Concursos Públicos
Bruno Villar
RACIOCÍNIO LÓGICO Q U E S TÕ E S C O M E N TA D A S
C E S ÍÊ —'
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n r* £D,iTORA M ETODO
SÃO PAULO
© E D IT O R A M É T O D O Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Rua Dona Brigida, 701, Vila Mariana - 04111-081 - São Pauto - SP Tel.: j(11) 5080-0770 / (21) 3543-0770 - Fax: (11) 5080-0714
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Capa: Marcelo S, Brandão
Foto de Capa; Maze 4 - Sachin Ghodke (sxc.hu) CIP-BRASIL. CATALOGAÇÃO NA FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES D€ UVROS, RJ Vffiar. Bruno Raciocínio lógico: questões comentadas: CESPE f Bruno Vilfar. - Rio de Janeiro: Forense ; São Pauto: MÉTODO, 2010. Bibliografia 1. Lógica simbólica e matemática. 2. Lógica simbólica e matemática - Problemas, quèsí6es, exercícios. 3. Serviço púbtico - Brasil - Concursos. I. Universidade de Brasília. Centro de SeleçSo 8 de Promoção de Eventos. II. Titulo. III. Série. 10-1788.
CDD: 511.3 CDU: 510.6
ISBN 978-85-309-3217-6
A Editora Método se respotisabiiiza pelos vScios do produto no que concerne è sua edição (impressão e apresentação a fim de possibilitar ao consumidor bem manuseá-lo e lê-lo). Os vfcios relacionados à atualização da obra, aos conceitos doutrinários, ás concepções ideológicas e referências indevidas são çie responsabilidade do autor e/ou aiuaiizador. Todos os direitos reservados. Nos termos da Lei que resguarda os direitos autorais, é proibida a reprodução total ou parcial de qualquer fómna ou por qualquer meio, eletrônico ou mecânico, inctusíve através de processos xerográficos, fotocópia e gravação, sem permissão por escrito do autor e do editor.
Impresso no Brasi! Prínted in Br&zí!
2010
Agradeço a Deus e aos mestres pela iluminação nos momentos de escrita desta humilde obra. Dedico à minha família e aos meus amigos João Neto, Ranilson Menezes, Falcão e Juliana Pinho, por iodo o apoio fornecido e as palavras de carinho; e especialmente a Rafael Barreto, Pedro Barreto, Cesar Tavolieri, Renato Saraiva, Isaías do Carmo Filho, Vauledir Ribeiro Santos, Altair Profeta e Luciana Medeiros. Esta obra é dedicada especialmente aos queridos alunos, que solicitaram um livro de questões comentadas, sendo estas questões separadas por assunto. Agradeço a vocês (alunos) pelas ideias e sugestões na elaboração deste trabalho.
APRESENTAÇÃO
“Leva tempo para alguém ser bem-sucedido porque o êxito não é mais do que a recompensa natural pelo tempo gasto em fazer algo direito. " - JO SEPH ROSS.
Nesta humilde ‘obra, o leitor terá as principais questões de raciocínio lógico da banca CESPE comentadas por assunto. Tivemos a preocupação de comentar as questões, que foram separadas por temas, possibilitando, assim, o aprendizado sobre os diversos tópicos de Raciocínio Lógico. Antes de estudar esta obra, é de extrema importância ter um conhecimento da matéria para melhor aproveitamento deste livro. Nossa dica é que, antes de resolver os exercícios, o aluno estude a teoria e tente fazer as questões sem olhar a resolução. Lembre-se: existem várias maneiras de responder a uma questão de ma temática! Bons estudos! professorbnmovillar@yahoo. com.br
SUMÁRIO
1. L Ó G IC A S E N T E N C IA I ....... ........................................................................
1
-
Proposições lógicas........ .................................. .....................................
1
-
Operadores lógicos: linguagem sim bólica.......................................
9
-
Tabela-verdade...................................................................................... ..
20
-
32
Sessão desafio! ................................................ ...................................
-
Negação de uma proposição composta
..................................1......
40
-
Classificação das tabelas-verdades................................................. .
44
-
Equivalência lógica e implicação lógica ..........................................
47
-
Quantificadores......... ...................................................... .....................
52
-
Argumento lógico ................................... ...........................................
59
-
Questões finais................ .......... —
.— ..................................................................73
2. A N Á LIS E C O M B IN A TÓ R IA ...................................................... - ............. .
83
-
Princípio fundamental de contagem ...............................................
83
-
Fatorial ......................................................... ............— .............................
94
-
Combinação ......................... .................................................................
96
-
Permutação .......... .................................................................................
102
-
Análise combinatória - Questões diversas.....................................
103
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno W sr
X
3.
P R O B A B ILID A D E ........................................................................
119
-
Noção inicial de probabilidade............................................................
119
-
Probabilidade da u n iã o ......................................... .........................
126
-
Probabilidade de elementossucessivos (Regra do E) ..................
132
4. C O N JU N T O S .....................................:...........................................................
139
LÓGICA SENTENCIAL As questões do CESPE, na maioria das provas, são questões afirma tivas que devem ser julgadas certas (C) ou erradas (E). PROPOSIÇÕES LÓGICAS Proposição lógica é uma frase dectarativa (afirmativa) com sentido completo. Julgue as afirmações que se seguem. 1, (BB 2007 CESPE ) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: 0) O BB foi críado em 1380. (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos.de idade: RESOLUÇÃO: (I) O BB fot criado em 1980. A frase I é uma proposição lógica, pois é urna fras§tdeçlarativa com sujeito e predi cadoi determinados^ t 1 (il) Faça seu trabalho corretamente. „
;
A frase 1} não e uma proposição, pois representa juma frase [mçerajíva.
,
(Hl). Manuela tem mais de, 40 anos de idade. iS-4Jrase íit é uma proposição lógica, póis é um^frase deçíarat[}S|co£n syjejto e pre-
r j| | t | 'd O :^
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Temó^ duas' proposições lógicas.
Item certo.
_
_
1
J “í " *
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'
2
RACIOCÍNIO LÓGiCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE ~ Bruno Villar
2. (BB - CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições. (I) "A frase dentro destas aspas é uma mentira.” (II) A expressão X + Y é positiva. (III). O valor de V ? + 3 - 7 . (IV) Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira. (V) O que é isto?
I RESOLUÇÃO: :
;
H
()) "A frase dentro destas aspas é uma mentira" A frase é um paradoxo, não possui sentido completo e não é impessoal. . A frase l não é uma proposição lógica.
.
(II) A expressão:X + Y é positiva.
./
A frase II é umà sénténça aberta, logo, não representa uma proposição lógica.
Dica:. Sentenças abertas são fra ^ l; deelarátivas que .resultam em uma perçjunta. Suas principais formas , são: frase com pronome pessoal (ele ou ela) e frase com q fèrmo x; sèm possuir um qüantificador:(todo ou algum).
(III)
t 3 « 7.
O valor de ^
. _ /
A: frase III é umaproposiçãò lógica, pois é uma frase declarativa e •tem ...sentido . completo,.' ' . „ (IV) Pelé marcou dez gols para a. seleção brasileira. : :A? frase- IV é uma proposição lógica, pois é uma frase declarativa’ e tem sentido completo. (V) O quç é Isto? -
^
, J
'
Afrase V é uma: frase interrogativa, por.isso:n|o representa uma. proposição lógica.. .
Sãò ^roposiçõés^apenas^fraáfes ilt'ê I V . ^ i j ^ T 1 1 *" tr ~ 1 - item errado.
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Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
3,
3
(TR T 17.8 região 2009 CESPE) Na sequêncfa de frases abaixo, há três proposi ções. (I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste do Brasil? (II) O TRT/ES lançou editai para preenchimento de 200 vagas. (Hl) Se o candidato estudar muito, então ele será aprovado no concurso do TRT/ES. (IV) indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderá se inscrever no con curso do TRT/ES.
RESOLUÇÃO:
V
(I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na região Sudeste dò Brasil? Neste çasò> temos uma frase interrogativa {pergunta}, logo, nâo é uma proposição. (H) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200 vagas. Neste. caso*, temos uma frase declaratíva,:-Gpm termos especificados,.-logo, é uma '■proposição.'
. . ■•; /
'■
•
v
OU) Sé o candidato estudar muito, então eleserá aprovado no concurso do . TRT/ES; • : ;V : : v ' ■ ^jvjèsíé cásó,'tem ós'^
p'òis: teftfas uma frase dèclárçi|ÍVã. • '
(IV) Indivíduo com SP anos de idade ou mais não poderá se inscrever no con curso d o lR T/ K ^ . Neste casoi temos uma proposição,, pois temos uma frase dedarath/a;
:
Temos tirês proposições. Logo, item certo.
Dica: Á oração "Indivíduo com 50 anos de;idade, ou rnais não poderá ,se : inscrever .no concurso do .TRT/ES" pode ser reescrita assim:
Todo indivíduo com 50 anos dé idade ou mais não poderá se /-inscrever no concurso doTRT/ES. , < - "Indivíduo* "pessoa" "candidato" são termos que especificam os sujeitos.
4. (TCE/AC CESPE) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. (1) Esta frase é falsa. (If) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. (III)
Quantos são os conselheiros do TCE/AC?
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vi/lar
4
RèSÒLÜÇÃÕ:
(í}''Hsjtalfrase e falsa. ' s*f'
-
f
Cssa;#as$.;nãovp'assur.:senWovconípíetQ,u m p a h â ó x a Logo, nãò tépresènta- urna ^propbsição lógica1- ^ *: ^ jÓ O T C E / A G te m ç o m a fu n ç á o fiscalizar o-orçám ento.do çstade d o A c ^ e ,;'
.* ‘ i? ' ~ "'r ‘ ‘ Essa:fra$ç é uma proposição iogica.
■■ .
:o ;:
(||{) Quantos são os conseiheiros do TCE/AC?.
.
.
: Essa'frase não' é- urna prQpósição.lógrca;'pois; e urna,frâse mterrogaíiva;{pèrgunta};
i \
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A.T.a-‘':."•• • >í - v- ' . , :
-j-_ - t i j-~* -.-v.
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Temos somente uma proposição lógjca Item erradã
5.
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.......
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(SEGER) Na iista de afirmações abaixo, há exatamente 3 proposições. (i) Mariana mora em Piúma. (II) Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. (III) A expressão algébrica x + y é positiva. (IV) Se Joana é economista, então eia não entende de políticas públicas. (V) A SEGER oferece 220 vagas em concurso público.
RESOLUÇÃO: (I) AAari^na mora em Píúma. • • Essa frase
e uma proposição logicjs
:
(II) Em Vilal/elha/visiteVÊonvento da Pçnha.
. .,V -
Essa:fra'se:não\representa uma.proposição logíca, pois e uma frase imperativa (con selho ou sugestão) -■ (IH) A expressão algébrica'x + y é positiva. "
•
< *-
*Essa frase e urna-sei)tençã* §befta, logojião representa uma proposiçãQjógieá. ‘ „ 'r ' V ; 7 , . r< í r (IV) 5 ^ Joajia;& ^ p p o m ls ^ # i^ o .e J a n|i%e^tenderde poh'íicaf
0
Es^a"frasfrjrHt^ájptqposi^o ÍQ ica , >í
Vç
^ ^ ^ , f-i-
~ ~
^
(V)ASEGERofereceí220vagasemcóncursopubljco. -ÉssârfV^Vum^pfõbòsl£âo íoalccT- ‘ „ _ vniSJ^VV^fr ^ “ VÍÜ U -^í , > w _ J>1 „ ájà Temos^exaíamente três proposições iogicas O
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1
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Cap. 1 — LÓGICA SENTENCiAL
6.
5
(MRE) Considere a seguinte lista de sentenças: I ~ Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II - O Palácio itamaraty em Brasília é uma bela construção do sécuio XIX. III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV - 0 barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que, entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.
RESOLUÇÃO:
.
,
,
I - Quai é o nome pelocjual é conhecido o iVlmistério das Relações Exteriores? Frase interrogativa n|p‘representa urrjá proposição tôgíca.
'
II - O Paiácío itamaraty env Brasília é uma beia construção do século XIX. Essa frase é yma proposição Jógicâ. ~ J
.
‘
1'3
'' - '
III - As quantidades de embajxadas e çonsulatdps gerais que o Itamaraty possuí sãoí respectiva mente,* e y .j" ' * ' „ ""m ,? * t.Essa frase é-uma sentença aberta^ logo, não representa'uma prQgosjçãp ipcjifa, ; IV - O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.1 '
' ’' _
Essa frase ê uma proposição lógica. Duas sentenças não representam uma proposição Ipgjca. ': Item errado.
7.
'
(PRGDEST) Considere a seguinte lista de frases: 1. 2. 3. 4. 5.
Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. Qual é o horário do filme? O Brasil é pentacampeão de futebol. Que belas flores! Mariene não é atriz e Djanira é pintora.
Nessa liste, há exatamente 4 proposições.
-^ g S O U iÇ A O ;
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- ■: , _
IV Rio Branco £ à capital do estado dè Rondônia. ' ~■
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_vv ‘ " ~" 1
' Essa"frase é uma proposição lógica.- ~ / ’ \ „ -
T ,.J :
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
V 2-i Ouãl é o horário do filme?
- *
VM
j^af^ífltertògatltà nãb.reprçsehía uma proposição lógica. ' 3i .O B rasil^ ^èníacampeão de futefaoK * Essã1frase é uma proposição lógica. - r~. , "v': >- -u
, ■ ■, ,
^ o r ç w> --- *“* ' ' .í" -
-
•
Tf
■ 4» Que;beías flores! ' ' Frase, exclamattvanão representa uma proposição lógica. SrMartene não é atriz e Djanira é.pintorá, Eèsa frase é uma proposição lógica.
; . :1;.
Yerpos exatamente 3_p/oDos{ções lógicas. f. i * s r} ^ ~
/,
Itefo errado.
8. (MPE/TO} Na lista abaixo, há exatamente três proposições. - Faça suas tarefas. - Ele é um procurador de justiça muito competente. - Celina. não terminou seu trabalho. - Esta proposição é falsa. - 0 número 1i024 é Uma potência de 2.
. RESOLUÇÃO:
'
.
, t
~ Fãça suas tarefas. ‘
^
Frásé irppèratítfá tião representa uma proposição lógica. •- Eieé um procurador dè justiça muito compietente.
., „
. ,,
Éssa frase, é uma sentença aberta, .pois qúem é "e!è"? Logo; não representa uma ■proposição lógica: / V/V.--:.=.V-' ; - , -C efinanãoterm inouseutrabalho. Essa frase é'uma proposição lógica
- Esta proposição é falsa.
"
” '
Fssa frase não tem sentido completo, ê um paradoXo.. Logo, n ã o é uma proposição lógica - ~^Q qiumero,r1-02^ é^uma potência de 5 Êssa fraáe.ê umaproposiçãcflógiça ^ \v A ~ j'z4ir / ‘£ z í'' V ' r*v í ^ v > f v- v ^ Teixos apenas çluas proposições, logo, item errado
^ Vi*
,
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*■ f t
^ ^ ^ < k J *
7
Cap. 1 -LÓGICA SENTENCIAI
9. (SEGER) É correto concluir que as três frases seguintes são proposições. I - No ano de 2002, os brasileiros usuários da internet gastavam, mensalmente, em média, 10 horas e 11 minutos navegando na rede. il - Em quantos anos a média mensai de tempo de uso da internet no Brasil saltou de 8 horas para 21 horas e 40 minutos? II! - Se, em 2006, o tempo médio mensal on-line dos brasileiros era de 21 horas e 20 minutos, então essa média aumentou em mais de 20 minutos em 2007.
RESOLUÇÃO:
'
•
I - No ano de 2002, os brasileiros usuários da Internet gastavam, mensalmente, em médià, 10 horas e 11 minutos;'navegattáo-pa';recte^:^ Essa frase é uma proposição lógica.
-!
I! - Em cjuantos anos a media mensal de tempo de uso da Internetno Brasil saltou de 8 horas para 2 Í hõras e 4$ minütos?í ’; •. '' " Frase interrpgàtíva não representa
vV
•;>~v.
•
Itl ~ Se, em 2006, otem po médio mensal online dos brasiléirós era de 21horas e 20 minutos, então essa média aumentou em mais de- 20 rmhuitòs em 2007^ . Éssàfrase é uma proposiçãoJógiça. Item errado. '’
r
'
~
'v 7’
10. (CESPE 2009} A seqüência de frases a seguir contêm exatamente duas propo sições. (I) A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacíca. (II) Por que existem juizes substitutos? {!!!) Ele é um advogado talentoso.
RESOLUÇÃO:
./
{!> A sede doTRT/ES Ipe^ha-seno. município de Caríacica* Essa frase é. uma proposição, lógica. {llj:
/\;y
substitutos?.
;
Fráse: Interrogativa■não.representa’ uma proposiçáo;lógica. |pfiHÍ Eleé um advogado talentoso:....
■ r. . ; ....^
“
'íEssá frase^é-uraa=sent:ença-aberta, pois quem é^le"? .
, ’
.
8
RACIOCÍNIO LÓGfCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
11. (CESPE - PM) Considere as seguintes sentenças: J - O Acre é um estado da Região nordeste, ii - Você viu o cometa Haliey? ili - Há vida no planeta Marte. IV - Se x < 2, então x + 3 > 1. Nesse caso, entre essas 4 sentenças, apenas duas são proposições,
RÈSOUiÇÃO:
;
'
J - O Acre e uit) estado da Região nordeste.
*
Essa frase é uma proposiçãVlogica **“■
li - Você viu o cometa H ^êy? ) l < ' (" a ' Frase interrogativa nao representa.uma proporção iogjca lU - Há> vida'no planeta (Vlarte.'- Essa frase é uma proposição jógica m Essa frase, ewma proposi^Q-iógica
’
r ** , -
0_b?erye^que-o yafor de x foj fornegdo, por isso não temos uma sentença aberta ;Q'' '}; V 1-5 ■■”*T;’’ Temos ^xatamepte 3 propostçoes Iterp errado
rt\
x- -
~
12. (CESPE) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.
RESOLUÇÃO:
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.
'
A frase é uma pergqnta, íògb; não representa uma proposição lógjca.V Item certp.1
^
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GABARITO 01 - Certo
02 - Errado
03 - Certo
04 ~ Errado
05 ~ Certo
06 - Errado
07 - Errado
08 - Errado
09 - Errado
10 - Errado
11 - Errado
12 - Certo
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCÍAL
9
OPERADORES LÓGICOS: LINGUAGEM SIMBÓLICA Resumo: Conectivo
Símbolo
Forma simbólica
Disjunção inclusiva
V
P vq
Ocorre p ou ocorre q ou ambos
Disjunção exclusiva
V
p v q
Ocorre p ou ocorre q, mas não ocorre ambos
Conjunção
A
p A q
Ocorre p e q
Condicional
p —> q
Se ocorre p, então q também ocorre
Bicondicionai
p
q
Sentido
Ou ocorre p e q ou não ocorre p e q
1. (CESPE) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por mèio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formai. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “ A ", “v’\ e“ “ sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “ negação” e o “conector condicionai”. Considere também a proposição a seguir. Quando Pauio vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado. Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formai, assumindo que P « “Quando Paulo vai ao trabaiho de ônibus“ Q - “Quando Paulo vai ao trabaiho de metrô” R « “e/e sempre leva um guarda-chuva" S = “e/e sempre leva dinheiro trocado” (A ) P - 4 ( Q V R ) . (B ) (P — ^ Q ) V R.
{R A S ».
RESOLUÇÃO:
..
~
_
,,
.-r .
v r -'
Çvv, E o ^ ^ ^ s ^ b s e r y ^ r : . q u e : a ; | r á s e . :ônjbq%-&u-\de. •metrâ, eíe.àèmpre levaMm gúarda^tiúvâ é também dinnêíro trocado" é.formada pefas'4 proposições, simples'. (P, Q, e S), pos isso,, podemos e>çduiras.jetra$;A..e B, ficaremos na devida entre C e D. ~ ~ > c « i'i ;%|e]p7esbrmos;:atençâò/..temosvduas:vpropósiçoeí?ymp1es-fõ'{^^|&vaí'>eaüsa.(Pauloiír'vaj ao trabalho de ônibus e R$vjlo vai apitrabalho.de! metrp)/ PQriissp devemos . ."eolopât^a ^xp/^s^O:'.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
10
simples (elè sempre fevà um guàrd^chuva e ele sempre leva dinheiro trocado); . novamente colocôr eT^tre.parênteses (r A s}'
.
■
■■■.'■
0
£lque. atento,- pois, quancjo a£ausa.o.u:ò efeítq pqssuírem duas próposições-ou \ais, é^s devem ser cotocadas entre parênte-ses;-;^ V /•~r.- ; .• •
.
. , ©bs«:'-A: forma pv.V-‘..q,??nfc r ppde:sér itda ^ssirrí:.^au!,P; yai.;aQ'.$ra.bMk? de ônibus ou.se: Paulo vai de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também .. /dmheiro trocado.' Percebeu q pqrquêda importância do uso dos parênteses? Resposta jetra C
..
....
. .
2. (TR T BA 2008) Considere as proposições seguintes. Q: “Se o Estrela Futebol Clube vencer ou perder,cairá
para a segunda divisão”;
A: “O
Estrela Futebol
Clube vence” ;
B: “0
Estrela Futebol
Clube perde” ;
C: “O
Estrela Futebol
Clube cairá paraa segundadivisão”.
Nesse caso, a proposição Q pode ser expressa, simbolicamente, por (A A B) — ^ C. ■
RESOLUÇÃO: > \s-' ^
’• ' ... . utebol'£íube vencer ou-gerdery cairá para a segunda diyjsãq; .. «... ;
8
Causa: Estrela Futebol Clube vencer ou perder .(forma simbólica: A V ; ) . ' Efeitq: cairá para; a segunda divisão (forma simbólica: C) .• C a u s a E f e i t o
;
.•• :. , . -
L ogo,j forma^ simbólifcá correta é : '^ Item èrradò.
>
:■
.
. Dica: A expressão "ou" é representada pelo símbolo V .
3. (T R T BA 2008) Considere as proposições a seguir. R: “Ou o Satíirno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão”; A : “O Saturno Futebol Clube vence”; 8 : “O Saturno: Futebol Clube perde”; C; “O Saturno Futebol Clube cairá para asegunda
divisão”.
Nesse caso, a proposição R pode serexpressa,simbolicamente, por A V (B —>C).
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCfAL
11
RESOLUÇÃO: Ou o Saturno Futebol Clube vence ou, se perder, cairá para a segunda divisão. •' i r 1.--
A
Forma simbólica dessa frase é: A V {8
B
'
■■ ■■■• - - C ' •
•
C).
CUIDADO! A caúsáda condicional é somente a' expressão se perder e o efeito cairei.para a segundá divisão,. Por isso os' parênteses ficaram somente nais d u ^ ultimas expressões. A frase começa' cçm: parênteses se a frase começar; com õ "se" e tivermos duas ou ' mais proposições ha CÀUSÀ. • A banca CESPE aceita, áté a presente data, a forma simbólica P v seguintes formas: "p ou q".ou "ou p ou q". item certa '
4.
Q escrita dais
.
(CESPE) Supondo que A simboliza a proposição “Alice perseguiu o Coelho Branco” e B simboliza a proposição “O Coeiho Branco olhou o relógio", julgue ò item a seguir. A proposição “Se o Coelho Branco nâo olhou o relógio, então Alice não perse guiu o Coelho Branco” pode ser simbolizada por (-»B) (-»A).
RESOLUÇÃO: A proppsiçãq "Se o Coelho Branco não olhou o relógio, então Alice nâo perseguiu o Coeího Branco" esté na .fprrna cõndfcíònaivíse... então). A proposição "o Coelho Branco não o!hou: ò relógio" representa a negação da proposição B. por issb süá forma simbólica é -iB. A proposição "Alice não perseguiu o Coelho Branco'" representa a negação da pro posição A, por Isso a sua. forma simbólica é • Logo, a proposição tem Morma simbólica (->8) — > {^AK item certo.
( .
Texto para os itens 5 e 6. (CESPE) Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S; P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero.
12
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores íêm emprego. Considere também que os símbolos “ v ”, “ A ”, “ ” e “~1” representem os conectivos lógicos “ou” , “e”, Hse... então" e "não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes.
5. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P A Í*1R}.
RESOLUÇÃO: _ V~;.r V /, V-V Podenrtosvnotarqueiafr.aise/é:’ürò%|ir p fíção.;cornpost forma,da.pordyasprõposiçÕes siròpjésÉgadás.peiò :çon£c$va:màs^
90
4
A primeira^projposíjãq.^ repcesenta‘?jarçéiaji:etjra R-^v r„
.■
-
- •
A .s.egünda pcoposiçãp é ^ .nègaçáo.da pmpòsiçãoíR -o cídadão não s&.sente segu;,ro", . • ■ = - > ; , .'-'V ... As proposições sjip íigadas peia-cpnjúnção { A % r
-
•
A fprma simbó|ica da’( proppsjpo.é P .A . (-ijí). ’ ,Pprj§sp, a^yesxão ^ t é - Í Q n r ^
" *•
---
6. A proposição u$e o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por Q~~^S.
condicional.’ :.. 'AexQrèssãç "o país é próspero* é representada' jaelã letra Q.
-
A; express|
-
7. (CESPE) A proposição “Tanto João não é norte-americano como Lucas não é brasileiro, se Alberto é francês” poderia ser representada por uma expressão dO tipO P [(-*Q) A (n R )j,
RESOLUÇÃO: _7 — -,li5 t-i 0 í\ ; -Ú--Á■' ‘v í - í T w 1-= \fodemos.conclujr que a proposiçao ^TantorJoao nao.e riocte-arrvericanqicçytio-ii.ucas •::v“^ o -^ .* b j!a ^ ifo / ^ :^ e rta fé -;f^ c ê s “^àssMrttrts^proposiçQteslmp|!è^fi©r40J^j'íJ^-9tentq no^deslpcanpento ,de posição na g s c riía ^ p rò p o s iç lo rp o i^ ^ r^ õ ^ q t^ v e m
Cap. 1 - LÓGiCA SENTENCIAL
13
depõ'is da"se" representa:. a .causa/ ponisso."Alberto érfrancês^ ^ ^ ç a ü ^ ^ a frase "tanto. João. não é norte-arnericanp comQ Lucas iiãò':^'oi^Íàra"'^rel^séntà^ o efeito. ' : ,. ' - ‘ . . * : ~ ' Lembre-se: a expressão “tanto.,, como" representa uma conjunção (e). .Por-ísso, a questão-está correta.. -
*
-- - ■
‘ ^ .■
P i0 * -P o ^ hay^r ,!à'nia idúyíçja: çQOio;sáip.enips-.que: a. prbpQsiçãp Q '. eflestáp-sendo: n e g a d a s ^ 's escreveu j?ò^er/qf:.iTO .$ ç h t^ , como objetivo de reconhecer a quantidade dé pròpòsiçõès. e os cctnççtívQs ytjlizados. . . . . ...... . ;.
Texto para as questões 8 a 10 (CESPE) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres v e A , que simbolizam ‘-rião“, “ou” e “e’\ respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se F e Q são proposições, então P A Q, P V Q e ">P também são proposições. Considere as proposições seguir: A: B: C; D:
as despesas foram previstas no orçamento os gastos públicos aumentaram os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único a lei é íguat para todos
A partir dessas informações, julgue os itens subsequentes. 8» A a (C v ("*B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e ou os funcionários públicos são sujeitos ao Regime jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram”.
RESOLUÇÃO: A proposição "as despesas foram previstas no ornamento a ou os funcionários públicos sã^a sujelto^aoiR^giip^^ufídico Úniço: ouios :^astos> público? não: -ayj^entardcrí- tem i kseguinteVormasimbóijca: A ^ (C V l-iB )}.’ " Item certo!
^
••^^esseeaso,: você dev.e.:.ter se perguntadof não tem o "oui, oyí'jj||L < s ‘í 'S p b jexto, éfquestão rnençjonoú soBje^aí díferáiçás dâsldisjunçolf? Nãta!
'
v :,Nâo esqueça:/.Para.o C-ESPElou^ou^ou^ou^possqem. a. mesma-forma :símbólica:;:
"PíV4 >Q. 'V /
* ’ -
T
14
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villsr
9. A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regi me Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (-,C) A (-*8), T
r
RESOLÜÇÃO:
^
Y-‘ .
'
~
'
.1 .’
'
. : ..,Y :Y v
v •Aí prbpostção "Nao.é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime ... Jürídicó Unrco nem que os-gastos públicos aumentaram" é simbolizada pela expres. saô H Q Ã V -'C: Não é verdade, que os Juncionános públicos sãtf:?üjeitos ao Regime^ Jurídico ... Único i \ ~
'
^.8. gue os gastos públicos aumentaram * * v n 7 /✓ *"*
~
: *
-Vv.y^yyyY
-
A proposição "Não éverdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regijn)ie Jyrídics» .tfpjçp: pode ser escrita ••i.dáí bâbMcos são'sujeitos _ão qué os gastospúblicòs não aumèntaram"..;:;;-;';' Item certo.
-■
* Z
- ~-
Y-
i i^È’’
7
,■ Y Y , r\..-.
10. A proposição "Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não fòram previstas no orçamento" está corretamente simbolizada por { v B) v (~»A).
RESOLUÇÃO: /v^l|^&posiçã0r"©u-os-*gastos-púbhcos aumentaram" ou as déspèsas rjap foram previstas rtp orçamento? è simbolizada pela^expressão B v '^À Y Y ~' YItem errado!
■
Y
;'-Y'
'.
YÇdm éntário: O CESPE colocou a expressão ( v B) v {~>A) para justificar o “ou" no Início, pojí issoi cofocou & símbolo;tlacdisjunção no início.da forma-simbólica. Isso ■>•..não existe1-i/tA; ~ • < . \ */ . Hão esquêçà que o CESPE acerta a expressão p v - q "escrita ria.forma "ou p ou q"
Texto para as questões 11 a 15 (CESPE) Com relação à lógica formal, julgue os itens subsequentes. 11. A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBR AE” é uma proposição simples.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENC1AL
15
RESOLUÇÃO: Do ponto de vista da banca examinadora CESPE, essa frase é classificada como pro• posição SIMPLES. Na minha humilde opinião, essa'frase possui dois núcleos {Pedro é. f>au(Q), logo, uma proposição corhposta. MÁS/ PARA: 0 CESPE,Á QpESTÃp .ESTÁ
, Comentário: O CESPE considera pròposiçãosimpies á proposição- com. sújeitósdlfé• . reptés; porém com o mesmo predicado. ' Nas questões sobre classificação, o CESPE.íem.Usado o critério de classificar pela quantidade de predicados das proposições! ; .
12. Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.
RESOLUÇÃO:
'•
'
.
/
/
.
'
/
.
v
•
A proposição lógica pode assumir apenas um valor lógico, què pode: sérTverdâdèÍro pli f^íSQ.;, h;:•V •: ■' '• It^rrí errado.
* ■ '■''
•
“2 + 5 ~ 7”.
13. A negação da proposição “2 + 5 * 9” é a proposição
RESOLUÇÃO: A ntegação^dõ .símbolo. = é ô sifrnbóío;.#::
; .
14.A proposição “Ninguém ensina a ninguém” é um exemplo de sentença aberta.
• RESOLUÇÃO:
;;:
v ;V ;‘ - - f
-S •••••>• •-
^
w i" • •
Ò termo ninguém é um Sèntenca a&erta és umà'frasé aüè oòssúi .um termo Tòü düantrdad&aéseònhéddal ^car como
16 RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1
15. A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma" é um exem plo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.
