Chapter 5 Flujo Multifasico

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5. FLUJO MULTIFÁSICO EN TUBERÍAS 5.1 INTRODUCCIÓN El flujo multifásico, que es el flujo simultáneo de de dos o más fases de un fluido, es el tipo de flujo que se va a encontrar en la mayoría de los pozos de producción de petróleo y gas, y en algunos tipos pozos inyectores. En un pozo de petróleo, todas las veces que la presión del sistema esté por debajo de la presión de burbuja, el gas que se encuentra en solución saldrá de ella para ser gas libre, y de este punto hacia arriba seguirá fluyendo como gas libre para formar con el crudo un sistema de flujo multifásico. Junto al flujo de petróleo y de gas puede estar fluyendo agua lo que hará que en el fluido coexistan entonces tres fases. El comportamiento de flujo bifásco depende en gran medida en la forma como se distribuyan las fases dentro de la tubería, lo que a la vez depende en la dirección de flujo y en las fuerzas gravitacionales. Como las investigaciones realizadas para el flujo multifásico se apoyan en los principios del flujo monofásico, en este capítulo se presenta una revisión de los conceptos de flujo multifásico para luego tratar el tema del flujo multifásico, tanto vertical como inclinado u horizontal. 5.2 CONCEPTOS DE FLUJO MONOFÁSICO Todos los cálculos de flujo de fluidos a través de tuberías se hacen basados en los principios de conservación de masa, de momentum y de energía. La adecuada aplicación de estos principios permite el cálculo de los cambios de presión y de temperatura lo largo de una línea de flujo. En este capítulo inicialmente se tratará el tema del cálculo de los gradientes de presión para flujo monofásico y luego para flujo multifásico en tuberías a condiciones estables. 5.3 CONSERVACIÓN DE MASA El principio de la conservación de masa para un volumen de control. como por ejemplo una porción de tubería, dice que la masa que entra menos la masa que sale debe ser igual a la acumulación de masa en dicho volumen de control. Para un ducto de área constante, el principio de conservación de masa se puede escribir en forma de ecuación cómo, ∂ ρ ∂ ( ρ v ) (5.1) + = 0 ∂t

∂L

Para un flujo estable donde no hay cambios de la densidad en el tiempo, la ecuación anterior se convierte en, ∂ ( ρ v ) (5.2) = 0 ∂ L

Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

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Lo que implica que cuando el flujo es estable el producto de la densidad por la velocidad del fluido es una constante. 5.4 CONSERVACIÓN DE MOMENTUM La aplicación de la primera ley de Newton al flujo de fluidos en tuberías establece que para un volumen de control la rata de momentum que entra menos la rata de momentum que sale mas la rata de acumulación de momentum en un segmento dado de tubería debe ser igual a la suma de todas las fuerzas que actúan sobre el fluido. La figura 5.1 define el volumen de control y las variables pertienentes. La conservación del momentum se puede expresar como,

Figura 5-1 Volumen de control en tuberías ∂ ( ρ v ) ∂ π d ∂P ρ v 2 ) = − + −τ − ρ g sinθ ( A ∂t ∂L ∂L

(5.3)

5.5 ECUACIÓN DE GRADIENTE DE PRESIÓN Combinando las ecuaciones 5.2 y 5.3, y asumiendo que se tiene flujo estable para eliminar la rata de acumulación de masa en e n la ecuación de momentum, se obtiene, ρ v

dv

∂ L

=−

π d ∂P −τ − ρ g sinθ A ∂L

(5.4)

Ecuación que resuelta para el gradiente de presión dá, π d dv ∂P = −τ − ρ g sinθ − ρ v A ∂ L ∂L

(5.5)


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La ecuación 5.5 es conocida como la ecuación de balance de energía mecánica. De este modo la ecuación para determinar el gradiente de presión no es más que el resultado de aplicar el principio de conservación de masa y el balance de momentum lineal. La ecuación 5.5 muestra en forma clara que el gradiente de presión para flujo en estado estable está compuesta por tres componentes y que puede ser escrita con base a ellos,  dP   dP   dP   dP   dL  =  dL  +  dL  +  d L   t   f  el  acc

(5.6)

El primer componente es el de gradiente de presión debido a la fricción causada por la fuerzas viscosas de los fluidos o el esfuerzo de corte en la pared de la tubería. Este componente generalmente representa del 5 al 20% del total de caídas de presión en los pozos. El segundo término es el gradinete causado por los cambios de elevación, a menudo conocido como cabeza hidrostática o componente de elevación. Este componente normalmente es el predominante en los pozos y llega a representar del 80 al 95% del gradiente de presión. El componente final resulta de los cambios de velocidad (aceleración) y es conocido también como componente cinético. Su valor suele ser muy pequeño y generalmente es despreciable y solo es significativo si se tiene una fase compresible a condiciones de baja presión como en el caso de pozos de gas lift cuando el flujo se acerca a la superficie. Cuando la dirección de flujo es hacia arriba, cual es el caso de los pozos productores, la presión siempre declina en la dirección de flujo y por lo tanto se suele tomar la caída de presión como positiva en la dirección de flujo, para lo cual, la ecuación 5.5 debe ser multiplicada por -1. La evaluación del esfuerzo de corte o de las pérdidas por fricción pueden ser hechos mediante la definición de variables adimensionales. Una de ellas es el factor de fricción que es definido como la relación que existe entre el esfuerzo de corte y la energía cinética del fluido por unidad de volumen, que en forma de ecuaución se escribe como, f =

τ

ρ v 2

(5.7)

2

donde f es el factor de fricción de Fanning. Moody también definió un factor de fricción, que es cuatro veces más grande que el factor de fricción de Fanning, y será usado a través de este trabajo. Ocasionalmente, tal como en flujo de fluidos No-Newtonianos y en flujo a través de secciones anulares, se prefiere usar el factor de fricción fricción de Fanning. La ecuación 5.7 se puede resolver para el esfuerzo de corte (en términos del factor de fricción de Moody), Moo dy), Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

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2   ρ v τ = f   8  

(5.8)

Substituyendo la ecuación 5.8 en la ecuación 5.5, el componente ocasionado por la fricción se convierte en,  2  2  dP   f ρ v   π d  f ρ v  dL  =  8   π d 2  = 2d   f   4

(5.9)

La ecuación 5.9 es conocida con el nombre de ecuación de Darcy-Weisbach. El cálculo de los gradientes de presión debido a la fricción requiere del conocimiento de los valores de los factores de fricción. El primer paso del procedimiento es determinar si el flujo es laminar o turbulento. Se considera que existe flujo laminar si el número de Reynolds es menor a 2000. El número de Reynolds es definido como, N Re =

ρ Vd µ

(5.10)

5.6 FLUJO LAMINAR Se puede derivar una expresión analítica para el factor de fricción en flujo laminar. El perfil de velocidad en flujo laminar se puede integrar para obtener el gradiente de presión. Esto puede ser hecho mediante el uso de la ecuación de Poiseuille para flujo horizontal en un capilar, v=

2

 dP    32 µ  dL  d

(5.11)

Como el gradiente de presión en la ecuación anterior es solo el resultado del esfuerzo de corte en la pared de la tubería o de la fricción, el gradiente de presión es idéntico al de la ecuación 5.9. Combinando las dos ecuaciones se obtiene, f =

64 µ

ρ vd

=

64 N RE

(5.12)

5.7 FLUJO TURBULENTO Predecir si un flujo es turbulento ha sido una tárea basado en trabajos experimentales que estudian los perfiles de velocidad en función de los gradientes de presión. Los estudios han demostrado que en flujo turbulento la relación entre los perfiles de velocidad y los gradientes de presión son muy sensibles a las características de la pared del a tubería. Entonces la tarea de definir los factores de fricción para flujo turbulento se inicia con el caso mas sencillo que es el considerar una pared de tubería lisa, o sea, con una rugosidad nula, para luego pasar a casos de tuberías con alguna rugosidad y terminar con casos de tuberías totalmente rugosas. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

151

Rara vez se encuentran tuberías lisas en la industria del petróleo y del gas. Sin embargo, a nivel de laboratorio se han pódido hacer experimentos con tuberías lisas fabricadas con vidrio o plásticos las cuales se pueden aproximar a una tubería lisa. Como resultado de estos experimentos se han llegado a proponer numerosas correlaciones para predecir los factores de fricción. A continuación e presentan las correlaciones mas usadas con sus rangos de aplicación. La primera es la correlación de Drew et al. −0.32 f = 0.00 (5.13) 0.0056 56 + 0.5 0.5N Re donde 3000
0.25

(5.14)

donde 3000

(5.15)

Generalmente la pared de las tuberías no es lisa. En flujo turbulento, la rugosidad tiene un gran efecto en el factor de fricción, y por ello, también influye en el gradiente de presión. La rugosidad de la tubería es una función del material del cual está construída, del método de manufactura, de la edad de la tubería y del ambiente de trabajo a la cual está expuesta. ex puesta. Desde un punto de vista microscópico, la rugosidad de un tubo no es uniforme. Existen variaciones puntuales en profundidad, anchura, longitud, forma y distribución. La rugosidad absoluta de una tubería se suele representar por la letra Ɛ, y es el valor promedio de la profundidad de las irregularidades del tubo. Los análisis dimensionales sugieren que el efecto de la rugosidad no está fundamentado en sus unidades absolutas, sino en su dimensión relativa al diámetro interno del tubo, Ɛ /d. En flujo turbulento, el efecto de la rugosidad del tubo se ha encontrado ser dependiente tanto de la rugosidad relativa como del número de Reynolds. Nikuradse fue uno de los pioneros en el estudio de los factores de fricción en tuberías rugosas. Su correlación para tuberías totalmente rugosas todavía es en la actualidad muy usada. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

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1 f

 2ε    d 

(5.16)

= 1.74 − 2log 

La región en la cual el factor de fricción varía tanto en función de la rugosidad relativa como del número de Reynolds se conoce con el nombre de zona de transición o parcialmente rugosa. Colebrook propuso una ecuación empírica para estimar el factor de fricción en esta zona de transición. Esta ecuación es la base para elaborar los diagramas llamados diagramas de Moody. 1 f

 2ε

= 1.74 − 2log 

 d

+

18.7  N Re



f 

(5.17)

Se debe observar que la ecuación 5.17 se vuelve igual a la ecuación 5.16 para números de Reynolds grandes que corresponden a flujos completamente turbulentos. La ecuación 5.17 es una ecuación implícita y la forma de encontrar el valor de factor de fricción es por ensayo y error. La ecuación 5.17 puede ser expresada como: −2

  2ε 18.7   + f c = 1.74 − 2log     d N f  est   Re  

(5.18)

Los valores de f son estimados, f est , y luego calculados, f c , hasta que se llegue a un nivel de error tolerable. Un procedimiento de subsitución directo que use el valor calculado como el valor estimado llevara a una convergencia buena en tan solo dos o tres iteraciones. El valor asumido inicial puede ser obtenido usando una de las ecuaciones explícitas que existan para calcular el factor de fricción de tuberías lisas. Existen también numerosas aproximaciones explícitas de la ecuación de Colebrook. Zigrang y Sylvester han dado una de las más exactas y simples de usar. ε   ε 5.02 13  d d   = −2log − + log   3.7 N Re    3.7 N Re f   

1

(5.19)

En la literatura se pueden encontrar numerosas gráficas que muestran las variaciones del factor de fricción con el número de Reynolds y la rugosidad relativa basada en las ecuaciones 5.12 y 5.17. Es importante recalcar que Ɛ no es una propiedad medida físicamente a los tubos. Existen tablas y figuras que dan estos valores para diferentes tipos de tuberías. La tabla 5.1 es una de ellas.


