EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Una tubería, al llegar a un punto A, se bifurca en 2 ramas: una con 2,200m de largo y 0.30m de diámetro y ora con 2,500m de largo y 0.40m de diámetro. Los terminales de éstos dos ramales se reúnen en un punto B, para continuar la red con una sola tubería. Determinar qué porcentaje del caudal será conducido por cada una de las 2 ramas.
SOLUCIÓN:
. ∗ = . ∗ 780. 780.
Reemplazando valores:
De donde:
. ∗ 2200 2200 = . ∗ 2500 780∗0.30. 780 780 ∗ 0.40 40.
. = 25 ∗ 0.30 = 0.496
.
. = 0.2 . ∗ 0 .273 73∗ ∗ 22 0.40 = 2.01
En el ramal (1) pasará un porcentaje del caudal igual a:
∗ 100 = 33.1% % = ∗ +100 = +2.01 En el ramal (1) pasará un porcentaje del caudal igual a:
∗ 100 = 66.9% % = ∗ +100 = + 0.496 496
2. Para un sistema de tuberías en paralelo se dispone d ispone de los siguientes datos: L = 1 000 m
L2 = 750 m D1 = 16’’D2 = 12’’ f 1 = 0,018f 2 = 0,018
El gasto es de 100 l/s. calcular el gasto en cada una de las tuberías.
SOLUCION: Por ser tuberías en paralelo la perdida de carga debe ser la misma en ambas. Aplicando la ecuación 5-3
De donde:
Se llega así a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Q 1,78Q2
Q 1+ Q2
Obteniéndose finalmente: Q2 = 36 l/s Q1= 64 l/s
El método alternativo de solución consiste en aplicar a cada ramal la ecuación de descarga 5-4
Obteniéndose:
Sumando:
1
Que es la ecuación de descarga del sistema. Para Q= 0,1m3/s. seobtiene hf =0,55 m. Al reemplazar este valor en cada una de las dos ecuaciones se obtiene el gasto en cada ramal. El método es extensible a cualquier número de ramales.
3. Sea un sistema de tres reservorios. Los datos son: Z1=120 m L1=1000m D1=8” F1=0.02
Z2=100 m L2=2000 m
Z3=80 m L3=1200 m D3=6” F3=0.015
D2=10”
F2=0.018
Calcular el gasto en cada uno de los ramales.
SOLUCION: A partir de la ecuación:
Determinamos la ecuación de descarga de cada tubería:
Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo P la cota 110m Zp=110m hf1=10m hf2=10m hf3=30m
Q1=45.9 l/s Q2=59.5 l/s Q3=40.5 l/s
Q1-(Q2+ Q3) =-54.1 l/s
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada se realiza un nuevo tanteo Zp=105m
hf1=15m
Q1=56.2 l/s
Q1-(Q2+ Q3) =-22.8 l/s
hf2=5m hf3=25m
Q2=42 l/s Q3=37 l/s
Se realizara algunos cálculos adicionales:
Zp=101m
hf1=19m hf2=1m hf3=21m
Q1=63.2 l/s Q2=18.8 l/s Q3=33.9 l/s
Zp=100.5m
hf1=19.5m hf2=0.5m hf3=21.5m
Q1-(Q2+ Q3) =10.5 l/s
Q1=64 l/s Q2=13.3 l/s Q3=34.3 l/s
Q1-(Q2+ Q3) =16.4 l/s
Zp=100m
hf1=20m hf2=0m hf3=20m
Q1=64.8 l/s Q2=0 l/s Q3=33.1 l/s
Q1-(Q2+ Q3) =31.7 l/s
Se realiza la grafica con los valores encontrados:
Del grafico se obtiene Zp=102m Reemplazando estos valores en las ecuaciones iniciales se tiene:
Q1=62 l/s
Q2= 27 l/s
Q3=35 l/s
4. Una tubería usada de 30cm de diámetro de fundición transporta 100 l/seg de agua. ¿Cuál será la perdida de altura en 1200m de tubería (a) Mediante la fórmula de Darcy? SOLUCION: V 30
(a) La velocidad se define por la ecuación de continuidad:
0.100
2 0.30 4
1.413m / s
El coeficiente de fricción para el agua es: f= 0.026 La pérdida de carga será: h f f *
L V 2 * D 2 g
0.026 *
1200
*
0.30
1.413 2 g
2
10.6m
¿Qué gasto circula en cada una de las tuberías del sistema de figura? C=100 Para todas las tuberías.