16. (CESPE) Considerando a proposição P: “Mário pratica natação e judô", juigue o item seguinte. Simbolizando a proposição p p0r A A B , então a proposição Q : “Mário pratica natação, mas não pratica judô” é corretamente simbolizada por A V {“»B).
RESOLUÇÃp; A
Conçjusao:, ~ *r ^ A Marto pratica natação 8 iyíã(iQ p ra tià fu â ô ^ ni J3 ^
^ M ^
~
^
^ i - tV ; jj- w -i*
Não ^guéçãràlòfyuriçto ( Â Vpbâeter^êscr^ ^ 2 1.’.a'Ç *“' "1? -v, ^ ■xopno
w
Ressoes» ^ M a s " e|t§nto *■. - --
A forma simbólica fojnecicía e diferente*** formã A a V b Item W a d o
Texto para as questões 17 a 20 Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade.
Tendo como referência as quatro frases acima, juigue os itens seguintes.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAL
I
:
:
17
:
1
17. A primeira frase é composta por duas proposições iógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção.
resolução:
:,
_
J '•
.....
,
-
Eijhç^mèu, puvçeminhas paiavras e atenta pat;a mèV<;onselhóv\ - -.í .
I, .r:,i
As: duas frases são frases imperativas,, logo, não representamproposições lógicas. .
Item errado. ;
-
.
18. A segunda frase é uma proposição iógica simples.
ípo|.uçÀQ;:~
\
A resposta brandaaçalnra o coraçãolràdoC * ’t '
“
ín
^
‘
-> « ( * ■
-
"
V:
-* *3-'--
1
■
"V
A-frase: í:òm - T ' ie.^ma>Qraç§o >V mentido j\ ^ completo,. < « Item jcêmx_
-
_ _
-
_
,
19. A terceira frase é uma proposição iógica composta.
;vêí
-
;.íRE$©m^Cp« w «rgujno e avaidãde sãp as portas dê entrada [da rama do homerâ,'1! 3L -* y i w T „rr ei 3 \
r - p"
'•Çrjr e ^
*■
~
V * ~-~i -
■Do^pçnto-^^ist^datfenc^j^minadora^ESf^essaifras^e^elassifiçada^ofpo^pr^-' posição Stí&PLES* Na minha humitde opinfãot essa|raf§e péssui ^otshuçlfos (orgulho e vaidade)/ logo, é'uma proposição' çomppsta _ . MAS, PARA O CESPE, A QUESTÃO ESTÁ ERRADA Vamos seguir a banca examinadora* item errado
-
20. A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectívos lógicos.
18 --------
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar -
.
.
j
21. (CESPE 2008) Considere as proposições abaixo. T: “João será aprovado no concurso do T R T ou do TSE, mas não em am bos” ; À : “João será aprovado no concurso do T R T ”; B: “João será aprovado no concurso do TS E ". Nesse caso, a proposição T estará corretamente simbolizada por (A v B) a [“*(A A B ».
RESOLUÇÃO: . .
' . -
V*
T
• "Jòfp. será:aprovado j i o C o n ç u ^
:-não; e ^ a m b t ^ ^ ;;..:,
’■
Temos queter cuidado: devemos primeiro observar o operador lógico principal!.
.
i ,
> .
^
_v~,
-
-
íÜQão será apróvado nò concurso do TRT oü do TSE, mas não em ambos.
,>
O operador principal será o "mas" {operador da conjunção)) pois está depois da vírgula . \ c' ^ " A> primeira ex^íessao será: João será aproVatío no concurso do TR T ou do TSE. , 'A segunçié"expressãôierá:;nap em ambos ' t
‘ M
^expressão \mèos^ ò que significa7 -' ^expressão "ambos" transmite uma. rdeiatlfesimultaneidade de dois. elementos, togo, * ^ ■' -íf-Sc.V f ' <. v]uma conjunção ( A ) . v ~ s
>J,V *- J“‘, í " ] V
j
3
vcV^íò^ago/a^jtribüira fm^uagem.simbdlica!^
v" ^
1
r *->
Ti ^ t * , “ 1 " 'r'-* 1 ' João será aprovado no'concurso do T R T oú cio TSE ^ A V, B. 'Não.em amoo5 (neáâçaoda conjunção) = ^ [ A A B ’ Operador principaUmasLF A
-
:l; ‘7 ^
’A,fbrmãrsimboltcá da frase é (A V B)Â ft^ A -A B)}!'" , ^ * ,-■* t?>i v‘ í " -b-1 4 '
, ~
i, t' ri
v
1 4
r, ‘ ~ ,
^ ' v
<> "
v *
Itenfi certo.
22. (CESPE) A proposição P: “Ser honesto é condição necessária para um cidadão ser admitido no serviço público” é corretamente simbolizada na forma A ~ “^ B, em que A representa “ser honesto” e B representa “para um cidadão ser admitido no serviço público”.
JESOLUító
Cap. 1- LÓGICA SENTENCiAL
Causa
efeito :
•' Forma simbólica çorréía: 8 :
19
Av
••
Item e r r a d o ^ .C ^ y - ! :••
■' •>•
:• • ^
23, (C ESP E) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumen tam então o país fica protegido de ataques especulativos" pode também ser corretamente expressa por "O país ficar protegido de ataques especulativos é condição necessária para que as reservas Internacionais em moeda forte aumentem”.
■ ■r e s o l u ç ã o :;
V
;
■ '■ f
■■■
•
Podemos observar que a frase: "Se.as resetvas’intemaciònais^rrvmoeda' forte aumen tam então,o^paísficaprotegido;deataqüèses'pecuiativos"tra{á-se;dé.urnapropo.síção condicionai. A causa é "as reservas internacionais em moeda forte aumentam" e o efeito é “o país fica protegida de kaqaês !especQiativos'f. ' v ' '
Item certo.
GABARITO 01 - Certo
02 - Errado
03 - Certo
04 - Certo
05 - Certo
06 - Certo
07 - Certo
08 - Certo
09 - Certo
10 - Errado
11 - Certo
12 - Errado
13 - Errado
14 ~ Errado
15 - Certo
16 ~ Errado
17 - Errado
18 - Certo
19 - Errado
20 - Errado
21 - Certo
22 - Errado
23 - Certo
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruho ViUar
20
TABELÁ-VERDADE Dica da tabela
Símbolo
Forma simbólica
Disjunção inciusiva
V
P vq
Disjunção exclusiva
v
PY q
VF ou FV = V
Conjunção
A
P A q
PeJo menos 1F = Faiso
Conectivo
Peio menos W = V Sírrtbolos diferentes = V
Condicional
P
q
Bicondicional
P
q
1.
VF = F, nos outros casos o resultado é V SímbóJos iguais
VV ou FF = V
(CESPE) Considere as seguintes proposições. A ; 3 + 3 * 6 6 4 * 2 = 8; B: 3 + 1 = 6 ou 5 x 3 - 15,' C: 4 - 2 « 2 ou 6 -r 3 s 4. Nesse caso, é correto afirmar que apenas uma dessas proposições é F.
R^SQiUÇÃÓ: £ *..*■v , /'
Cr 4 - 2 = ? 2 o u ' 6 ~ S = 4 . V
r"
P
/
-
.
* *
=? V (Na disjunção "ou*; VF =, y)
Todas as’proposiçõe$’são-verdadeiras ' Itçrn errado. ,
^
^ ,_
2. (CESP E- PM) Considere as seguintes proposições: A: 3 + 4 * 7 ou 7 - 4 = 3 B: 3 + 4 = 7 ou 3 +4 > 8 C : 3* = -1 ou 3a = 9 D: 3a a -1 ou 3* = 1 Nesse caso, entre essas 4 proposições, apenas duas são V.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCiAL
21
RESOLUÇÃO: - Af3 + 4 V-
7 ou 7 ' 4 F 3 '/
V
= V (Na disjunção "ou" W .— V)
G 3 J = -1 ou ¥ = 9
F
F
rV
F (Na djsjunçãQ "ou" FF = Vf
--i ^
Tgfljps e^tamerrit£3 .groppsições V. Item^é/radò;^ J
3.
J
(CESPE) Considere como verdadeira a seguinte proposição (hipótese): “Joana mora em Guaraparí ou Joana nasceu em Iconha.” Então, concluir que a proposição “Joana mora em Guaraparí” é verdadeira constituí um raciocinio tógico correto.
:; tivo
temos 3 formas dç possibilidades deV
V F ivV r FV = v
~
-1 ‘ £
‘- UV
"'V . ' J
0 - v , ' “ ^
'V
'
' '
Logpjínão.poderfnos garantír que a proposição "Joana, mora; em Guaraparí" é verda deira, pois a proposição pode ser V ou FQuestão 'e r r a d a ,? - ’
~
!
1•
"
4. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então pode se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
3 iformas dê.; possibihdades de V ~ r , r ju ,
iv
/*
22
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viílar
V~
T-c- v
‘
‘ *-
i
.A, c
v-, . , jC ' " v. - 'f * , ^ *- ^ “ „? r -n, ' v ~ ^ *. ’ r » — fi * J ' -1 ,1 ^ ~ /^Lqgft.^ãp^üdèriífios gatantírcjue^ proposição "Sílvia ârría Tadèu" § verdadeira* pois * çtapode arqar4adeu^ou não,1- 7 - “ - ^ , *7" ?í- * ~ ^ *~ * ú^r"i-r 4 i •■, , ~ .Questão èrrada, ~ i-'-* , , _ i» l » r ' •
*4 'WF1-* iir**** ^ ^ M
5. (CESPE) Se a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha e no estado do Espírito Santo são produzidas orquídeas” for considerada verdadeira por hipótese, então a proposição “A cidade de Vitória não fica em uma ilha1’ tem de ser considerada verdadeira, isto é, o raciocínio lógico formado por essas duas proposições é correto.
RESOLUÇÃO: 5 \ 1 ' ^ “ V ~ ^,„r~. - » yJi-» ~ 1 'A^dgqsiçao^A c|dadé>dè)/itóna i)ãofifca;envuma ilha e no estado do Espínto Santo ' 'sãó^fWóduzídaVórqtífdeas’’ é verdádefrã, conforme enunciado.
ppis ^iáJIpqlssibíIfãader.yv^-'^'çqnjunção so éVerdar * dèira qüâodoíàrrttía^ás èxpresSoes sãó verdadeiras. ' ;J~ v.
6.
(CESPE) Tendo em vista às informações do texto I, considere que sejam verda deiras as proposições: (I) Todos os. advogados ingressam no tribunal por concurso público; (II) José ingressou no tribunal por concurso público; (III) João não é advogado ou João não ingressou no tribunal por concurso público. Nesse caso, também é verdadeira a proposição. (A) José é advogado. (B) João não é advogado. (C) Se José não ingressou no tribunal por concurso público, então José á advogado.
Cap. 1 - IÓGICA SENTENC1AL
23
(D) João não ingressou no tribuna! por concurso púbiíco. (E) José ingressou no tribunal por concurso público e João é advogado.
RESOLUÇÃO:
/
i
Sabemos que as três propo$}çÔ!es\sâof{ièr^d^a^t entãà vamos tirar as conclusões de cada proposíçãoi • " 7 -
“Todos os advQgados ingressam no; tribuna! por concurso público".
. Nessa frase; a única conclusão que temòs é que os advogados Ingressam no tribunal por concurso púbjico:.Nãp ajudou muito.. . ^ : ; -.'ÍJosé ingressou no tribunal por concurso público". . : . Nessa frase; há a certeza de que José-ingressou no tribunal por concurso púbfico, porém não significa dizer que José é advogado. .. ^ "idãa nãòj éiádvògadõ ou: Joao. nãpJ|ig.re|_sou- np tribunal por concurso público". Essa frase é. a bastante conhecida ."frasê-sóita" no conectivo "ou". Sendo verdadeira, permite trêS;possibilidades dè cònçi^ão^r ^ ; Vamos juntos analisar as respostas! ;• ••: . :|§j(Â]t Joséie advogado.
• j.v " "
i^Nãovpo^errios garãntir: :'.,
-
"
■'(B);Uoao"não'é àdvogador ’ :Naa|ád^èmósa^rmáK1' ‘
.. -
;
. . . .
~
::r;
... í --. ...;
a--.
...:• ••
(Q Se j^osé nãó- ingressou no tribünai portoncursò públfco;:entãò; Josè é.adyogádo; Vamos;p)har com atenção essa propQSjção cqm po^Jiigada pela condiciona!;. A primeira oração "José não ingressou no tribunal por concurso publico" é falsa. Á segunda, oração "José: é advpgado" não. temòs certeza, togo, pode ser verdadeiro OU fálSÒ;'•' ' ; : • . . Construindo á tabefádos possíveis resbttadosj temos:
p - ■
"
q"
p —> q
F ' ; ; ;V ' '
àk
'
F
'
V\
■
' '
FV = V FF ^ V
V
;
-
/?^pãépend^nteménte^cfè.'a- segundà"i:]3roppsÍçâò^ser/..V.-:ou :&fò^^ü!tado final será ^verdadeiros" ~ - r^
24
RACIOCÍNíO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
7. (CESPE) A proposição "Se 9 for par e 10 for ímpar, então 10 < 9” é uma pro posição vaiorada como F.
HEsouyç^o;:: \-r v F ” ■Efeito:--10’c 9 ^ /u' ---‘v , :
.•
7
'
F- (na conjunção "e“ FF ="F) ^
^
■
Lê'se; .1Qj§ fpen.or que.9.' (F}; . ... / .
,Vi
Proposição.fejsa.,,../: ; J
itemerfáçtèV'
Texto para as questões 8 a 10 (CESPE) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos - i , A , v e — * sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica propo sicionai, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Ccmi base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 8.
Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (^P) v (^Q) também é verdadeira.
RESOLUÇÃO: Nesse caso^rçãç vamos construiria tabefa-vgrdadç, pojs os valores das proporções estão sençlo informados! P=VeQ «V
ji ~
'
1'
-np - F (negação da proposição B) -»£ = F (pegação.cia/groposiçfo^Q) - f-iP) V Í^Q }
1'H •>Fí *"p*1
i
«o-n«, ;g.-» v*?;
~ > f V V ^ ^ ^ J N a disfyHção
,’ * ,u
■****?«
-
-
FF‘V F ) ir'
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCJAL
25
9. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R {~iT) é faisa.
RESOLUÇÃO: •Nt$se:^ 0 / n ã 9 ./ y a ^ ç o n s tr u í.r ^ t a M ^ estão.séhà.ò^infòrrnados! . ’’ • • •- ■v: ‘. T = V e R= F
-
•
'
v
’ •' ••
R
‘
F '
'
V /' -
F ; ' ‘ = .V (Na condicional ‘K FF == V) ^
item'errado.
' " í
■ ..........
'' .
. ’ • "
' ' -
. ’ '
10. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P v R) v (->Q} é verdadeira.
RESOLUÇÃO: Nesse caso^.não vamos construir a tabela^-verdade, pois os-valores das proposições :e§tãp:-sen^a; iqformadost V «V , Q
eB = B
(P V R) V h O ) (VF=?V) V (F) ' " *■
'
VF = V (na disjunção "ou", VF = V)
item. certo..
11. Considerando todos os possíveis valores lógicos, V ou F, atribuídos às propo sições simpies A e B, é correto afirmar que a proposição composta -»{(~,A) A {"»B)} possui exatamente dois vaiores Jógicos V.
RESOLUÇÃO: .;Nçsis&çaso;;.temps:apenas:-duas-groposiçoes distintas:: A'e:.B;.
:;V^rnos.:co{^|ãr; Pelas;coiunas;basesl * _ 1 ~>A . .r A* ' " B ... y- 1 V*,\ " ' líií‘~> 7 p, ^ r“7 V c -V *~ F -F . -V
\
4
(>.ibA)A.bB)]..... *U, V
*
-t ro
Y J frf ív í-i& fiw i
F
A
-L i
L
^
^ ^
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viliar
26
• • • • • :•sA terceira e.quarta colunas são negações de A e B, respectivamente. E só mudar ò valorada linha correspondente. ~ 3^ *v"
* V ' - F F
1
^ vv^-Kív' •v.v'^V—
^
V- ^ ^ ^ A J ' i JB
*< > _,g
'-*A
Vr
j F
F
F '
•F
V
V
V
F
F
V
V
({~>A} A í~»8)T
-íb A )A (-B )}
j.Para a-qõinta coluna,, devemos pegar ôs vaSores das coiunas 3 e 4, respectivamente.
A - '> r r
-i
V ' F r ' F
- &
^ K -1
[(-A ) A hB)]
“«B
“>A
_!f(~|A) a Í“>BJJ
FF
4> F
. FV
F
F
V *
v
v - '
F
VF
F
V
V
W
;
-
í
c
r
.
............. ..........
_
...
..
^
t
„ ■* ,
. ^ Tv-
Observe que o conectivo da coluna 5 eja-conjunção, se há pêlo menos um F; entaò* o resuftado éfP. - , ^ ^ -p * :'rrr‘r;'yyr^?r:
í
-
- -A t
B,
-V - * V‘ í v t r
*
F t
V
F -<
sF
[h A )A (-iB )}
"»À «• ,l^ B F
, F
'
_
'■ .
'v ~ '
-
FV — F VF = F
- F
’ v V
->[{->A) A (—>B}1 '
FF - F
W -V
V
, :A'última coluna é: negaçào da colünã anteHor, !ogo; e só rniidar de V pàra F e dé F ■ para V, na linha correspondente
A" * ^ V ■ <
6
/
--f t ,
V .
F ■Íkí»í5j.*p*f
.*
^ -V í ^ - " - W
r-
X - F ^ M? ” „,F v**> *
7* H
w
- wV*" .» - 4-
, 1
,
„
,~nB '
j
[ { - A ) A ( -S ) ? r
P - V
^
—
F
- ■ -C ê _? 5 3 fe “
-'V*
\ A questão está errada.; ^ ~
-1
'
^ - -v j *-
, F>. "
F
VV * ' V _
7 — ' Y r r r ••£&• ‘ f _ • .
.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAL
27
12. (CESPE) Considere que P , Q e R sejam proposições lógicas e que os símbolos “ v ”, “ a ”, " — > ” e representem, respectivamente, os conectlvos "ou”, “e”, “implica” e “negação”. As proposições são julgadas como verdadeiras - V ou como faisas - F. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes relacionados a lógica proposiclonal. A última coluna da tabèla-verdade abaixo corresponde à proposição (P A R) — > Q.
Q
R:
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
RESOLUÇÃO:
..7 . . ;
PAR
P.V
. .
:
!
/f: '
Agora devemos tíesenvóiver' a tabela para conferir nosso!resultado com o resultado da .questão, com- $s colunas bases já fornecidas; Vamos lá! ' Começando”pela quarta ;còluna, temos a proposição P A R, por isso, pegaremos seus.valores. •• •- f ' -•V-.' •’/
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bmno Vfflar
28
O ; cónect|vD:cda.íquartacojUna é a-conjunçao. Se ha: peb\^PPS:^m;.Fi..entao..>0'^'sujtadbTFr " * 5 “ ~
■ •- P;
? Q
. Q
" ■V ';'V . . .. •F ' V • ;:F ^ / v : : >V-F ::'r" l-yg&Zr:? y V •; . V v ■v.: ' F -' : ; F ’ •-
" .• F ';
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7 PAR ■
w ~ v ■■;' ; • v F ^ f -
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v: ■ ? ? :' T ”;F-’ '•
1, (P A ^
Qii V.
.'V " -v.-*
*’ v » •
FVW;f:f f =; f • ; f f '=; f
‘ :
Agorá, çoptarerrios última coíúna o resultado da quarta coluna, e depots pegamos o vaiòrdárçpjunaq~ • ' r |: v •p ■ •Q ' ' v ': ' ■ *y : '• ':V"V; v' c v . V 'V. < - V W F' ' -v-F: „
-
V ' F F ~ í >' tf F,~ X F V- ■**' - V ’ ‘ F " - M ' -V V. F ' F„ -
' (P A R) - > Q ." w = V'
; w = v ... ' ^VF^F '
- VF
F
FV - V
-
v f '- F “ F F '^V FV =V_-
.s
-
FV = F ' „ " F F = F'
~
FF = V FF ~ V1 * ;■;!
-Formada^a dupla dè-valores, vamos olhar o conectivo, qüe é ã condiqQfta!. Nesse, caso, VF 5? F ** *. - ~ _ :* -- , . \ _ Na qujnta Unha, ja temos resultado diferentes, poderíamos parar gor aí, Resposta.' questão errada,
.
T
s
-
_ 'I" ,
13. (CESPE) Se A e B são proposições simples, então, completando a coluna em branco na tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a última coluna da direita corresponde à tabela-verdade da proposição composta A (B — >A).
Cap. 1- LÓGICA SENTENCtAL
29
RESOLUÇÃO: A questão já forneceu a tabeia. Devemos, seguir a.vaioração fornecida peia tabela-verdade da questão. Vamos encontrar o valor de B — > A. SE LÍGÜE! Np caso de B — » A, pegamos o resultado da coluna 2 com a coluna 1. Lembre-se: a condicionai só é falsa quando for VF (nessa ordem). Para outros casos, o valor éV.
A
B
V
V
•
VV - V
V
F'
FV = V
f F
F •
FF= V
v
VF a F
B -r » A
■
A — ^ (8 — ^ A)
■gansos .agora encontrar a cç>iuna final! i|;.últim a coluna será o resultado da cpiuna l com a coic\na 3:- h
- rA
A — y (8 — > A)
„
V' V
ÁrM ^y
F
FF-V
* F
.0 resultado obtido pe{a úitsma coluna é diferente da última coluna fornecida' pelo enunçjado. ,
14. (CESPE) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simpies A, 6 e C para as quais a proposição composta (A V B) A (-*C) pode ser avaliada, assumindo vaioração V ou F.
% E S O LU Ç A O :
^
I(
A questão é a quaqtidade de valorações op número de linhas de üma tabef^verdade_ Nesse caso, usaremos a fórmula. 2", sendo "n" o número de proposições distintas.
30
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
■' ■Ms- proposição: (A V B) A - (~?C), temos 3 proposições■distintas;r}p:\^/.-~v-v--:-:. 7 , 2S = 2 1 2 f* 8 ImTiasItem certtx
'
„
(r--r-vii; /rU--
•
^ V - -. r ; -■
1
'
15. (CESPE) A tabela abaixo corresponde à tabela-verdade da proposição ( A a B) — > (A v B).
V B 1 . . AÃB- ^AV B ;
RESOLUÇÃO:-!
V
V
V
V
F
F
F
V
F
F
F
F
-
■
Vamos rnorttar á tâbeía-verdade,1 ' ' _
- '
*
/
v <, -
B
■.
V * F
- 'A M -
'* ' F
(A A rB ) ^
A, A B‘ . A l V ' B -
.p
rr\."M’•;v>:í. "•
P-Z'”’'-:
v ' -
A V B
”~
e
j
Vamos descobrir o valor de (A A B) . , ' Na Gonjunçãõí^A^basta uma proposIção F para o resultado; sei E=
^
J, -
>--
B
A C
A a B
A V B ■>
~ ; V
n
-
- 1-
w
ç
F
V
^
V
V F =
-
F V
f
#
=
líy*
»
T
F
r
A V B
*
lj...
*
F “
=
(A A B) >
"
1
t.
\ ^ ' 7
“■
-
/ ir "
^
,
i j
|
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
31
Vamos descobrir o valor de (A V B).
"
.
’B
A A B
■' " v . 7 ' V v •' . r . p ";7 F
", ; V ’ \
A V 8'
(A A B) —^ (A V B)
1! <.
A
VF Í V
F
V
F
FV-V
F
F
F
FF - F
A coluna finai será o resultado da coluna 3 com a coluna 4.
A
’ A a B V
A V B
{A A 8)
(A V B)
W =V
V
: ■• F
F
V
.F \
V
F
v
F
F
F
F
FF = V
V
■■:;
' B
X.';V '' •:
1! u < <
•' ■v'
-Ó resultado obtido pela última cojuna é diferente da última çojúna fornecida pelo í ^ u n d a d o ; . . ... . .. \. .. Item çrrado.
16.
Considerando que, além de A, B, C, O, E e F também sejam proposições, não necessariamente todas distintas, e que N seja o número de linhas da tabela -verdade da proposição [A (8 v C)3 [(D A E) F], então 2 < N < 64.
RESOLUÇÃO: O número de linhas de uma tabeia-verdade é fornecido pela fórmula: 2n, sendo "n" 6 número de proposições distintas. Nesse caso, a questão informa que as proposições não são necessariamente todas distintas, então tèmos duas opções bases: ; .• . ;; * . JK . . íX-ópção:'todas às.proposições sendo iguais, o núrnéro de linhas, será 2' = 2 linhas (Quantidade mínima). • ; ^ ! 7 ^ o @ í o : :;tò^í&iáSí proposições sendo diferentes* o. número de.-linhas será 26- f? 4 ^ p à 2 ; 2 ;2 = 64 iín h a s;’T ‘ \ : \ •
^^ppnciusão; N será o valor entre 2 '< N < 64 •<•
• Item certo.
••
.........................................:
••••.
..... r.-/*.
•-
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viliar
32
GABARITO j
01 - Errado
02 - Errado
03 - Errado
04 - Errado
)
05 - Certo
06 - C
07 - Errado
08 - Errado
[
09 - Errado
10 - Certo
11 - Errado
12 - Errado
(
13 - Errada
14 - Certa
15 - Errada
16 - Certo
_____________________________ _______________________
S essão de safio/
Nesse tópico, vamos estudar sobre premissas e conclusões. Na ver dade, é cobrança de argumentação lógica de forma indireta. ::xpicá: E$se.t|pq tíé q ü ^ t^ s ;o â 0 'é4 ® - - ^ ^ ^ ç â o i . > sím de análise, do QperadorJógíco. , ‘ ;
1.
(CESPE) Considere que as proposições a seguir têm vaiores lógicos V. - Catarina é ocupante de cargo em comissão CJ.3 ou CJ.4. - Catarina não é ocupante de cargo em comissão CJ.4 ou Catarina é juíza. - Catarina não é juíza. Assinale a opção correspondente à proposição que, como conseqüência da veracidade das proposições acima, tem valoração V. (A) Catarina é juíza ou Catarina ocupa cargo em comissão CJ.4. (B) Catarina não ocupa cargo em comissão CJ.3 nem CJ.4. (C) Catarina ocupa cargo em comissão CJ.3. (D) Catarina não ocupa cargo em comissão CJ.4 e Catarina é juíza. (E) Catarina não é juíza, mas ocupa cargo em comissão CJ.4.
RESOLUÇÃO: A questáo^tníorraoü^que-as proposições, têm valorès^lógicos^verdadeirosá Conclusão. 1
' \
■"Catarina é„ocupa}ite de çargo em comissão G .3 ou 0 ,4 " ér urnafpçopçSjção ver"CatannYnãoJe^pcúpante de cargo emfçdbissão 0 .4 ou Catarina; , f juíza' e urna -prôposidão verdadeira, ’ 'V*-'-'' ' * J -l
J --- j."» O
"-
lr-
J - \
(íCatárinaj não' é-juíza" é uma proposição verdadeira.
-* ’V
í.
Cap. 1 - LOGiCA SENTENCIAI
F ■;:,V^rnp?Vpjicarò;prõcessb da escada.,';--' -/Còrh^çamps/j^ se iepete:" ....
observamos ondeYa proposição base " , "/ '•
Á proposição "Çátarina-oão é ocupante de cargo èrn còn)issãa Çj.4wdeve ser verdadéirá, pois, na* disjunção "ou" pelo menos uma proposição deve ser verdadeira para à proposição compost? ser verdadeira.
■*., Cãtaryia>pãô'é. pcupante-tíe - í -
Catanna não ér juíza.
P au Q
V . f degrau: Catarina é ocupante de cargor.em comissão 0 .3 ou-^CJ.4. if-iílatarina.-.não é ocupante de cargo em comissão é verdadeira. Catarina é. ocupante de .cargo: em, comissão .0.3 ou CJ.4; ;(V). ..
., ..•/
, v.
A proposição ‘‘Catarina é, ocupante de cargo em: comissão CJ.3" deve sén verdadeira, poisaria disjunção "ou“ .peio- merios uma proposição deve ser verdadeira para a pròpo^ição còmpóste sèY verdadeirai.. . Catarina é ocupante de cargo Catarina, é ocupante de : errr comissão 013 • • cargò em eomissáo 0 .3 ; /..:V -
. F
Conclusão; /a
;
:
;;: P.ou Q /•í;V::'; V r
■-f
■ í
-..-v
'F
•-
■j
:-
Çatarina não é juíza. /Cátaripàtfiãq^ o c u p a n te ^ ’■.Catarina, é ocupante de cargo em comissão 0 .3 / ^ ^ g b ta ^ á m o s anaiisar^s àjtèroativasí
■’ ''
-
' •'/(A^Çat^jna é juíza q u Catarina.-ocupa.cargo eip comissão 0 .4 .: ... F
-
.
.
F
’//:.. ’ ;
= F ÍNa disjunçãp "ou" FF = F) ..
34
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Brvno Vlllar
(B) Catarina nap" ocupa cargo em còmissãp 0 .3 nem 0 .4. 4 >
1
7-
ifc-j- < F ',
-
r
v
V ~ F (Na conjunção "e", FV = F).
Proposição verdadeira. Resposta: Tetra lC. ”
Texto para as questões 2 a 5. Uma dedução é uma seqüência de proposições que algumas são premissas e as demais são conclusões. Uma dedução é denominada válida quando tanto as premissas; quanto as conclusões são verdadeiras. Suponha que as seguintes ipremissas sejam verdadeiras. I - Se os processos estavam sobre a bandeja, então o jui2 os analisou. II - O juiz estava lendo os processos em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala de audiências.
III - Se o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os pro cessos estavam sobre a mesa. IV ~ 0 juiz não analisou os processos. V - Se o juiz estava lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja. A partir do texto e das informações e premissas acima, é correto afirmar que a proposição:
2. “Se o juiz não estava lendo os processos em seu escritório, então éie estava lendo os processos na sala de audiências” é uma conclusão verdadeira. 3. “Se os processos não estavam sobre a mesa, então o jui2 estava lendo os pro cessos na saia de audiências” não é uma conclusão verdadeira.
4. "Os processos não estavam sobre bandeja” é uma conclusão verdadeira.
5. “Se o juiz analisou os processos, então eie não esteve no escritório” é uma conclusão verdadeira.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCíAL
r
35
RESOLUÇÃO: •A questão informa que as premissas são verdadeiras; .: I ^ Se os processos estavam sobre ã bandeja, então o juiz os analisou, li r O juiz èstava lendo os processos em sèu escritório ou eie estava tendo os 'procçsáojrna sala de audiências. • v :..;v. : ...... H Í . - S e ò ju iz estava iendo os processos em seu escritório, então os processos • estavam sobre a mesa. IV
~ O juiz nâo analisou os processos.
V - S e ò j u i z estâva lendo os processos na sala de audiências, então os processos estavam sobre a bandeja. RESOLUÇÃO: ■ Frase base:
• .
• -..
IV - Ò júiz não analisou os. procesjos. { 1.° degrau: '
.
• V
. . . . . , ,..
■ V
..
^
• • ;
s;':‘ '
...............
| - Se os processos estavam sobre a bandeja; èntão o juiz .os analisou. (V)....
■ Â proposição "Os processos estàvamsòbreá bandeja'' 'serà fatsaT^Óís.na condicional FF = ^ ; e VF = F (não ésqueÇa, a proposição compósta é vêrdàdeira). : - v v 'Os processos estavam sobre a bandeja (F). 2.° degrau:
•••'• .