153

Los valores presentados en la tabla 5-1 no son inviolables. Por el contrario, ellos cambian significativamente como resultado de la depositación de parafinas, hidratos, la erosión y la corrosión. Muchas veces se requieren valores iniciales de rugosidad para cálculos de diseños. Un valor inicial recomendado para tubería de producción nueva es Ɛ=0.00005 ft. Un valor muy común para crear curvas de gradientes es 0.00015 ft. Para tubería de producción expuesta a ambientes que causan cambios significativos en la rugosidad, un valor de rugosidad muy apropiado es 0.00075 ft. En la mayoría de los pozos el componente de fricción del gradiente de presión es pequeño comparado con el componente de la energía potencial, por lo tanto, los valores aproximados que se dan a la rugosidad son suficientes. Tabla 5-1 MATERIAL

Rugosidad absoluta, mm

Acero bridado

0.9-9

Acero comercial

0.45

Acero galvanizado

0.15

Concreto

0.3-3

Concreto bituminoso

0.25

Hierro forado

0.0!

Hierro fundido

0.15

Hierro ductil

0.25

Hierro galvanizado

0.15

Hierro dulce asfaltado

0.12

"olietileno "$C

0.00# 0.0015

EJEMPLO 5.1 CAIDA DE PRESIÓN PARA FLUJO MONOFÁSICO. Calcular el cambio de presión en un pozo inyector de agua. Los datos del flujo son los siguientes: Longitud= 8000 ft qw= 20000 B/d θ= -90° ρw= 62.4 lbm/ft3 d= 5 in µ w= 1 cp Ɛ=0.00006 ft SOLUCIÓN La velocidad promedio del fluído en la tubería es, 20000 (5.615) v=

π  5 



2

= 9.532 ft/sec

 ( 86400 )

4  12 

De la ecuación 5.10, el número de Reynolds es, Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

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N Re =

ρ Vd = µ

5   12  = 3.688x105

( 62.4) ( 9.532 )  1 1488

Como el número de Reynolds es mayor de 2000 entonces el flujo es turbulento. Con la rugosidad y con el número de Reynolds se usa la ecuación de Colebrook para hallar el factor de fricción, f = 0.0154

El gradiente de presión puede ser calculado con la ecuación 5.5 y 5.9 despreciando los efectos de la aceleración, 2 ( 62.4 ) ( 32.2 )  sen ( −90 ) 0.0154 ( 62.4) ( 9.531) dP dL

dP dL dP

=−

 5 ( 2 )   ( 32.2 )  12 

−

32.2

= −3.274 + 62.4 = 59.126 psf/ft

= −0.0227 + 0.4333 = 0.4106 psi/ft dL ∆P = ( −0.0227 + 0.4333) ( 8000) = −181.9 + 3466.4 = 3284.5 psi

Hay que aclarar que el cambio de presión consiste de una pérdida debido a la fricción de 181.9 psi y a una ganancia por el cambio de elevación de 3466.4 psi. 5.8 FLUJO DE GAS SECO Cuando un fluido altamente compresible, tal como el gas natural, fluye en un pozo, la densidad, la velocidad, y por ende el gradiente de presión varían cuando la presión varía. Cullender & Smith desarrollaron un método para calcular la presión de flujo en el fondo de un pozo de gas, método que tiene mucha aceptación en la industria petrolera. Despreciando los efectos de la energía cinética, la ecuación 5.5 puede ser escrita como, dP dL

Se sabe que ρ =

PM ZRT

, que v =

q A

=

f ρ v

2d

, que

2

+ ρ g sin θ

q = qsc Bg ,

(5.20)

y que Bg =

PscTZ Tsc P

.

Remplazando estas expresiones en la ecuación 5.20 y separando variables se obtiene, M

L

P

Pwf

dL = ∫ R ∫  0

Ptf

ZT 2

P    g sin θ + C  ZT 

dP

(5.21)


155

donde, C =

8Psc2 qsc2 f 2

2

5

Tscπ d

La ecuación 5.21 es aplicable para cualquier sistema de unidades. Si se sustituyen las unidades de campo y se integra el lado izquierdo, la ecuación 5.21 queda como, Pwf

∫ IdP

18.75γ g L =

(5.22)

Ptf

donde, P I =

ZT 2  P  2 0.001   sin θ + F  ZT  2

F =

0.667 fqsc2 d 5

(5.23)

(5.24)

estando P=psia, T=°R, qsc=MMscf/d, d=in, y L=ft. El lado derecho de la ecuación 5.22 no puede ser integrado analíticamente sin hacer asumpciones sobre Z, T y f . Sin embargo, se puede hacer integración numérica aplicando la regla trapezoidal y determinar el valor de I para cada uno de los incrementos de P entre los valores P tf y Pwf. Asumiendo que el pozo puede ser dividido en dos mitades con el propósito de hacer integración, donde solamente valores intermedios de presión son usados, la ecuación 5.22 puede ser expresada como, 18.75γ g L =

(P

mf

− Ptf )( I mf + I tf ) 2

+

(P

wf

− Pmf )( I wf + I mf ) 2

(5.25)

La ecuación 5.25 puede ser separada en dos expresiones, una para cada mitad del pozo. Para la mitad superior, 18.75γ g L / 2 =

(P

mf

− Ptf )( I mf + I tf ) 2

(5.26)

Para la mitad inferior, 18.75γ g L / 2 =

(P

wf

− Pmf )( I wf + I mf ) 2

(5.27)

Como este método puede ser usado con cualquier número de pasos, Cullender & Smith demostraron que la exactitud obtenida para cuatro pasos es la misma que la Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

156

obtenida para dos pasos cuando se usa la regla de integración numérica de Simpson. La ecuación que resulta es, 18.75γ g L =

(P

wf

− Ptf ) 6

(I

wf

+ 4 I mf + I tf )

(5.28)

El uso del método de Cullender & Smith para calcular la presión de flujo en fondo de pozo para un pozo de gas se puede explicar mejor realizando un ejemplo. EJEMPLO 5.2 Con los siguientes datos de un pozo, calcular la presión de fondo de pozo usando el método de Cullender & Smith dividiendo el tramo de tubería en dos secciones. L=10000 ft ϫg=0.75 Tf=245 °F Ptf=2000 psia Ts=110 °F d=2.441 in qsc=4.915 MMscf/d µ=0.012 cp θ=90° Ɛ=0.00007 ft SOLUCIÓN Primero calcular el factor de fricción asumiendo que hay flujo completamente turbulento. Usando la ecuación de Nikuradse, f = 0.015

Conocido el factor de fricción, que será constante, se puede calcular otra constante que es, 2 0.667 ( 0.015 ) ( 4.915) 0.667 fqsc2 2 F = = = 0.00279 5 d 5 ( 2.441) De la ecuación 5.23, calcular Itf, A la presión Ptf=2000 psi, T=100 °F, el factor Z=0.72 (por correlaciones). Entonces, P TZ

=

2000 (460 + 110) ( 0.72 )

= 4.942

P I tf =

4.942 ZT = = 181.61 2 2 0.001 ( 4.942 ) sen ( 90 ) + 0.00279  P  2 0.001   sin θ + F  ZT 

Hallados estos parámetros se puede hacer la primera iteración para hallar la P mf (es la presión en la parte baja de la mitad superior del pozo). Un buen valor a asumir se puede estimar de la siguiente ecuación, 

 L     2 sen θ  

Pmf* = Ptf  1 + 2.5E − 5 



  10000   * Pmf = 2000 1 + 2.5E − 5    = 2250 psi  2 sen 90   

Con este valor estimado de P mf se procede a calcular el factor Z en este punto del pozo (a 5000 ft), Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

157

De correlaciones, para T=110+67.5=177.5 °F y P=2250 psi entonces Z=0.805. P TZ

=

2250

( 637.5) ( 0.805)

= 4.3856

P I mf =

4.3856 ZT = = 199.14 2 2 P sen + 0.001 4.3856 90 0.00279 ( ) ( )   2 0.001   sin θ + F  ZT 

Ahora se puede calcular Pmf, Pmf = Ptf +

18.75γ g L

(I

I mf + tf )

= 2000 +

18.75 ( 0.7 ) (10000) 199.14 + 181.61

= 2369.3 psi

Como este valor calculado no está cercano al asumido entonces se hace una nueva iteración asumiendo el valor calculado, De correlaciones, para T=110+67.5=177.5 °F y P=2369.3 psi entonces Z=0.803. P TZ

=

2369.3

( 637.5) ( 0.803)

= 4.6265

P I mf =

4.6265 ZT = = 191.23 2 2 0.001 ( 4.6265) sen ( 90 ) + 0.00279  P  2 0.001   sin θ + F  ZT 


18.75γ g L

( Imf + I tf )

= 2000 +

18.75 ( 0.7 ) (10000) 191.23 + 181.61

= 2377.1 psi

Este resultado todavía no está lo suficientemente cercano, entonces se hace una nueva iteración asumiendo como Pmf el último valor calculado. De correlaciones, para T=110+67.5=177.5 °F y P=2377.1 psi entonces Z=0.803. P TZ

=

2377.1

( 637.5) ( 0.803)

= 4.6422

P I mf =

4.6422 ZT = = 190.73 2 2 sen + 0.001 4.6422 90 0.00279 ( ) ( )  P  0.001  sin θ + F 2   ZT 


18.75γ g L

( Imf + I tf )

= 2000 +

18.75( 0.7 ) (10000) 190.73 + 181.61

= 2377.7 psi

Este último valor obtenido ya está muy cercano al asumido, entonces se puede concluir que la presión Pmf=2377.7 psi. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

158

A continuación se procede con la segunda mitad del pozo, la de abajo. Hay que volver a iterar empezando con asumir una Ptf, 

  L    10000   = Ptf* = 2377.7 1 + 2.5E − 5     = 2674.8 psi   sen sen θ 2 2 90     

Ptf* = Pmf  1 + 2.5E − 5 



De correlaciones, para T=245 °F y P=2674.8 psi entonces Z=0.8653. P TZ

=

2674.8

( 705) ( 0.865)

= 4.3844

P

4.3844 ZT = = 199.18 2 2 0.001 4.3844 90 0.00279 sen + ( ) ( )  P  2 0.001   sin θ + F  ZT 

I wf =

Ahora se puede calcular Pwf, Pwf = Pmf +

18.75γ g L

( Imf + I tf )

= 2377.7 +

18.75( 0.7 ) (10000) 190.73 + 199.18

= 2746.9 psi

El valor obtenido no está de acuerdo con el asumido entonces se itera, De correlaciones, para T=245 °F y P=2746.9 psi entonces Z=0.8658. P TZ

=

2746.9

( 705) ( 0.865)

= 4.5003

P I tf =

4.5003 ZT = = 195.31 2 2 sen + 0.001 4.5003 90 0.00279 ( ) ( )  P  2 0.001   sin θ + F  ZT 


18.75γ g L

( Imf + I tf )

= 2377.7 +

18.75( 0.7 ) (10000) 190.73 + 195.31

= 2750.7 psi

Como el nuevo valor calculado de Pwf aún no está en buen acuerdo con el asumido, se itera de nuevo. De correlaciones, para T=245 °F y P=2750.7 psi entonces Z=0.8658. P TZ

=

2750.7

( 705) ( 0.865)

= 4.5063

P I tf =

4.5063 ZT = = 195.11 2 2 P 0.001 4.5063 sen 90 0.00279 + ( ) ( )   2 0.001   sin θ + F  ZT 


18.75γ g L

( Imf + I tf )

= 2377.7 +

18.75( 0.7 ) (10000) 190.73 + 195.11

= 2750.9 psi


159

Este último valor calculado sí está muy cercano al asumido, entonces se puede concluir que la Pwf del pozo de gas es 2751 psi. Este resultado propuesto por Cullender & Smith está muy cercano con la integración numérica de Simpson que se muestra a continuación, Pwf = Ptf +

