Ejercicios de PAU de Programacion Lineal

Ejercicio 3.1. Madrid. Junio 2008. Un distribuidor de aceite de oliva compra la materia prima a dos almazaras, A y B. Las almazaras A y B venden el aceite a 2000 y 3000 euros por tonelada, respectivamente. Cada almazara le vende un mínimo de 2 toneladas y un máximo de 7 y para atender a su demanda, el distribuidor debe comprar en total un mínimo de 6 toneladas. El distribuidor debe comprar como máximo a la almazara A el doble de aceite que a la almazara B. ¿Qué cantidad de aceite debe comprar el distribuidor a cada una de las almazaras para obtener el mínimo coste? Determínese dicho coste mínimo.

Solución: x = número de toneladas de aceite de almazara A y = número de toneladas de aceite de almazara B F(x, y) = 2000x + 3000y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 2≤x≤7 2≤y≤7 x+y≥6 x ≤ 2y x+y = 6 y=7

A B

D Región factible C

y=2

E

x = 2y x=2

Vértice A = (2, 7) → F(A) = 2000•2 + 3000•7 = 4000 + 21000 = 25000 Vértice B = (2, 4) → F(B) = 2000•2 + 3000•4 = 4000 + 12000 = 16000

Vértice C = (4, 2) → F(C) = 2000•4 + 3000•2 = 8000 + 6000 = 14000

x=7

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Vértice D = (7, 7) → F(C) = 2000•7 + 3000•7 = 14000 + 21000 = 35000 Vértice E = (7; 3,5) → F(C) = 2000•7 + 3000•3,5 = 14000 + 10500 = 24500 El mínimo se alcanza en el vértice C, por tanto, t anto, la cantidad de aceite será de 4 toneladas de la almazara A y 2 toneladas de la almazara B.

Ejercicio 3.2. Murcia. Junio 2008. Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 € y sortijas adornadas a 6 €. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total. (a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) Suponiendo que se vende toda la producción ¿Cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos?

Solución: x = número de unidades de sortijas sencillas y = número de unidades de sortijas adornadas F(x, y) = 4,5x + 6y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 x ≤ 400 y ≤ 300 x + y ≤ 500

x+y = 500

x = 400 B

y = 300

Región factible C

A







Vértice A: x = 400 →

A = (400, 300) → F(A) = 4,5•400 + 6•300 = 1800 + 1800 = 3600

y = 300 Vértice B: x + y = 500 →

B = (200, 300)

→

→

C = (400, 100) → F(C) = 4,5•400 + 6•100 = 1800 + 600 = 2400

F(B) = 4,5•200 + 6•300 = 900 + 1800 = 2700

y = 300 Vértice C: x = 400 x + y = 500

El máximo se alcanza en el vértice A, por tanto, el número de sortijas será de 400 sencillas y 300 adornadas.

Ejercicio 3.3. Murcia. Septiembre 2008. Un fabricante de coches lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 15000 € y el modelo B a un precio de 20000 €. La oferta está limitada por las existencias que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos, tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, para cubrir gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos, de 60000 €. (a) Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones. (b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos? ¿Cuál es su importe?

Solución: x = número de coches del modelo A y = número de coches del modelo B F(x, y) = 15000x + 20000y Restricciones: x≥0 y≥0

función objetivo







x = 20 3x + 4y = 12 y = 10

C

D

Región factible

A

B

E

x–y=0

Vértice A: x–y=0 →

3x + 4y = 12

A = (12/7, 12/7) → F(A) = 15000•12/7 + 20000•12/7 = 25714,28 + 34285,71 = 60000

Vértice B: 3x + 4y = 12 →

B = (4, 0) → F(B) = 15000•4 + 20000•0 = 60000

y=0 Vértice C: x–y=0 →

C = (10, 10) → F(C) = 15000•10 + 20000•10 = 150000 + 200000 = 350000

→

D = (20, 10) → F(D) = 15000•20 + 20000•10 = 300000 + 200000 = 500000

→

E = (20, 0) → F(E) = 15000•20 + 20000•0 = 300000

y = 10 Vértice D: x = 20 y = 10 Vértice E: x = 20 y=0







Ejercicio 3.4. Castilla La Mancha. Junio 2008. Una compañía de telefonía móvil quiere celebrar una jornada de “Consumo razonable” y ofrece a sus clientes la siguiente oferta: 15 céntimos de euro por cada mensaje SMS y 25 céntimos por cada minuto de conversación incluyendo el coste de establecimiento de llamada. Impone las condiciones: (a) El número de llamadas de un minuto no puede ser mayor que el número de mensajes aumentado en 3, ni ser menor que el número de mensajes disminuido en 3. (b) Sumando el quíntuplo del número de mensajes con el número de llamadas no puede obtenerse más de 27. (1) Dibuja la región factible. (2) Determina el número de mensajes y de llamadas para que el beneficio sea máximo. (3) ¿Cuál es ese beneficio máximo?

