raciocinio logico facilitado.pdf

Sérgio Carvalho Weber Campos

RACIOCÍNIO LÓGICO

lum e

V o

Simplificado 2ª edição •

21

Revista, atualizada e ampliada

Inclui • • • •

Gráficos, tabelas e outros outros elementos visuais para melhor aprendizado Exercícios resolvidos resolvidos passo a passo (questões comentadas) Questões de concursos públicos selecionadas para praticar Destaques coloridos coloridos para facilitar a compreensão

2016

Sérgio Carvalho Weber Campos

RACIOCÍNIO LÓGICO

lum e

V o

Simplificado 2ª edição •

21

Revista, atualizada e ampliada

Inclui • • • •

Gráficos, tabelas e outros outros elementos visuais para melhor aprendizado Exercícios resolvidos resolvidos passo a passo (questões comentadas) Questões de concursos públicos selecionadas para praticar Destaques coloridos coloridos para facilitar a compreensão

2016

Os Autores

SÉRGIO CARVALHO é Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil. Leciona Matemática (Básica e Financeira), Estatística (Descritiva e Inferencial) e Raciocínio Lógico em cursos preparatórios para concursos de diversas capitais do País. É também fundador do site Olá Amigos (www (www.olaamigos.com.br) .olaamigos.com.br) e autor das obras Matemática Financeira Simplificada e Estatística Básica Simplificada, pela Editora JusPodivm.

WEBER CAMPOS é Engenheiro de Telecomunicações, com graduação e mestrado concluídos no IME – Instituto Militar de Engenharia. É professor de Raciocínio Lógico, Matemática Financeira, Estatística Estatística Descritiva e Inferencial, ministrando aulas em várias capitais do Brasil, e também no site Olá Amigos (www.olaamigos.com.br). É autor, em parceria com o Prof. Sérgio Carvalho, das obras Matemática Financeira Simplificada e Estatística Básica Simplificada, pela Editora JusPodivm.

Introdução

Caríssimos leitores, É com imensa satisfação que lhes apresentamos este volume 2 da obra Raciocínio Lógico Simplificado. Seguindo a mesma dinâmica do primeiro volume, usamos igualmente aqui a linguagem de sala de aula, próxima do aluno, capaz de conduzi-lo à compreensão facilitada dos diversos temas abordados. Na escolha dos assuntos deste livro, nosso intuito foi realmente o de assegurar aos alunos que visam aos concursos públicos um material completo, de sorte que os dois volumes da obra, reunidos, contemplem integralmente o conjunto de tudo o que costuma ser cobrado em provas desta disciplina. Enquanto o volume inicial tratava do Raciocínio Lógico propriamente dito, aquele que normalmente não se estuda nos ensinos fundamental e médio, o presente livro retomará assuntos como análise combinatória, matrizes, geometria, trigonometria, entre outros tantos que já fizeram parte da vida estudantil de todos nós, e que passaram a ser cobrados com frequência em diversos certames. Inclusive temas comumente relacionados à Matemática básica – mesmo que de forma mais breve – foram aqui trabalhados, a exemplo de razão e proporção, regra de três, porcentagem, P.A., P.G. etc. Estamos certos de que Raciocínio Lógico Simplificado em muito os ajudará em seu conhecimento matemático, e na tão almejada conquista de um lugar no serviço público brasileiro! Um forte abraço a todos! Sérgio Carvalho & Weber Campos

Capítulo 4

Problemas Lógicos com Dados, Figuras e Palitos

Este capítulo aborda problemas de lógica envolvendo dados, figuras e palitos. Questões deste tipo requerem visão espacial e concentração, características que podem ser aperfeiçoadas mediante muito treino. Com esse intuito, trazemos neste capítulo várias resoluções de questões.

4.1. Questões Lógicas que Envolvem Dados Se uma questão informar que o dado é honesto (ou não viciado) significa que a soma de suas faces opostas é sete. Num dado viciado, essa regra não é válida. Passemos às resoluções de questões envolvendo dados. 4.1.1. Exercícios Resolvidos

Exemplo 1. (FCC) Sabendo que em qualquer dado a soma dos pontos marcados em faces opostas é igual a 7, qual das figuras seguintes NÃO representa a planificação de um dado?

Raciocínio Lógico Simplificado Vol. 2 – Sérgio Carvalho e Weber Campos

254

Solução: Este tipo de questão testa a nossa capacidade de visualização espacial. Temos de construir o dado correspondente a cada figura (planificação do dado), por meio apenas da visualização de suas faces. Essa tarefa não é difícil, mas caso esteja tendo dificuldades em visualizar o dado formado a partir da planificação, aconselho a passar para o papel cada uma das figuras trazidas nas alternativas, recortando-as em seguida, para, então, dobrar as faces a fim de formar um dado. É claro que não podemos fazer isso durante a prova, o objetivo, então, é treinar a habilidade de visualização espacial. Ao visualizar o dado espacialmente, você perceberá que se duas faces estão separadas por outra face, então aquelas duas primeiras faces são opostas. Aplicaremos esse princípio na análise de cada uma das planificações. Alternativa A: 

– As faces 3 e 4 são opostas porque há a face 2 entre elas. – As faces 2 e 5 são opostas porque há a face 4 entre elas. – As faces 1 e 6 são opostas porque há a face 4 entre elas. Tudo bem? Aproveitaremos para verificar se a figura da alternativa A atende à exigência do enunciado: “a soma dos pontos marcados em faces opostas é igual a 7”. – As faces 3 e 4 são opostas, e a soma delas é 7 (=3+4). Ok! – As faces 2 e 5 são opostas, e a soma delas é 7 (=2+5). Ok! – As faces 1 e 6 são opostas, e a soma delas é 7 (=1+6). Ok! Portanto, a figura trazida na alternativa A representa a planificação de um dado! 

