Unidad 6 A nualidades antic a nticip ipadas adas
Objetivos Al fifinal naliza izarr la unid unidad, ad, el alum alumno: no: • • • •
Calculará el monto producido por una anualidad anticipada. Calculará el valor presente presente de una anualidad anticipada. Calculará el valor de la renta de una anualidad anticipada. Determinará el tiempo o plazo de una anualidad anticipada. anticipada.
Introducción
H
asta el momento se han analizado las anualidades vencidas y algunos casos donde se presentan; sin embargo, en la realidad, no todas las situaciones con pagos constantes en tiempos iguales se refieren a anualidades de este tipo, existen situaciones tales como la renta de un departamento, departa mento, la cual no se paga al término térm ino del mes sino al principio, o la compra de un coche donde los pagos se realizan el primer día de cada mes y no los días de corte. En esta unidad analizaremos situaciones como las mencionadas anteriormente, enfocaremos el estudio a las anualidades a nualidades anticipadas, el cálculo del monto que representan, representan, su valor presente, el número de pagos pag os y la renta rent a que implica implican. n.
6.1. Cálculo del monto En la unidad cinco se expuso la definición defi nición de las anualidades anticipadas, como aquellas aquellas en las que los pagos se realiza rea lizann al principio de cada periodo y no al final f inal como ocurre en las la s anualidades anual idades vencidas. vencidas. Para entender esto veamos la representación represent ación gráfica grá fica de una anual a nualidad idad anticipada ant icipada (figura (fig ura 6.1) para compararla con la de la anualidad a nualidad vencida (figu (figura ra 6.2). 6.2). R
R
R
0
1
2
R
¿Qué diferencia existe entre una anualidad anticipada y una vencida?
R
n
Figura 6.1. 6.1. Gráfica de una anualid ad anticipada.
179
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
0
R
R
1
2
R
R
R
n
Figura 6.2. Gráfica de una anualidad vencida.
Como puedes observar comparando ambas gráf icas, el número de pagos es el mismo ( n), el valor de las rentas es el mismo ( R), lo que cambia es el momento de realizar el pago, ya que en las anualidades anticipadas éste se realiza al principio del periodo de pago. Al igual que en las anualidades vencidas, el monto es la suma de los pagos en el momento de vencimiento de la anualidad (figura 6.3).
R1
R3
R2
0
1
R
n
n
2
Figura 6.3.
Si recuerdas, en las anualidades vencidas el monto coincide con la fecha del último pago; si utilizamos esto como referencia para calcular el monto de una anualidad anticipada, se tendría que trasladar esta cantidad a un periodo más, tal como se puede observar en la figura 6.4.
180
UNIDAD 6
Monto de una anualidad anticipada
Monto de una anualidad vencida
R
R
R
R
R
Periodos de pago 0
1
n
Figura 6.4.
De acuerdo a la figura 6.4, para encontrar las fórmulas que se aplican en el cálculo del monto de una anualidad anticipada, se puede tomar como base la fórmula para calcular el monto de una anualidad vencida. Monto de una anualidad vencida
M = R
(1 + i) n − 1 i
Trasladando este monto un periodo más en el tiempo, ta l como lo muestra la figura 6.5. Monto de una anualidad vencida
Periodos de pago
R
R
0
1
R
R
n
Figura 6.5.
Utilizando la fórmula para determinar el monto compuesto M =C(1+ i) n, considerando que (1 + i) n − 1 C en realidad es el monto de la anualidad vencida R y tomando en cuenta que n es i
1, ya que únicamente hay que trasladarlo un periodo, tenemos:
181
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
M = R
(1 + i) n − 1 i
(1+ i)
Simplificando esta expresión: (1 + i) n − 1 (1 + i) M = R i
M = R M = R
(1 + i) n (1 + i) − (1 + i) i
(1 + i) n + 1 − 1 − i i
(1 + i) n + 1 − 1 i − M = R i i (1 + i) n + 1 − 1 − 1 M = R i
(1 + i) n + 1 − 1 − 1 M = R i
Donde: M es el monto de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos
Ejemplos
El señor Márquez deposita $1 500 al principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés de 32.4% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es su saldo después del primer año de ahorro? 1.
