Universidad Nacional San Cristóbal De Huamanga Facultad De Ingeniería Minas, Geología Y Civil Escuela De Formación Profesional De ”Ingeniería Civil”
Resolución de Problemas
Mecánica para Ingeniería (Bedford-Fowler) ”Cinemática de Partícula y cuerpo Rígido” Asigna Asignatura :Dinámica :Dinámica (IC-246) (IC-246) Alumnos : Calderón Quispe, Gilmer
Navarro Bautista, Paul
Maldonado Carlos, Juan José
Infante Leva , Samuel
Docente : Ing. Cristian Castro Pérez Ayacucho - Peru - 2013
Universidad Nacional san Cristóbal de Huamanga Escuela de Formación Profesional Ing. Civil Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil
Problemas
1.
Problema 2.33
Si Θ=1 rad Y dΘ/dt = 1rad/s, ¿cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se puede escribir la posición de P respecto de O como: s = (2 pie)cos θ + (2 pie)cos θ Y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad.
Solución
La ubicación de P desde el punto O está dado por: s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4cos θ derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad ds = dt Evaluando para θ = 1rad y
ds dt
= 1rad/s ds = dt
2.
−4senθ dθ dt
−4sen(1rad) = −3,37m/s
Problema 2.53
Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado. Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga que a = 4sm/s2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0.
−
Dinámica
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a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte se detenga? b) )¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s = 0? Solución
como la aceleracion esta en funcion de ”S” usaremos: vdv = ads Del datoa =
−4s sustituyendo vdv − 4sds
integramos v2 = 2 v2 = 2
4s2 + C 2
− −2s
2
+ C
(1)
Para v (0) = 1m/s y s = 0 en (1) (1)2 = 2
2
−2(0)
−→ C = 12
+ C
Quedando la ecuacion (1) de la forma v2 1 = 2s2 + 2 2 a) La velocidad es cero cuando se detiene entonces.
(α)
−
(0)2 = 2
−2s
2
+
1 2
quedaría s =
± 12 m
la distancia que se mueve hacia la derecha ∴
Dinámica
s =
1 m 2
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b) La velocidad para s = 0 De la ecuacion α v2 = 2 v =
−2(0) + 12 ±1m/s 2
como el móvil regresa v = 3.
−1ˆim/s
Problema 2.82
un automóvil viaja a 100km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del automóvil es x = 400m, ¿Cuál es su aceleración?
Solución
Datos v = 100Km/h = 27 78m/s y = 0 0003x2
con
c = 0 0003
⇒ y = cx
2
sabemos que: v =
x˙ + y˙ 2
2
(I )
derivando la ecuación de la trayectoria y = ˙ 2cxx˙
(II )
Remplazando en la expresión(I) v =
x˙ 2 + (2cxx) ˙ 2
despejamos x˙ x = ˙
v
(III )
2
1 + (2cx)
Dinámica
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remplazamos para x = 400m x = ˙ 27 013m/s Derivamos nuevamente (III) x ¨ =
−4vcx
2
(1 + (2cx))3/2
remplazamos para x = 400m x ¨ =
2
−0 099m/s
Derivando la ecuación (II ) y¨ = 2c(x˙ 2 + x¨ x)
Remplazando para x = 400m
y¨ = 0 414m/s2 La aceleración será a = 4.
−0 099ˆi + 0 414 jˆ m/s
2
Problema 2.107
un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40mi/h en A y a 60mi/h en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2s después de que pasa por el punto A?
Solución
Datos: vA = 40mi/h
⇒ 58 667 pies/s vB = 60mi/h ⇒ 88 0 pies/s
Partamos de: vdv = ads Dinámica
a=cte (condición del problema)
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Integrando v 2 = 2as + C C = v 2
para v A = 58 667 pies/s; s = 0
− 2as = 3441 817
de v 2 = 2as + C hallamos la aceleración a =
v2
− C
Remplazando para v B = 88 pies/s
2s
30 π(120 + 100) 180 s = 275 192 pies s = 80(2) +
(88)2 3441 817 a = 2(275 192) a = 7 816 pies/s2
−
La velocidad en funcion del tiempo v(t) = v A + at 1 s(t) = v A + at2 2 v(2) = 74 299 pies/s
⇒ 58 667 + (7 816)t
⇒ 58 667t +
s(2) = 132 966 pies
1 2
(7 816)t2
Ubicado en el primer arco
Hallando aceleracion normal an =
v2 R
(74 299)2 120 an = 46 003 pies/s2 an =
∴
2
2
5.
2
|a| = (46 003) + (7 816) |a| = 46 662 pies/s
Problema 2.132
La barra gira en el plano x y de la figura con velocidad angular constante ω 0 = 12rad/s. La componente radial de la aceleración del collarín C es a r = 8r. Cuando r = 1m, la componente radial de la velocidad de C es vr = 2m/s. Determine la componente radial y transversal de la velocidad de C cuandor = 1,5m.
