EJERCICIOS DE PROBABILLIDAD PARTE II.docx

EJERCICIOS DE PROBABILLIDAD. PROB ABILLIDAD. 1) Los eventos eventos A y B son mutuame mutuamente nte excluyen excluyentes, tes, suponamo suponamos s !ue P"A)#$.% & P "B)#$.'. (cul es la p*o+a+l-a- -e -e !ue ocu**a A o B (Cul es la p*o+a+l-a- -e !ue no ocu**a A n B Solución:

P(A o B)=P(A)+P (B), eventos mutuamente m utuamente excluyentes. P(A ∪ B)=0.3+0.2=0.5*100 =50% Sea P(A ∪ B), ocue el evento. !o ocue n" A n" B P(A ∪ B)# P(A ∪ B)#=1$ P(A ∪ B) P(A ∪ B)#=1$0.5 =50% ') /n estu-o estu-o -e '$$ ca-en ca-enas as -e supe*me supe*me*ca*ca-os os *evelo *evelo estos n*esos -espu0s -e mpuestos.

In*eso -espu0s -e mpuestos &enos 'e 1 m"lln 'e  1 a20 m"llones 'e  20 m"llones o mas

2me*o -e emp*esas

102 1 3

a) (Cul (Cul es la p*o+a p*o+a+l+l-aa- -e -e !ue una ca-ena ca-ena en pa*tcula* pa*tcula* tena tena menos -e un mll3n -e -3la*es en n*esos -espu0s -e mpuestos A4tene &enos 'e 1 m"lln m"lln 'e .entonces P"A)#102200 =0.51*100 =51% +) (Cul (Cul es la p*o+a+l-ap*o+a+l-a- -e !ue !ue una ca-ena ca-ena seleccona seleccona-a -a en 5o*ma aleato*a tena un n*eso n*eso ent*e 1 a'$ mllones -e 6, o un n*eso n*eso -e '$mllones a ms ms (!u0 *ela *ela especal aplco aplco B-tene "neso1 "neso1 a20 m"llones m"llones 'e  C4o un "neso 'e 20m"llones a m/s m /s P (B∪) =P (B)+P() P(B∪) =1200 +3200 =0.*100 =%,se al"co la eala 'e la a'"c"n. %) Supona Supona -e !ue !ue o+tena o+tena una cal5ca cal5cac3n c3n A en esta clase clase es -e $.'7y la p*o+a+l-a- -e !ue o+tena una cal5cac3n B es -e $.7. (cual es la p*o+a+l-ap*o+a+l-a- -e !ue su cal5cac3n sea sea supe*o* a C

omo los eventos son mutuamente excluyentes se al"ca4a la ley 'e la a'"c"n-

•

P(A∪B)=P (A)+P(B) P(A∪B)=0.25+0.50



P(A∪B)=0.5*100=5%

8) Se tene tene '7$ '7$ atletas atletas -e -e los cuales cuales 1'7 les usta usta el teat*o, teat*o, 19$ la la -an:a ,;7 la poes
 A- sea el evento atletas ue ue les usta un cusoB-les uste m/s ue uno X + Y  + Z 

P(A)=

250

 , entonces.

6+y+7+100+20+25+0=250, 6+y+7+100+20+25+0=2 50, 'e 'on'e, x+y+7=5 65

P(A)=

250

, entonces la o8a8"l"'a' 'e 'e ue les uste o lo menos uno

esP (B)+P(A)=1, 'e au4 au4 ue P (B)=%

+) La p*o+a+l p*o+a+l-a-a- -e -e !ue a un atleta atleta no le uste uste nnuna nnuna

P ()=0, evento nulo c) La p*o+a+l p*o+a+l-a-a- -e -e !ue a un atleta atleta solo solo le uste uste 1. 1.

P(A)=5200 

P(A)=32.5%

-) La p*o+a+lp*o+a+l-aa- solo le uste exactamen exactamente te '.