Solución
Se identifican los datos:
182
UNIDAD 6
Como los pagos se realizan al principio de cada m es, significa que son pagos anticipados, por lo tanto se trata de una anualidad anticipada. R=$1 500
0.324 = 0.027 12 n=un año=1 (12)=12 pagos mensuales i=
Como la pregunta es: ¿cuál es el saldo al final del primer año?, significa que lo que se busca es el monto de los pagos (rentas); por lo tanto, sustituyendo en la fórmula para el monto de una anualidad vencida, tenemos: (1 + i) n+1 − 1 − 1 M = R i
M =1 500
(1 + 0.027 )12+1 − 1 − 1 0.027
Realizando las operaciones: M =1 500
(1.027 )13 − 1 1.413890468 − 1 0.413890468 − 1 = 1 500 − 1 0.027 − 1 = 1 500 0.027 0.027
Significa que recibe en total al final de un año $21 493.91. La empresa Papel del Futuro, S. A. sabe que dentro de 5 años requerirá cambiar una máquina, si decide realizar depósitos trimestrales anticipados de $15 720 en una cuenta de ahorros que le paga 37.2% anual capitalizable trimestralmente, ¿cuál será el precio de la máquina cuando se compre? 2.
Solución R=$15 720
183
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
i=
0.372 = 0.093 (trimestral) 4
n=5 años=5(4)=20 pagos trimestrales
Como la pregunta es: ¿cuál es el precio de la máquina cuando se compre?, y la máquina se comprará dentro de 5 años, significa que lo que se busca es el monto de los pagos (rentas); por lo tanto, sustituyendo en la fórmula para el monto de una anualidad vencida, tenemos: (1 + i) n + 1 − 1 M = R − 1 i (1 + 0.093)20 +1 − 1 M =15 720 − 1 0 . 093
Realizando las operaciones: (1.093)21 − 1 6.471774865 − 1 5.471774865 M =15 720 − 1 = 15720 − 1 = 1 7720 − 1 0.093 0.093 0.093
M =15 720 (58.83628887–1)=909
186.46
Significa que la máquina costará $909 186.46.
6.2. Cálculo del valor actual En ocasiones, no es el monto lo que se requiere conocer, sino el valor presente o actual de una anualidad anticipada, ya que esto representa el precio de contado, el valor de una deuda al momento de contraerla, etcétera. Para determinar el valor actual o presente de una anualidad anticipada (C), tenemos que regresar en el tiempo todas las rentas menos ¿Por qué la primera renta una (la primera), ya que como podemos observar en la figura 6.6, este no se regresa pago se encuentra ya en la fecha de evaluación, que en este caso es el inicio en el tie mpo? de la anualidad.
184
UNIDAD 6
R1
R2
0
Rn
2
1
n
Figura 6.6.
Recordando la fórmula para calcular el valor presente de una anualidad vencida 1 − (1 + i)− n (C = R ), si consideramos que se consideran n–1 pagos, ya que el primero está donde i
se necesita y no hay que trasladarlo, tendríamos: C = R
1 − (1 + i)−( n − 1) = R 1 − (1 + i)− n +1 i
i
Sumando a este valor la renta que se encuentra al inicio de la anualidad (fecha focal): C = R + R
1 − (1 + i)− n + 1 i
Se factoriza la expresión utilizando el método de factor común (revisado en Matemáticas 2, unidad 2): 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i
La fórmula para calcular el valor actual de una anualidad anticipada es: C
1 − (1 + i )− n + 1 = R 1 + i
Donde: C es el valor actual de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización n es el número de pagos
185
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplo
Una persona alquila una bodega por $28 000 mensuales, realiza ndo sus pagos el primer día de cada mes. Propone al propietario pagarle el alquiler de todo el año, al momento de firmar el contrato, si la tasa de interés en ese momento es de 30% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato? Solución
Se identifican los datos: R=$28 i =
000
0.30 = 0.025 12
n=un año=1(12)=12
pagos mensuales
De acuerdo con la pregunta y las condiciones del problema, debemos buscar el valor actual o valor presente de los pagos (rentas), por lo tanto se sustituyen los datos en la fórmula para el valor presente de una anualidad anticipada: 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i 1 − (1 + 0.025)−12 + 1 C = 28000 1 + 0.025
Realizando las operaciones: 000 1 + 1 − (1 + 0.025) 0.025
C = 28
000 1 + 1 − 0.762144782 0.025
= 28 000 [1+9.514208713]
186
−12 +
C = 28
1
= 28
= 28
−11
000 1 + 1 − (1.025) 0.025
000 1 + 0.237855217 0.025
UNIDAD 6
C=28
000(10.5142)=294 397.84
El pago de la renta anticipada por un año es $294 397.84.