−
Dinámica
−
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Solución:
Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial d2 r dvr dvr dr dvr = = = vr d2 t dt dr dt dr Luego tenemos d2 r dθ 2 r( ) = 8r d2 t dt d2 r dθ = ([ ]2 8)r = (122 82 )r 2 d t dt ar =
−
−
−
−
⇒
136r rad/s2
Calculando la velocidad radial d2 r dvr = v = 136r r d2 t dr v
15
r
vr dvr = 136
2
vr2 2
rdvr
1 2
2
2
− 22 = 136( 1 25 − 12 )
Resolviendo obtenemos vr = 13 2 m/s Ademas tenemos vθ = r
dθ = (1 5)(12) dt
⇒ vθ = 18 m/s
De esta manera tenomos: = 13 2ˆ V er + 18ˆ eθ m/s Dinámica
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6.
Problema 2.150
Dos automóviles A y B se aproximan a una intersección. A viaja a 20m/s y va desacelerando a 2m/s2 , y B viaja a 10m/s y va desacelerando a 3m/s2 . En el sistema coordenado fijo a la tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.
Solución:
Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria
−20ˆi y vA/B esta dado por vA/B = vA − vB vA =
vB = 10 jˆ
− 20ˆi − 10 jˆ vA/B = (−20) + (−10) ⇒
vA/B =
2
2
vA/B = 22 36 m/s
B/A De forma analoga para V vB/A = 10 jˆ
ˆ 20ˆi (−20ˆi) = 10 j + − √ vB/A = 500 ⇒ vB/A = 22 36 m/s
7.
Problema 2.171
Un río fluye hacia el norte a 3m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10m/s respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce? será
Dinámica
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Solución:
Asumiendo un angulo θ medido desde el este vbote/tierra = vbote/agua + vagua/tierra ˆ vbote/agua = 10(cosθˆi + sinθ j) vagua/tierra = 3m/s jˆ ˆ vbote/tierra = [(10cosθˆi) + (3 + 10sinθ j)] Queremos que el bote viaje en ángulo tanφ =
400 500
Por consiguiente tenemos: 3 + 10sinθ 400 = 10cosθ 500
⇒ θ = 25 11
◦
Calculando la velocidad absoluta v =
(10cosθ) + (3 + 10sinθ) 2
2
⇒
v = 11 60m/s
Por lo tanto el tiempo será
√
d 5002 + 4002 t = = v 11 60 t = 55 2 s
Dinámica
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8.
Problema 2.194
La velocidad v = 2m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleración del punto P cuando x = 0,25m?
Solución:
Hallando el tiempo para x = 0,25 x = 2t
(M RU )
t = 0 125s De la ecuacion y = 0 2sin(2πt) derivamos dy = 0 4πcos(2πt) dt d2 y = 0 8π 2 sin(2πt) 2 d t
(Velocidad)
−
(Aceleración)
Remplazando para t = 0 125s y y = 0 141 dy = v y = 0 889 m/s dt d2 y = a y = 5 58 m/s2 2 d t
−
POr consiguiente hallaremos los módulos
|v| = v = v + v |a| = a = a + v 2
x
2
x
9.
2
y
2
a
⇒ ⇒
2 19 m/s 5 58 m/s2
Problema 6.13
La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de (a) La placa rectangular (b) La barra AB
Dinámica
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Solución:
Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD = BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC . β = θ ˙ = θ˙ β ωBC = ω
( porserunparalelogr amo)
ωAB = ωAC = 10rad/s
⇒
De la figura AB = AB( cosθ, sinθ) = DC ( cosβ, sinβ ) DC
− −
(I )
− −
(II )
(I ) Y (II ) iguales hallando la parte a) La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y que apunta en la direccion de eje Z + ˆ ωAB = 10krad/s hallando la parte b) vB = w
× rAB
vC = vB + w vC = ω
(I )
× rBC
(II )
× rDC ; Ademas
rAB = rDC
(III )
De las ecuacones (I),(II) y (III)
vB + w w
× rAB + w
w
w
× rBC = ω × rDC × rBC = 10kˆ × rAB × rBC = 10kˆ × (rAB − rAB ) × rBC = (0, 0, 0)
w = (0, 0, 0)rad/s
Dinámica
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10.
Problema 6.41
En la fig. p6.41, si ω AB = 2rad/s y ω BC = 4rad/s, ¿Cuál es la velocidad del punto C, donde el cubo de la excavadora está conectado?
