PROBLEMAS DIVERSOS
CASO 01 Crepier tiene como productos principales la fabricación de bolsos y mochilas para escolares, cuyos precios de venta por unidad son de $ 40 y $ 25 respectivamente. El proceso de fabricación consta de dos etapas: corte y costura. En la etapa de corte, se pueden cortar 10 bolsos/hora o 20 mochilas/hora y se dispone diariamente de 8 horas. En la etapa de costura, un bolso requiere 4 horas máquina, una mochila requiere 3 horas máquina y se dispone diariamente de 420 horas máquina. Se estima que diariamente se debe fabricar por lo menos 50 unidades en total (bolsos más mochilas). Finalmente la fabricación de bolsos al día debe ser menor o igual a la fabricación de mochilas al día, debido a que los escolares les gustan más las mochilas.
PRODU PR ODUCT CTO O CAN CANTID TIDAD AD Bolso X1 Mochila X2 Disponible
TIEMPO(horas) CORTE COSTURA 1/10 4 1/20 3 8 420
Max. Z=40X1+25X2 S.A. X1/10+X2/20<=80 4X1+3X2<=420
P. VENTA 40 25
FORMA EXTENDIDA Max. Z=40X1+25X2 Z=40X1+25X2 S.A. X1/10+X2/20<=8 X1/10+X2/20<=8 4X1+3X2<=420 X1+X2>=50 X1+X2>=50 X1-X2<=0 X1>=0 X1>=0
FORMA COMPACTA a) INDI INDICE CESS i:Tipo de articulo (1;2) j:Tipo de proceso(1;2) b) Variables de decisión X(i):Número de artículos tipo i a producir por periodo. c) Datos Precio(i)={40;25} Tiempo(i,j)={0.10;0.05 4 ;3} Disponible(j)={80;420}
d) El Modelo de Modelo de Programación Programación Lineal Lineal
Pr(∗( =
∀ 1;1; 2 ; ∗ ≤
=
(≥50
(1−(2≤0 ∀ 1; 2 ( ≥ 0
!Conjuntos; Sets: Sets : Articulos/1..2/:x, precio; Proceso/1..2/: Capacidad; AxP(Articulos,Proceso):Tiempo; End Sets !Datos de cada conjuntos; Data: Data : Precio=40 25; Capacidad=8 420; Tiempo=0.10 4 0.05 3; End data !Función Objetivo; Max= Max =@sum @sum(Articulos(i):precio(i)*x(i)); (Articulos(i):precio(i)*x(i)); !Restricciones de horas disponibles; @for(proceso(j): @for (proceso(j):@sum @sum(articulos(i):tiempo(i,j)*x(i))<=capacidad(j)); (articulos(i):tiempo(i,j)*x(i))<=capacidad(j)); !Restr !Re stricci icciones ones de mini minima ma pro produc ducción ción; ; @sum(Articulos(i):x(i))>=50; @sum(Articulos(i):x(i))>=50; x(1)-x(2)<=0; End
CASO 02 Una fábrica textil ha recibido una orden de compra por un lote de tela que contenga al menos 45 kg de lana, 25 kg de nylon y 30 kg de algodón. El lote puede ser fabricado mediante cualquier mezcla de dos materiales textiles A y B. Cada kilogramo de material A cuesta $ 2 y cada kilogramo de material B cuesta $ 3. Se dispone de $ 600 para la compra de los materiales. La proporción de lan lana, nylo lon n y algo lgodón que dic ich hos material iales contienen es la siguiente: Material Lana (%) A 60 60 B 30
Nylon (%) 10 50
Algodón (%) 30 20
Cantidad (kg) A X1 B X2 Disponible/Requeri miento
Material
Lana (kg) 0.60 0.30
Nylon (kg) 0.10 0.50
Algodón (kg) 0.30 0.20
Costo ($/Kg.) 2 3
45
25
30
600
Min Z=2x1+3x2 S.A. 0.6x1+0.3x2>=45 0.1X1+05X2>=25 0.3X1+0.2X2>=30 2X1+3X2<=600 X1>=0 X2>=0
!Conjuntos; Sets: Sets : material/1..2/:x, costo; composicion/1..3/: requerimiento; MxM(material,composicion):mezcla; End Sets !Datos de cada conjuntos; Data: Data : costo=2 3; requerimiento=45 25 30; mezcla=0.60 0.10 0.30 0.30 0.50 0.20; End data !Función Objetivo; Min= Min =@sum @sum(material(i):costo(i)*x(i)); (material(i):costo(i)*x(i)); !Restricciones de requerimiento; @for(composicion(j): @for (composicion(j):@sum @sum(material(i):mezcla(i,j)*x(i))>=requeri (material(i):mezcla(i,j)*x(i))>=requeri miento(j)); !Restricciones dinero disponible para la compra de matriales; @sum(material(i):costo(i)*x(i))<=600; @sum (material(i):costo(i)*x(i))<=600; End
