www.elsolucionario.net SECCIÓN 8.2
12.
°
a
30
13.
125
10
°
a
a
°
40
°
a
5
b
°
677 10
5
°
40
°
°
c
16.
2
100
7
45
c
15.
14.
Ley de los senos
a
6 100
30
°
°
c
c
En los problemas 17-24, resuelva cada triángulo.
17.
a
=
40°,
b
=
20°,
a =
2
18.
a
=
50°,
20.
a
=
70°,
b
=
60°,
c =
4
21.
a
=
110°, g
23.
a
=
40°,
b
=
40°,
c =
2
24.
b
=
20°,
g
g
=
20°,
= =
a =
30°, 70°,
c = a =
3 3
19.
b
=
70°, g
=
10°,
22.
b
=
10°, g
=
100°,
5
b =
b =
2
1
En los problemas 25-36 se dan dos lados y un ángulo. ángulo. Determine si la información dada tiene como resultado un triángulo, dos triángulos o ninguno. Resuelva los triángulos que se obtengan.
25.
a =
3,
b =
2, a
=
50°
26.
b =
4,
c =
3,
b
=
40°
27.
b =
5,
c =
3,
b
=
100°
28.
a =
2,
c =
1, a
=
120°
29.
a =
4,
b =
5, a
=
60°
30.
b =
2,
c =
3,
b
=
40°
31.
b =
4,
c =
6,
b
=
20°
32.
a =
3,
b =
7, a
=
70°
33.
a =
2,
c =
1, g
=
100°
34.
b =
4,
c =
5,
b
=
95°
35.
a =
2,
c =
1, g
=
25°
36.
b =
4,
c =
5,
=
40°
37. Res Rescat catee en el mar La estación de guardacostas Able Able se encuentra 150 150 millas al sur de la estación Baker. Un barco envía una llamada de auxilio que reciben las estaciones.. La llamada a Able indica ciones indica que el barco se localiza en N55°E; la llamada a Baker indica que el barco está en S60°E. a) ¿A qué distanci distancia a está cada estació estación n del barco? barco? b) Si un helicóptero helicóptero capaz de de volar a 200 200 millas por hora hora se despacha de la estación estación más cercana, cercana, ¿cuánto tardará en llegar al barco?
b
ACB CB mide 50°. pies a C y ve que el ángulo A 50°. ¿Cuál es la distancia entre A y B?
B
A
50
°
40
°
C
100 pies
N
Baker
O
E S
60
°
150 mi Able 55
°
39. Long Longitud itud de un telefé teleférico rico Consulte la figura. Para enencontrar la longitud del cable para un teleférico para esquiadores propuesto de A a B, un topógrafo topógrafo mide mide 25° para el ángulo DAB y luego camina una distancia de ACB CB. ¿Cuá 1000 pies a C y mide 15° 15° para el ángulo A ¿Cuáll es la la distancia entre A y B? B
38. Topo opogra grafía fía Consulte la figura. Para encontrar encontrar la distancia de la casa A a la casa B, un topógrafo ve ve que el ángulo BAC mide 40° y luego camina una una distancia de 100
D
25
°
A
15
°
1000 pies
C
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678
CAPÍTULO 8
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
40. Altura de una montaña Utilice la ilustración del problema 39 para encontrar la altura BD de la montaña en B.
41. Altura de un avión Dos observadores que están separados por 1000 pies detectan un avión. Cuando el avión pasa sobre la línea que los une, cada uno hace una observación del ángulo de elevación al avión, como se indica en la figura. ¿A qué altura va el avión?
40
35
°
44. Tiempo perdido por un error de navegación Al volar de la ciudad A a la ciudad B, un avión toma una dirección con un error de 10°, como se ve en la figura. Después de recorrer 50 millas, el piloto corrige la dirección en el punto C y vuela otras 70 millas. Si la velocidad constante del avión era 250 millas por hora, ¿cuanto tiempo se perdió debido al error?
