A partir del primer ejemplo, calcula cada problema: Sea un terreno con forma rectangular de área 144 cm2. Si la base es b y la altura es a, indica la función que epresa la altura en función de la base. A partir de aqu!, o de otra manera, indica el per!metro del rectángulo, en función de la base. "na idea interesante en este tipo de problemas es #acer un dibujo para situarnos un poco:
$n este caso podemos %er una relación bastante sencilla. &omo nos dicen que el área del rectángulo es 144 cm2, entonces tenemos que, ab = 144
de donde obtenemos que: 1440 a= b
A#ora ya tenemos las dos medidas principales del rectángulo en función de la base, y a#ora podemos construir una función que me de el per!metro del rectángulo, en función de esta 'nica %ariable, b.
(uego tenemos que: P (b) = 2b +
288 b
A partir de aqu! %amos a intentar resol%er un problema de optimi)ación: o ptimi)ación: De todos los rectángulos de área 1440 cm 2 , calcula el que tiene tiene menor perímetro. perímetro.
&om &omo ya #emo #emoss %ist %isto, o, pode podemo moss pone ponerr el per! per!me metr tro o en fun función ción de b y qued quedaa P (b) = 2b +
288 b , con lo que nos queda minimi)ar la función *, es decir, buscar el %alor que
#ace que sea m!nima. *ara ello, calculamos la deri%ada, la igualamos a cero, y la solución la testamos en la segunda deri%ada. +eámoslo: P ' (b) = 2 − P ' ' (b) =
576 b3
→
288 b2
P ' ' (12) =
576 123
2−
→
=
0,3
288 b2 →
=
0
→
b = 12
b = 12 es punto
de
mínimo
*or 'ltimo, si b12 entonces a12, y la solución buscada.
Profesor: Ángel A. Barrajón Belén Matemáticas
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*-/($0AS $ *303A&356 1. &on un alambre de 1 m queremos construir el borde de un rectángulo de área máima. 78u9 dimensiones #ay que dar al rectángulo 2. &alcular dos n'meros reales cuya suma sea ; y su producto sea el mayor posible. <. e entre todos los triángulos isósceles de per!metro <= cm, cuál es el de área máima. 4. >allar las dimensiones de un depósito abierto superiormente, en forma de prisma recto de base cuadrada, de ;== m< de capacidad que tenga un re%estimiento de coste m!nimo. ;. Se considera una %entana rectangular rematada en la parte superior por un triángulo rectángulo. Sabiendo que el per!metro de la %entana es de ?.? m, #allar sus dimensiones para que su superficie sea máima. ?. "na %entana @normanda consiste en un rectángulo coronado con un semic!rculo. $ncontrar las dimensiones de la %entana de área máima si su per!metro es de 1= m. B. $n una oficina de correos, solo se admiten paquetes con forma de paralelep!pedo rectangular, tales que la anc#ura sea igual a la altura y además, la suma de anc#o, alto y largo debe ser de B2 cm. >allar las dimensiones del paralelep!pedo de %olumen máimo. C. "na #oja de papel debe contener 1C cm2 de teto impreso. (os márgenes superior e inferior deben tener 2 cm cada uno y los laterales 1 cm. &alcular las dimensiones de la #oja para que el gasto de papel sea el m!nimo. D. "n jardinero desea construir un parterre con forma de sector circular. Si dispone de 2= m de alambre para rodearlo, 7qu9 radio debe tener el sector para que el parterre tenga la mayor superficie posible 1=. Se desea construir una lata de conser%as en forma de cilindro circular recto de área total 1;= cm2. eterminar sus dimensiones para tenga %olumen máimo. 11. >allar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio 1= cm en cada uno de los casos siguientes: aE $l %olumen del cilindro es máimo bE $l área lateral del cilindro es máima. 12. "n triángulo isósceles de per!metro 1= m gira alrededor de la altura relati%a al lado no igual y, como todo triángulo que se precie, engendra un cono. >allar sus lados para que el cono tenga %olumen máimo. 1<.(os barriles que se utili)an para almacenar petróleo tienen forma cil!ndrica y una capacidad de 1?= l F1litro 1dmallar las dimensiones del cilindro para que la c#apa empleada en su construcción sea m!nima. 14. eterminar la distancia m!nima del origen a la cur%a y 1. Profesor: Ángel
