ARTÌCULO CIENTÌFICO
TÍTULO
: EL DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA EN EL PERÚ ANTIGUO
AUTOR
: VILLANERY AGUIRRE SUÁREZ DOCENTE DE LA FACULTAD DE EDUCACIÒN UNJFSC
[email protected]
Tef. 980632728
Domicilio : Urb. Amay Manz.B Lote 3 Huacho HUACHO – LIMA – PERÚ (2012)
RESUMEN El presente trabajo titulado DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA EN EL PERÚ ANTIGUO, es una investigación cualitativa. El trabajo no sólo comprende lo realizado durante el año 2012, sino que se inició a partir del 2011. Surge como una inquietud de conocer los avances científicos de nuestros antepasados, ignorados por muchos peruanos que no tuvieron una información completa de nuestra realidad histórica. El problema que se planteó fue ¿Cómo el desarrollo de la matemática en el Perú Antiguo satisfizo las necesidades humanas? Como objetivo se planteó: Descubrir e interpretar el desarrollo de la matemática en el Perú Antiguo y su aplicación a la solución de problemas concretos. La hipótesis que se planteó fue: Hubo un alto desarrollo en el Perú Antiguo que permitió satisfacer las necesidades humanas. Los alcances de la investigación son para conocer el desarrollo de la matemática desde la aparición del hombre hasta 153. Los métodos utilizados son el Inductivo y el hermenéutico interpretativo. interpretativo. Los principales resultados obtenidos son: Hubo un gran conocimiento de la matemática en el Perú Antiguo, pero orientado al fin práctico. Mayor desarrollo fue en el campo de la geometría que se visualiza en las construcciones, cerámica e irrigación. En el aspecto de números y operaciones, está demostrado que usaron el sistema decimal (base 10) teniendo como evidencias irrefutables el uso de la yupana y los quipus. En cuanto a la medición usaron unidades de longitud y del tiempo, en este último usaron la intiwatana y el calendario helio lunar. Como conclusión general podemos decir que en cada una de las culturas, no obstante de las diferencias, hubo comunicación y continuidad, como se ve en el uso de la yupana: Chavín, Cumbe Mayo, Tiahuanaco e inca. Por este motivo podemos afirmar que la yupana inca fue más completa. PALABRAS CLAVES: Conocer
interpretar
difundir
reconstruir
ABSTRAC The Present research titled: Development Development of mathematic in Antique Peru, is a qualitative research. The task does n’t include only it realized during 2012 year, but that began standing from 2011. It emerged as restless to know the scientific advances of our ancestors, ignorance by a lot of Peruvians that didn’t have complete information of our historic reality. The problem that it planed was: How development of mathematic en Antique Peru satisfied human necessities?. It plan had as objective: To find and to clarify the development of mathematic in Antique Peru and its application to the solution of concrete problems..The hypothesis that planed was: There was high up development of mathematic in Antique Peru that to satisfied the human necessities. The reaches of the research are to know how it was the development of mathematic since the apparition of humanity until 1532. The methods utilized were: the inductive and interpretative hermeneutical. The result mains obtained are: There was a great know of mathematic in Antique Peru, but guided to the practical purpose of mathematic. More development was in the ground of geometry that it observes in constructions, in ceramic, irrigations. In at relating to numbers and operations, is demonstrated the they used decimal system(base 10), having as irrefutable evidence to use of yupana and quipus. Relating to measurement, they used unit for the length and times used stone clock and helium lunar calendar. Each one of the cultures had continuism, for example, the use of yupana in Chavin, Cumbe Mayo, Tiahuanaco and inca. For this motive, we can affirm that the inca yupana was more complete. KEY WORDS: To know
to clarify
to spread
to reconstitute
INTRODUCCIÓN
El presente trabajo de investigación titulado DESARROLLO DE LA MATEMÁTICA EN EL PERÚ ANTIGUO, está encuadrado dentro de la investigación cualitativa. Es cierto que la UNJFSC no cuenta con esquema de proyecto ni informe f inal de los trabajos de investigación cualitativa. He tratado de adaptar este informe a un esquema cuantitativo con algunos reajustes. La razón fundamental para considerar este tema es tener un compromiso de crear una tecnología de matemática auténticamente peruana. Para este propósito, el punto de partida es conocer nuestra realidad histórica. Es altamente conocido que los ojos del mundo están puestos en la riqueza arqueológica del Perú Antiguo, y esto se hace más notorio cuando uno visita las maravillas de nuestras culturas preincaicas e incaicas. Por este motivo el objetivo que hemos planteado es: Descubrir e interpretar el desarrollo de la matemática en el Perú Antiguo y su aplicación a la solución de los problemas concretos. El presente informe de informe de investigación comprende cuatro capítulos. El capítulo I trata sobre planteamiento del problema. El capítulo II, marco teórico de la investigación. investigación. El capítulo III trata sobre metodología metodología de la investigación, investigación, y el capítulo IV sobre los resultados de la investigación. Mi contribución consiste en haber analizado e interpretado a partir de las visitas personales a cada una de las culturas.
