Divisibilidad I
Divisibilidad
Principios de la divisibilidad
La divisibilidad, es aquella parte de la aritmética que se encarga del estudio de las condiciones que debe reunir un número, para ser divisible por otro.
1. La adición o sustracción de múltiplos de un mismo número, siempre es igual a un múltiplo del mismo número.
Se dice que "A es divisible por B"; si al dividir el primero A! entre el segundo B!, la división resulta eacta # el cociente entero.
$
n
% n
$
n
&
$
$
' n
$
& n
$
n
(. La multiplicación de un múltiplo de "n" por un entero, da como producto un múltiplo de "n". )
*
$
$
Observación
+emplo) /
) es divisible entre /.
0odo número posee divisores # múltiplos, as por eemplo en el caso del número (), tenemos que-
2
)
3ivisores- 1; (; ; /; 1); () ()
4( 2 )
5últiplos- ); (); ); 6); 2); 1)); ...
4( es divisible entre 2.
3ebemos considerar que-
Observación
' +l cero, es múltiplo de todos los números. Si "A" es divisible entre "B", también se puede decir
"A" es múltiplo de "B". "B" es divisor de "A".
' +l uno, es divisor de todos los números. +n toda división, el dividendo es múltiplo del divisor m7s el residuo, por eemplo-
+emplo(2 8
)
(2 es divisible entre . (2 es múltiplo de . es divisor de (2.
9 Notación:
o
6) 8 2
6)
8
/( 6 2
/(
6
o
B
$
.&< 4.&8
se lee- "A" es múltiplo de "B".
Si el producto de dos números es el múltiplo de "", # uno de ellos no admite divisores comunes con "", entonces el otro es múltiplo de "", as por eemplo-
$
o
:ara denotar que "A" es divisible entre "B", escribiremos A
$
&< $
&8
Operaciones con
múltiplos
1. Si$
A & n % $ B&n % #
$
A % B & n % % #!
(. Si-
2. 3el )) al 1 )), =cu7ntos números son múltiplos de 8 pero no de /> $
A & n % $ B&n % #
$
A ' B & n % ' #! ?pta.-
4. Si-
<. 3el 2)) al 1 ()), =cu7ntos números son múltiplos de pero no de <> $
A & n % $ B&n % #
$
A . B & n % . # ?pta.-
Problemas para la clase
1).=*u7ntos números del 1 al (1) no son múltiplos de 4 ni de />
Bloque I
?pta.-
1. +n un barco viaaban <) personas # ocurrió un accidente. 3e los sobrevivientes se sabe que los 4@14 son nios # la quinta parte son casados. =*u7ntos murieron>
o
11.Si- A 14 # B 14 6 , =cu7l es el residuo que se obtiene de dividir "A . B" entre 14>
?pta.(. +n una convención a# 1/ personas entre nacionales # etraneros. 3e los etraneros se sabe que (@/ son casados, 4@8 son Cumadores # 1@4 son agentes viaeros. Se pide-
o
?pta.o
o
1(.Si- 8 ( # 5 8 4 , allar el residuo que dear7 ".5 % 5 % " cuando se divida entre 8.
a! =*u7ntos asistentes son nacionales> b! 3e los etraneros, =cu7ntos son solteros> 4. A una Ciesta de promoción asistieron )) personas. 3el total de las mueres que asistieron, la tercera parte tienen cabello largo, los 4@2 son deportistas # 4@11 son ma#ores de edad. Averiguara! =*u7ntos varones asistieron> b! =*u7ntas mueres no son ma#ores de edad> . =*u7ntos múltiplos de 11 a# del 1 al 2))> ?pta./. 3el /( al 2), =cu7ntos múltiplos de 8 a#> ?pta.6. =*u7ntos números de tres ciCras son múltiplos de 18> ?pta.8. =*u7ntos números de tres ciCras son múltiplos de 8 # / a la veD> ?pta.-
?pta.Bloque
II
1. A un congreso médico asistieron entre /)) # 6)) personas. Se observó que (@8 de los asistentes son ginecólogos, 1@4 son neurólogos # (@14 son pediatras, =cu7ntos asistentes no son pediatras> a! 418 d! 426
b! 6( e! (16
c! (1
(. +n un colegio a# matriculados /() alumnos, de los varones se sabe que los (@< son alumnos nuevos, 1@8 llevan un curso de cargo, (@1/ nunca Caltaron # 1@4 le gusta las matem7ticas, =cu7ntas mueres a# en el colegio> a! 18/ d! 1<6
b! ()< e! ()/
c! 126
4. =*u7ntos números de tres ciCras son múltiplos de 14> a! 8( d! 6/
b! 6< e! (8
c! 8/
. =*u7ntos números de tres ciCras son múltiplos de < # a la veD> a! 4) d! (/
b! 4( e! (8
c! ((
/. =*u7ntos números enteros ma#ores que /)) # menores que ( 1)) son múltiplos de 2; 1( # 1/ a la veD> a! 12 d! (1
b! 1/ e! (6
c! 14
6. 3e los 1 ))) primeros números enteros positivos, =cu7ntos son divisibles por 1/ pero no por 8>
Autoevaluación
1. +n una reunión se sabe que a# menos de 1)) personas. Si los /@8 del total son ombres, 1@2 son nios # el resto son mueres, =cu7ntas son mueres> a! < d! 1(
b! 1) e! 2
c! 11
a! /8 d! /(
b! 61 e! //
c! 6(
8. =*u7ntos términos de la secuencia son múltiplos de 1(> ()41!; ()4(!; ()44!; ...; ()1 4))! a! 1( d! 1)/
b! /12 e! (1)
c! (4
2. =*u7ntos números de cuatro ciCras son múltiplos de (4 # terminan en la ciCra 2> a! 2 d! 46
b! 8( e! 4<
b! ( e! 8
a! 4< d! 48
b! 44 e! (8
c! 4/
c! (2
<. Se tiene tres números "A", "B" # "*" los cuales al ser divididos entre 14 dan como residuos 8; < # 11. Eallar el residuo de dividir "A % B % *" entre 14. a! 1 d!
