HIDROCINEMÁTICA: EJERCICIOS EJERCICIO N°1 Determinar la ecuación de las líneas de corriente de un flujo permanente, bidimensional, simétrico respecto al eje y, dirigido en sentido contrario al positivo del mismo, que choca contra un placa horizontal contenida en el plano cuyo campo de velocidades está definida por las componentes.
,
=−3 = 3 = 0
SOLUCION: Se sabe que la ecuación de línea de corriente está dada de la siguiente manera
⃗ ⃗ ⃗=0 ⃗ ⃗= | j⃗ | = 0 (−))⃗− − ⃗ + (−)) = 0 = = = = = ⃗ j ⃗ ⃗ ⃗= |3 −3 0| = 0 −3−0 −3−0⃗− 3−0 3−0⃗ + 3−3 3−3 = 0 3+3 = 0
Igualamos valores:
Remplazamos valores en la ecuación de línea de corriente en el campo de velocidad
3+3=0 3=−3 3 = −3 ==−−++ = ∅=+−+ −
Integramos para hallar la ecuación de la línea de corriente:
EJERCICIO N°2
Dado el siguiente potencial de velocidad:
Comprobar si la función es Laplaceana.
Hallar la expresión del campo vectorial de velocidades. SOLUCION: Comprobación de la función Laplaceana:
∇∅=0
∇∅=0
Ecuación de Laplace
∴
∇ ∅= ∅ + ∅ + ∅ =0 ∂∂x∅ = ∂1∂y0xt =10t ∂∂y∅ = ∂10yt∂y −8 =10t ∂∂z∅ = ∂−∂z20zt =−20t ∇∅= 10+ 10+−20
Es una función armónica.
Determinación del Campo vectorial de Velocidades.
=−∇∅=0 V =−∂∅∂x ⃗+ ∂∅∂y ⃗j+ ∂∅∂z k =−[10⃗+ 10−8⃗ + −20 ] =−10⃗10−8⃗ 20
Condición de Campo potencial, Irrotacional (pues si la función es armónica, entonces el campo es potencial o Irrotacional)
EJERCICIO N°3
= 1−
El viento sopla horizontalmente con velocidad uniforme y, de modo independiente del tiempo, contra una chimenea vertical de radio R. Supuesto el flujo irrotacional, la variación de la velocidad sobre el eje , en la proximidad del punto de estancamiento, queda determinada por la expresión:
La velocidad v alrededor de la superficie del cilindro es:
=−2 sin =−3 ; =−2 ; =−
Obtener la ecuación de la aceleración del aire, para puntos que quedan sobre el eje : Donde:
SOLUCION:
a = = + + + La componente
de la aceleración dada que la velocidad solo depende de x está dada por:
a = ∂Vdx V ′ = 1− 1− 2 = 1− 2 a = 1− a =2 1− a =2 −
=−
a =2 − 27 + 243 a =2 −9+1 243 −16 a = 243 =− a =2 − 8 + 32 a =2 −4+1 32 −3 a = 16 =− a =2 − + a =2 − 1 + 1 a =0 =2 ; = + − = = − + − + − = 0 0 + − 2 0 + − = − + − + − 2 =0−−2+2−0+2−0
EJERCICIO N°4
Encontrar las componentes del vector rotacional para los flujos permanentes cuyos campos de velocidad son:
SOLUCION:
Hallaremos las componentes con la siguiente ecuación:
Entonces reemplazamos con los datos dados :
Por lo tanto:
EJERCICIO N°5
=2 +2 +2 =2 =2 =2 = , = 34 = 2
Del ejercicio anterior, determinar las componentes tangencial y normal de la aceleración para:
SOLUCION:
ó
1 1 = 2 = 2 2 =22 = ó 4 = = 41., 8 = 0.25 cos =51.84sencos 41. 8 = 0.25 =51.84sin =;= =− =0 =0 = ;=. =−. =−51. 8 40. 7 070. 7 07=−25. 9 2 / =51. 8 40. 7 07=25. 9 2 / = ; = = =51. =084
Movimiento Plano en los fluidos: Ejercicios resueltos Ejercicio 1 La componente “x” de la velocidad de un campo de flujo estable e incompresible es 2/x. hallar la componente de la velocidad “y”
Desarrollo:
= 2 =2´ =21´ 1 =2−
Derivando la ecuación
+
Gradiente de la velocidad:
= 0
= -
= -(-
Multiplicando
) =
dV = dy
Integrando la ecuación anterior Tenemos:
∫ dV ∫ =
V=
Ejercicio 2
dy
+c
Se tiene el siguiente potencial de velocidad:
3x 2t 3x 3y 2t 16t 3
6z 2t . Determinar si es una función armónica.
