Capa
1. Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de palavras) ................................ ................................................ .................................. .................................. ............................. ............. .1 2. Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos. ................................. ................................................. ................................. ................................. .................................. .................................. .................. 60
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1 Resolução de problemas envolvendo frações, conjuntos, porcentagens, sequências (com números, com figuras, de palavras).
FRAÇÕES Adição e Subtração Frações com denominadores iguais : Exemplo
Jorge comeu
3 8
de um tablete de chocolate e Miguel
2 8
desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete
de chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos? A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela também estão representadas as frações do tablete que Jorge e Miguel comeram:
3/8
2/8 5/8
Observe que
3 8
+
2 8
=
5 8
Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos
5 8
do tablete de chocolate.
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm denominadores iguais, conservamos o denominador comum e somamos ou subtraímos os numeradores. Outro Exemplo: 3 2
5 2
7 2
357 2
1 2
Frações com denominadores diferentes : Calcular o valor de mmc (8,6) = 24
3 8
5 6
. Inicialmente, devemos reduzir as frações ao mesmo denominador comum: 3 8
5 6
=
9 24
20 24
24 : 8 . 3 = 9 24 : 6 . 5 = 20 Devemos proceder, agora, como no primeiro caso, simplificando o resultado, quando possível: 1
9 24
20 24
9 20
=
24
3
Portanto:
8
5 6
29
24
9
=
24
20 24
9 20
=
24
29
24
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao menor denominador comum, após o que procedemos como no primeiro caso.
Multiplicação Exemplo 4
De uma caixa de frutas,
2
são bananas. Do total de bananas,
5
3
de frutas da caixa que estão estragadas?
estão estragadas. Qual é a fração
Representa 4/5 do conteúdo da caixa
Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa. Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor de equivale a 2 3
.
4 5
8
do total de frutas. De acordo com a tabela acima,
15
=
2 3
2 3
de
de 4 5
4 5
que, de acordo com a figura,
equivale a
2 3
.
4 5
. Assim sendo:
8 15
Ou seja: 2 3
de
4 5
2
=
3
.
4
=
5
2.4 3.5
=
8 15
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores das frações dadas. Outro exemplo:
2 3
.
4 5
.
7 9
2.4.7 3.5.9
56 135
Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse processo de simplificação recebe o nome de cancelamento. 2
1
. 1
3
4 5
.
9
3
10
5
12 25
Divisão
2
Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador de uma é o denominador da outra e vice-versa. Exemplo 2 3
3
é a fração inversa de
5 ou
5
2 1
é a fração inversa de
1
5
Considere a seguinte situação: Lúcia recebeu de seu pai os
4
dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates
5
recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia? A solução do problema consiste em dividir o total de chocolates que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja, 4 : 3. 5
Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular Portanto: Como
1 3
4 5
:3=
1
4
1
de
5
=
3
.
3
desse algo.
4
de
3
1
5
4 5
4
=
.
5
1 3
, resulta que
4 5
:3=
4 5
:
3 1
=
4 5
.
1 3
São frações inversas
Observando que as frações
3 1
e
1 3
são frações inversas, podemos afirmar que:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira pelo inverso da segunda. Portanto
4 5
4
:3=
5
:
3 1
4
=
.
5
1 3
=
4 15
Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu Outro exemplo:
4 8 : 3 5
1
4
.
5
3 8
2
4 15
do total de chocolates contidos na caixa.
5 6
Observação: 3
Note a expressão:
2 1
. Ela é equivalente à expressão
3 2
:
1 5
.
5 3
Portanto
2 1
=
3 2
:
1 5
=
3 5 15 . = 2 1 2
5
3
QUESTÕES 01- (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: − 1 real: 1/4das moedas − 50 centavos: 1/3das moedas − 25 centavos: 2/5das moedas − 10 centavos: as restantes Mariana totalizou a quantia contida no cofre em A) R$ 62,20. B) R$ 52,20. C) R$ 50,20. D) R$ 56,20. E) R$ 66,20. 02- (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? A) 145 B) 185 C) 220 D) 260 E) 120 03- (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: A) R$ 150,00. B) R$ 175,00. C) R$ 200,00. D) R$ 225,00. 04- (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Quando perguntado sob re qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: “O produto das frações 9/5 e 75/3fornece a minha idade!”. Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: A) 40 anos. B) 35 anos. C) 45 anos. D) 30 anos. E) 42 anos. 05- (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Durante um mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15000 voluntários foram igualmente divididos entre as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: A) 2500. B) 3200. C) 1500. D) 3000. E) 2000. 06- (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) De acordo com determinada receita de bolo, são necessários 3/4de xícara de açúcar para fazer meia receita. Se Joaquim deseja fazer uma quantidade equivalente a duas receitas, temos que serão necessárias: A) 2 xícaras de açúcar. B) 1,5 xícara de açúcar. C) 3 xícaras de açúcar. D) 2,5 xícaras de açúcar. 4
E) 3,5 xícaras de açúcar.
07- (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Na escola onde estudo, 1/4dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm ciências como disciplina favorita? A) 1/4. B) 3/10. C) 2/9. D) 4/5. E) 3/2. 08- (TRT 6ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO- ADMINISTRATIVA – FCC/2012) Em uma praia chamava a atenção um catador de cocos (a água do coco já havia sido retirada). Ele só pegava cocos inteiros e agia da seguinte maneira: o primeiro coco ele coloca inteiro de um lado; o segundo ele dividia ao meio e colocava as metades em outro lado; o terceiro coco ele dividia em três partes iguais e colocava os terços de coco em um terceiro lugar, diferente dos outros lugares; o quarto coco ele dividia em quatro partes iguais e colocava os quartos de coco em um quarto lugar diferente dos outros lugares. No quinto coco agia como se fosse o primeiro coco e colocava inteiro de um lado, o seguinte dividia ao meio, o seguinte em três partes iguais, o seguinte em quatro partes iguais e seguia na sequência: inteiro, meios, três partes iguais, quatro partes iguais. Fez isso com exatamente 59 cocos quando alguém disse ao catador: eu quero três quintos dos seus terços de coco e metade dos seus quartos de coco. O catador consentiu e deu para a pessoa A) 52 pedaços de coco. B) 55 pedaços de coco. C) 59 pedaços de coco. D) 98 pedaços de coco. E) 101 pedaços de coco. 09- (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) A mãe do Vitor fez um bolo e repartiu em 24 pedaços, todos de mesmo tamanho. A mãe e o pai comeram juntos, 1/4do bolo. O Vitor e a sua irmã comeram, cada um deles, 1/4do bolo. Quantos pedaços de bolo sobraram? A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 10- (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Paulo recebeu R$1.000,00 de salário. Ele gastou ¼ do salário com aluguel da casa e 3/5 do salário com outras despesas. Do salário que Paulo recebeu, quantos reais ainda restam? A) R$ 120,00 B) R$ 150,00 C) R$ 180,00 D) R$ 210,00 E) R$ 240,00 RESPOSTAS Questão 01
1 :120 ∙ 14 = 30 50 : 13 ∙120 = 40 25 : 25 ∙120 = 48 10 :120118 = 2 5
30 40 ∙ 0,5 48 ∙ 0,25 2 ∙ 0,10 = 62,20 Mariana totalizou R$ 62,20. RESPOSTA: “A”.
Questão 02
800∙ 34 = 600 ℎ 600∙ 15 = 120 ℎ Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres
800∙ 14 = 200 ℎ 200∙ 18 = 25 ℎ Total de pessoas detidas: 120+25=145 RESPOSTA: “A”.
Questão 03
= 175 Cada prestação será de R$175,00 RESPOSTA: “B”.
Questão 04
9 ∙ 75 = 675 = 45 5 3 15 RESPOSTA: “C”.
Questão 05
15000 = 3000 5
Cada região terá 3000 voluntários. RESPOSTA: “D”.
Questão 06 Como são duas receitas, 0,5.4=2
3 ∙ 4 = 12 = 3 4 4 RESPOSTA: “C”.
Questão 07 6
Somando português e matemática:
1 9 = 5 9 = 14 = 7 4 20 20 20 10 O que resta gosta de ciências:
1 107 = 103 RESPOSTA: “B”.
Questão 08
59 = 14 3 4 14 vezes iguais Coco inteiro: 14 Metades: 14.2=28 Terça parte: 14.3=42 Quarta parte: 14.4=56 3 cocos: 1 coco inteiro, metade dos cocos, terça parte Quantidade total Coco inteiro: 15 Metades: 30 Terça parte: 45 Quarta parte 56
3 ∙45 1 ∙ 56 = 27 28 = 55 5 2 RESPOSTA: “B”.
Questão 09
= Sobrou 1/4 do bolo.
24 ∙ 14 = 6 ç RESPOSTA “B”.
Questão 10
Aluguel: 1000∙ = 250 Outras despesas: 1000∙ = 600
250 600 = 850
Restam: 1000-850=R$150,00 RESPOSTA: “B”.
7
Conjunto dos Números Naturais - N O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números. Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais - Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero. Exemplos: Seja m um número natural. a) O sucessor de m é m+1. b) O sucessor de 0 é 1. c) O sucessor de 1 é 2. d) O sucessor de 19 é 20. - Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos. Exemplos: a) 1 e 2 são números consecutivos. b) 5 e 6 são números consecutivos. c) 50 e 51 são números consecutivos. - Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. Exemplos: a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. b) 5, 6 e 7 são consecutivos. c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. - Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado). Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. a) O antecessor do número m é m-1. b) O antecessor de 2 é 1. c) O antecessor de 56 é 55. d) O antecessor de 10 é 9. O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, 8
escreveremos A = B (lê- se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto. Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos. Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Operações com Números Naturais Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.
A adição de Números Naturais A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
Propriedades da Adição - Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N. - Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C) - Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural. - Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela. Multiplicação de Números Naturais É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. Exemplo: 4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação. 9
Propriedades da multiplicação - Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N. - Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60 - Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem- se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7 - Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12 Propriedade Distributiva Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo. No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. Relações essenciais numa divisão de números naturais - Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5 - Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 35 = 5x7 - A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
Potenciação de Números Naturais Para dois números naturais m e n, a expressão m n é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: m n = m . m . m ... m . m → m aparece n vezes O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência. Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 4 3 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação - Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1 n, será sempre igual a 1. Exemplos: 10
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1 b- 13 = 1×1×1 = 1 c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1 - Se n é um número natural não nulo, então temos que n o=1. Por exemplo: - (a) nº = 1 - (b) 5º = 1 - (c) 49º = 1 - A potência zero elevado a zero, denotada por 0 o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental. - Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo: - (a) n¹ = n - (b) 5¹ = 5 - (c) 64¹ = 64 - Toda potência 10 n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros. Exemplos: a- 103 = 1000 b- 108 = 100.000.000 c- 10o = 1
Conjunto dos Números Inteiros – Z Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: - O conjunto dos números inteiros não nulos: Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0} - O conjunto dos números inteiros não negativos: Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z + = N - O conjunto dos números inteiros positivos: Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} - O conjunto dos números inteiros não positivos: Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} - O conjunto dos números inteiros negativos: Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0 No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a , e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
11
Adição de Números Inteiros Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder. Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8) Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3) O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal ( –) antes do número negativo nunca pode ser dispensado. Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a ,b ,c em Z : a + (b + c) = (a + b) + c 2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7 Comutativa: Para todos a ,b em Z : a+b=b+a 3+7=7+3 Elemento Neutro: Existe 0 em Z , que adicionado a cada z em Z , proporciona o próprio z , isto é: z+0=z 7+0=7 Elemento Oposto: Para todo z em Z , existe (-z) em Z , tal que z + ( –z) = 0 9 + ( –9) = 0
Subtração de Números Inteiros A subtração é empregada quando: - Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; - Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. A subtração é a operação inversa da adição. Observe que: 9 – 5 = 4
diferença
4+5=9
subtraendo minuendo Considere as seguintes situações: 1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura? Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + ( –3) = +3 Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + ( –3).
12
Temos: (+6) – (+3) = (+6) + ( –3) = +3 (+3) – (+6) = (+3) + ( –6) = –3 ( –6) – ( –3) = ( –6) + (+3) = –3 Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Multiplicação de Números Inteiros A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: ( –2) + ( –2) + ... + ( –2) = 30 x (-2) = –60 Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. Na multiplicação o produto dos números a e b , pode ser indicado por a x b , a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais: (+1) x (+1) = (+1) (+1) x (-1) = (-1) (-1) x (+1) = (-1) (-1) x (-1) = (+1) Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Iguais Diferentes
Resultado do produto Positivo Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro. Associativa: Para todos a,b,c em Z : a x (b x c) = (a x b) x c 2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7 Comutativa: Para todos a,b em Z : axb=bxa 3x7=7x3 Elemento neutro: Existe 1 em Z , que multiplicado por todo z em Z , proporciona o próprio z , isto é: zx1=z 7x1=7 Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z –1=1/z em Z , tal que z x z –1 = z x (1/z) = 1 9 x 9 –1 = 9 x (1/9) = 1 Distributiva: Para todos a ,b ,c em Z : a x (b + c) = (a x b) + (a x c) 3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
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Divisão de Números Inteiros Dividendo
divisor dividendo:
Divisor = quociente 0 Quociente . divisor = dividendo Sabemos que na divisão exata dos números naturais: 40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40 36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36 Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão exata de números inteiros. Veja o cálculo: ( –20) : (+5) = q (+5) . q = ( –20) q = ( –4) Logo: ( –20) : (+5) = +4 Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí: - Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo. - Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo. - A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z . Por exemplo, (+7) : ( –2) ou ( –19) : ( –5) são divisões que não podem ser realizadas em Z , pois o resultado não é um número inteiro. - No conjunto Z , a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro. 1- Não existe divisão por zero. Exemplo: ( –15) : 0 não tem significado, pois não existe um número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15. 2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero. Exemplos: a) 0 : ( –10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : ( –1) = 0
Potenciação de Números Inteiros A potência a n do número inteiro a , é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente . a n = a x a x a x a x ... x a a é multiplicado por a n vezes Exemplos: 33 = (3) x (3) x (3) = 27 (-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 (-7)² = (-7) x (-7) = 49 (+9)² = (+9) x (+9) = 81 - Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. Exemplo: (+3) 2 = (+3) . (+3) = +9 - Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. Exemplo: ( – 8)2 = ( –8) . ( –8) = +64 - Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. Exemplo: ( –5)3 = ( –5) . ( –5) . ( –5) = –125
Propriedades da Potenciação:
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Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. ( –7)3 . ( – 7)6 = ( –7)3+6 = ( –7)9 Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2 Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4) 5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10 Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9) 1 = +9
( –13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14) 0 = 1 35)0 = 1
( –
Radiciação de Números Inteiros A raiz n-ésima (de ordem n ) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a . O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a . Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de: 9 = ±3
mas isto está errado. O certo é: 9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo. A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a . Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos. Exemplos (a)
3
8 = 2, pois 2³ = 8.
(b)
3
8 = –2,
(c)
3
(d)
3
27 =
pois ( –2)³ = -8.
3, pois 3³ = 27.
27
= –3, pois ( –3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: (a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. (b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.
Conjunto dos Números Racionais – Q Um número racional é o que pode ser escrito na forma
m n
, onde m e n são números inteiros, sendo
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n .
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Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q . Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = { m : m e n em Z, n diferente de zero} n
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: - Q* = conjunto dos racionais não nulos ; - Q+ = conjunto dos racionais não negativos ; - Q*+ = conjunto dos racionais positivos ; - Q _ = conjunto dos racionais não positivos ; - Q*_ = conjunto dos racionais negativos .
Representação Decimal das Frações Tomemos um número racional
p q
, tal que p não seja múltiplo de q . Para escrevê-lo na forma decimal,
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos: 2 5 1 4
= 0,4 = 0,25
35 4
153 50
= 8,75 = 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindose periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 1 3
= 0,333...
1 22 167 66
= 0,04545... = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado: 0,9 = 5,7 =
9 10
57 10
16
0,76 = 3,48 =
76 100 348 100
0,005 =
5 1000
=
1 200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos: Exemplo 1
Seja a dízima 0, 333... . Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda: 10x – x = 3,333... – 0,333... 9x = 3 x = 3/9 Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
3 9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717... . Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... . Subtraindo membro a membro, temos: 99x = 512 x = 512/99 Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração
512 99
.
