EJERCICIOS PROPUESTOS 1)
Hallar la magnitud del vector resultante del grupo de vectores mostrados. Todos los vectores son horizontales.
a) 1 m
b) 2 m
c) 3 m
d) 4 m
e) 5 m
SOLUCIÓN R = 3μ + (-4μ) + 1 μ + (-3μ) + 6μ R= 3μ - 4μ + 1 μ -3μ + 6μ R= 3μ Respuesta: C 2)
Dados los vectores. Hallar la magnitud de la resultante.
a)
3a
b)
5a
c)
7a
d) 10 a e) 13 a
SOLUCIÓN R A 2 + B2 + 2ABCosα R= (2a)2 + a 2 + 2(2a)(a)Cos60° 1 R= 4a 2 + a 2 + 2(2a)(a) 2 R= 7a 2 R= 7a
Respuesta: C 3)
Se tienen dos vectores no paralelos A y B de módulos 3 y 5 respectivamente. ¿Cuál de los siguientes valores podría ser la magnitud de la resultante? a) 8
b) 2
SOLUCIÓN
c) 9
d) 1
e) 4
Existe una resultante máxima y mínima, pero siempre y cuando los vectores sean paralelos: Rmás = |3 + 5| = 8 Rmín = |3 - 5| = 2 Por lo tanto los valores son des 2 hasta 8 pero como no son paralelos la respuesta posible es 4. Respuesta: E 4)
Dos vectores de magnitud 7 y 8 cm dan origen a un vector de magnitud 13 cm. Hallar el ángulo que forman los vectores. a) 30°
b) 37°
c) 45°
d) 53°
e) 60°
SOLUCIÓN R A 2 + B2 + 2ABCosα 13 = 72 + 82 + 2(7)(8)Cosα 13 = 49 + 64 + 112Cosα 169 = 113 + 112Cosα 112Cosα = 56 56 Cosα = 112 1 Cosα = 2 0 α = 60
Respuesta: E 5)
La magnitud de la resultante de dos vectores cuando forman 0° es 34, y cuando forman 180° es 14. ¿Cuál es la magnitud de la resultante cuando dichos vectores son perpendiculares? a) 13
b) 17
SOLUCIÓN Rmáx = x + y = 14 Rmín = x - y = 34
c) 26
d) 34
e) 41
x + y = 14 x - y = 34 2x = 48 x = 24 y = 10
R=
x 2 +y 2 24 2 +102
R=
R = 576+100 R = 676 R = 26
Respuesta: C
6)
Encontrar la magnitud del vector diferencia A - B , si estos vectores se muestran en la figura, de modo que: | A |= 50, | B | = 14.
a) 24
b) 48
b) 64
d) 36
e) 42
SOLUCIÓN
R A 2 + B2 + 2ABCosα R 502 + 142 + 2(50)(14)Cos74 R 2500 + 196 + 2(50)(14)Cos74 R 2500 + 196 - 386 R 2310 R 2310 R 48,06 Respuesta: B 7)
Hallar la magnitud de la resultante en el conjunto de vectores, siendo | A | = 10 cm, | B | = 5 cm.
a) 5 cm
b) 10 cm c) 15 cm d) 30 cm e) 45 cm
SOLUCIÓN La resultante es igual a: R=A+B+X+Y+Z+N+M
Pero: N+M=A B+X+Y+Z=A
Luego: R=A+A+A R = 3A R = 3 10 R = 30
Respuesta: D 8)
Dados los vectores, hallar la resultante.
a) d
b) - d
c) 2 d
SOLUCIÓN La resultante es igual a: R=a+b+c+d+e+f
Pero:
d) -2 d
e) 3 d
d+e+f =0 a + b + c = -d
Luego: R = -b
Respuesta: B 9)
Desde el baricentro de un triángulo escaleno de lados 3, 5 y 7 cm se trazan vectores a los vértices, hallar la magnitud de la resultante. a) 6 cm
b) 10 cm c) 14 cm d) 15 cm e) 0 cm
SOLUCIÓN R=
2a 2b 2c + + 3 3 3
R=
a 2b a 2c + + + 3 3 3 3 3.5
(-3.5)
R = 3.5 + (-3.5) R = 3.5 - 3.5 R=0
Respuesta: E
10) Dado el vector A = 10 cm. Hallar la componente en la abscisa.