Desarrollo: "
"
Determinación si la función es armónica
∇=0
"
"
Un campo es armónico cuando cumple la ecuación de Laplace y donde recibe el nombre de función Armónica,
2 2 2 2 2 2 0 x y z 2
Derivando con respecto a x,y,z.
6 xt 3
;
x y
2
;
2
;
z
6t
2
y
12zt
x
6yt
2
6t
2
2
12 t
z
Por lo tanto
2
"
"
0 Por lo tanto Es una función armónica
Ejercicio 3
⃗+6 ⃗
Se tiene el siguiente campo de velocidades; =3 +h = 0; se tiene h = 0 y que la divergencia de dicho campo es 35xyz. Desarrollo
∇
* =35xyz
Sabemos que:
i j k x i Vx j Vy k Vz y z
+ + +
=35xyz
Remplazando Se tiene: +
=35xyz
Derivando la ecuación se tiene:
6+12+
=35xyz
Despejando:
= 17xyz
∫ ∫ =17xyz
Integrando: =
17xy
=17xy
=8.5xy
Por lo tanto: h =8.5xy
Hallar el componente h, sabiendo que para Z
Ejercicio 4 Se tiene un fluido cuyas partículas en movimiento están gobernadas por los siguientes campos: Campo escalar de densidades ρ=6xyzt y el campo vectorial de velocidades
11 ⃗ ⃗ =
-
-
Demostrar que cumple la ecuación de continuidad. Desarrollo Para el caso general: Flujo Incomprensible impermanente:
∇ ρ 11 ⃗ ⃗ ρ ∇ ρ − ∇ ρ −18 =
=6xyz
*
= ‘’
=
-
-
=66
-
*
=
y ρ=6xyzt
-
-
*
=33yz
*
=33zy (2x) -18xz (2y) -18xy (2z)
*
=66 xyz -36xyz -36xyz
*
=-6xyz
∇ ρ ∇ ρ ∇ ρ ∇ ρ +
- 18xz
6xyz-6xyz =0 *
=0
Ejercicio 5
Determinar el campo de aceleraciones totales: a 6 x 6xt 2
3t i
6 6t 2 y
y j 12 z 12t 2 z k
Que valores deben tener a, b y c, para que el campo vectorial F sea un campo potencial; si se sabe: F 2a2 x 4b 5c 11 y 2a 4b c z i
ax 2by 2c 7 z j 21x 3a b y 5cz k Desarrollo: Condición del campo potencial F 0
Dónde:
x
i
y
F F x i Fy j Fz k
j
z
k
F
i
j
k
x
y
z
F x
Fy
F z
0
Desarrollando el determinante:
Fz Fy Fx Fz F y Fx j i k 0 y z z x x y Dónde: F x 2a2 x 4b 5c 11 y 2a 4b c z Fy ax 2by 2c 7 z Fz 21x 3a b y 5cz
F z F y 3a b 2c 7 0 3a 2c b 7 (I ) y z
F x F z 2a 4b c 21 0 2a 4b c 21 (II ) x z F y F x a 4b 5c 11 0 a 4b 5c 11 (III ) x y Resolviendo por métodos numéricos las ecuaciones (I), (II) y (III), resulta: a=5, b=3, c=5
GASTO O CAUDAL. ECUACION DE CONTINUIDAD: PROBLEMAS PROBLEMA N°01 Una tubería de 60 cm de diámetro está seguida de otra de 90 cm de diámetro. Si en la sección 1 la velocidad media del agua es de 1 m/s, ¿hallar el caudal y también la velocidad en la sección 2?
SOLUCION.
Datos:
. = =. = = = = = =./ = =. /
=
PROBLEMA N° 02 La figura muestra una bifurcación de una tubería según los diámetros indicados. El agua escurre de izquierda a derecha , si la velocidad media en B es de 0.60 m/seg. Y en C es de 2.70m/seg. Calcular las velocidades en A y D y el gasto en cada ramal.
