EMAT Tercero Secundaria

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria PROPUESTA HIDALGO

3

er grado

Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), ha sido desarrollado e implementado por la Coordinación Estatal del Programa EMAyCITHidalgo, con el apoyo de la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo y, sobre todo, del Centro de Investigación y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, particularmente del Departamento de Matemática Educativa, del cual surge la Propuesta Nacional. Autores de EMAT-Hidalgo Ma. Guadalupe Flores Barrera Andrés Rivera Díaz [email protected] [email protected] Este material ha sido implementado en las escuelas secundarias del Estado de Hidalgo, en sus tres modalidades: Generales, Técnicas y Telesecundarias con apoyo de las Direcciones, Supervisiones y Jefaturas de Sector, pero sobre todo por los Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo. Coordinadores de Zona Escolar EMAT-Hidalgo

Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria Propuesta Hidalgo 3er. grado Revisión: Ramón Guerrero Leyva Formación y diseño: Ana Garza © EMAT Hidalgo 2008 © Ángeles Editores, S.A. de C.V. 2011 Campanario 26 San Pedro Mártir, Tlalpan México, D.F. 14650 e-mail [email protected] www.angeleseditores.com Primera edición: agosto de 2011 Segunda edición: agosto de 2012 ISBN 978-607-9151-11-9

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Reg. Núm. 2608 Impreso en México

Alfaro Vera Gonzalo Ángeles Ruíz Alfonso Arroyo Rendón Martha Patricia Arteaga Romero Damián Azuara Sánchez Arturo Badillo Ordoñez Filiberto Bautista Montaño Maximino Bibiano Santiago Edgar Calva Badillo Jacobo Castañeda Ahumada Héctor Hugo Colín Pretel Alfonso Cruz Bustos Marina de la Cruz Reyes Rodrigo Delgado Granados Nicasio Díaz Badillo Ma. del Carmen Espinoza Soto Juan Carlos Flores Barrera Joel Franco Moedano Aniceto Alejo García Callejas Maricela Ma. del Carmen García Mayorga Víctor González Funes Cecilia Iliana Hernández Ángeles Juan Hernández Hernández Honorio Hernández Hernández José Luis Hernández Hidalgo Magdiel Hernández Reyes Ernesto Herrera Tapia Andrey Islas Arciniega Silvia Juárez Rojas Iván Ramsés

López Castellanos Verónica López Lugo Silvia López Miranda Rigoberto Lozano Mendoza Rubén Maqueda Lora Oscar Daniel Mayorga Hernández Raúl = Mendoza Paredes Maximino Mendoza Ruíz Francisco Meza Arellanos Ma. del Refugio Mora Martín Teresa Moreno Alcántara Alfonso Moreno Martínez Ericka Sofía Mota Aguilar Gloria Naranjo Calderón Josué Arturo Noble Monterrubio Guillermo Nolasco Orta Edgar Arturo Paredes Larios Hugo Alberto Pedraza Sánchez Jaen Maximiliano Pérez Pacheco Set Isaí Pérez Salas Jesús Enrique Recéndiz Medina Juan Carlos Robles Feregrino María Teresa Rodríguez Escudero María Teresa Trejo Reyes Jesús Ugarte Morán Sergio Vargas Rivera Rafael Vázquez Hernández Juan Andrés Veloz Vega María Esther

Contenido Introducción.............................................................................................. 5 Cómo está organizado este libro .............................................................. 7 Programación del Tercer Grado, EMAT-Hidalgo . ...................................... 9

Septiembre Programas equivalentes ......................................................................... 13 “Deshacer” operaciones . ....................................................................... 14 Criterios de congruencia de triángulos . ................................................. 15 Figuras directa o inversamente congruentes . ........................................ 17

Octubre La circunferencia: radios, cuerdas y tangentes . ..................................... 19 Ángulos en la circunferencia . ................................................................. 25 ¿Grados Fahrenheit o Celsius? ............................................................... 27 ¿No podría ir más rápido? ...................................................................... 29

Noviembre Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado ......... 30 Resolviendo ecuaciones de segundo grado . .......................................... 31 Idea de triángulos semejantes ............................................................... 33 Polígonos regulares ................................................................................ 35

Diciembre y Enero Simulación con el modelo de urna (I) ..................................................... 39 Simulación con el modelo de urna (II) .................................................... 40 Analizando gráficas de rectas ................................................................. 42 Construyendo varias gráficas de funciones con Geometría dinámica .... 43 Comprobación de la fórmula general de la ecuación de segundo grado ................................................................................... 44 Funciones cuadráticas ............................................................................ 45

EMAT-Hidalgo Febrero Teorema de Thales ................................................................................ Recíproco del teorema de Thales........................................................... Razón y proporción . .............................................................................. La homotecia como aplicación del teorema de Thales .........................

47 49 51 58

Marzo y Abril ¿Una ecuación para desalojar la escuela?.............................................. Números poligonales.............................................................................. Teorema de Pitágoras............................................................................. Triángulos............................................................................................... Explosión demográfica........................................................................... Inflación contra salario........................................................................... Interés compuesto.................................................................................. Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto..........................

62 63 64 66 71 72 74 76

Mayo Construyendo algunos cuerpos geométricos......................................... Uso de fórmulas de área y volumen de sólidos...................................... Problemas de optimización (I)................................................................ Problemas de optimización (II)...............................................................

78 79 81 82

Junio Lanzamiento de dados (I)....................................................................... 83 Lanzamiento de dados (II)...................................................................... 85 Bibliografía............................................................................................. 87 Directorio............................................................................................... 88

Introducción Las Herramientas Computacionales (HC) suponen un revolucionario avance en nuestra sociedad. Presenciamos una era de cambio y de modificaciones constantes que influyen significativamente en nuestras vidas. Mantenernos expectantes o tomar las riendas de los procesos de cambio que nos pueden ayudar a construir un mundo sin barreras, un mundo mejor, es una elección a realizar de forma particular por cada uno de nosotros. En el ámbito educativo las HC constituyen una importantísima ayuda para favorecer los aprendizajes escolares, particularmente de las matemáticas y de las ciencias, pues son un reforzador didáctico, un medio para la enseñanza individualizada y una herramienta fundamental de trabajo para el profesor. En definitiva pudiéramos preguntarnos: ¿Qué aspectos caracterizan a las HC que las hacen tan especiales en la educación? Una reflexión alrededor de esta pregunta nos conduce a definir un grupo de aspectos que las podrían caracterizar: 1. Fomentan el aprendizaje continuo por parte del profesor, pues éste tendrá que estar actualizado para planificar con éxito las actividades que realizarán los estudiantes. 2. Las HC no sólo pueden ser objeto de estudio sino que deben ser herramientas indispensables para el alumno, tienen que ser integradas al entorno educativo. 3. Garantizan el desarrollo de una enseñanza significativa y forman parte de una educación integral. 4. Dinamizan el papel del profesor y del alumno. Este último, de sujeto pasivo dentro del proceso didáctico, pasa a ser protagonista del mismo junto al profesor, el cual tendrá como función rectora la orientación en el uso de las herramientas tecnológicas que sean utilizadas en el proceso. 5. Humanizan el trabajo de los profesores, pues ellos desarrollarán sus actividades con el apoyo de las tecnologías, economizando tiempo y energía.

Propuesta Hidalgo  3er Grado

5

Además de estas ventajas que nos proporcionan las Herramientas Computacionales en el proceso de enseñanza, es bueno destacar que también permiten lograr una mejor interdisciplinariedad, es decir, se puede relacionar el contenido con el de otras asignaturas contribuyendo así a una formación más eficiente y de carácter integral de nuestros estudiantes, particularmente el de las ciencias. Por lo anterior, la Secretaría de Educación Pública del Estado de Hidalgo ha implementado el Programa Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo) a través de la Coordinación Estatal de los profesores Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz. Para dar continuidad al programa, dichos profesores imparten un curso-taller programado, un día al mes durante el ciclo escolar, al equipo de Coordinadores de las Zonas Escolares del Estado, para que a su vez ellos lo multipliquen, también un día al mes, con los profesores que imparten ciencias en sus zonas correspondientes. Las reuniones mensuales son un espacio de formación y actualización docente para el intercambio de experiencias, metodologías y conocimientos sobre la Hoja electrónica de cálculo, herramienta tecnológica que forma parte de la propuesta original elaborada por la Subsecretaría de Educación Básica de la Secretaría de Educación Pública (SEP), en colaboración con el Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE). Como producto de ello se han diseñado y compilado los textos EMAT-Hidalgo, para cada grado escolar de educación secundaria. Por último, sabedores de que contamos con una comunidad educativa comprometida, utilizaremos el presente material para beneficio de nuestros alumnos. Profr. Joel Guerrero Juárez Secretario de Educación Pública SEPH

6

Cómo está organizado este libro  PRESENTACIÓN El libro Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria, Propuesta Hidalgo (EMAT-Hidalgo), es una compilación y diseño de actividades que contemplan el uso de cuatro piezas de tecnología, estrechamente relacionadas cada una con las áreas específicas de geometría, álgebra, aritmética, resolución de problemas y modelación matemática. El texto cumple, en forma paralela, con los planes y programas de estudio vigentes de matemáticas para las modalidades de Educación Secundaria (General, Técnica y Telesecundaria). En la mayoría de las actividades seleccionadas, la construcción y el uso de estas cuatro piezas de tecnología cuentan con un sustento teórico y/o empírico, que respaldan su valor como herramientas mediadoras del aprendizaje en lo cognitivo y en lo epistemológico. La Propuesta Hidalgo plantea trabajar una sesión a la semana en el aula de medios o espacio asignado con equipos de cómputo, complementando las sesiones previas en el salón de clase. Esto implica que desde la planeación del curso escolar, los directivos deben asignar en los horarios, de forma explícita, la sesión EMAT-Hidalgo a cada grupo. En el libro se incluye el uso de software de geometría dinámica para temas de geometría euclidiana; calculadora con manipulación simbólica para la introducción a la sintaxis algebraica, la graficación y la resolución de problemas; lenguaje de programación LOGO para la programación con representación geométrica y la hoja electrónica de cálculo para la enseñanza del álgebra, la resolución de problemas aritmético-algebraicos, y temas de probabilidad y de tratamiento de la información. En el espacio para desarrollar el Programa EMAT-Hidalgo, el profesor guía a los estudiantes en su trabajo con el ambiente computacional y con las hojas de actividades programadas semanalmente en el texto.


