7.4 Tasa de i nterés y plazo
S:
a) Tasa mensual equivalente: i ′ = 1.101/12 − 1 = 0.007974 y ya que
M
=
R
(1 + i )
n
1
−
i
entonces
5800 0 = 750 0
y despejando se tiene
n
(1.007974 )
(1 007974 . )n −1
0.007974 58 000 (0 007974 . )
=
n=
7500
+
1 = 1 .0616656
log 1.0616656 = 0.025988 = 7.534938 log 1. 007974 0.003449
Así, tendría que hacer seis pagos iguales y uno mayor. Por ello, debe comenzar con el primero dentro de 3 meses, como se muestra en la siguiente gráfica: mes 0
1
2
pago
3
4
5
6
7
8
9
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7 + x
b) Valor del último pago: R + x x=
5800 0 − 75 00
(1 007974 . )7 −1 0.007974
x = 58 000 −53 772.73 = 4 227.27 R + x = 7 500 + 4 227.27 R + x = 11 727.27 El depósito final mayor deberá ser de $11 727.27.
Ejercicios de las secciones 7.1 a 7.4 1. ¿Cuál es el monto de una renta de $3 320 que se paga durante 10 bimestres vencidos, si el
interés es de a) 5.4% trimestral?
b) 31% efectivo anual?
c) 1.7% mensual?
2. El señor López tiene 2 empleos: en uno gana $4 870 quincenales y en el otro $3 950 men-
3. 4.
5.
6.
suales. ¿Cuál es el monto mensual de su sueldo global si se considera un interés de 12% anual con capitalización trimestral? ¿A qué cantidad pagada el día de hoy equivalen 25 pagos quincenales de $280 si el interés es de 25% convertible semestralmente? Al comprar una máquina, La Industrial, S.A., paga $10 000 al contado y se compromete a hacer 5 pagos de $2 700 a los 30, 60, 90, 120 y 150 días respectivamente. Si el interés es de 22% convertible quincenalmente, ¿qué precio al contado pagó la empresa? Para liquidar una deuda que contrae el día de hoy, Martín acuerda pagar 15 abonos mensuales vencidos de $2140 y un pago final de $3 882.21, un mes después del último abono de $2140. Si el interés convenido fue de 19% efectivo anual, ¿cuál fue el importe de la deuda? ¿Cuál es la mejor alternativa para adquirir un automóvil? a) $185 000 al contado. b) $12 995 mensuales durante 12 meses vencidos con interés de 15% efectivo anual. Justifique su respuesta.
203
204
CAPÍTULO 7 Caso general de anualidades
7. ¿Qu inversin acumula un monto mayor a 2 aos:
a) $1880 quincenales vencidos a 27% capitalizable bimestralmente? b) $9 500 bimestrales vencidos a 1.125% efectivo quincenal? 8. ¿Qué renta mensual produce un monto de $97 500, en 4 años a 1.1% bimestral? 9. ¿Qué renta bimestral durante 5 años tiene un valor actual de $182 500, si se considera un
interés de 1.89% mensual? 10. Para pagar un préstamo de $40 000, José Luis ofrece hacer abonos quincenales vencidos
durante 2 años. ¿Qué cantidad debe pagar cada 15 días si el interés que le cobran es de 24% convertible semestralmente? 11. Para comprar una casa en condominio con valor de $3 800 000 se debe pagar un enganche
12.
13. 14. 15. 16. 17.
de 20% mediante 6 pagos mensuales vencidos. ¿Cuál debe ser el importe de los pagos si el interés es de 18% convertible semestralmente? A un estudiante de maestría se le otorgó una beca-crédito de $7 000 mensuales durante 2 años. Debe pagar la beca mediante 24 abonos mensuales, comenzando un mes después de recibir la última mensualidad de la beca. Si se le cobra interés a razón de 10% anual efectivo, ¿cuánto debe pagar cada mes? ¿Qué cantidad bimestral durante 2 años es equivalente a 10 pagos trimestrales de $4 500 cada uno si el interés es de 21% convertible semestralmente? ¿A qué tasa de interés anual con capitalización mensual, 20 depósitos trimestrales vencidos de $5 400 producen un monto de $150 000? Se pagó una deuda de $13 700 mediante 6 abonos trimestrales vencidos de $2 818.18. ¿Qué interés efectivo anual se pagó? Un fondo de inversiones ofrece pagar $12 310 mensuales de interés por cada millón invertido. ¿Qué tasa anual efectiva paga? ¿Cuál de las dos siguientes alternativas de inversión es mejor para un capital de $50 000? a) Un flujo de12 pagos trimestrales vencidos de $5107.43. b) Un flujo de 18 pagos bimestrales vencidos de $3 408.86.
18. ¿Cuántos pagos de $1331.43 quincenales vencidos tendrían que hacerse para amortizar
una deuda de $14 990 si el interés es de 2% efectivo mensual?
19. A un empleado le ofrecen liquidarlo en la empresa donde trabaja mediante un pago en
efectivo de $95 000. Si en vez de aceptar esta suma desea recibir $4 000 mensuales vencidos, ¿cuántos pagos de este valor debe recibir si se consideran intereses de 16% capitalizables semestralmente? Calcule el número de pagos y el pago final menor que equivalen a la liquidación en efectivo. 20. ¿De qué manera se acumulan $15 000 con mayor rapidez, con interés a 2% bimestral?
a) Depositando $5 000 el día de hoy. b) Depositando $260 al final de cada trimestre.
7.5
Anualidades generales anticipadas
Este caso, como se vio antes, se refiere a las operaciones en que el pago o depósito se hace al principio del periodo de pago. El término generales señala que el periodo de pago y el de capitalización no coinciden. Al igual que se ha hecho en las secciones anteriores de este capítulo, la solución se obtiene mediante la conversión de la anualidad general en una anualidad simple y vencida equivalente.
7.6 Anualidades generales diferidas
3474 1.88 1500 =
(1.034131 )
−
n
1
=
n
− =
1 (1 .034131 )
−
−
n
0.034131 ( 34 741 . )(. 88 0)034131 −
1500 ln 0.209483 − =
ln 1.034131
=
0.209483
1.563111
−
0.033561
=
46.5752
Hará entonces 46 retiros completos y un retiro más de menor valor. Por ello, al hacer este último retiro tendrá 25 años más 46 trimestres, o sea 36.5 años. (Observe que se suman 46 trimestres y no 47, porque el primer retiro lo hace al cumplir los 25).
EJEMPLO 7.6.2
El 2 de marzo del año 1, la Compañía Comercial, S.A., contrae una deuda con valor de $1700 000 al 2 de junio del año 2. Poco tiempo antes de que venza su adeudo, la empresa ofrece a su acreedor cambiar ese pago único al 2 de junio por 5 pagos mensuales a realizar el primero el 2 de octubre del mismo año 2. Si acuerdan un interés efectivo anual de 11.25%, ¿de cuánto deben ser los pagos mensuales? S:
Tasa equivalente: (1 + i ′)12 = 1.1125 i ′ = (1.1125)1/12 − 1 = 0.008924 El valor del adeudo al 2 de septiembre del año 2: 1 700 000(1.008924)3 = 1 745 919.76 La anualidad simple equivalente: 1745919 .76 R
=
=
1
R
1( 008924 . )
0.008924 1745919 .76 4.868878
5
−
−
=
=
R( 4.868878)
$358587.67
Ejercicios de las secciones 7.5 y 7.6 21. El señor Garnica, que alquila una casa por $2 800 mensuales anticipados, le quiere proponer
22. 23. 24.
25. 26.
a su arrendador pagar la renta por trimestre adelantado. Si se considera un interés de 20% capitalizable semestralmente, ¿de cuánto debería ser la renta trimestral? El 15 de febrero se hace el primero de un conjunto de 25 depósitos bimestrales de $995. Si el dinero rinde 5% capitalizable mensualmente, ¿cuál es el valor actual de los depósitos? ¿Cuál es el monto de 15 pagos semestrales anticipados de $4 200 en el momento de hacer el último, si el interés es de 1.02% mensual? Un comerciante firmó un pagaré que vence dentro de 8 meses. Para liquidarlo, decide hacer depósitos mensuales anticipados de $3 528.27 para tener, en el momento de vencer el pagaré y hacer el último depósito, la cantidad que debe pagar. Si el depósito rinde 7.5% anual efectivo, ¿cuál es el valor del pagaré a su vencimiento? ¿Qué renta mensual anticipada es equivalente a una renta mensual vencida de $8 000 si el interés es de 1.8% bimestral? Una empresa adquiere un terreno con valor de $750 000, y acuerda pagarlo mediante 6 pagos trimestrales comenzando en el momento de formalizar la operación. Si se cobran intereses de 1.2% mensual, ¿de cuánto deben ser los pagos?
207
208
CAPÍTULO 7 Caso general de anualidades
27. ¿Cul es el valor al contado de un artculo que se vende mediante 12 pagos bimestrales
anticipados de $335, si el interés es de 28% capitalizable trimestralmente? 28. Se debe pagar dentro de un año una anualidad de $17 500. ¿Qué renta mensual anticipada,
pagada desde hoy y hasta el vencimiento de la anualidad, equivale a ésta si el interés es de 8.2% efectivo anual? 29. ¿En cuánto tiempo una renta anticipada de $882.79 quincenales producen un monto de $14 000 en el momento de hacer el último pago si el interés es de 2.8% bimestral efectivo? 30. Se va a pagar una deuda de $37 500 contraída hoy mediante pagos semestrales de $7 750. Si el interés es de 19% capitalizable mensualmente, ¿cuántos pagos completos se deben hacer y cuál es el valor del último pago menor de $7 750 que amortiza completamente la deuda? 31. En la compra de un automóvil que cuesta $226 950, el plan a crédito consiste en hacer
32. 33. 34.
35.
36.
18 pagos bimestrales anticipados de $17 287.46. ¿Cuál es la tasa anual con capitalización mensual que se carga en la operación? ¿A qué tasa efectiva anual se tendrían que colocar 25 rentas mensuales de $175 para que arrojen un monto de $5 200 en el momento de hacer el último depósito? Calcule el monto y el valor actual de una serie de depósitos trimestrales de $10 215, comenzando dentro de 4 meses y durante 2 años si el interés es de 17.5% anual efectivo. Calcule el monto y el valor actual de 3 pagos de $8 680 con fechas de 15 de octubre, noviembre y diciembre, respectivamente, considerando que hoy es 30 de abril y la tasa de interés es de 9.6% capitalizable semestralmente. Un almacén ofrece un plan de “compre ahora y pague después”. Si un cliente compra el 15 de septiembre una lavadora y acuerda pagarla mediante 12 abonos quincenales de $410.83 comenzando el 15 de enero del año siguiente y el interés que cobra el almacén es de 23% efectivo anual, ¿cuál es el precio al contado de la máquina? Una empresa debe redimir dentro de 18 meses una emisión de bonos. Para reunir la cantidad necesaria se va a constituir un fondo mediante depósitos mensuales de $724 686 comenzando dentro de 7 meses y hasta la fecha de vencimiento de los documentos. Si el fondo gana 12% de interés capitalizable semestralmente, ¿cuál es el valor de los bonos a su vencimiento?
37. ¿Qué renta pagada los días primero de junio, julio, agosto y septiembre equivale a un pago
de $3 720 realizado hoy primero de febrero si el interés es de 20.5% efectivo semestral? 38. ¿Con cuántos pagos bimestrales de $32 300 comenzando dentro de un año se amortiza una
deuda de $200 000 que vence dentro de 6 meses si el interés es de 22% efectivo anual?
7.7
Aplicaciones
Las aplicaciones de las anualidades generales son muy diversas y aquí se ilustrarán con un par de casos: la compra de tiempos compartidos y las anualidades variables.
7.7.1 Tiempos compartidos La compra de tiempos compartidos para las vacaciones ha adquirido gran popularidad pues ofrece, según sus promotores, descuentos importantes en el costo del hospedaje en zonas turísticas para quienes adquieren. Así, unanoches propiedad vacacional o “tiempo es el derecho a usar semanaslos específicas o distintas de un desarrollo turístico compartido” durante un periodo específico o variable. Simplemente dicho, es la precompra de una vacación. Los precios y esquemas de pago son muy variables, pero el esquema básico es el siguiente:
Se entrega un enganche (normalmente constituye la comisión del vendedor). Se realizan abonos mensuales durante un periodo que puede variar, típicamente, desde 36 hasta 60 meses.
234
CAPÍTULO 7 Caso general de anualidades
Ejercicios complementarios ¿Qué es una anualidad general? ¿Qué es una anualidad general anticipada? ¿Qué es una anualidad general diferida? Dé un ejemplo de anualidad general, cierta, vencida e inmediata. 5. Dé un ejemplo de una anualidad general anticipada. 6. Dé un ejemplo de una anualidad general diferida. 7. Encuentre el monto de un conjunto de 14 pagos venci-
hicieron si un mes después de realizado el último se tenía un monto de $15 078.72? 16. Una empresa desea invertir $300 000 en un proyecto que, según los planes, deberá producir un flujo de ingresos de $42 000 bimestrales vencidos durante dos años. ¿Qué tasa de interés efectivo anual rendiría el proyecto? 17. Encuentre el monto y el valor actual de 12 pagos bimestrales de $100 a 3% de interés capitalizable mensual-
dos inmediatos de $1816 cada dos meses si el interés es dee 16.6% capitalizable mensualmente.
si el primero se hace 18. mente A un estudiante sede le ellos asigna una hoy? beca que le otorga
8. ¿Cuál es el valor actual (al principio de cada año) de 24
$1850 mensuales y que comenzará a recibir dentro de 4 meses y medio. Calcule el valor actual de la beca si el interés es de 15% capitalizable bimestralmente y la beca tiene una duración de 2 años. 19. Una empresa debe $250 000 de impuestos. Para pagar se le ha concedido un plazo de gracia de 6 meses sin intereses y puede hacerlo mediante 6 pagos mensuales realizando el primero de ellos dentro de 6 meses. Si el interés que se le carga en el segundo semestre es de 12% capitalizable quincenalmente, ¿de qué cantidad deben ser los pagos mensuales? 20. A qué tasa efectiva anual equivale:
1. 2. 3. 4.
9.
10.
11. 12.
13.
14.
15.
pagos quincenales vencidos de $146.90 si el interés es de 14% efectivo semestral? ¿Cuál es el valor actual (al principio de cada año) de pagos quincenales anticipados de $5 000 si el interés es de 21% anual convertible semestralmente? ¿Qué pago trimestral anticipado es equivalente a pagos quincenales vencidos de $100 si el interés es de 6% capitalizable mensualmente? ¿Qué pago bimestral vencido es equivalente a pagos semestrales anticipados de $1470, a 1.5% quincenal? La señora Martínez compró una pantalla con precio de $8 900. Entregó 15% de enganche y se comprometió a pagar el saldo mediante 12 pagos mensuales vencidos con un interés de 20% efectivo anual. ¿Cuál es el importe de los pagos? ¿Cuánto se necesita ahorrar cada fin de año en una cuenta que paga 5.55% capitalizable mensualmente para acumular $50 000 en el momento de realizar el quinto depósito? Un estudiante tiene una calculadora que desea cambiar dentro de 6 meses. Considera que puede venderla dentro de 6 meses en $150 y que el valor de la que desea comprar en esa fecha será de $985. ¿Cuánto debe ahorrar cada quincena comenzando dentro de quince días, para tener el dinero que necesita si puede invertir sus ahorros con un interés de 10% efectivo semestral? Se hicieron depósitos trimestrales de $150 vencidos a 6% capitalizable mensualmente. ¿Cuántos depósitos se
a) b) c) d) e)
48% capitalizable semestralmente. 40% capitalizable mensualmente. 35% mensual efectivo. 15% semestral capitalizable bimestralmente. 0.5% mensual capitalizable quincenalmente.
21. ¿Qué tasa anual capitalizable mensualmente es equiva-
lente a a) 2% efectivo mensual? b) 5% bimestral efectivo? c) 6% trimestral efectivo? 22. ¿A qué tasa efectiva anual creció una inversión de $604.23
bimestrales anticipados durante dos años si su monto, 4 meses después del inicio del último periodo de pago, fue de $10 500?