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434... Façamos x = 1,23434...
10x = 12,3434...
1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos: 990x = 1234,34... – 12,34... 990x = 1222 Simplificando, obtemos x =
611 495
x = 1222/990
, a fração geratriz da dízima 1, 23434...
Números Opostos: Dizemos que – 3 e 2
3 2
são números racionais opostos ou simétricos e cada um
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos –
3 2
e
3 2
ao ponto zero da reta são iguais.
17
Soma (Adição) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a e c , da mesma forma que a soma de frações, através de: b
a b
+
c d
d
= ad bc bd
Propriedades da Adição de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a , b , c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a - Elemento neutro: Existe 0 em Q , que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q , isto é: q + 0 = q - Elemento oposto: Para todo q em Q , existe -q em Q, tal que q + ( –q) = 0
Subtração de Números Racionais A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q , isto é: p – q = p + ( –q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a e c , da mesma forma que o produto de frações, através de: b
a b
x
c d
=
d
ac bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b , a xb , a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática: (+1) × (+1) = (+1) (+1) × (-1) = (-1) (-1) × (+1) = (-1) (-1) × (-1) = (+1) Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional. - Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c - Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a - Elemento neutro: Existe 1 em Q , que multiplicado por todo q em Q , proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
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- Elemento inverso: Para todo q = a b
x
b a
a b
em Q , q diferente de zero, existe q -1 =
b a
em Q: q × q -1 = 1
= 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q , isto é: p ÷ q = p × q -1
Potenciação de Números Racionais A potência q n do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente. q n = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) Exemplos:
2 2 2 2 8 a) = . . = 5 5 5 5 125 3
1 1 1 1 b) = . . = 2 2 2 2 3
1 8
c) ( –5)² = ( –5) . ( –5) = 25 d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25 Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 0
2 = 1 5
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 1
9 9 = 4 4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior. 2
2
3 5 25 = = 9 5 3
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 3 8 2 2 2 2 = . . = 3 3 3 3 27 - Toda potência com expoente par é um número positivo. 2 1 1 1 1 = . = 5 5 25 5
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- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 3
2
2 2 2 2 2 2 2 2 . = . . . . 5 5 5 5 5 5 5 5
2 3
2 5
5
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 3 3 3 3 3 5 2 3 . . . . 3 3 3 3 2 2 2 2 2 : 3 3 2 2 2 2 . 2 2 5
2
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 3
2 2 2 2 2 2 3 2 6 1 2 1 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 2 2 2 2
Radiciação de Números Racionais Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 2 2. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se
4 = 2.
Exemplo 2 1 9
Representa o produto
1 3
.
1 3
2
1 1 ou .Logo, é a raiz quadrada de 3 3
1 9
.Indica-se
1 9
=
1 3
Exemplo 3 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6) 3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,216 = 0,6. Assim, podemos construir o diagrama:
N
Z
Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. O número 100 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto quadrado, dão
9 100
9
10 3
como
10 3
, quando elevados ao
.
20
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito. O número 2 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 3
dê
2 3
.
Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de elementos.
∪ = ∩ Note que ao subtrairmos os elementos comuns ( ∩ ) evitamos que eles sejam contados duas
vezes.
Observações: a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será verdadeira. b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para três ou mais conjuntos com a mesma eficiência. Observe o diagrama e comprove.
∪ ∪ = ∩ ∩ ∩ ∩ ∩ Conjuntos Primitivos Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primitivos, ou seja, não são definidos. Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção de livros são todos exemplos de conjuntos. Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser elemento de algum outro conjunto. Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto (de pontos). Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, ..., embora não exista essa obrigatoriedade. Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras minúsculas. 21
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto. Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x A Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A. Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x A Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.
Como representar um conjunto Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos entre chaves, separando os por vírgula. Exemplos - {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 6, 7 e 8. - {a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m. - {1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica bem determinado. P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos: Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a propriedade P é indicado por: {x, tal que x tem a propriedade P} Uma vez que “tal que” pode ser d enotado por t.q. ou | ou ainda, podemos indicar o mesmo conjunto por: {x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda, {x : x tem a propriedade P}
Exemplos - { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u} - {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que {0, 1, 2, 3} - {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”. Exemplos
- Se A = {a, e, i, o, u} então
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então
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Conjunto Vazio: é aquele que não possui elementos. Representa-se pela letra do alfabeto norueguês 0 ou, simplesmente { }. Simbolicamente: x, x 0 Exemplos - 0 = {x : x é um número inteiro e 3x = 1} - 0 = {x | x é um número natural e 3 – x = 4} - 0 = {x | x ≠ x}
Subconjunto Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A B. Simbolicamente: Simbolicamente: A B ( x)(x x B)
Portanto, A B significa que A não é um subconjunto de B ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B. Por outro lado, A B se, e somente se, existe, pelo menos, um elemento de A que não é elemento de B. Simbolicamente: Simbolicamente: A B ( x)(x A e x B) Exemplos - {2 . 4} {2, 3, 4}, pois 2 {2, 3, 4} e 4 {2, 3, 4} - {2, 3, 4} {2, 4}, pois 3 {2, 4} - {5, 6} {5, 6}, pois 5 {5, 6} e 6 {5, 6}
Inclusão e pertinência A definição de subconjunto estabelece um relacionamento entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão ( ). A relação de pertinência ( ) estabelece um relacionamento entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação de inclusão. Simbolicamente x A {x} A x A {x} A
Igualdade Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é também subconjunto de A. Simbolicamente: Simbolicamente: A = B A B e B A
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, segundo a definição, a demonstrar que A B e B A. Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente se, possuem os mesmos elementos. Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto de A. Simbolicamente: A ≠ B A B ou B A
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Exemplos - {2,4} = {4,2}, pois {2,4} {4,2} e {4,2} {2,4}. Isto nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem em que esses elementos são descritos. - {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} {2,4} e {2,4} {2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desnecessária. desnecessária. - {a,a} = {a} - {a,b = {a} a= b - {1,2} = {x,y} (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1)
Conjunto das partes Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e é indicado por P(A). Simbolicamente: Simbolicamente: P(A)={X | X A} ou X P(A) X A
Exemplos
a) = {2, 4, 6} P(A) = { 0 , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A} b) = {3,5} P(B) = { 0 , {3}, {5}, B} c) = {8} P(C) = { 0 , C} d) = 0 P(D) = { 0 }
Propriedades Seja A um conjunto qualquer e 0 o conjunto vazio. Valem as seguintes propriedades 0 ≠( 0 ) 0
0 0
A 0 P(A)
0
A
0
0 { 0 }
A A P(A)
Se A tem n elementos elementos então A possui 2 n subconjuntos e, portanto, P(A) possui 2 n elementos.
União de conjuntos A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se por A B. Simbolicamente: Simbolicamente: A B = {X | X A ou X B}
Exemplos - {2,3} {4,5,6}={2,3,4,5,6} - {2,3,4} {3,4,5}={2,3,4,5} - {2,3} {1,2,3,4}={1,2,3,4}
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- {a,b} {a,b} Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. Representa-se por A B. Simbolicamente: Simbolicamente: A B = {X | X A ou X B}
Exemplos - {2,3,4} {3,5}={3} - {1,2,3} {2,3,4}={2,3} - {2,3} {1,2,3,5}={2,3} - {2,4} {3,5,7}=
Observação: Se A
B= , dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Subtração A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Representa-se por A – B. Simbolicamente: Simbolicamente: A – B = {X | X A e X B}
O conjunto A – B é também chamado de conjunto complementar de B em relação a A, representado por CAB. Simbolicamente: Simbolicamente: C AB = A - B{ B{X | X A e X B} Exemplos
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} CAB = A – B = {1,3} e C BA = B – A = - A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4} CAB = A – B = {1} e C BA = B – A = {14} - A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} CAB = A – B = {0,2,4} e C BA = B – A = {1,3,5} Observações: Alguns autores preferem utilizar o conceito de completar de B em relação a A somente nos casos em que B A. - Se B A representa-se por B o conjunto complementar de B em relação a A. Simbolicamente: B A B = A – B = CAB`
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Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então: a) A = {2, 3, 4} A = {0, 1, 5, 6} b) B = {3, 4, 5, 6 } B = {0, 1, 2} c) C = C = S
Número de elementos de um conjunto Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos temos: n(A B)=n(A)+n(B)-n(A B) A B= n(A B)=n(A)+n(B) n(A -B)=n(A)-n(A B) B A n(A-B)=n(A)-n(B)
QUESTÕES 01- (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e os pagamentos na seguinte tabela:
No final do mês, Enzo observou que tinha A) crédito de R$ 7,00. B) débito de R$ 7,00. C) crédito de R$ 5,00. D) débito de R$ 5,00. E) empatado suas despesas e seus créditos.
02- (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Um comerciante tem 8 prateleiras em seu empório para organizar os produtos de limpeza. Adquiriu 100 caixas desses produtos com 20 unidades cada uma, sendo que a quantidade total de unidades compradas será distribuída igualmente entre essas prateleiras. Desse modo, cada prateleira receberá um número de unidades, desses produtos, igual a A) 40. B) 50. C) 100. D) 160. E) 250. 26
03- (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI/2014) José, funcionário público, recebe salário bruto de R$ 2000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? A) R$ 1800,00 B) R$ 1765,00 C) R$ 1675,00 D) R$ 1665,00 04- (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Ontem, eu tinha 345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, depois de participar do campeonato? A) 368. B) 270. C) 365. D) 290. E) 376. 05- (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA/2013) Em determinada loja, o pagamento de um computador pode ser feito sem entrada, em 12 parcelas de R$ 250,00. Sendo assim, um cliente que opte por essa forma de pagamento deverá pagar pelo computador um total de: A) R$ 2500,00 B) R$ 3000,00 C) R$ 1900,00 D) R$ 3300,00 E) R$ 2700,00 06- (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC/2013) Em uma banca de revistas existe um total de 870 exemplares dos mais variados temas. Metade das revistas é da editora A, dentre as demais, um terço são publicações antigas. Qual o número de exemplares que não são da Editora A e nem são antigas? A) 320 B) 290 C) 435 D) 145 07- (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC/2012) Uma operação λ é definida por: w λ = 1 − 6w, para todo inteiro w. Com base nessa definição, é correto afirmar que a soma 2 λ + (1λ) λ é igual a A) -20 B) -15 C) -12 D) 15 E) 20 08- (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. Verificou o preço de alguns produtos: TV: R$ 562,00 DVD: R$ 399,00 Micro-ondas: R$ 429,00 Geladeira: R$ 1.213,00 Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco recebido será de: A) R$ 84,00 B) R$ 74,00 C) R$ 36,00 D) R$ 26,00 E) R$ 16,00 27
09- (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM/2014) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais ela recebeu de troco? A) R$ 40,00 B) R$ 42,00 C) R$ 44,00 D) R$ 46,00 E) R$ 48,00 10- (UFOP/MG – ADMINISTRADOR DE EDIFICIOS – UFOP/2013) Uma pessoa caminha 5 minutos em ritmo normal e, em seguida, 2 minutos em ritmo acelerado e, assim, sucessivamente, sempre intercalando os ritmos da caminhada (5 minutos normais e 2 minutos acelerados). A caminhada foi iniciada em ritmo normal, e foi interrompida após 55 minutos do início. O tempo que essa pessoa caminhou aceleradamente foi: A) 6 minutos B) 10 minutos C) 15 minutos D) 20 minutos 11- Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e C = {4; 5; 6; 8 } pede-se: A) A B B) A B C) A C D) A C
12- Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Determine o conjunto X de tal forma que: X A= e X
13- Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A
XeA
A = S.
X={2,3,4}, determine o conjunto X.
14- Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número de elementos de A se: A) A B tem 29 elementos B) A C tem 10 elementos C) A B tem 7 elementos.
(B
C), sabendo-
Questão 01 Crédito: 40+30+35+15=120 Débito: 27+33+42+25=127 120-127=-7 Ele tem um débito de R$ 7,00.
RESPOSTAS
RESPOSTA: “B”.
Questão 02 Total de unidades: 100 20=2000 unidades
=
250 unidades em cada prateleira.
RESPOSTA: “E”.
Questão 03 2000-200=1800-35=1765 O salário líquido de José é R$1765,00. RESPOSTA: “B”. 28
Questão 04 345-67=278 Depois ganhou 90 278+90=368 RESPOSTA: “A”.
Questão 05
250∙12 = 3000 O computador custa R$3000,00. RESPOSTA: “B”.
Questão 06 Editora A: 870/2=435 revistas Publicações antigas: 435/3=145 revistas
435145 = 580 870580 = 290
O número de exemplares que não são da Editora A e nem são antigas são 290. RESPOSTA: “B”.
Questão 07 Pela definição: Fazendo w=2 2 = 1 6 ∙ 2 = 11 1 = 1 6 ∙ 1 = 5 (1 ) = 1 6 ∙ 5 = 31 2 (1 ) = 11 31 = 20 RESPOSTA: “E”.
Questão 08 Geladeira + tv + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174 Troco: 2200-2174=26 reais RESPOSTA: “D”.
Questão 09
8,3 ∙ 7 = 58,1 Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais Troco: 100-58=42 reais RESPOSTA: “B”.
Questão 10 A caminhada sempre vai ser 5 minutos e depois 2 minutos, então 7 minutos ao total. Dividindo o total da caminhada pelo tempo, temos: 29
55 = 7 6 7 Assim, sabemos que a pessoa caminhou 7. (5minutos +2 minutos) +6 minutos (5 minutos+1 minuto) Aceleradamente caminhou: 14+1=15 minutos RESPOSTA: “C”.
Questão 11 Representando os conjuntos A, B e C através do diagrama de Venn-Euler, temos: A)
A
B={1,3,4,5,6,7}
B)
A
B={3,4}
C)
A
C={1,3,4,5,6,8}
D)
A
C={4,6}
30
Questão 12
Resposta “X={1;3;5}”. Solução: Como X A= e X
A=S, então X= A =S-A=CsA X={1;3;5}
Questão 13
Resposta “X = {2;3;4} Solução: Como A X, então A
X = X = {2;3;4}.
Questão 14
Resposta “A”. Solução: De acordo com o enunciado, temos:
n(A n(A n(A
B C) = 7 B) = a + 7 = 26 a = 19 C) = b + 7 = 10 b = 3
Assim sendo:
e portanto n[A (B C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3 Logo: n[A (B C)] = 29.
PORCENTAGEM É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê- se: “por cento”. Deste modo, a fração 50 é uma porcentagem que podemos representar por 50%. 100
Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35. 75% =
75 100
= 0,75
31
Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p % de V , basta multiplicarmos a fração p por V . 100
P% de V =
p 100
.V
Exemplo 1
23% de 240 =
23 100
. 240 = 55,2
Exemplo 2
Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa? Resolução: 67% de 56 000 =
67 100
.56000 37520
Resposta: 37 520 pessoas.
Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. Lucro = preço de venda – preço de custo Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo. Assim, podemos escrever: Preço de custo + lucro = preço de venda Preço de custo – prejuízos = preço de venda Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas: Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100% Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100% Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo. Exemplo
Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se: - o lucro obtido na transação; - a porcentagem de lucro sobre o preço de custo; - a porcentagem de lucro sobre o preço de venda. Resposta: Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00 Lc = Lv =
300 500 300 800
= 0,60 = 60% = 0,375 = 37,5%
Aumento 32
Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e V A o valor após o aumento. Então, A = p% de V = p . V 100
p
VA = V + A = V + VA = ( 1 +
p
.V
).V
100
p
Em que (1 +
100
100
) é o fator de aumento.
Desconto Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e V D o valor após o desconto. Então, D = p% de V = p . V 100
p
VD = V – D = V – VD = (1 –
p 100
.V
).V p
Em que (1 –
100
100
) é o fator de desconto.