•••'
'
V ~ Se o juiz estava lendo os processos, na sala de audiências, então ps processos e?tavam. sobre a bandeja. \ ..^ " Se o juiz estava iendo os processos na sala de audiências, então os processos estavamsobre a bandeja. .-...-a , '
F
■
v ‘
F
A proposição "0 juiz estava Iendo os processos na saia de audiências'' será falsai pois na condicional. FF - V e VF = F {não esqueça, a proposição çon?posta;é ver. dadeira);,; . . .•’ •/. .... ■.• j;r :
•3.°^degrau: _ •
^
' Y 7'-
. '0-juiz estava-lendo os^processos-enrv seu>escritórió oú ete. estava: léndó os pro•^^ssos-na sala;de áü.diêncjas. , /
36
RACtOCÍNiO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
vO juiz^st^yaiiçndq ó^prpeessps em seu escritório ou ele estava lendo os processos na sala.de audiências. -. _ ■ y v F
pois na djsjynção.'"^'VF ~ V s F F . : ?=E ,
.v -
O juiz estâvà léndd os ;proçessos em seu escritório {V).
4:° dègr^ut; ^
" ; í l T V ' •: ;
; :
;
’
y-\
!!l - Sé o júiz estava. lendo os processos em seu escritório, eníão os processos estaya.m sobre avipesa. Sé o juiz estava lendo os processos em seu escritório, então os processos estavam sòbre á mesa. 1 ' .:
'
y
•
"
.
~
’ .; '
'
y
A proposição "os processos estavam sobrè a mesa" deve ser é verdadeira, pois na condicional (se... então...) W ,= V e VF =*F. •' ' ' / “ Conclusão: O jútz nãd analisou os processos. "
.........
" ,
'
Os processos não estavam-sobre a. bandeja. O juiz não estara lendo .os processos na
.......... ; de audiências.
_
.
, ,
O jutz estava lendo os processos.em seu escritório. ; Os processos estavam sobre a mesa.
J
/. '
' ;
Vamos analjsar as alternativas; 2. "Se o juiz.não gstãva lendo p& processos em sen escritório; enfãoele estava lendo os processos na sala de audiências" e uma ço^ciusão verdadeira. O jyiz não estava, lendo os processos em.seu eseritóriò. (F).
■
Ele estsva lendo os processos na saia de audiências. (V) FV - V (Na' condiciona^ FV - V). item certo/
~ -
■
'
;
-
;
3."SeQSiproçessosnãQestavam sobreàtfnesa^entàoojuizestavárlèndóas ," pròcessos na sala de aúdíêncíás" naó é um a conclusão verdadeirp. 3, Os proç^osjiãõ.estavam sobre rã, m e s^F),
- __ _
/
Cap. 1 -LÓGiCASENTENCiAL
37
í O jú iz estava iendo os processos na sala de audiências, (V) FV K V W a condicional.FV = V).
•' '
'
Jtem. errado.’
;v' V;J- ’'
4.:"Os prqçessps não estavarn sobrebandeja^é uma conciusão verdadeira. Òs ^ ^ «^ • n â o 'e s fâ V a i^ ^ é rfr'à '^ »â e ja : (V) - ' Iteni cectc>. 5.
■ •'
•V; :..''
'
•• :
•' ;i
;
"Se o juiz. analisou os processos, então ele não. esteve no escritório'' èt uma concÍMsão verdadeir^. .
’0 -júíz'§pàlis?y ps processos.
s
Ele;não esteve'no escritório. (F) FF =.:V (Na: condicional FF = V)..
-
•
Item certo.; ' •
Texto para as questões 6 a 8 Considere que cada uma das proposições seguintes tenha vaior lógico V. t ~ Tânia estava no escritório ou Jorge foi ao centro da cidade. li - Manuel declarou o imposto de renda na data correta e Caria nâo pagou o condomínio. lü - Jorge nâo foi ao centro da cidade. A partir dessas proposições, é correto afirmar que a proposição. 6. “Manuel deciarou o imposto de renda na data correta e Jorge foi ao centro da cidade” tem vaior lógico V 7. “Tânia não estava no escritório" tem, obrigatoriamente, vaior lógico V. 8. “Carla pagou o condomínio” tem valor lógico F.
RESOLUÇÃO;
„
As-prppostções são verdadeiras i L - Tânia estava no escritório ou Jorge fpi 30 centro da' cidade. (V) = " ' ■» 1 't ' :—' ü. ' "* •|pf - Manuei declarou o impostQ de:renda na data çorreta;eífarla: nãp pagouo "condomínio. (V) _ . , ( 1 -C' " ~ ^ <- .< Ili - Jorge não foí ao centro da cidade. (V)
..
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vilisr
38
,
Base: J^rgé' não1foi ao cehtfó da ddàde.
l ^ deg auVlânía estava no escritório ou Jorge foi ão cèntro da ciciáde. (V)
J .; 'J .
^
v;
'L
' c
Á'próppsíção "Tânia"estava nó escritório" devé sèr verdadeira, poisna-disjunção V f ,-V
...N ;' .... ' •• ' ■
;
2.° deg ^atl; Manuel declarou o imposto dè renda na data correta e Carla não pagou o.eondbmímo: A frasè do;2.° degrau é.indepèridénte; E.agórav o que fa?er?, o6serv>que a-frase está jigada, pelq eo^ectl^o "e" e nesse çpnçctjvp a fra$e.^orpente é yérdê deira se-ambas ás proposíções foreíri verdadeiras. Manue! declarou o imposto de renda .nà d.a^.çprreta e Carta não pagou p. çondo rnínlo.^ Çqnciujsão: íyiánue deeiarou o. imposto de .renda na; data correta: (V)
Càrlá n Io pagpçi p condomínio. (V):
;v
Conclusão final (são proppsições símfÍ|fíe verdadeiras): Jorge. rão foi ao centro da cidàde.
'
"
Tânia eítava no.escrjtório*
,
Mànue! dedaroiij: ó imposto de. renda na' data correta; Carla n 5o pagoó o condomínio.
.
.
,
.Vamos, analisar ps itens.
6. -'Ma íuel decjárou o imposto de renda na data correta .e Jorge foi aò centro dacidiide" tem valor iógico V. Manue declarou o imposto de renda na.data correta. (V) Jorge f>j ao centro dacidade. (P> v ;
^
.
.
VF;= F (Na conjunção "e"VF = F). Item euado.
1
■ _
1 y - vV„.■ .............7. "Tânia não estava no escritório" tem,òbrigatoríamente, valor lógico V..; 0A propds’ “ ;
" - r ’;
í
item 'etjradq. 8i " Ê a r L „ _ -_ —
—
____ ____-— ....--------------
A prôppsiçãoííCarla pagôuio condomínio" é-fa)sa.. Item c^rto.
^ ,
■■■
-
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
39
9.. (CESPE 2009) Considere que as proposições da seqüência a seguir sejam ver dadeiras. Se Fred é policial, então ele iem porte de arma. Fred mora em São Paulo ou ele é engenheiro. Se Fred é engenheiro, entio ele faz cálculos estruturais. Fred não tem porte de arma. Se Fred mora em São Paulo, então ele é policial. Nesse caso, é correto inferir que a proposição “Fred não mora em São Paulo” é uma conclusão verdadeira com base nessa seqüência.
RESOLUÇÃO:
'V .'
As proposições são verdadeiras.
..V -
Se Fred é policiai, então èié tetn porte de arma. (V) Fred mora em São Paulo ou ele,£
(V)
Se Fred é engenheiro/então ele faz çálculosestruturafs. (V) Fred não tem porte de arma. (V) Se .Fred mora em Sãó Paulo> e n ^ o ele é^p
(V)
V
;;Base: Fred não tem porte de arma. (V)
;
1.® degrau:Se Fred é põHcial,'então!ele tèm porte de armar(V)
",
Se Fred é.policial; então eie>tem portede arma; (V) ■ ■.l , . - J
. 'v ; •
'f -
A proposição "Fred ,é. polícia!' .deve ser falsa, pois'na condicional (se... então) FF V e VF = F. 2.® degrau: Se Fred mora em São Paulo, então ele:é policiai. (V). . Se Fred mora em São Paulo, entãò ele é policial. . F
‘
.
. .F.
. . . . .
Conclusão: a. proposição "Fred não mora em São Paulo" é verdadeira. Item certo.
■'/
/'•
GABARITO 01 - c
02 - Certo
03 - Errado
04 - Certo
05 - Certo
06 - Errado
07 - Errado
08 - Certo
09 - Certo
.
40
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Btvno Vítíar
NEGAÇÃO m
UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Conectívo
Símbolo
Disjunção inciusiva
V
P v q
-> (p v q) = i p A -* q
y
P v q
-j (p V q)= i p P Y -.q
Conjunção
A
P A q
M
Condicional
_^
P
Disjunção exclusiva
Forma simbólica Negação da proposição composta
Bicondiclona!
q
P q
q outra opção
p A ^ i p v q (p — > q) = p A i q
"i (p q outra opção
p
1-
v
q
(CESPE) Considere como V as seguintes proposições. A: Jorge briga com sua namorada Slivia. B: Sílvia vai ao teatro. Nesse caso, -'(A ~ ^ B ) é a proposição C: “Se Jorge não briga com sua namorada Silvia, então Sílvia não vai ao teatro’’.
RESOLUÇÃO: ^ (A “~*B) = 'A ' a ->B~ -:A^proppsição; G deveria ser assim: ^Jorge-não bngacomsua namorada-Sílvias«Sílvia não vaí aò teatro" Item-erxado
2.
(CESPE) Considere as seguintes proposições. A: Jorge briga com sua namorada Silvia. B: Sílvia vai ao teatro. Nesse caso, independentemente das valorações V ou F para  e B, a expressão ~>(A V B) correspondente à proposição C; “Jorge não briga com sua namorada Silvia e Sílvia não vai ao teatro”.
RESOLUÇÃO: n j A V B }? T .A A ■'B
'
-
-
-í'
ô proposiçãp C "Jorge r\ãp bjriga com sua namorada Sílvia eSí1yi| não vai ao teatro" representa â expressão-^A-A -iB --v ' ! .^■•'IterrríSfto.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAL
41
3. (CESPE) Considere as proposições: A : O cachorro mordeu a bola. B: O prédio do MCT fica na Esplanada. Nesse caso, um enunciado correto da proposição i ( A V B) é; O cachorro não mordeu a boia nem o prédio do MCT fica na Espianada.
RESOLUÇÃO:
' .
■
*l(AV 8} - ~»A A ”«B
.
„
-
A proposição "O cachorro não mordeu a boia nem o prédio do jWÇT fica na: Es planada" tem a seguinte forma simbólica ->A A -»B. , Nem - e + não.
'
■ (tem certo.
4.
••••••
• ;•.......
• • -
• • • •
(CESPE) Sabe-se que as proposições • '(A A fi) e (~»A) V (**B) têm os mesmos va lores lógicos para todas as possíveis vaiorações de A e de B. Então a negação da proposição “O Brasil possui embaixada em Abu Dhabi e não em Marrocos” pode ser simbolizada da forma ("»A) V B.
RESOLUÇÃO:
..
A pròposÍçãò‘"Ò’ Brasil "possui embaixada em Abu Dhabi e não em Marrocos” possuí as sèpuíntes òpçõèscde representações, simbólicas:: *•
.....-n
1 « opção: A A B , 1' Negação da 1.* opção: -*.(A A B ) - -*A V -iB
'
■' Essa opção, não corresponde à resposta-apresentada pela questão. : 2.a opção:->A•A. B Negação da 2«a opção:■-* {->A A 8 ) - A . .-.3^;opção: A A -iB ..
'
■
V nB
-
Negação.da 3.a opição::“? (“»A Â -V B )=-> A V . f i 1 Essa opção corresponde à resposta apresentada-pela questão. Vamos continuar para treinamento ' ' 4.a opçãor->A iA ~»B
-
”
Negaç^o daL4.».opção: - » {-»A,A*i B ) =; A V" B
.
~ \
X!
-|||ômêritárjo: A questão( somente estaríp errada se, ao testar t ^ if .a s opções, não ^Wneontrassemos sya^fõrma sigi^olteaí -* 5 " * , -* ,
42
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vilfar 1
5. (CESPE) Se A é a proposição “O soldado Brito é jovem e casado”, então a pro posição “O soldado Brfto não é jovem, mas é solteiro" é um enunciado correto para a proposição -«A.
resolução:
:
A:’O soldado Brito é jovem e .casadoi. A^negaçãQ ItènVêffadò.
i>v-; ,,v
proposição A é "O soídado do Brito hão é jovem ou hão;é casádQ" s' '
6. (CESPE) Assinale a opção correspondente à negação correta da proposição “Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 não têm direito à carteira funcional”. (A) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 têm direito à carteira funcionai. (B) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 ou os ocupantes de cargos em comissão CJ.4 têm direito à carteira funcionai. (C) Não é o caso de os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 e CJ.4 terem direito à carteira funcional. (D) Nem ocupantes de cargos em comissão CJ.3, nem CJ.4 não têm direito à carteira funcional. (E) Os ocupantes de cargos em comissão CJ.3 não têm direito à carteira funcionai, mas os ocupantes de cargos em comissão CJ.4 têm direito à carteira funcionai.
RESOLUÇÃO: ^
^
v
Abnegação" dá proposição: "Os' ocupantes .de cargos em comissão 03,e,C J.4:não tênrfdtrçito à carteira funcionai" é^Os ocupantes de cargos èm comissão C )3 ;pu 'CJÁtêm direito à carteira funcional*. * <* * • - J ! i 7 | ~ ‘ ; ;•v••* . Besposta:.letr^.;^/ -.yp > v; . V ••• ' ”
7.
(TR T-ES 2009) A proposição “ Carlos é juiz e é muito competente” tem como negação a proposição “Carlos não é juiz nem ê muito competente”.
RESOLUÇÃO: 1 ;A proposfção;"Gartosve jüte;eí;;éír|)ü}ta cprnpetente'té urrlaí proposição composta no
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAL
8.
43
(TR T - ES 2009) A proposição "A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita" será V quando a proposição “A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita” for F, e vice-versa.
RESOLUÇÃO: Nesse caso, a questão, está pedindo a negação da proposição "A Constituição brasileira è moderna ou precisa ser refeita" pote está. afirróandó qüè urpa é negação da outra, porque, quando uma é V, a outra é F, e vice-versa. Negação é mudar o valor lógico. A proposição "A Constituição brasileira é moderna ou precisa ser refeita" é uma pro posição np cpnectivo "ou". A negação do "ou" é: ~j(A V B) = ”>A a -i B. A negação correta é: "A Constituição brasileira não é moderria e não precisa-ser refeita" •' .i. Cuidado! Nem = e + não. Condusão: A proposição: BÁ Constituição brasileira hão é moderna e não precisa ser refeita" também pode ser escrita dessa forma "A Constituição brasileira não é moderna nem precisa ser refeita". . Iterr» certo.
9. (CESPE) Com base nas informações do texto i, é correto afirmar que, para todos os possíveis valores lógicos, V ou F, que podem ser atribuídos a P e a Q, uma proposição simbolizada por -»fP (~*Q)] possui os mesmos valores lógicos que a proposição simbolizada por (A) (B) (C) (D)
(-P ) V Q (-Q ) P *»f("»P)A (“|Q)3 “>{-’(P Q)]
(E) P A Q
RESOLUÇÃO:
-
-V;’- V m Í - ■
'
Assunto: negação de uma próposição composta (negaçãpjdá; condicional) A fórmula da negação da condiciona) é conservar a primeira expressâo, colpçar o "e" e negar a segunda expressão. ' -•••. .... ••• ^(P :-^ (r.Q )] = P A Q .
_
^ !!llgueV '
" .
^«•negação da negaçãò é uma afirmação: Resposta: ietra E .!
V ?
• ' Y|p§|;'; ' . - • ' . v ' - - .
: Q - Q.
. •
• ‘ .'
44
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
GABARITO 01 - Errado
02 - Certo
03 - Certo
04 - Certo
06 - B
07 - Errado
08 - Certo
09 - E
05 - Errado
CLASSIFICAÇÃO DAS TABELAS-VERDADES Resumo: Tautologia: O resultado é sempre verdadeiro. Contradição: O resultado é sempre falso. Indeterminação ou Contingência: O resultado possui valores verda deiros e falsos. 1.
(CESPE) A sentença “No Palácio itamaraty há quadros de Portinari ou no Paíácio Itamaraty não há quadros de Portinari” é uma proposição sempre verdadeira.
RESOLUÇÃO; A fr$se “No Pàiádo.ltatTiaraty ha quadrçs de Portinan ou no P^iãcroltámaraíy .pão .;Hâ:á ü a d rQ ^ P ^ ih | rí^ p ó d e sér.^pVessa pela forma Por isso, temosuítia
ftenv correto:
2. (CESPE) Se A e B são proposições, completando a tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a proposição “»(A V B) — > ~>A a é uma tautologia.
A~
B
V
' TV -F _
f
:, v
-«(ÀÍVB)
•; n(AV;:!3Í:”--^ff»Â A->B "
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
45
í RESOÚJÇÃOr..
' 7
^
' v . .-V — 7 . .'V . V
\ V
a>*^rlin^fra^èxir^.
7
■ pressãp CÁ V B) é; equivajenteà'segunda proposição ^{À V B) =-t}A; A
7B
V\ -4 > - -,
7
■’ -
■' ;
te expressões .equivalentes- p ó s sü ^m tà b é f^
■/
òú.séja/quànàpT
7umajè-verdàd^ra/.a-oúírs.iamjrérn é -^^a d tíra /ra ''■f.-.V ' Conclusão;:VV.ou Ep.:na>condidona^p;.rçsuj.tãdp-:ié:Veijdadein>:v.
:
./
item certo.
3. (CESPE) A proposÍçãoi(Av B)
r e s g lü ç â ò : ;
^ A v ~»B é uma tautologia
:
; v
^
As expressões: não-são equivalentes,: logo, devemos construir a.tabeia-verdade!
(A V B)
Iffh . Ky
;v-f;;.-
v V.’*v'?a>.*V*-.
:5 í ; ? & s . :lW?. ''f v ." u v - v
“> (À V B )’ •*lSry.*J:}K
:
í-»(4 ^ ;B ).
T t - ^ Á v .í i B,
SSBM S.
S IS 7V;;:;
F
Vamos ençpntrar o vaíor de-(A y B)
\
'
'
Na disjunção ( V ) basta uma proposição ser verdadeira, para: expressão ser verdadeira.
:a
: B
'V .- " V
.
■~»A - ~?B •■■’’F ' ’ ■■ 'p :
y;
F
F
F-
V
V
F
F
V.
(A V B ) W = V
V
VF = V
1F
‘FV - V
V
: FF = F
l$f|ra;íVarnos encontrar t »(A Ní B).. Negar.é mudar ovaior-lógico.
n(A V B)
-iA V -iB \~y
n(A V B) — > i A V i B ' .'7'
'•J:
V ‘l' • • • •
,
-
46
RACIOCÍNfO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
A ' ' r - -«A ~»B ÍAVB) -i(AV B) •v
> V> V'
C‘F V
F •' F
'F.,
-V ,
.V"
V '
3j r
V *
f
-
, " F
y
F
F
V
-. ■n(AV B) — > ^A V "»B ' *'
•:Í’-Vv-V- i;''•--Vl:
Fc
V
.,-v
v^B
-- -
"
Agora^ vamos, encontrar o; valor de ~»A V *nB. Na disjunçáo ( V ), basta, uma propasição ser verdadeira para a expressão ser verdadeira, ;.À --
;
B
V'
' V - ' :ÍF. '
ti B
(A V B)
i(A V B )
“iA V ^B
F
v
■F
FF = F
■F
V
V
V
f
F
F‘
V
V
.
■V
•;F
F
FV - V
•
* v 'F ’ "
;;
V
>' li
F
F
—— i
- V
■?(ÁVB) — ' *»Á' y . nB
W =V
^ "ti *^ *" ^ - “ «• -r^ ~ ~ Agoràrvannds^encóntraf o resultado da ê^qssão: -i(A V B) — * -iA -V ~>B, pegando 0 resultado das colunas 6 e 7, nessa orderte?' N ,~r -* *rt t. i >*** $ 0 0 2;r..y-»•....•- , >
T ÍK 1..... 1A
* B
V
V
- iB
*hA
.
V-
F."
F'
V F-
F
-F
K V
V
Itém certo.
(A V B )
:n (A V B )
-«A V -iB
V
F
F
F V'; ■
V
;V
V f F V F-:; ; iV:VYw.;'v: -
V V V ..
v
“t{A v
-
w
—> “iA FF - V FV- V
B)
’H- y *'! V iB
FV = V :;.vy. V
ó
4. .(CESPE) Na tabela abaixo, a proposição JA —4 B3 [*-*B — > ''AJ é umà tautologia. A
-
b
"
: : ^ B --"-
.s V ' ^
' : ? í '
' F
1
À - ^ B
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAL
47
í RESOLUÇÃO: Á
B = “'B — $ -^À
•Novamente, temos expressões equivalentes ligadas pela bícondiçional, logo, são expressões táutológicas. ’’v Item certo.
GABARITO 01 - Certo
02- Certo
03 - Certo
04 - Certo
EQUIVALÊNCIA LÓGICA E IMPLICAÇÃO LÓGICA Resumo: Implicação lógica: É uma condicional verdadeira. Equivalência lógica: São proposições lógicas que possuem tabelasverdades idênticas. Principais equívalências lógicas: A —» b ~ -'A v B = “*B —» "'A A v b -B A A ** B - (A B) a (B A) (TCE/AC) Texto para as questões 1 a 3 Proposições das formas A —» B, "'A v Be ~*B —»~*Asão sempre equivalentes. A partir dessa Informação e das definiçõesincluídas no texto, julgue os itens a seguir. 1. As proposições “Se Héüo é conselheiro do TCE/AC, então Héilo é formado em Contabilidade” e “Hélio não é conselheiro do TCE/AC ou Hélio é formado em Contabilidade” são equivalentes.
i-M eS OLUCÃO:
,
.
■ ’4iipfifase“-,i tem a forma* Á^ B e a-fra$e 2tem ã forma: -»A V SíÍ ^ ? .-4<* . As expressões A - 4 ei A V B.são equivalentes. _ =
8
- Item certo
'
ip â r
‘‘ ' >
1
_„ ,
48
2.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
Considere a seguinte proposição: “Se Antônio resolver corretamente esta prova, então ele passará no concurso”. Nessa situação, é correto concluir que "Se Antô nio não resolver corretamente este prova, então ele não passará no concurso".
;^ o l u ^ a o : > -
"
. . y
' j ^ r a s e " I v t e r r i e . a ffàs&á teraa,for_rpa:; ;Âs' expressoes1K '
8. e' -'A
Item errado.-,
3.
B :,
nãÒi são'equivaientes/faítou 'inverter os termos.
‘ ‘
_
'■
'
Considere a seguinte proposição: “Aiíce não foi ao cinema ou Bémardo foi jogar futebol”. Dessa proposição, é correto concluir que “Se Bernardo não foi jogar futebol, então Alice não foi ao cinema”.
RESOLUÇÃO:
„
. .
r
8e a frase 2 tem a forma: 8: .-->:v’A':.sãQ. equivalentes.
-
A frase V tefn a forma ^ A V . ■. As. expressões ^ A V-.-B ^ ^
4.
_-»A;
'
• ' : ■■
:
;
•
(BB CESPE) Considerando-se como V a proposição “Sem linguagem, não há acesso à realidade”, conclui-se que a proposição “Se não há linguagem, então não há acesso à realidade" é também V.
RESOLUÇÃO:
V .
r
\
; A .expressão "sem^éjgyai a "se * não^.: -.
/
'
. Nesse caso; a:proposiçãõ "Sem IÍnguagçraf iiâo bá acesso a-realidade", pode ser.reescrit$ na. foriTjar.^Se não: há Íínguágêmi èhWo^ nao há acèsso à' realidade": r .. ..Item cer£o.
"
*' ' •
/ X- .■.
“
5. (BB CESPE) Se o valor lógico da proposição “Se as operações de crédito no pais aumentam, então os bancos ganham muito dinheiro” é V, então é correto concluir que o valor lógico da proposição “Se os bancos não ganham muito dinheiro, então as operações de crédito no país não aumentam” é também V.
RESOLUÇÃO: ^
?v 5 v*1; <3==<■j ^ r A jDroposLÇÍ& fSe as operações de ççêdlto no país aumentam; entãq çs1bancos ganham ^M ito $]^e ^ f p r r p f ^ T * # í a
ganham muito dinheiro/então as operações de crédito no país não aumentam" "r ~ -Sê * í"* v 1,4r r* • — 1% \ -*'« _ > tem a f Q Q p ^ - £ '■A,
0
Item;:cert ‘.
lagp/sao^qyivale^es
J \
_ ^
_
Cap. 1- LÓGICA SENTENCIAI
49
Texto para as questões 6 e 7 Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P o trecho “meu cliente fosse culpado” e simbolizando por Q o trecho "a arma estaria no carro”, obtém-se uma propo sição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é fida: Se P então Q, e simbolizada por P — * Q. Uma tautoiogia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que tenha a forma P H > Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas informações e na simbolização sugerida, juigue os itens subsequentes.
6.
A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então, meu cliente nâo é culpado" é uma tautoiogia.
RESOLUÇÃO: . Vámos primeírp transforroar a proposição para forma simbólica/’ ' "Se-meu.cliente fossè cuipadò, então a arma do: crime .estaria no cârrò.Rortánto, se a arma do.cnrpe nlp estava .no carro,.então meurc^ente;nio..éxulpadoÃfi ^•^£v^*^^' Nessa frase, a palavra portanto resulta em uma reíação de jmplicaçáo lógica., Axausa: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do cnnpe-çstana qo càrro. V r~ > q } f J_«■*» w^ r x-, O çfetto ou* conclusão:; se a .arma do .cnme>T»ão estayalno carroj •wtâo^mett cllente não é culpado. ( — ■q — > ~ ip ). Lembre-se* causa — > efeito. Logo, a forma slmbolíca da: fra’$e é (p - ^ q ) ‘- 4 ( — i‘q — > - ^ p ) " Pela fórmula _da equivaiênciajda.cqndicsonal deseobnrrios queas.expressõesp r rf q:.e ~i.q 4>. psão equivalentes, Duas expressões equivalentes ligadas pelacondiciQfiak representam urna tautoiogia (A — > A). ' ' Questão correta.
7.
-
.
*
A proposição “Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro” não é uma tautoiogia.
RESOLUÇÃO:
^
íí^^^p p m e jro^tram forro a ^p p R o siçã p patajonpa $tmbpl{ca. M
'
-- *-
'^^^meq-eíiente fossecüipado, então a à r^ < Jo cnjjie e^tapa]no;^ ^ v'ÍPôrtçinto> se ~à‘ arrpa 'do crime não estava np"’carro, èntaò metr cliente rí^cré cuípác{o“t'‘ ^ " -Í-. ~ ~ í ^ V^ ' i r 7-. • • Nessa frase; a palavra; portanto .resulta em uma relação de implicação iogica
50
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
A cáósa: Se meu cifente fosse culpado, então a 'arma do trímè èstaria no carro. ( p --» q ) . . ^ . , . , „ O efèitó ou conclusão; ou meu cliente- riãg. é culpado ou ã arma' dó crime estaria rio carro ( — ip V q). Lembre-se: causá ’ ^>-.efeito..';■ : ^ r N-'. ^ -, eiiidadoi Voçê pode perguntar:.ProfessoV a:frase::está''escrita 'nò; pü>.: ou,..então a } :forma simbõlfcâ não seria p V q . Mas'õ.-CESPE.rvào fàz distinção, esqueceu? ; .Logo, a forma simbólica daTrase ê (p — >q)
Vq)/
; ' Rela fórmula da .equiyalêpcia da çondidortak descobrimos; que as .expréssões p -r-> q e • representam uma táutòlogia (A — > A). ; Questão errada.
; ^
"
8. (CESPE) Considere as seguintes proposições: 1. ( 7 + 3 = 10) A (5 - 12 ~ 7) 2.
A palavra “crime” é dissilaba.
3. Se “lâmpada” é uma palavra trissüaba, então "lâmpada” tem acentuação gráfica*
4. (8 - 4 = 4) A (10 + 3 * 13) 5. Se x = 4, então x + 3 < 6. Entre essas proposições, há exatamente duas com interpretação F.
; RESOLUÇ I ;jAssuntò:
V< (7 + 3 ír (Na conjunção "e" VF - F):
- ;Àípalavra"crime":é;dissflaba.\ *A-prápdsiçáo sirripíés* é V. * -
'
^^
■- -
-
V\. \
Se"lâmpadaí'e uma palavra trissüaba, então "lâmpada^lem acentuação gráfica. Q. motivo de-lâmpada ser trisssiaba significa dizer que tem acentuação grafica’ Nãor Çqnçlusão' a proposição é fálsa (julgamento peiá relação),
*,
«
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCJAL
Sé x * 4, então x + 3 < 6. Sendo x
então 4
'
51
.
1 3 é.menor que 61
.. Y - Y - .
.Nãpí Ço.oçlMsãq: a, proposição é falsa {julgamento pela relação). Se ligue!
Y'
.....YY"' v
'
’VY ; Y . :
Yv?Y-
.
Quandò a.frasè estiver.nàcondicionalèpossuír urna rélação(nnesrnosüjèitò e mesmo assunto), déve-se julgar a frase pela relação lógica! , . Y .. . v V y item errado.
Y
•
'
9. As proposições (*»A) v (-^B) e A — > B têm os mesmos valores lógicos para todas as possíveis valorações lógicas das proposições A e B.
’ RESOLUÇÃO:
: '
V ;
A — K.B '=-*8 — > ~>A = Item errado.'
• '1
' .,'Y;.:'
••
B.- • . ..' ...:•
;••
. •
;
10. A proposição “Se o Coelho Branco olhou o relógio, então Alice não perseguiu o Coelho Branco” é equivalente à proposição “O Coelho Branco não olhou o relógio ou Alice não perseguiu o Coelho Branco”.
RESOLUÇÃO:
:
.
.•
•
A 8 é equivalente 78 > ~>A _ , ’Afrase?^tem â forma A .?4 B.e a frase2-tem a forrna.nB.— ^ .~*A jtem çérto. y
J
\
t
YY\
11. As proposições compostas A — > (^B) e B - 4 (^A) têm exatamente os mesmos valores lógicos, independentemente das atribuições V ou F dadas às proposições simples A e B.
RÈSOLÜÇÀO:
Y
^ 7 V :Y ;;:':.;:- - ' Y
• A ':~^.'.B é equivalente -iB,.ri&..7»^ (inyçrte e nega as; prqposições);. . . A ~ > .(^ B ) -> Y ; Y Y - v •••«:•■ 'Y •' Y-Y- , ' ; primeira proposiçãp.é.A;,quiandOv^egar, fica.-»A. :^,£ggunda proposição ~ê ^B; quando nepar, fica -» Últímó passo: inverter os termos. Item certo.
"
, -
- B ~
~
RACIOCÍNIO LÕGÍCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno ViUar
52
GABARITO 01 ” Certo
02 - Errado
03 - Certo
04 - Certo
OS - Certo
06 ~ Certo
07 - Errado
08 - Errado
09 - Errado
10 ~ Certo
1 - Certo
1
QUANTIFICADORES Quantifieador universal
(V)
= todo
Quantificador Existencial (3 ) = algum = existe = pelo menos um 1.
(CESPE) Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição ( V 6 x)(x e Q e x > 0){x2 > x) é valorada como F.