°
1000 pies
A
a) Si la distancia entre las ciudades A y C es de 300 millas, ¿cuál es la distancia entre las ciudades B y C ? b) ¿Qué ángulo debe dar el piloto para regresar de la ciudad C a la ciudad A?
B
42. Altura de un puente sobre la barranca Royal Gorge El puente más alto del mundo es el puente que cruza la barranca Royal Gorge del río Arkansas en el estado de Colorado. Se toman observaciones del mismo punto a nivel del agua desde cada lado del puente de 880 pies de largo, como se indica en la figura. ¿Cuál es la altura del puente?
10
°
70 mi 50 mi
A
B
C
FUENTE: Guinness Book of World Records.
45. Inclinación de la torre inclinada de Pisa La famosa to-
880 pies
rre inclinada de Pisa tenía originalmente 184.5 pies de altura.* A un distancia de 123 pies de la base de la torre, el ángulo de elevación a la punta de la torre es de 60°. Encuentre el ángulo CAB indicado en la figura. Además, encuentre la distancia perpendicular de C a AB.
65.5
°
69.2
°
h
C
43. Navegación Un avión vuela de la ciudad A a la ciudad
184.5 pies
B, una distancia de 150 millas, y luego vira un ángulo de 40° para ir hacia C , como se muestra en la figura.
60 C
300 mi 40
A
123 pies
°
B
°
A
*
150 mi
B
46. Cigüeñal de un auto En cierto automóvil, el cigüeñal tiene 3 pulgadas de largo y el eje que lo conecta tiene 9 pulgadas de largo (vea la figura). En el momento en que
En su informe de 1986 sobre la fragilidad de la torre de siete siglos, los científicos en Pisa, Italia, dicen que la torre inclinada de Pisa aumentó 1 milímetro, o 0.04 pulgadas, su inclinación. Esto se acerca al promedio anual, aunque el aumento había disminuido a cerca de la mitad en los últimos 2 años. (FUENTE: United Press International, 29 de junio de 1986). PISA, ITALIA. Septiembre de 1995. La torre inclinada de Pisa se ha desplazado, poniendo en peligro años de trabajo de preservación para estabilizarla, dijeron el domingo los periódicos. La torre construida en subsuelo movedizo, entre 1174 y 1350 como campanario de la catedral cercana, recientemente se movió 0.07 pulgadas en una noche. Actualización La torre, que había estado cerrada al turismo desde 1990, se reabrió en diciembre de 2001, después de reforzar su base.
www.elsolucionario.net SECCIÓN 8.2 el ángulo OPA tiene 15°, ¿a qué distancia está el pistón (P ) del centro (O) del cigüeñal? A
9 pulg 3 pulg O
Ley de los senos
679
49. Diseño de un toldo Un toldo que cubre una puerta corrediza que tiene 88 pulgadas de altura forma un ángulo de 50° con la pared. El propósito del toldo es evitar que entre el sol a la casa cuando el ángulo de elevación del sol es mayor que 65°.Vea la figura. Encuentre la longitud L del toldo.
P
15
°
47. Construcción de una carretera Se está construyendo
L
50
una carretera cuya dirección principal es norte-sur a lo largo de la costa oeste de Florida. Cerca de Naples, una bahía obstruye la trayectoria recta. Como el costo de un puente es prohibitivo, los ingenieros deciden darle la vuelta. La ilustración muestra la trayectoria que decidieron seguir y las medidas tomadas. ¿Cuál es la longitud de la carretera necesaria para dar la vuelta a la bahía?