a) 5 cm i
b) 5 3 cm i
SOLUCIÓN A x = Acos30° A y = Asen30°
c) - 5 3 cm i
d) -5 cm i
e) 10 cm i
Luego la componente de las abscisas es: 3 A x = Acos30° = -10 5 3 2
Respuesta: C
11) Hallar la resultante de los vectores mostrados.
b) 6 2
a) 6
c) 12
d) 9
e) 9 2
SOLUCIÓN
R x = 15cos37° - 3 4 R x = 15 - 3 5 Rx = 9 R y = 15sen37° 3 R y = 15 5 Ry = 9 R=
2
2
Rx + Ry
R = 92 + 9 2 R=9 2
Respuesta: E
12) Hallar la dirección del vector resultante.
a) 37°
b) 53°
c) 60°
d) 30°
e) 45°
SOLUCIÓN
R x = 17 - 15cos37° 4 R x = 17 - 15 5 Rx = 5 R y = 15sen37° - 4 3 R y = 15 - 4 5 Ry = 5 Tagα =
Rx
Ry 5 Tagα = 5 Tagα = 1
Respuesta: E
13) Hallar la magnitud de la resultante, si es horizontal.
a) 2
b) 4
SOLUCIÓN:
c) 5
d) 6
e) 12
R y = 30senα - 24 = 0 30senα = 24 24 30 4 senα = 5 3 cosα = 5
senα =
R Rx = 20 - 30cosα
R 20 - 30cosα R 20 - 30
3 5
R 2 Respuesta: A
14) Señale las afirmaciones verdaderas (V) o falsas (F): I. El vector resultante siempre es mayor que, al menos uno de los vectores que lo originan. II. Dos vectores, al restarse, generan un vector diferencia, cuya magnitud es siempre diferente a la magnitud de su vector suma. a) VF b) FV c) FF d) VV e) Otra posibilidad SOLUCIÓN El vector resultante puede ser 0, menor o mayor que cualquier vector que los origina (F). Al sumar o restar dos vectores siempre se origina un nuevo vector e incluso puede llegar a ser nulo el vector resultante. (F) Respuesta: (F)
15) Señale verdadero (V) o falso (F) según corresponda cada afirmación: I. Tres vectores pueden ser perpendiculares entre sí. II. Cuatro vectores pueden ser perpendiculares entre sí.
III. Un vector tiene infinitos pares de vectores componentes que lo originan; pero sólo un par que forme ángulo recto (en un plano). a) FVV b) VFF c) VVF d) FFF e) FVF SOLUCIÓN Tres vectores si pueden ser perpendiculares entre si porque tenemos un espacio tridimensional y,x y z y pueden formar un ángulo recto entre sí. (V) Cuatro vectores no pueden ser perpendiculares entre sí por no existir un espacio tetradimensional por los que no pueden formar un ángulo de 90° entre sí. (F) Un vector tiene infinitos pares de vectores es correcto, pero también pueden formar infinitos ángulos rectos. (F) Respuesta: B
16) Si: 3A+2B = 30 u y 2A-3B = 25 u. Hallar: 7A-4B .
a) 50 u
b) 60 u
SOLUCIÓN 3A+2B = 30 2A-3B = 25
c) 70 u
d) 80 u
e) 90 u
3A+2B = 30 2A-3B = 25 3 3A+2B = 3 30 2 2A-3B = 2 25 13A 140 140 A 13 140 3 +2B = 30 13 140 2B = 30-3 13 140 2B = 30-3 13 30 B= 26 140 13 30 B = 26 7A 4B 140 30 7 4 13 26 75 5 70 A
Otra forma de resolver:
2A-3B = 25 2 2A-3B = 2 25 4A-6B = 50 3A+2B = 30 7A-4B = 3A+2B 4A-6B Aplicando la fórmula
7A-4B =
7 A-4B =
30 50
7A-4B =
4900
3A+2B 2
2
4A-6B 2
+2 3A+2B 4A-6B cos60 2
1 +2 30 50 2
7A-4B = 70
Respuesta: C
17) Calcular la magnitud de la resultante de los vectores mostrados, sabiendo que ABCD es un trapecio y AB = 14 y DC=22.