SOLUCION: Datos:
=. =. =. =. =.=. = = + ……………… = ……………… =. ………………… = . = =. =. =. . =.
Por Principio de Conservación de la masa:
Hallaremos Los Caudales Con Los Datos Proporcionados:
Hallaremos El Área De B:
Remplazando
Hallamos
:
en (1):
=.
=. =. . =. = =.= . =. . =. =. = + . .= . .+ . =. Calculamos Las Velocidades En A (de la ecuación I):
Vd
PROBLEMA N° 03 Determinar, para los siguientes campos de flujo incomprensible, aquellos que satisfagan la ecuación de continuidad: Vx = (x – 2y)t ;
Vy = – (2x + y)t
Vx = x2cos y ;
Vy = – 2xseny
Vx = x + y ;
Vy = x – y
Vx = ln x + y ;
Vy = xy – y/x
Solución: En todos los casos la ecuación a satisfacer Flujo incompresible no permanente ( div V = 0
=
= ; =− =−= =. ; =− =.−=
)
= ; =− =−= = ; =−
= + − ≠
PRINCIPIO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO: EJERCICIOS PROBLEMA 1 De un depósito sale una tubería de 10" de diámetro, la que por medio de una reducción pasa a 5" descargando luego libremente en la atmosfera. El gasto a la salida es de 105 lts/seg. Se pide calcular: La presión en la sección inicial de la tubería. Altura del agua en el depósito, medida sobre el eje de la tubería. Z
0 10"
h
5"
A
B
La presión en la sección inicial de la tubería. Tenemos que: Q= 105 Lts/seg Transformando a m3/seg: Q= 0.105 m3/seg.
= 0. 1 05 m /s e g. 0. 1 05 m = = 10×0.0254 /4 = 0.05067 /seg =2.08 ………………1 0. 1 05 m = = 5×0.0254/seg/4 = 0.0.10051267m3/seg =8.32 ………………2 2 + + = 2 + + ………….3 =0 = =0
Por continuidad sabemos:
Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y B:
Dónde:
;
Remplazando (1) y (2) en (3)…………………… tenemos:
b) Altura del depósito:
2 + += 2 + +………….3 0.22+ =3.54 =3.32 . .
Tomando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 0 y B, que como están sometidos a la presión atmosférica, obtenemos:
= √ 2ℎ 8 . 3 2 ℎ= 2 = 19.6 =3.54 . ℎ=3.54 .
O sea que la altura del depósito es la carga de velocidad
PROBLEMA 2:
A través de la tubería fluye agua a la tasa de 30 L/s. La presión absoluta en el punto A es 200 kPa, y el punto B está 8 m más alto que el punto A. La sección inferior de la tubería tiene un diámetro de 16 cm y la sección superior se estrecha a un diámetro de 10 cm. Encuentre las velocidades de la corriente en los puntos A y B.
Solución: R = 30 L/s = 0.030 m3/s
=π0. =π0.005m8m=0.=0.000785201 mm 0. 0 30 = = 0.0201// =1.49/ 0. 0 30 = = 0.00785// =3.82/
Ejemplo general (Cont.): A continuación encuentre la presión absoluta en el punto B.
vA = 1.49 m/s vB = 3.82 m/s PA = 200 kPa hB - hA = 8 m PA + pghA +½pvA2 = PB + pghB + ½pvB2 Considere la altura hA = 0 para propósitos de referencia.
PB = PA + ½pvA2 - pghB - ½pvB2 PB = 200,000 Pa + ½(1000 kg/m3)(1.49 m/s)2
– (1000 kg/m3)(9.8 m/s2)(8 m) - ½(1000 kg/m3)(3.82 m/s)2
PB = 115 kPa PROBLEMA 3. Un tanque grande está abierto a la atmosfera y lleno con agua hasta una altura de 5 m, medida desde una toma cercana al fondo del tanque. Ahora se abre la toma y el agua fluye hacia afuera por el orificio de la salida lisa y redondeada. Determinar la velocidad máxima del agua en salida.