Solución: x = número de mensajes y = número de llamadas F(x, y) = 0,15x + 0,25y

función objetivo

Restricciones: x≥0 y≥0 x–3≤y≤x+3 5x + y ≤ 27 5x + y = 27 C B

A

D Región factible E

y=x+3

x–3=y







Vértice B: (0, 3) → F(B) = 0,15•0 + 0,25•3 = 0,75 Vértice C: 5x + y = 27 →

C = (4, 7) → F(C) = 0,15•4 + 0,25•7 = 0,6 + 1,75 = 2,35

x+3=y Vértice D: 5x + y = 27 →

D = (5, 2) → F(D) = 0,15•5 + 0,25•2 = 0,75 + 0,5 = 1,25

x–3=y Vértice E: (3, 0) → F(B) = 0,15•3 + 0,25•0 = 0,45 El máximo se alcanza en el vértice C, por tanto, el número de mensajes será de 4 y el número de llamadas de 7, con un importe de 2,35 €.

Ejercicio 3.5. Murcia. Junio 2009. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, P1 y P2, que en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:

P1 P2

A 4 1

B 1 6

C 6 10

Si el precio de un bote del producto P1 es de 100 € y el de un bote del producto P 2 es de 160 €, averiguar: (a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio? (b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible?

Solución: x = número de botes del producto P 1 y = número de botes del producto P 2 F(x, y) = 100x + 160y función objetivo objetivo









4x + y = 4

6x + 10y = 23

A B

x + 6y = 6

Región factible C

Vértice A: (0, 4) → F(A) = 100•0 + 160•4 = 640 Vértice B: 4x + y = 4 →

B = (0,5; 2) → F(C) = 100•0,5 + 160•2 = 50 + 320 = 370

6x + 10y = 23 Vértice C: 6x + 10y = 23 →

C = (3; 0,5) → F(D) = 100•3 + 160•0,5 = 300 + 80 = 380

x + 6y = 6 Vértice D: (6, 0) → F(D) = 100•3 + 160•0 = 300

D







Ejercicio 3.6. Valencia. Junio 2008. (a) Representa gráficamente el conjunto de soluciones del sistema de inecuaciones: 3x + 2y ≥ 5 x – 2y ≥ – 1 5x + 4y ≤ 16 x–y≤5 (b) Determina los vértices de la región obtenida en el apartado anterior. (c) Calcula el punto donde alcanza el mínimo la función F(x, y) = 3x – y en dicha región. Determina dicho valor mínimo.

Solución: (a) 5x + 4y = 16 3x + 2y = 5

x - 2y = -1

B

A

Región factible C

x-y=5

D







Vértice B: 3x + 2y = 5 →

4x = 4 → x = 1 → y = 1

x - 2y = -1 Por tanto el vértice B es (1, 1) Vértice C: 3x + 2y = 5

3x + 2y = 5 →

x-y=5

→

5x = 15 → x = 3 → y = - 2

→

9x = 36 → x = 4 → y = - 1

2x - 2y = 10

Por tanto el vértice C es (3, -2) Vértice D: 5x + 4y = 16

5x + 4y = 16 →

x-y=5

4x - 4y = 20

Por tanto el vértice D es (4, -1) (c) F(x, y) = 3x – y función objetivo

A = (2, 8/5) →

8 F(A) = 3•2 – = 5

30 8 5

=

22 5

B = (1, 1) → F(B) = 3•1 – 1 = 3 – 1 = 2 C = (3, -2) → F(C) = 3•3 – (– 2) = 9 + 4 = 13 D = (4, -1) → F(D) = 3•4 – (– 1) = 12 + 1 = 13







Solución: x = número de Tm de rape y = número de Tm de merluza F(x, y) = 15x + 10y función objetivo restricciones: x≥0 y≥0 x + y ≤ 30 x ≤ 3y y ≤ 18 y = 18 B

C

x + y = 30 Región factible

A

Vértice C:

D

x = 3y







F(x, y) = 15x + 10y función objetivo A = (0; 0) → F(A) = 15•0 + 10•0 = 0 B = (0; 18) → F(B) = 15•0 + 10•18 = 180 C = (12; 18) → F(C) = 15•12 + 10•18 = 180 + 180 = 360 D = (22,5; 7,5) → F(D) = 15•22,5 + 10•7,5 = 180 + 180 = 412,5 El máximo se alcanza en el vértice D, por tanto, el número de Tm de rape será de 22,5 y el número de Tm de merluza de 7,5.

