1. Usted ha decidido entrar a la industria de los dulces. Está pensando en producir dos tipos de dulces: dulce macizo, dulce suave. Ambos están elaborados sólo con azúcar, nueces y chocolate. En la actualidad tiene en existencia 100 oz de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. La mezcla usada para elaborar el dulce suave debe contener por lo menos 20 % de nueces. La mezcla que se utiliza para e dulce macizo debe contener por lo menos 10% de nueces y 10% de chocolate. Cada onza del dulce suave se vende a 25 centavos y cada onza del dulce macizo, en 20 centavos. Plantee un PL que le permita maximizar sus ingresos con la venta de dulces.
SOLUCIÓN A1: Onzas de Azúcar en Dulce Macizo A2 Onzas de Azúcar en Dulce Suave N1: Onzas de Nueces en Dulce Macizo N2: Onzas de Nueces en Dulce Suave Ch1: Onzas de Chocolate en Dulce Macizo Ch2: Onzas de Chocolate en Dulce Suave
Maximizar: Z =[20*(A1 + N1 + Ch1) + 25*(A2 + N2 + Ch2)] A1 + A2 >= 100 N1 + N2 >= 20 C1 + C2 >= 30 N2 / (A2 + N2 + C2) >= 0.2 N1 / (A1 + N1 + C1) >= 0.1 C1 / (A1 + N1 + C1) >= 0.1 A1, A2, N1, N2, C1, C2 >=0
Onzas de azúcar Onzas de nueces Onzas de nueces Porcentaje de nueces en Dulce Suave Porcentaje de nueces en Dulce Macizo Porcentaje de chocolates en Dulce Macizo
2. O.J.Juice Company vende bolsas de naranjas y jugo de naranja en envases de cartón. O.J clasifica las naranjas según una escala de 1 (malas) a 10 (excelentes).O.J dispone en la actualidad de 100 000 lb de naranjas grado 9 y 120 000 lb de naranjas en grado 6. La calidad promedio de naranjas vendidas en bolsas debe ser por lo menos 7 y la calidad promedio de las naranjas para fabricar el jugo de naranja debe ser por lo menos de 8. Cada libra de naranja que se usa para el jugo rinde un ingreso de 1.5 dólares e incurre en un costo variable de 1.05 dólares. Cada libra de naranjas que se vende en bolsa contribuye con un ingreso de 50 centavos e incurre en un costo variable de 20 centavos. Formule un PL para ayudar a OJ a maximizar su utilidad.
SOLUCIÓN X1: Y1: X2: Y2:
Libras de la clase 6 que se usa en bolsa Libras de la clase 6 que se usa en caja Libras de la clase 9 que se usa en bolsa Libras de la clase 9 que se usa en caja
Maximizar : Z= [0.30*(B1 + B2) + 0.45*(C1 + C2)]
X1 + Y1 >= 120 000 X2 + Y2 >= 100 000
Libras de naranja grado 6 disponible Libras de naranja grado 9 disponible Calidad promedio de naranjas vendidas en bolsa
Calidad promedio de naranjas vendidas en caja
X1, X2, Y1, Y2 >= 0
3. Un banco desea saber donde debe invertir sus ingresos durante el presente año. En la actualidad dispone de 500 000 dólares para inversiones en títulos ara compra de casas, prestamos para compra de autos y prestamos personales. Se sabe que la tasa anual de retorno en cada tipo de inversión es en título, 10 %; préstamos para compra de casas, 16 %; préstamos para compra de automóviles, 13 % ; préstamos personales ,20% .Para asegurar que el conjunto de inversiones del banco no es demasiado riesgoso, el gerente de inversiones del banco ha propuesto las tres restricciones : a. La cantidad invertida en préstamos personales no puede ser mayor a la cantidad invertida en títulos. b. La cantidad invertida en préstamos para casas no puede sobrepasar la cantidad invertida en préstamos para automóviles. c. No más del 25 % de la cantidad total invertida podría ser para préstamos personales. SOLUCIÓN Xi: Xpc: Xpca: Xpp:
Cantidad a invertir en Títulos Cantidad a invertir en Préstamos para Casas Cantidad a invertir en Préstamos para automóviles Cantidad a invertir en Préstamos personales
Maximizar:
4. Erica Cudaly podría invertir hasta 1000 dólares. Este dinero lo podría invertir en acciones o préstamos. Cada dólar invertido en acciones rinde 10 centavos de utilidad, cada dólar invertido en un préstamo rinde 15 centavos de utilidad. Por lo menos 30 % de todo el dinero invertido debe ser en acciones y por lo menos 400 dólares deben ser invertidos en préstamos. Plantee un PL que se pueda utilizar para maximizar utilidad total ganada por las inversiones de Erica. SOLUCIÓN Xa: Dinero invertido en acciones Xp: Dinero invertido en préstamos Maximizar:
5. Chandler Oil Company tiene 5 000 barriles de crudo 1 y 10 000 barriles de crudo 2. La compañía vende dos productos: gasolina y aceite combustible. Ambos productos se elaborar combinando el crudo 1 y crudo 2. La calidad de cada crudo es como sigue: crudo 1, 10; crudo 2, 5. La gasolina debe tener una calidad promedio de por lo menos 8, y el aceite combustible, por lo menos de 6. La demanda de cada producto debe ser creada por la publicidad. Cada dólar gastado en anunciar a la gasolina crea 5 barriles de demanda, y cada dólar gastado en
aceite de combustible origina 10 barriles de demanda. La gasolina se vende a 25 dólares por barril y el aceite combustible a 20 dólares por barril. Formule un PL para ayudar a Chandler a maximizar sus utilidades. Suponga que no puede comprarse crudo ninguno de estos tipos. SOLUCIÓN
Xij: Barriles de crudo i usado para producción j (i=1 crudo 1, i=2 crudo 2, j=1 gasolina, j=2 aceite combustible) aj: dólar gastado en anunciar el producto j (j=1,2)
Maximizar: Z= 25*(X11 + X21) + 20*(X12 + X22) – a1 – a2
X11 + X12 <= 5 000 X21 + X22 <= 10 000
Barriles disponibles de crudo 1 Barriles disponibles de crudo 2
Calidad promedio de la gasolina
Calidad promedio del aceita combustible
X11 + X21 = 5*a1 X12 + X22 = 10*a2
Demanda que genera lo gastado en anuncio de gasolina Demanda que genera lo gastado en anuncio de aceite
6. Bulco mezcla silicio y nitrógeno para producir dos tipos de fertilizantes. El fertilizante 1 debe contener por lo menos 40% de nitrógeno y venderse en 70 dólares la libra. El fertilizante 2 debe contener por lo menos 70 % de silicio y venderse a 40 dólares la libra. Bulco puede comprar hasta 80 lb de nitrógeno a 15 dólares la libra, hasta 100lb de silicio a 10 dólares la libra. Supóngase que todo el fertilizante se vende. Formule un PL para ayudar a Bulco a maximizar las ganancias. SOLUCIÓN
Si1: Libras de Silicio en Fertilizante tipo 1 N1: Libras de Nitrógeno en Fertilizante tipo 1
Si2: Libras de Silicio en Fertilizante tipo 2 N2: Libras de Nitrógeno en Fertilizante tipo 2
Maximizar: Z= [70*(N1 + Si1) + 40*(N2 + Si2) – 15*(N1 + N2) – 10*(Si1 + Si2)]
N1 / (N1 + Si1) >= 0.40 Si2 / (N2 + Si2) >= 0.70 N1 + N2 <= 80 Si1 + Si2 <= 100
Porcentaje mínimo de nitrógeno en el fertilizante 1 Porcentaje mínimo de silicio en el fertilizante 2 Máximo de libras de nitrógeno que puede comprar Máximo de libras de silicio que puede comprar
N1, N2, Si1, Si2 >= 0
7. Eli Daisy utiliza los productos químicos 1 y 2 para elaborar dos fármacos. Él fármaco 1 debe tener por lo menos el 70 % del producto químico 1 y el fármaco 2 debe contener por lo menos 60 % del producto 2.Se pueden vender hasta 40 oz del fármaco 1 a 6 dólares la onza; se puede vender hasta 30 oz del fármaco 2 a 5 dólares la onza . Se pueden comprar hasta 45 oz del producto químico 1 a 6 dólares la onza y se pueden comprar hasta 40 oz del producto químico 2 a 4 dólares la onza. Plantee un PL que maximice las utilidades de Daisy. SOLUCIÓN