MODEL: MODEL: [_1] MIN MIN= = 2 * X_1 + 3 * X_2; [_2] 0.6 * X_1 + 0.3 * X_2 >= 45; [_3] 0.1 * X_1 + 0.5 * X_2 >= 25; [_4] 0.3 * X_1 + 0.2 * X_2 >= 30; [_5] 2 * X_1 + 3 * X_2 <= 600; END
Problema 01
Una empresa, especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas, produce cierto tipo de minimesas y minisillas que vende a 2000 unidades monetarias (u. m.) y 3000 u. m. por cada artículo, respectivamente. Desea saber cuántas unidades de cada artículo debe fabr fabriicar car diar diariiamen amente te un op opeerari rario o para para maximi ximiza zarr los los ingr ingreeso sos, s, teniendo las siguientes restricciones: • El número total de unidades de los dos tipos no podrá exceder de cuatro por día y operario. Cadaa mini minime mesa sa requ requie iere re do doss ho hora rass para para su fabr fabric icac ació ión; n; cada cada • Cad minisilla, tres horas. La jornada laboral máxima es de diez horas. • El material utilizado en cada minimesa cuesta 400 u.m. El utilizado en cada minisilla cuesta 200 u.m. Cada operario dispone de 1200 u.m. diarias para material.
INFORMACIÓN Precio de venta de minimesas 2000 u.m. Precio de venta de minisillas 3000 u.m. Tiempo de fabricación de una minimesa 2 horas Tiempo de fabricación de una minisilla 3 horas Jornada laboral máxima 10 horas Costo de material de una minimesa 400 u.m. Costo de material de una minisilla 200 u.m. Total minisillas y minimesas no deben exceder cuatro unidades por día y operario PLANTEAMIENTO X1: Número de minimesas a producir diariamente por operario X2: Número de minisillas a producir diariamente por operario
MAX. Z=2000X1+3000X2 Z=2000X1+3000X2 SUJET SUJETO O A: X1+X2<=4 2X1+3X2<=10 400X1+200X2<=1200 X1>=0 X2>=0
SOLUCION 01 X1=0 X2=10/3 Z=10000 SOLUCION 02 X1=2 X2=2 Z=10000
Problema 02 Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B a 300 km, calcular cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. solicit ado.
APLICACIÓN DE MANUFACTURA
Aplicaciones de marketing Selección de medios de comunicación
El club Win Big Gambling promueve el juego en giras de una ciudad grande el medio dio oeste de Estados Unidos a los casinos en las Bahamas. El club tiene un presupuesto de hasta $8,000 semanales para anuncios locales. El dinero se asignará entre cuatro medios de comunicaci comunicación: ón: spots en televisión, televisión, anuncios en periódicos periódicos y dos tipos de comerciales en radio. La meta de Win Big es llegar a la audiencia de mayor potencial más grande posible, usando los diferentes medios de comunicación. La sigu siguie ient ntee tabl tablaa pres presen enta ta el nú núme mero ro de juga jugado dore ress po pote tenc ncia iale less expuestos mediante un anuncio en cada uno de los cuatro medios. También proporciona el costo por anuncio colocado y el máximo número de ellos que se puede comprar por semana.
Las condiciones contractuales de Win Big requieren que se coloquen al menos enos cinc cinco o sp spo ots de radi radio o cada cada sem semana. na. Para Para asegu segura rarr un unaa campaña promocional de amplio espectro, la gerencia también insiste en que no se gasten gasten más de $1,800 por semana semana en los comerciales comerciales de radio.