A 20 m
12'' 2Km
K m 1 0 ' ' 1
50 m
m 8 ' ' 1 K
B
E
D
K m ' 3 ' 1 4
C
SOLUCION. Para solucionar el problema, transformamos el tramo EB, a una tubería equivalente a 10’’,
para lo cual suponemos que por ella pasa un gasto de
= 50 ⁄
50⁄
= 8" = 100 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
= 0.000426 . . 50 = 0.0004261008.. = 19/ Como la distancia es un kilómetro tenemos que:
ℎ = 19 1 ℎ = 19 En CD tenemos:
= 50 ⁄ = 10" = 100 = 0.000426 . . 50 = 0.00042610010.. = 6.3/ La longitud equivalente = = . / =3.0km A 20 m
h1 12'' 2Km
K m 1 0 ' ' 1
50 m
D
m K ' 3 ' 1 4
C
m 8 ' ' 1 K E
B
Una vez encontrado la equivalencia asumimos cotas hasta que cumpla la ecuación de continuidad para ello hacemos que: Asumiendo h1= 20m
_ = 202 = 10/ _ = 12" = 100 = 0.000426 . . = 105/ En el tramo DB el caudal se hace cero por que la pendiente es cero.
=0 En el tramo CD
− = 303 = 10/ _ = 14" = 100 = 0.000426 . . = 160/ Luego aplicando la ecuación de continuidad:
_ = _ + _ 160 > 105No cumple Asumiendo h1= 30m
_ = 302 = 15/ _ = 12" = 100 = 0.000426 . . = 130/
En el tramo DB:
_ = 30 4 20 = 2.5/ _ = 10" = 100 = 0.000426 . . = 30/ En el tramo CD
− = 203 = 6.67/ _ = 14" = 100 = 0.000426 . . = 125/ Luego aplicando la ecuación de continuidad:
_ = _ + _ 125 < 160 No cumple Asumiendo h1= 24m
_ = 242 = 12/ _ = 12" = 100 = 0.000426 . . = 112/ En el tramo DB:
_ = 24 4 20 = 1/ _ = 10"
= 100 = 0.000426 . . = 18/ En el tramo CD
− = 243 = 8/ _ = 14" = 100 = 0.000426 . . = 135.33/ Luego aplicando la ecuación de continuidad:
_ = _ + _ 125 < 160 No cumple Luego graficamos las pérdidas de carga asumidas en ordenadas contra Q3 y Q1+ Q2 en abscisas.
De donde se obtiene:
ℎ = 26 = 140/ Finalmente con esta altura reemplazamos el la formula de Hazen y Williams
_ = 262 = 13/ _ = 12"
= 100 = 0.000426 . . = 117/ En el tramo DB:
_ = 26 4 20 = 1.5/ _ = 10" = 100 = 0.000426 . . = 23/ Luego aplicando la ecuación de continuidad:
_ = _ + _ 140 = 117 + 23 140 = 140Cumple la condición. 5. En el sistema mostrado en la figura hay una bomba que suministra a la corriente una potencia de 40 HP. Calcular el gasto en cada tubería. Considerar f = 0,02en todas las tuberías ( para los efectos del problema para la bomba un eficiencia del 100%).
la perdida de carga en las tuberías 1 y 2 viene dada por la ecuación 5- 3
La ecuación de descarga en las tuberías 3 y 4 viene dada por la ecuación 5 – 4
Reemplazando datos de cada se obtiene:
Iniciemos el cálculo suponiendo un gasto Q= 100 l/s (en la bomba) La pérdida de carga en el tramo 1 es
La cota piezometrica a la entrada de la bomba es 99,85 m. La energía teórica suministrada por la bomba es
La cota piezometrica a la salida de la bomba es 130,25m. La pérdida de carga en el tramo 2 es:
La cota piezometrica en el nudo resulta ser 129,17m. La energía disponible (que suponemos se consume íntegramente en friccion) en el tramo 3 es:
Y el gasto resultante es:
La energía disponible para el tramo 4 es 9,17m y el gasto resultante es
Para que se verifique la ecuación de continuidad se requerirá que O bien
Sin embargo encontramos que para el gasto supuesto
Como la ecuación de continuidad no ha quedado verificada debemos proseguir con los tanteos.
