Geometría Analítica – Ecuación de la RECTA
GUIA con soluciones adjuntas – Tratar de hacer los ejercicios sola y luego ver la ayuda Resolver: 1) 2) 3) 4)
Ubica los puntos (2,5) y (-8,3) en el Sistema de Coordenadas Cartesianas. Calcula la distancia entre ambos puntos, Calcular el Punto Medio del trazo que une a los anteriores puntos. Calcula la Pendiente de la recta que contiene a los siguientes puntos: (2,6) y (1,4) 5) Determina si el siguiente trío es o no colineal: (-2,6), (-1,3) y (0,0). 6) Encuentra la ecuación de la recta que contiene los siguientes puntos: (3,6) y (4,5) 7) Encuentra la ecuación de la recta que contiene el punto (2,3) y posee por pendiente m=2. 8) Escribe la ecuación principal de la recta con: m=-5 ; n= 2. 9) Grafica la recta a partir de la ecuación principal: y=(-2/5)x + 1 10) Determina la ecuación de la recta a partir del gráfico:
11) Escribe de la forma general la ecuación: y=2x+3 12) Encuentra la ecuaciñon de la recta con A=3; B=-2 y que pasa por el punto (2,6) 13) Determina si el punto (2,-5) pertenece o no a la recta: y= (-7/2)x + 2 14) Son o no paralelas las rectas: y=3x – 7 ; 3x-2y+6=0 15) Determina si son perpendiculares o no: y=(2/3)x + 1 ; 3x – 2y – 6 = 0 16) Encuentra la ecuación principal de la recta que tiene la misma pendiente que la recta que contiene los puntos (-3,4) y (2,-5) y que contiene el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos (6,7) y (2,-1).
Soluciones: Resolver: 1) Ubica los puntos (2,5) y (-8,3) en el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
2) Calcula la distancia entre ambos puntos, Distancia entre dos puntos [ (x1,y1) y (x2,y2) ] =
( x1 − x 2)2 + ( y1 − y 2)2
(2 − (−8) )2 + (5 − 3)2
=
=
10 2 + 2 2
=
Usamos obviamente que: [ (x1,y1) y (x2,y2) ] = [ (2,5) y (-8,3) ] 3) Calcular el Punto Medio del trazo que une a los anteriores puntos. Punto Medio entre dos puntos [ (x1,y1) y (x2,y2) ] = x1 + x 2 y1 + y 2 2 + −8 5 + 3
2
,
2
=
2
,
= (− 3,4) 2
Usamos obviamente que: [ (x1,y1) y (x2,y2) ] = [ (2,5) y (-8,3) ] 4) Calcula la Pendiente de la recta que contiene a los siguientes puntos: (2,6) y (1,4) Pendiente = m =
∆Y ∆ X
=
y 2 − y1 x 2 − x1
=
4−6 1− 2
=
2 −1
−
=
2
5) Determina si el siguiente trío es o no colineal: (-2,6), (-1,3) y (0,0) Miremos los puntos en el Sistema de Coordenadas ….
