EJERCICIOS: PROGRAMACIÓN DINÁMICA PROBABILÍSTICA
1. Una urna para sorteo contiene 5 bolas, 4 verdes y una roja. Un candidato del auditorio gana 160 um por participar y el presentador le explica que puede quedarse con el dinero y desistir del juego o participar en el sorteo y elegir una bola de la urna. Si acepta, el participante pierde el dinero que ya gano si saca la bola roja, o gana 50% más sobre el valor de lo que ya tiene si sale verde. En este último caso, el participante decidirá de nuevo entre desistir o continuar con las mismas condiciones. La bola que ya extrajo no se repone Este proceso puede repetirse varias veces. Represente el diagrama del problema del candidato y determine la mejor decisión política política para él en cada momento que debe tomar una decisión. 2. Un proyecto de investigación sobre cierto problema de ingeniería tiene 3 equipos de investigadores que buscan resolver el problema desde 3 puntos de vista diferentes. Se estima que en la circunstancias actuales las probabilidades que los equipos 1, 2 y 3 fracasen es de: 0.40, 0.60 y 0.80 respectivamente. El objetivo es minimizar la probabilidad de fracaso de los 3 equipos y por ello se asignaran al proyecto 2 nuevos científicos de alto nivel. Según la asignación de los equipos, la probabilidad de fracaso cambia según lo indicado en la tabla siguiente:
Número de de científicos asignados Probabilidad de fracaso fracaso de los equipos equipos 1 2 3 0 0.40 1 0.20 2 0.15 ¿Cómo deben asignarse los 2 nuevos científicos para minimizar la
0.60 0.80 0.40 0.50 0.20 0.30 suma de las probabilidades de que los 3
equipos fracasen? 3. Un proyecto espacial del gobierno, lleva a cabo una investigación sobre cierto problema de ingeniería que debe resolverse antes de que seres humanos puedan viajar a salvo a Marte. Por el momento, cuatro equipos de investigación tratan de resolver el problema desde tres puntos de vista diferentes. Se estima que en las circunstancias actuales, la probabilidad de que los respectivos equipos - llámense 1, 2, 3 y 4 fracasen es de de 0,60, 0,40, 0,40, 0,80 y 0,70 respectivamente. respectivamente. Así, la probabilidad probabilidad actual actual de que los cuatro cuatro equipos fracasen es (0,6*0,4*0,8*0,7)= 0,1344. Como el objetivo es minimizar la probabilidad de fracaso, se asignarán al proyecto dos científicos más, de alto nivel. La tabla siguiente da la probabilidad probabilidad estimada, de que los equipos equipos respectivos fracasen si se les asigna 0, 1, o 2 científicos para colaborar con ellos. Sólo se consideran números enteros de científicos puesto que cada uno de ellos deberá dedicar su atención completa completa a su equipo ¿Cómo asignaría Ud. a los científicos adicionales de manera de minimizar la probabilidad de que los cuatro equipos fracasen? PROBABILIDAD DE FRACASO
EQUIPO 1
2
3
4
0
0.60
0.40
0.80
0.7
1
0.45
0.25
0.50
0.45
2
0.30
0.15
0.25
0.20
4. Un apostador desea saber cómo debería distribuir su apuesta en un determinado juego para ganar $ 100.000 efectuando tres jugadas. El juego consiste en apostar cualquier número de unidades de $20.000 y se puede ganar o perder lo apostado. El cree que la probabilidad de ganar es del 40% y la de perder es de un 60%. Si inicia el juego con $ 40.000. ¿ Cómo debería apostar su dinero para obtener los $ 100.000 de ganancia, maximizando la probabilidad de cumplir con su objetivo. 5. Una persona tiene $ 2.000 disponibles para invertir y se le presentan dos oportunidades, A y B. Ambas oportunidades son riesgosas, la tabla siguiente muestra los posibles rendimientos anuales por cada $ 1.000 invertidos y las probabilidades de obtener estos rendimientos. RENDIMIENTO PROBABILIDAD A
B
3.000
0,4
-1.000
0,6
2.000
0,2
1.000
0,8