Hacemos un nuevo cálculo con Q= 110 l/s y obtenemos
Hacemos un nuevo tanteo con Q=108 l/s y obtenemos
Con Q = 108,7 l/s se obtiene,
Llevando estos valores a un gráfico se obtiene finalmente Q= 108,3 l/s. redondeando los valores (l/s) se obtiene:
6. Cuando las superficies libres de los depósitos que se muestran en la figura, se mantienen a una elevación constante, ¿Qué caudales tienen lugar? Para una tubería con coeficiente de Hanzen y Williams de 100.
SOLUCION: A partir de la ecuación de Hanzen y Williams: Q = (0.8494).(A).(CH).(R0.63).(S0.54)
Además debe cumplirse:
Q entra = Q sale Iniciamos el cálculo suponiendo para el nudo C la cota 57m
Zc=57m
A1= π.(0.3)2=0.2827 m2 A2= π.(0.2)2 =0.1257 m2 A3= π.(0.15) 2 =0.0707 m 2
R1=0.3m R2=0.2m R3=0.15m
S1= (64-57)/2400 = 2.91m/1000m S2= (57-57)/1200 = 0 S3= (57-30)/1200 = 22.5m/1000m
Q1= 290 l/s hacia C Q2=0 Q3= 150 l/s desde C De los datos obtenidos se infiere que la cota del punto C debe aumentar para que el caudal del tramo 1 disminuya. Entonces se realiza un nuevo cálculo:
Zc=60m
A1= π.(0.3)2=0.2827 m2 A2= π.(0.2)2 =0.1257 m2 A3= π.(0.15) 2 =0.0707 m 2
R1=0.3m R2=0.2m R3=0.15m
S1= (64-60)/2400 = 1.67 m/1000m S2= (60-57)/1200 = 2.50 m/1000m S3= (60-30)/1200 = 25.0 m/1000m
Q1= 222 l/s hacia C Q2=98 l/s desde C Q3= 156 l/s desde C Con los datos obtenidos se puede realizar una grafica en donde podamos calcular la cota piezométrica aproximada del punto C, obteniendo:
60.5 60 59.5 59 58.5
c Z
58 57.5 57 56.5 56 -50
-40
-30 -20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110 120 130 140 150
Q entra - Q sale
El grafico se obtiene Zc= 59.5m Reemplazando estos valores en las ecuaciones iniciales se tiene:
Q1=238 l/s hacia C Q2= 82 l/s desde C Q3= 156 l/s desde C 7. Proyectar la línea de conducción entre los estanques A y B, siguiendo el perfil del terreno mostrado en la figura. El caudal debe ser de 500 lt/seg. Se dispone de tuberías de 14´´ ,16´´,18´´ y 20´´ de diámetro. Considerar CH = 100, para presiones de un máximo de 75 lb/pulg2 1225
1300m 110
M
2200m
105 N 1200m
960
Solución Si usamos un solo diámetro de tubería entre A y B , tendremos una sola pendiente de su línea piezométrica.