112.5γ g L I wf + 4 I mf + I tf

= 2000 +

112.5(0.7)(10000) 181.6 + 4(190.7) + 195.1

= 2740 psi

5.9 CONCEPTOS DE FLUJO MULTIFÁSICO Cuando dos o más fases fluyen simultáneamente en una tubería, el comportamiento del flujo es mucho más complejo que cuando fluye una sola fase. Las fases tienen a separarse por la diferencia de densidades. Los esfuerzos de corte en la pared del tubo para cada fase son diferentes como consecuencia de la diferencia de densidades y de viscosidades. La expansión de la fase gaseosa es alta a medida que la presión disminuye aumentado así la rata volumétrica local del gas. Lo anterior implica que el gas y el líquido no viajarán a la misma velocidad dentro de la tubería. En un flujo hacia arriba, la fase menos densa, mas compresible y menos viscosa tiende a fluir a velocidades mas altas que la fase líquida, causando un fenómeno conocido como deslizamiento. Sin embargo, en un flujo hacia abajo la fase líquida fluirá más rápido que la fase gaseosa. El hecho más notable en el flujo multifásico es la variación de la distribución de las fases dentro del conducto, aspecto que se conoce con el nombre de patrón de flujo o régimen de flujo. En el flujo multifásico en tuberías, el patrón de flujo depende de las magnitudes relativas de las fuerzas que actúan sobre los fluidos. La boyancia, la turbulencia, la inercia y la tensión superficial varían significativamente con las ratas de flujo, diámetro del tubo, ángulo de inclinación y propiedades de los fluidos. Pueden existir muchos patrones de flujo en un mismo pozo como resultado de los cambios de la temperatura y de la presión a lo largo del pozo. El patrón de flujo tiene un efecto significativo en el gradiente de presión, por lo tanto, la predicción del patrón de flujo en función de los parámetros de flujo es de singular importancia. Para el flujo monofásico existen muchas soluciones analíticas las cuales ya se mencionaron con anterioridad e incluso se incluyeron algunas soluciones empíricas para cuando el flujo es turbulento. Pero la complejidad del flujo multifásico hace que se haya recurrido a soluciones empíricas. De aquí que existan muchas correlaciones empíricas para predecir patrones de flujo, deslizamiento de las fases, factores de fricción, y otros parámetros propios del flujo multifásico. Desde los años 70 se ha investigado sobre este tema y se han mejorado los métodos predictivos y los cálculos de los gradientes de presión, basándose cada vez menos en lo empírico. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

160

A continuación se darán las principales definiciones de parámetros a usar en los cálculos de flujo multifásico en tuberías. También se describirán los patrones de flujo lo mismo que los métodos existentes para predecir su presencia. Se empieza por decir que las correlaciones que se presentan se basan en la existencia de sistemas black-oil, lo que quiere decir que habrá una fase líquida que puede contener gas en solución. Los modelos black-oil son hidrocarburos de color oscuro, que generalmente tienen menos de 40 °API, y que presentan cambios muy pequeños en su composición cuando el gas entra o sale de la solución. Por lo tanto el modelo black-oil es conocido también como modelo de composición constante. Para un crudo black-oil asociado con gas se ha definido un parámetro que especifica la cantidad de gas que está en solución. Este parámetro, R s, puede ser medido en el laboratorio o puede ser determinado de correlaciones empíricas. En el apéndice del presente trabajo se pueden encontrar algunas de estas correlaciones. Un segundo parámetro usado por el modelo black-oil es el factor volumétrico del crudo, Bo, que es definido para cuantificar la merma o la expansión del petróleo debido a los cambios de presión (compresibilidad) y temperatura y la consecuente entrada o salida de gas en solución. El gas disuelto en el crudo es el factor que tiene más efecto en el cambio de volumen de él. El factor volumétrico es un parámetro que puede ser medido en el laboratorio o también puede ser estimado de correlaciones. Una vez conocidos los parámetros black-oil, se puede calcular otras propiedades físicas de los fluidos tal como la densidad. Cuando en el sistema se encuentra también agua, se pueden definir otras propiedades como el factor volumétrico del agua, Bw, y el gas en solución en el agua, Rsw. Para estimar todas estas propiedades existen correlaciones que son presentadas en el apéndice de este trabajo. La cantidad de gas que se puede disolver en el agua y los cambios de volumen del agua debido a cambios de presión y temperatura son mucho más pequeños que los cambios que ocurren en los sistemas gas-petróleo. 5.10 RATAS DE FLUJO VOLUMÉTRICAS Después de hechos los cálculos de transferencia de masa, se pueden realizar los cálculos de las ratas de flujo in-situ para cada fase. En el modelo black-oil, las ratas volumétricas se pueden calcular de, qo = qosc Bo

(5.29)

qw = qwsc Bw

(5.30)


161

qg = ( qgsc − qosc R s − qwscR sw ) B g

(5.31)

donde Bg se puede obtener a partir de la ecuación de estado de los gases, Bg =

Psc ZT PZ scT sc

(5.32)

En el apéndice se muestran correlaciones para estimar el valor de Z. 5.11 DEFINICIÓN DE VARIABLES Para hacer cálculos con fluidos que son multifásicos, es decir fluyen a la vez varias fases, se suelen usar las ecuaciones de flujo para fluidos monofásicos pero con modificaciones que incluyan la presencia de una segunda fase o tercera fase. En concordancia con lo anteriormente expuesto, se hace necesario definir expresiones o factores de peso para determinar velocidades y propiedades de los fluidos de una forma ponderada, ya sea basándose fracciones de masa o de volumen. La forma de escoger los factores de ponderación depende muchas veces en los patrones de flujo que se tengan. A continuación se definirán algunos de ellos. Cuando el gas y el líquido fluyen simultáneamente desde el fondo del pozo hacia la cabeza de pozo, el gas viaja más rápido dado que él tiene más movilidad que el líquido. Esto se debe a la baja densidad y baja viscosidad del gas. Bajo condiciones estables, esto hace que exista una fracción de área de la tubería reducida para la fase gaseosa y una mayor porción del área para la fase líquida. De esta manera, en un punto dado de la tubería, el deslizamiento del gas sobre el líquido hace que se tengan fracciones en volumen mayores de fase líquida que de la fase gaseosa, como no sería el caso si las dos fases viajaran a la misma velocidad. La fracción de líquido puede ser definida como la fracción de volumen de la tubería que es ocupada por la fase líquida. La diferencia de velocidades entre la fase gaseosa y la fase líquida se puede estimar mediante el uso de diferentes correlaciones desarrolladas a partir de datos experimentales que han sido generados por los investigadores del tema para determinados rangos y condiciones de flujo. El procedimiento mas común es el de determinar un parámetro llamado HL (hold-up de líquido) para un rango amplio de condiciones de flujo. En el caso que tenga o que se suponga que las dos fases viajan a igual velocidad, o sea que no hay deslizamiento, la fracción de volumen ocupada por el líquido puede ser calculada analíticamente a partir de las ratas de flujo volumétricas de las fases en el tramo de interés, mediante la siguiente ecuación, λ L =

q L q L + qg

(5.33)


162

donde qL es la suma del caudal de petróleo y el caudal de agua. Cuando en una tubería fluyen simultáneamente petróleo y agua, con o sin la compañía del gas, es posible que ocurra algo de deslizamiento entre las fases. Este tipo de deslizamiento es pequeño comparado con el deslizamiento que ocurre entre el gas y el líquido. Sin embargo, el deslizamiento puede ser representativo cuando se tengan velocidades de flujo bajas. Asumiendo que no hay deslizamiento en la fase líquida, la fracción de aceite en la fase líquida se puede calcular de, f o =

qo qo + qw

(5.34)

La fracción de agua, f w, basada en ratas de flujo a condiciones in-situ, no en condiciones de tanque, se calcula como 1-f o. Como se mencionó en los párrafos anteriores, las velocidades de cada una de las fases son diferentes. Las velocidades de las fases pueden ser consideradas iguales solamente en los casos de alta turbulencia, en el patrón de flujo de burbujas dispersas a altas velocidades, y en el patrón de flujo anular, en los cuales los fluidos existen como una fase homogénea. Para todos los demás casos, existe un alto grado de deslizamiento entre la fase gaseosa y la líquida, ocasionando que las velocidades de las fases sean diferentes. Bajo condiciones de flujo estable, el deslizamiento hace que la fase que fluye a la velocidad menor vaya ocupando mayor parte del espacio de la tubería a lo largo del pozo. La fracción de volumen de líquido in-situ, HL, debe ser determinada de correlaciones empíricas o de modelos mecanísticos. Las velocidades superficiales de los fluidos, las cuales asumen que la fase ocupa todo el espacio de la tubería, se vuelven parámetros de correlación muy importantes. Estas velocidades superficiales son, vSL =

vSg =

q L AP qg AP

(5.35)

(5.36)

y la velocidad de la mezcla se define como, vm =

q L + qg AP

= vSL + vSg

(5.37)

Si no hay deslizamiento entre las fases, el gas y el líquido viajarán a la misma velocidad. Debido al deslizamiento entre las fases, el líquido viajará a una velocidad menor que la velocidad de la mezcla, mientras que el gas viajará a una velocidad mayor que la velocidad de la mezcla. Las velocidades promedio para cada fase se pueden calcular a partir del valor de HL. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

163

v L =

vg =

vSL

H L vSg

1 − H L

(5.38)

(5.39)

La velocidad de deslizamiento puede ser definido como la diferencia entre las velocidades reales de las fases, vS = v g − v L (5.40) En los problemas de flujo multifásico se puede hablar de múltiples tipos de velocidades dependiendo de los patrones de flujo que se presenten. Como ejemplo de ellas estás las velocidades de las burbujas pequeñas y las burbujas grandes que se dan en los patrones de flujo de burbuja y tipo bache. EJEMPLO 5.3 DE VELOCIDADES SUPERFICIALES La rata de flujo de un pozo de petróleo es 10 000 STBO/d y tiene una relación gasaceite, GOR, de 1000 scf/STBO. Calcular las ratas de flujo volumétricas y las velocidades superficiales del líquido y del gas en un punto de la tubería de producción donde la temperatura es 180 °F y la presión es 1700 psia. Calcular también la velocidad de la mezcla, la velocidad de deslizamiento y el hold-up sin deslizamiento. El diámetro de la tubería es 6 pulgadas. Se conocen también las siguientes propiedades PVT de los fluidos: Bo= 1.197 bbl/STBO Bg=0.0091 ft3/scf Rs= 281 scf/STBO d= 6.0 in SOLUCIÓN El área de la tubería es

A p =

π D 2 4

=

π ( 6 / 1 2 )

2

4

= 0.196 ft 2

La rata de aceite en dicho punto es, (10000 STBO/d ) (1.197 bbl/STBO ) (5.615 ft 3/bbl ) qo = qosc Bo =

86400 sec/D

= 0.778 ft 3 /sec

Luego, la velocidad superficial de líquido es, vSL =

q L AP

=

0.778 0.196

= 3.97 ft/sec

El caudal de gas en dicho punto es, qg = ( qgsc − qoscR s − qwscR sw ) B g qg =

{10 x106 − 10000 (282) }(0.0091) 86400

= 0.757 ft3/sec

La velocidad superficial del gas será, Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

164

vSg =

qg AP

=

0.757 0.196

= 3.86 ft/sec

vm = vSL + v Sg = 3.97 + 3.86 = 7.83 ft/sec

El hold-up sin deslizamiento será, λ L =

q L q L + qg

=

0.778 0.778 + 0.757

= 0.507

5.12 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS Existen diversidad de métodos (correlaciones PVT) para evaluar las propiedades de las fases gas, aceite y agua, a la vez que las tensiones superficiales para los sistemas gas/aceite y gas/agua. Para las mezclas aceite/agua en el caso del modelo que nos ocupa, el black-oil, las propiedades individuales del aceite y del agua se combinan bajo el supuesto que entre estas dos fases no hay deslizamiento. En tal caso las propiedades de la mezcla son, (5.41) ρ L = ρo f o + ρ w f w σ L = σ o f o + σ w f w

(5.42)

µ L = µo f o + µ w f w

(5.43)