X:Onzas del Fármaco 1 Y: Onzas del Fármaco 2
Q1: Onzas del Producto químico 1 Q2: Onzas del Producto químico 2
O1A = Onza de producto químico 1 usado para producir fármaco 1 O2A = Onza de producto químico 2 usado para producir fármaco 2 O1B = Onza de producto químico 1 usado para producir fármaco 1 O2B = Onza de producto químico 2 usado para producir fármaco 2 Maximizar: Z=
8. La Highland TV-Radio Store debe determinar cuántos televisores y radios conservar en existencia. Un televisor requiere 10 pies cuadrados de espacio en el piso, en tanto que el radio necesita 4 pies cuadrados. Se dispone de 200 pies cuadrados de espacio en el piso. Un televisor gana 60 dólares en utilidades y un radio 20 dólares. La tienda almacena solo televisores y radios. Los requisitos del mercado señalan que por lo menos el 60% de todos los aparatos debe ser radio. Por último, un televisor moviliza 200 dólares del capital, y un radio, 50 dólares. Highland quiere tener cuando mucho un valor de 3 000 dólares de capital inmovilizando en cualquier momento. Plantee un PL con el que se pueda maximizar la utilidad de esta compañía. SOLUCIÓN
Xt: cantidad de televisores que se deber conservar en existencia Xr: cantidad de radios que se deber conservar en existencia Maximizar: Z= 60*T + 20*R Porcentaje mínimo de radios en el conjunto de aparatos 10*Xt + 4*Xr <= 200 200*Xt + 50Xr>=3000
Pies cuadrados de espacio disponibles en el piso Mínimo de dólares por capital inmovilizado
9. Muchas compañías de Wall Street utilizan modelos de PL para seleccionar opciones de inversión en títulos. Los que sigue es una versión simplificada de dichos modelos. Solodrex está considerando invertir en cuatro títulos; dispone de 1 000 000 de dólares para invertir. El rendimiento anual esperado, el rendimiento anual en el peor de los casos de cada título y la “duración” de cada título se proporcionan en la tabla 15. La duración de un titulo es una medida de sensibilidad del título a alas tasas de interés Solodrex quiere maximizar el rendimiento esperado a partir de sus inversiones en títulos, sujetos a tres restricciones.
Restricción 1 el rendimiento en el peor de los casos de la opción de inversión de títulos debe ser por lo menos de 8%.
Restricción 2 la duración promedio de la opción de inversión deber ser cuando mucho 6. Por ejemplo una opción de inversión que invierte 600 000 dólares en el titulo 1 y 400 000 en el titulo 4 tendria una duración promedio de
Restricción 3 Debido a los requisitos de diversificación, cuando mucho 40% de la cantidad total invertida puede estar invertido en un solo título.
Formule un PL que le permita a Solodrex maximizar el rendimiento esperado por sus inversiones. TABLA 15 TITULO
RENDIMIENTO EXPERADO (%)
1 2 3 4
13 18 12 14
RENDIMIENTO EN LE PEOR DE LOS CASOS (%) 6% 8% 10% 9%
DURACIÓN
3 4 7 9
SOLUCION
XI= Cantidad de dinero invertido en títulos i (i =1, 2, 3,4)
Maximizar: Z= 0.13*X1 + 0.08*X2 + 0.12*X 3+ 0.14*X4
0.06* X1 + 0.08* X2 + 0.1*X 3 + 0.09*X4 >= (0.08)*(1 000 000) restricción 1
0.06* X1 + 0.08* X2 + 0.1*X 3 + 0.09*X4 <= 6 1 000 000
restricción 2
X1 <= (0.40)*(1,000,000) X2 <= (0.40)*(1,000,000) X 3 <= (0.40)*(1,000,000) X4 <= (0.40)*(1,000,000)
restricción 3
