14. En la elaboracion de una bebida se desea garantizar que el porcentaje de CO2 (gas) por envase este entre 2.5 y .!. "os siguientes datos #ueron obtenidos del $onitoreo del proceso% 2.&1 2.&! 2.&2 2.&& 2.5 2.5 2.&
2.&2 2.5 2.& 2.51 2.5' 2.&! 2.5&
2.&5 2.5& 2.& 2.5 2.5' 2.&1 2.5 2.55 2.52 2.&1 2.&4 2.5& 2.&4 2.&
2.&' 2.& 2.&4 2.5 2.55 2.&!
2.51 2.&& 2.4 2.5& 2.55 2.5
2.5& 2.& 2.5' 2.52 2. 2.4'
2.&2 2.52 2.&1 2.5' 2.51 2.&!
2.& 2.&1 2.5 2.&4 2.&1 2.&1
2.5 2.&! 2.5 2.5 2.1 2.55
2.52 2.5 2.&4 2.&&
a)
*ealice un analisis e+ploratorio de estos datos (obtenga un ,istogra$a y vea el co$porta$ientos de los datos obtenidos).
.istogra$a de porcentaje CO2 Normal 2.48
2.59
2.73
25
Media Desv.Est. sv.Est. N
20
a i c 15 n e u c e r - 10
5
0 2.50
2.55
2.60
2.65
porcentaje CO2
Estadísticas descriptivas: porcentaje CO2 Error estándar de
2.70
2.75
2.593 0.05592 68
Variable Mediana porcentaje CO2 2.#$#"
Variable porcentaje CO2
N
N*
Media
la media
Desv.Est.
Mínimo
Q1
!
"
2.#$%&
".""'!
"."##$
2.&!""
2.##2#
Q% 2.%'#
Má(imo 2.'%""
b)
Esti$e con una con/ anza de 50 .cual es el CO 2 pro$edio por envase
T de una muestra: porcentaje CO2
Variable porcentaje CO2
N !
Mediana porcentaje CO2 2.#$#"
!
Media 2.#$%%!
"
Desv.Est. "."##$2
2.#$%&
Error estándar de la media ".""'!
".""'!
)C de $# +2.#'$!#, 2."$2
"."##$
2.&!""
2.##2#
A un nivel de conan!a del 95" #a resistencia $romedio de los envases va de 2.6069" como ma%imo & 2.5798" como minimo. c)
3e supone que debe ser igual a 2.5. ada la evidencia .es posible rec,azar tal supuesto 'rue(a de )i$*tesis +0, u-2.75 +1 u≠2.75 α 0.05 =
T de una muestra: porcentaje CO2 -reba de m / 2.'# vs. no / 2.'#
Variable 0 porcentaje CO2 2%."$
Variable porcentaje CO2
N
Media
Desv.Est.
Error estándar de la media
!
2.#$%%!
"."##$2
".""'!
"."""
)C de $# +2.#'$!#, 2."$2
$-0.0000.05 /ec)a!o +o Al nivel de sinicancia del 5" el $orcentae $romedio de 2 no es de 2.75. d )
Con los datos anteriores esti$e con una con/ anza de 50 la desviacion estandar del proceso.
6r7#ica de probabilidad de porcentaje CO2 Normal 99.9 Media Desv.Est. 99
N
95
alor '
90
e j a t n e c r o 5
80 70 60 50 40 30 20 10 5
1
0.1
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
porcentaje CO2
alor de $-0.150.05 i cum$le con la $rue(a de normalidad. Prueba e IC para una varianza: porcentaje CO2 M3todo El m3todo de c4icadrada s5lo se tili6a para la distribci5n normal. El m3todo de 7onett se tili6a para cal8ier distribci5n contina.
Estadísticas Variable porcentaje CO2
N !
Desv.Est. "."##$
Varian6a ".""%1%
)ntervalos de con9ian6a de $#
Variable porcentaje CO2
M3todo C4icadrada
)C para Desv.Est. +"."&'!, "."'%
)C para varian6a +".""22$, ".""&#%
2.593 0.05592 68 0.074 0.150
7onett
+"."&!', "."1
+".""2%', ".""&%'
A un nivel de conan!a del 95" la dis$ersi*n de los datos res$ecto a la media va de 0.0478" como ma%imo & 0.0661" como minimo e)
e los datos $uestrales se observa que el $ini$o es 2.4' y el $a+i$o 2. .por que el intervalo obtenido en el inciso b) tiene $enor a$plitud De(ido a ue la desviaci*n es mu& $euea. 15. 8na caracteristica i$portante en la calidad de la lec,e de vaca es la concentracion de grasa. En una industria en particular se / jo co$o estandar $ini$o del producto que se recibe directa$ente de los establos lec,eros sea de .!0. or $edio de 4! $uestreos y evaluaciones en cierta epoca del ano se obtuvo que X –
.2 y
S
9 !..
a)
Esti$e con una con/ anza de !0 el contenido pro$edio de grasa poblacional.
Z de una muestra :a desviaci5n estándar spesta / ".%
N &"
Media %.2"""
Error estándar de la media "."&'&
)C de $" +%.122", %.2'!"
A un nivel de conan!a del 90" el $rocentae de rasa $romedio va de 3.2799" como ma%imo & 3.1201" como minimo b)
.Cual es el error $a+i$o de esti$acion para la $edia .or que
Error- 7.8" $orue la desviaci*n est:ndar es mas $euea. c)
3i se quiere esti$ar la $edia con un error $a+i$o de !.!5 .que ta$ano de $uestra se requiere
error
=
5
=
1.96
0,3
√ n
n-139 e reuiere 139 unidades de tama$ de muestra. d )
Esti$e con una con/ anza de 50 .cual es la desviacion estandar poblacional ;rados de li(ertad ?a(las #im su$erior- 58.17006 )i@ #im inBerior- 23.6543
#im su$erior-0.25 #im inBerior-0.34
e)
.:ue puede decir acerca de la cantidad $ini$a y $a+i$a de grasa en la lec,e .Es posible garantizar con su/ ciente con/ anza que la lec,e tiene $as de .!0 de grasa 3ugerencia% aplique la regla e$pirica. De acuerdo a los resultados del $rimer inciso se $lantea la arantCa ue contiene mas de 3.0" de rasa contenida en la lec)e. #os intervalos ue nos muestra la cam$ana ser:n de 3.12 a 3.28 de acuerdo a los d atos. 1&. En la #abricacion de discos co$pactos una variable de interes es la densidad $ini$a (grosor) de la capa de $etal la cual no debe ser $enor de 1.5 $icras. or e+periencia se sabe que la densidad $ini$a del $etal casi sie$pre ocurre en los radios 24 y 5 aunque en el $etodo actual ta$bien se $iden los radios 2 4! y 4'. 3e realizan siete lecturas en cada radio lo cual da un total de 5 lecturas de las cuales solo se usa la $ini$a. ; continuacion se presenta una $uestra ,istorica de 1' densidades $ini$as% 1.'1 1. 1. 1. 1.'5 1. 1.5 1. 1.'5 1.' 1.' 1. 1.& 2.!2 2.! 1.2 1. 1.. a)
;rgu$ente en ter$inos estadisticos si las densidades $ini$as individuales cu$plen con la especi/ < cacion de 1.5 $icras. 3ugerencia% aplique la regla e$pirica.
Estadísticas descriptivas: densidades (grosor) Variable densidades +;rosor
N 1!
N* "
Variable densidades +;rosor
Mediana 1.$&""
Media 1.$&""
Q% 1.$!2#
Error estándar de la media "."1#2
Desv.Est. "."&
Má(imo 2."'""
A$licando #A /E;#A M'/A, 1.943<0.0646>-2.1338 1.94=3<0.0646>- 1.7462 'or lo tanto no cum$le con las es$ecicaciones. b) Encuentre un intervalo de con/ anza de 0 para
Mínimo 1.!1""
Q1 1.$"'#
la $edia de la densidad $ini$a.
T de una muestra: densidades (grosor) Error estándar de la media "."1#2
Variable densidades +;rosor
N 1!
Media 1.$&""
Desv.Est. "."&
)C de $$ +1.!$#$, 1.$!&1
A un nivel de conan!a del 95" #as densidades $romedio de los discos $romedio va de 1.8959 micras como ma%imo & 1.9841 micras como minimo. c)
roporcione un intervalo de con/ anza de 0 para la desviacion estandar.
6r7#ica de probabilidad de densidades (grosor) Normal 99 Media Desv.Est. N
95
90
alor '
80
e 70 j a t 60 n e 50 c 40 r o 5 30 20 10 5
1
1.80
1.85
1.90
1.95
2.00
2.05
2.10
densidades (grosor)
alor de $-0.150.05 i cum$le con la $rue(a de normalidad. Prueba e IC para una varianza: densidades (grosor) M3todo El m3todo de c4icadrada s5lo se tili6a para la distribci5n normal. El m3todo de 7onett se tili6a para cal8ier distribci5n contina.
Estadísticas Variable densidades +;rosor
N 1!
Desv.Est. "."&
)ntervalos de con9ian6a de $$
Varian6a ".""&1!
1.94 0.06463 18 0.161 0.150
Variable densidades +;rosor
M3todo C4icadrada 7onett
)C para Desv.Est. +"."&&, ".111 +"."&1', ".11$
)C para varian6a +".""1$$, "."12& +".""1'&, "."1%'
A un nivel de conan!a del 99" la dis$ersi*n de los datos res$ecto a la media va de 0.1116" como ma%imo & 0.0446" como minimo d )
ibuje el diagra$a de cajas para los datos e interprete los resultados.