a) 8
b) 16
c) 32
d) 20
e) 8 3
SOLUCIÓN R = AB + AD + BC + DC R1 = AD - AB R1 = DC - BC AD + BC = DC + AB R = AB + AD + BC + DC DC + AB
R = 2AB + 2DC
R = 2 AB + DC
R = 2 -14 + 22 R = 2 8 R = 16
Respuesta: B
18) Hallar la resultante de los vectores mostrados:
a) F
b) 2 F
c) 3 F
d) 4 F
e) 0
SOLUCIÓN
R = A BCDEF AB = F
EDC F R = A BCDEF F
F
R = 3F
Respuesta: 19) En la figura ABC, es un triángulo rectángulo, recto en B. Determinar la magnitud de la resultante.
a) a
b) 2a
c) 3a
d) 4a
e) 5a
SOLUCIÓN
R=b+c+d+e+f R= b+f + c+d + e -4a
4a
2a
R = 2a Respuesta: B 20) En la figura, ABCD es un cuadrilátero cualesquiera en el cual MN=22, donde "M" y "N" son puntos medios. Hallar la magnitud de la resultante de los vectores mostrados.
a) 11
b) 22
c) 33
d) 44
e) 55
SOLUCIÓN
R=c+d a + 22 + b = d d - a - b = 22 a + c + b = 22 d + c=44 R = 44 Respuesta: D 21) Hallar la medida de " α " para que la resultante de los dos vectores sea de magnitud "a". En el diagrama mostrado.
a) 30°
b) 45°
c) 60°
SOLUCIÓN R= A +B=a A a = 2a A=a B a = 2a B=a R = a; A = a; B = a
d) 120°
e) 150°
R=
A + B + 2ABcosα 2
2
R 2 = A + B + 2ABcosα a2 = a 2 + a 2 + 2 a a cosα a2 = 2a 2 + 2a 2cosα 1 2 α = 120°
cosα
Respuesta: D 22) Los puntos ABCDEF son los vértices de un hexágono regular a partir del vértice "A" se trazan los vectores AB, AC, AD, AE y AF. Calcular la magnitud de la resultante de dichos vectores. Si |AD| =60. a) 100
b) 120
c) 150
d) 180
e) 200
SOLUCIÓN R=a+b+c+d+e R= b+a + c+ d+e c
c
R = 3c R = 180
Respuesta: D 23) Si dos vectores tienen igual magnitud y forman entre sí un ángulo θ. Hallar la relación entre las magnitudes de la suma y diferencia vectorial de ellos. a) 2Cos(θ/2)
b) 2Sen(θ /2)
d) Ctg(θ /2)
e) Csc(θ /2)
SOLUCIÓN
c) 2Tg(θ/2)
A 2 +A 2 +2 A A cosθ
S = D
A 2 +A 2 -2 A A cosθ
S = D
2A 2 +2A 2cosθ
S = D
2A 2 (1+cosθ)
S = D
2A 2
(1+cosθ)
2A 2
(1-cosθ)
S = D
(1+cosθ)
2A 2 -2A 2cosθ 2A 2 (1-cosθ)
(1-cosθ) S θ = Ctg D 2 Respuesta: D 24) Dos fuerzas "A" y "B" actúan en un punto. La magnitud de la resultante "R" es igual al de "A" y es perpendicular a ella. Si A=R=10N, encontrar la magnitud de "B". b) 10 2 N
a) 10 N
c) 10 3 N
d) 10 7 N
e) 5 N
SOLUCIÓN
R=
A + B + 2ABcosα 2
102 = 102 + B + 2 10 Bcosα -2 10 Bcosα = B cosα = -
B
2
2
20B B cosα = 20 B 10 2 Respuesta: B
25) Hallar el ángulo que forman entre sí dos fuerzas de magnitudes iguales, sabiendo que la resultante de ellas tiene una magnitud de
3
veces el de una de ellas. a) 60°
b) 45°
c) 30°
d) 37°
e) 53°
SOLUCIÓN 2
R=
A 3
2
A + A + 2AAcosα 2 2 = 2A + 2A cosα
2
2
2
2
2
3A 2A + 2A cosα 2
2
2A cosα 3A 2A cosα
A
2
2
2A 1 cosα 2 α 600
2
Respuesta: A 26) Al sumar un vector A de magnitud 30 con otro vector B, que forman con A 53°, se observa que la resultante forma 37° con B. Hallar la magnitud de B. a) 12
b) 10
c) 14
SOLUCIÓN
R A B = = Senθ Senα senβ R A = Sen53° Sen37° R 30 = 4 3 5 5 5 30 5R = 4 3 R = 40
d) 16
e) 15
2
2
R 2 = A + B + 2ABcos53° 2 3 402 = 302 + B + 2 30 B 5 2 3 1600 900 B + 2 30 B 5 2
B + 36B 700 0 B 14
Respuesta: C 27) Determinar la magnitud de la mínima resultante que se puede obtener con dos vectores que forman 143° entre sí, sabiendo que uno de los vectores tiene magnitud 60. a) 45
b) 36
c) 24
d) 12
e) 48
SOLUCIÓN
R=
2
2
A + B + 2ABcosα 2
R = 602 + B + 2 60 Bcos143° 2 4 R = 602 + B + 2 60 B 5 2
R = 3600 + B - 96B 2
B = 96B B = 96
Rmin = 96 - 60 Rmin = 36 Respuesta: A 28) El hexágono de 6 cm de lado es regular. Determine la magnitud del vector resultante de los vectores, si M, N y O son puntos medios y Tgα= 3 / 5.