7

Con las actividades se pretende que los alumnos alcancen cada vez mayores niveles de conceptualización matemática, para ello la programación de las actividades se hace como en el siguiente ejemplo:

Semana 1

Bloque UNO 3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.

Herramienta Geometría dinámica

OCTUBRE Actividad La circunferencia: radios, cuerdas y tangentes

En general, en el espacio EMAT-Hidalgo el profesor debe motivar a los alumnos a: • Explorar • Formular y validar hipótesis • Expresar y debatir ideas • Aprender comenzando con el análisis de sus propios errores Las sesiones EMAT-Hidalgo se organizan a partir de actividades en las cuales los alumnos reflexionan sobre lo que han realizado con la herramienta computacional, y lo sintetizan para comunicarlo; por otro lado, estas actividades ya contestadas proporcionan información al profesor acerca de la comprensión que los alumnos tienen de los conceptos matemáticos involucrados. Finalmente, una reflexión:

La educación es la base del progreso en cualquier parte del mundo y en la medida que el compromiso de los profesores se haga más expreso y se recupere la vocación profesional, podremos tener aspiraciones de superación sustentadas en hechos y no en sueños.

Ma. Guadalupe Flores Barrera y Andrés Rivera Díaz Coordinadores Estatales del Programa EMAyCIT-Hidalgo

8

Pág. 19

Programación Tercer Grado EMAT-HIDALGO

Semana 1 2 3 4

Bloque UNO 1. Transformen expresiones algebraicas en otras equivalentes al efectuar cálculos.

2. Apliquen los criterios de congruencia de triángulos en la justificación de propiedades de figuras geométricas.

Semana

Bloque UNO

1

3. Resuelvan problemas que implican relacionar ángulos inscritos y centrales de una circunferencia.

2 3 4

Semana 1 2 3

4

4. Resuelvan problemas que implican determinar una razón de cambio, expresarla algebraicamente y representarla gráficamente.

Bloque DOS 1. Resuelvan problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado, asumiendo que éstas pueden resolverse mediante procedimientos personales o canónicos. 2. Resuelvan problemas que implican utilizar las propiedades de la semejanza en triángulos y en general en cualquier figura.

Herramienta

SEPTIEMBRE Actividad

Calculadora

Programas equivalentes

13

Calculadora

“Deshacer” operaciones

14

Geometría dinámica

Criterios de congruencia de triángulos

15


Figuras directa o inversamente congruentes

17

Herramienta

OCTUBRE Actividad

Pág.

Pág.


La circunferencia: radios, cuerdas y tangentes

19


Ángulos en la circunferencia

25

Calculadora

¿Grados Fahrenheit o Celsius?

27

Calculadora

¿No podría ir más rápido?

29

Herramienta Hoja de cálculo Calculadora

NOVIEMBRE Actividad Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado Resolviendo ecuaciones de segundo grado

Pág. 30 31


Idea de triángulos semejantes

33

LOGO

Polígonos regulares

35


9

Semana 1 2 Semana 3 4

5 6

Semana 1 2 3 4

10

Bloque DOS 3. Resuelvan problemas de probabilidad que impliquen utilizar la simulación. Bloque TRES 1. Interpreten y representen, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y no lineales.

2. Utilicen adecuadamente la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado.

Bloque TRES 3. Resuelvan problemas geométricos que implican el uso del teorema de Tales.

4. Conozcan las condiciones que generan dos o más figuras homotéticas, así como las propiedades que se conservan y las que cambian.

DICIEMBRE Y ENERO Herramienta Actividad

Pág.

Hoja de cálculo

Simulación con el modelo de urna (I)

39

Hoja de cálculo

Simulación con el modelo de urna (II)

40

Herramienta

Actividad

Hoja de cálculo

Analizando gráficas de rectas

Geometría dinámica Calculadora Hoja de cálculo

Herramienta

Construyendo varias gráficas de funciones con Geometría dinámica Comprobación de la fórmula general de segundo grado Funciones cuadráticas

FEBRERO Actividad

42 43

44 45

Pág.


Teorema de Thales

47


Recíproco del teorema de Thales

49

LOGO

Razón y proporción

51


La homotecia como aplicación del teorema de Thales

58

Programación Tercer Grado EMAT-HIDALGO

MARZO Y ABRIL Actividad

Semana

Bloque CUATRO

Herramienta

1

1. Representen algebraicamente el término general, lineal o cuadrático, de una sucesión numérica o con figuras.

Calculadora

¿Una ecuación para desalojar la escuela?

62

Hoja de cálculo

Números poligonales

63


Teorema de Pitágoras

64

LOGO

Triángulos

66

Hoja de cálculo

Explosión demográfica Inflación contra salario

71 72

Interés compuesto

74

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto

76

2 3 4 5

6

Semana

2. Resuelvan problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras y razones trigonométricas.

3. Resuelvan problemas que implican el uso de procedimientos recursivos, tales como el crecimiento poblacional o el interés sobre saldos insolutos.

Bloque CINCO

1 2 3

1. Resuelvan problemas que impliquen calcular el volumen de cilindros y conos o cualquier término de las fórmulas que se utilicen. Anticipen cómo cambia el volumen al aumentar o disminuir alguna de las dimensiones.

4

Semana

Bloque CINCO

1 2

2. Describan la información que contiene una gráfica del tipo caja‐brazos.

Hoja de cálculo

Herramienta

MAYO Actividad

Pág.

Pág.


Construyendo algunos cuerpos geométricos

78

Hoja de cálculo

Uso de fórmulas de área y volumen de sólidos

79


Problemas de optimización (I)

81


Problemas de optimización (II)

82

Herramienta

JUNIO Actividad

Pág.

Hoja de cálculo

Lanzamiento de dados (I)

83

Hoja de cálculo

Lanzamiento de dados (II)

85

3


11

Iconos Al inicio de cada actividad aparece, a la derecha del tema, un elemento que muestra el nombre de archivo a utilizar después del icono que indica qué recurso tecnológico debe usarse para su realización. Los iconos usados y su significado son los siguientes.

NombreDeArchivo

Significa que para esta actividad se requiere el uso de la hoja de cálculo.

Quiere decir que para esta actividad se necesita la calculadora.

Significa que en esta actividad se requiere el uso de un software de geometría dinámica.

Quiere decir que para la realización de esta actividad es indispensable el uso del lenguaje LOGO.

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Bloque Uno ProgramEquivalent

Programas equivalentes

Llamaremos programas equivalentes a los programas que producen los mismos resultados. 1. Escribe sobre la línea dos programas que sean equivalentes al programa A x 1 2. Un alumno dice que el programa A x 1 es equivalente al programa A. ¿Estás de acuerdo con él?

Escribe en tu calculadora el programa A y compara los resultados con el

programa A x 1. Escribe tus conclusiones a continuación 3. Construye tres programas equivalentes al programa 3 x B. Pruébalos en tu calculadora y, si producen los mismos resultados, escríbelos a continuación. 1)

2)

3)

4. De la siguiente lista de programas, subraya los que sean equivalentes al programa B. No debes tener errores. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.

A ÷ 2 + A ÷ 2

4 × B – 4 × B

5 × C – 4 × C

B + B

1×D×1

5. Comprueba cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son equivalentes. Usa la calculadora para comprobar tus respuestas.

(3a + 15) - b(a + 5) = (a + 5)(3 - b)

x 2 + 10x + 25 = (x - 5)2

x 3 - 4x 2 + x + 6 = (x - 1)(x 2 - 5x + 6)

x 3 - 4x + 6 = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

2x - 6 1 = , si x ≠ -3 2 2x - 18 x+3

x2 - 4 x+2 = , si x ≠ 2 2 x - 4 (x - 1) x-2


13

“Deshacer” operaciones

DeshacerOperacion

Gerardo y Silvia resolvieron la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59 “deshaciendo” operaciones. Su estrategia consistió en usar operaciones inversas a las que se muestran en la ecuación. La manera en que razonaron se describe a continuación. Primero notaron que si 5(a + 2) + 4 = 59, entonces podían obtener el valor de 5(a + 2) “deshaciendo sumar 4” a través de restar 4. Esto los condujo a la ecuación 5(a + 2) = 55. Para hacer la ecuación 5(a + 2) = 55 más sencilla “deshicieron” multiplicar por 5, dividiendo entre 5. Con esto obtuvieron la ecuación a + 2 = 11, porque a + 2 es la quinta parte de 5(a + 2) y la quinta parte de 55 es 11. Por último resolvieron la ecuación a + 2 = 11, decidieron “deshacer” sumar 2, restando 2. Así encontraron que a = 9, esto es la solución de la ecuación 5(a + 2) + 4 = 59. ¿Esá clara la estrategia que usaron Gerardo y Silvia? Si tu respuesta es afirmativa, resuelve las siguientes ecuaciones como ellos lo hicieron. Usa tu calculadora para realizar esta actividad. Verifica las respuestas, recuerda que sólo debes escribir respuestas correctas. a) 7(a - 8) + 25 = 39

c)

2 52 + 5(b - 1) = 5 5

e) 15 +

g)

14

y + 12 = 22 3

4(x - 5) - 6 = -2 3

b) 18 + 8(b + 4) = 94

d)

x-8 -2=5 2

f)

x - 0.5 93 +5= 8 16

h)

5(x - 3) + 12 = 17 7

Bloque Uno  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Criterios de congruencia de triángulos

CriterCongruenTri

Para este tema vamos a hacer uso de Geometría dinámica, para ello tendrás que usar las herramientas edición numérica, semirrecta, transferencia de medida, circunferencia, rotación, triángulo, distancia y longitud, marca de ángulo, ángulo.

Dos triángulos son congruentes cuando sus tres lados y ángulos también lo son; sin embargo puede demostrarse la congruencia de dos triángulos si se sabe que algunas de sus partes correspondientes son HOMÓLOGAS. Las condiciones que deben cumplir dos triángulos para que sean congruentes se denominan CRITERIOS DE CONGRUENCIA, los cuales son: 1. Criterio LLL: si los tres lados de un triángulo son respectivamente iguales a los de otro, entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo cuyos lados midan 8.7, 9 y 5.5.