Determínese una estrategia de inversión para los próximos cuatro años que maximice las cantidades finales esperadas, si existe la restricción de que cada año se han de invertir unidades múltiplos $ 1.000. 6. Un país productor de café desea establecer una política de exportación para el presente año y los años venideros, con base en los siguientes datos: los contratos de exportación se forman al inicio de cada año, en números enteros de millones de toneladas, si el comprador paga al distribuidor al finalizar la exportación al concluir el mismo año. El precio de venta se establece en $140000 por cada millón de tonelada que se exporta. El producto excedente puede almacenarse, pues no es perecedero. Si el país no dispone de un stock de café suficiente para la exportación al final del año, deberá comprar el faltante de otro país producto a un costo de oportunidad de $185000 por cada millón de toneladas (no por fuerza en un numero entero de millones de toneladas), para honrar los términos del contrato de exportación, operando en este caso, con un perjuicio. La producción interna de café depende de las condiciones climáticas y de los estímulos futuros, en riesgo de acuerdo con la distribución de probabilidad de la siguiente tabla:
Año
Producción en millones de toneladas 1.5 2 2.5 3
0 1 2 3
0.30 0.25 0.20 0.20
0.25 0.30 0.30 0.25
0.25 0.30 0.35 0.30
0.20 0.15 0.15 0.25
7. Una oficina de venta de ropa puede encontrase cada año, en los siguientes estados: venta baja, venta media, venta alta y puede pasar de un estado. La oficina puede elegir cada año si invierte en publicidad o no, inversión que tiende a aumentar la probabilidad de conseguir un mejor estado de ventas. Esta inversión representa una salida de caja de $1000, si se realizara. En la siguiente tabla se presentan las posibles transiciones entre diversos estados:
Estado Año anterior Bajo
Estados y probabilidades de transición Sin invertir en publicidad Invirtiendo en publicidad Bajo Medio Alto Bajo Medio Alto 0.70
0.20
0.10
0.30
0.55
0.15
Medio Alto
0.20 0.60 0.20 0.15 0.30 0.55 0.10 0.30 0.60 0.00 0.20 0.80 Considere como punto de partida, al inicio del primer año, que la oficina de venta se encuentra en un estado medio de ventas. El beneficio anual según el estado, se presenta a continuación:
Estado Bajo Medio Alto
Beneficio 600 1300 1900
Se quiere establecer una política de inversiones en publicidad durante los próximos 3 años. Al finalizar este periodo, la oficina se venderá y el precio dependerá del estado en el que se encuentre: $2000 si es bajo; $2500 si es medio y $3000 si es alto. La mínima tasa de interés es de 15% al año. Formule la política de inversiones en publicidad. 8. Un inversionista dispone de $ 3.000.000 para invertir en una oportunidad de negocios redituable a 1 año. La oportunidad es arriesgada en el sentido que la utilidad puede ser del: 40 %, 10% y -60% con probabilidades del 20 %, 30% y 50% respectivamente (estimadas con base a resultados pasados). Determine una estrategia de inversión para los próximos tres años que le permita obtener una utilidad $ 2.500.000 maximizando la probabilidad de cumplir con el objetivo, las inversiones deben efectuarse en unidades enteras de $ 1.000.000. 9. Una compañía de computadoras tiene la capacidad de fabricar hasta cuatro computadoras cada semana. La demanda de computadoras es variable y se comporta según la siguiente distribución de probabilidades. DEMANDA SEMANA
0
1
2
3
4
5
1
0.0 0.1 0.2 0.5 0.2 0.0
2
0.0 0.1 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 0.0
3
Los costos de producción son una función del número de computadoras fabricadas y se dan a continuación: (en miles de US$). UNIDADES PRODUCIDAS
COSTOS
0
1
2
3
4
0
18
30
42
56
Las computadoras pueden entregarse a los clientes al concluir la semana de fabricación o pueden almacenarse para entrega futura, con un costo semanal de US$ 4.000 por computadora. Las órdenes que no se entregan durante la semana en que se efectúan, tienen un costo de US$ 2.000 por computadora y deben cubrirse tan pronto como sea posible durante la siguiente semana. ¿Cuántas computadoras deberá producir la compañía en la próximas tres semanas para minimizar el costo total esperado y cubrir la demanda, sí el inventario actual es cero?
