7-25 Woofer Pet Foods elabora un alimento bajo en calorías para perros con condición de sobrepeso. Este producto está hecho con productos de carne y granos. Cada libra de carne cuesta $0.90, y cada libra de grano cuesta $0.60. Una libra de alimento para perro debe contener al menos 9 unidades de vitamina 1 y 10 unidades de vitamina 2. Una libra de carne de res contiene 10 unidades de vitamina 1 y 12 unidades de vitamina 2. Una libra de grano tiene 6 unidades de vitamina 1 y 9 unidades de vitamina 2. Formule este como un problema de PL para minimizar el costo del alimento para perro. ¿Cuántas libras de carne y de granos se deberían incluir en cada libra de alimento para perro? ¿Cuáles son el costo y el contenido de vitaminas del producto final? SOLUCIÓN: I.
MODELO: X1: Libras de carne en cada libra de comida para perros X2: Libras X2: Libras de grano en cada libra de comida para perros F.O: Min Z = 0.90 X1 + 0.60 X2 S.a. X1 + X2 = 1 10X1 + 6X2 >= 9 12X1 + 9X2 >= 10 X1, X2 >= O
II.
EXCEL: X1
X2
LI
0.9
0.6
0
R1
1
1
0
=
1
R2
10
6
0
>=
9
R3
12
9
0
>=
10
PRODUCTOS FINAL
0
0
MINIMIZAR
LD
SUJETO A:
III.
SOLVER:
X1
X2
LI
0.9
0.6
0.825
R1 R2
1 10
1 6
1 9
= >=
1 9
R3
12
9
11.25
>=
10
PRODUCTOS FINAL
0.75
0.25
MINIMIZAR
LD
SUJETO A:
IV.
INFORME:
Resultado: Solver encontró una solución. Se cumplen todas las restricciones y
condiciones óptimas. Opciones de Solver:
Tiempo máximo Ilimitado, Iteraciones Ilimitado, Precision Precision 0.000001, Usar escala automática. Máximo de subproblemas Ilimitado, Máximo de soluciones de enteros Ilimitado, Tolerancia de enteros 1%, Asumir no negativo.
7.26. El rendimiento estacional de las aceitunas de un viñedo de Pireo, Grecia, está muy influido por el proceso de la poda de las ramas. Si los olivos se podan cada dos semanas, la producción aumenta. Sin embargo, el proceso de poda requiere considerablemente más mano de obra que permitir que los olivos crezcan por sí mismos y den como resultado una aceituna de menor tamaño. También, permitiría que los olivos estén más cercanos. La producción de 1 barril de aceitunas mediante la poda requiere 5 horas de trabajo y un acre de terreno. La producción de 1 barril de aceitunas por el proceso normal requiere tan solo 2 horas de trabajo, pero 2 acres de terreno. Un oleicultor dispone de 250 horas de mano de obra y un total de 150 acres para el cultivo. Debido a la diferencia de tamaño, 1 barril de aceitunas producidas en los árboles podados se vende por $20, mientras que un barril de aceitunas regulares tiene un precio de mercado de $30. El oleicultor ha determinado que debido a la incertidumbre de la demanda, se deben producir no más de 40 barriles de aceitunas de árboles podados. Use la PL gráfica para pa ra encontrar:
a) la utilidad máxima posible. b) la mejor combinación de barriles de aceitunas de árboles podados y no podados. c) el número de acres que el oleicultor debería dedicar a cada proceso de crecimiento. SOLUCIÓN: I.
MODELO: X1: Cantidad de barriles de aceitunas podadas X2: Cantidad de barriles de aceitunas regulares F.O: MAX Z = 20 X1 + 30 X2 S.a. 5X1 + 2X2 <= 250 (Horas laborales) X1 + 2X2 <= 150 (acres) X1 >= 40
(barriles)
X1, X2 >= O II.
(No Negatividad)
EXCEL: X1
X2
LI
MAXIMIZAR
20
30
0
SUJETO A: HORAS LABORALES
5
2
0
<=
250
ACRES
1
2
0
<=
150
BARRILES
1
0
<=
40
UTULIDAD FINAL
0
0
LD
III.
SOLVER:
X1
X2
LI
20
30
2375
HORAS LABORALES
5
2
250
<=
250
ACRES BARRILES
1 1
2
150 25
<= <=
150 40
UTULIDAD FINAL
25
62.5
MAXIMIZAR
LD
SUJETO A:
IV.
INFORME:
Resultado: Solver encontró una solución. Se cumplen todas las restricciones
y condiciones óptimas.
7-27 Considere las siguientes cuatro formulaciones de PL. Usando un método gráfico, determine a) que formulación tiene más de una solución óptima. b) que formulación es no acotada. c) que formulación no tiene una solución factible. d) que formulación es correcta como está.
SOLUCIÓN:
Si bien la formulación 2 es correcta, es un caso especial. X1 + 2X2 = 2. La linea también es la misma pendiente que la línea isoprofit X1 + 2X2 y por lo tanto, habrá más de una solución óptima. Como una cuestión de de hecho, cada punto a lo largo de la línea pesada proporcionará un "alternativo óptimo."
La formulación 4 parece ser adecuada como es. Tenga en cuenta que la restricción 4X1 + 6X2 <= 48 es redundante. 7.28. Grafique el siguiente problema de PL e indique el punto de solución óptima:
Solución: Al usar la línea isoprofit o el método de punto de esquina, vemos que punto b (donde X=37.5 y Y=75) es óptimo si el beneficio = $3X + $2Y. Si la ganancia cambia a $4.50 por unidad de X, el óptimo la solución cambia al punto c. Si la función objetivo se convierte en P = - $3X $3X + $3Y, el punto de esquina b sigue siendo óptimo.
I.
MODELO: MAXZ = 3X +Y <= 150 S.A. 2X + Y <= 150 2X + 3Y <= 300
II.
EXCEL:
MAXIMIZAR
X 3
Y 2
LHS 0
SUJETO A: R1
2
1
0
<=
150
R2
2
3
0
<=
300
UTILIDAD FINAL
0
0
III.
SOLVER:
RHS
X
Y
LHS
3
2
262.5
R1 R2
2 2
1 3
150 300
UTILIDAD FINAL
37.5
75
MAXIMIZAR
RHS
SUJETO A: <= <=
150 300
IV.
INFORME:
7.29. Gráficamente analice el siguiente problema:
a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Si la primera restricción se modifica como X + 3Y <= 8, ¿cambiarían la región factible o la solución óptima? SOLUCIÓN: I.
II.
MODELO: MAXZ = 4X + 6Y S.A. X + 2Y <= 8 6X + 4Y <= 24 EXCEL: X
Y
LHS
4
6
0
R1 R2
1 6
2 4
0 0
UTILIDAD FINAL
0
0
MAXIMIZAR
RHS
SUJETO A: <= <=
8 24
III.
SOLVER:
X
Y
LHS
RHS
MAXIMIZAR
4
6
26
SUJETO A: R1
1
2
8
<=
8
R2
6
4
24
<=
24
UTILIDAD FINAL
2
3
IV.
INFORME:
7.30 Examine la formulación de PL en el problema 7-29. La segunda restricción del problema indica: 6X + 4Y <= 24 horas (tiempo disponible en la máquina 2) Si la empresa decide que 36 horas de tiempo pueden estar disponibles en la máquina 2 (es decir, 12 horas adicionales) a un costo adicional de $10, ¿deberían agregar horas? SOLUCIÓN:
Usando el método de punto de esquina, determinamos que la solución óptima mezclar bajo la nueva restricción produce un beneficio de $ 29, o un aumento de $ 3 sobre el beneficio de $ 26 calculado. Por lo tanto, la empresa debería no agregar las horas porque el costo es más de $ 3. 7.31 Considere el siguiente problema de PL:
a) ¿Cuál es la solución óptima para este problema? Resuélvalo gráficamente. b) Si se produjo un gran avance técnico que elevó la utilidad por unidad de X a $8, ¿afectaría esto la solución óptima? c) En vez de un aumento en el coeficiente de utilidad X a $ 8, suponga que la utilidad se sobreestimó y tan solo debería haber sido de $3. ¿Cambia esto la solución óptima? SOLUCIÓN:: SOLUCIÓN I.