88
65 Escalón
50. Cálculo de distancias Un guardabosques camina por Bahía Clam
140
°
Océano
1 – 8
2 mi
una vereda inclinada 5° respecto de la horizontal directamente hacia una torre de observación de incendios de 100 pies de altura. El ángulo de elevación de la vereda a la punta de la torre es de 40°. ¿A qué distancia está en este momento el guardabosques de la torre?
mi
100 pies
Bahía Pelícano
vereda 40
1 – 8
°
horizontal
mi
5
°
51. La gran pirámide de Keops Una de las siete maravillas del 135
°
41
Carretera U.S. 41
48. Distancia en el mar El navegante de un barco en el mar detecta dos faros en una costa recta, sabiendo que hay 3 millas entre ellos. Determine que los ángulos formados entre las dos líneas de observación de los faros y la línea del barco directamente a la costa son de 15° y 35°, respectivamente. Vea la ilustración.
mundo originales, la gran pirámide de Keops, fue construida alrededor de 2580 aC. Su altura original era de 480 pies 11 pulgadas,pero debido a la pérdida de las piedras más altas, ahora es más baja. Encuentre la altura actual de la gran pirámide usando la información dada en la ilustración. FUENTE: Guinness Book of World Records.
a) ¿Cuál es la distancia del barco al faro A? b) ¿Cuál es la distancia del barco al faro B? c) ¿Cuál es la distancia del barco a la costa?
46.27
°
40.3
°
A 100 pies 15 3 mi
°
200 pies 35
°
Océano B
52. Altura de un avión Dos sensores se colocan a 700 pies uno de otro a lo largo de la trayectoria a un pequeño aeropuerto. Cuando un avión se acerca al aeropuerto, el ángulo de elevación del primer sensor al avión es de 20°, y del segundo sensor al avión es de 15°. Determine la altura del avión en este momento.
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680
CAPÍTULO 8
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
53. Mercurio La distancia aproximada del Sol a la Tierra es de 149,600,000 kilómetros (km). La distancia aproximada del Sol a Mercurio es de 57,910,000 km. El ángulo de elongación es al ángulo formado entre la línea de visión de la Tierra al Sol y la línea de visión de la Tierra a Mercurio. Vea la figura. Suponga que el ángulo de elongación de Mercurio es de 15°. Use esta información para encontrar las distancias posibles entre la Tierra y Mercurio. Mercurio
Sol Mercurio
a + b c
c 12 1 2d 1 sen a b 2
cos =
a
-
b
g
Derive esta fórmula. [Sugerencia: Use la ley de los senos y después la fórmula de suma a producto. Observe que esta fórmula incluye las seis partes de un triángulo. Como resultado, algunas veces se usa para verificar la solución de un triángulo]. 59. Fórmula de Mollweide Otra forma de la fórmula de Mollweide es 1 a - b sen 2 a - b
c 1 2d 1 cos a b 2
=
c
g
Derive esta fórmula. 60. Para cualquier triángulo, derive la fórmula
Tierra
a = b cos g + c cos b
54. Venus La distancia aproximada del Sol a la Tierra es de 149,600,000 km. La distancia aproximada del Sol a Venus es de 108,200,000 km. El ángulo de elongación es el ángulo formado entre la línea de visión de la Tierra al Sol y la línea de visión de la Tierra a Venus. Suponga que el ángulo de elongación para Venus es de 10°. Use esta información para encontrar las distancias posibles entre la Tierra y Venus. 55. Arquitectura del paisaje Pat necesita determinar la altura de un árbol antes de cortarlo para estar segura de que no caerá sobre una cerca.El ángulo de elevación del árbol desde una posición en un camino plano alejada del árbol es de 30°, y desde una segunda posición 40 pies más lejos en el mismo camino es de 20°. ¿Cuál es la altura del árbol? 56. Construcción Una rampa de carga de 10 pies de longitud, que forma un ángulo de 18° con la horizontal,va a ser reemplazada por una que forme un ángulo de 12° con la horizontal. ¿Qué tan larga debe ser la nueva rampa? 57. Altura de un helicóptero Dos observadores miden simultáneamente el ángulo de elevación de un helicóptero. Un ángulo mide 25°, el otro 40° (vea la figura). Si los observadores están separados 100 pies y el helicóptero está sobre la línea que los une, ¿a qué altura está el helicóptero?
