda da porta que leva ao tesouro? P 3 :0 outro guarda é mentiroso? P4: Você é veraz? Então, uma possível seqüência de três perguntas, logicamente suficiente para assegurar, seja qual for a natureza dos guardas, que você identifique corretamente a porta que leva ao tesouro, é:

Capítulo 5 —

a) b) c) d) e)


2 145

P2 a Cosme, P2 a Damião, P3 a Damião; P3 a Damião, P2 a Cosme, P3 a Cosme; P3 a Cosme, P2 a Damião, P4 a Cosme; PI a Cosme, PI a Damião, P2 a Damião; P4 a Cosme, PI a Damião, P2 a Cosme.


Podem ser feitas três perguntas a qualquer um dos guardas, em qualquer ordem. Não se sabe qual deles fala a verdade, qual mente (os dois podem falar a verdade, ou mentir, ou, ainda, alternarem-se nesses papéis). Perguntas feitas:

Vamos fazer alguma simplificação nas perguntas enunciadas, visando a simplificar a análise: Pl: o outro guarda é igual z você (isto é, se você é mentiroso, ele também o é, e se você é veraz, eíe também 0é)? P2: Você guarda o tesouro? P3: O outro mente? P4: Você fala a verdade? Conclusões preliminares, que geraram diminuição das hipóteses criadas:

As perguntas P2, P3 e P4 não nos levarão a conclusão nenhuma. Isso elimina as alternativas A, B e C. Para o caso de não ter sido percebida a solução rápida - e o autor insiste em que não se gaste muito tempo nessa procura - o problema será resolvido conforme abaixo.

Cosme

Damião

Cosme

Damião

V

V

Sim

Sim

V

M

Não

Sím

M

V

Sim

Não

M

M

Não

Não

Na tabela acima, não adianta mantermos o foco da análise sobre se Cosme e/ou Damião são verdadeiros ou falsos, porque, quanto a isso, nada se pode garantir.

14S ?.


Dirigiremos o foco, então, para as respostas dadas. Cosme responde “Sim” —> Damião fala a verdade Cosme responde “Não” —> Damião mente Portanto, Pl feita a Cosme nos permitirá saber se Damião diz a verdade ou mente, ou seja, quem guarda o tesouro, se ele ou o Cosme. Importante: Destaque-se que a questão deveria ter sido anulada, já que a alternativa (E) também levaria à informação procurada (!!!) Resp.: D 6, (EvSAF/AFTN/96) - Sabe-se que, na equipe do X Futebol Clube (XFC), há um atacante que sempre mente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um meiocampista que, às vezes, fala a verdade e, às vezes» mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a um torcedor que não sabia o resultado do jogo que terminara» um deles declarou “ Foi empate”, o segundo disse “Não foi empate” e o terceiro falou “Nós perdemos”. O torcedor reconheceu somente o meio-campista, mas pôde deduzir o resultado do jogo com certeza. A declaração do meio-campista e o resultado do jogo foram, respectivamenteí a) “Foi empate”/ o XFC venceu; b) “Não foi empate”/ empate; c) “Nós perdemos” / o XFC perdeu; d) "Não foi empate” / o XFC perdeu; e) “Foi empate” / empate. Resolução: Vamos apresentar duas formas de resolução deste problema para que você entenda o tipo de raciocínio envolvido. Ia forma de resolver: Regras do enunciado: atacante sempre mente; zagueiro sempre fala a verdade; meio-campista às vezes feia a verdade, às vezes mente. Resumo das respostas dos jogadores: X: foi empate; Y: náo foi empate; Z: nós perdemos.

Capítulo 5 —

"Encontrando o Culpado" &

147

Conclusões preliminares, que geraram uma simplificação no raciocínio: 1. Como não sabemos se o meio-campista está falando a verdade ou se está mentindo, não adianta analisar alguma resposta dele. 2. Por isso, só analisaremos respostas possíveis dadas pelo atacante (sempre mente) e pelo zagueiro (sempre diz a verdade). 3. Respostas que sejam negações entre si desses dois jogadores não podem ser analisadas, já que não sabemos se quem está respondendo é verdadeiro ou mentiroso. 2S Forma de Resolver: Resolução:

Vamos começar essa segunda forma, descrevendo todas as possibilidades para a veracidade das respostas. Mais uma vez, o que eles falaram foi: X: foi empate; Y: não foi empate; 2: nós perdemos.

1

2

3

BMP

NEMP

PERD

V

V

V

1 e 2 se negam e ambas são V (incoerência)

V

V

M

1 e 2 se negam e ambas são V (incoerência)

V

M

V

1 e 3 incompatíveis e ambas são V (incoerência)

V

M

M

Zagueiro tem de ser 1 (nunca mente, sempre verdade)

M

V

V

Atacante tem de ser 1 (nunca verdade, só mente)

M

V

M

Zagueiro tem de ser 2 (nunca mente, só verdade)

M

M

V

1 e 2 contraditórias e ambas são M (incoerência)

M

M

M

1 e 2 contraditórias e ambas são M (incoerência)

Observação

148 s


Veja que ficamos com apenas três possibilidades: 1

2

3

EMP

ftEMP

PERD

V

M

M

Zagueiro tem de ser 1 (nunca mente, sempre verdade)

M

V

V

Atacante tem de ser 1 (nunca verdade, só mente)

M

V

M

Zagueiro tem de ser 2 (nunca mente, só verdade)

Observação

Vamos, agora, analisar as possibilidades posicionais para os três jogadores: 1

2

3

EMP

N EMP

PERD

Possibilidades

V

M

M

Zag ''tá c * Atac

V

M

M

Zag

M

V

V

Atac

M

V

V

Atac

M

V

M

M

V

M

Atac

Atac ■■ Zag Zag Zag

Atac

Zag

'MC;'

Como o torcedor só reconheceu o meio-campista, observe que (observe os hachurados): - se o meio-campista estivesse na direita, teríamos três resultados possíveis para as colocações; ~ se o meio-campista estivesse no meio, teríamos dois resultados possíveis para as colocações; - se o meio-campista estivesse na esquerda, teríamos apenas um resultado possível para as colocações. Com base nisso, podemos concluir que a única forma pela qual o torcedor poderia ter tirado alguma conclusão sobre o resultado do jogo, reconhecendo apenas o meiocampista, seria se este estivesse na esquerda, o que seria representado por: l2

2a

3a

M

V

M

Possibilidades MC

Zag

Atac

Capítulo 5 —* "Encontrando o

Culpado*

s

149

Dessa forma, sabemos que: náo fox empate (a primeira afirmação é mentirosa e a segunda é verdadeira); o XFC náo perdeu o jogo (a terceira afirmação é mentirosa). Ora, se náo fòí empate e o XFC não perdeu, podemos afirmar, com certeza, oue ele ganhou o jogo. Resp.: A 7. (ESAF-MPU-2004) Sócrates encontra-se em viagem por um distante e estra nho país, formado por apenas duas aldeias, uma grande e outra pequena. Os ha bitantes entendem perfeitamente o português, mas felam apenas o idioma locai, desconhecido por Sócrates. Ele sabe, contudo, que os habitantes da aldeia menor sempre dizem a verdade, e os da aldeia maior sempre mentem. Sabe, também, que “Milango” e “Nabungo” são as palavras no idioma local que significam “sim” e “não”, mas não sabe qual delas significa “sim” e nem, consequentemente, qual significa “não”. Um dia, Sócrates encontra um casal acompanhado de um jovem. Dirigindo-se a ele, e apontando para o casal, Sócrates pergunta: Meu bom jovem, é a aldeia desse homem maior do que a dessa mulher? Milango responde o jovem. £ a tua aldeia é maior do que a desse homem? - , voltou Sócrates a perguntar. Milango ~ tomou o jovem a responder. E, dize-me ainda, és tu da aldeia maior? - perguntou Sócrates. Nabungo - disse o jovem. Sócrates, sorrindo, concluiu corretamente que:

a) b) c) d) e)

o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia grande e a mulher, da grande; o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher, da pequena; o jovem mente, e o homem é da aldeia pequena e a mulher, da pequena; o jovem diz a verdade, e o homem é da aldeia pequena e a mulher, da pequena; o jovem mente, e o homem é da aldeia grande e a mulher, da grande.


—duas aldeias, uma grande e uma pequena; —habitantes da grande sempre mentem, e da pequena sempre dizem a verdade; —duas respostas: “milango” e “nabungo” (não se sabe qual é “sim” e qual é cc ^ n \ nao ).

150 £s


Resumo das perguntas do jovem e suas respostas:

Pl: Homem da grande e mulher da pequena? Rl: milango P2: Es da aldeia grande E o homem da pequena? R2: miíango P3: Es da aldeia grande? R3: nabungo. Neste problema, estaremos analisando as perguntas da P3 para aPl, porque a P3 é a única pergunta simples, ou seja, só envolve um dos participantes. Com isso, poderemos tirar conclusões mais claras. I a forma de resolver: Análise da pergunta P3 Hipótese 1: Jovem diz verdade —» Jovem é da aldeia pequena. Ao ser perguntado se é da aldeia grande, ele respondeu “nabungo”. Se ele diz a verdade, a resposta teria que ter sido “Não”, Neste caso, então, R3 (nabungo) é “Não” (e, consequentemente, “milango” é “Sim”). Hipótese 2: Jovem mente —» Jovem é da aldeia grande. Ao ser perguntado se era da aldeia grande, ele respondeu “nabungo”. Se ele mente, sendo da grande ele diria “Não, não sou da grande”. Neste caso, então, R3 (“nabungo”) é “Não” (e, consequentemente, “milango” é “Sim”). I 3 conclusão

Pelo exposto acima, podemos concluir que, independentemente de o Jovem falar a verdade ou mentir, “nabungo” significa “Não” e “milango” significa “Sim”. Desdobramentos da Ia Conclusão:

Como sabemos que Milango = “Sim”, vendo a segunda pergunta: Análise da pergunta P2

P2: “Jovem é da grande E o homem é da pequena” R2: “Milango” ("Sim”). Hipótese 1: Jovem diz verdade (de aldeia pequena). Se o jovem diz a verdade, ele não poderia ter respondido “Sim” a esta pergunta (“milango”), porque “Jovem é da grande” é uma das partes unidas pelo “E” e é Falsa. Logo, a proposição composta nunca poderia ser verdadeira. Mais ainda, podemos ver que, se o jovem falasse a verdade, as perguntas P2 e P3 teriam que ter a mesma resposta, ou seja, “Não = nabungo”. Conclusão: como sabemos que “milango = Sim”, o jovem não poderia ser da aldeia pequena, ou seja, não poderia falar a verdade. Assim, concluímos acertadamente que o jovem é da aldeia grande e mente.

Capítulo 5 —


e

151

2- conclusão: O jovem mente; portanto, é da aldeia grande.

Se sabemos com certeza que o jovem mente e que “milango - sim” e "nabungo = não”, podemos analisar as outras perguntas. Vamos analisar primeiro a P2 e depois a Pl, porque na P2 é possível usarmos o que já sabemos a respeito de P3. P2: “Jovem da aldeia grande E o homem da pequena?” R2: “milango” (sim e mentira). Como já sabemos que o jovem é realmente da aldeia grande, para que a resposta “sim” acima seja falsa, é necessário que o homem não seja da pequena. 3â conclusão: O homem é da aldeia grande. Análise da pergunta P l

P l: “Homem da grande e mulher da pequena?” Rl: “milango” (sim e mentira). Mais uma vez, sendo o jovem da aldeia grande, sua resposta tem que ser uma mentira e, para que isso aconteça, como o homem realmente é da aldeia grande, é necessário que a mulher não seja da pequena. 3a conclusão: A mulher é da aldeia grande.

Logo, o jovem, o homem e a mulher são todos da aldeia grande. Resp.: E 8. (ESAF-MF-2000) Beatriz encontrava-se em viagem por um pais distante, habitado pelos vingos e pelos mingos. Os vingos sempre dizem a verdade; já os mingos sempre mentem. Certo dia, vendo-se perdida em uma estrada. Beatriz dirigiu-se a um jovem que por ali passava e perguntou-lhe: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?” . O jovem respondeulhe: ‘‘Sim, esta estrada leva à Aldeia Azul” . Como não soubesse se o jovem era vingo ou mingo, Beatriz fez-lhe outra pergunta: “E se eu te perguntasse se és mingo, o que me respondetías?” . E o jovem respondeu: “Responderia que sim” . Dadas as respostas do jovem, Beatriz pôde concluir corretamente que:

a) b) c) d) e)

o jovem era mingo e a estrada não levava à Aldeia Azul; o jovem era mingo e a estrada levava à Aldeia Azul; o jovem era vingo e a estrada não levava à Aldeia Azul; o jovem era vingo e a estrada levava à Aldeia Azul; o jovem poderia ser vingo ou mingo e a estrada levava à Aldeia Azul.

152 £


Resolução: Regra do enunciado: Mingos —> mentira, Vingos -> verdade. Simplificando as perguntas: P l: “Esta estrada leva à Aldeia Azul?” Pl: Vai para a Azul? Sim Esta pergunta só tem significado quando soubermos se o jovem é vingo ou mingo, ou seja, se fala a verdade ou se mente. Por isso» a análise deve começar da segunda pergunta feita. P2: “E se eu te perguntasse se és mingo, o que me responderias?” P2: Se eu perguntasse se você mente? Diria que Sim. Aqui está a grande sacada deste problema. Veja que ela não perguntou “Você é mingo?”, mas "Se eu perguntasse se você é mingo (...)”. Isso faz uma grande diferença, que vamos analisar agora: Jovem

Você é mingo?

Se eu perguntasse se você ê mingo, o que respondem?

Vingo

Não (verdade)

Diria que Não

Mingo

Não (mentira)

Diria que Sim

Veja que vingo ou mingo, a resposta para “Você é mingo?” seria “Não” e náo levaria a nenhuma conclusão. Observe que: (1) Se o jovem falasse a verdade, quando foi perguntado "Se eu perguntasse..,”, pensaria na resposta (que seria "NÃO") e diria de fato qual seria sua resposta. (2) Se o jovem mentisse, quando foi perguntado "Se eu perguntasse...," pensaria na resposta (que seria uma mentira, ou seja, diria: não, náo sou mingo - não minto). Só que nesse caso, teria que "mentir a mentira" e diria: "eu responderia que náo." Conclusão: Se a resposta dele para a segunda pergunta foi “diria que sim” é porque ele é mingo (e fala mentiras).

Capítulo 5 —


a

153

Assim, ele é mentiroso e, como a resposta para a primeira pergunta “Vai para a Aldeia Azul” também foi sim, é porque a estrada não vai para a Aldeia Azul. Resp.: A 9. Três irmãs —Ana, Maria e Cláudia - foram a uma festa com vestidos de cores diferentes. Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira, preto. Chegando à festa, o anfitrião perguntou quem era cada uma delas. A de azul respondeu: “Ana é a que está de branco”. A de branco falou: “Eu sou Maria”. E a de preto disse: “Cláudia é quem está de branco”. Como o anfitrião sabia que Ana sempre diz a verdade, que Maria às vezes diz a verdade e que Cláudia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cláudia eram, respectivamente:

a) b) c) d) e)

preto, branco e azul; preto, azul e branco; azul, preto e branco; azul, branco e preto; branco, azul e preto.


Ana: sempre diz a verdade; Cláudia: sempre mente; Maria: às vezes mente, às vezes fala a verdade. Resumo das respostas dos jogadores:

Az: Ana de branco. Br: Eu sou Maria. Pr: Cláudia de branco. I a Hipótese: Ana está de azul

Se Ana estivesse de azul, ela teria falado que “Ana está de branco”, o que seria mentira (contrariando o enunciado). Por isso, Ana não pode estar de azul. 2â Hipótese: Ana está de branco

Se Ana estivesse de branco, ela teria falado “Eu sou Maria”, o que seria mentira (contrariando o enunciado). Por isso, Ana não pode estar de branco.

154 s


Logo, Ana está de preto. Como a Ana está de preto e ela só fala a verdade, podemos eliminar as possibilidades em que o preto mente e ficar com: Az

Br

Pr

M

V

V

M

M

V

Mais ainda, se a que está de preto falou a verdade, então: Cláudia está de branco. Por conseguinte, podemos concluir que Maria está de azul (e mentiu). Assim, temos como resultado final: Az (Maria): Ana de branco - mentiu. Br (Cláudia): Eu sou maria - mentiu. Pr (Ana): Cláudia de branco - verdade. E as cores de Ana, Maria e Cláudia são: preto, azul e branco. Resp.: B 10. (ESAF-TCE-RN-2000) Três amigos, Mário, Nilo e Oscar, juntamente com suas esposas, sentaram-se, ao lado, à beira do cais, para apreciar o pôr do sol. Um deles é flamenguista, outro é palmeirense, e outro, vascaíno. Sabe-se, também, que um é arquiteto, outro é biólogo e outro, cozinheiro. Nenhum deles sentouse ao lado da esposa e nenhuma pessoa sentou-se ao lado de outra do mesmo sexo. As esposas chamam-se, não necessariamente nesta ordem, Regina, Sandra * e rrtA lama. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugares do meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. O vascaíno está sentado em uma das pontas e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Mário está sentado entre Tânia, que está à sua esquerda, e Sandra. As esposas de Nilo e de Oscar são, respectivamente: a) Regina e Sandra; b) Tânia e Sandra; c) Sandra e Tânia; d) Regina e Tania; e) Tania e Regina. Resolução Dados do enunciado: Nomes dos maridos: Mário, Nilo e Oscar. Nomes das esposas: Regina, Sandra e Tânia.

Capítulo 5 <— "Encontrando o Culpado"

155

Profissões dos maridos: Arquiteto, Biólogo e Cozinheiro. Times dos maridos: Flamengo, Vasco e Palmeiras. Quantidade de posições: 6. Regras do enunciado: homens e mulheres sentam-se alternados (não há homem ao lado de homem, nem mulher ao lado de mulher); marido e esposa sentam-se separados (nenhum marido senta-se à esquerda ou à direita de sua própria esposa). Detalhamentos do enunciado:

1. O arquiteto sentou-se em um dos dois lugareMp meio, ficando mais próximo de Regina do que de Oscar ou do que do flamenguista. Observações: o arquiteto náo é Oscar, nem é o flamenguista; o arquiteto está no.3c ou no 4° lugar: Ia

2S

3a

4a

5a

6a

Arquiteto Arquiteto 2. O vascaíno está sentado em tuna das pontas, e a esposa do cozinheiro está sentada à sua direita. Observações: o vascaíno tem que estar na ponta esquerda, porque, se ele estivesse na direita, seria impossível alguém estar sentado à sua direita; o vascaíno não pode ser o cozinheiro, porque, senão, sua própria esposa estaria sentada ao seu lado (e o enunciado não permite isso). 3. Mário está sentado entre Tânia» que está à sua esquerda, e Sandra. Observação: Mário náo pode ser casado com Tânia, nem com Sandra. Logo, Mário só pode ser casado com Regina. Mário náo pode estar em nenhuma das pontas (tem que estar no meio, para poder estar entre duas pessoas).

156 b


Análise das possibilidades:

Como eles têm que se sentar alternados (homens e mulheres), existem as seguintes configurações possíveis: Homem / Mulher / Homem / Mulher I Homem / Mulher; ou Mulher / Homem / Mulher / Homem / Mulher ! Homem; ou Como o vascaíno tem que estar na ponta esquerda {vide observação acima), não é possível começar com mulher à esquerda; w além disso, como o arquiteto está em um dos lugares do meio (3a ou 4a) e é o 3a que está sendo usado pelos homens, podemos saber que o arquiteto é o “homem do meio”. Portanto, temos que trabalhar com a primeira configuração apresentada, considerando que: - o vascaíno tem que estar na ponta esquerda; - o arquiteto é o homem do meio; - o arquiteto não é Oscar (logo, Oscar não está no meio). Homem

Mulher

Mário (vasco)

Homem

Mulher

Nilo (arquit.) Mário (arquit.) Mário (arquit.) Nilo (arquit.)

Nilo (vasc) Oscar (vasc) Oscar (vasc)

Homem

Mulher

Oscar Oscar Nilo Mário

Como Mário não pode estar na ponta esquerda (porque está entre Tânia e Sandra), ficamos com: Homem Nilo (vasc) Oscar (vasc) Oscar (vasc)

Mulher

Homem Mário (arquit.) Mário (arquit.) Nilo (arquit.)

Mulher

Homem Oscar Nilo Mário

Mulher

Capítulo 5 —

"Encontrando o Culpado" a 157

Como um marido não pode sentar-se ao lado de sua mulher: entre Mário e Nilo tem que estar a esposa de Oscar; entre Nilo e Oscar tem que estar a esposa de Mário; e entre Mário e Oscar tem que estar a esposa de Nilo. Assim, passamos a trabalhar com a seguinte tabela de possibilidades: Homem

Mulher

Homem

Mulher

Homem

Mulher

Nilo (vasc)

Esp. Oscar

Mário (arquit.)

Esp. NÜo

Oscar

Esp. Mário

Oscar (vasc)

Esp. Nilo

Mário (arquit.)

Esp. Oscar

Nilo

Esp. Mário

Oscar (vasc)

Esp. Mário

Nilo (arquit.)

Esp. Oscar

Mário

Esp. Nilo

Usando a informação de que Mário está entre Tânia (esquerda) e Sandra (direita), podemos completar a tabela acima: Homem

Mulher

Homem

Mulher

Homem

Mulher

NUo (vasc)

Esp. Oscar (Tânia)

Mário (arquit.)

Esp. Niló (Sandra)

Oscar

Esp. Mário (Regina)

Oscar (vasc)

Esp. Nilo (Tânia)

Mário (arquit.)

Esp. Oscar (Sandra)

Nilo


Oscar (vasc)


Nilo (arquit.)

Esp. Oscar (Tânia)

Mário

Esp. NUo (Sandra)

Nas duas linhas em que Mário é o arquiteto, seria impossível ele estar mais próximo de Regina do que de Oscar, porque isso implicaria ele estar sentado ao lado da própria esposa, o que o enunciado não permite (lembre-se que o enunciado disse que o arquiteto “ficou mais próximo de Regina do que de Oscar e do que do Flamenguista”). Portanto, a única possibilidade que resta é realmente a terceira linha: Homem

Mulher

Homem

Mulher

Homem

Mulher

Oscar (vasc)


Nilo (arquit.)

Esp. Oscar (Tânia)

Mário

Esp. NÜo (Sandra)

158 e


Usando “o arquiteto está mais perto de Regina do que do flamenguista e do que de Oscar”, concluímos que: O flamenguista não pode ser o homem da esquerda (porque eie é vascaíno). O Flamenguista não pode estar no meio (porque o arquiteto está no meio e ele não pode estar ao lado do flamenguista). Logo, o flamenguista tem que ser o homem da direita e o homem do meio (o arquiteto) tem que ser o palmeirense. Homem

Mulher

Homem

Mulher

Homem

Mulher

Oscar (vasc)


Nilo (arquit./ Palm.)

Esp. Oscar (Tânia)

Mário (flam)

Esp. Nilo (Sandra)

Como o arquiteto tem que estar mais próximo de Regina do que de Oscar e do que do flamenguista, concluímos que Mário não pode ser o arquiteto, porque isso não poderia acontecer (ele estaria sentado ao lado da própria esposa). Com isso, ficamos apenas com a última linha da tabela:

j___3aPoss.: Oscar / Esp. Mário / Nilo / Esp. Oscar / Mário/ Esp. Niío:_____ (considerando que à direita do vascaíno está a esposa do cozinheiro.) Oscar Vascaíno -» Casado c/ Tânia —» biólogo Nilo —> Palmeirense —» Casado d Sandra arquiteto Mário —> Flamenguista —» Casado d Regina cozinheiro Resp.: C 11. (ESÂF-MPU-2004) Fernanda atrasou-se e chegou ao estádio da Ulbra quando o jogo de vôlei já estava em andamento. Bia perguntou às suas amigas, que estavam assistindo à partida» desde o inicio, qual o resultado até o momento. Suas amigas disseram-lhe: Amanda: ‘‘Neste sett o escore está 13 a 12”. Berenice: “O escore não está 13 a 12, e a Ulbra já ganhou o primeiro set>>. Camila: “Este set está 13 a 12, a favor da Ulbra” . Denlse: “O escore não está 13 a 12, a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar ê a equipe visitante”. Eunice: “Quem vai sacar é a equipe visitante, e a Ulbra está ganhando este set” . Conhecendo suas amigas, Fernanda sabe que duas delas estão mentindo e que as demais estão dizendo a verdade. Conclui, então, corretamente, que:

Capítulo 5 —

°Encontrando o Culpado"

e

159

a) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está perdendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante; b) o escore está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este seu e quem vai sacar é a equipe visitante; c) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra está vencendo este set, e quem vai sacar é a equipe visitante; d) o escore não está 13 a 12, e a Ulbra não está vencendo este set, e a Ulbra venceu o primeiro set, e) o escore está 13 a 12, e a Ulbra vai sacar, e a Ulbra venceu o primeiro set. Resolução: Dados do enunciado (simplificando o que cada uma disse):

A: 13 a 12 neste set. B: Não 13 a 12 E Ulbra ganhou o Ia set. C: 13 a 12 E Ulbra ganhando o set. D: Não 13 a 12 E Ulbra perdendo o setE visitante saca E: Visitante saca E Ulbra ganhando o set. Regras do enunciado:

duas mentem; três falam verdade. Conclusões preliminares, que geraram diminuição das hipóteses criadas:

(I) A e B não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. (II) A e D não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. (III) B e C náo podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. (IV) C e D não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. (V) D e E não podem estar falando a verdade ao mesmo tempo. Análise das possibilidades:

Pelas regras do enunciado, que dizem que duas amigas mentem e as outras dizem a verdade, temos as dez possibilidades apresentadas abaixo. Usando as conclusões preliminares resultantes da análise do que cada uma delas disse, podemos chegar a:

160


s

A

B

2a

M

v ...

3*

M

C

D

E

... v

v

1^

' M 11 5*

y

y 'V

1■

.

i r m ^ iiiiíi

V

,7 V

} }

Eliminadas pela conclusão (V)

Eliminadas pela conclusão (111) Eliminadas pela conclusão (II)

V

6*

7*

,y

}

Eliminadas pela conclusão (II)

8a Eliminadas pela conclusão (1) .....y ...

10*

Com isso, ficamos apenas com a 6a possibilidade: A 6a

V

B

c

D

E

V

i l l

V

Ou seja, B e C são as mentirosas e A, C e E falaram a verdade. Partindo disso, vamos analisar primeiro as verdades. (Verd.) Az 13 a 12 neste set. (Verd.) C: 13 a 12 E Ulbra ganhando o set. (Verd.) E: Visitante saca E Ulbra ganhando o set. Com isso, concluímos que: Está 13 a 12 neste set E Ulbra está ganhando E o visitante vai sacar. Resp.: B 12. (ESAF-MPU-2004) Em tomo de uma mesa quadrada, encontram-se sentados quatro sindicalistas. Oliveira, o mais antigo entre eles, é mineiro. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Paulo está sentado à direita de Oliveira. Norton, à direita do paulista. Por sua vez, Vasconcelos, que não é carioca, encontra-se à frente de Paulo. Assim;

a) b) c) d) e)

Paulo é paulista e Vasconcelos é baiano; Paulo é carioca e Vasconcelos é baiano; Norton é baiano e Vasconcelos é paulista; Norton é carioca e Vasconcelos é paulista; Paulo é baiano e Vasconcelos é paulista.

Capítulo 5 —


b

161

Resolução: Este exercício pode ser resolvido por vários caminhos. Um deles passa pela visualização da mesa como se você a estivesse vendo “de cima”.

Vendo de cima: B à esquerda de A e D à direita de A; A à direita de B e C à esquerda de B; B à direita de C e D à esquerda de C; A à esquerda de D e C à direita de D. Dados do enunciado (simplificando o que cada uma disse): 00 Oliveira é mineiro. (II) Paulo está sentado à direita de Oliveira. (EI) Norton está sentado à direita do paulista. (TV) Vasconcelos não é carioca. (V) Vasconcelos está sentado à frente de Paulo. O primeiro passo ê sentar o Oliveira em um dos lugares da mesa: Dir. Oliveira

Esq.

por (I), completamos que Oliveira é o mineiro; por (II), colocamos Paulo no lugar de D; por (V), colocamos Vasconcelos à frente de Paulo.


162 e

Enrique Rocha

Com isso, só sobra o lugar “C” para Norton. Veja o resultado: Oliveira (mineiro)

Paulo (paulista)

Vasconcelos (baiano) Norton (carioca)

Por (III), Paulo é o paulista (Norton à direita do paulista). Sabendo que Oliveira é mineiro, que Paulo é o paulista e que Vasconcelos não é carioca, Vasconcelos só pode ser baiano. Com isso, Norton só pode ser o carioca: Resp.: A 13. (ESAF-MPOG-2002) Cinco amigas» Ana» Bia, Cati, Dida e Elisa, são tias ou irmãs de Zilda. As tias de Zilda sempre contam a verdade e as irmãs de Zilda sempre mentem. Ana diz que Bia é tia de Zilda. Bia diz que Cati é irmã de Zilda. Cati diz que Dida é irmã de Zilda. Dida diz que Bia e Elisa têm diferentes graus de parentesco com Zilda, isto é, se uma é tia, a outra ê irmã. Elisa diz que Ana é tia de Zilda. Assim, o número de irmãs de Zilda, neste conjunto de cinco amigas, ê dado por: a) 1; d) 4;

b) 2; c) 3;

e) 5;

Resolução Passo 1: identificar as regras do enunciado:

Tias -» Verdade; Irmãs —> Mentira Passo 2: extrair do enunciado o que cada uma disse:

Ana: Bia é TIA; Bia: Cati é IRMA; Cati: Dida éIRMÂ; Dida: Bia e Elisa são diferentes; Elisa: Ana éTIA

Capítulo 5 —


r< 163

Passo 3: escolher uma hipótese e ver o que se pode concluir desenvolvendo-a: Hipótese 1: Ana é IRMA.

Se Ana fosse IRMA, Ana teria MENTIDO. Logo, se ela disse que Bia é TIA, Bia seria IRMA. Se Bia fosse IRMÂ (o que concluímos pelo raciocínio acima), ela também teria MENTIDO. Logo, Cati seria TIA. Se Cati fosseTIA (pelo raciocínio acima), ela teria falado a VERDADE. Logo, Dida seria IRMA. Se Dida fosse IRMA (pelo raciocínio acima), ela teria MENTIDO. Logo, Bia e Elisa seriam iguais. Como, por esse raciocínio, Bia seria IRMÂ, Elisa também seria IRMA. Se Elisa fosse IRMA (pelo raciocínio acima), ela teria MENTIDO. Logo, Ana seria IRMA.

Veja que essa hipótese partiu de “Ana ser IRMA” e chegou em "Ana ser IRMÂ”, Assim, trata-se de uma Unha coerente de raciocínio. Hipótese 2: Ana é TIA, Se Ana fosse TIA, Ana teria falado a VERDADE. Logo, se ela disse que Bia é TIA, Bia seria TIA. Se Bia fosseTIA (o que concluímos pelo raciocínio acima), ela também teria falado a VERDADE. Logo, Cati seria IRMA. Se Cati fosse IRMA (pelo raciocínio acima), ela teria MENTIDO. Logo, Dida seria TIA. Se Dida fosse TIA (pelo raciocínio acima), ela teria falado a VERDADE. Logo, Bia e Elisa seriam diferentes. Como, por esse raciocínio, Bia seria TIA, Elisa seria IRMÂ. Se Elisa fosse IRMA (pelo raciocínio acima), ela teria MENTIDO. Logo, Ana seria IRMA. Veja que essa hipótese partiu de “Ana ser IRMÂ” e chegou em “Ana ser TIA”. Assim, trata-se de uma linha INCOERENTE de raciocínio.

164 b


Enrique Rocha

Dessa forma, podemos concluir que Ana é realmente IRMÃ e, por conseguinte: Bia é IRMA; Cati é TIA; Dida è IRMA; Elisa é IRMÃ. Finalmente, podemos ver que seriam 4 as irmãs de Zilda. Resp.: (D) 14. (ESAF-MF-2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

“Náo fui eu, nem o Manuel”, disse Marcos. “Foi o Manuel ou a Maria”, disse Mário. “Foi a Mara”, disse Manuel. “O Mário está mentindo”, disse Mara. “Foi a Mara ou o Marcos”, disse Maria. Sahendo-se que um e somente um dos cinco colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi; Passo 1: identificar as regras do enunciado:

Apenas um entrou sem pagar; Apenas um mentiu (os outros todos falaram a verdade). Passo 2: extrair do enunciado o que cada uma disse:

Marcos: não Marcos e não Manuel. Mário: Manuel ou Maria. Manuel: Mara. Mara: Mário mente. Maria: Mara ou Marcos. Passo 3: escolher uma hipótese a ser desenvolvida para que se chegue a alguma

conclusão: Apesar de podermos partir de qualquer hipótese e chegarmos à solução, esse problema tem uma solução bastante inteligente.

Capítulo 5 •—

*Encontrando o Culpado"

s

165

Veja o que Mara disse: “Mário está mentindo”. O que podemos concluir com base no que eia disse? Se ela falou a verdade, ele mentiu. Por outro lado, se ela mentiu, ele fâlou a verdade. Assim, necessariamente, um dos dois é mentiroso, ou seja, não é possível que os dois estejam falando a verdade ao mesmo tempo, como não é possível que os dois estejam mentindo ao mesmo tempo (essa última alternativa não seria mesmo possível porque o enunciado falou que apenas um dos colegas mentiu). Por esse raciocínio, basta testarmos a hipótese de um deles ser o mentiroso. Vamos partir do pressuposto de que Mário seja o mentiroso: Ia Hipótese: Mário é o mentiroso.