RESOLUÇÃO: ••
Temos.x > 0, isto é, fo m e n te ;^
flufc2&rg+t±. ,/<./
Cuidado na pégádinÁa: todo núrhêro decimal quando elevado ao-quadrado se
torqa menor que o numero original. ^ p i a o n u ^ o ^ ^ o n a t j l j ^ e l e ^ o ^ u e l
«
/
“ -4 A S ’ L* f . ? ■'■'f- ' ^ ' / t h - ' . >. » r- r C Todo nún5ero;jf)(teTro> :diffirente de zero/qu^ndo:elevado .^o quadrado se torna maiocque'ô númeró original,Exemplo: 2Z ~
4 e 4 e maior que 2. (V)
: Logõi^êrefnoé^posspJidades^âè a ‘sentènçr^er 'vefdádeíra^òVfars^^ rda;ftóróêro^úsa^^>içW^tÍ^tôp;-utíJ»zoú?a‘qaantificàBopruníverealráeirã:;i||^'páW’-' quaiqyer^núraero-raçronalr. usadorta^pròpríédade^ >::x-é^verdadeira? ^ão! ■Logo,, a proposição e.fálsa e, ttfguestijb* •-••-•■p'- , Item cçrto
" ’_ '
% -f ..
1
^ r -N
-
(CESPE) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x}*é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto
js,
3,
2, - i j .
Cap. 1 — LÓGiCA SENTENCtAL
53
r RESOLUÇÃO: : A proposição é "Rara .qualquer x, •tem-se. que. x"; ê-. verdadeira para todos os ~ f 5 " ' 3 il vaíores de x que estão no conjunto <5, — , 3, ,
2
Nesrse caso,'devemos substituir no-Jugar-cada\ejecnentò do conjunto, se todos os valores; a exprçssão x*> x for verdadeira a questão; está correta. Vamos test^rl ... Para x = 5
1 . •>'} ^
. ^ X vXw:;
25 > 5 (V) Para x = ê. x*> x
..
2
.
51 > 5
^
2
i)
iJrl™ -25
5 ■
X= 3 ' x?>_x 32 > 3- • 9 > 3 (V) x - 1
‘ '
X2> :X - ■ ■:■■■ -
3\>1
2 } (f)
2-
£ > 1 (V ) 4 * "7r
;■
••••.-. ••.
•• ••••.••••••.. ...•
■: *.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vitlar
54
5
:' .d. Nof;últ mo.: ntÍjrnep> encontramos uma proposição falsa, por-isso,/o item está errado.. : >
3.
(C E S P E ) Se R é o conjunto dos números Reais, então a proposição ( V x) (x G R)( 3 y)(y € R)(x + y = x) é valorada como V.
RESOLUÇÃO: -ACredíto que à dificuldade da questão esteja na leitura, então, vamos, lá: ' - _ 1~ ’ f ^ *'11 * -f
... ~ --■?&
“ A'eXpTès^cr{V x ) f e K}{3yl(yte j m x ' $ y = x) !
L
-
x
V
*
)}
•: >< i
.. ••-j.',V
v -v ;r .
" l?ara tqdo x pertencèbte ab cotfjuntó d|pRÚméros^Reâis (R), existe um y pertencente í 1 r ao conjunto'dos númerós dos* Rèaiã (R),~tal que x + y » x. * í> ! ‘ A pergunta é*^xiste al£um vàiòjjèafpára y,|al gue x"+ y ~ x? í ^ ^^ w s S ^ ° y ^ ^ Existe sim* y = 0 -" _ X+ 0= X '
4.
-
-
t „
. •'i
(
^
Coma existe pelo menos um vaior para y, então o item está corrèto.
- ~
(CESPE) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
RESOLUÇÃO: 1H 1 ' '
'
tl V, H I
-
.
-
-
<
~r
A^proposiçãò utiliza o quahttficador existeíigaUejgste), então, se peío menos um dos > s. numèros do, conjunto for divísfyeí por 2 e pof 3r a questão^ está correta ~v ’ A pergunta e algum cios "números do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16} é divisível por '% 2 e por §?\# - > - _ « A , . , , , l r Resposta naqh Nenhum dos nümeroVjdú conjunto é divisível por , mesmo tempo)* v*~ >' ( * <•
2e por 3
(ao • >
Cap. 1 - IÓGICA SENTENCIAI
55
5. (CESPE) Se Q é o conjunto dos números racionais, então a proposição ( 3 x ) ( x€ Q)(x 2 = 2} é valorada como V.
RESOLUÇÃO: Quanto à proposição ( 3 x)(xG GXx2 - 2), iê se: existe peiò menos um x pertencente ao eonjüntò dos números racionais, tal que x2 = 2 . ■ Para x2 - x , então x - a/2 (0 número -yf! nâo pertence ao.conjunto .dos números racionais). Logo, não existe número racional para x, ' •’ Item errado.
"
'
^
6. (CESPE) Considerando que í V x ) A ( x ) e ( 3x) A( x) são proposições, é correto afirmar que a proposiçâò ( Vx ) A ( x ) (B x )A (x ) é avaliada como V em qual quer conjunto em que x assuma valores.
Exemplo: Se "Todo A é B" é verdadeira, entãòjMlgum A é B"; também-será. vérdàv deirai Sendd "Todo A é B" verdadeira, ternos a seg.uinte opçao:
-y
Sendo ( V x)À = F, então ( 3 x)A(x) = 1 ■Exemplo: Se "Todò A é B"é falso, então "Algüm A é B" pod^sgr. verdadeiro oú
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
56
Sçndóf Tocta Á. é 8" falso, temos duqis .opções:
Cgnekjsão-final: W .o u FV ou FF (as expressões ;W , FV, FF na condicional sãoiguais
aV). •- Item certo.
; '
~
.1.
7. A proposição “para cada x, {x + 2) > 7” é interpretada como V para x pertencente ao conjunto { 6 , 7, 8 , 9).
RESOUJÇÃO:,
:
'
Devemos testar-o va|or de x do conjunto (6, 7, 8, 9} na expressão (x + 2) > 7, Todos os' valores, quando substituídos na expressão, são maiores que 7. X = õ-"--7
' "
* Y ~ -
6 + 2 > 7 (V) X= 7 7 * 2 > 7 (V) X= 8
8 + 2 > 7 (V) í^ * t i J' r ^ ~ ? íí ^ - w f ^V f Í^ 7 líV W , -f ' Y * &F& S T, " '‘í r t! > ■* 'J~ >t-.i 'jí'k*Y^
1
'
-
Cap. 1 - LÓGICA SENTENOAL
I
57
:
:
'
8. Os jogadores do Estrela Futebol Clube são craques. Assinale a opção correspondente à negação da frase acima. (A) (B) (C) (D)
Nenhum jogador do Estrela Futebol Clube é craque. Quase todos os jogadores do Estreia Futebo! Clube não são craques. Existe aigum jogador do Estrela Futebol Clube que não è craque. Apenas alguns jogadores do Estreia Futebol Clube são craques.
RESOLUÇÃO;
-
- .--v..
;Â;propo$ição "Os jogadores do Estrela Futebol GSube sãq: craques" pode:>ser-escrita também nà forma “Todos ós jogadores, dptE$íréSa Futebol Çlúbe^sâo craques" Por isso Jt negação dèssà frase utitszaf, o^quahtjficàdof .existencial e^jiegar a.fra$,e~
'
A negação' dessa proposição.é'Existe algum jogador do Estrela Futebõj Clube que nãoéç^que" ' ' - • „ '' ^ “ Resposta: letra C
"
9. (CESPE) A proposição “Nenhum pavão é misterioso1' está corretamente simboliza da por ->{3 x)(P(x) A M(x)), se P(x) representa “x é um pavão*1 e M(x) representa “x é misterioso”.
r';y *
; c,
I
.
i-
• A ;^^e ^^^c ã ^(P i^)'^!W (x )).'é 'lid á s c p fp ^ N e n h ü m Ravãô è^jgterioso!'.^, r '
" J' ' ’
JC
cferto'-'"^
£-
1 <- "V ' 'f '
' ' vt
y-
>r'
10. (CESPE) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense" é a proposição “Todos aqui são brasilienses.
«ESOLMÇÂOt " , c , ” ~ _ ** ~ ~ l'*’ j * r _ ‘j-A~'he9 aÇão da' prpposição "Ninguém aqui e brasiliense^e "Alguéçrç aqui é bra^ ^ - V - - ^ _r
58
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Wlar
Texto para as questões 11 e 12 (CESPE) Considere a seguinte proposição: "Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição, 11. À proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condénado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente á negação da proposição acima.
'RÉSOLjUÇÃQ:
r
'
'
A nêgãçâdxÍQ tercnp fWguéprt" é a expressão "aigyém" é a frase deve ser mantida. ; A negação"âéssa proposição* então, é ''Existe alguénrfque será considerado culpado .ou tondenado senrt Julgamento" s ’4
Item certo
M . “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento" não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.
■RESOLUÇÃO: -
.
^
^
_
A negação do termo "ninguém" é a expressão "alguém" e a frase deve .ser mantida. A òeÇáÇãp-dessa^proposíçãb" é, 1Èxiste"afguémt que sera considerado culpado .ou condenado sem julgamento"/ * « ^ r * - < c' |temcért<£v| - r t t< - j *
t
1
A
^
~
r
U
*
13. (CESPE) A negação da proposição “algum promotor de justiça do MPE/TO tem .^0 anos ou mais” é “nem todo promotor de justiça do MPE/TO tem 30 anos ou mais”.
V RESoCuçÃO: ! ['% èx|>fgssãaj"nem todo'rèigual a"algqm > não"
^ f o p ç ã c ^ ^ õ prqtfiotor d^jushça fle^RE/TQ tem mçpos de, 3 ,, ■'t ^ T /^ ^ i- " ^ « « ~+*’f ~ t ,7- . J t t f ^item ei+àckxr
Cap. 1 - LÓGfCA SENTENCIAL {_
-
_
59
-
GABARITO 01 - Certo
02 - Errado
03 - Certo
04 - Errado
05 - Errado
06 ~ Certo
07 - Gerto
08- C
09 - Certo
10 - Errado
1 1 - Certo
12 - Certo
13 - Errado
ARGUMENTO LÓGICO 1,
(CESPE) Considere que as proposições "Todo advogado sabe lógica” e 'Todo fun cionário do fórum é advogado” são premissas de uma argumentação cuja conclusão é ‘Todo funcionário do fórtim sabe lógica”. Então essa argumentação é válida.
RESOLUÇÃO;
/
'
••
•Todo •advoga^
-
Todo funcionário^^
-
••••
;.
' '
.
•••••••>•:: • . , .. -
.
, Logo, nossa conclusão deve conter a palavra todo. .^^^'álaVràtom um ê advogado.
(
_
7v / \
;;.’-TÓ:áo á^ydggdo sábe íógfcá.f _ - „ Tõdq-fà^ v.
do fórurn é advogado. :
i
'
"
_
iv .
"
'
“
.
Nossa, córstkísáo
1 Não esqueça que o termo todo tem relação de ordem! Por jsso essa preocupação com a posição dos termos que sobraram,
~
t.
t
;• Çortandp; a[palavra comum; -temos:' Todo^unoOnáriodofórum sâbel lógica.-v' -
Item íorreto.'
.
‘ --
2. (CESPE) Considere como premissas as proposições 'Todos os hobbits são baixinhos” e ‘Todos os habitantes da Colina são hobbits3’ e, como conclusão, a proposição “Todos os baixinhos são habitantes da Colina”, Nesse caso, essas três proposições constituem um raciocínio válido.
JRESOLUÇÃO: í - - _ ,
_
tk,Jodós o^ nòbbtts são baixinhos .
.
^
'
'
'
-í4 4 c
c
~ .*
Logo,nossa condusãç deye-,çontera palavra todo. '••A palavra comum é hbbbits. . íf -
^
-
- -
-
% jl
llltõ d o s os habitantes dà Coífná são hobbits. ^vTrjFV
'
, ,
~ - - <
~
^
-
.
- ,3
60
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vlitar
Todos os
são baixjnhos
.........................J
................ ?c '{ '
TociSs%SíjiàbitanteVHájíoiina-sãp
A/çpníiiisãp^e^á:Todos ps ha|?it§ntes da colina.sã.o baixinhas. *>c Item errado. ...J : *
. . -
... ,l .
J - — , ► * : - - ••
^ D íc ^ Não esque^^ye.a gá!ayra:t
3.
Suponha>se que as seguintes proposições sejam verdadeiras, i - Todo brasileiro é artista. I) - Joaquim è um artista. Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro", então a argumen tação é correta.
'••••* v .v a
>w
c
r
v
- ' ....
R g S O p Ç Ã Q j-
..
^
-v-v: ,r -- .
4
-v -
- /-
--
- -
- --
.
- -:
.
t . - r
.
..
>‘
Nesse-''çaso;^questão maisfécii ainifa, pois a-paíavra c^jrpum egçorttra-se ,aa, morria pò$i£|p( po finaf das frases, por isso sem reiá^ãÕ de' cortç (método. de coftar osrtecfhos-'ÇorDUos);,J . " " " - f* ’7 , "/ 1- * * ~~ x -c “ »?= .= v- * * x • i v' — \ *±itèíTt ^cràdp/. 1 _ ' i"’ ’ ' Cmdâãol 7 . z. ^ ~ Isso ocoí/ei^ porque Jo^qqiro pode, ser brasileiro ou não No diagrama* teremos
4.
(CESPE) Suponha um argumento no qual as premissas sejam as proposições I e li, abaixo. t 1
- Se uma mulher está desempregada, então, ela é infeiiz.
Cap. 1 - LÓGICA SEÍ\J7£NCJAl
r
6i
ii - Se uma mulher é infeliz, então, eta vive pouco. Nesse caso, se a conclusão for a proposição “Mulheres desempregadas vivem pouco”, tem-se um argumento correto.
RESOLUÇÃO: I - Se uma niujhe^est? desempregada,^então, eia.é infeliz. - : II v Se uma .mulher é infeliz, então, ela vive pouco;- •=
/: - -r
Corte as palavras comuns! I ii
urna mulher está .desempregada, então; eia-étfrfete.. :
_ ■.
.
- Se- uma mulher éinfeliz, então, ela vive pouco.
Sé uma mulher esítá desempregada/entãovive pouco.
. '
_"
Essa frase^pode. ser reescrita dessa. forma/Mulheres.desempregadas, vivempouco", item certo. ■>
Texto para as questões 5 a 7 (CESPE) Considere as seguintes proposições: i - Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. U - Joaquina não tem garantido o direito de herança. Iti - Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que: 5.
Joaquina não è cidadã brasileira.
RèspLU^Ãò:
'
:.V? \ ,
:
? -1
9
3
Joaquina; n? ‘tem ^direito:d$ hqtança, logo, nãaippdei ser ;pda
62
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viltar
pertence ao;.conjunto."direito.'de:^ f ^§ 0;*?perta^-ad'>cqnjunt0vfcidada0 . brasileiro! pòis-^iç-.^s^InséHdo-noxQnjUntP
"drfêitò ;dé-^èrança"
'
, \7íténfícerto^f'1
6 . Todos os qúe têm direito de herança são cidadãos brasileiros.
RESOLUÇÀO; ; €uicíado: Todo A é 8 5^. Todo 8 é A.
;
r tTqdos os.eídadãos brasileiros têm. direito de herança" não permiteessa conclusão: "Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros" :;1- 7" . :7'. Itemèrradáü_ *
7.
'
•
. - ■-
Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de mufta sorte.
RESOLUÇÃO?
'
' J
-
; ; ^
-
X.
i Joaquina nâo-tem direito de herança1garan tidó,íògô-é pode sef uma cidadã de muita sorte ou não - r :. item errado ’
8. (CESPE) Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma 1. Nenhum A é B. 2. Todo C é A. e a conclusão é da forma "Nenhum C é 8 ”. Essa argumentação não pode ser considerada válida.
RESOLUÇÃO^ * j "H»' í» < - *
^>
i
T* *** ■-V * A frase^ife po~ssuro fêfrrto^todo" deve terminar crom o-"termo comum" (palavra ou expressãj$^ue', £ repete- rtasí delas frasesr^ue formam as premissas). ' t-’* ■>*
5
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
63
Nessé çaso, temos "Todo C é Â", terminando com o termo A, que é a palavra co mum. ,v 'v
•
1.Menhum Á é B .
•
•
• •
:
•
/
í -
'■■■
•./
•
2 .To d o Ç é A .V : .. -r:; ' í Y - Y - Y ’; •'
•
•
ConcíusSo: "Nenhum B é C" óü " Nénhum C é B" O
argumento é válido, mas a questão informou o contrário.
item errado.
9.
(CESPE) Conslderando-se como premissas as proposições “Nenhum pirata é bondoso” e "Existem piratas que são velhos”, se a conclusão for “Existem velhos que não são bondosos”, então essas três proposições constituem um raciocínio válido.
RESOLUÇÃO:
•
.
"Nenhum,piràta.é bondoso" "Existem piratas que são velhos*
"Nenhum ptrátà é bòndõsò"
• ‘v ?;
"Existem piratas- aue são velhos"! .
: :.
Na frase que contém o termo “nenhum" sobrou o termo "bondoso" Nesse caso, fica "não bondoso'! Conciusão:; Existem velhos, que não são bondosos.
Item certo.
Texto para as questões 10 a 12 (CESPE PF-2004) Uma noção básica da lógica é a de que um argumento é composto de um conjunto de sentenças denominadas premissas e de uma sentença denominada conclusão. Um argumento é válido se a conclusão é necessariamente verdadeira sempre que as premissas forem verdadeiras. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno W/ar
64
10. Toda premissa de um argumento válido é verdadeira.
RESOLUÇÃO:
,
'
Err£dp;pQTs poç&tpo$ ter premissa verdadeira e conclusão falsa. Nesse caso, o ar gumento n?io será valído.
11. Se a conclusão é falsa, o argumento não é válido,
RESOLUÇÃO: Errado,.pois podemos ter premissa falsa e conclusão falsa. Nesse caso, .q argumento será válidov .■. ..v_.-
12. Se a conciusão é verdadeira, o argumento é váiído.
.RESO^iíÇ^Q:;;
- X-:::1-
:
/
.
/--v..
Certov Sè a conclusão for verdadeira, independentemente cia.premissa, teremos um ......... v . ; ãrgugientp.-yáíido. • ' ‘
13. {CESPE - adaptada) É correto o raciocínio lógico dado pala seqüência de pro posições seguintes: ~ Se Maria é alta, então José será aprovado no concurso. - Maria é alta. - Portanto, José será aprovado no concurso.
RESOLUÇÃO: . r .--
'
Prèn)íssas;;
•
;
•••;; • ••
•
•
•
•
'
Se Maria for alta, então José será aprovado no concurso. Maria é alta. ••y , v.....• ■' • ,
......... . . . . . . .
..
........
Vamos considerar que as premissas são verdadeiras.
.. .
•..'L? Se:Maria,é:alta;. então.José será aprovado no conçursa.(V)
2.® iyíarja é'alta. (y) . ■-/ w . / . - • * ÍW . Qbserve qu^rgfoppsiçãò "Mar/a é aita" -ápareçe também riaifrase 1 , "■ ' Se~ iVlan^1! ^jtà^^tãò^osÊ*s"êra^aprr ôy^>'jrÍ 9" concurso.. ( V p - - 1 ,
v~ti ■»
u v
^
_
'w
. ; .
J*
"*
V
Qual deverá ser ó" valor da proposição "José será'aprovado no concurso"?
‘
*
. A -
'
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCiAL
09
í , Na condicional, temos W — V e VF - E A frasg-l é verdadeira, então obrigatoriamente "José será aprovado no concurso" deye. ser verdadeira * A conclusão do enunciado ç José ser4 aprovado no çqncursp. Nesse caso, -^ con clusão é yerdadeira, iogo um argumento'vaitdo. Questão certa,
14.
(CESPE) A seqüência de proposições abaixo não é uma argumentação válida. 1. Se Fiiomena ievou a escultura ou Silva mentiu, então um crime foi cometido, 2. Siiva não estava em casa. 3. Se um crime foi cometido, então Siiva estava em casa. 4. Fiiomena não levou a escultura.
■ RESpLUÇÃQ:' ;>•; '-Ó; 7 . ; .
•r \ '
V :;' •
. As. premissas são as frases -1, 2 e -3 e a conclusão, é a frase 4, a última frase da se-:-. f
Ií v‘i
-■*\\%' X:
^
í-5
5áV
tÍ-t
;
Considerando as premissas verdadeiras, teipos*
«
1 . Sç. Fdonjena levou a^esculturâ ou Silva mentiu, então um crime foi cometido. (V) 1 ' -< 1 >,
2. Silva não estava em casa (V) ..• :3:.Se; ^xnme;íqi:.çom etí^
;e%çasav:{y) ; ; ; . v
1.° degrau: Siiva não. estava em casa. (V>
.
:.u•
^. '
A frase 2/é s base para Iniciar o processo de.escada/pois trata-se de uma proppsjçãQ simples. •
2 «-degrau:.Repetição,da propó^içãpjç; 1 i?-;;degrau. Se um crime foi cometido, entãó .Siivá estava em casa. (V) F
- ,
íf)
- _
‘
‘
Nesse caso, a proposição.“urir\cfimeiol CQmetído'/deve ser.faísa/porque nacondtqonal VF s= $ e FE - V. ^âo'esqueça que a frase 3 deve sçr verdadeira
66
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bmno Viílar
>
Gajo.íajiègu^da proposição,é falsa e p o r tsso óbriga a*primeiravproposição 1 Fjloméni Jevou ã escultura ou Silva mentiu aser íal$W&embre-se de qué a frase ^ Jvj{êye%rC$e(datfeirà - ~ -'1- ^ „ " f " í é faisã ^ ò a n d b ^ b ã s ásfrajes sâófalsas/íogor '* , ,
Vrí
fels^NovConeetiva^ou* 'a^frase .-só.-: ' 1
, Fiípinenã levgu a escultura (F) e Silva mentiu (F)., • -■■• : A conclusão do ènuneíado é Filomena não levou ã escultura. Temos uma conclusão ^verdadeira, logoi um argumento válido. Questão errada, pois afirma que o argumento não é válido. ^ SE LIGUE!
^ v
: O processo da escada .é.uma relação de,,interação entre ás proposições. ; - v.
1
i
{4
p ;. .t? degrau a proposição base»-.{^Ijjrorçfè^urcre--,proposfçfQ.slmçjes vou uma proposição há cortjunçãa •'.
j .2.® degrau; 3.®
degrau até o último: é a repetição da proposição do degrau ante»
15. (CESPE) Assinale a opção que apresenta um argumento válido. (A) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e nâo me:senti disposto, logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem. (8 ) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu. (C) Se ontem ichoveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio. Logo estamos em junho. (D) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, íogo segunda-íeirà nâo será feriado.
RESOLUÇÃO:1
-
'
;
'....{-Vamos começar pela letra Al i
Eremissas:
'
, *, ~ . r
-
^ \ S e estudo/ obténho boas.notas.- (V)
«
. -
•'
' '
. -
r
Se me alimento bèm, me linto disposto. (V) , .i/' *•-; . í - *1 i «' '-‘ J i ,3.°Dntetp estudei einãa,mer enti*disposto. (V)J \ >> f , ; „ '-}> , \ v V “■ 7í"5 *J 'k.X' 1 t/ 1 i}’ T» ' -'7'?'' '> - ' „' , \ir.i>AnArali/rt#íÁ,ríâwa‘ifir l!à<í«aV«íi«tarÍA«^ti^1f,a:AfA»>Ae{/*5rt^kíÉ'a^ i
5
•- ' ' ti
Cap. f - LÓGfCA S£NT£NCÍA(.
r
67
' Na frásé 3; temos apenas umã possibilidade de. verdade. A tabela dâ conjunção " , :p.ossüf-.apènás u m a llnpayefrfadefrã.\; ^-; .;; .
'■A1^ 'degráuri.Gntérri estudei è hãó^rne senti;disposto.' . . . / •Temòs‘á^e^üínte’condusâo^Ò jfi^^^w çíér é V e "Não me sçntí disposto" é V. ;
2.6 dégrawjèmos duas possibilidades; pois. temos, duas proposições bases. Se. me alimento bem, me sinto disposto. (V)
-
Não se èsqyeça de que na condicional VF - F e FF - V. Por isso, ficamos com a opção.# = V..A . •: v í ,•> :. 3.° degrau: A. frase restante.
•
Se estudo, obtenho boas notas. (V) ,
V y
.
V '
: •
•
Não. se esqueça de que na condicional VV - F ,e VF = V. Por isso, ficamos com a . opçâ.o VV = V;, . ■^^pgó, a nossa conclusão ê verdade/ra e témós un) argumento ^Td o . . ;' •Resposta:.jètra A. ...' :V
,A A =
' v ‘-‘
'""
Texto para as questões 16 e 17
Nos diagramas acima, estão representados dofs conjuntos de pessoas que possuem o diploma do curso superior de direito, dois conjuntos de juizes e dois elementos desses conjuntos: Mara e Jonas. Julgue os itens subsequentes tendo como referência esses diagramas e o texto.
16. A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira.
RACiOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMEMTADAS - CESPE - Bruno Viíísr
RÉSOJLUÇÃO:
“^ <
é,íprm|ífe çm.dn«*W" e V "Marafpao, e jMÍ£§ ‘ é Vt pois Mata está fora do conjunto "juizes7' "iybca'!é-forrnada^em-^íratO:e:é/jyÍ2al ”Jí« -V F '» F jvíã conjunção (e) a expressão VF - F. Itèrrí errado;: v/-;V
17.A proposição “Se Jonas não é um juiz, então S/Iara e Jonas são formados em direito” é falsa. Julgue os itens seguintes, acerca de contagem & probabilidades. - Jonas é um juiz. - Mara e Jonas são formados em direito.
RESQLÜÇÃO:
-
- Se'Jonas- não eum.jujz, então Mara
Jonas são formados em direito"
Na i;on$aonaJ FV = V. Item.erradç}......... ....... ...
18.
............
.......
.
(CESPE 2009} Um argumento é uma afirmação na qual uma dada seqüência finita - p 1 , p 2 ,..., pn, n > 1 - de proposições tem como conseqüência uma proposição fmai q. A esse respeito, considere o seguinte argumento. - Ou Paulo fica em casa, ou ele vai ao cinema. - Se Paulo fica em casa, então faz o jantar. - Se Paulo faz o Jantar, ele vai dormir tarde. - Se Paulo dorme tarde, ele não acorda cedo. - Se Paulo não acorda cedo, ele chega atrasado ao seu trabalho. Sabendo-se que Paulo não chegou atrasado ao seu trabalho, de acordo com as regras de raciocínio lógico, é correto deduzir-se que Paulo (A) ficou em casa. (B) foi ao cinema. (C) fez o jantar. (D) dormiu tarde. (E) não acordou cedo.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
RESOLUÇÃO; Urn argumento é formado por premissas verdadeiras e conciusão verdadeira. Oú Paulo'fica em casa/ ou ele v$i ao cinema. (V) Se Paulo fica em casa, então faz o jantar’ (V) SelPauíb fài o. janta r,-eie :^
tarde. (V)
..
Se .Paulo dòrme tarde, ele não-acorda cedo. (V) Se Pauio não acorda cedo, ele chega atrasado ao seu trabalho. (V) v Frase base: Paula não chegou atrasado ao seu trabalho. (V) 1.? degrau:; Se .Paulo nâo acorda cedo/ele. ctiega atrasado-ao seu trabalho. (V)
Na condictonal-Cse- então) VF ?= F e F F - V . Cuidado, a frase é verdadeirarentão a pro p o s iç ã o .^ acorda cedo" deve ser F para a proposição condicional ser V. 2.° degrau: Se Paulo dorme tarde, ele não acorda, cedo'.."(V) ■
:•'"I;
A proposição “Paulo dorme tarde" deve ser falsa ,para manter a condicional verda-
' 3.9,degrau; Se Pauio faz o jantar, eie vai dormir tarde, (V)<
A proposição “Paulo. faz.“^jantar" deve;- ser falsa para:manter, a condiejonal verdaí deira/ ~ . 4.® degraurSe Paula fiea enn: casa; então faz ©'jantar, (V):
. . .
A proposição/Paulo fica em casa? deve ser falsa para manter a condicional verda deira. 5.° degrau. Ou Paulo fica em casa, ou ele vai ao cinema. (V)
No "ou", FV = V e FF = F. Logo, a, proposição:■f,Be. vai ao cinerpa^.deve.serV, pois a proposiçãò-composta dev<5 -ser V, ’ ' 1» ' ■&-Í' * ' ~ " ' ~' r - i ffResposta: letra . > r.:< r.
8
70
RAÇIQClNIO LÓGICO ~ QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Wtar
Texto para as questões 19 a 20 PVQ -iP
pvq ->Q
P-> Q P
P-> Q
Q
P
Q
->P
I
II
III
IV
As letras P . Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da iinha tracejada), dedu2-se a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada). Os símbolos são operadores lógicos que significam, respec tivamente, não e então, e a definição de w é dada na seguinte tabela-verdade. Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se se guem, quanto à forma de dedução.
19.
Considere a seguinte argumentação. - Se juizes fossem deuses, então juizes não cometeriam erros. - Juizes cometem erros. Portanto, juizes não são deuses. - Essa é uma dedução da forma IV.
RESOLUÇÃO?
r _
Nessecaso, devem osobservar seasfrasesseguemopadrãodataBeia, Frasel:Sejuizes'fossemdeuses/então^iafees-nãocom eteriamerros^ • < P
Q ,
Juizescom etemerros. '
• ........... '
••
Portanto; juizesnãosãodeuses* ^P' i - : l" '■ ■ ""--v-" Asfrases,m antêmO ' padrão,daform aIV.’
1.'p -V q ‘ 2.
'
3.
'■
"
■■ ;
...
.^ \ -
' y ';;
^
'■
pp
IÈss^fòfm â^é"ígúál'àfórm ã-ÍW ^a^jtãbeíáfofoedtíapefaquestãct ‘ ? ; ■ • y-fterri certó.. 'V<í
)
V ; :'$£■■■ - -
. ‘St*V; "-V: • ' '
.
-
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
71
f 20. Considere a seguinte dedução. - De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma moto cicleta. - O réu roubou um carro. - Portanto, o réu não roubou uma motocicleta. Essa é uma dedução da forma II.
RESOLUÇÃO:
.
''•V
\
De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta.
p v QíV" :
■.’■
p
O réu roubou um carro, RV- ,tv* '
.v
q
'
-v
Portanto, o réu não ròubou uma motocideta. (-iQ) Forma: 1. P V Q
2. P
;
'
\ ' -‘ "
'
.
' •- '
; . 7 ;..
• ••••••••
'
.
.
.
.
' ' . V ; . ' " "
;|pssa forma é diferente da forma i! da tabela fornecida pela quest|a 'llfem erràdo/;- ^
: -
/ ' ’
■
' ‘- - ' V -V''
:r
21. (PF 2009) Considere as proposições A, B e C a seguir. A : Se Jane é policial federal ou procuradora de justiça, então Jane foi aprovada em concurso público. B: Jane foi aprovada em concurso público. C ; Jane é policia! federal ou procuradora de justiça. Nesse caso, se A e B forem V, então C também será V.
•RESOLUÇÃO:;....
: ;,..7
:r
■'
A dúvuaa deve ser tí qúè 'aquestão- e ^ bedinãa yamos |áV: . .
■■ .
.-
A questão, está informando que, se A e B são V, então podemos concluir que G será V. Frase, base:/B:Jane.ífoi:aprovada ern concurso. püblíco..;(V).,r.v.
. " .
Se Jane évpqitciaf-federaí ou prqGur^çiora de- justfça;.èntãó;Jane foi aprovada em &n£urso público.- 1 < " poú’ y - t -> ~ V í^^fop Q siçã o^C pòdé sèr'FÍou^ pois na" condicional FV = V e W ^ V .
