SEPI ESIME ZACATENCO Resistencia de Materiales “Torsión” TORSIÓN se refiere a la carga de un miembro estructural que tiende a torcerlo. Semejante carga se llama par de torsión, momento de torsión o par. Cuando se aplica un par de torsión a un miembro estructural, tal como una flecha circular, se genera esfuerzo cortante en ella y se crea una deflexión torsional, la cual produce un ángulo en torsión en un extremo de la flecha con respecto al otro. La fórmula para calcular un par de torsión es T = Fd De donde T = par de torsión, F = fuerza aplicada y d = distancia. Para ejemplos de transmisión de potencia se tiene la siguiente formula. P=Txn De donde P = potencia, T = par de torsión y n = velocidad de rotación. En el SI la potencia se mide en Watt = Joule/segundo, el par de torsión en en N-m y la velocidad de rotación en rad/s. Para el sistema ingles tenemos que el par de torsión se mide en lb-in, n en rpm y la potencia en hp. Para convertir la potencia en hp tenemos como fórmula 𝑇
𝑃 = 63000 Cuando la barra circular se somete al par de torsión externo, el material en cada una de sus secciones se deforma de tal modo que las fibras en la superficie externa experimentan la máxima deformación. En el eje central no se produce deformación. Esto se ve en la siguiente figura.
La fórmula para calcular el esfuerzo cortante torsional es 𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝑇𝑐 𝐽
De donde T = par de torsión aplicado en la sección de interés, c = radio de sección transversal , J = momento polar de inercia de la sección transversal circular La fórmula para J de una sección transversal solida circular es 𝐽 =
𝜋𝐷 4 , 32
de donde D es el diámetro.
Por la variación lineal del esfuerzo y la deformación con la posición en la barra como se ilustro en la figura anterior, el esfuerzo, 𝜏, en cualquier posición radial, r, puede calcularse por medio de: 𝜏 = 𝜏𝑚𝑎𝑥
𝑟 𝑐
Las ecuaciones antes vistas se usan para calcular el esfuerzo cortante en un punto cualquiera de una barra circular sujeta a un par de torsión externo. Ejercicios de esfuerzo cortante y potencia. 1. Determine el esfuerzo cortante en un eje de 3 pulgadas de diámetro. El par aplicado es de 36,000 lb-in. El eje es de Acero A36. D = 3 in T = 36,000 lb-in 𝜋 4 𝜋 4 (3 ) = 7.9521 𝑖𝑛4 𝐽= 𝑑 = 32 32 𝜏=
𝑇𝑐 𝐽
=
(36000)(3⁄2) 7.9521
= 𝟔, 𝟕𝟗𝟎. 𝟔𝟓 𝒑𝒔𝒊
2. El mecanismo impulsor de un proyector de cine funciona por un motor de 0.08 kW cuyo eje gira a 180 rad/s. Calcule el esfuerzo cortante torsional en su eje de 3.0 mm de diámetro P = 0.08 kW = 80 N-m/s n = 180 rad/s D = 3 mm = 3x10-3 m 𝑃 80 𝑃 = 𝑇𝑛 ∴ 𝑇 = = = 0.444 𝑁𝑚 𝑛 180 𝐽=
𝜋 4 𝜋 (3 × 10−3 )4 = 7.9521𝑥10−12 𝑚4 𝑑 = 32 32
−3 𝑇𝑐 (0.444)(3 × 10 ⁄2) 𝜏= = = 83.751 × 106 𝑃𝑎 = 𝟖𝟑. 𝟕𝟓𝟏 𝑴𝑷𝒂 𝐽 7.9521𝑥10−12
ÁNGULO DE TORSIÓN: La rigidez además de la resistencia es una importante consideración de diseño de miembros sujetos a torsión. La medida de la rigidez torsional es el ángulo de torsión de un segmento de una flecha con respecto a otro cuando se aplica un cierto par de torsión. Por lo tanto para calcular el ángulo de torsión se tiene la siguiente formula. 𝜃 =
𝑇𝐿 𝐽𝐺
De donde 𝜃 es el ángulo de torsión en rad, T el par de torsión, L la longitud del elemento a torcer, J el momento polar de inercia y G el modulo cortante que depende de cada material.