MODELO: MAXZ = 5X + 6Y S.A. 2X + Y <= 120 2X + 3Y <= 240 X, Y >= 0
II.
EXCEL X
Y
LHS
RHS
MAXIMIZAR SUJETO A:
5
6
0
R1
2
1
0
<=
120
R2
2
3
0
<=
240
UTILIDAD FINAL
0
0
III.
SOLVER
X
Y
LHS
5
6
510
R1
2
1
120
<=
120
R2
2
3
240
<=
240
UTILIDAD FINAL
30
60
MAXIMIZAR
RHS
SUJETO A:
IV.
INFORME:
7.32 Considere la formulación de PL dada en el problema 7.31. Si la segunda restricción se cambia de 2X + 3Y <= 240 a 2X + 4Y <= 240, ¿qué efecto tendrá este cambio en la solución óptima? Solución: I. MODELO: MAXZ = 5X + 6Y S.A. 2X + Y <= 120 2X + 4Y <= 240 X, Y >= 0 II.
EXCEL Y SOLVER:
III.
INFORME: La solución óptima disminuye 510 a 440.
7.33 El resultado de computadora que se presenta a continuación es para el problema 7.31. Úselo para contestar las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto podría aumentar o disminuir la utilidad de X, sin necesidad de cambiar los valores de X y de Y en la solución óptima? b) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 1 unidad, ¿cuánto aumentaría la utilidad? c) Si el lado derecho de la restricción 1 se aumentara en 10 unidades, ¿cuánto aumentaría la utilidad? Solución: a. X 5
Y 6
LHS 510
R1
2
1
120
<=
120
R2
2
3
240
<=
240
UTILIDAD FINAL
30
60
MAXIMIZAR
RHS
SUJETO A:
Podría aumentar en 7 (para un límite superior de 12) o disminuir por 1 (para un límite inferior de 4). b. X
Y
LHS
5
6
510.75
R1
2
1
121
<=
121
R2
2
3
240
<=
240
UTILIDAD FINAL
30.75
59.5
MAXIMIZAR
RHS
SUJETO A:
El beneficio aumentaría en el valor dual de 0.75.
c. X
Y
LHS
5
6
517.5
R1
2
1
130
<=
130
R2
2
3
240
<=
240
UTILIDAD FINAL
37.5
55
MAXIMIZAR
RHS
SUJETO A:
El beneficio aumentaría en 10 veces el precio dual o 10 (0.75) = $ 7.50. 7.34 Los resultados por computadora que se muestran en la siguiente página son de un problema de mezcla de productos donde hay dos productos y tres restricciones de recursos. Utilice tales resultados para ayudarle a responder las siguientes preguntas. Suponga que desea maximizar las utilidades en cada caso. a) ¿Cuántas unidades del producto 1 y del producto 2 se deberían producir? b) ¿Cuánto de cada uno de los tres tr es recursos se está utilizando? ¿Cuánta holgura hay en cada restricción? ¿Cuáles restricciones son obligatorias, y cuáles no son obligatorias? c) ¿Cuáles son los precios duales para cada recurso? d) Si se pudiera obtener más de uno de los recursos, ¿cuál debería obtener? ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esto? e) ¿Qué le pasaría a la utilidad sí, con los resultados originales, la gerencia decidiera elaborar una unidad más del producto 2? SOLUCIÓN: a. 25 unidades de producto 1 y 0 unidades de producto 2. b. Se está utilizando utilizando todo el recurso 3 (no hay holgura para restricción 3). Un total de 25 unidades de recurso 1 está siendo utilizado ya que había 45 unidades disponibles y hay 20 unidades de holgura. Un total de 75 unidades de producto 2 en uso ya que había 87 unidades disponibles y hay 12 unidades de holgura.