25

P (9) =

+ 100 + 40 250



P (9) =%

7) las p*o+a+ p*o+a+l-al-a-es es -e los los eventos eventos A y B son $.' y $.% , *espectvamente .la p*o+a+l-a- -e !ue -e !ue ocu**an A y B es $.17 (Cul es la p*o+a+l-a- -e -e !ue ocu**a A o B

P(A∪B)= P (A)+P(B) $ P(A:B) P(A:B) P(A∪B)=0.2+0.3$0.15 P(A∪B)= 0.35*100

=35%

;) una encuest encuesta a ent*e altos altos e=ecutv e=ecutvos os *evelo *evelo !ue el %7>leen %7>leen el pe*3-co est3n en 5o*ma *eula* ,'$>leen el come*co y 8$>leeen la *epu+lca *epu+lca , a-ems 1$> leen tanto est3n como la *epu+lca a) (cul (cul es la p*o+a+ p*o+a+l-al-a- -e !ue !ue un un alto alto e=ecut e=ecutvo vo lea lea est3n o la *ep2+lca *ep2+lca en 5o*ma *eula* *eula* •

Sea los eventos A- el 35%leen el e"'"co est"n B- 20%leen el comec"o - 0%leeen la eu8l"ca P(A:)=0.1 , entonces P(A∪)=P(A)+P()$ P(A:) P(A∪)=0.35+0.$0.1  P(A∪)=5%

+) (C3mo se llama la p*o+a+lp*o+a+l-aa- -e $.1 c) ( los eventos eventos son son mutuamen mutuamente te excluyen excluyentes tes . expl!u expl!ue e su *espuesta. ;os eventos no son mutuamente excluyentes o ue
(0.3)(0.)=P (A:B )

, eemla7an'o valoes.



P(A:B ) =12%

9) un +anco +anco local *epo*ta *epo*ta !ue !ue un 9$> -e sus sus clentes clentes tene una una cuenta cuenta -e ce!ues ,;$>tenen ,;$>tenen una cuenta -e ao**os y 7$> tene am+os tpo -e cuenta .s elemos un clente al a:a* .(cual es la p*o+a+l-a- -e !ue tenan una cuenta -e ce!ues o ao**o  cual es la p*o+a+l-a- -e !ue n tena cuenta -e ce!ues n -e ao**o Sean los eventos4 A. Clentes Clentes !ue tenen tenen una una cuenta cuenta -e ce!ues. ce!ues. B. Clentes Clentes !ue tenen tenen una una cuenta cuenta -e -e ao**o ao**os. s.

P(A∪B)= P (A)+P(B)$ P(A:B) P(A∪B)=0.+0.$0.5  P(A∪B)=0% Sea  (c#) no t"enen n" cuenta 'e cntonces (c#)+P (A∪B)=1  (c#)=1$P (A∪B)   (c#)=10% ) Supona Supona !ue !ue se se encont* encont*3 3 !ue en una -ete*m -ete*mna-a na-a cu-a-, cu-a-, el '$>lee un pe*3-co pe*3- co A, B un 1;>, C un 18>, A y B 7>, A y C 8> y '> lee los t*es pe*3-cos4 -ete*mne. a) S los sucesos sucesos lee* A y lee* B son son n-epenn-epen-ente entes. s. S" es ue ?uean "n'een'"entes entonces. •

•

P(A:B)=P(A)*P(B) , con-c3n necesa*a.   $.$7$.'$.1; , o lo tanto se '"ce ue los eventos A y B no son "n'een'"entes. +) S una pe*so pe*sona na 5ue eleele-a a al a:a* a:a* -ete*mne. -ete*mne. . La p*o+ p*o+a+ a+l l-aa- -e no lee* lee* A O B alculamos la o8a8"l"'a' 'e lee l ee A o B. P (A∪B)= P (A)+P(B)$ P(A:B) P (A∪B) =0.2+0.1$0.0 P (A∪B)=0.31 >ntonces P@(A o B)= 1$0.31= 0. .

La p*o p*o+a +a+ +l l-a -a- -e -e lee* lee* po po** lo meno menos s un un pe* pe*33-c co. o.

1$) consulte la ta+la suente. SE/DO EFEGO B1 B' GOGAL

A1 ' 1 %

a) Dete Dete*m *mn ne e P"A1) P"A1) P(A1)=310 =30%

PRIHER EFEGO A' A% 1 % ' 1 % 8

GOGAL ; 8 1$

+) Dete Dete*m *mn ne e P"B1 P"B1@A @A') ') P(B1A2)=13= 33% c) Dete Dete*m *mn ne e P"B' P"B' y A%) A%) P(B2 y A3)=110= 10% 11) 11) ca-a uno -e los ven-e-o*es ven-e-o*es -e saa o+tenen -e supe*o* supe*o* al p*ome-o, p*ome-o o n5e*o* al p*ome-o en cuanto a la a+l-apa*a las ventas. Ca-a Ca-a uno o+tene tam+0n tam+0n una cal5cac3n po* su potencal pa*a avan:a*4 acepta+le, acepta+le, +ueno o excelente estas cal5cacones pa*a los 7$$ ven-e-o*es se clas5can en la ta+la suente4

a+l-a- pa*a las ventas In5e*o* al p*om P*ome-o Supe*o* al p*om

Potencal pa*a avan:a* acepta+le Bueno 1; 1' 87 ;$ % ?'

