22/08/2016
INVESTIGACION DE OPERACIONES II
Ing. Enriqu Enrique e M. Avendaño Avendaño Delga Delgado do
[email protected]
REGLAS DE CONVIVENCIA: • PUNTUALIDAD Hora de Inicio de Clase: Lun es 14.30 14.30 pm Labor atorio : Lun es 11.50 11.50 am y 12.3 12.30 0 pm
• ASISTENCI ASISTENCIA A Lím ite de Faltas: 11
• Exámenes en al Fecha Trámite en en la Oficin a de Bienestar Univers itario Norm a: GF-BU-P GF-BU-P0101-N01 N01
• CELULAR en vibrador. vib rador. No Mensajes Mensajes de Texto, ni Internet Phubbing
• DESCANSO POR SESION Clase Teoría: Teoría: 3.00 pm (10 min )
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AULA VIRTUAL
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AULA VIRTUAL
FORMAS DE COMUNICACIÓN:
Al término de Clase
[email protected]
facebook.com/enrique.avendanodelgado
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REGLAS
•
ASISTENCIA
•
PUNTUALIDAD
•
EXAMENES EN LA FECHA
•
PARTICIPACION EN CLASES
•
HORIZONTALIDAD
DELEGADOS DE CLASE:
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Unidad 1 Modelos Determinísticos De Decisión
PROGRAMACIÓN ENTERA Y BINARIA
Ing. Enrique M. Avendaño Delgado
[email protected]
INTRODUCCIÓN •
Hasta ahora hemos visto los problemas de programación lineal en el dominio de los reales. Sin embargo, en muchos modelos algunas o todas las variables de decisión deben ser enteras. Estos modelos son conocidos como modelos de programación lineal entera (ILP).
• A primera vista podría parecer más fácil resolver problemas con restricción de enteros, ya que transforman un problema continuo en un problema discreto. Los m odelos de programación lineal entera se pueden clasific ar en:
Modelo
Tipos de Variables de Decisión
Completamente entero Todas son enteras (AILP) Mixto (MILP)
Algunas, pero no todas son enteras
Binaria (BILP)
Todas son binarias (0 ó 1)
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PROGRAMACIÓN ENTERA •
La PE tiene gran cantidad de aplicaciones en todos los campos.
•
Hay problemas que no pueden resolverse con las técnicas actuales por: – Disponibilidad de tiempo de ordenador – Capacidad de memoria Para evitar esto parece sensato calcular la solución de un PE redondeando la solución continua.
• •
Pero el redondeo no es aconsejable debido a: – La solución redondeada no es necesariamente óptima. En muchos casos, ni siquiera estará cera del óptimo. – La solución redondeada puede no ser factible.
PROGRAMACIÓN ENTERA •
Programación Entera es un termino general para los modelos de programación matemática que presentan condiciones de integridad (condiciones que estipulan que algunas o todas las variables de decisión deben tener valores enteros). Ya hemos apuntado que los modelos de programación lineal entera son modelos de programación lineal que tienen la característica adicional de que algunas de las variables de decisión deben tener v alores enteros. Existen diversas clasificaciones de esta categoría de modelos.
•
Programas Enteros Puros, Un modelo entero puro (PLE) es, como su nombre lo indica, un problema en el que se exige que todas las variables de decisión tengan v alores enteros
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IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS •
Existen muchos problemas importantes en los que la “solución redondeada” simplemente no funciona.
•
Por ejemplo, si la solución de un modelo de programación lineal recomienda que la Boeing construya 11,6 aparatos 747 y 6,8 aparatos 727, el administrador probablemente no quedara contento con la simple medida de tomar la decisión de construir 11 de los primeros y 6 de los segundos, o cualquier otra solución redondeada. La magnitud del rendimiento y la asignación de recursos asociados con cada unidad del problema aconsejan determinar la mejor solución entera posible.
IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS • Con otro ejemplo, sé vera que muchos modelos usan variabl es enteras para indicar decisiones lógicas. Por ejemplo, veremos que problemas en los que queramos que una variable “x” sea igual a 1 si vamos a construir un almacén o x sea igual a cero (si -no). Supóngase que la solución de una versión de programación lineal de este problema produce un valor no entero, por ejemplo, x = 0,38. Vemos que este valor no contiene información aprovechable como solución al problema real.