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Habrá que ver la distancia de a pares de puntos y luego ver sin las distancias simples suman el total …. A = (-2,6) B = (-1,3) C = (0,0) dAB = (−2 − (−1)) 2 + (6 − 3) 2 dBC= (−1 − 0) 2 + (3 − 0) 2
=
dAC= (−2 − 0) 2 + (6 − 0) 2
=
=
1+ 9
1+ 9
=
=
10
10
4 + 36 = 40 = 4 • 10 = 2 10
Efectivamente: dAB + dBC = dAC Son colineales …. 6) Encuentra la ecuación de la recta que contiene los siguientes puntos: (3,6) y (-4,5) Usamos: (x1,y1) = (3,6) (x2,y2) = (-4,5) Ecuación de la recta por dos puntos: y − y1 =
y 2 − y1 x 2 − x1
Entonces
( x − x1)
5−6 ( x − 3) −4−3 y − 6 = ( −1 / − 7)( x − 3 y − 6 = (1 / 7)( x − 3) Multiplicanbdo _ por _ 7 7 y − 42 = x − 3 7 y − x = 39 y − 6 =
Ó -x + 7y = 39 7) Encuentra la ecuación de la recta que contiene el punto (2,3) y posee por pendiente m=2. Usamos (x1,y1) = (2,3) y-y1=m(x-x1) y-3 = 2(x-2) y-3 = 2x -4 y-2x = -1 8) Escribe la ecuación principal de la recta con: m= -5 ; n= 2. y = mx + n y = -5x + 2 y + 5x = 2 9) Grafica la recta a partir de la ecuación principal: y=(-2/5)x + 1 Una recta queda determinada por dos puntos. NO es necesario más que 2 puntos. Se hace una TABLA de puntos y luego se grafican. X
Y
5 10
(-2/5) 5 +1 = -2+1 = - 1 (-2/5)10 + 1 = - 4 + 1 = - 3
Abreviadamente, dejando lo significativo para graficar X Y
5 10
-1 -3
10) Determina la ecuación de la recta a partir del gráfico:
La recta pasa por los puntos: (4,0) y (0,6), luego la recta se puede obtener de la fórmula de la recta que pasa por dos puntos:
y − y1 = y − 0 =
y 2 − y1 x 2 − x1
( x − x1)
6−0 ( x − 4) 0−4
6 ( x − 4) 4 6 y = − x + 6 4 multiplicando _ por _ 4 4 y + 6 x = 24 dividiendo _ por _ 24 y
y
6
=−
+
x
4
=
1
¿Qué puedes concluir mirando esta ecuación y el gráfico anterior? 11) Escribe de la forma general la ecuación: y=2x+3 Forma General de la Ecuación de la RECTA: Ax + By + C = 0; arreglando la anterior -2x + y – 3 = 0 Acá: A = -2 ; B = 1 ; C = -3 12) Encuentra la ecuación de la recta con A=3; B= -2 y que pasa por el punto (2,6) La Ecuación General es: Ax + By + C = 0 ; sustituyendo: 3x -2y + C = 0 Pero (2,6) pertenece a la recta, entonces debe cumplir la ecuación anterior: 3(2) – 2(6) + C = 0 6 -12 + C = 0 -6 + C = 0 C=6 Entonces, la ecuación general de la RECTA RECTA es: 3x -2y + 6 = 0 13) Determina si el punto (2,-5) pertenece o no a la recta: y = (-7/2)x + 2 Si el punto perteneciera a la recta, debería cumplir la ecuación, veamos: (-5) ¿=? (-7/2) 2 + 2 (-5) ¿=? -7 + 2 (-5) = (-5) Sí, el punto cumple la ecuación, por tanto: El punto pertenece a la recta.
14) Son o no paralelas las rectas: y=3x – 7 ; 3x-2y+6=0 La primera ecuación está de la forma y= mx + n, de donde m1 = 3 La segunda ecuación, hay que trabajarla: 3x – 2y + 6 = 0 3x+6 = 2y 2y = 3x + 6 y = (3/2)x + 3 m2= 3/2 No son paralelas, porque las pendientes debiesen ser IGUALES! 15) Determina si son perpendiculares o no: i) y=(2/3)x + 1 ; ii) 3x – 2y – 6 = 0 i) y = (2/3)x +1 m1 = 2/3 ii) 3x – 2y – 6 = 0; aquí hay que despejar a la forma “Principal” 3x – 6 = 2y 2y = 3x – 6 y = (3/2)x -6/2 y = (3/2)x – 3 m2 = 3/2 Veamos: m1 x m2 = (2/3) x (3/2) = 1 NO son perpendiculares pues m1 x m2 debió ser ( - 1 ) para que lo fueran. 16) EJERCICIO PROPUESTO : Encuentra la ecuación principal de la recta que tiene la misma pendiente que la recta que contiene los puntos (-3,4) y (2,-5) y que contiene el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos (6,7) y (2,-1). Este es un ejercicio un poco más largo, no creo que algo así vaya en la prueba, pero te ayuda a generar un protocolo de resolución. La otra gracia es que te ayuda a pensar en la senda de lugares geométricos ….
