Ejercicios de variables aleatorias (AES 300) Juan Carlos García Navas Octubre 2009
1. Variables aleatorias discretas y continuas 1. Sea X X una variabl variablee aleatoria aleatoria discreta. discreta. Determine Determine el valor valor de k para que la función p(x) =
k , x
3). x = 1; 2; 3; 4, sea la función de probabilidad de X . Determ Determine ine Pr(1 Pr(1 < < X 3). 12 2 Resp. k = , Pr(1 < Pr(1 < X 3) = 25 5 2. Sea T Sea T una una variable aleatoria discreta que tiene como ley de probabilidad Pr(T Pr(T = a) a ) =
1 ; 10
a = 2; 3; : : : ; 11: 11:
Calcule: a) la función función de distribució distribución; n; b) Pr(T Pr(T > 7); 7) ;
6); c) Pr(T Pr(T 6);
d) Pr(3 < Pr(3 < T 7). 7).
8>< 0; a1 Resp. a) F ( F (x) = >: 1;10 ;
si x < 2; si a x < a + 1; 1; si x 11: 11:
3. Una variabl variablee aleatoria aleatoria X X tiene tiene función de probabilidad dada por p( p(x) = cex ;
x = 1; 2; 3; : : :
a) Halle el valor valor de la constante constante c; b) Calcule Calcule la esperanza esperanza y la varianza varianza de la variable ariable aleatoria; aleatoria; c) Encuentr Encuentree la función generadora generadora de momentos; momentos; d) Use m Use m X (t) para calcular la esperanza y la varianza.
Ejercicios tomados del Texto Matemáticas Superiores, primera parte, Edwin Galindo
a = 2; 3; : : : ; 10;
b) 0.4; c) 0.5; d) 0.4
Resp. a) c =
e1 ; b) e
E(X )
=
1 e1
, Var(X ) =
e
1e ; c) m (t) = X et e (e 1)2
4. En un hospital se comprobó que el peso en kilogramos de los niños al nacer es una variable continua con función de densidad f (x) =
cx; 0;
si 2 x 4; caso contrario.
a) Halle el valor de c para que f sea una función de densidad. Represéntela grá…camente; b) Halle la función de distribución y represéntela; c) Calcule la probabilidad de que un niño elegido al azar pese más de 3 kg; d) ¿Cuánto debe pesar un niño para que el 90% de los niños tengan peso inferior o igual al suyo? 1 t2 4 7 Resp. a) c = ; b) F (t) = , si 2 t 4; c) ; d) 3:85kg 6 12 12 5. La duración, en días, de los focos fabricados por una empresa es una variable con densidad
8< 0; f (x) = : xk ; 3
a) Calcule el valor de k;
si x < 1; caso contrario.
b) Halle la función de distribución; c) Calcule la duración media de los focos; d) Calcule la probabilidad de que un foco dure más de 5 días. Resp. a) k = 2; b) F (t) = 1
1 1 , si t 1; c) 2; d) t2 25
6. El número de unidades vendidas mensualmente de un artículo, sigue la ley de probabilidad de…nida por la función de densidad: x ; si x 2 [0;5]; 25 10 x f (x) = ; si x 2 (5; 10]; 25 0; caso contrario,
8> >< >>:
donde x se mide en miles de unidades.
a) Determine la función de distribución de las ventas; b) Calcule la probabilidad de que las ventas sean al menos 5000 unidades; c) Calcule la probabilidad de que las ventas estén entre 5000 y 7500 unidades.
8> 0; >> x < ; 50 Resp. a) F (x) = >>> 1 + 2 x 1 x ; : 1; 5 50
si x < 0;
2
2
si x si x
2 [0; 5]; 2 (5; 10];
si x > 10:
b) 0.5; c) 0.375
7. Una variable aleatoria X está de…nida en los siguientes intervalos: (0; 1), (2; 3) y (4; 5), de tal forma que: Pr(0 < X 1) = 0:25; Pr(2 < X 3) = 0:5; Pr(4 < X 5) = 0:25, siguiendo respectivamente las leyes: f 1 (x) = ax; f 2(x) = b y f 3 (x) = cx 2 . Calcule las probabilidades de los sucesos siguientes: a) 0:25 < X 0:75;
b) 0:5 < X 2:2; c) X 2:5;
d) 4:2 < X 4:8. Resp. a) 0.125; b) 0.2875; c) 0.5; d) 0.1496.