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1;. >allar los puntos de la cur%a y2 ? cuya distancia al punto *F4, =E sea m!nima. 1?. >allar el punto de la parábola y 2 G que está mas cerca del punto AF1, =E. 1B. 7&uál es la mayor área que puede tener un rectángulo de lados paralelos a los ejes de coordenadas inscrito en la elipse de ecuación 42 G y2 1 1C. (os márgenes de un r!o tienen por ecuaciones: @ x - y = 2 , @ x - y = -2. os pueblos AFH<, 2E y /F4, =E, se %an a unir por una l!nea de ferrocarril que cru)ará el r!o perpendicularmente. 7$n qu9 puntos de ambas orillas se construirá el puente para que el trayecto sea m!nimo 1D."na piedra preciosa pesa 12 g. Sabiendo que el %alor de una piedra preciosa es proporcional al cuadrado de su peso y que su %alor es de 144=== I, calcular, cuando dic#a piedra se di%ide en dos tro)os, el %alor de cada uno de ellos cuando la depreciación sea máima. 2=. $n una carrera a tra%9s del desierto un automó%il debe ir desde la ciudad A #asta el oasis * situado a ;== Jm de distancia de A. *uede apro%ec#ar para ello una carretera recta que une las ciudades A K / y que le permite ir a una %elocidad de 1== JmL#, mientras que por el desierto la %elocidad es de ?= JmL#. Sabiendo que la distancia más corta de * a la carretera que une las ciudades A y / es de <== Jm, determinar la ruta que deberá usar para ir desde A a * en el menor tiempo posible. 21.A 1= Jm de tu casa te acuerdas de que te #as dejado el agua corriendo, lo que te cuesta 1= *A la #ora. +ol%er a casa a una %elocidad FconstanteE de JmL# te cuesta en combustible DGFL1=E *A por Jm. aE 7&uánto te cuesta %ol%er a casa a JmL# Fen combustibleE bE 7&uánto tiempo tardas en llegar a casa si %iajas a esa %elocidad cE 7&uánto te cuesta el consumo de agua mientras regresas a casa dE 7A qu9 %elocidad debes regresar a casa para que el coste total de consumo de agua y combustible sea m!nimo 22. "n granjero compra una ternera de 2B= Jgs por 1C= I. Alimentar al animal cuesta 1; cents al d!a y la ternera aumenta de peso =.4; Jgs cada d!a. *or otro lado, cada d!a que pasa, el %alor del animal en el mercado disminuye, de modo que el %alor al cabo de t d!as, dependiendo del peso del animal, es F1==HFtL1CEE ptas por Jilo. &alcular: a. *eso de la ternera al cabo de t d!as. b. +alor total de la ternera en el mercado al cabo de t dias. c. &oste total in%ertido en esos t d!as, incluyendo la compra y la alimentación. d. Manancia obtenida por el granjero si %ende la ternera a los t d!as Fla ganancia será el %alor de la ternera en ese instante menos los costes in%ertidosE. e. 7&uándo deben %ender la ternera para obtener la máima ganancia 2<."na fábrica situada a 12 Jm de la orilla de un r!o rectil!neo, #a de transportar sus productos a una ciudad situada en la orilla del r!o y a C= Jm del punto de 9ste más Profesor: Ángel
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próimo de la fábrica. $l transporte de mercanc!as en camión cuesta 1<= *A por tonelada y Jm y el transporte en gabarra por el r!o cuesta ;= *A por tonelada y Jm. 7$n qu9 punto de la orilla se deber!a cargar la mercanc!a en gabarras para que el coste total de transporte sea m!nimo 24. Se pretende fabricar una lata de conser%as cil!ndrica Fcon tapaE de 1 l de capacidad. 7&uáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el m!nimo metal posible 2;."na fábrica elabora un producto de dos calidades distintas: @ x” toneladas de baja calidad e @y toneladas de alta calidad, siendo y F1CH;ELF1=HE. >allar la cantidad de toneladas del producto de baja calidad que #a de producir para obtener ingresos máimos si el precio por tonelada de 9ste es la mitad que el de alta calidad. 