C 8,7 9 5,5

0

68,9

A

5,50 cm

9,00 cm

74,9 cm

36,20 8,70 cm

B


15

2. Criterio LAL: Si en un triángulo dos lados y el ángulo que forman son iguales a dos lados y el ángulo comprendido por éstos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo en el que dos lados midan 7.3 y 4.7, y el ángulo que forman sea de 120 grados.

7,3 120 4,7

C 37,10 4,70 cm

10,47 cm 120,00

22,90 7,30 cm

A

B

3. Criterio ALA: Si en un triángulo dos ángulos y su lado común son iguales a dos ángulos y su lado común de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes. Construye un triángulo en el que dos ángulos midan 100° y 47°, y el lado entre ellos mida 4.60 cm.

C 100 4,6 -47

330 8,32 cm 6,18 cm 100,00 A

16

47,00

4,60 cm


B

Figuras directa o inversamente congruentes

Direc/InverCongruen

 Triángulos y cuadriláteros Propósito: Distinguir cuando dos figuras son directamente congruentes o inversamente congruentes.

I II

IV III

¿Cómo son entre sí los triángulos formados por las diagonales que atraviesan el rombo de arriba?

Algunos son directamente congruentes, mientras otros son inversamente congruentes.

Si el punto de intersección de las diagonales es el vértice común de los cuatro triángulos, ¿qué valor tiene el ángulo en este vértice común, en cada uno de los cuatro triángulos?

Por lo tanto, para clasificar los triángulos como directamente o inversamente congruentes, bastará una rotación o una reflexión, respectivamente. Propuesta Hidalgo  3er Grado

17

¿Cuáles son los triángulos directamente congruentes?

Demuestra lo anterior utilizando el comando ROTACIÓN y describe lo que pasa.

¿Cuáles son los triángulos inversamente congruentes?

Demuestra lo anterior utilizando el comando Refleja objeto en recta y describe lo que pasa.

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La circunferencia:

Radios, cuerdas y tangentes

LineasCircunferencia

 Radios B

Propósito: descubrir propiedades de la circunferencia.

A O

Elige dos puntos, A y B, sobre la circunferencia de centro O.


19

El triángulo AOB, ¿tiene alguna característica particular?

Ahora, si desplazas el punto B sobre la circunferencia, ¿qué ocurre con el triángulo AOB?

Desde O traza una perpendicular a la cuerda AB, y llama L al punto en que intersecta a la cuerda. Al mover B o A sobre la circunferencia, ¿qué relación se tiene entre las longitudes de AL y LB?

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 Cuerdas Propósito: descubrir propiedades de las cuerdas en la circunferencia. A M B O

Sobre una circunferencia de centro O elige dos puntos A y B; traza la cuerda que los une y encuentra su punto medio M. Une M y O por medio de un segmento (trazo punteado).

¿Cuánto mide el ángulo AMO? Ahora desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Cambia el ángulo AMO? ¿A qué atribuyes lo anterior?


21

Traza el punto diametralmente opuesto a B y llámalo B’. BB’ es un diámetro de la circunferencia. Si trazas el segmento B’A, ¿qué posición tiene respecto al segmento OM?

Desplaza el punto A sobre la circunferencia. ¿Sigue manteniéndose la propiedad entre B’A y OM?

22


 Tangentes Propósito: descubrir qué propiedades caracterizan a la recta tangente a la circunferencia.

Nombre

Edad

Escuela

Fecha

M

N

P

65,70

O

P es un punto exterior a la circunferencia desde el cual se traza un segmento que la intersecta en dos puntos: M y N. ¿Qué particularidad tiene el triángulo OMN?

¿Cómo son los ángulos OMN y ONM?


23

¿Cómo se llama la semirrecta PM (o PN) con respecto a la circunferencia?

Al mover la semirrecta PM, ¿qué le ocurre al ángulo OMN?

¿Qué valor toma el ángulo OMN si M coincide con N? En este caso, ¿cómo se le llama a la semirrecta PM? ¿Y el triángulo OMP?

Escribe los pasos a seguir para trazar la tangente desde un punto P exterior a una circunferencia dada.

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Ángulos en la circunferencia

AngulosCircunf

Con el uso de Geometría dinámica, corrobora las definiciones y las construcciones.

Ángulo central Es el ángulo formado por dos radios de una circunferencia. Su medida es proporcional al arco que sostiene y la razón de proporcionalidad es el radio.

Ángulo inscrito Llamaremos ángulo inscrito en una circunferencia a aquel que tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son rectas secantes. Su medida es la mitad del arco que abarca.

A

113,90

A

O V

B

63,20 O

Ángulo semiinscrito Es aquel ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado tangente y el otro secante. Su medida es la mitad del arco que subtiende.

T

126,40

B

53,40 106,80

R

O


25

Ángulo exinscrito Se llama así al ángulo que tiene su vértice sobre la circunferencia, un lado es secante y el otro exterior a la circunferencia. Su medida es la semisuma de los arcos comprendidos entre los lados del ángulo y entre los lados del opuesto por el vértice.

Ángulo interior Es aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de los arcos interceptados por él y por su opuesto por el vértice.

E 113,80

T 120,60 107,0

D

U

C

0

O

V 58,60

S B

Ángulo exterior Su vértice esta fuera de la circunferencia y sus lados son secantes. Su medida es la semidiferencia entre las amplitudes de los arcos que abarca. A

E

B

45,6

0

D

32,70 123,90

O

C

26


73,60 88,60 O A

¿Grados Fahrenheit o Celsius?

Fahrenheit/Celsius

En México se usa la escala en grados Celsius (centígrados) para medir la temperatura y en otros países se usa la escala Fahrenheit. La siguiente tabla muestra algunas equivalencias entre esas escalas. FAHRENHEIT

-13

-4

5

32

100

CELSIUS

-25

-20

-15

0

37.77

1. Usa los datos de la tabla para hacer una gráfica de puntos. En el eje x representa los valores en grados Fahrenheit y en el eje y los valores en grados Celsius. 2. ¿Puedes construir una gráfica que pase exactamente por esos puntos o se aproxime a ellos? ¿Qué tipo de gráfica construirías?

¿Qué ecuación usaste para construir tu gráfica?

3. Usa la ecuación que construiste para completar la siguiente tabla y compara los valores que obtuviste con la tabla de valores dados. X (FAHRENHEIT)

-13

-4

5

32

100

Y (CELSIUS) Si encontraste diferencias importantes entre los valores de tu tabla y los de la tabla que se te dio, ajusta la ecuación hasta que obtengas una mejor aproximación. ¿Obtuviste una nueva ecuación?

¿Cuál es?

4. Usa la gráfica que construiste para contestar lo que se pide en cada caso.

a) ¿A cuántos grados Celsius equivalen 60 grados Fahrenheit?

b) ¿A cuántos grados Celsius equivalen -12 grados Fahrenheit?

c) ¿A cuántos Fahrenheit equivalen 24 grados Celsius?

d) El agua hierve a 100° C, ¿a qué temperatura hierve si la medimos en grados Fahrenheit?


27

5. Compara tus respuestas con las de tus compañeros. ¿Encuentras diferencias notables?

¿A qué crees que se deban?

6. ¿Podrías usar los datos de la tabla que se te dio al inicio de esta actividad para encontrar una fórmula que te permita obtener la equivalencia de grados Fahrenheit a grados Celsius?

¿Cómo lo harías?

28

Si pudiste hacerlo, completa la siguiente fórmula: °F =


¿No podría ir más rápido? Un automóvil viaja a velocidad constante. En el eje y se muestra la distancia en metros que recorre. En el eje x se registró el tiempo del recorrido en intervalos de 2 segundos.

VelocidadConstante

y

Escala en el eje x: 2 tiempo Escala en el eje y: 1 distancia x Contesta lo que se pide en cada caso usando la información que da esa gráfica. 1. ¿Durante cuánto tiempo se registró el movimiento del automóvil? 2. ¿Cuántos metros ha recorrido el automóvil después de 2 segundos? 3. ¿Qué distancia recorrió el automóvil al término de 6 segundos? ¿Y de 7 segundos? 4. ¿Cuánto tiempo empleó el automóvil en recorrer 100 metros? ¿Cuánto en recorrer 110 metros? 5. Construye una gráfica que pase por esos puntos. ¿Qué ecuación utilizaste para construirla?

¿Qué hiciste para encontrar la ecuación?

6. Usa la ecuación que encontraste para contestar las siguientes preguntas.

a) Si el automóvil se mantiene a la misma velocidad, ¿qué distancia recorrerá durante 2 minutos?

¿En una hora?

¿En

una hora y 20 minutos?

b) ¿Cuánto tiempo le tomará recorrer dos kilómetros?

c) ¿A qué velocidad se está moviendo el automóvil?

¿Qué hiciste para responder esta pregunta?

7. Un alumno dice que la ecuación y = 20x le permite representar el movimiento del automóvil. ¿Estás de acuerdo con lo que dice? Propuesta Hidalgo  3er Grado

29

Bloque Dos

Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado

Problem2doGrado

Para poder resolver los siguientes problemas haremos uso de la hoja de cálculo, en donde se modelará cada problema y mediante estimación y cálculo mental, se irán acotando la o las soluciones.

a) Encontrar dos números cuya diferencia es 8 y su producto sea 48. b) La suma de un número con su recíproco es 26/5. Encontrar el número. c) Una sala rectangular cuya longitud excede a su ancho en 3 m requiere 54 m2 de alfombra de pared a pared. ¿Cuáles son las dimensiones de la sala? d) Un estudiante universitario se encontraba a 4 km del edificio donde tenía la siguiente clase una hora más tarde. Primero caminó un kilómetro y luego tomó un transporte cuya velocidad media fué 12 km/hr mayor que su velocidad a pie. Encontrar la velocidad con la que caminó si llegó a la hora de su clase. e) Una bandera tiene una cruz blanca, de anchura uniforme, sobre fondo rojo. Encuentra el ancho de la cruz, que ocupe exactamente la mitad del área total de la bandera, si ésta mide 4m x 3m. f) Encuéntrese un número negativo tal que la suma de su cuadrado con el quíntuplo del mismo sea igual a 6. g) El área de un triángulo es 42 m2. Encuentre la base y la altura si la última excede a la primera en 5 m. h) El costo de la fiesta anual de un club se divide entre los miembros que asisten. En 2 años consecutivos, el costo total fue $500.00 y $570.00, respectivamente, pero el costo por miembro fue $ 0.50 menor el segundo año. Calcúlese el número de miembros que asistieron a cada fiesta, si la asistencia en el segundo año fue de 10 miembros más que en el primero. i) Varias personas planearon un viaje, contribuyendo cada uno con $600.00, pero luego calcularon que con un grupo más grande, podrían reducir sus gastos en $30.00 diarios por persona y alargar el viaje un día más con la misma contribución de $600.00. Calcule el costo diario por persona que habían planeado para el grupo original.