Solución:
Hallando el radio vector rA/B = 3ˆi + (5,5
ˆ 3ˆi + 3,9 j(m) ˆ − 1,6) j =
Calculando la velocidad ene el punto B vB = ωAB rA/B ˆ ˆi jˆ k vB = 0 0 2 3 3 9 0
×
ˆ = −7 8ˆi + 6 j(m/s)
Encontrando el radio vector BC que es: rC/B = 2 3ˆi + (5
ˆ 2 3ˆi − 0 5ˆi − 5 5) j =
Hallando la velocidad en el punto C vC = vB + ωBC
× rC/B
vC
ˆ = −7 8ˆi + 6 j +
vC = 11.
ˆi 0 2 3
−9 8ˆi − 3 2 jˆ m/s
jˆ 0 0 5
−
ˆ k 4 0
−
Problema 6.83
En la fig. p6.85, si ωAB = 2rad/s, αAB = 2rad/s2 , ωBC = 1rad/s, y αBC = ¿Cuál es la aceleración del punto C donde se conecta el cucharón de la excavadora?
−
Dinámica
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2
−2rad/s , DAIMC
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Solución:
De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo rA = 4ˆi + 1 6 jˆ rB = 7ˆi + 5 5 jˆ rC = 9 3ˆi + 5 jˆ Calculando los vectores de posición relativos ˆ − (4ˆi + 1 6 j) ˆ = 3ˆi + 3 9 jˆ − rA =⇒ (7ˆi + 5 5 j) ˆ − (7ˆi + 5 5 j) ˆ = 2 3ˆi − 0 5 jˆ rC/B = r C − rB =⇒ (9 3ˆi + 5 j) rB/A = r B
Encontrando la aceleración del punto B 2 aB = αAB rB/A ωAB rB/A ˆ ˆi jˆ k ˆ aB = (22 )(3ˆi + 3 9 j) 0 0 2 3 3 9 0 ˆ ˆ = 19 8ˆi aB = 2( 3 9ˆi + 3 j) 4(3ˆi + 3 9 j)
×
−
−
−
−
−
− 9 6 jˆ m/s
2
La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es: 2
aC = aB + αBC
× rC/B − ωBC rC/B
aC
ˆ = −19 8ˆi − 9 6 j +
aC = 12.
ˆi jˆ 0 0 2 3 0 5
−24 1ˆi − 18 3 jˆ m/s
ˆ k 4 0
−
− 1 (2 3ˆi − 0 5 j)ˆ 2
2
Problema 6.110
La velocidad angular ωAC = 50/s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulico BC y la razón a la que se extiende. Dinámica
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Solución:
Transformando la velocidad angular ωAC = 5(
π ) = 0 0873 rad/s 180
La velocid del punto C está dado por vC = ωAC rC/A ˆ ˆi jˆ k vC = 0 0 ωAC 2 6 2 4 0
×
= −2 2094ˆi + 0 2269 jˆ m/s
(I )
Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC eˆ =
ˆ
ˆ
√ 1122i ++224 j4
2
2
= 0 4472ˆi + 0 8944 jˆ
La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por: vC = v C rele + ωBC
× rC/B
ˆ ˆi jˆ k vC 0 0 ωBC C 1 2 2 4 0 ˆ + ωBC ( 2 4ˆi + 1 2 j) ˆ vC = v Crel (0 4472ˆi + 0 8944 j)
ˆ + = v rel(0 4472ˆi + 0 8944 j)
(II )
−
Comparando las ecuaciones (I ) y (II ) 0 2094 = 0 4472vCrel
− 2 4ωBC
(III )
0 2269 = 0 8944vcrel + 1 2ωBC Dinámica
(IV )
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Resolviendo las ecuacones (III ) y (IV ) ωBC = 0 1076 rad/s vCrel = 0 109 m/s Que es también la velocidad de extensión del actuador
13.
Problema 6.134
Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación nortesur a una velocidad constante . Determine las componentes X,Y,Z de la velocidad y aceleración del automóvil (a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra mostrado; (b) respecto a un sistema coordenado sin giro con su origen en el centro de la Tierra.
Solución:
a) Hallando la velocidad y la aceleración respecto al coordenado fijo a la tierra vrel = v jˆ 2
arel =
−v ˆi
El movimento que describe es un circulo
RE
b) Hallando respecto a un sistema coordenado sin giro vA = vArel + ωE rA/B + rB (vB = 0) ˆ (ωE sinLˆi + ωE cosL j) ˆ va = v j + RE ˆi va = v jˆ ωE RE cosLkˆ
×
−
aA = aB + aArel + 2 ωE
×
× vArel + α × rA/B + ωE × ( ωE × rA/B )
donde ω E esta dado por: ωE = ω E sinLˆi + ωE cosL jˆ
y
E ˆi rA/B = R
2
Dinámica
aA = 0
ˆ (ωE sinLˆi + ωE cosL j) ˆ ˆ × (−ωE RE cosLk) − Rv E ˆi + 2vωE sinLk +
aA =
v 2 2 2 ˆ 2vωE sinLkˆ ( + ωE RE cos2 L)ˆi + (ωE RE sinLcosL) j + RE
−
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