[Sugerencia: Utilice el hecho de que sen sen(180° )] 61. Ley de las tangentes Para cualquier triángulo, derive la ley de las tangentes. a - b a + b
c 12 1 1 tan c 1 2 tan
=
a
-
b
a
+
b
2d 2d
[Sugerencia: Use la fórmula de Mollweide]. 62. Triángulo circunscrito Demuestre que sen a a
=
sen b b
=
sen g c
=
1 2r
donde r es el radio del círculo que circunscribe al triángulo ABC cuyos lados son a, b y c, como se muestra en la figura. [Sugerencia: Dibuje el diámetro AB ¿ . Entonces ángulo ABC ángulo AB ¿ C , y ángulo ACB ¿ = 90°].
40
35
°
°
1000 pies
A
B
63. Establezca tres problemas que incluyan triángulos oblicuos. Uno debe dar como resultado un triángulo, el segundo dos triángulos y el tercero ninguno. 25
40
°
°
100 pies
64. ¿Qué hace primero si le piden que resuelva un triángulo y los datos son un lado y dos ángulos?
65. ¿Qué hacer primero si le piden que resuelva un triángulo y los datos son un lado y dos ángulos?
58. Fórmula de Mollweide Para cualquier triángulo, la fórmula de Mollweide (en honor de Karl Mollweide, 1774-1825) establece que
Respuestas a “¿Está preparado?” 1. sen a cos b
-
cos a sen b
2.
e6f p
3. Sin solución
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684
CAPÍTULO 8
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
ASPECTO HISTÓRICO La ley de los senos se conocía vagamente mucho antes de que Nasir Eddin (alrededor de 1250 dC) la estableciera en forma explícita. Ptolomeo (alrededor de 150 dC) estaba consciente de ella al usar una función de cuerda en lugar de la función seno. Pero fue establecida con claridad por primera vez en Europa por Regiomontanus, en su escrito en 1464. La ley de los cosenos aparece primero en el libro Ele- mentos (Libro II) de Euclides, pero en una forma disfrazada en la que los cuadrados de los lados de los triángulos se suman y un rectángulo que representa el término del coseno se resta. Así que todos los matemáticos la conocían debido a su f amilia-
ridad con el trabajo de Euclides. Una de las primeras formas modernas de la ley de los cosenos, la que encuentra el ángulo cuando se conocen los lados, fue establecida por François Viète (en 1593). La ley de las tangentes (vea el problema 61 de los ejercicios 8.2) se ha convertido en obsoleta. En el pasado se usó en lugar de la ley de los cosenos, porque ésta era muy inconveniente para los cálculos con logaritmos o reglas de cálculo. Sin embargo, la combinación de suma y multiplicación es ahora muy sencilla en una calculadora y la ley de las tangentes quedó archivada junto con la regla de cálculo.
8.3 Evalúe su comprensión “¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea las páginas indicadas entre paréntesis.
1. Escriba la fórmula para la distancia d de P1 P2
=
=
2. Si u es un ángulo agudo, resuelva la ecuación cos u
1x1 , y12 a
(pp. 639–642)
1x2 , y22. (p. 160)
=
2 2 2
.
Conceptos y vocabulario 6.
3. Si se dan tres lados de un triángulo, se usa la ley de __________ para resolver el triángulo.
Falso o verdadero: dados sólo los tres lados de un trián-
gulo se tiene información insuficiente para resolverlo. 7. Falso o verdadero: dados dos lados y el ángulo incluido, los primero que se hace para resolver el triángulo es usar la ley de los senos. 8. Falso o verdadero: un caso especial de la ley de los cosenos es el teorema de Pitágoras.
4. Si se da uno de los lados y dos ángulos de un triángulo, se usa la ley de __________ para resolver el triángulo. 5. Si se dan dos lados y el ángulo incluido de un triángulo, se usa la ley de __________ para resolver el triángulo.
Ejercicios En los problemas 9-16, resuelva cada triángulo.
9.
γ
2
10.
b
45°
a
α
3
β
α c
13.
b
γ
3
β
4
2 20°
95°
2
30°
4
12.
11.
γ
γ
α
6
5
5
β
α 8
14.