I MATERIAL Y MÈTODOS
l.l MÉTODO DE INVESTIGACIÓN Dentro de la presente investigación cualitativa, se utiliza preferentemente el método INDUCTIVO: va de lo particular a lo general. Se hará un estudio mediante visitas a cada una de las culturas (Bandurria, Caral, Kotosh, Sechín, Chavín, Wari, Mochica, Chumú, etc.), luego se estudiará por categorías y subcategorías , finalmente
se hará un estudio holístico de la matemática del Perú Antiguo. Este método se complementará con el método hermenéutico, dado que el estudio es interpretativo. 1.2 POBLACIÓN Y MUESTRA La población población está constituida constituida por todas las culturas culturas pre-incaicas pre-incaicas y la incaica. Nuestra muestra para el presente investigación estará constituida por: a) Visita a lugares de primer orden(muestras orden(muestras típicas o intensivas), donde necesariamente hay que estudiar in situ: Bandurria (Huacho), Caral (Barranca), Las Haldas (Casma – Ancash), Templo Sechín (Casma – Ancash), Tiahuanaco (Bolivia), Wari (Ayacucho), Chan – Chan (La Libertad), Paramonga (Lima), Huamachuco (La Libertad). Estas visitas
constituyen, muestras de casos sumamente
importantes. b) Visitas a lugar de segundo segundo orden o muestras muestras de confirmación: Chavín (Ancash), Willkahuahín (Huaraz), Kotosh (Huánuco), Huánuco Viejo (Dos de Mayo – Huánuco), Cusco , Paracas y Nazca (Ica), Mochica (Lambayeque), Pachacamac (Lima), Canto Grande (Lima). c) Muestra de expertos: - Arqueólogos peruanos de Bandurria, de Caral, de Canto Grande, de Paramonga, de Wari. - Arqueólogos bolivianos. - Estudiosos y conocedores del tema.
1.3.- TÉCNICAS E INSTRUMENTOS INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN RECOLECCIÓN DE DATOS. DATOS. a) Técnica de observación. Considerando la opinión de Hernández Sampiere, Fernández y Baptista, la observación cua litativa no es mera contemplación (“sentarse a ver el mundo y tomar notas”); implica adentrarnos en profundidad a situaciones sociales y
mantener un papel activo, así como una reflexión r eflexión permanente. Estar atento a los detalles, sucesos, eventos e interacciones. Los propósitos esenciales de la observación son:
Explorar ambientes y contextos.
Describir comunidades, contextos o ambientes.
Comprender procesos, eventos a través del tiempo.
Identificar problemas o situaciones relevantes.
Generar conjeturas para futuros estudios.