Ejercicio 1 1. Una persona realiza depósitos de $2 653 al principio de cada trimestre en u na cuenta
que le paga 16% anual compuesto trimestralmente de interés. ¿Cuánto tendrá ahorrado en su cuenta después de 4 años y medio? 2. La empresa Vinos Perdidos, S. A. dentro de 3 años requerirá cambiar una de sus máquinas; para poderla comprar decide realizar depósitos semestrales anticipados de $24 753 en una cuenta de ahorros que le paga 28% anual capitalizable semestralmente. ¿Cuál será el precio de la máquina cuando se compre? 3. ¿Cuánto reunirá la señora González, si deposita $3 035 al principio de cada trimestre durante 20 trimestres en una cuenta que paga 32% anual convertible trimestralmente? 4. La señora Ramírez adquiere un automóvil, el cual acuerda pagar con $2 780 mensuales anticipados durante 3 años. Si la tasa de interés que se acuerda es de 24% anual compuesto mensualmente, ¿cuál es el precio de contado del automóvil? 5. ¿Cuál es el valor actual de una renta de $1 600 depositada al principio de cada trimestre, durante 3 años, en una cuenta bancaria que paga 16% convertible trimestralmente? 6. Calcula el precio de contado de una estufa que se compra con 24 pagos mensuales anticipados de $416, si la tasa de interés que se aplica es de 18% anual convertible mensualmente.
6.3. Cálculo de la renta Al igual que en las anualidades vencidas, en algunos casos se requiere conocer el valor de la renta para lo cual se pueden utilizar las fórmulas para calcular el valor presente o para el monto, dependiendo los datos con los que se cuente (valor futuro o monto). Una vez que se identifica, si se cuenta con el valor actual o el monto de la anualidad, junto con el resto de los datos, se sustituyen éstos en la fórmula correspondiente, se realizan las operaciones que se puedan para simplificar la operación y por último se despeja el valor de la renta; para entender mejor esto veamos algunos ejemplos.
187
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Ejemplos 1. ¿Cuál
es el valor de una serie de depósitos que se deben realizar al principio de cada bimestre, en una cuenta de ahorros que paga 30% de interés con capitalización bimestral, para que al final de un año 6 meses se tengan reunidos $95 000? Solución
Se identifican los datos: M =$95
000
Se trata de un problema de monto ya que se tiene un ahorro. i =
0.30 = 0.05 6
n=(1.5)
6=9 depósitos bimestrales
El valor que se va a buscar es la renta, y como uno de los datos con los que se cuenta es el monto de la anualidad, la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del monto: (1 + i) n+1 − 1 − 1 M = R i
Se sustituyen los valores y se simplifica: 9 +1
95 000= R (1 + 0 .05) 0.05 95
−1
− 1
(1.05)10 − 1 000= R − 1 0.05
95 000= R 1.628894627 − 1 − 1 0.05
188
UNIDAD 6
95 000= R 0.628894627 − 1 0.05 95 000= R [12.57789254–1] 95 000= R [11.57789254] Se despeja el valor de la renta ( R): R =
95 000 = 8 205.29 11.57789254
Cada depósito debe ser de $8 205.29 por bimestre. 2. Roberto Martínez quiere comprar una bicicleta cuyo precio es $32 000. Si la tienda
le da la oportunidad de pagarla con 24 mensualidades anticipadas, ¿de cuánto será cada pago mensual si le cargan una tasa de interés de 18% anual convertible mensualmente? Solución
Se identifican los datos: C=$32
000
Se trata de un problema de valor actual, ya que se tiene el precio de contado. i =
0.18 = 0.015 12
n=24 pagos
mensuales
Lo que se tiene que buscar es el valor de las mensualidades (rentas, R); ya que uno de los datos que se tienen es el precio de contado, es decir al valor actual (C), la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del valor presente de una anualidad anticipada: 1 − (1 + i)− n+1 C = R 1 + i
189
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Se sustituyen los valores y se simplifica: 1 − (1 + 0.015)−24 +1 32 000= R 1 + 0.015 −23
32 000= R 1 + 1 − (1 .015) 0.015
1 − 0.710037078 32 000= R 1 + 0.015 32 000= R 1 + 0.289962922 0.015 32 000= R [1+19.33086147] 32 000= R [20.33086147] Se despeja el valor de R: R =
32000 = 1 573.96 20.33086147
Cada pago mensual debe ser de $1 573.96.