c. El precio dual para la restricción restricción 1 es 0, para la restricción 2 es 0, y para la restricción 3 es 25. d. Deberías tratar de de obtener el recurso 3 porque el dual el precio es es 25. Esto Esto significa que las ganancias aumentarán en 25 por cada unidad de recurso 3 que obtenemos. Por lo tanto, deberíamos pagar hasta $ 25 por esto. e. Si la gerencia decidió producir una unidad más de producto 2 (actualmente 0 unidades están siendo producidas), el total el beneficio disminuiría en 5 (la cantidad de la reducción costo). 3.35 Resuelva gráficamente el siguiente problema:
a) ¿Cuál es la solución óptima? b) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 11 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto aumenta la utilidad como consecuencia de esto? c) Cambie el lado derecho de la restricción 1 a 6 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuyen las utilidades como resultado de esto? Examine la gráfica, ¿qué sucedería si el valor del lado derecho se reduce por debajo de 6? d) Cambie el valor del lado derecho de la restricción 1 a 5 (en vez de 10) y resuelva el problema. ¿Cuánto disminuye la utilidad con respecto a la utilidad original como resultado de esto? e) Utilizando los resultados por computadora de esta página, ¿cuál es el precio dual de la restricción 1? ¿Cuál es su límite inferior? f) ¿Qué conclusiones se obtienen de estos resultados con respecto a los límites de los valores del lado derecho y al precio dual? Solución: MODELO: F.O: MAX = MAX = 8X1 + 5X2 S.A. X1 + X2 <= 10 X1
<= 6
X1, X2
>= 0
EXCEL Y SOLVER: X1
X2
LADO IZQ
8
5
0
R1 R2
1 1
1
0 0
UTILIDAD FINAL
0
0
MAXIMIZAR
LADO DER
SUJETO A: <= <=
10 6
INFORME:
a. La solución solución óptima óptima es de 60 dólares b. X1
X2
LADO IZQ
8
5
73
R1 R2
1 1
1
11 6
UTILIDAD FINAL
6
5
MAXIMIZAR
LADO DER
SUJETO A: <= <=
11 6
La nueva solución óptima es X1 = 6, X2 = 5, ganancia = $ 73. Lucro aumentó $ 5, así que este es el precio dual para la restricción 1. c. X1
X2
LADO IZQ
8
5
48
R1 R2
1 1
1
6 6
UTILIDAD FINAL
6
0
MAXIMIZAR
LADO DER
SUJETO A: <= <=
6 6
Como resultado de este cambio, la región factible se hizo más pequeña. El beneficio disminuyó en $ 20. El lado derecho disminuyó en 4 unidades, y el beneficio disminuyó en 4 veces el precio dual. d. X1 8
X2 5
LADO IZQ 40
R1
1
1
5
<=
5
R2
1
5
<=
6
UTILIDAD FINAL
5
MAXIMIZAR
LADO DER
SUJETO A:
0
Como resultado de este cambio, la región factible se hizo más pequeña. El beneficio disminuyó en $ 28. Aunque hubo un cambio de 5 unidades en el lado derecho de la restricción 1, el precio dual encontrado en la parte b no es válido cuando el lado derecho de esta restricción está por debajo de 6 (que es una disminución de 4 unidades). e. La salida de la computadora indica indica que el el precio dual para la restricción restricción 1 es de $ 5, pero esto es válido hasta un límite inferior de 6. Una vez que el lado derecho va más abajo, el precio dual ya no es relevante. f. Cuando el lado derecho derecho va va más allá de los límites, una nueva nueva esquina esquina el punto se vuelve óptimo, por lo que el precio dual ya no es relevante. 7.36 Serendipity* Los tres príncipes de Serendip hicieron un pequeño viaje. No podían llevar mucho peso; más de 300 libras los hicieron dudar. Planearon llevar pequeñas cantidades. Cuando regresaron a Ceilán descubrieron que sus provisiones estaban a punto de desaparecer cuando, para su alegría, el príncipe William encontró un montón de cocos en el suelo.
“Cada uno aportará 60 rupias”, dijo el príncipe Richard con una sonrisa. Como casi se tropieza con una piel de león. “¡Cuidado!”, grito el príncipe Robert con alegría cuando observó más pieles de león debajo de un árbol. “Estas valen aún más: 300 rupias cada una. Si tan solo pudiéram os llevarlas todas a la playa”.