15.
16.
γ 8
9
5
β
γ
γ 4
3
6
α β
4
α
β
4
α 4
En los problemas 17-32, resuelva cada triángulo.
17. 20.
a
=
a
=
3, b 6, b
= =
4, g 4, g
= =
40° 60°
18. 21.
a
=
a
=
2, c 3, c
= =
1, 2,
b
=
b
=
10° 110°
19. 22.
b
=
b
=
1, c 4, c
= =
3, a 1, a
= =
80° 120°
www.elsolucionario.net SECCIÓN 8.3
23. 26. 29. 32.
a
=
a
=
a
=
a
=
2, 4, 5, 9,
b
=
b
=
b
=
b
=
2, 5, 8, 7,
g
=
c
=
c
=
c
=
24. 27. 30.
50° 3 9 10
a
=
a
=
a
=
3, c 2, b 4, b
= = =
2, b 2, c 3, c
33. Topografía Consulte la figura. Para encontrar la distancia de la casa en A a la casa en B, un topógrafo mide el ángulo ACB, cuya medida es de 70°, y luego camina la distancia a cada casa, 50 y 70 pies, respectivamente. ¿A qué distancia están las casas?
= = =
25. 28. 31.
90° 2 6
a
=
a
=
a
=
Ley de los cosenos
685
12, b = 13, c = 5 3, b = 3, c = 2 10, b = 8, c = 5
a) ¿Qué ángulo debe virar el capitán para ir directamente a Barbados? b) Una vez que da la vuelta,¿cuánto tiempo tarda en llegar a Barbados si conserva la misma velocidad de 15 nudos? Barbados
B A
600 20°
70 pies 50 pies 70°
San Juan
C
34. Navegación Un avión vuela de Fort Myers a Sarasota, una distancia de 150 millas, y luego da vuelta un ángulo de 50° y vuela a Orlando, una distancia de 100 millas (vea la figura). a) ¿Qué distancia hay entre Fort Myers y Orlando? b) ¿Qué ángulo debe virar el piloto en Orlando para regresar a Fort Myers?
36. Corrección del plan de vuelo Al intentar volar de Chicago a Louisville, una distancia de 330 millas, un piloto sin darse cuenta toma un curso equivocado con 10° de error, como se indica en la figura. a) Si el avión mantiene una velocidad promedio de 220 millas por hora y si el error en dirección se descubre 15 minutos después, ¿cuál es el ángulo que debe girar para dirigirse a Louisville. b) ¿Qué nueva velocidad debe mantener el piloto para que el tiempo total de viaje sea de 90 minutos?
Orlando 50° Sarasota
100 mi
330 mi
150 mi
Louisville
10° Chicago
Punto donde se detecta el error
37. Campo para ligas mayores de béisbol Un diamante de Ft. Myers
35. Para evitar una tormenta tropical Un crucero mantiene una velocidad promedio de 15 nudos por hora al ir de San Juan, Puerto Rico, a Barbados, Indias Occidentales, una distancia de 600 millas náuticas. Para evitar una tormenta tropical, el capitán sale de San Juan en una dirección 20° fuera del curso directo a Barbados. Conserva la velocidad de 15 nudos durante 10 horas, después de este tiempo la trayectoria a Barbados está libre de tormentas.
ligas mayores de béisbol en realidad es un cuadrado de 90 pies por lado. El montículo del pitcher está a 60.5 pies de la base del bateador (home) sobre la línea que une home con la segunda base. a) ¿A qué distancia está la primera base del montículo del pitcher ? b) ¿A qué distancia está la segunda base del montículo del pitcher ? c) Si un pitcher ve al home, ¿qué ángulo debe voltear para mirar la primera base?