Alternativa B:

–

As faces 1 e 6 são opostas, porque há a face 3 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok! – As faces 2 e 5 são opostas, porque há a face 3 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=2+5). Ok! – As faces 3 e 4 são opostas, porque há a face 6 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=3+4). Ok! Portanto, a figura trazida na alternativa B representa a planificação de um dado! 

Alternativa C:

–

As faces 2 e 5 são opostas, porque há a face 1 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=2+5). Ok!

Capítulo 4 – Problemas Lógicos com Dados, Figuras e Palitos

255

As faces 3 e 4 são opostas, porque a face 5 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=3+4). Ok! – As faces 1 e 6 são opostas, porque a face 5 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok! Portanto, a figura trazida na alternativa C representa a planificação de um dado! –



Alternativa D:

–

As faces 1 e 6 são opostas, porque a face 2 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok! – As faces 4 e 2 são opostas, porque há a face 3 entre elas. E a soma dessas duas faces é 6 (=4+2). Erro! – As faces 3 e 5 são opostas, porque a face 3 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 8 (=3+5). Erro! Como a figura da alternativa D não atendeu a exigência, então ela NÃO representa a planificação de um dado! Já encontramos a opção que deve ser marcada, mas vejamos ainda a alternativa E.  Alternativa

E:

–

As faces 3 e 4 são opostas, porque há a face 6 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=3+4). Ok! – As faces 2 e 5 são opostas, porque a face 4 está entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=2+5). Ok! – As faces 6 e 1 são opostas, porque há a face 4 entre elas. E a soma dessas duas faces é 7 (=6+1). Ok! Portanto, a figura trazida na alternativa E representa a planificação de um dado! Resposta: Alternativa D. Exemplo 2. (FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as características descritas é (são): I II III

a) b) c)

I. I e lI. I e III.

d) e)

II e III I, II, III


256

Solução: Esta questão é muito parecida com a anterior, porém há uma diferença na forma de planificação do dado. Observe que, na questão anterior, as planificações tinham a forma de uma cruz, diferentemente destas planificações. Isso dificulta um pouco mais a solução da questão. Feita a visualização espacial do dado a partir da planificação, deve-se verificar se a exigência do enunciado é atendida: “a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete”. Caso tenha dificuldades em visualizar o dado a partir da planificação, você pode, ainda, se utilizar do princípio que foi ensinado no exemplo anterior: “se duas faces estão separadas por outra face, então aquelas duas faces são opostas”. Contudo, teremos antes de transformar as planificações para forma de cruz. Vamos fazer isso! Vamos iniciar pela planificação I:

Vamos deslocar (não arrastando, mas sim girando) a face 4 para esquerda a fim de que ela fique acima da face 3. E depois, a fim de formar uma cruz, teremos de girar a face 6 para o lado da face 5:

Pronto! Já podemos verificar se a soma das faces opostas é igual a sete! As faces 1 e 4 são opostas porque há a face 3 entre elas. A soma dessas duas faces é 5 (=1+4). Como NÃO foi igual a 7, a planificação I não permite formar o dado com as características descritas no enunciado. Passemos a verificar a planificação II, mostrada a seguir. Para formar uma cruz, basta girarmos a face 5 para a direita (ou a face 2 para esquerda). 

Pronto! Vamos verificar se a soma das faces opostas é igual a sete! 

As faces 5 e 2 são opostas porque a face 6 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=5+2). Ok!


257

As faces 1 e 6 são opostas porque há a face 4 entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok!  As faces 4 e 3 são opostas porque a face 6 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=4+3). Ok! Portanto, constatamos que a planificação II permite formar o dado com as características descritas no enunciado! Passemos a verificar a planificação III, mostrada a seguir. Para formar a cruz, teremos de girar a face 3 para a direita, a face 2 para o lado esquerdo da face 1 e, por fim, a face 6 para o lado direito da face 5. 

Pronto! Vamos verificar se a soma das faces opostas é igual a sete! As faces 3 e 4 são opostas porque a face 5 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=3+4). Ok!  As faces 2 e 5 são opostas porque há a face 1 entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=2+5). Ok!  As faces 1 e 6 são opostas porque a face 5 está entre elas. A soma dessas duas faces é 7 (=1+6). Ok! Portanto, constatamos que a planificação III também permite formar o dado ! Resposta: Alternativa D. 

Exemplo 3. (FCC) O desenho seguinte mostra a planificação de um cubo que apresenta um número pintado em cada face, como é mostrado nesta figura.

A partir dessa planificação, qual dos seguintes cubos pode ser montado?

a)

b)

Solução: Testaremos cada uma das alternativas. 

Teste da alternativa A:

c)

d)

e)


258

O dado trazido na alternativa A mostra as faces 1, 2 e 5. Se planificarmos somente as faces 1 e 2, teremos o seguinte: 2 1

Para compararmos essa planificação com a planificação dada no enunciado, teremos de fazer uma pequena modificação nesta última de forma que a face 2 fique sobre a face 1. Giraremos a face 2 para esquerda:

Isolando as faces 1 e 2 desta última planificação, e colocando lado a lado com a planificação das faces 1 e 2 da alternativa A, teremos: 2

2

1

1

São iguais? O número 2 está diferente nas duas planificações, logo não são iguais! Concluímos, então, que o dado da alternativa A não corresponde à planificação vista na figura da questão. Teste da alternativa B: O dado trazido na alternativa B mostra as faces 2, 3 e 5. Se planificarmos, separadamente, as faces 2 e 3, e as faces 2 e 5, teremos o seguinte: 

2 3

2

5

e Para compararmos a planificação dessas faces 2 e 5 com a planificação dada no enunciado, teremos de fazer uma pequena modificação nesta última de forma que a face 2 fique sobre a face 5. Vamos girar a face 2 para direita: I II


259

Isolando as faces 2 e 3 (retirada da planificação I) e as faces 2 e 5 (retirada da planificação II), e colocando ao lado delas a planificação correspondente do dado apresentado na alternativa B, teremos: 2

2

3

3

2

2

5

5

e e Esses pares são iguais? Positivo! Concluímos, então, que o dado da alternativa B corresponde à planificação dada no enunciado. Já encontramos a opção correta da questão, mas continuaremos a análise das demais alternativas. Teste da alternativa C: Essa é fácil! Na planificação fornecida no enunciado, as faces 2 e 4 são opostas, mas isso não ocorre no dado da alternativa C. Logo, devemos descartar esta alternativa! 