960 = 265 = 56.40 / = ℎ = 1. 1225 3 + 2.2+ 1.2 4.70 Verifiquemos la presión en el punto M, para eso antes debemos encontrar los siguientes: La pérdida de carga de AM (h f AM)
ℎ = ∗ = 56.40 ∗1.30 = 73.32 Cota piezométrica de = 1225 73.32 = 1151.68 Luego, la presión en = 1151.68 1100 = 51.68 Esta presión es la correcta ya que es menor que la admisible, es decir
5.28 = 52.68 de agua es mayor que 51.68 m
75 =
Veamos la cota piezometrica en N (presión en N):
La pérdida de carga de AN (h f AN)
ℎ = ∗ = 56.40 ∗ 1.30+ 2.20 = 197.40 Cota piezométrica de = 1225 197.40 = 1027.60 Luego, la presión en = 1027.60 1050 = 22.40 Es una presión negativa inadmisible, pensemos entonces en descomponer la tubería en dos tramos AN y NB, (ésto se soluciona cambiando de diámetro las tuberías). Supongamos que entre A y N el diámetro es constante:
1050 = 265 = 50.00 / = ℎ = 1225 1.30+ 2.20 3.50 Veamos la cota piezométrica en M:
La pérdida de carga de AM (h f AM):
ℎ = ∗ = 50.00 ∗1.30 = 65.00 Cota piezométrica de = 1225 65 = 1160 Luego, la presión en = 1160 1100 = 60.00
Esta presión es excesiva, ya que P M= 60 m, es mayor que la presión admisible = 75 lb/pulg2 = 52.80 m. Luego aceptamos para M una presión máxima de 52.80 m. Veamos la cota piezométrica en M:
= 1100 + 52.80 = 1152.80 La pérdida de carga de AM (ℎ ) = 1225 1152.80 = 72.20 = ℎ = 72.20 1.30 = 55.54 / Cota piezométrica de
Con estos datos se obtiene el diámetro teórico, aplicando la formula de Hazen y Williams.
. = 0.000426 . 500 . = 0.000426 ∗100 ∗55.54. = 15.46´´ Nos damos cuenta que en la formula de Hazen y Williams de que si usaríamos un diámetro de 16´´, la perdida de carga sería menor y la presión en M resultaría mayor que la admisible. Con un diámetro de 14´´ la perdida de carga seria notablemente mayor y tendríamos en M una presión pequeña, mucho menor que la admisible (lo que es aceptable), pero lo que nos interesa es tener en el punto M la presión mas alta posible (52.80m = 75 lb/pulg2),con el fin de disminuir el problema de la presión negativa en N, por lo tanto utilizaremos para el tramo AM dos diámetros diferentes 14´´ y 16´´ (tubería en serie). -Para 14´´, encontramos S, aplicando la formula de Hasen y Williams:
. = 0.00426 ∗500 100 ∗ 14. = 89.98 / -Para 16´´, encontramos S, aplicando la formula de Hasen y Williams:
. = 0.00426 ∗500 100 ∗ 16. = 46.96 / -Si hacemos que L es la longitud de la tubería de 14´´, debe cumplirse:
ℎ = ∅ ´´ ∗ + ∅ ´´1.30 = 72.20 = 89.98∗ + 46.961.30 = 72.20 = 0.259 Entonces el tramo AM queda descompuesta en dos tramos: -
259 m. de tubería de 14´´
-
1041 m. de tubería de 16´´
Ahora nos vamos a tramo MN Si usáramos 14´´ la presión resultante en N sería muy baja (negativa). Con 16´´ se tendría para el tramo MN una pérdida de carga de:
. . 500 ∗ 2.20 . ℎ = 0.000426 . = 0.000426 ∗ 100 ∗ 16.
ℎ = 103.30 . Luego para el tramo AN: .-
ℎ = 72.20+ 103.30 = 175.50 .
.-
Cota piezométrica = 1225 – 175.80 = 1049.20 m.
.-
La presión en N = 1049.20 – 1050 = -0.80 m, valor que es ADMISIBLE.
Luego el diámetro para el tramo MN es 16´´
Para el tramo NB: .-
Cota piezométrica de N = 1049.20 m.
= .− . = 74.30
..-
De la fórmula de Hazen y Williams, obtenemos el diámetro:
. = 0.000426 .