“
:
Nessè caso/sendo-A e B-verdadeiras, não podemos"afirmar que C será verdadeira, • . item" errado-. - - “
~
r
'
.9í.,'
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viiiar
72
22. -
(PF 2009) A seqüência de proposições a seguir constitui uma dedução correta. Se Carlos não estudou, então ele fracassou na prova de Física. Se Carios jogou futebot, então ele não estudou. Carlos não fracassou na prova de Física. Carios não jogou futebot.
RESOLUÇÃO: Uma dedução.correta £ uni argumento válido,, para o grgumento ser vélídoideve se
Prensas:
;
Se Carlos não .estudpu^.entãp ele fracassou na prova de Físiça. . Se Carlos jogou fútébòi, entao e!ç nàQ estudou.
......
Carlos não fracassou na prova dç Fisjca. Conclusão. Carios não jogou fytçpçi As premissas sempre são verdadeiras!
\
^ ••
•; Se .Carlos.não?estudou;:então-eiçfracassou na-prbV^ dVfísfóa!. (V) ' ;
' Se Carlostjogouvfutebol/então eíe não1estudou. (V) Carlos não..fracassou- na.proya,dg £uj|í^.LYL„-.
'
:
. .1..
;Frase base: Ca.rlos nãO' fracassouTna prbv^de BísiS. (V)
'' 1;':' ‘ *V;
1.° degrau: Se Carlos não. estudou, então eje fracassou na prova de Física. (V) ' F
............ ...
■ '
•' F.-
'
;
’■ ■-
Na condícípnal FF — V e,VF ~ F. Logo, a proposição "Cario? não estudou" deve ser uma proposição falsa, pois a fràs^ condicional'devè sér V: ’ “ > - 2»?
3
^urna.^çroppsi^o fajs^j^ofs-á frase condicional deve ser V. " . ' ’> ’' , 7 ' ; ~ ~: A çpnclusão ,é: a. fqsâJ.Çàrio^ n|o jpgou- futebol" e essa prop.ósíçãç é^verpadesra, ' então.te^os urjria ded^çâo/cprteta (premissas V e conclusão V ).;' J - „ , lf§m~certóí
^
~c
' \
;
‘
-
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
r
73
GABARITO 01 - Certo
02 - Errado
03 - Errado
04 - Certo
05 - Certo
06 - Errado
07 - Errado
11 ~ Errado
12 - Certo
08 - Errado
09 - Certo
10- Errado
13 - Certo
14 - Errado
15 - A
16 - Errado
17 - Errado
18- 8
19 - Certo
20- Errado
21 - Errado
22 - Certo
QUESTÕES FINAIS (CESPE) Para preencher a tabela a seguir, considere que os fiimes A e B sejam de categorias distintas - documentário ou ficção e, em um festival de cinema, receberam premíações diferentes - melhor fotografia ou melhor diretor. Tendo como base as células já preenchidas, preencha as outras céiuias com V ou F, conforme o cruzamento da informação da tinha e da coluna correspondentes constitua uma proposição verdadeira ou falsa, respectivamente.
documentário .{.i-1 füm eA filme B ; meihor fotoqrafia > meihor diretor
ficção
)
meihor fotografia
meihor diretor V
F
A partir do preenchimento das céiuias da tabeia e das definições apresentadas no texto, juigue os itens subsequentes. 1. A proposição “Q fiíme A é um fiime de ficção” é V. 2. A proposição “O documentário recebeu o prêmio de meihor fotografiaou o filme B não recebeu o prêmio de meihor diretor” é V. 3. A proposição “Se o filme B é um documentário, então o filme deficção re cebeu o prêmio de meihor fotografia” é V.
RESOLUÇÃO:
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viliar
74
y}£ctf|cluáláf
»
/V
.vôííitmévB^an^Qu-ovmélhorvdrretôr, pois fiime B ./ meihpr diretor é V. ip ^ c S ü á e fítá ^ o íV ã ^ a n h o u o IrselboF/diretoo.pois: meihor diretor / documen tário é V r ' ’ /; ' t , - v : : i- ^ ' ^orrdüsãolfinsjl*" ^ , >-
’1 1
..•»•
J -n l 1" »»
-A ^ k^ir r./v<-r -_'■>w-
~ .. . r». ,
r ^
.•*"•
^ilm feA^fnelhor fotografia ^ filme de documentário.: i - - _ ,1 í ^melhor, diretor;^'filhie de ficção.
"_
“
■■.
. .•/•; .•
..
1., A proposição "O filme A é um filme de ficção1’ é V.
C ,
i
’ ^ H f rh e ^ r é ‘árn'*filmè*dé documentário.' Iterü érrádo.
2, A proposição “0 documentário recebeu o prêmio de meihor fotografia ou o fifme B nâo recebeu o prêmio de meihor diretor” é V.
vi RESOLUÇÃO: *'
—
~
% .
-
>’"
J
-
*
. 1Q documentário; recebeu o- melhor prêmio de fotografia é V. < '
<~
3 -
3. A proposição “Se o filme B é um documentário, então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor fotografia” é V.
Gap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
75
Texto para os itens 4 e 5
V
F
F
F
F
Clóvis Sílvia
| quinta-feira i
F
1
quarta-feira
licença
F
0
HIA O ifi
J terça-feira
"D
contratação
Em um tribunal, tramitam três diferentes processos, respectivamente» em nome de Clóvis, Sílvia e Laerte. Em dias distintos da semana, cada uma dessas pessoas procurou, no tribunal, informações acerca do andamento do processo que lhe diz respeito. Na tabeia a seguir estão marcadas com V células cujas informações da linha e da coiuna correspondentes e referentes a èsses três processos sejam verdadeiras. Por exemplo, Silvia foi procurar informação a respeito do processo de sua licença, e a. informação sobre o processo de demissão foi solicitada na quinta-feira. Uma célula é marcada com F quando a informação da linha e da coluna correspondente é falsa, isto é, quando o fato correspondente não ocorreu. Observe que o processo em nome de Laerte não se refere à contratação e que Sílvia não procurou o tribunal na quarta-feira.
F
Laerte terça-feira
F
quarta-feira
F
quinta-feira
V
F
Com base nessas instruções e nas células já preenchidas, é possível preen cher logicamente toda a tabela. Após esse procedimento, julgue os itens a seguir. 4. O processo em nome de Laerte refere>se à demissão e ele foi ao tribunal na quinta-feira. 5.
É verdadeira a proposição "Se Sílvia não tem processo de contratação, então o processo de licença foi procurado na quarta-feira”.
REÇOLUÇifo:
; .V
-/.^Urneiro.'vamos descohrirtodas ás, tnfgrrnações :da tabela •para ;í||í|gís resolvermos ièí£ttens-.4..é‘s. .; 0' . .
RACiOCÍNfO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viilar
76
■,:Xpnc|és'ão-das- informações da tabela:
• v ;.;-
- ;'í^intâ-fê|r^'^ ■ 'd emissão''eV . . ■
- w ■-
.■
fo g frá ^g ^/ll^o ^-j^g o ,. Uectefbusçou a..coojtrsçã.Q.
■
. <.
..XoncÔ4râ9 lfji$ C •/"’* r . .• ^ . ■ Sílvia':lieençâ;~.Ierça-feír^-{quarta não-foi porque:'na;tabela é F e quinta é quem ■ ;pègou á cjémissao) ‘ . ^ r r ‘ ^ .-r- ,-v ■■ v ^ y ( ••.."•<• ‘' Lãfei^e^çohtràçãò. Sílvia). ClÒvis
quáVtarte|ra ^(qúinta-Teífa ;e. dá?dejnífsãó^; teF^-fèirá. éVde -tX : .'
ciémíssão - quinta-feira: '
' ‘ ;
: 4, O .pfòcesáo em nqmç de Laerte refere-ses demissão e ele foi ao tribunal na quinta-feira. (* .. .. . . v RESOLUÇÃO: l.tem certò. ■
•y; ■-•••-- — •rrr-'-.;
.•'x".. "
;
5, £ w d a d ^ | | jr o g g ^ ^ S | ^ ..^ .^ o processo deUcença foi procura do;Qa çjuarta-feira". RESOLUÇÃO: .Siívia
~
{
então
>
vtem processo.de contratação. {)!)
-r ■
.
■v :
O processo de licença fqi procurado na quarta-feira (F) Na condicional VF = F. item errado.
6. No fluxo grama Ilustrado abaixo, as instruções devem ser executadas seguindo» -se o fluxo das setas de acordo com a avaliação da proposição que ocorre em cada caixa ovai. Nesse caso, quando A e B têm vaiorações contrárias, a execução do fiuxograma termina em NEGA.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
RESOLUÇÃO;
77
.
A e B-tém valorações contrárias.
1 ? opção: A - V:eB. =?' F. -
■
: .
'
Na fórmula A V B, temos Vf - V (na disjunção VF-.==V).\
-
Na .fórmula . A - i B , temos VV = V (nã çondígonal VVf = V). ' • 7 s. - ; ";
Ç íiid a .d o :'^ ''^ ¥ / 'f^ -B ;^ R r
Nessa 1* opçãpj o resultado é V, ou seja, o fiuxograma termina em NÇ^A-, . . .
2.a opção: A - F e B ?=V
■'; * ; ' v
Na fórmula A V B, ternos FV = V (na disjunção FV ~ V). , Na fórmula A
v ;'1'
■' .. -
~*B, temos FF = V (na condicionai FF = V}.
Cuidado: ^»B == F, pois B =* V.
. . .
■•.
v....; v v r . ^ v •
Nessa 2.a opção, o resultado é V, ou seja, a flúxograma termina em.wfÇÃItem certo. ''
.
Texto para os itens 7, 8 e 9 Considere que cada pessoa cujo nome está indicado na tabela abaixo exerça apenas uma profissão. Se a céiuia que é o cruzamento de uma linha com uma coluna apresenta o valor V, então a pessoa correspondente àquela linha exerce a profissão correspondente àquela coluna; se o vaior for F, então a pessoa correspondente à tinha não exerce a profissão correspondente àquela coluna. Assim, de acordo com a tabela, Júlio é administrador, Flávio não é contador nem Mário é técnico de informática.
BtÊKKSÊÊ
Wi
Fiávío
F V
Júlio Mário
F
Considerando as informações e a tabeia apresentadas acima, é correto afirmar que a proposição 7. “Mário não é contador ou Flávio é técnico em informática” é V.
8. “Flávio não ê técnico em informática” é V. 9. “Júlio não é técnico em informática e Mário é contador” é F.
78
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
RESOLUÇÃO INICIAL:
.
Jülio - administrador (V) • .• J ■••••.. •'pMMjf^|éct^^eilflferTnática é F, jogo, Már.to é o contador, poiS‘ele não pode ser :^ :^ d rô m (s iá é i^fò lto )j. ‘t -■■ ■ . .•? • • • >/•• % » r , . , . .. ••• •.- ■>- . -. r .. -l^ V ío Mecpieo de informatica ,
7."IVIáno não e contador ou Flávío é técnico em informática" é V. ;: RESOLUÇÃO:'
r
Na disjunção FV = V. item certo.
•. : . •. -
‘
■.
v; v ■■■■;'.■.;
■
8."Flávio não é técnico em informática" ,é V. , ’ RESqLUÇÃÕ:
^
:"-7 ‘
'
Fiávld é técnico em informática é V. Item e[raéj;ò. * * r
;
:.
■
‘
: 9. "Júlio não é técnico em informática e Márioé contador"é F. i
RESOLUÇÃOÍ
........
Ná conjunção (e): FV = F. Item certo."'?
" ' 'j&.
..
\
. *■
;
.
No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond ; Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo . distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos : enigmas de; SmuMyan. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, : quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, ; : mas, quando carrega á ficha preta, fala somente verdades. : Com base no texto acima, julgue o item a seguir. 10.Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz "Nossas fichas são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.
RESOLUÇÃO: t7ti Resúmo
^ Bola branca
verdade
' Bola prètá - m entiraÇ
2
.. a .?..pçssqa ;••,..
Bola branca ~ mentira' . BÓlá pr e t a v e r áa l é
/•.
Cap. 1 - LÓGICA SENTENCIAI
r 1.3suposição:
79
•••.•
A primeira pessoa carrega uma bola branca, logo, a sua afirmaçãoé verdadeira. Á primeira pessoa diz "Nossas fichas não são-da mesma cor".'
Corpo essa afirmação é verdadeira, por hipótese, então a segunda pessoa deve levar • uma boja preta.
2
• .a suposição: '
-
;:
•
.
A primeira pessoa'carrega urna bola preta,, lago, a sua afirrnaçãqéfalsa. • A primeira pessoa di.zfNossas fichas r?ão são da mesma cor".
■
.
: Como esta afirmação é falsa, por hipótese, então a segunda pessoa deve levar uma bola.preta. . ;•••' — ' •
..
EnV ambos os casos, a segunda pessoa carrega a bola preta, lògo, ela está dizendo a verdade. . Item certo.
...
'■
• .
11, (TSE 2007} Três amigos - Ari, Beto e Carlos - se encontram todos os fins de semana na feira de carros antigos. Um deles tem um gordini, outro tem um sinca e o terceiro, um fusca. Os três moram em bairros diferentes (Buritis, Praia Grande e Cruzeiro) e têm idades diferentes (45, 50 e 55 anos). Além disso, sabe-se que: I - Ari não tem um gordini e mora em Buritis; II - Beto não mora na Praia Grande e é 5 anos mais novo que o dono do fusca; íti - O dono do gordini não mora no Cruzeiro e é o mais veiho do grupo. A partir das informações acima, é correto afirmar que (A) Ari mora enrs Suritis, tem 46 anos de idade e é proprietário do sinca. (B) Beto mora no Cruzeiro, tem 50 anos de idade e é proprietário do gordini. (C) Carios mora na Praia Grande, tem 50 anos de idade e é proprietário do gordini. (D) Ari mora em Buritis, tem 50 anos de idade e é proprietário do fusca.
-
FlESOLUÇÃO: /
;
j
í - Ari não tem um, gordjni e mora em Buritis. Conclusão: Ari mora em Buritis e tém um Sinca.ou üm F u s c á Y 1 J-V • ••;í • r.:-. ..
*‘
BetonãòrnoranaRraiaGrande e é 5 anos mais novoque Jpdono do fusca; ■•M&eíò-.não morá na .PrâiáTGrande, Jogo mora em Buritis ou. cruzei^córno-Ari mora ' ^ B u r it is . ? : v- ^ ^ . Conclusão: Beto mora em Cruzeiro, possui um sinca ou o gordini.
RACIOCÍNIO LÓGICO-QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vilíar
80
1H ~ ó ^on o^óg ordin t não mòra no Cruzeiroe é o' m á i s d o sjr.upò; > O ^orjòrdo gordinit^ão rt)'pra'no Cruzeiro, cprpo Beto;|ppf^ qessai.çi_dacj§ e possui, . ;yjrp;§íf)‘ç3 pu gordínf,;éníãp;peia.afirmaçao ele nap pòdeter ynf g o r & i n i . > r■ ; ■:Çónc{usãp:'Beto possui um sinca e tem 55,anos. ííÇ^O^fesãp finaky -=-;
,\
‘
;
\
•'
;.A rirn o r^
50 a n o s . ■
...
'
i ;
. . .
Bètp''mor9’nP%]jzeirpV-pPssüÍ;úm síncà^é te!T>.65:anqSi Çarlos mora ,çm)p{aíá: Grande,] possui úna- gpjdin.i e çem 45 anos; : Respbsia: létó-D. '
' ' - ' T‘
y
12. (PF 2009) Considere que um delegado, quando foi interrogar Carlos e José, já sabia que, na quadrilha à quaf estes pertenciam, os comparsas ou falavam sempre a verdade ou sempre mentiam. Considere, ainda, que, no interrogatório, Carlos disse: José só fala a verdade, e José disse: Carios e eu somos de tipos opostos. Nesse caso, com base nessas declarações e na regra da contradição, seria correto o delegado conciuir que Carios e José mentiram.
RESOLUÇÃO:
,
t yerçiaplp ^
*•;*.*« c & r.sitè
&>■:?*.< ak»y*'
T V .’. '::
a verdade.
faia a verdade, a a^r0àç$o-àè^ú^$-0-:Veíd^deltâS r. : Logo/Cràrlos e José falam a verdade.
'
José disse:'Carlos e eu somos de tÍR^s opostos.
i
;
, ■ y .. . - . ^
5
- Ê s è i - f a l s a e çontradiz ^ a f i f n j a ^ Q ^ , . ^ r ^ f.: iM#..^fira^lqjj^.os>c|çtÍs falam.a-verdade^ ■ ■.■■■■ 2* situação: Carlos mente.
:
Carlos disse: José só faia a verdade.. .-..
- •
CpBelusão^p5é t;arnbém:fa1aiumawmentira^a afirmação de. Carlos e .mentirosa. .. Lpgo, Carlos e José mentem ^ ifâfvZMWé&gZQj.! S í ã M & s $ f í r S A f ;r -
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José disse: Cario? e eu somos de tipos opostos. ..v " ^
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>, f
A afipmaçao da Josç é falsa,.! então, ess$ afirmação não 'contradiz a afirmação de
Gap. 1 - LÓGICA SENTEMOIAL
r
81
GABARITO 02 - Certo
03 - Certo
04 - Certo
05 - Errado
06 - Certo
07 - Certo
08 - Errado
09 - Certo
10 - Certo
11 - D
12 - Certo
01 - Errado
j
ANÁLISE COM BINA TÓ RIA
PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM {BB 2009 CESPE) Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 1. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.
RESOLUÇÃO:
.
- -
-
- ■-
A-escolha, das equipes ê livre.
-vc..
*
4
,
.
;Nesse^asQrteFnbs.um3Tsucçssão'deescoih3s(1 ;3-:equipe; depois 2^equipç%depoisí' • à 3.â eqüipe. _ ~ r V ~ *J- ~ "> , - ' posiçãõ: 5c (equipes para^escolhas)
„_
-
í
•v.-23"posição: 4 equrpes (pois úm* equipe ficoü'com a príméirâ posição)'
"1\
3.a posição* 3 equipes Resposta: 5.4.3 - 60 pçssíbilidades. _ Item efrado.
v'
'
'
_
'
2. O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.
i'»*fémos.;testiTção ^lâ^grinlêirârpbsíÇaò*;cjúé'dèvè-sèV a ^Írí1**- ^ ii-\\ I a posição J(a e g u ip fe A ie p n m e ira ^
*
J~
- 'f-~
,
_
v; '
-
ê
q
u i \,íV ■
ç
e c ./v
.w
quantidade. (Jev^colha-;0 ).--:'-\
1
.................. ....
■. ,A- v
84
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno W/ar
1? pjp$Íção: 4 çquipes para escolha
-
3.’a“j?osjçâQ: 3 equipes para escolha
-
. -
>
Rçsposta: 1,4.3 = 12 çscoihas. IfênreFràdo.
3.
‘
>
Se a equipe A for desclassificada, então o totai de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24,
, r.:; \ .
- RSSÕiÜÇÂOí^
•
V
Nesse; ca.so, se a,equipe A for..desclassificada, 'sobram 4 equipes.
1.? Rosição::4 equipes para escolha
:
.• . .
2.a posição: 3 equipes para escolha 3.a Posição; 2 equipes para escolha
_
^
Resposta; 4.3^ ~ 24 pQSSíbiliclacies: ' : ' ~
:
r
^
-A -
- - - o p - sz.
; . ^ ;y
(CESPE BB 2009) Com relação à lógica sentenciai, contagem e combinação, julgue os itens a seguir: 4.
Em um torneio em que 5 equipes joguem uma vez entre si em turno único, o número de jogos será superior a 12.
RESOLUÇÃO:, -
‘ — : --
~
Escolha da primeira equipe: 5-
,
Escolha d$ segunda equipe: t4 ~
5.4
'' -,
^
,,
= 20 possibiltdádes'-de jogos de ida.en/o^a.^
*
-
Cuidado; a guestão quer somente os jogos de ida, logo, 20* 2 = Item errado.
5.
'
'y
v
^
10jogos de ida. ' "
(CESPE MPE/AM) Ao iniciar um videogame, o jogador dispõe de uma teia onde pode selecionar de 1 a 4 jogadores, outra teia onde pode selecionar de 1 a 3 níveis de dificuldade e, por último, uma teia onde pode selecionar de 1 a 3 velocidades para o jogo. Nesse caso, a quantidade de formas distintas de se jogar esse videogame é superior a 25.
.Cap. 2-ANÁLISE COMBINATÒRIA
2
85
3
•./ A escolha:' {quantidade.de^nív!eiS:'do jogo);..... ;3.®^cofKãrà;^^èiocidaàedõjògo);"' Resposti'4.3.3: - 36 po^síbjIidades,çl^- escolhas.. item certo. '
(CESPE TR E 2009) Em um restaurante que ofereça um cardápio no qual uma refeição consiste em uma salada - entre salada verde, saipicão e mista um prato principal - cujas opções são bife com fritas, peixe com purê, frango com arroz ou massa italiana - e uma sobremesa - doce de leite ou pudim a quantidade n de refeições possíveis de serem escolhidas por um cliente será (A) n ^ 9 (B) 1 0 ^ n ^
14
(C) 15 — /3 ~ 19 (O) 20 ” rt — 24 {£) n ~ 25
RESOLUÇÃO:
'
'
:
3
Temos ufpa ^ucessâo de escolhas;. -
^^escpjha:,? {quantfdades de saladjg)^
1
^
' “1? çsço!h‘^.r4 (quantidade de pratos principais};3.a escoíha: 2 (quantidade de sobremesas}'1-^ '5' Resposta: Í A 2 - 24.possibilidades. Resposta: letra D.
’ ••
.^
7. (CENTRO DE PERÍCIAS CIENTÍFICAS “RENATO CHAVES” - PARÁ CESPE - 2007) Para proceder a uma investigação criminai, um perito dispõe de ô procedimentos distintos que empregam apenas recursos eletrônicos e outros 5 procedimentos distintos que empregam apenas recursos humanos. Nessa situação, a quanti dade de procedimentos distintos qüe o perito tem à disposição para realizar a mencionada investigação é igual a (A) 4 ( 8) 9 (C) 14 (D) 45 RÇSOLÒÇÃO:
-&
>: ^
\
,
Resposta-Jetra-C,
4%^
-
-
,
r
,
f' - i
-
v-
-
-
r
* -
*
'
__<- ^>s-
66 RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Wlar ---------------------------------------------------------------------------.----------------------------------------------!
8. (CENTRO DE PERÍCIAS CIENTÍFICAS “RENATO CHAVES” PARÁ CESPE 2007) Para cadastrar seus equipamentos, uma instituição usa códigos numéricos de 2 algarismos/de 3 algarismos e de 4 algarismos, não sendo permitidas repetições de algarismos. A partir dos algarismos de 0 a 9, o numero de códigos distintos disponíveis para esse cadastramento é iguai a (A) 11.100 (B) 9.990 (C) 5.850 (D) 5.040
|
r esolução :
•
v - '
** ,
. :Nessa questáo, temos os; dois pripcípíos ào,mesmo tempo.,;1.®. caso: Escolha dp código de 2 algarismos.
. ■ .. T
•'
; ’ -" -.
r
:
! -Cuidado: Não existe repetição de algarismos.
. .■■
;1.° algapsmo:. 10 algarismos de escolha (0 a 9) -
... .
-
2^ Algarismo:;9 (como não há repetíção;de algarismos,: sobram 9 algarismos)/,.•••
y r
: Resultado: 10. 9 = 90“ » / \ '
~
- A- •r
'
’
^
' ........."
........... , C ^ -r
ÇuitJadò: Não existe repetição de algarismòí/ -..,^-,, 1.® plgarismoi.lO algarismos de-esçojha {0 a ?) •>,
'
.
.
■'
--
'
2.° algarismo' ’9 (como hão há Vepetiçãò 'âé';ãfgarisnnos> sobram 9' algarismos) 3.° algarismo: 8" ’ ,
.
'
'Resultado: lá-9.'8' =72ÚH*; U ^ r *>i'->fJ; f ' ' v . r>'. ’ ~r '? ~ \ ‘ '-íí~ ; j-' r ' :?í l üí ' - ' - " . ~ ^ J, ^ . ^ c a fs Q : ' E s c o l h a ' d o ' c o ^ í g V d e ^ a l g a r r s m b è ^
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- .■
-
1* algarismo: 10 algarismos de escolha (0’a 9) 2.° algarismo: 9 (como não há repetição de algarismos, sobram 9 aigarismos)
4.° algarismo::?'
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"'l, >
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’ 1'*
- ;Respítaà'éflO; 9.' 8, 7 ; ^ 0 4 0 J f ; -
H ' "V
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-r ■
Cuídadò: Klão existe 'repetição cie a l g a r i s m o s . J
3A-aÍgansmo: 8
‘
Cap. 2 - ANÁUSE COMBINATÓRÍA
!
87
! (S TJ 2008) Com relação à contagem, cada um dos próximositens apresenta uma situação hipotética, seguida de uma assertiva a ser julgada.
9. Em um tribunal, os processos são protocolados com números de 6 algarismos de 0 a 9 e o primeiro algarismo refere-se ao número da sala onde o processo foi arquivado. Nessa situação, o total de processos que podem ser arquivados nas salas de números 4 e 5 é superior a 300 000.
RESOLUÇÃO:
'' ■
Tem os um a sucessão de escolhas; 6. ;
-
v . '
Nesse caso, podem oá repetir algarismos* pois 'ã; questão nãò. fa zta l d istlh çfp .--/'-' .!> èsçojha': 2 (só podemos escóihér os ajgãrismds 4..óu 5)
. .
2.a escolha: 10 (podem os escolher o$ algarismos de Ò a 9)
. :.■
3.a esçoíha: 10 (podem os escolher os algarismos de 0 a 9) " ; 4.a escolha: 10 (poderrios escolher os algárfefrios de 0 a 9)
' v"' '
5.a escoíha: i p (podem os escolher os algarjsmos d e 0 a 9) 6.^ escoíhã: 10 (podemos escolher os algarismos de. 0 a 9)
: ^esüitadp: 2.1 Ò.10.10.10.10 * 200 000. :A jp n i errado.
,
/
‘
'
:
- 7 . ..
v .-; -
..
•
Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou 0 (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue o próximo item. 10. O número de seqüências nas quais é obtida pelo menos uma cara é inferior a 512.
. RESOLÜÇÂO: \ .í^essè ^ s p j :yan)os calcular a. total, de possibilidades.
~
{ .: • v;
íS à Ó íi0 ;: lançamentos ;e em cada lançamento;.temos duas ^possibilidades: ícarà -óú coro?), por isso t e m o r
.•••••
RACIOCÍNIO LÓGICO - OUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Víltar
88
(CESPE BB 2009) Supondo que André, Bruna, CJáudío, Leiia e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes. 11.
Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação.
RESOLUÇÃO: As cinco po?içõe$. são livres.
1 .a.posição; -^pessoas’
'
~
.V
. ,
t
.
■•
2 a posiçãp* 4 pessoas (excluindo o 1 colocado) 3.a posição: 3 pessoas (excluindo o 1® e
colocados)
4>a posição: 2-^essoas (excluindo 1.°, 2.° e 3--° colocados) 5.a posição: 1 pessoa (excluindo 4^/2*°, 3.° e 4.® colocados) "ResuItador. 5.43'.Z Y ~ 1201 Item certo.
12.
~' , o
i, .
Com André em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a clas sificação.
RESOLUÇÃO:
1
'
Nesse caso,-a por^ejra posição é defiqída e^a segunda em djaqtg éhw e. vLií posição:, Vpessoa (Andre)
í-
a
.
2.® posição. 4 pessoas (excluindo o 1.° colòcacjbf J
i *
1
~
3,ar posição; 3 pessoas (excluindo o 1 e 2.° coiocapios) 4_? posição; 2 pessoasV & lujndo \ s t 2.° e 3° colocados) 5ia posição.-1 "pessoa'^excluindo't“2.^, 3.® e 4 *>colocados)
- "
Resultado. 1.43 2.1 = 24 possiDiiiaades, Item errado^"
13.
Com Bruna, Leiia e Roberto classificados em posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação.
............................ .......................................c .......... _ ^ .. ^ Observe^uV afquès'tãolíaÀ'mencionou ser era-em ordem, ^lòdo, çpfrsideramos sem -'m ijem = ^ ' ' ' ' ' ' '
- Cap. 2 -ANÁUSE COMBlNATÒRiA
'•
89
p h j n ^ ^ j ^ ò v t ^ l n õ i 3.èsçòihas (Bruna/Leila 'ê temos duas'escQÍhas e na terceira posição temos úma escolha: 2.° situação: Escolha das posições e pessoas.
posição ' '
*
Cuidadp: No grypo/.Brüria^ Leila ,e .Roberto devem' esfàrijuntpsVLog^^^ lugares, temos'apenas 3 posições.'' ’ . V " : ’" V \ / ' ' " í V ' - '
*•
Livre Ljyré.fAs três posições abatxò são ocupadas pejo grupo de Bruna.: Leila e Roberto,.. ■ PI
P2
P3 (o grupo de Bruna, Leila e Roberto)
Obs; Pl: posição 1, P2: posição 2 e P3: posição 3. -Resumindo/temos três posições; uma posição para o grupo de 3 pe$soàs}què devem . estar juntos,-e:duas.posições-para escolher'entre André e. Cláudio/. •:‘ Posição; do; grupor 3.2.1' - .õ (permutação- de .posição entre: Bruna^.ieilae. Bo&erto): . Troeade; lugares hvres; 3
■
1
Troca de pççição entre André e Cláudio: 2A = 2 : ResMÍtadQv;63.2 = 36 posçibtíidades,
% P 'c e t t b .
14.
.
,
.
,
,
<.
;i
'
. -
O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em úiiimo lugar é 144.
RESOLUÇÃO: Nesse caso, vamos começar peja restrição: homem em último lugar. Com um homem na última posição, temos-3 possibilidades (André, Cláudio e Rpberto).
...
■ Aprimora até a quarta posição são livres!:,— ai
r :'f:
1.? posição: 4: possibilidades (excluindo uma pessoa, pois começamos peía :últtma-: jícsíão)--- •_ ’_ . t _ , V . , , ‘ ■ 2 1 posição 3 possibilidades 3.a posição: 2r possibilidade^ :: .4:* posição: *1 pòsstbifidade
(
- --
"J
’
v, 1 ^
t ^
,
_ * ;v
“Jiy^posíçâQ 3 possibilidades (começamos peía úítima ppstção) JR|1ülta^qt\43,2 | §,= 72 possibiLidades" item "errado*-
“
>■ , „
^ “*' "-r''<
90
RACIOCÍNIO IÓGíCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Wiar
15. (T R T 9 Região) Em um tribunal, os eódfgos que identificam as varas podem ter 1, 2 ou 3 algarismos de 0 a 9. Nenhuma vara tem código 0 e nenhuma vara tem código que começa com 0. Nessa situação, a quantidade possível de códigos de varas é inferior a 1.100. .
, ÇESOLUÇÃO:,'
'
„
'- ~
Temos 3 possibilidades de escolha-1/2 ou 3 algarismos. Escolha áe um número corr?
1 algansmo.