Ejercicio 2 ¿Qué cantidad debe depositar el señor Flores al principio de cada mes en una cuenta bancaria que genera 15% de interés capitalizable mensualmente para que al cabo de 3 años reciba $280 000? 2. Margarita Díaz consigue un crédito para la compra de un departamento cuyo costo es $793 522. Si el crédito se otorga para cubrir con pagos trimestrales anticipados durante 15 años con una tasa de interés de 25.2% de interés compuesto trimestral, ¿de cuánto deben ser los pagos trimestrales anticipados? 1.
190
UNIDAD 6
3. Determina el valor de
cada pago bimestral anticipado durante 4.5 años, con los que se cancelará una deuda de $100 000, adquirida el día de hoy, con 15.36% de interés capitalizable bimestralmente. 4. Joaquín se propone reunir $78 500 para realizar un viaje, por lo cual decide realizar depósitos mensuales anticipados durante tres años en una institución bancaria que paga 12% anual compuesto mensualmente. ¿De cuánto deben ser los depósitos mensuales anticipados para reunir dicha cantidad?
6.4. Cálculo del tiempo Hay ocasiones en las que es necesario determinar el número de pagos o de depósitos que se requieren para cubrir una anualidad anticipada. Al igual que con las anualidades vencidas, el número de rentas se puede determinar utilizando las fórmulas para calcular el monto o el valor actual, dependiendo de los datos con los que se cuente.
¿De qué depende la fórmula que se utiliza para calcular el tiempo?
Si el monto es uno de los datos con los que se cuenta, se utiliza la fórmula del monto (1 + i) n+1 − 1 M = R − 1 , despejando de ésta el valor de n, que representa el número de pagos a
i
realizar. Despejemos n de la fórmula del monto: (1 + i) n + 1 − 1 M = R − 1 i (1 + i) n + 1 − 1 R − 1 = M i (1 + i) n + 1 − 1 M − 1 = i R
(1 + i) n + 1 − 1 = M + 1 i
R
191
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
(1 + i) n+1 − 1 = M + 1 i R
(1 + i) n+1 = M + 1 i + 1 R
log(1 + i) n+1 = log M + 1 i + 1 R
( n + 1)log(1 + i) = log M + 1 i + 1 R
n + 1 =
n =
log M + 1 i + 1 R
log(1 + i)
log M + 1 i + 1 R
log(1 + i)
−1
Cálculo del número de rentas cuando se conoce el monto
M + 1 i + 1 R −1 log (1 + i)
log n
=
Donde: n es el número de pagos M es el monto de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización
De la misma manera podemos despejar el número de pagos cuando se conoce el valor presente: 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i 1 − (1 + i)− n + 1 R 1 + = C i
192
UNIDAD 6
− (1 + i)− n + 1 1 1+
i
1 − (1 + i)− n + 1
=
i
=
C R
C −1 R
1 − (1 + i)− n + 1 = C − 1 i R
C −(1 + i)− n + 1 = − 1 i − 1 R
Como no se pueden obtener logaritmos de valores negativos, se multiplica toda la igualdad por –1: (−(1 + i)− n + 1 = C − 1 i − 1)(−1) R
(1 + i)− n + 1 = 1 − C − 1 i R
log(1 + i)− n + 1 = log 1 − C − 1 i
R
(− n + 1)log(1 + i) = log 1 1 − C − 1 i
− n + 1 =
− n =
R
log 1 − C − 1 i R log(1 + i)
log 1 − C − 1 i
R −1 log(1 + i)
Debido a que no se puede tener un número de pagos negativo, se multiplica todo por –1: (− n =
log 1 − C − 1 i
R − 1)(−1) log(1 + i)
193
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
n = −
log 1 − C − 1 i
R +1 log(1 + i)
Ordenando y acomodando la expresión podemos decir: Cálculo del número de rentas cuando se conoce el valor actual
C − 1 i R log (1 + i)
log 1 − n
=1−
Donde: n es el número de pagos o rentas C es el valor actual de la anualidad R es la renta i es la tasa por periodo de capitalización
Veamos cómo se aplican estas fórmulas con algunos ejemplos. Ejemplos
Una compañía fabricante de cocinas integrales ofrece uno de sus modelos con un precio de contado de $13 069.63, mediante pagos mensuales anticipados de $750 con un cargo de 18% de interés convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos han de efectuarse para liquidar la cocina? 1.