Exemplo
Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo? Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V V=
3500 1,4
2500
Resposta: R$ 2 500,00 Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V , e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p 1% e p2%. Sendo V 1 o valor após o primeiro aumento, temos: V1 = V . (1 + p1 ) 100
Sendo V 2 o valor após o segundo aumento, temos: V2 = V1 . (1 + V2 = V . (1 +
p2 100
p1 100
) ) . (1 +
p2 100
)
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p 1% e p2%. Sendo V 1 o valor após o primeiro desconto, temos: 33
V1 = V. (1 –
p1 100
)
Sendo V 2 o valor após o segundo desconto, temos: V2 = V1 . (1 – p2 ) 100
V2 = V . (1 –
p1 100
) . (1 –
p2 100
)
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p 1% e, sucessivamente, um desconto de p 2%. Sendo V 1 o valor após o aumento, temos: V1 = V . (1+ p1 ) 100
Sendo V 2 o valor após o desconto, temos: V2 = V1 . (1 – p2 ) 100
V2 = V . (1 +
p1 100
) . (1 –
p2 100
)
Exemplo
(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são: n
Resolução:
VA =
p 1 .v 100
VA =
15 1. .1000 100
n
VA = 1 000 . (1,15)n VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n
QUESTÕES 01- (PREF. AMPARO/SP – AGENTE ESCOLAR – CONRIO/2014) Se em um tanque de um carro for misturado 45 litros de etanol em 28 litros de gasolina, qual será o percentual aproximado de gasolina nesse tanque? A) 38,357% B) 38,356% C) 38,358% D) 38,359% 02- (SABESP – APRENDIZ – FCC/2012) Observe a tabela que indica o consumo mensal de uma mesma torneira da pia de uma cozinha, aberta meia volta por um minuto, uma vez ao dia.
Em relação ao cosumo mensal da torneira alimentada pela água da rua, o da torneira alimentada pela água da caixa representa, aproximadamente, 34
A) 20%. B) 26%. C) 30%. D) 35%. E) 40%.
03- (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O preço de uma mercadoria, na loja J, é de R$ 50,00. O dono da loja J resolve reajustar o preço dessa mercadoria em 20%. A mesma mercadoria, na loja K, é vendida por R$ 40,00. O dono da loja K resolve reajustar o preço dessa mercadoria de maneira a igualar o preço praticado na loja J após o reajuste de 20%. Dessa maneira o dono da loja K deve reajustar o preço em A) 20%. B) 50%. C) 10%. D) 15%. E) 60%. 04- (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC/2014) O preço de venda de um produto, descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de venda é superior ao de compra? A) 67%. B) 61%. C) 65%. D) 63%. E) 69%. 05- (DPE/SP – AGENTE DE DEFENSORIA PÚBLICA – FCC/2013) Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ 350,00. Para estabelecer o preço de venda desse produto em sua loja, o comerciante decidiu que o valor deveria ser suficiente para dar 30% de desconto sobre o preço de venda e ainda assim garantir lucro de 20% sobre o preço de compra. Nessas condições, o preço que o comerciante deve vender essa mercadoria é igual a A) R$ 620,00. B) R$ 580,00. C) R$ 600,00. D) R$ 590,00. E) R$ 610,00. 06- (DPE/SP – AGENTE DE DEFENSORIA PÚBLICA – FCC/2013) Uma bolsa contém apenas 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Sorteando ao acaso uma bola dessa bolsa, a probabilidade de que ela seja preta é A) maior do que 55% e menor do que 60%. B) menor do que 50%. C) maior do que 65%. D) maior do que 50% e menor do que 55%. E) maior do que 60% e menor do que 65%. 07- (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA/2013) Das 80 crianças que responderam a uma enquete referente a sua fruta favorita, 70% eram meninos. Dentre as meninas, 25% responderam que sua fruta favorita era a maçã. Sendo assim, qual porcentagem representa, em relação a todas as crianças entrevistadas, as meninas que têm a maçã como fruta preferida? A) 10%. B) 1,5%. C) 25%. D) 7,5%. E) 5%. 08- (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a seguinte promoção: 35
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: A) R$ 33,60. B) R$ 28,60. C) R$ 26,40. D) R$ 40,80. E) R$ 43,20.
09- (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Leilão de veículos apreendidos do Detran aconteceu no dia 7 de dezembro. O Departamento Estadual de Trânsito de Sergipe – Detran/SE – realizou, no dia 7 de dezembro, sábado, às 9 horas, no Espaço Emes, um leilão de veículos apreendidos em fiscalizações de trânsito. Ao todo foram leiloados 195 veículos, sendo que 183 foram comercializados como sucatas e 12 foram vendidos como aptos para circulação. Quem arrematou algum dos lotes disponíveis no leilão pagou 20% do lance mais 5% de comissão do leiloeiro no ato da arrematação. OS 80% restantes foram pagos impreterivelmente até o dia 11 de dezembro.
Fonte: http://www.ssp.se.gov.br05/12/13 (modificada).
Vitor arrematou um lote, pagou o combinado no ato da arrematação e os R$28.800,00 restantes no dia 10 de dezembro. Com base nas informações contidas no texto, calcule o valor total gasto por Vitor nesse leilão. A) R$ 34.600,00. B) R$ 36.000,00. C) R$ 35.400,00. D) R$ 32.000,00. E) R$ 37.800,00.
10- (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB/2014) Na queima de estoque de uma loja, uma família comprou dois televisores, três aparelhos de ar-condicionado, uma geladeira e uma máquina de lavar.
Calcule o valor total gasto por essa família. A) R$7.430,00 B) R$9.400,00 C) R$5.780,00 D) R$6.840,00 E) R$8.340,00 RESPOSTAS Questão 01
7,2 = 0,256 ≈ 26% 28,026 RESPOSTA: “B”.
Questão 02 36
Mistura: 28+45=73 73------100% 28------x X=38,356% RESPOSTA: “B”.
Questão 03 Loja J: 50 0,2.5 0 = 60 Loja K: 40 .40 = 60
40 = 20 = 0,5
O reajuste deve ser de 50% RESPOSTA: “B”.
Questão 04 Preço de venda: PV Preço de compra: PC PV-0,16PV=1,4PC 0,84PV=1,4PC
= 1,4 = 1,67 0,84
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. RESPOSTA: “A”.
Questão 05 Preço de venda: PV Preço de compra: 350 30% de desconto, deixa o produto com 70% do seu valor. Como ele queria ter um lucro de 20% sobre o preço de compra, devemos multiplicar por 1,2(350+0,2.350) 0,7PV=1,2.350
= 1,2∙ 350 0,7 = 600
O preço de venda deve ser R$600,00 RESPOSTA: “C”.
Questão 06 Ao todo tem 12 bolas, portanto a probabilidade de se tirar uma preta é:
= 127 = 0,583 = 58,3% RESPOSTA: “A”.
Questão 07 Tem que ser menina E gostar de maçã. Meninas: 100-70=30%
30 ∙ 25 = 7,5 = 100 100 100 RESPOSTA: “D”. 37
Questão 08
2,40 ∙ 12 = 28,80 :28,80 ∙ 0,75 = 21,60 :28,80 21,60 = 50,40 :3,5∙24 = 84,00 :$84,00$50,40 = $33,60 O lucro de Alexandre foi de R$33,60 RESPOSTA: “A”.
Questão 09 R$28.800-------80% x------------------100%
= 28.800∙100 80 = 36.000 ã: .∙ = 1800 Valor total: R$36.000,00+R$1.800,00=R$37.800,00 RESPOSTA: “E”.
Questão 10 Como é desconto, devemos fazer cada porcentagem: 1-desconto, assim teremos o valor de cada item. Televisor: 1-0,2=0,8 Ar-condicionado: 1-0,1=0,9 Geladeira: 1-0,3=0,7 Máquina: 1-04=0,6
:2.000 ∙ 0,8 = 1.600 :1.000 ∙ 0,9 = 900 :900∙0,7 = 630 á:1.500∙ 0,6 = 900 1600 ∙ 2 900 ∙ 3 630 900 = 7430 O valor total gasto pela família foi de R$7.430,00. RESPOSTA: “A”.
LÓGICA SEQUENCIAL O Raciocínio é uma operação lógica, discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposições, para concluir através de mecanismos de comparações e abstrações, quais são os dados que levam às respostas verdadeiras, falsas ou prováveis. Foi pelo processo do raciocínio que ocorreu o desenvolvimento do método matemático, este considerado instrumento puramente teórico e dedutivo, que prescinde de dados empíricos. Logo, resumidamente o raciocínio pode ser considerado
38
também um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formação de conceitos e da solução de problemas, sendo parte do pensamento.
Sequências Lógicas As sequências podem ser formadas por números, letras, pessoas, figuras, etc. Existem várias formas de se estabelecer uma sequência, o importante é que existam pelo menos três elementos que caracterize a lógica de sua formação, entretanto algumas séries necessitam de mais elementos para definir sua lógica. Algumas sequências são bastante conhecidas e todo aluno que estuda lógica deve conhecê-las, tais como as progressões aritméticas e geométricas, a série de Fibonacci, os números primos e os quadrados perfeitos.
Sequência de Números Progressão Aritmética: Soma-se constantemente um mesmo número.
Progressão Geométrica: Multiplica-se constantemente um mesmo número.
Incremento em Progressão: O valor somado é que está em progressão.
Série de Fibonacci: Cada termo é igual a soma dos dois anteriores. 1 1 2 3 5 8 13 Números Primos: Naturais que possuem apenas dois divisores naturais. 2 3 5 7 11 13 17 Quadrados Perfeitos: Números naturais cujas raízes são naturais. 1 4 9 16 25 36 49 Sequência de Letras As sequências de letras podem estar associadas a uma série de números ou não. Em geral, devemos escrever todo o alfabeto (observando se deve, ou não, contar com k, y e w) e circular as letras dadas para entender a lógica proposta.
ACFJOU Observe que foram saltadas 1, 2, 3, 4 e 5 letras e esses números estão em progressão.
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTU B1 2F H4 8L N16 32R T64 Nesse caso, associou-se letras e números (potências de 2), alternando a ordem. As letras saltam 1, 3, 1, 3, 1, 3 e 1 posições. ABCDEFGHIJKLMNOPQRST
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Sequência de Pessoas Na série a seguir, temos sempre um homem seguido de duas mulheres, ou seja, aqueles que estão em uma posição múltipla de três (3º, 6º, 9º, 12º,...) serão mulheres e a posição dos braços sempre alterna, ficando para cima em uma posição múltipla de dois (2º, 4º, 6º, 8º,...). Sendo assim, a sequência se repete a cada seis termos, tornando possível determinar quem estará em qualquer posição.
Sequência de Figuras Esse tipo de sequência pode seguir o mesmo padrão visto na sequência de pessoas ou simplesmente sofrer rotações, como nos exemplos a seguir.
Sequência de Fibonacci O matemático Leonardo Pisa, conhecido como Fibonacci, propôs no século XIII, a sequência numérica: (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …). Essa sequência tem uma lei de formação simples: cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores. Veja: 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5 e assim por diante. Desde o século XIII, muitos matemáticos, além do próprio Fibonacci, dedicaram-se ao estudo da sequência que foi proposta, e foram encontradas inúmeras aplicações para ela no desenvolvimento de modelos explicativos de fenômenos naturais. Veja alguns exemplos das aplicações da sequência de Fibonacci e entenda porque ela é conhecida como uma das maravilhas da Matemática. A partir de dois quadrados de lado 1, podemos obter um retângulo de lados 2 e 1. Se adicionarmos a esse retângulo um quadrado de lado 2, obtemos um novo retângulo 3 x 2. Se adicionarmos agora um quadrado de lado 3, obtemos um retângulo 5 x 3. Observe a figura a seguir e veja que os lados dos quadrados que adicionamos para determinar os retângulos formam a sequência de Fibonacci.
Se utilizarmos um compasso e traçarmos o quarto de circunferência inscrito em cada quadrado, encontraremos uma espiral formada pela concordância de arcos cujos raios são os elementos da sequência de Fibonacci.
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O Partenon que foi construído em Atenas pelo célebre arquiteto grego Fidias. A fachada principal do edifício, hoje em ruínas, era um retângulo que continha um quadrado de lado igual à altura. Essa forma sempre foi considerada satisfatória do ponto de vista estético por suas proporções sendo chamada retângulo áureo ou retângulo de ouro .
Como os dois retângulos indicados na figura são semelhantes temos: = (1). Como: b = y – a (2). Substituindo (2) em (1) temos: y 2 – ay – a2 = 0. Resolvendo a equação:
= ±√
−√ em que < 0 não convém.
+√ Logo: = =
1,61803398875
Esse número é conhecido como número de ouro e pode ser representado por:
= 1 2√ 5 Todo retângulo e que a razão entre o maior e o menor lado for igual a como o caso da fachada do Partenon.
é chamado retângulo áureo
As figuras a seguir possuem números que representam uma sequência lógica. Veja os exemplos:
Exemplo 1
A sequência numérica proposta envolve multiplicações por 4. 6 x 4 = 24 24 x 4 = 96 96 x 4 = 384 384 x 4 = 1536 41
Exemplo 2
A diferença entre os números vai aumentando 1 unidade. 13 – 10 = 3 17 – 13 = 4 22 – 17 = 5 28 – 22 = 6 35 – 28 = 7
Exemplo 3
Multiplicar os números sempre por 3. 1x3=3 3x3=9 9 x 3 = 27 27 x 3 = 81 81 x 3 = 243 243 x 3 = 729 729 x 3 = 2187
Exemplo 4
A diferença entre os números vai aumentando 2 unidades. 24 – 22 = 2 28 – 24 = 4 34 – 28 = 6 42 – 34 = 8 52 – 42 = 10 64 – 52 = 12 78 – 64 = 14 42
QUESTÕES 01. Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte:
A carta que está oculta é: (A)
(B)
(D)
(E)
(C)
02. Considere que a sequência de figuras foi construída segundo certo critério.
Se tal critério for mantido, para obter as figuras subsequentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser: (A) 69 (B) 67 (C) 65 (D) 63 (E) 61
03. O próximo número dessa sequência lógica é: 1000, 990, 970, 940, 900, 850, ... (A) 800 (B) 790 (C) 780 (D) 770
43
04. Na sequência lógica de números representados nos hexágonos, da figura abaixo, observa-se a ausência de um deles que pode ser:
(A) 76 (B) 10 (C) 20 (D) 78
05. Uma criança brincando com uma caixa de palitos de fósforo constrói uma sequência de quadrados conforme indicado abaixo:
1°
2°
3°
.............
Quantos palitos ele utilizou para construir a 7ª figura? (A) 20 palitos (B) 25 palitos (C) 28 palitos (D) 22 palitos
06. Ana fez diversas planificações de um cubo e escreveu em cada um, números de 1 a 6. Ao montar o cubo, ela deseja que a soma dos números marcados nas faces opostas seja 7. A única alternativa cuja figura representa a planificação desse cubo tal como deseja Ana é: (A)
(B)
(C)
(D)
(E)
07. As figuras da sequência dada são formadas por partes iguais de um círculo.
Continuando essa sequência, obtém-se exatamente 16 círculos completos na: (A) 36ª figura (B) 48ª figura 44
(C) 72ª figura (D) 80ª figura (E) 96ª figura
08. Analise a sequência a seguir:
Admitindo-se que a regra de formação das figuras seguintes permaneça a mesma, pode-se afirmar que a figura que ocuparia a 277ª posição dessa sequência é: (A)
(D)
(B)
(C)
(E)
09. Observe a sequência: 2, 10, 12, 16, 17, 18, 19 , ... Qual é o próximo número? (A) 20 (B) 21 (C) 100 (D) 200 10. Observe a sequência: 3,13, 30, ... Qual é o próximo número? (A) 4 (B) 20 (C) 31 (D) 21 11. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério. LACRAÇÃO cal AMOSTRA soma LAVRAR ?
Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é: (A) alar (B) rala (C) ralar (D) larva (E) arval
12. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.
45
Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
13. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação.
Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X + Y é igual a: (A) 40 (B) 42 (C) 44 (D) 46 (E) 48
14. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério.
Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y” , a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é: (A) P (B) O (C) N (D) M (E) L
15. Considere que a sequência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados. 1234567891011121314151617181920... O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa sequência é: (A) 9 (B) 8 (C) 6 (D) 3 (E) 1
16. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.
46
Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
17. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério.
Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é: (A) 32 (B) 36 (C) 38 (D) 42 (E) 46
18. Considere a seguinte sequência infinita de números: 3, 12, 27, __, 75, 108,... O número que preenche adequadamente a quarta posição dessa sequência é: (A) 36, (B) 40, (C) 42, (D) 44, (E) 48
19. Observando a sequência (1, , , , , ...) o próximo numero será: (A) (B) (C) (D) 20. Considere a sequência abaixo: BBB XBX BBB
BXB XBX BXB
XXB XBX BXX
O padrão que completa a sequência é:
47
(A) XXX XXX XXX
(B) XXB XBX BXX
(D) XXX XBX XXX
(E) XXX XBX BXX
(C) XXX XXX XXB
21. Na série de Fibonacci, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. Sabendo-se que os dois primeiros termos, por definição, são 0 e 1, o sexto termo da série é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 22. Nosso código secreto usa o alfabeto A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V X Z . Do seguinte modo: cada letra é substituída pela letra que ocupa a quarta posição depois dela. Então, o “A” vira “E” , o “B” vira “F” , o “C” vira “G” e assim por diante. O código é “circular”, de mod o que o “U” vira “A” e assim por diante. Recebi uma mensagem em código que dizia: BSA HI EDAP. Decifrei o código e li: (A) FAZ AS DUAS; (B) DIA DO LOBO; (C) RIO ME QUER; (D) VIM DA LOJA; (E) VOU DE AZUL. 23. A sentença “Social está para laicos assim como 231678 está para...” é melhor completada por: (A) 326187; (B) 876132; (C) 286731; (D) 827361; (E) 218763. 24. A sentença “Salta está para Atlas assim como 25435 está para... ” é melhor completada pelo seguinte número: (A) 53452; (B) 23455; (C) 34552; (D) 43525; (E) 53542. 25. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado. Número dado 48.765 86.547 87.465 48.675
Quantidade de números de 2 algarismos em comum 1 0 2 1
O número procurado é: 48
(A) 87456 (B) 68745 (C) 56874 (D) 58746 (E) 46875
26. Considere que os símbolos e que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita. 36 4 5 = 14 48 6 9 = 17 54 9 7 = ? Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número: (A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12
27. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra: A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 – .... Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é: (A) J (B) L (C) M (D) N (E) O 28. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.
Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A = 1, B = 2, C = 3,..., Z = 23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do animal é: (A) 37 (B) 39 (C) 45 (D) 49 (E) 51 Nas questões 29 e 30 , observe que há uma relação entre o primeiro e o segundo grupos de letras. A mesma relação deverá existir entre o terceiro grupo e um dos cinco grupos que aparecem nas alternativas, ou seja, aquele que substitui corretamente o ponto de interrogação. Considere que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y.
29. CASA: LATA: LOBO: ? (A) SOCO (B) TOCO (C) TOMO 49
(D) VOLO (E) VOTO
30. ABCA: DEFD: HIJH: ? (A) IJLI (B) JLMJ (C) LMNL (D) FGHF (E) EFGE 31. Os termos da sucessão seguinte foram obtidos considerando uma lei de formação ( 0, 1, 3, 4, 12, 123,...). Segundo essa lei, o décimo terceiro termo dessa sequência é um número: (A) Menor que 200. (B) Compreendido entre 200 e 400. (C) Compreendido entre 500 e 700. (D) Compreendido entre 700 e 1.000. (E) Maior que 1.000. Para responder às questões de números 32 e 33 , você deve observar que, em cada um dos dois primeiros pares de palavras dadas, a palavra da direita foi obtida da palavra da esquerda segundo determinado critério. Você deve descobrir esse critério e usá-lo para encontrar a palavra que deve ser colocada no lugar do ponto de interrogação.
32. Ardoroso rodo Dinamizar mina Maratona ? (A) mana (B) toma (C) tona (D) tora (E) rato 33. Arborizado azar Asteroide dias Articular ? (A) luar (B) arar (C) lira (D) luta (E) rara 34. Preste atenção nesta sequência lógica e identifique quais os números que estão faltando: 1, 1, 2, __, 5, 8, __,21, 34, 55, __, 144, __... 35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço seco de 10 metros de profundidade e quer sair de lá. Durante o dia, ela consegue subir 2 metros pela parede; mas à noite, enquanto dorme, escorrega 1 metro. Depois de quantos dias ela consegue chegar à saída do poço? 36. Quantas vezes você usa o algarismo 9 para numerar as páginas de um livro de 100 páginas? 37. Quantos quadrados existem na figura abaixo?
50
38. Retire três palitos e obtenha apenas três quadrados.
39. Qual será o próximo símbolo da sequência abaixo?
40. Reposicione dois palitos e obtenha uma figura com cinco quadrados iguais.
41. Observe as multiplicações a seguir: 12.345.679 × 18 = 222.222.222 12.345.679 × 27 = 333.333.333 ... ... 12.345.679 × 54 = 666.666.666 Para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por quanto?
42. Esta casinha está de frente para a estrada de terra. Mova dois palitos e faça com que fique de frente para a estrada asfaltada.
43. Remova dois palitos e deixe a figura com dois quadrados.
51
44. As cartas de um baralho foram agrupadas em pares, segundo uma relação lógica. Qual é a carta que está faltando, sabendo que K vale 13, Q vale 12, J vale 11 e A vale 1?
45. Mova um palito e obtenha um quadrado perfeito.
46. Qual o valor da pedra que deve ser colocada em cima de todas estas para completar a sequência abaixo?
47. Mova três palitos nesta figura para obter cinco triângulos.
48. Tente dispor 6 moedas em 3 fileiras de modo que em cada fileira fiquem apenas 3 moedas.
49. Reposicione três palitos e obtenha cinco quadrados.
50. Mude a posição de quatro palitos e obtenha cinco triângulos. 52
Respostas 01. Resposta: “A”.
A diferença entre os números estampados nas cartas 1 e 2, em cada linha, tem como resultado o valor da 3ª carta e, além disso, o naipe não se repete. Assim, a 3ª carta, dentro das opções dadas só pode ser a da opção (A). 02. Resposta “D”.
Observe que, tomando o eixo vertical como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 01 ponto de cada lado 02 pontos no total. Na figura 2: 02 pontos de cada lado 04 pontos no total. Na figura 3: 03 pontos de cada lado 06 pontos no total. Na figura 4: 04 pontos de cada lado 08 pontos no total. Na figura n: n pontos de cada lado 2.n pontos no total. Em particular: Na figura 15: 15 pontos de cada lado
30
pontos no total.
Agora, tomando o eixo horizontal como eixo de simetria, tem-se: Na figura 1: 02 pontos acima e abaixo 04 pontos no total. Na figura 2: 03 pontos acima e abaixo 06 pontos no total. Na figura 3: 04 pontos acima e abaixo 08 pontos no total. Na figura 4: 05 pontos acima e abaixo 10 pontos no total. Na figura n: (n+1) pontos acima e abaixo 2.(n+1) pontos no total. Em particular: Na figura 15: 16 pontos acima e abaixo 32 pontos no total. Incluindo o ponto central, que ainda não foi considerado, temos para total de pontos da figura 15: Total de pontos = 30 + 32 + 1 = 63 pontos. 03. Resposta “B”.
Nessa sequência, observamos que a diferença: entre 1000 e 990 é 10, entre 990 e 970 é 20, entre o 970 e 940 é 30, entre 940 e 900 é 40, entre 900 e 850 é 50, portanto entre 850 e o próximo número é 60, dessa forma concluímos que o próximo número é 790, pois: 850 – 790 = 60. 04. Resposta “D”
Nessa sequência lógica, observamos que a diferença: entre 24 e 22 é 2, entre 28 e 24 é 4, entre 34 e 28 é 6, entre 42 e 34 é 8, entre 52 e 42 é 10, entre 64 e 52 é 12, portanto entre o próximo número e 64 é 14, dessa forma concluímos que o próximo número é 78, pois: 76 – 64 = 14. 05. Resposta “D”.
Observe a tabela:
Figuras
1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
N° de Palitos
4
7 10 13 16 19 22
Temos de forma direta, pela contagem, a quantidade de palitos das três primeiras figuras. Feito isto, basta perceber que cada figura a partir da segunda tem a quantidade de palitos da figura anterior acrescida de 3 palitos. Desta forma, fica fácil preencher o restante da tabela e determinar a quantidade de palitos da 7ª figura.
53
06. Resposta “A”.
Na figura apresentada na letra “B”, não é possível obter a planificação de um lado, pois o 4 estaria do lado oposto ao 6, somando 10 unidades. Na figura apresentada na letra “C”, da mesma forma, o 5 estaria em face oposta ao 3, somando 8, não formando um lado. Na figura da letra “D”, o 2 estaria em face oposta ao 4, não determinando um lado. Já na figura apresentada na letra “E”, o 1 não estaria em face oposta ao número 6, impossibilitando, portanto, a obtenção de um lado. Logo, podemos concluir que a planificação apresentada na letra “A” é a única para representar um lado.
07. Resposta “B”.
Como na 3ª figura completou-se um círculo, para completar 16 círculos é suficiente multiplicar 3 por 16 : 3 . 16 = 48. Portanto, na 48ª figura existirão 16 círculos. 08. Resposta “B”.
A sequência das figuras completa-se na 5ª figura. Assim, continua-se a sequência de 5 em 5 elementos. A figura de número 277 ocupa, então, a mesma posição das figuras que representam número 5n + 2, com n ∈ N . Ou seja, a 277ª fi gura corresponde à 2ª figura, que é representada pela letra “B”. 09. Resposta “D”.
A regularidade que obedece a sequência acima não se dá por padrões numéricos e sim pela letra que inicia cada número. “ Dois, Dez, Doze, Dezesseis, Dezessete, Dezoito, Dezenove, ... Enfim, o próximo só pode iniciar também com “ D”: Duzentos. 10. Resposta “C”.
Esta sequência é regida pela inicial de cada número. Três, Treze, Trinta,... O próximo só pode ser o número T rinta e um, pois ele inicia com a letra “ T”.
11. Resposta “E”. Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem invertida. Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas. Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5 primeiras letras, na ordem invertida, obtém-se ARVAL. 12. Resposta “C”.
Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por quadrado, triângulo e círculo. Na 3ª linha já há cabeças com círculo e com triângulo. Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado. As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas as alternativas). As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda. Logo, a figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda.
13. Resposta “A”. Existem duas leis distintas para a formação: uma para a parte superior e outra para a parte inferior. Na parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo, ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades. Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X = 10. Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades. Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y = 30. Logo, X + Y = 10 + 30 = 40. 14. Resposta “A”.
A sequência do alfabeto inicia- se na extremidade direita do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha. Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”. 15. Resposta “B”.
54
A sequência de números apresentada representa a lista dos números naturais. Mas essa lista contém todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12. Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos. Do número 10 até o número 99 existem: 2 x 90 = 180 algarismos. Do número 100 até o número 124 existem: 3 x 25 = 75 algarismos. E do número 124 até o número 128 existem mais 12 algarismos. Somando todos os valores, tem-se: 9 + 180 + 75 + 12 = 276 algarismos. Logo, conclui-se que o algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que aparece no número 128.
16. Resposta “D”.
Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a 2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direi to. Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras. Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo. Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não terá orelhas externas. Portanto, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª. 17. Resposta “B”.
No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 40 ÷ 5 = 21 – 13 = 8. A mesma regra acontece no 2º triângulo: 42 ÷ 7 = 23 – 17 = 6. Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo: ? ÷ 3 = 19 – 7 ? ÷ 3 = 12 ? = 12 x 3 = 36. 18. Resposta “E”.
Verifique os intervalos entre os números que foram fornecidos. Dado os números 3, 12, 27, __, 75, 108, obteve-se os seguintes 9, 15, __, __, 33 intervalos. Observe que 3x3, 3x5, 3x7, 3x9, 3x11. Logo 3x7 = 21 e 3x 9 = 27. Então: 21 + 27 = 48. 19. Resposta “B”.
Observe que o numerador é fixo, mas o denominador é formado pela sequência:
Primeiro Segundo Terceiro 1
1x2=2
2x3=6
Quarto
Quinto
Sexto
3 x 4 = 12
4 x 5 = 20
5 x 6 = 30
20. Resposta “D”.
O que de início devemos observar nesta questão é a quantidade de B e de X em cada figura. Vejamos: BBB XBX BBB 7B e 2X
BXB XBX BXB 5B e 4X
XXB XBX BXX 3B e 6X
Vê-se, que os “B” estão diminuindo de 2 em 2 e que os “X” estão aumentando de 2 em 2; notem também que os “B” estão sendo retirados um na parte de cima e um na parte de baixo e os “X” da mesma forma, só que não estão sendo retirados, estão, sim, sendo colocados. Logo a 4ª figura é: XXX XBX XXX 1B e 8X
55
21. Resposta “D”.
Montando a série de Fibonacci temos: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... A resposta da questão é a alternativa “D” , pois como a questão nos diz, cada termo a partir do terceiro é igual à soma de seus dois termos precedentes. 2 + 3 = 5 22. Resposta “E”.
A questão nos informa que ao se escrever alguma mensagem, cada letra será substituída pela letra que ocupa a quarta posição, além disso, nos informa que o código é “circular”, de modo que a letra “U” vira “A” . Para decifrarmos, temos que perceber a posição do emissor e do receptor. O emissor ao escrever a mensagem conta quatro letras à frente para representar a letra que realmente deseja, enquanto que o receptor, deve fazer o contrário, contar quatro letras atrás para decifrar cada letra do código. No caso, nos foi dada a frase para ser decifrada, vê-se, pois, que, na questão, ocupamos a posição de receptores. Vejamos a mensagem: BSA HI EDAP. Cada letra da mensagem representa a quarta letra anterior de modo que: VxzaB: B na verdade é V; OpqrS: S na verdade é O; UvxzA: A na verdade é U; DefgH: H na verdade é D; EfghI: I na verdade é E; AbcdE: E na verdade é A; ZabcD: D na verdade é Z; UvxaA: A na verdade é U; LmnoP: P na verdade é L; 23. Resposta “B”.
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra e, em seguida, nos traz uma sequência numérica. É perguntado qual sequência numérica tem a mesma ralação com a sequência numérica fornecida, de maneira que, a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas, podemos perceber facilmente que têm cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Tal ordem, nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SOCIAL vira LAICOS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida, temos: 231678 viram 876132, sendo esta a resposta. 24. Resposta “A”.
A questão nos traz duas palavras que têm relação uma com a outra, e em seguida, nos traz uma sequência numérica. Foi perguntado qual a sequência numérica que tem relação com a já dada de maneira que a relação entre as palavras e a sequência numérica é a mesma. Observando as duas palavras dadas podemos perceber facilmente que tem cada uma 6 letras e que as letras de uma se repete na outra em uma ordem diferente. Essa ordem diferente nada mais é, do que a primeira palavra de trás para frente, de maneira que SALTA vira ATLAS. Fazendo o mesmo com a sequência numérica fornecida temos: 25435 vira 53452, sendo esta a resposta. 25. Resposta “E”.
Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não acontecem no número procurado. Do número 48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em nenhum dos números apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75. Como o único número apresentado nas alternativas que possui a sequência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado. 26. Resposta “D”.
O primeiro símbolo representa a divisão e o 2º símbolo representa a soma. Portanto, na 1ª linha, temse: 36 4 + 5 = 9 + 5 = 14. Na 2ª linha, tem-se: 48 6 + 9 = 8 + 9 = 17. Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 54 9 + 7 = 6 + 7 = 13. Logo, podemos concluir então que o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13. 27. Resposta “A”.
As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto. Já a sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra “E” , e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª letra: E, 4ª letra: F, 6ª letra: G, 8ª letra: H, 10ª letra: I e 12ª letra: J.
56
28. Resposta “D”.
Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO, na seguinte ordem: PERU, MARÁ, TATU e URSO, obtém-se na tabela: P E R U M A R A T A T U U R S O O nome do animal é PATO. Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P = 15, A = 1, T = 19 e 0 = 14. Somando esses valores, obtém-se: 15 + 1 + 19 + 14 = 49. 29. Resposta “B”.