SOLUCIÓN SUPOSICIONES El fluido es incomprensible e irrotacional. Es estacionario. No hay pérdidas por fricción. FORMULAS: p1
1 2
v12 gy1
p2
1 2
v22 gy2
Consideramos punto 1 en la superficie. p1
patm
v1
v2
v1
y1 y2
0 5
0
El agua se descarga a la atmosfera: p 2
p1
1 2 1
1 2 2
v1
2 1 2
2
v1
2
v1
gy1
gy1
gy1
1 2
1 2
1 2
1 2
p2 2
v2
2
v2
02 ( g )(5)
( g )(5) v2
1 2
2
v 2
patm
gy 2
gy 2
gy 2 2
v2
( g )(0)
2
v2
(2)(5)(g)
9.9m / s
La velocidad con la que sale el agua por cada es de 9.9 m/s PROBLEMA 4. Un tanque está lleno de agua hasta una altura “H”=10 metros. En una de las paredes se taladra un orificio a una profundidad “h”= 2 metros, bajo la superficie del agua.
Calcular: a.- La rapidez con que sale el agua por el orificio. b.- El alcance x del chorro medido desde la base del tanque. c.- A que profundidad h se debe perforar un agujero para que el alcance x sea máximo. d.- A que profundidad debe abrirse otro agujero para que el alcance sea el mismo que el inciso
DATOS:
H = 10m V=?
h1 = 2m
y x=?
h2 =?
x = sea máximo.
H3 =?
x = INCISCO “a”
DESARROLLO DEL INCISO (A):
+ + = + + ℎ= 12 = √ 2ℎ =√ =6.2269/.812 TEOREMA TEORICELLI:
= −2△ =−2−ℎç = √ 2ℎ = = √ 2ℎ =− − −ℎ=− 12 = 2−ℎ
Luego calculamos el alcance “X” … (1)
Luego:
De la ecuación en (1) obtenemos:
= √ 2ℎ 2−ℎ
= 2ℎ2−ℎ =2√ ℎ−ℎ =2√ 2 10−2 =8
Por lo tanto obtenemos:
DESARROLLAMOS EL INCISO “B”.
=2ℎ −ℎ ℎ =2 12 ℎ −ℎ −2ℎ=0 ℎ = √ −2ℎ ℎ −2ℎ=0 −ℎ =0 ℎ= 2 =2 2 − 2 =2 4 =22 =
Entonces obtenemos:
ℎ= = =2√ ℎ −ℎ x h h h h h = 5 metros
y
DESARROLLAMOS EL INCISO “C”.
= 4[Hh -
]
= Hh -
– Hh + = 0 – 10h +
= 0
– 10h + 16 = 0
= 10 metros
Donde: h = 8 metros h = 2 metros
Por lo tanto verificamos que se obtenga el mismo alcance que el inciso “a”:
=2√ ℎ−ℎ =2√ 810−8 x = 8 metros
DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES: EJERCICIOS. Problema 1 En una prueba de bombeo, la presión de succión en la entrada de la bomba es de 30 kPa por debajo de la presión atmosférica. La presión de descarga en un punto que está 750 mm por arriba de la entrada es de 520 kPa. Ambas tuberías tienen 75 mm de diámetro. Si el flujo volumétrico del agua es de 75 L/min, calcule la potencia que la bomba transmite al agua. Ignore las pérdidas de energía.
SOLUCION
+ + + = + + + ℎ→ =0, =0, =30 , =0 = −+ + ℎ→ =3+212+5+ . + 15.5 =304.7 Como:
Despejando HB:
Problema 3
Se construye una casa en una colina y se propone el sistema hidráulico mostrado en la figura. El tanque de distribución de la casa mantiene una presión de 30.0 psig sobre el agua. En la tubería hay una pérdida de energía de 15.5 pie. Calcule los caballos de fuerza que la bomba transmite al agua cuando impulsa 40 gal/min.
SOLUCION
+ + 2 + = + + 2 + ℎ→ =0, =0, =30 , =0 = −+ + ℎ→ =3+212+5+ . + 15.5 =304.7 ÚTIL = 1 1 ÚTIL =304.762.4 40607.48 ÚTIL =1693.83./ 1 . ÚTIL =1693.83 550ℎ. ÚTIL =3.08 Como:
Despejando HB:
Convirtiendo a HP:
