UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Una rueda de la fortuna es puesta en marcha SOLUCION: desde el reposo de modo que su rapidez está
̇
P
Datos:
̇ ̇ ̇ ̈ ̇ ̈
dada por , donde es la medida de la posición rotacional de la rueda . ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración de un punto P en el borde de la rueda para t = 5s? La distancia desde el centro de rotación hasta el borde es de 35 pies.
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pero r = 35 pies. Hallar =? ;
= ? para t = t = 5s
Analizamos la derivadas:
Calcularemos la velocidad:
Calcularemos la aceleración:
̇ ( ̇ ))
̈ ̇ ̇ )) ( ̈ ̇ ) ( [ ] [ ]] ⁄
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Un esquiador que usa la rampa ilustrada parte SOLUCION: del reposo en A y acelera a un ritmo Partiendo de la aceleración tenemos: constante de 28 hasta B. exactamente
∫ ∫
después de B la pendiente recta cambia a una curva con radio de curvatura igual a 220 ft. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total experimentada por el esquiador en ese Luego: punto? Suponga que la aceleración tangencial ………(1) no cambia inmediatamente. Comente acerca de la magnitud. Pero también sabemos que:
A
200ft
……..
(2)
Reemplazando 1 en 2: B
220ft
Pero :
Por último como la aceleración es constante entonces en el punto B la aceleración tangencial es igual a
28
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Un ciclista recorre una curva con radio decreciente y mantiene una velocidad constante de 20 mph. El radio de curvatura varía según , donde s indica el movimiento a lo largo de la curva expresada en pies . ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que la bicicleta patine si la aceleración máxima que puede sostener sin patinar es de
SOLUCION:
⁄ s
NOTA: CODIGO:
Como en el problema tenemos que la velocidad es constante, entonces no habrá cambio en su módulo, pero si en su dirección, por lo tanto solo estará sujeta a la aceleración normal(a n), entonces:
⁄ ⁄ Luego tenemos:
ciclista
Reemplazando :
,
Simplificando tenemos:
Sabemos que:
Integrando tenemos:
∫ ∫
reemplazando:
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,
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LECTURA:
NOTA:
CLAVE: HORARIO:
CODIGO:
Una pelota se deja caer verticalmente sobre una pequeña superficie inclinada. Las características del rebote son tales que las direcciones de aproximación y de rebote son simétricas con respecto a la dirección normal a l superficie de rebote. el ángulo de a. Encuentre inclinación óptima tal que el recorrido horizontal de la pelota se maximice en el primer rebote. La velocidad de la pelota inmediatamente antes y después del impacto es la misma. Encuentra la distancia máxima recorrida como función de la altura de caída h.
Calculando la Velocidad en caída libre:
∫ ∫ √ →
Para
,
, y=h
Movimiento Vertical: Eje “y”:
Calculando la posición vertical:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ →
……sabemos que , luego:
Para y=0
…………..(I)
Movimiento Horizontal : Eje “x”:
Calculando la posición horizontal:
∫ ∫ → …………………….(II)
Reemplazando (II) en (I):
√
; para que el alcance horizontal
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sea máximo,
tiene que ser 45
Hallando
en función de h:
(Rpta)
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Ronaldo un chico listo, ha diseñado un lanzador para arrojar sus bolas de nieve por encima del muro divisorio del vecino hasta su patio. El muro tiene 17.58m de altura (estos vecinos son muy pocos sociables), el lanzador está colocado a 67.5m del muro, y el hijo del vecino, Ruperto, está sentado en el suelo a79.5m de Ronaldo (12m del muro) ¿Cuál es el único ángulo de lanzamiento posible que, con una velocidad de lanzamiento suficiente, permitirá que la bola de nieve apenas libre el muro e impacte en Ruperto?
Movimiento Vertical: Eje “y”:
NOTA: CODIGO:
Calculando la posición vertical:
∫ ∫ ∫ ∫
……sabemos que , luego:
Para y=17.58 m
…………(I)
Para y=0
→
…………(II)
Movimiento Horizontal : Eje “x”: Calculando la posición horizontal:
Para x=67.5
……………….(III)
Para x=79.5
…………(IV )
Igualando (II) y (IV):
Reemplazando en (IV):
…………………(V)
⁄
⁄ Reemplazando (III) en (I)
…………….(VI)
Reemplazando (V) en(VI)
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→
Reemplazando en (II):
→
Hallando el Angulo:
→
(Rpta)
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Un automóvil ingresa a una rampa circular (radio de 180 m) a 30m/s.los acelerómetros a bordo del automóvil registran una magnitud total de la 2 aceleración de 7.07 m/s . ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del auto (la componente tangencial a su trayectoria?
NOTA: CODIGO: Solución:
Datos:
̇
Calculando la aceleración Normal:
Calculando la aceleración tangencial:
(Rpta)
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA: La pequeña partícula b se desliza a la derecha a una velocidad constante hacia A, al final de la mesa. Cuando rebasa a A, aquella comienza a acelerar hacia abajo a 32.2 ft/s2. Por tanto existe una diferencia muy marcada en la aceleración inmediatamente antes e inmediatamente después de llegar a A. ¿ocurre lo mismo con la velocidad? ¿Cuánto valen la dirección y la magnitud del vector velocidad para el instante anterior a la llegada hasta A y para el instante posterior?
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO: Solución:
La velocidad para el instante anterior la llegada hasta a A es , porque la velocidad hasta A es constante. Calculando la velocidad para el instante posterior de llegar a A:
……..La velocidad para el instante
posterior .
Si ocurre lo mismo con la velocidad, la velocidad empieza a aumentar después de legar a A.
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA: La Barra OA rota Alrededor de “O” en un plano horizontal. El movimiento de collar B de 400g está definido por las relaciones r = ‘500’+
LECTURA:
NOTA:
CLAVE: HORARIO:
CODIGO:
solución
2
300 sen πt y θ = 2π( t -2t). Donde r está expresado en Milímetros, t en segundos y θ en radianes. Determine las componentes radial y transversal de la fuerza ejercida sobre el collar cuando: (a)- t = 0 (b)- t = 0.8s
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA: Un Jugador de HockeyGolpea un disco de talmanera que se detiene 4s después de haberse deslizado 60 ft en el hielo. Determine (a)- La Velocidad Inicial del disco. (b)- El Coeficiente deFricción entre el discoY El hielo.
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
SOLUCION:
(a) Velocidad Inicial del disco
(b) Coeficiente de fricción
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Un bloque B de masa m puede rebaslar libremente sobre un brazo OA sin rozamiento, que gira en un plano horizontal a una velocidad constante de
θ
si B
se suelta a una distancia r0 desde O, expresese como función de r a) la componente vr de la velocidad de B a lo largo de OA y b) la magnitud de la fuerza horizontal F ejercidad sobre B por el brazo OA
NOTA: CODIGO:
SOLUCIÓN Como todas las otras fuerzas son perpendiculares al plano de la figura mostrada sobre B es la fuerza F perpendicular a OA Ecuaciones de movimiento:
= m*ar
0=m( - r*θ2)
= m*aθF= m(r
+2
)
Las componentes de la velocidad como Vr=
r
=d vr/dt =
r en (1), recorda ndo que
Sustituyendo
Ø
=
0
y separando las variables
a) Aceleración De B a t = -r
2
2
= -0.240 -0.481(0.561) =-0.391 m/s aθ = r* +2 2
= 0.481(0.300)+2(-0.449)(0.561) = 2 0.359m/s 2
a= 0.531m/s γ=42.6° b) Aceleración de B con respecto al brazo OA ab/oA =
=-0.240m/s 2
2
ab/oA= -0.240 m/s hacia O
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-
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA LECTURA: ALUMNO: CLAVE: CURSO: FECHA: HORARIO: Un paquete de 5 kg. Desliza por una rampa
NOTA: CODIGO:
Solución
parabólica. En la posición que se muestra la velocidad del paquete es de 2.4 m/s.
Tg θ = dy = 2x = x dx 18 9
determine la fuerza normal del contacto, entre la rampa y el paquete en esta posición.
W sen 33.69 Cuando x = 6
=>
tg θ = 6 9 θ = arctg (6/9)
W cos 33.69 W
θ = 33.69
y=
=-ansen (33.69)i+ancos(33.69)j =-atcos(33.69)i-atsen(33.69)j
∑ Ft = m at W sen 33.69=
m at mgsen 33.69= m at
at=5.4416
V=-2.4cos(33.69)i-2.4sen(33.69)j =
ancos(33.69) -5.4416sen(33.69)=
an=0.3685
∑ FN = m an N – 5 (9.81) cos33.69 = man N=42.66N
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Encuentre x = (0) tal que x = (2.5) = 0 m/s para una partícula cuya aceleración está dada enseguida.