Na 1ª e na 2ª sequências, as vogais são as mesmas: letra “A”. Portanto, as vogais da 4ª sequência de letras deverão ser as mesmas da 3ª sequência de letras: “O”. A 3ª letra da 2ª se quência é a próxima letra do alfabeto depois da 3ª letra da 1ª sequência de letras. Portanto, na 4ª sequência de letras, a 3ª letra é a próxima letra depois de “B”, ou seja, a letra “C”. Em relação à primeira letra, tem -se uma diferença de 7 letras entre a 1ª letra da 1ª sequência e a 1ª letra da 2ª sequência. Portanto, entre a 1ª letra da 3ª sequência e a 1ª letra da 4ª sequência, deve ocorrer o mesmo fato. Com isso, a 1ª letra da 4ª sequência é a letra “T”. Logo, a 4ª sequência de letras é: T, O, C, O, ou seja, TOCO. 30. Resposta “C”.
Na 1ª sequência de letras, ocorrem as 3 primeiras letras do alfabeto e, em seguida, volta-se para a 1ª letra da sequência. Na 2ª sequência, continua-se da 3ª letra da sequência anterior, formando-se DEF, voltando-se novamente, para a 1ª letra desta sequência: D. Com isto, na 3ª sequência, têm-se as letras HIJ, voltando-se para a 1ª letra desta sequência: H. Com isto, a 4ª sequência iniciará pela letra L, continuando por M e N, voltando para a letra L. Logo, a 4ª sequência da letra é: LMNL. 31. Resposta “E”.
Do 1º termo para o 2º termo, ocorreu um acréscimo de 1 unidade. Do 2º termo para o 3º termo, ocorreu a multiplicação do termo anterior por 3. E assim por diante, até que para o 7º termo temos 13 . 3 = 39. 8º termo = 39 + 1 = 40. 9º termo = 40 . 3 = 120. 10º termo = 120 + 1 = 121. 11º termo = 121 . 3 = 363. 12º termo = 363 + 1 = 364. 13º termo = 364 . 3 = 1.092. Portanto, podemos concluir que o 13º termo da sequência é um número maior que 1.000. 32. Resposta “D”.
Da palavra “ardoroso ”, retiram-se as sílabas “do ” e “ ro ” e inverteu-se a ordem, definindo-se a palavra “rodo”. Da mesma forma, da palavra “ dinamizar ”, retiram-se as sílabas “na ” e “mi ”, definindo-se a palavra “mina ”. Com isso, podemos concluir que da palavra “ maratona ”. Deve-se retirar as sílabas “ ra ” e “to ”, criando-se a palavra “ tora ”. 33. Resposta “A”.
Na primeira sequência, a palavra “ azar ” é obtida pelas letras “ a ” e “z ” em sequência, mas em ordem invertida. Já as letras “ a ” e “r ” são as 2 primeiras letras da palavra “ arborizado ”. A palavra “dias ” foi obtida da mesma forma: As letras “ d ” e “ i ” são obtidas em sequência, mas em ordem invertida. As letras “ a ” e “s ” são as 2 primeiras letras da palavra “ asteroides ”. Com isso, para a palavras “ articula r”, considerando as letras “ i ” e “u ”, que estão na ordem invertida, e as 2 primeiras letras, obtém -se a palavra “ luar ”.
34. O nome da sequência é Sequência de Fibonacci. O número que vem é sempre a soma dos dois números imediatamente atrás dele. A sequência correta é: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233... 35. Dia
Subida Descida
1º
2m
1m
2º
3m
2m
57
3º
4m
3m
4º
5m
4m
5º
6m
5m
6º
7m
6m
7º
8m
7m
8º
9m
8m
9º
10m
----
Portanto, depois de 9 dias ela chegará na saída do poço.
36. 09 – 19 – 29 – 39 – 49 – 59 – 69 – 79 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99. Portanto, são necessários 20 algarismos. 37.
= 16
= 09
= 04
=01 Portanto, há 16 + 9 + 4 + 1 = 30 quadrados.
38.
39. Os símbolos são como números em frente ao espelho. Assim, o próximo símbolo será
88.
40. 58
41. 12.345.679 × (2×9) = 222.222.222 12.345.679 × (3×9) = 333.333.333 ... ... 12.345.679 × (4×9) = 666.666.666 Portanto, para obter 999.999.999 devemos multiplicar 12.345.679 por (9x9) = 81 42.
43.
44. Sendo A = 1, J = 11, Q = 12 e K = 13 , a soma de cada par de cartas é igual a 14 e o naipe de paus sempre forma par com o naipe de espadas. Portanto, a carta que está faltando é o 6 de espadas. 45.
46. Observe que: 3
6
18
72
360
2160
15120
x2 x3
x4
x5
x6
x7
Portanto, a próxima pedra terá que ter o valor: 15.120 x 8 = 120.960
47.
59
48.
49.
50.
2 Raciocínio lógico-matemático: proposições, conectivos, equivalência e implicação lógica, argumentos válidos.
PROPOSIÇÕES Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado. As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...
60
Considere os exemplos a seguir: p: Mônica é inteligente. q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu. r: 7 > 3 s: 8 + 2 10
Tipos de Proposições Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:
- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil. - Interrogativas : são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra? - Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar. Proposições Universais e Particulares As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo: “Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”
Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário. Exemplo: “O cão é mamífero”. As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”. Proposições Afirmativas e Negativas No caso de negativa podemos ter: “Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”. “Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.
No caso de afirmativa consideramos o item anterior. Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.
Então teremos a tabela: UNIVERSAL PARTICULAR
AFIRMATIVA Todo S é P (A) Algum S é P (I)
NEGATIVA Nenhum S é P (E) Algum S não é P (O)
Diagrama de Euler Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler. - Todo S é P (universal afirmativa – A)
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P
P=S
ou
S
- Nenhum S é P (universal negativa – E)
S
P
- Algum S é P (particular afirmativa – I) P=S
P ou
S
ou
P
S ou
S
P
- Algum S não é P (particular negativa – O) S
S
S
P
P ou
P
ou
Princípios - Princípio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. - Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor. a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Pau lo” é uma proposição verdadeira. b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira. c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário” , é uma proposição falsa. As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas . Os conectivos serão representados da seguinte forma: corresponde a “não ” ∧ corresponde a “e” 62
∨ corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”
Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar: - Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b) - Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) - Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)
Exemplo
“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF” Sejam as proposições: p = “Cacilda é estudiosa” q = “Ela passará no AFRF” Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma: Se p então q (ou p ⇒q)
Sentenças Abertas Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.
Exemplos 1. p( x) : x 4 9 A sentença matemática x 4 9 é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, x 5 , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como x 5. 2.
q( x) : x 3
Dessa maneira, na sentença x 3 , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como x 2 , e outros são falsos, como x 7.
Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas. A sentença s( x) : 2 2 5 é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de s( x) é F, pois a sentença é falsa. A sentença p ( x) “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro. Já a sentença e( x) “O sorteio milionário da Mega -Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que e( x) seja verdadeiro, ou falso. Modificadores A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.
63
Exemplo p: Jacira tem 3 irmãos. ~p: Jacira não tem 3 irmãos. É fácil verificar que: 1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa. 2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira. V ou F V F
Sentença: p
Negação: ~p
4 N
4 N
12 é divisível por zero
12 não é divisível por zero.
V ou F F V
Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade. Para negação, tem-se p V F
~p F V
Atenção: A sentença negativa é representada por “~”. A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.
Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.
Proposições Simples e Compostas Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.
Exemplos (1) p: eu sou estudioso (2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12 Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas . Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P. Exemplos: (4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita. (5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa. (6) R: Se x = 2 então x 2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x 2 + 1 = 5. (7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.
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As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...). As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas representadas por letras latinas maiúsculas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é é formada pelas proposições simples p, q e P (p, r.
Exemplos São proposições simples : p: A lua é um satélite da terra. q: O número 2 é primo. r: O r: O número 2 é par. s: Roma é a capital da França. t: O Brasil fica na América do Sul. u: 2 + 5 = 3 . 4 São proposições compostas : P(q, r): O r): O número 2 é primo ou é par. Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América do Sul. R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito. Não são proposições lógicas: - Roma - O cão do menino - 7+1 - As pessoas estudam - Quem é? - Que pena!
Tabela Verdade - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade Proposição Simples ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).
p V F Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes. componentes. Proposição Composta - 02 proposições simples Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:
p V V F F
q V F V F
65
Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.
Proposição Composta - 03 proposições simples No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:
p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.
Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F. Exemplos p: o sol é verde; q: um hexágono tem nove diagonais; r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0 V(p) = F V(q) = V V(r) = F
QUESTÕES 01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições: proposições: a) P ˅ ~q b) p → q c) ~p ^ ~q d) p ↔ ~q e) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)
02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol. b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol. c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno do Sol. d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não é um planeta. e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol. (Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas como “não p e não q”)
03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine: a) a contrapositiva 66
b) a recíproca
04.
a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine V (p → r ^ s). b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine V (p), V (q), V (r). c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r).
das seguintes sentenças abertas: 05. Dê o conjunto-verdade em R das a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0 b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0
06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas: a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol. b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões: I- Alguns baianos são louros. II- Alguns professores são baianos. III- Alguns louros são professores. professores. IV- Existem professores louros. Considere que as letras P, Q, R e T re presentem proposições e que os 07. (CESPE - PF - Regional) Considere
símbolos̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valorverdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir. a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (̚ P) ˅ (̚ Q) também é verdadeira. b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ (̚ T) é falsa. c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.
08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes. a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais. b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.
Considere as sentenças abaixo. 09. (CESPE - PF - Regional) Considere I- Fumar deve ser proibido, proibido, mas muitos europeus fumam. II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; consequentemente, consequentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas listadas na tabela a seguir.
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P Q R T
Fumar deve ser proibido. Fumar de ser encorajado. Fumar não faz bem à saúde. Muitos europeus fumam.
Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T). b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R). c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P. d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ^ (¬ T)) → P. e) A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬ R) ^ (¬ P)).
10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que: a) A loura é Sara e vai à Espanha. b) A ruiva é Sara e vai à França. c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. d) A morena é Bete e vai à Espanha. e) A loura é Elza e vai à Alemanha.
RESPOSTAS 01.
a) “Está frio ou não está chovendo”. b) “Se está frio então está chovendo”. c) “Não está frio e não está chovendo”. d) “Está frio se e somente se não está chovendo”. e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está chovendo e não está frio”.
02.
a) ~(p ˅ q); b) p → q c) ~(p ˅ ~q) d) ~p ^ ~q e) q ↔ ~p
03.
a) a contrapositiva: “Se p ≠ 2 e p é par, então p não é primo”. b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.
04.
a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2), determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, 68
logo V (r) = V c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V . Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.
05. a) R – {2} b) [-2,2[ 06. a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:
b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:
07. a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos: (¬ P) v (¬ Q) (¬ V) v (¬ V) (F) v (F) Falsa b) Item ERRADO. A condicional regra que: R → (¬ T) F (¬ V) F (F) Verdadeira c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional: (P ^ R) → (¬ Q) (V ^ F) → (¬ V) F F Verdadeira
08. a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições
verdadeiras para verificar que as tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:
P V
Q V
¬P F
PvQ V
Q → ¬P F
b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S): P V F
Q F V
S F F
(P v Q) → S F F
P→SvQ→S V V
69
09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T. b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficarmos atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra. c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P. d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P. d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...” . A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.
10. Resposta “E”. A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema: a) São três amigas b) Uma é loura, outra morena e outra ruiva. c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara. d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha. e) Elas deram as seguintes informações: A loura: “Não vou à França nem à Espanha”. A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”. A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.
Faça uma tabela:
Cor dos cabelos Afirmação País Nome
Loura Não vou à França nem a Espanha Alemanha Elza
Morena Meu nome não é Elza nem Sara França Bete
Ruiva Nem eu nem Elza vamos à França Espanha Sara
Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha. Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete. Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai à Alemanha e a ruiva não vai à França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube à Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.
CONECTIVOS Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. Os conectivos mais usados são: “e”( ˄), “ou”(˅), “se... então”(→) e “se e somente se”(↔). Exemplos - Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país. - Professor Fábio é esperto ou está doente. - Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo. - Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo. Operação Negação Conjunção Disjunção Inclusiva Disjunção Exclusiva Condicional Bicondicional
Conectivo ¬ ^ v v → ↔
Estrutura Lógica Não p peq p ou q Ou p ou q Se p então q p se e somente se q
Exemplos A bicicleta não é azul. Thiago é médico e João é Engenheiro. Thiago é médico ou João é Engenheiro. Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro. Se Thiago é Médico então João é Engenheiro. Thiago é médico se e somente se João é Médico.
Conectivo “e” (˄)
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Sejam os argumentos: p: -3 é um número inteiro. q: a cobra é um réptil. Com os argumentos acima, podemos compôr uma sentença fechada, que expressa os dois argumentos: “ -3 é um número inteiro e a cobra é um réptil”. A sentença pode ser representada como p ˄ q, podemos receber um valor lógico, verdadeiro ou falso. Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Observe que uma conjunção p ˄ q só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: p
q p ˄ q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa. Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros. Conectivo “ou” ( V )
O conectivo “ou” pode ter dois significados: 1. “ou” inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente) 2. “ou” exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa) Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características. Sejam:
p: 3 é um número inteiro. q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol. A partir de p e q, podemos compor: p V q: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol. Se p e q são duas proposições, a proposição p V q será chamada adjunção ou disjunção. Observe que uma adjunção p V q é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p ou q, é verdadeira. Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: p
q
pVq
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Atenção: O conectivo V , “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos.
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Conectivo “Se... então” ( → )
Sejam as proposições abaixo: p: 5.4 = 20 q: 3 é um número primo. A partir de p e q, podemos compor: p→q: se 5.4 = 20, então 3 é um núm ero primo. Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p →q é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia”. 1. Podem ocorrer as situações: 2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) 5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia). Observe que uma subjunção p →q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: p
q
p →q
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V
Existem outras maneiras de ler: p →q: “p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”. Sejam: p: 18 é divisível por 6. q: 18 é divisível por 2. Podemos compor: p→q: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que se pode ler: - “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é divisível por 2” ou, ainda, - “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é divisível por 6”. Atenção: Dizemos que “p implica q” (p →q) quando estamos considerando uma relação entre duas proposições, compostas ou n ão, diferentemente do símbolo →, que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição. Conectivo “Se e somente se” ( ↔ )
Sejam: p: 16 / 3 = 8 q: 2 é um número primo. A partir de p e q, podemos compor: p↔q: 16 / 3 = 8 se e somente se 2 é um número primo. Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”. Considere, ag ora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações: 1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade) 2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti) 72
3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti) 4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade) Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras. Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade: p
q
p ↔q
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
V
Devemos lembrar que p ↔q é o mesmo que (p →q) ˄ (q→p). Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”. Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (p →q) quando estamos considerando uma relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo ↔ , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição. Exemplos: 1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas: a) p 1 : 2 + 5 = 7 ou 2 + 5 = 6 Temos que p ˅q, com p(V), q(F); portanto, p 1 (V ) b) p 2 : se 2 + 4 = 8 se 2 + 4 = 8, então 2 = 6 = 9 Temos que p →q com p(F), q(F); portanto, p 2 (V ) 2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: “se x² - 14x + 48 = 0, então x – 2 = 4”. Como x² - 14x + 48 = 0 ↔ x = 6 ou x = 8 e x – 2 = 4 ↔ x = 6, tem-se: a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V. b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F. c) (FV) não se verifica. d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6 e 8, temos o valor lógico V. 3. Sejam as proposições: p: Joana é graciosa. q: Fátima é tímida. Dar as sentenças verbais para: p →~q Se Joana é graciosa, então Fátima não é tímida. ~(~pq) É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida. Atenção: O conectivo ↔ é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes. Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N ”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”.
QUESTÕES 01. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, (A) mesmo que se esforce, você não vencerá. (B) seu esforço é condição necessária para vencer. (C) se você não se esforçar então não irá vencer. (D) você vencerá só se se esforçar. (E) seu esforço é condição suficiente para vencer. 02. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição
“Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q , lida como “ p ou q ”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V. Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que 73
podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal. A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado. De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?
03. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes: A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance; A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências; A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso contrario. A1 A2 A3 Roberta F Rejane Renata V Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição p →q tem valor lógico V. Certo ou errado?
04. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas
condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”? (A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo.
05. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que: P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”; Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”; R= “ele sempre leva um guarda -chuva”; S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.
(A) P (Q R) (B) (P Q) R (C) (P Q) (R S) (D) P (Q (R S))
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RESPOSTAS 01. Resposta “E”. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples (você se esforçar) (irá vencer), l igadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q, ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente → Se p então q também pode ser lido como p implica em q → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.
Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas. p
q
p →q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores l ógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas). Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir: p
~p
V
F
F
V
O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade: p
q
~p
~q
p →q ~q →~p
V
V
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
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Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício: Se você se esforçar então irá vencer → você se esforçar é a proposição p também conhecida como antecedente. → irá vencer é a proposição q também conheci da como consequente. → você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→ irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→. Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. O u seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça b asta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas: Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo, a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se esforç ar é a condição suficiente para que você vença, ou seja, basta que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto. b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra. c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova.
Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Obse rve que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra. d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade. e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença. 02. Resposta “Errado”. Analisando as proposições: A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsa B: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é verdadeira; C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em território brasileiro será extraditado” - é falsa. Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo → (implica), a proposição composta terá valor lógico F.
03. Resposta “Certo”. Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado:
A1 A2 A3 Roberta F V F Rejane V F F Renata F F V Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.
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04. Resposta “A”. Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo “e ”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição. - Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição. - Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição. - Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao enunciado.
05. Resposta “C”. A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P Q. Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P Q) (R S).
EQUIVALÊNCIA Na lógica, as asserções p e q são ditas logicamente equivalentes ou simplesmente equivalentes, se p ╞ q e q ╞ p. Em termos intuitivos, duas sentenças são logicamente equivalentes se possuem o mesmo “conteúdo lógico”. Do ponto de vista da teoria da demonstração, p e q são equivalentes se cada uma delas pode ser derivada a partir da outra. Semanticamente, p e q são equivalentes se elas têm os mesmos valores para qualquer interpretação. A notação normalmente usada para representar a equivalência lógica entre p e q é p ≡ q , p ⇔ q ou p ≈ q . Exemplo: As seguintes sentenças são logicamente equivalentes: 1- Se hoje é sábado, então hoje é fim de semana. 2- Se hoje não é fim de semana, então hoje não é sábado. Em símbolos: d : “Hoje é sábado”. (d → f) f : “Hoje é fim de semana”. ( ¬f → ¬d) Sintaticamente, (1) e (2) são equivalentes pela Lei da Contraposição. Semânticamente, (1) e (2) têm os mesmos valores nas mesmas interpretações. Há equivalência entre as proposições p e q somente quando a bicondicional p ↔ q for uma tautologia ou quando p e q tiverem a mesma tabela-verdade. p ⇔ q (p é equivalente a q ) é o símbolo que representa a equivalência lógica.
Diferenciação dos símbolos ↔ e O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições p e q , que tem como resultado uma nova proposição p ↔ q com valor lógico V ou F . O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade p ↔ q , ou ainda que o valor lógico de p ↔ q é sempre V , ou então p ↔ q é uma tautologia. Exemplo: A tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:
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p V V F F
q V F V F
~q F V F V
~p F F V V
p →q V F V V
~q → ~p
V F V V
(p → q) ↔ (~q → ~p) V V V V
Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p , pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia. Veja a representação: (p → q) ⇔ (~q → ~p) Equivalências Notáveis Nome Propriedade ~~p ↔ p Dupla Negação (DN) Idempotente (IP) p V p ↔ p Comutativa (COM) pVq↔qVp Associativa (ASS) p V (q V r) ↔ (p V q) V r De Morgan (DM) ~(p V q) ↔ ~p ~q Distributiva (DIS) p (q V r) ↔ (p q) V (p r) Absorção (ABS) p (p V q) ↔ p Reescrita da Condicional (COND) p → q ↔ ~p V q Reescrita da Bicondicional (BI) p ↔ q ↔ (p → q) (q → p) Elemento Neutro (EN) pVF↔p pVV↔V Elemento Absorvedor (EA) p V ~p ↔ V Complementares (COMPLE) F = contradição V = tautologia
Dual p p ↔ p p q↔q p p (q r) ↔ (p q) r ~(p q) ↔ ~p V ~q p V (q r) ↔ (p V q) (p V r) p V (p q) ↔ p p V↔p p F ↔ F p ~p ↔ F
As proposições p e q são chamadas de logicamente equivalentes ( ≡) se p ↔ q é uma tautologia. Exemplos: Mostraremos que ¬ (p V q) e ¬p Solução: p V V F F
q V F V F
¬q são logicamente equivalentes. Uma das leis de De Morgan.
¬(p V q)
(p V q) V V V F
F F F V
¬ (p V q) e ¬p ¬q ¬p ¬q ¬p ¬q F F V V
F V F V
F F F V
¬ (p V q) ↔ ¬p ¬q V V V V
Mostraremos que ( p → q) e ¬p V q são logicamente equivalentes. Solução: p V V F F
q V F V F
¬p F F V V
¬p V q
(p → q) e
¬p V q V F V V
p→q V F V V
(p → q) ↔
¬p V q V V V V
QUESTÕES 01. Demonstre as relações abaixo utilizando as equivalências notáveis: (A) p q r (p q) (p r) (B) p q r (p q) (p r) (C) p (r s t) (p r) (p s) (p t) (D) p q r p (q r) (E) ~(~p ~q) ~p q 02. Demonstre, utilizando as equivalências notáveis, que as relações de implicação são válidas: (A) Exemplo : Regra da simplificação: p q q Para provarmos uma relação de implicação temos que demonstrar que a condicional p q q é tautológica, ou seja, que a condicional p q q V Desenvolvendo o lado esquerdo da equivalência, tem-se: 78
p q q (aplicando-se a equiv. de reescrita da condicional) ~(p q) q (aplicando-se a Lei de Morgan) ~p ~q q (aplicando-se lei complementar, ~q q é uma tautologia) ~p V (pela lei da identidade ~p V é um tautologia) V Portanto, está provado que p q q é uma tautologia (B) Regra da adição: p p q (C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p q) ~q p (D) Regra de Modus Ponens: (p q) p q (E) Regra de Modus Tollens: (p q) ~q ~p
03. Usando as regras de equivalência, mostre a seguinte tautologia: (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) RESPOSTAS
01. (A) p q r (p q) (p r) p q r ~p (q r) (reescrita da condicional) (~p q) (~p r) (distributiva) (p q) (p r) (reescrita da condicional)
(B) p q r (p q) (p r) p q r ~p (q r) (reescrita da condicional) ~p q r (associativa) ~p ~p q r (idempotente, adicionei um ~p, pois ~p ~p ~p) (~p q) (~p r) (associativa) (p q) (p r) (reescrita da condicional) (C) p (r s t) (p r) (p s) (p t) p (r s t) p (r (s t)) (associativa em s t) (p r) (p (s t)) (distributiva) (p r) (p s) (p t) (distributiva) (D) p q r p (q r) p q r ~(p q) r (reescrita da condicional) ~p ~q r (De Morgan) ~p (~q r) (associativa) ~p (q r) (reescrita da condicional) p (q r) (reescrita da condicional) (E) ~(~p ~q) ~p q ~(~p ~q) ~(~~p ~q) (reescrita da condicional) ~(p ~q) (dupla negação) ~p ~~q (De Morgan) ~p q (dupla negação)
02. (B) Regra da adição: p p q p p q V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) ~p (p q) (condicional) ~p p q (associativa) V q (complementares ~p p) V (identidade) 79
(C) Regra do Silogismo Disjuntivo: (p q) ~q p (p q) ~q p V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (p ~q) (q ~q) p (distributiva) (p ~q) F p (complementares) (p ~q) p (identidade) ~(p ~q) p (condicional) ~p ~q p (De Morgan) (~p p) ~q (associativa) V ~q (complementares) V (identidade) (D) Regra de Modus Ponens: (p q) p q (p q) p q V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p q) q q (condicional) (q ~p) (q q) q (distributiva) (q ~p) q q (idempotente) ~((q ~p) q) q (condicional) (~(q ~p) ~q) q (De Morgan) ((~q p) ~q) q (De Morgan) (~q ~q) (~q p) q (distributiva) ~q (~q p) q (idempotente) (~q q) (~q p) (associativa) V (~q p) (complementares) V (identidade) (E) Regra de Modus Tollens: (p q) ~q ~p (p q) ~q ~p V (devemos demonstrar que a relação de implicação equivale a uma tautologia) (~p q) ~q ~p (De Morgan) (~q ~p) (~q q) ~p (Distributiva) (~q ~p) F ~p (Complementares) (~q ~p) ~p (Identidade) ~(~q ~p) ~p (condicional) ~~q ~~p ~p (De Morgan) q p ~p (Dupla Negação) q V (complementares) V
03. Mostraremos que (p → q) → r ⇔ r ∨ (p ∧ ~q) é uma tautologia, de fato: Ordem 1 2 3 4 5
Proposição (p → q) → r ⇔ ⇔(~p ∨ q) → r ⇔ ⇔~(~p ∨ q) ∨ r ⇔ ⇔ r ∨ ~(~p ∨ q) r ∨ (p ∧ ~q)
IMPLICAÇÃO LÓGICA A proposição p implica a proposição q , quando a condicional p → q for uma tautologia. O símbolo p ⇒ q (p implica q ) representa a implicação lógica.
Diferenciação dos símbolos → e O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições p e q que tem como resultado a proposição p → q , com valor lógico V ou F. 80
O símbolo ⇒ representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de p → q , ou ainda que o valor lógico da condicional p → q será sempre V, ou então que p → q é uma tautologia. Exemplo: A tabela- verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será: p V V F F
q V F V F
p Λ q V F F F
(p Λ q) → (p ↔ q) V V V V
p ↔ q
V F F V
Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (p ↔q) Relação lógica entre duas proposições p e q , expressa pela fórmula lógica se p então q (p→q), em que se p é verdadeira então q também tem que ser verdadeira, porque a informação contida em Q está também incluída em p . De igual modo, se q é falsa, p também deve ser falsa para que haja uma relação de implicação. É um tipo de relação apenas centrado nos valores de verdade das proposições. Como exemplos, considerem-se as frases seguintes: I) Tareco é um gato. II) Tareco é um animal. III) A tua camisola é azul. IV) A tua camisola tem uma cor. A proposição I implica a proposição II, assim como a proposição III implica a proposição IV se ambas as proposições forem verdadeiras no mundo real ou possível em que se inserem. Esta relação é assegurada pela relação de hiperonímia/ hiponímia estabelecida no plano lexical entre os lexemas gato (hipônimo) / animal (hiper ônimo) e azul (hip ônimo) / cor (hiper ônimo). Em semântica, este tipo de relação entre proposições designa-se por implicação estrita, podendo ser definida pela relação entre uma frase ou um grupo de frases (implicans) e outra frase (implicatum) cujo sentido está implicado no conteúdo semântico da(s) outra(s) frase(s). Ou por outras palavras, p implica estritamente q se em todos os mundos em que p é verdadeira, q também é verdadeira. Um exemplo de implicação estrita pode ser observado no raciocínio silogístico: V) Todos os homens são mortais. VI) Pedro é homem. VII) Pedro é mortal. A conclusão do silogismo (frase VII) é uma proposição verdadeira. Sendo as proposições anteriores também verdadeiras, podemos afirmar que V e VI implicam estritamente VII. A implicação é uma relação entre proposições próxima da pressuposição. Na linguagem corrente usamos frequentemente frases condicionais, por exemplo, “Se hoje chover, então vou ao cinema”. Esta frase só é falsa se hoje chover e eu não for ao cinema; se hoje não chover a frase é verdadeira, tal como o é se hoje chover e eu for ao cinema. A operação que traduz, em termos de Lógica Matemática, a ideia de uma frase condicional é a implicação. Trata-se de uma operação lógica de grande importância que é designada por ⇒. Sendo p e q duas proposições quaisquer, a proposição p ⇒ q (leia-se “p implica q ”) é falsa se p for verdadeira e q falsa e é verdadeira em todos os outros casos; por outras palavras, a tabela verdade para a implicação é, por definição, a seguinte: p
q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V
p
q
Na implicação p ⇒ q chama-se antecedente à proposição p e consequente à proposição q. Repare-se que uma implicação só é falsa se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso; em todos os outros casos a implicação é verdadeira. Também por vezes escreveremos q ← p (em vez de p ⇒ q ) com o significado de “p implica q ”. 81
A implicação é muito importante na linguagem matemática porque aparece sistematicamente nos teoremas que constituem as teorias matemáticas. Um teorema é uma proposição do tipo p ⇒ q , onde p é uma proposição verdadeira na teoria em questão. Demonstrar um teorema não é mais do que provar que a proposição p ⇒ q é verdadeira o que, atendendo a que p é verdadeira, é equivalente a dizer que q é verdadeira. Num teorema é usual chamar hipótese à proposição p , antecedente da implicação p ⇒ q . A proposição q , que é o consequente da implicação, designa-se por tese. Um exemplo de um teorema é Seja n um número natural. Então, se n é par, n 2 também é par. A hipótese é a proposição “n é par”; a tese é “ n 2 é par”. A demonstração deste teorema pode ser feita da forma que passamos a expor. Por definição de número par, sabemos que existe um natural k tal que n = 2k ; consequentemente n 2 = (2k)2 = 2 2 k 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ) = 2m , onde designamos por m o natural 2 k 2 . Mas, novamente por definição de número par, e tendo em conta que n 2 = 2m, vemos que n 2 é par. O teorema está demonstrado. Antes de darmos alguns exemplos de proposições onde a implicação intervém, queremos chamar a atenção para um fato importante. Consideremos a frase:
“Estamos em crise econômica, logo os salários sobem abaixo da inflação”. Ao dizermos esta frase, na linguagem corrente, estamos a admitir uma relação de causa a efeito entre a crise econômica e o aumento dos salários. Do ponto de vista matemático esta frase é uma implicação: “Estamos em crise econômica implica que os salários sobem abaixo da inflação”. Mas cuidado. Na lógica matemática não nos preocupamos com qualquer relação de causa e efeito entre o antecedente e o consequente de uma implicação. O que há é uma relação entre o valor lógico da implicação e os valores lógicos do antecedente e do consequente. A frase “Estamos em crise econômica, logo os salários sobem abaixo da inflação” é verdadeira porque o antecedente (“Estamos em crise econômica”) é verdadeiro e o consequente (“Os salários sobem abaixo da inflação”) é também verdadeiro. Mas a frase “O Primeiro Ministro é astronauta, logo os salários sobem abaixo da inflação” também é verdadeira. Isto porque o antecedente (“O Primeiro Ministro é astronauta”) é falso; agora já é irrelevante o valor lógico do consequente porque, numa implicação, se o antecedente for falso, a implicação é verdadeira. Neste caso não há (ou, pelo menos, não parece haver) qualquer relação de causa e efeito entre o Primeiro Ministro ser astronauta e os salários subirem abaixo da inflação. Curiosamente a frase “O Primeiro Ministro é astronauta, logo os salários sobem acima da inflação” também é verdadeira porque o Primeiro Ministro não é astronauta; o antecedente é falso, logo a implicação é verdadeira. Passemos agora a exemplos matemáticos; são falsas as seguintes proposições: 2 > 1 ⇒ 2 > 4, 4 = 2 2 ⇒ √ 4 = −2, 3 + 2 = 5 ⇒ 100000 ≠ 10 3 10 2 .
De fato, em cada uma das três implicações anteriores, o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Nesta situação a implicação é falsa; é, aliás, a única situação em que a implicação é falsa (antecedente verdadeiro e consequente falso). As seguintes proposições (todas elas implicações) são verdadeiras: 2 > 0 ⇒ 2 > 1, 4 = 2 3 ⇒ √ 4 = 2, 3 + 2 = 7
⇒ 1000 ≠ 103.
