FASE DOS SEÑALES Y SISTEMAS
Presentado por:
Tutor Freddy Valderrama.
Grupo: 203042_74
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería Señales y Sistemas Abril de 2018
INTRODUCCION
Al desarrollar esta fase 2, se podrá demostrar la utilidad de las convoluciones continuas y discretas para el tratamiento digital de señales, sus desplazamientos, aumentos de amplitud, transformaciones y operaciones con las señales en el dominio de la frecuencia. Así mismo la utilización de herramientas tecnológicas como Geogebra®, permitirá graficar fácilmente las señales y su comportamiento demostrando la utilidad de su estudio. Las series de Fourier igualmente permitirán obtener una señal periódica a partir de una sumatoria de senos o cosenos según el caso.
SOLUCION A LOS PROBLEMAS PLANTEADOS 1. Usando como guía el ejemplo 6.2 de la página 134 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución analítica ), y teniendo en cuenta las propiedades de dicha operación, determine la convolución entre x(t) y h(t) descritas a continuación:
ℎ(()= 2()())
)=(2− − − − Dónde: la constante “a” corresponde con el último digito del número de su
grupo, si este digito es cero, utilice a=4 Considerando el ultimo digito de mi cedula, tenemos que
ℎ
( )=(2− −2) ( ) ( )= −4 ( −4) se sugiere un desfase de 4 unidades a la derecha
∞= ∗ℎ = ∫−∞ ∗ℎ = 2− ℎ = −− 4 ℎ = −−4 ∞ − = ∫−∞2 ∗−−4
Obtenemos de aquí los valores de que servirán de límites para la integral de convolución
=0
4=0 = 4 − − −− = ∫ 2 ∗
− −− −− − = ∫ 2 − −− − −− − = ∫ 2 ∫ − −− − −− − = 2∫ ∫ − −+ − −+ − = 2∫ ∫ − − − − − = 2∫ ∫ − − − − = 2 ∫ ∫ − − − − = 2 ∫ ∫ − − 1 − 1 − = 2 4 4 Ahora debemos evaluar la integral para los límites superior e inferior
= 2−14 − 14 −14 − 14 = 2−14 − 14 −14 − 14 = 2−14 − 14−14 − 14 = 24 − 24 − 14 −− 14 −
Y simplificando, obtenemos el valor de la convolución
= 12 − 12 − 14 −− 14 − 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta ), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n] Considerando que tanto el ultimo digito de mi cedula, como el ultimo del número del grupo colaborativo es 4
=[1,2̌,4,4,6] ℎ =[0.5, 0.5,] la salida de la convolución de ℎ es igual a = ℎ ∗ = ℎ El índice de inicio es 10=1 El índice de terminación es 31=4 La longitud es = + 1=521=6 Ubicando los valores en la tabla
-1
0
0.5
0.5
1
2
0.5
0.5 1
1
2
3
4
4
6
1 2
2 2
0.5
1.5
4
3
4
2 3
3
5
3
De la tabla obtenemos el valor de la función de salida
=[0.5,1.5,3,4,5,3] En este caso, el filtro de promedio móvil aplica dado que el promedio de la suma de la muestra actual y la anterior, corresponde al valor de la salida.
=[1,2̌,4,4,6] =[0.5,1.5,3,4,5,3] 2. Usando como guía el ejemplo 7.3 de la página 173 del libro guía (Ambardar, Tema a estudiar: Convolución discreta ), determine la respuesta de un filtro FIR (h[n]), a la entrada x[n]
=[1,2̌,,,6] ℎ =[ 0.5,0.5] Dónde:
la constante “a” corresponde con el último digito del número de su grupo, y la constante “b” corresponde con el último dígito de su código universitario (documento de identidad), si “a” es cero, o “b” es cero utilice
a=, o b=4 según sea el caso.
Verifique si la respuesta del filtro anterior corresponde con la acción esperada por un filtro de promedio móvil, tal y como se ilustra en el ejemplo 7.3 inciso “c” página 174 del libro guía. Explique.
=[1,2̌,4,4,6] ℎ =[ 0.5,0.5] a=4, b=4
n
-1
h[n] x[n]
0.5 1 0.5
0 0.5 2 0.5 1
y(n)=x(n)*h(n)
y[n]
1.5
3.5
1
2
3
4
4
6
1 2
7
2 2 8
2 3 11
4
5
3 3
La convolución resultante es:
= 1.5 3.5 7 8 11 3 3. Dibuje unos cuantos periodos de cada una de las siguientes señales periódicas y calcule el coeficiente indicado de la serie de Fourier. Posteriormente resuelva el ejercicio usando software y verifique sus resultados teóricos. Tema a estudiar: Coeficientes de la serie de Fourier (Ambardar, capítulo 8): a) b)
para para ()=2∗( ) con T=5 ()= 1 con T=4 − − , 0≤ ≤
Considerando el ultimo digito de mi cedula, y del número del grupo, tenemos que
=2∗4 =4 Requerimos: a. Desplazar la función 4 unidades hacia la derecha b. Multiplicar por 2 en amplitud La grafica de la señal es la siguiente.
Donde se realiza la multiplicación por 2 en amplitud y el desplazamiento de la señal 4 unidades a la derecha. El grafico en general muestra cómo quedaría la señal periódica. Ahora planteare la integral para la serie de Fourier Calculamos el coeficiente
= 2 ∫ cos2 . 2 = 4 ∫. 2cos2 14 . 1 = 1∫. cos2
Aplicamos el método de sustitución para dar solución donde.
=
=
= . =∫. cos 2
. 2 = ∫. cos = 2 |.. . 2 1 = 2 . = 2 12 4.5 12 3.5 = 2 (12 92)( 12 72) = 2 (94 )( 74 ) Finalmente el valor de la constante es
= 2 (94 )( 74 ) El inciso b del ejercicio requiere hallar:
= 4, 0 ≤ ≤ 1 = 4 La grafica de la señal es
Donde se realiza simplemente el desplazamiento 4 unidades hacia la derecha y dibujando lo que sería la señal periódica. Para la resolución del ejercicio tenemos entonces que plantear la integral de acuerdo con la fórmula de las constantes trigonométricas de las series de Fourier
= 2 ∫ sen2 . 2 = 4 ∫. sen2 14 . 1 1 = 2 ∫. sen2 Sustituyendo
=
=
= . 1 = 2 ∫. sen 2
. = ∫. sen . 1 = (2 ). = 12 4.5 (12 3.5) = 12 (92) (12 72) = (94 ) (74 ) Entonces el valor de la constante es
= (94 ) (74 )
CONCLUSIONES Una vez completada esta fase del curso de señales y sistemas, se puede comprobar la importancia de conocer los temas de convolución continua y discreta además de las series de Fourier como métodos de análisis de las señales en cuanto a su comportamiento y reconstrucción a partir de las senoides que las representan. El uso de las TIC genera un plus al trabajo desarrollado pues permite representar gráficamente el comportamiento de las señales estudiadas a partir de los datos de entrada de los problemas estudiados, dando claridad a los conceptos.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Series de Fourier. (2008). Convolución Continua. (2008). Convolución Discreta. (2008). In A. Ambardar, Procesamiento de señales analógicas y digitales (2nd ed., p. 197). Mexico City: Cengage Learning. Recuperado de http://go.galegroup.com/ps/i.do?id=GALE%7CCX4060300081&v=2.1&u=unad&it=r &p=GVRL&sw=w&asid=2bd27e3e9ede734f0c9539e4258be694