Excelente '' 87 1%7

a) Como Como se se llam llama a la ta+ ta+la la44

a8la 'e 'o8le enta'a aa 'atos o8a8"l4st"cos. +) (Cul (Cul es la p*o+a+lp*o+a+l-aa- -e !ue un p*ove p*ovee-o* e-o* selecc selecconaona-o o al a:a* tena una a+l-aa+l-a- pa*a las ventas supe*o* supe*o* al p*ome-o y un excelente potencal pa*a avan:a* •

P()=135500 =2%, 'on'e !()=500.

c) Ela+o*e Ela+o*e un -a*a -a*ama ma -el *+ol *+ol most*an most*an-o -o to-as to-as sus p*o+a+l-a-es, p*o+a+l-a-es, las p*o+a+l-a-es p*o+a+l-a-es con-conales con-conales y las p*o+a+l-a-es con=untas. 1')P"A1)#$.;,P"A')$.8,P"B1@A1)#$.$7 P "B1@A')#$.1utlce Bayes pa*a 1')P"A1)#$.;,P"A')$.8,P"B1@A1)#$.$7 calcula* P "A1@B1). •

>ntonces P ( A 1 ) ∗ P (

P (A1B1) =

 P (  A 1 )∗ P

( ) B1  A 1

B1 )  A 1

+ P ( A 2 )∗ P (

B1 )  A 2

∗0.05 =42.86 P (A1B1).= 0.6∗ 0.05+ 0.4∗0.1 0.6

1%) un e!upo -e +as!uet+ol +as!uet+ol =uea el ?$> -e sus sus pa*t-os po* la noce y %$> -e sus pa*t-os -u*ante el - -e sus pa*t-os -e noctu*nos noctu*nos y $> -e los !ue =uea en el el -
Sea los eventos- y
Cana'os

=0.*0.5

0.5 !oc !oc
0.5 0.5 e' e'"' "'a a

0. Cana'os=0.3*0. 0. 0.3

94a

e'"'o 0.1

 P ( A )∗ P (

P (AB) =

 P (  A )∗ P

( ) G  A

G )  A

∗0.5 =56.45  = 0.7∗0.5+ 0.3∗0.9 0.7

G B

+ P ( B )∗ p ( )

18) el -epa*tamento -e c*0-to -e la saa, *epo*to !ue el %$> -e sus ventas se paan en e5ectvo ,%$> con ce!ue en el el momento momento -e la

comp*a y el 8$> con ca*o a la ta*=eta -e c*0-to .'$>-e las comp*as en e5ectvo e5ectvo ,$> -e las !ue se paan paan con ce!ue y ;$> -e las !ue se ca*an a la ta*=eta son po* ms -e 17$ soles .la S*ta. Rosa solo comp*o un un vest-o nuevo !ue cuesta %;$ soles. (Cul es la p*o+a+l-a- -e !ue aya paa-o en e5ectvo e5ectvo

SOL/CIO

Sean los eventos A. Pao en e?ect"voB. aase aase a la taDeta taDeta Po Po m/s 'e 150 150 solesE solesE al"can'o al"can'o 8ayas.

•

150

>

0.2 Efectiv 

150

<

0.3

0. 150

0. 0.3

>

150

<

0.

0.1 0. 0.

150

>

150

<

 Al"can'o la ?omula P (  A )∗ P (

P (AB) =

 P (  A )∗ P

( ) B  A

+ P ( B )∗ p

B )  A

( )

 A B ) … … … . P (  An )∗ P ( B  An

∗0.2 P (AB) = 0.3∗0.2 + 0.3∗0.9 + 0.4∗ 0.6 0.3

P(AB)=10.53% 17)el '$> -e emplea-os emplea-os -e una emp*esa son son nene*os y ot*o '$> son economstas .el ?7> -e los nene*os ocupa un puesto -*ectvo y el 7$ > -e los economstas tam+0n tam+0n .los no nene*os nene*os y los no economstas solamente el '$>ocupan un puesto -*ectvo

(Cul es la p*o+a+l-a- -e !ue un emplea-o -*ectvo ele-o al a:a* sea nene*o  SOL/CIO

Fnen"eos = 0.2  >conom"stas = 0.2  Gtos = 0.