Teste da alternativa D: Colocaremos lado a lado a planificação das faces 1 e 2 do dado da alternativa D e a planificação das faces 1 e 2 da figura trazida no enunciado (obtida na alternativa A). Teremos: 

2

2

1

1

Elas são diferentes! Logo, devemos descartar esta alternativa! Teste da alternativa E: Desenharemos a seguir a planificação das faces 2 e 5 desse dado, e ao lado repetiremos o resultado da planificação das mesmas faces obtida na alternativa B. Teremos: 

2

5

2

5

Elas são diferentes! Logo, devemos descartar esta alternativa! Resposta: Alternativa B. Exemplo 4. (FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais.

260


A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é a) 7 d) 11 b) 8 e) 12 c) 9 Solução: Por primeiro, tentaremos descobrir os números das faces do primeiro dado.

O enunciado afirmou que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Daí, a face oposta a face 3 é a face 4, e a face oposta a face 2 é a face 5. Resta descobrir onde estão as faces 1 e 6. Para isso, vamos observar o segundo dado, mostrado a seguir:

Neste segundo dado, a face oposta à face 1 tem de ser a face 6, para que a soma das faces seja sete. Logo, é a face 6, do segundo dado, que está em contato com o primeiro dado. Como o enunciado disse que as faces em contato dos dois dados não possuem quantidades de pontos iguais, então resta que a face do primeiro dado que está em contato com o segundo dado é a face 1. A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é, portanto, igual a 7 (=1 + 6). Resposta: Alternativa A. Exemplo 5. (FCC) A figura a seguir mostra uma pilha de três dados idênticos. O número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário: a) certamente é 1; b) certamente é 2; c) certamente é 5; d) pode ser 1 e pode ser 2; e) pode ser 5 e pode ser 6. Solução: A informação de que os três dados são idênticos é muito importante, e a usaremos nas considerações que se seguem. Vamos girar o dado superior de modo que a face 3 fique com a mesma disposição dos pontos mostrada na face 3 do dado inferior. Feito isso, teremos dois possíveis desenhos para o dado superior:


261

1o desenho) Face 6 para frente e face 2 para baixo:

2o desenho) Face 6 para trás e face 2 para cima:

Esses dois desenhos são válidos e se referem ao mesmo dado. Os desenhos estão difrentes apenas porque as faces estão sendo vistas por ângulos diferentes (no primeiro desenho a face 6 está para frente, enquanto no segundo desenho o dado foi posicionado de modo que a face 6 ficou para trás). Vamos comparar o 2o desenho com o dado inferior, pois ambos têm a face 3 na mesma posição. Dessa comparação, conclui-se que a face voltada para cima no dado inferior tem de ser a face 2.

A questão pede o número da face do dado inferior que está em contato com o dado intermediário. Esse número pode ser visto no desenho anterior, é o de número 2. Resposta: Alternativa B. Exemplo 6. (FCC) Um certo número de dados de seis faces forma uma pilha única sobre uma mesa. Sabe-se que: – os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7; – a face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6; – os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Sendo verdadeiras essas três afirmações, na pilha, a face do dado da pilha mais afastada da mesa: a) necessariamente tem um número de pontos ímpar; b) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par; c) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for ímpar; d) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par; e) necessariamente tem um número par de pontos. Solução: Vamos montar a pilha de dados de acordo com a descrição feita no enunciado.


262

1o) A face do dado da pilha que está em contato com a mesa é a do número 6. Então, para que a soma seja 7, a face de cima do dado é 1. Veja o desenho do dado sobre a mesa: 1 6

2o) Os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Com base nisso, desenharemos duas representações: uma pilha com 2 dados e outra com 3 dados. 1 6 6 1

6 1

1 6

1 6

Agora, passemos a analisar as alternativas da questão, verificando qual delas fala a verdade sobre a face do dado da pilha mais afastada da mesa. Alternativa A: necessariamente tem um número de pontos ímpar. Errado! Pois observe que na pilha com dois dados a face mais afastada da mesa é a face 6, que é par. 

Alternativa B: tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par. Certo! Para a situação com dois dados, observa-se que a face do dado da pilha mais afastada da mesa tem 6 pontos. O mesmo vai ocorrer para a pilha com quatro dados, seis dados, oito dados etc. Já encontramos a alternativa correta: Alternativa B! 

Exemplo 7. Um dado, cuja soma das faces opostas é sete, é lançado três vezes. Sabendo-se que a soma das faces superiores nos três lançamentos foi igual a 12, a soma das faces inferiores é: a) 9; d) 16; b) 13; e) 17. c) 15; Solução: Designando por a, b e c os valores das faces superiores nos três lançamentos, podemos formar a seguinte equação: a + b + c = 12


263

Designaremos por a’, b’ e c’ as faces opostas às faces a, b e c, respectivamente. Como a soma das faces opostas é 7, então temos as seguintes igualdades: a + a’ = 7 b + b’ = 7 c + c’ = 7 Nessas igualdades, isolaremos as letras a, b e c: a = 7 – a’ b = 7 – b’ c = 7 – c’ Substituiremos as letras a, b e c por essas relações na equação estabelecida no início da questão: (7 – a’) + (7 – b’) + (7 – c’) = 12 21 – a’ – b’ – c’ = 12 – a’ – b’ – c’ = 12 – 21 a’ + b’ + c’ = 9 Pronto! Encontramos a resposta solicitada na questão.