Se Mário é o mentiroso, o que ele fàlou é mentira, ou seja, precisamos negar a sentença “Foi o Manuel ou a Maria”. Como o conectivo usado foi o “OU” (e lembrando que a negação de P V Q é~(P V Q)> que é -P A -Q), a negação seria: “Não Manuel E Não Maria”. A princípio, qualquer um deles poderia ter sido o que entrou sem pagar, ou seja, as possibilidades seriam: Quem pode ter entrado sem pagar

Mário

Manuel

Marcos

Mara

Maria

Vamos analisar o que os outros disserame marcar com um “X” as pessoas eliminadas. Além disso, os outros quatro teriam falado a verdade, e teríamos: 1. Mário: Manuel ou Maria (MENTIRA). Nos garante que não foi o Manuel, nem a Maria. Com isso, ficaríamos com as seguintes possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar

Mário

Ma£4el

Marcos

Mara

2. Marcos: não Marcos e não Manuel (VERDADE). Nos garante que não foi o Marcos nem o Manuel. Com isso, ficaríamos com as seguintes possibilidades:

M ^l

166

íz


Quem pode ter entrado sem pagar

Mário

Manjei

M^bÇos

Mara

Ma><à

3. Manuel: Mara (VERDADE). Nos garante que foi a Mara. Com isso, ficaríamos com as seguínres possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar

Má><í)

Mattel

M^sÇos

Mara

Mpfy

4. Mara: Mário mente (VERDADE). Nos garante que Mário está mentindo. 5. Maria: Mara ou Marcos (VERDADE). Nos garante que foi a Mara ou o Marcos. Como, pelo (3), já vimos que foi a Mara, Maria falou realmente uma verdade: Quem pode ter entrado sem pagar

Ma>i£>

Ma£4el

M|x£os

Mara

Como chegamos a uma hipótese coerente e só pode haver uma, neste ponto já temos a resposta do exercício: Mário mentiu e Mara entrou sem pagar (mas falou a verdade!!!). No entanto, como este é um livro para estudo, vamos ver o que aconteceria se a Mara tivesse mentido e o Mário falado a verdade: 2a Hipótese: Mara é a mentirosa

Se Mara é a mentirosa, o que ela falou é mentira, ou seja, “Mário está falando a verdade”. Mais uma vez, a princípio, qualquer um deles poderia ter sido o que entrou sem pagar, ou seja, as possibilidades seriam:

Capítulo 5 —

"Encontrando o Culpado" m

167

Quem pode ter entrado sem pagar

Mário

Manuel

Marcos

Mara

Maria

Vamos analisar o que os outros disseram e marcar com um “X” as eliminadas. Além disso, os outros quatro teriam falado a verdade e teríamos: 1. Mário: Manuel ou Maria (VERDADE) Nos garante que foi o Manuel ou a Maria. Com isso, ficaríamos com as seguintes possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar

Má>{£>

Manuel

M$k£os

MXa

Maria

2. Marcos: não Marcos e não Manuel (VERDADE) Nos garante que não foi o Marcos nem o Manuel. Com isso, ficaríamos com as seguintes possibilidades: Quem pode ter entrado sem pagar

M%Sá£>

M^Hjiel

M^sÇos

Mâ

Maria

3. Manuel: Mara (VERDADE) Nos garante que foi a Mara. Aqui já seria impossível, porque a única alternativa que teria restado seria “Maria” (Mara já estaria “fora de suspeita”). Logo, essa hipótese (de Mara ser a mentirosa) nos levaria a contradições com relação às regras do enunciado. Resp.t (C) (veja que o enunciado pergunta quem entrou sem pagar e não quem mentiu!II) 15.(ESAF-MPU-2004) Ana, Bía, Clô, Déa e Ema estão sentadas, nessa ordem e em sentido horário, em tomo de uma mesa redonda. Elas estão reunidas para eleger aquela que, entre elas, passará a ser a representante do grupo. Feita a votação, verificou-se que nenhuma fora eleita, pois cada uma delas havia recebido exatamente um voto. Após conversarem sobre tão inusitado resultado, concluíram que cada uma havia votado naquela que votou na sua vizinha da esquerda (isto é, Ana votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Ana, Bia votou naquela que votou na vizinha da esquerda de Bia, e assim por diante).

168 b


Enrique Rocha

Os votos de Ana> Bia, Clô, Déa e Ema foram, respectivamente, para: a) Ema, Ana, Bia, Clô, Déa; b) Déa, Ema, Ana, Bia, Clô; c) Clô, Bia, Ana, Ema, Déa;

d) Déa, Ana, Bia, Ema, Clô; e) Clô, Déa, Ema, Ana, Bia,

Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Cada uma votou em quem votou na sua vizinha da esquerda. Passo 2: montar o diagrama que representa o problema: Ana

Passo 3: analisar as possibilidades, escolhendo hipóteses (vamos usar hipóteses que comecem com “Ana”) e desenvolvê-la para chegarmos a novas conclusões: 1. Ana à esquerda de Ema. 2. Bia à esquerda de Ana. 3. Clô à esquerda de Bia. 4. Déa à esquerda de Clô. 5. Ema à esquerda de Déa. Vamos construir uma figura que facilite identificar quem está à esquerda de quem: Esq

Esq

Al

A1 '''v

Ema

^ Déa

^

Esq

Esq

Aí X

AI X

Clô

^ Bia

Esq

A\ ^ v Âna

^ Ema

Esta figura deve ser lida da seguinte maneira: Ema está à esquerda de Déa, que está a esquerda de Clô, que está à esquerda de Bia, que está à esquerda de Ana, que está à esquerda de Ema.

Capítulo 5 —

"Encontrando o Culpado”

ed

169

Vamos agora levantar as hipóteses (os votos estão em setas largas e em ordem identificada): l aHipótese: Ana votou em Bia. Usando a figura para identificar os votos: Esq

Esq

t

t ''x

Ema

Déa

Esq

f

Clô

Esq

Esq

ÍÀ x T

.1

Ana

Esq

^

Ema

i

Ou seja:

Ana vota em Bia (1) e Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Mas quem votou nela foi Ana, e quem está à esquerda de Ana é a própria Bia. Isso é impossível, porque Bia teria votado nela mesma (2) e teria recebido 2 votos. Hipótese descartada. 2SHipótese: Ana votou em Clô. Usando a figura para identificar os votos: Esq ^

f

Esq

\

* V ^

Esq

* V .

Esq

Esq

Esq

* \ ^ |*a

Ou seja: Ana vota em Gô (1) e Clô vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Mas quem votou em Clô foi Ana, e quem está à esquerda de Ana é a Bia. Logo, Clô vota em Bia (2). Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela (em Bia). Mas quem votou em Bia foi Clô, e quem está à esquerda de Clô é a Déa. Logo, Bia vota em Déa (3).

170 t?


Déa vota em quem está à esquerda de quem votou nela, Mas quem votou em Déa foi a Bia, e quem está à esquerda de Bia é a CIô. Logo, Déa vota em CIô (4). Isso é impossível, porque CIô teria recebido 2 votos (de Ana e de Déa). Hipótese descartada. 3a Hipótese; Ana votou em Déa.

Usando a figura para identificar os votos:

5

Ou seja: Ana vota em Déa (1) e Déa vota em quem está à esquerda de quem votou Mas quem votou em Déa foi Ana, e quem está à esquerda de Ana é a Bia. Logo, Déa vota em Bia (2). Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela (em Bia). Mas quem votou em Bia foi Déa, e quem está à esquerda de Déa é a Ema. Logo, Bia vota em Ema (3). Ema vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Mas quem votou em Ema foi a Bia, e quem está à esquerda de Bia é a CIô. Logo, Ema vota em CIô (4). CIô vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Mas quem votou em CIô foi a Ema, e quem está à esquerda de Ema é a Ana. Logo, CIô vota em Ana (5). Esta hipótese funcionou!’.!! Hipótese aceita.

Capítulo 5 —


s

171

4aHipótese: Ana votou em Ema.

Usando a figura para identificar os votos: Esq

Esq

Esq

Esq

Erha

*'■ Dèa

dô

Bia

£

Esq

Esq

Aâ

Ema

J,

Ou seja: Ana vota em Ema (1), e Ema vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Mas quem votou em Ema foi Ana, e quem está à esquerda de Ana é a Bia. Logo, Ema vota em Bia (2). Bia vota em quem está à esquerda de quem votou nela (em Bia). Mas quem votou em Bia foi Ema, e quem está à esquerda de Ema é a Ana. Logo, Bia vota em Ana (3). Ana vota em quem está à esquerda de quem votou nela. Mas quem votou em Ana foi a Bia, e quem está à esquerda de Bia é a Clô. Logo, Ana vota em Clô (4). Isso é impossível, porque partimos da hipótese de que Ana votaria em Ema (t). Hipótese descartada. Logo, a figura final que representaria os votos seria: Ana

Ema

Déa

Pessoa Ana Bia Clô Déa Ema Resp.: B

^ C lô

Votou em Déa Ema Ana Bia Clô

172 b


Enrique Rocha

16. (CESPE 2004) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações: A afirmou que C matou o líder; B afirmou que D não matou o líder; C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime; D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes. (1) A declaração de C não pode ser verdadeira; (2) D matou o líder. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Três mentiram e apenas um falou a verdade. Passo 2: destacar o que cada um falou (siirçgMcando): A: Foi o C. B: Não foi o D. C: Não foi A e Não foi D. D: Náo foi C. Perceba que há uma clara contradição entre õ que “A” falou § o que “D” falou. Com isso, você pode concluir que é impossível_que ós dois estejam falando a v VERDADE ao mesmo, tempo. Como apenas um deles falou a VERDADE, ura dos dois e o que feia a verdade. Essa é uma importante técnica para “eliminação de hipóteses” (nunca deixe de aplicá-la!!!). Observe que só com isso você já pode avaliar o item (1) como “CERTO” (!!!). Passo 3: usar hipóteses para chegar a novas conclusões. Neste caso, só temos duas: “A” falou a verdade, ou “D” falou a verdade.

Capítulo 5 —

"Encontrando o Culpado*

a

173

Ia Hipótese: “A” falou a VERDADE (Foi o C) Neste caso, os outros três teriam mentido. Mas B disse “não foi o D”, e isso sendo mentira, teríamos “C culpado” (Hipótese atual) e “D culpado” (impossível, já que o enunciado afirma que o líder foi mono “Por um de seus asseclas”. Logo, sabemos, com certeza, que A mentiu. Se ele mentiu dizendo que “foi o C”, o D falou a verdade dizendo que “Não foi o C”. Como A, B, C e D mentiram, vamos “CONVERTER** o que disseram: A: Foi o C... se transforma em: não foi o C (isso é verdade) B: Não foi o D... se transforma em: foi o D (isso é verdade) C: Não foi A e não foi D... se transforma em: Foi o A ou o D (isso é verdade) Logo, a hipótese coerente é: “D íàlou a VERDADE ele mesmo é o assassino”. Veja que é um dos casos que contrariam nossa noção do cotidiano, pois somos levados a perguntar “como é que ele pode ser o assassino e falar a VERDADE”? Lembre-se que essa armadilha é usada constantemente nos concursos, fazendo os “desavisados” não acreditarem em suas conclusões. Não caia nessa!!! Resp.: 1) CERTO; 2) CERTO. 17. (ESAP-AFC-2004) Três homens são levados à presença, de um jovem lógico. Sabe-se que um deles é um honesto marceneiro, que sempre diz a verdade. Sabese, também, que um outro é um pedreiro, igualmente honesto e trabalhador, mas que tem o estranho costume de sempre mentir, de jamais dizer a verdade. Sabese, ainda, que o restante é um vulgar ladrão que ora mente, ora diz a verdade. O problema é que não se sabe quem, entre eles, é quem. A frente do jovem lógico, esses três homens fazem, ordenadamente, as seguintes declarações: • o primeiro diz: “Eu sou o ladrão.”; • o segundo diz: “É verdade; ele, o que acabou de falar, é o ladrão”} • o terceiro diz: “Eu sou o ladrão.” Com base nestas informações, o jovem lógico pode, então, concluir corretamente que: a) o ladrão é o primeiro e o marceneiro é o terceiro; b) o ladrão é o primeiro e o marceneiro é o segundo; c) o pedreiro é o primeiro e o ladrão é o segundo; d) o pedreiro é o primeiro e o ladrão é o terceiro; e) o marceneiro é o primeiro e o ladrão é o segundo.

174 £


Enrique Rocha

Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: O Marceneiro sempre diz a VERDADE. O Pedreiro sempre MENTE, O Ladrão às vezes mente, às vezes diz a verdade. Passo 2: destacar o que cada um falou (simplificando): O Ia diz: “l2 é o ladrão”. O 2- diz: “ls é o ladrão”. O 3S diz: “3a é o ladrão”. O segredo nesse exercício é perceber que, não importa a hipótese, sempre haverá pelo menos uma “VERDADE” e uma “MENTIRA”. Com base nisso, vamos construir uma tabela com as possibilidades: Usando o macete dado no Capítulo 3, vamos ver todas as possibilidades de combinação de “V” e “M” para três pessoas: lfi

2a

32

V

V

V

V

V

M

v

M

V

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

M

M—

V —

M

—

Descartada porque -> não tem “M”

Descartada porque não tem “V”.

Capítulo 5 —

uEncontrando o Culpado"

s

175

Assim, das oito possibilidades, restam seis:

12

2-

30

V

V

M

V

M

V

V

M

M

M

V

V

M

V

M

M

M

V

Examine o que disseram o Ia e o 2a: O ladiz: Kl2é o ladrão”. O 2odiz:
22

32

V

V

M

¥

M

¥

M

M

M

.V

¥

M

¥

M

M

M

V

, Descartada porque não tem “V”.

Ficamos, então, com apenas duas possibilidades:

12

2&

3fi

V

V

M

M

M

V

176


b

Como o Marceneiro sempre diz a VERDADE e o Pedreiro sempre MENTE, podemos fazer as seguintes anotações:

22

3S

V

V

M

■> O Pedreiro, nessa hipótese, teria que ser o 3a.

M

M..

V

"*■ O Marceneiro, nessa hipótese, teria que ser o 3a.

Vamos então analisar as variações de cada uma dessas duas hipóteses: Ia Hipótese: Pedreiro é o 3° (primeira linha acima).

12

22

3a

V

V

M

•> O Pedreiro, nessa hipótese, teria que ser o 32.

Por essa hipótese, teríamos duas variações possíveis:

12

2S

3fi

Marceneiro (Verdade): “Eu sou 0Ladrão"

Ladrão (Verdade): “0 l 2é 0 Ladrão*’

Pedreiro (Mentira): “Eu sou 0Ladrão” ■~?£4

B ltB fiilI

Impossível, porque o Marceneiro (o l2) teria dito que é o Ladrão, e isso não poderia ser verdade, Tudo correto: Ladrão (V) diz que é ladrão; Marceneiro (V) diz que o ls é o ladrão; e Pedreiro (32) mente dizendo que é o ladrão.

Capítufo 5 — "Encontrando o Culpado" s

177

23Hipótese: Marceneiro é o 3a (primeira linha acima).

12

2a

32

V

v

M

■> O Marceneiro, nessa hipótese, teria que ser o 3a.

Por essa hipótese, teríamos duas variações possíveis:

12

2a

3fi

Pedreiro (Mentira): "Eu sou o Ladrão”

Ladrão (Mentira): uO 1° é o Ladrão”

Marceneiro (Verdade): “Eu sou o Ladrão”

Ladrão (Mentira): “Eu sou o Ladrão”

Pedreiro (Mentira): “0 1° é o Ladrão”

Marceneiro (Verdade): “Eu sou o Ladrão”

Impossível, porque o Marceneiro (o 3-) teria dito * que é o Ladrão, e isso não poderia ser verdade. Impossível, porque o Ladrão (lfi) teria dito que é o LadrãOi e isso seria verdade e não mentira.

Logo, a única hipótese possível é:

Resp.: B

lâ

22

32

V

V

M

Ladrão

Marceneiro

Pedreiro

178 c


Exercidos Sobre "Encontrando o Culpado”

1. Numa ilha, há apenas dois tipos de pessoas; as que sempre falam a verdade e as que sempre mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamado X para servir-lhe de Intérprete. Ambos encontram outro Ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe pergunta se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz —Ele disse que sim» mas ele pertence ao grupo dos mentirosos. Dessa situação, é correto concluir que:

a) c) b) d)

ambos falam a verdade; Yfala a verdade; a resposta de Y foi NÃO; X fala a verdade.

2. (ESAF-MPOG-2003) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos participantes de uma prova de ciclismo: Guto chegou antes de Aires e depois de Dada; Guto chegou antes de Juba e Juba chegou antes de Aires, se e somente se Aires chegou depois de Dada; Cacau não chegou junto com Juba, se e somente se Aires chegou junto com Guto. Logo:

a) b) c) d) e)

Cacau chegou antes de Aires, depois de Dada e junto comjuba; Guto chegou antes de Cacau, depois de Dada e junto comAires; Aires chegou antes de Dada, depois de Juba e antes de Guto; Aires chegou depois de juba, depois de Cacau ejunto com Dada; Juba chegou antes de Dada, depois de Guto e junto com Cacau.

Capítulo 5 —


Gabarito das Questões de “Encontrando o Culpado”

1. D

s

179

C apítulo 6

...... ■

Análise Combinatória _____________________B “Como diz o meu irmão, ê muito mais importante gostar do quefaz do quefazer o que gosta. Aliás, essa é uma regra geraldefelicidade, já que tãopoucos conseguemfazer na vida exatamente o que gostam. Conquiste sua felicidade do dia a dia, gostando de cada coisa que vocêforfazer. ” A Análise Combinatória estuda o cálculo da quantidade de agrupamentos distintos que podem ser formados com os elementos de um determinado conjunto. Exemplo: quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos ímpares? Você deve ter sempre em mente que a Análise Combinatória é uma análise quantitativa, ou seja, a finalidade dos problemas geralmente será calcular a quantidade de agrupamentos, e náo propriamente listá-los. Apenas eventualmente você precisará listar esses agrupamentos. O nosso estudo neste livro se fará com base, inicialmente, no Princípio Fundamentai da Contagem, procurando entender perfeitamente o cálculo e a formação dos diversos tipos de agrupamentos. Por esse perfeito entendimento, facilmente compreenderemos as fórmulas a serem usadas nas resoluções dos problemas. E aí teremos o estudo completo: o Princípio Fundamental da Contagem, permitindo o perfeito entendimento da matéria, e as fórmulas para maior velocidade na resolução dos problemas. 6.1.

Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinações

Arranjos - são agrupamentos que diferem entre si não só pela natureza dos ele mentos, como também pela ordem em que sáo colocados. Ou seja, dois agrupamentos

182

g


Enrique Rocha

com os mesmos elementos são considerados diferentes, se a ordem deles for diferente (ab # ba). Exemplo: números são arranjos, pois a ordem dos algarismos muda o agrupamento. 37*73. Permutações - trata-se de um caso particular de arranjos, em que cada agrupamento é formado por todos os elementos do conjunto dado. Exemplo 1: números de cinco algarismos, sem reped-los, formados com os algarismos

ímpares (que são cinco). Exemplo 2: anagramas formados com as letras de uma palavra, sem repeti-las (em cada anagrama, entram todas as letras da palavra dada). Combinações —são agrupamentos que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos, ou seja, dois agrupamentos com os mesmos elementos são iguais, mesmo que a ordem desses elementos seja diferente (ab - ba). Exemplo 1: produtos de números, sem repetição de algarismos, são combinações, já que a ordem dos fatores não altera o produto. 3 x 7 = 7 x 3. Exemplo 2: agrupamentos de pessoas são combinações, já que um grupo formado por João e Maria é igual ao grupo formado por Maria e João. Observação: deve-se ter em mente que o número de combinações é o mesmo número de arranjos, tomando-se o cuidado de exdmr o número de agrupamentos iguais, segundo uma regra simples que veremos posteriormente.

6.2.

Princípio Fundamental da Contagem; O Grande Segredo

O Princípio Fundamental da Contagem é uma ferramenta de grande utilidade para a resolução de problemas de Análise Combinatória. Ressalte-se que esse princípio é geral para todos os dois tipos de agrupamentos vistos acima (arranjos e combinações), devendo-se apenas, no caso de combinações, exduir os agrupamentos repetidos. Regra: o número total de modos de ação ou de escolha de um determinado acontecimento que ocorre em etapas é igual ao produto das possibilidades de escolha ou ação de cada uma das etapas. Apliquemos esse princípio em cada tipo de agrupamento e, a seguir, a fórmula respectiva.

Capítulo 6 —

6 .3 .

Análise Combinatória

e

183

A rran jo s

Exemplo 1: quantas placas diferentes podem ser formadas com um único algarismo? Explicação: as placas serão 0, 1, 2, 3,... até 9.

□ 10

Resp.: 10. Observação: Este é um caso especial, quando o número de elementos é igual a 1. Tanto pode ser considerado arranjo como combinação. Exemplo 2: quantas placas diferentes podem ser formadas com dois algarismos (0a 9), sem repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em duas etapas: a escolha do primeiro algarismo e, depois, a escolha do segundo algarismo. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. E, para cada “primeiro algarismo” escolhido, como não pode ser repetido, haverá apenas nove possibilidades de escolha para o segundo algarismo:

TT 10

9

Vemos, portanto, que poderão ser formadas 10x9 placas diferentes. Resp.: 90. Exemplo 3: Quantas placas diferentes de três algarismos poderão ser formadas com três algarismos (0a 9), sem repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em três etapas: a escolha do primeiro algarismo, depois a escolha do segundo algarismo e, por fim, a escolha do terceiro algarismo. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. Para cada “primeiro algarismo” escolhido, como não .pode haver repetição do algarismo já usado, haverá nove possibilidades de escolha para o segundo algarismo. Para cada grupo de “primeiro e segundo” algarismos já escolhidos, como não pode haver repetição dos algarismos já usados, haverá oito algarismos a escolher para a terceira posição.

r

10

r

9

t

8

184 □


Vemos, portanto, que poderão ser formadas 10x9x 8 placas diferentes. Resp.: 720 Exemplo 4: quantas placas diferentes podem ser formadas com dois algarismos (0 a 9), podendo repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em duas etapas: a escolha do primeiro algarismo e, depois, a escolha do segundo algarismo. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. E, para cada “primeiro algarismo” escolhido, haverá dez possibilidades de escolha para o segundo algarismo. Vemos, portanto, que poderão ser formadas 10x 10placas diferentes. Resp.: 100

T10 f?o Exemplo 5: quantas placas diferentes podem ser formadas com três algarismos (0a 9), podendo repeti-los na mesma placa? Esse trabalho será feito em três etapas: a escolha do primeiro algarismo, depois a escolha do segundo algarismo e, por fim, a escolha do terceiro e último algarismo. Há dez possibilidades de escolha do primeiro algarismo. Para cada “primeiro algarismo” escolhido, haverá dez possibilidades de escolha para o segundo algarismo. Para cada grupo de “primeiro e segundo” algarismos já escolhidos, haverá dez algarismos a escolher para a terceira posição. Vemos, portanto, que poderão ser formadas 10x10x10 = 100 placas diferentes.

10

10

10

Resp.: 1.000 Exemplo 6: (arranjos / permutações) De quantas maneiras distintas cinco pessoas podem sentar-se em um banco retangular com cinco lugares? Resolução: Como você pode perceber, todas as cinco pessoas são uma alternativa para o primeiro lugar, já que nenhuma delas se sentou ainda. Já para o segundo escolhido, como o

Capítulo 6 —

Análise Combinatória m

185

primeiro já tinha se sentado, ficaram apenas quatro pessoas em pé e, logicamente, uma dessas quatro tinha que ser escolhida. De forma análoga, para os outros lugares, a quantidade de alternativas de escolha ia diminuindo, à medida que ia sendo escolhida a pessoa para o lugar imediatamente anterior. Isso resultaria em uma situação conforme a mostrada abaixo:

W

5 x 4 x

f i

3 x 2 x J

Resp.: 5 * 4 x 3 x 2 x l =120 SÕtóervaçãoêâítoiiltiplicação dé;üm>: ni^èrp tn a tt ^ í q i^ antecessores, até a uíiidade,édb

;seus

A resposta acima poderia ser dada assim: 5! Exemplo 7i (Arranjos / Permutações): Quantos anagramas distintos podem ser formados com a palavra "cheiro”?1 Resolução:

Veja que, para a escolha da primeira letra do anàgrama, você tem seis opções, ou seja, pode escolher qualquer uma das seis letras da palavra cheiro. .Quando você já tiver feito a primeira escolha, restarão cinco letras dentre as quais você escolherá aquela que vaí ocupar a segunda posição. Este procedimento deve ser continuado até que você tenha "assentado” todas as letras.

n T -m

6 x $ x 4 x 3 x 2 x l

Aplicando o PFC, vemos que o total de anagramas (variações) possíveis para as letras da palavra cheiro é 6.5.4.3.2.1 = 720 (ou 6!). Resp.: 6! = 720

1 Anagrama é a palavra usada para variações livres entre as letras de uma palavra. Assim, a palavra “BOI” tem os seguintes anagramas.- BOI, BIO. IOB, IBO, OBI e OÍB, como nem todas têm significado, ou seja, sáo palavras do idioma, temos que nos referir a cada uma por um outro nome; Anagrama!

186 a


Enrique Rocha

Exemplo 8: quantos anagramas tem a palavra "asa”? Pelo que temos visto anteriormente, responderíamos:

i i i

3x2x1 E o nosso cálculo seria; 3 x 2 x 1 » 3! = 6. Entretanto vamos listar esses anagramas, colocando o primeiro “a” como maiúsculo, para diferenciá-lo do outro, durante o processo: Asa, Aas, sAa, sAa, aAs, asA Como você pode ver, é possível “misturar” as letras de seis maneiras diferentes, No entanto, se você colocar as duas letras “a” escritas da mesma maneira, veremos que existem anagramas repetidos. Quando as palavras apresentam uma ou mais letras repetidas, surgirão alguns anagramas também repetidos e estes devemser eliminados da quantidade total contada. No exemplo acima, vemos que na realidade só há três anagramas distintos da palavra “asa”. Para obtermos o número de anagramas (distintos), dividimos o total de “misturas” pelo fatorial de 2 (quantas vezes uma letra repetida aparece na palavra original): Resp.; 6/21 = 6/2 = 3 Exemplo 9: quantos são os anagramas da palavra “caboclo”?

7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x ]

Temos 7! “misturas”. A letra c aparece duas vezes e a palavra o também se repete duas vezes. Para obtermos o número de anagramas (distintos), dividinios o total de “misturas pelo produto 21 x 2! (quantas vezes cada letra repetida aparece na palavra original).

M 7x

H 6 x 5 x

H

(2 x l ) x

Resp.: 1.260 anagramas.

i

4 x 3 x / x /

Capítulo 6 —- Análise Combinatória

e

187

Exemplo 10: quantos anagramas tem a palavra "matemática” (desconsidere o acento)?

n 10x

T 9x

i 8x

T 7x

r

.

6 x 5 x 4 x 3 x

2x1

Temos 101 “misturas”. A letra m aparece duas vezes, a letra a aparece três veies e a letra t aparece duas vezes. Para obtermos o número de anagramas (distintos), dividimos o total de “misturas pelo produto 3! x 2! x 2! (quantas vezes cada letra repetida aparece na palavra original).

10 x

9x 8 x

7x

6 x 5 x 4 x 3 x

2x1

(3 x 2 x ? ) x ( 2 X l ) x ( 2 x 1)

Resp.: 151.200 anagramas 6.3,1.

Fórmulas para arranjos

Sendo n elementos, e p o número de elementos a entrar em cada grupo, o número total de arranjos é dado pela fórmula: Geral: Anp= n(n-l)(n~2)... —> haverá p fatores. Exemplo: de quantas maneiras distintas cinco pessoas podem sentar-se em um banco retangular com três lugares? Temos: = 5.4.3= 60 formas distintas (5.(5-l).(5-2)) t________ i 3 fatores No caso de poder haver elementos repetidos no mesmo agrupamento: An,p = n. n. n....- np Esta fórmula também decorre do Princípio Fundamental da Contagem, lembrandonos de que, como os elementos poderão se repetir, náo haverá decréscimo e, em vez de termos n.(n-l).(n-2)...3.2.1, teremos n.n....n (p vezes). Exemplo 1: imagine o problema das placas do DETRAN em que se se pode usar três letras (do alfabeto com vinte e seis letras) e quatro algarismos.

188 b


Como o enunciado não explicitou nada sobre a repetição das letras e dos algarismos, partimos do pressuposto de que é permitido repeti-los, ou seja, temos que considerar AAA0000 como uma possibilidade de solução (por exemplo). Com isso, usando a fórmula de arranjos com elementos repetidos, teríamos: a^ a ^ - c^ x h ^ . Para permutações (arranjos com todos os elementos em cada grupo, p - n): Pa - n!An,n= n.(n-l).(n~2)...3. 2. i —> haverá n fatores. ' y ' ' Exercício: refaça os exemplos acima, usando a fórmula.

Para permutações com elementos repetidos no conjunto principal: A

Nl

rj!.tr2!.tr3L.rn!, 6.4.

Combinações

Exemplo 1: quantas comissões distintas de duas pessoas é possível formar a partir de um grupo composto por quatro pessoas (A, B, C, D)? Como já vimos, cada comissão é uma combinação (e não arranjo), porque, mesmo mudando a ordem das pessoas de uma comissão, a comissão é a mesma. Inicialmente, o cálculo do número de agrupamentos é o mesmo de arranjos: E os agrupamentos seriam: ABC ABD ACB ACD ADB ADC

BAC BAD BCA BCD BDA BDC

CAB CAD CBA CBD CDA CDB

DAB DAC DBA DBC DCA DCB

Precisamos agora excluir os OÍt< combinações (quatro): TS A V /T. AP. P U rX D d A a lr ABC |> v \rs CAD TU \t AT K( ~Z ABD D IIL / r\T> a A X7X7TT Ü C ÍV ACB CDn BCD TZOT7 1 T T f x Z ACD /^ n A A D P . PTYAXZTITrt ÍT t7 D ©€A w í i TXtTXZ

p n r

XXCX1

UwO

Capítulo 6

— Análise Combinatória

a

189

Regra: o número de combinações possíveis é igual ao número de arranjos, dividido pelo fatorial do número de elementos em cada grupo. Fórmula: C M

!™ , = n,^ra~ ^,^,w~ ^ —^ —* haverá rp fatores. k! h!

Exercício: refaça o exemplo acima) usando a fórmula.

6.5.

Convenções e Observações

Existem algumas convenções que você deve conhecer, pois elas podem ser necessárias à resolução de alguma questão ou, mesmo, servir para acelerar o processo em alguma outra. 0! = 1 (fatorial de zero é um); XI —1 (fatorial de um é um); Cn0= 1 (combinação de n elementos zero a zero é um); AnJ = n (arranjo de n elementos um a um é “n”); Cnl = n (combinação de n elementos um a um é “n”). 6.6.

Alguns Tipos Comuns de Problemas

Abaixo, está uma relação de alguns tipos mais comuns de problemas, em ordem crescente de dificuldade. Agrupamentos com determinado elemento em lugar determinado. Exemplo 1: quantos números de quatro algarismos, sem repeti-los no mesmo grupo,podemos formar com os algarismos, estando o algarismo 7 sempre em segundo lugar?

f - Vx 8 xt7 « S04

190 e


Vemos que o algarismo 7 entra em todos os agrupamentos. Então, ele é retirado do conjunto geral, fazem-se os grupamentos com os nove restantes e, depois, se insere o 7 no segundo lugar de cada grupamento. Ficam, portanto, apenas nove algarismos e três lugares para serem trabalhados.

J W . - V - 9 * 8 * 7-5°4. Resp.: 504 números Exemplo 2: Quantos anagramas da palavra “bonzai” começam com “Z”? Z

S x 4 x 3 x 2 x 1

A palavra “bonzai” tem seis letras. No entanto, vemos que a letra Z, em todos os agrupamentos, estará ocupando a primeira posição. Por isso, vamos “assentar” a lecra Z no primeiro quadrado e deixa-la lá. Não se esqueça de que a partir do momento em que a letra Z está na primeira posição, ela não entra mais no “sorteio de letras” para as outras, ou seja, passamos a trabalhar com cinco letras para cinco vagas. Ag.1 w = A55= 5 x 4 x 3 x 2 x l = 120. Resp,: 120anagramas Observação: como todos os cinco elementos (as letras que sobraram após a retirada do Z) entram em todos os agrupamentos, trata-se de uma permutação, e o problema poderia ser resolvido de modo mais simples: P = 5! » 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Exemplo 3: quantos times de cinco jogadores podem ser formados a partir de um processo seletivo com quin2e atletas? Na formação de um time, não faz diferença a ordem em que os jogadores são chamados, ou seja, o time formado por “João e Marcos” é o mesmo time “Marcos e João”. Isso nos coloca diante de um problema de combinação. Temos quinze elementos para cinco vagas, o que nos leva a:

Resp.: 3003

Capítulo 6 —

6.6.1.


s

191

Agrupamentos com Elementos Sempre Juntos e em Determinada Ordem

Exemplo 1: Quantas variações de cinco algarismos, sem repeti-los no mesmo grupo,podemos formar com os algarismos, estando os algarismos 2 e 7 juntos e nessa ordem? Vemos que os algarismos 2 e 7 entram em todos os agrupamentos, juntos e nessa ordem. Então, podem ser considerados como um elemento só no conjunto geral (passam a ser nove elementos). E como se 27 fosse considerado um algarismo só. Passamos, então, a trabalhar com as “pedras” “0”, “1”, “27”, “3”, “4”, “5”, " 6”, “8” e “9a. Importante! Como usamos o 27 sempre, estaremos ocupando dois dos cinco algarismos. Por isso, vamos trabalhar apenas com 4 casas disponíveis.

l i

1

1

9 x 8 x 7 x 6

= 3,024

Observe que o problema usou “quantas variações” e não “quantos números”?desta forma, náo precisamos nos preocupar com o “0n(2ero) na 1*posição à esquerda. Se fossem “números”, isso seria necessário!

Resp.: 3.024 Exemplo 2: Quantos anagramas da palavra UNIVERSAL podemos formar que contenham as letras “I”, “V” e“L” juntas e nessa ordem? Vemos que as letras “I”, “V” e “L” entram em todos os agrupamentos, juntos e nessa ordem. Isso significa que devemos tratá-las como se fossem uma única lecra, passando o nosso conjunto a ser: “U”, N“, ‘TVL”, “E”, “R”, KS” e “A”, ou seja, temos sete letras para misturar em cada agrupamento. Ou, ainda, usando a fórmula, queremos arranjar sete “letras” de sete em sete:

11111 1 1 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x

A92w=A77= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=5.040. Resp.: 5.040 anagramas

1=5.040

192 e


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Observação: como entram todos os elementos em todos os agrupamentos, trata-se de permutação, e poderia ser resolvido assim, de modo mais simples: P? = 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x l = 5.040.

6.6.2.

Agrupamentos com Eiementos Juntos, em Qualquer Ordem

Para a metodologia dos exemplos abaixo, usaremos os exemplos semelhantes do tópico anterior (agrupamentos com elementos sempre juntos e em determinada ordem), pressupondo que foram compreendidos e aprendidos pelo leitor. Exemplo 1: Quantas variações de quatro algarismos, sem repeti-los no mesmo grupo, podemos formar, estando os algarismos 2 e 7 juntos (em qualquer ordem)? Vimos, pelo exemplo 1 do tópico anterior, que, se os algarismos 2 e 7 devessem ficar juntos sempre nessa ordem, a resposta seria 3.024. Como neste exemplo, aqui a ordem pode ser qualquer, ou seja, tanto pode aparecer 27 como 72, vemos que temos de multiplicar o resultado acima por 2 (=21): 3.024 x 2 = 6.048. A explicação mais genérica é a seguinte: quando os elementos unidos puderem alternar suas posições, multiplique o resultado obtido para uma das combinações pelo total de variações “ internas” possíveis. Resp.: 6.048 números Exemplo 2: Usando o exemplo anterior, quantos números poderiam ser formados, apresentando sempre os algarismos 2,7 e 9 juntos e em qualquer ordem? Podemos considerar os algarismos 2,7 e 9 como um elemento só no conjunto geral (passam a ser oito elementos). É como se 279 fosse considerado um algarismo só. Passamos, então, a trabalhar com as “pedras” “0”, *1”, “279”, "3”, “4”, “5”, *6* e“ 8”.

n t ttI

1

S x 7 x 6 x $ x 4 x 3 x 2 x

Isso resulta em 8! = 40.320 variações possíveis.

1 2

Capítulo 6 —


e

193

No entanto, como os algarismos 2, 7 e 9 podem aparecer em qualquer ordem, temos que considerar as variações possíveis para eles:

m

3x2x1

E o nosso cálculo seria: 3 x 2 x 1 = 3! = 6. Com base nisso, multiplicamos o valor encontrado na primeira parte da resolução por 6: 40.320 x 6 » 241.920 Resp 241.920 números 6.7.