Hay que aclarar que numerosos estudios han cuestionado la validez de la ecuación 5.43 pues se trata de dos líquidos que son inmiscibles, que cuando se mezclan, lo que forman es una emulsión que es un fluido no-Newtoniano. Al tratarse de un fluido no-Newtoniano se debería hablar mejor de una viscosidad aparente. La variación de la viscosidad de los sistemas aceite/agua (emulsiones) han mostrado una variación exponencial en la viscosidad a medida que aumenta la fracción de agua. Se ha demostrado que para los sistemas aceite/agua la viscosidad de la mezcla líquida es varias veces mayor que la viscosidad del aceite cuando la fase continua es aceite. Para estimar propiedades de la mezcla líquido/gas existen numerosas correlaciones. En general, estas correlaciones requieren el uso de un factor de ponderación que es el hold-up. Recordando que hay dos tipos de hol-up, con deslizamiento o sin deslizamiento, se plantean las siguientes ecuaciones. Para cuando se considera el deslizamiento, (5.44) µS = µL H L + µ g (1 − H L ) O también, 1− H µ S = µL H .  µ g ( )  L

L

(5.45)


165

Cuando no se considera el deslizamiento, µn = µLλL + µg (1 − λ L )

(5.46)

La ecuación 5.44 es poco usada en los cálculos de gradientes de presión en flujo multifásico y la que tiene más uso es la ecuación 5.45. Otras correlaciones más empíricas hacen uso de la ecuación 5.46. Las siguientes ecuaciones se usan para el cálculo de las densidades de la mezclas. (5.47) ρ S = ρ L H L + ρ g (1 − H L ) ρ n = ρ LλL + ρ g (1 − λ L )

(5.48)

Y también, 2

(1 − λ L ) ρ k = ρ L + ρ g H L (1 − H L ) λ L

(5.49)

La ecuación 5.49 tiene el subíndice k debido a que aparece en el término de energía cinética en la ecuación de conservación de momentum para el caso específico de mezclas homogéneas. 5.13 GRADIENTE DE PRESIÓN La ecuación de gradiente de presión que se derivó con anterioridad para flujo monofásico puede ser modificada para el caso de flujo mulitfásico cuando se considera que se tiene una mezcla homogénea. De este modo la ecuación quedaría como, dP dL

2

=

f ρ f v f

2d

+ ρ f g sin θ + ρ f v f

dv f dL

(5.50)

donde las definiciones de ρf y v f pueden variar según el investigador. Para flujo vertical, θ=90°, sen θ=1, dL=dZ, y la ecuación puede ser escrita como,  dP   dP   dP   dZ  =  dZ  +  dZ    t   f   el

 dP    dZ  acc

+

(5.51)

El componente del gradiente de presión causado por la fricción requiere de la evaluación de un factor de fricción bifásico. La caída de presión causada por la los cambios de elevación depende de la densidad de la mezcla bifásica. A excepción de los casos de flujo a altas velocidades, el elemento que más aporta al gradiente de presión en pozos verticales es el de los cambios por elevación. El aporte del componente aceleración suele ser muy pequeño y por lo general se desprecia, a menos que se trate de flujo a velocidades altas.


166

En la literatura se encuentran muchos métodos para predecir los gradientes de presión para el caso de flujo multifásico. La diferencia entre los unos y los otros está en la forma en que ellos calculan cada uno de los tres componentes del gradiente de presión. Algunos de estos métodos se estudiarán más adelante. 5.14 PATRONES DE FLUJO Predecir el patrón de flujo que se dá en un determinado punto de la tubería es de singular importancia para la predicción del gradiente de presión. Muchas de las correlaciones empíricas que están disponibles en la literatura para hacer los cálculos de caídas de presión a lo largo de la tubería de producción están basadas en los patrones de flujo. Beggs & Brill estudiaron numerosos artículos de diversos autores y elaborarron un trabajo donde se han descrito los patrones y los métodos propuestos para predecir su presencia en la tubería. Algo en común en todas las investigaciones es que ellas se han hecho con datos tomados a presiones bajas, con muy baja transferencia de masa entre las fases y con una sola fase líquida. Por lo que se acaba de decir, estas correlaciones no son adecuadas para pozos que producen a altas presiones, altas temperaturas, o para pozos que producen agua, aceite y gas con tendencia a la formación de espumas. Para el caso más común en los pozos de petróleo, que es el flujo multifásico ascendente, la mayoría de investigadores reconocen la existencia de cuatro patrones de flujo: flujo en burbujas, flujo slug, flujo churn, y flujo anular. Estos patrones de flujo son esquematizados en figura 5.2 y se explicarán a continuación. El flujo slug y el flujo churn algunas veces son combinados en uno solo y se les llama flujo intermitente. También es muy común describir un flujo en transición que se dá entre el flujo slug y el flujo anular que incluye al flujo churn. Algunos investigadores también dividen el flujo anular entre flujo niebla o flujo niebla anular.


167

Figura 5-2 Patrones de flujo multifásico vertical FLUJO BURBUJA. El flujo burbuja se caracteriza por la presencia de burbujas de gas distribuidas uniformemente y en forma discreta en una fase líquida contínua. Basado en la presencia o ausencia del fenómeno de deslizamiento entre las dos fases, este patrón de flujo se subdivide en dos, burbujas grandes y burbujas pequeñas dispersas. En el primer caso, las burbujas de gas son más grandes y más escasas y se mueven más rápido que la fase líquida causando el deslizamiento. En las burbujas dispersas, ellas son mas pequeñas y están mejor distribuidas en el líquido, siendo transportadas por el líquido y viajando a la misma velocidad que él. FLUJO SLUG (baches). El flujo slug se caratcteriza por la presencia de una serie de baches de gas. Cada bache está compuesto por un gran volumen de gas llamado burbuja Taylor, seguido por un tapón de líquido, y una película de líquido rodeando la burbuja Taylor con un movimiento descendente con relación a la burbuja Taylor. La burbuja Taylor tiene la forma de una bala y ocupa casi la totalidad de la tubería. El tapón de líquido transporta burbujas de gas pequeñas y separa las burbujas Taylor. FLUJO CHURN. Este tipo de flujo se caracteriza por ser caótico y tanto las burbujas Taylor como los baches de líquido son distorsionados. Ninguna fase parecer ser la fase continua. La continuidad del líquido repetidamente es destruida por una concentración alta de gas. Existe un movimiento en el líquido cuya Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

168

dirección es alternante pues parece que en instantes el líquido se mueve hacia abajo. FLUJO ANULAR. El flujo anular se caracteriza por la continuidad en la parte central del tubo de la fase gaseosa, con el líquido ascendiendo a lo largo de la pared de la tubería, ya sea como una película adherida a la tubería o como gotas de líquida dispersas en el gas. Cuando las ratas de flujo de gas son altas el líquido se dispersa en el gas y solo una película delgada de líquido fluirá cerca a las paredes de la tubería. La fuerza interfacial existente entre el flujo de gas en el centro de la tubería y el líquido que fluye cerca a la pared de la tubería y la cantidad de líquido que viaja en el gas son parámetros muy importantes a tener en cuenta en este patrón de flujo. CRITERIOS PARA IDENTIFICAR LOS PATRONES DE FLUJO. Cuando se está por encima de la presión de burbuja el flujo es ciento por ciento líquido. A medida que el fluido ascienda por el pozo llegará a zonas de menor presión que pueden estar por debajo de la presión de burbuja y el gas en solución empezará a liberarse. Este gas liberado inicialmente hará presencia en forma de burbujas pequeñas presentes en la fase líquida, las cuales son características del patrón de flujo burbuja. A medida que el fluido ascendienda por la tubería encontrará zonas de menor presión haciendo que las burbujas de gas se expandan y que se libere mas gas de la fase aceite. Esto hace que se creen más burbujas y que algunas de ellas se junten para formar burbujas aun más grandes. El agrandamiento hace que se formen las burbujas Taylor que se separan unas de otras por la fase líquida. Aquí aparece el patrón de flujo slug. Al continuar el fluido el viaje hacia superficie encontrará zonas de menor presión haciendo que más gas sea liberado de la solución y que las burbujas Taylor aumenten de tamaño. Esto creo un estado caótico de flujo de las dos fases el cual crea el llamado flujo churn. El flujo continua hasta que la rata de flujo de gas se hace lo suficientemente alta para empujar el líquido hacia la pared de la tubería, lo que convierte el patrón de flujo a anular. Debido a los constantes cambios de presión, temperatura y a la transferencia de masa entre las dos fases, el patrón de flujo que inicialmente era absolutamente líquido en el fondo de pozo se transforma completamente hasta llegar a tener como fase continua al gas en la cabeza de pozo, como se muestra en la figura 5.2. Múltiples investigadores han desarrollado diversos experimentos y diversos mecanismos para medir experimentalmente las fracciones de tubería que eran ocupadas por cada una de las fases, HL y H g, y correlacionar dichos valores con los patrones de flujo. Más adelante se mostrarán algunas correlaciones resultantes de trabajos que se han propuesto para predecir el HL y con ello el patrón de flujo. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

169

5.15 ALGORITMO DE CÁLCULO DEL GRADIENTE DE PRESIÓN Para hacer los cálculos de caída de presión a lo largo de la tubería de producción es necesario integrar los diferentes gradientes que se dan a lo largo de ella y la caída de presión total de obtendrá de la siguiente expresión, L

 dP   dL dL   0

∆P = ∫ 

(5.52)

Para un fluido compresible o ligeramente compresible el gradiente de presión planteado en la ecuación 5.50 varía a lo largo de toda la tubería. Esto es valedero también para mezclas multifásicas e incluso para flujo por encima de la presión de burbuja pues la temperatura varía a lo largo de la tubería. En pozos de petróleo y de gas el gradiente de presión variará con la presión, la temperatura y con el ángulo de inclinación del pozo. En consideración a lo anterior, los cálculos de caída de presión requieren del uso de un algoritmo numérico. La ecuación para determinar el gradiente de presión y que está presentada en forma de ecuación diferencial tiene variables que dependen de los valores de P y T. Los procesos de solución a dicha ecuación, ya sea en forma manual o a través de programas de computador, deben resolver el problema mediante un algoritmo en cadena. Para resolver el problema se debe empezar ya sea por la cabeza de pozo o por el fondo de pozo y marchar hacia el otro extremo, integrando numéricamente el gradiente de presión calculado para intervalos pequeños de tubería. La figura 5.3 muestra un esquema de un pozo que ha sido dividido en segmentos, en donde cada segmento tiene un ángulo de inclinación diferente. Se requerirán de segmentos nuevos, o nodos nuevos, en aquellos puntos donde haya transferencia de masa, o donde e ubique una bomba, o donde cambie la configuración de la sarta de producción (cambios de diámetros, presencia de válvulas, etc.). Se pueden dar cambios de rata de flujo másica por inyecciones de gas o por la concurrencia de otras zonas de producción. Cada segmento debe tener una longitud que garantice que el gradiente de presión a lo largo de él sea constante. Hay que recordar que los cambios de densidad, velocidad y patrones de flujo afectan los gradientes de presión. Aún en cada segmento de la tubería es necesario hacer subdivisiones para mejorar el cálculo de los gradientes de presión. La caída de presión total se determina luego de, n

 dP   ∆Li , j dL   i =1 m

∆P = ∑∑  j =1

(5.53)

La figura 5.4 muestra lo que sería el diagrama de flujo para un algoritmo para el cálculo del gradiente de presión en un solo segmento de la tubería, en la cual T i y Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

170

Pi son conocidos y Ti+1 y Pi+1 son calculados. El cálculo de la pérdida de presión total se hace mediante la suma delas caídas de presión de cada segmento. CORRELACIONES PARA PREDECIR GRADIENTES DE PRESIÓN Los principios que se usan para calcular los gradientes de presión en flujo multifásico son los mismos principios que se usan para el caso de flujo monofásico y que ya se mencionaron con anterioridad. Sin embargo, la presencia de fases adicionales hace que la aplicación y desarrollo del principio de conservación de masa y de mometum sean más complicados.

Figura 5-3 Esquema de segmentos típicos en un pozo Los primeros investigadores que abordaron el tema del flujo multifásico lo trataron como una mezcla homogénea de gas y líquido. Esta aproximación no reconoce el hecho de que la fase gaseosa viaja a una velocidad mayor que la velocidad de la fase líquida. Estos métodos hacían una subestimación del valor de caída de presión toda vez que el volumen de líquido presente en el pozo era muy pequeño.