10. Coalco explota carbón en tres minas y lo embarca para cuatro clientes. Los costos por tonelada de carbón en producción, la ceniza, el contenido de azufre del carbón y la capacidad de producción de cada mina se proporciona en la tabal 16. La cantidad de toneladas de carbón que solicita cada cliente se presenta en la tabal 17 El costo por embarcar una tonelada de carbón desde una mina a cada cliente se proporciona en la tabla 18 .Se requiere que la cantidad total de carbón embarcado contenga cuando mucho 5 %de ceniza y cuando mucho 4 % de azufre. Plantee un PL que minimice el costo por cumplir las demandas de los clientes. TABLA 16 Mina
Costo de producción ($)
Capacidad
Contenido de ceniza (t)
1 2 3
50 55 62
120 100 140
0.08 0.06 0.04
Contenido de azúcar (t) 0.05 0.04 0.03
TABLA 17 Cliente 1 80
Cliente 2 70
Cliente 3 60
Cliente 4 40
TABLA 18 Mina 1 2 3
Cliente 1 4 9 8
Cliente 2 6 6 12
Cliente 3 8 7 3
Cliente 4 12 11 5
SOLUCIÓN Xij = Cantidad de toneladas de carbón que produce la mina i (1, 2, 3) para embarcar a los clientes j (1, 2, 3, 4). Minimizar: Z = 80*(X11+X12+X13+X14)+88*(X21+X22+X23+X24)+90*(X31+X32+X33+X34) X11+X12+X13+X14<=120; X21+X22+X23+X24<=100; X31+X32+X33+X34<=140; X11+X21+X31=80; X12+X22+X32=70; X13+X23+X33=60; X14+X24+X34=40;
11. Eli Daisy fabrica el medicamento Rozac a partir de cuatro productos químicos. Hoy deben producir 1000 lb del fármaco .Los tres ingredientes activos de Rozac son : A,B y C.Por peso, por lo menos 8% de Rozac debe ser A , por lo menos 4 % de B y por lo menos 2 % de C. El costo por libra de cada producto químico y la cantidad de cada ingrediente activo en una libra de cada producto se proporciona en la tabla 19. Es necesario que se utilicen por lo menos 100 lb del producto químico 2.Encuentre un PL cuya solución determine la forma mas barata de producir el lote de hoy de Rozac. TABLA 19 Producto químico 1 2 3 4
Costo ($)
A
B
C
8 10 11 14
0.03 0.06 0.01 0.12
0.02 0.04 0.03 0.09
0.01 0.01 0.04 0.04
SOLUCIÓN Xij = Cantidad de libras del ingrediente i (A, B, C) para elaborar el producto j (1, 2, 3, 4). Minimizar : Z = 8*(XA1+XB1+XC1)+10*(XA2+XB2+XC2)+11*(XA3+XB3+XC3)+14*(XA4+XB4+XC4);
0.03*XA1+0.02*XB1+0.01*XC1+0.06*XA2+0.04*XB2+0.01*XC2+0.10*XA3+0.03*XB3+0.04*XC3 +0.12*XA4+0.09*XB4+0.04*XC4=1000; (0.03*XA1+0.06*XA2+0.10*XA3+0.12*XA4)/(XA1+XA2+XA3+XA4)>=0.08; (0.02*XB1+0.04*XB2+0.03*XB3+0.09*XB4)/(XB1+XB2+XB3+XB4)>=0.04; (0.01*XC1+0.01*XC2+0.04*XC3+0.04*XC4)/(XB1+XB2+XB3+XB4)>=0.02; 0.06*XA2+0.04*XB2+0.01*XC2>=100;
12. Sunco Oil tiene tres procesos distintos que se pueden aplicar para elaborar varios tipos de gasolina. En cada proceso se requiere mezclar crudos en el desintegrador catalítico de la compañía. Ejecutar el proceso 1 durante una hora cuesta 5 dólares y se requieren 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2.El producto luego de ejecutar el proceso 1 por una hora es 2 barriles de gasolina 1 y 1 barril de gasolina 2.Ejecutar el proceso 2 durante una hora cuesta 4 dólares y requiere 1 barril de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2 .El resultado de correr el proceso 2 por una hora cuesta 3 barriles de gasolina 2.Ejecurtar el proceso 3 durante una hora cuesta 1 dólar y se requieren 2 barriles de crudo 2 y 3 barriles de gasolina 2. El resultado del proceso 3 luego de una hora es 2 barriles de gasolina 3 .todas las semanas se podrían comprar 200 barriles de crudo 1 a 2 dólares el barril y 300 barriles de crudo 2 a 3 dólares el barril. Toda la gasolina producida se podría vender a los precios siguientes por barril: gasolina 1, 9 dólares; gasolina 2, 10 dólares; gasolina 3 , 24 dólares. Plantee un PL cuya solución maximice los ingresos menos costos. Suponga que sólo se dispones de 100 horas de tiempo en el desintegrador catalítico. SOLUCIÓN Proceso 1: Costo: $5.00 Barriles de Crudo