Na primeira das implicações anteriores o antecedente é verdadeiro e o consequente também, pelo que a implicação é verdadeira. Nas outras duas o antecedente é falso pelo que, independentemente do valor lógico do consequente, a implicação é verdadeira. Construindo as tabelas de valores lógicos necessárias é fácil provar as seguintes propriedades: 1- (p ⇒ q) ⇔ ((~ p) ∨ q) 2- (~ (⇒p ⇒ q)) ⇔ (p ∧ (~ q)) 3- ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)) ⇔ (p ⇔ q) 4- (p ⇒ q) ⇔ ((~ q) ⇒ (~ p)) 5- ((p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ (p ⇒ r) A título de exemplo demonstraremos a propriedade (5), que é a transitividade da implicação, recorrendo à seguinte tabela de verdade:
82
p
q
r
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
V
V
V
V
p
q
q
r
(p
q) (q
r)
p
r
(5)
Verificamos que o valor lógico de (5) é sempre V, independentemente dos valores lógicos de cada uma das proposições p , q e r ; isto significa que (5) é verdadeira. Embora não o façamos aqui, recomendamos vivamente que construa as tabelas verdade que permitem demonstrar as propriedades (1), (2), (3) e (4). Atenção à negação de uma implicação. Um erro frequente entre os estudantes é dizer que a negação de p ⇒ q é (~q) ⇒ (~p); falso, como se depreende de (2). Outro erro frequente é dizer que a negação de p ⇒ q é q ⇒ p ; igualmente falso. A negação de p ⇒ q , dada por (2), é p ∧ (~q). A proposição q ⇒ p é chamada proposição recíproca de p ⇒ q ; a propriedade (3) mostra-nos que, se tanto p ⇒ q como a sua recíproca forem verdadeiras, então p e q são equivalentes. A proposição (~q) ⇒ (~p) é chamada contra-recíproca de p ⇒ q ; por essa razão a propriedade (4) é conhecida como regra do contra-recíproco, vulgarmente utilizada em certo tipo de demonstrações onde, em vez de demonstrarmos que p ⇒ q , provamos que (~q) ⇒ (~p). Para exemplificar demonstraremos que, fixado um número natural n , se o quadrado de n for par, então n também é par. A proposição a demonstrar escreve-se, simbolicamente, n 2 é par ⇒ n é par.
(6)
Designando por p a proposição “ n 2 é par ” e por q a proposição “ n é par ”, queremos mostrar que p ⇒ q Mas, atendendo a (4), esta última proposição é equivalente a ~q ⇒ ~p (7)
Vamos então demonstrar que n não é par ⇒ n 2 não é par. Suponhamos então que o número natural n ã e ;rap éoã n é ímpar e, por definição de número ímpar, existe um natural k tal que n = 2k + 1. Consequentemente tem-se n 2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 = 2m + 1,
Onde designamos por m o número natural 2k 2 + 2k . A igualdade anterior mostra-nos que o número natural n 2 é ímpar (porque se escreve na forma 2m + 1) e portanto não é par. Demonstramos assim que a proposição (7) é verdadeira e, como (6) é equivalente a (7), demonstramos a proposição (6). Um outro tipo de demonstração também muitas vezes utilizado é o chamado método de demonstração por redução ao absurdo. Neste caso, para demonstrarmos que p ⇒ q , começamos por supor que a hipótese é verdadeira e que a tese é falsa, ou seja, que a proposição p ∧ (~q) é verdadeira. À custa desta proposição deduzimos uma outra proposição r que sabemos ser falsa na teoria em que estamos. Concluímos então que a proposição r é simultaneamente verdadeira e falsa, o que é absurdo. Logo p ∧ (~q) é falsa e (porque p é verdadeiro, por ser a hipótese do teorema) vem que ~q é falsa, ou seja, q é verdadeira. Exemplificaremos este processo de demonstração tornando a provar (agora por redução ao absurdo) que, fixado um número natural n , se tem n 2 é par ⇒ n é par. Suponhamos, portanto que é verdadeira a proposição n 2 é par ∧ n não é par. (8)
Então existem dois números naturais k e m tais que n 2 = 2k ∧ n = 2m + 1. 83
Tem-se assim n 2 = (2m + 1)2 = 4m 2 + 4m + 1, pelo que 4m 2 + 4m + 1 = 2k. Mas, na igualdade anterior, o primeiro membro é um número ímpar e o segundo membro é um número par; por outro lado sabemos que não existe qualquer número natural simultaneamente par e ímpar. Concluímos, portanto que a proposição (8) é falsa, logo n é par. Terminamos esta seção introduzindo uma notação. Sendo p e q duas proposições quaisquer, escreveremos p ⥼ q (leia-se p não implica q ) para negar que p implica q . Assim, p ⥼ q é, por definição, equivalente a ~(p ⇒ q). Por vezes, em vez de p ⥼ q , escrevemos q ⥼ p . Tem-se então (p ⥼ q) ⇔ (q ⥼ p) ⇔ (~(p ⇒ q)) ⇔ (p ∧ (~q)).
Propriedades da implicação lógica: reflexiva e transitiva São: - A condição necessária e suficiente para que uma implicação p ⇒ q seja verdadeira é que uma condicional p → q seja uma tautologia; - Propriedade reflexiva (R): p ⇒ p ; - Propriedade transitiva (T): Se p ⇒ q e q ⇒ r , então p ⇒ r.
Demonstração de implicação lógica, comparando-se tabelas-verdade Verificar se p ⇒ q → p p
q
V
V
V
V
F
V
F
V
F
F
F
V
p
q
Comparando os valores lógicos da coluna p com os valores lógicos da coluna q → p, verificamos que não ocorre “VF” em nenhuma linha, logo p ⇒ q → p é uma relação válida.
Demonstração de implicação lógica, substituindo-se a relação pelo conectivo Verificar se p ⇒ q → p p ⇒ q →p
p
q
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
V
p
q
Como a coluna de resultado final da tabela-verdade é uma Tautologia, então a relação é verdadeira.
Implicação entre Sentenças Abertas Diz-se que uma sentença aberta implica uma outra sentença aberta quando o conjunto verdade de uma delas está contido no conjunto verdade da outra. Exemplo: Julgar a sentença x – 3 = 0 ⇒ x 2 = 9 Resolução: Determinando o conjunto-verdade da primeira sentença aberta: x – 3 = 0 temos que x = 3 logo, V1 = {3}
84
Determinando o conjunto-verdade da segunda sentença aberta: x2 = 9 x=±3 logo, V2 = {-3, 3} Podemos observar que {3} ∁ {-3, 3}. Portanto, podemos dizer que a implicação é verdadeira, logo a sentença x – 3 = 0 ⇒ x 2 = 9 está correta.
Implicações Notáveis Estas implicações são consideradas notáveis (ou clássicas), pois são argumentos válidos fundamentais, usados para fazer “inferências”, isto é, executar os “passos” de uma demonstração ou de uma dedução. Também chamadas de Regras de Inferência.
Adição p ⇒ p V q q ⇒ p V q
Organizando a tabela-verdade tem-se que: p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Não há “VF”, logo p
p
q
p q
V
V
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
Não há “VF”, logo q
pVq
pVq
Conjunção p ∧ q ⇒ p e p ∧ q ⇒ q q ∧ p ⇒ p e q ∧ p ⇒ q
Simplificação p ∧ q ⇒ p p ∧ q ⇒ q
Simplificação Disjuntiva (p V q) ∧ (p V ~q) ⇒ p
Absorção
p → q ⇒ p → (p ∧ q) 85
Regra Modus Ponens
(p → q) ∧ p ⇒ q Regra Modus Tollens
(p → q) ∧ ~q ⇒ ~p Regra do Silogismo Disjuntivo (p V q) ∧ ~p ⇒ q (p V q) ∧ ~q ⇒ p
Silogismo Hipotético
(p → q) ∧ (q → r) ⇒ p → r Dilema Construtivo
((p → q) ∧ (r → s) ∧ (p V r)) ⇒ q V s Dilema Destrutivo
((p → q) ∧ (r → s) ∧ (~p V ~s) ) ⇒ ~p V ~r Teorema Contra Recíproco A proposição “p(x) ⇒ q(x)” é verdadeira se, e somente se “ ~q(x) ⇒ ~p(x)” é verdadeira. Assim, afirmar “Se p, então q ” é o mesmo que afirmar “se ~q, então ~p ”. Portanto, “p(x) ⇒ q(x)” é equivalente a “ ~q(x) ⇒ ~p(x)”. Exemplo: A sentença “ Se comeu, então matou a fome ” é equivalente a “ Se não matou a fome,
então não comeu”.
Relação entre Implicações Implicações Recíprocas: p ⇒ q e q ⇒ p. Duas proposições recíprocas não são logicamente equivalentes, uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja. Implicações Inversas: p ⇒ q e ~p ⇒ ~q. Duas proposições inversas não são logicamente equivalentes, uma pode ser verdadeira sem que a outra o seja. Implicações Contrapositivas: p ⇒ q e ~q ⇒ ~p . Duas proposições contrapositivas são logicamente equivalentes, sempre que uma é verdadeira, a outra também será. ARGUMENTOS VÁLIDOS Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequ cnr outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p 1,...,p n que tem como consequ cnr outra proposição q . Chamaremos as proposições p 1,p 2, p 3, ...,p n de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento. Podemos representar por:
p 1 p 2 p 3 . . . p n 86
∴q Exemplos: 01. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso ________________________ ∴ Irei trabalhar 02. Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. __________________________ ∴ Ele casa comigo. 03. Todos os brasileiros são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. __________________________ ∴ Todos os paulistas são humanos. 04. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho. __________________________ ∴Todos os jogadores receberão o bicho. Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo: Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água. Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________ Conclusão: ∴ Todos os sabões são substâncias solúveis em água. Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão. Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão. Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas. O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo: Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. Premissa: Lontras são peixes. Conclusão: Logo, focas vivem no oceano. Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa. Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo A denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão. Regras de Implicação Premissas Conclusão Inferência A B AàB Falsas Falsa Verdadeira Falsas Verdadeira Verdadeira Verdadeiras Falsa Falsa Verdadeiras Verdadeira Verdadeira
87
- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2). - Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a inferência é inválida (linha 3). - Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é verdadeira (linha 4). Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas. Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.
Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções -base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo. As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento. A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação. Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.
Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo por meio do processo chamado “inferência”. Na inferência, parte -se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências. Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta. Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Consequentemente...” ou “isso implica que...”. Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular. A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas. A seguir está exemplificado um argumento válido, mas que pode ou não ser “consistente”. 1. Premissa: Todo evento tem uma causa. 2. Premissa: O universo teve um começo. 3. Premissa: Começar envolve um evento. 4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento. 5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa. 6. Conclusão: O universo teve uma causa.
A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.
Validade de um Argumento Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido. A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos: a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos. (V) Todos os apartamentos são residências. (V) __________________________________ 88
∴ Algumas residências são pequenas. (V) b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) __________________________________ ∴ Todos os pássaros têm asas. (V) c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa. Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os cães são peixes. (F) __________________________________ ∴ Todos os cães têm asas. (F) Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam. Podemos dizer que um argumento é válido quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa. Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados. Exemplo: Todas as mulheres são bonitas. Todas as princesas são mulheres. __________________________ ∴ Todas as princesas são bonitas. Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos: Todos os A são B. Todos os C são A. ________________ ∴ Todos os C são B. Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é consequência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.
Argumentos Dedutivos e Indutivos O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas. Exemplo: Todo ser humano tem mãe. Todos os homens são humanos. __________________________ ∴ Todos os homens têm mãe. O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar as conclusões. Exemplo: O Flamengo é um bom time de futebol. O Palmeiras é um bom time de futebol. O Vasco é um bom time de futebol. O Cruzeiro é um bom time de futebol. ______________________________ ∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons. 89
Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.
Argumentos Dedutivos Válidos Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.
Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens . Exemplo: Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço. José foi aprovado no concurso. ___________________________ ∴ José será demitido do serviço. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma: Se p , então q , p.
p q
ou
q.
p q
Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus
tollens ). Obs.: p q é equivalente a q p . Esta equivalência é chamada de contra positiva. Exemplo: “Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;
Então vejamos o exemplo do modus tollens . Exemplo: Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação. Não há inflação. ______________________________ ∴ Não aumentamos os meios de pagamentos. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: Se p , então q , N ão N ão
q . p .
p q
ou
q p
Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis. Exemplo: João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.Eis o dilema de João: Ou João passa ou não passa no concurso. 90
Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo. Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante dos colegas de trabalho. _________________________ ∴ Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com vergonha dos colegas de trabalho. Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira: p ou q.
p q
ou
Se p então r Se p
então
r ou
p r qs
s.
s
r s
Argumentos Dedutivos Não Válidos Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia a dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação). Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica. Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não válido, chamaremos os argumentos não válidos de falácias. A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequ cnr. O primeiro caso de argumento dedutivo não válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente” . Exemplo: Se ele me ama então ele casa comigo. Ele casa comigo. _______________________ ∴ Ele me ama. Podemos escrever esse argumento como: Se p, então q,
ou
p q q
q
p
p
Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Outra falácia que corre com frequência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente” . Exemplo: Se João parar de fumar ele engordará. João não parou de fumar. ________________________ ∴ João não engordará. Observe que temos a forma: Se p , então q ,
Não Não
p. q.
p q
ou
p q 91
Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa. Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão. Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão. Exemplo: Todos os mamíferos são mortais. (V) Todos os gatos são mortais. (V) ___________________________ ∴ Todos os gatos são mamíferos. (V) Este argumento tem a forma: Todos os A são B. Todos os C são B. _____________________ ∴ Todos os C são A. Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra. Todos os mamíferos são mortais. (V) Todas as cobras são mortais. (V) __________________________ ∴ Todas as cobras são mamíferas. (F) Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso. Outra maneira de verificar se um dado argumento P 1, P 2, P 3, ...Pn é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada: (P 1 ∧ P2 ∧ P3 ...Pn) e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia. Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia).
Tautologia: Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma tautologia. Ex: P (p,q) = ( ¬p ∧ ¬q) ↔ ¬ (p V q). Numa tautologia, o valor lógico da proposição composta P (p,q,s) = {(p ∧ q) V (p V s) V [p ∧ ¬ (q ∧ s)]} → p será sempre verdadeiro. Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não validade de um argumento. O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima. Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso. Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”. Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas. Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”. Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, deve- se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Ein stein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”. Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando. Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.
QUESTÕES 92
01. Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês. b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês. c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol. d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano. e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. 02. Sabe-se que todo o número inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n é primo, então tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n é uma potência de um primo p, ou seja, é da forma p s, então 1, p, p 2, ..., ps são os divisores positivos de n. Segue-se daí que a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos, é igual a: a) 25 b) 87 c) 112 d) 121 e) 169 03. Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 04. Três suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados à presença de um velho e sábio professor de Lógica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sábio professor perguntou, a cada um dos
suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: “Eu sou o culpado”. Disse o de camisa branca, apontando p ara o de camisa azul: “Sim, ele é o culpado”. Disse, por fim, o de camisa preta: “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”. O velho e sábio professor de Lógica, então, sorriu e concluiu corretamente que: a) O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente. b) O culpado é o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente. d) O culpado é o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado é o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.
05. O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo, e é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir e é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu. Logo: a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa. b) Se o duque não saiu do castelo, então o conde encontrou a princesa. c) O rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa. d) O rei foi à caça e a duquesa não foi ao jardim. e) O duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 06. (FUNIVERSA - 2012 - PC-DF - Perito Criminal) Cinco amigos encontraram-se em um bar e, depois de algumas horas de muita conversa, dividiram igualmente a conta, a qual fora de, exatos, R$ 200,00, já com a gorjeta incluída. Como se encontravam ligeiramente alterados pelo álcool ingerido, ocorreu uma dificuldade no fechamento da conta. Depois que todos julgaram ter contribuído com sua parte na despesa, o total colocado sobre a mesa era de R$ 160,00, apenas, formados por uma nota de R$ 100,00, uma de R$ 20,00 e quatro de R$ 10,00. Seguiram-se, então, as seguintes declarações, todas verdadeiras: 93
Antônio: — Basílio pagou. Eu vi quando ele pagou. Danton: — Carlos também pagou, mas do Basílio não sei dizer. Eduardo: — Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Basílio: — Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio quem colocou, eu vi quando ele pegou seus R$ 60,00 de troco. Carlos: — Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou na mesa. Imediatamente após essas falas, o garçom, que ouvira atentamente o que fora dito e conhecia todos do grupo, dirigiu-se exatamente àquele que ainda não havia contribuído para a despesa e disse: — O senhor pretende usar seu cartão e ficar com o troco em espécie? Com base nas informações do texto, o garçom fez a pergunta a (A) Antônio. (B) Basílio. (C) Carlos. (D) Danton. (E) Eduardo. 07. (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal) Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou não caso. Vou morar em Passárgada ou não compro uma bicicleta. Ora, não vou morar em Passárgada. Assim, (A) não viajo e caso. (B) viajo e caso. (C) não vou morar em Passárgada e não viajo. (D) compro uma bicicleta e não viajo. (E) compro uma bicicleta e viajo.
