INSTITUTO DE EDUCACION SUPERIOR PEDAGOGICO PUBLICO “TEODORO PEÑALOZA PRACTICA DIRIGIDA DE SIMPLIFICACION DE PROPOSICIONES
La simp simpli lifi fica caci ción ón de una una propo proposi sici ción, ón, o dich dicho o de otra otra mane manera, ra, la simplificación de una expresión lógica consiste en reducir la expresión lógica a una forma más simple mediante el uso de los axiomas y/o leyes lógicas. La simplificación consiste en ir desarrollando la expresión paso a paso medi median ante te la sust sustit ituc ució ión n en cada cada paso paso de una una expr expres esió ión n lógi lógica ca equi equiv valen alente te a la anter nterio iorr, hasta asta lleg llegar ar a una expr expres esiión lógi lógic ca irreducible. A través de la simplificación podemos también demostrar una equivalencia lógica sin usar tablas de verdad. 1.-
implificar la expresión! "#p p$ q% "&q #r q$% "p #p &q$% la ley que utili)a "#&p p$ q% "&q #r q$% "&p #p &q
%$*ondicional
"#&p p$ q% "&q #r q$% "#&p p$ &q%
Asociativa
#+ q$ "&q #r q$% #+ &q$
orma -ormal
+ "&q #r q
%$orma normal
+
+ + "&q #r q
%$'ecuerde (bicar
Asociativa
+ "&q #r q
%$orma normal
&q #r q$
istributiva
#&q r$ #&q q$
lemento neutro
#&q r$ +
orma normal
&q r
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
2.- implificar
"&#p q$ #&p q
%$"#&p &q$ #&p q$% "&p #&q q
%$ #&p q
#&p q$
#&p q$
Ley de 0organ istributiva *omplemento
#&p +$ #&p q$
orma -ormal
&p #&p q$
*ondicional
& #&p$ #&p q$
oble negación
p #&p q$
istributiva
#p &p$ #p q$
*omplemento
+ #p
orma -ormal
q$
p q
1.
"#p &q$ &p %
q
*ondicional
& "& #&p v &q$ v &p % v q
0organ
"&& #&p v &q$ 2 &&p % v q
oble negación
" #&p v &q$ 2 p % v q
*onmutativa
" p 2 #&p v &q$ % v q
istributiva
" #p 2 &p $ v #p 2 &q$ % v q
*omplemento
" v #p 2 &q$ % v q
orma -ormal
#p 2 &q$ v q
*onmutativa
q v #p 2 &q$
istributiva
#q v p$ 2 #q v &q$
*omplemento
#q v p$ 2 +
orma -ormal
#q v p$
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
3. "#p 2 q$
&r% v "p
#q
&r
%$*ondicional
"& #p 2 q$ v &r% v "&p v #&q v &r
%$0organ
"#&p v &q$ v &r% v "&p v #&q v &r
%$limino signos de agrupación
&p v &q v &r v &p v &q v &r
Asociación
#&p v &p$ v #&q v &q$ v #&r v &r$
4dempotencia
&p v &q v &r
0organ
& #p 2 q 2 r$
implificar las siguientes proposiciones aplicando las leyes! 5. &6"#&p$ #&q$% &q %7 &6" &p #&q &q$% 7 &q% ~"&p &&p &#&q$ p q
Asociativa 4dempotencia 0organ oble -egación
8. "&p q% "&q &p% 1. # p
&p$ "p #q p
%$
3. "& #p
q$ & #q p$% #p q$
9. 6"#p q$ &q% &q7
:. & "#p p$ p%
;. "#p &q$ q%
p
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
<. & "& #p q$ &q% q
=. "#&p q$ #r &r$% &q
5>.
"#p q$ #p &q$% #&p &q$
55.
"#&p q$
58.
"#p p$ q% "&q #r q$% "p
51.
"&#p q$ #&p q
%$53.
"# p
59.
"# p ? q $
#r &r$% &q
& q $
#&p q$
~p %
&r% v " p
#p &q
%$
q
# q
&r
%$
(-A0-@ LB4*A 40CL4*A 5$
Dara describir los diversos restaurantes de la ciudad, denotemos con p Ela comida es buenaF G con q Eel servicio es buenoF y con r Ees de tres estrellasF. scribir simbólicamente las siguientes proposiciones ! a$ La comida es buena o el servicio es bueno, o ambas cosas b$ La comida es buena o el servicio es bueno, pero no ambas cosas. c$ La comida es buena y el servicio no. d$ -o sucede que tanto la comida sea buena como que el restaurante sea de tres estrellas e$ i tanto la comida como el servicio son buenos, entonces el restaurante es de tres estrellas f$ -o es cierto que ser de tres estrellas siempre signifique buena comida y buen servicio. MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
8$
enotemos con p Eel clima es agradableF y con q Evamos de dHa de campoF. @raducir las siguientes proposiciones al lenguaIe coloquial y, si es posible, simplificar ! b$ p J q
a$ p q 1$
c$ q K p
*onstruir las tablas de verdad de los siguientes esquemas proposicionales ! a$ #p q$
p
b$ #p q$ K p
c$ p J #p q$
d$ #q K p$ K #p K q$ e$ #p q$ # r$
3$
Los valores de verdad de las proposiciones p G q G r y s son respectivamente + G G y +. btener los valores de verdad de ! i$ "#p q$ r% s
9$
ii$ r K #s
r es +
p$
iii$ #p r$ J #r s$
ii$ #p q$ K # p q$ G
q es +
eterminar, si es posible, el valor de verdad de las siguientes proposiciones ! a$ #p q$ K q b$ p #p J q$ c$ " #p q$ q% K q
;$
eterminar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. n caso afirmativo, Iustificarlo. i$ #p K q$ K r G
:$
f$ #r K r$
si si si
p K q es also p K q es +erdad p es +erdad y q es +erdad
implificar las siguientes proposiciones ! a$
# p q$
b$
#p q$ # p q$
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
<$ eterminar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas! i$ p q K r
iii$ p " p J q %
ii$ " #p K q$ #q K r$ % K #p K r$
=$
-egar los siguientes esquemas expresiones equivalentes
i$ #p q$ K r ii$ p q
proposicionales
y
obtener
iii$ q r iv$ p #q K r$
(-A0-@ LB4*A 40CL4*A 5$
enotemos con p Eel material es interesanteF G con q Elos eIercicios son difHcilesF y con r Eel curso es agradableF. scribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica ! a$ el material es interesante y los eIercicios son difHciles b$ el material no es interesante, los eIercicios no son difHciles y el curso no es agradable. c$ i el material no es interesante y los eIercicios no son difHciles entonces el curso no es agradable. d$ ue el material sea interesante significa que los eIercicios son difHciles y viceversa e$ el material es interesante o los eIercicios no son difHciles pero no ambas cosas.