Los instrumentos que se utilizarán en la observación son: Ficha de observación no estructurada, cuaderno cuaderno de campo, campo, filmación, toma de fotografías y registro fotográfico. b) Técnica de entrevista. Se usará
en primer primer lugar las entrevistas entrevistas abiertas y luego luego sistematizarla sistematizarla
progresivamente. Entre los instrumentos podemos citar: guía de entrevista, cuestionario, cuaderno cuaderno de campo campo El entrevistador debe usar usar reporte para conseguir la aceptación aceptación de la entrevista. entrevista. Asimismo debe tener tener naturalidad, espontaneidad, amplitud, debe saber escuchar, respetar las opiniones, a fin de que se pueda recoger toda la información en forma de diálogo. Las entrevistas pueden ser: personales, por correo, por teléfono, por trabajo de campo, en sesiones de trabajo. c) Técnicas documentales, registros, materiales y artefactos. Una fuente muy valiosa de datos cualitativos son los documentos, materiales y artefactos diversos. Entre ellos tenemos: -
Documentos
escritos
personales:
registros,
diarios,
manuscritos y notas, documentos preparados por razones
profesionales (reportes, libros, artículos periodísticos, correos electrónicos, biografías, etc.) -
Materiales audiovisuales: Consisten en imágenes (Fitografías, dibujos, pinturas y otros), videos, cintas de audio.
-
Artefactos individuales y grupales: Vasijas, ropa, herramientas, mobiliario, tumbas, pirámides, castillo, etc.
-
Archivos y registros.
-
Huella, vestigios, mapas, etc.
1.4 PROCEDIMENTOS PROCEDIMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS. En la investigación cualitativa el procedimiento de la recolección de datos es fundamental, su propósito no es medir variables para llevar a cabo inferencias y análisis estadístico. La obtención de datos se convertirán en información para tener una percepción clara y precisa de los conocimientos, prácticas, mensajes(lenguajes),
creencias,
pensamientos,
experiencias,
procesos
relacionados con el desarrollo de la matemática de las principales culturas(unidades de análisis). Se recolectan datos con la finalidad de analizarlos y comprenderlos, y así responder a las preguntas de investigación y generar conocimientos. La recolección de datos ocurre en los ambientes naturales, es decir, en los lugares donde se desarrolló una cultura o una civilización. Indudablemente en la investigación cualitativa el elemento fundamental es el propio investigador. El investigador es quien- mediante diversos métodos o técnicas- recoge los datos( él es quien observa, entrevista, revisa documentos, procesa, etc.). El investigador debe tener en cuenta las siguientes pautas: -
Evitar inducir respuestas a los entrevistados o informantes.
-
Tener fuentes múltiples de datos.
-
Cada cultura, grupo o individuo individuo representa una realidad única. Los testimonios de todos los individuos son importantes.
-
Leer y obtener la
mayor información posible del ambiente, lugar o
contexto, antes de adentrarse en él. -
Rechazar de manera manera prudente prudente las expresiones o comportamientos comportamientos adversos.
-
Tener entrenamiento para la observación y las entrevistas.
1.5 TÉCNICAS PARA EL PROCESAMIENTO PROCESAMIENTO DE LA INFORMACIÓN: En la investigación cualitativa, la recolección y análisis de datos ocurren paralelamente. El análisis no es estándar, ya que cada estudio requiere de un esquema o “coreografía” propia de análisis.
Las características que definen la naturaleza naturaleza del análisis cualitativo (según Hernández Sampiere – Fernández y Baptista) son los siguientes: 1. El proceso esencial del análisis consiste en que recibimos datos no estructurados y lo estructuramos. 2. Los propósitos propósitos centrales centrales del análisis cualitativo son: - Darle estructura a los datos. - Comprender con profundidad el contexto. - Explicar ambientes, hechos y fenómenos. - Reconstruir historias. - Encontrar sentido a los datos en el marco del planteamiento planteamient o del problema. problema. - Construir teorías. 3. El logro de tales propósitos es una labor paulatina. 4. Una fuente de datos que se agrega al análisis la constituyen las impresiones, percepciones, percepciones, sentimientos sentimientos y experiencias experiencias del investigador. 5. La interpretación que se haga de los datos diferirá de la que podrán realizar otros investigadores. investigadores. 6. El análisis es un proceso ecléctico ecléctic o y sistemático, sistemátic o, más no rígido ni mecánico. 7. El análisis es contextual. 8. Es un camino con rumbo y en algún caso regresivo. 9. El investigador construye su propio análisis. 10. Los resultados del análisis son síntesis de “alto orden” que emerge en la forma de descripciones, expresiones, temas y teorías. 11.- El investigador analiza cada dato (que por sí mismo tiene un valor), deduce similitudes y diferencias con otros datos.