→ P (AB) =  P (  A )∗ P (  P (  A ) ∗ P

( ) B  A

+ P ( B )∗ p

B )  A

( )

 A B ) … … … . P (  An )∗ P ( B  An

=

(

) = 0.4054 = 40.54 0.2 ( 0.75 ) + 0.2 ( 0.5 ) + 0.6 ( 0.2) 0.2 0.75

%

1;) Genemos Genemos t*es u*nas4 A con % +olas *o=as, y 7 ne*as, B con ' +olas *o=as y 1 ne*a, ne*a, C con ' +olas *o=as y % ne*as. Escoemos una al a:a*. S la +ola a s-o *o=a (Cul es la p*o+a+l-a- -e !ue aya s-o ext*a<-a -e la u*na A SOL/CIO →A

{

¿ 3 R

B=

{

2 R

{

C =

1 N 

5 N 

2 R

3  N 

3

 P ( A )=

8 3 8

2

2

3

5

+ +

=26

1?) la p*o+a+l-a- -e !ue !ue aya un acc-ente acc-ente en una 5+*ca !ue !ue -spone -e ala*ma es $.1 la p*o+a+l-a- -e !ue suene s se a p*o-uc-o al2n ax-ente ax-ente es $.? y la p*o+a+l-ap*o+a+l-a- -e !ue suene s no se a p*o-uc-o p*o-uc-o nn2n acc-ente es $.$' en el supuesto -e -e !ue aya 5uncona-o 5uncona-o la ala*ma (Cul es la p*o+a+l-ap*o+a+l-a- -e !ue no aya nn2n acc-ente SOL/CIO → A =¿

Haya un acc"'ente =

Suene alarma=0.97

0.1 * 0.97= 0.097

0.1

 ´ =¿ →  A 

!o
0.9 * 0.02= 0.01

Po8a8"l"'a' ue no
(

0.1 0.97

P(

(

¿

)

) +¿ ´ ¿= 0.02 (0.9 )  A ¿ 0.02 0.9

19) /n l+*o tene t*es cap -e las pnas -el 1e*  captulo no tene nn2n e**o* .el $> -el seun-o y el 7> -el te*ce*o tampoco tene nn2n e**o*. e**o*. El p*me* cap
GA; 9> PACF!AS= 125+150+15=50 PJF&>J APFK;G=12550=51 APFK;G=12550=51  S>CK!9G APFK;G = 15050= 1 >J>J APFK;G= 1550= 1

!in"#n error = 0.5

1L ca. =

5$1 * 0.5 =0.2%

18

!in"#n error= 0.90

6

2L ca. = =

5

18

0.&&& * 0.90 =0.2997

 =

!in"#n error= 0.95

0.& * 0.95 =0.&'9%

7

3L ca. = =

18

→ P (!.>) = 0.3 + 0.2 + 0.2355 = 0.05 = 0.5%

→

2°

0.333  X 0.90

P (  N . E ) =

0.905

 = 0.3311 = 33.12%

1) En un ce*to pa -e los -eten-os y somet-os a =uco son culpa+les -el -elto !ue se les mputa , los =ueces al emt* emt* ve*e-cto ,ace*tan el 7> -e los casos , tanto s el acusa-o es culpa+le como nocente se2n estos -atos -atos , calc2lese la p*o+a+l-a- -e !ue 4a)un cu-a-ano nocente aya s-o -ecla*a-o culpa+le, +) sea culpa+le s a s-o -ecla*a-o nocente . SOL/CIO → 9esaollamos el o8lema o el '"aama 'el /8ol-

cul(a)le= 0.95

ula8le (9) = 0. inocente= 0.05 cul(a)le= 0.95

Fnocente (9F) = 0.01 inocente= 0.05

a) /n cu-a-an cu-a-ano o nocente nocente aya aya s-o -ecla*a -ecla*a-o -o culpa+le. culpa+le. →P

( ) I   DC 

=

( ) =0.0531 0.01 ( 0.05 )+ 0.99 ( 0.95 )  

0.01 0.05

+) Sea culpa+le s a s-o -ecla*a-o nocente. →P

( )  DC   I 

=

(

 

0.99 0.05

(

)

) (

0.99 0.05 + 0.99 0.95

)