171

Figura 5-4 Diagrama de flujo para cálculo de gradientes de presión Para corregir las fallas de estos primeros investigadores, aparecieron entonces las correlaciones empíricas para determinar la fracción de líquido (hold-up) y estimar el valor del deslizamiento entre las fases. Las correlaciones presentadas eran aún dependientes del patrón del flujo, predicho de mapas de flujo empíricos, tanto para determinar el hold-up como para determinar la pérdidas de presión por fricción. Igualmente estas correlaciones tratan a los fluidos como mezclas homogéneas. Lamentablemente tratar a los fluidos como mezclas homogéneas no corresponde con la realidad y por ello las predicciones ofrecen resultados muy pobres. Esto ha hecho que aparezca una nueva aproximación con los modelos llamados mecanísticos, en los cuales las leyes básicas de la física son usadas para modelar este tipo de flujo incluyendo la predicción de los patrones de flujo. Los modelos mecanísticos todavía requieren del uso de conocimiento empírico, aunque solamente para predecir mecanismos de flujo específicos o variables Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

172

relacionadas. Los métodos para predecir los gradientes de presión pueden ser clasificados como correlaciones empíricas y modelos mecanísticos. 5.16 CORRELACIONES EMPÍRICAS Las correlaciones empíricas pueden ser clasificadas en tres categorías. A la primera categoría (categoría a en la tabla 5-2) pertenecen aquellas correlaciones que no consideran ni el deslizamiento entre las fases ni los patrones de flujo. La densidad de la mezcla es calculada con base en la relación gas/líquido de entrada. Esto quiere decir que el gas y el líquido viajan a la misma velocidad. La única correlación necesaria es la del factor de fricción bifásico. No se hace distinción entre los patrones de flujo. A la segunda categoría (categoría b en la tabla 5-2) pertenecen las correlaciones que sí consideran el deslizamiento pero no los patrones de flujo. Se requiere entonces de correlaciones para predecir el hold-up de líquido y el factor de fricción. Como el líquido y el gas viajan a diferentes velocidades se requiere de una metodología para predecir la fracción de tubería que es ocupada por el líquido (HL) en un determinado punto de la tubería independientemente del patrón de flujo. La tercera categoría de correlaciones (categoría c en la tabla 5-2) consideran tanto el deslizamiento como los patrones de flujo. En este caso se presentan correlaciones para estimar HL y el factor de fricción como también métodos para predecir que patrón de flujo se puede estar dando en un punto dado de la tubería. Una vez se sabe el patrón de flujo, se usan las correlaciones apropiadas para determinar el HL y el factor de fricción. El método a emplear para calcular el gradiente de aceleración también depende del patrón de flujo. En la tabla 5-2 se presenta un listado de las correlaciones de flujo multifásico al igual que la categoría a la que pertenece cada una de ellas. Es necesario aclarar que de los métodos enunciados en la tabla 5-2, solamente los métodos de Beggs & Brill y el de Mukherjee & Brill investigaron los efectos de tener tuberías inclinadas, lo que permite concluir que estos dos métodos son aplicables además a casos de pozos de inyección o tuberías de producción que estén tendidas sobre terrenos irregulares. En este trabajo se van a describir un mínimo de métodos para cada tipo de categoría y se deja a consideración del lector la opción de buscar en la literatura los procedimientos de los métodos de su interés.


173

Tabla 5-2 Correlaciones para cálculos de gradiente de presión flujo multifásico Método

Categoría

"oetteman % Car&enter

a

'a(endell % )*omas

a

+anc*er % 'ro,n

a

Hagedorn % 'ro,n

b

ra%

b

As*eim

b

uns % /os

c

risze,si

c

Aziz % otros

c

C*ierici % otros

c

'eggs % 'rill

c

u*eree % 'rill

c

5.17 MÉTODO DE POETTMAN Y CARPENTER Este método, que es pionero de la investigación en el tema de estimar los gradientes de presión en flujo multifásico, pertenece a la primera categoría de correlaciones en donde no se consideró el deslizamiento ni los patrones de flujo y lo que se hizo fue proponer una metodología específica para determinar el factor de fricción multifásico. Para determinar el gradiente de presión vertical solo tienen en cuenta el componente de fricción y los cambios por elevación. Los efectos de la aceleración no fueron tenidos en cuenta. La correlación inicial propuesta por Poettmann & Carpenter fue objeto de estudio por parte de Baxendell & Tomas y por Fancher & Brown quienes propusieron modificaciones para hallar el factor e fricción. La ecuación para determinar el gradiente de presión tiene la siguiente forma, dP dZ

2

=

f ρ vm

2d

+ ρ n g

(5.54)

Que en unidades de campo toma la forma de, 2   fmT ρ = +  m  10 5  dZ 144  x ρ d 7.413 10  m 

dP

1 

(5.55)

donde, ρm = densidad de la mezcla de fluidos, lbm/gal mT = rata másica diaria de fluidos, lbm/d


174

f = factor de fricción de Poettmann & Carpenter d =

diámetro de la tubería, ft

(5.56)

La siguiente figura es usada para determinar el valor del factor de fricción por el método propuesto inicialmente por Poettmann & Carpenter. Con los recursos informáticos que se tienen hoy en día, dicha gráfica puede ser digitalizada y con los datos se puede determinar una correlación que reproduzca los mismos resultados.

Figura 5-5 Factor de fricción de Poettmann y Carpenter Se debe notar en la figura que la variable que va en el eje horizontal corresponde al numerador del llamado número de Reynolds y por lo tanto no es un valor adimensional, sus unidades son lbm /ft-sec. Estos métodos, que no consideran la diferencia de velocidades entre la fases gaseosa y la fase líquida (no consideran el deslizamiento) ni tampoco consideran los patrones de flujo, no hacen buenas predicciones y no son recomendados para hacer los cálculos de gradientes de presión en pozos verticales. La razón de Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

175

haberlos mencionado se basa en haber sido de las primeras propuestas que aparecieron para abordar el tema. Estas correlaciones pueden dar resultados satisfactorios solo en aquellos casos en donde la rata de flujo sea alta y el patrón de flujo que se tenga sea de burbujas dispersas. La metodología se ilustra con el siguiente ejemplo. EJEMPLO 5.4 Para los siguientes datos de un pozo, estimar la longitud para cual la caída de presión es de 1515 psi. d=1.995 in, WHP=500 psi, BHP= 1000 psi, WHT=120 °F, BHT=150 °F. WSG=1.07, API=22 °F, GSG=0.65, qo=400 STB/d, qw =600 STB/d. GLR=500 scf/STB. SOLUCIÓN Para encontrar el gradiente de presión, primero hay que hacer unos cálculos preliminares: γ o =

141.5

141.5

=

= 0.922 131.5 + API 131.5 + 22 q + qo 600 + 400 GOR = w ( GLR ) = ( 500) = 1250 scf/STB 400 qo

Calcular la masa asociada a cada barril de aceite producido, m = masa de aceite + masa de gas + masa de agua m = 323 + 62 + 562 = 947 lb m /STBO

La rata másica diaria será entonces. m T = 947 lbm /STBO (400) = 378585 lbm /dia Para estimar las propiedades PVT se puede hacer de dos formas. Una es calculándolas en los dos puntos extremos y luego promediarlas, y la segunda, estimarlas a las condiciones de P y T promedio del intervalo. Usando esta segunda opción, T avg = Pavg =

WHT + BHT

2 WHP + BHP

2

= =

120 + 150 2

= 135 °F

500 + 1500 2

= 1000 PSI

Mediante correlaciones se pueden estimar las propiedades PVT, Bo=1.07 bbls/STB Rs=94 scf/STB Z=0.91 Con estos datos se puede calcular el volumen de la mezcla asociado a un barril de petróleo,  14.7   T    (Z ) P 520     14.7  135 + 460  Vm = 5.615(1.07) + 5.615 (1.5 ) + (1250 − 94)400    ( Z )  1014.7  520  Vm = 5.615Bo + 5.615WOR + (GOR − Rs ) qo 


176 Vm=37.83 ft3 La densidad de la mezcla será entonces la relación entre la masa y el volumen asociados a un barril de petróleo, ρ m =

m V

=

947 37.83

= 25.03 lbm/ft 3 25.01 lbm/ft3

Ahora se puede calcular el valor de ρvd de la siguiente ecuación que ya tiene la constante para ser usada con unidades de campo estando el diámetro en pies, ρ vd = 1.4737x10 −5 ρ vd = 1.4737 x10 −5

mT d 378585

1.995 / 12

= 33.56 lb m /ft.sec

Con este valor se va a la figura, o se usa la correlación para la figura, y se obtiene que, f=0.00936 El gradiente de presión se calcula usando la ecuación, 2 2   0.00936 (378585 )   1  fmT  25.01 +  = =   = 0.2133 psi/ft  ρ m +  5 10 5  10  7.413 10 144 dZ 144  x ρ d 7.413 10 25.01 1.995 /12 x  ( )( )   m   

1 

dP

Luego la longitud de tubería vertical que causaría dicho gradiente de presión sería, L =

BHP − WHP 1500 − 500 = = 2344 ft dP 0.2133 dZ

5.18 MÉTODO DE HAGEDORN Y BROWN Este método pertenece al grupo de la segunda categoría en donde sí se considera la diferencia de velocidades entre las fases pero no se consideran patrones de flujo. El método está basado en datos obtenidos en un pozo de 1500 ft de profundidad. Se usó aire como la fase gaseosa y cuatro tipos de fase líquida que fueron: agua, crudo de 10, 30 y 100 cp de viscosidad. Las pruebas se corrieron en tuberías de 1.0, 1.25 y 1.5 in de diámetro y son de las más representativas que se encuentran el la literatura. Sin embargo, hay que aclarar que Hagedorn & Brown no midieron el HL, sino que lo calcularon experimentalmente desarrollando una ecuación para estimar el gradiente de presión que después de asumir una correlación para el factor de fricción, reprodujera los gradientes de presión medidos en las pruebas. Lo que quiere decir que los valores de H L no son una medida directa de la porción de la tubería ocupada por el líquido. La ecuación propuesta por Hagedorn & Brown para determinar el gradiente de presión en flujo multifásico es, Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

177

dP dZ

2 2

=

f ρ n vm

2 ρ s d

+ ρ s g +

ρ s ∆ ( vm2 ) 2dZ

(5.57)

PREDICCIÓN DE HL. Para calcular el gradiente de presión por fricción primero se debe calcular la fracción de líquido (HL). Para ello Hagedorn & Brown usaron los cuatro grupos adimensionales propuestos por Duns & Ros, que se presentan a continuación ya con constantes para ser calculados con base a las unidades de campo. Número de velocidad del líquido 1

N LV

 ρ L  4 = 1.938vsl    σ L 

N gV

 ρ L  4 = 1.938vsg    σ L 

(5.58)

Número de velocidad del gas 1

(5.59)

Número del diámetro de la tubería 1

 ρ L  2 N d = 120.872d   σ  L 

(5.60)

Número de viscosidad del líquido 1

 1 4 N L = 0.15726 µ L   ρ σ 3   

(5.61)

L

donde: d= ft ρ= lbm /cu ft vsL= ft/sec vsg= ft/sec µL= cp σ = dinas/cm. La figura 5.6 muestra la correlación entre

H L

ψ

. El eje de las abscisas requiere del

conocimiento de CNL, el cual está correlacionado con N L en la figura 5.7. La figura 5.8 muestra el factor de correlación secundario. Una vez se halla el HL se puede calcular la densidad teniendo en cuenta el deslizamiento. Para hallar el factor de fricción Hagedorn & Brown asumieron que para el caso de flujo multifásico se podría estimar de la misma manera que para el flujo monofásico. Luego el factor de fricción f puede ser obtenido del diagrama de Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

178

Moody o de una de las correlaciones ya mencionadas para el efecto a partir de la rugosidad relativa y de un número de Reynolds bifásico definido como,

