1) Un líquido de densidad 1 kg/lt se mueve a razón de 3 mm/seg por un tubo horizontal de 2 cm de diámetro !n cierta parte" el tubo reduce su diámetro a #"$ cm a) %&uál es la velocidad del líquido en la parte angosta del tubo' b) %&uál es la di(erencia de presión del líquido a ambos lados del angostamiento' c) %a*o qu+ hipótesis son válidas sus respuestas'
Un típico ejercicio de fluidos en el que lo importante es que manejes los números y las unidades con fluidez.
Acordate que una sección circular es igual a: S = ( π π /4) d 2, de modo que... 2 / / S E = ( π π 4) 4) d E π π 4) 4) 4 cm2 E = E = (
2 / / S S = ( π π 4) 4) d S π π 4) 4) 0.25 cm2 S = S = (
Ahora, el principio de continuidad (conseración (conseración de la cantidad de materia! asegura: QE = = QS S E . v E = S S . v S E . E = S v E . S E E . E v S S
, S S S / 3 mm / s . ( π π 4) 4) 4 cm2
v S S
, / ( π π 4) 4) 0.25 cm2
a)
v S = 48 mm / s S =
Ahora tenemos que usar la ecuación de "ernoulli. #ero no amos a poder zafar $como en el caso anterior en el que se cancela%an las unidades no homog&neas$ de pasar todas las unidades a un sistema único. #asemos todo a -. y de paso calculemos los cuadrados de las elocidades, que es lo que requiere "ernoulli. v E = 3 mm / s = 3 x10-3 m / s v E2 = 9 x10-6 m2 / s2 v S = 48 mm / s = 48 x10-3 m / s v S2 = 2.304 x10-6 m2 / s2 Ahora sí, amos a "erni: ΔP = ½ δ (v E2 – v S2 ) ΔP = ½ 1.000 ! / m3 (9 x10-6 m2 / s2 – 2.304 x10-6 m2 / s2 ) ΔP = – ½ 103 ! / m3 . 2"3 x 10-3 m2 / s2
#)
ΔP = – 1"15 Pa
2) e llena una manguera con na(ta 0 se cierra por sus dos etremos e introduce un etremo en un depósito de na(ta a 0"3 mpor deba*o de la super(icie 0 el otro a 0"2 m por deba*o del primer etremo 0 se abren ambos etremos !l tubo tiene una sección transversal interior de área 4 x 10-4 m$ a densidad de la na(ta es 4# ! m-3. a) %&uál es la velocidad inicial de la na(ta' b) %&uál es el caudal inicial del (lu*o' Ahí ten&s el esquema correcto del dispositio enunciado. 'os que no lo pueden di%ujar %ien de entrada es $sencillamente$ porque no tuieron infancia. e llama sifón, y es diertidísimo: es el sistema con el que se eacúan aquellos recipientes que no tienen agujero de desagote y que no se pueden olcar. i uno sigue el procedimiento descripto en el enunciado, er) que por el e*tremo de afuera de la manguera sale el chorro que desagota al recipiente y continúa aci)ndolo mientras se cumpla que ese e*tremo est& m)s %ajo que la superficie li%re del líquido. ólo pensar que el líquido aanza por el tramo ascendente hace que parezca m)gico. #ero es "ernoulli puro. +e todos modos el pro%lemita este presenta dos o tres dificultades interesantes.
'a primera es sa%er elegir los puntos de la corriente que amos a comparar con la ecuación de "ernoulli. st) claro que el punto & de%e aparecer, ya que nos piden hallar la elocidad del chorro de salida por la manguera. #ero -con cu)l lo comparo, con (ese es el primer impulso! o con 5 'a respuesta es que sólo comparando con 5hallaremos la solución. #ero en principio no hay cómo sa%erlo: sólo la e*periencia te lo ir) ense/ando. i pro%amos la otra comparación el pro%lema no sale y listo0 no es grae, porque inmediatamente pro%amos el otro par... y ahí sí.