Exercícios Resolvidos de Análise Combinatória

1. Quantos são os multados possíveis para os três primeiros lugares de uma competição da qual participam sete corredores? Resolução: Imagine o seguinte resultado: “José em lfl lugar, Pedro em 2a lugar e Mário em 3Blugar”. Será que este seria o mesmo resultado de “Pedro em Ia lugar, Mário em 2a lugar e José em 3a lugar”? Claro que não! Por isso, neste problema, estaríamos considerando que “a ordem dos elementos no grupo fez diferença, ou seja, “ABC” seria um resultado realmente diferente de “CBA”. Quando for este o caso, basta aplicar o PFC e chegar à quantidade de variações possíveis:

t r f

7 x 6 x 5 = 210

Aqui, podemos perceber que tínhamos sete possibilidades para o vencedor (Ia lugar), seis para o segundo lugar (porque uma das sete pessoas já está “colocada”, e cinco para o terceiro lugar, resultando em um total de 210 resultados diferentes possíveis. Por outro lado, existem situações em que a ordem dos elementos nos agrupamentos resultantes não faz diferença no resultado final. É o caso, por exemplo, dos exercícios que envolvem a formação de comissões de “x” pessoas tiradas de um conjunto maior. Resp.: 210

194 ei


Enrique Rocha

2. Uma prova consta de quinze questões das quais o aluno deve resolver dez. De quantas formas ele poderá escolher as dez questões? Resolução:

Em primeiro lugar, é importante que você identifique quantos elementos (no total) estaremos tentando agrupar. O exemplo cita que poderemos escolher dez de um total de quinze. Assim, nosso total é quinze. O próximo passo é definirmos “a quantidade de vagas que deverão ser ocupadas”, ou seja, por quantos elementos cada grupo possível deverá ser formado. No nosso caso, como teremos que escolher dez dentre as quinze questões existentes» nossos grupos serão formados por dez elementos. Depois desse mapeamento inicial aplicaremos o PFC:

t í "r

n T r r n '

1 5x 1 4x1 3 x12x11x10x9x8 x7x6

Como podemos perceber, a ordem em que o aluno resolve as questões não faz diferença no resultado final, ou seja, tanto faz se ele escolher a terceira questão para resolver primeiro ou por último. Logo, estamos diante de uma situação em que precisamos eliminar as repetições, o que é feito dividindo-se o produto acima pelo fatorial do número de vagas:

1 5 x 1 4 x 1 3 x 1 2 x 1 1 x K T x - T x -S " x - T x * er ■HTx--9''x - T x - r 5 x 4 x 3 x 2 x l

Esse cálculo nos leva a: 15.14,13.12.11 _ ^.1413.12.1 i _ VT-13.12.il _ 7.13.1^.11 _ 5.432.1 X4X2.1 42l #1 Resp.: 3.003

Capítulo 6

— Análise Combinatória is

195

3. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1 , 2 , 9 . O segredo do cofre é marcado por uma seqüência de três dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo?

Resolução: Este tipo de problema se diferencia dos demais porque a quantidade de elementos a serem arrumados é diferente da quantidade de ‘Vagas” existentes para estes elementos. Aqui, você pode usar o mesmo raciocínio apresentado nos exemplos anteriores, com uma pequena diferença: você não vai usar todos os elementos disponíveis, mas apenas três deles, porque o código do cofre só aceita essa quantidade. Assim, como você tem dez possibilidades de escolha para o primeiro algarismo, para o segundo você terá nove (o que é explicitado na expressão “dígitos distintos”); e analogamente, para o terceiro dígito, você poderá escolher um dos oito que ainda não foram utilizados. Quando aparece aigo como “quantas tentativas (no máximo)”, você deve pensar no maior número possivel de variações, como se “o cara fosse o mais azarado do mundo” e fosse acertar apenas na última (!!!). Esse tipo de pergunta é recorrente em provas de todo tipo!

10 x 9 x 8 = 720

Observe que 720 = Ai03 Desta forma, poderíamos tratar o exemplo como sendo um problema de cálculo de arranjo de dez elementos três a três: á 50,3 = 10.9.8 = 720

Resp.: 720 4. O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas, usando-se três letras do alfabeto e quatro algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? Resolução:

Como o alfabeto possui vinte seis letras e nosso sistema numérico possui dez algarismos (de 0 a 9), podemos concluir que: para a primeira posição, temos vinte e seis alternativas e, como pode haver repetição, para a segunda e a terceira também teremos vinte e seis alternativas.

196 e


Enrique Rocha

Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos dez alternativas para cada um dos quatro lugares. L

I N

--- 1---

N

H

mu th

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x

1 0 x 10

Podemos, então, afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 26x26x26x10x10x10x10 = 263 x IO4, que resulta em 175.760.000. Por tratar-se de um problema de arranjo no qual os elementos podem repetir-se no agrupamento, podemos usar também a fórmula de arranjos com elementos repetidos para cada uma das etapas - a primeira, escolha das letras, e a segunda, a escolha dos algarismos. Aplicando o PFC, sabemos que o total de variações possíveis será: A 26.3X A 10.4!S ^ 63

x

104)-

Resp.: 175.760.000 5. Um salão tem seis portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? Resolução

Para a primeira porta, temos duas opções: aberta ou fechada. Para a segunda porta, temos também, duas opções, e, assim, sucessivamente. Para as seis portas, teremos, então, pelo Princípio Fundamental da Contagem —PFC:

t 11i i 1 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2

No entanto, uma dessas possibilidades é o cenário no qual todas as portas estão fechadas, o que não atende à condição imposta de *o salão estar aberto”. Por isso, precisamos descartar uma das sessenta e quatro possibilidades, ficando com o resultado final de sessenta e três formas de o salão estar aberto. Resp.; o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis.

Capítulo 6 —


s

197

6. Quantas comissões distintas de cinco pessoas podem ser formadas a partir de uma equipe com oito membros, sendo que em cada comissão sempre devem estar presentes as pessoas “A” e “B” ? Resolução:

Vamos considerar primeiro a resolução do problema sem a condição colocada (de estarem presentes “A” e “B”). Temos oito “candidatos” paja cinco “vagas”. Aplicando o PFC:

1

' n 'r i

8 x 7 x 6 x S x 4

Já que, para a primeira vaga, todos concorrem, este número vai diminuindo, à medida que as pessoas vão sendo escolhidas. Como já vimos anteriormente, a ordem das pessoas não altera uma comissão e, por isso, temos que eliminar as repetições:

t i i ST* r i(S 8 x 7 x 6 x .........

......

3x2x!

8 x 7 x JS __ ................. a 8 x 7 “ 56

1

De acordo com o cálculo, seria possível formarmos cinqüenta e seis comissões distintas. No entanto, o enunciado explicita a condição de que “A” e “B” estejam sempre presentes, o que nos leva às seguintes considerações: 1. sejam os elementos: A, B, C, D, E, F, G e H; 2. como A e B estarão sempre presentes, devemos considerar que dois lugares da comissão já estarão ocupados e que estes dois elementos não entrarão no “sorteio” dos participantes. Dessa forma, a aplicação do PFC continua sendo válida, mas de uma forma um pouco diferente: em vez de considerarmos cinco vagas, vamos considerar apenas três; e, por outro lado, em vez de estarmos falando de oito possibilidades de escolha para a primeira vaga, estaremos falando de apenas seis (já que duas delas já foram descartadas pela designação prévia);

198 js


Enrique Rocha

3. além disso, quando formos eliminar as repetições (fato decorrente de não importar a ordem dos elementos no grupo), estaremos considerando a nova quantidade de vagas existentes (no caso, três): rt

o

'.... Li T Í J ■£' x 5 x 4

-------------------------= 5 ar x z x i

r

A

x 4 = 20

Resp.i serão possíveis 20 comissões distintas. 7. Quantas comissões distintas de três pessoas podem ser formadas a partir de uma equipe com oito membros, sendo que, em cada comissão, nunca devem estar presente as pessoas “A” e “ B”? Resolução:

E um problema muito semelhante ao anterior, com a variação de que, nele, não poderemos considerar os elementos “A” e “B” como possibilidades para preenchimento das vagas. Para a primeira vaga, teremos seis possibilidades; para a segunda, cinco e assim por diante.

\ \ \ X x 5x4

Resp.: serão possíveis 20 comissões distintas. S. Numa assembleia de doze cientistas, três são físicos. Quantas comissões de cinco membros podem ser formadas, incluindo, no mínimo, um físico? Resolução:

Este problema pode ser resolvido de duas formas: uma mais difícil e outra mais simples. Como eu preciso que você amadureça seus conhecimentos sobre combinatória, vou apresentar-lhe primeiro a forma mais difícil e, depois, vou surpreendê-lo com a forma mais simples, ok\ Uma comissão com, pelo menos, um físico pode ter um, ou dois, ou três físicos (e não mais do que isso, porque não existem mais do que três físicos no conjunto principal de elementos). Assim, se calcularmos o total de comissões com um físico, o total com dois físicos e o total com três físicos, e somarmos estes três totais, teremos nossa resposta final. Antes de tudo, você deve notar que temos três físicos, e nove não físicos (essa informação será usada daqui para a frente).

Capítulo 6 —


3 199

Com um físico:

A resolução deste problema passa pela situação de fixarmos um físico em um dos lugares e liberarmos o resto das posições para os cientistas que não são físicos. Veja como isso é feko. A primeira percepção que você deve ter é a de que estamos tratando de comissões com exatamente um físico, e náo mais do que isso. O segundo ponto é notar que nossa comissão deve ter cinco membros, ou seja, temos cinco vagas. Temos que tratar o processo em duas etapas: a escolha do físico e, depois, a escolha do cientista não físico. Para tanto, basta separar a vaga do físico, calcular as possibilidades para ocupação desta vaga e, então, fazer a distribuição dos outros nas quatro vagas restantes. Para a vaga de físico, temos três possibilidades. Para as restantes, aplicamos o PFC, conforme mostrado abaixo: Fís.

Não físicos

1

i H 3 x 9

1 1

x 8 x 7 x 6

Só que, como a ordem não importa, temos que dividir cada parte pelo fatorial da quantidade de vagas existentes. Isso também deve ser feito em etapas, ou seja, para os físicos e, depois, para os não físicos. Para os físicos, temos apenas uma vaga, o que implica dividir por 1 (não altera nada). Para os não físicos, temos quatro vagas e temos que dividir por 4 x 3 x 2 * 1. Fís.

Não físicos

t llil

3 x 9 x J8r x 7 x &

■fir x -3" x 2 : x 1

Acontece que o PFC não é aplicado apenas para calcular a quantidade de possibilidades para os não físicos, mas também para calcular a quantidade total. Esta aplicação considera exatamente o seguinte: o processo geral de escolha das comissões implica duas etapas distintas e, pelo PFC, a quantidade total de alternativas é dada pelo produto das possibilidades específicas de cada etapa. Dessa forma, temos que o resultado final será: 3 x 9 x 4 x 7 = 378 Conclusão: é possível formar 378 comissões que tenham apenas um físico.

200

s Raciocínio Lógico —

Enrique Rocha

Com dois físicos: Observe que, agora, como temos duas vagas para físicos, temos que lembrar de eliminar as repetições (porque a ordem náo importa). Com isso, também muda o denominador da parte “náo físicos”, que era 41 e agora passa a ser 3! porque só restaram três vagas para serem preenchidas (depois do preenchimento das duas vagas reservadas para os físicos). De forma análoga, com dois físicos: F ísico s

Não físic o s

í

1

1

i

1

4

3 x Jt

JSr x & x 7

\

X x 2: x 1

Fazendo as contas, chegamos ao resultado: 3 x 3 x 4 x 7= 252 Conclusão: é possível formar 252 comissões com exatamente dois físicos. Com tfês físicos: Por fim, calculando para três físicos (e percebendo que, novamente houve mudança nas quantidades de vagas reservadas para cada grupo):

Físicos

Nâo físicos

|.....>

f

..... i __1

x

x Jr

9 x Jfr

x

x x

2: x 1

1 i i 1 1 Este cálculo gera: 9 x 4 = 36 Conclusão: é possível formar 36 comissões com exatamente três físicos. Como passo final, temos que somar os três totais e obteremos a quantidade total de comissões distintas possíveis das quais participe pelo menos um físico: Total: 378 + 252 + 36 =-666

Capítulo 6 —


a

201

OUTRA FORMADE RESOLVER: A expressão “no mínimo um físico” significa a presença de um, dois ou três físicos nas comissões (porque só existem três físicos no grupo). Podemos raciocinar da seguinte forma: em quantas comissões não possuem. físicos e subtrair este número do total de agrupamentos possíveis. -vV/Ora, existem C l25comissões possíveis de cinco membros escolhidos entre doze e existem Cn35 = Cg5comissões nas quais não aparecem físicos. . Assim, teremos: • C l2>5- Cg5~ 666comissões.' . ;.v '. Observe que assim: C„t

- k fatores-assim: ::

í

Ciu _C9’5 = 1l H i r " i Í Í = 792-126 = 666^comiês'.. V

Resp.: 666 9. Se um ratinho quer Ir do ponto A para o ponto B, onde tem um delicioso queijo, mas só pode andar para cima ou para a direita (um movimento de cada vez), por quantos caminhos distintos poderá completar esse trajeto? ---------------- -------- --

g

A

Resolução: Considerando que um passo leva de um ponto a outro, ou seja, de um cruzamento entre linha e coluna para outro, não importa qual o caminho que o ratinho escolher, ele sempre terá que passar por oito etapas antes de chegar ao ponto B. Veja um dos caminhos possíveis (e confirme que, para qualquer outro, as oito etapas estão presentes): — 5 -- 6 -- 7 --^8

|----- ^ -------------------------------p -a ^

2,;ik i,;i 1 A -------- ---- ----

g

202 s


Enrique Rocha

Veja que se fizermos “C” movimento para cima) e “D” (movimento para a direita) como sendo os passos possíveis, teremos sempre alguma variação de 4 “Cs” e 4 “Ds”, ou seja, o que queremos é encontrar os anagramas de "CCCCDDDD”. Dessa forma, os caminhos serão formados a partir da variação de oito alternativas (permutação de oito), sendo que, em cada uma delas, há quatro repetições de movimentos para cima e quatro repetições de movimentos para a direita. Este é um caso especial do Princípio Fundamental da Contagem, onde se eliminam as repetições dividindo-se o resultado pelo fatorial da quantidade de repetições, de cada elemento repetido (exatamente igual ao raciocínio usado para explicar “anagramas com letras repetidas”):

8 x 7

x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x

1

{4 x 3 x 2 x 1} x ( 4 x 3 x 2 x l )

Este cálculo nos leva ao valor 70, que é a quantidade de caminhos possíveis. Para fins de citação, apenas, esse seria um caso de Pg(44) =■——= 70 raminhos distintos. Resp.: 70

10. Em uma reta s existem quatro pontos e, em uma outra reta r, paralela a s, existem cinco pontos. Quantos triângulos distintos podem ser formados unindose quaisquer três desses nove pontos? Resolução:

Sejam as retas s e r e sejam os pontos sl5s2, s? e $4, em s; e os pontos r)} r2>r3, r4e r$ em r, como mostrado abaixo: S, S; S3 s4 — J— I— I------ 1-----------

— 4— |— I— í---- j----------rt r2 r3 r4 rs O que queremos é formar agrupamentos de três pontos, escolhendo-os dentre os nove poncos disponíveis. Como o grupo formado pelos pontos s{ &2e representa o mesmo grupo formado por rJ# s} es2, temos um caso em que a ordem dos elementos no grupo não faz diferença no resultado final.

Capitulo 6 —


a 203

Assim, teremos que utilizar o Princípio Fundamental da Contagem e eliminar as repetições geradas, como mostrado abaixo:

T9 xT f 8x7 Bx2xl O que nos leva a um total de 84 grupos diferentes possíveis. No entanto, este problema impõe uma restrição de que não se consideremos grupos formados por três pontos da mesma reta, seja ela a reta r ou a s, porque, se assim fosse, não seria possível formar um triângulo com os pontos. Assim, precisamos eliminá-los. Os grupos formados apenas por pontos da reta s são calculados utilizando apenas aqueles pontos como origem da variação. Como temos quatro pontos em s:

r4 xf3 xt2 3x2x1 O que nos leva a um total de quatro grupos diferentes, contendo apenas pontos da reta s. Usando o mesmo raciocínio para os pontos da reta r:

T5 x 4rx 3f 3x2x1

O que nos leva a um total de dez grupos diferentes, contendo apenas pontos da reta r. Assim, temos um total de 14 grupos que não nos servem, de um total de 84 grupos possíveis. Como conclusão, podemos afirmar que seria possível formar 84-14 = 70 triângulos possíveis. Resp.: 70 triângulos

204 s


Enrique Rocha

11. Cinco rapazes e cinco moças vão posar para uma fotografia nos degraus de uma escadaria. De quantas maneiras podemos posicioná-los de forma que, em cada degrau, fiquem um rapaz e uma moça? a) 32; b) 28.800; c) 460.800; d) 57.600; e) 14.400. Resolução: Se, em cada degrau, devem ficar um rapaz e uma moça, precisamos ter cinco degraus. Para manter seu padrão de raciocínio, evite pensar nos degraus “um acima do outro”, mas trate-os “lado a lado”.

1* análise: Imagine inicialmente que, em todos os degraus, teríambs um homem à esquerda e uma mulher à direita. Por termos cinco homens e cinco mulheres, a aplicação do Princípio Fundamental da Contagem teria a seguinte configuração: 18 Degrau 2a Degrau 3S Degrau 4a Degrau 5fl Degrau

H

M

H

5

'f 5

4

M

H

< 4

3

▼

M

'

3

H 2

M

U

H

* if

*2

\

' i

Isso nos levaria a 5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 120.120 = 14.400 possibilidades para esta configuração.

23análise: No entanto, como se trata de uma fotografia, temos que tratar as duas possibilidades para cada degrau: Homem/Mulher; e Mulher/Homem. Com isso, teríamos variações do tipo: l‘ Dg H-M H-M H-M H-M

2»Dg H-M H-M H-M H-M

3a Dg H-M H-M H-M

4» Dg H-M H-M

5a Dg H-M ÍÉ M P # *

-* etc. etc. etc.

H-M

H-M H-M.

Capítulo 6 —


a 205

Pata calcularmos ao certo pelo Princípio Fundamental da Contagem, devemos considerar que para cada degrau temos duas possibilidades: H/M ou M/H. Assim, teríamos: 1® Deg

2» Deg

3*Deg

4BÜeg

W 2

x

2

x

2

x

5aDeg

i

1

1

2

x

2

1 =

25 = 32

Este cálculo nos leva a 32 variações possíveis para as posições nos degraus. 33análise: Na primeira análise, vimos que, para uma das configurações, temos 14.400 variações possíveis. Como temos 32 configurações distintas (segunda análise), o total de formas possíveis para a fotografia é dado por: 32 x 14.400 « 460.800 Resp.: 460.800 12. Dados os algarismos 1,2, 3, 4, 5 e 6, quantos sáo os números formados com algarismos distintos em que os algarismos 1 e 2 nunca estejam juntos, mas os algarismos 3 e 4 sempre apareçam juntos? a) 120; b) 240; c) 24; d) 1.440; e) 144. Resolução: Este problema tem duas restrições para os números a serem formados: 1 e 2 nunca juntos; 3 e 4 sempre juntos. Para resolvê-lo, devemos executar os seguintes passos: calcular quantos números apresentem o 3 e o 4 sempre juntos e chamar de "x”; calcular, deste primeiro total, em quantos o 1 e o 2 estão juntos e chamar deY ; efetuar x - y, ou seja, subtrair do total com 3 e 4 juntos a quantidade de números em que 1 e 2 apareçam juntos. Com isso, obtém-se a quantidade de números com 3 e 4 juntos e com 1 e 2 sempre separados.

206

s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha

Ia passo: cálculo do total de números com 3 e 4 sempre juntos. Primeiro, vamos calcular a quantidade de números em que o 3 e o 4 aparecem juntos. Para tanto, devemos considerar 3,4 com sendo uma única “peça” e ver a quantidade de variações. Assim, teríamos 1, 2, 3/4, 5 e 6 para permutar, totalizando cinco elementos:

tT T T t 5 x 4 x 3 x 2 x 1

= 120

Cuidado!!! Não se esqueça de que (3,41 não é a única forma de termos esses dois

algarismos juntos. Precisamos considerar também a hipótese de14,3], que nos levaria a outras 120variações. Portanto, a quantidade de números formados em que 3 e 4 estão sempre juntos é 240. Logo, x = 240. 2a Passo: Cálculo do total de números com 3 e 4 sempre juntos e com 1 e 2 também juntos. Dos 240 números que apresentam 3 e 4 juntos, em quantos deles teremos o 1 e o 2 também juntos? Isso é calculado da mesma forma que fizemos para o 3 e o 4, ou seja, juntando-se os algarismos 1 e 2 em uma única “peça”([“O I), sem nos esquecermos de que também precisamos tratar a possibilidade delxJi. Temos, então, quatro elementos para permutar: 1/2, 3/4, 5 e 6.

T rrf

4 x 3 x 2 x 1 = 2 4

O pega do problema

Quando calculamos o total de números com 3 e 4 juntos, multiplicamos 120 por 2 e encontramos 240, porque podemos ter 3,4 e 4,3, não é mesmo? Aqui, acontece a mesma coisa, mas não basta considerarmos as hipóteses de 1,2 e 2,1. Por que não? Porque precisamos tratar todas as variantes não apenas para a “peça” 11,2/2,1), mas as combinações possíveis com as variantes [3,4/4,31. Isto posto, você deve perceber que, para cada uma das variações possíveis, teremos as vinte e quatro possibilidades vistas acima.

Capítulo 6 —

São elas: 1,2 / 1,2 / 2,1 / 2,1 /

3,4 4,3 3,4 4,3


e 207

—--- > 24 —----►■+ 24 —----► + 24 - --- >■ + 24 96 variantes possíveis

Podemos concluir, então, que, dos 240 números diferentes que apresentam 3 e 4 juntos, 96 apresentam também o 1 e o 2juntos. Então, para chegarmos à resposta do problema, precisamos subtrair os 96 dos 240 e encontraremos os números com 3 e 4 juntos, mas com 1 e 2 nunca juntos. Logo: 240 -9 6 - 144. Resp.: E 13. Quantos anagramas da palavra AÇUDE apresentam as vogais A, E, U em ordem alfabética crescente? Resolução: Neste problema, você deve considerar as possibilidades para as posições das letras A, E, U de forma que estejam sempre em ordem alfabética. Note que estarem em ordem alfabética não significa estarem juntas, mas nunca termos, por exemplo, um “U” antes de um “A” (e assim por diante): P IaPossib,

A

2a 3* 4a 5a E U

2aPossib.

A

E

3aPossib.

A

E

4aPossib.

A

E

5* Possib.

A

E

6aPossib.

A

U U U E

7aPossib.

A

E

8aPossib.

A

E

93Possib.

A

10aPossib.

U

A

U

U U E

U

E

U

208 a


Enrique Rocha

Perceba que, para cada uma das possibilidades, só sobram duas letras para serem alternadas (“ç” e “d”) e, por isso, para cada uma teremos duas variações possíveis. Isso nos leva a 10 x 2 = 20. Resp.: 20 anagramas 14.(ESAF-MPU-2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo a que a) homens e mulheres sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente;

a) 1.112 e 1.152; b) 1.152 e 1.100; c) 1.152 e 1.152; d) 384 e 1.112; e) 112 e 384. Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado:

?

Primeira situação: homens e mulheres sentam-se em lugares alternados. Segunda situação: todos os homens juntos e as mulheres juntas. Passo 2: representar as possibilidades existentes: Primeira situação: homens e mulheres sentam-se em lugares alternados;.

Uma possibilidade é termos um homem na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente, como mostra a figura abaixo. H

M

H

M

H

M

H

M

A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente: M

H

M

H

M

H

M

H

-

Capítulo 6 —


a 209

Segunda, situação: todos os homens juntos e as mulheres juntas. Uma possibilidade é termos um homem na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente, como mostra a figura abaixo: H H

H

H

M

M

M

M

A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente: M

M

M

M

H

H

H

H

Passo 3: avaliar as combinações possíveis para cada caso: Como temos 4 homens e 4 mulheres, para a primeira cadeira à esquerda (H), temos 4 alternativas para escolha, Para a 3a cadeira à esquerda (segundo homem), como um já sentou, temos apenas 3 alternativas para escolha; e assim por diante. tós” faz diferença nà solução jücarmosas possibilidadesde

ssè c&ó : ^

Vamos usar esse mesmo raciocínio para calcular todas as possibilidades: Primeira situação: homens e mulheres sentam-se em lugares alternados.

ITlTnT* 4 x 4

x 3 x 3 x

2 x 2 x

1 x 1 = 4! x 4 ! » 24 x 24 = 576

A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente:

t f t l Y í 11' l ' 4 x 4

x 3 x 3 x 2 x 2 x

1x

1 = 4! x 41 = 24 x 24 = 576

210 »


Como pode ser “de um jeito OU de outro”, como já sabemos, somamos os dois totais, ou seja, para a primeira situação, temos 576 + 576 = 1.152 formas distintas de sentar os quatro casais. Segunda situação: todos os homens juntos e as mulheres juntas. O raciocínio é idêntico:

r r xr r r r T i 4 x 3

2 x 1 x

4 X 3 x

2 x 1 » 4! x 4 ! « 24 x 24 = 576

A outra possibilidade é termos uma mulher na primeira cadeira da esquerda e alternarmos daí pra frente:

I I 4 x 5

V x

1 11l

2x 1 x 4 x 3 x

i

2 x \ - 4! x 4! = 24 x 24 = 576

Da mesma forma, somamos os dois totais, ou seja, para a segunda situação, temos 576 + 576 a 1.152 formas distintas de sentar os quatro casais. Resp.: C 15. (ESAF-AFC-2002) Na Megassena, são sorteadas seis dezenas de um conjunto de sessenta possíveis (as dezenas sorteáveis são 01, 02,..., 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Megassena, consiste em escolher seis dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo concurso da Megassena estarão entre as seguintes: .01, 02, 05,10,18, 32,35,45. O número mínimo de apostas simples para o próximo concurso da Megassena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática de que será um dos ganhadores, caso o seu sonho esteja correto ét a) 8; b) 28; c) 40; d) 60; e) 84.

Capitulo 6 -—


a

211

Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Elementos do conjunto: 1, 2, 3, 4,..., 58» 59, 60 Números apostados a cada vez: 6. Para ganhar, tem que acertar todos os números jogados. Passo 2: representar as possibilidades existentes (já representando as possibilidades de escolha para cada “vaga”): Em um jogo comum (sem qualquer “sonho” sobre as possibilidades) , temos um total de 60 alternativas de escolha. O fato de Pedro ter sonhado com os números restringe as possibilidades aos números que ele sonhou (pois o enunciado pressupõe que seu sonho estaria correto!). Assim, para o primeiro número temos 8alternativas de escolha. Para o segundo, 7. Para o terceiro, 6; e assim por diante.

Vamos então representar esse cenário: 19

2e

3»

4a

5S

6*

1 V1 Í l i 8 x 7 x 6

x 5 x 4 x 3

6 x S x 4 x 3 x 2 x 1

20.160 = 28 720

Uma outra forma (bem mais fácil e que por isso deve ser adotada por você) de fazer essa conta seria:

Resp.: B

8 x 7 x j ^ x i ^ x jk»x ' y

= _56

2 x 1

2

212 s


Enrique Rocha

16. (ITA) Considere os números de 2 a algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1 ,2 ,4 ,5 ,7 e . Quantos destes números são impares e começam com um dígito par? 6

8

a) 216; b) 687; c) 585;

d) 532; e) 353.

Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado:

O enunciado restringiu os algarismos que podem ser usados a: 1, 2,4, 5» 7 e 8. Os números ímpares terminam em: 1,5 ou 7 (3 possibilidades). Todos devem começar com: 2,4 ou 8 (3 possibilidades). Queremos formar números com 2» 3, 4, 5 ou 6algarismos. Observe que não há restrição para os algarismos intermediários, ou seja, podem ser escolhidos dentre as 6 possibilidades existentes.

Passo 2: representar as possibilidades existentes (já representando as possibilidades de

escolha para cada “vaga”): Este é um problema que pará ser resolvido precisa ser dividido em etapas: Etapa 1: números com 2 algarismos. Etapa 2: números com 3 algarismos. Etapa 3: números com 4 algarismos. Etapa 4: números com 5 algarismos. Etapa 5: números com 6algarismos.

Capítulo 6 —


£tapa 1: números com 2 algarismos. 1* Alg.

3

29 A!g.

x

3

-

9

Etapa 2: números com 3 algarismos. 1BAlg.

2« Alg.

3a Alg.

j.

^

3 x 4 x 3

=36

Etapa 3: números com 4 algarismos. 1a Alg.

2S Alg.

_Í

3a Alg.

^

3

x

4a Alg.

l

4

x

Í

3

x

3

» ! 08

Etapa 4 : números com 5 algarismos. 2® Alg.

I a Alg.

5a Alg.

4a Alg.

3° Alg.

I

1

r 3

X

4

ir

r

r x

3

X

2

x

3

= 216

Etapa 5: números com 6 algarismos. 2S Alg.

1®Alg.

f 3

3a Alg.

> x

4

4a Alg.

1t

i x

3

x

2

x

6a Alg.

5a Alg.

t

if 1

x

3

= 216

b 213

214 a


Como qualquer um dos cenários pode ser a solução, temos que somar os valores encontrados: 9 + 36 + 108 + 216 + 216 = 585 Resp.: C 17. (CESPE-2004) A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos da Matemática» julgue os itens que se seguem. 49jogo

5sjogo

A vence

6°jogo

A vence

7®Jogo

A vence

A vence

1) Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer quatro jogos será considerada vencedora. Se uma das equipes -A—tiver vencido os três primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa. 2) O número de cadeias distintas de quatorze caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra papiloscopista é inferior a 108. 3) Considere a seguinte situação hipotética. Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de seis caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de vinte e seis letras, seguidas de três dígitos, cada um escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com três letras iguais e(ou) três dígitos iguais. Nessa situação, a empresa dispõe de até 107 códigos distintos para catalogar seus bens. Resolução: Item (1): Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer quatro jogos será considerada vencedora. Se uma das equipes —A - tiver vencido os três primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de representar todas as possibilidades de A vencer a disputa. Passo 1: identificar as regras do enunciado: A primeira equipe que vencer quatro jogos será considerada vencedora. A venceu 3 jogos (consequentemente, B perdeu todos eles).

Capítulo 6 —


a

215

Passo 2: interpretar as regras do enunciado: í^Veja que qíialqúér vitoria de "À” será suficiente pára finalizar à ^sputàípõ^ ; já tem 4 v |t ó r i a s £ /-•:;. ó^' : v : V'• ^/: Ôlêrve.tatóbèm''qué':Bíprecisáy^ jSe^^üyeriú^

Do gráfico acima podemos entender a seguinte seqüência de eventos: 1. Se KAMvencer o 42jogo (primeira diagonal da esquerda para a direita), a disputa é encerrada (“A” com 4 vitórias). 2. Caso contrário, B ganhou o 4ajogo (indo para a direita na horizontal), e o placar está 3 a 1 para o “A”. Nesse caso, será necessário um 52jogo. 3. Se “A” vencer o 5ttjogo (primeira diagonal da esquerda para a direita), a disputa é encerrada (“A” com 4 vitórias)* 4. Caso contrário, B ganhou o 5a jogo (indo para a direita na horizontal), e o placar está 3 a 2 para o “A”. Nesse caso, será necessário um 6ajogo. 5- Se “A” vencer o 6° jogo (primeira diagonal da esquerda para a direita), a disputa e encerrada (“A” com 4 vitórias). 6. Caso contrário, B ganhou o 6a jogo (indo para a direita na horizontal), e o placar está 3 a 3 para o “A”. Nesse caso, será necessário um 7a jogo. Observe que é impossível termos mais do que 7 jogos, pois no 7a invariavelmente uma das equipes terá alcançado a quarta vitória. 7- Se chegarmos ao 7a jogo, quem vencer será declarado vencedor. O item está CORRETO. Item (2): O número de cadeias distintas de quatorze caracteres que podem ser formadas apetsas com as letras da palavra, papiloscopista é inferior a 108. Passo 1: identificar as regras do enunciado: A palavra “papiloscopista” tem 14 caracteres. Observe as letras repetidas: “Ps-3; “As”-s; “Is”-2; “Os”-s; e “Ss” -2. Como queremos cadeias com 14 caracteres, precisamos encontrar quantas variações são possíveis usando-se todas as letras da palavra.

216


s

Enrique Rocha

Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Vamos criar uma cadeia com 14 posições: isso é feito da seguinte maneira: temos 14 letras disponíveis para a lâ posição; 13 para a 2a; 12 para a 31; e assim por diante. Veja a figura: 1a

2S

39

4S

5B

6B

7a

8®

9a

! 0a 119 12a

132

14a

- n . 14 x 13x12 x l l xl Ox 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 (3x2x1} x (2x1}x (2x1) x (2x1}x (2x1) - 14x13x12x11x10x9x$x7x6x5x/xjfxi6ç/ = 14x13x12x11x10x9x6x5x2

Nem precisamos fazer esta "conta maluca" para sabermos que o resultado é muito maior do que 108, não é? Logo, o item está ERRADO. Item (3): Considere a seguinte situação hipotética, Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeia de seis caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de vinte e seis letras, seguidas de três dígitos, cada um escolhido no intervalo de a >não se permitindo códigos com três letras iguais e(ou) três dígitos iguais. Nessa situação, a empresa dispõe de até 107 códigos distintos para catalogar seus bens. 0

9

Passo : identificar as regras do enunciado: 1

Os bens são catalogados por cadeias de 6 caracteres. As três primeiras posições são letras escolhidas dentre 26 letras. As três últimas posições são dígitos (algarismos) escolhidos dentre 0 a 9. Não são permitidos 3 letras ou 3 algarimos iguais. Passo : interpretar as regras do enunciado: 2

Temos uma variação de seis posições (3 letras e 3 algarismos). Veja a figura: L

r

L

L

N

N

N

r

r

r

r

t

26 x 2 6 x 2 5 x 10 x 10 x 9

Capítulo 6 —


s

217

Observe que para as duas primeiras letras temos 26 alternativas (porque elas podem ser repetidas); para a 3% no entanto, só temos 25 porque temos que escolher pelo menos uma letra diferente. Da mesma forma, para os dois primeiros algarismos temos 10 alternativas (porque eles podem ser repetidos); para o 3a, no entanto, só temos 9, porque temos que escolher pelo menos um algarismo diferente. É fácil perceber que o produto acima é muito maior do que 107. O item está ERRADO. Resp.; (1) CERTO; (2) ERRADO; (3) ERRADO.

218


Enrique Rocha

Exercícios de análise combinatória

1. Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela, encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é:

a) b) c) d) e)

6; 4; 2; 8; 10.

2. Em uma sala de aula estão quatro meninas e seis meninos, Tüês das crianças são sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças escolhidas serem do mesmo sexo ét

a) b) c) d) e)

0,10; 0,12*, 0,15; 0,20; 0,24.

3. (ESAF-MRE-20Ü2) Chico, Calo e Caco vão ao teatro com suas amigas Bi ba e Beti, e desejam sentarse, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo que Chico e Betl fiquem sempre Juntos, um ao lado do outro, i igual ai

a) b) c) d) e)

16; 24; 32; 46; 48.

4. (ESAF/AFTN/98) - Uma empresa possui vinte funcionários, dos qrsais dez sáo homens e dez são mulheres. Desse modo, o número de comissões de cinco pessoas que se pode formar com três homens e duas mulheres ét

a) b) c) d) e)

1.650; 165; 5.830; 5.400; 5.600.

Capítulo 6 —

Análise Combinatória n

219

5. (ITA.) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1 ,2,4,5, 7 e 8. Quantos destes números são impares e começam com um digito par?

a) b) c) d) e)

216; 685; 585; 532; 353.