Solución
Se identifican los datos: R=$750 C=$13 069.63 i =
0.18 = 0.015 12
Se sustituyen los datos:
194
UNIDAD 6
n = 1 −
log 1 − C − 1 i R log(1 + i)
log 1 − 13 069.63 − 1 0.015 750 n = 1 − log(1 + 0.015) Se realizan las operaciones: log 1 − 13 069.63 − 1 0.015 750 n = 1 − log(1 + 0.015) n = 1 −
log[1 − (17.42617333 − 1)0.015] log(1.015)
n = 1 −
log[1 − (16.42617333)0.015] log(1.015)
n = 1 −
log[1 − 0.2463926] log(1.015)
n = 1 −
log[0.7536074] log(1.015)
n = 1 −
−0.122854845
0.006466042249
n=1–(–19) n=1+19=20
Por lo que podemos concluir que se requieren 20 pagos mensuales. Lupita desea reunir $480 000 para la compra de un departamento, para lo cual deposita $17 500 mensuales anticipados en una cuenta bancaria que paga 24% de interés 2.
195
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
anual convertible mensualmente. ¿Cuántos depósitos debe efectuar Lupita para reunir lo que necesita? Solución
Se identifican los datos: R=$17 500 M =$480 i =
000
0.24 = 0.02 12
Se sustituyen los datos y se realizan las operaciones:
n =
log M + 1 i + 1 R
log(1 + i)
−1
log 480 000 + 1 0.02 + 1 17 500 −1 n = log(1 + 0.02)
196
n =
log[(27.42857143 + 1) 0.02 + 1] −1 log(1.02)
n =
log[(28.42857143)0.02 + 1] −1 log(1.02)
n =
log[0.568571428 + 1] −1 log(1.02)
n =
log[1.568571428] −1 log(1.02)
n =
0.1955043 − 1 0.008600171762
UNIDAD 6
n=22.73–1 n=21.73 Nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato. En este curso no se realizará el ajuste del último pago, simplemente se redondeará al entero inmediato.
Podemos concluir que se requieren aproximadamente 22 pagos.
Ejercicio 3 Una tienda de electrónicos pone a la venta minicomponentes cuyo costo de contado es de $8 350 pagaderos mediante mensualidades anticipadas de $600 con 9% de interés anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos debe hacer un comprador para adquirir uno de estos minicomponentes? 2. ¿Cuántos depósitos bimestrales anticipados de $15 000, a una tasa de 14.4% anual convertible bimestralmente, acumularán un monto de $220 000? 3. Una agencia pone a la venta un automóvil mediante un sistema de pagos mensuales anticipados, para lo cual ofrece un precio de $175 400 mediante pagos de $7 200 con cargo de 18% anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos se requieren para comprar el automóvil? 4. El señor Álvarez requiere reunir $5 000 000. Si pretende realizar depósitos semestrales vencidos por $121 000 en una cuenta bancaria que paga un interés de 21% anual compuesto semestralmente, ¿cuántos depósitos tendrá que realizar para reunir la cantidad que necesita? 1.
Problemas resueltos Una persona deposita $900 al principio de cada mes en una cuenta bancaria que paga una tasa de interés de 36% anual capitalizable mensualmente. ¿Cuál es su saldo después de 4 años de ahorro? 1.