II. RESULTADOS 2.1 MATEMÀTICA EN EN EL COMPLEJO ARQUEOLÓGICO ARQUEOLÓGICO DE BANDURRIA BANDURRIA Probablemente cuantificaban los objetos, tal como se ha encontrado 5 piedras distribuidas en forma circular, 10 piedras de igual manera; establecían correspondencia entre los dedos de las manos con los objetos. Plazas circulares que representaban al Sol, la Luna y las estrellas, indican que tenían conocimiento de la congruencias congruencias de los diámetros , establecían relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro. Las plataformas de forma cuadrangular y rectangular indican que usaban alguna unidad de medida. También en las escaleras que servían de acceso a las plataformas tenían medidas similares. Se presume que usaban la plomada, dado que hay una perpendicularidad de las paredes de las plazas circulares. De igual manera se aprecia en las estructuras monumentales la forma piramidal. 2.2 MATEMÀTICA EN LA CIUDADELA DE CARAL La existencia de plazas circulares, nos indica que conocían perfectamente la circunferencia y su diámetro; en las construcciones se aprecian que conocían rectángulo, cuadrado, triángulo, rectas perpendiculares y paralelas. Median el tiempo a través de la sombra que producía la piedra. Existe hipótesis de que conocían los quipus para registrar los tiempos y datos estadísticos. Se cree que usaban plomadas en sus construcciones. 2.3 MATEMÀTICA EN EL COMPLEJO ARQUEOLÓGICO DE KOTOSH De las observaciones realizadas se desprende que manejaban las figuras como: cuadrado, rectángulo, (hornacinas, nichos), triángulo (uniendo las manos cruzadas y el fogón), diagonal, circunferencia, rectas perpendiculares, paralelas. Representaban cantidades relacionadas con los dedos de las manos tal como se observa los dedos de las manos cruzadas. Una de las características a diferencia de otras culturas, no se ha encontrado plaza circular.
2.4 MATEMÀTICA EN LA CULTURA SECHÍN Milla ( 1986) considera considera a Sechín como como “Templo matemático”. El arqueólogo arqueólogo Lorenzo Samaniego Román lo llama “Templo guerrero”. Nosotros podemos considerar como “ Templo estratégico religioso”.
En el campo matemático se puede mencionar que conocían las cantidades numéricas, la circunferencia, el cuadrado, el rectángulo, rectas paralelas, rectas perpendiculares, ángulos; tenían noción de medida de longitud y de tiempo( días, meses y años que se visualiza en el monolito C ). 2.5 MATEMÀTICA EN LA CULTURA CHAVÍN Existen diversas interpretaciones vinculadas con la matemática, una de ellas la relación entre diferentes medidas, tomando como unidad de medida el diámetro del ojo de Lanzón Al dividir el observatorio calendárico (circular) entre el ojo de Lanzón se obtiene 13 que es el número de meses del antiguo calendario agrario. La relación entre el diámetro de la cruz y los lados, aplicando la fórmula pitagórica, obtenemos la cantidad constante 3,14. Asimismo si dividimos la longitud de la circunferencia de la plaza circular y su respectivo diámetro, obtenemos 3,1415. Los 7 pozos circulares que están en una piedra maciza, eran observatorios astronómicos. La columna cilíndrica de la portada de las Falcónidas y la plaza cuadra, son evidencias del uso de la matemática. Al observar las diferentes figuras en los fragmentos de la cornisa de los jaguares, ubicadas en la escalinata central de la plaza mayor, podemos visualizar grandes conocimientos geométricos como: círculos, ángulos, superficie cónica, triángulos, rectas paralelas, perpendiculares, oblicuas, etc. 2.6 MATEMÀTICA EN LA CULTURA MARCAHUAMACHUC MARCAHUAMACHUCO. O. Es muy probable que en esta cultura conocían los números naturales, para contabilizar objetos, animales y personas. Tenían conocimientos de medida de longitud, usaban la plomada en la construcción de muros de 8 m de altura en el