Figura 5-6 Correlación de Hagedorn & Brown para H L ψ

Figura 5-7 Correlación de Hagedorn & Brown para CN L


179

Figura 5-8 Correlación de Hagedorn & Brown para ψ N RE =

ρ n vm d µ s

(5.62)

donde µs es obtenido usando la ecuación 5.45. El componente de aceleración del gradiente total de presión está dado por, ρ s ∆ ( vm2 )  dP   dZ  = 2dZ   acc

(5.63)

donde, (5.64) ∆ ( vm2 ) = vm2 1 − vm2 2

los subíndices 1 y 2 representan las condiciones aguas abajo y aguas arriba respectivamente en cada intervalo de cálculo. Si Ek se define como, ρ s ∆ ( vm2 )  dZ   dP  E k =    = 2dP  dP   dZ acc

(5.65)

el gradiente de presión total se puede calcular de,  dP   dP    +  dP  dZ  el  dZ  s =

dZ

1 − E k

(5.66)

En unidades de campo y usado en factor de fricción de Moody, la ecuación queda como, Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

180

2 ∆P _ fw = ρ m + 144 _ ∆h 11 5 2.9652 x10 d ρ

 vm2  ∆  _ 2gc   + ρ m ∆h

(5.67)

m

El método de Hagedorn & Brown ha sido muy útil en la industria petrolera y por ello mismo ha sido objeto de revisiones a través del tiempo que han concluido con modificaciones que mejoran las predicciones. Una de las modificaciones, que fue sugerida por los mismos autores, es que si al aplicar el método de Griffith & Wallis y se encuentre que exista un patrón de flujo tipo burbuja se siguiera la metodología sugerida por Griffith & Wallis para predecir el gradiente de presión. El criterio de Griifith & Wallis para saber si hay flujo burbuja es el siguiente. A = 1.071 −

0.2218 ( vsl + vsg )

2

d

En caso de que A sea menor que 0.13 entonces a A se le da este valor, A=0.13. B =

vsg vsl + vsg

Si B-A es menor que cero entonces hay régimen de flujo tipo burbuja. En caso de existir flujo burbuja, el método de Griifith & Wallis para estimar el gradiente de presión se basa en la velocidad del líquido y desprecia el componente que depende de la energía cinética. La correlación queda entonces como, dP dZ

donde

=

2 l

2 f ρ l v d

vl es la velocidad promedio del

vl =

_

+

ρ g gc

(5.68)

líquido y es definida como, vsl

λl

=

ql Aλ l

(5.69)

En unidades de campo la ecuación 5.67 se puede escribir como, 144

dP dZ

_

= ρ +

fw

2

2.9652*1011 D 5 ρ lλ l2

(5.70)

donde w es rata másica de flujo de líquido por día.. El valor de λl es, 

2



v  v  1 v λ l = 1 − 1 + m −  1 + m  − 4 sg  2 vs vs   vs 



(5.71)




181

donde v s =0.8 ft/sec . Una segunda modificación, que es más significativa que la primera, es que si al calcular el HL este resulta ser menor que el λL, se debe tomar éste último como el valor de HL. La razón para este cambio es que cuando se considera que existe deslizamiento entre las fases no es posible que en el flujo vertical la fase líquida viaje más rápido que la fase gaseosa (no es posible que HL sea menor que el λL). En conclusión, el método de Hagedorn & Brown es una combinación de varios métodos. A continuación se explica mejor la metodología con un ejemplo. EJEMPLO 5.5 Se tiene un pozo vertical con las siguientes características. Tubería de producción con ID=1.995 in, la presión en cabeza de pozo WHP=500 psi, la temperatura en cabeza de pozo WHT=120 °F, suponer que la temperatura en fondo del intervalo (pozo) es BHT=150 °F, la gravedad del crudo es API= 22, la gravedad específica del gas GSG=0.65, la gravedad específica del agua WSG=1.07, el caudal de aceite qo=400 STB/d, el caudal de agua qw=600 STB/d, la relación gas-líquido es GLR=500 scf/STBL, la tensión superficial del agua es WST= 70 dinas/cm, la viscosidad del gas considerarla constante e igual a 0.02 cp y la rugosidad de la tubería 0.00015 ft. Calcular la longitud para cual se tendría una caída de presión de 500 psi. SOLUCIÓN Si la caída de presión es 500 psi quiere decir que la presión aguas arriba es 1000 psi. El cálculo se realiza secuencialmente de la siguiente manera. Calcular la gravedad específica del aceite, OSG =

141.5 131.5 + API

Calcular el WOR, WOR =

qw qo

=

600 400

=

141.5 131.5 + 22

= 0.922

= 1.5 STBW/STBO

Calcular GOR,  qo + qw  600 + 400  GLR = 400 ( 500 ) = 1250 scf/STBO  qo 

WOR = 

Calcular la masa asociada a un barril de líquido, m = masa de aceite + masa de gas + masa de agua

1    WOR  + 350γ w    + 0.0764GLRγ g  1 + WOR   1 + WOR   1   1.5  m = 350 ( 0.922 )  + 350 1.07 ( )    + 0.0764 (500 ) (0.65 )  1 + 1.5   1 + 1.5  m = 350γ o 


182

m = 129 +24.83 + 224.7=378.58 lb m /STB

La rata másica diaria será, mt = m * ( qo + qw ) = 378.58 ( 400 + 600 ) = 378585 lb/d

Calcular las propiedades PVT a la presión y temperatura promedio del intervalo que es 750 psi y 135 °F. Para ello se usan correlaciones y se obtiene: Bo= 1.065 RB/STB, Rs=93.16 scf/STB, Z=0.915, µ o=11.87 cp, µw=0.46 cp, σo=16.68 dinas/cm. El factor volumétrico del agua se toma igual a la unidad y la viscosidad del gas se considera constante. La densidad del aceite, del agua, del líquido y del gas son, 350γ o + 0.0764γ g Rs 350 ( 0.922 ) + 0.0764 ( 0.65) (93.17 ) ρ o = = = 54.72 lb/ft 3 5.615 Bo 5.615 (1.065 ) 350 (1.065) 350γ w ρ w = = = 66.69 lb/ft 3 5.615 Bw 5.615 (1) F o = F o =

1 1 + WOR WOR

=

1 1 + 1.5 1.5

= 0.4

= = 0.6 1 + WOR 1 + 1.5 ρ L = ρ o Fo + ρ w F w = 54.72 ( 0.4 ) + 66.67 ( 0.6) = 61.9 lb/ft3 ρ g =

0.0764γ gTsc P

=

0.0764 ( 0.65) ( 520 )( 764.7 )

= 2.467 lb/ft 3

(14.7) ( 460 + 135) ( 0.915) La viscosidad promedio de la fase líquida es, µ L = µ0 xFo + µ w xF w = 11.87 ( 0.4) *0.46 ( 0.6) = 5.026 cp Calcular la rata volumétrica de fluidos en ft 3 /sec, 0.000000327 qo ( GOR − Rs ) ZT qg = qg =

PscTZ

P 0.000000327 ( 400) (1250 − 93.17 ) (0.915 ) (135 + 460 )

= 0.1077 ft 3 /sec

764.7 ql = 0.0000649 ( qo Bo + q wBw ) = 0.0000649 ( 400x1.065 + 600x 1.0) = 0.06659 ft3 /sec

El área de la sección transversal de la tubería es, 2 π D 2 π (1.995 / 12) 2 A =

=

4

4

= 0.0217 ft

La velocidad superficial del líquido y de gas y la velocidad de la mezcla es, vsl = vsg =

vl A vg A

= =

0.06659 0.0217 0.1077 0.0217

= 3.067 ft/sec = 4.9619 ft/sec


183

vm = vsl + v sg = 3.067 + 4.9619 = 8.0295 ft/sec

El hold-up de líquido sin deslizamiento es, λ L =

q L q L + qg

=

0.06659 0.06659 + 0.1007

= 0.382

Para determinar el hold-up con deslizamiento hay que hacer uso de las correlaciones establecidas por Hagedorn & Brown. Hay que hallar primero la tensión superficial promedio de la fase líquida, σ L = σ o Fo + σ w F w = 16.68 ( 0.4) * 70(0.6) = 48.67 dinas/cm El número de viscosidad del líquido es,  1  N L = 0.15726 µ L   ρ σ 3   

1

L

4

  1 = N L = 0.15726 (5.026 )    ( 61.9) ( 48.67 ) 3   

1

4

= 0.013059

Con este valor de NL se puede conocer el valor de CN L por medio de la gráfica o mediante correlaciones, CNL=0.002657 Hay que chequear el régimen de flujo para saber si es burbuja y aplicar la metodología de Griffith & Wallis. A = 1.071 −

0.2218 ( vsl + vsg )

2

= 1.071 −

d

0.2218( 3.0675 + 4.962 ) 0.16625

2

= −84.9

Como A es menor que 0.13 entonces a A se le da este valor, A=0.13. B =

vsg vsl + vsg

=

4.962 3.0675 + 4.962

= 0.6179

Como B-A es mayor que cero, entonces no hay régimen de flujo tipo burbuja, no se aplica el método de Griffith & Wallis y se sigue con la metodología de Hagedorn & Brown. El número de velocidad del líquido es,  61.9  N LV = 1.938 ( 3.067 )    48.67 

1

4

= 6.313

El número de velocidad del gas es, 1

N gV

 ρ L  4  61.9  = 1.938vsg   = 1.938 ( 4.9619 )    48.67   σ L 

1

4

= 10.21

El número del diámetro del la tubería es,  1.995  61.91  N d = 120.872     12  48.67 

1

2

= 22.66

Ahora se procede a calcular la función correlacionante del hold-up, Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

184

N LV  P  φ = 0.575   N gV  14.7 

0.1

0.1

 CN L  6.31  764.7   0.002657   =   22.66  = 0.0002888 0.575  10.212 14.7 N      d 

Con este valor se va a la gráfica o por correlaciones se obtiene, H L

ψ

= 0.52

Calcular el parámetro correlacionante del factor de corrección secundario, 0.38 N gV N L0.38 10.21 (0.013059 ) 2.14

N d

=

22.66

2.14

= 0.98

Ahora se calcula HL, H L =

H L

ψ

* = .98 = 0.52*0.98 = 0.51

Este valor se compara con el valor de Lambda. Como 0.51 es mayor 0.382 entonces se toma como hold-up, HL=0.51. Se calcula ahora el número de Reynolds para el sistema bifásico, 2.2 x10−2 ( 378585 ) 2.2 x10−2 w N R e,TP = = = 150057 0.51 HL (1− H ) (1−0.51) d µ L µ g 0.1665 ( 5.026) (0.018) µ g Con este valor y el valor de la rugosidad se hace uso de la correlación de Colebrook para hallar el factor de fricción el cual da, L

f = 0.021

Se debe calcular la densidad de la mezcla con el valor del hold-up. _

_

ρ m = ρ L H L + ρ g (1 − H L ) = 61.9(0.51) + 2.467(1 − 0.51) = 33.29 lb/ft3

Para calcular el componente de aceleración en el gradiente de presión se debe conocer las velocidades del fluido en los dos puntos y para ello se deben conocer propiedades PVT en dichos puntos. Si el punto 1 es la cabeza de pozo y el punto 2 es el fondo, las propiedades PVT en dichos puntos son: Bo1=1.04 rb/STB, Rs1=61.1 scf/STB, Z1=0.937, Bo2=1.08 rb/STB Rs2=125 scf/STB, Z2=0.949 Con estas propiedades PVT se calculan las ratas volumétricas de en cada punto, qg 1 =