2. Esperanza y varianza 1. Dada una variable aleatoria X con
E(X )
= 8 y Var(X )=15. Encuentre:
2
X ;
a)
E
b)
E(3X +
c)
E(
10);
X ); d) Var(X );
e) Var(5 + 6X ); f) (X ). Resp. a) 79; b) 34; c) 8; d) 15; e) 540; f)
p
15
2. Una variable aleatoria X tiene la siguiente ley de distribución: x 2 Pr 1/4
4 1/8
6 8 k 1/8
10 1/4
Halle: a) el valor de k; b) la esperanza; c) la varianza. Resp. a)
1 ; b) 4
E(X )
= 6; c) Var(X ) = 9
3. Una variable aleatoria solo puede tomar 2 valores positivos, el uno el cuadrado del otro. A su vez, sus respectivas probabilidades también tienen esta propiedad. p Escriba la ley de probabilidad de esta variable aleatoria si su esperanza es igual a 12 3 5. Resp.
C Pr
4. La función probabilidad de una variable aleatoria discreta T es: Pr(T = x) =
k + 0:04x; 0;
p 5 3 1 =2 3 p 9 5 =2
si x = 0; 1; 2; 3; 4; caso contrario.
a) Halle el valor de la constante k; b) Escriba la ley de T ; c) Calcule la esperanza de T ; d) Calcule la varianza de T . Resp. a) k = 0:12; b)
x 0 Pr 0.12
1 0.16
2 0.20
3 0.24
4 ; c) 0.28
E(T )
= 2:4; d) Var(T ) = 1:84
5. El blanco de un local de tiro no es más que un círculo dividido en 3 sectores congruentes marcados por las cifras 1, 2, 3. Cuando se dispara, el círculo se hace girar, de manera que el jugador no distinga los sectores. Al dar en el sector 1 el jugador gana 1 dólar; al dar en el sector 2, gana 2 dólares; y, al dar en el sector 3, gana 3 dólares. El precio del boleto que da derecho a disparar vale 1.5 dólares. ¿Es ventajoso el juego si se tiene una probabilidad de dar en el blanco de a) 0.7; b) 0.8; c) 0.75? Resp. a) es ventajoso; b) es desventajoso; c) es indiferente 6. La variable aleatoria tiene por densidad
Calcule:
8< mx; f (x) = : 10; mx;
si x 2 [0; 2]; si x 2 (2; 4]; caso contrario.
a) el valor de m; b) la función de distribución de X ; c)
E(X );
d) Var(X ).
8> 0; >>< x 1 ; Resp. a) ; b) F (x) = 8 >> 1 + x x ; 4 >: 8 1; 2
2
si x 2 (1; 0) si x 2 [0; 2]; si x 2 (2; 4];
si x 2 (4; 1):
7. (Ley recíproca) Una variable aleatoria tiene la función de distribución
Calcule:
8> 0; >> ln 2 < x ; F (x) = >>> ln 2 : 1; 5
si x < 2; si 2
x 5;
si x > 5:
c) 2; d)
2 3
a) la función de densidad; b) la esperanza de X ; c) la varianza de X . Resp. a) f (x) =
1 , si 2 x (ln5 ln2)
x 5; b) E(X ) = ln 5 3 ln 2 ; 3 7ln5 7ln2 6 c) Var(X ) = 2 (ln5 ln2) 2
8. (Distribución semicircular) Una variable aleatoria tiene la función de distribución
8> 0; >< 1 1 q F (x) = >>: 2 + (x 2) 1 (x 2) + arcsen(x 2) ; 1; 2
Calcule:
si x < 1; si 1
x 3;
si x > 3:
a) la función de densidad; b) la esperanza de X ; c) la varianza de X . 2 Resp. a) f (x) =
q
1 (x 2)2 , si 1 x 3; b)
E(X )
= 2; c) Var(X ) =
1 4
9. Dada una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad viene de…nida por la función de distribución 0; si x < 0; x ; si 0 x 2; F (x) = 2 1; si x > 2: Determine su esperanza y su varianza.
8> >< >>:
Resp. = 1, 2 =
1 3
