Ejerci Eje rcicio cioss - Inducci Inducci´ ´ on on matem´ matem´atica atica Prof. Prof . Edwin Edwi n Fl´orez orez G. Utilice Inducci´on on matem´atica atica para demostrar que la f´ ormula ormula dada se cumple para toda n Nk , los naturales iniciando desde cierto k. Determine el valor de k.
∈
1.
Los de empez pezar 2
(2n − 1) = n . · · · + (2n 2. 2 + 4 + 6 + 8 + · · · + 2n 2n = n(n + 1). 1. 1 + 3 + 5 + 7 +
3. 2 + 3 + 5 + 8 + 4.
n
1 2
<
n(3n (3n + 1) · · · + (3n (3n − 1) = . 2
1 . n
5. a + (a (a + d) + (a ( a + 2d 2 d) + 6. 2n
(a + (n (n − 1)d 1)d) = · · · + (a < n! donde n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1)n 1)n.
·
·
8. 12 + 32 + 52
9. 12 + 22 + 32 + 3
3
3
2
1)(n + 2) . · · · + n(n − 1) = n(n + 1)(n 3 (2n − 1)(2n 1)(2n + 1) n(2n + · · · + (2n (2n − 1) = .
7. 1 2 + 2 3 + 3 4 +
·
n[2a+(n−1)d]
10. 1 + 2 + 3 +
2
3
2
··· + n ···
=
n(n + 1)(2n 1)(2n + 1) . 6
n(n + 1) + n3 = 2 1
2
.
.
4
4
n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n +n = 30
4
4
11. 1 + 2 + 3 +
·· · 12. 1 + 2 + 4 + 8 + ·· · + 2 = 2 − 1. 3 − 1. 13. 1 + 3 + 9 + 27 + ··· + 3 = 2 n+1
n
n+1
n
14. 1 +
1 1 + + 2 4
15. 1
1 1 + 3 9
16.
− 1
22
−1
+
··· + 21
n
−···+ 1
32
−1
+
=2
− 21 . n
− − − 1 3n
1 42
− 1) .
=
3 1 4
1
3n+1
.
1 3 1 1 + = − . · ·· − (n + 1) − 1 4 2(n + 1) 2(n + 1) −1 +
2
17. n2 + n es par. 18. n3
− n es divisible entre 6.
19. n(n2 + 5) es divisible entre 6.
2.
Los intermedios
n2 n 1. n < + 2. 12
−
2. n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 es divisible entre 9. 3. x + y es un factor de xn + y n . 4. 3n + 25 < 3n . 5. sen nx
| ≤ n| sen x| para todo x. 6. x − y es un factor de x − y . 7. Demuestre que si 2k − 1 es un entero par para alg´ un entero k, entonces 2(k + 1) − 1 = 2k + 2 − 1 = 2k + 1 es tambi´en un entero par. ¿Puede |
n
n
obtener una conclusi´on a partir de la demostraci´ on?
8. La suma de las medidas de los a´ngulos interiores de un pol´ıgono convexo de n lados (sin hoyos ni aboyaduras) es (n 2)π.
−
2
9. El n´ umero de diagonales de un pol´ıgono convexo de n lados es 10.
1 1 1 + + + n+1 n+2 n+3
11.
− − − ··· − 1
1 4
1 9
1
1
√
3
.
··· + 2n1 > 35 .
1 9
1
1 n2
=
n+1 . 2n
12. Sea f 0 = 0, f 1 = 1 y f n+2 = f n+1 + f n para n Fibonacci). Entonces 1 f n = 5
n(n−3)
√ 1+ 5 2
≥ 0 (la sucesi´on de
−√ n
n
1
−
5
2
13. Sea a0 = 0, a1 = 1 y an+2 = (an+1 + an )/2 para n
.
≥ 0. Entonces
n
− −
2 an = 1 3
3.
1 2
Los interesantes
1. Demuestre que existen exactamente 2n subconjuntos de un conjunto que contiene n elementos.
√2 es un n´umero irracional para n ≥ 3. √ 3. Demuestre que n se le puede asignar un segmento construido con 2. Demuestre que
n
regla y comp´as. 4. ¿Cu´ales el error en la siguiente demostraci´on? Teorema: Todos los caballos tienen el mismo color.
on ”Todos los caballos de un conDemostraci´ on: Sea P n la proposici´ junto de n caballos son del mismo color”. a )
P 1 es claramente verdadera.
b)
Supongamos que P k es verdadera. Veamos que P k+1 tambi´en es verdadera. Sean c1 , c2 , c3 ,...,ck+1 los k + 1 caballos en un con junto de k + 1 caballos. Consideremos el conjunto de k caballos c1 , c2 , c3 ,...,ck .
{
}
3
Por hip´ otesis de inducci´ o n todos estos caballos son del mismo color. En el conjunto anterior reemplacemos ck por ck+1 . Luego el conjunto resultante c1 , c2 , c3 ,...,ck−1 , ck+1 de k caballos, por hip´otesis de inducci´on, todos son del mismo color; como c1 y ck al igual que ck+1 y c1 son de igual color, todos los k + 1 caballos son del mismo color. Luego P k+1 es verdadera y por el principio de inducci´ on se sigue que todos los caballos son del mismo color.
{
}
5. Demostrar que n rectas en el plano, tales que dos cualesquiera de ellas no son paralelas y tres cualesquiera de ellas no tienen un punto en com´ un, determinan un mapa coloreable con dos colores. 6. Probar que n rectas en el plano, tales que dos cualesquiera de ellas no son paralelas y tres cualesquiera de ellas no tienen un punto en com´ un, 2 determinan (n + n + 2)/2 regiones diferentes en el plano.
4