Barriles de Gasolina
1 2
1 1h
2
Proceso 2: Costo: $4.00 Barriles de Crudo
Barriles de Gasolina
1 3 2
1h
Proceso 3: Costo: $1.00 Barriles de Crudo
Barriles de Gasolina
1 3 2
1h
Maximizar: 23Z1+26Z2-47Z3 Yk,l: Numero de barriles de crudo k(k=1,2,3) usados en el proceso l(l=1,2,3) Hm: Numero de veces que se realiza el proceso m (m=1, 2,3)
…….. Restricción de materia prima ….. Restricción de tiempo
13. Funco manufactura mesas y sillas. Una mesa requiere 40 pies de tablón de madera, en tanto que una silla requiere 30 pies de tablón de madera. La madera se podría comparar a un costo de 1 dólar por pies tablón, y hay disponible 40 000 pies tablón. Se necesitan 2 horas de mano de obra calificada para manufacturar una mesa sin acabado o una silla sin acabado. Tres horas más de mano de obra calificada convierten una mesa sin acabado en una ya terminada, 2 horas más en el caso de las sillas. Se puede disponer de un total de 6000 horas de mano de obra calificada (ya se pagó) . Todos los muebles fabricados se venderán a los siguientes precios unitarios : mesa sin terminar , 70 dólares; mesa acabada, 140 dólares; silla sin terminar, 60
dólares ; silla acabada, 110 dólares. Plantee un PL que maximice la contribución a las utilidades por la fabricación de mesas y sillas. SOLUCIÓN Maximizar: 70(Xm, sa)+60(Xs, sa)+140(Xm, a)+110(Xs, a) Xij: Número de cantidad i (i=mesas, sillas) vendidas que están j (j=acabadas, sin acabar)
14. Chemco elabora tres productos 1 , 2 y 3.Cada libra de materia prima cuesta 25 dólares. Esta se somete a proceso y rinde 3 oz del producto 1 y 1 oz del producto 2.Cuesta 1 dólar y toma 2 horas de mano de obra procesar cada libra de materia prima. Cada onza de producto 1 se puede usar de 3 maneras distintas:
Se puede vender por 10 dólares la onza Se puede procesar en 1 oz de producto 2, lo cual requiere de 2 horas de mano de obra y cuesta 1 dólar. Se puede procesar 1 oz del producto 3 , lo cual requiere de 3 horas de mano de obra y cuesta 2 dólares.
Cada onza del producto 2 se puede utilizar de dos maneras distintas:
Se puede vender a 20 dólares/ oz Se puede procesar en 1 oz del producto 3, para lo cual se requiere 1 hora de mano de obra y cuesta 6 dólares.
El producto 3 se vende en 30 dólares la onza. La cantidad máxima de onzas de cada producto que se puede vender se proporciona en la tabla 23.Se dispone de un máximo de 25000 horas de mano de obra. Determine como podría Chemco maximizar las utilidades.
TABLA 23 Producto 1 2 3
Oz 5000 5000 3000
SOLUCIÓN Maximizar:
(
)
15. Una compañía produce A, B, C y pueden vender estos bienes a cantidades ilimitadas a los siguientes precios unitarios. A, 10 dólares; B ,56 dólares; C, 100 dólares. Producir una unidad de A requiere de 1 h de mano de obra, una unidad de B , 2 h de mano de obra más 2 unidades de A y una unidad de C, 3 h de mano de obra más una unidades de B. Cualquier unidad A que se usa para producir B no se puede vender. De igual manera, cualquier unidad de B que se utiliza para producir C no se puede vender. Se dispone de un total de 40 h de mano de obra. Plantee un PL para maximizar los ingresos de la compañía.
SOLUCIÓN Maximizar: 100 XC+50(XB-XC)+10(XA-2XB) Xi= Número de productos del tipo i (i=A, B, C) producidos