6. Sabendo-se que um baralho tem cinqüenta e duas cartas, das quais doze sáo figuras, assinale a alternativa que corresponde ao número de agrupamentos de cinco cartas que podemos formar com cartas deste baralho, tal que cada agrupamento contenha pelo menos três figuras. a)

10;

b) 100.000; c) 192.192; d) 171.600; e) 191.400. 7. Os alunos de um curso terão que escolher seis das nove questões de um teste e respondê-las. Sabendo que não houve na turma dois alunos que escolheram as mesmas questões, podemos afirmar que o máximo de alunos que poderia haver nesta turma é

a) b) c) d) e)

60.480; 30.240; 720; 84; 1.440.

S. Considerando que só sáo permitidos movimentos para cima e para a direita, de quantas maneiras um ratinho pode ir do ponto A para o ponto Bí

a) b) c) d)

5; 6; 7 8;

;

------------------- ---------I8 ________

220

b


Gabarito de Exercidos de Análise Combinatória

1.A 2. D 3. E 4. D

5> C 6. C 7. D 8. C

g----------- ----------

C apítulo 7 «

Álgebra Linear “Ninguém estabelece um caminho se não souber onde quer chegar. Antes de começar a andar, trace um plano para sua jornada. ” 7.1.

O Que é uma Matriz?

Matriz é um conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas» onde cada elemento está associado a uma posição da matriz, identificado pelo número da linha e da coluna em que está situado. A ordem de uma matriz indica a quantidâde de linhas e colunas que ela contém. Diz-se que uma matriz é m x n quando ela tem m linhas e n colunas. Exemplos: 2 3 é uma matriz com duas linhas e duas colunas e, por isso, sua A matriz A — 1 0 ordem é 2 x 2. No exemplo acima, dizemos que o elemento a., da matriz está na i-êsima linha e na j-ésima coluna. Dessa forma, os elementos da matriz A ^ são: an=2; aJ2=3; S r 1 e a22=^Dessa forma» uma matriz M qualquer (genericamente falando) pode ser representada da seguinte maneira: «11

«1 2

«1 3

*

«21

«2 2

«2 3

• ‘

«2 n

«3 1

«32

«33

*

«3 n

_«m l

«m 2

«m 3

« In ’

«m n_

222 e


7.2.

Notações

Uma matriz pode ser representada de duas formas: pela notação explícita e pela notação condensada. A primeira apresenta a estrutura da matriz com todos os seus elementos, enquanto a segunda apenas determina a lei de definição dos elementos. Notação explícita: "2 3 4' -1 4 5 -2 -1 6 Aqui temos todos os elementos da matriz já devidamente posicionados. Como exercício, podemos identificar os elementos da diagonal principal e da secundária. Diagonal principal: a{1 = 2; = 4; a33= 6. Diagonal secundária: a13= 4; a22- 4; a31= -2. Notação condensada1: 2 -1

A matriz A

-2

3

4 - 1

4

5

poderia ser definida como sendo a matriz

6

A=(ali),v, onde cada termo a., é se * > j ,} [ i - j, s e i< j

7.3.

Classificação das Matrizes

Uma matriz pode ter qualquer número de linhas e colunas, mas, em algumas situações especiais, elas são classificadas com base nessa característica. 7.3.1.

Matrlz-ünha

Quando a matriz tiver apenas uma Unha, ela é chamada matriz-linha e sua ordem é 1 x n. Genericamente falando, uma matriz-linha é representada por: A - [ an an ... aln]. Veja um exemplo de matriz linha 1 x 4: A - [3 1 -4 0]. 1 Os concursos cem cobrado multas questões de matrizes, utilizando esta notaçáo condensada, gerando um esforço a mais.

Capítulo 7 —

7.3.2.

Álgebra Linear

s

223

Matriz-Coluna

De forma análoga, quando a matriz tem apenas uma coluna, ela é denominada matriz-coluna e sua ordem será m x l . Genericamente falando, uma matriz coluna é representada por:

7.3.3.

Matriz Quadrada

Matriz quadrada é aquela na qual a quantidade de linhas é igual à quantidade de colunas, ou seja, m = n. Quando a matriz náo é quadrada, ou seja, quando m = n, ela é chamada de retangular. Vamos considerar a matriz quadrada A de ordem n (significando que ela tem n linhas e n colunas). Ela terá n2elementos e será representada da seguinte forma: an

a \2

a iz

ft21

0-22

fl 23

a 31

a 32

a 33

a 3it

ü m2

a m3

f l mn

1

-

*2»

Toda matriz quadrada possui dois elementos importantes: a diagonal principal e a diagonal secundária. A diagonal principal de uma matriz é formada por todos os elementos a,, onde i=j, ou seja, au, a22>a33„.., a... Veja a localização gráfica dos elementos da diagonal principal: v^ 1 2

A -

a 2n ã 3n

a 31

,a ml

í

a 13 v^23

^21s

a m2

a m3

*

_

224

e


Por outro lado, a diagonal secundária é formada pelos elementos em que i+j = n+1. Esta definição parece complicada, mas, graficamente, é muito facil identificar a diagonal secundária de uma matriz:

7.3.4.

Matriz Triangular

Uma matriz é dita triangular superior quando todos os elementos acima da diagonal principal são nulos, ou seja, a,. - 0, para i >j\ 0

0

«21

a22

0

A — a 31

fl32

a 33

«m 2

f lm3

~fln

••

0 0

■■

0

Q-mn

•

_

Da mesma forma, quando todos os elementos abaixo da diagonal principal são nulos, ou seja, b„ = 0, para i> j, a matriz é chamada de matriz triangular inferior.

B =

7.3.5.

X i

í>12

^13

* **

K

0

^22

^23

‘"

^2 n

0

0

^33

'"

^3n

0

0

0

*

bjnn

Matriz Diagonal

Quando uma matriz é triangular superior e triangular inferior, ou seja, quando todos os elementos que não estão na diagonal principal sáo nulos (iguais a zero), ela é classificada como matriz diagonal. Veja um exemplo genérico:

Capítulo 7 —

0

C11

c =

7.3.6.

0

•

0 0

0

C22

0

* •

0

0

C33

’ •

0

0

0

0

•

r**tnn _

Álgebra Linear

s

225

Matriz Escalar

Se todos os elementos da não nulos da matriz diagonal são iguais, ela será classificada como sendo uma matriz escalar. Assim, quando em uma matriz diagonal acontecer an

7.3.7.

Matriz Nula

E a matriz na qual todos os elementos são zero. 7.3.8.

Matriz-ldentidade

É a matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Assim, a matriz-identidade de ordem n é:

7.3.9.

" 1

0

0

• *

0 '

0

í

0

■ •

0

0

0

1

_ o

0

0

'•

■

•

*

0

1.

Igualdade de Matrizes

Duas matrizes serão consideradas iguais quando forem da mesma ordem e todos os elementos de posições correspondentes forem iguais entre si. Exemplo: "2 3 4' '2 3 4" A matriz A = - 1 4 5 5 é igual à matriz B = —1 4 -2 -1 6 -2 -1 6 porque au=bn=2, a12=b12=3, a13"b13= 4, e assim por diante. Este tipo de situação pode ser cobrado da seguinte maneira.

226 ia


Enrique Rocha

Exemplo: Determine x e y, de forma que a igualdade de matrizes abaixo seja verdadeira: x+y 3

0 x-2 y

4 0' ,3

K

Resolução: Para que as duas matrizes sejam iguais, precisamos ten x + y = 4 e x - 2 y = 1. Usando o método da substituição, fazemos x = 4 - y e substituímos na segunda equação: (4~y)~2y= 1 4 y ~ 2y = 1 4 - 3y - 1 —> -3y = 1 - 4 ~3y = -3 -» y = 1. Substituindo o valor encontrado para y em x + y = 4 temos: x + l = 4 - > x = 4 - l —^ X S53. Assim, para que a igualdade seja verdadeira, temos que fazer y = 1 e x = 3. 7.3.10» Transposição de Matrizes

—i )— > N>

A matriz transposta de uma matriz A é indicada como A' e resulta da “inversão do endereço” de cada elemento de A, transformando as referências de linha em referências de coluna, e as referências de coluna em referências de linha. Falando de uma maneira mais formal: seja a matriz tal que V / e j 1, 2, 3,..., m} e V_/ e {1, 2, 3,..., n}. Exemplos: Seja a matriz B

1 3 5 3 4 —> Bl — 2 4 6^ 5 6

Seja a rnatm C = (5 4]

C( =

Ê bom notar que a transposta da transposta nos leva de volta à matriz original, ou seja, (A‘)( - A 7.3.11. Matriz Oposta

Uma matriz B é dita oposta da matriz A quando cada elemento de B é o oposto (sinal trocado) de cada elemento correspondente da matriz A. Exemplo: A=

'-1 -3“ « B = - A = ’ 1. ■ 3 “ __1 —2_ \ 2_

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

s

227

7.3.12. Matriz Simétrica

Se a transposta de uma matriz A for igual à própria matriz, dizemos que essa matriz A é simétrica. Assim sendo, quando A1 = A, dizemos que A é simétrica. Um bom exemplo é a matriz-identidade. Veja um exemplo de ordem 3: '1 0 0" "1 0 0" I = 0 1 0 J £* 0 1 0 0 0 1 0 0 1 Apenas para esclarecer: [ 1 0 0' a matriz 7 3s3 = 0 1 0 0 0

1

Assim, dizemos que a matriz-identidade é uma matriz simétrica. 7.3.13. Matriz Antissimétrica

Aproveitando esse conceito, chamamos de matriz antissimétrica à matriz A que apresenta como transposta uma matriz oposta a ela mesma. Ou seja, Ac= — A 7.4.

Adição ou Subtração de Matrizes

A soma ou subtração de matrizes tem como condição inicial que as matrizes envolvidas sejam de mesma ordem. Quando somamos ou subtraímos duas matrizes, a matriz resultante também será da ordem das matrizes somadas e cada elemento será o resultado da operação (soma ou subtração) dos dois elementos da mesma posição. Vamos visualizar esse conceito: 1 0 5" 4 -3 2_ 7.4.1.

3 -6 2 -1 8 10

1+3 0+ (- 6) 5+2 Í4 -6 7 = 4+C-l) —3 +8 2+ i°_ j_3 5 12

Propriedades

—» Comutatlva: A + B - B + A —> Associativa: A + (B + C) = (A + B) + C -» Elemento neutro: A + 0 = A Elemento oposto: A + (~A) - 0 (o resultado é a matriz nula) —> Transposição: (A + B / - A! + B1

228 s


Enrique Rocha

Estas propriedades partem do principio de A, B, C e D serem matrizes da mesma ordem, ou seja, todas m x n. 7.5.

Produto de Escalar por Matriz

O produto de um escalar (um número qualquer) por uma matriz implica a criação de uma outra matriz, na qual cada elemento da matriz resultante é o resultado da multiplicação do número pelo elemento correspondente na matriz inicial. Mais uma vez, fica mais fácil visualizando:

7.6.

r-H\ í

O\ __

“1 -2 '4 - 8' 4.= 3 4 = 12 16 0 _4

Equações Matriciais

Em alguns problemas, encontramos equações nas quais todos os termos são matrizes e uma delas é desconhecida, ou seja, tratada como incógnita. A resolução consiste em encontrar todos os termos da matriz incógnita, de forma que a equação se torne verdadeira. A=

0 -2 f " 8 6 2" eC = 5 1 4 -3 -2 -1_

"1 0 4“ 2 -1 3

E seja a equação matricial: 2.X + B = A - 3.C, onde X também é uma matriz 2x3. Encontre X. Em primeiro lugar, monte a equação com as matrizes:

1

rH

a t e 0 -2 1* + b d l wv

2.

1 0

2 -1

-3.

8

6

2

-3 -2 -1

Efetue as operações indicadas: r -24 -18 -6 . 9 6 3

2a 2c 2e 0 -2 1“ + 2b 2d 2 1 5 1 4_

’l 0 4* 2 -1 3

2a +0 2c + (—2) 2e +1 2b +5 2ã+l 2 /+ 4

1- (-24) 0-(-18) 4 - ( - 6) 2 -9 - 1 -6 3 -3

—

Capítulo 7 —

2a +0 2c + (- 2) 2e + l ‘ 2b +5 2d + l 2 /+ 4

2c -2 2e + 1 " 2a 2b +5 2d + l 2/+4_

Álgebra Linear

e

229

'25 18 10' -7 -7 0 _ '25 18 10* -7 —7 0_

Com base na igualdade acima, temos: 2a = 25 a = 25/2 2b + 5 = ~7 -> 2b - -7 - 5 2b » -12 -> b = -12/2 -> b = -6 2c —2=18 —^ 2c =18 + 2 —^ 2c = 20—> c = 20/2 —^ c —10 2d + l = ~ 7 - > 2d = - 7 - l - » 2 d = - 8->d = - 8/2-» d = -4 2e + 1 - 10 —> 2e = 10- l ~ » 2e = 9 *-»e = 9/2 2f+4 = 0 - » 2 f - 0 - 4 - » 2 f = - 4 - > f = -4/2 f - -2 Dessa forma, com base nos elementos a, b, c, d, e, f da matriz X resultante: 25 9 — 10 ~— X= 2 2 , que é a matriz que resolve a equação. - 6 - 4 - 2 7.6.1.

Propriedades do Produto de Escalar por Matriz

Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades: Associativa: x. (y*A) = (x.y). A —> Distributiva em relação à adição de matrizes: x.(A + B)= xA + x.B —> Distributiva em relação à adição de dois números reais: (x + y). A = xA a yA —> Elemento neutro: 1J U A 7.7.

Produto de Matriz por Matriz

A multiplicação de uma matriz por outra é feita de forma diferente e implica a observância de uma condição inicial.

230 a


A quantidade de colunas da primeira matriz tem que ser igual àquantidade i de linhas da segunda matriz,’ ,, ,/r ‘ - J Exemplo:

sejam as matrizes A ^ e B^: , ' J. _ O produto Á.B só será possível se n = r. « -

' v ~

Importante: aqui já é possível perceber que o fato de ser possível efetuar AB não

garante que seja possível efetuar BA. Isso só acontecerá quando as duas matrizes forem de mesma ordem, ou seja, tiverem a mesma quantidade de linhas e colunas. Uma outra característica do produto de matriz por matriz é que a matriz resultante terá a mesma quantidade de linhas que a primeira matriz e a mesma quantidade de colunas da segunda. Exemplo: sejam as matrizes Amn e e seja P =A.B, ou seja, P é a matriz resultante do produto de A por B. A matriz P terá m linhas e s colunas, o que significa dizer que P será mxs. 7.7.1.

Calculando o Produto de Matriz por Matriz

O cálculo do produto de uma matriz por outra não é realizado multiplicando-se elementos correspondentes. Sejam as matrizes Amxn e Brxs e seia Precxs - Amxn xB m . * * Cada elemento p.. é encontrado pela soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B. Exemploi

Sejam as matrizes A

1 2■ Jí

eB =

4 ~l e seja P a matriz resultante de A x B. 5 2

A matriz P será: P = Pn V\2 JPu V2 2 , Vamos calcular cada elemento de P. Calculando o elemento p : (Ia linha e Ia coluna)

pn = an. bn + au, b2J, ou seja, ele é o produto do primeiro elemento da primeira linha de A pelo primeiro elemento da primeira coluna de B, somado ao produto do segundo elemento da primeira linha de A pelo segundo elemento da primeira coluna de B. Perceba que pu está na 1* Unha e na lâ coluna de P e, por isso, envolve a Ia linha de A e a l 3coluna de B.

Capítulo 7 —

f l j P n l A - ~1-T\ JP12 P22J _° 3 .

e

B~

Álgebra Linear

s

231

4'1 - l l 5! 2 -

Assim Pjj « an. bn+ aJ2. b21= 1.x 4 .+.2 x 5 = 1 +10=11.

;

Calculando o elemento p12: (Ia linha e 2â coluna) Pl2 =an*

ai2‘ ^22* Perceba que p 12está na Ia linha e na 2â coluna de P e, por isso, envolve a lâ linha de A e a 2- coiuna de B.

P = > 11- (Pp~ P12 P2 2 . ^ S Í r h ,:P 12^

A=’

'J_L 2;

0 3

e

B=

"4 '~-T ■ 1 _5 ! 2j_

1 X (-1) +;Í2 x'2 »-rl,:+.4 = 3,

/.

Calculando o elemento p s (2a linha e Ia coluna)

1r— *í i

?21 =a21‘ ^22* ^2I: Perceba que p21 está na 2a linha e na Ia coluna de P e, por isso, envolve a 23linha de A e a Ia coluna de B. n " l! 2' e B= P = >11 P12 A~ 1 15j 2 P22 _ ,0 ^ ;^sim ,p^= ia^V:bjj+ à^: b21= 0 x 4 + 3 x 5 = 0 +15 = 15.

’• '

Calculando o elemento p22: (2a linha e a coluna) 2

P22 = S r ^ 12+ a22* ^22* Perceba que pn está na 2a linha e na 2à coluna de P e, por isso, envolve a 2a linha de A e a 2a coluna de B. ~Pn Pn~ JPu1 P22 . Assim, ^

A=

"l!* 2" [Q-3L

e

B=

4 r-Y 1^ 1 [5 ;_2jj

Óx (- 1) + 3 x 2 = 0+ 6 - 6.

'.V'

Com isso, finalizamos a montagem da tabela resultante do produto de A por B: Pi 1 ~ l l í p 12= 3; P21 ~ ^5;p22=6

232 a


Enrique Rocha

"11 3 ' 15 16_

P=S >11 Pn .Vn Vn. Se calcularmos BA:

Seja Ax B.

as matrizes A —

2 4 -1" e seja Q a matriz resultante de eB = 0 3_ 5 2_

A matriz Q será: an J%21 $22 _ Vamos calcular cada elemento de Q: Calculando o elemento qn: (Ia linha e Ia coluna)

qn =bn. an+ b12. a^ Perceba que qn> está na Ia linha e na Ia coluna de Qe, por isso, envolve a Ia linha de B e a Ia coluna de A ã l2

Q= $21

tf.22

.

B -p -í] [5 2 _

e

.

r r 2' Ls: 3_

Assim, a-11b ir S j = 4 X 1 + (~1) X O=?4 + 0= ■...• -q„ nil «b„. .'••11 -V Calculando o elemento q12t (Ia linha e 2 coluna) 3

^12 ** ^11* ai2+ ^12‘ a22* Perceba que qJ2está na Ia linha e na 2a coluna de Qe, por isso, envolve a Ia linha de B e a 2a coluna de A. C-|<"

,Í2i

.5

2j

e

A = P l"^| 0

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

a 233

Calculando o elemento q21: (2* linha e Ia coluna)

^21 “ ^21' ail+ ^22* a2l" Perceba que q21está na 2a linha e na Ia coluna de Q e, por isso, envolve a 2a linha de B e a 1* coluna de A ----------------------------------------,

*íll !$ 2 $

a12

B

422 „

4 ;- r — rvr' ^ 3--2-

e

A —

rr« 2i S I 3.

Calculando o elemento q22: (2â linha e 2a coluna)

Ü12 $21

4

;-r

B= r-^

ífe. II

^22“ ^21’ a!2+ ^22* a22: Peroba que q22está na 2a linha e na 2a coluna de Qe, por isso, envolve a: 2* linha de B e a 2a coluna de A.

o

13 1

Assim, q ^ b ^ a ^ b22. zn- 5 x 2 +,2x3 = 10 + 6 = 16. < -

Com isso, finalizamos a montagem da tabela resultante do produto de B por A
a iz

$21 <{22

4 5" 5 16_

Como você pode perceber, AB s* BA, o que nos leva a concluir que a multiplicação de matrizes não tem a propriedade comutativa. 7.7.2.

Propriedades da Multiplicação de Matriz por Matriz

Considerando a observação da condição de existência para o produto de matriz por matriz, as propriedades que se aplicam a esta operação são: —» Associativa: (A.B).C = A (B .C )

234 e


Enrique Rocha

—> Distributiva em relação à adição: A. (B + C) = A. B + A. C ou (A+ B). C « A. C + B. C —¥ Elemento neutro: A In~ In. A = A, onde Iné a matriz identidade de ordem n. Aindá devemos observar que, quando ò produto de duas matrizes ê O/ou seja, -?: A.B = 0, não implica necessariamente que A-0 c

7.7.3.

Forma Prática para Produto de Matriz por Matriz

Existe uma forma fácil de efetuar o produto de duas matrizes e ele será apresentado como um passo a passo. Para tanto, vamos utilizar as seguintes matrizes como exemplo:

'1 0 5' '0 2 7 " A = 2 4 2 e B - 3 1 _4 3 2 1 -1 6 0 Seja P = A.B: Pn Pl 2 P b Pu Pn P 23 Pyi P32 V33 Escreva as matrizes como mostrado abaixo: J b 12

b l3

b 21

b 22

b 23

b 31

b 32

b 33

P l3

an

a í2

a i3

Pn

P l2 :

*21

a 22

S3

P21

P22 ; : ' A i

a 3l

a32

a 33

P31

P32

P33:

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

o 235

O resultado será:

0 2 7 3 1 -4 -1 6 0 1 0 5 M&m Steiâ m Élfili v: 2 4 3 M M-m:ãmmW P Ü jíp 3 2 1 í é SIS A região hachurada representa os elementos da matriz resultante e cada um deles será calculado como se segue. Calculando a primeira linha da matriz P: O elemento pu b„+ a12. b21+ a13. b31 2

/ ° /

1

3

/

/

0

2

4

3

3

2

1

5

0

6

/ "1 1

7

i^ È Ê

ssiiÉilllil ÜHP

ÉÉÉÍÉ

Que nos leva a:

í

0

5

2

4

3

3

2

1

0

2

7

3

1

-4

-1

6

0

■'■.■— 5

■,

.

.-

#® Ü

236

h


O elemento pl2 - a„. b21+ a „ . bn + aB. b ^

V >

(T

5 *

2

4

3

3

2

1

r

*

2

7

*

1

-4

X

6

0

'1 x 2 + .

Q'k \ V 5x 6

a ' ' '

s

IHî

•

,§|

'

S

Que nos leva a:

1

0

5

2

4

3

3

2

1

9 :-Í 3

2

7

1

_4

-l *

6

0

O elemento p13= an. b13+ a12. b23+ aJ3. b33

ÍSS r-L-? .V.

Capítulo 7 —

Que nos leva a:

0

2

7

3

1

-4

-1

6

0

1

0

5

.j325£

2

4

3

\V • -

3

2

1

fSt is

2

7

1

-4

6

0

Calculando a segunda linha da matriz P: O demento p2t * a *. bu+ a^. b21+ . bM 333

x°

^ -1 1

y/V

>/ 2

/ 4

/ y / 3

3

2

1

n n V* ^ t íí?’$SÍ;:<Í-

íHkssjss*

ãÍÍÍll§®l l l l

Que nos leva a:

1

0

0

2

7

3

1

-4

-1

6

0

5

2

4

3

3

2

1

S-M-ííV

â tlf

8 S;

Álgebra Linear

o 237

238

a


O elemento pa . a^. b2,+ * n. b ^ a^. bB

Que nos leva a:

O elemento

1

0

2

4

3

3

2

1

0

2

7

3

1

_4

-1

6

0 :JÉP!SP , 7.

5 is I p p ^®

= a,,. b,3+ a^. bB+ a ^ b3,

Í!ÉiÉl S fiP

' rnmm m

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

Que nos leva a:

0

2

7

3

1

-4

6

0

1

0

5

iltl Ü1 flt

2

4

3

is i

3

2

1

flllt :^Íiíg ^Vv.vv'^1

Calculando a terceira linha da matriz P:

O elemento p3I = a31. bn+ a^. b21+ a33. b31

Que nos leva a:

1

0

5

2

4

3

3

2

1

0

2

7

3

1

~4

-1

6

0

.

§ ?£

'!ÊSÈ&$Ê$ vM $9i ■■mmím m â vs-yî ■"’/ "*■ > .•' v-..‘ -í W0m lltlfefiteS H § §

a 239

240 d


O elemento p32 = a2r b21+ a^. b^-*- a^. b23

O elemento p33= 83,. b13+ a32. b23+ a33. b33

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

b

241

Que nos leva a:

1

0

5

2

4

3

3

2

1

0

2

7

3

1

-4

-1

6

0

24f Í|!

¥

$0M :

5 w v** $

Com isso, podemos montar nossa tabela P-A.B: 1 SX,

>11 Pu P2I Pl2 P23 Psi P32 ^ 33. 7.8»

*-5 32 7 * 9 26 -2 5 14 13

Complemento Algébrico ou Cofator e Matriz dos Cofatores

O cofator do elemento a-de uma matrizA, também conhecido como “complemento algébrico de a..”, é o número Aij = x Dij, onde Dij (ou menor complementar) é o determinante da matriz quadrada2 que se obtém de M, eliminando-se a linha “i” e a coluna “j”. A matriz dos cofatores de A é anotada como A’ e é formada pelos cofatores encontrados para cada elemento de A. Exemplo 1: Seja a matriz A :

0 2 vamos calcular os cofatores: -1 4

Au +I x 4 (Dn é o próprio elemento a^) = (~1)2x 4 = 4. A12 ~ M )1*2 x (-1) (DJ2 é o próprio elemento a^) « (-1)3 x (-1) = 1. A^ = (-1)2+1x 2 (D21 é o próprio elemento a12) = (-1)3 x 2 = -2. 2 Veja decalkamento do processo de cálculo de determinantes na seção 7.11.

242 b

Raciocínio Lógico — Enrique Rocha (-1)2* 2 x 0 (D22 é o próprio elemento au) = (-1)4 x 0 = 0.

,4 r Assim, a matriz dos cofatores de A é: A' = -2 0 2 -I Exemplo 2: Seja a matriz A - 1 - 2 3 4

-3 '

1 5

O cofator de an: Eliminando a Ia linha e a Ia coluna, temos: 1—=i---=3 j 1 -2 1 ] í 4 5

—

>

-2 _4

1

= (“ 2)5 -1.4 ~ - 1 0 —4 - - 1 4

Para o elemento an i = 1 e j * 1. Au = (-\)'"-D n = \- iy .( - U ) = - U O cofator de aJ2: Eliminando a 1- Unha e a 2a coluna, temos: 2 - —1— 6 ‘ 1 -> 1 3 4 5^

1 1 = 15 -13 = 5 - 3 =2 3 5

Para o elemento aJ2 i = 1 e j - 2. Aj2 = (-1)U2, D12= (-1)3. (2) - -2 O cofator de a^: EUminando a Ia linha e a 3a coluna, temos: 2" =3.. ^ 3 i

-2

:

3

4

:

1 -2 3

Para o elemento a13 i = 1 e j - 3. Aj3 = (-1)U3-d J3 - (-1)4. (10) = 10

4 _

= 1 4 -(-2 )3 = 4 + 6 = 1 0

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

O cofator de a^: Eliminando a 2a linha e a Ia coluna, temos: :i -1 -r-=2— t :j 4 5

-1 4

- (-1)5 ~(-3).4 = -5 +12 = 7

Para o elemenro a21 i = 2 e j = 1. Ajj « (~1)2+1;D 2i -'(-1)3. (7)— 7 O cofator de a^s Eliminando a 2alinha e a 2a coluna, temos:

2 r-= 3 4

2 -3" 3 5

:2 5 -(—3) =10+9 =19

Paxa o elemento I = 2 e j = 2. A ^ - D ^ D ^ - l ) 4. (19) -19 O cofator de a^:

Eliminando a 2a linha e a 3a coluna» temos: ‘2 -1 -0 1— 2T 3 4

2 -í = 2.4 - ( —1)3 = 8+ 3 = 11 3 4

Para o elemento a^ i = 2 e j = 3. A23 = (-1)2^ D 23=£'(~1)5. (11)— 11 O cofator de a^:

Eliminando a 3a linha e a Ia coluna, temos: 2 -1 -3 -1 -3 = (-1) 1 - (-3) .(-2) = -1 - 6 = -7 [ -2 1 —> -2 1 :j--------5

a

243

244 s


Enrique Rocha

Para o elemento a3J i - 3 e j = 1.

O cofator de a^s

Eliminando a 3* Unha e a 2a coluna, temos: "2 - 1 -3* 1 -l 1 ----§ ?— ■

2 -3 = 2.1-(-3) = 2 + 3 = 5 1 1

Para o elemento a^ i = 3 e j = 2. (-l)3+2-D32 = (-1)5. (5) * -5 Ocofator de a^: Eliminando a 3alinha e a 3a coluna, temos: 2 -1 - 3 2 -f = 2.4-(-1)3 - 8 + 3 = U 1 —2 L —> 3 4 3 4 Para o elemento a33 i = 3 e j - 3. ^ d 33=,(- i )6.( - i i ) = - i i Assim, a matriz dos cofatores seria: a 33^ (- i )

”-1 4 A' =

—2

10

-7

-11

-7

—5 -11

Regra prática: ao calcular um cofator de um elemento da matriz, um a. qualquer, este terá seu sinal trocado se a soma dos índices resultar em um número ímpar, ou seja, se i + j for ímpar. Se for par, mantém-se o sinal do resultado do cálculo. üem ploi

Encontre a matriz dos cofatores (A*) da matriz M =

l _3

A matriz A’ também será quadrada de ordem 2 e seus elementos serão: (calculando os elementos)

Capítulo 7 —

Álgebra Linear a

245

Elimina-se a linha e a coluna de dlV Fica o elemento -3. Como 1+1 (posição do elemento du) é um número par, este elemento não terá seu sinal trocado. Assim, a'n - —3. Elimina-se a linha e a coluna de d ir Fica o elemento 1. Como 1+2 (posição do elemento
Matriz Adjunta

A matriz adjunta de uma matriz quadrada A é a matriz, transposta da matriz dos cofatores de A. A=(A')‘ 7.10. Matriz Inversa A matriz inversa de uma matriz é aquela .de que, quando multiplicadas as duas (a matriz e a inversa), obtém-se a matriz-identidade. Com base nisso, podemos concluir que algumas matrizes têm inversa (são inversíveis) e outras, não. Para que uma matriz seja inversível, ê necessário que seja quadrada e seu determinante seja diferente de zero. Vamos ensinar dóis métodos para cálculo da matriz inversa: - resolvendo um sistema linear baseando-nos em AA"1= In; - encontrando a matriz dos cofatores, encontrando a matriz adjunta e dividindo essa última pelo determinante da matriz para a qual se quer achar a matriz inversa. Calculando a inversa; Ia maneira - Com um sistema de equações Isso quer dizer que para encontrarmos a inversa de uma matriz, deveremos encon trar os elementos que atendam à equação acima. Veja um exemplo: «12

«13 ’

«21

«22

«23

«31

«32

«33

’« n

Seja. A -

. Para encontrar a inversa, fazemos:

246 h

Raciocínio Lógico — Enrique Rocha an a21 * 31

a 12

a13

«22

a 23

a 32

*3 3 .

X

xn *21

*1 2

*1 3 "

*2 2

*2 3

_ *3 l

*3 2

*3 3 .

"1 0 0' = 0 1 0 0 0 1

Como já descrevemos detalhadamente o processo de multiplicação de matriz por matriz, vamos passar para um exemplo mais concreto: Seja A —

2 3 , para encontrar a inversa, fazemos: 1 0 2 3 1 0

X

I 0 0 1

a c b d

O produto ao lado esquerdo da igualdade é calculado da seguinte forma: '1 0"

2.a+2.b 2.c +3.tf ha +0 .b lx +0 .d Assim, teremos: 2a + 3b - 1 la = 0 2c + 3d = 0 lc-1; Isso nos leva a3:

a = 0 ; b = l / 3 ; c = l ; e d ~ -2/3. Dessa forma, nossa matriz inversa procurada é: 0 1 13

1

Calculando a inversa: 2âmaneira Uma outra forma de se calcular a inversa de uma matriz é usando a matriz dos cofatores, como mostraremos a seguir: 1* passo: calcular o determinante da matriz; 2a passo: encontrar a matriz dos cofatores; 3®passo: encontrar a transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta); 3 Veja detalhamento do Processo de Resolução de Sistemas de Equações Lineares na seção 7.14.

Capítulo 7 —

Álgebra Linear m 247

4a passo: dividir cada um dos elementos desta última matriz pelo determinante da matriz originai. Exemplo: f0 2 Seja a matriz A = A = |_-1 4 l s passo: calcular o determinante da matriz. det(A) = 0x4 —2x{—1) = 0 + 2 = 2 2a passo: encontrar a matriz dos cofatores. 4 1 Como mostrado na seção anterior, a matriz dos cofatores é: -2 0 3®passo: encontrar a transposta da matriz dos cofatores (matriz adjunta). A transposta da matriz dos cofatores é:

'4 -2 1 0

4- passo: dividir cada um dos elementos desta última matriz pelo determinante da matriz original, encontrando a inversa da matriz A. “4 - 2 ' A matriz A' 2X 20 .2 2 .

2 -1“ í 0 _2

7.11. Determinantes As matrizes quadradas (mesma quantidade de linhas e colunas) possuem uma característica chamada determinante. O determinante de uma. matriz é um número que é calculado com base nos elementos damatrÍ2e tem algumas aplicações interessantes, como, por exemplo, ser usado na resolução de sistemas de equações lineares. Vamos estudar os determinantes, partindo do mais simples (matriz quadrada de primeira ordem—uma linha e uma coluna) para o mais complexo (matrizes quadradas de ordem três ou superior). 7.11.1. Notação Matemática Antes de começarmos, é importante que você saiba diferenciar a notação de matriz para a notação de determinante. Uma matriz é representada com seus elementos dentro de colchetes, enquanto um determinante é representado com os elementos da matriz entre barras verticais, como mostrado a seguir:

248 b

Raciocínio Lógico — Enrique Rocha « ii

A-

e det(A) “

«1 2

«13

’"

«1 n

a 2l

«2 2

«23

a 31

«32

«33

*

«3 «

_«m l

«m 2

«m 3

’

«mn

«11

«1 2

«13

a2l

«2 2

«23

«3 1

«3 2

«3 3

a ml

«m 2

a w3

"

*

* ’

«2 n

« ln «2n «3 n

*

«m a

7.11.2. Determinante de Matriz de Primeira Ordem

Uma matriz de primeira ordem contém um único elemento e ele é o próprio elemento da matriz. Assim, seja a matriz AJxl = [au], o seu determinante é indicado por det(A) = Ja J ■ an 7.11.3. Determinante de Matriz de Segunda Ordem

Seja a matriz A = au a n azi «22 Para calcular o determinante desta matriz, você^deve multiplicar os elementos da diagonal principal e subtrair desse total o produto dos elementos da diagonal secundária. Veja como seria: Det(A) =

«n a n «21 ã22

- a l V a 22 ~ ã 12 'ã 2 l

Exemplo X: Seja a matriz A = Det(A) = W

3 2 1 4 =3.4—2.1 = 12-2 = 10

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

n 249

Exemplo 2: Seja a matriz A =

Det(A) =

-1 -3 2 4

= (—1).4 -(-3 )2 = -4 +6 = 2 23& 43

7.11.4. Regra de Sarrus

Existe uma regra prática pata cálculo de determinante de matriz de terceira ordem, conhecida como regra de Sarrus. an «1 2 Seja a matriz A = «21 «22 »a 3i

«1 3 «2 3

«3 2

«3 3 .