08. (FCC - 2012 - TST - Técnico Judiciário) A declaração abaixo foi feita pelo gerente de recursos
humanos da empresa X durante uma feira de recrutamento em uma faculdade: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Mais tarde, consultando seus arquivos, o diretor percebeu que havia se enganado em sua declaração. Dessa forma, conclui-se que, necessariamente, (A) dentre todos os funcionários da empresa X, há um grupo que não possui plano de saúde. (B) o funcionário com o maior salário da empresa X ganha, no máximo, R$ 3.000,00 por mês. (C) um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. (D) nenhum funcionário da empresa X tem plano de saúde ou todos ganham até R$ 3.000,00 por mês. (E) alguns funcionários da empresa X não têm plano de saúde e ganham, no máximo, R$ 3.000,00 por mês.
09. (CESGRANRIO - 2012 - Chesf - Analista de Sistemas) Se hoje for uma segunda ou uma quartafeira, Pedro terá aula de futebol ou natação. Quando Pedro tem aula de futebol ou natação, Jane o leva até a escolinha esportiva. Ao levar Pedro até a escolinha, Jane deixa de fazer o almoço e, se Jane não faz o almoço, Carlos não almoça em casa. Considerando-se a sequência de implicações lógicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoçou em casa hoje, então hoje (A) é terça, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane não fez o almoço. (B) Pedro não teve aula de natação e não é segunda-feira. (C) Carlos levou Pedro até a escolinha para Jane fazer o almoço. (D) não é segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas. (E) não é segunda, Pedro não teve aulas, e Jane não fez o almoço. 10. (VUNESP - 2011 - TJM-SP) Se afino as cordas, então o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, então toco muito bem. Ou não toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: não sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que (A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado não soa bem. (C) as cordas não foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento não soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo. 94
RESPOSTAS
01. (P1) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. (P2) Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (P3) Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. (P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. (P5) Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Ao todo são cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se então, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lógico é que ele só será válido quando todas as premissas forem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira. Uma boa dica é sempre começar pela premissa formada com o conectivo e .
Na premissa 5 tem-se: Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo para esta proposição composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compõe deverão ser verdadeiras, ou seja, sabemos que: Francisco não fala francês Ching não fala chinês
Na premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Temos uma proposição composta formada pelo se e somente se , neste caso, esta premissa será verdadeira se as proposições que a formarem forem de mesmo valor lógico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que não seja verdade que Francisco não fala francês e ele fala, isto já é falso e o antecedente do se e somente se também terá que ser falso, ou seja: Elton não fala espanhol. Da premissa 3 tem-se: Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples conectadas pelo se então (veja que a vírgula subentende que existe o então ), pois é, a regra do se então é que ele só vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton não fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira só poderemos aceitar um valor lógico possível para o antecedente, ou seja, ele deverá ser falso, pois F Î F = V, logo: Débora não fala dinamarquês. Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Vamos analisar o consequente do se então , observe: ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. (temos um ou exclusivo, cuja regra é, o ou exclusivo, só vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching não fala chinês e Débora não fala dinamarquês, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, então o antecedente também deverá ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara não fala italiano. Da premissa 1 tem-se: Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... Só será verdadeiro quando V Î V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo não teremos o Falso na premissa que é indesejado, desse modo: Ana fala alemão. Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmações: Francisco não fala francês Ching não fala chinês Elton não fala espanhol Débora não fala dinamarquês Iara não fala italiano Ana fala alemão. A única conclusão verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras é a da alternativa (A), resposta do problema.
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02. Resposta “B”. O número que não é primo é denominado número composto. O número 4 é um número composto. Todo número composto pode ser escrito como uma combinação de números primos, veja: 70 é um número composto formado pela combinação: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 são números primos. O problema informou que um número primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p 2, onde p é um número primo. Observe os seguintes números: 1 2 22 (4) 1 3 3² (9) 1 5 5² (25) 1 7 7² (49) 1 11 11² (121) Veja que 4 têm apenas três divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais números 9, 25, 49 e 121 (mas este último já é maior que 100) portanto a soma dos números inteiros positivos menores do que 100, que têm exatamente três divisores positivos é dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.
03. Resposta “B”. O Argumento é uma sequência finita de proposições lógicas iniciais (Premissas) e uma proposição final (conclusão). A validade de um argumento independe se a premissa é verdadeira ou falsa, observe a seguir: Todo cavalo tem 4 patas (P1) Todo animal de 4 patas tem asas (P2) Logo: Todo cavalo tem asas (C) Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma conclusão C. Veja que este argumento é válido, pois se as premissas se verificarem a conclusão também se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se é cavalo então tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos é um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.
(P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas então o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.
(C) Todo cavalo tem asas. Indica que se é cavalo então tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos é um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.
Observe que ao unir as premissas, a conclusão sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a conclusão também for verdadeira, estaremos diante de um argumento válido. Observe:
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Desse modo, o conjunto de cavalos é subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez é subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a conclusão se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questão temos duas premissas e a conclusão é uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta é qual das conclusões possíveis sempre será verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a conclusão que torna o argumento válido. Vejamos: Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. (P2) Artur gosta de Lógica (P3) Observe que deveremos fazer as três premissas serem verdadeiras, inicie sua análise pela premissa mais fácil, ou seja, aquela que já vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa três, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lógica. Com esta informação vamos até a premissa um, onde temos a presença do “ou exclusivo” um ou especial que não aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou fa lsas. Observe a tabela verdade do “ ou exclusivo” abaixo:
p V V F F
q V F V F
pVq F V V F
Sendo as proposições: p: Lógica é fácil q: Artur não gosta de Lógica p v q = Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica (P1) Observe que só nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verdade. Mas já sabemos que Artur gosta de Lógica, ou seja, a premissa q é falsa, só nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p também será verdadeira, ou seja, Lógica é fácil. Sabendo que Lógica é fácil, vamos para a P2, temos um se então. Se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Do se então já sabemos que: Geografia não é difícil - é o antecedente do se então . Lógica é difícil - é o consequente do se então . Chamando: r: Geografia é difícil ~r: Geografia não é difícil (ou Geografia é fácil) p: Lógica é fácil (não p) ~p: Lógica é difícil ~r → ~p (lê-se se não r então não p) sempre que se verificar o se então tem-se também que a negação do consequente gera a negação do antecedente, ou seja: ~(~p) → ~(~r), ou seja, p → r ou Se Lógica é fácil então Geografia é difícil.
De todo o encadeamento lógico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que: Artur gosta de Lógica Lógica é fácil Geografia é difícil Vamos agora analisar as alternativas, em qual delas a conclusão é verdadeira:
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a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. (V → F = F) a regra do “ se então ” é só ser falso se o antecedente for verdadeiro e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele será sempre verdadeiro. b) Lógica é fácil e Geografia é difícil. (V ^ V = V) a regra do “ e ” é que só será verdadeiro se as proposições que o formarem forem verdadeiras. c) Lógica é fácil e Geografia é fácil. (V ^ F = F) d) Lógica é difícil e Geografia é difícil. (F ^ V = F) e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. (F v F = F) a regra do “ ou ” é que só é falso quando as proposições que o formarem forem falsas.
04. Alternativa “A”. Com os dados fazemos a tabela: Camisa azul “eu sou culpado”
Camisa Branca “sim, ele (de camiza azul) é o culpado”
Camisa Preta “Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu”
Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos é culpado e que o culpado às vezes fala a verdade e às vezes mente. Sabe-se, também, que dos outros dois (isto é, dos suspeitos que são inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. I) Primeira hipótese: Se o inocente que fala verdade é o de camisa azul, não teríamos resposta, pois o de azul fala que é culpado e então estaria mentindo. II) Segunda hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa preta, também não teríamos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele é o culpado e não inocente. III) Terceira hipótese: Se o inocente que fala a verdade é o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele é inocente e afirma que o de camisa branca é culpado, ele é o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca é o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele está dizendo a verdade). O de camisa preta é inocente e afirma que roubou, logo ele é o inocente que está sempre mentindo. O resultado obtido pelo sábio aluno deverá ser: O culpado é o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).
05. Resposta “C”.
Uma questão de lógica argumentativa, que trata do uso do conectivo “ se então ” também representado por “→”. Vamos a um exemplo: Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça. Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se o duque sair do castelo então o rei foi à caça) formada por duas proposições simples (duque sair do castelo) (rei ir à caça), ligadas pela presença do conectivo (→) “ se então ”. O conectivo “se então ” liga duas proposições simples da seguinte forma: Se p então q , ou seja: → p será uma proposição simples que por estar antes do então é também conhecida como antecedente. → q será uma proposição simples que por estar depois do então é também conhecida como consequente. → Se p então q também pode ser lido co mo p implica em q. → p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer. → q é conhecida como condição necessária para que p ocorra, ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.
Vamos às informações do problema: 1) O rei ir à caça é condição necessária para o duque sair do castelo. Chamando A (proposição rei ir à caça) e B (proposição duque sair do castelo) podemos escrever que se B então A ou B → A. Lembrese de que ser condição necessári a é ser consequente no “ se então ”. 2) O rei ir à caça é condição suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposição rei ir à caça) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se A então C ou A → C. Lembre-se de que ser condição s uficiente é ser antecedente no “ se então ”. 98
3) O conde encontrar a princesa é condição necessária e suficiente para o barão sorrir. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e E (proposição barão sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D ↔ E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente são condição necessária e suficiente ao mesmo tempo), onde poderíamos também escrever E se e somente se D ou E → D. 4) O conde encontrar a princesa é condição necessária para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposição conde encontrar a princesa) e C (proposição duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C então D ou C → D. Lembre-se de que ser condição necessária é ser consequente no “ se então ”. A única informação claramente dada é que o barão não sorriu, ora chamamos de E (proposição barão sorriu). Logo barão não sorriu = ~E (lê-se não E ). Dado que ~E se verifica e D ↔ E, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: esse modo ~E → ~D (então o conde não encontrou a princesa). Se ~D se verifica e C → D, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~D → ~C (a duquesa não foi ao jardim). Se ~C se verifica e A → C, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~C → ~A (então o rei não foi à caça). Se ~A se verifica e B → A, ao negar a condição necessária nego a condição suficiente: ~A → ~B (então o duque não saiu do castelo). Observe entre as alternativas, que a única que afirma uma proposição logicamente correta é a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei não foi à caça e o conde não encontrou a princesa.
06. Resposta “D”. Como todas as informações dadas são verdadeiras, então podemos concluir que: 1 - Basílio pagou; 2 - Carlos pagou; 3 - Antônio pagou, justamente, com os R$ 100,00 e pegou os R$ 60,00 de troco que, segundo Carlos, estavam os R$ 50,00 pagos por Eduardo, então... 4 - Eduardo pagou com a nota de R$ 50,00. O único que escapa das afirmações é o Danton. Outra forma: 5 amigos: A,B,C,D, e E. Antônio: - Basílio pagou. Restam A, D, C e E. Danton: - Carlos também pagou. Restam A, D, e E. Eduardo: - Só sei que alguém pagou com quatro notas de R$ 10,00. Restam A, D, e E. Basílio: - Aquela nota de R$ 100,00 ali foi o Antônio. Restam D, e E. Carlos: - Sim, e nos R$ 60,00 que ele retirou, estava a nota de R$ 50,00 que o Eduardo colocou. Resta somente D (Dalton) a pagar.
07. Resposta “B”. separar a informação que a questão forneceu: "não vou morar em passárgada". 2°: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposição verdadeira. 3°: destacando-se as informações seguintes: - caso ou compro uma bicicleta. - viajo ou não caso. - vou morar em passárgada ou não compro uma bicicleta. 1°:
Logo: - vou morar em pasárgada (F) - não compro uma bicicleta (V) - caso (V) - compro uma bicicleta (F) - viajo (V) - não caso (F) Conclusão: viajo, caso, não compro uma bicicleta. 99
Outra forma: c = casar b = comprar bicicleta v = viajar p = morar em Passárgada Temos as verdades: c ou b v ou ~c p ou ~b Transformando em implicações: ~c → b = ~b → c ~v → ~c = c → v ~p → ~b Assim: ~p → ~b ~b → c c→v Por transitividade: ~p → c ~p → v Não morar em passárgada implica casar. Não morar em passárgada implica viajar.
08. Resposta “C”. A declaração dizia: “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Porém, o diretor percebeu que havia se enganado , portanto, basta que um funcionário não tenha plano de saúde ou ganhe até R$ 3.000,00 para invalidar, negar a declaração, tornando-a desse modo FALSA. Logo, necessariamente , um funcionário da empresa X não tem plano de saúde ou ganha até R$ 3.000,00 por mês. Proposição composta no conectivo “ e ” - “Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde e ganha mais de R$ 3.000,00 por mês”. Logo: basta que uma das proposições seja falsa para a declaração ser falsa.
1ª Proposição: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde. 2ª Proposição: ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Lembre-se que no enunciado não fala onde foi o erro da declaração do gerente, ou seja, pode ser na primeira proposição e não na segunda ou na segunda e não na primeira ou nas duas que o resultado será falso. Na alternativa C a banca fez a negação da primeira proposição e fez a da segunda e as ligaram no conectivo “ou ”, pois no conectivo “ ou ” tanto faz a primeira ser verdadeira ou a segunda ser verdadeira, desde que haja uma verdadeira para o resultado ser verdadeiro. Atenção: A alternativa “E” está igualzinha, só muda o conectivo que é o “ e ”, que obrigaria que o erro da declaração fosse nas duas. A questão pede a negação da afirmação: Todo funcionário de nossa empresa possui plano de saúde “e ” ganha mais de R$ 3.000,00 por mês. Essa fica assim ~(p ^ q). A negação dela ~pv~q
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~(p^q) ↔ ~pv~q (negação todas “ e ” vira “ou ”)
A 1ª proposição tem um Todo que é quantificador universal, para negá-lo utilizamos um quantificador existencial. Pode ser: um, existe um, pelo menos, existem... No caso da questão ficou assim: Um funcionário da empresa não possui plano de saúde “ ou ” ganha até R$ 3.000,00 por mês. A negação de ganha mais de 3.000,00 por mês, é ganha até 3.000,00 .
09. Resposta “B”. Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natação = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.
V = conectivo ou e → = conectivo Se, ... então, temos: S V Q → PF V PN Sendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negação, ou seja Jane não leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja = Jane deixa de fazer o almoço e C = Carlos almoça em Casa e ~C = Carlos não almoça em casa, temos: PF V PN → Je Je → ~Ja ~Ja → ~C Em questões de raciocínio lógico devemos admitir que todas as proposições compostas são verdadeiras. Ora, o enunciado diz que Carlos almoçou em casa, logo a proposição ~C é Falsa. ~Ja → ~C Para a proposição composta ~Ja → ~C ser verdadeira, então ~Ja t ambém é falsa. ~Ja → ~C Na proposição acima desta temos que Je → ~Ja, contudo já sabemos que ~Ja é falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... então, temos que admitir que Je também é falsa para que a proposição composta seja verdadeira. Na proposição acima temos que PF V PN → Je, tratando PF V PN como uma proposição individual e sabendo que Je é falsa, para esta proposição composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa. Ora, na primeira proposição composta da questão, temos que S V Q → PF V PN e pela mesma regra já citada, para esta ser verdadeira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta só pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.
Representação lógica de todas as proposições: S V Q → PF V PN (f) (f) (f) (f) F F PF V PN → Je F F Je → ~Ja
F
F
~Ja → ~C
F
F
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