2?."n triángulo isósceles tiene su lado desigual de longitud 12 cm y la altura sobre dic#o lado es ; cm. etermina los puntos sobre esa altura tales que la suma de sus distancias a los tres %9rtices sea máima y m!nima respecti%amente. 2B.Si de un disco metálico quitamos un sector circular podemos construir un %aso cónico. eterminar el sector circular que debemos quitar para que el %olumen del %aso sea máimo, sabiendo que el radio del disco mide 1= cm. 2C. >alla el n'mero positi%o cuya suma con %einticinco %eces su in%erso sea m!nima. 2D. e todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 1= cm, #alla las dimensiones de aquel cuya área es máima. <=.$ntre todos los rectángulos de per!metro 12 m, 7cuál es el que tiene la diagonal menor <1. etermina las dimensiones que debe tener un recipiente cil!ndrico de %olumen igual a ?,2C litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de #ojalata. <2. &on una cartulina rectangular de 2 m< m se quiere construir una caja sin tapa. *ara ello se recorta un cuadrado de cada uno de los %9rtices. &alcula el lado del cuadrado recortado para que el %olumen de la caja sea máimo. <<. $ntre todos los triángulos isósceles de per!metro <= cm, 7cuál es el de área máima <4. Se quiere construir un recipiente cónico de generatri) 1= cm y de capacidad máima. 7&uál debe ser el radio de la base <;. .Se sabe que el rendimiento, r en N, de un estudiante que reali)a un eamen de una #ora %iene dado por r FtE <==t F1 O t E siendo = Pt P1, t en #oras. a. $plica cuándo aumenta y cuándo disminuye el rendimiento. b. 7&uándo se anula c. 7&uándo es máimo
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allar el n'mero positi%o que sumado con su in%erso la suma m!nima. 44. &on un alambre de 2 metros de longitud se quiere formar un rectángulo de superficie máima. 7&ómo debe #acerse 4;.&on una cuerda de <=m, se quiere formar un triángulo isósceles de área máima. 7&uál será el %alor del área 4?. "n alambre de longitud 1== se di%ide en dos partes , y. &on cada una de ellas, se construye un cuadrado. 7*ara qu9 %alores de e y será máima la suma de las áreas de los dos cuadrados 7y m!nima 4B. e todos los rectángulos que tienen área igual a 1? m2, 7qu9 dimensiones tiene el de menor per!metro 4C. 78u9 dimensiones tiene el rectángulo de área máima inscrito en una circunferencia de C m de radio 4D. e todas las rectas que pasan por F2,
=
4 x , #allar los puntos a distancia m!nima de F4,=E.
;4.e todos los triángulos inscritos en una circunferencia de radio r, 7cuál es el de mayor área Profesor: Ángel
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;;.e todos los triángulos rectángulos que tienen la misma #ipotenusa #, #allar los catetos del de área máima. ;?. e todos los triángulos A/& de per!metro ;m y base 1m, #állese el de mayor área. >$-56. ;B.$n un c!rculo de radio r se tra)a una cuerda A/ perpendicular a un diámetro & resultando dos triángulos A&/ y A/. 7&uál es la máima diferencia de sus áreas.
;C.Sea A/& un rectángulo de per!metro constante, igual a 4cm. omando cada lado como diámetro se dibujan cuatro semic!rculos. >allar el máimo de la superficie resultante al aRadir al rectángulo esos semic!rculos.
;D. ómense dos puntos, A y , separados una distancia d. &on centro en , se dibuja una circunferencia de radio r, y desde A se tra)an las tangentes A y AQ a dic#a circunferencia. 7*ara qu9 %alor de r será máima el área del triángulo AQ.
?=. 3nscribir en un cuadrado de lado J, otro cuadrado de superficie m!nima.
?1. (a base de un rectángulo mide 2m y la altura 1m. A partir de cada %9rtice, y en el mismo sentido, se lle%a un distancia a, formándose un paralelogramo K. >allar el paralelogramo de área máima.
?2.(a base de un rectángulo mide 2 cm y la altura 1 cm. esde A y & se lle%a sobre los lados adyacentes la misma distancia . >állese el área máima del paralelogramo resultante.