% & = 0"5 m" %' = 0"2 m" % = 0 m
P & δ ! % & 1 ½ δ v &$ = P δ ! % 1 ½ δ v $ 'as presiones en am%os puntos son iguales: en am%as se trata de la presión atmosf&rica, porque el líquido est) en contacto con el aire0 de modo que se cancelan. i tomamos el niel cero en la posición del punto &, su energía potencial se anula. 2 la altura de 5 es % &= 0"5 m, la suma de las dos diferencias de altura del enunciado. 3iremos lo que queda: δ ! % & 1 ½ δ v &$ = ½ δ v $ ! % & 1 ½ v &$ = ½ v $ Ac) aparece la segunda dificultad: no tenemos el alor de la elocidad del fluido en 5, que no es otra cosa que la elocidad con que desciende el niel de nafta del tanque. #or suerte hiciste este ejercicio, porque en arios otros as a poder razonar de la misma manera: la elocidad en 5 es desprecia%le respecto de la elocidad en &, de modo que pod&s tirar todo ese t&rmino. 4omo ya s& que te parece un recurso mentiroso, despu&s de hacer el pro%lema te oy a demostrar por qu& es correcto proceder así. 5amos de nueo: ! % &= ½ v $ ahora despejamos v y calculamos v = ( 2 ! % & )½ v = ( 2 . 10 m 6 s2 . 0"5 m )½
v = 3"16 m 6 s
4onocida la elocidad y la sección, el caudal es sencillo: Q = S . v = 4 x 10-4 m$ 3"16 m 6 s
Q = 1"26 x 10 -3 m3 6 s
e*ponente ½ es lo mismo que *a+, cad*ada
7e oy a justificar que nuestro recurso de despreciar la elocidad en 5 respecto de la elocidad en & era )lido. upongamos que el depósito tenía 0"2 m$ de sección (lo imagino lo m)s chico posi%le para no faorecer mi postura!. n ese caso, por aplicación de la misma propiedad de continuidad, Q = Q & = S & . v &, o%tenemos -3 v m 6 s & = 6"3 x 10
la resolución por "ernoulli ha%ría quedado así: ½ v = ( 2 ! % & 6 v &$ )
2 eso da... ¡e*actamente lo mismo que antes! 8eci&n aparece una diferencia en la 9ta. cifra decimal. 'a razón es que cuando un número es mucho mayor que otro, al elearlos al cuadrado (como nos pide "ernoulli! la diferencia es muchísimo mayor y eso justifica despreciar al m)s chico. 7odaía nos queda discutir la tercera dificultad, que consiste en lo siguiente: las preguntas del enunciado dicen velocidad inicial y caudal inicial . -#or qu& dicen inicial 'os ine*pertos suelen asociar la pala%ra inicial a la entrada de la corriente, y la pala%ra final a la salida. #ero eso no tiene nada que er con nuestro pro%lema. l asunto es que cuando la nafta empiece a salir la altura del niel superior se a a modificar, y eso hace que la elocidad de salida se modifique tam%i&n (disminuyendo!. ra por eso.
3)7 !l tubo de la (igura está cerrado por el etremo de la ampolla 0 abierto en el otro" 0 tiene mercurio alo*ado en las dos asas in(eriores os n8meros indican las alturas en milímetros i la presión atmos(+rica es de9# mm:g" %cuánto vale la presión en el interior de la ampolla'
o desaproeches este ejercicio porque es de muy %uena calidad did)ctica. 'ógicamente, se trata de utilizar el principio general de la hidrost)tica ( ΔP = δ ! Δ ). s tan sencillo que se puede resoler mentalmente guardando los alores intermedios en la memoria. in em%argo hay arios conceptos fundamentales que, sin e*periencia, se te pueden escapar. #rest) atención. 8ehice y agrand& la figura para que podamos tra%ajar m)s cómodamente. Adem)s le puse nom%res a arios puntos a los que oy a tener que referirme, así no te perd&s.
mpecemos con el punto &. sa superficie de mercurio que est) en contacto con la atmósfera tiene la presión que ella le ejerce: P & = 60 mm! 'as paredes del tu%o ertical no tienen cómo afectar ese alor. 5amos ahora al punto '. 5er)s que lo elegí justo en el mismo niel que & para tener un alor de referencia en esa rama del tu%o. 4omo entre & y ' no hay diferencia de profundidad, am%os se hallan al mismo niel dentro de un mismo líquido: sus presiones de%en ser iguales. P ' = 60 mm!
Ahora amos a ocuparnos de . n esa columna de mercurio que a desde hasta ', la presión aría con la profundidad, siendo la presión de menor que la de '. -4u)nto menor ;)cil: 160 mm! menos que la presión de '. sta ez te lo e*plico, pero la pró*ima, no. 'a diferencia de profundidad entre y ' son 160 mm, -de acuerdo l principio general dice: ΔP ' = δ ! Δ ' P ' – P = 13.600 ! / m3 9"8 m / s2 0"160 m P ' – P = 21.325 Pa = 160 mm! P = P ' – 160 mm! = 60 mm! – 160 mm! P = 600 mm! upongo que aprendiste la moraleja: las diferencias de presión dentro del propio mercurio se pueden conocer directamente $en mm!$ midiendo la profundidad en mm. Ahora amos al punto . 'a diferencia de presión de%ida a la altura en el gas encerrado en la segunda rama (que te colore& de celeste! hay que despreciarla. 'a densidad de los gases es tan, pero tan peque/a que la diferencia de presión es insignificante en esta escala menor que < metro. 'uego, la presión del punto de%e ser igual a la de . P = 600 mm! Ahora se repite la historia que te cont& en el asa anterior. l punto E se halla en el mismo niel que , por lo tanto: P E = 600 mm! 7al ez me o%jetes que el punto E tam%i&n se halla en el mismo niel que ' y que &, cuya presión es diferente. 'o tuyo es muy de mala onda... te odio. =ue se halle al mismo niel, en este caso no indica nada, pues son cuerpos de mercurio diferentes. o me hagas perder el tiempo... amos al punto . sta superficie tiene que tener una presión menor que la del punto E , ya que se halla en la misma columna de mercurio, pero a menor profundidad. 'a diferencia de altura entre am%os es de 60 mm, por lo tanto su presión de%e ser 60 mm! menor que la que posee E .
P = 540 mm!
'a presión del punto no es otra que la del gas de la ampolla (que colore& en amarillo! ya que, como discutimos antes, su presión es uniforme.
