5.1
Sea (E, d) un espació métrico y A y B subconjuntos de E . Demuéstrese que 1. si A y B son disjuntos y ambos cerrados, entonces entonces están separa separados. dos. 2. si A y B son disjuntos y ambos abiertos, entonces entonces están separados. separados. Dificultad [2]
Solución
1. Sea Sean n A y B disjuntos y cerrados. Entonces A = adh adh((A) y B = adh adh((B ), y por tanto, adh((B ) = adh adh((A) ∩ B = A ∩ B = ∅. A ∩ adh Así, pues, A y B están separados. 2.a (Prim (Primera era demostración). demostración). Sean, ahora, A y B disjuntos y abiertos; probaremos que A ∩ adh adh((B ) = ∅ mostrando que ningún punto de la adherencia de B puede pertenecer también a A. En efecto, si x ∈ adh adh((B ) entonces para todo r > 0, la bola abierta B (x, r) tiene intersección no vacía con B ; es decir =∅ B (x, r) ∩ B
para todo
r>0
y por tanto,
⊂A B (x, r)
para todo
r>0
∈ int ∈ A. puestoo que A y B son disjuntos. Así, pues, x puest int((A) y, como A es abierto, A = int int((A) y x Así, pues, A ∩ adh adh((B ) = ∅; de forma análoga se prueba que adh A ∩ B = ∅. y concluímos que A y B están separados. 2.b (Segun (Segunda da demostración). demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos y pongamos F = A ∪ B . Puesto que A = A ∩ F , A es abierto en (F, d) por ser intersección de un abierto en (E, d) con F . Del mismo modo, B es abierto en (F, d) y por lo tanto A yB están separados. separados separados (Teorema 5.1.3). 2.c (T (Tercera ercera demostración). Sean A y B disjuntos y abiertos; entonces F = A ∪ B es abierto en (E, d). Por lo tanto, A y B son disjuntos y abiertos en (F, d) (Teorema 3.3.3), luego están separados ( Teorema 5.1.3).
5.2
Sea (E, d) un espacio métrico y A y B dos subconjuntos separados. Demuéstrese que
1. si A ∪ B es abierto, entonces A y B son abiertos; 2. si A ∪ B es cerrado, entonces A y B son cerrados. Dificultad [1]
Solución
Sea F = A ∪ B . 1. Puesto que A y B están separados, son abiertos en (F, d) y, puesto que F es abierto por ser unión de abiertos, también A y B son abiertos en (E, d) 2. Similar, mutatis mutandis .
5.4
Proporcionar un ejemplo que revele que el interior de un conjunto conexo no es, en general, conexo. Solución
En (R2 , d2 ) considérense los conjuntos A = {(x, y ) ∈ R2 : (x − 1)2 + y 2 ≤ 1}
y B = {(x, y ) ∈ R2 : (x + 1)2 + y 2 ≤ 1}
Entonces A ∪ B es un conjunto conexo (compruébese) y, sin embargo, int(A ∪ B ) = B ((−1, 0), 1) ∪ B ((1, 0), 1) que no es conexo por ser unión de abiertos disjuntos.
5.5
Sean A y B dos subconjuntos no vacíos y cerrados. Probar que si A ∪ B y A ∩ B son conexos, entonces A y B son conexos. Compruébese mediante un ejemplo que si A y B no son cerrados, entonces la afirmación anterior puede ser falsa. Dificultad [3] Solución
Por reducción al absurdo. Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A no es conexo. Entonces A = S ∪ T
con S = ∅, T = ∅ y S |T . Ahora A ∩ B = ( S ∪ T ) ∩ B = (S ∩ B ) ∪ (T ∩ B )
y puesto que (S ∩ B )|(T ∩ B ) uno de ellos, o ambos, debe ser vacío porque en caso contrario A ∩ B no sería conexo. Pongamos, entonces, que S ∩ B = ∅ (de forma similar se haría si T ∩ B = ∅), entonces A ∪ B = ( S ∪ T ) ∪ B = S ∪ (T ∪ B )
y veamos que S |(T ∪ B ). En efecto, por una parte se tiene que S yT son cerrados en (A, d) y, puesto que A es cerrado, también S y T son cerrados en (E, d). Así que S y T ∪ B son cerrados en (E, d). Además S ∩ (T ∪ B ) = (S ∩ T ) ∪ (S ∩ B ) = ∅
con lo que A ∪ B es unión de cerrados no vacíos y disjuntos y, por lo tanto, no conexo en contra de la hipótesis. Tómese A = [0, 1) ∪ [2, 3]
y
B = [1 , 3].