4.2. Questões Lógicas com Figuras Colocamos nesta seção tipos variados de questões de lógica que envolvem figuras. 4.2.2. Exercícios Resolvidos

Exemplo 8. (FCC) Observe com atenção a figura a seguir:

Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na figura dada é:

a)

d)

b)

e)

c)


264

Solução: Observe o desenho em cor cinza dentro da figura a seguir; ele é exatamente igual ao desenho da alternativa C.

Resposta: Alternativa C. Exemplo 9. (FCC) Considere a figura a seguir:

Se você pudesse fazer uma das figuras seguintes deslizar sobre o papel, aquela que, quando sobreposta à figura dada, coincidiria exatamente com ela é:

a)

b)

c)

d)

e)

Solução: Temos duas opções: 1a) deslizar a figura do enunciado; ou 2a) deslizar uma a uma as figuras trazidas nas alternativas. Qual delas resolve mais rápido a questão? Em geral, a primeira opção nos conduz a uma solução mais rápida. A questão diz que devemos deslizar a figura sobre o papel, o que significa isso? Quer dizer que podemos movimentar a figura em qualquer direção, desde que não a tiremos, em nenhum momento, do papel. Sendo mais prático, significa que teremos de girar a figura. Vamos deslizar (girar no sentido horário) a figura do enunciado:

(i) (ii) (iii) (iv) Na verdade, não é recomendável executar de uma só vez todos os giros da figura, pois podemos estar perdendo tempo. Sugerimos a fazer um giro na figura e, em seguida, compará-la com as figuras trazidas nas alternativas. E fazer isso até encontrar a opção correta. Após o primeiro giro obtemos a figura (ii); ela é igual a uma das figuras trazidas nas alternativas? Não! Passemos ao próximo giro. Após o segundo giro obtemos a figura (iii); ela é igual a uma das figuras trazidas nas alternativas? Também não! Após o terceiro giro obtemos a figura (iv); ela é igual a uma das figuras trazidas nas alternativas? SIM! A figura (iv) é igual à figura da alternativa A! Resposta: Alternativa A.


265

Exemplo 10. (FCC) Considere esta figura.

Supondo que as figuras apresentadas nas alternativas a seguir possam apenas ser deslizadas sobre o papel, aquela que coincidirá com a figura dada é:

a)

d)

b)

e)

c) Solução: Esta questão é semelhante à anterior, porém a figura fornecida possui mais detalhes que dificultam a execução dos giros. Então, é melhor usarmos outra estratégia para a resolução. Observe na figura a seguir (a mesma fornecida na questão) que há um ponto preto ao lado de um pequeno quadrado (destacado em cinza). E é claro que ao girarmos essa figura, o ponto se deslocará junto com o quadrado. Portanto, a opção correta também terá um ponto preto ao lado do pequeno quadrado.

266


Somente as figuras das alternativas D e E possuem essa característica. Daí, descartamos as demais alternativas (A, B e C). Para decidirmos entre D e E, executaremos o giro da figura do enunciado. Vamos desprezar os desenhos que estão dentro da figura, levaremos em conta apenas o seu contorno. Veja a figura sendo girada no sentido anti-horário:

A figura (iii) tem a mesma forma da figura da alternativa D, e mesmo depois de muitos giros nunca teremos uma figura igual à da alternativa E. Portanto, a alternativa D é a correta! Resposta: Alternativa D. Exemplo 11. (FCC) Uma estrutura feita de arame tem a forma de um cubo cujo lado mede 40 cm. Uma formiga encontra-se sobre um vértice do cubo (ponto A), conforme é mostrado na figura a seguir.

Observou-se que: essa formiga saiu do ponto A, foi caminhando ao longo do fio e, após ter percorrido a maior distância possível, retornou ao ponto de partida. Se ela passou uma única vez sobre cada vértice, é correto afirmar que a distância que percorreu, em centímetros, era: a) 80; b) 160; c) 240; d) 320; e) 400. Solução: Há vários caminhos que a formiga pode percorrer saindo de A e retornando ao ponto de partida. Mas desejamos o caminho com maior distância e no qual a formiga passou uma única vez sobre cada vértice.


267

O maior caminho percorrido pela formiga será aquele que passa por todos os vértices. Vejamos um desses possíveis caminhos, indicado pelas setas azuis:

A partir desse desenho, percebemos que a formiga percorreu 8 lados e, como cada lado tem 40 cm, então a distância percorrida pela formiga é igual a 320 cm (= 8 x 40cm). Resposta: Alternativa D. Exemplo 12. (FCC) Na ilustração a seguir, a figura em forma de L recobre 4 quadradinhos iguais. Se cada lado dessa figura fosse triplicado, quantos desses quadradinhos seriam recobertos pela figura ampliada?

a) b) c)

6. 12. 18.

d) e)

24. 36.

Solução: Primeiro, identificaremos os lados da figura em forma de L. Ao todo são seis lados, os quais estão identificados, no desenho a seguir, nas cores azul e vermelho. Aproveitamos e colocamos o respectivo tamanho de cada lado (consideramos que o lado do quadrado tem tamanho 1).

268


Como os lados devem ser triplicados, então os números que indicam o tamanho de cada lado serão triplicados. Triplicando os lados, teremos:

Agora, temos de descobrir quantos quadradinhos são recobertos pela figura ampliada. Podemos encontrar essa quantidade separando a figura em duas partes:

Portanto, ao todo teremos 36 (=18+18) quadradinhos recobertos pela figura ampliada. Resposta: Alternativa E. Exemplo 13. (FCC) Observe este esquema:

Um sentinela em vigília vai de A para B, caminhando sobre as linhas desenhadas e sempre descendo, no sentido de A para B. Quantos caminhos distintos poderá percorrer? a) 6. d) 15. b) 8. e) 18. c) 12. Solução: Observe na figura a seguir que os pontos A e B são diametralmente opostos, sendo assim, o número de caminhos de A para B que iniciam pela esquerda é igual ao número de caminhos de A para B que iniciam pela direita.