Castillo. Conocían figuras geométricas como: circunferencia, círculo, cuadrado, rectángulo, rectas paralelas, perpendiculares, etc. 2.7 MATEMÀTICA MATEMÀTICA EN LA CULTURA MOCHICA Observando el collar del Señor de Sipán está representado 10 frutos de maní de oro y 10 de plata (simboliza dualidad mochica del bien y del mal). Existen formas geométricas ( rombo, rectas paralelas, ángulos, cuadrado, triángulo, rectángulo), sucesiones de figuras humanas en la l a fachada principal. Se supone que en la cultura Mochica usaban la plomada en sus construcciones. 2.8 MATEMÀTICA EN LA CULTURA WARI Existen evidencias del manejo del sistema de números de base 10. Pues encontramos en una cerámica de botella de pico con 10 puntos o marcas en la quina de Willkahuaín (Huaraz), en la vestimenta del guerrero representa 20 cuadraditos (5 filas y 4 columnas) en Ayacucho¸10 habitaciones en en el palacio real. Representación de figuras geométricas como el rectángulo en la piedra de sacrificios y plazas en Wari-Ayacucho; cerámica cilíndrica y cónica; pozos circulares, ambientes rectangulares y cuadrangulares en Piquillacta (Cusco), Construcción de viviendas y casas administrativas de forma cilíndrica en Willkahuaín (Huaraz). Asimismo se observa el uso de semicírculo, triángulo, rectas paralelas, simetrías, oblicuas, perpendiculares. Las tuberías cilíndricas de piedra de diferentes diámetros. 2.9 MATEMÀTICA EN LA CULTURA CHIMÚ Se observa conocimiento de la geometría en sus construcciones rectangulares, paredes y figuras talladas en forma de rombo, rectas paralelas, perpendiculares, oblicuas, cuerpos cilíndricos, círculo, construcciones de adobe en forma piramidal, plataforma circular en los 4 niveles de Paramonga.
2.10. MATEMÁTICA EN LA EPOCA INCAICA Resumimos en base a nuestras observaciones en las visitas a los restos arqueológicos. - Uso de cuerpos geométricos en: Tambomachay (piedras poliédricas), Vilcas Huamán (prismas rectangulares, pirámide en el mirador del inca, prisma poligonal en bloque de piedra), Machupicchu (vivienda). - Forma circular en : Moray ( andenes andenes circulares concéntricas concéntricas ), Machupicchu Machupicchu ( observatorio astronómico en piedras), Vilcas Huamán ( piedra del vaticinio ). - Forma cuadrangular en: Vilcas Huamán (palacio del inca). - Forma rectangular en : Vilcas Huamán ( plaza principal, viviendas), Huánuco Pampa (plataforma hecho con muralla de piedra y terraplén, viviendas, salas de hospedaje. - Forma trapezoidal en: Vilcas Huamán (puertas de piedra ), Huánuco Pampa (puertas de piedra), Machupicchu (puertas y hornacinas). - Forma de rombo en : Vilcas Huamán (piedra del Vaticinio). - Forma cilíndrica en: Tipón (canal de agua), Vischongo (canal de agua), Vilcas Huamán (canal de agua, muralla del mirador). mi rador). - Medida del tiempo (intiwatana) en: Vischongo, Pisac, Vilcas Huamán, Ollantay tambo, Machupicchu. - Ángulos en: Vischongo (piedra de 13 ángulos) y otros lugares arriba mencionados. - Expresiones numéricas en: Vilcas Huamán (5 plataformas del mirador del inca, 5 puertas trapezoidales, cinco rombos de piedra en el vaticinio), Tipón (1,2 y 4 canales ), Vischongo (1 y 2 canales).