(. =*u7ntos números de tres ciCras son divisibles entre (4>
c! 4
4. 3e los 1) ))) primeros números naturales, =cu7ntos son múltiplos de 4 pero no de /> a! ( 888 d! ( //8
b! ( //6 e! ( 668
c! ( 686
1).Sabiendo queo
12 12 12... 12 /1 "n"sumandos
Eallar el menor valor de "n". a! 1( d! 18
b! 8 e! (1
c! 4
. +n un salón de clases la cantidad de alumnos es ma#or que // pero menor que 2). +l número de alumnos es tal que si se agrupan de 4 en 4 sobran ( # si se agrupan de / en / sobran 4, =cu7ntos alumnos a# en el aula> a! 62 d! 2)
b! 64 e! 8/
c! 68
/. =*u7ntos números de tres ciCras son múltiplos de (4 # /> a! 8 d! 6
b! 2 e! .A.
c! <
Divisibilidad II
o
Problemas para la clase
8. Si se cumple- 18ab
(4
=*u7ntos valores puede tomar ab , si sus ciCras son diCerentes de cero>
Bloque I
1. Si- "a" representa a un dgito diCerente de cero, resolver las siguientes ecuaciones-
?pta.2. Eallar la suma de los valores de ab que cumplan-
o
a! (a 1 8
o
/ab 1< 4
o
b! a ( 11 ?pta.-
o
c! /a 6 < (. *alcular "a" en cada caso, sabiendo que es menor que 1)-
<. La suma de 4/ números consecutivos es múltiplo de 14, allar el menor valor que puede tomar el primero de ellos. ?pta.-
o
a! 11(a 111 14 1).*on los dgitos "a", "b" # "c" diCerentes de cero se Corman todos los numerales posibles de dos ciCras diCerentes. La suma de todos estos numerales ser7 siempre múltiplo de-
o
b! 14
o
<
?pta.-
4. *alcular "a", si se cumpleo
1a (a 4a ...
11.";" es un numeral de dos ciCras # se cumple que la ciCra de decenas es el doble de la ciCra de las unidades, entonces "" es simult7neamente múltiplo de?pta.-
. *alcular "a", para que se cumplao
1a (a 4a ...
1(.La diCerencia entre un numeral de tres ciCras # el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus ciCras es siempre múltiplo de?pta.-
?pta./. Eallar "a", si se cumple-
Bloque II o
/a< 18
1. *alcular "a", para que se cumplao
?pta.6. Eallar "a", si se cumple-
/a
a! ( d! /
o
8a/( 1<
6a
8a
.... 14a 1 4
b! e! 6
c! 1
(. *alcular "a", si se cumpleo
?pta.-
4a(< 1 <
a! ( d! /
b! 4 e! 6
c!
4. *alcular "m", si se cumpleAutoevaluación
o
1. Eallar el menor valor de "a", en-
(mm2 1 8
o
a! ( d!
b! ) e! /
(a 8 14
c! 1
. *alcular la suma de todos los valores que puede tomar
a! 1 d!
b! ( e! /
c! 4
a b , si- ab / , es divisible por 1<.
a! 1) d! (6)
b! (() e! ()
c! (/) o
(. Si- 1)a 126 18
/. *alcular "a % b % c % d", si cumple-
Eallar el menor valor positivo de "a".
o
abcd 18
a! 16 d! (1
# cd 4 ab 1
b! 12 e! (
c! ()
a! 1)
b! 11
d! 14
e! 1
c! 1(
6. *alcular "a %b % c % d", si cumpleo
abcd 14
cd 4ab
#
(! o
a! 1< d! (4 8
b! (1 e! 1(
4. Si- 14 1< Eallar ""
c! 1 (
S
i
:
"
n
"
e
s
u
n
n
u
m
e
r
a
l
p
a
r
,
e
n
t
o
n
c
e
s
"
n
n('1!" siempre
es divisible pora! 12 d! ()
b! 1( e! /1
b! ( e! /
c! 4
b! 8 e! /
c! 2
c! 1/
2. +l numeral de la Corma- ab(a!(b! , ser7 siempre múltiplo dea! (; 4; 6 # 18 14 c! (; 4 # 1< # 11 e! (; 4; 18 # 1<
a! 1 d!
b! (; 4; 6 # d! (; 4; 8
o
. Si- 41( (4 Eallar "" a! 6 d! <
<. Si tenemos las ciCras # 8, =qué otra ciCra escogera para escribir todos los numerales de tres ciCras que se pueden escribir sin repetir ninguna ciCra, sabiendo que la suma de dicos numerales es múltiplo de 14> a! 1 d!
b! ( e! /
c! 4
1).=*u7ntos numerales de cuatro ciCras que terminan en 4( al dividirlos entre 18 dean residuo />
/. +l numeral de la Corma- ab4a!4b! , es siempre múltiplo dea! 1)4 d! 1(1
b! 1) e! 14)
c! 14
a! 1 d! /
b! ( e! 8
c! 4