1.« algansmo = 9 possibilidades (1 a 9, pois náo existe vara com codigo 0} Resultado = 9
.
s
Escolha de um número corp 2^1gartsmos.r" 1.° algansmo = 9 possibilidades:(1 a 9, pois não existe vara com código 0)
-
2.° álgârísmo1= 10^ possibilidades (0a 9/ pois, a partir do segundo algansmo, a escoíha é livre) ' ^ ' lz ~ 1 * ' ^ Resultado = 910 = 90 1-
-
>,
Escolha de um número çorrt 2 algansmos. t 1
1®algarismô ~ 9 'possibilidades (1 a PrjQois não existe vara com códtgo 0)
: •2.° ãjgarrsrnQ.;=:ví.Q possibilidades; (0.^^/vpois-, a partir do segundei’ fescoífíá^ liVre) 3’ 3.° atgariíiYiQ ~ 10 possibilidades(0 a 9, pois, a partir do segundo algarismo, a :;^ escolha^é íjvre) - - — ^ „ -> - -f . ' ^ Resultado = 9 10 10 = 900 ' ~" Nésáe caso, podemos escolher 1, 2 oü 3 algarismos (regra do "ou") •'Resultado final: 9 + 90 f 900 = 990*
_
.í:/'item.certo
t-i ^ •“ ~>
Texto para as questões 16 a 18 (Técnico do TC U 2004) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada e a saída de documentos e processos. Considere qüe se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao conjunto das 26 tetras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
16. Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
v
Cap. 2-ANÁÜSE COMBtNATÓRlA
r
:^ ;>v; ^ :^'.;í■
" "
91
:: -
Temos 26 letras.com a possibilidade de repetição.
11 ^ : 2.®letra:.—.26 possibilidades (podemos repetir letras) . '
: a letra.== 26 possibilidades -r^ ■
3>-letra = 26 pós sib íllcíaclés- ; f
•:V '
4.» letra =.26 ppssibíiídades
. :
.
■■■- •
Resultado: 26:16.262$ ;= 456
:
;
' "■/■>' " /V;
•
Item. certo. .
- ■;
Se ligue!
\
■ • . : ••
■.
O Item informa que podem ser gérados mènos de 400.000.protocolos. Evidéntemèntè a afirmaçâo está correta, já que podem ser gerados até #56'976 protocolos. :
17. Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seuscódigos, que poderão ter 1, 2 ou 3 tetras, sendo permitida a repetição de caracteres,então é possível obter mats de 11.000 códigos distintos.
.RESOLUÇÃO:
"
,
-'-Temos 3 escolhas sendo 1,2 ou 3 letra* Nesse, caso, só temps 21 letras, não podemos : utilszar vogais. Lembre-se: com repetição deletras. ‘ i .\ ■ ' VY-• " V• Vo ..1* :;,v. . Escolha de 1 letra ~ 211
rl
-
Escolha de 2 letras~21 .'21 = 441
•'
‘
Escolha de 3. tetras = 2121,21 - 9 261
"
.
‘
J
Resultado: 21 + 441 + 9 261 * 9 723 item errado.-’ :
•v
.-•••• - •
............................ •-
18. O número total de códigos diferentes formados por 3 tetras distintas é superior a 15.000. RESOLUÇÃO:'1
,
.
,/
,
, ,
:
Nesse caso, não. podemos repetir letras; .
1.à letra = 26 possibilidades
.\v‘V '' " .
^ ^ lét-ra^ã- 24.posstbilÍdadè"s :'(nãa<^.|%mitfda:.a- fepetiçâo...de-ielí d< ***** Resultado; 26.25.24, = 15-600. Item certo*
-' '
-
1 '
'
-
,
/."/"/C*; \ -
RACIOCÍNIO LÒGiCO - QUESTÕES COMENTADAS 92 ---------------------------------------------------------------------------- -
CESPE - Bruno Víliar
j
19. Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido ins talada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com os algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados»
^SÇILPÇÀO:
:.‘Y
r.':
•
, . , .
,
’ ítesttiçáò: ^algarisraps distintos ‘ j : a, e|çóíha.-/'1.p-(tptaí de^âiàarisrnQ ds 0 á 9} ^ ' V . - ; 2.f èscõlha = 9 (náo> pode repetir algarismo) fotàrde códigosV 90/
. - .-
•'' /
•'
^ ...
; O ‘total, de apartamentos é:79/(Qgo/90‘- 79 sóbram 11-códigos.
-■
i t e m . c e r t ò . - *- . . " • -
20. Considere que um código seja constituído de 4 letras retiradas do conjunto {q, r, s, t, u, v, w, x, y, z>, duas barras e 2 algarismos, escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Nessa situação, se forem permitidas repetições das letras e dos algarismos, então o número de possíveis códigos distintos desse tipo será igual a 102{1Ü* + 1 ) . -iRESOLUÇÃO: . (;
{
..
•_.* '
;
‘ w . } ; C,
. ^■>1*J r ' 't.
J‘ ’ r ‘
'"Réstfiçãgr-letraç' e*algarismos'podepnser tepetiçlos
'4' 10.10=; 102
' EscôlHá 4ás Mras: 10:ÍÕ'n0.10=l Ô Escójhaf dos algarismos:
0
^ V r - 1'
Resultado:. 10M 0Z ^ \ *: y
22
1Q (10 £ T ) ~ W. 1 0 ? ~ i 0 6 , ‘ Iterrvcertò.
-
'
*
. ,
\ . ‘
21. Os tribunais utilizam códigos em seus sistemas internos e, usualmente, os pro cessos protocolados nesses órgãos seguem uma codificação única formada por 6 campos. O terceiro desses campos, identificado como código da vara jurídica correspondente à região geográfica, é constituído por 3 algarismos com valores, cada um, entre 0 e 9. Supondo-se que, nesses códigos, os três algarismos não sejam todos iguais, conclui-se que podem ser criados, no máximo, 90 códigos distintos para identificar as varas jurídicas.
Total X I 0.10/10 = 1 000 >' - ,
Cap. 2 - ANÁLiSE CQMBiNATORlA
Agora, vamos calcular com todos os algarismos iguais. TotaJ » 1Q/hl f -10 ■„ ■
\
..
Obs.; O segundo è terceiro algarismos são iguais ao primeiro,, por teso não ternos, escolba. '• .í . . . . . . •. petidòs.
«'£?Ò códigos. Nesses codigos, nãp temos- 3':aigarismos .rer • o ;
:.w'
item errado.’
Texto para as questões 22 e 23 Considerando que uma palavra é uma concatenação de letras entre as 26 letras do alfabeto, que pode ou não ter significado, julgue os itens a seguir. 22. Com as letras da palavra COMPOSITORES, podem ser formadas mais de 500 palavras diferentes, de 3 letras distintas,
RESOLUÇÃO:
"
' '
c.A.paiàvra-CÒtyíPÓSjTORES,possui9 letras-diferentes.
-,-
Restrição; Escolha de 3 letras diferentes ° ' *’
’
tetra V - 9 opções
'v
' '''£
1
Letra" 2 = 8”opçoes, pois não pode repetir íétrás ' Letra.3 = 7.. - • . . . .
.
; . v-:
•.
-
- Resultado:. 9.8.7-= S04 itémcehò.
‘‘
> v '-
23. Considerando todas as 26 ieíras do alfabeto, a quantidade de palavras de 3 letras que podem ser formadas, todas começando por U ou V, é superior a 2 k 10a.
RESOLUÇÃO:
’
v
Restrição: a primeira letra deve ser U ç>u_y, togo* duas opções.
;
Letra 1 = 2 opções {só pode escolher U ou V)
;•
Letrà 2 = 26 opções, pois agora a èscolhá é livre Letra 3 ~ l26
- .
*;
* ,, .
^ r'esul^ado; 2.26.26 =_1 352,-A '' ~ ^ 2 ílQ ~ 2000 _ ;< , r v > ( * r item errado'r"
, "
-i
' ^ 1
^
94
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viltar
GABARITO 01 - Errado
02 - Errado
03 - Certo
04 - Errado
05 - Certo
06 - D
07 - C
08 - C
09 - Errado
10 - Errado
11 -
Certo
12 - Errado
13 - Certo
14 - Errado
15 - Certo
16 - Certo
17 - Errado
18 - Certo
19 ~ Certo
20 - Certo
22 - Certo
23 - Errado
21 - Errado
FATORIAL (CESPE PF 2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura, matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hércules. Entre esses trabalhos, encontram-se: matar o leão de Nemeía, capturar a corça de Cerinefa e capturar o javali de Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma Hsta colocando em ordem os doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso, considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas que Hércuies poderia preparar, julgue os itens subsequentes.
1.
O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior
a 12 x 101. •
V ' *' ’ f .RESOLUÇÃO:
-
7-:
-r •:*' - , " „ ,
’
Í.’V —\• >
1
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Mãó-terríos restrição,’ logo, escolha é livre. Não esqueça Nãò há repetição de tarefa, por isso, cadá posição dimmui uma escolha, _ í V a
U
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Resultado T211 1098-76543-21 ^ 1 2 ^Comparaçao 12l^e ma for que 12 10( Jr ^ "■ ~ r
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•Cap. 2 - ANÁLISE COMBiNATÓRIA
95
2. O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Nemeia” na primeira posição é inferior a 240 * 990 * 56 * 30.
RESOLUÇÃO:
■
À primeira posição é 1, havetido tarefa dè "matar o leão de Nemeia" lpgo; sõbram • apenas posições, '• • • •
11
,;1
10
11
9 '- • •. ■8 ■
■
•
p7 - 7 ^ ’ -
P3 .
:■ Pr
. 4 •- 3
5
-
Resüítado: T1Í ‘
''"^V
V
■Pf
■/2. • P.i : ■
......
.
Cõmparahío; í 11 é inférior á 240 x -990 x'56 x 30 ' 1 tá o ffi& í.' 65.4.3.2.1 -<'24(Tx:9goS< 56 x 3Ò ‘ 990r56r36.24 < 240.990r56:-39^ , 24.< 24p..:
'
Jjte.m correto.
:
‘
‘
, '
;V
: '
•
.
'
'
3. O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos "capturar a corça de Cerinera” na primeira posição e “capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 * 42 * 20 * 6.
■- RESOLUÇÃO: -í •v / c í t Temos-duas: posições definidas nessa ordem: Pt: "capturar a corça de Çer|neia"/^^
V
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P;: '^aptjirár o javali dé Erimanto"
T : . 1 0.
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9 = / :8 v P<
p ,; ■■ P2
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■_Resultado: 1ÒI
• 4 \ • 3:'. • •. 2
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v: ,
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10! < 72-x 42 X 20 X 6 ; ^ T 0 9 A 7.6 5.43.2.1 < 72,X 42 X 2ff X 6
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•JÊ rO . 72.- 43t~20; 6 < 72 x 42 X 20 X 6
10 < 6. ttem errado.
-
.
’ -
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-V
-1 ■
96
4.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cõrineía” e “capturar o javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 61 * 8!.
F£SOt , UÇÃp; : , '
’ /
.
de Eripn$nl;o, sem:.ordefti^.n)os..gué ter.çu^
10-
f 9; v
, , 8,x
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5
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pò.çje ser CÈ ou E C i / . ;
4 ’" r P7
3
2
Pa
■: 1
2;;
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:■= p,-'.; ■* JÜ •■
Resposta •101 x 2Í
„/0.40t^tqrlaK.é,<áeYÍdoyà-.restrição;-dç- duas:posição..e..2í ,é porque:.QS dois:últimos trabalhos não possuem ordem, por isso duas possibilidades.
' 101 x 21 < 6! x 8Í Item certo.
.
. . .
GABARITO 01 - Certo
02 - Certo
03 - Errado
04 - Certo
COMBINAÇÃO É uma escolha de grupos de nomes (pessoas, países, times, etc.), coisas ou objetos, frutas e pontos. Esses elementos escolhidos diferem apenas pela natureza, por exemplo: João e Maria é igual à Maria e João, porém João e Maria é diferente de João e Cristina. Fórmula: C = p (casas em ordem decrescente começando pelo n) P! Exemplo: C5^ -
~
Wiv<^«1111 V>
Isdp, JLM 1.
(CESPE BB 2007) Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pes soas para serem usados em uma propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.
RESOLUÇÃO:
.
1
Temos 12'pes'sqãs e queremos escolher uma dupla. togor essa questão é resolvida por. combinação-.
2.{nossa- escolha)'
ri « o i (totai.çíe^pessoas), e ,p ~
C%'2~- 3 4 1
* M l =.66 possibilidades.
)tçirí:certo^::; • •í;
;
‘ fl
H
2. (BB) Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situaição, a quantidade de comissões que é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 10*.
^ ^ S Ó j - y ç í f e i : ’: : ^ A v ' vA' ' Terôqs". uma^còlha' .dè grüpo-de péssôas/ logo- essa é' um á‘qüéstão qüé -envolve combinação1simples. .• ‘iry- } '/ ' Agpra/ nesse caso, devemos: calcular os grupos de cargos, separados; •
v;.--:-.-.-
Cálculo do.grupo de viçe-presidentes; ;.
■v a
■■
- . .•••.:
-•
Total de vice-presidentes- 9'
•
Escolha de více-presidentes.== 3C
l& â ; -
3‘
3 2,1
=; 504. „ 6
••. : ;•
•
possíbílidades de grupos : H ' _
/ =■•••••
•••••,••.-, .
Cálculo do grupo da diretoria: C
=
2221 20
-
222120
-
9240 = 1540
- 31* - p s s r e 1 7 ,•“*/>'£*: {f e í à i i y . \ V » í Se iíguei v "A% ' . ' . - ' ~^3^vice-presídentès e. 3 diretores (regra do V = multiplicação) . - ; " ~i " 'Rèsuítôdo finai = 84 1540 = 129 360 ' - , r. -
vj>.
item certo (
^
^
10? = 100000).
r
,
i
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-
/■*•’
-V •• V'*?'*/.í
‘ ‘ S
»
98
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Wlar
3. (CESPE) Considere a seguinte situação hipotética. Para oferecer a seus empregados cursos de inglês e de espanhol, uma empresa contratou 4 professores americanos e 3 espanhóis. Nessa situação, sabendo que cada funcionário fará exatamente um curso de cada língua estrangeira, um determinado empregado disporá de exatamente 7 duplas dis tintas de professores para escolher aqueles com os quais ferá os seus cursos.
RESOLUÇÃO: _
.
;
^
Nesse caso, tenrios urçià escolha de;grupo de pessoas^ logo^orhbináção./ . ^ Cálculo do grupo de professores americanos:
,
' v; <
‘..'-'.vW
4 Çáleulo do. grupo de professores espanhóis:
4.
{CENTRO DE PERÍCIAS CIENTÍFICAS “RENATO CHAVES’* PARÁ) Uma empre sa está oferecendo 2 vagas para emprego, sendo uma para pessoas do sexo feminino e a outra para pessoas do sexo masculino. Considerando-se que se candidataram às vagas 9 homens e 7 mulheres, então o número de opções distintas para a ocupação dessas vagas é igual a (A) 126 (B> 63 (C) 32 (0 )1 6
.
ftESÓLÜÇÃO:: • '
Vy.' ..... -
V
Nesse caso, temos uma esèolha de grupo de pessoas, logo, combinação. v Cálculo, do grupo de homens:
Cálculo do: grupo de mulheres:
Resultado .final =f 9.7 - 63 ‘f,l j: • *’ ^ 1 RçspóstaHetra 8.
Cap. 2 - ANÁLISE COMBINATÔRÍA
99
Texto para as questões 5 e 6 (ANAC 2009} Considerando que, para ocupar os dois cargos que compõem a diretoria de uma empresa, diretor e vice-diretor, existam 5 candidatos, julgue os itens subsequentes. 5. Se cada um dos candidatos for capaz de ocupar qualquer um dos dois car gos, o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual a 10.
RÉSÔLÜÇÃO: Cufdadoí cada candidato pode ocupar, qualquer cargo. 1
.a escolha: Escolha do diretor
2.a escolha: Escolha do vrce direto
/. '.Lembre-se; de;,que- uma pessoa já ocupou o cargo de diretor, .jogo, sobraram 4 ^àndidátos... ...,... . .. ..•• • .
Resultado finais 5.4 = 20 ífenvèrrado. V '- '"
, ... •
-
•' •
. •_> '
: " ".V •'
••
6. Se, dos 5 candidatos, 2 concorrem apenas ao cargo de diretor e os demais, apenas ao cargo de vice-diretor, o número possível de escolhas para a diretoria da empresa será igual 5.
RESOLUÇÃO; Cuidado! Apenas 2 candidato podem ocupar o cargo dè diretor e '-5 candidatos o cargo de vieerdiretor. :1;â escolha:;EscoÍha do diretor
í - -2.^ escolha Escolha da vice diretor
~ Resuítàdo final = 2 3 - 6 item errado
. .
'
,
r>v;
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
100
Se Hguçí A~banca CESPE coíocçü como possibilidade de resposta a soma dos resultados. Te-r . mha eciidadO/ poisrnesse-'easo aplicamos a regra- do "e" tprimeira escolha-e*segunda;; escolha).- • -.... ...... .
7. (TR E - MG 2009) Se, no departamento de recursos humanos de uma empresa em que trabalhem 5 homens e 4 mulheres, for preciso formar, com essa equipe, comissões de 4 pessoas com pelo menos 2 homens, a quantidade de comissões diferentes que poderão ser formadas será (A) superior
ou iguaia 200.
(B) superior
ou iguala 170 e inferior a 200.
(C) superior
ou iguaia 140 e inferior a 170.
(D) superior
ou iguala 110 e inferior a 140.
(E) inferior a 110.
RESOLUÇÃO: •
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- •. ' ^
í * Nessa-questãoi temosvque ter atenção,. p'o|s -a escolha de pelo: menos 2 .homens é igual a,’ no mínima 2 homens.. Possibilidades de escolhas.
. Total de 4. pessoas, sendo pelo menos 2 homens.: J^^pj3raens ^ ; ^ m^ . h e r e s . -
;
/
■
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.
í|: 3’h0men‘s-e;1''mulher••• -• • •••-.-•>«.
■•
• =. ..
•
-
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.111:4.homens *
'
Cálculo da 1.? possibilidade: 2 homens e 2 mulheres:
Calculo dos horneps:
' s‘2
2l
.54,20*10 2.1 r~2 *_
i Calcylo das^ mulherest' d 2w' H ^ -
• •" ••
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' -1
=T B ‘« v V 4 v -w ^<',1 Pesult;adò'da ]-.ã;possibiijdade'v-'10-'6 = 60 -
^
~ * ‘ -
-
‘
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Cap* 2 - ANAUSfc ÜVJIVID1IVMJ w n m
- : *■ Cálcaip dá 2'? possibilidade: 3 homens e 2 mulheres;
Çálculo dos homens:
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~
~~ 5.4.3 _■ 5.4.3 — 60 _vjq« “
3!
3.2.1 “ T -
Obs.:_CS2 - C5y{pois'S - 3 = 2) Cájculo das mulheres: :/; . v
J
,
-•
■; ' ^
. Resultado, dg 2.?. possibilidade— 10.4 =? 40 ••..Cálculo da 3,a possibilidade:’4 homens.
..._.;.Á'
.Calculo dos hdfnéns;:
Resultado íinàl = 60 + 40 + 5 = 105' '
'
Resposta: letra E.
8, {Perito Criminai - Formação: Processamento de Dados - Renato Chaves) Para formar um grupo de investigação, um centro de pesquisas dispõe de 22 peritos com especialidades distintas. Se esse grupo de investigação deve ter 3 peritos, então a quantidade de maneiras distintas para se formar esse grupo é igual a (A) 1.540 (8) 3.080 (C) 8.000 (D) 9.240
RESOLUÇÃO:
; "-.W vÂ'.:»--
-V .;
/feiríos 22 peritos
3» ;We$5e: õsp£a -giiéçtão qüe; envolve :cbm-
binaçao.: ■..
/
2.2?t£Ó '1 -22.21.20 ”3} r‘
...
391r
= 9240 _
&
1540
7
, - y "
:
: rf-
102
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE ~ Bruno Wlar
9. (T R T 9.a Região) Em um tribunal, os julgamentos dos processos são feitos em comissões compostas por 3 desembargadores de uma turma de 5 desembarga dores. Nessa situação, a quantidade de maneiras diferentes de se constituírem essas comissões é superior a 12.
•;ttem errado^.] ■
:
' Vi - V -
:
GABARITO 01 - Certo
02 - Certo
03 - Errado
04 - B
06 - Errado
07 - E
08 - A
09 - Errado
05 - Errado
PERMUTAÇÃO Permutação sem repetição: n! Permutação com repetição:
..
n: total de elementos a,b,c...: Quantidade de repetições do elemento. Permutação Circular: (n - 1)! n = total de pessoas em agrupamento circular (BB 2008.2) Considerando que uma palavra é uma concatenação de letras entre as 26 letras do alfabeto, que pode ou não ter significado, julgue os itens a seguir. 1. As 4 palavras da frase "Dançam conforme a música” podem ser rearranjadas de modo a formar novas frases de 4 palavras, com ou sem significado. Nesse caso, o número máximo dessas frases que podem ser formadas, incluindo a frase originai, é igual a 16.
RESOLUÇÃO; ^
T
. “
‘
'
Ness^càso, Vaj^os^ermuiar ak 4palavrasjja criaçãodenovasfrases1 i. ^
'— “V t j
^ ^
, t, £ t
l^ff4 4_1 =- 4 ^ 2 1 =^24^ 1 Item errado
y
~
*"
^ s
s
^
•Cap. 2 - ANÁLISE COMBiNATÒRlA
103
l
:
2.
(BB 2007) Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimen sões iguais, pendurando-as verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.
••R E S Ò LÜ çà O r^
.
y •
; Y ;;
•
Totai. de 7 faixas; sèndó 3 Verdes e 3 am
'
'
'
.
> Permutação;com repet|ção"c}.eçlèniérto^
p
f
^
:
/
-v :
-
:
' Item c e f t ò ^ " - ; ;
3* (C ES P E) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é superior a 102.
- íjf e p t u ç A ò : , - ’
‘ '
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^É-.um-GasbxIássíçQcfepermutação.circular. ■
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- -
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•••••: • ■
: Pc~ ( 6 - í jí = 5Í,~ 5.43.-2.tv== 120 possibífidádes.,' Item certo.
‘
-•
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^
- --
- • .r •
[. \
GABARITO 01 - Errado
02 - Certo
03 - Certo
ANÁLISE COMBINATÓRIA - Questões diversas (ANAC 2009) Considerando um grupo formado por 5 pessoas, julgue os itens a seguir. 1. Há 24 modos de essas 5 pessoas se posicionarem em torno de uma mesa redonda.
104
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE ~ Bruno Vitlar
: .••..■•Assuntoi-permutação-circuiar=-.v.-;ã - -
r'.-
:; Observe que. temos :ümgv'àrrúmaçâòície pe§spas ém tòrnò. .de .uma;;mesá redonda. Pe * ( n - l J !
*
Í)í * 4) Item certo.
■■
"
'
' ■- *
‘‘V
-w -.
2. Se, nesse grupo, existirem 2 crianças e 3 adultos e essas pessoas se sen tarem em 5 cadeiras postadas em fila, com cada uma das crianças sentada entre 2 adultos, então, haverá 12 modos distintos de essas pessoas se po sicionarem.
RESOLUÇÃO:
-■
: '■
Assunto: Permutação simples, troca de posições de pessoas em uma fita indiana'^ '-;i Essa- questão também pod^ ser respondida pelo princípio fundamentai de con-.^ tágçm. As crianças devem estar entre òs -âdultò^Hogo, temos a seguinte relação: 1 V ~'w
J i ",“ Ã*íV'*'
-■ Cnança 1 '
‘Ádüito.2- a
vV ' -Adulto 1,
/
:~ L '
" ‘
.í
' W
- - Criança 2 ; 1
■■■ ■Sêraj
f--' ‘ '
-Adulto 3-*
■
Vamos calcular as possibilidades: lembrando que parap Adulto)'temos--3-pp^óès (total de adultos), para o Aduito 2 temos- 5 duas opções (excluindò o adulto dá^primèifà ;posíçâo e assim sucessivamente), f;
Adulto 1 . 3
' Cnança 1
Ãduitp 2
z
-> 2
Criança 1
2
Adulto 3 1 *
iJ T r! , St
Resultado: r3.2-.2,l.l-= 12posslbilidades. Item certo.
...
*t '
, « .,-c*
3. Caso essas 5 pessoas queiram assistir a um concerto musical, mas só exis tam 3 ingressos disponíveis e não haja prioridade na escoiha das pessoas que irão assistir ao espetáculo, essa escoiha poderá ser feita de 20 maneiras distintas.
Cap. 2 - ANALISE COMBiNATORIA
Assuntõ:corpbínação,,-. ,
too
,
:
‘-'V ' -
:jémós:-:5:-i)>essoãs-íe^vèmos-:'iescoIhe^3iVJòg0;-èstk,4-umà^qlhá=:;de-:grupo^eVpès-
Texto para as questões 4 a 7 O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, jutgue os itens que se seguem.
4.
Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de classificação no 1.°, 2.° e 3.° lugares foi igual a 6.
RESOLUÇÃQ:
- V*
Assunto: Princípio, Fundamental de Contagem..
'• -
Temeis .uma: sucessão- de; escolha;..l » posição, 2.* posição e 3.? posição.
2 Rostção 2*.
Resultado: 3.2.1 Item certo.
5.
'
• •r Poçiçãg 3
6 possibilidades. -
-
Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com repre sentantes de 7 países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3da América do Sul, 2 da América Centrai e 2 do Caribe.
106
RACIOCÍNIO LÓGiCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vtíiar
^ R è s 0 líÍjA Ò :
, /^/ua^Ltotçbi^açãò J
■' / •/
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^essç.c^sjfipi^s ^ma ^sColha^de.grupps^de países;j!ogo,.cc * dáicula do grupo dâ América do Süi ./'fotal’de.paísés.=.12,{(nfprn6ação do tèxto da questáoJ'u ’ J^{Çscóiha^v3rfiàíses'. ' ’/ 'c
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.V a 2 .ÍV .tÒ V 12^11.10 = 1320 _ 22Q ; ’?‘3 ' ' 3Í' - •• - -6 ;'•••; ' ••• • •••• •
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CálcüÍQA.do;gíup'o*da Caribe ! r
1 ^918
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342 "
*
r •%-, ç r - ' <-3r -w ,’ í í J 'r y s ‘^ -» ^ j^ a e s u }t a % ^ a h 2 2 Ò v28^17T^= i (053 ^ 0 ?i n « Se liguei
.
-.r... ..... .
* Cálculo do grupo da. América Central.
,■ c ' = 8 - ' = ^ 5 2 = 28 -J *?. * ■2! ^ 'Vj2:I j ' - 2 " ' v '*/
.
’ - -
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-Jiv " ri i ^
.
■ *
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Nesf^uestão, o CESpE colocou como^possibiltdade de resultado a sorpa das com- ■•■:.■ I bipações,'porérrí déVemos calculado produtoras combinações (7 países, sçndo 3 ) da'Amêrtca do Sul 2 da América Central e 2 do Caribe) , ? item errado.
6.
Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.
RESOLUÇÃO:
"> / " -
Cuidado: pelo menos = mfnlmo ^Nèsse^caso^tèhtàsíquè^colfrep nd^ffifíNnrfo 3rpatse&dã> Aménca -Central :— ' ; r •*•'_£ i ^ j ^ '^ S i j r* ■*' *1 ^ »
Va opção 3daArftértca^Cenfrahe2}âlfXm &ríca-dofforte '
“
o'
” 1
Am éricaCentral C,= ■ —£ ~ “ 56 * 3! 32 1
'* "
•Cap. 2 - ANÁLISE COMBINATÓR1A
r
107
América do; Norte: .C3^ 4 - C3-, = 3 ^
: ..
. Resuítado da 1;*.opção: 56 . 3 = 168
; '.
'
2.a opção; 4 da América Central e .1 da América do Norte América Centrai:
■SA,.
~ &?>&,£ = 70 4.34.1
4!
• f •' •,.
América do Norte: C3t == 3
•'
Resuitadoda 2.a opção: 70 . 3 « 210
• .
.V;v •' '• ‘
3.® opção:. 5 da 'América Central e 0 da América do Norte América Centrai: C=X,.t Èã ... ;;:;,8Y ^ v y , : 3 ! -
M Á ~ 56
-•
;.3.24 •
. '•/ '
•- • ; ;
' '•
. ••• ' •
Resultado da 3* opção:’56?= 56 . Resultado final: 168,.+. 210 +; 56 =s 434 Item errádo.
'••"
7. Considera ndo-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atieia de cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre sf é igual a 66.
:V - '.V-.: • Assunto: combinação
'
,
.. Y - Y -
■
_’.v
Nesse caso, temos úma escolha de atletas, ou seja, um gíupo dè pessoas. A questão informa .que participará um atleta de cãda país da América do Suij logo, temos.íÍ2-.ãtíetas p ^ r t í ç f p ^ m d Q . d a . ç o r n p e t r ç ã Q - a l ?•'.;•> -. ' = Iteni certo.‘ -
= 2 2 = 66 possibilidades. r,
.
.;
-
V:.'/ W
. - , .^•.
"
8. Considere que, no finai de uma reunião de executivos, foram trocados 78 apertos de mãos; cada executivo apertou uma única vez a mão de todos os outros. Nesse caso, o número de executivos presentes nessa reunião era inferior a 15.
RACiOCíNiO tÓGJCO - QUESTÕES COMENTADAS ~ CESPE - Bruno Víllar
108
RESQLUÇÃO:
- .
( Assunto, combinado.1 j£-ssa:;quêâtã&:de;aperto;de, mão-pode sen resolvida pela formula: Sepdo n = número de pessoas Vamos ao processo dá suposição: Sen"do n ~ 14“(s resposta é menor que 15}
< -------- - = ------ = 78 apertos ae maoç
' 2 . 2
Resposta n - 1 3 . Item certo.
9.
Uma concessionária oferece aos clientes as seguintes opções para a aquisição de um veículo: 4 cores externas, 4 cores internas, 4 ou 5 marchas, com ou sem ar condicionado, com ou sem direção hidráulica, com ou sem vidros e travas elétricas. Desse modo, são, no máximo, 128 as opções distintas para a escolha de um veículo.
RESOLUÇÃO:
•
.
-V;-'
v V : '
- v Assunto: Princípio Fundamental.de Contagem (sucessão de escolhas) 1;a-escoJha:.coresexternas: ~ 4
■
;
.
2 ;? .^ c o i| ia ^ o r^ ji^ rr^ s .= :^ '.;;
;:. v
.;
.
3ia escolha:’marchas.55-2:{4,ou S..marchas)'
.
4.^ es"colha: ar .còndfc!onado - 2: (com ou sem ar condicionado) / 5 - escolha; direção hidráulica ~ 2 „(con\oy sem djreção)
:
,
6.® escolha?^vidros -e travas ■= 2 (com oü sem yidros e travas)' T Bésúít2Ídp:;4 4*2.22 = 256 possibilidades, Itenri errado. t
C_« '
-
-
, ~
~ *
„
'
,
'
.
-,
,
*
10. Os ramais de telefone em uma repartição têm 4 dígitos, formatados com os alga rismos 0,1,..., d. Se esses números possuem pelo menos um dígito repetido, então a quantidade de números de ramais que é possível formar é superior a 4.000.
IU
Cap. 2 -ANÁLISE COMBINATORIA
9
RESOLUÇÃO: Assunto: Princípio Fundamental de contagem Cuidado!.
.
.
-
A guestão p e d i u . r e p & i d o ; quatró-dígito? repetidos.;Vamos utilizar úm processo compleménfâr.
■ ’
■
•:
10 Algarismo 3
v / Aígárisprip 2
■.v Áigarismo 1
•
.•
1.° passo: Calcular-o totái de possibilidades: 10 (0 a 9)
•
iogor podèm.serum, dois/jtr|is#u ‘‘ ; 1 W -V .-
-Algarismo 4 v -
i *,
Resujtado total - 10’lÒJ0.10 - 10 00Ò : 2^ passo; Çaicular o- tota}^ de: possibilidades sem repetição, deidfgito? 9
10 Í0 a 9)
-
Algarismo 2 , r j*' . ’ - *
' 4 ' ^Algarismo 1
»
-
-:
Algarismo 3 " ‘
.,
- U *• \ Algarismo 4 *. >,
' í
Resujtaciq-^Hl 0;9.&7> =* 5,040
5
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t
i ** l
Temos.viQ OOQ.pbssíbiJjdades-de ramais e em 5 0.4Q, ramais nao ha repetição; de.algarismos:; togo, ém 4960 (Í0 ;000 - 5 040) ramàis tera peio menos um díg(tò repe'i|dò Item certo.