500 . = 0.000426 ∗100 ∗74.30. = 14.60´´
Tal como se hizo en el tramo AM, descomponemos en un tramo de 14´´ y otro de 16´´ de modo que:
= 89.98∗ + 46.961.20 = 74.30 ∗1.20 = 0.764 Luego, los 4700 m. de conducción se descomponen finalmente así: 259 m. de 14´´
(A-M’)
1041 m. de 16´´
(M’-M)
2200 m. de 16´´
(M-N)
436 m. de 16´´
(N-B’)
764 m. de 14´´
(B’-B)
Lo que significa que: 3677 m. de tubería de 16´´ 1023 m. de tubería de 14´´
8. Diseñar una línea de conducción (tuberías) entre un manantial cuya cota es 400m y un depósito de almacenamiento cuya cota es de 220 m. Para conducir un gasto de 150 lts/seg. El trazo escogido tiene 3 tramos cada uno de pendiente uniforme. El primero de 4 km de long. , desciende de la cota 400 a la 360m. El segundo de 2km de long. Desciende de la cota 360 a 230m. y el último de 6km de long. De la cota 230 a 220m.Se dispone de tubería de asbesto cemento de diámetro 12”, 10”, 8”, 6” y 4” de 7.35 kg/cm 2 de presión de trabajo. El coeficiente de Williams-Hazen
de esta tubería puede considerarse 120. SOLUCIÓN:
Tramo AB (1). Calculamos un diámetro único:
= 150 ⁄ = 404 = 10/ = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
= 0.000426 . . 150 = 0.000426120.10. = 12.8" Si colocamos 12” en este tramo obtendríamos presión negativa en B. tampoco podemos tomar 14” porque según el enunciado no se dispone. Solo es aceptable entonces colocar
2 tuberías en paralelo. Los gastos para 12”, 10” y 8” son:
Para 12”
= 12" = 404 = 10/ = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
, = 0.000426 .. , = 0.00042612012.10. , = 128/ Para 10”
= 10" = 10/ = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
, = 0.000426 .. , = 0.00042612010.10. ,, = 79/ Para 8”
= 8" = 10/ = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
,,, = 0.000426.. ,, = 0.0004261208.10. ,,, = 43/
Para el paralelo se puede tomar: 12” con 10”; 10” con 10” y 10” con 12” y 12” con 8” de las más económicas tomaremos: 10” con 10”, por el que pasaría un gasto de: Q 1 = 79+79 =
158 lts/seg. Para que solo pasen 150 lts/seg. Por ser ambos de 10”, por cada tubería debe pasar 75
lts/seg con una pérdida de carga:
= 75⁄ = 10" = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
= 0.000426 . . 75 = 0.00042612010.. = 9.85/ Como la distancia es 4 kilómetros tenemos que:
ℎ = 9.85 4 ℎ = 39.40 Cota piezometrica en B = 400- 39.40 = 360.60m
<
La presión en B = 360.60 – 360 = 0.60m 7.35kg/cm2 Tramo BC. (2): Calculamos un diámetro:
= 150 ⁄ = 360.6230 2 = 65.3/ = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
= 0.000426 . . 150 = 0.000426120.65.3. = 8.8"
Conviene entonces instalar en este tramo de tubería de 10” que no da presión negativa como la de 8”, se pierde una carga:
= 150⁄ = 10" = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
= 0.000426 . . 150 = 0.00042612010.. = 31/ Como la distancia es 2 kilómetros tenemos que:
ℎ = 31 2 ℎ = 62 Cota piezometrica en C = 360.6 - 62 = 298.6m
<
La presión en C = 298.6 – 230 = 68.60m 7.35kg/cm 2 Tramo CD (3) Calculamos un diámetro:
= 150 ⁄ 220 = 13.1/ = 298.60 6 = 120 Aplicando la ecuación de Hazen y Williams tenemos que:
= 0.000426 . . 150 = 0.000426120.13.1. = 12" Por lo tanto podemos decir que el diseño será el siguiente.
9. Para la red mostrada en la figura, calcular el gasto n cada ramal. Considerar =100 en todas las tuberías. “
CH
’’ 6’ ’-
’’-
’’ -
Solución: Para la solución de esta red vamos a aplicar el método de Hardy Cross. La ecuación de descarga en cada tubería es: Hf = kQ1.85 Siendo 1.72 x 106 L
K=
CH 1.85 D4.866 Q (lit./seg),
L(km),
D(pulg).