6r7#ica de caja de densidades (grosor) 2.10 2.07 2.05
) r o 2.00 s o r g ( s 1.95 e d a d i s n e 1.90 d
1.9825
1.94 1.9075
1.85
1.80
1.81
eFn el diarama de caa el G1-1.9075 micras G3-1.9825 micras & con una media de 1.94 micras = = =
El 25" de los datos son iual o menores ue 1.9075 micras El 50" de los datos son iual o menores ue 1.94 micras El 75" de los datos son iual o menores ue 1.9825 micras.
Ejercicios de esti$aci=n para una proporci=n 1. En una auditoria se seleccionan de $anera aleatoria 2!! #acturas de las co$pras realizadas durante el ano y se encuentra que 1! de ellas tienen algun tipo de ano$alia. a)
Esti$e con una con/ anza de 50 el porcentaje de #acturas con ano$alias en todas las co$pras del ano.
Prueba e IC para una proporcin
Mestra 1
< 1"
N 2""
Mestra p "."#""""
)C de $# +"."2&2%&, "."$""2!
A un nivel de conan!a del 95" el $orcentae de Bacturas an*malos se encuentra entre 9.0028" como ma%imo & 2.4234" como minimo b)
.Cual es el error de esti$acion .or que
error
=
Z
1
−
α 2
√
pq n
Error- 1@96<0.015>-0.0294-2.94" c)
.:ue ta$ano de $uestra se tiene que usar si se quiere esti$ar el porcentaje de #acturas con ano$alias con un error $a+i$o de 20
error
error
=
2 = Z
1−
=
√ √
α 2
2 =1.96
pq n
0.050.95
n
n- 456 El tamao de la muestra de(e ser de 456 Bacturas. 1'. En la produccion de una planta se esta evaluando un trata$iento para ,acer que ger$ine cierta se$illa. e un total de &! se$illas se observo que de ellas ger$inaron.
a)
Esti$e con una con/ anza de !0 la proporcion de ger$inacion que se lograra con tal trata$iento.
Prueba e IC para una proporcin Mestra 1
< %'
N "
Mestra p ".1'
)C de $" +".#"2&%%, ".'21$%$
A un nivel de conan!a del 90" la $ro$orci*n de semillas ue erminan con el tratamiento esta en el intervalo <50.24"=72.19"> b)
Con una con/ anza de !0 .es posible garantizar que la $ayoria ($as de la $itad) de las se$illas ger$inaran i es $osi(le aranti!ar ue la ma&orCa de las semillas erminaran $orue a una conan!a de 90" la $ro$orci*n ue erminaran con el tratamiento ser: entra 50.24"=72.19". c)
Conteste los dos incisos anteriores pero a,ora con 50 de con/anza.
Prueba e IC para una proporcin Mestra 1
< %'
N "
Mestra p ".1'
)C de $# +".&!211#, ".'%$2$%
A un nivel de conan!a del 95" la $ro$orci*n de semillas ue erminan con el tratamiento esta en el intervalo <48.21"=73.92">. No es $osi(le aranti!ar ue la ma&orCa de las semillas erminaran $orue a una conan!a de 90" la $ro$orci*n ue erminaran con el tratamiento ser: entra 48.21.24"=73.92". 1. ara evaluar la e#ectividad de un #ar$aco contra cierta en#er$edad se integra en #or$a aleatoria un grupo de 1!! personas. 3e su$inistra el #ar$aco y transcurrido el tie$po de prueba se observa x &5 personas con un e#ecto #avorable. a) Esti$e con una con/ anza de !0 la proporcion de e#ectividad que se lograra con tal #ar$aco. *ealice una interpretacion de los resultados.
Prueba e IC para una proporcin Mestra 1
< #
N 1""
Mestra p ".#""""
)C de $" +".#%$1, ".'2$2&
A un nivel de conan!a del 90" la $ro$orci*n de $ersonas ue tuvieron un eBecto Bavora(le con el tratamiento esta en el intervalo <56.39"=72.92"> b)
.Con base en lo anterior se puede decir que a la $ayoria de las personas ($as de la $itad) les ,izo buen e#ecto el #ar$aco i es $osi(le aranti!ar ue la $ro$orci*n de $ersonas ue tuvieron un eBecto Bavora(le con el tratamiento $orue a una conan!a de 90" la $ro$orci*n ue erminaran con el tratamiento ser: entra 50.24"=72.19". c)
.:ue ta$ano de $uestra debe usarse si se quiere tener un error de esti$acion $a+i$o de 40 (!.!4)
error
=
4 =1.64
√
0.650.35
n
n-382 =El tamao de la muestra de(e ser 382 $ersonas $ara tener un error de estimaci*n de 4"