30

Bloque Dos  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Resolviendo ecuaciones de segundo grado

Ecua2doGrado

Una ecuación cuadrática con una variable es cualquier ecuación que se pueda escribir en la forma ax 2 + bx + c = 0, donde x es una variable, en tanto que a, b y c son constantes. Nos referiremos a esta forma como la forma general de la ecuación cuadrática.

Con el uso de la calculadora, aprovechando su manipulación simbólica, comprueba cada uno de los ejercicios ya resueltos intentando hacer los pasos correspondientes para lograr el despeje de la variable, además de resolver los ejercicios tipo.

 Raíz cuadrada Un tipo más sencillo de ecuación cuadrática, por su solución, corresponde al caso especial en que falta el término con la variable de primer grado, es decir, cuando está en la siguiente forma: ax 2 + c = 0 El método de solución aprovecha directamente la definición de raíz cuadrada. El proceso se ilustra en el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Resuelve por medio de la raíz cuadrada 2x 2 - 3 = 0

Ejercicio tipo:

Solución:

2) 3x 2 - 27 = 0

2x 2 - 3 = 0

1) x 2 - 8 = 0

3) 2x 2 - 8 = x 2 - 4

2x 2 = 3 x2 = ± x=

/3

√ 2

± √6 2

 Factorización Si los coeficientes a, b y c de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son tales que la expresión ax 2 + bx + c = 0 puede escribirse como el producto de dos factores de primer grado con coeficientes enteros, dicha ecuación cuadrática podrá resolverse rápida y fácilmente. El método de solución por factorización se basa en la siguiente propiedad de los números reales: Si a y b son números reales, entonces: ab = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 (o ambos valen cero). Propuesta Hidalgo  3er Grado

31

Esta propiedad se demuestra con facilidad: si a = 0, hemos concluido. Si a ≠ 0, multiplicamos ambos miembros de ab = 0 por 1/a, para obtener: b = 0. Ejemplo 1 Resuelve por factorización 2x 2 = 3x Solución:

Ejercicio tipo: 1) x 2 + 2x - 15 = 0 2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21

2x 2 = 3x (2x 2 - 3x) = 0

3) 8x 2 - 7x = 5x 2 +10x

x (2x - 3) = 0 x = 0 ó 2x - 3 = 0 x=0 ó x=

3 2

 Completando el trinomio cuadrado perfecto El método de compleción del cuadrado se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática general ax 2 + bx + c = 0 para que quede así: (x + A)2 = B . Donde A y B son constantes. Ejemplo 1 Resuelve por el método de compleción del cuadrado x 2 + 6x - 2 = 0

Ejercicio tipo:

Solución: x 2 + 6x - 2 = 0 Sumamos 2 a ambos miembros de la ecuación para eliminar -2 del miembro izquierdo.

2) x 2 + 20x + 35 = 35x - 21

1) x 2 + 2x - 15 = 0

3) 2x 2 - 4x - 3 = 0

x 2 + 6x = 2 Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos el cuadrado del coeficiente de x sobre 2, en ambos miembros de la ecuación. x 2 + 6x + 9 = 9 + 2 miembro izquierdo.

Factorizamos el

(x + 3)2 = 11 Resolvemos por medio de la raíz cuadrada. x + 3 = ± √11 x = - 3 ± √11

32


Idea de triángulos semejantes

IdeaTriangSemejan

 Semejanza P Q

Propósito: Descubrir, a partir de los triángulos equiláteros, los triángulos semejantes.

R

Con la opción POLÍGONO REGULAR construye un triángulo equilátero PQR. Ahora, mide los ángulos. ¿Cuánto mide cada uno?

Si arrastras el vértice P, ¿qué le ocurre al triángulo?

¿La medida de los ángulos cambia o se mantiene?


33

Anota las conclusiones a las que te lleva lo que has realizado.

Finalmente explica qué se mantiene y qué cambia en todos los triángulos equiláteros anteriores.

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Polígonos regulares

PoliRegLogo

Escribe el procedimiento para que la tortuga dibuje cuadrados de diferentes tamaños. PARA CUADRADO

FIN ¿Y triángulos equiláteros? PARA TRIÁNGULO

FIN Escribe procedimientos para dibujar tantos polígonos regulares como puedas y llena la tabla de la siguiente página.


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POLÍGONO

NÚMERO DE LADOS

ÁNGULO DE ROTACIÓN

Triángulo

120°

Cuadrado

4

Pentágono Hexágono

6

Octágono

45°

………..

N

Encuentra la relación entre el número de repeticiones y el ángulo. REPITE

[ AV 20 GD

¿CONEXIONES?

Escribe tus observaciones.

36


]

 Generaliza: Un procedimiento para cualquier polígono regular ¿Cómo escribirías un procedimiento para dibujar cualquier polígono regular?

Si no sabes escribir el procedimiento en Logo, usa tus propias palabras para explicar cómo crees que podría ser el procedimiento.


37

 De polígonos a circunferencias Usando tu experiencia en dibujar polígonos regulares: ¿Puedes escribir un procedimiento para dibujar una circunferencia? PARA CIRCULO

FIN

¿Puedes hacer circunferencias de diferentes tamaños?

Elabora un procedimiento para simular el movimiento de un reloj

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Simulación con el modelo de urna (I)

ModeUrna01

 Probabilidad Simula una serie de volados con el archivo ModeUrna01. Escribe en las celdas reservadas para los colores las palabras águila y sol. ¿Qué debes escribir en las cantidades? ¿Hubiera sido lo mismo escribir en las cantidades 5 y 5 o 10 y 10? ¿Por qué? En 20 volados, ¿cuántas águilas esperas ver? Contesta la siguiente pregunta, explicando cómo llegaste a la respuesta. ¿Qué es más probable que salga en los primeros dos tiros: dos águilas o un águila y un sol (en cualquier orden)?


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Simulación con el modelo de urna (II)

ModeUrna02

 Probabilidad Ahora imagina la siguiente situación. Cinco amigos toman cinco palillos, uno de ellos partido a la mitad, y acuerdan que el que saque el palillo corto usará primero la bicicleta que compraron entre todos. En este caso quien toma el palillo corto no lo regresa sino que se queda con él. A esto en matemáticas se le llama sin reemplazo. En estos casos, las proporciones cambian conforme se toman los objetos. ¿Cuál es la probabilidad de que el primero que toma un palillo saque el más corto? Si el primero que toma un palillo saca uno largo, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ¿Cuál es entonces la probabilidad de que el segundo tome el palillo corto? Si el primero que toma un palillo saca el corto, ¿cuántos largos y cuántos cortos quedan? ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo muchacho en turno tome el palillo corto?

Abre el archivo ModeUrna02 para simular esta situación. Cambia los colores por las palabras largo y corto, con sus cantidades respectivas (4 y 1). Cambia también la celda G3 de Con a Sin, para indicar que tienes una situación sin reemplazo. ¿En qué extracción apareció el palillo corto? ¿En qué extracción es más probable que aparezca el palillo corto? ¿En qué extracción es menos probable que aparezca el palillo corto?

El experimento que aparece en la siguiente página te ayudará a saber si contestaste correctamente las preguntas anteriores.

40


Oprime la tecla F9 y fíjate en qué número de extracción salió el palillo corto. Marca en la tabla siguiente con una diagonal (/) el número que corresponda. Sigue oprimiendo la tecla y marcando en dónde apareció el palillo corto. Después de haber llenado una de las filas, cuenta las diagonales y escribe el total en la columna correspondiente. CONTEO DE VECES QUE EL PALILLO CORTO SALE EN ESTA EXTRACCIÓN

TOTAL

1 2 3 4 5 ¿Qué extracción tiene el mayor total? ¿Hay mucha variación con los otros totales o son más o menos similares?

Compara tus resultados con otros equipos de trabajo. Discute con todo el grupo cada uno de los resultados obtenidos y sumen en el pizarrón los totales de todos los equipos. ¿A qué conclusión puedes llegar?

Considera las siguientes situaciones. Un maestro califica sus exámenes sacando fichas de una bolsa. En ella tiene siete palomitas (√) y tres taches (X). Cada vez que saca una ficha de la bolsa evalúa una pregunta y después la deja afuera hasta que termina de calificar el examen. Modela varias veces esta situación con el programa (supón que el examen tiene cinco preguntas). ¿Qué combinación de palomitas y taches es la más probable?

Un paquete de 52 barajas tiene cuatro ases. Una persona te dice que puede sacarlos todos en las primeras 20 cartas que ponga sobre la mesa. ¿Qué tan probable es esto? Simula esta situación y estudia la frecuencia de que aparezcan los cuatro ases en las primeras 10 extracciones.


41

Bloque Tres

Analizando gráficas de rectas

AnaGraLin

 Álgebra ¿Sabes que la ecuación de una recta es de la forma: y = mx + b (donde m y b representan dos números cualesquiera)? ¿Qué significa esto? Para saberlo, encuentra el significado de los valores de m y b. Abre el archivo AnaGraLin; cambia a tu gusto los valores de m y b y observa qué sucede. Cambia varias veces el valor de b y observa el comportamiento de la gráfica. ¿Qué nos indica el valor de b en la gráfica de la recta?