«n «12 Seu determinante é det(A) = «21 «22 «3 1

«3 2

«1 3 «2 3 «3 3

O primeiro passo é repetirmos as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: «1 1

«1 2

«1 3

«U

«1 2

«2 1

«2 2

«2 3

«21

«2 2

«3 1

«32

«33

«3 1

«32

Feito isso, desenham-se setas na direção da diagonal principal (começando em an) e fez-se o mesmo, começando com aJ2 e a13. Da mesma forma, desenham-se setas na direção da diagonal secundária e fez-se o mesmo, começando com an e aI2 (já nas colunas que foram repetidas). Vêja o resultado: © © © o © ©

250 a


Agora, vamos realizar os produtos de cada uma dessas diagonais traçadas, multiplicando-se o resultado por +1 ou por -1, de acordo com as indicações que aparecem logo acima delas. Depois de calcular esse produto, some os resultados. © @ © 8 0 © u ll

12

13

,

a \l

a \2

«22 u 31 “ 32 “ 33

/

/

s

( l).a13.a22.a31 + ( l).an.a23.a52 + ( lâ^.a^.a^ + (l).an.a22.a33 + (l^.a^.a^.a^ + (I).al3.a21.a32 O determinante é o resultado desse cálculo. Exemplo: 3 4 -2 Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 0 3 4 -2 Seu determinante é det(A) = 1 5 1 2 3 0 O primeiro passo é repetirmos as duas primeiras colunas da matriz ao lado da terceira: 3 4 -2 3 4 1 5 1 1 5 2 3 0 2 3 Feito isso, desenham-se setas na direção da diagonal principal (começando em an) e faz-se o mesmo, começando com aJ2 e a13. Da mesma forma, desenham-se setas na direção da diagonal secundária e faz-se o mesmo, começando com an e aJ2 (já nas colunas que foram repetidas). Veja o resultado: © © @ 000 3 4 -2 3 4 iV -i: y O 23 s / ✓ N. N N.

zW

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

b 251

(—!).(—2).5.2 + (-1)3.13 + (-1).4.1.0 + 3.5.0 + 4.1.2 + (-2).1.3 =

20 + (-9) + 0 + 0 + 8 + (-6) = 2 0 - 9 + 8 - 6 = 13 Logo, det(A) = 13. 7.12. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz de ordem m será dado pelo somatório do produto entre o elemento e seu cofator para üfna única mesma fila. ' 3 - 2 2] Exemplo: seja a matriz A 4 5 0 . Vamos calcular det(A): 1 6 -1

det(A)

3 -2 2 4 5 0 1 6 - 1

Como exemplo, vamos tomar a segunda linha (poderia ser qualquer outra) aplicar o Teorema de Lapíace: det(A) “ + a22*^22+ det(A) s 4.A2l + 5A ^

” ^*^21 + ^*^22+

Calculando os cofatores A^ e A22_ A21= (-1) 2+1-D2I = (-1)3

-2

2

6

-1

: —l.[(- ).(—l) - . ] - - . 2

2

6

1

1 0

=

1 0

3

2 1 -1 = l.[3.(~l) - 2.1] = l.(~ 5) - -5

Logo, det(A) = 4A21 + 5 A ^ =4. 10 + 5.(-5) - 4 0 - 25 = 15. Apenas para confirmar que poderia ser qualquer outra linha, vamos tomar a primeira e aplicar o Teorema de Laplace: det(A) - anA a + airAn + aJ3A I3 = 3An + (-2)A n + 2A13 det(A) = 3A11 - 2Al2 + 2AJ3

252 b

Radodnio Lógico—

Enrique Rocha

Calculando os cofatores Aj l Al2 e AI3. Í5 An =(-1) í+l.Dn = (-1)2. 6

0 - 1| = l.[5 .(-l)- 0.6] = 1. (-5) = -5

4 0 ^ > 1 ) U2.D12 = (-1)5. 1 -1 » -l.[4.(-l) - 0.1] - -1.-4 = 4 (4 5 Aj3J- 1 ) 1+3-D13 »■ (-1)4. 1 6 = l.[4.6- 5.1] *s 1.19 * 19 Logo, det(A) = 3An - 2 A ^ + 2Al5= 3.(-5) - 2.(4) + 2.19 - 15. Como queríamos demonstrar, qualquer linha tomada levará ao mesmo resultado finai. 7.13. Propriedades dos Determinantes Quando se quer calcular o determinante de uma matriz é importante que sejam conhecidas as propriedades dos determinantes. O motivo é que a simples aplicação de uma ou mais dessas propriedades pode economizar muito esforço na resolução de ura exercício. Pl. Quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) são nulos, o determinante dessa matriz é nulo. Exemplos: 3 4 -2 det(A0 = 0 0 o| = 0 2 3 0 -3 0 -2 det(P) = 1 0 4 = 0 2 0 5 P2. Se duas filas de uma matriz são iguais» então seu determinante é nulo. 13 4 -2| dec(A0 =; 0 11 -1 s=0 13 4 -2l

Capítulo 7 —

det(P) =

=3 1 A

0 4 -1

Álgebra Linear s 253

1 =0

iJ

P3. Se duas filas paralelas de uma matriz sáo proporcionais, então seu determinante énulo. Exemplos: P a -2| det(A0 = 0 i i -1 = 0, porque L3 = 2.Lt Sõ 12 ~4|

detCP) -

T 0 3| 2 4 6 = 0, porque C3 » 3.Cj 3_ -1 11

P4. Se os elementos de uma fila de uma matriz sáo combinações lineares dos elementos correspondentes de filas paralelas, então seu determinante é nulo. Exemplo: |3 6 -2| det(M) - 0 11 -1 0, porque L3 = L x+ 2.L2 Í3 28 -41 P5. O determinante de uma matriz e o de sua transposta são iguais: det(A)» det(At). Exemplo: r3 4 -2 Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 0 3 4 -2 Como vimos anteriormente, det(A) = 1 5 1 = 13 2 3 0 '3 1 2 '3 1 2 13 Seja a matriz, det(Ac) = 4 5 3 = 13, det(A0 = 4 5 3 -2 1 0_ -2 1 0_ Ou seja, det(A) = det(A*)

254 h


Enrique Rocha

P . Multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número. Exemplo: (3 4 —2 6

Seja a matriz A - 1 5 2 3

1 0

3 4 2 Seja a matriz B = 1 5 - 1 , onde L3=(-1)X3 -2 -3 0 [3 4 - 2 Como vimos anteriormente, det(A) = 1 5 1 = 13 2 3 0 3 4 Calculando det(B) temos: det(B) = 1 5 -2 -3

2 —1 = - 1 3 0

Isso nos mostra que det(B) = (-l).det(A). P . Quando trocamos as posiçóes de duas filas paralelas, o determinante de uma matriz muda de sinal. Exemplo: 3 4 -2 Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 0 7

'3 Seja a matriz B = 2

15

4 -2' 3 0 , onde L3foi trocada com a L2

1

13 4 ~2j Como vimos anteriormente, det(A) = 1 5 1 - 13 2 3 0 3 4 -2 Calculando det(B) temos: det(B) = 2 3 0 1 5 1

Isso nos mostra que det(B) = (-l).det(A).

13

Capítulo 7 —* Álgebra Linear

b 255

P . Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal sáo todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal. Exemplo: 8

3 Nfl 0 det(M) - 0 1 1 \ 0 = 3-11*0*4)-—132 3 28 —4 P9. Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal secundária são todos nulos, o determinante é igual ao produto dos elementos dessa diagonal multiplicado por

m.(m-I) ( - 1)

^

, onde m é a ordem da matriz quadrada.

Exemplo:

Seja a matriz A = 3 4 -: det(yi) - 2 5 / 0 -3/0 0

'

3*3-1) 'N

(-1) 2

(_2)• 5“ (-3) « (-1 • 30 =-30 ) 3

/

V

í

PIO. Teorema de Binet: para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det(A,B) » det(A). det(B). Exemplo:

2 3" eB = l _4 L.2 -5J o

Seja a matriz A

Temos que det(A) = -11 e det(B) = —8. Daqui temos que det(A).det(B) = (-11). (-8) = 88. Seja P ~ A.B =

6 -7 . Temos det(P)=det(AB) = 88. —8 24

Logo, det(A.B) = det(A).det(B).

256


P ll. Teorema de Jacobi: o determinante de tuna matriy não se altera quando somamos aos elementos de uma fila uma combinação linear dos elementos correspondentes de filas paralelas. Exemplo:

3 4 -2* Seja a matriz A = 1 5 1 2 3 ° 3 4 -2 Como vimos anteriormente, det(A) « 1 5 1 2 3 0 Substituindo a Ia linha de A pela soma dela mesma com o triplo da 2a, temos a matriz B: bn = an + 3.z21 - 3 + 3.1 ** 3 + 3 - 6; bu « a12+ 3-a^ * 4 + 3.5 = 4 + 15 ■ 19. ^13 = ai3 + 3,a23 * ^

+ 3.1 * -2 + 3 * 1.

6 19 1‘ 6 19 1 B ss 1 5 1 edet(5) = 1 5 1 13 2 3 0_ 2 3 0 P12. Seja k um número real qualquer. Então, det(k*A) = k°. det(A), onde n é a ordem da matriz quadrada A. Exemplo:

Seja a matriz A =

2 3' , temos que det(A) =-11. 1 -4

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

e

257

Como n = 2, tomando k = 2, temos o surgimento da matriz B-2A: f4 B = (k * A) = (2 * A) = 2

6'

Temos que det(2A) = -44 = 22.det(A) = 22.-l 1 = kn.det(A).

7.13.1. Exercício Resolvido

. Â transposta de uma matriz qualquer é aquela que se obtém trocando linhas por colunas. Sabendo-se que uma matriz quadrada de segunda ordem possui determi nante igual a , então o determinante do dobro de sua matriz transposta é igual a: 1

2

a) -2; d) 8; b) -1/2; e) 10. c) 4; Resolução: O que o problema pede é: det(2A1). Pela propriedade 5, det(A)= det(A‘); pela propriedade 12, det(2At) = 22.det(Al) 22.det(A) = 4.2 = 8. Resp letra d

7.14. Sistemas Lineares Um sistema linear é um conjunto de duas ou mais equações para as quais se quer encontrar soluções comuns. Isso significa que a solução encontrada deve tornar verdadeiras todas as igualdades (equações) que fazem parte do referido sistema. Um sistema é representado por uma chave à esquerda de todas as equações envolvidas, como no exemplo abaixo: (2 x -y -5 [x+jy - 7 Este sistema tem duas equações e duas incógnitas: x e y. Os termos em que não aparece nenhuma das incógnitas são chamados termos independentes e, neste exemplo, estão à direita do sinal de igual.

258 b


7.14.1. Resolução de Sistemas pelo Método da Substituição

Existem várias formas de se encontrar a solução de um sistema linear. Uma delas é conhecida como o método da substituição, que consiste em ir isolando as variáveis e reescrevendo o sistema em função desses isolamentos, até que se chegue à solução final. Vamos ver um exemplo que vai ajudar a entender esse processo. c. . f2x~*y =5 Seja o sistema \ \x + y =7

Pelo processo de substituição, escolhemos uma das equações e isolamos uma das variáveis. Vamos tomar a segunda equação e isolar a variável y: x + y = 7 -» y - 7 - x substituindo-se esse valor encontrado para y na primeira equação, temos: 2 x - y = 5 —» 2 x - ( 7 - x ) = 5 --*2x--7+x~5-->3x = 5+ 7-->3x-12-->x~ 12/3 —> x - 4. Como encontramos o valor da variável x, usamos y = 7 - x para encontrar y: y = 7 - x - » y = 7 - 4 —»yi=3, o que nos leva à solução S = {{4,35} Esse é um processo que, em alguns casos, pode ser o mais rápido e isso vai depender da simplicidade dos coeficientes das variáveis em cada equação e à substituição das variáveis. 7.14.2. Representação Matricial dos Sistemas Lineares

Os sistemas lineares podem ser representados na forma de produto de matrizes e essa representação é usada por alguns métodos de resolução. O sistema acima poderia ser representado como sendo: ~2

~1

1

1

X

5" J .

Neste caso, a primeira matriz échamada de matriz incompleta eela é formada apenas pelos coeficientes das variáveis. A segunda matriz se chama matriz das incógnitas, que é formada apenas pelas variáveis que aparecem no sistema. Por fim, existe a matriz completa, que é formada pelos coeficientes e pelos termos independentes. No exemplo acima, a matriz completa seria: 2 -15' 1 1 7

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

s

259

7.14.3. Sistema Normal

Quando o número de equações é igual ao número de variáveis e o determinante da matriz incompleta é diferente de zero, o sistema, é classificado como sistema normal. 7.14.4. Regra de Cramer

Todo sistema normal é possível e dereífminado e sua solução é dada por: x

y

D

í=Ez.* z = 5 i-e assim sucessivamente, para cada uma das variáveis. D ’ D’

Na representação acima, x, y e z são variáveis do sistema (poderia haver outras). D é o determinante da matriz incompleta. Dx é o determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes. Dy é o determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de y pelos termos independentes. Dz é o determinante da matriz obtida substituindo-se, na matriz incompleta, a coluna dos coeficientes de z pelos termos independentes (e assim para todas as variáveis existentes). No nosso exemplo: A matriz incompleta é:

D=

D,

2 -1

1

1

Logo,

'2 -1 = 2 ‘ 1 - (“ 1 H ~ 2 + 1 = 3 1 1 '5 - I 7 1 2 5

Dy = 1 7

=5-1—(—1)-7=5+7=12; =2-7-(-5)*1=14-5=9

D 12 Dy 9 Assim, x = ———— = 4;ey = —- = ——3, e, que nos leva à solução S=í(4,3)}• D 3 D 3 7.15. Submatrizes de uma Matriz Chama-se submatriz de uma matriz A à matriz obtida pela eliminação de p linhas e q colunas de A, sendo p = 0, 1, 2,..., m —1 e q = 0,1, 2,..., n -1.


260 b

Enrique Rocha

Exemplo:

1 0 3 0 2 1 Seja a matriz A = 0 -3 -5 4 5 2 Sáo exemplos de submatrizes de A: Eliminando-se as linhas 2,3 e 4 e as colunas 2,3 e 4: S,: [ ] Eliminando-se as linhas 3 e 4 e as colunas 3 e 4: 1

S->:

1 0 0 2

Eüminando-se a linha 4 e a coluna 4: 1 0 3 S3: 0 2 L 0 -3 -5 7.16. Menores de uma Matriz Um menor de uma matriz A é o determinante de uma das submatrizes quadradas de A. Anota-se det(N) o determinante da submatriz de ordem N em A. 1 0 3 0 0 2 1 3 Vamos usar a matriz A 2 -3 —5 4 4 5 2 -1 Podemos encontrar os menores das submatrizes dadas como exemplo: 1. eliminando-se as linhas 2,3 e 4 e as colunas 2,3 e 4: Sx: [1] e det(l) = | 1 ] = 1 2.

eliminando-se as linhas 3 e 4 e as colunas 3 e 4:

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

b 261

3. eliminando-se a linha 4 e a coluna 4:

'1 0 3 “ 1 0 3 0 2 1 e det(3) - 0 2 1 Sr 0 -3 -5 0 -3 -5 7.17. Característica de uma Matriz 7,17.1. Teorema de Kronecker

A característica de uma matriz não nula A éo número p S: 1, quando existir um menor de ordem p - det(p) —diferente de zero e forem nulos todos os menores de ordem p + 1. Exemplos: Vamos encontrar a característica da matriz.

A

1 2 0 3

0 - 1 4 2

12 3 5 1 1 14

1 2 0 3

Precisamos atribuir valores a p (a partir de 1) e, para cada um desses valores, encontrar pelo menos um determinante de ordem p não nulo. Fazendo p *» 1: Basta tomar uma submatriz de A com um elemento não nulo para termos det(l) & 0. Como exemplo, tome au = 1. Logo, p > 1. Fazendo p » 2s 1 0 Usando a submatriz de segunda ordem S2 = 2 -1 Portanto, p ^ 2.

vemos que det(2) =£ 0.

Fazendo p = 3: Usando a submatriz de terceira ordem S,3 = que det(3) =£0. Portanto, p > 3-

"i o r -1

5, vemos 3 onde det(3) = —

4

1

262 a


Enrique Rocha

Como todos os menores de quarta ordem são nulos, podemos afirmar que a característica da matriz A é p « 3. 7.18. Análise de um Sistema de Equações Lineares A análise de um sistema de equações lineares consiste em determinar se ele é possível ou impossível e» no caso de ser possível, se é determinado ou indeterminado. Existem algumas maneiras de se fazer essa análise e uma delas usa a representação matricial do sistema (matriz incompleta e matriz das variáveis). Anx\ + au x2 A->„x. 2n*n ~ u2. Seja o sistema: . A2lxl '+a12x2 +• b-. + *“ + ........... Ami*i '^’Q-rn2X2 + \‘‘ AmnXn ~ b r Neste sistema, temos m equações e n variáveis. Além disso, p e q são as características das matrizes incompleta e completa, respectivamente. 7.18.1. Teorema de Rouché-Capelli

O sistema será possível se e somente se p - q. p & q <=> sistema impossível (não admite solução); p = q » n <=> sistema possível e determinado (solução única); p « q < n <=> sistema possível e indeterminado (infinitas soluções). (2x —y ~ 5 Seja o sistema i

IíiemPlo l:

[x+y=7

-I 5 e a característica da matriz completa é q = 2 1 7 porque existe det(2) & 0 e não existe det(3). A matriz completa é:

Por outro lado, a matriz incompleta é f2 “^] , cuja característica também é p = 2. Assim, podemos afirmar que o sistema é possível e determinado, pois p = q = n (onde n è a quantidade de variáveis).

Capítulo 7 —

Álgebra Linear u

263

Exemplo 2: (x + y

=1

Discuta o sistema
q <=> sistema impossível (não admite

7.18.2. Regra de Cramer

Quando um sistema tiver o mesmo número de equações e de incógnitas, ele será: ~ possível e determinado: se D =£0 (uma única solução); —possível e indeterminado: se D = 0 e todos os determinantes Dx, Dy,... Dz forem nulos (iguais a zero); —impossível: se D = 0 e (Dx ^ 0, ou Dy ^ 0, ou Dz & 0); e assim para qualquer das incógnitas. 7.18.3. Sistemas Equivalentes

Dois sistemas são ditos equivalentes se apresentarem o mesmo conjunto-solução. 7.18.4. Propriedades

P l: Se duas equações de um sistema linear trocarem de posições, o novo sistema será equivalente ao primeiro. Exemplo: 'x + y + 2 z =8 O sistema <2x - y +3z = 12 x -3 y + z =4

264 a

Radodnio Lógico —

Enrique Rocha

2 x - y + 3 z ~ l2 é equivalente ao sistema - x + y +2z =8 x -3 y +2 - 4 P : Se <»tna ou mais equações de um sistema linear forem multiplicadas por k, sendo que o sistema obtido por essa operação será equivalente ao primeiro. Exemplo: 2

x + y +2z =8 O sistema <2 x -y +3z ~ 12 x~3y + z ” 4 3x+3_y+6^=24 é equivalente ao sistema 2x—y + 3 z ~ l2 x - 3 y + z =4 7.18.5. Sistema Homogêneo

Um sistema é dito homogêneo se todos os termos independentes forem iguais a zero. Exemplos: x+y+2z = 8 2x-y +3z —12 x -3 y + z =4 -x+4y ~2z =0 x~3y + z - 0 2x+2;y —z =0

jsjâo é homogêneo.

É homogêneo.

V—2 z ~ 0 -* i <• A J £ homogêneo (note que, na segunda equação, se o -4 x 3y 4z ——4 paxa o lado direito do sina! de igual o resultado 2x+2;y~-z-0 será zero).

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

b

265

7.19. Transformações Elementares de Sistemas Lineares 1. Um sistema de equações não se altera quando duas equações são trocadas de lugar. Exemplo:

-x+2y + z - 2 O sistema: <2 x + y - 3 z = - 7 x -y + z -4 x ~ 2 y - z = -2 é equivalente ao sistema 2x + y - 3 z - ~7(apresentam a mesma solução), já que -4 + 2

apenas trocamos a equação (II) com a 011). 2. Um sistema de equações não se altera quando se multiplicam os dois membros de qualquer uma das equações do sistema por um numero real não nulo. Exemplo:

O sistema:

- x + 2 j+ s : =2 x - y 4-2=4 2 x + y -3^: = -7

x -2 y -z~ -2 é equivalente ao sistema 2x + y - 3 z = -7. (apresentam a mesma solução), pois x - y + z =4 apenas multiplicou-se a primeira equação por (-1). 3. Um sistema de equações lineares não se altera quando uma equação qualquer ê substituída por outra» resultante da adição da primeira com outra na qual foi aplicada a transformação . Exemplo: 2

'-x -i-ly + z- 2 O sistema: 2 x + y - 3 z = ~7 x - y + z =4 — x+2y+z -2 é equivalente ao sistema 5 y ~ Z ~ ~ 3 (apresentara a mesma solução, pois x - y + z =4 a segunda equação resultou da soma da antiga segunda equação com a primeira multiplicada, por 2).

266 h


Enrique Rocha

7.19.1. Método de Gauss ou Método do Escalonamento

Uma das formas de se resolver um sistema de equações lineares é usar o método do escalonamento, que consiste em aplicar as transformações lineares sobre as equações e obter um novo sistema equivalente no qual a última equação tenha apenas uma das variáveis, a penúltima, duas, e assim por diante, até a primeira, que conterá todas as variáveis presentes no sistema original. Vamos usar um exemplo para demonstrar o método: -x +y -2 z = Seja o sistema . 2x-3y +2 = 11 x - 4 y + z ~ 12 Ia passo: trocar as posições das duas primeiras equações (transf. 1): 2 x-3y +z~H -x -t-y ~2z - -9 x ~ 4 y + z =12 2a passo: multiplicar a segunda equação por 2 {para no próximo passo eliminar a variável x da segunda equação) (transf. 2): 2x-3y + z = H -2x+2y ~~4z ~ -18 x-4 y + z ~ l2 3a passo: somar as duas primeiras equações e substituir a segunda equação pelo resultado obtido (transf. 3): 2x~3y + z ~11 - y - 3 z = -7 x - 4 y + z - 12 4a passo: multiplicar a segunda equação por (-1) (transf. 2):

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

£ 267

5a passo: multiplicar a terceira equação por (—2) (para, no próximo passo, eliminar a variável x da terceira equação) (transf. 2): [2x-3y + £ = l l y +32: - 7 -2x+8y ~2z ~ -2 4 6a passo: somar a primeira e a terceira equações e substituir a terceira equação pelo resultado obtido (transf. 3):

72passo: multiplicar a segunda equação por (-5) (para, no próximo passo, eliminar a variável y da terceira equação) (transf. 2): 2x~3y + z =11 ~5y -152 =-35 5 y -z= ~ U 8a passo: somar a primeira e a terceira equações e substituir a terceira equação pelo resultado obtido (transf. 3): 2x-3y +z-U -~5y-l5z --3 5 ~ lé z = -48 9apasso: multiplicar a segunda equação por —— e chegar ao valor de z (transf. 2): V 16J 2 x ~ 3 y - f£ —l l ~~5y-15z = - 3 5 ^ -3

10® passo: aplicar o valor encontrado para z na segunda equação e enconrrar o valor de y: -5y -15z = ~35==> -5y -15.3 = -35 => -5y- 4 5 = -35 => -5y = -35 + 45 => -5y = 10 => y

y = -2

268 es


1Xa passo: aplicar os valores encontrados para y e z na primeira equação e encontrar o valor de x: 2x —3y + z = 11 =>2x —3-(—2) + 3 - 11 => 2x + 6 + 3 = 11 =z> 2 2x + 9 = l l = > 2 x = l l - 9 = > 2 x = 2=>x= —=> x = 1 Solução: {1, -2,3} ^ 7.20.

Exercícios resolvidos sobre Álgebra Linear

1. A matriz S = s^, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A = (a^) e B=(b.p. Sabendo-se que (a..) = i2+j2 e que b.. = i^, então a razão entre os elementos s22e sl2 da matriz S é iguai a: a) 1; d) 2; b) 3; e) 6. c) 4; Resolução: Este é um caso em que você não precisa montar toda a matriz A e a matriz B para chegar à resposta final. O enunciado quer a razão entre os elementos e sJ2, ou seja» Êu... *$12 Sabendo que cada elemento de S será a soma dos elementos correspondentes (de mesma posição) das matrizes A e B, temos: S22~a22+^22 S12"ai2+^12 Assim, precisamos calcular esse elementos: al2ol2 + 22= 1 + 4 - 5 a^ 22 + 22= 4 + 4 = 8 C = i 2= i b22=2’ = 4 T ^ n . $22 _ «22 + i)22 ^ 8 + 4 _ 12

Sn

a12 +a12

Resp.: D 2. Sejam as matrizes

5+1

6

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

s

269

e seja x. o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)£, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razáo entre x31 e xJ2 é igual a: a) 2; d) 1/3; b) Vz\ e) 1. c) 3; Resolução:

O primeiro impulso que você tem, ao se deparar com este tipo de problema, é sair resolvendo o produto A.B, encontrar a transposta e calcular o que o enunciado pede. Não faça isso! A maior parte dos problemas de matrizes encontrados nos concursos requer uma análise prévia para identificarmos se é possível uma resolução mais imediata do que desenvolver todos os cálculos aparentemente envolvidos. Essa resolução mais simples passa pelo estudo das propriedades aplicáveis e, nesse caso, precisamos observar os seguintes aspectos: 1 .0 problema pede a razão entre os elementos entre x31 e x12 da matriz X =(A.B)*. Você deve notar que “razão” é o quociente entre os dois valores, ou seja, ——. X12 2 .0 elemento x.^ será o elemento x. (perceba a troca na ordem) da matriz A.B. (A*B)j3 Assim, o que queremos encontrar é: (A-B) 21 3. Sabemos que o elemento (AJB)13é a soma dos produtos dos elementos da primeira Unha de A pelos elementos da terceira coluna de B. E que o elemento (A.B)21 é a soma dos produtos dos elementos da segunda linha de A pelos elementos da primeira coluna de B. _1 4‘ [1 3 4 5l Assim, considerando e A = 2 6 eB = 1 2 3 4 e B =, temos que: L J 3 3 (A.B)13= 1x4 + 4x3 = 4 + 12 = 16; e que (A.B)2I = 2x1 + 6x1 =2 + 6 = 8. L o g o , ^ i = i S = 2. (A-B)21 8 Resp.í A

270

a Raciocínio Lógfto —

Enrique Rocha

1 1' 3. Sabendo-se que a matriz e que n <= N e n > 1, então o determinante da 0 1 matriz An—AD~l é igual a: a) 1; b) -1; c) 0; d) n; e) n ~ l . Resolução: Vamos começar calculando as matrizes A2»A3e A4, para podermos identificar suas características: A-A =

1 1 '1 1’ ° 1 0 X

A3 =A*A2 =

1 1 '1 2 0 1J 0 1

' ( l x l + lxO) (0x1 + 1x0) ‘( l x l + lxO) (0x1 +1x0)

1 ‘1 3* 0 1_

A - A*AJ

(Xxl + l x l ) '

'1

2

( 0 x l + lxl)_

0

1_

( l x 2 +l x l ) ' (0x2 + lxl)_

(1 x 3 +1 x l)*1 (0 x 1 +1 x 0) ( 0 x 3 + l x l ) _

' ( l x l + lxO)

Daqui, podemos concluir acertadamente que A" = Agora, façamos A2- A, A3- A2e A4- A3: A2 - A «

'1 2 _0 1

A3 -A 2 :

A4 - A 3 =

'1 3 0 1

’1 l 0 1

*0 1" 0 °.

“1 2'

0

l

X_

0 0_

~I 4 ' "X 3“ 0 X_ ,° 1

ro i*

0

[o 0

A4- A3 = - = Por fim, podemos ver que An- An_1=

'0 1 0 0

0 n 0 1

"1 3‘ 0 1 '1 4‘ 0 1_

Capítulo 7 —

Álgebra Linear m

271

Como o problema pede o determinante dessa matriz e usando a propriedade que diz: "quando todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz forem iguais a zero, o determinante será zero”, temos que det(An- A""1) =

0 1 = 0. 0 0

Resp.: C '1 2 3 a 2 3" 4. Considere as matrizes X = 2 4 6 e Y = 2 b 6 5 3 7_ 5 3 c onde os elementos a, b e c são números naturais diferentes de zero. Então, o determinante do produto das matrizes X e Y é igual a: a) 0; b) a; c) a+b+c; d) a-fb; e) a+c. Resolução: O enunciado quer det(X.Y). Pela propriedade (RIO) enunciada neste capítulo, "para A e B matrizes quadradas de mesma ordem n, det(A.B) = det(A). det(B)”, ou seja, detQCY) = det(X).det(Y). Aqui, é imprescindível que você preste atenção à matriz X e perceba que ela tem duas linhas proporcionais (a segunda é o dobro da primeira). Com base nisso e na propriedade (P.3), que diz: “se duas filas paralelas de uma matriz são proporcionais, entáo seu determinante é nulo”, temos que det(X) = 0. Assim, o produto det(X).det(Y) = 0.det(Y) =0. Resp.: A 5. Dadas as matrizes» A =

'1 2 0 1

'2 a eX 1_ b

Assinale os valores de a e b de modo que A.X - B. a) a = 0, b = 1; b) a = 1, b = 0; c) a = 0, b = 0; d) a - 1, b = 1; e) a = 0, b = -1.

272

b


Resolução: Se A.X = B, então: 1 2 0

a *

~

1_ b

2 1

=>

'l-a+2-b"

Y

0 " d + 1‘ b

1

=>

fa +2b l L b

J

2

= _

1

_

Daqui temos: [a +2b —2 J ■=> a +2.1 ~2=> a +2 ~2=z> a = 2 —2 = 0

1

fc *l

Resp.: A 6. Uma matriz quadrada X de terceira ordem possui determinante igual a 3. Sabendo-se que a matriz Z é a transposta da matriz X então a matriz Y=3.Z tem determinante igual a: a) 1/3; d) 27; b) 3; e) 81. c) 9; Resolução: O enunciado quer det(Y) = det(3.Z), onde Z = X‘. Pela propriedade (P12), “seja k um número real qualquer. Então, det(kA) * kfl. det(A), onde n é a ordem da matriz quadrada A”, temos: det(3.Z) * 33.det(Z). Como Z = X* e o determinante de unm matriz é igual ao determinante de sua transposta (P.5), det(Z) = det(X£) = det(X). Logo, det(3.Z) « 33.det(X) * 33. 3 = 34 - 81. Resp.: E 7. Quando os elementos da terceira Unha de uma matriz quadrada são divididos por x (x diferente de zero) e os elementos da primeira coluna são multiplicados por y (y diferente de zero), o determinante dessa matriz fica dividido por: a) x.y;

Capítulo 7 —

Álgebra Linear &

273

Resolução:

Pela propriedade (P.6), ‘multiplicando por um número real todos os elementos de uma fila em uma matriz, o determinante dessa matriz fica multiplicado por esse número”. Dessa forma, como o enunciado diz que a terceira Unha foi dividida por x e a primeira coluna multiplicada por y, o determinante da matriz terá sido multiplicado por —. x Cuidado!!! O enunciado pergunta por qual número o determinante fica dividido, o que implica a inversão da fração acima como resposta.

Resp.: C . Um sistema de equações lineares é chamado “possível” ou “compatível”, quando admite pelo menos uma solução; é chamado de “determinado”, quando a solução for única; e é chamado de “indeterminado”, quando houver infinitas soluções. Assim, sobre o sistema formado pelas equações: 8

jma+3mb = 0 [2a+mb —4 em que aeb são as incógnitas, é correto afirmar que: a) sem /O e a=2, qualquer valor de b satisfaz o sistema; b) se m=0, o sistema é impossível; c) se m=6, o sistema é indeterminado; d) se m sé0 e a * 2, qualquer valor de b satisfez o sistema; e) se m * 0 e m * 6, o sistema é possível e determinado. Resolução: Vamos considerar a primeira equação do sistema: ma + 3mb ~0=> m.(a + 3b) - 0 Para que m.(a + 3b) = 0, ou m = 0, ou a + 3b = 0 (o produto de dois números será zero quando um deles for zero). lfi caso: m « 0 Se m = 0, na segunda equação teremos: 2a + O.b = 4 = > 2 a - 4 = > a = 2. Como o coeficiente da variável b é zero, qualquer valor que se dê a b continuará atendendo às duas equações. Logo, neste caso de m = 0, o sistema terá infinitas soluções e, por isso, será possível e determinado.


274 is

Enrique Rocha

Se m ^ 0, na segunda equação teremos: a + 3b = 0=>a = -3b Substituindo a por -3b na segunda equação: 2a + mb - 4 => 2.(-3b) + mb - 4 => -6b + mb = 4 => 4 b.(m-6) - 4 => b = “ Neste caso, para que b tenha um valor definido, o denominador m - 6 tem que ser diferente de zero, ou seja, m —6 ^ 0 = > m ^ 6 , Como m será um valor definido, se A _1T 4 m ^ 0 e m & 6, teremos uma única solução: a = —3____ -_ . £ • e b = ----—, sendo o sistema classificado como possível e determinado m"6 !1

Resp.: E 9. Um sistema de equações é chamado "possível” ou “compatível”, quando admite, pelo menos, uma solução; è chamado de “determinado”, quando a solução for única; e de “indeterminado” , quando houver infinitas soluções. A partir do sistema formado pelas equações x —y ~ e x + w y - z, pode-se afirmar que s e w = — e z - 4, então o sistema é: 2

2

2

a) impossível e determinado; b) impossível ou determinado; c) impossível e determinado; d) possível e determinado; e) possível e indeterminado. Resolução; Passo : identificar as regras do enunciado: 1

Sistema ‘ possível” ou “compatível” admite, pelo menos, uma solução; Sistema “determinado” —> uma única solução; Sistema “indeterminado” —» infinitas soluções. Seja o sistema: íx - y = 2 [2x-l-'wy~z

(I) (II)

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

k 275

Sejam w = —2 e z = 4. Temos então: fx-y=2

(I)

|2x -r-(—2)y =4

(II)

fx - y = 2

(l)

[2 x-2 y -4

(II)

Dividindo-se os dois lados (termos) de (II) por 2, temos: f x - y =2

(I)

jx~y~2

(II)

Veja que ficamos reduzidos a uma única equação. Assim sendo, temos um sistema com uma equação e duas variáveis: {x-y =2 Neste ponto, se você estivesse fazendo uma prova de concurso, facilmente aplicaria a seguinte regra prática: O número de equações é menor do que o número de variáveis: sistema possível e indeterminado. ' Vamos aproveitar o exercício para lembrar alguns conceitos que nos permitam resolver esse problema por um outro método (menos intuitivo), ou seja, usando o Teorema de Rouché-Capelli: Menores de uma matriz Um menor de uma matriz A é o determinante de uma das submatrizes quadradas de A Característica de uma matriz A característica de uma matriz A não nula (ou seja, em que pelo menos um dos elementos é diferente de zero) é um número p > I quando existir um menor de ordem p diferente de zero e forem nulos todos os menores de ordem p + 1 (Teorema de Kronecker, já exemplificado no texto teórico sobre matrizes).