a) 7
b) 2
c) 3
d) 1
e) 5
SOLUCIÓN Respuesta: A 29) Dos vectores Ay B, de igual módulo, forman entre sí un ángulo de 128°. Determinar la medida del ángulo que forman el vector diferencia (A-B) y el vector B. a) 26°
b) 52°
c) 104°
d) 154°
e) 120°
30) Las magnitudes de dos vectores X; Z y la magnitud de su diferencia D, X
=
Z
verifican la siguiente relación: 20 21
=
D 13 . Hallar la medida del
ángulo que forman los vectores X y Z. a) 37°
b) 53°
c) 16°
d) 74°
e) 18°
SOLUCIÓN Respuesta: A 31) Hallar la magnitud de la diferencia de 2 vectores sabiendo que sus módulos son 13 y 19; y la magnitud de su resultante es 24. a) 19
b) 20
c) 22
d) 23
e) 24
SOLUCIÓN Respuesta: A 32) Dado el vector A de magnitud 20. Hallar los módulos ………………..L1 y L2.
a) 7 y 15
b) 15 y 25
c) 12 y 16
d) 7 y 24
e) 9 y 12
33) Una fuerza de 300 N actúa sobre una caja en el punto "O" como se indica. Determine la magnitud de las componentes de la fuerza a lo largo de las direcciones OA y OC.
a) 300 y 0 N
b) 500 y 400 N
d) 500 y 600 N
e) 200 y 400 N
c) 400 y 700 N
34) El vector de magnitud 5 que se muestra es la resultante de otros dos; uno de los cuales está en dirección de la recta AB y se sabe que el otro es horizontal de magnitud 6. Hallar el valor de la componente sobre AB.
a) 5
3 /2
b) 3 + 2
3
c) 3( 3 -4)
d) 4 + 3
3
e) 8
35) Si cada cuadradito es de lado "l", en el siguiente diagrama. Hallar la magnitud de la resultante del sistema de vectores mostrado.
a) 5
b) 3
3
c) 6
d) 7
e) 2
36) Hallar la magnitud del vector resultante de los vectores a , b , c y d ; si: | a | =300, | b | =100, | c | =340 y | d |=20 2 .
a) 380
b) 500
c) 450
d) 280 2
e) 452,25
37) Hallar la magnitud de la resultante de los vectores mostrados. Si: | a | =10, | b | =20, | c | =30 y | d | =40.
a) 50 2
b) 35 2
c) 7 2
d) 7 5
e) 35
5
38) Encuentre el equilibrante del siguiente sistema de fuerzas coplanares: 300N a 0°; 400N a 30°; 400N a 150°. a) 173 N a 240°
b) 450 N a 180°
c) 500 N a 53°
d) 500 N a 233°
e) 141 N a 225°
39) Hallar el vector D, si la resultante del sistema de vectores mostrados es nula.
a) 8 i -2 j (N)
b) 2 i -8 j
c) 7 i - j
d) 3 i - j
e) 3 i -4 j
40) En el sistema de vectores, el vector resultante tiene una magnitud de 10u y una dirección de 37°. Determinar el vector C.
a) 13 i -16 j (u)
b) 15 i -4 j
c) 11 i -2 j
d) 18 i +3 j e) 18 i - j
41) En la figura se muestra a los vectores A y B . Hallar: A-B.
a) -2 i -5 j
b) 2 i +5 j
c) 4 i -3 j
d) -4 i +3 j
e) -6 i -5 j
42) El vector resultante del sistema es R = -8 i - 6 j . Hallar el vector A.