8$
scribir las siguientes afirmaciones en forma simbólica ! a$ l sol brilla y la humedad no es alta b$ i termino mi tarea antes de la cena y no llueve, entonces iré al partido de fMtbol c$ i no me ves maNana significa que habré ido a la playa d$ i el costo de las utilidades crece o se niega la requisición de fondos los adicionales, entonces compraremos una nueva
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
computadora si y solo si podemos mostrar que los recursos de cómputo son, en efecto, insuficientes.
1$
a$ scribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando exactamente dos de tres afirmaciones p G q y r sean verdaderas. b$ scribir una afirmación compuesta que sea verdadera cuando ninguna, o una, o dos de las tres afirmaciones p G q y r sean verdaderas.
3$
eterminar en cada caso si la información que se da es suficiente para conocer el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas. n caso afirmativo, Iustificarlo.
i$ #p q$ K #p r$ G
9$
#p
q$
#q K r$G#p K r$
es +
ii$ #p q$ q
eterminar si las siguientes proposiciones son leyes lógicas i$ p K #p
;$
ii$ p
implificar los siguientes esquemas proposicionales aplicando las leyes ! i$
:$
p es + y r es
q$
ii$ p K #p q$
Los valores de verdad de las proposiciones p G q G r y s son respectivamente ! + G G y +. btener los valores de verdad de ! a$ " #p q$ r% s
<$
b$ #r K s$
#p K s$
c$ #s q$ K p
emuestre por tablas de verdad las siguientes leyes !
i$ " #p q$ q % K q ii$
#p q$ J p
q iii$
#p q$ J p q
n los siguientes párrafos transfórmelos a formulas lógicas!
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
=$
Antonio, 0iguel y Ouan perteneces al club Alpino. *ada miembro del club esquHa, escala o ambas cosas. A ningMn escalador le gusta la lluvia y a todos los esquiadores les gusta la nieve. A 0iguel le disgusta lo que a Antonio le gusta, y le gusta lo que a Antonio le disgusta. A Antonio le gusta la lluvia y la nieve. P Qay algMn miembro del club Alpino que sea escalador pero no esquiador R *ierto paHs está habitado por personas que siempre dicen la verdad o que siempre mienten, y que responderán preguntas solo con EsiF o EnoF. (n turista llega a una bifurcación en el camino, una de cuyas ramas conduce a la *apital y la otra no. -o hay un letrero que diga qué camino seguir, pero hay un nativo, el seNor ), parado en la bifurcación. P ué Mnica pregunta deberá hacerle el turista para determinar qué camino seguir R.
5>$
55$
etermine si cada una de las afirmaciones de los eIercicios 5S< es una proposición. i la afirmación es una proposición, escriba su negación. #-o se le piden los valores de verdad de las afirmaciones que son proposiciones$. 5. 8 T 9 U 5= V 8. 0esero, Ppuede traer las nuecesR s decir, Ppuede servir las nueces a los invitadosR 1. Dara algMn entero positivo n, 5=13> U nW 5;. 3. Autrey 0eadoX fue la EAliciaF original en E@he QoneymoonersF. V 9. Délame una uva. :. La frase EQa)lo de nuevo, amF aparece en la pelHcula *asablanca. ;. @odo entero mayor que 3 es la suma de dos nMmeros primos. V <. La diferencia de dos primos.
58$
Ejercicio de aplicación 2 *onstruir la tabla de verdad de # p K &q$
∨
r.
l nMmero de casos o filas que tiene la tabla de verdad de una proposición compuesta es siempre 8n, siendo n el nMmero de proposiciones simples de que consta. Dor eIemplo, si intervienen tres proposiciones habrá! 81 U < casos. MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
51$
valMe cada proposición en los eIercicios 5 Y : con los valores de verdad. p U , q U +, rU . 5. p ∨ q +erdadero 8. & p ∨ &q 1. & p ∨ q 3. & p ∨ & #q ^ r $ +erdadero 9. & # p ∨ q$ ^ #& p ∨ r $ :. # p ∨ &r $ Z & ##q ∨ r $ ∨ & #r ∨ p$$
MATEMATICA: UN JUEGO DE LA VIDA