269

Portanto, calcularemos o número de caminhos somente em um dos sentidos (esquerdo ou direito), e depois multiplicaremos o resultado por 2 para obter o total de caminhos. Como a figura é pequena e, desse modo, há poucos caminhos, então talvez não fosse necessário ensinar essa coisa de “pontos diametralmente opostos”. Mas caso a figura fosse maior, essa seria uma ótima dica. Voltando à solução, determinaremos agora o número de caminhos distintos partindo de A, pela esquerda, e que chegam em B. Devemos seguir as linhas desenhadas e sempre descendo. Teremos:

Encontramos três caminhos de A para B partindo pela esquerda, então o total de caminhos de A para B é igual ao dobro de 3, ou seja, 6 caminhos. Resposta: Alternativa A. Exemplo 14. (FCC) Na figura a seguir tem-se um conjunto de ruas paralelas às direções I e II indicadas.

Sabe-se que 64 pessoas partem de P: metade delas na direção I, a outra metade na direção II. Continuam a caminhada e, em cada cruzamento, todos os que chegam se di videm prosseguindo metade na direção I e metade na direção II. O número de pessoas que chegarão nos cruzamentos A e B são, respectivamente:


270

a) b) c)

15 e 20; 6 e 20; 6 e 15;

d) e)

1 e 15; 1 e 6.

Solução: Faremos dois caminhos de P para A, a fim de verificar quantas pessoas estão chegando ao ponto A por cada um dos caminhos.

De acordo com a 1a figura, 32 pessoas (metade de 64) partem do ponto P na direção I; no próximo cruzamento apenas 16 (metade de 32) prosseguem na direção I; no próximo, apenas 8 (metade de 16) prosseguem na direção I; no próximo, apenas 4 (metade de 8) prosseguem na direção I; no próximo, apenas 2 (metade de 4) prosseguem na direção I; e, por fim, no próximo cruzamento apenas 1 pessoa segue na direção do ponto A. Ou seja, das 32 pessoas que partem de P na direção I, apenas uma chega pelo caminho indicado na 1a figura. Observe agora a 2a figura. Ela mostra outro caminho possível para ir de P até A. E percebe-se que, novamente, apenas uma pessoa chega ao ponto A. E é claro que essa pessoa é diferente daquela que chegou ao ponto A pelo caminho mostrado na 1 a figura. Se construirmos outros caminhos, perceberemos que também apenas uma pessoa chega em A em cada um deles. Usaremos esse resultado para resolver esta questão. Mas como? Por cada caminho, apenas uma pessoa chega em A, então se encontrarmos o total de caminhos de P para A, obviamente teremos o total de pessoas que chegam em A. Passemos neste momento a contar o número de caminhos de P para A, respeitando o que foi dito no enunciado: as pessoas só seguem nas direções I e II. Isso quer dizer que as pessoas devem sempre estar descendo pelas ruas, e em nenhum momento subindo.

Concluímos que existem seis caminhos de P para A . E, como dissemos anteriormente, por cada um desses caminhos chega uma pessoa em A. Portanto, das 32 pessoas que partem de P, apenas seis pessoas chegam ao ponto A.


271

Com esse resultado, as únicas alternativas que podem ser verdadeiras são a B e a C. Para contar o número de caminhos de P para B é mais complicado, pois o número de caminhos é bem maior. Para decidirmos entre as alternativas B e C, usaremos o mesmo artifício aplicado na solução da questão anterior. Observe na figura a seguir que P e B são diametralmente opostos:

Assim, o número de caminhos de P para B que iniciam pela direção I é igual ao número de caminhos de P para B que iniciam pela direção II. Portanto, encontrando o número de caminhos apenas em uma direção, basta multiplicarmos o resultado por 2 para obter o total de caminhos. Quando multiplicamos um número qualquer por 2, o resultado sempre será um número par. Portanto, o total de caminhos de P para B é um número PAR. E pra que isso? Você já vai entender. Sabemos que as alternativas que podem estar corretas são a B e a C. Na alternativa B o número de caminhos de P para B é 20 (PAR), e na alternativa C é 15 (ÍMPAR). Como o total de caminhos de P para B é necessariamente um número PAR, então devemos descartar a alternativa C, restando-nos somente a alternativa B. Achamos a resposta da questão sem precisar contar os caminhos de P para B, em nenhuma das duas direções, o que nos dá uma boa economia de tempo. Resposta: Alternativa B. Essa mesma questão foi resolvida na página 60 por meio de uma fórmula de Análise Combinatória. Exemplo 15. (FCC) Das cinco figuras abaixo, quatro delas têm uma característica geométrica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

272


A figura que não tem essa característica é a: a) I; d) b) II; e) c) III;

IV; V.

Solução: As figuras I, II, IV e V têm todas as suas faces opostas paralelas entre si, enquanto na figura III nem todas as faces opostas são paralelas. Logo, devemos marcar a alternativa C! Há outra forma de se chegar à alternativa correta. Observando as faces frontais de cada figura, notamos que a face frontal da figura III é a única que possui um par de lados opostos de tamanhos diferentes (y  z). Resposta: Alternativa C. Exemplo 16. (FCC) Do conhecido “jogo da velha” participam duas pessoas que devem, alternadamente, assinalar suas respectivas marcas nas casas de um esquema formado por linhas paralelas, duas horizontais e duas verticais. O vencedor será aquele que primeiro conseguir assinalar sua marca em três casas de uma mesma linha, coluna ou diagonal do esquema.