=83.89

'$) /na emp*esa *ec+e vstantes en sus nstalacones y los ospe-a en cual!ue*a -e t*es oteles -e la cu-a-, Casa -el sol, Falle Falle Fe*-e, Royal Palace, en una p*opo*c3n -e 19.7>, %'> y 8.7> *espectvamente, *espectvamente, -e los cuales se a ten-o n5o*mac3n -e !ue se les a -a-o un mal se*vco en un '.9>, 1> y 8> *espectvamente, A. S se seleccona a un u n vstante al a:a* (Cul es la p*o+a+l-a- -e !ue no se le aya -a-o un mal se*vco B. S se seleccona a un vstante al a:a* y se encuent*a encuent*a !ue 0l no se !ue=o -el -el se*vco p*esta-o, (Cul es la p*o+a+l-a- -e !ue se ay ospe-a-o en casa -el sol C. S el vstante seleccona-o se !ue=3 -el se*vco p*esta-o, (Cul es la p*o+a+l-ap*o+a+l-a- -e !ue se aya ospe-a-o en el otel Royal Palace SOL/CIO → asa 'el sol = 0.15 uen +ervicio=

0.15 *0.972 =0.179

0.&2 * 0.01 =0.00&2 ,al +ervicio= 0.01 → Malle Me'e = 0.32

,al +ervicio= 0.99

0.&2 *0.99 =0.&1'

0.%95 * 0.0% =0.019 ,al +ervicio= 0.0 →  Joyal  Joyal Palace = 0.5 0.5

uen +ervicio=

0.%95 * 0.9' =0.%752

a) P(B.S) = 0.1 + 0.31 + 0.52 = 0.1 = .1% C .S +)  P ( B . S )

=

 R . p C) P (  M . S ) =

0.185  X 0.972 0.9718

 = 0.150 = 1.50%

0.495 X 0.04 0.9718

 = 0.02 = 0.2%

'1) /na 5+*ca -e enlata-os enlata-os p*o-uce 7$$$ envases envases -a*os. La ma!una A p*o-u ce %$$$ -e estos envases, -e los !ue el ' > son -e5ectuosos y la ma!una B p*o-2celos '$$$ '$$$ *estantes -e los !ue se se sa+e !ue el 8> son -e5ectuosos. Dete*mna*. Dete*mna*. La p*o+a+l-a- -e !ue un envase ele-o al

a:a* sea -e5ectuoso. (S el envase envase seleccona-o es -e5ectuoso, -e5ectuoso, !ue p*o+a+l- a- ay -e !ue p*oce-a la ma!una A(De la ma!una B

SOL/CIO →

→

a)

3000

&a (A)=

5000

-efec= 2

2000

&a (B) =

5000

0.'0 * 0.02 =0.012

 = 0.

0.%0 * 0.0% =0.01'

-efec= %

 = 0.

P(9) = 0.012 + 0.01 0.01 = 0.02 0.02 = 2.% 0.60  X  0.02

 A 

+) P (

 D

)=

0.028 0.40  X  0.04

B

c) P (

 D

 = 0.25 = 2.5%

) =

0.028

 = 0.51 = 5.1%

'') /na emp* esa  comp*a comp*a tu+os -e televs3n a cuat*o cuat*o p*ovee-o*es p*ovee-o*es -5e*entes. La emp*esa A p*opo*cona '$> -e -e los tu+os. La emp*esa B %$>. La emp*e sa C '7> y la emp*esa D '7>. La emp*esa A suele o5*ece* o5*ece* la me=o* cal-a- , ya !ue solo el %> -e sus tu+os estn -e5ectuosos. El 8> -e los B ten en al2n -e5ecto, el ?> -e C sus tu+os estn -e5ectuosos y el ;.7> -e los -e -e la emp*esa D

→  A = 20%

→ B= 30%

-efec= &

-efec= %

-efec= 7

0.20 * 0.0& =0.00'

0.&0 * 0.0% =0.012

0.25 * 0.07 =0.0175

→ = 25%

→ 9= 25%

-efec= '.5

0.25 * 0.0'5 =0.01'25

a) Nu/l es el ocentaDe eneal 'e los tu8os 'e?ectuososO

Po lo tanto, P(9) = 0.00 + 0.012 + 0.015 + 0.0125 = 0.0515 = 0.051= 7.19> +) >n el Ilt"mo env4o se encont un tu8o 'e?ectuoso Nual es la o8a8"l"'a' 'e ue sea 'e la emesa AO 0.20 X  0.03

 A 

P(

 D

)=

0.0518

 = 0.115 = 11.5%