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IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS • Es claro que no podemos construir 0,38 de un almacén. Es cierto que podemos elegir almacenes de diversos tamaños, pero en todo caso, o bien tenemos un almacén o no lo tenemos. Se podría suponer que en un caso como este se trataría de redondear al entero más próximo (0 en este caso) como forma de salvar la dificultad. Por desgracia, esto no garantiza que se obtenga una buena (y no digamos óptima) solución. • En realidad, veremos que el redondeo no siempre conduce a solucione factibles en casos como este.
IMPORTANCIA DE LAS SOLUCIONES ENTERAS • El fondo del asunto es que existen muchos problemas administrativos importantes que serian de programación lineal si no fuese por el requerimiento de que sean enteros los valores de algunas variables de decisión, en los que no se puede encontrar una buena solución mediante el uso del método Simplex seguido del redondeo de los valores óptimos resultantes para variables de decisión. Estos problemas deben ser resueltos mediante algoritmos especialmente diseñados para resolver problemas de programación entera.
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VARIABLES
PLANEAMIENTO DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN ENTERA
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EJEMPLO 1:
PE DE UN PRESUPUESTO DE CAPITAL (*) • Stockco proyecta cuatro inversiones. La inversión 1 genera un valor neto actual (VNA) de 16 000 dólares; la inversión 2, un VNA de 22 000 dólares; la inversión 3, un VNA de 12 000 dólares, y la inversión 4, una VNA de 8 000 dólares. Para cada inversión se requiere una cierta salida de efectivo en el tiempo presente; la inversión 1, 5 000 dólares; la inversión 2, 7 000 dólares; la inversión 3, 4 000 dólares; la inversión 4, 3 000 dólares. Dispone en la actualidad de 14 000 dólares para invertir. Plantee un PE cuya solución le indique a Stockco el modo de maximizar el VNA obtenido de las inversiones 1 a 4.
(*) Investigación de Operaciones – W. Winston Pág. 478
EJEMPLO 1
Solución:
X j ( j
1, 2,3, 4)
1 Si se efectua la inversion 0 Si no se efectua la inversion
Por ejemplo: X2 = 1 si invierte en la inversión 2, pero X2 = 0 no se invierte
El VNA que logra Stockco (en miles de dólares) es: VNA total que logra Stockco = 16X1 + 22X2 + 12X3 + 8X4
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EJEMPLO 1
•
Por ejemplo: Si Stockco invierte en 1 y en 4, entonces obtiene un VNA de 16 000 + 8 000 = 24 000 dólares. Esta combinación de inversiones corresponde a:
•
X1 = X4 = 1,
•
El VNA para esta combinación de inversiones es:
•
VNA = 16(1) + 22(0) +12(0) + 8(1) = 24 (miles) dólares.
max z
X2 = X3 = 0
16 x 22 x 1
2
12 x 8 x 3
4
EJEMPLO 1
• Stockco se enfrenta a la restricción de que se puede invertir cuando mucho 14 000 dólares. Si se aplica el mismo razonamiento utilizado. Se tiene:
Cantidad total invertida = 5x 1 + 7x2 +4x3 +3x4 (en miles de dólares)
Por ejemplo, sí X 1 = 0, X2 = X3 = X4 = 1, entonces Stockco invierte en 2,3 y 4. En este caso, Stokco tiene que invertir 7 + 4 + 3 = 14 (miles de) dólares. 5(0) +7(1) + 4(1) + 3(1) = 14 mi dólares.
5 X 1 7 X 2 4 X 3 3 X 4 14
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EJEMPLO 2
Modifique la formulación de Stockco para tomar en cuenta cada una de las condiciones siguientes: 1. Stockco puede invertir cuando mucho en dos inversiones. 2. Si Stockco invierte en 2, entonces también debe invertir en 1 3. Si Stockco invierte en 2, no puede invertir en 4
Ejercicios de Aplicación Material:
•Papel •Lapicero •Calculadora
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PROBLEMA 1 Gandhi Cloth Company fabrica tres tipos de prendas de vestir: camisetas, shorts y pantalones. La elaboración de cada tipo de prenda requiere que Gandhi tenga disponible el tipo de maquinaria apropiada. La maquinaria necesaria para manufacturar cada tipo de prenda se tiene que rentar a las tarifas siguientes: maquinaria para camisetas, 200 dólares por semana; maquinaria para shorts, 150 dólares por semana; maquinaria para pantalones, 100 dólares por semana. La hechura de cada tipo de prenda también requiere las cantidades de tela y mano de obra que se indican en la tabla 1. Están disponibles cada semana 150 horas de mano de obra y 160 yardas cuadradas de tela. El costo unitario variable y el precio de venta para cada tipo de prenda, se proporcionan en la tabla 2. Formule un PE cuyo solución maximice la utilidad semana de Gandhi.