Toma el valor b = 0; cambia varias veces el valor de m y observa el comportamiento de la gráfica. ¿Qué nos indica el valor de m en la gráfica de la recta? Con la información anterior, encuentra los valores apropiados de b y m para que la recta: a) Pase por el origen y el punto (2, 2). b) Corte el eje y en el valor 8 y corte el eje x en el valor –4. c) Corte el eje y en el valor 4 y baje 2 celdas en y por cada celda en x. d) Sea horizontal y que corte el eje y en el valor 4. Por último, introduce en el programa los coeficientes de una línea recta y pide a un compañero que deduzca la ecuación de la recta estudiando la gráfica. Cuando la haya encontrado, pídele que determine los coeficientes de una línea recta para que tú los deduzcas.

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Bloque Tres  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Construyendo varias gráficas de funciones con Geometría dinámica

GrafdeFun

En esta actividad vamos a hacer uso de la Geometría dinámica, para realizar las gráficas de funciones: lineal, cuadrática, cúbica y recíproca. Las herramientas que se emplearán en la secuencia para graficar, son: 1. 2. 3. 4.

Mostrar ejes. Nuevo punto sobre objeto (sobre el eje X). Ecuación y coordenadas (del punto anterior). Calcular (para evaluar la función con respecto a la abscisa del punto anterior y arrastrar el resultado a la hoja de trabajo). 5. Transferencia de medida (del resultado anterior sobre el eje Y). Si no se nota, mover el punto sobre el eje X hasta visualizarlo 6. 7. 8. 9.

Punto medio (entre los puntos localizados en ambos ejes). Simetría (del punto origen con respecto al punto medio, y al punto resultante llamarlo P). Lugar geométrico (del punto P con respecto al punto sobre el eje X). Puntero (desplazar al punto de la abscisa sobre el eje X).

Los pasos anteriores se tienen que repetir para cada una de las siguientes funciones: 1) y = 3x - 2

Y P

Resultado: 3,64

1 1 (1,88; 0,00)

2) f(x) = x 2 - x - 6

3) y = x 3 - x 2 - 2x

X

4) f(x) =

1 x


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Comprobación de la fórmula general de la ecuación de segundo grado

FormGral2doGrado

Esta aplicación muestra cómo calcular la solución de una ecuación de segundo grado: ax 2 + bx + c = 0. Para hallar la solución, se va a completar el cuadrado del binomio que represente dicha ecuación, haciendo uso de la manipulación simbólica de la calculadora. 1. Borra lo que haya en la pantalla principal con F1 y opción 8 y después pulsa la tecla CLEAR. 2. En la pantalla principal, introduce la ecuación general de segundo grado. 3. Resta c de ambos lados de la ecuación. 4. Divide ambos miembros de la ecuación entre el coeficiente principal a. 5. Utiliza la función desarr() para desarrollar el resultado de la última respuesta. 6. Completa el cuadrado añadiendo (b/2a)2 a ambos miembros de la ecuación. 7. Factoriza el resultado anterior, utilizando la función factor(). 8. Multiplica ambos lados de la ecuación por 4a 2 . 9. Obtén la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación, aplicando las condiciones a>0, b>0 y x>0. 10. Halla el valor de x restando b a ambos lados y dividiendo entre 2a.

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Funciones cuadráticas

FunCuadrati

 Álgebra Las llamadas funciones cuadráticas tienen la siguiente ecuación general: y = ax 2 + bx + c donde a, b, c pueden ser cualquier número, excepto a = 0. Abre el archivo FunCuadrati. En el programa de hoja de cálculo puedes introducir los coeficientes de la ecuación que quieres estudiar y la hoja te dará información sobre ella. Los coeficientes que están incluidos en el archivo que abriste son a = 2, b = 3 y c = –2, los cuales representan la ecuación: y = 2x 2 + 3x – 2. La primera información que da el programa de hoja de cálculo es el valor del discriminante de la ecuación. El signo del discriminante nos dice cuántas veces la gráfica de la función corta al eje x. Estos cortes están dados por los valores x1 y x2. Cambia varias veces el valor del coeficiente c, como te indica la tabla de abajo. En cada caso observa el signo del discriminante y su mensaje. Verifica en la gráfica el número de cortes que tiene con el eje x. También observa que los valores de x1 y x2 dados en el programa corresponden a estos cortes. Llena la tabla siguiente. VALOR DE C

DISCRIMINANTE

NÚMERO DE CORTES

VALOR DE X1

VALOR DE X2

-2 -1 0 1 2 3 4 5 1.125


45

Notarás que las gráficas tienen la forma de una parábola. ¿Cómo se modificó la forma y la posición de la gráfica con el cambio del valor c? Forma: Posición: Cambia varias veces el valor del coeficiente a y observa su efecto (usa primero los valores 2, 3, 4, 5, 6; y después –2, –3, –4, –5 y –6). ¿A qué conclusiones puedes llegar?

Analiza ahora las siguientes funciones cuadráticas (si es necesario, cambia el valor inicial de la tabla en la celda A16 a otro más apropiado). Puedes calcular la posición del valor mínimo (o máximo) con el promedio de x1 y x2, es decir: (x1 + x2)/2, ya que está a la mitad entre estos puntos. ECUACIÓN y = 2x 2 + 3x - 2

X1

X2

MÍNIMO O MÁXIMO

POSICIÓN DEL MÍNIMO

-2

0.5

mínimo

-0.75

y = x2 - 9 y = x 2 - 14x + 24 y = -2x 2 + 6x y = x 2 + 3x - 3 Comprueba que en cada caso la posición de mínimo o máximo está dada por: –b/2a. Pídele a tu profesor que te explique cómo se calculan los cortes de la parábola, dónde aparece el discriminante y por qué su signo te informa sobre sus cortes.

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Teorema de Thales

TeoreThales

A

P

Propósito: Presentar el resultado fundamental de la semejanza, es decir, el teorema de Tales.

Q

B

C

El resultado fundamental de la semejanza se conoce como teorema de Tales y puede enunciarse así: dado cualquier triángulo ABC, si se traza una recta paralela a uno de los lados del triángulo, por ejemplo, la recta PQ paralela al lado BC, esta recta intersecta los otros lados del triángulo AB y AC en los puntos P y Q, respectivamente y los lados quedan divididos en segmentos proporcionales; esto es, P divide al lado AB en los segmentos AP y PB, mientras que el punto Q divide al lado AC en los segmentos AQ y QC. Entonces, si dividimos la longitud de AP entre la longitud de PB, este cociente es el mismo que el obtenido al dividir la longitud de AQ entre la longitud de QC. Como la recta PQ es paralela a BC, verifica (midiendo) que:

AP AQ = BP QC

Es decir, los segmentos AP, PB y AQ, QC son proporcionales.

Traza otras rectas paralelas al lado BC y escribe en el espacio qué segmentos son proporcionales.


47

Traza rectas paralelas a otro de los lados del triángulo ABC y explica en el espacio siguiente qué segmentos son proporcionales.

A

B

C

Ahora, si eliges el punto medio de un lado, por ejemplo el lado AC, y por éste trazas la paralela al lado AB, ¿en qué punto intersectará el lado BC?

Describe qué ocurre si arrastras con el puntero el vértice C.

48


Recíproco del teorema de Thales

ReciprocoThales

Propósito: Presentar el recíproco del teorema de Thales. El teorema recíproco del teorema de Thales también es cierto y puede enunciarse así: si sobre dos lados de cualquier triángulo elegimos puntos, por ejemplo, L sobre BC y M sobre AC, de manera que cumplan el enunciado

A

BL AM = LC MC entonces al trazar la recta que pasa por los puntos L y M, ésta es paralela a AB. Mide los segmentos BL, LC y AM, MC, para obtener los cocientes correspondientes. ¿Son iguales?

M

B

L

C

Si tu respuesta fue afirmativa, verifica que la recta que pasa por L y M sea paralela al lado AB.

En el dibujo de la izquierda, los lados AB y AC están divididos en siete partes iguales; N es uno de los puntos de división del lado AB, esto es:

A

N

B

AN = NB

C

Localiza sobre AC el punto de división para que el cociente de los segmentos correspondientes sea el mismo que acabamos de obtener. Traza la recta por N y por el punto que elegiste; ¿es paralela al lado BC?


49

Un caso de particular interés es cuando se eligen los puntos medios de dos lados de cualquier triángulo; veámoslo:

A M N C

B

En el triángulo ABC del dibujo, M y N son puntos medios de los lados AC y AB respectivamente. ¿Cuál es el cociente de AM entre MC? ¿Cuál es el cociente de AN entre NB? ¿Qué posición guarda la recta que pasa por los puntos M y N con respecto al lado BC? Ahora, localiza el punto medio del lado BC y denótalo por L, ¿qué tipo de cuadrilátero es LCMN?

Por lo tanto:

NM = LC =

1 BC 2

Finalmente, si consideras el triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados de un triángulo dado, ¿cómo son el triángulo dado y el formado con los puntos medios? Escribe a continuación las características que comparten ambos triángulos; no olvides las relaciones entre perímetro y área.

50


Razón y proporción

RazonProporLogo

 Casas y Pueblos otra vez Construye procedimientos para dibujar letras, personas, familias y árboles.

PARA MICASA AV 50 GD 60 AV 70 GD 60 AV 70 GD 60 AV 50 GD 90 AV 121 GD 90 FIN

Agrega al procedimiento una puerta y una ventana.

En el procedimiento MICASA, ¿qué instrucciones corresponden a los lados? Dada MICASA, construye un pueblo con casas iguales de diferentes tamaños. ¿Qué instrucciones cambian en MICASA al hacer una casa más grande? ¿Qué instrucciones no cambian?


51

 Figuras a escala Escribe un procedimiento para dibujar una letra. Por ejemplo: PARA ELE AV 100 RE 100 GD 90 AV 50 RE 50 GI 90 FIN Luego edita tu procedimiento para multiplicar cada parte por una escala. PARA ELE : ESCALA AV 100 * : ESCALA RE 100 * : ESCALA GD 90 AV 50 * : ESCALA RE 50 * : ESCALA GI 90 FIN Intenta ELE 0.5

ELE 1.0 ELE 2.7

ELE 1.9

¿Qué sucede con la letra? ¿Qué tan grande la puedes hacer? ¿Qué tan pequeña?