X 1 X 2 X 3 X 4
número número de spots de de TV TV de 1 minuto minuto en cada semana semana número de anuncios de 1 plana en el periódico en cada semana número de spots de radio de 30 segundos en cada semana número de spots de radio de 1 minuto por la tarde en cada cada semana
Investigación de mercados (Falta (Falta Implementar)
Aplicaciones de manufactura Mezcla de productos
Fifth Avenue Industries, un conocido fabricante local de ropa para caballero, caballero, produce cuatro variedades de corbatas. Una es una un a costosa de seda pura, otra está hecha de poliéster, otra más es una mezcla de poliéster y algodón, y la cuarta es una mezcla de seda y algodón. La siguiente tabla ilustra el costo y la disponibilidad (por periodo de plan laneació ión n de la producció ión n me men nsual) de los tres material iales utilizados en el proceso de producción:
La empresa tiene contratos fijos con varias de las cadenas de tiendas por departamentos para comercializar sus corbatas. Los contratos requieren que Fifth Avenue Industries surta una cantidad mínima mínima de cada corbata, pero permitirán una demanda mayor si la empresa elige cumplir esa demanda. (Dicho sea de paso, la mayoría de las corbatas no llevan etiqueta de Fifth Avenue, sino etiquetas propias de las tiendas). La tabla siguiente resume la demanda del contrato para cada uno de los cuatro estilos de corbata, el precio de venta por corbata y los requerimientos de tela para cada variedad. La meta de Fifth Avenue es maximizar su ganancia mensual. Debe decidir la política para la mezcla de productos.
X 1 X 2 X 3 X 4
número de corbatas de seda seda producidas por mes mes número de corbatas de poliéster número de corbatas de la mezcla 1, poliéster y algodón número de corbatas de la mezcla 2, algodón y seda
Al usar Excel y su complemento Solver, la solución generada por computadora es producir,112 corbatas de seda pura cada mes; 14,000 corbatas de poliéster; 16,000 de la mezcla 1 de poliéster y algodón; y 8,500 de la mezcla 2 de seda y algodón. Esto genera una ganancia de $412,028 por periodo de producción. Véase los detalles en el programa
Programación de la producción
Greenberg Motors, Inc. fabrica dos motores eléctricos distintos para vent ventaa regu regula lada da po porr un cont contra rato to con Drexe rexell Corp. orp.,, un fabr fabric ican ante te cono conoci cido do de elec electr trod odom omés ésti tico coss pequ pequeñ eños os para para coci cocina na.. Su mo mode delo lo GM3A se encuentra en muchos procesadores de alimentos Drexel y su modelo GM3B se usa en el ensamble de licuadoras. Tres veces al año, el funcionario de compras de Drexel contrata a Irwin Gree Greenb nber erg, g, el fund fundad ador or de Gree Greenb nber erg g Mo Moto tors rs,, y colo coloca ca un unaa orde orden n mensual para los siguientes cuatro meses. La demanda de Drexel de motor otores es varí varíaa cada cada mes mes segú según n su suss prop propio ioss pron pronós ósti tico coss de vent ventas as,, capacidad de producción y posición financiera. Greenberg acaba de recibir la orden para enero-abril, y debe iniciar su propio plan de producción de cuatro meses. La demanda de motores se presenta en la tabla siguiente:
Programa de cuatro meses de órdenes para motores eléctricos
La plane laneaación ión de la prod produc ucci ción ón en Gre Greenbe enberrg Mo Moto tors rs tie tiene qu quee considerar varios factores: 1. La compañía debe cumplir la demanda de cada uno de los dos productos cada mes (véase la tabla). Además, la compañía desea tener 450 unidades del GM3A y 300 unidades del GM3B en inventario al final de abril, pues se espera que la demanda de mayo sea algo más alta que la de los meses anteriores. 2. Hay costos por almacenar o mantener para cualquier inventario que quede al final del mes. De manera que producir demasiadas unidades adicionales de cualquier producto quizá no sea deseable.
El costo mensual por almacenar asignado al GM3A es de $0.36 por unidad, mientras que el costo mensual por almacenar para el GM3B es de $0.26 por unidad. 3. La com omp pañía ñía ha podid dido mantener la política de que no haya despidos y quiere continuar así. Esto es más fácil si las horas de mano de obra no fluctúan demasiado de un mes a otro. Se recomienda mantener un programa de producción que requiera entre 2,240 y 2,560 horas de mano de obra al mes. El GM3A requiere 1.3 horas de mano de obra por unidad, en tanto que el GM3B requiere tan solo 0.9 horas. 4. Las limitaciones de almacén no pueden excederse sin incurrir en costos altos adicionales. Hay lugar al final del mes nada más para 3,300 unidades de GM3A y GM3B combinados. Los costos de producción actualmente son de $20 por unidad para el GM3A y $15 por unidad para el GM3B. Sin embargo, cada uno debería aumentar 10% el 1 de marzo, cuando entre en vigencia el nuevo contrato laboral.
Al formular este problema como un programa lineal, es importante entender cómo se relacionan todos los factores importantes, cómo se calculan los costos, cómo se calculan las horas mensuales de mano de obra y cómo se satisface la demanda con la producción y el inventario disponibles. Para comprender mejor, intente determinar el número de horas de mano de obra usadas, el número de unidades que quedan en inventario al final de cada mes para cada producto y el costo total, si se fabricaran cada mes exactamente 1,000 unidades del GM3A y justo 1,200 del GM3B.