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686
CAPÍTULO 8
Aplicaciones de las funciones trigonométricas
38. Campo de béisbol de liga pequeña Según las reglas ofi-
41. Estadio Wrigley, casa de los Cachorros de Chicago La
ciales de la liga pequeña de béisbol, el diamante es un cuadrado de 60 pies por lado. El montículo de pitcher se localiza a 46 pies de la base del bateador ( home) sobre la línea que la une con la segunda base. a) ¿A qué distancia está la primera base del montículo del pitcher ? b) ¿A qué distancia está la segunda base del montículo del pitcher ? c) Si un pitcher ve al home, ¿qué ángulo debe voltear para mirar la primera base?
distancia de la base de bateo a la barda, de frente por el centro del campo Wrigley es de 400 pies (vea la figura). ¿A qué distancia está ese punto de la barda de la tercera base?
400 pies
es de 500 pies y el terreno a un lado de l a torre tiene una pendiente hacia arriba a un ángulo de 10° (vea la figura). a) ¿Qué longitud debe tener el cable tensor si debe unir la punta de la torre y un punto en el lado con pendiente a 100 metros de la base de la torre? b) ¿Qué longitud debe tener un segundo cable tensor si debe conectar un punto en la mitad de la torre con otro a 100 pies en el lado plano?
500 pies
90 pies
90 ft
39. Longitud de un tensor La altura de una torre de radio
42. Liga pequeña de béisbol La distancia de la base de bateo a la barda, de frente por el centro en el campo de ligas pequeñas de Oak Lawn, es de 280 pies. ¿Cuál es la distancia de ese punto de la barda a la tercera base? [Sugerencia: La distancia entre las bases en la liga pequeña es de 60 pies]. 43. Ejes y pistones El eje OA (vea la figura) gira alrededor de un punto fijo O de manera que A se mueve en un círculo de radio r . Conectado al punto A está otro eje AB de longitud L 2r y el punto B está conectado a un pistón. Demuestre que la distancia x entre el punto O y el punto B está dada por x
=
r cos u
+
3 r2 cos2 u
+
L2
-
r2
donde u es el ángulo de rotación del eje OA. 100 pies
A
i e s 1 0 0 p 10°
L
r
B
O
40. Longitud de un tensor Una torre de radio de 500 pies de alto se localiza en una colina con una inclinación de 5° con la horizontal (vea la figura). ¿Cuáles deben ser las longitudes de dos cables tensores si tiene que fijarse a la punta de la torre y asegurarse en dos puntos a 100 pies directamente colina arriba y colina abajo de la base de la torre?
x
44. Geometría Demuestre que la longitud d de una cuerda en un círculo de radio r está dada por la fórmula d
=
2r sen
u
2 donde u es el ángulo central formado por los radios a los extremos de la cuerda (vea la figura). Use este resultado para derivar el hecho de que sen u 6 u, donde u 7 0 se mide en radianes.
500 pies
r
d
r
O
1 0 0 p i e s
1 0 0 p ie s
5°
45. Para cualquier triángulo, demuestre que cos
g
2
=
B
s1s
-
ab
c2
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690
CAPÍTULO 8 Aplicaciones de las funciones trigonométricas
ASPECTO HISTÓRICO La fórmula de Herón se debe a Herón de Alejandría (primer siglo d.C.), quien, además de sus talentos matemáticos, tenía muchas habilidades de ingeniería. En varios templos sus dispositivos mecánicos produjeron efectos que parecían sobrenaturales y se presume que influía en la generosidad de los visitantes. El libro de Herón, Métrica, acerca de la realización
de esos dispositivos, ha sobrevivido y fue descubierto en 1896 en la ciudad de Constantinopla. Las fórmulas de Herón para el área de un triángulo causaron cierta incomodidad en los matemáticos griegos, porque un producto con dos factores era un área, mien-tras que con tres factores se obtenía un volumen, pero con cuatro factores parecía contradictorio en la época de Herón.
8.4 Evalúe su comprensión “¿Está preparado?” Las respuestas se dan al final de estos ejercicios. Si obtiene una respuesta equivocada, lea las páginas indicadas entre paréntesis.