?<.$l diámetro d de un semic!rculo se di%ide en dos partes a y b, las cuales se toman como diámetros de dos nue%os semic!rculos. >állense a y b para que el área comprendida entre los tres semic!rculos sea lo mayor posible. ?4.Sean r, s dos rectas paralelas a distancia d. Sobre r, se fija un segmento A/ de longitud d, y sobre s se toma un punto 0. 7&ómo #ay que elegir 0 para que el cociente de distancias A0L/0 sea máimo 7K para que sea m!nimo ?;. "n rectángulo, de per!metro 2p, gira alrededor de uno de sus lados. 7&uáles deben ser sus dimensiones para que el cilindro engendrado tenga %olumen máimo Profesor: Ángel
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??.Se desea construir un bote cil!ndrico de fondos semiesf9ricos y área 2π cm2. 78u9 dimensiones #ay que darle para que su capacidad sea máima. ?B.e una cartulina rectangular de dimensiones a y b se recortan cuatro cuadrados iguales, uno en cada esquina. &on la superficie resultante, se construye una caja. &alc'lese para que el %olumen de dic#a caja sea máimo. ?C.$n una bu#ardilla, la %entana tiene la forma indicada en la figura, con el triángulo superior rectángulo e isósceles, y el per!metro total p metros. -a)ónese que la mayor cantidad de lu) entrará cuando la altura del rectángulo sea igual a los catetos del triángulo. ?D. Se tiene un triángulo A/& con el ángulo A de ?=T y A/2== Jm. e /, sale #acia A un coc#e a 12= JmL#. Al mismo tiempo, sale otro coc#e de A #acia & a B; JmL#. 7Al cabo de cuánto tiempo la distancia que les separa es m!nima. B=. $n un semic!rculo de radio r se inscribe un rectángulo A/& con el lado A/ sobre el diámetro. U&ómo debe #acerse para que el rectángulo tenga área máima 2
B1.Sobre la parábola y = 2 px se toma un punto 0. 7*ara que punto 0 se logrará que sea máima o m!nima la diferencia de distancias 0* O +*, siendo + el %9rtice de la parábola B2.Se quiere ir del punto A al punto / atra%esando el canal a nado. Si nadamos a 1mLs y caminamos a 2mLs, 7cómo #emos de elegir el camino A&/ para llegar a / en el menor tiempo. B<. 3nscribe un rectángulo de área máima en la figura formada por la parábola y 2 = 2 px y la recta x = 2a , de modo que uno de sus lados est9 sobre. B4. 7&uál es el cono de mayor %olumen entre los que pueden inscribirse en una esfera de radio 12 cm2 B;.Se quiere construir un cilindro de área total S cm 2 y %olumen máimo. $presar en función de S las dimensiones del mismo. B?.&alc'lense las dimensiones del cilindro de mayor %olumen entre todos los que pueden inscribirse en una esfera de radio r cm. BB."n cilindro tiene iguales la altura y el radio r de la base. 7&uál de los conos circunscritos al mismo tiene mayor %olumen. FSe supone que la base del cono circunscrito contiene a la del cilindroE.
BC. &alcula el punto de la cur%a
f ( x) =
a x 2
+1
, donde tiene pendiente máima.
BD. etermina la parábola y a 2 G b G c que es tangente a la recta y 2 O < en el punto AF2, 1E y que pasa por el punto /F;, O2E. C=..(a cur%a y < G a2 G b G c corta al eje de abscisas en O1 y tiene un punto de infleión en F2, 1E. &alcula a, b y c.
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C1.e la función f FE a < G b sabemos que pasa por F1, 1E y en ese punto tiene tangente paralela a la recta < G y =. &alcula a y b. C2. e la función f FE 2 G a G b se sabe que: a. iene un m!nimo en 2. b. Su gráfica pasa por el punto F2, 2E c. eniendo en cuenta estos datos, 7cuánto %ale la función en 1 C<.&alcula p y q de modo que la cur%a y 2 G p G q contenga al punto FO2, 1E y presente un m!nimo en O<. C4. &omprobar que f ( x) = x cupmle las #ipótesis del tV del +alor 0edio en W=,DX. 7ónde cumple la tesis
x 2 + ax + b x < 1 f ( x) = x ≥ 1 2 x + 1 C;. &alcular a y b para que la función cumpla las #ipótesis del .+.0. en el inter%alo WH1,;X. 7ónde cumple la tesis 2 C?. Aplica el .+.0., si es posible, a la función f ( x) = x
− 3x +
2 en WH2,H1X.
CB. Aplica el .+.0., si es posible, a la función f ( x) = x − x − x + 1 en WH2,H1X. 3
2
− x 2 + 10 x − 19 x ≥ 4 f ( x) = 2 x − 3 x < 4 CC. emuestra que cumple las #ipótesis del .+.0. en el inter%alo W2,?X. 7$n qu9 punto cumple la tesis 2
ln( 1 + x ) >
CD. emuestra que
x 2 1 + x 2
;x ≠0
, utili)ando el .+.0.
D=. emuestra, utili)ando el .+.0., que e > 1 + x ; x ≠ 0 x
D1. emostrar que senFG#EHsenFE#cos=, con Y = Y G# D2. emostrar que, si Z=, entonces ln( 1 + x) < x .
D<. "tili)ando el .+.0., demuestra que
94. "tili)ando
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el .+.0., demuestra que
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ln( x) >
2( x − 1)
x + 1
2 x > 3 −
1 x
;x >1
;x >1
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