Tabla 1: Recurso s necesarias para Gandhi
Tipo de Prenda
Mano de Obra (H)
Tela (Yardas cuadradas)
3 2 6
4 3 4
Camiseta Shorts Pantalones
Tabla 2: Ingres os e Información del co sto para Gandhi
Tipo de Prenda Camiseta
Precio de Venta (Dól) 12
Costo Variable (Dól) 6
Shorts
8
4
Pantalones
15
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PROBLEMA 2 •
Hay seis ciudades (ciudad 1 a 6) en el condado de Kilroy. EL condado debe decidir donde construir la estación de bom beros. Asimismo, el condado quiere construir la cantidad mínima de estaciones de bomberos necesarios para tener la certeza de que por lo menos una está dentro de 15 minutos (tiempo de manejo) de cada ciudad. Los tiempos (en minu tos) necesarios para ir en automóvil de una ciudad a otra del condado se indican en la tabla siguiente. Plantee un PE mediante el cual Kilroy sepa cuántas estaciones de bomberos debe construir y dónde ubicarlas.
A Desde Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Ciudad 5 Ciudad 6
Ciudad 1
Ciudad 2
Ciudad 3
Ciudad 4
Ciudad 5
Ciudad 6
0 10 20 30 30 20
10 0 25 35 20 10
20 25 0 15 30 20
30 35 15 0 15 25
30 20 30 15 0 14
20 10 20 25 14 0
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PROBLEMA 3 •
La empresa Mirasol, planea la producción de 2000 unidades de un producto, escritorio ejecutivo, que se fabrican en tres máquinas. Los costos de preparación, los costos de producción por unidad, y la capacidad de producción máxima para cada máquina están tabulados a continuación. El objetivo es minimizar el costo total de producción del lote requerido.
Máquina
Costo
Costo de
Capacidad
Fijo
Prod/Unid
(Nún Unid)
1
100
10
600
2
300
2
800
3
200
5
1200
PROBLEMA 4 Pegajoso, fábrica tres tipos de pegamento en dos líneas de pr oducción distintas, Hasta 7 trabajadores usan a la vez cada línea. Cada trabajador recibe un pago de 500 dól ares por semana en la línea de produc ción 1, y 900 dólares por semana en la l ínea de producción 2. Una semana de producción en la línea de p roducción 1 cuesta 1 000 dólar es para organizarla y 2 000 dólares en la línea de producci ón 2. Durante una semana en una línea de producción cada trabajador elabora la cant idad de unidades de pegamento que se proporcionan en la tabla adjunta. Se tiene que elabora r a la semana, por lo menos, 120 unidades del pegamento 1, por lo m enos 150 unidades del pegamento 2 y por lo m enos s 200 unidades del pegamento 3. Formule un PE para m inimizar el costo total por cumplir con las demandas semanales. Línea de Producción
Pegamento 1
2
3
1
20
30
40
2
50
35
45
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EJERCICIO 5 Una fábrica de automóviles construye tres tipos de autos: Compactos, medianos y grandes. Los requerimientos de materiales, manos de obra y el beneficio obtenido por cada tipo de auto fabricado se muestra en cuadro siguiente; Actualmente, la fábrica dispone de 6000 toneladas de materiales y 60000 horas de mano de obra. Para que la producción de un tipo de vehículo sea económicamente factible, se debe producir al menos 1000 unidades de cada tipo que se fabrique. Formule un PLE que permita maximizar el beneficio de la fábrica.
