Ejercicios b

Ejercicios 1. Variables Separables.

Dar solución a las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de variables separables (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionada en la tabla del paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollar del mismo).

 = +33  2+48 

Lo primero que hacemos es factorizar la expresión para agrupar las variables.

 = +33 +33 →  =  33 33 →  2+48 2+48  2 248 48  =    1 + 3   1 →  =   1 + 3 →    2 + 4  2    2 + 4   2  =   1   =   12   +3   → +4 +3 +4 

Ahora procedemos a integrar ambos lados y luego igualaremos el numerador con el denominador para simplificarlo.

  2  =   1  →    2  =    1  → +3 +4 +3 +4    2 + +3 3 3  =    1 ++4 4 4  →   =  +45  →  +35 +3 +4 5 ) +4  5  )  (+3  )  = ( +3 +3  + 4  + 4 ) → (1  5+ 3 )   = ( (1 1  5+ 4 ) → ( 5+3 ) = ( (  5+4 ) → 5ln 5ln + 3 +1=5ln +1=5ln + 4 +2 →







∫ − − =ln 5ln + 3 +5ln + 4 = 1 + 2 → Ahora aplicamos la regla de la potenciación log =ln ln + 3 + ln + 4 =   Ahora aplicamos la regla del logaritmo log n   log n = log    + 3 +ln  + 4 =  Ahora aplicamos la regla del logaritmo

Ejercicios 2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas.

Solucionar las siguientes Ecuaciones diferenciales de primer orden empleando el método de Homogéneas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del  paso 3, se debe presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)

   + 1   +   1=0 

Lo primero que haremos es realizar el despeje de dy/dx para verificar si es homogénea.

   + 1 =  +   1  =  +   1 →  =  +   1 →  =  +   1 →  = 1 +   1     + 1     + 1     + 1  1   + 1  =     2 

Luego, realizamos el cambio de variable y aplicamos la regla del producto y por ultimo realizamos la separación de variables .

 = 

 ∗  +   ∗  =   =  ∗   =  

 ∗  +  =  →  ∗  =    → ∗ =     2 →    2    2  2 ∗ =     2 →  ∗  2 =    2 ∗→  2 

Ahora agrupamos términos y procedemos a integrar aplicando las  propiedades de las integrales y de los logaritmos.

 2 =  →    2  =   →     2      2       2    2  2   =   + →      2     2  2   =   + → | + 1|  4 (12 ln|2+2|  12 ln2||) =  +  →  +1 4 (12 ln2+2 12 ln2) =   +  → 1 ln2 +2 1 ln2) =   +  → +   4 (  2  2  Ejercicios 3. Ecuaciones Diferenciales Exactas.

Solucionar las siguientes ecuaciones diferenciales empleando el método de exactas (Cada estudiante debe desarrollar el numeral seleccionado en la tabla del paso 3, se debe  presentar cada paso efectuado para el desarrollo del mismo)

2+ + √  + 1  = 0 

Lo primero que haremos es revisar si la ecuación cumple con la condicion de ecuación diferencial. Para ello haremos uso de las derivadas parciales.

+=0 =2,  =  + √  + 1 

 = 2 → 2   =  + √  +1→2  

Ahora que comprobamos que la ecuación es exacta procederemos a encontrar f haciendo ∂f/∂x=M y luego integramos con respecto a f

 = 2    = 2+   =   ln + 

Ahora pasamos a derivar a f con respecto a y.

 =   ln +    = ln+ 1 +    

 a N y obtenemos g(y) integrando.  ln + 1 +  =  + √  + 1

Igualamos

→   =  + √  + 1  ln + 1   = √  +1 ln + 1   = √  +1 ln+ 1  1 1 1 1     =  4 (2 √ 1 +  + 2 ln+ √ 1 +  ) + 4   + 1  +  

Por ultimo encontramos la solución a la ecuación

  ln  14 (12 √ 1 +  + 12 ln+ √ 1 +) + 14   +1  = 