Ejercicio 3.8. Castilla La Mancha. Septiembre 2008. Un camión para el transporte de electrodomésticos cobra 25 euros por cada frigorífico de 0,6 m2 de base y 22 euros por cada lavavajillas de 0,5 m 2 de base. El camión dispone de 9 m 2 como máximo para este tipo de carga. Por necesidades de demanda el número de lavavajillas no puede superar al 60% del número de frigoríficos. Se deben transportar como mínimo 5 frigoríficos. 1) Dibuja la región factible. 2) Determina el número de electrodomésticos de cada clase para que el beneficio obtenido con el transporte sea lo más grande posible. 3) Calcula el beneficio máximo.

Solución: x = número de frigoríficos y = número de lavavajillas F(x, y) = 25x + 22y función objetivo restricciones: x≥0









0,6x + 0,5y = 9

x=5

C B Región factible A

Vértice B: y = 0,6x →

y = 0,6•5 → y = 3

x=5 Por tanto el vértice B es (5, 3)

y = 0,6x D







Ejercicio 3.9. Madrid. Septiembre 2008. Se desea invertir una cantidad de dinero menor o igual que 125000 euros, distribuidos entre acciones del tipo A y del tipo B. Las acciones del tipo A garantizan una ganancia del 10% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 30000 euros y un máximo de 81000 euros. Las acciones del tipo B garantizan una ganancia del 5% anual, siendo obligatorio invertir en ellas un mínimo de 25000 euros. La cantidad invertida en acciones del tipo B no puede superar el triple de la cantidad invertida en acciones del tipo A. ¿Cuál debe ser la distribución de la inversión para maximizar la ganancia anual? Determínese dicha ganancia máxima.

Solución: x = inversión en acciones del tipo A y = inversión en acciones del tipo B F(x, y) = 0,1x + 0,05y función objetivo objetivo Restricciones: x≥0 y≥0 x + y ≤ 125000 30000 ≤ x ≤ 81000 y ≥ 25000 y ≤ 3x

C







Vértice B: y = 3x →

y = 3•30000 → y = 90000

x = 30000 Por tanto el vértice B es (30000, 90000)

Vértice C: x + y = 125000 y = 3x

x + 3x = 125000 → 4x = 125000 → x = 31250 → 31250 + y = 125000 → y = 125000 – 31250 = 93750

Por tanto el vértice C es (31250, 93750)

Vértice D: x + y = 125000 81000 + y = 125000

→

x = 81000 Por tanto el vértice D es (81000, 44000)

F(x, y) = 0,1x + 0,05y función objetivo objetivo

y = 125000 – 81000 = 44000







Ejercicio 3.10. Madrid. Junio 2009. Una refinería utiliza dos tipos de petróleo, A y B, que compra a un precio de 350 euros y 400 euros por tonelada, respectivamente. Por cada tonelada de petróleo de tipo A que refina, obtiene 0,10 toneladas de gasolina y 0,35 toneladas de fuel-oil. Por cada tonelada de petróleo de tipo B que refina, obtiene 0,05 toneladas de gasolina y 0,55 toneladas de fuel-oil. Para cubrir sus necesidades necesita obtener al menos 10 toneladas de gasolina y al menos 50 toneladas de fuel-oil. Por cuestiones de capacidad, no puede comprar más de 100 toneladas de cada tipo de petróleo. ¿Cuántas toneladas de petróleo de cada tipo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades a mínimo coste? Determinar dicho coste mínimo.

Solución: x = número de toneladas de petróleo de tipo A y = número de toneladas de petróleo de tipo B F(x, y) = 350x + 400y función objetivo objetivo Restricciones: x≥0 y≥0 0,1x + 0,05y ≥ 10 0,35x + 0,55y ≥ 50 x ≤ 100 y ≤ 100







Vértice A: 0,35x + 0,55y = 50

0,35x + 0,55y = 50 →

0,1x + 0,05y = 10

→

0,375y = 15 → y = 40

–0,35x – 0,175y = –35

0,1x + 0,05y = 10 →

0,1x + 0,05•40 = 10→ 0,1x + 2 = 10 → 0,1y = 8 → x = 80

y = 40 Por tanto el vértice A es (80, 40)

Vértice B: 0,1x + 0,05y = 10 →

0,1x + 0,05•100 = 10

→

0,1x = 5 → x = 50

→

0,1•50 + 0,05y = 10 → 0,05y = 5 → y = 100

y = 100 0,1x + 0,05y = 10 x = 50 Por tanto el vértice B es (50, 100)

Vértice D:

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