Considere que, após três jogadas sucessivas, tem-se o seguinte esquema: Dos esquemas seguintes, o único que não apresenta jogadas equivalentes à do esquema anterior é:

Solução: No esquema fornecido no enunciado e nos esquemas apresentados nas alternativas A, B, C e D, as duas marcações do x estão de um mesmo lado (numa mesma linha ou numa mesma coluna). Já no esquema mostrado na alternativa E, as duas marcações do x estão numa diagonal (não estão na mesma linha, nem na mesma coluna). Portanto, o único esquema que NÃO apresenta jogadas equivalentes às do esquema fornecido no enunciado é o da alternativa E. Resposta: Alternativa E.


273

Exemplo 17. (FCC) A figura seguinte mostra uma pilha de cubos de mesmas dimensões.

O número de cubos que foram usados na montagem dessa pilha é: a) 8; d) 11; b) 9; e) 12. c) 10; Solução: Na figura podem ser visualizados seis cubos, mas sabemos que há cubos encobertos, exatamente três cubos, como podemos verificar nas indicações feitas no desenho a seguir: Há dois cubos embaixo desse cubo Há um cubo embaixo desse cubo

Temos na pilha um total de 9 (=6+3) cubos. Resposta: Alternativa B. Exemplo 18. (OBM) Onze cubinhos, todos de mesma aresta, foram colados conforme a figura a seguir.

O menor número de cubinhos, iguais aos já utilizados, que devem ser agregados ao sólido formado pelos onze cubinhos para obtermos um cubo maciço é igual a: a) 48; d) 53; b) 49; e) 56. c) 52;


274

Solução: O enunciado diz que existem 11 cubinhos na figura, e observe que há 4 cubinhos no comprimento, 3 cubinhos na largura e 3 cubinhos na altura. Como não podemos retirar cubinhos da figura, mas somente acrescentar, então o menor cubo maciço que conseguiremos construir é um que tenha 4 cubinhos no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. O total de cubinhos que formarão esse cubo maciço pode ser encontrado pelo seguinte produto: 4 × 4 × 4 = 64 cubinhos. Como temos 11 cubinhos, então falta agregar 53 cubinhos (=6411). Resposta: Alternativa D. Exemplo 19. (OBM) Nove peças diferentes de dominó estão sobre uma mesa, parcialmente cobertos por um pedaço de papel. Os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto, 2 pontos são vizinhos a 2 pontos etc. Qual o total de pontos escondidos pelo papel?

a) b) c)

18. 19. 20.

d) e)

21. 22.

Solução: De acordo com o enunciado, os dominós se tocam de modo que 1 ponto é vizinho a 1 ponto, 2 pontos são vizinhos a 2 pontos e assim por diante. Seguindo essa orientação, escreveremos os números (em vermelho) em algumas peças do dominó que estão em branco. Teremos:


275

Seja x o número de pontos da parte da peça que fica bem no centro dessa figura. E como as partes vizinhas de duas peças de dominó que se tocam devem possuir o mesmo número de pontos, então as demais partes que estão em branco também serão iguais a x. Assim, teremos o seguinte desenho em destaque:

Testaremos diversos valores para x: x pode ser igual 0? Não, pois a peça (0|3) já foi usada.  x pode ser igual a 1? Não, pois a peça (4|1) já foi usada.  x pode ser igual a 2? Não, pois a peça (2|1) já foi usada.  x pode ser igual a 3? Sim, pois nada impede que usemos esse valor.  x pode ser igual a 4? Não, pois a peça (4|1) já foi usada.  x pode ser igual a 5? Não, pois a peça (5|1) já foi usada.  x pode ser igual a 6? Não, pois a peça (6|2) já foi usada.  Portanto, encontramos: x=3. Assim, a soma de pontos escondidos pelo papel é:  3+4+1+2+3+3+3 = 22 Resposta: Alternativa E. Exemplo 20. (FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D e E, com as distâncias dadas em quilômetros:

Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem, a menor distância que poderá ser percorrida para chegar a B é, em quilômetros: a) 68; d) 71; b) 69; e) 72. c) 70; Solução: Esta é uma questão fácil, porém precisamos analisá-la com cuidado.

276


Para encontrarmos a menor distância de A a B (seguindo a ordem A teremos de encontrar a menor distância de cada trecho. Façamos isso: Menor distância de A a E: 8 + 3 + 3 + 9 = 23 Menor distância de E a C: 9 + 3 + 4 = 16 Menor distância de C a D: 4 + 3 = 7 Menor distância de D a B: 3 + 3 + 7 + 5 + 6 = 24 Somando as distâncias obtidas em cada trecho, teremos: 23 + 16 + 7 + 24 = 70 Resposta: Alternativa C.

 E  C  D  B),

Exemplo 21. (FCC) Analise a figura a seguir.

O maior número de triângulos distintos que podem ser vistos nessa figura é: a) 20; d) 14; b) 18; e) 12. c) 16; Solução: Se formos contar os triângulos que vemos nessa figura sem usar um critério adequado, certamente nos perderemos na contagem. O critério que usaremos é a enumeração de todos os vértices da figura, do seguinte modo:

Agora, passemos a contar, de forma organizada, os triângulos que podem ser visualizados na figura. Triângulos com vértice no ponto 1: (1,4,6); (1,4,12) = 2 triângulos.   Triângulos com vértice no ponto 2: (2,5,7); (2,7,11) = 2 Triângulos com vértice no ponto 3: (3,5,6); (3,8,12); (3,9,11); (3,11,12) = 4  Triângulos com vértice no ponto 4: (4,5,8); (4,6,12); (4,7,10) = 3  Triângulos com vértice no ponto 5: (5,7,11) = 1  Triângulos com vértice no ponto 6: (6,7,9) = 1  Triângulos com vértice no ponto 7: já foram contados.  Triângulos com vértice no ponto 8: (8,10,11); (8,11,12) = 2 


277

Triângulos com vértice no ponto 9: (9,11,12); (9,10,12) = 2 Triângulos com vértice no ponto 10: (10,11,12) = 1  Triângulos com vértice no ponto 11 : já foram contados.  Triângulos com vértice no ponto 12 : já foram contados.  Total de triângulos = 2+2+4+3+1+1+2+2+1 = 18 Resposta: Alternativa B. 