Compacto
Mediano
Grande
Materiales
1.5
3
5
Mano de Obra
30
25
40
2000
3000
4000
Beneficio $
PROBLEMA 6 IBM computer, fabrica 4 tipos de computadores desktop, para el mercado de Latinoamérica, estas computadores se venden en 4 países, Perú, Chile, Argentina y Colombia; los tipos de computadores, mano de obra, numero de microprocesadores , costos fijos y precio de v enta se detallan en la tabla siguiente, Se dispone de un total de 20000 microprocesadores y de 10000 horas hombre. Plantee un PE para ayudar a IBM a maximizar sus utilidades si el costo de mano de obra por hora es de 200 dólares
Desktop
Mano de Obra
Mi cr o
Cos tos Fi jo de Fabricación (dólares)
Precio de Venta (Dólares)
G-55
1 hora
1
10000
800
P-56
2 horas
1
13000
1000
I-56
3 horas
2
15000
1500
G-60
3 horas
4
16000
2000
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Problema 7 •
Mabe SA fabrica diferentes modelos de lavadoras, y dispone de dos plantas de montaje (Fábrica1 y Fábrica2). Mabe está estudiando la fabricación de 4 nuevos modelos (Modelo1, Mdelo2, Modelo3 y Modelo4) para aprovechar el exceso de capacidad de 2500 horas y 3.200 horas respectivamente, y ha recolectado los siguientes datos de interés (tiempos en horas y costos en cientos de dólares):
a) Formular un modelo de optimización que se pueda utilizar para maximizar el beneficio de Mabe, y escribir el modelo en PLE. b) Obtener la solución óptima e indicar si va a quedar exceso de capacidad en alguna de las plantas. Utilice Lindo
P1
P2
P3
P4
Tiempo/u en F1
3
3.5
5
2.5
Tiempo/u en F2
2.8
4
4.5
2
Costo/u en F1
3
2.5
5.2
2.2
Costo/u en F2
2.8
2.3
4.8
2.1
Costo de Lanzamiento
600
500
700
400
Precio de venta
6.5
7
9.2
5.2
Problema 8 Motorsa, un fabricante de automóviles, tiene cinco plantas obsoletas, que indicaremos como P1 hasta P5. La administración está considerando la modernización de estas plantas para la producción de los bloques motor y transmisiones de un nuevo modelo. El costo de modernizar cada una de las plantas (en millones de dólares) y la capacidad de producción después de la modernización (en miles de unidades) son como se muestra en la siguiente tabla. Se tiene prevista la producción de 1.200.000 unidades del nuevo modelo. a) Formular un modelo para determinar qué plantas va a modernizar Motorsa, y en cuales se fabricará cada componente. b) Añadir las siguientes restricciones impuestas por razones de política comercial: 1) Las plantas P2 y P3 no pueden ser modernizadas simultáneamente, 2) Como máximo se pueden modernizar 3 plantas. 3) Se moderniza la Planta 5, también debe modernizarse la Planta 1 Planta
Costo
Capacidad
Capacidad
Bloques de motor
Transmisiones
P1
25
500
300
P2
35
800
400
P3
35
400
800
P4
40
900
600
P5
20
200
300
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EJERCICIO 10 •
Una joven pareja Juan y Cinthia quieren dividir las principales tareas del hogar (ir de compras, cocinar, lavar platos y lavar ropa) entre los dos, de manera que cada uno tenga dos obligaciones y que el tiempo total para hacer estas tareas sea el mínimo. La eficiencia en cada una de las tareas difiere entre ellos; la siguiente tabla proporciona el tiempo que cada uno necesita
para cada tarea.
Formule un modelo
de
programación entera binaria y resolver por software.
Horas necesarias por semana
Juan (1) Cinthia (2)
Compras (1) 4.5 4.9
Cocinar (2) 7.8 7.2
Lavar platos (3) 3.6 4.3
Lavar ropa (4) 2.9 3.1
EJERCICIO 11 SOUTHWESTERN AIRWAYS necesita asignar sus tripulaciones para cubrir todos sus vuelos programados. Se estudiara el problema de asignar tres tripulaciones con base en San Francisco (SF) a los vuelos enumerados en la tabla. Las otras 12 columnas muestran 12 secuencias de vuelos factibles de una tripulación. (Los números en cada columna indican el orden de los vuelos.) Es necesario elegir tres de estas secuencias (una por tripulación) de tal manera que se cubran todos los vuelos. (Se permite tener mas de una tripulación en un vuelo, en el cual los miembros de la tripulación adicional volarían como pasajeros, pero los contratos colectivos de trabajo requieren que se pague el tiempo de la tripulación adicional como si estuviera en horario de trabajo)
El costo de asignar una tripulación a una secuencia de vuelos especifica se muestra (en miles de dólares) en el renglón inferior de la tabla. El objetivo es minimizar el costo total de asignar las tres tripulaciones de manera que cubran todos los vuelos.
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EJERCICIO 12 Datos: 1 Kgr. De madera = 1 pie
Productos
8 horas día 26 días mes
MO:
4.5 hr
Madera:
40 pies
MO Acabado: 1 hr Precio Venta:
100 $
5hr 20 pies 0.7hr 80 $
4.3 hr 22 pies 0.4 hr 90 $
Recursos:
11 Toneladas
16 trabajadores
2 Trab. Acabado
Las bancas se producen como mínimo 25 und. Las mesas de noche deben ser por lo menos el doble de las sillas menos 10 unidades Los costos de preparación de planta para la fabricación de cada producto es: 10000, 7500 y 12500
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