0.000000327 qo ( GOR − Rs1 ) Z1T1 P1

= 0.164 ft3 /sec

ql1 = 0.0000649 ( qo Bo1 + qw Bw ) = 0.06608 ft 3 /sec

qg 2 =

0.000000327 qo ( GOR − Rs 2 ) Z 2T2 P2

= 0.0838 ft3 /sec


185

ql 2 = 0.0000649 ( qo Bo 2 + q w B w ) = 0.06711 ft 3 /sec

Las velocidades superficiales de gas y de líquido en cada punto son, vsg1 = vsg 2 =

vsL1 = vsL 2 =

qg1 Area qg 2 Area q L1

Area q L 2 Area

= =

= =

0.1642

= 7.566 ft/sec

0.0217 0.08389 0.0217 0.066

0.0217 0.0671 0.0217

= 3.8645 ft/sec

= 3.044 ft/sec = 3.0915 ft/sec

Las velocidades de la mezcla en los puntos 1 y 2 son, vm1 = vsL1 + vsg1 = 10.6109 ft/sec vm 2 = vsL2 + vsg 2 = 6.956 ft/sec

 10.612 − 6.9562   vm2  144 (1000 − 500 ) − 33.29  144∆P − ρ m ∆    2 (32.2 ) g 2  c    = 2015.9 ft ∆h = _ = 2 2 _

ρ m +

fw

_

2.9652 x1011 d 5 ρ m

33.29 +

0.02106 (378585 ) 5

2.9652 x1011 (0.16625) ( 33.29 )

Lo que permite concluir que en 2016 ft se tendrá una caída de presión de 500 psi. 5.19 METODO DE BEGGS y BRILL La correlación de Beggs & Brill para estimar los gradientes de presión difiere significativamente de la Hagedorn & Brown pues ella se puede aplicar para diferentes inclinaciones de la tubería y teniendo en cuenta la dirección de flujo. El método esta basado en el régimen de flujo que se tendría cuando la tubería esté horizontal y luego se hacen correcciones al hold-up para incorporar el efecto de la inclinación. Este método es el más recomendado para usar cuando se tengan tuberías inclinadas. El método de Beggs & Brill usa la ecuación de balance de energía mecánica y la densidad promedio in situ para calcular el gradiente de presión y está basado en los siguientes parámetros, 2

N FR =

λ l =

vm gd

vsl

(5.72)

vm

0.302

L1 = 316λ l

(5.73)

(5.74)


186

L2 = 0.0009252λ l−2.4684

(5.75)

L3 = 0.1λ l−1.4516

(5.76)

L4 = 0.5λ l−6.738

(5.77)

Los patrones de flujo horizontal para Begss & Brill, que son la base de los parámetros, son segregado, transición, intermitente y distribuido. La figura siguiente ilustra estos patrones de flujo.

Figura 5-9 Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

187

Patrones de flujo horizontal según Beggs & Brill Para resolver un problema hay que estimar qué patrón de flujo se tiene en el segmento de interés y para ellos se usan los siguientes criterios: El flujo es SEGREGADO ocurre si, λl < 0.01 y N FR
(5.78)

El flujo TRANSICIÓN ocurre si, λ l ≥ 0.01 y L2 < N FR ≤ L3

(5.79)

El flujo INTERMITENTE se da si, 0.01 ≤ λl < 0.4 y L3 < N FR ≤ L1 ó λ l ≥ 0.4 y L3 < N FR ≤ L4

(5.80)

El flujo DISTRIBUIDO ocurre sí, λl < 0.4 y N FR ≥ L1 ó λ l ≥ 0.4 y N FR > L4

(5.81)

Si el patrón de flujo encontrado es TRANSICIÓN, el hold-up se debe calcular con las ecuaciones del flujo SEGREGADO y el flujo INTERMITENTE, para luego interpolar usando la siguientes ponderación, H L ( transición) = AxH L( segregado) + BxH L(int ermitente)

(5.82)

donde, A =

y

L3 − N FR L3 − L2

B = 1 − A

(5.83) (5.84)

Para calcular el hold-up se usan las mismas ecuaciones para todos los patrones de flujo, lo único que cambia son los coeficientes y los exponentes. El hold-up para flujo inclinado se calcula multiplicando el hold-up de flujo horizontal por un factor de corrección. (5.85) H L(φ ) = H L(0 )ψ donde HL(0) es el hold-up para flujo horizontal y es calculado de, b

H L( 0) =

aλ l c

N FR

(5.86)


188

donde a, b, y c son característicos de cada patrón de flujo y están dados en la siguiente tabla 5-3. Siempre existe la restricción que H L(0) debe ser mayor que λl. El factor del corrección debido a la inclinación de la tubería para el hold-up horizontal está dado por, ψ = 1 + C  sen (1.8φ ) − 0.333sen 3 (1.8φ ) 

(5.87)

donde  es el ángulo de inclinación de la tubería con respecto a la horizontal. Para flujo vertical, 90°, y la ecuación anterior se convierte en, (5.88) ψ = 1 + 0.333C Tabla 5-3 Valores de las constantes a, b y c Patrón de flujo Segregado Distribuido Intermitente

a 0.98 0.845 1.065

b 0.4846 0.5351 0.5824

c 0.0868 0.0173 0.0609

El valor de C es calculado de, C = (1 − λl ) ln( d λ l N LV N FR e

f

(5.89)

g

Con la restricción que el valor de C debe ser mayor que o igual a cero. Los valores de la constantes d, e, f y g aparecen en la tabla 5-4, Tabla 5-4 Valores de las constantes d, e, f y g. Patrón de flujo d e Segregado ascendente 0.011 -3.768 Intermitente ascendente 2.96 0.305 Distribuido ascendente corrección no requerida Flujo descendente (todos) 4.7 -0.3692

f g 3.539 -1.614 -0.4473 0.0978 C=0, ψ=1,HL?f( ) 0.1244 -0.5056

La componente de fricción del gradiente de presión es, 2

f tp ρ nv m  dP   dZ  = 2 g d   f c

(5.90)

donde, ρ n = ρ l H l + ρ g (1 − H l )


189

f tp = f n

f tp f n

(5.91)

El factor de fricción sin deslizamiento, f n, es calculado del diagrama de Moody para el caso de tuberías lisas (no rugosas) o de la siguiente ecuación, f n =

1

   N R e 2log 3.8215 −     4.5223log ( N R e )   

2

(5.92)

donde el número de Reynolds se calcula sin considerar deslizamiento, N R e =

ρ n vmd µ n

(5.93)

µn = µl λl + µg λ g

(5.94)

La relación entre los dos factores de fricción se calcula de, f tp f n

= es

(5.95)

donde, s=

ln ( y )

{−0.0523 + 3.182 ln ( y ) − 0.8725 ln ( y )  y =

λ l

 H L(φ )   

2

2

+ 0.01853 ln ( y ) 

4

}

(5.96) (5.97)

En la expresión anterior el valor de s es indefinido en el intervalo 1
(5.99)

El término de aceleración es, E k =

ρ tp vm vsg gc P

(5.100)

El gradiente total de presión se calcula entonces de, Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

190

 dP   dZ  =  

 dP  +  dP   dZ   dZ    el   f 1 − E k

(5.101)

donde, ρ tp = ρl H L + ρ g H g

(5.102)

g  dP   dZ  = g ρ tp   el c

(5.103)

EJEMPLO 5.6 Realizar el mismo cálculo del ejemplo mostrado anteriormente por el método de Hagedorn & Brown. SOLUCIÓN Los cálculos iniciales son los mismo hasta el cálculo del valor del hold-up sin deslizamiento, λl. Ahora se sigue con calcular las ratas de flujo másico en lb m /sec-ft2. La rata de flujo de líquido es, Gl = ρ l v sl = 61.09 x3.067 = 189.9

Gg = ρ g vsg = 2.4677 x 4.96199 = 12.2449 Gm = Gl + Gg = 189.9 + 12.244 = 202.14

Calcular el número de Froude, 2

N FR =

vm gd

=

8.029 2 32.2 x 0.16625

= 12.0439

La viscosidad del líquido ya se conoce, sigue el cálculo de la viscosidad de la mezcla, µm = 6.027 x10 −4 ( µl λl + µg λ g ) = 6.027 x10 −4 5.026 x0.382 + 0.018 (1 − 0.382 )  = 0.00121 La tensión superficial del líquido ya fue calculada, se puede seguir entonces con el cálculo del número de Reynolds sin deslizamiento, N R e = N LV

Gm * d

µ m

=

202.14 x 0.16625

 ρ  = 1.938V sl  l   σ l 

0.00121 0.25

= 27753

 61.9  = 1.938 (3.067 )    48.67 

0.25

= 6.31


191

Calcular los parámetros L1, L2, L3 y L4. 0.302 0.302 L1 = 316λ l = 316 ( 0.382 ) = 236.1 L2 = 0.0009252 λ l−

2.4684

= 0.0009252 (0.382 )

L3 = 0.1λ l−1.4516 = 0.1( 0.382 ) L4 = 0.5λ l−

6.738

= 0.5 ( 0.382 )

− 1.4516

− 6.738

− 2.4684

= 0.0099

= 0.404

= 327.15

Ahora se determina el patrón de flujo. Como λl(0.382) es mayor que 0.01 y menor que 0.4 y además L3(0.404) es menor que NFR(12.04) y NFR(12.04) es menor que L1(236) entonces el flujo es INTERMITENTE. Los valores de las constantes a, b, c, d, e, f y g a tomar de las tablas deben ser las correspondientes a este patrón de flujo y son, a = 0.845, b = 0.5351, c = 0.0173, d = 2.96, e = 0.305, f = -0.4473, g = 0.0978. Ahora se puede calcular el hold-up de líquido para la tubería horizontal, 0.5351 b 0.845(0.382 ) aλ l H L( 0 ) =

=

c

N FR

12.04 0.0173

= 0.483

Calcular el factor de corrección por inclinación, ψ = 1 + C  sen (1.8φ ) − 0.333sen 3 (1.8φ ) 

El ángulo se debe pasar a radianes, 90°=1.57 radianes y se debe calcular primero el valor de C. e f g C = (1 − λl ) ln( d λ l N LV N FR C = (1 − 0.382 ) ln (2.96 ( 0.382



0.305

)(6.313− − )(12.04 0 4473

0.0978

)  = 0.1303

ψ = 1 + 0.1303  sen(1.8 x1.57) − 0.333sen 3(1.8 x1.57)  = 1.03

Ya se puede calcular el hold-up para la tubería inclinada, en este caso 90°, H L( 90° ) = H L(0 )ψ = 0.483x1.03 = 0.5025

Conocido el hold-up se procede a calcular densidad de la mezcla considerando el deslizamiento, ρ tp = ρ l H l + ρ g (1 − H l ) = 61.9 ( 0.502) + 2.467 (1 − 0.502) = 32.33 Para calcular la relación de los factores de fricción hay que hallar, y =

λ l

 H L(φ )   

2

=

0.382 2

[0.502]

= 1.5128


192

Calcular el valor de s, ln ( y )

s=

{−0.0523 + 3.182 ln ( y ) − 0.8725 ln ( y ) 

2

+ 0.01853 ln ( y ) 

4

}

ln (1.5128 )

s =

{

2

−0.0523 + 3.182ln (1.5128) − 0.8725  ln (1.5128)  + 0.01853  ln (1.5128) 

4

}

= 0.3709

La relación de los factores de fricción es, f tp

= e s = e 0.3709 = 1.4491

f n

Calcular el factor de fricción para tuberías lisas y flujo monofásico de una correlación conocida, f n =

1



  − 4.5223 log R 3.8215 N ( ) e  

2 log 

N R e

2

1

=



  − 4.5223log 27753 3.8215 ( )   27753

2 log 

2

= 0.0059

Ahora se puede calcular el factor de fricción bifásico, f tp = e s f n = 1.4491( 0.0059) = 0.00862

Conocido el factor de fricción se puede calcular el componente de fricción de gradiente de presión,  dP  = f tpGmv m = 0.00862 (202.14 ) (8.029 ) = 1.3081  dZ  2 g d 2 32.2 0.16625 ( )( )   f c El componente de energía cinética es, ρ tp vm vsg 32.33( 8.029) ( 4.9619) E k = = = 0.0003633 gc P 32.2 ( 764.7 ) (144 ) El componente de elevación es,  dP   dZ  = ρ tp sen (φ ) = 32.33sen(90°) = 32.33  el