Exemplo 22. (OBM) Quantos triângulos existem cujos lados estão sobre alguns dos segmentos traçados na figura ao lado? Solução: A partir da figura trazida na questão podemos visualizar os seguintes triângulos:

(1 triângulo) (2 triângulos) (2 triângulos) (2 triângulos)

(3 triângulos) (3 triângulos) (3 triângulos) (1 triângulo) Portanto, o número total de triângulos é igual a 17 (=1+2+2+2+3+3+3+1). Caso tenha dificuldades na contagem dos triângulos, siga a orientação que foi dada na questão anterior. Exemplo 23. (FCC) Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a partir de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho.

O número de cubos que podem ser visualizados nessa figura é: a) 9; d) 36; b) 18; e) 48. c) 27;

278


Solução: Esta questão causou polêmica, porque ela pede o número de cubos que podem ser visualizados na figura, e muitos entenderam que os cubinhos encobertos não deveriam ser contados. Para encontrar a alternativa correta, teremos de contar todos os cubinhos presentes no cubo grande, inclusive os encobertos. O cubo da figura anterior tem três cubinhos em cada aresta (altura, largura e comprimento), assim o total de cubinhos é igual a 27 (=3×3×3). Agora, tentaremos visualizar cubos que possuem dois cubinhos em cada aresta, conforme mostrado a seguir:

Olhando para o cubo fornecido na questão, tentaremos visualizar o cubo mostrado (dois cubinhos por aresta). Podemos visualizar 4 desses cubos na parte superior (frente esquerda, frente direita, atrás esquerda e atrás direita) do cubo maior, conforme mostrado a seguir:

E mais 4 desses cubos na parte inferior (frente esquerda, frente direita, atrás esquerda, atrás direita) do cubo maior:

Totalizando 8 cubos! O cubo mostrado no enunciado também entrará na contagem: 1 cubo. Concluindo, o número de cubos que podem ser visualizados na figura da questão é igual a: 27 + 8 + 1 = 36 Resposta: Alternativa D. Exemplo 24. (OBM) Um bloco de dimensões 1 × 2 × 3 é colocado sobre um tabuleiro 8 × 8, como mostra a figura, com a face X, de dimensões 1 × 2, virada para baixo. Giramos o bloco em torno de uma de suas arestas de modo que a face Y fique virada para baixo. Em seguida, giramos novamente o bloco, mas desta vez de modo que a face Z fique virada para baixo. Giramos o bloco mais três vezes, fazendo com que as faces X, Y e Z fiquem viradas para baixo, nessa ordem. Quantos quadradinhos diferentes do tabuleiro estiveram em contato com o bloco?


a) b) c) d) e)

279

18. 19. 20. 21. 22.

Solução: O bloco tem dimensões 1 × 2 × 3, conforme mostrado na figura. E suas faces foram designadas por X (face de dimensões 1 × 2), por Y (face de dimensões 1 × 3) e por Z (face de dimensões 2 × 3). Ele inicialmente encontra-se com a face X virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com o bloco na sua posição inicial estão indicados com o número 0, como mostrado na figura a seguir. Nesse momento, o bloco é girado cinco vezes, na ordem especificada na questão. Veja o bloco da figura anterior e imagine-o após cada giro. Marcaremos, no desenho a seguir, os quadradinhos do tabuleiro em contato com o bloco após cada giro. 1o) gira-se o bloco de modo que a face Y fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Y do bloco estão indicados com o número 1. 2o) gira-se o bloco de modo que a face Z fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Z do bloco estão indicados com o número 2. 3o) gira-se o bloco fazendo com que a face X fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face X do bloco estão indicados com o número 3. 4o) gira-se o bloco fazendo com que a face Y fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Y do bloco estão indicados com o número 4. 5o) gira-se o bloco fazendo com que a face Z fique virada para baixo. Os quadradinhos do tabuleiro em contato com a face Z do bloco estão indicados com o número 5.

280


0 4

4 4, 0 3

3

5

5 5, 1 2

2

5

5 5, 1 2

2

1 2

2

Os quadradinhos do tabuleiro que possuem algum número são aqueles que estiveram em contato com o bloco. E ao todo são 19 quadradinhos, como podemos verificar nesse tabuleiro. Resposta: Alternativa B. Exemplo 25. (OBM) As 4 colorações a seguir são consideradas iguais por coincidirem por rotação.

De quantos modos diferentes é possível colorir as casas de um tabuleiro 2  2 de branco ou preto de modo que não existam dois tabuleiros que coincidam por rotação? a) 4. d) 7. b) 5. e) 8. c) 6. Solução: Há seis possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro, a saber:

Resposta: Alternativa C. Exemplo 26. (OBM) Um serralheiro solda varetas de metal para produzir peças iguais que serão juntadas para formar o seguinte painel. O desenho a seguir apresenta as medidas, em centímetros, de uma dessas peças. O serralheiro usa exatamente 20 metros de vareta para fazer o seu trabalho.


281

Qual dos desenhos a seguir representa o final do painel?

Solução: De acordo com as dimensões fornecidas, para fazer uma peça são necessários 45 centímetros (=3×10+3×5) de arame. Como 20 metros é igual a 2000 centímetros, e 2000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20, o serralheiro irá fazer 44 peças completas, ficando com uma sobra de 20 centímetros, que lhe possibilitará fazer as duas primeiras partes de uma peça. Assim, o final do painel terá o seguinte desenho:

O único desenho das opções de resposta que tem o final igual a essa parte desenhada é o da alternativa B. Resposta: Alternativa B. Exemplo 27. (OBM) O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexágono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para montar o arranjo?

a) b) c)

113. 123. 122.

d) e)

132. 152.