SOLUCION: Sabemos que la aceleración se puede expresar en función de la velocidad con respecto al tiempo:
NOTA: CODIGO:
=
De esta ecuación podemos señalar que:
∫ ∫
Como el tiempo inicial (t 0 ) es cero, la ecuación adopta la siguiente forma:
Según la gráfica a vs t del ejercicio, la aceleración de la partícula es constante y tiene un valor de 50 m/s 2 . Entonces, como a=50m/s 2 , reemplazamos en la ecuación:
Ahora, según el enunciado del ejercicio, la velocidad en el segundo 2.5 es 0m/s, de lo que deducimos que: La v f, transcurridos 2.5 segundos es cero
El requerimiento del ejercicio nos lleva a determinar la velocidad de la partícula en el segundo 0
Para t=0
La velocidad indica que la partícula tiene dirección izquierda a partir de los ejes coordenados. ( (-)).
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Un lanzador de sandías está diseñado para lanzar estos frutos a corta distancia con objeto de medir la capacidad de las sandías de resistir al manejo rudo durante el embarque. Si una sandía se lanza a un ángulo de 45° y tiene que aterrizar a 10 pies sobre una pendiente de 35°. ¿A qué rapidez debe lanzarse la sandía?
SOLUCION:
NOTA: CODIGO:
…I …II
En el eje Y: (
Calculando la posición:
Del gráfico:
/
En el eje X
Para: x
/
Reemplazando (II) en (I)
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA: Cuando diseña una montaña rusa, el diseñador quiere asegurarse de que los pasajeros sobrevivan al recorrido. En la sima de un riso circular, el diseñador quiere que los carros se muevan a 60 mph, y las consideraciones de seguridad requieren que la aceleración normal no exceda de 3.5 g. ¿cuál es el mínimo radio permisible?
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO: SOLUCION
Datos 1.
2.
Por definición de aceleración se tiene , pero la
, entonces
,reemplazando obtenemos
,
reemplazando
y
, donde
= aceleración tangencial = aceleración normal
Para hallar el radio mínimo entonces la aceleración normal debería ser la mayor posible y eso lo conseguiremos cuando la aceleración normal sea .
, pero
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
SOLUCION:
Una rueda de la fortuna con radio 30 pies, desacelera a manera que para t=0, la rapidez tangencial de un punto P en el borde es v=10ft/s y dv/dt=ct, donde c=3 4ft/s . ¿Cuál es la aceleración de P para t=3s?.
Reemplazamos: c=-4ft/s
3
Para t=3s:
La aceleración tangencial es:
Para t=3s
La aceleración normal será:
Conociendo ambas componentes la magnitud de la aceleración será:
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LECTURA: CLAVE: HORARIO:
Un automóvil (en el punto A) esta a 100m de distancia del punto B en
SOLUCION:
una pista circular (la distancia se mide a lo largo del perímetro de la
Datos
pista) y comienza a acelerar desde el reposo.¿qué incremento
constante de velocidad es necesario para que la magnitud total de la aceleración sea de 8 es de 150m
cuando alcance a B? el radio de la pista
NOTA: CODIGO:
so=0m
s=100m
vo =0 m/s
v= ?
a =8m/
r=150m
partiendo de la aceleración tangencial
integrando:
sabemos también por formula que:
Ahora por formula tenemos que la aceleración es igual a:
Entonces tenemos:
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA:
LECTURA: NOTA: CLAVE: HORARIO: CODIGO: Una pelota de tenis golpea la superficie inclinada Analizando el movimiento horizontal. que se ilustra y rebota con una velocidad V 1. Una vez que rebota, experimenta una aceleración
constante hacia debajo de 9.81m/
¿A qué
distancia pendiente abajo hará otro impacto? Resuelva hallando la intersección del plano inclinado con la trayectoria parabólica de la pelota. IIVII=25m/sy β=30°.
Integrando
√
25cos60°(t)= Rcos30° t = (R
)/25…*
∫ ∫ √
Analizando el movimiento vertical
Integrando:
…………..**
Ahora partiendo de la velocidad
∫ ∫ √ √
Integrando:
Remplazando **
DATOS: ||v||=25m/s V0x = 25cos60°
………***
V0y= 25sen60°
S0x =0m
S x = Rcos30°
S0y =0m
S y= Rsen30°
t0=0s
t =?