La longitud para la cual se tienen 500 psi de caída de presión será, 144 ∆P (1 − E k ) 144 (1000 − 500 ) (1 − 0.000363 ) L =

 dP  +  dP   dZ   dZ    el   f

=

1.3081 + 32.336

= 2139 ft


193

5.20 CALCULO DE LA CAÍDA DE PRESIÓN TOTAL Se han mostrado tres métodos, de los varios que existen, para determinar los gradientes de presión, dP/dZ, y que pueden ser aplicados en cualquier tramo de las líneas de flujo. Sin embargo, la tarea principal del ingeniero de producción es hacer el cálculo de la caída de presión a todo lo largo de la tubería de producción, que puede ser en muchos casos una distancia significativa, y los gradientes de presión varían considerablemente a lo largo de la línea, dependiendo de los valores de la temperatura y la presión que se tengan a lo largo de la línea. Como ejemplo, en un pozo como el que se muestra en la figura de abajo, en la parte inferior de la tubería la presión es mayor que la presión de burbuja del sistema e fluidos y el flujo es monofásico. A medida que el fluido asciende, llega a una zona donde la presión está por debajo de la presión de burbuja, el gas empieza a liberarse y aparece el patrón de flujo llamado burbuja. A medida que el fluido asciende se continua con la reducción de la presión y aparecen los otros regímenes de flujo. Debido a lo anterior, para hacer el cálculo de la caída de presión total a lo largo de la línea de flujo, se debe dividir la distancia total en segmentos que sean lo suficientemente pequeños de tal manera que las propiedades de flujo y el gradiente de presión sean casi constantes en dicho segmento. La suma de todas las caídas de presión de cada segmento provee la caída de presión total. Debido a que tanto la presión como la temperatura varían a lo largo de la línea, el cálculo debe ser iterativo. Aunque no es la aproximación mas exacta, el perfil de temperatura por lo general se toma como una línea recta que une la temperatura de cabeza de pozo con la temperatura de fondo de pozo, como se muestra en la figura.


194

Figura 5-10 Distribución de presión, temperatura y régimen de flujo en un pozo El cálculo de la caída de presión total puede hacerse de dos maneras. Una es fijando los incrementos de longitud y estimar la caída de presión para cada segmento y la otra es fijando la caída de presión y calculando las longitudes para las cuales se tendría dicha caída de presión. CÁLCULOS DE CAIDA DE PRESIÓN FIJANDO LOS INTERVALOS DE LONGITUD. Se empieza con una presión conocida, P1, en una posición conocida L1 (generalmente la cabeza de pozo o el fondo de pozo) y se sigue el siguiente procedimiento. 1. Seleccionar el incremento de longitud, L. Un valor típico suele ser 200 ft. 2. Estimar una caída de presión, ΔP . Un buen estimativo inicial es calcular la densidad promedio de los fluidos sin considerar el deslizamiento y de este valor calcular el gradiente de energía potencial. La caída de presión Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

195

estimada en el intervalo será el gradiente de presión multiplicado por la longitud del intervalo. Este valor estimado de caída de presión por lo general está por debajo del real. 3. Calcular las propiedades de los fluidos a la temperatura promedio (T1+T/2) y presión promedio del intervalo (P 1+P/2) . 4. Calcular el gradiente de presión, dP/dZ , con la correlación de flujo bifásico. 5. Obtener un nuevo estimativo de ΔP , de, ∆Pnew = 

dP 

 ∆L  dZ 

6. Si ΔP new ≠ ΔP old dentro de una tolerancia preestablecida, volver al paso 3 y repetir el procedimiento con un nuevo estimativo de P. CÁLCULOS DE CAIDA DE PRESIÓN FIJANDO LOS INCREMENTOS DE PRESIÓN. Se empieza con una presión conocida, P1, en una posición conocida L1 (generalmente la cabeza de pozo o el fondo de pozo) y se sigue el siguiente procedimiento. 1. Seleccionar el incremento de caída de presión, ∆P. La caída de presión en el intervalo debe ser menos del 10% de la presión P1 y puede ser variado entre un segmento y otro. 2. Estimar un incremento de longitud, ∆L, para la caída de presión seleccionada. Un buen estimativo inicial es calcular la densidad promedio de los fluidos sin considerar el deslizamiento y de este valor calcular el gradiente de presión, al igual que en el procedimiento anterior. 3. Calcular las propiedades de los fluidos a la temperatura promedio (T1+∆T/2) y presión promedio del intervalo (P1+∆P/2) . 4. Calcular el gradiente de presión, dP/dZ, con la correlación de flujo bifásico. ∆ Lnew

 ∆ L   = dP    dZ 

5. Calcular el incremento de longitud ∆L, de 6. Si ∆Lnew≠ ∆Lold dentro de una tolerancia preestablecida, volver al paso 3 y repetir el procedimiento con un nuevo estimativo de ∆L. En este procedimiento como el cambio de la temperatura es mucho menor que el cambio de presión, la convergencia se puede lograr más rápido. Debido a que los cálculos de la caída de presión total a lo largo de la tubería es un proceso iterativo que requiere recalcular muchos propiedades en cada iteración en cada intervalo, lo más indicado es hacer dichos cálculos mediante aplicativos de computación. EJEMPLO 5.7 Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

196

Construir las curvas de gradiente para GLR=0, 500 y 1000 scf/STBL para un pozo vertical de petróleo usando la correlación de Hagedorn y Brown. El pozo y la tubería de producción tienen las siguientes características: ID=2.5 in, WHP=100 psi, WHT=100 °F, BHT=180 °F, API=35, GSG=0.65, WSG=1.07, qo=400 STB/d, qw=400 STB/d, GLR=1000 STBL/d, Longitud de tubo= 10000 ft, WST=70 dinas/cm, OST=30 dinas/cm, viscosidad de gas=0.02 cp, rugosidad del tubo=0.00015 ft. Hacer el cálculo para 10 segmentos. SOLUCIÓN Siguiendo la metodología de Hagedorn y Brown se elaboró un programa de cálculo que arrojó los resultados que se muestran en las siguientes tablas 5-5, 5-6 y 5-7 y en la figura 5-11. Las tablas muestran para cada tramo de tubería la caída de presión, la presión absoluta al final de cada tramo, el valor del hold-up, el factor volumétrico del petróleo, la cantidad de gas de solución, el factor de compresibilidad del gas, el factor de fricción y patrón de flujo. Puede observarse que cuando no hay presencia de gas, el hold-up es igual a la unidad, el flujo es 100% líquido. Tabla 5-5 Perfil de presión para una GLR=0 scf/STBL del ejemplo 5.7 Prof. (ft)

Pressure ∆ P (psi) (psia)

0

L

!o (bbls"#T!)

Rs (s$f"#T!)

1

1.01#

0

%

&a$tor de fri$$i'

Patr' de fluo

0.9!

0.03!1

78uido

114.#

1000

41!.36

531.1

2000

415.93

94#.0

1

1.019

0

0.9

0.035#

78uido

3000

415.5

13!2.5

1

1.022

0

0.6!

0.0356

78uido

4000

415.09

1###.!

1

1.024

0

0.63

0.03!3

78uido

5000

414.!9

2192.3

1

1.02#

0

0.62

0.03#0

78uido

!000

414.3

2!0!.!

1

1.030

0

0.62

0.03#6

78uido

#000

413.92

3020.5

1

1.032

0

0.63

0.0366

78uido

6000

413.55

3434.1

1

1.035

0

0.65

0.0399

78uido

9000

413.1#

364#.2

1

1.036

0

0.6#

0.0411

78uido

10000

412.6

42!0.0

1

1.040

0

0.9

0.0424

78uido

Tabla 5-6 Perfil de presión para una GLR=500 scf/STBL del ejemplo 5.7


197

Prof. (ft)


0

L

!o (bbls"#T!)

Rs (s$f"#T!)

%


Patr' de fluo

114.#

1000

109.4

224.1

0.24

1.03

29.26

0.96

0.0166

:o burbua

2000

125.2

349.3

0.26

1.04

50.!2

0.9!

0.0169

:o burbua

3000

139.9

469.2

0.31

1.05

#5.96

0.95

0.0190

:o burbua

4000

154.2

!43.3

0.35

1.0#

105.05

0.93

0.0191

:o burbua

5000

1#2.4

615.#

0.39

1.06

136.06

0.92

0.0193

:o burbua

!000

200.4

101!.1

0.4!

1.10

1#!.51

0.90

0.019#

:o burbua

#000

22#.9

1243.9

0.53

1.13

221.44

0.69

0.0202

:o burbua

6000

253.6

149#.#

0.!0

1.15

2#2.!1

0.66

0.020#

:o burbua

9000

2##.1

1##4.6

0.!!

1.16

329.4#

0.6#

0.0212

:o burbua

10000

29#.2

20#2.0

0.#2

1.22

391.25

0.6!

0.0216

:o burbua

Tabla 5-7 Perfil de presión para una GLR=1000 scf/STBL del ejemplo 5.7 Prof. (ft)


0

L

!o (bbls"#T!)

Rs (s$f"#T!)

%


Patr' de fluo

114.#

1000

9#.451

212.2

0.21

1.03

26.2

0.96

0.016#

:o burbua

2000

106.19

320.3

0.23

1.04

4!.#

0.9#

0.016#

:o burbua

3000

116.01

436.3

0.2!

1.05

!#.6

0.9!

0.0166

:o burbua

4000

12#.34

5!5.#

0.26

1.0!

91.5

0.94

0.0166

:o burbua

5000

13!.35

#02.0

0.3

1.06

11#.3

0.93

0.0169

:o burbua

!000

145.09

64#.1

0.32

1.09

145.1

0.92

0.0190

:o burbua

#000

153.56

1000.#

0.33

1.11

1#4.6

0.91

0.0190

:o burbua

6000

1!1.6

11!2.5

0.35

1.13

20!.1

0.9

0.0191

:o burbua

9000

1!9.#1

1332.2

0.3#

1.14

239.0

0.69

0.0191

:o burbua

10000

1##.31

1509.5

0.39

1.1!

2#3.2

0.69

0.0192

:o burbua


198

Presi', psia 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

4500

0 7/0 2000

7/500 7/1000

P r o f u ( d i d

a d , f t

4000

!000

6000

10000

12000

Figura 5-11 Perfil de presiones para el ejemplo 5.7 5.21 REFERENCIAS 1. Asheim, H. (1986, May 1). MONA, An Accurate Two-Phase Well Flow Model Based on Phase Slippage. Society of Petroleum Engineers. doi:10.2118/12989PA 2. Beggs, D. (2003). Production Optimization Using Nodal Analysis (Second Edition). Tulsa, OK. OGCI Publications. 3. Beggs, D. H., & Brill, J. P. (1973, May 1). A Study of Two-Phase Flow in Inclined Pipes. Society of Petroleum Engineers. doi:10.2118/4007-PA. 4. Bradley, H.Bb. (1987). Petroleum Engineering Handbook. Society of Petroleum Engineers. Richardson, TX, USA. 5. Brill, J . & Mukherjee. (1999). Multiphase Flow in Wells. Richardson, TX. Society of Petroleum Engineers Monograph. 6. Brill, J. P. (1987, January 1). Multiphase Flow in Wells. Society of Petroleum Engineers. doi:10.2118/16242-PA. 7. Brown, K. E. (1980). The Technology of Artificial Lift Methods: Volume 1: Inflow Performance, Multiphase Flow in Pipes, the Flowing Well. Pennwell Corporation. 8. Economides, M. & Hill, D. & Ehlig, C. & Zhu, D. (2012). Petroleum Production Systems (Second Edition). Prentice Hall. Upper Saddle River, New Jersey. 9. Golan, M. & Whitson, C. (1996). Well Performance (Second Edition). Norwegian University of Science and Technology. Trondheim, Norway. Productividad de Pozos de Hidrocarburos – Luis Fernando Bonilla Camacho

Chapter 5 Flujo Multifasico

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