Ejercicio de ángulo de torsión. 1. Determine el ángulo de torsión en grados entre dos secciones con una separación de 250 mm en una varilla de acero de 10 mm de diámetro cuando se aplica un par de torsión de 15 N-m. L = 250 mm = 0.25 m D = 10 mm = 10x10-3 m T = 15 N-m 𝑁 G = 80 Gpa = 80x109 2 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑚 𝜋𝐷 4 𝜋(10 × 10−3 )4 𝐽= = = 9.817 × 10−10 𝑚4 32 32 (15)(0.25) 𝑇𝐿 𝜃= = = 0.048 𝑟𝑎𝑑 𝐽𝐺 (9.817 × 10−10 )(80x109 ) 𝜃 = 0.048 𝑟𝑎𝑑 𝑥
180 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝜋 𝑟𝑎𝑑
= 𝟐. 𝟕𝟑 𝑮𝑹𝑨𝑫𝑶𝑺
CONCENTRACIONES DE ESFUERZOS: Concentraciones de esfuerzos se generan en el cambio de geometría. Algunos ejes de transmisión tienen cambios de diámetro, muescas, chaflanes reducciones, etc para poder fijar la barra a otros engranes o estructuras hacia donde se quiere transferir la potencia. También en torsión podemos aplicar el principio de Saint-Venant donde marca que las concentraciones de esfuerzos solo afectan al área cercana al cambio de geometría. Para cuestiones de cálculo en elementos sometidos a torsión se determina un factor de concentración de esfuerzo que depende de la geometría del elemento sometido y con esto calcular el esfuerzo cortante. Y también se tiene otra fórmula para calcular el nuevo esfuerzo cortante máximo. 𝜏𝑀𝐴𝑋 = 𝐾𝑡 𝜏𝑛𝑜𝑚 = 𝐾𝑡 𝑇/𝑍𝑝 𝑍𝑝 =
𝜋𝐷 3 16
Ejercicio de concentrador de esfuerzos. La siguiente figura muestra un segmento de una flecha en la que se maquino una ranura circular. Para un par de torsión aplicado de 4500 lb-in, calcule el esfuerzo cortante torsional máximo en la sección 1, donde el diámetro es máximo, y en la sección 2, donde se localiza la ranura.
En la sección 1: se usa
𝜏𝑀𝐴𝑋 = 𝑇/𝑍𝑝
debido a que no existe una concentración de esfuerzo
significativa. 𝑍𝑝 =
𝜋𝐷 3 16
𝜏𝑀𝐴𝑋 =
=
𝜋1.53 16
= 0.663 𝑖𝑛3
(4500) = 𝟔𝟕𝟗𝟎 𝒑𝒔𝒊 0.663
En la sección 2: 𝜏𝑀𝐴𝑋 = 𝐾𝑡 𝑇/𝑍𝑝 𝜋𝑑𝑔 3 𝜋1.253 𝑍𝑝 = = = 0.383 𝑖𝑛3 16 16 Para evaluar 𝐾𝑡 se tienen que calcular dos radios, como el apéndice A-21-6 lo exige. 𝐷⁄ = 1.5⁄ 𝑑𝑔 1.25 = 1.2 0.1⁄ 𝑟 ⁄𝑑𝑔 = 1.25 = 0.08 Por lo consiguiente, en la gráfica del apéndice A-21-6 se lee, 𝐾𝑡 = 1.55 Ahora ya se puede calcular el esfuerzo cortante máximo. 𝜏𝑀𝐴𝑋 =
𝐾𝑡 𝑇 𝑍𝑝
=
(1.55)(4500) 0.383
= 𝟏𝟖, 𝟐𝟎𝟎 𝒑𝒔𝒊
Referencia: Resistencia de Materiales, Robert L. Mott. 5° Edición.