III. DISCUSIÓN. 3.1.- DESARROLLO DE LA GEOMETRÍA Enumeramos las evidencias del desarrollo de la geometría del Perú Antiguo siguiendo una secuencia cronológica, es decir considerando su antigüedad como punto de partida. A)- Círculo y circunferencia En la cultura Bandurria (5000 años a.C. ) existía tres plazas circulares hundidas. Uno de 15 m de diámetro, otro de 9 m y un tercero por descubrir de 8 m de diámetro. En la ciudadela de Caral ( 3000 años a.C.) hay también plazas circulares siendo una de ellas de 30 m de diámetro. Asi mismo en la cultura Vichama Vichama había un anfiteatro de forma circular y cuatro plazas circulares de 18 y 11 m de diámetro. En la cultura Kotosh ( 2200 años a.C.) se encontró un fogón de forma circular en el recinto donde se hallaba el Templo de Brazos Cruzados. En la cultura Sechín (3500 a 1000 años a.C.) se encontró plazas circulares hundidas y también pozos circulares. En la cultura Chavín(1500 años a.C.) hay una plaza circular hundida. En el período incaico se encontró en Muyumarca (Cusco) 3 círculos concéntricos, igualmente en Moray (Cusco) hay andenes concéntricos. Según estos datos los antiguos peruanos tenían pleno conocimiento de la circunferencia, círculo, diámetro y radio, situación que se puede verificar y podemos suponer que encontraron relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, con lo cual se tendría el valor de pi . Ilustramos con fotografías en el anexo del presente trabajo. B)- Figuras geométricas elementales: cuadrado, rectángulo, triángulo, trapecio, rombo y polígonos. En cada uno de las culturas visitadas existen plataformas,
ambientes, piedras, puertas y plazas que tienen estas formas, paredes en las Huacas del Sol y la Luna, construcciones de Chan Chan. Las figuras complejas se pueden deducir a partir de las figuras elementales mencionadas. C)-Rectas, ángulos, simetría, parábola. Se observa en los lugares visitados principalmente en las construcciones de piedra. Dentro de estas figuras los más importantes son: piedra de 11 ángulos en Saccsayhuamán , 12 ángulos en el palacio de Inca Roca(Cusco) y 13 ángulos en Vischongo (Vilcashuamán). Para medir la verticalidad de sus paredes usaban la plomada. D)-Sólidos geométricos: poliedros y cuerpos redondos. Construcciones piramidales de Bandurria y Caral; construcciones prismáticas en Caral, Marca Huamachuco, Ollantaytambo, Vilcashuamán, Huánuco Pampa Coricancha; construcciones cilíndricas en Wari, Willcahuaín, Falcónidas de Chavín; cerámica en forma cónica y cilíndrica. 3.2-DESARROLLO DE LA MEDICIÓN Los antiguos peruanos, empezando desde Bandurria, hacían mediciones como la longitud del diámetro y radio de la circunferencia, los lados del cuadrado, rectángulo, triángulo, tanto en las construcciones como en las plazas. Usaron posiblemente como unidad de medida la cuarta, el brazo, pies, brazada, etc. Al medir la diagonal de los brazos de la cruz y compara con su lado encontraron el valor aproximado de pi.
Aplicando el teorema de Pitágoras 32 + 12 = h2 3
9 +1 1
= h2
h= h = 3,16
Asimismo al establecer la relación entre el lado de un cuadrado con su diagonal obtenemos la raíz cuadrada de 2 .