’
" ■■■‘.v 5 ■■
:
11. Um juiz deve sortear 5 homens e 6 mulheres para formar o corpo de jurados no tribunal do júri, entre 10 homens e 13 mulheres convocados. Nessa situação, o número de possibilidades diferentes de se formar o corpo de jurados é inferior a 1.970.
RESOLUÇÃO: Assunto; çombinaçâo- ~
,, 1
llpáfcuío do pfujjo dé^h<>ftjens' ”
s » -i V 4 3 W ~
'
110
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
^
-e-f-T "*nt
_
i* Calc^í^ífê grüfjo de mulheres r * " & 12^ i 10 9 8 Z12 3 5 5 2 0 716 ' S * * “ * è 5^4 3j2; 1 ~ ^720 -*
- - -
- •. i.
^
'
Rèsultadp fi,nalj= 252. ,1 716 = 432 432 (número maior que 1 970}
- w xVi i. í "* -í-a '* - —■ Iténrr errado \
, ~
(BB CESPE 03 ~ 2008) Texto para as questões 12 a 15 Julgue os itens que se seguem, a respeito de contagem. 12. Ao se listar todas as possíveis permutações das 13 letras da palavra PROVA* VELM ENTE, incluindo-se as repetições, a quantidade de vezes que esta palavra aparece é igual a 6.
RESOLÜÇÃO:'
>
v-
; Açsunto permutação com repetição.
•*;
Nesse caso, ar güestão só pêdiu'a quaptjdade de repetições da palavra PROVÁVEL- _ • r s A fomfulU Ver£ o pVòduto do fatoriai dãV tetras repetidas. ” '•Letras repetidas1E = 3 e V = 2
T
J
*
-í v7
_
í
, Resultado =>31 x 2! - 3 2.12.1 = 12 possibilidades ;: Item erradol “
^
13. Com as letras da palavra TR OCAS é possível construir mafs de 3Ô0 pares distintos de letras.
, RESOLUÇÃO:
„ _
„
Assunto Pfitfcfpio^Fundarnentai de Contagem
1
-
rr.A questao: é- sobre^ pares de letras, mas fique esperto:' pares de letras e: números são respondidos peíojRrípeípío.íundamental de Contagem
4 ,.
■ v.
-<■ i j
* r .
L e tra
1 j
1
L e tra
v * =f ^
•3 •>
ri
> Item^efrado»
i-; rx\ò*
^
* y i* f
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í j - v>
r z: «l • ’ ‘ V
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i
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-
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-
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* *»-_< +'t -t
t ^ ^
„ is í J
t '
^
^
^
í
)
^
-
*r
■Cap. 2-ANÁLISE COMBIMATÓRiA
111
14. A quantidade de permutações distintas que podem ser formadas com as 7 letras da palavra REPETIR, que começam e terminam com R, é Igual a 60.
RESOLUÇÃO: - '
•
•;
:
Assunto* permutação com repetição dé elementos
:
.
A quantidade de repetições começando e. termlna.ndo;çom R/ logo, sobra a seguinte palavra para permutar EPETIR. v . '• Na paiayra EPETIR, temos a letra £ repetindo duas vezes! P
'
;V
■'
= 5.43 = 60
item certo.
15. Caso as senhas de acesso dos clientes aos caixas eletrônicos de certa instituição bancária contenham 3 tetras das 26 do alfabeto, admitindo-se repetição, nesse caso, a quantidade dessas senhas que têm letras repetidas é superior a 2 x 103.
^Ãsàüntòi: Prinapiò F u rK ^ iii^ ^ '^ 'Q )n tá ^ è m ~ ’r f*'’’ *- :lÍ-: A; senha deve ter letras repetidas, más a guestãp não iriformou a quantidade de répetiçõés;'-(iima .: fetra..repeti.dá duas ou três.:vèzèsj^. Nesse cãso, vambs. utilizar a relação complementa r . , ; 1.*? passo: totãl de senhas..
.
'"'.S " ■:
<:Xr ; i - : tetra 1
2
6
f. ;
26
••'•V: Letra 2 '
Lètra 3
Resultado: 26; 26. 26 = 17 576 2.° passo: total de senhas sem repetição de letras ' - 1-
2é
■
. Letra 1
•.;Xietirá 2
■
24.
v
Letra 3 v -•.v
fesuitadoj 26 2 5 ^ 4 = ]5 600 ^É io ta fd e senhas torrriepetições de letras seráJgual a* í .r ~ %'■
^
*' . ‘
Iterrt erradd-(ú' nur^çro:^ 976 é inferiòr a 2,1o3 = 2 000),
576~H% 600 = 1 ?7^j -» _ C v í -
^
_
<■'
-
~
„
112
RACIOCÍNIO LOGiCO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vtllar
(Agente PF 2009) Considerando que, em um torneio de basquete, as 11 equipes inscritas serão divididas nos grupos A e B , e que, para formar o grupo A, serão sorteadas 5 equipes, julgue o item que se seguem. 16. A quantidade de maneiras distintas de se escolher as 5 equipes que formarão o grupo A será inferior a 400.
RESOLUÇÃO: Assunto: combinação Total de equipes: 1 1 , Para o grupo A çerão escolhidas 5 equipes.
cc .,
- 11.10.9 8 7 55440 . ------------------------------------------------------------------------------ 4g2 ' - . 5.4 3.2 1 >* 120 ’
item errado.
A diretoria da associação dos servidores de uma pequena empresa deve ser formada por 5 empregados escolhidos entre os 10 de nível médio e os 15 de nível superior. A respeito dessa restrição, julgue os itens seguintes. 17. Há mais de 20 mil maneiras para se formar uma diretoria que tenha 2 empre gados de nívei médio e 3 empregados de nívei superior.
RESOLUÇÃO: Assunto: combinação'J Escolha de dois empregados de nível medio
102
2L v
tJ>
’ 2~"~ -j ^
v
Escolha dos 3“ errypregadqs "de nível superior. C
- ' *-,í v — 13 J27 3 Q _ '
- 15
- 3 ~X 3 2 i ~ r
6, 7
k
Cap. 2 - ANÁLISE COMB1NATÓRIA
113
18. Com os algarismos 1, 3, 5 © 7, admitindo-se repetição, é possível formar mais de 60 senhas de três algarismos. RESOLUÇÃO: Assunto: Princípio fundamental de contagem (sucessão de escolhas). Restrito; não possui
'
’
*
„
l;?.algansmo =. 4esepíhasv-.2° algarismo == 4. escolhas .3£:aigáirismp.~ '4,:èkoÍhêís " Resuiíádó.: .4.4.4=?',64--possibilidades. Itèm.certo.: ..
.
19. Considere que, em visita a uma discoteca, um indivíduo escolheu 10 CDs de cantores de sua preferência, todos os CDs tinham o mesmo preço, mas esse indivíduo dispunha de dinheiro suficiente para comprar apenas 4 CDs. Nesse caso, a quantidade de maneiras diferentes que esse indivíduo dispõe para es colher os 4 CDs que irá comprar é inferior a 200.
RESOLUÇÃO:
,
.
^Assunto-"combmação,(escolha de grupo) v C 504
* ™ S 7 - 1QA8.7 _ 5Q40 = ~ .4} 7 4.3.2.l " 24 " .
Item errado*
Texto para as questões 20 a 22 (PM Acre 2008) Define-se anagrama de determinada palavra como uma “palavra” formada a partir das letras da palavra dada, tenha eía sentido ou não, ou seja, um anagrama de determinada palavra é quaiquer reagrupamenio das letras dessa palavra. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 20. Com a palavra ACRE, é possível formar menos de 20 anagramas distintos.
RESOLUÇÃO:
„
r
Assusto* pçrmutação se_cn repetição de elementos rQbs„ Anagrama ê 5 troca de posição das letras dé urna pálavía>çom sentitfo ^pu
114
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
21. Com a palavra ACRE é possível formar mais de 10 anagramas que começam com consoante e terminam com vogal.
" RESOLUÇÂÒ:
,
a •1
. s Assunto: per-mutação sem repetição de elementos
"d t Nesse c?so, tçmosjduas restrições
-"
t
*4 »>:s^»M
'
:‘:-;£Í‘V-.f
"livre
Consoante
-•• •,
■ -, .
: íivre ; " v
-è r ,n$
'•. Voga! ;•
- ",4
Primeiro, devemos calcular a restrição.
2. (to\al de. consoantes).
\
•livrê
Consoante
i
'
iivré "
:..
'2 (to£ai,de:vogais).'-Vogal
iViíí: ;-vt•••-í
-
^Nessecasõ, otupamos çl^as posições. Jogo, perdemos 2 eiémentos. - ; r:; ^ f V i -1 X V/ - '' ............ ‘ ’ .r ,, ' -- ’-'Íl :Como 'tínhamosv^.lêtras^e.peídèmo^duas posições,-fógo,'Sòfe^m '2' !etrai'!paráV^ ert ., ~ -i ^ -> ^ escolher1 * - - V\ \ /,*- J',-; .* > l* ' *■2 * ’1"1»
2 (total’der|etr?s restantes)
Consoante
livre"
ít'-í-í
~“
t livre
'M
-v2 {total de.\vogais):: ■■■■-■ Vogal
■•'
.'Resultado:2;2J.2~8-possibiItdades. , Item errado.
■
■>
22. Formando-se todos os possíveis anagramas da palavra ACRE, em mais de 10 desses anagramas, as letras A e R aparecem juntas, nessa ordem ou na ordem inversa.
RESOLUÇÃO:
"
Assunto^permytaçaÕ sem repetição de elementos- -
"
I
i^RestnÇão A e R-deVem aparecétfünts&í* v ~ “ % *">vC.' N ^ .. ^Nêsse caso, dua? letral yaõ ficar juntas^pof isso, contamos um par AR como uma n - ^ iáfra so* ~ * ~ "1
•Cap. 2 -ANÁLISE COMBINATÓRIA
115
/Vamos ao cálculo da: posição:
\ \
'
íi
..
Agora, ao cálculo 6as letras:.. . . :1.a escolha: 2 (AR ou. RA) :.
L
2
,tv . ■■■ .. .......
/ .
':
13 ' ;
•
-■
;•
,
’„ '..
,
'
*2.® escolha: 2 :{pocíe'mos escolher letra E; ou C ;.para .ocupar, a posição das' iètràs ■ simpies); ■; ; /- - v ■;/; \ 3.a, esco}hã:1 (letra que sobrou dé E e Q
‘
Resultado: 3.2:2ilV=- í2 possibilidades. . Item certo.
(Agente Fiscal de Tributos Municipais 2008) Texto para as questões 23 a 26 As seguintes informações foram adaptadas do sítio www.teresina.pLgov.br. A Ouvidoria Municipal de Teresina é uma unidade criada para que o cidadão possa tirar dúvidas, enviar reclamações, denúncias, elogios e sugestões relati vas à administração da prefeitura e demais órgãos correiatos. Essa ouvidoria é composta por 11 profissionais, assim distribuídos: 1 ouvidor-geral, 3 técnicos, 2 dlgitadores e 5 auxiiiares. O GeoVista, um sistema de geoprocessamento que usa recursos do Google fiflaps, é disponibilizado a partfr do portal da prefeitura de Teresina para facilitar aos cidadãos o acesso a mapas e consultas de endereços, trajetos de um ponto inicial a um ponto de destino, entre outros serviços. Uma das possibilidades para se localizar um endereço por melo do GeoVfsta é utilizar o código de endereçamento postal (CEP), que possui 8 dígitos, entre os quais são destacados um prefixo de 5 dígitos, e um sufixo com 3 dígítos. A partir das informações acima, julgue os itens a seguir. 23.
A quantidade de maneiras distintas de se constituir uma comissão formada por 4 profissionais da Ouvidoria Municipal de Teresina, de modo que essa comissão contenha um profissional de cada categoria, é superior a 300.
m?RÉ50LUÇÂ0': - pir ^ N*■*■$--- ^ t !" f 1 *físsüntó> cornbinação<(escoihã de grupo de pessoas) < Vamos escolher uma pessoa õè cada grupo! •
■i
. .V.;-
-'Álí
r.\TV-..
r ^ T v . t ‘. " r A i . .v i ' -
' • .- . - . . . . .
_ ■ - ........... I
Temos 1 ouvidor, 3,técnicos, 2 dígitadores e 5 auxiiiares - ~ * ^ 0n í, rJ
( •<]s§ijí§0'r ,
„ r •-1 .............—.
_. v«.
'~ft <"
-
..........-
116
RACIOCÍNiO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS -C E S P E - Bruno Villar
C7 Cí r C^ i CSi
=5i 32 5 = 30 possibilidades
,^
'ltem'!errada--:;
\
- :
'
24. Há exatamente 238 maneiras diferentes de se constituir uma comissão formar da por 4 profissionais da Ouvidoria Municipal de Teresina, de modo que essa comissão contenha, no máximo, um técnico.
RESOLUÇÃO: , > - * Assunto: combinação
~
^ ............ -
..'á f
~ , r . Cuidado! No" máximo urh técnico significa ter um'ou nerihütátéwife&^ I a opção: Sçm técnico
-
\
Nesse caso; o totaí de 11 pessoas será abatido de 3 pessoas,'os:técnicos.
. ;Jp|
C - 8 7 6 5 8-? 6-5 = 1680 ~ 70pps|tjbiitsg(ades. ”84 *4i ' A 3 2 V 24 i, / / x -n, c '«•>».. . 2* opção Conténdo 1 técnicoe 3 sendo outra área v * * ^ ^ < Cálculo do técnicor
Cálculo da outra áreartl 1 - 3 =? 8 pessoas, que nao são técnicos) ~
1
C 1 a 7 6 ^ 87:6 - ^ 56 ...P“ - 3 2 1,71 $ ~ ._■>
31
Resultado 3 56 =168
,
‘
^
.
*“ *
,
-
v
r
:
:f í -
*
* ,
Resultado finai 70 + 168 =-238r •
J' ”
r - : 'S - : - V :/ V 1
'
J
,
. /.•••
* 3
. "
'
*n V
■
Item certo.
-
^ '
'
T
jJ
V--'-'-V ; '
-
.i
25, Considerando-se que o primeiro dígito do CEP corresponde à região postal que inclui determinados estados, e que o esíado do Piauí faz parte da região 7, então; há exatamente 1D mi! maneiras diferentes de se compor os prefixos dos códigoff de endereçameníos postais da região que inciui o estado do Piauí. ; BESoi;yçÃoj ;
{.A * Vvrf~;
i,
Assunto' Princípio fundaoiefitaí
>„
i
.
'
,
-
~ * k~
• ±
çohtag~em “
Cap. 2 - ANALtót ^UíVieu^nj wr\i^
Cuidado! A .questão está .pedindo apenas o prefixo (são-.S dígitos), sendo o. primeiro dígito 7. l
,
§ § 3 i® i§ i 2? algarismo
l.Q algarismo
-■ -3.^ algarismo
■
, jp
'4.° afgàrismo'
0 pnmeiro algarismo deve sér 7, ou seja, apenas uma escolha. Do segundo algarismo em diante/a escolha é íivre,. ou .seja; 1.0. elementos (total de algarismos de Q a 9). Resultado: 1.10.10.10 = 10000. item certo.
'
'
;
-
■-
26. A quantidade de sufixos dò CEP que podem ser formados de modo a conterem, no máximo, dois dígitos repetidos é inferior a 950.
H||PLUÇ^Ôí
‘
; ^
:/
■^f|ünto^*-Rr-incípío,Furic|afTientai.dÊ Contagem;'■■Nèssè;eàsói'a^
;
. j-
•
pedjRdo' o-sÜft^d' {3 'dígitos, de; acordo com 0e*tò)l s
No‘ máximo'áaii-^^itQS repetidos, o que significadizer què.pp^riíòs ter hénhum, um ou dois dígitos repetidos. i:a opção:Tptaí de,dígito$.
: .7 .
•
Resyit^o^.10,10,10.,==, 1...000..
. . ..
2 ? ppçãõí;Repetjçaçi^^ô tr^/algarismqí.
Resultado:' 1G.1:;Í=M Ò' '
: •
............. . - •
Resujtado-para no máximo:duas repetições: 1.000
; - .;7
■■ .10. = 9$0 -
. ....
'' ítem-errado
7
r .^ . ^ ■ • £ ”:V ‘
A Policia Federal brasileira identificou pelo menos 1? cidades de fronteira como locais de entrada íiegat de armas; 6 dessas cidades estão na fronteira do Mato Grosso do Sui (MS) com o Paraguai. Internet: (com adaptações). Considerando as informações do texto acima, julgue o próximo item. 27. Se uma organização criminosa escolher 6 das 17 cidades citadas no texto, com exceção daquelas da fronteira do MS com o Paraguai, para a entrada iiegaf de
118
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE ~ Bruno Vittar .
^
armas no Brasil, então essa organização terá mais de 500 maneiras diferente^ de fazer essa escolha.
T RÈSOLUÇÃO:
'
’ Assunto- combinação : Devemos e&luir 6'adades,da escoiha .total, logo, 17 - '6 = 11 cidades para escc^p íb | r ^ ^ ~~ ^ 1 J " 1' ’ * = 462 possibilidades. < ‘í’5:ltèm,erra'do.5V-'--vQ'V/;^í^
-’H W 28. (CESPE 2010} Suponha que uma empresa, ao promover um concurso para escolha de seu novo logotipo, tenha recebido 52 propostas diferentes.- Nessjff caso, se 5^dessas propostas serão escolhidas como finalistas, a quantidade dè.jf possibilidades diferentes para tal escoiha será inferior a 2 milhões.
RESOLUÇÃO: "f ' ’ < f - = 52 51.50.49 48- ,3 2 51 50 49 ^ j 598 960 i J 54 3 2 1 ^ ' V r í‘ftS^ÈSSs'' K' i ,^ „ i w Item errado. - ~‘ ‘
'
GABARITO 01 - Certo ■
02 - Certo
03 - Errado
04 - Certo
05 - Errado
06 - Errado
07 - Certo
08 - Certo
09 - Errado
10 - Certo
11 - Errado
12 r- Errado
13 - Errado
14 - Certo
15 - Errado
16 - Errado
17 - Certo
18 - Certo
19 - Errado
20 - Errado
21 - Errado
22 - Certo
23 - Errado
24 - Certo
25 - Certo
26 - Errado
27 ~ Errado
28 - Errado
*
-$k
&
PR O B A B I L I D A D E
"É melhor estar preparado para uma oportunidade e não ter nenhuma, do que ter ume oportunidade e não estar preparado" Whstney Young Jr.
NOÇÃO INICIAL DE PROBABILIDADE
espaço amostrai
Texto para as questões 1 a 3 (CESPE) Em uma loteria, com sorteios duas vezes por semana, são pagos mi lhões de reais para quem acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre seis e quin2e números dos sessenta existentes no volante e pagar o vaior correspondente ao tipo da aposta, de acordo com a tabéía abáfxò. Para o sorteio de cada um dos seis números, são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas boias numeradas de zero a cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos, considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos.
120
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CHSPE - Brvnp Villar
1,00
6
A6
7
A7
7,00
8
A8
28,00
9
A9
84,00
10
A10
210,00
11
A11
462,00
12
Al 2
924,00
13
A13
1.719,00
14
A 14
3,003,00
15
Al 5
5.005,00
internet: . Acesso em ]uíi2003 {com adaptações)
Acerca do texto acima e das informações nele contidas, julgue os itens sub sequentes. 1.
Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são todos os Inteiros positivos compreendidos no intervalo [1, 60].
RESOLUÇÃO:
"
A que§tão está. afirmando o espaço amostrai, què é o total de elementos do con-. junto. v ; O espaço amostrai diz respeito a todos.os números naturais.de 1.a 60. ,•, . Itemceirto; • .
2.
; ..
....v.
Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que o seu algarismo das dezenas seja igual a 3 é Igual à probabilidade de que o seu algarismo das unidades seja igual a 5.
■ ';- R E S O L U ' Ç Ã p F - ' '
'
L;.
y -y
■ ..•/•"
• • ••'‘ ;H
....'' 1.f caí<ü!p:^protíaj3i|tô^<áe de sair 6 átg^rjsrftQ 3 nó'glòholdá'dezèna.T • sh p(A)
;í
'e v .e n t o j
-
-
■
. , r n . . ,
••
* » &paçovi$imfaíral i
-
UÍ4
*?.{'.*
^
. t*. ' '
z .f í & i ;." .
’- ,
••
O espaçç amostrai é. igual a 6, pois o globo, das dezenas contém os. números de. 0, 1 , 2 ; % 4 e S:
' Vt
u t
Cap. 3 -PROBABILIDADE
f
:-------------------------------------------------------------2.° cálculo: probabilidade de sair o algarismo 5 no gíobò dás unidádes.::;-
evento
- _j.
; espaço' amostra!
•
,
:
.
W
-
■'
V
; |q
Q espaço amostrai é .igual a 10^ pois o globo, das dezenas contém os, nümeros 'de ò-a.-9 ; : • •• . ■ ••• , .••“ .'■é'-diferente de J L . ; ítem errado. . • .
, ;
■*, .
;
/
.
3. Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o 58 é superior a 0,02.
RESOLUÇÃO: '
‘
'amostrai
’
60
: Hesse.casq; o espaço amostrai é 60, temos 60.números de‘"1 à.60. . "
4. Considere que a corregedoria-gerai da justiça do trabaiho de determinado estado tenha constatado, em 2007, que» no resíduo de processos em fase de execução nas varas do trabaiho desse estado, apenas 23% tiveram solução, e que esse índice não tem diminuído. Nessa situação, caso um cidadão tivesse, em 2007, um processo em fase de execução, então a probabilidade de seu processo não ser resolvido era Superior a 4/5.
RESOLUÇÃO:
, ;
,
,
Se ‘aíchanee.. de,ter. solução, é. de. 23%i então- a,.chancejde:;não;ter, sucesso .-e-77%^ ou^seja 100 - 23. _ f f'
122
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CÊSPE - Bruno Villar
Texto para as questões 5 e 6 Por meio de convênios com um plano de saúde e com escolas de nível funda menta) e médio, uma empresa oferece a seus 3.000 empregados a possibilidade de adesão. Sabe-se que 300 empregados aderiram aos dois convênios, 1.700 aderiram ao convênio com as escolas e 500 não aderiram a nenhum desses convênios. Em relação a essa situação, julgue os itens seguintes de 5 a 6.
5.
Escolhendo-se ao acaso um dos empregados dessa empresa, a probabilidade de ele ter aderido a algum dos convênios é iguai a 2/3. r
RESOIUÇÃÒ:
- - ^.
.i.Eçpaç? arpg$trál:,.3Q0p
-
'■
. V. .
- ' '4
Evento; há algum, dos convênios = 3000 - 500 = 2500; Se 500 não fizeram nenhum, Jogo 2500 em aigüm plano; •p/Av _ :2500-
{’
5^
' . ■ '• V..-'--/;
3000 ~ 6
. . ..
v . .
.. V./-.V
.
-*i;í?"séS
6. A probabilidade de que um empregado escolhido ao acaso tenha aderido apenas ao convênio do piano de saúde é igual a 1/4. ^ ■i t í RESOLUÇÃO
? -í
'
,:uRelo menosvãJgurn convênio 2500.
r*- t**
^
item errado-.
i
^
>
>■
-
,
Cap. 3 - PROBABILIDADE
123
7. (TS E ) Para se ter uma ideia do perfil dos candidatos ao cargo de Técnico Judi ciário, 300 estudantes que iriam prestar o concurso foram selecionados ao acaso e entrevistados, sendo que, entrç esses, 130 eram homens. Como resuitado da pesquisa, descobriu se que 70 desses homens e 50 das mulheres entrevistadas estavam cursando o ensino superior. Se uma dessas 300 fichas for selecionada ao acaso, a probabilidade de que ela seja de uma mulher que, no momento da entrevista, não estava cursando o ensino superior é igual a (A) 0,40 (B) 0.42 {C> 0,44 (D) 0,46
RESOLUÇÃO: Espaço amostrai: 300 (total de pessoas) Evento: 120 (mujher nâo cursando ensino superior) São 130 homens, logo 300 - 130 - 170 mulheres no total. Dessas 170 mulheres, 50 estão cursando ensino superior, então 170 - 50 = 120.
•k(A) = 120=11 = 0;4 m . ■■■300.
30
íWposta: letra
Texto para as questões 8 e 9 {T R T 17} Em 2007, no estado do Espírito Santo, 313 dos 1.472 bacharéis em direito que se inscreveram no primeiro exame do ano da Ordem dos Advogados do Brasil (O AB) conseguiram aprovação. Internet: (com adaptações). Em 2008, 39 dos 44 bacharéis provenientes da Universidade Federal do Espírito Santo (UFES) que fizeram a primeira fase do exame da O AB foram aprovados. Internet: (com adaptações). Com referência às informações contidas nos textos acima, julgue os itens que se seguem.
8. Se um dos bacharéis em direito do estado do Espírito Santo inscritos no pri meiro exame da OAB, em 2007, fosse escolhido aleatoriamente, a probabilidade de ele não ter sido um dos aprovados no exame seria superior a 70% e Inferior a 80%.
124
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - 8runo Villar
RESOLUÇÃO:
r
Esgaçp amostrai
1_47?
v
]
- Evento: 1472'- 313 f 1159 (n|o'te'r sido aprovado) P(Á) — Ü 2 Í * Q/7873 ou 78,73%" " / ; J4 7 2 , ' ,. . Item çertç/
9,
•
Considerando que, na primeira fase do exame da OAB de 2008, 87,21% dos ba charéis em direito da Universidade Federai de Pernambuco (UFPE) tenham sido aprovados, a probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFPE que fizeram esse exame será maior que a. probabilidade de se escolher ao acaso um dos aprovados entre os bacharéis da UFES e que também fizeram o exame da OAB.
RESOLUÇÃO: Espaço amostrai = 44 Evento = 39
"
px
P(A) - ^ ~ 0,886 ou 88,6% - « 44 _ ' * : ' :7 V.-*s*í.sU • '/v- ' -V’ ’ .■ A probabilidade, da UFPE é 87,21%-e a da: UFES.é .88,6% item errado.
Texto para as questões 10 a 13 (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vitimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.
•:/estado ém que
'
totáí de vítimas fatais
sexo mastüjinò :
: séxo/fièrníniho
Maranhão
225
81
Paraíba
153
42
Paraná
532
142
Santa Catarina
188
42
Cap. 3 - PKUBAtíJLlUAU C
A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabefa acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, juigue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. 10. A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,2.
RESOLUÇÃO: /• --Espaçoámqstfal: 1405.^ .: Evento: 225 + '81^300 R( A)•
= =
• • ..•••.•■’.•• ‘
'
.
;
.^2.17:-21,7%
^
.
item certo.
11. A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%.
r És ò l u ç ã o :
' / •' •
:
•••; • '•
■.■Bpáço amostrai: 1405 Eyento: 81 +42.4- 142 + 42 = 307
. '
:
,•
P(A) =~ » 0,218 ~ 21,8% . 1405. • . . ,
-■
. . ‘
Item errado. '
,
/ .
12. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é superior â 0,5.
RESOLUÇÃO: Esjsaçafamostral = 1405 *-■.307 = í 098 (a -vítima :foi do sexo. masculino) ^v,çjotp:,532.(sexo masculino;dO::Paraná} >. * ' •' '■|>CA> « = 0,488 ' • , 1098 Iiemerrado.
.
,p?. >
, -
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE ~ Bruno Villar
126
~
~
:
:
i
13. Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no estado do Maranhão é superior a 0,27.
; RESOLUÇÃO:: :: ^ ’Éspaço^eifnostral; : I.ocorreu no. paraftá).
-?532 “ 142 =731' (ümà vítima'de um acidente que não - t í . : , - v. ..... .
•>. Evento: 2ÍS (mâ$cuiino: e dó estado do Maranhão) '
■; P(A) s 225 4.0/30 .r • -731 •!•:./-•;
-% ’ V
; •■■■j
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s-
.Item certo.
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• ;/v .
..‘-.í . ’
' . ‘j
^
'•/
.
• ■
■ .
•
•
•
•’
GABARITO 01 - Certo
02 ~ Errado
03 - Errado
04 - Errado
05 - Errado
06 - Errado
07 - A
08 - Certo
09 - Errado
10 - Certo
11 - Errado
12 - Errado .
13 - Certo
PROBABILIDADE DA UNIÃO P ( A U 8) = P(A) + P(B) - P (A P i B)
Texto para as questões 1 e 2 (CESPE) Em um concurso público, registrou-se a inscrição de 100 candidatos. Sabe-se que 30 desses candidatos inscreveram-se para o cargo dè escriturário, 20, para o cargo de auxiliar administrativo, e apenas 18 candidatos se inscreveram para os dois cargos. Os demais candidatos inscreveram-se em outros cargo s. Julgue os itens a seguir, considerando que um candidato seja escolhido alea toriamente nesse conjunto de 100 pessoas. 1. A probabilidade de que o individuo escolhido seja candidato ao cargo de auxiliar administrativo ê superior a 1/4.
Cap. 3 - PROBABILIDADE
127
f RESOLUÇÃO: .. Espaço amòstraí: 100 ... ■Eventó auxiliar: 20 Évehto esèriturário: 30 Evento àiixíííar e escritxirário: 10 (elementos comuns) P(A) =
'= * > !!_ = I = 0,2 100.: 100:JO 5
1/4 = 0,25, iogò, o resultado é inferior, item errado.
2* A probabilidade de que o indivíduo escòlhido seja candidato ao cargo de escriturãrio ou ao cargo de auxiliar administrativo é igual a 1/2.
RESOLUÇÃO:
H
''íi^p^^TTíostra!:' Í OOy Everitp:auxiliar: 20 • 7 -
■.•••;> •••
\ ; v->'' •
■.
■■ Evehtb.escriturário; 3 0 . . . r
■ •• •
Eventó-auxiliar, e escriturário: 10 (elementos comuns) P(A.O B); - P(A) + P(B) - P(A O B) B) = ^ - + Í » - J l = i 2 - = i í ! . = 2 100 100 100 100 100120 5 item errado.
3. (TR T 9.® região) De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada, ou que seja um processo solu cionado sem mérito, ou que se/a um processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 3/5.
128
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE ~ Bruno Viüar _
_
f
f RESOLUÇÃO:
'
.... ’
’
;.Prol?abíilida.d&-íeQca d
. ■ <' ‘
.• ^
1
C\
-
?|
•Nesse.cajsftvnão tçmos elementos;comuns: : ■
"M . ' ^ r w
p/à
20'. i ' ■*'1■1
20
ÍO O T 100. ' .1QQ/-400'-l 10,0
Item certo.
-
'
'
5
; S
•_ V
-.
-
*1
Texto para as questões 4 a 6 Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paús (Ê), espadas (í), copas (1) e ouros (Ê). Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente, Com base nessas informações, julgue os itens subsequentes. 4.
A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho & ela conter uma das figuras citadas no texto é iguat a 3/13.
RESOLUÇÃO: Espaça :amostral: 52 cartas (total de cartàs) .■•> Eyeoto: 1-2-cartas (total de figuras, pois cada naipe tem 3 figuras)
m ~
‘ - 5 2 ‘ 52a
13
'-
item certo; /
5.
-.......- •
-•
'
Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que a probabilidade de se extrair uma carta e ela. não ser um ás de ouros é igual a 1/52.