1. El área A de un triángulo cuya base es b y cuya altura es h es __________. (pp. 29–33)
Conceptos y vocabulario 2. Si se dan tres lados de un triángulo, se usa la fórmula de __________ para encontrar el área del triángulo. 3. Falso o verdadero: no existe una fórmula para encontrar el área de un triángulo cuando sólo se dan tres lados.
4.
Falso o verdadero: dados
dos lados y el ángulo incluido, se cuenta con una fórmula que se utiliza para encontrar el área del triángulo.
Ejercicios En los problemas 5-12, encuentre el área de cada triángulo. Redondee sus respuestas a dos decimales.
5.
γ
2
6.
b
45°
γ
a β
α
3
β
α
4
c
9.
b
γ
2 20°
95°
2
30°
4
8.
7.
3
γ
α
6
5
5
β
α 8
10.
11.
12.
γ 8
4
9
5
β 4
γ
γ
3
6
α β
α
β
4
α 4
En los problemas 13-24, encuentre el área de cada triángulo. Redondee sus respuestas a dos decimales.
13. 16. 19. 22.
a = a = a = a =
3, 6, 12, 3,
14. 17. 20. 23.
4, g = 40° b = 4, g = 60° b = 13, c = 5 b = 3, c = 2 b =
a = a = a = a =
2, 3, 4, 5,
c = c = b = b =
1, 2, 5, 8,
25. Área de un triángulo Demuestre que el área A de un triángulo está dada por la fórmula a A =
2 sen b sen g
2 sen a
10° b = 110° c = 3 c = 9 b =
15. 18. 21. 24.
b = b = a = a =
1, 4, 2, 4,
c = c = b = b =
3, 1, 2, 3,
a = a = c = c =
80° 120° 2 6
26. Área de un triángulo Demuestre las otras dos formas de la fórmula dada en el problema 25. 2 2 b sen a sen g c sen a sen b y A= A = 2 sen b 2 sen g
www.elsolucionario.net SECCIÓN 8.4 Área de un triángulo
691
En los problemas 27-32, utilice los resultados del problema 25 o del 26 para encontrar el área de cada triángulo. Redondee sus repuestas a dos decimales.
27. a = 40°, b = 20°, a = 2 28. a = 50°, g = 20°, a = 3 29. b = 70°, g = 10°, b = 5 30. a = 70°, b = 60°, c = 4 31. a = 110°, g = 30°, c = 3 32. b = 10°, g = 100°, b = 2 33. Área de un segmento Encuentre el área del segmento 40. Área aproximada de un lago Para aproximar el área de (área sombreada de la figura) de un círculo cuyo radio es un lago un topógrafo camina alrededor del perímetro y de 8 pies, formado por un ángulo central de 70°. toma las medidas mostradas en la ilustración. Usando [Sugerencia: Reste el área del sector menos el área del esta técnica, ¿cuál es el área aproximada del lago? triángulo para obtener el área del segmento]. [Sugerencia: Use la ley de los cosenos en los tres triángulos mostrados y luego encuentre la suma de sus áreas]. 70°
15°
8
80 pies 35 pies
34. Área de un segmento Encuentre el área del segmento de un círculo cuyo radio es de 5 pulgadas, formado por un ángulo central de 40°. 35. Costo de un lote triangular Las dimensiones de un lote triangular son 100 pies por 50 pies por 75 pies. Si el precio de este terreno es de $3 por pie cuadrado, ¿cuánto cuesta el lote? 36. Cantidad de materiales para hacer una tienda de campaña Una tienda de campaña en forma de cono se hará de una pieza circular de lona de 24 pies de diámetro, removiendo un sector con ángulo central de 100° y uniendo los extremos. ¿Cuál es la superficie del área de la tienda? 37. Cálculo de áreas Encuentre el área de la región sombreada dentro de un semicírculo de diámetro de 8 centímetros. La longitud de la cuerda AB es de 6 centímetros. [Sugerencia: El triángulo ABC es un triángulo rectángulo]. B 6 A