Para medir el tiempo usaron la intiwatana en diferentes lugares en base a la sombra proyectada por una piedra cilíndrica como es el caso de Caral, Ollantaytambo, Pisac. Medida del año en 13 meses y mes en 28 días, tal como se observa en Sechín, Chavín, Chanquillo. 3.3-NÚMEROS Y OPERACIONES Al observar los fogones circulados por 5 y 10 piedras en la cultura Bandurria, podemos afirmar que establecieron correspondencia entre los dedos de las manos y los objetos. En Caral habían edificado 7 estructuras monumentales, en Vichama 7 sectores residenciales. En las manos cruzadas de Kotosh y Sechín, han representado los 5 y 10 dedos de las manos. Las 13 divisiones en el monolito C de Sechín y las 28 divisiones en la misma piedra, indican con precisión que tenían noción del sistema de numeración decimal. Asimismo los 10 frutos de maní de oro y 10 de plata en el collar del Señor de Sipan, en la vestimenta del guerrero Wari se ve representado 20 figuras dispuestos en 4 filas y 5 columnas. Para representar cantidades usaban la yupana, siendo la primera yupana de origen chavino, la segunda de Cumbemayo, la tercera usado en Tiahuanaco ( tablero de forma rectangular dividido en 4 ó 5 columnas y tres filas en cada casillero se hacían incisiones donde se colocaban maíz o piedra para representar cantidades). La cuarta yupana es usada en la época de los incas que es muy similar a la de Tiahuanaco, con la única diferencia de que cada columna tenía 11 orificios siguiendo la serie de Fivonacci(1, 2, 3, 5) o
o
o
o
oo
oo
oo
oo
ooo
ooo
ooo
ooo
ooooo
ooooo
ooooo
ooooo
Con la yupana hacían los cálculos numéricos de adición, sustracción, multiplicación y división. Para registrar datos estadísticos usaban, en la época incaica, los quipus donde las órdenes menores se ubicaban en la parte inferior
y las mayores en la parte superior, similar a la yupana de Chavín y Cumbemayo. El uso de la yupana, los quipus y el idioma quechua que utilizaban los incas, son evidencias de que usaban el sistema de base diez. Sin embargo, al observar los canales de agua de Tipón (Cusco) se puede decir que también conocieron el sistema de base dos, muy similar a la minicomputadora de Papy. marrón azul rojo
blanco
Las equivalencias son: dos blancos equivale a un rojo, dos rojos a un azul y dos azules a un marrón. 3.4 OBSERVATORIO ASTRONÓMICO CIRCULAR. Según Milla(1986), el primer observatorio astronómico circular se encontró en las Salina de Chao(Ancash) que en un pozo circular de agua servía para observar el movimiento de los astros en las noches de Luna. En Chavín existen 7 pozos cilíndricos hechos en una sola piedra que hasta la fecha se visualiza y que cumplen la misma función. Asimismo encontramos en Wari, en Mochica(Santa), en Muyumarca(Cusco), en Udima(Santa Cruz – Cajamarca) y Machi Picchu que está en pleno funcionamiento y se aprecia en las fotografías en el Anexo de este Informe.
IV. CONCLUSIONES. 1. El desarrollo de la matemática en el Perú Antiguo, mantiene una continuidad histórica, todo avance era tomado por otros posteriores; de allí que la matemática en la época incaica recoge todos los aportes de los preincas. 2. La matemática en el Perú Antiguo era más más pragmática que teórica; teórica; es decir para satisfacer necesidades cotidianas. 3. El mayor desarrollo tuvieron en el campo de la geometría por las evidencias que existen. 4. Está demostrado que que el sistema numérico numérico que se usó en el Perú Antiguo fue decimal y como evidencia están el uso de la yupana, los quipus y el idioma quechua. 5. El calendario agrario del Perú Antiguo consistía consistía en un año de 13 13 meses y un mes de 28 días. 6. Existe una información información de los arqueólogos bolivianos que admitían admitían la existencia de la matemática simbólica en la cultura Tiahuanaco como resultado de un estudio realizado por 2 años en convenio con la Universidad San Antonio Abad del Cusco. Pero falta confirmar con un un estudio mas actualizado, dado que no hay mayores informes del responsable del estudio en vista de que el arqueólogo (docente de la universidad del Cusco) Cusco) ha fallecido. fallecido.
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