a) 3 i +4 j
b) 5 i -8 j
c) 3 i -7 j
d) 3 i -7 j
e) 4 i -11 j
43) Determinar la magnitud del vector resultante del siguiente sistema de vectores, si: |A| =10 y |B| =2 2
a) 3 2
b) 6 2
c) 5 2
d) 8 2
e) 7 2
44) Si: A-2B - C = 10 i +5 j A + B + C= -4 i + 3 j Hallar: | A - 5B - 3C| a) 7
b) 13
c) 24
d) 25
e) 30
45) Sean los vectores: A = 3 i -4 j , B = 2A y C = 2 i -5 j . Hallar: | A- B+ C|. a) 2 2
b)
2
c) 3
d) 4 3
e) 6
46) La resultante de los vectores P y Q tiene una magnitud de 624 N. Hallar |P| y |Q|.
a) 550 N y 280 N
b) 630 N y 380 N
d) 720 N y 330 N
e) 630 N y 330 N
c) 650 N y 320 N
47) Si la resultante del sistema es cero. Determinar la medida del ángulo "θ".
a) 40°
b) 20°
c) 30°
d) 60°
e) 37°
48) Si la resultante de los vectores mostrados en la figura tiene una dirección de 60° con respecto de la vertical (eje Y). Determinar el ángulo "a " entre dichos vectores.
a) 60° b) 90° c) 120° d) 150° e) 143°
49) Hallar el ángulo "θ" para que la resultante de los vectores indicados sea la menor posible. Si |A| =15 y |B| =20.
a) 30°
b) 60°
c) 45°
d) 53°
e) 15°
50) Se tiene un vector cuya magnitud es 15. Halle la magnitud de otro vector que forme con el primero 37° de tal forma que la diferencia de ellos sea mínima. a) 9
b) 12
c) 15
d) 16
e) 10
51) En el diagrama α =37°. Determinar la medida del ángulo que forma la resultante con el eje X.
a) 0°
b) 30°
c) 45°
d) 60°
e) 90°
52) Qué vector se debe sumar al vector "A" cuya magnitud es 30 y dirección 60°, para dar como resultante el vector nulo. a)
Valor 30 y dirección 30°.
b)
Valor 30 y dirección 120°.
c)
Valor 30 y dirección 150°.
d)
Valor 30 y dirección 240°.
e)
No existe tal vector.
53) Hallar la medida de a para que la resultante del sistema sea igual a cero, si: |P|=|S|.
a) 75°
b) 60°
c) 30°
d) 15°
e) 62,5°
54) En el diagrama mostrado, determinar la magnitud de la resultante, si: Tg a =a/b.
a) 0
b) a
c) 2ª
d) 3a
e) 4a
55) En el siguiente sistema, hallar el valor de a para obtener una resultante máxima.
a) 0°
b) 10°
c) 30°
d) 40°
e) 50°
56) En el sistema que se muestra, determinar la magnitud de la resultante.
a) 5 10
b) 8 10 c) 10 10
d) 18 10
e) 25 10
57) Calcular la magnitud del vector resultante.
a) 5 m
b) 10 m
c) 8 m
d) 15 m
e) 12 m
58) Encontrar una expresión vectorial para la fuerza F, sabiendo que su magnitud es 30N.
a) 10( i - j + k )
b) 10(2 i -2 j + k )
d) 10(2 i - j + k )
e) 10( i - j +2 k )
c) 10( i -2 j + k )
59) Hallar la resultante del vector a + b.
a) (5,-1,10)
b) (3,1,2)
c) (4,1,13)
d) (5,3,2)
e) (3,-4,5)
60) Expresar el vector "x" en función de los vectores a y b.
a)
2a+b 3
a) 45
b) b) 36
SOLUCIÓN
a+2b 3
c) 24
c)
a+b 3
d) 12
d)
2a-b 3
e) 48
e)
a-2b 3
a+y=x y=x-a x + 2y = b b-x 2 b-x x-a= 2 2x - 2a = b - x y=
2x + x = 2a + b x=
2a + b 3
Respuesta: A Claves 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.
c c e e c b d b e c e e a c b c b c b d d d d b a
31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55.
c a b d a b a d c e a e b d b e a c d b c d c a b
26. 27. 28. 29. 30.
c b a d a
56. 57. 58. 59. 60.
d e b c a