√ √ √ √
ax=0 m/ ay= 9.81 m/
Ahora remplazando * en ***
Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Un chícharo seco es lanzado con un ángulo de SOLUCION: grados y una rapidez . Deduzca la formula que le Analizamos el Movimiento Vertical permite encontrar h (la distancia cuesta arriba a la Partiendo de la aceleración tenemos: cual el chícharo hace contacto con la superficie) como una función de , g y .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ √ ………(1)
Luego: g
……..(2)
Reemplazando (1) en (2) e integrando: ,
h
……..(3)
3 0 °
v n
Ahora analizando el Movimiento Horizontal
…….(4)
Remplazando (4) en (3) tenemos:
√ √ √ √
Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Un grillo quiere saltar hasta un punto que esta 0.97 pies más alto que el punto en el cual se encuentra. El grillo reposa sobre una pendiente de 300. Suponiendo que puede lanzarse a un ángulo Ω con rapidez de
, determine el valor necesario de Ω
√
En el eje X tenemos que:
entonces:
………()
para que llegue hasta su objetivo.
En el eje Y tenemos que:
entonces:
V
0.97
Lu ud má.→ = prid de:
O
Por lo tanto el tiempo total que el grillo tarda en
3 0 °
recorrer la distancia horizontal
es
es decir el doble del tiempo
que se demora en alcanzar su altura máxima.
Para resolver este problema tomaremos un nuevo sistema de coordenadas X e Y indicado en la figura. Para ello también descompondremos la gravedad para poder saber el valor de la aceleración que actúa sobre el nuevo sistema de coordenadas.
Luego reemplazando el tiempo total en (1) tenemos que:
ax
3 0 °
ay
De donde obtenemos que Ω=6.54
o
g X
Y V Vy
O
Vx 3 0 °
0.97
Ing. MC Yrma Rodríguez LLontop UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Un muchacho que se encuentra a una distancia SOLUCIÓN: 2 Por dato tenemos: ay = 9.81m/s d=6m de la base de un edificio intenta lanzar una pelotita a través de una ventana de tamaño H = 90 ↓ Vo= 15m/s Cm que esta a una altura h =6m. Si la velocidad V 0 = 15 m/s, determinar el intervalo de ángulos 1) Trabajando horizontalmente: iníciales θ0 que permitan que la pelota atraviese la ventana; la aceleración de la pelota es de 9,81 m/ vertical hacia abajo.
15 cos? 9 . 0
Vy
6
? n e s
15
2) Ahora verticalmente y =6m
∫ ∫
Reemplazando el tiempo t
5 ? 1
15 cos? 6
∫ ∫ ∫
3) Ahora cuando y =6m
Luego:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Reemplazando el tiempo t
Respuesta:
Los ángulos iníciales que permiten que la pelota atraviese la ventana son:
Intervalos:
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UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CONCERVACION DE LA ENERGIA ALUMNO: CURSO: FECHA:
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
El collarín de 6 onzas se desliza con fricción despreciable en la barra guía circular que está unida a la plataforma. El collarín está en la posición A cuando la plataforma se desplaza a la derecha con una velocidad V o. Una vez que la plataforma se detiene repentinamente, el collarín se desliza hacia arriba por la barra y llega a su máxima posición en B. Determine V o.
SOLUCIÓN :
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NOTA: CODIGO: Del gráfico se obtiene :
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINETICA DE LA PARTÍCULA TRABAJO Y ENERGIA ALUMNO: CURSO: FECHA: Un esquiador que usa la rampa ilustrada parte del reposo en A y acelera a un ritmo constante de 28
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
Sabemos que:
s
s
pies seg 2 hasta B. Exactamente después de B la pendiente recta cambia a una curva con radio de curvatura igual a 220 pies. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total experimentada por el esquiador en este punto? Suponga que la aceleración tangencial no cambia Inmediatamente. Comente acerca de la magnitud.
v2 2
dv
v
ds
ds
v
v dv
0
0
200
0
28 ds
v2 2(200)(28) v 108.83 pie / seg
luego:
aT 28 pies / seg 2
200 pies
a aT
a N
v2
2
a N
2
105 .83
2
220
Por lo tanto
a 282 50.912 a 58.10 pies / seg 2
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2
50.91 pies / seg
UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO Departamento Académico de Ingeniería Civil TEMA: CINEMATICA DE LA PARTICULA ALUMNO: CURSO: FECHA: Una persona P en una rueda de la fortuna viaja en un círculo con radio de 30pies y experimenta una 2 aceleración con magnitud de 0.33ft/s . La rapidez de la persona es constante durante el recorrido ¿Cuál es la rapidez de rotación de la rueda de la fortuna?
LECTURA: CLAVE: HORARIO:
NOTA: CODIGO:
DESARROLLO:
2
Datos: r= 30pies y aT = 0.33ft/s
Si tomamos como v 0= 0 y que la rueda de la fortuna ha dado una vuelta entera decimos que:
S=θr por lo tanto: S= 2πr S=60π Luego:
∫ ∫ .
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