276 a


Matriz completa de um sistema linear

Vamos usar o sistema de equações lineares deste exercício para. exemplificar: Nosso sistema é: {x-y = 2 Assim, a matriz completa do nosso sistema é: Mcompleta » [1 -1 2] Matriz incompleta de um sistema linear E construída usando-se apenas os coeficientes das variáveis, ou seja, excluindose da matriz completa a coluna era que as variáveis não aparecem. Vamos usar o sistema de equações lineares deste exercício para. exemplificar: A matriz completa do nosso sistema é: “ t1 - 1 Excluindo-se a 3a coluna: - [l -1] Sejam “p” a característica da matriz completa, “q” o determinante da matriz incompleta e “n” o número de variáveis do sistema. O Teorema de Rouché-Capelli classifica um sistema de equações lineares da seguinte maneira: sistema impossível (não admite solução); sistema possível e determinado (solução única); sistema possível e indeterminado (infinitas soluções). Precisamos, então, encontrar “p” e “q” para o nosso sistema: Encontrando a Característica da Matriz Completa (p)s

A característica da matriz M = [1 —1 2] é facilmente definida, porque só completa. existem submatrizes quadradas de ordem 1. Logo, p = 1. Encontrando a Característica da Matriz Incompleta (q): Para encontrar a característica da matriz M - [1 -1], usamos o mesmo , . t , . i . incompleta , raciocínio acima e concluímos imediatamente qué q = 1. Podemos agora aplicar o Teorema de Rouché-Capelli para classificar nosso sistema de equações lineares: Temos p = 1, q = 1 e n - 2, ou seja “p • q”: p = q < n <=> sistema possível e indeterminado (infinitas soluções) Resp.: E

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

as 277

10.(ESAF-AFC-2002) De forma generalizada, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por m,., onde I representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S = s.., de terceira ordem, é a matriz resultante da soma entre as matrizes A = (a^) e B=(b..), ou seja, S = A + B. Sabendo-se que (a.j)=Í +j e que b .^ i+ j)2, então a soma dos elementos da primeira linha da matriz S e igual a: 2

2

a) 17; b) 29; c) 34; d) 46; e) 58. Resolução: Passo 1; identificar as regras do enunciado: A matriz S —sij é [quadrada] de terceira ordem (3 Unhas e 3 colunas). S = A + B (logo, A e B também são matrizes quadradas de terceira ordem. f a M l + j2 b » (i + j)2 *■» Passo 2: construir as matrizes A, B e S:

Apenas para visualizar, vamos ver uma matriz X quadrada de terceira ordem: *ii

l 12

L13

X 21

x 22

X 23

_x31 x 32 x 33 Vemos que os elementos da primeira linha de uma matriz de terceira ordem é formada pelos elementos x , x e x . r

11

12

13

278


e

Logo, precisamos calcular: a ,a ea : 11

12

13

a =1+1=1+1=2 ii a12 = 12+ 22= 1 + 4 - 5 a « l 2+32= 1 + 9 « 10 13

b ,b eb : 11

12

13

b = {1 + 1)2= 22= 4 12

b = (1 + 2)2= 32= 9 12 b =(1+3)2=42= I6 13

s , s es : n 12 13 s =a +b =2+4=6 12

11

11

s - a +b - 5 + 9= 14 12 12 12 s = a + b = 10 + 16 = 26 13

13

13

O que queremos é s ,s es : ^

^

U

12

13

s +s +s -65 + 14 + 25 = 46 II

12

13

Resp.t D IX. (SERFRO-2001) Genericamente, qualquer elemento de «ma matriz M pode ser representado por m^, onde i representa a linha e j, a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz S-s , de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A -(aJ e B=(b.,). Sabendo-se que (&.) = i2+ j2e que br= (i+j)2 r ~ — r * , então a razão entre os elementos s31es13e igual a: a) 1/5; b) 2/5; c) 3/5; d) 4/5; e) 1.

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

e 279

Resolução: Este exercício é muito semelhante ao anterior, mas eu optei por resolvê-lo para reforçar a importância de se despender tempo e esforço apenas com o que é necessário. O que o enunciado pede é a razão entre s3l es13, ou seja) Basta, então, calcularmos esses dois elementos, os quais são calculados por: Sl3 s =a + b 13

13

13

s =a + b 31

31

31

Como: a =12+ 32=1 + 9 = I0 13

b = (1 + 3)2= 42~ 16 13

a = 3%-1-9 + 1 = 10 31

b = (3+ 1)2~ 4 = 16 31

Temos que: s =a + b =10 + 16 = 26 13

13

13

s =a +b =10+16 = 26 31

31

31

Logo, S31 _ 3É. ™1 SB “ 26 Resp.: E

280 e


Exercidos sobre Álgebra Linear

1. Com relação ao sistema de incógnitas x e y, ê correto afirmar que o sistema:

a) tem solução não trivial para uma infinidade de valores de a;

b) tem solução não trivial para dois e somente dois valores distintos de a; c) tem solução náo trivial para um único valor real de a; d) tem somente a solução trivial para todo valor de a; e) é impossível para qualquer valor real de a.

2. (ESAF-MRE-2002) Dada a matriz e sabendo que o determinante de sua matriz inversa é igual a Vi, então o valor de x é igual aí

a) -1; b) 0;

c) 1/2; d) 1; e) 2. 3- (ESAF-AFC-2004) Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por fiy onde “i” representa a linha e “j” a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X «* Xy, de terceira ordem, é a matriz resultante da soma das matrizes A « (a^) e B»(b^}. Sabendo-se que (a..) »i: e que b„ (i-j)2, então o produto dos elementos x ^ e x ^ è igual a:

«0 16; b) c) d) e)

18; 26 65 169.

Capítulo 7 —

Álgebra Linear

Gabarito de Exercidos de Álgebra Linear

1. A 2. A

3. D

e

281

C apítulo

8

______________ B

Probabilidades

______________________ _______________________ ü ‘Em vez de ficar reclamando que não consegue aprender,\ lembre-se de dar graças a Deus pela capacidade que Ele te deu. Certamente seu coração se alegrará e sua forma de ver as coisas será diferente. ” Esra parte da Matemática estuda as chances de um determinado evento ocorrer. A Teoria das Probabilidades é a parte da Matemática que tem por finalidade principal a quantificação da chance de ocorrência de determinado acontecimento, daqui por diante chamado de evento. Para melhor podermos entender “probabilidades”, fez-se necessário a explicação de certos conceitos: - experimentos aleatórios; - universo ou Espaço Amostrai; - Evento. 8.1.

Experimentos Aleatórios

Experimentos aleatórios são experimentos que, embora realizados em condições idênticas, podem apresentar resultados diferentes. Esses resultados, embora limitados a uma lista de possibilidades, são imprevisíveis, isto é, dependem exclusivamente do acaso. Exemplo: quando se joga um dado, existem somente as possibilidades de cair uma das faces 1, 2, 3> 4, 5 ou 6, mas não se sabe qual face acontecerá. Depende do acaso. 8.2.

Espaço Amostrai

Espaço amostrai, que representaremos pela letra U, é o conjunto formado por todos os resultados possíveis para um experimento aleatório.

284 &


Enrique Rocha

Exemplo 1: seja o lançamento de um dado. U = {l, 2, 3,4, 5,6}. Exemplo 2: seja o lançamento de uma moeda. U = {cara, coroa}. Exemplo 3: em uma urna, existem três bolas vermelhas, cinco bolas pretas e duas azuis. U = {V, V, V, P, P, P, P, P, A, A} Com relação ao universo associado a um determinado evento, é fundamental identificar a quantidade total de elementos e a quantidade de vezes em que o evento que está sendo analisado aparece nesse conjunto. Essa é a origem para o cálculo da probabilidade de ocorrência de qualquer evento. 8.3.

Evento. Evento Certo. Evento impossível

Por, evento, entenderemos, aqui em nosso trabalho, um acontecimento cuja chance de ocorrência desejamos quantificar, e será representado por um conjunto de todos os elementos correspondentes a esse acontecimento que pertençam também ao espaço amostrai. Observação: ressaltamos que, no cálculo de probabilidade de um evento A, não consideramos a quantidade de elementos apresentada no enunciado, mas sim a quantidade de elementos do espaço amostrai que caracterizamo evento. Representamos essa quantidade por n(A). Exemplo 4: para o caso do lançamento de um dado, querendo-se calcular a quantidade de elementos do evento A: “cair a face de número 7”, temos que: A = {} e n(A) = 0 (porque não existe 7 no conjunto universo de um dado). Exemplo 1: cair “cara” no lançamento de uma moeda qualquer. A = {cara} e n(A) = 1. Exemplo 2: cair uma face par no lançamento de um dado qualquer. B = {2,4, 6} e n(B) = 3. Exemplo 3: ser sorteado um bilhete com final 3 numa rife em que os bilhetes vão de 001 a 050. C - {003, 013,023, 033, 043} e n(C) = 5 Exemplo 4: no lançamento de um dado, cair uma íàce entre 1 e 6. D = {1,2,3,4,5,6} = U, o próprio espaço amostrai. Esse evento é um evento certo. n(D) * n(U) = 6 Exemplo 5: no lançamento de um dado, cair a íàce 7. E - {}, pois o acontecimento (face 7) não fàz parte do espaço amostrai. Esse evento é um evento impossível. n(E) = 0

Capítulo 8 —

Probabilidades

a

285

Evento certo - é um que sempre acontecerá. É representado por um conjunto igual ao espaço amostrai. A = U e n(A) = n(U). Exemplo: Determine o conjunto universo e seu número de elementos para, no lançamento de dois dados, caírem duas faces cuja soma dê um número menor que 13 no lançamento de dois dados quaisquer. A = {2,3,4,5,6,7, 8,9,10,11,12} * U n(A) = n(U) = 11 Evento Impossível —é um evento que nunca acontecerá. Suas possibilidades náo fazem parte do espaço amostrai. Será representado pelo conjunto vazio. Exemplo: no lançamento de dois dados, caírem duas faces cuja soma dê um número igual a 1 ou maior que 12. A = {} e n(A) ~ 0 Eventos independentes—quando a ocorrência de um náo interfere na probabilidade de ocorrência do outro. Exemplo: Fazendo-se o lançamento de um dado duas vezes, o fato de sair uma determinada face no primeiro lançamento náo influi absolutamente na probabilidade de sair qualquer outra face no segundo lançamento. Eventos complementares —representados por A e A, em que um evento é a negação do outro. O evento complementar de A é o subconjunto de U em que náo acontece A. Ou poderíamos dizer, ainda, que o evento A é o conjunto dos elementos do espaço amostrai que náo pertencem ao subconjunto de A. Exemplo 1: no lançamento de um dado, os eventos “sair o número 4 e não sair o número 4” são eventos complementares. U = {1,2,3,4, 5,6} A= {4} = {1,2,3, 5,6} Exemplo 2: num lançamento de dados, qual o evento complementar do evento “sair o número 2 ou o número 5”? U = {1,2,3,4, 5,6} A -{2,5} A = {1,3,4,6}

286 sí


8.4.

Fórmula Geral do Cálculo da Probabilidade

Enrique Rocha

A probabilidade de ocorrer um evento A é dada peia fórmula: p(A) =_n(A) n(U) em que n(A) é o número de elementos do evento A» considerados conforme a regra dada anteriormente, e n(U) é o número de elementos do espaço amostrai. Observação: o valor de uma probabilidade pode ser expresso como: fração ordinária (exemplo: 2/3); fração decimal dividindo-se o numerador pelo denominador (exemplo: 0,67); porcentagem (multipücando-se a fração decimal por 100 e pospondo-se o símbolo % (exemplo: 66,67%). Exemplo 1: ao ser lançado um dado, calcule as probabilidades de ocorrência dos seguintes eventos: a) Evento A: sair um número maior que 6. U «{l,2,3,4,5,6}en(U)«6 A = {} e n(A) = 0 p(A) =

= -= 0 = 0% (evento impossível). n(U )

6

b) Evento B: sair o número 3. U = {1,2, 3,4, 5, 6}en(U) = 6 B = {3} e n(B) « 1 PCB) « Ü Í H « I * 0,17 = 16,67%. n(U) 6 c) Evento C: não sair o número 3. U * {1,2,3,4, 5, 6} e n(U) = 6 C ~ {1, 2, 4, 5, 6} e n(C) - 5 p(C) = HÍQ = 1 * 0,83 = 83,33%. n(U) 6 d) Evento D: sair um número menor ou igual a 6. U = {1,2, 3,4,5,6} e n(U) = 6 D = {1,2,3,4, 5, 6} e n(D) = 6 p(D) =

^ = —== 1 = 100% (evento certo). n(U) 6

Capítulo 8 —

Probabilidades

k

287

Exemplo 2; considere o lançamento de dois dados. Pelo estudo de Análise Combinatória que fizemos no capítulo 6, sabemos que n(U) = 36. O Universo é formado dos pares abaixo: (1.1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) (1.2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)-* onde (5,2), por (1.3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) exemplo, significa 5 no (1.4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) l2 lançamento e 2 no 2a. (1.5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1.6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) n(U) * 36 Calcule a probabilidade de ocorrência dos eventos abaixo: a) Evento A: sair uma soma das faces menor que 2 A = {} e n(A) = 0 p(A) = 0/36 = 0 (evento impossível) b) Evento B: sair uma soma das faces igual a 12. B «{(6,6)} en(B) = l p(B) - 1/36 = 2,78% c) Evento C: sair uma soma das faces igual a 8. C - {(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} e n(C) = 5 p(C) = 5/36 - 14% Exemplo 3: Uma urna possui seis bolas azuis e quatro bolas vermelhas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: n(U) * 10 a) Evento A: sair uma bola verde. A = {} e n(A) = 0 p(A) = 0/20 = 0 = 0% (evento impossível). b) Evento B: sair uma bola azul. B = {qualquer bola azul} e n(B) = 6 p(B) = 6/10 * 6/10 = 0,6 = 60%. c) Evento C: sair uma bola vermelha. C= {qualquer bola vermelha} e n(C) - 4 p(C) = 4/10 = 2/5= 0,6 = 60%.

288 0


Enrique Rocha

d) Evento A: sair uma bola não amarela. p(A) = 10/10 = 1= 100% (evento certo). 8.4.1.

Conclusões dos exemplos acima

A probabilidade de um evento impossível é 0 (0%). A probabilidade de um evento certo é 1 (100%). Probabilidade é um número real entre 0 e 1 (0% e 100%), inclusive. A soma das probabilidades de dois eventos complementares é 1 (100%), ou seja, a probabilidade de um evento A é dada pela expressão: p(Ã) = 1 - p(A) = 100% - p(A). Considerar que um evento certo e um evento impossível são complementares, e a soma de suas probabilidades é 1 (100%), 8.4.2.

Probabilidade de Ocorrer “A” e “B”: p(A e B)

Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: A probabilidade de ocorrer um evento A E um evento B quaisquer ê dada pelo produto da probabilidade de A pela probabilidade de B. Em notação matemática: P(AeB) = P(Á r \B ) = P(Á). P (B ). Exemplo: em dois lançamentos de dado, qual a probabilidade de sair 1 no Ia e 5 no 2a? Temos um caso de: ?(!,,> n 5 2a) = P ( l J . ? ( 5 J = 1 . 1 = J _ s 0,027-2,7%. 6 6 36 Isso poderia ser analisado de outra forma. Quando lançamos um dado duas vezes, os resultados possíveis são: n (5,1) «n (6,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) onde (5,2), por (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) exemplo, significa 5 no (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) Ia lançamento e 2 no 2a. (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6) Aqui, podemos perceber que, dentre os 36 resultados possíveis, apenas um deles (1,5) atende à exigência do enunciado. Assim, a chance de ocorrer (1,5) é uma em trinta e

Capítulo 8 —

8.4.3.

Probabilidades

s

289

Probabiüdade de ocorrer “A ” ou “B”: P(A ou B)

Sendo A e B dois eventos, podemos escrever: A probabilidade de ocorrer um evento A OU um evento B quaisquer é dada pelo produto da probabilidade de A pela probabilidade de B. Em notação matemática: P(A ou B) = P(A v B ) - P(A) + P(B)—P(A n B) (aplicando a propriedade anterior) P(A) + P(B)-P(AnB). Exemplo: em dois lançamentos de dado, qual a probabilidade de sair 1 no ls e 5 no

2S? Temos um caso de: />(!,. u 52ò = P( l ls) * P(522) - P ( l la). P{522) =

6 6 6 6

— s 03056 =30,56%. 6 36 “ 36

Isso poderia ser analisado de outra forma. Quando lançamos um dado duas vezes, os resultados possíveis são: (U ) (1,2) (13) (1,4) (13) (1,6)

(2,1) (2,2) (2.3) (2.4) (2,5) (2,6)

(3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3,5) (3,6)

(4.1) (4.2) (4.3) (4.4) (4,5) (4,6)

(5.1) (5.2) (5.3) (5.4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6.3) (6.4) (6,5) (6,6)

Dentre os trinta e seis resultados possíveis, onze deles (veja que (1,5) foi contado duas vezes) atendem à exigência do enunciado. Assim, a chance de ocorrer 1 no l2e 5 no 2- ê onze em trinta e sei 8.5.

Exercícios Resolvidos sobre Probabilidades

. Qual a probabilidade de, em dois lançamentos de um dado» se obter numero par no lançamento e ímpar no 2? 1

1 2

2

Resolução:

Temos P{Parl,Pi ímpar^ ) - P(Par^). P(/mpar2í) -

Resp.: 25%

5 .2 6 6

36

=1=0,25 = 25% 4

290 s


Enrique Rocha

2. Em uma competição, participam três pessoas, A, B e C. Sendo que as duas primeiras têm a mesma probabilidade de ganhar e a terceira, C, tem o dobro das chances das outras duas, qual a probabilidade de A ou C vencerem? Resolução;

Considerando p(A), p(B) e p(C), as probabilidades de A, B, C vencerem, respectivamente, podemos montar a seguinte situação: P(C)= 2.p(A) e P(C) = 2. P(B) e P(A) « P(B). Como o universo de possibilidades para o resultado é formado apenas por U={A, B> C}, a soma das três probabilidades tem que ser 100%, ou seja, 1. Assim, colocando tudo em função de P(A), temos: P(A) + P(B) + P(C) * 1 => P{A) + P(A) + 2.P(A) » 1 => 4.P(A) « 1 => P(A) = J/4 - 25%. Como P(C) = 2.P(A)> P(C) = 50%. Mas o problema pede a probabilidade de A ou C vencerem: P(A U C) = P(A) + P(C) - P(A n CJ; já que não é possível A e C vencerem simultaneamente, P(A D CJ = 0. Assim, P(A u C J = P(A) + P(C) = 25% + 50% = 75%. Resp.: 75% 3. (ESAF-MPOG-2002) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:

a) 1/6; b) 1/3; c) 2/3;

d) 4/5; e) 5/6.

Resolução:

Aqui; temos uma importante dica para a resolução de problemas envolvendo o cálculo de probabilidades: a primeira coisa que você deve identificar é “quais os resultados que atenderão ao enunciados?”, ou seja, “o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido?” Neste caso, o que queremos é que aconteçam duas coisas: 1-) o juiz tem que tirar o cartão “vermelho/amarelo” do bolso (qualquer outra retirada tornaria impossível o atendimento ao enunciado do problema);

Capítulo 8 —

Probabilidades s

291

2S) ocorrido o evento acima, o juiz tem que mostrar a face amarela para o jogador e a vermelha para ele. Assim, o que queremos é: P (sair V/A e amarelo para o jogador). Usando a propriedade 5: P (sair V/A n amarelo para o jogador) = P (sairV/A). P (amarelo para o jogador). Como existem três cartões no bolso do juiz, o universo para o primeiro evento é Uj={V/V, A/A, V/A} e a chance de sair V/A é 1/3 (uma em três). Da mesma forma, se o juiz estiver com o cartão V/A na mão (imagine-o escondido nas costas do juiz), a chance de ele mostrar o lado amarelo para o jogador está no universo U2= {V p/ o Jog; A p/o Jog}, ou seja, a chance é Vz (uma em duas possibilidades). Portanto, o cálculo a ser feito é; P (sair V/A r\ amarelo para o jogador) - P (sair V/A). P (amarelo para o jogador)

3 2

6

Resp.: A 4. Os registros mostram que a probabilidade de om vefidedor fazer uma venda em uma visita a um cüente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes são eventos independentes» então a probabilidade de que o vendedor faça, no mínímo, uma venda em três visitas é igual a:

a) 0,624; b) 0,064; c) 0,216;

d) 0,568; e) 0,784.

Resolução:

Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? Bem, chamando de “V” o evento “vender” e de “NV” o evento "não vender” e montando uma tabela com todas as possibilidades de resultados para as visitas do vendedor, teremos: Ia visita V V V V NV NV NV NV

•2a visita . ; 3a visita V V V NV NV V NV NV V V V NV NV V NV NV

292 sã


Enrique Rocha

Dessas, a única em que não ocorre nenhuma venda é na última (NV, NV, NV). O jeito mais fácil é pensar que o que queremos é o evento complementar a (NV,NV,NV), ou seja, todos os casos em que náo ocorrer (NV,NV,NV) serão considerados satisfatórios. Logo, basta calcularmos a probabilidade de ocorrer (NV,NV,NV) e calcularmos quanto íâlta para 1, pois: J>(JWl£nNV2ín lW ^ ) ~IKNVi,J.F(NV2J.P(jW 2i). Como sabemos que a probabilidade de vender é 0,4 = 4/10 = 2/5, deduzimos que a probabilidade de náo vender é 1 - 2/5 = 3/5. Com base nisso: PiNV^n NV2í c\ NVy ) = P(NVla) .?{NV2i) ${NV2i) =

2.2.2«iLs0,216^21,6%. 5 5 5 125 Mas esse não é nosso resultado final, pois ele trata da hipótese de náo haver nenhuma venda. O que queremos é exatamente a probabilidade de não ocorrer o evento (NV, NV, NV), o que significa calcular a probabilidade do complementar dele. Pela propriedade do evento complementar: P(NV l£n N V 2in NV^ + P(NVv_n NV2í n NVy_) = 1 =>) P(NV13nNV2í n N V ^) » 1 - P(NVy_nNV%Ín NV#) = 1-0,216 = 0,784. Resp.: E 5. (ESAF-AFC-2002) Em uma sala de aula estão dez crianças, sendo seis meninas e quatro meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é de: a) 15%; b) 20% c) 25% d) 30% e) 35%. Resolução: Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? Vamos chamar de “homem” os meninos e de “mulher” as meninas.

Capítulo 8 —

Probabilidades m

293

Para que o enunciado seja atendido, duas coisas podem acontecer: Sair “homem” nos três sorteios (“homem” no primeiro, “homem” no segundo e “homem” no terceiro); ou Sair “mulher” nos três sorteios (“mulher” no primeiro, “mulher” no segundo e “mulher” no terceiro). Colocando isso em linguagem matemática, teremos: P {Hv n i / j . n f í y j u (Mls n M2í n My_). Como não há intercessão entre “sair “homem” nos três sorteios” e “sair “mulher” nos três sorteios”, ou seja, não é possível essas duas coisas acontecerem ao mesmo tempo, ficamos com a seguinte representação do problema: P (Hls n H ^ n

n M2Sn

)=

P{HlB_).P(H2J.P(H ^) + PiM^).P(M2J.P{MòJ . Aqui, temos um caso de probabilidade condicionai, onde a probabilidade do segundo evento (“homem” no segundo sorteio, por exemplo), é afetada pela ocorrência do evento anterior. Isso se explicaporque o cenário muda, ou seja, se, no primeiro evento, tínhamos quatro homens em um total de dez crianças, para o segundo sorteio teremos apenas três homens em um total de nove crianças. É o caso das retiradas sem reposição, que ocorrem quando um determinado elemento sai do universo de possibilidades. Este tipo de problema normalmente é resolvido pela introdução de uma nova fórmula, fórmula essa que eu, enquanto professor, prefiro não usar porque acho muito mais fàcil resolver com a análise das mudanças de cenário de uma forma mais direta, como mostrado a seguir: P(H,o) « -í- = P(H2o) = 2 = 1 ; P(H, o) = - = 10 5 9 3 8 4 De forma análoga, P(M12) = ^ - = ! P(Mj„) = í P(M22) = i = i 10 5 9 8 2 Com base nas probabilidades específicas calculadas acima: P(Hl&r\H 2íc\

Mls n M2i n M^J =

P(Hlí) .W 2í).P(H^) + P{MXí).P(M^).PiM^) ^ 2 . I . I + 2 . 5 . 1 = J _ + l = i ± 5 = A = l = o,2=20%.

5 3 4 Resp.: B

5 9 2

30 6

30

30

5

294 a


Enrique Rocha

. Uma um a possui três bolas pretas e cinco bolas brancas. Quantas bolas azuis devem ser colocadas nessa uma, de modo que, retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de ela ser azul seja igual a / ? 6

2

3

Resolução:

No cenário iniciai, temos: Uj = {3Pr, 5Br}, ou seja, n(U) = 8. Como o problema quer que sejam colocadas “X” bolas azuis na urna, teremos um novo cenário U2= |3Pr, 5Br, XAz}, levando a n(U) = 8 + X. Nesse novo cenário, a probabilidade de se retirar ao acaso uma bola e ela ser azul é: P(Az) =

2 3

— -------- , Mas o problema disse que nesse novo cenário P(Az) n(U2) 8 + x

x

2

o que nos leva a:------- —=> +x 3 8

3x - 2x = 16 => x - 16.

Ou seja, temos que colocar dezesseis bolas azuis para que a probabilidade de retirar-se uma bola azul seja 2/3. Resp.: 16 7. Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas. Calcule as probabilidades de, em duas redradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e, depois, uma bola branca (B). Resolução:

No cenário inicial, temos: U,={5Vm, 2Br}, ou seja, n(U) = 7. Pergunta Inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? Em primeiro lugar, é necessário que saia uma bola vermelha na primeira retirada; depois disso (ou com base nisso), precisamos que saia uma bola branca na segunda retirada. Assim, o que queremos é: P( n 2?2«) “ P( ). Calculando:P(V¥ )

_ 5

~ 7 =eP (5J =

2 1

(observe que o cenário muda com a retirada da primeira bola vermelha e por isso o total de bolas deixa de ser sete e passa a ser seis). W j . r . B * ) .P(Vv) M J = 2 . I = J L = 0,2381=23,81%. Resp.: 23,81%

6 3

21

6

Capítulo 8 —

Probabilidades

si 295

. Suponha que uma caixa possui três bolas azuis e quatro verdes, e que outra caixa possui uma bola preta e três bolas verdes. Passa-se uma bola da primeira caixa para a segunda, e retira-se uma bola da segunda caixa. Qual a probabilidade de que a bola retirada da segunda caixa seja verde? 8

Resolução:

No cenário iniciai, temos: Uj caixa 1 = {3Az, 4Vd}, ou seja, n(U1caixa 1) = 7. Ut caixa 2={lPr, 3Vd}, ou seja, n(Uj caixa 2) = 4. Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? (transferir azul e tirar verde na ségunda) ou :(transferir verde e tirar verde ria seigunida)

•

.

Em notação matemática, o que queremos é: P(Az}ín Vd2i) u P(Vd}in Vd2í). Este é um evento que ocorre em duas etapas: retirada da bola da primeira caixa e transferência para a segunda caixa; e retirada da bola da segunda caixa. Análise do l evento (transferência para a segunda caixa): 2

—se a bola retirada da primeira caixa for azul, o número de elementos da segunda caixa é aumentado em uma bola, mas nao há modificação na quantidade de bolas verdes; - se a bola retirada da primeira caixa for verde, além de haver o aumento na quantidade total de bolas da segunda caixa, ela passará a ter quatro bolas verdes em vez de três. Probabilidade na primeira transferência:

Lembrando nosso cenário: r< 3Az>4vd)>ou seK n - 7Portanto, a probabilidade de que a bola retirada da caixa} seja azul é dada por: P(Az^

^caixal)

=3 7'

296 sa


Da mesma forma, a probabilidade de que a bola retirada da caixal seja verde é dada por; PCVd ) r

"

—í. »

(

^

i

)

”

7

'

Se a bola transferida for azul:

Neste caso, nosso universo passa a ser U2={lPr, 3Vd, lAz}. Daí, temos que a probabilidade de sair bola verde será: P{VlAz^ * =

n(U,„lr„ i)

5

Se a bola transferida for verde:

Por outro lado, se a bola transferida for verde, nosso universo passa a ser Ucaixa2={lPr, 4Vd}. Daí, temos que a probabilidade de sair bola verde será: H v /v d j

1

* nWcaixal') =47 ■ n(Vealxa2) 5

Agora que todas as probabilidades específicas foram calculadas, vamos voltar à resposta da pergunta inicial, com base no que queremos calcular: P(Azj£ n Vd2, ) u P(VdJ£n Vd^). Dos cálculos acima, temos que: ?t(Azcaixai)

p ,V d

2"

N

3 7* ~ 1,

«ttW >

5

1 PÇJtoSAz ^ lê-se: probabilidade de sair vermelha na segunda retirada, tendo saído azul na transferência.

Capítulo 8 —

Probabilidades

b

297

Logo, P (A z t n

V d 2 a / A z t)

u

P(Az{) . P ( y d 2 a / A z t) +

PÇVdt n

V d 2 a / V d t)

P ( V d t) . P ( V d 2 a / V d t) .

|

|

i

|

3

3

4

4

—

X

7

—

5

+

«

—

7

X

—

5

De onde vem que: r> W , M*; u «ra, n

Vd, W ) .

0

|

16

+J

S

= 2.

Assím, a probabilidade de sair uma bola verde na retirada da segunda caixa é 5 s 0,71 =71%. 7 Resp.: 71% 9. (ESAJF-MRE-2002) Em um grupo de cinco crianças, duas delas não podem comer doces. Duas caixas de doces serão sorteadas para duas diferentes crianças desse grupo (uma caixa para cada uma das crianças). A probabilidade de que as duas caixas de doces sejam sorteadas exatamente para duas crianças que podem comer doces é:

a) b) c) d) e)

0,10; 0,20; 0,25; 0,30; 0,60.

Resolução:

Uma boa maneira de se resolver este tipo de problema é a seguinte: imagine uma . uma na qual você tenha cinco nomes. Desses, dois são N (“de náo pode comer doce”) e três são P (de “pode comer doce”). 2N 3P

298 e


Enrique Rocha

Observe que este é um evento que ocorre em duas etapas: (1) sorteio do primeiro nome; e (2) sorteio do segundo nome. Pergunta inicial: o que tem que acontecer para que o enunciado seja atendido? (sair um P no primeiro sorteio) E l. (sair um P no segundo sorteio) Sejam os eventos: Pj2- sair uma criança que Pode comer doce no primeiro sorteio; e P2o- sair uma criança que Pode comer doce no segundo sorteio. Em notação matemática, o que queremos é: P(PJsn P 2s) Assim, temos: HPv n 2,)*IK P v ).?(.P2J Calculando a probabilidade de sair “pode comer” no l s (Pls) 2N

A probabilidade de sair P no primeiro sorteio é P i A J »

1

3P

n(l7)

.

Observe a quantidade de nomes inicialmente na urna: n(P) = 3 e n(U) = 5. Logo, n(P) 3 n(U)

5

Calculando a probabilidade de sair “pode comer” no 2- (P2?) A probabilidade de sair P no segundo sorteio é: P(P2d Atenção: veja que, agora, estamos considerando que já saiu um P no primeiro sorteio. Por isso, você deve reduzir a quantidade de “Ps” existentes na urna para o segundo sorteio. .

Probabilidades

Capítulo 8 —

e

299

Depois do 1B sorteio (e antes do 2a)

Antes de l 9 sorteio 2N

satndo P no

2N

SP

sorteio

2P

Nessa nova situação, n(P) = 2 e n(U) = 4. Logo, Í3(P92) = —— = 1 = 1 . n(U) 4 2 Assim, como queremos, P(PJsn P22) - P(Pl2). PÇPyà* temos: P(Plzn V 2a)= H P 2^ l - \ ^ o i o . Resp.: D . De um grupo de duzentos estudantes, oitenta estão matriculados em Francês, cento e dez em Inglês e quarenta não estão matriculados nem em Inglês, nem em Francês. Seleciona-se ao acaso um dos duzentos estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado seja matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou Francês) é igual a: 1 0

a) b) c) d) e)

30 . 200 1

130 . 200

’

150. 200 1 160 , 200’

190 200

Resolução:

Alguns problemas de probabilidade são resolvidos usando-se os diagramas de Venn (representação de conjuntos). Isso porque é uma boa forma que temos para visualizar os conjuntos específicos, as intercessões entre eles, os elementos que não fazem parte de nenhum dos conjuntos citados e, ainda, o conjunto universo como um todo.

300 a Raciocínio Lógico — Enrique Rocha

Vamos fazê-lo:

Dados importantes do enunciado:

são duzentos estudantes no total; oitenta fazem Francês (estão dentro do conjunto “Francês”); cento e dez fàzem Inglês (estão dentro do conjunto “Inglês”); quarenta não fazem nenhum dos dois (estáo fora dos dois conjuntos). Analisando a relaçáo entre os conjuntos, percebemos que: TotalMitriculido = Francês + Inglês - Francês/Inglês, ou seja: n(Fu I) = n(F) + n(l) - n(Fn I). Atenção: para chegarmos ao total de alunos, precisamos considerar ainda a quantidade

de alunos não matriculados em nenhuma das disciplinas, que é quarenta. Assim, teremos que: Total alunos . = Totalmatriculado . . . + Total Nao N. Matriculado w ... Como Total

= 200, temos:

200 = Total matriculado . . , + 40 => Total matriculado . . , = 200 - 40 => T ° t a l Matriculado = 1 6 0 > 0 U SÇ) Z ’

^

“ i6 0 -

Agora, o que queremos é saber a probabilidade de, em um sorteio ao acaso, selecionar-se um aluno matriculado em pelo menos uma das disciplinas, que será dado por. P{matnculado) - ^matriculado) _ 160 . n (ío ta l)

200

Resp.: D Complementando o exercício

O exercício está resolvido. Imagine, no entanto, que o enunciado perguntasse qual a probabilidade de o aluno selecionado estar matriculado somente em Inglês ou, ainda, a probabilidade de este aluno estar matriculado somente em Francês. Para

Capítulo 8 —

Probabilidades ta

301

chegar a este resultado, seria necessário identificar a quantidade de alunos que fazem somente Inglês e somente Francês. Veja como isso seria feito: Sabendo que: n{F\J I) —160; n{F\J I) - n(F) n{I) - n(Fr\ /); n(F) —80; e n{I) = 110. Podemos evoluir para: I) = n(F) + n(J) - n(Fr\ 1) 160 = 80 + 110 - n{Fr\ j) => 160 = 190 - n{Fr\ I) => n(Fc\ 1)^ 190 - 160 => n(Fn 1) - 30. Isso significa que a quantidade de alunos que fazem as duas disciplinas é trinta. Com base nisso: n(F) ~ 80, dos quais 30 também fazem Inglês. Logo, 50 fazem somente Francês. n{I) = 110, dos quais 30 também fàzem Francês. Logo, 80 fazem somente Inglês. Com isso, podemos preencher melhor nosso diagrama de Venn:

Agoraj o que queremos é saber a probabilidade de, em um sorteio ao acaso, selecionar-se um aluno matriculado em: somente Francês HSâFmnch) = ^ F r a n c is ) = ü = .1 = I = 25% ! n(Total) 200 20 4 somente Inglês HStínglês) = n(TotaD

200

= J _ . 2 =40% . 200 5

302

a


11. Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João, 40% das vezes por José e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes, José o faz em 5% das vezes e Maria, em % das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimenta-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual aí ... 2 0

a) 0,15; b) 0,25; c) 0,30;

d) 0,20; e) 0,40.

Resolução:

Passo 1: identificar as regras do enunciado: - são, ao todo, três cozinheiros. João --> 40% das vezes; 10% das vezes, salgada. José —> 40% das vezes; 5% das vezes, salgada. Maria -» 20% das vezes; 20% das vezes, salgada. Passo 2: interpretar as regras do enunciado: João -» 40% das vezes; 10% das vezes, salgada. Isso significa que 10% de 40% das sopas de João são salgadas. Para entender isso, veja a explicação abaixo: Veja que para representarmos 40%, dividimos o todo (100%) em cinco partes iguais (cada uma, portanto, sendo 20% do todo) e tomamos duas dessas partes.