20 pies
40 pies
100° 45 pies
41. Geometría Un rectángulo está inscrito en un semicírculo de radio 1.Vea la ilustración.
y
x 1
a) Exprese el área A del rectángulo como función del ángulo u mostrado en la ilustración. b) Demuestre que A sen(2u). c) Encuentre el ángulo u que da como resultado el área A más grande. d) Encuentre las dimensiones de este rectángulo mayor. 42. Área de un triángulo isósceles Demuestre que al área A de un triángulo isósceles,cuyos lados iguales tiene longitud s y el ángulo entre ellos es u es
8
38. Cálculo de áreas Encuentre el área de la región sombreada dentro de un semicírculo de diámetro de 10 pulgadas. La longitud de la cuerda AB es de 8 pulgadas. [Sugerencia: El triángulo ABC es un triángulo rectángulo]. B
1 2 s sen u 2 [Sugerencia: Vea la ilustración. La altura h bisecta el ángulo u y es la perpendicular bisectriz de la base]. A =
8 A
C
10
39. Geometría Consulte la figura, la cual muestra un círculo de radio r con centro en O. Encuentre el área A de la región sombreada como función del ángulo central u.
O
s
h
s
43. Consulte la figura de la página 692. Si ƒ OA ƒ muestre que: 1 a) Área ¢ OAC = sen a cos a 2
=
1, de-
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692
CAPÍTULO 8 Aplicaciones de las funciones trigonométricas
b) Área ¢ OCB
=
c) Área ¢ OAB
=
d) ƒ OB ƒ
=
e) sen1a
+
1 ƒ OB ƒ 2 sen b cos b 2 1 ƒ OB ƒ sen1a + b 2 2
cos a cos b b2 =
sen a cos b
[Sugerencia: área ¢ OAB
=
cos a sen b
+
10
área ¢ OAC + área ¢ OCB].
A1
Granero
B Cuerda
C
O
D
A2
A3
10
A
1
44. Consulte la figura; en ella se dibujó un círculo unitario. La recta DB es tangente al círculo. a) Exprese el área de ¢ OBC en términos de sen u y cos u. b) Exprese el área de ¢ OBD en términos de sen u y cos u. 1 c) El área del sector OBC del círculo es u, donde u se 2 mide en radianes. Utilice los resultados de los incisos a) y b), y el hecho de que ¬
Área ¢ OBC 6 área OBC 6 área ¢ OBD ¬
46. Otro problema de vacas Si el granero del problema 45 es rectangular, y mide 10 pies por 20 pies, ¿cuál es el área máxima en que la vaca podría pastar? 47. Si h1, h2 y h3 son las alturas bajadas desde A, B y C ,respectivamente, en un triángulo (vea la figura), demuestre que 1 1 1 s h1
+
h2
+
6
=
1 1a 2
.
+ b + c2
A
u
sen u
6
1 cos u
D
B 1
c
x
1
45. Problema de la vaca* Una vaca está atada en una esquina de un granero cuadrado, de 10 pies por lado, con una cuerda de 100 pies de largo. ¿Cuál es el área máxima donde la vaca podría pastar? [Sugerencia: Vea la ilustración].
b
a
C
48. Demuestre que una fórmula para la altura h de un vértice al lado opuesto a de un triángulo es a sen b sen g h = sen a Círculo inscrito Para los problemas 49-52, las líneas que bi sectan cada ángulo de un triángulo se cruzan en un solo punto O, y la distancia perpendicular r de O a cada lado del triángulo es la misma. El círculo con centro en O y radio r se llama círculo inscrito en el triángulo (vea la figura). C γ
γ
/ / 2 2
b
r r
*Sugerido por el profesor Teddy Koukounas, de Suffolk Community
College, quien lo aprendió de un viejo granjero en Virginia. La solución fue proporcionada por la profesora Kathleen Miranda, de SUNY en Old Westbury.
h 1
B C
O
K
a
y 1
1
=
donde K es el área del triángulo y s 2K [Sugerencia: h1 = ].
para demostrar que 1
h3
/ 2 / 2
α
A
a
O r
β / 2 β / 2
α
c
B