A es no conexo y, sin embargo, A ∪ B = [0, 3] y A ∩ B = [2, 3] son conexos.
5.6
Sean A y B subconjuntos conexos de (E, d) y A ⊂ B . Si C es abierto y cerrado en el subespacio (B \ A, d), demostrar que A ∪ C es conexo. Dificutlad [4]
Solución
Si C = ∅ o C = B \ A la proposición es evidentemente cierta. Sea, pues, C = ∅ y C = B \ A y supongamos que A ∪ C no es conexo. Entonces, A ∪ C = S ∪ T
con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, deberá ser A ⊂ S o A ⊂ T . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ S ; entonces T ⊂ C . Llamemos ahora M al complementario de C en B \ A. Es decir B \ A = C ∪ M
con C ∩ M = ∅. Naturalmente C y M son no vacíos y están separados porque, por hipótesis, ambos son abiertos y cerrados en B \ A, de manera que T y M están separados porque T ⊂ C . Ahora se tiene que B = (B \ A) ∪ A = (C ∪ M ) ∪ A = M ∪ (A ∪ C ) = M ∪ S ∪ T = ( M ∪ S ) ∪ T,
y T y M ∪ S son no vacíos y separados porque T está separado de M y de S . Así, B no es conexo en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.
5.7
Probar que si A y B son subconjuntos conexos de (E, d) no disjuntos, entonces A ∪ B es conexo.
Dificultad [2]
Solución
(Primera resolución) Puesto que A ∩ B = ∅, A y B no están separados, de aquí que A ∪ B es conexo. (Teorema
5.2.5).
(Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A ∪ B no es conexo. Entonces A ∪ B = S ∪ T
con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A ⊂ S o bien A ⊂ T ; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ T . Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B ⊂ S o bien B ⊂ T , pero si fuera B ⊂ S , entonces T sería vacío, así que debe ser B ⊂ T . Pero entonces A ⊂ S y B ⊂ T , de manera que A y B estarían separados y A ∩ B = ∅, en contra de la hipótesis.
5.8
Si A y B con conjuntos conexos y A ∩ B = ∅ entonces A ∪ B es conexo.
Dificultad [2]
Solución
(Primera resolución) Puesto que A ∩ B = ∅, A y B no están separados, de aquí que A ∪ B es conexo. (Teorema
5.2.5).
(Segunda resolución sin usar el teorema) Supongamos que A ∪ B no es conexo. Entonces A ∪ B = S ∪ T
con S y T no vacíos y separados. Ahora bien, puesto que A es conexo, o bien A ⊂ S o bien A ⊂ T ; supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ T . Del mismo modo, B es también conexo, así que o bien B ⊂ S o bien B ⊂ T , pero si fuera B ⊂ S , entonces T sería vacío, así que debe ser B ⊂ T . Pero entonces A ⊂ S y B ⊂ T , de manera que A y B estarían separados y A ∩ B = ∅, en contra de la hipótesis.
5.9
Sean A1 , A2 , . . . , An conjuntos conexos y =∅ Ai ∩ Ai+1
i = 1 , 2, . . . , n − 1
Demostrar que n
Ai
i=1
es conexo. Dificultad [2]
Solución
Puesto que A1 ∩ A2 = ∅ y ambos son conexo, se tiene que A1 ∪ A2
es conexo. Por la misma razón, puesto que (A1 ∪ A2 ) ∩ A3 = ∅ y ambos son conexos, se tiene que A1 ∪ A2 ∪ A3
es conexo. Por recurrencia, pues, es trivial ver que n
Ai
i=1
es conexo.
5.11
En el plano, cualquier segmento es un conjunto conexo. Mostrar que el conjunto de puntos del plano con, al menos una coordenada irracional es conexo.
Solución
(Una demostración) Para cada a ∈ R − Q, consideremos las rectas Ra = {(a, y) : y ∈ R}
y S a = {(x, a) : x ∈ R}.