Elabora la primera letra de tu nombre y explora con diferentes escalas.

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 Letras Escribe un solo procedimiento para dibujar las letras E de abajo y otras de cualquier tamaño. 150

PARA LETRA E : ESCALA

100 50 100 75

150 50 50

25 75

225

150

75 150

FIN

225

¿Cuáles son los comandos que varían y cuáles los que permanecen iguales?


53

Haz lo mismo para la letra Z. PARA LETRA Z : ESCALA

27 30 27 9 10 9

45

gd 148 50 45 FIN

¿Qué entrada de la variable :ESCALA se necesita para crear cada una de las letras? CHICA

MEDIANA

Letras E Letras Z

Las respuestas dependen de cómo escribiste tus procedimientos

54


GRANDE

 Personas Con el procedimiento PERSONA crea personas con cabezas más grandes, con piernas más o menos largas o como se te ocurra.

PARA PERSONA : TAM CABEZA : TAM SALTO : TAM CUERPO : TAM FIN

PARA SALTO : TAM RE : TAM GD : 90 AV : TAM / 2 GI 90 FIN

PARA BRAZOS : TAM GI 125 AV : TAM / 2 RE : TAM / 2 GD 250 AV : TAM / 2 RE : TAM / 2 GI 125 FIN

PARA CABEZA : TAM REPITE 4 [GD 90 AV : TAM] FIN

PARA CUERPO : TAM RE : TAM / 3 BRAZOS : TAM RE : TAM PIERNAS : TAM FIN

PARA PIERNAS : TAM GI 150 AV : TAM * 8 RE : TAM * 8 GD 300 AV : TAM * 8 RE : TAM * 8 GI 150 FIN


55

 Familias Usando PERSONA y los otros procedimientos que creaste en la actividad anterior, crea familias y hasta una población.

56


 Árboles Diseña un solo procedimiento que dibuje estos árboles y otros de diferentes tamaños. 60

60

60

60

80

60

80 30

80 90

100

90 90

100 100

60

30 60

90

90 90

120

120

30

120 PARA ARBOL

FIN Utiliza ARBOL para crear un bosque con árboles de diferentes tamaños.


57

La homotecia como aplicación del teorema de Thales

HomoteciayThales

Propósito: Utilizar la homotecia como aplicación del teorema de Thales y su recíproco.

A’

A C’

C

O B

B’

Arriba se ilustra la transformación llamada homotecia, mediante la cual se obtuvo el triángulo A’B’C’ a partir del triángulo ABC; en este caso, además del objeto por transformar, se debe establecer un punto O, llamado centro de homotecia, desde el cual se trazaron rectas (en nuestro caso con dirección a los vértices del triángulo ABC) sobre el plano del triángulo; finalmente es necesario indicar un número llamado razón de homotecia (en nuestro caso el 3).

Activa el comando HOMOTECIA y señala el objeto que se va a transformar; luego indica el centro de homotecia y al final señala la razón de homotecia (este número se escribe utilizando el comando EDICIÓN NUMÉRICA).

58


Mide los segmentos OA y OA’; ¿qué relación tienen entre sí? Ahora mide los segmentos OB y OB’; ¿qué puedes decir de su cociente? Finalmente, mide los segmentos OC y OC’; ¿cuál es la razón entre ellos?

Arrastra uno de los vértices del triángulo ABC. ¿Qué ocurre? Descríbelo.

¿Qué posición guardan los lados AB y A’B’? ¿Qué posición guardan los lados BC y B’C’? ¿Y los lados CA y C’A’?

Si mides los lados de los triángulos ABC y A’B’C’ y divides entre sí las medidas de los lados correspondientes del triángulo A’B’C’ al triángulo ABC obtienes: A’B’ = AB

; B’C’ = BC

; C’A’ = CA

¿Cómo son los ángulos ABC y A’B’C’? ¿Y los ángulos BCA y B’C’A’? ¿Y los ángulos que faltan en cada triángulo? También aparecen otros ángulos; ¿podrías decir cuáles son?


59

Si comparas el área del triángulo A’B’C’ con la del triángulo ABC, ¿cuál es el cociente o razón entre ellas? ¿Qué relación tiene el cociente obtenido con la razón de homotecia?

El dibujo ilustra la homotecia del cuadrilátero ABCD, con centro de homotecia O y razón de homotecia –2.

B’

A’ C

O D

C’

-2 A B

Explica lo que observas:

60


D’

Arrastra uno de los vértices del cuadrilátero ABCD y describe lo que sucede.

Calcula las áreas de ambos cuadriláteros y encuentra el cociente. área A’B’C’D’ 4 = área ABCD 1

¿Qué relación tiene este cociente con la razón de homotecia?.


61

Bloque Cuatro

¿Una ecuación para desalojar la escuela?

DesalojEsc

La siguiente ecuación permite calcular el tiempo que tardan los estudiantes en desalojar su escuela durante un simulacro. y = -5x + 400 1. Usa esa ecuación para construir una gráfica en la calculadora, ajusta el RANGO de manera que se puedan ver las intersecciones de la gráfica con los ejes vertical y horizontal del plano cartesiano, y reprodúcela “a mano” a continuación. 400 Número de

300

estudiantes dentro

200

de la escuela

100

20

40

60 80 Tiempo (segundos)

100

2. Responde las siguientes preguntas y justifica claramente tus respuestas. a) ¿Cuántos estudiantes había dentro de la escuela antes del simulacro?

Justificación.

b) ¿Cuántos estudiantes estaban aún dentro de la escuela cuando habían transcurrido 30 segundos del simulacro?

Justificación.

c) ¿Cuántos estudiantes estaban dentro de la escuela cuando habían transcurrido 55 segundos del simulacro?

Justificación.

d) ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando quedaban 325 estudiantes?

Justificación.

e) ¿En cuánto tiempo quedó totalmente desalojada la escuela?

62

Justificación. Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Números poligonales

NumPoligonales

Los pitagóricos solían representar los números mediante puntos en un pergamino o piedrecillas en la arena, y los clasificaban según las formas poligonales de estas distribuciones de puntos, es decir, asociaban los números a figuras geométricas obtenidas por la disposición regular de puntos, cuya suma determina el número representado.

CUADRADOS PENTAGONALES HEXAGONALES

NÚMEROS POLIGONALES

TRIANGULARES

TIPO

Así obtenían los diversos tipos de números poligonales o figurados: ORDEN 1

1

1

1

1

2

3

4

5

6

3

6

9

12

15

4

10

16

22

28

5

15

25

Los números triangulares (3, 6, 10, 15, ...) son enteros del tipo N = 1 + 2 + 3 + ... + n Los números cuadrados (4, 9, 16, 25, ...) son enteros del tipo N = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) Los números pentagonales (5, 12, 22, ...) son enteros del tipo N = 1 + 4 + 7 + ... +(3n-2)

35

Los números hexagonales (6, 15, 28, ...) son enteros del tipo N = 1 + 5 + 9 + ... + (4n-3)

45

Los números heptagonales (7, 18, 34, ...) son enteros del tipo N = 1 + 6 + 11 + ... + (5n-4)

Representación de los números triangulares, cuadrados, pentagonales y hexagonales

Con la ayuda de Hoja de cálculo, construye columnas que modelen los números poligonales y trata de deducir la fórmula para cualquier orden. Propuesta Hidalgo  3er Grado

63

Teorema de Pitágoras

TeoremaPitagoras

 Semejanza y teorema de Pitágoras Propósito: Usar el programa de cómputo para verificar el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados de un triángulo rectángulo; el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros se llaman catetos. La siguiente figura muestra un triángulo rectángulo (aun cuando pueda girarse, sigue siendo un triángulo rectángulo) y tres cuadrados, construidos sobre cada uno de los lados del triángulo.

B a c

C b

Según se indica en la figura, los catetos son BC = a y CA = b.

A

La hipotenusa en este caso es el segmento AB = c.

Reproduce el dibujo.

Anota los pasos que seguiste para realizar el ejercicio anterior.

64

Bloque Cuatro  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Obtén las medidas de cada uno de los lados del triángulo.

¿Cuánto mide el área de cada cuadrado?

Indica cuál de las siguientes relaciones se cumple. a2 + b2 = c2 b2 + c2 = a2 c2 + a2 = b2

Arrastra uno de los vértices del triángulo ABC. ¿Se sigue cumpliendo la relación anterior?

Teorema de Pitágoras generalizado. 1) Dibuja un triángulo rectángulo. 2) Construye sobre cada lado del triángulo un polígono regular, que tenga el mismo número de lados. 3) Calcula el área de cada polígono regular. 4) Suma las áreas más pequeñas y compara con el área mayor. 5) Arrastra uno de los vértices del triángulo ABC.

¿Se sigue cumpliendo la relación anterior?


65

Triángulos

TriRectLogo

Triángulos rectángulos

 Hipotenusas Completa el procedimiento para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo (a partir de la medida de sus catetos).

Hipotenusa = ? Cateto 1

Usa el teorema de Pitágoras: Cateto 2 Hipotenusa2 = (Cateto 1)2 + (Cateto 2)2 Por lo que: Hipotenusa = √(Cateto 1)2 + (Cateto 2)2

Te recordamos que existe una primitiva RAIZ CUADRADA (o RC).

PARA HIPOTENUSA :C1 :C2 Esta es la primitiva DEVUELVE (DEV) que da salida a un valor. Si no la conoces, consulta la unidad 13. Funciones pp. 111-121.

DEV RC (.............................. + ..............................)

FIN

¿Cuál sería la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 75 y 50? (Teclea ES HIPOTENUSA 75 50) Comprueba tu resultado con calculadora. Usa el procedimiento HIPOTENUSA para dibujar una o ambas diagonales de un cuadrado.

66


 Catetos Usando el teorema de Pitágoras, encuentra la fórmula para un cateto, en relación a la hipotenusa y el otro cateto.

Hipotenusa Cateto 1

Cateto 2 = ? Cateto 2 =

Usa la fórmula para escribir un procedimiento que calcule el segundo cateto a partir de la hipotenusa, el cateto faltante, los dos ángulos agudos y también que dibuje el triángulo.