Ai número de unidades GM3A producidas producid as el mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril) Bi número de unidades GM3B producidas el mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril) IAi unidades de GM3A en inventario al final del mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril) IBi unidades de GM3B en inventario inventario al final del mes i (i 1, 2, 3, 4, enero a abril)
La solución, aunque algunas variables no son enteras, esto no es un problema ya que el trabajo en proceso podría aplazarse de un mes al siguiente. La tabla resume la solución con los valores redondeados. El costo total es aproximadamente de $169,295. Greenberg puede usar este modelo para desarrollar los programas de producción de nuevo en el futuro, estableciendo los subíndices sobre las variables como nuevos meses, y haciendo haciendo cambios menores al problema. Lo único en el modelo que tendría que cambiar serían los valores del lado derecho (RHS) de las rest restri ricc ccio ione ness de dema demand ndaa (y del del inve invent ntar ario io dese desead ado o al fina finall de mes mes cuatro), así como los coeficientes (costos) de la función objetivo si tienen cambios.
Aplicaciones de programación de mano de obra Planeación de mano de obra
El Hong Kong Bank of Commerce and Industry es un banco con much mu cho o mo movi vimi mien ento to qu quee tien tienee requ requer erim imie ient ntos os de 10 a 18 caje cajero ros, s, dependiendo de la hora del día. La hora de la comida, de 12 P.M. a 2 P.M. .M. su suel elee ser la más pes pesada. ada. La tabl tablaa indi indica ca los los traba rabaja jado dore ress necesarios en las diferentes horas en que el banco b anco está abierto. Actu Actual alme ment ntee el banc banco o empl emplea ea a 12 caje cajero ross de tiem tiempo po comp comple leto to,, aunque tiene a muchas personas en su lista de empleados de tiempo parcial. Un empleado de tiempo parcial debe trabajar justo cuatro horas diarias, puede comenzar en cualquier momento entre las 9 A.M. y la 1 P.M. y constituyen un grupo de trabajadores poco costoso, ya que no tienen prestaciones como jubilación o comidas pagadas. p agadas. Por otro lado, los empleados de tiempo completo trabajan de 9 A.M. a 5 P.M., pero tienen una hora para comer. (La mitad de ellos come a las 11 A.M. y la otra mitad a las 12 P.M.) De esta manera, los trabajadores de tiempo completo proporcionan 35 horas semanales de trabajo productivo.
Por políticas corporativas, el banco limita las horas de tiempo parcial a un máximo de 50% del requerimiento diario total. El empleado de tiempo parcial gana en promedio $8 por hora ($32 por día), y el de tiempo completo gana en promedio $100 por día en salario y prestaciones. El banco desea establecer un programa que minimice sus costos totales de personal. Despedirá a uno o más de sus trabajadores de tiempo completo, si ello es redituable.
Tipo de personal F P1 P2 P3 P4 P5
9A.M.
10A. M.
11A.M.
12M.D.
1P.M.
2P.M.
3P. M.
4P.M.
5P.M.
9A.M.
10A. M.
11A.M.
12M.D.
1P.M.
2P.M.
3P. M.
4P.M.
5P.M.
El programa 8.5 da la solución encontrada con Solver de Excel 2010. Existen varios programas óptimos diferentes que puede seguir el Hong Kong Bank. El primero es F 10) y comenzar con emplear tan solo a 10 cajeros de tiempo completo ( F con 7 tiempos parciales a las 10 A.M. ( P 2 7), 7), 2 tiem tiempo poss parci parcial ales es a las 11 11 A.M. A.M. ( P 3 2) y 5 tiempos parciales a las 12 P.M. ( P 4 5). Ningún Ningún tiempo tiempo parcial parcial comen comenzaría zaría a las las 9 A.M. o a la 1 P.M. La segu segund ndaa so solu luci ción ón tamb tambié ién n empl emplea ea a 10 caje cajero ross de tiem tiempo po comp comple leto to,, pero pero comienza 6 tiempos parciales a las 9 A.M. ( P 1 6), 1 tiem tiempo po parci parcial al a las las 10 A.M. A.M. P2 1), 2 tiempos parciale ( P2 parcialess a las 11 11 A.M. y 5 a las 12 P.M. P.M. ( P 3 2 y P 4 5) y 0 tiempos parciales a la 1 P.M. ( P 5 0). El costo costo de cualquiera cualquiera de estas estas dos políticas es es de $1,448 por día.