Cada piel pesaba quince libras y cada coco cinco, pero cargaron todo y lo hicieron con ánimo. El barco para regresar a la isla era muy pequeño 15 pies cúbicos de capacidad de equipaje, eso era todo. Cada piel de león ocupó un pie cúbico mientras que ocho cocos c ocos ocupaban el mismo espacio. Con todo guardado se hicieron a la mar y en el trayecto calculaban lo que su nueva riqueza podría ser. “¡Eureka!”, gritó el príncipe Robert, “Nuestra riqueza es tan grande que no hay otra forma de regresar en este estado. Cualquier otra piel o coco que pudiéramos haber traído ahora nos harían más pobres. Y ahora sé que voy a escribir, a mi amigo Horacio, en Inglaterra, porque seguramente tan solo él puede apreciar nuestro serendipity”. Formule y resuelva Serendipity con PL gráfica para calcular “cuál podría ser su nueva riqueza”.
Solución: MODELO: X1: Número de cocos llevados X2: Número de pieles de león llevados F.O. MAXZ = 60X1 + 300X2 S.A. 5X1 + 15X2 <= 300 Libras 0.125 X1 + 1 X2 <= 15 Pie cúbico X1, X2 >= 0 EXCEL Y SOLVER:
Los tres príncipes deben llevar 24 cocos y 12 pieles de león. Esto producirá una riqueza de 5.040 rupias.
3.37 SOLUCIÓN: Modelo: X1: Dólares invertidos en el fondo de acciones X2: Dólares X2: Dólares invertidos en fondos del mercado monetario F.O. MAXZ = 12X1 + 5X2 S.A. X1 + X2 = 200000 0.10X + 0.05X2 >= 14000 X2 >= 40000 X1, X2 >= 0 Excel y Solver:
a) ¿Cuánto dinero se debería debería invertir en el fondo del mercado monetario monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el riesgo total? Respuesta: Se debería invertir $ 120,000 en fondos del mercado Respuesta: monetario; $ 80,000 en fondo de acciones; riesgo total = 1,560,000. b) ¿Cuál es el rendimiento rendimiento total? ¿Qué tasa tasa de rendimiento es esta? Respuesta: Rendimiento total = $ 14,000. Tasa de rendimiento = 14,000 / 200,000 = 0.07 c) ¿Cambiaría la solución solución si la medida de riesgo riesgo de cada dólar en el fondo de acciones fuera de 14 en vez de 12?
Respuesta: Las inversiones no cambiarían ya que 14 es menor que el límite superior de este coeficiente. El riesgo total incrementaría de 1560000 a 1720000. d) Por cada dólar adicional que que está disponible, ¿cuál es el cambio en en el riesgo? Respuesta: El riesgo total empeoraría en 2 (el valor dual) por dólar adicional. e) ¿Podría cambiar la solución solución si la cantidad que que se deba invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000?
Respuesta: No. El monto invertido en el fondo del mercado monetario es mayor a $ 50,000 para la solución original. 3.38 Consulte el caso de Inversiones Bhavika (problema 7-37), una vez más. Se ha decidido que, en vez de minimizar el riesgo, el objetivo debería ser maximizar el rendimiento, haciendo una restricción a la cantidad del riesgo. El riesgo promedio no debería ser de más de 11 (con un riesgo total de 2,200,000 de los $200,000 invertidos). Se reformuló el programa lineal, y los resultados QM para Windows se muestran en la siguiente página.
