Ejercicio 3.5 Problemas de hidráulica Nekrasov

Ejercicios resueltos del libro Problemas de hidráulica de B. Nekrasov, N. Fabricant, A. Kocherguin Luis Fernando Hoyos Cogollo - Grupo 2A 5.6 Un recipiente cilíndrico de diámetro D=0.300m y altura H=0.500m=50cm está lleno de agua hasta la altura h1=0.300m; después el recipiente se pone en rotación alrededor del eje vertical.

a) Determinar el número de revoluciones n1 necesarias con el que la superficie libre del agua alcanza el borde superior del recipiente.

Para que la superficie libre alcance el borde superior del recipiente, tenemos que mirar la ecuación que relaciona la altura de un punto de la superficie libre con el radio al que éste está ubicado:

w2

z=h1- 4𝑔 (R2-2r2) (1) Para este caso, necesitamos saber la altura de la superficie libre que toca las paredes del cilindro, que es la altura vertical máxima, en donde z es mayor, entonces reemplazamos r=R en la ecuación 1, teniendo en cuenta que D=2R:

z=h1+

w2 2 R= 4𝑔

w2

h1+ 16𝑔D2

Hacemos z(R)=H para que la superficie libre alcance el borde superior y despejamos w: w=D √(H − h1)g = 0.300𝑚 √(0.500𝑚 − 0.300𝑚)(9.807 𝑚⁄𝑠2) = 18.676rad/s 4

4

1𝑟𝑒𝑣

60𝑠

(18.676rad/s)(2π rad )(1𝑚𝑖𝑛)=178rev/min=n1=178rpm b) Con el aumento ulterior del número de revoluciones el agua comenzará a derramarse mientras que el vértice del paraboloide se va a acercando al fondo. Hallar el número de revoluciones n2 con el cual el vértice del paraboloide tocará el fondo del recipiente.

Para que el vértice del paraboloide toque el fondo del recipiente, la diferencia de alturas entre éste y la altura vertical máxima debe ser igual a H. La diferencia máxima alturas entre el borde y el centro de la superficie libre se determina cuando se evalúa z en r=R y r=0 en la ecuación 1, y se calcula su diferencia: Diferencia máxima en las alturas: ∆𝑍max=z(R)-z(0) = H= Despejando w, teniendo en cuenta que D=2R:

w=

√2𝑔𝐻 √8𝑔𝐻 𝑅

=

𝐷

√8(9.807𝑚⁄𝑠2)(0.500𝑚)

=

1𝑟𝑒𝑣

0.3𝑚 60𝑠

=20.881rad/s

20.881rad/s (2π rad )(1𝑚𝑖𝑛)=199rev/min=n2=199rpm

w2 2𝑔

R2

Como era de esperarse, la velocidad requerida es mayor. c) ¿A qué altura h2 se encontrará el nivel del agua del recipiente si se le para en este momento? Para esto, usaremos la ecuación que relaciona hc (altura mínima del vértice del paraboloide) y h2: hc=h2-

w2 4𝑔

R2

Para este caso, hc=0, entonces despejamos h2, con el w hallado en el punto b w2

w2

20.881rad/s

h2= 4𝑔 R2=16𝑔D2 = 16(9.807𝑚

⁄𝑠2)

(0.3m) 2=0.0120m=1.20cm