•r e s ó l u ç ã O:
;;/.y
, r ,;;:';
Esp^çpuarrçostraJ; £ 2 carta^-ftpjgl;^cartas) . Evento:*51 ^devemos tirarXimà éartá'que não seja um as-de-ouro}; \
1 -
f
P(A) a ~ 52 Item errado:
,
■
X
ilv v .
•
[
•:v vvS] ^
Cap. 3 - PKUbAtílLiuauc
6. A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de paus é igual a 11/26.
fiHSQLÚÇApt ;
’
■
Espaço amostra!: 52 cartas Evemòí uma .figura ou carta de paus Total de figuras - 1 2 (3 figuras em cada naipe)
:- -
-
Carta de paus = 13 (Paus é um naipe do baralho,, iogo; .13 cartas) : Temos, agora, elementos comuns (figura e paus ~ 3)P (A U B ),= P(A) +;P{B) - R (A H 8).
52
y :^ : - ^ ’p : y s 2
26
item certo. -
7. Se, entre as 16 empresas contratadas para atender aos serviços diversos do TRT, houver 4 empresas que prestem serviços de informática e 2 empresas que cuidem da manutenção de elevadores, e uma destas for escolhida aleato riamente para prestar contas dos custos de seus serviços, a probabilidade de que a empresa escolhida seja prestadora de serviços de informática ou realize a manutenção de elevadores será iguai a (A) 0,125 (B) 0,250 (C) 0,375 (O) 0,500
RESOLUÇÃO:
.
. . .
: Espaço amostrai: 16 (total ,de empresas)' -
\-.-v
7 7;'
7
Evento:,uma; empresa, prestadora de serviços de infornnática ou que: realize a má? nutenção'de elevadores , ' >• '. , . ^ 7' ■ : '* r\ Nes^e caso,,pão temos.elementos comuns. P (À U Í)= 'P (A )-+ . P(B)
^ À U B )= f p ; • - -
1&
+ 16
•;,,,’Rêspbst^:;,!e|ra';C;
. ‘
7
~
— = 0,375 " 16 y • - ,
^
-7 ; y 7 /7
r r
Z
M
i : <' ' , . : - ;.-7 :
7
1
'7 7’’ 7 ^ ''7 =r/ 7 7 ;'^ '''7 " V ^ '7 ;'7 V'' 7 7 ....
130
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viilar
8. Ao se lançar dois dados não viciados, a probabilidade de se obter peio menos um número impar é superior a 5/6.
i RESOLUÇÂp:
:
.\
''[ Espaço yamo&tr;ai'.= 36,(são dois lançamentos, ou seja,. 6 . 6- - 36 possibilidades) . E ve o to í-p ^
_
ímpar • -
. ;
Nèssé ’casb, vãmos: Gaíeuiar a probabilidade de ocorrer somente números pares. i EossibilidadeS de eventos contendo número par: (2)2)/ (2,4}/ (4,2), (4,4), (2,6), (6,2), (6,6) = 7 eventos ^ : : ■ p(a) = 2 36
'
'
^ -
...
...;• >.
A probabilidade de ter pelõ-menos um número ímpar será: ~ 0,805 e ” = 0,83 ; 36' ; 6 ■; :ltem errado. .
.
(36 - 7 = 29} - : ; ;
\ ..
' .
■
"■
'V ’’
,
9. Considere que, em um jogo em que se utilizam dois dados não viciados, o jogador A pontuará se, ao lançar os dados, obtiver a soma 4 ou 5, e o jogador 8 pontuará se obtiver a soma 6 ou 7. Nessa situação, é correto afirmar que o jogador 2 tem maior probabilidade de obter os pontos esperados.
RESOLUÇÃO: 1 .1;0 cálcuÍo: Probabílidade do jogador. A ganhar.. ;Espaço amostráh 36 possibilidades £Vento;.somCi ou 5 = 3 + 4 **-.? possibilidades *, Soma 4: (2,2), (3>1) (1,3) Soma 5. (2,3) (3,2), (1,4), (4,1) P(A) =
Z 36 , ' T ,
•M- cálGulQí.âfôbabilidade.do jogador 8 ganhar. .' : í tv - o ‘ ~ iH * « : ^ Espaço àtnqstral; 36 possibilidades Evento: soma 6 ou 7 = 5 + 6 - 1 1 possibilidades
Cap. 3-PROBABIUDADE
131
Soma 6: 0,35, (2,4) (4,2), (1,5), (5,1) Soma 7: (3,4) (43)» (2,5), (5,2), (1,6),' (6,1) ; ’.!.
. .
; .
P(B)=riI 36 O candidato B tem mais chance. Item certo.
De acordo com o jorna! espanhol El Pais, em 2009 o contrabando de armas disparou nos países da América Latina, tendo crescido 16% nos últimos 12 anos. O crime é apontado como o principal problema desses países, provocando uma grande quantidade de mortes. O Indice de homicídios por 100.000 habitantes na América Latfna é alarmante, sendo, por exemplo, 28 no Brasil, 45 em Ei Salvador, 65 na Colômbia* 50 na Guatemala. Internet: . Tendo como referência as informações apresentados no texto acima, julgue o item que se segue.
10* Se, em cada grupo de 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade de que um cidadão desse grupo seja assassinado é 30 vezes menor que essa mesma probabilidade para habitantes de El Salvador ou da Guatemaia, então, em cada 100.000 habitantes da Europa, a probabilidade referida é inferior a IO-5.
RESOLUÇÃO:
."V.-. •
Calcular a probabilidade de alguém ser assassinado em El Salvador oü Guatemala. P ( Á U B ) = P(A) + P(B) P(A U B). -
45
+ — ~ — - _ 95
100000 100000
100000
= 0 00095
Na Europa, a probabilidade é 30 vezes menor. P(C) = 0,00095 ^ 95.10"5 „ 3 16 0,s • 30 30 r ’ - 3,16:1 Ò'?ésuperior a 10 5. ;y'Jtem errado. '•
•' ' : .; ' • • • ;
~':\ v '
11. (MPE RR/2008) Em uma urna há 100 bolas numeradas de 1 a 100. Nesse caso, a probabilidade de se retirar uma bola cuja numeração seja um múltipio de 10 ou de 25 será inferior a 0,13.
132
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viltar
RESOLUÇÃO:
■
.1.° cálculo: múltiplo de 10 Espaço amostrai: 100
:. .. ,
■,
. :."
xEventoráO^IOO:: :10 =?í10 múltiplos de 10}.. P(Àf = Ü L 100
.
. ..
^
-í
2.p cálculo: múítiplo de 25
:
■ Espaçe»'amostrai: 100 Evento: 4 (100 : 2S = 4’ múltiplos de 25} P(B) « - ± 100
.
.
,
.
•.
3'.P.-.Gáiculp:-m.úitiplo comum de 10 e 2 5 — 50 (m,nrt,ç de 10.e.25) Espaço: amostrai:. 100
.
Evento: 2 (100.: 50 = .2 múltiplos, de 50)
x
100
<
P (A U B) = P(A) + P(B) - P (A H B ).
P (A U B ) = i L T _ i ____ L - ü , ^ 0 1 2
100 T100
100
100
Item certo.
GABARITO 01 - Errado
02 ~ Errado
03 ~ Certo
04 - Certo
05 - Errado
06 - Certo
07- C
08 - Errado
09 - Certo
10 - Errado
11 - Certo
PROBABILIDADE BE ELEMENTOS SUCESSIVOS (REGRA DO E) Texto para as questões 1 e 2 Um juiz deve analisar 12 processos de reclamações trabalhistas, sendo 4 de médicos, 5 de professores e 3 de bancários. Considere que, inicialmente, o juiz selecione aleatoriamente um grupo de 3 processos para serem analisados. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
Cap. 3 - PROSABiUDAüfc
1. A probabilidade de que, nesse grupo, iodos os processos sejam de bancários é Inferior a 0,005.
RESOLUÇÃO: Temos 3 sorteios, os três devem ser bancários. 1®sorteio: Espaço amostrai: 12 (total de pessoas) Evento: 3 (total de bancários)
•' •
Í--1 12
'' • : V : ;V ; í. • ' •' . . ' •
4
2:® sorteio: Espaço amostrai: 11 (total de pessoas, porém devémos abater uma pessoa) Evento: 2 (total de bancários, porém um foi sortegido no primeiro sorteio)
r
M
'■
^ '--'
^j»s o rte iu :
V. -=<£:. r ;;
••. - O " ; ; ; ; - ' " ' - '' -;v •• • .
■'¥7^ipàçò: amostrai:- Í0 (total dé pessoas restantes)
Evento: 3 (total de bancários restantes)
' ■"
: / v>
--.Ky
■ •. (
.
•
......
R e s u l j.t a1 d 2o :: ,1i j r v J2 L ~ q 0045 * 4'11'10 440 1 item certo.
2. O número de possíveis grupos contendo 1 processo de professor, 1 de bancário e 1 de médico é inferior a 55.
- RESOLUÇÃO: - Assento: combinação (escolha de grupo)
134
.------------ . 3.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Brvno Víllsr
.
!
Considere que a prova objetiva de um concurso tenha 5 questões de múltipla escolha, com 4 opções cada uma. Considere também que as questões sejam independentes e que um candidato responda a todas elas aleatoriamente. Nessa situação, a probabilidade de ele acertar todas as questões é inferior a 0,05%.
RESOLUÇÃO;
Serão 5 sorteios, sendo o espaço amostrai de cada igual, 4 (total de opções) e o evento;será 1 P (Á O B)
4
*'4 ^'4 *4
1.024
0,09%
Item errado.
(CESP E 2009) Texto para as questões 4 e 5 Cpnsiderando que Ana e Carios candidataram*se a empregos em uma empresa e sabendo que a probabilidade de Ana ser contratada é igual a 2/3 e que a pro babilidade de ambos serem contratados é 1/6, julgue os itens subsequentes. 4.
A probabilidade de Ana ser contratada e de Carlos não ser contratado é igual a 1/2.
RESOLUÇÃO: ; : Â probabi(idade < Apròb3bi{ieláde;< Á probabilidade de ambos (Ana e Carios) é resultado do produto das probabilidades.
ObS;:..Dívlsão_ de fraçãor conserva a 'primeira e muitipiica pelo inverso da segunda fração: Próbablfidad& Ana ser, contratada
2
Cap. 3 - PROBABILIDADE
135
Probabilidade de Carlos ser contratado - — , logo, não ser será: v. 4 4
5. Se um dos dois for contratado, a probabilidade de que se)a Carlos será igual a 1/2.
RESÕLUÇÂÕ: Se um dos dois foi sorteado, então a chance de cada um foi 1/2. ; Pode ter sido Ana óu Carlos!; Item certò.
.
\ ■ '.
8. (ft/JPE RR 2008) Um dado não viciado é lançado duas vezes. Nesse caso, a probabilidade de se ter um número par no primeiro lançamento e um número múltiplo de 3 no segundo lançamento é igual a 1/6. RESOLUÇÃO:
••••
1,° sorteio: N ú m e r o ; p a r ; : Espaço amostrai:, è
-5 '
’ Evento: 3 (2 ,4>- 6 números pares)
; ' . .....
2.° sorteio: Múitiplo de 3 Espaço amostrai: 6 Evento: 2 (3 e 6 múltiplos de 3)
À probabilidade'de se tèr um número par no- primeiro lançamento e 'um número múltiplo dè 3 no segundo lançamento é igual a:
.Itemtèrtõ;
136
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Villar
Texto para Texto para as questões 7 a 9 estado
quantidade
São Paulo
16.000
Pernambuco
6.500
Rio Grande do Sul
5.500
Rio de Janeiro
5.000
Com a campanha nacional do desarmamento, a Polícia Federal já recolheu em todo o Brasil dezenas de milhares de armas de fogo. A tabela acima apresenta a quantidade de armas de fogo recolhidas em alguns estados brasileiros. Considerando que todas essas armas tenham sido guardadas em um único depósito, julgue os itens que se seguem. 7. Escoihendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade de ela ter sido recoihida em um dos dois estados da região Sudeste listados na tabela é superior a 0,73.
RESOLUÇÃO: . : Espaço amostra1:16000 + 6500 + 5500 + 5000 = 33000 fverçto; 16000 + 5000 = 21 000 (estados da-região sudeste) P(A) =.21000 _ o,63. ' 33000
'
-
Item errado.
8.
Escolhendo-se aleatoriamente uma arma de fogo nesse depósito, a probabilidade de ela ter sido recoihida no Rio Grande do Sul é superior a 0,11.
RESOLUÇÃO: Espaça, amostrai = 33000 Evçntó> 5500 (arma dô Rjo~Grande de-SulK , -
Cap. 3 - PROSABiLIDADS
I
:
:-------------------------------
9. Escolhendo-se aleatoriamente duas armas de fogo nessedepósito, a probabili dade de ambas terem sido recolhidas em Pernambuco é inferior a 0,011.
RESOLUÇÃO». Espaço amostrai » 33000
v.
Evento - 6500
.
V: -•
~
Nesse caso, são dois sorteios! P {A D 8) - 6S00 . 6499 « 42243500 = 0,038 ' V ; -33000 32999 J088967000
.
Item errado.'-/
_
Uma moeda é jogada para o alto 10 vezes. Em cada jogada, pode ocorrer 1 (cara) ou Ô (coroa) e as ocorrências são registradas em uma seqüência de dez dígitos, como, por exemplo, 0110011010. Considerando essas informações, julgue os próximos itens. 10, A probabilidade de serem obtidas seqüências nas quais ocorra coroa nas pri meiras 3 jogadas é inferior a 1/4.
RESOLUÇÃO: A chance de ser coroa é de 1/2 I I 2' 2
I ~ I 2 '8
’
1/8 é inferior a:1/4.
'
Item certo.;
GABARITO 01 - Certo
02 - Errado
03 - Errado
04 - Certo
05 - Certo
06 - Certo
07 - Errado
08 - Certo
09 - Errado
10 - Certo
CONJUNTOS
Texto para as questões de 1 a 4 (CESPG) Considere que os livros L, M e N foram indicados como referência biblio gráfica para determinado concurso. Umá pesquisa realizada com 200 candidatos que se preparam para esse concurso usando esses livros reveiou que: 10
candidatos utilizaram somente o livro L;
20 utilizaram somente o livro N; 90 utilizaram o livro L; 20 utilizaram os livros L e M ; 25 utilizaram os livros M e N ; 15 utilizaram os três livros. Considerando esses 200 candidatos e os resultados da pesquisa, juigue os itens seguintes. 1 - Mais de 6 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente os livros L e M. 2 - Mais de 100 candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente um desses livros. 3 - Noventa candidatos se prepararam para o concurso utilizando pelos menos dois desses livros. 4 - 0 número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando o livro M foi inferior a 105.
^ ÍE S O t U Ç Ã O :
0jgUàdegrau: resumo d o' e n u n ci a d o . : '•••-10 candidatos utilizaram somente o livro L; - _ 20 utilizaram-somente o Ijvro N ; . . v
^ ,
,.
,
. •. ■ s.: -
f4 *
140
RACtOCÍNiO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Vifíar
90 utilizaram o livro 1;
.
20 utilizaram ps livros L e M;.
.
'
:-2S^jíizâram os.livrostM e N;-.:. i n utilizáram os três livros. ; construção do diagrama,;
Falt^encontraf spmentó o" espaço M. Agora,’ frémos sufctratr ò Wtál de elementos pe(osJelementos utiítzãdps 200 escolheram pelo menos um livro.'' " -
Cap. 4 - CONJUNTOS
141
M = 200 - 15 - 6 0 - 1 0 - 5 - 1 0 - 2 0 = 80.. Conclusão:
•
Somente L =10. Somente;
"v
= 8Q.
Somente N = 20. Somente L e M = 5. .So,mentg.L'é N = 60,...
;
SoFherite M e N = 10.
- \ -••••>■.
'■QS:trê^iíyro$#'15.
......
. ■.
..
-._■■■:>:a.-.
"
"
1 Mais de ô candídatos se prepararam para ó concurso utilizando somente ■'ps'Jiyros 1. .. .V;item;errado, foram 5. .
’ ;l-
2 7 Mais d$ÍQQ candidatos se prepararam para o concurso utilizando somente urp désses livros. / ' . T Nesseraso, devemos somar todos que usaram somente L ou somente M ou 'sb-'” ■: mente • . ....• r.-' . .-..v;,-.,;:* , „ r ^ ' - i -
‘
^ - . ui 7
, V,//» 7
\
3> Noyenta candidatosseprepararam para o concurso utilizândo pélo "menos dois dessesJivros: ~ ‘ *v ' "5 'V*; ■.'Nesseicásp, ;pelo/;irÁenos;2;-p;pdem;.§er 2 ou.- 3 livros. Resultado: S-> 6Ç).'^ 10 + 15;== 90.- - x Item certo:
.
"" :•
• ■ •.•
.
4 r O número de candidatos que se prepararam para o concurso utilizando õ.-\. livro M foi inferror a 105. . _ - Nesse caso, todos que usaram o ilvro M, sejFossé somente M/a resposta seria 80. Resultado:- 8 0 * 5 -f 10. ^ 15 = 1.10. Item errado.
'
/(
5. (CESPE) Suponha que, dos usuários da internet no Brasil, 10 milhões naveguem por meio do Internet Explorer, 8 milhões, por meio do Mozilia e 3 milhões, por ambos, Nlozilla e internet Explorer. Nessa situação, o número de usuários que navegam pelo Internet Expiorer ou pelo Nlozilla é igual a 15 milhões.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Brvno Villar
142
RESOLUÇÃO: r
i B)'= n{A) + n{B) - n { A n 8}
n(A,U" 8) * 8 + 10 - 3 * 15 Itém certo.
6.
(TR T 17 Região) Se, de um grupo de pessoas formado por 15 graduados em direito, 12 graduados em arquitetura e 11 graduados em estatística, 5 forem graduados em direito e estatística; 8, em direito e arquitetura; 4, em arquitetura e estatística; e 3, em direito, arquitetura e estatística, então, nesse grupo, haverá mais de 5 pessoas graduadas somente em direito, RESOLUÇÃO: -V
,
.
Resumo do enunciado: Díreito:= 15
*
>
-
*
-V?* V ^ v ,
•O ;
, :;Ãrq.uitetura = 1 2 -ÉstátístíCá ••=. 11
........
•••.>
v .
..
5-*1 ¥>
. , Diféito e Estatística = 5 Direito e Arquitetura = 8 Arquitetura e Estatística = 4 ^•Direito, Arquitefura e Estatística = 3
i,1,? passo: Começamos: pela íntersecção dos 3 conjuntos. -T. Direito, Arquitetura e Estatística = 3 . i-
> '••••••
■
Oifelto
- ■' .
>Aíqwjtetu»a.-.
2° passo A íntersecção de dois conjuntos; __ ' ► "* * i. ' - Nesse Caso, abatemos 3 (valor corresp”ô^pente à :Íntersecção: dos 3, coníuntos). : , 1Direito é Estatística.- 5 ,—3 - , 2 (2 pessoas fizeram son^ente Direito: § Estatística)
r
N. > * ■
_*«.«■<,
-
- ’ ./■
. \
l “ V ->
r T r
t
' ")->
-
(Dirèito e-Arquitefüra = 8 - 0 = 5 (5, pessoâs fizeram somente- Direito ,e Arquitetura) Arqüitètura e EstetlÉídá = 4 “-.“3
[l^essoa fez^ornente Àrquitétura;e ‘Estatístrca) -■:
Cap. 4 - CONJUNTOS
Estatística
143
r
T
- 3.° passo: Calcular a quantidadefde .cada conjunto; ou: seja, que somente participa ■ daquele conjunto. -■ . • . -: . . ...> Direito = 1 5 - 2 - 5 - 3 = 5 {fazem somente Direito)
'■■■v
'
D ireito . -v . ■'
•Diréito e Estatística - 2 ..; Direito e Arquitetura - 5
- .
' ■.
"-.'/.Y Y
Y ••••;••
' : ' •'
;Y--,. - :•- ./;>-'V
‘ Direito, Arquitetura e Estatística = 3 Conclusão: Apenas 5 pessoas fazem somente Direito. ...; Iten) errado.
•Y ^ -Y Y Y -
7. Considere que um conjunto de empregados de uma empresa tenha respondido integralmente ao teste apresentado e tenha sido verificado que 15 deles fizeram uso da opção “às vezes”, 9, da opção "raramente” e 13, da opção “sempre”. Atém disso, 4 desses empregados usaram as opções “às vezes" e “raramente”, 8 usaram as opções “às vezes” e “sempre”, 4 usaram as opções "raramente” e “sempre” , e 3 usaram “às vezes”, “sempre” e “raramente”. Nessa situação, é correto afirmar que menos de 30 empregados dessa empresa responderam ao teste.
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viüar
144
RESOLUÇÃO:
'--íi
■IS emproados, responderam -às yezes. v / 9 empregados responderana raramente:;;;ií"
-:/■ .••,
I B-emprçg^dos responderam sefnpre . ‘ 4.empregados;responderaní.^S;.yè?ç.i.é.raramente.
■
8 empregados responderani às v ^ ^ .e sempre 4 empregados responderam raramente'sémpre 3 empregados responderam as ve?às^raràmènte e seirif^re
,
Processo do'^!culd^còhfíé0;;f^^vilàl9.f' •iftter-s.ecçãã' (os* ‘três conjuntos),, depois a . intersec0o de cipis conjuntos e poç/üitimo dps conjuntos individuais. ' -
Quantidade de.empregados dã.empresa que responderam ao teste: Resultado =?:1 + 1 + 3.-r:4+.4.+ 5 +; 6-.—..24 .■■■ ■■• Item certo.
Texto para as questões 8 e 9 Todos os 600 candidatos inscritos em determinado concurso usaram as apostilas A, B e C para se preparar. Sabe-se que 230 candidatos usaram a apostila A, 330 usaram a apostila B, 290 usaram a apostila C, 135 usaram as apostilas A e B, 90 usaram as apostilas A e C, 150 usaram as apostilas B e C e 65 usaram as 3 apostilas. Nesse caso, é correto afirmar que
8. Mais de 140 candidatos usaram apenas a apostila A. 9. Menos de 135 candidatos usaram a apostfia C s mas não usaram a apostiía B.
Cap. 4 - CONJUNTOS
145
Resumo da questão:
.-
de 140 candidatos usaram apenasa;aposíUaA*
*,,RESp^yÇÃp:
r
■■■;'
7 ;v ..r
../' .
- ■D^JspDrdQcòmrõ diagrama, formado, temos apenás 130 pessoas que |è prepararam somente peja spostilaA.: . ' 'v '’' ' ' \ ■ . •:1.te.m:érrador' ••
. •
.
. .
•"; ' •_ • •
= 9.;Meno§, de i 35, candidatos usaram a apostila C, mas não usaram a apostila B. _ V ~‘ ' <., < ’ , \, . './.v*/ V ' ' 'Nèsse~çaso, contamos o conjunto apenss C com p conjunto apenas A‘ § C! a ‘ÇesWtàdo: V IS + ^ S = 140
-
''
Professofí-por qyemão contou A e .C como 90?
.
• ..
'
-
....
'f Pdls“n~e$sés 90 estão soma8os‘os65 que pertencem s A, B ç C, por )s?p somamos ' L ds‘25Tque pertencem a t e K mas hão pertence à B.""- ^ v' ' ' 7 ’~ —
item errado.
A controladoria gerai (CG) de determinado estado realizou e concluiu, em 2007, 11 auditorias operacionais e 42 inspeções; emitiu 217 pareceres técnicos, sendo 74 referentes a licitações de obras, 68 referentes a análises de prestação de contas, 71 referentes a análises de rescisão de, contraio de trabalho; o restante desses pareceres referiam se a orientações e outros assuntos. 10.
Além das informações contidas no texto, considere que 32 dos pareceres refe riam-se a licitações de obras e anáiises de prestação de contas; 20 a análises de prestação de contas e rescisões de contratos; 16 a licitações de obras e anáiises de rescisões de contratos; 5 a licitações de obras, análises de prestação de contas e rescisões de contratos. Desse modo, a quantidade de pareceres referentes somente a orientações e outros assuntos” é iguai a (A) 15 (8) 27
146
RACIOCÍNIO LÓGiCO ~ QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viitar
(O) 31 (D) 40 (E) 67
RESOLUÇÃO; flesuráo.
\
r
Soma: 31 + 21 + 4 0 + 27 + 15 + t1 + 5 = 150
v ■’ ”
.•VYi1^^^M§^ei!aíin-as»parecefgsidè-llclfâ|ô« de obras ôü de apállses de pre,stação . de contas bq dç ahálíçes de féscisãa á§i|eitosít2:1^^50--»-^7r4paneeereV.!Pfferiam*-se a orientações e outro? assuntos},- ! ' Resposta:‘tetra-ÉV
• .. .
*
•
11. Em um tribunal, todos os 64 técnicos administrativos falam inglês e/ou espa nhol; 42 deles falam inglês e 46 falam espanhol. Nessa situação, 24 técnicos falam inglês e espanhol
RESOLUÇÃO: j. n ( Â Ü B) —64 k n (f t ) - 4 2 - ‘ J‘
-
■í.j-v '» l ^nipBKf 46 ( 1 ^ ' - é n B ) ^
“
-
• -sv.
. -
V^T^í . - 3- . i - r - : \ %
;:;^ .n (A U c B ) ** 0(A) + n{8) f n í^ Q B ) - ' -c 42 .+'46
.. -
V
„sr n ( A Q B)<-= 88 - 64* = 24 -
r
, , j/*' í í - O ' ^ r-í Item certo. •
'-V ^ -
Cap. 4 - CONJUNTOS
147
No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam Inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 aiunos estudam espanhol e que 40 estudam somente Inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 12. Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam so mente inglês.
R^SÒLuçÃO:
,
:Temós:v /;: '
-
.f
40 aiunos estudam somente inglês e espanhol 60-áluríos estudam espanho)
'
; Suposição: 40 alunos estudam somente grego
,
• -v .
• "
Têiihds 60 alunos qué estudam- espanhol, (total) e 40 alunos que estudam apéhas ' grego, o que, somados, totalizam 100 alunos. Çòndusào: temos no máximo 80 alunos que estudam apenas inglês. Item/errado.
.
'
:
•' '
13. Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra iíngua mais, então há mais aiunos estudando inglês do que espanhol.
ÍÍEÍ50LÜÇÃO: *' :
-'v--- -
^ • V--*
"
- -
'TèmosV 7.‘ .-Y 40 alunos estudam somente inglês e espanhol. •00- aIUnos estudam espanhol
•• :•••
•' ••
-
»
• ■ ' •
Suposição: alunos que estudam grego, e também estudam.espanhóis, Nesse caso, não temos elemento, pertencente aos trê^ conjuntos.
. ;:
::- ;
60 alunos estudam espanhol ou grego, 180 - 60 = 120 estudam inglês. "Item certo.
14. Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra lín gua mais, então há mais aiunos estudando somente inglês do que espanhol.
^RESOLUÇÃO: •
‘
; ^|?7emos:
^ ■
. .... '
40 aiunos estudam somente inglês e espanho! 60 alunos estudam espanhol
7 : ■ .... . ...
RACIOCÍNIO LÓGICO - QUESTÕES COMENTADAS - CESPE - Bruno Viliar
148
1
■'Suposição?: 60.- alunos/estudam’ grègo . Côncíüsão: • •'
inglês; ••••
’
60 alunos estudam inglês ou grego ••••••• 60 alunos esçudárn espanhol.
■:
180 - 60 - 60 = 60 estudam apenas inglês. Item'errado.
O Tribunal de Contas da União (TC U ) conta com um organograma com a seguinte estrutura. Unidades básicas: Secretaria-Gera! de Controle Externo (SEGECEX), Secretaria-Gerai das Sessões {SGS), Secretaria-Geraí de Adminis tração (SEGEDAM). Unidades de apoio estratégico: Secretaria de Planejamento e Gestão (SEPLAN), Secretaria de Tecnologia da Informação {SETEC) e Instituto Serzedelio Corrêa (1SC). A SEGECEX tem por finalidade gerenciar a área técnico-executiva de controle externo visando prestar apoio e assessoramento às deliberações do Tribunal. Integram a estrutura da SEGECEX: Secretaria Adjunta de Fiscalização de Pessoal (SEF1P), Secretaria de Fiscalização de Obras e Patrimônio da União {SECGB), Secretaria de Fiscalização de Desestatização (SEF1D), Secretaria de Fiscalização e Avaliação de Programas de Governo (SEPROG), Secretaria de SVJacroavaüação Governamental (SEMAG), Secretaria de Recursos (SERUR) e trinta e duas Secre tarias de Controle Externo (SECEX), sendo seis localizadas em Brasília, sede do TCU, e vinte e seis nas capitais dos estados da Federação. A SGS tem por fina lidade prestar apoio e assistência ao funcionamento do Plenário e das Câmaras e gerenciar as bases de informação sobre normas, jurisprudência e deliberações do Tribunal. A SEGEDAM tem por finalidade planejar, organizar, dirigir, controlar, coordenar, executar e supervisionar as atividades administrativas necessárias ao funcionamento do Tribunal, contando, para tanto, com a Secretaria de Recursos Humanos (SEREC), a Secretaria de Orçamento, Finanças e Contabilidade (SECOF), a Secretaria de Material, Patrimônio e Comunicação Administrativa (SEMAT) e a Secretaria de Engenharia e Serviços Gerais (SESEG). internet: (com adaptações). Considere que A seja o conjunto dos órgãos que integram a SEGECEX e B , o conjunto dos órgãos que integram a SEGEDAM. Com base nas informações do texto acima, julgue os itens a seguir.
15. A ^
B 5 *0
16. O número de secretarias de A ^ secretarias de A e B.
B é menor que o somatório do número de
17. A SERUR é um subconjunto da SEGECEX. 18, A SESEG é um elemento do conjunto B.
Ca p. 4 - U U N JU N í
iní*
■Resum o: Às Secretarias da SEGECEX são: SEFÍP, SECOB, SEFiD, SEPROG; SE/vtÀG, SERUR, SECEX. ,/v ' As sêcretariàs'de SEGEDAM são: SE'REC,.SEÇOF, S É á A ÍS E S ^ ;" '!* f , RESOLUÇÃO: 15. A O B ^ . 0
:
.•
.
•
•Não possui secretarias comuns, logo, a intersecção é tguaí ao: conjunto vazio. item errado.
^
;
= 16 . O número de secretárias de A 1^ de secretarias de A e 8.
B é menor que o somatório do número -
. As secretarias nâo possuem, elementos comuns, logo,, o A.; W & será jgual à soma; de;Á e B. • . item errado. . 17. A SERUR é um subconjunto da SEGECEX. .. A SERUR é um elemento do conjunto SEGECEX. Item! errado:.
-
V S ia ; A SESEG é um elemento do conjunto- B, ■•-^Á-SESEG éüma secretaria do conjunto B.
. -
,
Item certo.
-
v -
GABARITO 01 ~ Errado
02 - Certo
03 - Certo
04 - Errado
05 - Certo
06 - Errado
07 ~ Certo
08 - Errado
09 - Errado
10 - E
11 - Certo
12 - Errado
13 - Certo
14 - Errado
15 - Errado
16 - Errado
17 - Errado
18 - Certo
FSC Fonte» Mistas «* »»i»a »n »(w w n
 marca B C é
q
gorontia de que a madeira utilizado na
fabricação do pope! com o «juol es!e livro foi impresso,
Oiú^/i-COC^m
• provém de florestas gerenciados, observando-se rigorosos
. S^$^E»tgSllg«iJ?g/pC*jf>a^
critérios sociais e ambientais e de suslentobifidade.
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£0 ,1 T O R. A
M E TO DO
www.editorametodo.com.br [email protected]