a) ¿Cuánto dinero se se debería invertir en el fondo del mercado monetario y en el fondo de acciones? ¿Cuál es el rendimiento total? ¿Qué tasa de rendimiento es esta? Respuesta: $ 40,000 en fondos del mercado monetario; $ 160,000 en fondo de acciones; rendimiento total = 18,000 b) ¿Cuál es el riesgo total? total? ¿Cuál es el riesgo promedio? promedio? Respuesta: Riesgo Respuesta: Riesgo total = 12 (160,000) + 5 (40,000) = 2,120,000. Riesgo promedio = 2,120,000 / 200,000 = 10.6. c) ¿Cambiaría la solución, solución, si el rendimiento por cada dólar en el fondo de acciones fuera de 0.09 en vez de 0.10? Respuesta: No. El cambio está por encima del límite inferior. d) Por cada dólar adicional que está disponible, ¿cuál es la tasa de rendimiento marginal? Respuesta: Valor dual = 0.10 = 10% e) ¿Cuál sería el cambio cambio de la rentabilidad total, si la cantidad que se debe invertir en el fondo del mercado monetario cambiara de $40,000 a $50,000? Respuesta: El rendimiento total cambiaría por (precio doble) (cambio en RHS) = (- 0.05) (10,000) = - 500. 7.39 Formulación: Min CT = 2X+4Y+2.50Z S.A. R1: 3X+2Y+4Z >= 64 R2: 2X+3Y+Z >= 80 R3: X+2Z >= 16 R4: 6X+8Y+4Z >= 128 R5: Z =< 5 R6: X, Y, Z > 0 a) Formule esto como un problema de PL b) Resuelva usando software de PL
Rpta: Las cantidades que los granjeros deben comprar para cubrir con el mínimo estándar nutricional además de minimizar costos es: Mezcla: X= 40, Y=0, Z=0 Ingredientes: A= 120 B=80 C=40 D=240 y CT= $80
7.40 Formulación: Max U = 9XJ+12XM+15TR+11BR S.A. R1: 0.5XJ+1.5XM+1.5TR+BR =< 15000 R2: 0.3XJ+XM+2TR+3BR =< 17000 R3: 0.2XJ+4XM+TR+2BR =< 26000 R4: 0.5XJ+XM+0.5TR+0.5BR =< 12000 R5: XJ >= 150 R6: XM >= 100 R7: TR >= 300 R8: BR >= 400 R9: XJ , XM , TR , BR > 0
Rpta: Las cantidades que la empresa Weinberger debe producir es: XJ= 20650 XM=100 TR= 2750 BR= 400, pues estas le generan una utilidad máxima de = 232700.
7.43 Formulación: Del cuadro de costos de referencia se toma: Horas necesitadas para la elaboración de los modelos de módems CMA REGULAR: 5000 hrs / 9000 modem = 0.555 hrs/modem CMA INTELIGENTE: 10400 hrs / 10400 modem = 1.0 hrs/modem
Max U= 22.67 X1 + 29.01 X2 S.A. R1: 0.555 X1 + 1.0 X2 =< 15400 (Horas de trabajo) R2: X2 =< 8000 (Modems inteligentes) R3: X1, X2 > 0 Donde: X1= número de CMA módems regulares vendidos en noviembre X2= número de CMA módems inteligentes vendidos en diciembre
Solución mediante Solver:
Rpta: Con los datos de referencias de las ventas mostradas de los meses de noviembre y diciembre se llega a la conclusión que para maximizar ganancias de la creación de módems se debe producir producir 27747.74 módems regulares y 0 inteligentes pues producen una ganancia óptima $ 629041.44.
7.44 Formulación:
Min CT = 0.12C-30+0.09C-92+0.11D-21+0.04 0.12C-30+0.09C-92+0.11D-21+0.04E-11 E-11 S.A. R1: E-11 >= 15%(50) R2: C-92 + C-30 > = 45%(50) R3: D-21+C-92 =< 30%(50) R4: E-11+C-92+C-30+D-21=50 R5: E-11, C-92, C-30, D-21 > 0 Resolviendo con Solver:
Rpta: Para minimizar costos se asignar de la siguiente forma los compuestos químicos: C-30: 0 Lbs C-92: 15 Lbs D-21: 0 Lbs E-11: 35 Lbs, pues así se minimiza costos a $ 2.75
7.45 Formulación: Min CT = 0.42 A1+0.42 A2 +0.42 A3 + 0.47 B1 + 0.47 B2 + 0.47 B3 S.A. R1: 0.40 A1 + 0.52 B1 >= 0.41 (A1+B1) R2: 0.40 A2 + 0.52 B2 >= 0.44 (A2+B2) R3: 0.40 A3 + 0.52 B3 >= 0.48 (A3+B3) R4: A1 + B1 >= 20000 R5: A2 + B2 >= 15000 R6: A3 + B3 >= 10000
R7: A1, A2, A3, B1, B2, B3 >= 0 Resolviendo con Solver:
Rpta: Se debe usar 18333.33 galones de crudo A en el combustible “Regular”, 10000 galones en el “Premium” y 3333.33 galones en el “Superior”; además del crudo B se debe utilizar 1666.67 galones en el combustible “Regular”, 5000 galones en el “Premium” y 6666.67 en el “Superior”. Esto lleva a Minimizar el costo en $19566.667.