Aplicaciones de finanzas Selección de portafolios
International City Trust (ICT) invierte en créditos comerciales a corto plazo, bonos corporativos, reservas de oro y préstamos para construcción. Para fomentar un portafolios diversificado, el consejo de admi admini nist stra raci ción ón ha pu pues esto to lími límite tess en la cant cantid idad ad qu quee se pu pued edee com comprom promet eteer a cualq ualqu uier ier tipo tipo de inv nver erssión. ión. ICT ICT disp dispon onee de $5 millo illone ness para para inve invers rsió ión n inm inmedia ediata ta y des desea hac hacer do doss cos cosas: as: 1. maximizar el rendimiento sobre la inversión hecha para los siguientes seis meses y 2. satisfacer los requerimientos de diversificación según los estipuló el consejo de administración.
Los detalles de las posibilidades de inversión son los siguientes:
Además, el consejo especifica que por lo menos 55% de los fondos deben invertirse en reservas de oro y préstamos para construcción, y que por lo menos 15% tiene que invertirse en créditos comerciales. Al formular esto como un programa lineal, el objetivo es maximizar el rendimiento. Existen cuatro restricciones separadas que limitan la cantidad máxima en cada opción de inversión a la cantidad dada en la tabla.
X 1 X 2 X 3 X 4
dólares invertidos en crédito comercial dólares invertidos en bonos corporativos dólares invertidos en reservas de oro dólares invertidos en préstamos para construcción
E
n un día promedio, UPS entrega 13 millones de paquetes a casi 8 millones de
clientes en 200 países y territorios. Las entregas se clasifican como en el mismo día por aire, al siguiente día por aire y al segundo día por aire. Las operaciones del siguiente día por aire promedian más de 1.1 millones de paquetes por día y generan ingresos anuales por más de $5 mil millones. La compañía tiene 256 aviones y muchos más ordenados. Durante la época del año de más actividad, entre Día de Acción de Gracias y Año Nuevo, la compañía renta aviones adicionales para satisfacer la demanda. El tamaño de esta flota hace que UPS sea la novena línea aérea comercial más grande en Estados Unidos y la número 11 en el mundo. En la operación de entrega al día siguiente, la recolección y entrega de paquetes por UPS implica varias etapas. Los paquetes se llevan en camión a los centros en tierra y de ahí al aeropuerto; luego, se trasladan por aire a uno de los centros de conexión con cuando mucho una escala en otro aeropuerto para recoger más paquetes. En el centro de conexión, los paquetes se clasifican y cargan en aviones para volar a su destino. Después, los paquetes se cargan en camiones grandes y se llevan a los centros de tierra.
Aquí se clasifican de nuevo, se asignan a camiones más pequeños y se entregan en su destino final antes de las 10:30 A.M. El mismo avión se usa también en las entregas de segundo día, de manera que estos dos tipos de operaciones deben coordinarse. Un equi equipo po de UPS y del del MIT (Mas (Massa sach chus uset etts ts Insti Institu tute te of Techn echnol olog ogy) y) trab trabaj ajar aron on juntos para desarrollar un sistema de planeación basado en la optimización, llamado VOLCAN VOLCANO O (Volu (Volume, me, Locati Location on and and Aircra Aircraft ft Network Network Optimiz Optimizer) er) que se utiliz utiliza a para para planear y administr strar las operacio ciones. Est Este grupo desar sarrolló métodos de optimización para minimizar el costo general (de propiedad y operación) a la vez que se satisfacen satisfacen las restricciones restricciones estándare estándares s de capacidad y servicio. servicio. Los Los mode modelo los s mate matemá máti tico cos s sirve sirven n para para dete determ rmin inar ar el conj conjun unto to de ruta rutas s de costo costo mínimo, las asignaciones de la flota y los flujos de paquetes. Las restricciones incluyen el número de aviones, las restricciones de aterrizaje en aero aeropu puer erto tos s y las las cara caracte cterí rísti stica cas s de oper operac ació ión n de los los avio avione nes s (com (como o velo veloci cida dad, d, capacidad y alcance). El sistema VOLCANO tiene el crédito de haber ahorrado más de $87 millones desde finales de 2000 a finales de 2002. Se esperan ahorros de $189 millones durante la siguiente década. Este optimizador también se utiliza para identificar la composición necesaria de la flota y recomendar futuras adquisiciones de aeronaves. Barnhart, Keith A. Ware y Fuente: Basada en Andrew P. Armacost, Cynthia Barnhart, Network”, Interfaces 34, 1 (enerofebrero Alysia M. Wilson. “UPS Optimizes Its Air Network”, de 2004): 15-25.