100% Para encontrar 10% desses 40% dividimos o pedaço em 10 partes: V

1i

V

1IS

1 40% I

Então, como é que se calcula "10% de 40%”? Multiplicando um pelo outro: 10% x40% = 10/100 x 40/100 = 1/10 x 4/10 = 4/100 = 4%.

Capítulo 8 — Probabilidades a 303

Isso nos permite concluir que 4% do total das sopas é salgada (!!!) José —> 40% das vezes; 5% das vezes, salgada. Pelo mesmo raciocínio apresentado acima, para calcular quanto as sopas salgadas do José representam do todo: 5% de 40% - 5% x 40% = 5/100 x 40/100 = 1/20 x 8/20 = 8/400 = 2/100 - 2%. Maria -> 20% das vezes; 20% das vezes, salgada. Mais uma vez, para calcular quanto as sopa salgadas de Maria José representam do todo: 20% de 20% = 20% x 20% = 20/100 x 20/100 = 2/10 x 2/10 = 4/100 * 4%. Vamos então construir uma tabela que represente as informações acima:

Cozinheiro João José Maria Totais:

% do todo 40% 40% 20% 100%

% próprio de salgadas 10% 5%

% do todo de salgadas 4% 2%

20%

4% 10%

Se não tivéssemos informação sobre a sopa estar salgada ou não, para calcularmos a probabilidade de Carlos ter experimentado uma sopa feita por José seria 40%. No entanto, o enunciado afirma que a sopa que Carlos experimentou estava salgada. Assim, em vez de trabalharmos com os 100% das sopas feitas, podemos restringir nosso universo aos 10% do todo (sopas salgadas em geral). Desses 10%, sabemos que José responde por 2% desses 10%, ou seja, 2% de um total de 10%, ou seja, 1/5 = 20% = 0,20. Resp.: D


304 e

12. Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações de que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7 e que a probabilidade de ambas» Ana, e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:

a) 1/7; b) 1/3; c) 2/3;

d) 5/7; e) 4/7.

Resolução: Passo : identificar as regras do enunciado: 1

Os personagens são Ana e Beatriz (Carlos é apenas um “figurante”). A probabilidade de Ana estar em Paris é 3/7, ou seja, P(Ana) = 3/7. A probabilidade de Beatriz estar em Paris é 2/7, ou seja, P(Beatriz) = 2/7. A probabilidade de Anae Beatriz estarem em Paris é 1/7, ou seja, P(Ana E Beatriz) =P(Ana) E P(Beatriz) = 2/7. Passo 2: interpretar as regras do enunciado:

Esse é mais um problema de “Probabilidade condicional”. Isso se percebe quando o enunciado diz “Carlos, então, recebe um telefonema de Ana informando que ela está hoje em Paris”. Assim, em vez de trabalharmos com o todo, trabalhamos apenas com os percentuais referentes ao fato de “Ana estar em Paris”. Vamos explicar esse problema por dois métodos diferentes: Ia Método: usando diagramas de conjuntos

Como você já aprendeu, para distribuir elementos em conjuntos com interseção, comece pela interseção e distribua “o que sobrar” para as áreas isoladas. Como o enunciado mencionou “frações de 7”, ou seja, 1/7, 3/7 e 2/7, vamos considerar que temos ao todo 7 elementos. Ana, então, está presente em 3 desses 7 elementos (P(Ana) » 3/7), ou seja, 3 dos elementos tem “A”. Beatriz, por sua vez, está presente em 2 desses 7 elementos (P(Beatriz) « 2/7), ou seja, 2 dos elementos tem “B”. Ana e Beatriz estão juntas em 1 desses 7 elementos (P(Ana E Beatriz) = 1/7, ou seja, 1 elemento tem “AB”.

Capítulo 8 —

Probabilidades

b

305

Vamos representar isso nos conjuntos:

Primeiro, coloque 1/7 na área de interseção representando elementos que “sáo de Ana e também de Beatriz”: Ana

Beatriz

Como o total de Ana é 3/7, temos 2/7 na área “Só de Ana”. Da mesma forma, como o total de Beatriz é 2/7, temos 1/7 na área “Só de Beatriz”. Veja como ficamos: A n a , ____ __________ _ Beatriz

Nesse ponto você deve estar se perguntando: “Mas o todo náo são 7/7? No diagrama só representamos 4/7. Onde estão os outros 3/7?” É uma excelente pergunta. Esses 3/7 representam exatamente a probabilidade de nenhuma das duas estar em Paris, o que nos leva a:

Como já sabemos que “Ana está em Paris”, podemos ignorar todas as frações que estão “fora do conjunto da Ana”. Assim, nosso universo passa a ser: Ana^-—

^

fy m -Ü : i M

■—^Beatriz V/7 J

3/7

306 b


Ora, temos entáo um universo com 2/7 + 117 - 317. Desses, 1/7 representam “Beatriz em Paris”. Logo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris é 1/7 em 3/7: 1 / 7 _ 1 ::7 , 1 3/ 7 7 3 3 Resp.: 1/3 —> B 2CM&odo: usando uma caixa com bolinhas Vamos representar como bolinhas com “A” os elementos que indicam "Ana em Paris”, como bolinhas com “B” os elementos que indicam “Beatriz em Paris” e como bolinhas com “AB” os elementos que indicam que as duas (Ana e Beatriz) estão em Paris. Vamos também usar bolinhas vazias para representar os casos em que “nenhuma das duas está em Paris”. Lembre-se que de um total de 7» 3 das bolinhas estarão vazias (veja explicação do método 1 acima). Temos a letra “A” então aparecendo em 3 das 7 bolinhas, a letra "B” em 2 das 7 bolinhas e 3 bolinhas vazias.

'©

<0

AB

OO

i

Como sabemos que “Ana está em Paris”, vamos eliminar do nosso universo todas as bolinhas em que nao aparece a letra “A”. Ficamos então com:

SO G Com base nesse novo universo, a probabilidade de Beatriz estar em Paris (representada por bolinhas em que aparece a letra “B”) é 1 em 3, ou seja, 1/3. Resp.: B

Capítulo 8 —

Probabilidades

s

307

13. André está realizando um teste de múltipla escolha» em que cada questão apresenta cinco alternativas, sendo uma e apenas uma correta. Se André sabe resolver a questão, ele marca a resposta certa. Se ele não sabe, ele marca aleatoriamente uma das alternativas. André sabe 60% das questões do teste. Então, a probabilidade de ele acertar uma questão qualquer do teste (isto é, de uma questão escolhida ao acaso) é igual a:

a) 0,62; b) 0,60; c) 0,68;

d) 0,80; e) 0,56.

Resolução:

Passo 1: identificar as regras do enunciado: Cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é orreta. Se André sabe resolver, marca a certa. P(Sabe) = 100%. Se André não sabe resolver, marca aleatoriamente. André sabe 60% das questões. Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Para resolver esse exercício você deve separar as questões em “questões que André sabe resolver” e “questões que André não sabe resolver”. O que o problema quer, em outras palavras, é que você calcule a probabilidade de André escolher uma questão qualquer e acertar. Isso significa: “Escolher uma que sabe OU escolher uma que não sabe E acertar”. Represente assim: Probabilidade de escolher uma que sabe: P(S). Probabilidade de escolher uma que não sabe: P(NS). Probabilidade de errar uma questão que não sabe: P(Errar) 4 em 5 alternativas (4/5 = 0,8 = 80%). Probabilidade de escolher uma que não sabe e errar: P(NS E Errar) - P(NS) x P(Errar). Probabilidade de acertar uma questão que não sabe: P(Acertar) 1 em 5 alternativas (1/5 = 0,2 = 20%). Probabilidade de escolher uma que náo sabe e acertar: P(NS E Acertar) = P(NS) x P(Acertar).

308 a


Enrique Rocha

Assim, o que queremos é: P(S) OU P(NS E Acertar) = P(S) + P(NS) x P(Acertar) 1----------

1 .......

t f

Para calcular P(S), lembre-se que André sabe 60% das questões, ou seja, P(S) 60% - 0,6 « 6/10 * 3/5. Como conseqüência, P(NS) - 40% = 4/10-2/5. Como já calculamos acima P(Acertar), vamos calcular: P(NS E Acertar) « P(NS) x P(Acertar) = 2/5 x 1/5 - 2/25 * 8/100 = 8%. Vamos finalmente calcular a expressão completa: P(S) OU P(NS E Acertar) = P(S) + P(NS) x P(Acertar) « 60/100 + 8/100 = 68% = 0,68. Resp.: C 14. Quando Lígia para em um posto de gasolina) a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é 0,28} a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a:

a) 0,25; b) 0,35; c) 0,45;

d) 0,15; e) 0,65.

Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado:

Probabilidade de verificar óleo: P(Óleo) * 28% = 28/100. Probabilidade de verificar pneus: P(Pneus) = 11% = 11/100. Probabilidade de verificar óleo e Pneus: P(óleo E Pneus) = 0,04 = 4/100.

Capítulo 8 —

Probabilidades

a

309

Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Vamos construir os diagramas de conjuntos: Primeiro, coloque 4/100 na área de interseção representando elementos em que “verificam-se Óleo e Pneus”:

Como o total de “Óleo” é 28/100, temos 24/100 na área “Só Óleo”. Da mesma forma, como o total de “Pneus* é 11/7 e desses 11/100 já temos 4/100 na interseção, temos 7/100 na área “Só Pneus”. Veja como ficamos: Ó leo____ ________ ^ P n e u s

(24/100 (4/100) 7/100}

Sabemos que o total dos casos é 100/100 (ou 100%). Logo, como até agora já representamos 35/100, faltam 65/100 para completar 100/100 e esses devem estar fora dos dois conjuntos. Chegamos a: Ó leo^— ____________ Pneus

Assim, a probabilidade de Lígia não verificar nem óleo, nem pneus é 65/100 = 0,65. Resp.: £ 15. Em uma faculdade com 600 alunos, 125 fazem Medicina, 75 fazem Odontologia e 15 fazem os dois cursos. Escolhendo-se ao acaso um aluno desta faculdade, a probabilidade de que ele só faça Odontologia é: a) 1/8; d) 1/12; b) 1/3; e) 3/5. c) 1/10;

310 a


Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: n(Total) = 600; n(Medicina) = 125; n(Odontologia) = 75; n(Medidna E Odontologia) = n(Medicina n Odontologia) =15 Passo 2: interpretar as regras do enunciado: Vamos construir os diagramas de conjuntos: Primeiro, coloque 15 pessoas na área de interseção representando os alunos que fazem Medicina E Odontologia: Odont

Med

15

Como o total de “Medicina” é 125 e já temos 15 na interseção, ficam 110 na área “Só Medicina”. Da mesma forma, como o total de “Odontologia” é 75 alunos e desses já temos 15 na interseção, ficam 60 na área “Só Odontologia”. Veja como ficamos: Med

110

Odont

15

60

Além disso, como temos 600 alunos no total e já representamos 185» ficam 415 de fora dos dois conjuntos: Med

O dont

13S

O que se quer é a probabilidade de se escolher aleatoriamente um aluno e ele fazer só odontologia, que é de 60 em 600, ou seja, 10% = 10/100 = 1/10. Resp.: C

Capítulo 8 —

Probabilidades

a

311

16. (ESAF-TCU-2002) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado, de modo que, quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face impar (não necessariamente nesta ordem): a) 0,1600; b) 0,1875 c) 0,3200;

d) 0,3750; e) 1.

Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: P(Par) é 300% maior do que P(ímpar). O segredo deste exercício é perceber que "300% maior” significa “300% a mais”.

/màior”;^sÍm;SeridpV'.sé^

:G o ^ Sabemos também que quando jogamos um dado só podemos ter dois resultados: ou o número resultante é par, ou é ímpar. Logo, “Par” e “ímpar' são eventos complementares. Isso significa que: P(Par) + P(ímpar) = 100% ou P(Par) + P(ímpar) = 1. Se sabemos que P(Par) é 300% maior do que P(ímpar), podemos afirmar que: P(Par) = P(ímpar) + 300% x P(ímpar) = P(ímpar) + 3 x P(ímpar). Finalmente: P(Par) - 4.P(ímpar).

312 ia


Como P(Par) + P(ímpar) = 1, substituindo P(Par) por 4.P(ímpar), temos: P(Par) + P(ímpar) = 1 -» 4.P(ímpar) + P(ímpar) = 1 -» 5.P(ímpar) - 1 —> P(ímpar) = 1/5 = 0,20 = 20%. Como P(Par) = 4.P(ímpar), temos que: P(Par) ~ 4 x 20% = 80%. O que o enunciado quer é que você calcule “Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma fâce ímpar (não necessariamente nesta ordem)”.

SB neces. W Ê

H 8 8 1 1

Trocando o ttE” por “x” e o “OU” por “+” em P(Par no Xa lançamento E ímpar no segundo) OU P(ímpar no 1° E Par no 2a), ficamos com: P(Par no P lançamento E ímpar no segundo) + P(ímpar no Ia E Par no 2a) P(Par no Ia lançamento) x P(Impar no segundo) + P(ímpar no Ia) x P(Par no 2a) Como a probabilidades de ser par ou ímpar não mudam de um lançamento para o outro, vamos trabalhar com os valores encontrados: P(ímpar) = 20% = 20/100 *2/10 f 1/5. P(Par) = 80% = 0,8 = 8/10 ='4/5* P(Par no Ia lançamento) x P(fmpar no segundo) + P(ímpar no Ia) x P(Par no 2a) = 4/5 x 1/5 + 1/5 x 4/5 * 2/25 + 4/25 - 8/25 - 32/100 « 0,32. Resp.: C

CapítuloS —

Probabilidades

a

313

Exercícios de Probabilidades

Das dez alunas de uma classe, três têm olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis? 2. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de, num lançamento, sair coroa.

a) 25% b) 10% c) 50%

d) 33,33%; e) 60%.

3. Em dois lançamentos dc um dado náo viciado, a probabilidade de que se obtenham os números 4 e 6 em qualquer ordem é:

a) 1/18;

d)

1/12;

b) 1/15; c) 1/9;

e)

1/6.

4. Uma companhia, preocupada com sna produtividade, costuma oferecer cursos de treinamento a seus operários. A partir da experiência, verificou-se que um operário, recentemente admitido, que tenha freqüentado o curso de treinamento, tem 82% de probabilidade de cumprir sua quota de produção. Por ontro lado, um operário, também recentemente admitido, que não tenha freqüentado o mesmo curso de treinamento, tem apenas 35% de probabilidade de cumprir com sua quota de produção. Dos operários recentemente admitidos, 80% freqüentaram o curso de treinamento. Selecionando-se, aleatoriamente, um operário recentemente admitido na companhia, a probabilidade de que ele náo cumpra sua quota de produção é:

a) 11,70%;

b) 27,40%; c) 35%; d) 83%; e) 85%.

314

a Raciocínio LÔglco —

Enrique Rocha

Gabarito de Exercícios de Probabilidades

1.1/15 2. A 3-A 4. B

C apítulo 9

Álgebra “Nâo existe sensação melhor do que vencer um desafio." A área da Matemáticaconhecida como Raciocínio Lógico pode comportar exercícios gerais de Matemática» principalmente em se tratando de provas de concursos públicos. A razão é que alguns conhecimentos específicos sáo considerados importantes por esra ou por aquela banca examinadora e é por este motivo que estaremos apresentando, a seguir, alguns exemplos deste tipo de exercício. 9.1.

Exercícios Resolvidos

1. Tenho hoje o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Quando você tiver a idade que eu tenho, a soma das nossas idades será 81 anos. Quantos anos temos?

a) b) c) d) e)

54 e 46; 36 e 27; 18 e 15; 25 e 22; 45 e 38..

Resolução:

Em primeiro lugar, temos que visualizar os três momentos citados no enunciado:

316

s Raciocínio Lógico — Enrique Rocha

Isso significa que em primeiro lugar, temos que visualizar os três momentos citados no enunciado: —Xj ey2são nossas idades hoje; —Xj eyj são nossas idades quando eu tinha a idade que você tem; —x3ey3são nossas idades quando você tiver a idade que eu tenho. O segundo passo é percebermos que a diferença entre as idades náo muda no decorrer dos anos, ou seja, não importa quando, a diferença entre a minha idade e a sua sempre será: x2~y2 = x1- y 1=x3-y J = d (estamos chamando de d a diferença entre as idades). O enunciado diz que hoje eu tenho o dobro da idade que você tinha quando eu tinha a idade que você tem. Mas quando eu tinha a idade que você tem? Há exatamente d anos, já que é essa a diferença que nos separa. Assim, ^ _Z l exl =^ Considerando que x} _y - d, usando as igualdades acima, temos: * 2 _y2 “ d 2 .y l _ y 2 ~ d (substituindo % por 2 .y ^ \ x} _ y %- d -» y 2 _ yt - d (substituindo por y2); essas duas equações formam o seguinte sistema linear:

|2 .y i - y 2 1- y \ +^2 -----~ -----r-:---------r~ r, (somando as duas equações) yi +0.y2 -2A => yx -2Â ^ * Substituindo esse valor na segunda equação: .- 2.d + y2~ =>.jy2 = 3d . Sabendo que X2- 2.yxe xx~y2>vem que: x2 - 2.2td = 4 J tx x~ò>d. Com isso, nosso gráfico das idades fica: (3-d, 2.d)

(4.d, 3-d)

(X3,y3)

Quando você terá a idade que eu tenho hoje? Daqui a d anos, não é? Com base nisso: x3cx2+ d = 4.d + d = 5-d e y3= y2+ d = 3-d + d = 4.d. Atualizando nosso gráfico: (3.d, 2.d)

(4.d, 3.d)

(5.d, 4.d)

Capítulo 9 —

Álgebra

a

317

Agora, finalizando, temos que x, + y3 = 81, ou seja, 5d + 4d = 81 -» 9d = 81 -> d = 9, ou seja, a diferença entre as nossas idades é de nove anos. Como conclusão, temos que nossas idades atuais são: Xj = 4.d - 3 6 e y2 = 3.d = 27 (eu tenho trinta e seis anos e você tem vinte e sete anos). Resp.: B 2. (ESAF-AFG-2Ô02) Em um aquário, há peixes amarelos e vermelhos: 80% são amarelos e 20% são vermelhos. Uma misteriosa doença matou muitos peixes amarelos, mas nenhum vermelho. Depois que a doença foi controlada» verificou-se que 60% dos peixes vivos, no aquário, eram amarelos. Sabendo que nenhuma outra alteração foi feita no aquário, o percentual de peixes amarelos que morreram foi:

a) b) c) d) e)

20%; 25 %; 37,5 %; 62,5 %; 75 %.

Resolução:

Em primeiro lugar, você deve definir uma variável x como sendo o total de peixes que estavam inicialmente no aquário. Da mesma forma, chame de Aj e Vj as quantidade iniciais de peixes amarelos e vermelhos, respectivamente. Assim sendo, como os peixes amarelos representavam 80% no cenário inicial: A.= ; analogamente, V. = 22?.. ! 100 1 100 Vamos chamar de Aa os peixes amarelos que morreram e deA2os peixes amarelos que restaram no aquário. Logo, ficaram At_Ampeixes amarelos no aquário, ou seja: A^ = Aj Am= 80x _ como não houve alteração na quantidade de peixes 100 vermelhos que havia inicialmente no aquário: V - v - ^ . 2 1 100 Analisando a quantidade total de peixes que ficaram vivos, percebemos que é 60 • (x - A ) x-A . Como dos que ficaram, 60% eram amarelos, temos que: A_=---------- — m 100


318 3

a _ 60 • (x Am) Resolvendo esta equação, temos que 80x —100. A - 60. 100 100 (x-A ) => 8 0 x - 100. Am - 60x-60. Ara ==>.20x = 40. Am => Am = —. v m

Com essa. conclusão, sabemos que a quantidade de peixes amarelos que morreram representou metade do total de peixes do aquário. Fazendo uma regra de três para determinar o total: —

100

100%

Temos que % que morreu = 62,5% x -» % que morreu. — Resp.t D 3. (ESAF-MF-2000) Um certo numero X, formado por dois algarismos, é o quadrado de um número natural. Invertendo-se a ordem dos algarismos desse número, obtémse um número ímpar. O valor absoluto da diferença entre os dois números (isto é, entre X e o número obtido pela inversão de seus algarismos) é o cubo de um número natural. A soma dos algarismos de X é, por conseguinte, igual a:

a) b) c) d) e)

7; 10; 13; 9; 11.

Resolução:

Os números possíveis são: 16, 25> 36, 49, 64 e 81 (os únicos quadrados perfeitos menores que 100, ou seja, com dois algarismos). O enunciado diz que, invertendo-se os dois algarismos, obtém-se um número par. Logo, só ficam o 16 e o 36 (o primeiro algarismo tem que ser ímpar). Como a diferença entre o número obtido pela inversão e o original tem que ser um cubo perfeito, temos: para X = 16: 61-16 = 45 (que não e cubo perfeito); para X = 36:63-36 = 27 (que é 33); Logo, X = 36. A soma dos algarismos é 9. Resp.: D

Capítulo 9 —

Álgebra u

319

4. (ESAF/AFTN/96) - De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um curso de especialização. Essa empresa tem sua matriz localizada na Capital. Possui, também, duas filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz, trabalham 45% dos empregados e ua filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos empregados da Capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso é igual &

a) b) c) d) e)

60%; 40%; 35%; 21%; 14%.

Resolução:

Este exercício se resolve de forma simplificada, se considerarmos o total de empregados como sendo cem (você perceberá isso durante a resolução). Assim, teremos: total de empregados: 100; optaram por especialização: 30 (30% de 100); trabalham na Capital: 45 (45% de 100); trabalham em Ouro Preto: 20 (20% de 100); trabalham em Montes Claros: Como dos cem empregados, já temos sessenta e cinco lotados na Capital e em Ouro Preto, sobram trinta e cinco para Montes Claros. Vamos, agora, calcular quantos empregados optaram por fazer a especialização em cada um desses locais: Capital: 20% de 45 = ^ x 45 - 9 Ouro Preto: 35% de 20 = — x 20 * " = 7 100 5 Montes Claros: como dos cem empregados, trinta optaram por especialização e desses trinta, dezesseis (9 + 7) já sabemos que estão na Capital ou em Ouro Preto, sobram quatorze para Montes Claros. Só que o problema pergunta o percentual de funcionários de Montes Claros que náo optou por íàzer a especialização.

320 e


Enrique Rocha

Sabendo que Montes Claros tem trinta e cinco empregados e que quatorze desses optaram por fazer o curso, concluímos que vinte e um deles optaram por não fazer o curso. Detalhe importante: o enunciado pede “a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros que não optaram pelo curso” e, por isso, temos que considerar 21 em 35 (e não no total de 100): 21

3 ~ “ = 0,6 = 60%

Resp.: A 5. (ESAF-TCU-1999) Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diumo. Um possível valor para o número total de vagas da escola é:

a) 160; b) 164; c) 168;

'

d) 172; e) 185.

Resolução:

Considerando X o total de vagas da escola» vemos que a quantidade de vagas X reservadas para violino é ~p. Dessas 1—, foi reservado para aulas diurnas. Então, o que * 8 queremos é calcular é i de , o que é feito multiplicando-se as duas frações. Assim, 1 X teremos - •—= — vagas reservadas para violino diumo. 8 4 32 Resta-nos, então, encontrar um número, dentre os presentes nas alternativas do problema, que seja divisível por 32 e a resposta é 160. Resp.: A 6. (ESAF/AFTN/96) - Em um laboratório de experiências veterinárias, foi observado que o tempo requerido para um coelho percorrer um labirinto, na enésima tentativa, era dado pela função C(n) = (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiência, pode-se afirmar, então, que um coelho:

a) consegue percorrer o labirinto em menos de três minutos; b) gasta cinco minutos e quarenta segundos para percorrer o labirinto na quinta tentativa;

Capítulo 9 —

Álgebra

h 321

c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto na terceira tentativa; d) percorre o labirinto em quatro minutos na décima tentativa; e) percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos. Resolução: Vamos calcular o tempo para algumas tentativas, para que você entenda melhor o enunciado do problema: 12

12

Ia tentativa: C(«) = 3 + -— => C(l) = 3+ — = 3 + 1 2 = 1 5 min. n 1 2* tentativa: C(») = 3 + — => C(2) = 3 + — = 3 + 6 = 9 min. n 2 3a tentativa: C(«) - 3 + — => C(3) = 3 + — =3 + 4 = 7 min. n 3 4a tentativa: C(») ~ 3 + — => C(4) = 3 + — = 3 + 3 = 6 min. n

4

5a tentativa: C(«) = 3 + — =£ C(5) * 3 + ~ = 3 + 2,4 = 5,4 min. n 5 12 i "y 6atentativa: C(w) = 3 + — => C(6) = 3 + - - = 3 + 2 = 5 min. n 6 7atentativa: C(«) = 3 + Al = > C(7) = 3 + — = 3+1,7 = 4,17min. n

7

Vamos imaginar, agora, que o ratinho tentasse muitas, muitas vezes. Por maior que fosse essa quantidade de vezes, a fração H nunca seria menor do que zero, náo é mesmo? n Como o tempo gasto resulta da soma de 3 com essa fraçáo, podemos de imediato concluir que o tempo total nunca será menor do que três, o que elimina a alternativa A. A alternativa B, por outro lado, diz que o tempo gastona quinta tentativa é de cinco minutos e quarenta segundos e isso é um pega!!! Veja que a resposta é realmente 5,4 minutos, mas isso não é cinco minutos e quarenta segundos. O enunciado quer induzir você ao erro de pensar que 0,4 minutos são quarenta segundos. Acompanhe o raciocínio e entenda melhor: 1 min —> 60 SegAqui, você pode ver que 0,4 min = 24 Seg e esse seria o 0,4 min —> x Seg tempo certo para essa tentantiva. Na terceira tentativa, ele gasta sete minutos (e não oito, como afirma a letra Q. Na décima tentativa, ele gasta: 12 C(10) = 3+ — = 3+1,2 = 4,2 min, tomando falsa a letra D.

322 o


Enrique Rocha

Por fim, a alternativa E diz: “percorre o labirinto numa das tentativas, em três minutos e trinta segundos”. Vamos ver se isso é verdade. Se o tempo gasto na n-ésima tentativa é de três minutos e trinta segundos, podemos dizer que é de três minutos e meio, ou seja, 3,5 minutos. Indo mais além, 3,5 minutos é igual a 3 + 0,5 minutos. •Então, teremos: C(n) =

n

==> — =: i => n = 24. n 2

Podemos eliminar o 3 dos dois termos e ficar com: 12 12 1 — = 0,5 => — = —=> n —24. n n 2

Isso nos mostra que, na vigésima quarta tentativa, ele realmente terminará o trajeto em três minutos e meio, o que torna a alternativa E verdadeira. Resp.: E 7. Um cavalo disse a outro cavalo: se eu lhe passar um dos sacos de farinha que carrego, ficaremos com cargas iguais, mas se você passar um dos sacos que carrega, minha carga ficará sendo o dobro da sua. Quantos sacos de farinha carrega cada cavalo? a) 3e5; b) 1 e 2; c) 4e7; d) 7 e 5; e) l i e 9. Resolução: Vamos chamar de Cl e C2 as quantidade de sacos que o primeiro e o segundo cavalo carregam, respectivamente. Ia sentença: “se eu lhe passar um dos sacos de farinha que carrego, ficaremos com cargas iguais” Se o primeiro cavalo passar um saco para o segundo, a quantidade de sacos do primeiro é reduzida em uma unidade e a do segundo, aumentada em uma unidade. Logo, Cl - 1 = C2 + 1 => Cl = C2 + 2.

Capítulo 9 —

Álgebra

c

323

22 sentença: “se você passar um dos sacos que carrega, minha carga ficará sendo o dobro da sua” Se o segundo cavalo passar um saco para o primeiro, a quantidade de sacos do primeiro é aumentada em uma unidade e a do segundo reduzida em uma unidade. Como, nesse caso, a carga do primeiro passará a ser o dobro da do segundo, teremos: Cl + 1 = 2.(C2 - 1) => Cl + 1 = 2C2 - 2. Como sabemos que Cl = C2 + 2 (deduzido da primeira sentença), vamos substituir esse valor: Cl + 1 = 2C 2~2=>C 2 + 2 + 1 = 2 C 2 -2 = > C2 + 3 ~ 2C2 —2=> 2C2 —C2 - 3 + 2 => C2 = 5 Voltando para C l = C2 + 2 e substituindo C2 por 5: C l = 5 + 2 => Cl » 7. Resp.: D 8. Uma curiosa máquina tem duas teclas» A e B, e um visor no qual aparece um número Inteiro x. Quando se aperta a tecla A, o número do visor é substituído por 2x + 1, Quando se aperta a tecla B, o número do visor é substituído por 3x -1 . Se, no visor, está o número 5, o maior número de dois algarismos que se pode obter, apertando-se qualquer seqüência das teclas A e B, é: a) 87; b) 95; c) 92; d) 85; e) 96. Resolução: Como o enunciado diz que existe um námero 5 no visor, vamos partir desse número e analisar as variações possíveis. Essa análise deve executar os seguintes passos: X. para cada resultado obtido (começando pelo 5 inicial), vamos veriricar qual seria o resultado de se usar a tecla A e também a tecia B; 2. enquanto o resultado for menor do que 99, repetimos o passo 1; 3. quando o resultado ultrapassar 99, consideramos o maior número obtido pelo "caminho” em questão. Com o número 5 no visor, será possível obtermos dois resultados: um usando a tecla A e outro, a B: tecla A: 2x + 1 = 2.5 + 1 = 10 + 1 = 11; teda B: 3x - 1 = 3.5 —1 = 15 - 1 = 14.

324 a


Enrique Rocha

Se o resultado gerado for 11, poderemos ter outros dois resultados: tecla A: 2x + 1 = 2.11 + 1 = 22 + 1 = 23; tecla B: 3 x- 1 = 3.11 - 1 = 33 - 1 = 32. Se o resultado gerado for 14, poderemos ter outros dois resultados: tecla A: 2x + 1 = 2.14 + 1 = 28 + 1 = 29; tecla B: 3x - 1 = 3.14 - 1 - 42 - 1 * 41. Com isso, passamos a ter quatro possibilidades para análise: 23,32,29 e 41. Se tivermos obtido 23 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.23 + 1 = 46 + 1 = 47; tecla B: 3x - 1 - 3.23 —1 = 69 —1 = 68. Se tivermos obtido 32 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.32 + 1 = 64 + 1 = 65; tecla B: 3x —1 = 3.32 —1 = 96 —1 = 95.

^

Se tivermos obtido 29 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.29 + 1 = 58 + 1 = 59; teclaB: 3 x- 1 =3.29- 1 = 8 7 - 1 = 86. Se tivermos obtido 41 no visor; tecla A: 2x + 1 = 2.41 + 1 = 82 + 1 = 83; tecla B: 3x - 1 = 3.41 - 1 = 123 - 1 = 122. O seu próximo passo, aqui, é ignorar os resultados maiores do que 99 (com mais de dois algarismos), porque isso não é permitido pelo problema. Então, ficamos com as seguintes possibilidades para análise: 47, 68, 65, 95, 59, 86 e 83. Se tivermos obtido 47 no visor: tecla A:2x+ 1 =2.47 +1 = 94 +1 = 95; tecia B: 3x - 1 = 3.47 - 1 = 141 - 1 « 140. Se tivermos obtido 68 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.68 + 1 = 136 + 1 = 137; tecla B: 3x —1 = 3.68 —1 = 204 —1 = 203. Se tivermos obtido 65 no visor: tecla A: 2x + 1 = 205 + 1 * 130 + 1 = 131;

Capítulo 9 —

Álgebra

s

325

Se tivermos obtido 95 no visor, nem precisamos continuar. Se tivermos obtido 59 no visor: tecla A: 2x + 1= 2.59 + 1 « 118 +1 * 119; tecla B: 3x ~ 1= 3.59 - 1 = 177 - 1 = 176. Se tivermos obtido 86 no visor: tecla A: 2x + 1 = 2.86 + 1 « 172 + 1 = 173; tecla B :3x-1 =3.86-1 =25 8 -1 =257. Se tivermos obtido 83 no visor: tecla A: 2x + 1= 2.83 + 1 = tecla B: 3x- 1= 3.83 - 1 *

166 +1 = 167; 249 - 1 = 248.

Então teremos os seguintes resultados possíveis: 95,140,137,203,131,194,119,176,173,257,167e248. De todos esses, o maior com apenas dois algarismos é o 95. Resp.: B 9. A operação V x é definida como o triplo do cubo de x, e a operação Ox é definida como o inverso de x. Assim, o valor da expressão V3^3 “ (V2) 2 éiguala: a) 15; b) 20; c) 25; d) 45; e) 30. Resolução: Vamos colocar em notação matemática as operações apresentadas no enunciado: Vx = 3.x3 (o triplo do cubo de x). Isso significa que, quando aplicarmos a operação V sobre um número qualquer, o resultado será o triplo do cubo desse número; fix « —(o inverso de x). Isso significa que, quando aplicarmos a operação Jfi sobre um número qualquer, o resultado será o inverso desse número.

326


O enunciado pede que calculemos V32,/3 - (V2) 2. Vamos por etapas. V3275: aqui nosso x vale 32/3e ficaremos com: 3.(32'3)3- 3.(36'3) - 3.{32) = 27. ü I ^ L l o que nos leva a (J2 )2 = 2. 2 1 Assim, teremos que V32a- (-72) *= 27 —2 = 25. Resp.t C 10. Em um certo aeroporto, Ana caminhava à razão de um metro por segundo. Áo utilizar uma. esteira rolante de duzentos e dez metros, que se movimenta no mesmo sentido em que ela caminhava, continuou andando no mesmo passo. Ao chegar ao final da esteira, Ana verificou ter levado exatamente um minuto para percorrer toda a extensão da esteira. Se Ana não tivesse continuado a caminhar quando estava sobre a esteira, o tempo que levaria para ser transportada do início ao fim da esteira seria igual a: a) um minuto e vinte segundos; b) um minuto e vinte e quatro segundos; c) um minuto e trinta segundos; d) um minuto e quarenta segundos; e) dois minutos. Resolução: Ana percorreu, junto com a esteira, duzentos e dez metros em um minuto, o que nos leva a uma velocidade de 210 _ 21 _ 7 ~ 3,5m/s. 60 6 2 Isso significa que a velocidade de Ana somada à velocidade da esteira é 3,5m/s. Em notação matemática: Va +Vc = 3,5. Mas o enunciado diz que Ana caminhava a uma velocidade de lm/s. Com isso: V + V = 3,5 => 1,0 + V * 3,5 => Ve = 3,5 -1,0 => V = 2,5m/s. Logo, se Ana estivesse parada, para percorrer os 210m: 2,5 metros -----------> 210 metros ---------- >-

Iseg xseg

Capítulo 9 —

Álgebra

a

327

210 210 2 x = —— ———~- 210- —= 42.2 - 84seg- Imin e 24seg. 2,5

5/2

5

Resp.: B 11. Um clube está fazendo uma campanha, entre seus associados, para arrecadar fundos destinados a uma nova pintura na sede social. Contatados 60% dos associados, verificou-se que se havia atingido 75% da quantia necessária para a pintura, e que a contribuição média correspondia a R$ 60,00 por associado contatado. Então, para completar exatamente a quantia necessária para a pintura, a contribuição média por associados, entre os restantes associados ainda não contatados, deve ser igual aí a) R$25,00; b) R$30,00: c) R$40,00 d) R$ 50,00 e) R$60,00. Resolução: Façamos x = total de associados e q * quantia total necessária. Se, com 60% dos associados, foram atingidos 75% da quantia e a contribuição média tinha sido de R$ 60,00, temos que: 60%.x.R$ 60,00 & 75%.q (sessenta por cento de x pagaram R$ 60,00 e isso equivaleu a 75% da quantia total) 60 100

75 100

3 5

— —.x.60 = ---- .q :=> —,60.x

q

3 .<7 => 4

48x, ou seja, a quantidade total necessária é quarenta e

oito vezes a quantidade total de associados. Sabemos que ficaram faltando 25% da quantia, ou seja, 1/4 de q, que corresponde a

4

—12x. Esse valor será pago pelos 40% restantes dos associados.