Solução: Para resolver esse tipo de questão é interessante identificar uma parte do arranjo que este ja se repetindo. Façamos o seguinte, vamos separar as duas primeiras colunas de hexágonos do arranjo:

282


Observe que a coluna que está à esquerda tem 16 varetas e a que está à direita apenas 11 varetas (linhas cheias do desenho). E cada coluna acima tem três hexágonos. Temos um total de 32 hexágonos e como cada coluna possui três hexágonos, então podemos construir 10 colunas, restando dois hexágonos. O desenho a seguir mostra o arranjo dividido em colunas e ao final os dois hexágonos que sobraram:

1 coluna de 16 varetas

9 colunas de 11 varetas

2 hexágonos de 4 varetas

A partir desse desenho calcularemos a quantidade total de varetas utilizadas para formar os 32 hexágonos. Teremos: No de varetas = 1 × 16 + 9 × 11 + 2 × 4 = 123 (Resposta)

4.3. Questões Lógicas com Palitos A Lógica com palitos é tradicional e popular, sendo as questões mais conhecidas aquelas que pedem o menor número de palitos de fósforo que devem ser movidos a fim de realizar uma determinada formação. É importante distinguir a diferença entre mover (deslocar) e retirar. Quando a questão diz que se devem mover palitos significa mudá-los de posição para formar uma nova configuração, de modo que o total de palitos permaneça inalterado; retirar palitos significa que esses palitos retirados não farão parte da nova formação, portanto, o total de palitos será reduzido. 4.3.1. Exercícios Resolvidos

Exemplo 28. (FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II:

O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é: a) 3; d) 6; b) 4; e) 7. c) 5;


283

Solução: Se movermos os cinco palitos indicados pelas setas vermelhas para o lado esquerdo da figura I, obteremos a formação dos palitos da figura II.

Portanto, é preciso mover apenas cinco palitos. Resposta: Alternativa C. Exemplo 29. (FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é possível transformá-la na figura II:

O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é: a) 1; d) 4; b) 2; e) 5. c) 3; Solução: Esta é mais fácil que a anterior. Somente dois palitos da figura I, indicados pelas setas vermelhas, precisam ser movidos para obter a formação mostrada na figura II.

Portanto, é preciso mover apenas dois palitos. Resposta: Alternativa B. Exemplo 30. Observe a figura a seguir composta por 16 palitos, formando cinco quadrados congruentes.

284


O número mínimo de palitos que se deve mover (não é retirar) para obtermos exatamente quatro quadrados congruentes é: a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5. Solução: É necessário apenas mover dois palitos, conforme se pode observar no novo desenho dos palitos formando quadro quadrados congruentes.

Esse desenho continua com 16 palitos. Resposta: Alternativa B. Exemplo 31. (FCC) Seis palitos de picolé são colocados sobre uma mesa em três filas, como a figura mostra:

Enfrentam-se dois jogadores, X e Y. Cada um pode, na sua vez, retirar quantos palitos quiser, desde que todos pertençam à mesma fila. Quem for obrigado a retirar o último palito perde. Suponha que o jogador X comece retirando os três palitos da fila inferior. Nessa situação, Y certamente vencerá se retirar: a) o palito da fila superior; b) o palito da direita da fila média; c) os dois palitos da fila média; d) qualquer um dos palitos; e) todos os palitos.


285

Solução: Na figura trazida no enunciado, temos três filas: fila superior (1 palito), fila média (2 palitos) e fila inferior (3 palitos). O jogador X começou o jogo retirando os três palitos da fila inferior, e a questão quer saber como Y deve proceder para que ele vença com certeza. Lembrando que quem for obrigado a retirar o último palito perde. Vamos testar as alternativas! Alternativa A) Y retira o palito da fila superior Ao fazer isso, restarão apenas os dois palitos da fila intermediária. O jogador X deve retirar somente um desses dois palitos, então restará a Y o último palito, perdendo, dessa forma, o jogo. Logo, esta alternativa deve ser descartada! Alternativa B) Y retira o palito da direita da fila média Ao fazer isso, restarão dois palitos: um da fila superior e um da fila média. O jogador X, ao retirar qualquer um desses palitos, deixará para o jogador Y o último palito. Logo, Y perde o jogo. Assim, esta alternativa deve ser descartada! Alternativa C) Y retira os dois palitos da fila média Ao fazer isso, restará apenas o palito da fila superior. Nesse caso, o jogador X vai retirar o último palito, e, consequentemente, perderá o jogo. Daí, o jogador Y vence. Portanto, a alternativa correta é a letra C. Resposta: Alternativa C.

4.4. Exercícios Propostos 01.

(TRT 5a Região Analista Judiciário 2013 FCC) Para montar, com palitos de fósforo, o quadriculado 2 x 2 mostrado na figura a seguir, foram usados, no total, 12 palitos.

Para montar um quadriculado 6 ser usados, no total, a) b) c) d) e)

64 palitos. 72 palitos. 84 palitos. 96 palitos. 108 palitos.



6 seguindo o mesmo padrão, deverão


286

02.

(TRT-PE Técnico 2006 FCC) Sabe-se que os pontos marcados nas faces opostas de um dado devem somar 7 pontos. Assim sendo, qual das figuras seguintes NÃO pode ser a planificação de um dado?

a)

d)

b)

e)

c)

03.

A figura abaixo é a planificação de um dado.

Os valores de A, B e C, respectivamente, para que essa figura forme um dado honesto são a) b) c) d) e)

04.

1, 1, 2, 3, 3,

2, 3 3, 2 1, 3 1, 2 2, 1

(OMRJ) As faces opostas de um dado bem construído somam sempre sete pontos. Um dado percorre um circuito como ilustrado nos dois movimentos feitos. Inicialmente, a face superior é três pontos. Qual será a face superior ao final de percorrer o circuito?

Posição inicial

Primeiro movimento feito

raciocinio logico facilitado.pdf

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