Ambos conjuntos son conexos y, además, Ra ∩ S a = (a, a), de manera que el conjunto C a = {(a, y) : y ∈ R} ∪ {(x, a) : x ∈ R}
es conexo. Además, para cualquier a ∈ R − Q, se tiene que C e ∪ C a = {(a, a), (a, e), (e, a), (e, e)};
luego C e es conexo y corta a todo C a . Ahora R2 − Q2
= C ∪ e
a∈R−Q
C a
y es conexo. (Otra demostración) Fijemos (e, e) y sea (x, y ) ∈ R2 − Q2 . Si y es irracional, la poligonal [(e, e), (e, y ), (x, y )] está contenida en R2 − Q2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Si y es racional, entonces x es irracional y la poligonal [(e, e), (x, e), (x, y)] está contenida en R2 − Q2 y es un conjunto conexo por ser unión de dos segmentos con un punto común. Ahora R2 − Q2 es unión de todas las poligonales (que tienen un punto común), por lo tanto es conexo.
5.13
Probar que un espacio métrico (E, d) es conexo si y sólo si todo subconjunto propio de E tiene frontera no vacía.
Solución
Supongamos que A es un subconjunto propio de E y que frt(A) = ∅. Entonces A = int(A) ∪ frt(A) = int(A).
Por lo tanto A es abierto y cerrado en (E, d) y E no es conexo. Recíprocamente, si E no es conexo, existe un subconjunto propio A ⊂ E abierto y cerrado en (E, d); es decir, A = A = int(A)
lo que implica que frt(A) = ∅
5.14
Si A y B son subconjuntos del espacio (E, d) tales que A es conexo, y =∅ A∩B
y
= ∅; A ∩ (E \ B )
demuestra que =∅ A ∩ frt(B)
Solución
Supongamos que A ∩ frt(B ) = ∅. Entonces =∅ A ∩ B = A ∩ int(B ) y = ∅. A ∩ (E \ B ) = A ∩ ext(B ) Así, pues, A = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ (E \ B )) = (A ∩ int(B )) ∪ (A ∩ ext(B ))
Ahora, puesto que int(B ) y ext(B ) están separados (son dos abiertos disjuntos), se tiene que A ∩ int(B ) y A ∩ ext(B ) están separados, de manera que A es unión de dos conjuntos no vacíos y separados y, por lo tanto, no es conexo.
Sean A y B conjuntos conexos y A ⊂ B . Si C es una componente conexa de B \ A, demostrar que B \ C es conexo. 5.15
Solución
Supongamos que B \ C no es conexo. Entonces B \ C = S ∪ T
con S y T no vacíos y separados. Ahora, puesto que A ⊂ B \ C = S ∪ T y A es conexo, necesariamente es A ⊂ S o A ⊂ T . Supongamos, sin pérdida de generalidad, que A ⊂ S ; entonces T ∩ A = ∅ de modo que T ⊂ (B \ C ) \ A = (B \ A) \ C
y, puesto que C es una componente conexa de B \ A, se tiene que (B \ A) \ C y C están separados, de manera que T y C están separados. Así, pues, B = (B \ C ) ∪ C = T ∪ (S ∪ C )
y B no sería conexo, en contra de la hipótesis. La figura siguiente muestra la situación.
5.16
Demostrar que las componentes conexas de un conjunto A son conjuntos cerrados en el subespacio (A, d) No es cierto, en general, que las componentes conexas de A sean abiertos en (A, d) (póngase un ejemplo), pero sí es cierto si el número de componentes conexas es finito; demuéstrese.
Solución
Sea C una componente conexa de A. Entonces C ⊂ A,
de manera que C ⊂ C ∩ A = C
y, por tanto, C ∩ A es conexo. Pero, puesto que C es el mayor conjunto conexo que contiene a cualquiera de sus puntos, resulta que C = C ∩ A
y C es cerrado en (A, d). Nota: no es cierto que C sea cerrado en (E, d). Considérese por ejemplo, dos abiertos conexos y disjuntos.
Considérese Q en la recta real. Entonces para todo x ∈ Q, se tiene que C (x) = {x} y C (x) no es abierto en (Q, d). Si hay un número finito de componentes conexas, entonces n
A=
C n
i=1
y n
C k = A \
C n
=k i=1,i
de manera que C k es abierto en (A, d).
Sea A un conjunto conexo, abierto y cerrado en (E, d). Demostrar que A es una componente conexa de E . 5.18
Solución
Por coherencia, suponemos que A no es vacío. Sea, entonces, x ∈ A y llamemos C a la componente conexa de E que contiene a x. Puesto que A es conexo y x ∈ A, se tiene que A ⊂ C . Supongamos que A = C ; entonces A ∩ C = A
es abierto en C por ser A abierto em E y también cerrado en C por ser A cerrado en E . Así, pues, A es un subconjunto propio, abierto y cerrado en C , de manera que C no es conexo. Absurdo, porque C es una componente conexa.