Fazendo y - contribuição dos associados restantes, temos: -í^-.x.y =12x=í> ~.x.y =12x=> —.y = 12 => y = - => y =R$ 30,00 100 5 5 2 Resp.: B

328 b


Enrique Rocha

12. (SERPRO-2001) Três meninas, cada uma delas com algum dinheiro, redistribuem o que possuem da seguinte maneira: Alice dá a Bela e a Cátia dinheiro suficiente para duplicar a quantia que cada uma possui. Â seguir, Bela dá a Alice e a Cátia o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Finalmente, Cátia faz o mesmo, isto é, dá a Alice e a Bela o suficiente para que cada uma duplique a quantia que possui. Se Cátia possuía R$ 36,00 tanto no início quanto no final da distribuição, a quantia total que as três meninas possuem juntas é igual a:

a) b) c) d) e)

R$ 214,00; R$ 252,00; R$ 278,00; R$ 282,00; R$296,00.

Resolução:

Vamos chamar deA, B e C as quantias iniciais de Alice, Bela e Cátia, respectivamente. A primeira coisa a ser percebida é que a soma das três quantias individuais não vai mudar e será sempre: A + B + C. Mais ainda, chamando de T o total que as três juntas tinham, e considerando que Cátia tinha R$ 36,00, temos: A + B + C = T=>A + B + 36 =T = >A + B = T -3 6 . I a operação: Alice dá uma parte para Bela e para Cátia

Aqui, a Alice teve que dar B a Bela e 36 a Cátia para elas duplicarem o que já tinham. A fica com: A - B - 36 B fica com: 2B C fica com: 72 2a operação: Bela dá uma parte para Alice e para Cátia

Aqui, a Bela teve que dar (A - B —36) a Alice e 72 a Cátia, para elas duplicarem o que já tinham. A fica com: 2.(A-B - 36) = 2 A - 2 B -72 C fica com: 144 B fica com: 2B - (A- B -36) - 7 2 = 2B - A + B - 36 = 3B-A-36

Capítulo 9 —

Álgebra

s

329

3a operação: Cátia dá uma parte para Alice e para Bela Aqui, a Cátia teve que dar (2A —2B - 72) a Alice e (3B - A - 36) a Bela, para elas duplicarem o que já tinham. A fica com: 4A—4B—144 B fica com: 6B —2A —72 C fica com: 1 4 4 -(2A-2B - 72) - (3B-A-36) * 144 - 2A + 2B + 72 - 3B + A + 36 = 252 - A - B Como sabemos que Cátia terminou o processo com R$ 36,00, temos que: 252 - A - B = 36=>A + B - 216. Como no início concluímos que A + B * T —36, substituindo A + B por 216: 216 - T - 36 => T = 252. Resp.: B

lilík

13. Roberto tem hoje o dobro da idade que Valéria tinha quando Roberto tinha a idade que Valéria tera. Quando Valéria tiver a idade que Roberto tem, a soma das idades dos dois no futuro será 72 anos. A soma das idades de Roberto e Valéria é hoje: a) 38 Esta questão é semelhante à Ia, mas b) 481 foi resolvida de forma um pouco c) 56; diferente no intuito de facilitar sua d) 58 assimilação.

Resolução: Chamando as idades atuais de Roberto de R e de Valéria de V, vamos montar uma reta com os três momentos: passado, hoje e futuro. Passado

Hoje

Futuro

y anos R -x

V-x

Vamos analisar, agora, cada sentença do enunciado e tirar as conclusões possíveis: “Roberto tem hoje o dobro da idade que Valéria tinha quando Roberto tinha a idade que Valéria tem”.

330 a


Enrique Rocha

Significa que R = 2(V - x), quando (R - x) = V. Substituindo este último valor de V = R - x na primeira equação, temos: R = 2(V - x) =^R = 2V - 2x => R = 2.(R- x) - 2x ==> R = 2R—2x ~ 2x ==> 2R - R = 2x + 2x => R = 4x. Fazendo R = 4x, a idade de Roberto e Valéria no passado passam a ser: R-*x = 4 x - x = 3xe como V = R - x=^>V = 4x-x=> V = 3x. Logo» V - x (idade de Valéria no passado) = 3x - x = 2x. Com isso, nosso gráfico pode ser atualizado para: Passado

Hoje

J

i

, 3x 2x

x anos

Futuro y anos

R = 4x V = 3x

1

R+ y

y + y

“Quando Valéria tiver a idade que Roberto tem, a soma das idades dos dois no futuro será 72 anos”. Significa que, quando Valéria tiver V + y ~ R, Roberto terá R + y, e a soma dessas duas idades será 72. Assim: V + y = R=>3x + ys=4x:=>y-4x~3x=i>y-x. Daí tiramos que R + y « R + x = 4x + x = 5x; e V + y - V + x=3x + x = 4x. Com isso, nosso gráfico pode ser atualizado para: Passado

3x 2x

Hoje

R *=4x V = 3x

Futuro

5x 4x

Como o enunciado diz que,no futuro, a soma das idades será 72, temos: 5x + 4x = 72

9x = 72 => x= => x -

Finalmente, podemos concluir que hoje as idades sáo: R = 4x = 4.8 = 32; e V = 3x = 3.8 = 24. Com isso, a soma das idades atuais é 56. Resp.: C

8.

Capítulo 9 —

Álgebra

is 331

14, (ESAF-AFC-2002) Os números A »B e C são inteiros positivos tais que A
a) A/A; b) A / B; c) A / C;

d) B / C; e) - (B/B).

Resolução:

Este problema trata o conceito de média aritmética simples- Basta você saber que para calcular a média aritmética simples para um conjunto de números, você soma todos e divide este resultado pela quantidade de elementos somados. Veja alguns exemplos: A média aritmética simples entre 2 e 6 é ( 2 + 6 ) / 2 - 8 / 2 ~ 4 ; A média aritmética simples entre 1 e 9 é (1 + 9 ) / 2 = 10/2 = 5; A média aritmética simples entre 5 e 12 é (5 + 12) / 2 - 17 / 2 = 8,5; Para este exercício, o mais importante neste conceito é o seguinte: A média aritmética simples entre dois números sempre está “no meio” deles, ou seja, à mesma distância dos dois. Graficamente: X

Graficamente:

' 1" .......................... I---------A

B

x

C

Assim, se B é a média aritmética simples entre A e C, B está exatamente no meio da distância entre os dois e temos que: B - A = C -B = x Com isso, podemos concluir que (B A) / (C —B) = x/x = 1 (que é igual a A/A) Resp.: A 15. (ESAF-AFC-2002) Ana está em férias com seus sobrinhos e, para evitar problemas, ela guardou uma garrafa cheia de licor trancada a chave no seu armário. Um de seus sobrinhos conseguiu uma cópia da chave, abriu o armário, bebeu metade do conteúdo da garrafa, completou a garrafa com água e colocou-a no lugar. Deu a chave para um outro sobrinho de Ana que fez a mesma coisa. Quando Ana percebeu, já havia menos de 1% de licor na garrafa.

332 b


Assim, o número mínimo de vezes em que os sobrinhos de Ana beberam da garrafa é dado por: a) e; d) 10; b) 5; e) 15. c) 7; Resolução: Passo 1: identificar as regras do enunciado: Cada pessoa que bebia da garrafa bebia metade e completam o resto. Aqui temos que relembrar superficialmente o conceito de progressões numéricas: Progressão Aritmética - P»A.: Ocorre quando os números de uma série estão sempre a uma mesma distância (essa distância é chamada de “razão” da PA.) Exemplos: 1; 4; 7; 10; 13;...; (a razão é 3) 19; 15; 11; 7; 3;...; (a razão é -4) Progressão Geométrica —P.G.: Ocorre quando o próximo número é sempre o anterior multiplicado por um mesmo número (esse número é chamado de “razão” da P.G.). Exemplos: 2; 6; 18; 54; 162;...; (a razão é 3) 100; 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125;...; (a razão é 1/2) Vamos representar graficamente o que aconteceu neste exercício (a parte hachurada representa o licor na garrafa): 18 Sobrinho

2a Sobrinho

3a Sobfínho

100%

}

50%

}25%

Capítulo 9 —

Álgebra

a 333

Veja que estamos diante de uma progressão geométrica de razão -1/2, começando com 100. Os elementos são os seguintes (a coluna “l2 Sobr.” indica quanto de iicor ficou na garrafa depois que o lc sobrinho dele bebeu): 1—Sobr.

22 Sobr.

3e Sobr.

4a Sobr.

5e Sobr.

6a Sobr.

7- Sobr.

50%

25%

12,5%

6,25%

3,125%

1,5625% 0,7825%

Como Ana encontrou a garrafa com menos do que 1% de licor, no mínimo 7 sobrinhos beberam antes que ela descobrisse. Resp.: C 16. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes; futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que» no atual semestre: 20 alunos praticam vôlei e basquete; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei; o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei; 17 alunos praticam futebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30» entre os 45» não praticam vôlei. O námero total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a: a) 93; b) 110; c) 103; d) 99j e) 114. Resolução: Neste livro já usamos conjuntos pata resolver diversos exercícios e este é mais um deles. A diferença é que agora estamos diante de um “tradicional” problema de conjuntos. Vamos aproveitar para relembrar alguns conceitos durante a resolução. Passo 1: representar os conjuntos envolvidos em um Diagrama de Venn: Temos 3 conjuntos: Os que praticam Vôlei (conjunto “V”). Os que praticam Futebol (conjunto “F”). Os que praticam Basquete (conjunto “B”).

334 a


Enrique Rocha

O primeiro passo é construir os 3 conjuntos Intersectados dentro do “Conjunto Universo” (o quadrado que envolve os três conjuntos). Esse conceito de “Conjunto Universo” é importante porque podem existir elementos que não estejam em nenhum dos três conjuntos, mas fazem parte do total:

Passo 2: reorganizar as sentenças do enunciado, citando primeiro as que estão relacionadas a elementos das interseções: 20 alunos praticam vôlei e basquete; 17 alunos praticam fotebol e vôlei; 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45 (que praticam futebol e basquete), não praticam vôlei; 60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete; 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei. Passo 3: Analisar cada uma das sentenças: 20 alunos praticam vôlei e basquete.

Se você considerar apenas os dois conjuntos, basta colocar 20 elementos na interseção, como mostrado acima. Acontece que esses dois conjuntos também têm interseções com o conjunto “Futebol”.

Capítulo 9 —

Álgebra

s

335

Então, você tem que se lembrar que uma parte dos “20” está também na área de interseção entre os 3 conjuntos. Como ainda não sabemos quantos praticam os três esportes, vamos imaginar que sejam “x” alunos:

Dessa forma, para o resto da interseção entre "Vôlei” e “Basquete”, como já colocamos “x”, ficam “20 —x”:

17 alunos praticam futebol e vôlei. Usando o mesmo raciocínio, como já temos “x” na interseção entre “Futebol” e “Vôlei”, ficam “17 —x” para o outro pedaço da interseção entre esses dois conjuntos:

336 s


Enrique Rocha

45 alunos praticam futebol e basquete.

De forma análoga, para a região "ainda vazia” entre “Futebol” e “Basquete”, temos “45- x ”:

30, entre os 45, não praticam vôlei. Essa frase nos diz exatamente que o “45 - x” (que representa os alunos que jogam . “Futebol” e “Basquete”, mas náo jogam “Vôlei”) é 30. Logo: 45 - x = 30 x = 45 - 30 (passando o “x” para a direita do sinal de igual e o 30 para a esquerda) x - 15. Acabamos de descobrir o valor de x (!!!). Vamos representar isso:

60 alunos praticam futebol e 65 praticam basquete. Como dentro do conjunto de "Futebol” já temos 47 elementos, para 60 faltam 13. Da mesma forma, dentro do conjunto “Basquete” já temos 50 elementos e para os 65 faltam 15. Vamos representar isso:

Capítulo 9 —

Álgebra

b 337

O número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao número dos alunos que praticam só vôlei. Temos 13 alunos praticando só futebol. Assim:

21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei. Considere agora os alunos que não estão nem no conjunto “Vôlei”, nem no conjunto “Futebol”. Temos apenas os 15 que só jogam basquete. Ao todo, a quantidade de alunos que não jogam vôlei nem futebol é de 21 alunos. Assim, faltam 6 (que estarão fora dos três conjuntos):

338

e


Enrique Rocha

Agora que você determinou todas as possibilidades, basta somar todos os números distribuídos: 13 + 5 + 2 + 15 + 15 + 30 + 13 + 6 = 99 Resp.: D 17. (ESAF-AFC-2002) A remuneração mensal dos funcionários de uma empresa é constituída de uma parte fixa igual a R$ 1.500,00 mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 8.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto (isto é, sobre o total da parte fixa mais a comissão). Em dois meses consecutivos» um dos funcionários dessa empresa recebeu, líquido, respectivamente, R$ 1.674,00 e R$ 1.782,00.

Com esses dados, pode-se afirmar que as vendas realizadas por esse funcionário, no segundo mês, foram superiores às do primeiro mês em: a) 8%; d) 15%; b) 10%; e) 20%. c) 14%; Resolução:

Outro problema de álgebra. Acompanhe a resolução com bastante calma e você verá que não é complicado; apenas exige um pouco de atenção e concentração. Passo 1: identificar as variáveis envolvidas: V —> Volume total de vendas (em R$); SL —» Salário Líquido; Rp—> Remuneração fixa (Rp= R$ 1.500,00); C

Comissão (3% sobre o total que exceder R$ 8.000,00);

SB~> Salário bruto (SB= Rp+ C); D —> Descontos. Passo 2: interpretar as regras do enunciado: SB= Rp+ C (salário bruto = remuneração fixa + comissão). sl = s b- d

-*

SL= Rp + C - D (substituindo SBpor Rp + C)

Capítulo 9 —

Álgebra

a

339

Passo 3: Calcular a fórmula para comissão: imagine que o rotal de vendas foi V (maior do que R$ 8.000,00):

8.000,00

V

O percentual de 3% incide apenas sobre a parte hachurada, ou seja, sobre V 8.000. Assim sendo: C =3% x (V-8.000)

C

3Y

100

x (V-8.000) =

100

100

= H L -3 x 80: 100

- -240

100

Passo 4: Calcular a fórmula para o salário bruto: SB = S F + C = 1.500+f — -24o) *1.500 + — -240 100 100 3V SB ^ — +1.260 100 Passo 5: Calcular a fórmula para o desconto: f 3V + 1.260 D = 10% x S R = i x S B = 5 » * 100 = í — 1.260) x - L 10 B 10 10 U 00 ) 10 v

3V 1 , - * A 1 ----x — 4-1.260x— 100 10 10 3V D = - ^ - + 126 1.000

340

□


Enrique Rocha

Passo 6: Calcular a fórmula para o salário líquido

)

SL = SB -D = f — ■+ 1 , 2 6 0 ) 1 J

Uoo

) = —100+

J ^ L + 126)

U.000

1.2 6 0 - J í i L - 1 2 6

1.000

=>

s = Z3V I ---- 3V + 1.260-126: 100 1.000 S i .3 2 V z V + i .1 3 4 .2 Z J ! + U 3 4 = > 1.000 1.000 Passo 7: Calcular V em funçáo do salário Uquido de R$ 1.674,00 1 27V 27V ?7V S = ±LU . + 1.134 => 1.674 « ^ - L + 1.134 => ± 1 IL + 1.674 -1.134 => 1.000 1.000 1.000

S l = 2 ™ L = 540 1.000 27Vj = 540 x LOOO => V, » -— ■9 ° => 27 Vx = 20.000 Passo 8: Calcular V2em função do salário líquido de R$ 1.782,00 77V

77V

?7V

s = ---- —+ 1.1.34 => 1782 « ZLÜ1- +1.134 => i i - X + 1.782 -1.134 => 1.000 1.000 1.000 27V2 , _ 0 +648 => 27V2 = 648 x 1.000 1.000

648.000 V2 = 27

V2 = 24.000 Passo 9: Calcular a relação entre V2e Vt: O problema quer saber em quanto as vendas do segundo mês foram superiores às do primeiro mês. V2-'V ,» 24.000 - 20.000 = 4.000 Dividindo esse valor por VI calculamos quanto que esses 4.000 representam dos 20.000 de VI e chegamos ao valor pedido pelo problema: V2 -Vj _ 24.000-20.000 _ 4.000 _ 4 _ 2

^ Resp.: £

20.000

20.000

20

10

=0,2 = 20%

Capítulo 9 —

Álgebra m

341

19. (ESAF-TCU-2002) Sabe-se que todo número inteiro n maior do que 1 ad mite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma p% então X, p, p2, ..., p’ são os divisores positivos de n. Segue-se dai que a soma dos números Inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a:

a) 25; b) 87; c) 112; d) 121; e) 169. Resolução:

Pela definição acima, os números primos maiores do que 1 cujos quadrados são me nores do que 100 têm 3 divisores, a saber: 1, o próprio número e o quadrado do número. Por conceito, todos os números que náo são primos são divisíveis por mais do que 2 números. Os números primos menores que 100 são: 1,2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

.

Todos eles têm apenas 2 divisores (o 1 e o próprio número). Assim sendo, tirados os primos, o$ únicos que sáo divisíveis por apenas 3 números são os quadrados de primos. Como queremos apenas os menores que 100, vamos ver os quadrados perfeitos de primos menores que 100: 22= 4; 32=9; 52= 25; 72= 49. Então, o que queremos é a soma: 4 + 9 + 25 + 49 ®87. Se você ainda tem dúvida sobre as premissas assumidas, vamos resolver “braçálmente”: Os números inteiros menores do que 100 são: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

37

38

39

40

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

74

75

76

77

78

79

80

95

96

97

98

99

81

82

83

84

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94


342 e

Elimine os primos (porque todos só têm 2 divisores —o 1 e o próprio número): 6 8 9 10 14 15' 16 58 20 12 b | 24 25 26 27 28 30 32 33| 34 35 36 38 39 40 42 j 44 45 46 48 49 50 51 52 Í54 55 56 57 58 60 62 63 64 65 66 68 69 70 72 75 76 77 78 80 81 82 | 84 85 86 87 88 90 91 92 931[9744 95 96 98 99.

i

2 22

Elimine os múltiplos de 6 (porque todos são divisíveis por 1, por 2, por 3, por 6 e pelo próprio número):

4

8 9 10 20 14 15 16 25 26 27 28 38 39 40 32 33 34 35 44 45 46 49 50 51 52 55 56 57 58 62 63 64 65 9 70 68 6 80 74 75 76 77 81 82 85 86 87 88 98 99 91 92 93 94 95

21 22

Elimine os múltiplos de 8 (porque todos são divisíveis por 1, por 2, por 4, por 8 e pelo próprio número): Vamos reduzir a tabela aos que sobraram:

4 9 10 14 15 20 21 22 25 26 27 28 33 34 35 38 39 44 45 46 49 50 51 52 55 57 58 62 63 65 68 69 70 74 75 76 77 81 82 85 86 87 91 92 93 94 95 98 99 Elimine os múltiplos de 9 que não sejam quadrado perfeito de número primo (porque todos são divisíveis por I, por 3, por 9 e pelo próprio número):

4 9 10 14 15 20 21 22 25 26 28 33 34 35 38 39 44 46 49 50 51 52 55 57 58 62 65 68 69 70 74 75 76' 77 82 85 86 87 91 92 93 94 95 98 99 Elimine os múltiplos de 10 (porque todos são divisíveis por 1, por 2, por 5, por 10 e pelo próprio número):

Capítulo 9 — 9

14

15

21 22

25

38

39

44

46

49

51

52

55

68

69

70

74

75

76

77

82

92

93

94

95

98

4

26

28

33

34

57

58

62

65

85

86

87

91

Álgebra

e

343

35

1

Elimine os múltiplos dos números primos que não sejam quadrados perfeitos de números primos (porque já vimos que esses têm apenas 3 divisores: o l, o primo e o próprio número): Os quadrados dos números primos maiores do que 1 são: 4, 25 e 49. Com isso, todos os pares diferentes de 4 devem ser eliminados: 4

9

15

21

25

33

35

39

49

51

57

65

69

75

77

85

87

91

93

95

55

Elimine os múltiplos de 15 (porque todos são divisíveis por 1, por 3, por 5, por 15 e pelo próprio número): 4

9

21

25

33

35

39

49

51

57

65

69

77

85

87

91

93

95

55

Vamos fazer uma rápida análise dos 20 números que sobraram: Números •4-

}■'. •• ■

Divisores

lê s © # !!

9\ 21

1,3, 7,21

33

1, 3,11,33

35

1,5, 7,35

39

1,3,13,39

W Mm f S S p ü lf 51

1.3,17,51

55

1. 5,11,55

57 '

1, 3, 29,57

65

1,5,13,65

69

1, 3, 23,69

77

1, 7,11.77

85

1, 5,17,85

87

1,3,29,87

91

1,7,13,91

93

1,3,31,93

95

1, 5,19,95

344 a


As linhas hachuradas representam os números finais que só têm 3 divisores e cuja soma é perguntada pelo problema: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

Resp.: B

Capítulo 9 —

Álgebra a

346

Exercidos sobre Álgebra

1. (ESAf-AFC-2002) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma, gastou a metade do que possuía e, ao sak de cada uma das lojas pagou RS 2,00 de estacionamento. Se, no final, ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa?

a) R$ 220,00; b) R$ 204,00; c) R$ 196,00;

d) R$ 188,00; e) R$ 180,00. 2. (SERPRO-2001) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e lOm. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 12m, A área do segundo triângulo será igual ai

a) b) c) d) e)

6m2; 12 m2; 24 m2; 48 m2; 60 ra2.

3. (ESAi*/AFTN/9ó) Em determinado país, existem dois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-se que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem em dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dez poços Pb produzem em oko dias.

A produção do poço Pa, portanto* é: a) 60,0% da produção do poço Pb; b) 60,0% maior do que a produção do poço Pb; c) 62,5% da produção do poço Pb; d) 62,5% maior do que a produção do poço Pb; e) 75,0% da produção do poço Pb. 4 . (ESAJF-TCU-1999) Um quadro retangular cobre exatamente 25% da área de uma parede, também

retangular, que mede 3 metros de altura por 2 metros de largura. Sabe-se que as dimensões do quadro estão na mesma razáo que as da parede, isto é, que sua altura est i para sua largura assim como 3 está para 2. Assim, se quiséssemos que o quadro cobrisse exatamente toda a superfície da parede, deveríamos multiplicar a sua altura e a sua largura pon

a) b) c) d) e)

2; 3; 4; 5; 6.

346 a


5. Um carro percorre 75% da distância entre as cidades A e E a ama velocidade média constante de 50 km por hora. O carro percorre, também a uma velocidade média constante, o restante do trajeto até B. Ora, a velocidade média para todo o percurso de A até B foi igual a 40 km por hora. Logo, a velocidade V é igual ai

a) b) c) d) e)

20 km por hora; 10 km por hora; 25 km por hora; 30 km por hora; 37,5 km por hora.

6. (ESAF/AFTN/96) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual aR$2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a RS 10.000,00. Calcula-se em 10% o percentual de descontas diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, RS 4.500,00 e R$ 5.310,00. Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segando mês foram superiores às do primeiro mês em:

a) 18%; b) 20%; c) 30%;

d) 33%; e) 41%. 7. (ESAF-AFG-2004) Marco e Mauro costumam treinar natação na mesma piscina e no mesmo horário. Eles iniciam os treinos simultaneamente, a partir de lados opostos da piscina, nadando um em direção ao outro. Marco vai de um lado a outro da piscina em quarenta e cinco segundos, enquanto Mauro vai de um lado ao outro em trinta segundos. Durante doze minutos, eles nadam de um lado para outro, sem perder qualquer tempo nas viradas. Durante esses doze minutos, eles podem encontrar-se quer quando estão nadando no mesmo sentido, quer quando estão nadando em sentidos opostos, assim como podem encontrar-se quando ambos estão fazendo a virada no mesmo extremo da piscina. Dessa forma, o número de vezes que Marco e Mauro se encontram durante esses doze minutos &

a) dez;

b) c) d) e)

doze; quinze; dezoito; vinte.

8. (ESAF-AFC-2004) Lúcio fez o trajeto entre sua casa e seu local de trabalho caminhando, sempre a uma velocidade igual e constante. Neste percurso, ele gasta exatamente vinte minutos. Em um determinado dia, em que haveria uma reunião importante, ele saiu de sua casa no preciso tempo para chegar ao trabalho oito minutos antes do inicia da reunião. Ao passar em frente ao One Bristol, Lúcio deu-se conta de que se, daquele ponto, caminhasse de volta à sua casa e imediatamente reiniciasse a caminhada para o trabalho, sempre í mesma velocidade, chegaria atrasado à reunião em exatos dez minutos. Sabendo que a distância entre o Cine Bristol e a casa de Lúcio é de 540 metros, a distância da casa de Lúcio a seu local de trabalho é igual at

a) 1.200m;

b) 1.500m; c) 1.080m; d) 760m; e) 1.128m.

Capítulo 9 — 9.

Álgebra

~ 347

(ESAP-AFC-2004) Durante uma viagem para visitar familiares com diferentes hábitos alimentarei, Alice apresentou sucessivas mudanças em seu peso. Primeiro, ao visitar uma tia vegetariana, Alice perdeu 20% de seu peso. A seguir, passou alguns dias na casa de um tio, dono de uma pizzaria, o que fez Alice ganhar 20% de peso. Após, ela visitou uma sobrinha que estava fazendo um rígido regime de emagrecimento. Acompanhando a sobrinha em seu regime, Alice também emagreceu, perdendo 25% de peso. Finalmente, visitou um sobrinho, dono de uma renomada confeitaria, visita que acarretou, para Alice, um ganho de peso de 25%. O peso final de Alice, após essas visitas a esses quatro familiares, com relação ao peso imediatamente anterior ao início dessa seqüência de visitas,

ficou: a) exatamente igual; b) 5% maior; c) 5% menor; d) 10% menor, e) 10% maior. 10. (ESAF-AFC-2004) Foi feita uma pesquisa, de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como “A”, ”B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou &fevor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a, pelo menos, uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas.

Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: a) 17%; b) 5%; c) 10%; d) 12%; e) 22%.

348 s


Enrique Rocha

Gabarito de Exercidos de Álgebra

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

D A C A C C E A D A

C apítulo 10

Seqüências e Psicotécnicos _______________________________________________ BI “Ao se depararem com uma dificuldade, algumas pessoas recuam, outras avançam. Vá emfrente!” 10.1. Seqüências Uma seqüência é um conjunto ordenado de elementos (números, figuras, letras, figuras geométricas, palavras etc.), gerado por meio de uma regra de formação. Os problemas apresentam alguns elementos de uma seqüência, pedindo que se ache o elemento seguinte. O modo de se resolver esse tipo de problema consiste em descobrir, por intuição, observação dos elementos dados e, às vezes, alguns cálculos, qual a regra de formação e aplicá-la ao último elemento, completando assim a seqüência pedida. Exercícios: Descubra o próximo demento em cada uma das seqüências abaixo. 0,1,2» 3 ,4 ,...-* 5 Regra: é a seqüência dos números naturais, ou seja, cada número, a partir do segundo, é o anterior somado com 1. 2 .7.12.17.22.... -> 27 Regra: cada número, a partir do segundo, é o anterior somado com 5. 177.166.155.144... —» 133 Regra: cada número, a partir do segundo, é o anterior menos 11. A, F, K, P,...

V

Rfigra: entre cada letra e a seguinte existem quatro letras não citadas, como A, b, c, d, 6, F, g, h, i, j, K, 1, m, n, o, P*

350 2:


Enrique Rocha

2,3,5,7,11,.-.->13 Regrai é a seqüência dos números primos. 1,2, 3, 5, 8,13,...-» 21 Regra: cada número, a partir do terceiro, é a soma dos dois anteriores. 2, 3,6,18,... -> 108 Regra; cada número, a partir do terceiro, é o produto dos dois anteriores. 192, 96, 32,... — ■>8 Regra: o segundo (ordem 2) é o anterior dividido por 2, o terceiro (ordem 3) é - o anterior dividido por 3. Por aí, se vê que o quarto (ordem 4) seria o anterior dividido por 4. A, D, H,„. (considere a letra k) —> M Regrai o segundo (D) é o primeiro (A) avançando-se duas letras; o terceiro (H) é o segundo (D) avançando-se três letras; e o quarto será o terceiro avançandose quatro letras. Detalhando: A, b, c, D, e, f, g, H, i,j, k, l, M. 2 5 67 .9 3 ’4 V ' 8 Regra: as frações são formadas alternando-se os números pares a partir de 2, alternadamente no numerador e no denominador, e os números ímpares a partir de 3, alternadamente no denominador e no numerador. 12 24 36 48 6 ’ 8 ’ 10,‘,‘~*12 Regra: os numeradores vão aumentando de 12 em 12 e os denominadores, de 2 em 2. 2,3,6, 11, 18,...-> 27 Regra: cada número, a partir do segundo, é o anterior somado a cada número da seqüência dos ímpares. 8.640,480, 40,... ~» 10 Regra: cada número é o número anterior dividido pela soma dos algarismos do número anterior. Explicando: 480 = 8.640/18, onde 18 é a soma de 8, 6,4 e 0;40= 480/12, onde 12 é a soma de 4,8 e 0;10= 40/4, onde 4 é a soma de 4 e 0.

Seqüências e Psicotécnicos

Capítulo 10 —

a

351

Seja a relação entre as seqüências: (P, 0> M, J) —» (K, J, H,...), calcule o próximo elemento da segunda seqüência (considerando as letras K, W e Y como parte do alfabeto). Y como parte do alfabeto) - » E Regra: em ambas as seqüências, cada letra é encontrada decrescendo-se alfabeticamente a anterior na quantidade de letras equivalente a cada número da seqüência dos números naturais. Explicando: P,

O,

K,

J,

n

M,

H,

2

9 3

k

J

f

E

352 E3


Questões sobre Sequêndas e Psicotécnicos

Nas questões abaixo, náo considere as letras K ,W e Y. 1. (BACEN/94) Complete a série: B DGLQ. . .M

a) R; b) T; c) V; 2. (BACEN/94) Complete a séries A D F I í C F H .....

a) I; b) J; c) L; 3. (BACEN/94) Relacione as séries que possuem a mesma seqüência lógica e assinale a opção que contém a opçáo correta;

(1)AFBE

( )HNLJ

(2)BGED

( ) LPNL

(3)LHEB (4) GLIG a) 2413; b) 2 1 4 3; c) 2431;

( ) HNIM ()UROL

a) MSOQ; b) JMOQ; c) JQPL;

d) 1432; e) 143 2.

d)JQOM; e) G O M J.

Capítulo 1 0 —

Seqüências e Psicotécnicos &

353

5. (BACEN/94)

a) 9;

b) c) d) e)

36; 42; 48. 64. 3 6

12

2A

96

6. (BACEN/94) BC FHMO ADGIQV CE HLR T

OFC ID

ACDFOR DFH1NO BDELST

a) TEC; b) ELT; c) T L ;

d) LE; e) TLE. 7. (BACEN/94)

82. 90' 81 .

100'

99. 72'

100 81*

100, 72' 8. (BACEN/94) Sabendo-se que, se somarmos dois números pares, encontraremos um número par; se somarmos dois números impares, também encontraremos nm número par; e, somente se somarmos um número par com um número ímpar encontraremos um número ímpar, é correto afirmar que, em um jogo de par ou ímpar?

a) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número ímpar, b) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir ímpar e colocar um número par; c) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir par e colocar um número par; d) terá maior probabilidade de vencer o jogador que pedir par e colocar um número ímpar; e) os dois jogadores teráo sempre a mesma probabilidade de vencer.

354 ss


9. (BACEN/94)

48 12

27 9 35

b)

20 100

I 75

à)

30

e)

90

15

20 IS O

240 40

10. (BACEN/94) 6

11» (BACEN/94) Três dados idênticos, com foces numeradas de 1 a 6, são sobrepostos de modo que as faces unidas tenham o mesmo número, como ilustrado abaixo. Desta forma, a soma dos números contidos nas faces traseiras dos dados é igual a:

a) 4; b) 5;

/ ...2

Â

1

k i

c) 7;

6

3

'j&fj

3

'M*

d) 10; e) 12.

Capítulo 1 0 -—

Sequêndas e Psicotécnicos

k 355

12. (BACEN/94)

13. (BACEN/94) Assinale a opção que contém a seqüência correta das quatro bolas, de acordo com

as afirmativas abaixo: I - a bola amarela está depois da branca; II —a bola azul está antes da verde? III - a bola que está imediatamente após a azul é maior do que a que está antes desta.; IV - a bola verde é a menor de todas.

a) b) c) d) e)

Branca, amarela, azul e verde; Branca, azul, amarela e verde; Branca, azul, verde e amarela; Azul, branca, amarela e verde; Azul, branca, verde e amarela.

14. (BACEN/94)

Bí S |

^m M am ^ ti

HP

\W

IhíJsEásíU e>

18

356 e


Enrique Rocha

15. (BACEN/94) Considere as seguintes equivaiêndas;. 2 =J = %

V=* 5 «• @ 8 =? =X & -L-3 H -7-#

Agora, relacione a coluna da esquerda com a coluna da direita e assinale a opção que contém a numeração correta. (1)J3#XV (2) 2 H @L 8 (3) J & 7 V Í

{ ) %LH%X

(4) % # L E 5

( ) %L78@

a) b) c) d) e) 16.

( ) 2H 3 ( ) J#V& X

342 1. 24 3 2. 3 241 4 3 21 14 32.

(BACEN/94) Considere as seguintes equivaiêndas:

O

O

A

-

A O

C

17 11 1

a) b) c) d) e) 17.

160 135 120 108 100.

(BACEN/94) a) 19T. b) 20U. c) 2 IV. d) 22X.

e) 23Z.

□

* A x O

?

Capítulo 10 —

Seqüências e Psicotécnicos

a

357

18. (BACEN/94) Se considerarmos que cada valor expresso nos círculos representa a soma dos números que estão nos dois vértices que delimitam o respectivo lado do triângulo, a soma dos valores correspondentes aos vértices deste triângulo será igual a: a) 21 b) 25 c) 30 d) 35 e) 40.

19. Considere os números escritos nos pequenos triângulos das pontas da figura abaixo e determine o valor de x. a) 29; b) 30; c) 31;

d) 32Í e) 33.

20. Observe a sequênda a seguir e descubra o próximo teimo: 0 , 1 , 8 , 2 7 , 6 4 ,

a) b) c) d) e)

88; 125; 100; 96; 216.

358 ei


Gabarito das Questões sobre Seqüências e Psicotécnicos 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20.

D C A D D E B E C E B A B A A B A A D B

Enrique Rocha - Raciocinio Logico Para Concursos - 3a Ed. 2010

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