PARA CATETO2 :H :C1

DEV

FIN


67

 Ángulos Para calcular los ángulos de un triángulo rectángulo se puede usar la siguiente fórmula trigonométrica.

Cateto opuesto α Cateto adyacente Tan α = Cateto opuesto/Cateto adyacente Por lo que la medida del ángulo α está dada por: α = arctan (Cateto opuesto/Cateto adyacente) Escribe un procedimiento que calcule los dos ángulos desconocidos y la hipotenusa a partir de dos catetos de un triángulo rectángulo, y también que lo dibuje. PARA ANGULO :OPUESTO :ADYACENTE Nota: Existe una función primitiva ARCTAN.

DEV

FIN Usa tu procedimiento para encontrar el ángulo en la figura, entre la hipotenusa y el cateto que mide 160. 160 ? 100

Completa lo que tienes que teclear: ES ANGULO El ángulo mide: Comprueba tu resultado con calculadora.

68


 Combina todo Usa las herramientas que construiste en las actividades anteriores (procedimientos HIPOTENUSA, CATETO, ANGULO) para dibujar los siguientes triángulos rectángulos (intenta terminar con la tortuga en su posición y rumbo iniciales). 85 β β 35

76

α 100

α

Completa lo siguiente: PARA TRI1 AV 35 GD 90 AV ....... GD ....... AV ....... GD (90 + ....................................) FIN

PARA TRI2 .................... .................... .................... .................... .................... .................... FIN

Completa la siguiente tabla:

TRIÁNGULO

CATETO 1

TRI1

35

CATETO 2

HIPOTENUSA

ÁNGULO INTERNO α

ÁNGULO INTERNO β

100

TRI2


69

 Generaliza Usa las herramientas que construiste en las actividades anteriores (procedimientos HIPOTENUSA y ANGULO) para escribir un procedimiento que dibuje un triángulo rectángulo cualquiera, a partir del valor de sus dos catetos. B

A

HIPOTENUSA

Completa lo siguiente.

PARA TRIRECT :A :B AV :A GD .......... AV .......... GD (180 - ANGULO ..... .....) AV HIPOTENUSA :A :B GD .......... FIN

70


Procura que haya transparencia de estado (que la tortuga termine en su posición y rumbo iniciales).

Explosión demográfica

ExploDemografica

 Álgebra y nuevas ideas En 1990 vivían en nuestro país aproximadamente 80 millones de habitantes. Si consideramos que el territorio mexicano tiene una extensión de casi dos millones de kilómetros cuadrados, ¿cuántas personas crees que había en promedio por cada kilómetro cuadrado? Al número de habitantes por kilómetro cuadrado se le llama densidad de población. En esta actividad conocerás y aplicarás un método para calcular el crecimiento de la población mexicana y cómo éste se refleja en su densidad de población. Para empezar, construye una hoja de cálculo de acuerdo con las siguientes instrucciones: 1. En la celda A2 escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente el año de diez en diez. 2. En la celda B2 escribe la cantidad de habitantes que había en México en 1990. Para calcular las poblaciones subsecuentes, establece un porcentaje de crecimiento, digamos 25% (esto se puede precisar consultando los resultados del censo más reciente). Enseguida, escribe en la celda B3 la fórmula = B2 + 0.25 * B2 (la población anterior más 25%) y cópiala hacia abajo. 3. En la celda C2 escribe la fórmula =B2/2000000 (población/área) que calcula la densidad poblacional respectiva y cópiala hacia abajo. A

B

C

1

AÑO

POBLACIÓN

DENSIDAD HAB. POR KM2

2

1990

80 000 000

40

3

2000

100 000 000

50

4

2010

125 000 000

63

D

¿Qué densidad habrá en el año 2100? ¿En qué año la densidad llegará a 10000 habitantes por kilómetro cuadrado?

Discute estos resultados y sus implicaciones con tus compañeros.


71

Inflación contra salario

InflaVsSalario

 Álgebra y nuevas ideas En esta actividad verás cómo la inflación reduce el salario efectivo de una persona. Primero es necesario establecer un par de referencias. Considera que en 1990 el salario de un trabajador era de $5 000.00 mensuales y que en ese año un coche costaba $50 000.00. ¿Cuántos salarios del trabajador eran necesarios para pagar el coche? Imagina ahora que la inflación anual es pequeña, por ejemplo de 5%, y que el salario se mantiene fijo. Con los datos anteriores elabora una hoja de cálculo. Los pasos siguientes te pueden servir: 1. En la celda A2 escribe 1990 y encuentra una fórmula para generar una serie que aumente el año de uno en uno. 2. En la celda B2 escribe el salario sin cambio. 3. En la celda C2 escribe el costo inicial del coche. En la celda C3 escribe la fórmula = C2 + 0.05 * C2 para calcular cuánto aumenta el costo del coche anualmente debido a la inflación. Copia la fórmula hacia abajo. 4. En la celda D2 escribe una fórmula apropiada para calcular la cantidad de salarios que se requieren para comprar el coche. A

B

C

D

1

AÑO

SALARIO

COSTO COCHE

SALARIOS PARA COMPRAR COCHE

2

1990

5 000

50 000

10

3

1991

5 000

52 500

10.5

4

1992

5 000

55 125

11

¿En qué año se necesitarán 20 salarios para pagar el coche? ¿En qué medida se ha reducido efectivamente el salario del trabajador?

Considera ahora la situación en la que el salario crece en la misma proporción que la inflación. Modifica la columna B para que el salario aumente 5% cada año.

72


¿Qué observas en la columna D?

La situación anterior sería ideal. Por lo general los salarios crecen a una razón menor que la inflación real. Supón, por ejemplo, que la inflación real es de 30% anual. Aplica este porcentaje al costo del coche en la columna C. Piensa también que debido a esta inflación, los salarios se incrementan 20% anualmente. Aplica este aumento al salario en la columna B. Tu hoja debe mostrar los siguientes resultados: A

B

C

D

1

AÑO

SALARIO

COSTO COCHE

SALARIOS PARA COMPRAR COCHE

2

1990

5 000

50 000

10

3

1991

6 000

65 000

10.8

4

1992

7 200

84 500

11.7

De acuerdo con tus resultados, ¿cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 10 años?

¿Cuánto se habrá reducido el salario efectivamente en 20 años?

Comenta los resultados de la actividad con tus compañeros y tu maestro.


73

Interés compuesto

InteresCompuesto

 Álgebra y nuevas ideas ¿Sabes cuál es la diferencia entre interés simple e interés compuesto? A continuación vas a conocerla. Si se tiene un capital inicial de $10 000 y al depositarlo en una cuenta de inversión nos dicen que la tasa de interés anual es de 15%, ¿cuál será la ganancia que se obtenga? Para saberlo, primero debes determinar cuánto es 15% de $10 000. Así, en el primer año tendremos un capital de: 10 000 + 1 500 = 11 500 pesos En el segundo año: 11 500 + 1 500 = 13 000 pesos ¿Y en el tercero? La manera en que calculaste la ganancia del capital inicial se llama interés simple, porque éste se mantiene constante. El interés simple no es muy justo si consideramos que, conforme pasan los años, cada vez se tiene más dinero y por lo tanto los intereses deberían calcularse sobre las nuevas sumas y no en función del primer depósito. A este principio se le llama interés compuesto. En el primer año el capital es el mismo: 10 000 + 1 500 = 11 500 En el segundo año tendremos un interés de: 0.15 * 11 500 = 1 725 (ya que en el banco hay ahora11 500 pesos) Así, el capital será de: 11 500 + 1 725 = 13 225 ¿Cuál será el interés en el tercer año si procedemos de la misma manera, es decir si aplicamos la fórmula 0.15 * 13 225? ¿Cuál será entonces el capital?

74


Y así sucesivamente. La fórmula para calcular el interés compuesto puede escribirse así: Capital siguiente = Capital anterior + Tasa interés * Capital anterior Construye una hoja de cálculo que haga las operaciones automáticamente. Copia el modelo de la siguiente tabla: A

B

C

D

1

TASA DE INTERÉS

CAPITAL INICIAL

AÑO

CAPITAL

2

0.15

10 000

0

10 000

3

1

11 500

4

2

13 225

¿Qué capital habrá en 10 años? ¿Qué capital habría en 10 años si se calculara con interés simple? ¿Qué capital habrá en 20 años? ¿Qué capital habría en 20 años si se calculara con interés simple? ¿Qué capital tendrá una persona después de 20 años si deposita en el banco $1 000.00 con un interés anual de 12%? ¿Qué población tendrá un país después de 20 años si actualmente tiene 500 000 habitantes y su tasa de crecimiento es de 3% anual? ¿Cuánto costará un cuadro famoso después de 20 años si actualmente tiene un valor de 10 000 dólares y la tasa de crecimiento de su valor es de 80% anual?


75

Tiempos de duplicación en el crecimiento compuesto

TiemposDupli

 Álgebra y nuevas ideas Primero vamos a construir, en una hoja de cálculo, una tabla de crecimiento compuesto como la que se muestra abajo. En la columna A van los años. En la columna B se incrementa la cantidad inicial de 100 al 1% anual. En la columna C se incrementa la cantidad inicial de 100 al 2% anual. Continúa estas columnas hasta el 10% (columna K)

= B2 + 0.01 * B2 = C2 + 0.02 * C2

A

B

C

D

E

1

AÑOS

1%

2%

3%

4%

2

0

100

100

100

100

3

1

101

102

103

104

4

2

102.01

101.01

106.09

108.16

5

3

103.03

106.12

109.27

112.49

Comprueba que los valores que se obtienen con las fórmulas son los mismos que los de la tabla de arriba.

76


Extiende cada columna hasta que veas el valor 200. El tiempo correspondiente en la columna A se llama tiempo de duplicación, ya que empezaste con 100 y se llegó hasta 200. Con los valores encontrados, llena la tabla siguiente: TASA DE CRECIMIENTO

TIEMPO DE DUPLICACION

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% Discute con tus compañeros para qué pueden servir estos tiempos en los bancos, al prever poblaciones y estimar el valor de casas, antigüedades y obras de arte. Extiende tu hoja de cálculo hasta una tasa de crecimiento de 20% y reprodúcela en una hoja de papel. ¿Qué le pasa a los tiempos de duplicación conforme la tasa de crecimiento aumenta más y más?

¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 100% anual? ¿Cuál sería el tiempo de duplicación para una tasa de crecimiento de 200% anual?


77

Bloque Cinco

Construyendo algunos cuerpos geométricos

ConstruyCuerpos

Definición: Un Sólido o Cuerpo Geométrico es una figura geométrica de tres dimensiones (largo, ancho y alto), que ocupa un lugar en el espacio y en consecuencia tiene un volumen.

Haciendo uso del ambiente de geometría dinámica, construye los siguientes cuerpos geométricos, aprovechando la propiedad de animación.

 Cuerpos planos Son sólidos geométricos que tienen superficies planas, tales como: Paralelepípedo, prisma y pirámide …

 Cuerpos redondos Son sólidos geométricos que tienen superficies curvas, tales como: Cilindro, cono y esfera.

78

Bloque Cinco  Enseñanza de las Matemáticas con Tecnología para la Educación Secundaria

Uso de fórmulas de área y volumen de sólidos

Area/Vol/Solidos

Un sólido geométrico es una región cerrada del espacio limitada por ciertas superficies que pueden ser planas o curvas.

Recurriremos a algunos casos bien conocidos para introducir el concepto, así como estudiar los conceptos de área y volumen de un sólido, mediante el uso de hoja de cálculo. Paralelepípedo rectangular o caja rectangular Es aquel sólido que tiene base rectangular y sus aristas laterales son perpendiculares a la base. Si tiene todas las aristas iguales se llama cubo. Su área y volumen están dados de la siguiente manera: A = 2ab + 2ac + 2bc ; V = abc

Cilindro Es el sólido conformado por caras paralelas circulares y el conjunto de todos los segmentos de línea recta perpendiculares a sus caras y comprendidos entre ellas. El área de su superficie y su volumen, están dados de la siguiente manera:

Prisma recto Un prisma es un poliedro con dos caras que son regiones poligonales congruentes en planos paralelos y las caras laterales son rectángulos. La altura h es la distancia entre las caras paralelas. El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura y el área de la superficie es la suma de las áreas de las caras que lo limitan.

A = 2πr2 + 2πrh ; V = πr2h

A = (P*a) + (P*h) V=

P*a*h 2 Propuesta Hidalgo  3er Grado

79

Cono circular recto Es el sólido cuya base es un círculo y su superficie lateral está formada por los segmentos de línea recta que unen un punto 0, sobre la línea perpendicular al círculo y por el centro de éste, con los puntos de la circunferencia. Cualquiera de estos segmentos de línea recta se denomina una generatriz y su longitud se denota con g. La distancia entre ese punto 0 y el centro del círculo se llama altura. Aquí denotamos con h a la altura y con r al radio de la base circular. El área de su superficie y volumen están dados de la siguiente manera: A = πr2 + 2πrg , donde g = √h2 + r2 ; V = 1/3 πr2h

Esfera Está determinada por todos los puntos del espacio que se encuentran a una distancia menor o igual a r de un punto fijo llamado centro (superficie esférica junto con su interior). Su área y volumen están dados de la siguiente manera: A = 4πr2 V=

4 πr3 3

Completa la siguiente tabla haciendo uso de la hoja de cálculo Superficie y volumen.xls: SÓLIDO GEOMÉTRICO Paralelepípedo rectangular

ÁREA a = 3 cm

Cilindro Prisma recto Cono circular recto Esfera

80

No. lados = 5

96 cm3

b=

c = 8 cm

r=4m

h=

251.33 m2

Long. de lado = h= 7 cm

518.61 cm2

r=

h = 5.3 m r=


VOLUMEN

64.16 m3 314.16 cm2

Problemas de optimización (I)

ProblemOptim01

La Geometría dinámica nos permite por un lado realizar “experimentos” geométricos, de manera que lleguemos a establecer las relaciones adecuadas y obtener conclusiones, y por otro lado facilita la conexión interna entre distintas representaciones matemáticas. Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones.

Resuelve los siguientes problemas con la ayuda de Geometría dinámica. 1. Con un alambre de 10 cm queremos construir un rectángulo de área máxima. ¿Qué dimensiones debe tener el rectángulo?

b a 2. Indica cuál es el triángulo de área máxima de entre todos los isósceles de 9 cm de perímetro.

a

a

b 3. Hallar las dimensiones de un depósito sin tapa, en forma de prisma recto de base cuadrada, de 250 ml (o 250 cm3) de capacidad, que tenga un revestimiento de costo mínimo.


81

Problemas de optimización (II)

ProblemOptim02

Uno de los objetivos de la Matemática es encontrar métodos que permitan resolver problemas donde está presente algún criterio de optimización, lo que se debe entender en el sentido de que se busca el máximo o el mínimo de cierta cantidad en presencia de algunas restricciones. Haremos lo anterior con Geometría dinámica.

h

Superficie lateral cilíndrica

h

d

πd y

5. Se desea construir una lata de conservas en forma de cilindro circular recto, con área total 150 cm2 y volumen máximo. Determinar su altura y su radio.

x 4. Una ventana tiene la forma de un rectángulo que está coronado por una semicircunferencia. Si el perímetro de la misma es de 6 m, determinar la longitud de la base que hace que la ventana tenga la mayor área.

c

b a 6. Con una cartulina de 10 x 8 cm se desea construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

82


Lanzamiento de dados (I)

UnoDosTresDados

La teoría de la probabilidad está muy relacionada con juegos de azar, como el lanzamiento de dados. Antes de participar en cualquiera de estos juegos es conveniente saber cuál es la probabilidad de que salga un resultado u otro. Si lanzamos un solo dado, existe la misma probabilidad de que salga cualquiera de los seis números, es decir, es tan probable que salga 1 como que salga 2, 3, 4, 5 o 6. Esta probabilidad es 1/6.

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UnoDosTresDados, y en la hoja 1 “Un dado”, se hace la simulación de 2 000 lanzamientos de un solo dado.

Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. FRECUENCIA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Menor Mayor Compara tus resultados con otro compañero, ¿hay mucha diferencia? ¿Los resultados son equiprobables? ¿Si tuvieras que apostar, a qué número lo harías?

400 350 300 250 200 150 100 50 0

Uno

Dos

Tres Cuatro Cinco Seis


83

 Ahora con dos dados Al lanzar dos dados, decimos que el número que cae es la suma de los números que aparecen en las caras superiores de ambos dados. Por ejemplo, si en uno de los dados hay un 2 y en el otro un 4, decimos que cayó un seis. Cuando lanzas dos dados no todos los números tienen la misma probabilidad de caer. Veamos cuáles son los números que pueden caer y cómo podrían obtenerse. Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar dos dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas. SUMA

MANERA DE OBTENERLA

TOTAL

SUMA

MANERA DE OBTENERLA

TOTAL

2

1 +1

1

8

5

3

1+2 2+1

2

9

4

4

3

10

3

5

4

11

2

6

5

12

1

7

6

Total

36

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UnoDosTresDados, en la hoja 2, “Dos dados”, es donde se hace la simulación de 2 000 lanzamientos de dos dados. Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. FRECUENCIA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Menor

Compara tus resultados con otro compañero. ¿Hay mucha diferencia? ¿Los resultados son equiprobables? ¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías?

84

400 350 300 250 200 150 100 50 0


Dos Tres Cuatro Cinco Seis Siete Ocho Nueve Diez Once Doce

Mayor

Lanzamiento de dados (II)

UnoDosTresDados

 Ahora con tres dados ¿Qué crees que pase si lanzas 3 dados? ¿Habrá algún número que tenga más probabilidades que otro? Fíjate en la siguiente tabla. En la columna de la izquierda hemos colocado las sumas que puedes obtener al lanzar tres dados. En la columna de la derecha está el número de maneras de obtener esas sumas. SUMA

MANERA DE OBTENERLA

TOTAL

SUMA

3

1+1+1

1

11

3

12

6

13

4

5

1+1+2 1+2+1 2+1+1 1+1+3 1+2+2 2+1+2 2+2+1 3+1+1 1+3+1

6

14

7

15

8

16

9

17

10

18

MANERA DE OBTENERLA

Total

TOTAL

216


85

Para comprobar la parte teórica, hagamos uso del archivo: UnoDosTresDados, en la hoja 3, “Tres dados”, es donde se hace la simulación de 2 000 lanzamientos de tres dados. Cada vez que pulses la tecla F9, registra el de menor y mayor frecuencia. Hazlo veinte veces. FRECUENCIA

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Menor Mayor Compara tus resultados con otro compañero, ¿hay mucha diferencia? ¿Los resultados son equiprobables? ¿Si tuvieras que apostar, a qué suma lo harías? ¿Dónde están los números que tienen más probabilidad de caer? ¿Y los que tienen menos? ¿Se parece a la que se obtiene cuando lo haces con sólo dos dados? ¿Será una coincidencia?

300 250 200 150 100

86


Dieciocho

Diecisiete

Dieciseis

Quince

Catorce

Trece

Doce

Once

Diez

Nueve

Ocho

Siete

Seis

Cinco

Cuatro

Tres

0

Dos

50

Bibliografía EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Matemáticas con la hoja de cálculo. México: SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Geometría dinámica. México: SEP. EMAT. (2000). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. De los números al álgebra en secundaria con el uso de la calculadora. México: SEP. EMAT. (2005). Enseñanza de las matemáticas con Tecnología. Programación computacional para matemáticas de secundaria. México: SEP. SEP. (2006). Programas de estudio 2006. Matemáticas. Educación básica. Secundaria. México: SEP. SEP. (2006). Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP. SEP. (2006). Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación secundaria, 2a. ed., México: SEP. SEP. (2006). Libro para el maestro. Matemáticas. Secundaria, México. Ursini, Sonia, Fortino Escareño, Delia Montes, María Trigueros. (2005). Enseñanza del álgebra elemental. Una propuesta alternativa, Trillas, México.


87

EMAT Tercero Secundaria

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