Esta ecuación corresponde a la fórmula de Hazen y Williams, que es la que utilizaremos, dado que el coeficiente de resistencia esta en los datos referidos a dicha fórmula. Empezaremos por dividir la red en dos circuitos en cada uno de los cuales consideremos como sentido positivo en correspondiente al sentido contrario de las agujas del reloj. Esto es puramente convencional y podría ser al contrario. Haremos también tentativamente, una suposición con respecto a la distribución de caudales en consecuencia cada caudal vendrá asociado a un signo. Habrá caudales positivos y negativos. Por consiguiente, la pérdida de carga en los tramos también estarán afectadas del correspondiente signo. Sabemos, sin embargo, que ni los caudales ni las pérdidas de carga tienes signo. Se trata solamente de algo convencional. Se obtiene así: -
B
+
M
-
+2
-
+
C
La magnitud y sentido del caudal en cada ramal se ha escogido arbitrariamente. Cuando tan +70 solo que se cumpla la ecuación de continuidad en cada nudo (en valores absolutas N +9 naturalmente).
Ahora debemos hallar los valores de K en cada ramal para facilitar así el cálculo de la perdida de carga c on los diferentes caudales caudal Tramo hf hf1/Q1 que más irán aproximados sucesivamente a la solución final. CIRCUITO I BM NM MB
CIRCUITO II
K = 0.03367 K = 0.02806 K = 0.00692
CM MN NC
K = 0.00969 K = 0.02806 K = 0.00830
Calcularemos ahora los valores de la pérdida de carga hfoen cada circuito aplicando la ecuación de descarga: hfo/Qo BN NM MB
hfo = +87.23 hfo= - 7.16 hfo= -56.35
hfo/Qo
1.246 0.358 0.433
CM MN NC
∑ = +23.72 2.040
hfo = - 57.93 hfo= + 7.16 hfo= +34.23
0.527 0.358 0.380
∑ = -16.54
1.265
Aplicamos ahora la ecuación de corrección que debe aplicarse al caudal supuesto en cada ramal
∑hfo
-
Q= 1.85 ∑ (hfo/Qo)
Se obtiene para cada circuito:
∆ = +23.72 1.85∗ 2.040 = 6.30 ΔQ = - 6
∆ = 16.54 1.85 ∗1.265 = 7.10 ΔQ = 7
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de la pérdida de carga hf son los siguientes:
BM NM MB
.+ 70 - 6 .+64 .+73.91 1.15 = - 20 - 6 -33 -18.09 0.555 7= .- 130 – -136 -61.26 0.45 6= ∑ = -5.44
2.155
CIRCUITO I
Tramo
caudal
hf
hf1/Q1
- 110 + -51.29 7= 103 20 + 7 + NM +33 +18.09 6= + 90 + 7 MB +97 +39.32 = ∑ = +6.12 CICUITO 1.451 II CM
0.498 0.548 0.405
Calculamos nuevamente la corrección ∆Q:
∆Q = --------------------------------- = + 1.36 1.85 x 2.155
-(- 5.44 ) ∆Q = --------------------------------- = - 2.28 1.85 x 1.451
∆Q= + 1
∆Q= - 2
Los nuevos caudales y los correspondientes valores de hf son: CIRCUITO I --------------------------------------------------Tramo Caudal hf hf2/Q2n --------------------------------------------------BN +64+1 = +65 +76.06 1.170 NM -33+1+2 = -30 -15.16 0.505 MB -136+1 = -135 -60.43 0.448 ---------------------------------------------------Calculamos nuevamente la acción ∆Q:
-(+ 0.47 ) ∆Q = --------------------------------- = - 0.12 1.85 x 2.123 ∆Q= 0
CIRCUITO II -------------------------------------------------Tramo Caudal hf hf2/Q2 -------------------------------------------------CM -103 – 2 = -105 - 53.15 0.506 MN +33-2-1 = + 30 +15.16 0.505 NC +97.2 = + 95 + 37.83 0.398 ----------------------------------------------------
-(- 0.16 ) ∆Q = --------------------------------- = - 0.06 1.85 x 1.409 ∆Q= 0
En consecuencia los caudales finales son:
M
200
A
1 0 5
C
B
N
9 5
200