197
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Solución
Se identifican los datos: R=$900 i=
0.36 = 0.03 12
n=4
años=4(12)=48 pagos mensuales
Se sustituyen los datos en la fórmula para calcular el monto de una anualidad anticipada y se realizan las operaciones: (1 + i) n + 1 − 1 M = R − 1 i (1 + 0.03)48+1 − 1 M = 900 − 1 0.03 (1.03)49 − 1 4.256219436 − 1 3.256219436 − 1 = 900 − 1 = 900 − 1 M = 900 0.03 0.03 0.03
M =900(108.5406479–1)=96
786.58
Significa que recibe en total al final de 4 años $96 786.58. El señor González alquila un departamento por $4 000 mensuales, realizando sus pagos el primer día de cada mes. Propone al propietario pagarle el alquiler de todo el año al momento de firmar el contrato. Si la tasa de interés en ese momento es de 24% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál será el pago único que realizará a la firma del contrato? 2.
Solución
Se identifican los datos: R=$4
198
000
UNIDAD 6
i=
0.24 = 0.0 12
n=un año=1(12)=12
pagos mensuales
Se sustituyen los datos en la fórmula para el valor presente de una anualidad anticipada y se realizan las operaciones: 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i
C = 4
1 − (1 + 0.02)−12 + 1 000 1 + 0.02
C = 4
1 − (1 .02)−11 + 1 − 0.804263039 = 000 1 + 4 000 1 0.02 0.02
C=4
000 1 +
0.19573696 = 4 000 [1 + 9.786848045] = 4 000[10.786848045] 0.02
C=43 147.39
El pago de la renta anticipada por un año es $43 147.39. ¿Cuánto se debe depositar al principio de cada bimestre, en una cuenta de ahorros que paga 11.4% de interés con capitalización bimestral, para que al final de 4 años se tengan reunidos $125 000? 3.
Solución
Se identifican los datos: M =$125 i=
000
0.114 = 0.019 6
n=(4) 6=24 depósitos
199
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
El valor que se va a buscar es la renta, y como uno de los datos con los que se cuenta es el monto de la anualidad, la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del monto. (1 + i) n + 1 − 1 − 1 M = R i
Se sustituyen los valores y se simplifica: 125
(1 + 0.019)24 +1 − 1 − 1 000= R 0.019
125
(1.019)25 − 1 000= R − 1 0.019
125 000= R 1.600864596 − 1 − 1 0.019 0.600864596 − 1 0.019
125 000= R
125 000= R[31.62445242–1] 125 000= R[30.62445242] Se despeja el valor de la renta ( R): R =
125 000 = 4 081.71 30.62445242
Cada depósito debe ser de $4 081.71 por bimestre. 4. Ricardo Sosa quiere comprar una computadora cuyo precio de contado es de $18 700. Si
la tienda le da la oportunidad de pagarla con 18 mensualidades anticipadas, ¿de cuánto será cada pago mensual si le cargan una tasa de interés de 24% anual convertible mensualmente? Solución
Se identifican los datos:
200
UNIDAD 6
C=$18 700 i=
0.24 = 0.02 12
n=18
pagos mensuales
Lo que se tiene que buscar es el valor de las mensualidades (rentas, R), y debido a que uno de los datos con los que se cuenta es el precio de contado, es decir, valor actual (C), la renta se puede despejar de la fórmula para el cálculo del valor presente de una anualidad anticipada. 1 − (1 + i)− n + 1 C = R 1 + i
Se sustituyen los valores y se simplifica: 1 − (1 + 0.02)−18 + 1 18 700= R 1 + 0.02 −17
18 700= R 1 + 1 − (1 .02) 0.02
1 − 0.714162562 18 700= R 1 + 0.02 18 700= R 1 + 0.285837438 0.02 18 700= R [1+14.2918719] 18 700= R [15.2918719] Se despeja el valor de R: R =
18700 = 1 222.87 15.29187
Cada pago mensual debe ser de $1 222.87.
201
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Una tienda departamental ofrece telepantallas a un precio de contado de $16 920, mediante pagos mensuales de $2 100 con un cargo de 18% de interés convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos han de efectuarse para liquidar la telepantalla? 5.
Solución
Se identifican los datos: R=$2 100 C=$16 920 i=
0.18 = 0.015 12
Se sustituyen los datos:
n= 1 −
log 1 − C − 1 i
R log(1 + i)
log 1 − 16920 − 1 0.015 2100 n = 1 − log(1 + 0.015) Se realizan las operaciones:
202
n = 1 −
log[1 − (8.057142857 − 1) 0.015] log(1.015)
n = 1 −
log[1 − (7.057142857 ) 0.015] log(1.015)
n = 1 −
log[1 − 0.105857142] log(1.015)
n = 1 −
log[0.894142857 ] log(1.015)
UNIDAD 6
n = 1 −
−0.048593088
0.006466042249
n=1–(–7.51) n=1+7.51=8.51 Nota: cuando el resultado es decimal, normalmente se ajusta el valor del último pago y se redondea el número de pagos al entero inmediato. En este curso no se realizará el ajuste del último pago, simplemente se redondeará al entero inmediato.
Así, concluimos que se requieren aproximadamente 9 pagos mensuales.
Problemas propuestos ¿Cuánto tendrás acumulado al cabo de 2 años 3 meses si depositas a partir de hoy $1 500 mensuales en una cuenta de ahorros que paga 8.6% de interés anual capitalizable mensualmente? 2. ¿Cuánto se necesita pagar semestralmente por anticipado para saldar una hipoteca de $150 000 pactada a 14 años, si se considera una tasa de interés de 12% anual convertible semestralmente? 3. ¿De cuánto necesitan ser mis depósitos mensuales en una caja de ahorros, empezando el día de hoy, durante un año 8 meses, para reunir $29 300, si se considera un interés de 9% anual convertible mensualmente? 4. Una agencia promueve la venta de autos mediante el sistema de pagos mensuales, para lo cual ofrece autos con precio de $79 500, mediante pagos anticipados de $3 600 y un cargo de 18% de interés anual convertible mensualmente. ¿Cuántos pagos se requieren para liquidar el automóvil? 5. ¿Durante cuánto tiempo se necesitan depositar $2 000 trimestrales anticipados en una cuenta bancaria que paga 8.38% anual convertible trimestralmente si se requiere reunir $50 050? 1.
203
MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Respuestas a los ejercicios Ejercicio 1 1. 2. 3.
$70 758.77 $240 858.85 $149 998.57
4. 5. 6.
$72 276.16 $15 616.76 $8 457.64
3. 4.
$5 046.21 $1 804.28
Ejercicio 2 1. 2.
$6 129.67 $48 263.94
Ejercicio 3 1. 2. 3. 4.
15 pagos aproximadamente. 13 depósitos aproximadamente. 30 pagos aproximadamente. 16 depósitos aproximadamente.
Respuestas a los problemas propuestos 1. 2. 3. 4. 5.
204
$44 827.60 $10 555.55 $1 353.20 27 pagos aproximadamente. 20 trimestres aproximadamente.
Matemáticas nancieras
Unidad 6. Anualidades anticipadas
Nombre: Grupo:
Número de cuenta:
Profesor:
Campus:
Autoevaluación El señor Ramírez deposita $500 mensuales anticipados en una cuenta de ahorros que paga 12% de interés anual capitalizable mensualmente. La cantidad que habrá reunido en 3 años es: 1.
a) b) c) d)
$20 753.82 $21 753.82 $22 753.82 $23 753.82
2. El pago anual anticipado durante 5 años que debe hacer una persona para liquidar un préstamo
de $90 000 con interés de 11% anual capitalizable anualmente es: a) b) c) d)
$19 938.13 $20 938.13 $21 938.13 $22 938.13
El número de depósitos semestrales anticipados de $3 000 que se requieren hacer para reunir $150 000 si la tasa de interés es de 9.1% convertible semestralmente: 3.
a) b) c) d)
25 depósitos. 26 depósitos. 27 depósitos. 28 depósitos.
El señor Martínez desea reunir $2 570 000 para dentro de 10 años. Si realiza depósitos semestrales anticipados y la tasa de interés es de 18% anual con capitalización semestral, el valor de los depósitos es: 4.
a) $46 086.64 b) $48 086.64 205
